2.2. Sistem Osilasi Dua Derajat Kebebasan : Osilasi Gandeng

Di alam ini banyak contoh yang menarik dari sistem yang mempunyai dua

derajat kebebasan. Contoh yang sangat baik adalah molekul-molekul dari partikel

elementer (khususnya partikel K meson yang netral). Untuk mempelajari hal ini, kita

perlu mekanika kuantum. Contoh yang lebih sederhana adalah pendulum gandeng;

satu pendulum tergantung di suatu atap, dan pendulum lainnya digantungkan pada

massa pendulum pertama; dua pendulum yang digandeng dengan pegas; tali dengan

dua manic-manik (tasbih), dua pegas yang digandeng, serta dua rangkaian LC yang

tergandeng. Contoh-contoh ini terlihat pada gambar 1.7.

Untuk merumuskan persamaan gerak sistem ini, perlu dua besaran ψ, kita

sebut saja ψ1 dan ψ2. Sebagai contoh, pada bandul gandeng ψ1 dan ψ2 menyatakan

posisi masing-masing bandul terhadap garis vertical; pada rangkaian LC gandeng, ψ1

dan ψ2 menyatakan muatan di dalam masing-masing kapasitor atau arus listrik di

dalam rangkaian.

Gerakan umum dari sistem dengan dua derajat kebebasan sangatlah kompleks.

Meskipun demikian, kita akan melihat bahwa untuk sistem dua derajat kebebasan

dengan persamaannya yang bersifat linier, gerakan umum tersebut merupakan

superposisi dua gerakan harmonis sederhana yang tidak saling bergantungan. Dua

gerakan harmonis sederhana ini kita sebut dengan mode normal atau mode sederhana.

Dengan memilih kondisi awal yang sesuai (syarat batas ψ1, ψ2, ψ1 /dt dan ψ2/dt), kita

dapat menyatakan sistem berosilasi hanya dalam salah satu mode saja.

Pada osilasi gandeng ini kita akan membicarakan dua contoh yang sudah kita

kenal, yaitu sistem osilasi gandeng pegas, dan sistem osilasi rangkaian inductor-

kapasitor.

2.2.1 Osilasi Gandeng Pegas

Kita perlihatkan sistem pegas gandeng, terdiri dari tiga pegas yang konstanta

pegasnya sama yaitu k, dan dua benda yang massanya sama juga yaitu m. sistem ini

terletak pada permukaan datar tanpa gesekan seperti pada gambar 1.8.a. kemudian

salah satu benda kita beri simpangan, lalu kita lepaskan lagi, sehingga sistem ini

berosilasi, keadaannya menjadi seperti pada gambar 1.8.b.

Dari gambar ini dapat kita tuliskanpersamaan gerak untuk masing-masing

benda sebagai berikut :

md2ψ1

dt 2=−kψ1+k (ψ2−ψ1) .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .1 . 11

Dan :

md2ψ2

dt 2=−k (ψ2−ψ1 )−kψ2 . . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .1 . 12

Jumlah kedua persamaan diatas akan menghasilkan :

md2 (ψ1+ψ2 )

dt 2=−k (ψ1+ψ 2) .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .1 .13

Solusi persamaan ini merupakan osilasi pusat massa, sebagai berikut :

ψ2≡ψ1+ψ2=A1 cos (ω1 t+ϕ1 ). . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .1 .14

Dengan ω1=√ km yang dikenal dengan mode l, atau mode rendah. Gerak osilasinya

ditunjukkan seperti gambar 1.8.c

Tampak bahwa gerak osilasi pusat massa ini mempunyai frekuensi yang sama

dengan frekuensi osilasi pegas tunggal, pegas penggandeng hanya berfungsi sebagai

penyelaras gerak osilasi. Perpindahan masing-masing benda mempunyai besar dan

arah yang sama.

Gamabar/…………

Selisih kedua persamaan 1.11 dan 1.12 di atas akan menghasilkan :

md2 (ψ1−ψ2 )

dt2=−3k (ψ1−ψ2 ). . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. 1 .15

Solusi persamaan ini merupakan osilasi relative, sebagai berikut :

ψ2≡ψ1−ψ2=A2 cos(ω2 t+ϕ2) . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. 1. 16

Dengan ω2=√ 3k

m yang dikenal dengan mode 2, atau mode tinggi.

Gerak osilasinya ditunjukkan seperti pada gambar 1.8.d. pada osilasi relative

ini, frekuensinya lebih besar dari osilasi pusat massa, perpindahan masing-masing

benda mempunyai besar yang sama tapi arahnya berlawanan.

Gambar 1.8.d.

Gerak osilasi seluruh sistem merupakan superposisi linier dari kedua osilasi harmonic

pada persamaan (1.14 dan 1.16), yaitu :

ψ ( t )=A1 cos(ω1 t+ϕ1)+A2 cos(ω2 t+ϕ2 )

2.2.2 Osilasi Gandeng Rangkaian LC

Kita perhatikan rangkaian LC gandeng yang terdiri dari tiga kapasitor yang

kapasitansinya sama yaitu C, dan dua inductor yang induktansinya juga sama yaitu L,

seperi pada gambar 1.9. mula-mula rangkaian ini dihubungkan dengan suatu sumber,

dan setelah tercapai resonansi sumber dilepas kembali

Gamabar 1.9

Ketika resonansi, melalui hokum Kirchoff II dapat kita tuliskan sebagai berikut :

Loop A :

LdI Adt

+Q1

C+Q2

C=0

Ld2 I Adt2

+1C (dQ1dt

+dQ2dt )=0

Ld2 I Adt2

+1C

( I A+ I A−I B )=0 . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . 1. 17

Loop B :

LdIBdt

+Q2

C+Q3

C=0

Ld2 IBdt2

+1C (dQ2dt

+dQ3dt )=0

Ld2 IBdt2

+1C

(−I A+ I B+ I B)=0 . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .1 . 18

Jumlah kedua persamaan (1.17 dan 1.18) di atas , menghasilkan :

d2( I A+ IB)

dt2+ 1LC

(I A+ I B)=0 . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. 1. 19

Solusi persamaan 1.19 ini adalah :

I 1≡I A+ IB=I 10 cos(ω1 t−ϕ1 ). . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. 1. 20

Dengan ω1=√ 1

LC , yang dikenal dengan mode 1, atau mode rendah.

Selisih kedua persamaan 1.17 dan 1.18 menghasilkan :

d2( I A−IB )

dt 2= 3LC

( I A−I B). . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .1 .21

Solusi persamaan 1.20 ini adalah :

I 2≡I A−IB=I 20cos (ω2 t−ϕ2 ). .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .1 . 22

Dengan ω2=√ 3

LC , yang dikenal dengan mode 2 atau mode tinggi.

Solusi dari sistem seluruh rangkaian, merupakan superposisi linier dari kedua

osilasi harminik pada persamaan (1.20 dan 1.22)

2.2.3 Sistematika solusi Sistem Dua Derajat Kebebasan

Bagaimana bila pada osilasi gandeng pegas, massanya atau konstanta

pegasnya tidak sama? Bagaimana bila pada osilasi gandeng rangkaian LC, inductor

atau kapasitornya tidak sama ? dapatkah diselesaikan dengn cara seperti yang sudah

dibicarakan di depan ? tentu tidak bisa, dalam pasal ini kita akan membicarakan

bentuk umum cara menyelesaikan osilasi gandeng.

Tanpa mamandang bentuk fisis dari sistem osilasi, misalkan kita mempunyai

dua persamaan differensial orde pertama homogeny sebagai berikut :

d2ψ1

dt2=−a11ψ1−a12ψ2

d2ψ2

dt2=−a21ψ1−a22ψ2 .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .1 . 23

Kita asumsikan bahwa osilasi mempunyai satu mode normal, artinya kedua

derajat kebebasan ψ1 dan ψ2 berosilasi dengan frekuensi dan tetapan fase yangsama.

Misalkan solusi kedua persamaan di atas adalah :

ψn ( t )=An cos(ωt+φ) ,dengan n : 1, 2.

Substitusi solusi ini ke dalam persamaan 1.23 di atas, menghasilkan :

(−ω2+a11 )ψ1+a12ψ2=0

a21ψ1+(−ω2+a22)ψ2=0

Bentuk persamaan ini akan lebih baik bila diungkapkan dalam bentuk matriks sebagai

berikut :

(−ω2+a11 a12 ¿)¿¿

¿¿

Karena ruas kanan sama dengan nol, maka determinan dari matriks di ruas kiri sama

dengan nol.

(−ω2+a11 ). (−ω2+a22)−a12 .a21=0

ω4−(a11+a22 ).ω2+a11 .a22−a12 .a21=

Jadi kita memperoleh persamaan kuadrat dari ω2, dan akar-akarnya dapat dicari

dengan menggunakan rumus abc :

ω1,22 =

a11+a22

2+¿ √( a11+a22

2 )2

−( a11a22−a12a21) .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . 1. 24

Kita juga dapat mengungkapkan perbandingan amplitude dari masing-masing

mode sebagai berikut :

Untuk mode 1 :

A1

A2

=ω1

2−a22

a21

Untuk mode 2 :

A1

A2

=ω2

2−a22

a21

Superposisi umum dari kedua mode tersebut adalah :

ψ1( t )=( A1 )mod e1cos (ω1 t+ϕ )+(A1 )mod e2cos (ω2 t+φ )

ψ2( t )=( A2 )mod e1cos (ω1 t+ϕ )+( A2 )mod e2cos (ω2 t+φ ) .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .1 . 25

2.2.4 Analisis Osilasi harmonis

Fungsi gangguan ψ(t) yang periodic dapat diuraikan sebagai superposisi linier dari

fungsi harmonic sederhana, melalui uraian deret Fourier sebagai berikut :

ψ ( t )=12a0+∑

n=1{an cos(nωt )+bnsin (nωt )} . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .1 . 26

Dengan an dan bn disebut koefisien-koefisien Fourier.

an=2T∫−T

2

T2

ψ (t )cos (nωt )dt . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. 1. 27

bn=2T∫−T

2

T2

ψ ( t )sin( nωt )dt .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .1 . 28

Dengan n = 0,1,2,3,…….dan ω=2π

T

Uraian Fourier pada persamaan 1.26 memperlihatkan sederetan osilasi

harmonic sederhana dengan amplitude dan frekuensi yang tertentu.

Untuk fungsi gangguan ψ(t) yang tidak periodic dapat diuraikan sebagai

superposisi linier dari fungsi harmonic sederhana, melalui transformasi Fourier

(Fourier Transform) sebagai beriktu :

ψ ( t )= 1

√2π∫−∞

∞

g(ω )e−iωt dω .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . 1. 29

Dengan ,

g(ω )= 1

√2π∫−∞

∞

f ( t )e−iωt dt . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. 1 .30

Persamaan 1.29 menunjukkan bahwa gangguan yang tidak periodic dapat

dinyatakan sebagai superposisi linier dari fungsi harmonic dalam spectrum ω yang

kontinu.

Selain itu, menarik untuk diperhatikan analisis energy potensialnya dari sistem

osilasi, karena energy potensial sistem osilasi ini mempunyai bentuk yang khas.

Ungkapan gaya pulih dari osilasi harmonis pada pegas F(ψ) = -k ψ, dapat pula

mengungkapkan fungsi energy potensialnya, yaitu :

V (ψ )=−∫0

ψ

F(ψ ).dψ=12kψ2 .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .1 . 31

Jadi fungi energy potensial V(ψ) yang sebanding dengan ψ2, mengungkapkan gerak

osilasi harmonis dari sistem tersebut.

Sebaliknya dapat ditunjukkan bahwa setiap sistem dengan fungsi energy potensial

yang berharga minimum pada suatu titik tertentu (misalnya di ψ=ψ0), maka sistem

tersebut akan berosilasi di sekitar titik ψ0 tersebut.

Syarat minimum :

dVdψ

|ψ=ψ0=0

dan

d2V (ψ )dψ2

|ψ=ψ0>0 .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. 1. 32

Fungsi potensial V(ψ) ekspansikan ke dalam deret Taylor untuk ψ=ψ0 , maka :

V (ψ )=V (ψ0 )+(ψ−ψ 0)dVdψ

|ψ=ψ0+(ψ−ψ0)

2 !d2Vdψ2 |ψ=ψ0

+. .. ..

Mengingat persamaan 1.32, maka persamaan terakhir ini dapat dituliskan dalam

bentuk :

V (ψ )−V (ψ0 )=(ψ−ψ 0)

2

2!d2V

dψ2|ψ=ψ0

.. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. 1. 33