Sistemas Dinámicos - Semana 6
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Sistemas Dinamicos
Capıtulo 2 - Solucion de SistemasSemana 6
Ing. Gerardo Becerra B, M.Sc.
Pontificia Universidad Javeriana
Marzo 3, 2015
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Objetivos
1 Identificar suposiciones y fuentes de error (CDIO 2.1.1.2)
2 Calcular ordenes de magnitud, lımites y tendencias (CDIO2.1.3.1)
3 Plantear pruebas de consistencia y error (CDIO 2.1.3.2)
4 Discutir la generalizacion de soluciones analıticas (CDIO2.1.3.3)
5 Identificar margenes y tolerancias (CDIO 2.1.4.5)
6 Computar las soluciones al problema. (CDIO 2.1.5.1)
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Objetivos
7 Utilizar datos de prueba y resultados esenciales de la solucion.(CDIO 2.1.5.2)
8 Ilustrar discrepancias en los resultados, recomendaciones yposibles mejoras de las soluciones. (CDIO 2.1.5.3,4,5)
9 Interpretar los factores relevantes del sistema (CDIO 2.3.3.1)
10 Clasificar los factores crıticos, efectos colaterales, metricas yvariables adicionales que complementan el modelo propuesto.(CDIO 2.3.3.2)
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Agenda
1 Sistemas no Lineales
2 Linealizacion
3 Puntos de operacion
4 Linealizacion - Funcion de una variable
5 Linealizacion - Funcion de varias variables
6 Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
7 Referencias
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Agenda
1 Sistemas no Lineales
2 Linealizacion
3 Puntos de operacion
4 Linealizacion - Funcion de una variable
5 Linealizacion - Funcion de varias variables
6 Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
7 Referencias
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Sistemas no Lineales
Las ecuaciones de estado generales para un sistema dinamico sepueden escribir como:
dx(t)
dt= f(t, x(t),u(t)), x(t0) = x0
y(t) = h(t, x(t),u(t))
Donde las funciones f y h son no lineales.
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Sistemas no Lineales
Con frecuencia los modelos de sistemas fısicos resultan ser nolineales.
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Sistemas no Lineales
Con frecuencia los modelos de sistemas fısicos resultan ser nolineales.
Puede ser difıcil analizar sistemas no lineales directamente.
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Sistemas no Lineales
Con frecuencia los modelos de sistemas fısicos resultan ser nolineales.
Puede ser difıcil analizar sistemas no lineales directamente.
Los metodos para analizar sistemas lineales estan biendesarrollados.
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Sistemas no Lineales
Con frecuencia los modelos de sistemas fısicos resultan ser nolineales.
Puede ser difıcil analizar sistemas no lineales directamente.
Los metodos para analizar sistemas lineales estan biendesarrollados.
Los metodos de diseno de controladores para sistemas nolineales aun no estan totalmente desarrollados y confrecuencia son difıciles de utilizar.
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Sistemas no Lineales
Con frecuencia los modelos de sistemas fısicos resultan ser nolineales.
Puede ser difıcil analizar sistemas no lineales directamente.
Los metodos para analizar sistemas lineales estan biendesarrollados.
Los metodos de diseno de controladores para sistemas nolineales aun no estan totalmente desarrollados y confrecuencia son difıciles de utilizar.
Una gran variedad de metodos y herramientas de softwarepara diseno de controladores y analisis estan basados en el usode modelos lineales.
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Sistemas no Lineales
Con frecuencia los modelos de sistemas fısicos resultan ser nolineales.
Puede ser difıcil analizar sistemas no lineales directamente.
Los metodos para analizar sistemas lineales estan biendesarrollados.
Los metodos de diseno de controladores para sistemas nolineales aun no estan totalmente desarrollados y confrecuencia son difıciles de utilizar.
Una gran variedad de metodos y herramientas de softwarepara diseno de controladores y analisis estan basados en el usode modelos lineales.
Se desea obtener un modelo lineal cuya respuesta sea muysimilar a la del modelo no lineal: Linealizacion
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Agenda
1 Sistemas no Lineales
2 Linealizacion
3 Puntos de operacion
4 Linealizacion - Funcion de una variable
5 Linealizacion - Funcion de varias variables
6 Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
7 Referencias
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion
x
f (x)
Caracterıstica no lineal de un elemento
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion
x
f (x)
x
f (x)
Punto de operacion
Punto de operacion
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion
x
f (x)
x
f (x)
Punto de operacion
Aproximacion lineal
Linealizacion alrededor del punto de operacion
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion
Podemos escribir x como la suma de un termino constante (valoren el punto de operacion) y un termino variable:
x = x︸︷︷︸
valor nominal
+ x︸︷︷︸
variable incremental
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion
Podemos escribir x como la suma de un termino constante (valoren el punto de operacion) y un termino variable:
x = x︸︷︷︸
valor nominal
+ x︸︷︷︸
variable incremental
La funcion f tambien puede escribirse de la misma manera:
f = f + f
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion
Podemos escribir x como la suma de un termino constante (valoren el punto de operacion) y un termino variable:
x = x︸︷︷︸
valor nominal
+ x︸︷︷︸
variable incremental
La funcion f tambien puede escribirse de la misma manera:
f = f + f
La aproximacion lineal es:
f = kx
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion
Podemos escribir x como la suma de un termino constante (valoren el punto de operacion) y un termino variable:
x = x︸︷︷︸
valor nominal
+ x︸︷︷︸
variable incremental
La funcion f tambien puede escribirse de la misma manera:
f = f + f
La aproximacion lineal es:
f = kx
donde la pendiente k corresponde a la derivada de f evaluada en elpunto x :
k =df
dx
∣∣∣∣x
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion
x
f (x)
x
f (x)
Punto de operacion
x
f
f (x)
f = kx
Marco de referencia de variables incrementales
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Agenda
1 Sistemas no Lineales
2 Linealizacion
3 Puntos de operacion
4 Linealizacion - Funcion de una variable
5 Linealizacion - Funcion de varias variables
6 Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
7 Referencias
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Puntos de operacion
Puntos en el espacio de estados en los cuales permanece unsistema si la entrada se mantiene constante.
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Puntos de operacion
Puntos en el espacio de estados en los cuales permanece unsistema si la entrada se mantiene constante.
Dado un vector de entrada u(t) = u, ∀ t, ¿Que valor (o valores)toma el estado?
![Page 25: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/25.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Puntos de operacion
Puntos en el espacio de estados en los cuales permanece unsistema si la entrada se mantiene constante.
Dado un vector de entrada u(t) = u, ∀ t, ¿Que valor (o valores)toma el estado?Solucion en estado estable de:
dx(t)
dt= f(t, x(t),u(t))
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Puntos de operacion
Se considera que los puntos de operacion del sistema cumplencondiciones de equilibrio: las derivadas son cero:
0 = f(t, x, u)
![Page 27: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/27.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Puntos de operacion
Se considera que los puntos de operacion del sistema cumplencondiciones de equilibrio: las derivadas son cero:
0 = f(t, x, u)
Dado que f es no lineal, puede tener de cero a infinitassoluciones.
![Page 28: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/28.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Puntos de operacion
Se considera que los puntos de operacion del sistema cumplencondiciones de equilibrio: las derivadas son cero:
0 = f(t, x, u)
Dado que f es no lineal, puede tener de cero a infinitassoluciones.
Las ecuaciones diferenciales se reducen a ecuacionesalgebraicas.
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Agenda
1 Sistemas no Lineales
2 Linealizacion
3 Puntos de operacion
4 Linealizacion - Funcion de una variable
5 Linealizacion - Funcion de varias variables
6 Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
7 Referencias
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Funcion de una variable
Expansion en serie de Taylor de funcion de una variable,continuamente derivable:
f [x(t)] = f (x) +df
dx
∣∣∣∣x
[x(t)− x ] +1
2!
d2f
dx2
∣∣∣∣x
[x(t)− x ]2 + . . .
![Page 31: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/31.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Funcion de una variable
Expansion en serie de Taylor de funcion de una variable,continuamente derivable:
f [x(t)] = f (x) +df
dx
∣∣∣∣x
[x(t)− x ] +1
2!
d2f
dx2
∣∣∣∣x
[x(t)− x ]2 + . . .
Aproximacion lineal: tomar los dos primeros terminos:
f [x(t)] ≈ f (x) +df
dx
∣∣∣∣x
[x(t)− x ]
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Funcion de una variable
Como x es constante
f [x(t)] = f (x) + kx
![Page 33: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/33.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Funcion de una variable
Como x es constante
f [x(t)] = f (x) + kx
La pendiente
k =df
dx
∣∣∣∣x
![Page 34: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/34.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Funcion de una variable
Como x es constante
f [x(t)] = f (x) + kx
La pendiente
k =df
dx
∣∣∣∣x
La variable incremental
x(t) = x(t)− x
![Page 35: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/35.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Funcion de una variable
El error de la aproximacion corresponde a:
e =f (x)− [f (x) + kx ]
f (x)
![Page 36: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/36.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Funcion de una variable
El error de la aproximacion corresponde a:
e =f (x)− [f (x) + kx ]
f (x)
La magnitud del error depende del tipo de funcion
![Page 37: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/37.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Agenda
1 Sistemas no Lineales
2 Linealizacion
3 Puntos de operacion
4 Linealizacion - Funcion de una variable
5 Linealizacion - Funcion de varias variables
6 Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
7 Referencias
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Funcion de varias variables
Funcion de varias variables
z = f [x1(t), x2(t), . . . , xn(t)]
![Page 39: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/39.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Funcion de varias variables
Funcion de varias variables
z = f [x1(t), x2(t), . . . , xn(t)]
El punto de operacion
x = [x1, x2, . . . , xn]T
![Page 40: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/40.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Funcion de varias variables
Funcion de varias variables
z = f [x1(t), x2(t), . . . , xn(t)]
El punto de operacion
x = [x1, x2, . . . , xn]T
La expansion de Taylor
z =f [x1(t), x2(t), . . . , xn(t)]
≈f [x1, x2, . . . , xn] +∂f
∂x1
∣∣∣∣x
[x1(t)− x1]
+∂f
∂x2
∣∣∣∣x
[x2(t)− x2] + . . .
![Page 41: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/41.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Funcion de varias variables
Tomando los terminos de primer orden:
z ≈ f (x) + [∇f (x)]T [x − x ]
con
[∇f (x)]T =
[∂f
∂x1
∣∣∣∣x
∂f
∂x2
∣∣∣∣x
. . .∂f
∂xn
∣∣∣∣x
]
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Funcion de varias variables
Tomando los terminos de primer orden:
z ≈ f (x) + [∇f (x)]T [x − x ]
con
[∇f (x)]T =
[∂f
∂x1
∣∣∣∣x
∂f
∂x2
∣∣∣∣x
. . .∂f
∂xn
∣∣∣∣x
]
La linealizacion de f alrededor del punto de operacion esequivalente a colocar un plano tangente en la superficie en elpunto de operacion.
![Page 43: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/43.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Ejemplo 1: Linealizacion - Funcion de varias variables
Encuentre la aproximacion lineal de la funcionz = f (x , y) = 4x3y2 + 2y en el punto [x , y ] = [1,−2].
![Page 44: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/44.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Ejemplo 1: Linealizacion - Funcion de varias variables
Encuentre la aproximacion lineal de la funcionz = f (x , y) = 4x3y2 + 2y en el punto [x , y ] = [1,−2].
∂f
∂x= 12x2y2
∂f
∂x
∣∣∣∣[x ,y ]
= 48
∂f
∂y= 8x3y + 2
∂f
∂y
∣∣∣∣[x ,y ]
= −14
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Ejemplo 1: Linealizacion - Funcion de varias variables
Encuentre la aproximacion lineal de la funcionz = f (x , y) = 4x3y2 + 2y en el punto [x , y ] = [1,−2].
∂f
∂x= 12x2y2
∂f
∂x
∣∣∣∣[x ,y ]
= 48
∂f
∂y= 8x3y + 2
∂f
∂y
∣∣∣∣[x ,y ]
= −14
z ≈ f (x , y) + [∇f (x , y ]T[x − x
y − y
]
![Page 46: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/46.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Ejemplo 1: Linealizacion - Funcion de varias variables
Encuentre la aproximacion lineal de la funcionz = f (x , y) = 4x3y2 + 2y en el punto [x , y ] = [1,−2].
∂f
∂x= 12x2y2
∂f
∂x
∣∣∣∣[x ,y ]
= 48
∂f
∂y= 8x3y + 2
∂f
∂y
∣∣∣∣[x ,y ]
= −14
z ≈ f (x , y) + [∇f (x , y ]T[x − x
y − y
]
z ≈ 12 + [48,−14]
[x − 1y + 2
]
![Page 47: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/47.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Ejemplo 1: Linealizacion - Funcion de varias variables
Encuentre la aproximacion lineal de la funcionz = f (x , y) = 4x3y2 + 2y en el punto [x , y ] = [1,−2].
∂f
∂x= 12x2y2
∂f
∂x
∣∣∣∣[x ,y ]
= 48
∂f
∂y= 8x3y + 2
∂f
∂y
∣∣∣∣[x ,y ]
= −14
z ≈ f (x , y) + [∇f (x , y ]T[x − x
y − y
]
z ≈ 12 + [48,−14]
[x − 1y + 2
]
z ≈ 48x − 14y − 64
![Page 48: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/48.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Ejemplo 1: Linealizacion - Funcion de varias variables
0.5
1
1.5
−2.5
−2
−1.5−20
0
20
40
60
80
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Agenda
1 Sistemas no Lineales
2 Linealizacion
3 Puntos de operacion
4 Linealizacion - Funcion de una variable
5 Linealizacion - Funcion de varias variables
6 Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
7 Referencias
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
Sea el sistema en variables de estado
dx(t)
dt= f[x(t),u(t)] + b
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
Sea el sistema en variables de estado
dx(t)
dt= f[x(t),u(t)] + b
Para encontrar el punto de operacion se asume el estado estable:
d x
dt= 0 = f[x, u] + b
![Page 52: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/52.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
Restando las dos ecuaciones:
d(x(t)− x)
dt= f[x(t),u(t)]− f[x, u]
![Page 53: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/53.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
Restando las dos ecuaciones:
d(x(t)− x)
dt= f[x(t),u(t)]− f[x, u]
Linealizando f:
d(x(t)− x)
dt=
∂f
∂x
∣∣∣∣[x,u]
(x(t)− x) +∂f
∂u
∣∣∣∣[x,u]
(u(t)− u)
![Page 54: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/54.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
Las variables incrementales son:
x(t) = x(t)− x u(t) = u(t)− u
![Page 55: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/55.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
Las variables incrementales son:
x(t) = x(t)− x u(t) = u(t)− u
La ecuacion linealizada queda:
d x(t)
dt=
∂f
∂x
∣∣∣∣[x,u]
x(t) +∂f
∂u
∣∣∣∣[x,u]
u(t)
![Page 56: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/56.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
Las variables incrementales son:
x(t) = x(t)− x u(t) = u(t)− u
La ecuacion linealizada queda:
d x(t)
dt=
∂f
∂x
∣∣∣∣[x,u]
x(t) +∂f
∂u
∣∣∣∣[x,u]
u(t)
Existe un vector de entradas u que lleva el sistema al punto deoperacion:
dx
dt= f(x, u) = 0
![Page 57: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/57.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
En resumen, para dxdt
= f(x+ x, u+ u) el modelo linealizadoalrededor de un punto de equilibrio es:
˙x ≈∂f
∂x
∣∣∣∣x,u
x+∂f
∂u
∣∣∣∣x,u
u
![Page 58: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/58.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
En resumen, para dxdt
= f(x+ x, u+ u) el modelo linealizadoalrededor de un punto de equilibrio es:
˙x ≈∂f
∂x
∣∣∣∣x,u
x+∂f
∂u
∣∣∣∣x,u
u
∂f
∂x
∣∣∣∣x,u
=
df1dx1
. . . df1dxn
df2dx1
. . . df2dxn
.... . .
...dfndx1
. . . dfndxn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x ,u
∂f
∂u
∣∣∣∣x,u
=
df1du1
. . . df1dup
df2du1
. . . df2dup
.... . .
...dfndu1
. . . dfndup
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x ,u
![Page 59: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/59.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
Comparando con un sistema lineal:
d x
dt=
d
dt(x− x) = Ax+ Bu
A =∂f
∂x
∣∣∣∣x,u
B =∂f
∂u
∣∣∣∣x,u
![Page 60: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/60.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
Comparando con un sistema lineal:
d x
dt=
d
dt(x− x) = Ax+ Bu
A =∂f
∂x
∣∣∣∣x,u
B =∂f
∂u
∣∣∣∣x,u
¿Ecuacion de salida?
![Page 61: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/61.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
Dada la ecuacion de salida:
y1 = h1 [x1(t), . . . , xn(t), u1(t), . . . , up(t)]
...
yq = hq [x1(t), . . . , xn(t), u1(t), . . . , up(t)]
![Page 62: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/62.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
Dada la ecuacion de salida:
y1 = h1 [x1(t), . . . , xn(t), u1(t), . . . , up(t)]
...
yq = hq [x1(t), . . . , xn(t), u1(t), . . . , up(t)]
La ecuacion linealizada es y = Cx+Du, donde:
C =∂h
∂x
∣∣∣∣x,u
=
dh1dx1
. . . dh1dxn
dh2dx1
. . . dh2dxn
.... . .
...dhqdx1
. . .dhqdxn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x,u
D =∂h
∂u
∣∣∣∣x,u
=
dh1du1
. . . dh1dup
dh2du1
. . . dh2dup
.... . .
...dhqdu1
. . .dhqdup
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x,u
![Page 63: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/63.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion de sistemas - Procedimiento
1 Determinar el punto de operacion o de equilibrio.
![Page 64: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/64.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion de sistemas - Procedimiento
1 Determinar el punto de operacion o de equilibrio.
2 Emplear las variables incrementales.
![Page 65: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/65.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion de sistemas - Procedimiento
1 Determinar el punto de operacion o de equilibrio.
2 Emplear las variables incrementales.
3 Reemplazar los elementos no lineales por los dos primerosterminos de la expansion en serie de Taylor de su ecuacioncaracterıstica.
![Page 66: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/66.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion de sistemas - Procedimiento
1 Determinar el punto de operacion o de equilibrio.
2 Emplear las variables incrementales.
3 Reemplazar los elementos no lineales por los dos primerosterminos de la expansion en serie de Taylor de su ecuacioncaracterıstica.
4 Empleando la ecuacion en equilibrio, eliminar los terminosconstantes en la ecuacion diferencial.
![Page 67: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/67.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Linealizacion de sistemas - Procedimiento
1 Determinar el punto de operacion o de equilibrio.
2 Emplear las variables incrementales.
3 Reemplazar los elementos no lineales por los dos primerosterminos de la expansion en serie de Taylor de su ecuacioncaracterıstica.
4 Empleando la ecuacion en equilibrio, eliminar los terminosconstantes en la ecuacion diferencial.
5 Determinar las condiciones iniciales para las variablesincrementales.
![Page 68: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/68.jpg)
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Ejemplo 2: Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
Para el ejemplo 10 de la clase 2:
Encontrar el punto de operacion.
Definir las variables incrementales.
Linealizar.
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Ejemplo 3: Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
Para el ejemplo 11 de la clase 2:
Encontrar el punto de operacion para ei = 30V .
Definir las variables incrementales.
Linealizar.
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Ejemplo 4: Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
Un sistema no lineal esta descrito por la ecuacion de estado:
x(t) = y(t)
y(t) = −|x(t)|x(t)− 2x(t)− 2y3(t)− 3 + 0.2 cos(t)
Obtener el modelo linealizado
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Agenda
1 Sistemas no Lineales
2 Linealizacion
3 Puntos de operacion
4 Linealizacion - Funcion de una variable
5 Linealizacion - Funcion de varias variables
6 Linealizacion - Sistema dinamico no lineal
7 Referencias
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Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Referencias I
[1] Matlab documentation center.http://www.mathworks.com/help/matlab/.Accessed: 2014-02-10.
[2] System Dynamics: Modeling and Simulation of Mechatronic
Systems.John Wiley & Sons, 2000.
[3] C. Chen.Linear System Theory and Design.Oxford series in electrical and computer engineering. OxfordUniversity Press, 1984.
[4] C. Close, D. Frederick, and J. Newell.Modeling and Analysis of Dynamic Systems.Wiley, 2001.
![Page 73: Sistemas Dinámicos - Semana 6](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051400/55c9d808bb61ebf55a8b4762/html5/thumbnails/73.jpg)
Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va
Referencias II
[5] C. Desoer and E. Kuh.Basic Circuit Theory.McGraw-Hill Education (India) Pvt Limited, 2009.
[6] R. Dorf and R. Bishop.Modern Control Systems.Pearson, 2011.
[7] C. Smith and A. Corripio.Principles and practice of automatic process control.Wiley, 2006.
[8] S. Zak.Systems and Control.Engineering & Technology. Oxford University Press, 2003.