SISTEMI LINEARI - staticmy.zanichelli.it · 2. METODO DI SOSTITUZIONE TEORIA 2. METODO DI...

474

17 SISTEMI LINEARI

1. SISTEMI DI EQUAZIONI EQUAZIONI LINEARI IN DUE INCOGNITE Esercizi a pagina 484Un’equazione nelle incognite x e y del tipo

ax by c+ =

è un’equazione di primo grado sia rispetto a x sia rispetto a y.

Diciamo anche che è un’equazione lineare in due incognite.

Le sue soluzioni sono tutte le coppie ordinate di valori, il primo da attribuire a x, il secondo a y, che verificano l’equazione.

L’equazione ax by c+ = , con b 0! , è l’espressione analitica di una funzione lineare, che, esplicitando y, può essere scritta nella forma

y mx q= + .

Abbiamo già visto che l’equazione y mx q= + è rappresentata nel piano cartesiano da una retta, con coefficiente angolare m e ordinata all’origine q.

Le soluzioni di un’equazione lineare sono associate ai punti di una retta, quindi sono infinite.

ESEM

PIO

Data l’equazione x y2 6+ = , le sue soluzioni sono rappresentate graficamente dai punti della retta di equazione:

x y y x2 6 21 3"+ = =- +

Le coppie ;2 4-^ h, (0; 3), … sono le infinite soluzioni dell’equazione.

SISTEMI E LORO GRADO Esercizi a pagina 485Sistemi e soluzioni

DEFINIZIONE

Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni per le quali cerchiamo le soluzioni comuni, ossia i valori, da attribuire alle incognite, che verificano contemporaneamente tutte le equazioni.

Scriviamo le equazioni di un sistema su righe diverse, collegandole con una parentesi graffa.

(3; 5)è una soluzione dell’equazioneperché

7 3 63 5$ $- =

x y7 3 6- =

1

y x37 2= -

coefficienteangolare

ordinataall’origine

O 4 6

y = ––x + 312

13

4

–2

y

xx 2- 0 4 6 …

y 4 3 1 0 …

A system of equations is a set of two or more equations that have to be satisfied by the

same sets of values.

x y7 3 6- =

equazione linearenelle incognite x e y

O 3

y = –x – 273

5

–2

y

x

475

1. SISTEMI DI EQUAZIONI TEORIA

Le soluzioni di un sistema sono le soluzioni comuni a tutte le equazioni che lo com-pongono.

▶ La coppia (0; 1) è una soluzione del sistema:

x xyy x

01 2

2 + =

- =*

Due sistemi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Se applichiamo i princìpi di equivalenza delle equazioni alle equazioni di un sistema, otteniamo un sistema equi-valente. Un sistema è:• determinato se ha un numero finito di soluzioni;• impossibile se non ha soluzioni;• indeterminato se ha infinite soluzioni.

▶ È impossibile il sistemax yx y7 37 8

- =

- =*

perché x y7 - non può essere con-temporaneamente uguale a 3 e a 8, quindi le due equazioni non hanno soluzioni comuni.

È indeterminato il sistema

( ) .x y

x y7 34 7 12$

- =

- =*

Infatti, la seconda equazione si ottiene dalla prima moltiplicando entrambi i membri per 4, quindi le due equazioni sono equivalenti e hanno le stesse infi-nite soluzioni.

Grado di un sistemaUn sistema formato da equazioni razionali è intero se lo sono tutte le sue equazioni, altrimenti è fratto.

DEFINIZIONE Il grado di un sistema intero è il prodotto dei

gradi delle sue equazioni.x xyx y y

116

3

2 2

+ =

+ + =*

grado del sistema: 3 2 6$ =

ESEM

PIO

Un sistema di primo grado, costituito cioè da equazioni lineari, è detto lineare.Ci occupiamo ora di sistemi lineari di due equazioni in due incognite.

SISTEMI LINEARI IN DUE INCOGNITE Esercizi a pagina 486

Sistemi lineari e forma normaleUn’equazione lineare nelle incognite x e y è in forma normale se è scritta nella forma ax by c+ = . La forma normale (o canonica) di un sistema lineare di due equazioni in x e y è:

ax by ca x b y c

+ =

+ =l l l* .

Interpretazione grafica di un sistemaDa un punto di vista grafico, le soluzioni di un sistema lineare di due equazioni in due incognite sono le coordinate dei punti di intersezione fra le due rette che rappresen-tano le equazioni.

verifichiamolo: 02 + 0 ⋅ 1 = 0

1 − 1 = 2 ⋅ 0

equazione di grado 3

equazione di grado 2

x yx y

5 2 62 8

+ =

- =*

sistema informa normale

An inconsistent system has no solution at all. A consistent system has at least one solution,

and it can be dependent or independent:a dependent system has infinitely many solutions, an independent system has exactly one solution.

17 SISTEMI LINEARI

476

I casi possibili sono tre. Esaminiamoli con esempi.ES

EMPIO

Sistema determinatoIl sistema

x yx y3 2 2

6- =-

+ =*

è determinato e ha per soluzione (2; 4), coordinate del punto diintersezione P delle rette incidenti che rappresentano le equazioni.

Sistema impossibileIl sistema

yxx y

222 6

- =-

- =-*

è impossibile. Le rette hanno lo stesso coefficiente angolare e sono parallele, ma distinte.

Sistema indeterminatoIl sistema

x yx y

2 63 6 18

+ =

+ =*

è indeterminato. Le rette sono coincidenti.

Sistemi e problemiCi sono problemi che possono essere risolti mediante sistemi, perché le relazioni che esprimono possono essere tradotte in equazioni da verificare contemporaneamente.

▶ «Cerchiamo due numeri che hanno per somma 13 e per differenza 3.» Chiamato x il numero maggiore e y il minore, il problema si traduce nel sistema:

x yx y

133

+ =

- =* .

Imparerai a risolvere questo sistema, con diversi metodi, nei prossimi paragrafi. Per il momento puoi verificare che la soluzione è (8; 5).

ESERCIZI PER COMINCIAREPer ciascuno dei seguenti sistemi la coppia indi-cata è una delle soluzioni?

a. y xx y

15

2= -

= -( , ;2 3-^ h;

b. x yx y

92 3 2

2 2- =

= -( , (5; 4).

Determina il grado dei seguenti sistemi.xyx y

37

=

+ =) ;

x x yx y

21

2

3 3

+ =

=-) ;

yxy x

24

-

=

=

-) .

ANIMAZIONE Interpreta graficamente i seguenti sistemi e indica se sono determinati, impossibili o inde-terminati.y xy x

4 44 16 8

- =

= -* ;

x yy x

5 22

= -

= -* ;

y xx y2 6 26 12 4

= -

= -* .

O 2 6

y = –x + 1

P

32

y = –x + 61

4

6

y

x O–1–3

y = 2x + 2

y = 2x + 6

2

6

y

x

O

y = ––x + 33

6

y

x

12

1 2

3

477

TEORIA2. METODO DI SOSTITUZIONE

2. METODO DI SOSTITUZIONE Esercizi a pagina 488

I metodi per risolvere un sistema sono diversi. Di solito conviene utilizzarli dopo aver ottenuto la forma normale.

Esaminiamo per primo il metodo basato sul principio di sostituzione: se in un siste-ma ricaviamo una delle incognite in una delle equazioni e sostituiamo l’espressione ottenuta in un’altra equazione, otteniamo un sistema equivalente.

ESEM

PIO

Risolviamo i seguenti sistemi con il metodo di sostituzione:

a. x yx y4 23 12

+ =

- =* ; b.

xx

yy

2 8 34 5

+ =

+ =* .

a. Ricaviamo y nella prima equazione e sostituiamo la sua espressione nella seconda:

( )xx y x y x

y x yy xx

4 23 12 3 12 3

2 412

2 42 4""

+ =

- = - = -

= - =

=

-

-* * )

Risolviamo la seconda equazione in x e sostituiamo il valore nella prima equazione:

22 y

xy xx x

y2 47 14

2 4 62"

"

"

"

$ =

=

= -

= =

= - -) )

b. Ricaviamo x dalla seconda equazione e sostituiamo la sua espressione nella prima:

( )x y

yx y

yy

xx xyy

2 8 34 5

2 8 35 4

2 8 35 45 4" "

$+ =

+ =

+ =

= -

+ =

=

-

-* * * .

Risolviamo la prima equazione in y:

y y y

x y10 8 8 3 0 7

5 4"

"

$- + = =-

= -*

ESERCIZI PER COMINCIARERisolvi i seguenti sistemi con il metodo di sostituzione.

ANIMAZIONE

x

y x y

y2 3

161 0

41 3 4

25

-+

+ =

- + =-^ h

Z

[

\

]]

]

2x y

x y

21

41 1

31 2

- =

+ =* [(2; 0)]

3x y x x

yx

3 2 5

34

1

2 - = + - +

-+ =

^ ^h h

* [indeterminato]

4x x x yxy x y

3 1 1 25 3 2

2+ + + - =

- = + -

^ ^ ^

^ ^

h h h

h h) ;2 1- -^ h6 @

ANIMAZIONE Risolvi il seguente problema utilizzando un sistema.

In un rettangolo l’altezza è 203 del perimetro e la differenza tra 4

3 della base e 35 dell’altezza è 1 cm. Deter-

mina base e altezza del rettangolo.

When using substitution you solve one equation forone variable and substitute that solution into the

other equation, so you get an equation in one variable.

questa equazioneha una sola incognita

la soluzione del sistema è la coppia ( ; )2 6- .

un’equazione del sistema è impossibile, quindi il sistema • impossibile.

equazioneimpossibile

1

5

17 SISTEMI LINEARI

478

3. METODO DEL CONFRONTO Esercizi a pagina 490

Per risolvere un sistema in due incognite con il metodo del confronto, ricaviamo la stessa incognita in entrambe le equazioni e uguagliamo le espressioni ottenute. Infatti, il valore dell’incognita che soddisfa la prima equazione deve soddisfare anche la secon-da. In questo modo otteniamo un’equazione che contiene soltanto l’altra incognita.

ESEM

PIO

Risolviamo i seguenti sistemi:

a. x yx y43 2

68

- =

- =-* ; b.

x y

x y41 2

2 8 8

+ =

+ =-* .

a. Ricaviamo y in entrambe le equazioni, uguagliamo le espressioni e mettiamo a sistema l’equazione ottenuta con una delle due precedenti:

y

yx yx y

y xy x

x

x

y x

x x4 63 2 8

6 42 8 3

4 6

23 4

4 6

4 6 23 4" " "

- =

- =-

- = -

- =- -

= -

= +

= -

- = +* * * *

Risolviamo l’equazione in x e sostituiamo il valore di x nella prima equazione:

y

xy xx

y xx

y xx

yx

4 68 12

4 65 20

4 6 4 64

43 8

104" " "

"

"

$= -

- = +

= -

=

= -

=

= - =

=) ) ) )

b. Ricaviamo y in entrambe le equazioni e uguagliamo le espressioni:

y x

x x x

x y

x y

y x

y x

y x

y x

41 2

41 2 4

1 1 0 341 2

2 8 841 2

8 2 8

41 2

41 1

" " "

"

=- +

- + =- - =-

+ =

+ =-

=- +

=- -

=- +

=- -* * * *

L’equazione in x è impossibile, quindi anche il sistema è impossibile.

Possiamo notare che il sistema è impossibile anche attraver-so la sua interpretazione grafica.

y x

y x

41 2

41 1=

=- +

- -*

ESERCIZI PER COMINCIARERisolvi i seguenti sistemi con il metodo del confronto.

ANIMAZIONE

xy

x yy

2 3 3

23

43

+ =

+ =+

Z

[

\

]]

]]

2x yy x2 6 53 2 2

- =

=- -*

;61

97

-b l< F3

x yx y

6 3 14 2 5

= +

- =*

[impossibile]

la soluzionedel sistema è(4; 10).

equazioneimpossibile

O

y = ––x + 22

8–4 –1

y

x

14

y = ––x – 114

equazioni di due rette parallele e distintedi coefficiente angolare − 4

1

1

479

TEORIA4. METODO DI RIDUZIONE

4. METODO DI RIDUZIONE Esercizi a pagina 491

Alla base del metodo che esaminiamo ora c’è il principio di riduzione: se sommiamo o sottraiamo membro a membro due equazioni di un sistema e sostituiamo l’equazio-ne ottenuta a una delle due equazioni di partenza, otteniamo un sistema equivalente.Vediamo il procedimento di risoluzione mediante un esempio.

ESEM

PIO

Risolviamo: a. x yx y

33 1

2 54

- =

+ =* ; b.

x yx y

3 4 14 8 7

+ =-

- =* .

a. Applichiamo il principio di riduzione, notando che i coefficienti di y nelle due equazioni sono opposti.

x yx y

2 54 1

33

=

=

-

+

xx6 6 1" ==

*

Mettiamo a sistema x 1= con una delle equazioni iniziali e ricaviamo y con il metodo di sostituzione:

1

1xx y

xy

xy

xy

14 3 1 4 3 1

13 1 4

11" " "

$

=

+ =

=

+ =

=

= -

=

=-* * * * .

La soluzione del sistema è ( ; )1 1- .

b. Prima di applicare il principio di riduzione, moltiplichiamo entrambi i membri della prima equazione per 2, in modo da avere nelle due equazioni coefficienti opposti per la y.

2$

x

x yx y

x y

x

3 4 14 8 7

6 2

10 5 105

8

21

"

" =

+ =-

- =

=-

= =

+

x y4 78 =-* )

Ricaviamo y in una delle equazioni iniziali, mediante sostituzione:

y y y y4 8 7 8 7 2 8 5 85

21

" " "$ - = - = - - = =- .

La soluzione del sistema è ;21

85

-a k.

ESERCIZI PER COMINCIARERisolvi i seguenti sistemi con il metodo di riduzione.

ANIMAZIONE

x yx y

5 2 32 3 14

- =

+ =-*

VIDEO Metodo di riduzione

x yx y4 9 115 6 8

- =

+ =*

x yx y5 2 8

4- =

- =* ;0 4-^ h6 @

x y

x y

3 21

4 12 1

- =

- =* [impossibile]

sommiamo le equazionimembro a membro

equazione in x

+

sommiamo le equazionimembro a membro+

1

2

3

4

When using elimination you add or subtract the two equations

so that one variable cancels out, so you get an equation in one variable.

17 SISTEMI LINEARI

480

5. METODO DI CRAMERRISOLUZIONE DI UN SISTEMA CON IL METODO DI CRAMER Esercizi a pagina 493Mediante uno dei metodi già esaminati si può dimostrare il seguente teorema.

TEOR

EMA

Il sistema ax by ca x b y c

+ =

+ =l l l* :

• se ab a b 0!-l l , è determinato e le soluzioni sono x ab a bcb c b

=--l ll l , y ab a b

ac a c=

--l ll l ;

• se ab a b 0- =l l e cb c b 0!-l l o ac a c 0!-l l , è impossibile;

• se ab a b 0- =l l e cb c b 0- =l l e ac a c 0- =l l , è indeterminato.

Il teorema si può ricordare e applicare in modo più semplice se utilizziamo il concetto di determinante, relativo a una tabella di numeri con due righe e due colonne.

DEFINIZIONE

Dati quattro numeri a1, b1, a2 e b2, disposti su due righe e due colonne, chiamiamo determinante il numero:aa

bb a b a b1

2

1

21 2 2 1= - .

23

57 2 7 3 5 14 15 1$ $= - = - =-

ESEM

PIO

In un sistema ax by ca x b y c

+ =

+ =l l l* chiamiamo determinante del sistema

D aa

bb

ab a b= = -l l

l l .

Consideriamo inoltre i determinanti Dx e Dy, ottenuti rispettivamente sostituendo la colonna dei termini noti alla colonna dei coefficienti di x e a quella dei coefficienti di y:

D bb

b bcc

c cx = = -l l

l l ; D aa

cc

ac a cy = = -l l

l l .

Utilizzando questi determinanti, il teorema precedente può essere riscritto nel modo seguente.

TEOR

EMA

Regola di Cramer (sistemi di due equazioni in due incognite)

Dato il sistema ax by ca x b y c

+ =

+ =l l l* e considerati i determinanti D, Dx e Dy:

• se D 0! , il sistema è determinato e le soluzioni sono x DDx= , y D

D y= ;

• se D 0= e D 0x ! o D 0y ! , il sistema è impossibile;

• se D 0= e D 0x = e D 0y = , il sistema è indeterminato.

481

TEORIA5. METODO DI CRAMER

ESEM

PIO

Risolviamo i sistemi:

a. x yx y

5 3 12 4

+ =

+ =* ; b.

x yx y

7 521 3 15

- =

- =* ; c.

x yx y3 6 10

2 13+ =

+ =* .

a. x yx y D

5 3 12 4

52

31 5 1 2 3 1 0" "$ $ !

+ =

+ == = - =-* il sistema è determinato.

D14

31 1 1 4 3 11x $ $= = - =- ; D

52

14 5 4 2 1 18y $ $= = - = ;

xx DD

111 11x

"= = --

= ; yy DD

118 18y

" =-= = - .

La soluzione del sistema è ( ; )11 18- .

b. x yx y D

7 521 3 15

721

13 7 3 21 1 21 21 0" $ $

- =

- ==

-

-= - - - =- + =^ ^h h)

D515

13 5 3 15 1 0x $ $=

-

-= - - - =^ ^h h ; D 15 5 21 0

721

515 7y $ $= = - = ;

D D D 0x y "= = = il sistema è indeterminato.

c. x yx y D3 6 10

2 331

62 3 2 1 6 0" $ $

+ =

+ == = - =*

D103

62 10 2 3 6 2 0x "$ $ != = - = il sistema è impossibile.

CONFRONTO FRA I RAPPORTI DEI COEFFICIENTI Esercizi a pagina 495

Dalle considerazioni precedenti possiamo ricavare un metodo per sapere se un siste-ma in forma normale è determinato, impossibile o indeterminato, basato sul con-fronto fra i rapporti dei coefficienti. Se al, bl e cl sono diversi da 0, le relazioni che otteniamo uguagliando i determinanti a 0 diventano:

D ab a b ab a b aa

bb0 0" " "= - = = =l l l l

l l;

D cb c b cb c b cc

bb0 0x " " "= - = = =l l l l

l l;

D ac a c ac a c aa

cc0 0y " " "= - = = =l l l l

l l.

Relazioni analoghe valgono se invece di = consideriamo !.

Applicando la regola di Cramer, otteniamo allora la regola seguente, che permette di stabilire se un sistema è determinato, impossibile o indeterminato senza risolverlo.

il sistema è o impossibile o indeterminato

il sistema è o impossibile o indeterminato

puoi verificare che anche Dy ≠ 0

17 SISTEMI LINEARI

482

TEOR

EMA

Confronto fra i rapporti dei coefficienti

Dato il sistema ax by ca x b y c

+ =

+ =l l l* , con al, ble cl diversi da 0:

• se aa

bb

!l l

, il sistema è determinato;

• se aa

bb

cc

!=l l l

, il sistema è impossibile;

• se aa

bb

cc

= =l l l

, il sistema è indeterminato.

ESEM

PIO

Stabiliamo, senza risolverli, se i seguenti sistemi sono determinati, impossibili o indeterminati.

a. x yx y3 2 7

4 5+ =

- =* ; b.

x yx y4 2 82 4

+ =

+ =* ; c.

x yx y

4 512 3 1

- =

- =* .

a. x yx y3 2 7

4 5 13

42

"!+ =

- = -* il sistema è determinato.

b. x yx y4 2 82 4 2

412

48

"

+ =

+ == =* il sistema è indeterminato.

c. x yx y

4 512 3 1 12

431

15

"!- =

- == -

-* il sistema è impossibile.

ESERCIZI PER COMINCIARERisolvi i seguenti sistemi con il metodo di Cramer.

ANIMAZIONE xy

y x

5 41 2

3 4 10

=-

= +

* 2x y

xy

8 6 5

12 15 2 1

- =

= -b l* [impossibile]

VIDEO Metodo di Cramer

a. x y

x y4 1

2 3 9+ =-

- + =-* b.

x yx y

2 36 3 1- =

- + =* c.

x y

x y

4 8 3

3 6 49

- + =

- =-*

VIDEO Interpretazione grafica di sistemi Stabilisci se i seguenti sistemi sono determinati, impossibili o indeterminati, sia mediante il confronto fra i rapporti dei coefficienti, sia con l’interpretazione grafica. Con-fronta il tuo procedimento e i tuoi risultati con quelli del video, dove esaminiamo i due metodi anche nel caso generale.

a. x y

x y2 3513

7 2 20- =

+ =

+* b.

x yx y

5 4 1010 8 9

=

- =-

-* c.

x yx y83 15

6 16 30=

- =-

+

-*

aal

≠ bbl

aal

= bbl

= ccl

aal

= bbl

≠ ccl

1

3

4

483

TEORIA6. SISTEMI DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE

6. SISTEMI DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE Esercizi a pagina 500

Molte delle considerazioni svolte per i sistemi di due equazioni in due incognite pos-sono essere estese ai sistemi di tre equazioni in tre incognite.

La soluzione di un sistema di questo tipo può essere scritta come terna ordinata dei numeri che sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema.

ESEM

PIO

Il sistema

x y zx z yx z y

5 13 5

2 6

- =- +

+ - =-

- = -

Z

[

\

]]

],

ha per soluzione (1; 3; 1- ), perché:

;;

.

5 1 3 1 11 3 1 3 52 1 1 6 3

$

$

$

- =- - +

+ - - =-

- - = -

^

^

^

h

h

h

Per la risoluzione, possiamo applicare i metodi di sostituzione, confronto o riduzione, utilizzandoli come nei sistemi di due equazioni in due incognite.Esaminiamo un esempio.

ESEM

PIO

Risolviamo il seguente sistema in forma normale.

x y zx y z

x y z

5 4 23 3 2 7

1

+ - =

- + + =

+ - =-

Z

[

\

]]

]]

Ricaviamo x nella terza equazione:

x y z x1 "+ - =- = y z 1- + - .

Sostituiamo nella prima e nella seconda equazione:1y z y z

y z y zy z y z

y z y zy zy z

5 4 23 1 3 2 7

5 5 5 4 23 3 3 3 2 7

4 76 4" "

+ - =

- - + - + + =

- + - + - =

- + + + =

- + =

- =

- + -^

^

h

h) ) ) .

Nel sistema in due incognite ottenuto, ricaviamo y e z con il metodo di sostituzione:

( )4 7

4 7z

zy zy z

yz

y zz z

y zz

y zz

yz

4 76 4 6 4

4 724 42 4

4 723 46

4 72

12" " " " "

- + =

- =

=

- =

= -

- - =

= -

=

= -

=

=

=

-

-* * * * * * .

Ricaviamo x per sostituzione nella terza equazione:

x x x1 2 1 1 1 0" "+ - =- - =- = .

La soluzione del sistema è la terna (0; 1; 2).

ESERCIZI PER COMINCIAREANIMAZIONE Risolvi il seguente sistema.

x y zx y zx y z

2 3 13 2 2

2 3

+ + =

- + =-

- - + =

Z

[

\

]]

]]

VIDEO Un problema con tre incognite De-termina tre numeri naturali sapendo che la loro somma vale 55, la semidifferenza tra il primo e il secondo aumentata di 3 è uguale al terzo numero e dividendo il primo per il terzo si ottiene come quoziente 2 e resto 8.

x y z

1 2

484

17 ESERCIZISISTEMI LINEARI

1. SISTEMI DI EQUAZIONIEQUAZIONI LINEARI IN DUE INCOGNITE Teoria a pagina 474

TEST Una sola delle seguenti equazioni nelle incognite x e y non è lineare. Quale?

A ( )x y x x9 12 - = -

B a x y 42 + =

C xy 5 0+ =

D y x 3=- +

VERO O FALSO? Considera le equazioni lineari in due incognite.a. Ogni equazione lineare è indeterminata. V F

b. Le soluzioni di un’equazione lineare sono coppie ordinate di numeri reali. V F

c. L’equazione x 5= ammette infinite soluzioni del tipo ;5 -^ h, (5; 0), (5; 1), … V F

d. Un’equazione lineare può avere anche una sola soluzione. V F

Indica quali coppie ordinate sono soluzione dell’equazione data.

x y2 5- = (0; –5)21; 4a k (1; –3) (–8; –21)

x y3 2 0+ - = (1; –1)21; 21

a k ;1 32

a k (–11; 5)

x y3 2 9- = (0; 3) (–2; –8) (5; 3) ;4 23

a k

Per ognuna delle seguenti equazioni, trova almeno tre coppie che siano soluzioni dell’equazione.a. x y4 2 0- - = b. x y2 3 1- = c. y6 =

TEST Tra le seguenti coppie ordinate, solo una è soluzione dell’equazione x y3 4 1- = .Quale?

A (4; 3) C ;5 4- -^ h

B (5; 4) D ;4 3- -^ h

TEST La coppia ordinata ;2 3-^ h è soluzione di una sola delle seguenti equazioni. Quale?

A x y2 3 0+ = C y x3 3 0+ + =

B x y2 4- + =- D x y2 2 2 0+ + =

Rappresenta graficamente nel piano cartesiano le seguenti equazioni lineari utilizzando almeno quattro punti.

y x3 2=- +

x y4 2 1 0- + =

x2 6 0- =

y x 2=- +

x y2 2 1+ =

x y4 4- =

1

2

3

4

5

6

7 8

IN FORMA GRAFICA

9

10

11

12

13

14

485

1. SISTEMI DI EQUAZIONI ESERCIZI

Scrivi l’espressione analitica delle funzioni lineari rappresentate nei seguenti grafici.

O 3

a

3

1

y

x O 4

b

34

y

x O–1

c

32

y

x

O

–1

d

2

2

y

x

in modo che le coppie ordinate siano soluzioni dell’equazione data.

x y6 1- = ; ( 5- ; ), c 21

- ; m, c ; 13- m, ( ; 2- ).

x y2 1 0+ + = ; (0; ), ( ; 3- ), c 21

- ; m, ( ; 7).

Trova per quale valore del parametro k R! la coppia ;2 3-^ h è soluzione dell’equazionek x k y2 3 3 0- - - - =^ ^h h . [8]

Scrivi le equazioni in due incognite che rappresentano i seguenti enunciati e determina qualche coppia che ne sia soluzione.

Due numeri x e y sono tali che il maggiore supe-ra di 3 il doppio del minore. Indica con x il numero maggiore.

Il doppio della somma delle età di due bambini supera di 6 il triplo dell’età del più giovane.

SISTEMI E LORO GRADO Teoria a pagina 474Sistemi e soluzioni

Verifica se i seguenti sistemi ammettono come soluzione la coppia di numeri indicata a fianco.

a. x y

x y21 2 2 0

4 6 0

- - =

+ - =* ;5 4

1a k b.

x yx y

6 22 4 3- =

- + =* – 2

1; 1a k

15

COMPLETA

16

17

18

19 20

21

Un’equazione in due incogniteUna compagnia di studenti si reca in pizzeria e alla fine della serata deve pagare un conto di 1000 euro!Non è vero che le ragazze sono più spendaccione, infatti cia-scuna di loro se la cava con 13 euro. I ragazzi spendono inve-ce 19 euro a testa. Quante sono le ragazze e quanti i ragazzi?

MATEMATICA INTORNO A NOILABORATORIO

Risoluzione. 2 esercizi in più.

Totale: 1000 euro!

486

17 SISTEMI LINEARIAL VOLO Spiega perché il sistema:

a. x yx y

14

+ =

+ =* è impossibile; b.

x yx y

13 3 3

+ =

+ =* è indeterminato; c.

xx y

12

=

- =* è determinato.

CHI HA RAGIONE?x yx y

42

= +

- =*

Giacomo: «Sto provando con un po’ di coppie di valori, ma non trovo la soluzione».Giulia: «Per forza: è un sistema impossibile! Ti spiego perché…».Cosa dirà Giulia a Giacomo?

Grado di un sistema

FAI UN ESEMPIO Scrivi un sistema lineare e un sistema non lineare, nelle incognite x e y, indicando il gra-do di ciascuno.

Determina il grado dei seguenti sistemi.

a. x yx y

12 5

2+ =

- =* b.

x yxy

2 14

3 2+ =

=* c.

y x xy x

31

2= -

= -*

a. x yx y x y

1 32

2 2+ - =

- + =

^

^ ^

h

h h) b.

x y x yx

12 3

2 2 2 2

2

- + =

=) c.

( )( )( )

x xx y y

2 2 44 3 1 42

+ - =-

- - =*

FAI UN ESEMPIO Scrivi un sistema di quarto gra-do di due equazioni in cui un’equazione è:

a. x y xy2 12 2 + = ;

b. x xy 3+ = .

TEST Il sistema xy xxy x y3 2

84

- =

+ + =* ha grado:

A 2. C 5.B 4. D 8.

SISTEMI LINEARI IN DUE INCOGNITE Teoria a pagina 475

Sistemi lineari e forma normale

Quali fra i seguenti sistemi nelle incognite x e y sono lineari?

a. a x yx by

12 3

2 - =

- =* c.

x a yax y87 2 1

2- =

- =*

b. x xyx y

18 3

- =

- =* d.

a b xa b y2

2 3 2

- =

+ =*

TEST Indica quale dei seguenti sistemi è in forma normale.

Ax yx y

6 12 3 0

- =

+ - =* C

x yx y2 4

0= -

+ =*

Bx yx y

5 3 02 1

- =

+ =-* D

x yx

63 0

- + =

- =)

Riduci in forma normale i seguenti sistemi.

x yx y

y x xy42

21

5 1 6$

-+

+= +

- + = +^ ^h h

*

x y y x y x yx x y y x x

1 3 2 22 2 2 3

2 2- + - + + = +

- - + =- + +

^ ^ ^ ^

^ ^ ^

h h h h

h h h)

y x x x y

x y x y

4 1 3

34

35

2+ - = - +

+ = - -

^ ^

^

h h

h*

x

x y xx y x

x

2 1

3 41

2 1

2 1 1 3 2

1

2- =

+ - = -

+ - + -

- +

^ ^ ^

^

h h h

h*

22

23

24

25

26

27 28

29 30

31

32

33

34

487

1. SISTEMI DI EQUAZIONI ESERCIZI

Trova la soluzione dei seguenti sistemi tra le coppie di numeri indicate a fianco.

x yx y4 1

3 3- =

- =* (1; 3) (–1; –5) (0; –1)

x yx y5 6

6+ =

- + =* (1; 1) (–4; 2) (6; 0)

Trova per quali valori del parametro i seguenti sistemi ammettono come soluzione la coppia indicata a fianco.

ax yx y2 3 83 6

- =

+ =-* (–2; 0) a 2=-6 @

kx yx ky

2 45 2 2

+ =

- =-* ;

11 2–a k k 3=-6 @

x kykx y k

4 42 1

- =

- = -* 0; 2

1–a k k 2=6 @

a x ayx ay

a

2 1 8

23

2

- - =

+ =

^ h

* (2; –1) a 2=6 @

Interpretazione grafica di un sistema

Interpreta graficamente i sistemi e indica se sono determinati, impossibili o indeterminati.

ESEMPIO DIGITALE

a. y xy x

32

= +

=-* b.

x yx y

23 3 9

- =

= -* c.

x yxy

2 242 4

+ =

-= +*

y xx y4 0=-

- =)

x yy x2 4 0

6- + =

=*

x yx y

30

+ =

- =*

xx y

4 01

- =

+ =*

y xx y

3 22 6 4

+ =

+ =*

x yx y4 15 2 1

- =

- =-*

yy x

3 92 0

=

+ =*

x yx y

32 6 2

+ =

= +*

x yx y

2 23 4 6

- =

+ =*

Verifica graficamente che i due sistemi sono equivalenti.

y xx y

23 6

- =

- =* e

x y

y

2 2

41 1 0

= +

+ =*

x yx y

32 0

+ =

- =* e x y

y x1

3 1= -

= -*

Scrivi il sistema di equazioni rappresentato da ciascuna delle seguenti figure e indica la sua soluzione.

ESEMPIO DIGITALE

O

a

11–1

y

x O

b

3

2

1

y

x

O

a

2

2

y

x

b

O

2

–1

–2

y

x

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51 52

53 54

488

17 SISTEMI LINEARIYOU & MATHS Systems and lines Find the point of intersection of the line with equation y x1 2 1- = -^ h

and the line with slope 1- and x-intercept 5.

Traccia nel piano cartesiano due rette in modo che rappresentino il sistema richiesto e scrivi le equazioni del sistema.

Sistema impossibile.

Sistema indeterminato.

Sistema determinato con soluzione (0; 2).

Sistema determinato con soluzione ;21

21

-b l.

2. METODO DI SOSTITUZIONE Teoria a pagina 477

ESEM

PIO

Risolviamo con il metodo di sostituzione il seguente sistema.x yx y x y2 3 8

2 4 45

+ =

--

+=-

*

• Scriviamo il sistema in forma normale.

x yx y x y

x yx y x y

x yx y

2 3 8

2 4 45

2 3 82 2

45

2 3 8

4 3 5""

+ =

--

+=-

+ =

- - -=-

+ =

- =-* * *

• Ricaviamo x dalla seconda equazione (il coefficiente è 1, quindi i calcoli sono più semplici) e sostitu-iamo la sua espressione nella prima.

x yx

yx yy

y2 3 8 2 3 83 53 5

3 5"

+ =

=

+ =

= --

-^ h) )

• Risolviamo la prima equazione in y.

yx y

yx y

yx y

y6 10 3 83 5

9 183 5

23 5" "

- + =

= -

=

= -

=

= -* * *

• Sostituiamo nella seconda equazione il valore di y trovato.

x xy y

32

5212 "

$= =

=

-

=* *

La soluzione del sistema è (1; 2).

CHECKER Risolvi i seguenti sistemi applicando il metodo di sostituzione.

x yx y

2 15 4 7 0

+ =-

+ - =* ;3 2-^ h6 @

x y

x y

4 3 1 0

2 25

- + =

- - =-* ;2

1 1a k; E

x y

x y

5 2 1

23 0

- =-

- + =* ;3

2613

b l< F

x yx y2 1 3 1

1 4- - =

- + =

^

^

h

h) [(12; 7)]

55

FAI UN ESEMPIO

56

57

58

59

forma normale

equazione con soltanto l’incognita y

60

61

62

63

489

ESERCIZI2. METODO DI SOSTITUZIONE

x y

x y

32

61 1

3 27 4

- =-

+ =* ;1 2-^ h6 @

x y

x y y

2 3

23

57

21

53

+ =-

+ - = -* ;1 1- -^ h6 @

x yx y4 4 1 7

2 1 0- + + - =

- + + =

^ ^

^

h h

h) [(1; 4)]

x x y

x x y y

52 1 2

151

2 5 32 4 1

- + - =

- = + - +

^

^

h

h

* [(1; 0)]

ESEMPIO DIGITALEx y x y

x y x32

43

1

5 2 6

+=

- ++

+ = -^ h

*

x y

x y31

22

61

2 5

--

+=

- + =* ;6 7- -^ h6 @

x y x y

x y4 2 1

6 2

+-

-=

- - =-* ; 32 2

-a k; E

x yx

x y2 2 1

52 2

31

+=- +

+=

-

^ hZ

[

\

]]

];1 1-^ h6 @

x y xy

x y x y2

13

2

3 6

-+

+=

+ = - +^ h

* [indeterminato]

x y y yx y

2 3 5

25 4

2- + = - +

-= -

^ ^h h

* [indeterminato]

x y x xy y x y

1 2 6 2 2 11 1 2

2

2

- - = -

- + - + =

^ ^

^ ^

h h

h h) ;1 2

1-a k; E

x y x y

x x y x x

3 2 5 4 1

21

21 1 3

- + + = + +

- + - = - +

^

` ` ^ ^

h

j j h h* [impossibile]

y y xx y x x y

1 22 62 2

+ = -

- - - = -

^

^ ^

h

h h) [(4; 9)]

y x y y

y x y x

1 4 2 1 1

72 3 3 7

1 5 7 5

2+ + - - +

+ - =- + +

=^ ^ ^ ^

^ ^

h h h h

h h* [impossibile]

YOU & MATHS Substitute and explain Use substitution to solve the two following systems, and explain your solutions.

a. x yx y

2 32 4 6

+ =

+ =* b.

x yx y

2 32 4 7

+ =

+ =*

Trova per quali valori di a e b i seguenti sistemi hanno la soluzione indicata.

ESEMPIO DIGITALEax by aax by

310

+ =

- + =* (–1; –2)

a x by aax y b

1 2 22 4

+ - =

- =

^ h) (1; –1) ;a b3 2=- =-6 @a x b y aa b x by b

1 9 32

- + + = +

+ - =

^ ^

^

h h

h) (3; 0) ;a b3 9= =-6 @

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

490

17 SISTEMI LINEARI Disegna le rette di equazioni y x2 6=- + e x y 1 0- + = e determina le coordinate del loro punto di inter-

sezione.

EUREKA! Rette in fascio Dimostra che le rette di equazioni y x 5=- + , x y2 1 0- + = e x y5 3 9 0- - = passano tutte per lo stesso punto e verificalo graficamente. [(3; 2)]

Risolvi i seguenti sistemi.

a. xx y

23 1

=

+ =* b.

x yy

73 0

+ =

- =*

a. x

x y

6 0

31 2 2

- =

- =* b.

xy9 3 02 7 0

- =

+ =*

a. xx y

6 5 511 8 0

- =-

- =* b.

xx y2 6 0

12 3- =

+ =*

a. x yx y9 3 63 2

- =

- =* b.

x yx y

2 92 3

+ =

+ =-*

YOU & MATHS From words to mathematics You need to determine two natural numbers, x and y, such that they are consecutive, and that the difference of their squares is 27. Set up a system and use substitution to solve it and find the two numbers.

Una cintura è disponibile in sette diverse misure, XXS, XS, S, M, L, XL, XXL, e la differenza tra due taglie consecutive è in media di 2,5 cm. Sapendo che 6 cinture XXL sono lunghe quanto 7 di taglia XXS, qual è la lunghezza di una cintura di taglia XL?

[102,5 cm]

EUREKA! Ragazzi e ragazze Da un gruppo iniziale di ragazzi e ragazze vanno via 20 ragazze. Restano così 2 ragazzi per ciascuna ragazza. Dopodiché, se ne vanno 60 ragazzi. Restano quindi 2 ragazze per ogni ragazzo. Il numero di ragazze nel gruppo originale era:

A 81. B 72. C 68. D 60. E 50.[USA Indiana University of Pennsylvania Annual High School Mathematics Competition, 2002]

3. METODO DEL CONFRONTO Teoria a pagina 478

ESEM

PIO

Risolviamo con il metodo del confronto il seguente sistema.x y xx y9 2 29 2 2 3

- + =

= -

^

^

h

h)

• Scriviamo il sistema in forma normale.

x y xx y

x y xx y

x yx y

9 2 29 2 2 3

9 2 2 29 6 4

7 2 29 6 4" "

- + =

= -

- - =

+ =

- =

+ =

^

^

h

h) ) )

• Risolviamo ogni equazione rispetto alla stessa incognita. Scegliamo x.

xy

x yx y

xy

6 47 2 29 6 4

72 2

9"

=- +

= +

=- +

=+Z

[

\

]]

]]*

82

83

AL VOLO

84

85

86

87

88

89

90

491

ESERCIZI4. METODO DI RIDUZIONE

• Uguagliamo le due espressioni al secondo membro e risolviamo l’equazione ottenuta nell’incognita y.

y yy y y y7

2 29

6 418 18 42 28 60 10 6

1" " "

+=

- ++ =- + = =

• Sostituiamo il valore ottenuto per y in una delle due equazioni che esprimono x in funzione di y.

y

x

y

xy 6

19

6 461

96 4

91 4

93

31

61

"$

=

=

=

=- + - +

=- +

= =

Z

[

\

]]

]]

Z

[

\

]]

]]

La coppia ;31

61

a k è la soluzione del sistema.

CHECKER Risolvi i seguenti sistemi applicando il metodo del confronto.

x yy x

3 2 74 3 11

- =

=- -* ;3

1 3-b l< F

x y

x y

3 6

2 31

- =

- =* [indeterminato]

y x

x y

8 4

29 3 0

= -

- - =* ;7

2712

-b l< F

x yx y6 4 59 6 1

= +

- =* [impossibile]

x yy x

3 3 1 202 1 4

- - - =

- + =

^

^

h

h

6 @) ;8 1-^ h6 @

x y

xy

21

32

1

21

3 32

-+

+=

- + =

Z

[

\

]]

]];3

223

a k; E

x yy y y x

42 12

= -

- = - +^ ^h h) ;2 2-^ h6 @

y x y

yx y

25

31 3

23 1

31

27

=-

+

+= - +^ h

Z

[

\

]]

];7

8710

-a k: D

EUREKA! Entrate e uscite Franco e Luigi possiedono rispettivamente € 300 e € 120. A partire da oggi, Franco spende ogni giorno € 4 senza più guadagnarne, mentre Luigi guadagna ogni giorno k euro senza più spenderne.a. Qual è il guadagno giornaliero di Luigi, sapendo che dopo 30 giorni avrà la stessa somma di Franco? Qual

è questa somma?b. Quanto dovrebbe guadagnare Luigi al giorno perché lui e Franco abbiano, dopo un certo tempo, € 140

a testa? Dopo quanti giorni si verificherebbe questo pareggio, in tal caso?

4. METODO DI RIDUZIONE Teoria a pagina 479

TEST In uno solo dei seguenti sistemi è stato applicato correttamente il metodo di riduzione. Quale?

Ax yx y

3 12 2

- =

- + =-

y5 3- =

*

Bx yx y2 3

6+ =-

- =

x 3=

*

Cx yx y2 8 02 2 7

- =

+ =-

y10 7- =

*

Dx yx y

82

- =

+ =

x2 6=

*

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

492

17 SISTEMI LINEARISistemi con equazioni che hanno termini uguali o opposti

ESEM

PIO

Risolviamo con il metodo di riduzione il seguente sistema.x yx y

4 57 4 9

- =

- =-)

xx14 " "= = =- 37

x yx y

57 9

614

44

=

= -

-

-

-

x6-

*

Mettiamo a sistema x 37

=- con una delle equazioni iniziali e procediamo per sostituzione.

611yx y

x x

y y y4 5

37

4 5 7 12 15 1222

37

37

"

" " "- =

=-

- = - - = =-

=-

- =-* *

La coppia ;3 6117

- -a k è la soluzione del sistema.

CHECKER Risolvi i seguenti sistemi applicando il metodo di riduzione.

x yx y

6 32 5- =

- - =-* [(1; 3)]

x yx y3 2 1

3 4 7- + =

- =* ;3 4- -^ h6 @

x yx y

2 04 9-

+ =

+ =-* ;2

3 3-a k; Ex y

x y2 5

2 10- + =

- =* [impossibile]

x yx y3 8

16- =

+ =* [(6; 10)]

y xx y

2 32

=- +

- =* ;3 3

5 1-b l< F

x

x y

y231 2 6

1

8 3-

- =

+ =* ;2

11 1- -a k; E

Sistemi con equazioni che non hanno termini uguali o opposti

ESEM

PIO

Risolviamo con il metodo di riduzione il seguente sistema.

x yx y

3 5 22 4 6

+ =-

- =)

• Moltiplichiamo entrambi i membri della prima equazione per 2- e quelli della seconda per 3, in modo che i coefficienti della x siano opposti e applichiamo il principio di riduzione.

$ x yx y

x yx y

3 5 22 4 6

10 412 18

23

66"

$

+ =-

- =

- =

- =

- -

+

1yy22 22 "- = =-

^ h) (

• Mettiamo a sistema y 1=- con una delle equazioni iniziali e ricaviamo x mediante sostituzione.

( ) 1xyx y

yx x6 12 18

16 12 18 6 18 12

11"

" "$

=

- =

=-

- = = -

-

- =* )

La soluzione del sistema è ;1 1-^ h.

risolviamo l’equazione in x

– sottrarre la seconda equazione dalla prima è convenienteperché i coefficienti di y sono uguali

101

102

103

104

105

106

107

+

493

ESERCIZI5. METODO DI CRAMER

CHECKER Risolvi i seguenti sistemi applicando il metodo di riduzione.

x yx y3 4 25 3

- + =

- =* ;2 1- -^ h6 @

x yx y

6 6 112 14 1

+ =-

+ =* ;3

523

-a k; E

x y

x y

31 2 3

14

2 45

+ =

- =-* ;2

149

a k; E

x y

x y21

61 1

3 6-

+ =

- =-* [indeterminato]

x y

x y

11 3 2

4 32 6

+ =

- =* ;1 3-^ h6 @

x y x y y yx y6 5 2 3 3 126 2 05

2+ - + - + = -

- + =

^ ^h h6 @) ;2

1 1-a k; E

y

x y

y y x2 3

51 4 2

34 2 3 3 12+

+ =-

- + + = +^ ^ ^h h h

* ;5 81

- -b l< F

Quanto costano 1 kg di broccoli e 1 kg di cavol-fiori? [€ 2,20; € 2,60]

5 kg di broccoli e2 kg di cavolfiori: € 16,20

3 kg di broccoli e7 kg di cavolfiori: € 24,80

Il perimetro della figura è di 52 cm e la differenza tra il doppio di a e il triplo di b è di 1 cm. Trova le misure di a e b.

5. METODO DI CRAMERRISOLUZIONE DI UN SISTEMA CON IL METODO DI CRAMER Teoria a pagina 480

Determinanti

VERO O FALSO?

a. 13

21 5

-

-= . V F

b. Il sistema x yy

12 4 0

- =

- =* ha determinante D

12

14=

-

-. V F

c. Se a 6= , a2

31 0

- -= . V F

d. Se il determinante D di un sistema è uguale a 0, il sistema è impossibile. V F

108

109

110

111

112

113

114

115 116

a

b

ba

117

494

17 SISTEMI LINEARICHECKER Calcola i seguenti determinanti.

21 4

3-

-;

04

02 . ;5 0-6 @

ESEMPIO DIGITALE 21

2

0

4- -;

11

11-.

32

54

25

9

-;

00

13

-. [8; 0]

421

61

23

78

-

-

-;

22

22 . ;4

25 0-9 C

0

221

0-

- ; 33

33-

-. ;1 0-6 @

Dato il sistema x yx y2 3 0

4 7- - =

+ =* , scrivi i determi-

nanti D, Dx, Dy e calcola il loro valore.

Il metodo di Cramer

ESEM

PIO

Risolviamo i seguenti sistemi con il metodo di Cramer.

a. x yx y

4 12 3

- =

+ =* b.

x yx y2 1

8 4 1- + =

- =-* c.

x yx y

3 56 2 10- =-

- + =*

a. D 2 11 4

1 8 9=-

= - - =^ h , D13

41 1 12 13x =

-= - - =^ h , D

12

13 3 2 1y = = - = .

Poiché D 0! , il sistema è determinato con:

x DD

913x= = ; y D

D91y

= = " ;913

91

b l è la soluzione del sistema.

b. D28

14 8 8 0= =

-

-- = , D

11

14 4 1 3x =

- -=- - - =-^ h , D

28

11 2 8 6y =

-

-= - =- .

Poiché D 0= , D 0x ! , D 0y ! , il sistema è impossibile.

c. D13

6 2 6 6 0=-

=-

- = , D5

1012 10 10 0x =

- -=- - - =^ h , D

36

510 30 30 0y =

-

-= - = .

Poiché D D D 0x y= = = , il sistema è indeterminato.

Risolvi i seguenti sistemi applicando il metodo di Cramer.x yx y

6 23 2 1- =

- + =* ;9

534

b l< Fx yx y

4 12 1

- =

- =-* ;3 1- -^ h6 @

x yx y

8 2 34 3 0+ =

- + =* ;32

983

a k; E

x y

x y

21 1

6 4 41

- =-

- =* ;16

173249

b l< F

x yx y5 18 2 3

- =

- =* ;2

127

- -a k; E

x y

x y

4 3 11

32

21 2

- + =

- =* [impossibile]

x y

x y

3 2 4

43

21 1

+ =-

+ =-* [indeterminato]

x yx y

8 06 2 9- - + =

- =* ;8

25839

a k; Ex

x yy x2 1

5 43 1+

= +

- = +^ h) ;2

1725

- -a k; Ex y x

x yy

32 1

21 1

2 41 2

- +-

-=

++ =-

Z

[

\

]]

]];5

2956

-b l< F

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

495

ESERCIZI5. METODO DI CRAMER

CONFRONTO FRA I RAPPORTI DEI COEFFICIENTI Teoria a pagina 481ES

EMPIO

Confrontando i rapporti dei coefficienti, stabiliamo se i seguenti sistemi sono determinati, impossibili o indeterminati.

a. x yx y3 16 2 3

- =

- =-* b.

x yx y

22 3

- =

+ =* c.

x yx y

3 6 122 4

- =

- + =-*

a. x yx y a

a3 16 2 3 6

321

"

- =

- =-= =

l) , b

b21

21

= --

=l

, cc

31

=-l

aa

bb

cc

"!=l l l

il sistema è impossibile.

b. x yx y a

a22 3 2

1"

- =

+ ==

l) , b

b 1=-l

, cc

32

=l

aa

bb

"!l l

il sistema è determinato.

c. x yx y a

a3 6 122 4 3"

- =

- + =-=-

l) , b

b26 3=

-=-

l, cc

412 3= - =-

l

aa

bb

cc

"= =l l l

il sistema è indeterminato.

Confrontando i rapporti dei coefficienti, stabilisci se i seguenti sistemi sono determinati, impossibili o inde-terminati.

x yx y

3 72 1

- =

- =*

x y

x y

2 2

21 3

+ =-

- - =*

x yx y

8 2 1 04 2 4

+ + =

=- -*

x y

x y31 1 2

3

2 9 6

+ =

- =-*

ESEMPIO DIGITALE Indica per quale valore di k il sistema kx y

x y

2 3 1

21 7

- =

+ =* è impossibile.

VERO O FALSO? Il sistema ax yx by

6 84 2

- =

+ =* è:

a. indeterminato se a 16= e b 23

=- . V F

b. impossibile se a 38

= e b 9=- . V F

c. determinato se ab 24!- . V F

d. impossibile se ab 24=- e b 23

!- . V F

INVALSI 2004 È dato il sistema x yx ky

2 23 5

- =

+ =* .

Quale dei seguenti valori va attribuito a k affin-ché il sistema non ammetta soluzioni?A 6-

B 2-

C 1D 0

TEST Per quale valore di k il sistema

kx yx y

32 4 1

+ =

- =-* è determinato?

A k 2= C k 2!

B k 21

=- D k 21

!-

TEST Per quali valori di a e b il sistema

xx ay

y b26 9

-

+ =

=-* è indeterminato?

A a 2= , b 3= . C a 3=- , b 3=- .

B a 3= , b 2= . D a 2= , b 3=- .

134 135 136 137

138

139 140

141 142

496

17 SISTEMI LINEARIScrivi un sistema con le caratteristiche indicate.

Un’equazione è x y3 6 1- + =- ; il sistema è impossibile.

Un’equazione è x y21 4 3- = ; il sistema è indeterminato.

Un’equazione è x y2 31 3- + = ; la soluzione è ;2 3- -^ h.

RIEPILOGO: SISTEMI LINEARIAL VOLO Indica la soluzione dei seguenti siste-

mi senza fare calcoli.

a. y xy x

2 82 7

= -

= -* b.

x yx y

2 1 03 6 3 0

- - =

- - =*

Per ognuno dei seguenti sistemi indica qual è il metodo che ritieni più adatto per risolverlo e spiega perché.

a. x yx y

2 8 114 8 3

- =

- =* c.

x yx y

6 7 110 3 4

+ =

- =*

b. x yx y

3 92 3

=- +

= +* d.

x yx y

10 3 16 5

+ =

- - =*

MATEMATICA AL COMPUTER

Sistemi e foglio elettronicoCostruisci un foglio elettronico che, dopo aver ricevuto i

sei coefficienti del sistema x yx y2 8

3 14- =

- =* :

a. stabilisca se è determinato, indeterminato o impossi-bile;

b. nel caso sia determinato, lo risolva con il metodo di riduzione.

Prova poi il foglio di lavoro inserendo i coefficienti di altri sistemi.

Risoluzione. 2 esercizi in pi•.

Risolvi ogni sistema con il metodo che ritieni più opportuno e interpretalo graficamente.

x yx y2 3

3- =

+ =* [(2; 1)]

x y

x y

21 3 5

2 310

- =-

+ =* ;0 3

5a k; E x y

x y6 85 3

- =

+ =* ;1 2-^ h6 @

CHECKER Risolvi i seguenti sistemi con il metodo più opportuno.

x yx y2 4

3 5 00=

+ =

- +* ;2 1-_ i8 B

xy x8 16 2 0+ =

= -* ;3

161

- -b l< Fx y

x y3 3 24 1

- + =

=+* ;3

131

-b l< F

x yy x

73 0

0+ =

- =

-

-* [impossibile]

ESEMPIO DIGITALE

x y

x yx

x yx y

32

21 3

2 3 3 0

33 5

2+

-- + =

-+

= --

a kZ

[

\

]]

]]

x yx y x y

y x yx y

72 3

2 2 72

32

21

63 7 5

-+ - = -

+

+-

+ =-+ -

Z

[

\

]]

]];5

121

b l< F

x

x y x

y y323

61

34

2 4 2 5 7+

+-

-=

+

- - =- -^ ^h h

* ;5 3- -^ h6 @

x y x

x y x y

4 32

51 1 3

1 1

41 10 2 4 2

1

- + = - +

+ - - =- +

` ^

^

j h

h

* ;21 5- -a k; E

FAI UN ESEMPIO

143

144

145

146

147

148 149 150

151

152

153

154

155

156

157

158

497

ESERCIZISISTEMI FRATTI E LETTERALI

xy

x

x x y x

x y41 3 2

45 2

13 1 2 1 4 3

4 4 2 3

2

--

= -

+ - + = +

+ - +

^ ^

a ^

h h

k h* ; 4528 --^ h6 @

x x y y x

x y y y y

9 2 4 2 5 1 2

611

21

31

- - - = + + -

- = - + -+

^ ^

a a

h h

k k* [indeterminato]

y y x y

x y x

31 1 8 7 2 6

1

38 2 1 4 3

338

326

2- - - - + =

-+ - + - =-

-^ ^ `

^

h h j

h

6 @* [(2; 3)]

x y

x y x y x y

x x y x x x x

2 43 1

8 649

1 3 3 21

812

2-

++

- -=

--

+ + - = - + - -^ ^ ^ a ah h h k kZ

[

\

]]

]];8

141

-b l< F

x x x yx y y x

x

2 3 2 3 2 1 5

35 2

23 4

2

2- + = +

-+

-=- -

+^ ^ ^h h h

* [impossibile]

y xx x

x

x x

x y

124

3 211

20 254

3 21

21

56 5

++ -

-

= + -

= -

` ` `

` ^

j j j

j h

Z

[

\

]]

];2

3521 221

181a k; E

x y

x x x y x x

x y x y x3 2101 5 15 1 1

2 2 5 12 2- + -

+ - + + = - +

+ + - = +

^ ^ ^

^ ^ ^ ^

h h h

h h h h

* ;52

61

b l< F

SISTEMI FRATTI E LETTERALISistemi numerici fratti

CHECKER Risolvi i seguenti sistemi.

ESEMPIO DIGITALE x y x yx y3 3

1 2

4 42 2- =-

- =*

x y xyx y21

32 1

1 0

- =

- + =* ;3 2- -^ h6 @

xy

x y1

23

4 4- =

- =* [impossibile]

x y

yx

2 1

2 1

+ =

+ =-* ;3 5-^ h6 @

x yx y2

3 1

2+ =-

+ =* ;5 7-^ h6 @

yx

yx

x y2 22 1

4 3 10 0

1++

=-

- - =* [(4; 2)]

x y y xx y

14

23

4 12

3 4 0+ - =

+-

+ =

^ h* ; 192

6-b l< F

yx

xy

4 8 1

42

-=

-=-

Z

[

\

]]

]][impossibile]

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

498

17 SISTEMI LINEARIx yx x

x y

21 1

1 3

2 1

-- - - =

- =-

^ h

* ;23

45

a k; E

x yx x y x

2 6

1 4 2 2

=

- + = - +^ ^h h

* [impossibile]

x yx y

xy

42

21 3 4

2+-

=

+ =-

Z

[

\

]]

]];2

21 7- -a k; E

xy

yx

32

31

210 2

+-

=

+-

=-

Z

[

\

]]

]][(0; 3)]

x y

x x xy

4 2 14 02

232

- =

=-

+

-

* [indeterminato, con x x0 2/! ! ]

ESEMPIO DIGITALE yx

yx

x y12

33 0

2 3 1-+

- ++

=

+ =-*

x

xy yx

x y

y32

21

21

12 2613

- - =

-+

- - =

-a kZ

[

\

]]

]];2 21

-a k; E

y y xy x yyx

25 3 4 0

15 1 32--

+ - =

++ = ^ h

* ;52

34

- -b l< F

yx

yx

x y xy2 1

32

4

5 7 1 7 4++

=-

- + = -^ ^h h

* ;6 71

b l< F

Sistemi letterali

TEST Se k 32

= , allora il sistemax yx ky

6 2 62 4- =

- + =* :

A è determinato.

B è impossibile.

C ha come soluzione ;0 3-^ h.

D è indeterminato.

TEST Il sistema x ay

x y2 4

21 3 1+ =-

- + =* è impossibi-

le per:

A a 31

=- .

B a 12=- .

C nessun valore di a.

D a 12= .

VERO O FALSO? Il sistema nel foglietto: x – 2y a

4x (a – 6) y 4

=

+ =(

a. è impossibile per a 2=- . V F

b. ha soluzione ;0 -^ h per a 4= . V F

c. non è mai indeterminato. V F

d. rappresenta due rette che si intersecano nel punto (4; 2) per a 0= . V F

Indica per quale valore del parametro ognuno dei seguenti sistemi risulta indeterminato o impossibile.

x yyax

2 43 6

- =

=+ -* :a 2

3 indet.=-9 C x yx y

aa

28

73

- =

=+* :a 4

1 imp.=-9 C

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183 184

185

186 187

499

ESERCIZI

ESEM

PIO

Risolviamo il seguente sistema nelle incognite x e y, discutendo al variare del parametro a in R .a x yx a y

14

4 11

- + =

- - =-

^

^

h

h)

• Calcoliamo i determinanti D, Dx, Dy.

Da

a a a a a a aa1

144 1 4 4 4 4 4 52 2=

-

- -=- - - - =- + + - - = -

^^ ^

hh h ;

D a a a11

44 4 4x =

- - -=- - + =

^^

hh ; D

aa a

11

11 1 1y =

-

-=- - - =-^ h .

• Il sistema è determinato se D 0! , cioè se a a a a a5 0 5 0 02" "! ! !- -^ h / a 5! .

La soluzione è:

; ;x DD

a aa

a y DD

a aa

a a a5 51

5 51

51

51x y

"= =-

= - = =-

-= -

-- -

-^ ^

`h h

j.

• Se a 0= : D 0= , D 0x = , D 0y = " il sistema è indeterminato.

• Se a 5= : D 0= , D 5x = , D 5y =- " il sistema è impossibile.

In sintesi: a a0 5/! ! : sistema determinato con soluzione ;a a51

51

- --

b l;

a 0= : sistema indeterminato; a 5= : sistema impossibile.

Risolvi i seguenti sistemi nelle incognite x e y, discutendo al variare del parametro.

x yx y

aa21

2 1- =

+ =

-

+* : ;a a 1R6 ! ^ h6 @

kx y

ky kx12 2

+ =

+ =-

+ -^ h) ;: .; : k

kkk k 1 121 1imp !

- -= b l< F

( )ax ya x y a

02

- =

- - =) ;:a a a

2 2R2

6 ! - -b l< F

( )ax a yx y a

2 2 21

+ - =

+ = -) : ; : ;a a a a2 2 2 1i .nd != - -^ h6 @

x yx ya a

a a9 76 2

=

+ =

-

-) : ; : ;aa a 40 0 5

417ind. != a k; E

( )k x yx y

k3 63 2 2

- + =

- =) : ; : ;k k 2 26 6ind. !=- ^ h6 @

ESEMPIO DIGITALEx y

x tt t

y3

4 16 3

2- - =

+ - =^ h)

k x yx k y4 1

7 4 1+ + =-

- + - =

^

^

h

h) : ; : ;: .;k k k k k

13 3 3 3 31i .nd imp !!= -=-

+ +b l< F

188

189

190

191

192

193

194

195

SISTEMI FRATTI E LETTERALI

500

17 SISTEMI LINEARIbx b y

bx by3 2 3

1+ + =-

- =-

^ h) : ; : .; : ;b bb b b0 0 2

1 121 0imp. ind /! != - -=- b l< F

x yx

a aa y a

3 2 422 2

- =

- =+ -) : ; : ;a a a a0 3

2 0 32 0 2ind.0 /! != = -_ i9 C

6. SISTEMI DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE Teoria a pagina 483

Sistemi numerici

TEST Il sistema x y zx y zx y z

3 7 02 3 3

4 6

- + =

+ - =

- - + =

Z

[

\

]]

]] ha soluzione:

A ; ;1 2 1- -^ h. B ; ;1 3 1-^ h. C , ;1 2 1- -^ h. D ; ;2 1 1-^ h.

AL VOLO Quale dei seguenti due sistemi è impossibile?

a. x y zx yx y z

42

2

+ - =

+ =

+ + =

Z

[

\

]]

]]b.

z x yz x yz x

8 48 44

- + =

- - =

- =

*

ESEM

PIO

Risolviamo il sistema x y zx y zx y z

3 63 4

5 2 3

+ + =

- - =-

- + + =-

Z

[

\

]]

]] con il metodo di sostituzione.

Utilizziamo il metodo di sostituzione per ottenere due equazioni con soltanto y e z.

xy zy z

x y zy z y zy z y z

x y zy z

y zy zy z y z

3 45 2 3

6 318 3 9 46 3 5 2 3

6 34 10 22

6 36 36 3 6 5 3

" "

=

- - =-

- + + =-

= - -

- - - - =-

- + + + + =-

= - -

+ =

- -

- -

- - + =

^

^

h

h

Z

[

\

]]

]

Z

[

\

]]

]

Z

[

\

]]

]

Otteniamo y dalla seconda e dalla terza equazione con il metodo di riduzione.

y zy z

y zy z

4 10 226 5 3

4 10 2212 10 62"

$

+ =

+ =

+ =

- - =--

y y8 16 2"- = =-

^ h( (

Otteniamo z dalla seconda equazione e x dalla prima, mediante sostituzione.

z z z4 10 22 10 302 3" "$ + = = =-^ h

x x6 32 13 "$= - - =- -^ h

La soluzione del sistema è ; ;1 2 3- -^ h.

196

197

198

199

sommiamo membro a membrole due equazioni

501

ESERCIZI6. SISTEMI DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE

CHECKER Risolvi i seguenti sistemi con il metodo più opportuno.

x yx zy z

73 14 5

+ =

- =

+ =

Z

[

\

]]

]]; ;2 9 1- -^ h6 @

x y zy zx y z

22 3 6

1

= -

= -

+ + =

Z

[

\

]]

]]; ;1 0 2-^ h6 @

x y zx z

x y z

7 54 3 1

2 3 0

- + = +

- =

+ - =

Z

[

\

]]

]][(1; 1; 1)]

x y zy x zx y z

6 3 82 2 610 2 2 1

- + =

= + -

= + +

Z

[

\

]]

]][impossibile]

x yz y xy x z

2 3 0

4 3

+ - =

+ =

- = +

Z

[

\

]]

]]; ;2

121 1- -a k; E

ESEMPIO DIGITALE

x y z

x zx y z

y43

32 1

5 2

+ =

+

- = -

= +^

^

h

h

Z

[

\

]]

]]

y xz

z x y

x zy

2 1

2

54

-= +

=- -

+ =+

Z

[

\

]]

]]

; ;3 1 2-^ h6 @

x y zx zx y

12 3

2 3

- =- -

= +

- =

Z

[

\

]]

]][(5; 7; 1)]

z yx y zx y

x z y6 3 1

35 2 0

1 2 4- =- +

+ +

- + =

- = + -^ ^h h

Z

[

\

]]

]; ;10 5

851

- -b l< Fx y

z

y z

x y z

x

3 31

2

2 5 6 061

-- =

-

+ + =

= -^ h

Z

[

\

]]

]]; ;2

1 0 61

-b l< F

x y

z x

x y z

23

1

32 3

1 0

-=-

+=

- + + =

Z

[

\

]]

]]

; ;7 3 5-^ h6 @

x y zy x z

x y

6 2 9

2 5 21

41

61 1

+ - =

-+

=

+ =

Z

[

\

]]

]]

[(2; 3; 3)]

x

yy

x z

y

y z x

x y z

7 3

4 2 35 3

11 1

2 4

8 4 6

-

- + +-

= +

-

+ =-

+ - =- +^ ^h h

Z

[

\

]]

]]

[indeterminato]

x zx z yz y

x z y1

3

1 3+

+ =

- =

= - + -^ ^ ^h h hZ

[

\

]]

]; ;3 6 3- - -^ h6 @

x y z y

z x y

x y

y z2 2

8 5 4 3

3 21

1- = +

- - =-

+ =

- +^ ^h hZ

[

\

]]

]]; ;1 21

43

- -a k; E

x

x y

xy z

y x y x y z

x z

1

34 2

41

2 1

2

3

2 2+

-

--

=-

- + = + - +

= + +

^ ^ ^ ^

^

h h h h

h

Z

[

\

]]

]]; ;15

431

511

- - -; E

x y z

x yx y z

z y151

51

31 1

4 35

2 172 2

- + - =

+ -

+ + =-

= + + +^ ^h h

Z

[

\

]]

]]; ;4 3 2- -^ h6 @

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

502

17 SISTEMI LINEARIEUREKA! Terne misteriose Il numero di terne ordinate di numeri reali che sono soluzioni del sistema

zx y z

x y z

2 42 1

2 4 2 2

=

- + =-

- + =-

Z

[

\

]]

]] è:

A 0. D 3.

B 1. E infinito.

C 2. [USA Indiana University of Pennsylvania Annual High School Mathematics Competition, 1998]

Trova per quali valori di a, b e c i seguenti sistemi hanno le soluzioni indicate a fianco.

ax y bz cbx by z c

x ay cz c21

44

- + =

+

+ + =

- - = -^ h

Z

[

\

]]

](3; –1; –1) , ,a b c1 2 1=- =- =6 @

x cy z ab xax by c

a y cx az2 3 3

32

1 2+ - = -

+

- =-

+ - = -^ ^ ^h h h

Z

[

\

]]

]](2; –1; 2) , ,a b c1 2 2=- = =6 @

cx ay bz

bx z ay

c a x y b z a y

5 1

21 3 3 0

2 2 1

- - =

- + - =

+ - - - = +^ ^ ^h h h

Z

[

\

]]

]](4; –2; 3) , ,a b c1 7 3= = =6 @

CHECKER Risolvi i seguenti sistemi fratti.

x zy

x y z

xy z

2 54

2 3 315

42

1

+-

=

+ =-

+-

=-

Z

[

\

]]]

]]]

; ;5 2 3-^ h6 @

ESEMPIO DIGITALE

yx z

xz y

zy x

1 1

26

1

52

+ -=-

- +=

- -=

Z

[

\

]]]

]]]

x y z

y z y zx

z yx y z

3 6 1

4 3 1 22 2

= +

+ --+

= -

+ = -

Z

[

\

]]

]][impossibile]

x z

yz x

zx y

1 1

13 2 5

61

- =

--

=

+ -=-

Z

[

\

]]]

]]]

[impossibile]

217

218

219

220

221

222

223

224

503

ESERCIZISISTEMI E PROBLEMI

SISTEMI E PROBLEMITEST Quale dei seguenti sistemi rappresenta il

problema?Trova due numeri, sapendo che il primo supera di 19 il secondo e che la differenza tra il doppiodel secondo e 3

1 del primo è 7.

A

x y

x y

19

2 31 7

= -

= -* C

x y

y x

19

2 31 7

= +

- =*

B

x y

x y

19

2 31 7

+ =

= +* D

x y

y x

19

2 7 31

= +

+ =*

TEST Dato il seguente problema, qual è il sistema che lo rappresenta?In un triangolo isoscele, la differenza tra l’angolo al vertice e la metà di un angolo alla base è 70°.

A

a b

c a21 70

=

- =* C

b a

a b2 180

2 70

+ =

- =*

B

a b

b a

2 180

21 70

+ =

- =* D

a b

b a2 70

=

- =*

Problemi sui numeri

Un numero pari e un numero dispari danno come somma 41. Determina i due numeri sapen-do che i 4

5 del primo equivalgono al secondo nu-mero diminuito di 5. [16; 25]

Se la differenza fra due numeri è 9 e uno è i 74

dell’altro, quali sono i due numeri? [12; 21]

Dividi il numero 15 in due parti tali che la prima superi di 3 il doppio della seconda. [4; 11]

Trova due numeri tali che la somma fra il triplodel primo e l’opposto del secondo valga 2

1 e che il doppio della loro somma sia 3.

;21 19 C

Sommando 103 alla somma di due numeri si

ottiene 52 , mentre sottraendo 5

2 al quadruplo

del primo si ottiene l’opposto del quadruplo del secondo. Trova i due numeri. [indeterminato]

ESEMPIO DIGITALE Trova due numeri naturali, sapendo che la loro somma, divisa per 5, dà quo-ziente 5 e resto 0 e che la divisione tra i due numeri dà come quoziente 2 e resto 1.

Determina due numeri naturali, sapendo che la differenza tra il quadruplo del primo e il triplo

del secondo dà come risultato 11 e che il doppio della loro differenza è uguale al triplo del mag-giore. [impossibile]

In un numero naturale di due cifre, la somma delle cifre è 7. Sottraendo 9 al numero stesso, si ottiene il numero con le cifre scambiate. Deter-mina il numero. [43]

Determina due numeri naturali in modo che la loro differenza sia 3 e che il quadruplo del mag-giore diviso per il doppio del minore dia quo-ziente 1 e resto 6. [impossibile]

In un numero naturale di due cifre, se si scam-biano tra loro la cifra delle unità con quella delle decine, si ottiene un nuovo numero che supera il primo di 45. Trova il numero iniziale, sapendo

che la somma delle sue cifre è uguale a 31 del

numero. [27]

La somma di due numeri supera di 3 i 47 del

primo e il doppio della differenza tra il primo e il secondo aumentato di 6 è uguale alla metà del primo. Quali sono i due numeri? [indeterminato]

Una frazione è equivalente a 72 . Trova i suoi ter-

mini, sapendo che aggiungendo 4 al numeratore e togliendo 6 al denominatore si ottiene una fra-zione equivalente a 3

1 . [36; 126]

225 226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

504

17 SISTEMI LINEARIESEMPIO DIGITALE Tre numeri naturali sono

tali che la differenza tra il primo e la semisomma degli altri due è uguale a 5, il primo supera di 1 i

34 del terzo e la differenza tra la somma deiprimi due e il doppio del terzo è 2. Trova i tre numeri.

Trova tre numeri, sapendo che la loro somma è 67, che il terzo supera di 7 il triplo del primo e

che il primo è i 72 del secondo. [8; 28; 31]

EUREKA! Rapporti & rapporti La somma di tre numeri è 70. Se il rapporto tra il primo e il

secondo è 43 e il rapporto tra il secondo e il ter-

zo è 74 , allora il secondo numero è:

A 12. D 24.

B 16. E nessuno dei precedenti.

C 20.[USA Indiana University of Pennsylvania Annual

High School Mathematics Competition, 1999]

Dividi il numero 50 in tre parti in modo che la prima sia uguale alla differenza tra la seconda ela terza e la seconda sia i 3

5 della terza.[10; 25; 15]

Problemi geometrici

Nel pentagono convesso ABCDE valgono le rela-

zioni A B,W V, C E,W W, E A45

,W W; inoltre DW è con-

gruente alla semisomma di BV e CW. Calcola l’am-piezza degli angoli del pentagono.

°; °; °A C D96 120 108= = =6 @W W WIl perimetro di un rettangolo è 22 cm e la base supera di 2 cm il doppio dell’altezza. Determina le misure della base e dell’altezza del rettangolo.

[8 cm; 3 cm]

Calcola le lunghezze dei raggi delle due cir-conferenze, sapendo che ,OO 12 4 cm=l e che la somma dei dia-metri è 52 cm.

[6,8 cm; 19,2 cm]

Trova gli angoli del quadrilatero convesso ABCD, sapendo che B A3=V W , °B A 96- =V W e D C2=W W .

[48°; 144°; 56°; 112°]

ESEMPIO DIGITALE La diagonale maggiore di un rombo supera di 2 cm il triplo della minore. Determina la misura delle diagonali, sapendo che, diminuendo la diagonale maggiore di 2 cm e aumentando la minore della stessa lunghezza, l’area aumenta di 16 cm2.

Nel trapezio ABCD, di base maggiore AB e base minore CD, BV supera di 10° la metà di AW , mentre CW è di 5° maggiore di DW . Trova le ampiezze degli angoli del trapezio.

; ; ;A B C D0 25 155 03 15° ° ° °= = = =6 @W V W W

Determina l’ampiezza degli angoli del poli-gono in figura.

In un rombo, la differenza delle diagonali è 16 cm e la loro somma è 40 cm. Determina l’area del rombo. [168 cm2]

Trova la lunghezza di due segmenti, sapendo che

il primo è i 45 del secondo e che la loro differen-

za è 6 cm. [30; 24]

Trova la lunghezza di due segmenti, sapendo che la loro differenza è 5

1 della loro somma e che il secondo supera il primo di 3 cm. [9; 6]

Determina la misura delle diagonali di un rom-bo, sapendo che la loro somma è 12 cm e che, se aumenti la diagonale minore di 4 cm e diminui-sci la maggiore di 6 cm, ottieni un altro rombo la cui area supera di 2 cm2 l’area del primo.

[2 cm; 10 cm]

Trova le misure dei cateti di un triangolo rettan-golo, sapendo che, diminuendo di 4 cm il cateto maggiore e aumentando di 4 cm il minore, la sua area e la lunghezza dell’ipotenusa risultano inva-riate. [indeterminato]

239

240

241

242

243

244

245

O O’

246

247

248

249

A

BC

D

E

F

A

C F 240°

E 8

= =

=

T UU V

0°B E

D B21

18=

=

+T UU T

250

251

252

253

254

505


Il triangolo isoscele ABC ha il perimetro di 10 cm. Se si aumentano i lati obliqui della metà della base AC e si diminuisce la base della metà di uno dei lati obliqui, il perimetro aumenta di 2 cm. Trova le misure dei lati dei due triangoli.

; ; ; : ;516

516

518 5 5 2; E

Il rapporto fra i lati di un rettangolo è 32 e il

perimetro è uguale a cinque volte il lato minore. Determina le misure dei lati. [indeterminato]

In un triangolo il cui perimetro misura 30 cm,

un lato è i 65 di un altro e questo supera di 4 cm

il terzo lato. Qual è la lunghezza di ogni lato?[10 cm; 12 cm; 8 cm]

Un trapezio rettangolo ha la base minore di 10 cm, la maggiore di 15 cm e l’altezza di 8 cm. Trova di quanto si deve incrementare ogni base per ottenere un nuovo trapezio rettangolo con la stessa area del primo trapezio e con lo stesso rap-porto tra le basi, ma con altezza uguale alla metà di quella del primo. [10 cm; 15 cm]

Trova la misura dei lati di un quadrato e di un triangolo equilatero, sapendo che la somma dei due lati è uguale alla differenza tra il doppio del lato del quadrato e la metà del lato del triangolo e che il semiperimetro del quadrato sommato al triplo del perimetro del triangolo dà 96 cm.

[12 cm; 8 cm]

In un triangolo ABC, AW supera di 8° i 49 di BV e CW

supera di 12° la metà della somma di AW e BV. De-termina le ampiezze di AW, BV e CW. [80°; 32°; 68°]

In un trapezio rettangolo la somma delle due basi supera di 11 cm l’altezza. Determina il peri-metro del trapezio, sapendo che la sua area è i 3

7

del quadrato dell’altezza e la base maggiore è il triplo dell’altezza. [22 cm]

In un trapezio rettangolo la somma delle basi èuguale a 16, la loro differenza è in rapporto 4

3

con l’altezza e quest’ultima è uguale al triplo del-la base minore diminuito di 7. Calcola l’area del trapezio. [64]

Sapendo che il lato del triangolo supera di 7,8 cm la semisomma dei lati del quadrato e del pentagono, determina la lunghezza dei lati dei tre poligoni a fianco.

[24 cm; 18 cm; 14,4 cm]

La differenza tra le diagonali di un rombo è uguale al perimetro di un triangolo equilatero; la diagonale maggiore del rombo supera di 4 cm il quadruplo del lato dello stesso triangolo, che a sua volta supera di 0,5 cm la metà della diagonale minore. Determina l’area del rombo e la lunghezza del lato del triangolo.

[108 cm2; 5 cm]

Problemi INTORNO A NOI

Marco e Arianna sono due fratellini le cui età differiscono di 4 anni. Sapendo che il triplo del-la somma delle loro età è pari a dieci volte l’età del più giovane, trova quanti anni hanno i due bambini. [7; 3]

Sette anni fa l’età di Giulia era quattro volte quel-la di Luca e fra tre anni Giulia avrà il doppio degli anni di Luca. Quanti anni hanno oggi i due ragazzi? [27; 12]

Anna e Lorenzo vanno a sciare in due località sciistiche differenti. Anna ha speso 5 euro in meno di Lorenzo per lo skipass. Se in totale han-no speso 75 euro di skipass, quanto ha speso cia-scuno? [35 euro; 40 euro]

In un cesto ci sono in totale 14 frutti: 3 banane, 2 kiwi, un certo numero di mele e un numero di pere che è la metà di quello delle mele. Quante pere e quante mele ci saranno nel cesto?

[3; 6]

255

256

257

258

259

260

261

262

263 Poligoni regolari di uguale perimetro

264

265

266

267

268

506

17 SISTEMI LINEARIBiscotti In un supermercato, uno scaffale contie-ne biscotti confezionati in pacchi da 400 g e 700 g, per un peso complessivo di 260 kg. A metà giornata risultano venduti 30 pacchi da 400 g e 20 da 700 g e ne rimangono in totale 450. Qual era inizialmente il numero di pacchi di ciascun tipo? [300; 200]

Durante gli allenamenti un atleta ha percorso una pista in 3 minuti e 45 secondi, poi l’ha affrontata una seconda volta aumentando di 0,5 m/s la sua velocità media, terminan-do la prova con 15,7 secondi in meno. Qual è la lunghezza della pista? Con quale velocità media l’atleta ha corso la prima volta?

[1500 m; 6,67 m/s]

Una madre di due figlie ha 64 anni e la differenza di età fra lei e la maggiore è il doppio di quella tra le figlie. La somma delle età delle figlie supera di due anni quella del padre sessantaseienne. Quan-ti anni hanno le figlie? [40; 28]

In uno stabilimento, una catena di montaggio A produce in 3 giorni tante auto quante ne produ-ce la catena B in 4. Incrementando dell’8% la produzione giornaliera di A e del 12% quella di B, in 6 giorni lo stabilimento produce complessi-vamente 6912 auto.Qual era la produzione giornaliera di ciascuna catena prima dell’incremento? [600; 450]

Hai a disposizione € 10 per effettuare alcuni acquisti di cancelleria. Comprando 3 penne e 3 quaderni spenderesti € 8,70, mentre comprando 6 penne e 2 quaderni ti rimarrebbero € 2,60. Qual è il costo di una penna? E quello di un qua-derno? [€ 0,40; € 2,50]

269

270

271

272

273

Questioni di costi, ricavi, guadagniIl tuo compagno di classe Fabio e sua sorella Roberta, di 10 anni, nel mese di luglio frequenteranno il circolo sportivo del paese. Ti hanno chiesto un consi-glio: è più conveniente sottoscrivere o non sottoscrivere l’abbonamento mensile per accedere alla struttura?

ingresso giornalierofuori abbonamento

intero: € 10under 12: € 5

ingresso giornalierocon abbonamento

intero: € 5 a ingresso + abbonamento € 65under 12: € 3 a ingresso + abbonamento € 42

MATEMATICA ED ECONOMIALABORATORIO


Durante un set di una partita di pallavolo la

squadra in vantaggio ha totalizzato i 23 del pun-

teggio realizzato dalle avversarie. Sapendo che il totale dei punti realizzati è 15, quanti punti ha totalizzato la squadra in vantaggio? E quanti l’al-tra squadra? [9; 6]

Scontrini al bar Quanto costano un caffè e un cappuccino?

3 cappuccini e 4 caffè:€ 10,8

2 cappuccini e 5 caffè:€ 10

[€ 1,2; € 2]

Stefano affronta un test di chimica con 30 quesi-ti a cui vengono attribuiti i punteggi indicati sot-to. Quante sono le risposte corrette se Stefano lascia in bianco 9 risposte e totalizza 47 punti?

[17]

274

275

276

✓ risposta esatta:3 punti

risposta errata:− 1 punto

risposta non data:0 punti

507


Mescolando un certo volume di olio e un altro di aceto, si ottengo-no 1098 g di miscela. Se si scambiano i due volumi, si ottengono invece 1036 g di miscela.Determina i due volumi. [0,24 dm3; 0,86 dm3]

Un impianto fotovoltaico ha le caratteristiche riportate in figura. Dimezzando i pannelli del pri-mo tipo e sostituendoli con quelli del secondo, la produzione annuale aumenta di 100 kWh. Quanta energia produce, annualmente, ogni metro qua-drato di ciascuno dei due tipi di pannelli?

[160 kWh; 180 kWh]

L’addetto alle vendite di un negozio di abbiglia-mento deve sistemare su un espositore i nuovi arrivi. Se mette 5 capi su ogni scaffale, ne restano fuori 2, mentre se ne mette 6, sistema tutti i capi lasciando uno scaffale libero. Quanti sono i capi da sistemare? E quanti gli scaffali? [42; 8]

Bevande da cialde In un distributore automati-co di bevande calde ci sono 100 cialde: quelle per il caffè sono da 7 g, mentre quelle per il tè sono da 4 g. Alla fine della giornata sono rimaste 23 cialde e sono stati consumati in totale 380 g di prodotti. Quante cialde di ciascun tipo sono sta-te utilizzate? [24; 53]

MATEMATICA INTORNO A NOI

Złoty polaccoLa Polonia, pur facendo parte dell’UE, non ha ancora adottato l’euro; la sua moneta si chiama złoty. Paola è in viaggio d’istruzione in Polonia…

Problema e risoluzione.

277 densità aceto1020 g/dm3

densità olio920 g/dm3

278 pannello tipo 1 " 10 m2

pannello tipo 2 " 10 m2

energia per anno= 3400 kWh

279

280

Una miscela per dolci si ottiene con due farine: la farina A costa € 1,40 al kilogrammo, mentre la farina B costa € 0,70 al kilogrammo. Quali quan-tità delle due farine servono per ottenere 1 kg di miscela al costo di € 0,91? [0,3 kg; 0,7 kg]

In enoteca Pietro spende € 42 per comprare 6 bottiglie di vino uguali e una di spumante. Il suo amico Angelo spende € 28 più di Pietro perché compra 8 bottiglie dello stesso vino e 3 di spu-mante. Quanto costa una bottiglia di vino? E una di spumante? [€ 5,6; € 8,4]

Anna investe € 84 000 in modo diversificato: una parte in un investimento tranquillo al 2,2% annuo, e l’altra al 5%, ma con maggiori rischi. Dopo un anno, in banca ci sono € 86 856. Quali erano le due quote investite? [€ 48 000; € 36 000]

La differenza di temperatura tra l’interno di una casa e l’esterno in primavera è di 10 gradi circa.

Se oggi la temperatura interna è il doppio di quella esterna, quanti gradi ci sono in casa e fuo-ri casa? [20°; 10°]

Due speleologi si calano in una grotta. Il primo si cala 11 metri meno del secondo. A fine giornata si calcola che il triplo del percorso del primo è statouguale ai 5

4 del percorso del secondo. Di quanti metri si sono calati i due speleologi? [4 m; 15 m]

In una fattoria ci sono in totale 32 esemplari di galli e galline. Ogni gallina fa 4 uova al giorno e il contadino ha appena raccolto 40 uova. Quanti galli e quante galline ci sono? [22; 10]

In un negozio di scarpe si sono vendute in un sabato pomeriggio 18 paia di scarpe. Se in media quelle da donna costano 90 euro e quelle da uomo 80 e l’incasso totale è stato di 1550 euro, quante paia di scarpe da donna sono state ven-dute? E quante da uomo? [11; 7]

281

282

283

284

285

286

287

508

17 SISTEMI LINEARIDetermina le età di tre fratelli, sapendo che: la loro somma è 41; tre anni fa il maggiore aveva il doppio degli anni del minore; fra tre anni la somma delle età dei due fratelli più giovani sarài 23 di quella del maggiore. [10; 14; 17]

Anelli Anna, Bianca e Chiara possiedono com-plessivamente 25 anelli. Il numero degli anelli di Chiara supera di 1 la somma di quelli di Anna e Bianca. Determina quanti anelli ha ogni ragazza,

sapendo che Anna, dopo aver regalato la metà dei suoi anelli a Bianca, viene ad averne 8 in meno di Chiara. [10; 2; 13]

INVALSI 2005 Marco e Luca sono fratelli. La somma delle loro età è 23 anni. Il doppio dell’etàdi Luca è uguale alla differenza tra l’età del loro padre e il triplo dell’età di Marco. Quando Luca è nato, il padre aveva 43 anni. Quanti anni han-no rispettivamente Marco e Luca?A 10 e 13. B 15 e 8. C 14 e 9. D 13 e 10.

EDUCAZIONE FINANZIARIA Investire in titoli Un risparmiatore ha investito per un anno € 3000,00 nel titolo A, € 5000,00 nel titolo B e € 2000,00 nel titolo C, ottenendo un profitto complessivo di € 184,00. Se avesse scambiato le somme investite nei titoli A e B, il profitto complessivo sarebbe stato di € 160,00. Se i rendi-menti di A e C stanno fra loro come 6 e 7, quali sono i singoli rendimenti? [1,2%; 2,4%; 1,4%]

Leone, nella sua casa di campagna, ha un piccolo allevamento di capre, anatre e galline. La diffe-renza tra il numero di galline e il numero di ana-tre è 4

1 del numero delle anatre. Quante sono lecapre, le anatre e le galline?

[7; 12; 15]

Riccardo ha schematizzato la propria dieta. Calcola le calorie richieste nei tre momenti della giornata.

[300 kcal; 950 kcal; 550 kcal]

288

289

290

291

292 totale teste 34

totale zampe 82

293 fabbisogno giornaliero: 1800 kcal

56

del fabbisogno giornaliero250 kcal in meno

della cena

pranzocolazione cena

100 animali, 100 denariIl seguente problema apparve in Europa circa 1200 anni fa, ma in forme analo-ghe era già presente in Oriente:un mercante di bestiame acquistò 100 maiali per 100 denari:un verro gli costò 10 denari, una scrofa 5 denari, un paio di lattonzoli 1 denaro.Quanti verri, quante scrofe, quanti lattonzoli comprò?a. Traduci il problema in un sistema.b. Considerando il numero di incognite e il numero di equazioni, cosa ritieni di

poter dire riguardo alla risolubilità del sistema?

MATEMATICA E STORIALABORATORIO


509


Problemi algebrici e sulle funzioni

Trova a nel polinomio P x x ax b2= + +^ h , sapendo che P(x) è divisibile per x 21

- e si annulla per x 3= .

P x x x27

232= - +^ h8 B

Dato il polinomio P x x h h kx x k23 2= + - ++ +^ ^ ^h h h , trova i valori di h e k affinché il polinomio abbia come divisore x 2+ e sia privo del termine di primo grado. P x x x3

1031623= + -^ h: D

Determina k e h in modo che P x kx hx2 4 13= - +^ h e x kx hxQ 15 103= - +^ h siano entrambi divisibili per x 2+ . [impossibile]

Il grafico della funzione lineare y kx q= + passaper i punti ;A 2 1- -^ h e ;B 2

3 5a k. Trova k e q e

rappresenta la funzione. ;k q712

717

= =; E

Il grafico della funzione y x x ba 22= - + passa

per i punti ;A 2 7-^ h e ;B 21

81

a k. Trova a e b.;a b2

1 1= =9 C

Dato il polinomio P x x ax bx2 63 2= - + +^ h , trova i valori di a e b, sapendo che il polinomio è divisibile per x 2+ e che la divisione di P(x) per x 1+ dà come resto 2. ;a b7 9=- =6 @Trova per quali valori di a e b la funzionef x ax bx 42= - +^ h ha come zeri x 2

1=- e

x 3= .;a b3

8320

=- =-9 C

ESEMPIO DIGITALE Data la funzione f x a b x x a2 2 3 12= + + - +^ ^h h , trova a e b in modo che f 3 55- =^ h

e f 1 3- =^ h .

Determina per quali valori di a e b i polinomi P x ax a b x a22= + + -^ ^h h e Q x b x a x a1 22= - + - -^ ^ ^h h h

sono identici. ;a b2 1= =-6 @Trova i valori di k e t tali che i polinomi P x kx t k x t23=- + - +^ ^h h e Q x tx k t x t2 33 2= + + + -^ ^h h siano opposti. ;k t2 1=- =-6 @La retta di equazione y ax b= + passa per i punti ;1 7-^ h e ;3

2 2a k. Trova a e b e rappresenta la retta.;a b3 4=- =6 @

CHI HA RAGIONE? Eleonora: «La Prof. ha detto che questa equazione ha una soluzione, ma secondo me, con il + fra i due quadrati, è impossibile». Gaia: «Non è detto: mi sembra si possa risolvere con un sistema…».A cosa sta pensando Gaia?

Il polinomio P x bx cax2 + +=^ h è tale che

P P1 27 1= - =^ `h j e P 5 19- =^ h .

Determina il polinomio. x x2 5 62 + -6 @Data la funzione f x ax bx c2= + +^ h , trova a, b e c in modo che abbia come zeri x 2=- e x 3= e che il suo grafico passi per il punto ;2 4-^ h.

; ;a b c1 61= =- =-6 @

Trova a, b e c in modo che il grafico della funzione

y ax bx c2= + + passi per ;A 1 25

-b l, ;B 2 0-^ h,

;C 2 4^ h. ; ;a b c21 1 4=- = =9 C

Il grafico di y ax x bx c23 2= + - + passa per i

punti ;P 1 37

b l, Q(2; 1), ;R 1 5-^ h. Determina i

valori di a, b e c. ; ;a b c1 31

35

=- = =; E

294

295

296

297

298

299

300

301

302

303

304

305(x – y)2 + (2x + y – 3)2 = 0

306

307

308

309

SISTEMI LINEARI - staticmy.zanichelli.it · 2. METODO DI SOSTITUZIONE TEORIA 2. METODO DI...

Documents

Transcript of SISTEMI LINEARI - staticmy.zanichelli.it · 2. METODO DI SOSTITUZIONE TEORIA 2. METODO DI...