SISTEMA corpo o insieme di corpi su cui lavoriamo.

CONTORNO / CONFINE superficie o insieme di superfici che delimitano il nostro sistema. Possono essere materiali o

immateriali e così i contorni.

SCAMBI sono di 2 tipi:

- di massa, e in questo caso il sistema può essere sia aperto che chiuso;

- di energia, sotto forma di lavoro o calore.

ESTERNO / AMBIENTE tutto ciò che non fa parte del nostro sistema.

VINCOLI le pareti del sistema possono essere:

- impervie, quando non si lasciano attraversare dalla massa;

- porose, che possono essere immateriali ed essere attraversate da qualsiasi sostanza.

Le pareti possono essere:

- rigide, e in questo caso il sistema non può scambiare lavoro di deformazione con l’esterno;

- mobili, deformabili, in cui si scambia calore con l’esterno.

Le pareti adiabatiche non posso essere attraversate da calore, quelle diatermiche sì.

SISTEMA SEMPLIFICATO 1) è microscopicamente in quiete esente da effetti dovuti alle superfici; 2) è elettricamente e

magneticamente neutro; 3) è chimicamente inerte.

SISTEMA SEMPLICE se non è composto da altri sistemi, non ha sottoinsiemi.

FORME DI ENERGIA - termica, cinetica, potenziale, lavoro [che studiamo noi]

- elettrica, magnetica, chimica.

PROPRIETA’ DI UN SISTEMA estensiva, se dipende dall’estensione, dalla massa del sistema, o intensiva. Per capire in

quale caso ci troviamo, diciamo di dividere il sistema e vedo se cambia o meno. [temperatura e calore sono intensive; il

volume è estensiva]

Le proprietà specifiche sono proprietà estensive misurate per unità di massa.

POSTULATO DI STATO lo stato di un sistema è determinato da 2 grandezze intensive o specifiche indipendenti, cioè

che può variare una senza far variare l’altra.

TRASFORMAZIONE quando un sistema passa da uno stato di equilibrio ed un altro stato di equilibrio.

TRASFORMAZIONE QUASISTATICA è una trasformazione infinitamente lenta tale che possa essere rappresentata da

una successione di stati di equilibrio infinitamente vicini. Le trasformazioni reali si avvicinano molto a quelle

quasistatiche . E’ anche reversibile.

SORGENTE TERMICA è una porzione di spazio in grado di scambiare calore con il mio sistema senza cambiare

temperatura.

PRINCIPIO ZERO Due corpi in equilibrio termico con un terzo corpo, sono anche in equilibrio termico tra loro. Due

corpi sono in equilibrio termico se hanno la stessa temperatura.

ENERGIA SENSIBILE legata all’energia cinetica delle molecole.

ENERGIA LATENTE è legata alle forze intermolecolari.

FASE stato di aggregazione del mio sistema: solida, liquida, gassosa.

CALORE forma di energia che si propaga da un punto ad un altro per effetto di una differenza di una differenza di

temperatura.

GAS PERFETTO gas in cui le interazioni tra le molecole sono assenti. Alle condizioni di gas perfetto si avvicina un gas

molto rarefatto.

POTENZA calore scambiato per unità di tempo.

DOMANDE

1- Primo principio della termodinamica (o di conservazione dell’energia)

Il primo principio della termodinamica afferma che l’energia non può essere né creata né distrutta, ma può solo

cambiare forma. Per un sistema chiuso, tutte le trasformazioni adiabatiche tra due stati di equilibrio avvengono in modo

che il lavoro netto compiuto è lo stesso indipendentemente dalla natura del sistema chiuso e dalla particolare

trasformazione adiabatica. Quindi il 1° principio per un sistema chiuso si può esprimere come:

dove

Q ed L non sono funzioni di stato, mentre U sì.

Le variazioni dell’energia totale:

dove

Ma la maggior parte dei sistemi chiusi sono stazionari e in tal caso le variazioni dell’energia cinetica e potenziale sono

trascurabili e quindi il primo principio si riduce alla forma: dove U è l’energia del sistema dovuta

all’agitazione molecolare e all’energia di legame tra le molecole. Il primo principio vale per qualsiasi sostanza in qualsiasi

forma di aggregazione. La notazione dei segni è:

Per una isocora:

Per una adiabatica:

2- Espansione libera di Joule

Nel suo esperimento, Joule immerse in un bagno d’acqua due recipienti collegati da un

tubo dotato di una valvola. In un serbatoio vi era aria ad alta pressione e nell’altro era stato

fatto il vuoto. Aprì quindi la valvola per consentire all’aria di passare da un serbatoio

all’altro finché la pressione si eguagliò. Joule non osservò alcuna variazione di temperatura

del bagno d’acqua e assunse che nessuna quantità di calore era stata scambiata

con l’aria , né era stato compiuto lavoro . Egli concluse che l’energia interna

dell’aria non si era modificata , anche se il volume e la pressione erano cambiati,

deducendo che l’energia interna è funzione della sola temperatura . (In seguito

Joule dimostrò che l’energia interna non è funzione della sola temperatura per i gas non

perfetti).

Si tratta di un sistema termicamente isolato e non in grado di scambiare lavoro con l’esterno. Aprendo la valvola, il gas si

espande e occupa tutto il volume a disposizione: e . E’ una trasformazione veloce quindi irreversibile. Si

applica il primo principio della termodinamica, . Se il gas è perfetto si nota che mentre V può

variare arbitrariamente e p è conseguenza di T e V. Ne segue che , infatti, quest’esperimento permise di

stabilire che l'energia interna di un gas perfetto dipende solo dalla temperatura.

3- Definizione di calore specifico → il calore specifico deve essere uguale per ogni gas perfetto?

Calore specifico: energia richiesta per innalzare di un grado la temperatura della massa unitaria di una sostanza. Tale

energia dipende da come il processo viene eseguito:

perché a pressione costante il sistema può espandersi, ma per compiere tale lavoro di espansione deve essere

fornita al sistema altra energia.

Il calore specifico dipende dalla natura chimica della sostanza e dalla temperatura. Si può ritenere costante solo per

piccole variazioni di temperatura e lontano dalle temperature di transizione di fase.

Per gas reale: oppure oppure

Per gas perfetto e :

4- Espressione di dU per i gas perfetti

Per un gas perfetto:

(per gas perfetti), perciò la derivata è totale e non parziale e risulta:

.

5- La variazione di energia interna è pari al calore scambiato a volume costante

Per qualsiasi sostanza, la variazione dell’energia interna eguaglia la quantità di calore scambiato secondo tale relazione:

da cui ricavo .

Questo risultato vale sempre, non solo per i gas perfetti, in quanto è stato usato solo il I principio.

6- Definizione di entalpia → dimostrare che H per un gas perfetto dipende solo da T

L’entalpia è una funzione di stato, perché è una combinazione di funzioni di stato. Esprime la quantità di energia che un

sistema termodinamico può scambiare con l'ambiente. L'entalpia è definita dalla somma dell'energia interna e del

prodotto tra volume e pressione di un sistema: .

Combinando la relazione dell’entalpia e dell’equazione di stato del gas perfetto:

Poiché R è costante e , ne segue che anche l’entalpia di un gas perfetto è funzione della sola temperatura:

. Inoltre, dal momento che sono funzioni di stato, anche è una funzione di stato.

7- La variazione di entalpia è uguale al calore scambiato a pressione costante

Per qualsiasi sostanza, la variazione di entalpia è pari alla quantità di calore scambiato:

.

Questo risultato vale sempre, non solo per i gas perfetti, in quanto è stato usato solo il I principio.

8- Espressione di dH per gas perfetto

Per un gas perfetto,

(per gas perfetti), perciò la derivata è totale e non parziale e risulta:

.

9- Per un gas perfetto (Relazione di Mayer)

La relazione di Mayer, valida per tutti i gas perfetti, lega il calore molare a pressione costante e il calore molare a

volume costante alla costante dei gas perfetti. Dal primo principio, si ha:

O (Salerno), partendo da:

, se il

gas è perfetto vale: , sostituendo e semplificando:

10- Motivare i valori di cp e cv per gas perfetti monoatomici, biatomici, triatomici

Per quanto riguarda i gas perfetti, in termini di , bisogna distinguere in molecola:

- monoatomica: = possiede 3 gradi traslatori di libertà, per ciascun grado associo

- biatomica: = possiede 3 gradi traslatori di libertà+2 gradi rotatori, cui associo

- triatomica: = possiede 3 gradi traslatori di libertà+3 gradi rotatori, cui associo

11- Energia libera di Helmholtz, energia libera di Gibbs e massimo lavoro di un sistema

Energia libera di Helmholtz ( ): è una funzione di stato utilizzata in termodinamica per rappresentare

l'energia libera nelle trasformazioni a volume costante.

è potenziale termodinamico.

L'energia libera di Helmholtz diminuisce per un processo spontaneo (differenziale negativo: ) mentre è ad un

valore minimo (differenziale nullo: ) per un processo reversibile, cioè in condizioni di equilibrio.

Energia libera di Gibbs ( ): è una funzione di stato usata in termodinamica per rappresentare l'energia libera

nelle trasformazioni a temperatura e pressione costante.

è funzione potenziale.

L'energia libera di Gibbs diminuisce per un processo spontaneo (differenziale negativo: ) mentre è ad un valore

minimo (differenziale nullo: ) per un processo reversibile, cioè in condizioni di equilibrio.

Questo criterio è molto importante, in quanto di solito le trasformazioni nell'ambiente naturale ed in laboratorio

avvengono a temperatura e pressione costante (piuttosto che a volume costante): è per questo che la funzione di Gibbs

è più utilizzata rispetto a quella di Helmholtz. L'equazione di Gibbs-Helmholtz esprime la dipendenza dell'energia libera

dalla temperatura.

Massimo Lavoro:

12- Relazioni di Maxwell

Le relazioni di Maxwell della termodinamica sono delle relazioni (più precisamente equazioni alle derivate parziali) che

legano direttamente tra loro le 4 variabili di stato: p, T, V e S, derivabili dalle definizioni dei 4 potenziali termodinamici.

Definiamo:

Prendiamo le relazioni:

Usando il teorema di Schwartz:

Quindi, partendo da:

–

derivando otteniamo:

.

Otteniamo così le 4 relazioni di Maxwell:

13- Equazione di Clapeyron

L'equazione di Clapeyron descrive la variazione della pressione con la temperatura lungo la curva di equilibrio tra due

fasi di una stessa sostanza:

. Durante il passaggio di fase:

.

Dall’equazione di Maxwell:

, ma durante il passaggio di fase dipende univocamente

da e non da perciò la derivata parziale diventa totale in condizione di saturazione:

Integrando tra la curva limite inferiore e superiore (da liquido a vapore):

dove è il calore latente (per unità di massa) di evaporazione scambiato per unità di massa.

Passaggio da solido a liquido:

dove è il calore latente di fusione.

14- Dimostrazione che per un gas perfetto U=U(T)

In generale, si può scrivere che . Differenziando, otteniamo:

Sapendo:

Sostituendo :

ma

, mettendo a sistema le due :

Derivando la prima per e la seconda per :

Applichiamo il teorema di Schwartz per cui:

, ma per un gas perfetto vale:

. Quindi per un gas perfetto non dipende da Quindi:

15- Equazione di stato di Van der Waals ed esempio di espansione libera per gas di Van der Waals

Serve a simulare il comportamento di un gas reale:

, dove n è il numero di moli e a e b sono

due costanti che variano da gas a gas: a tiene conto del contributo verso la pressione dovuto alle forze intermolecolari,

mentre b tiene conto del volume occupato dalle molecole.

Nella dimostrazione che per un gas perfetto U dipende dalla sola temperatura, si è ricavato:

Per Van der Waals:

per cui

e sostituendo:

. Per cui

, da cui ricaviamo che per un gas reale, .

16- Secondo principio della termodinamica: enunciati di Kelvin, di Clausius ed equivalenza dei due enunciati

KELVIN-PLANCK: “è impossibile realizzare una macchina il cui unico risultato sia quello di trasformare in lavoro il calore

assorbito da un’unica sorgente a temperatura uniforme”.

CLAUSIUS: “è impossibile realizzare una macchina, con funzionamento ciclico, il cui unico effetto sia il trasferimento di

calore da un corpo a bassa temperatura ad un altro a temperatura più alta”. L’enunciato di Clausius non nega la

possibilità di costruire una tale macchina, ma afferma che questa macchina, oltre al trasferimento del calore, dovrà

avere altri effetti, come ad esempio, l’assorbimento di energia.

Il secondo principio della termodinamica spiega il carattere di irreversibilità di molti eventi termodinamici, quali ad

esempio il passaggio di calore da un corpo caldo ad un corpo freddo.

L'equivalenza dell'enunciato di Kelvin-Planck e di quello di Clausius si può mostrare tramite il seguente ragionamento

per assurdo.

- Non Clausius implica non Kelvin (ovvero Kelvin implica Clausius)

Supponiamo che l'enunciato di Clausius sia falso, ovvero che esista una macchina frigorifera ciclica in grado di trasferire

calore da una sorgente fredda ad una calda, senza apporto di lavoro esterno.

Sia Q la quantità trasferita per ogni ciclo della macchina dalla sorgente fredda a quella calda.

Possiamo allora far lavorare una macchina termica tra le due sorgenti, in modo tale che essa sottragga ad ogni ciclo una

quantità di calore Q' dalla sorgente calda, trasferendo a quella fredda una quantità Q (uguale a quella precedentemente

sottratta) e convertendo la differenza Q - Q' in lavoro.

La sorgente fredda allora non subisce alcun trasferimento netto di calore e pertanto il nostro sistema di macchine

termiche sta estraendo calore, globalmente, dalla sola sorgente calda, producendo esclusivamente lavoro, in violazione

della formulazione di Kelvin-Planck del secondo principio.

- Non Kelvin implica non Clausius (ovvero Clausius implica Kelvin)

Supponiamo ora di poter convertire integralmente il calore in lavoro, estratto per mezzo di una macchina ciclica da una

sola sorgente S a temperatura costante.

Sia L tale lavoro estratto in un ciclo.

Allora possiamo prendere una seconda sorgente S' a temperatura più alta e far funzionare una macchina frigorifera tra

le due sorgenti, che assorba ad ogni ciclo il lavoro L prodotto dall'altra macchina.

Si ha così un trasferimento netto di calore dalla sorgente fredda S alla sorgente calda S', in violazione dell'enunciato di

Clausius.

17- Definizione della funzione di stato entropia ed enunciato del II principio, con esempi di sorgenti di irreversibilità

La funzione di stato entropia è definita dalla relazione:

Enunciati del II principio:

- È impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di trasferire calore da un corpo

più freddo ad uno più caldo (Clausius)

- È impossibile realizzare una trasformazione ciclica il cui unico risultato sia la trasformazione in lavoro di

tutto il calore assorbito da una sorgente omogenea (Kelvin)

- Non è possibile, neanche in linea di principio, realizzare una macchina termica il cui rendimento sia pari al

100%.

N.B. Posso sempre trasformare tutto il lavoro in calore ma mai tutto il calore in lavoro.

Durante una trasformazione, l’entropia di un sistema isolato non diminuisce mai e al più rimane costante, se la

trasformazione rimane reversibile.

Il II principio afferma che le trasformazioni avvengono spontaneamente con un verso ben preciso. (Kelvin-Clausius)

Le irreversibilità sono tutti quei fenomeni che rendono una trasformazione irreversibile e sono: l’attrito, l’espansione

libera, la miscelazione di due gas, lo scambio termico attraverso una differenza finita di temperatura, la resistenza

elettrica, le deformazioni anelastiche dei solidi e le reazioni chimiche.

Esempi di sorgenti di irreversibilità:

- ATTRITO: irreversibilità associata al moto dei corpi: quando due corpi in contatto

vengono forzati a muoversi l’uno relativamente all’altro, all’interfaccia tra i due corpi, si

sviluppa una forza che si oppone al moto e che può essere vinta solo compiendo lavoro.

L’energia fornita a tale scopo, alla fine del processo, risulta convertita in calore e viene

trasferita ai corpi in contatto l’uno con l’altro. Entrambi i corpi infatti risultano più caldi

sulla superficie di contatto. Quando la direzione del moto viene

invertita e i corpi vengono riportati nelle loto posizioni originarie, le loro

superfici non si raffreddano e il calore non viene riconvertito in lavoro.

Al contrario, parte del lavoro speso per ripristinare le posizioni

originarie, viene convertito nuovamente in calore per superare

l’opposizione della forza di attrito al moto inverso. Il sistema e l’ambiente, quindi, non possono essere

riportati nelle loro condizioni iniziali il processo è irreversibile.

- ESPANSIONE LIBERA: dopo l’espansione libera di Joule, il gas

rimane alla temperatura di partenza. Per riportarlo alle

condizioni iniziali bisogna comprimerlo, aumentando però la

temperatura. Bisogna quindi cedere calore all’ambiente

esterno: il lavoro viene trasformato in calore e quindi ceduto

all’ambiente. Questo dimostra che non si riesce a portare il sistema alla condizione iniziale.

- ESPANSIONI E COMPRESSIONI NON QUASI-STATICHE: il lavoro ottenuto in fase di espansione è minore di

quello speso in fase di compressione: questo deficit di lavoro eguaglia l’aumento dell’energia interna del

gas. Mentre il sistema può essere riportato al suo stato iniziale scambiando questo eccesso di energia

interna sotto forma di calore con l’ambiente, l’unico modo per riportare l’ambiente alle sue condizioni

iniziali è quello di trasformare questo calore in lavoro. Questo è possibile solo con un motore termico con il

rendimento del 100%, impossibile poiché si violerebbe il II principio. Poiché solo il sistema, ma non

l’ambiente può essere riportato allo stato iniziale, si può concludere che le espansioni o compressioni

adiabatiche che non siano quasi-statiche sono trasformazioni irreversibili.

- SCAMBIO TERMICO: si consideri una lattina di bevanda fredda in ambiente caldo. Il calore fluisce dall’aria

calda dell’ambiente alla bevanda. Per invertire la trasformazione, si potrebbe solo ripristinare la

temperatura originaria della bevanda, attraverso il raffreddamento, processo che richiede una fornitura di

calore dall’esterno. Alla fine del processo inverso, la bevanda sarà nelle sue condizioni originarie, ma non

l’ambiente. L’energia interna dell’aria sarà più alta di una quantità pari al lavoro fornito alla macchina

frigorifera. Per riportare l’ambiente alle sue condizioni originarie bisognerebbe convertire completamente

l’eccesso di energia interna in lavoro, impossibile poiché violerebbe il II principio. Dal momento che solo il

sistema e non anche l’ambiente può ritornare alle sue condizioni iniziali, lo scambio termico attraverso un

salto finito di temperatura è una trasformazione irreversibile.

18- Ricavare le espressioni della variazione di entropia tra due stati per gas perfetti. Variazioni di entropia nei solidi e

nei liquidi

Gas perfetto: partendo dalle seguenti equazioni:

Solidi e liquidi(incompr->lavoro di deformazione=0):

19- Trasformazioni isoentropiche

Una trasformazione isoentropica denota un tipo di trasformazione che avviene a entropia costante. Una trasformazione

adiabatica internamente reversibile è detta isoentropica (una trasformazione isoentropica non è necessariamente

adiabatica reversibile).

Gas perfetto:

dove

Eguagliando le due equazioni

Solidi e liquidi:

.

20- Definizione di politropica e sua espressione

La trasformazione politropica è una trasformazione per cui il calore specifico resta costante. Segue la legge:

.

Dimostrazione:

. Dall’equazione

dei gas perfetti calcoliamo dT:

.

Sostituiamo:

. Integro:

, per gas perfetti e

trasformazioni reversibili.

Trasformazione isocora: dove Trasformazione isobara: dove

Trasformazione isoterma: dove Trasformazione adiabatica: dove

21- Lavoro per una politropica

22- Passaggi di fase e diagrammi che lo descrivono (in particolare PT)

Una transizione di fase è la trasformazione di un sistema termodinamico da una fase a un'altra.

Diagramma T-v

Il segmento congiungente gli stati di liquido saturo e vapore saturo diventa sempre più corto fino a ridursi al punto

critico. La temperatura, la pressione il volume specifico di una sostanza pura che si trovi al punto critico, sono chiamati

temperatura critica, pressione critica e volume specifico critico. A pressioni superiori alla pressione critica, il

cambiamento di fase non avviene più in modo distinto, poiché il volume specifico della sostanza aumenta

continuamente e in ogni istante esiste sempre un'unica fase. Al termine del passaggio di fase, la sostanza pura è

costituita tutta da vapore, ma non è possibile stabilire quando sia avvenuto il cambiamento di fase: a pressioni superiori

a quella critica non esiste una linea che separi la zona del liquido sottoraffreddato da quella del vapore surriscaldato.

Diagramma p-v

Il processo di evaporazione si realizza a pressione e temperatura costanti, mentre si ha un aumento di volume specifico.

Quando l’ultima goccia di liquido è evaporata, la trasformazione a temperatura costante avviene con variazione sia del

volume specifico che della pressione.

Estensione dei diagrammi alla fase solida [fig. 1 (senza tratteggi): sostanza pura che solidificando si riduce il volume; fig.

2 (con tratteggi): sostanza pura che solidificando aumenta di volume (acqua)]

I due diagrammi possono essere

facilmente estesi in modo da

includere sia la fase solida che le

zone di saturazione solido-

liquido e solido-vapore. Mentre

la maggior parte delle sostanze

si contrae durante un processo

di solidificazione, altre si

espandono. Va notato che i diagrammi p-v dei due gruppi di sostanze differiscono soltanto nella zona di saturazione

solido-liquido. I diagrammi T-v sono molto simili a quelli p-v specialmente per le sostanze che si contraggono durante la

solidificazione. In ben determinate condizioni, tutte e tre le fasi di una sostanza dura possono coesistere in equilibrio.

Sui diagrammi p-v e T-v, l’insieme di tutti questi stati trifase costituiscono una linea, detta linea del punto triplo. Gli stati

corrispondenti alla linea del punto triplo di una sostanza, hanno la stessa pressione e la stessa temperatura, ma

differenti volumi specifici. Nel diagramma p-T la linea del punto triplo appare come un punto detto punto triplo.

Nessuna sostanza può esistere in equilibrio stabile in fase liquida a pressioni inferiori a quella del punto triplo e,

analogamente, nessuna sostanza che si contrae durante la solidificazione può esistere in fase liquida a temperature

inferiori a quella del punto critico. Le sostanze, invece, che si espandono durante la solidificazione, possono esistere in

fase liquida a temperature inferiori a quella del punto triplo se la pressione è sufficientemente elevata. Una sostanza

pura può passare dalla fase solida alla fase vapore secondo due modalità differenti: dapprima fonde e poi evapora,

oppure evapora direttamente senza prima fondere, quest’ultima valida solo a pressioni inferiori a quella del punto

triplo, poiché a tali pressioni una sostanza pura non può esistere in fase liquida.

Diagramma p-T

Questo diagramma è chiamato diagramma delle fasi, poiché sono presenti le tre fasi, separate tra loro da tre linee: la

linea di sublimazione, che separa la zona della fase solida e della fase vapore; la linea di evaporazione, che separa le

zone della fase liquida e della fase vapore; la linea di liquefazione o fusione, che separa le zone della fase solida e della

fase liquida. Le tre linee si incontrano nel punto triplo dove coesistono in equilibrio. La linea di evaporazione termina al

punto critico.

La superficie p-v-T

È possibile descrivere il comportamento delle sostanze pure mediante una superficie

nello spazio delle tre proprietà p-v-T, dove v e T si assumono come variabili indipendenti e

p dipendente. Tutti i punti della superficie p-v-T rappresentano stati di equilibrio, mentre

tutti gli stati attraverso cui passa un sistema durante una trasformazione quasi-statica

sono rappresentati da punti che giacciono sulla superficie p-v-T. Le zone monofase

appaiono come superfici curve, mentre le regioni bifase sono superfici cilindriche

perpendicolari al piano p-T, per cui le loro proiezioni su tale piano sono linee.

Fatti con wiki

Come si vede nelle figure ogni punto del piano (T,p) rappresenta un determinato valore dei parametri della sostanza (a

volume costante, anche se non necessariamente). Ogni punto rappresenta quindi una ben determinata fase della

sostanza, eccetto che i punti che si trovano sulle linee: queste linee curve vengono dette linee di transizione, che

dividono nettamente le fasi della sostanza. Ebbene sulle linee di transizione avviene il passaggio da una fase all'altra

della sostanza: la transizione avviene solo per determinate coppie di valori (T,p) e chiaramente dipendono dal tipo di

sostanza. Il punto C è il punto critico, cioè il punto dato da , che rappresenta il valore massimo della

temperatura per il quale la sostanza si può trovare nello stato liquido, oltre tale temperatura la sostanza può trovarsi

solo in stato gassoso.

Il punto è detto punto triplo: esso rappresenta l'unica coppia di valori per una determinata sostanza, nella

quale le tre fasi coesistono simultaneamente. Questo punto è caratteristico per ogni sostanza e quindi viene usato con

successo nella taratura della temperatura dei termometri.

Nelle due figure c'è una sottile ma importante differenza: la pendenza della curva di transizione liquido-solido. Nella

figura 1 si ha l'andamento tipico delle transizioni per la maggior parte delle sostanze, come si vede l'aumento della

pressione non provoca che piccole variazioni di volume in accordo con fatto che il liquido è poco comprimibile rispetto

al solido. Viceversa la figura 2 mostra l'andamento caratteristico dell'acqua e di poche altre sostanze: la pendenza della

curva è negativa ciò implica proprietà peculiari dell'acqua e delle sostanze che presentano tale diagramma. La più

importante è il fatto che la densità dell'acqua liquida è maggiore di quella del ghiaccio, motivo per cui il ghiaccio

galleggia sull'acqua.

23- Definizione di titolo e ricavare regola della leva per v

Titolo: rapporto tra la massa di vapore presente nella miscela e la massa totale:

Il titolo assume valori compresi tra 0 e 1:

Regola della leva: permette di calcolare le percentuali in peso in una qualsiasi regione bifasica di un diagramma di fase.

Se il volume occupato dal liquido saturo è e il volume occupato dal vapore saturo è , il volume totale è la loro

somma: . Riferendosi ai volumi specifici si ha e sostituendo nell’espressione

si ha: . Infine dividendo per : oppure nella

forma:

24- Perché le curve limite formano una campana?

Aumentando la pressione, il segmento congiungente gli stati di liquido saturo e vapore saturo sarà sempre più corto fino

a ridursi ad un punto, detto punto critico. Gli stati di liquido saturo possono essere connessi con una linea chiamata

curva limite inferiore; analogamente, la linea che collega gli stati di vapore saturo è detta curva limite superiore. Queste

due linee si incontrano nel punto critico determinando una forma a campana.

Fatto da rori con wiki:

Il diagramma di Andrews è la rappresentazione nel piano p-V (detto anche piano di Clapeyron) del comportamento di un

sistema gas-liquido (della stessa sostanza).

L'equilibrio tra liquido e vapore è rappresentato sul diagramma di Andrews da una regione delimitata da una curva a

campana, detta appunto campana di Andrews, che sta al di sotto dell'isoterma critica. All'interno della campana di

Andrews si ha quindi all'equilibrio la coesistenza di due fasi.

All'interno della campana di Andrews, al diminuire del volume non si hanno variazioni apprezzabili di pressione; come si

vede dalla figura, l'isoterma diventa una retta orizzontale tra i punti M ed N. Nel punto M si ha poi un brusco asintoto

della pressione, ciò indica che non si può comprimere ulteriormente il gas. Diminuendo ulteriormente la temperatura il

tratto orizzontale è più esteso, ma il discorso non cambia dal punto di vista qualitativo.

25- Diagramma p-v, diagramma T-s e trasformazioni. Coefficiente angolare delle isobare su T-s.

Diagramma p-v: fatto sopra; Piano del lavoro

Il piano di Clapeyron o piano Pv è un piano cartesiano ad assi ortogonali nei quali compare in ascissa il valore del volume

e in ordinata quello della pressione. Il suo uso è molto frequente in vari ambiti ed in molteplici campi della fisica, dalla

meccanica (per la rappresentazione del diagramma meccanico) alla termodinamica (per la rappresentazione del

diagramma di Andrews). Nel diagramma è facile identificare le curve isoterme se la sostanza in questione è un gas

ideale, in quanto sono rappresentate da iperboli equilatere; allontanandosi dall’origine degli assi il valore della

temperatura aumenta. Le trasformazioni adiabatiche sono identificate da curve dalla pendenza maggiore rispetto alle

isoterme. Un processo ciclico che compie un cammino orario dà in totale una quantità di lavoro positiva. L’area

sottostante una qualsiasi curva delimitata da uno stato iniziale ed uno finale rappresenta ancora il lavoro, in quanto

questo è l’integrale di pdv.

Il diagramma di Andrews è la rappresentazione nel piano p-V (detto anche piano di Clapeyron) del comportamento di un

sistema gas-liquido (della stessa sostanza). Nel diagramma di Andrews sono rappresentati stati termodinamici con

varianza pari a: 0, sistemi zero-varianti, rappresentati da un punto (punto critico); 1, sistemi mono-varianti,

rappresentati da una curva (curva di liquido saturo, curva di vapore saturo o isoterma critica); 2, sistemi bi-varianti,

rappresentati da una area (liquido, gas ideale, gas reale, equilibrio liquido-vapore, fluido supercritico).

In corrispondenza del punto C vi è una isoterma particolarmente importante: l'isoterma critica. Il punto C si chiama

punto critico e rappresenta la massima temperatura a cui la sostanza può trovarsi nella fase liquida, al di sopra della

quale la sostanza si può trovare solo in stato gassoso. Essa corrisponde per ogni sostanza ad un volume critico Vc e ad

una pressione critica pc. Da un punto di vista geometrico, l'isoterma critica corrisponde alla massima temperatura per

cui l'isoterma presenta un flesso.

Diagramma T-S Piano del calore: La quantità totale di calore scambiata durante una trasformazione internamente

reversibile è data da:

e corrisponde all’area sottesa dalla linea nella trasformazione internamente

reversibile tracciata nel diagramma.

Il diagramma entropico (Ts) mette, quindi, in relazione la variazione di temperatura assoluta con la variazione di

entropia.

- Le curve isoterme sono ovviamente linee orizzontali e quelle isoentropiche sono verticali (per queste ultime l’area

sottesa è nulla).

- Le isobare del gas ideale sono linee inclinate a pendenza crescente. Le isocore hanno pendenza ancor maggiore

rispetto alle isobare.

- Le trasformazioni adiabatiche sono identificate da curve dalla pendenza maggiore rispetto alle isoterme.

- La sottotangente cartesiana alla curva rappresenta il calore specifico della trasformazione che la curva stessa

rappresenta. Da ciò consegue che una curva a pendenza positiva avrà un calore specifico positivo, mentre una curva a

pendenza negativa avrà un calore specifico negativo per cui vi è cessione di calore unitamente all'aumento della

temperatura, con cessione di entropia.

- Un processo ciclico che compie un cammino orario dà in totale una quantità di lavoro positiva, pari all'area

all'interno del ciclo. Infatti, per il secondo principio della termodinamica, vale l'equivalenza fra una quantità di calore e

l'integrale di Tds, mentre per il primo principio della termodinamica vale l'equivalenza metrologica fra calore e lavoro.

Il coefficiente angolare, in una trasformazione isobara, è espresso da:

da cui possiamo dire

che tale coefficiente cresce con T.

26- Sistemi aperti: definizione di volume di controllo, stazionario, transitorio, uniforme, portata massica e volumica.

Equazione di continuità.

Volume di controllo: regione dello spazio delimitata da un contorno, detto superficie di controllo, che almeno

parzialmente permette il passaggio di materia.

Stazionario: le grandezze sono costanti nel tempo.

Transitorio: le grandezze non sono costanti nel tempo (regime variabile).

Uniforme: costante nello spazio, invariante nella posizione.

Portata massica [kg/s]: è la quantità di fluido che attraversa una sezione di area A nell'unità di tempo. La portata

massica è espressa da:

dove ρ [kg/m3] è la densità volumica del fluido. In

generale, il flusso di un fluido si può approssimare a un flusso unidimensionale, per cui tutte

le proprietà risultano uniformi, ma non stazionarie. In questa unidimensionalità, si può

assumere la velocità costante pari ad un valore medio equivalente, per cui si ottiene:

Portata volumetrica [m3/s]: è il volume del fluido che scorre attraverso una sezione trasversale riferito all’unita di tempo

ed è data da:

. Le portate massica e volumetrica sono correlate dalla relazione:

Equazione di continuità: esprime una legge di conservazione, utilizzando il flusso della grandezza che si conserva

attraverso una superficie chiusa.

In una tubazione, in cui si abbiano due sezioni di diversa area, per la legge di conservazione della massa, la portata

uscente deve eguagliare la portata entrante e quindi accadrà che dove ci fosse un restringimento aumenterà la velocità

del fluido: sono rispettivamente le densità, le velocità del fluido in

corrispondenza alle sezioni A1 e A2. Se il fluido è incomprimibile (densità costante ρ1 = ρ2), la relazione precedente

diventa: che è l'equazione della portata del condotto costante.

27- Equazione di conservazione dell’energia per i sistemi aperti. Definizione di lavoro di pulsione. Applicazione a

diversi organi di macchina.

L’equazione di conservazione dell’energia per un volume di controllo, sottoposto

ad una trasformazione, può essere espressa dalla relazione:

Il bilancio energetico diventa:

In termini di potenza:

.

In caso stazionario:

Lavoro di pulsione: il lavoro necessario a mantenere il flusso di massa attraverso il

volume di controllo. Nel caso stazionario:

Nel caso non stazionario: la potenza di pulsione:

Applicazione a diversi organi di macchina

Turbina

In un sistema aperto, il lavoro esterno netto è –

Scambiatore di calore

Hp: caso stazionario:

Nel caso di gas perfetto:

Compressore (macchina operatrice)

Ugello (per aumentare l’energia cinetica)

L’aumento di energia cinetica è dato dalla variazione di

entalpia: se

Conservazione dell’energia:

28- Bilancio entropico

Per sistemi chiusi: la variazione di entropia è dovuta allo scambio di entropia, che accompagna il trasferimento di

energia sotto forma di calore, e alla generazione di entropia al suo interno.

Dato e , la variazione di entropia del sistema è data dalla relazione:

che dice che la

variazione di entropia di un sistema chiuso durante una trasformazione è uguale alla somma dell’entropia scambiata

attraverso il contorno per effetto dello scambio termico e dell’entropia generatasi all’interno del sistema stesso.

In termini di potenza:

Nel caso di trasf adiabatica,

Per sistemi aperti: Il bilancio entropico per volumi di controllo deve tenere conto del trasporto di massa attraverso il

contorno del volume di controllo:

Questa relazione afferma che la variazione di entropia nell’unità di tempo all’interno del volume di controllo

durante una trasformazione è uguale alla somma dell’entropia scambiata per scambio termico attraverso il contorno del

volume di controllo, dell’entropia scambiata per trasporto di massa e dell’ entropia generata nell’unità di tempo per la

presenza di irreversibilità all’interno del volume di controllo.

Per flusso stazionario:

e, inoltre, nel caso di sistemi ad una sola entrata ed una sola uscita risulta:

. Nel caso di adiabaticità:

29- Isoentalpica di Joule Thomson

Un gas reale a pressione P1 e temperatura T1 è forzato ad attraversare un setto poroso. A

causa dell’alta resistenza offerta dal setto al flusso di gas, a monte del setto il gas assume

la pressione P2 < P1 e la temperatura T2. Il processo è adiabatico, perché le pareti sono

isolate( ) ed inoltre perché nell’espansione il gas non compie lavoro.

Sistema chiuso:

Sist aperto(flusso staz):

–

Se il gas è perfetto: perché

Se il gas non è perfetto: se P varia, anche T varia, in modo che H=cost

A causa del setto poroso : il setto poroso abbatte la pressione senza usare organi mobili ed è quindi sorgente di

irreversibilità. Ricaviamo dh da: .

Sapendo che

quindi la

pressione diminuisce. Ricaviamo:

significa che trasformo lavoro in calore e lo reinserisco nel sistema.

L’equazione dei sistemi aperti si applica tra due sezioni a monte e a valle del setto poroso. Se consideriamo una sezione

dentro al setto poroso non si potrebbe trascurare dEc . Una trasformazione isoentalpica si usa per abbassare la

pressione in un organo di macchina senza parti in movimento.

Se il gas non è perfetto, un’isoentropica provoca un abbassamento della pressione ed un abbassamento della

temperatura. Agendo sulla valvola di laminazione posso far variare e quindi . La relazione dei sistemi aperti vale

quindi anche per gas non perfetti, anche con passaggio di fase e trasformazioni irreversibili. L’unica ipotesi fatta è quella

di moto stazionario.

30- Espressione del lavoro in un sistema chiuso ed in un sistema aperto (esempio del compressore alternativo).

Lavoro per sistema chiuso:

Lavoro per sistema aperto:

Un compressore alternativo è un tipo di compressore, ovvero una macchina che sfrutta il lavoro svolto da

un motore per aumentare la pressione di un gas. La denominazione è dovuta al fatto che la compressione è

operata da un pistone, in moto alternativo all’interno di un cilindro. ll gas da comprimere è aspirato nel

cilindro dal condotto di aspirazione, mentre quello compresso è espulso dal cilindro verso il condotto di

mandata e solitamente nel condotto di mandata è presente un serbatoio (detto “polmone”) che serve a

smorzare gli sbalzi di pressione e portata legati al moto alternativo del pistone; inoltre, se di grandi

dimensioni permette d'avere una riserva d'aria in modo tale da non dover avere sempre il compressione in

moto. Comunemente i compressori alternativi sono azionati da motori elettrici o in rari casi con motori a

combustione interna.

31- Lavoro in una pompa.

Per una pompa che opera su un fluido incomprimibile l’unico lavoro è quello di pulsione:

, infatti, . La prevalenza della pompa è definita da:

. Note prevalenza e portata possiamo scrivere:

Per una politropica:

32- Compressione in due stadi

Essendo l’area sottesa dalla curva della trasformazione rispetto all’asse delle ordinate

proporzionale al lavoro assorbito dal compressore si può notare che, a parità di salto di

pressione il lavoro assorbito con una compressione adiabatica è maggiore di quello

assorbito con una compressione isoterma.

L’isoterma avviene molto lentamente ma a noi serve veloce.

Se la trasformazione avvenisse lungo una isoterma, il lavoro

sarebbe inferiore.

Per evitare rapporti di compressione troppo levati, si usa suddividere il salto di pressione in

più stadi, effettuando tra stadio e stadio un raffreddamento intermedio sino alla

temperatura iniziale del gas. Questa suddivisione, oltre a consentire di ridurre le

temperature massime raggiunte dal fluido nella macchina, consente di minimizzare l’area

del ciclo e quindi il lavoro speso.

33- Rendimento isoentropico

Il rendimento isoentropico è un particolare rendimento usato per stabilire quanto una trasformazione adiabatica di

compressione o di espansione si avvicini al caso ideale di trasformazione isoentropica, cioè reversibile.

Turbina: permette al fluido di espandersi all’interno di essa per guadagnare lavoro. Dall’equazione dei sistemi aperti:

Il rendimento isoentropico è dato da:

Nel caso di espansione dunque è definito dal rapporto fra il lavoro reale ottenuto e quello ideale ottenibile

dall’isoentropica. Perdo lavoro che se n’è andato in attrito(sorgente entropica).

Compressore: dall’equazione dei sistemi aperti:

.

Il rendimento isoentropico è definito come il rapporto fra il lavoro ideale necessario (cioè minimo) e quello realmente

necessario:

34- Macchina termodinamica motrice e operatrice

Una macchina termica è una macchina ciclica in grado di produrre o assorbire lavoro interagendo con un serbatoio di

lavoro e due serbatoi di calore.

Macchina termodinamica motrice: il lavoro è prodotto sfruttando il gradiente termico tra una sorgente calda e una

sorgente fredda. per macchina ciclica.

Macchina termodinamica operatrice: il sistema trasferisce calore dal serbatoio a T inferiore a quello a T maggiore

tramite l’assorbimento di lavoro dal serbatoio di lavoro.

35- Ciclo di Carnot ideale, reale e def. di rendimento

Il ciclo di Carnot è il ciclo termodinamico più semplice ottenibile dal minor numero di

sorgenti di un gas generico (teoricamente un gas perfetto). Il ciclo è costituito da 4

trasformazioni termodinamiche reversibili. Esso ha la proprietà di essere il ciclo

termodinamico che evolve tra le due sorgenti con il rendimento termodinamico maggiore.

La macchina di Carnot necessita di due sorgenti, cioè di due fonti di calore a temperature

differenti e si schematizza generalmente come un cilindro chiuso con un pistone con le

pareti isolate adiabaticamente contenente del gas che può scambiare calore solo

attraverso il fondo del cilindro.

Il ciclo di Carnot di un gas perfetto è composto da due isoterme (2-3) e (4-1) a temperature rispettivamente T1>T2 e due

adiabatiche (1-2) e (3-4):

Compressione adiabatica (1-2)

Espansione isoterma (2-3)

Espansine adiabatica (3-4)

Compressione isoterma (4-1)

Il rendimento di una macchina termica è, in generale, il rapporto tra il lavoro utile che la macchina riesce a compiere e il

calore totale assorbito dal sistema:

dove L è il lavoro totale compiuto dalla macchina, e Q1 il calore totale

assorbito da questa.

Nel caso del ciclo di Carnot, il rendimento sarà pari a:

Si vede subito che il rendimento sarebbe massimo (100%), solo se , un valore della temperatura non

raggiungibile da nessun corpo. Ne consegue che il rendimento teoricamente realizzabile con un ciclo di Carnot sarà

sempre inferiore all'unità.

36- Teorema di Carnot e corollario. Definizione di rendimento di II principio

Il teorema di Carnot afferma che non esistono macchine termiche funzionanti tra due sorgenti di calore a temperatura

T1 e T2, il cui rendimento sia superiore a quello di una macchina di Carnot funzionante fra le stesse temperature.

Dimostrazione:

. Suppongo che

Faccio ora lavorare la macchina di Carnot in senso

inverso: l’insieme di queste due macchina estrae

calore dalla sola sorgente 2 ( )

producendo lavoro utile ( )

Questo è impossibile perché è in contrasto con

l’enunciato del 2° principio di Kelvin-Planck.

Corollario: tutte le macchine di Carnot funzionanti fra le stesse temperature hanno lo stesso rendimento.

Dimostrazione: se . invertendo il funzionamento di l’insieme delle due macchine viola il

secondo principio. Se si fa funzionare in senso inverso e il complesso delle due macchine viola il 2°

principio

Il rendimento di secondo principio è il rapporto tra il rendimento della macchina e quello della macchina di Carnot che

opera tra le stesse temperature esterne:

Il rendimento di secondo principio può, anche se solo idealmente, raggiungere il valore 1.

37- Ciclo di Carnot inverso (ideale e reale): cicli frigo e pompe di calore

Guardare con disegni

38- Def. di COP e consumo meccanico specifico e loro espressioni per cicli di Carnot (INSERIRE DISEGNI IN BASSO)

Il COP di una pompa di calore è definito come il rapporto fra il calore somministrato alla sorgente a temperatura più alta

e il lavoro speso per fare ciò:

.

Viceversa il COP di una macchina frigorifera è definito come il rapporto fra il calore assorbito dalla sorgente a

temperatura più bassa e il lavoro speso:

Il consumo meccanico specifico è definito dalla formula:

Pompa di calore:

. Per la macchina di Carnot (caso ideale):

, che è sempre >1 perché

Macchina frigorifera:

. Per la macchina di Carnot (caso ideale):

Dati e questi sono i più alti COP possibili.

39- Ciclo Rankine con e senza risurriscaldamento

Il ciclo di Carnot a vapore è il più conveniente date da 2 sorgenti di calore. Ma gli svantaggi sono:

- operare con sistemi bifasici significa limitare il tempo massimo che può

essere raggiunto dal ciclo (poiché deve essere < rispetto alla T del punto

critico), e conseguentemente anche il rendimento termico del ciclo.

- l’espansione e la compressione in bifase danneggia gli organi meccanici.

- in questo modo eviteremo la

compressione e l’espansione

nello stato bifase, ma avremo il

problema di fare un’isoterma teorica da 2-3 (per arrivare sopra al punto

critico ci vogliono p elevate)

Le difficoltà che si incontrano nella realizzazione pratica del ciclo di Carnot possono essere superate surriscaldando il

vapor d’acqua in caldaia e condensandolo completamente nel condensatore: il ciclo che si ottiene è il ciclo Rankine, il

ciclo ideale degli impianti motori a vapore.

Il ciclo di Rankine è un ciclo termodinamico diretto a vapore composto da quattro

trasformazioni interamente reversibili:

12: compressione isoentropica del fluido, nella fase liquida, realizzato mediante una pompa,

sistema aperto che non scambia calore:

23: il fluido viene prima riscaldato e poi vaporizzato, sempre a pressione costante; si utilizza

una caldaia, sistema aperto che non scambia lavoro:

la quantità di calore q1 viene prelevata dai fumi caldi prodotti dalla combustione di un

combustibile e dell’aria comburente

34: espansione isoentropica del fluido, ora nella fase di vapore saturo secco, che passa

attraverso a una turbina, sistema aperto che non scambia calore, e, espandendosi

isoentropicamente, compie lavoro:

41: il fluido, nella fase di vapore saturo a bassa pressione, viene portato completamente

nella fase liquida, a pressione e temperatura costanti; per fare ciò, si utilizza un condensatore,

che cede la quantità di calore a una serpentina (serbatoio freddo):

All’uscita della turbina si ha vapore umido, il cui titolo

può non essere sufficientemente elevato per

prevenire i problemi in turbina (x>0,9). Si realizza perciò un surriscaldamento

del vapore saturo all’interno dello scambiatore di calore, così da aumentare il

titolo del vapore all’uscita della turbina.

Il rendimento termico si calcola con:

.

nella pompa e nella turbina è lo stesso. Nella pompa v è piccolo, nella turbina v è grande

La isotermobarica inferiore viene determinata dalla temperatura della sorgente inferiore, ambiente. è fissata dalla

resistenza dei materiali.

Alla fine dell’espansione in turbina il titolo deve avere . Per aumentare l’area del ciclo posso aumentare la

pressione, ma diminuisce

Risurriscaldamento

Vi sono due possibilità per evitare un eccessivo contenuto della fase liquida negli stadi finali

della turbina:

1- Surriscaldare il vapore acqueo ad una temperatura sufficientemente elevata prima che

esso entri in turbina: questa soluzione non è però percorribile poiché richiede un

innalzamento della temperatura del vapore a valori superiori ai limiti consentiti dalla resistenza dei materiali;

2- Frazionare l’espansione in turbina del vapore in due stadi ed effettuare tra di essi un risurriscaldamento del

vapore: questa soluzione determina un aumento della temperatura media alla quale il calore viene fornito il

fluido evolvente e quindi un ulteriore aumento del rendimento termico del ciclo.

Il ciclo Rankine ideale con risurriscaldamento differisce dal ciclo Rankine ideale semplice per il fatto

che l’espansione è frazionata in due stati. Nel primo stadio (turbina ad alta pressione), il vapore si

espande isoentropicamente fino ad una pressione intermedia e poi viene inviato nuovamente in

caldaia dove è risurriscaldato a pressione costante, di solito fino alla stessa temperatura di

ingresso nel primo stadio della turbina. Successivamente, il vapore si espande isoentropicamente

nel secondo stadio della turbina (turbina a bassa pressione) fino alla pressione di condensazione.

La quantità di calore totale fornita al fluido evolvente è: .

Il lavoro totale fornito dalla turbina è: (rispetto a senza: )

L’inserimento di un risurriscaldatore fa aumentare il rendimento termico del 3% ÷ 5%. Non si effettuano più di due stadi

di surriscaldamento, poiché si avrebbe un aumento di troppo piccolo per giustificare l’aumento di costo e di

complessità dell’impianto.

40- Rigenerazione nel ciclo Rankine e dimostrazione che il rendimento aumenta

Utilizzato per aumentare il rendimento del ciclo Rankine.

Bilancio:

Rendimento:

(rispetto a senza:

). Il ciclo è diventato più simile ad un ciclo di Carnot.

41- Dimostrazione che per i cicli simmetrici i prodotti in croce sono uguali

I cicli termodinamici simmetrici sono cicli formati da due coppie di trasformazioni reversibili ed uguali.

Consideriamo un ciclo a gas simmetrico costituito da due coppie di politropiche diverse di indici n e m:

1-2: politropica di indice n

2-3: politropica di indice m

3-4: politropica di indice n

4-1: politropica di indice m

Dalla relazione:

42- Ciclo Joule-Brayton, espressione del rendimento ciclo simmetrico ( )

Il ciclo Joule-Brayton è il ciclo ideale dei moderni impianti motori a turbina a gas.

Il Ciclo di Joule-Brayton, è un ciclo termodinamico che costituisce il riferimento ideale per il funzionamento delle turbine

a gas.

Le ipotesi semplificative del ciclo ad aria standard sono:

- il fluido evolvente è aria, considerata gas perfetto con calori specifici costanti

- tutte le trasformazioni sono internamente reversibili

- il processo di combustione è sostituito da uno scambio termico (somministrazione di calore da parte di una sorgente

esterna)

- il rinnovo del fluido evolvente è sostituito da uno scambio termico (sottrazione di calore che ripristina il fluido

evolvente allo stato iniziale)

Le trasformazioni coinvolte sono due isobare e due isoentropiche (o adiabatiche se viene a cadere il

vincolo dell'idealità).

Il ciclo si compone di quattro fasi, quattro trasformazioni reversibili:

1-2: compressione isoentropica: ;

2-3 riscaldamento isobaro, dunque somministrazione di calore a pressione

costante: ;

3-4 espansione isoentropica: ;

4-1 raffreddamento isobaro, dunque sottrazione di calore a pressione costante:

;

La totalità delle macchine reali a ciclo Joule-Brayton sono del tipo a combustione interna a ciclo aperto. Il compressore

aspira aria dall'ambiente aumentandone la pressione senza scambi di calore con l'esterno; si inietta il combustibile, il

quale brucia elevando la temperatura del fluido, ma non la pressione che invece resta costante (aumenta il volume

specifico); il fluido ad elevato contenuto entalpico espande in una turbina cedendo ad essa lavoro meccanico e

diminuendo la propria pressione e temperatura; il fluido uscente dalla turbina a pressione ambiente si scarica

nell'atmosfera raffreddandosi.

Il rendimento termodinamico ideale del ciclo di Brayton-Joule è inferiore a quello del ciclo di Carnot operante tra le

stesse temperature massima e minima ed aumenta all'aumentare del rapporto delle pressioni. Il rendimento è:

poiché si tratta di cicli simmetrici

sappiamo che:

Definiamo il rapporto di compressione manometrica come:

oppure

con p2 e p1 rispettivamente le pressioni

del gas lungo le trasformazioni isobare di riscaldamento e di raffreddamento.

Si preferisce avere rendimento più basso ma lavoro maggiore.

Se aumenta diminuisce l’aria e quindi diminuisce il lavoro.

Se si riesce ad aumentare si può aumentare .

Dal grafico

43- Criteri di progetto

44- Rigenerazione nel ciclo Joule-Brayton (cambiare numeri grafico)

L’aria a pressione elevata in uscita dal compressore può essere riscaldata, mediante uno

scambio di calore con i gas combusti ancora caldi realizzando uno scambiatore di calore

contro corrente chiamato rigeneratore. Per effetto della rigenerazione, il rendimento

termico del ciclo Brayton aumenta perché l’energia dei gas combusti di scarico, che nel

ciclo semplice è ceduta all’ambiente, viene ora utilizzata in parte per preriscaldare l’aria

prima che entri in camera di combustione. In tal modo, si riduce la quantità di calore che

deve essere fornita al fluido evolvente per produrre lo stesso lavoro netto. La

rigenerazione è da fare solo se la temperatura dei gas combusti all’uscita della turbina è

maggiore dell’aria all’uscita dal compressore ( ), perché in caso contrario il calore

sarebbe scambiato in verso opposto (dall’aria ai gas combusti) con conseguente

diminuzione del rendimento termico.

Il rendimento del ciclo standard è dato da:

.

Nel caso di rigenerazione:

Consiste nel trasferire parte del calore scaricato dal gas caldo a bassa pressione in uscita dalla turbina a quello freddo ad

alta pressione in uscita dal compressore, che deve essere

riscaldato. Si migliora così il rendimento del ciclo poiché si

diminuisce il calore entrante a parità di lavoro utile.

Abbiamo visto che il lavoro di compressione può essere inferiore

se si ha raffreddamento intermedio. Il lavoro di espansione,

invece, può essere superiore se si ha riscaldamento intermedio.

Dal grafico si vede che aumenta la possibilità di rigenerazione ed

anche il rendimento.

La possibilità di rigenerazione è elevatissima. Le trasformazioni isobare

diventano quasi completamente adiabatiche e l’espansione e la compressione

assomigliano a due isoterme.

All’aumentare del numero degli stadi della compressione e dell’espansione, il

ciclo con risurriscaldamento e rigenerazione approssima sempre più il ciclo di

Carnot.

45- Ciclo Otto: ciclo simmetrico ( )

Il ciclo Otto è il ciclo ideale dei motori alternativi ad accensione comandata, in cui la miscela di aria e combustibile viene

compressa fino ad una temperatura inferiore a quella di autoaccensione del combustibile e la combustione viene

innescata dalla scintilla di una candela.

Il ciclo Otto ideale ad aria standard consiste in quattro trasformazioni internamente reversibili:

1-2: compressione isoentropica

2-3: riscaldamento isocoro:

3-4: espansione isoentropica

4-1: raffreddamento isocoro:

Il sistema non scambia lavoro durante le due trasformazioni di scambio termico, poiché esse

avvengono a volume specifico costante.

Il rendimento termico risulta:

Poiché le trasformazioni 1-2 e 3-4 sono isoentropiche e risulta:

Definiamo il rapporto di compressione volumetrica:

dove il rendimento aumenta all’aumentare del

rapporto di compressione.

Ciclo Otto ideale

46- Ciclo frigo e diagramma p-h. Varie soluzioni impiantistiche

Il trasferimento di calore da sorgenti termiche a più bassa temperatura a pozzi termici a più elevata temperatura prende

il nome di refrigerazione. Le macchine che realizzano la refrigerazione sono le macchine frigorifere, mentre i cicli con cui

essi funzionano sono detti cicli inversi, o frigoriferi. Il fluido evolvente utilizzato nei cicli è chiamato refrigerante. Le

macchine, invece, utilizzate con lo scopo di riscaldare un ambiente attraverso il trasferimento di calore prelevato da una

sorgente termica a minore temperatura sono dette pompe di calore.

Le trasformazioni, sono:

1-2: compressione isoentropica

2-3: raffreddamento isobaro

3-4: laminazione isoentalpica

4-1: evaporazione

lo scambiatore di calore deve essere più grande rispetto a quello ideale.

Nel caso ideale:

Agendo sulla valvola di laminazione, modifichiamo la pressione a valle e possiamo regolare la temperatura della cella.

47- Progetto di un impianto a ciclo inverso

Date , scegliamo il fluido refrigerante più adeguato e le isotermobariche un po’ sotto e un po’ sopra

.

Per lo scambiatore di calore : da cui ricavo la superficie

48- Ciclo Diesel

Il ciclo Diesel è il ciclo ideale dei motori alternativi ad accensione spontanea, in cui l’aria viene compressa fino a

raggiungere una temperatura superiore a quella di autoaccensione del combustibile e la combustione inizia

spontaneamente non appena il combustibile, iniettato nel cilindro, viene a contatto con

l’aria calda.

E’ molto simile al ciclo Otto differenziando solo per il fatto che la

somministrazione di calore è a pressione costante, invece che a

volume specifico costante.

Il ciclo Diesel è costituito da quattro trasformazioni:

1-2: compressione isoentropica, adiabatica

2-3: riscaldamento isobaro

3-4: espansione isoentropica, adiabatica

4-1: raffreddamento, sottrazione di calore, isocoro

Il calore fornito al fluido evolvente a pressione costante e quella sottratta a volume costante sono espresse da:

, da cui risulta che:

ma sapendo che

Sapendo che si tratta di gas perfetto, le trasformazioni isoentropiche 1-2 e 3-4 sono politropiche, e definiamo una nuova

quantità, il rapporto volumetrico di introduzione :

rapporto di compressione e

Ricaviamo quindi:

dove

Spieghiamo come ci siamo arrivati:

1-2 e 3-4: adiabatiche:

sostituisco

2-3: isobaro:

4-1: isocoro:

A parità di rapporto volumetrico, risulta: . Inoltre, il rendimento del ciclo Diesel diminuisce

all’aumentare del rapporto volumetrico di introduzione , diventando sempre più piccolo rispetto al rendimento termico

del ciclo Otto. Tuttavia i cicli Diesel lavorano a rapporto di compressione ; mentre, per un ciclo Otto con

carburatore, per benzina senza piombo, e per ciclo Otto ad iniezione .

49- Ciclo Stirling e ciclo Ericsson ideali

Il ciclo Stirling è costituito da quattro trasformazioni:

1-2: isoterma

2-3: isocora

3-4: isoterma

4-1: isocora

Il calore entra nelle trasformazioni 2-3 e 3-4 ed esce nelle trasformazioni 4-1 e 1-2.

Il ciclo Stirling può rigenerare il calore scambiato nelle isocore ed avere un rendimento pari a quello del ciclo di Carnot.

Tra le due isocore si ha scambio di calore internamente al sistema, rigenerazione, e quindi il ciclo avrà un rendimento

pari a quello di Carnot. (scambio di calore a e per il resto avviene tutto dentro )

Grafico T-s cambiare i numeri

Il ciclo Ericsson è costituito da quattro trasformazioni:

1-2: isoterma

2-3: isobara

3-4: isoterma

4-1: isobara

La compressione isoterma avviene con cessione di calore mentre l’espansione isoterma con assorbimento di calore; nel

caso ideale di rigenerazione totale: .

Tra le due isobare si ha scambio di calore internamente al sistema, rigenerazione, e quindi il ciclo avrà un rendimento

pari a quello di Carnot:

. Nel caso ideale di rigenerazione totale

50- Miscele di gas e legge di Dalton

Legge di Dalton: in una miscela di gas, la pressione totale è pari alla somma delle pressioni dei singoli gas che occupano

lo stesso volume della miscela alla stessa temperatura:

Se si considera una miscela di gas composto da k componenti:

Per gas perfetti vale: sapendo che

Inoltre, per gas perfetti:

Ed anche:

51- Aria umida, umidità relativa, umidità assoluta e diagramma di Mollier

Aria umida: l’aria è una miscela di azoto, ossigeno e di piccoli quantitativi di altri gas, mentre l’aria atmosferica contiene

anche vapore d’acqua, nello stato di vapore surriscaldato. Nel caso non contenga vapore, viene definita aria secca, che

può considerarsi gas perfetto con

cost:

.

L’entalpia del vapor d’acqua a

e il valore medio del

entalpia

del vapor d’acqua in questo campo di temperatura come:

Umidità relativa: [strumento: igrometro] è il rapporto tra la quantità di vapore acqueo contenuto in una massa d’aria e

la quantità massima di vapore acqueo che la stessa massa d’aria riesce a contenere nelle stesse condizioni di

temperatura e pressione:

Umidità assoluta: esprime la densità del vapore acqueo in una massa unitaria di aria umida, ed è espressa da:

.

Se

Diagramma di Mollier: è un grafico che rappresenta la relazione tra entalpia ed

entropia di una sostanza; quello dell’acqua rappresenta la relazione tra entalpia e

entropia in funzione del volume, della pressione e della temperatura.

Stati di equilibrio omogenei:

.

Stati di equilibrio eterogenei:

Fissate t e P si aggiunge condensato alla temperatura t: dove s: vapore saturo e c:

condensato

Se:

Stati di equilibrio eterogenei: e P fissata

Si aggiungono condensato liquido o solido o una miscela dei due ad aria satura umida a 0°C

52- Postulato ed equazioni di Fourier

Il postulato di Fourier per la conduzione dice che la potenza termica trasmessa per conduzione attraverso uno strato è

proporzionale alla differenza di temperatura da una parte all’altra dello stato e all’area della superficie di scambio

termico ed è inversamente proporzionale allo spessore dello strato:

dove è la conducibilità

termica del materiale.

Partiamo dalle relazioni del flusso termico:

dove k è il coefficiente di conducibilità termica.

Queste presentano il segno – se la freccia di va da , cioè se , quindi il flusso si muove verso temperature

decrescenti.

In caso di distanze infinitesime:

è l’espressione del postulato di Fourier

In caso tridimensionale:

Equazione di Fourier: applicando il postulato di Fourier e la conservazione dell’energia si può ottenere un’espressione

differenziale per T:

è l’equazione di Fourier ( è la diffusività termica )

Nelle 3 dimensioni:

. Le condizioni al contorno sono:

Senza generazione di potenza:

monodimensionale:

Caso stazionario con generazione di potenza:

monodim.:

Caso stazionario senza generazione di potenza: monodimensionale:

53- Metodo delle resistenze termiche

Sappiamo che

ma dall’elettrotecnica sappiamo che sostituendo

ricaviamo:

per parete piana. Nel caso convettivo:

- Serie:

- Parallelo:

(valida solo se non c’è generazione di potenza)

Le resistenza termiche si comporta esattamente come quelle elettriche.

- Resistenze termiche di contatto:

54- Ricavare espressione di per cilindro cavo senza generazione di potenza e di t di parete imposte (simmetria

cilindrica)

Si effettua un cambio di sistema di riferimento:

Per simmetria cilindrica:

.

Se posso moltiplicare tutto per r:

. Pongo

Ricavo ora T sostituendo:

55- Ricavare espressione di per cilindro pieno con generazione di potenza (simmetria cilindrica)

Potenza:

Dall’equazione di Fourier:

Per simmetria cilindrica:

Se: posso moltiplicare tutto per r:

Integrando:

Il problema è simmetrico e la derivata deve essere nulla:

(il flusso termico sull’asse è nullo)

Dalle condizioni al contorno:

dove risulta:

Avrei potuto calcolarla dicendo che tutta la potenza generata nel volume viene dissipata per convezione attraverso la

superficie: da cui per un cilindro si ha: semplifico e ricavo:

, proprio come sopra. In questo modo però non si è in grado di dire come varia la temperatura

all’interno del cilindro.

56- Raggio critico

Potenza termica trasmessa dal tubo isolato risp all’aria circost:

Il valore di raggio , per cui si ha la massima trasmissione di calore, è detto raggio critico

dell’isolante per un corpo cilindrico e si ottiene eguagliando a zero la derivata di rispetto a

:

in cui il raggio critico dipende dalla conducibilità dell’isolante k e dal

coefficiente di scambio termico convettivo esterno h.

Nel caso di una sfera si dimostra che il raggio critico dell’isolante per un guscio sferico è:

57- Problema del corpo con Bi<<1 immerso in un fluido (T dipende dal tempo) grafico

Il numero di Biot è dato dalla relazione:

dove

è la lunghezza caratteristica.

Il numero di Biot è il rapporto della resistenza interna di un corpo alla condizione di calore, rispetto alla sua resistenza

esterna alla convezione di calore. Un basso numero di Biot corrisponde ad una piccola resistenza alla conduzione

termica. Nello studio di un sistema a parametri concentrati si ipotizza una distribuzione di temperatura inferiore, il che si

verifica solo quando . Tale studio si ritiene accettabile per (scambio conduttivo migliore di convettivo).

Consideriamo un corpo a temperatura uniforme che viene lambito da un flusso di aria a temperatura maggiore,

trascuriamo lo scambio termico per irraggiamento e impostiamo il bilancio energetico:

. Integrando tra il tempo 0 ed il tempo t:

La temperatura del corpo aumenta uniformemente con il tempo fino a raggiungere asintoticamente la temperatura del

fluido:

è il tempo interno del sistema

(costante nel tempo).

Se risulta accettabile l’assunzione del problema a parametri concentrati. Significa che la resistenza termica al

calore all’interno del corpo è trascurabile rispetto alla resistenza che il corpo assume rispetto al calore esterno.

58- Soluzione del problema dell’aletta sottile

Potenza termica scambiata tra una superficie e un fluido: . Per aumentare la potenza termica

scambiata, a parità di salto termico, si deve aumentare il prodotto . Intervenendo sulla superficie S si creano delle

superfici estese, alette o piolature. L’aletta che consideriamo è convettiva. Le alette in genere sono caratterizzate da

lunghezze molto maggiori delle dimensioni trasversali e da Bi piccoli se riferiti alle dimensioni trasversali. Il calcolo della

potenza termica scambiata si riduce ad un problema di conduzione monodimensionale.

Condizioni al contorno:

Integrando sul semispess:

Definendo la temperatura media lungo y:

Sostituendo:

. Ho due incognite:

Se e quindi:

e il problema diventa:

Adimensionalizzando:

dove

Indicando con

il sistema diventa:

La soluzione del problema è: con sono il seno ed il coseno

iperbolico, dati da:

Imponendo le condizioni al contorno:

Ricavo

ed ottengo:

Per m elevati c’è un lungo tratto di aletta che scambia poco perché la temperatura è poco diversa dall’esterno.

Ciò significa che è poco utile fare alette di materiale che conduce poco.

Per calcolare il flusso scambiato, usiamo il metodo più semplice, quello di calcolarlo attraverso la base dell’aletta:

.

Vediamo come varia q all’aumentare di L:

.

Per risulta

quando

. In queste condizioni q aumenta all’aumentare di L

la trattazione fatta è valida per

Per avere

deve essere , mentre normalmente si ha . Se però sono in questa condizione

particolare, è meglio avere a contatto con la superficie e quindi togliere l’aletta.

Spesso si considera l’apice adiabatico (la quantità di calore disperso dall’apice è piccola) per cui

Si definisce efficienza dell’aletta il rapporto tra il flusso per unità di profondità e il flusso in caso ideale, cioè tutta l’aletta

si trova alla temperatura della base (questo si verifica quando ):

L’efficienza può anche essere definita come il rapporto tra la potenza scambiata per unità di superficie e la potenza che

si scambia senza aletta.

59- Mezzo semi-infinito con gradino di temperatura

Per la soluzione impieghiamo il metodo delle variabili di similitudine:

. Ponendo

l’equazione differenziale è invariante rispetto alla trasformazione. Se è soluzione del problema, anche

è soluzione del problema. Ciò suggerisce che sia funzione di una variabile , detta

variabile di similitudine, invariante rispetto alla trasformaione. Usiamo quindi la variabile:

60- Mezzo semi-infinito con flusso termico variabile sinusoidale nel tempo

61- Definizione di radianza spettrale direzionale, potere emissivo spettrale e potere emissivo totale

Radianza spettrale direzionale

:

dice quanti watt sono emessi dalla zsuperficie per unità

di superficie, di lunghezza d’onda e di angolo solido.

Potere emissivo spettrale

: è la potenza radiante emessa dal corpo nero alla temperatura assoluta T per unità di

area superficiale e di lunghezza d’onda:

. E’ chiamato anche

monocromatico perché dipende dalla lunghezza d’onda.

Potere emissivo totale

: rappresenta la radiazione termica complessivamente emessa nell’intero campo di

lunghezza d’onda ed è espressa da:

62- Definizione delle proprietà di un corpo nero

Si definisce corpo nero un corpo che, ad ogni temperatura e per ogni lunghezza d’onda, emette ed assorbe la massima

quantità possibile di radiazione. Il corpo nero è dunque un emettitore ideale, dato che emette la massima radiazione

per ogni temperatura e lunghezza d’onda, ed un assorbitore ideale, dato che assorbe tutta la radiazione incidente

indipendentemente da direzione e lunghezza d’onda.

Radianza spettrale direzionale

:

non dipende più da perché emettitore diffuso.

Potere emissivo spettrale

:

Potere emissivo totale

:

63- Legge di Plank e legge di Wien

L’energia associata ad una radiazione elettromagnetica è trasmessa in pacchetti indivisibili chiamati quanti, ciascuno dei

quali è associato ad un singolo fotone. L’energia di un quanto, E, dipende dalla frequenza della radiazione, , secondo la

formula: dove h è la costante di Plank. Si può anche esprimere E in funzione della lunghezza d’onda della

radiazione: infatti la lunghezza d’onda è legata alla velocità di propagazione ed alla frequenza della radiazione secondo:

per cui possiamo ricavare:

La legge di Plank esprime:

dove

da cui possiamo vedere

che dipende dalla lunghezza d’onda e dalla temperatura assoluta del corpo.

La lunghezza d’onda alla quale il potere emissivo monocromatico è massimo si sposta, all’aumentare della temperatura,

verso valori minori; in particolare, si ricava che la relazione tra la lunghezza d’onda alla quale è massimo,

quindi

, e la temperatura assoluta è: , chiamata legge dello spostamento di Wien.

64- Legge di Stefan-Boltzmann

La legge di Stefan-Boltzmann esprime che, per un corpo nero: dove

è la costante

di Stefan-Boltzmann, T è la temperatura assoluta della superficie e è il potere emissivo del corpo nero,

proporzionale alla quarta potenza della temperatura assoluta.

65- Definizione di emissività e corpo grigio

L’emissività di un materiale è il rapporto tra la radiazione emessa dalla superficie e la radiazione emessa dal corpo nero

alla stessa temperatura. L’emissività di una superficie si indica con , dove , ed è una misura di quanto una

superficie reale approssima un corpo nero per il quale . Essa dipende dalla temperatura, dalla direzione della

radiazione emessa, dalla lunghezza d’onda e dalla finitura superficiale (rugosità, che se elevata aumenta l’emissività, ed

eventuale presenza di inclusioni estranee o zone chimicamente o fisicamente alterate) del corpo osservato. I metalli

hanno remissività bassa e crescente con la temperatura, mentre i non metalli hanno remissività relativamente elevata e

decrescente al crescere della temperatura.

L’espressione dell’emissività è:

Il corpo grigio si differenzia dal corpo nero solo perché possiede coefficiente di assorbimento . Il corpo grigio è

un corpo nero la cui emissività spettrale totale non dipende da .

66- Coefficienti di trasmissione, riflessione e assorbimento

Coefficiente di trasmissione:

Coefficiente di riflessione:

Coefficiente di assorbimento:

Dalla conservazione dell’energia: se divido ciascun termine per G ho:

Per superfici opache, essendo , si ha:

Grafici riflessione speculare, diffusa e reale

67- Legge di Kirchoff

Si consideri un corpo piccolo contenuto in una grande cavità isoterma, alla stessa temperatura. Una cavità isoterma

costituisce un corpo nero indipendentemente dalle proprietà radiative della superficie interna della cavità. La radiazione

incidente sulla superficie del corpo, dunque all’interno della cavità, è uguale alla radiazione emessa dal corpo nero all

temperatura T, , la radiazione assorbita risulta: , mentre quella emessa è:

. Considerando che il corpo è in equilibrio termico con la cavità, la potenza termica netta scambiata dal

corpo deve essere nulla, cioè la radiazione emessa dal corpo deve essere uguale a quella assorbita:

legge di Kirchoff.

68- Irraggiamento tra parete nera e grigia affacciate

è il flusso termico netto scambiato.

Sapendo che

(Nel caso di due pareti

nere cambia solo per )

69- Definizione di fattore di vista

Il fattore di vista è una grandezza puramente geometrica indipendente dalle proprietà superficiali e dalla temperatura.

Esso viene introdotto per tenere conto dell’orientazione sulla trasmissione di calore per irraggiamento tra due superfici.

Il fattore di vista tra una superficie i e una superficie j si indica con e indica la frazione della radiazione emessa dalla

superficie i che incide direttamente sulla superficie j. Nel caso particolare di si definisce: la frazione della

radiazione uscente dalla superficie i che colpisce direttamente la stessa superficie. Se tutto ciò che è emesso

dalla superficie i arriva alla superficie j.

70- Regola della reciprocità e della somma per il fattore di vista

I fattori di vista sono uguali solo se le aree delle superfici cui si riferiscono sono uguali:

Utilizzando il concetto di intensità di radiazione si può dimostrare che i due fattori di vista sono legati tra loro

dalla relazione: detta regola di reciprocità, che permette di calcolare il fattore di vista noti l’altro

fattore di vista e le aree delle due superfici.

Regola della somma: la somma dei fattori di vista della superficie i di una cavità verso tutte le superfici della cavità, essa

stessa inclusa, è uguale ad uno; si esprime attraverso la relazione: dove N è il numero di superfici

costituenti la cavità.

71- Resistenza superficiale all’irraggiamento e resistenza spaziale

La radiosità è la radiazione totale che abbandona una superficie per unità di tempo e

di superficie:

Per un corpo neri la radiosità si riduce a: , e quindi è uguale al potere

emissivo.

La potenza termica netta scambiata da una superficie è:

dove

è la resistenza superficiale

all’irraggiamento.

La potenza netta scambiata tra due superfici grigie è:

dalla relazione di reciprocità ricavo:

è la resistenza spaziale dell’irraggiamento.

72- Irraggiamento tra due superfici grigie

Lastre grigie affacciate:

Due lastre affacciate infinitamente estese:

In una cavità con N superfici, la potenza termica trasmessa da una superficie i è uguale

alla somma delle potenze termiche trasmesse dalla stessa superficie verso ciascuna delle

N superfici della cavità:

Se una superficie è adiabatica: , cioè la radiosità è pari a quella di un

corpo nero.

73- Convezione forzata: numero di Nusselt, Reynolds, Prandtl

Convezione forzata: è la trasmissione di calore che si verifica in presenza di un fluido soggetto a trasporto di massa al

suo interno. Il fluido è dunque costretto a scorrere su una superficie o in un condotto da dispositivi esterni come una

pompa o un ventilatore.

La potenza termica trasmessa per convezione:

Uno strato molto sottile di fluido, quando scorre, aderisce alla parete ed assume velocità nulla. Questo fa sì che la

trasmissione del calore tra la parete e questo strato avvenga per conduzione, per cui:

dove L è la lunghezza caratteristica.

N°di Nusselt: è il coefficiente di scambio termico convettivo h adimensionalizzato:

dove

Rappresenta l’incremento della potenza termica trasmessa per convezione attraverso uno strato di fluido rispetto a

quella trasmessa per conduzione attraverso lo stesso strato. Il valore unitario è caratteristico della trasmissione di calore

per conduzione pura attraverso lo strato di fluido. All’aumentare del numero di Nusselt risulta sempre più sviluppato il

fenomeno della convezione.

confronta lo scambio termico convettivo con quello conduttivo.

N° di Reynolds: il tipo di moto, laminare o turbolento, dipende dal rapporto tra le forze d’inerzia e le forze viscose :

Per grandi valori del numero di Reynolds le forze d’inerzia, proporzionali a densità e a velocità del fluido, prevalgono

sulle forze viscose che così non possono impedire le fluttuazioni rapide e casuali del fluido, generando moto turbolento.

Al contrario, per piccoli valori le forze viscose hanno il sopravvento su quelle d’inierzia, mantenendo il fluido in linea,

ottenendo moto laminare.

Il numero di Reynolds, in corrispondenza del quale il moto diventa turbolento, è detto numero di Reynolds critico, che

per flusso su lastra piana vale:

Numero di Prandtl: è definito come:

, esso è quindi una caratteristica del

fluido e non dipende dal campo di moto considerato. Permette di misurare l’importanza relativa degli effetti viscosi

rispetto alla diffusività termica.

per metalli liquidi (strato limite di temperatura molto più spesso di quello di velocità)

per oli (strato limite di temperatura molto più sottile di quello di velocità)

per gas (quantità di moto e calore si dissipano quasi con la stessa intensità)

74- Definizione di viscosità dinamica e cinematica

La viscosità dinamica è la capacità di resistere a sforzi tangenziali.

La viscosità cinematica differisce da quella dinamica di un fattore . La viscosità cinematica

rappresenta il

rapporto tra la viscosità dinamica e la densità del fluido ed è espressa da:

.

Tensione tangenziale:

75- Convezione forzata su lastra piana: definizione di strato limite e relazioni semiempiriche per lo scambio termico

Lo strato limite o strato limite di velocità è la regione all’interno della quale sono presenti le forze di taglio viscose

originate dalla viscosità del fluido. Si tratta della zona in cui esauriscono il 99% delle variazioni di velocità. Al di fuori

dello strato limite, la velocità è indisturbata. Al suo interno, lo strato limite si divide in laminare, in cui predominano le

forze viscose, e turbolento, in cui predominano le forze di massa.

Sforzo di taglio superficiale:

Forza di attrito o trascinamento:

Lo strato limite termico è la zona del fluido in moto sulla superficie, nella quale risulta significativa la variazione di

temperatura nella direzione normale alla superficie.

Lastra piana: relazione semiempiriche:

Flusso laminare su lastra piana con temperatura imposta:

Flusso turbolento su lastra piana con temperatura imposta:

Se la lastra piana invece che essere isoterma è sottoposta ad un flusso uniforme (flusso imposto significa che punto per

punto il flusso è imposto e la temperatura varia punto per punto):

76- Convezione dentro i tubi. Calcolo di T a qs costante

Scambio termico nei tubi:

Per avere costante, dovrà variare:

77- Calcolo di T a Ts costante

Integrando

78- Convezione naturale: fenomenologia, condizioni necessarie, numero di Rayleigh, esempi

La convezione naturale si verifica quando il moto del fluido ha luogo per cause naturali, il moto quindi non è imposto

dall’esterno, ma si innesca da solo per effetto delle forze di galleggiamento.

Legge di Archimede:

Condizioni per l’innesco della convezione naturale:

Coefficiente di dilatazione cubica a pressione costante:

dice come varia la densità del fluido al variare della

temperatura . Per un gas perfetto:

Numero di Rayleigh:

è il numero di Grashof.

Il ruolo svolto dal numero di Reynolds nella convezione forzata, è svolto dal numero di Grashof nella convezione

naturale:

flusso laminare

flusso turbolento

Potenza termica:

79- Tipologia e problemi degli scambiatori di calore

Lo scambiatore di calore è un componente in cui si realizza uno scambio di energia termica tra due fluidi a temperature

diverse. In genere, sono sistemi aperti che operano senza scambio di

lavoro, ovvero presentando un flusso costante di fluido e una distribuzione

di temperatura a regime costante.

- A doppio tubo: consiste in due tubi concentrici di diametri differenti. Sono

possibili due differenti tipi di flusso:

- equicorrente: i fluidi percorrono lo scambiatore nello stesso verso

- controcorrente: i fluidi percorrono lo scambiatore in direzioni opposte

- Compatto: consente lo scambio termico attraverso una grande superficie ed è caratterizzato da alti valori del

parametro

, densità dell’area di scambio (rapporto tra superfici di scambio e volume dello scambiatore). Esempi:

radiatori automobili, rigeneratori ciclo Stirling, polmoni umani. Permettono di scambiare

potenze termiche notevoli tra due fluidi in volumi ridotti, vengono utilizzate in applicazioni

caratterizzate da stretti vincoli di peso e volume. L’elevata superficie di scambio viene ricavata

ponendo, a distanza ravvicinata sulla parete di separazione tra due fluidi, lamierini sottili o

alette corrugate. Questa grande superficie di scambio permette di trasferire grandi quantità di calore tra i due fluidi, che

generalmente fluiscono in direzioni mutuamente perpendicolari (flussi incrociati).

- A tubo e mantello: è forse il più diffuso nelle applicazioni industriali. E’ composto da un gran numero di tubi e da un

mantello cilindrico che li contiene. Lo scambio termico avviene tra i due fluidi

che scorrono l’uno all’interno dei tubi e l’altro all’esterno dei tubi ma

all’interno del mantello. I diaframmi, posti all’interno del mantello e

perpendicolari all’asse del mantello, permettono di migliorare lo scambio

termico. Sono molto usati, ma non a bordo di automobili, aerei o navi,

perché molto ingombranti e pesanti.

- A piastre: costituito da piastre coniugate in modo da formare piccoli condotti per il passaggio del fluido. I fluidi caldo e

freddo fluiscono alternativamente nella stessa sezione così che ogni corrente fredda è a contatto con due correnti di

fluido caldo realizzando condizioni ottimali di scambio termico.

- Rigenerativo:

- caso statico: è costituito da una struttura porosa attraverso la quale vengono fatti passare alternativamente

fluido caldo e freddo. Il calore viene trasferito in una prima fase dal fluido caldo al rigeneratore e

successivamente al fluido freddo.

- caso dinamico: è composto da un tamburo rotante soggetto al flusso continuo dei fluidi calo e freddo. Il

tamburo, durante la rotazione, viene a contatto alternativamente con il fluido caldo e con quello freddo,

immagazzinando e cedendo calore.

80- Relazioni di scambio termico per scambiatori di calore in equicorrente e in controcorrente

Gli scambiatori di calore a doppio tubo

possono essere equicorrente, se il fluido

esterno ed interno scorrono nello stesso

senso, oppure controcorrente.

Negli scambiatori in controcorrente, la temperatura d’uscita del fluido freddo può essere superiore a quella di uscita di

quello caldo. Negli scambiatori in equicorrente questo non può mai succedere.

Consideriamo uno scambiatore di calore a doppio tubo in equicorrente:

La potenza termica scambiata nel tratto infinitesimo è: dove U è il coefficiente di scambio termico

complessivo dello scambiatore.

Sostituisco:

integrando:

e

sostituisco:

dove

conviene: per scambiare una determinata potenza termica è sufficiente una superficie di scambio

termico inferiore rispetto a quella necessaria per uno scambiatore equicorrente.

81- Efflusso da serbatoi, pressione critica e blocco sonico

Per l’equazione di continuità:

equazione di Hugonist

Se

Supponiamo la trasformazione isoentropica di gas perfetto: