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ObjetivosPlano CartesianoGraficas de Conjuntos de Pares Ordenados de Numeros RealesFormula de la Distancia en el Plano CartesianoFormula del Punto Medio en el Plano CartesianoEcuacion de una Circunferencia en el Plano Cartesiano

Sistemas de Coordenadas Cartesianas

Carlos A. Rivera-Morales

Precalculo I

Rivera-Morales, Carlos A. El Plano Cartesiano

Contenido

Tabla de Contenido

ObjetivosPlano CartesianoGraficas de Conjuntos de Pares Ordenados de NumerosRealesFormula de la Distancia en el Plano CartesianoFormula del Punto Medio en el Plano CartesianoEcuacion de una Circunferencia en el Plano Cartesiano

Contenido

Objetivos:

Discutiremos:

producto cruz o cartesiano de dos conjuntos.

plano cartesiano

formula de la distancia en el plano cartesiano.

formula del punto medio en el plano cartesiano.

ecuacion de una circunferencia en el plano cartesiano.

Contenido

Objetivos:

Discutiremos:

plano cartesiano

Contenido

Objetivos:

Discutiremos:

plano cartesiano

Contenido

Objetivos:

Discutiremos:

plano cartesiano

Contenido

Objetivos:

Discutiremos:

plano cartesiano

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Plano Cartesiano

Producto Cartesiano de dos Conjuntos:

El producto cartesiano o producto cruz de dos conjuntos Ay B, denotado por A×B es el conjunto de todos los paresordenados donde la primera componente es elemento de A y lasegunda componente es elemento de B. Esto es,

A×B = {(x, y)|x ∈ A y x ∈ B}

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Plano Cartesiano

Plano Cartesiano:

Sea R = {numeros reales}. El plano cartesiano o sistema decoordenadas cartesianas es una correspondencia uno a uno obiunıvoca entre el conjunto de los pares ordenados de numerosreales y los puntos de un plano.Se denota por R2. Esto es,

R2 =R×R= {(x, y)|x, y ∈R}

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Plano Cartesiano

Figura: Plano Cartesiano

Contenido

Plano Cartesiano

Figura: Plano Cartesiano

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Plano Cartesiano

Graficas de Conjuntos de Pares Ordenados de NumerosReales:

Ejemplos: Grafique los siguientes conjuntos:a) {(x, y)| x ≥ 0}; b) {(x, y)| y = 1}; c) {(x, y)| |y| < 1}

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Plano Cartesiano

Contenido

Plano Cartesiano

Contenido

Plano Cartesiano

Contenido

Plano Cartesiano

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Plano Cartesiano

Ejercicios: Grafique los siguientes conjuntos de paresordenados de numeros reales:

1 {(x, y)| x ≤ 1}2 {(x, y)| 2 < x ≤ 5}3 {(x, y)| x ≥ 3}4 {(x, y)| x = −5}

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Plano Cartesiano

Consideremos la siguiente figura:

Por el teorema de Pitagoras,d(P1, P2) =

√|x2 − x1|2 + |y2 − y1|2.

Como |x|2 = x2,d(P1, P2) =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

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Plano Cartesiano

√|x2 − x1|2 + |y2 − y1|2.

Como |x|2 = x2,d(P1, P2) =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Contenido

Plano Cartesiano

√|x2 − x1|2 + |y2 − y1|2.

Como |x|2 = x2,

d(P1, P2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Contenido

Plano Cartesiano

√|x2 − x1|2 + |y2 − y1|2.

Como |x|2 = x2,d(P1, P2) =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

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Plano Cartesiano

Formula de la Distancia en el Plano Cartesiano:

Sean P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) dos puntos en el planocartesiano. Entonces, la distancia de P1 a P2, denotada pord(P1, P2) o por d, esta dada por

d(P1, P2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

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Plano Cartesiano

Ejemplo 1: Determine la distancia de (5, 21) a (−3, 1).

Contenido

Plano Cartesiano

Contenido

Plano Cartesiano

Contenido

Plano Cartesiano

Ejemplo 2: Determine la distancia de (5.9, 2) a (3.7,−7.7).

Contenido

Plano Cartesiano

Contenido

Plano Cartesiano

Contenido

Plano Cartesiano

Consideremos la siguiente figura. Suponga que M es el puntomedio del segmento con puntos extremos A y B.

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Plano Cartesiano

Consideremos la siguiente figura. Suponga que M es el puntomedio del segmento con puntos extremos A y B.

Contenido

Plano Cartesiano

Formula del Punto Medio en el Plano Cartesiano:

Sean P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) dos puntos en el planocartesiano. Entonces, el punto medio de P1 a P2, denotadapor M(P1, P2) o por M , esta dado por

M(P1, P2) = (x1 + x2

2,y1 + y2

2).

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Plano Cartesiano

Ejemplo 1: Determine el punto medio de (−1, 2) y (1,−3).

Contenido

Plano Cartesiano

Contenido

Plano Cartesiano

Contenido

Plano Cartesiano

Ejemplo 2: Determine el punto medio de (−4

5,−2

3) y (

1

8,3

4).

Contenido

Plano Cartesiano

5,−2

3) y (

1

8,3

4).

Contenido

Plano Cartesiano

5,−2

3) y (

1

8,3

4).

Contenido

Plano Cartesiano

Ejercicios: Determine la distancia entre cada par de puntos.

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Plano Cartesiano

Ejercicios: Determine la distancia entre cada par de puntos.

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Plano Cartesiano

Ejercicios: Determine el punto medio entre cada par de puntos.

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Plano Cartesiano

Ejercicios: Determine el punto medio entre cada par de puntos.

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Plano Cartesiano

Circunferencia:

Definicion: Una circunferencia es el lugar geometrico de lospuntos que equidistan de un punto fijo en el plano llamadocentro. La distancia que existe de cualquiera de sus puntos alcentro recibe el nombre de radio.

Nota: Cabe senalar que circunferencia y cırculo no sonsinonimos, ya que un cırculo es la porcion del planocomprendida y limitada por una circunferencia, es decir, todasu region interior.

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Plano Cartesiano

Circunferencia:

Definicion: Una circunferencia es el lugar geometrico de lospuntos que equidistan de un punto fijo en el plano llamadocentro. La distancia que existe de cualquiera de sus puntos alcentro recibe el nombre de radio.

Nota: Cabe senalar que circunferencia y cırculo no sonsinonimos, ya que un cırculo es la porcion del planocomprendida y limitada por una circunferencia, es decir, todasu region interior.

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Plano Cartesiano

Si el centro de la circunferencia se ubica en el punto decoordenadas C(h, k), su grafica tendra una forma como lasiguiente:

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Plano Cartesiano

Por lo tanto,r = d(P,C) =

√(x− h)2 + (y − k)2√

(x− h)2 + (y − k)2 = r ; cuadrando ambos lados,

(x− h)2 + (y − k)2 = r2

Contenido

Plano Cartesiano

√(x− h)2 + (y − k)2

√(x− h)2 + (y − k)2 = r ; cuadrando ambos lados,

(x− h)2 + (y − k)2 = r2

Contenido

Plano Cartesiano

√(x− h)2 + (y − k)2√

(x− h)2 + (y − k)2 = r

; cuadrando ambos lados,

(x− h)2 + (y − k)2 = r2

Contenido

Plano Cartesiano

√(x− h)2 + (y − k)2√

(x− h)2 + (y − k)2 = r2

Contenido

Plano Cartesiano

√(x− h)2 + (y − k)2√

(x− h)2 + (y − k)2 = r2

Contenido

Plano Cartesiano

√(x− h)2 + (y − k)2√

(x− h)2 + (y − k)2 = r2

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Plano Cartesiano

Ecuacion de una Circunferencia en el Plano Cartesiano:

Una ecuacion de la circunferencia en el plano cartesiano concentro C(h, k) y radio r esta dada por

(x− h)2 + (y − k)2 = r2

En particular, si el centro es C(0, 0), la ecuacion es

x2 + y2 = r2

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Plano Cartesiano

Ejercicio: Dibuje un esquema de la grafica de la ecuacionx2 + y2 + 2x− 6y + 7 = 0

(x2 + 2x) + (y2 − 6y) = −7: se agrupan los terminos con lamisma variable.(x2 + 2x + 1) + (y2 − 6y + 9) = −7 + 1 + 9: se completan loscuadrados en las dos agrupaciones de terminos.(x + 1)2 + (y − 3)2 = 3: se factoriza cada trinomio cuadradoperfecto.Comparando la ecuacion anterior con (x− h)2 + (y − k)2 = r2,se concluye que

h = − 1,k = 3,r =√

3.

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Plano Cartesiano

(x2 + 2x) + (y2 − 6y) = −7: se agrupan los terminos con lamisma variable.

(x2 + 2x + 1) + (y2 − 6y + 9) = −7 + 1 + 9: se completan loscuadrados en las dos agrupaciones de terminos.(x + 1)2 + (y − 3)2 = 3: se factoriza cada trinomio cuadradoperfecto.Comparando la ecuacion anterior con (x− h)2 + (y − k)2 = r2,se concluye que

h = − 1,k = 3,r =√

3.

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Plano Cartesiano

(x2 + 2x) + (y2 − 6y) = −7: se agrupan los terminos con lamisma variable.(x2 + 2x + 1) + (y2 − 6y + 9) = −7 + 1 + 9: se completan loscuadrados en las dos agrupaciones de terminos.

(x + 1)2 + (y − 3)2 = 3: se factoriza cada trinomio cuadradoperfecto.Comparando la ecuacion anterior con (x− h)2 + (y − k)2 = r2,se concluye que

h = − 1,k = 3,r =√

3.

Contenido

Plano Cartesiano

(x2 + 2x) + (y2 − 6y) = −7: se agrupan los terminos con lamisma variable.(x2 + 2x + 1) + (y2 − 6y + 9) = −7 + 1 + 9: se completan loscuadrados en las dos agrupaciones de terminos.(x + 1)2 + (y − 3)2 = 3: se factoriza cada trinomio cuadradoperfecto.

Comparando la ecuacion anterior con (x− h)2 + (y − k)2 = r2,se concluye que

h = − 1,k = 3,r =√

3.

Contenido

Plano Cartesiano

h = − 1,k = 3,r =√

3.

Contenido

Plano Cartesiano

h =

− 1,k = 3,r =√

3.

Contenido

Plano Cartesiano

h = − 1,

k = 3,r =√

3.

Contenido

Plano Cartesiano

h = − 1,k =

3,r =√

3.

Contenido

Plano Cartesiano

h = − 1,k = 3,

r =√

3.

Contenido

Plano Cartesiano

h = − 1,k = 3,r =

√3.

Contenido

Plano Cartesiano

h = − 1,k = 3,r =√

3.

Contenido

Plano Cartesiano

Grafica de (x + 1)2 + (y − 3)2 = 3

Contenido

Plano Cartesiano

Grafica de (x + 1)2 + (y − 3)2 = 3

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Plano Cartesiano

Ejercicio 1: Determine una ecuacion en forma estandar de lacircunferencia que cumple las condiciones dadas.

Contenido

Plano Cartesiano

Ejercicio 1: Determine una ecuacion en forma estandar de lacircunferencia que cumple las condiciones dadas.

Contenido

Plano Cartesiano

Ejercicio 2: Determine si las siguientes ecuaciones representano no una circunferencia. En cada caso positivo, determine elcentro, el radio y dibuje un esquema de la grafica de lacircunferencia.

Contenido

Plano Cartesiano

Ejercicio 2: Determine si las siguientes ecuaciones representano no una circunferencia. En cada caso positivo, determine elcentro, el radio y dibuje un esquema de la grafica de lacircunferencia.