Síntese e Análise de Mecanismo de Quatro...
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Mecânica
ELINE TIEMI SHIINO
Síntese e Análise de Mecanismo
de Quatro Barras
CAMPINAS
2017
ELINE TIEMI SHIINO
Síntese e Análise de Mecanismo
de Quatro Barras
Orientadora: Profa. Dra. Katia Lucchesi Cavalca Dedini
CAMPINAS
2017
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO
FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELA
ALUNA ELINE TIEMI SHIINO, E ORIENTADA PELA
PROFA. DRA. KATIA LUCCHESI CAVALCA
DEDINI.
.......................................................................
ASSINATURA DO(A) ORIENTADOR(A)
Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade
de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual
de Campinas como parte dos requisitos exigidos
para obtenção do título de Mestra em Engenharia
Mecânica, na Área de Mecânica dos Sólidos e
Projeto Mecânico.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA
MECÂNICA
DEPARTAMENTO DE SISTEMAS INTEGRADOS
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICO
Síntese e Análise de Mecanismo
de Quatro-barras
Autora: Eline Tiemi Shiino
Orientadora: Katia Lucchesi Cavalca Dedini
A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação:
Profª. Drª. Katia Lucchesi Cavalca Dedini
Faculdade de Engenharia Mecânica - UNICAMP
Prof. Dr. Gilberto Pechoto de Melo
Faculdade de Engenharia - UNESP
Prof. Dr. Pablo Siqueira Meirelles
Faculdade de Engenharia Mecânica - UNICAMP
A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida
acadêmica do aluno.
Campinas, 07 de dezembro de 2017.
Agradecimentos
Este trabalho não poderia ser concluído sem a ajuda de diversas pessoas às quais presto
minha homenagem:
Aos meus pais, Lina e Janio, pelo apoio incondicional em todas as etapas e decisões
tomadas até o momento.
Às minhas irmãs, Luciene e Luiza, pela amizade e companheirismo.
Aos amigos de longa data, que mesmo à distância, se fazem presentes.
À Professora Katia, pela orientação e paciência prestadas ao longo destes anos de
trabalho.
Aos colegas do LAMAR pelas conversas e trocas de experiências.
Aos amigos da graduação, pelo companheirismo.
A todos os professores e colegas do departamento, que ajudaram de forma direta e indireta
na conclusão deste trabalho.
À FEM/Unicamp pela educação e infraestrutura.
Ao CNPq, pelo suporte financeiro (Processo CNPq 134623/2016-9).
Resumo
O método estudado neste trabalho enquadra-se na síntese dimensional de mecanismos de
quatro barras pelo método dos pontos de precisão. Utilizam-se as equações lineares de loop dos
mecanismos de quatro-barras, em sua forma complexa, sendo posteriormente arranjados em sua
forma matricial. A solução desse sistema retorna os comprimentos das barras dos mecanismos.
Em seguida, aplicam-se os conceitos de análise cinemática e cinética dos mecanismos
sintetizados, obtendo, assim, uma completa caracterização do comportamento desses
mecanismos. Da parte cinemática, retornam os gráficos de deslocamento, velocidade e
aceleração angulares do acoplador e da segunda manivela em função da variação do ângulo de
entrada na primeira manivela. Na parte cinética, analisam-se os efeitos da aplicação de uma
força no acoplador. Como resultados, o algoritmo retorna gráficos de força, deslocamento,
velocidade e aceleração em função do tempo.
Desenvolveu-se uma interface gráfica para fácil utilização dos algoritmos de síntese e de
análise dinâmica para mecanismos de quatro-barras, utilizando o toolbox GUIDE do
MATLAB. Além da resposta gráfica, o algoritmo permite o salvamento dos arquivos de entrada
e saída, e a visualização de uma animação simulando o movimento do mecanismo, tanto na
análise cinemática quanto na análise cinética, quando o sistema é submetido a uma força
externa.
Finalmente, simulou-se o mecanismo de quatro-barras sintetizado, posicionando uma
mola e um amortecedor transversalmente ao mesmo. Foram feitas as análises cinemática e
cinética após a aplicação de uma força externa ao centro de massa do acoplador e a otimização
do coeficiente de elasticidade da mola e do coeficiente de amortecimento, buscando minimizar
diferentes funções objetivo, sendo estas a curva de deslocamento do ponto de interesse no
acoplador, a curva de velocidade, e a curva de aceleração, aplicando diferentes restrições a cada
caso particular. O objetivo é oferecer uma ferramenta genérica, de síntese, análise e otimização
de um mecanismo de quatro-barras, auxiliando o projetista de máquinas na obtenção da melhor
solução possível de um problema.
Palavras-chave: Síntese de mecanismo, mecanismo - projeto, cinemática - análise, cinética,
otimização.
Abstract
The method studied in this work fits in the dimensional synthesis of four-bar mechanisms
by the method of the precision points. The linear loop equations of the four-bar mechanisms
are used in their complex form and later arranged in their matrix form. The solution of this
system returns the lengths of the bars of the mechanism.
Then, the concepts of kinematic and kinetic analysis of the synthesized mechanisms are
applied, thus obtaining a complete characterization of the behavior of these mechanisms. From
the kinematic part, the angular displacement, velocity and acceleration graphs of the coupling
and the second crank are returned as a function of the variation of the input angle in the first
crank. In the kinetic part, the effects of the application of a force on the coupler are analyzed.
As results, the algorithm returns graphs of force, displacement, velocity and acceleration as a
function of time.
A graphical interface was developed to enable easier user utilization of the synthesis and
dynamic analysis algorithms for four-bar mechanisms, using the MATLAB GUIDE toolbox.
In addition to the graphical response, the algorithm allows saving of the input and output files
and the visualization of an animation simulating the movement of the mechanism, both in the
kinematic analysis and in the kinetic analysis, when the system is subjected to an external force.
Finally, the synthesized four-bar mechanism was simulated, positioning a spring and a
damper transversely to the mechanism. Kinematic and kinetic analyzes were performed after
the application of an external force to the center of mass of the coupler and the optimization of
the coefficient of elasticity of the spring and the damping coefficient, aiming to minimize
different objective functions, which are the displacement of the point of interest in the coupler,
the velocity curve, and the acceleration curve, applying different restrictions to each particular
case. The goal is to offer a generic tool for the synthesis, analysis and optimization of a four-
bar mechanism, helping the machine designer to obtain the best possible solution to a problem.
Keywords: Mechanism synthesis, mechanism - project, kinematic - analysis, kinetic,
optimization.
Lista de Ilustrações
Figura 3.1: Mecanismo de quatro-barras............................................................................ 33
Figura 3.2(a): Síntese de mecanismo para duas posições. Geração por movimento. Duas
posições.............................................................................................................................. 35
Figura 3.2(b): Síntese de mecanismo para duas posições. Geração por movimento.
Mecanismo finalizado........................................................................................................ 35
Figura 3.3: Síntese de mecanismo para três posições. Geração por movimento............... 39
Figura 3.4: Síntese de mecanismo para quatro posições. Geração por movimento.......... 43
Figura 3.5: Solução geométrica para a equação 3.109...................................................... 46
Figura 3.6: Síntese de mecanismo de quatro-barras para cinco posições. Geração por
movimento......................................................................................................................... 50
Figura 4.1: Mecanismo quatro barras genérico................................................................... 56
Figura 4.2: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada teta. Manivela-oscilador com dois pontos de precisão....................................... 57
Figura 4.3: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................... 58
Figura 4.4: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada teta. Manivela-oscilador com três pontos de precisão....................................... 59
Figura 4.5: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................... 60
Figura 4.6: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada teta. Manivela-oscilador com quatro pontos de precisão................................... 61
Figura 4.7: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................... 62
Figura 4.8: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada teta. Manivela-oscilador com cinco pontos de precisão..................................... 64
Figura 4.9: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................... 64
Figura 4.10: Trajetórias sobrepostas do ponto de interesse do mecanismo no plano
cartesiano........................................................................................................................... 65
Figura 4.11: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada teta. Oscilador-oscilador com dois pontos de precisão...................................... 67
Figura 4.12: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................. 67
Figura 4.13: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada teta. Oscilador-oscilador com três pontos de precisão....................................... 69
Figura 4.14: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................. 69
Figura 4.15: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada teta. Oscilador-oscilador com quatro pontos de precisão................................... 71
Figura 4.16: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................. 71
Figura 4.17: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada teta. Oscilador-oscilador com cinco pontos de precisão.................................... 73
Figura 4.18: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................. 73
Figura 4.19: Trajetórias sobrepostas do ponto de interesse do mecanismo no plano
cartesiano........................................................................................................................... 74
Figura 4.20: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada teta. Manivela-manivela com dois pontos de precisão....................................... 76
Figura 4.21: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................. 76
Figura 4.22: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada teta. Manivela-manivela com três pontos de precisão....................................... 78
Figura 4.23: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................. 78
Figura 4.24: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada teta. Manivela-manivela com quatro pontos de precisão................................... 80
Figura 4.25: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................. 80
Figura 4.26: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada teta. Manivela-manivela com cinco pontos de precisão..................................... 82
Figura 4.27: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................. 82
Figura 4.28: Trajetórias sobrepostas do ponto de interesse do mecanismo no plano
cartesiano........................................................................................................................... 83
Figura 5.1: Mecanismo de 4 barras genérico...................................................................... 85
Figura 5.2: Análise do ponto de interesse em mecanismo 4 barras..................................... 87
Figura 5.3: Transformação de coordenadas dos eixos cartesianos...................................... 100
Figura 5.4: Gráfico de força constante................................................................................ 101
Figura 6.1: Mecanismo de quatro barras. Fonte: Peres (2012) (modificado).................... 103
Figura 6.2: Sensibilidade à frequência de vibração de diferentes partes do corpo humano.
Fonte: Rao S., Vibrações Mecânicas, 2011........................................................................ 106
Figura 7.1: Mecanismo de 4 barras genérico...................................................................... 111
Figura 7.2: Posições angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q........ 112
Figura 7.3: Velocidades angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada
q......................................................................................................................................... 113
Figura 7.4: Acelerações angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada
q......................................................................................................................................... 113
Figura 7.5: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada q. ..................................................................................................................... 114
Figura 7.6: Velocidade x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada q. ..................................................................................................................... 115
Figura 7.7: Aceleração x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de
entrada q. ........................................................................................................................... 115
Figura 7.8: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................... 116
Figura 7.9: Posições angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q........ 117
Figura 7.10(a): Velocidades angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de
entrada q. ........................................................................................................................... 117
Figura 7.10(b): Acelerações angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de
entrada q. ........................................................................................................................... 118
Figura 7.11: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada q. ...................................................................................................................... 118
Figura 7.12: Velocidade x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada q. ...................................................................................................................... 119
Figura 7.13: Aceleração x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada q. ...................................................................................................................... 119
Figura 7.14: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................. 120
Figura 7.15: Posições angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q..... 121
Figura 7.16: Velocidades angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada
q. ........................................................................................................................................ 122
Figura 7.17: Acelerações angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada
q. ........................................................................................................................................ 122
Figura 7.18: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada q. ...................................................................................................................... 123
Figura 7.19: Velocidade x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada q. ...................................................................................................................... 124
Figura 7.20: Aceleração x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada q. ...................................................................................................................... 124
Figura 7.21: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................. 125
Figura 7.22: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano................. 126
Figura 7.23: Mecanismo de quatro barras. Fonte: Peres (2012) (modificado).................... 127
Figura 7.24: Posições angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q..... 128
Figura 7.25: Velocidades angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada
q. ........................................................................................................................................ 129
Figura 7.26: Acelerações angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada
q. ........................................................................................................................................ 129
Figura 7.27: Deslocamento do centro de massa da barra C2 em função do tempo.............. 131
Figura 7.28: Velocidade do centro de massa da barra C2 em função do tempo................... 131
Figura 7.29: Aceleração do centro de massa da barra C2 em função do tempo.................. 132
Figura 7.30: Mecanismo quatro barras resultante da síntese e análise cinemática e
dinâmica. ........................................................................................................................... 133
Figura 7.31: Variação do máximo pico da curva de resposta do sistema (deslocamento
resultante do centro de massa do acoplador) em função do coeficiente de amortecimento
da mola e do coeficiente de elasticidade da mola................................................................ 134
Figura 7.32: Deslocamento do centro de massa do acoplador............................................. 135
Figura 7.33: Velocidade do centro de massa do acoplador................................................. 137
Figura 7.34: Aceleração do centro de massa do acoplador................................................. 138
Figura A.1: Norma ISO 2631............................................................................................. 145
Lista de Tabelas
Tabela 3.1: Relação do número de pontos de precisão e o número de soluções
disponíveis......................................................................................................................... 34
Tabela 4.1: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico - 2 pontos de
precisão.............................................................................................................................. 57
Tabela 4.2: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico - 3 pontos de
precisão.............................................................................................................................. 59
Tabela 4.3: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico - 4 pontos de
precisão.............................................................................................................................. 61
Tabela 4.4: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico - 5 pontos de
precisão.............................................................................................................................. 63
Tabela 4.5: Dados de entrada e saída para oscilador-oscilador genérico - 2 pontos de
precisão.............................................................................................................................. 66
Tabela 4.6: Dados de entrada e saída para oscilador-oscilador genérico - 3 pontos de
precisão.............................................................................................................................. 68
Tabela 4.7: Dados de entrada e saída para oscilador-oscilador genérico - 4 pontos de
precisão.............................................................................................................................. 70
Tabela 4.8: Dados de entrada e saída para oscilador-oscilador genérico - 5 pontos de
precisão.............................................................................................................................. 72
Tabela 4.9: Dados de entrada e saída para manivela-manivela genérico - 2 pontos de
precisão.............................................................................................................................. 75
Tabela 4.10: Dados de entrada e saída para manivela - manivela genérico - 3 pontos de
precisão.............................................................................................................................. 77
Tabela 4.11: Dados de entrada e saída para manivela-manivela genérico - 4 pontos de
precisão.............................................................................................................................. 79
Tabela 4.12: Dados de entrada e saída para manivela-manivela genérico - 5 pontos de
precisão.............................................................................................................................. 81
Tabela 7.1: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo manivela –
oscilador............................................................................................................................ 112
Tabela 7.2: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo oscilador -
oscilador............................................................................................................................ 116
Tabela 7.3: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo manivela –
manivela............................................................................................................................ 120
Tabela 7.4: Dados de entrada e saída para mecanismo oscilador – oscilador..................... 126
Tabela 7.5: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo oscilador -
oscilador............................................................................................................................ 127
Tabela 7.6: Coordenadas cartesianas dos centros de massa das barras............................... 130
Tabela 7.7: Massa e momentos de inércia das barras móveis do mecanismo................... 130
Tabela 7.8: Definição dos limites dos parâmetros a serem otimizados............................. 134
Tabela 7.9: Resultados da otimização – Deslocamento...................................................... 135
Tabela 7.10: Resultados da otimização – Velocidade........................................................ 136
Tabela 7.11: Resultados da otimização – Aceleração........................................................ 137
Lista de Abreviaturas e Siglas
Letras Latinas
𝐏𝟏 Posição de um ponto de interesse na trajetória do acoplador
𝐏𝟐 Posição de um segundo ponto de interesse na trajetória do acoplador
R1 Vetor posição com respeito a um sistema cartesiano XY até P1
R2 Vetor posição com respeito a um sistema cartesiano XY até P2
P21 Vetor deslocamento entre os pontos P1 e P2
G Vetor da barra fixa
W Vetor da barra de entrada
V Vetor da barra acopladora
Z Vetor que define a parte esquerda da barra acopladora
S Vetor que define a parte direita da barra acopladora
U Vetor da barra de saída
C Comprimento de barra
A Ângulo de orientação da barra
q Coordenada generalizada – ângulo de orientação da barra de entrada
g Ângulo de orientação da barra fixa
K Coeficientes cinemáticos de velocidade
J Matriz jacobiana
L Coeficientes cinemáticos de aceleração
up Coordenada do eixo paralelo à barra acopladora de sistema móvel solidário ao
acoplador
vp Coordenada do eixo perpendicular à barra acopladora de sistema móvel
solidário ao acoplador
Vp Velocidade do ponto de interesse
Ap Aceleração do ponto de interesse
Ec Energia cinética
M Massa da barra
Vcm Velocidade do centro de massa
Icm Momento de inércia do centro de massa
W Trabalho
Q Força generalizada
F Força
V Função potencial
h Passo do método Runge-Kutta
m Inclinação estimada do método Runge-Kutta
t Tempo
k Constante elástica da mola
c Coeficiente de amortecimento do amortecedor
s Variável de folga
h Restrição de igualdade
g Restrição de desigualdade
L Função lagrangeana
H Hessiana do lagrangeano
Letras Gregas
θ Ângulo de orientação inicial da barra
β Ângulo de variação angular da barra
𝜑 Ângulo de orientação inicial do vetor Z
α Variação angular do vetor Z
δ Ângulo de orientação do vetor P21
σ Ângulo de orientação inicial da barra
γ Ângulo de variação angular da barra
ψ Ângulo de orientação do vetor S
Δ Cofator
ω Velocidade angular
ℐ Inércia generalizada
ℭ Coeficiente centrípeto
ζ Fator de amortecimento
𝜇 Parâmetro de barreira
𝜆 Vetor multiplicador de Lagrange
Λ Matriz que utiliza o vetor λ em sua diagonal principal
Superescritos
Primeira derivada
Segunda derivada
c Conservativa
nc Não conservativa
Subscritos
x Projeção do vetor na coordenada X
y Projeção do vetor na coordenada Y
p Ponto de interesse
Sumário
Agradecimentos...............................................................................................................5
Resumo............................................................................................................................6
Abstract............................................................................................................................7
Lista de Ilustrações..........................................................................................................8
Lista de Tabelas.............................................................................................................12
Lista de Abreviaturas e Siglas.......................................................................................14
1 Introdução...................................................................................................................20
2 Revisão da Literatura - Perspectiva Histórica............................................................24
3 Síntese Analítica.........................................................................................................33
3.1. Síntese analítica para duas posições..............................................................34
3.2. Síntese analítica para três posições................................................................39
3.3. Síntese analítica para quatro posições...........................................................43
3.4. Síntese analítica para cinco posições.............................................................49
4 Resultados da Síntese.................................................................................................56
4.1. Manivela – Oscilador.....................................................................................56
4.1.1. Manivela - oscilador genérico com dois pontos de precisão.............56
4.1.2. Manivela - oscilador genérico com três pontos de precisão..............58
4.1.3. Manivela - oscilador genérico com quatro pontos de precisão..........60
4.1.4. Manivela - oscilador genérico com cinco pontos de precisão...........62
4.1.5. Comparação entre os mecanismos do tipo manivela - oscilador.......65
4.2. Oscilador – oscilador.....................................................................................66
4.2.1. Oscilador - oscilador genérico com dois pontos de precisão .............66
4.2.2. Oscilador - oscilador genérico com três pontos de precisão..............68
4.2.3. Oscilador - oscilador genérico com quatro pontos de precisão.........70
4.2.4. Oscilador - oscilador genérico com cinco pontos de precisão...........72
4.2.5. Comparação entre os mecanismos do tipo oscilador - oscilador.......74
4.3. Manivela – manivela......................................................................................74
4.3.1. Manivela - manivela genérico com dois pontos de precisão.............75
4.3.2. Manivela - manivela genérico com três pontos de precisão..............77
4.3.3. Manivela - manivela genérico com quatro pontos de precisão..........79
4.3.4. Manivela - manivela genérico com cinco pontos de precisão...........81
4.3.5. Comparação entre os mecanismos do tipo manivela - manivela.......83
5 Fundamentação teórica da dinâmica dos mecanismos...............................................84
5.1. Análise Cinemática........................................................................................84
5.1.1. Análise de posição.............................................................................84
5.1.2. Análise da velocidade........................................................................85
5.1.3. Análise da aceleração.........................................................................86
5.1.4. Análise do ponto de interesse associado ao acoplador......................87
5.1.5. Solução numérica para sistema de equações não-lineares.................89
5.2. Análise Cinética.............................................................................................91
5.2.1. Energia Cinética de um sistema de corpos rígidos............................92
5.2.2. Forças generalizadas..........................................................................94
5.2.3. Equação de movimento de Eksergian................................................95
5.2.4. Representação de forças conservativas..............................................97
5.2.5. Solução numérica da equação geral de Eksergian.............................98
5.3. Especificidades do algoritmo de análise cinemática e cinética...................100
5.3.1. Matriz de transformação de coordenadas.........................................100
5.3.2. Força Externa...................................................................................101
6 Problema de Otimização...........................................................................................102
6.1 Modelagem matemática do problema...........................................................103
6.2 Método de otimização...................................................................................107
7 Resultados da análise cinemática e cinética.............................................................111
7.1. Mecanismos sintetizados.............................................................................111
7.1.1. Mecanismo manivela – oscilador.....................................................111
7.1.2. Mecanismo oscilador – oscilador.....................................................116
7.1.3. Mecanismo manivela – manivela.....................................................120
7.2. Síntese e simulação cinemática e cinética de um mecanismo de quatro-
barras...........................................................................................................................125
7.2.1. Cinemática.......................................................................................127
7.2.2. Cinética............................................................................................130
7.2.3. Resultados do problema de otimização............................................133
8 Conclusão.................................................................................................................139
Referências..................................................................................................................141
ANEXO A – Norma ISO 2631....................................................................................145
20
1 INTRODUÇÃO
O mecanismo plano constituído por quatro barras em uma cadeia cinemática fechada,
com o formato de um quadrilátero, é muito versátil e, portanto, comumente encontrado em
vários dispositivos mecânicos. A variedade de movimentos que podem ser gerados por esse
tipo de mecanismo inclui uma linha aproximadamente reta (acoplamento de Watt e Scott
Russel), curvas fechadas e até círculos (mecanismo de Galloway).
Muitos problemas de design de máquinas requerem a criação de um mecanismo (síntese)
com um movimento particular. Erdman e Sandor (1997) definem três tipos de síntese
cinemática, ou geração: por função, trajetória e movimento. (ERDMAN, A.G., E SANDOR G.
N., 1997)
• A geração por função é definida como a correlação entre o movimento de entrada e o
movimento de saída em um mecanismo;
• A geração por trajetória é definida como o controle de um ponto no plano de forma que
este siga uma trajetória pré-definida;
• A geração por movimento é definida como o controle de uma linha no plano de forma
que esta assuma alguma sequência de posições determinadas.
A síntese dimensional de um mecanismo é a determinação das proporções dos
acoplamentos de modo a realizar os movimentos desejados. A técnica mais simples para o
dimensionamento de um mecanismo de quatro barras é a gráfica. Porém, esta técnica funciona
bem para até três posições. Para um número maior, opta-se pela utilização do método analítico.
Durante os últimos anos, foram desenvolvidos vários métodos analíticos para a síntese
dimensional de mecanismos. Norton divide estes métodos em três categorias, sendo
denominadas: precisão, equação e otimização. (NORTON, 2011)
Os métodos de precisão englobam aqueles que procuram sintetizar um mecanismo que
passará exatamente pelos pontos definidos previamente, sem, no entanto, se preocupar com a
trajetória, ou com um eventual erro estrutural do mecanismo entre estes pontos. Os métodos de
pontos de precisão possuem um número máximo de pontos que podem ser previamente
definidos, que representam a quantidade de parâmetros independentes que definem um
mecanismo. Para um mecanismo de quatro barras, o número máximo de pontos de precisão é
nove, sendo que destes nove parâmetros independentes, quatro representam os comprimentos
das barras, dois referem-se às coordenadas do ponto de interesse no acoplador, e os últimos três
21
parâmetros dizem respeito à localização e à orientação da barra fixa no sistema cartesiano
global.
Para até cinco pontos de precisão em um mecanismo de quatro barras, as equações podem
ser solucionadas de forma fechada, sem iteração. Contudo, utilizando de seis a nove pontos de
precisão necessita-se de um método iterativo para encontrar a solução do sistema de equações
não lineares, o que pode levar a problemas de não convergência, ou convergência que induz a
soluções imaginárias, ou seja, no campo complexo. Independentemente do número de pontos
de precisão, pode-se ainda encontrar soluções inviáveis, tais quais: problemas de ordem, nos
quais o mecanismo sintetizado passa pelos pontos de precisão, porém não na sequência correta;
problemas de circuito, para os quais o mecanismo não consegue se mover entre os pontos de
precisão sem mudar a sua configuração de montagem; ou ainda os problemas em que ocorrem
posições singulares, também chamadas de ponto morto, entre duas posições sucessivas,
resultando no travamento da movimentação do mecanismo.
Os métodos de equação se referem à solução da equação da curva tricircular trinodal de
grau seis do acoplador, de modo a encontrar o mecanismo que mais se aproxime da trajetória
do ponto de interesse no acoplador, satisfazendo determinados pontos na curva.
Por último, os métodos de síntese analítica denominados “métodos de otimização”
referem-se aqueles que utilizam um processo iterativo de otimização, visando minimizar uma
função objetivo. A função objetivo pode ser obtida de várias formas, seja pelo método dos
mínimos quadrados, através da diferença entre as posições calculadas e desejadas do ponto de
interesse do acoplador, ou mesmo pelas equações de loop do mecanismo. Emprega-se uma
estimativa inicial para os valores dimensionais do mecanismo, e a cada iteração novas
dimensões são calculadas, buscando a minimização da função objetivo escolhida. Os métodos
de otimização permitem a definição de um número maior de pontos de precisão do que os
próprios métodos de precisão, sendo limitados somente pela capacidade de processamento
computacional e os erros de arredondamento do mesmo. No entanto, nenhum dos pontos de
precisão desejados serão exatamente iguais aos pontos calculados, sendo suficientemente
precisos, contudo, para a maioria das aplicações em engenharia.
Dentre as aplicações da síntese de mecanismos de quatro-barras, pode-se citar
Dimarogonas e Mourikis (1980), que desenvolveram um método para a síntese de mecanismos
de quatro barras capaz de prover o movimento adequado a placas solares, seguindo assim o
movimento do sol em um lugar específico. Este método utiliza, como parâmetros de projeto,
pontos de precisão da altitude do sol em função da hora no local, gerando assim uma estimativa
inicial para as dimensões do mecanismo. Por meio de métodos de otimização, o design original
22
é aprimorado, minimizando o erro e otimizando as características estruturais do mecanismo,
requerendo apenas simples ajustes sazonais. (DIMAROGONAS, A. D., MOURIKIS A., 1980)
Outra aplicação de mecanismos de quatro barras pode ser citada no campo das
suspensões. Em 2008, Wongratanaphisan e Cole analisaram um mecanismo de quatro barras
compensado gravitacionalmente por uma suspensão de molas. A análise é baseada no campo
da energia potencial. O mecanismo proposto pode ser utilizado em sistemas mecânicos a baixas
ou altas velocidades, sob aplicação de altas cargas e operando a acelerações da ordem de
grandeza da aceleração gravitacional. (WONGRATANAPHISAN, T., COLE, M. O. T., 2008)
Em 2010, McDonald e Agrawal desenvolveram um design de asas para micro veículos
aéreos, inspirado nas asas de insetos e pássaros. Evidencia-se a necessidade de projeto de
componentes extremamente leves, capazes de reproduzir os padrões de movimentos das asas
dos animais, usando poucos atuadores, ou eventualmente um único. Utiliza-se, então, a síntese
analítica de mecanismos para desenvolver um design otimizado de um mecanismo de quatro
barras esférico, sendo este escolhido por possuir boa modelagem aerodinâmica. (MCDONALD,
M., AGRAWAL, S. K., 2010)
O método estudado neste trabalho enquadra-se na síntese dimensional de mecanismos de
quatro barras pelo método dos pontos de precisão. Esta teoria foi introduzida por Freudenstein
e Sandor (1959), sendo posteriormente desenvolvida por Sandor e Erdman (1997). Utilizam-se
as equações lineares de loop dos mecanismos de quatro-barras, em sua forma complexa, sendo
posteriormente arranjados em sua forma matricial. A solução desse sistema retorna os
comprimentos das barras dos mecanismos. (FREUDENSTEIN, F., SANDOR, G. N., 1959)
(ERDMAN, A. G., E SANDOR, G. N., 1997)
Desenvolveu-se também um algoritmo computacional em MATLAB para o cálculo dos
comprimentos das barras, a partir da aplicação da teoria de síntese analítica a ser explicitada no
capítulo 3. O algoritmo retorna também gráficos de deslocamento do ponto de interesse no
acoplador em função do ângulo de entrada, para o mecanismo sintetizado, assim como o cálculo
do erro entre o ponto de interesse desejado e o obtido pela síntese. Pode-se obter, ainda, gráficos
da variação do ângulo de rotação do acoplador e da segunda manivela em função do ângulo de
entrada.
Através da utilização em conjunto com o programa de análise desenvolvido por Saint
Martin (2014), permite-se a análise cinemática e cinética do mecanismo sintetizado, ou de outro
mecanismo de quatro-barras qualquer, sendo, neste caso, necessário informar dados adicionais
ao programa. Da parte cinemática, retornam os gráficos de deslocamento, velocidade e
aceleração angulares do acoplador e da segunda manivela em função da variação do ângulo de
23
entrada na primeira manivela. Na parte cinética, analisam-se os efeitos da aplicação de uma
força no acoplador, ou um momento aplicado à manivela de entrada. Como resultados, o
algoritmo retorna gráficos de força, deslocamento, velocidade e aceleração em função do
tempo. (SAINT MARTIN, L. B., 2014)
Desenvolveu-se uma interface gráfica para fácil utilização dos algoritmos de síntese e de
análise dinâmica para mecanismos de quatro-barras, utilizando o toolbox GUIDE do
MATLAB. Além da resposta gráfica, o algoritmo permite o salvamento dos arquivos de entrada
e saída, e a visualização de uma animação simulando o movimento do mecanismo, tanto na
análise cinemática quanto na análise cinética, quando o sistema é submetido a uma força
externa.
Finalmente, simulou-se o mecanismo de quatro-barras sintetizado, posicionando uma
mola e um amortecedor transversalmente ao mesmo. Foram feitas as análises cinemática e
cinética após a aplicação de uma força externa ao centro de massa do acoplador e a otimização
do coeficiente de elasticidade da mola e do coeficiente de amortecimento, buscando minimizar
diferentes funções objetivo, sendo estas a curva de deslocamento do ponto de interesse no
acoplador, a curva de velocidade, e a curva de aceleração, aplicando diferentes restrições a cada
caso particular. O objetivo é oferecer uma ferramenta genérica, de síntese, análise e otimização
de um mecanismo de quatro-barras, auxiliando o projetista de máquinas na obtenção da melhor
solução possível de um problema.
24
2 REVISÃO DA LITERATURA – PERSPECTIVA HISTÓRICA
O desenvolvimento do mecanismo de quatro barras, a partir da manivela, ocorreu em duas
etapas. Primeiramente, a barra de conexão foi acoplada à manivela, de modo a substituir o
antebraço humano, formando assim uma díade. Esta etapa foi sucedida pela adição da quarta
barra, fechando deste modo o mecanismo de quatro barras. As primeiras ilustrações de
mecanismos de quatro barras do tipo manivela oscilador surgiram na China, por volta de 500
D.C., em um moinho em rotação, posto em movimento por meio de um pino e uma vara. Na
Europa, este mecanismo só apareceu por volta de 1440 D.C., porém a primeira aplicação bem-
sucedida e documentada de um mecanismo deste tipo foi em 1582, na London Bridge
Waterworks, construída por Peter Moris. (NOLLE, 1973)
Em 1784, Watt utilizou o acoplador de um mecanismo de quatro barras para promover
movimento aproximadamente linear a uma biela em um motor a vapor, evidenciando-se a partir
deste momento a importância do estudo do movimento de um mecanismo. Análises
matemáticas do movimento destes mecanismos, no entanto, passaram a ser intensamente
estudadas somente por volta de 1860, enquanto as investigações a respeito da síntese de tais
mecanismos foram publicadas tardiamente 20 anos depois. (NOLLE, 1973)
No século XVIII, Poinsot e Chasles realizaram progressos significativos no tratamento
geométrico do movimento de corpos rígidos. Todavia, seu estudo não abrangia o movimento
de corpos cujas restrições são definidas em termos da geometria de um conjunto de corpos
articulados. Reuleaux baseou seus argumentos em cinemática pura, e desenvolveu, no processo,
a síntese por tipo, agrupando os diferentes mecanismos de acordo com seu propósito. Na
segunda metade do século XIX, após a publicação dos trabalhos de Chebyshev e Burmester, os
métodos analíticos e geométricos aproximados para síntese por geração de movimento, nos
quais o mecanismo move-se por uma linha aproximadamente reta, se desenvolveram
rapidamente. Chebyshev estudou o mecanismo de Watt e mecanismos de quatro barras em
geral, empregando métodos puramente analíticos, formulando uma série de funções cujos
coeficientes eram parâmetros do mecanismo. Burmester, por outro lado, empregou apenas
argumentos geométricos na síntese, desenvolvendo relações cinemáticas para um corpo em
movimento plano, assumindo três, quatro e cinco posições distintas. Disto, Burmester descobriu
que certos pontos de interesse em um corpo se localizam em arcos de circunferência, sendo
denominados assim de circle points. A abordagem de Burmester não requer conhecimento
25
algébrico da curva do acoplador, visto que busca a definição do mecanismo através da
localização das barras de entrada e saída relacionando-as ao movimento do plano do acoplador.
A geração de movimento precisamente linear por um mecanismo foi desenvolvida por
Peaucellier em 1864. (NOLLE, 1973)
Em 1875, Samuel Roberts publicou as primeiras propriedades algébricas de curvas para
mecanismos de quatro barras planares, para as quais afirmava que a trajetória de um ponto em
um acoplador formaria uma curva tricircular de grau seis. Expressões analíticas para a trajetória
de um ponto na linha de centro do acoplador foram posteriormente desenvolvidas por Johnson
W. W., em 1876. Já em 1903, Somov desenvolve expressões para a curva do acoplador, cujas
formas permitiram o conhecimento da influência dos parâmetros do mecanismo nas possíveis
mudanças de trajetória do acoplador. (NOLLE, 1973)
Como mencionado anteriormente, Burmester em 1888, introduziu uma técnica
geométrica para síntese de mecanismos, denominada por este motivo de teoria de Burmester,
sendo aplicável a até 5 diferentes posições de uma barra. Seu trabalho serviu de referência para
os estudos de Muller, em 1892, que estabeleceu inúmeros teoremas a respeito de colinearidade,
ordem de contato, simetria e localização dos pontos de Burmester, todos relacionados ao
deslocamento infinitesimal. Além disso, Muller estabeleceu as relações algébricas existentes
entre as evolutas de pontos em uma trajetória e seus respectivos centros de curvatura. Allievi,
em 1895, foi o primeiro a aplicar a teoria de Burmester para mecanismos de quatro-barras, no
final do século XIX. (NOLLE, 1973)
No século XX, várias teorias se desenvolveram para a síntese de mecanismos, das quais
poucas possuem forma fechada, e muitas necessitam de solução numérica iterativa, facilitada
após o surgimento dos computadores. Os vários métodos desenvolvidos a partir desta época
podem ser divididos em 3 categorias distintas, a saber: pontos de precisão, equação da curva do
acoplador e otimização. Os métodos de pontos de precisão, utilizados neste trabalho, buscam
soluções nas quais o mecanismo passará precisamente nos pontos designados, mas podem se
desviar da trajetória desejada entre os mesmos. Os métodos de equação da curva do acoplador
solucionam a curva do acoplador tricircular trinodal de sexto grau, de modo a encontrar um
mecanismo que passará pela trajetória completa do acoplador. Por último, os métodos de
otimização referem-se aos procedimentos iterativos de otimização que buscam minimizar uma
função objetiva, como por exemplo, o método do desvio dos mínimos quadrados, entre os
pontos desejados e os calculados na trajetória do acoplador. (NORTON, 2011)
Os métodos de pontos de precisão são limitados pelo número de equações independentes
que definem o mecanismo. Para um mecanismo de quatro barras, o número máximo de pontos
26
de precisão possível é nove. Para até 5 pontos, as equações podem ser resolvidas em sua forma
fechada. De 6 até 9 pontos de precisão, as equações são não lineares, e necessitam de métodos
iterativos para sua solução. (NORTON, 2011)
Freudenstein (1955), posteriormente associado a Sandor (1959), está entre os primeiros a
publicar um trabalho direcionado à síntese de mecanismos com o método de pontos de precisão,
utilizando-se das equações lineares de loop, para até cinco pontos de precisão. Este método é
descrito em detalhes no capítulo 3 deste trabalho, sendo posteriormente aplicado no
desenvolvimento de uma ferramenta computacional. (FREUDENSTEIN, F., 1955)
(FREUDENSTEIN, F. E SANDOR, G. N., 1959)
Suh e Radcliffe (1966) apresentam uma abordagem similar à de Freudenstein (1955),
utilizando-se de equações de loop. Este método também se enquadra na categoria de síntese
analítica dos pontos de precisão. No entanto, este método leva a um sistema de equações não
lineares, aplicável para até 5 posições distintas, utilizando-se o método numérico de Newton-
Raphson. Esta abordagem leva, porém, a problemas de não convergência, ou ainda,
convergência que pode resultar em soluções inviáveis. Seu método se diferencia pela introdução
da matriz de deslocamentos associada a posições múltiplas de um corpo rígido, para síntese de
mecanismos planares ou tridimensionais. Para um mecanismo de quatro barras com acoplador,
a matriz de deslocamento é função da rotação relativa (ângulo de rotação entre a primeira e a
enésima posição) do acoplador, e dos pontos de precisão. (SUH, C. H. E RADCLIFFE, C. W.,
1966).
Nolle e Hunt, utilizando um método da categoria de otimização, derivam em 1971
expressões analíticas para a síntese ótima de mecanismos de quatro barras planares. Seu método
leva a um sistema de dez equações lineares não homogêneas, cuja solução gera valores ótimos
para todas as variáveis independentes do problema, utilizando-se do método dos mínimos
quadrados para a minimização da função erro. Devido à utilização de equações lineares, o
método utiliza pouco tempo computacional, permitindo seu uso diversas vezes nos casos onde
não há uma boa estimativa inicial. Em termos de tempo, leva-se um segundo a cada iteração,
resultando em uma convergência rápida. Mostra-se ainda a possibilidade de aplicação deste
método a mecanismos de 6 ou mais barras, e mecanismos tridimensionais para os quais a
solução ótima é obtida após uma única iteração. (NOLLE, H. E HUNT, K. H., 1971)
Posteriormente, Suh (1973), aprimorando seus estudos na área de síntese analítica através
do método dos pontos de precisão, publicou métodos matemáticos para solução de equações
não lineares por meio do uso de sistemas matriciais e do método dos mínimos quadrados. O
algoritmo dos mínimos quadrados publicado por Powell foi implementado, o que proporcionou
27
rápida convergência de funções residuais provenientes da função objetivo e das restrições dos
mecanismos. Sua efetividade é demonstrada por meio de exemplos da síntese por otimização
de mecanismos, no caso da geração por função, pela posição do acoplador, e no caso da geração
por meio de uma curva espacial. Não só o algoritmo apresentou resultados válidos, como ainda
se mostrou de fácil implementação. (SUH, C. H., 1973)
Loerch, Erdman e Sandor (1979), desenvolveram um método de síntese utilizando pontos
de precisão, demonstrando um método gráfico, no qual são obtidas soluções para mecanismos
de quatro barras com três pontos de precisão, nos quais quaisquer deslocamentos rotacionais
podem ser estabelecidos. Além disso, são discutidos casos nos quais são determinadas duas
posições e uma velocidade. As soluções são representadas por círculos formados pelas
diferentes localizações de um ponto de interesse no acoplador, derivadas das equações
analíticas baseadas em transformações bi lineares. Demonstra-se, ainda, uma solução para
quatro pontos de precisão, utilizando-se da superposição de duas soluções, para o caso de três
pontos de precisão. (LOERCH, R. J., ERDMAN A. G., SANDOR G. N., 1979).
Já em 1981, Erdman introduziu a expressão dos mecanismos de quatro barras por meio
de números complexos, padronizando as equações para geração por função, geração por
trajetória e geração por movimento. Diferentes estratégias para a síntese foram descritas,
sugerindo a melhor solução para cada escolha de parâmetros iniciais. Recomenda-se considerar
as vantagens e desvantagens do emprego de uma técnica específica para um determinado
problema. Por fim, foram reproduzidas técnicas computacionais para os casos de síntese com
três ou quatro pontos de precisão. (ERDMAN, A. G., 1981)
Posteriormente, Sandor e Erdman (1997) publicaram o livro “Mechanism Design:
Analysis and Synthesis”, baseado nos estudos de Freudenstein (1955), e nas equações de loop,
utilizando notação complexa, introduzidas por Erdman. Estes métodos de síntese analítica
buscaram a determinação de um mecanismo que passe por pontos previamente determinados,
sendo assim denominados métodos dos pontos de precisão. (ERDMAN, A. G., E SANDOR, G.
N., 1997)
Em 1985, Midha e Zhao, discutiram a síntese de mecanismos de oito barras planares por
meio das equações de loop e de equações não lineares. Este método, portanto, se enquadrou na
categoria dos pontos de precisão, baseando-se na teoria desenvolvida por Freudenstein (1955)
e, posteriormente, por Erdman e Sandor (1997). O método de Newton-Raphson foi utilizado
para a solução destas equações não lineares. (MIDHA, A., ZHAO, Z.-L., 1985)
Blechschmidt e Uicker, em 1986, desenvolveram um método para a síntese de
mecanismos de quatro-barras utilizando a curva algébrica do movimento de um ponto de
28
interesse no acoplador. Este método baseou-se na teoria de Burmester, pois a curva algébrica
formada pelo ponto de interesse é um polinômio de sexto grau, do tipo tricircular trinodal. Deste
modo, este método entra na categoria dos métodos de síntese analítica pelo uso da equação
polinomial citada. Demonstrou-se que dada uma série de pontos na qual o ponto de interesse
no acoplador deve passar, os coeficientes do polinômio podem ser encontrados. Os coeficientes
do polinômio são funções não lineares dos parâmetros do mecanismo. O sistema de equações
não lineares resultante pode ser resolvido por meio de técnicas de iteração ou otimização,
determinando-se assim as dimensões das barras do mecanismo. (BLECHSCHMIDT, J. L.,
UICKER, J. J., 1986)
Morgan e Sommese, em 1987, e Wampler, em 1990 solucionaram o mecanismo de quatro
barras para 5 posições distintas e pivôs fixos, utilizando-se das equações de loop e dos métodos
de continuação, enquadrando-se nos métodos de síntese analítica dos pontos de precisão. Neste
trabalho, demonstrou-se que, para um mecanismo passando por 5 pontos de precisão, os
parâmetros de design devem satisfazer um sistema de equações polinomiais de quarto grau,
com quatro incógnitas, e este sistema deve apresentar no máximo 36 soluções reais. No entanto,
nem todas as soluções podem se apresentar utilizáveis, podendo ocorrer 3 tipos de soluções
indesejáveis, a saber: as de solução complexa, com defeito de ordem (order defect), na qual o
mecanismo sintetizado não consegue passar pelos pontos de precisão na ordem designada, ou
soluções com defeito de continuidade (branch defects), em que o mecanismo precisa mudar sua
configuração de montagem, ou forma, para satisfazer todos os pontos de precisão. (MORGAN,
A. P. E A. J. SOMMESE, 1987) (MORGAN, A. P., E WAMPLER, C. W., 1990)
Subbian e Flugrad, em 1991, estenderam este estudo para pivôs móveis, enquadrando-se,
portanto, na classe dos métodos de síntese analítica dos pontos de precisão. Apresentou-se uma
diferente abordagem para a síntese por trajetória de mecanismos de quatro-barras, utilizando o
método de continuação para solucionar o sistema de equações não lineares proveniente das
equações de loop. Demonstrou-se, ainda, que o método de Newton pode ser aplicado na solução
do sistema não-linear, sendo, no entanto, impossível assegurar um conjunto completo de
soluções. Portanto, o método da continuação seria o mais confiável matematicamente. No
entanto, dentre as soluções obtidas por este método, encontram-se as soluções reais, as soluções
complexas e as soluções no infinito, das quais somente as reais são utilizáveis na síntese.
(SUBBIAN, T. E FLUGRAD, J. D. R., 1991)
Já em 1992, Wampler, continuando os estudos anteriores de síntese analítica pelos pontos
de precisão, utiliza uma combinação de redução de equação analítica e o método da continuação
para exaustivamente computar todas as soluções (provou-se que há um máximo de 4326)
29
possíveis e genéricas para o problema de nove pontos de precisão, buscando, assim, controle
máximo sobre a curva do acoplador. Vale ressaltar que nove é o número máximo de pontos de
precisão possíveis de serem determinados previamente na síntese de mecanismos de quatro
barras. Este método, contudo, não elimina os mecanismos fisicamente impossíveis ou com
problemas como posições de alternância. (WAMPLER, C. W., 1992)
Em 1994, Tylaska e Kazerounian desenvolveram um método para síntese de mecanismos
de quatro barras para 7 pontos de precisão (método de síntese analítica pelos pontos de
precisão). Seu método era capaz de encontrar uma solução para qualquer conjunto de
parâmetros iniciais, sendo, portanto, um avanço sobre outros métodos iterativos, que possuem
certas restrições a respeito de suas estimativas iniciais. Uma particularidade deste método é a
extensão do mesmo ao mecanismo de seis barras de Watt. (TYLASKA, T. E KAZEROUNIAN
K., 1994)
Também em 1994, Avilés, Navalpotro, Amezua e Hernández, publicaram um método de
síntese analítica de mecanismos planares através da otimização, tanto para geração por
movimento, geração por trajetória, ou geração por função, ou seja, aplicável a todas as sínteses
cinemáticas. Os mecanismos são discretizados em elementos finitos, visando facilitar a
computação da matriz geométrica, que é uma matriz de rigidez. A função erro é baseada na
energia elástica acumulada pelo mecanismo, quando este é forçado a satisfazer exatamente os
dados da síntese. Portanto, durante o processo iterativo, considera-se que os elementos dos
mecanismos são deformáveis. O sistema de equações não lineares de equilíbrio resultante é
solucionado utilizando a matriz geométrica e o vetor força do sistema deformado. A
minimização da função erro é obtida pelo método de Newton de segunda ordem, com uma
abordagem semi-analítica. Provou-se que este método é muito estável para uma grande
variedade de passos da iteração, apresentando convergência mesmo quando a solução inicial da
iteração se apresenta distante da solução real. (AVILÉS, R., NAVALPOTRO, S., AMEZUA,
E. E HERNÁNDEZ, A., 1994)
Bawab, et al. (1997), apresentaram um método de síntese mecânica baseado na teoria de
otimização e na síntese retificada. Utilizaram a geração por movimento, na qual o mecanismo
passa por dois, três, ou quatro posições. Apresentaram, ainda, técnicas para síntese automática,
implementadas no software RECSYN (RECtified SYNthesis), buscando tornar o processo de
otimização mais eficiente em termos de velocidade. Comparativamente, em um processo
manual, necessita-se de tempo e conhecimentos de cinemática consideráveis para desenvolver
uma solução iterativa aceitável. O algoritmo apresentado consumiu no máximo seis segundos
para gerar uma solução. Isso foi possível devido à eliminação imediata de mecanismos
30
inviáveis, através do uso de ferramentas de retificação. Sendo assim, o método apresentado uniu
aspectos da síntese analítica pelos pontos de precisão, de síntese cinemática pelo uso da geração
por movimento, e de técnicas de otimização, eliminando soluções de mecanismos não viáveis.
(BAWAB, S., SABADA, S. SRINIVASAN, U., KINZEL, G.L. E WALDRON, K. J., 1997)
Já em 1999, Liu e Yang sugeriram uma nova abordagem para a síntese analítica de
mecanismos por otimização. Foram apontadas duas limitações nestes métodos de síntese, sendo
estas: as estimativas iniciais são de difícil determinação e a solução ótima global é de árdua
obtenção. Propôs-se, assim, uma metodologia que extingue a necessidade de estimativa inicial,
de modo a não impedir a obtenção de todas as soluções possíveis. Utilizando-se das equações
de loop do mecanismo, e buscando a minimização da função objetivo do sistema por meio das
derivadas parciais das equações de loop, obteve-se um sistema de equações polinomiais
solucionável pelo método da continuação. (LIU, A.-X. E YANG, T. -L., 1999)
Em 2001, Vasiliu e Yannou propuseram um método para a síntese analítica de
mecanismos planares, cuja função era a geração de uma determinada trajetória. A maioria dos
métodos para a síntese analítica e gráfica para geração por trajetória exige a especificação da
mesma por meio de uma série de coordenadas de pontos, ao invés da especificação de uma
forma geométrica. A respeito dos métodos de síntese por otimização, os mesmos mostram-se
lentos, e sua convergência depende da solução inicial. Alternativamente, foi apresentada uma
abordagem diferenciada pelo uso de uma rede neural. Este método enquadrou-se nos métodos
de síntese analítica por otimização. O primeiro passo consistia na geração de um grande número
de casos por meio da simulação cinemática de mecanismos, para valores aleatórios de
comprimentos de barra, em um processo de orientação da rede neural. No segundo passo,
durante sua utilização, a rede neural possibilitava a obtenção imediata de uma solução
aproximada para o problema de síntese, através da interpolação de casos instalados na memória
da rede. Concluiu-se que as duas maiores vantagens da utilização deste método são a capacidade
do mesmo de levar em conta especificações de formato geométrico da trajetória, dificilmente
concebível em métodos tradicionais, e a compilação preliminar da base de casos, usando a
interpolação com a rede neural, o que acarreta em grande redução da base de dados. Entretanto,
a implementação deste método requer um grande número de simulações cinemáticas, exigindo
assim a utilização de um software. (VASILIU, A., YANNOU, B., 2001)
Wu e Chen, em 2005, desenvolveram um software de análise de mecanismos de quatro
barras planares. O software realizava a análise cinemática completa do mecanismo, ilustrando,
através de animações, seus movimentos. Sendo assim, permitia-se a rápida e fácil determinação
de soluções para as variáveis do acoplador. (WU, T.-M., CHEN, C.-K., 2005)
31
Shariati e Norouzi, em 2010, descreveram um método de síntese analítica por otimização
para mecanismos de quatro barras, com o objetivo de gerar uma função matemática definitiva.
A função objetivo foi definida em termos dos mínimos quadrados dos erros entre a função
gerada e a função desejada. Devido a não linearidade da função objetivo e das restrições do
mecanismo, utilizou-se o método Sequential Quadratic Programming (SQP) para minimizar a
função objetivo, de modo a encontrar o mecanismo ótimo. Este método é iterativo, e utilizado
na otimização de equações não lineares, no qual a função objetivo e as restrições são
diferenciadas duas vezes. No caso de não haver restrições para o problema, este se reduz ao
método de Newton, determinando um ponto onde o gradiente da função objetivo é nulo. No
caso de haver uma restrição, o método equivale ao método de Newton de primeira ordem com
condições ótimas, ou condições de Karush-Kuhn-Tucker (K.K.T.). Este método está incluído
em diversos pacotes computacionais, entre eles o MATLAB. (SHARIATI, M., NOROUZI, M.,
2010).
Aoustin e Hamon, em 2013, utilizaram um mecanismo de quatro-barras para a concepção
de um joelho para utilização em um robô bípede. Utilizaram, como parâmetros iniciais, as
dimensões de uma perna humana característica, obtidas por radiografia. Estas dimensões foram
otimizadas pelo método apresentado no artigo, de modo a produzir uma referência ótima para
trajetórias percorridas pelo robô ao caminhar. Observou-se que o design mostrou-se ruim para
baixas velocidades, porém eficiente para velocidades mais elevadas, o que demonstrou que
estes mecanismos poderiam representar uma boa tecnologia a ser implementada para o aumento
da velocidade de robôs bípedes. (AOUSTIN Y., HAMON, A., 2013)
Zhao, Yan e Ye, em 2014, aplicaram a teoria de Burmester no design das asas de um robô,
propondo uma formula unificada para a síntese de mecanismos de quatro barras com um
número qualquer de posições pré-definidas. As asas de um pássaro usualmente executam um
movimento periódico, e definem-se 8 posições críticas pelas quais as asas devem passar.
Utilizaram-se as coordenadas da circunferência na posição inicial como variáveis de design
para estabelecer as equações de restrição, que foram posteriormente utilizadas na determinação
das posições sucessivas através da matriz de transformação. Expandindo-se as equações
quadráticas, e eliminando os itens quadráticos das coordenadas do centro da circunferência, foi
obtido um sistema de equações lineares. A matriz de coeficientes aumentada, constituída pelas
coordenadas do ponto no centro da circunferência na posição inicial, foi então utilizada para
formar uma matriz 3 x 3. Igualando a matriz a zero, foram encontradas as soluções para o
problema. O método provou-se suficientemente preciso para até quatro posições, utilizando-se
32
o método dos mínimos quadrados para otimização da solução. (ZHAO, J.-S., YAN, Z.-F. E YE,
L., 2014)
Neste contexto, integrando-se técnicas de síntese analítica utilizando os pontos de
precisão de mecanismos de quatro-barras, a análise cinemática e cinética dos mecanismos
sintetizados, e finalmente, o estudo de técnicas de otimização, busca-se um estudo completo
dos mecanismos de quatro-barras.
33
3 SÍNTESE ANALÍTICA
A construção gráfica para duas e três posições é de fácil realização. No entanto,
problemas mais complexos, que possuem restrições quanto ao tamanho das barras, posição das
barras e pivôs fixos, ângulos de transmissão e outros, requerem a repetição do método diversas
vezes para encontrar uma solução ótima. A síntese analítica torna-se, portanto, necessária, já
que o método gráfico se torna muito oneroso. A síntese analítica é essencialmente algébrica,
tornando-a adequada para utilização em métodos computacionais.
As mesmas técnicas utilizadas para a síntese analítica de duas e três posições podem ser
estendidas para quatro e cinco pontos de precisão, escrevendo mais equações de loop, uma para
cada ponto de precisão. A tabela 3.1 mostra o número de variáveis escalares e prescritas (dados
do problema), o número de equações escalares provenientes das equações de loop (para cada
díade), e o número de variáveis disponíveis para livre escolha, em função do número de pontos
de precisão escolhido. A figura 3.1 ilustra a localização destas variáveis.
Figura 3.1: Mecanismo de quatro-barras.
34
Tabela 3.1: Relação do número de pontos de precisão e o número de soluções disponíveis.
Nº de
pontos de
precisão
Nº de
variáveis
escalares
(total)
Nº de
equações
escalares
Nº de variáveis
prescritas (dados
de entrada)
Nº de livres escolhas
(condições iniciais
para coordenada
generalizada 𝒒, ��, ��) 2 8 2 3 3
3 12 4 6 2
4 16 6 9 1
5 20 8 12 0
Utilizando as equações de loop para a solução do problema de síntese do mecanismo de
quatro barras, o sistema de equações pode ser solucionado diretamente, sem iterações, para até
cinco pontos de precisão. Para seis ou mais pontos de precisão, necessita-se de um método
iterativo para solucionar as equações não-lineares, o que pode levar a problemas de não
convergência, ou convergência para soluções imaginárias. Neste capítulo, serão apresentados
os equacionamentos para síntese analítica para dois, três, quatro e cinco pontos de precisão de
mecanismos de quatro barras.
3.1 Síntese analítica para duas posições
Por ser o mecanismo mais versátil, diversos métodos foram criados para a solução de
problemas utilizando o mecanismo de quatro barras. Os métodos analíticos aqui citados foram
desenvolvidos por Erdman e Sandor (1997), sendo posteriormente aprimorados por Kaufman e
Loerch. (ERDMAN, A.G., E SANDOR G. N., 1997)
A geração por movimento, definida como o controle de uma linha em um plano de modo
que esta assuma uma sequência de posições previamente definidas, é comumente obtida
utilizando um mecanismo quatro barras do tipo manivela ou duas manivelas. Nestes, um ponto
no acoplador passa pela trajetória desejada, e o mecanismo também controla o ângulo no
acoplador que possui a linha de interesse. O procedimento é descrito a seguir (Figura 3.2)
35
(a) Duas posições (b) Mecanismo finalizado
Figura 3.2: Síntese de mecanismo para duas posições. Geração por movimento.
Definem-se os dois pontos de precisão no plano com respeito a um sistema cartesiano
global XY utilizando dois vetores de posição R1 e R2. A mudança no ângulo α2 do vetor Z indica
a rotação desejada para o acoplador. O vetor P21, que define a diferença de deslocamentos entre
a posição P1 e P2, é definido como:
𝑃21 = 𝑅2 − 𝑅1 (3.8)
Os vetores em sequência W1Z1 definem a metade esquerda do mecanismo. Já U1S1 define
a metade direita do mecanismo. A equação que relaciona Z1 a S1 é:
𝑉1 = 𝑍1 − 𝑆1 (3.9)
A barra 1 (fixa), é definida em termos de dois pares de vetores.
36
𝐺1 = 𝑊1 + 𝑉1 −𝑈1 (3.10)
Portanto, ao determinar os vetores W1, Z1, U1 e S1, ter-se-á um mecanismo que satisfaz
as especificações iniciais. Faz-se um loop na parte esquerda do mecanismo, começando com
W2.
𝑊2 + 𝑍2 − 𝑃21 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.11)
Substituindo os vetores por seus números complexos equivalentes:
𝑤𝑒𝑗(𝜃+𝛽2) + 𝑧𝑒𝑗(𝜑+𝛼2) − 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.12)
A soma dos ângulos dos expoentes pode ser reescrita como:
𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽2 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼2 − 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.13)
Simplificando e arranjando:
𝑤𝑒𝑗𝜃(𝑒𝑗𝛽2 − 1) + 𝑧𝑒𝑗𝜑(𝑒𝑗𝛼2 − 1) = 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 (3.14)
Separando as partes real e imaginária:
Parte real:
[𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃](𝑐𝑜𝑠𝛽2 − 1) − [𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃] 𝑠𝑖𝑛 𝛽2 + [𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜑](𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 1)
− [𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜑] 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21𝑐𝑜𝑠𝛿2
(3.15)
Parte imaginária:
[𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃](𝑐𝑜𝑠𝛽2 − 1) + [𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃] 𝑠𝑖𝑛 𝛽2 + [𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜑](𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 1)
+ [𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜑] 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21𝑠𝑖𝑛𝛿2
(3.16)
Há oito variáveis nestas duas equações: 𝑤, 𝜃, 𝛽2, 𝑧, 𝜑, 𝛼2, 𝑝21𝛿2. Pode-se resolver apenas
para duas. Três destas variáveis foram definidas no inicio, 𝛼2, 𝑝21, 𝛿2. Das cinco restantes,
37
𝑤, 𝜃, 𝛽2, 𝑧, 𝜑, deve-se assumir o valor de três para que seja possível resolver para as outras duas.
Assume-se o valor dos três ângulos, 𝜃, 𝛽2, 𝜑, de modo a obter como resultado a magnitude de
w e z. Simplificando as equações e substituindo alguns termos por constantes:
𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃(𝑐𝑜𝑠 𝛽2 − 1) − 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝛽2 (3.17)
𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝜑(𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 1) − 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝛼2 (3.18)
𝐶 = 𝑝21𝑐𝑜𝑠𝜑2 (3.19)
𝐷 = 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑐𝑜𝑠𝛽2 − 1) + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝛽2 (3.20)
𝐸 = 𝑠𝑖𝑛𝜑(𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 1) + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝛼2 (3.21)
𝐹 = 𝑝21𝑠𝑖𝑛𝛿2 (3.22)
As equações da parte real e imaginária ficam:
𝐴𝑤 + 𝐵𝑧 = 𝐶 (3.23)
𝐷𝑤 + 𝐸𝑧 = 𝐹 (3.24)
Resolvendo ambas as equações simultaneamente:
𝑤 = 𝐶𝐸 − 𝐵𝐹
𝐴𝐸 − 𝐵𝐷
(3.25)
𝑧 = 𝐴𝐹 − 𝐶𝐷
𝐴𝐸 − 𝐵𝐷
(3.26)
Repetindo o procedimento para o lado direito do mecanismo:
Equação do loop:
𝑈2 + 𝑆2 − 𝑃21 − 𝑆1 − 𝑈1 = 0 (3.27)
Reescrevendo na sua forma complexa:
𝑢𝑒𝑗𝜎(𝑒𝑗𝛾2 − 1) + 𝑠𝑒𝑗𝜓(𝑒𝑗𝛼2 − 1) = 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 (3.28)
Parte real:
38
𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝜎 (𝑐𝑜𝑠𝛾2 − 1) − 𝑢 𝑠𝑖𝑛 𝜎 𝑠𝑖𝑛𝛾2 + 𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜓 (𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 1) − 𝑠 𝑠𝑖𝑛 𝜓 𝑠𝑖𝑛 𝛼2
= 𝑝21 𝑐𝑜𝑠 𝛿2
(3.29)
Parte imaginária:
𝑢 𝑠𝑖𝑛 𝜎 (𝑐𝑜𝑠𝛾2 − 1) + 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝜎 𝑠𝑖𝑛𝛾2 + 𝑠 𝑠𝑖𝑛 𝜓 (𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 1) + 𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜓 𝑠𝑖𝑛 𝛼2
= 𝑝21 𝑠𝑖𝑛 𝛿2
(3.30)
Assumindo os valores dos ângulos σ, ψ e γ2, e lembrando que os valores de p21, α2 e δ2
estão definidos, e substituindo os termos das equações pelas seguintes constantes:
𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝜎(𝑐𝑜𝑠 𝛾2 − 1) − 𝑠𝑖𝑛 𝜎 𝑠𝑖𝑛𝛾2 (3.31)
𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝜓(𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 1) − 𝑠𝑖𝑛𝜓𝑠𝑖𝑛𝛼2 (3.32)
𝐶 = 𝑝21𝑐𝑜𝑠𝛿2 (3.33)
𝐷 = 𝑠𝑖𝑛𝜎(𝑐𝑜𝑠𝛾2 − 1) + 𝑐𝑜𝑠𝜎𝑠𝑖𝑛𝛾2 (3.34)
𝐸 = 𝑠𝑖𝑛𝜓(𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 1) + 𝑐𝑜𝑠𝜓𝑠𝑖𝑛𝛼2 (3.35)
𝐹 = 𝑝21𝑠𝑖𝑛𝛿2 (3.36)
As equações da parte real e imaginária ficam:
𝐴𝑢 + 𝐵𝑠 = 𝐶 (3.37)
𝐷𝑢 + 𝐸𝑠 = 𝐹 (3.38)
Resolvendo ambas as equações simultaneamente:
𝑢 = 𝐶𝐸 − 𝐵𝐹
𝐴𝐸 − 𝐵𝐷 (3.39)
𝑠 = 𝐴𝐹 − 𝐶𝐷
𝐴𝐸 − 𝐵𝐷 (3.40)
Assim, o mecanismo está definido.
39
3.2. Síntese analítica para três posições
Para três pontos de precisão, o procedimento é muito similar. No entanto, para encontrar
as dimensões das barras, necessitam-se de duas equações de loop para a parte direita do
mecanismo, e duas para a parte esquerda. O procedimento será exemplificado a seguir, para um
problema similar ao descrito anteriormente (Figura 3.3).
Figura 3.3: Síntese de mecanismo para três posições. Geração por movimento.
As equações de loop da parte esquerda, para a segunda e terceira posições, em relação à
posição inicial, são:
𝑊2 + 𝑍2 − 𝑃21 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.41)
𝑊3 + 𝑍3 − 𝑃31 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.42)
Substituindo os vetores por seus números complexos equivalentes:
𝑤𝑒𝑗(𝜃+𝛽2) + 𝑧𝑒𝑗(𝜑+𝛼2) − 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.43)
𝑤𝑒𝑗(𝜃+𝛽3) + 𝑧𝑒𝑗(𝜑+𝛼3) − 𝑝31𝑒𝑗𝛿3 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.44)
40
A soma dos ângulos dos expoentes pode ser reescrita como:
𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽2 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼2 − 𝑝21𝑒𝑗𝜑2 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.45)
𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽3 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼3 − 𝑝31𝑒𝑗𝜑3 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.46)
Simplificando e arranjando:
𝑤𝑒𝑗𝜃(𝑒𝑗𝛽2 − 1) + 𝑧𝑒𝑗𝜑(𝑒𝑗𝛼2 − 1) = 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 (3.47)
𝑤𝑒𝑗𝜃(𝑒𝑗𝛽3 − 1) + 𝑧𝑒𝑗𝜑(𝑒𝑗𝛼3 − 1) = 𝑝31𝑒𝑗𝛿3 (3.48)
Separando as partes real e imaginária:
Parte real:
[𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃](𝑐𝑜𝑠𝛽2 − 1) − [𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃] 𝑠𝑖𝑛 𝛽2 + [𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜑](𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 1)
− [𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜑] 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21𝑐𝑜𝑠𝛿2
(3.49)
[𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃](𝑐𝑜𝑠𝛽3 − 1) − [𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃] 𝑠𝑖𝑛 𝛽3 + [𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜑](𝑐𝑜𝑠 𝛼3 − 1)
− [𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜑] 𝑠𝑖𝑛 𝛼3 = 𝑝31𝑐𝑜𝑠𝛿3
(3.50)
Parte imaginária:
[𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃](𝑐𝑜𝑠𝛽2 − 1) + [𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃] 𝑠𝑖𝑛 𝛽2 + [𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜑](𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 1)
+ [𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜑] 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21𝑠𝑖𝑛𝛿2
(3.51)
[𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃](𝑐𝑜𝑠𝛽2 − 1) + [𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃] 𝑠𝑖𝑛 𝛽2 + [𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜑](𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 1)
+ [𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜑] 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21𝑠𝑖𝑛𝛿2
(3.52)
Estão presentes doze variáveis nestas equações. Destas, seis são definidas no início do
problema: α2, α3, p21, p31, δ2 e δ3. Das outras seis, duas devem ser assumidas, para que se possa
encontrar as outras quatro. Assumindo os valores de β2 e β3, resta determinar as magnitudes e
os ângulos dos vetores W e Z (w, θ, z e φ). Para simplificar a solução, utilizam-se as
componentes cartesianas dos vetores W e Z, ao invés de suas coordenadas polares.
𝑊1𝑥 = 𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (3.53)
𝑊1𝑦 = 𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃 (3.54)
41
𝑍1𝑥 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜑 (3.55)
𝑍1𝑦 = 𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜑 (3.56)
Substituindo nas equações:
𝑊1𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝛽2 − 1) −𝑊1𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝛽2 + 𝑍1𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 1) − 𝑍1𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21 𝑐𝑜𝑠 𝛿2 (3.57)
𝑊1𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝛽3 − 1) −𝑊1𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝛽3 + 𝑍1𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝛼3 − 1) − 𝑍1𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝛼3 = 𝑝31 𝑐𝑜𝑠 𝛿3 (3.58)
𝑊1𝑦(𝑐𝑜𝑠 𝛽2 − 1) +𝑊1𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝛽2 + 𝑍1𝑦(𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 1) + 𝑍1𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21 𝑠𝑖𝑛 𝛿2 (3.59)
𝑊1𝑦(𝑐𝑜𝑠 𝛽3 − 1) +𝑊1𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝛽2 + 𝑍1𝑦(𝑐𝑜𝑠 𝛼3 − 1) + 𝑍1𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝛼3 = 𝑝31 𝑠𝑖𝑛 𝛿3 (3.60)
Define-se o seguinte conjunto de constantes para simplificar as equações:
𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝛽2 − 1 (3.61)
𝐵 = 𝑠𝑖𝑛 𝛽2 (3.62)
𝐶 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 1 (3.63)
𝐷 = 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 (3.64)
𝐸 = 𝑝21 𝑐𝑜𝑠 𝛿2 (3.65)
𝐹 = 𝑐𝑜𝑠 𝛽3 − 1 (3.66)
𝐺 = 𝑠𝑖𝑛 𝛽3 (3.67)
𝐻 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼3 − 1 (3.68)
𝐾 = 𝑠𝑖𝑛 𝛼3 (3.69)
𝐿 = 𝑝31 𝑐𝑜𝑠 𝛿3 (3.70)
𝑀 = 𝑝21 𝑠𝑖𝑛 𝛿2 (3.71)
𝑁 = 𝑝31 𝑠𝑖𝑛 𝛿3 (3.72)
Substituindo essas constantes nas equações (3.57) a (3.60):
𝐴𝑊1𝑥 − 𝐵𝑊1𝑦 + 𝐶𝑍1𝑥 − 𝐷𝑍1𝑦 = 𝐸 (3.73)
𝐹𝑊1𝑥 − 𝐺𝑊1𝑦 +𝐻𝑧1𝑥 − 𝐾𝑍1𝑦 = 𝐿 (3.74)
𝐵𝑤1𝑥 + 𝐴𝑊1𝑦 +𝐷𝑍1𝑦 + 𝐶𝑍1𝑦 = 𝑀 (3.75)
𝐺𝑊1𝑥 + 𝐹𝑊1𝑦 + 𝐾𝑍1𝑥 + 𝐻𝑍1𝑦 = 𝑁 (3.76)
Colocando o sistema na forma matricial:
42
[
𝐴 −𝐵𝐹 −𝐺
𝐶 −𝐷𝐻 −𝐾
𝐵 𝐴𝐺 𝐹
𝐷 𝐶𝐾 𝐻
](
𝑊1𝑥𝑊1𝑦𝑍1𝑥𝑍1𝑦
) = [
𝐸𝐿𝑀𝑁
] (3.77)
Pode-se facilmente encontrar a solução deste sistema, através da inversão da matriz 4x4.
O mesmo procedimento é realizado para a parte direita do mecanismo. As equações de loop
são:
𝑈2 + 𝑆2 − 𝑃21 − 𝑆1 − 𝑈1 = 0 (3.78)
𝑈3 + 𝑆3 − 𝑃31 − 𝑆1 − 𝑈1 = 0 (3.79)
Substituindo por seus equivalentes complexos, simplificando e rearranjando:
𝑢𝑒𝑗𝜎(𝑒𝑗𝛾2 − 1) + 𝑠𝑒𝑗𝜓(𝑒𝑗𝛼2 − 1) = 𝑝21𝑒𝑗𝛽2 (3.80)
𝑢𝑒𝑗𝜎(𝑒𝑗𝛾3 − 1) + 𝑠𝑒𝑗𝜓(𝑒𝑗𝛼3 − 1) = 𝑝31𝑒𝑗𝛽3 (3.81)
Assumem-se os valores para γ2 e γ3, e define-se o seguinte conjunto de constantes:
𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝛾2 − 1 (3.82)
𝐵 = 𝑠𝑖𝑛 𝛾2 (3.83)
𝐶 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼2 − 1 (3.84)
𝐷 = 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 (3.85)
𝐸 = 𝑝21 𝑐𝑜𝑠 𝛿2 (3.86)
𝐹 = 𝑐𝑜𝑠 𝛾3 − 1 (3.87)
𝐺 = 𝑠𝑖𝑛 𝛾3 (3.88)
𝐻 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼3 − 1 (3.89)
𝐾 = 𝑠𝑖𝑛 𝛼3 (3.90)
𝐿 = 𝑝31 𝑐𝑜𝑠 𝛿3 (3.91)
𝑀 = 𝑝21 𝑠𝑖𝑛 𝛿2 (3.92)
𝑁 = 𝑝31 𝑠𝑖𝑛 𝛿3 (3.93)
Escrevendo o sistema linear resultante na forma matricial:
43
[
𝐴 −𝐵𝐹 −𝐺
𝐶 −𝐷𝐻 −𝐾
𝐵 𝐴𝐺 𝐹
𝐷 𝐶𝐾 𝐻
](
𝑈1𝑥𝑈1𝑦𝑆1𝑥𝑆1𝑦
) = [
𝐸𝐿𝑀𝑁
] (3.94)
Desta forma, projeta-se o mecanismo de quatro barras. Resta verificar a sua
funcionalidade, através da construção de um modelo.
3.3. Síntese analítica para quatro posições
Para quatro pontos de precisão, são utilizadas três equações de loop para a parte esquerda
do mecanismo, bem como três para a parte direita. O procedimento será exemplificado a seguir,
para um problema similar ao descrito anteriormente (Figura 3.4). (ERDMAN, A.G.; SANDOR,
G. N., 1984)
Figura 3.4: Síntese de mecanismo para quatro posições. Geração por movimento.
44
As equações de loop da parte esquerda, para a segunda, terceira e quarta posições, em
relação à posição inicial, são:
𝑊2 + 𝑍2 − 𝑃21 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.95)
𝑊3 + 𝑍3 − 𝑃31 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.96)
𝑊4 + 𝑍4 − 𝑃41 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.97)
Substituindo os vetores por seus números complexos equivalentes:
𝑤𝑒𝑗(𝜃+𝛽2) + 𝑧𝑒𝑗(𝜑+𝛼2) − 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.98)
𝑤𝑒𝑗(𝜃+𝛽3) + 𝑧𝑒𝑗(𝜑+𝛼3) − 𝑝31𝑒𝑗𝛿3 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.99)
𝑤𝑒𝑗(𝜃+𝛽4) + 𝑧𝑒𝑗(𝜑+𝛼4) − 𝑝41𝑒𝑗𝛿4 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.100)
A soma dos ângulos dos expoentes pode ser reescrita como:
𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽2 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼2 − 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.101)
𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽3 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼3 − 𝑝31𝑒𝑗𝛿3 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.102)
𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽4 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼4 − 𝑝41𝑒𝑗𝛿4 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 −𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.103)
Simplificando e rearranjando:
𝑤𝑒𝑗𝜃(𝑒𝑗𝛽2 − 1) + 𝑧𝑒𝑗𝜑(𝑒𝑗𝛼2 − 1) = 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 (3.104)
𝑤𝑒𝑗𝜃(𝑒𝑗𝛽3 − 1) + 𝑧𝑒𝑗𝜑(𝑒𝑗𝛼3 − 1) = 𝑝31𝑒𝑗𝛿3 (3.105)
𝑤𝑒𝑗𝜃(𝑒𝑗𝛽4 − 1) + 𝑧𝑒𝑗𝜑(𝑒𝑗𝛼4 − 1) = 𝑝41𝑒𝑗𝛿4 (3.106)
As equações (3.104), (3.105) e (3.106) são equações lineares, complexas e não
homogêneas. Para este sistema de equações possuir uma solução simultânea para Z e W, uma
das equações complexas deve satisfazer certas relações de compatibilidade. Escrevendo estas
equações em sua forma matricial:
[𝑒𝑗𝛽2 − 1 𝑒𝑗𝛼2 − 1𝑒𝑗𝛽3 − 1 𝑒𝑗𝛼3 − 1𝑒𝑗𝛽4 − 1 𝑒𝑗𝛼4 − 1
] {𝑤𝑒𝑗𝜃
𝑧𝑒𝑗𝜑} = {
𝑝21𝑒𝑗𝛿2
𝑝31𝑒𝑗𝛿3
𝑝41𝑒𝑗𝛿4
} (3.107)
45
Há dezesseis variáveis nestas equações. Destas, nove são definidas no início do problema:
α2, α3, α4, p21, p31, p41, δ2, δ3 e δ4. Das outras sete, uma deve ser assumida, para que se possa
encontrar as outras seis. Assumindo o valor de β2, resta determinar as magnitudes e os ângulos
de orientação dos vetores W e Z (w, θ, z e φ) e as rotações β3 e β4. Este sistema só terá solução
se o rank da matriz aumentada dos coeficientes for 2. A matriz aumentada é formada
adicionando a matriz coluna do lado direito do sistema à matriz de coeficientes do lado esquerdo
do sistema. É necessário que o determinante da matriz aumentada do sistema seja nulo (3.108).
𝐷𝑒𝑡 [
𝑒𝑗𝛽2 − 1 𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒𝑗𝛿2
𝑒𝑗𝛽3 − 1 𝑒𝑗𝛼3 − 1 𝑝31𝑒𝑗𝛿3
𝑒𝑗𝛽4 − 1 𝑒𝑗𝛼4 − 1 𝑝41𝑒𝑗𝛿4
] = 0 (3.108)
A equação 3.108 é uma equação complexa, contendo duas equações linearmente
independentes, e devem ser solucionadas para as duas rotações desconhecidas, β3 e β4.
Observando que ambas as incógnitas estão situadas na primeira coluna, e utilizando-se o
Teorema de Laplace da álgebra linear para o cálculo do determinante desta matriz, obtém-se a
equação (3.109).
Δ2𝑒𝑖𝛽2 + Δ3𝑒
𝑖𝛽3 + Δ4𝑒𝑖𝛽4 + Δ1= 0 (3.109)
Onde:
Δ1= − Δ2 − Δ3 − Δ4 (3.110)
E os Δ𝑗 , 𝑗 = 2, 3, 4, são os cofatores dos elementos da primeira coluna:
Δ2= [𝑒𝑗𝛼3 − 1 𝑝31𝑒
𝑗𝛿3
𝑒𝑗𝛼4 − 1 𝑝41𝑒𝑗𝛿4] (3.111)
Δ3= −[𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒
𝑗𝛿2
𝑒𝑗𝛼4 − 1 𝑝41𝑒𝑗𝛿4] (3.112)
Δ4= [𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒
𝑗𝛿2
𝑒𝑗𝛼3 − 1 𝑝31𝑒𝑗𝛿3] (3.113)
46
Os Δ𝑗 são conhecidos, pois contém apenas dados de entrada do problema. Simplificando
a equação 3.109:
Δ3𝑒𝑖𝛽3 + Δ4𝑒
𝑖𝛽4 = −Δ (3.114)
Onde:
−Δ = −Δ1 − Δ2𝑒𝑖𝛽2 (3.115)
Na equação (3.114), o termo Δ3 aparece multiplicado por 𝑒𝑖𝛽3, que representa uma
rotação, assim como o termo Δ4. Esta equação indica que, quando Δ3 sofre uma rotação β3, e Δ4
uma rotação β4, os dois vetores formam um loop fechado com Δ. A equação (3.109) pode ser
interpretada como uma equação de loop de um mecanismo de quatro-barras, com a barra fixa
Δ1, e barras móveis Δ2, Δ3, e Δ4, e rotações das barras β2, β3 e β4, medidas a partir da posição
inicial. Assim, pode-se utilizar de equações trigonométricas para a determinação dos ângulos
de rotação do sistema.
Figura 3.5: Solução geométrica para a equação 3.109
Utilizando a lei dos cossenos ao triângulo formado pelas barras de comprimento Δ4, Δ3 e
Δ, ilustrado na figura 3.5, obtém-se a equação 3.116.
47
𝑐𝑜𝑠 𝜃3 =Δ42 − Δ3
2 − Δ2
2Δ3Δ (3.116)
Através da equação fundamental da trigonometria, determina-se a equação 3.117.
𝑠𝑒𝑛 𝜃3 = |√1 − (𝑐𝑜𝑠 𝜃3)2| ≥ 0 (3.117)
Fazendo o arco tangente, dividindo sen(θ3) por cos(θ3), pode-se obter o valor de θ3
(Equação 3.118). A figura 3.5 mostra a barra de comprimento Δ2 em linhas cheias, e após uma
rotação angular 𝛽2, em linhas tracejadas. As posições correspondentes das barras Δ3 e Δ4 após
a rotação também são apresentadas em linhas tracejadas. No entanto, a equação 3.109 também
pode ser satisfeita pelas posições das barras apresentadas em linhas ponto-traço, com rotações
β3 e β4. Destaca-se aqui que, em geral, para cada valor assumido de β2, podem-se determinar
dois conjuntos de soluções, sendo β3, β4, β3, β4.
��3 = 2𝜋 − 𝜃3 (3.118)
O ângulo de rotação β3 é obtido pela equação 3.119:
𝛽3 = 𝑎𝑟𝑔 Δ + 𝜃3 − 𝑎𝑟𝑔 Δ3 (3.119)
𝛽3 = 𝑎𝑟𝑔 Δ + ��3 − 𝑎𝑟𝑔 Δ3 (3.120)
Onde arg é o argumento do número complexo. De maneira análoga, β4 é calculado pelas
seguintes equações:
𝑐𝑜𝑠 𝜃4 =Δ32 − Δ4
2 − Δ2
2Δ4Δ (3.121)
𝑠𝑒𝑛 𝜃4 = |√1 − (𝑐𝑜𝑠 𝜃4)2| ≥ 0 (3.122)
𝜃4 = atan (𝑠𝑒𝑛𝜃4𝑐𝑜𝑠𝜃4
) (3.123)
��4 = −𝜃4 (3.124)
𝛽4 = 𝑎𝑟𝑔 Δ − 𝜃4 − 𝑎𝑟𝑔 Δ4 (3.125)
𝛽4 = 𝑎𝑟𝑔 Δ + 𝜃4 − 𝑎𝑟𝑔 Δ4 + 𝜋 (3.126)
48
Após o cálculo dos ângulos de rotação, β3, β4 e β3, β4, pode-se calcular os valores de W
e Z, substituindo ou o conjunto β2, β3, β4, ou, β2, β3, β4 em duas das três equações do sistema
linear (3.107). Este procedimento resulta em um lado do mecanismo de quatro-barras. Resta
repetir o procedimento descrito para obter o outro lado do mecanismo. As equações de loop da
parte direita, para a segunda e terceira posições, em relação à posição inicial, são:
𝑈2 + 𝑆2 − 𝑃21 − 𝑆1 − 𝑈1 = 0 (3.127)
𝑈3 + 𝑆3 − 𝑃31 − 𝑆1 − 𝑈1 = 0 (3.128)
𝑈4 + 𝑆4 − 𝑃41 − 𝑆1 − 𝑈1 = 0 (3.129)
Substituindo os vetores por seus números complexos equivalentes, simplificando e
rearranjando as equações:
𝑢𝑒𝑗𝜎(𝑒𝑗𝛾2 − 1) + 𝑠𝑒𝑗𝜓(𝑒𝑗𝛼2 − 1) = 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 (3.130)
𝑢𝑒𝑗𝜎(𝑒𝑗𝛾3 − 1) + 𝑠𝑒𝑗𝜓(𝑒𝑗𝛼3 − 1) = 𝑝31𝑒𝑗𝛿3 (3.131)
𝑢𝑒𝑗𝜎(𝑒𝑗𝛾4 − 1) + 𝑠𝑒𝑗𝜓(𝑒𝑗𝛼4 − 1) = 𝑝41𝑒𝑗𝛿4 (3.132)
As equações (3.130), (3.131) e (3.132) são equações lineares, complexas e não
homogêneas. Para este sistema de equações possuir uma solução simultânea para U e S, uma
das equações complexas deve satisfazer certas relações de compatibilidade. Escrevendo estas
equações em sua forma matricial:
[𝑒𝑗𝛾2 − 1 𝑒𝑗𝛼2 − 1𝑒𝑗𝛾3 − 1 𝑒𝑗𝛼3 − 1𝑒𝑗𝛾4 − 1 𝑒𝑗𝛼4 − 1
] {𝑢𝑒𝑗𝜎
𝑠𝑒𝑗𝜓} = {
𝑝21𝑒𝑗𝛿2
𝑝31𝑒𝑗𝛿3
𝑝41𝑒𝑗𝛿4
}
(3.133)
Há dezesseis variáveis nestas equações, das quais nove são definidas no início do
problema, sendo elas: α2, α3, α4, p21, p31, p41, δ2, δ3 e δ4. Das sete restantes, assume-se o valor de
uma para que se possa encontrar as outras seis. Assumindo o valor de β2, restam determinar as
magnitudes e os ângulos de orientação dos vetores U e S (u, σ, s e ψ) e as rotações β3 e β4. Este
sistema só terá solução se o rank da matriz aumentada dos coeficientes for 2. A matriz
aumentada é formada adicionando a matriz coluna do lado direito do sistema à matriz de
49
coeficientes do lado esquerdo do sistema. É necessário que o determinante da matriz aumentada
do sistema seja nulo (3.134).
𝐷𝑒𝑡 [
𝑒𝑗𝛾2 − 1 𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒𝑗𝛿2
𝑒𝑗𝛾3 − 1 𝑒𝑗𝛼3 − 1 𝑝31𝑒𝑗𝛿3
𝑒𝑗𝛾4 − 1 𝑒𝑗𝛼4 − 1 𝑝41𝑒𝑗𝛿4
] = 0 (3.134)
A equação 3.134 é uma equação complexa, contendo duas equações linearmente
independentes, que devem ser solucionadas para as duas rotações desconhecidas, β3 e β4.
Observando que ambas as incógnitas estão situadas na primeira coluna, e utilizando-se o
Teorema de Laplace da álgebra linear para o cálculo do determinante desta matriz, obtém-se a
equação (3.135).
Δ2𝑒𝑖𝛾2 + Δ3𝑒
𝑖𝛾3 + Δ4𝑒𝑖𝛾4 + Δ1= 0 (3.135)
Onde Δ𝑗 , 𝑗 = 1, 2, 3, 4, são os mesmos definidos anteriormente pelas equações (3.110),
(3.111), (3.112) e (3.113). Os Δ𝑗 são conhecidos, pois contém apenas dados de entrada do
problema. Novamente, para solução desta equação, utiliza-se a figura 3.4 para obtenção dos
ângulos de rotação, 𝛾3, 𝛾4, ��3 e ��4 do sistema. Calculadas as rotações, resta apenas determinar
os comprimentos u e s e as respectivas orientações σ e ψ. Para isto, substituem-se em duas das
três equações presentes no sistema linear (3.133) o conjunto de rotações 𝛾2, 𝛾3, 𝛾4 ou 𝛾2, ��3 e
��4. Define-se, assim, completamente o mecanismo de quatro-barras.
3.4 Síntese analítica para cinco posições
Para cinco pontos de precisão, escrevem-se quatro equações de loop para a parte esquerda
do mecanismo, bem como quatro para a parte direita. A solução analítica será demonstrada a
seguir, para um mecanismo como o apresentado na figura (3.6).
50
Figura 3.6: Síntese de mecanismo de quatro-barras para cinco posições. Geração por
movimento.
As equações de loop da parte esquerda, para as quatro posições, em relação à posição
inicial, são:
𝑊2 + 𝑍2 − 𝑃21 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.136)
𝑊3 + 𝑍3 − 𝑃31 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.137)
𝑊4 + 𝑍4 − 𝑃41 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.138)
𝑊5 + 𝑍5 − 𝑃51 − 𝑍1 −𝑊1 = 0 (3.139)
Substituindo os vetores por seus números complexos equivalentes:
𝑤𝑒𝑗(𝜃+𝛽2) + 𝑧𝑒𝑗(𝜑+𝛼2) − 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.140)
𝑤𝑒𝑗(𝜃+𝛽3) + 𝑧𝑒𝑗(𝜑+𝛼3) − 𝑝31𝑒𝑗𝛿3 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.141)
𝑤𝑒𝑗(𝜃+𝛽4) + 𝑧𝑒𝑗(𝜑+𝛼4) − 𝑝41𝑒𝑗𝛿4 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 −𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.142)
51
𝑤𝑒𝑗(𝜃+𝛽5) + 𝑧𝑒𝑗(𝜑+𝛼5) − 𝑝41𝑒𝑗𝛿5 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 −𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.143)
A soma dos ângulos dos expoentes pode ser reescrita como:
𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽2 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼2 − 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.144)
𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽3 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼3 − 𝑝31𝑒𝑗𝛿3 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.145)
𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽4 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼4 − 𝑝41𝑒𝑗𝛿4 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.146)
𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽5 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼5 − 𝑝41𝑒𝑗𝛿5 − 𝑧𝑒𝑗𝜑 − 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.147)
Simplificando e arranjando:
𝑤𝑒𝑗𝜃(𝑒𝑗𝛽2 − 1) + 𝑧𝑒𝑗𝜑(𝑒𝑗𝛼2 − 1) = 𝑝21𝑒𝑗𝛿2 (3.148)
𝑤𝑒𝑗𝜃(𝑒𝑗𝛽3 − 1) + 𝑧𝑒𝑗𝜑(𝑒𝑗𝛼3 − 1) = 𝑝31𝑒𝑗𝛿3 (3.149)
𝑤𝑒𝑗𝜃(𝑒𝑗𝛽4 − 1) + 𝑧𝑒𝑗𝜑(𝑒𝑗𝛼4 − 1) = 𝑝41𝑒𝑗𝛿4 (3.150)
𝑤𝑒𝑗𝜃(𝑒𝑗𝛽5 − 1) + 𝑧𝑒𝑗𝜑(𝑒𝑗𝛼5 − 1) = 𝑝51𝑒𝑗𝛿5 (3.151)
A matriz aumentada do sistema é:
𝑀 =
[ 𝑒𝑗𝛽2 − 1 𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒
𝑗𝛿2
𝑒𝑗𝛽3 − 1 𝑒𝑗𝛼3 − 1 𝑝31𝑒𝑗𝛿3
𝑒𝑗𝛽4 − 1 𝑒𝑗𝛼4 − 1 𝑝41𝑒𝑗𝛿4
𝑒𝑗𝛽5 − 1 𝑒𝑗𝛼5 − 1 𝑝51𝑒𝑗𝛿5]
(3.152)
Para o sistema da equação (3.152) possuir soluções simultâneas para as cinco posições
prescritas, o rank da matriz aumentada M deve ser 2. Portanto, há duas equações de
compatibilidade que devem ser satisfeitas simultaneamente para as cinco posições prescritas.
𝐷𝑒𝑡 |
𝑒𝑗𝛽2 − 1 𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒𝑗𝛿2
𝑒𝑗𝛽3 − 1 𝑒𝑗𝛼3 − 1 𝑝31𝑒𝑗𝛿3
𝑒𝑗𝛽4 − 1 𝑒𝑗𝛼4 − 1 𝑝41𝑒𝑗𝛿4
| = 0
(3.153)
𝐷𝑒𝑡 |
𝑒𝑗𝛽2 − 1 𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒𝑗𝛿2
𝑒𝑗𝛽3 − 1 𝑒𝑗𝛼3 − 1 𝑝31𝑒𝑗𝛿3
𝑒𝑗𝛽5 − 1 𝑒𝑗𝛼5 − 1 𝑝51𝑒𝑗𝛿5
| = 0 (3.154)
52
A segunda e a terceira colunas dos determinantes, nas equações (3.153) e (3.154) contém
apenas variáveis conhecidas. As incógnitas do problema são as rotações β𝑗, 𝑗 = 2, 3, 4 e 5
presentes na primeira coluna. Portanto, não há variáveis de livre escolha para ajudar a resolver
essas duas equações complexas, não-lineares e transcendentais. Expandindo os determinantes
em função dos termos da primeira coluna tem-se:
Δ2𝑒𝑖𝛽2 + Δ3𝑒
𝑖𝛽3 + Δ4𝑒𝑖𝛽4 − Δ1= 0 (3.155)
Δ′2𝑒𝑖𝛽2 + Δ′3𝑒
𝑖𝛽3 + Δ4𝑒𝑖𝛽5 − Δ′1 = 0 (3.156)
Onde:
Δ1= − Δ2 − Δ3 − Δ4 (3.157)
Δ′1 = − Δ′2 − Δ′3 − Δ4 (3.158)
E os Δ𝑗 , 𝑗 = 2, 3, 4, e Δ′𝑗 , 𝑗 = 2, 3, são os cofatores dos elementos da primeira coluna:
Δ2= [𝑒𝑗𝛼3 − 1 𝑝31𝑒
𝑗𝛿3
𝑒𝑗𝛼4 − 1 𝑝41𝑒𝑗𝛿4]
(3.159)
Δ3= −[𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒
𝑗𝛿2
𝑒𝑗𝛼5 − 1 𝑝51𝑒𝑗𝛿5]
(3.160)
Δ4= [𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒
𝑗𝛿2
𝑒𝑗𝛼3 − 1 𝑝31𝑒𝑗𝛿3]
(3.161)
Δ′2 = [𝑒𝑗𝛼3 − 1 𝑝31𝑒
𝑗𝛿3
𝑒𝑗𝛼5 − 1 𝑝51𝑒𝑗𝛿5]
(3.162)
Δ′3 = −[𝑒𝑗𝛼2 − 1 𝑝21𝑒
𝑗𝛿2
𝑒𝑗𝛼5 − 1 𝑝51𝑒𝑗𝛿5]
(3.163)
Os complexos conjugados destas equações de compatibilidade são definidos por:
53
Δ2𝑒−𝑖𝛽2 + Δ3𝑒
−𝑖𝛽3 + Δ4𝑒−𝑖𝛽4 − Δ1= 0 (3.164)
Δ′2𝑒−𝑖𝛽2 + Δ′3𝑒
−𝑖𝛽3 + Δ4𝑒−𝑖𝛽5 − Δ′1 = 0 (3.165)
Multiplicando-se a equação (3.155) pela (3.164) para eliminar as rotações 𝛽4 e 𝛽5, resulta-
se em:
Δ4Δ4 = Δ1Δ1 − Δ1Δ2𝑒−𝑖𝛽2 − Δ1Δ3𝑒
−𝑖𝛽3 − Δ2Δ1𝑒𝑖𝛽2 + Δ2Δ2
+ Δ2Δ3𝑒𝑖𝛽2𝑒−𝑖𝛽3 − Δ3Δ1𝑒
𝑖𝛽3 + Δ3Δ3𝑒𝑖𝛽3𝑒−𝑖𝛽2 + Δ3Δ3
(3.166)
Esta equação pode ser escrita de maneira mais compacta:
𝐶1𝑒𝑖𝛽3 + 𝑑1 + 𝐶1𝑒
−𝑖𝛽3 = 0 (3.167)
Onde:
𝐶1 = Δ3(−Δ1 + Δ2𝑒−𝑖𝛽2) (3.168)
𝑑1 = −Δ1Δ2𝑒𝑖𝛽2 − Δ1Δ2𝑒
−𝑖𝛽2 − Δ4Δ4 + Δ1Δ1 + Δ2Δ2 + Δ3Δ3 (3.169)
𝐶1 = Δ3(−Δ1 + Δ2𝑒𝑖𝛽2) (3.170)
Similarmente, multiplicando-se a equação (3.156) pela (3.165):
𝐶2𝑒𝑖𝛽3 + 𝑑2 + 𝐶2𝑒
−𝑖𝛽3 = 0 (3.171)
Onde C2, 𝐶2
𝐶2 = Δ′3(−Δ′1 + Δ′2𝑒−𝑖𝛽2) (3.172)
𝑑2 = −Δ′1Δ′2𝑒𝑖𝛽2 − Δ′1Δ′2𝑒
−𝑖𝛽2 − Δ4Δ4 + Δ′1Δ′1 + Δ′2Δ′2 + Δ′3Δ′3 (3.173)
𝐶2 = Δ′3(−Δ′1 + Δ′2𝑒𝑖𝛽2) (3.174)
A eliminação dos expoentes 𝑒𝑖𝛽3 é feita utilizando um método chamado eliminação da
matriz de Sylvester. Multiplicando as equações (3.167) e (3.171) por 𝑒𝑖𝛽3 criam-se duas
equações adicionais:
54
𝐶1𝑒𝑖2𝛽3 + 𝑑1𝑒
𝑖𝛽3 + 𝐶1 = 0 (3.175)
𝐶2𝑒𝑖2𝛽3 + 𝑑2𝑒
𝑖𝛽3 + 𝐶2 = 0 (3.176)
As equações (3.167), (3.171), (3.175) e (3.176) formam um sistema linear e homogêneo.
Para que sejam encontradas soluções simultâneas para as quatro incógnitas, o determinante E
da matriz dos coeficientes do sistema deve ser zero (equação 3.177).
𝐸 = ||
0 𝐶1 𝑑1 𝐶10 𝐶2 𝑑2 𝐶2𝐶1 𝑑1 𝐶1 0
𝐶2 𝑑2 𝐶2 0
|| = 0 (3.177)
Expandindo o determinante, obtém-se uma equação polinomial em função de 𝑒𝑖𝛽2
(equação 3.178).
∑𝑎𝑚𝑒𝑖𝑚𝛽2 = 0 (3.178)
Onde m = 0, 1, 2, 3, e todos os coeficientes 𝑎𝑚 são funções das quantidades prescritas 𝛿𝑗
e 𝛼𝑗 (j = 2, 3, 4 e 5). Os coeficientes a-k e ak (k = 1, 2 e 3) são complexos conjugados, e a0 é um
número real. Assim, o determinante E é um número real, e portanto, sua parte imaginária foi
eliminada. Esta parte real pode ser escrita como:
∑[𝑝𝑚 cos(𝑚𝛽2) + 𝑞𝑚 sin(𝑚𝛽2)] = 0, 𝑚 = 0, 1, 2, 3
𝑚
(3.179)
Onde pm e qm são números reais conhecidos. Utilizando as identidades trigonométricas, a
equação 3.179 pode ser reescrita em uma forma contendo potências de senos e cossenos de β2,
e reestruturada em um polinômio:
∑𝐴𝑛𝜏𝑛 = 0
6
0
(3.180)
55
Onde 𝜏 = tan (𝛽2 2⁄ ). Sabendo-se que 𝛽2 = 0 é uma solução trivial, 𝜏 = 0 é uma raiz
trivial. Assim, a equação 3.180 pode ser reduzida para um polinômio de quinto grau. Dos
determinantes obtidos pelas equações 3.153 e 3.154, 𝛽𝑗 = 𝛼𝑗 , 𝑗 = 2, 3, 4, 5, (neste caso, 𝛽2 =
𝛼2) também é uma solução trivial. Dividindo a raiz por [𝜏 − tan(𝛼2 2⁄ )] escreve-se a equação
3.181.
𝜏4 + 𝜆3𝜏3 + 𝜆2𝜏
2 + 𝜆1𝜏 + 𝜆0 = 0 (3.181)
A equação 3.181 terá zero, duas ou quatro raízes reais, sendo portanto, quatro, duas ou
zero raízes complexas, respectivamente. Cada raiz real resulta em um valor de 𝛽2 que pode ser
substituído na equação 3.175 ou 3.176 para obter os valores de 𝛽4 e 𝛽5. Não considera-se as
raízes complexas para obtenção das rotações 𝛽4 e 𝛽5. Com estas rotações, pode-se calcular W
e Z utilizando-se duas das quatro equações de loop (3.148) a (3.151). O mesmo procedimento
é utilizado para a parte direita do mecanismo, calculando ao fim U e S.
Além do procedimento analítico para solução do sistema de equações formado pelas
quatro equações de loop (3.148) a (3.151), pode-se utilizar um método numérico de busca para
solução do sistema de equações, como por exemplo, o método de Newton-Raphson, para
determinar os comprimentos de barra do mecanismo.
56
4 RESULTADOS DA SÍNTESE
4.1. Manivela - Oscilador
O mecanismo de quatro barras do tipo manivela-oscilador possui movimento
caracterizado pela rotação completa de 360° de uma das manivelas, e uma oscilação numa faixa
angular inferior a 360° da outra, neste caso, chamada oscilador. Estas barras são ligadas por um
acoplador e fixas ao solo por uma de suas extremidades, de modo que a quarta barra, barra fixa,
é formada por uma linha que liga os centros de rotação da manivela e do oscilador.
4.1.1. Manivela - oscilador genérico com dois pontos de precisão
Para a síntese do mecanismo de quatro-barras com dois pontos de precisão, retoma-se
aqui a figura 4.1 anteriormente apresentada no capitulo 3.
Figura 4.1: Mecanismo quatro barras genérico.
57
Os dados de entrada necessários à síntese de dois pontos de precisão, são dados na tabela
4.1, bem como os comprimentos de barras obtidos a partir da síntese.
Tabela 4.1: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico - 2 pontos de precisão
Entrada Saída
α2 = 22° W = 20.0377
P21 = 20.8087 Z = 0.4122
δ2 = 8° U = 229.1621
θ = 66.7407° S = 427.1344
β2 = 63° V = 426.8905
φ = -59° G = 225.1549
σ = 57°
ψ = 67.3°
γ2 = 47°
O gráfico apresentado na figura 4.2 ilustra o deslocamento do ponto P nas coordenadas x
e y em função do ângulo de entrada teta da manivela, para dois ciclos completos do mecanismo.
A figura 4.3, por sua vez, ilustra a trajetória do mesmo ponto.
Figura 4.2: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do
ângulo de entrada teta. Manivela-oscilador com dois pontos de precisão.
Deslo
cam
ento
58
Figura 4.3: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.
4.1.2. Manivela - oscilador genérico com três pontos de precisão
Acrescentando um terceiro ponto à trajetória anterior, e utilizando o método analítico para
síntese de mecanismos do tipo manivela-oscilador com três pontos de precisão, estimam-se as
dimensões da manivela, do acoplador, do oscilador e da barra fixa. A tabela 4.2 apresenta os
dados de entrada, assim como os comprimentos de barra obtidos, e seus respectivos ângulos de
orientação.
59
Tabela 4.2: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico - 3 pontos de precisão
Entrada Saída
α2 = -12° W = 20.0373
α3 = 22° θ = 66.7407°
P21 = 10.4440 Z = 0.4113
P31 = 20.8087 φ = -58.9168°
δ2 = -8° U = 14.1687
δ3 = 8° σ = 56.8677°
β2 = 30° S = 4.3517
β3 = 63° ψ = 67.2805°
γ2 = 47° V = 4.6066
γ3 = 85.6° G = 2.5360
A trajetória do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta na
manivela pode ser visualizada na figura 4.4.
Figura 4.4: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do
ângulo de entrada teta. Manivela-oscilador com três pontos de precisão.
Deslo
ca
me
nto
60
Figura 4.5: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.
4.1.3. Manivela - oscilador genérico com quatro pontos de precisão
Novamente, buscando sintetizar um mecanismo com trajetória similar às obtidas com a
síntese de 2 e 3 pontos de precisão, escolheram-se 4 pontos de precisão. Seguindo a metodologia
explicitada na seção 3.2, e os dados de entrada presentes na tabela 4.3, obtiveram-se os
comprimentos das barras e seus respectivos ângulos de orientação iniciais. A trajetória do ponto
P do acoplador está descrita na figura 4.7.
61
Tabela 4.3: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico
Entrada Saída
P21 = 10.4440 W = 19.9945
P31 = 26.7755 θ = -113.3143°
P41 = 20.8087 Z = 0.4897
δ2 = -8.0913º φ = 111.0714°
δ3 = 18.7801º U = 18.8483
δ4 = 8.1223º σ = -139.2985°
α2 = -12° S = 28.6684
α3 = 4° ψ = -141.8049°
α4 = 22° V = 28.8164
β2 = 30° G = 31.1798
γ2 = 47°
A trajetória do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta
na manivela pode ser visualizada na figura 4.6.
Figura 4.6 Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do
ângulo de entrada teta. Manivela-oscilador com quatro pontos de precisão.
Deslo
ca
me
nto
62
Figura 4.7: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.
4.1.4. Manivela - oscilador genérico com cinco pontos de precisão
Finalmente, realizou-se a síntese para cinco pontos de precisão, novamente, buscando
sintetizar um mecanismo com trajetória similar às obtidas anteriormente. Seguindo a
metodologia explicitada na seção 3.4, e os dados de entrada presentes na tabela 4.4, obtiveram-
se os comprimentos das barras e seus respectivos ângulos de orientação iniciais. A trajetória do
ponto P do acoplador está descrita na figura 4.9.
63
Tabela 4.4: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico
Entrada Saída
P21 = 16.5124 W = 19.8443
P31 = 30.2912 θ = 65.8172°
P41 = 38.4553 Z = 4.0258
P51 = 39.4027 φ = -52.9259°
δ2 = -65.2617º U = 100
δ3 = -39.7415º σ = 61.1665°
δ4 = -14.5024º S = 99.8123
δ5 = 10.6027º ψ = 66.1171°
α2 = -10° V = 101.8275
α3 = -5° G = 181.6186
α4 = 0°
α5 = 5°
A trajetória do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta
na manivela pode ser visualizada na figura 4.8.
64
Figura 4.8: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do
ângulo de entrada teta. Manivela-oscilador com cinco pontos de precisão.
Figura 4.9: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.
Deslo
ca
me
nto
Y
X
65
4.1.5. Comparação entre os mecanismos do tipo manivela - oscilador
Com o intuito de comparar as diferentes metodologias de síntese, mais especificamente,
as sínteses para 2, 3, 4 e 5 pontos de precisão, apresenta-se o gráfico da figura 4.10. Observa-
se que para os diferentes métodos foram obtidas trajetórias similares entre si. Particularmente,
pode-se considerar que as trajetórias obtidas pela síntese de 2, 3 e 4 pontos de precisão se
assemelham. Neste caso, a curva que apresenta discrepâncias mais significativas em relação às
demais é aquela obtida para 5 pontos de precisão, uma vez que possui mais restrições no seu
método de resolução. Os mecanismos sintetizados são similares entre si, com uma variação de
comprimento na primeira casa decimal e, portanto, as trajetórias apresentadas também são
similares.
Figura 4.10: Trajetórias sobrepostas do ponto de interesse do mecanismo no plano
cartesiano.
66
4.2. Oscilador - oscilador
Mecanismos do tipo oscilador-oscilador possuem duas barras conectadas por uma de suas
extremidades à barra fixa que não possuem rotação completa, apenas oscilam.
4.2.1. Oscilador - oscilador genérico com dois pontos de precisão
Utilizando a teoria de síntese para geração por movimento apresentada na seção 3.1.2
desenvolveu-se um mecanismo de quatro barras que passa pela trajetória ilustrada na figura
4.12, com os dados de entrada apresentados na tabela 4.5. As componentes X e Y da trajetória
do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta podem ser visualizadas
na figura 4.11.
Tabela 4.5: Dados de entrada e saída para oscilador-oscilador genérico
Entrada Saída
α2 = 40° W = 2.4184
P21 = 2.4212 Z = 1.4807
δ2 = 163.8121° U = 1.5015
θ = 71.6° S = 1.0435
β2 = 38.4° V = 1.6180
φ = 26.5° G = 1.7852
σ = 15.4°
ψ = 104.1°
γ2 = 85.6°
67
Figura 4.11: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do
ângulo de entrada teta. Oscilador-oscilador com dois pontos de precisão.
Figura 4.12 Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.
Deslo
ca
me
nto
68
4.2.2. Oscilador - oscilador genérico com três pontos de precisão
Utilizando os mesmos valores numéricos da seção 4.2.1., de modo a obter um mecanismo
que passasse pela mesma trajetória, realizou-se uma nova síntese. Seguindo a metodologia
explicitada na seção 3.2, e os dados de entrada presentes na tabela 4.6, obtiveram-se os
comprimentos das barras e seus respectivos ângulos de orientação iniciais, para um terceiro
ponto inserido entre os dois anteriores. As componentes X e Y da trajetória do ponto de interesse
no acoplador em função do ângulo de entrada teta podem ser visualizadas na figura 4.13. A
figura 4.14 ilustra a trajetória do ponto de interesse no acoplador.
Tabela 4.6: Dados de entrada e saída para oscilador-oscilador genérico
Entrada Saída
α2 = 38° W = 2.8503
α3 = 43.3° θ = 74.3083°
P21 = 1.53 Z = 1.1749
P31 = 2.416 φ = 10.7585°
δ2 = 150° U = 1.6274
δ3 = 165.2° σ = 29.9469°
β2 = 19.2° S = 0.3080
β3 = 38.4° ψ = 78.1595°
γ2 = 50° V = 1.0941
γ3 = 85.6° G = 1.9039
69
Figura 4.13: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do
ângulo de entrada teta. Oscilador-oscilador com três pontos de precisão.
Figura 4.14: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.
Deslo
ca
me
nto
70
4.2.3. Oscilador - oscilador genérico com quatro pontos de precisão
Novamente, buscando sintetizar um mecanismo com trajetória similar às obtidas com a
síntese de 2 e 3 pontos de precisão, escolheram-se 4 pontos de precisão. Seguindo a metodologia
explicitada na seção 3.2, e os dados de entrada presentes na tabela 4.7, obtiveram-se os
comprimentos das barras e seus respectivos ângulos de orientação iniciais. A trajetória do ponto
P do acoplador no plano cartesiano está descrita na figura 4.16, enquanto a figura 4.15 ilustra a
trajetória do ponto de interesse em função do ângulo de posição da barra de entrada.
Tabela 4.7: Dados de entrada e saída para oscilador-oscilador genérico
Entrada Saída
P21 = 0.5954 W = 1.9145
P31 = 2.4224 θ = 62.5935°
P41 = 3.1624 Z = 1.9272
δ2 = 32.2808º φ = -108.4148°
δ3 = 5.3058º U = 1.3835
δ4 = -11.3988º σ = -6.0163°
α2 = 30° S = 3.6922
α3 = 45° ψ = -132.6665°
α4 = 65° V = 2.0907
β2 = 30° G = 3.0684
γ2 = 130°
71
Figura 4.15: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do
ângulo de entrada teta. Oscilador-oscilador com quatro pontos de precisão.
Figura 4.16: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.
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72
4.2.4. Oscilador - oscilador genérico com cinco pontos de precisão
Finalizando, realizou-se a síntese para cinco pontos de precisão, novamente, buscando
sintetizar um mecanismo com trajetória similar às obtidas previamente. Seguindo a
metodologia explicitada na seção 3.4, e os dados de entrada presentes na tabela 4.8, obtiveram-
se os comprimentos das barras e seus respectivos ângulos de orientação iniciais. A trajetória do
ponto P do acoplador está descrita na figura 4.18.
Tabela 4.8: Dados de entrada e saída para oscilador-oscilador genérico
Entrada Saída
P21 = 0.3473 W = 1.8401
P31 = 0.5954 θ = 65.5379°
P41 = 2.4224 Z = 1.8872
P51 = 3.1624 φ = -107.7975°
δ2 = 30.2565º U = 1.3649
δ3 = 32.2808º σ = -4.6616°
δ4 = 5.3058º S = 3.6777
δ5 = -11.3988º ψ = -132.2108°
α2 = 45° V = 2.0907
α3 = 52° G = 3.0684
α4 = 65°
α5 = 70°
73
Figura 4.17: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do
ângulo de entrada teta. Oscilador-oscilador com cinco pontos de precisão.
Figura 4.18: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.
Deslo
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74
4.2.5. Comparação entre os mecanismos do tipo oscilador - oscilador
Com o intuito de comparar os diferentes resultados de síntese, mais especificamente, para
2, 3, 4 e 5 pontos de precisão, foi gerado o gráfico da figura 4.19. É possível perceber que para
os diferentes métodos foram obtidas trajetórias diferentes entre si. As trajetórias para 2 e 3
pontos de precisão são mais próximas, o mesmo ocorrendo para as sínteses de 4 e 5 pontos de
precisão. Isso se deve aos comprimentos das barras dos mecanismos sintetizados.
Figura 4.19: Trajetórias sobrepostas do ponto de interesse do mecanismo no plano cartesiano.
4.3. Manivela – manivela
Mecanismos do tipo manivela-manivela possuem duas barras conectadas por uma de suas
extremidades à barra fixa, que possuem rotação completa.
75
4.3.1. Manivela - manivela genérico com dois pontos de precisão
Utilizando a teoria de síntese para geração por movimento apresentada na seção 3.1.2
desenvolveu-se um mecanismo de quatro barras que passa pela trajetória ilustrada na figura
4.21, com os dados de entrada apresentados na tabela 4.9. A trajetória do ponto de interesse no
acoplador em função do ângulo de entrada teta na manivela, nas coordenadas X e Y, pode ser
visualizada na figura 4.20.
Tabela 4.9: Dados de entrada e saída para manivela-manivela genérico
Entrada Saída
α2 = 131° W = 2.5634
P21 = 1.75 Z = 1.8301
δ2 = -101° U = 2.2068
θ = 84.8172° S = 2.3628
β2 = 220° V = 2.1811
φ = -37.4552° G = 1.6610
σ = 165.8361°
ψ = 23.6817°
γ2 = 160°
76
Figura 4.20: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do
ângulo de entrada teta. Manivela-manivela com dois pontos de precisão.
Figura 4.21: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.
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77
4.3.2. Manivela - manivela genérico com três pontos de precisão
Utilizando os mesmos valores numéricos da seção 4.2.1., de modo a obter um mecanismo
que passe pela mesma trajetória, realizou-se uma nova síntese. Seguindo a metodologia
explicitada na seção 3.2, e os dados de entrada presentes na tabela 4.10, obtiveram-se os
comprimentos das barras e seus respectivos ângulos de orientação iniciais, para um terceiro
ponto inserido entre os dois anteriores. A trajetória do ponto de interesse no acoplador nas
coordenadas X e Y em função do ângulo de entrada teta na manivela pode ser visualizada na
figura 4.22. Já a figura 4.23 ilustra a trajetória do ponto de interesse no acoplador.
Tabela 4.10: Dados de entrada e saída para manivela - manivela genérico
Entrada Saída
α2 = 131° W = 2.5497
α3 = 187° θ = 84.7465°
P21 = 1.75 Z = 1.8155
P31 = 3.9491 φ = -37.4525°
δ2 = -101° U = 11.5738
δ3 = -131° σ = 15.0426°
β2 = 220° S = 12.8249
β3 = -160° ψ = 33.6748°
γ2 = 160° V = 12.3576
γ3 = 220° G = 3.4482
78
Figura 4.22: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do
ângulo de entrada teta. Manivela-manivela com três pontos de precisão.
Figura 4.23: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.
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79
4.3.3. Manivela-manivela genérico com quatro pontos de precisão
Novamente, buscando sintetizar um mecanismo com trajetória similar às obtidas com a
síntese de 2 e 3 pontos de precisão, escolheram-se 4 pontos de precisão. Seguindo a metodologia
explicitada na seção 3.2, e os dados de entrada presentes na tabela 4.11, obtiveram-se os
comprimentos das barras e seus respectivos ângulos de orientação iniciais. A trajetória do ponto
P do acoplador no plano cartesiano está descrita na figura 4.25, enquanto a figura 4.24 ilustra a
trajetória do ponto de interesse em função do ângulo de posição da barra de entrada nas
coordenadas X e Y.
Tabela 4.11: Dados de entrada e saída para manivela-manivela genérico
Entrada Saída
P21 = 1.7489 W = 2.5666
P31 = 2.9480 θ = 84.8172°
P41 = 3.9491 Z = 1.8341
δ2 = -101º φ = -37.4552°
δ3 = -129º U = 2.2105
δ4 = -131º σ = 165.8361°
α2 = 130.9° S = 2.3667
α3 = 157.2° ψ = 23.6817°
α4 = 187° V = 2.1850
β2 = 220° G = 1.7494
γ2 = 160°
80
Figura 4.24: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do
ângulo de entrada teta. Manivela-manivela com quatro pontos de precisão.
Figura 4.25: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.
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81
4.3.4. Manivela-manivela genérico com cinco pontos de precisão
Finalmente, realizou-se a síntese para cinco pontos de precisão, novamente, buscando
sintetizar um mecanismo com trajetória similar às obtidas nas outras sínteses. Seguindo a
metodologia explicitada na seção 3.4, e os dados de entrada presentes na tabela 4.12, obtiveram-
se os comprimentos das barras e seus respectivos ângulos de orientação iniciais. A trajetória do
ponto P do acoplador está descrita na figura 4.27.
Tabela 4.12: Dados de entrada e saída para manivela-manivela genérico
Entrada Saída
P21 = 0.7569 W = 2.5640
P31 = 1.7489 θ = 84.8172°
P41 = 2.9480 Z = 1.8324
P51 = 3.9491 φ = -37.4552°
δ2 = -101º U = 2.2155
δ3 = -129º σ = 165.8361°
δ4 = -131º S = 2.3696
δ5 = -131º ψ = 23.6817°
α2 = 120° V = 2.1838
α3 = 130.9° G = 1.7041
α4 = 157.2°
α5 = 187°
82
Figura 4.26: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do
ângulo de entrada teta. Manivela-manivela com cinco pontos de precisão.
Figura 4.27: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.
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83
4.3.5. Comparação entre os mecanismos do tipo manivela - manivela
Com o intuito de comparar as diferentes metodologias de síntese, mais especificamente,
as sínteses para 2, 3, 4 e 5 pontos de precisão, foi gerado o gráfico da figura 4.28. Observa-se
que foram obtidas trajetórias satisfatoriamente similares entre si, particularmente pelas sínteses
de 2, 4 e 5 pontos de precisão. A curva discrepante das demais foi a obtida para 3 pontos de
precisão, na qual a trajetória situada no quadrante inferior direito tomou uma forma diferente
das demais trajetórias, como consequência das dimensões das barras. Os mecanismos
sintetizados para 2, 4 e 5 pontos de precisão são concordantes e similares entre si, com uma
variação de comprimento na primeira casa decimal e, portanto, apresentam trajetórias similares.
O mecanismo sintetizado com 3 pontos de precisão apresentou comprimentos das barras W e Z
próximos aos demais, porém, os comprimentos das barras U e S divergiram.
Figura 4.28: Trajetórias sobrepostas do ponto de interesse do mecanismo no plano cartesiano.
84
5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA DA DINÂMICA DOS
MECANISMOS
A dinâmica é o estudo do movimento de partículas ou corpos. A mesma divide-se em
duas principais vertentes, sendo estas a cinemática e a cinética. Na análise cinemática, o
enfoque é dado ao estudo do movimento em si, sem preocupar-se com as forças que causam
este movimento. A análise dos efeitos causados pelas forças nos mecanismos é realizada na
cinética. Neste capítulo, apresenta-se a teoria para compreensão das análises cinemática e
cinética no plano, aplicada aos mecanismos de quatro-barras, desenvolvida por Doughty.
(DOUGHTY, 1987)
5.1. Análise Cinemática
Na análise cinemática de um mecanismo, são usualmente desenvolvidas as equações que
descrevem a posição, a velocidade e a aceleração para qualquer ponto de interesse no
mecanismo. Nesta seção, as mesmas serão obtidas através do desmembramento das equações
de loop do mecanismo de quatro barras, e suas devidas projeções nas coordenadas cartesianas
X e Y, em termos do movimento da manivela de entrada.
5.1.1. Análise de posição
Sejam especificadas as dimensões das barras do mecanismo e o ângulo de entrada da
primeira manivela q, bem como a inclinação do mecanismo com relação ao eixo cartesiano
inercial XY, como se pode visualizar na figura 5.1. As variáveis cinemáticas incógnitas são as
posições angulares do acoplador (A2) e da segunda manivela (A3). As quais podem ser obtidas
através das equações de loop descritas pelas equações 5.1 e 5.2.
85
Figura 5.1: Mecanismo de 4 barras genérico.
As equações de posição de loop do mecanismo podem ser escritas como:
𝑓1(𝑞, 𝐴2, 𝐴3) = 𝐶1 cos(𝑞) + 𝐶2 cos(𝐴2) − 𝐶3 cos(𝐴3) − 𝐶4cos (𝑔) = 0 (5.1)
𝑓2(𝑞, 𝐴2, 𝐴3) = 𝐶1 sen(𝑞) + 𝐶2 sen(𝐴2) − 𝐶3 sen(𝐴3) − 𝐶4 sen(𝑔) = 0 (5.2)
Para obter os valores angulares de A2 e A3, utiliza-se usualmente o método numérico de
Newton-Raphson, descrito na seção 5.1.5. Diferenciando parcialmente as equações 5.1 e 5.2,
com relação aos ângulos A2 e A3, obtém-se a matriz jacobiana para este sistema, dada por:
[ 𝜕𝑓1𝜕𝐴2
𝜕𝑓1𝜕𝐴3
𝜕𝑓2𝜕𝐴2
𝜕𝑓2𝜕𝐴3]
= [𝐽] = [− 𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝐴2) 𝐶3𝑠𝑒𝑛(𝐴3)
𝐶2cos (𝐴2) − 𝐶3cos (𝐴3)] (5.3)
5.1.2. Análise da velocidade
A partir da diferenciação das equações de posição definidas em 5.1 e 5.2, determinam-
se as equações de velocidade. Colocando as mesmas na forma matricial, e ressaltando que o
ângulo 𝑔 é constante, observa-se o seguinte sistema de equações lineares:
86
[− 𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝐴2) 𝐶3𝑠𝑒𝑛(𝐴3)
𝐶2cos (𝐴2) − 𝐶3cos (𝐴3)] ∗ [
𝐴2𝐴3] = �� [
𝐶1𝑠𝑒𝑛(𝑞)− 𝐶1cos (𝑞)
] (5.4)
Nota-se que a primeira matriz corresponde à matriz jacobiana obtida anteriormente pela
derivação parcial. Para dados valores de 𝑞 e ��, pode-se facilmente solucionar o sistema de
equações para obtenção das velocidades angulares 𝐴2 e 𝐴3. Os coeficientes de velocidade 𝐾2 e
𝐾3 são determinados dividindo ambos os lados da equação por �� e pré-multiplicar por J-1.
{𝐾2𝐾3} = {
𝐴2 ��⁄
𝐴3 ��⁄} = [𝐽]−1 ∗ [
𝐶1𝑠𝑒𝑛(𝑞)
− 𝐶1cos (𝑞)] (5.5)
5.1.3. Análise da aceleração
Do mesmo modo, diferenciando-se as equações de velocidade com relação ao tempo,
obtêm-se as equações de aceleração. Após rearranjar as equações na forma matricial, pode-se
escrever:
[𝐽] ∗ [𝐴2𝐴3] + 𝐴2
2[− 𝐶2𝑐𝑜𝑠(𝐴2)
− 𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝐴2)] + 𝐴3
2[ 𝐶3𝑐𝑜𝑠(𝐴3)
− 𝐶3𝑠𝑒𝑛(𝐴3)]
= �� [𝐶1𝑠𝑒𝑛(𝑞)− 𝐶1cos (𝑞)
] + ��2 [𝐶1cos (𝑞)
𝐶1𝑠𝑒𝑛(𝑞)]
(5.6)
Substituindo os termos dos coeficientes de velocidade na equação, é possível simplificar
o sistema de equações que representa a aceleração:
[𝐴2𝐴3] = [𝐽]−1 ∗ (�� [
𝐶1𝑠𝑒𝑛(𝑞)− 𝐶1cos (𝑞)
]
+ ��2 [𝐶1 cos(𝑞) + 𝐾2
2𝐶2 cos(𝐴2) − 𝐾32𝐶3cos (𝐴3)
𝐶1𝑠𝑒𝑛(𝑞) + 𝐾22𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝐴2) + 𝐾3
2𝐶3𝑠𝑒𝑛(𝐴3)])
(5.7)
Vale ressaltar que a multiplicação da inversa da matriz jacobiana e o coeficiente de ��
resulta nos coeficientes cinemáticos de velocidade, 𝐾2 e 𝐾3. Definindo os coeficientes de
87
aceleração 𝐿2 e 𝐿3, que podem ser obtidos pela derivação dos coeficientes de velocidade 𝐾2 e
𝐾3 com relação à 𝑞, obtém-se o coeficiente que multiplica o termo ��2. Substituindo os
coeficientes na equação 5.7, simplifica-se o sistema de equações que representam a aceleração
do mecanismo, como apresentada na equação 5.8.
[𝐴2𝐴3] = �� {
𝐾2𝐾3} + ��2 {
𝐿2𝐿3} (5.8)
5.1.4. Análise do ponto de interesse associado ao acoplador
Após a determinação dos ângulos 𝐴2 e 𝐴3 pelo método de Newton-Raphson, é possível
avaliar a posição, velocidade e aceleração de um ponto específico no acoplador através da
análise desenvolvida nesta seção. A figura 5.2 ilustra um mecanismo de quatro barras genérico,
com um ponto de interesse P associado ao acoplador.
Figura 5.2: Análise do ponto de interesse em mecanismo 4 barras.
Para a descrição de um específico ponto de interesse P, define-se inicialmente um sistema
de coordenadas (U,V) fixo ao acoplador, de modo que o sistema move-se com este corpo. Deste
88
modo, o ponto de interesse ficará definido pelos valores de Up e Vp constantes. As equações
de posição deste ponto no acoplador, em X e Y, serão:
𝑋𝑝 = 𝐶1 ∗ cos(𝑞) + 𝑈𝑝 ∗ cos(𝐴2) − 𝑉𝑝 ∗ sen(𝐴2) (5.9)
𝑌𝑝 = 𝐶1 ∗ sen(𝑞) + 𝑈𝑝 ∗ sen(𝐴2) + 𝑉𝑝 ∗ cos(𝐴2) (5.10)
Novamente, derivando-se as equações de posição com relação ao tempo, definem-se as
equações de velocidade em X e Y, bem como os coeficientes cinemáticos de velocidade Kpx e
Kpy.
𝑉𝑝𝑥 = −�� ∗ 𝐶1 ∗ sen(𝑞) − 𝐴2 ∗ 𝑈𝑝 ∗ sen(𝐴2) − 𝐴2 ∗ 𝑉𝑝 ∗ cos(𝐴2) (5.11)
𝑉𝑝𝑦 = �� ∗ 𝐶1 ∗ cos(𝑞) + 𝐴2 ∗ 𝑈𝑝 ∗ cos(𝐴2) − 𝐴2 ∗ 𝑉𝑝 ∗ sen(𝐴2) (5.12)
𝐾𝑝𝑥 = −𝐶1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑞) − 𝑈𝑝 ∗ 𝐾2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴2) − 𝑉𝑝 ∗ 𝐾2 ∗ cos (𝐴2) (5.13)
𝐾𝑝𝑦 = 𝐶1 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑞) + 𝑈𝑝 ∗ 𝐾2 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴2) − 𝑉𝑝 ∗ 𝐾2 ∗ sen(𝐴2) (5.14)
Para encontrar os termos de aceleração, necessita-se de uma nova diferenciação no tempo
dos termos da velocidade. A equação 5.15 define a velocidade em termos dos coeficientes
cinemáticos de velocidade Kpx e Kpy. A mesma é utilizada na diferenciação em prol da
determinação da aceleração.
𝑉𝑝 = �� ∗ (𝒊 ∗ 𝐾𝑝𝑥 + 𝒋 ∗ 𝐾𝑝𝑦) (5.15)
𝐴𝑝 = ��(𝒊 ∗ 𝐾𝑝𝑥 + 𝒋 ∗ 𝐾𝑝𝑦) + ��2(𝒊 ∗ 𝐿𝑝𝑥 + 𝒋 ∗ 𝐿𝑝𝑦) (5.16)
Os termos cinemáticos de aceleração Lpx e Lpy podem ser encontrados através da
diferenciação dos termos cinemáticos de velocidade Kpx e Kpy, com relação ao ângulo de
entrada q, como mostram as equações 5.17 e 5.18.
𝐿𝑝𝑥 = −𝐶1cos(𝑞) − 𝑈𝑝𝐿2𝑠𝑒𝑛(𝐴2) − 𝑈𝑝𝐾22 cos(𝐴2)
− 𝑉𝑝𝐿2 cos(𝐴2) + 𝑉𝑝𝐾22𝑠𝑒𝑛(𝐴2)
(5.17)
𝐿𝑝𝑦 = −𝐶1 sen(𝑞) + 𝑈𝑝𝐿2𝑐𝑜𝑠(𝐴2) − 𝑈𝑝𝐾22 sen(𝐴2)
− 𝑉𝑝𝐿2 sen(𝐴2) − 𝑉𝑝𝐾22𝑐𝑜𝑠(𝐴2)
(5.18)
89
Quando se propõe estudar o projeto de um mecanismo, torna-se importante determinar a
trajetória do ponto de interesse situado no acoplador, bem como sua velocidade e aceleração
em cada ponto que define a trajetória do mesmo. A trajetória é prontamente definida através do
gráfico das posições Xp e Yp em função do ângulo de entrada da primeira manivela.
5.1.5. Solução numérica para sistema de equações não-lineares
O método de Newton-Raphson é uma técnica vastamente utilizada na solução de sistemas
de equações não-lineares. Neste trabalho, tal método é necessário para a obtenção dos ângulos
𝐴2 e 𝐴3 na análise cinemática de posição. Inicialmente, será feita uma descrição geral do
método, aplicável a qualquer sistema de equações não-lineares. Posteriormente, aplica-se o
método ao sistema aqui estudado. Suponha um sistema de equações não-lineares, tal qual:
𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ) = 0
𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ) = 0
⋮
𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ) = 0
(5.19)
Ou na forma matricial:
𝐹(𝑥) = [
𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 )
𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 )⋮
𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 )
] (5.20)
Expandindo a função 𝐹(𝑥) em torno de 𝑥∗ por sua série de Taylor, sendo 𝑥∗ uma
aproximação para a solução de 𝐹(𝑥) = 0, e desprezando os termos de ordem superior:
𝐹(𝑥) ≈ 𝐹(𝑥∗) + 𝐹′(𝑥∗)(𝑥 − 𝑥∗) (5.21)
90
Torna-se necessário, neste momento, a determinação da derivada primeira da função,
obtendo deste modo a matriz jacobiana, formada pela derivação parcial das componentes de
𝐹(𝑥).
𝐹′(𝑥) = 𝐽 =
[ 𝜕𝑓1𝜕𝑥1
⋯𝜕𝑓1𝜕𝑥𝑛
⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥1
⋯𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥𝑛]
(5.22)
Assim, visto que as funções da equação 5.19 devem ser nulas, o método de Newton-
Raphson para sistemas de equações será dado pela seguinte iteração:
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝐽−1(𝑥𝑛). 𝐹(𝑥𝑛) (5.23)
Os critérios de convergência utilizados podem ser de três tipos, sendo:
Quando o valor residual se reduzir a um valor suficientemente pequeno
(neste caso, 10-6), a ponto de ser considerado aproximadamente zero;
Quando o valor do erro absoluto do ajuste se reduzir a um número pequeno
a ponto de não influenciar o valor da estimativa calculada;
Quando o número máximo de iterações for atingido, indicando que o
processo não está convergindo ou que converge lentamente.
Aplicando o método na solução do sistema de equações não-lineares obtido na análise de
posição, para a obtenção dos vetores de posição angular 𝐴2 e 𝐴3:
𝐹(𝐴2, 𝐴3) = [𝐶1 cos(𝑞) + 𝐶2 cos(𝐴2) − 𝐶3 cos(𝐴3) − 𝐶4 cos(𝑔)
𝐶1 sen(𝑞) + 𝐶2 sen(𝐴2) − 𝐶3 sen(𝐴3) − 𝐶4 sen(𝑔)] = 0 (5.24)
Derivando parcialmente a matriz para encontrar a matriz jacobiana:
[𝐽] = [− 𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝐴2) 𝐶3𝑠𝑒𝑛(𝐴3)
𝐶2cos (𝐴2) − 𝐶3cos (𝐴3)] (5.25)
91
Substituindo estes termos na equação:
[𝐴2⟨𝑖 + 1⟩, 𝐴3⟨𝑖 + 1⟩]
= [𝐴2⟨𝑖⟩, 𝐴3⟨𝑖⟩] − [𝐽−1(𝐴2⟨𝑖⟩, 𝐴3⟨𝑖⟩). 𝐹(𝐴2⟨𝑖⟩, 𝐴3⟨𝑖⟩)]
(5.26)
Onde ⟨𝑖⟩ representa o número correspondente à iteração. A primeira estimativa, para a
iteração inicial, utiliza os valores iniciais de posição angular do mecanismo. As iterações
seguintes são utilizadas para o cálculo dos ângulos 𝐴2 e 𝐴3, a cada valor da coordenada
generalizada 𝑞. Os critérios de parada utilizados no algoritmo computacional foram: 1) Quando
o valor absoluto das equações que compõem a matriz 𝐹(𝐴2, 𝐴3) for menor que 10-6; 2) Quando
o modulo do valor do produto da matriz jacobiana inversa 𝐽−1(𝐴2⟨𝑖⟩, 𝐴3⟨𝑖⟩) pela matriz
𝐹(𝐴2⟨𝑖⟩, 𝐴3⟨𝑖⟩) for inferior a 10-6; 3) Quando o número máximo de iterações, a critério do
usuário, for atingido.
Deste modo, torna-se possível a obtenção dos vetores de posição angular 𝐴2 e 𝐴3,
dentro da variação da coordenada generalizada 𝑞, que corresponde ao ângulo de entrada na
primeira manivela, imposta pelo usuário do programa.
5.2. Análise Cinética
A cinética é o estudo das forças que causam o movimento do sistema. Este assunto é
muito estudado pelo engenheiro e projetista mecânico, pois, ao desenvolver um projeto de
máquina ou mecanismo, especialmente para um mecanismo de quatro-barras, deve-se
inicialmente estudar o movimento, e posteriormente as forças que criam o movimento para,
com base nessas análises, dimensionar sistemas e materiais adequados de forma que a máquina
funcione adequadamente.
92
5.2.1. Energia Cinética de um sistema de corpos rígidos
A energia cinética de um único corpo rígido pode ser separada em dois termos, sendo que
um depende da velocidade de translação do centro de massa, e o outro que depende da
velocidade angular do corpo. Para a análise de um mecanismo, a energia cinética total será a
soma das energias cinéticas de cada componente individualmente, como descreve a equação
5.27.
𝐸𝑐,𝑇 =∑𝐸𝑐,𝑖
𝑛
𝑖=1
(5.27)
A energia cinética de uma única barra pode ser descrita pela equação 5.28.
𝐸𝑐,𝑖 = 0.5 ∗ 𝑀𝑖 ∗ 𝑉𝑖𝑐𝑚2 + 0.5 ∗ 𝐼𝑖𝑐𝑚 ∗ 𝜔𝑖
2 (5.28)
Na equação, 𝑀𝑖 é a massa da i-ésima barra, 𝑉𝑖𝑐𝑚 a velocidade do centro de massa da barra,
𝐼𝑖𝑐𝑚 o momento de inércia e 𝜔𝑖 a velocidade angular, todos obtidos no sistema de coordenadas
inercial. Utilizando-se a equação 5.27 para o mecanismo de quatro barras, a energia cinética do
sistema será dada pela equação 5.29.
𝐸𝑐,𝑇 = 𝐸𝐶1 + 𝐸𝐶2 + 𝐸𝐶3 + 𝐸𝐶4 (5.29)
Utiliza-se a figura 5.2 como referência para a nomenclatura das variáveis descritas na
dedução das equações de energia para cada barra. Aplicando a equação 5.28 para a barra 1:
𝐸𝐶1 = 0.5(𝑀1𝑉1𝑐𝑚2 + 𝐼1𝑐𝑚𝜔1
2) (5.30)
A velocidade pode ser escrita em termos da velocidade angular da barra 1, 𝜔1 = �� como:
𝑉1𝑐𝑚2 = (��1𝑐𝑚
2 + ��1𝑐𝑚
2) = ((
𝑑𝑋1𝑐𝑚𝑑𝑞
𝑑𝑞
𝑑𝑡)2
+ (𝑑𝑌1𝑐𝑚𝑑𝑞
𝑑𝑞
𝑑𝑡)2
)
= (𝐾1𝑥��)2 + (𝐾1𝑦��)
2
(5.31)
93
Assim, pode-se reescrever a equação 5.32:
𝐸𝐶1 = 0.5��2(𝑀1(𝐾1𝑥
2 + 𝐾1𝑦2 ) + 𝐼1𝑐𝑚) (5.32)
Já para as barras 2 e 3, é necessário escrever as velocidades angulares destas com relação
à velocidade angular da barra 1 de entrada.
𝜔2 =𝑑𝐴2𝑑𝑡
=𝑑𝐴2𝑑𝑞
𝑑𝑞
𝑑𝑡= 𝐾2��
(5.33)
𝜔3 =𝑑𝐴3𝑑𝑡
=𝑑𝐴3𝑑𝑞
𝑑𝑞
𝑑𝑡= 𝐾3�� (5.34)
Logo, a energia cinética das barras 2 e 3 é reescrita como:
𝐸𝐶2 = 0.5��2(𝑀2(𝐾2𝑥
2 + 𝐾2𝑦2 ) + 𝐼2𝑐𝑚𝐾2
2) (5.35)
𝐸𝐶3 = 0.5��2(𝑀3(𝐾3𝑥
2 + 𝐾3𝑦2 ) + 𝐼3𝑐𝑚𝐾3
2) (5.36)
Utilizando o teorema dos eixos paralelos, que permite o cálculo do momento de inércia
de um sólido rígido relativo a um eixo O de rotação, desde que sejam conhecidas a massa, o
momento de inércia a um eixo paralelo à O e a distância d entre os dois eixos, pode-se
simplificar as equações de energia cinética das barras 1 e 3, que possuem movimento de rotação
em torno de um ponto fixo.
𝐼𝑜 = 𝐼𝑐𝑚 +𝑀𝑑2 (5.37)
No caso das barras 1 e 3, d será a distância entre o centro de massa da barra e o seu
respectivo ponto de fixação. Uma vez conhecida a geometria, pode ser considerada dado por:
𝑑 =𝑣
𝜔 (5.38)
𝑑2 =𝑣2
𝜔2=��2(𝐾𝑖𝑥
2 +𝐾𝑖𝑦2 )
𝐾𝑖2��2
=(𝐾𝑖𝑥
2 + 𝐾𝑖𝑦2 )
𝐾𝑖2
(5.39)
94
Para a barra 1, 𝐾1 é 1, pois 𝜔1 = ��. Assim a equação da energia cinética para a barra 1 se
simplifica para:
𝐼1𝑜 = 𝐼1𝑐𝑚 +𝑀1(𝐾1𝑥2 + 𝐾1𝑦
2 ) (5.40)
𝐸𝐶1 = 0.5��2(𝑀1(𝐾1𝑥
2 + 𝐾1𝑦2 ) + 𝐼1𝑐𝑚) = 0.5𝐼1𝑜��
2 (5.41)
Quanto a barra 3, a equação da energia cinética se torna:
𝐼3𝑜 = 𝐼3𝑐𝑚 +𝑀3(𝐾3𝑥
2 + 𝐾3𝑦2 )
𝐾32
(5.42)
𝐸𝐶3 = 0.5��2(𝑀3(𝐾3𝑥
2 + 𝐾3𝑦2 ) + 𝐼3𝑐𝑚𝐾3
2) = 0.5𝐼3𝑜𝐾32��2 (5.43)
A barra 4 estacionária, não possui energia cinética. De posse das equações individuais de
energia cinética, pode-se obter a energia total do sistema.
𝐸𝑐,𝑇 = 0.5𝐼1𝑜��2 + 0.5��2(𝑀2(𝐾2𝑥
2 + 𝐾2𝑦2 ) + 𝐼2𝑐𝑚𝐾2
2) + 0.5𝐼3𝑜𝐾32��2 (5.44)
𝐸𝑐,𝑇 = 0.5��2(𝐼1𝑜 + (𝑀2(𝐾2𝑥
2 + 𝐾2𝑦2 ) + 𝐼2𝑐𝑚𝐾2
2) + 𝐼3𝑜𝐾32) (5.45)
O termo que multiplica 0.5��2 é conhecido como inércia generalizada ℐ(𝑞) para o
mecanismo de quatro barras. A inércia generalizada é claramente dependente do ângulo de
entrada 𝑞, aplicado à primeira manivela, visto que os coeficientes cinemáticos de velocidade
𝐾2𝑥, 𝐾2𝑦, 𝐾2, 𝐾3 são função de 𝑞.
5.2.2. Forças generalizadas
As forças e momentos que atuam no mecanismo são os responsáveis pela resposta
dinâmica do mesmo. Nesta seção, busca-se a determinação de uma única força 𝑄, denominada
força generalizada, que ao atuar no sistema, produzirá um trabalho virtual 𝑄 𝛿𝑞, cujo valor é
idêntico à soma do trabalho virtual das forças e torques que produzem o deslocamento real do
mecanismo.
95
Considerando-se uma força externa 𝐹𝑖 aplicada a um ponto definido pelo vetor posição
𝑟𝑖, bem como momentos 𝑀𝑗 que causam deslocamentos angulares 𝐴𝑗, o trabalho virtual destas
forças no sistema é definido como:
𝛿𝑊 =∑𝐹𝑖𝑖
. 𝛿𝑟𝑖 +∑𝑀𝑗𝑗
. 𝛿𝐴𝑗 (5.46)
Os deslocamentos virtuais são funções da coordenada generalizada 𝑞, e portanto podem
ser reescritos em termos da mesma:
𝛿𝑟𝑖 =𝑑𝑟𝑖𝑑𝑞. 𝛿𝑞
(5.47)
𝛿𝐴𝑗 =𝑑𝐴𝑗
𝑑𝑞. 𝛿𝑞 (5.48)
Substituindo essas expressões na equação (5.46) de trabalho virtual, resulta-se em:
𝛿𝑊 = 𝛿𝑞 (∑𝐹𝑖𝑖
.𝑑𝑟𝑖𝑑𝑞+∑𝑀𝑗
𝑗
.𝑑𝐴𝑗
𝑑𝑞) (5.49)
O trabalho virtual 𝛿𝑊 é equivalente à 𝑄. 𝛿𝑞, então a equação da força generalizada é
definida por:
𝑄 =∑𝐹𝑖𝑖
.𝑑𝑟𝑖𝑑𝑞+∑𝑀𝑗
𝑗
.𝑑𝐴𝑗
𝑑𝑞 (5.50)
5.2.3. Equação de movimento de Eksergian
Um dos teoremas da mecânica clássica, conhecido como Teorema do Trabalho-Energia
atesta que o trabalho realizado por um sistema mecânico se iguala à variação da energia
96
mecânica do sistema. Em termos matemáticos, define-se potência como a taxa temporal de
trabalho realizado:
Δ𝑊 = Δ𝐸𝑐 𝑑𝑒𝑟⇒ 𝑑𝑊
𝑑𝑡=𝑑𝐸𝑐𝑑𝑡
(5.51)
Para um sistema de um grau de liberdade, a potência pode ser escrita como:
𝑑𝑊
𝑑𝑡=∑(𝐹𝑥𝑖𝑋𝑖 + 𝐹𝑦𝑖𝑌�� +𝑀𝑖𝐴𝑖 )
𝑖
=∑(𝐹𝑥𝑖𝐾𝑥𝑖 + 𝐹𝑦𝑖𝐾𝑦𝑖 +𝑀𝑖𝐾𝐴𝑖)
𝑖
�� = 𝑄�� (5.52)
Onde 𝑄 é a força generalizada. Já a energia cinética pode ser definida como:
𝐸𝑐 = 0.5 ∗ ℐ(𝑞) ∗ ��2 (5.53)
Diferenciando a equação da energia cinética no tempo, e substituindo os termos na
equação 5.51, obtém-se:
0.5 ∗𝑑ℐ
𝑑𝑞∗ �� ∗ ��2 + ℐ ∗ �� ∗ �� = 𝑄 ∗ �� (5.54)
Eliminando a velocidade angular ��, simplifica-se a equação (5.54) e tem-se a equação do
movimento generalizada aplicável a todos os sistemas com um grau de liberdade.
0.5 ∗𝑑ℐ
𝑑𝑞∗ ��2 + ℐ ∗ �� = 𝑄 (5.55)
O termo 0.5 ∗ 𝑑ℐ 𝑑𝑞⁄ é conhecido como coeficiente centrípeto, cujo símbolo é ℭ(𝑞). Para
o mecanismo de quatro barras, é conhecida a inércia generalizada ℐ(𝑞) da equação (5.45).
Diferenciando-se a inércia com relação ao ângulo de entrada 𝑞, obtém-se:
ℭ(𝑞) = 0.5 ∗𝑑ℐ
𝑑𝑞= 0.5(𝑀2(𝐾2𝑥𝐿2𝑥 + 𝐾2𝑦𝐿2𝑦 ) + 𝐼2𝑐𝑚𝐾2𝐿2 + 𝐼3𝑜𝐾3𝐿3) (5.56)
97
Assim, a equação de movimento de Eksergian para um mecanismo quatro barras (1 GDL)
é dada pela equação diferencial ordinária do segundo grau (5.57).
(𝐼1𝑜 + (𝑀2(𝐾2𝑥2 + 𝐾2𝑦
2 ) + 𝐼2𝑐𝑚𝐾22) + 𝐼3𝑜𝐾3
2) ∗ �� + 0.5
∗ (𝑀2(𝐾2𝑥𝐿2𝑥 + 𝐾2𝑦𝐿2𝑦 ) + 𝐼2𝑐𝑚𝐾2𝐿2 + 𝐼3𝑜𝐾3𝐿3) ∗ ��2 = 𝑄
(5.57)
5.2.4. Representação de forças conservativas
Visando uma maior generalização da equação de Eksergian, nesta seção, apresenta-se o
equacionamento da energia potencial que englobará as forças conservativas, enquanto as forças
não conservativas são expressas pelo termo de força generalizada.
Considere uma força agindo no sistema no ponto 𝑟𝑖, que consiste de duas partes, sendo
uma conservativa e outra não conservativa. A força conservativa pode ser escrita como o
gradiente negativo da função potencial associada.
𝐹𝑖 = 𝐹𝑖𝑐 + 𝐹𝑖
𝑛𝑐 = −∇𝑉𝑖 + 𝐹𝑖𝑛𝑐 (5.58)
Esta forma pode ser utilizada para a determinação da força generalizada, resultando em
também dois termos:
𝑄 =∑𝐹𝑖 .𝑑𝑟𝑖𝑑𝑞
𝑖
=∑(−∇𝑉𝑖 + 𝐹𝑖𝑛𝑐)
𝑖
.𝑑𝑟𝑖𝑑𝑞
(5.59)
𝑄 = −∑𝑑𝑉𝑖𝑑𝑞+∑𝐹𝑖
𝑛𝑐
𝑖𝑖
.𝑑𝑟𝑖𝑑𝑞= −
𝑑𝑉
𝑑𝑞+ 𝑄𝑛𝑐 (5.60)
Substituindo este termo de força generalizada, que engloba as forças conservativas e
não conservativas, na equação geral de Eksergian, encontra-se:
ℐ ∗ �� + ℭ(𝑞) ∗ ��2 +𝑑𝑉
𝑑𝑞= 𝑄𝑛𝑐 (5.61)
98
Esta equação é útil em casos que envolvem energia potencial elástica e/ou gravitacional,
que limitam e mudam a direção de movimento do mecanismo à medida que o mesmo se move.
5.2.5. Solução numérica da equação geral de Eksergian
Para a solução da equação geral de Eksergian, que é diferencial ordinária do segundo
grau, com coeficientes variáveis, utilizou-se, neste trabalho, o método numérico de quarta
ordem de Runge-Kutta. Este método utiliza-se de pontos previamente definidos e de quatro
avaliações da segunda derivada da função a cada passo, para o cálculo de novos pontos,
buscando a determinação de uma curva. A expressão da equação de movimento pode ser
expressa por:
�� = 𝑓(𝑡, 𝑞, ��) (5.62)
Em termos dos valores previamente definidos, os novos valores para 𝑡, 𝑞 e �� serão obtidos
por meio do seguinte equacionamento:
𝑞𝑛+1 = 𝑞𝑛 + ℎ[��𝑛 +1
6(𝑚1 +𝑚2 +𝑚3)] (5.63)
��𝑛+1 = ��𝑛 +1
6(𝑚1 + 2𝑚2 + 2𝑚3 +𝑚4)]
(5.64)
𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + ℎ (5.65)
Onde ℎ será o passo previamente determinado, e os valores de m serão obtidos por:
𝑚1 = ℎ𝑓(𝑡𝑛, 𝑞𝑛, ��𝑛) (5.66)
𝑚2 = ℎ𝑓(𝑡𝑛 +ℎ
2, 𝑞𝑛 +
ℎ
2𝑞�� +
ℎ
4𝑚1, ��𝑛 +
𝑚12) (5.67)
𝑚3 = ℎ𝑓(𝑡𝑛 +ℎ
2, 𝑞𝑛 +
ℎ
2𝑞�� +
ℎ
4𝑚2, ��𝑛 +
𝑚22) (5.68)
𝑚4 = ℎ𝑓(𝑡𝑛 + ℎ, 𝑞𝑛 + ℎ𝑞�� +ℎ
2𝑚3, ��𝑛 +𝑚3) (5.69)
99
𝑚1 é a inclinação no início do intervalo;
𝑚2 é a inclinação no ponto médio do intervalo, usando a inclinação 𝑚1 para a
determinação do valor de 𝑦 no ponto 𝑡𝑛 +ℎ
2 através do método de Euler;
𝑚3 é a inclinação no ponto médio do intervalo, mas agora utilizando a inclinação 𝑚2
para determinar o valor de 𝑦;
𝑚4 é a inclinação no final do intervalo, com seu valor de 𝑦 determinado usando 𝑚3.
Utilizando agora o método descrito acima na solução da equação de Eksergian, deve-se
primeiramente reescrever a equação, da seguinte forma:
�� =1
ℐ(𝑞)[𝑄(𝑡) − ℭ(𝑞)��2] (5.70)
Onde ℐ(𝑞) representa a inércia generalizada, 𝑄(𝑡) a força generalizada, e ℭ(𝑞) o
coeficiente centrípeto, cujas expressões foram deduzidas anteriormente e serão reapresentadas
abaixo:
ℐ(𝑞) = 𝐼1𝑜 + (𝑀2(𝐾2𝑥2 + 𝐾2𝑦
2 ) + 𝐼2𝑐𝑚𝐾22) + 𝐼3𝑜𝐾3
2 (5.71)
𝑄(𝑡) = −𝑑𝑉
𝑑𝑞+ 𝑄𝑛𝑐 (5.72)
ℭ(𝑞) = 0.5(𝑀2(𝐾2𝑥𝐿2𝑥 +𝐾2𝑦𝐿2𝑦 ) + 𝐼2𝑐𝑚𝐾2𝐿2 + 𝐼3𝑜𝐾3𝐿3) (5.73)
Vale lembrar que estes termos são dependentes dos coeficientes cinemáticos de
velocidade (K) e aceleração (L), obtidos utilizando as equações fornecidas pela análise
cinemática. A força aplicada ao mecanismo pode ser composta por um termo conservativo
(como uma força potencial elástica), e um termo não conservativo (podendo ser uma força
linear, um momento, ou mesmo uma força dissipativa causada pela inserção de um
amortecedor). Sendo assim, após obtenção destes termos, utiliza-se o método de Runge-Kutta
para o cálculo da curva de aceleração de ��.
100
5.3. Especificidades do algoritmo de análise cinemática e cinética
Os algoritmos de síntese e de análise foram estruturados separadamente, e portanto
possuem algumas assimetrias, como por exemplo, a referência adotada para o desenvolvimento
do equacionamento. Na síntese, o algoritmo foi baseado na teoria desenvolvida por Norton,
enquanto que na análise, o algoritmo foi construído utilizando-se a teoria desenvolvida por
Doughty. Nesta seção, serão destacadas essas diferenças, e explicitadas certas nomenclaturas
utilizadas no equacionamento do algoritmo.
5.3.1. Matriz de transformação de coordenadas
A teoria apresentada neste capítulo foi estruturada considerando-se um sistema inercial
cartesiano XY, tal como ilustrado na figura 5.3. O programa de análise cinemática e cinética,
no entanto, utiliza como referência um eixo cartesiano X1Y1, rotacionado de um ângulo θ em
relação ao eixo XY. O eixo X1Y1 refere-se ao posicionamento da barra fixa do mecanismo, e
por isso foi escolhido como referência para o equacionamento. Assim, torna-se necessária a
inserção de uma matriz de transformação de coordenadas, ou matriz de rotação, descrita na
equação 5.74. A aplicação dessa matriz tem o efeito de mudar a direção do vetor, mas não a sua
magnitude.
Figura 5.3: Transformação de coordenadas dos eixos cartesianos
𝑇 = [cos (𝜃) −𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos (𝜃)
] (5.74)
101
O ângulo θ é positivo no sentido horário, e negativo no sentido anti-horário, caso a rotação
ocorra do sistema X1Y1 para o sistema XY. No algoritmo, aplicou-se a matriz de rotação na
conversão dos vetores que descrevem a posição, velocidade e aceleração do ponto de interesse
associado ao acoplador e dos centros de massa das barras.
5.3.2. Força Externa
Esta seção se trata da modelagem da força aplicada no mecanismo durante a análise
cinética. Considerou-se uma força constante tal como pode ser visualizado na figura 5.4. O
algoritmo implementado pede como dados de entrada a amplitude da força, o ângulo que
direciona o vetor de aplicação da força, e os tempos inicial e final de aplicação.
Figura 5.4: Gráfico de força constante.
102
6 PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO
O conceito de otimização apresentado neste trabalho refere-se ao estudo de problemas
nos quais busca-se minimizar ou maximizar uma função, buscando valores dentro de uma
região factível, que podem, de alguma maneira, serem considerados ótimos. Tais problemas
podem ser categorizados em problemas lineares ou não-lineares, sendo sujeitos ou não a
restrições (lineares ou não- lineares).
Problemas de otimização lineares, como o nome indica, são aqueles sujeitos a funções
lineares, e também restrições lineares de igualdade ou desigualdade. Podem ser aplicados em
diversos campos de estudo, tais como problemas de transporte, energia, telecomunicações e
manufatura, modelando problemas de planejamento, design, logística, alocação de recursos,
entre outros. (LUENBERGER, 2016). Para a solução deste tipo de problema, o método mais
comumente utilizado é o algoritmo simplex, criado por Dantzig (1941). Outros métodos
utilizados para solução de problemas de otimização lineares são os métodos dos pontos
interiores, como por exemplo o método do elipsoide (Khachiyan, 1979) e o algoritmo de
Karmarkar (1984).
A otimização de problemas irrestritos trata de minimização ou maximização de uma
função não sujeita a qualquer restrição. Há métodos matemáticos para a otimização de funções
sujeitas a uma ou mais variáveis. Embora a maioria dos problemas práticos possua restrições,
muitos algoritmos solucionam problemas de otimização restrita convertendo os mesmos em
uma série de problemas irrestritos, utilizando por exemplo, os multiplicadores de Lagrange, ou
os métodos das penalidades ou da barreira. Podem-se citar como exemplo de métodos de
otimização irrestrita a busca dicotômica, método Fibonacci e o método de Newton para funções
de uma única variável. Para os casos de otimização irrestrita multivariável, podem-se citar os
métodos descendentes baseados no gradiente, como o método do máximo descenso e o método
de Newton, o método dos gradientes conjugados e o método Quase-Newton.
Por último, os métodos de otimização restrita solucionam a maioria dos problemas
encontrados na prática. Como exemplo de métodos de otimização de problemas desta categoria,
estão os métodos das penalidades e da barreira, o método do lagrangeano aumentado, e a
programação quadrática sequencial.
Neste trabalho, buscou-se a determinação de parâmetros ótimos do coeficiente elástico
da mola e do coeficiente de amortecimento de um amortecedor posicionados transversalmente
103
ao mecanismo de quatro-barras sintetizado, como ilustrado na figura 6.1. Buscou-se a
minimização do deslocamento, da velocidade ou da aceleração da barra acopladora do
mecanismo, sujeitando a mesma a diferentes restrições. O intuito de trabalhar com diferentes
funções objetivo foi oferecer a mais ampla gama de opções ao projetista, tornando assim o
programa o mais genérico possível. Sendo assim, este problema enquadra-se na categoria dos
problemas de otimização restritos e não-lineares, e utiliza-se de um algoritmo baseado no
método dos pontos interiores para a determinação dos parâmetros ótimos do sistema.
Figura 6.1: Mecanismo de quatro barras. Fonte: Peres (2012) (modificado).
6.1 Modelagem matemática do problema:
Inicialmente, apresenta-se aqui a função objetivo do problema de otimização na equação
(6.1), a minimização do deslocamento resultante da barra acopladora. Retomam-se aqui as
equações apresentadas no capítulo 5 para descrever o deslocamento do ponto de interesse na
barra acopladora, dadas pelas equações (5.9) e (5.10).
𝑋𝑝 = 𝐶1 ∗ cos(𝑞) + 𝑈𝑝 ∗ cos(𝐴2) − 𝑉𝑝 ∗ sen(𝐴2) (5.9)
𝑌𝑝 = 𝐶1 ∗ sen(𝑞) + 𝑈𝑝 ∗ sen(𝐴2) + 𝑉𝑝 ∗ cos(𝐴2) (5.10)
𝑓(𝑥) = √𝑋𝑝2 + 𝑌𝑝2 (6.1)
104
Vale lembrar que o deslocamento do ponto de interesse no acoplador é obtido após a
solução da equação de movimento de Eksergian. O caso simulado neste trabalho refere-se à
resposta do mecanismo à aplicação de uma força externa linear e constante, como deduzido no
final do capítulo 5.
Derivando-se as equações de posição com relação ao tempo, definem-se as equações de
velocidade em X e Y, bem como os coeficientes cinemáticos de velocidade Kpx e Kpy. Essas
equações também já foram apresentadas no capítulo 5. A equação (6.2) é a função objetivo para
a minimização da velocidade do ponto de interesse na barra acopladora.
𝑉𝑝𝑥 = −�� ∗ 𝐶1 ∗ sen(𝑞) − 𝐴2 ∗ 𝑈𝑝 ∗ sen(𝐴2) − 𝐴2 ∗ 𝑉𝑝 ∗ cos(𝐴2) (5.11)
𝑉𝑝𝑦 = �� ∗ 𝐶1 ∗ cos(𝑞) + 𝐴2 ∗ 𝑈𝑝 ∗ cos(𝐴2) − 𝐴2 ∗ 𝑉𝑝 ∗ sen(𝐴2) (5.12)
𝐾𝑝𝑥 = −𝐶1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑞) − 𝑈𝑝 ∗ 𝐾2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴2) − 𝑉𝑝 ∗ 𝐾2 ∗ cos (𝐴2) (5.13)
𝐾𝑝𝑦 = 𝐶1 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑞) + 𝑈𝑝 ∗ 𝐾2 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴2) − 𝑉𝑝 ∗ 𝐾2 ∗ sen(𝐴2) (5.14)
𝑉𝑝 = �� ∗ (𝒊 ∗ 𝐾𝑝𝑥 + 𝒋 ∗ 𝐾𝑝𝑦) (5.15)
𝑓(𝑥) = √𝑉𝑝𝑥2 + 𝑉𝑝𝑦2 (6.2)
Para encontrar os termos de aceleração, necessita-se de uma nova diferenciação no tempo
dos termos da velocidade.
𝐴𝑝 = ��(𝒊 ∗ 𝐾𝑝𝑥 + 𝒋 ∗ 𝐾𝑝𝑦) + ��2(𝒊 ∗ 𝐿𝑝𝑥 + 𝒋 ∗ 𝐿𝑝𝑦) (5.16)
Os termos cinemáticos de aceleração Lpx e Lpy podem ser encontrados através da
diferenciação dos termos cinemáticos de velocidade Kpx e Kpy, com relação ao ângulo de
entrada q, como mostram as equações 5.17 e 5.18. A equação (6.3) define a função objetivo
para minimização da aceleração do ponto de interesse da barra acopladora.
𝐿𝑝𝑥 = −𝐶1cos(𝑞) − 𝑈𝑝𝐿2𝑠𝑒𝑛(𝐴2) − 𝑈𝑝𝐾22 cos(𝐴2)
− 𝑉𝑝𝐿2 cos(𝐴2) + 𝑉𝑝𝐾22𝑠𝑒𝑛(𝐴2)
(5.17)
𝐿𝑝𝑦 = −𝐶1 sen(𝑞) + 𝑈𝑝𝐿2𝑐𝑜𝑠(𝐴2) − 𝑈𝑝𝐾22 sen(𝐴2)
− 𝑉𝑝𝐿2 sen(𝐴2) − 𝑉𝑝𝐾22𝑐𝑜𝑠(𝐴2)
(5.18)
105
𝑓(𝑥) = √𝐴𝑝𝑥2 + 𝐴𝑝𝑦2 (6.3)
Foram adicionadas três restrições ao problema, sendo:
Frequência natural amortecida constante;
Faixa do fator de amortecimento;
Tempo de estabilização.
A ISO 2631, norma internacional para avaliação da exposição humana a vibrações de corpo
inteiro, define valores numéricos para limites de exposição a vibrações ao corpo humano na
amplitude de frequência de 1 a 80 Hz. São definidos três critérios para a preservação do
conforto, eficiência de trabalho e segurança ou saúde, sendo denominados na norma,
respectivamente, como: “Nível de conforto reduzido”, “Nível de eficiência reduzida (fadiga) ”
e “Limite de exposição”.
Por exemplo, onde a preocupação primordial é manter a eficiência de trabalho de um
motorista de veículo ou operador de máquina, o "nível de eficiência reduzida (fadiga)" deve ser
usado como ponto de referência para especificar a vibração ou efetuar medidas de controle
vibratório, enquanto que, num projeto de banco para passageiros, deve ser levado em
consideração o "nível de conforto reduzido”.
De acordo com os critérios mencionados, estes limites estão especificados em termos de
frequência vibratória, grandeza de aceleração, tempo de exposição e a direção da vibração em
relação ao tronco. Esta direção é definida de acordo com os eixos anatômicos do corpo humano,
com origem na localização do coração. O eixo x vai das costas ao peito, o eixo y do lado direito
ao lado esquerdo, e o eixo z dos pés à cabeça.
Neste trabalho, o critério levado em consideração foi o “nível de eficiência reduzido”. Os
limites de vibração recomendados pela ISO 2631 encontram-se no Anexo A. A figura
apresentada no anexo A ilustra o nível de eficiência reduzido (fadiga) em função da frequência
e tempo de exposição na direção longitudinal, para tempos de exposição diária de 1 minuto a
24h. Para utilizar os demais critérios, fatores de correção devem ser aplicados aos valores do
gráfico do anexo A.
Observa-se que foi considerada aqui a tolerância à vibração de corpo inteiro correspondente
à faixa de frequências de 4 a 8 Hz, a mesma da massa pélvica (RAO, 2011), e que a tolerância
106
à vibração decresce em função do aumento do tempo de exposição. A figura 6.2 ilustra a
sensibilidade de diferentes partes do corpo humano a diferentes faixas de vibrações.
Figura 6.2: Sensibilidade à frequência de vibração de diferentes partes do corpo
humano. Fonte: Rao S., Vibrações Mecânicas, 2011
Quanto a restrição da faixa do fator de amortecimento, utilizou-se a faixa entre 0.2 e 0.4
(GILLESPIE, 1992).
A última restrição considerada no problema foi o tempo de estabilização do sistema. O
tempo de estabilização é definido como o tempo necessário para o sistema atingir e permanecer
dentro de uma faixa aceitável ao redor do equilíbrio estático. Considera-se aqui, que o sistema
estabilizou quando a resposta atinge valor menor do que 2% do valor de pico inicial.
107
6.2 Método de otimização:
Para a solução dos problemas de otimização apresentados na seção 6.1, utilizou-se o
toolbox de otimização do MATLAB, e a função fmincon. Esta função é utilizada na solução de
problemas de otimização de funções não-lineares, restritas (podendo ser de igualdade ou
desigualdade) e multivariáveis. O método dos pontos interiores aplicado à minimização restrita
resume-se à solução de uma sequência de problemas de minimização aproximados. (BYRD, R.
H.; GILBERT, J. C.; E NOCEDAL, J, 1999 e 2000) O problema original, generalizado, está
descrito na equação 6.2.
min𝑓(𝑥)
(6.2) 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 ℎ(𝑥) = 0
𝑔(𝑥) ≤ 0
Onde h representa as restrições de igualdade do problema, e g, as restrições de
desigualdade. No método dos pontos interiores, necessita-se reescrever a função a ser
minimizada em sua forma penalizada. O problema penalizado correspondente está descrito na
equação 6.3.
𝑓𝜇(𝑥) = min 𝑓(𝑥) − 𝜇∑ln(𝑠𝑖)
𝑚
𝑖=1
(6.3) 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 ℎ(𝑥) = 0
𝑔(𝑥) + 𝑠 = 0
Onde 𝜇 > 0 é o parâmetro de barreira, e si é a variável de folga. A variável de folga é
introduzida no problema para aproximar uma restrição de desigualdade por uma de igualdade.
Portanto, o número de variáveis de folga 𝑠𝑖 é igual ao número de restrições de desigualdade g.
Além disso, as variáveis de folga devem ser estritamente positivas de modo a garantir que ln(𝑠𝑖)
mantenha-se dentro da região factível. À medida que 𝜇 (parâmetro de barreira) se aproxima de
zero, o mínimo de 𝑓𝜇 deve ser aproximar do mínimo de 𝑓. O termo logarítmico acrescentado à
função de minimização é chamado de função barreira.
108
O problema aproximado descrito pela equação 6.3 é uma sequência de problemas restritos
por equações de igualdade. Estes são mais simples de solucionar do que o problema original
restrito por desigualdades. Para resolver estes problemas aproximados, o algoritmo utiliza um
dos seguintes passos a cada iteração:
Solução das equações de KKT (Karush-Kuhn-Tucker) para o problema aproximado.
As condições de KKT são condições necessárias para garantir a otimização de um
problema sujeito a restrições. Se o problema for um problema convexo, as condições de KKT
são necessárias e suficientes para garantir um ponto de ótimo global.
Seja a função lagrangeana associada ao problema de otimização definida pela equação
(6.4):
𝐿(𝑥, 𝜆) = 𝑓(��) + 𝜆𝑡𝑔(��) (6.4)
Onde L é a função lagrangeana, x as variáveis otimizadas, f é a função objetivo do
problema de otimização, 𝜆 o vetor dos multiplicadores de Lagrange, e g é a função das restrições
do problema. Neste trabalho, as variáveis otimizadas (x) são o coeficiente de elasticidade da
mola e o coeficiente de amortecimento. As restrições do problema são, por sua vez, as equações
6.5 e 6.6, que descrevem as condições de KKT.
∇𝑥𝐿(𝑥, 𝜆) = 0 (6.5)
𝜆𝑔,𝑖𝑔𝑖(𝑥) = 0, ∀𝑖 (6.6)
A solução das equações de KKT formam a base de muitos algoritmos de programação
não-linear. Estes algoritmos calculam os multiplicadores de Lagrange de forma direta.
Utilizando um lagrangeano linearizado para resolver as equações 6.5 e 6.6, obtém-se a equação
6.7.
[ 𝐻 0 𝐽ℎ
𝑇 𝐽𝑔𝑇
0 𝑆Λ 0 −𝑆𝐽ℎ 0 𝐼 0𝐽𝑔 −𝑆 0 𝐼 ]
{
Δ𝑥Δ𝑠−Δ𝑦−Δ𝜆
} = −
{
∇𝑓 − 𝐽ℎ
𝑇𝑦 − 𝐽𝑔𝑇𝜆
𝑆𝜆 − 𝜇𝑒ℎ
𝑔 + 𝑠 }
(6.7)
109
Onde H, a hessiana do lagrangeano de 𝑓𝜇, é dada pela equação 6.8:
𝐻 = ∇2𝑓(𝑥) +∑𝜆𝑖𝑖
∇2𝑔𝑖(𝑥) +∑𝜆𝑗𝑗
∇2ℎ𝑗(𝑥) (6.8)
𝐽𝑔 denota o jacobiano da função de restrição g, 𝐽ℎ denota o jacobiano da função de
restrição h, 𝑆 é uma matriz que utiliza o vetor s em sua diagonal principal, 𝜆 denota o vetor
multiplicador de Lagrange associado às restrições g, Λ é uma matriz que utiliza o vetor 𝜆 em
sua diagonal principal, 𝑦 denota o multiplicador de Lagrange associado a ℎ, e 𝑒 é o vetor
formado apenas por 1, de mesma dimensão de 𝑔.
Para resolver esta equação para (Δ𝑥, Δ𝑠), os tamanhos dos passos do algoritmo a cada
iteração, faz-se uma decomposição LDL da matriz, onde L é a matriz triangular inferior e D é
uma matriz diagonal. A decomposição LDL é uma variação da decomposição de Cholesky.
Como resultado da decomposição, determina-se se a Hessiana da matriz é positivo definida ou
não. Se não for, aplica-se o gradiente conjugado para determinar o próximo passo.
Gradiente conjugado:
O método do gradiente conjugado utiliza-se de uma minimização de uma aproximação
quadrática do problema aproximado em uma região de confiança, sujeito a restrições
linearizadas. O algoritmo obtém os multiplicadores de Lagrange resolvendo, aproximadamente,
as equações de KKT:
∇𝑋𝐿 = ∇𝑋𝑓(𝑥) +∑𝜆𝑖∇𝑔𝑖(𝑥) +∑𝑦𝑗∇ℎ𝑗(𝑥) = 0
𝑗𝑖
(6.9)
Utilizando os mínimos-quadrados, sujeito a um 𝜆 positivo, assume-se um passo de
dimensão (Δ𝑥, Δ𝑠) para resolver a equação:
min∇𝑓𝑇Δ𝑥 +1
2Δ𝑥𝑇∇𝑋𝑋
2 𝐿Δ𝑥 + 𝜇𝑒𝑇𝑆−1Δ𝑠 +1
2Δ𝑠𝑇𝑆−1ΛΔ𝑠
(6.10)
sujeito às restrições linearizadas:
110
𝑔(𝑥) + 𝐽𝑔Δ𝑥 + Δ𝑠 = 0 (6.11)
ℎ(𝑥) + 𝐽ℎΔ𝑥 = 0 (6.12)
Para resolver a equação 6.10, o algoritmo busca minimizar a norma das restrições
linearizadas dentro de uma região de confiança. Assim, a equação 6.10 pode ser resolvida com
as restrições, correspondendo ao resíduo da solução das equações 6.11 e 6.12, permanecendo
dentro da mesma região de confiança anterior, mantendo s estritamente positivo.
111
7 RESULTADOS DA ANÁLISE CINEMÁTICA E CINÉTICA
7.1. Mecanismos sintetizados
Aplicando-se a teoria descrita no capítulo 5 aos mecanismos sintetizados e apresentados
no capítulo 4, apresentam-se a seguir os resultados obtidos através da análise cinemática.
Reproduziu-se a figura 5.1 (Figura 7.1) utilizada no desenvolvimento das equações para facilitar
a identificação das variáveis descritas nas tabelas.
Figura 7.1: Mecanismo de 4 barras genérico
7.1.1. Mecanismo manivela - oscilador
Para o mecanismo manivela – oscilador genérico sintetizado para 5 pontos de precisão a
partir dos resultados obtidos na seção 4.1.4, realizou-se a análise cinemática. A tabela 7.1.
contém os comprimentos das barras do mecanismo, e os respectivos ângulos iniciais de posição
de cada barra com referência no sistema inercial, a variação do ângulo de entrada q, e a
velocidade e aceleração da manivela de entrada.
112
Tabela 7.1: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo manivela-
oscilador
Comprimentos das barras Ângulos de orientação das barras Parâmetros adicionais
C1 = 19.8443 g = 115.4624º Δ𝑞 = 360º
C2 = 101.8275 q = 65.8172º �� = 1 rad/s
C3 = 100 A2 = -111.9021º �� = 0 rad/s2
C4 = 181.6186 A3 = 61.1665º
A partir dos comprimentos das barras definidos no processo da síntese, e definido o
ângulo de orientação da barra fixa, pode-se obter, através das equações de loop e do método de
newton-raphson, os ângulos de orientação das barras de saída A3 e do acoplador A2. A variação
desses ângulos em função do ângulo de entrada q da manivela está ilustrada na figura 7.2. Pode-
se notar a repetitividade das posições angulares, tanto da barra de saída quanto da barra
acopladora, para os dois ciclos da manivela de entrada.
Figura 7.2: Posições angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q.
113
As figuras 7.3 e 7.4 ilustram, respectivamente, as velocidades e acelerações angulares em
função da variação do ângulo de entrada da manivela. Também aqui, visualiza-se o caráter
cíclico do movimento para os dois ciclos da manivela.
Figura 7.3: Velocidades angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q.
Figura 7.4: Acelerações angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q.
114
Para um ponto de interesse localizado no acoplador, cuja localização é dada pelo
comprimento do vetor Z = 4.0258 e seu ângulo de orientação ϕ = -52.9259º medido a partir da
abscissa do referencial inercial (Figura 7.1), plotaram-se os gráficos de posição, velocidade e
aceleração em função do ângulo de entrada da manivela q, ilustrados nas figuras 7.5, 7.6 e 7.7,
respectivamente. A figura 7.8 mostra a trajetória do ponto de interesse no plano.
Figura 7.5: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de
entrada q.
115
Figura 7.6: Velocidade x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de
entrada q.
Figura 7.7: Aceleração x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de
entrada q.
116
Figura 7.8: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.
7.1.2. Mecanismo oscilador – oscilador
Para o mecanismo oscilador – oscilador genérico sintetizado para cinco pontos de
precisão e apresentado na seção 4.2.4., realizou-se a análise cinemática do mecanismo. A tabela
7.2. contém os comprimentos das barras do mecanismo, e os respectivos ângulos iniciais de
posição de cada barra com referência no sistema inercial, a variação do ângulo de entrada q e
do ângulo de saída A3, e a velocidade e aceleração da barra de entrada.
Tabela 7.2: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo oscilador -
oscilador
Comprimentos das barras Ângulos de orientação das
barras Parâmetros adicionais
C1 = 1.8401 g = -62.8779º Δ𝑞 = 60º
C2 = 2.0907 q = 65.5379º �� = 1 rad/s
C3 = 1.3649 A2 = 25.0846º �� = 0 rad/s2
C4 = 3.0684 A3 = -4.6616º
117
Assim como para o mecanismo manivela-oscilador, a partir dos comprimentos das barras
definidos durante a síntese, e definido o ângulo de orientação da barra fixa, pode-se obter,
através das equações de loop e do método de newton-raphson, os ângulos de orientação das
barras de saída A3 e do acoplador A2. A variação desses ângulos em função do ângulo de entrada
q da manivela está ilustrada na figura 7.9. Por ser um mecanismo oscilador-oscilador, as barras
não completam o giro de 360º, e por isso, a variação do ângulo de entrada é de apenas 60º.
Figura 7.9: Posições angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q.
A figura 7.10 ilustra as velocidades e acelerações angulares da barra acopladora e da barra
de saída em função da variação do ângulo de entrada da manivela.
118
(a) Velocidade angular (b) Aceleração Angular
Figura 7.10: Velocidades e acelerações angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de
entrada q.
Para um ponto de interesse localizado no acoplador, cuja localização é dada pelo
comprimento do vetor Z = 1.8872 e seu ângulo de orientação ϕ = -107.7975º medido a partir da
abscissa do referencial inercial, plotaram-se os gráficos de posição, velocidade e aceleração em
função do ângulo de entrada da manivela q, ilustrados nas figuras 7.11, 7.12 e 7.13,
respectivamente. A figura 7.14 mostra a trajetória do ponto de interesse no plano.
Figura 7.11: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de
entrada q.
119
Figura 7.12: Velocidade x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de
entrada q.
Figura 7.13: Aceleração x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de
entrada q.
120
Figura 7.14: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.
7.1.3. Mecanismo manivela - manivela
Para o mecanismo manivela – manivela genérico com 5 pontos de precisão sintetizado e
apresentado na seção 4.3.4., realizou-se a análise cinemática do mecanismo. A tabela 7.3.
contém os comprimentos das barras do mecanismo, e os respectivos ângulos iniciais de posição
de cada barra com referência no sistema inercial, a variação do ângulo de entrada q e do ângulo
de saída A3, e a velocidade e aceleração da manivela de entrada.
Tabela 7.3: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo manivela-
manivela
Comprimentos das barras Ângulos de orientação das
barras Parâmetros adicionais
C1 = 2.5640 g = 1.7494º Δ𝑞 = 360º
C2 = 2.1838 q = 84.8172º �� = 1 rad/s
C3 = 2.2155 A2 = -109.0017º �� = 0 rad/s2
C4 = 1.7041 A3 = 165.8361º
121
A partir dos comprimentos das barras definidos durante a síntese, e definido o ângulo de
orientação da barra fixa, pode-se obter, através das equações de loop e do método de newton-
raphson, os ângulos de orientação das barras de saída A3 e do acoplador A2. A variação desses
ângulos em função do ângulo de entrada q da manivela está ilustrado na figura 7.15.
Figura 7.15: Posições angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q.
As figuras 7.16 e 7.17 ilustram, respectivamente, as velocidades e acelerações angulares
em função da variação do ângulo de entrada da manivela.
122
Figura 7.16: Velocidades angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q.
Figura 7.17: Acelerações angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q.
123
Para um ponto de interesse localizado no acoplador, cuja localização é dada pelo
comprimento do vetor Z = 1.8324 e seu ângulo de orientação ϕ = -37.4552º medido a partir da
abscissa do referencial inercial, plotaram-se os gráficos de posição, velocidade e aceleração em
função do ângulo de entrada da manivela q, ilustrados nas figuras 7.18, 7.19 e 7.20,
respectivamente. A figura 7.21 mostra a trajetória do ponto de interesse no plano.
Figura 7.18: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de
entrada q.
124
Figura 7.19: Velocidade x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de
entrada q.
Figura 7.20: Aceleração x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de
entrada q.
125
Figura 7.21: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.
7.2. Síntese e simulação cinemática e cinética de um mecanismo de quatro-barras:
Sintetizando um mecanismo de quatro-barras semelhante ao de Peres (2012), submete-se
o mesmo à análise cinemática e à análise cinética desenvolvidos no decorrer deste trabalho,
para avaliação dos resultados. Para a síntese, utiliza-se o método com cinco pontos de precisão,
de modo a obter um mecanismo de quatro-barras do tipo oscilador-oscilador. Seguindo a
metodologia explicitada na seção 3.4, e os dados de entrada presentes na tabela 7.4, obtiveram-
se os comprimentos das barras e seus respectivos ângulos de orientação iniciais. A trajetória do
ponto P do acoplador está descrita na figura 7.22.
126
Tabela 7.4: Dados de entrada e saída para mecanismo oscilador-oscilador
Entrada Saída
P21 = 0.0101 W = 0.1558
P31 = 0.0201 θ = 80.7826°
P41 = 0.0272 Z = 0.2219
P51 = 0.0325 φ = 32.9718°
δ2 = -1.1344º U = 0.1573
δ3 = -3.4166º σ = 100.5374°
δ4 = -5.0610º S = 0.2450
δ5 = -6.1844º ψ = 151.6060°
α2 = 0.5059° V = 0.4017
α3 = 1.02° G = 0.4554
α4 = 1.395°
α5 = 1.68°
Figura 7.22: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano.
127
7.2.1. Cinemática
O mecanismo oscilador – oscilador está ilustrado na figura 7.23. As dimensões do mesmo
são apresentadas na tabela 7.5., ou seja, os comprimentos das barras do mecanismo, e os
respectivos ângulos iniciais de posição de cada barra com referência no sistema inercial, a
variação do ângulo de entrada q e do ângulo de saída A3, e a velocidade e aceleração da
manivela de entrada.
Figura 7.23: Mecanismo de quatro barras. Fonte: Peres (2012) (modificado).
Tabela 7.5: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo oscilador-
oscilador
Comprimentos das barras Ângulos de orientação das
barras
Parâmetros adicionais
C1 = 155.8 g = -0.4219º Δ𝑞 = 70º
C2 = 401.7 q = 80.7826º �� = 1 rad/s
C3 = 157.3 A2 = 0.6076º �� = 0 rad/s2
C4 = 455.4 A3 = 100.5374º
Nota-se que a barra fixa do sistema, C4, e a barra acopladora C2 são inicialmente paralelas
entre si, e as barras de entrada e de saída estão posicionadas de maneira simétrica. A variação
do ângulo de entrada foi restringida pelos parâmetros geométricos do mecanismo, sendo que
para ângulos superiores a 70º, o método numérico não convergiu. Sendo assim, assumiu-se uma
variação angular da barra de entrada para modelagem cinemática de 70º. Foi aplicada uma
velocidade à barra de entrada de 1 rad/s, resultando em um velocidade e aceleração nas barras
acopladoras e de saída.
128
A partir destes valores numéricos pode-se obter, através das equações de loop e do método
de newton-raphson, os ângulos de orientação das barras de saída A3 e do acoplador A2. A
variação desses ângulos em função do ângulo de entrada q da manivela está ilustrada na figura
7.24.
Figura 7.24: Posições angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q.
As figuras 7.25 e 7.26 mostram, respectivamente, as velocidades e acelerações
angulares em função da variação do ângulo da barra de entrada.
129
Figura 7.25: Velocidades angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q.
Figura 7.26: Acelerações angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q.
130
7.2.2. Cinética
Para a análise cinética, necessitam-se, além dos comprimentos de barra do mecanismo, e
dos seus respectivos ângulos iniciais de orientação, outros dados apresentados a seguir. As
coordenadas cartesianas dos centros de massa das barras C1, C2 e C3 no sistema inercial, são
apresentadas na tabela 7.6. Vale ressaltar que a barra C4 é a barra fixa do sistema, e por isso
suas coordenadas cartesianas não estão apresentadas na tabela.
Tabela 7.6: Coordenadas cartesianas dos centros de massa das barras
Coordenadas cartesianas
Xcm1 = 0.25 Ycm1 = 0.77
Xcm2 = 0.225 Ycm2 = 0.154
Xcm3 = 0.90 Ycm3 = 0.77
A tabela 7.6 apresenta as informações das massas e momentos de inércia em relação aos
respectivos centros de massa de cada barra, conforme retratado por Peres (2012). Pode-se notar
que as barras C1 e C3, que são idênticas e posicionadas simetricamente, possuem a mesma massa
e momentos de inércia.
Tabela 7.7: Massa e momentos de inércia das barras móveis do mecanismo
Massas Momentos de inércia
M1 = 0,525 kg Icm1 = 0,057 kg.m2
M2 = 1,05 kg Icm2 = 0,011 kg.m2
M3 = 0,525 kg Icm3 = 0,057 kg.m2
Por último, os valores dinâmicos utilizados para a simulação cinética são k = 45000 N/m,
o coeficiente elástico da mola, e c = 500 N.s/m, que é o coeficiente de amortecimento do
amortecedor, posicionados transversalmente ao mecanismo de quatro-barras, como ilustrado na
figura 7.23. A seguir apresentam-se os gráficos obtidos na simulação cinética. A força externa
aplicada verticalmente ao mecanismo de quatro barras é constante e igual a 2500 N. As figuras
7.27, 7.28 e 7.29 ilustram o deslocamento, a velocidade e a aceleração do centro de massa da
barra acopladora em função do tempo. Em azul, apresenta-se o deslocamento em X, e em
vermelho, o deslocamento em Y, de acordo com o referencial definido na figura 7.23.
131
Figura 7.27: Deslocamento do centro de massa da barra C2 em função do tempo.
Figura 7.28: Velocidade do centro de massa da barra C2 em função do tempo.
132
Figura 7.29: Aceleração do centro de massa da barra C2 em função do tempo.
Nota-se que após a aplicação da força externa, o tempo de estabilização do sistema é de
aproximadamente 0,2 s. Pode-se verificar, que o deslocamento do centro de massa da barra
acopladora, onde ocorre a aplicação da força externa ao sistema, sofre um deslocamento
máximo de 70 mm, e que devido às forças elástica e de amortecimento, a posição é restituída
em um intervalo de tempo de 0,1 s. Esta resposta é importante pois está relacionada às condições
gerais de projeto. Neste caso, a frequência natural amortecida é de 1,35 Hz.
O mecanismo resultante está ilustrado na figura 7.30. A barra estacionária é C4, e as
barras de entrada (C1), acopladora (C2) e de saída (C3). O ponto de interesse do acoplador, neste
caso igual ao seu centro de massa, está destacado no acoplador.
133
Figura 7.30: Mecanismo quatro barras resultante da síntese e análise cinemática e dinâmica.
7.2.3. Resultados do problema de otimização
Na otimização, busca-se a determinação dos parâmetros ótimos do coeficiente elástico da
mola e do coeficiente de amortecimento do amortecedor, posicionados transversalmente ao
mecanismo de quatro-barras. Considera-se aqui a mesma força externa aplicada na análise
cinética, possibilitando a comparação dos resultados obtidos anteriormente e os resultados
otimizados. Como descrito no capítulo 6, o objetivo da otimização é a minimização das funções
deslocamento, velocidade e aceleração resultante da barra acopladora, dependendo da aplicação
do mecanismo.
Considerando as restrições apresentadas no capítulo 6, impõe-se uma frequência natural
amortecida desejada constante e igual a 4 Hz (anexo A), uma faixa do fator de amortecimento
entre 0.2 e 0.4, e utilizam-se as equações 7.1 e 7.2 apresentadas a seguir, para obter as faixas de
variação para o coeficiente elástico da mola e para o amortecimento, lembrando que a amplitude
da força externa é de 2500 N.
𝑘 =𝜔𝑑2𝑚
(1 − 𝜁2)
(7.1)
𝑐 = 2𝜁√𝑘𝑚 (7.2)
Força Externa
134
Tabela 7.8: Definição dos limites dos parâmetros a serem otimizados
Limite inferior Limite superior 𝜔𝑑[𝐻𝑧]
𝜁 0,2 0,4
K [N/m] 164493 187992 4
C [N.s/m] 2565 5484 4
A figura 7.31 ilustra a variação do máximo deslocamento (overshoot do sistema) em
função da variação do coeficiente elástico da mola e do coeficiente de amortecimento. Nota-se
que, considerando apenas essas restrições, o menor pico é atingido para os valores máximos
das variáveis otimizadas. Ou seja, estas restrições não são suficientes, e torna-se necessário a
inserção de uma nova restrição ao problema, neste caso, o tempo de estabilização. Caso
contrário, o menor valor do overshoot do sistema sempre seria atingido quando o problema de
otimização atingisse os limites superiores definidos no início do problema para as variáveis
otimizadas.
Figura 7.31: Variação do máximo pico da curva de resposta do sistema (deslocamento
resultante do centro de massa do acoplador) em função do coeficiente de amortecimento da
mola e do coeficiente de elasticidade da mola.
135
Considerando diferentes valores de tempo de estabilização, e utilizando sempre o
mesmo ponto inicial na otimização, assim como os mesmos valores para os limites inferiores e
superiores das variáveis a serem otimizadas, obtiveram-se os valores apresentados na tabela
7.8. O ponto inicial escolhido é próximo dos valores do limite inferior para os parâmetros
iniciais definidos na tabela 7.8.
Tabela 7.9: Resultados da otimização
Tss [s] Ponto inicial [k0; c0]
[N/m; N.s/m]
Ponto ótimo [k; c] [N/m;
N.s/m]
Pico máximo
[m]
0,075 [164500; 2566] [170348; 3526] 0,0119
0,15 [164500; 2566] [185284; 4730] 0,0135
A figura 7.32 ilustra o deslocamento do centro de massa no acoplador, para diferentes
valores otimizados. Analisando a figura 7.34 e a tabela 7.9, nota-se que o tempo de estabilização
e o pico de máximo do sistema são grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior
o tempo de estabilização, menor o pico máximo do sistema.
Figura 7.32: Deslocamento do centro de massa do acoplador.
136
Comparando as curvas otimizadas com a curva do sistema original, nota-se que o pico
de máximo deslocamento foi reduzido em 80%. Ainda, a frequência natural amortecida e o fator
de amortecimento mantiveram-se dentro das restrições estabelecidas.
Modificando a função objetivo do processo de otimização, agora para a velocidade,
adicionando uma restrição de modo que a velocidade seja reduzida em no mínimo 50% do valor
original, e mantendo os limites inferiores e superiores dos parâmetros a serem otimizados,
realizou-se uma nova otimização do sistema. Os valores para diferentes tempos de estabilização
e pontos iniciais estão apresentados na tabela 7.10.
Tabela 7.10: Resultados da otimização
Tss [s] Ponto inicial [k0; c0]
[N/m; N.s/m]
Ponto ótimo [k; c] [N/m;
N.s/m]
Pico máximo
[m/s]
0,075 [164500; 2566] [176211; 4278] 0,5473
0,15 [164500; 2566] [180604; 4763] 0,3755
A figura 7.33 ilustra a velocidade do centro de massa no acoplador, para diferentes valores
otimizados. Analisando a figura 7.33 e a tabela 7.10, nota-se que o tempo de estabilização e o
pico de máxima velocidade são grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior o
tempo de estabilização, menor o pico máximo do sistema. Devido à restrição do fator de
amortecimento, valores maiores de tempo de estabilização não foram possíveis, pois as
variáveis otimizadas atingiam os limites superiores definidos antes da convergência.
137
Figura 7.33: Velocidade do centro de massa do acoplador.
Comparando as curvas otimizadas com a curva do sistema original, nota-se que o pico
de máxima velocidade foi reduzido em 78% a 85%, dependendo do tempo de estabilização.
O último caso de otimização simulado foi para o caso da utilização da aceleração do
ponto de interesse na barra acopladora como função objetivo. A tabela 7.11 apresenta os valores
obtidos no processo de otimização.
Tabela 7.11: Resultados da otimização
Tss [s] Ponto inicial [k0; c0]
[N/m; N.s/m]
Ponto ótimo [k; c] [N/m;
N.s/m]
Pico máximo
[m/s2]
0,075 [164500; 2566] [169922; 3465] -33.53
0,15 [164500; 2566] [187992; 5484] -22.89
A figura 7.34 ilustra a aceleração do centro de massa no acoplador, para diferentes valores
otimizados. Novamente, assim como nos casos de otimização da velocidade e a do
deslocamento, nota-se que o tempo de estabilização e o pico de máximo do sistema são
138
grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior o tempo de estabilização, menor
o pico máximo do sistema.
Figura 7.34: Aceleração do centro de massa do acoplador.
Comparando as curvas otimizadas com a curva do sistema original, nota-se que o pico
de máxima aceleração foi reduzido em 45% a 60% do valor inicial, dependendo do tempo de
estabilização.
139
8 CONCLUSÃO
O desenvolvimento do presente estudo possibilitou a criação de um software, integrando
ferramentas de síntese de mecanismos de quatro-barras, análises cinemática e cinética do
mecanismo sintetizado, e por último a otimização de parâmetros dinâmicos associados ao
mesmo. O intuito é prover ao projetista mecânico uma ferramenta genérica e abrangente, que
permita uma rápida síntese mecânica e análise dinâmica dos mecanismos.
Utilizando-se o software MATLAB, criou-se um algoritmo capaz de utilizar as
formulações descritas no capítulo 3 (síntese analítica) para a obtenção dos comprimentos de
barra de mecanismos do tipo quatro-barras, bem como a trajetória no plano cartesiano do ponto
de interesse e a variação do ângulo da 2ª manivela e do acoplador em função do ângulo de
entrada no mecanismo (1ª manivela). Os métodos analíticos de síntese garantem que o
mecanismo passará pelos pontos de precisão especificados, porém não garantem que o mesmo
possa se movimentar continuamente entre dois pontos de precisão sucessivos. Dessa forma, a
utilização do software possibilita uma rápida alteração dos parâmetros do mecanismo para que
o mesmo funcione na operação desejada, diferentemente da síntese gráfica, que exige a
construção de um mecanismo diferente para cada parâmetro modificado.
Integrando o programa de síntese ao de análise desenvolvido por Saint Martin (2014),
implementou-se a análise cinemática e cinética para mecanismos de quatro-barras. Utilizando-
se as duas ferramentas conjuntamente, é possível detectar possíveis pontos de singularidade do
mecanismo, e rapidamente refazer o processo da síntese, de modo a obter novo mecanismo que
atenda às especificações de projeto.
Finalmente, propôs-se a otimização do coeficiente elástico da mola e do coeficiente de
amortecimento, buscando a minimização dos máximos das funções deslocamento, velocidade
ou aceleração da barra acopladora do mecanismo de quatro-barras simulado. O objetivo da
implementação de diferentes funções objetivo foi tornar o algoritmo o mais genérico possível,
e possibilitar ao projetista a variação das funções de acordo com a utilização desejada do
mecanismo. Ainda, consideraram-se como restrições aos problemas de otimização, uma faixa
do fator de amortecimento entre 0.2 e 0.4, o tempo de estabilização do sistema, e uma frequência
natural amortecida desejada constante e igual a 4 Hz (anexo A). Nota-se que, para as diferentes
otimizações, o tempo de estabilização e o pico de máximo do sistema são grandezas
inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior o tempo de estabilização, menor o pico
140
máximo do sistema. O coeficiente de amortecimento é a variável com maior influência nas
curvas de resposta, de tal forma que o seu aumento resulta na redução do pico de máximo do
sistema e no tempo de estabilização. Por outro lado, o aumento no valor do coeficiente de
elasticidade da mola também resulta em redução dos picos de máximo, e possui maior
influência na variação das frequências naturais do sistema. Os valores ótimos para o coeficiente
elástico da mola e o coeficiente de amortecimento dependem das necessidades de projeto, tais
como aplicação, esforços aos quais o mecanismo é submetido, transmissibilidade de vibrações,
e o orçamento disponível.
Como sugestão para próximos trabalhos, citam-se a integração de outras metodologias de
síntese de mecanismos de quatro-barras, tornando possível também a implementação de
métodos com síntese de mecanismos tridimensionais.
141
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ANEXO A – NORMA ISO 2631