Sistemi di numerazione - MathUniPDaceccato/Lezione-01-febbraio... · 2011-02-01 · Anno accademico...

Anno accademico 2010-2011Anno accademico 2010-201111

Sistemi di numerazioneSistemi di numerazione


• I primi esempi di utilizzo di sistemi di numerazione risalgono al neolitico, ovvero a circa 50.000 anni fa

• In epoca preistorica, le più utilizzate furono le basi 2, 5, 10, 20, 12, e 60 Mentre le basi 2, 5, 10 e 20 sono suggerite dalla fisiologia

umana, 12 e 60 sembrano suggerite da scopi utilitaristici: 12 è divisibile per 1, 2, 3, 4, 6 e 12 mentre 60 per 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60

La base 12 è ancora utilizzata in alcune misure di tempo, 60 nella misurazione di angoli e tempo

Ancora un po’ di preistoria… Ancora un po’ di preistoria… −− 1 1


• Da notare che il 7 non compare mai nelle basi di numerazione e, in effetti, ebbe significati particolari, anche religiosi, presso i popoli antichi Il 7 esprime infatti la globalità, l’universalità, l’equilibrio

perfetto Era legato al compiersi del ciclo lunare Presso i Babilonesi erano ritenuti festivi, e consacrati al

culto, i giorni di ogni mese multipli di 7

Ancora un po’ di preistoria… Ancora un po’ di preistoria… −− 2 2


• Tra le prime testimonianze certe dell’utilizzo di concetti aritmetici avanzati vi sono le tavole numeriche babilonesi, elenchi di numeri utilizzati per calcoli astronomici e di agrimensura, risalenti al X secolo a.C.

• Tuttavia, nelle culture dell’antica Mesopotamia, esistevano tabelle per le addizioni e le sottrazioni già durante il regno di Sargon I, intorno al 2350 a.C.

E di storia… E di storia… −− 1 1


• Il documento più significativo dell’antico Egitto è il papiro di Ahmes o Ahmose, dal nome dello scriba che lo compose nel 1650 a.C.

• Lo stesso Ahmes sostiene inoltre che il suo materiale è tratto da un documento anteriore, e fa risalire l’originale ad Imhotep, medico e architetto del faraone Djoser della III dinastia, e quindi al 2650 a.C. circa Imhotep è ritenuto l’architetto della grande piramide a

gradoni di Saqqara, la cui enorme base quadrata ha lati perfetti al centimetro!

E di storia… E di storia… −− 2 2


• Un antichissimo strumento utilizzato un po’ ovunque per aiutarsi nei conteggi è costituito da semplici sassolini

• Non a caso la parola “calcolo” deriva dal latino calculus, che significa appunto sassolino

• Appartengono alla civiltà dei SumeriSumeri varie tavolette che contengono i più antichi segni numerali usati dall’uomo e risalgono al 3500−3000 a.C.

• Inizialmente, però, i Sumeri avevano semplicemente perfezionato il metodo dei sassolini, costruendone di particolari, in terracotta, di forme e dimensioni diverse, ciascuno con un proprio valore

I numeri in Mesopotamia I numeri in Mesopotamia −− 1 1


• I simboli fondamentali usati nella numerazione sumera corrispondono ai numeri 1, 10, 60, 600, 3600, 36000

• I valori dei sassolini sono crescenti secondo una scala che procede per 10 e per 6 alternativamente


360003600011 1010 6060 600600 36003600


• Il sistema di rappresentazione dei valori attraverso i “calculi” è un sistema additivosistema additivo

• Come in ogni sistema di rappresentazione additivo, l’operazione di addizioneaddizione risulta particolarmente semplice

• Per addizionare due o più valori basterà infatti mettere insieme i simboli uguali di ciascuno degli addendi: l’addizione è compiuta nel gesto stesso dell’unione dei sassolini

• L’insieme dei sassolini indicherà complessivamente il valore risultato dell’addizione



• Successivamente i Sumeri, per motivi di praticità, realizzarono gli stessi simboli su tavolette di argilla, utilizzando bastoncini di diverse dimensioni…

• …cominciarono cioè a “scrivere” i numeri


×× ××



Tavoletta pittografica con un conto di 33 misure d’olio (Godin Tepe, Iran, 3100 a.C.)Tavoletta pittografica con un conto di 33 misure d’olio (Godin Tepe, Iran, 3100 a.C.)


• Un ruolo speciale nell’aritmetica sumera spetta dunque ai numeri 10 e 60: caratteristica ereditata poi dal sistema babilonese

• Vari secoli dopo, attorno al XIX secolo a.C., a partire dall’antica numerazione sumera, gli scienziati BabilonesiBabilonesi crearono infatti un sistema di scrittura basato sui soli due simboli:

cuneo verticale cuneo verticale == 1 1

parentesi uncinata parentesi uncinata == 10 10



• Si rappresentavano i numeri da 1 a 59• Per i numeri successivi, si ha la prima testimonianza

dell’uso di una notazione posizionale

Non si introducevano infatti altri simboli, ma si affiancavano gruppi di cunei per indicare le successive potenze del 60

Si tratta dunque di un sistema di numerazione posizionale (come il nostro, ma) in base 60




Tavoletta di argilla (1900Tavoletta di argilla (1900−−1600 a.C.) contenente un elenco di terne pitagoriche1600 a.C.) contenente un elenco di terne pitagoriche(misure dei lati di un triangolo rettangolo)(misure dei lati di un triangolo rettangolo)


• Ad esempio:

• Il sistema di spaziatura consentiva di risolvere le ambiguità di interpretazione dei raggruppamenti

• Ai tempi di Alessandro Magno era però invalso anche l’uso di un simbolo (due cunei obliqui) per indicare un posto vuoto; questo simbolo svolgeva alcune funzioni del nostro zero, ma non tutte: veniva usato fra colonne e mai per indicare colonne vuote alla fine della sequenza

= 7322



• La civiltà degli EgiziEgizi ci ha lasciato alcune fra le più antiche tracce di matematica scritta

• I primi numeri scritti si individuano infatti su monu-menti e stele databili all’inizio del III millennio a.C.

• Si tratta di iscrizioni che impiegano il sistema geroglificogeroglifico, la scrittura pittograficapittografica egizia

I numeri nell’antico Egitto I numeri nell’antico Egitto −− 1 1


• Nel sistema geroglifico vengono riservati ai numeri sette simboli diversi per rappresentare le potenze del 10, da 1 a 106

• I geroglifici utilizzati erano:

Rotolo di funeRotolo di fune

Uomo a braccia levate,Uomo a braccia levate,simbolo del dio Hehsimbolo del dio Heh

BastoncinoBastoncino

Girino o ranaGirino o ranaDitoDito

Pastoia per bestiame o giogoPastoia per bestiame o giogo

Ninfea o fiore di lotoNinfea o fiore di loto



• I numeri venivano formati raggruppando i simboli, generalmente posti in ordine dal più piccolo al più grande, da sinistra a destra (o viceversa)

• Il sistema di numerazione non è, tuttavia, posizionale

L’ordine dei simboli che definiscono le potenze del 10 può venire alterato senza cambiare il valore del numero rappresentato

L’ordine è una sorta di convenzione linguistica, senza significato matematico



=131.200



• Nella civiltà greca classica sono noti due principali sistemi di numerazione

Il primo, più antico, è noto come atticoattico ed è per molti aspetti simile a quello in uso presso i Romani; utilizzava infatti accanto ai simboli fondamentali per l’1 e le potenze di 10 fino a 10000, un simbolo speciale per il 5, che combinato con i precedenti, dava altri simboli anche per 50, 500, 5000, 50000

Compaiono testimonianze di questo sistema dal V al I secolo a.C. ma, a partire dal III secolo, si diffonde anche il sistema detto ionicoionico o alfabeticoalfabetico

I numeri nell’antica Grecia I numeri nell’antica Grecia −− 1 1


• Il sistema ionico si serve di ventisette simboli alfabetici (alcuni dei quali arcaici e non più usati nella Grecia classica) per indicare le unità da 1 a 9, le decine da 10 a 90, le centinaia da 100 a 900

• Si usavano poi nuovamente le prime nove lettere precedute da un apice in basso per indicare i multipli di 1000, e per esprimere numeri ancora più grandi si ricorreva al simbolo M (iniziale di miriade) che indicava la moltiplicazione per 10000 del numero che seguiva

Sistema di numerazione decimale additivoSistema di numerazione decimale additivo



• Ad esempio:

= 67.766.776



• Nel sistema di numerazione romano, a base decimale, ci si serviva, come è noto, anche di simboli speciali per indicare 5, 50, 500

• Alcune antiche epigrafi inducono a ritenere che i segni usati fossero inizialmente segni speciali, forse di origine etrusca, che solo successivamente furono identificati con le lettere I, V, X, L, C, D, M

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

I numeri nell’antica Roma I numeri nell’antica Roma −− 1 1


• La scrittura dei numeri avveniva combinando additivamente i segni

• Per agevolare scrittura e lettura si diffuse più tardi un sistema sottrattivo già utilizzato, ad esempio, dagli Assiri Assiri (che ha traccia anche nelle forme verbali come ad esempio “undeviginti”, stessa cosa di “decem et novem”) Un simbolo posto alla sinistra di un simbolo di quantità

maggiore viene sottratto, così IX e VIIII indicano entrambi il numero 9

• Ancora in epoca tarda, un segno che prese l’aspetto di una linea orizzontale posta sopra le lettere serviva per indicarne la moltiplicazione per 1000

I numeri nell’antica Roma I numeri nell’antica Roma −− 2 2


• Per molte centinaia di anni ancora (con l’unica ecce-zione dei Babilonesi) gli uomini hanno continuato ad utilizzare sistemi di numerazione additivi

Più semplici da usare dato che la somma “si fa da sé”

Poco adatti a rappresentare numeri grandi (che presuppongono l’uso di tanti simboli posti gli uni accanto agli altri)

La storia continua…La storia continua…


• La civiltà indiana, più antica delle civiltà classiche, è già documentata dal 3000 a.C.

• Sebbene l’uso della matematica dovesse essere ben sviluppato già in epoca arcaica, i primi testi che ci sono giunti risalgono al V secolo d.C.

• Non è però ancora chiaro dove e quando si sia sviluppato il sistema di notazione decimale posizionale che, in seguito, attraverso gli ArabiArabi, si è diffuso in Europa

Dall’India… il sistema decimale Dall’India… il sistema decimale −− 1 1


• Tale sistema viene utilizzato nell’opera del matematico indiano vissuto attorno al 500 d.C. Aryabhata, la più antica che ci è pervenuta (se si eccettuano frammenti sparsi di matematici anteriori), dove però manca ancora l’uso di un simbolo zero

• Testimonianze di scritture in forma posizionale si registrano anche prima del manuale di Aryabhata, mentre per avere datazioni sicure di forme complete in cui compare anche il simbolo zero occorre arrivare al IX secolo d.C.



• L’idea di usare un numero limitato di simboli a cui dare valore diverso a seconda della posizione occupata può essere stata, secondo alcuni studiosi, sviluppata dagli Indiani per conoscenza diretta o ereditata dai Greci del sistema sessagesimale babilonese

• Gli Indiani avrebbero allora iniziato ad utilizzare solamente i primi 9 simboli del loro sistema decimale in caratteri BrahmiBrahmi, in uso dal III secolo a.C.



• I simboli assumono forme diverse a seconda delle zone e dei periodi, ma sono comunque quelli che gli Arabi più tardi utilizzarono e che, dalla forma araba, sono passati in Europa, fino alla forma definitiva resa uniforme dalla stampa nel XV secolo



• Sistemi di numerazione posizionaliposizionali:La basebase del sistema di numerazioneLe cifrecifre del sistema di numerazione

Il numero è scritto specificando le cifre in ordine ed il suo valore dipende dalla posizione relativa posizione relativa delle cifre

Esempio:Esempio: Il sistema decimale (Base 10)

Cifre : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Cifre : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5641 = 5·103 + 6·102 + 4·101 + 1·100

Posizione: 3 2 1 0

Sistemi di numerazione posizionaliSistemi di numerazione posizionali


• La base definisce il numero di cifre diverse nel sistema di numerazione

• La cifra di minor valore è sempre lo 0; le altre sono, nell’ordine, 1,2,…,B−1; se B>10 occorre introdurre B−10 simboli in aggiunta alle cifre decimali

N = cN = cnnBBnn+c+cnn−−11BBnn−−11+...+c+...+c22BB22+c+c11BB11+c+c00BB00

Un numero frazionariofrazionario N’ si rappresenta come (0,c1c2…cn)B

Un numero interointero N si rappresenta con la scrittura (cncn−1…c2c1c0)B

N’ = cN’ = c11BB−−11+c+c22BB−−22+...+c+...+cnnBB−−nn

ccnn è la cifra più significativacifra più significativa, cc00 la meno significativameno significativa

Sistemi in base BSistemi in base B


• Con n cifre in base B si rappresentano tutti i numeri interi positivi da 0 a Bn−1 (Bn numeri distinti)

Esempio:Esempio: base 10

2 cifre: da 0 a 102−1 = 99

000102….9899

Esempio:Esempio: base 2

2 cifre: da 0 a 22−1 = 3

00011011

102 = 100 valori

22 = 4 valori

Numeri interi senza segnoNumeri interi senza segno


• La base 2 è la più piccola per un sistema di numerazioneLa base 2 è la più piccola per un sistema di numerazione

Cifre: 0 1 Cifre: 0 1 −− bitbit (binary digit) (binary digit)

Esempi:Esempi:

(101101)2 = 1×25 + 0×24 + 1×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = (45)10

(0,0101)2 = 0⋅2−1 + 1⋅2−2 + 0⋅2−3 + 1⋅2−4 = 0 + 0,25 + 0 + 0,0625 = (0,3125)10

(11,101)2 = 1⋅21 + 1⋅20 + 1⋅2−1 + 0⋅2−2 + 1⋅2−3 = 2 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = (3,625)10

FormaFormapolinomiapolinomia

Il sistema binario (BIl sistema binario (B==2)2)


• Un bytebyte è un insieme di 8 bit (un numero binario ad 8 cifre)

• Con un byte si rappresentano i numeri interi fra 0 e 28−1 = 255

• È l’elemento base con cui si rappresentano i dati nei calcolatori• Si utilizzano sempre dimensioni multiple (di potenze del 2) del

byte: 2 byte (16 bit), 4 byte (32 bit), 8 byte (64 bit)…

b7b6b5b4b3b2b1b0

00000000000000010000001000000011…………….1111111011111111

28 = 256 valori distinti

Dal bit al byteDal bit al byte


• Potenze del 2

• Cosa sono KB (Kilobyte), MB (Megabyte), GB (Gigabyte)?

24 = 1628 = 256216 = 65536

210 = 1024 (K=Kilo)220 = 1048576 (M=Mega)230 = 1073741824 (G=Giga)

1 KB = 210 byte = 1024 byte1 MB = 220 byte = 1048576 byte1 GB = 230 byte = 1073741824 byte1 TB = 240 byte = 1099511627776 byte (Terabyte)1 PB = 250 byte = 1125899906842624 byte (Petabyte)

Dal byte al kilobyteDal byte al kilobyte


• Si divide ripetutamente il numero interointero decimale per 2 fino ad ottenere un quoziente nullo; le cifre del numero binario sono i resti delle divisioni; la cifra più significativa è l’ultimo resto

Esempio:Esempio: convertire in binario (43)10

43 : 2 = 21 + 121 : 2 = 10 + 110 : 2 = 5 + 0 5 : 2 = 2 + 1 2 : 2 = 1 + 0 1 : 2 = 0 + 1

resti

bit più significativo

(43)10 = (101011)2

Da decimale a binarioDa decimale a binarioNumeri interiNumeri interi


Trasformazione di un numero in base 10 a numero binario125

125/2=62 resto 1 62/2=31 resto 0 31/2=15 resto 1 15/2=7 resto 1 7/2=3 resto 1 3/2=1 resto 1 1/2=0 resto 1

125 in binario è 1111101

rappresenta 62

rappresenta 31

Etc.


• Si moltiplica ripetutamente il numero frazionariofrazionario decimale per 2, fino ad ottenere una parte decimale nulla o, dato che la condizione potrebbe non verificarsi mai, per un numero prefissato di volte; le cifre del numero binario sono le parti intere dei prodotti successivi; la cifra più significativa è il risultato della prima moltiplicazione

Esempio:Esempio: convertire in binario (0,21875)10 e (0,45)10

(0,21875)10 = (0,00111)2

0,45 × 2 = 0,90,90 × 2 = 1,80,80 × 2 = 1,60,60 × 2 = 1,20,20 × 2 = 0,4 etc.

(0,45)10 ≈ (0,01110)2

0,21875 × 2 = 0 ,43750,4375 × 2 = 0,8750,875 × 2 = 1,750,75 × 2 = 1,50,5 × 2 = 1,0

Da decimale a binarioDa decimale a binarioNumeri razionaliNumeri razionali


• Oltre all’espansione esplicita in potenze del 2 − forma polinomiaforma polinomia…

• …si può operare nel modo seguente: si raddoppia il bit più significativo e si aggiunge al secondo bit; si raddoppia la somma e si aggiunge al terzo bit… si continua fino al bit meno significativo

Esempio:Esempio: convertire in decimale (101011)2

bit più significativobit più significativo

(101011)2 = 1×25 + 0×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20 = (43)10

1 x 2 = 2 + 0 2 x 2 = 4 + 1 5 x 2 = 10 + 0 10 x 2 = 20 + 1 21 x 2 = 42 + 1 = 43

(101011)2 = (43)10

Da binario a decimaleDa binario a decimale


• Si verifichino le seguenti corrispondenze: (110010)2=(50)10

(1110101)2=(102)10

(1111)2=(17)10

(11011)2=(27)10

(100001)2=(39)10

EserciziEsercizi


• La base 16 è molto usata in campo informaticoLa base 16 è molto usata in campo informaticoCifre:Cifre: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Esempio:Esempio:

(3A2F)16 = 3×163 + 10×162 + 2×161 + 15×160 = 3×4096 + 10×256 + 2×16 + 15 = (14895)10

La corrispondenza in decimale delle cifre oltre il 9 èA = (10)10 D = (13)10

B = (11)10 E = (14)10

C = (12)10 F = (15)10

Sistema esadecimaleSistema esadecimale


• Una cifra esadecimaleesadecimale corrisponde a 4 bit

• Si possono rappresentare numeri binari lunghi con poche cifre (1/4)

• La conversione da binario ad esadecimale è immediata, raggruppando le cifre binarie in gruppi di 4 (da destra) e sostituendole con le cifre esadecimali secondo la tabella precedente

0000 0 1000 80001 1 1001 90010 2 1010 A0011 3 1011 B0100 4 1100 C0101 5 1101 D0110 6 1110 E0111 7 1111 F F corrisponde a 4 bit a 1F corrisponde a 4 bit a 1

0 corrisponde a 4 bit a 00 corrisponde a 4 bit a 0

Da binario a esadecimaleDa binario a esadecimale


• Un numero binario di 4n bit corrisponde a un numero esadecimale di n cifreEsempio:Esempio: 32 bit corrispondono a 8 cifre esadecimali

1101 1001 0001 1011 0100 0011 0111 1111 D 9 1 B 4 3 7 F

(D91B437F)16

Esempio:Esempio: 16 bit corrispondono a 4 cifre esadecimali0000 0000 1111 1111 0 0 F F

(00FF)16

Dal bit all’hexDal bit all’hex


• La conversione da esadecimale a binario si ottiene espandendo ciascuna cifra con i 4 bit corrispondentiEsempioEsempio:: convertire in binario il numero esadecimale 0x0x0c8f

Notazione usata in molti linguaggi di programmazione (es. C e Java) per rappresentare numeri esadecimali

0 c 8 f 0000 1100 1000 1111

Il numero binario ha 4 × 4=16 bit

Da esadecimale a binarioDa esadecimale a binario


• In qualsiasi base, l’essere il sistema di numerazione posizionaleposizionale impone che combinazioni diverse di cifre uguali rappresentino numeri diversi; ad esempio:

• (319)10 ≠ (193)10

• (152)6 ≠ (512)6, infatti...

(152)6=1×62+5×61+2×60=36+30+2=(68)10

(512)6=5×62+1×61+2×60=180+6+2=(188)10

Numeri che hanno identica rappresentazione, in basi diverse, hanno valori diversi: (234)10 ≠ (234)8 , infatti...

(234)8 = 2×82 + 3×81 + 4×80 = 2×64 + 3×8 + 4 = 128+24+4 = (156)10

Osservazione:Osservazione: più piccola è la base, minore è il valore del numero rappresentato dalla stessa sequenza di cifre

Esempi Esempi −− 1 1


Effettivamente possiamo verificare che (100100)2=(36)10, infatti...

100100=1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20

= 32 + 4 = 36

con 66 cifre necessarie per la codifica del numero in base 2

Esempi Esempi −− 2 2• La notazione posizionale si applica anche per il calcolo del valore

dei numeri frazionari, infatti... (0,872)10 = 8×10−1 + 7×10−2 + 2×10−3

= 8/10 + 7/100 + 2/1000 = 0,8 + 0,07 + 0,002

• Quante cifre occorreranno per rappresentare il numero decimale 36 in base 2? Sappiamo che con n cifre si rappresentano i numeri da 0 a 2n−1, quindi... per n=1 (con una cifra) si rappresentano 0...21−1 ⇒ 0,1 per n=2: 0...22−1 ⇒ 0...3 per n=3: 0...23−1 ⇒ 0...7 per n=4: 0...24−1 ⇒ 0...15 per n=5: 0...25−1 ⇒ 0...31 per n=6: 0...26−1 ⇒ 0...63


Esempi Esempi −− 3 3

(7−9)/2 = −1

(7+9)/2 = 8 È la soluzione!È la soluzione!

Non può essere una base

• Quesito:Quesito: Per quale base B risulterà vera l’uguaglianza

17 + 41 + 22 = 102 ?

Se i numeri sono rappresentati in base B, sappiamo che:

(17)B = 1×B1+7×B0 = B+7

(41)B = 4×B1+1×B0 = 4B+1

(22)B = 2×B1+2×B0 = 2B+2

(102)B = 1×B2+0×B1+2×B0 = B2+2

da cui... B+7+4B+1+2B+2 = 7B+10 = B2+2

⇒ Si ottiene un’equazione di 2° grado: B2 − 7B − 8 = 0

Risolvendo: ∆ = 49+32 = 81

B = (7 ± √∆ )/2 =


La rappresentazione dei dati e La rappresentazione dei dati e l’aritmetica degli elaboratoril’aritmetica degli elaboratori


• I numeri interi positivi sono rappresentati all’interno dell’elaboratore utilizzando un multiplo del byte (generalmente 8 byte)

• Se l’intero si rappresenta con un numero di cifre minore, vengono aggiunti zeri nelle cifre più significativeEsempio:Esempio: 12 viene rappresentato in un byte come…

00001100

Numeri interi positiviNumeri interi positivi


• Per rappresentare numeri con segno, occorre utilizzare un bit per definire il segno del numero

• Si possono usare tre tecniche di codifica

Modulo e segnoModulo e segno Complemento a 2Complemento a 2 Complemento a 1Complemento a 1

Numeri con segnoNumeri con segno


• Il bit più significativo rappresenta il segno: 0 per i numeri positivi, 1 per quelli negativi

• Esiste uno zero positivo (00…0) e uno zero negativo (10…0)• Se si utilizzano n bit si rappresentano tutti i numeri compresi

fra −(2n−1−1) e +2n−1−1Esempio:Esempio: con 4 bit si rappresentano i numeri fra −7 (−(23−1)) e +7 (23−1)

0000 +00001 +10010 +20011 +30100 +40101 +50110 +60111 +7

1000 −01001 −11010 −21011 −31100 −41101 −51110 −61111 −7

positivipositivi negativinegativi

Modulo e segnoModulo e segno


1) Bit e segno

• Con tale decodifica non si può utilizzare il metodo di somma per colonna

(es con 3 bit: 101 + 001=??)

• Ci sono due modi per rappresentare lo zero (es con 3 bit: 000 e 100)


1) Complemento a uno

• Primo bit riservato per il segno

(0 se positivo, 1 se negativo)

• I numeri non negativi sono quelli rapprentabili utilizzando n-1 bit.

• Per rappresentare I negativi complementiamo la parte positiva a 2 n - 1


2) Complemento a uno

• Esempio utilizzando 6 bit rappresentiamo -20

2n-1 = 63 1 1 1 1 1 1 -

20=22+24 0 1 0 1 0 0 = -20 1 0 1 0 1 1 = (43

10)


2) Complemento a uno• Anche in questo caso due rappresentazioni per

lo 0• Esempio utilizzando 6 bit

26-1 = 63 1 1 1 1 1 1 - 0 0 0 0 0 0 0 =

- 0 1 1 1 1 1 1


3) Complemento a due

• Rappresentazione che permette di eseguire le operazioni in modo semplice

• Rappresentazione univoca dello zero


Complemento a 2Complemento a 2

• Il complemento a 2 di un numero binario (N)2 a n cifre è il numero

• Il complemento a 2 si calcola… Effettuando il complemento a 1 del numero di partenza (negazione di

ogni cifra): si trasforma ogni 0 in 1 e ogni 1 in 0 Aggiungendo 1 al numero ottenuto

• Oppure: a partire da destra, lasciando invariate tutte le cifre fino al primo 1 compreso, quindi invertendo il valore delle rimanenti

2n−(N)2 = 10……0−(N)2

{ n zeri

100000000011111111− 01010111 10101000

10101001

28

28−1N28−1−N

28−1−N+1

01010111

10101000

10101001

complemento a 1complemento a 1

+ 1


• I numeri positivinumeri positivi sono rappresentati (come) in modulo e segno• I numeri negativinumeri negativi sono rappresentati in complemento a 2 ⇒ la cifra

più significativa ha sempre valore 1• Lo zero è rappresentato come numero positivo (con una sequenza

di n zeri)• Il campo dei numeri rappresentabili varia da −2n−1 a +2n−1−1

Esempio:Esempio: numeri a 4 cifre

Interi in complemento a 2Interi in complemento a 2

0000 +00001 +10010 +20011 +30100 +40101 +50110 +60111 +7

1000 −81001 −71010 −61011 −51100 −41101 −31110 −21111 −1

Nota:Nota: 0111 +7 1000 −8


Primo bit per il segno (0 se positivo, 1 se negativo)

I numeri negativi rappresentabili sono quindi quellirappresentabili con n-1 bit, cioè nell'intervallo [0,2n-1-1] eottenibili complementando il numero a (2n).

Esempio con 6 bit:(2n)=(26)=64 1 0 0 0 0 0 0 - 20=22+24 0 1 0 1 0 0 = -20 0 1 0 1 1 0 0


Bit di overflow che viene scaricato



• Somma per colonna:(esempio con 6 bit)-110 1 1 1 1 1 1 +

110 0 0 0 0 0 1=

010 0 0 0 0 0 0


Complemento a due: decodifica

• Se bit di segno =0 positivo, altrimenti negativo• Se positivo, basta leggere gli altri bit• Se negativo, scrivere gli stessi bit da destra a

sinistra fino al primo 1, poi complementare, e poi leggere

• Es.: 1010 e’ negativo, rappresenta 110 (6), quindi -6


Metodo alternativo: codifica e decodifica

• Intero positivo x complemento a due su n bit: se x ≤ 2n-1-1 scrivo (x)2 , altrimenti non e’ rappresentabile Esempio: n=4, x=5, (5)2=0101, x=8>23-1=7

• Intero negativo –x complemento a due su n bit: se –x ≥ -2n-1 calcolo 2n+(-x)=y e scrivo (y)2 Esempio: n=4, –x=-3 y=24-3=16-3=13 (13)2=1101

• Compl. a due positivo (0 = bit + significativo) decimale: decodifica dal binario Esempio: n=4, 0111=(7)2

• Compl. a due negativo (1 = bit + significativo)decimale: decodifico dal binario a decimale, ottengo y e poi sottraggo y-2n Esempio 1010 = (10)2 10-16=-6


• Numeri interi rappresentati su 16 bit in complemento a 2:Il numero intero positivo più grande è 215−1=(32767)10

0111 1111 1111 11110x 7 F F F

Il numero intero negativo più piccolo è −215=(−32768)10

1000 0000 0000 00000x 8 0 0 0

0111 1111 1111 1111 + 1 1000 0000 0000 0000

Il numero intero –1 è rappresentato come

1111 1111 1111 11110x F F F F

0000 0000 0000 0000 + 1 0000 0000 0000 0001

Interi a 16 bitInteri a 16 bit


• Le regole per l’addizione di due bit sono

• L’ultima regola è… (1)2+(1)2 = (10)2 … (1+1=2)10 !!

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 0 con riporto di 1

EsempioEsempio

181

91+90 =

1 11 101011011+01011010 =10110101

riportiriporti

Addizione binariaAddizione binaria


• Le regole per la sottrazione di due bit sono

• La sottrazione può divenire complicata: quando si ha una richiesta sulla cifra precedente a sinistra, che è uno 0, l’operazione si propaga a sinistra fino alla prima cifra ad 1 del sottraendo

0 − 0 = 0 1 − 0 = 1 1 − 1 = 010 − 1 = 1 con prestito di 1 dalla cifra precedente a sinistra

EsempioEsempio 0 10 1 1 0 0 1 − 1 0 1 =1 0 1 0 0 20

25 − 5 =

Sottrazione binaria Sottrazione binaria −− 1 1


• Utilizzando la rappresentazione in complemento a 2, addizione e sottrazione sono trattate come un’unica operazione

Si calcola il complemento a 2 di N2

Si somma N1 con il complemento a 2 di N2

Si trascura il bit più significativo del risultato

Esempio:Esempio: (010001)2−(000101)2 = (17)10−(5)10

010001 + 1110111001100 (12)10

N1−N2 = N1+(2n−N2)−2n

complemento a 2 di N2: rappresentazione di (−N2)

si trascura il bit si trascura il bit nn ++11{

Sottrazione binaria Sottrazione binaria −− 2 2


• Sono utili perché l’operazione di somma algebrica può essere realizzata non curandosi del bit di segno

• In complemento a 1 (più semplice da calcolare)… Zero ha due rappresentazioni: 00000000 e 10000000 La somma bit a bit funziona “quasi sempre”

• In complemento a 2… Zero ha una sola rappresentazione La somma bit a bit funziona sempre

11001 + (−6)11010 = (−5)

10011 10011 (−12)

00110 + (6)10101 = (−10)11011 (−4)

Rappresentazioni in complementoRappresentazioni in complemento


• L’overflowoverflow si ha quando il risultato di un’operazione non è rappresentabile correttamente con n bit

• Per evitare l’overflow occorre aumentare il numero di bit utilizzati per rappresentare gli operandi

• C’è overflow se c’è riporto al di fuori del bit di segno e non sul bit di segno, o se c’è riporto sul bit di segno, ma non al di fuori

Esempio:Esempio: 5 bit → [−16,+15]

01110 +01010 =11000

14 +10 =24

11000 + 10110 =101110

−8 +−10 =−18−8 +14

OverflowOverflow


Errore di overflow

Si può dimostrare che una somma di due

numeri di n cifre in complemento a 2 dà

(errore di) overflow se e solo se i riporti in

colonna n e n +1 sono diversi


• Le regole per la moltiplicazione di due bit sono

• Moltiplicare per 2n corrisponde ad aggiungere n zeri in coda al moltiplicando

0 × 0 = 00 × 1 = 01 × 0 = 01 × 1 = 1

EsempioEsempio 1100111 × 101 1100111 0000000 11001111000000011

110011 × 10000 = 11001100000000× 16 = 24

81651

Moltiplicazione binariaMoltiplicazione binaria


• La rappresentazione dei numeri in virgola mobile è in relazione con la notazione scientifica notazione scientifica (es. 1.2×102=120)

• La IEEE ha previsto uno standard per la rappresentazione in virgola mobile

7171

singola precisionesingola precisione (32 bit = 4 byte) doppia precisionedoppia precisione (64 bit = 8 byte) quadrupla precisionequadrupla precisione (128 bit = 16 byte)

Singola precisione031 2223

23 bit8 bit

MantissaMantissa(o CaratteristicaCaratteristica)

SegnoSegno

Il valore è(−1)S 1.M×2E−127 se E≠0(−1)S 0.M×2−126 se E=0

EsponenteEsponente

Numeri in virgola mobileNumeri in virgola mobile

EccessoEccesso:: vale 2t−1−1, se t è il numero di cifre riservate alla caratteristica → rappresentazione “interna” dell’esponente sempre positiva


Rappresentazione normalizzata

• Solitamente si usa la rappresentazione normalizzata in cui la parte intera ha un'unica cifra diversa da zero:

es 1,859* 10 1


Analogamente per i binari:

101.01 = 101.01 × 20

= 10.101 × 21

= 1.0101 × 22 Rappresentazione normalizzata

= 1010.1 × 2-1

= 10101 × 2-2

La rappresentazione in virgola mobile normalizzata ha sempre parte intera uguale a 1


Per registrare un numero reale x in memoria si adotta larappresentazione binaria in virgola mobile normalizzata:

x = s(+/-) 2e × 1.b-1b-2b-3b-4…

Naturalmente non e` possibile memorizzare la sequenzapossibilmente infinita di bit della parte frazionaria ma simemorizzano soltanto i primi bit. Anche per l’esponentesi utilizzano un numero finito di bit. Generalmente perrappresentare un numero reale si usano 4 byte nel modoSeguente:

+/- e8e7e6e5 e4e3e2e1 b-1b-2b-3b-4 … b-21b-22b-23

1 bit 8 bit 23 bit

Segno Esponente Mantissa (parte frazionaria del Numero nella rap. normalizzata)


Rappresentazione in virgola mobileESPONENTE•Gli otto bit dell’esponente sono numeri interi con segno (l’esponente può avere segno positivo o negativo), perciò è possibile utilizzare le diverse notazioni per rappresentarli (bit e segno, complemento a uno, complemento a due).

•Tuttavia, per consentire un confronto più agevole dei numeri reali, lo standard attualmente utilizzato è lo IEEE 754, ufficialmente: IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std 754-1985) o anche IEC 60559:1989, Binary floating-point arithmetic for microprocessor systems).

• Lo standard prevede di rappresentare l’esponente come un intero positivo (escludendo le sequenze di bit 00000000 e 11111111, che sono riservate) e di sotrarre 127 all’intero positivo rappresentato.

Esponente e= e8e7e6e5e4e3e2e1-127• Gli interi rappresentabili sono allora contenuti nel range:

(00000001-01111111)=(1-127)=-126 e (11111110-01111111)=(254-127)=127.


• Il numero più grande rappresentabile è 2128×(2−2−23)≈2129≈6.81×1038

• Il più piccolo numero positivo è 2−126×2−23=2−149≈1.4×10−45

• In totale si rappresentano 232 numeri distinti, metà positivi, metà negativi

• Circa metà dei numeri sono compresi fra −1 e 1 (E−127<0)

0 11111111 11111111111111111111111 2255−127 1.111111111111111111111111

0 00000000 00000000000000000000001 2−126 0.00000000000000000000001

0 1 2 4

223 valori223 valori 223 valori223 valori

0.50.25

Singola precisioneSingola precisione

Rappresentazione in v. mobile

s e* m

1 8 23

N= s 2 e* - 127 x 1.m

Esempi

0 10000011 00111001011000000000000

10000011 = 131, quindi esponente = 131-127 = 4.Quindi24 × 1.00111001011 = 10011.1001011= 24 + 21 + 20 + 2-1 + 2-4 + 2-6 + 2-7

= 19.5859375+ 2-1 + 2-4 + 2-6 + 2-7

= 19.5859375

EsercizioFornire la rappresentazione in virgola mobile normalizzata del valore

10.543 avendo a disposizione 8 bit per l’esponente e 8 per la mantissa.

(1) Rappresentiamo 10 in binario10 = 23 + 21 = (1010)2

(2) Rappresentiamo 0.543 in binario0.543 × 2 = 1.0860.086 × 2 = 0.1720.172 × 2 = 0.344 Quindi: 0.543 = (0.100010...)2

0.344 × 2 = 0.6880.688 × 2 = 1.3760.376 × 2 = 0.752

(3) Riassumendo:10.543 = (1010.100010...)2

(4) Rappresentazione normalizzata1.01010001 × 23 = 1010.10001

(5) Rappresentiamo l'esponente 3:e=3=e*-127, quindi e*=130130 = (10000010)2

Quindi

0 10000010 01010001

Rappresentazione in virgola mobileCosa viene rappresentato nel campo esponente con lesequenze di bit 00000000 (0) e 11111111 (255)?

I numeri subnormalizzati sono i numeri reali “piccoli”,ovvero minori in valore assoluto del più piccolo numerorappresentabile utilizzando la notazione normalizzata:Per un numero normalizzato: N = s 2e*-127 ×1.mPer un numero denormalizzato: N = s 2-126 ×0.m

Categoria esponente mantissazeri 0 0Numeri subnormalizzati

0 Non zero

Numeri normalizzati 1-254 qualunqueInfiniti 255 0NAN (not a number) 255 Non zero Es div di 0

per 0

Standard IEEE-754 La rappresentazione dell'esponente in eccesso127 consente una maggior facilità diprogettazione dei circuiti della ALU: il confrontoavviene, a parte il segno, confrontandosemplicemente il resto del numerolessicograficamente.− es: il primo numero è più piccolo del secondo 12.34E-03 = 0 01111000 10010100010110110110110 32.87E-02 = 0 01111101 01010000100101101011110


• L’aritmetica “interna” degli elaboratori differisce notevolmente dall’aritmetica classica

• Sebbene le stesse operazioni possano essere realizzate secondo modalità diverse su elaboratori diversi, si riscontrano alcune caratteristiche comuni:

Rappresentazione binaria dei numeriRappresentazione binaria dei numeri

Rango finito dei numeri rappresentabiliRango finito dei numeri rappresentabili

Precisione finita dei numeriPrecisione finita dei numeri

Operazioni espresse in termini di operazioni più sempliciOperazioni espresse in termini di operazioni più semplici

L’aritmetica degli elaboratori L’aritmetica degli elaboratori −− 1 1


• Rango finito dei numeri rappresentabiliRango finito dei numeri rappresentabili

Qualunque sia la codifica utilizzata, esistono sempre il più grande ed il più piccolo numero rappresentabile

I limiti inferiore e superiore del rango di rappresentazione dipendono sia dal tipo di codifica, sia dal numero di bit utilizzati

Se il risultato di un’operazione non appartiene al rango dei numeri rappresentabili, si dice che si è verificato un overflow (un underflowunderflow, più precisamente, se il risultato è più piccolo del più piccolo numero rappresentabile)



• Precisione finita dei numeriPrecisione finita dei numeri La precisioneprecisione della rappresentazione di un numero

frazionario è una misura di quanto essa corrisponda al numero che deve essere rappresentato

Negli elaboratori, i numeri frazionari sono rappresentati in virgola mobile (floating–pointfloating–point), utilizzando un numero finito di bit

È plausibile che un numero reale non ammetta una rappresentazione finita, quindi dovrà essere codificato in maniera approssimata

Negli elaboratori si rappresentano soltanto numeri razionali (fino ad una data precisione)



• Operazioni espresse in termini di operazioni più Operazioni espresse in termini di operazioni più semplicisemplici La maggior parte degli elaboratori non possiede circuiti in

grado di eseguire direttamente tutte le operazioni: La sottrazione si realizza per mezzo di una complementazione e di

un’addizione La moltiplicazione si realizza per mezzo di una successione di

addizioni e di shift shift (traslazioni) La divisione si realizza per mezzo di una successione di shift e

sottrazioni Le operazioni più semplici sono eseguite direttamente da

appositi circuiti (in hardwarehardware); le operazioni più complesse sono realizzate mediante l’esecuzione di successioni di operazioni più semplici, sotto il controllo di programmi appositamente realizzati, e generalmente memorizzati permanentemente (in firmwarefirmware)



• Oltre ai numeri, molte applicazioni informatiche elaborano caratteri (simboli)

• Gli elaboratori elettronici trattano numeri Si codificano i caratteri e i simboli per mezzo di numeriSi codificano i caratteri e i simboli per mezzo di numeri

• Per poter scambiare dati (testi) in modo corretto, occorre definire uno standard di codifica

A 01000001

3 00110011

$ 00100100

Codifica dei caratteri alfabetici Codifica dei caratteri alfabetici −− 1 1


• Ovvero… quando si scambiano dati, deve essere noto il tipo di codifica utilizzato

• La codifica deve prevedere le lettere dell’alfabeto, le cifre numeriche, i simboli, la punteggiatura, i caratteri speciali per certe lingue (æ, ã, ë, è,…)

• Lo standard di codifica più diffuso è il codice ASCIIcodice ASCII, per American Standard Code for Information InterchangeAmerican Standard Code for Information Interchange

Codifica dei caratteri alfabetici Codifica dei caratteri alfabetici −− 2 2


• Definisce una tabella di corrispondenza fra ciascun carattere e un codice a 7 bit7 bit (128 caratteri)

• I caratteri, in genere, sono rappresentati con 1 byte1 byte (8 bit); i caratteri con il bit più significativo a 1 (quelli con codice dal 128 al 255) rappresentano un’estensione della codifica

• La tabella comprende sia caratteri di controllocaratteri di controllo (codici da 0 a 31) che caratteri stampabilicaratteri stampabili

• I caratteri alfabetici/numerici hanno codici ordinati secondo l’ordine alfabetico/numerico

A 65B 66…….Y 89Z 90

a 97b 98…….y 121z 122

0 481 49…….8 569 57

cifrecifre maiuscole minuscolemaiuscole minuscole

Codifica ASCIICodifica ASCII


• I caratteri di controllo (codice da 0 a 31) hanno funzioni speciali• Si ottengono o con tasti specifici o con una sequenza CtrlCtrl++caratterecarattere

Ctrl Dec Hex Code Nota^@ 0 0 NULL carattere nullo^A 1 1 SOH partenza blocco…… … … …… …………………^G 7 7 BEL beep^H 8 8 BS backspace^I 9 9 HT tabulazione orizzontale^J 10 A LF line feed (cambio linea)^K 11 B VT tabulazione verticale^L 12 C FF form feed (alim. carta)^M 13 D CR carriage return (a capo)…… … … …… ……………………^Z 26 1A EOF fine file^[ 27 1 B ESC escape…… … … …… ………^_ 31 1F US separatore di unità

Caratteri di controllo ASCIICaratteri di controllo ASCII


Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr32 20 SPACE 48 30 0 64 40 @ 80 50 P 96 60 `112 70 p33 21 ! 49 31 1 65 41 A 81 51 Q 97 61 a113 71 q34 22 ” 50 32 2 66 42 B 82 52 R 98 62 b114 72 r 35 23 # 51 33 3 67 43 C 83 53 S 99 63 c115 73 s36 24 $ 52 34 4 68 44 D 84 54 T 100 64 d116 74 t37 25 % 53 35 5 69 45 E 85 55 U 101 65 e117 75 u38 26 & 54 36 6 70 46 F 86 56 V 102 66 f118 76 v39 27 ’ 55 37 7 71 47 G 87 57 W 103 67 g119 77 w40 28 ( 56 38 8 72 48 H 88 58 X 104 68 h120 78 x 41 29 ) 57 39 9 73 49 I 89 59 Y 105 69 i121 79 y42 2A * 58 3A : 74 4A J 90 5A Z 106 6A j122 7A z43 2B + 59 3B ; 75 4B K 91 5B [ 107 6B k123 7B {44 2C , 60 3C < 76 4C L 92 5C \ 108 6C l124 7C |45 2D - 61 3D = 77 4D M 93 5D ] 109 6D m125 7D }46 2E . 62 3E > 78 4E N 94 5E ^ 110 6E n126 7E ~47 2F / 63 3F ? 79 4F O 95 5F _ 111 6F o 127 7F DEL

Nota:Nota: il valore numerico di una cifra può essere calcolato come differenza del suo codice ASCII rispetto al codice ASCII della cifra 0 (es. ‘5’−‘0’ = 53− 48 = 5)

Caratteri stampabiliCaratteri stampabili


• I codici oltre il 127 non sono compresi nello standard originario

Tabella ASCII estesaTabella ASCII estesa


• Le immagini vengono anch’esse codificate come una sequenza di bit: il processo di “traduzione” da un’immagine ad una sequenza binaria prende il nome di digitalizzazionedigitalizzazione

L’immagine è suddivisa in punti o pixel pixel (per picture element picture element ) e ciascun punto viene codificato con un numero, che corrisponde ad un colore o ad un particolare tono di grigio

Si utilizzano un numero di colori o di sfumature che sia una potenza del 2, in modo da codificare l’informazione legata a ciascun pixel con un opportuno numero di bit

La codifica delle immagini La codifica delle immagini −− 1 1

9393


• Le immagini vengono memorizzate come lunghe sequenze di bit: per interpretarle è necessario conoscere...

...le dimensioni dell’immagine (base ed altezza in numero di pixel), detta anche risoluzionerisoluzione

...il numero di colori (o toni di grigio) disponibili per ogni pixel

• Se un immagine viene codificata ad una data risoluzione, potrà comunque essere presentata su un dispositivo a più bassa risoluzione, a patto di “ignorare” parte dell’informazione


9494


• Come è avvenuto per i caratteri, anche per le immagini sono stati definiti standard di codifica, che assicurano la compatibilità fra sistemi diversi, per quanto concerne la trasmissione e la visualizzazione delle immagini

TIFF TIFF −− Tagged Image File FormatTagged Image File Format

JPEGJPEG

PNG PNG −− Portable Network GraphicsPortable Network Graphics

• Per ridurre lo spazio necessario per memorizzare le immagini si utilizzano tecniche di compressionecompressione (utili anche per la trasmissione su rete Internet)


9595



• Le tecniche di compressione si dividono in…

Tecniche lossless:Tecniche lossless: non provocano perdita di informazione, sono adatte a codificare immagini in cui sono presenti ampie aree monocromatiche ⇒ si codificano in maniera compatta insiemi di pixel aventi le stesse caratteristiche

Tecniche lossly: Tecniche lossly: provocano perdita di informazione, facendo decadere la qualità dell’immagine

• Normalmente ai formati JPEG e PNG, molto diffusi per lo scambio di immagini su Internet, si applicano metodi di compressione lossly

9696

Sistemi di numerazione - MathUniPDaceccato/Lezione-01-febbraio... · 2011-02-01 · Anno accademico...

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