KETERKENDALIAN SISTEM PREDATOR-PREY LESLIE

Disusun oleh :1. Adi Retno Kumboro(H11111002) 2. Mega Hastri (H11111027) 3. Eka W.D (H11111035)4. Ardiansyah (H11111036)

Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas TanjungpuraPontianak2014

PENDAHULUAN

Seiring dengan perkembangan teknologi yang begitu pesat maka perkembangan pengetahuan tentang sistem dinamik juga pesat. Contoh pengembangan sistem dinamik dalam kehidupan adalah pada bidang Ekologi yaitu cabang Biologi yang mempelajari ekosistem. Salah satu model yang merupakan sistem dinamika dalam bidang ini adalah model interaksi populasi yaitu interaksi antara dua spesies atau lebih, interaksi ini dapat berbentuk predasi, hubungan predasi terjadi jika satu organisme predator memangsa organisme lain (prey). Salah satu contoh model interaksi populasi adalah model sistem predator prey, karena model ini mempunyai peranan yang penting dalam perputaran dinamika populasi, maka hal ini merupakan sesuatu yang sangat menarik untuk dipelajari. Model predator prey dipelajari secara matematika sejak dimodelkan persamaan Lotka-Voltera. Sebuah asumsi dasar model predator prey dikemukakan Lotka-Voltera, bahwa masing-masing spesies mengalami pertumbuhan secara eksponen, pengembangan model ini menginvestigasi pertumbuhan logistik satu spesies ketika spesies yang lain tidak ada. Model dasar predator prey LotkaVoltera dimodifikasi oleh banyak ilmuwan. Salah satu modifikasi model dasar predator prey Lotka-Voltera dikembangkan oleh Leslie dan Gower. Pada model ini, perbandingan/rasio antara populasi predator dan populasi prey mempengaruhi pertumbuhan populasi predator. Pada model matematika diatas ketergantungan terhadap waktu sebelumnya tidak ada sehingga gangguan-gangguan stagnan pada sistem terabaikan. Pada kasus diatas tidak tersirat baik secara implisit maupun eksplisit memuat waktu tunda/tundaan, hal ini merupakan aspek yang dapat menimbulkan kelemahan-kelemahan dalam proses analisis baik dari segi akurasi maupun perilaku sistem. Karena kestabilan suatu sistem interaksi populasi secara signifikan dipengaruhi oleh keberadaan waktu tunda, Waktu tunda/tundaan sering muncul dalam setiap situasi. Mengabaikan waktu tunda berarti mengabaikan realitas. Oleh karena hal diatas maka pada penulisan makalah ini akan dianalisa stabilitas dari sistem predator prey, dimana dinamik predator adalah fungsi logistik dengan waktu tunda, serta perbandingan antara populasi predator dan populasi prey mempengaruhi pertumbuhan populasi predator, kemudian akan dicari eksistensi penyelesaian osilasi dari sistem tersebut (Anonim, 2013). Dalam penerapannya model matematika biasanya muncul dalam bentuk sistem persamaan diferensial Salah satu model matematika yang merupakan sistem persamaan diferensial non linier adalah sistem Predator-Prey yang dikemukakan oleh Leslie. Sistem Predator-Prey merupakan model interaksi antara dua populasi yang terdiri dari dua persamaan sebagai berikut:

(1)

dengan x, y adalah variabel yang bergantung pada t, sedangkan a, b, c, e dan f adalah konstanta positif (Berryman A. 1992).Dalam sistem Predator-Prey Leslie, hubungan masing-masing variabel pada proses interaksi antara prey dan predator saling terkait dan dipengaruhi oleh perubahan konstanta sistem, sehingga akan berpengaruh terhadap kestabilan sistem.

RUMUSAN MASALAH

Dari latar belakang yang diuraikan diatas permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah : Bagaimana sifat kestabilan sistem predator prey dengan parameter tundaan, dengan rasio predator prey mempengaruhi pertumbuhan predator. Bagaimana eksistensi penyelesaian osilasi pada sistem predator prey dengan parameter tundaan, dengan rasio predator prey mempengaruhi pertumbuhan predator.

TUJUAN PENULISANBerdasarkan rumusan masalah diatas maka tujuan dari penelitian ini adalah : Mengetahui perilaku penyelesaian atau sifat kestabilan sistem predator prey dengan parameter tundaan, dengan rasio predator prey mempengaruhi pertumbuhan predator . Mengetahui eksistensi osilasi pada masalah predator prey dengan parameter Tundaan, dengan rasio predator prey mempengaruhi pertumbuhan predator.

PEMBAHASAN

1. Persamaan DifferensialSuatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas disebut Persamaan Diferensial. Jika turunan fungsi hanya tergantung pada satu variabel bebas disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP).

2 Sistem Persamaan Diferensial NonLinearPersamaan yang terdiri dari dua atau lebih persamaan yang saling terkait maka dikategorikan sebagai sistem persamaan diferensial. Sistem persamaan diferensial orde satu disajikan sebagai berikut :

(2)

Dengan bentuk umumnya sebagai berikut : dan . Jika fungsi f1, f2,..., fn bergantung pada t, maka sistem itu disebut sistem persamaan diferensial orde satu, dan ketika fungsi tersebut tidak linier maka sistem itu disebut sistem persamaan diferensial non linier orde satu. Untuk mengetahui solusi dari sistem persamaan diferensial non linier maka sistem perlu diubah ke dalam bentuk sistem persamaan linier. Linierisasi sistem tersebut menggunakan Matriks Jacobian (Ricchar C dkk. 1997).

3 Matriks JacobianBentuk umum dari sistem persamaan diferensial non linier sebagai berikut:

(3)

dengan x dan y adalah variabel yang bergantung pada t. Persamaan (3) memiliki titik kesetimbangan pada . Bila persamaan (3) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier, maka diperlukan linierisasi sistem dengan menggunakan Matriks Jacobian (Penney. 2005).Bentuk Matriks Jacobian dari persamaan (3) sebagai berikut :

(4)

Proses Linierisasi dari suatu sistem persamaan diferensial non linier memerlukan titik kesetimbangan dari sistem itu sendiri (Jennifer. 2008). Sehingga dari matriks Jacobian pada persamaan (4) menjadi sebagai berikut :

(5)

4 Nilai Eigen dan Vektor EigenJika A adalah matriks , maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen (eigen vektor) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni,Skalar dinamakan nilai eigen ( eigen value) dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .

(6)

5 Titik KesetimbanganTitik (x1,x2) merupakan titik kesetimbangan suatu persamaan diferensial

(7)

Jika untuk semua nilai. Oleh karena itu, maka adalah penyelesaian sistem untuk semua . Penyelidikan kestabilan titik kesetimbangan sistem harus terlebih dahulu mengetahui solusi sistem tersebut (C.S. Coleman, dkk. 1996).

6 Kestabilan Sistem Persamaan DiferensialTitik kesetimbangan dikatakan stabil jika untuk sebarang syarat awal yang cukup dengan titik kesetimbangan maka orbit (trayektori) dari penyelesaian tetap dekat dengan penyelesaian di titik kesetimbangannya. Titik kesetimbangan dikatakan stabil asimtotik jika titik kesetimbangan tersebut stabil dan trayektori dari penyelesaian yang dekat menuju titik kesetimbangan untuk t menuju tak hingga (C.S. Coleman,dkk. 1996).

4

PEMBAHASAN

1. Sistem Titik kesetimbangan sistem Predator-Prey Leslie dapat ditentukan jika dan sama dengan nol, dengan demikian persamaan (1) menjadi

(9)

Misalkan =

Hal ini mengakibatkan dua buah titik kesetimbangan yakni dan titik .

2. Linearisasi SistemSistem Predator-Prey Leslie merupakan sistem persamaan diferensial non linier, untuk itu dalam mempermudah proses perhitungan perlu merubah sistem dari sistem persamaan diferensial non linier menjadi sistem persamaan diferensial linier dengan menggunakan matriks Jacobian. Hanya perlu menentukan turunan parsial dari setiap komponen pada vektor titik kesetimbangan untuk menghasilkan sistem linier. linierisasi menggunakan matriks Jacobian akan menghasilkan bentuk sebagai berikut :

(10)

atau dapat ditulis dengan bentuk

(11)

TITI EKUILIBRIUM

1. Titik ekulibrium Kestabilan sistem Predator-Prey Leslie terletak pada titik dapat diketahui dengan mensubtitusikan titik tersebut ke dalam persamaan (10)

(12)

atau dapat ditulis dalam bentuk sepertiPersamaan (13) merupakan penyelesaian nontrivial jika determinan sama dengan nol.

(13)

Untuk mencari nilai eigen maka =0

Dengan matrik A=

(14)

Dari matrik diatas didapatkan persamaan karakteristik

(15)

Kemudian didapat nilai eigennya

(16)

Dari model interaksi antara dua populasi yang terdiri dari dua persamaan berikut:

diketahui bahwa konstanta a, e > 0, sehingga mengakibatkan sistem Predator-Prey Leslie pada titik kesetimbangan tidak stabil dengan tipe titik kesetimbangan titik pelana (saddle).Agar sistem stabil pada titik maka kita misalkan parameter-parameternya dengan: ; ; ; ; Sehingga dengan menggunakan maple didapat hasil titik ekuilibrium yang terlihat pada potret fase berikut :

Gambar 1 kesetabilan dititik 2. Titik ekuilibrium kstabilan sistem Predator-Prey Leslie terletak pada titik sehingga dapat diketahui dengan mensubstitusikan titik kesetimbangan tersebut ke dalam persamaan (11)

(17)

Atau dapat ditulis dalam bentuk

(18)

Persamaan (18) mempunyai penyelesaian nontrivial jika determinan

(19)

Dari matrik diatas akan didapatkan persamaan karakteristik sebagai berikut

(20)

dengan , dan , sehingga persamaan (20) didapat

Untuk mencari nilai eigen

(22)

Atau dapat dituliskan

(23)

dengan adalah diskriminan.

Diketahui semua konstanta pada sistem Predator-Prey Leslie adalah positif sehingga nilai B dan C pada persamaan (23) selalu positif . Berdasarkan teori diskriminan maka ada tiga kemungkinan nilai eigen yang memenuhi kestabilan sistem Predator-Prey Leslie pada titik kestabilan yaitu :1) Jika Diskriminan persamaan (23) kurang dari nol (D < 0) dan B > 0, menghasilkan nilai eigen berupa bilangan kompleks yang bagian riil nya kurang dari nol. Hal tersebut mengakibatkan sistem Predator-Prey Leslie stabil asimtotik pada titik kesetimbangan dengan tipe titik kesetimbangan spiral.2) Diskriminan dari persamaan (23) lebih dari nol (D > 0), B > 0 dan C > 0, nilai eigen dapat diketahui dengan proses berikut :Diketahui dan maka atau dapat dituliskan Sehingga dari persamaan (20) diperoleh : dan karena , berdasarkan operasi penjumlahan maka diperoleh kedua nilai eigen adalah riil negatif. Hal tersebut mengakibatkan sistem Predator-Prey Leslie stabil asimtotik pada titik kesetimbangan dengan tipe titik kesetimbangan simpul.3) Diskriminan dari persamaan (23) sama dengan nol (D = 0), diperoleh atau dengan kata lain didapatkan nilai eigen berupa akar riil dan kembar. Jika kedua nilai eigen berupa akar kembar dan riil negatif, maka hal tersebut mengakibatkan sistem Predator-Prey Leslie tidak stabil pada titik kesetimbangan dengan tipe titik kesetimbangan simpul atau spiral (fokus).

KESIMPULAN

Berdasarkan hasil pembahasan diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut :1. Pada Sistem Predator-Prey Leslie didapat letak ketidakstabilan pada titik dengan tipe titik kesetimbangan titik pelana (saddle).2. Pada Sistem Predator-Prey Leslie didapat letak kestabilan pada titik kesetimbangan dengan tipe titik kesetimbangan berbentuk simpul atau spiral (fokus).

DAFTAR PUSTAKA

Boyce, William E & Di.Prima, Ricchar C. 1997. Elementery Differential Equations and Boundary Value Problem. John Wiley & Sons. United States of America.Edwards & Penney. 2005.Differential Equation & linier Algebra second edition. Pearson Prentice Hall. The United States of America.Jennifer. 2008. A Differential Equations Aproach to The Lorenz System. http://www.pas.rochester.edu/~Jennifer/senior%20sem.ppt, diakses pada tanggal 25 Oktober 2013. Borreli, R.L. & C.S. Coleman. 1996. Differential Equations: A ModelingPerspective. Wiley, New York.Berryman A. 1992. Ecology. Ecological society of America http://www.jstor.org/stable/1940005, diakses pada tanggal 25 Oktober 2013.Anonim, 2013. didownload pada tanggal 12 november 2013

http://ebookbrowsee.net/its-master-7317-1207201748-bab1-pdf-d2499505521

22