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E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 1

Análisis Numérico

Parte 1


Introducción• Bibliografía:

– Chapra S. C., Canale R. P., “Métodos Numéricos para Ingenieros”, Mc. Graw-Hill,1999. Tercera Edición.

– Burden R. L., Raires J. D., “Análisis Numérico”. Ed. Grupo Editorial Iberoamericana,1998. Sexta Edición.

– Kincaid D., Cheney W., “Análisis Numérico”. Addison-Wesley Iberoamericana,1994.

– Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P., “Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing”. Cambridge University Press. Second Edition.

– Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P., “Numerical Recipes in C. Example Book (C)”.Cambridge University Press. Second Edition.


Introducción– Stoer J., Burlirsch R., “Introduction to Numerical

Analysis”, Springer Verlag, Berlin,1992.– Michael T. Heat, “Scientific Computing: An

Introductory Survey”, Ed. Mc Grawn Hill.– Gander W., et al. “Solving Problems in Scientific

Computing using Maple and Matlab”, Springer Verlag, Berlin,1993.

– Mathews, J. H., Kurtis D. F., “Métodos Numéricos conMatlab”, Prentice Hall Iberia, D. L. 1999.

– Ottosen, N., Petersson H., “Introduction to the Finite Element Method”, Prentice Hall, 1992.

– Herrero, H., Díaz Cano, A, “Informática Aplicada a las Ciencias y a la Ingeniería con Matlab” , E. T. S. de Ingenieros Industriales. UCLM.


Introducción• Los métodos numéricos son técnicas mediante las

cuales se pueden formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas básicas.– Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones

grandes, no linealidades, geometrías complicadas y permiten la resolución de problemas ingenieriles que no tienen solución analítica.

– El uso inteligente del software “comercial” se ve favorecido por el conocimiento de los métodos numéricos.

– Permiten diseñar programas propios para tareas concretas.


Introducción– Permiten familiarizarse con los ordenadores y

comprender su funcionamiento.– Son un medio para reforzar la comprensión matemática,

ya que uno de sus objetivos es transformar las matemáticas superiores a operaciones aritméticas básicas.


Introducción• Raices de ecuaciones:

– Métodos para resolver– Estos problemas se

relacionan con el valor de una variable o parámetro que satisface una ecuación. Son muy valiosos en proyectos de ingeniería, ya que en muchas ocasiones resulta imposible despejar analíticamente los parámetros de las ecuaciones de diseño.

.0)x(f\x 00 =

f(x)

x

Raices

x0


Introducción• Sistemas de ecuaciones

lineales:

– Metodos que buscan el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente un sistema de ecuaciones algebraicas.

– Cálculo de estructuras, circuitos eléctricos, ajuste de curvas,...

2222121

1212111bxaxabxaxa

=+=+

x1

Solución delsistema

x2


Introducción• Optimización:

– Determinar el valor x0que da el óptimo de f(x).

– Involucran determinar el valor o valores que responden al “óptimo”de la función.

f(x)

x

Máximolocal

Mínimo


Introducción• Ajuste de curvas, las técnicas se dividen en dos:

– Regresión, se emplea cuando hay un grado significativo de error en los datos, asociado a datos experimentales. Se trata de encontrar una curva que siga la tendencia general de los datos

– Interpolación, se usa para ajustar datos tabulados, y predecir valores intermedios.

f(x)Regresión

f(x)

x x


Introducción• Integración:

– Determinar el área bajo una curva dada.

– Tiene muchas aplicaciones en ingeniería. Cálculo de centros de gravedad, cálculo de cantidades totales a base de sumar cantidades discretas.

– Resolución de ecuaciones diferenciales.

∫=b

adx)x(fI

f(x)

x

Integral

a b


Introducción• Ecuaciones diferenciales

ordinarias:

– Muy importantes, dado que muchas leyes físicas se expresan en términos de variaciones y no de su magnitud.

– Hay dos tipos de problemas asociados, valor inicial y valores en la frontera.

dydt

= f ( t; y)

y

t

∆t

ti ti+1

Pendientef(ti,yi)


Introducción• Ecuaciones diferenciales

parciales:

– Usadas para la caracterización de sistemas ingenieriles, donde el comportamiento de la cantidad física se expresa en términos de velocidad de cambio con respecto a dos o más variables.

– Aproximación por diferencias finitas, y método de los elementos finitos.

)y,x(fyu

xu

2

2

2

2=

∂

∂+∂

∂

y

x


Modelos matemáticos• Una expresión matemática de un modelo sencillo puede ser

• Solución analítica (t=0, v=0):

• Solución aproximada:

DF

UF;maF = )s/kgm(F 2 )kg(m )s/m(a 2

;mFa = ;

mF

dtdv = ;

mFF

dtdv UD +=

;mcvmg

dtdv −= )s/Kg(c

)tt()t(vmcg)t(v)t(v i1iii1i −

−+= ++


Modelos matemáticos• Para resolver el problema numéricamente sustituimos la

derivada por una diferencia finita dividida, con ello transformados el problema matemático de calcular la integral en operaciones algebraicas sencillas:

y

t∆t

ti ti+1

Pendiente aproximada∆v/∆t=(v(ti+1)-v(ti))/(ti+1-ti)vi

vi+1

∆v

Pendiente realdv/dt

Ejemplo1


Modelos matemáticos• Comparación de soluciones:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60

Solución numérica,∆t=1seg

Solución numérica,∆t=2seg

t,seg

V,m

/seg Solución

exacta

Aproximada Aproximada(∆t=2s.) (∆t=1s.)

0 0 0 02 16.422 19.62 17.8193394 27.798 32.037357 29.6974396 35.678 39.896213 37.6151988 41.137 44.870026 42.893056

10 44.919 48.017917 46.41119512 47.539 50.010194 48.75633314 49.353 51.271092 50.31956616 50.611 52.069105 51.36159418 51.481 52.574162 52.05619320 52.085 52.893809 52.519203

Exactat(seg)


Aproximaciones y errores de redondeo• Los ordenadores, por desgracia, introducen errores en los

cálculos. Pero como muchos problemas en ingeniería no tienen solución analítica, nos vemos obligados a resolverlos usando aproximaciones. La única opción que nos queda es asumir ese error, y tratar que sea lo menor posible dentro de un intervalo tolerable.

• Por tanto, la única forma de de poder minimizar el error, se basa en el conocimiento y comprensión de por qué ocurren, y como podemos disminuirlos.

• Los dos errores más comunes son:– De redondeo, debido a que la computador sólo puede

representar un número finito de números.– De truncamiento, que se deben a la diferencia entre la

formulación matemática exacta de un problema, y la aproximación por un método numérico.

• Antes de centrarnos en cada uno de ellos, veamos dos conceptos importantes sobre la representación de números.


Aproximaciones y errores de redondeo• Cifras significativas:

– Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden usarse de forma fiable.

– El velocímetro y el odómetro de la figura estiman hasta tres y siete cifras significativas respectivamente, 49.5 y 87324.45.

– Este concepto tiene dos implicaciones importantes:

87324540

20

4060

80

100

120

6040

1. Se puede decidir que una aproximación es aceptable cuando es correcta para un número fijado de cifras significativas.2. Hay cantidades que no pueden representarse exactamente.

...123105.417

...14159265.3=

=π


Aproximaciones y errores de redondeo• Exactitud y precisión:

– Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión.

– La exactitud se refiere a lo cercano que está el valor obtenido, del valor real.

– La precisión hace referencia a lo cercano que está el valor obtenido, de otros valores obtenidos por el mismo método.

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos (sin sesgos) y precisos para cumplir los requisitos de un problema de ingeniería. A partir de ahora el término error hará referencia a la inexactitud e imprecisión de las predicciones.

a) b)

c) d)

Aumenta la exactitud


Aproximaciones y errores de redondeo• Definiciones de error:

– Valor verdadero=aproximación + error verdadero.– Error verdadero=valor verdadero - aproximación.– Error relativo=error verdadero / valor verdadero.

– En los casos reales no siempre es posible conocer el valor verdadero, por eso:

– En muchos casos, el error se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual.

%100verdaderovalorverdaderoerror

t =ε

%100aproximadovaloraproximadoerror

a =ε

%100actualónaproximaci

anteriorónaproximaciactualónaproximacia

−=ε


Aproximaciones y errores de redondeo– Así el criterio de parada de un método numérico puede ser:

– Es conveniente relacionar los errores con en número de cifras significativas. Así, si se cumple la siguiente relación se puede asegurar que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas.

prefijadaporcentualtolerancias

sa=ε

ε<ε

)%10*5.0( n2s

−=ε


Aproximaciones y errores de redondeo• Sistemas numéricos:

– Un sistema numérico es una convención para representar cantidades. Dado que tenemos 10 dedos en las manos, el sistema que nos es más familiar a los humanos es el decimal o sistema en base 10, que usa 10 dígitos.

– Pero las computadoras, debido al funcionamiento de almacenamiento de números en memoria, sólo puede representar dos dígitos, 0 y 1. Por lo tanto usan el sistema binario.

8 6 4 0 9

104 103 102 101 100

8 x 10000 = 800006 x 1000 = 60004 x 100 = 4000 x 10 = 09 x 1 = 9

86409

1 0 1 0 1

27 26 25 24 23

1 0 1

22 21 20

1 x 128 = 1280 x 64 = 641 x 32 = 320 x 16 = 161 x 8 = 81 x 4 = 40 x 2 = 01 x 1 = 1

173

a)

b)


Aproximaciones y errores de redondeo• Representación de enteros:

– Para representar los números en base 10 en forma binaria, se usa el método de la magnitud del signo, el primer bit indica el signo (0, positivo y 1, negativo). Los bits sobrantes se usan para guardar el número.

– Una computadora con 16 bits puede representar números enteros en un rango de -32768 a 32767.

Signo delnúmero

Número

1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1


Aproximaciones y errores de redondeo• Representación de punto flotante:

– Esta representación se usa para las cantidades fraccionarias. Tiene una parte fraccionaria, llamada mantisa o significando, y una parte entera, llamada exponente o característica.

– La mantisa usualmente está normalizada, así el valor absoluto de m está limitado:

eb*m

Signo

Exponente consigno

Mantisa

1mb1 <≤


Aproximaciones y errores de redondeo• Conjunto hipotético:

– Crearemos un conjunto hipotético de punto flotante para una máquina que usa 7 bits para su sistema numérico.

– El número más pequeño representado es 0.0625. Y el mayor el 7.

Signo delnúmero

Magnitud de lamantisa

Signo delexponente

Magnitud delexponente

0 1 1 1 1 0 0


Aproximaciones y errores de redondeo

Sig. Sig.man. exp.

0 1 1 1 1 0 0 0,06250 1 1 1 1 0 1 0,078125 0,0156250 1 1 1 1 1 0 0,09375 0,0156250 1 1 1 1 1 1 0,109375 0,0156250 1 1 0 1 0 0 0,125 0,0156250 1 1 0 1 0 1 0,15625 0,031250 1 1 0 1 1 0 0,1875 0,031250 1 1 0 1 1 1 0,21875 0,031250 1 0 1 1 0 0 0,25 0,031250 1 0 1 1 0 1 0,3125 0,06250 1 0 1 1 1 0 0,375 0,06250 1 0 1 1 1 1 0,4375 0,06250 1 0 0 1 0 0 0,5 0,06250 1 0 0 1 0 1 0,625 0,1250 1 0 0 1 1 0 0,75 0,125

Exponente Mantisa Base 10 Diferencia Sig. Sig.man. exp.

0 1 0 0 1 1 1 0,875 0,1250 0 0 1 1 0 0 1 0,1250 0 0 1 1 0 1 1,25 0,250 0 0 1 1 1 0 1,5 0,250 0 0 1 1 1 1 1,75 0,250 0 1 0 1 0 0 2 0,250 0 1 0 1 0 1 2,5 0,50 0 1 0 1 1 0 3 0,50 0 1 0 1 1 1 3,5 0,50 0 1 1 1 0 0 4 0,50 0 1 1 1 0 1 5 10 0 1 1 1 1 0 6 10 0 1 1 1 1 1 7 1

Base 10 DiferenciaExponente Mantisa


Aproximaciones y errores de redondeo• Conclusiones:

– Hay un rango limitado para representar cantidades. Los límites corresponden a “underflow” y “overflow”.

– Sólo hay un número finito de cantidades que se pueden representar dentro del rango.

Desbordamiento07

∆x/2

x−∆x x+∆xRedondeando

∆x

x−∆x x+∆xCortando

Underflow“agujero“ en cero

0


Aproximaciones y errores de redondeo– El intervalo entre números aumenta conforme los

números crecen en magnitud. Eso significa que los errores cuantificados son proporcionales a la magnitud del número a ser representado. Analizando el error relativo tenemos:

– donde ε es el épsilon de la máquina, y es el error relativo pésimo.

ε=∆xx con corte

2/xx

ε=∆ con redondeo

Ejemplo2


Aproximaciones y errores de redondeo• Las computadoras comerciales usan el formato IEEE,

que reserva 32 bits para los números en punto flotante, 24 bits son para la mantisa, 6 bits para el exponente, un bit para el signo del exponente y otro para el signo de la mantisa.

• Las computadoras también permiten el formato de doble precisión, en el que se reservan 64 bits para cada número (52-10-2).

3938 10a10:Rango

ivassignificatcifras7ecisiónPr−

=

308308 10a10:Rango

ivassignificatcifras1615ecisiónPr−

−=


Aproximaciones y errores de redondeo• Operaciones aritméticas comunes:

– En la suma y en la resta, el número de la mantisa con el exponente más pequeño se modifica de forma que los exponentes de los números sean iguales. Esto puede producir pérdida de cifras significativas.

– Si el resultado no está normalizado, se normaliza.– Cálculos grandes: ciertos métodos, requieren un

número elevado de manipulaciones aritméticas, esto hace que aunque los errores de redondeo individual sean pequeños, el acumulado sea inaceptable.

1

1

1

11

10*160081.0

10*004381.010*1557.0

10*4381.010*1557.0 −+


Aproximaciones y errores de redondeo• Precauciones:

– Sumas de números grandes y pequeños: debido a la igualación del exponente. Suele darse en sumas de series infinitas, donde los términos individuales son insignificantes respecto de la suma acumulada. Este error se puede minorar sumando primero los términos más pequeños y usando la doble precisión.

– Cancelación de la resta: La resta de números muy parecidos.

– Smearing: los términos individuales son más grandes que la propia sumatoria.

– Productos internos:las sumatorias siguientes son propensas a tener errores por redondeo. Por eso conviene usar doble precisión en este tipo de cálculos.

∑=

+++=n

1inn2211ii yxyxyxyx K


Series de Taylor. Errores de truncamiento• Las series de Taylor tienen un gran valor en métodos

numéricos, en esencia, es un método para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función en otro punto y sus derivadas.

nn

i)n(3

i)3(2

iii1i R

!nh)x(f

!3h)x(f

!2h)x(''fh)x('f)x(f)x(f ++++++=+ K

donde:

i1i

1n)1n(n

xxh)!1n(h)(fR

−=+ξ=

+

++


Series de Taylor. Errores de truncamientof(x)

xh

xi xi+1

f(xi+1)

f(xi) )x(f)x(f i1i =+

h)x('f)x(f)x(f ii1i +=+

2iii1i h

!2)x(''fh)x('f)x(f)x(f ++=+

)x(f 1i+


Series de Taylor. Errores de truncamiento

)ax)((gdt)t(gx

a−ξ=∫

f(x)

xh

xi xi+1

Pendiente=f ’(ξ)

R0

ξ

Teorema del valor medio:


Series de Taylor. Errores de truncamiento• Uso de la serie para estimar errores de truncamiento.

– En este caso el error usando esta derivada es del orden de t i+1-t i, así si disminuyo el paso a la mitad el error en la derivada disminuye a la mitad.

1i1iii1i R)tt)(t('v)t(v)t(v +−+= ++

)tt(R

)tt()t(v)t(v)t('v

i1i1

i1ii1i

i −−

−−=

++

+

Aproximación a primer orden

Error de truncamiento

( ) )tt(tt!2)(''v

)tt(R

i1ii1ii1i

1 −ο=−ξ=− ++

+


Series de Taylor. Errores de truncamiento• Uso de la serie para calculo de derivadas.

– Primera derivada con diferencia hacia delante.

)xx)(x('f)x(f)x(f i1iii1i −+≈ ++

f(x)

xh

xi xi+1

Derivada real

Aproximación

)xx()x(f)x(f)x('f

i1ii1i

i −−≈

+

+


Series de Taylor. Errores de truncamiento– Primera derivada con diferencia hacia atrás.

)xx)(x('f)x(f)x(f 1iiii1i −− −−=

f(x)

xhxi-1 xi

Derivada real

Aproximación)xx()x(f)x(f)x('f

1ii1ii

i−

−−−≈


Series de Taylor. Errores de truncamiento– Primera derivada con diferencias centrales.

h2)x(f)x(f)x('f 1i1i

i−+ −≈

f(x)

x2hxi-1 xi+1

Derivada real

Aproximación

K

K

+++=

−+−=

+

−

2iii1i

2iii1i

h!2)x(''fh)x('f)x(f)x(f


K+++= −+3i

)3(i1i1i h

!3)x(fh)x('f2)x(f)x(f


Series de Taylor. Errores de truncamiento– Derivadas de orden superior por diferencias divididas.

2i1i2i

ih

)x(f)x(f2)x(f)x(''f +−≈ ++

K

K

+++=

−×+++=

+

+

2iii2i

2iii1i

)h2(!2)x(''fh2)x('f)x(f)x(f

)2(h!2)x(''fh)x('f)x(f)x(f

K++−=− ++2

ii1i2i h)x(''f)x(f)x(f2)x(f

Segunda diferencia finita dividida hacia adelante

22i1ii

ih

)x(f)x(f2)x(f)x(''f −− +−≈

K

K

++−=

−×++−=

−

−

2iii2i

2iii1i

)h2(!2)x(''fh2)x('f)x(f)x(f

)2(h!2)x(''fh)x('f)x(f)x(f

K++−=− −−2

ii1i2i h)x(''f)x(f)x(f2)x(f

Segunda diferencia finita dividida hacia atrás


Series de Taylor. Errores de truncamiento– Derivadas de orden superior por diferencias divididas.

K

K

+++=

−+−=

+

−

2iii1i

2iii1i



Segunda diferencia finita dividida central


Series de Taylor. Errores de truncamiento• Error de propagación.

– Este error es el error que se produce al evaluar una función en una ordenada que tiene un error:

– Para funciones de más de una variable:)xx~)(x~('f)x~(f)x(f

)xx~(!2)x~(''f)xx~)(x~('f)x~(f)x(f

)x~(f)x(f)x~(f

xdeónaproximaciunax~Sea

2

−≅−

+−+−+=

−=∆

K

K+

−

∂

∂+−−∂∂

∂+−∂

∂+

+−∂∂+−

∂∂+=

++++

++++

2i1i2

2i1ii1i

22

i1i2

2

i1ii1iii1i1i

)vv(vf)vv)(uu(

vuf)uu(

uf

!21

)vv(vf)uu(

uf)v,u(f)v,u(f


Series de Taylor. Errores de truncamiento

v~vfu~

uf)v~,u~(f ∆

∂∂+∆

∂∂=∆

– Para n variables independientes:

nn

22

11

n21 x~x~fx~

x~fx~

x~f)x~,,x~,x~(f ∆

∂∂++∆

∂∂+∆

∂∂=∆ KK


Series de Taylor. Errores de truncamiento• Estabilidad:

– La estabilidad de un método numérico representa la sensibilidad a los datos de entrada. Así, un problema será “inestable” si pequeñas variaciones en los datos, producen grandes variaciones en los resultados.

– Usando Taylor:

– El error relativo de f(x) será:

– Mientras que el error relativo de x será:

)x~x)(x~('f)x~(f)x(f −+=

)x~(f)x~x)(x~('f

)x~(f)x~(f)x(f −≅−

x~x~x −


Series de Taylor. Errores de truncamiento– Se define el número condicionado como el cociente de

los errores relativos anteriores:

– El número condicionado, nos dá una medida de la influencia que tiene la aproximación matemática empleada, en el error. Valores altos indican métodos o problemas mal condicionados, que aumentan la incertidumbre del resultado.

– El valor 1 nos indica que el error relativo de la función es idéntico al error relativo del dato x.

)x~(fx~)x~('fdocondicionaNúmero =


Series de Taylor. Error numérico total• El error numérico total es la suma de los errores de

redondeo y truncamiento.– Los errores de redondeo se pueden minimizar

aumentando el número de cifras significativas de la computadora.

– Este error se incrementará tanto por la cancelación por resta como por un aumento significativo en los cálculos.

– El error de truncamiento se puede reducir disminuyendo el tamaño de paso, pero al disminuir puede producirse la cancelación por resta, y aumento de errores de redondeo por el incremento del número de cálculos.


Series de Taylor. Error numérico total

• Otros errores son:– Equivocaciones, errores de formulación (modelado

inadecuado) e incertidumbre de los datos.

Log tamaño de paso

Punto de regresodisminuido

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