Sistemas con par distribuidos corregido[1]materias.fi.uba.ar/6510/Clase 07 - Sistemas_con_PD...
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Para línea bifilar o una fase de trifilar traspuesta
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂
⋅⋅+⋅⋅=−
∂∂
⋅⋅+⋅⋅=−
tudxcudxgdi
tidxlidxrdu
x dx
cdx
+
u
-
+
u+du
-gdx
rdx ldxi i+di
u,i son funciones de (x,t)
Para variación armónica
( )
( )
.ω
ω
ω
j
UcjgdxId
IljrdxUd
con afuera sacamos las yatiempo del las porque totales derivadas
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅+=−
⋅+=−
&&
&&
( ) ( )
armónicos eléctricos campos asimilar
22
2
UUcjgljrdxUd &&&&
⋅=⋅+⋅+=→ γωω
Variación Armónica
( ) ( )
( ) ( )dx
A
ddd
id
xx
xteUtuU
UUU
cjgljrj
eAeAU
Θ+−⋅⋅⋅=⇒
+=
+⋅+=+=
⋅+⋅=
−
−
βω
ωωβαγ
α
γγ
cos2
[1/m]n propagació de constante la Es
1
21
321
&&&
&
&&& &&
La solución es:
Variación Armónica
( )
( ) ( )
[ ]
Ude al distinto signocon
impulso de o onda de tica,caracterís Impedancia:
empleandoy
que Sabiendo
21
21
21
x
C
x
C
C
C
xx
xx
eZAe
ZAI
Z
Zcjgljrljr
eljr
Aeljr
AI
IljrdxUd
eAeAU
γγ
γγ
γγ
ωω
γω
ωγ
ωγ
ω
&&
&&
&&
&
&
&
&&
&
&&
&&&&&
&&
&&&
⋅−⋅=→
Ω=++
=+
⋅+
⋅−⋅
+−⋅
−=→
⋅+=−
⋅+⋅=
−
−
−
Propagación de ondasSe denomina velocidad de fase a aquella con la que se propaga la fase de una onda.
fvTv =⋅=
=⋅
λ
πλβ 2Se denomina longitud de onda a la distancia entre 2 puntos consecutivos de una línea en que la onda tiene igual fase
( )
βω
βω
βω
βωβω
==
=⋅=
=Θ+⋅−⋅
=Θ+⋅−⋅
=
ctefase
d
d
dtdxv
dtdx
xt
ctext
v
0
0dtd
:lados ambos a derivando
Ud
Propagación de ondas para línea bifilar sin pérdidas
km6000fv
:Hz50a;seg/km000.300v
1cl
1v
pérdidassin clrDln
c;rDlnl
00
00
==
≅
⋅=
⋅=
⋅⋅=
⋅==
λ
εμ
ωβ
εππμ
Propagación de ondas
Todas en el mismo punto
Ci
i
d
d
id
ZIU
IU
III
&&
&
&
&
&&&
==
−=+
Ud
-
+
Ui
-
x
Id Ii
( ) ( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅+⋅−=
⋅⋅−⋅=∴
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅−=
⋅+=
→⎪⎩
⎪⎨⎧
−=⋅
+=→
=
xIxshZUI
xshIZxUUy
IZUA
IZUA
AAIZ
AAU
C
C
C
C
C
γγ
γγ
&&&&
&&
&&&&&&
&&
&&&&
&&&&
&&&&
&&&
cosh
cosh:A A doreemplazan
2
2
0con x(emisor),1puntoeldesdemagnitudes las Todas
11
11
21
112
111
211
211
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2cosh
;2
coshcosh
1
1
xγxγ
xγxγCC
eexγ
eexγsenh
IZ
Uxxγsenhxsenhxγ
IZ
U
&&
&&
&
&
&&
&
&&
&&
&&
&
−
−
+=
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⋅⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⋅
:que Recordar
:enteMatricialm
γγ
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅−=
⋅+=
→
−==
⋅−⋅=
+==
⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅=
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅=
⋅=
−=
⋅−⋅
⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅−⋅⋅
⋅⋅−⋅−
2
2
:0con
:y todopara
:0con
L) (longitudreceptor 2, punto el desde scoordenada lasmedir :dposibilida Otra
224
223
432
43
432
4321
IZUA
IZUA
ZA
ZAIy
eZAe
ZAI
AAUy
eAeAeeAeeAU
eeeeee
yLx
C
C
CC
y
C
y
C
yyyLyL
yLx
yLx
&&&&
&&&&
&&&
&&&
&&&
&&&&&
&&
&&&&&&
&&&
&&&
γγ
γγγγγγ
γγγ
γγγ
corresponde a avance en sentido negativo de y (onda directa)
Extremo emisor
1
Extremo receptor
2
Los signos de las matrices pueden entenderse a partir de U, I
( ) ( )( ) ( ) ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⋅⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⋅ 2C
2
C IZ
Uycoshyγsenhysenhyγcosh
IZU
:enteMatricialm
&&
&
&&
&&
&&
&
γγ
x
I1 I2
y
U1
x
I1 I2
y
U2
U
I
Par.Distribuidos - Estacionario
LINEAS LARGAS Y CORTAS (ref. Elgerd)Si la línea no tuviera pérdidas (en el caso real son comparativamente insignificantes)
[ ]
( ) ( ) pura imaginaria
resistiva puramente
,
,
cljcjgljr
Zcl
cjgljr
Z CC
⋅⋅=+⋅+=
Ω==++
=
ωωωγ
ωω
&
&
Si quiere representarse una línea mediante un circuito equivalente al de la figura que cumpla con las relaciones entre V(L);I(L) y V(0);I(0) puede concluirse mediante inspección y comparación que la impedancia serie y las admitancias paralelo pueden expresarse como (todos elementos reactivos):
πλ
ββπλ 2xx2
⋅=⇒=
ZS
Y1P Y2P
+
V (0)
-
+
V (x)
-⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅=
πλ
πλ
xlcjYY
xsencljZ
PP
S
tan
2
21
inductivo y Ycapacitivo es Z 2
xSi
capacitivo y Yinductivo es Z )2
que cortas más (líneas 2
xSi
PS
PS
→>
→<
λ
λλ
Para 50 Hz la long. de onda λ es aprox. 6000 kmEn transmisión casi nunca se excede λ/8(∼750 km)
Si la línea es lo suficientemente corta, x/λ es tan chico que puede ser representada por parámetros concentrados:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⋅≈⋅⋅⋅≈⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅==
⋅⋅≈⋅⋅⋅≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
⋅≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
2tan
22
tan
22
21xcjx
lcjx
lcjYY
xljxcljxsen
cljZ
xx
xxsen
PP
S
ωπλ
πλ
ωπλ
πλ
πλ
πλ
πλ
πλ
Para una línea de 200 km, x/λ =1/30 y aceptando la aproximación anterior se tendría un error del 1%.
Por lo tanto se podrían aceptar los parámetros concentrados hasta una longitud de la línea de 200 km y hablar de líneas “cortas”
Para x/λ = 0,25 (1500 km a 50 Hz) las reactancias serie y paralelas son iguales. Esto resulta en resonancia, que puede resultar inaceptable desde el punto de vista de los perfiles de tensión (línea “demasiado larga”).
( )
( )
( )( ) ( ) ( )
largas líneasen tensión de perfil elcon esdificultad las muestra
fase de kV3
10607.2
3220
07.2007.21
1
0
00166.06.30tan356
12tan
96.3112.613562;17.058701000
356
1087.550
1122)(?0P si kV,220 Upara falta hace U¿Que
.10577.9;10212.1
;0;1074 r ;km 1000 de Trifásica Línea :Ejemplo
1
2
21
6
221
126
-6
===∴=+
=
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
Ω=⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛===
Ω==
⋅=⋅⋅
=⋅⋅
=⋅⋅
==
==
⋅=⋅=
≈Ω⋅=
−−
xVV
YZY
VxV
fasemhojjx
lcjYY
fasejsenjxsencljZx
faseclZ
mclclfcl
abiertalineam
FcmHl
gm
PS
P
PP
S
C
πλ
πλλ
ωπ
βπλ
Conceptos particulares –Línea Adaptada
ZC Z1 2
( ) ( )
( ) ( )[ ]
línea la de largo lo a puntocualquier desde carga lamirar en diferenciahay No
UUcoshUU
reflejada) ondahay no ,02
A de ec. la (de U :aquiy U
coshUU
adaptada. está línea la que dice se Z Z Si
2
22
224
22
22
22
C
∴
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⋅=
⋅=⋅+⋅=∴
=−
==
⋅⋅⋅+⋅=
=
⋅
⋅
Cy
y
C
C
C
ZIeII
eysenhy
IZUalresultarZ
IZ
I
ysenhZIy
&
&
&&
&&&&&
&&&
&
&&
&
&&
&&&&&&
&&
&
&
γ
γγγ
γγ
Conceptos particulares – Línea Adaptada
[ ]
[ ]dBN
NeperNL
e
eZ
U
eZ
UeeZ
U
Z
UUIUS
nep
L
y
C
y
C
yy
CC
=
=⋅−=
=
==
⋅=
−=+=
⋅=⋅⋅=⋅=⋅=
⋅−
⋅−
⋅⋅⋅
1
2
1
2
2
1
2
2*
21
*
2*
22
*
22
*
**
PP log 10
ó 2PPln
adaptada. línea la paraón transmisila de orendimient ,PP
:es activa potencia de L)y x 0(x saliday entrada entre variaciónLalínea. la de largo lo a puntoun en transmitese que potencia laen
tensiónde la a dobleón amotiguaci unahay ,Stambién
jyj
adaptada línea para*
α
βαγβαγ
α
α
αγγ
&
&
&&& &
Potencia Natural
El módulo de la tensión no cambia, sí la fase.Si P es distinta a Pn, la tensión sube o baja.Con línea en vacío, como ZC es capacitiva en gral, U2 sube y la corriente adelanta a la tensión.Si la pongo en corto baja, tiende a 0.En la práctica para líneas cortas, se transmite P>Pn aunque caiga la tensión porque si no es antieconómico.Para P=Pn se equilibra el reactivo capacitivo e inductivo.Para líneas largas P<Pn por estabilidad, salvo que se use compensación serie
I(0) V(0)
I(x)
V(x)
β(x)ββαγβγ jjeUeUU xjx =+=⋅=⋅= −− &&&& ;
con Z cargada línea la para pérdidas,Sin
11
C
Compensación (ref. Elgerd 6-6-8)La línea adaptada sin pérdidas da el perfil ideal de tensiones pero no se consigue en la práctica.
Ante grandes cargas la tensión cae y con baja carga la corriente capacitiva produce caída de signo cambiado en la reactancia inductiva, lo que produce la suba de tensión.
A su vez los generadores tiene sólo una capacidad limitada de absorber reactivo.
Se soluciona con capacitores serie (se insertan con cargas grandes) y reactores shunt (en los extremos para condiciones de vacío o similares).
Variación con la frecuencia
[ CCZj
cg
jlr
cl
cjgljr
yz ϕ
ω
ω
ωω
=+
+⋅=
⋅+⋅+
==&
&&CZ
:son línea la de básicas constantes las no), o (adaptada líneacualquier Para
Casos Típicos – Línea Aérea
{
Ω≈⋅=⋅==
=⋅
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⋅=
=
≅
300ln602
lnZ
:pérdidas doDesprecian vacioelen luz la de velocidadla es c donde
c1
ln
2
ln2
120377
0
0C
000
0
C
C
C
C
RDR
D
cl
v
RDc
RDl
πεμ
εμεπ
πμ
π
Casos Típicos –Cable Monofásico Coaxil
{
)(75ln602
lnZ
:pérdidas doDesprecian vainala de interno radio vaina;la de externo radio
vacioelen luz la de velocidadla es c donde
;2
4 para ; 1
ln
2
ln2
C
1
típicovalorRRR
R
cl
RR
cvcv
RRc
RRl
i
e
r
ri
e
ie
rrr
i
e
i
e
Ω⇒⋅⋅=⋅==
==
=⇒=⋅
=⋅
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⋅=
=
εμ
πεμ
εεμεμ
εππμ
Cuadripolo y circuito equivalente –Otro punto de vista
+
U1
-
+
U2
-
I1 I2
( ) ( )( ) ( )
( )
son) lo pasivos los (todos bilateral sistema ser por 1BC-ADadmitancia dimensión Cimpedancia dimensión B
simétrica ser por DA
===
⋅==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅
⋅⋅⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
L
IU
DCBA
IU
LZ
LsenhLsenhZL
IU
C
C
γ
γγγγ
&
&
&
&&
&&
&
&
&&
&&&&
&
&
cosh
cosh
cosh
2
2
2
2
1
1
Cuadripolo equivalente T
+
U1
-
+
U2
-
I1 I2
YT
ZT/2 ZT/2
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅+
⋅+
⋅+
=DCBA
YZY
YZZ
YZ
TTT
TTT
TT
&&
&&
21
421
2
TK
:T cuadripolo del ciaTransferen de Matriz La
Cuadripolo equivalente Π
+
U1
-
+
U2
-
I1 I2Zπ
Yπ /2 Yπ /2
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅+
⋅+
⋅+
=
Π
ΠΠΠΠΠ
ΠΠΠ
Π DCBA
YZZYY
ZYZ
&&
&&
21
4
21
2K
: cuadripolo del ciaTransferen de Matriz La
Cuadripolo
( ) ( )[ ]( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]( )LsenhZL
BAY
ZLsenhCY
LsenhZBZZLsenhL
CAZ
CCT
CCT
⋅⋅−⋅
=−
=⋅
==
⋅⋅==⋅⋅
−⋅=
−=
Π
Π
γγγ
γγ
γ
&
&
&
&&
&
&&&
&&&&&
&
&
&&
1cosh212
1cosh212
( )( )( )( )
( )[ ]( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+⋅
+⋅
+≈⋅
⋅=
+⋅
+⋅
−≈⋅⋅⋅−⋅⋅
=
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
Π
Π ...1206
1
...12012
11cosh2
YZY
Z
:términos1ºy tomandoserieen ndoDesarrolla
42
2
42
1
1
2
2T
1T
LLLLsenhK
LLLsenhL
LK
KLyKLzKLy
KLz
γγγ
γ
γγγγ
γ
&&
&
&&
&&
&&
&&
&&&
&&&
&&&
&&&