Äidinkielenä luvutSrinivasa Ramanujanin syntymästä 120 vuotta

Eero Raaste

Jatko-opiskelija

Matematiikan ja tilastotieteen laitosHelsingin yliopistoeero.raaste@helsinki.fi

Sisällys

1 Johdanto

2 Ramanujan – varhaisvuodet

3 Matemaatikon alkuvaikeuksia

4 Hardy

5 Lähtö Englantiin

6 Ramanujan Englannissa

7 Sairastuminen

8 Paluu Intiaan

Lähteet

1 Johdanto

Intialainen Srinivasa Ramanujan on kiehtova hahmo matematiikan historiassa.Ramanujanin elämäntarinasta ei puutu traagisiakaan piirteitä, sillä hänenluomiskautensa huippua varjosti maailmansota ja sairaus, joka myös johtiennenaikaiseen kuolemaan vain 32-vuotiaana. Suurelle yleisölle Ramanujan on melko tuntematon. Eric Temple Bellinsuosittu kirja Matematiikan miehiä päättyy jo ennen Ramanujanin aikaa. CarlBoyerin Tieteiden kuningatar taas omistaa Kiinan ja Intian matematiikkaakoskevassa luvussa yhden alaotsikon Ramanujanille. Tässäkin hänenimmäkseen vertailee kreikkalaista, intialaista ja kiinalaista matematiikkaa:“Bhaskara kuoli 1100-luvun lopulla ja useiden vuosisatojen ajan Intiassa olivähän hänen tasoisiaan matemaatikoita. On kuitenkin mielenkiintoista havaita,että Srinivasa Ramanujanilla (1887-1920), vuosisatamme intialaisella nerolla,oli sama yliluonnollinen aritmeettisen ja algebrallisen laskennan taito kuinBhaskaralla. Brittimatemaatikko Godfrey Harold Hardy vieraili kerran

2

Ramanujanin luona sairaalassa Putneyssä ja mainitsi ystävälleen, että oli tulluttaksilla, jolla oli tylsä numero 1729. Ramanujan vastasi empimättä, että lukuon todella mielenkiintoinen, sillä se on pienin kokonaisluku, joka voidaanesittää kahdella eri tavalla kahden kokonaisluvun kuution summana:

!

13

+123

=1729 = 93

+103. Epäjärjestys, intuitiivisen päättelyn voima ja hänen

edeltäjiensä suuresti kunnioittamasta geometriasta piittaamattomuus ovatluonteenomaisia myös Ramanujanin työlle. Vaikka nämä ominaisuudet ehkäkehittyivät Ramanujanissa lähinnä siksi, että hän oli itseoppinut, ei voi ollaihmettelemättä, miten häkellyttävän paljon intialaisen matematiikan kehityspoikkeaa kreikkalaisesta...” Ramanujanin merkitys on auennut vasta hänen kuolemansa jälkeen. EnsinJohn Edensor Littlewood ja – ennen muita – Hardy havaitsivat hänenpoikkeukselliset kykynsä tutkiessaan kirjettä, jossa Ramanujan oli lähettänyttutkimustensa tuloksia Hardylle saadakseen ne julkaistuiksi. Ramanujanintultua Cambridgeen Hardy ja Ramanujan aloittivat hedelmällisen yhteistyön,jossa kärjistäen Hardy vastasi todistusten täsmällisyydestä ja Ramanujanideoista. Onnettomuudeksi ensimmäinen maailmansota puhkesi pian RamanujaninEnglantiin saapumisen jälkeen. Hänen työnsä kannalta oli valitettavaa, ettäTrinity tyhjeni matemaatikoista. Myös Littlewood kutsuttiin palvelukseen.Lisäksi kaikki yhteydet mannereurooppalaisiin matemaatikoihin katkesivat.Ramanujanille sota aiheutti ongelmia saada bramiinikastiin kuuluvallehindulle sopivaa ravintoa. Tiukan kasvisruokavalion pitäminen riittävänmonipuolisena olisi muutenkin vaatinut 1900-luvun alun Englannissavaivannäköä, mutta sotaoloissa se oli mahdotonta. Aliravitsemus puhkaisiRamanujanissa taudin, jonka diagnosointi osoittautui vaikeaksi. Vastakymmeniä vuosia myöhemmin on päädytty diagnoosiin, jonka mukaan hänkärsi ameeban aiheuttamasta maksataudista. Pian sodan päätyttyä Ramanujan palasi Intiaan ja jatkoi matemaattistatyötään, vaikka sairaus oli jo yltynyt pahaksi. Hän kuoli huhtikuussa 1920jättäen jälkeensä kolme numeroitua muistikirjaa ja neljännen, jota kutsuttiin“kadonneeksi muistikirjaksi”. Lisäksi häneltä jäi tukku järjestämättömiäpapereita. Muistikirjat ovat työllistäneet matemaatikoita näihin päiviin asti,eikä työ ole vieläkään valmis. Niihin Ramanujan kirjasi keksimiään tuloksia,mutta ei yleensä kirjoittanut todistuksia auki. Syy tähän saattaa olla se, ettähänen lapsuudessaan paperi oli liian arvokasta tuhlattavaksi“itsestäänselvyyksien” kirjoittamiseen. Toinen syy lienee se, että Ramanujansai mallin englantilaisen George Shoobridge Carrin teoksesta A Synopsis of

Elementary Results in Pure Mathematics, jossa myös esitettiin suuri joukkotuloksia, mutta todistukset joko ohitettiin kokonaan, tai ne kuitattiin lyhyillähuomautuksilla. Ramanujanin työskentelytahti oli nopeaa. Hänen muistikirjojensatoimittaminen puolestaan on ollut äärimmäisen hidasta, sillä Ramanujan jättivälivaiheet yleensä pois. Hänen muistikirjansa eivät alun perinkään olleettarkoitettuja julkaistaviksi. Ramanujania pidetään yleisesti lukuteoreetikkona, mutta hän olihuomattavasti laaja-alaisempi. Esimerkiksi analyysin alalta hänellä olihuomattavasti enemmän tuloksia kuin lukuteoriasta. Ehkä Ramanujanin työnparas asiantuntija Bruce Carl Berndt luettelee katsauksessaan Ramanujaninmuistikirjoihin kaksitoista aluetta, joita ne käsittelevät: 1. alkeismatematiikka,

3

2. lukuteoria, 3. äärettömät sarjat, 4. integraalit, 5. asymptoottiset ekspansiot jaapproksimaatiot, 6. gamma-funktio ja siihen liittyvät funktiot, 7.hypergeometriset funktiot, 8. q-sarjat, 9. ketjumurtoluvut, 10. theta-funktiot jamodulaariset yhtälöt, 11. Ramanujanin teoria elliptisistä funktioista ja 12.luokkainvariantit. Tutustuessaan ensimmäisen kerran Ramanujanin esittämiin tuloksiin Hardyoli huolissaan mahdollisista virheistä. Vaikka todistusten kirjoittaminen vaativuosia, Hardyn vaisto kertoi tulosten olevan oikeita: ”Niiden täytyi olla tosia,koska jos ne eivät sitä olisi, kenenkään mielikuvitus ei riittäisi keksimäänniitä.” Jokunen virhe löytyi (lähinnä lukuteoreettisista tuloksista), mutta niitäoli hyvin vähän.

2 Ramanujan – varhaisvuodet

Srinivasa Ramanujan Aiyangar syntyi 22. joulukuuta 1887 KuppuswamySrinivasa Aiyangarin ja Komalatammalin esikoispoikana. Intialainennimiperinne poikkeaa länsimaisesta, joten jakoa etu- ja sukunimeen ei voitehdä. Srinivasa oli Ramanujanin isän nimi, joka virallisissa yhteyksissäkorvattiin usein pelkällä etukirjaimella. Ramanujan, joka pitkään kirjoitettiinmuodossa Ramanujam, on varsinainen nimi, ja Aiyangar (tai Iyengar) onkastinimi, joka kertoo kantajansa kuuluvan eteläintialaiseen bramiinisukuun. Isä Srinivasa oli töissä vaatekaupassa. Hän pystyi niukasti elättämäänperheensä, mutta muuten perhe oli köyhä. Isän osuus perheen elämässä jalasten kasvatuksessa ei ollut merkittävä. Äiti Komalatammal oli perheenvoimahahmo. Hän oli syvästi uskonnollinen, uskoi astrologiaan ja rukoiliNamagiri-nimistä jumalatarta. Isä työskenteli ja perhe asui Kumbakonamissa,etelä-Intiassa, nelisensataa kilometria lounaaseen Madrasista. Syyskuussa 1887 Komalatammal matkusti vanhempiensa luo Erodeen,runsaat parisataa kilometria Cauveryjoen yläjuoksulle. Oli tavallista, ettänainen ei synnyttänyt lastaan aviomiehen kodissa vaan omien vanhempienluona. Hän palasi Kumbanokamiin miehensä luo vasta Ramanujanin ollessalähes vuoden ikäinen. Ramanujanin selviytyminen aikuisikään asti ei ollut itsestäänselvyys.Kahden ikäisenä hän sairastui isorokkoon. Hän toipui taudista, mutta kantoilopun ikäänsä rokonarpia ihollaan. Tanjoren alueella isorokkoepidemiamerkitsi pahana vuonna kuolemaa tuhansille. Kun Ramanujan oli hieman alle4-vuotias hänelle syntyi sisar Sadagopan. Tämä kuoli kuitenkin vain runsaankahden kuukauden ikäisenä. Kaksi vuotta myöhemmin syntynyt seuraava tytäreli myös vain kolme kuukautta samoin kuin kolmas tytär Sesha, joka syntyiRamanujanin ollessa kuusi ja puolivuotias. Kaksi nuorinta lasta eli kuitenkinaikuiseksi. Veli S. Lakshmi Narasimhan syntyi 1898 ja veli S. Tirunarayanan1905. Sisarten varhaiset kuolemat merkitsivät Ramanujanille sitä, että hän kasvoiperheen ainoana lapsena. Hän oli äitinsä silmäterä ja he viettivät paljon aikaayhdessä. Äiti johdatti poikansa oman uskontonsa pariin, mutta he myösleikkivät ja pelasivat pelejä yhdessä. Sen sijaan äiti ei lainkaan rohkaissutRamanujania leikkimään toisten lasten kanssa.

4

Kolmevuotiaaksi Ramanujan ei puhunut mitään, mikä huolestuttiKomalatammalia. On mahdollista, että vahvatahtoiseksi kuvailtu lapsi ei vainhalunnut puhua. Äiti vei hänet kuitenkin oman nyt Kanchipuramissa,Madrasin lähellä, asuneen isänsä luo. Siellä Ramanujan sai isoisän avustamanaopetella tamilin aakkoset piirtämällä ne kepillä lattialle levitettyyn riisiin.Samalla jokainen merkki luettiin ääneen. Pian pelko pojan mykkyydestäväistyi ja hän oppi myös tamilinkielen 12 vokaalia, 18 konsonanttia ja 216yhdistettyä konsonantti-vokaali –muotoa. Hieman ennen viisivuotispäiväänsä Ramanujan aloitti koulunKanchipuramissa 1. lokakuuta 1892. Tuore oppilas ei pitänyt opettajastaan jaasettui heti vastahankaan. Koulu ei myöhemminkään merkinnyt hänelletilaisuutta oppimiseen vaan pikemmin kahleita, joista oli päästävä eroon.Pienestä pitäen Ramanujan inhosi kaikenlaista liikuntaa. Hänen olemuksensaoli pullea, mikä oli tuolloin Intiassa hyvin harvinaista. Ramanujanin koulutiejatkui toistaiseksi Kanchipuramissa isovanhempien luona, mutta koulu vaihtuikeväällä 1894 telugunkieliseksi (sukua tamilille). Vähän myöhemminKomalatammalin isä riitautui työpaikallaan, erosi ja muutti Madrasiin.Ramanujan palasi äitinsä mukana Kumbakonamiin, jossa hänet ilmoitettiinkouluun. Isänisän kuoleman jälkeen oli taas edessä lähtö äidin vanhempienluo. Madrasissa Ramanujan kapinoi koulua vastaan entistä tarmokkaammin, japaluu Kumbakonamiin kesällä 1895 toisenkin isoisän kuoltua oli hänellehelpotus. Kumbakonam ei ollut pikkukaupunki, vaan lähes tuhat vuotta aiemmin se oliollut Chola-imperiumin pääkaupunki. Ramanujanin aikana siellä oli noinviisikymmentätuhatta asukasta. Muistona mahtiajoilta oli suuri joukkotemppeleitä, jotka kahdentoista vuoden välein keräsivät suuren joukonpyhiinvaeltajia ympäri Intiaa. Kumbakonamissa oli myös kouluja,yliopistotasolle asti. Kangayan Primary School oli Ramanujanin ensimmäinen opinahjoKumbakonamissa. Hän ei ilmeisesti viihtynyt sielläkään mutta sai hyviäarvosanoja. Marraskuussa 1897 hän läpäisi kokeet Kumbakonaminenglanninkielistä oppikoulua, Town High’ta, varten. Kokeet koostuivatenglannin, tamilin, aritmetiikan ja maantiedon osioista; Ramanujan olialueensa paras. Tosin varsin katkeraksi palaksi Ramanujanille osoittautui se,että aritmetiikan osiossa hän oli vasta toiseksi paras. Ramanujanin tulos oli 42pistettä 45:stä mahdollisesta, kun hänen ystävänsä K. Sarangapani Iyengar sai43 pistettä. Vielä vuosia myöhemmin Ramanujanin oli vaikea sulattaa sitä, ettäjoku oli lyönyt hänet hänen omimmalla alueellaan. Koulun ohella hän oppi hindulaisuuden traditioita Komalatammalinopastuksella. Hän tutustui Ramayanaan ja Mahabharataan, pyhiin kirjoihin,oppi laulamaan uskonnollisia lauluja, temppelirituaaleja, syömään oikeaa javälttämään väärää ruokaa. Ramanujan oppi kaikkea mitä hurskaan bramiinintulikin. Lisäksi äiti-Komalatammal piti huolta siitä, että perheen jumalatarNamakkalin Namagiri tuli tutuksi Ramanujanille. Namagirilla oli myöhemminsuuri vaikutus Ramanujanin uraan. Ramanujanin vanhemmat olivatlapsettomia vielä muutaman vuoden kuluttua avioliittonsa solmimisesta. Herukoilivat jälkeläistä Namagirilta. Namagiri oli myös ilmestynyt unessaKomalatammalin äidille ja ilmoittanut kerran puhuvansa tämän tyttären lapsenkautta.

5

Tammikuussa 1898 Ramanujan aloitti kuusivuotisen uransa Town High’ssa.Koulu oli perustettu 1864, mutta Ramanujanin aloittaessa se oli juuri saanutuudet tilat. Rehtori S. Krishnaswami Iyer oli pätevä opettaja ja koululla olihyvä maine. Opetus oli laadukasta, mutta Ramanujanin kiinnostusmatematiikkaan heräsi näihin aikoihin, minkä seurauksena muut kouluaineetjäivät yhä vähemmälle huomiolle. Jo toisella luokalla Ramanujan auttoiluokkatovereitaan matematiikan tehtävissä. Seuraavana vuonna hänenkerrotaan jo kommentoineen opetusta. Kun opettaja oli juuri selittänytluokalle, että mikä tahansa luku jaettuna itsellään antoi tulokseksi ykkösen,Ramanujan kysyi oliko myös nolla jaettuna nollalla yksi. Ramanujanin perheessä ei nähty nälkää, mutta rahaa ei koskaan ollut liiaksi.Niinpä perhe hankki lisätuloja tarjoamalla täysihoitoa opiskelijoille.Ramanujanin ollessa toisella luokalla heillä asui kaksi läheisessä GovernmentCollege -opistossa opiskelevaa bramiinipoikaa, jotka havaitsivat Ramanujaninkiinnostuksen matematiikkaan ja ruokkivat sitä minkä kykenivät. Muutamassakuukaudessa Ramanujan osasi kaiken minkä he osasivat opettaa. Innokasoppija kärtti poikia tuomaan itselleen opiston kirjastosta matematiikan kirjoja.He toivatkin hänelle S. L. Loneyn kirjan Trigonometry vuodelta 1893, joka olivarsin pitkälle menevä johdatus matematiikkaan. Ramanujan oli omaksunutkirjan opit 13-vuotiaana, mutta se ei riittänyt. Hän halusi lisää. Eräs vanhempi oppilas oli näyttänyt Ramanujanille kuinka kolmannenasteen yhtälöitä ratkaistiin. Loneyn kirjasta hän oli oppinut trigonometrisistäfunktioista niiden esitykset äärettöminä sarjoina pikemmin kuinsuorakulmaisen kolmion sivujen suhteina. Hän myös osasi piin ja Neperinluvun e:n arvot kymmenien desimaalien tarkkuudella. Koulun vastaava matematiikan opettaja Ganapathi Subbier antoiRamanujanille omia tehtäviä, ja kaksi vuotta ylemmän luokan oppilaat hakivatRamanujanilta apua tehtävien ratkaisemiseen. Ramanujan oli 14-vuotiaanapaikallinen kuuluisuus. Hän läpäisi matematiikan kokeet nopeasti ja yleensämyös virheittä. Vuonna 1904 Ramanujan sai K. Ranganatha Raon nimeäkantavan matematiikkapalkinnon. Rehtori Krishnaswami Iyer esitteli hänetpalkintoa jakaessaan oppilaaksi, jolle maksimipisteet olivat liian vähän.Ramanujan ei mahtunut arviointiasteikolle. Kun hän puhui matematiikasta,eivät muut oppilaat eivätkä opettajatkaan pysyneet kärryillä. Ramanujaniakohdeltiin etäisen kunnioittavasti eikä monikaan uskaltanut lähestyä häntä.Hän oli kuitenkin vielä hyvä kaikissa kouluaineissa ja sai perheen talouttasuuresti helpottaneen stipendin. Loneyn kirjan lisäksi Ramanujan tutustui englantilaisen G. S. Carrinteokseen: A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics vieläopiskellessaan Town High’ssa. Teoksen suurin ansio (ja vika) oli se, ettäRamanujan käytti lähes kaiken aikansa matematiikkaan. Pian tämän jälkeenhän valmistui oppikoulusta ja hyvän todistuksensa ansiosta sai stipendinsamaan Kumbakonam’s Government College –opistoon, jossa edellä mainitutperheen täysihoitolaiset olivat opiskelleet. Opistossa Ramanujanin oli osallistuttava tunneille, mutta hänen mielensä eiollut läsnä vaikkapa historian tunnilla. Hän mietti vain matematiikkaa ja käviläpi kaiken opiston kirjastosta löytämänsä matemaattisen kirjallisuuden.Tämän seurauksena Ramanujan sai vapaat kädet matematiikan tunneilla.Hänen opettajansa P. V. Seshu Iyer kannusti nuorukaista käymäänmatemaattisissa aikakauslehdissä julkaistujen ongelmien kimppuun, mutta

6

eräs toinen opettaja lainasi ensin Ramanujanille analyysiä koskevan teoksen javaati sitten sen palauttamista huomatessaan Ramanujanin laiminlyövän muutakoulutyötä. Ramanujanin olisi pitänyt opiskella matematiikan lisäksi englantia,sanskriittia, fysiologiaa ja historiaa. Hänen kiinnostuksensa ei tähän riittänyt,minkä seurauksena hän ei läpäissyt yliopiston pääsykokeita ja menettistipendinsä. Komalatammal ei hyväksynyt päätöstä ja kävi valittamassarehtorille. Tämä oli kuitenkin todennut, että sääntöjen mukaan Ramanujaninolisi tullut läpäistä englannin koe, mutta hän oli reputtanut selvästi. Stipendin menettäminen kirpaisi kipeästi perheen taloutta, mutta ennenmuuta se kolhaisi Ramanujanin itsetuntoa. Vieläkin pahempi juttu oli se, ettäkaikki tiesivät hänen menettäneen stipendinsä. Ulkoinen arvostus oli hänelletärkeää myöhemminkin. Jonkin aikaa hän jaksoi yrittää kohentaa arvosanojaanmuissa aineissa. Ongelmana oli kuitenkin, ettei hän olisi halunnut vähentääpanostustaan matematiikkaan. Elokuussa 1905 onneton Ramanujan oli saanuttarpeekseen ja karkasi kotoa. Karkumatka suuntautui Vizagapatnamiin, puolivälissä Kalkuttaa olevaantelugunkieliseen kaupunkiin. Ramanujan ei ollut kertonut lähdöstäänkenellekään. Hänen vanhempansa laittoivat sanomalehteen ilmoituksenkadonneesta pojastaan. Isä Srinivasa kiersi Madrasissa ja Trichinopolyssatalosta taloon kyselemässä tietoja pojan olinpaikasta. Lopulta (luultavastisyyskuussa) vanhemmat toivat Ramanujanin takaisin kotiin. Epäonnistuneiden kokeiden jälkeen Ramanujan sai toisen tilaisuudenaloittaessaan Pachaiyappa’s College –opistossa Madrasissa vuoden 1906alussa uuden valmistautumisen yliopiston pääsykokeisiin, jotka olivat myösopiston päättökoe. Uudessa koulussa matematiikanopettaja N. Ramanujachariar joutui hetiRamanujanin esittelemien muistikirjojen lumoihin, esitteli tämän koulunrehtorille, joka puolestaan järjesti lahjakkaalle matemaatikolle osittaisenstipendin. Myös opiston matematiikan yliopettaja P. Singaravelu Mudaliaraloitti läheisen yhteistyön Ramanujanin kanssa. Yhdessä he ratkoivatmatemaattisten aikauslehtien ongelmia. Muissa aineissa menestystä ei sensijaan ollut. Pääsykokeissa vuonna 1907 Ramanujanin tulokset olivat:englanninkielessä 38/200 (hyväksytyn raja oli 70), sanskriitissa 34/100 (35),matematiikassa 85/150 (45). Lisäksi oli mahdollista suorittaa koevapaaehtoisaineissa fysiologiassa ja historiassa, mutta niitä Ramanujan einäytä edes yrittäneen. Uuden epäonnistumisen jälkeen Ramanujan yritti elättää itseään antamallayksityistunteja, mutta rönsyily ja pitäytyminen itseään kiinnostaviin aiheisiintyrehdytti tämän tulonlähteen nopeasti. Vuonna 1908 Ramanujan oli työtön,vailla tutkintoa ja opiskelupaikkaa tai stipendiä. Kuitenkin hänellä oli vihdoinaikaa matematiikalle. Hänen aloittamansa muistikirjan sivut täyttyivät päiväpäivältä. Aluksi hän oli kirjoittanut vain joka toiselle sivulle, sitten piti ottaakäyttöön myös sivujen kääntöpuolet. Lopulta täytyi palata täyttämäänaiemmin tyhjiksi jääneet sivut.

7

3 Matemaatikon alkuvaikeuksia

Ramanujanin ensimmäinen kipinä matematiikkaan saattoi olla seuraustakoulusta ja kotona äidin kanssa pelatusta “tiikerit ja vuohet” –strategiapelistä.Varsinainen “koukkuun jääminen” tapahtui kuitenkin vasta matematiikankirjallisuuteen tutustumisen myötä. Edellä mainitut Loneyn ja Carrin teoksetolivat tässä ratkaisevia. Hardy harmitteli Ramanujanin kuoltua, ettei ollut koskaan kysynyt häneltämitä kirjoja hän oli Intiassa lukenut. Asiaa on kuitenkin selvitetty jälkikäteen.Berndtin ja Robert Alexander Rankinin mukaan Ramanujan oli lukenutainakin teokset: S. L. Loney: Plane Trigonometry; G. S. Carr: A Synopsis of

Elementary Results in Pure Mathematics; J. Edwards: Differential Calculus;B. Williamson: An Elementary Treatise on the Integral Calculus ja G. H.Hardy: Orders of Infinity. Lisäksi on luultavaa, että Ramanujan oli tutustunutmyös teoksiin: A. G. Greenhill: The Applications of Elliptic Functions; A.Cayley: An Elementary Treatise on Elliptic Functions ja G. B. Mathews: The

Theory of Numbers. Englannissa hänen käytössään oli luonnollisesti runsaastilähdekirjallisuutta. Sidney Luxton Loneyn Plane Trigonometry oli tuon ajan Intiassa suosittuoppikirja. Ramanujanin kerrotaan saaneen teoksen jälkimmäisen osan lainaksivanhemmalta opiskelijalta. Siitä hän oppi trigonometristen funktioidensarjateoreettiset esitykset. Kun hänelle myöhemmin paljastui yhteyssuorakulmaisen kolmion sivujen suhteisiin, tunne oli elähdyttävä. George Shoobridge Carrin A Synopsis of Elementary Results in Pure

Mathematics on tullut tunnetuksi juuri Ramanujanin oppaana. Carr (1837-1914) ansaitsi elantonsa Lontoossa antamalla yksityistunteja ja valmentamallaopiskelijoita Cambridgessa käytettyyn Tripos-testiin, jossa opiskelijatasetettiin järjestykseen paljolti knoppitiedon perusteella. Synopsis olikokoelma artikkeleita, oikeastaan tuloksia, jotka enimmäkseen esitettiinperusteluitta tai vain antamalla lyhyt vihje väitteen todistamista varten.Vuonna 1880 ilmestyneessä ensimmäisessä osassa oli 256 sivua ja 1174artikkelia; vuonna 1886 ilmestynyt kakkososa oli laajempi: siinä oli 935 sivuaja 3243 artikkelia. Artikkeleiden numerointi oli hieman hämäävä, silläviimeisen numero oli 6165. Välissä oli kuitenkin pitkiäkin hyppäyksiä, jotenkokonaismäärä jäi 4417:ään. Siinäkin oli tosin runsaasti työstettävää nuorelleRamanujanille, joka Carrilta oppi myös työskentelytapansa. Tulokset esitettiinpelkistetysti, eikä aikaa hukattu itsestäänselvyyksien todisteluun. Hardyllaolikin myöhemmin kova työ saada Ramanujan kirjoittamaan väitteidensätodistukset riittävän yksityiskohtaisesti tavallisempien matemaatikoidenluettavaksi. Samaan ongelmaan törmäsivät Ramanujanin muistikirjoja hänenkuolemansa jälkeen editoineet matemaatikot. Joseph Edwardsin Differential Calculus kuului ensimmäisiin Ramanujaninopiskelemiin teoksiin, sillä hän mainitsee sen ensimmäisen julkaistunartikkelinsa lähdeviittauksissa. Benjamin Williamsonin An Elementary

Treatise on the Integral Calculus oli Ramanujanin työn alla ennen Englantiinlähtöä. Hän kertoo ensimmäisessä kirjeessään Hardylle tutustuneensa tämänteokseen Orders of Infinity: The Infinitärcalcul of Paul Du Bois-Reymond.Ramanujan mainitsee myös myöhemmin Hardyn teoksen.

8

Ramanujan tutki vielä Intiassa ollessaan elliptisiä funktioita. Berndt jaRankin kertovat Hardyn ja muidenkin veikanneen, että todennäköisimmätteokset, joiden kautta Ramanujan saattoi tutustua aiheeseen, olivat GeorgeGreenhillin The Applications of Elliptic Functions ja Arthur Cayleyn An

Elementary Treatise on Elliptic Functions. Lukuteoriaan Ramanujan saattoitutustua George Ballard Mathewsin teoksen The Theory of Numbers

välityksellä. Ainakin hän mainitsee sen kirjeessään C. N. Ganapathy Iyerille17. joulukuuta 1917. Ramanujanin muistikirjat syntyivät Eric Harold Nevillen mukaanyksinkertaisesti tarpeesta. Todistaessaan yhtä tulosta Ramanujan keksi useitauusia, jotka oli pian merkittävä muistiin. Hän alkoi muistikirjojenkirjoittamisen käydessään läpi Carrin teosta kouluvuosinaan. Ensimmäisenämuistikirjana tunnettu osa tuli täyteen vuonna 1907, kun hän oli lähtemässäPachaiyappa’s Collegesta. Se oli kirjoitettu vihreällä musteella ja käsitti ylikaksisataa sivua kaavoja hypergeometrisista sarjoista, ketjumurtoluvuista jne.Tämä muistikirja ei kuitenkaan ollut spontaanisti syntynyt luettelo kaavoja,vaan se oli jaettu kappaleisiin aihepiireittäin. Teoreemat oli numeroitu,mahdolliset virheet korjattu, ja muistikirja oli kirjoitettu siistillä käsialalla jokatoiselle sivulle (aluksi). Ramanujan oli ehkä tarkoittanut muistikirjansatyönäytteeksi hakiessaan ansiotyötä. Lopulta kuitenkin materiaalin paljous saihänet kirjoittamaan joka sivulle, ja lopulta aiemmin tyhjiksi jätetyt sivutotettiin käyttöön. Ramanujan ei välttämättä noudattanut yleisesti käytettyjä merkintöjä, jotenhänen tekstinsä lukeminen ei ensi silmäykseltä ole aivan helppoa. Tavallisestioppikirjoissa esitetään toisen asteen yhtälön juuret kaavalla

!

x ="b ± b

2" 4ac

2a.

Ramanujan esitti saman asian muodossa

!

x1

= " 12

m2

m1

+[(m

2+ 2 m

1m

3)(m

2" 2 m

1m

3)]

12

2m1

,

!

x2

= " 12

m2

m1

"[(m

2+ 2 m

1m

3)(m

2" 2 m

1m

3)]

12

2m1

.

Ramanujan piti luvuilla leikittelemisestä. Niinpä muistikirjasta löytyvätesimerkiksi seuraava identiteetti:

!

2(ab+ ac + bc)4

= a4(b " c)

4+ b

4(c " a)

4+ c

4(a " b)

4 . Hän myös mainitsi kolmannessa muistikirjassaan yleistäneensä edellä olevanidentiteetin käsittämään kaikki parilliset potenssit. Polynomeja koskevistaidentiteeteistä mainittakoon seuraava: Olkoon

!

F2m (a,b,c,d) = (a + b + c)2m

+ (b + c + d)2m" (c + d + a)

2m" (d + a + b)

2m+ (a " d)

2m" (b " c)

2m .

Tällöin

!

64F6(a,b,c,d)F10(a,b,c,d) = 45F82(a,b,c,d).

Ramanujan ei itse esittänyt todistusta, jonka Bhargava ja Berndt esittivätjälkimmäisen teoksessa Ramanujan’s Notebooks, Part IV vuonna 1994. Vuoden 1908 lopulla Ramanujanin tilanne muuttui olennaisesti. Hänenäitinsä oli päättänyt, että pojan oli avioiduttava. Niinpä Komalatammal alkoi

9

etsiä pojalleen soveltuvaa puolisoa. Hän vieraili ystäviensä luonaRajendramissa, satakunta kilometriä Kumbakonamista länteen. Siellä hän näkikaukaisen sukulaisensa pikkutytön Janakin. Vasta yhdeksänvuotiaan tytönsoveltuvuuden selvittämiseksi tarvittiin ensin horoskooppi, jota verrattiinRamanujanin vastaavaan. Tulos oli suotuisa, joten Komalatammal päätyitekemään poikansa puolesta avioliittosopimuksen. Vailla tutkintoa ja työtä oleva Ramanujan ei ollut vävyehdokkaanamitenkään ihanteellinen, mutta toisaalta Janakilla oli neljä sisarta, jotennirsoilu ei ollut paikallaan. Lasten naittaminen ei ollut 1900-luvun alunIntiassa mitenkään harvinaista. Mysoressa oli tosin hyväksytty laki, jonkamukaan alle kahdeksanvuotiaita tyttöjä ei saanut naittaa. Muualla tätäkäänlakia ei saatu läpi. Häät olivat Intiassa merkittävä tapaus. Juhlavaatteiden ja hääväenkestityksen lisäksi tulivat myötäjäiset. Kokonaiskustannus lohkaisi useinsuuren osan perheen varallisuudesta. Janakin ohella samana päivänä avioituimyös hänen sisarensa Vijayalakshmi. Toinen vihittävä pari oli paikallamääräaikana, mutta Komalatammal ja Ramanujan (isä Srinivasaa ei ollut edeskutsuttu) olivat poissa. Janakin isä Rangaswamy oli raivoissaan. Hän uhkasinaittaa Janakin saman tien jollekin muulle, vaikkapa jollekin sukulaispojalle.Vihdoin sulhanen äiteineen saapui paikalle tunteja myöhässä.Komalatammalin onnistui lepytellä morsiamen isää, ja niin hääjuhlallisuudetalkoivat yhden aikaan yöllä. Tuore avioliitto alkoi huonoissa merkeissä. Kesken onnittelujen tilaisuuttahäiritsi lähistöllä kuulunut kehitysvammaisen tytön kirkuminen. Lisäksiseppele, jonka Janaki asetti Ramanujanin kaulaan, putosi maahan. Pienitulipalonpoikanen kruunasi vastoinkäymiset. Kaikkia näitä pidettiin pahoinaenteinä. Seuraavana kesänä avioliitto sai virallisen vahvistuksen, mutta kului vieläkolme vuotta ennen kuin Janaki muutti saman katon alle Ramanujanin kanssa.Siihen asti hän opiskeli taloudenhoitoa sekä vanhempiensa kodissa että aikaajoin anoppinsa valvonnassa. Ramanujan oli kuitenkin virallisesti ukkomies,mikä merkitsi uusia velvollisuuksia. Hänen oli ryhdyttävä etsimään ansiotyötätoden teolla, mutta esteeksi ilmaantui sairastuminen. Sairastuminen oli nesteen keräytyminen kivespussiin, mikä sinänsä onvaaratonta, mutta mikäli nestettä keräytyy paljon, se on poistettavaleikkauksella. Ramanujanin oli päästävä leikkaukseen, mutta perheellä ei ollutrahaa siihen. Vasta vuoden 1910 tammikuussa apua oli luvassa. Kirurginimeltä Kuppuswami tarjoutui leikkaamaan Ramanujanin ilmaiseksi. Toivuttuaan leikkauksesta Ramanujan jatkoi työpaikan etsimistä.Ramanujanilla ei ollut myöskään vakituista asuinsijaa, vaan hän yöpyiystäviensä luona. Jonkin aikaa hän asui Madrasissa entisen Kumbakonamin-aikaisen oppilaansa Viswanatha Sastrin luona. Tämä opiskeli PresidencyCollegessa ja asui opiston lähellä sijaitsevassa asuntolassa. Ramanujan läksiaamuisin etsimään oppilaita, jotka tarvitsivat valmennusta matematiikassa.Hänen maineensa oli kuitenkin kiirinyt kauas: Ramanujania pidettiinopettajana, joka ei pysynyt asiassa, vaan poikkesi vähän väliä alueille, jotkakiinnostivat häntä itseään. Kokeisiin valmistautuvan oppilaan kannalta niistäei ollut juurikaan hyötyä. Myöhemmin vuonna 1910 Ramanujan asui samaten kumbakonamilaistenveljesten K. Narasimha Iyengarin ja K. Sarangapani Iyengarin hoteissa.

10

(Sarangapani oli juuri se henkilö, joka oli aikoinaan saanut aritmetiikankokeessa pisteen enemmän kuin Ramanujan.) Nyt Ramanujan valmensiNarasimhaa matematiikan kokeeseen Madras Christian Collegessa. Narasimhaei ollut mitenkään kiinnostunut aiheesta, mutta Ramanujanin avulla hän läpäisikokeen rimaa hipoen. Vähän myöhemmin Ramanujan sairastui uudelleen. Tällä kertaa hänhakeutui Pachaiyappan-aikaisen ystävänsä R. Radhakrishna Iyerin luo. Tämätarjosi Ramanujanille ruokaa ja hankki hänelle lääkärin, joka totesi potilaanvaativan jatkuvaa hoitoa. Ramanujan lähetettiin takaisin Kumbakonamiin,mutta ennen lähtöään Ramanujan kääntyi Radhakrishnan puoleen ja pyysitoimittamaan kaksi muistikirjaansa heidän yhteiselle opettajalleen, professoriSingaravelu Mudaliarille, tai Madras Christian Collegen professori Edward B.Rossille, siinä tapauksessa ettei selviäisi taudista hengissä. Muistikirjat olivat Ramanujanin arvokkain omaisuus. Ilman tutkintoa neolivat hänen referenssinsä työnhaussa; ne osoittivat että hän oli saanutelämässään jotakin aikaan. Työnhaku pelkkien matemaattisten kaavakokoelmien varassa oli työlästä,sillä työnantajat eivät yleensä ymmärtäneet niistä kovin paljoa. Ramanujanystävällisyys ja iloisuus kuitenkin takasivat sen, että häneenkin suhtauduttiinystävällisesti. Loppuvuonna 1910 Ramanujan matkasi Tirukoiluriin, joka sijaitsi kutakuinkin puolivälissä Madrasista Kumbakonamiin. Siellä hän tapasi V.Ramaswami Iyerin, valtion virkamiehen, joka oli koulutukseltaanmatemaatikko. Ramaswami oli vähän aiemmin ollut perustamassa IndianMathematical Societya. Ramanujanin esitellessä muistikirjojaan Ramaswamihuomasi, että vaikka hän ei tuntenut kyseisiä matematiikan aloja (Ramaswamioli geometrikko), hän huomasi kuitenkin heti Ramanujanin tulosten olevanpoikkeuksellisen hienoja. Ramaswami ei antanut Ramanujanille työpaikkaa. Huonosti palkatturutiinityö viraston alimmalla tasolla ei olisi tehnyt oikeutta hänen juurinäkemilleen matemaattisen ajattelun tuloksille. Työpaikan sijaan Ramaswamilähetti Ramanujanin takaisin Madrasiin mukanaan suosittelukirjeetRamaswamin matemaatikkoystäville. Eräs Ramaswamin ystävistä oli P. V. Seshu Iyer, joka oli opettanutRamanujania Government Collegessa Kumbakonamissa. He eivät olleettavanneet neljään vuoteen. Madrasin Presidency Collegeen siirtynyt Seshuantoi Ramanujanille joitakin ohjeita miten menetellä ja uuden suosituskirjeen.Seuraavaksi Ramanujan meni tapaamaan S. Balakrishna Iyeriä, Teachers’Collegen matematiikan opettajaa Madrasissa. Hän pyysi Balakrishnaltasuositusta tämän englantilaiselle esimiehelle Dodwellille saadakseen minkätahansa työn. Balakrishna ei ollut ymmärtänyt Ramanujanin muistikirjoistajuuri mitään, mutta hän kävi tapaamassa Dodwellia useamman kerranauttaakseen Ramanujania – ilman tulosta. Balakrishnalla ei ollut riittävästivaikutusvaltaa. Joulukuussa 1910 meni tapaamaan R. Ramachandra Rao’a, joka siihenaikaan oli piirikunnan vouti Nelloressa. Matemaatikon koulutuksen saanutRamachandra oli riittävän vaikutusvaltainen henkilö pystyäkseen auttamaanRamanujania, mutta edes hänen puheilleen pääsy ei ollut yksinkertainen asia.Ramanujanilla oli tosin Seshu Iyerin suosituskirje, mutta Ramanujaninarveltiin olevan liian ujo käyttääkseen sitä. Tässä sattuma astui jälleen kuvaan

11

Ramanujanin vanhan luokkatoverin C. V. Rajagopalacharin muodossa. Tämäoli edennyt urallaan, läpäissyt koulun ja kouluttautunut lakimieheksi. Läheskymmeneen vuoteen hei eivät olleet tavanneet ennenkuin nyt saattumaltaMadrasissa. Ramanujan kertoi Rajagopalacharille kuinka hän oliepäonnistunut kokeissa eikä hänellä näyttänyt olevan tulevaisuutta. Hän olikirjoittanut useille matemaatikoille. Bombayssa vaikuttavalle professoriSaldhanalle hän oli lähettänyt otteita keksimistään tuloksista. Tämä olivastannut ettei voinut auttaa asiassa. Myöskään Intian matemaatikkoseurastaei ollut ollut apua. Niinpä hän aikoi palata takaisin Kumbakonamiin junallavielä samana iltana. Eräs ystävä oli lupautunut maksamaan hänen lippunsa. Rajagopalachari kielsi Ramanujania lähtemästä. Hän veisi itse ystävänsätapaamaan Ramachandra Rao’a. Ramanujanin vastustellessa perusteena etteihänellä enää ollut rahaa jäädä Madrasiin Rajagopalachari sanoi vastaavansakustannuksista. Välittäjänä tapaamisessa oli luultavasti myös Ramachandran veljenpoika R.Krishna Rao, mutta joka tapauksessa Ramanujan tapasi Ramachandra Raonkolme kertaa. Rajagopalacharin mukaan ensimmäisellä kerralla Ramachandrapyysi saada pitää Ramanujanin muistiinpanoja muutaman päivän ajanehtiäkseen vilkaista niitä. Toisella kerralla hän oli selannut ne läpi ja todennut ettei ymmärtänyt niitä,joten niillä oli turha vaivata häntä enempää. Kolmannella kerralla Ramachandra sanoi jo suoraan, ettei uskonutRamanujanin itsekään tietävän mistä puhui. Poistuessaan Rajagopalacharinkanssa Ramanujan kertoi ystävälleen olleensa kirjeenvaihdossa bombaylaisenmatemaatikon, professori Saldhanan, kanssa. Saldhana oli todennut ettei pystyisi auttamaan Ramanujania, mutta hän olipitänyt useita Ramanujanin esittämiä kaavoja kiinnostavina. Saldhana eikuitenkaan katsonut voivansa asettaa arvovaltaansa alttiiksi henkilön puolesta,joka työskenteli niin eri alueilla kuin hän itse. Tämä riitti Rajagopalacharille: Saldhanan vastaus ainakin osoitti, ettei tämäpitänyt Ramanujania hulluna sekopäänä. He palasivat takaisin Ramachandranluo, joka oli vihainen nähdessään kaksikon niin pian uudelleen. NähtyäänRamanujanin Saldhanalta saamat kirjeet ja joitakin Ramanujanin helpomminymmärrettäviä tuloksia Ramachandra muutti mielensä. Myöhemmin Ramachandra kertoi, että Ramanujanin teoria hajaantuvistasarjoista sai hänet vakuuttuneeksi tämän kyvyistä. Niinpä hän kysyi mitäRamanujan oikeastaan häneltä halusi. Ramanujan vastasi haluavansatyöpaikan jolla pystyisi elättämään itsensä, mutta Ramachandra tulkitsimyöhemmin, että Ramanujan oli halunnut saada vapaa-aikaa, ruokaahengenpitimeksi, mutta ennen kaikkea vapaata aikaa voidakseen jatkaamatemaattisia päiväuniaan. Ramachandra Rao lähetti Ramanujanin takaisin Seshu Iyerin luo. Hän eitarjonnut työpaikkaa, koska se olisi ollut Ramanujanin kykyjen tuhlaamista.Sen sijaan hän sanoi aikovansa hakea Ramanujanille stipendiä, jonka hän voisisaada huolimatta tutkinnoissa reputtamisestaan. Mikä parasta, Ramachandralupasi maksaa Ramanujanin elannon Madrasissa, 25 rupiaa kuukaudessa. Ramanujanin asiat olivat nyt hyvin. Hänellä oli niukka mutta turvattutoimeentulo ja runsaasti aikaa perehtyä matematiikkaan. Lisäksi hänellä oliystäviä ympärillään. Vuosi 1911 oli myös sikäli hyvä vuosi Ramanujanille,

12

että hän sai julkaistuksi ensimmäisen artikkelinsa Journal of the Indian

Mathematical Societyssa. Journal of the Indian Mathematical Society julkaisi lukijoidensa viihteeksitehtäviä, joista numero 289 (JIMS 3; s. 90) oli Ramanujanin käsialaa:

“Laske

!

1+ 2 1+ 3 1+ ...”.

Lehden kolme seuraavaa numeroa ehti ilmestyä, kunnes Ramanujan esittelioman ratkaisunsa. (Mikäli joku lukijoista olisi esittänyt ratkaisun, lehti olisiluonnollisesti julkaissut sen. Nyt oli turvauduttava tekijän omaan ratkaisuun.) Samassa lehdessä myös tehtävä 283 (JIMS 3, s. 89) oli lähtöisinRamanujanilta:“Osoita, että on mahdollista ratkaista yhtälöt

!

x + y + z = a ,

!

px + qy + rz = b,

!

p2x + q

2y + r

2z = c,

!

p3x + q3y + r3z = d ,

!

p4x + q

4y + r

4z = e ,

!

p5x + q5y + r5z = f ,missä x,y,z,p,q,r ovat tuntemattomia. Ratkaise ylläoleva kun a=2, b=3, c=4,d=6, e=12 ja f=32.”

Myöhemmin Ramanujan yleisti edellä esitetyn yhtälöryhmän muotoon:

!

x1+ x

2+ ...+ x

n= a

1,

!

x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn = a2,

!

x1y12

+ x2y22

+ ...+ xnyn2

= a3 , . . .

!

x1y12n"1

+ x2y22n"1

+ ...+ xnyn2n"1

= a2n ,missä

!

x1,x

2,...,x

n ja

!

y1,y2,...,yn ovat 2n tuntematonta.

Ramanujanin ensimmäinen tieteellinen artikkeli käsitteli Bernoullin lukuja,

!

Bn,

!

n " 0 , jotka määritellään funktiolla

!

z

ez "1

=: Bn

n= 0

#

$z

n

n!, | z |< 2% .

Ensimmäiset Bernoullin luvut ovat

!

B0=1,

!

B1=

!

"1

2,

!

B2

=1

6,

!

B3

= 0,

!

B4

= "1

30,

!

B5

= 0,

!

B6

=1

42 jne.

Ramanujan oli työskennellyt Bernoullin lukujen parissa jo kahdeksan vuottaennen kuin artikkeli Some Properties of Bernoulli’s Numbers ilmestyi Journal

of the Indian Mathematical Societyssä, jossa se täytti 17 sivua. Lehdentoimituksella oli ongelmia käsikirjoituksen kanssa, koska Ramanujanin tapaesittää asioita ei ollut totuttu. Sen valitettiin olevan vajavainen “selkeyden jatäsmällisyyden” osalta. Toisin sanoen Ramanujanin tekstiä oli vaikea lukea.Hän myös sivuutti valtaosan todistuksista. Vuoden verran Ramanujan eli Ramachandra Raon avustusten turvin. Hän saisitten työpaikan Madrasissa tilitoimistosta, mutta sitä kesti vain muutamanviikon. Vihdoin helmikuussa 1912 Ramachandra Rao järjesti Ramanujanilletöitä Madrasin satamasäätiön tilitoimistosta. Säätiön johtajana toimi SirFrancis Spring, irlantilainen insinööri, jolla oli merkittävä osa eteläisen Intian

13

rautateiden rakentamisessa. Springillä oli apunaan intialainen Narayana Iyer,bramiinipapin poika, joka oli koulutukseltaan matemaatikko. NarayanaIyeristä tuli Ramanujanin esimies, mutta myös kollega ja ystävä. Iltaisin hetyöskentelivät yhdessä matematiikan parissa. Vaikka Narayana Iyer oli osaava matemaatikko, Indian MathematicalSocietyn jäsen ja monivuotinen rahastonhoitaja, hänellä oli vaikeuksia pysyäRamanujanin ajatuksenjuoksun tasalla. Ramanujan kun yhä hyppäsi enimpienvälivaiheiden yli. Narayana Iyerin joskus pyydettyä Ramanujaniakirjoittamaan välivaiheet näkyviin, tämä kysyi miksi niin piti tehdä. Eivätköne olleet ilmeisiä? Työssä satamasäätiössä Ramanujan oli kolmannen luokan ja neljännenasteen virkailija tiliosastolla. Hän ansaitsi 30 rupiaa kuussa. Säännöllisen tulonmyötä Ramanujanin tilanne oli muuttunut. Hän saattoi perustaa perheen myöskäytännössä. Niinpä vuoden 1912 lopulla Ramanujan ja hänen vaimonsaJanaki muuttivat yhteen. Tosin heidän kanssaan yhteen muuttivat myösRamanujanin äiti Komalatammal ja isoäiti Rangammal niin, ettei “nuoripari”vahingossakaan jäänyt kahden kesken. Tämä kaikki oli tuon ajan Intiassatavanomaista. Miniä oli enintään palvelijan asemassa omien lasten saamiseenasti. Sitäpaitsi Janaki oli vasta 13-vuotias muuttaessaan saman katon allemiehensä kanssa. Ramanujanin työ ei ollut niin vaativaa, ettei hän olisi voinut miettiämatematiikkaa työaikana. Ramachandra Rao sanoi myöhemmin järjestäneensäRamanujanille nimellisen työpaikan, mutta se ilmeisesti muuttui nimelliseksivasta ajan myötä. Ramanujanin keskittymistä yhä enemmän matemaattisiintutkimuksiinsa myös työaikana katsottiin läpi sormien. Viime kädessä SirFrancis Spring hyväksyi menettelyn. Hän myös auttoi Ramanujania saamaanyhteyden emämaan matemaattiseen eliittiin, ainoaan joka voisi arvostaa tämänkykyjä ja auttaa häntä kehittämään niitä edelleen. Ramanujanin arveltiin olevan jotakin poikkeuksellista, mutta ongelmana oli,ettei kukaan oikein osannut arvioida poikkeuksellisuuden laatua. Oliko hänvain nokkela laskutaituri, vai oliko hänen lahjakkuutensa todella merkittävää? Ramanujanin tukijat Ramachandra Rao ja Narayana Iyer puhuivatsuojattinsa puolesta. Ilmeisesti heidän aloitteestaan Charles Leopold TroyteGriffith, madrasilainen teknillisen korkeakoulun professori, kirjoitti FrancisSpringille kirjeen, jossa hän kehui Ramanujanin kykyjä, pyysi Sir Francisiapitämään nuoren neron palkkalistoillaan kunnes ilmaantuisi jotakin, jossaRamanujanin kyvyt pääsisivät oikeuksiinsa. Hän kertoi aikovansa kirjoittaaEnglantiin lontoolaiselle matemaatikolle Micaiah John Muller Hillille jaaikovansa lähettää Ramanujanin tutkimustuloksia hänen arvioitavakseen.Griffith totesi, että mikäli Ramanujanin kyvyt havaittaisiin hyviksi, hänentulisi saadaa aikaa ja varoja kirjallisuuden hankkimiseen. Ainakin siihen astikunnes Englannista kuuluisi jotakin. Griffith ei kuitenkaan itse varauksettasanonut Ramanujanin olevan nerokas matemaatikko, vaan kirjoitti ettei ollutvarma kannattiko Ramanujaniin satsata aikaa ja rahaa. Oli tyypillistä, etteivät edes Ramanujanin puolestapuhujat olleet valmiitmenemään takuuseen hänen puolestaan. Hänen työtään oli mahdotontaymmärtää, joten takaportti oli jätettävä auki sen varalta, että mitäänerinomaista ei löytyisikään. Francis Spring kääntyi madrasilaisenopetustoimen johtajan Alfred Gibbs Bournen puoleen saadakseenRamanujanille apua tunnustuksen saamiseen lahjakkaana matemaatikkona.

14

Pian tämän tapauksen jälkeen aateloitu Bourne antoi parin madrasilaisenmatemaatikon nimet ja kehotti Ramanujania käymään heidän puheillaan.Bourne totesi kuitenkin myös, että jos Ramanujanin nerous oli niinsaavuttamatonta, etteivät edes hyvät matemaatikot pystyneet sitä arvioimaan,vaikka kyseessä ei olisi heidän oma alansa, oli syytä epäillä oliko nerouttaolemassakaan. Ramanujan noudatti Bournen neuvoa ja kävi tapaamassa W. Grahamia,Madrasin pääkirjanpitäjää. Tämä kommentoi tapaamisessa saamiaanvaikutelmia kirjeessä myöhemmin: “En tiedä onko (Ramanujanissa) aineksiasuureksi matemaatikoksi vai ei. Hän antoi minulle vaikutelman älykkyydestä.”Myöhemmin hän vesitti lausuntoaan lisää: “...on mahdollista, että hänenaivonsa muistuttavat numeroilla temppuilijaa.” Numeroilla temppuilijallaGraham viittasi näytöksiin, jossa päässälaskutaiturit suorittivat nopeastimutkikkaita laskutoimituksia ymmärtämättä kuitenkaan kovin paljoamatematiikasta. Griffith kirjoitti Englantiin professori Hillille Ramanujanin puolesta. Hänmyös lähetti melkoisen joukon Ramanujanin tuloksia entisen opettajansaarvioitavaksi. Hill vastasi kirjeeseen usean viikon jälkeen. Hän ei ollut ehtinytkäydä läpi kirjeessä ollutta materiaalia kokonaan, mutta hän totesi joidenkinRamanujanin tulosten olevan selvästi virheellisiä. Hän suositteliRamanujanille Bromwichin teosta Theory of Infinite Series, koska Ramanujanoli esittänyt absurdeja tuloksia hajaantuvista sarjoista. Hill myös kehotti Ramanujania kiinnittämään erityistä huomiotakäsikirjoitustensa selkeyteen ja virheettömyyteen, ja olemaan käyttämättäsymboleja, joita ei selitä. Tällä hän viittasi Ramanujanin artikkeliin Bernoullinlukujen ominaisuuksista, jonka Griffith oli hänelle lähettänyt. Varsinaiseenkysymykseen siitä, oliko Ramanujanilla jotain poikkeuksellista tarjottavanamaailmalle, hän ei vastannut. Muutamaa päivää myöhemmin Hill kirjoitti uuden kirjeen Griffithille. Tälläkertaa sävy oli myönteisempi: Ramanujanissa oli selvästi ainesta. EdelleenHill kuitenkin toisti varoituksensa ja kehoituksensa tutustua Bromwichinteokseen. Hän myös totesi, että Ramanujanin virheet eivät vielä olleet olleettiedossa muutamaa vuosikymmentä aikaisemmin. Siksi oli ymmärrettävää,että vailla muodollista koulutusta työskentelevä Ramanujan oli sortunutjoihinkin sudenkuoppiin. Hän myös esitti toivomuksen, ettei Ramanujanmasentuisi saamastaan kritiikistä. Hillin viittaus virheellisiin sarjoihin oli ymmärrettävä sikälikin, ettähajaantuvia sarjoja pidettiin kummajaisina. Kirjoittihan norjalainenmatemaatikko Niels Henrik Abel (1802-29) vuonna 1828: “Hajaantuvat sarjatovat paholaisen keksintö, ja on häpeällistä perustaa niiden varaanminkäänlaista todistusta.” Hajaantuvia sarjoja oli kuitenkin käytetty joaikaisemmin. Jo Arkhimedes tunsi suppenemisen ja hajaantumisen ideat.Leibniz ja Euler leikittelivät toisinaan hajaantuvilla sarjoilla. Varsinaisesti Hillin torjuntaan oli syynä se, ettei hän tunnistanut seuraaviasarjoja:

!

1+ 2 + 3+ ...+" = #1

12,

!

12

+ 22

+ 32

+ ...+"2

= 0ja

15

!

13

+ 23

+ 33

+ ...+"3

=1

240.

Ramanujan ei ollut täsmentänyt mistä oli kysymys, joten yhtälöidenlaillisuutta tuskin saattoi olla epäilemättä. Nykyisin puhutaan Ramanujaninsummauksesta, ja edelliset yhtälöt kirjoitettaisiin hieman eri tavalla:

!

1+ 2 + 3+ ...= "1

12(#) ,

!

12

+ 22

+ 32

+ ...= 0("),

!

13

+ 23

+ 33

+ ...=1

240(").

Toinen mahdollinen tulkinta yllä oleville sarjoille on se, että ne edustavatRiemannin

!

"-funktion arvoja pisteissä –1, -2 ja –3:

!

"(s) = n#s

n=1

$

% .

Funktio on joskus määritelty vain kompleksiluvuille s, joiden reaaliosa onykköstä suurempi, mutta sen voi määritellä kaikille s!1, missä s onkompleksiluku.

Hillin näkemillä Ramanujanin summauksilla on myös yhteys edellämääriteltyihin Bernoullin lukuihin, sillä parillisten potenssien tapauksessa

!

1+ 22k

+ 32k

+ ...= 0("),ja parittomien potenssien tapauksessa

!

1+ 22k+1

+ 32k+1

+ ...= "B2k

2k(#) , missä

!

B2k

on Bernoullin luku.

Se, että Hill oli vaivautunut kirjoittamaan kaksi kirjettä, olituloksettomuudestaan huolimatta rohkaisevaa. Aivan turhasta ei tällaistapalautetta olisi tullut. Aikaisemmin Ramanujan itse ei ollut pitänyt tärkeänäsaada yhteyttä ulkomaailmaan, vaikka hänen ystävänsä olivat jo pitkääntodenneet, ettei Intiassa ollut ketään, joka olisi voinut auttaa häntä. Niinpäapua olisi haettava muualta. Hillin kirjeiden jälkeen Ramanujan kääntyi itse samalle kannalle. Hän alkoiitse lähettää kirjeitä Englantiin Narayana Iyerin, Sir Francis Springin ja SeshuIyerin avustamana. Ensin hän kirjoitti Cambridgen yliopistossa vaikuttaneelleHenry Frederick Bakerille, joka oli myös Lontoon matemaattisen seuranpuheenjohtaja. Kirjeen mukaan hän liitti valikoiman töitään. Voisiko Bakertarjota hänelle apua tai neuvoja? On epäselvää vastasiko Baker lainkaan, muttajoka tapauksessa vastaus oli ainakin implisiittisesti selvä ei. Seuraavaksi Ramanujan lähetti saman pyynnön, ja oheisti samantapaisenpaketin työnäytteitään, Ernest William Hobsonille, Cambridgen yliopistonmatematiikan professorille. Tulos oli jälleen sama: ei. Kolme kertaa yritys oli vetänyt vesiperän, mutta 16. tammikuuta 1913Ramanujan kirjoitti vielä yhden kirjeen, nyt Cambridgen yliopistossavaikuttavalle 35-vuotiaalle Harold Godfrey Hardylle, joka oli jo noussutbrittiläisten matemaatikkojen eturiviin. Hardy vastasi voivansa auttaaRamanujania.

16

4 Hardy

Godfrey Harold Hardy syntyi 7. helmikuuta 1877 Cranleigh’ssä, Englannissa.Hänen vanhempansa Isaac Hardy ja Sophia, s. Hall olivat opettajia. He olivatkumpikin lahjakkaita, mutta varojen puute oli estänyt heitä hakeutumastayliopisto-opintoihin. Myös Harold, kuten hänen kahta vuotta nuorempisisarensa Gertrude Edith häntä kutsui, oli lahjakas lapsi. Kahden vuodenikäisenä hän laski miljoonia. Hieman myöhemmin hän jakoi virsien numeroitatekijöihin käydessään kirkossa. Kirkossa käyminen ei muuten ollut Hardynmieleen, ja hänestä tuli vakaumuksellinen ateisti jo poikavuosinaan. Tämäsiitä huolimatta (tai sen tähden) että hänen vanhempansa olivat uskonnollisia,etenkin äiti. Vaikka Hardyn vanhemmat ansaitsivat niukasti, he pitivät huolta lastensamonipuolisesta sivistämisestä. Kirjat, joita lapset saivat luettavikseen, olivatklassikkoja. Cervantesin Don Quixote ja Jonathan Swiftin Gulliverin retket

olivat kirjoja, joita Harold luki pikkusiskolleen. Cranleigh College, jossa Isaac ja Sophia Hardy työskentelivät, oli pieni,mutta opetuksen tasossa sen ei tarvinnut hävetä. Ilmapiiriltään se vaikuttaaolleen miellyttävämpi kuin viktoriaanisen ajan koulut yleensä. Harold eiilmeisesti osallistunut koulun matematiikantunneille vaan sai yksityistäohjausta Cranleigh’n matematiikan opetuksesta vastanneelta Eustace ThomasClarkelta, joka oli ollut Cambridgen parhaita opiskelijoita, ‘wrangler’. Jokatapauksessa Harold oli kahdentoista vuoden iässä saanut kaiken, mitäCranleigh saattoi tarjota. Vuonna 1890 Hardy haki stipendiä Winchesteriin, jonka (myösmatematiikan) opetuksen tasoa pidettiin yhtenä Englannin parhaista elleiparhaana. Stipendit olivat vaikeita saada, sillä muutamaa paikkaa saattoi hakeatoista sataa poikaa. Hardy oli kuitenkin paras 102 hakijasta. Winchester oli perustettu 1300-luvulla, ja sillä oli perinteet, joita pidettiinarvossa. Kuri oli kova ja sitä pidettiin osin vanhempien oppilaiden, prefektien,voimin. Enemmän Hardya rasitti se, ettei hän päässyt koulunkrikettijoukkueeseen eikä saanut valmennusta pelissä. Jo Cranleigh’ssä Hardyoli ollut intohimoinen kriketti-aficionado. Hän oli kirjoittanutotteluselostuksen perustamaansa lehteen jo 8-vuotiaana. Hardy myös pelasi krikettiä hyvin. Valmennuksen puute kuitenkin esti häntäpääsemästä aivan huipputasolle. (Hardy oli muutoinkin hyvä urheilija.Kouluvuosinaan hän pelasi jalkapalloa, mutta pallohuonetennistä hän pelasilähes loppuun asti.) Pettymys krikettijoukkueesta putoamisen vuoksi vaikutti osaltaan Hardynsuhtautumiseen Winchesteriin vuosia myöhemmin. Hän ei koskaan vieraillutkoulussa tai osallistunut luokkakokouksiin. Winchesterin ruokavalioon viidestiviikossa kuulunutta lampaanlihaa Hardy ei pystynyt syömään pitkään aikaankoulun päätettyään. Winchesterissäkään Hardy ei osallistunut matematiikan tunneille. Häntyöskenteli yksityisesti George Richardsonin kanssa. Richardson oli opiskellutCambridgessä hyvällä menestyksellä, mutta hän ei ollut kiinnostunutopettamaan tavallisia oppilaita. Hän keskittyi ainoastaan parhaisiin oppilaisiin,

17

joihin Hardy kuului. Tämä voittikin 1893 koulun Duncanin palkinnonmatematiikassa. Hardy opiskeli Winchesterissä myös fysiikkaa (omin päin), luki innokkaastikirjallisuutta ja historiaa. Hän olisi siten voinut valita myös jonkin muun alanopintojensa aiheeksi. Hardy on kuitenkin itse kirjoittanut, että ryhtyminenmatemaatikoksi oli hänelle aina selvää. Lisäpontta suunnitelmalle antoi hänen 15-vuotiaana lukemansa A Fellow of

Trinity, salanimen Alan St. Aubyn (Frances Marshall) turvissa kirjoitettufiktio, jossa Flowers-niminen päähenkilö nimitetään Trinity Collegeen,Cambridgeen luennoijan, fellown, virkaan. Viran etuihin kuului teoksenmukaan oikeus nauttia saksanpähkinöitä ja portviiniä muiden oppineidenseurassa. Hardy kommentoi itse kirjan vaikutusta itseensä seuraavasti: “Flowers olikunnon mies (sikäli kuin ‘Alan St. Aubyn’ sellaisen osasi kuvata), mutta jopaminun kehittymätön ajatteluni kieltäytyi pitämästä häntä nokkelana. Jos hänpystyi tuollaiseen suoritukseen, miksen siis minäkin. Erityisesti varttuneidenopettajien oleskelutilan loppukohtaus kiehtoi minua suunnattomasti, jamatematiikka tarkoitti minulle fellown asemaa Trinityssä aina siihen hetkeen,kun sain sen.” Toisin kuin useimmat Winchesterin oppilaat, jotka hakeutuivat Oxfordiinopiskelemaan, Hardy pyrki Cambridgeen, jonne hän myös sai stipendin. Tämästipendi oli poikkeuksellinen saavutus jopa Winchesterin oppilaalle. Hardy kirjoittautui Cambridgen Trinity Collegeen 19-vuotiaana vuonna1896. Seuraavaksi hänellä oli edessään sen ajan Cambridgen matematiikanopiskelua leimannut vaativa kaksiosainen Tripos-koe. Kokeen tuloksenaopiskelijat rankattiin paremmuusjärjestykseen. Ykkönen, senior wrangler, tai kakkonen, second wrangler, saivatautomaattisesti fellown viran. Kymmenkunta parasta löysivät yleensä helpostityöpaikan yliopistossa. Wranglereiden jälkeen arvoasteikossa tulivatseniorioptimit ja juniorioptimit. Heikommin menestyneillä oli vaikeuksiavirkojen saamisessa, ja viimeiseksi jäänyt juniorioptimi ‘palkittiin’puulusikalla, joka itse asiassa oli kookas mallaslapio. Tripos-koe oli ollut olemassa 1730-luvulta lähtien, ja se oli aina ollut vaikea.Vaikeudet olivat kuitenkin lähinnä teknisiä, sillä kokeissa ei testattumatemaattista ajattelua tai luovuutta. Opiskelijat käyttivät apunaan maksullisiavalmentajia, jotka harjaannuttivat suojattinsa ratkaisemaan tehtäviä kelloavastaan. Aikaa matematiikan luennoilla käymiseen ei juuri jäänyt, eivätkäTripos-kokeeseen valmistautuvat opiskelijat välttämättä tunteneetprofessoreita edes ulkonäöltä. Hardy sijoittui neljänneksi kokeen ensimmäiseksi osioksi. Hän oli varmastipettynyt tulokseensa, sillä senior wranglerin arvonimen luisuminenulottumattomiin kismitti synnynnäistä kilpailijaa. Neljäs sija ei sinänsä ollutväheksyttävä saavutus, sillä Hardy osallistui kokeeseen toisenaopiskeluvuotenaan. Tavallisesti näin tehtiin kolmannen vuoden lopulla. Pientälohtua Hardylle toi kokeen toinen osa, jonka hän läpäisi parhaana vuonna1900, vuoden valmistumisensa jälkeen. Tripos-koe oli prosessina turhauttava Hardylle. Hänen valmentajansa R. R.Webb oli aikansa kuuluisin senior wranglereiden kouluttaja, mutta Hardyhavaitsi pian, ettei Webb ollut oikeasti kiinnostunut matematiikasta. Hänelleoli tärkeää vain oppilaidensa varoittaminen kokeessa mahdollisesti kysyttävien

18

koukkujen varalta. Hardy harkitsi jo matematiikasta luopumista — historiaolisi tarjonnut vaihtoehtoisen opintoalan, sillä Trinityyn pyrkiessään Hardy olikirjoittanut kiitosta saaneen historialliseen esseen. Epäröidessään mitä tehdä tulevaisuutensa kanssa Hardya kohtasionnenpotku: hän sai opettajakseen Augustus Edward Hough Loven. Tämäosoittautui käännekohdaksi Hardyn uralla. Itse hän kuvaa tapahtumaaMatemaatikon apologiassa näin: “Professori Love aukaisi silmäni. Hän opettiminua muutaman lukukauden ajan ja antoi minulle ensimmäiset vakavatdifferentiaali- ja integraalilaskentaa koskevat käsitykseni. Suurinkiitollisuudenvelkani hänelle, hänhän oli ennen kaikkea sovellettumatemaatikko, johtuu kuitenkin siitä, että hän neuvoi minua lukemaan(Camille) Jordanin maineikkaan Cours d’Analyse –teoksen. En milloinkaanunohda, miten tämä merkittävä teos hämmästytti minut. Kirja oli monensukupolveni matemaatikon ensimmäinen inspiroija ja opin vasta sitälukiessani, mitä matematiikka todella tarkoittaa. Se käynnisti kehityksenioikeaksi matemaatikoksi, jolla on järkevät matemaattiset tavoitteet ja aitointohimo matematiikkaan.” Vuonna 1900 Hardysta tuli Trinityn fellow. 1903 hän sai arvonimen M.A.(Master of Arts), joka tuolloin vastasi nykyistä tohtorin arvoa. Cambridgessätohtorin arvot otettiin käyttöön vasta I maailmansodan jälkeen. 1906 Hardynimitettiin luennoijaksi (lecturer) Trinityyn. Hän luennoi kuusi viikkotuntiayleensä analyysin alkeita tai funktioteoriaa. Enimmäkseen hän kuitenkin tekitutkimustyötä julkaisten ahkerasti. Pari vuotta myöhemmin Hardy olijulkaissut klassikoksi muodostuvan analyysin oppikirjan A Course of Pure

Mathematics. Vuonna 1910 Hardy sai arvonimen Fellow of the Royal Society, ehkäarvostetuimman ja tavoitelluimman brittiläisistä matemaatikoille tarjollaolleista kunnianosoituksista. Pian tämän jälkeen hän aloitti yhteistyön JohnEdensor Littlewoodin kanssa, josta oli tullut Trinityn fellow 1908. Hardyn jaLittlewoodin yhteiset julkaisut ilmestyivät niin tiheästi, että mannermaisissamatemaatikkopiireissä alkoi kiertää huhu, jonka mukaan Littlewood oliHardyn mielikuvituksen tuote, tarkoituksenaan kantaa syyt Hardyn virheistä. Saksalaisen matemaatikon Edmund Landaun kerrotaan matkustaneenEnglantiin vain saadakseen varmistuksen uskolleen, ettei Littlewoodia ollutolemassa. Paljon myöhemmin, vuonna 1947, tanskalainen matemaatikkoHarald Bohr kevensi luentoaan sanomalla: “Nykyään on vain kolme todellasuurta englantilaista matemaatikkoa: Hardy, Littlewood ja Hardy-Littlewood.” Hardyn tutkimukset keskittyivät analyysin ohella lukuteoriaan. Tärkeintä olikuitenkin uudistaa englantilaista matematiikkaa ja tuoda analyysiintäsmällisyyttä Jordanin tapaan. Hardy myös vaikutti Tripos-kokeistaluopumiseen Littlewoodin tuella. Hardy teki tutkimusta monella matematiikan alalla: sarjateoriassa,analyysissä ja lukuteoriassa. Hänen erityisiä kiinnostuksen aiheitaan olivatmm. hajaantuvat sarjat, Fourier-sarjat, Riemannin zeta-funktio ja alkulukujenjakautuminen. Yhdessä Littlewoodin ja Landaun kanssa Hardy yritti ratkaistaRiemannin hypoteesia siinä kuitenkaan onnistumatta. Ramanujanin kirjeen saapuessa Hardy oli 36-vuotias vaikka näytti paljonikäistään nuoremmalta. Harvojen valokuvien perusteella — Hardy inhosivalokuvaamista — hän oli hauskannäköinen mutta piti itseään rumana ja peittikaikki peilit myös hotellissa yöpyessään. Hän kuitenkin nautti elämästään, teki

19

työtä jota oli aina halunnut tehdä, pelasi tenniksen sukulaislajiapallohuonetennistä (real tennis), seurasi krikettiä, osallistui keskusteluihinTrinityn inspiroivassa ympäristössä mm. Bertrand Russellin kanssa. Hardyn huumorintajussa oli jotakin perin englantilaista. Kuuluisan kuudenuudenvuoden toivomuksen listansa hän lähetti alun perin postikortissa eräälleystävälleen 1920-luvulla: 1) Todista Riemannin hypoteesi, 2) tee 211 pistettäilman laittomia viimeisen testiottelun neljännellä sisävuorolla Ovalilla, 3)löydä Jumalan olemassaolon kiistävä perustelu, joka vakuuttaa suuren yleisön,4) ole ensimmäinen ihminen Mount Everestin huipulla, 5) tule julistetuksiIson-Britannian ja Saksan neuvostotasavaltojen liiton ensimmäiseksipresidentiksi, 6) murhaa Mussolini. Toinen kuvaava kasku Hardyn huumorista liittyi hänen vierailuunsa HaraldBohrin luona Tanskassa 1930-luvulla. Kun hänen oli palattava Englantiinlukukauden alussa, sää oli myrskyinen ja laiva, jolla hänen oli tarkoitus ylittääEnglannin kanaali, oli varsin heppoisen oloinen. Ennen laivaan astumistaHardy otti ‘vakuutuksen’: hän lähetti Bohrille postikortin, jossa luki “TodistinRiemannin hypoteesin. G.H. Hardy.” Laiva ei kuitenkaan sillä kertaa uponnut,joten hänen ei onnistunut hankkia kuolemattomuutta Riemannin hypoteesintodistajana. Vuonna 1912 Hardy oli julkaissut ensimmäisen yli sadasta yhteisestäartikkelista Littlewoodin kanssa: Some Problems in Diophantine

Approximation. Hän kirjoitti myöhemmin, että sekä Littlewood että etenkinRamanujan olivat häntä itseään parempia matemaatikkoja. Ramanujaninlahjakkuutta hän vertasi Euleriin ja Gaussiin, vaikka tällä ei ollutkaanedeltäjiensä koulutusta, eikä aikakaan ollut yhtä otollinen. Littlewood taas olitekninen virtuoosi, mutta Hardylla itsellään oli kyky kirjoittaa heidäntutkimustensa tulokset selkeään ja luettavaan muotoon. Tammikuussa 1913 posti toi Hardylle osoitetun paksun kirjekuoren Intiasta.Matemaatikon Apologian esipuheessa Hardyn ystävä, kirjailija Charles PercySnow kuvasi tapausta elävästi: “Eräänä vuoden 1913 aamuna Hardynaamiaispöydällä oli suuri, epäsiisti kirje, jossa oli intialaisia postimerkkejä.Sen avattuaan hän sai käteensä nuhjuisia papereita, joissa oli rivi rivin jälkeenepäenglantilaisella käsialalla kirjoitettuja matemaattisia symboleja. Hardyvilkaisi niitä ohimennen. Hän oli tuolloin 36-vuotias ja maailmankuulu matemaatikko, joten hän oli johavainnut, että maailmankuulut matemaatikot ovat epätavallisen alttiitakaheleiden lähettämälle postille. Hän oli tottunut saamaan käsikirjoituksiatuntemattomilta ja siihen, että niissä todisteltiin Siionin vanhimpain näkyjä taimiten Bacon oli sijoittanut salasanomia niinsanotun Shakespearen näytelmiin.Niinpä kirje lähinnä tympäisi Hardya. Hän vilkaisi kankealla englannillakirjoitettua, tuntemattoman intialaisen lähettämää kirjettä, jossa kysyttiinhänen mielipidettään mukana olevista matemaattisista keksinnöistä. Kirjeen pääosa näytti koostuvan teoreemoista, joista useimmat vaikuttivathurjilta ja fantastisilta, mutta muutama oli tuttu, ja kaikki esitettiinalkuperäistyönä. Niiden mukana ei ollut todistuksia. Hardy oli tympääntynyt,mutta myös ärtynyt. Kirje vaikutti erikoiselta väärennökseltä. Hän pani sensivuun ja jatkoi päivittäisiä rutiinejaan.” ... “Intialainen käsikirjoitus vaivasihäntä ... Hulluja teoreemoja, joita hän ei ollut nähnyt tai edes kuvitellutaikaisemmin. Nerokas väärennös? ... Palattuaan asunnolleen Trinityyn hän

20

tutki käsikirjoitusta uudelleen. Hän lähetti sanan Littlewoodille: ... heidän olikeskusteltava päivällisen jälkeen.” Yhdeksän aikaan illalla Hardy ja Littlewood olivat aloittaneetkäsikirjoituksen tutkimisen, ja ennen puoltayötä he olivat varmoja siitä, ettäkirjeen lähettäjä oli matemaattinen nero. Hardy päätti, että Ramanujan pitisaada tulemaan Englantiin. Seuraavana päivänä hän alkoi järjestellä asiaa.

5 Lähtö Englantiin

S. Ramanujan G.H. Hardylle, Madras 16. tammikuuta 1913:“Hyvä herra,pyydän esittäytyä Madrasin satamasäätiön tiliosaston virkailijana, jokaansaitsee vuodessa 20 puntaa. Olen nyt noin 23 vuoden ikäinen. Minulla ei oleyliopistollista koulutusta, mutta olen suorittanut tavanomaiset kouluopinnot.Koulun päätettyäni olen käyttänyt vapaa-aikani matematiikan parissatyöskentelemiseen. En ole seurannut yliopistokurssien tavanomaista kulkua,vaan olen etsinyt uusia teitä. Olen tutkinut hajaantuvia sarjoja yleisesti.Paikalliset matemaatikot kuvailevat saavuttamiani tuloksia ‘järisyttäviksi.’ Kuten alkeismatematiikassa annetaan merkitys

!

an:lle, kun n saa negatiivisia

ja murtolukuarvoja, mukailemaan sääntöä, joka pätee positiivisillekokonaisluvuille, samoin koko tutkimukseni pyrkii antamaan Eulerin toiselleintegraalille merkityksen kaikilla n:n arvoilla. Yliopistossa opiskelleet

ystäväni kertovat minulle, että

!

xn"1

0

#

$ e"xdx = %(n)pätee vain kun n on

positiivinen. Heidän mukaansa tämä integraaliyhtälö ei päde negatiivisilla n:narvoilla. Olettaen tämän olevan totta ainoastaan n:n positiivisilla arvoilla jamyös olettaen määritelmän

!

n"(n) = "(n +1) olevan yleisesti tosi olen antanutmerkityksen näille integraaleille. Väitän, että näiden ehtojen pätiessä integraali on tosi myös kaikilla n:nnegatiivisilla ja murtolukuarvoilla. Koko tutkimukseni perustuu tähän, ja olenkehitellyt tätä niin pitkälle, etteivät paikalliset matemaatikot pystyymmärtämään korkealentoisia ajatuksiani. Äskettäin sain käsiini julkaisemanne kirjoituksen Orders of Infinity, jonkasivulta 36 löysin väitteen, jonka mukaan annettua lukua pienempienalkulukujen määrälle ei ole olemassa eksplisiittistä lauseketta. Olen löytänytkaavan, joka hyvin tarkasti approksimoi oikeaa tulosta. Virhe on häviävänpieni. Pyytäisin Teitä käymään läpi oheiset paperit. Olen köyhä, mutta josolette vakuuttuneet niillä olevan jotakin arvoa, haluaisin saada teoreemanijulkaistua. En ole kirjoittanut tutkimusteni tarkkaa kulkua enkä ainakaavojakaan, mutta olen hahmotellut suuntaviivoja, joita myöten olen edennyt.Koska olen kokematon, arvostaisin erittäin suuresti mitä tahansa neuvoa,jonka voitte minulle antaa. Pyydän anteeksi vaivaa, jonka täten aiheutanTeille.

Kunnioittavasti TeidänS. Ramanujan

21

P.S. Osoitteeni on S. Ramanujan, Satamasäätiön tilivirasto, Madras, Intia.” Kirjeen liitteenä oli runsaasti matemaattisia tuloksia, joista integraaleja koskiesimerkiksi seuraava tulos:

!

1

1+x

a

"

# $ %

& '

2"

# $ $

%

& ' ' 1+

x

a +1

"

# $

%

& '

2"

# $ $

%

& ' ' 1+

x

a + 2

"

# $

%

& '

2"

# $ $

%

& ' ' ...

0

(

)dx

1+x

b

"

# $ %

& '

2"

# $ $

%

& ' ' 1+

x

b +1

"

# $

%

& '

2"

# $ $

%

& ' ' ...

=

!

"

2

#(a +1

2)

#(a)

#(b +1

2)

#(b)

#(a + b)

#(a + b +1

2)

.

Sarjateoriasta Ramanujanin papereissa oli mm. seuraavat tulokset:

!

1" 51

2

#

$ % &

' (

3

+ 91) 3

2 ) 4

#

$ %

&

' (

3

" ... = 2

*, ja

!

113

e2"#1

+2

13

e4"#1

+3

13

e6"#1

+ ...= 1

24.

Kirjeen hajaantuvia sarjoja koskevista tuloksia edustaa seuraava identiteetti:

!

1" 2 + 3" 4 + ...=1

4.

Ketjumurtolukujen tuloksista kirjeessä oli myös seuraava:

Jos

!

u =x

1 +

x5

1 +

x10

1 +

x15

1 +

x20

1 + " " " ja

!

v =x

5

1 +

x

1 +

x2

1 +

x3

1 + " " ", niin

!

v5

= u1" 2u + 4u

2" 3u

3+ u

4

1+ 3u + 4u2

+ 2u3

+ u4

.

Kaiken kaikkiaan kirjeen liitteenä oleva materiaali tarjosi paljonpureskeltavaa Hardylle ja Littlewoodille — ja muillekin englantilaisillematemaatikoille vielä vuosiksi eteenpäin. Itse kirjeessä Ramanujan kirjoittiolevansa noin 23 vuoden ikäinen, kun hän oli jo täyttänyt 25 vuotta. On epäilty, että Ramanujan olisi tietoisesti halunnut kertoa ikänsä todellistanuoremmaksi saadakseen osakseen suopeamman kohtelun. Berndtin jaRankinin mukaan on kuitenkin luultavaa, että Ramanujan joko unohti oikeanikänsä tai teki kirjoitusvirheen. Intiassa syntymäaikojen kirjaamisella ei ollutsamaa merkitystä kuin Euroopassa. Osa tuloksista, kuten edellä mainittu ketjumurtolukujen välinen yhtälö, olituoreeltaan Hardylle liian kova pala. Hän luokitteli sen niihin Ramanujaninteoreemoihin, “jotka kävivät yli ymmärrykseni; en ollut ennen nähnyt mitäänvastaavaa. Yksi vilkaisu niihin riitti osoittamaan, että niiden täytyi ollahuippuluokan matemaatikon kirjoittamia.” ... ”Niiden täytyi olla tosia, koskajos ne eivät sitä olisi, kenenkään mielikuvitus ei riittäisi keksimään niitä.” Mitä enemmän Hardy ja Littlewood paneutuivat kirjeen sisältämäänmateriaaliin, sitä enemmän he hämmentyivät. Hardy rankkasi kirjeenmyöhemmin “merkillisimmäksi minkä oli koskaan saanut”, ja sen lähettäjän“huippuluokan matemaatikoksi, kertakaikkisen poikkeuksellisenomintakeiseksi ja kyvykkääksi mieheksi.” Ramanujanin kirje aiheutti Cambridgessa sensaation. Hardy näytti sitäympäriinsä ja lähetti Ramanujanin tuloksia eri alojen asiantuntijoidennähtäväksi ja arvioitavaksi. Tässä tohinassa itse kirjekuori, ja sen mukana yksisivu Ramanujanin matematiikkaa, katosi.

22

Hardy kuvasi myöhemmin ‘Ramanujanin keksimistä’ elämänsä ainoaksiromanttiseksi tapahtumaksi. Kirje olikin saanut hänet ripeästi liikkeelle. Häninformoi siirtomaan asioista Lontoossa vastaavaa India Officeakiinnostuksestaan Ramanujaniin ja toiveestaan saada hänet Cambridgeen. Hänkirjoitti vastauskirjeen Ramanujanille vasta 8. helmikuuta:

“Trinity College, Cambridge, 8. helmikuuta 1913Hyvä herra,Kirjeenne ja teoreemanne saivat minut äärimmäisen kiinnostuneeksi...” Hardy nosti kuitenkin kissan heti pöydälle: “Teidän tulee kuitenkinymmärtää, että ennenkuin voin kunnolla arvioida työnne merkitystä, minun onvälttämättä nähtävä joidenkin väitteidenne todistukset.” Kirjeessä sama aihetoistui yhä uudelleen: “Erityisesti haluan nähdä näiden väitteidennetodistukset. Ymmärrätte varmaan, että tässä teoriassa kaikki riippuutodistuksen tinkimättömästä tarkkuudesta.” tai “olettaen todistustenne olevanaukottomia...” tai “Tietenkin kaikissa näissä kysymyksissä kaikki riippuuehdottomasta tarkkuudesta.” Hardy pyrki olemaan kannustava. Vaikka osa Ramanujanin tuloksista olilöydetty jo aikaisemmin, Hardy löysi niistäkin hyvää: “Minun ei tarvinnesanoa, että jos se mitä kerrotte muodollisen koulutuksenne puutteista, onymmärrettävä kirjaimellisesti, niin se seikka, että olette (uudelleen) keksineetnäin mielenkiintoisia tuloksia, on pelkästään kunniaksenne.”

Littlewood oli myös löytänyt Ramanujanin aineistosta paljon itseäänkiinnostavaa. Hardy liittikin kirjeeseen Littlewoodin ehdottamiahuomautuksia, joista monet liittyivät Ramanujanin alkulukuja koskevaantyöhön. Kanigelin mukaan Littlewood oli vähän aikaa aiemmin tehnythämmästyttävän Alkulukulausetta koskevan havainnon. Tämä julkaistiin vastavuotta myöhemmin, 1914. Littlewoodin tulos:

Li(x)-"(x) vaihtaa merkkiä positiivisestanegatiiviseen ja takaisin äärettömän monta kertaa.

Tässä "(x) tarkoittaa lukua x pienempien tai yhtäsuurten alkulukujenmäärää. Alkulukulause on seuraava:

"(N)~N/ln Neli "(N) lähestyy N:n kasvaessa asymptoottisesti lukua N/ln N.

Li(x) symboloi logaritmista integraalifunktiota

!

dt

lnt0

x

" . (Se määritellään

joskus muodossa

!

dt

lnt2

x

" , jolloin vältytään käsittelemästä häiriötä, jonka arvo

t=1 aiheuttaa.) Li(N)~"(N), ja approksimaatio on parempi kuinAlkulukulauseella. Pienillä (ja melko suurillakin) N:n arvoilla erotus Li(N) -"(N) on aina positiivinen. “Littlewoodin rikkomukseksi” kutsuttu tulos oliaikanaan sensaatio, vaikka edelleen on epäselvää kuinka korkealle on mentäväensimmäisen rikkomuksen löytämiseksi. (Carter Bays ja Richard Hudson ovat

23

vuonna 2000 osoittaneet, että luvun

!

1,39822 "10316 läheisyydessä on

Littlewoodin rikkomuksia.) Hardy pyysi Ramanujania lähettämään alkulukujen määrää koskevankaavansa ja ‘mahdollisimman täydellisen todistuksen niin pian kuinmahdollista’. Ramanujan sai Hardyn kirjeen ilmeisesti helmikuun kolmannen viikonlopulla. Hän oli kuitenkin jo saanut tiedon siitä, että Hardy suhtautui hänentyöhönsä myönteisesti, sillä India Office oli reagoinut nopeasti. Jo 3.helmikuuta sieltä oli kirjoitettu Madrasiin, ja Arthur Davies, intialaistenopiskelijoiden neuvontakomitean sihteeri Madrasissa, tapasi Ramanujaninvielä helmikuun aikana. Paikalla oli Sir Francis Springin käskystä myösNarayana Iyer. Davies välitti Hardyn toiveen saada Ramanujan Cambridgeen. Olisi luullut Ramanujanin valmistautuvan matkaan innokkaasti. Sen sijaanhän ilmoitti jäävänsä Intiaan. Bramiinit eivät uskonnollisista syistä voineetlähteä näin pitkälle merimatkalle. Sitäpaitsi Ramanujan oli jo saanut sen mitäoli halunnutkin: arvostusta ja ensiluokkaisen matemaatikon puoltolauseen. Ramanujanin taustajoukot eivät kuitenkaan vielä luovuttaneet. Simlassasijainneen Intian meteorologisen instituutin johtaja Gilbert Walker, joka itseoli ‘senior wrangler’ ja entinen Trinityn luennoija, vieraili Madrasissa, jolloinSir Francis Spring pyysi häntä tutustumaan Ramanujanin muistikirjoihin. Walker kirjoitti Madrasin yliopistolle kirjeen 26. helmikuuta, jossa hän pyysitukea Ramanujanille: “... Näkemäni työn luonne oli vaikuttavaaalkuperäisyydessään, sikäli kuin pystyn sitä arvioimaan Cambridge Collegenmatematiikan fellown näkökulmasta. Kuitenkin, kuten näissä oloissa saattaaodottaa, siitä näyttää puuttuvan täydellisyyttä ja täsmällisyyttä, joka olisivälttämätön jotta tulosten yleinen pätevyys voitaisiin hyväksyä. En ole perehtynyt puhtaan matematiikan aloihin, joilla hän on työskennellyt,enkä siksi ole pätevä muodostamaan luotettavaa arviota hänen kyvyistään,mikä olisi tarpeen hänen mainettaan varten Euroopassa. Minulle oli kuitenkintäysin selvää, että yliopiston olisi perusteltua auttaa Ramanujaniakeskittymään täysipäiväisesti matematiikkaan ainakin muutaman vuoden ajanilman huolta toimeentulostaan...” Walkerin kirje tuotti tulosta, sillä 13. maaliskuuta Teknillisen korkeakoulunmatematiikan professori B. Hanumantha Rao kutsui Narayana Iyerin“matematiikan opintojen lautakunnan” kokoukseen keskustelemaan “mitävoisimme tehdä Ramanujanin hyväksi.” 19. maaliskuuta lautakunta kokoontuija päätti ehdottaa korkeakoulua hallinnoivalle edustajistolle, että Ramanujansaisi tutkimusstipendin, 75 rupiaa kuussa kahden vuoden ajaksi. Ehdotettusumma oli yli kaksinkertainen Satamasäätiön maksamaan palkkaan verrattuna. Stipendi ei kuitenkaan ollut läpihuutojuttu, kun edustajiston oli määräpäättää asiasta 7. huhtikuuta. Nämä stipendit oli tarkoitettu loppututkinnonsuorittaneille maistereille, eikä Ramanujan ollut suorittanut edes kandidaatintutkintoa. Ramanujanin tie näytti nousevan pystyyn, kunnes edustajistonvarakansleri P. R. Sundaram Iyer, Madrasin korkeimman oikeuden tuomari,tiedusteli eikö korkeakoulun tehtävänä ollut edistää tutkimusta? Tämä riittistipendin myöntämiseen. Tällä välin Ramanujan oli vastannut Hardyn kirjeeseen. Kanigel kuvaakirjeen sävyä itserakkaaksi eikä millään tavalla nöyräksi. NöyryydestäRamanujania ei tosi päästy syyttämään myöhemminkään.

24

S. Ramanujan G. H. Hardylle, Madrasin satamasäätiön tilivirasto, 27.helmikuuta 1913.“Hyvä herra,kiitollisuus valtasi minut tutkittuani 8. helmikuuta 1913 päivätyn kirjeenne.Olin odottanut samantapaista vastausta, jonka sain lontoolaiselta matematiikanprofessorilta, joka kehotti minua huolellisesti tutkimaan Bromwichin teostapäättymättömistä sarjoista etten putoaisi hajaantuvien sarjojen sudenkuoppiin.Teissä olen löytänyt ystävän, joka arvioi työtäni myönteisesti. Jo tämärohkaisee minua jatkamaan valitsemallani linjalla. Kirjeessänne toistatte moneen otteeseen, että vaaditaan täsmällisiätodistuksia jne. Pyysitte myös minua kertomaan todistusmetodini. Jos olisinkertonut todistusmetodini, olen varma, että olisitte seurannut lontoolaisenprofessorin esimerkkiä. Tosiasiassa en lähettänyt hänelle lainkaan todistuksia,vaan esitin joitakin uuden teoriani esiin tuomia väitteitä. Kerroin hänelle, ettäteoriani mukaan seuraavan päättymättömän sarjan 1+2+3+4+... summa on

!

"1

12. Jos kerron Teille tämän, olette heti valmis passittamaan minut

hullujenhuoneeseen. Käsittelen tätä asiaa näin laajalti vakuuttaakseni Teidät siitä, etten pystyhahmottelemaan ajatuksieni suuntaviivoja yhdessä kirjeessä niin tarkasti, ettäpystyisitte seuraamaan todistusmetodejani. Saatatte kysyä, kuinka voidaanhyväksyä tulokset, jotka pohjaavat vääriin premisseihin. Voin kertoa Teille seuraavaa: Todentakaa lähettämäni tulokset ja, jos nesopivat yhteen Teidän tulostenne kanssa, jotka olette saaneet seuraamallanykypäivän matematiikan totuttuja keinoja, voitte ainakin myöntää minunrakennelmani perustan sisältävän joitakin totuuksia. Se mitä haluan tällä erää,on että kaltaisenne huomattavat professorit havaitsevat minussa jotakin arvoa.Olen jo puolittain nälkiintyvä mies. Säilyttääkseni aivoni tarvitsen ruokaa.Tämä on nyt tärkein huolenaiheeni. Mikä tahansa ymmärtävä kirje Teiltäauttaisi minua saamaan stipendin joko yliopistolta tai hallitukselta.” ... “Tuomitsette ehkä minut ankarasti sen johdosta, että olen vaiteliastodistusmetodieni suhteen. Minun täytyy painottaa uudelleen, että minutvoidaan ymmärtää väärin, jos kuvaan käyttämiäni etenemistapoja lyhyesti.Kyse ei ole haluttomuudestani vaan pelosta etten pystyisi selostamaan kaikkeakirjeessä. En halua että metodit menevät hautaan kanssani. Julkaisen ne, joskaltaisenne huomattavat miehet hyväksyvät ne. Pyydätte minua lähettämään kaavan, joka minulla on annettua numeroapienempien alkulukujen määrästä.1. Lukua

!

ea pienempien alkulukujen määrä

!

=a

x dx

xSx +1"(x +1)0

#

$ ,

missä

!

Sx+1 =

1

1x+1

+1

2x+1

+1

3x+1

+1

4x+1

+ ... .

(Ramanujan käytti merkintää

!

Sx kuvaamaan Riemannin zeta-funktiota.)

2. Lukua n pienempien alkulukujen määrä = ...” Kirje sisälsi kaikkiaan 23 sivua matemaattisia tuloksia, jotka edelleenkasvattivat Hardyn ja Littlewoodin halua saada Ramanujan tulemaanEnglantiin. Juuri alkulukujen määrää koskevissa tuloksissa Ramanujan oli

25

kuitenkin tehnyt virheitä, jotka Littlewood löysi nopeasti. Olihan hän juuritutkinut samoja asioita. Stipendin saaminen oli muuttanut Ramanujanin elämää ratkaisevastiparempaan suuntaan. Hänen varansa riittivät nyt Janakin, Komalatammalin jaKomalatammalin äidin elättämiseen väljemmissä oloissa HanumantharayanKoil Streetin varrella olevassa talossa, jossa Ramanujanilla oli oma työhuone.Hänen ei tarvinnut tehdä muuta kuin paneutua matematiikkaan, ja kirjoittaaraportti edistymisestään kolmen kuukauden välein. Hän raportoikintäsmällisesti kolmesti vuoden 1913 jälki- ja vuoden 1914 alkupuoliskolla. Ramanujan teki paljon yhteistyötä Narayana Iyerin kanssa, joka ei enää olluthänen pomonsa vaan kollega. Työ sujui usein parhaiten öisin, jolloin oliviileämpää. Matemaattista kirjallisuutta Ramanujan sai lainata lähellä asuvaltatilastotieteilijältä, K. B. Madhavalta. Myös Connemara Library –kirjasto toimiajoin Ramanujanin työtilana. Varsinaista perhe-elämää Ramanujan ei viettänyt, sillä Janaki oli vasta 14-vuotias. Lisäksi heidän päivärytminsä sivusivat toisiaan huonosti, silläRamanujan työskenteli öisin. Perheen naiset huolehtivat kuitenkinruokapuolesta ja muusta huollosta. Matematiikasta he eivät ymmärtäneetmitään, vaikka Janaki joskus virkisti Ramanujanin muistia viittaamalla asiaan,jota tämä “työsti ennen ruokailua.” Hardyn ja Ramanujanin kirjeenvaihdossa Hardy penäsi täsmällisiätodistuksia, kun taas Ramanujan keksi verukkeita ollakseen niitätoimittamatta. Lopulta Hardy otti puheeksi asian, jonka hän arveli olevansyynä Ramanujanin penseyteen todistamisessa: “... Olen näyttänyt kirjeenneherra Littlewoodille, tri Barnesille, herra Berrylle ja muille matemaatikoille.On varmasti ilmeistä, että jos yrittäisin käyttää tuloksianne laittomasti hyväksi,mikään ei olisi Teille helpompaa kuin paljastamiseni. Antanette, olen siitävarma, anteeksi suorapuheisuuteni. En toimisi näin, ellen aidon kiihkeästihaluaisi tarjota Teille parempaa tilaisuutta käyttää ilmeisiä matemaattisialahjojanne.” Ramanujan loukkaantui ja vastasi Hardylle yhtä suorapuheisesti: “Minuunkoski lukiessani mitä olitte kirjoittanut herra Littlewoodin ehdotuksesta. Enole lainkaan levoton siitä, että muut käyttäisivät metodiani. Päinvastoin,metodi on ollut käytössäni jo kahdeksan vuotta, enkä ole vielä tavannutketään, jota se olisi kiinnostanut. Kuten kirjoitin edellisessä kirjeessäni, olenTeissä löytänyt ymmärtävän ystävän, ja olen valmis varauksetta luovuttamaankäyttöönne sen vähän mitä minulla on.” Tällä välin Ramanujanista oli Madrasissa tullut “julkkis,” jonka kotiaihmiset virtasivat töllistelemään. Professorit päivittelivät opiskelijoille, kuinkaRamanujan oli saavuttanut tällaisen “intellektuellin aseman ilman apuaopettajilta tai kirjallisuudelta.” Syyskuussa 1913 Narayana Iyer toimitti Journal of the Indian Mathematical

Societyyn joitakin sarjojen summausta koskevia teoreemoja. Kesällä Ramanujan oli tutkinut myös määrättyjä integraaleja, joista syntyitulos, jota myöhemmin kutsuttiin ‘Ramanujan’s Master Theoremiksi.’Syksyllä hän yleisti Frullanin integraalin, josta Hardy oli kirjoittanut artikkelinjo 11 vuotta aikaisemmin. Ramanujan yritti nyt myös tyydyttää Hardyn ja Littlewoodin halua saadatodistuksia, mutta myöhemmin useista hänen todistuksistaan löytyi aukkoja,

26

vaikka itse väitteet pitivät paikkansa. Kirjeenvaihto oli kuitenkin harventunut,sillä myös Hardy saattoi odotuttaa vastaustaan kuukausien ajan. Vihdoin tammikuussa 1914 Ramanujan sai jälleen kirjeen Hardylta. Kirjeenensimmäinen sivu on ilmeisesti kadonnut, mutta se on luultavasti kirjoitettujouluaattona 1913. Se mitä on jäljellä alkaa seuraavasti: ...“kerronjohtopäätokseni heti: (i) Todistuksenne hahmotelma on liian epätäydellinen,jotta voisin luottavaisesti lausua siitä mielipiteeni. Se näyttää kuitenkinoikealta ja on mielestäni erinomainen saavutus. Jos lähetätte minullehuolellisesti kirjoitetun (siten että sitä on helppo seurata) todistuksen, yritän(edellyttäen että voin hyväksyä sen — mistä olen lähes varma) saada senjulkaistuksi nimissänne Englannissa. Kirjoittakaa se artikkeliksi seuraavaan

muotoon ‘Ketjumurtoluvusta

!

1

1+

1

x +

1

x2

+ """

, josta esitetään täydellinen

todistus mitä huomattavimmasta pääteoreemasta, nimittäin siitä että

ketjumurtoluku voidaan esittää äärellisellä määrällä termejä, kun

!

x = e"# n ,

Missä n on rationaaliluku. (ii) Mitä tulee alkulukuja koskevaan työhönne, tulos on varmastikin väärä.Tästä ei ole mitään epäilystä. Tunnetaan tuloksia, jotka ovat ristiriidassaTeidän tuloksenne kanssa. Olkoon

!

"(x) = alkulukujen määrä <x, ja

!

li x =dx

log x

x

" . Sanotte

!

"(x) = li x #1

2li x #

1

3li x3 ..., mutta se ei pidä

paikkaansa. Ensimmäisen approksimaation li x:lle todistivat 1896 Hadamardja de la Valleé-Poussin. Tähän asti tulos pitää paikkansa. On kuitenkin

todistettu, että

!

"(x) # li x #1

2li x on toisinaan (äärettömän usein kun x

lähestyy

!

":tä) vähintään kokoluokkaa (itse asiassa suurempi kuin)

!

li x tai

!

x

log x, eikä, kuten tuloksenne mukaan, kokoluokkaa

!

x3

log x. Täten tuloksenne

täytyy olla väärä. Myös todistelunne on epätervettä useissa kohdin...”

Hardy esitti vielä lisää kohtia, joissa Ramanujan oli erehtynyt, mutta kirjeenloppuun hän sijoitti varsinaisen asiansa: “Pyrkikää tekemään tuttavuutta herraE.H. Nevillen kanssa, joka on parhaillaan Madrasissa luennoimassa. Hän tuleeminun Collegestani ja saattaisitte hyötyä suuresti hänen neuvoistaan...” Hardyn kirjoittaessa kirjettä Eric Harold Neville ei ollut vielä Madrasissa,jonne hän saapui vuodenvaihteen aikoihin tarkoituksenaan pitää 5.tammikuuta ja 7. helmikuuta välisenä aikana luentoja Madrasin PresidencyCollegessa. Luennot oli jaoteltu siten, että niistä saattoi seurata vain osan.Kaksi luentoa käsitteli reaali- ja kompleksilukuja The Nature of Real and

Complex Numbers, kaksi differentiaaligeometriaa. Loppuosan otsikko oliMoving Axes and Differential Geometry, aiheenaan Nevillen omattutkimukset. Neville (1889-1961) saapui opiskelemaan Trinityyn 1907, ja hänestä tuli‘second wrangler’ Tripos-kokeessa 1909. Fellow’n arvon hän sai 1911, muttamääräaikaista pestiä ei uusittu. Neville itse arveli syyksi pasifistisiamielipiteitään, sillä pasifismi oli aiheuttanut vaikeuksia Cambridgessä myösBertrand Russellille. Vuodesta 1919 vuoteen 1954 Nevillellä oli professuuriUniversity College of Readingissä. Saapuessaan Madrasiin hän oli 25-vuotias,siis hieman Ramanujania nuorempi. Nevilleä pidettiin lupaavana

27

matemaatikkona, vaikka Hardy tavoilleen uskollisena arvioi myöhemmin, etteihän ollut koskaan tehnyt ‘mitään erityisen sykähdyttävää.’ Ramanujan esiteltiin Nevillelle tammikuun alkupäivinä erään Nevillenluennon jälkeen. Neville kuvasi myöhemmin ensivaikutelmiaan tapaamisesta:“(Ramanujan) ei ollut Ramachandra Raon kuvaama kömpelö, epäsiisti hahmo,vaan ujo ja innokas.” Arviot Ramanujanin puutteellisista englannintaidoistaNeville kumosi jyrkästi: “Kymmenen vuotta on tehnyt ihmeitä, sillä en oleuseinkaan tavannut puhujaa, joka olisi sujuvampi tai yhtä laajallasanavarastolla varustettu.” Neville voitti nopeasti Ramanujanin luottamuksen, sillä jo heidänkolmannen tapaamisensa jälkeen hän tarjosi muistikirjaansa lainaksiNevillelle, jotta tämä saattaisi tutustua siihen kaikessa rauhassa. VihdoinNeville pääsi varsinaiseen asiaansa, kysymään tulisiko Ramanujan Englantiin.Ilokseen ja hämmästyksekseen hän kuuli, että Ramanujan oli itse halukastulemaan, ja etteivät hänen vanhempansakaan enää vastustaneet matkaa. Nevillelle kerrotun tarinan mukaan Ramanujanin perhejumala, NamakkalinNamagiri, oli unessa ilmestynyt äiti-Komalatammalille. Äiti oli nähnytRamanujanin europpalaisten ympäröimänä, ja Namagiri oli käskenyt hänenolla asettumatta poikansa ja tämän elämäntehtävän täyttämisen väliin. Toistentarinoiden mukaan Ramanujan olisi itse nähnyt enneunen vieraillessaanNamagirin temppelissä Namakkalissa vuoden 1913 lopulla. Niin tai näin,suurin este matkan tieltä oli raivattu. Ramanujanin tapana oli hieman taivutella tosiasioita omaksi edukseen.Niinpä hän kirjeessään Hardylle 22. tammikuuta 1914 esitti hämmästynyttä:“Hyvä herra,olen vastaanottanut 24. joulukuuta päivätyn ystävällisen kirjeenne. Olenkäynyt huolellisesti läpi arvokkaat huomautuksenne, ja tämän kirjeen loppuunolen kirjoittanut joitakin tekemiäni korjauksia ystävällistä arviotanne varten.Sain kirjeestänne ja herra Nevilleltä tietää, että haluaisitte minun matkustavanCambridgeen. Jos olisitte kirjoittaneet tästä minulle aiemmin, olisin selostanutTeille ajatukseni. Helmikuussa 1913, ollessani töissä satamasyndikaatissa,Madrasin opiskelijoiden neuvontakomitean sihteeri kirjoitti minulle, että herraMallet (Charles Edward Mallet, 1862-1947) India Officesta halusi tavataminut seuraavana päivänä. Satamasyndikaatin johtaja käski esimieheni tullamukaani ja vastata hänen kysymyksiinsä. Niinpä seuraavana päivän menimmetapaamaan häntä. Hän kysyi olinko valmis lähtemään Englantiin. Epäröin jamietin mitä vastaisin, sillä arvelin että minun pitäisi ehkä osallistua johonkinkokeeseen, koska koulutukseni on hyvin puutteellinen. Olin myös tavannutopiskelijoita, jotka lähtivät Englantiin vain joutuakseen johonkin kokeeseen.Tällä välin esimieheni, joka on hurskas bramiini, ja jolla on varauksiaulkomaille matkustamista koskien, vastasi heti etten minä voinut matkustaaEnglantiin. Siihen asia jäi.”... Kun matkustushalukkuus oli selvitetty, Neville otti esiin Ramanujanin muutepäilyksen aiheet. Mistä saataisiin matkarahat ja varat Englannissa elämiseen?Ei huolta, rahat järjestyisivät kyllä, Neville lupasi. Entä Ramanujaninenglannintaito? Täysin riittävä. Kasvisruokavalio? Järjestettäisiin. Mahdollisetkokeet? Tässäkin Neville saattoi rauhoittaa Ramanujania: mitään kokeita eitarvittaisi. Selvitettäviä asioita oli lisää, sillä Ramanujanin appi ihmetteli, miksi vävy eivoinut tutkia matematiikkaa Intiassa. Äiti-Komalatammal oli huolissaan

28

poikansa terveydestä — ja englantilaisista tytöistä! Myös jotkut Ramanujaninystävät arvelivat englantilaisten haluavan varastaa Madrasille kuuluvankunnian. Joka tapauksessa Neville ilmoitti Hardylle, että nyt oli aika ryhtyäjärjestämään rahoitusta. Hän yrittäisi itse löytää rahaa tarkoitukseenMadrasista. Neville korosti, että yrityksen epäonnistuessa rahat pitäisi löytääEnglannista tavalla tai toisella. Rahahuolet eivät saisi estää hanketta.Madrasissa ollessaan Neville kirjoitti Ramanujanin puolesta Madrasinyliopiston aktuaarille, Francis Dewsburylle, 28. tammikuuta 1913:“Hyvä herra Dewsbury,madrasilaisen S. Ramanujanin nerouden löytyminen lupaa muodostuaaikamme kiinnostavimmaksi tapahtumaksi matematiikan maailmassa. Hänenlähettämänsä ensimmäiset tulokset saivat Cambridgen matemaatikotuskomaan, että hänellä on poikkeuksellisia kykyjä. Olen itse tutustunuthäneen, ja keskustelumme hänen metodeistaan ovat minun tapauksessanimuuttaneet tämän uskon varmuudeksi. Samaan aikaan ei voi yliarvioidakuinka tärkeää on varmistaa Ramanujanille koulutusta modernien metodienhiomiseksi sekä tarjota hänelle yhteys miehiin, jotka tietävät mitä ideoita ontutkittu ja mitä ei.” Neville kertoo edelleen kuinka Ramanujan on yksin päässyt pitkälle, muttaettä hänellä on edelleen puutteita asioissa, jotka jo tunnetaan Euroopassa. Hänpäätti kirjeen näin: “En näe mitään syytä epäillä, etteikö Ramanujan itse täysinvastaisi kannustimeen, jollaisen korkeimman luokan läntistenmatemaatikoiden tapaaminen antaisi hänelle. Siinä tapauksessa hänennimestään tulisi yksi suurimmista matematiikan historiassa, ja Madrasinyliopisto voisi olla ylpeä siitä, että olisi ollut mukana avustamassa hänentietään tuntemattomuudesta kuuluisuuteen.Vilpittömästi Teidän,E.H. Neville” Hardy oli Nevillen viestin saatuaan välittömästi ottanut yhteyttä IndiaOfficeen, jonka vastaus apuraha-anomukseen oli kuitenkin tyrmäävä. SamaMallet, joka edellisenä vuonna oli välittänyt tiedon Ramanujaninkieltäytymisestä matkustamaan, kirjoitti Hardylle: “Herra Nevillen kirjehuolestutti minua, sillä sain vaikutelman että hän rohkaisi Ramanujaniatulemaan Englantiin ilman todellista toivetta ylläpidosta täällä.” Mallet kertoi huomanneensa, että aivan liian usein intialaiset opiskelijatsaapuivat liian vähän rahaa taskussaan ja kohtasivat siten pettymyksia jakurjuutta. Hän myös ilmoitti, että “rahaa tähän tarkoitukseen ei ole saatavissaIndia Officelta.” Hän myös esitti vahvat epäilynsä siitä, löytyisikö tarvittaviasummia niin Trinitystä tai Cambridgestä saati Madrasistakaan. Hardy kiirehti varoittamaan Nevilleä vastoinkäymisestä: rahojen olilöydyttävä tai Ramanujan ei voisi tulla. Hardy kertoi voivansa yhdessäLittlewoodin kanssa sijoittaa hankkeeseen viisikymmentä puntaa vuodessa(suunnitellun kahden vuoden vierailun ajaksi), mutta summa olisi vainviidennes siitä, mitä vähimmillään tarvittiin. Hardy varoitti myös Nevilleäkertomasta Ramanujanille asiaintilasta. Nevillen saadessa Hardyn kirjeen tilanne Intiassa oli kuitenkin jo paljonvaloisampi. Jo 29. tammikuuta (päivää Nevillen Dewsburylle lähettämänkirjeen jälkeen) Richard Littlehailes, Madrasin Presidency Collegenmatematiikan professori, jolle Ramanujan oli näyttänyt tuloksiaan pari

29

kuukautta aikaisemmin, osoitti Dewsburylle muodollisen pyynnön stipendistäRamanujanille: 250 puntaa vuodessa, minkä lisäksi 100 puntaa länsimaisiinvaatteisiin ja matkavalmisteluihin. Littlehailes kirjoitti: “Ramanujanilla onmitä huomattavin kyky matematiikassa, sanoisin että hän on nero, jonkakynttilä on kuvaannollisesti vakan alla Madrasissa.” Myös Sir Francis Spring vauhditti prosessia ottamalla yhteyttä Madrasinkuvernööriin, Lordi Pentlandiin, syntymänimeltään John Sinclair. Springkirjoitti Pentlandin yksityissihteerille Cecil Barnard Cottrellille 5. helmikuutakirjeen, jossa hän selosti Ramanujanin tilanteen ja pyysi Lordi Pentlandiavaikuttamaan myönteiseen ratkaisuun: “Nyt tulen asiaan, jossa toivon HänenYlhäisyytensä voivan auttaa. Eilen illalla kuulin herra Littlehailesilta ja muilta,että Yliopiston edustajisto on päättänyt hallituksen hyväksyessä varata 10000rupiaa mahdollistamaan Ramanujanin vierailu Englantiin pariksi vuodeksi.Herrat Littlehailes ja Neville pyysivät minua kääntymään HänenYlhäisyytensä puoleen, jotta päätökseen saataisiin pikainen vahvistusYliopiston edustajiston taholta. Haluan kuitenkin tehdä täysin selväksi, ettäminulla ei ole minkäänlaista valtuutusta edustajistolta, vaan toiminyksityishenkilönä, joka on kiinnostunut alaisestaan työntekijästä,Ramanujanista, sekä matematiikasta.” Cottrell vastasi Springille samana päivänä:“Hyvä Sir Francis,

Kirjeenne 5. helmikuuta.Hänen Ylhäisyytensä on sydämestään samaa mieltä toivenne kanssa,

että Yliopiston tulisi tarjota Ramanujanille varat tutkimustyönsä jatkamiseenCambridgessä. Hän tekee mielellään voitavansa ehdotuksenne edistämiseksi.

Vilpittömästi Teidän,C.B. Cottrell”

Stipendi myönnettiin nopeasti esityksen mukaisena. Kun raha-asiat olivatnäin järjestyneet, Ramanujanin lähtö Englantiin oli varmistunut. Jäljellä olikuitenkin vielä paljon tehtävää. Binny & Co. lähetti 26. helmikuuta Ramanujanille hänen matkalippunsa. Seoikeutti nousemaan S.S. Nevasaan, jonka oli määrä lähteä Madrasista 17.maaliskuuta 1914 määränpäänä Lontoo. Sir Francis Spring varmisti 11.maaliskuuta höyrylaivayhtiöltä, että Ramanujanin kasvisruokavalio eivaarantuisi laivamatkalla. 14. maaliskuuta Ramanujan saattoi vaimonsa jaäitinsä Madrasin rautatieasemalle. Janaki oli matkan varmistuttua pyytänytRamanujanilta, että ottaisi hänet mukaan Englantiin. Ramachandra Raonneuvosta Ramanujan oli vastannut kieltävästi. Syyksi hän sanoi ettei pystyisikeskittymään matemaattiseen työhön, jos hänen pitäisi huolehtia Janakista.Sitäpaitsi Janaki oli nuori ja nätti, joten englantilaiset nuoret miehet olisivathänen kimpussaan heti kun Ramanujanin silmä välttäisi... Tunnelma asemallaoli haikea eikä edes Ramanujan iloinnut lähdöstään. Hän vain seurasikutsumustaan. Ramanujan oli halunnut hyvästellä omaisensa ennen kuin muuntautumineneurooppalaiseksi herrasmieheksi pääsi käyntiin. Hänen oli hankittavaeurooppalainen vaateparsi: puku ja solmio. Tärkeä varuste olivat kengät, joitaRamanujanin oli myös opittava käyttämään. Madrasissa siihen ei ollut olluttarvetta. Tukanleikkuu oli vastenmielinen osa muuntumisleikkiä, mutta myössolmion sitomisen opettelu tuotti tuskaa Ramanujanille. Komalatammal näkisi

30

muutoksen tuloksen vasta myöhemmin saadessaan poikansa valokuvanEnglannista. Lähtöpäivän aamuna Madrasissa pidettiin virallinen läksiäisjuhlaRamanujanin kunniaksi. Juhlan oli järjestänyt Srinivasa Iyengar, muttapaikalla olivat myös Sir Francis Spring, professori Middlemast ja The Hindu-lehden julkaisija Kasturirangar Iyengar. Ramanujan esiteltiin useillehuomattaville henkilöille, myös S.S. Nevasan kapteenille, joka laski leikkiäsiitä, että Ramanujan ja hän tulisivat hyvin toimeen, jos Ramanujan malttaisiolla kiusaamatta häntä matematiikalla. S.S. Nevasan matka sujui hyvin, vaikka ensimmäisestä pysähdyspaikastaColombosta lähdettyä Ramanujan kärsi merisairaudesta. Viikon päästä tultiinAdeniin, josta matka jatkui Suezin kanavan kautta Välimerelle. Vihdoin, 14.huhtikuuta 1914, S.S. Nevasa ankkuroitui Thamesin suistoon.

6 Ramanujan Englannissa

S.S. Nevasa saapui Englantiin tavallista lämpimämpänä kevätpäivänä, mikähieman loivensi Ramanujanin kokemaa kulttuurishokkia. Häntä olivat vastassaNeville vanhemman veljensä kanssa, jotka ajoivat Ramanujanin autollaCromwell Roadin numeroon 21, intialaisten opiskelijoidenvastaanottokeskukseen. Nevillen tarkoituksena oli saada Ramanujan viihtymään mahdollisimmanhyvin. Siksi hän oli aikaistanut omaa lähtöään Madrasista (ilmeisestiRamanujan käytti Nevillen alkuperäisen varauksen) ehtiäkseen valmistellaRamanujanin saapumista Englannin päässä, ja ollakseen tätä vastassa.Muutaman päivän Lontoossa vietettyään Ramanujan muutti CambridgeenNevillen ja tämän vaimon vieraaksi. Englannissa opiskelevat intialaiset auttoivat myös Ramanujania käytännönasioissa ja koti-ikävän voittamisessa. Alampadi Subbaraya Ramalingam tapasiRamanujanin heti tämän saavuttua, mutta vasta Ramanujanin sairastuttuaRamalingam eli Ram tapasi hänet uudelleen. Syynä tähän oli asepalvelus,johon Ram kutsuttiin sodan alkaessa. Ennen värväytymistään hän toimiinsinöörinä North Staffordshire Railway –yhtiössä. Ramanujan ystävystyi Cambridgess pian Chandra Mahalanobin kanssa, jokaKanigelin mukaan ratkaisi tärkeän käytännön ongelman Ramanujaninelämässä. Sää oli viilentynyt ja Ramanujan hytisi takan edessä. Mahalanobitiedusteli oliko Ramanujan pysynyt yöllä lämpimänä ja tarkistanut oliko tälläriittävästi huopia. Kävi ilmi, että Ramanujan ei ollut osannut kaivautuapeitteiden alle. Ei ihme, että hän paleli. Ensimmäiset päivät Cambridgessä menivät käytännön asioita hoitaessa.Ramanujanin oli kirjoittauduttava yliopistoon ja täytettävä erilaisialomakkeita. Neville ja Hardy kuitenkin hoitivat enimmän osan. Ramanujan oli tullut Cambridgeen opiskelemaan, ja hän seurasi joitakinluentoja. Osan niistä piti Hardy, mutta Ramanujan seurasi myös Arthur Berrynluentoja elliptisistä integraaleista. Eräällä luennolla Berry kysyi Ramanujaniltaseurasiko tämä luentoa. Tämän nyökättyä myöntymykseksi Berry kysyihalusiko Ramanujan lisätä mitään. Ramanujan saapui taululle, otti liidun ja

31

alkoi kirjoittaa tuloksia, joita Berry ei ollut vielä todistanut. MyöhemminBerry totesi, ettei Ramanujan ollut mitenkään voinut tuntea niitä etukäteen. Ramanujan aloitti myös työskentelyn Hardyn kanssa pian Cambridgeensaavuttuaan. Tämä tapahtui Hardyn lyona New Courtissa, jonne oli melkoinenmatka — parinkymmenen minuutin kävely — Chesterton Roadilta, missäNevillet asuivat. Välimatkan lyhentämiseksi Ramanujan muutti kesäkuunalussa Whewell’s Courtiin. Hän perusteli muuttoa sillä, että “collegenulkopuolella asumiseni olisi epämukavaa sekä professoreille että minulle.” Hardylla oli nyt työhuoneessaan sekä Ramanujanin muistikirjat että niidenkirjoittaja. Suuri osa niistä 120 teoreemasta, jotka Ramanujan oli kirjeissäänlähettänyt, oli peräisin muistikirjoista. Toisen muistikirjan viidennestä luvusta

löytyi mm. hajaantuvaa sarjaa koskeva tulos (1+2+3+4+... =

!

"1

12), jonka

Ramanujan oli epäillyt saamaan Hardyn suosittelemaan Ramanujaninsulkemista hullujenhuoneeseen. Osa tuloksista oli virheellisiä, osa oli jotunnettuja, mutta ainakin kolmasosa ellei kaksi kolmannesta niistä oli uusia jatärkeitä, Hardy saattoi nyt todeta, että kirjeissä oli vain katoavan pieni osavuosikymmenen ajan muistikirjoihin merkityistä tuhansista tuloksista. Hardy ja Ramanujan ryhtyivät käymään läpi muistikirjoja ja todistamaanniiden sisältämiä teoreemoja. Työ oli hidasta, ja vuonna 1921, Ramanujanin jokuoltua, Hardy kirjoitti, että ‘massoittain julkaisematonta materiaalia odottiyhä tarkistusta.’ Kanigelin mukaan unkarilainen matemaatikko George(György) Pólya vieraili niihin aikoihin Cambridgessa ja lainasi kopionmuistikirjoista. Hän palautti ne jo parin päivän jälkeen ja totesi ettei halunnutjoutua Ramanujanin lumoavien teoreemojen pauloihin, jolloin hän joutuisikäyttämään koko loppuelämänsä yrittämällä todistaa niitä. Hän ei ehtisi tehdäenää lainkaan omia keksintöjä. Vuonna 1957 intialainen Tata Institute of Fundamental Research julkaisinäköispainokset Ramanujanin muistikirjoista. Ne eivät sisältäneetkommentteja. Hardylla oli tarkoitus julkaista Ramanujanin muistokirja, jokasisältäisi hänen julkaistujen artikkeleidensa lisäksi otteita muistikirjoista jamuista julkaisemattomista käsikirjoituksista. Tätä tarkoitusta varten hän ottiMadrasin yliopiston luvalla yhteyttä Bertram Martin Wilsoniin (1896-1935)tarkoituksena julkaista editoitu versio muistikirjoista. Tuloksena oli teosCollected Papers of Srinivasa Ramanujan (1927), jonka Hardy ja Wilsonjulkaisivat yhdessä P. V. Seshu Aiyarin kanssa. Sitten Wilson ja GeorgeNeville Watson (1886-1965) jakoivat työn keskenään. Wilson työsti toisenmuistikirjan alkukappaleita ja Watson myöhempiä osia. Wilson ei enääjulkaissut asian tiimoilta, ja Watsonin mielenkiinto loppu toisenmaailmansodan syttymisen aikoihin. Sittemmin Rankin, Berndt, Atle Selberg,Hans Rademacher ja George Eyre Andrews ovat paneutuneet muistikirjoihin. Hardy ja Littlewood saattoivat aluksi vain selailla muistikirjoja, yrittäätodista joitakin yksittäisiä tuloksia ja ymmärtää toisia. Kumpainenkin olikuitenkin vaikuttunut näkemästään. Tulokset olivat outoja, mutta ne olivatsyvällisiä ja yleisiä. Ramanujanin työhön tutustuminen oli Hardylle suuri tapahtuma. Hän eipeitellyt ylpeyttään siitä, että oli keksinyt Ramanujanin: Ramanujan oli minunkeksintöni. En luonut häntä —muiden suurten miesten tapaan hän loi itsensä— mutta olin ensimmäinen pätevä henkilö, jolla oli tilaisuus nähdä hänentyötään. Muistan vieläkin tyydytyksellä, että huomasin heti millaisen aarteen

32

olin löytänyt.” Vuosia myöhemmin Hardy kuvasi ‘Ramanujanin löytämistä’elämänsä ainoana romanttisena tapahtumana. Muistikirjoissa oli valtavasti julkaisemisen ansaitsevia tuloksia, mutta niitäei voinut julkaista sellaisinaan. Hardy toimitti julkaisujen, joita pian alkoiilmestyä, kieliasun ja muutti merkinnät totutuiksi. Itse matematiikkaan hän eikuitenkaan yleensä puuttunut. (Silloin kun Hardylla oli osuutensa tuloksista,hän myös otti osansa kunniasta.) Kesäkuuhun 1914 mennessä Ramanujan ja Hardy olivat saaneet kaksiartikkelia melko pitkälle, ja 11. kesäkuuta Hardy saattoi esitellä LondonMathematical Societyn kokouksessa Ramanujanin teoreemoja sisältävänkäsikirjoituksen. Ramanujan ei itse ollut paikalla. Vuonna 1914 vain yksiRamanujanin artikkeli Modular Equations and Approximations to

!

"

julkaistiin Quarterly Journal of Mathematicsissa. Eräs Ramanujanin esitys piille oli seuraava:

!

1

"=

8

9801

(4n)![1103+ 26390n]

(n!)4396

4nn= 0

#

$ .

Hardyn mukaan Ramanujanin artikkeli oli mitä mielenkiintoisin, ja se sisälsisuuren määrän uusia tuloksia. Ramanujanille saapuminen Englantiin oli merkinnyt kulttuurishokkia, muttaensirivin matemaatikkojen tapaaminen ja heidän kanssaan työskenteleminenkorvasi monin verroin koti-ikävän ja muut pikku harmit. Hänen löytämänsäidylli kuitenkin kesti vain hetkisen, sillä arkkiherttua Frans Ferdinandin murhaSarajevossa 28. kesäkuuta 1914 käynnisti maailmansodan, jonka vaikutuksiakukaan ei voinut paeta. Britannia liittyi sotaan 4. elokuuta, minkä jälkeenCambridgessä alkoi vähitellen näkyä muutoksia. Vielä 11. syyskuuta Ramanujan kirjoitti äidilleen, että “tässä maassa ei olesotaa. Sotaa käydään vain naapurimaassa. Sota on täältä yhtä kaukana kuinRangoon on kaupungista (Madrasista).” Tämä ei tarkalleen vastannuttodellisuutta, sillä Cambridgessä oli jo sotilaita. Vastapäätä Nevillen taloa olileiri ja Trinityyn rakennettiin kenttäsairaala. Sotilaita oli kaikkialla, ja heidänsuhteellinen osuutensa lisääntyi, kun matemaatikkoja, opiskelijoita jaopettajia, kutsuttiin palvelukseen. Littlewood läksi, mutta Hardy ei kelvannutvaan jäi Trinityyn. Ramanujanin kannalta työ jatkui Hardyn kanssa paljolti samaan tapaan kuinensimmäisinä kuukausinakin. Vuonna 1915 hän julkaisi useita artikkeleita.Sitä ennen hän oli kirjoittanut Krishna Raolle muuttavansajulkaisusuunnitelmiaan: “En aio julkaista mitään vanhoja tuloksiamuistikirjoistani ennen sodan päättymistä. Tultuani tänne olen oppinut joitakinheidän metodeistaan. Yritän saada uusia tuloksia heidän metodeillaan.” Hardyn mukaan Ramanujanin luomisvoima ei osoittanut ehtymisenmerkkejä. Kirjeessään S. M. Subramanianille (josta sittemmin tuli insinööri,ja jonka kanssa hän oli jakanut asunnon Madrasissa 1911-13) 5. tammikuutahän kyselee alkuksi kuulumisia ja kertoo omasta työstään, kunnes ryhtyyselittämään uusinta keksintöään. “Kerron nyt Sinulle hyvin merkillisestäfunktiosta. Järjestä kaikki rationaaliluvut seuraavasti: 1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 2/3,3/2, 1/4, 4/1, 2/4, 4/4, 3/4, 4/3, ja muodosta funktio

33

!

cos(sec1

1" x)

2+

cos(sec1

1" 2x)

22

+

cos(sec1

2 " x)

23

!

+

cos(sec1

1" 3x)

24

+

cos(sec1

3" x)

25

+ ... .

Osoittajat on tehty rationaalilukujen osoittajista ja nimittäjistä. Nimittäjinäon säännöllinen geometrinen sarja 2,

!

22,

!

23,

!

24 , ... .

Koska kosinin arvo ei ole ykköstä suurempi, sarja suppenee itseisesti. Josx:lle annetaan mikä tahansa rationaaliarvo, joku termi muuttuu epämääräiseksi(

!

cos(sec") ei ole määrätty). Siten F(x) ei ole olemassa kaikilla rationaalisillax. F(x) on kuitenkin olemassa kaikilla x:n irrationaaliarvoilla. Tässä on jälleen

toinen merkillisyys. Otetaan rationaalipiste

!

1

2. Jos tätä pistettä

!

1

2 lähestytään

vasemmalta,

!

cos(sec1

1" 2x) lähestyy muotoa

!

cos(sec1

+0) , joka on

epämääräinen. Mutta jos lähestytään pistettä

!

1

2 oikealta, silloin

!

cos(sec1

1" 2x) lähestyy muotoa

!

cos(sec1

"0) = cos(sech

1

+0) = cos0 =1.

Samoin käy kaikissa rationaalipisteissä. Niinpä F(x) on olemassa, josjokaista rationaalipistettä lähestytään oikealta, mutta F(x) on epämääräinen,jos rationaalipisteitä lähestytään vasemmalta; ja F(x) on ilmeisesti äärellinen jamäärätty kaikille x:n irrationaaliarvoille. Kuvittele tätä funktiota, kun muistatettä (i) kahden rationaalipisteen välissä on ääretön määrä irrationaalipisteitä;(ii) kahden irrationaalipisteen välissä on äärettömän monta rationaalipistettä;(iii) jokainen irrationaalipiste on jonkin rationaalipisteiden joukon samoin kuinjonkin irrationaalipisteiden joukon rajapiste; (iv) jokainen rationaalipiste onmyös joidenkin rationaalipisteiden joukon sekä muiden irationaalipisteidenjoukon rajapiste.” ...Kirjeen lopussa Ramanujan mainitsee voivansa “elää pelkällä riisillä, jossa onvähän suolaa ja sitruunamehua, pitkiä aikoja.”

Hardylle oli selvää, että intuition merkitys oli ratkaiseva uusien tulostensaamisessa. Kuten Littlewood totesi, “täsmällinen todistus ei ole ensiarvoisentärkeää opintojen alkuvaiheen jälkeen. Sen voi kuka tahansa päteväammattimatemaatikko laatia, jos todellinen idea on olemassa.” Ideoidensaaminen on mysteeri, eikä luovuutta voi opettaa. Sille voidaan korkeintaanluoda otolliset olosuhteet. Hardy arvioi paljon myöhemmin, että jos hänellä itsellään oli luontaistamatemaattista lahjakkuutta 25 pisteen verran, Littlewoodilla pisteytys oli 30,saksalaisella David Hilbertillä 80, mutta Ramanujanilla täydet 100. VaikkaRamanujan oli muodollisesti Hardyn oppilas, Hardy pelkäsi painottaa asioita,jotka Ramanujan koki vaivalloisiksi, koska vaarana oli Ramanujaninluottamuksen rakoileminen tai hänen luovuutensa taian rikkominen.Ramanujanin tiedoissa oli kuitenkin puutteita, joten Hardyn oli yritettäväpaikata niitä: “Minun täytyi yrittää opettaa häntä, ja jossain määrin

34

onnistuinkin siinä. Tosin opin itse häneltä paljon enemmän kuin mitä hän oppiminulta.” Hardy arvioi myöhemmin itseoppineisuuden olleen Ramanujaninvahvimpia valttejakin: “(Ramanujanin työllä) on kuitenkin yksi lahja, jotakukaan ei voi kiistää, syvällinen ja lyömätön omaperäisyys. Hänestä olisiluultavasti tullut suurempi matemaatikko, jos hänet olisi löydetty ja kesytettynuorella iällä; hän olisi keksinyt enemmän uusia ja epäilemättä myöstärkeämpiä tuloksia. Toisaalta hänessä olisi ollut vähemmän Ramanujania jaenemmän eurooppalaista professoria, ja menetys olisi voinut olla hyötyäsuurempi.” Sodan jatkuminen haittasi elämää Cambridgessä. Pakolliset pimennykset,ruokatarvikkeiden —etenkin vihannesten – puute, ja sota itsessään vaikeuttivatmyös tutkimusta. Littlewood oli poissa. Hänet oli värvätty tekemään ballistisiataulukoita, mikä osoittautui varsin haasteelliseksi tehtäväksi. Cambridgessävallitsi myös sodanvastainen ilmapiiri. Tosin Lusitanian upottaminen jyrkensiSaksan-vastaisia asenteita. Hardya häiritsi suuresti kontaktien katkeaminenmannermaisiin (etenkin saksalaisiin) matemaatikoihin, mutta Ramanujan tunsiitsensä varmaankin ulkopuoliseksi mitä sotaan tuli. Hän uppoutui työhön. Vuoden lopulla Ramanujanin artikkeli korkeasti yhdistetyistä luvuista.Highly Composite Numbers ilmestyi Proceedings of the London Mathematical

Society –julkaisussa. Yhdistetyt luvut ovat lukuja, jotka eivät ole alkulukuja.Niillä on siten muitakin tekijöitä kuin luku itse ja ykkönen. Korkeastiyhdistetty luku on positiivinen kokonaisluku N, jolle d(N)>d(M) kaikillepositiivisille kokonaisluvuille M<N, missä d(n) on jakajafunktio, jokailmoittaa n:n tekijöiden lukumäärän. Tällainen on 24, jonka tekijät ovat 24, 12,8, 6, 4, 3, 2 ja 1. Hardyn mukaan korkeasti yhdistetty luku on ‘yhtä kaukanaalkuluvusta kuin luku voi olla.’ Jokaisella positiivisella kokonaisluvulla n on alkulukuesitys:

!

n = 2a2 " 3

a3 " 5

a5 " 7

a7 "... . Ramanujan huomasi, että korkeasti yhdistettyjen

lukujen alkulukuesitysten potenssit muodostavat laskevan lukujonon. Yllä siispätee

!

a2" a

3" a

5" a

7" ... . Esimerkiksi

!

24 = 23" 3

1. Ramanujan myös todisti,että lukuun ottamatta kahta poikkeusta (4 ja 36), korkeasti yhdistetyn luvunalkulukuesityksen viimeinen potenssi

!

an

=1. Ramanujanin työ sujui hyvin, mutta pian oli aika miettiä hänen stipendinsäjatkamista. Ernest William Barnes, Ramanujanin tuutori, raportoi 8.marraskuuta 1915 Madrasiin Francis Dewsburylle suojattinsa edistymisestä:“Hyvä herra, Ramanujanin työ ja edistyminen on erinomaista. Hän on täydellisestitäyttänyt itseensä kohdistuneet toiveet tultuaan tänne. Ei ole pienintäkäänepäilystä siitä, että hänen stipendiään tulisi jatkaa kunnes, kuten luotantapahtuvan, hänet valitaan Collegen fellowksi. Odotan tämän valinnantapahtuvan lokakuussa 1917.

Uskollisesti Teidän,E.W. BarnesTrinity Collegen fellow ja tuutori”

(Barnes oli second wrangler vuodelta 1896. Hän oli Cambridgen eturivinmatemaatikkoja ennen tuloaan valituksi anglikaanisen kirkon piispaksiBirminghamiin 1924.)

Intiassa oli otaksuttu Ramanujanin palaavan kotiin sovitun kahden vuodenmääräajan täyttyessä. Englantiin jääminen vaati nyt aktiivisia toimenpiteitä.

35

Barnesin tavoin myös Hardy kirjoitti Dewsburylle stipendiasiassa. MadrasissaSir Francis Spring vaati Ramanujanille kahden vuoden jatkoaikaa.Viranomaisten keskuudessa puhkesi kuitenkin kiivas väittely siitä, pitäisiköstipendiä jatkaa vuodella vai kahdella. Tuloksena oli kompromissi:myönnettiin vuoden jatkoaika ja mahdollisuus uusiin pidennyksiin.Suuruudeltaan stipendi oli 250 puntaa vuodessa (mihin tuli lisänä 60 puntaaTrinityltä), mikä ylitti kirkkaasti englantilaisen teollisuustyöläisen keskiansion75 puntaa vuodessa. Stipendin jatkaminen merkitsi sitä, että Ramanujanin ei tarvinnut huolehtiaomasta tai perheensä toimeentulosta tänä aikana. Mitään virallisia velvoitteitarahoitukseen ei kuulunut, joten Ramanujan sai tehdä mitä halusi. Hän eitarvinnut tutkintoa, joka yleensä oli stipendin saamisen edellytys. Ulkoisellehyväksymiselle perso Ramanujan kuitenkin halusi saada tutkinnon. Maaliskuussa 1916 Ramanujanille myönnettiin B.A. –tutkintolisämaininnalla “by research.” Perustana oli hänen korkeasti yhdistettyjälukuja koskenut artikkelinsa. Maksettuaan tutkintomaksut Ramanujanilla olivihdoin tutkinto. (Silloinen B.A. vastasi nykyistä tohtorinarvoa, joka otettiinkäyttöön Cambridgessä vasta vuonna 1920.) Tapauksen kunniaksi otettiinryhmäkuva, joka on yksi harvoista Ramanujanista säilyneistä valokuvista. Ramanujanin sopeutuminen Cambridgeen muutoin kuin työn osalta ei olisiollut helppoa ilman sotaakaan, mutta elintarvikkeiden, etenkin Ramanujanintarvitsemien, puute, pimennykset saksalaisten ilmahyökkäysten varalta,matkustusrajoitukset ja yleinen stressi tuntuivat taustalla. Ramanujanin hermotolivat pinnalla. Intialaisten ystävien tapaaminen oli harvinaista herkkua, mutta Ramanujannautti niistä suuresti. Alkuvuonna 1916 hänen Cambridgessä opiskeleva 21-vuotias ystävänsä Gyanesh Chandra Chatterji ilmoitti aikovansa pian avioon.Ramanujan kutsui ystävänsä ja tämän morsiamen Ila Rudran luokseenpäivälliselle. Heidän mukanaan oli esiliinan virkaa toimittava alun neljännelläkymmenellä oleva nainen Hyderabadista, Mrilani Chattopadhaya. Intiassa Ramanujan oli tuskin koskaan valmistanut ruokaa, mutta nyt hänpani parastaan. Hänellä oli intialaisia mausteita ja tarjolla oli keittoa. Vieraatsöivät hyvällä ruokahalulla, ja kohtelias isäntä tarjosi lisää. Jokainen otti toisenannoksen, mutta kolmatta lautasellista seurueen naiset eivät enää jaksaneet.Hieman myöhemmin vieraat huomasivat isäntänsä kadonneen. He olivat yksinasunnossa. He odottivat, mutta Ramanujanista ei näkynyt vilaustakaan.Vihdoin he kävivät kysymässä vahtimestarilta oliko tämä nähnytRamanujania. Kyllä oli. Ramanujan oli ottanut taksin. Seuraavana aamuna Chatterji palasi Ramanujanin asunnolle, jossa eivieläkään ollut ketään. Neljään päivään Ramanujanista ei kuulunut mitään.Viidentenä Chatterji sai Oxfordista sähkeen, jossa Ramanujan pyysilähettämään viisi puntaa. Seuraavan päivänä Ramanujan oli takaisinCambridgessä, jossa hän kertoi Chatterjille loukkaantuneensa, kun hänenvalmistamansa ruoka ei ollut kelvannut vieraille. Hän oli vain hypännyt taksiinja ajanut niin pitkälle kuin rahat riittivät. Chatterjin päivällisvierailu oli ilmeisesti Ramanujanin mielessä noussutpaljon tärkeämmäksi kuin miten vieraat sen ottivat. Ramanujan ei juurikoskaan lounastanut seurassa vaan söi yksin. Hardy ja muut söivät Trinityssä,mutta Ramanujan oli kasvissyöjä. Hän ei myöskään halunnut syödä seurassa,jossa syötiin lihaa. Kotona Intiassa bramiinit söivät vain paikoissa, joissa

36

bramiinit tarjoilivat bramiinien valmistamaa ruokaa. Jo alempikastisen varjoonjoutuminen vaati puhdistautumista. Englantilaisten kanssa seurustelu työn ulkopuolella ei ollut tavallista. Hepyrkivät myös säilyttämään etäisyyttä. Henkilökohtaisten asioiden uteleminenei ollut soveliasta. Niinpä kukaan ei koskaan kysynyt Ramanujanilta syytäsiihen, miksi hän oli aluksi kieltäytynyt tulemasta Englantiin. Ramanujan eristäytyi lähes täysin sosiaalisesta kanssakäymisestäCambridgessä. Edes matemaatikkojen tapaamisiin hän ei osallistunut, vaanHardy esitti hänen artikkelinsa muille. Hardy esitti myös heidän yhteisettyönsä. Ramanujan pysytteli asunnossaan. Matematiikka piti häntä pystyssä. Vuonna 1916 Ramanujan työskenteli lukuteorian, erityisesti ositusten jaositusfunktion parissa. Esimerkiksi luku 4 voidaan esittää viidellä tavallaitseään pienempien lukujen summana: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 ja 1+1+1+1.Ositusten määrä on sama kuin ositusfunktion arvo pisteessä 4 eli p(4)=5.Ositusfunktion arvo kuitenkin kasvaa nopeasti. Ramanujanilla oli käytössäänPercy Alexander MacMahonin laskemat taulukot, joissa oli laskettuositusfunktion arvot p(200):aan asti. Hardyn kanssa Ramanujan pyrkilöytämään funktion, joka approksimoisi p(n):n arvoa mahdollisimman tarkasti.Itse asiassa he pyrkivät löytämään kaavan, joka laskisi p(n):n tarkan arvon. Heeivät onnistuneet siinä, mutta Hans Rademacher löysi puuttuvat palatkaksikymmentä vuotta myöhemmin. Hänen löytönsä perustui myös Hardyn jaRamanujanin työhön. Tammikuussa 1917 Comptes Rendu julkaisi Hardyn ja Ramanujaninartikkelin Une formule asymptotique pour le nombre des partitions de n.Kaksikon yhteistyö sujui hienosti, mutta Cambridgessä vaikuttaneen BélaBollobásin mukaan “Hardy ei ollut ainoa matemaatikko, joka olisi voinuttehdä sen. Luultavasti Mordell olisi pystynyt siihen. Pólya olisi voinut yltääsiihen. Olen varma että useampi henkilö olisi voinut hoitaa Hardyn osuuden.Mutta en usko, että Ramanujanin osaa tässä nimenomaisessa yhteistyössä olisivoinut hoitaa kukaan muu.” Hardy oli Ramanujanille tärkeä ystävä, yksi harvoista henkilöistä, jonkakanssa hän saattoi puhua matematiikasta vapaasti. Toisaalta Hardy oli vaativaja patisti Ramanujania yhä uudelleen huippusuorituksiin. SairastuttuaanRamanujan lähetti Hardylle parantolasta kirjeen, jossa hän pahoitteli ettei ollutsaanut tutkituksi enempää. Cambridgessä matematiikka täytti Ramanujanin elämän. Hän saattoi väliintyöskennellä, väliin nukkua lähes kellon ympäri. Hän ei nauttinut ruoasta,vaan kypsensi vihanneksia ja riisiä asunnossaan. Väliin vihanneksiakin olivaikea saada. Sota haittasi mauste- ja ruokalähetyksiä Intiasta. Myös kontaktiperheeseen oli satunnaista. Lisäksi Ramanujan ei harrastanut juuriminkäänlaista liikuntaa, urheilu oli hänelle vierasta. Sodan jatkuessa myös Trinityyn ilmestyi yhä uusia muistolaattoja.Ramanujanin tuutori Barnes totesi sodan loppuvaiheissa katkerasti:“Oppilaistani Cambridgessä ainakin puolet, käytännöllisesti katsoen kaikkiparhaat, ovat kuolleet tai vammautuneet loppuiäkseen. Tekemäni työ(matematiikan opettaminen vuosien ajan) on enimmäkseen mennyt hukkaan.”Ramanujanin ruoka oli yksipuolista, hän ei liikkunut, teki töitä liikaa jamurehti liikaa. Ei siis ollut ihme, ettei hän voinut hyvin.

37

7 Sairastuminen

Teoksessa Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (1927) Hardy kirjoittiRamanujanin sairastumisesta: “Keväällä 1917 Ramanujan vaikutti ensi kertaahuonovointiselta. Hän meni sairaskotiin Cambridgessä kesän alussa ja olivuoteenomana pitkän aikaa. Hän oli parantoloissa Wellsissä, Matlockissa jaLontoossa, eikä hänessä näkynyt merkittäviä paranemisen merkkejä ennensyksyä 1918.” Ramanujanin paluuta Intiaan harkittiin, mutta ensinnäkin turvallisen matkanjärjestäminen olisi ollut vaikeata saksalaisten sukellusveneiden aiheuttamanvaaran takia. Toiseksi valtaosa intialaisista lääkäreistä oli värvättysotapalvelukseen, joten hoidon takaaminen oli myös ongelma. Sairaanakin Ramanujan jatkoi työtään. Hän kirjoitti Hardylle kesällä 1917,ilmeisesti pian sairaskotiin (pieneen yksityiseen sairaalaan Thompson’s Lanenvarrella, joka hoiti Trinityn potilaita) saavuttuaan. Ramanujan viittaakirjeessään vuoden alussa ilmestyneeseen yhteiseen artikkeliin, jota hän eiilmeisesti ollut vielä nähnyt painettuna.S. Ramanujan G.H. Hardylle:... “Olkaa hyvä ja mainitkaa alaviiteessä ylläolevasta tuloksesta (1.61), ettäComptes Rendussa oli virheellinen arvo P(61):sta p(61):n yli. Luulen siinäolleen –44,641, kun oikea arvo olisi ollut –34,641. Olkaa hyvä ja tarkistakaatapahtuiko virhe todella: on mahdollista, ettei lukuja mainittu Comptes

Rendussa. Eilisessä kirjeessä, sen sijaan että olisin kirjoittanut

!

"2

sin"# sin"$,

"4

sin"#sin"$sin"%

käänsin ne kiireessä toisin päin...”

Kesän edetessä Ramanujanin tila heikkeni. Kirjeessään ruotsalaisellematemaatikolle Gösta Mittag-Lefflerille (joka aiemmin oli toiminutprofessorina myös Helsingissä) 20. elokuuta 1917 Hardy kirjoitti ...“Ikäväksenne minun on kerrottava, että herra Ramanujan on vakavasti sairas.Me kaikki olemme hyvin huolissamme hänestä...”

Syksyllä näytti tapahtuvan käänne parempaan, mutta ilonaihe oli ohimenevä.Hän pääsi pois sairaalasta 20. syyskuuta, mutta jo lokakuun alussa hän viettipari kolme viikkoa Mendip Hillin parantolassa Somersetissä. Marraskuussa,oltuaan lyhyen aikaa kotona Cambridgessä, hänet otettiin Matlock HouseSanatoriumiin Derbyshiressä. Ramanujanin lääkäri oli tri L. Ram, vaikka myös ylilääkäri, tri F. Kincaid,valvoi henkilökohtaisesti Ramanujanin hoitoa. Diagnoosia oli vaikea tehdä, jaRamanujanin vaivaa pidettiin aluksi vatsahaavana. Tämä käsitys toistuimyöhemminkin. Eräs lääkäri epäili syöpää, mutta koska Ramanujanin tila eiheikentynyt, hänen kollegansa eivät olleet samaa mieltä. Verenmyrkytys oliyksi teoria. Ramanujanin epäiltiin myös kypsentäneen säilöttyjä vihanneksiakaasuliekillä suoraan purkissa. Ehkä hänellä ei ollut riittävästi kattiloita?Tällöin tina olisi voinut irrota purkeista vihanneksiin. TavallisestiRamanujanin tautia hoidettiin tuberkuloosina. Lisäpontta arveluille antoi se,

38

että aliravitsemus ja stressi saatoivat puhkaista piilevän tuberkuloosin. D-vitamiinin puutetta pidettiin myös mahdollisena syy taudin puhkeamiseen. Matlock Housessa Ramanujanin tautia siis hoidettiin tuberkuloosina. Näihinhoitoihin kuului mm. potilaan pitäminen raikkaassa, viileässä ilmassa.Ramanujan valitti olojaan Hardylle kirjeessä: ... “Olen nyt ollut täälläkuukauden ja minun on sallittu lämmitellä tulen ääressä yhtenä ainoanapäivänä. Olen useasti tärissyt kylmästä ja joskus en ole voinut edes nauttiaaterioitani. Alussa minulle kerrottiin, etten saisi olla tulen lämmössä, paitsitervetuliaisiksi pari tuntia tulopäivänäni. Kahden viikon päästä he kertoivatsaaneensa kirjeen Teiltä, ja he lupasivat sytyttää takan niinä päivinä kun teinvakavaa matemaattista työtä. Sitä päivää ei ole vielä tullut, ja minut on jätettytähän hirveän kylmään huoneeseen.” Tuberkuloosipotilaat käärittiin lakanoihin. Niissä he saivat maataulkoilmassa tai sisällä, kun ikkunat oli avattu. Joskus parantoloita eilämmitetty ollenkaan. Ramanujanilla oli kuitenkin palelemisen ohella muitasyitä olla onneton. Matlockista hän kirjoitti Hardylle kirjeen, joka sisälsi ensikertaa hyvin henkilökohtaisen latauksen: “On totta, että lupasin äidillenipalaavani kahden vuoden jälkeen; kirjoitin heille useita kirjeitä 1 1/2 vuottasitten, että tulisin kotiin pitkälle lomalle; mutta sain äidiltäni useita kirjeitä,joissa hän vastusti Intiaan tuloani ennen kuin olisin saanut M.A. –arvoni. Niinluovuin ajatuksesta matkustaa sinne. Ei ole totta, että saisin kirjeitä vaimoltani tai langoltani tai keneltäkään. Sainvain joitakin muodollisia kirjeitä vaimoltani, joka vain selitti niissä miksi olijoutunut lähtemään kodistani... Alkukirjain S. nimessäni merkitsee Srinivasaa, joka on isäni nimi. Minulla eiole sukunimeä totta puhuen.”

Asiat Ramanujanin kirjeessä olivat kaikki uutta Hardylle. Myös tieto äiti-Komalatammalin ja vaimo-Janakin riidoista oli kiirinyt Ramanujanin korviin.Se masensi häntä edelleen. Ramanujan ei ollut saanut Janakin kirjeitä, koska Komalatammal olitakavarikoinut ne. Ramanujan oli myös kirjoittanut äidilleen pyytäen, ettäJanaki matkustaisi Englantiin. Komalatammal ei kertonut tästä mitäänJanakille, vaan vastasi Ramanujanille ettei se tullut kyseeseen. Komalatammal oli ilmeisesti syyttänyt Janakia — tai pikemminkin hänenhoroskooppiaan — Ramanujanin sairaudesta. Janakilla ei ollut keinojavastustaa anoppiaan, ja lopulta hän päätti lähteä. Tekosyynä olivat JanakinKarachissa asuvan veljen häät. Karachiin päästyään Janaki kirjoitti taasRamanujanille. Nyt kirje tuli perille. Siinä Janaki pyysi lähettämään rahaasaria ja häälahjaa varten. Ramanujan lähetti. Tulehtunut ilmapiiri kotona vaikutti Ramanujaniin vahvasti. Alkuaikoinahän oli kirjoittanut Englannista kotiin melkeinpä viikottain. Pari vuottamyöhemmin tahti oli harventunut muutamaan kirjeeseen vuodessa. 1917kirjeet lakkasivat kokonaan. Ramanujan tunsi tulleensa myös perheensähylkäämäksi.

Työ Hardyn kanssa oli sujunut hyvin, mutta sen ulkopuolella heillä ei juuriollut tekemistä keskenään. Hardylla oli monta rautaa tulessa. Hän vastustisotaa, vaikka ei ollut samanlainen julkipasifisti kuin Bertrand Russell.Russellin asettuminen julkisesti puolustamaan omantunnon syistä aseista

39

kieltäytynyttä, Everett-nimistä, opettajaa johti hänen erottamiseensa Trinitystä.Hardy (kuten myös Littlewood ja Neville) protestoivat erottamista vastaan. Hardylla oli liian paljon tekemistä huolehtiakseen Ramanujanista (ennentämän sairastumista). Myöhemmin hän pahoitteli, ettei ollut oikeastaankoskaan kysynyt mitään tämän elämästä: “Olen nyt pahoillani siitä, mutta silläei oikeastaan ole suurta merkitystä. [Ramanujan] oli matemaatikko, jokakiihkeästi halusi päästä eteenpäin työssään. Loppujen lopuksi minäkin olinmatemaatikko, ja Ramanujanin tapaavalla matemaatikolla on kiinnostavampiaasioita mielessään kuin historian tutkailu. Vaikutti naurettavalta huolehtia siitäkuinka hän oli löytänyt tämän tai tuon teoreeman, kun hän näytti minullepuolisen tusinaa uutta lähes joka päivä.” Yksi tärkeä seikka Ramanujanin mielipahan aiheuttajana oli nimittämisenTrinityn fellowksi viivästyminen. Oikeammin se, että lupauksista huolimattanimitystä ei kuulunut. Lokakuu 1917 tuli ja meni, eikä Ramanujania valittu.Russellin tapauksen johdosta Hardyn asema Trinityssä ei ollut parasmahdollinen. Kanigelin mukaan rasistisia asenteitakaan ei voinut sulkea pois— olihan Ramanujanin ihonväri huomattavasti tummempi kuinenglantilaisten. Matlockin parantolaan suljettuna Ramanujan ei voinut itse vaikuttaa juurimihinkään. Hän paleli, ruoka oli pahaa, hän ei luottanut lääkäreihinsä, eikähänellä käynyt vierailijoita kuin ani harvoin. Ramanujan näki painajaisia jamasentui. Hardy ei ollut hylännyt Ramanujania täysin. Hänen aloitteestaan Ramanujanvalittiin Lontoon matemaattisen yhdistyksen, London Mathematical Societynjäseneksi saman päivänä kuin Suomi itsenäistyi, 6. joulukuuta 1917. KaksiRamanujanin arvostamaa kunnianosoitusta kuitenkin puuttui edelleen: valintaTrinityn fellowksi ja korkein Britanniassa tiedemiehelle myönnettävätunnustus, valinta Fellow of the Royal Societyksi. Yhdistyksellä oli pitkätperinteet vuodesta 1660 lähtien. Kirjainten F.R.S. liittäminen omaan nimeenoli tärkeä juttu. Hardy asetti Ramanujanin ehdolle Royal Societyyn ja kirjoitti hänestäylistävän lausunnon: “Puhtaana matemaatikkona kunnostautunut, erityisestielliptisisiä funktioita ja lukuteoriaa koskevista tutkimuksistaan. Muidenmuassa seuraavien artikkeleiden kirjoittaja: “Modular Equations andApproximations to Pi,” Quarterly Journal, vol. 45; “New Expressions forRiemann’s Functions

!

"(s) ja

!

"(t),” ibid, vol. 46; “Highly CompositeNumbers,” Proc. London Math. Soc., vol. 14 ... Yhteisjulkaisut G.H. Hardyn,F.R.S., kanssa: “Une formule asymptotique pour le nombre des partitions den,” Comptes Rendus, 2. Jan. 1917...” Royal Societyn kokouksen oli määrä valita uudet fellow’t 104 hakijanjoukosta 24. tammikuuta 1918. Valituksi tulisi luultavasti vain muutama.Ramanujanin matemaattiset ansiot olivat kiistattomia, mutta hän oli nuori,juuri 30 vuotta täyttänyt, ja ensimmäistä kertaa ehdolla. Hardy ja Littlewoodolivat kumpikin tulleet valituiksi 33-vuotiaana. Huoli Ramanujaninterveydestä sai Hardyn toimimaan aktiivisesti tämän nimityksen puolesta. Hänkirjoitti Royal Societyn puheenjohtajana toimineelle John Joseph Thomsonille,joka oli voittanut Nobelin palkinnon 1906.“Hyvä Thomson, haluaisin kertoa selvemmin mikä Ramanujanin tilanne on. En olisi tehnytniin, ellette olisi pyytänyt minua sitä tekemään: pelkään suuresti nostavani

40

ennakkoluuloja painostuksellani, onhan hän ehdolla fellowksi sekä Trinityssäettä Royal Societyssä. Ellei hän olisi sairas, olisin lykännyt hänen ehdolle asettamistaan ehkävuodella. Ei siksi, etteivätkö hänen ansionsa olisi riittävän vahvat, vaanainoastaan antaakseni asioiden soljua tavanomaista uomaansa. Tässätilanteessa mielestäni aikaa ei ole hukattavaksi. Tuskin uskalsin toivoa, ettähänellä olisi paljonkaan toiveita tänä vuonna — en tiedä onko hänellä vai ei.Jos on, hänen sairaudellaan on epäilemättä suuri osa asiassa, siksi haluankertoa Teille kuinka asiat (siten kuin tiedän) ovat. Batty Shaw sai selville, mitä toiset lääkärit eivät tienneet, että hän olileikkauksessa nelisen vuotta sitten. Hänen pahin teoriansa on, ettäleikkauksessa oli todellisuudessa poistettu pahanlaatuinen kasvain, jokadiagnosoitiin väärin. Siinä valossa, että Ramanujanin vointi ei nyt oleheikompi kuin kuusi kuukautta sitten, hän on luopunut tästä teoriasta — muutlääkärit eivät koskaan tukeneet sitä. Tuberkuloosi on tilapäisesti hyväksytty teoria, tästä erillään, koskaalkuperäinen ajatus vatsahaavasta on hylätty. Hänellä on lämmönnousua jokailta, ja hän tuntee jatkuvasti olonsa heikoksi. On kuitenkin varmaa, etteikeuhkoissa ole mitään pahempaa vikaa: ei yskimistä eikä syljeskelyä. Lisäksitri Kincaid, joka johtaa Matlockia, kertoi minulle olevansa yhä epävarmaasiasta. Hän ajatteli, että kyseessä saattaisi olla joku tuntematon itämaisenbakteerin aiheuttama vaiva, jota ei vielä ole tutkittu riittävästi. Mitä minuun tulee, ajattelen että todennäköisesti hän on hengissä vielävuoden päästä, ja että hän saattaa parantua täydellisesti. Jos hän olisi Jeansinkaltainen — miehen joka kävi tieteellisen taistelun tullakseen kuntoon —hänellä olisi paljon paremmat mahdollisuudet. Kaikkien intialaisten tapaanhän on fatalisti, ja on hirmuisen hankalaa saada hänet huolehtimaan itsestään.Kaikki ovat huolissaan myös siitä, miten jatkuva sairaus ja yksinäisyysvaikuttaa hänen mieleensä. Kuten sanoin, olen hermostunut siitä että yritän kiirehtiä häntä: olen myöstietoinen siitä, että juuri nyt en ole paras mahdollinen tukija. Ymmärrän myösettä Royal Societyllä on paljon muitakin asioita mietittävänä. Mutta ei oleepäilystäkään (etenkin fellowksi valitsematta tulemisen aiheuttamanpettymyksen takia) siitä, etteikö mikä tahansa huomattava tunnustus olisi nythänelle valtavan tärkeä asia. Se antaisi hänen tuntea olevansa menestys, ja ettäsitä kannatti tavoitella. Tämä on minusta tärkeää eikä niinkään se, että RoyalSociety saattaisi menettää hänet kokonaan. Kirjoitan tätä sen olettamuksen varassa, että hänen saavutuksensa ovatsellaisia, ettei niitä pitkässä juoksussa voida kiistää. Tämä on minulle ilmeistä.Hänen ja muiden matemaattisten ehdokkaiden välillä on valtava ero.

Vilpittömästi TeidänG.H. Hardy”

(Harold Batty Shaw oli lontoolainen keuhkosairausspesialisti. Ramanujaninleikkauksesta oli kulunut yhdeksän eikä neljä vuotta. Sir James HopwoodJeans toimi astronomian ja teoreettisen fysiikan alalla. Hän sairastituberkuloosin, mutta parani ennalleen.)

Hardyn kirjeessä ei ollut päiväystä, mutta se oli luultavasti kirjoitettuhelmikuun alkupuolella, joka tapauksessa ennen 21. päivää. Royal Societyn

41

johtokunta kokoontui 14. ja 21. helmikuuta, jolloin valinnat lyötiin lukkoon.Sillä oli myös Ramanujanin nimi. Tämä lista vahvistettiin 28. helmikuuta janimet julkaistiin Nature-lehdessä 7. maaliskuuta. Varsinainen virallinennimeämiskokous pidettiin 2. toukokuuta 1918. Monin paikoin kiinnitettyhuomiota siihen, että Hardyn kirjeessään mainitsema Jeans kuului tuolloinseuran johtokuntaan. Ramanujan kirjoitti kotiin Intiaan 11. helmikuuta yli vuoden tauon jälkeen.Vähän aikaisemmin oltuaan käymässä Lontoossa hän oli yrittänyt tappaaitsensä. Eräällä Lontoon maanalaisen asemalla hän heittäytyi kiskoillelähestyvän metrojunan eteen. Ihmeen kaupalla juna ehti jarruttaa ja pysähtyäjuuri ennen törmäystä. Ramanujan selvisi tapauksesta naarmuilla, muttatietenkin hänet pidätettiin ja vietiin Scotland Yardiin. Itsemurhan yrittäminenkatsottiin rikokseksi. Poliisit kutsuivat Hardyn paikalle. Tämä käytti kaiken arvovaltansa javiehätysvoimansa saadakseen Ramanujanin vapaaksi. Tämä mies oli suuriSrinivasa Ramanujan, Royal Societyn fellow. Royal Societyn fellow’ta eiyksinkertaisesti voinut pidättää. Itse asiassa Ramanujania ei vielä ollut valittuF.R.S:ksi. Vaikka hän olisikin ollut jo fellow, ei ole luultavaa, että mikään lakiolisi kieltänyt pidättämästä häntä. Poliisit tutkivat tapausta ja kuulivat Ramanujanin todella olevan kuuluisamatemaatikko. Niinpä he päättivät antaa tämän mennä. “Emme halunneetpilata hänen elämäänsä”, tapauksesta vastannut poliisi kertoi myöhemmin. Helmikuun lopulla Ramanujan sai kuulla tulleensa valituksi Cambridgenfilosofiseen seuraan Cambridge Philosophical Societyyn. Kymmenisen päiväämyöhemmin Ramanujan sai Hardylta sähkeen, jossa tämä kertoi Ramanujaninvalinnasta filosofiseen seuraan. Miksi Hardy lähetti sähkeen kertoakseenasian, jonka Ramanujan jo tiesi? Hän luki sähkeen uudelleen ja uudelleen,kunnes asia alkoi valjeta hänelle. Hardy ei kertonut Ramanujanin tulleenvalituksi Cambridge Philosophical Societyyn, vaan Royal Societyyn. 104ehdokkaan joukosta Ramanujan ja 14 muuta saattoivat toukokuussa liittäänimeensä kirjaimet F.R.S. Palattuaan Matlockin parantolaan Ramanujan kirjoitti Hardylle:“Hyvä herra Hardy, Sanani eivät riitä ilmaisemaan kiitollisuuttani Teille. En edes uneksinutvalituksi tulemisen mahdollisuudesta. Kun avasin sähkeenne luin kolmasti‘Fellow Philosophical Society’ ‘Royal Societyn’ asemesta — sain aivanäskettäin kuulla tulleeni valituksi Cambridgen filosofiseen seuraan — ja olihyvin ihmeissäni siitä, että lähetitte Piccadillyltä sähkeen kertoaksenne asiasta.Vasta tovin kuluttua luin sähkeenne oikein. Olkaa hyvä ja välittäkää sydämelliset kiitokseni majuri MacMahonille jaherra Littlewoodille. Olen pahoillani etten ole kirjoittanut heille, mutta minullaei ole heidän osoitteitaan.

Ikuisesti TeidänS. Ramanujan”

Intiassa Ramanujanin nimityksestä oltiin innoissaan. Madrasinmatemaattisen yhdistyksen jäsenet lähettivät Hardylle kiitoskirjeen 22.maaliskuuta. Kirjeen jälkikirjoituksessa P.V. Seshu Iyar lähetti Hardyllehenkilökohtaiset kiitoksensa siitä, että tämä oli huolehtinut Ramanujanistaniiden kuukausien aikana, jolloin hänen terveytensä ei ollut hyvä.

42

Ramanujanin terveys oli huono vielä toukokuussa, jolloin hänen oli määräottaa Royal Societyn jäsenyys muodollisesti vastaan Lontoossa. Hän kirjoittiseuralle ja anoi lykkäystä. Loppukeväästä 1918 Ramanujan sai uudelleen yhteyden A. S.Ramalingamiin, jonka hän oli tavannut Lontoon vastaanottokeskuksessa hetiEnglantiin saavuttuaan. He eivät olleet tavanneet tällä välin, sillä Ram oli ollutasepalveluksessa ja vuodesta 1916 työskennellyt laivanvarustamollaJarrowssa, lähellä Skotlannin rajaa. Ram luki lehdestä Ramanujaninnimityksestä, kirjoitti Ramanujanille Cambridgeen ja, kun vastausta eikuulunut, kirjoitti Hardylle. Tämä selosti Ramanujanin tilanteen ja Ramkirjoitti nyt Ramanujanille Matlockiin. Ram oli saanut kotoa runsain mitoin ruokalähetyksiä, joista hän nyt tarjosiosaa Ramanujanille. Tämä halusi vain gheetä, kirkastettua voita, ja joitakinvahvasti maustettuja madrasilaisia ruokia. Ram matkusti katsomaanRamanujania 16. kesäkuuta ja jäi sinne kolmeksi päiväksi. Häntä olivaroitettua Ramanujanin mielentilasta, mutta se tuntui nyt olevan kunnossa.Muutoin Ramanujan oli kuitenkin (enemmän kuin kuvaannollisesti) vain varjoentisestään. Ram kirjoitti Hardylle pitkän kirjeen palattuaan Jarrow’iin 23. kesäkuuta:“Hyvä herra, Olen Teille hyvin kiitollinen ystävällisestä vastauksestanne 26. viime kuuta,jossa kerroitte ystäväni herra S. Ramanujanin kuulumisista ja sairaudesta. Sopimuksen mukaan vierailin Ramanujanin luona viime sunnuntaina (16.kesäkuuta) ja viivyin hänen luonaan itse parantolassa tiistai-iltapäivään.Minun sanottava, että olin järkyttynyt ja kauhuissani nähdessäni kuinka laiha,heikko ja riutunut hän oli.” Ram esittelee itsensä Hardylle ja kertoo taustastaan. Sitten hän alkaakäsitellä yksityiskohtaisesti Ramanujanin tilannetta ja ruokahuoltoa.... “Ruoan osalta minun on kirjoitettava kovaa ja selkeää tekstiä melkoisenlaajasti. Aamiaiseksi hän söi munakokkelia tai paahtoleipää teen kanssa. Tätätuskin voidaan parantaa, vaikka voisin keksiä jotain, joka maistuisiRamanujanista paremmalle, mutta terveyden kannalta tätä ateriaa ei tarvitseparantaa. Lounaaksi hän sai (maustamatonta) keitettyä riisiä, chiliä ja sinappia voissapaistettuna, sitten myös kurkkua ja sitruunaa. Lääkäri ystävällisesti järjestierityisesti hänelle vihreitä papuja päiväksi tai pariksi. Väitän, että tätä ateriaavoisi parantaa huomattavasti. Iltapäivätee: enemmän tai vähemmän aamiaisen kertausta. Kuitenkin munientilalla saattoi joskus olla vihreitä sipuleita. Illallinen. Enemmän tai vähemmän lounaan kertaus + lasillinen maitoa. Uskon että maitolasillinen tarjotaan myös lounaan yhteydessä. Maanantaina kysyin lääkäriltä suositteliko tai kielsikö hän mitään tiettyjäruokavalion aineksia, kuten kirpeää curryä. Lääkäri vastasi, että Ramanujansai syödä mitä vain halusi.”...... “Nyt haluaisin esittää Teille joitakin ehdotuksia. Ennen sitä haluankuitenkin kiinnittää huomionne seuraavaan seikkaan. Ramanujan ei ole vainkasvissyöjä, hänellä vahvasti madrasilainen maku. Mikä on pahempaa, hän onepäilee jatkuvasti, että hänelle yritetään syöttää lihaa. Aion kirjoittaa hänelle janeuvoa häntä valitsemaan sen välillä että tappaisi makutottumuksensa —niiden kontrolloiminen riittäisi — tai että tappaisi itsensä. Hän vaalii

43

vegetarianismiään jopa terveytensä ja henkensä uhalla. Hänen ei kuitenkaanvoi ajatella kiukuttelevan tai olevan itsepäinen silloin, kun hän kieltäytyykermasta ja luumuista; häne ei pidä myöskään kaurapuurosta tai –vellistä.Ratkaisu on hankkia hänelle madrasilaisia ruokalajeja: mutta onko semahdollista; ovatko ne hyväksi hänen terveydelleen?”...

Syksyllä 1918 Ramanujanille haettiin jälleen Trinityn fellow’n asemaa. Tälläkertaa Hardy, jolla yhä oli hankaluuksia Trinityssä, ei laittanut anomukseennimeään, vaan sen allekirjoitti Littlewood. Rasismi nosti jälleen päätään, jaLittlewood kirjoitti “erään Ramanujanin ehdokkuuden vastustajista avoimestisanoneen, ettei hän hyväksy mustan miehen valitsemista fellowksi.” MyösRamanujanin itsemurhayritystä yritettiin käyttää hyväksi hänenmustamaalaamisekseen: hänen mielenterveytensä asetettiin kyseenalaiseksi. Littlewood leikkasi siivet panetteluilta kirjoittamalla valintakomiteallekirjeen, johon hän liitti kaksi lääkärintodistusta, jotka kiistatta totesivatRamanujanin mieleltään terveeksi. Komitean kokouksessa ei siten ryhdyttyrepostelemaan Ramanujanin mielenterveyttä, vaan siirryttiin käsittelemäänhänen ansioitaan. Tässä Royal Societyn jäsenyys oli painava meriitti.Littlewood mainitsi eräälle Ramanujanin valinnan vastustajalle, että “F.R.S:ääei voinut hylätä.” “Niin,” tämä vastasi, “se olikin likainen temppu.” Tullessaan vihdoin valituksi Trinityn fellowksi Ramanujan ei enää ollutMatlockissa. Hänen vointinsa oli sen verran parempi, että hän oli voinut lähteäLontooseen, jossa hän asui pienessä sairaalassa, Fitzroy Housessa, kaupunginkeskustassa. Nyt Ramanujanin oli helpompi saada intialaista ruokaa. ToisaaltaLontoota ei voinut kutsua turvalliseksi, sillä saksalaisten ilmahyökkäyksetjatkuivat. Useat lääkärit tutkivat Ramanujanin, mutta hänen sairautensa diagnostisointioli yhtä vaikeaa kuin ennenkin. Hänelle nousi aika ajoin kova kuume, jahänellä oli kipuja, joita ei onnistuttu paikantamaan. Tautia hoidettiin edelleentuberkuloosina, vaikka keuhko-oireita ei esiintynyt. Ramanujanin tauti oli alkanut äkillisesti, ja sitä pidettiin aluksi vatsahaavana.Hänen vaivansa lievittyivät ja oireet muuttivat muotoaan, jolloin ajoittainenkuumeilu sai lääkärit kallistumaan tuberkuloosin kannalle. Tosin tämäkääntaudinmääritys ei sopinut oireisiin. Seuraava arvaus oli syövän etäispesäkemaksassa. Tapauksen arveltiin liittyvän Ramanujanin leikkaukseen Intiassavuosia aikaisemmin. Lontoossa Fitzroy Housessa veikattiin jonkinlaistaverenmyrkytystä, sillä kuumeilu oli harventunut ja se loppui vähitellenkokonaan.

Ramanujanin oireiden, hoitojen ja niihin reagoimisen perusteella 1994tehdyssä analyysissä englantilainen lääkäri D. A. B. Young, WellcomeFoundationin entinen vastaava tutkija, päätyi poissulkemismenetelmälläameeban aiheuttamaan trooppiseen maksatulehdukseen. Myös 1930-luvullatunnettu lääketieteen käsikirja (T. D. Savill: System of Clinical Medicine,1930) kehottaa “(epäilemään) loisperäistä maksatulehdusta (hepaticamoebiasis) aina, kun trooppisesta maasta tuleva potilas kuumeilee oudosti.”Tämä tautui oli jokseenkin laajalle levinnyt 1900-luvun alkupuolen Intiassa,erityisesti Kalkutan (Kolkatan), Bombayn (Mumbain) ja Madrasin (Chennain)alueilla. Taudin levinneisyyden tarkka määrittäminen on vaikeaa, koskavaltaosa sairastuneista on oireettomia taudinkantajia. Ameeban aiheuttama

44

maksatulehdus on hoitamattomana pysyvä infektio, vaikka monet potilaat ovatpitkiäkin aikoja oireettomia. Sairauden puhkeamiseen riittää isäntä-lois-suhteen tasapaino häiriytyminen, mikä Ramanujanin tapauksessa saattoi johtuapuutteellisesta ja liian yksipuolisesta ravinnosta ja stressistä.

Arvonimi F.R.S. paransi Ramanujanin mielialaa, ja hän jaksoi taas paneutuatarmokkaasti työhön. Hän paneutui nyt ositusfunktioon ja Rogersin-Ramanujanin identiteetteinä (Leonard James Rogersia on pidettyamatöörimatemaatikkona hänen muiden taitojensa vuoksi. Hänellä olikuitenkin matematiikan professuuri sittemmin University of Leedsinätunnetussa oppilaistoksessa.) tunnetuksi tuleviin tuloksiin. Lokakuussa 1917Rogers lähetti Macmahonille todistuksen. Huhtikuussa Ramanujan lähettiHardylle omansa. Molemmat todistukset, yhdessä Ramanujaninkongruenssiartikkelin kanssa, esitettiin Filosofisen seuran kokoukselle 28.lokakuuta 1918. Sota loppui 11. marraskuuta julistettuun tulitaukoon. Pari viikkoamyöhemmin 26. marraskuuta Hardy kirjoitti Madrasiin Francis Dewsburylle:“Hyvä herra, olen jo joitakin päiviä aikonut kirjoittaa Teille Ramanujanista , muttatyöpaineet ovat estäneet sen. Luulen, että nyt on aika harkita kysymysta hänentilapäisestä paluustaan Intiaan, ja hänen tulevaisuudestaan yleensäkin...”

8 Paluu Intiaan

Hardy kirjoitti Dewsburylle Ramanujanin olevan parantumassa. Kuume olipoissa ja hänen painonsa oli noussut. Sodan loppumisen vuoksi matkan Intiaanvoisi nyt tehdä turvallisesti, mutta ongelmaksi nousi kuinka ehdottaaRamanujanille kotiin lähtemistä. Hardy esitti Dewsburylle toivomuksenvirallisesta pyynnöstä, joka osoitettaisiin sekä Ramanujanille että Hardylle. JosRamanujan lisäksi saisi viran yliopistosta ja takeet mahdollisuudesta vieraillaEnglannissa, hän ehkä suhtautuisi myönteisesti ajatukseen. Aselevon solmimisen aikoihin Ramanujan oli muuttanut LontoostaPutneyhin, jossa hän asui uudessa parantolassa, Colinette Housessa. Jo vuonna1917 Ramanujanin äiti kuullut Madrasissa, että Ramanujanille oltiinvalmistelemassa professuuria. Palkka olisi 400 rupiaa kuussa. F.R.S. –tittelintultua tietoon Ramanujanille myönnettiin 250 punnan vuotuinen apuraha(Trinityn fellown palkan lisäksi). Tämä myönnettiin heti kuudeksi vuodeksi.Myös vierailumahdollisuudet Englantiin olivat heti kunnossa. Ramanujan kirjoitti Dewsburylle 11. tammikuuta 1919:“Hyvä herra, pyydän vahvistaa 9. joulukuuta 1918 päivätyn kirjeenne saapumisen, jakiitollisena hyväksyä anteliaan avun, jonka yliopisto minulle tarjoaa. Tunnen kuitenkin, että Intiaan saapumiseni jälkeen, minkä odotantapahtuvan niin pian kuin järjestelyt saadaan tehdyiksi, kokonaissumma rahaa,jonka olen saamassa, olisi paljon enemmän kuin mitä tarvitsen. Toivoisinkin,että, kun kuluni Englannissa on maksettu, 50 puntaa vuodessa maksettaisiinvanhemmilleni. Ylijäävä osa, sen jälkeen kun välttämättömät kuluni onkatettu, voitaisiin osoittaa johonkin koulutukselliseen tarkoitukseen, kuten

45

köyhien poikien ja orpojen koulumaksujen alentamiseen ja koulukirjojenhankkimiseen heille. Epäilemättä tämä voidaan järjestää paluuni jälkeen. Olen hyvin pahoillani, etten ole ollut terve. En ole kahden viimeisen vuodenaikana pystynyt harjoittamaan niin paljon matematiikkaa kuin olisin halunnut.Toivon pian voivani tehdä enemmän, ja teen parhaani ansaitakseni avun, jonkaolette minulle antaneet.

Kuuliainen palvelijanneS. Ramanujan”

Ramanujanin piti ottaa vastaan Trinityn fellown asema virallisesti 22.helmikuuta 1919 antamalla sääntöjen määräämä juhlallinen vakuutus Trinitynkappelissa. Siinä uusi fellow lupaa noudattaa sääntöjä ja määräyksiä ja hyviätapoja, ja kaikessa edistää Trinityn etua. Hän oli kuitenkin liian sairasosallistuakseen tilaisuuteen, joten hän antoi vakuutuksensa kirjallisenatodistajan läsnäollessa. Pari päivää sen jälkeen kun hänen olisi pitänyt olla Cambridgessä antamassavakuutustaan, Ramanujan teki hakemuksen ulkomaanpassia varten. Passiavarten otettu valokuva on kuuluisin Ramanujanista otettu, sillä se löysimyöhemmin tiensä intialaiseen postimerkkiinkin. Ramanujanin ystäviä kuvakuitenkin kauhistutti. Siinä ei ollut se Ramanujan, jonka he tunsivat, vaanlaihtunut, sairas mies. Ramanujanin kirje Dewsburylle, jossa hän ilmoitti haluavansa antaa osantuloistaan hyväntekeväisyyteen, ei ilahduttanut Ramanujanin vanhempia,joiden mielestä raha olisi kuulunut heille. On myös epätodennäköistä, ettäRamanujanin pyyntöä olisi koskaan toteutettu. Ramanujan astui S.S. Nagoyan kannelta Bombayn satamalaiturille 27.maaliskuuta 1919, Häntä olivat vastassa äiti Komalatammal ja veli LakshmiNarasimhan. Janaki ei ollut mukana. Ramanujanin kysyessä missä tämä oli,Komalatammal vain tuhahti, että mitä hänestä kyselemään. Perheriita, joka olialkanut jo vuosia sitten, oli yhä voimissaan. Janaki oli yhä veljensä luona, minne hän oli matkustanut häihin yli vuottaaikaisemmin. Hänellä ei ollut ollut mitään yhteyttä miehensä sukulaisiin,mutta hän oli lehdestä lukenut tämän paluusta Intiaan. Veli R. SrinivasaIyengar oli neuvonut Janakia pysymään poissa Bombaysta, jonneKomalatammal oli menossa poikaansa vastaan. Vähän myöhemmin Janaki saikuitenkin kirjeen Lakshmi Narasimhanilta. Kirjeen viesti oli, että Ramanujanhalusi tavata hänet. Ramanujan saapui Madrasiin 2. huhtikuuta. Ramachandra Rao totesimyöhemmin Ramanujanin näyttäneen hyvin sairaalta. Janaki ei ollut vieläsaapunut, mutta vieraita riitti muuten väsymiseen asti. Ramanujanille olijärjestetty asunto Edward Elliots Roadin varrelta viitisen kilometriä eteläänrautatieasemalta. Asunto oli väljä ja mukava. Ramanujanin saapuessa paikalliset lehdet julkaisivat Dewsburyn toimistontietojen pohjalta hänen elämäntarinansa, mutta Sir Francis Spring ei ollutsiihen tyytyväinen. Hän kirjoitti erääseen sisäiseen muistioon, että “tämä eiriitä tyydyttämään oikeutettua julkista kiinnostusta mieheen, jonkamatemaattinen nerous voi tuottaa maailmalle suuria asioita, ja on niin jotehnytkin.” 6. huhtikuuta ilmestyikin laajempi tarina Ramanujanista. Vierailijoita tulvi Ramanujanin luo. Hänelle tarjottii yliopiston professuuria,jonka hän sanoi ottavansa vastaan voidessaan paremmin. Eri tahot tarjoutuivat

46

maksamaan Ramanujanin lääkärinkulut. Hänelle tarjottiin myös asuntoja.Vieraiden joukossa olivat myös Ramachandra Rao, Sir Francis Spring jaNarayana Iyer. Suojatakseen Ramanujania liialta väenpaljoudelta hänen lääkärinsä M. C.Nanjunda Rao siirsi hänet asumaan Venkata Vilasiin, vajaan kilometrinkauemmas etelään. Tänne saapui vihdoin Janaki veljineen 6. huhtikuuta.Viikkoa myöhemmin Kumbakonamista tulivat Ramanujanin isä, isoäiti januorempi veli. Janakin ja Ramanujanin tapaaminen aloitti uuden luvun heidän suhteessaan.Aikaisemmin Janaki oli ollut pikkutyttö, mutta nyt hän oli aikuinen. He myöskeskustelivat paljon. Jos Janaki oli muuttunut, niin oli myös Ramanujan. Hänoli laihtunut, hänen ulkomuotonsa oli muuttunut ja sairaus näkyi päälle päin.Hänen iloisuutensa oli myös poissa, hän vaikutti masentuneelta ja itseensäsulkeutuneelta. Hän oli myös kärttyisä ja ärähti helposti, jos jokin ei sujunuthänen mielensä mukaan. Kesän kuumuuden lähestyessä lääkärit kehottivat Ramanujania hakeutumaanviileämpään ilmanalaan Coimbatoreen, mutta Komalatammalin vaikutuksestaperhe päätyi Kodumundiin, joka oli kuuluisa Magudeswaran temppelistä, jossasaattoi palvoa Brahmaa, Vishnua ja Sivaa. Kodumundi oli Cauveryjoenvarrella, kuten Ramanujanin vanha kotikaupunki Kumbakonamkin. Näidenkaupunkien välimatka olikin vain kolmisenkymmentä kilometriä. Ramanujan perheineen asui East Agraharam Streetin varrella, lähelläkeskustaa. Täällä Ramanujan ja Komalatammal ottivat ensi kertaa yhteen. Jotulomatkalla Ramanujan oli halunnut matkustaa ensimmäisessä luokassa,mutta Komalatmmalin vaatimuksesta liput hankittiin toiseen tai kolmenteenmluokkaan. Nyt riidan aiheena oli Janaki. Ramanujan oli lähdössä joelle kylpemään. Janaki pyysi päästä mukaan,Ramanujan antoi luvan mutta Komalatammal kielsi. Ramanujan piti päänsä, jatästä lähtien Janakin asema perheessä kohentui. Ramanujan sanoi Janakille,että jos tämä olisi ollut hänen kanssaan Englannissa, hän ei olisi sairastunut.Komalatammal yritti vielä lähettää Janakin pois, mutta Ramanujan eisuostunut siihen. Kodumundissa vietetty aika jäi lopulta pariin kuukauteen, sillä lääkäritkehottivat yhä Ramanujania muuttamaan Coimbatoreen. Lopulta he kuitenkinpäätyivät kotiin Kumbakonamiin. Perheen vanha koti Sarangapani Sannidhi–kadun varrella ei kuitenkaan sopinut, koska Ramanujan tarvitsi hoitoa. Hardy oli Royal Societyn kautta ollut yhteydessä Madrasiin, ja sieltälähetettiin uusi lääkäri hoitamaan Ramanujania. Chandrasekhara oli kokenutlääkäri, hygienian ja fysiologian professori Madrasin lääketieteellisessäkorkeakoulussa. Mikä tärkeintä, hän oli myös maan tunnetuimpiatuberkuloosin asiantuntijoita. Tavattuaan Ramanujanin ja tutkittuaan häntä ylitunin ajan, professorin diagnoosi oli valmis: tuberkuloosi. Ramanujanissa tautioli pitkälle edistyneessä vaiheessa, joten hänen kohtalonsa oli enemmän‘jumalan kuin lääketieteen keinojen’ varassa. Chandrasekhara halusi siirtää potilaansa takaisin Madrasiin ilmojen hiemanviilettyä, mutta Ramanujan ei ollut innokas muuttamaan jälleen. Lopultavuoden vaihduttua seurue asettui tammikuun alkupäivinä 1920 asumaanHarrington Roadille Madrasiin. Pian he kuitenkin muuttivat lähistöllesuurempaan asuntoon.

47

Matematiikka ei ollut pudonnut kuvasta, vaikka Ramanujanin voimat olivatheikentyneet. Hän kirjoitti lähes vuoden tauon jälkeen pitkän kirjeen Hardylle12. tammikuuta 1920.“Olen äärimmäisen pahoillani etten ole kirjoittanut Teille yhtään kirjettä tähänasti... Olen löytänyt hyvin mielenkiintoisia funktioita, joita kutsun “vale”-

!

" -funktioiksi. Toisin kuin “väärät”

!

" -funktiot (joita prof. Rogers on osintutkinut kiinnostavassa artikkelissaan) ne ilmaantuvat matematiikkaan yhtäkauniisti kuin tavanomaiset

!

" -funktiot. Lähetän Teille tässä kirjeessä joitakinesimerkkejä... . Jos tarkastelemme

!

" -funktiota muunnetussa Eulerin muodossa, esim.

(A)

!

1+q

(1" q)2

+q4

(1" q)2(1" q

2)2

+q9

(1" q)2(1" q

2)2(1" q

3)2

+ ...

(B)

!

1+q

1" q+

q4

(1" q)(1" q2)

+q9

(1" q)(1" q2)(1" q

3)

+ ...

ja määritämme singulariteettien luonteen pisteissä q=1,

!

q2

=1,

!

q3

=1,

!

q4

=1,

!

q5 =1, ... tiedämme miten kauniisti funktion asymptoottinen muoto voidaanilmaista hyvin siistissä ja suljetussa eksponettimuodossa. Esimerkiksi kunq=

!

e"t ja

!

t" 0

(A)

!

1

2"exp(

"2

6t#t

24)$+o(1)†

(B) =

!

exp("2

15t#t

60)

5 # 5

2

$+o(1)†

ja samankaltaisia tuloksia muissa singulariteeteissä.* Ei ole välttämätöntä, ettäolisi vain yksi tällainen termi. Termejä voi olla useita, mutta niiden määrä onvälttämättä äärellinen.† Myös o(1) voi joskus olla O(1). Siinä kaikki.Esimerkiksi kun

!

q"1, funktio

!

1

{(1" q)(1" q2)(1" q

3)...}

120

on ekvivalentti viiden termin summan kanssa, kuten (*) yhdessä O(1):n kanssao(1):n asemesta. Jos me otamme joukon (A):n ja (B):n kaltaisia funktioita, vain rajatussamäärässä tapauksia termit sulkeutuvat kuten yllä; mutta valtaosassa tapauksiane eivät koskaan sulkeudu kuten yllä. Esimerkiksi kun

!

q = e"t ja

!

t" 0

(C)

!

1+q

(1" q)2+

q3

(1" q)2(1" q2)2+

q6

(1" q)2(1" q2)2(1" q3)2+ ...

!

=1

2 5exp(

"2

5t+ a1t + a2t

2+ ...+O(akt

k )) ,

48

missä

!

a1

=1

8 5, jne. Funktio (C) on yksinkertainen esimerkki funktiosta, joka

esiintyy singulariteeteissä ei-suljetussa muodossa.

* Kerroin 1/t indeksissä e sattuu olemaan

!

"2

5 tässä nimenomaisessa

tapauksessa. Muissa tapauksissa se voi olla joku muu transsendenttiluku.

† Kertoimet t,

!

t2, ... sattuvat olemaan

!

1

8 5 tässä tapauksessa. Muissa

tapauksissa ne voivat olla muita algebrallisia lukuja.

Nyt herää hyvin mielenkiintoinen kysymys. Ovatko muotoja (A) ja (B)koskevat käänteiset väitteet tosia?...”

Kirjeen lopussa Ramanujan selostaa vielä sivukaupalla havaintojaan vale-

!

" -funktioista. Yli 60 vuoden ajan ainoa informaatio Ramanujanin työstä vuosina 1919-20oli löydettävissä tästä hänen viimeisestä kirjeestään Hardylle. Sittemmin ne onlöydetty hänen “kadonneesta muistikirjastaan” George Neville Watson kirjoitti myöhemmin Ramanujanin viimeisistävaiheista: “Ramanujanin keksimät vale-

!

" -funktiot tekevät selväksi, etteiväthänen taitonsa ja nerokkuutensa hylänneet häntä ennenaikaisen lähdönlähestyessä. Kuten suuri osa hänen aikaisempaa työtänsä, vale-

!

" -funktiot ovatriittävä saavutus siihen, että hänen nimensä muistetaan pysyvästi. Hänenopiskelijoilleen tällaiset löydöt tulevat olemaan ilon ja ihmettelyn lähde...” Koko viimeisen vuotensa Intiassa Ramanujan työskenteli vale-

!

" -funktioiden, q-sarjojen ja niihin liittyvien aiheiden kanssa. Hänen tuloksensatäyttivät muistikirjan sivun toisensa jälkeen. Yhden arvion mukaan niissä olinoin 650 kaavaa. Kului puoli vuosisataa, ennenkuin amerikkalainenmatemaatikko George Andrews alkoi käydä läpi “kadonneen” muistikirjanmateriaalia. Andrews oli hämmästynyt ja vaikuttunut Ramanujanin tulosten rikkaudestaja siitä, kuinka joku oli ylipäätään tullut ajatelleeksi mitään sellaista. Hänkertoi viidestä päällisin puolin samankaltaisesta kaavasta, joista “ensimmäisentodistaminen vei 15 minuuttia, toisen tunnin. Neljäs seurasi toisesta, muttakolmannen ja viidennen todistamiseen kului kolme kuukautta.” Keväällä 1920 Ramanujanin vointi heikkeni edelleen. Hän ei elätellyt turhiatoiveita tulevaisuudestaan. Sen sijaan hän toistuvasti totesi lääkärilleenmenettäneensä halun elää. Vielä tammikuussa kirjoittaessaan Hardylle hän olisuunnitellut joidenkin matemaattisten aikakauslehtien tilaamista, muttaoptimismi ei kestänyt kauaa. Viimeisinä aikoina Ramanujan lähentyi edelleen Janakin kanssa, vaikkaJanakin ja Komalatammalin riidat kiusasivat häntä. “Hän oli aina kilttiminulle”, Janaki muisteli myöhemmin, “keskustelussa hän oli täynnä älyä jahuumoria.” Loppuun asti Ramanujan rakasti vitsien ja tarinoiden kertomista.Niinkuin silloin, kun eräs englantilainen oli kutsuttu Ramanujanin luosyömään. Tämä oli valmistanut eteläintialaista ruokaa, ja ilmettä, joka nousi

49

englantilaisen kasvoille tämän puraistessa vahvaa chilipippuria, oli mahdotonkuvailla... Ramanujan kärsi kivuista, hän oli laihtunut lähes luurangoksi, mutta silti häntyöskenteli. Janaki sai kerätä talteen paperit, jotka olivat täynnämuistiinpanoja. Vielä neljä päivää ennen kuolemaansa hän oli täydessä työntouhussa. Ramanujan menetti tajuntansa varhain aamulla 26. huhtikuuta 1920. Janakiistui hänen luonaan kaksi tuntia ja yritti saada hänet juomaan hieman. Sitten,vielä aamupäivän puolella, Ramanujan kuoli vaimonsa, vanhempiensa,veljiensä ja joidenkin ystävien ollessa läsnä. Hän eli 32-vuotiaaksi.

Lähteet

[1] Berndt, B. C. 2006. Number Theory in the Spirit of Ramanujan.American Mathematical Society. Providence, Rhode Island.

[2] Berndt, B. C. and Rankin, R. A. 1995. Ramanujan: letters andcommentary. American Mathematical Society. Providence, RhodeIsland, London Mathematical Society.

[3] Berndt, B. C. and Rankin, R. A. 2001. Ramanujan: essays and surveys.American Mathematical Society, London Mathematical Society.

[4] Boyer, C. B. 2000. Tieteiden kuningatar: matematiikan historia I-II.Art House. Helsinki. (Suomennos: Pietiläinen, K.)

[5] Derbyshire, J. 2006. Alkulukujen lumoissa. Terra Cognita. Helsinki.(Suomennos: Pietiläinen, J.)

[6] Hardy, G. H. 1949. Divergent Series. Oxford University Press. Oxford.[7] Hardy, G.H., Seshu Aiyar, P.V. and Wilson, B.M. 1927. Collected

Papers of Srinivasa Ramanujan. The Cambridge University Press,Cambridge. (Reprinted 1962. Chelsea Publishing Company, NewYork.)

[8] Hardy, G. H. and Snow, C. P, (esipuhe). 1997. Matemaatikon apologia.Terra Cognita. Vaasa. (Suomennos: Pietiläinen, K.)

[9] Kanigel, R. 1991. The Man Who Knew Infinity. Scribners. London.