Sinyal dan Sistem Telkom
-
Upload
aditya-widiatama -
Category
Documents
-
view
379 -
download
5
description
Transcript of Sinyal dan Sistem Telkom
PE 2533PE-2533 Si l & Si tSinyal & Sistem
1 Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom
Motivation
LTI System
H(z)+
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom2G(z)
TT 2223TT-2223 Sinyal & SistemSinyal & Sistem
BAB #1:BAB #1: PENDAHULUAN SINYAL & SISTEM
3 Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom
Outline
Sinyal & SistemAnalisis Fourier Waktu KontinyuAnalisis Fourier Waktu DiskritTransformasi ZTransformasi LaplaceTransformasi LaplacePengenalan Filter
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom4
Tujuan
Mendefinisikan beberapa fungsit tik d t di k t kmatematika yang dapat digunakan untuk
mendeskripsikan berbagai variasi sinyalMengenali peristilahan yang menjelaskankarakteristik sistem yang pentingMengembangkan teknik untukmengklasifikasikan sistem sesuai dengang gkarakteristiknya.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom5
Definisi
Sistem dapat didefinisikan sebagaik l bj k disekumpulan objek yang disusun
membentuk proses dengan tujuan tertentu.Sebagai model matematik yangmenghubungkan antara input dan output,umum disebut I/O systemMasukan dari enviroment ke system danykeluaran dari system ke enviroment disebut sinyal.y
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom7
Definisi
Diskrit : hanya terdefinisi pada bilangani tinteger.Kontinyu : di luar definisi diskrit.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom8
Sinyal bisa digambarkan sebagai fungsikt /”ti i l ” d f i f k iwaktu/”time signals” dan fungsi frekuensi.
Sinyal fungsi waktu dapat dibedakanj di Si l W kt K ti (t) dmenjadi Sinyal Waktu Kontinyu (t) dan
Sinyal Waktu Diskrit (n).
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom9
Sistem yang menghubungkan sinyal inputk ti d i l t t k tikontinyu dengan sinyal output kontinyudisebut Sistem Waktu Kontinyu (SWK) danSi t h b k i l i tSistem yang menghubungkan sinyal inputdiskrit dengan sinyal output diskrit disebutSi t W kt Di k itSistem Waktu Diskrit.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom10
x(t)
x(t) SWK y(t) y(t)=T(x(t))
t
y(n)
x(n) SWD y(n)
x(n)
y(n)=T(x(n))y(n) T(x(n))
n
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom11
Sampling
Rekonstruksi
Waktu Kontinyu t Waktu Diskrit
t
Sampling
Pasangan
ℑ ℑ‐1
Kontinyu
Pasangan
ℑ ℑ‐1
Diskrit
Frekuensi KontinyuΩ
y
Frekuensi Diskritω
Rekonstruksi
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom12
Si l i l DSinyal-sinyal Dasar
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom13
Sinyal impulse δ(t),δ(n) Sinyal impuls / delta kontinyu
)t(δ =
=0 t1,
δ(t)
Si l i l / d lt di k it
t1
=ainnyal t 0,
δ(t)
Sinyal impuls / delta diskrit
)n(δ = 0n1
n1
)(
=
=ainnyaln 0,0n 1,
(n)δ
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom14
Setiap sinyal waktu diskrit dapat dinyatakan sebagaideretan sinyal impuls yang dikalikan dengan suatuderetan sinyal impuls yang dikalikan dengan suatukoefisien (konstanta)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom15
Sinyal langkah satuan u(t),u(n)Sinyal impuls / delta kontinyu
)t(δ >=
=0 t1,
u(t)
Si l i l / d lt di k it
t1
=ainnya t 0,
u(t)l
Sinyal impuls / delta diskrit
)n(δ => 0n1
n1
)(
=>
=ainnyan 0,
0n 1,(n)u
l
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom16
Sinyal Segitiga
)t(∧
1
)t(∧
t-1 1
1t1-;1)( ≤≤−= ttλ 1t1 ;1)( ≤≤ttλ
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom17
Sinyal Persegi Rect(t) atau Π(t)
π(t)( )
t-0,5 0,5
1 , -0,5 ≤ t ≤ 0,5Rect(t) = Π(t)=
0 , t lainnya
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom18
Sinyal sinc atau [sin(t)/t]
sinc (t)
t0 1 32-1-2
~t~ t
tsin)t(csin <<π
π=
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom19
tπ
Fungsi Genap &
Fungsi GanjilFungsi Ganjil
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom20
Fungsi Waktu KontinyuSetiap fungsi / sinyal dapat dinyatakansebagai fungsi genap, fungsi ganjil ataubukan fungsi genap maupun ganjil. Berikutcontoh fungsi genap waktu kontinyu danfungsi ganjil waktu kontinyu.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom21
F i G W k K i F i G jil W k K iFungsi Genap Waktu Kontinyu Fungsi Ganjil Waktu Kontinyu
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom22
Pada dasarnya setiap sinyal dapatdi ik j di b i d b idiuraikan menjadi bagian genap dan bagianganjil. Diberikan sinyal g(t) dapatdi k ik k j l hdiekspresikan merupakan penjumlahanbagian genap dan bagian ganjil sebagaib ik tberikut :
g(t) = ge(t) + go(t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom23
Dimana bagian genap dari g(t) adalah :
ge(t) = [g(t) + g(-t)]/2ge( ) [g( ) g( )]
Dan bagian ganjil dari g(t) adalah :
go(t) = [g(t) - g(-t)]/2go( ) [g( ) g( )]
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom24
Sehingga bila diketahui bahwa g(t) adalah fungsi genap,maka :maka :
ge(t) = [g(t) + g(-t)]/2 = g(t) dan go(t) = [g(t) - g(-t)]/2 = 0ge( ) [g( ) g( )] g( ) go( ) [g( ) g( )]
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom25
Begitu pula bila g(t) adalah fungsi ganjil,kmaka :
ge(t) = [g(t) + g(-t)]/2 = 0 dan
go(t) = [g(t) - g(-t)]/2 = g(t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom
26
Contoh soal 1.1.
Periksalah apakah g(t) = 4 cos (3πt)merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil?merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil?
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom27
Solusi :Solusi :
ge(t) = [g(t) + g(-t)]/2 = [4 cos (3πt) + 4 cos (-3πt)]/2ge(t) [g(t) g( t)]/2 [4 cos (3πt) 4 cos ( 3πt)]/2= 8 cos (3πt)/2 = 4 cos (3πt)
Dango(t) = [g(t) - g(-t)]/2 = [4 cos (3πt) - 4 cos (-3πt)]/2 = 0
Jadi g(t) = 4 cos (3πt) adalah fungsi genap
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom28
Contoh soal 1.2.Gambarkan bagian genap dan bagian ganjil dari fungsiGambarkan bagian genap dan bagian ganjil dari fungsi
waktu diskrit berikut ini :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom29
Solusi :g(t) = 1, 0 ≤ t ≤ 1 maka bagian genap dari g(t) adalah ge(t) =
[g(t) + g(-t)]/2 dan bagian ganjil dari g(t) adalah go(t) = [g(t)- g(-t)]/2, dengan gambar sebagai berikut :g( )] , g g g
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom30
Dengan cara yang sama dapat digambarkan bagian genapd i (t) d l h (t) [ (t) + ( t)]/2 d b i jil d idari g(t) adalah ge(t) = [g(t) + g(-t)]/2 dan bagian ganjil darig(t) adalah go(t) = [g(t) - g(-t)]/2, sebagai berikut :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom31
Latihan :1 Jika g(t) adalah 7e-2t-3 tuliskan dan sederhanakan :1. Jika g(t) adalah 7e-2t-3 , tuliskan dan sederhanakan :
a. g(3) b. g(2-t) c. g(t/10 + 4) d. g(jt)
2 D i i i f i (t) k t l h ( t) (t) (t 1) d (2t)2. Dari masing-masing fungsi g(t), sketsalah g(-t), -g(t), g(t-1) dan g(2t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom32
Carilah bagian genap dan bagian ganjil dari fungsiberikut :berikut :
a. g(t) = 2t2 – 3t + 6 c. g(t) = sinc(t)b (t) 20 (40 t /4) d (t) t(2 t)(1 + 4t)b. g(t) = 20 cos (40πt – π/4) d. g(t) = t(2-t)(1 + 4t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom33
Seperti halnya fungsi waktu kontinyu, makaf i kt di k it d t dib d kfungsi waktu diskrit dapat dibedakanmenjadi fungsi genap, fungsi ganjil danb k f i jilbukn fungsi genap maupun ganjil.Namunseperti fungsi waktu kontinyu, setiapf i kt di k it d t di ik j difungsi waktu diskrit dapat diuraikan menjadibagian genap dan bagian ganjil. Berikut
t h f i d f i jil ktcontoh fungsi genap dan fungsi ganjil waktudiskrit.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom34
Fungsi Genap Waktu Diskrit Fungsi Ganjil Waktu Diskrit
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom35
Diberikan g(n) adalah fungsi waktu diskritk bil ( ) d l h b i d imaka bila ge(n) adalah bagian genap dari
g(n) dan go(n) adalah bagian ganjil dari g(n)kmaka :
ge(n) = [g(n) + g(-n)]/2 dan go(n) = [g(n) + g(-n)]/2 )]
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom36
Bila g(n) adalah fungsi genap maka :Bila g(n) adalah fungsi genap maka :
g (n) = [g(n) + g( n)]/2 = g(n) dan g (n) = [g(n) + g( n)]/2 = 0ge(n) = [g(n) + g(-n)]/2 = g(n) dan go(n) = [g(n) + g(-n)]/2 = 0
Bila g(n) adalah fungsi ganjil maka :Bila g(n) adalah fungsi ganjil maka :
g (n) = [g(n) + g( n)]/2 = 0 dan g (n) = [g(n) + g( n)]/2 = g(n)ge(n) = [g(n) + g(-n)]/2 = 0 dan go(n) = [g(n) + g(-n)]/2 = g(n)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom37
Contoh soal 1.3.Periksalah apakah g(n) = sin (2πn/7)(1+n2) merupakanPeriksalah apakah g(n) = sin (2πn/7)(1+n2) merupakan
fungsi genap atau fungsi ganjil?
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom38
Contoh soal 1.4.
Sketsalah bagian genap dan bagian ganjil d i ( ) ( ) ( 4)dari g(n) = u(n) – u(n-4)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom39
Solusi :
Bagian genap dari g(n) Bagian ganjil dari g(n)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom40
Latihan :1 Sketsalah bagian genap dan bagian ganjil dari g(n) = cos[2πn/4]1. Sketsalah bagian genap dan bagian ganjil dari g(n) = cos[2πn/4]2. Diberikan sinyal sebagai berikut :
Sketsalah a g(-n) b g(2-n) c g(2n) d g(n/2)Sketsalah a. g( n) b. g(2 n) c. g(2n) d. g(n/2)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom41
Operasi SinyalOperasi Sinyal
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom42
Sinyal dapat dioperasikan berdasar amplitudonyamaupun waktunya Pada kuliah ini operasi sinyalmaupun waktunya.Pada kuliah ini, operasi sinyalyang dibahas adalah berdasar waktunya seperti :
PencerminanPenskalaan WaktuPenskalaan WaktuPergeseran
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom43
Sinyal Waktu Kontinyu f(t)
±±=±±
abt(af)bat(f
Sinyal Waktu Diskrit f(n)
a
±±=±±
bn(af)ban(f ±±=±±
an(af)ban(f
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom44
Contoh soal 1.5.Diketahui sinyal waktu kontinyu f(t)Diketahui sinyal waktu kontinyu f(t)
<≤ 0t1- 1
t-1
1-0,5t
0 1 2
≤≤=
lainnya t 02t00,5t -1)t(f
a. f(2t)f(2t)
t
1-t1
( t)
≤≤−
≤=
lainnya t 0 1t 0 t1
0t 0,5 1)t2(f
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom45
-0,5 1 y
Bukti :
≤≤
≤≤=
0102t1- 1
≤≤−=
≤≤
401 202t0 )25,01
02
-
)2( tf
t
tf
=
≤≤−lainnya t 0
4t0 1 t
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom46
b. f(t/3)
t1 61−
( )tf31
≤≤−
≤≤
= 6t0 11
10t3-
)(1 ttf
c t(t 3)t
-3
6
lainny t 06
)(3f
c. t(t-3)
2,5-0,5t
f(t-3)
≤≤
≤≤ 3t2
03-t1- 1
t
,5 0,5t
2
≤≤−≤≤−−
lainnya t 05t3 t5,05,2
23-t0 )3t(5,01
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom47
y
d. f(t+3)f(t-4)
≤≤−−
≤≤=+ -1t4- t5,01
-4t5- 1)4t(f
e t(t 3)
t-5 -2
lainnya t 0
e. t(t-3)f(-t)
≤≤≤≤1t0
0-t1- 1
t
1+0,5t
≤≤+≤≤−−−
lainnyat02t2- t5,01 2-t0 )t(5,01)t(f
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom48
lainnya t 0
f. f(-0.5t) ≤≤ 0t-31-1
f(-0,5t)
1+0,25t
≤≤−−≤≤≤
− 2t-30 )t3(5,014 3t t 0t-31- 1
)t5,0(f
g f (3 t) = f (t 3)
t
≤≤+−lainnya t 0
3t1 t5,05,0
g. f (3-t) = f- (t-3)
-0,5+0,5t
≤
≤≤43t t
0t-31- 1
t
≤≤+−≤≤−−−
lainnyat 03t1 t5,05,0
2t-30 )t3(5,01)t3(f
49 Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom
h. f (2t-3) = f2(t+0.2)
2,5-t
≤≤−−≤≤
≤≤
− 23-2t0 )3t2(5,011,5 t 1
03-2t1- 1
)3t2(f
i f ( 3t 4) = f[ 3(t+ )]
t11,5 2,5
≤≤−lainnya t 0
2,5t1,5 t5,2
i. f (-3t-4) = f[-3(t+ )]
≤≤
≤≤
31t
34-
04--3t1- 1
2
≤≤+≤≤−−−−−
lainnya t 0-4/3t 2- t5,13
2 4--3t0 )4t3(5,0133
)4t3(f
50
-2
Jangkung Raharjo [email protected] ;Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom
Sifat & Klasifikasi Sistem
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom
51
a). Statis (memoryless) dan Dinamis (with)memory)
Sistem statis jika keluaran sistem hanyatergantung/hanya dipengaruhi padamasukan saat itu (memoryless), sedangkansistem dinamis jika keluaran sistem dapatmengingat masa lalu (with memory)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom52
b). Linieritas dan homogenitasSistem linier jika memenuhi prinsip superposisi
SWK)t(x1 )t(y1
SWK)t(x 2 )t(y2
)t(SWK )t(y)t(y 21 +
)t(x1)t(x 2
Dan homogenitasαx1(t)+ β x2(t) = αy1(t) + β y2 (t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom53
Mengapa diperlukan sistem yang linear ?
Pada gambar di bawah ini,pada gambar (a) terlihat bahwasuatu sinyal sebagai masukan sistem yang linear akany g y gdihasilkan sinyal output yang sama dengan sinyalinputnya, hanya mengalami penundaan (delay).Sedangkan pada gambar (b) terlihat bahwa suatu sinyalSedangkan pada gambar (b) terlihat bahwa suatu sinyalsebagai masukan suatu sistem yang tidak linear akanmenghasilkan sinyal output yang mengalami distorsihphasa.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom54
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom55
Pergeseran WaktuSistem tak ubah waktu jika output sistem tidak berubah
bentuk walaupun inputnya digeser tetapi outputnya akanbergeser sejauh pergeseran input.g j p g p
)t(x )t(
x(t) y(t)
SWK)t(x1 )t(y1
0 1 0 2t
x(t-3) y(t)
SWK2 3 0 2
t4
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom56
Dengan kata lain :
Jika y1 (t) adalah output sistem dengan input x1 (t)y2 (t) adalah output sistem dengan input x2 (t)y2 (t) adalah output sistem dengan input x2 (t)
dan x(t) = x1 (t-t0) maka y(t) = y1 (t – t0)
Sistem disebut LTW (Linear dan Tak Berubah terhadapW kt ) t LTI (Li Ti I i t) jik Li i d t kWaktu) atau LTI (Linear Time Invariant) jika Linier dan takubah waktu .
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom57
d). KausalitasSistem LTW disebut kausal adalah sistem yang dapatSistem LTW disebut kausal adalah sistem yang dapat
direalisasikan. Sistem LTW disebut kausal bila keluaranpada waktu n=n0 (untuk SWD) hanya bergantung padaharga-harga dari masukan n<n0 (sebelumnya dansekarang)dan keluaran-keluaran sebelumnya.
Dengan kata lain bahwa keluaran saat ini y(n) (untuk SWD)hanya bergantung pada harga-harga dari masukan saatini x(n) dan atau masukan-masukan sebelumnya dan ataukeluaran-keluaran sebelumnya.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom58
Kondisi Perlu dan Cukup (KPC) untuk menyatakankausalitas adalah :kausalitas adalah :
h (n) = 0 untuk n < 0 . h(n) adalah respon impuls sistem.Respons impuls SWD
h(n)
kausal
h(n)
Non kausal
Respons impuls SWK
n0
n0
kausal
h(t)
Non kausal
t
h(t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom59
t0
t0
e). StabilitasSistem LTW disebut stabil bila setiap masukan terbatasSistem LTW disebut stabil bila setiap masukan terbatas
menghasilkan keluaran terbatas “BIBO” Bounded inputBounded output.
Kondisi yang diperlukan dan cukup (KPC)untuk menyatakanstabilitas adalah :
untuk SWD( )∑
∞
∞=
∞<n
nhuntuk SWD
untuk SWK
−∞=n
( )∫∞
∞<dtth
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom60
∫∞−
Contoh : Respons impuls LTW suatu SWDh(n)
Stabil
n0
.......
h(n)
Tidak Stabil
n0
.......
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom61
Stabilitas sistem dapat juga dilihat dari letakl d i f i t f i tpola dari fungsi transfer sistem:
Untuk SWK stabil, letak pole di sebelah kirisumbu imajinerUntuk SWD stabil, letak pole didalam, plingkaran satuan
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom62
Jadi untuk kuliah sinyal dan sistem inii t l d l h LTW/LTI (Li isistem yang perlu adalah LTW/LTI (Linier
tak ubah waktu / linier time invariant)d ik k h i t t b tdengan memeriksa apakah sistem tersebutkausal dan stabil.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom63
Contoh soal 1.6.Diketahui suatu SWD yang merupakan transformasi deretanDiketahui suatu SWD yang merupakan transformasi deretan
masukan x(n) dengan hubungan input – output sebagaiberikut :y(n) = ax2(n-1)y(n) = ax(n-2) + bx(n+2)
P ik if t i t di tPeriksa sifat sistem diatas
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom64
Solusi :y(n) = ax2 (n 1)y(n) = ax2 (n-1)
LinearitasJika input x1(n) maka output y1 (n) = ax1
2 (n-1)Jika input x1(n) maka output y1 (n) ax1 (n 1)Input x2 (n) maka output y2 (n) = ax2
2 (n-1)Ambil x(n) = x3(n) = αx1 (n) + (3x2(n)Makay(n) = y3(n) = a [x(n-1)]2
= a [α x1(n-1) + β x2 (n-1)]2
= a [α2 x12 (n-1) + 2αβx1 (n-1) x2 (n-1) + β2 x2 (n-1)]
≠ y (n) + β y (n)≠ α y1(n) + β y2 (n)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom65
Pergeseran waktuJika input x1 (n) maka output y1 (n) = a x1
2 (n-1)Jika input x1 (n-k) maka output y1(n) = a x1
2 (n-k-1)= y1 (n-k)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom66
KausalitasSyarat kausal : output saat ini hanyatergantung pada input saat ini dan/atauinput saat sebelumnya dan / atau outputsaat sebelumnya.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom67
Stabilitasy(n) = a x2 (n-1) jika < M maka
Jadi sistem tsb adalah :nonlinier time invariant kausal stabil-nonlinier – time invariant – kausal – stabil
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom68
y(n) = a x(n-2) + b x (n + 2)Bukti kausal dapat dilihat dari respons impuls
h(n)h(n)ab
20-2321
l
karena h(n) ada untuk n < 0causal non
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom69
Diambil x(n) = x3(n) = α x1(n) + β x2(n)maka y(n) = y (n) = α a x (n 2 + b x(n+2)+β a x (n 2) + bmaka y(n) = y3 (n) = α a x1(n-2 + b x(n+2)+β a x2(n-2) + b
x2 (n+2)= α y1(n) +β y2(n)y1( ) β y2( )
sistem LinierJika x(n) = x1(n) maka y(n) = y1(n) = ax1(n-2) +bx1(n+2)
Jika x(n) = x (n-k) maka y (n) = a x1 (n-k-2) + b x1 (n-k-2)= y1 (n-k-t)
Kesimpulan sistem : Linier, Tak ubah waktu, Non kausal, StabilStabil
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom70
Sistem OperatorSistem Operator
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom71
Sistem operator :L = Output/Input =Fungsi alih sistem (fungsi transfer sistem)p p g ( g )Untuk SWK L(p) = N(p)/D(p) = Numerator/Denumerator
Dimana p = operator diferensial d/dtp-1 = operator integral ∫ ( ) dtp-1 = operator integral ∫ (.) dt
Untuk SWD L(q) = N(q)/D(q) = Numerator/DenumeratorDimana q = operator maju
q-1 = operator tundaq-1.x(n) = x(n-1)q.x(n) = x(n+1)q ( ) ( )
Untuk menganalisis suatu sistem maka buat dulu model matematis(hubungan input-outputnya).
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom72
Contoh soal : 1.7.Carilah sistem operator (Fungsi transfer sistem) dariCarilah sistem operator (Fungsi transfer sistem) dari
rangkaian berikut :RL
Ci (t))t(ϑ+
-
O t t i t i(t) i t i t (t)Output sistem = i(t); input sistem = v(t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom73
Model matematis sistem :
∫ ∞−=++
t)t(vdt)t(i
C)t(Ri
dt)t(diL 1
)t(v)t(idtC
RdtdL
t=
++ ∫ ∞−
1
)t(v)t(ipC
RLp =
++ −11 p
Cp
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom74
Cp)t(ioutput 1L(p)= CCx
ppx
CpRLp)t(v
)t(iinputoutput
11
−
++==
12 ++ RCpLCppC
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom75
Contoh soal: 1.8.Carilah sistem operator (Fungsi transfer sistem) dari SistemCarilah sistem operator (Fungsi transfer sistem) dari Sistem
Waktu Diskrit dengan hubungan input-output sebagaiberikut :
3y(n) + 4y(n-1) + 7y(n-2) = 2x(n) + 5x(n-1)Solusi :D k t did tDengan menggunakan operator q didapat :y(n)(3 + 4q-1 + 7q-2 ) = x(n) (2 + 5q-1)
74352
74352
2
2
2
2
21
1
+++
=++
+== −−
−
qqq
qqx
qqq
)n(x)n(y)q(L
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom
76
Solusi Persamaan Diferensial ddan
Persamaan DifferencePersamaan Difference (Perbedaan) ( )
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom77
Persamaan Diferensial (u/ SWK)
Secara Umum Persamaan Diferensial Sistem WaktuKontinyu dapat dituliskan sebagai berikut :Kontinyu dapat dituliskan sebagai berikut :
)t(xb...dt
)t(xdb)t(ya)t(ydtda...
dt)t(yda
dt)t(yda m
m
mn
n
nn
n
n 0011
1
1 ++=++++ −
−
−
n = orde persamaan diferensial
n
koefisien penyebut & koefisien D(p)∑=
=i
ia0
koefisien pembilang & koefisien N(p)∑=
=m
iib
0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom78
Umumnya n > m, ambil p = d/dt maka :
[ ] [ ] )t(xb...pb)t(yapa...papa mm
nn
nn 001
11 ++=++++ −
−
011
1
011
1
apa...papabpb...pbpb
)p(D)p(N
)t(x)t(y)p(L n
nn
n
mm
mm
++++++++
=== −−
−−
Dimana : D(p) =N( )
011
1 apa...papa nn
nn ++++ −
−
N(p) =
L(p) = Sistem operator
011
1 bpb...pbpb mm
mm ++++ −
−
L(p) Sistem operator
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom79
Jadi : D(p) y(t) = N(p) x(t)Ada dua solusi yaitu solusi komplementer dan solusi partikuler.y p p1. solusi komplementer (yc(t)) jika input x(t) = 0
D(p) yc(t) = 0 yc(t) ≠ 0 maka D(p) =0
Jadi = 0011
1 apa...papa nn
nn ++++ −
−
∑n
AAAA )()()()(Didapat yc(t) =
Dimana : yi(t) = eri(t)
∑=
+++=i
nnii tyAtyAtyAtyA1
2211 )(...)()()(
yi( )
ri = akar-akar polynomial D(p)Ai = konstanta yang dihitung dari kondisi awali y g g
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom80
Kemungkinan akar D(p) adalah riil atau kompleks dan simpel atau jamak Maka :atau jamak. Maka :yi(t) = erit untuk semua akar riil yang berbedayi(t) = ert , tert , t2ert , … , tm-1ert untuk m buah akar riil y ( )yi(t) = eαt cos βt ; eαt sin βt untuk akar komplek yang simple
jβr = α + jβyi(t) = eαt cos βt ; eαt sin βt r(1)
= teαt cos βt ; teαt sin βt r(2)= teαt cos βt ; teαt sin βt r(2)= tm-1eαt cos βt ; tm-1eαt sin βt r(m) untuk
akar kompleks yang sama sebanyak m buah.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom81
2. Solusi khusus (particular) jika input sistem ada , x(t) ≠ 0
D(p) yp(t) = N(p) x(t)
yp(t) = )t(x)p(L)t(x)p(D)p(N
=p
Kasus khusus jika input eksponensial maka output juga
)p(D
Kasus khusus jika input eksponensial maka output jugaeksponensial.Ambil x(t) = Aest maka yp(t) = L(p) x(t)p
p = sJangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom82
Jika input sinusoida maka dibuat menjadi bentukeksponensialeksponensial.
Ingat : ejΏt = cos Ωt + j sin ΩtJika x(t) = A cos Ω(t) = Re ( A ejΩt )( ) ( ) ( )Maka:
y(t)=L(p).x(t)|p = jΩ
Jika x(t) = A sin Ω(t) = Im (A ejΩt ) maka y(t) = L(p) x(t)|p = jΩ
Didapat :Solusi persamaan = solusi komplementer + solusi particular
y(t) = y (t) + y (t)Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom83
Contoh soal 1.9.
dengan y(0) = 4 dan dy/dt = 1tcoseydtdy
dtyd t 3502410 22
2−=++
y(t) ( p2 + 10p + 24 ) = 50 e-2t cos 3t
)p)(p(pp)p(D)p(N)Lp
461
24101
2 ++=
++==
x(t) = 50e-2t cos 3t = Re(50e-2t ej3t ) = Re(50e(-2+j3)t ) solusi komlementer x(t) = 0
y (t) = Ae-6t + Be-4tyc(t) = Ae-6t + Be-4t
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom84
solusi particulary (t) = ( L(p) x(t) )yp(t) = ( L(p) x(t) )
=
+
=
−−+− 35035050 2232 tsinejtcoseReeRe
ttt)j(
p=-2+j3
=
++−−−
=
++ 243020912424102 jj
Repp
Re
[ ] [ ]( )1813332550
181181
1813350 22
jtsinjtcosReejjx
jtsinjtcosRee tt
−−+=−−−−
+−+ −−
=
325181181 jj+
tcosetsine)tsintcos(e ttt 31323
13363183
132 222 −−− −=+−
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom85
solusi lengkap
= tttt BeAetcosetsine)t(y 4622 31323
1336 −−−− ++−=
= tttttt BeAetcosetsinetsinetcosedt
)t(dy 462222 46313433
1323
137233
1336 −−−−−− −−++−=
994614641080 BABA)(dy=
y(0) = -2/13 + A + B = 4 - - > A + B = 54/13
139946146
134
131080
=+>−−=−−+= BABAdt
)(dy
y( )2A = -117/13 A= -9/2
dan B = 225/26
jadi tttt eetcosetsine)t(y 6422 922532336 −−−− +jadi
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom86
eetcosetsine)t(y226
313
313
−+−=
Stabilitas SistemSWK stabil jika bagian riil akar-akar polinomial D(p) adalahSWK stabil jika bagian riil akar akar polinomial D(p) adalah
negatif (akar-akar polinomial D(p) terletak di sebelah kirisumbu imajiner). Pada sistem diatas pada p = -6 dan p =4 adalah negatif maka sistem stabil-4 adalah negatif, maka sistem stabil.sistem stabil, jika p = α + jβ stabil jika α < 0
Bidang p : Im (p)
d h t bil iil( )daerah stabil riil(p)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom87
Persamaan Perbedaan (u/ SWD)
Bentuk umum sistem LTW
∑ ∑= =
≥>−−−=−N
i
M
iii M)in(xb)in(ya
0 0
0
Untuk penyederhanaan , ambil a0 = 1y(n) + a1y(n-1) + … + aNy(n-N) = b0x(n) + … + bMx(n-M)
dengan operator q :dimana q-1 x(n) = x(n-1) dan q x(n) = x(n+1),maka didapat:
y(n) (1 + a1q-1 + … + aNq-N ) = x(n) (b0 + b1q-1 + … + bMq-M)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom88
NN
MM
qa...qaqqb...qbb
)q(D)q(N
)n(x)n(y)q(L −−
−−
++++++
=== 11
110
jadi : D(q) y(n) = N(q) x(n)jadi : D(q). y(n) = N(q). x(n)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom89
Seperti halnya SWK ,maka pada SWD juga ada dua macamsolusi yaitu solusi komplementer (solusi umum) dan solusisolusi yaitu solusi komplementer (solusi umum) dan solusipartikular (solusi khusus) :
y(n) = yc(n) + yp(n)
S l i k l t jik d t k ( ) 0Solusi komplementer jika deretan masukan x(n) = 0D(q) yc(n) = N(q).0 = 0, maka D(q) = 0 dengan solusi :
∑ ∑= =
==m
k
m
k
mkkkkc rA)n(yA)n(y
1 1
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom90
dimana rk = akar polynomial D(q) dengan solusi :(i) r riil dan tunggal y (n) = r n(i) . rk riil dan tunggal yk(n) = rk
n
(ii). rk riil dan jamak sejumlah m buahyk (n) = rn, nrn, n2rn,…,nm-1rnyk (n) r , nr , n r ,…,n r
(iii). rk kompleks tapi tunggal , rk = α + jβ = rejΦ
yk(n) = rn cos nφ dan rn sin nφ(iv). rk kompleks dan jamak sejumlah m buah
yk(n) = rn cos nφ ; rn sin nφ= nrn cos nφ ; nrn sin nφ
.= nm-1rn cos nφ ; nm-1rn sin n= nm-1rn cos nφ ; nm-1rn sin n
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom91
Solusi khusus jika deretan masukan adaD(q) y (n) = N(q)x(n)D(q) yp(n) = N(q)x(n)
yp(n) = )n(x)q(L)n(x)q(Nyp(n)
Kasus khusus jika input eksponensial , ambil x(n) = A(s)n
)n(x)q(L)n(x)q(D
q=
didapat : yp(n) = L(q)x(n) q = s
Stabilitas sistem SWD stabil jika magnitudo akar polynomialD(q) < 1 (atau didalam lingkaran satuan).
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom92
Contoh soal 1.10.y(n + 3) 8y(n + 2) + 37y(n+1) 50y(n) = 8(0 5)n y(0) = 2y(n + 3) – 8y(n + 2) + 37y(n+1) – 50y(n) = 8(0,5)n , y(0) = 2,
y(1) = 3, y(2) = 5dengan operator qg p qy(n) (q3 – 8q2 + 37q - 50) = 8(0,5)n
508 ),()(L)q(N)n(y n
D( ) ( 3 8 2 37 50) ( 2)( 2 6 25)
50378508
23 −+−=== − qqq
),()q(L)q(D)q(N
)n(x)n(y
D(q) = (q3 – 8q2 + 37q –50) = (q – 2)(q2 – 6q + 25)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom93
D(q) = (q3 – 8q2 + 37q –50) = (q – 2)(q2 – 6q + 25)Akar-akar D(q)
q1 = 2
q2,3 = 432
100366 jj±=
−±
q2 = 3 + j4 = 5 < 0,927 radq3 = 3 – j4 = 5 < -0,927 rad 3 jSolusi komplementer
yc(n) = A(2)n + B(5)n cos 0,927n + C(5)n sin 0,927n
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom94
solusi partikulary (n) = L(q) x(n) =
50823
),( n
yp(n) = L(q) x(n) = q = s q = 0,5
50378 23 −+− qqq
yp(n) = nn
),(),(),(),(
),( 5026769
5050375085050823 −=
−+−
solusi total/lengkap
i)(C)(B)(A)()( nnnn 927059270525064 n,sin)(Cn,cos)(B)(A),()n(y nnnn 927059270525026764
+++−=
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom95
64 CBA)( 2267640 =+++−= CBA)(y
32 B)( 392705927052267321 =+++−= ,sinC,cosBA)(y
5854612585461254162 =+++= sincosBA)(y 5854612585461254267
2 =+++−= ,sin,cosBA)(y
didapat : A = 2,1886B = 0,05108C = 0 35666C = 0,35666
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom96
Sehingga:
- cek stabilitas :
n,sin)(,n,cos)(,)(,),()n(y nnnn 92705356660927050510802188625026764
+++−=
cek stabilitas : Plot akar D(q) :
Im D(q) x
1 2 3 Re D(q)
xsistem tidak stabil (karena ada akar polinomial D(q) yang
terletak di luar lingkaran satuan)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom97
Realisasi SWD dan SWK
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom98
Syarat sistem dapat direalisasi jika kausal dapat direalisirdalam bentukdalam bentuk
struktur langsung tipe Istruktur langsung tipe IIg g p
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom99
Realisasi SWDStruktur Langsung Tipe I :Hubungan input output Sistem Waktu Diskrit dapat dituliskanHubungan input-output Sistem Waktu Diskrit dapat dituliskan
sebagai berikut
∑∑NN
∑∑==
−=−0i
i0i
i )in(xb)in(ya
Untuk penyederhanaan, ambil a0 = 1, sehingga didapathubungan berikut :
NN
)nn(xb...)1n(xb)n(xb
)in(ya)in(xb)n(y
n10
N
0ii
N
0ii
−++−+=
−−−= ∑∑==
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom100
)mn(ya...)1n(ya n1 −++−−
q-1 q-1
b1bN
+ + +
x(n)
y(n)
1
b0 q-1
q-1
aN aN-1
q-1
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom101
Struktur Langsung Tipe IIMengacu pada hubungan input outpur SWD berikut iniMengacu pada hubungan input-outpur SWD berikut ini,
)in(xb)in(yaN
i
N
i −=− ∑∑
)(b)1(b)(b)nn(ya...)1n(ya)n(ya
)in(xb)in(ya
n10
0ii
0ii
=−++−+
∑∑==
)nn(xb...)1n(xb)n(xb n10 −++−+
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom102
[ ] [ ]n1n1 bbb)()( −−−−[ ] [ ]
n1
nn
110
nn
110
nn
110
qa1qb...qbb)n(y)q(N)q(L
qb...qbb)n(xqa_...qaa)n(y
=+++
===
+++=++
∑ −−−
−−−−
43421
43421)q(L
0ii
)q(L
n
0i
ii
nn
110
2
1
qaqaqa...qaa)n(x)q(D
)q(L
=+++
=== ∑∑ =
=
−−−
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom103
Fungsi Transfer L(q) diuraikan menjadi 2, sehingga L(q) =L1(q) L2(q) Masing-masing fungsi transfer dapatL1(q). L2(q) . Masing masing fungsi transfer dapatdigambarkan struktur realisasinya dan kemudian digabungkembali, hingga didapat L(q) total.
∑∑
=ω⇒ω
===
−
−
n
0i
1in
1i
1 )n(xqa)n()n(x)n(
qa
1)q(L
∑
∑
ωω
=n
0ii
)in(a)n(x)n(
qa
∑ −ω−=ω i )in(a)n(x)n(
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom104
x(n) ω(n)+
q‐1
q‐2
‐a1
q‐N
‐a2
‐aN
∑ ∑ −− ω=⇒==N N
1i
1i qb)n()n(yqb)n(y)q(L ∑ ∑
= =ω=⇒=
ω=
0i 0iii2 qb)n()n(yqb
)n()q(L
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom105
y(n)ω (n)
+b0
q-1
q-2
b1
q-N
b2
bN
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom106
Rangkaian total digabung :L(q) = L (q) L (q)L(q) = L1(q) . L2(q)
)n(y.)n()n(y ω=
)n()n(x)n(x ω
( )x (n) b0 y(n)
q‐1
b1‐a1
++b0
q‐2
b2‐a2
bN‐aN
q‐N
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom107
NN
Contoh soal 1.12.Buat realisasi tipe I dan tipe II dari SWD dengan hubunganBuat realisasi tipe I dan tipe II dari SWD dengan hubungan
input-output sebagai berikut:y(n) + 3y(n-1) + 5(n-2) + 7y(n-2) = 6 x(n) + 4 x(n-1)y( ) y( ) ( ) y( ) ( ) ( )
Jawab :Struktur langsung tipe I :y(n) = 6x(n) + 4x(n-1) – 3y(n-1) – 5y (n-2) – 7y(n-3)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom108
x (n)
q-1
6
4
+
q-1
y (n)
-3
q-1
-5
q-1
-7
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom109
Struktur langsung tipe II :y(n) [1 + 3q-1 + 5q-2 + 7q-3] = x(n) [6 + 4q-1]y(n) [1 + 3q 1 + 5q 2 + 7q 3] = x(n) [6 + 4q 1]
1321321
q46x1q46)()n(y 1 −+=
+=
−
ω(n)/x(n) = 1/[1 + 3q-1 + 5q-2 + 7q-3]
321321q
q7q5q31q7q5q31)n(x −−−−−− ++++++
→ x(n) = ω(n) + 3ω(n-1) + 5ω(n-2) + 7ω(n-3)ω(n) = x(n)-3ω(n-1)-5ω(n-2)-7ω(n-3)
y(n)=6ω(n) + 4ω(n-1)⇒+=ω
−1q46)n()n(y
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom110
x (n)6ω
y(n)
q-1
43
++6ωn
q-2
4-3
-5
ωn-1
-7q-1
ωn-2
ωn-3
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom111
Realisasi SWKSecara prinsip sama seperti SWD dimana q-1 diganti denganBentuk umum SWK LTWBentuk umum SWK-LTW
∑∑ =m in
i )t(xdb)t(yd
a; m ≤ n
∑∑==
=0i
ii0i
iidt
bdt
a
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom112
Ambil a-n = 1 dan m = n
∑∑−
==−=
1n
0ii
iii
in
0iin
n
dt
)t(ydadt
)t(xdbdt
)t(yd
n1n1
221
xdbxdbxdbdxb)t(xb +++++=−
nn1n1n221odt
bdt
b.......dt
bdt
b)t(xb +++++=−−
1n )(ddd −
1n
1n1n21o
dt
)t(yda........dtdya
dtdya)t(ya
−−−−−=
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom113
Struktur langsung tipe I
bn-2
bn-1
bn
n
n
dtd
1n1n
dtd
−
−
2n2n
dtd
−
−
22
dtd
dtd
box (t) ∫ ∫ + 3y (t)∫∫
b1
b2
+
-an-1
-an-2
-a2
-a1-a0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom114
Contoh soal 1.13.Gambarkan struktur realisasi dari SWK dengan persamaanGambarkan struktur realisasi dari SWK dengan persamaan
diferensial berikut :
SWK – LTW : )t(x5dtdx3y50
dtdy37
dt
yd8
dt
yd2
2
3
3+=+++
2
2
3
3
dtyd8
dtdy37y50
dtdx3)t(x5
dtyd
−−−+=
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom115
3
x (t) ∫ ∫ y (t)∫53
3
dtd
22
dd
dtd
x (t) ∫ ∫+
y (t)∫
‐8
+dt 2dt
‐37
‐50
Buat untuk struktur langsung tipe II nya
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom116
g g p yL(P) = L1(P) . L2(P) ….. Ln(P)
Contoh soal 1.14.Gambarkan struktur realisasi dari SWK dengan persamaan diferensialg p
berikut :d3y(t)/dt3 + 4d2y(t)/dt2 + 11dy(t)/dt + 15y(t) = 2 dx(t)/dt + 5 x(t)Realisasi langsungRealisasi langsungp=d/dt ; p-1 =[p3+ 4p2 + 11p + 15] y(t) = [2p + 5] x(t)k lik d 3
∫
kalikan dengan p-3
[1 + 4 p-1 + 11 p-2 + 15 p-3] y(t) = [2 p-2 + 5 p-3] x(t)y(t) + 4 p-1 y(t) + 11 p-2 y(t) + 15 p-3y(t) = 2 p-2 x(t) + 5 p-3 x(t)y(t) = -4 p-1 y(t) + p-2 [5x(t) – 11y(t)] + p-3[5x(t) – 15 y(t)]
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom117
x (t)
5 2
+ ∫p-3 p-2
+ ∫ p-1
+ ∫ py (t)
-15 -11 -4
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom118
Respons ImpulseRespons Impulse
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom119
Respons impuls adalah respons sistem( t t i t ) jik k dib i(output sistem) jika masukannya diberisinyal impuls
δ(n)
SWD h (n)
δ(t)Respons impuls
SWK h (t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom120
Sistem sering digambarkan dengan responsSistem sering digambarkan dengan responsimpulsnya karena dengan respons impulsdapat dilihat apakah sistem tersebut kausaldapat dilihat apakah sistem tersebut kausaldan stabil atau tidak.
h(n) y (n)x (n)
SWD ⇒
h(t) y (t)x (t)SWK ⇒
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom121
Respons Impuls SWDDiketahui SWD - LTWy(n) + a y(n 1) + a y(n 2) + + a y(n N) = x(n)y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) + ….+ an- y(n-N) = x(n)Respons impuls sistem adalah respons sistem (output) jika
x(n) = δ(n)( ) ( )Sehingga dapat dituliskan h(n) = y(n)
x(n) =δ (n)Jadih(n) + a1 h(n-1) + a2 h(n-2) + …. + aN h(n-N) = δ(n)k SWD k l > h( ) 0 t k <0karena SWD kausal ==> h(n) = 0 untuk n<0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom122
makan = 0 h(0) = δ(0) = 1 ; h(n 1) ; h(n 2) dst = 0n = 0 h(0) = δ(0) = 1 ; h(n-1) ; h(n-2) dst = 0n = 1 h(1) + a1 h(0) + 0 + ….+ 0 = δ(1) = 0n = 2 h(2) + a1 h(1) + a2 h(0) + … = δ(2) = 0n 2 h(2) a1 h(1) a2 h(0) … δ(2) 0… dstingat solusi persamaan y(n) = yc(n) + yp(n)p
D(q) y(n) = N(q) x(n)
m⇒yc(n) ⇒ D(q) yc(n) = 0 ⇒ D(q) = 0 maka yc(n) = ∑
=
m
1k
nkk rA
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom123
⇒yp(n) ⇒ yp(n) = L(q) x(n)q=s untuk x(n) = A(s)n
tetapi input disini bukan eksponesial maka y (n)=0tetapi input disini bukan eksponesial maka yp(n)=0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom124
Contoh soal 1.15.y(n) 0 8y(n 1) + 0 15 y(n 2) = x(n)y(n) – 0,8y(n-1) + 0,15 y(n-2) = x(n)
Respons impulsh(n)-0,8 h(n-1) + 0,15 h(n-2) = δ(0)h(n) 0,8 h(n 1) 0,15 h(n 2) δ(0)
n=0 ⇒ h(0) – 0,8 h(-1) + 0,15 h(-2) = δ (0) = 1 ⇒ h(0) = 1n=1 ⇒ h(1) – 0,8 h(0) + 0,15 h(-1) = δ(1) = 0 ⇒ h(1) = 0,8n=2 ⇒ h(2) – 0,8 h(1) + 0,15 h(0) = δ(2) = 0 ⇒ h(2) = 0,8 x
0,8 – 0,15 = 0,49
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom125
solusiy (n) = nn
mn AAA )()(∑yc(n) =
dimana y(n) [1- 0,8 q-1 + 0,15 q-2] = x(n)
nn
k
nkk rArArA )()( 2211
1+=∑
=
dimana y(n) [1 0,8 q 0,15 q ] x(n)
qqq1 222
L(q) = )3,0q)(5,0q(q
15,0q8,0q
q
2
qxq15,0q8,01
12321 −−
=+−
=+− −−
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom126
Jadiy (n) = A (0 5)n + B (0 3)nyc(n) = A (0,5)n + B (0,3)n
n=0 ⇒ y(n) = A + B = h(0) = 1n=1 ⇒ y(n) = 0,15A + 0,3 B = h(1) = 0,8n 1 ⇒ y(n) 0,15A 0,3 B h(1) 0,8
A + 0,6 B = 1,6A + B = 1
- 0,4B = 0,6 ⇒ B = -1,5A = 2,5
Maka y(n) = h(n0 = [2,5 (0,5)n – 1,5 (0,3)n] u(n) Bagaimana kalau imputnya superposisi ?Karena sistem linier maka outputnya juga superposisiKarena sistem linier maka outputnya juga superposisi
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom127
Contoh soal 1.16.y(n) 2y(n 1) + 1 31 y(n 2) 0 28 y(n 3) = x(n) + 3x(n 2)y(n) – 2y(n-1) + 1,31 y(n-2) – 0,28 y(n-3) = x(n) + 3x(n-2)
respons impuls didapat jika x(n) = δ (n) dan 3x(n-2) = 3δ(n-2)y(n) [1 – 2 q-1 + 1,31 q-2 – 0,28 q-3] = x(n) [1 + 3 q-2]y(n) [1 2 q 1,31 q 0,28 q ] x(n) [1 3 q ]L(q) = y(n)/x(n) = N(q)/D(q) = [1 + 3 q-2] / [1 – 2 q-1 + 1,31 q-2 – 0,28 q-3]Kalikan L(q) dengan q3 / q3 , didapat :
q3q3 +
28,0q31,1q2q
q3q)q(L23 −+−
+=
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom128
D(q) = q3-2 q2 + 1,31 q - 0,28 = (q - 0,5) (q - 0,7) (q - 0,8)yc(n)=A(0,5)n + B(0,7)n + C(0,8)nyc( ) ( , ) ( , ) ( , )
Input 1 : δ(n) maka h(n) = 2h(n-q) + 1,31 h(n-2)-0,28 h(n-3)=δ(n)]n = 0 ⇒ h(0) = 1n =1 ⇒ h(1) 2h(0) + 0 + 0 = 0 ⇒ h(1) = 2n =1 ⇒ h(1) –2h(0) + 0 + 0 = 0 ⇒ h(1) = 2n = 2 ⇒ h(2) –2h(1) + 1,31 h(0) – 0 = 0 ⇒ h(2) = 2,69
dimana
2/496/25
28,07,05,0)1(1)0(
−==
=++=
=++=BA
CBAhCBAh
3/6469,264,049,025,0)2( ==++= CCBAh
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom129
Jadi
untuk n ≥ 0nnn1 )8,0(
369)7,0(
249)5,0(
125)n(h +−=
Input 2 : 3δ(n-2)outputnya h(n) – 2h(n-1) + 1,31 h(n-2) – 0,28 h(n-3) = 3δ (n-2)n = 0 h(0) – 2h(-1) + 1,31 h(-2) – 0,28 h(-3) = 3δ (-2) = 0
h(0) = 0n = 1 h(1) – 2h(0) + 0 – 0 = 3δ (-1) = 0 ⇒ h(1) = 0( ) ( ) ( ) ( )n = 2 h(2) –2 h(1) + 1,31 h(0) – 0 = 3δ (0) = 3 ⇒ h(2) = 3
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom130
Makah(0) = A + B + C = 0 A= 50h(0) = A + B + C = 0 A= 50h(1) = 0,5A + 0,7B + 0,8C = 0 B = -150h(2) = 0,25A + 0,49B + 0,64C = 3 C = 100h(2) 0,25A 0,49B 0,64C 3 C 100jadi
h2(n) = 50(0,5)n – 150 (0,7)n + 100 (0,8)n n ≥ 2Maka : h(n) = h1 (n) + h2 (n)
=+−= 1dan0nuntuk)80(64)70(49)50(25 nnn
≥+−=
=+−=
2 n untuk )8,0(3
364)7,0(2
349)5,0(6
325
1dan 0n untuk )8,0(3
)7,0(2
)5,0(6)n(h
nnn
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom131
Latihan :Carilah respons impuls sistem dengan persamaanCarilah respons impuls sistem dengan persamaan
perbedaan berikut :y(n) = x(n) +0,8 y(n-1)y( ) ( ) y( )25y(n) + 6y(n-1) + y(n-2) = x(n)2y(n) + 6y(n-2) = x(n) – x(n-2)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom132
Respons Impuls SWKDari persamaan differensial
)t(ya)t(dtdya...............
)t(ydt
dadt
)t(yda o11n
1n1nn
nn ++++
−
−
−
)()(............)()(011
1
1 txbdttdxbtx
dtdb
dttxdb m
m
mm
m
m ++++ −
−
−
dalam operator p :L(p) = N(p)/D(p) = y(t)/x(t) → D(p) y(t) = N(p) x(t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom133
Respons impuls h(t) = y(t) jika input x(t) = δ (t)dimanadimana
y(t) = h(t) = yc(t) + yp(t)
∑=
==n
1i
)t(ric ieA)t(y)t(h
r = akar dari polinomial D(p)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom134
Contoh soal 1.17.Carilah respons impuls dari SWK dengan persamaanCarilah respons impuls dari SWK dengan persamaan
diferensial berikut ini :
dxdyyd2)t(x3
dtdx2y3
dtdy4
dt
yd2
+=++
Solusi : y(t) [p2 + 4p + 3] = [2 p + 3] x(t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom135
2 )1p)(3p(3p2
3p4p
3p2)P(L++
+=
++
+=
tt3c BeAe)t(y
3p4p
−− +=
↓
++
t = 0 ⇒ yc(0) = A + B= 0
)(tdy
1/2B-1/2A1A 2
13)(
=→=−
=−−= BAdttdyc
y(t) =
1/2B =
t3t e21e
21 −− −
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom136
input (1) = 3 x(t) ⇒ h1(t) = t3t e23e
23 −− −
input (2) = ⇒ h2 (t) =
22
dtdx2 tt3 ee3
dt)t(dy2 −− −=p ( ) 2 ( )
jadi h(t) = h (t) + h (t)
dt dt
jadi h(t) = h1(t) + h2(t)
h(t) = [1,5 e-3t + 0,5 e-t] u(t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom137
Konvolusi
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom138
KonvolusiAdalah suatu operasi perkalian sekaligus penjumlahan
dalam kawasan waktu (SWD) atau suatu operasidalam kawasan waktu (SWD) atau suatu operasiperkalian sekaligus integral dalam kawasan waktu (SWK).Dapat digunakan untuk mendapatkan respons sistemt h d k b b J di k t f iterhadap masukan bebas. Jadi merupakan transformasidari masukan ke keluaran.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom139
Penjumlahan KonvolusiJika x(n) adalah input suatu SWD – LTW dan y(n) adalah
output sistem tersebut dimana y(n) = T [x(n)] maka :output sistem tersebut dimana y(n) T.[x(n)] , maka :
∑ ∑ −=−=~ ~
)k(h)kn(x)kn(h)k(x)n(y
dimana operasi diatas didefinisikan sebagai operatork l i “ * ” hi
∑ ∑−= −=~k ~k
)k(h)kn(x)kn(h)k(x)n(y
konvolusi “ * ” , sehingga
∑ ∑∆
−=−==~ ~
)k(*)kn(x)kn(h)k(x)n(h*)n(x)n(y
Dimana h (n) adalah respons impuls
∑ ∑−= −=~k ~k
)k()kn(x)kn(h)k(x)n(h)n(x)n(y
Dimana h (n) adalah respons impuls
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom140
Prinsif dan sifatnya sama dengan SWD dimana Σ digantid i t l
x[n] y[n]
dengan integral
SWDH[ ] y[ ]
x(n) * h(n) = y(n)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom141
Sifat-sifat Konvolusi :Komutatif :
x(n) * y(n) = y(n) * x(n)Asosiatif :
x(n) * [y(n) * z(n)] = [x(n) * y(n)] * z(n)x(n) * [y(n) * z(n)] = [x(n) * y(n)] * z(n)Distributif untuk operasi penjumlahan
x(n) * [y(n) + z(n)] = x(n) * y(n) + x(n) * z(n)Memiliki elemen identity : δ(n)
x(n) * δ (n) = δ(n) * x(n) = x(n)Konvolusi dari suatu deretan pulsa sampling tertunda dengan x(n)p p g g ( )
x(n) * δ(n-k) = x(n-k)
Lihat lagi operasi pencerminan dan pergeseran
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom142
Contoh soal 1.18.x[n] y[n]
h(n)x[n] y[n]
Dengan input x(n) dan respons impuls h(n) seperti di bawahini, dapatkan output sistem y(n) = x(n)*h(n)
x (n) h (n)
32
n0 1 2
0,5
n0
1
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom143
Jawab :
∑−=
−==~
~k)kn(h)k(x)n(h*)n(x)n(y
Disini k merupakan variabel penjumlahan untuk harga ntertentu. Misalnya diberikan harga suatu n=N0 makaj l hk k li t d t (k) djumlahkan semua perkalian antara deretan x(k) denganh(n0-k) untuk semua k [-~ , ~], dimana h(n0-k) = h-(k-n)yaitu pencerminan dari h(k) kemudian digeserkan sejauhy p ( ) g jn0.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom144
Dengan kata lain dapat dituliskan langkah-langkah penjumlahan konvolusi sebagai berikut :penjumlahan konvolusi sebagai berikut :
Gambarkan x(n) dan h(n)( ) ( )Ubah peubahnya dari n menjadi k, sehingga didapat x(k) dan h(k)L k k i t h d b tik l d i h(k)Lakukan pencerminan terhadap sumbu vertikal dari h(k) atau x(k) sehingga didapat h(-k) atau x(-k)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom145
Misalkan yang dicerminkan adalah h(k) maka didapat h(-k)dan x(k) Geser h(-k) untuk n =0 dan kalikan besarandan x(k). Geser h( k) untuk n 0 dan kalikan besaranpada h(-k) dan x(k) pada waktu yang sama danjumlahkan. Sehingga akan dikalikan h(-k) dengan x(k).G l i h( k) t k 1 k kit k likGeser lagi h(-k) untuk n=1, maka kita akan mengalikanh(1-k) dengan x(k), begitu seterusnya hingga antara h(n-k)dan x(k) tidak bersinggungan lagi.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom146
Integral KonvolusiPrinsif dan sifatnya sama dengan SWD dimana Σ diganti
dengan integral ∫dengan integral ∫
x(t) y(t)H
∫ ∫− −
εεε−=εε−ε∆=~
~
~
~
d)(h)t(xd)t(h)(x)t(h*)t(x)t(y
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom147
Secara grafis :Gambarkan x(ε) dan h(t ε) dimana h(t ε) = h (ε t ) yaituGambarkan x(ε) dan h(t0-ε) dimana h(t0-ε) = h-(ε-t0) yaituh(ε) yang dicerminkan kemudian digeser sejauh t0 laludiintegrasikan.Disini ε merupakan variabel integrasi, jadi set satu harga tkemudian lakukan operasi diatas dimana hasil integrasimerupakan luas dibawah kurvamerupakan luas dibawah kurva.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom148
Energi & Daya SinyalEnergi & Daya Sinyal
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom149
Energi Sinyal
Energi sinyal waktu kontinyu x(t) didefinisikanb i E b ik tsebagai Ex berikut :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom150
Energi Sinyal (cont’)
Satuan dari energi sinyal tergantung darit d i i l D l k tsatuan dari sinyal. Dalam kasus tegangan
sinyal v(t) yang diterapkan pada suatui t R i dib ik k i tresistor R, enrgi yang diberikan ke resistor
adalah sebesar :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom151
Analogi dengan sinyal waktu kontinyu, maka energi sinyalwaktu diskrit didefinisikan sebagai :waktu diskrit didefinisikan sebagai :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom152
Contoh 1.20.Carilah energi sinyal dari x(t) = 3 tri(t/4)Carilah energi sinyal dari x(t) = 3 tri(t/4)Solusi :Dari definisi energi :Dari definisi energi :
Menggunakan definisi sinyal segitiga :
Maka dapat didefinisikan sinyal tri(t/4) sebagai berikut :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom153
Dan
S hi i i lSehingga energi sinyalnya :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom154
Contoh 1.21.Carilah energi sinyal waktu diskrit x(n) = (½)n u(n)Carilah energi sinyal waktu diskrit x(n) = (½)n u(n)Solusi :Dari definisi :Dari definisi :
= 1/[1-1/4] = 4/3
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom155
Daya Sinyal
Daya rata-rata sinyal waktu kontinyudid fi i ik b i b ik tdidefinisikan sebagai berikut :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom156
Daya Sinyal (cont’)
D t t i l kt di k itDaya rata-rata sinyal waktu diskritdidefinisikan sebagai berikut :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom157
Untuk sinyal periodik, maka daya rata-ratai l kt k ti i dik d l hsinyal waktu kontinyu periodik adalah
sebagai berikut :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom158
Sedangkan untuk sinyal waktu diskritperiodik, daya rata-ratanya adalah :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom159
Contoh 1.22.Carilah daya sinyal x(t) = A cos (2πfo +θ)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom160
Solusi :Dari definisi daya sinyal waktu kontinyu periodik adalah :Dari definisi daya sinyal waktu kontinyu periodik adalah :Menggunakan identitas trigonometri :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom161
Didapat :
= A2/2
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom162
Latihan :Carilah energi dan daya sinyal berikut ini :Carilah energi dan daya sinyal berikut ini :
x(t) = tri[(t-3)/10]x(n) = 10 sin (2πn/4)x(n) 10 sin (2πn/4)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom163
PE-2533 Sinyal dan SistemSinyal dan Sistem
BAB #2:BAB #2: ANALISIS FOURIER SINYAL
WAKTU KONTINYU
164 Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom
Tujuan
Mengembangkan metode dari ekspresii l kt k ti d kt di k itsinyal waktu kontinyu dan waktu diskrit
sebagai kombinasi linear dari sinusoidal, riild k l kdan kompleksMemahami sifat-sifat umum dari sinyalMenerapkan metode untuk menentukanrespons dari sistem waktu kontinyu danp ywaktu diskrit
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom165
Deret Fourier WaktuDeret Fourier Waktu Kontinyuy(TFWK)( )
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom166
Analisis Fourier pada sinyal waktu kontinyub t j t k i d hk i l d ibertujuan untuk memindahkan sinyal darikawasan waktu ke kawasan frekuensi, yaitud k D t F i W ktdengan menggunakan Deret Fourier WaktuKontinyu (DFWK) untuk sinyal perodik, dand T f i F i W ktdengan Transformasi Fourier WaktuKontinyu (TFWK) untuk sinyal tidak periodik( i dik)(aperiodik).
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom167
DFWK bentuk TrigonometriDiberikan contoh sinyal periodic x(t) berikut :
)(tx )(tx)(tx
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom168
Sinyal periodic x(t) dengan periode T berikut :x(t) = x(t+kT)x(t) = x(t+kT)
dapat dinyatakan dengan deret Fourier sebagai berikut :p y g g
∑∞
Ω+Ω+=1
000 ) sin cos()( nn tnbtnaatx
dengan ao, dan adalah koefisien Fourier yang ditunjukkan sebagai berikut:
=1n
sebagai berikut:
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom169
∫+−=Tt
tdttx
Ta 0
0
)(10
∫+− Ω=Tt
tn dttntxT
a 0
0
cos)(20
∫+− Ω=Tt
tn dttntxT
b 0
0
sin)(20∫tT 0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom170
Deret x(t) di atas dapat dinyatakan dalam bentuk alternative Trigonometri :Trigonometri :
∑∞
−Ω+= 00 )cos()( tndatx φ
Maka :
∑+
Ω+1
00 )cos()(n
nn tndatx φ
]sinsincoscos[)( 000 nnnn tcndtndatx φφ Ω+Ω+= ∑∞
1n+
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom171
Jadi secara sederhana hubungan koefisien dan terhadap dan dapat ditunjukkan sebagai berikut :dan dapat ditunjukkan sebagai berikut :
a d φcosanφn
nnn
nnn
dbda
φφ
sin cos
==
bndn
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom172
Integral penting :
∫+ =ΩTt
tdttn0
0
0 sin 0
∫+ =ΩTt
tdttnc0
0
0 os 0
∫+ =ΩΩTt
tdttmtn0
0
0 cos sin 00
mnjikamnjika
TdttmstnTt
t =≠
=ΩΩ∫+
2/0
in sin0
000
k0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom173mnjikamnjika
TdttmstnTt
t =≠
=ΩΩ∫+
2/0
in sin0
000
Contoh 2-1Dibawah ini diberikan contoh untuk memperoleh deretDibawah ini diberikan contoh untuk memperoleh deret
Fourier dari suatu sinyal kontinyu gelombang persegi.
(t)x(t)
t
1
t
-1
T-T
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom174
Deret Fourier bentuk trigonometri :
∑∞
=
Ω+Ω+=1
000 ) sin cos()(n
nn tnbtnaatx
1
0111
)(1
4/34/
00
0
=
∫∫
∫+
TT
Tt
t
dd
dttxT
a
0.1 .1 4/4/
=
−= ∫∫− TT
dtdtT
)2(cos1)2(cos12 4/34/ ππ dttndttnaTT
+ ∫∫
)2
sin(4
)(cos.1)(cos.14/4/
ππ
nn
dttT
ndttT
nT
aTTn
=
−+= ∫∫−
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom175
2πn
222 4/34/
∫∫TT ππ 0)2(sin.1)2(sin.12 4/3
4/
4/
4/=−+= ∫∫−
dttT
ndttT
nT
bT
T
T
Tnππ
sehingga deret Fourier untuk gelombang persegi yangtersebut :
∑∞
Ω= cos)sin(4)( tnntx π∑=
Ω=1
0cos).2
sin()(n
tnn
txπ
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom176
DFWK bentuk Eksponensial
2cos
00
0
tjntjn eetnΩ−Ω +
=Ω20
eettjntjn
2sin
00
0
Ω−Ω −=Ω
Substitusi ke persamaan sebelumnya :
j20
∑∞ Ω−ΩΩ−Ω
∞
=
+
Ω+Ω+=1
000 ) sin cos()(
0000 tjntjntjntjnn
nn
eeee
tnbtnaatx
∑
∑∞
Ω−Ω
∞
=
++
−+=
−+
++=
0
10
)(
)22
(
00
0000
tjnnntjnnn
n
jj
n
jj
n
ejbaejbaa
jeebeeaa
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom177
∑=1
0 )22
(n
Disederhanakan :ac =
2)(
00
nnn
jbac
ac−
=
=
2)(
2nn
njba
c+
=−
Sehingga :2
∞
∑−∞=
Ω−+=n
tjnnecatx 0
0)(
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom178
Substitusikan danna nb
∫+ Ω−−=Tt
t
tjnn dtetxT
c 0
0
0 )(1
Hubungan antara koefisisen Fourier bentuk trigonometri dengan bentuk eksponensial ditunjukkan sebagai berikut :
nj
nnn cedjba n 2==− − φ
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom179
Diberikan gelombang persegi dengan lebar pulsa ∆, tinggi A,dan periode T sebagai berikut :dan periode T, sebagai berikut :
(t)x(t)
t
1
t
-1
T-T
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom180
Maka :
2
2
2
002
2
00
0
0
1
.0 .0 1 )(1
Ω
−
− −
Ω−Ω−Ω−+ Ω−
++==
∆
−
−
∫
∫ ∫∫∫tj
T
T tjntjntjnTt
t
tjnn dtedtedtAe
Tdtetx
Tc
T
T
T
T
[ ] 0020
2
2
0
2
1
Ω−ΩΩ
−
Ω−
−=−
=
=
∆
∆
∆∫tjntjn
tjn
tjn
eeAeA
dtAeT
[ ]( )
( ) ( )22
00
0
0
0
2
sinc sin
22
∆Ω∆Ω
∆Ω
−
∆=
∆=
ΩΩ
∆
nn
n
TA
TA
jjTnTjn
( )2 TT
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom181
Untuk n=0 dengan L'Hopital diperoleh , sehingga
( ) tjnn eAAx(t) 00 .sinc 2Ω
∞∆Ω∑ ∆
+∆
= ( )n
eTT
x(t) . sinc 2−∞=
∑+
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom182
Sifat sifat DFWKSifat-sifat DFWK
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom183
1. Diferensiasi dan Integrasi∞
Bila x(t) =Maka :
∑∞
−∞=
Ω
n
tjnn ec 0.
Maka :
tjnn
tjnn ectjnec
dd
ddx
00 ... 0Ω
∞∞Ω ∑∑ Ω==
Terlihat muncul komponen akibat diferensiasi.
nn
n jdtdt 0
∞−−∞=∑∑
tjn 0ΩDengan cara yang sama dapat dicari hasil integrasinya.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom184
2. Pergeseran waktu
Bila
d
∑∞
−∞=
Ω−=n
tjnn ectx 0.)(
)()(dan
maka :
)()( τ−= txty
∑∞
−Ω−=−= tjnn ectxty )(0.)()( ττ
−∞=n
τ00.)( Ω−∞
−∞=
Ω∑= jn
n
tjnn eecty
muncul sebagai akibat pergeseran di kawasan waktuτ0Ω− jne
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom185
Respons Steady StateRespons Steady State
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom186
Sistem dengan notasi operator p sebagaib ik tberikut :
L(p) = y(t)/x(t) = N(p)/D(p)
Dimana D(p) dan N(p)adalah polinomialdalam operator diferensial pdalam operator diferensial p.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom187
Respons sistem y(t) = yc(t) + yp(t)
dimana yc(t) adalah solusi komplementer,yc( ) p ,yang didapat saat input masih samadengan nol dan yp(t) adalah solusig yp( )particular yang didapat saat input tidaksama dengan nol.g
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom188
Respons steady state untuk inputk i l (t) A jΏt d l heksponensial x(t) = A ejΏt adalah :
yss = [N(p)/D(p)] x(t) setiap p digantidengan jΏ.g j
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom189
Input sinusoidal :)(cos)( φ+ΩtAtx )( cos)( φ+Ω= tAtx
tjtj eUeUtAtx )( cos)( Ω−∗Ω +=+Ω= φ
φjAeU 5.0=
φjAeU −∗ = 5.0
NN )()( tj
jp
tj
jp
UepDpNUe
pDpNty
)()(
)()()( Ω−
Ω−=
Ω
Ω=
+=
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom190
Dapat dituliskan :
θ
)()()( j
jp
MepDpNty ==
Ω=
tjtj eYeYty )( Ω−∗Ω +=
)( )( φθθ +== jj MAeUMety
)( cos 2)( φθ ++Ω= tMAtyss
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom191
ContohRangkaian listrik seperti gambar di bawah dengan masukan
sistem sebagai berikut :sistem sebagai berikut :
)3
6cos8)4
3cos(2010)( ππ−+++= tttx
34
1 Mohm 1 Mohm
X(t) 1 υF 1 υF
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom192
Rangkaian tersebut jika dinyatakan dalam operator p :
131
)()()(
maka , )()()13(
3
3
++==
=++
pptxtypL
txtypp
Dalam kasus ini, input terdiri atas tiga komponen, dengan frekuensi 0, 3,dan 6 radian
13)( ++ pptx
dan 6 radian.
3 113
1pp
=++
2974.2
33
0
1
8305.013
1
13
j
jp
jp
epp
pp
=++
++
=
=
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom193
66658.2
63 0254.0
131 j
jp
epp
=++ =
Akhirnya tegangan keluaran steady-state diberikan oleh :
+−+
+++= 66658.2
36cos0203.02974.2
43cos609.1610 ππ ttyss
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom194
Daya rata-rata Sinyal Periodik
Teorema Parseval :
Tt1 0 2∫+
dttxT
Pt
)(1 0
0
2∫=
dengan T adalah periode
Tdengan T adalah periode
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom195
Daya rata-rata Sinyal Periodik
Sehingga jika x(t) adalah tegangan atauSehingga jika x(t) adalah tegangan atauarus, pada suatu resistor 1 ohm, makadaya rata ratanya adalah :daya rata-ratanya adalah :
1 ∑∫∞+
== n
Tt
tcdttx
TP 22 )(1 0
0
dengan adalah koefisien Fourier
−∞=nT 0
dengan adalah koefisien FourierJangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom196
Daya rata-rata Sinyal Periodik
Persamaan di atas juga mungkinPersamaan di atas juga mungkindiekspresikan dalam bentuk koefisien deretFourier trigonometri sehinggaFourier trigonometri, sehingga
22212
0 )( nn baaP ∑∞
++=1
20 )( nn
n baaP ∑=
++
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom197
Spektrum sinyalDiberikan gelombang persegi dengan lebar pulsa ∆, tinggi A,
dan periode T sebagai berikut :dan periode T, sebagai berikut :
(t)x(t)
t
1
t
-1
T-T
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom198
Didapat :Cn = [A∆/T] sinc[nΏo∆/2] dimana Ώo = 2π/TCn = [A∆/T] sinc[nΏo∆/2] dimana Ώo = 2π/TCn = [A∆/T] sinc[nπ∆/T]Gambarkan untuk ∆ = 0,1 dan T =0,5 maka :Gambarkan untuk ∆ 0,1 dan T 0,5 maka :Ώo = 2π/T = 2π/0,5 = 4π∆/T = 0,1/0,5 = 0,2nπ∆/T = 0,2 nπ = xx = π jika n =5
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi
Telkom199
Terlihat bahwa sinyal waktu kontinyu periodik mempunyaispektrum yang diskrit sebagai berikut :spektrum yang diskrit sebagai berikut :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom200
Transformasi FourierTransformasi Fourier Waktu Kontinyuy
(TFWK)( )
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom201
TFWK untuk memindahkan sinyal waktu kontinyu (SWK)aperiodik / terbatas dari kawasan waktu ke kawasanaperiodik / terbatas dari kawasan waktu ke kawasanfrekuensi.
∑∞
Ω− tjnt 0)( ∑−∞=
Ω=n
tjnnectx 0)(
1∫
+ Ω−−=Tt
t
tjnn dtetxT
c 0
0
0 )(1
∞→→=Ω TT
untuk 020
π
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom202
Sehingga untuk sinyal periodik sangat kecil.Konskuensinya spektrum diskret untuk fungsi periodikKonskuensinya, spektrum diskret untuk fungsi periodikakan digantikan dengan spektrum kontinyu untuk fungsiaperiodik. Dengan demikian persamaan deret Fourierb t k k l k h di ti d i t l D ibentuk komplek harus diganti dengan integral. Darimodifikasi persamaan diperoleh :
∫∞1
∫∞
∞−
Ω ΩΩ= deXtx tj)(21)(π
∫∞
∫∞
∞−
Ω−=Ω dtetxX tj)()(
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom203
Pasangan TFWKPasangan TFWK
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom204
Sinyal Pulsa Persegix(t)x(t)
A
t
-T/2 T/2
Transformasi Fourier dari x(t) adalah :
TΩ∫
∞)
2(sinc)( TATdtAeX tj Ω
==Ω ∫∞
∞−
Ω−
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom205
Sinyal eksponensial :x(t)
)()( tyetx at−=
x(t)1
0t
10
1)( )(
0
∞Ω+
−==Ω Ω+−
∞Ω−−∫ e
jadteeX tja
a
tjjat
|x(Ω)|tan-1(Ω/α)
0untuk 1 >Ω+
= aja
)arctan(1)(j Ω−
|x(Ω)|
Ω
1/a π/a
Ω)arctan(
22 )(1)( a
je
aX
Ω+=Ω Ω
0Ω
0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom206
Sinyal eksponensial dua sisi : 0 ),()( >= − atyetx ta
0
)(
+=
=Ω
Ω−Ω−∞
−
Ω∞
∞−
−
∫∫∫
dteAedteAe
dteAeX
tjattjat
tjta
22
0
2 Ω+
=Ω+
+Ω−
=
∞−∫∫
aA
jaA
jaA
x(t) x(Ω)
0
t Ω
0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom207
Sinyal Impulse : )(tδ
1)()( 00 ≅=−=Ω Ω−∞
∞−
Ω−∫ tjtj edtettX δ
x(t)=δ(t) |x(Ω)|
1
tΩ
00Ω
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom208
Sinyal Sinc.Bila berbentuk persegi maka :)(ΩXBila berbentuk persegi maka :)(ΩX
deXtx tj
21)(
21)(
ππ ∫∞
∞−
Ω =ΩΩ=
WtWtAWdAeW
W
tj sincsin21
πππ ∫−
Ω =Ω=
x(Ω) x(t)
0
t
0W
Ω
W
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom209
Sifat sifat TFWKSifat-sifat TFWK
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom210
Linearitas
[ ][ ])()( 11 txFX =Ω
[ ])()( 22 txFX =Ω
[ ] [ ])()()()( 22112211 Ω+Ω=+ XaXatxatxaF[ ] [ ])()()()( 22112211
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom211
Pergeseran Waktu
Jika [ ])()( txFX =Ω
maka
[ ])()( txFX =Ω
maka
[ ] )()( 0 Ω=− Ω− XettF tjδ[ ] )()( 0 ΩXettF δ
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom212
Pergeseran Frekuensi
Jika [ ])()( txFX =Ω
maka
[ ])()( txFX =Ω
maka
[ ] [ ])(0X tjΩ−ΩΩ[ ] [ ])(00 txeX tjΩ=Ω−Ω
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom213
Diferensiasi & Integrasi Kawasan Frekuensi
Jika [ ])()( txFX =Ω
maka
[ ]
maka
[ ])()(
tjtxFddX
−=ΩΩ
dΩ
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom214
Konvolusi kawasan waktu
Jika , , , x(t) dan h(t) [ ])()( txFX =Ω [ ])()( thFH =Ω [ ])()( tyFY =Ω
dihubungkan dengan integral konvolusi :
∫∞
∞−−= τττ dthxty )()()(
Maka :)()()( ΩΩ=Ω XHY
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom215
Konvolusi kawasan frekuensi
Jika [ ])()( txFX =Ωdan [ ])()( tyFY =Ω
maka
[ ] ∫∞
∞−−Ω= duuyuXtytxF )()(
21)()(π
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom216
2π
TFWK Sinyal ySinusoidal & Cosinusoidal
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom217
TFWK sinyal sinusoidalTeorema Euler :
2cos
00
0
tjntjn eetnΩ−Ω +
=Ω
jeet
tjntjn
2sin
00
0
Ω−Ω −=Ω
j
tjtj edetx 01)(1)( Ω∞ Ω =ΩΩ−Ω= ∫ δ edetx
2)(
2)( 0∞−
=ΩΩ−Ω= ∫ πδ
π
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom218
Karena :
F [ ] 0Ω−Ω=Ω π20tje
Maka :
FDan
[ ] [ ] (( 00 ))cos Ω−Ω+Ω+Ω=Ω δδπt
F [ ] [ ] (( 00 ))sin Ω−Ω−Ω+Ω=Ω δδπjt
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom219
Gambar TFWK pada sinyal snusoidal
X(Ω)
ππ
X(Ω)jπ
−Ω0
Ω0
−Ω0 Ω0 00
Ω Ω
(a) (b)
a. Transformasi Fourier sinyal Cosinusoidal
−jπ(a) (b)
b. Transformasi Fourier sinyal Sinusoidal
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom220
Energi SinyalEnergi Sinyal
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom221
Kandungan energi sinyal didefinisikan sebagai :
∫∞
∞−= dttxE )(2
ΩΩ= ∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
Ω dtdeXtxE tj)(21)(2
π
Ω
Ω=
∫
∫ ∫∞
∞
∞−
∞
∞−
Ω ddtetxX tj
1
)()(21 π
ΩΩ−Ω= ∫ ∞−dXX )()(
21 π
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom222
PE-2533 Sinyal dan SistemSinyal dan Sistem
BAB #3:BAB #3:ANALISIS FOURIER SINYAL
WAKTU DISKRIT
223 Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom
TujuanMemahami prinsip dasar deret Fourier dan TransformasiFourier Waktu Diskrit serta dapat menerapkannya padaFourier Waktu Diskrit serta dapat menerapkannya padaberbagai Sinyal Waktu DiskritMemahami sifat-sifat deret Fourier dan TransformasiFourier Waktu Diskrit dan menerapkan dalam analisissinyal
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom224
Deret Fourier Waktu Diskrit(DFWK)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom225
DFWK bentuk TrigonometriDiberikan sebuah sinyal waktu diskrit x(n) periodik dengan
periode N :periode N :x(n)=x(n+kN)
nx(n) = an cos ( 2πn/N)
n
x(n) = bn sin ( 2πn/N)n
0 17
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom226
DFWK : ∑∞
Ω+Ω+= 000 )sincos()( nn tnbtnaatxDFWK :
DFWD :
∑=
Ω+Ω+1
000 )sincos()(n
nn tnbtnaatx
∑∞
=
++=1
0 )sincos()(k
okok nkwbnkwaanxDFWD : Dimana frekuensi sudut = 2π/periode Ώ0 = 2π/T; ω0 =
2π/N
=1k
Bentuk-bentuk trigonometri yang penting :cos(Nω0n)=cos (2πn)=cos (0ω0n)
([N 1] ) ( )cos([N+1]ω0n)=cos(ω0n)cos([N+2]ω0n)=cos(2ω0n)
cos([N+k]ω0n)=cos(kω0n)cos([N k]ω0n) cos(kω0n)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom227
DFWK bentuk EksponensialDFWK : ∑
∞
−∞=
Ω−=n
tjnnectx 0)(
∫+ Ω−−=Tt
t
tjnn dtetxT
c 0
0
0 )(1
DFWD : ∑−
±±==1
0,....2,1,0,)( 0
N
kk neanx
njkω
=0k
( ) 1...2,1,0,10
1
0
−== −−
=∑ Nkenx
Na njk
N
nk
ω
0n
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom228
Disingkat penulisannya : ∑−
=
±±==1N
0k
knNk ,....2,1,0n,wa)n(x
( ) 1...2,1,0,1 1
0−== −
−
=∑ Nkwnx
Na kn
N
N
nk
0
2ω
πjN
j
N eew =∆
Nk2j
kN ew
π
=
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom229
Bentuk DFWD cukup dianalisis 1 periode dari n =0 sampaidengan N-1 karena sifat eksponensial dan periodisitas :dengan N 1, karena sifat eksponensial dan periodisitas :
[ ] 122
0 ==
= kj
N
Nkj
Njk eee ππ
ω
Dimana k adalah integer sejumlah N dari 0 sampai N-1.
[ ]
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom230
Respons Steady State thd masukan sinusoidal
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom231
Sistem dalam notasi operator q : L(q) = y(n)/x(n) = N(q)/D(q)Respons sistem : y(n) = y (n) + y (n)Respons sistem : y(n) = yc(n) + yp(n)Respons steady state input eksponensial x(n) = Ayss(n) = [N(q)/D(q)] x(n) dimana q=
[ ]njke 0ω
[ ]0ωjeyss(n) [N(q)/D(q)] x(n) dimana qJika input sinusoidal maka ubah dahulu ke dalam bentuk
eksponensial
[ ]e
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom232
Contoh
Tentukan respon tunak (steady state) darii t kt di k it b ik tsistem waktu diskrit berikut :
y(n+2)-0.8y( n+1)+0.15y(n)= x(n)
dimana x(n) = 5 + 2 ej2πn/10
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom233
ContohJadi disini seolah-olah inputnya ada 2 buah yaitu x1(n) = 5
dan x2(n) = ej2πn/10dan x2(n) eDengan menggunakan operator q, dapat ditulis :
y(n)[q2 – 0,8 q + 0,15] = x(n)
1L(q) = y(n)/x(n)
( ) L( ) ( ) d j0
15.08.01
2 +−=
yss1(n) = L(q) x1(n) dengan q = ej0
286,1435,0/515080
500 ==
+= jj
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom234
15.08,0 00 +− jj ee
yss2(n) = L(q) x2(n) dengan q = ej2π/10
102
104
102
15080
2=
jj
nj
eππ
π
102
1010
15,0)4.0sin8,02.0cos8,04,0sin4,0(cos2
15.08,0
+−−+=
+−nj
jje
eeπ
ππππ
)94,12,0(102
873,3488,0188,0
2
,),,,,(
−=+−
= nj
nj
ej
e
jj
π
π
Sehingga : yss(n) = )94,12,0(873,3286,14 −+ nje π
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom235
Transformasi Fourier Waktu Diskrit
(TFWD)( )
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom236
Tinjau sinyal waktu diskrit terbatas :x(n) ≠ 0 0 ≤ n ≤ Nx(n) ≠ 0 , 0 ≤ n ≤ N1
Buatlah x(n) menjadi sinyal periodik dengan periode N (dimana N> N1)( 1)
x(n) nN1-10(a)
)(~ nxN1-10-N N n(b)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom237
Dengan menggunakan analisis DFWD dapat ditulis :
∑−
ω=1N
)njk(k
0ea)n(x~ ∑=0n
)njk(1N
k0e)n(x~
N1a ω−
−
∑=0n
k )(N =
∑
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom238
Karena =0, n> N1, maka
)(1
0)(1 njkN
k enxN
a ω−−
∑=0
)(n
k N =∑
knN
N
k wnxN
a −−
∑=1
)(1N
nk N =
∑0
)(
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom239
Karena x(n) ≠ 0, 0 ≤ n ≤ N1 maka
knN
n
k wnxa −∞=
∑= )(1N
nk wnxN
a−∞=
∑ )(
)( 0)(1 njkn
ω−∞=
∑ )( 0)( njk
nk enxN
a ω
−∞=∑=
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom240
Perlu diingat bahwa ω0 = 2π/N
Perlu diperhatikan bahwa akan mendekatipx(n) untuk nilai N yang semakin tinggi.
Sehingga dapat dinyatakan :
)n(x)n(x~limN
=∞→
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom241
N ∞→
Sedangkan bila N ~ maka ω0 0hi kt k tisehingga spektrumnya kontinyu.
n ∞=)( 0)(. njk
nk enxaN ω−
−∞=∑=n ∞=
)(n ∞=
∑ )()(. nj
nk enxaN ω−
−∞=∑=
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom242
n ∞
)( ωjXN − )(. ωjk eXaN =
Dengan ω = k.ω0 inilah yang disebutsebagai Transformasi Fourier Waktu Diskritdari x(n).
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom243
Kembali ke persamaan sebelumnya :
∑−
=1
)( 0)()(~ Nnjk
k eanx ω∑=0
)()(n
k eanx
∑−
=1
)(0
0)](1[)(~ NnjkekXnx ωω∑
=00 )]([)(
n N
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom244
)njkN
0~ ωω∑ )njk0
0n
0 0e)k(X2
)n(x~ ω
=
ωπ
ω=∑
Untuk N ~ maka ω0 0
Sehingga ω0 berubah menjadi suatu elemen frekuensi dω,dengan demikian :
1ωω
π= ∫
π ω2
0
)njk de)(X21)n(x
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom245
Jadi pasangan Transformasi Fourier WaktuDi k it (TFWD) d i d l hDiskrit (TFWD) dan inversenya adalahsebagai berikut :
)()()( njn
enxX ωω −∞=
∑= )()(n −∞=∑
π
∫21 ωω
ππ ω∫=
2
0
))(21)( deXnx njk
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom246
TFWDTFWD Sinyal SinusoidalSinyal Sinusoidal
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom247
nj 0Ae)n(x ω=
∑∞
−∞=
π−ω−ωπδ=ωk
0 )k2(2)(X
( ) )ee(2AncosAnx njnj
000 ω−ω +=ω=
∑∞
−∞=
π−ω+ωδ+π−ω−ωδπ=ωk
00 )k2()k2()(X
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom248
Dengan cara yang sama kita dapat menunjukkan bahwa TFWD dari fungsi sinusTFWD dari fungsi sinus
)ee()j2(
AnsinA)n(x njnj0
00 ω−ω −=ω=
Adalah :
)j2(
∑∞
−∞=
π−ω+ωδ+π−ω−ωδπ−=ωk
00 )k2()k2([j)(X
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom249
TFWD sinyal cosinusoidalX(n)
n
π π π ππ π
TFWD sinyal sinusoidal
n-2π 0 2π−ω0 ω0
π ππ
X(n)
n-2π 0
−π
2π
−π−π
−ω0ω0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom250
Sifat sifat TFWDSifat-sifat TFWD
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi
Telkom251
a. Periodik atau berulang
X(ω+2π)=X(ω)b. Linearitasb. Linearitas
Jika dan[ ] )(X)n(x 11 ω=F [ ] )(X)n(x 22 ω=F
Maka :[ ] 11
[ ] )(Xa)(Xa)n(xa)n(xa 22112211 ω+ω=+F[ ] )()()()( 22112211
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom252
c. Pergeseran waktu dan frekuensimaka
Jika maka[ ] )(X)n(x ω=F [ ] )(Xe)nn(x 0nj0 ω=− ω−F
Jika maka[ ] )(X)n(x ω=F [ ] )(X)n(xe 0nj 0 ω−ω=ω−F
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom253
d. Penskalaan waktu dan frekuensi
Jika [ ] )(X)n(x ω=F
maka
[ ] )(X)n(x ωF
[ ] )k/(X)nk(x ωFmaka [ ] )k/(X)nk(x ω=F
dimana k> 1
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom254
e. Differensiasi dan penjumlahan
Jika [ ] )(X)n(x ω=F
maka [ ] )(Xe1()1n(x)n(x )j ω−=−− ω−F
Dan
∑∑∞
−∞=ω−
−∞=
π−ωδπ+ω−
=
kj
n
m)k2()0(X)(X
e11)m(xF
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom255
f. Differensiasi dalam frekuensi
Jika [ ] )(X)n(x ω=F[ ] )()(
maka [ ])(d)(dXj)n(nx
ωω
=F)(d ω
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom256
g.Teorema Parseval
Jika [ ] )(X)n(x ω=F
maka
[ ] )()(
∫∑π∞ 2 22 1maka ∫∑
−∞=
ωωπ
=0
2
n
2 d)(X21)n(x
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom257
h. Konvolusi
Jika ∑∞
−= )kn(h)k(x)n(y
maka
−∞=k
)(X)(H)(Y ωω=ωmaka )(X)(H)(Y ωω=ω
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom258
i. Konvolusi Periodik/Konvolusi sirkular
)n(R)mn(x~)m(x~mnxmx)n(y N2
1N
1
Nk
21 −=⟩−⟨⟩⟨= ∑∑−+
dimana ,
)n(R)mn(x)m(xmnxmx)n(y N20m
11k
21 ⟩⟨⟩⟨ ∑∑=+
k adalah integer, ekspresi <r> adalah r modulo N untuk rinteger sembarang, N adalah perioda( ) ( ) d t t b tx1(n)=x2(n)= deretan terbatas
y(n) adalah respons sistem
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom259
PE-2533 Sinyal dan SistemSinyal dan Sistem
BAB #4:BAB #4: T f i ZTransformasi Z
260 Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom
TujuanMemahami sifat sifat Transformasi ZMemahami sifat-sifat Transformasi ZMemahami hubungan antara Transformasi Z denganTransformasi Fourier Waktun Diskrit serta hubungangTransformasi Z dengan Transformasi LaplaceDapat menggunakan Transformasi Z untuk memecahkanpersamaan perbedaan dengan kondisi awalpersamaan perbedaan dengan kondisi awal.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom261
Bila ada deretan x(n) maka TZ[x(n)] didefinisikan sebagai :
TZ 2 sisi∑∞=
−=n
nznTxzX ).()(TZ 2 sisi−∞=n
TZ 1 sisi∑∞=
=
−=n
n
nznTxzX0
).()(
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom262
Definisi diperluas :
TZ[h(n)] = H(z) = h(n) z-n∑∞
[ ( )] ( ) ( )
Untuk z = ejω didapat H(ejω)
∑−∞=n
Untuk z = ejω didapat H(ejω)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom263
S hi bil d h( ) d t dihit H( )Sehingga bila ada h(n), dapat dihitung H(z),kemudian z diganti dengan ejω didapatH( jω ) it R F k iH(ejω ) yaitu Respons Frekuensi.
Dengan kata lain, untuk mencari responsfrekuensi dapat dilakukan melalui TZ.p
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom264
Daerah KonvergensiDaerah Konvergensi
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom265
Daerah Konvergensi merupakan tempat kedudukan (harga-harga) dari z yang menyebabkan TZ nya berhargaharga) dari z yang menyebabkan TZ nya berhargaberhingga.
a. Diberikan sinyal kausal x(n) = Aαn u(n), |α| >0 maka :
X( ) A ( ) A A A ( / )∑∞
∑∞
∑∞
∑∞
X(z) = Aαn u(n).z-n = Aαn z-n = A αn z = A (α/z)n
X(z) akan berhingga bila (α/z) < 1 atau |z| > |α|
∑−∞=n ∑
=0n∑
=0n∑
=0n
X(z) akan berhingga bila (α/z) < 1 atau |z| > |α|Sehingga X(z) = , |z| > |α| dengan daerah konvergensidi setiap titik di luar lingkaran dengan jari-jari α.
11 −− zAα
di setiap titik di luar lingkaran dengan jari jari α.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom266
b. Diberikan sinyal antikausal x(n) = Aα-n u(-n), |α| >0 maka :
X(z) = Aα-n u(-n).z-n = Aα-n z-n = A α-n z-n = A (α.z)n∑∞
−∞=n∑
∞
=0n∑
∞
−∞=n∑
∞
−∞=n
X(z) akan berhingga bila (αz) < 1 atau |z| < |1/α|Sehingga X(z) = , |z| < |1/α| dengan daerah konvergensiA
1disetiap titik di luar lingkaran dengan jari-jari 1/α.
zα−1
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom267
DeretanDeretan dalam Waktu Terbatasdalam Waktu Terbatas
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom268
Bila x(n) ≠ 0, n € [N1,N2] dengan N1< N2 dan N1,N2 terbatas, maka :maka :
X(z) = x(n).z∑=
2
1
N
Nn
X(z) konvergen di setiap titik pada bidang z dengankemungkinan pengecualian di z = 0 atau z = ~.
( 3) 2 ( 2) 5 ( 1) 3 (0) 0 (1) 4 (2) 2 (3)x(-3) = 2, x(-2) = -5, x(-1) = 3, x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 2, x(3)= -4, x(4) = -2
23
4
2
x(n)
0-1
-2
-3 1 2
3 4
5-4
-2
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom269
-5
4321123 2424352)( −−−− −−+++−= zzzzzzzzX 2424352)( +++ zzzzzzzzX
Terlihat bahwa bila ada z berpangkatitif k tid k b l k kpositif, maka z = ~ tidak berlaku karena
hasilnya tak terhingga. Begitu pula bila adab k t ti k 0 tid kz berpangkat negative maka z = 0 tidak
berlaku karena hasilnya juga tak terhingga.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom270
Bila deretan dengan waktu terbatas adalahRespons Impuls h(n) dari suatu sistem linear danRespons Impuls h(n) dari suatu sistem linear dantak berubah terhadap waktu maka sistem tersebutdisebut dengan “SISTEM RESPONS IMULSgTERBATAS” (RIT) atau FINITE IMPULSERESPONSE SYSTEM (FIR SYSTEM).
Bila N1 = -~ dan/ N2 = ~ maka sistemnya disebutdengan “SISTEM RESPONS IMULS TAKTERBATAS” atau INFINITE IMPULSERESPONSE SYSTEM (IIR SYSTEM)RESPONSE SYSTEM (IIR SYSTEM).
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom271
Deretan KausalDeretan Kausal
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom272
Bila x(n) ≠ 0, n € [N1,~] dengan N1 ≥ 0 , maka :
X(z) = x(n).z-n∑∞
= 1Nn
Contoh : Diberikan sinyal x(n) = an u(n)
X(z) = , |z| > |α|11
1−− az
X(z) konvergen di setiap titik di luar lingkaran dengan jari-jari a. Bila a < |1|, maka sistem stabil.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom273
Deretan tidak KausalDeretan tidak Kausal
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom274
Bila x(n) ≠ 0, n € [-~, N1] dengan N1 <0 , maka :
X(z) = x(n).z-n∑−∞=
1N
n
Contoh : Diberikan sinyal x(n) = - bn u(-n-1)
X(z) = -bn.z - n = -b-n.z n = - b-n.z n = 1 - b-n.z n∑−
−∞=
1
n∑
∞
=1n∑
∞
=1n
∑∞
=0n
= 1 - (b-1.z) n∑∞
=0n
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom275
X(z) akan konvergen bila |b-1.z| < 1.
X(z) = 1 - = , |z| < |b|zb 111
−− bzz−
X(z) konvergen di setiap titik di dalam lingkaran dengan jari-jari b.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom276
Deretan Dua SisiDeretan Dua Sisi
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom277
Bila x(n) ≠ 0, n € [-~, ~], maka :
X(z) = x (n) z-n = x(n). z-n + x(n). z-n∑∞
−∞=n∑
∞
=0n∑−
−∞=
1
n
Contoh :Diberikan sinyal x(n) = an u(n)
b ( 1) | | |b|= - bn u(-n-1) , |a| < |b|
X(z) = + = dengan ROC |a| < |z| < |b|z z 2( bazz −−X(z) = + = , dengan ROC |a| < |z| < |b|az − bz − ))(( bzaz −−
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom278
TZTZ Beberapa SinyalBeberapa Sinyal
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom279
a.Sinyal impuls
=
=ainnyaln00n 1,
(n)δ
X ( ) ( ) n 1
ainnyaln 0,
∑∞
X (z) = x(n) z-n = 1∑=0n
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom280
b. Deretan konstan∞== ,,.........2,1,0,)( nAnx
X(z) = z-n = A( 1 + z-1 + z-2 + …)∑∞
=0)(
nnx
= , |z| > |1|A , | | | |11 −− z
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom281
c. Deretan eksponensialnrAnx )( u(n)
X (z) = A rn z-n = A (r z-1 )n = = , >
rAnx .)( =∑
∞
=0n∑
∞
=0n
11 −− rzA
rzAZ− z r
d. Deretan sinusoidal/cosinusoidal Diberikan sinyal cosinusoidal nAnx βcos.)( =Diberikan sinyal cosinusoidal
X(z) = TZ TZ [ ]nA βcos
+
−
22
njnj AeAe ββ
X(z) = (A/2)
− βjezz
−+ − βjez
z
−+− − ββ jj ezezAz=
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom282
+−−
+− 12 2 ββ jj zezezezezAz
=
+−
−1cos2
cos222 2 β
βzz
zAz
= , > 1]1cos2
cos[2 +−
−ββ
zzzAz z
Im[z]lingkaransatuan
β
n Re[z]
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom283
Diberikan sinyal sinusoidalX(z) =TZ [A sin ] = TZnβ
−AeAe njnj ββX(z) =TZ [A.sin ] = TZ
=
nβ
−
je
je
22
− ββ jj
zzA
= ; > 1
−− − ββ jj ezezj2
1cos2sin
2 +− ββ
zzAz z1cos2 +βzz
Im[z]lingkaransatuan
n Re[z]
β
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom284
Sifat-sifat TZSifat sifat TZ
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom285
Linearitas(1)Bila deretan x(n) = αx1(n) + βx2(n), dengan α dan β konstan,
maka :maka :
X(z) = TZ [ ])()( 21 nxnx βα +( )
)()(
).().(
21
20
10
zXzX
znxznx n
n
n
n
βα
βα
+=
+= −∞
=
−∞
=∑∑
dengan X1(z) = TZ[x1(n)] , ROC R1 -< < R1+;
X ( ) TZ[ ( )] ROC R < <R d
)()( 21 β
zX2(z) =TZ[x2(n)] , ROC R2 -< <R2+ dan X(z) = Z [x(n)],
z
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom286
Linearitas(2)Maka TZ[αx1(n) + βx2(n)] dengan ROC dari hasil TZ ini
diberikan oleh irisan ROC dari X1 (z) dan ROC dari X 2 (z)diberikan oleh irisan ROC dari X1 (z) dan ROC dari X 2 (z).ROC : max [R1 - ; R2-] < < min [R1+ ; R2+]z
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom287
Pergeseran Deretan(1)Diberikan xk(n) = x(n-k) adalah deretan x(n) yang tergeser
sebesar k cuplikan dan bilasebesar k cuplikan dan bilaTZ[x(n)] = X(z) maka :TZ[x(n-k)] = Xk(z)[ ( )] k( )
= xk(n) z-n = x(n-k) z-n∑∞
−∞=n∑
∞
−∞=n
Sebut n-k = m maka Xk(z) = x(m)z-(m+k)=z-k x(m) z-m∑∞
−∞=n∑
∞
−∞=n
= z-k X(z)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom288
Pergeseran Deretan(2)Bila TZ[x(n)] = X(z) , Rx -< < Rx+;
Maka :z
Maka :TZ[x(n-k)] = z-k X(z), Rx -< < Rx+;
Jadi daerah konvergensi (ROC) dari x(n) dan x(n-k) adalahz
Jadi daerah konvergensi (ROC) dari x(n) dan x(n k) adalahsama , dengan kemungkinan pengecualian di z = 0 dan z= ~.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom289
Perkalian n (diferensiasi)-1Jika : X(z) = TZ [x(n)], maka :
TZ [ ] )()( zXdzdznnx −=
Bentuk umum : [ ] m
mmm
dzzxdznxn )()()( −=
Bukti TZ [ ] ∑∑∞
=
−−∞
=
− ==0
1
0)()()(
n
n
n
n znnxzznnxnnx
∑∑∞
−∞
−−
== 1 )())(( nn zdznxzznnxz ∑∑
==
−==00
).().)((nn
zdzznxzznnxz
)().( zXddzznx
ddz n −=
−= ∑
∞−
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom290
0 dzdz n
∑
=
Perkalian dengan rn
Jika : X(z) = TZ [x(n)], maka : TZ [ ] )()(rzXnxr n =
Bukti :
[ ] )().().()(00 r
zXrznxznxrnxr
n
n
n
nnn ∑∑∞
=
−∞
=
− =
==
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom291
Penjumlahan Konvolusi(1)Jika X (z) =TZ [x (n)] , ROC R1- < < R1+;
X (z)=TZ[ x (n)] ROC R < < RzzX (z)=TZ[ x (n)] , ROC R2 -< < R2+,
Maka :X1(z) X2(z) = TZ Bukti :
z
−∑
∞
=021 )().(
kknxkx
Bukti :
TZ n
n kkzknxkxknxkx −
∞
=
∞
=
∞
=∑ ∑∑
−=
− .)().()().(
0 021
021
,).()(0 0
21 knmzmxkxk n
km −== ∑ ∑∞
=
∞
=
−−
[ ] [ ])().(
,).()(
21
0 021
zXzX
zmxzkxk n
mk
=
= ∑ ∑∞
=
∞
=
−−
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom292
Penjumlahan Konvolusi(2)Contoh :x(n) = u(n) maka X(z) = z-n = |z| > |1|1∑
∞
x(n) = u(n), maka X(z) = z n = , |z| > |1|
h(n) = an u(n), maka H(z) = anz-n = , |z| > |a|, dengan
11 −− z∑=0n
∑∞ 1h(n) a u(n), maka H(z) a z , |z| |a|, dengan
a < 1, maka :∑
=0n 11 −− az
1 2zY(z) = X(z).H(z) = . = , |z| > |1|11
1−− z 11
1−− az
−− ))(( bzaz
z
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom293
Teorema Nilai Awal (1)
Jika : X(z) = Z [x(n)], maka :
)(lim)0( zXxz ∞→
=
Penerapan utama dari sifat ini adalah untuk
z ∞→
Penerapan utama dari sifat ini adalah untukmenentukan nilai awal x(0) secaralangsung dari X(z) tanpa melakukanlangsung dari X(z), tanpa melakukanevaluasi inverse TZ.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom294
Teorema Nilai Awal (2)
Buktinya diberikan seperti berikut ini :Dari persamaan definisi TZSS,
X(z) = x(0) + x(1). z-1 + x(2).z-2 + x(3).z-3 + ....
Bila z , maka seluruh suku akan menjadit k il k li k t H l i isangat kecil, kecuali suku pertama. Hal ini
membuktikan persamaan nilai awal di atas.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom295
Teorema Nilai Akhir(1)Jika TZ [x(n)] = X(z) dan semua pole X(z) terletak didalam
lingkaran satuan dengan pengecualian yang mungkin darilingkaran satuan, dengan pengecualian yang mungkin daripole yang sederhana pada z = 1, maka nilai x(n) pada ndiberikan oleh :li x(n)=
Bukti :
xn→lim lim
z→1zz
X z−
1( )
Bukti :Dengan mempertimbangkan TZ , Dari sifat
pergeseran maka dapat dituliskan :)]()1([ nxnx −+
p g pTZ )]()1([ nxnx −+ )()]0()([ zXzxzzX −−=
nk
znxnx −−+= ∑ )]()1([lim
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom296
nkznxnx
=∞→
+∑ )]()1([lim0
Teorema Nilai Akhir(2)Hal ini dapat disusun kembali sebagai :
dengan pengambilan z pada kedua sisi, kita dapatkan :
nk
nkznxnxxzXz −
=∞→
−+=−− ∑ )]()1([lim)0()()1(0
dengan pengambilan z pada kedua sisi, kita dapatkan :
...)]1()[...)]1()2([)]0()1([)0()()1(1
kxXkxxxxxzXzimlz→
+−−++−+−+=−
)(lim kxk ∞→
=
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom297
PenskalaanBila TZ[x(n)] = X(z) maka
TZ[αn x(n)] = αn x(n) z-n = x(n) (z/α)-n∑∞
=0n∑
∞
=0n
= G(z/α)Dengan cara yang sama :
TZ[ x(n)] = G(z )nje 0ω0ωje−
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom298
LatihanCarilah hasil TZ dan daerah konvergensi dari sinyal :
x(n) = [3(4/5)n (2/3)2n] u(n)x(n) = [3(4/5)n – (2/3)2n] u(n)x(n) = 2n u(n) + 3n u(-n)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom299
Inverse Transformasi ZInverse Transformasi Z
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom300
Tujuan dari Inverse Transformasi Z adalahb lik d i k f k i ( )mengembalikan dari kawasan frekuensi (z)
ke kawasan waktu (n). Ada beberapat d I T f i Z t l imetode Inverse Transformasi Z, antara lain
:
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom301
Metode Penyesuaian Koefisien
Jika X (z) = maka : x (n) = a untuk n=0 1 2∑∞
−nJika X (z) = maka : x (n) = a untuk n=0,1,2,…
Contoh :
∑=0n
nnza
Contoh :X (z) =
lakukan pembagian :464
5323
2
++−−zzzzz
x (z) = 0z0 +3z-1 +7z-2 + …↑ ↑ ↑a0 a1 a2
x(0) x(1) x(2)↑ ↑ ↑
x(0) x(1) x(2)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom302
Metode Deret TaylorMerefer pada suatu bilangan komplek c dimana |c| < 1.
= c−1
1∑
∞
=0n
nc0n
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom303
Metode Ekspansi ParsiilMetode ini merupakan metode yang paling popular, karena
cukup melihat pasangan TZ dan inversenya yangcukup melihat pasangan TZ dan inversenya yangsederhana.
N )(iaX(z) =
(i) (i)
∑=
N
i 11)(1
)(−− zip
ia
)(iaa(i) pn(i)
Maka x(n) = a(i) pn(i) n ≥ 0
1)(1)(
−− zip
∑N
Maka x(n) = a(i) pn(i) , n ≥ 0= 0 , n < 0
∑=i 1
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom304
PE-2533 Sinyal & SistemSinyal & Sistem
BAB #5:BAB #5: TRANSFORMASI LAPLACETRANSFORMASI LAPLACE
305 Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom
Tujuan
Memahami sifat-sifat Transformasi laplaceMemahami hubungan antara TransformasiLaplace dengan Transformasi FourierMemahami Transformasi Laplace untukmemecahkan persamaan diferensialpdengan kondisi awal
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom306
Pendahuluan
Pada analisis transien, rangkaian selaludih d k d bil k l kdihadapkan dengan bilangan kompleks σ +jΩ. Sedangkan Transformasi Fourier WaktuK ti (TFWK) h b k j d lKontinyu (TFWK) hanya bekerja dalamdaerah σ.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom307
Pendahuluan (cont’)
Transformasi Laplace, seperti halnya TFWKt f ik i l diyang mentransformasikan sinyal di
kawasan waktu ke kawasan frekuensi(d l f k i k l k )(dalam frekuensi kompleks).
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom308
Daerah KonvergensiDaerah Konvergensi
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom309
Diberikan fungsi kausal : g1(t) = A.eαt u(t), α>0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom310
Transformasi Laplace dari g1(t) adalah :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom311
Konvergen bila (α-σ) negative, sehingga σ> α.Jika σ> α e(α-σ)t mendekati 0 untuk t ~Jika σ> α e(α σ)t mendekati 0, untuk t ~.Daerah σ> α disebut Daerah KonvergensiJadiJadi
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom312
Diberikan fungsi anti kausal : g2(t) = A.e-αtu(-t) = g1(-t) , α>0
Konvergen bila σ<-α
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom313
TZ nya adalah :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom314
Transformasi LaplaceTransformasi Laplace BilateralBilateral
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom315
TLB diturunkan dari TFWK :
∫∞
∞−
Ω−=Ω dtetxX tj)()(
∫∞
∞−
Ω ΩΩ= deXtx tj)(21)(π
Definisikan suatu fungsi y(t) = e-σt x(t) , dengan e-σt adalahfaktor konvergensi.
M k TFWK d i (t)Maka TFWK dari y(t) :∼ ∼
Y(Ω) = ∫ e-σt x(t) e-jΩt dt = ∫ x(t) e-(σ+jΩ)t dtY(Ω) = ∫ e x(t) e j dt = ∫ x(t) e ( j ) dt-∼ -∼
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom316
= X(σ+jΩ)∼
Jadi X(σ+jΩ)= ∫ x(t) e-(σ+jΩ)t dt-∼
= X(σ+jΩ)∼
x(t) = (1/2Π) ∫ X(σ+jΩ) e-(σ+jΩ)t dΩ-∼
Definisikan variabel frekuensi kompleks : s = σ+jΩ sehinggads = jdΩ dan dΩ = ds/j.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom317
Pasangan TLB :∼
X(s) = ∫ x(t) e-st dt -∼
∼X(t) =(1/2Πj) ∫ X(s) est ds
-∼Notasi : X(s) = ₤ [x(t)]
X(t) = ₤-1[X(s)]
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom318
Konvergensi TLB : terintegrasi secara mutlak .
∼ 0 ∼∫ x(t) e-σt dt = ∫ x(t) e-σt dt + ∫x(t) e-σt dt < ∼∫ x(t) e dt ∫ x(t) e dt ∫x(t) e dt <
-∼ -∼ 0
Transformasi Laplace 2 sisi ada , bila :
∼X(s) = ∫ x(t) e-st dt terbatas
-∼
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom319
Maka X(s) dijamin ada bila :Maka X(s) dijamin ada bila :
∼ ∼∫ x(t) e-σt dt = ∫ x(t) e-σt dt terbatas
-∼ -∼
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom320
Sebagai contoh :
x(t) = A. eαt , untuk t > 0= A. eβt, untuk t < 0 , dimana A, α, β adalah bilangan riil. A. e , untuk t < 0 , dimana A, α, β adalah bilangan riil.
Maka : konvergen untuk α < σ < β
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom321
Transformasi Laplace Satu Sisi
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom322
Definisi : diberikan suatu sinyal x(t) kausal, maka :∼
X(s) = ∫ x(t) e-st dt 00
σ+jΩ x(t) =(1/2Πj) ∫ X(s) est ds
σ-jΩ
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom323
Konvergensi TLSS jika :
lim e-σt x(t) = 0s→ ∼s
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom324
Transformasi LaplaceTransformasi Laplace beberapa Sinyalp y
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom325
Sinyal Impuls δ(t)∼
₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st dt₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e st dt 0
Ingat : δ(t) = 1 , t = 0Ingat : δ(t) 1 , t 0= 0 , t lainnya
Begitu pula e-st δ(t)= 1 , t = 0= 0 , t lainnya
∼₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st dt
00
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom326
Sinyal Langkah Satuan u(t)∼
₤[u(t)] = ∫ u(t) e-st dt₤[u(t)] = ∫ u(t) e st dt 0
Ingat : u(t) = 1 , t ≥ 0Ingat : u(t) 1 , t ≥ 0= 0 , t < 0
Sehingga : ∼ ∼
₤[u(t)] = ∫ u(t) e-st dt = -(1/s) e-st = -(1/s) [e-∼ - e0]0 0
₤[u(t)] = 1/s₤[u(t)] = 1/s
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom327
Sinyal Ramp t.u(t)∼
₤[t.u(t)] = ∫ t. u(t) e-st dt [ ( )] ∫ ( )0
Untuk t ≥ 0 maka t. u(t) = t Sehingga : ∼
₤[t.u(t)] = ∫ t e-st dt 0
Ingat : ∼∫ xn.e-st dx = (n!)/(an+1)
0Untuk a > 0 dan n > 0
₤[t u(t)] = 1 !/(s1+1) = 1/s2₤[t.u(t)] = 1 !/(s1+1) = 1/s2
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom328
Sinyal Ramp t.u(t)Dengan cara yang sama :
∼ ∼₤[tn.u(t)] = ∫ tn. u(t) e-st dt = ∫ tn. e-st dt
0 00 0
₤[tn.u(t)] = n !/(sn+1)
₤[tn 1 (t)/( 1)!] 1/ n₤[tn-1.u(t)/(n-1)!] = 1/sn
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom329
Sinyal Eksponensial(1)Bila f(t) = u(t) → F(s) = 1/s ,maka ₤[e-at.u(t)] = F(s+a)
Jadi : ₤[e-at.u(t)] = 1/(s+a)
Begitu pula untuk sinyal berikut ini :
₤[(1- e-at) u(t)] = ₤[u(t)] - ₤[e-at) u(t)= 1/s - 1/(s+a)
₤[(1- e-at) u(t)] = a/[s(s+a)]
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom330
Sinyal Eksponensial(2)Dengan cara yang sama :
₤[(t. e-at) u(t)] = 1/(s+a)2
Dan
₤[(tn-1. e-at) u(t)/(n-1)!] = 1/(s+a)n
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom331
Sinyal Sinusoidal&Cosinusoidal₤[sin Ωt u(t)] = ₤[u(t).(ejΩt – e-jΩt)/2j]
= (1/2j) ₤[ejΩt u(t)] ₤ [e-jΩt u(t)]= (1/2j) ₤[ejΩt u(t)] – ₤ [e jΩt u(t)]= (1/2j) [1/(s-jΩ) - 1/(s+jΩ)]
₤[sin Ωt u(t)] = Ω/(s2 + Ω2)
Dengan cara yang sama :
₤[ Ωt (t)] /( 2 Ω2)₤[cos Ωt u(t)] = s/(s2 + Ω2)₤[ e-at sin Ωt u(t)] = Ω/[(s+a)2 + Ω2]₤[ e-at cos Ωt u(t)] = (s+a)/[(s+a)2 + Ω2₤[ e cos Ωt u(t)] = (s+a)/[(s+a) + Ω
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom332
Sifat sifatSifat-sifat Transformasi LaplaceTransformasi Laplace
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom333
Jika ₤[x(t)] = X(s)₤[x1(t)] = X1(s)₤[x1(t)] X1(s)₤[x2(t)] = X2(s)
maka :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom334
Linearitas₤[a1 x2(t) + a2 x2(t)] = a1 X1(s) + a2 X2(s)
Contoh :₤[cos Ωt] = ₤ [0,5 ejΩt + 0,5 e-jΩt] = 0,5 ₤ [ejΩt] + 0,5 ₤ [e-₤[cos Ωt] ₤ [0,5 e 0,5 e ] 0,5 ₤ [e ] 0,5 ₤ [e
jΩt]= 0,5[1/(s-jΩ)] + 0,5[1/(s+jΩ)]= s/(s2 + Ω2)
₤[ i Ωt] ₤ [0 5 jΩt 0 5 jΩt] 0 5 ₤ [ jΩt] 0 5 ₤ [ jΩt]₤[sin Ωt] = ₤ [0,5 ejΩt - 0,5 e-jΩt] = 0,5 ₤ [ejΩt] - 0,5 ₤ [e-jΩt]= (0,5/j)[1/(s-jΩ)] + (0,5/j)[1/(s+jΩ)]= Ω /(s2 + Ω2)= Ω /(s + Ω )
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom335
Pergeseran Waktu(1)Jika ₤[x(t) u(t)] = X(s) maka ₤[x(t-τ) u(t-τ)] = e-sτ X(s) , τ > 0
(Buktikan)(Buktikan)Sehingga dapat ditabelkan sebagai berikut :
x(t) X(s)
δ(t-τ) e-sτ
u(t-τ) e-sτ (1/s)
(t-τ) u(t-τ) e-sτ (1/s2)
(t-τ)n u(t-τ) e-sτ (n!/sn+1)
e-a(t-τ) u(t-τ) e-sτ [1/(s+a)]
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom336
Pergeseran Waktu(2)Pasangan sinyal dalam kawasan waktu dan sinyal dalam
kawasan frekuensi pada tabel di atas merupakankawasan frekuensi pada tabel di atas merupakanpasangan transformasi Laplace. Sehingga bila diketahuidalam sinyal dalam kawasan frekuensi maka dapat dicarii l d l k kt l b l dib hsinyal dalam kawasan waktu, walaupun belum dibahas
Invers Transformasi Laplace.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom337
Pergeseran FrekuensiBila y(t) = x(t) e-αt maka ₤[y(t)] = Y(s) = X(s+α) dimana X(s) = ₤[x(t)]dimana X(s) = ₤[x(t)]
Begitu pula :Begitu pula :
₤[ e-αt cos Ωt u(t)] = (s+α)/[(s+α)2 + Ω2]
Juga :₤[ e-αt sin Ωt u(t)] = Ω/[(s+α)2 + Ω2]
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom338
Penskalaan
₤[x(at)] = (1/a) X(s/a)[ ( )] ( ) ( )
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom339
Diferensiasi Waktu∼
₤[dx(t)/dt] = ∫ dx(t)/dt e-st dt ambil u = e-st dan dv = dx(t)₤[dx(t)/dt] = ∫ dx(t)/dt. e st dt,ambil u = e st dan dv = dx(t) 0
Ambil u = e-st dan dv = dx(t)Ambil u e dan dv dx(t) b b b∫u dv = uv - ∫ v.du , du = -s e-st dt dan v = x(t) a a a
∼ ∼ ∫₤[dx(t)/dt] = e-st x(t) + s ∫ x(t) e-st dt
0 0₤[dx(t)/dt] = s X(s) x(0-)₤[dx(t)/dt] = s. X(s) – x(0-)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom340
Integrasi Waktut
Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[∫f(t) dt] = F(s)/sJika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[∫f(t) dt] = F(s)/s0
t ∼ tt tIngat ₤[∫f(t) dt] = ∫ [ ∫ f(t) dt] e-st dt
0 0 0t
Ambil u = ∫ f(t) dt → du = f(t) dt0
dv = e-st dt v = (1/s) e-stdv = e-st dt → v = -(1/s) e-st
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom341
PeriodisitasBila xp(t) adalah sinyal periodik dan x1(t) adalah sinyal
periode pertama dari x (t) dan ₤[ x1(t)]= X1(s) maka :periode pertama dari xp(t) dan ₤[ x1(t)] X1(s) maka :
₤[xp(t)] = [1/(1-e-Ts)] X1(s)
dengan T adalah periodeH l i i d t l bih dij l k b i b ik tHal ini dapat lebih dijelaskan sebagai berikut :Suatu fungsi periodik f(t) = f1(t) + f2(t) + .....Dengan f (t) adalah sinyal periode pertamaDengan f1(t) adalah sinyal periode pertama
f2(t) adalah sinyal periode keduadan seterusnya.dan seterusnya.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom342
PeriodisitasSehingga f(t) dapat dituliskan sebagai berikut :f(t) = f (t) + f (t) + f (t) +f(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) + .....
= f1(t) + f1(t-T) u(t-T) + f1(t-2T) u(t-2T) + ....F(s) = F1(s) + F1(s) e-Ts + F1(s) e-2Ts + ....F(s) F1(s) F1(s) e F1(s) e ....
= F1(s) [1 + e-Ts + e-2Ts + ....]= [1/(1-e-Ts)] F1(s)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom343
Teorema Nilai Awal∼∫[(dx(t)/dt] e-st dt = s X(s) x(0)∫[(dx(t)/dt] e st dt = s X(s) – x(0)0
∼s → ∼ : limit ∫[dx(t)/dt] e-st dt = limit [s X(s)] – x(0)
0 s →∼= limit [s X(s)] – x(0)
s→ ∼
x(0) = limit x(t) = limit s X(s)t→ 0 s→∼t→ 0 s→∼
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom344
Teorema Nilai Akhir∼∫[(dx(t)/dt] e-st dt = s X(s) x(0)∫[(dx(t)/dt] e st dt = s X(s) – x(0)
0∼ ∼
limit ∫[(dx(t)/dt] e-st dt = ∫[(dx(t)/dt] = limit [dx(t)/dt] dts→0 0 0 t→∼
= limit [x(t) – x(0)]t→∼
limit x(t) = limit s X(s)t→∼ s→0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom345
Perkalian dengan t
Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[t. f(t)] = -dF(s)/dsDan secara umum dapat dituliskan sebagai :
₤[tn. f(t)] = (-1)n dn F(s)/ds
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom346
Pembagian dengan t
∼∫Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[f(t)/t] = ∫ F(s) ds0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom347
TransformasiTransformasi RangkaianRangkaian
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom348
Transformasi Sumber Ideal(1)Transformasi Laplace fungsi kawasan waktu :
V(s)= ₤ [v(t)] dan I(s) = ₤ [i(t)]
Dengan v(t) adalah sumber tegangan ideal dan i(t) adalah sumber arus ideal.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom349
Transformasi Sumber Ideal(2)Sumber Tegangan Independen Sumber Arus Independen
k tak berdimensi k tak berdimensik tak berdimensi k tak berdimensi
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom350
Transformasi Sumber Ideal(3)Sumber Tegangan Independen Sumber Arus Independen
k dalam ohm k dalam ohm (Siemens)k dalam ohm k dalam ohm (Siemens)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom351
TransformasiTransformasi Elemen Pasif LinearElemen Pasif Linear
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom352
Untuk masing-masing elemen pasif, rasio tegangan terminalterhadap arus yang mengalor disebut IMPEDANSI Zterhadap arus yang mengalor disebut IMPEDANSI Z.
Sedangkan kebalikan impedansi disebut dengang p gADMITANSI Y.
D l d i dit li kDalam domain s dituliskan :Z(s) = V(s)/I(s) Volt/Ampere atau Ohm (Ω)Y(s) = I(s)/V(s) Ampere/Volt atau Siemens (S)Y(s) = I(s)/V(s) Ampere/Volt atau Siemens (S)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom353
Transformasi Resistor(1)Karakteristik terminal resistor dalam domain waktu :
R = v(t)/i(t)R = v(t)/i(t)v(t) = R. i(t)i(t) = (1/R). v(t) = G. v(t)i(t) (1/R). v(t) G. v(t)
Setelah ditransformasi Laplace :V(s)= R. I(s)I(s) = G. V(s)
Dari persamaan-persamaan di atas didapat :ZR(s) = R (Ω)YR(s) = G (S)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom354
Transformasi Resistor(2)Rangkaian di kawasan waktu dan di kawasan frekuensi
(model impedansi dan model admitansi) dapat ditunjukkan(model impedansi dan model admitansi) dapat ditunjukkanpada gambar berikut :
a). Rangkaian kawasan waktu b). Model Impedansi c). Model Admitansi
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom355
Transformasi Kapasitor(1)
t
v(t) = (1/C) ∫ i(t) dt + v(t )v(t) = (1/C) ∫ i(t) dt + v(t0)
t0
i(t) = C. d v(t)/dti(t) C. d v(t)/dt
Transformasi Laplace :V(s)= I(s)/(C.s) + v(t0)/sI(s) = C[s.V(s) – v(t0)] = C.s.V(s) – C. v(t0)
Kondisi awal pada persamaan di atas bila dibuat = nol,maka V(s)= I(s)/(C.s)I(s) = C s V(s)I(s) = C.s.V(s)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom356
Transformasi Kapasitor(2)Sehingga dapat dituliskan :
Z (s) = 1/(C s) (Ω)Zc(s) = 1/(C.s) (Ω)Yc(s) = C.s (S)
a). Rangkaian Kapasitor di kawasan waktu b). Model Seri Kapasitor c). Model Paralel Kapasitorc). Model Paralel Kapasitor
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom357
ContohTentukan model seri dan model paralel dari kapasitor 2,5
mikro farad dengan tegangan awal 5 voltmikro farad dengan tegangan awal 5 volt.Solusi :Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah sebagaig g
berikut :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom358
Impedansinya sebesar :
Impedansi tersebut diseri dengan sumber tegangan v(0)/s =5/s V.sec
Sehingga dapat digambarkan model seri sebagai berikut :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom359
Admitansi Y(s) = C.s = 2,5 10-6. s (S),diparalel dengan sumber arus C v(0) = (2 5 x 10-6 F) (5V) =diparalel dengan sumber arus C.v(0) = (2,5 x 10 6 F).(5V) =
12,5 mikro Ampere.secSehingga dapat digambarkan model paralel sebagai berikut :gg p g p g
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom360
Transformasi Induktor(1)t
i(t) = (1/L) ∫ v(t) dt + i(t )i(t) = (1/L) ∫ v(t) dt + i(t0) to
v(t) = L. d i(t)/dtv(t) L. d i(t)/dt
Setelah ditransformasi Laplace :I(s) = V(s)/(L.s) + i(t0)/s V(s)= L [s.I(s) - i(t0) ] = L.s.I(s) - L. i(t0)
Impedansi : ZL(s) = L.s (Ω)Admitansi : YL(s) = 1/(L.s) (S)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom361
Transformasi Induktor-2
a). Rangkaian Induktor di kawasan waktu b). Model Paralel Induktorc). Model Seri Induktor)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom362
ContohTentukan model seri dan model paralel dari induktor 20 mH
dengan arus awal 0 3 Adengan arus awal 0,3 A.Solusi :Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah sebagaig g
berikut :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom363
Impedansinya sebesar : Z(s) = L.s = 20.10-3 s (Ω)Admitansinya sebesar : Y(s) = 1/(L s) = 1/(20 10-3 s) = 50/sAdmitansinya sebesar : Y(s) = 1/(L.s) = 1/(20.10 3.s) = 50/s
(S)Sumber tegangannya : L.i(0) = (20.10-3)(0,3 A) = 6 mVsecg g y ( ) ( )( )Sumber Arus : i(0)/s = 0,3/s A secSehingga model paralel dan model seri dapat digambarkan
b i b ik tsebagai berikut :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom364
Contoh Soal Aplikasi 1(1)Diberikan rangkaian sebagai berikut :
Buat rangkaian transformasinya!!!!Solusi :Untuk t < 0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom365
Contoh Soal Aplikasi 1(2)
Untuk t ≥ 0Untuk t ≥ 0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom366
Contoh Soal Aplikasi 2(1)Hitung dan gambarkan iL(t) dari rangkaian berikut ini :
Solusi :Untuk t < 0
iL(o-) = 10/(450+50) = 20 mA
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom367
Contoh Soal Aplikasi 2(2)
Untuk t ≥ 0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom368
Contoh Soal Aplikasi 2(3)VT(s) = (5/s) + 400. 10-6 V secZ (s) = 1200 + 0 02 s + 50 = 0 02 [s + 62 5 103 ] ΩZT(s) = 1200 + 0,02 s + 50 = 0,02 [s + 62,5 .103 ] ΩIL(s) = VT(s)/ ZT(s) = 250/[s(s + 62,5 . 103 )] + 0,02/( s +
62,5 .103 ) A .sec)iL(t) = ₤-1 [250/s(s + 62,5 . 103)] + ₤-1 [0,02/(s + 62,5 .
103)] A[250/(62 5 103)] [1 62 5 103t] (t) 0 02= [250/(62,5 .103)] [1 – exp-62,5 . 103t] u(t) + 0,02. exp-
62,5 . 103t u(t) = [4 10-3 + 16 10-3 exp-62 5 103] u(t) [4. 10 16. 10 exp 62,5 . 10 ] u(t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom369
Contoh Soal Aplikasi 2-4
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom370
Latihan-1Buat rangkaian transformasi dari rangkaian berikut ini :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom371
Latihan-2Hitung dan gambarkan vc(t) untuk rangkaian berikut :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom372
Inverse Transformasi LaplaceInverse Transformasi Laplace Satu Sisi(ITLSS)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom373
Untuk mengembalikan dari spektrum (kawasan frekuensi) ke kawasan waktuke kawasan waktu
X(s) → x(t)( ) ( )
σ+jΩx(t) ≡ (1/2jΠ) ∫ X(s) est ds
σ-jΩ
Dapat diselesaikan melalui definisi di atas atau melihatpasangan TLSS-nya.pasangan TLSS nya.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom374
Sinyal Transformasi Laplace
δ(t) 1
u(t) 1/s
(tne-at/n !) u(t) 1/[(s+a)n+1](t e /n !) u(t) 1/[(s a) ]
Cos Ωt u(t) s/[s2+Ω2]
Sin Ωt u(t) Ω /[s2+Ω2]
e-at Cos Ωt u(t) (s+a)/[(s+a)2+Ω2]
e-at Sin Ωt u(t) Ω /[(s+a)2+Ω2]
u(t)-2u(t-T0/2) + 2u(t-T0) - .... (/s) (1-e-sT0/2)/( 1+e-sT0/2)
(SinΩt - Ωt Cos Ωt) u(t) 2Ω3 / [s2 + Ω2]2
( i ) ( ) 2 / 2 2 2(Ωt SinΩt) u(t) 2Ω2s / [s2 + Ω2]2
Ωt e-at Sin Ωt u(t) [2Ω2(s+a)] / [(s+a)2 + Ω2]2
e-at (Sin Ωt - Ωt Cos Ωt) u(t) 2Ω3 /[(s+a)2 + Ω2]2
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom375
( ) ( ) [( ) ]
Lebih mudah diselesaikan dengan carat khi d lih tterakhir dengan melihat :Bentuk polynomial X(s) = N(s)/D(s)Pasangan TransformasinyaBentuk X(s) = N(s)/D(s) dalam ekspansiBentuk X(s) N(s)/D(s) dalam ekspansiparsiil
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom376
a). Solusi dengan penyesuaian koefisien (cara langsung)Contoh :Contoh :Diberikan fungsi rasional : X(s) = (2s + 1)/(s3 + 3s2 -4s)Bentuk ekspansi parsiil :
X( ) (2 1)/[ ( 4)( 1)] A/ B/( 4) C/( 1)X(s) = (2s+1)/[s(s+4)(s-1)] = A/s + B/(s+4) + C/(s-1)= [A(s+4)(s-1) + B.s.(s-1) + C .s (s+4)]/[s(s+4)(s-1)]
(2s+1)/ [s(s+4)(s-1)] = [(A+B+C)s2 + (3A-B+4C)s – 4A]/[s(s+4)(s-1)]Maka : A+B+C = 0
3A-B+4C = 2-4A = 1→ A = 0 254A 1→ A 0,25B+C = 0,25-B+4C = 2,75C 3/5 0 6 d B 0 35C= 3/5 = 0,6 dan B = -0,35
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom377
X(s) = -0,25/s – 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1)y(t) = [ 0 25 0 35 e-4t + 0 6 et] u(t)y(t) = [-0,25 – 0,35 e 4t + 0,6 et] u(t)
b). Ekspansi parsiil untuk akar D(s) simple poleb). Ekspansi parsiil untuk akar D(s) simple poleX(s) = N(s)/D(s) = A1/(s-p1) + A2/(s-p2) + ....+ Ak/(s-pk) + ...+
An/(s-pn)(s-pk) X(s) = (s-pk) A1 /(s-p1) + (s-pk) A2 /(s-p2) +...+(s-pk) Ak
/(s-pk) +...+ (s-pk) An/(s-pn)Maka :Maka :
Ak = (s-pk) X(s) s=pks pk
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom378
Contoh :Untuk kasus sebelumnya : X(s) = A/s + B/(s+4) + C/(s-1) =Untuk kasus sebelumnya : X(s) = A/s + B/(s+4) + C/(s 1) =
(2s+1)/[s(s+4)(s-1)]A = s X(s) = (2s+1)/[(s+4)(s-1)]= -0,25
s=0 s=0B = (s+4) X(s) = (2s+1)/[s(s-1)] = -7/20 = -0,35
s=-4 s=-4s 4 s 4C = (s-1) X(s) = (2s+1)/[s(s+4)] = 3/5 = 0,6
s=1 s=1Jadi :X(s) = -0,25/s - 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1)x(t) = [ 0 25 0 35 e-4t + 0 6 et] u(t)x(t) = [-0,25 – 0,35 e 4t + 0,6 et] u(t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom379
c). Akar D(s) multiple pole-simple
X(s) = A1/(s-p1) +...+ Ai,1/(s-pi) + Ai,2/(s-pi)2 + ....+ Ai,r/(s-pi)r + ...+ An/(s-pn)Dimana : Ai,r = (s-pi)r X(s)
s=pi
Ai,r-1 = (d/ds)[(s-pi)r X(s)]s=pis pi
Ai,r-2 = (1/2!)(d2/ds2)[(s-pi)r X(s)]s=pi
..
Ai,r-k = (1/k!)(dk/dsk)[(s-pi)r X(s)]s=pi
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom380
X(s) = (2s2-3s)/(s3-4s2+5s-2) = (2s2-3s)/(s-2)(s-1)2 = A/(s-2) + A1 1/(s-1) + A1 2/(s-1)2A1,1/(s 1) + A1,2/(s 1)
Dimana :A1,2 = (s-1)2 X(s) = (2s2-3s)/(s-2)(s-2) = -1/(-1) = 1
s=1 s=1
A1,2 = (d/ds) [(2s2-3s)/(s-2)]= [(s-2)(4s-3) - (2s2-3s)]/(s-2)2 1 1s=1 s=1
= [(-1)1 – (-1)]/1 = 0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom381
A = (s-2) X(s) = (2s2-3s)]/(s-1)2 = (8-6)/1 = 2s=2 s=2s=2 s=2
Jadi X(s) = 2/(s-2) + 1/(s-1)2Jadi X(s) 2/(s 2) 1/(s 1)
x(t) = [2e2t + t et] u(t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom382
d). Ekspansi Parsiil : D(s) kompleks konjugate simple polepole
Contoh :X(s) = (s+3)/[s2+4s+13] = (s+2)/[(s+2)2 + 32] + 1/[(s+2)2 + 32]
x(t) = [e-2t cos3t + (1/3) e-2t sin 3t] u(t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom383
e). D(s) kompleks konjugate multiple poleContoh :Contoh :X(s) =[9s5+94s4+706s3+2628s2+4401s+3750]/[s(s+2)(s2+6s+25)2]Untuk (s2+6s+25)2 maka akar-akarnya -3+j4 dan -3-j4X( ) A/ B/( 2) (C jD)/( 3 j4) (C jD)/( 3 j4) (E jF)/( 3 j4)2 (EX(s)=A/s+B/(s+2)+(C+jD)/(s+3+j4)+(C-jD)/(s+3-j4)+(E+jF)/(s+3+j4)2+(E-
jF)/(s+3-j4)2
Dimana :A = s. X(s) = 3 E+jF = [(s+3+j4)2 X(s)] = 4+j3
s=0 s= 13-j4j
B = (s+2) X(s) = -2 C+jD = (d/ds) [s+3+j4)2 X(s)] = 2+j3s= 2 s= 3 j4s=-2 s= -3-j4
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom384
Dimana :A = s X(s) = 3A = s. X(s) = 3
s=0B = (s+2) X(s) = -2B (s 2) X(s) 2
s=-2E+jF = [(s+3+j4)2 X(s)] = 4+j3
s=-3-j4C+jD = (d/ds) [s+3+j4)2 X(s)] = 2+j3
s=-3-j4
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom385
Jadi :X(s) = 3/s 2/(s+2) + (2+j3)/(s+3+j4) + (2 j3)/(s+3X(s) = 3/s – 2/(s+2) + (2+j3)/(s+3+j4) + (2-j3)/(s+3-
j4)2+(4+j3)/(s+3+j4)+(4-j)/(s+3-j4)2
x(t) = [3-2e-2t+(2+j3)e-(3+j4)t+(2-j3)e(-3+j4)t+(4+j3)te-(3+j4)t+(4-j3)te(-3+j4)t] u(t)=[3 2e-2t+e-3t(4 cos4t+ 6 sin4t) +te-3t(8 cos4t + 6 sin4t)] u(t)=[3-2e 2t+e 3t(4 cos4t+ 6 sin4t) +te 3t(8 cos4t + 6 sin4t)] u(t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom386
f). Metode GrafisUntuk mengevaluasi koefisien parsiil dari X(s) dengan caraUntuk mengevaluasi koefisien parsiil dari X(s) dengan cara
menggambarkan vektor diagram semua pole-zero sistem.Diketahui : X(s) = N(s)/D(s) = k[(s-z1)(s-z2)......(s-zm)]/[(s-( ) ( ) ( ) [( 1)( 2) ( m)] [(
p1)(s-p2)....(s-pn)]Nilai dari X(s) di s=s1 :X( ) k ( k li j k l ti k )/X(s1) = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke s1)/
(perkalian jarak langsung setiap pole ke s1)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom387
Evaluasi pole pk dari X(s)A = (s p ) X(s)Ak = (s-pk) X(s)
s=pk
Ak = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke pk)/(perkalianAk k (perkalian jarak langsung setiap zero ke pk)/(perkalian jarak langsung setiap pole ke pk)
Contoh :X(s) = 12(s+1)(s+4)/[s(s+2)(s+1+j2)(s+1-j2)] = A/s + B/(s+2) + (C+jD)/(s+1+j2) + (C-jD)/(s+1-j2)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom388
Gambar semua pole dan zero :Kemudian evaluasi koefisien C-jD, berarti mengevaluasi ke vektor s+1-j2 j , g j
(letak pole di s = -1+j2). Hitung semua jarak dari setiap pole dan zero yang ada terhadap titik -1+j2. Didapat :
C-jD = 12 (√13 ∠33,7o)( 2∠90o)/[( 4∠90o)( √5∠153,4o)( √5∠26,6o)]j (√ , )( ) [( )( √ , )( √ , )]= 4,32∠-146,3o
= -3,6 – j2,4C+jD = 3 6 + j 2 4C+jD = -3,6 + j 2,4Dengan cara yang sama didapat :A = [(12) (1) (4)]/[(2) (√5)(√5)] = 4,6
√ √B = [(12) (1∠180o ) (2)]/[(2∠180o )(√5) (√5)] = 2,4
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom389
Jadi :
X(s) = 4,6/s + 2,4/(s+2) + (-3,6 + ( ) , , ( ) ( ,j2,4)/(s+1+j2) + (-3,6-j2,4)/(s+1-j2)
x(t) = [4,6 + 2,4 e-2t + (-3,6 + j2,4) e-(1+j2)t + (-
3 6 j 2 4) e(-1+j2)t] u(t)3,6 – j 2,4) e( 1+j2)t] u(t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom390
Aplikasi TransformasiAplikasi Transformasi LaplaceLaplace
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom391
Solusi Pers Diferensial(1)Sifat diferensiasi : ₤[dx/dt] = s X(s) – x(0)Bentuk umum : ₤[dnx/dtn] = sn X(s) sn-1 x(0) sn-2 dx(0)/dtBentuk umum : ₤[dnx/dtn] = sn X(s) – sn 1 x(0) – sn 2 dx(0)/dt -
......- dn-1(0)/dtn-1
Contoh :Persamaan Diferensial Orde Dua : d2x(t)/dt2 + 4 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2 Dengan x(0) = 2 dan dx(0)/dt = 1Transformasi Laplace-kan kedua sisi dan dimasukkan kondisi awal.a s o as ap ace a edua s s da d asu a o d s a as2 X(s) -2s -1 + 4[s X(s) -2] + 3 X(s) = 2/s
X(s) [s2 + 4s +3] = 2/s + 2s + 9X(s) = [2 + (2s + 9) s]/[s (s+3) (s+1)] = A/s + B/(s+3) + C/(s+1)X(s) = [2 + (2s + 9) s]/[s (s+3) (s+1)] = A/s + B/(s+3) + C/(s+1)A = s X(s) = 2/3
s=0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom392
Solusi Pers Diferensial(2)
B = (s+3) X(s) = 7/6B = (s+3) X(s) = -7/6s=-3
C = (s+1) X(s) = 5/2s=-1
X(s) = (2/3)/s – (7/6)/(s+3) + (5/2)/(s+1)x(t) = [2/3 – (7/6) e-3t + (5/2) e-t] u(t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom393
Respons Impuls SistemContoh soal :Cari respons impuls h(t) dari persamaan diferensial sistem berikutCari respons impuls h(t) dari persamaan diferensial sistem berikut
ini :dy(t)/dt + 3y(t) = 2 x(t) + dx(t)/dt dengan y(0) = 0 dan x(0)= 0
Solusi :₤ : sY(s) – y(0) + 3Y(s) = 2X(s) + s X(s) – x(0)₤ : sY(s) y(0) + 3Y(s) 2X(s) + s X(s) x(0)
Y(s)[s+3] = X(s) [s+2]H(s) = Y(s)/X(s) = (s+2)/(s+3) = (s+3-1)/(s+3) = (s+3)/(s+3) –
1/(s+3)= 1 – 1/(s+3)
h(t) = δ(t) – e-3t u(t)h(t) δ(t) e u(t)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom394
Solusi Lengkap Rangkaian RLCSudah dibahas pada sub bab yang lain secara lengkap.
(sudah dibahas lengkap pada transformasi rangkaian)(sudah dibahas lengkap pada transformasi rangkaian)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom395
Analisis SWK(1)Diberikan Sistem Waktu Kontinyu Linear Tak Berubah
Terhadap Waktu (SWK LTW) ditunjukkan denganTerhadap Waktu (SWK LTW) ditunjukkan denganhubungan Input dan Output sebagai berikut :
anyn(t) +an-1yn-1(t) +…+ a0y(t) = b0x(t) + ….+ bmxm(t)Respons sistem y(t) = x(t) * h(t)Transformasi Laplace : [ansn +an-1sn-1 +…+ a0] Y(s) = [b0+b s + b sm] X(s)+b1s ….+ bmsm] X(s)Fungsi Transfer Sistem :
H(s) = Y(s)/X(s) = [b0 +b1s ….+ bmsm] / [ansn +an-1sn-1 +…+ a0]( ) ( ) ( ) [ 0 1 m ] [ n n 1 0]h(t) = ₤-1[H(s)]
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom396
Analisis SWK(2)Respons steady state : Y(s) = H(s). X(s)
y(t) = ₤-1 [H(s).X(s)]
Stabilitas Sistem SWK : H(s) = N(s)/D(s)Stabilitas Sistem SWK : H(s) N(s)/D(s)SWK stabil jika dan hanya jika :
a). Stabil dalam arti BIBOb). Respons impuls secara mutrak terintegrasic). Limit h(t) = 0
t→∼d). Akar riil D(s) < 0e) Letak pole di sebelah kiri sumbu imajinere). Letak pole di sebelah kiri sumbu imajiner
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom397
PE 2 33PE-2533 Sinyal & SistemSinyal & Sistem
BAB #6:BAB #6: PENGENALAN FILTER
398 Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom
Tujuan
Mengenal jenis filter analog dan filter dijital. Mengenal karakteristik filter analog maupun filter dijital.Mengetahui kelebihan dan kekurangan masing-masing filter.g g
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom399
Filter Analog
Filter analog yang sering digunakan sebagai C t t filt Dijit l R I lCounterpart filter Dijital Respons Impuls Tak Terbatas adalah :Filter ButterworthFilter ChebyshevyFilter Ellyptic
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom400
Gambar 6.1. Respons Frekuensi Filter(a) Butterworth (b) Chebyshev tipe-I (c) Chebyshev tipe-II (d) Elliptic(a) Butterworth (b) Chebyshev tipe-I (c) Chebyshev tipe-II (d) Elliptic
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom401
Filter Analog Butterworth
Filter yang akan kita rancang biasanya adalah filter yang sudah dinormalisasiyang sudah dinormalisasi.
Contoh : LPF dengan Frekuensi Cut Off fco = 1 rad/detrad/det
Filter frekuensi kendali (normalisasi)Filter frekuensi kendali (normalisasi).Respons Magnitude Squared :
|H(Ω )|2 = 1/[1+(Ω2)n]
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom402
Filter Analog Butterworth (cont’)
Dengan Ω = frekuensi cut off (1 rad/s)n = derajad filter
H(s).H(-s) = 1/[1+(-s2)]n
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom403
Filter Analog Butterworth (cont’)
Tempat kedudukan pole-pole filter Butterworth(a). n ganjil (b). n genap ( ) g j ( ) g p
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom404
Filter Analog Butterworth (cont’)Fungsi transfer Filter Butterworth dapat dituliskan :
nnH(s) = k0/[ Π (s-sk)]
k=1
dimana sk adalah pole-pole filter Butterworth
sk = exp [jπ(0,5 + (2k-1)/2n] dengan k = 1, 2, …, n
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom405
Filter Analog Butterworth (cont’)Fungsi Transfer Filter Butterworth juga dapat dinyatakan :
H(s) = 1/[ Π (s-sk)] = 1/Bn(s)LHPPoles
Dengan Bn(s) adalah polinomial Butterworth.Pole-pole sk dicari dari hubungan sebagai berikut :
Untuk n ganjil : 1 ∟ kπ/n ; k = 0, 1, 2, ..., 2n-1.
Untuk n genap : 1 ∟ π/2n + kπ/n ; k = 0, 1, 2, ..., 2n-1.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom406
Filter Analog Butterworth (cont’)
Polinomial Butterworth
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom407
Filter Analog Butterworth (cont’)
Polinomial Butterworth (lanjutan)Polinomial Butterworth (lanjutan)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom408
Filter Analog Butterworth (cont’)Sifat Filter Butterworth :
Hanya mempunyai poley p y pPada Ω =1 → H(Ω) = 1/√2 Derajad filter n menentukan karakteristik filter
Bila redaman pada Ωt > 1 (yaitu di daerah stopband) sebesar A db, maka dari hubungan :
|H(Ω )|2 = 1/[1+(Ω2)n], terlihat bahwa H(Ωt ) = 1/A
Sehingga didapat persamaan :
|(1/A)2|= 1/[1 + Ωt2n]|(1/A) | 1/[1 + Ωt ]
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom409
Filter Analog Butterworth (cont’)Dari persamaan tersebut, derajad (orde) filter n dapat dicari :
n = log (A2 – 1)/(2 log Ωt)
Kuadrat respons frekuensi untuk berbagai orde filter
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom410
Filter Analog Butterworth (cont’)Contoh-contoh :
1). H(s) =k0/(s-s1) Orde-1
s1 = ejπ(0,5+0,5) = ejπ = -1
H(s) = k0/(s+1) pada s =0 maka H(s) = 1 sehingga k0=1
Didapat H(s) = 1/(s+1)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom411
Filter Analog Butterworth (cont’)Contoh :
H(s) =k0/(s-s1) Orde-1
s1 = ejπ(0,5+0,5) = ejπ = -1
H(s) = k0/(s+1) pada s =0 maka H(s) = 1 sehingga k0=1
Didapat H(s) = 1/(s+1)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom412
Filter Analog Butterworth (cont’)Latihan : Diberikan LPF Butterworth dengan redaman pada Ωt > 3 rad/detik g p
sebesar 30 dbBerapakah orde filter tersebut?Carilah pole-pole filter tersebutCarilah pole pole filter tersebut.Carilah fungsi transfer filter tersebut.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom413
Filter Analog Butterworth (cont’)
Gain Filter Butterworth untuk berbagai orde ng
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom414
Filter Analog Chebyshev
Tipe I : Hanya mempunyai polep y p y p
Response Magnitude Squared :Response Magnitude Squared :
Hn(jΩ)2 = 1/ [1 + ε2Tn2(Ω)] n(j ) [ n ( )]
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom415
Filter Analog Chebyshev (cont’)
n ganjil n genapKuadrat Respon Magnitude dari Filter Che Byshev type I untuk orde n ganjil dan n genapKuadrat Respon Magnitude dari Filter Che Byshev type I untuk orde n ganjil dan n genap
Pada Ω = 1 → H(1)2 = 1/(1 +ε2)Ω = Ωr→ H(Ωr)2 = 1/A2
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom416
Filter Analog Chebyshev (cont’)
(a). plot dari polinomial Chebyshev orde 5 yaitu T5(Ω)(b). plot kuadrat respons magnitudenya |H5(jΩ)|2( ) p p g y | 5(j )|
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom417
Filter Analog Chebyshev (cont’)Pole=pole dari Hn(s). Hn(-s) didapat dengan menentukan
akar-akar dari persamaan :akar akar dari persamaan :
1 + ε2 Tn2(s/j) = 0n ( j)
T t k d d k l l Filt Ch b h d l hTempat kedudukan pole-pole Filter Chebyshev adalahsebagai berikut :
Bila sk = σk + j Ωk dengan k = 1 2 n maka :Bila sk σk j Ωk dengan k 1, 2, …n, maka :
σk2/sinh Q + Ωk
2/cosh Q = 1k k
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom418
Filter Analog Chebyshev (cont’)Dimana :
σk = - sinh Q sin[(2k-1)π/2n] ; Ωk = cosh Q cos [(2k-1)π/2n]
sinh Q = (γ - γ-1)/2; cosh Q = (γ + γ-1)/2
γ = [(1 + √1 +ε2 )/ε]1/n
Tempat kedudukan pole pole filter Chebyshev merupakanTempat kedudukan pole-pole filter Chebyshev merupakan Ellyps.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom419
Filter Analog Chebyshev (cont’)
(a). Tempat kedudukan pole-pole (b). Dari H(s) untuk n=6, ε = 0,7647831
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom420
Filter Analog Chebyshev (cont’)
Sifat-sifat Filter Chebyshev :T t k d d k l l did l lliTempat kedudukan pole-pole nya didalam ellipPassband tidak rata (tipe-I)Daerah Transisi curamFasanya terpengaruh ripple jugaAplikasi filter microwave
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom421
Filter Analog Chebyshev (cont’)
Sifat filter Chebyshev ditentukan oleh :Derajad filter (n)Faktor ripple (ε)pp ( )Frekuensi daerah stopband (Ωr)Redaman pada stopband (A)Redaman pada stopband (A)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom422
Filter Analog Chebyshev (cont’)
Bila Faktor ripple, Redaman stopband dan frekuensistopband diketahui maka orde (derajad) filterstopband diketahui, maka orde (derajad) filterdapat dicari dengan hubungan :
n = log (g +√ g2 -1)/[log(Ωr + √Ωr2 -1]
Dimana g = √[A2 1)/ε2]Dimana g = √[A2 – 1)/ε2]
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom423
Filter Analog Chebyshev (cont’)
Fungsi transfer Filter Chebyshev :D h k l lDengan hanya menggunakan pole-pole yang
terletak di sebelah kiri sumbu imajiner, makaFungsi transfer filter dapat dituliskan :Fungsi transfer filter dapat dituliskan :
Dimana K adalah konstanta sedemikian sehingga harga H(0)Dimana K adalah konstanta sedemikian sehingga harga H(0)= 1 untuk n ganjil dan H(0) = 1/(1 +ε2)1/2 untuk n genap.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom424
Filter Analog Chebyshev (cont’)
Sedangkan Vn(s) adalah polinomial dalam ssebagai berikut :sebagai berikut :
V ( ) b n 1 b bVn(s) = sn + bn-1 sn-1 +…+ b1s + b0
S hi K t t K d t d d hSehingga Konstanta K dapat dengan mudahditentukan sebagai berikut :
K V (0) b t k jilK = Vn(0) = b0 , untuk n ganjilK = Vn(0) / ( 1 + ε2)1/2 = b0 , untuk n genap
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom425
Filter Analog Chebyshev (cont’)
Derajad filter dapat ditentukan dari :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom426
Filter Analog Ellyptic
Respons Magnitude Squared untuk filter Elliptic dapat dituliskan sebagai :dapat dituliskan sebagai :
H (jΩ)2 1/ [1 + 2R 2(Ω)]Hn(jΩ)2 = 1/ [1 + ε2Rn2(Ω)]
Dimana Rn(Ω) adalah fungsi rasional Chebyshev b i f i Ω dit t k d isebagai fungsi Ω yang ditentukan dari
karakterisstik ripple.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom427
Filter Analog Ellyptic (cont’)
Kuadrat Respons Magnitude untuk LPF Ellypticp g yp
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom428
Filter Analog Ellyptic (cont’)
Kuadrat Respons magnitude Ternormalisasi
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom429
Filter Analog Ellyptic (cont’)
Normalisasi frekuensi pada filter Ellyptic d l hadalah :
[Ω1Ω2]1/2 = 1
Ω1 = [Ω2/Ω1]
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom430
Filter Analog Ellyptic (cont’)
Fungsi Transfer Filter Elliptic :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom431
Filter Analog Ellyptic (cont’)
Parameter-paremeter filter Elliptic :εAΩrG1 dan G2
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom432
Filter Analog Ellyptic (cont’)
Dengan hubungan :
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom433
Filter Dijital
Pemfilteran Dijital :i l d kpemrosesan sinyal dengan menggunakan
program komputer yakni memproses suatu filedari sampel sampel sinyal dan menghasilkandari sampel-sampel sinyal dan menghasilkansuatu file baru dari sampel-sampel terfilter.Sehingga pemfilteran dijital dapatgg p j pdiimplementasikan pada suatu komputer dijital.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom434
Filter Dijital (cont’)
Dewasa ini ada kecenderungan untuki l t ik tmengimplementasikannya secara cepat,
untuk desain khusus dan murah sehinggai dit b hk d t Di it lsering ditambahkan dengan suatu Digital
Sinyal Prosessor (DSR) Chip.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom435
Filter Dijital (cont’)
Deskripsi Filter Dijitalp j
Blok Diagram Pemfilteran DijitalBlok Diagram Pemfilteran Dijital
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom436
Keuntungan Filter Dijital
Filter dijital dapat mempunyai karakteristik yang tidak dapat dipenuhi filter analog seperti responstidak dapat dipenuhi filter analog, seperti respons fasa yang benar-benar linear.Performansi filter dijital relatif tak berubah denganPerformansi filter dijital relatif tak berubah dengan perubahan lingkungan seperti variasi temperatur.Cut off daerah transisi dsb di bawah kontrolCut off, daerah transisi dsb di bawah kontrol komputer, sehingga dapat diset “high precission”. Kepresisian ditentukan panjang wordp p j g
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom437
Keuntungan Filter Dijital (cont’)
Fleksibilitas tinggi : cut off, daerah transisi dsbdapat bervariasi dengan perubahan kecil padadapat bervariasi dengan perubahan kecil padaprogram.Mudah membangun filter linear fasaMudah membangun filter linear fasaRespons Frekuensi dapat otomatis di “ajust” jikadiimplementasikan menggunakan prosesordiimplementasikan menggunakan prosesorterprogram (kasus Filter adaptif)Dapat memfilter sejumlah inputDapat memfilter sejumlah input
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom438
Keuntungan Filter Dijital (cont’)
Data terfilter & data tak terfilter dapat disimpan untuk keperluan yang akan datanguntuk keperluan yang akan datangDengan perkembangan teknologi elektronika, filter dijital dapat dipabrikasi dengan ukuran kecilfilter dijital dapat dipabrikasi dengan ukuran kecil, konsumsi daya rendah, harga murahMudah dalam pengembangan ke filter adaptifMudah dalam pengembangan ke filter adaptif.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom439
Keuntungan Filter Dijital (cont’)Dibanding dengan filter analog, filter dijital lebih banyak aplikasinya, antara lain :
Kompresi Data.Biomedical Signal Processing.Speech ProcessingSpeech Processing.Image Processing.Digital Audio.T l h E h C ll tiTelephone Echo Cancellation.Video Processing.Watermaking.Steganografi.Inverse Filteringdsbdsb
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom440
Gambaran Implementasi
Step 1 : Pada sampel sinyal x(n) diterapkanTransformasi Fourier sehingga didapat fungsi diTransformasi Fourier, sehingga didapat fungsi dikawasan frekuensi X(f).Step 2 : Terapkan fungsi “pemberat” H(f)Step 2 : Terapkan fungsi pemberat H(f)pada kawasan frekuensi, sehingga didapatkanX(f) yang terfilter.( ) y gStep 3 : Terapkan Inverse Transformasi Fourieruntuk mendapatkan sinyal y(n).p y y( )
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom441
Gambaran Implementasi (cont’)
Implementasi Sederhana Pemfilteran DijitalImplementasi Sederhana Pemfilteran Dijital
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom442
Tipe Filter Dijital
Filter Respons Impuls Tak Terbatas (RITT)/I fi it I l R (IIR)/Infinite Impulse Response (IIR) :
~y(n) = ∑ h(k).x(n-k)
k=0Terlihat bahwa Respons Impuls IIR Filter TAK TERBATASSecara Praktis tidak feasibel menghitung output filter IIRdengan persamaan di atas, karena respons impulnyasangat panjang (teori : tak terbatas)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom443
Tipe Filter Dijital (cont’)
Sehingga Filtering IIR diekspresikan dalam bentuk Rekursif sebagai berikut :bentuk Rekursif sebagai berikut :
~y(n) = ∑ h(k) x(n k)y(n) = ∑ h(k).x(n-k)
k=0~ ~
= ∑ ak.x(n-k) - ∑ bk.y(n-k) k=0 k=1
ak dan bk adalah koefisien filter IIR
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom444
Tipe Filter Dijital (cont’)
Filter Respons Impulse Terbatas (RIT) / FiniteI l R (FIR)Impulse Response (FIR) :
N-1y(n) = ∑ h(k) x(n-k)y(n) ∑ h(k).x(n k)
k=0
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom445
Obyektif Filter FIR & IIRFIR Filter :
Sederhana (+)Sederhana (+)Stabil (+)Hampir selalu berfasa linear (+)Hampir selalu berfasa linear ( )Delay = 0,5 panjang h(n) (-)
IIR Filter :Orde rendah & Delay pendek (+)Sulit membuat fasa linear (-)Ada kemungkinan tak stabil (-)
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom446
Pertimbangan Pemilihan
1. Filter FIR dapat secara tepat mempunyaif li i lik i t k drespons fasa linear, implikasinya tak ada
distorsi fasa (Perlu dalam transmisi data,bi di l di it l di i ibiomedical, digital audio, image processingdsb.)
Fasa Filter IIR non linear
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom447
Pertimbangan Pemilihan (cont’)
2. Filter FIR direalisasikan non rekursifFilter FIR selalu stabilFilter IIR belum tentu stabil
3 Filter FIR banyak memerlukan koefisien3. Filter FIR banyak memerlukan koefisiendibanding Filter IIR. Kurang ekonomisdalam hal komputasi dan memorydalam hal komputasi dan memorypenyimpanan
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom448
Pertimbangan Pemilihan (cont’)
4. Filter analog dapat dengan mudahdit f d l ki l Filt IIRditransform dalam ekivalen Filter IIRmenyesuaikan spesifikasi.
Tak dapat dilakukan pada Filter FIR karenap ptak ada “analoque counterpart” nya
5. Dan sebagainya.
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom449
Kompromi (Pedoman Umum)
Penggunaan IIR FilterBil di l k filt d t ffBila diperlukan filter dengan cut off curam,terutama penggunaan karakteristik ellyptic akanmenggunakan koefisien yang lebih kecilmenggunakan koefisien yang lebih kecildibanding filter FIR
Penggunaan FIR FilterBila jumlah koefisien tidak terlalu besar danBila jumlah koefisien tidak terlalu besar dankhusunya bila diperlukan syarat tanpa distorsifasa (distorsi fasa yang kecil)( y g )
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom450
Terima KasihTerima Kasih
Jangkung Raharjo, [email protected], Departemen Teknik Elektro Institut Teknologi Telkom451