SISTEM NOMBOR PURBA

a) SEJARAH/ LATAR BELAKANG Sejarah penulisan Nombor Purba menggunakan kaedah pengiraan terawal manusia ialah pembilangan menggunakan jari. Kaedah ini kemudiannya berubah menjadi bahasa isyarat untuk menyatakan nombor dalam komunikasi. Kira-kira 40 ribu tahun dahulu, dipercayai manusia mula menggunakan kaedah gundal dengan menakik pada pokok, tulang dan batu. Manusia zaman Batu telah menggunakan gundal untuk perdagangan, perkhidmatan peribadi dan perjudian. Angka Rumi purba dikatakan berevolusi dari sistem primitif berasaskan takikan ini. Nombor V untuk lima berasal dari dua takikan yang mewakili satu telapak tangan dengan 5 jari (empat jari dipisahkan dengan ibu jari oleh satu ruang berbentuk V). Nombor X untuk sepuluh berasal dari dua takikan yang mewakili dua tangan.

1) Mesir Purba Matematik Mesir merujuk kepada matematik yang ditulis dalam bahasa Mesir. Dari tempoh Hellenistik, bahasa Yunani menggantikan bahasa Mesir bagi bagi bahasa penulisan sarjana Mesir, dan bermula detik ini matematik Mesir bergabung dengan Matematik Yunani dan Babylon, lalu memberikan matematik Hellenstik. Pembelajaran matematik di Mesir kemudian diteruskan bawah pemerintahan Khalifah Islam sebagai sebahagian matematik Islam apabila bahasa Arab dijadikan bahasa penulisan sarjana Mesir. Teks matematik tertua buat masa ini papirus Moscow, sebagai sebahagian papirus Kerajaan Pertengahan Mesir bertarikh, 20001800 SM. Seperti teks matematik purba lain, ia mengandungi apa yang kita kenali sebagai "permasalahan perkataan" atau "cerita permasalahan", yang digunakan sebagai hiburan. Satu permasalahan dikira penting kerana ia memberikan cara untuk mencari isi padu frustum: "Jika kamu

diberitahu: Sebuah piramid terpenggal yang 6 bagi ketinggian menegaknya dengan 4 bagi tapa dan 2 di atas. Kamu mengkuasa-duakan 4 ini akan menjadi 16. Kamu menggandakan 4, hasilnya 8. Kamu mengkuasa-duakan 2, hasilnya 4. Kamu menambahkan 16, 8, dan 4, hasilnya 28. Kamu ambil satu pertiga dari enam, hasilnya dua. Kamu ambil 28 dua kali, hasilnya 56. Tengok, ia 56. Kamu akan mendapatinya betul." Papirus Rhind (1650 SM) merupakan teks matematik utama lain, sebuah manual arahan dalam aritmetik dan geometri. Sebagai tambahan untuk memberi rumus luas dan kaedah bagi pendaraban, pembahagian dan menggunakan unit pecahan, ia juga mengandungi bukti bagi pengetahuan matematik lain, termasuklah nombor gubahan dan perdana; min aritmetik, geometri dan harmoni; dan pemahaman mudah bagi kedua-dua Penapis Eratosthenes dan teori nombor sempurna (dinamakan, itu yang bernombor) . Ia juga menunjukkan bagaimana untuk menyelesaikan persamaan linear tertib pertama begitu juga dengan janjang aritmetik dan geometri. Juga, tiga unsur geometri terkandung dalam papirus Rhind mencadangkan pembuktian termudah bagi geometri analisis: paling pertama, bagaimana untuk mendapatkan penghampiran bagi jitu hingga kurang dari satu peratus; kedua, kerja purba mengkuasa-duakan bulatan; dan ketiga, penggunaan paling awal bagi kontangen. Akhir sekali papirus Berlin (1300 SM) menunjukkan masyarakan Mesir purba mampu menyelesaikan persamaan algebra tertib kedua.

2) Roman Purba Orang-orang Rom telah aktif dalam perdagangan dan perniagaan, dan dari masa belajar untuk menulis, mereka memerlukan satu cara untuk menunjukkan nombor. Sistem mereka berkembang selama beberapa abad, dan masih melihat beberapa kawasan yang digunakan khusus hari ini. Angka Romawi tradisional menunjukkan perintah raja-raja atau kapal yang berkongsi nama yang sama (iaitu Queen Elizabeth II). Mereka juga kadang-kala masih

digunakan dalam industri penerbitan untuk tarikh hak cipta, dan pada asas dan batu nisan apabila pemilik bangunan atau keluarga si mati hasrat untuk mewujudkan gambaran maruah klasik. Sistem penomboran Roman juga hidup di dalam bahasa kita, yang masih menggunakan akar perkataan Latin untuk meluahkan idea-idea yang berangka seperti dekad dan mililiter. Perbezaan besar di antara angka Rom dan Arab bahawa orang-orang Rom tidak mempunyai simbol untuk sifar, dan bahawa penempatan angka dalam nombor kadangkadang boleh menunjukkan penolakan bukannya tambahan. Menurut sejarah, angka romawi sudah ada sejak jaman romawi kuno. Awalnya system perhitungannya diadaptasi dari system perhitungan milik bangsa Etruscan. Begitu juga dengan angka- angkanya, mirip sekali dengan angka- angka milik bangsa Etruscan (disimbolkan berdasarkan huruf dan gambar). Namun, berhubung angka- angka Etruscan susah untuk ditulis maupun di baca, akhirnya pada abad pertengahan angka romawi di sederhanakan. Contoh dalam bahasa Etruscan tertulis angka- angka : I ^ X 8 . nah, dalam deretan angka romawi yang baru angka angka itu berubah menjadi : I V X L C M. 3) Babylon Purba Matematik Babylonia merujuk kepada mana-mana matematik orang Mesopotamia (Iraq kini) dari masa awal Sumer sehingga permulaan Zaman Keyunanian. Ia dinamai sebagai matematik Babylonia kerana peranan utama Babylon sebagai sebuah tempat pengajian. Bagaimanapun, tempat ini kemudian hilang sama sekali pada zaman Keyunanian dan sejak dari masa itu, matematik Babylon bergabung dengan matematik Yunani dan Mesir untuk menghasilkan matematik Keyunanian. Berbeza dengan kekurangan sumber matematik Mesir, pengetahuan kita tentang matematik Babylonia berasal daripada melebihi 400 buah tablet lempung yang diekskavasi sejak dari dekad 1850-an. Dituliskan dalam skrip tulisan pepaku, tablettablet itu ditulis semasa tanah liatnya masih lembap dan dibakar di dalam ketuhar atau melalui haba matahari. Sesetengah tablet tersebut kelihatan merupakan kerja sekolah

yang disemak. Kebanyakannya yang diekskavasi antara tahun 1800 SM hingga tahun 1600 SM merangkumi topik-topik yang termasuk pecahan, algebra, persamaan kuadratik dan persamaan kuasa tiga, serta juga penghitungan tigaan Pythagorus. Tablet-tablet itu juga merangkumi jadual-jadual pendaraban dan trigonometri, serta kaedah-kaedah untuk menyelesaikan persamaan-persamaan linear dan kuadratik. Tablet Babylonia YBC 7289 memberikan anggaran 2 yang tepat sehingga lima tempat perpuluhan. Matematik Babylonia ditulis dengan menggunakan sistem angka

perenampuluhan (asas-60). Berdasarkan ini, kita menerbitkan kegunaan 60 saat seminit, 60 minit sejam, dan 360 (60 x 6) darjah sebulatan. Kemajuan-kemajuan matematik Babylonia dipermudah oleh fakta bahawa nombor 60 mempunyai banyak pembahagi. Berbeza dengan orang Mesir, Yunani, dan Rom, orang Babylonia mempunyai sistem nilai tempat yang benar, dengan angka-angka yang ditulis pada lajur kiri mewakil nilai yang lebih besar, iaitu serupa dengan sistem perpuluhan. Bagaimanapun, mereka tidak mempunyai titik perpuluhan dan oleh itu, nilai tempat sesuatu simbol harus disimpul berdasarkan konteksnya. 4) Mayan Purba

b) Penggunaan simbol-simbol serta nama simbol-simbol 1) Mesir Purba Angka Mesir purba ialah sejenis sistem angka yang telah digunakan di Mesir purba sehingga awal alaf pertama masihi. Ia merupakan satu sistem angka perpuluhan (asas 10), sering dibundarkan kepada nilai yang lebih tinggi, ditulis dalam huruf Hieroglif dan tidak mempunyai nombor sifar. Setiap urutan magnitud (sa, puluh, ratus, ribu dan seterusnya) memiliki tanda khusus. Bentuk hieratik angkanya menunjukkan satu tatatanda siri terhingga yang tepat , diwakili satu persatu oleh abjad Mesir purba. Simbol Hieroglif berikut diguna untuk menyatakan kuasa sepuluh: Nilai 1 10 100 Hieroglif Keterangan Satu lejang aksara Tulang tumit Simpulan tali

1000

Bunga teratai

10,000

Jari

100,000

atau

Berudu atau Katak

1,000,000 atau lebih

Manusia yang sedang mengangkat kedua-dua tangan

Sistem hieroglifik Mesir (The Egyptian hieroglyphic system ) adalah contoh Sistem Pengumpulan Pernomboran mudah. Nombor-nombor dibentuk dengan

menggabungkan simbol hieroglifik yang ditiru yang mewakili kuasa sepuluh. Sistem pernomboran ini adalah berasaskan tanda gundalan, iaitu I 1 II 2 III IIII 3 4 IIIII IIIIII IIIIIII IIIIIIII IIIIIIIII 5 6 7 8 9

Bagaimanapun, selepas 9, mereka memerlukan satu simbol baharu yang memerlukan pengumpulan untuk mewakili set nombor tertentu. Nilai berikutnya ialah (tulang tumit) yang mewakili 10. Angka Mesir menggunakan cara untuk merekod kuantiti adalah berdasarkan asas 10 dengan simbol satu,sepuluh dan kuasa sepuluh berturutturut. Suatu hieroglifik khusus digunakan untuk setiap nombor yang berkuasa sepuluh. Bagaimanapun tidak ada symbol untuk sifar. Oleh itu suatu simbol tertentu dihapuskan di dalam angka bila gandaan sepuluh bukan sebahagian dari nombor tersebut.

2) Roman Purba Sistem pernomboran Roman adalah lebih canggih berbanding dengan sistem Pernomboran Mesir. Jadual berikut menujukkan lapan abjad yang digunakan untuk mewakili nilai berbeza di dalam sistem Pernomboran Roman dan nilai sepadannya di dalam Sistem Pernomboran Hindu-Arab.

Angka Roman I V

Angka Hindu-Arab 1 5

X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 Jadual 1 Peraturan tertentu mesti dipatuhi bila menggunakan Sistem Pernomboran Roman, iaitu: Hanya simbol I, X, C, dan M boleh diulang, tetapi tidak boleh menulis simbol lebih daripada 3 kali secara berturut-turut. Jika simbol keempat diperlukan, gunakan prinsip penolakan. Bila menggunakan prinsip penolakan, kita hanya boleh menolak I, X, C, dan M (tidak V, L, atau D tanpa dengan 5) Kita hanya boleh menolak angka daripada 2 angka bersebelahan yang paling tinggi.(contoh. kita boleh ada IV dan IX, tetapi kita tidak boleh ada IL, IC, ID, IM) Gunakan palang di atas simbol atau beberapa simbol untuk menandakan pendaraban dengan 1000 contoh; V bermakna 5 x 1000 = 5000; IX bermakna 9 x 1000 = 9000 Gunakan palang menegak untuk menandakan pendaraban dengan 100 contoh; | V | bermakna 5 x 100 = 500 ; | L | bermakna 50 x 1000 x 100 = 5,000,000 Contoh-contoh lain diberi di bawah:

Jika angka Roman disenaraikan sedemikian hingga setiap angka mempunyai nilai lebih besar dari angka di sebelah kanannya, maka nilai angka boleh didapati menggunakan sifat penambahan. Setiap angka I, X, C dan M boleh diulang sebanyak tiga kali. Angka-angka V, L, dan D tidak diulang, contoh: XVI = ? CCCVI = ? MMCCCLXII = ?

Jika angka yang disenarai sedemikian hingga setiap angka TIDAK mempunyai nilai yang besar daripada angka disebelah kanannya, maka nilai angka tersebut didapati menggunakan sifat penambahan dan sifat penolakan. Hanya angka I, X, dan C, yang boleh ditolak daripada angka lain. Contoh: IV = ? ; IX = ? ; XL = ? ; XC = ?; CD = ?; CM = ?; CXLIV = ?; MCDLXXI = ?

Selanjutnya penolakan nilai dibenarkan jika nilai bagi angka di sebelah kanan berada pada baris pertama dan kedua selepas angka sebelah kiri seperti dalam jadual 1.Sebagai contoh: XL = ? ; XC = ?

tetapi XD tidak sama dengan 490 kerana X terletak pada baris 3 daripada D di dalam Jadual di atas.

Sistem Roman ialah sistem kedudukan ( positional system) kerana kedudukan suatu nombor boleh memberi kesan pada nilai nombor yang diwakili. Sebagai contoh: XI ialah sebelas manakala IX ialah sembilan.

Bila menulis nombor besar, Sistem Pernomboran Roman juga menggunakan sifat pendaraban. Contoh:

IX = 9 x 1000 = 9000 ; IDICCLXII = 500 x 100 + 100 + 100 + 50 +10 + 2 = 50,262

3) Mayan Purba Angka Maya merupakan satu sistem angka perduapuluhan ( asas - dua puluh) yang digunakan oleh Tamadun Maya Pra-Columbus. Angka Maya terdiri daripada tiga simbol; sifar (berbentuk cengkerang), satu (satu titik) dan lima (satu baris). Sebagai contoh, sembilan belas (19) ditulis sebagai empat titik di atas 3 tindanan baris melintang.

Nombor selepas 19 Nombor selepas 19 ditulis secara menegak dalam gandaan dua puluh. Sebagai contoh, tiga puluh dua akan ditulis sebagai satu titik di atas dua titik, yang diletakkan di atas dua baris. Titik pertama merupakan "satu dua puluh" atau "1 201", yang akan ditambah dengan dua titik dan dua baris, atau dua belas.

Oleh itu, (1 201) + 12 = 32. Setelah mencapai 202 atau 400, baris lain akan ditambah. Jadi, nombor 429 akan ditulis sebagai satu titik di atas satu titik di atas empat titik dan satu baris, atau (1 202) + (1 201) + 9 = 429. Asas dua puluh bagi angka angka Maya, adalah sepertimana asas sepuluh yang digunakan dalam sistem angka Hindu- Arab. Selain dari simbol titik dan baris, angka Maya juga boleh digambarkan dengan lambang glif wajah atau gambar. Glif wajah bagi sesebuah nombor mewakili dewa dewi yang dikaitkan dengan nombor tersebut. Nombor glif wajah ini sangat jarang digunakan, dan kebanyakannya cuma boleh ditemui pada ukiran monumen yang rumit.

4) Babylon Purba Angka Babylon ialah sejenis sistem angka yang digunakan pada zaman kerajaan Babylon (1894 - 1530 SM) di Mesopotamia. Ia ditulis dalam bentuk tulisan kuneiform yang berbentuk baji. Orang Babylon yang sangat terkenal dengan pengetahuan mereka tentang ilmu astronomi, menggunakan sistem angka kedudukan perenampuluhan (asas 60) yang diwarisi dari tamadun Sumeria dan Akkadia. Sistem ini pertama kali muncul sekitar 3100 SM. Ia mendapat kredit sebagai sistem angka kedudukan yang pertama diketahui wujud, di mana nilai digit tertentu bergantung pada digit itu sendiri dan kedudukannya di dalam nombor. Ini merupakan satu perkembangan penting, kerana sistem yang tidak memiliki nilai kedudukan memerlukan simbol unik mewakili setiap kuasa asas (sepuluh, seratus, seribu, dan seterusnya), menyebabkan pengiraan menjadi sukar. Hanya dua simbol ( untuk mengira unit dan untuk mengira puluh) digunakan untuk menanda 59 digit bukan sifar. Simbol-simbol ini dan nilainya digabungkan untuk membentuk digit dengan cara tatatanda nilai tunggal, sama seperti angka Rumi; contohnya, gabungan mewakili nombor digit untuk 23 (lihat jadual di bawah). Satu ruang ditinggalkan untuk menanda kedudukan yang tidak mempunyai nilai, sama seperti nomborsifar moden. Orang Babylon kemudiannya mereka satu tanda untuk mewakili kedudukan kosong ini. Oleh kerana mereka

kekurangan simbol untuk menjalankan fungsi titik radiks, maka nilai tempat untuk unit perlu ditentukan berdasarkan konteks: boleh mewakili 23 atau 2360 atau 236060 atau 23/60, dan sebagainya.

Senarai simbol kuneiform angka Babylon dari 0 hingga 59.

Unit

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

(

)

1

2 Puluh 3

4

5

c) Asas Nombor 1) Mesir Purba Mesir purba telah menggunakan asas nombor 10. Angka Mesir menggunakan cara untuk merekod kuantiti adalah berdasarkan asas 10 dengan simbol satu,sepuluh dan kuasa sepuluh berturut-turut. Suatu hieroglifik khusus digunakan untuk setiap

nombor yang berkuasa sepuluh. Bagaimanapun tidak ada symbol untuk sifar. Oleh itu suatu simbol tertentu dihapuskan di dalam angka bila gandaan sepuluh bukan sebahagian dari nombor tersebut.

2) Roman Purba Roman Purba menggunakan asas nombor 5 yang mudah untuk difahami.

Penggunaan asas 5 yang boleh dilihat pada setiap kali perubahan simbol dalam sistem penomboran. I / i untuk angka satu / 1 V / v untuk angka lima / 5 X / x untuk angka sepuluh / 10 L / l untuk angka lima puluh / 50 C / c untuk angka seratus / 100 D / d untuk angka lima ratus / 500 M / m untuk angka seribu / 1000

3) Mayan Purba Angka Maya merupakan satu sistem angka perduapuluhan iaitu asas 20, yang digunakan oleh Tamadun Maya Pra-Columbus. Sistem Pernomboran Mayan

berasaskan sistem 20 (vigesimal) yang mempunyai perbezaan yang signifikan berbanding sistem kita gunakan sekarang iaitu mereka menggunakan asas 20, atau sistem vigesimal. Sistem Mayan dibandingkan dengan sistem kita yang menggunakan

asas 10. Untuk mendapatkan semua nombor yang lain, Mayan hanya menggunakan 20 simbol daripada nombor 0 hingga 19 seperti mana kita gunakan simbol 0 hingga 9.

4) Babylon Purba Sistem Babylonian menunjukkan sistem kedudukan asas nombor 60

(sexagesimal) system. Dari nombor 1 hingga 59 ,sistem ini adalah berulang, iaitu sistem ini adalah sistem penambahan ( additive system).

d) Cara Penggunaan Dalam Operasi 1) Mesir Purba Sistem Mesir adalah mengikut sifat penambahan. (additive property); iaitu nilai sesuatu nombor. Sebagai contoh: Apakah nombor yang diwakili oleh heiroglifik berikut?

Heiroglifik di atas mewakili nilai 21,346. 2) Roman Purba Sistem pernomboran Roman adalah lebih canggih berbanding dengan sistem Pernomboran Mesir. Kelebihannya berbanding Sistem Mesir termasuklah penggunaan: Prinsip penolakan(subtractive principle) yang membolehkan nombor diwakili secara lebih ringkas dan Prinsip pendaraban (multiplicative principle) yang memudahkan untuk menulis nombor yang bernilai besar. Sifat pendaraban sistem Romawi. Contoh: IX = 9 x 1000 = 9000 ; IDICCLXII = 500 x 100 + 100 + 100 + 50 +10 + 2 = 50,262

3) Mayan Purba Proses penambahan dan penolakan nombor di bawah 20 menggunakan angka Maya adalah sangat ringkas. Penambahan dilakukan dengan menggabungkan simbol angka pada setiap paras:

Jika terdapat lima atau lebih titik dalam hasil penambahan, lima titik akan dibuang dan digantikan dengan 1 baris. Jika empat atau lebih baris pula yang terhasil , empat baris akan dibuang dan digantikan dengan satu titik pada paras seterusnya (bernilai 20 1) Untuk penolakan,proses sebaliknya akan dilakukan dengan membuang elemen simbol petolak dari nombor yang ditolak:

Jika jumlah titik tidak mencukupi pada nombor yang ditolak, satu baris akan digantikan dengan lima titik. Jika jumlah baris tidak mencukupi, satu titik pada paras yang lebih atas akan dibuang dan digantikan dengan empat baris di bawahnya.

4) Babylon Purba Cuba lihat contoh di bawah. Contoh: Tuliskan sebagai angka Hindu-Arab. Penyelesaian: Dari kiri ke kanan, nilai tempat ialah 602, 601 dan 1