Simulation numérique d’écoulements confinés en convection de Bénard-Marangoni Marc MEDALE...
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Motivations et objectifs de l’étudeMotivations et objectifs de l’étude
• Re-visiter le problème à l’aide des outils de simulation numérique ;
• Comprendre les raisons d’existence de la convection cellulaire (réseau hexagonal) ;
• Montrer l’influence du confinement (géométrie du récipient) sur la structure de l’écoulement (cellules) ;
• Identifier et caractériser quelques uns des régimes dynamiques observés.
Plan de la présentationPlan de la présentation
• Modélisation physique du problème ;
• Modèles numériques développés ;
• Raisons d’existence de la convection cellulaire (réseau hexagonal) ;
• Quelques régimes dynamiques atypiques.
Modélisation physiqueModélisation physique
paroi chaude
paroi froide
airfs
fv
liquide
diffusion :
Pr = Archimède :
Ra =
gd3T
Ma =
dT
Interface :
Bi =
hdk
Cr =
d
Seuils de convection :
Mac0 79,6
Rac0 669
Déformation surface libre
négligeable si :
d3 > 120
g
d > 0,5 mm
Equations du problèmeEquations du problème
v = 0 Pr
vt
+ v.v = -p + 2v + Ra z
Ecoulement dans la couche liquide
Conditions aux limites d’écoulement
v = 0.
v. n= 0 ;uz
= - Max
;vz
= - May
.parois rigides
surface libre
Transferts thermiques dans la couche liquide
Conditions aux limites thermiques
t
+ v. = 2 + w
.
. n
= 0
= 0 paroi inférieure
surface libre
T = Tc -
Td
z +
Analyse préliminaireAnalyse préliminaireA) Aspects physiques : recherche de solutions
• Stationnaires (si elles existent) ;
• Instationnaires ;
• Études de stabilité.
B) Aspects numériques• Compatibilité modèles-algorithmes-ressources.
C) Aspects informatiques : intérêts du ‘HPC’ ? • À taille donnée, résoudre plus vite ;
• À durée donnée, résoudre plus gros ;
• À taille et durée données, résoudre avec moins de ressources (moins cher).
Modèles numériques développésModèles numériques développésA) Calcul de solutions stationnaires
• Formulation couplée (vites.-pres.-temp.) ;
• Newton-Raphson + ‘cubic line search’ ;
• Solveur direct parallèle (LU) ;
• Méthode de continuation (cont. long. d’arc).
B) Calcul de solutions instationnaires• Formulation ‘segregated’ (vites.-pres.-temp.) ;
• Méthode de Projection Incrémentale ;
• Newton-Raphson + ‘cubic line search’ ;
• Solveur itératif parallèle (BCGS + ASM) ;
• Schéma d’Euler semi-implicite.
Dans le contexte du H.P.C.Dans le contexte du H.P.C.
Choix stratégiques :– Calculs parallèles à hautes performances ;
– Analyse fonctionnelle du code ;
• Développements centrés sur les spécificités de nos modèles ;
• Sous-traitance des parties génériques (Petsc, BLAS, LAPACK, MPI, etc.) ;
– Développement en local dans un environnement de programmation orienté objets (Petsc) ;
– Adéquation modèles - algorithmes - plates-formes ;
– Exécution à l’IDRIS (Cray T3E, IBM SP3 et SP4), en local (Sun Enterprise, Sun Farm).
Structure du code développéStructure du code développé
Application code
Finite Element Library
MPI
BLAS
LAPACK
PETSC
Développement dans l’environnement de programmation de Petsc
-> Petsc : Portable Extensible Toolkit for Scientific Computations (Argone National Laboratory, MCS) -> Bon compromis temps de dévelop. - performances d’exploitation
Architecture du code :
Algorithme du prog. principalAlgorithme du prog. principal
Boucle sur les pas de temps
Boucle sur les itérations Newton
Boucle sur les problèmes
boucle sur DDL ( D1(rank), D2(rank) )
- résolution itérative système algébrique - mise à jour du champs de variables
boucle sur E.F. ( E1(rank), E2(rank) )
- Résidu élémentaire, assemblage - Matrice tangente élémentaire, assemblage
//
//
Algorithmes itératifs utilisés dans Petsc : - système non-linéaire : Newton-Raphson + cubic line search - système linéaire : BCGS + (ASM ou SSOR)
Efficacité numérique du codeEfficacité numérique du code
Extensibilité
Efficacité
Number of equations
Number of processors
Time used (s)
105
2.105
4.105
8.105
8
16
32
64
825.03
825.25
825.59
826.02
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100 120
Nombre de processeurs
Sp
ee
d u
p
Théorique CalculTheoretical Comp.
Spe
ed u
p
Number of processors
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100 120
Nombre de processeurs
Eff
ica
cit
é e
n %
Théorique CalculTheoretical Comp.
Number of processors
Eff
icie
ncy
(%)
-> 106 équations -> 40 pas de temps -> CRAY T3E
Quelques exemples Quelques exemples d’écoulements de B.M. confinésd’écoulements de B.M. confinés
• Expériences de Koschmieder & Prahl
(récipients circulaires et carrés) ;
• Expériences de Cerisier (récipients triangulaires et hexagonaux).
c) Seven cells, Ma=77, Ra=19, =8,27 ; d) Nineteen cells, Ma=101, Ra=27, =16,23
a) Seven cells, Ma=105, Ra=48, =8.4 ; b) Fourty eight cells, Ma=105, Ra=48, =22.4
Fourty five cells, Ma=105, Ra=48, =22
Pourquoi ces écoulements Pourquoi ces écoulements multi-cellulaires ?multi-cellulaires ?
• Théorème de l’énergie cinétique 1Pr
d Ecdt
= Ra .V.z dv
- Ma V. ds -
1) Puissance des forces extérieures de volume (gravité)
2) Puissance des forces interfaciales (thermo-capilarité)
3) Dissipation visqueuse
1 2 3
• Incompressibilité Cas 2 : Ra 0 et Ma > Mac
Cas 1 : Ra > Rac et Ma = 0
Parce que c’est la configuration qui satisfait le mieux l’ensemble des conditions suivantes :
1) convertir l’énergie thermique en énergie cinétique ; 2) minimiser la dissipation visqueuse ; 3) paver régulièrement le plan.
C’est donc la configuration qui maximise les transferts
Justification numériqueJustification numérique
Conditions d’existence du Conditions d’existence du réseau hexagonalréseau hexagonal
• Proche du seuil de convection ;
• Soit dans un récipient de grand rapport d ’aspect ;
• Soit dans un récipient plus petit, mais dont la géométrie est `compatible` (en dimensions et en formes) ;
1. Configurations stationnaires,1. Configurations stationnaires,non ‘compatibles’non ‘compatibles’
Expériences de Koschmieder & Prahl (récipients circulaires et carrés) : la taille ou la forme du récipient ne permettent pas de satisfaire les conditions d’existence du réseau hexagonal.
a) One cell, Ma=380, Ra=228, =1,82 ; b) Two cells, Ma=64, Ra=33, =5,68
c) Three cells, Ma=96, Ra=42, =6,18 ; d) Four cells, Ma=93, Ra=38, =6,36
e) Five cells, Ma=80, Ra=19, =8,08 ; f) Six cells, Ma=86, Ra=22, =8,08
g) Eight cells, Ma=75, Ra=16, =8,75
a) Two cells, Ma=93, Ra=65, =4,70 ; b) Three cells, Ma=88, Ra=40, =5,84
2. Configurations non-2. Configurations non-stationnaires (existence d ’un stationnaires (existence d ’un régime périodique)régime périodique)
• Récipient circulaire ;
• Récipient hexagonal ;
• Récipient pentagonal ;
• Récipient carré.
Récipient circulaire : Récipient circulaire : =4.7; Pr=880; Ma=140; Ra=60.=4.7; Pr=880; Ma=140; Ra=60.
QuickTime™ et un décompresseurAnimation sont requis pour visualiser
cette image.
Récipient hexagonal : Récipient hexagonal : =4.08; Pr=880; Ma=131; Ra=60.=4.08; Pr=880; Ma=131; Ra=60.
QuickTime™ et un décompresseurAnimation sont requis pour visualiser
cette image.
Récipient pentagonal : Récipient pentagonal : =4.24; Pr=880; Ma=150; Ra=60.=4.24; Pr=880; Ma=150; Ra=60.
QuickTime™ et un décompresseurAnimation sont requis pour visualiser
cette image.
Récipient carré : Récipient carré : =9.75; Pr=880; Ma=130; Ra=0.=9.75; Pr=880; Ma=130; Ra=0.
QuickTime™ et un décompresseurBMP sont requis pour visualiser
cette image.
ConclusionsConclusions• Développement de modèles numériques dans un contexte HPC :
– Choix des formulations ;
– Compatibilité modèles-algorithmes-ressources ;
– Implementation dans un env. de prog. de haut niveau (Petsc).
• Ecoulements confinés en convection de BM :– Détermination des conditions d’existence du réseau hexagonal, et justification ;
– Étude de l’influence de la géométrie du récipient sur la structure de l’écoulement ;
– Mise en évidence de régimes périodiques atypiques ;
– Prêt pour l’étude de régimes dynamiques plus complexes ;
– Applications technologiques de ces écoulements.