Sistema de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado.

Índice

1 Marco teórico…………………………………………………………………….2

2 Desarrollo del problema……………………………………………………….3

4 Forzamiento……………………………………………………………………...6

5 Conclusiones…………………………………………………………………….7

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Sistema de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado.

1. Marco teórico

En este proyecto experimentamos el movimiento de una masa unida a un resorte,

en el cual se realizo con términos de la ecuación lineal ay´´+by´+cy = g(t). Donde

la función g es la función de entrada o función forzada del sistema.

La salida o respuesta del sistema es una solución de la ecuación diferencial en un

intervalo que contiene a t0 que satisface las condiciones iniciales prescritas

y(t0)=y0, y´(t0)=y1.

Este sistema se deriva de la ley de Hooke para resortes, que nos menciona que el

resorte mismo ejerce una fuerza de restitución, F, opuesta a la dirección del

alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento s. En concreto, F=KS,

donde K es la constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. Se

toma en cuenta esta ley junto con la segunda ley Newton donde nos dice que

después de unir una masa m a un resorte, está lo estira una longitud s y llega a

una posición de equilibrio, en la que su peso, W, está equilibrado por la fuerza de

restauración ks. Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posición de

equilibrio, la fuerza de restitución del resorte es k(x + s).

Además, podemos adoptar la convención que los desplazamientos medidos

debajo de la posición de equilibrio son positivos.

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Sistema de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado.

2. Planteamiento del problema.

“Una masa de 5.5 kg se une a un resorte de 5.5 cm de largo, en equilibrio el

resorte mide 17.2 cm. Si al inicio la masa se libera desde el reposo en un punto de

2.2 cm arriba de la posición de equilibrio con un velocidad descendente de de

0.036 m/s.”

Peso= k(x)

Peso=(5.5kg)(9.81m/s)

Peso= 53.955N

Recorrido (x)= P. final – P. inicial

Recorrido (x)= 0.172m – 0.055m=0.117m

X= 0.036 m/s

k= pesorecorrido

=53.955N0.117m

=461.15 Nm

(m d2 xdt 2

=mg−kx ) 1m

d2 xdt2

=g−1kxm

d2 xdt2

+ 1kxm

=g

λ2+ 1kxm

=g

λ2+(461.15 N

m)x

5.5m=9.81

m

seg2

λ2+(83.84N ) x=9.81 m

seg2

λ2+83.84=0

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Sistema de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado.

λ2=√−83 .84 λ=+√−83.84=+83.84 ί

λ=−√−83.84=−83.84ί

x (t )=C 1cos 83.84 t+C2sen83.84 tt=0

x (0 )=−2.2cmo −110.036

m “Ya que está arriba”

−11500

=C1cos0+C2 sen0

C1=−11500

x1 ( t )=−83.84C1 sent+83.84C 2con83.84 t t (0)

−631000

=83.84C2

C2=

−63100083.84

C2= −6383840

x (t )=Asen(wt+ϕ)

x (t )=−11500

sen (9.15 t+9.53)

A=√¿¿

A=0.0220= 11500

w=√ km=√ 461.155.5=9.156w=9

tanθC1c2

=29.277

θ=Arc tan(29.277)=1.53

Θ=1.5

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Sistema de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado.

Graficando función para:

11500

=sen (9.15 t+1.53)

0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2

9.15t+1.53=0 9.15t+1.53= π/2

9.15t+1.53= π

9.15t+1.53=3π/2

9.15t+1.53=2π

9.15t+1.53=5π/2

9.15t+1.53=3π 9.15t+1.53=7π/2

t=-0.167 t=0.004 t=0.176 t=0.347 t=0.519 t=0.691 t=0.862 t=1.034

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3. Forzamiento

x (t )=C 1cos 83.84 t+C2sen83.84 t

w=| cos83.84 t sen83.84 t−83.84 sen 83.84 t 83.84cos 83.84 t|

w=(cos 83.84 t ) (83.84 cos83.84 t )−(−83.84 sen83.84 t )(sen 83.84 t)

w=83.84 cos283.84 t+83.84 sen283.84 t

w=83.84 t(cos¿¿283.84+sen283.84)¿

w=83.84 t

w1=| 0 sen 83.84 t9.81 83.84cos 83.84 t|

w1=−9.81 sen 83.84 t

w=| cos83.84 t 0−83.84 sen 83.84 t 9.81|w1=9.81cos83.84 t

U ' 1=w1w

→ U 1=∫ w1w

U 1=∫−9.81 sen 83.84 t83.84

dt=−9.8183.84 ∫ sen83.84 t

U 1=−9.8183.84 (−cos83.84 t83.84 )=−1.395∗10−3 cos83.84 t

U ' 2=w2w

→ U' 2=∫ w2w

U 2=∫ 9.81cos83.84 t83.84dt=−9.81

83.84∫ sen83.84 t

U 2=−9.8183.84 ( sen 83.84 t83.84 )=−1.395∗10−3 sen 83.84 t

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4. Conclusión

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