Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol....
-
Upload
phamnguyet -
Category
Documents
-
view
245 -
download
0
Transcript of Sistem bilangan real - arumprimandari.files.wordpress.com · Bulat Bulat Negatif Cacah Asli Nol....
SISTEM BILANGAN REALARUM HANDINI PRIMANDARI
Bilangan Real adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan Irasional
Berikut adalah Skema Bilangan Real
BILANGAN
Bilangan Real
Bilangan Irasional
Bilangan Rasional
Pecahan
Bulat
Bulat Negatif
Cacah
Asli
Nol
DIAGRAM
R
Bilangan Real
Q
Bilangan Rasional
Z
Bilangan Bulat
N
Bilangan Asli
ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ
Tentukan manakah bilangan rasional atau irasional
LATIHAN 1
SIFAT – SIFAT MEDAN
1. Hukum Komutatif
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
2. Hukum Asosiatif
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧, ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
3. Hukum Distribusi
𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧, ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ
4. Elemen-elemen Identitas
5. Invers
SIFAT-SIFAT URUTAN BILANGAN REAL
1. Trikhotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
2. Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
3. Penambahan
Jika x < y ↔ 𝑥 + 𝑧 < 𝑦 + 𝑧
4. Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz.
LATIHAN 2
Sederhanakanlah
1.2𝑥−2𝑥2
𝑥3−2𝑥2+𝑥
2.𝑥2−𝑥−6
𝑥−3
3.2
6𝑦−2+
𝑦
9𝑦2−1−
2𝑦+1
1−3𝑦
4.12
𝑥2+2𝑥+
4
𝑥+
2
𝑥+2
5.
𝑥
𝑥−3−
2
𝑥2−4𝑥+35
𝑥−1+
5
𝑥−3
Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak
diantara kedua bilangan itu.
𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑎 <𝑎 + 𝑏
2< 𝑏
KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL
GARIS BILANGAN (INTERVAL)
Misal dua bilangan a dan b serta berlaku sifat urutan a < b digambarkan pada garis bilangan berikut :
a b
Interval yaitu suatu himpunan bagian dari bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tertentu.
DEFINISI INTERVAL DAN NOTASINYA
Notasi Interval : Misalkan 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
1. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
2. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
3. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
4. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
5. 𝑎,∞ = 𝑥 𝑥 > 𝑎}
6. 𝑎,∞ = 𝑥 𝑥 ≥ 𝑎}
7. −∞, 𝑏 = 𝑥 𝑥 < 𝑏
8. −∞, 𝑏 = 𝑥 𝑥 ≤ 𝑏
9. −∞,∞ = ℝ
KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL
PERTIDAKSAMAAN REAL
Definisi pertidaksamaan satu peubah yaitu bentuk aljabar dengan satu peubah yang dihubungkan dengan relasi urutan
Bentuk Umum :
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)<𝐶(𝑥)
𝐷(𝑥)
Dengan A(x), B(x), C(x) dan D(x) adalah polinom
B(x), D(x) 0
LATIHAN 3
10𝑥 − 7 < 5𝑥 − 2
−8 ≤ 2𝑥 + 6 < 3
𝑥2 − 2𝑥 < 3
HARGA MUTLAK
Misalkan 𝑥 ∈ ℝ. Harga mutlak dari x, ditulis
𝑥 ≔ ቊ−𝑥 , 𝑥 ≤ 0𝑥 , 𝑥 > 0
Sifat-sifat :
Misalkan x dan y bilangan-bilangan Real,
1. 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑦
2.𝑥
𝑦=
𝑥
𝑦
3. 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦
4. |𝑎 − 𝑏| ≥ | 𝑎 − |𝑏||
5. 𝑥 ≤ 𝑎 ↔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
Tentukan himpunan penyelesaian:
LATIHAN 4
2
2
1) 2 1 5
2) 3 14 4
3) 2 4 2 3 0
44) 3 6
25) 4 7
x
x x
x x
x
x
Jika a adalah bilangan real dan p adalah bilangan bulat positif, maka:
𝑎1 = 𝑎, 𝑎𝑝 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙∙∙ 𝑎 ∙ 𝑎 (sebanyak p)
Dimana 𝑎 ≠ 0; 𝑎0 = 1, 𝑎−𝑝 =1
𝑎𝑝
𝑎𝑝+𝑞 = 𝑎𝑝𝑎𝑞, 𝑎𝑝−𝑞 = 𝑎𝑝𝑎−𝑞 , 𝑎𝑞 𝑝 = 𝑎𝑝𝑞
𝑎1
𝑞 =𝑞𝑎, dimana a bilangan non-negatif
PANGKAT DAN AKAR
SISTEM KOORDINATKOORDINAT CARTESIUS DAN KUTUB
KOORDINAT CARTESIUS
RUMUS JARAK
Rumus jarak berkenan dengan Teorema Pythagoras
Misalkan kita memiliki titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2), maka jarak antara P dan Q
2 2 2a b c
y
x
P(x1,y1)
Q(x2,y2)
R(x2,y1)
2 2
2 1 2 1d P,Q x x y y
JARAK TITIK KE GARIS
Jarak titik A(x0,y0) ke garis g:ax+by+c=0 dirumuskan:
Contoh:
jarak titik D (4,-1) ke garis 3x-4y=5, yaitu
0 0
2 2
ax by cd A,g
a b
3 4 4 ( 1) 5 11d
59 16
SISTEM KOORDINAT KUTUB
Titik P adalah perpotongan antaralingkaran dengan sinar garis O. Jika radalah jari-jari lingkaran dan θ adalah
sudut antara sinar garis dengan sumbu
kutub, maka (r, θ) dinamakan koordinatkutub (polar)
o
𝑃(𝑟, 𝜃)
x
Misalkan sumbu kutub berimpit dengan sumbu X pada koordinat kartesius, makaakan berlaku hubungan berikut:
𝜃
P(x,y)=(r,𝜃)
x
y
ytan
x
ysin
r
xcos
r
2 2 2
x r cos
y r sin
r x y
LATIHAN 5
1. Tentukan koordinat kutub dari 3,− 3
2. Tentukan koordinat kartesius dari 4,2
3𝜋
3. Tentukan persamaan kutub dari 2𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0