Sincronización en osciladores

acoplados a pulsos

Albert Díaz-Guilera

Conrad J. Pérez

Alex Arenas

Álvaro Corral

Xavier Guardiola

Mateu Llas

UNIVERSIDAD DE

BARCELONA

http://www.ffn.ub.es/albert

2 modelos

Pilas de arena, terremotos y luciérnagas

Sincronización y estructuras espacio-temporales

Pilas de arena, terremotos y luciérnagas

Bak Tang Wiesenfeld (PRL 59 (1987) 381)Sistemas dinámicos extendidosRuido 1/f: superposición de escalas de tiempoAutosimilaridad espacialTerremotos: leyes potenciales de distribución

AUSENCIA DE ESCALAS CARACTERÍSTICAS

Autómata celular

Sistema discreto con reglas dinámicas sencillas

Condición umbral que introduce la nolinearidad

Criticalidad auto-organizada

Autoorganizada: El sistema evoluciona de forma natural hacia un estado estacionario de no-equilibrioCrítico: El sistema es crítico en el sentido que no hay escalas características en su evolución: ni espaciales ni temporalesSin necesidad de reglas complicadas y sin ajustar ningún parámetro externo

Terremotos: modelo de muelles y bloques

Olami, Feder y Christensen

PRL 68 (1992) 1244Ei,j 0

Enn Enn+Ei,j

2 time scales

Sincronización

Física: uniones Josephson

Química: reacciones químicas

Biología: Celulas marcapasos del corazón

Neuronas en el córtex visual

Luciérnagas

Osciladores de fase

1 escala temporal Osciladores nolineales que se mueven en un ciclo límite

Interaccion débil pero continua

Modelo de Kuramoto

1

sin ( )N

ii ij i j i

i

dJ t

dt

Positivo Negativo

Integrate-and-fire oscillators

2 escalas temporales

Si Ei(t)>Ec

Pulso transmitido: EjEj+(Ej)

Reinicializado: Ei0

( )ii

dEf E

dt

Mirollo & Strogatz

SIAM J. Appl. Math. 50 (1990) 1645

SincronizaciónTodos con todos

Acoplamiento uniforme positivo

Tiempo refractario

f’(E)>0

CPDA (PRL 75 (1995) 3697)

Generalización a acoplamiento dependiente del estado

'( ) ( )f E E

'( ) ( ) ( ) '( )f E E f E E

MS en 2d con interacciones nn y CC periódicas (CPDA)

SOC y oscilaciones de relajación

   

TERREMOTO (FF-OFC) LUCIERNAGAS (MS)

Nearest neighbors All-to-all

Uniform driving rate dE/dt=1

Nonuniform dE/dt=f(E)

Open BC’s No BC’c

Enn Enn+ (FF)   

Enn Enn+Ei 

Ej Ej+  

NO refractory time  Refractory time 

SOC SYNCHRONIZATION

Sin tiempo refractario (PRL 74 (1995) 118)

Se rompe la sincronización

OFC con driving no-uniforme

Efecto de la diversidad

Periódico SOC Decaimiento exponencial (PRL 78 (1997) 1492)

Sincronización y estructuras espacio-temporales

Representación continua

Con la condición de puesta a cero Ei1

( ) ( ) ( )ii i j

j

dEf E E t t

dt

Acoplamiento independiente del estado

siendo

0 0

0

'( ) ( ) ( )

( ')

Ei

i jj

dydEy E g y t t

E dt

0

( )( )

( )i

ii

f Eg y

E

Descripción en términos de fase

siendo

0

'( ) 1 ( ) ( )

( ')

Ei

i jj

ddEE t t

f E dt

( )( )

( )i

ii

E

f E

Separando las escalas de tiempo

Driving: di/dt=1

Firing

01

( )i

inn nn nn

PRC

Relación entre las interacciones

Recibiendo n firings simultáneos

( )'

( )( ')

jn

j

t

jj t

dt t dt n

Evolución discreta1

( )i

i i i

umbral

jt

( )

Evolución de las fases

Dos tipos de interacciones

Interacciones excitatorias <0

Interacciones inhibitorias >0

Ejemplo 2 osciladores

Dos osciladores

Medio ciclo

10 1--1()

F D

+ 1()1

Puntos fijos

*=1- *- 1(*)

Estabilidad

’1()>0 Inestable -> Sincronización

’1()<0 Estable -> Phase-locking

Osciladores dirigidos en un anillo (PRE 57 (1998) 3820)

Driving: di/dt=1

Firing

1 1 1 1

01 i

ii i i i

Firing + Driving

Return map

' ( ) 1k kT M

Acoplamiento negativo

Acoplamiento positivo

Puntos fijos

Analíticamente: cotas a los módulos de los valores propios

<0 puntos fijos estables>0 puntos fijos inestables

*1 1

1

mm N

N m

Estructuras (PRE 60(1999) 3626)

Ejemplo: N+1=4 osciladores

C(N+1,m)

Degeneración del patrón

1

4

1

Selección de los patrones

Aproximación “de campo medio”

1 ( ) () ( )1 1,( ) mNm C N mp 1( ) 1N

mm

p Cálculo de la degeneración:

( 1, ) ( , ) ( )1 ) 1( ,C N m C N m C N mm N m

( 1,1 1) ( 1, )C N C N N

Patrón dominanteN par: m=(N+1)/2

N impar: m=(N+2)/2 y m=N/2

Desaparición de patrones

Desaparece !!

Desorden topológico (PRE 62 (2000) 5565)

Sincronización

Medida de la sincronización

Medida de la sincronización:

10

1[1 ( )]

N

ii

m tN

T tiempo de sincronización

Redes aleatorias

( N nodos, l conexiones) ln( )2

Nl N

Estudiando como escala T con los parámetros de la red se obtiene la ley de escala:

2 2

T l

N N

1.30 0.05

1.50 0.05

Redes parcialmente desordenadas

p = 0 p = 1

Caracterizamos el grado de desorden topológico de la red mediante un parámetro p (reconexionado)

(Watts, Strogatz)

Orden y desorden

Simulaciones (T vs p)Dispersión en el número de vecinos

“Frustración dinámica” que impide una sincronización eficiente

Normalicemos los acoplamientos

para compensar la frustración( ( ))

( ( ))norm N i

N i

Conclusiones

Diferentes comportamientos espacio-temporales, obtenidos a partir de reglas muy sencillas

Criticalidad auto-organizadaSincronizaciónFormación de estructuras

Mediante simulaciones y resultados analíticos exactos y de “campo medio”