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PROYECTO FIN DE CARRERA

SISTEMA DE MEDICIÓN CUANTITATIVA DEL RIESGO OPERACIONAL EN

ENTIDADES FINANCIERAS

AUTOR: JOSÉ IGNACIO GIMÉNEZ MARTÍNEZ

MADRID, JUNIO 2006

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLASESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)

INGENIERO EN INFORMÁTICA

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INDICE

1. INTRODUCCIÓN...............................................................................................................................4 1.1 INTRODUCCIÓN A BASILEA ............................................................................................................4 1.2 INTRODUCCIÓN A LA METODOLOGÍA: ........................................................................................... 12

2. OBJETIVOS Y APORTACIÓN....................................................................................................... 15

3. DESCRIPCIÓN DE LAS TECNOLOGÍAS..................................................................................... 28 3.1 TECNOLOGÍA UTILIZADA .................................................................................................... 28

3.1.1 BASE TEÓRICA Y PARADIGMAS ........................................................................................ 28 3.1.2 COMPONENTES UTILIZADOS............................................................................................ 41

3.2 MODELO DE DOMINIO.......................................................................................................... 42 3.3 DIAGRAMA DE CASOS DE USO............................................................................................ 42

3.3.1 CÁLCULO DEL VaR CUANTITATIVO ................................................................................. 44 3.3.2 GESTIÓN DE USUARIOS..................................................................................................... 47 3.3.3 GESTIÓN DE LÍNEAS DE NEGOCIO .................................................................................. 50 3.3.4 GESTIÓN DE CATEGORÍAS DE RIESGO............................................................................ 53

3.4 OTROS REQUISITOS............................................................................................................... 56 3.4.1 REGLAS DE NEGOCIO........................................................................................................ 56 3.4.2 RESTRICCIONES ................................................................................................................. 56 3.4.3 REQUERIMIENTOS NO FUNCIONALES............................................................................. 60

3.5 DIAGRAMA DE ARQUITECTURA......................................................................................... 61 3.5.1 DIAGRAMA DE PAQUETES ................................................................................................ 61 3.5.2 DESCRIPCIÓN..................................................................................................................... 61

3.6 MODELO DINÁMICO DETALLADO...................................................................................... 64 3.6.1 DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN......................................................................................... 64

3.7 MODELO ESTRUCTURAL DETALLADO .............................................................................. 86 3.7.1 SUBSISTEMA COM.MSSPAIN.SIMCRO.CORE.................................................................... 86 3.7.2 SUBSISTEMA COM.MSSPAIN.SIMCRO.IU.......................................................................... 87 3.7.3 SUBSISTEMA COM.MSSPAIN.SIMCRO.SERVICES............................................................. 90 3.7.4 SUBSISTEMA COM.MSSPAIN.SIMCRO.DAO...................................................................... 91 3.7.5 SUBSISTEMA COM.MSSPAIN.SIMCRO.DOMAIN............................................................... 92

3.8 DISEÑO DE LA BASE DE DATOS.......................................................................................... 93 3.9 DISEÑO DE LA APLICACIÓN ................................................................................................ 94

3.9.1 IDENTIFICACIÓN................................................................................................................ 94 3.9.2 PANTALLA PRINCIPAL ....................................................................................................... 95 3.9.3 INFORME DE EVENTOS DE PÉRDIDA .............................................................................. 96 3.9.4 SELECCIÓN AGRUPACIÓN FRECUENCIA........................................................................ 97 3.9.5 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ................................................................................... 98 3.9.6 AJUSTE DE LA DISTRIBUCIÓN.......................................................................................... 99 3.9.7 AJUSTE DE LA DISTRIBUCIÓN II .................................................................................... 100 3.9.8 DISTRIBUCIÓN DE SEVERIDAD ...................................................................................... 101 3.9.9 QQ-PLOT............................................................................................................................ 102 3.9.10 FUNCIÓN DE EXCESO SOBRE LA MEDIA.................................................................. 103 3.9.11 PP – PLOT ..................................................................................................................... 104 3.9.12 PARAMETRIZACIÓN DE LA SIMULACIÓN DE MONTECARLO.................................. 105 3.9.13 INFORME VaR............................................................................................................... 106

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3.9.14 MÓDULO ADMINISTRACIÓN....................................................................................... 108 3.9.15 MÓDULO ADMINISTRACIÓN II ................................................................................... 109

4. METODOLOGÍA CUANTITATIVA ............................................................................................ 111 4.1 DESCRIPCIÓN GENERAL DEL MODELO ........................................................................... 111 4.2 MODELIZACIÓN DE LA FUNCIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS............. 115

4.2.1 “Regla sencilla” ................................................................................................................. 115 4.2.2 Histograma ......................................................................................................................... 118 4.2.3 Test de bondad de ajuste CHI- CUADRADO....................................................................... 119

4.3 MODELIZACIÓN DE LA FUNCIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE LOS IMPACTOS (SEVERIDAD)...................................................................................................................................... 126

4.3.1 Método de eliminación de distribuciones candidatas: Gráficos “QQ-plot” ......................... 126 4.3.2 Test de bondad de ajuste: Chi-Cuadrado, Kolmogorov-Smirnov y Cramer-Von Mises......... 131 4.3.3 Gráfico “FUNCIÓN EXCESO SOBRE LA MEDIA” ........................................................... 145 4.3.4 Gráficos – “PP-plot” (utilizando los parámetros estimados) ............................................... 148

4.4 OBTENCIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE PÉRDIDAS OPERACIONALES PARA CADA EVENTO / LÍNEA DE NEGOCIO. CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO OPERACIONAL ............. 152 4.5 VERIFICACIÓN DE RESULTADOS Y BACK TESTING DEL MODELO ............................ 157

5. CONCLUSIONES........................................................................................................................... 165

6. ESTUDIO ECONÓMICO Y PLANIFICACIÓN........................................................................... 167 6.1 ESTUDIO ECONÓMICO........................................................................................................ 167 6.2 PLANIFICACIÓN ................................................................................................................... 169

7. BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................................. 172

ANEXO 1: TABLA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV.......................................................................... 173

ANEXO 2: TABLA DE CRAMER-VON MISES ................................................................................... 176

ANEXO 3: SIMPLIFICACIÓN DEL ESTADÍSTICO DE KOLMOGOROV-SMIRNOV................... 177

ANEXO 4: EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LA FUNCIÓN EXCESO SOBRE LA MEDIA ................ 178

ANEXO 5: SIMULACIONES DE LA FUNCIÓN EXCESO SOBRE LA MEDIA ............................... 180

ANEXO 6: FUNCIÓN DE DENSIDAD DE LA PÉRDIDA OPERACIONAL....................................... 183

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1. Introducción

1.1 Introducción a Basilea

En un seminario realizado en Washington entre el 1 y 3 de Junio de 2004 fue manifestado que: “Basilea II no es un complemento a la gestión de riesgos, es un marco regulatorio e incentiva la gestión de riesgos”. Suena importante. Más aún cuando quienes coincidieron en la afirmación fueron Alan Greenspan (FED) y Jaime Caruana (BIS).

¿Qué es Basilea II?:

Cuando mencionamos a Basilea II nos referimos - en una suerte de simplificación – al Nuevo Acuerdo de Capital emitido por el Comité de Basilea que debe comenzar a aplicarse a fines de 2006 y 2007 oficialmente y en prueba a partir de 2006 por los Bancos que indiquen los Bancos Centrales que conforman el Comité de Basilea.

Este comité tiene sede en la ciudad Suiza del mismo nombre y se reúne en el edificio del Bank for International Settlements (BIS). El Comité de Basilea es también conocido como el “Banco Central de los Bancos Centrales” porque está integrado por representantes de los Bancos Centrales de más de 100 países miembros. Debe aclararse que Basilea emite recomendaciones que orientan pero que no son mandatorias para los Supervisores Bancarios (léase bancos centrales) de cada país.

Ya sabemos que es Basilea, ahora ¿por qué II?

Su antecesor, el Acuerdo de Capitales de Basilea (Basilea I), fue pronunciado en 1988 y entró en vigencia en 1992. En 15 años, este Comité no ha emitido sólo dos recomendaciones sino cientos. En efecto, es ésta una muestra más de la importancia que el mundo asigna al Nuevo Acuerdo al denominarlo Basilea II.

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Basilea I, en su momento surgió como una exigencia de los países más industrializados para aumentar la solvencia de los sistemas financieros. Su rotundo éxito se debió a la simplicidad de su aplicación y a que permitió uniformar criterios en una industria que internacionalmente se encontraba con criterios muy dispares.

Entre los problemas más destacados que presenta es que su propia simpleza no permite una adecuada identificación de los verdaderos riesgos. No olvidemos que ha sido en la década de los ’90 en la que se han producido avances notables en la medición y en la gestión de riesgos (modelos no contemplados por Basilea I).

Como resultado de esto paulatinamente se ha venido incrementando el desfase entre los negocios bancarios cada vez mayores y el capital regulado que permite cumplir con los objetivos de solvencia y eficiencia que persiguen justamente las regulaciones.

El reconocimiento de esta situación sumado a los nuevos modelos y tendencias internacionales en materia de riesgo y “corporate governance” han sido los disparadores materiales e intelectuales del Nuevo Acuerdo de Basilea.

Entre los objetivos que persigue Basilea II se destacan:

- Perfeccionar el acuerdo anterior;

- Promover la seguridad y la salud de los sistemas financieros;

- Fomentar la competencia en igualdad de condiciones;

- Definición de capitales mínimos regulados en base a criterios más sensibles al riesgo;

- Mejora en “performance” de los procesos bancarios: eficiencia;

- Mejorar la supervisión bancaria (a través de los Bancos Centrales);

- Transparencia en las informaciones.

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Para lograr los objetivos mencionados Basilea II se basa en tres “pilares”:

Los Pilares del Nuevo Acuerdo:

- Pilar I. Requerimiento mínimo de capital: persigue una adecuada gestión de riesgos por parte de las entidades bancarias fomentando el desarrollo de modelos de gestión de riesgos propietarios.

- Pilar II: Proceso de examen supervisor: busca un doble objetivo de aumentar la fiscalización por parte de los Bancos Centrales a la vez de hacer más profesional la administración bancaria.

- Pilar III: Disciplina de mercado: se pretende uniformar la gestión de informaciones a brindar al mercado asegurando su corrección y transparencia.

Pilar I Requerimientos mínimos de Capital:

Sin entrar en cuestiones demasiado técnicas, mencionaremos que Basilea II no presenta modificaciones en cuanto a regulaciones de capital para riesgo de mercado entendiendo que está adecuadamente cubierto con el Acuerdo anterior. Sí presenta importantes modificaciones para el riesgo de crédito e incorpora la gestión de riesgos operacionales.

Adelantemos que, tanto en los requerimientos de capital regulatorio para riesgo crediticio como para riesgo operacional Basilea propone tres métodos para su implementación. Dichos métodos contienen diferente nivel de complejidad y requisitos. Los más simples son menos costosos en su implementación inicial pero requieren una mayor integración de capital porque los ponderadores de riesgos son más elevados. Los más desarrollados, además de la disminución en el capital total regulado, al tener mayores requisitos para su implementación se verán beneficiados en el mediano y largo plazo al obtener mayor eficiencia operativa mediante una mejor gestión de riesgos.

El siguiente cuadro demuestra lo mencionado anteriormente:

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Requerimiento de capital para Riesgo Operacional:

En este caso en el método básico la previsión por riesgo operativo implica simplemente calcular el 15% del Resultado bruto de la entidad.

Una variante tampoco demasiado buena es la del método estándar (el intermedio del gráfico) que fija porcentajes a aplicar al resultado bruto por línea de negocio según el siguiente detalle:

Líneas de Negocio Valor

Finanzas corporativas 18%

Negociación y ventas 18%

Banca minorista 12%

Banca comercial 15%

Liquidaciones y pagos 18%

Servicios de agencias 15%

Administración de activos 12%

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Intermediación minorista 12%

Por último, aparece el método avanzado (AMA) con las principales innovaciones y mejoras. En este caso el capital regulatorio surge como resultado de aplicar sistemas de gestión de riesgos propietarios suficientemente desarrollados cuyas estimaciones de pérdidas deberán considerar fallos internos y externos, madurez del ambiente de control interno, análisis de escenarios, entorno de negocios y, con un interválo de confianza del 99.9%, calcular las estimaciones como sumatoria de las pérdidas esperadas y no esperadas por la organización.

Los Supervisores bancarios exigirán a las entidades para poder adoptar este método, además de la solidez del modelo a aplicar, el cumplimiento de requisitos cualitativos de admisión, tales como:

- Consejo Directivo y los principales ejecutivos involucrados en la gestión de riesgos;

- La existencia de función de gestión de riesgo operacional independiente, responsable por la implementación de la estructura de riesgo operacional de la institución;

- Integración del sistema de medición de riesgo en la rutina diaria de gestión del riesgo;

- Proceso de reporte regular a la gerencia de la unidad de negocios, ejecutivos y Consejo Directivo;

- Existencia de sistemas para documentar, monitorear y gestionar los riesgos;

- Validación del sistema de medición de riesgo por los organismos reguladores y por la auditoría externa.

Pilar II: Proceso de examen supervisor:

Mediante 4 principios se exige a los Bancos contar con un proceso permanente que permita evaluar la suficiencia de capital total y se pretende de los Supervisores Bancarios la facultad de fiscalización, de exigencia de medidas correctivas cuando fuere necesario y en su caso intervenir las entidades que no cumplan con los requerimientos de capital.

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Pilar III: Disciplina de mercado:

Establece la necesidad de contar con una política formal de divulgación de las informaciones que permitirá a los usuarios evaluar aspectos básicos referidos a:

- El ámbito de aplicación;

- Las exposiciones al riesgo;

- Los procesos de evaluación del riesgo;

- La suficiencia de capital de la institución

- La entidad debe contar con un proceso de evaluación permanente de dicha política.

Quién debe aplicar Basilea II:

La letra pequeña del acuerdo obliga a los Bancos que son internacionalmente activos. Previendo distintos niveles de consolidación de riesgos para todas las inversiones del conglomerado financiero, ya sea en Bancos locales, Sociedades de valores, otras entidades financieras controladas, compañías de seguros, y hasta participaciones en sociedades comerciales.

Entonces surge la siguiente pregunta: ¿una organización que no pertenece al grupo anterior no debería preocuparse por Basilea II?

Europa ya ha decidido implantar el Nuevo Acuerdo en todos los Bancos independientemente que sean internacionales o no, en principio para uniformar el sistema financiero y permitir a nivel macroeconómico contar con un sistema solvente y que contribuya al desarrollo económico de los países y, a nivel microeconómico, evitar que aquéllos Bancos que no lo implanten y permanezcan en Basilea I pierdan competitividad respecto de aquéllos que implanten Basilea II.

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Este razonamiento es totalmente trasladable a América Latina que sufrirá posibles consecuencias de fragmentación de su sistema financiero. Es decir, si el Banco Central de un país no obliga a implantar Basilea II puede ocurrir que los Bancos de capitales nacionales continúen con Basilea I y que los de capitales extranjeros lo implanten o no en función de las exigencias de sus casas matrices.

Por otra parte, se entiende que las entidades que utilicen modelos de gestión de riesgos antiguo no tendrán la misma calificación crediticia que las de Basilea II con lo cual su acceso al crédito se verá dificultado y con la necesidad de pagar sobretasas compensatorias por trasladar al prestador un mayor nivel de riesgo.

¿Basilea II afectará sólo a los Bancos?

Es indudable la influencia que tiene el sistema financiero en la actividad económica y en las posibilidades de desarrollo de un país. En general los países importadores de capital pueden verse perjudicados en la medida que los tomadores no puedan demostrar que tienen una adecuada gestión de riesgos.

Ahora bien, si analizamos la cuestión desde el punto de vista de cada organización en particular, es fácil percibir que para los nuevos modelos de gestión de riesgos, Basilea II presenta un incentivo muy importante y la vez una base conceptual para comenzar a gestionar riesgos de una forma más adecuada.

Es claro que los riesgos de mercado y de crédito no hacen al negocio principal de una explotación industrial o comercial sin embargo estas podrían aprovechar muchas lecciones sobre riesgo operacional. Todas ellas sufren (o pueden sufrir) fraudes internos o externos, fallos tecnológicas, productos mal diseñados, errores en la gestión de clientes, siniestros, errores de procesamiento, etc.

Por otra parte, presentar un mejor perfil de riesgo por parte de una Empresa puede ser importante a la hora de negociar condiciones con los Bancos. Explicamos que Basilea II propone calificar los riesgos de crédito en base a su tasa de recuperación por lo que los Bancos que lo apliquen van a preferir los clientes sanos en cuanto a riesgo ya que un cliente que presente problemas de pago va a afectar su tasa de recuperación. Sin duda la mayor demanda de clientes con buen perfil de riesgos va a generar una competencia a nivel de pricing.

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Conclusiones:

El Nuevo Acuerdo de Capitales presenta notorias ventajas respecto del anterior permitiendo una mejor relación entre capital económico y regulatorio.

Esto se logrará ya que impulsa una gestión de riesgos moderna que incluye:

- La utilización de sistemas integrados de gestión de riesgos de crédito, mercado y operacional;

- La utilización de indicadores que permitan gestión de riesgos en el día a día;

- Herramientas de estimación de pérdidas futuras;

- El compromiso de la Alta Dirección con la gestión de Riesgos; y

- La figura del “Risk Officer” exigiendo una oficina de riesgos totalmente independiente de la gestión operativa.

Por otra parte, se alinea también con los modelos más desarrollados de “Corporate Governance” en su tercer pilar al fomentar la uniformidad de informes financieros y su transparencia.

La mejora en la gestión de riesgos y una mayor transparencia en las informaciones son importantes para la sociedad en su conjunto porque ayudan a mejorar la salud y la solvencia del sistema financiero. A la vez el incentivo a mejorar los niveles de eficiencia en general hace a dicho sistema más competitivo y con un mejor nivel de servicio para los usuarios.

Finalmente no debemos dejar de lado la oportunidad de alinearnos con los avances en materia de gestión de riesgos ya que es una materia que obviamente traerá beneficios directos e indirectos a la profesión.

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1.2 Introducción a la metodología:

Una vez se ha explicado brevemente qué es Basilea II pasamos a definir el objetivo de este proyecto que no es otro que proponer una metodología para la evaluación cuantitativa del Riesgo Operacional basada en los modelos avanzados1 propuestos por el Comité de Basilea en el Nuevo Acuerdo de Capital2 (en adelante, Basilea II o BIS II).

La metodología aquí propuesta presenta un enfoque global en cuanto a que integra (según varias alternativas) las metodologías cuantitativas con información obtenida a partir de técnicas cualitativas.

El documento se estructura en los siguientes apartados:

• Descripción de una metodología de evaluación cuantitativa del Riesgo Operacional (cálculo del VaR Operacional). Esta metodología se fundamenta en el Modelo de distribución de pérdidas (LDA) propuesto por Basilea II. Incluye este apartado una descripción de las pruebas de validación y back testing a realizar.

La metodología anterior parte de la modelización de una distribución de pérdidas operacionales a partir del ajuste de distribuciones de frecuencias y severidades a unos determinados datos. Estos datos se obtienen a partir de los datos recogidos en una base de datos de eventos operacionales3.

1 Los modelos avanzados definidos por Basilea son los métodos más ajustados al riesgo. El consumo de capital calculado a través de ellos será el resultado del sistema interno de medición del riesgo de la Entidad y de la base de datos de pérdidas operacionales asociada.

2 En enero de 2001, el Comité publicó un primer documento de consulta en el que se desarrollaba el Nuevo Acuerdo de Capital. Asimismo, en febrero de 2003 publicó las “Sound Practices for Management and Supervision of Operational Risk”. El Acuerdo de Capital definitivo se publicó a lo largo de 2004 y su aplicación efectiva está prevista para fin de 2006.

3 La modelización estadística a partir de los datos de eventos operacionales tiene como premisa fundamental el disponer de una base de datos de eventos de pérdidas íntegra y con un volumen suficiente de datos para que las cifras de riesgo obtenidas sean fiables. Para el caso de pérdidas de baja frecuencia y muy alto impacto se podrá optar por la utilización de datos procedentes de bases de datos externas. Ello requerirá la aplicación de metodologías que permitan el escalado de dichos datos al tamaño de la Entidad.

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• Descripción de los mecanismos de integración de las metodologías cualitativas con las cuantitativas4. Estos mecanismos, si bien introducen un componente subjetivo en el resultado final, presentan las siguientes ventajas:

Permiten cubrir y ofrecer una primera estimación cuantitativa en aquellas áreas donde no existen datos de pérdidas5.

Facilitan el escalado de las bases de datos históricas, al recoger la visión actual de los sistemas operativos de la entidad.

Permiten realizar comparaciones con los resultados obtenidos de las metodologías cuantitativas “puras” y elaborar un plan de acción para su refinamiento.

La integración de ambas metodologías permite obtener una visión más realista de la situación de cada área al considerar todas las fuentes de información existentes en la entidad (datos de pérdida y conocimiento de los responsables).

En relación al VaR Operacional y las metodologías a aplicar es relevante destacar los siguientes aspectos:

• Observar que en el caso de Riesgo Operacional, y por contraposición a Riesgo de Crédito, el VaR calculado computará de forma íntegra a efectos de capital regulatorio6.

4 Basilea II establece que las Entidades podrán utilizar ajustes cualitativos para asignar el capital por riesgo operacional y recoger de esta forma el posible empeoramiento o mejora futuro de la exposición y entorno de control actuales. Estos ajustes deberán ser realizados de una manera rigurosa y siguiendo unos criterios razonables.

5 En principio la aproximación cualitativa por si sola no podrá utilizarse para el cálculo de consumo de capital de la Entidad.

6 El VaR equivale a la suma de las Pérdidas Esperadas (coste del negocio o valor medio de las pérdidas) e Inesperadas (volatilidad de las pérdidas). En el caso de Riesgo de Crédito las pérdidas esperadas se encuentran cubiertas con las provisiones contables realizadas y las pérdidas inesperadas con el capital regulatorio. Sin embargo, en el caso de Riesgo Operacional, para el que a priori no existen este tipo de provisionamientos, la legislación establece que “las entidades deben calcular los requerimientos de capital como la suma de pérdidas esperadas e inesperadas (VaR), a no ser que puedan demostrar que la pérdida esperada se recoge adecuadamente en su práctica de negocio” (“Working document of the Commission Services on Capital Requirements for Credit Institutions and Investment Firms”, Comisión Europea, (futuro CAD 3)).

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• Mientras una Entidad no pueda demostrar disponer de un sistema íntegro que permita calcular estimaciones válidas de correlaciones, el VaR total de la Entidad se calculará mediante la agregación de los VaR calculados a nivel de cada línea de negocio y tipología de evento.

• Las entidades podrán reconocer, a efectos de requerimientos de capital, la mitigación del riesgo derivada de un contrato de seguros que sea contratado a tales efectos. Dichos contratos deberán cumplir los requerimientos determinados por el supervisor.

Finalmente, mencionar que la metodología propuesta en este documento sigue las pautas establecidas por los documentos de trabajo emitidos por el Comité de Supervisión Bancaria de Basilea.

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2. OBJETIVOS Y APORTACIÓN

La gestión de riesgos es la función principal de las entidades financieras, en torno a la cual se deben estructurar el resto de funciones. Ello implica que todas las áreas deben estar involucradas directa o indirectamente en la función de la gestión de riesgos, definiéndose la estructura organizativa en sintonía con esta filosofía.

El proceso parte de la Alta Dirección de la Entidad, que aprueba el marco de actuación de riesgos definiendo los tipos de riesgos que desea, los mecanismos de control y el modelo de evaluación de las diferentes actividades.

Las unidades involucradas en el desarrollo del negocio identifican nuevas oportunidades de negocio y deben optimizar el perfil de rentabilidad ajustada al riesgo. Esta actividad se lleva a cabo por los tomadores del riesgo, realizando un análisis y gestión de la cartera, de forma que permita adecuar el desarrollo del negocio al perfil de riesgo deseado.

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Finalmente, se produce el proceso de la Función de Riesgos, que consiste en la medición diaria de los riesgos incurridos por las unidades tomadoras, el control de los niveles de riesgo y la evaluación del desempeño de cada uno de ellos.

Las fases y objetivos de la Función de Riesgos son:

Una vez introducido el concepto de gestión del riesgo, distinguiremos entre tres tipos de riesgo, extendiéndonos más en el que será objetivo de este proyecto.

RIESGO DE MERCADO

El riesgo de mercado es el riesgo de pérdida al que se halla expuesta la entidad como consecuencia de movimientos adversos en los precios de las variables del mercado. Atendiendo a la naturaleza de las variables del mercado, se pueden distinguir los siguientes riesgos de mercado:

- Riesgo de precio - Riesgo de volatilidad - Riesgo de correlación - Riesgo de liquidez de mercado

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RIESGO DE CRÉDITO

El riesgo de crédito es el riesgo derivado de la incapacidad y/o intención de la contraparte de no cumplir con sus obligaciones contractuales. Se pueden distinguir las siguientes acepciones del riesgo de crédito:

- Riesgo de contraparte - Riesgo de entrega

RIESGO OPERACIONAL

La definición de riesgo operacional varía desde visiones amplias (todo aquello que no pueda ser considerado como riesgo de crédito ni riesgo de mercado en sentido estricto), hasta visiones más restrictivas (riesgo de pérdidas resultado de procesos internos inadecuados y/o erróneos, personas , sistemas o sucesos externos).

En este sentido, no estarían contemplados:

- Riesgos de negocio y estratégicos, es decir, errores en la propia toma de decisiones estratégicas, por parte de la entidad.

- Riesgos reputacionales o de imagen ante clientes o medio de comunicación. - Riesgos sistémicos o del entorno. Por ejemplo, incremento general de los

precios de los seguros ante un atentado terrorista en otra entidad.

En cambio, sí estarían contemplados los riesgos legales y regulatorios, es decir, las posibles sanciones y multas derivadas de no cumplir, en un momento determinado, el marco regulatorio establecido.

En cualquier caso, las pérdidas operacionales pueden ser directas (quebranto financiero), indirectas (pérdida de reputación, clientela, etc.) y de coste de oportunidad (falta de capacidad para acometer negocios).

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Con anterioridad a iniciar un proceso de definición e implantación de un sistema de riesgo operacional, se deben establecer claramente los objetivos en relación con el mismo. Estos objetivos pueden ser cualitativos, cuantitativos o mixtos.

Objetivos cualitativos:

Detectar los riesgos (actuales y potenciales) para tomar decisiones acerca de los que no desea mantener y desea reducir.

Detectar aquellos riesgos poco frecuentes pero que podrían suponer grandes pérdidas.

Mejorar continuamente los procesos y sistemas de control para minimizar los riesgos en los que se puede incurrir.

Objetivos cuantitativos:

Crear conciencia en la organización sobre el nivel y naturaleza de los eventos de pérdida operacional.

Asignar fondos para la cobertura del mismo.

Medir correctamente la eficiencia de las líneas de negocio incorporando este riesgo en el cálculo del RAROC.

Incorporar este coste en el pricing de los productos.

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Objetivos Mixtos:

Evaluar la conveniencia y eficiencia de implantar procedimientos de control interno.

Evaluar la eficacia de las medidas reductoras de riesgo.

RIESGO OPERACIONAL Y BASILEA II

El Banco Internacional de Pagos, en adelante BIS, fue creado en 1930 y se constituye como la principal institución para cooperación entre Bancos Centrales internacionales.

Integra el Comité de Basilea (creado en 1974, del que forman parte los principales supervisores bancarios, Banco de España desde 2001).

Sus acuerdos y recomendaciones son seguidas por las Entidades Reguladoras de los países que participan el en Comité, pero también de la mayor parte del resto del mundo desarrollado.

Su objetivo es formular prácticas estándares en la supervisión bancaria a la espera de que las autoridades nacionales den los pases necesarios para la puesta en práctica de dichos estándares (Directivas, leyes, circulares, etc.), ya que en principio no posee ninguna autoridad formal y sus conclusiones no tienen fuerza legal por sí solas.

Más de 100 países han adoptado el Acuerdo de capital de 1998 (BIS I), que supuso un gran avance en su momento, pues suponía calcular el consumo de capital por riesgo de crédito y por riesgo de mercado de la cartea con unas mismas reglas de juego.

En Junio de 1999, el Comité de Basilea (BIS) publicó un primer documento de consulta sobre el Nuevo Acuerdo de Capital, en el que por primera vez hace referencia al riesgo operacional.

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En Enero 2001, el Comité publicó un nuevo documento de consulta en el que se desarrolla el Nuevo Acuerdo de Capital, y que supuso la introducción de requerimientos de capital por Riesgo Operacional.

Finalmente, en Junio de 2004, el Comité ha publicado el documento definitivo del Nuevo Acuerdo de Capital recogiendo dichos requerimientos.

En Julio de 2004 la Comisión Europea ha publicado una propuesta de modificaciones a sus Directivas (llamado CAD III) que traspone los requerimientos de capital por Riesgo Operacional de BIS II que, en su versión definitiva, ha sido aprobada por el Parlamento Europeo el 28 de Septiembre de 2005.

El nuevo acuerdo de Capital (Basilea II) tiene por objeto establecer las directivas sobre cómo las entidades deben medir su Capital Regulatorio. ¿Qué se entiende por Capital Regulatorio? Son aquellos recursos de los que debe disponer toda Entidad para absorber las posibles pérdidas a las que se puede enfrentar su negocio. Dichas pérdidas pueden ser:

- Pérdidas esperadas: Son un coste del negocio, reflejan lo que realmente se espera perder en promedio (valor medio de las pérdidas).

- Pérdidas inesperadas: Son una medida de riesgo (volatilidad de pérdidas) que surge como consecuencia de que las pérdidas reales pueden ser superiores a las esperadas.

El capital regulatorio son los recursos que legalmente debe mantener una Entidad para cubrir las pérdidas inesperadas, entendiendo que las pérdidas esperadas se encuentran cubiertas con las provisiones contables realizadas. No obstante, en el caso de Riesgo Operacional, para el que a priori no existen este tipo de provisionamientos, las entidades calcularían los requerimientos de capital como la suma de pérdidas esperadas e inesperadas (VaR).

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Tradicionalmente, la gestión del riesgo desarrollada por las entidades se ha centrado en medir y controlar los riesgos de mercado y de crédito.

Sin embargo, la cada vez más compleja actividad de las entidades financieras y, fundamentalmente, las experiencias pasadas han reorientado su tratamiento tradicional (mitigarlo a través de la implantación de procedimientos de control) hacia una gestión integral del Riesgo Operacional, incluyendo la utilización de metodologías cuantitativas, anteriormente no utilizadas, de cara a su medición.

En este sentido, las principales entidades financieras españolas han creado una función de Riesgo Operacional, con responsabilidades que abarcan la medición y el control del riesgo operacional en un sentido amplio (con creciente involucración de la Alta Dirección en su identificación).

El desarrollo de esta área en las diferentes entidades debería ir acompañado de la implantación de un sistema de medición y gestión de riesgo operacional.

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Objetivos del proyecto

Una de las metodologías que establece el Nuevo Acuerdo de Capital (Basilea II) para la medición del Riesgo Operacional es la medición a partir de datos internos de eventos de pérdidas operacionales que se producen en las Entidades. Para ello es necesario abordar la construcción de una Base de Datos de pérdidas operacionales (fraudes, multas o sanciones, el valor de los bienes que se destruyen, etc.).

La construcción de dicha base de datos permite:

- Conocer las pérdidas actuales en las que la Entidad va incurriendo día a día y los motivos por los que se producen (Fallos en los sistemas, Error en los procesos, etc.).

- Estimar las pérdidas potenciales o inesperadas, a partir de la aplicación de técnicas estadísticas.

De acuerdo con lo anterior, el Objetivo del Proyecto es:

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El objetivo del proyecto es desarrollar una aplicación informática que permita cuantificar el riesgo operacional en las entidades financieras7.

El proyecto de desarrollo de un sistema de medición cuantitativa del riesgo operacional ha constado de cinco fases.

1.- Diseño de un modelo de datos que sustentara toda la información necesaria para los cálculos y la información de gestión / reporting a generar.

2.- Desarrollo e implementación de los algoritmos matemático - estadísticos sobre los que se sustentan los cálculos cuantitativos del Riesgo Operacional. Dada la importancia de éstos se ha separado en un paquete propio llamado corelib.

Gracias a corelib, paquete matemático – estadístico anteriormente mencionado, la aplicación es capaz de modelizar tanto en frecuencia como en severidad los datos que se albergan en la base de datos (eventos de pérdida), dando como resultado un set de distribuciones estadísticas con sus parámetros, tests y gráficos poder tomar una decisión correcta acerca de qué distribución ajusta mejor los datos tanto en frecuencia como en severidad.

3.- Desarrollo e implementación de un simulador de Monte Carlo. El simulador realizado es un simulador genérico, es decir, válido para un par cualquiera de distribuciones de frecuencia y severidad. No es necesario que las distribuciones sean unas de las preseleccionadas, el sistema está concebido de tal manera que el propio usuario pueda crear su propia distribución. Esta funcionalidad está pensada para dar soporte a una necesidad que ha surgido del trabajo con la metodología cuantitativa, necesidad que recibe el nombre de mixtura de distribuciones consistente en crear una nueva distribución estadística que se ajusta mejor a los datos a partir de dos o más distribuciones predefinidas.

7 Pérdidas que pueden producirse en una entidad financiera como consecuencia de fallos de procesos, sistemas, personas o eventos externos

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4.- Implementación de todos los cálculos y algoritmos desarrollados en una aplicación web. Se necesitaba una herramienta que fuera capaz de calcular e informar de los resultados de una manera distribuida. La solución a ese requisito fue una aplicación J2EE que llamamos simcro. La funcionalidad de cálculo se agrupó en un paquete llamado corelib, mencionado en el punto 2.-, de manera que quedó aislada de la capa de presentación y del acceso a base de datos. Al utilizar la plataforma J2EE, la aplicación web simcro accede a ese paquete y distribuye los resultados del cálculo.

5.- Incorporación de nuevas tecnologías a la aplicación J2EE desarrollada. Nos referimos a tecnologías tales como:

Mondrian, herramienta OLAP que nos va a proporcionar informes con capacidad de consulta multidimensional y dinámica.

JCharts, herramienta que nos va a proporcionar todo el soporte gráfico de la aplicación, es decir, nos va a permitir visualizar los gráficos de ajuste a los datos de la distribución estadística, gráficos PP – Plot, QQ – Plot y función de exceso sobre la media.

JSci, paquete de distribuciones estadísticas que nos facilita los cálculos de parámetros y resultados derivados de las distribuciones.

Metodología de trabajo y recursos a utilizar

25

Dentro del marco descrito por la imagen que podemos ver sobre estas líneas, arquitectura general de una aplicación de cálculo integral del riesgo operacional, definiremos la arquitectura sobre la que trabajaremos en este proyecto, subconjunto de la arquitectura que vemos.

26

La tecnología que utilizaremos será J2EE, por lo que el lenguaje de programación será Java.

En la siguiente imagen podemos ver la descripción del proceso mediante el cual enviamos peticiones a un servidor y éste nos contesta con la información pedida, esto es la parte marcada en azul y denominada Contenedor Web. Esto se realizará mediante el paradigma de request/response del protocolo HTTP.

27

La base de datos contra la que realizaremos todas nuestras será Oracle 9i.

Utilizaremos para llevar a cabo todos los objetivos el paradigma MVC2, Model View Controller con Jakarta Struts. En el que podemos identificar a la base de datos como Model, los JSPs como View y El servlet como Controller.

28

3. DESCRIPCIÓN DE LAS TECNOLOGÍAS

En este apartado se intentarán describir tanto las tecnologías utilizadas como la estructura y funcionamiento interno de la aplicación.

3.1 TECNOLOGÍA UTILIZADA

En este punto se especificará todo lo necesario para haber realizado la aplicación de medición de riesgo operacional. En primer lugar se explicarán brevemente algunos conceptos teóricos y paradigmas en los que nos hemos basado en la realización del proyecto, tras esta explicación se describirán desde las versiones de los componentes utilizados hasta cómo hacer que éstos funcionen correctamente.

3.1.1 BASE TEÓRICA Y PARADIGMAS

3.1.1.1 TECNOLOGÍA J2EE

29

3.1.1.2 SERVLETS

PARADIGMA REQUEST/RESPONSE

30

CICLO DE VIDA DE UN SERVLET

32

ESTRUCTURA

DESPLIEGUE

33

3.1.1.3 JSP

CICLO DE VIDA DE UNA PÁGINA JSP

3.1.1.4 JDBC

34

DRIVERS JDBC

UTILIZACIÓN JDBC

ESTABLECIMIENTO DE LA CONEXIÓN

35

En nuestro caso estableceremos la conexión por medio de un DataSource, concepto que pasamos a explicar:

DATASOURCE

Una vez que definimos el DataSource obtenemos un objeto de tipo conexión mediante el cual podemos realizar consultas a base de datos y una vez que hayamos terminado de realizar estas consultas debemos cerrar.

3.1.1.5 PATRONES DE DISEÑO

36

PATRÓN LAYERS

NIVELES DE UN SISTEMA J2EE

37

MVC2 O WEB MVC

MODELO

- Representa los datos de la aplicación

- Expone servicios genéricos para consultar y actualizar el estado

- Notifica de cambios de estado

VISTA

- Solicita el estado del modelo

- Presenta el modelo

- Envía las acciones del usuario

CONTROLADOR

- Define el comportamiento de la aplicación

- Mapea acciones del usuario a actualizaciones del modelo

- Selecciona la siguiente vista

38

FRONT CONTROLLER

SESSIÓN FAÇADE

39

DATA ACCESS OBJECT (DAO)

40

3.1.1.6 STRUTS

- Framework para crear aplicaciones Web. - Basado en MVC2 - Software abierto. - Albergado por Apache Software Foundation - http://struts.apache.org - Versión 1.0 en junio 2001 - 30 desarrolladores - Arquitecto principal: Craig R. McClanahan

41

3.1.2 COMPONENTES UTILIZADOS

A continuación enumeraremos los componentes software que se han necesitado para la realización de este proyecto.

- Java SDK 1.4.2

- Entorno de desarrollo Eclipse 3.1

- Herramienta Ant para construcción automática

- Servidor J2EE 1.3 (Servidor de referencia API J2EE 1.3.1)

- Oracle 9i

- Struts

- Mondrian (Herramienta de informes multidimensionales)

- JCharts 0.7.5 (Servidor de gráficos e imágenes)

- JSci (Paquete de funciones matemáticas)

- JaMa (Paquete de tratamiento de matrices)

42

3.2 MODELO DE DOMINIO

3.3 DIAGRAMA DE CASOS DE USO

ACTORES:

Usuario

CASOS DE USO:

Usuario:

- Calcular VaR.

- Gestionar Usuarios.

- Gestionar Líneas de Negocio.

- Consultar Categorías de Riesgo.

43

Caso de uso: Calcular VaR

El usuario de la aplicación, siguiendo los pasos pertinentes, va a calcular el VaR

en las condiciones definidas por él mismo.

Caso de uso: Gestionar Usuarios

El usuario va a poder dar de alta, baja, modificar y realizar listados de los

usuarios existentes.

Caso de uso: Gestionar Líneas de Negocio

El usuario va a poder dar de alta, baja, modificar y realizar listados de las líneas

de negocio existentes.

Caso de uso: Gestionar Categorías de Riesgo

El usuario va a poder dar de alta, baja, modificar y realizar listados de las

categorías de riesgo existentes.

44

3.3.1 CÁLCULO DEL VaR CUANTITATIVO

ACTOR PRIMARIO: Usuario

ACTORES SECUNDARIOS: No hay

TRIGGER: El usuario desea realizar un lanzamiento del VaR

PRECONDICIONES: No hay

ESCENARIO PRIMARIO:

1. El usuario se identifica mediante su login y contraseña.

2. El usuario introduce los criterios de filtrado de los eventos de pérdida.

3. El sistema propone unas distribuciones de frecuencia y severidad.

4. El usuario selecciona la distribución de frecuencia.

5. El usuario selecciona la distribución de severidad.

6. El usuario introduce los datos de parametrización del simulador de Monte

Carlo y lanza el cálculo del VaR.

7. El sistema devuelve los resultados para la simulación lanzada.

45

EXTENSIONES:

1 a. El usuario se ha identificado incorrectamente.

1. El sistema muestra un aviso de que el login o la contraseña son

incorrectos.

2. Se vuelve al paso 1.

4 a. El usuario selecciona ver el gráfico de ajuste de la distribución a los datos.

1. El usuario pulsa el botón diseñado para este uso.

2. El sistema muestra el gráfico de la distribución seleccionada.

5 a. El usuario selecciona ver el gráfico PP-Plot.



5 b. El usuario selecciona ver el gráfico QQ-Plot.



5 c. El usuario selecciona ver el gráfico de Función de Exceso sobre la Media.



46

DESCRIPCIÓN DE DATOS:

Identificador de datos 1: Criterios de filtrado.

Slicer.

Nota: Slicer es una variable de tipo String que nos devuelve el informe

de eventos de pérdida según vamos filtrando por unos criterios u otros.

Identificador de datos 2: Datos de la parametrización.

Número de veces a realizar.

Número de escenarios.

Alfa.

OTROS REQUERIMIENTOS:

Reglas de negocio: No aplican

47

3.3.2 GESTIÓN DE USUARIOS



TRIGGER: El usuario desea realizar una operación que tiene como objeto un usuario


ESCENARIO PRIMARIO:


2. El usuario selecciona gestión de usuarios.

3. El usuario realiza las operaciones que desee.

48

EXTENSIONES:



incorrectos.


3 a. El usuario selecciona dar de alta un nuevo usuario.

1. El usuario rellena los datos del usuario.

2. El sistema da de alta al usuario definido anteriormente.

3 b. El usuario selecciona modificar un usuario.

1. El usuario selecciona consulta de usuarios y dentro de esta opción, pulsa

el botón definido para la modificación.

2. El usuario cambia los datos del usuario que desee del usuario en

cuestión.

3. El sistema modifica los datos solicitados por el usuario.

3 c. El usuario selecciona eliminar un usuario.

1. El usuario selecciona consulta de usuarios y dentro de esta opción, pulsa

el botón definido para la eliminación.

2. El sistema elimina el usuario solicitado por el usuario.

49


Identificador de datos 1: Datos de un usuario.

Nombre.

Contraseña.

Rol.



50

3.3.3 GESTIÓN DE LÍNEAS DE NEGOCIO



TRIGGER: El usuario desea realizar una operación que tiene como objeto una línea de

negocio


ESCENARIO PRIMARIO:


5. El usuario selecciona gestión de líneas de negocio.


51

EXTENSIONES:



incorrectos.


3 a. El usuario selecciona dar de alta una nueva línea de negocio.

1. El usuario rellena los datos de la línea de negocio.

2. El sistema da de alta la línea de negocio definido anteriormente.

3 b. El usuario selecciona modificar una línea de negocio.

1. El usuario selecciona consulta de líneas de negocio y dentro de esta

opción, pulsa el botón definido para la modificación.

2. El usuario cambia los datos de la línea de negocio que desee de la

línea de negocio en cuestión.


3 c. El usuario selecciona eliminar una línea de negocio.

1. El usuario selecciona consulta de líneas de negocio y dentro de esta

opción, pulsa el botón definido para la eliminación.

2. El sistema elimina la línea de negocio solicitada por el usuario.

52


Identificador de datos 1: Datos de una línea de negocio.

Descripción.

Nivel.



53

3.3.4 GESTIÓN DE CATEGORÍAS DE RIESGO



TRIGGER: El usuario desea realizar una operación que tiene como objeto una categoría

de riesgo


ESCENARIO PRIMARIO:


8. El usuario selecciona gestión de categorías de riesgo.


54

EXTENSIONES:



incorrectos.


3 a. El usuario selecciona dar de alta una nueva categoría de riesgo.

1. El usuario rellena los datos de la categoría de riesgo.

2. El sistema da de alta la categoría de riesgo definido anteriormente.

3 b. El usuario selecciona modificar una categoría de riesgo.

1. El usuario selecciona consulta de categorías de riesgo y dentro de esta

opción, pulsa el botón definido para la modificación.

2. El usuario cambia los datos de la categoría de riesgo que desee del

usuario en ocasión.


3 c. El usuario selecciona eliminar una categoría de riesgo.

1. El usuario selecciona consulta de categorías de riesgo y dentro de esta

opción, pulsa el botón definido para la eliminación.

2. El sistema elimina la categoría de riesgo solicitado por el usuario.

55


Identificador de datos 1: Datos de una categoría de riesgo.

Descripción.

Nivel.



56

3.4 OTROS REQUISITOS

3.4.1 REGLAS DE NEGOCIO

No aplican.

3.4.2 RESTRICCIONES

La base de datos del sistema será Oracle 9i.

El motor de servlets y el servidor Web será J2EE 1.3.1.

El lenguaje de programación utilizado para la aplicación Web será Java. Los

fuentes deberan ser compatibles, sin errores, y ejecutables con la versión 1.4.2 del JDK de

SUN.

Se utilizarán servlets (versión 2.4) y páginas JSP (versión 2.0) para el nivel de

presentación de la aplicación.

Se utilizará el framework transaccional JOTM versión 2.0.10.

Se utilizará el framework MVC Structs 1.2.

Se utilizará la herramienta Ant para construcción automática..

Se utilizará Mondrian (Herramienta de informes multidimensionales).

Se utilizará JCharts 0.7.5 (Servidor de gráficos e imágenes).

Se utilizará JSci (Paquete de funciones matemáticas).

Se utilizará JaMa (Paquete de tratamiento de matrices).

57

El sistema debe estar acabado a finales de Mayo.

El proyecto se va a dividir en cuatro partes:

- Diseño de la herramienta.

- Desarrollo Matemático.

- Desarrollo de la aplicación J2EE.

- Integración con otras tecnologías.

- Documentación

Diseño de la herramienta Fecha: Navidades; consta de:

Modelo de dominio: uno o varios diagramas de clase mostrando entidades del

dominio, sus propiedades y relaciones relevantes. Un glosario ordenado describiendo cada

una de las clases del modelo.

Modelo de casos de uso: uno o varios diagramas que muestren los casos de uso

y actores del sistema. Una descripción detallada de los casos de uso incluidos en la

iteración.

Otros requisitos: Reglas de negocio, restricciones y requerimientos no

funcionales.

58

Diagrama de la arquitectura: un diagrama de paquetes mostrando los

subsistemas en que se descompone el sistema y las dependencias entre ellos. Una

descripción del contenido y la función de cada uno de los subsistemas.

Modelo dinámico detallado: Diagrama de iteración (secuencia o colaboración)

para cada caso de uso incluido en la iteración. Al menos uno para cada escenario primario.

Al menos un diagrama de actividad, este puede ser para un caso de uso completo o bien

algún algoritmo complejo. Al menos un diagrama de estado para alguna clase compleja.

Modelo estructural detallado: Diagramas de clase detallados de cada uno de los

paquetes o subsistemas de la arquitectura, consistentes con el modelo de dominio

detallado.

Diseño de la base de datos: diseño lógico de a base de datos: tablas, campos y

sus tipos, claves primarias y extranjeras.

Desarrollo matemático Fecha: Navidades; consta de:

Corelib: Conjunto de clases matemáticas que darán todo el soporte de cálculo a

la herramienta.

Set de pruebas con Matlab: Las clases que se dedican a la realización de

cálculos, clases que acabamos de describir, serán probadas en su totalidad con el

desarrollo de unas pequeñas clases de prueba en Matlab. El objetivo de estas pruebas es

comprobar que nuestro paquete matemático es fiable.

59

Desarrollo de la aplicación J2EE Fecha: Semana Santa; consta de:

Simcro: Siglas que representan: “Sistema de Medición Cuantitativa de Riesgo

Operacional”. Así es como se ha nombrado a esta aplicación. El desarrollo de la aplicación

no es otra cosa que implementar todo el diseño de la aplicación realizado en la primera

fase de este proyecto.

Integración con otras tecnologías Fecha: 31 Mayo 2006; consta de:

En esta última fase se ha integrado Simcro con Corelib y con otras tecnologías ya

mencionadas como Mondrian y JCharts principalmente. Como resultado obtenemos una

herramienta de medición de cálculo operacional con unos informes multidimensionales de

los eventos de pérdida que conforman el lanzamiento del cálculo del VaR y apoyo gráfico

para la toma de decisión que hay que realizar al modelizar la pérdida en cuanto a

frecuencia y a severidad.

Documentación Fecha: A lo largo de todo el proyecto; consta de:

Desarrollo de la memoria del proyecto.

60

3.4.3 REQUERIMIENTOS NO FUNCIONALES

El sistema deberá tener una disponibilidad e 24 x 7.

Un usuario experto en el dominio deberá dominar el sistema en una semana tras haber recibido un curso básico de formación.

61

3.5 DIAGRAMA DE ARQUITECTURA

3.5.1 DIAGRAMA DE PAQUETES

3.5.2 DESCRIPCIÓN

Se muestra el diagrama de paquetes del sistema. El sistema se divide en cinco subsistemas:

- subsistema com.msspain.simcro.core

- subsistema com.msspain.simcro.iu

- subsistema com.msspain.simcro.services

- subsistema com.msspain.simcro.dao

- subsistema com.msspain.simcro.domain

62

En el subsistema com.msspain.simcro.core están las clases comunes a todo el proyecto tales como algunas constantes de la aplicación, una clase de excepciones y la clase ChartServlet que es la que define todo el comportamiento del servidor de imágenes de la aplicación.

En el subsistema com.msspain.simcro.iu están todos los paquetes que se encargan de interactuar con el usuario, se han creado tres paquetes:

- paquete com.msspain.simcro.iu.actions

- paquete com.msspain.simcro.iu.forms

- paquete com.msspain.simcro.iu.graphics

El paquete actions recoge todas las acciones que realiza el usuario en nuestra aplicación, sabe como tratarlas y las encamina a los servicios necesarios para obtener los resultados deseados por el usuario.

El paquete forms incluye lo que se denominan form-bean, que son clases que únicamente están formadas por la definición de atributos con sus getters y setteres, típicamente se utilizan para facilitar la interacción con el usuario.

Por último, el paquete graphics está compuesto por las clases necesarias para poder visualizar los gráficos solicitados.

Este subsistema depende del subsistema com.msspain.simcro.services y del subsistema com.msspain.simcro.domain.

En el subsistema com.msspain.simcro.services se han agrupado todos los servicios que se le ofrecen al subsistema com.msspain.simcro.iu, en ellos están la lógica del sistema. Este subsistema servicios depende del subsistema com.msspain.simcro.dao y del subsistema com.msspain.simcro.domain.

63

En el subsistema com.msspain.simcro.dao se han agrupado todos los paquetes que se encargan de interactuar con la base de datos. Este subsistema depende del subsistema com.msspain.simcro.domain.

En el subsistema com.msspain.simcro.domain se encuentran todos los paquetes que se encargan de los objetos que existen en el sistema. En él se apoyan el resto de subsistemas.

64

3.6 MODELO DINÁMICO DETALLADO

3.6.1 DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN

3.6.1.1 CASO DE USO: CÁLCULO DEL VaR

3.6.1.1.1 FILTRADO DE EVENTOS DE PÉRDIDA

65

3.6.1.1.2 PARAMETRIZAR FRECUENCIA

66

3.6.1.1.3 VER HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

67

3.6.1.1.4 SELECCIONAR DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA

68

3.6.1.1.5 VER GRÁFICO PP – PLOT

69

3.6.1.1.6 VER GRÁFICO QQ – PLOT

70

3.6.1.1.7 VER GRÁFICO FUNCIÓN DE EXCESO SOBRE LA MEDIA

71

3.6.1.1.8 SELECCIONAR DISTRIBUCIÓN DE SEVERIDAD

72

3.6.1.1.9 LANZAR SIMULACIÓN

73

3.6.1.1.10 OBTENER RESULTADOS

74

3.6.1.2 CASO DE USO: GESTIONAR USUARIOS

3.6.1.2.1 DAR DE ALTA UN USUARIO

75

3.6.1.2.2 MODIFICAR UN USUARIO

76

3.6.1.2.3 ELIMINAR UN USUARIO

77

3.6.1.2.4 CONSULTAR UN USUARIO

78

3.6.1.3 CASO DE USO: GESTIONAR LÍNEAS DE NEGOCIO

3.6.1.3.1 DAR DE ALTA UNA LÍNEA DE NEGOCIO

79

3.6.1.3.2 MODIFICAR UNA LÍNEA DE NEGOCIO

80

3.6.1.3.3 ELIMINAR UNA LÍNEA DE NEGOCIO

81

3.6.1.3.4 CONSULTAR UNA LÍNEA DE NEGOCIO

82

3.6.1.4 CASO DE USO: GESTIONAR CATEGORÍAS DE RIESGO

3.6.1.4.1 DAR DE ALTA UNA CATEGORÍA DE RIESGO

83

3.6.1.4.2 MODIFICAR UNA CATEGORÍA DE RIESGO

84

3.6.1.4.3 ELIMINAR UNA CATEGORÍA DE RIESGO

85

3.6.1.4.4 CONSULTAR UNA CATEGORÍA DE RIESGO

86

3.7 MODELO ESTRUCTURAL DETALLADO

3.7.1 SUBSISTEMA COM.MSSPAIN.SIMCRO.CORE

87

3.7.2 SUBSISTEMA COM.MSSPAIN.SIMCRO.IU

90

3.7.3 SUBSISTEMA COM.MSSPAIN.SIMCRO.SERVICES

91

3.7.4 SUBSISTEMA COM.MSSPAIN.SIMCRO.DAO

92

3.7.5 SUBSISTEMA COM.MSSPAIN.SIMCRO.DOMAIN

93

3.8 DISEÑO DE LA BASE DE DATOS

94

3.9 DISEÑO DE LA APLICACIÓN

3.9.1 IDENTIFICACIÓN

95

3.9.2 PANTALLA PRINCIPAL

96

3.9.3 INFORME DE EVENTOS DE PÉRDIDA

97

3.9.4 SELECCIÓN AGRUPACIÓN FRECUENCIA

98

3.9.5 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

99

3.9.6 AJUSTE DE LA DISTRIBUCIÓN

100

3.9.7 AJUSTE DE LA DISTRIBUCIÓN II

101

3.9.8 DISTRIBUCIÓN DE SEVERIDAD

102

3.9.9 QQ-PLOT

103

3.9.10 FUNCIÓN DE EXCESO SOBRE LA MEDIA

104

3.9.11 PP – PLOT

105

3.9.12 PARAMETRIZACIÓN DE LA SIMULACIÓN DE MONTECARLO

106

3.9.13 INFORME VaR

108

3.9.14 MÓDULO ADMINISTRACIÓN

109

3.9.15 MÓDULO ADMINISTRACIÓN II

111

4. METODOLOGÍA CUANTITATIVA

La metodología cuantitativa genera, a partir de la información recogida de la base de datos de pérdidas operacionales una cifra de VaR Operacional (en adelante, VaR Operacional Cuantitativo)

4.1 DESCRIPCIÓN GENERAL DEL MODELO

El modelo de distribución de pérdidas (LDA) requiere de la modelización de la función de distribución de las pérdidas operacionales para cada tipología de evento y línea de negocio, durante un determinado período de tiempo, de acuerdo con los datos históricos de pérdidas operacionales recogidas en la base de datos de pérdidas.

Esta modelización se realizará, en un principio, y suponiendo que existiera información histórica suficiente, sobre tipología de eventos de Nivel 3 (o Nivel 2 en su caso) de Basilea. Si no existieran datos suficientes a este Nivel, la modelización se realizaría a niveles superiores8, documentando debidamente esta decisión.

En algunos casos la Entidad podrá realizar hipótesis sobre la distribución a utilizar para ajustar la frecuencia y severidad de determinadas tipologías de riesgos (por ejemplo, una distribución de Poisson en la frecuencia y una distribución Lognormal en la severidad). Esto podrá ser de especial aplicación en los casos en que exista un problema de datos.

Realizar la modelización para cada tipología de evento de Nivel 3 (o niveles superiores en su caso) conlleva cubrir las siguientes etapas:

1. Modelización de la función de distribución de la frecuencia de ocurrencia de los eventos operacionales.

2. Modelización de la función de distribución de los impactos o pérdidas por evento (severidades).

3. Obtención de la distribución agregada de pérdidas operacionales para dicho evento / línea de negocio. Cálculo del Valor en Riesgo Operacional, Pérdidas esperadas e inesperadas.

8 Este caso podría suponer trabajar con una población de eventos de muy distinta naturaleza lo cual dificultaría el ajuste de la distribución de pérdidas operacionales.

112

P é rd id a s o p e ra c io n a le s

Pro

babi

lidad

P é rd id a s o p e ra c io n a le s

Pro

babi

lidad

La necesidad de modelizar de forma separada las distribuciones de probabilidad de las frecuencias de ocurrencia de los eventos y las pérdidas de los mismos se fundamenta en que determinadas acciones o inacciones operacionales no suelen afectar a ambos procesos por igual.

Núm ero deeven tos

Pro

babi

lidad

Núm ero de even tos

Impa

cto

indivi

dual

Pro

babi

lidad


Impa

cto

indivi

dua l

Pro

babi

lidad

Núm ero deeven tos

Pro

babi

lidad

Núm ero deeven tos

Pro

babi

lidad


Impa

cto

indivi

dual

Pro

babi

lidad


Impa

cto

indivi

dua l

Pro

babi

lidad


Impa

cto

indivi

dual

Pro

babi

lidad


Impa

cto

indivi

dua l

Pro

babi

lidad

113

Calculados los VaRs Operacionales para cada tipología de evento a un determinado Nivel (Nivel 3 por ejemplo), el paso a los niveles superiores se llevará a cabo mediante la suma de los VaRs de los correspondientes eventos de nivel inferior que lo compongan, obteniendo así el Valor en Riesgo Operacional para cada evento / línea de negocio.

Inputs de la metodología

Recogida yagrupación de

información

Transaccional

Entradas manuales

BBDD externa

Base de datos de Eventos

Modelización de frecuencias y severidades

Cálculo de Value-at-Risk

VaR

Niv

el

I II

Ajuste distribución Severidad

Ajuste distribución Frecuencia

•Identificación de eventos de pérdida

•Recogida en BBDD corporativa•Agrupación de eventos a Nivel III

•Ajuste de la distribución de frecuencia (Poisson, Binomial Negativa, etc.) •Ajuste de la distribución de severidades (Weibull, Lognormal, etc.)

•Cálculo de VaR a Nivel IIImediante convolución de distribuciones utilizando simulaciones de Monte Carlo. •El VaR a Nivel II y I se obtiene sumando los VaR de Nivel III

Modelización y cálculo de VaR

Registros contables

I

II

III

Eventos En

tid

ad

Basil

ea I

I

I

II

III

Eventos En

tid

ad

Basil

ea I

I

I

II

III

Eventos En

tid

ad

Ba

sile

a I

I

VaR

Ni v

el

I I

VaR

Niv

el

I

+ +

Inputs de la metodología

Recogida yagrupación de

información

Transaccional

Entradas manuales

BBDD externa

Base de datos de Eventos

Modelización de frecuencias y severidades

Cálculo de Value-at-Risk

VaR

Niv

el

I II

Ajuste distribución Severidad

Ajuste distribución Frecuencia

•Identificación de eventos de pérdida

•Recogida en BBDD corporativa•Agrupación de eventos a Nivel III

•Ajuste de la distribución de frecuencia (Poisson, Binomial Negativa, etc.) •Ajuste de la distribución de severidades (Weibull, Lognormal, etc.)

•Cálculo de VaR a Nivel IIImediante convolución de distribuciones utilizando simulaciones de Monte Carlo. •El VaR a Nivel II y I se obtiene sumando los VaR de Nivel III

Modelización y cálculo de VaR

Registros contables

I

II

III

Eventos En

tid

ad

Basil

ea I

I

I

II

III

Eventos En

tid

ad

Basil

ea I

I

I

II

III

Eventos En

tid

ad

Ba

sile

a I

I

I

II

III

Eventos En

tid

ad

Basil

ea I

I

I

II

III

Eventos En

tid

ad

Basil

ea I

I

I

II

III

Eventos En

tid

ad

Ba

sile

a I

I

I

II

III

Eventos En

tid

ad

Basil

ea I

I

I

II

III

Eventos En

tid

ad

Ba

sile

a I

I

I

II

III

Eventos En

tid

ad

Ba

sile

a I

I

VaR

Ni v

el

I I

VaR

Niv

el

I

+ +

* Diagrama realizado para el supuesto de modelización a Nivel 3.

Una vez realizada la modelización para cada evento / línea de negocio, la Entidad podría aplicar coeficientes de correlación entre los diversos eventos de pérdida y entre estos y los diferentes factores de Riesgo Operacional a efectos del cálculo del VaR final.

Para ello debería disponer de datos suficientes y de un modelo de cálculo que le permita su cálculo. En caso contrario9 el cálculo del capital regulatorio se obtendrá por mera agregación de los Valores en Riesgo calculados para cada tipología de evento y línea de negocio (sin considerar, por tanto, el efecto de la correlación).

9 Existen algunos estudios cuantitativos sobre como modelizar dichas correlaciones, si bien se encuentran todavía en una fase muy preliminar.

114

En los siguientes apartados desarrollamos cada una de las etapas mencionadas para la obtención del Riesgo Operacional para cada evento / línea de negocio a un determinado nivel de riesgo.

115

4.2 MODELIZACIÓN DE LA FUNCIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Las funciones de distribución de probabilidad que mejor modelizan la frecuencia de ocurrencia de los eventos operacionales son las distribuciones discretas de Poisson, Binomial y Binomial Negativa, ya que estas distribuciones estadísticas se utilizan para modelizar experimentos cuyo resultado es, precisamente, la ocurrencia o no de un determinado evento (en nuestro caso la ocurrencia o no ocurrencia de un evento de riesgo operacional determinado).

Para seleccionar, de estas 3 distribuciones, la que mejor se ajuste a los datos disponibles proponemos 3 métodos de análisis complementarios:

“REGLA SENCILLA”

HISTOGRAMA

TEST DE BONDAD DE AJUSTE CHI-CUADRADO.

4.2.1 “Regla sencilla”

Se calcula la media y la varianza de los datos de frecuencia disponibles en el período de observación. Cuando la varianza y la media son similares, se optaría por la distribución de Poisson, cuando la media es claramente inferior a la varianza, por la Binomial Negativa (significa que existe riesgo de grandes pérdidas frente a la media) y, en el caso contrario, por la distribución Binomial.

Esta regla sencilla es utilizada, más que como regla de selección de distribuciones, como regla de eliminación. Por ejemplo, el hecho de que la media sea menor que la varianza elimina la posibilidad de elección de la Binomial ya que no es posible calcular los parámetros de ésta en dicha situación.

La Binomial queda unívocamente determinada mediante los parámetros n y p, siendo n un número Natural mayor que 0 y p un número Real entre 0 y 1. El estimador de los momentos para ellos es:

mediaianzamediapestimado

var−=

ianzamediamedianestimado var

2

−=

Sólo si la media es mayor que la varianza estos parámetros tomarán valores en sus respectivos rangos de definición, pues en caso contrario p<0 y n<0.

116

Lo mismo ocurre con la Binomial Negativa, en el caso en que la media sea mayor que la varianza.

La Binomial Negativa queda unívocamente determinada mediante los parámetros N y p, siendo N un número Natural mayor que 0 y p un número Real entre 0 y 1. El estimador de los momentos para ellos es:

ianzamediapestimado var

=

mediaianzamediaNestimado −

=var

2

Sólo si la media es menor que la varianza estos parámetros tomarán valores en sus respectivos rangos de definición, pues en otro caso p>1 y N<0.

Sin embargo, eliminar o no la distribución de Poisson lleva consigo definir el “significado de similitud” de la media y la varianza. Es decir: ¿qué distancia máxima ha de existir entre media y varianza para que puedan considerarse similares?

La Poisson queda unívocamente determinada por un único parámetro (λ) que coincide con la media y la varianza. El estimador de los momentos y de máxima verosimilitud del parámetro es la media.

mediaestunado =λ

Por este motivo la decisión de eliminar o no la distribución de Poisson no se tomará en esta fase sino a partir del estudio de los histogramas y los test de ajuste como se explica a continuación.

EJEMPLO:

Se obtiene de la base de datos de eventos operacionales, el número de fraudes diarios que se producen en la Red de sucursales de una entidad bancaria.

117

Se calcula la media y la varianza:

MEDIA: Número medio de fraudes que se producen al día.

n

xMEDIA

n

ii∑

== 1

donde:

n: número de días en los que se han observado la cantidad de fraudes ocurridos.

x i: número de fraudes observados en el día i-ésimo.

118

En el ejemplo la media es 4.8788 y se puede calcular con la función “AVERAGE” de EXCEL.

VARIANZA: Medida del grado de dispersión de los datos en relación con la media.

( )

n

mediaxVARIANZA

n

ii

2

1∑

=

−=

en la cual n y xi se definen de la misma manera que el apartado anterior.

En el ejemplo la varianza es 10.8338 y se puede calcular con la función “VAR” de EXCEL.

CONCLUSIÓN EJEMPLO:

En este caso la media es menor que la varianza con lo cual la distribución Binomial queda descartada. La elección ahora está entre la Poisson y la Binomial Negativa. Dado que el número de observaciones no es muy grande, descartar la Poisson sería arriesgado. Se dejará a los histogramas y test de bondad de ajuste esta decisión.

Fichero de EXCEL de referencia: frecuencia.xls / método sencillo.

4.2.2 Histograma

El histograma es una representación gráfica de las frecuencias observadas de distintos sucesos. Cada suceso se representa en el histograma mediante una barra cuya altura representa la frecuencia de dicho suceso.

En el caso que nos ocupa, los sucesos son el número de eventos de un riesgo operacional concreto, que se producen en un intervalo de tiempo definido a priori.

Construyendo una gráfica que incluya el histograma y varios ajustes teóricos se podrá tener una visión gráfica de qué distribución proporciona el mejor ajuste.

EJEMPLO:

Una vez descartada la Binomial, la elección está entre la Poisson y la Binomial negativa.

El gráfico muestra la relación entre frecuencias observadas y esperadas mediante el histograma y los ajustes Poisson y Binomial Negativa, lo que permite comparar qué distribución se ajusta mejor a los datos.

119


Se observa que la distribución Binomial Negativa ajusta mejor los datos que la Poisson. Por tanto la conclusión del histograma es que el mejor ajuste es el que proporciona la Binomial Negativa.

Fichero de EXCEL de referencia: frecuencia.xls / gráficos

4.2.3 Test de bondad de ajuste CHI- CUADRADO

Es el test estadístico más comúnmente utilizado para medir la bondad del ajuste de los datos empíricos a la distribución teórica, en el caso de distribuciones discretas.

Este test consiste en medir las distancias entre las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas o ajustadas por la distribución teórica. Si estas distancias son pequeñas se concluirá que la población se ajusta a la distribución elegida y en caso contrario se rechazará esa distribución.

El estadístico en el que se fundamenta el test es el Estadístico de Pearson (Tk), cuya distribución es conocida.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

frec.observadas

frec.teóricaPoisson

frec.teóricaBinomialNegativa

120

Este estadístico para ser calculado precisa dividir el recorrido de la distribución poblacional en k conjuntos disjuntos A 1, A 2,...., A k y se define del siguiente modo:

( ) ( )∑∑

==

−=

−=

k

i i

iik

i i

iik np

npOe

eOT

1 0

20

1

2

donde:

pi0: probabilidad de cada A i bajo la distribución teórica elegida que denotaremos por F0.

n: tamaño de la población.

Oi: número de observaciones que forman Ai

ei: número de observaciones esperadas para Ai, esto es: ei = n*pi0.

Por tanto, Tk acumula las diferencias al cuadrado entre el número de observaciones en cada conjunto Ai y el número de ellas que cabría esperar según F0, ponderándolas mediante 1/ei (puesto que no parece lógico dar la misma importancia a una diferencia de 2, por ejemplo, donde eran de esperar 20 observaciones que donde había que esperar solamente 5).

La distribución del estadístico Tk, cuando n tiende a infinito, converge a una χ2k-1-p

siendo k el número de grupos realizados y p el número de parámetros que ha sido necesario estimar para definir la distribución teórica. Luego una χ2

k-1-p proporciona una distribución aproximada para Tk. Ahora bien, para que la aproximación sea aceptable, es aconsejable que:

Los conjuntos A i , se elijan de forma que cumpla que npi0 ≥ 5 para cada i=1,2,...,k.

El número k de elementos de la partición no sea inferior a 5 (salvo en ajustes a distribuciones discretas con menor número de valores posibles) .

Estas dos condiciones determinan el mínimo valor que debe tomar n. El hecho de que k ≥ 5 implica que tendrá que ser alguna de las pi0 ≤ 1/5 y como por otro lado npi0 ≥ 5 para todo i, se deduce que n ha de ser al menos 25, esto es, que al menos se necesitan 25 datos para poder aplicar este método.

Tenemos por tanto, las dos partes esenciales del método:

Un estadístico que mide la discrepancia entre las frecuencias observadas y las probabilidades indicadas por el modelo a contrastar.

La distribución de este estadístico, que es una distribución conocida (χ2k-1-p). Por tanto

para cualquier k se conoce F(k)= P{χ2k-1-p ≤ k} y en consecuencia también P{χ2

k-1-p > k}.

121

Los pasos a seguir son los siguientes:

PASO 1: Dividir el recorrido de la distribución poblacional en k conjuntos disjuntos: A1, A2,...., Ak de modo que se cumpla:

k >= 5 (salvo en ajustes a distribuciones discretas con menor número de valores posibles) .

npi0 >=5 siendo pi0 la probabilidad de cada Ai .

PASO 2: Calcular Oi (número de observaciones que forman cada Ai)

PASO 3: Calcular el estadístico de Pearson:

( ) ( )∑∑

==

−=

−=

k

i i

iik

i i

iik np

npOe

eOT

1 0

20

1

2

PASO 4:

Para un nivel de significación concreto, 1-α, se calcula 2,1 αχ pk −− que no es más

que el valor de la 21 pk −−χ que deja a la derecha una probabilidad α (es decir, 1- Fχ2

k-1-p

( 2,1 αχ pk −− ) = α).

Si Tk > 2,1 αχ pk −− rechazar la hipótesis nula.

Si Tk < 2,1 αχ pk −− aceptar la hipótesis nula.

Pero puede ocurrir:

Que esta decisión esté forzada, esto es, que variaciones muy pequeñas del nivel de confianza nos lleven a tomar la decisión contraria.

Que no se quiera dar un nivel de significación concreto.

Para ello se recurre a la prueba del p-valor con el fin de que nuestra argumentación de rechazar o no el ajuste, quede bien justificada.

El p-valor se define como el menor valor de significación a partir del cual se rechaza la hipótesis nula.

En este caso el p-valor es:

P-valor= P{χ2k-1-p > Tk}.

Por ejemplo, si se supone que se ha realizado el test de Chi-Cuadrado para verificar si una población es Poisson ,esto es:

122

Hipótesis nula: H0: F = F0 con F0 ≡ Poisson

Hipótesis alternativa: H1: F ≠ F0.

Y se supone que el número de grupos de la partición es 5 (k = 5) y el resultado del test es T5= 11.34 entonces el p-valor para esta población es P{ {χ2

3 >11,34 } = 0,01 (probabilidad que está tabulada en las tablas de la χ2 y que EXCEL permite calcular mediante la función CHIDIST).

Si el p-valor es muy próximo a 0 se rechaza la hipótesis nula con seguridad mientras que si es próximo a 1 no hay motivos para rechazarla. El baremo que se suele utilizar es el siguiente:

Si p-valor ∈ [ 0, 0.05] entonces rechazar la hipótesis nula.

Si p-valor ∈ [ 0.1, 1] entonces aceptar la hipótesis nula.

En otro caso analizaremos la situación.

EJEMPLO:

El histograma se decanta por la Binomial Negativa. Los test de bondad de ajuste son ahora los que deberán ratificar si la Binomial Negativa es mejor ajuste que la Poisson.

Para ello se presenta a continuación el test CHI-CUADRADO para estos dos casos:

CASO F0 = POISSON:

El primer paso es la estimación del parámetro. El estimador del parámetro en la Poisson es la media, por tanto:

λ estimado = media = 4.8788 (calculado anteriormente).

123

Se divide el rango de número de fraudes que se producen diariamente en 5 subgrupos A1, A 2,...,A 5 como muestran los colores de la tabla siguiente, tratando que la probabilidad esperada de cada grupo sean mayores que 5 aproximadamente.

Por tanto la tabla definitiva es:

El valor del estadístico de Pearson es 5,5549.

Como el número de subconjuntos de la partición es 5 y se estima un parámetro, la distribución del estadístico de Pearson es χ2

3.

El p-valor en estas condiciones es:

p-valor = P{χ23 > 5.5549} =0.1354

Luego se concluye que no hay motivos para rechazar el ajuste de esta población mediante una Poisson(4,8788).

124

CASO F0 = BINOMIAL NEGATIVA:

El primer paso es la estimación de los parámetros:

4367.0var

==ianza

mediapestimado

mediaianzamediaNestimado −

=var

2

= 3.7821≈ 4

Se divide el rango de número de fraudes en 5 subgrupos A1, A 2, A 3, A 4, A 5 como muestran los colores de la tabla siguiente.

La tabla definitiva es:

El valor del estadístico de Pearson es 3.7852.

125

Como el número de subconjuntos de la partición es 5 y se estiman dos parámetros, la distribución del estadístico de Pearson es χ2

2 .

El p-valor en estas condiciones es:

p-valor = P{χ22> 3.7851} = 0,1506

Luego se concluye que no hay motivos para rechazar el ajuste de esta población mediante una Binomial Negativa (0,44; 4).


Ambas poblaciones pasan el test pero en el caso de la Binomial Negativa el p-valor es más alto. Por tanto, el test estadístico se decanta por la Binomial Negativa como mejor distribución de ajuste. En este sentido, se modeliza la frecuencia de ocurrencia de los eventos con una distribución Binomial Negativa de parámetros N=4 y p= 0,44.

Fichero de EXCEL de referencia: frecuencia.xls / test CHI-CUADRADO.

126

4.3 MODELIZACIÓN DE LA FUNCIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE LOS IMPACTOS (SEVERIDAD)

El rango de distribuciones estadísticas que permite modelizar las severidades puede ser muy amplio: Exponencial, Weibull, Lognormal, Normal, Gamma, etc.

Para seleccionar entre las distribuciones posibles, la que mejor se ajuste a los datos disponibles, se propone utilizar los siguientes métodos de análisis complementarios.

Método de eliminación de distribuciones candidatas: Gráficos “QQ-plot”

Método de selección de distribuciones:

o Tests de bondad de ajuste: Chi-Cuadrado,Kolmogorov-Smirnov y Cramer-Von Mises

o Gráfico “Función exceso sobre la media”

o Gráficos “PP-plot (con parámetros estimados)”

4.3.1 Método de eliminación de distribuciones candidatas: Gráficos “QQ-plot”

Los “QQ-Plots” son test gráficos que enfrentan cada cuantil muestral (cuantil de la distribución empírica) con el correspondiente cuantil de la distribución teórica propuesta.

Las definiciones de cuantil muestral y cuantil de una distribución teórica continua son:

CUANTIL MUESTRAL:

Se define cuantil muestral, cp para cada p∈ (0,1) como aquel valor que verifica simultáneamente:

Fn(cp) ≥ p y Fn(cp¯) ≤ p

(siendo F(x¯)= )(lim yFxy→ )

Donde Fn es la función de distribución empírica de la muestra x1, x2, ..., xn (que ordenada se denota por x1:n, x2:n, ..., xn:n) y se define como:

Fn (x) =n

x≤ nesobservacio de nº =

nx} xi, card{ :ni ≤

= { }∑=

≤

n

ixx ni

In 1

:

1

127

Siendo:

card { ...}: Conjunto cardinal o conjunto cantidad de elementos.

I {...}(x): Función indicador de x. Si x∈ {...} su valor es 1 y en otro caso es 0.

Como la función de distribución empírica, Fn, es distribución discreta, los cuantiles muestrales se expresan cómodamente en función de los elementos de la muestra ordenada x1, x2, ..., xn:

Si np no es un número natural y denotamos por [np] su parte entera: [ ] nnpp xc :)1( +=

Si np es un número natural puede no quedar unívocamente determinado, al poder ser Fn(x)=p para cualquier x∈[x(np),x(np+1)). Se deshace la ambigüedad fijando:

2:)1(:)( nnpnnp

p

xxc ++

=

Por ejemplo la mediana es el cuantil p=1/2, que es simplemente el valor central de la muestra ordenada, en el caso en que n es impar, y la semisuma de los dos valores centrales cuando n es par.

CUANTIL DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA F:

Se define cuantil, cp, para cada p∈ (0,1) de una distribución continua F como aquel valor que verifica F-1(cp)=p, siendo F-1 la función inversa de F.


Ordenar la población x1, x2,..., xn en orden creciente: x1:n, x2:n, ..., xn:n

Calcular para cada k la CORRECCIÓN DE FISHER:

nkp nk

5,0:

−=

(En el caso de la Normal y Lognormal la corrección más comúnmente

utilizada es: 4

18

3:

+

−=

n

ip nk )

Calcular F-1(pk:n) siendo F la distribución teórica propuesta.

Dibujar el gráfico (xk:n , F-1(pk:n)) .

128

Realizar el ajuste lineal. EXCEL realiza este ajuste mediante la opción “ADD TRENDLINE” con opción de mostrar:

o La ecuación de la recta de ajuste: y = ax + b

o El valor de R2

Con estos datos se puede dar una valoración del ajuste de la distribución teórica a la población.

R2≈1 indica que el ajuste lineal es bueno y por tanto que la función teórica elegida ajusta bien a la población.

R2≈0 indica que el ajuste lineal es malo y por tanto que la función teórica elegida no ajusta a la población.

Este test es equivalente al test gráfico PP-Plot. La única diferencia es que el gráfico que se utiliza en el PP-Plot es (pk:n , F(xk,n)) mientras que el del QQ-Plot es (F-

1(pk:n) , xk,n) .

EJEMPLO:

Se obtiene de la base de datos de eventos poblacionales el valor, en miles de euros, de las pérdidas diarias que sufre una entidad bancaria por fraudes.

129

El problema a tratar es la modelización de las severidades. Se toman de partida para ajustar la población las distribuciones Normal, Exponencial , Weibull y Lognormal.

El QQ-PLOT da una idea de cuál o cuáles de ellas son más apropiadas.

QQ-PLOT NORMAL y = 0,002x - 0,4318R2 = 0,567

-3-2-1012345

0 500 1000 1500 2000 2500

xi

ln(F

^(-1

)(i-3

/8 /

161-

1/4

QQ-PLOT EXPONENCIAL y = 0,0023x + 0,4796R2 = 0,8835

0

1

2

3

4

5

6

0 500 1000 1500 2000 2500

xi

F^(-1

)(i-0

,5/1

61

130


Según R2 el peor ajuste es el de la Normal. En cuanto a la Exponencial, la Weibull y la Lognormal, tienen un valor de R2 cercano a 1 con lo cual se dejará la decisión de tomar una u otra a los métodos de selección de distribuciones.

Fichero de EXCEL de referencia: severidad.xls / QQ-PLOT

QQ-PLOT WEIBULL y = 0,5094x - 2,4518R2 = 0,996

-7-6-5-4-3-2-1012

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

ln(xi)

F^(-1

)(i-0

,5/1

61

QQ-PLOT LOGNORMAL y = 0,021x - 1,6993R2 = 0,9583

-4-3-2-101234

0 50 100 150 200

ln(xi)

NORM

INV(

i-0,5

/161

131

4.3.2 Test de bondad de ajuste: Chi-Cuadrado, Kolmogorov-Smirnov y Cramer-Von Mises

Para medir la bondad del ajuste de los datos empíricos a la distribución estadística seleccionada se utiliza, también, el test Chi-Cuadrado (véase el apartado anterior sobre Modelización de la función de la distribución de frecuencias).

Sin embargo existen otros tests de bondad de ajuste que solamente son aplicable a distribuciones continuas10. Es el caso de el test de Kolmogorov-Smirnov y el test de Cramer-Von Mises los cuales, en general, dan mejores resultados para este tipo de distribuciones, que el anterior.

Test de KOLMOGOROV-SMIRNOV.

El test de Kolmogorov–Smirnov verifica las diferencias existentes entre la distribución empírica y la distribución estadística seleccionada F0. Calcula la máxima distancia existente entre ambas distribuciones, de tal forma que si este valor máximo se considera “grande” (según unos criterios que veremos a continuación) significa que la distribución estadística no ajusta bien la población y se rechazaría la hipótesis nula H0: F = F0 en favor de la hipótesis alternativa H1: F≠ F0. Si por el contrario el valor máximo es “pequeño” entonces se concluirá que no hay motivos para rechazar este ajuste.

El estadístico en el cual se fundamenta este test es el estadístico de Kolmogorov-Smirnov (Dn), cuya distribución es conocida.

La expresión de este estadístico es:

Dn= sup )()( 0 xFxFn − para todo x∈ R

La función de distribución de este estadístico es la siguiente:

F(z) = P{ Dn ≤ z } = { } dunduduInn

z

zn

nnz

zunuu

nnz

zn

n

z

zn

...21...!

1

2

1

11....210

2

11∫ ∫∫∫+

−

−+

−<<<<<

−+

−−

−

10 Por tanto no es aplicable para la distribuciones que modelizan la frecuencia de ocurrencia de los eventos operacionales.

132

Tal expresión no proporciona un resultado explícito, pero permite tabular la distribución de Dn. Así existen tablas que a partir de los valores de α (nivel de confianza) y n (tamaño de la muestra) devuelven el valor de dn,α tal que P{ Dn > dn,α } = α. ( En el ANEXO 1 se muestra la tabla de Kolmogorov-Smirnov)


PASO 1: Dada una población de tamaño n que se denota como x1, x2, ..., xn , se calcula su distribución empírica Fn del siguiente modo:

Se ordenan los valores de la población que sean distintos de menor a mayor: x1:n, x2:n, ..., xm:n.

Se calcula la frecuencia relativa de cada xi:n : f1, f2, ... ,fm

Se calcula la función de distribución empírica: Fn (x) =n

fxxi

ini

∑≤ },{ :

En el caso de que todos los datos de nuestra población sean diferentes(fi=1,∀i) la fórmula se simplifica en:

Fn (x) =n

x≤ nesobservacio de nº =

nx} xi, card{ :ni ≤

= { }∑=

≤

n

ixx ni

In 1

:

1

Siendo:

o card { ...}: Conjunto cardinal o conjunto cantidad de elementos.

o I {...}(x): Función indicador de x. Si x∈ {...} su valor es 1 y en otro caso 0.

133

EJEMPLO:

Calculamos en EXCEL la función de distribución empírica, Fn(x):

La columna x(i) representa el valor de las pérdidas diarias que se pueden producir, ordenadas de menor a mayor.

La columna frecuencia representa el número de días que se han producido pérdidas por valor de x(i) y la columna frecuencia acumulada, el número de días que se han producido pérdidas de valor como máximo x(i).

fr.acumulada(x(i)) = nº días que tienen perdidas ≤ x(i)

La última columna, Fn(xi), calcula la función de distribución empírica para cada x(i) como:

( )( ) ( )( )n

ixacumuladafrixFn.=

siendo n el número total de días observados.

Por último y como la función de distribución empírica es discreta (con forma escalonada y continua por la derecha), para cualquier x tal que cumpla x(i) ≤ x < x(i+1) se tiene Fn(x) = Fn(x(i)).

PASO 2: Calcular el valor del estadístico de Kolmogorov-Smirnov:

Dn= sup { x ∈ R } )()( 0 xFxFn −

siendo F0(x) = P { F0 ≤ x }, esto es, el valor de la función de distribución teórica en x.

134

Ahora bien, el valor de Dn se alcanza cuando x coincide con alguno de los elementos de la muestra (o a la izquierda de uno de ellos) por ello la fórmula anterior queda simplificada a la siguiente:

Dn =máx { máx { 1≤ i ≤ n } [ Fn (x (i)) - F0 (x (i))] , máx { 1≤ i ≤ n } [ F0 (x (i)) – Fn (x (i-1))]}

La explicación de la simplificación realizada para calcular Dn se realiza en ANEXO 2.

PASO 3:

Para un nivel de significación concreto, α, buscar en las tablas de Kolmogorov-Smirnov dn,α (dicha tabla se presenta en el ANEXO 1)

Si Dn> dn,α rechazar la hipótesis nula

Si Dn< dn,α aceptar la hipótesis nula

En caso de no considerar un nivel de significación concreto se realiza la prueba del p-valor para decidir si rechazar o no el ajuste.


Si p-valor ∈ [ 0, 0.05] entonces se rechaza la hipótesis nula en favor de la alternativa.

Si p-valor ∈ [ 0.1, 1] entonces se acepta la hipótesis nula.

En otros casos se deberá recurrir al resto de métodos propuestos para seleccionar la mejor distribución.

EJEMPLO :

La decisión está entre la Exponencial, la Weibull y la Lognormal. Se calcula el test de Kolmogorov-Smirnov para cada una de estas distribuciones.

La media y la varianza de la base de datos de fraudes son:

Media = 230,4192

Varianza = 213.742,5

El primer paso para realizar un test de hipótesis es la estimación de los parámetros de las distribuciones teóricas a ajustar.

135

Caso Exponencial:

El estimador para λ es:

mediaestimado

1=λ

En el ejemplo:

0043.0

42,23011 ≈==

mediaestimadoλ

Fichero de EXCEL de referencia: severidad.xls/PARÁMETROS EXPYLOGNORMAL

Caso Weibull:

Los estimadores para los parámetros de la Weibull son:

estimado

ESTIMADO

n

iiESTIMADO x

nββη

1

1

1

= ∑=

1

1

11

11

)()(−

=

−−

==

−

= ∑∑∑n

ii

n

ii

n

iiiESTIMADO xLNnxxLNx ESTIMADOESTIMADO βββ

La resolución de este sistema se puede llevar a cabo en EXCEL mediante la opción SOLVER.

En el ejemplo:

βestimado= 0,5126

ηestimado= 123,069

Fichero de EXCEL de referencia: severidad.xls/PARÁMETROS WEIBULL

Caso Lognormal:

Los estimadores de los parámetros son:

o Media muestral de la serie de los logaritmos neperianos: 6831,3=µ

o Desviación típica muestral de la serie de los logaritmos neperianos: 4966,2=σ

136

Fichero de EXCEL de referencia: severidad.xls/PARÁMETROS EXP Y LOGNORMAL

137

El test de Kolmogorov-Smirnov para cada caso es:

CASO EXPONENCIAL:

El valor del estadístico de Kolmogorov-Smirnov es 0,3085.

El p-valor= P(D161 >0,3085)<0,01 pues P(D161 >0,1284)=0,01. Por tanto hay motivos para rechazar que la población se distribuya como Exponencial.

La tabla de EXCEL en la cual se realizan los cálculos se muestra a continuación:

138

CASO WEIBULL:


El p-valor= P(D161 >0,0558)>0.2 pues el mayor nivel de significación que se tabula en la tabla P(D161 >0,08456)=0.2. Por tanto no hay motivos para rechazar la Weibull como posible ajuste de la población.


139

CASO LOGNORMAL:


El p-valor= P(D161 >0,0979) ≈ 0,1 P(D161 >0,0939)=0,1. Por tanto no hay motivos para rechazar la Lognormal como posible ajuste de la población.


CONCLUSIÓN EJEMPLO: La Weibull y la Lognormal pasan el test de Kolmogorov-Smirnov y de entre ellas se decanta por la Weibull(0,51257; 123,069) por tener el p-valor más alto.

Fichero de EXCEL de referencia: severidad.xls / TEST K-S y PP-Plot.

140

Test de CRAMER-VON MISES

El test de Cramer-Von Mises tiene las mismas aplicaciones que el Test de Kolmogorov-Smirnov.

El estadístico en el cual se fundamenta es el estadístico de Cramer-Von Mises (Tn)

La expresión de este estadístico es:

Tn= 2

10 ))()((

121 ∑

=

−+n

iiin xFxF

n

Los valores de la función de distribución de este estadístico están tabulados en tablas que a partir de los valores de α (nivel de confianza) y n (tamaño de la muestra) devuelven el valor de tn,α tal que P{ Tn > tn,α } = α. ( En el ANEXO 2 se muestra la tabla de Cramer-Von Mises)

La diferencia entre ellos es la mayor sensibilidad del estadístico de Cramer-Von Mises a puntos irregulares en la muestra (o puntos aberrantes). Supongamos que tengo una muestra con un dato falseado (por ejemplo en una muestra que recoge impactos en miles de euros un dato falseado sería una cifra en euros). Esta muestra no pasaría el Test de Kolmogorov – Smirnov pues este test se basa en la distancia máxima entre la distribución teórica y la empírica, pero si pasaría el Test de Cramer - Von Mises pues la muestra se adapta a la distribución teórica en todos los puntos excepto en el que corresponde al dato falseado.

La solución que se plantea a este respecto es la siguiente: Si los dos test mencionados anteriormente no concluyen en el mismo sentido (uno acepta y otro rechaza) se estudiará la posibilidad de existencia de datos falseados. Los test gráficos son una importante herramienta para localizar estos posibles puntos aberrantes que habrá que estudiar detenidamente.

Los pasos a seguir para el cálculo del estadístico de Cramer–Von Mises son los siguientes:

PASO 1: Dada una población de tamaño n que se denota como x1, x2, ..., xn , se calcula su distribución empírica Fn como se explicó anteriormente.

PASO 2: Calcular el valor del estadístico de Cramer – Von Mises

Tn= 2

10 ))()((

121 ∑

=

−+n

iiin xFxF

n

141

PASO 3:

Para un nivel de significación concreto, α, buscar en la tabla de Cramer–Von Mises tn,α (dicha tabla se presenta en el ANEXO 2)

Si Tn> tn,α rechazar la hipótesis nula.

Si Tn< tn,α aceptar la hipótesis nula.

En caso de no considerar un nivel de significación concreto se realiza la prueba del p-valor para decidir si rechazar o no el ajuste.


Si p-valor ∈ [ 0, 0.05] entonces se rechaza la hipótesis nula en favor de la alternativa.

Si p-valor ∈ [ 0.1, 1] entonces se acepta la hipótesis nula.

En otros casos se deberá recurrir al resto de métodos propuestos para seleccionar la mejor distribución.

142

EJEMPLO :

El test de Cramer-Von Mises para cada caso es:

CASO EXPONENCIAL:

El valor del estadístico de Cramer-Von Mises es 5,2734.

El p-valor= P(T161 >5,2734)<0,01. Por tanto hay motivos para rechazar que la población se distribuya como Exponencial.


143

CASO WEIBULL:


El p-valor= P(T161 >0,0625) ∈ [0,8;0,85]. Por tanto no hay motivos para rechazar la Weibull como posible ajuste de la población.


144

CASO LOGNORMAL:


El p-valor= P(T161>0,3059) ∈ [0,1; 0,15]. Por tanto no hay motivos para rechazar la Lognormal como posible ajuste de la población.


CONCLUSIÓN EJEMPLO: La Weibull y la Lognormal pasan el test de Cramer-Von Mises y de entre ellas se decanta por la Weibull(0,51257; 123,069) por tener el p-valor más alto.

Fichero de EXCEL de referencia: severidad.xls / TEST K-S y PP-Plot.

145

Es importante señalar que los test de bondad de ajuste nos proporcionan una medida general del ajuste que la distribución teórica hace a la distribución empírica. Así puede ocurrir que nuestra distribución pase el test, porque el ajuste general es bueno y sin embargo el ajuste de las colas no sea apropiado.

Dado que un buen ajuste de las colas es una de nuestras máximas preocupaciones para el cálculo de una cifra de VaR afinada, es importante realizar tests que nos permitan decidir cuánto de apropiado es el ajuste también en las colas.

Los gráficos función exceso sobre la media y los PP-Plot son muy útiles en este sentido.

4.3.3 Gráfico “FUNCIÓN EXCESO SOBRE LA MEDIA”

Un método gráfico para distinguir entre modelos de colas suaves o pesadas es el método función exceso sobre la media. Dicho método se basa en la comparación de las funciones:

Función exceso sobre la media teórica.

Función exceso sobre la media empírica.

FUNCIÓN EXCESO SOBRE LA MEDIA:

Sea X una variable aleatoria con función de distribución F. Se define la función exceso sobre la media como:

e(u) = E[ X-u / X>u ] con ∞<≤ u0

esto es, la función que a cada valor u hace corresponder la media de los excesos sobre u de la población.

La función exceso sobre la media depende de la distribución de la variable aleatoria, X, a la que se refiere. El siguiente dibujo muestra los gráficos función exceso sobre la media para la Weibull, Lognormal, Gamma, Exponencial y Pareto:

146

Se observa que en distribuciones de colas anchas cuanto más ancha es la cola, más rápido es el crecimiento de su función exceso sobre la media.

La expresión analítica de estas funciones se desarrolla en el ANEXO 4.

FUNCIÓN EXCESO SOBRE LA MEDIA EMPÍRICO:

Sea x1, x2,..., xn observaciones de severidad de impactos de un determinado riesgo, y sea Fn la distribución empírica asociada a estas observaciones. Se define la función exceso sobre la media empírico como:

)()(

1))(1()(1

1)()(

uxucard

yyFuF

ueui

inu

nn

nn

−∆

=∂−−

= ∑∫∆∈

∞

con 0≥u

siendo =∆ )(un { i tal que i=1,..., n y x i >u } y haciendo el convenio de 000 = .

Dado que una distribución continua queda unívocamente determinada por la función exceso sobre la media, comparando el gráfico función exceso sobre la media empírico con los gráficos de exceso sobre la media teórico se podrá decidir qué distribución ajusta mejor los datos.

o lognormal Weibull: β < 1

Pareto

Gamma: α > 1

Exponencial

Weibull: β > 1

147

Por tanto, los pasos a seguir dada una muestra x1, x2, ..., xn que ordenada denotamos por x1:n, x2:n, ..., xn:n son:

Dibujar el gráfico observaciones contra función exceso sobre la media empírico para esas observaciónes: (xk:n, en(xk:n))

Comparar este gráfico con los gráficos de exceso sobre la media teórico (xk:n, e(xk:n)), que se mostraban en la gráfica anterior, eligiendo como mejor ajuste, aquella distribución teórica cuyo gráfico exceso sobre la media guarde más semejanzas con el gráfico exceso sobre la media empírico, en el sentido de seguir una misma tendencia.

En el ANEXO5 se muestran gráficos de comparación de la función exceso sobre la media teórico de las distribuciones Pareto, Exponencial, Weibull y Lognormal con la función exceso sobre la media empírico de simulaciones de éstas.

EJEMPLO:

Se dibuja el gráfico “función exceso sobre la media empírico (xk:n, en(xk:n)).

Se observa una tendencia creciente pero lenta, características de la función exceso sobre la media para la Weibull y la Lognormal (véase ANEXO 5).

GRÁFICO EXCESO SOBRE LA MEDIA EMPÍRICO

0200400

600800

10001200

14001600

0 100 200 300 400 500 600 700 800

u

en(u

)

148

Se desecha, por tanto la Exponencial como posible ajuste ya que la función exceso sobre la media de ésta es constante y la función exceso sobre la media empírico para nuestra base de datos, tiene una clara tendencia creciente.

Fichero de EXCEL de referencia: severidad.xls / GRAF.MEDIA

4.3.4 Gráficos – “PP-plot” (utilizando los parámetros estimados)

Los “PP-Plots” son test gráficos que enfrentan la función de distribución empírica con la función de distribución teórica.


Ordenar la población x1, x2,..., xn en orden creciente: x1:n, x2:n, ..., xn:n

Calcular para cada k la CORRECCIÓN DE FISHER:

nkp nk

5,0:

−=

(En el caso de la Normal y Lognormal la corrección más comúnmente

utilizada es: 4

18

3:

+

−=

n

ip nk )

Se calcula F(xk:n) siendo F la distribución teórica elegida para los parámetros estimados.

Dibujar el gráfico (pk:n , F(xk:n)) .

Realizar el ajuste lineal. EXCEL realiza este ajuste mediante la opción “ADD TRENDLINE” con la opción de mostrar:

o La ecuación de la recta de ajuste: y = ax + b

o El valor de R2

Con estos datos se puede dar una valoración del ajuste de la distribución teórica a la población.

R2≈1 indica que el ajuste lineal es bueno y por tanto que la función teórica elegida ajusta bien a la población.

R2≈0 indica que el ajuste lineal es malo y por tanto que la función teórica elegida no ajusta a la población.

149

Este test es equivalente al test gráfico QQ-Plot (utilizando parámetros estimados). Se diferencian en que el gráfico que se utiliza en el PP-Plot (utilizando parámetros estimados) es (pk:n , F(xk,n)) mientras que el del QQ-Plot (utilizando parámetros estimados) es (F-1(pk:n) , xk,n) .

Resaltar que la única diferencia entre el QQ-Plot y QQ-Plot utilizando parámetros estimados (o equivalentemente el PP-Plot y PP-Plot utilizando parámetros estimados) es que el primero compara familias paramétricas de distribuciones, esto es, sin considerar estimaciones de los parámetros, mientras que el segundo compara una única distribución que esta completamente especificada mediante los parámetros estimados. Por ello la calidad del ajuste en el caso de los test que utilizan parámetros estimados no sólo es que R2 este próximo a 1 sino también que la recta del ajuste este próxima a la bisectriz del primer cuadrante.

EJEMPLO:

Se realizan los PP-PLOT para la Exponencial, la Weibull y la lognormal, con los parámetros estimados anteriormente.

PP-PLOT EXPONENCIAL y = 1,1389x - 0,217R2 = 0,9192

-0,4

-0,20

0,2

0,4

0,60,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Fn(xi)

Fo(x

i)

150


El PP-PLOT se decanta por la Weibull(0,51257; 123,069) como mejor ajuste ya que el valor R2 es muy próximo a uno y la recta es prácticamente la bisectriz del primer cuadrante.

PP-PLOT WEIBULL y = 1,0073x - 0,007R2 = 0,9956

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Fn(xi)

Fo(x

i)

PP-PLOT LOGNORMALy = 0,9567x + 0,0413

R2 = 0,9825

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Fn(xi)

Fo(x

i)

151

Resaltar, además, el hecho de que los gráficos en el caso Exponencial y Lognormal ajustan mal las colas (los puntos del extremo derecho e izquierdo se ajustan mal a la recta) mientras que el ajuste de la Weibull en éstas es más apropiado.

Fichero de EXCEL de referncia: severidad.xls / TEST K-S Y PP-PLOT

CONCLUSIÓN EJEMPLO MÉTODOS DE SELECCIÓN DE DISTRIBUCIONES:

Los test de bondad de ajuste se inclinan por la Weibull y la Lognormal, si bien la Weibull tiene un p-valor mayor.

Los test gráficos función exceso sobre la media seleccionan la Weibull y la Lognormal.

Los PP-plot eligen la Weibull y muestran las deficiencias del ajuste que las distribuciones Exponencial y Lognormal hacen sobre la cola de la distribución empírica.

Por tanto, de los análisis estadísticos realizados se desprende que, en este caso, la Weibull es la mejor distribución para modelizar las severidades.

152

4.4 OBTENCIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE PÉRDIDAS OPERACIONALES PARA CADA EVENTO / LÍNEA DE NEGOCIO. CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO OPERACIONAL

Una vez modelizadas las distribuciones estadísticas de frecuencia de ocurrencia de los eventos operacionales y severidad, es necesario realizar un proceso de agregación o convolución de ambas. A partir de ésta ya se puede calcular el Valor en Riesgo Operacional con el nivel de confianza que se defina.

Denotamos:

gi,j : función de densidad de la variable aleatoria pérdidas operacionales, para el riesgo j de la línea de negocio i.

pi,j : función de masa de la variable aleatoria frecuencia de impactos, para el riesgo j de la línea de negocio i.

fi,j : función de densidad de la variable aleatoria severidad del impacto, para el riesgo j de la línea de negocio i.

Se define la función de densidad de la pérdida operacional del siguiente modo:

)()( *,

1, xfnp n

jin

ji∑∞

= si 0>x

=)(, xg ji

)0(, jip si 0=x

donde * es el operador convolución y fi,jn* es la convolución de fi,j consigo misma n veces.

(La explicación detallada de esta función de densidad se encuentra en el ANEXO 6)

El proceso de agregación o convolución se puede realizar mediante modelos paramétricos y no paramétricos. No obstante, dado que los primeros no son muy exactos ni fáciles de aplicar, se propone un modelo no paramétrico, la simulación de Monte Carlo.

Para realizar dicha simulación de Monte Carlo se distinguen los siguientes pasos:

153

a. Generar escenarios aleatorios de la frecuencia de ocurrencia de los eventos operacionales

Para ello se generan números aleatorios de la función de distribución de frecuencias modelizada.

EJEMPLO:

La función de distribución de frecuencias modelizada es una Poisson con λ = 1,2.

A continuación se generan números aleatorios de Poisson, por ejemplo, 10.000.

Esto se puede hacer con cualquier generador de números aleatorios fiable. Por ejemplo, en EXCEL se puede realizar a partir del menú TOOLS/DATA ANALYSIS/RANDOM NUMBER GENERATION.

b. Generar tantos escenarios aleatorios para la severidad como señale la frecuencia generada para dicho escenario en el paso a. anterior.

Para ello se generan tantos números aleatorios de la función de distribución de severidades como marque el número de eventos simulado en el paso a. anterior.

Ejemplo:

La función de distribución de severidad modelizada es una Lognormal con µ = 7,2 y σ = 3,9.

A continuación se generan números aleatorios uniformes. Por ejemplo, 3 para el escenario número 10.

154

Con cada uno de estos números aleatorios se obtiene la severidad a partir de la función de distribución acumulada de la Lognormal (µ,σ). Para ello utilizamos la función “LOGINV” de EXCEL.

c. Para cada escenario, sumar las severidades generadas.

Con ello se consigue para cada escenario, un valor simulado de la variable aleatoria pérdidas operacionales.

Ejemplo:

Siguiendo con el ejemplo anterior, en la hoja de EXCEL se añade una columna “TOTAL” que contenga la suma de severidades generadas para cada escenario.

155

d. Cálculo del VaR Operacional11 con un nivel de confianza α. Pérdidas esperadas e inesperadas.

Una vez que se tiene para cada escenario un valor simulado de la variable aleatoria pérdidas, se calcula el percentil para el nivel de confianza α escogido12. Este percentil es el valor del VaR Operacional a nivel α.

Las Pérdidas esperadas se calculan como la media de los escenarios de pérdida generados.

Las Pérdidas inesperadas se calculan como la diferencia entre el VaR Operacional y las Pérdidas esperadas.

Ejemplo:

La función PERCENTILE de EXCEL aplicada sobre la columna “TOTAL” calculada en el apartado anterior permite calcular el VaR Operacional con un nivel de confianza α.

Por tanto, para este caso, el VaR Operacional 99,9% resultante es: 220.693.326.

Fichero de EXCEL de referencia: distribuciónPÉRDIDAS.xls

11 Para obtener resultados más afinados utilizando el método de simulación de Monte Carlo, es conveniente realizar la simulación varias veces (por cada simulación tendremos una cifra de VaR ). El VaR Operacional definitivo será la media de los anteriores.

12 Basilea II propone un nivel de confianza del 99,9%

156

Cálculo del VaR Operacional con la incorporación de un contrato de seguros:

Una alternativa de mitigación de determinados riesgos operacionales es la contratación de seguros. En esta línea, los reguladores están considerando la posibilidad de permitir a las entidades que la contratación de seguros reduzca el consumo de capital (en determinadas condiciones, y con un máximo de reducción del 20%).

En el método de Monte Carlo se puede incorporar de forma sencilla el efecto del seguro como mitigante, en aquellos escenarios en los que aplique.

EJEMPLO:

Incorporamos un contrato de seguros con franquicia 100.000 euros en el ejemplo anterior.

Para obtener el VaR Operacional neto del efecto del mitigante se incorpora una nueva columna (“severidad con seguro”), que muestra el impacto después de aplicar el seguro. Por ejemplo: si la severidad generada ha sido de 350.000 euros entonces la incorporación del seguro provoca una disminución de la severidad del impacto, con el mínimo del valor de la franquicia (100.000 euros).

La suma para cada escenario de las nuevas severidades da lugar a la columna “pérdidas con seguro”. La cifra de VaR Operacional a nivel α, es el percentil correspondiente de esta nueva columna.

En la siguiente tabla se muestran estos resultados. Se observa una reducción significativa en términos de VaR Operacional por el efecto de dicho seguro.

Fichero de EXCEL de referencia: distPÉRDIDAS_SEGURO.xls

157

4.5 VERIFICACIÓN DE RESULTADOS Y BACK TESTING DEL MODELO

La validación última del modelo cuantitativo se puede realizar a través de un proceso de back testing que compare las pérdidas operacionales estimadas con las pérdidas reales obtenidas, en el periodo de cálculo. El estudio de las diferencias entre ambas pérdidas (estimadas versus reales) proporciona una medida de la calidad de las predicciones que permite tomar decisiones sobre la necesidad o no de realizar modificaciones en el modelo de cálculo de riesgos.

La entidad deberá definir el nivel al que realizar el back testing (línea de negocio, tipo de evento) en base a la información recogida.

La realización de este proceso, requiere la disponibilidad de series históricas de pérdidas reales y estimadas referidas a un mismo periodo de tiempo.

Basilea II establece que el proceso de back testing deberá realizarse de forma recurrente.

A continuación se muestra un método posible de Back Testing en Riesgo Operacional.

Dadas las pérdidas reales y estimadas para n periodos temporales, T1,T2, ..., Tn :

1. Calcular la diferencia entre pérdida real y estimada para cada periodo de tiempo:

Diferencia i = (Pérdida estimada) i – (Pérdida real) i ∀ i = {1, ... n}

2. Calcular el indicador binario BI:

1 si diferencia i < 0

BI (i)=

0 en otro caso

3. Calcular la cantidad de violaciones totales y relativas al total de observaciones que se han producido.

[ ]1)(1

===∑=

BICountiBIsTotalesViolacionen

i

158

[ ][ ]BICount

BICount

iBiB

iBolacionesoporciónVi n

i

n

i

n

i 1

))(1()(

)(Pr

11

1 ==−+

=∑∑

∑

==

=

4. Calcular la violación esperada para un nivel de confianza α:

npsEsperadasViolacione *=

siendo p = 1-α y n el número de periodos temporales en la base de datos.

Con estos cálculos se está en disposición de decidir si rechazar o no el modelo:

Se rechaza el modelo si ViolacionesTotales≥ViolacionesEsperadas o equivalentemente si ProporciónViolaciones ≥ p

Se acepta el modelo si ViolacionesTotales<ViolacionesEsperadas o equivalentemente si ProporciónViolaciones < p

El test estadístico de KUPIEC, basándose en esta metodología y en la distribución Binomial, es un método sencillo y comúnmente utilizado para decidir sobre la aceptación o no del modelo.

Dicho test trata de comprobar si la proporción de violaciones que se producen con respecto al total de observaciones, y dado un nivel de confianza, α*=1-p*, verifica o no la hipótesis nula H0 : p=p*.

Para ello utiliza el siguiente estadístico:

[ ]

−+−−=

−−

VVTvVT

UC TV

TVLnppLnLR 12*)(*)1(2

siendo:

V: número de violaciones.

159

T: total de observaciones.

p*= 1- nivel de confianza elegido para el cálculo del VaR.

cuya distribución es conocida ya que:

UCLR se distribuye según una 21χ .

El resultado del test será:

Rechazar el modelo si el p-valor = P{ 21χ > LRuc} ∈ [0; 0,05] o equivalentemente

si LRuc>3,84

Aceptar el modelo si el p-valor = P{ 21χ > LRuc} ∈ [0,1; 1] o equivalentemente si

LRuc <0,004

Asimismo, se suele completar el proceso de back testing expuesto con los siguientes análisis gráficos:

Gráfico de la serie temporal del Indicador Binario

Gráfico de las series temporales VaR Operacional y Pérdidas Reales.

Ambos permiten encontrar posibles “clusters” de eventos operacionales, es decir, conjuntos de eventos en los que el VaR Operacional estimado sea menor que la pérdida real, para luego investigar la causa o causas que han dado lugar a dichas pérdidas extraordinarias. De no existir algún tipo de agrupación (dependencia) entre aquellos eventos en los que el VaR estimado es menor que la pérdida real será necesario modificar la modelización en busca de un mejor ajuste.

160

EJEMPLO:

Dadas las siguientes series de VaR Operacional y Pérdidas Reales para un periodo de 26 días, realizar el proceso de back testing suponiendo un nivel de confianza para el cálculo del VaR del 95%, que permita decidir si rechazar o no el modelo de VaR Operacional utilizado.

A continuación se muestran para este ejemplo los pasos explicados anteriormente:

161

1. Cálculo las diferencias entre pérdidas reales y estimadas:

162

2. Cálculo del indicador BI:

3. Cálculo del número de violaciones totales y la proporción de violaciones:

[ ] 41 === BICountsTotalesViolacione

[ ][ ] 1535,0

2641Pr ====

BICountBICountolacionesoporciónVi

4. Calcular la violación esperada:

En este caso el periodo utilizado es 1 día, por tanto, n = 26. Como el nivel de confianza es un 95%, 05,095,01 =−=p

3,126*05,0* === npsEsperadasViolacione

163

En base a estos resultados la solución del back testing es RECHAZAR el modelo, pues 3,14 =>= sEsperadasViolacionesTotalesViolacione .

(equivalentemente 05,01535,0Pr =>= polacionesoporciónVi )

El TEST KUPIEC:

[ ] 898,312*)(*)1(2 =

−+−−=

−−

VVTvVT

UC TV

TVLnppLnLR

ya que:

V: número de violaciones = 4

T: total de observaciones = 26

p*: nivel de confianza elegido para el cálculo del VaR = 0,05

Como 3,898 > 3,84 la decisión es RECHAZAR el modelo.

Los gráficos para este ejemplo son:

Serie temporal del indicador BI:

SERIE TEMPORAL DEL INDICADOR

0

1

18-jul 23-jul 28-jul 02-ago 07-ago 12-ago 17-ago 22-ago 27-ago

164

Series temporales VaR Operacional y Pérdidas Reales:

En ambos gráficos se observa un “cluster” entre el 27 y el 31 de Julio, donde se concentran 3 de las 4 violaciones que se producen en el periodo. Esto es síntoma de que las violaciones no son independientes, por lo que habría que realizar un análisis de las causas que las produjeron antes de decidir hacer modificaciones sobre el modelo.

Fichero de EXCEL de referencia: backtesting.xls

SERIES TEMPORALES: VaR OP. Y PÉRDIDA OP. REAL

0

1.000.000

2.000.000

3.000.000

4.000.000

5.000.000

6.000.000

7.000.000

20-jul

27-jul

3-ago

10-ag

o17

-ago

24-ago

VaR Operacional

Pérdida Operacional Real

165

5. CONCLUSIONES

En este apartado se ha de comentar que se suponen todos los datos de los que se dispone en la base de datos correctos, tanto en forma como en valor.

Suponiendo los datos correctos tanto en forma como en valor, el sistema es capaz de modelizar tanto en frecuencia como en severidad los datos de tal manera que son aproximados por una serie de distribuciones, dando a elegir al usuario una de ellas para representar a esos datos elegidos tanto en frecuencia como en severidad.

Una vez se han escogido las dos distribuciones no hay más que parametrizar el simulador. El sistema ya posee una parametrización por defecto que puede ser cambiada, o no, bajo el criterio del usuario.

Los resultados del simulador es una tabla con los n lanzamientos del simulador y una media de los resultados.

En un principio, se han realizado los tests de las distribuciones estadísticas con un 95 % de confianza. Este valor en esta versión del proyecto no es parametrizable y se ha escogido ese intervalo por ser un estándar en las pruebas estadísticas de este tipo.

Cuanto más reduzcamos este valor del intervalo de confianza, peor se ajustarán las distribuciones al conjunto de datos seleccionado. Por otro lado, puede llegar un momento en el que tras aumentar en gran medida ese porcentaje seamos tan exigente en obtener buenos ajustes que ninguna de las distribuciones pasen los test, por tanto, que ninguna de las distribuciones sea apta para representar a esos datos.

Como conlcusión se optó por dejar el intervalo de confianza en un 95% como una medida de compromiso entre obtener buenos ajustes y que las distribuciones pasen los tests de uan manera razonable.

166

Otro aspecto que hay que tener en cuenta en este análisis de la sensibilidad es el número de escenarios del simulador de Monte Carlo. Se ha observado que conforme aumenta el número de escenarios, más estables son los resultados, es decir, menos varianza hay entre el resultado de una simulación y otra. Por el contrario, cuando el número de escenarios es muy bajo, la varianza de los resultados de varias simulaciones aumenta de una manera notable.

Se ha observado que con valores para el número de escenarios entre 10.000 y 50.000 los resultados tienen una varianza moderada, mientras que para valores inferiores a 10.000 escenarios la varianza es mayor cuanto menor sea el número de escenarios introducido. Así pues, se propone como número de escenarios estándar 10.000.

Como se ha podido observar a lo largo de toda la memoria, se ha desarrollado un motor de Riesgo Operacional bajo unas especificaciones de tecnología avanzada.

En la actualidad, el sistema de medición cuantitativa de riesgo operacional es algo que no abunda en el mercado, más bien escasea, debido a que se terminó de legislar hacer muy poco todo lo referente a cálculo de capital regulatorio y, aún así, todavía quedan muchas lagunas y puntos donde hace falta investigar, ahondar y por último desarrollar cómo se han de medir ciertos riesgos, bajos ciertos parámetros. Por tanto se puede concluir que se ha realizado un sistema que es pionero en el mercado.

Se han seleccionado técnicas de ajuste estadístico con el apoyo de GMS Management Solutions S.L. como expertos en riesgos en España.

167

6. ESTUDIO ECONÓMICO Y PLANIFICACIÓN

6.1 ESTUDIO ECONÓMICO

A continuación se mostrará una estimación económica para el desarrollo del

proyecto aquí planteado. Para ello, se dividirá el presupuesto en tres grandes bloques:

HARDWARE

Descripción Precio Unitario Total

Equipo informático 1200 € 1200 €

Subtotal 1200 €

SOFTWARE


Licencia Windows XP +

Ms Office

240 € / licencia

745 € / licencia

240 €

745 €

Licencia Matlab +

Optimization Toolbox +

Statistics Toolbox

2200 € / licencia

1050 € / licencia

900 € / licencia

2200 €

1050 €

900 €

Subtotal 5135€

168

RECURSOS HUMANOS


640 horas de consultoría 30€/hora 19200 €

Subtotal 19200 €

RESUMEN

Descripción Total

HARDWARE 1200 €

SOFTWARE 5135 €

RECURSOS HUMANOS 19200 €

TOTAL 25535 €

169

6.2 PLANIFICACIÓN

Documentación -> Octubre 2005

Objetivo 1.- Diseño Base de Datos -> Noviembre 2005

Objetivo 2.- Desarrollo técnicas estadísticas de modelización -> Dic. 2005 / Enero 2006

Objetivo 3.- Desarrollo Simulador Monte Carlo -> Feb. 2006 / Marzo 2006

Objetivo 4.- Diseño e implementación Reporting -> Abril 2006

Desarrollo Memoria -> Mayo 2006

170

1.- Diseño de un modelo de datos que sustentara toda la información necesaria para los cálculos y la información de gestión / reporting a generar.

2.- Desarrollo e implementación de los algoritmos matemático - estadísticos sobre los que se sustentan los cálculos cuantitativos del Riesgo Operacional. Dada la importancia de éstos se ha separado en un paquete propio llamado corelib.

Gracias a corelib, paquete matemático – estadístico anteriormente mencionado, la aplicación es capaz de modelizar tanto en frecuencia como en severidad los datos que se albergan en la base de datos (eventos de pérdida), dando como resultado un set de distribuciones estadísticas con sus parámetros, tests y gráficos poder tomar una decisión correcta acerca de qué distribución ajusta mejor los datos tanto en frecuencia como en severidad.

3.- Desarrollo e implementación de un simulador de Monte Carlo. El simulador realizado es un simulador genérico, es decir, válido para un par cualquiera de distribuciones de frecuencia y severidad. No es necesario que las distribuciones sean unas de las preseleccionadas, el sistema está concebido de tal manera que el propio usuario pueda crear su propia distribución. Esta funcionalidad está pensada para dar soporte a una necesidad que ha surgido del trabajo con la metodología cuantitativa, necesidad que recibe el nombre de mixtura de distribuciones consistente en crear una nueva distribución estadística que se ajusta mejor a los datos a partir de dos o más distribuciones predefinidas.

4.- Implementación de todos los cálculos y algoritmos desarrollados en una aplicación web. Se necesitaba una herramienta que fuera capaz de calcular e informar de los resultados de una manera distribuida. La solución a ese requisito fue una aplicación J2EE que llamamos simcro. La funcionalidad de cálculo se agrupó en un paquete llamado corelib, mencionado en el punto 2.-, de manera que quedó aislada de la capa de presentación y del acceso a base de datos. Al utilizar la plataforma J2EE, la aplicación web simcro accede a ese paquete y distribuye los resultados del cálculo.

Incorporación de nuevas tecnologías a la aplicación J2EE desarrollada. Nos referimos a tecnologías tales como:

Mondrian, herramienta OLAP que nos va a proporcionar informes con capacidad de consulta multidimensional y dinámica.

171

JCharts, herramienta que nos va a proporcionar todo el soporte gráfico de la aplicación, es decir, nos va a permitir visualizar los gráficos de ajuste a los datos de la distribución estadística, gráficos PP – Plot, QQ – Plot y función de exceso sobre la media.

JSci, paquete de distribuciones estadísticas que nos facilita los cálculos de parámetros y resultados derivados de las distribuciones.

172

7. BIBLIOGRAFÍA

[COST--] Costa Lewis, Nigel Da. Operational Risk with Excel and VBA. Applied Statistical methods for risk management. [EMBR97] Embrechts, P., Klüppelberg, C. & Mikosch, T. (1997), Modelling extremal events for insurance and finance, Springer, Berlin.

[KLUG04] Klugman, S, Panjer, H y Willmot, G. Loss Models; from data to decisions, Ed. Wilwy-Interscience 2004 2nd Edition

[CRUZ02] Cruz, M, Modeling, measuring and hedging operational risk, Ed. John Wiley & Sons, Ltd. 2002 1st Edition [LEIP--] Leippold M. The Quantification of Operational Risk [EBNÖ--] Ebnöther S. Modelling Operational Risk

[BAUD02] Baud, N., Frachot, A., Roncalli, T. (2002) Internal data, external data and consortium data for operational risk measurement: How to pool data properly? Groupe de Recherche Operationnelle, Crédit Lyonnais, France.

[FRAC03] Frachot, A., Moudoulaud, O., Roncalli, T., (2003) Loss Distribution Approach in Practice, Groupe de Recherche Operationnelle, Crédit Lyonnais, France

[MCNE99] McNeil, A. (1999), Extreme Value Theory for Risk Managers, Departement Mathematik, Zürich. [FONT03] Fontnouvelle et al, P. de.(2003) Quantification of operational risk,Bank of Italy

173

ANEXO 1: TABLA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV

176

ANEXO 2: TABLA DE CRAMER-VON MISES

177

ANEXO 3: SIMPLIFICACIÓN DEL ESTADÍSTICO DE KOLMOGOROV-SMIRNOV

Explicación de la simplificación del estadístico de Kolmogorov-Smirnov.

El estadístico de Kolmogorov-Smirnov, Dn se define:

Dn = sup { x ∈ R } )()( 0 xFxFn − =

= máx {sup { x ∈ R } ( ))()( 0 xFxFn − , sup { x ∈ R } ( ))()(0 xFxF n− }

Se puede expresar de un modo más sencillo atendiendo a las siguientes simplificaciones:

sup { x ∈ R } ( ))()( 0 xFxFn − = máx { 1≤ i ≤ n } { sup { x (i) ≤ x < x (i-1) } [ Fn (x) - F0 (x)] } =

= máx { 1≤ i ≤ n } [ Fn (x (i)) - F0 (x (i))]

Si todos los valores observados son distintos, se puede llegar mas lejos y así

este supremo se puede escribir como: máx { 1≤ i ≤ n } [ ni

- F0 (x (i))]

sup { x ∈ R } ( ))()(0 xFxF n− = máx { 1≤ i ≤ n } [ F0 (x (i)) – Fn (x (i-1))]

Si todos los valores observados son distintos, se puede llegar mas lejos y así

este supremo se puede escribir como: máx { 1≤ i ≤ n } [ F0 (x (i)) – n

i 1−]

Por tanto, podemos concluir que:

Dn =máx { máx { 1≤ i ≤ n } [ Fn (x (i)) - F0 (x (i))] , máx { 1≤ i ≤ n } [ F0 (x (i)) – Fn (x (i-1))]}

178

ANEXO 4: EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LA FUNCIÓN EXCESO SOBRE LA MEDIA

La expresión analítica de la función exceso sobre la media para los casos: Lognormal, Weibull, Exponencial, Gamma y Pareto es:

Función exceso sobre la media para X v.a. que se distribuye según Lognormal(µ,σ):

))1(1()ln(

)(2

ou

uueLOGNORMAL +−

=µ

σ

siendo o(1) términos de orden 1 que podemos aproximar a 0.

Función exceso sobre la media para X v.a. que se distribuye según Weibull(β,η):

))1(1()(1

ouueWEIBULL +=−

ηβ

β

siendo o(1) términos de orden 1 que podemos aproximar a 0.

Función exceso sobre la media para X v.a. que se distribuye según Exponencial(λ):

λ1)( =ue LEXPONENCIA

Función exceso sobre la media para X v.a. que se distribuye según Gamma(α,β):

+−+=

uo

uueGAMMA

1*

111)(βα

β

siendo o(1/u) términos de orden 1/u que podemos aproximar a 0.

179

Función exceso sobre la media para X v.a. que se distribuye según Pareto(a,b):

1)(

++=

aubuePARETO con a>1

180

ANEXO 5: SIMULACIONES DE LA FUNCIÓN EXCESO SOBRE LA MEDIA

A continuación se mostrarán gráficos de comparación de la función exceso sobre la media teórico de las distribuciones Pareto, Exponencial, Weibull y Lognormal con la función exceso sobre la media empírico de simulaciones de éstas: (Fichero de EXCEL en el que se desarrolla: grafexcesomedia.xls)

Si simulamos una Exponencial, estos son los gráficos de exceso sobre la media teórico y empírico:

La tendencia es a una función constante.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 0,5 1 1,5

teoricaempirica

181

Si simulamos una Weibull con β<1, estos son los gráficos de exceso sobre la media teórico y empírico:

La tendencia es creciente pero lenta.

Si simulamos una Lognormal, estos son los gráficos de exceso sobre la media teórico y empírico:

La tendencia es creciente pero lenta.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 100 200 300 400 500

teoricaempirica

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

0 5000 10000 15000

teoricaempirica

182

Si simulamos una Pareto, estos son los gráficos de exceso sobre la media teórico y empírico:

La tendencia es creciente hacia infinito pero más rápida que los casos Weibull y Lognormal.

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40 50

teoricaempirica

183

ANEXO 6: FUNCIÓN DE DENSIDAD DE LA PÉRDIDA OPERACIONAL

Se define la función de densidad de la pérdida operacional del siguiente modo:

)()( *,

1, xfnp n

jin

ji∑∞

= si 0>x

=)(, xg ji

)0(, jip si 0=x

Denotamos:

gi,j : función de densidad de la variable aleatoria pérdidas operacionales, para el riesgo j de la línea de negocio i.

pi,j : función de masa de la variable aleatoria frecuencia de impactos, para el riesgo j de la línea de negocio i.

fi,j : función de densidad de la variable aleatoria severidad del impacto, para el riesgo j de la línea de negocio i.

(De ahora en adelante, nos referimos en todo momento a un tipo de riesgo j y a una línea de negocio i, por ello simplificaremos la notación no utilizando subíndices sino simplemente g, p y f.)

Veamos intuitivamente que significa esta fórmula:

Denotamos por X v.a. de severidades que se distribuye según F ( y con función de densidad f).

X1, X2, ...,Xn muestra aleatoria simple de v.a. idénticamente distribuidas según F.

La probabilidad de que la perdida ocasionada por un riesgo sea x es:

la probabilidad de que ocurra un evento y que la severidad de ese evento sea x: p(1)*fx1(x)

184

bien la probabilidad de que ocurran dos eventos y que la suma de las severidades de esos eventos sea x: p(2)*fx1+x2(x)

bien la probabilidad de que ocurran tres evenos y que la suma de las severidades de esos tres eventos sea x: p(3)*fx1+x2+x3(x)

bien...

por tanto :

g(x) = p(1)*fx1(x) + p(2)*fx1+x2(x) + p(3)*fx1+x2+x3(x) +… = )()(1

1xfnp n

i

xin ∑=

∑∞

=

donde :

fx1 es la función de densidad de la severidad del riesgo estudiado, esto es, f.

fx1+x2 es la función de densidad de la v.a. suma X1+X2. Haciendo la hipótesis de que X1 y X2 son independientes entonces la función de densidad de la v.a. suma se calcula como convolución de f consigo misma:

∫ −=⊗=+ dttftxfxffxf xx )()()()(21

fx1+x2-x3 es la función de densidad de la v.a. suma X1+X2+X3. Haciendo la hipótesis de que X1, X2 y X3 son independientes la función de densidad de la v.a. suma se calcula como convolución de f consigo misma 3 veces:

∫ −==⊗⊗= +++ dttftxfxfxfffxf xxxxx )()()()()( 21*3

321

En conclusión: g(x) = )()( *

1

xfnp n

n∑

∞

= si x>0 pues si x=0 la probabilidad de que la

pérdida sea 0 es la probabilidad de que no se produzca ningún evento, es decir, p(0).

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