S. HANCU M. POPESCU D. DUMA P. DAN E. RUS

E. ZAHARESCU A. DANCHIV A. CONSTANTINESCU

Simularea numeric2 a miscirii nepermanente a fluideior

CUPRINS

1. Mlgearea nopermawnti gradual vuia t i a ape1 In a b i i do rturi p l In ennulo ' ........ (Hbcu, S., Duma, D., Dan, P., Rus, E.) .....................................A.

1.1. Generalittiti .............................................................................. 1.2. Ecuatiile mivc&rii nepemanente gradual variate a apei In albii d-se

(ecuatiile Saint-Venant) ................................................................ 1.3. Scheme implielfe de nizolvare prln d i f e rae finite a ecuatiilor Salnt-Venant. 1.4. Metoda caracterlsticilor de rezolvare a ecuatiilor Saint-Venant ............... 1.5. Simularea numeric8 a migcgrli nepermanente o ape1 tn albiile rhvilor ...... 1.6. Simularea numeric& a fenomenelor hidraulice pe d e cu folosinM com-

plex& ...................................................................... ..;. ............. 1.7. Probleme de hidmulid4 a canalelor.:de' aducvune a apel cu regul-

4; automate ...........................................,.........v.........................,...,, 2. l ~ ~ c a r e a bldirnensioaall negermnnentP a ape1 cu s u p m f a ~ ~lberi (HP~CU, s., \

Dan, P.) ............................................................................ 2 ............ 2.1. Generallug ............................................................................... 2.2. EcuatJfle mipdrii ................ : ....................................................... 2'3. Metoda cawcteristicilor de rezolve're a ecuatiilor mbdril .;... ................... 2.4. Rezolvare numeric& a ecuatiilor migdrii pecaracte~stici ........................ 2.5. Rewlvarea prin dilerentefinlte a ecuatiilor migcilrii bidimenslonale a lichi-

2.6. Procedeu ai autorilor de respectare a condltfilor la limitti pe irontiera im- ~erfntabllg la calculul misc&rilor ~ermanente ....................................

. 2.7. kplicatii ale modelului de calcul- .................................................... 2.8. Modele perfectionate privind efortul unitar tangential la miwarea tur-

. bulentP a fluidelor ..................................................................... 3.' Slmularea n u m e r q a propaghil valurilor in aevatorll ( H b u , S., Daa, P.) ......

.......... 3.1. hodelul matematic' bidimensional al valuril@r... ........... ,., ......... ;..

3.2. Calculul numeric a1 valurilor ............................................ . ............ 227 3.3. Aplicatii .................................................................................... 234

4. Simularea numeric& a fenomenelor de antrenare, transport gi depunere a aluviu- niior In albiile rfnriior (Hhcu , S., Duma, D, Dan, P.) ' ........................... 4.1. Notiuni $i relatii de bazs privind transportul aluviunilor fn albiile rfurilor ... 4.2. Modelul matematic a1 interactiunii fntre curentul lichid gi patul mobil

a1 albiei rfurilor . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . .. . .. J.. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . .. . . .. . . . . .. . .. . . . . ... . . . . 5. Simularea numerics a fenomenuiui de diiuzie $1 de migcare a fluidelor stratlfi-

cate (HPncu, S., Dan, P.) ..................................................................... , 5.1. Ecuatiile generale ale difuziei ............................................... . ......... 5.2.. Expresia tensorului de difuzie turbulent& h cazuri particulare ............... 5.3. Curenti de densitate $i curenti stratificati ..........................................

Partea a 11-a. MISCAREA NEPERMANENTA A LICHIDELOR IN SISTEME HIDRAULICE SUB PRESIUNE ............................................................ 1. Migcarea rapid variabii& a iiehideior lnconducte sub presiune (lovitura de berbec)

(Hbcu , S., Popescu, M.) ..................................................................... 1.1. Fenomenul fizic - loviturs de berbec .... . ... ... .. ....... ........ ....... . .. ..... . .. . . 1.2. Ecuatiile loviturii de berbec ............................................................ 1.3. Ecuatiile curbelor caracteristice ...................................................... 1.4. Integrarea numeric& a ecuatiilor 1ovituLPi de berbec prin metoda caracte-

risticilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . 1.5. Integrarea numerics a ecuatiilor loviturii de berbec cu metoda diferentelor

finite cu schtma de calm1 implicitg . ............. ..... . ...... ...... ......... .. . ..... . . 1.6. Calculul loviturii de berbec fn retele de conducte ramificate gi inelare ...... 1.7. Exemple de simulare numerics a loviturii de berbec ......... ............. . ..... . .

2. Simularea numeric& a migc&rii neperma~ente~a iichideior In instalat iile de pom- pare echipate cu rnijioace de protectie l a lovitura de berbee (Hhcu , S., Popescu, M.) ....................................................................................

' 2.1. Clasificarea mijloPce1olr de potecfie a instalatiilor de pomparela lovitura de berbec \ .......................................................................................

2.2. Modelul de fluid compresibil $i modelul de fluid incompresibil .. ... . .. .. . ..... . . ' 2.3. Efectul rezistentei hidraulice locale la intrare fn castelul de echilibru sau

h rezervorul cu pern& de aer asupra valorilor extreme ale presiunii h sistem 2.4. Fenomene de instabilitate gi rezonantg In sisteme hidraulice sub presiune h .5. Exemple de sirnulare numerics a regimurilor hidraulice tranzitorii la insta-

latii de pompare ........................................................................... 3. Migcarea lent variabil& a llchidelor fn sisteme sub presiune (oscilatia In mas&), %

eu aplicatii la aductiunile hidroenorgetice (Popescu, M.) . . ... ... .. . .. ... ...... . ...... . 435 3.1. Ecuatiile mi$c&rii $i consideratii asupra metodelor de rexolvare a acestora ... 436 3.2. Stabilitatea hidraulid a castelelor de echilibm .................................... 445 , 3.3. Simutrea numeric5 a regimurilor tranzitorii de functionare a aductiunil~r 7;

hidroenergetice . . . .. .... .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . ... .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. , .. .-. . 3.4. Exemple de simulare numeric5 a regimurilor hidraulice trqnzitorii la yzine

470 , B hidmelectrice $1 statii de pompare .............................................. . ~fl80. 8

4. Simularea numeric5 a iuncflon&rii hidraulice a uzinelor hidroeleetrim eoacp- pute pe scheme complexe (Popescu, M.) ................................................... 4.1. Metodg numeric5 ~ e n t f u calculul hidrauh la reeimuri trahzitorfl a1 -

lor hidroelectrice concepute pe scheme cornplexe ..... .. . ......... . ., ....... .... .P

4

'% 4.2. Uzine hidroelectrice $i statii de pompare cu aductiuni mixte .........,........ ih.3. Exemple de simulare numeric5 a funcfiongrii la regimuri tranzitorii a unor ... ............................................. ;: uzine hidroelectrice $i stafii de pompare

partea a 1II.a . VISCAREA NEPERMANENTA A APE1 SUBTERANE (Zaha- ................................................... rescu, E., Danchiv, A, Constantinescu, A.)

1 . Regimul nepermanent de miyeare a apei subterane . Eeuatiile migehii p i posibili- tilt1 de rezolvare ........................................................................... ... . . 1.1. Generalitati ..............................................................................

......................................... 1.2. Ecuatia energiei $i ecuatia de continuitate ........................ 1.3. Schematizarea domeniului de migcare a apei subterane 1.4. Constructia qi calibrarea modelnlui numeric . Conditii de reprezentativitate

................... ................................................. 2 . Metoda elementului f init r . ...................................................... 2.1. Bazele metodei elementglui finit ......... .. 2.2. Tipuri speciale de functii de interpolare Elemente izoparametrice

2.3. Tipuri speciale de elemente ............................................................ .............................. .................... 2.4. Organizarea programului de calcul ,

............................................. 3 . Modele MEF pentru procese nepermanente 3.1. Posibilitgfi de rezolvare prin metoda elementului finit a proceselor ne-

............................................................................... permanente ..................................................................... 3.2. Metode cu autostart

......................................................... 3.3. Metode tip predictor-corector ................................................ 3.4. Modelul general de tip element finit

......... 3.5. Utilizarea practic5 a modelelor de calcul a1 mi$c&rilor nepermanente 4 . Construirea modelului de ~ a l e u l pentru o problem5 data% .................................

........................................ 4.1. Problema direct5 gi inversa a potentialului ............................................................ 4.2. Metode directe de calibrare

...................................................... 4.3. Metode stochastice de calibrare ........................................... 4.4. Consideratii asupra programelor de calcul 4.5. Calculul subpresiunfior & regim nepermanent .................................... 4.6. Migcarea nepermanenta h problema plan-orizontal5 ..............................

ANEXA I . Elemente privind rezolvarea numeric5 a ecuatiilor diferenfiale cu derj- vate partiale (Hilncu S.) ........................................................................... PNEXA I1 . Metoda Galerkin de calcul variational (Danchiv A.) ....................... Rezumat ln limba englez5 ......................................................................... Cuprins In limba englez5 ............................. * .. 1: ................................ : . ;. .

INTRODUCERE

Nu cu multi ani fn urm5 hidraulica teoreticg ~i hidraulica aplicat5 constituiau dou5 ramuri distincte ale hidraulicii - prima Sndr5git5 in principal de matematicieni, care cu oarecare exagerare o identificau cu mecanica fluidelor, a doua - creatia in cea mai mare m5sur5 a in- ginerilor, cafe, preocupati de rezolvarea problemelor practice, au re- curs la experiment qi mai putin la generalizarea relatiilor de calcul ob- tinute. Aceast.5 sciziune Pntre inginerii hidraulicieni, care experi~nentau ceea ce nu puteau s5 explice $i matematicie~ii hidraulicieni, care expli- cau ceea ce nu puteau s5 experimenteze, intre latura teoretic5 ~i latui-a practic5 ale unuia Si aceluia~i fenomen fizic, a fnceput inc5 din secolele XVII-XVIII vi a continuat pin5 in secolul nostru, cu momente de maxim3 intensitate, care, d e ~ i pare straniu, au gr5bit in acela~i timp apropierea dintre aceste doug laturi. Paradoxul lui d'Aiembert, eviden- tierea regimului laminar qi regimului turbulent de miqhare a fluidelor, elaborarea teoriei similitudinii gi a modeliirii hidraulice, considerarea compresibilit3tii lichidelor la lovitura de berbec, elaborama teoriilor semiempirice qi statistice ale turbulentei, teoriei stratului limit5 9.a. sint puncte nodale care au marcat pe de o pa* diferenta, pe de Alt.5 parte apropierea dintre hidraulica teoreticg ti hidraulica aplicat5. Exist5 c5ei de hidrodinamid scrise cu citeva decenii in urm5, unele din ele de o mare valodre teoreticg, care trateazs problemele de miqcare a fluidelor numai de pe pozitii matematice gi In care se evit3 discutarea rezultatelor teoretice prin prisma datelor experimentale. Unul din hi- draulicienii zilelor noastre a caracterizat astfel cartea ,,Hidrodinamicae

scrisii de cunoscutul om de gtiint5 englez G. Lamb in anul 1932: ,,Este o carte care poate fi citit5 in intregime, far5 s5-ti dai seama c5 apa este . . . . ud5". fn acelagi timp, exist5 c5rti care, prin modul de expunere gi tratare a fenomenelor fizite, ilustreaz5 la un nivel inalt unitatea exis- tent5 la momentul respectiv dintre hidraulica teoretic5 gi hidraulica aplicat5, cum a r fi, de exemplu, cartea lui L. Prandtl, ,,Hidroaeromeca- nica", editat5 in anul 1949.

Dar procesul de fuzionare intre hidraulica teoretic5 gi hidraulica aplicat5 s-a accelerat in zilele noastre odat5 cu aparitia gi dezvoltarea calculatoarelor electronice care permit rezolvarea numeric5 aproape a tntregului ansamblu de ecuatii diferentiale elaborate pentru descrierea migc5rii fluidelor. Prin simularea numeric5 a sEtrilor succesive prin care trece un fenomen hidraulic, descris de un model matematic in la- turile sale esentiale, se dezvgluie intreaga intimitate a acestui fenomen in conditiile particulare in care se desf5goar5 gi care-1 determin5. Con- ditiile particulare sint conditiile de unititate ale solutiilor ecuatiilor diferentiale care descriu migcarea fluidului. f n aceste conditii de unici- tate sint incluse a t i t configuratia geometric5 a spatiului in care se desf5- goarg fenomenul, cit gi datele de intrare. fn afar5 de configuratia geo- metric5 initial& de referintii, in care p$ loc fenomenul hidraulic care face obiectul studiului, se pot concepe hiverse variante de solutii con- structive ingineregti pentru dirijarea acestui fenomen hidraulic gi se pot asocia la aceste variante date de intrare din intreaga clas5 de valori posibile. Simularea numeric5 d5 posibilitatea s5 se evidentieze comporta- rea hidraulicg a solutiilor constructive adoptate la diverse combinatii ale datelor de intrare gi cu ajutorul unei functii s2 se aleag5 obiectiv solutia optimii.

Agadar, in prezent, denumirea de ,,hidraulic5 aplicatg" are alt5 semnificatie decit in trecut. Astgzi, prin ,,hidraulic5 aplicat5" intelegem hidraulic5 teoreticii eu aplicatii la rezolvarea unor probleme ingineregti. Metodele numerice constituie unul din mijloacele de mare eficientg ale hidraulicii aplicate. - fn Iucrarea de fat5 se expun metode numerice de rezolvare a unui num5r relativ restrPns de probleme priviqd migcarea nepermanehtg a Iichidelor. Este .o lpcrare de inceput, in care se con- semneaz5 cele mai importante din fezdtatele. obtinute de autori.

Metodele numerice au fost fdloiite in hidraulic5. cu mult inainte de aparitia calculatoarelor electronice, fn Mra noastr5, meritul principal In aplicarea metodelor numerice la.rezqlvarea unor probleme de hidrodina- mic5 de mare dificultate teomtid I1 are regretatul academician D. D u d - trescu, care, in ciuda mijloacelor de calcul rudimentare existente la vremea aceea, a construit solutii cu metoda re#elelor pentru migcarea fluidelor grele cu suprafats Iiberh necunoscutii, pentru mQcarea fluide- lor in condhcte gi in sanale de diferite sectiuni 9.a. .

\ \ - i

Dupii apar iw calcula~r ;e lor dec@onice metodeh numehe de solutionare a prabhmelor de( hidraulicii au oiipiitat o dmyaltam larg&;, $i Pn tara aoa~tril, cdective de spedaligti de la Iwtitutul de arco%& hidrotehnice, Institutul de Censtructii, Institutul ,Politehdc Bucurm& Institutul de Studii gi Proiectiiri Hidroenergetice, Institutul de Cercen tgri gi PrciiectArj penbu GospodPrirea Apelor g.a. au elaborat gi foloslt metode de sirnulare numeric& a ,fsnomaelor hidraulice legate de proiec- tarea % exp1oataw.a unor amenajlri hidratehnice.

Scopul q t e i luar$lfi este de a pupe la fndemina speciali$tilor care acti%ap;&,ia domeniul hidrotehnicik modele de calcul numeric pen-. ~

t ru rezolvarea unor problem de mare actualitate privind migcarea ne. - permanenti a fluidelor cu nivel l i h r ~i sub presitrne. fa expunerea mo- . delalor.de calm1 s-a urmilrit s$ se pun& fn evident& at i t posibilitiitile largi pe care le prezintg simularea numerics in rezolvarea problemelor practi- cii inginemti, cft gi limiteie acestor modele de calcul. Se gtie CA fn pa- rioaha de ltnceput a caleulstoamlq~~electronice s-a creat a n fetigism A3 caluulelor numerice. Multi au creaut cg singura directie fn care trebuie actionat' In hidraulics, ca gi fa slh, domenii aIe tlhnicii, este calculpl cu ajutorul w l c u l a ~ r e l o r elctronice. Asttgzi, degi nu au fost expl~rate toate posilaili-tiitile .metodelor numerice, totugi s-a ajuns s l se vadii clar cii cele mqir~complexe gi mai difioile probleme ale cercetgrii r 5 m h fn continuare aaspectele legate de fizica fenomenului hidraulic. Dar me- todele numerice au adus fn hidrauliclf ceea ce in treeut a adus modelareg fizic5, f n d pe alt plan gi in domenii diferite. Metodele numerice nu substit& modelarea fizicg, ci o comple$eaz& sau, mai bine zis, se com- pleteazg reciproc. Sistemele hidraulice de mari dimensiuni nu pot fi rep~oduse, pe modele f w e , fn laborator, din motive de spaQu gi din motive econarnice, Pn schimb pot fi astiizi reproduse pe modele mak-

tim, mo&larea matematid fiind singurul mijloc de studiu a1 IQ~, , r s t u d i u l s18temelor hidraulioe de micj dimensiuni beneficiaig d e wan- tajde m ~ d d g r i i matematice gi calculului numeric. Se evidentiazg rapid a q p t e l e e q t i a l e ale fenomenului fizic @ se selectioneag solutiile care prezintii in-. De multe ori modelarea matematic5 gi calculul numeric per@ cunca$krea cu suficientA precizie a fenon?.e,nului fizic gi nu mai . neqpitg terificarea pe &dele fiziw.

fn lucrama'de taw, tn mod deliberat mu s-a f&cut o incursiuw Pn#adiul a&ual de mzolvare a problemelor trafate qi nu s-au pmentq t gi alte metode de calcul fa afarii de mle elaborate de autori. De altfel, au .etxcep@ ctW-va din a&ete p r a b l e e , penlxu care .tse cwosc ji alte modele gi algoritme de oalcul, pentru. mqma majoritate a ! pro- blsrmelor, fn literatura .de speci8btat.e a u se descrh in detaliu mode- le4e @ algo~itmele de =leu& oi se pubhog anai malt rezultatele, ~ b f i - nu@.

Autorii au avut satisfaotia s5 constate c5 moBelele ~i algoritmele de calcul elaborate de ei se caracterizeaz5, prin p&armante deosebite in raport cu alte modele gi algoritme cunoscutB: Unele realizlri ale autoi*ilor constituie premier5 pe plan mondial ~i r ivp~zin t3 o contributie '

a ~col i i r o m t n e ~ t i de hidraulic5 la dezvoltarea metodelor numerice qi la rezolvarea unor probleme actuale gi deosebit de .complexe.

Lucrarea cuprinde trei p5rti. fn partea I stat prezentate probleme de mi~care nepermanentl a lichidelor cu sql'rtfatH liberg. Sint e'xpuse 'modele ~i algoritme de calcul a t i t pentru &po&ri nepermanente uni- dimensionale, Cit gi pentru miSc5ri hepewanente bidimensionale. Unele solutii sint pentru prima d a t l preze*@Wfn literatura de speciali- tate, cum a r fi: stabilitatea misc5rii n e w w n e n t e a apei in canale cu regulatoare automate, simularea nnme~k4i~concomitent5 a circulatiei navelor ~i a fenomenelor de mi~care W ~ m n e n t l a apei 2n canalele cu folosin(5 complexl, simularea numeW4i bcu metoda caracteristicilor bidimensionale cu transport de su$stalri~,IMmularea numeric5 a valu- rilor in acvatorii cu ajutorul metodei earacteristicilor, extinderea mo- delului de calcul prin diferente fi#W migcgrii tinidimensibnale la kni~c3ri bidimensionale. modelarea 'a#&dlor in delte +.a.

fn partea a 11-a sint preeentate:poblemele de mivare neperma- nent5 a lichidelor In sisteme sub p&&&&, lovitura de berbec (mi~carea ondulatorie) gi mi~carea lent ~ariabilglymi~carea oscilatorie), cu aplicatie la dimensionarea ~i verificarea instalqi lor de pompare $i aductiunilor hidroenergetice.

Sint abordate gi rezolvate dnele probleme privind conditiile de aplicare a celor dou5 modele de c a f h l (migcare ondulatorie gi migcare oscilatorie), probleme privind s t a w t a t e a oscilatiilor nivelului apei in castele de echilibru din sisteme x!bniplexe de aductiuni hidroenergetice,

r precum gi unele probleme noi, dg?~zonant? i gi stabilitate, caracteristice sistemelor sub presiune cu Agttlttclare automate.

fn partea a 111-a a lucrlirii & expune metoda de sirnulare numelic5 a migcgrii nepermanente a a$efbsubterane in mari unitiiti naturale, mergind ping la cuprinderedl unbf bazine hidrografice intregi. P e ling5 problemele de metodologie de calcul s int tratate ~i unele probleme privind aspectele fizice ale fenomenului de migcare a apei subteiane pe astfel de teritorii, represbrr$ativitatea datelor de bazii etc. Si in amst domeniu, Pn literatara -ab.speciaIitate sint putine informatii publi- catk, autorii realizfnd o munch de pionierat.

Aproape in totalitate W o d e l e de calcul elaborate sint ilnstrate cu aplicatii gi rezolvgti 4le:'probleme Concrete.

Sintem congtienfi ddLfa@m1 c5 algoritmele prezentate in lucrarea de fat5 l$i au iniportahta.43f pe b perioadH de timp limitatg. Este posibil ca peste 20-30 ani hidraulicienii sP se ocupe mai putin de elaborada

l b 9

algoritmelor de rezolvare a ecuatiilor diferentiale ale miqcgrii fluidelor qi a programelor de calcul corespunzltoare, acestea f5cind parte din ,,softwareu-ul curent a1 maginii de calcul, a p cu~m in prezent algoritmele ~i programele de calcul pentru rezolvarea unui sistem de ecuatii algebrice liniare sfnt gata pzeggtite gi pot fi folosite din ,,zestreaU cu care este dotat calculatorul elebtronic.

Acesta este gi motivul pentru care, in paralel cu prezentarea algo- ritmelor de calcul elaborate (operatie necesar5 in etapa actuals), s-a insistat mai ales asupra contributiei metodei simularii numerice la cunoagterea fenomenului fizic gi la rezolvarea problemelor prictice, ingineregti.

Dac5 fiecare din cei care vor citi aceasti? lucrare va aplica metodele de calcul qi solutiile tehnice prezentate de autori la rezolvarea cel putin a unei probleme practice, dacl modul de prezentare a metodelor mate- matice gi a algoritmelor de calcul va stimula dezvoltarea in continuare in tara .noastr5 a metodelor numeric& in hidraulic5, vom considera c5 lucrarea de fatg gi-a atins scopul.