SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

MELHOR GESTÃO MELHOR ENSINO

Rafael de Freitas

Conteúdos e temas: sistemas de equações; métodos de resolução ( adição e substituição); representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis ; análise das soluções de um sistema linear (algébrica e gráfica).Competências e habilidades: Traduzir um problema para a linguagem algébrica na forma de um sistema; resolver sistemas de equações por diferentes métodos, representar uma equação com duas incógnitas no plano cartesiano, interpretar graficamente a solução de um sistema.

Objetivos: Que o aluno seja capaz de resolver problemas envolvendo duas equações do 1º grau,de relacionar as propriedades geométricas de figuras planas com o sistema envolvido e interpretar a solução obtida ( algebricamente e geometricamente).

Recursos materiais e tecnológicos: Utilização do software Geogebra e do papel quadriculado para representar as equações do sistema .

Justificativa:O aluno pode se deparar com situações problemas cuja representação algébrica envolve mais de uma equação do primeiro grau, a partir disso, é necessário uma abordagem sobre o tema sistemas de equações lineares para a resolução do problema em questão.

ATIVIDADE 1:Equações e incógnitas.

Considere o problema seguinte:A soma das idades de João e Maria é 28 anos. Qual é a idade de cada um deles?

• Nesse primeiro momento o aluno deverá escrever a expressão algébrica que traduz o problema,sendo x a idade de João e y a idade de Maria o problema pode ser escrito assim:

x+y=28• Em seguida o professor pode sugerir aos alunos que construam uma tabela com os valores possíveis para a idade de cada um deles.

João (x) Maria (y)1 27

2 26

3 25

4 24

5 23

6 22

7 21

8 20

9 19

10 18

11 17

12 16

13 15

14 14

João (x) Maria (y)15 13

16 12

17 11

18 10

19 9

20 8

21 7

22 6

23 5

24 4

25 3

26 2

27 1

Os resultados possíveis

• Com a atividade anterior o aluno vai perceber que , considerando apenas as informações contidas no enunciado,o problema apresenta mais de uma solução. Em termos algébricos , uma equação pode ter mais de uma solução dependendo do domínio, podem haver infinitas soluções.

•Em seguida o professor pode fornecer mais uma informação a respeito das idades de João e Maria, pedindo para que os alunos escrevam a equação correspondente à nova informação, delimitando assim o número de soluções.

2) Resolva o problema sabendo que João é 4 anos mais velho que Maria.

O problema agora passa a ser expresso por duas equações , são elas:

4

28

yx

yx

Observando a tabela, o único par que satisfaz a equação é o par x= 16 e y=12.

João (x) Maria (y)

16 12

Isto deixa claro ao aluno que o sistema ( que nada mais é que um conjunto de equações)assim formado possui solução única.

•Outras informações poderiam ser dadas a respeito das idades de João e Maria, de modo que não exista um par de números inteiros que satisfazem o sistema , como por exemplo a idade de Maria é o dobro da idade de João (neste caso o sistema possui soluções não inteiras).

Para chegar à solução do sistema neste caso, podemos recorrer a um método de resolução chamado de “método da substituição”.

•O método da substituição consiste em isolar uma variável em uma das equações e substituir o resultado na outra equação do sistema, obtendo – se assim uma equação de primeiro grau, resolvido a equação vamos obter o valor de uma das variáveis, a outra pode ser encontrada por simples substituição.

ATIVIDADE 2: As balanças e o método da substituição.

Vamos começar propondo o seguinte problema:

Precisamos descobrir o “peso” de dois objetos e temos as seguintes informações:

Os dois objetos “pesam” conjuntamente 2500 gramas.Um dos objetos “pesa” 500 gramas a mais do que o outro.

Para resolver este problema, denotamos de x e y(os alunos podem ficar livres na escolha das variáveis) o “ peso” de cada objeto.

1º Passo: A primeira informação pode ser traduzida para linguagem algébrica através da expressão x+y = 2500. Em seguida representamos o problema como mostra a figura a seguir:

2º Passo: De maneira análoga, traduzimos para a linguagem algébrica a segunda informação ( x=y+500) e representamos conforme a figura:

3º Passo:Fazemos a substituição,trocando o objeto x pelo seu equivalente ,y mais 500 gramas. Em seguida, tiramos 500 gramas de cada lado mantendo a equivalência.

Em linguagem algébrica, (y+500) +y = 2500 ou y+y-500 = 2500 - 500

4º Passo: Se dois objetos y “pesam” 2000 gramas, um objeto y “pesará” 1000 gramas.

Em linguagem algébrica, 2y = 2000, ou y = 1000.

Como o objeto x “pesa” o mesmo que o objeto y mais 500 gramas, então seu “peso” é de 1500 gramas.

•Consideremos ser extremamente relevante a representação do problema por meio de figuras em conjunto com as expressões algébricas para melhor compreensão dos alunos.

•O professor poderá propor outros problemas para que os alunos se familiarizem com este método de resolução.

UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA PARA A

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES

LINEARES.

Destacamos a importância da utilização do software Geogebra na representação gráfica de sistemas de equações tendo como relevante contribuição a possibilidade de discussão do número de soluções de um sistema de equações Lineares sendo que:

•A representação gráfica de sistemas lineares tem como resultado um conjunto de retas

•Se as retas se interceptam em um único ponto o sistema tem solução única isto é, é um sistema possível e determinado;

•Se as retas são paralelas, isto é , não há ponto de intersecção entre elas , o sistema é impossível;

•Se as retas são coincidentes, há infinitas soluções para o sistema.

Abaixo está a representação gráfica do problema 22 discutido em sala: