Sistemas de control de computadora.pdf

131
Sistemas de Control Continuo: Revisión El objetivo de este capítulo es revisar brevemente los principales conceptos del control continuo sistemas. La presentación es tal que permitirá en una etapa posterior un fácil la transición a sistemas de control digitales. La materia objeto manejado se refiere a la descripción de los modelos de tiempo continuo en los dominios de tiempo y frecuencia, las propiedades de los sistemas de circuito cerrado y PI y los controladores PID. 1.1 Modelos en tiempo continuo 1.1.1 Dominio del Tiempo Ecuación 1.1.1 da un ejemplo de una ecuación diferencial que describe un sencillo sistema dinámico: En la Ecuación 1.1.1 u representa la entrada (o la de control) del sistema e y el de salida. Esta ecuación puede ser simulado por medio continuo como se ilustra en Figura 1.1. La respuesta de paso se ilustra en la Figura 1.1 revela la velocidad de la salida variaciones, que se caracteriza por la constante de tiempo T, y el valor final, caracterizado por la ganancia estática G. Figura 1.1. Respuestas de simulación y hora del sistema dinámico descrito por la ecuación 1.1.1 (I - integrador) Usando el operador diferencial p = d / dt, la ecuación 1.1.1 se escribe como Para los sistemas descritos por ecuaciones diferenciales como en la Ecuación 1.1.1 nos distinguir tres tipos de tiempo de respuesta:

Transcript of Sistemas de control de computadora.pdf

  • Sistemas de Control Continuo: Revisin

    El objetivo de este captulo es revisar brevemente los principales conceptos del control

    continuo sistemas. La presentacin es tal que permitir en una etapa posterior un fcil la

    transicin a sistemas de control digitales.

    La materia objeto manejado se refiere a la descripcin de los modelos de tiempo continuo

    en los dominios de tiempo y frecuencia, las propiedades de los sistemas de circuito

    cerrado y PI y los controladores PID.

    1.1 Modelos en tiempo continuo

    1.1.1 Dominio del Tiempo

    Ecuacin 1.1.1 da un ejemplo de una ecuacin diferencial que describe un sencillo sistema

    dinmico:

    En la Ecuacin 1.1.1 u representa la entrada (o la de control) del sistema e y el de salida.

    Esta ecuacin puede ser simulado por medio continuo como se ilustra en Figura 1.1.

    La respuesta de paso se ilustra en la Figura 1.1 revela la velocidad de la salida variaciones,

    que se caracteriza por la constante de tiempo T, y el valor final, caracterizado por la

    ganancia esttica G.

    Figura 1.1. Respuestas de simulacin y hora del sistema dinmico descrito por la ecuacin

    1.1.1 (I - integrador) Usando el operador diferencial p = d / dt, la ecuacin 1.1.1 se

    escribe como

    Para los sistemas descritos por ecuaciones diferenciales como en la Ecuacin 1.1.1 nos

    distinguir tres tipos de tiempo de respuesta:

  • . 1 La respuesta de "libre" : corresponde a la respuesta del sistema a partir de una

    condicin inicial y (0) = y0 y por un idnticamente cero de entrada para todo t ( u = 0 ,

    t ) .

    . 2 La respuesta " forzado " : corresponde a la respuesta del sistema a partir de un

    idnticamente cero condiciones iniciales y ( 0 ) = 0 y para una entrada no - cero u (t )

    para todo t 0 (u ( t) = 0, t < 0 ; u ( t) 0 , t 0 e y (t ) = 0 para t 0 ) .

    . 3 La respuesta "total" : representa la suma de la " libre" y " forzada"

    respuestas (el sistema es lineal , se aplica el principio de superposicin ) .

    Sin embargo ms adelante vamos a considerar por separado la respuesta "libre" y "

    forzada"respuesta .

    1.1.2 Dominio de la Frecuencia

    Las caractersticas de los modelos de la forma de la ecuacin 1.1.1 tambin se pueden

    estudiar en el dominio de la frecuencia . La idea es entonces para estudiar el

    comportamiento del sistema cuando el de entrada u es una sinusoidal o una entrada de

    cosenoidal que vara en un rango dado de frecuencias .

    Recuerde que

    y, en consecuencia, se puede considerar que el estudio del sistema dinmico descrito por

    una ecuacin del tipo 1.1.1, en el dominio de la frecuencia, corresponde a el estudio de la

    salida del sistema para las entradas del tipo u (t) = ejt

    Dado que el sistema es lineal, la salida ser una seal que contiene slo el la frecuencia,

    la entrada se amplifica o atena (y, posiblemente, un retardo de fase lo har aparecer)

    La figura 1.2 ilustra el comportamiento de un sistema para una entrada u (t) = ejt. Sin

    embargo no hay nada que nos impida considerar que se forma la entrada por sinusoides y

    cosinusoids, que en este caso se escriben amortiguadas o no amortiguadas como

  • donde s se interpreta como una frecuencia compleja. Como resultado de la linealidad de

    la sistema, la salida ser reproducir la seal de entrada, amplificada (o atenuada), con un

    retardo de fase o no, dependiendo de los valores de s; es decir, la salida tendr la forma

    y debe satisfacer la Ecuacin 1.1.1 para

    Figura 1.2. Respuesta de un sistema dinmico a las entradas peridicas

    De la ecuacin 1.1.6 se obtiene

    e introduciendo la Ecuacin 1.1.7 de la Ecuacin 1.1.1, mientras que teniendo en cuenta

    que Se obtiene

    1 est es una funcin propia del sistema, ya que sus propiedades funcionales se mantienen

    al pasara travs del sistema (slo la amplitud y la fase se modifican).

    H (s), que da la ganancia y la desviacin de fase introducida por el sistema de Ecuacin

    1.1.1 a diferentes frecuencias complejas, se conoce como la funcin de transferencia.

    La funcin H (s) de transferencia es una funcin de slo la variable compleja s. lo

    representa la relacin entre la salida del sistema y de entrada cuando la entrada es est

    Desde Ecuacin 1.1.8, resulta que, para el sistema descrito por la ecuacin 1.1.1, la

    funcin de transferencia es

    La funcin H (s) de transferencia generalmente aparece como una relacin de dos

    polinomios en s (H (s) = B (s) / A (s)). Las races del polinomio numerador (B (s)) definen los

    "ceros" de la funcin de transferencia y las races del polinomio denominador (A (s))

  • definir los "polos" de la funcin de transferencia. Los "ceros" corresponden a los

    complejos frecuencias para las que la ganancia del sistema es nula y los "polos" como las

    especifica frecuencias complejas para las que la ganancia del sistema es infinito.

    Tenga en cuenta que la funcin de transferencia H (s) se puede obtener tambin por otros

    dos tcnicas:

    Sustituir p por s en la Ecuacin 1.1.2 y la computacin algebraica de la y / u relacin.

    El uso de la transformada de Laplace (Ogata 1990).

    El uso de la representacin de los modelos dinmicos en la forma de transferencia

    funciones presenta un cierto nmero de ventajas para el anlisis y sntesis de sistemas de

    control de bucle cerrado. En particular, la concatenacin de los modelos dinmicos

    descrito por funciones de transferencia es extremadamente fcil.

    1.1.3 Estabilidad

    La estabilidad de un sistema dinmico est relacionada con el comportamiento asinttico

    de la sistema (cuando t), a partir de una condicin inicial y por un idnticamente cero de

    entrada.

    Por ejemplo, considere el sistema de primer orden descrito por el diferencial

    Ecuacin 1.1.1 o por la funcin de transferencia dada en la Ecuacin 1.1.9. Considere la

    posibilidad de la respuesta libre del sistema dado en la Ecuacin 1.1.1 para y desde una

    condicin inicial y (0) = y0:

    Una solucin para y ser de la forma

    en la que K y s se han de determinar 2. De la Ecuacin 1.1.11 se encuentra

    y la ecuacin se convierte en 1.1.10

    a partir del cual se obtiene

  • y respectivamente

    La respuesta para T> 0 y T 0, tenemos que s

  • La respuesta de un sistema estable es generalmente de la forma mostrada en la Figura

    1.5.

    Figura 1.5. respuesta gradual

    La respuesta de paso se caracteriza por un cierto nmero de parmetros:

    tr (tiempo de subida): generalmente se define como el tiempo necesario para alcanzar el

    90% de la valor final (o como el tiempo necesario para que la salida pasar de 10 a 90% de

    el valor final). Para los sistemas que presentan un rebasamiento del valor final, o que

    tienen un comportamiento oscilante, solemos definir el tiempo de subida como el tiempo

    necesario para alcanzar por primera vez el valor final. Posteriormente se deber en

    general, utilizar la primera definicin de tR.

    TS (tiempo de sedimentacin): se define como el tiempo necesario para la salida de

    alcanzar y permanecer dentro de una zona de tolerancia alrededor del valor final ( 10%,

    5% 2%).

    FV (valor final): un valor de salida fijo obtenido para t .

    M (sobrepaso mximo): expresado como un porcentaje del valor final.

    Por ejemplo, considere el sistema de primer orden

    La respuesta de paso para un sistema de primer orden est dada por

    Dado que la entrada es un paso unitario uno tiene FV = G (ganancia esttica); tR = 2.2 T

    tS = 2.2 T (para 10% FV); ts = 3 T (para 5% FV); M = 0 y la respuesta de un sistema de

    este tipo est representado en la Figura 1.6. Tenga en cuenta que para t = T, la salida

    alcanza 63% del valor final.

  • Figura 1.6. Respuesta al escaln de un sistema de primer orden

    1.1.5 Respuesta de frecuencia

    La respuesta de frecuencia de un sistema dinmico se estudi y caracteriz por entradas

    peridicas de frecuencia variable pero de magnitud constante. Para continuoustime

    sistemas, la caracterstica de ganancia de frecuencias se representa en una doble escala

    logartmica y la caracterstica de frecuencia de fase se representa en un escala logartmica

    slo para el eje de frecuencia.

    Figura 1.7 . respuestas de frecuencia

    La ganancia G ( ) = | H ( jw ) | se expresa en dB ( | H ( jw ) | dB = 20 log | H ( jw ) | ) enel

    eje vertical y la frecuencia , expresan en rad / s ( = 2 f donde frepresenta la

    frecuencia en Hz ) se representa en el eje horizontal . Figura 1.7 da algunas curvas tpicas

    de respuesta de frecuencia .

    Los elementos caractersticos de la respuesta de frecuencia son :

    fB ( B ) ( ancho de banda) : la frecuencia ( frecuencia en radianes ) a partir del cual la

    zerofrequency( estado de equilibrio ) de ganancia G ( 0 ) se atena ms de 3 dB ;G ( ) G ( 0

    ) 3 dB ; B = - (G () 0,707 g ( 0 ) ) B = .

    FC ( C ) ( frecuencia de corte ) : la frecuencia ( rad / s ) de la cual la atenuacin

    introducido con respecto a la frecuencia cero es mayor que N dB ;Gj G N. dB C ( ) = ( 0) -

    .

  • Q ( factor de resonancia ) : la relacin entre la ganancia correspondiente a lamximo de

    la curva de respuesta de frecuencia y el valor G ( 0 ) .

    Pendiente: se refiere a la tangente a la caracterstica de frecuencia de ganancia en

    uncierta regin . Depende del nmero de polos y ceros y en su distribucin de frecuencias

    .

    Considrese, como un ejemplo , el sistema de primer orden caracteriza por la

    transferencia funcin dada por la Ecuacin 1.1.9 . Para s = jw la funcin de transferencia

    de la ecuacin 1.1.9 se reescribe como

    donde | H (jw) | representa el mdulo (ganancia) de la funcin de transferencia y ()

    la desviacin de fase introducido por la funcin de transferencia. Tenemos, pues,

    De la Ecuacin 1.1.17 y de la definicin de la B ancho de banda, se obtiene:

    Utilizando la Ecuacin 1.1.18, se deduce que para = B el sistema introduce

    una fase desviacin ( B) = -45 . Tambin tenga en cuenta que para = 0, G (0) = G,

    (0) = 0 y para , G () = 0, () = -90 .

    La figura 1.8 muestra las caractersticas exactas y asintticas de frecuencia a una de

    primer orden sistema (ganancia y fase).

    Como regla general, cada polo estable introduce una inclinacin de -20 asinttica dB /

    diciembre (o 6 dB / octava) y un retardo de fase asinttica de -90 . Por otra parte, cada

    uno cero estable introduce una pendiente asinttica de 20 dB / diciembre y un asinttica

    desplazamiento de fase de 90 .

    De ello se deduce que la pendiente asinttica de la caracterstica de ganancia de

    frecuencia en dB, para altas frecuencias, viene dada por

    donde n es el nmero de polos y m es el nmero de ceros.

  • Figura 1.8. Caracterstica de frecuencia de un sistema de primer orden

    La relacin

    da la desviacin de fase asinttica.

    Tenga en cuenta que el tiempo de subida (TR) para un sistema depende de su ancho de

    banda (B). nosotros tener la relacin aproximada

    1.1.6 Estudio del sistema de segundo orden

    La ecuacin diferencial normalizado para un sistema de segundo orden est dada por:

    Mediante el operador p = d / dt, Ecuacin 1.1.21 se reescribe como

    Dejar que u (t) = est en la Ecuacin 1.1.21, o p = s en la Ecuacin 1.1.22, el normalizado se

    obtiene la funcin de transferencia de un sistema de segundo orden:

    en la que

    0: Frecuencia natural en rad / s (0 = 2 f0)

  • : factor de amortiguamiento

    Las races de la funcin de transferencia de denominador (polos) son

    a) | | 0: sistema asintticamente estable

  • diagrama hace que sea posible determinar tanto la respuesta de un segundo-orden

    dado sistema y los valores de 0 y , con el fin de obtener un sistema que tiene un

    aumento dado (o resolver) el tiempo y rebasamiento.

    Para ilustrar esto, considrese el problema de determinar 0 y de modo que el

    aumento tiempo (0 a 90% del valor final) es 2.75s con un sobrepaso mximo 5%.

    desde La figura 1.10, se ve que con el fin de garantizar un sobreimpulso 5% debemos

    elegir = 0,7. El correspondiente tiempo de elevacin normalizada es: 0 tM 2,75.

    Puede ser lleg a la conclusin de que para obtener un tiempo de subida de 2.75s, 0

    = 1 rad / seg debe ser tomada.

    Figura 1.10. Respuestas de frecuencia normalizada de un sistema de segundo orden a

    una entrada escaln

  • Figura 1.11. Sistema de segundo orden: a) sobreimpulso M mxima como una funcin

    de la amortiguacin factor de ; b) tiempo de subida normalizada en funcin de

    Con el fin de hacer ms fcil la determinacin de 0 y para un tiempo de subida t _

    dado y un dado mxima M sobreimpulso, el grfico de M en funcin de y la grfica de

    0 tR como una funcin de se han representado en la figura 1.11a, b. La curva dada

    en la figura 1.11a permite elegir el factor de de amortiguacin para un dada mximo

    sobreimpulso M. Una vez que el valor de elegido, la figura 1.11b da el valor

    correspondiente de tR 0. Esto permite determinar 0 para un aumento dado tiempo

    tR.

    Las funciones omega_damp.sci (Scilab) y omega_damp.m (MATLAB ) permiten

    obtener los valores de 0 y directamente del rebasamiento deseado y aumentando

    tiempo.

  • Figura 1.12. Respuestas de frecuencia normalizada de un sistema de segundo orden

    (ganancia) El TS de tiempo de sedimentacin, para diferentes valores de y de la zona

    de tolerancia en torno a el valor final, se puede determinar a partir de las respuestas

    normalizadas indicadas en la figura 1.10.

    Figura 1.12 proporciona las respuestas de frecuencia normalizado para un segundo

    orden sistema.

    1.1.7 Los sistemas con tiempo de retardo

    Muchos procesos industriales exhiben una respuesta de paso de la forma mostrada en

    la Figura 1.13. El perodo de tiempo durante el cual la salida no reacciona a la entrada

    es llamado retardo de tiempo (indicado por ).

    Un sistema dinmico de primer orden con un retraso de tiempo es descrito por la

    siguiente ecuacin diferencial:

    donde el argumento de u (t - ) refleja el hecho de que la entrada actuar con un

    tiempo retraso de . Ecuacin 1.1.27 se va a comparar con la ecuacin 1.1.1.

    La funcin de transferencia correspondiente es

    en la que E-s representa la funcin de transferencia de la de retardo de tiempo.

  • Figura 1.13. Respuesta al escaln de un sistema con retardo de tiempo Ecuaciones

    1.1.27 y 1.1.28 se puede ampliar sin rodeos a la orden de alto sistemas con retardo de

    tiempo.

    Tenga en cuenta que para los sistemas con tiempo de retardo del tiempo de subida tR

    se define generalmente desde t = .

    Las caractersticas de frecuencia del retardo de tiempo se obtienen mediante la

    sustitucin de s = jw en e-s. Obtenemos entonces

    Con

    Por lo tanto un retardo de tiempo no modifica la ganancia del sistema, pero introduce

    una fase desviacin proporcional a la frecuencia.

    1.1.8 Sistemas para no mnimas de fase

    Para los sistemas de tiempo continuo (exclusivamente), sistemas de fase no mnima

    tienen una o ceros ms inestables. En el caso de tiempo continuo, el efecto principal

    de inestable ceros es la aparicin de un sobreimpulso negativo en el comienzo de la

    etapa de respuesta, como se muestra por ejemplo en la Figura 1.14. El efecto de la

    inestable ceros no se vean compensadas por el controlador (se debe usar un

    controlador inestable).

  • Figura 1.14. Respuestas de escaln de un sistema de fase no mnima (H (s) = (1-sa) / (1

    + s) (1 0,5 s), A = 1,0.5) Como ejemplo, consideremos el sistema

    con a = 1 y 0,5. La figura 1.14 representa la respuesta al escaln del sistema.

    1.2 Sistemas de bucle cerrado

    La figura 1.15 muestra un sistema de control simple. y (t) es la salida plant4 y

    representa la variable controlada, es la entrada (seal de control) se aplica a la planta

    por el controlador (variable manipulada) y r (t) es la seal de referencia.

    Figura 1.15. sistema de control

    Los sistemas de control tienen una estructura de bucle cerrado (la seal de control es

    unafuncin de la diferencia entre la referencia y el valor medido de la variable

    controlada) y contiene al menos dos sistemas dinmicos (la planta y el controlador).

    Examinaremos en esta seccin el clculo de la transferencia a lazo cerrado funcin, el

    error de estado estacionario con respecto a la seal de referencia, el rechazo de

    disturbios y la estabilidad de los sistemas de circuito cerrado.

    1.2.1 Sistemas en cascada

  • La figura 1.16 representa la conexin en cascada de dos sistemas lineales

    caracterizados por las funciones de transferencia H1 (s) y H2 (s).

    Figura 1.16. Conexin en cascada de dos sistemas

    Si la entrada a H1 (s) es u1 (t) = Est. las siguientes relaciones se encuentran:

    el trmino "planta" define el conjunto: actuador, proceso a controlar y el sensor.

    y se puede concluir que la funcin de transferencia de dos sistemas en cascada es

    o en el caso general de n sistemas en cascada

    1.2.2 Funcin de Transferencia de sistemas de circuito cerrado

    Considere el sistema de circuito cerrado representado en la figura 1.17.

    Figura 1.17. Sistema de circuito cerrado

    La salida y (t) del sistema de circuito cerrado en el caso de una referencia externa r (t)

    = est se escribe como

    Pero u1 (t) viene dada por la relacin

    La introduccin de esta relacin en la ecuacin 1.2.5, se tiene

  • a partir del cual

    La estabilidad del sistema de bucle cerrado ser determinado por las partes reales de

    la races (polos) de la transferencia de HCL (s) funcin de denominador.

    1.2.3 El estado de equilibrio de error

    Al llevar a cabo la sntesis de un sistema de circuito cerrado, nuestro objetivo es

    obtener una sistema asintticamente estable que tiene un tiempo de respuesta

    determinado, un rebasamiento especificada y asegurar un error cero en estado

    estacionario con respecto a la seal de referencia. En la figura 1.18, se desea que, en

    estado estacionario, y (t) es igual a r (t), es decir, la ganancia de estado estacionario de

    el sistema de circuito cerrado entre Y (t) y r (t) debe ser igual a 1.

    Figura 1.18. Sistema de circuito cerrado

    En la figura 1.18 la funcin de transferencia global de la HOL (s) canal de alimentacin

    directa es de la forma

    y la funcin de transferencia en bucle cerrado se da por

    El estado de equilibrio corresponde a una frecuencia cero (s = 0). La ganancia en

    estado estable es obtenido haciendo s = 0 en la funcin de transferencia dada por la

    Ecuacin 1.2.10.

    en la que Y y R representan los valores estacionarios de la salida y la referencia.

  • Para obtener una ganancia de estado estacionario unitaria (HCL (0) = 1), es necesario

    que

    Esto implica que el denominador de la funcin H (s) de transferencia debera ser de la

    siguiente forma:

    y, respectivamente:

    As, para obtener un error de estado estacionario cero en lazo cerrado cuando la

    referencia es un paso, la funcin de transferencia del canal de alimentacin hacia delante

    debe contener un integrador.

    Este concepto se puede generalizar para el caso de diferentes referencias de tiempo como

    indica a continuacin el principio de modelo interno: para obtener un estado de equilibrio

    cero error, HOL (s) debe contener el modelo interno de la referencia r (t).

    El modelo interno de la referencia es la funcin de transferencia del filtro que genera r (t)

    a partir del impulso de Dirac. Por ejemplo, paso = (1 / s) Dirac, rampa = (1 / s2) Dirac).

    Para ms detalles consulte el Apndice A.

    Por lo tanto, para una referencia de rampa, Hol (s) debe contener un doble integrador en

    a fin de obtener un error de estado estacionario cero.

    1.2.4 Rechazo de perturbaciones

    La figura 1.19 representa la estructura de un sistema de circuito cerrado en la presencia

    de un perturbacin que acta sobre la salida controlada. HOL (s) es la transferencia global

    de bucle abierto funcin (controlador + planta) y est dada por la Ecuacin 1.2.9.

    Figura 1.19. Sistema de circuito cerrado en presencia de perturbaciones

    En general, preferiramos que la influencia de la perturbacin p (t) en el

  • salida del sistema sea tan dbil como sea posible, al menos en regiones de frecuencia

    dadas. en en particular, preferiramos que la influencia de una perturbacin constante

    (paso perturbacin), a menudo llamado "la perturbacin de carga", ser cero durante en

    rgimen permanente (t , s 0).

    La funcin de transferencia entre la perturbacin y la salida se escribe como:

    Syp (s) se llama "funcin de sensibilidad de salida". El rgimen de estado estacionario

    corresponde a s = 0.

    en la que Y y p representan los valores de estado estacionario de la salida y ,

    respectivamente, dela perturbacin.

    Syp ( 0 ) debe ser cero para un rechazo perfecta de la alteracin en el estado de

    equilibriorgimen. De ello se sigue ( como en la Seccin 1.2.3 ) que , con el fin de obtener

    la propiedad deseada ,debemos tener a0 = 0 . Esto implica la presencia de un integrador

    en la ruta de acceso directocon el fin de tener un rechazo perfecto de una perturbacin

    escaln durante el rgimen de estado estacionario( ver seccin anterior) .

    Como regla general , el camino directo debe contener el modelo interno de la

    perturbacin con el fin de obtener un rechazo perfecto de una perturbacin determinista

    (vase seccin anterior).

    Ejemplo: La perturbacin sinusoidal de frecuencia constante .

    El modelo interno de la sinusoide es ( la funcin de transferencia de la filtro que , excitado

    por un impulso de Dirac , genera una sinusoide ) . Para un rechazo perfecto ( asinttica )

    de esta perturbacin, el controlador debe contener la transferencia funcin .

    1 / ( 1/2 )0+ S2 1 / ( 1/2 )0+ S2

    En general , tambin tenemos que comprobar si no hay una ampliacin de laefecto de

    perturbacin en ciertas regiones de frecuencia . Es por eso que tenemos que exigir que el

    mdulo de | Syp ( jw ) | ser inferior a un valor dado en todas las frecuencias . Un tpico

    valor para esta condicin es

    Tambin podemos requerir que Syp (jw) introduce una atenuacin dada en un cierto

    rango de frecuencia, si sabemos que una perturbacin tiene su energa concentrada en

    este rango de frecuencia.

  • 1.2.5 Anlisis de los Sistemas de circuito cerrado en el dominio de la frecuencia: Nyquist

    Terreno Estabilidad y Criterion La funcin de transferencia de la HOL (s) de bucle abierto

    (Figura 1.19) se puede representar en el plano complejo cuando vara de 0 a como

    El argumento de la funcin de transferencia en este plano se gradu en frecuencias (rad /

    s). Esta representacin a menudo se llama un diagrama de Nyquist (o hodgrafa). La figura

    1.20 muestra el diagrama de Nyquist para H1 (s) = 1 / (1 + s) y . Tenga en

    cuenta que la trama de H2 (s) se corresponde con el caso tpico donde un integrador est

    presente en el bucle (para asegurar un error de estado estacionario cero).

    Sistemas de control de computadora

    En este captulo se presentan los elementos y los conceptos bsicos de ComputerControlled

    sistemas. La discretizacin y la eleccin de la frecuencia de muestreo sern

    examinado primero, seguido de un estudio de los modelos de tiempo discreto en el tiempo y

    dominios de frecuencia, sistemas de tiempo discreto en lazo cerrado y principios bsicos para

    el diseo de controladores digitales.

    2.1 Introduccin al control por ordenador

    El primer enfoque para la introduccin de un ordenador digital o un microprocesador en

    un bucle de control se indica en la Figura 2.1 . El error medido entre la referencia y la

    salida de la planta se convierte en forma digital por un analgico a digital -(ADC ) , en los

    instantes de muestreo k, establecido por el reloj de sincronizacin. La ordenador

    interpreta la seal y convertida ( k ) como una secuencia de nmeros , que se procesa

    usando un algoritmo de control y genera una nueva secuencia de nmeros { u (k ) }

    representa el control . Por medio de un convertidor de digital a analgico ( DAC) , esta

    secuencia se convierte en una seal analgica , que se mantiene constante entre los

    instantes de muestreo de un mantenedor de orden cero ( ZOH ) . La cascada :

  • ADCcomputer - DAC debera comportarse de la misma forma que un controlador

    analgico (tipo PID ) , lo que implica el uso de una frecuencia de muestreo alta , pero el

    algoritmo implementado en el equipo es muy sencillo ( simplemente no hacemos uso de

    las potencialidades de la equipo digital! ) .

    Un segundo y mucho ms interesante enfoque para la introduccin de un Digital

    ordenador o microprocesador en un bucle de control se ilustra en la Figura 2.2 , que

    puede ser obtenido a partir de la figura 2.1 moviendo el comparador de referencia - salida

    despus de la de analgico a digital . La referencia ahora se especifica en una forma digital

    como una secuencia proporcionada por un ordenador .

    En la Figura 2.2 el conjunto DAC - planta - ADC se interpreta como un sistema discretizado

    ,

    cuya entrada de control es la secuencia { u ( k ) } generado por el ordenador , la salida

    siendo la secuencia { y (k ) } resultante de la conversin A / D de la salida del sistema

    y (t ) . Este sistema discretizado se caracteriza por un " modelo de tiempo discreto " , el

    cual describe la relacin entre la secuencia de nmeros {u (k)} y la secuencia de

    nmeros de {y (k)}. Este modelo est relacionado con el modelo de tiempo continuo de la

    planta.

  • Figura 2.1. Realizacin digital de un analgico controlador de

    tipo

    Figure 2.2. Digital control system

    Este enfoque ofrece varias ventajas. Entre estas ventajas aqu

    recordar lo siguiente:

    1. La frecuencia de muestreo se elige de acuerdo con el "ancho de banda" de

    el sistema de tiempo continuo (que ser mucho menor que para la primera

    acercarse).

    EDERMquina de escribir

    EDERMquina de escribir

    EDERMquina de escribirpunto 1

  • 2. Posibilidad de un diseo directo de los algoritmos de control adaptadas a la

    discretizado modelos de planta.

    3. El uso eficiente de la computadora ya que el aumento del periodo de muestreo

    permite la potencia de clculo para ser utilizado con el fin de poner en prctica

    algoritmos que son ms rendimiento, pero ms complejo que un PID

    controlador, y que requieren un tiempo de clculo ms.

    De hecho, si uno realmente quiere tomar ventaja de la utilizacin de un ordenador

    digital en

    un lazo de control, el "lenguaje" tambin debe ser cambiado. Esto se puede lograr por

    la sustitucin de los modelos de sistemas de tiempo continuo de modelos de sistemas de

    tiempo discreto, el

    controladores de tiempo continuo por los algoritmos de control digital, y mediante el

    uso exclusivo

    tcnicas de diseo de control.

    El cambio a este nuevo "lenguaje" (modelos dinmicos de tiempo discreto)

    hace que sea posible el uso de diversas estrategias de alto rendimiento de control que no

    se pueden

    implementado por los controladores analgicos.

    Los detalles de funcionamiento del ADC (convertidor analgico a digital), el DAC

    (de digital a analgico) y el ZOH (mantenedor de orden cero) se ilustran en

    Figura 2.3.

  • Figura 2.3. El funcionamiento del convertidor de analgico a digital (ADC), el de digital a

    analgico

    (DAC) y el mantenedor de orden cero (ZOH)

    El convertidor de analgico a digital implementa dos funciones :

    1 . Muestreo de la seal analgica: esta operacin consiste en la sustitucin de

    la seal continua con una secuencia de valores igualmente espaciados en el

    el dominio del tiempo ( la distancia temporal entre dos valores es la

    el periodo de muestreo ) , ya que estos valores corresponden a la seal continua

    amplitud en instantes de muestreo .

    2 . Cuantificacin: esta es la operacin por medio de los cuales la amplitud de

    una seal se representa con un conjunto discreto de valores diferentes ( cuantificada

    valores de la seal ) , generalmente codifican con una secuencia binaria .

    El uso general de los convertidores A / D de alta resolucin ( donde las muestras son

    estar con 12 bits o ms ) permite considerar los efectos de cuantificacin como

    insignificante , y esta suposicin celebrar en la siguiente . Efectos de cuantificacin se

    deben tenerse en cuenta en el Captulo 8 .

  • El convertidor digital analgico (DAC ) convierte a la toma de muestras instantes una

    discreta

    seal , codificada digitalmente en una seal continua .

    El mantenedor de orden cero ( ZOH ) mantiene constante esta seal continua entre dos

    instantes de muestreo (perodo de muestreo ) , con el fin de proporcionar una seal de

    tiempo continuo .

    2.2 Discretizacin y visin general de los sistemas de datos

    muestreados

    2.2.1 Discretizacin y Seleccin de Frecuencia de muestreo

    La Figura 2.4 ilustra la discretizacin de una sinusoide de frecuencia f0 para varios

    frecuencias de muestreo fs.

    Cabe sealar que, para una frecuencia de muestreo fs = 8 f0, la naturaleza continua de

    La seal analgica se inalterada en la seal muestreada.

    Para la frecuencia fs de muestreo = 2 f0, si el muestreo se lleva a cabo en instantes

    2 f0 t que no sean mltiplos de , se obtienen an una seal peridica muestreada.

    EDERMquina de escribirpunto 2

  • Sin embargo, si el muestreo se lleva a cabo en los instantes donde 2 f0 t = n, la

    secuencia de la muestra correspondiente es idnticamente cero.

    Si la frecuencia de muestreo se reduce por debajo del lmite de fs = 2f0, un peridico

    todava aparece seal muestreada, pero su frecuencia difiere de la de la continua

    seal (f = fs - F0).

    Con el fin de reconstruir una seal continua a partir de la secuencia de la muestra, la

    frecuencia de muestreo debe verificar la condicin (teorema de Nyquist):

    fs > 2 fmax

    Figura 2.4. Discretizacin seal sinusoidal

    en el que Fmax es la frecuencia mxima a transmitir. La frecuencia fs = 2 fmax

    es un lmite terico , en la prctica , se debe elegir una frecuencia de muestreo ms alta .

    La existencia de un lmite mximo para la frecuencia que se puede convertir

    sin distorsin , para una frecuencia de muestreo dada , tambin es comprensible cuando

    se

    se observa que el muestreo de una seal continua en el tiempo es una " magnitud

    modulacin " de un " " fs la frecuencia portadora ( analoga con la modulacin de la

    magnitud en

    transmisores de radio ) . El efecto de modulacin se puede observar en la replicacin de la

    espectro de la seal moduladora ( en nuestro caso la seal continua ) alrededor de la

    frecuencia de muestreo y sus mltiplos .

    El espectro de la seal muestreada , si la frecuencia mxima de la

    seal continua ( fmax ) es menor que ( 1/2 ) FS , est representado en la parte superior de

    Figura 2.5 .

    El espectro de la seal muestreada , si fmax > ( media ) FS , est representado en la parte

    baja

    parte de la Figura 2.5 . El fenmeno de solapamiento ( aliasing ) se puede observar .

    Esto corresponde a la aparicin de distorsiones . La frecuencia ( 1/2 ) FS , que

    define la frecuencia mxima (fmax ) admiti para un muestreo sin distorsiones ,

  • que se conoce como " frecuencia de Nyquist " ( o la frecuencia de Shannon ) .

    Figura 2.5. Espectro de una seal muestreada

    Para una frecuencia de muestreo dada, a fin de evitar el plegado (aliasing) de la

    espectro y por lo tanto de las distorsiones, las seales analgicas deben filtrarse antes de

    la

    muestreo para garantizar que:

    Los filtros utilizados son conocidos como "filtros anti-aliasing". Un buen filtro

    anti-aliasing

    debe tener un mnimo de dos clulas de segundo orden en cascada (fmax

  • Figura 2.6. Filtro anti-aliasing

    En el caso de muy baja frecuencia de muestreo, primero un muestreo a una mayor

    frecuencia se lleva a cabo (nmero entero mltiplo de la frecuencia deseada), utilizando

    un

    filtro anti-aliasing anlogo apropiado. La seal muestreada as obtenido se pasa

    a travs de un filtro anti-aliasing digital seguido de un divisor de frecuencia (destruccin)

    dando as una seal muestreada que tiene la frecuencia requerida. Este procedimiento es

    se muestra en la Figura 2.7. Tambin se emplea cada vez que la frecuencia de los datos

    adquisicin es ms alta que la frecuencia de muestreo elegida para el bucle que debe

    estar

    controlado (la frecuencia de muestreo debe ser un divisor entero de la adquisicin

    frecuencia).

    Figura 2.7. Anti-aliasing filtrado con submuestreo

    2.2.2 Seleccin de la frecuencia de muestreo para los Sistemas de Control

    La frecuencia de muestreo para los sistemas digitales de control se elige de acuerdo con la

    ancho de banda deseado del sistema de bucle cerrado. Tenga en cuenta que, sin importar

    cmo el deseado

    actuaciones se especifican, estos siempre pueden estar relacionados con el sistema de

    circuito cerrado

    ancho de banda.

  • Ejemplo: Consideremos las actuaciones impuestas en la Seccin 1.1.6 en la

    respuesta de paso (mximo rebase el 5%, el tiempo de subida de 2,75 s). La funcin de

    transferencia a

    ser determinada corresponde a la funcin de transferencia del sistema de bucle cerrado

    deseado.

    A partir de los diagramas indicados en la figura 1.11 hemos deducido que el bucle cerrado

    funcin de transferencia debe ser una funcin de transferencia de segundo orden

    normalizado con = 0,7

    y 0 = 1 rad / s. Por usar inmediatamente los diagramas indicados en la figura 1.12, puede

    ser

    observ que el ancho de banda del sistema de bucle cerrado es aproximadamente igual a

    La regla utilizada para elegir la frecuencia de muestreo en sistemas de

    control es la

    siguiente:

    donde

    fs: frecuencia de muestreo, f CL: cerrado el ancho de banda del sistema de bucle

    Regla de la ecuacin 2.2.3 se utiliza igualmente en lazo abierto, cuando se desea

    elegir la frecuencia de muestreo con el fin de identificar el modelo de tiempo discreto de

    un

    planta. En este caso CL se sustituye por una estimacin del ancho de banda de la planta.

    B f

    A ttulo informativo, la Tabla 2.1 da los perodos de muestreo (Ts = 1/fs) usado

    para el control digital de diferentes tipos de plantas.

    La regla para la eleccin de la frecuencia de muestreo dada en la Ecuacin 2.2.3 puede ser

    conectado a los parmetros de la funcin de transferencia.

    Sistema de primer orden

  • En este caso el ancho de banda del sistema es

    (una atenuacin mayor que 3 dB se introduce para frecuencias superiores a 0 =

    1/T0 = 2 f0).

    Cuadro 2.1. Eleccin del perodo de muestreo para los sistemas de control digital (valores

    indicativos)

    Mediante la aplicacin de la regla de la Ecuacin 2.2.3 de la condicin para la eleccin de

    la toma de muestras

    se obtiene perodo (Ts = 1/fs):

    Esto corresponde a la existencia de ocho y cincuenta y ocho muestras en el tiempo de

    subida de un paso

  • respuesta.

    Sistema de segundo orden

    El ancho de banda del sistema de segundo orden depende de 0 y en (vase la figura

    1,12).

    Por ejemplo:

    Mediante la aplicacin de la regla de la Ecuacin 2.2.3, se obtienen las siguientes

    relaciones

    entre el 0 frecuencia natural y el periodo de muestreo Ts:

    0.25 0 Ts 1 ; = 0.7

    and

    0.4 0 Ts 1.75 ; = 1

    Los valores ms bajos corresponden a la eleccin de una frecuencia de muestreo alta y

    los valores superiores a la eleccin de una frecuencia de muestreo baja.

    Por razones de simplicidad, dado que en circuito cerrado elegido con frecuencia el

    comportamiento

    como el comportamiento deseado es el de un segundo orden que tiene un factor de

    amortiguamiento

    entre 0,7 y 1, la siguiente regla se puede utilizar (aproximacin de las ecuaciones

    2.2.5 y 2.2.6): 0.25 0 Ts 1.5 ; 0.7 1

    2.3 Modelos de tiempo discreto

    2.3.1 Dominio del Tiempo

    La Figura 2.8 ilustra la respuesta de un sistema de tiempo continuo a una entrada de paso,

    un

  • respuesta que puede ser simulado por un sistema de primer orden (un integrador con un

    ganancia de realimentacin se indica en la figura).

    Figura 2.8. Modelo de tiempo continuo

    El modelo correspondiente se describe por la ecuacin diferencial

    o por la funcin de transferencia

    donde T es la constante de tiempo del sistema y G es la ganancia.

    Si la entrada u (t) y la salida y (t) se muestrean con un muestreo especificada

    perodo, las representaciones de u (t) e y (t) se obtuvo en forma de secuencias de nmeros

    en

    que T (o K) ahora es el tiempo discreto normalizado (en tiempo real dividido por el

    perodo de muestreo, t = T / Ts). La relacin entre la secuencia de entrada {u (t)} y la

    secuencia de salida {y (t)} puede ser simulado por el esquema de la figura 2.9 por

    utilizando un retardo (desplazamiento hacia atrs) operador (simbolizado por q-1: y (t-1) =

    q-1 y (t)),

    en lugar de un integrador.

    Esta relacin se describe en el dominio del tiempo por el algoritmo (conocido como

    ecuacin recursiva o ecuacin de diferencia)

    y(t) = -a1 y(t-1) + b1 u(t-1)

  • Figura 2.9. Modelo de tiempo discreto

    Pasemos ahora a examinar con mayor detalle el modelo de tiempo discreto dada por la

    ecuacin

    2.3.3 para una condicin inicial de cero (y (0) = 0) y una entrada escaln unitario en tiempo

    discreto:

    La respuesta se calcula directamente de forma recursiva utilizando la Ecuacin 2.3.3 de t =

    0

    (en el caso de los modelos de tiempo discreto que no hay problema con la integracin de la

    ecuaciones diferenciales como en tiempo continuo). Vamos a examinar dos casos.

    Caso 1. a1 = - 0.5; b1 = 0.5

    Los valores de salida para diferentes instantes se dan en la Tabla 2.2 y la

    secuencia correspondiente se representa en la figura 2.10.

  • Cuadro 2.2. Respuesta gradual de un modelo de tiempo discreto de primer orden (a1 = -0.5,

    b1 = 0,5)

    Figura 2.10. Respuesta gradual de un modelo de tiempo discreto de primer orden (a1

    = -0.5, b1 = 0,5)

    Se observa que la respuesta obtenida se asemeja a la respuesta de paso de un

    sistema de primer orden en tiempo continuo que ha sido muestreada. Un tiempo equivalente

    constante para el sistema de tiempo continuo incluso se puede determinar (tiempo de subida

    de 0

    al 90%: tR = 2,2 T). De la Tabla 2.2, se obtiene entonces

    Caso 2. a1 = 0,5; b1 = 1.5

    Los valores de salida para diferentes instantes se dan en la Tabla 2.3 y la correspondiente

    secuencia est representada en la figura 2.11.

    Cuadro 2.3. Respuesta a un escaln de primer orden modelo de tiempo discreto (a1 =

    0,5; b1 = 1,5)

    Una respuesta amortiguada oscilatoria se observa con un perodo igual a dos de muestreo

    perodos. Este tipo de fenmeno no puede ser resultado de la discretizacin de un

  • sistema de primer orden de tiempo continuo, ya que esta ltima es siempre un-peridica. Se

    puede

    por lo tanto se concluye que el modelo de tiempo discreto de primer orden corresponde a la

    discretizacin de un sistema de tiempo continuo de primer orden slo si a1 es negative1.

    Figura 2.11. Respuesta a un escaln de primer orden modelo de tiempo discreto (a1 =

    0,5; b1 = 1,5)

    Volvemos al mtodo utilizado para describir los modelos de tiempo discreto. la

    se utiliza el operador de retardo q-1 para obtener una escritura ms compacta de la

    recursiva

    (diferencia) ecuaciones que describen modelos de tiempo discreto en el dominio del tiempo

    (se

    tiene la misma funcin que el operador p = d / dt para sistemas de tiempo continuo). la

    relaciones siguientes se cumplen:

    Al utilizar el operador q-1, la ecuacin 2.3.3 se reescribe como

    (1 + a1 q-1) y(t) = b1 q-1 u(t)

    Modelos de tiempo discreto tambin se pueden obtener por la discretizacin del diferencial

    ecuaciones que describen los modelos de tiempo continuo. Esta operacin se utiliza para la

    simulacin de modelos de tiempo continuo en un ordenador digital.

    Consideremos la ecuacin 2.3.1 y aproximar la derivada por

    Ecuacin 2.3.1 se puede reescribir como

  • Multiplicando ambos lados de la Ecuacin 2.3.7 de TS, y con la introduccin de la

    t el tiempo normalizado (= T / Ts), se deduce que

    que puede ser reescrito ms ampliamente como:

    Donde

    Cambiando la Ecuacin 2.3.9 en un paso, se obtiene la Ecuacin 2.3.3.

    Se seala que, con el fin de representar un modelo continuo de primer orden con

    Ecuacin 2.3.9, la condicin a1

  • que se puede reescribir como

    correspondiente a la aproximacin de la operacin de integracin por medio de la

    regla rectangular, como se ilustra en la Figura 2.12 (si se utiliza en tiempo continuo, la

    ecuacin

    2.3.13 se escribe como s (t) = s (t-T) + Ts.y (t)).

    2.3.2 Dominio de la Frecuencia

    El estudio de los modelos de tiempo continuo en el dominio de la frecuencia se ha llevado a

    cabo teniendo en cuenta una entrada peridica de tipo exponencial compleja

    Para el estudio de los modelos de tiempo discreto en el dominio de la frecuencia que deber

    considerar (la muestra) exponenciales complejas, es decir, secuencias que resultan de

    complejas

    exponenciales de tiempo continuo evaluados en los instantes de muestreo t = k Ts.

    Estas secuencias por lo tanto escribirse como

    Dado que los modelos de tiempo discreto que se estn considerando son lineales, si una

    seal de un cierto

  • frecuencia se aplica a la entrada, una seal de la misma frecuencia, pero amplificado o

    atenuada de acuerdo con la frecuencia, se encontrar en la salida. es

    resume en la Figura 2.13. en la que H (s) es la "funcin de transferencia" del sistema

    que expresa la dependencia de la ganancia y la fase de desviacin en el complejo

    frecuencia s (s = + jw).

    Figura 2.13. Respuesta de frecuencia de un sistema de tiempo discreto

    Si la entrada del sistema est en el formes , la salida ser

    y respectivamente

    Por tanto, se observ que el cambio hacia atrs en un paso es equivalente a multiplicar

    Por

    Vamos ahora determinar la funcin de transferencia relacionada con la ecuacin recursiva

    2.3.3.

    En este caso, y la salida ser en la forma de la Ecuacin 2.3.14. por

    tambin utilizando la Ecuacin 2.3.15 se obtiene:

    de lo que resulta

    Consideramos ahora el siguiente cambio de variable:

  • que corresponde a la transformacin de la semiplano de la izquierda de la s-

    avin contra

    el interior de la unidad de crculo centrado en el origen en el plano z, como se ilustra por

    Figura 2.14.

    Figura 2.14. Efecto de la transformacin z = e sTs

    Con la transformacin dada por la Ecuacin 2.3.18 la funcin de transferencia dada en

    Ecuacin 2.3.17 se convierte en

    Tenga en cuenta que la funcin de transferencia en Z-1 se puede obtener directamente a

    partir de la recursiva

    Ecuacin 2.3.3 mediante el operador de retardo q-1 (vase la Ecuacin 2.3.5), y despus

    calculando formalmente la relacin de y (t) / U (t) y la sustitucin de Q-1 con z-1. Este

    procedimiento

    obviamente se puede aplicar a todos los modelos descritos por ecuaciones en diferencias

    lineales

    con coeficientes constantes, independientemente de su complejidad. El mismo resultado

    puede ser

    tambin obtenidas por medio de la z - transformacin (vase el Apndice A, Seccin A.2)

    Tambin comentamos que las funciones de transferencia de modelos de tiempo discreto

    son a menudo

    escrito en trminos de q-1. Se entiende por supuesto que el significado de q-1 vara

  • de acuerdo con el contexto (retrasar operador o variable compleja). Cuando q-1 es

    considerado como un operador de retardo, la expresin H (q-1) se denomina "operador

    de transferencia".

    Es preciso sealar que la representacin de los operadores de transferencia tambin se

    puede utilizar

    para los modelos descritos por ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes

    variables en el tiempo as. En contraste, la interpretacin de q-1 como una variable

    compleja (z-1) es slo

    posible que la diferencia de ecuaciones lineales con coeficientes constantes.

    Propiedades de la transformacin z = Ests

    La transformacin de la Ecuacin 2.3.18 no se biyectiva porque varios puntos de la

    plano s se transforman en el mismo punto en el plano z. Sin embargo, estamos

    interesado en el plano s est delimitado entre las dos lneas horizontales que cruzan

    los puntos [, / 2] s 0 + jw y [/ 2] sj 0 - donde

    s = 2 fs = 2 / Ts. Esta regin es

    llamada "franja primaria".

    Figura 2.15. Efectos de la transformacin en los puntos situados en el "principal

    tira "en el plano s

    Las bandas complementarias estn fuera del dominio de la frecuencia de inters si el

    condiciones del teorema de Shannon (Seccin 2.2.1) se han cumplido.

    Figura 2.15 da una imagen detallada de los efectos de la transformacin para

    los puntos que estn dentro de la "franja de primaria".

  • La atencin debe centrarse en un aspecto importante para los de segundo orden

    continuas

    sistemas en la forma:

    para los que la frecuencia resonante amortiguada es igual a la mitad de la frecuencia de

    muestreo:

    La imagen de sus conjugados polos

    a travs de la transformacin corresponde a un nico punto colocado en el

    eje real en el plano z y con abscisa negativo.

    Uno obtiene:

    desde:

    Esta es la razn por la cual los modelos de tiempo discreto en la forma de la ecuacin

    2.3.3 como

    dar oscilante respuestas a un escaln para a1> 0 (amortiguado si | a1 |

  • modelos de tiempo discreto derivados de los sistemas de tiempo continuo de segundo

    orden que tienen un

    frecuencia de resonancia amortiguada igual a

    s / 2.

    2.3.3 Formas generales de modelos lineales en tiempo discreto

    Un modelo de tiempo discreto lineal se describe generalmente como

    en la que D corresponde a un tiempo de retardo puro, que es un mltiplo entero de la

    perodo de muestreo.

    Vamos a presentar las siguientes anotaciones:

    Al utilizar el operador de retardo q-1 en la Ecuacin 2.3.20 y teniendo en cuenta la

    notaciones de las Ecuaciones 2.3.21 a 2.3.24, la Ecuacin 2.3.20 describe el discretetime

    sistema se escribe como

    o en forma predictiva (multiplicando ambos lados por qd)

  • Ecuacin 2.3.25 tambin se puede escribir en una forma compacta mediante la

    transferencia de impulsos Operador

    en el que el operador de la transferencia de impulsos est dada por

    La funcin de transferencia de impulsos que caracteriza el sistema descrito por la Ecuacin

    2.3.20

    se obtiene a partir del operador de transferencia de pulso dada en la Ecuacin 2.3.28

    mediante la sustitucin

    Transferencia de Pulso Funcin Orden

    Para evaluar el orden de un modelo de tiempo discreto representado por la transferencia

    de impulsos

    funcin de la forma de la Ecuacin 2.3.29, la representacin en trminos de positivo

    se necesita poder de z. Si d es el sistema de retardo de tiempo puro expresado como

    nmero de

    muestras, Na el grado del polinomio A (z-1) y nB el grado de la

    polinomio B (z-1), se debe multiplicar el numerador y el denominador de H (z-1) por

    zn con el fin de obtener una funcin H de transferencia de pulso proper3 (z) en las

    potencias positivas

    de Z, donde

    2 El operador H de transferencia de pulso (q-1) puede ser utilizado para una

    representacin compacta de la entrada-salida

    relacin, incluso en el caso de A (q-1) y B (q-1) tienen tiempo dependiendo coeficientes. La

    transferencia de impulsos

  • funcin H (z-1) slo se define para el caso de A (q-1) y B (q-1) son con coeficientes

    constantes.

    3 Esto significa que el grado denominador es mayor que (o igual a) el grado numerador.

    n representa el orden de sistema de tiempo discreto (la mayor potencia de un trmino en

    Z en el

    transferencia de impulsos funcin denominador).

    Ejemplo 1:

    Se observa que el orden n de una funcin de transferencia de impulsos irreductible

    tambin corresponde

    que el nmero de estados para una representacin del sistema de espacio de estado

    mnimo asociado

    a la funcin de transferencia (vase el apndice C).

    2.3.4 Estabilidad de sistemas discretos

    La estabilidad de los sistemas de tiempo discreto se puede estudiar, ya sea desde el

    recursiva

    (diferencias) ecuacin que describe el sistema de tiempo discreto en el dominio del

    tiempo, o

    de la interpretacin de la diferencia ecuaciones soluciones como sumas de datos discretos

  • exponenciales. Usaremos ejemplos para ilustrar estos dos enfoques.

    Supongamos que la ecuacin recursiva es

    que se obtiene de la Ecuacin 2.3.3 cuando la entrada u (t) es idnticamente cero. la

    respuesta libre del sistema se escribe como

    La estabilidad asinttica del sistema implica

    La condicin de estabilidad asinttica por lo tanto el resultado de la Ecuacin 2.3.31. es

    necesario y suficiente que

    Por otro lado, se sabe que la solucin de la recursiva (diferencia)

    ecuaciones es de la forma (para un sistema de primer orden):

    Mediante la introduccin de esta solucin en la Ecuacin 2.3.30, y teniendo en cuenta la

    Ecuacin

    2.3.15, se obtiene

    de donde se sigue que

    Para que esta solucin sea asintticamente estable, es necesario que = Re s

  • funcin de transferencia de impulsos relacionados con el sistema descrito por la ecuacin

    2.3.3 (ver

    Ecuacin 2.3.19).

    El resultado obtenido se puede generalizar. Para un sistema de tiempo discreto para ser

    asintticamente estable, todas las races de la funcin de transferencia de denominador

    deben ser

    dentro del crculo unitario (vase la Figura 2.14):

    Por el contrario, si una o varias races de la funcin de transferencia son el denominador

    en el

    regin definida por | z |> 1 (fuera del crculo unidad), esto implica que Re s> 0 y

    as el sistema de tiempo discreto ser inestable.

    Como para el caso de tiempo continuo, algunos criterios de estabilidad estn disponibles

    (Jurado

    criterio, el criterio de Routh-Hurwitz aplicado despus de que el cambio de variable

    w = (z + 1) / (z-1)) para establecer la existencia de races inestables de un polinomio

    en la variable z sin clculo explcito de las races (strm y Wittenmark

    1997).

    Una herramienta til para probar la estabilidad-Z polinomio se deriva de una necesaria

    condicin para la estabilidad de una Z-1-polinomio. Esta condicin indica: las evaluaciones

    del polinomio A (z-1) dada por la ecuacin 02/03/37 en z = 1, (A (1)) y en z = -1

    (A (-1)) debe ser positivo (el coeficiente de A (q-1) se supone que corresponde a Z0

    a ser positivo).

    Ejemplo:

  • 2.3.5 Ganancia de estado estable

    En el caso de sistemas de tiempo continuo, la ganancia de estado estacionario se obtiene

    haciendo

    s = 0 (frecuencia cero) en la funcin de transferencia. En el caso discreto, s = 0

    corresponde a

    y por lo tanto la ganancia de estado estacionario G (0) se obtiene haciendo z = 1 en el

    pulso

    funcin de transferencia. Por lo tanto para el sistema de primer orden se obtiene:

    En trminos generales, la ganancia de estado estacionario viene dada por la frmula

    En otras palabras, la ganancia de estado estacionario se obtiene como el cociente entre la

    suma de los

    coeficientes del numerador y la suma de los coeficientes de denominador. Esta frmula

    es muy diferente de los sistemas de tiempo continuo, donde la ganancia de estado

    estacionario

    aparece como un factor comn del numerador (si el denominador comienza con 1).

    La ganancia de estado estacionario tambin puede obtenerse a partir de la ecuacin

    recursiva

  • que describe los modelos de tiempo discreto, el estado estacionario se caracteriza por u

    (t) =

    const. yy (t) = y (t-1) = y (t-2) ....

    De la ecuacin 2.3.3, se deduce que

    Y respectivamente

    2.3.6 Modelos para Sistemas de datos muestreados con Hold

    Hasta este punto hemos estado preocupados con modelos de sistemas de datos

    muestreados

    correspondiente a la discretizacin de las entradas y salidas de un tiempo continuo

    sistema. Sin embargo, en un sistema controlado por ordenador, el control aplica a la

    planta

    no es continua. Es constante entre los instantes de muestreo (efecto de la zeroorder

    mantenga) y vara discontinuamente en los instantes de muestreo, como se ilustra en

    Figura 2.16.

    Es importante ser capaz de relacionar el modelo del sistema discretizado, la cual

    da la relacin entre la secuencia de control (producida por el controlador digital)

    y la secuencia de salida (obtenido despus del convertidor de analgico a digital), para la

    funcin de transferencia H (s) del sistema de tiempo continuo. El mantenedor de orden

    cero, cuya

    operacin se revisa en la figura 2.17 presenta una funcin de transferencia en cascada con

    H (s).

  • Figura 2.16. El sistema de control utilizando un convertidor de analgico a digital seguido

    de

    un mantenedor de orden cero

    Figura 2.17. Funcionamiento del mantenedor de orden cero

    El asimiento convierte un impulso de Dirac propuesta por el convertidor de digital a

    analgico en la

    instante de muestreo en un pulso rectangular de duracin Ts, que puede ser interpretado

    como

    la diferencia entre un paso y el mismo paso desplazado por Ts. A medida que el paso es la

    integrante del impulso de Dirac, se deduce que la funcin de transferencia de retencin de

    orden cero es

    Ecuacin 3.2.40 permite considerar el mantenedor de orden cero como un filtro que tiene

    un

    respuesta de frecuencia dada por

    A partir del estudio de esta respuesta en la regin de frecuencia 0/2 s f f

    (0/2 s

    ), se puede concluir:

    1. La ganancia ZOH a la frecuencia cero es igual a: GZOH (0) = Ts.

  • 2. El ZOH introduce una atenuacin a altas frecuencias. Para f = fs / 2 uno

    3. El ZOH introduce un retardo de fase que crece con la frecuencia. este

    desfase es de entre 0 (para f = 0) y - / 2 (para f = fs / 2) y debe ser

    aadido para el retardo de fase debido a H (s).

    La funcin global de tiempo continuo de transferencia ser

    a la que una funcin de transferencia de pulso se asocia.

    Las tablas que dan el equivalente en tiempo discreto de sistemas con una orden cero

    bodega estn disponibles. Algunas situaciones tpicas se resumen en la Tabla 2.4.

    El clculo de los modelos de la muestra zoh para funciones de transferencia de diferente

    pedidos se pueden hacer por medio de las funciones: cont2disc.sci (Scilab) o cont2disc.m

    (MATLAB ). El modelo de la muestra correspondiente (con ZOH) para un segundo orden

    sistema caracterizado por 0 y se puede conseguir con las funciones ft2pol.sci

    (Scilab) o ft2pol.m (MATLAB ) 4.

    2.3.7 Anlisis de los sistemas de primer orden con tiempo de retardo

    El modelo de tiempo continuo se caracteriza por la funcin de transferencia

    donde G es la ganancia, T es la constante de tiempo y es el retardo de tiempo puro. Si Ts

    es la

    el periodo de muestreo, entonces se expresa como

    donde L es el tiempo de retardo fraccional y d es el nmero entero de muestreo

  • perodos incluidos en la demora y que corresponde a un retraso en la muestra de d-

    perodos.

    De la Tabla 2.4, se deriva la funcin de transferencia de la correspondiente muestreados

    modelo (cuando se utiliza una retencin de orden cero)

    Con

    El efecto del tiempo de retardo fraccional se puede ver en la aparicin de la

    coeficiente de B2 en la funcin de transferencia. Para L = 0, se tiene b2 = 0. Por otro

    parte, si L = Ts, se deduce que b1 = 0, que corresponde a un retardo adicional de

    un perodo de muestreo. Para L B1. Para L = b1 0.5Ts b2. Por lo tanto, un retardo fraccional introduce un cero en el

    funcin de transferencia de impulsos. Para L> 0.5 Ts la relacin | b2 |> | b1 | sostiene y el

    cero es

    fuera del crculo unitario (cero inestable) 5.

    La configuracin de polos y ceros en el plano z para el sistema de primer orden con ZOH

    se representa en la figura 2.18. El trmino z-d-1 introduce d 1 polos en el origen

    --------------------------------------

    La presencia de ceros inestables no tiene ninguna influencia en la estabilidad del sistema,

    pero impone limitaciones a la

    el uso de tcnicas de diseo del controlador basado en el modelo de cancelacin de ceros

    por polos del controlador.

    Cuadro 2.4. Funciones de transferencia de pulsos para sistemas de tiempo continuo con

    mantenedor de orden cero

  • La figura 2.19 representa las respuestas a un escaln para un sistema caracterizado por un

    pulso funcin de transferencia

    Por (ganancia de estado estacionario = 1) para diferentes valores del parmetro

    A1:

    a1 = -0,2; -0,3; -0,4; -0,5; -0,6; -0,7; -0,8; -0,9

  • Figura 2.18. Configuracin de polos y ceros del sistema de datos muestreados descrito

    por la Ecuacin 02/03/44 (sistema de primer orden con ZOH)

    Sobre la base de estas respuestas, es fcil derivar la constante de tiempo de la

    sistema de tiempo continuo correspondiente, expresado en trminos del perodo de

    muestreo

    (la constante de tiempo es igual al tiempo requerido para alcanzar 63% del valor final).

    La presencia de un retardo de tiempo igual a un mltiplo entero de la toma de muestras

    perodo slo causa un cambio de hora en las respuestas dadas en la Figura 2.19.

    Figura 2.19. Respuestas de escaln de la b1 sistema de tiempo discreto z-1 / (1 + A1 z-1)

    para diferentes valores

    de a1 y [b1 / (1 + a1)] = 1

    La presencia de un retardo de tiempo fraccional tiene como consecuencia principal una

    modificacin en el comienzo de la respuesta de paso, si se compara con el caso sin

    tiempo de retardo fraccional.

    Ejercicio. Suponiendo que el modelo de sistema de datos muestreados es

    Cul es el modelo de tiempo continuo que corresponde ?

    Es interesante analizar la relacin entre la ubicacin del polo

  • ( ) Y el tiempo de aumento del sistema . Figura 2.19 indica que la respuesta

    del sistema se vuelve ms lento como el polo del sistema se mueve hacia el punto [ 1 ,

    j0 ] , y se hace ms rpido como el polo del sistema se acerca al origen ( z = 0 ) .

    Estas consideraciones pueden aplicarse a sistemas con varios polos .

    Z = -a1

    En el caso de sistemas con ms de uno de los polos , el trmino " polo dominante ( s ) " es

    introducido para caracterizar el polo ( o los polos ) que es ( son ) el ms cercano a la

    punto [ 1 , j0 ] , es decir, que es el polo ms lento ( s ) .

    La figura 2.20 muestra las respuestas de frecuencia ( magnitud y fase ) de la de primer

    orden

    sistema discreto dada por 2.3.45 para a1 = - 0,8 ; -0,5 ; -0,3 . Se puede observar

    que el ancho de banda aumenta cuando el polo del sistema se acerca el origen ( ms

    rpido

    polos) . Tambin podemos sealar que el retardo de fase en las 0.5fs frecuencia es - 180o

    debido a

    la presencia de la ZOH ( ver Seccin 2.3.6 ) .

    Figura 2.20. Respuestas de frecuencia (magnitud y fase) de el modelo b1-tiempo discreto

    z-1 /

  • (1 + A1 z-1) para diferentes valores de a1 y b1

    2.3.8 Anlisis de sistemas de segundo orden

    La funcin de transferencia de impulsos que corresponde a la discretizacin con una de

    orden cero bodega de un sistema de tiempo continuo de segundo orden normalizado,

    caracterizado por una 0 frecuencia natural y una de amortiguamiento , est dada por

    donde d representa el nmero entero de periodos de toma de muestras contenidas en el

    retraso.

    Los valores de a1, a2, b1, b2 como una funcin de 0 y para un retardo de tiempo puro

    = d Ts

    se dan en la Tabla 2.4.

    Es interesante expresar los polos del sistema discretizado como una funcin de

    0, y el periodo de muestreo Ts (o la frecuencia de muestreo fs).

    De la Tabla 2.4 las siguientes relaciones son fciles de encontrar (por

  • en consecuencia, simtrica con respecto al eje real. Se caracterizan por una

    mdulo y una fase dada por

    Figura 2.21. Las curvas de = constante y == SS T / 2 f / f 0 0 constantes en el plano z

    para

    un sistema de tiempo discreto de segundo orden

    Tenga en cuenta que la ubicacin de los postes depende de y 0Ts (o 0/s = f0/fs).

    Esto es:

    y en el plano z las siguientes curvas se pueden extraer:

    Debemos recordar (vase la Figura 1.9) que en el plano s (sistema continuo), el

    curvas = constante son lneas rectas que forman un ngulo = cos-1 con el eje real

    y las curvas de 0 = constante son crculos con 0 radio (estos dos conjuntos de curvas

  • son ortogonales). En el plano z las curvas z = f (0 Ts) para = constante son espirales

    logartmicas que son ortogonales en cada punto de la curva z: f () para 0 Ts = constante.

    La figura 2.21 muestra el conjunto de curvas z = f () para 0 Ts/2 = constante y z =

    f (0 Ts/2) para = constante correspondiente a diferentes valores de y 0Ts/2

    (f0/fs respectivamente).

    Tambin debemos recordar (vase la Seccin 2.3.2) que por

    los polos correspondientes en el plano z son

    confundidos (Z1, 2 = ), y que se encuentran en el segmento de la eje real (-

    1,0) que tiene un eje de abscisas coordenada igual a

    El dominio de estabilidad de la de segundo orden sistema de tiempo discreto en el plano

    de los parmetros a1 - a2 es un tringulo (ver Figura 2.22). Para los valores de A1, A2

    colocado en el interior del tringulo, las races del denominador de la funcin de

    transferencia de impulsos son dentro del crculo unitario

    Figura 2.22. Dominio de Estabilidad para el sistema de tiempo discreto de segundo

    orden

    2.4 Closed Loop sistemas discretos de tiempo

    2.4.1 sistema de circuito cerrado Funcin de Transferencia

    Figura 2.23 da el diagrama de un sistema de tiempo discreto de bucle cerrado. La

    transferencia

    funcin en el canal de alimentacin directa puede ser el resultado de la cascada de un

    Digital

    controlador y del grupo DAC + ZOH sistema + ADC-tiempo continuo +

  • (sistema discretizado).

    Figura 2.23. Bucle cerrado sistema de tiempo discreto

    Dejar

    ser la funcin de transferencia del canal de alimentacin hacia adelante con

    donde los coeficientes b1, b2 ... BD puede ser cero si hay un retardo de tiempo de d

    perodos de muestreo.

    En la misma forma que para los sistemas de tiempo continuo, la transferencia de bucle

    cerrado funcin de la conexin de la seal de referencia r (t) a la salida y (t) se escribe

    como

    El denominador de la funcin de transferencia en lazo cerrado, cuyas races corresponden

    a

    los polos del sistema en bucle cerrado, tambin se llama polinomio caracterstico de la

    cerrada

    bucle.

    2.4.2 El estado de equilibrio de error

    Se obtiene el estado estacionario para r (t) = constante haciendo z = 1, correspondiente a

    la frecuencia cero

    Se deduce de la ecuacin 2.4.3 que

  • donde HCL (1) es la ganancia en estado estacionario (ganancia esttica) del sistema de

    circuito cerrado. en

    a fin de obtener un error cero en estado estacionario entre la seal r de referencia y el

    salida Y, es necesario que

    HCl (1) = 1 (2.4.5)

    De la ecuacin 2.4.4 se derivan las siguientes condiciones:

    Con el fin de obtener un (1) = 0, A (z-1) debe tener la siguiente estructura:

    Donde

    y por lo tanto la funcin de transferencia global del canal de alimentacin hacia delante

    debe ser del tipo

    De este modo, se observa que el canal de alimentacin hacia delante debe contener un

    integrador digital en Para obtener un error de estado estacionario cero en lazo cerrado.

    Esta situacin es similar a el caso continuo (vase la Seccin 1.2.3) y el principio de

    modelo interno es tambin aplicable a los sistemas de tiempo discreto.

    2.4.3 Rechazo de perturbaciones

    En la presencia de una perturbacin p (t) que acta sobre la salida controlada (vase la

    figura 2.23), el objetivo es reducir su efecto tanto como sea posible, al menos en algunos

    regiones de frecuencia.

  • En particular, el efecto de la perturbacin constante (un paso), a menudo llamado "la

    carga perturbacin ", se espera que sea cero en el estado estacionario (t , z 1).

    La funcin de transferencia de impulsos, que une la perturbacin a la salida, es

    Como para el caso de tiempo continuo, Syp (z-1) se llama "funcin de sensibilidad de

    salida".

    Se obtiene el estado de equilibrio para z = 1. Resulta que

    ( donde p es el valor estacionario de la perturbacin ) .

    Con el fin de lograr un rechazo de perturbaciones de estado estacionario perfecto , es

    necesario que Syp ( 1 ) = 0 y por lo tanto Un ( 1 ) = 0 . Esto implica que A ( z - 1 ) debe tener

    la forma dada en la Ecuacin 2.4.7 , correspondiente a la insercin en el integrador de

    alimentacin directa canal .

    Del mismo modo , para el caso continuo , un rechazo de perturbaciones de estado

    estacionario perfecta implica que el canal de alimentacin hacia delante debe contener el

    modelo interno de la perturbacin ( la funcin de transferencia que produce p (t ) de un

    impulso de Dirac ) .

    Como en el caso de tiempo continuo , se debe evitar que una amplificacin de la efecto de

    perturbacin se produce en ciertas regiones de frecuencia . Esta es la razn por la cual |

    Syp (e- jw ) | debe ser inferior a un valor especificado para todas las frecuencias f = /2

    fs / 2 .

    Un valor tpico utilizado como lmite superior es | Syp ( e - jw ) | 2 0 fs Adems ,

    si se sabe que una perturbacin tiene su energa concentrada en una particular, regin de

    frecuencia , | Syp ( ej ) | puede ser obligado a introducir un deseado atenuacin en esta

    regin de frecuencia .

    2.5 Principios bsicos de los mtodos modernos para el Diseo de digital Controladores

    2.5.1 Estructura de los Controladores Digitales

    Figura 2.24 da el diagrama de un control analgico de tipo PI. El controlador

    contiene dos canales (un canal proporcional y un canal integral) ese proceso

  • el error entre la seal de referencia y la salida.

    En el caso de los sistemas de datos muestreados el controlador es digital, y el nico las

    operaciones que puede realizar son adiciones, multiplicaciones, almacenamiento y

    desplazamiento. Todo el algoritmos de control digitales tienen la misma estructura. Slo

    "la memoria" de la controlador es diferente, es decir el nmero de coeficientes.

    Figura 2.25 ilustra la estructura de clculo del control u (t) aplicado a la planta en el

    instante t por el controlador digital. Este control es un promedio ponderado de la

    produccin medida en los instantes t, t-1, ...., t-nA .., de los valores de los controles

    previos de instantes t-1, t-1 ..., t-nb ... y de la seal de referencia en los instantes t, t-1, ...,

    los pesos siendo los coeficientes del controlador.

    Este tipo de ley de control, incluso se puede conseguir por la discretizacin de un IP o

    Controlador analgico PID. Vamos a considerar, como ejemplo, la discretizacin de un IP

    controlador. La ley de control para un controlador PI analgico est dada por

  • Para la discretizacin del regulador PI, P (el operador de diferenciacin) es

    aproximada por (1 - q-1) / Ts (vase la Seccin 2.3.1, la Ecuacin 2.3.6). Esto produce

    y la ecuacin del regulador PI se convierte

    Multiplicando ambos lados de la ecuacin 2.5.4 por (1 - q-1), la ecuacin de la PI digitales

    controlador se escribe como

    Donde

    lo que conduce a el diagrama representado en la Figura 2.26.

    Teniendo en cuenta la expresin de S (q-1), la seal de control u (t) se calcula

  • sobre la base de la ecuacin 2.5.5, por medio de la frmula

    u (t) = u (t-1) - R (q-1) y (t) + T (q-1) r (t)

    = U (t-1) - r0 y (t) - r1 y (t-1) + r0 r (t) + r1 r (t-1) (2.5.8)

    que se corresponde con el diagrama dado en la Figura 2.26.

    2.5.2 Controlador de Canonical digital Estructura

    Dividiendo por S (q-1) a ambos lados de la ecuacin 2.5.5, se obtiene

    de la que deriva la estructura cannica controlador digital presenta en la Figura

    2.27 (tres ramificada estructura RST).

    En general, T (q-1) en la Figura 2.27 es diferente de R (q-1).

    Figura 2.27. Controlador digital estructura cannica

    Considerar

    como la funcin de transferencia de impulsos de la cascada de DAC + + ZOH de tiempo

    continuo + sistema de ADC, a continuacin, la funcin de transferencia del sistema de

    bucle abierto se escribe como

    y la funcin de transferencia de bucle cerrado entre la seal de referencia r (t) y la salida y

    (t), utilizando una estructura cannica controlador digital, tiene la expresin

  • Donde

    es el denominador de la funcin de transferencia de bucle cerrado que define el bucle

    cerrado polos del sistema. Tenga en cuenta que T (q-1) introduce un grado ms de

    libertad, el cual permite establecer una distincin entre las actuaciones de seguimiento y

    regulacin especificaciones.

    Tambin observacin de que r (t ) es a menudo sustituida por una " trayectoria deseada "

    y * ( t ) , obtenido ya sea mediante el filtrado de la seal de referencia r ( t ) con el llamado

    filtro de conformacin o el seguimiento de modelo de referencia , o guardar en la

    memoria de la computadora digital de la secuencia de los valores de trayectoria deseada .

    El controlador digital representada en la figura 2.27 tambin se define como "digitales RST

    controlador " . Est a dos grados de libertad del controlador , lo que permite imponer

    diferentes especificaciones en trminos de dinmica deseada para el seguimiento y la

    regulacin problemas .

    El objetivo del diseo del controlador digital es encontrar la R polinomios , S y T en Para

    obtener la funcin de transferencia en lazo cerrado , con respecto a la referencia y seales

    de perturbacin , satisfaciendo las actuaciones deseadas .

    Esto explica por qu las actuaciones de lazo cerrado deseados se expresarn , (si no, van a

    ser convertidos ) en trminos de polos a lazo cerrado deseados , y, finalmente, en

    trminos de ceros que desee ( de esta manera la funcin de transferencia en lazo cerrado

    ser completamente impuesta ) .

    En presencia de perturbaciones ( vase la Figura 2.28 ), hay otros cuatro importantes

    transferir funciones a tener en cuenta , en relacin la perturbacin a la salida y la entrada

    de la planta .

    La funcin de transferencia entre la perturbacin p ( t) y la salida y (t ) (salida funcin de

    sensibilidad ) est dada por

  • Figura 2.28. Sistema de control digital en presencia de perturbaciones y ruido

    Esta funcin permite la caracterizacin de las prestaciones del sistema de la punto de vista

    de las perturbaciones rechazo. Adems, ciertos componentes de S (z-1) puede ser pre-

    especificada con el fin de obtener propiedades satisfactorias de rechazo de

    perturbaciones.

    Por lo tanto, si se requiere un rechazo de perturbaciones perfecta a una frecuencia

    specificada, S (Z-1) debe incluir un cero correspondiente a esta frecuencia. En particular, si

    un perfecto carga de rechazo de perturbaciones en el estado estacionario (es decir, la

    frecuencia cero) se desea, Syp (z-1) debe incluir un trmino (1 - z-1) en el numerador, que

    conduce a un valor de la ganancia igual a cero para z = 1. Esto es coherente con el

    resultado dado en la Seccin 2.4.3., porque un cero de Syp (z-1) corresponde a un poste

    del sistema de bucle abierto.

    La funcin de transferencia entre la perturbacin p (t) y la entrada de la planta u (t)

    (funcin de sensibilidad de entrada) est dada por

    El anlisis de esta funcin permite evaluar la influencia de una perturbacin

    en la entrada a la planta, y para especificar un factor del polinomio R (z-1) si el

    controlador no debe reaccionar a las perturbaciones concentrados en una frecuencia

    particular regin.

    Cuando se aade ruido a la salida medida (ver Figura 2.28), importante la informacin

    puede ser recuperada por la funcin de transferencia que relaciona el ruido b (t) a la salida

    y la planta (t) (funcin de sensibilidad al ruido de salida).

  • A medida que la energa de ruido se concentra a menudo en alta frecuencia, la atencin

    debe ser pagado con el fin de obtener una baja ganancia de la funcin de transferencia

    (jw) S YB e-en este regin de frecuencia.

    Para T = R, la funcin de sensibilidad entre r ey (tambin llamada complementaria funcin

    de sensibilidad) se define como

    Note que

    lo que implica una interdependencia entre estas funciones de sensibilidad. Observe que

    Sub (z-1), la funcin de transferencia entre el ruido y la entrada a la planta, es igual a Sup

    (z-1).

    Otra importante funcin de transferencia describe la influencia en la salida de un

    perturbacin v (t) en la entrada a la planta. Esta funcin de sensibilidad disturbanceoutput

    de entrada funcin de sensibilidad) est dada por

    La importancia de esta funcin de sensibilidad es que mejora la posible simplificacin de

    los polos de plantas inestables por los ceros de R (z-1). Con el fin de aclarar este punto,

    vamos a considerar la hiptesis de R (z-1) = A (z-1) (planta polos de compensacin por los

    ceros del controlador) y supongamos que la planta que se desea controlar es inestable (A

    (z-1) tiene races fuera del crculo unitario). En este caso

  • Tenga en cuenta que Syp, Sup, Syb son funciones de transferencia estables si S (z-1) se

    elige con el fin de tiene S (z-1) + B (z-1) estable, que es

    mientras que la funcin de sensibilidad Syv (z-1) es inestable. Esta observacin se obtiene

    con la siguiente declaracin general: El sistema de retroalimentacin se presenta en la

    Figura 2.28 es asintticamente estable si y slo si todas las cuatro funciones de

    sensibilidad Syp, Sup, SYB (o SYR) y SyV (describiendo las relaciones entre perturbaciones

    en una mano y la planta de entrada o de salida en el otra parte) son asintticamente

    estable.

    El conjunto de cinco funciones HOL de transferencia (Z-1), Syp (z-1), Sup. (z-1), Syb (z-1) (o

    Syr (z-1)) y Syv (z-1) tambin juegan un papel importante en el sistema de bucle cerrado

    anlisis de robustez.

    2.5.3 Sistema de control con controlador digital

    PI En esta seccin se ilustra el diseo de controladores PI digitales. La transferencia

    (funcin) del operador de la planta discretizado con mantenedor de orden cero viene

    dada por

    En aras de la uniformidad de la notacin, a menudo utilizaremos, en el caso de la

    constante coeficientes, q-1 notacin tanto para el operador de retardo y la variable

    compleja z-1.

    La notacin z-1 se emplear especialmente cuando una interpretacin de la frecuencia Se

    necesita de dominio (en este caso z = e jTs).

    El controlador PI digital se caracteriza por los polinomios (vanse las ecuaciones 2.5.6 y

    2.5.7):

  • La funcin de transferencia del sistema de bucle cerrado (con respecto a la referencia r (t))

    en el forma general viene dada por la Ecuacin 2.5.12.

    El polinomio P caracterstica (q-1), cuyas races son el bucle cerrado deseado polos del

    sistema, define esencialmente las actuaciones. Como regla general, se elige como un

    polinomio de segundo orden correspondiente a la discretizacin de una de segundo orden

    sistema de tiempo continuo con una frecuencia natural 0 especificado y mortiguamiento

    (0 y , por ejemplo, y puede ser obtenido sobre la base de los diagramas de los Las

    figuras 1,10 o 1,11) a partir de las especificaciones en el dominio del tiempo. la

    coeficientes correspondientes al polinomio P (q-1) se obtienen ya sea por tablas de

    conversin mencionados en la Tabla 2.4, o por funciones Scilab y MATLAB

    dada en la seccin 2.3. En este caso, el perodo de muestreo Ts, 0 frecuencia natural y

    amortiguacin debe ser especificado.

    Recordamos que la relacin entre 0 y Ts debe ser respetado (vase la seccin 2.2.2,

    Ecuacin 2.2.7):

    Para una planta que tiene un operador equivalente de tiempo discreto de transferencia

    (funcin) dado por Ecuacin 2.5.19, y el uso de un controlador PI digital, los polos del

    sistema en lazo cerrado estn dadas por la Ecuacin 2.5.13, y son

    Al reordenar los trminos en la Ecuacin 2.5.23 en orden ascendente q-1 potencias,

    obtenemos

    Para la ecuacin polinmica 2.5.24 a ser verificada, es necesario que el coeficientes de los

    mismos q-1 potencias deben ser igual en ambos lados. As, la se obtiene siguiente sistema:

    lo que da por r0 y r1 los resultados

  • Uno puede ver que los parmetros del controlador dependen de la actuacin

    especificaciones (los polos de lazo cerrado deseados) y los parmetros del modelo de la

    planta. Mediante el uso de la Ecuacin 2.5.7, uno puede obtener los parmetros de la de

    tiempo continuo Regulador PI:

    2.6 Anlisis de los Closed Loop muestreados-Data Systems en el dominio de la

    Frecuencia

    2.6.1 Sistemas de Circuito Cerrado de Estabilidad

    En el caso de sistemas de tiempo continuo, se demostr en el Captulo 1, Seccin 1.2.5,

    cmo utilizar la representacin de funcin de transferencia en lazo abierto en el plano

    complejo (el Nyquist) con el fin de analizar la estabilidad del sistema en lazo cerrado y el

    robustez con respecto a las variaciones de parmetros (o incertidumbres sobre la valor de

    los parmetros). El mismo enfoque puede ser aplicado para el caso de de datos

    muestreados sistemas. El diagrama de Nyquist para sistemas de datos muestreados se

    puede dibujar utilizando el funciones Nyquist-ol.sci (Scilab) y Nyquist-ol.m (MATLAB ) 6.

    La figura 2.29 muestra el diagrama de Nyquist de un sistema de datos muestreados en

    lazo abierto incluyendo una planta (representada por la funcin de transferencia

    correspondiente H (z-1) = B (z-1) / A (z-1)) y un controlador RST.

    En este caso, la funcin de transferencia en bucle abierto est dada por

    El vector que une el origen del plano a un punto que pertenece a la traza de Nyquist de la

    funcin de transferencia representa HOL (e-jw) para una frecuencia en radianes

    normalizada especificada = s = 2 f / fs. El margen que se considera de la variacin

    de la radian naturales es la frecuencia entre 0 y (correspondientes a una frecuencia no

    normalizada variacin entre 0 y 0,5 FS).

  • Figura 2.29. Nyquist para una funcin de transferencia del sistema de datos muestreados

    y el punto crtico

    En este diagrama el punto de [-1, j0] es el "punto crtico". Como muestra la Figura 2.29

    con claridad shows, el vector que une el punto [- 1, j0] para el diagrama de Nyquist de HOL

    (e-jw) tiene la expresin

    Este vector representa la inversa de la funcin de sensibilidad de salida Syp (z-1) (ver

    Ecuacin 2.5.14) y los ceros de S-1yp (z-1) se corresponden con el sistema de bucle

    cerrado polos (vase la Ecuacin 2.5.13). Con el fin de tener un bucle cerrado

    asintticamente estable sistema, es necesario que todos los ceros de S-1yp (z-1) (que son

    los polos de Syp (z-1)) estar dentro del crculo unitario (| z |

  • no rodea el punto crtico (si A (z-1) y S (z-1) tienen sus races en el interior del crculo

    unitario).

    En el caso de un sistema de bucle abierto inestable, ya sea si A (z-1) tiene algunos polo

    fuera del crculo unitario (planta inestable), o si el controlador computarizada es inestable

    en lazo abierto (S (z-1) tiene algo de polo fuera del crculo unitario), el criterio de

    estabilidad es: El diagrama de Nyquist de HOL (z-1) atravesada en el sentido de las

    frecuencias crecientes (de = 0 a = ), deja el punto crtico [-1, j0] a la izquierda y el

    nmero de cercos contra las agujas del reloj del punto crtico debe ser igual al nmero

    polos de la inestabilidad de la System7 lazo abierto.

    Tenga en cuenta que el lugar geomtrico de Nyquist entre 0,5 y fs fs es la simtrica de la

    De Nyquist locus entre 0 y 0,5 FS con respecto al eje real. La frmula general criterio de

    Nyquist que da la cantidad de rodeos alrededor del punto crtico es

    Donde es el nmero de polos inestables de bucle cerrado y es el nmero de polos

    inestables en lazo abierto. Los valores positivos de N corresponden a las agujas del reloj

    cercos alrededor del punto crtico. Con el fin de que el sistema de circuito cerrado sea

    asintticamente estable es necesario que. Figura 2.30 muestra dos interesante loci de

    Nyquist.

    yo CL P i OL P yo N =-POL Si la planta es estable en bucle abierto y el controlador se calcula

    sobre la base de Ecuacin 2.6.3 para obtener una estable deseada cerrado polinomio

    bucle P (z-1) (esto significa que el sistema de circuito cerrado nominal es demasiado

    estable), entonces, si un diagrama de Nyquist de la se obtiene la forma de la figura 2.30a,

    se concluye que el controlador es inestable en lazo abierto. Esta situacin debe ser

    generalmente avoided8, y esto se puede lograr por la reduccin de las prestaciones

    dinmicas lazo cerrado deseados (modificando P (z-1)).

    7 El criterio se mantiene incluso si se produce una cancelacin inestable polo-cero. La

    cantidad de rodeos

    debe ser igual al nmero de polos inestables sin tener en cuenta las posibles

    cancelaciones.

    8 Nota que existen algunos patolgica funciones de transferencia B (z-1) / A (z-1) con

    polos inestables y / o

  • ceros que pueden ser slo estabilizados por los controladores que son inestables en lazo

    abierto.

    Figura 2.30 . Diagramas de Nyquist : a) sistema inestable en lazo abierto , pero estables en

    lazo cerrado ;

    b ) sistema estable a lazo abierto, pero inestable en lazo cerrado

    2.6.2 Sistema de lazo cerrado Robustez

    Al disear un sistema de control , hay que tener en cuenta el modelo de la planta

    incertidumbres ( incertidumbres de los valores de los parmetros o de la frecuencia

    caractersticas , variaciones de los parmetros , etc.) Por lo tanto, es extremadamente

    importante para evaluar si la estabilidad del bucle cerrado se garantiza en presencia de las

    incertidumbres del modelo de la planta. El circuito cerrado se denomina "robusto" si el

    estabilidad est garantizada por un determinado conjunto de incertidumbres del modelo .

    La robustez del bucle cerrado est relacionada con la distancia mnima entre el Nyquist

    para el modelo de la planta nominal y el " punto crtico ", as como a la caractersticas de

    frecuencia del mdulo de las funciones de sensibilidad .

    Los siguientes elementos ayudan a evaluar hasta qu punto es el punto crtico [-1, j0 ]

    (vase

    Figura 2.31 ) :

    El margen de ganancia ;

    El margen de fase ;

    El margen de demora ;

    El margen de mdulo .

  • Margen de ganancia El margen de ganancia ( Delta G ) es igual a la inversa de la ganancia

    para la frecuencia correspondiente a un desplazamiento de fase = -180 ( vase la

    figura 2.31) .

    ( Jw )HOL correo El margen de ganancia es a menudo expresada en dB. En otras palabras ,

    el margen de ganancia da el incremento mximo admisible de la ganancia de lazo abierto

    para la frecuencia

    Figura 2.31. Mrgenes de ganancia, fase y mdulo

    Los valores tpicos para un buen margen de ganancia son

    G 2 (6 dB)[min: 1.6(4 dB)]

    Si el diagrama de Nyquist cruza el eje real en varias frecuencias i caracterizado por un

    retardo de fase

    y las ganancias correspondientes del sistema de bucle abierto se denotan por

    entonces el margen de ganancia se define por 9

    Margen de Fase

  • El margen de fase () es la fase adicional que hay que aadir en el cruce frecuencia, para

    los que la ganancia del sistema de bucle abierto es igual a 1, con el fin de obtener una

    desplazamiento de fase total del = - 180 (vase la figura 2.31).

    en el que cr se llama frecuencia de cruce y que corresponde a la frecuencia de que el

    diagrama de Nyquist cruza el crculo unitario (vase la Figura 2.31).

    9 Tenga en cuenta que si el diagrama de Nyquist cruza el eje real para valores inferiores a -

    1 y abandona el punto crtico para la izquierda, hay un valor mnimo del margen de

    ganancia en las que el sistema se vuelve inestable.

    Los valores tpicos para un buen margen de fase son Si el diagrama de

    Nyquist cruza el crculo unitario a varias frecuencias caracterizado por los mrgenes de

    fase correspondientes:

    a continuacin, el margen de fase del sistema se define como

    Delay Margen

    Un tiempo de retardo introduce un desplazamiento de fase proporcional a la


Análisis de Sistemas de Control no Lineal€¦ · Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control Control Análisis de Sistemas de Control no Lineal Sistemas no lineales Función

Análisis de Sistemas de Control no Lineal€¦ · Tema II: Análisis y Diseño de Sistemas de Control Control Análisis de Sistemas de Control no Lineal Sistemas no lineales Función

HISTORIA DE LA COMPUTADORA.pdf

HISTORIA DE LA COMPUTADORA.pdf

sistemas de control SISTEMAS DE CONTROL de volumen DE ...

sistemas de control SISTEMAS DE CONTROL de volumen DE ...

Temas de diseño en Interacción Humano-Computadora.pdf

Temas de diseño en Interacción Humano-Computadora.pdf

SISTEMA EXPERTO PARA EL DIAGNOSTICO DE FALLAS DE COMPUTADORA.pdf

SISTEMA EXPERTO PARA EL DIAGNOSTICO DE FALLAS DE COMPUTADORA.pdf

[A5]Estructura fisica de una computadora.pdf

[A5]Estructura fisica de una computadora.pdf

control sistemas

control sistemas

PARTES DE UNA COMPUTADORA.pdf

PARTES DE UNA COMPUTADORA.pdf

Control de sistemas de control

Control de sistemas de control

Sistemas de Control

Sistemas de Control

Estructura de una Computadora.pdf

Estructura de una Computadora.pdf

Sistemas control

Sistemas control

Manufactura Integrada por Computadora.pdf

Manufactura Integrada por Computadora.pdf

Control Asistido por computadora.pdf

Control Asistido por computadora.pdf

Sistemas y Control

Sistemas y Control

Seguridad en Sistemas de Control Industrial (SCADA)Seguridad en Sistemas de Control Industrial (SCADA) Sistemas utilizados en el control de infraestructuras críticas, sistemas o servicios

Seguridad en Sistemas de Control Industrial (SCADA)Seguridad en Sistemas de Control Industrial (SCADA) Sistemas utilizados en el control de infraestructuras críticas, sistemas o servicios