CÁLCULO DE SISTEMAS HIPERESTÁTICOS

(Método de Cross)

Introducción:

El cálculo de estructuras hiperestáticas se puede efectuar planteando un sistema

general de ecuaciones. En estructuras reticulares de edificación, con nodos

rígidos, este método conduce a un elevado número de ecuaciones e incógnitas,

cuya aparición antes de los ordenadores y calculadoras de gran capacidad era

prácticamente imposible.

El cálculo es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su desarrollo

integraciones complejas ni sistemas de ecuaciones complicados. Es más, una vez

comprendido el mecanismo del método, las operaciones matemáticas se reducen

a sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Además, no exige recordar nada de

memoria. Si se dispone de unas tablas de momentos, rigideces y factores de

transmisión, puede resolverse cualquier estructura. Si, como es frecuente, se trata

de estructuras con piezas de sección constante en cada vano y con cargas

uniformemente distribuidas, ni siquiera es necesario el empleo de tablas. El

método de Cross es un método de aproximaciones sucesivas, que no signifique

sea aproximado. Quiere decir que el grado de precisión en el cálculo puede ser

tan elevado como lo desee el calculista. El método permite seguir paso a paso el

proceso de distribución de momentos en la estructura, dando un sentido físico muy

claro a las operaciones matemáticas que se realizan.

Desarrollo:

Desarrollado por Hardy Cross fue publicado en 1930 en una revista de la ASCE.

Es un método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y

marcos/pórticos planos el método sólo calcula el efecto de los momentos

flectores e ignora los efectos axiales y cortantes, lo cual es suficiente para fines

prácticos en barras esbeltas. Desde 1930 hasta que las computadoras

comenzaron a ser ampliamente usadas en el diseño y análisis de estructuras, el

método de redistribución de momentos fue el más ampliamente usado en la

práctica.

En el método de redistribución de momentos, para analizar cada articulación o

nodo de la estructura, se considera fija en una primera fase a fin de desarrollar

los Momentos en los Extremos Fijos. Después cada articulación fija se considera

liberada secuencialmente y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de

ser liberado no está en equilibrio) se "distribuyen" a miembros adyacentes hasta

que el equilibrio es alcanzado.

Problema Descriptivo

Consideremos una estructura reticular cargada. En primer lugar se procede a

retirar las cargas que actúan sobre sus piezas. A continuación bloqueamos los

nudos, impidiéndoles todo giro. Se vuelve ahora a aplicar las cargas exteriores,

que actúan sobre una estructura alterada, ya que tiene impedido los giros de sus

nudos. En este sentido no representa a la estructura verdadera, cuyos nudos

hubieran girado bajo la acción de las cargas hasta alcanzar su posición de

equilibrio.

En la estructura alterada es muy fácil determinar los momentos de empotramiento,

pues al estar los nudos bloqueados dichos momentos son los de empotramiento

perfecto.

La suma de los momentos de empotramiento de las piezas concurrentes en cada

nudo no será nula, por lo que el nudo no estará en equilibrio. Dicha suma es, en

realidad, un momento de desequilibrio.

Se aplica al nudo un momento equilibrante, que es un momento de igual valor y

de signo opuesto al momento de desequilibrio. Esto equivale a desbloquear el

nudo.

El momento equilibrante se repartirá entre los extremos de las distintas piezas

concurrentes en el nudo en proporción a sus rigideces, puesto que al girar el nudo

todas las piezas concurrentes giran el mismo ángulo.

La relación de la parte de momento equilibrante que se lleva cada pieza con el

momento equilibrante total es lo que se denomina coeficiente de reparto o

coeficiente de distribución, y es igual al cociente de la rigidez de la pieza

considerada entre la suma de las rigideces de todas las piezas que concurren en

el nudo.

Por tanto, se distribuye el momento equilibrante entre las distintas piezas

concurrentes en el nudo y se transmite el momento al extremo opuesto.

En los demás nudos de la estructura se procede análogamente, por lo que

también se habrán introducido momentos equilibrantes, distribuyéndose a las

extremidades de sus piezas concurrentes, las cuales transmitirán una parte a sus

extremidades opuestas.

De esta manera se opera cíclicamente.

Si en una fase posterior de cálculo volvemos a obtener en un nudo previamente

equilibrado el momento de desequilibrio, éste será cada vez menor, de igual modo

que las magnitudes de las transmisiones. Los nudos van equilibrándose

paulatinamente y la estructura se va acercando a su posición de equilibrio.

El método de Cross es un método que permite alcanzar la precisión que se desee

mediante aproximaciones sucesivas.

El método de Cross es muy usual que se aplique en vigas y en losas.

Para utilizar el método de Cross como para otros métodos es necesario conocer

los momentos de empotramiento perfecto y reacciones de las vigas, esto según el

tipo de carga y formas de los apoyos.

Las más comunes en la práctica del cálculo estructural están en la siguiente tabla:

De donde las tres primeras columnas corresponden a cargas uniformemente

repartidas: en voladizo, doble empotrada y empotrada apoyada. Las dos últimas

columnas corresponden a cargas puntuales en viga doble empotrada y empotrada

apoyada.

Desarrollo de problemas hasta obtener los momentos definitivos de apoyos.

Ejemplo:

Las filas del siguiente ejemplo son:

a) rigideces de las vigas

b) los coeficientes de distribución

c) los momentos isostáticos de apoyo

d) los procesos de aproximación sucesiva

e) los momentos definitivos de apoyo

Ahora se desarrollara paso a paso para saber de dónde procede cada valor:

Obtención de reacciones definitivas: una vez obtenidos los momentos definitivos

de apoyo se procede a calcular los momentos máximos de tramo, para obtener la

armadura final de las vigas a la flexión. Las filas de la figura muestran los

siguientes valores:

A continuación calcularemos los momentos máximos de tramo:

Así quedan los diagramas de corte y momentos flectores:

Aplicaciones o demostraciones

MÉTODO DE CROSS PARA SISTEMAS HIPERESTÁTICOS

(Nudos no desplazables, rígidos)

Rigidez

K= J/L

J= Momento de inercia. L= Longitud del tramo de la vía. K= Rigidez.

K1= 1/5 = 0.2 K2= 1/8 = 0.125 K3= 1/4 = 0.25

Factor de distribución

F= K/∑KT

F= Factor de distribución. K= Rigidez del tramo. K/∑KT= Sumatoria de las

rigideces que concurren al nudo.

F= 0.2/0.2 = 1

F= 0.2/(0.125+0.2) = 0.62

F= 0.125/(0.2+0.125) = 0.38

F= 0.125/(0.125+0.25) = 0.33

F= 0.25/(0.125+0.25) = 0.66

Vigas totalmente

empotradas en

los nudos.

5 m 8 m 4 m

0.2 0.125 0.25

F= 0.25/0.25 = 1

1 0.62 0.38 0.33 0.66 1

Cálculo de los momentos de cada uno de los tramos

(Empotrado a ambos lados)

*Según la tabla de momentos flectores y esfuerzos cortantes (para este caso)

M=PL2/12

*Suponiendo que P= 2T/m

Tramo 1 = (2T/m)(52)/12 = 4.16

Tramo 2 = (2T/m)(82)/12 = 10.66

Tramo 3 = (2T/m)(42)/12 = 2.66

Definir los sentidos de los momentos en cada extremo de cada uno de los tramos

1 0.62 0.38 0.33 0.66 1

+4.16 -4.16 +10.66 -10.66 +2.66 -2.66

-4.16 -6.5 +8 2.66

-4.16 -4.03 -2.47 2.64 5.28 2.66

2T/m 2T/m 2T/m

5 m 8 m 4 m

+ -

Factor de

distribución

Momentos de

cada tramo Resolver

sumas y

cambiar

signo

Momentos distribuidos a cada lado de los

apoyos. (Multiplicar resultados de la fila

anterior por el factor de distribución).

Distribuciones a los puntos opuestos

Coeficiente de transmisión o acarreo)

½ (Se acarrea la mitad de las magnitudes)

-4.16 -4.03 -2.47 2.64 5.28 2.66 -2.01 -2.08 1.32 -1.235 1.33 2.64 2.01 0.76 -0.095 -2.64

Multiplicar los valores obtenidos por los factores de distribución

2.01 0.47 0.28 -0.03 -0.06 -2.64 0.23 1.005 -0.015 0.14 -1.32 -0.03 -0.23 -0.99 1.18 0.03

Suma de los valores de los momentos a cada lado de los puntos de

apoyo

0.23 -8.79 9.775 -9.145 7.89 -0.03

Diagrama de carga

Resolver

sumas y

cambiar

signo

0.23 Ton -0.03 Ton

-8.79 Ton 9.77 Ton -9.14 Ton 7.89 Ton

Cálculo de las reacciones en los apoyos

*Cuando en un soporte están actuando dos

reacciones, éstas se suman.

R= PL/2 = 2 x 5 /2 = 5 Ton

R= PL/2 = 2 x 8 /2 = 8 Ton

R= PL/2 = 2 x 4 /2 = 4 Ton

5 m 8 m 4 m

2T/m 2T/m 2T/m

RA= 5 Ton RB= 13 Ton RC= 12 Ton RC= 4 Ton

Conclusión

Siempre que se realiza alguna construcción se emplean para ello componentes

que estarán sometidos a esfuerzos. Resulta de gran importancia calcular las

cargas a las que se encontrará sometida, ya que si a las partes que lo conforman

se les aplica una carga mayor que la que puede soportar se produciría una falla

que tal vez resulte lamentable o catastrófica para las personas en cuanto a

pérdidas humanas, financieras o ambientales.

El método de Cross para el cálculo de vigas y losas es una manera bastante

exacta y no tan complicada en cuanto a cálculos matemáticos para determinar los

momentos y las reacciones a las que están sometidos los apoyos en una

estructura. Por lo que por mucho tiempo fue la manera más popular de efectuar

este tipo de operaciones, hasta que las computadoras fueron programadas para

obtener los mismos resultados utilizando otras técnicas diferentes.

Existen otros métodos que tal vez resulten más rápidos para personas con

experiencia, pero si somos principiantes en el tema podemos emplear este

método, que aunque resulte complejo por su laboriosidad debido a que

necesitamos efectuar tantas aproximaciones como sea posible, es fácil de

comprender, y más aún si contamos con datos proporcionados por tablas de datos

como la de momentos flectores y esfuerzos cortantes.

Fuentes bibliográficas

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_distribuci%C3%B3n_de_momentos

http://www.uclm.es/area/ing_rural/trans_const/temas6y7.pdf

http://metododecross1031.blogspot.mx/

http://www.youtube.com/watch?v=QRpZaOMb9fo

http://www.youtube.com/watch?v=5Q2P54sy2rY

http://www.youtube.com/watch?v=fgB-k-dYP1s

http://www.youtube.com/watch?v=yElY4fD7cVE

http://www.youtube.com/watch?v=ess_8VHVx24

http://www.youtube.com/watch?v=uDTI_5hcl_8