SISTEMAS MATEMÁTICOS DE SÍMBOLOS Y SU ROL EN LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA Eduardo...
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SISTEMAS MATEMÁTICOS DE SÍMBOLOS Y SU ROL EN LA
ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA
Eduardo Mario Lacués Apud
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Comenzando por la escuela
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Sistemas Matemáticos de Símbolos (SMS)
• SMS como sistemas externos de representación.• SMS en el desarrollo de la Matemática.• SMS en la Didáctica de la Matemática:–Objetos de aprendizaje.–Objetos de enseñanza.
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Sistemas externos de representación (I)
• Un sistema externo de representación asume la existencia de dos mundos, uno representado y otro representante que se relacionan entre sí de manera que se atienden a los cinco aspectos siguientes:– Cuál es el mundo representado.– Cuál es el mundo representante.– Cuáles aspectos del mundo representado van a ser modelados.– Cuáles aspectos del mundo representante constituyen el
modelo.– Cuáles son las correspondencias entre los dos mundos.
• Palmer, en Sherin y Lee
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Sistemas externos de representación (II)
• Cuatro aspectos de los sistemas externos de representación: – Existen en forma independiente de su creador.– Poseen permanencia en el tiempo, al ser marcas
hechas sobre algún soporte material.– Están desplegados en el espacio, no en el tiempo, a
diferencia del lenguaje hablado o gestual.– Constituyen estructuras organizadas
consensuadamente.Martí y Pozo
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Sistemas externos de representación (III)
• Peculiaridades de los SMS– Un SMS es una terna, compuesta por:
• Una colección realizable concretamente de caracteres, y un conjunto de reglas que permiten combinar, modificar o crear nuevas configuraciones, lo que es llamado un esquema de símbolos.
• Un campo de referencia.• Una ley que establece relaciones entre el esquema de símbolos y
el campo de referencia.
• En un SMS el mundo representado es, a la vez que el representante, un sistema de símbolos.
Kaput
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SMS en el desarrollo de la Matemática(I)
• Algunos hitos históricos:– Diofanto (siglo III antes de Cristo)– Difusión en Europa de los trabajos de Diofanto, a
través de traducciones al árabe y del árabe al latín (siglos XIII a XV)
– Leibnitz (siglo XVII) plantea que la Matemática es una ciencia que propone llamar Simbólica, destacando el rol de las notaciones en el desarrollo de las ideas matemáticas.
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SMS en el desarrollo de la Matemática(II)
• Leibnitz – pretendía que los símbolos evocaran algún aspecto esencial de
los que representaban;– confiaba en que el uso de símbolos guiara el pensamiento, de
manera que transformaciones entre los signos dieran indicación de nuevos relaciones entre las entidades representadas;
– de esta forma, fue precursor en lo que modernamente distinguimos como sintaxis y semántica.
• Kaput ha dicho de Leibnitz “su historia es la historia del desarrollo de la notación en concierto con el desarrollo de conceptos”.
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SMS en el desarrollo de la Matemática(III)
• Hilbert (formalismo) , Browuer (Intuicionismo), Rusell (logicismo): polémica en el siglo XX sobre la fundamentación de la Matemática.– “...son los signos mismos los objetos de la teoría.
Entendemos aquí por signo algo que es independiente del espacio y del tiempo, así como de las condiciones especiales en las que se produce...” (Hilbert)
– “En efecto, examinando más cercanamente vemos que esta nueva orientación, hecha posible por el divorcio de la Matemática de sus aplicaciones, ha sido la verdadera fuente de su tremenda vitalidad y crecimiento durante el presente siglo” (Stone)
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SMS como objeto de aprendizaje (I)
• Procesos cognitivos asociados con el uso de un cierto SMS:– Lectura de información; codificación de
información.– Producción de nueva información:• Sintáctica, a partir de reglas de transformación válidas
en el SMS.• Semántica, a partir de las interpretaciones que una
cierta configuración simbólica tiene en el mundo representado.
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SMS como objeto de aprendizaje (II)
• Sintaxis, Semántica y construcción de sentido:– Las reglas sintácticas consisten en el conjunto de
transformaciones válidas sobre las configuraciones simbólicas .
– Las interpretaciones semánticas se establecen entre un mundo representado y alguno de sus representantes, y consisten en el conjunto de relaciones que se pueden establecer entre ambos.
– Dado que un mismo mundo puede ser representado de múltiples maneras, la construcción del sentido se realiza a través de los procesos de traducción entre diferentes SMS.
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SMS como objeto de aprendizaje (III)
• Importancia de que las configuraciones simbólicas evoquen aspectos de lo representado– «La identificación y la utilización de los símbolos pueden
organizarse en ámbitos como los enunciados simbólicos que caracterizan el ámbito, las tareas implicadas que deben llevarse a cabo, las reglas que deben seguirse para representar, transformar y realizar los procedimientos y el conjunto de situaciones que generalmente se han utilizado para crear los símbolos, las relaciones entre ellos y las reglas significativas»
Romberg
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Dificultades asociadas con el aprendizaje de SMS.(I)
• El mismo signo tiene significados contextuales:– 0 y 1 representan, respectivamente:
• los enteros cero y uno.• el neutro de la suma y del producto en un campo.• el neutro de la suma y del producto en un álgebra de Boole.
– (a,b) representa:• un intervalo abierto en el conjunto de los números reales (R).• un par ordenado.• las coordenadas de un punto en el plano.• un vector en el espacio vectorial R2.
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Dificultades asociadas con el aprendizaje de SMS.(II)
• Símbolos diferentes representan la misma entidad:– (a,b) y {xR / a<x<b} representan el conjunto de
números reales comprendidos estrictamente entre a y b.
– (f○g) (x) y f(g(x)) representan la imagen de x por medio de la función compuesta f○g.
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Dificultades asociadas con el aprendizaje de SMS.(III)
• El mismo símbolo en una misma formulación tiene significados contextuales diferentes.– La x en el denominador de indica que la variable
respecto a la cual se deriva parcialmente es la primera, en tanto la x dentro del paréntesis señala la primera coordenada del punto donde se calcula esta derivada.
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Dificultades asociadas con el aprendizaje de SMS.(IV)
• La lectura de ciertas formulaciones requiere de procesos de búsqueda hacia izquierda y derecha, o hacia arriba y abajo:– =0– (x2-1)’=2x
• La verbalización de ciertas formulaciones puede ser larga o complicada:
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Tres experimentos
• Aprendizaje de Sistemas Matemáticos de Símbolos en Álgebra Lineal y Cálculo.
• Proposiciones condicionales y sistemas matemáticos de símbolos en el aprendizaje del límite matemático.
• Una Ingeniería Didáctica sobre la enseñanza del condicional.
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Aprendizaje de SMS en Álgebra Lineal y Cálculo (I)
• Diseño experimental con grupos experimental y de control en un curso de Álgebra Lineal.
• Intervención basada en la retroalimentación a partir de las tareas propuestas.
• Estudio de la incidencia de esta intervención en el desempeño en tareas sobre derivadas en un curso de Cálculo.
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Aprendizaje de SMS en Álgebra Lineal y Cálculo (II)
• Diferencias significativas en el subconjunto de los estudiantes con buena calificación en el diagnóstico al ingreso, a favor de los estudiantes del grupo experimental.
• Diferencias significativas en las tareas propuestas del curso de Cálculo a favor de los estudiantes del grupo experimental.
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Proposiciones condicionales y sistemas matemáticos de símbolos en el aprendizaje del límite matemático
• Dificultad de la tarea asociada con el registro semiótico: más sencilla en el registro gráfico.
• Dificultad de la tarea asociada con el condicional: más sencilla la condición necesaria.
• Evidencias de desconocimiento del valor de verdad de sentencias condicionales.
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Una Ingeniería Didáctica sobre la enseñanza del condicional.
• Análisis epistemológico:– La definición del valor de verdad del condicional presenta
dificultades asociadas con el valor de verdad del antecedente.
– La definición del valor de verdad de sentencias condicionales aparece con precisión recién en el siglo XX.
• Análisis preliminar:– Los ingresantes no reconocen como cierto un condicional
cuyo antecedente es falso.– Los estudiantes que cursan Lógica tienen desempeño final
significativamente superior a los que cursan Cálculo.
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A modo de cierre
• Invitación a pensar en qué formas podemos incluir en nuestras prácticas la enseñanza de SMS.
• Invitación a continuar con la tarea de investigar acerca de cómo aprenden nuestros estudiantes a usar SMS.
• Invitación a seguir trabajando para hacer nuestra práctica cada vez más profesional.
• Agradecer a cada uno por su presencia y por las críticas que espero de ustedes.