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Sistemas de NumeraçãoDecimal e Binário
Números Naturais
▪ Os números naturais foram os primeiros a serem utilizados
▪ Objetivo: representar e quantificar valores
▪ Computadores utilizam números naturais para fazer posicionamento de uma informação em memória, bem como para gerenciamento de dados em disco rígido, além de outras aplicações
▪ Todas estas aplicações computacionais não fazem uso de números negativos
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Representação dos Números Naturais
▪ O algarismo que está mais à esquerda tem maior valor do que os demais a direita, e isto depende da base numérica utilizada (veremos as bases logo mais)
▪ Um número natural pode ser representado do seguinte modo:
[ dt ... d2 d1 ]β
Onde:
▪ β – base numérica
▪ d1, d2,..., dt – dígitos da representação
▪ t – tamanho da representação
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Representação dos Números Naturais
▪ O valor da representação gráfica do número é obtido pela soma das parcelas de acordo com a regra posicional, conforme abaixo:
N = dtβt-1 ... d3β2 + d2β1 + d1β0
▪ Note que o digito dt é o que possui maior valor significativo e está mais a esquerda
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Sistema Decimal
▪ Para base 10, ou seja β = 10, os dígitos podem assumir os símbolos 0 1 ... 7 8 9
▪ Na base 10, as parcelas são chamadas de unidades, dezenas, centenas, etc, dependendo de cada posição, pois estão associadas respectivamente com 100, 101, ..., 10t-1
▪ Assim sendo:
▪ N = d3β2 + d2β1 + d1β0
▪ 347 = 3x102 + 4x101 + 7x100 ou 347 = 3x100 + 4x10 + 7x1
▪ 1241 = 1x103 + 2x102 + 4x101 + 1x100
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Sistema Binário
▪ Para base 2, ou seja β = 2, os dígitos podem assumir os símbolos 0 1
▪ Os computadores trabalham internamente com dois níveis de tensão: 0v e 5v
▪ Com o sistema binário, o valor 0 (zero) indica falta de energia, enquanto o valor 1 (um) indica presença de energia
▪ Em sistema computacional chamamos os valores de 0 e 1 de bits (binary digit)▪ 8 bits é igual a 1 byte
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Sistema Binário
▪ O sistema binário é a base para a Álgebra Booleana, a qual permite fazer operações lógicas e matemáticas utilizando apenas dois dígitos (0 e 1, falso e verdadeiro, desligado e ligado)
▪ Veremos a fundo a Álgebra Booleana, bem como os conceitos de circuitos eletrônicos digitais mais adiante no curso
▪ Assim sendo, a representação de um número binário é dado por:
▪ N = d2β1 + d1β0 CUIDADO!!!!
▪ 10 = 1x101 + 0x100 NÃO É O NÚMERO DEZ! É UM E ZERO!
▪ 11 = 1x101 + 0x100 NÃO É O NÚMERO ONZE! É UM E UM!
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Sistema Binário
▪ O sistema binário é a base para a Álgebra Booleana, a qual permite fazer operações lógicas e matemáticas utilizando apenas dois dígitos (0 e 1, falso e verdadeiro, desligado e ligado)
▪ Veremos a fundo a Álgebra Booleana, bem como os conceitos de circuitos eletrônicos digitais mais adiante no curso
▪ Assim sendo, a representação de um número binário é dado por:
▪ N = d2β1 + d1β0 CUIDADO!!!!
▪ 10 = 1x101 + 0x100 NÃO É O NÚMERO DEZ! É UM E ZERO!
▪ 11 = 1x101 + 0x100 NÃO É O NÚMERO ONZE! É UM E UM!
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Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 1
▪ No método 1, divide-se sucessivamente por 2 o valor da base 10
▪ O número binário será o quociente da última divisão seguido dos restos de todas as divisões na sequência em que foram realizadas.
▪ 810 = X2
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8 20 4 2
0 2 20 1
Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 1
▪ No método 1, divide-se sucessivamente por 2 o valor da base 10
▪ O número binário será o quociente da última divisão seguido dos restos de todas as divisões na sequência em que foram realizadas.
▪ 810 = X2
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8 20 4 2
0 2 20 1
810 = 10002
Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 1
▪ 710 = X2
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7 21 3 2
1 1
710 = 1112
Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 1
▪ 1310 = X2
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13 21 6 2
0 3 21 1
1310 = 11012
Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 2
▪ No método 2, considere a seguinte sequência
▪ Por exemplo, vamos obter 4510 = X2
▪ Para isso, começaremos da esquerda para a direta analisando e somando os termos da sequência acima até obtermos o número 45
▪ Neste caso, para obtermos o 45 precisamos somar:
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256 128 64 32 16 8 4 2 1
Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 2
▪ No método 2, considere a seguinte sequência
▪ Por exemplo, vamos obter o número 45 em binário
▪ Para isso, começaremos da esquerda para a direta analisando e somando os termos da sequência acima até obtermos o número 45
▪ 256 é maior que 45, então não utilizaremos ele;
▪ 128 e 64 também são maiores que 45, então não utilizaremos ele
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256 128 64 32 16 8 4 2 1
Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 2
▪ No método 2, considere a seguinte sequência
▪ Porém o número 32 é menor que 45, então vamos colocar um número 1 (um) em cima do número 32
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256 128 64 32 16 8 4 2 1
Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 2
▪ No método 2, considere a seguinte sequência
▪ Porém o número 32 é menor que 45, então vamos colocar um número 1 (um) em cima do número 32
▪ Agora vamos encontrar um segundo número que, ao somar com 32, tenhamos o valor 45
▪ 32 + 16 é igual a 48, e 48 é maior que 45, então não utilizaremos o 16
▪ Como não o utilizaremos, deixamos com 0 (zero) em cima dele
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256 128 64 32 16 8 4 2 11
Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 2
▪ No método 2, considere a seguinte sequência
▪ Porém o número 32 é menor que 45, então vamos colocar um número 1 (um) em cima do número 32
▪ Agora vamos encontrar um segundo número que, ao somar com 32, tenhamos o valor 45
▪ 32 + 16 é igual a 48, e 48 é maior que 45, então não utilizaremos o 16
▪ Como não o utilizaremos, deixamos com 0 (zero) em cima dele
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256 128 64 32 16 8 4 2 11 0
Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 2
▪ No método 2, considere a seguinte sequência
▪ Agora vamos somar 32 + 8, o que nos dá o valor 40, que é menor que 45, logo, colocaremos o número 1 em cima do número 8
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256 128 64 32 16 8 4 2 11 0
Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 2
▪ No método 2, considere a seguinte sequência
▪ Agora vamos somar 32 + 8, o que nos dá o valor 40, que é menor que 45, logo, colocaremos o número 1 em cima do número 8
▪ Somaremos agora o número 40 (que obtivemos da última soma) com o próximo valor, que é 4, totalizando 44. Note que 44 é menor que 45, então podemos utilizá-lo
▪ Vamos colocar o número 1 em cima do número 4
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256 128 64 32 16 8 4 2 11 0 1
Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 2
▪ No método 2, considere a seguinte sequência
▪ Agora vamos somar 32 + 8, o que nos dá o valor 40, que é menor que 45, logo, colocaremos o número 1 em cima do número 8
▪ Somaremos agora o número 40 (que obtivemos da última soma) com o próximo valor, que é 4, totalizando 44. Note que 44 é menor que 45, então podemos utilizá-lo
▪ Vamos colocar o número 1 em cima do número 4
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256 128 64 32 16 8 4 2 11 0 1 1
Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 2
▪ No método 2, considere a seguinte sequência
▪ Temos agora o valor 44, vamos somar este valor com o próximo número da sequência que é 2
▪ 44 + 2 é igual a 46, que é maior que 45, logo não poderemos utilizá-lo, colocaremos o 0 em cima dele
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256 128 64 32 16 8 4 2 11 0 1 1
Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 2
▪ No método 2, considere a seguinte sequência
▪ Temos agora o valor 44, vamos somar este valor com o próximo número da sequência que é 2
▪ 44 + 2 é igual a 46, que é maior que 45, logo não poderemos utilizá-lo, colocaremos o 0 em cima dele
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256 128 64 32 16 8 4 2 11 0 1 1 0
Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 2
▪ No método 2, considere a seguinte sequência
▪ Temos agora o valor 44, vamos somar este valor com o próximo número da sequência que é 2
▪ 44 + 2 é igual a 46, que é maior que 45, logo não poderemos utilizá-lo, colocaremos o 0 em cima dele
▪ Por fim, somaremos o último valor da sequência que é 1 com o valor atual da soma que é 44, obtendo 45, ou seja, o número esperado. Colocaremos o número 1 em cima dele.
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256 128 64 32 16 8 4 2 11 0 1 1 0 1
Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 2
▪ No método 2, considere a seguinte sequência
▪ Deste modo, podemos dizer que 4510 = 1011012
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256 128 64 32 16 8 4 2 11 0 1 1 0 1
Conversão de Bases (Binário para Decimal) – MÉTODO 1
▪ Neste método, vamos escrever cada número que compõe o bit multiplicando-o pela base dois, elevando-o a posição que ocupa
▪ A soma de cada multiplicação de cada digito binário resultará no número decimal, veja exemplo
▪ 1012 = X10 ➔ 1x2² + 0x2¹ + 1x2° = 1x4 + 0x2 + 1x1 = 4 + 0 + 1 = 510
▪ 1112 = X10 ➔ 1x2² + 1x2¹ + 1x2° = 1x4 + 1x2 + 1x1 = 4 + 2 + 1 = 710
▪ 10112 = X10 ➔ 1x2³ + 0x2² + 1x2¹ + 1x2° = 1x8 + 0x4 + 1x2 + 1x1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 1110
▪ CUIDADO!!! ➔ Neste último exemplo, o valor final é ONZE, e não um um!
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Conversão de Bases (Binário para Decimal) – MÉTODO 2
▪ No método 2, utilizaremos a mesma sequência já apresentada anteriormente
▪ Agora, vamos dispor a sequência de bits em cima da sequência
▪ Atenção para que o último algarismo a esquerda dos bits deve ficar sobre o último algarismo a esquerda da sequência apresentada
▪ 1001012 = X10
▪ Agora somaremos todos os valores da sequência que possui o valor 1 em cima, no nosso caso somaremos 32 + 4 + 1, totalizando 37, podemos dizer que 1001012 = 3710
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256 128 64 32 16 8 4 2 11 0 0 1 0 1
Conversão de Bases (Binário para Decimal) – MÉTODO 2
▪ 11110112 = X10
▪ Agora somaremos todos os valores da sequência que possui o valor 1 em cima, no nosso caso somaremos 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1, totalizando 123, podemos dizer que 1001012 = 3710
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256 128 64 32 16 8 4 2 11 1 1 1 0 1 1
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