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SIMULACcedilAtildeO DE UM REATOR SUBCRIacuteTICO TIPO ADS VIA MONTE CARLO PARA
VALIDACcedilAtildeO DE CAacuteLCULO DA REATIVIDADE
Mauricio Quelhas Antolin
Tese de Doutorado apresentada ao Programa
de Poacutes-graduaccedilatildeo em Engenharia Nuclear
COPPE da Universidade Federal do Rio de
Janeiro como parte dos requisitos necessaacuterios agrave
obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Doutor em Engenharia
Nuclear
Orientadores Aquilino Senra Martinez
Fernando Carvalho da Silva
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2013
SIMULACcedilAtildeO DE UM REATOR SUBCRIacuteTICO TIPO ADS VIA MONTE CARLO PARA
VALIDACcedilAtildeO DE CAacuteLCULO DA REATIVIDADE
Mauricio Quelhas Antolin
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ
COIMBRA DE POacuteS-GRADUACcedilAtildeO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSAacuteRIOS PARA A OBTENCcedilAtildeO DO GRAU DE DOUTOR EM CIEcircNCIAS EM
ENGENHARIA NUCLEAR
Examinada por
________________________________________________
Prof Aquilino Senra Martinez DSc
________________________________________________ Prof Fernando Carvalho da Silva DSc
________________________________________________ Dr Daniel Artur Pinheiro Palma DSc
________________________________________________ Prof Alessandro Gonccedilalves DSc
________________________________________________ Dr Antonio Carlos Abreu Moacutel DSc
RIO DE JANEIRO RJ - BRASIL
FEVEREIRO DE 2013
iii
Antolin Mauricio Quelhas
Simulaccedilatildeo de um Reator Subcriacutetico Tipo ADS Via
Monte Carlo para Validaccedilatildeo de Caacutelculo da Reatividade
Mauricio Quelhas Antolin ndash Rio de Janeiro
UFRJCOPPE 2013
XI 97 p il 297 cm
Orientadores Aquilino Senra Martinez
Fernando Carvalho da Silva
Tese (doutorado) ndash UFRJ COPPE Programa de
Engenharia Nuclear 2013
Referecircncias Bibliograacuteficas p 94 - 97
1 Caacutelculo da Reatividade 2 Reatores ADS 3
Simulaccedilatildeo Monte Carlo I Martinez Aquilino Senra et al
II Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE
Programa de Engenharia Nuclear III Tiacutetulo
iv
Dedicatoacuteria
Este trabalho eacute dedicado a todas as pessoas que me ajudaram em toda minha
caminhada acadecircmica em especial agrave minha amada esposa Gisele a minha filha que
mesmo sem ainda nascer jaacute eacute muito amada aos meus pais e amigos que me
apoiaram ateacute aqui
v
Agradecimentos
Agradeccedilo aos meus professores Aquilino Senra Martinez e Fernando Carvalho
da Silva pela dedicaccedilatildeo e ajuda no desenvolvimento deste trabalho e tambeacutem ao
amigo Daniel Artur Pinheiro Palma pelas suas contribuiccedilotildees neste trabalho
Tambeacutem agradeccedilo a Coordenaccedilatildeo de Aperfeiccediloamento de Pessoal de Niacutevel
Superior (CAPES) pelo apoio financeiro
Aos amigos do LMP pelo o apoio na elaboraccedilatildeo deste trabalho
Ao meu pai Manuel Angel Antolin Garcia por me incentivar a ingressar na
carreira acadecircmica e por todo o seu carinho
Agrave minha matildee Iliana de Carvalho Quelhas pela a paciecircncia amor carinho e
apoio em toda minha caminhada acadecircmica e pessoal
Agrave minha esposa pela paciecircncia e compreensatildeo
vi
Resumo da Tese apresentada agrave COPPEUFRJ como parte dos requisitos necessaacuterios
para a obtenccedilatildeo do grau de Doutor em Ciecircncias (DSc)
SIMULACcedilAtildeO DE UM REATOR SUBCRIacuteTICO TIPO ADS VIA MONTE CARLO PARA
VALIDACcedilAtildeO DE CAacuteLCULO DA REATIVIDADE
Mauricio Quelhas Antolin
Fevereiro2013
Orientadores Aquilino Senra Martinez
Fernando Carvalho da Silva
Programa Engenharia Nuclear
Um dos grandes atrativos dos reatores ADS eacute decorrente da possiblidade de
transmutaccedilatildeo dos rejeitos produzidos pelas usinas nucleares convencionais
diminuindo a armazenagem dos rejeitos de longa meia-vida em repositoacuterios geoloacutegicos
de longa duraccedilatildeo Poreacutem o comportamento cineacutetico desses reatores ainda eacute uma
questatildeo em aberto tendo em vista que natildeo existe nenhum reator ADS em operaccedilatildeo
no mundo Portanto este trabalho propotildee um meacutetodo de caacutelculo de reatividade para
reatores subcriacuteticos guiados por fonte (ADS) utilizando o meacutetodo das derivadas
parciais da potecircncia nuclear que permite um caacutelculo mais raacutepido e sem a necessidade
do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator Os resultados foram
comparados com simulaccedilotildees numeacutericas realizadas pelo meacutetodo Monte Carlo e
mostram boa concordacircncia
vii
Abstract of Thesis presented to COPPEUFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (DSc)
SIMULATION OF A ADS SUBCRITICAL REACTOR VIA MONTE CARLO FOR
VALIDATION OF REACTIVITY CALCULATION
Mauricio Quelhas Antolin
February2013
Advisors Aquilino Senra Martinez
Fernando Carvalho da Silva
Department Nuclear Engineering
One of the great attractions of ADS reactors is due to the possibility of
transmutation of waste produced by conventional power plants reducing waste by
reducing the storage of long half-life in long-term geological repositories But the kinetic
behavior of these reactors is still an open question given that there is no ADS reactor
in operation worldwide Therefore this work proposes a method for calculating reactivity
for subcritical reactors driven by source (ADS) using the method of partial derivatives of
nuclear power which allows a faster calculation and not need the storage the whole
history of reactor power The results were compared with numerical simulations
performed by the Monte Carlo method and show good agreement
viii
Sumaacuterio Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xi
1 Introduccedilatildeo 1
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para Reatores Subcriacuteticos 8
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 9
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 14
23 Cineacutetica Inversa 17
231 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 18
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 18
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico de Potecircncia 19
31 Meacutetodo de Agrupamento 19
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada 21
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da intensidade da fonte externa 23
34 Meacutetodo das Derivadas 24
341 Anaacutelise para k impar 25
342 Anaacutelise para k par 29
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com dependecircncia temporal de β e Λ 32
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 32
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 33
43 Meacutetodo das Derivadas para Dependecircncia Temporal de β e de Λ 34
431 Anaacutelise para k impar 35
432 Anaacutelise para k par 37
5 Caacutelculo da reatividade para algumas variaccedilotildees da potecircncia nuclear 40
51 Potecircncia Linear 40
511 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 40
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 42
52 Potecircncia Constante 43
521 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 43
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 44
53 Potecircncia Exponencial 45
531 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 45
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 46
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 47
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com Dependecircncia temporal de β e Λ 49
61 Potencia Linear 49
ix
611 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 49
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 50
62 Potecircncia Constante 51
621 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 51
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 51
63 Potecircncia Exponencial 52
631 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 52
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 52
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 53
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica 54
71 Funccedilotildees Densidade de Probabilidades 57
72 Meacutetodo direto ou inverso 60
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo 63
74 Meacutetodos Monte Carlo para Reatores Subcriacuteticos 65
75 Conceito de Reatores ADS 66
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos Utilizados 68
9 Resultados 82
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia Nuclear 83
92 Potecircncia Nuclear Constante 83
93 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 84
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 86
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ 86
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia 87
952 Potecircncia constante 87
953 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 88
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 89
96 Paracircmetros Nucleares 90
10 Conclusatildeo 93
11 Referecircncias Bibliograacuteficas 95
x
Lista de Figuras
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996 3
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de
Yoriyaz 2009 55
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio 58
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio 58
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo 59
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003) 61
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula 62
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo 64
Figura 78 Processo de caacutelculo de π 65
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009 66
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS 67
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR 72
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER 72
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU 72
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX 73
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT 77
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT 78
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT 79
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do
reator PWR simulado 79
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do
ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias 80
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico 82
xi
Lista de Tabelas
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-
nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012) 2
Tabela 81 Exemplo de um revestimento de zircaloy no MCNPX 71
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de uracircnio no SERPENT 71
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER 73
Tabela 84Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 1 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 85 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 2 (densidade 10851 gcm3) 74
Tabela 86 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 3 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 87 Composiccedilatildeo do revestimento da vareta de combustiacutevel (densidade 75357
gcm3) 75
Tabela 88 Composiccedilatildeo do refletor (densidade 53908 gcm3) 75
Tabela 89 Composiccedilatildeo da barra de controle (densidade 15643 gcm3) 75
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR 75
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR 76
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT 78
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado 82
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos 83
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear 84
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante 85
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia 85
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados 86
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ 87
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia linear constante 88
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares 91
1
1 Introduccedilatildeo
Grande parte da energia eleacutetrica produzida por reatores nucleares satildeo
provenientes de reatores a aacutegua leve devido agrave utilizaccedilatildeo de material fiacutessil pouco
enriquecido para seu funcionamento o que torna sua construccedilatildeo e operaccedilatildeo
bastantes atrativos mesmo com os altos custos de construccedilatildeo e manutenccedilatildeo das
centrais nucleares Aleacutem disso o conhecimento do clico teacutermico utilizados por esses
reatores impulsionaram seu desenvolvimento (Pereira 2002)
Poreacutem estes reatores utilizam ciclo de combustiacutevel aberto e produzem uma
grande quantidade de rejeitos o que inclui grande quantidade de elementos
transuracircnicos (Am Cm Np entre outros) que possuem uma alta meia-vida (cerca de
107 anos)
Assim existe uma grande preocupaccedilatildeo na utilizaccedilatildeo desses reatores natildeo soacute
na prevenccedilatildeo de acidentes mas tambeacutem devido agrave proliferaccedilatildeo de armas nucleares e
agrave necessidade de repositoacuterios finais de estocagem de longa duraccedilatildeo (Iwanaga et al
2005) o que cria uma barreira de sua aplicaccedilatildeo
Atualmente grande parte do combustiacutevel queimado no mundo eacute armazenado
em piscinas dentro das proacuteprias usinas nucleares e em alguns casos o
armazenamento que deveria ser temporaacuterio persiste haacute deacutecadas Estima-se que o
aumento de combustiacutevel utilizado esteja em torno de 12000 toneladas por ano sendo
que apenas 3000 toneladas deste combustiacutevel vatildeo para o reprocessamento1
Uma forma de contornar o problema da estocagem eacute atraveacutes da queima dos
rejeitos provenientes dos reatores nucleares de potecircncia em outros tipos de reatores
Inicialmente os reatores raacutepidos foram os primeiros a serem considerados para
esta finalidade por proporcionar aleacutem de uma melhor utilizaccedilatildeo das reservas de
uracircnio a possibilidade de transmutaccedilatildeo dos elementos transuracircnicos Poreacutem
dificuldades na operaccedilatildeo de reatores raacutepidos criacuteticos como por exemplo o controle da
criticalidade e tambeacutem a oxidaccedilatildeo do material usado como refrigerante (soacutedio)
dificultaram o seu uso
Cerca de 20 reatores raacutepidos jaacute entraram em operaccedilatildeo desde a deacutecada de
1950 sendo em sua maioria reatores de pesquisa Comercialmente apenas o reator
francecircs Superphenix chegou a entrar em operaccedilatildeo comercial Ele foi desenvolvido
para gerar 12 GW de energia eleacutetrica poreacutem foi fechado em 1998 devido a falhas
1 httpwwwworld-nuclearorginfoNuclear-Fuel-CycleNuclear-WastesRadioactive-Waste-
ManagementUTn-jaVtivM
2
estruturais alto custo e repetidos incidentes O Superphoenix funcionou apenas 10
meses em 13 anos
Os reatores raacutepidos satildeo projetados para usar 238U e tambeacutem 235U usado na
maioria dos reatores Se esses reatores satildeo projetados para produzir mais plutocircnio do
que consomem eles satildeo chamados reatores reprodutores raacutepidos (FBR) (Lodhi et al
2009) Os reatores raacutepidos tambeacutem podem queimar actiniacutedeos que possuem alta meia
vida que podem ser transmutados em outros elementos para o uso em reatores
convencionais (LWR) A Tabela 11 mostra alguns reatores raacutepidos que entraram ou
entraratildeo em operaccedilatildeo no mundo
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012)
Paiacutes Reator Tipo Potecircncia
Eleacutetrica (MWe)
Potecircncia
Teacutermica (MW) Operaccedilatildeo
USA
EBR 1 02 14 1951-63
EBR II Pesquisa 20 625 1963-94
Fermi 1 Pesquisa 66 200 1963-72
SEFOR
20 1969-72
Fast Flux Test
Facility Pesquisa
400 1980-93
Inglaterra Protoype FR Protoacutetipo 15 60 1959-77
Dounreay FR Pesquisa 270 650 1974-94
Franccedila
Rapsodie Pesquisa 40 1966-82
Phenix Protoacutetipo 250 563 1973-2009
Superphenix Comercial 1240 3000 1985-98
Alemanha KNK 2 Pesquisa 21 58 1977-91
Iacutendia FBTR Pesquisa
40 1985-
PFBR Protoacutetipo 500 1250 2012-
Japatildeo
Joyo Pesquisa
140 1978-
Monju Protoacutetipo 280 714 1994-96
2010-
Cazaquistatildeo BN 350 Protoacutetipo 135 750 1972-99
Ruacutessia
BN 12
101 1950
BR 5 10 Obninsk Pesquisa
5 8 1959-71
1973-
BOR 60
Dimitrovgrad Pesquisa 12 55 1969-
BN 600 Beloyarsk 3 Protoacutetipo 600 1470 1980-
BN-800 Beloyarsk 4 Comercial 880 2000 2014-
China CEFR Pesquisa 20 65 2010-
3
Vaacuterios paiacuteses tecircm programas de pesquisa e desenvolvimento para melhorar os
reatores raacutepidos Aleacutem disso o projeto internacional em inovaccedilatildeo de reatores
nucleares e ciclo de combustiacutevel (INPRO) da agecircncia internacional de energia atocircmica
(AIEA) possui como ecircnfase os reatores raacutepidos para funcionarem com o ciclo de
combustiacutevel fechado
Os problemas encontrados na operaccedilatildeo dos reatores raacutepidos podem ser
contornados utilizando um conceito onde os necircutrons que satildeo produzidos por uma
reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo a um custo eleacutetrico pequeno entram em um meio multiplicativo
com uma configuraccedilatildeo de combustiacutevelmoderador (Rubbia et al 1996) Esses reatores
satildeo chamados reatores hiacutebridos devido ao acoplamento de um acelerador de
partiacuteculas para seu funcionamento A Figura 11 mostra uma concepccedilatildeo do esquema
de funcionamento desses tipos de reatores
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996
Este conceito de reator foi proposto desde os anos 1970 (Maniscalco et al
1974) Poreacutem dificuldades tecnoloacutegicas adiaram seu desenvolvimento pois estes
aceleradores de partiacuteculas devem ser extremamente confiaacuteveis durante a operaccedilatildeo do
reator
Os reatores hiacutebridos subcriacuteticos satildeo atraentes por proporcionar melhor
utilizaccedilatildeo dos recursos naturais e tem sido amplamente reconhecidos como sendo
altamente seguros (Rubbia et al 1995) A principal vantagem deste tipo de reator eacute a
operaccedilatildeo de um reator com fator de multiplicaccedilatildeo menor que a unidade (keff lt1) em
Acelerador
Nuacutecleo
Turbina
Condensador
Trocador de Calor
Gerador
4
que as reaccedilotildees de fissatildeo devem ser desencadeadas por um intenso feixe de
partiacuteculas carregadas aceleradas como por exemplo proacutetons ou iacuteons pesados com
energia entre 05 - 50 GeV por nucleon (Perelygin et al 1999)
Aleacutem disso o objetivo da transmutaccedilatildeo eacute a minimizaccedilatildeo de rejeitos nucleares
atraveacutes da transmutaccedilatildeo dos actiniacutedeos menores (AM) como Np Am e Cm Portanto
esses reatores devem ser carregados com combustiacutevel que contenha grandes
quantidades de AM
Para poderem realizar a transmutaccedilatildeo esses reatores utilizam necircutrons no
espectro raacutepido Isto ocorre porque nessa faixa de energia a seccedilatildeo de choque de
fissatildeo eacute mais favoraacutevel para a transmutaccedilatildeo dos AM Assim esses reatores se
caracterizam por uma baixa fraccedilatildeo de necircutrons retardados o que implica em raacutepidas e
grandes variaccedilotildees de potecircncia para uma pequena variaccedilatildeo na reatividade (Sordo et
al 2009) Segundo Rubbia et al (1996) uma mudanccedila suacutebita de +01 em um fator de
multiplicaccedilatildeo inicialmente a 095 causa um aumento na potecircncia de aproximadamente
20 Este aumento de reatividade em um reator raacutepido pode ter consequecircncias
catastroacuteficas
Para as especificaccedilotildees do feixe que deve sustentar o funcionamento do reator
Rubbia et al (1995) afirma que existe pouca ou nenhuma vantagem no uso de
partiacuteculas mais sofisticadas indicando o uso exclusivo de proacutetons no feixe de
partiacuteculas
Os reatores hiacutebridos ainda necessitam de um forte desenvolvimento o que
inclui novos combustiacuteveis e novas teacutecnicas de reprocessamento e tais programas
ainda natildeo foram totalmente desenvolvidos De qualquer forma o conceito de reator
hiacutebrido pode ser uma ferramenta potencial para obter o melhor domiacutenio da fissatildeo para
a geraccedilatildeo de energia eleacutetrica e sem o uso de reatores regeneradores raacutepidos (que
satildeo criacuteticos) que apresentam mais problemas na seguranccedila do que os reatores
subcriacuteticos (Piera et al 2010)
Inicialmente as especificaccedilotildees do feixe de partiacuteculas deveria ser capaz de
enviar proacutetons de no miacutenimo 1 GeV de energia o que implica em uma corrente de 10
agrave 15 mA Caso mais energia seja necessaacuteria pode-se usar vaacuterios feixes em paralelo
(Rubbia et al 1995)
O alvo atingido pelo feixe de partiacuteculas aceleradas pode ser o uracircnio natural ou
empobrecido o chumbo liacutequido ou outro material de alto nuacutemero atocircmico Assim os
necircutrons gerados nesta reaccedilatildeo entram no reator subcriacutetico que cerca o alvo
Mais recentemente Sordo et al (2009) afirmou que o alvo mais eficiente para
os reatores hiacutebridos eacute a liga feita de chumbo e bismuto (LBE) no estado liacutequido
bombardeado com proacutetons de energia entre 600 MeV e 1 GeV Devido a restriccedilotildees
5
termodinacircmicas os alvos de materiais soacutelidos satildeo indicados para instalaccedilotildees de baixa
potecircncia sendo pouco praacutetico para aplicaccedilotildees industriais que necessitam de potecircncias
muito maiores
O acelerador deve fornecer uma corrente de proacutetons com ampla faixa de
operaccedilatildeo pois para um reator que funcione com fator de multiplicaccedilatildeo muito menor
que a unidade deve-se evitar um desligamento natildeo programado durante seu
funcionamento
A produccedilatildeo de necircutrons na reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo determina a potecircncia teacutermica
do reator dependendo do seu niacutevel de subcriticalidade A diminuiccedilatildeo do valor do keff
devido agrave queima de combustiacutevel deve ser compensada para manter a potecircncia do
reator constante para isso pode-se aumentar a intensidade da fonte de necircutrons
Poreacutem isto induz um estresse termomecacircnico como a dilataccedilatildeo devido ao aumento
da temperatura aleacutem da maior degradaccedilatildeo natildeo soacute na estrutura do reator mas
tambeacutem e principalmente no alvo (Sordo et al 2009) O feixe de proacutetons deve ser
projetado para manter a integridade do alvo durante todo o ciclo de operaccedilatildeo
O projeto do reator hiacutebrido de pesquisa para aplicaccedilotildees de alta tecnologia
(MYRRHA) comeccedilou em 1998 pelo Centro de Pesquisas Nucleares da Beacutelgica
(SCKbullCEN) O primeiro objetivo do MYRRA seraacute demonstrar o conceito de reator ADS
a um niacutevel razoaacutevel de potecircncia e a viabilidade tecnoloacutegica da transmutaccedilatildeo de
actiniacutedeos menores e de produtos de fissatildeo de longa meia vida O MYRRHA tambeacutem
iraacute ajudar o desenvolvimento da tecnologia de ligas de chumbo necessaacuterio para os
reatores da geraccedilatildeo IV (Abderrahim et al 2005)
O reator estaacute previsto para entrar em operaccedilatildeo em 2023 e encontra-se em fase
de licenciamento sendo um dos reatores hiacutebridos com maior nuacutemero de referecircncias na
literatura Como ele pode trabalhar em modo criacutetico e subcriacutetico o MYRRHA gera uma
potecircncia entre 50 e 100 MWt O acelerador injeta proacutetons de 600 MeV no nuacutecleo do
reator e utiliza combustiacutevel tipo MOX
Apesar do grande nuacutemero de referecircncias encontradas na literatura os dados
de composiccedilatildeo de combustiacutevel paracircmetros nucleares materiais utilizados nesses
reatores e o comportamento cineacutetico satildeo escassos Por isso neste trabalho foram
utilizadas simulaccedilotildees numeacutericas pelo Meacutetodo de Monte Carlo para a avaliaccedilatildeo da
cineacutetica e dos paracircmetros nucleares desses reatores
Simulaccedilotildees computacionais de um sistema podem proporcionar importantes
informaccedilotildees para o estudo preliminar de novas tecnologias A simulaccedilatildeo pelo meacutetodo
de Monte Carlo foi escolhida pois eacute um dos meacutetodos que melhor descreve geometrias
complexas e que fornece informaccedilotildees precisas e detalhadas em trecircs dimensotildees aleacutem
de considerar a dependecircncia temporal tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
6
partiacuteculas neutras Assim o meacutetodo Monte Carlo (MC) se torna um meacutetodo atrativo
para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo MC eacute a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees de experimentos onde
os resultados satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido satildeo necessaacuterios aleacutem da simulaccedilatildeo das
partiacuteculas geradas atraveacutes da reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo coacutedigos que consigam prever a
queima do combustiacutevel Existem vaacuterios coacutedigos na literatura com esta finalidade e que
podem ser incorporados em coacutedigos mais gerais de MC
Atualmente um dos coacutedigos MC mais utilizados para simulaccedilatildeo de reatores
nucleares eacute o MCNPX (Hashemi-Nezhad et al 2002 Kadi et al 2001 Catsaros et al
2009) Este coacutedigo eacute desenvolvido pelo Laboratoacuterio Nacional de Los Alamos e
atualmente encontra-se na versatildeo 26e
O MCNPX eacute um coacutedigo MC geneacuterico de transporte de radiaccedilatildeo para modelar a
interaccedilatildeo da radiaccedilatildeo com a mateacuteria MCNPX significa Monte Carlo N-Particle
eXtended Ele estende as capacidades do MCNP4C3 a um grande nuacutemero de
partiacuteculas em uma ampla faixa de energia e para quase todas as aplicaccedilotildees sem custo
adicional de tempo computacional MCNPX faz caacutelculos tridimensionais e dependentes
do tempo Utiliza as bibliotecas mais novas de seccedilatildeo de choque nucleares aleacutem de
usar modelos fiacutesicos para as partiacuteculas que natildeo possuem dados tabulados
disponiacuteveis
O MCNPX 26e eacute capaz de realizar o caacutelculo do keff atraveacutes das geraccedilotildees de
necircutrons do fluxo de necircutrons a evoluccedilatildeo de combustiacutevel e tambeacutem calcula as
seccedilotildees de choque Poreacutem este coacutedigo natildeo permite a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees que
necessitam fonte externa de necircutrons
Atualmente um dos uacutenicos coacutedigos MC que permite a simulaccedilatildeo de um reator
controlado com fonte externa eacute o SERPENT (Leppaumlnen 2012) Este coacutedigo eacute
especiacutefico para o estudo de reatores nucleares e se encontra na versatildeo 1118
As simulaccedilotildees de MC podem fornecer importantes informaccedilotildees antes mesmo
de se iniciar a construccedilatildeo por exemplo de um reator do tipo ADS aleacutem de ter a
possibilidade de indicar quais materiais podem ser utilizados Eacute claro que a simulaccedilatildeo
natildeo substitui o experimento real mas pode ajudar a prever melhorias antes de seu
funcionamento Aleacutem disso as simulaccedilotildees podem ser utilizadas para a validaccedilatildeo de
novos meacutetodos de caacutelculo da reatividade tanto para reatores hiacutebridos quanto para
reatores teacutermicos jaacute que eacute um dos paracircmetros mais importantes em um reator
nuclear
7
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes equaccedilotildees para a cineacutetica de um reator
subcriacutetico (Gandini et al 2000 Nishihara et al 2003 Silva et al 2011) Assim com o
intuito de obter a variaccedilatildeo da reatividade para reatores subcriacuteticos obteve-se uma
expressatildeo para essa funccedilatildeo com base na cineacutetica pontual inversa para sistemas ADS
jaacute que para esses sistemas o monitoramento da reatividade eacute vital para o
funcionamento normal E ainda os reatores subcriacuteticos guiados por fonte necessitam
de uma forma de caacutelculo da reatividade mais raacutepida para evitar um ldquodesligamentordquo natildeo
programado para isso foi utilizado o meacutetodo das derivadas no caacutelculo da reatividade
uma vez que este meacutetodo natildeo necessita da informaccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
A validaccedilatildeo da expressatildeo obtida para a reatividade proposta nesta tese foi feita
atraveacutes de simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) uma vez que os dados de reatores
subcriacuteticos tipo ADS satildeo encontrados em nuacutemero reduzido na literatura
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas duas formulaccedilotildees para as equaccedilotildees da
cineacutetica subcriacutetica e as respectivas expressotildees para a cineacutetica inversa
Alguns meacutetodos de tratamento do histoacuterico de potecircncia satildeo apresentados no
Capiacutetulo 3 sendo que o meacutetodo das derivadas parciais da potecircncia nuclear eacute tratado
em detalhes
Jaacute no Capiacutetulo 4 satildeo obtidas as expressotildees da cineacutetica pontual para casos em
que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados (β) e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons (Λ)
satildeo dependentes do tempo
O capiacutetulo 5 tem-se o caacutelculo da reatividade para alguns casos particulares da
variaccedilatildeo da potecircncia nuclear com todos os paracircmetros nucleares constantes E no
Capiacutetulo 6 temos as mesmas variaccedilotildees da potecircncia nuclear com as variaccedilotildees
temporais de β e de Λ
Os fundamentos da simulaccedilatildeo Monte Carlo satildeo tratados no Capiacutetulo 7
juntamente com os meacutetodos especiacuteficos para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares
No Capiacutetulo 8 satildeo apresentados e descritos os coacutedigos Monte Carlos utilizados
neste trabalho
Jaacute no Capiacutetulo 9 satildeo apresentados os resultados obtidos da reatividade com as
expressotildees que foram apresentadas nos capiacutetulos 5 e 6
Finalmente no Capiacutetulo 10 satildeo apresentadas as conclusotildees desta tese
8
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para
Reatores Subcriacuteticos
A formulaccedilatildeo da cineacutetica pontual provou ser uma ferramenta poderosa para a
avaliaccedilatildeo da reatividade para diferentes tipos de reatores tanto em operaccedilatildeo normal
quanto na partida do reator Esta formulaccedilatildeo descreve o comportamento dos necircutrons
dentro do reator sem nenhuma dependecircncia espacial sendo que a distribuiccedilatildeo dos
necircutrons evolui de maneira pontual
As diferentes propostas para a funccedilatildeo importacircncia encontradas na literatura
resultam em diferentes equaccedilotildees da cineacutetica pontual (Gandini et al 2000 Nishihara et
al 2003 Silva et al 2011) para descrever o comportamento dos necircutrons dentro de
reatores subcriacuteticos
Para um sistema sem fonte externa de necircutrons tem-se somente uma
autofunccedilatildeo para toda a distribuiccedilatildeo de necircutrons em todos os instantes dentro do
reator Poreacutem para reatores com fonte externa esta afirmaccedilatildeo pode natildeo ser
verdadeira pois se a distribuiccedilatildeo de necircutrons for dominada pela fonte externa pode
envolver uma superposiccedilatildeo de muitas autofunccedilotildees Assim o comportamento pontual
pode ser fatorado no produto de uma funccedilatildeo da amplitude (apenas com dependecircncia
temporal) e uma funccedilatildeo de forma (sem dependecircncia temporal mas com dependecircncia
das variaacuteveis do espaccedilo de fase) (Dulla 2003)
As equaccedilotildees que descrevem o funcionamento dos reatores subcriacuteticos podem
ser obtidas a partir da equaccedilatildeo de transporte ou da equaccedilatildeo de difusatildeo (Gandini
2000) Assim as equaccedilotildees da cineacutetica espacial podem ser escritas da seguinte
maneira
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1
I
i i ext
i
r t A r t F r t c r t qv t
β λ=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum
(21)
( ) ( ) ( ) 1i i i ic r t F r t c r t i It
β λpart
= Ψ minus =part
(22)
onde v eacute a velocidade dos necircutrons iβ eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados do grupo i
e iλ eacute a constante de decaimento dos precursores de necircutrons retardados do grupo i
Nas seccedilotildees seguintes satildeo apresentados os formalismos para a cineacutetica dos
9
reatores ADS encontrados nos trabalhos de Gandini et at (2000) atraveacutes da
metodologia da teoria heuriacutestica de perturbaccedilatildeo generalizada (HGPT) e no trabalho de
Silva et al (2011) em que eacute proposto um termo adjunto de fonte (TAF) que se torna
significativo para reatores que operam longe da criticalidade
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
A funccedilatildeo importacircncia proposta por Gandini et al (2002) para o caso de
necircutrons monoenergeacuteticos isotroacutepicos meio homogecircneo e sem dependecircncia
temporal eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (Silva 2011)
( ) ( )0 0 0 0
0
0f
f
wA n r F n r
P
+ + + +minus minus Σ =
(23)
onde fw eacute a energia revertida por fissatildeo e P0 eacute a potencia nuclear sem perturbaccedilatildeo
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0n+ e integrando em r
obteacutem-se
( )0 0 0 0
1
11
I
o i i ext
i
n n A n F n c n qv t
β λ+ + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (24)
Considerando-se as seguintes perturbaccedilotildees no sistema
0 A A Aδminus rarr minus + (25)
0 F F Fδrarr + (26)
(0) ext ext extq q qδrarr + (27)
10
onde 0Aminus 0F e (0)
extq satildeo os estados estacionaacuterios natildeo perturbados
Substituindo e manipulando as equaccedilotildees (25) (26) e (27) na equaccedilatildeo (24) resulta em
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0 0
1
1
1
o
I
i i ext ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q n q
δ β
β δ λ δ
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + +sum (28)
Somando e subtraindo 0n Fβ+ Ψ na equaccedilatildeo (28) e lembrando que
(0)
0 1ext
n q+ = de acordo com Gandini (2001) vem
( )
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0
1
0 0 0
1
1 1
o
I
i i ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q
n F F n F
δ β
β δ λ
β δ β
+ minus + + +
+ + +
=
+ +
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + + +
+ Ψ minus Ψ
sum (29)
Rearranjando os termos da equaccedilatildeo acima tem-se
1
0 0 0 00
0 0 0
1
0
1
o
I
i i ext
i
n v n A n F n At
n F n c n q
n F
δ
δ λ δ
β
+ minus + + +
+ + +
=
+
partΨ = Ψ + Ψ + Ψ +
part
Ψ + + + +
minus Ψ
sum (210)
Ponderando a equaccedilatildeo (23) com Ψ obteacutem-se (Silva et al 2011)
0 0 00
0
0f
wn A n F
P
++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)
11
Substituindo a equaccedilatildeo (211) na equaccedilatildeo (210) tem-se
1
0 0 0
1
0
0
1
I
o i i
i
ext f
n v n A F n F n ct
wn q
P
δ δ β λ
δ
+ minus + + +
=
+
partΨ = + Ψ minus Ψ + +
part
minus Σ Ψ +
sum (212)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t P t rφΨ asymp
(213)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )P t eacute a potecircncia
Substituindo a aproximaccedilatildeo dada pela equaccedilatildeo (213) na equaccedilatildeo (212)
obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
n v P t r n A F P t r n F P t rt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
part= + minus +
part
+ minus Σ +sum
(214)
Como bull eacute uma integraccedilatildeo no espaccedilo pode-se escrever
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
+ minus Σ +sum
(215)
Sendo 0 0f
P w φ= Σ tem-se
12
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
1
o
I
i i ext
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
n c P t n q
φ δ δ φ β φ
λ δ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus + +sum
(216)
Dividindo a equaccedilatildeo (216) por
0 0 I n F φ+= (217)
a equaccedilatildeo (216) pode ser escrita da seguinte forma
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1 I
n n n n n
eff eff i i
i
dP tP t C t P t Q
dtρ β λ ζ
=
Λ = minus + + minus + sum (218)
sendo
( )1
0
o
n
eff
n v r
I
φ+ minus
Λ equiv
(219)
( )0 0
nn A F r
I
δ δ φρ
+ +equiv
(220)
( )0 0
n
eff
n F r
I
β φβ
+
equiv
(221)
( )0
in
i
n cC t
I
+
equiv (222)
1
I
ζ equiv (223)
0
extn
n qQ
I
δ+
equiv (224)
13
onde nρ eacute uma reatividade generalizada nQ eacute o valor da fonte externa ( )n
iC t eacute a
concentraccedilatildeo de precursores e ζ eacute um termo de subcriticalidade inserido pela funccedilatildeo
importacircncia
Agora ponderando a equaccedilatildeo (22) com 0n+ e dividindo pelo o fator de
normalizaccedilatildeo dado pela equaccedilatildeo (217) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) n n n
i i eff i i
dC t P t C t
dtβ λ= minus (225)
onde
0 0
in
i eff
n F
I
β φβ
+
equiv (226)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
proposta por Gandini et al (2000) considerando um grupo de precursores de
necircutrons eacute escrito da seguinte maneira
( )
( ) ( ) ( )( ) 1n
n n
dP tt P t C t P t q
dtρ β λ ζ Λ = minus + + minus + (227)
( )( )
( )n
dC tP t C t
dtβ λ= minus
(228)
onde ( )nP t eacute a potecircncia normalizada β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados ζ eacute o
iacutendice de subcriticalidade (que tende agrave zero quando o sistema se a proacutexima da
criticalidade) ( )ρ t eacute a reatividade generalizada do sistema ( )C t eacute a concentraccedilatildeo de
precursores e Λ tempo de geraccedilatildeo meacutedio de necircutrons
14
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Na funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011) existe um termo de
fonte adjunto que se torna significativo para os sistemas que estatildeo longe de
criticalidade Portanto a equaccedilatildeo da funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011)
foi
( ) ( )dagger
0 0 0 0
0
1
f
sub
A r F rk N
νε ε η+ + +
Σminus =
(229)
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0ε + e integrando em r
obteacutem-se
( )1
0 0 0 0
1
1 I
o i i ext
i
v A F c qt
ε ε ε β λ ε ε+ minus + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (230)
Realizando uma perturbaccedilatildeo no sistema da seguinte maneira
0 A A Aδminus rarr minus + (231)
0
1
sub
F F Fk
δrarr + (232)
Substituindo as equaccedilotildees (231) e (232) na equaccedilatildeo (230) e rearranjando os
termos vem
( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1
11
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q
ε ε ε δ ε β
ε β δ λ ε ε
+ minus + + +
+ + +
=
partΨ = minus Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + +sum
(233)
15
Somando e subtraindo 0 Fε β+ Ψ na equaccedilatildeo (233) e utilizando a equaccedilatildeo
(232) pode-se escrever
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q F
ε ε δ ε ε
ε δ λ ε ε ε β
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + minus Ψ + Ψ +
part
Ψ + + minus Ψsum
(234)
Agora ponderando-se a equaccedilatildeo (229) com ( )r tΨ
podemos escrever
segundo Silva (2011)
0 0 0 0
0
1
f
sub
A Fk N
νε ε η+ +minus Ψ + Ψ = minus Σ Ψ (235)
Substituindo a equaccedilatildeo (235) na equaccedilatildeo (234)
1
0 0
0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
v A F Ft
c qN
ε ε δ δ ε β
νλ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
partΨ = + Ψ minus Ψ +
part
minus Σ Ψ +sum (236)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t N t rφΨ asymp
(237)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )N t eacute a densidade necircutrons tem-se substituindo
a equaccedilatildeo (237) na equaccedilatildeo (236)
16
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t qN
ε φ ε δ δ φ ε β φ
νλ ε η φ ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus Σ +sum (238)
e como 0 0f
N ν φ= Σ pode-se escrever a equaccedilatildeo (238) da seguinte maneira
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
o
I
i i ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t q
ε φ ε δ δ φ ε β φ
λ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus +sum (239)
Dividindo a equaccedilatildeo (239) por 0oI Fε φ+= obteacutem-se
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
I
eff i i
i
dN tN t C t N t q
dtρ β λ
=
Λ = minus + minus Γ +sum (240)
onde
1
0
o
eff
v
I
ε φ+ minus
Λ equiv (241)
0 0
A F
I
ε δ δ φρ
+ +equiv (242)
0 0
eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (243)
( )0
i
i
cC t
I
ε +
equiv (244)
0
ext
I
ε +
equiv (245)
I
ηΓ equiv (246)
sendo ρ eacute uma relatividade generalizada Q eacute um termo relacionada agrave fonte externa
Γ um termo de subcriticalidade e ( )iC t eacute a concentraccedilatildeo de precursores
17
Procedendo de maneira anaacuteloga para a equaccedilatildeo (22) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) i i eff i i
dC t N t C t
dtβ λ= minus (247)
onde
0 0
i
i eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (248)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
segundo Silva (2011) eacute escrito como
( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ minus Γ + Σ (249)
( )
( ) ( )f
dC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
sdotΣ (250)
onde ϖ eacute a energia meacutedia liberada por fissatildeo Σ f eacute a seccedilatildeo de choque macroscoacutepica
de fissatildeo e β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
23 Cineacutetica Inversa
Usualmente o controle de um reator nuclear eacute feito atraveacutes do monitoramento
da reatividade o que torna o meacutetodo da cineacutetica inversa relevante A reatividade eacute
caracterizada por uma mudanccedila no fator de multiplicaccedilatildeo do reator o que o torna um
dos paracircmetros mais importantes em fiacutesica de reatores Nas seccedilotildees seguintes seratildeo
apresentadas as equaccedilotildees para o caacutelculo da reatividade
18
231 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Para obter-se a expressatildeo da cineacutetica pontual inversa eacute necessaacuterio resolver as
equaccedilotildees (227) e (228) Partindo da equaccedilatildeo (228) e utilizando meacutetodo do fator
integrante obteacutem-se
( ) ( )( )
t
t t
nC t P t e dt
λβ minus minus
minusinfin
= int (251)
Substituindo a equaccedilatildeo (251) na equaccedilatildeo (227) vem
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )( )1
tnt tn n
n
P tdP t P tt P t e dt Q
dt
λζλβ
ρ β minus minus
minusinfin
minus= minus + + +
Λ Λ Λint (252)
onde Q qequiv Λ eacute o termo de fonte de necircutrons Resolvendo a equaccedilatildeo (252) para
( )tρ tem-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )
0
0
1
ttt tn
n
n n n
n
n n
dP t P et P t e dt
P t dt P t P t
P t Q
P t P t
λλβ λβ
ρ β
ζ
minusminus minusΛ
= + minus minus
minus Λminus minus
int (253)
onde P0 = P(0)
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga a seccedilatildeo anterior e partindo das equaccedilotildees
(249) e (250) propostas por Silva et al encontra-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t
t ttdP t P Q
t e e P t dtP t dt P t P t P t
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus minusint (254)
19
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico
de Potecircncia
Existem vaacuterios meacutetodos de tratamento para a soluccedilatildeo ou aproximaccedilatildeo do
histoacuterico de potecircncia Esses meacutetodos visam diminuir o tempo de caacutelculo
computacional sem que seja introduzido um erro muito grande e podem envolver ou
natildeo uma fonte externa de necircutrons
A mediccedilatildeo da reatividade a partir da cineacutetica inversa permite que seu valor seja
analisado a cada instante pela variaccedilatildeo temporal do niacutevel de potecircncia do reator
(Ansari et al 2001)
Devido ao grande interesse nos reatores ADS apenas os meacutetodos que
envolvem fontes externas seratildeo apresentados sendo que o uacutenico que seraacute detalhado
eacute o meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear
31 Meacutetodo de Agrupamento
Na partida do reator a contribuiccedilatildeo da fonte externa de necircutrons deve ser
considerada Assim Hoogenboom et al (1998) escrevem a equaccedilatildeo da cineacutetica
inversa como
( )( )
( ) ( )( )
1 i
t t t
i i
i
c St e P t dt
P t P t
λρ β β λ minus minus
minusinfin
Λ= minus minussum int (31)
A integral da equaccedilatildeo (31) pode ser calculada recursivamente atraveacutes de
amostragens de P(t) usando interpolaccedilatildeo linear entre duas amostras consecutivas
Pn-1 = P(tn -1) e Pn = P(tn) separadas por um intervalo t∆ Portanto
20
( ) ( )
1
1
1 1
1
in
i n i
i
i
tt t t t n
n n
i i
ttn
i i
P eI e P t dt e I
t
P ee
t
λλ λ
λλ
λ λ
λ λ
minus ∆minus minus minus ∆
minusminusinfin
minus ∆minus ∆minus
minus= = + minus
∆
minusminus minus
∆
int (32)
Introduzindo a seguinte funccedilatildeo
( ) ( ) ( ) i
t t t
i i
i
g t e P t dtλβ λ minus minus
minusinfin=sum int (33)
e reescrevendo a equaccedilatildeo (31) em funccedilatildeo de ( )g t tem-se
( )( )( ) ( )
Sg t
tP t P t
ρρ β= minus minus (34)
Para um reator subcriacutetico com potecircncia constante na presenccedila de fonte
externa de necircutrons (S) obteacutem-se
ou S S
PP
ρ ρρρ
= minus = minus (35)
Este meacutetodo pode ser resumido nos seguintes passos
No intervalo desejado divide-se as seacuteries de P(t) e g(t) em trecircs grupos de
mesma duraccedilatildeo
1 Calcula-se os conjuntos de valores de cada um dos grupos ( )1 1P g
( )2 2P g e ( )3 3
P g
2 Estima-se os valores do gradiente ( )β ρminus e o interseccedilatildeo ( )Sminus Λ atraveacutes
de
( ) 3 1
3 1
g g
P Pβ ρ
minusminus =
minus (36)
( ) ( ) S g Pβ ρminus Λ = minus minus (37)
21
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada
Neste meacutetodo Kitano et al (2000) escreve a expressatildeo da reatividade como
( )( )
( )( )
( ) ( )( )6
1
i i
i
S t dP tt C t
P t P t P t dtρ β λ
=
ΛΛ Λ= minus minus +sum (38)
Segundo o autor o termo ( )
( )dP t
P t dt
Λ pode ser negligenciado pois o erro
inserido eacute menor que 1 para um amplo intervalo de reatividade Portanto a equaccedilatildeo
(38) eacute escrita como
( )( )
( )( )
( )
6
1
i i
i
S tt C t
P t P tρ β λ
=
ΛΛ= minus minussum (39)
Por conveniecircncia computacional a equaccedilatildeo da concentraccedilatildeo de precursores
pode ser escrita da seguinte forma (Kitano et al 2000)
( ) ( ) ( ) 16ii i i iC t t P t C t C t t i
βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =
Λ (310)
onde P e iC satildeo os valores meacutedios para o incremento de tempo t∆
Portanto a equaccedilatildeo (39) pode ser escrita na seguinte forma
( ) ( ) ( ) ( )6
1
i i
i
g t C t S P tλ β ρ=
equiv Λ = minus Λ + minussum (311)
onde a fonte de necircutrons (S) e a reatividade satildeo constantes Esta equaccedilatildeo pode ser
considerada como uma equaccedilatildeo linear de P(t)
Considerando que o sinal da potecircncia tenha um grande erro principalmente na
operaccedilatildeo em baixa potecircncia pode-se aplicar filtros para ruiacutedo de alta frequecircncia e
tambeacutem de baixa frequecircncia da seguinte forma
22
1
1 N
i j
j
P PN =
= sum (312)
e
( )1 1 i i i i
tP P P P
t τminus minus
∆= + minus
∆ + (313)
onde Pj eacute a medida da potecircncia medida iP eacute a potecircncia meacutedia e N eacute o nuacutemero de
amostras τ eacute a constante de tempo e i
P eacute a saiacuteda da equaccedilatildeo (313)
A introduccedilatildeo da memoacuteria baacutesica indexada eacute segundo os autores um novo
ldquotermocircmetrordquo para diagnosticar um transiente sendo definido por
[ ] 1 1
6
1
1
i i
i
CM I
C
λ β
βλ
=
equiv
sum (314)
A memoacuteria baacutesica indexada (MI) eacute a normalizaccedilatildeo das emissotildees de necircutrons
retardados do primeiro grupo sobre o total de emissotildees de necircutrons retardados Note
que a MI assume valor unitaacuterio quando o reator estaacute em estado estacionaacuterio Assim
ela pode ser usada para detectar o iniacutecio e o final de um transiente para a aplicaccedilatildeo do
meacutetodo de grupo
23
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da
intensidade da fonte externa
A equaccedilatildeo da cineacutetica inversa escrita com uma discretizaccedilatildeo no tempo e
assumindo que a potecircncia do reator varia com ( ) 1jt
jn t n emicro
minus= onde
( )1log j j j
n n tmicro minus= ∆ eacute dada por (Tamura 2003)
6
1
j
j eff i i j
ij j j
nC S
n t n nρ β λ
=
∆Λ Λ Λ= + minus minus
∆sum (315)
onde
1
1 1
i
i
t
j jt ii j i j
j
i
j
n n eC C e
n
n t
λ
λ β
λ
minus ∆minusminus ∆
minus
minus= +
∆Λ+
∆
(316)
Note que o subiacutendice j representa os valores no tempo j e S eacute a fonte externa
de necircutrons
Considerando as seguintes condiccedilotildees iniciais
( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)
e
0 0 S nρ = minusΛ (318)
tanto a reatividade ρ quanto a fonte S satildeo obtidas pelo meacutetodo dos miacutenimos
quadrados (Diacuteaz 2007)
24
34 Meacutetodo das Derivadas
As equaccedilotildees (253) e (254) obtidas no capiacutetulo anterior envolvem a mesma
integral em funccedilatildeo da potecircncia do reator Esta integral tambeacutem chamada de histoacuterico
de potecircncia deve ser calculada desde o iniacutecio da operaccedilatildeo do reator ateacute o tempo atual
de maneira contiacutenua ou seja exige monitoramento constante da potecircncia Aleacutem disso
o armazenamento desta informaccedilatildeo eacute necessaacuterio durante toda operaccedilatildeo do reator
para possibilitar a recuperaccedilatildeo da informaccedilatildeo da reatividade caso ocorra uma
interrupccedilatildeo em seu caacutelculo
Para o caso dos reatores subcriacuteticos o monitoramento contiacutenuo da reatividade
eacute imprescindiacutevel para seu funcionamento normal Como a produccedilatildeo de necircutrons eacute
insuficiente para manter as reaccedilotildees nucleares nesses reatores a reatividade pode ser
um paracircmetro utilizado para o monitoramento e ajuste da intensidade do feixe de
proacutetons para manter as reaccedilotildees nucleares produccedilatildeo de energia eleacutetrica constante
durante a operaccedilatildeo do reator
O meacutetodo das derivadas estaacute baseado na integraccedilatildeo por partes da integral do
histoacuterico de potecircncia da equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa resultando em uma seacuterie
de potecircncias em funccedilatildeo da potecircncia nuclear do reator com dependecircncia temporal
(Diacuteaz 2007) Este meacutetodo de caacutelculo da reatividade permite a possibilidade do reiniacutecio
do caacutelculo apoacutes sua interrupccedilatildeo causada por um problema no funcionamento do
equipamento de mediccedilatildeo ou seja com este meacutetodo natildeo eacute necessaacuterio um caacutelculo
contiacutenuo Aleacutem disso pode-se obter a reatividade sem a dependecircncia da memoacuteria da
potecircncia nuclear o que torna o caacutelculo mais raacutepido se comparado ao tempo necessaacuterio
para a resoluccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
Para a obtenccedilatildeo da expressatildeo do meacutetodo das derivadas deve-se resolver a
integral da equaccedilatildeo (254) ou da equaccedilatildeo (253) por partes Assim obteacutem-se
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tP t P e
I t e P t dt P t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (319)
onde P(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (319) tem-se
25
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2
2 2 2
0
0 0 1
t t tt tP t P e P t P e
I t P t e dt
λ λλ
λ λ λ λ λ
minus sdot minus sdotminus sdot minus
= minus minus + minus int (320)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (320) por partes obteacutem-se
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
2 2
3
3 3 3
0
0 0
1
t t
t tt t
P t P e P t P eI t
P t P t eP t e dt
λ λ
λλ
λ λ λ λ
λ λ λ
minus minus
minusminus minus
= minus minus + +
minus minus int
(321)
Aplicando esta soluccedilatildeo n vezes podemos escrever
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1 10 0 0
0 1 1
n n k t tt tk kn n
n n kn n
P t P e P t eI t dt
λλ
λ λ λ
+ minus minusminus
+ + += =
= minus minus minus minussum sum int (322)
ou ainda
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(323)
341 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2m-1 assim a equaccedilatildeo (323) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
m t tt tt t
m
n n tm mn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(324)
26
Supondo que a forma de P(t) satisfaccedila agraves condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n P tP t P t
P t
minus
minus
=
(325)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n P tP t P t
P t
=
(326)
onde ( ) ( )
( )
2
P t
cte tP t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial entre outras
Substituindo a equaccedilatildeo (326) na equaccedilatildeo (324) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
m
n nm m
n n t
n nn n
P te P t dt P t e dt
P t
P t P t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(327)
Como ( ) ( )
( )
2P t
cteP t
= podemos escrever a equaccedilatildeo (327) como
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 1 2 1
1 10 00
1 11
n n nt m mt t n n t
n nn n
P te P t dt P t P t e
P t
λ λ
λ λ
minus minusminus minus minus sdot
+ += =
minus minus minus = minus
sum sumint
(328)
Logo
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e P t dt S t S tλminus minus
= +int (329)
27
sendo
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
nm
n
nnn
S P t
P t
P t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (330)
e
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
nm
n t
nnn
S P t e
P t
P t
λ
λ
minusminus sdot
+=
minusequiv minus
minus
sum (331)
Analisando inicialmente a equaccedilatildeo (330) pode-se escrever o seu somatoacuterio
da seguinte forma
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nm m mn
n n nn n n
P t P tP t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (332)
Utilizando as equaccedilotildees (325) e (326) na equaccedilatildeo (332) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
11 22 1 1
1 2 20 0
1
nnm m
n
nn n
P t P t P tP t
P tλ λ λ λ
minusminus minus
+= =
minus = minus
sum sum (333)
Lembrando que
( )1
0
1
1
mm
n
n
a rar
r
+
=
minus=
minussum (334)
identificando ( ) ( )
( )
2
2
P tr
P tλ= e a =1 na equaccedilatildeo (333) vem
28
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nm
n
nn
P t
P tP t P tP t
P t
P t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (335)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (335) na equaccedilatildeo (330) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
22
22
1 22
22
1
11
n
n
P tP t P t
P tS
P tP t
P tP t
λλ λ
λλ
minus minus = minus minus
(336)
Simplificando e rearranjando os termos da equaccedilatildeo (336) chega-se a
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
P t P tS P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (337)
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (331) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tP PS P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (338)
Finalmente podemos escrever a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo
329) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
e P t dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (339)
29
342 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par entatildeo k=2m-2 assim a equaccedilatildeo (323) torna-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t t
t t m t t
m
n n tm mn n
n nn n
P t e dt P t e dt
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(340)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (325) vem
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
12
1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
mt t
t t t t
m
n n tm mn n
n nn n
P tP t e dt P t e dt
P t
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus
minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(341)
Da equaccedilatildeo (319) pode-se escrever
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
0 0
0
t tt t t tt
P t e dt P t P e e P t dtλ λλ λminus minus minus minusminus sdot= minus minusint int (342)
Substituindo a equaccedilatildeo (342) na equaccedilatildeo (341) e rearranjando os termos
obteacutem-se
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt mt t n n t
m nn
mn n t
m m
P t e dt P t P e
P t
P t
P t P e P t
P tP t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(343)
Desenvolvendo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (343) tem-se
30
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
P t e dt S t S tλminus sdot minus
= minusint (344)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nm
n
m nn
S t P t
P t
P t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (345)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nm
n t
m nn
S t P e
P t
P t
λ
λ
λ
minusminus sdot
minus +=
minusequiv
minus
sum (346)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior eacute faacutecil mostrar que
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
P t P tS t P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (347)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tP PS t P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (348)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k que o histoacuterico de
potecircncia eacute dado pela seguinte expressatildeo
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t t
P t P t P Pe P t dt P t P e
P t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (349)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo Sendo assim a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo 319)
pode ser escrita da seguinte forma
31
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
P t e dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
sdotminus minus= minus
minus minusint (350)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa baseada na formulaccedilatildeo
proposta por Gandini (2001) equaccedilatildeo (252) como
( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
tnn
n n n n
n n n n
n n
n n n n n
t
P tdP t P e Qt
P t dt P t P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ= + minus minus minus minus
minus minus minus
minus minus
(351)
E para o formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se substituindo a
equaccedilatildeo (350) na equaccedilatildeo (254) a expressatildeo para a reatividade sem a dependecircncia
do histoacuterico de potecircncia
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
dP t P Qt e
P t dt P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
βρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + Γ + minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(352)
32
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com
dependecircncia temporal de β e Λ
Nas seccedilotildees anteriores as mudanccedilas da composiccedilatildeo do combustiacutevel nuclear
natildeo foram levadas em consideraccedilatildeo Essas mudanccedilas podem levar a caacutelculos
discrepantes da reatividade quando comparados a mediccedilotildees experimentais nos
reatores Aleacutem disso conhecer com precisatildeo o valor da reatividade contribui com a
melhora do desempenho da central nuclear
Assim nesta seccedilatildeo as dependecircncias temporais da fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons seratildeo consideradas para o
caacutelculo da reatividade tanto na formulaccedilatildeo proposta por Gandini et al (2000) quanto
na formulaccedilatildeo proposta por Silva et al (2011) Os demais paracircmetros nucleares
permaneceratildeo constantes pois suas variaccedilotildees satildeo pouco significativas (Scall 2010)
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
As equaccedilotildees propostas por Gandini et al (2000) com dependecircncia temporal da
fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons eacute dada por
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n
n n
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λ ζΛ = minus + + minus + (41)
( ) ( )( )
( )n
dC tt P t C t
dtβ λ= minus
(42)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo 231 pode-se escrever partindo da
equaccedilatildeo (42) que a concentraccedilatildeo de precursores eacute dada pela seguinte expressatildeo
( ) ( ) ( ) ( )
t t t
nC t t P t e dtλβ minus minus
minusinfin= int (43)
33
Substituindo a equaccedilatildeo (43) na equaccedilatildeo (41) obteacutem-se a seguinte expressatildeo
para a reatividade
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
0
0
1
t t tn t
n n n
n
n
t dP t At t e A t e dt
P t dt P t P t
P t t Q t
P t P t
λλλ λρ β
ζ
minus minusminusΛ= + minus minus
minus Λ minus minus
int
(44)
onde ( ) ( )nA t P tβequiv e ( ) ( )Q t q tequiv Λ
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
As equaccedilotildees da cineacutetica propostas por Silva et al (2011) com dependecircncia
temporal de Λ e β satildeo
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ + Γ + Σ (45)
( )( )
( ) ( )f
tdC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
Σ (46)
Resolvendo a equaccedilatildeo (46) pelo o meacutetodo do fator integrante obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( )1
t t t
f
C t t P t e dtλβ
ωminus minus
minusinfin=
Σ int (47)
Substituindo a equaccedilatildeo (47) na equaccedilatildeo (45) chega-se a expressatildeo da
reatividade com dependecircncia temporal de β e Λ
34
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t t ttt dP t A
t t e A t e dtP t dt P t P t
t Q t
P t
λλλ λρ β minus minusminusΛ
= + minus minus
ΛminusΓ minus
int (48)
onde ( ) ( ) ( )A t t P tβequiv e ( ) ( ) fQ t q tωequiv Σ Λ
43 Meacutetodo das Derivadas para
Dependecircncia Temporal de β e de Λ
De acordo com a seccedilatildeo 34 a integral das equaccedilotildees (44) e (48) podem ser
resolvidas por partes assim obteacutem-se (Scal 2012)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tA t A e
I t e A t dt A t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (49)
onde A(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (49) por partes n vezes pode-se escrever
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
A t ee A t dt dt
A t A e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(410)
35
431 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2j-1 assim a equaccedilatildeo (410) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
j t tt tt t
j
n n tj jn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minus sdotminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(411)
Admitindo que a forma de A(t) satisfaccedila as condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n A tA t A t
A t
minus
minus
=
(412)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n A tA t A t
A t
=
(413)
onde ( ) ( )
( )
2
A t
cte tA t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial
Substituindo as condiccedilotildees (412) e (413) na equaccedilatildeo(411) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
k
n nj jn n t
n nn n
A te A t dt A t e dt
A t
A t A t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(414)
ou ainda
36
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e A t dt S t S tλminus minus
= +int (415)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
njn
nnn
S t A t
A t
A t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (416)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
njn t
nnn
S t A t e
A t
A t
λ
λ
minusminus
+=
minusequiv minus
minus
sum (417)
Reescrevendo o somatoacuterio da equaccedilatildeo (416) tem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nj j jn
n n nn n n
A t A tA t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (418)
Utilizando as condiccedilotildees (412) (413) e recordando da relaccedilatildeo (334) pode-se
escrever
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nj
n
nn
A t
A tA t A tA t
A t
A t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (419)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (419) na equaccedilatildeo (416) obteacutem-se apoacutes
simples manipulaccedilotildees algeacutebricas
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
A t A tS A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (420)
37
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (417) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tA AS A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (421)
Finalmente pode-se escrever a equaccedilatildeo (49) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (422)
432 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par k+1 = 2j-1 entatildeo k=2j-2 assim a equaccedilatildeo (410) torna-
se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t tt t j t t
j
n n tj jn n
n nn n
A t e dt A t e dt
A t A e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(423)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (412) e lembrando-se da equaccedilatildeo (49)
pode-se escrever a equaccedilatildeo (423) como
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt jt t n n t
j nn
jn n t
j j
A t e dt A t A e
A t
P t
A t A e A t
A tA t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus sdot minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(424)
38
Abrindo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (424) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
A t e dt S t S tλminus minus
= minusint (425)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nj
n
j nn
S t A t
A t
A t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (426)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nj
n t
j nn
S t A e
A t
A t
λ
λ
λ
minusminus
minus +=
minusequiv
minus
sum (427)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior tem-se
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
A t A tS t A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (428)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tA AS t A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (429)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (430)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo assim a equaccedilatildeo (49) pode ser escrita da seguinte forma
39
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
A t e dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus sdot minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (431)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa com
dependecircncia temporal de β e Λ baseada na formulaccedilatildeo proposta por Gandini (2001)
(equaccedilatildeo 44) como
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
nn t
n n n n
n
t
P tt dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
ζλρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ = + minus minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(432)
Para o formalismo proposto por Silva et al (2011) equaccedilatildeo (48) tem-se
( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
t dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
λρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + minus minus Γ minus
minus minus minus minus
minus minus
(433)
40
5 Caacutelculo da reatividade para algumas
variaccedilotildees da potecircncia nuclear
51 Potecircncia Linear
511 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Durante a partida de um reator nuclear a sensibilidade do sistema de mediaccedilatildeo
pode natildeo identificar o aumento da potecircncia assim uma inserccedilatildeo de reatividade brusca
causaraacute um crescimento instantacircneo da potecircncia podendo causar um acidente no
circuito primaacuterio (Zhang et al 2008)
Para contornar esse problema deve-se inserir a reatividade de maneira suave
ateacute que o reator chegue alcance a sua potecircncia de operaccedilatildeo Para isto consideramos
uma variaccedilatildeo linear da potecircncia da forma
( ) 0 nP t P wt= + (51)
a uma taxa 0001w = Substituindo a equaccedilatildeo (51) na equaccedilatildeo (253) pode-se
escrever
( )( )
( ) ( ) ( )( )
0 0
0 0
0
0
0 0 00
1
t
tt t
d P wt P et
P wt dt P wt
P wt QP wt e dt
P wt P wt P wt
λ
λ
βρ β
ζλβ
minus
minus minus
+Λ= + minus
+ +
minus + Λminus + minus minus
+ + +int
(52)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (52)vem
41
( )
( ) ( )( )( )
0
0 0
0
0 0 0 0
1
t
P wtwt
P wt P wt
P wtw we Q
P wt P wt P wt P wt
λ
λβρ β
λ
ζβ β
λ λ
minus
+Λ = + minus +
+ +
minus + Λminus minus minus
+ + + +
(53)
Reescrevendo a equaccedilatildeo (53) obteacutem-se
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(54)
Utilizando o meacutetodo das derivadas podemos escrever
( )( )( )
( )
00
0 0 0
0 0
0 0
1
t
t
P wtPwt e
P wt P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
minus +Λ= + minus minus
+ + +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(55)
Manipulando a equaccedilatildeo (55) vem
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(56)
Pode-se observar que a soluccedilatildeo encontrada pelo meacutetodo das derivadas
equaccedilatildeo (56) eacute exatamente a mesma que a soluccedilatildeo encontrada atraveacutes da resoluccedilatildeo
do histoacuterico de potecircncia equaccedilatildeo (54)
42
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Analisando o comportamento da reatividade atraveacutes da variaccedilatildeo linear da
potecircncia tem-se fazendo ( ) 0P t P wt= + na equaccedilatildeo (254)
( ) ( ) ( )00
0 0 0 00
tt ttPw Q
t e e P wt dtP wt P wt P wt P wt
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus + minus+ + + +int
(57)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (57) obteacutem-se
( )( )0 0 0
( ) 1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λ βρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(58)
Utilizando-se o meacutetodo das derivadas tem-se
( )
( )
0
0 0
0 0
0 0
t
t
Pwt e
P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
βρ β
λ λβ
λ λ
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
+ +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(59)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )0 0 0
1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λβρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(510)
Novamente as expressotildees encontradas pela a soluccedilatildeo da integral do histoacuterico
de potecircncia equaccedilatildeo (58) eacute exatamente a mesma que a expressatildeo final utilizando o
meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (510)
43
52 Potecircncia Constante
Todo reator nuclear eacute projetado para operar em determinado niacutevel de potecircncia
nuclear ou seja durante sua operaccedilatildeo normal o reator funciona a uma potecircncia
constante Assim eacute importante avaliar o comportamento da reatividade de um reator
nessas condiccedilotildees
521 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Entatildeo sendo Pn(t) = P0 o segundo termo da equaccedilatildeo (253) desaparece e
assim pode-se escrever
( ) ( ) ( ) 0
0 00
1
t
t ttP Q
t e e dtP P
λλ ζρ β β λβ minus minusminus minus Λ
= minus minus minus minusint (511)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (511) obteacutem-se
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (512)
Aplicando o meacutetodo das derivadas tem-se
( )( )0
0
0 00 0
0 0 0 0
1
t
t
Pt e
P
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ζρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minus= minus minus
Λminus minus
(513)
Assim vem
44
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (514)
Mais uma vez observa-se que as equaccedilotildees finais para a reatividade para
potecircncia constante satildeo idecircnticas tanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia
equaccedilatildeo (512) quanto utilizando o meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (514)
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Avaliando a operaccedilatildeo do reator a uma potecircncia constante ou seja substituindo
P(t) = P0 na equaccedilatildeo (254) tem-se
( ) ( )
00
tt tt Q
t e e dtP
λλρ β β λβ minus minusminus Λ= + Γ minus minus minusint (515)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (515) tem-se segundo o
formalismo de Silva et al
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (516)
Jaacute atraveacutes do uso do meacutetodo das derivadas obteacutem-se
( )
0 00 0
0 0 0 0
t
t
t e
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
= + Γ minus minus
Λminus minus
(517)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias temos
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (518)
45
Novamente observa-se que as equaccedilotildees (516) e (518) para a reatividade satildeo
idecircnticas independente do meacutetodo de soluccedilatildeo abordado
53 Potecircncia Exponencial
531 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Outra variaccedilatildeo caracteriacutestica da potecircncia nuclear eacute a forma exponencial
Assim supondo uma variaccedilatildeo deste tipo para potecircncia na equaccedilatildeo (253) pode-se
avaliar o comportamento cineacutetico do reator Nessas condiccedilotildees substituindo
( ) 0
tP t P e
α= na equaccedilatildeo (253) obteacutem-se
( ) ( )
( )
( )
0
0
0 0
1
ttt t
t
t t
t e e e dt
P e Q
P e P e
α λλ α λ
α
α α
ρ β α β λβ
ζ
+minus + minus
minus sdot
= + Λ minus minus minus
minus Λminus
int (519)
Resolvendo a integral tem-se
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus sdot
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(520)
Agora pelo meacutetodo das derivadas podemos escrever
46
( )( )00 0
0 0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
1
tt t
t t t
t tt t
t t t t
P eP e P et
P e P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
αα λ
α α α
α αα λ
α α α α
ζα βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minusminus
minus
minusΛ= + minus minus
minus minus Λ minus minus minus
minus minus
(521)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(522)
As expressotildees obtidas utilizando-se tanto o meacutetodo das derivadas quando
resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia satildeo idecircnticas
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior e substituindo uma variaccedilatildeo
exponencial temos para o formalismo de Silva et al (2011)
( ) ( ) ( )
00
tttt
t t
e Qt e e dt
e P e
λα λλ α
α α
λβρ β α β
minus+minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus minusint (523)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (523) vem
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(524)
Novamente utilizando o meacutetodo das derivadas obteacutem-se
47
( ) 0 0
0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
t t
t t
t tt t
t t t t
P e P et
P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
α λ
α α
α αα λ
α α α α
α βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
minus minus Λ minus minus
minus minus
(525)
Manipulando a equaccedilatildeo acima chega-se agrave
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(526)
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
Nesta seccedilatildeo seraacute avaliado o comportamento das equaccedilotildees da cineacutetica pontual
para sistemas subcriacuteticos em caso de funcionamento anormal do reator Inicialmente o
reator seraacute avaliado com uma rampa da potecircncia depois operando em uma queda
suacutebita de potecircncia e em outros momentos pode ocorrer uma grande elevaccedilatildeo de
potecircncia Para isso a variaccedilatildeo da potecircncia foi simulada durante seis horas da
seguinte maneira
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(527)
onde w1 = 0001 Ws w2=001 Ws w4 = 0005 Ws w5=0005 Ws
Portanto admitindo que em todas as variaccedilotildees de potecircncia pode-se utilizar o
resultado da seccedilatildeo 511 assim para o formalismo proposto por Gandini agrave reatividade
se escreve da seguinte forma
48
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 0 11
0 1 0 1 0 1 0 1
2 0 22
0 2 0 2 0
1 1 0 1
1 2
1 1( )
t
t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
t h
e w P w twt
P w t P w t P
λ
λ
β ζ
λ
ζ
β ζρ
λ
minus
minus
minus minus +Λ Λ+ minus minus lt le
+ + + +
minus lt le
minus sdot minus +Λ= + minus
+ + +
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 0 2
4 0 44
0 4 0 4 0 4 0 4
5 0 55
0 5 0 5 0 5 0 5
2 4
1 1 4 5
1 1 5 6
t
t
Qt h
w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
λ
λ
β ζ
λ
β ζ
λ
minus
minus
Λ
minus lt le+
minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + + minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + +
(528)
Jaacute para o formalismo proposto por Silva et al tem-se utilizando o resultado da
seccedilatildeo 512
( )( )
( )( )
( )
1 1
0 1 0 1 0 1
2 2
0 2 0 2 0 2
4
0 4
1 0 1
1 2
( ) 1 2 4
1
t
t
t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
t h
w w Qt e t h
P w t P w t P w t
we
P w t
λ
λ
λ
β
λ
βρ
λ
β
minus
minus
minus
Λ ΛΓ + + minus minus lt le
+ + +
Γ lt le
Λ Λ= Γ + + minus minus lt le
+ + +
ΛΓ + + minus
+ ( )
( )( )
4
0 4 0 4
5 5
0 5 0 5 0 5
4 5
1 5 6t
w Qt h
P w t P w t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
λ
λ
β
λminus
Λ
minus lt le+ +
Λ ΛΓ + + minus minus lt le+ + +
(529)
49
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com
Dependecircncia temporal de β e Λ
Neste capiacutetulo seraacute suposto que tanto a fraccedilatildeo de necircutrons retardados quanto
e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente de acordo com
( ) 0t Btβ β= + (61)
e
( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)
onde o coeficiente linear β0 tem valor 000706 o coeficiente angular B eacute -217857 x 10-
7 pcm Jaacute os valores dos coeficientes da variaccedilatildeo do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de
necircutrons satildeo Λ0 = 11661 x 10-5 s e c = -714286 x 10-10 s
61 Potencia Linear
611 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
No processo de obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo (56) natildeo foi considerado nenhuma
variaccedilatildeo temporal dos paracircmetros β e Λ Para se ter um resultado mais proacuteximo do
funcionamento real de um reator considera-se agora que a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente com o tempo
de acordo com (61) e (62) Assim substituindo essas equaccedilotildees na equaccedilatildeo (432)
obteacutem-se
50
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
t
t
P wtct w P et Bt
P wt P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(63)
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior ou seja substituindo as equaccedilotildees
(61) (62) e (51) agora na equaccedilatildeo(433) vem
( )( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
2
2
2
t
t
ct w P et Bt
P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(64)
51
62 Potecircncia Constante
621 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Nesta seccedilatildeo considera-se uma situaccedilatildeo que a potecircncia nuclear permaneccedila
constante durante a operaccedilatildeo do reator Assim Substituindo as equaccedilotildees (61) e (62)
equaccedilatildeo (432) obteacutem-se
( ) ( )( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 00
0 0
1
1
t Bt Bt P e P
P ct QP B
P P
λρ β λβλ
ζ
λ
minus = + minus minus minus minus
minus Λ +minus minus minus
(65)
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Novamente repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior poreacutem substituindo as
equaccedilotildees (61) (62) e (51) na equaccedilatildeo (433) tem-se
( ) ( )( )( )00
0 0 0 0
0
1 tct QP BB
t Bt P e PP
λρ β λβλ λ
minus Λ + = + minus minus minus minus minus minus Γ minus
(66)
52
63 Potecircncia Exponencial
631 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Supondo que a potecircncia varie de acordo com ( ) 0
tP t P e
α= obteacutem-se
substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da potecircncia nuclear na
equaccedilatildeo (432) vem
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
1
2
12
t
t
t
P e ct Qt Bt ct
P e P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
α
α
λ α
ζρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
minus Λ += + + Λ + minus minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(67)
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Agora substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia nuclear na equaccedilatildeo (433) vem
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
0
0 0
0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
2
1 2
t
ct Qt Bt ct
P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
λ α
ρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
Λ += + + Λ + minus Γ minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(68)
53
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo 54 temos uma variaccedilatildeo de potecircncia dada
por
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(69)
Assim para o formalismo proposto por Gandini a reatividade se torna
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
tii
i i i
i i i i
i i i
i
i i
t
P w tct w P et Bt
P w t P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(610)
onde wi assume os seguintes valores w1 = 0001 w2=001 ou w4 = 0005 Jaacute para o
formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se
( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
( )
2
2
2
ti
i i
i i i i
i i i
i
i i
t
ct w P et Bt
P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(611)
54
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica
O meacutetodo de Monte Carlo pode ser caracterizado como uma teacutecnica de caacutelculo
de forccedila bruta que eacute bem adequado para problemas complicados que consistem de
vaacuterias subtarefas bem definidas Eacute um meacutetodo simples e intuitivo e manteacutem uma
estreita relaccedilatildeo com o problema que estaacute sendo resolvido
Atualmente o meacutetodo de Monte Carlo eacute amplamente utilizado em vaacuterios
campos como na fiacutesica matemaacutetica economia e engenharia Uma de suas primeiras
aplicaccedilotildees praacuteticas foi na modelagem de problemas de transporte de partiacuteculas
(Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo de caacutelculo foi chamada de Monte Carlo pelos cientistas Stanislav
Ulam John von Neumann e Metropolis Nicholas no final de 1940 quando este meacutetodo
foi usado para resolver problemas de transporte de partiacuteculas na pesquisa de armas
nucleares As raiacutezes do desenvolvimento da teoria moderna da probabilidade e
estatiacutestica data do seacuteculo 19 Poreacutem a primeira publicaccedilatildeo registrada que aborda este
meacutetodo data de 1949 (Yoriyaz 2009)
O sucesso da aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo (MMC) pelos cientistas de Los
Alamos se decorreu devido agrave computaccedilatildeo numeacuterica De fato mesmo se todos os
aspectos teoacutericos fossem resolvidos a utilizaccedilatildeo em grande escala do meacutetodo natildeo
seria possiacutevel sem esta ferramenta
O meacutetodo Monte Carlo eacute muito diferente dos meacutetodos de transporte
determiniacutesticos que geralmente baseiam-se na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de transporte de
necircutrons Assim para fazer com que o problema seja passiacutevel de uma soluccedilatildeo
computacional eacute necessaacuteria a realizaccedilatildeo de uma discretizaccedilatildeo das variaacuteveis tanto no
espaccedilo quanto na energia A forccedila do meacutetodo de Monte Carlo reside na capacidade
em calcular estimativas estatiacutesticas para taxas de reaccedilatildeo sem necessitar da soluccedilatildeo
explicita para a distribuiccedilatildeo do fluxo Aleacutem disso a capacidade de lidar com variaccedilotildees
complexas das variaacuteveis espaciais e de energia eacute o que torna a alternativa do MMC
mais atraente que os meacutetodos de transporte determiniacutesticos (Leppaumlnen 2007)
Mesmo que a abordagem determinista tenha demonstrado sua viabilidade para
simular reatores criacuteticos ela eacute amplamente utilizada Poreacutem esta metodologia
apresenta alguns inconvenientes que se tornam importantes no caso de um reator
subcriacutetico com um acelerador de partiacuteculas acoplado como por exemplo a introduccedilatildeo
de uma aproximaccedilatildeo devido agrave conversatildeo do espectro de energia dos necircutrons para
55
uma grade de energia e espaccedilo para os coacutedigos que utilizam uma abordagem
multigrupo (Kady et al 2001)
Por utilizar seccedilotildees de choques pontuais a simulaccedilatildeo Monte Carlo eacute livre de
quase todos os inconvenientes que aparecem nas simulaccedilotildees determiniacutesticas Poreacutem
sua precisatildeo varia inversamente com a raiz quadrada do nuacutemero de eventos
processados Isso representa um problema potencialmente grande de tempo de
processamento em particular quando a simulaccedilatildeo abrange toda a vida uacutetil da
produccedilatildeo de energia do sistema
No meacutetodo Monte Carlo para a simulaccedilatildeo de transporte de radiaccedilatildeo as
respostas satildeo obtidas simulando partiacuteculas individuais e gravando alguns aspectos de
seu comportamento meacutedio Se os modelos dessas interaccedilotildees utilizados nas
simulaccedilotildees satildeo suficientementes proacuteximos da realidade o resultado estaraacute proacuteximo do
processo real
Os componentes importantes de meacutetodos de simulaccedilatildeo de Monte Carlo satildeo as
funccedilotildees de densidade de probabilidade a geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios as regras
de amostragem a computaccedilatildeo de resultados as estimativas de erros e a reduccedilatildeo de
variacircncia conforme mostra a Figura 71 Aleacutem disso os algoritmos eficientes para
paralelizaccedilatildeo satildeo uacuteteis para a implementaccedilatildeo do meacutetodo de Monte Carlo para uso em
cluster de computadores (Grisell 2004)
O meacutetodo de Monte Carlo utiliza aleacutem do teorema do limite central modelos
fiacutesicos de interaccedilatildeo ou seja um conjunto de seccedilotildees de choque diferenciais para os
mecanismos de interaccedilatildeo relevantes do sistema a ser simulado (Salvat et al 2003)
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de Yoriyaz 2009
Gerador de
nuacutemeros
aleatoacuterios
Teacutecnicas de
amostragem Resultados
Funccedilatildeo de densidade de probabilidade
56
Essas seccedilotildees de choque diferenciais determinam as funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de
probabilidades de variaacuteveis aleatoacuterias
Esses conjuntos de funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de probabilidade caracterizam uma
histoacuteria e determinam o tipo de interaccedilatildeo sofrida pela partiacutecula por exemplo se a
partiacutecula sofreraacute uma mudanccedila de energia e de direccedilatildeo de propagaccedilatildeo se ela apenas
sofreraacute algum desvio angular ou se ocasionaraacute fissatildeo
Caso o nuacutemero de histoacuterias (uma histoacuteria inclui desde a geraccedilatildeo de uma
partiacutecula ateacute sua lsquofugarsquo ou absorccedilatildeo aleacutem de todas as outras partiacuteculas que podem ser
produzidas por exemplo atraveacutes da fissatildeo) seja suficientemente grande informaccedilotildees
quantitativas sobre o processo de transporte podem ser obtidas simplesmente por uma
meacutedia de mais histoacuterias simuladas
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo eacute em experimentos em que os resultados
satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Ao se comparar os meacutetodos MC e de variaacuteveis discretas normalmente se diz
que o MC resolve a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral enquanto o meacutetodo
de variaacuteveis discretas resolve a equaccedilatildeo na sua forma integro-diferencial Poreacutem as
duas equaccedilotildees satildeo formas diferentes da mesma equaccedilatildeo e assim quando se resolve
uma obteacutem-se a soluccedilatildeo da outra (Mosteller et al 2003)
Como o meacutetodo MC resolve o problema simulando histoacuterias das partiacuteculas natildeo
se torna necessaacuterio escrever a equaccedilatildeo de transporte de necircutrons No entanto pode-
se chegar a uma equaccedilatildeo que descreva a densidade de probabilidade das partiacuteculas
para o problema e esta acaba sendo a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral
(Vaz 2010)
A simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) eacute baseada em geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
de uma distribuiccedilatildeo uniforme gerando variaacuteveis aleatoacuterias para estabelecer outras
funccedilotildees de distribuiccedilatildeo Assim os nuacutemeros aleatoacuterios ou pseudoaleatoacuterios satildeo agrave base
do meacutetodo de MC pois estes nuacutemeros realizam todo o controle de decisatildeo Isso torna
essencial a sub-rotina de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios para qualquer simulador
baseado no meacutetodo de Monte Carlo As sub-rotinas de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
se baseiam em algoritmos matemaacuteticos especiacuteficos para garantir que os nuacutemeros
sorteados satildeo realmente aleatoacuterios pois estes nuacutemeros devem em teoria ser
igualmente provaacuteveis em um sorteio dentro de um intervalo definido
As variaacuteveis aleatoacuterias satildeo uma quantidade que resultam de processos
repetitivos e cujos valores reais natildeo podem ser previsto com certeza No mundo real a
aleatoriedade se origina de fatores incontrolaacuteveis (por exemplo jogos de azar) ou da
57
natureza quacircntica de sistemas ou processos (por exemplo desintegraccedilatildeo nuclear)
Nos computadores as variaacuteveis randocircmicas satildeo geradas por transformaccedilotildees
numeacutericas de nuacutemeros randocircmicos
O objetivo da simulaccedilatildeo MC eacute fornecer informaccedilotildees precisas e detalhadas em
trecircs dimensotildees dependente do tempo tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
partiacuteculas neutras Por este motivo o meacutetodo de Monte Carlo eacute largamente utilizado na
soluccedilatildeo de problemas envolvendo processos estatiacutesticos Pode ser empregado na
fiacutesica de reatores devido agrave caracteriacutestica estocaacutestica da emissatildeo de radiaccedilatildeo e
transporte de partiacuteculas
A carga computacional do meacutetodo de Monte Carlo continua sendo um
empecilho para as simulaccedilotildees de modelagem de sistemas nucleares devido ao alto
tempo de processamento computacional (Liu et al 2011) e a alta demanda de
memoacuteria pois para solucionar o problema de transporte de energia eacute necessaacuterio
monitorar as trajetoacuterias de vaacuterios necircutrons seu respectivo histoacuterico e sua multiplicaccedilatildeo
ateacute absorccedilatildeo ou fuga de todas as partiacuteculas geradas por essa partiacutecula
Mesmo assim o uso do meacutetodo de Monte Carlo para a simulaccedilatildeo do transporte
de partiacuteculas tornou-se bastante popular pois a alta demanda de processamento e de
memoacuteria pode ser contornada se for utilizado um sistema de processamento
distribuiacutedo com vaacuterios processadores possibilitando diminuir o tempo de simulaccedilatildeo
mesmo em modelagem de geometrias complexas Na praacutetica com o aumento de
processadores resolvendo o mesmo problema costuma-se aumentar a estatiacutestica a ser
simulada para a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos com o mesmo tempo de
simulaccedilatildeo anterior
71 Funccedilotildees Densidade de
Probabilidades
Para uma variaacutevel aleatoacuteria discreta a funccedilatildeo de probabilidade (f(x)) fornece
diretamente a probabilidade do valor que a variaacutevel aleatoacuteria assume Jaacute para as
variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas a funccedilatildeo de probabilidade em um intervalo eacute chamada
de funccedilatildeo de densidade de probabilidade
Esta funccedilatildeo natildeo fornece diretamente as probabilidades dos valores que as
variaacuteveis aleatoacuterias podem assumir Poreacutem a aacuterea sob o graacutefico da funccedilatildeo de
58
densidade de probabilidade correspondente a um dado intervalo a probabilidade de
que a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua assuma um valor neste intervalo Ou seja quando
calculamos as probabilidades para as variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas estamos
calculando a probabilidade de que a variaacutevel aleatoacuteria assuma qualquer valor em um
intervalo Assim a probabilidade de qualquer valor particular da variaacutevel aleatoacuteria
contiacutenua eacute zero pois a aacuterea sob o graacutefico de f(x) em qualquer ponto em particular eacute
zero
A distribuiccedilatildeo de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua pode ser
visualizada como uma forma de um histograma baseado em um grande nuacutemero de
observaccedilotildees Este histograma eacute construiacutedo com as densidades de probabilidade
Por exemplo a Figura 72 mostra um histograma da massa em quilogramas
de 25 lingotes de uracircnio (Lurie et al 2011)
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio
Se aumentarmos o nuacutemero de amostras teremos um histograma cada vez
mais suave a Figura 73 mostra o mesmo histograma com 150 observaccedilotildees
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio
59
Se fizermos o nuacutemero de amostras tender a infinito e o intervalo das classes
tender a zero no limite o histograma tende a se ldquosuavizarrdquo e tomar a forma de uma
curva teoacuterica como mostra a Figura 74
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo
Como uma probabilidade eacute interpretada como a frequecircncia relativa de um
evento de ensaios independentes a curva obtida na Figura 74 representa a maneira
pela qual a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo aos possiacuteveis valores que a
variaacutevel aleatoacuteria ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo pode assumir Assim a funccedilatildeo
densidade de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x eacute a funccedilatildeo
matemaacutetica f(x) cujo graacutefico produz a curva teoacuterica que representa a maneira pela qual
a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo agrave amplitude dos possiacuteveis valores da
variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x
As funccedilotildees de densidades de probabilidades devem obedecer as seguintes
condiccedilotildees
( )
( ) ( )
0
1
f x x
F x f x dx
gt forall
= =int
Dessa maneira a probabilidade de uma variaacutevel x assumir os valores no
intervalo (ab) eacute
Densidade de
probabilidade
Massa (kg)
60
( ) ( ) ( ) ( )b
aP a x b f x dx F a F ble le = = minusint
Existem basicamente duas diferentes maneiras que podem ser utilizados na
implementaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo que satildeo o meacutetodo direto ou
inverso e o meacutetodo da rejeiccedilatildeo Nas proacuteximas seccedilotildees tem-se a descriccedilatildeo desses dois
meacutetodos
72 Meacutetodo direto ou inverso
Seja uma distribuiccedilatildeo de probabilidade tiacutepica (por exemplo a distribuiccedilatildeo
gaussiana) definida em um intervalo conhecido entre [a b] Como visto na seccedilatildeo
anterior pode-se definir a funccedilatildeo de probabilidade acumulada desta distribuiccedilatildeo como
( ) ( ) b
aP x p x dx= int (71)
Criando uma nova variaacutevel aleatoacuteria atraveacutes da transformaccedilatildeo ξ = P(x) e
assumindo que a distribuiccedilatildeo de probabilidade acumulada admite uma inversa P-1(ξ)
definida no intervalo de (01) o valor de ξ eacute entatildeo definido como sendo igual agrave
probabilidade cumulativa do evento de modo que o valor correspondente de x pode
ser calculado a partir da funccedilatildeo inversa
1 1
( )( ) ( ) ( )
d dP xp p x p x
dx dxε
εε
minus minus
= =
(72)
Assim fica claro que ε eacute um nuacutemero aleatoacuterio e a variaacutevel x que eacute definida por
x = P-1(ξ) eacute aleatoriamente distribuiacuteda no intervalo (xmin x) Note que x eacute a uacutenica raiz
da equaccedilatildeo
min
( ) x
xp x dxξ = int (73)
61
Assim os valores amostrados de x desta forma satildeo distribuiacutedos de acordo com
a P(x)
A implementaccedilatildeo do meacutetodo direto de MC pode ser feita atraveacutes do seguinte
algoritmo conforme mostrado na Figura 75
1 Geraccedilatildeo de um nuacutemero aleatoacuterio ξ
2 Verificaccedilatildeo de que x corresponde ao ξ sorteado
3 Verificaccedilatildeo de qual probabilidade correspondente ao x
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003)
A soluccedilatildeo atraveacutes do meacutetodo de MC da equaccedilatildeo de transporte de necircutrons
(equaccedilatildeo (74)) pode ser feita utilizando o meacutetodo direto resolvendo-se as integrais
de acordo com (Vaz 2009)
( )
( ) ( ) ( ) ( )2 3
` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `
r E
r E C E E r dE d Q r E T r r E d r
Ψ Ω =
Ψ Ω Ω rarr Ω Ω + Ω rarr Ω int int
(74)
Com o termo de fonte podendo ser definido como
62
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
Fonte fixa
` ` ` ` | ` Fonte fixa + Fissatildeo
1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor
S
Q r R S r E F E E r dE d
r E F E E r dE dk
Ω = + Ψ Ω Ω rarr Ω Ω Ψ Ω Ω rarr Ω Ω
int
int
(75)
onde ( ) S r E Ω
foi abreviado como S
Assim uma histoacuteria (lsquotrajetoacuteriarsquo) pode ser entendida como uma sequecircncia de
transiccedilatildeo entre estados (P0 P1 P2 P3) Em cada ponto de colisatildeo Pi pode ocorrer
variaccedilatildeo da energia de direccedilotildees e ainda incluir a geraccedilatildeo de novas partiacuteculas
Entatildeo a equaccedilatildeo de transporte pode ser escrita como (Vaz 2009)
( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i
P P K P P K P P dp dp dp dpminus minusΨ = Ψ rarr rarrint int int int (76)
onde ( )K P Prarr eacute o kernel de transporte que eacute definido por
( ) ( ) ( ) ( ) ` ` | ` ` | K P P K r E r E C E E r T r r Erarr equiv Ω rarr Ω = Ω rarr Ω rarr Ω
(77)
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula
P4
P1
P2
P5
P3
P6
P
P0
63
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo
Em muitos casos tanto a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo cumulativa quanto sua inversa
eacute de difiacutecil obtenccedilatildeo ou natildeo podem ser resolvidos Exemplos de tais casos satildeo a
distribuiccedilatildeo normal e a distribuiccedilatildeo de Maxwell-Boltzmann Haacute diversas variaccedilotildees
numeacutericas para o uso do meacutetodo de inversatildeo que podem ser utilizados para amostrar
os valores de qualquer tipo de distribuiccedilatildeo mas eacute muitas vezes mais eficaz ter uma
abordagem completamente diferente (Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo da rejeiccedilatildeo tem a vantagem que o procedimento de amostragem
pode ser realizado utilizando apenas a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de probabilidades da
variaacutevel aleatoacuteria De uma forma mais simples uma constante c ge 1 e uma outra
funccedilatildeo de densidade de g(x) satildeo atribuiacutedos aos f(x) de tal forma que
( ) ( )f x cg xle (71)
para todos os valores de x
Os valores da variaacutevel aleatoacuteria ε seratildeo aceitos se
( )( )
f x
cg xε lt (72)
Se a desigualdade natildeo eacute vaacutelida o valor eacute descartado e o procedimento eacute
repetido desde o iniacutecio Pode demonstrar-se que a distribuiccedilatildeo dos valores aceitos
pelo meacutetodo seguem exatamente f(x)
Uma aplicaccedilatildeo que ilustra bem este meacutetodo eacute o caacutelculo do nuacutemero π Para
isso suponha um ciacuterculo inscrito dentro de um quadrado de lado unitaacuterio Se ao
sortear N eventos forem contados quantos destes eventos estatildeo dentro do ciacuterculo eacute
possiacutevel calcular o valor de π
Sabe-se que a integral entre os intervalos a e b eacute igual a um quarto da aacuterea do
ciacuterculo (ver Figura 77) Desta maneira pode-se dizer que o nuacutemero de pontos
sorteados dentro da aacuterea total do ciacuterculo dividido pelo nuacutemero total de sorteios eacute igual
agrave aacuterea do ciacuterculo sobre a aacuterea do quadrado
64
2
4r 4
c
t
N πrsup2 π= =
N
onde Nc eacute o nuacutemero de sorteios dentro do ciacuterculo e Nt eacute o total de nuacutemeros sorteados
Obviamente quanto maior for o total de nuacutemero sorteados mais preciso seraacute o
resultado
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo
Em geral o meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute utilizado para a estimativa de eventos que
satildeo regidos por distribuiccedilotildees contiacutenuas ou seja aqueles eventos que obedecem a
uma curva de probabilidade
Eacute importante ressaltar que no meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute necessaacuterio o sorteio de
dois nuacutemeros aleatoacuterios O primeiro (ε1) para definir o valor da abcissa (x) e um
segundo (ε2) para definir o valor no eixo das ordenadas (Figura 78) Se ε2 for menor
que f(ε1) registra-se ε1 como sendo um valor vaacutelido Caso contraacuterio ε1 eacute rejeitado e
ocorre o sorteio de outro nuacutemero aleatoacuterio O algoritmo do meacutetodo da rejeiccedilatildeo pode
ser descrito como
1 Sorteio do primeiro nuacutemero aleatoacuterio (ε1)
2 Verificaccedilatildeo de qual eacute o valor da funccedilatildeo para esse nuacutemero aleatoacuterio
3 Sorteio do segundo nuacutemero aleatoacuterio
4 Se ε2 lt f(ε1) registrar ε1 como vaacutelido
5 Senatildeo rejeitar ε1 e voltar ao passo 1
a
b
65
74 Meacutetodos Monte Carlo para
Reatores Subcriacuteticos
Nas seccedilotildees anteriores foi tratado das caracteriacutesticas baacutesicas da simulaccedilatildeo MC
Poreacutem para a simulaccedilatildeo de um reator nuclear mais proacutexima do real eacute necessaacuterio que
os coacutedigos MC sejam capazes de acompanhar a queima dos combustiacuteveis nucleares
chamados de coacutedigos de depleccedilatildeo
Atualmente existem vaacuterios coacutedigos de depleccedilatildeo que utilizam o meacutetodo Monte
Carlo devido ao constante crescimento no desempenho dos computadores Esses
coacutedigos geralmente satildeo acoplados em um coacutedigo geneacuterico de simulaccedilatildeo MC que
resolve o transporte das partiacuteculas e podem fornecer o fluxo de partiacuteculas e as seccedilotildees
de choque microscoacutepicas para os coacutedigos de depleccedilatildeo
Os coacutedigos MC de depleccedilatildeo podem ser divididos em dois grupos de acordo
com a metodologia de geraccedilatildeo das seccedilotildees de choque microscoacutepicas O primeiro
grupo satildeo os dos coacutedigos que utilizam os resultados calculados diretamente pelo o
coacutedigo geneacuterico MC Jaacute o segundo grupo utiliza uma abordagem de multigrupo para o
caacutelculo das seccedilotildees de choque que eacute implementado pelo coacutedigo de depleccedilatildeo De
acordo com esta metodologia as taxas de reaccedilatildeo satildeo calculadas separadamente
utilizando um preacute-gerador de seccedilotildees de choque multigrupo
f(x)
ε2
ε1
Figura 78 Processo de caacutelculo de π
66
75 Conceito de Reatores ADS
Os reatores hiacutebridos foram inicialmente considerados apenas para a queima
de actiniacutedeos poreacutem foi percebido que era possiacutevel aproveitar a queima dos
actiniacutedeos (transmutaccedilatildeo) em um reator subcriacutetico para a geraccedilatildeo de eletricidade
aleacutem da necessaacuteria para sustentar o acelerador de proacutetons
Aleacutem disso os reatores hiacutebridos tecircm uma vantagem adicional de ser um
sistema regenerador ou seja cria a possibilidade de regenerar combustiacutevel nuclear
queimado em um reator teacutermico para ser reutilizado no mesmo apoacutes reprocessamento
A Figura 79 mostra que os reatores regeneradores com acelerador (ABR ndash
accelerator breeder reactor) podem natildeo ser utilizados para a geraccedilatildeo de eletricidade
Sua principal utilizaccedilatildeo seria para a produccedilatildeo de material fiacutessil principalmente 239Pu
(Lodhi et al 2009) Para isso esses reatores necessitam de energia eleacutetrica para
alimentar o acelerador de proacutetons citado na Figura 710 Poreacutem os reatores hiacutebridos
podem ser dedicados tanto para a produccedilatildeo de energia como para a regeneraccedilatildeo de
material fiacutessil embora ambos os fenocircmenos ocorram sempre em um reator hiacutebrido ele
pode ser especializado para um desses objetivos de acordo com o cenaacuterio previsto
para a busca da sustentabilidade da energia nuclear (Piera et al 2010)
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009
Extraccedilatildeo de
toacuterio e uracircnio
238
U
ABR
Reator teacutermico
Energia eleacutetrica
239
Pu
232
Th
Energia eleacutetrica
67
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS
Tanto os reatores ADS como os ABR consistem em um acelerador de
partiacuteculas de alta energia (proacutetons com cerca de 1 GeV de energia) que atingem um
alvo com nuacutemero atocircmico grande Este choque gera necircutrons de alta energia capazes
de tornar nucliacutedeos feacuterteis em fiacutesseis
Outra coisa interessante sobre esses reatores eacute que eles produzem vaacuterios
isoacutetopos da mesma maneira que os FBR Em segundo lugar os reatores hiacutebridos
(ADS) operam com fator de multiplicaccedilatildeo abaixo de 1 (geralmente entre 090 e 097)
Em terceiro os ADS podem produzir combustiacutevel muito mais raacutepido que os FBR (Piera
et al 2010) pois liberam menos energia por fissatildeo que os FBR
Um dos principais objetivos do ADS eacute a queima de 232Th para gerar uma
grande quantidade de 233U embora 233U puro tem aproximadamente a mesma massa
criacutetica do plutocircnio (Lodhi et al 2009)
Fonte de necircutrons raacutepidos
Fonte de
spallation
Refrigerante chumbo-bismuto
Acelerador de
proacutetons
68
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos
Utilizados
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes simulaccedilotildees MC para auxiliar o estudo
de reatores ADS utilizando diferentes coacutedigos (MCNPX GEANT4 MCB) Poreacutem estes
modelos devem ter referecircncias para poder se verificar por exemplo o fator de
multiplicaccedilatildeo efetivo (keff) resultados dos caacutelculos de depleccedilatildeo e identificar as causas
para as possiacuteveis diferenccedilas significativas entre os resultados simulados e os teoacutericos
Idealmente esses paracircmetros deveriam ser comparados com dados
experimentais No entanto haacute uma falta significativa de resultados fiacutesicos para nuacutecleos
de reatores raacutepidos concebidos para queimar actiniacutedeos menores (AM) (Allen et al
2011)
Neste trabalho foram utilizados dois coacutedigos MC distintos Inicialmente devido
a grande quantidade de citaccedilotildees na literatura (Hashemi-Nezhad et al 2002 Sobolev
et al 2003 Bomboni et al 2010 Fokau et al 2010 Talamo et al 2011 Pelowitz
2008) foi utilizado o coacutedigo MCNPX 26f e tambeacutem o coacutedigo SERPENT 1117 que eacute
uma ferramenta relativamente nova (Leppaumlnen 2007) comparada ao MCNPX
O MCNPX eacute um coacutedigo MC que vem sendo desenvolvido deste 1995 sendo
escrito em FORTRAN e C Assim o MCNPX pode ser compilado para a utilizaccedilatildeo nas
plataformas computacionais mais usadas (Windows Linux e IOS) Aleacutem disso o
MCNPX pode ser usado com as bibliotecas de programaccedilatildeo paralela (MPI)
O coacutedigo eacute composto por aproximadamente 450 subrotinas possui um
desenvolvimento constante e atualmente eacute capaz de simular 34 partiacuteculas distintas A
versatildeo 250 do MCNPX eacute utilizada atualmente por cerca de 2500 grupos no mundo
sendo distribuiacutedo pelo Radiation Safety Information Computational Center (RSICC)
com base de dados sendo fornecida pela OECDNEA
Uma das grandes dificuldades do uso do MCNPX eacute a descriccedilatildeo da geometria
que eacute feita atraveacutes de uniotildees e interseccedilotildees de superfiacutecies baacutesicas (plano cilindro
infinito esfera cone ou elipsoide) Assim para simular uma vareta de combustiacutevel
deve-se criar pelo menos trecircs superfiacutecies distintas (2 planos e um cilindro infinito)
Aleacutem disso deve-se criar uma ceacutelula para cada material utilizado Esta ceacutelula
carrega a informaccedilatildeo do material que ela eacute composta a densidade e os limites
informados pelas uniotildees eou interseccedilotildees das superfiacutecies Tanto as superfiacutecies quanto
as ceacutelulas satildeo referenciados por nuacutemeros definidos pelo usuaacuterio
69
Todas as superfiacutecies permitem que as uniotildees e interseccedilotildees sejam feitas em
dois sentidos Esses sentidos satildeo informados pelos sinais negativos e positivos que
devem acompanhar os nuacutemeros das superfiacutecies
O MCNPX ainda permite a definiccedilatildeo da importacircncia da partiacutecula em cada
ceacutelula isso eacute uacutetil quando se quer excluir uma ou mais partiacuteculas Caso a importacircncia
de necircutrons seja definida como zero qualquer necircutron que entrar nesta ceacutelula seraacute
eliminado da simulaccedilatildeo Isto eacute um artifiacutecio que delimita a aacuterea de atuaccedilatildeo das
partiacuteculas para natildeo termos simulaccedilotildees de duraccedilatildeo ldquoinfinitardquo ou perder tempo
computacional em partiacuteculas que jaacute saiacuteram do sistema
Tambeacutem eacute possiacutevel definir ceacutelulas sem nenhum material para isso basta
colocar o nuacutemero zero no lugar do nuacutemero do material e natildeo informar a densidade do
mesmo Neste caso o coacutedigo iraacute interpretar o conteuacutedo da ceacutelula como sendo vaacutecuo
O MCNPX natildeo fornece ferramenta graacutefica para a ediccedilatildeo de geometria poreacutem
existem programas que realizam a leitura do arquivo e permitem a sua visualizaccedilatildeo O
que MCNPX faz eacute uma verificaccedilatildeo baacutesica da geometria em busca de erros Em caso
de erros de geometria o MCNPX natildeo realiza a simulaccedilatildeo ou a simulaccedilatildeo pode ser
abortada se o coacutedigo computar vaacuterias partiacuteculas perdidas (partiacuteculas que ldquosaemrdquo da
geometria)
O lado positivo do MCNPX eacute a grande quantidade de elementos e de isoacutetopos
disponiacuteveis para a simulaccedilatildeo devido o uso da biblioteca ENDF que eacute mantida pela
agecircncia internacional de energia atocircmica Para os elementos ou isoacutetopos que natildeo
existem nas bibliotecas o MCNPX realiza a simulaccedilatildeo utilizando modelos fiacutesicos Isto
proporciona uma grande flexibilidade na simulaccedilatildeo Aleacutem disso o MCNPX traz
bibliotecas de espalhamento teacutermico que podem ser usadas nos materiais utilizados
como moderadores
O outro coacutedigo MC utilizado foi o SERPENT Este coacutedigo eacute especiacutefico para
simulaccedilatildeo de reatores nucleares que realiza com caacutelculo de depleccedilatildeo e eacute
desenvolvido no Centro de Pesquisa Teacutecnica da Finlacircndia (VTT Technical Research
Centre of Finland) Atualmente eacute utilizado por cerca de 180 grupos de usuaacuterios em 27
paiacuteses Este coacutedigo se encontra na versatildeo 1118 sendo que a versatildeo 20 estaacute
atualmente em fase de teste O SERPENT tambeacutem permite a utilizaccedilatildeo de
processamento paralelo com o MPI (Message Passing Interface) para sua execuccedilatildeo
A paralelizaccedilatildeo no modo de caacutelculo de queima eacute dividida nas rotinas de preacute-
processamento e depleccedilatildeo em vaacuterias tarefas Cada tarefa trata um material diferente e
o aumento de desempenho pode-se tornar significativo
O SERPENT eacute um dos uacutenicos coacutedigos MC que permitem a simulaccedilatildeo com
fonte externa com meio multiplicativo aleacutem de caacutelculos de depleccedilatildeo em uma uacutenica
70
simulaccedilatildeo a geometria natildeo eacute tatildeo problemaacutetica quanto a do MCNPX pois jaacute existem
elementos preacute-definidos que satildeo encontrados em reatores nucleares como por
exemplo elementos combustiacuteveis em em arranjo hexagonal
A descriccedilatildeo da geometria no SERPENT eacute feita definindo-se uma vareta e os
raios de cada material que a compotildee Diferentemente do MCNPX os materiais satildeo
referenciados por nomes seguidos do raio ocupado partindo do centro da vareta ateacute a
extremidade
Por exemplo para se definir uma vareta de combustiacutevel os materiais que
compotildee esta vareta devem ser descritas do centro para fora da vareta Assim se o
combustiacutevel estaacute designado com um raio de 04024 cm a definiccedilatildeo do gap deve iniciar
de um raio maior que o do combustiacutevel O gap eacute designado pela palavra reservada
void
A definiccedilatildeo das varetas seja de combustiacutevel ou as de controle devem ser
terminadas sempre com o nome do material utilizado como refrigerante (Soacutedio por
exemplo) Eacute importante lembrar que cada definiccedilatildeo de vareta recebe um nuacutemero que
eacute chamado de universo
Apoacutes as definiccedilotildees das varetas basta informar o tipo de arranjo utilizado e o
pitch de varetas para completar a descriccedilatildeo do nuacutecleo do reator Se existem varetas
com diferentes composiccedilotildees de combustiacutevel deve-se informar o nuacutemero de cada
universo na posiccedilatildeo desejada
Ambos os coacutedigos permitem a utilizaccedilatildeo da mesma biblioteca realizam caacutelculo
de depleccedilatildeo do combustiacutevel indicando a quantidade de cada elemento nos diferentes
passos de queima sendo possiacutevel fazer um inventaacuterio de queima em ambos os
coacutedigos para cada intervalo de queima Este intervalo eacute informado pelo usuaacuterio
Para a descriccedilatildeo do material tanto o MCNPX como o SERPENT usam a
mesma forma Basta informar o ldquocoacutedigordquo do elemento desejado e sua concentraccedilatildeo
que pode ser atocircmica (aacutetomosbarncm) ou fraccedilatildeo de massa
O coacutedigo dos materiais eacute formado pelos seus nuacutemeros atocircmicos e por seus
nuacutemeros de massa Por exemplo o coacutedigo para o elemento 238U eacute 92238
Para se identificar as diferentes versotildees das bibliotecas existem nuacutemeros que
vecircm depois do coacutedigo do elemento Esses nuacutemeros satildeo a versatildeo das bibliotecas para
o MCNPX e para o SERPENT as temperaturas (em Kelvin) das bibliotecas Portanto
no MCNPX o coacutedigo 9223866c indica que a biblioteca utilizada eacute a ENDF66 Para o
SERPENT o coacutedigo completo eacute 9223806c onde o 06c indica a temperatura em que a
biblioteca foi avaliada (600 K)
71
Ainda na descriccedilatildeo do material o coacutedigo SERPENT permite definir os materiais
de outra forma Assim pode-se usar o siacutembolo do elemento quiacutemico seguido de seu
nuacutemero de massa Por exemplo O-1609c eacute o 16O a uma temperatura de 900 K
Se o material eacute composto por mais de um elemento quiacutemico basta inserir os
demais elementos As tabelas abaixo mostram o exemplo de um revestimento de
zircaloy (Tabela 81) para o MCNPX e para o dioacutexido de uracircnio (Tabela 82) para o
SERPENT Note que para a entrada em fraccedilatildeo de massa deve-se colocar o sinal de
negativo
Aleacutem das informaccedilotildees dos elementos e de suas concentraccedilotildees eacute necessaacuterio
informar tambeacutem a densidade dos materiais No MCNPX essa informaccedilatildeo fica junto
com a definiccedilatildeo do local que o material estaacute No SERPENT a informaccedilatildeo da
densidade fica junto com a definiccedilatildeo do material Em ambos os coacutedigos a densidade
pode ser informada em gcm3 ou em densidade atocircmica (aacutetomosbarnmiddotcm)
Tabela 81 Exemplo de um
revestimento de zircaloy no MCNPX
Elemento Fraccedilatildeo de
massa
4000066c -098135
2400066c -000100
2600066c -000135
2800042c -000055
5000006c -001450
801606c -000125
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de
uracircnio no SERPENT
Elemento Densidade
Atocircmica
9223409c 914E-02
9223509c 935E+00
9223809c 215E+02
O-1609c 449E+02
Para a validaccedilatildeo das simulaccedilotildees realizadas utilizando o coacutedigo SERPENT
foram realizadas algumas simulaccedilotildees de reatores para a comparaccedilatildeo direta com o
MCNPX jaacute que o MCNPX eacute amplamente utilizado para a simulaccedilatildeo de reatores
Os reatores simulados foram um PWR com combustiacutevel do tipo MOX (Figura
81) um reator do tipo VVER (Figura 82) e um terceiro do tipo CANDU (Figura 83)
Os resultados obtidos com essas simulaccedilotildees se encontram na Tabela 83
72
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU
Refrigerante (aacutegua)
Combustiacutevel MOX 1 (29 Pu)
Combustiacutevel MOX 2 (44 Pu)
Combustiacutevel MOX 3 (56 Pu)
Combustiacutevel (UO2)
Vazio (ar)
Refrigerante (Aacutegua)
Combustiacutevel (UO2)
Refrigerante (Aacutegua)
73
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER
Reator keff Diferenccedila2
(pcm) MCNPX SERPENT
VVER 128763 128807 3417
CANDU 094169 094207 4034
PWR 100176 100184 799
Recentemente Allen et al(2011) publicou uma proposta de referecircncia para
reatores regeneradores baseado no reator de teste avanccedilado para queima de AM
(ABTR) Este reator tem uma potecircncia teacutermica de 250 MW sendo refrigerado com
soacutedio A Figura 84 mostra a geometria e disposiccedilatildeo dos elementos do nuacutecleo do
reator utilizado na simulaccedilatildeo com MCNPX
As Tabelas 84 85 e 86 trazem as composiccedilotildees dos diferentes combustiacuteveis
utilizados Jaacute as Tabelas 87 88 e 89 mostram a composiccedilatildeo das varetas refletor e
barras de controle respectivamente
A Tabela 810 traz informaccedilotildees gerais do reator como pitch e diacircmetro de
varetas do reator entre outras
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX
2 Em moacutedulo diferenccedila = |Keff MCNPX - keff SERPENT|
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
74
Tabela 84Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 1
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 122E-04
U-235 322E-01
U-236 206E-02
U-238 202E+02
Np-237 384E-02
Pu-236 139E-07
Pu-238 959E-03
Pu-239 350E+01
Pu-240 374E+00
Pu-241 245E-01
Pu-242 175E-02
Am-241 142E-02
Am-242 285E-04
Am-243 613E-04
Cm-242 471E-04
Cm-243 741E-06
Cm-244 483E-05
Cm-245 191E-06
Cm-246 261E-08
Tabela 85 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 2
(densidade 10851
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 100E-02
U-235 320E-01
U-236 195E-02
U-238 197E+02
Np-237 181E+00
Pu-236 908E-06
Pu-238 905E-01
Pu-239 235E+01
Pu-240 109E+01
Pu-241 294E+00
Pu-242 219E+00
Am-241 213E+00
Am-242 583E-02
Am-243 436E-01
Cm-242 735E-02
Cm-243 244E-03
Cm244 110E-01
Cm-245 977E-03
Cm-246 677E-04
Tabela 86 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 3
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 150E-02
U-235 318E-01
U-236 186E-02
U-238 193E+02
Np-237 313E-02
Pu-236 911E-08
Pu-238 987E-03
Pu-239 431E+01
Pu-240 456E+00
Pu-241 295E-01
Pu-242 206E-02
Am-241 223E-02
Am-242 408E-04
Am-243 756E-04
Cm-242 563E-04
Cm-243 905E-06
Cm244 553E-05
Cm-245 200E-06
Cm-246 241E-08
75
Tabela 87 Composiccedilatildeo
do revestimento da vareta
de combustiacutevel
(densidade 75357
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Fe-54 408E+01
Fe-56 641E+02
Fe-57 148E+01
Fe-58 197E+00
Ni-58 293E+00
Ni-60 113E+00
Ni-61 491E-02
Ni-62 157E-01
Ni-64 399E-02
Cr-50 451E+00
Cr-52 870E+01
Cr-53 987E+00
Cr-54 246E+00
Mn-55 460E+00
Zr-nat 491E+00
Tabela 88 Composiccedilatildeo
do refletor (densidade
53908 gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Na-23 715E+01
Fe-54 277E+01
Fe-56 435E+02
Fe-57 101E+01
Fe-58 134E+00
Ni-58 199E+00
Ni-60 767E-01
Ni-61 333E-02
Ni-62 106E-01
Ni-64 271E-02
Cr-50 306E+00
Cr-52 591E+01
Cr-53 670E+00
Cr-54 167E+00
Mn-55 312E+00
Zr-nat 333E+00
Tabela 89 Composiccedilatildeo
da barra de controle
(densidade 15643
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
C-12 407E+01
B-10 164E+02
B-11 662E+02
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR
Paracircmetro Valor (cm)
ldquoPicthrdquo do elemento combustiacutevel 14685
ldquoPitchrdquo da varetas de combustiacutevel 09134
Diacircmetro da vareta de combustiacutevel 08048
Espessura do revestimento 00523
Altura ativa do combustiacutevel 844108
76
A biblioteca de dados utilizada foi a ENDF B-VI6a que eacute fornecida juntamente
com o MCNPX 26 Esta biblioteca foi avaliada em diferentes temperaturas O
refrigerante utilizado na simulaccedilatildeo deste reator eacute o soacutedio com uma concentraccedilatildeo de
22272x10-2 aacutetomosbarnsmiddotcm
Como o MCNPX e o SERPENT natildeo permitem a mudanccedila na temperatura
durante a simulaccedilatildeo caso queira-se avaliar o efeito da temperatura deve-se ter as
bibliotecas nas temperaturas requeridas refazer a simulaccedilatildeo e comparar os
resultados
A simulaccedilatildeo deste sistema foi feita com um total de 130 ciclos mas somente os
uacuteltimos 100 ciclos satildeo contabilizados nos resultados Cada ciclo foi simulado com
1x104 necircutrons totalizando 106 necircutrons isto sem levar em conta os necircutrons
produzidos por fissatildeo A Tabela 811 mostra a divisatildeo dos intervalos utilizados na
queima do combustiacutevel na simulaccedilatildeo do reator ABTR
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR
Intervalo Duraccedilatildeo (dias)
1 2739
2 2739
3 5478
4 10956
5 10956
6 10956
7 10956
8 10956
9 10956
10 10956
11 10956
12 10956
O proacuteximo passo foi realizar a simulaccedilatildeo deste mesmo sistema no SERPENT
1118 para a comparaccedilatildeo com o resultado do MCNPX e verificar se os resultados de
ambos os coacutedigos MC satildeo compatiacuteveis para o caso de reatores subcriacuteticos A Figura
85 mostra o nuacutecleo do reator simulado no SERPENT
77
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT
A simulaccedilatildeo tambeacutem foi realizada com 130 ciclos utilizando o mesmo nuacutemero
de necircutrons que na simulaccedilatildeo feita pelo o MCNPX
Com estas condiccedilotildees Allen et al (2011) obtiveram um keff de 104961 Ao
reproduzir esta simulaccedilatildeo foi obtido um keff inicial de 104622 ou seja uma diferenccedila
de 83 pcm
Vale ressaltar que o tempo de simulaccedilatildeo do SERPENT para este mesmo
sistema foi de aproximadamente 20 h Isso se deve ao fato que o SERPENT eacute
especiacutefico para simulaccedilatildeo de reatores enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo mais geral
Assim o SERPENT pode utilizar mecanismos de otimizaccedilatildeo como por exemplo uma
mudanccedila no algoritmo de caacutelculo do livre caminho meacutedio sem perda de informaccedilatildeo
Os resultados da comparaccedilatildeo satildeo apresentados na Tabela 812 Jaacute os graacuteficos
das Figuras 87 e 88 mostram a comparaccedilatildeo do keff e da queima nos dois sistemas
respectivamente Pode-se observar atraveacutes da Figura 86 que o reator simulado se
torna subcriacutetico somente apoacutes 550 dias de operaccedilatildeo
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
78
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT
Tempo
(dias)
Reatividade (pcm) Burnup (GwdMTU)
Diferenccedila3
reatividade
(pcm)
Diferenccedila1
Burnup
(GwdMTU)
MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT
00 4335 4418 0000 0000 83 0000
2739 4033 4114 1325 1324 81 0001
5478 3906 3788 2649 2649 118 0000
1096 3544 3462 5298 5297 81 0001
2191 2759 2343 10600 10594 415 0006
3287 1749 1642 15890 15891 106 0001
4382 1053 1255 21190 21188 202 0002
5478 15 106 26490 26485 91 0005
6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008
7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011
8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014
9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007
10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094
095
096
097
098
099
100
101
102
103
104
105
106
Kef
f
Tempo (Dias)
MCNPX SERPENT
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT
1 diferenccedila burnup = |burnup MCNPX ndash burnup SERPENT|
3 diferenccedila reatividade = |Keff MCNPX ndash keff SERPENT|
79
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000
10
20
30
40
50
60
burn
up (
Gw
dM
TU
)
tempo (Dias)
MCNPX 26 SERPENT
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT
Uma opccedilatildeo interessante na simulaccedilatildeo realizada com o SERPENT eacute a
possibilidade de uma visualizaccedilatildeo das aacutereas mais lsquoquentesrsquo do reator que satildeo
representadas por tons de vermelho e amarelo representando a potecircncia relativa da
fissatildeo nuclear e em tons de azul satildeo as aacutereas lsquofriasrsquo representando fluxo teacutermico
relativo (ver Figuras 89 e 810)
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do reator PWR simulado
80
Para a observaccedilatildeo nas alteraccedilotildees nos esquemas de cores a normalizaccedilatildeo eacute
fixa apoacutes o primeiro passo de queima A Figura 89 abaixo mostra a representaccedilatildeo das
aacutereas quentes e frias para o reator ABTR simulado por Allen et al (2010) em quatro
estaacutegios diferentes de queima
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias
A partir das Tabelas 812 83 e do graacutefico da Figura 86 pode-se verificar que
os dois coacutedigos MC apresentam resultados satisfatoacuterios para os valores do keff com
diferenccedila maacutexima de 415 pcm para o reator ABTR Esta diferenccedila pode ser devido agrave
geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios presente no meacutetodo MC Uma maneira de ser diminuir
esta diferenccedila eacute aumentando a quantidade de partiacuteculas simuladas poreacutem o tempo de
simulaccedilatildeo tornar-se demasiadamente grande (Antolin 2009) Outra possibilidade eacute a
falta de dados mais precisos dos materiais utilizados como combustiacuteveis no reator
ABTR
Como o coacutedigo SERPENT eacute mais novo a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do mesmo
sistema simulado no MCNPX se justifica para saber se o coacutedigo SERPENT reproduz
sistemas subcriacuteticos adequadamente Aleacutem disso o SERPENT permite a simulaccedilatildeo
de reatores nucleares com fonte externa mesmo que estas simulaccedilotildees se limitem a
a b
c d
81
problemas de fonte externa fixa Devemos lembrar que o SERPENT soacute realiza
simulaccedilatildeo de reatores nucleares enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo que pode ser
aplicados a outros problemas aleacutem de simulaccedilotildees de reatores
82
9 Resultados
As equaccedilotildees da cineacutetica pontual obtidas no capiacutetulo 3 para sistemas
subcriacuteticos foram comparadas com a simulaccedilatildeo MC devido agrave dificuldade de se obter
dados experimentais de reatores subcriacuteticos As simulaccedilotildees foram feitas utilizando
potecircncia constante linear exponencial e tambeacutem uma variaccedilatildeo aleatoacuteria
A utilizaccedilatildeo do meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear eacute interessante por
permitir a implementaccedilatildeo de sistemas de monitoramento em tempo real da reatividade
associada a uma variaccedilatildeo da potecircncia nuclear tornando-se muito atraente para
aplicaccedilotildees em reatores do tipo ADS
A Figura 91 mostra a geometria utilizada nas simulaccedilotildees de todos os casos
simulados As composiccedilotildees dos materiais satildeo as mesmas mostradas nas Tabelas 87
88 e 89 para vareta refletor barra de controle e da vareta de combustiacutevel Para a
composiccedilatildeo do combustiacutevel foi usada agrave composiccedilatildeo mostrada na Tabela 91
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado
Elemento Concentraccedilatildeo
(fraccedilatildeo de massa)
U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico
Legenda
Combustiacutevel
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
83
Os valores utilizados para a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo Monte Carlo com os
resultados das equaccedilotildees para cada um dos casos do capiacutetulo 3 encontram-se na
Tabela 92 Esses valores foram obtidos diretamente do arquivo de saiacuteda da simulaccedilatildeo
realizada no SERPENT com a exceccedilatildeo do valor de Γ que foi extraiacutedo de Silva (2011)
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos
Paracircmetro Valor
β 000706
Λ 121x10-5 s
λ 21979x10-1 s
Γ -077x10-10
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia
Nuclear
Para um reator subcriacutetico chegar a sua potecircncia de operaccedilatildeo deve-se
monitorar a reatividade para se evitar algum tipo de acidente Assim podemos supor
uma inserccedilatildeo de reatividade de maneira linear (equaccedilatildeo 443) Esta simulaccedilatildeo foi feita
considerando uma taxa de aumento de 5 por hora do valor inicial da potecircncia sendo
monitorado por um periacuteodo de 6 horas
A Tabela 93 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos entre o SERPENT e
a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa
92 Potecircncia Nuclear Constante
Para a simulaccedilatildeo realizada a potecircncia constante o tempo total de simulaccedilatildeo foi
de cerca de 12 horas Esta diferenccedila se daacute unicamente devido ao diferente nuacutemero de
passos simulados enquanto foram simulados 6 passos de uma hora para a variaccedilatildeo
84
linear da potecircncia foram simulados 10 passos para a potencia constante Esta
simulaccedilatildeo tenta reproduzir a operaccedilatildeo em condiccedilotildees normais do reator A Tabela 94
mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos para a potecircncia de 80 MW
93 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
A variaccedilatildeo exponencial da potecircncia foi simulada por um periacuteodo de 1 hora em
intervalos de 10 minutos A Tabela 95 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos
com uma taxa de aumento de 00001
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(h) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 1 -2069 -2125 -2119 56 50
84 2 -2050 -2125 -2125 75 75
88 3 -2122 -2134 -2134 12 12
92 4 -2077 -2143 -2143 66 66
96 5 -2142 -2151 -2151 9 9
100 6 -2119 -2158 -2158 39 39
85
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
Gandini -
SERPENT
0 -2133 -2146 -2146 12 12
10 -2152 -2146 -2146 6 6
20 -2144 -2146 -2146 2 2
30 -2167 -2146 -2146 21 21
40 -2151 -2146 -2146 5 5
50 -2127 -2146 -2146 18 18
60 -2177 -2146 -2146 31 31
70 -2145 -2146 -2146 0 0
80 -2152 -2146 -2146 6 6
90 -2160 -2146 -2146 14 14
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da potecircncia
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2065 2120 2120 55 55
115 10 2108 2107 2107 0 0
165 20 2104 2115 2114 11 10
235 30 2070 2114 2115 44 45
337 40 2083 2115 2115 32 32
483 50 2126 2115 2117 11 9
86
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
A avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia durante
sua operaccedilatildeo foi feita durante um periacuteodo de 6 horas Neste intervalo foi simulada uma
suacutebita queda de potecircncia e posteriormente uma subida repentina da potecircncia A
Tabela 96 mostra os resultados obtidos
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2075 2029 2029 46 46
90 1 2075 2188 2188 113 113
0 2 2143 2118 2118 24 24
40 3 2050 2120 2120 70 70
80 4 2133 2231 2231 97 97
100 5 2080 2163 2163 83 83
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Nesta seccedilatildeo seratildeo apresentados os resultados obtidos levando-se em conta a
variaccedilatildeo temporal da fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo dos
necircutrons
87
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia
Assim como na seccedilatildeo 91 a Tabela 97 mostra os resultados obtidos para uma
variaccedilatildeo linear de potecircncia poreacutem os resultados abaixo foram levados em conta agraves
variaccedilotildees temporais de β e de Λ Como o SERPENT jaacute fornece os valores de β e Λ
para cada passo de queima esses valores foram utilizados para a obtenccedilatildeo da reta de
ajuste que foi utilizada em todos os casos com variaccedilatildeo temporal de β e de Λ Assim
natildeo foi necessaacuterio realizar novas simulaccedilotildees
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Λ (x10-5)
(s)
β
(pcm)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF ndash
SERPENT
HGPT ndash
SERPENT
80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6
84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0
88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28
92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80
96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127
100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141
952 Potecircncia constante
Jaacute para o reator operando a uma potecircncia constante a Tabela 98 mostra os
resultados obtidos para variaccedilotildees lineares de β e Λ Lembrando que esta a duraccedilatildeo
desta simulaccedilatildeo foi de aproximadamente 12 horas
88
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia constante
Tempo
(min) Λ (x10-5) (s)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7
10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6
20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5
30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17
40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4
50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18
60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31
70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0
80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1
90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14
953 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
Utilizando a mesma variaccedilatildeo de potencia da seccedilatildeo 93 a operaccedilatildeo do reator
foi simulada por um periacuteodo de 6 horas Para este caso a taxa de aumento de
potecircncia tambeacutem foi de 00001 A Tabela 99 mostra os resultados obtidos
89
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Mais uma vez realizando a mesma variaccedilatildeo de potecircncia da seccedilatildeo 94 a
avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia tambeacutem foi
realizada juntamente com a variaccedilatildeo de β e Λ A Tabela 910 mostra os resultados
obtidos
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia com β e Λ variaacuteveis no tempo
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125
115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36
165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13
235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9
337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80
483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Serpent TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102
90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2
0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79
40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51
80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140
100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23
90
96 Paracircmetros Nucleares
Os paracircmetros integrais satildeo muitas vezes utilizados para dar informaccedilotildees
imediatas e completas sobre as caracteriacutesticas fiacutesicas dos reatores nucleares Eles
podem aparecer diretamente da modelagem matemaacutetica do sistema ou podem ser
introduzidos tanto artificialmente com a finalidade de quantificar as caracteriacutesticas
fiacutesicas pra que se permitam comparaccedilotildees entre diferentes configuraccedilotildees ou na
interpretaccedilatildeo das mediccedilotildees experimentais Assim enquanto algumas quantidades
integrais em fiacutesica de reatores deteacutem um significado matemaacutetico (por exemplo o fator
de multiplicaccedilatildeo como sendo o autovalor do problema de equiliacutebrio) outras
quantidades podem carregar significados diferentes de acordo com os objetivos
especiacuteficos para os quais satildeo introduzidos Este fato pode causar uma grande
confusatildeo especialmente quando o mesmo termo eacute utilizado para denotar grandezas
fiacutesicas bastante diferentes Este eacute o caso por exemplo de paracircmetros integrais
introduzidos em modelos cineacuteticos que satildeo obtidos atraveacutes da ponderaccedilatildeo das
equaccedilotildees da cineacutetica Enquanto que o procedimento eacute bem estabelecido na cineacutetica
dos de sistemas criacuteticos o caso de sistemas com fonte externa pode estar aberto a
ambiguidade jaacute que natildeo existe uma uacutenica funccedilatildeo de ponderaccedilatildeo e sua escolha pode
ser relacionada mais para conveniecircncia numeacuterica ou para a necessidade de obter
alguns resultados muitos especiacuteficos (Dulla 2011)
Por outro lado muitas vezes esses mesmos termos podem ser obtidos por
exemplo por teacutecnicas de simulaccedilatildeo MC Este eacute o caso de reatividade fraccedilatildeo de
necircutrons retardados e o tempo de geraccedilatildeo de necircutrons Eacute especialmente importante
observar que os sistemas subcriacuteticos exigem um repensar de toda abordagem teoacuterica
concebida para sistemas criacuteticos
Anaacutelises realiacutesticas da cineacutetica de sistemas subcriacuteticos satildeo atualmente feitas
atraveacutes da soluccedilatildeo direta das equaccedilotildees seja por difusatildeo ou por modelos de
transporte Informaccedilotildees altamente detalhadas e precisas sobre a evoluccedilatildeo dos
necircutrons satildeo necessaacuterias entretanto os modelos pontuais satildeo muito simplificados e
podem natildeo fornecer informaccedilotildees suficientes Aleacutem disso ferramentas numeacutericas e
computacionais eficientes estatildeo disponiacuteveis tornando possiacutevel evitar as restriccedilotildees dos
modelos da cineacutetica pontual No entanto os paracircmetros integrais satildeo uacuteteis em
qualquer caso para a obtenccedilatildeo de informaccedilotildees completas sobre o comportamento
fiacutesico do sistema para ter uma indicaccedilatildeo imediata sobre as caracteriacutesticas cineacuteticas do
sistema
91
O conceito de paracircmetros integrais parece perder significado e relevacircncia para
sistemas subcriacuteticos guiados por fonte Por isso para as quantidades integrais
medidas ou simuladas as definiccedilotildees dos paracircmetros gerados devem sempre estar
especificados para evitar interpretaccedilotildees equivocadas e incorretas de tais resultados
Para comparar alguns paracircmetros as simulaccedilotildees foram feitas utilizando tanto
combustiacutevel fresco quanto combustiacutevel usado Assim pode-se comparar alguns
paracircmetros nucleares do iniacutecio do ciclo de combustiacutevel com os resultados de
combustiacutevel no final do ciclo Alguns paracircmetros como a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados (β) e o tempo de geraccedilatildeo meacutedia de necircutrons (Λ) satildeo fornecidos pelo coacutedigo
SERPENT ao final de cada simulaccedilatildeo
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares
Paracircmetro Combustiacutevel
fresco
Combustiacutevel
queimado
Referecircncia (Dulla et
al 2011)
β 000706 000340 000644
Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s
A partir da Tabela 911 pode-se verificar que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
tem uma diminuiccedilatildeo de quase a metade em comparaccedilatildeo ao seu valor inicial Isso eacute de
se esperar devido agrave queima do combustiacutevel fazendo com que este paracircmetro natildeo seja
tatildeo importante na operaccedilatildeo de um reator nuclear no final do ciclo do combustiacutevel como
eacute em seu iniacutecio
O valor para a fraccedilatildeo de necircutrons retardados para combustiacutevel fresco no
reator subcriacutetico Yalina operando a um keff de 098 eacute de 644 pcm (Dulla et al 2011) ou
seja uma diferenccedila de 62 pcm em relaccedilatildeo ao valor encontrado na Tabela 911 Vale
ressaltar que segundo Dulla et al (2011) os paracircmetros integrais dependem do niacutevel
de subcriticalidade
Outro paracircmetro importante para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de cineacutetica pontual e
para o controle do reator sendo muitas vezes utilizado para determinar a resposta
dinacircmica de um reator nuclear eacute o tempo de vida de necircutrons prontos (Λ) (Abaacutenades
et al 2001) Para reatores teacutermicos este valor eacute em torno de 10-4 s enquanto para
reatores subcriacuteticos este valor eacute da ordem de 10-5 s Segundo Dulla et al (2011) o
valor para este paracircmetro eacute de 148 micros para combustiacutevel fresco Assim o valor
encontrado (121 micros) eacute proacuteximo ao encontrado na literatura com um desvio percentual
92
de 18 Este desvio pode se devido agraves diferentes composiccedilotildees do combustiacutevel e
tambeacutem pela diferenccedila de enriquecimento
93
10 Conclusatildeo
A mediccedilatildeo da reatividade utilizando-se a cineacutetica inversa eacute amplamente
utilizada na partida de um reator nuclear Assim uma mediccedilatildeo acurada da reatividade
eacute imprescindiacutevel para o controle do reator (Diacuteaz et al 2007)
Os formalismos propostos por Gandini (2000) e por Silva et al (2011) envolvem
a fonte externa para descriccedilatildeo do comportamento cineacutetico dos reatores subcriacuteticos
guiados por fontes Poreacutem como ainda natildeo existem reatores ADS em operaccedilatildeo as
simulaccedilotildees de tais sistemas satildeo importantes para a avaliaccedilatildeo preliminar do
funcionamento desses reatores
Os resultados apresentados no capiacutetulo anterior mostram que as equaccedilotildees da
cineacutetica inversa para sistemas subcriacuteticos propostas nesta tese reproduzem
satisfatoriamente os reatores subcriacuteticos guiados por fonte sejam utilizando o meacutetodo
das derivadas quanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia tanto para o
formalismo proposto por Gandini (2000) quanto o proposto por Silva et al (2011)
Ainda pode-se notar que tanto para valores constantes como para variaccedilotildees lineares
de β e Λ os resultados satildeo coerentes Isto ocorre devido agrave pequena variaccedilatildeo de β
(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)
Vale ressaltar que o meacutetodo das derivadas se torna interessante para o
monitoramento da reatividade por natildeo necessitar do armazenamento de todo o
histoacuterico potecircncia e depender apenas das derivadas da potecircncia possibilitando que o
caacutelculo da reatividade seja feito com uma maior rapidez se comparado com o tempo
necessaacuterio para resolver a integral do histoacuterico de potecircncia Aleacutem disso este meacutetodo
natildeo necessita do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator e o caacutelculo
pode ser reiniciado em caso de mau funcionamento do equipamento de mediccedilatildeo da
reatividade
A simulaccedilatildeo Monte Carlo foi utilizada para a validaccedilatildeo dos meacutetodos propostos
devido agrave falta de dados nucleares para reatores subcriacuteticos poreacutem mesmo com a boa
reproduccedilatildeo deste tipo de simulaccedilatildeo a modelagem utilizada por estes meacutetodos
encontra problemas pois os dados nucleares disponiacuteveis para alguns actiniacutedeos natildeo
atendem as faixas de energia necessaacuterias para a simulaccedilatildeo de um reator ADS Esses
dados devem cobrir aleacutem de uma vasta gama de energia e um grande conjunto de
nucliacutedeos (Vaz 2010) pois o grande atrativo dos reatores ADS eacute a transmutaccedilatildeo de
rejeitos de longa meia vida e tambeacutem a produccedilatildeo de energia eleacutetrica Assim a ecircnfase
94
dos dados nucleares deve ser nos actiniacutedeos (por exemplo Np Am e o Cm) para o
acompanhamento do ciclo de combustiacutevel com a finalidade de reciclagem muacuteltipla
Mesmo assim a simulaccedilatildeo realizada para a validaccedilatildeo das equaccedilotildees propostas por
Gandini (2000) e por Silva et al (2011) mostra-se coerente para anaacutelise completa da
reatividade de um reator subcriacutetico guiado por fonte
Ainda assim a simulaccedilatildeo Monte Carlo pode ser utilizada para a anaacutelise
preliminar de alguns paracircmetros dos reatores nucleares (criacuteticos ou subcriacuteticos) como
por exemplo o fator de multiplicaccedilatildeo efetivo a fraccedilatildeo de necircutrons retardados e uma
boa aproximaccedilatildeo da quantidade de material transmutado ajudando a prever o
comportamento meacutedio do reator
Pode-se verificar que existe uma boa concordacircncia entre os valores
encontrados para os paracircmetros nucleares e os existentes na literatura Uma possiacutevel
melhora nesses resultados passa por um aumento significativo na quantidade de
histoacuterias simuladas
Este aumento contribuiria para a diminuiccedilatildeo dos erros estatiacutesticos intriacutensecos
do meacutetodo Monte Carlo Poreacutem o tempo de simulaccedilatildeo tambeacutem aumentaria
sensivelmente pois o meacutetodo MC necessita da simulaccedilatildeo individual de cada partiacutecula
podendo levar um tempo absurdamente grande para a simulaccedilatildeo de todo o sistema
Poreacutem mesmo com a ldquofaltardquo de dados nucleares mais precisos para os
actiniacutedeos a simulaccedilatildeo MC se mostra uma importante ferramenta na aacuterea de fiacutesica de
reatores devido a sua facilidade de trabalhar com geometrias bastante complexas
permitindo tambeacutem a simulaccedilatildeo desses sistemas em trecircs dimensotildees
Uma soluccedilatildeo interessante para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares seriam os
meacutetodos computacionais hiacutebridos ou seja um meacutetodo resultante da fusatildeo da
simulaccedilatildeo Monte Carlo com teacutecnicas determiniacutesticas Assim poder-se-ia melhorar os
pontos fortes e eliminar as fraquezas individuais do meacutetodo MC e das abordagens
deterministas Apesar de algumas exceccedilotildees o desenvolvimento de ferramentas
computacionais hiacutebridas eacute no entanto ainda largamente inexplorado (Vaz 2010)
95
11 Referecircncias Bibliograacuteficas
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SIMULACcedilAtildeO DE UM REATOR SUBCRIacuteTICO TIPO ADS VIA MONTE CARLO PARA
VALIDACcedilAtildeO DE CAacuteLCULO DA REATIVIDADE
Mauricio Quelhas Antolin
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ
COIMBRA DE POacuteS-GRADUACcedilAtildeO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSAacuteRIOS PARA A OBTENCcedilAtildeO DO GRAU DE DOUTOR EM CIEcircNCIAS EM
ENGENHARIA NUCLEAR
Examinada por
________________________________________________
Prof Aquilino Senra Martinez DSc
________________________________________________ Prof Fernando Carvalho da Silva DSc
________________________________________________ Dr Daniel Artur Pinheiro Palma DSc
________________________________________________ Prof Alessandro Gonccedilalves DSc
________________________________________________ Dr Antonio Carlos Abreu Moacutel DSc
RIO DE JANEIRO RJ - BRASIL
FEVEREIRO DE 2013
iii
Antolin Mauricio Quelhas
Simulaccedilatildeo de um Reator Subcriacutetico Tipo ADS Via
Monte Carlo para Validaccedilatildeo de Caacutelculo da Reatividade
Mauricio Quelhas Antolin ndash Rio de Janeiro
UFRJCOPPE 2013
XI 97 p il 297 cm
Orientadores Aquilino Senra Martinez
Fernando Carvalho da Silva
Tese (doutorado) ndash UFRJ COPPE Programa de
Engenharia Nuclear 2013
Referecircncias Bibliograacuteficas p 94 - 97
1 Caacutelculo da Reatividade 2 Reatores ADS 3
Simulaccedilatildeo Monte Carlo I Martinez Aquilino Senra et al
II Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE
Programa de Engenharia Nuclear III Tiacutetulo
iv
Dedicatoacuteria
Este trabalho eacute dedicado a todas as pessoas que me ajudaram em toda minha
caminhada acadecircmica em especial agrave minha amada esposa Gisele a minha filha que
mesmo sem ainda nascer jaacute eacute muito amada aos meus pais e amigos que me
apoiaram ateacute aqui
v
Agradecimentos
Agradeccedilo aos meus professores Aquilino Senra Martinez e Fernando Carvalho
da Silva pela dedicaccedilatildeo e ajuda no desenvolvimento deste trabalho e tambeacutem ao
amigo Daniel Artur Pinheiro Palma pelas suas contribuiccedilotildees neste trabalho
Tambeacutem agradeccedilo a Coordenaccedilatildeo de Aperfeiccediloamento de Pessoal de Niacutevel
Superior (CAPES) pelo apoio financeiro
Aos amigos do LMP pelo o apoio na elaboraccedilatildeo deste trabalho
Ao meu pai Manuel Angel Antolin Garcia por me incentivar a ingressar na
carreira acadecircmica e por todo o seu carinho
Agrave minha matildee Iliana de Carvalho Quelhas pela a paciecircncia amor carinho e
apoio em toda minha caminhada acadecircmica e pessoal
Agrave minha esposa pela paciecircncia e compreensatildeo
vi
Resumo da Tese apresentada agrave COPPEUFRJ como parte dos requisitos necessaacuterios
para a obtenccedilatildeo do grau de Doutor em Ciecircncias (DSc)
SIMULACcedilAtildeO DE UM REATOR SUBCRIacuteTICO TIPO ADS VIA MONTE CARLO PARA
VALIDACcedilAtildeO DE CAacuteLCULO DA REATIVIDADE
Mauricio Quelhas Antolin
Fevereiro2013
Orientadores Aquilino Senra Martinez
Fernando Carvalho da Silva
Programa Engenharia Nuclear
Um dos grandes atrativos dos reatores ADS eacute decorrente da possiblidade de
transmutaccedilatildeo dos rejeitos produzidos pelas usinas nucleares convencionais
diminuindo a armazenagem dos rejeitos de longa meia-vida em repositoacuterios geoloacutegicos
de longa duraccedilatildeo Poreacutem o comportamento cineacutetico desses reatores ainda eacute uma
questatildeo em aberto tendo em vista que natildeo existe nenhum reator ADS em operaccedilatildeo
no mundo Portanto este trabalho propotildee um meacutetodo de caacutelculo de reatividade para
reatores subcriacuteticos guiados por fonte (ADS) utilizando o meacutetodo das derivadas
parciais da potecircncia nuclear que permite um caacutelculo mais raacutepido e sem a necessidade
do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator Os resultados foram
comparados com simulaccedilotildees numeacutericas realizadas pelo meacutetodo Monte Carlo e
mostram boa concordacircncia
vii
Abstract of Thesis presented to COPPEUFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (DSc)
SIMULATION OF A ADS SUBCRITICAL REACTOR VIA MONTE CARLO FOR
VALIDATION OF REACTIVITY CALCULATION
Mauricio Quelhas Antolin
February2013
Advisors Aquilino Senra Martinez
Fernando Carvalho da Silva
Department Nuclear Engineering
One of the great attractions of ADS reactors is due to the possibility of
transmutation of waste produced by conventional power plants reducing waste by
reducing the storage of long half-life in long-term geological repositories But the kinetic
behavior of these reactors is still an open question given that there is no ADS reactor
in operation worldwide Therefore this work proposes a method for calculating reactivity
for subcritical reactors driven by source (ADS) using the method of partial derivatives of
nuclear power which allows a faster calculation and not need the storage the whole
history of reactor power The results were compared with numerical simulations
performed by the Monte Carlo method and show good agreement
viii
Sumaacuterio Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xi
1 Introduccedilatildeo 1
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para Reatores Subcriacuteticos 8
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 9
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 14
23 Cineacutetica Inversa 17
231 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 18
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 18
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico de Potecircncia 19
31 Meacutetodo de Agrupamento 19
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada 21
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da intensidade da fonte externa 23
34 Meacutetodo das Derivadas 24
341 Anaacutelise para k impar 25
342 Anaacutelise para k par 29
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com dependecircncia temporal de β e Λ 32
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 32
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 33
43 Meacutetodo das Derivadas para Dependecircncia Temporal de β e de Λ 34
431 Anaacutelise para k impar 35
432 Anaacutelise para k par 37
5 Caacutelculo da reatividade para algumas variaccedilotildees da potecircncia nuclear 40
51 Potecircncia Linear 40
511 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 40
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 42
52 Potecircncia Constante 43
521 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 43
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 44
53 Potecircncia Exponencial 45
531 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 45
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 46
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 47
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com Dependecircncia temporal de β e Λ 49
61 Potencia Linear 49
ix
611 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 49
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 50
62 Potecircncia Constante 51
621 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 51
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 51
63 Potecircncia Exponencial 52
631 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 52
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 52
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 53
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica 54
71 Funccedilotildees Densidade de Probabilidades 57
72 Meacutetodo direto ou inverso 60
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo 63
74 Meacutetodos Monte Carlo para Reatores Subcriacuteticos 65
75 Conceito de Reatores ADS 66
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos Utilizados 68
9 Resultados 82
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia Nuclear 83
92 Potecircncia Nuclear Constante 83
93 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 84
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 86
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ 86
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia 87
952 Potecircncia constante 87
953 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 88
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 89
96 Paracircmetros Nucleares 90
10 Conclusatildeo 93
11 Referecircncias Bibliograacuteficas 95
x
Lista de Figuras
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996 3
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de
Yoriyaz 2009 55
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio 58
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio 58
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo 59
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003) 61
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula 62
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo 64
Figura 78 Processo de caacutelculo de π 65
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009 66
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS 67
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR 72
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER 72
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU 72
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX 73
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT 77
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT 78
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT 79
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do
reator PWR simulado 79
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do
ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias 80
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico 82
xi
Lista de Tabelas
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-
nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012) 2
Tabela 81 Exemplo de um revestimento de zircaloy no MCNPX 71
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de uracircnio no SERPENT 71
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER 73
Tabela 84Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 1 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 85 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 2 (densidade 10851 gcm3) 74
Tabela 86 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 3 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 87 Composiccedilatildeo do revestimento da vareta de combustiacutevel (densidade 75357
gcm3) 75
Tabela 88 Composiccedilatildeo do refletor (densidade 53908 gcm3) 75
Tabela 89 Composiccedilatildeo da barra de controle (densidade 15643 gcm3) 75
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR 75
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR 76
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT 78
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado 82
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos 83
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear 84
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante 85
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia 85
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados 86
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ 87
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia linear constante 88
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares 91
1
1 Introduccedilatildeo
Grande parte da energia eleacutetrica produzida por reatores nucleares satildeo
provenientes de reatores a aacutegua leve devido agrave utilizaccedilatildeo de material fiacutessil pouco
enriquecido para seu funcionamento o que torna sua construccedilatildeo e operaccedilatildeo
bastantes atrativos mesmo com os altos custos de construccedilatildeo e manutenccedilatildeo das
centrais nucleares Aleacutem disso o conhecimento do clico teacutermico utilizados por esses
reatores impulsionaram seu desenvolvimento (Pereira 2002)
Poreacutem estes reatores utilizam ciclo de combustiacutevel aberto e produzem uma
grande quantidade de rejeitos o que inclui grande quantidade de elementos
transuracircnicos (Am Cm Np entre outros) que possuem uma alta meia-vida (cerca de
107 anos)
Assim existe uma grande preocupaccedilatildeo na utilizaccedilatildeo desses reatores natildeo soacute
na prevenccedilatildeo de acidentes mas tambeacutem devido agrave proliferaccedilatildeo de armas nucleares e
agrave necessidade de repositoacuterios finais de estocagem de longa duraccedilatildeo (Iwanaga et al
2005) o que cria uma barreira de sua aplicaccedilatildeo
Atualmente grande parte do combustiacutevel queimado no mundo eacute armazenado
em piscinas dentro das proacuteprias usinas nucleares e em alguns casos o
armazenamento que deveria ser temporaacuterio persiste haacute deacutecadas Estima-se que o
aumento de combustiacutevel utilizado esteja em torno de 12000 toneladas por ano sendo
que apenas 3000 toneladas deste combustiacutevel vatildeo para o reprocessamento1
Uma forma de contornar o problema da estocagem eacute atraveacutes da queima dos
rejeitos provenientes dos reatores nucleares de potecircncia em outros tipos de reatores
Inicialmente os reatores raacutepidos foram os primeiros a serem considerados para
esta finalidade por proporcionar aleacutem de uma melhor utilizaccedilatildeo das reservas de
uracircnio a possibilidade de transmutaccedilatildeo dos elementos transuracircnicos Poreacutem
dificuldades na operaccedilatildeo de reatores raacutepidos criacuteticos como por exemplo o controle da
criticalidade e tambeacutem a oxidaccedilatildeo do material usado como refrigerante (soacutedio)
dificultaram o seu uso
Cerca de 20 reatores raacutepidos jaacute entraram em operaccedilatildeo desde a deacutecada de
1950 sendo em sua maioria reatores de pesquisa Comercialmente apenas o reator
francecircs Superphenix chegou a entrar em operaccedilatildeo comercial Ele foi desenvolvido
para gerar 12 GW de energia eleacutetrica poreacutem foi fechado em 1998 devido a falhas
1 httpwwwworld-nuclearorginfoNuclear-Fuel-CycleNuclear-WastesRadioactive-Waste-
ManagementUTn-jaVtivM
2
estruturais alto custo e repetidos incidentes O Superphoenix funcionou apenas 10
meses em 13 anos
Os reatores raacutepidos satildeo projetados para usar 238U e tambeacutem 235U usado na
maioria dos reatores Se esses reatores satildeo projetados para produzir mais plutocircnio do
que consomem eles satildeo chamados reatores reprodutores raacutepidos (FBR) (Lodhi et al
2009) Os reatores raacutepidos tambeacutem podem queimar actiniacutedeos que possuem alta meia
vida que podem ser transmutados em outros elementos para o uso em reatores
convencionais (LWR) A Tabela 11 mostra alguns reatores raacutepidos que entraram ou
entraratildeo em operaccedilatildeo no mundo
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012)
Paiacutes Reator Tipo Potecircncia
Eleacutetrica (MWe)
Potecircncia
Teacutermica (MW) Operaccedilatildeo
USA
EBR 1 02 14 1951-63
EBR II Pesquisa 20 625 1963-94
Fermi 1 Pesquisa 66 200 1963-72
SEFOR
20 1969-72
Fast Flux Test
Facility Pesquisa
400 1980-93
Inglaterra Protoype FR Protoacutetipo 15 60 1959-77
Dounreay FR Pesquisa 270 650 1974-94
Franccedila
Rapsodie Pesquisa 40 1966-82
Phenix Protoacutetipo 250 563 1973-2009
Superphenix Comercial 1240 3000 1985-98
Alemanha KNK 2 Pesquisa 21 58 1977-91
Iacutendia FBTR Pesquisa
40 1985-
PFBR Protoacutetipo 500 1250 2012-
Japatildeo
Joyo Pesquisa
140 1978-
Monju Protoacutetipo 280 714 1994-96
2010-
Cazaquistatildeo BN 350 Protoacutetipo 135 750 1972-99
Ruacutessia
BN 12
101 1950
BR 5 10 Obninsk Pesquisa
5 8 1959-71
1973-
BOR 60
Dimitrovgrad Pesquisa 12 55 1969-
BN 600 Beloyarsk 3 Protoacutetipo 600 1470 1980-
BN-800 Beloyarsk 4 Comercial 880 2000 2014-
China CEFR Pesquisa 20 65 2010-
3
Vaacuterios paiacuteses tecircm programas de pesquisa e desenvolvimento para melhorar os
reatores raacutepidos Aleacutem disso o projeto internacional em inovaccedilatildeo de reatores
nucleares e ciclo de combustiacutevel (INPRO) da agecircncia internacional de energia atocircmica
(AIEA) possui como ecircnfase os reatores raacutepidos para funcionarem com o ciclo de
combustiacutevel fechado
Os problemas encontrados na operaccedilatildeo dos reatores raacutepidos podem ser
contornados utilizando um conceito onde os necircutrons que satildeo produzidos por uma
reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo a um custo eleacutetrico pequeno entram em um meio multiplicativo
com uma configuraccedilatildeo de combustiacutevelmoderador (Rubbia et al 1996) Esses reatores
satildeo chamados reatores hiacutebridos devido ao acoplamento de um acelerador de
partiacuteculas para seu funcionamento A Figura 11 mostra uma concepccedilatildeo do esquema
de funcionamento desses tipos de reatores
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996
Este conceito de reator foi proposto desde os anos 1970 (Maniscalco et al
1974) Poreacutem dificuldades tecnoloacutegicas adiaram seu desenvolvimento pois estes
aceleradores de partiacuteculas devem ser extremamente confiaacuteveis durante a operaccedilatildeo do
reator
Os reatores hiacutebridos subcriacuteticos satildeo atraentes por proporcionar melhor
utilizaccedilatildeo dos recursos naturais e tem sido amplamente reconhecidos como sendo
altamente seguros (Rubbia et al 1995) A principal vantagem deste tipo de reator eacute a
operaccedilatildeo de um reator com fator de multiplicaccedilatildeo menor que a unidade (keff lt1) em
Acelerador
Nuacutecleo
Turbina
Condensador
Trocador de Calor
Gerador
4
que as reaccedilotildees de fissatildeo devem ser desencadeadas por um intenso feixe de
partiacuteculas carregadas aceleradas como por exemplo proacutetons ou iacuteons pesados com
energia entre 05 - 50 GeV por nucleon (Perelygin et al 1999)
Aleacutem disso o objetivo da transmutaccedilatildeo eacute a minimizaccedilatildeo de rejeitos nucleares
atraveacutes da transmutaccedilatildeo dos actiniacutedeos menores (AM) como Np Am e Cm Portanto
esses reatores devem ser carregados com combustiacutevel que contenha grandes
quantidades de AM
Para poderem realizar a transmutaccedilatildeo esses reatores utilizam necircutrons no
espectro raacutepido Isto ocorre porque nessa faixa de energia a seccedilatildeo de choque de
fissatildeo eacute mais favoraacutevel para a transmutaccedilatildeo dos AM Assim esses reatores se
caracterizam por uma baixa fraccedilatildeo de necircutrons retardados o que implica em raacutepidas e
grandes variaccedilotildees de potecircncia para uma pequena variaccedilatildeo na reatividade (Sordo et
al 2009) Segundo Rubbia et al (1996) uma mudanccedila suacutebita de +01 em um fator de
multiplicaccedilatildeo inicialmente a 095 causa um aumento na potecircncia de aproximadamente
20 Este aumento de reatividade em um reator raacutepido pode ter consequecircncias
catastroacuteficas
Para as especificaccedilotildees do feixe que deve sustentar o funcionamento do reator
Rubbia et al (1995) afirma que existe pouca ou nenhuma vantagem no uso de
partiacuteculas mais sofisticadas indicando o uso exclusivo de proacutetons no feixe de
partiacuteculas
Os reatores hiacutebridos ainda necessitam de um forte desenvolvimento o que
inclui novos combustiacuteveis e novas teacutecnicas de reprocessamento e tais programas
ainda natildeo foram totalmente desenvolvidos De qualquer forma o conceito de reator
hiacutebrido pode ser uma ferramenta potencial para obter o melhor domiacutenio da fissatildeo para
a geraccedilatildeo de energia eleacutetrica e sem o uso de reatores regeneradores raacutepidos (que
satildeo criacuteticos) que apresentam mais problemas na seguranccedila do que os reatores
subcriacuteticos (Piera et al 2010)
Inicialmente as especificaccedilotildees do feixe de partiacuteculas deveria ser capaz de
enviar proacutetons de no miacutenimo 1 GeV de energia o que implica em uma corrente de 10
agrave 15 mA Caso mais energia seja necessaacuteria pode-se usar vaacuterios feixes em paralelo
(Rubbia et al 1995)
O alvo atingido pelo feixe de partiacuteculas aceleradas pode ser o uracircnio natural ou
empobrecido o chumbo liacutequido ou outro material de alto nuacutemero atocircmico Assim os
necircutrons gerados nesta reaccedilatildeo entram no reator subcriacutetico que cerca o alvo
Mais recentemente Sordo et al (2009) afirmou que o alvo mais eficiente para
os reatores hiacutebridos eacute a liga feita de chumbo e bismuto (LBE) no estado liacutequido
bombardeado com proacutetons de energia entre 600 MeV e 1 GeV Devido a restriccedilotildees
5
termodinacircmicas os alvos de materiais soacutelidos satildeo indicados para instalaccedilotildees de baixa
potecircncia sendo pouco praacutetico para aplicaccedilotildees industriais que necessitam de potecircncias
muito maiores
O acelerador deve fornecer uma corrente de proacutetons com ampla faixa de
operaccedilatildeo pois para um reator que funcione com fator de multiplicaccedilatildeo muito menor
que a unidade deve-se evitar um desligamento natildeo programado durante seu
funcionamento
A produccedilatildeo de necircutrons na reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo determina a potecircncia teacutermica
do reator dependendo do seu niacutevel de subcriticalidade A diminuiccedilatildeo do valor do keff
devido agrave queima de combustiacutevel deve ser compensada para manter a potecircncia do
reator constante para isso pode-se aumentar a intensidade da fonte de necircutrons
Poreacutem isto induz um estresse termomecacircnico como a dilataccedilatildeo devido ao aumento
da temperatura aleacutem da maior degradaccedilatildeo natildeo soacute na estrutura do reator mas
tambeacutem e principalmente no alvo (Sordo et al 2009) O feixe de proacutetons deve ser
projetado para manter a integridade do alvo durante todo o ciclo de operaccedilatildeo
O projeto do reator hiacutebrido de pesquisa para aplicaccedilotildees de alta tecnologia
(MYRRHA) comeccedilou em 1998 pelo Centro de Pesquisas Nucleares da Beacutelgica
(SCKbullCEN) O primeiro objetivo do MYRRA seraacute demonstrar o conceito de reator ADS
a um niacutevel razoaacutevel de potecircncia e a viabilidade tecnoloacutegica da transmutaccedilatildeo de
actiniacutedeos menores e de produtos de fissatildeo de longa meia vida O MYRRHA tambeacutem
iraacute ajudar o desenvolvimento da tecnologia de ligas de chumbo necessaacuterio para os
reatores da geraccedilatildeo IV (Abderrahim et al 2005)
O reator estaacute previsto para entrar em operaccedilatildeo em 2023 e encontra-se em fase
de licenciamento sendo um dos reatores hiacutebridos com maior nuacutemero de referecircncias na
literatura Como ele pode trabalhar em modo criacutetico e subcriacutetico o MYRRHA gera uma
potecircncia entre 50 e 100 MWt O acelerador injeta proacutetons de 600 MeV no nuacutecleo do
reator e utiliza combustiacutevel tipo MOX
Apesar do grande nuacutemero de referecircncias encontradas na literatura os dados
de composiccedilatildeo de combustiacutevel paracircmetros nucleares materiais utilizados nesses
reatores e o comportamento cineacutetico satildeo escassos Por isso neste trabalho foram
utilizadas simulaccedilotildees numeacutericas pelo Meacutetodo de Monte Carlo para a avaliaccedilatildeo da
cineacutetica e dos paracircmetros nucleares desses reatores
Simulaccedilotildees computacionais de um sistema podem proporcionar importantes
informaccedilotildees para o estudo preliminar de novas tecnologias A simulaccedilatildeo pelo meacutetodo
de Monte Carlo foi escolhida pois eacute um dos meacutetodos que melhor descreve geometrias
complexas e que fornece informaccedilotildees precisas e detalhadas em trecircs dimensotildees aleacutem
de considerar a dependecircncia temporal tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
6
partiacuteculas neutras Assim o meacutetodo Monte Carlo (MC) se torna um meacutetodo atrativo
para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo MC eacute a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees de experimentos onde
os resultados satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido satildeo necessaacuterios aleacutem da simulaccedilatildeo das
partiacuteculas geradas atraveacutes da reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo coacutedigos que consigam prever a
queima do combustiacutevel Existem vaacuterios coacutedigos na literatura com esta finalidade e que
podem ser incorporados em coacutedigos mais gerais de MC
Atualmente um dos coacutedigos MC mais utilizados para simulaccedilatildeo de reatores
nucleares eacute o MCNPX (Hashemi-Nezhad et al 2002 Kadi et al 2001 Catsaros et al
2009) Este coacutedigo eacute desenvolvido pelo Laboratoacuterio Nacional de Los Alamos e
atualmente encontra-se na versatildeo 26e
O MCNPX eacute um coacutedigo MC geneacuterico de transporte de radiaccedilatildeo para modelar a
interaccedilatildeo da radiaccedilatildeo com a mateacuteria MCNPX significa Monte Carlo N-Particle
eXtended Ele estende as capacidades do MCNP4C3 a um grande nuacutemero de
partiacuteculas em uma ampla faixa de energia e para quase todas as aplicaccedilotildees sem custo
adicional de tempo computacional MCNPX faz caacutelculos tridimensionais e dependentes
do tempo Utiliza as bibliotecas mais novas de seccedilatildeo de choque nucleares aleacutem de
usar modelos fiacutesicos para as partiacuteculas que natildeo possuem dados tabulados
disponiacuteveis
O MCNPX 26e eacute capaz de realizar o caacutelculo do keff atraveacutes das geraccedilotildees de
necircutrons do fluxo de necircutrons a evoluccedilatildeo de combustiacutevel e tambeacutem calcula as
seccedilotildees de choque Poreacutem este coacutedigo natildeo permite a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees que
necessitam fonte externa de necircutrons
Atualmente um dos uacutenicos coacutedigos MC que permite a simulaccedilatildeo de um reator
controlado com fonte externa eacute o SERPENT (Leppaumlnen 2012) Este coacutedigo eacute
especiacutefico para o estudo de reatores nucleares e se encontra na versatildeo 1118
As simulaccedilotildees de MC podem fornecer importantes informaccedilotildees antes mesmo
de se iniciar a construccedilatildeo por exemplo de um reator do tipo ADS aleacutem de ter a
possibilidade de indicar quais materiais podem ser utilizados Eacute claro que a simulaccedilatildeo
natildeo substitui o experimento real mas pode ajudar a prever melhorias antes de seu
funcionamento Aleacutem disso as simulaccedilotildees podem ser utilizadas para a validaccedilatildeo de
novos meacutetodos de caacutelculo da reatividade tanto para reatores hiacutebridos quanto para
reatores teacutermicos jaacute que eacute um dos paracircmetros mais importantes em um reator
nuclear
7
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes equaccedilotildees para a cineacutetica de um reator
subcriacutetico (Gandini et al 2000 Nishihara et al 2003 Silva et al 2011) Assim com o
intuito de obter a variaccedilatildeo da reatividade para reatores subcriacuteticos obteve-se uma
expressatildeo para essa funccedilatildeo com base na cineacutetica pontual inversa para sistemas ADS
jaacute que para esses sistemas o monitoramento da reatividade eacute vital para o
funcionamento normal E ainda os reatores subcriacuteticos guiados por fonte necessitam
de uma forma de caacutelculo da reatividade mais raacutepida para evitar um ldquodesligamentordquo natildeo
programado para isso foi utilizado o meacutetodo das derivadas no caacutelculo da reatividade
uma vez que este meacutetodo natildeo necessita da informaccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
A validaccedilatildeo da expressatildeo obtida para a reatividade proposta nesta tese foi feita
atraveacutes de simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) uma vez que os dados de reatores
subcriacuteticos tipo ADS satildeo encontrados em nuacutemero reduzido na literatura
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas duas formulaccedilotildees para as equaccedilotildees da
cineacutetica subcriacutetica e as respectivas expressotildees para a cineacutetica inversa
Alguns meacutetodos de tratamento do histoacuterico de potecircncia satildeo apresentados no
Capiacutetulo 3 sendo que o meacutetodo das derivadas parciais da potecircncia nuclear eacute tratado
em detalhes
Jaacute no Capiacutetulo 4 satildeo obtidas as expressotildees da cineacutetica pontual para casos em
que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados (β) e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons (Λ)
satildeo dependentes do tempo
O capiacutetulo 5 tem-se o caacutelculo da reatividade para alguns casos particulares da
variaccedilatildeo da potecircncia nuclear com todos os paracircmetros nucleares constantes E no
Capiacutetulo 6 temos as mesmas variaccedilotildees da potecircncia nuclear com as variaccedilotildees
temporais de β e de Λ
Os fundamentos da simulaccedilatildeo Monte Carlo satildeo tratados no Capiacutetulo 7
juntamente com os meacutetodos especiacuteficos para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares
No Capiacutetulo 8 satildeo apresentados e descritos os coacutedigos Monte Carlos utilizados
neste trabalho
Jaacute no Capiacutetulo 9 satildeo apresentados os resultados obtidos da reatividade com as
expressotildees que foram apresentadas nos capiacutetulos 5 e 6
Finalmente no Capiacutetulo 10 satildeo apresentadas as conclusotildees desta tese
8
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para
Reatores Subcriacuteticos
A formulaccedilatildeo da cineacutetica pontual provou ser uma ferramenta poderosa para a
avaliaccedilatildeo da reatividade para diferentes tipos de reatores tanto em operaccedilatildeo normal
quanto na partida do reator Esta formulaccedilatildeo descreve o comportamento dos necircutrons
dentro do reator sem nenhuma dependecircncia espacial sendo que a distribuiccedilatildeo dos
necircutrons evolui de maneira pontual
As diferentes propostas para a funccedilatildeo importacircncia encontradas na literatura
resultam em diferentes equaccedilotildees da cineacutetica pontual (Gandini et al 2000 Nishihara et
al 2003 Silva et al 2011) para descrever o comportamento dos necircutrons dentro de
reatores subcriacuteticos
Para um sistema sem fonte externa de necircutrons tem-se somente uma
autofunccedilatildeo para toda a distribuiccedilatildeo de necircutrons em todos os instantes dentro do
reator Poreacutem para reatores com fonte externa esta afirmaccedilatildeo pode natildeo ser
verdadeira pois se a distribuiccedilatildeo de necircutrons for dominada pela fonte externa pode
envolver uma superposiccedilatildeo de muitas autofunccedilotildees Assim o comportamento pontual
pode ser fatorado no produto de uma funccedilatildeo da amplitude (apenas com dependecircncia
temporal) e uma funccedilatildeo de forma (sem dependecircncia temporal mas com dependecircncia
das variaacuteveis do espaccedilo de fase) (Dulla 2003)
As equaccedilotildees que descrevem o funcionamento dos reatores subcriacuteticos podem
ser obtidas a partir da equaccedilatildeo de transporte ou da equaccedilatildeo de difusatildeo (Gandini
2000) Assim as equaccedilotildees da cineacutetica espacial podem ser escritas da seguinte
maneira
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1
I
i i ext
i
r t A r t F r t c r t qv t
β λ=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum
(21)
( ) ( ) ( ) 1i i i ic r t F r t c r t i It
β λpart
= Ψ minus =part
(22)
onde v eacute a velocidade dos necircutrons iβ eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados do grupo i
e iλ eacute a constante de decaimento dos precursores de necircutrons retardados do grupo i
Nas seccedilotildees seguintes satildeo apresentados os formalismos para a cineacutetica dos
9
reatores ADS encontrados nos trabalhos de Gandini et at (2000) atraveacutes da
metodologia da teoria heuriacutestica de perturbaccedilatildeo generalizada (HGPT) e no trabalho de
Silva et al (2011) em que eacute proposto um termo adjunto de fonte (TAF) que se torna
significativo para reatores que operam longe da criticalidade
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
A funccedilatildeo importacircncia proposta por Gandini et al (2002) para o caso de
necircutrons monoenergeacuteticos isotroacutepicos meio homogecircneo e sem dependecircncia
temporal eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (Silva 2011)
( ) ( )0 0 0 0
0
0f
f
wA n r F n r
P
+ + + +minus minus Σ =
(23)
onde fw eacute a energia revertida por fissatildeo e P0 eacute a potencia nuclear sem perturbaccedilatildeo
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0n+ e integrando em r
obteacutem-se
( )0 0 0 0
1
11
I
o i i ext
i
n n A n F n c n qv t
β λ+ + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (24)
Considerando-se as seguintes perturbaccedilotildees no sistema
0 A A Aδminus rarr minus + (25)
0 F F Fδrarr + (26)
(0) ext ext extq q qδrarr + (27)
10
onde 0Aminus 0F e (0)
extq satildeo os estados estacionaacuterios natildeo perturbados
Substituindo e manipulando as equaccedilotildees (25) (26) e (27) na equaccedilatildeo (24) resulta em
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0 0
1
1
1
o
I
i i ext ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q n q
δ β
β δ λ δ
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + +sum (28)
Somando e subtraindo 0n Fβ+ Ψ na equaccedilatildeo (28) e lembrando que
(0)
0 1ext
n q+ = de acordo com Gandini (2001) vem
( )
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0
1
0 0 0
1
1 1
o
I
i i ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q
n F F n F
δ β
β δ λ
β δ β
+ minus + + +
+ + +
=
+ +
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + + +
+ Ψ minus Ψ
sum (29)
Rearranjando os termos da equaccedilatildeo acima tem-se
1
0 0 0 00
0 0 0
1
0
1
o
I
i i ext
i
n v n A n F n At
n F n c n q
n F
δ
δ λ δ
β
+ minus + + +
+ + +
=
+
partΨ = Ψ + Ψ + Ψ +
part
Ψ + + + +
minus Ψ
sum (210)
Ponderando a equaccedilatildeo (23) com Ψ obteacutem-se (Silva et al 2011)
0 0 00
0
0f
wn A n F
P
++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)
11
Substituindo a equaccedilatildeo (211) na equaccedilatildeo (210) tem-se
1
0 0 0
1
0
0
1
I
o i i
i
ext f
n v n A F n F n ct
wn q
P
δ δ β λ
δ
+ minus + + +
=
+
partΨ = + Ψ minus Ψ + +
part
minus Σ Ψ +
sum (212)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t P t rφΨ asymp
(213)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )P t eacute a potecircncia
Substituindo a aproximaccedilatildeo dada pela equaccedilatildeo (213) na equaccedilatildeo (212)
obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
n v P t r n A F P t r n F P t rt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
part= + minus +
part
+ minus Σ +sum
(214)
Como bull eacute uma integraccedilatildeo no espaccedilo pode-se escrever
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
+ minus Σ +sum
(215)
Sendo 0 0f
P w φ= Σ tem-se
12
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
1
o
I
i i ext
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
n c P t n q
φ δ δ φ β φ
λ δ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus + +sum
(216)
Dividindo a equaccedilatildeo (216) por
0 0 I n F φ+= (217)
a equaccedilatildeo (216) pode ser escrita da seguinte forma
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1 I
n n n n n
eff eff i i
i
dP tP t C t P t Q
dtρ β λ ζ
=
Λ = minus + + minus + sum (218)
sendo
( )1
0
o
n
eff
n v r
I
φ+ minus
Λ equiv
(219)
( )0 0
nn A F r
I
δ δ φρ
+ +equiv
(220)
( )0 0
n
eff
n F r
I
β φβ
+
equiv
(221)
( )0
in
i
n cC t
I
+
equiv (222)
1
I
ζ equiv (223)
0
extn
n qQ
I
δ+
equiv (224)
13
onde nρ eacute uma reatividade generalizada nQ eacute o valor da fonte externa ( )n
iC t eacute a
concentraccedilatildeo de precursores e ζ eacute um termo de subcriticalidade inserido pela funccedilatildeo
importacircncia
Agora ponderando a equaccedilatildeo (22) com 0n+ e dividindo pelo o fator de
normalizaccedilatildeo dado pela equaccedilatildeo (217) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) n n n
i i eff i i
dC t P t C t
dtβ λ= minus (225)
onde
0 0
in
i eff
n F
I
β φβ
+
equiv (226)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
proposta por Gandini et al (2000) considerando um grupo de precursores de
necircutrons eacute escrito da seguinte maneira
( )
( ) ( ) ( )( ) 1n
n n
dP tt P t C t P t q
dtρ β λ ζ Λ = minus + + minus + (227)
( )( )
( )n
dC tP t C t
dtβ λ= minus
(228)
onde ( )nP t eacute a potecircncia normalizada β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados ζ eacute o
iacutendice de subcriticalidade (que tende agrave zero quando o sistema se a proacutexima da
criticalidade) ( )ρ t eacute a reatividade generalizada do sistema ( )C t eacute a concentraccedilatildeo de
precursores e Λ tempo de geraccedilatildeo meacutedio de necircutrons
14
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Na funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011) existe um termo de
fonte adjunto que se torna significativo para os sistemas que estatildeo longe de
criticalidade Portanto a equaccedilatildeo da funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011)
foi
( ) ( )dagger
0 0 0 0
0
1
f
sub
A r F rk N
νε ε η+ + +
Σminus =
(229)
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0ε + e integrando em r
obteacutem-se
( )1
0 0 0 0
1
1 I
o i i ext
i
v A F c qt
ε ε ε β λ ε ε+ minus + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (230)
Realizando uma perturbaccedilatildeo no sistema da seguinte maneira
0 A A Aδminus rarr minus + (231)
0
1
sub
F F Fk
δrarr + (232)
Substituindo as equaccedilotildees (231) e (232) na equaccedilatildeo (230) e rearranjando os
termos vem
( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1
11
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q
ε ε ε δ ε β
ε β δ λ ε ε
+ minus + + +
+ + +
=
partΨ = minus Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + +sum
(233)
15
Somando e subtraindo 0 Fε β+ Ψ na equaccedilatildeo (233) e utilizando a equaccedilatildeo
(232) pode-se escrever
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q F
ε ε δ ε ε
ε δ λ ε ε ε β
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + minus Ψ + Ψ +
part
Ψ + + minus Ψsum
(234)
Agora ponderando-se a equaccedilatildeo (229) com ( )r tΨ
podemos escrever
segundo Silva (2011)
0 0 0 0
0
1
f
sub
A Fk N
νε ε η+ +minus Ψ + Ψ = minus Σ Ψ (235)
Substituindo a equaccedilatildeo (235) na equaccedilatildeo (234)
1
0 0
0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
v A F Ft
c qN
ε ε δ δ ε β
νλ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
partΨ = + Ψ minus Ψ +
part
minus Σ Ψ +sum (236)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t N t rφΨ asymp
(237)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )N t eacute a densidade necircutrons tem-se substituindo
a equaccedilatildeo (237) na equaccedilatildeo (236)
16
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t qN
ε φ ε δ δ φ ε β φ
νλ ε η φ ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus Σ +sum (238)
e como 0 0f
N ν φ= Σ pode-se escrever a equaccedilatildeo (238) da seguinte maneira
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
o
I
i i ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t q
ε φ ε δ δ φ ε β φ
λ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus +sum (239)
Dividindo a equaccedilatildeo (239) por 0oI Fε φ+= obteacutem-se
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
I
eff i i
i
dN tN t C t N t q
dtρ β λ
=
Λ = minus + minus Γ +sum (240)
onde
1
0
o
eff
v
I
ε φ+ minus
Λ equiv (241)
0 0
A F
I
ε δ δ φρ
+ +equiv (242)
0 0
eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (243)
( )0
i
i
cC t
I
ε +
equiv (244)
0
ext
I
ε +
equiv (245)
I
ηΓ equiv (246)
sendo ρ eacute uma relatividade generalizada Q eacute um termo relacionada agrave fonte externa
Γ um termo de subcriticalidade e ( )iC t eacute a concentraccedilatildeo de precursores
17
Procedendo de maneira anaacuteloga para a equaccedilatildeo (22) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) i i eff i i
dC t N t C t
dtβ λ= minus (247)
onde
0 0
i
i eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (248)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
segundo Silva (2011) eacute escrito como
( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ minus Γ + Σ (249)
( )
( ) ( )f
dC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
sdotΣ (250)
onde ϖ eacute a energia meacutedia liberada por fissatildeo Σ f eacute a seccedilatildeo de choque macroscoacutepica
de fissatildeo e β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
23 Cineacutetica Inversa
Usualmente o controle de um reator nuclear eacute feito atraveacutes do monitoramento
da reatividade o que torna o meacutetodo da cineacutetica inversa relevante A reatividade eacute
caracterizada por uma mudanccedila no fator de multiplicaccedilatildeo do reator o que o torna um
dos paracircmetros mais importantes em fiacutesica de reatores Nas seccedilotildees seguintes seratildeo
apresentadas as equaccedilotildees para o caacutelculo da reatividade
18
231 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Para obter-se a expressatildeo da cineacutetica pontual inversa eacute necessaacuterio resolver as
equaccedilotildees (227) e (228) Partindo da equaccedilatildeo (228) e utilizando meacutetodo do fator
integrante obteacutem-se
( ) ( )( )
t
t t
nC t P t e dt
λβ minus minus
minusinfin
= int (251)
Substituindo a equaccedilatildeo (251) na equaccedilatildeo (227) vem
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )( )1
tnt tn n
n
P tdP t P tt P t e dt Q
dt
λζλβ
ρ β minus minus
minusinfin
minus= minus + + +
Λ Λ Λint (252)
onde Q qequiv Λ eacute o termo de fonte de necircutrons Resolvendo a equaccedilatildeo (252) para
( )tρ tem-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )
0
0
1
ttt tn
n
n n n
n
n n
dP t P et P t e dt
P t dt P t P t
P t Q
P t P t
λλβ λβ
ρ β
ζ
minusminus minusΛ
= + minus minus
minus Λminus minus
int (253)
onde P0 = P(0)
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga a seccedilatildeo anterior e partindo das equaccedilotildees
(249) e (250) propostas por Silva et al encontra-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t
t ttdP t P Q
t e e P t dtP t dt P t P t P t
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus minusint (254)
19
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico
de Potecircncia
Existem vaacuterios meacutetodos de tratamento para a soluccedilatildeo ou aproximaccedilatildeo do
histoacuterico de potecircncia Esses meacutetodos visam diminuir o tempo de caacutelculo
computacional sem que seja introduzido um erro muito grande e podem envolver ou
natildeo uma fonte externa de necircutrons
A mediccedilatildeo da reatividade a partir da cineacutetica inversa permite que seu valor seja
analisado a cada instante pela variaccedilatildeo temporal do niacutevel de potecircncia do reator
(Ansari et al 2001)
Devido ao grande interesse nos reatores ADS apenas os meacutetodos que
envolvem fontes externas seratildeo apresentados sendo que o uacutenico que seraacute detalhado
eacute o meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear
31 Meacutetodo de Agrupamento
Na partida do reator a contribuiccedilatildeo da fonte externa de necircutrons deve ser
considerada Assim Hoogenboom et al (1998) escrevem a equaccedilatildeo da cineacutetica
inversa como
( )( )
( ) ( )( )
1 i
t t t
i i
i
c St e P t dt
P t P t
λρ β β λ minus minus
minusinfin
Λ= minus minussum int (31)
A integral da equaccedilatildeo (31) pode ser calculada recursivamente atraveacutes de
amostragens de P(t) usando interpolaccedilatildeo linear entre duas amostras consecutivas
Pn-1 = P(tn -1) e Pn = P(tn) separadas por um intervalo t∆ Portanto
20
( ) ( )
1
1
1 1
1
in
i n i
i
i
tt t t t n
n n
i i
ttn
i i
P eI e P t dt e I
t
P ee
t
λλ λ
λλ
λ λ
λ λ
minus ∆minus minus minus ∆
minusminusinfin
minus ∆minus ∆minus
minus= = + minus
∆
minusminus minus
∆
int (32)
Introduzindo a seguinte funccedilatildeo
( ) ( ) ( ) i
t t t
i i
i
g t e P t dtλβ λ minus minus
minusinfin=sum int (33)
e reescrevendo a equaccedilatildeo (31) em funccedilatildeo de ( )g t tem-se
( )( )( ) ( )
Sg t
tP t P t
ρρ β= minus minus (34)
Para um reator subcriacutetico com potecircncia constante na presenccedila de fonte
externa de necircutrons (S) obteacutem-se
ou S S
PP
ρ ρρρ
= minus = minus (35)
Este meacutetodo pode ser resumido nos seguintes passos
No intervalo desejado divide-se as seacuteries de P(t) e g(t) em trecircs grupos de
mesma duraccedilatildeo
1 Calcula-se os conjuntos de valores de cada um dos grupos ( )1 1P g
( )2 2P g e ( )3 3
P g
2 Estima-se os valores do gradiente ( )β ρminus e o interseccedilatildeo ( )Sminus Λ atraveacutes
de
( ) 3 1
3 1
g g
P Pβ ρ
minusminus =
minus (36)
( ) ( ) S g Pβ ρminus Λ = minus minus (37)
21
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada
Neste meacutetodo Kitano et al (2000) escreve a expressatildeo da reatividade como
( )( )
( )( )
( ) ( )( )6
1
i i
i
S t dP tt C t
P t P t P t dtρ β λ
=
ΛΛ Λ= minus minus +sum (38)
Segundo o autor o termo ( )
( )dP t
P t dt
Λ pode ser negligenciado pois o erro
inserido eacute menor que 1 para um amplo intervalo de reatividade Portanto a equaccedilatildeo
(38) eacute escrita como
( )( )
( )( )
( )
6
1
i i
i
S tt C t
P t P tρ β λ
=
ΛΛ= minus minussum (39)
Por conveniecircncia computacional a equaccedilatildeo da concentraccedilatildeo de precursores
pode ser escrita da seguinte forma (Kitano et al 2000)
( ) ( ) ( ) 16ii i i iC t t P t C t C t t i
βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =
Λ (310)
onde P e iC satildeo os valores meacutedios para o incremento de tempo t∆
Portanto a equaccedilatildeo (39) pode ser escrita na seguinte forma
( ) ( ) ( ) ( )6
1
i i
i
g t C t S P tλ β ρ=
equiv Λ = minus Λ + minussum (311)
onde a fonte de necircutrons (S) e a reatividade satildeo constantes Esta equaccedilatildeo pode ser
considerada como uma equaccedilatildeo linear de P(t)
Considerando que o sinal da potecircncia tenha um grande erro principalmente na
operaccedilatildeo em baixa potecircncia pode-se aplicar filtros para ruiacutedo de alta frequecircncia e
tambeacutem de baixa frequecircncia da seguinte forma
22
1
1 N
i j
j
P PN =
= sum (312)
e
( )1 1 i i i i
tP P P P
t τminus minus
∆= + minus
∆ + (313)
onde Pj eacute a medida da potecircncia medida iP eacute a potecircncia meacutedia e N eacute o nuacutemero de
amostras τ eacute a constante de tempo e i
P eacute a saiacuteda da equaccedilatildeo (313)
A introduccedilatildeo da memoacuteria baacutesica indexada eacute segundo os autores um novo
ldquotermocircmetrordquo para diagnosticar um transiente sendo definido por
[ ] 1 1
6
1
1
i i
i
CM I
C
λ β
βλ
=
equiv
sum (314)
A memoacuteria baacutesica indexada (MI) eacute a normalizaccedilatildeo das emissotildees de necircutrons
retardados do primeiro grupo sobre o total de emissotildees de necircutrons retardados Note
que a MI assume valor unitaacuterio quando o reator estaacute em estado estacionaacuterio Assim
ela pode ser usada para detectar o iniacutecio e o final de um transiente para a aplicaccedilatildeo do
meacutetodo de grupo
23
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da
intensidade da fonte externa
A equaccedilatildeo da cineacutetica inversa escrita com uma discretizaccedilatildeo no tempo e
assumindo que a potecircncia do reator varia com ( ) 1jt
jn t n emicro
minus= onde
( )1log j j j
n n tmicro minus= ∆ eacute dada por (Tamura 2003)
6
1
j
j eff i i j
ij j j
nC S
n t n nρ β λ
=
∆Λ Λ Λ= + minus minus
∆sum (315)
onde
1
1 1
i
i
t
j jt ii j i j
j
i
j
n n eC C e
n
n t
λ
λ β
λ
minus ∆minusminus ∆
minus
minus= +
∆Λ+
∆
(316)
Note que o subiacutendice j representa os valores no tempo j e S eacute a fonte externa
de necircutrons
Considerando as seguintes condiccedilotildees iniciais
( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)
e
0 0 S nρ = minusΛ (318)
tanto a reatividade ρ quanto a fonte S satildeo obtidas pelo meacutetodo dos miacutenimos
quadrados (Diacuteaz 2007)
24
34 Meacutetodo das Derivadas
As equaccedilotildees (253) e (254) obtidas no capiacutetulo anterior envolvem a mesma
integral em funccedilatildeo da potecircncia do reator Esta integral tambeacutem chamada de histoacuterico
de potecircncia deve ser calculada desde o iniacutecio da operaccedilatildeo do reator ateacute o tempo atual
de maneira contiacutenua ou seja exige monitoramento constante da potecircncia Aleacutem disso
o armazenamento desta informaccedilatildeo eacute necessaacuterio durante toda operaccedilatildeo do reator
para possibilitar a recuperaccedilatildeo da informaccedilatildeo da reatividade caso ocorra uma
interrupccedilatildeo em seu caacutelculo
Para o caso dos reatores subcriacuteticos o monitoramento contiacutenuo da reatividade
eacute imprescindiacutevel para seu funcionamento normal Como a produccedilatildeo de necircutrons eacute
insuficiente para manter as reaccedilotildees nucleares nesses reatores a reatividade pode ser
um paracircmetro utilizado para o monitoramento e ajuste da intensidade do feixe de
proacutetons para manter as reaccedilotildees nucleares produccedilatildeo de energia eleacutetrica constante
durante a operaccedilatildeo do reator
O meacutetodo das derivadas estaacute baseado na integraccedilatildeo por partes da integral do
histoacuterico de potecircncia da equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa resultando em uma seacuterie
de potecircncias em funccedilatildeo da potecircncia nuclear do reator com dependecircncia temporal
(Diacuteaz 2007) Este meacutetodo de caacutelculo da reatividade permite a possibilidade do reiniacutecio
do caacutelculo apoacutes sua interrupccedilatildeo causada por um problema no funcionamento do
equipamento de mediccedilatildeo ou seja com este meacutetodo natildeo eacute necessaacuterio um caacutelculo
contiacutenuo Aleacutem disso pode-se obter a reatividade sem a dependecircncia da memoacuteria da
potecircncia nuclear o que torna o caacutelculo mais raacutepido se comparado ao tempo necessaacuterio
para a resoluccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
Para a obtenccedilatildeo da expressatildeo do meacutetodo das derivadas deve-se resolver a
integral da equaccedilatildeo (254) ou da equaccedilatildeo (253) por partes Assim obteacutem-se
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tP t P e
I t e P t dt P t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (319)
onde P(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (319) tem-se
25
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2
2 2 2
0
0 0 1
t t tt tP t P e P t P e
I t P t e dt
λ λλ
λ λ λ λ λ
minus sdot minus sdotminus sdot minus
= minus minus + minus int (320)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (320) por partes obteacutem-se
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
2 2
3
3 3 3
0
0 0
1
t t
t tt t
P t P e P t P eI t
P t P t eP t e dt
λ λ
λλ
λ λ λ λ
λ λ λ
minus minus
minusminus minus
= minus minus + +
minus minus int
(321)
Aplicando esta soluccedilatildeo n vezes podemos escrever
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1 10 0 0
0 1 1
n n k t tt tk kn n
n n kn n
P t P e P t eI t dt
λλ
λ λ λ
+ minus minusminus
+ + += =
= minus minus minus minussum sum int (322)
ou ainda
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(323)
341 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2m-1 assim a equaccedilatildeo (323) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
m t tt tt t
m
n n tm mn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(324)
26
Supondo que a forma de P(t) satisfaccedila agraves condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n P tP t P t
P t
minus
minus
=
(325)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n P tP t P t
P t
=
(326)
onde ( ) ( )
( )
2
P t
cte tP t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial entre outras
Substituindo a equaccedilatildeo (326) na equaccedilatildeo (324) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
m
n nm m
n n t
n nn n
P te P t dt P t e dt
P t
P t P t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(327)
Como ( ) ( )
( )
2P t
cteP t
= podemos escrever a equaccedilatildeo (327) como
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 1 2 1
1 10 00
1 11
n n nt m mt t n n t
n nn n
P te P t dt P t P t e
P t
λ λ
λ λ
minus minusminus minus minus sdot
+ += =
minus minus minus = minus
sum sumint
(328)
Logo
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e P t dt S t S tλminus minus
= +int (329)
27
sendo
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
nm
n
nnn
S P t
P t
P t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (330)
e
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
nm
n t
nnn
S P t e
P t
P t
λ
λ
minusminus sdot
+=
minusequiv minus
minus
sum (331)
Analisando inicialmente a equaccedilatildeo (330) pode-se escrever o seu somatoacuterio
da seguinte forma
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nm m mn
n n nn n n
P t P tP t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (332)
Utilizando as equaccedilotildees (325) e (326) na equaccedilatildeo (332) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
11 22 1 1
1 2 20 0
1
nnm m
n
nn n
P t P t P tP t
P tλ λ λ λ
minusminus minus
+= =
minus = minus
sum sum (333)
Lembrando que
( )1
0
1
1
mm
n
n
a rar
r
+
=
minus=
minussum (334)
identificando ( ) ( )
( )
2
2
P tr
P tλ= e a =1 na equaccedilatildeo (333) vem
28
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nm
n
nn
P t
P tP t P tP t
P t
P t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (335)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (335) na equaccedilatildeo (330) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
22
22
1 22
22
1
11
n
n
P tP t P t
P tS
P tP t
P tP t
λλ λ
λλ
minus minus = minus minus
(336)
Simplificando e rearranjando os termos da equaccedilatildeo (336) chega-se a
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
P t P tS P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (337)
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (331) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tP PS P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (338)
Finalmente podemos escrever a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo
329) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
e P t dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (339)
29
342 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par entatildeo k=2m-2 assim a equaccedilatildeo (323) torna-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t t
t t m t t
m
n n tm mn n
n nn n
P t e dt P t e dt
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(340)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (325) vem
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
12
1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
mt t
t t t t
m
n n tm mn n
n nn n
P tP t e dt P t e dt
P t
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus
minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(341)
Da equaccedilatildeo (319) pode-se escrever
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
0 0
0
t tt t t tt
P t e dt P t P e e P t dtλ λλ λminus minus minus minusminus sdot= minus minusint int (342)
Substituindo a equaccedilatildeo (342) na equaccedilatildeo (341) e rearranjando os termos
obteacutem-se
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt mt t n n t
m nn
mn n t
m m
P t e dt P t P e
P t
P t
P t P e P t
P tP t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(343)
Desenvolvendo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (343) tem-se
30
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
P t e dt S t S tλminus sdot minus
= minusint (344)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nm
n
m nn
S t P t
P t
P t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (345)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nm
n t
m nn
S t P e
P t
P t
λ
λ
λ
minusminus sdot
minus +=
minusequiv
minus
sum (346)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior eacute faacutecil mostrar que
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
P t P tS t P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (347)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tP PS t P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (348)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k que o histoacuterico de
potecircncia eacute dado pela seguinte expressatildeo
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t t
P t P t P Pe P t dt P t P e
P t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (349)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo Sendo assim a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo 319)
pode ser escrita da seguinte forma
31
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
P t e dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
sdotminus minus= minus
minus minusint (350)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa baseada na formulaccedilatildeo
proposta por Gandini (2001) equaccedilatildeo (252) como
( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
tnn
n n n n
n n n n
n n
n n n n n
t
P tdP t P e Qt
P t dt P t P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ= + minus minus minus minus
minus minus minus
minus minus
(351)
E para o formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se substituindo a
equaccedilatildeo (350) na equaccedilatildeo (254) a expressatildeo para a reatividade sem a dependecircncia
do histoacuterico de potecircncia
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
dP t P Qt e
P t dt P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
βρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + Γ + minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(352)
32
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com
dependecircncia temporal de β e Λ
Nas seccedilotildees anteriores as mudanccedilas da composiccedilatildeo do combustiacutevel nuclear
natildeo foram levadas em consideraccedilatildeo Essas mudanccedilas podem levar a caacutelculos
discrepantes da reatividade quando comparados a mediccedilotildees experimentais nos
reatores Aleacutem disso conhecer com precisatildeo o valor da reatividade contribui com a
melhora do desempenho da central nuclear
Assim nesta seccedilatildeo as dependecircncias temporais da fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons seratildeo consideradas para o
caacutelculo da reatividade tanto na formulaccedilatildeo proposta por Gandini et al (2000) quanto
na formulaccedilatildeo proposta por Silva et al (2011) Os demais paracircmetros nucleares
permaneceratildeo constantes pois suas variaccedilotildees satildeo pouco significativas (Scall 2010)
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
As equaccedilotildees propostas por Gandini et al (2000) com dependecircncia temporal da
fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons eacute dada por
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n
n n
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λ ζΛ = minus + + minus + (41)
( ) ( )( )
( )n
dC tt P t C t
dtβ λ= minus
(42)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo 231 pode-se escrever partindo da
equaccedilatildeo (42) que a concentraccedilatildeo de precursores eacute dada pela seguinte expressatildeo
( ) ( ) ( ) ( )
t t t
nC t t P t e dtλβ minus minus
minusinfin= int (43)
33
Substituindo a equaccedilatildeo (43) na equaccedilatildeo (41) obteacutem-se a seguinte expressatildeo
para a reatividade
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
0
0
1
t t tn t
n n n
n
n
t dP t At t e A t e dt
P t dt P t P t
P t t Q t
P t P t
λλλ λρ β
ζ
minus minusminusΛ= + minus minus
minus Λ minus minus
int
(44)
onde ( ) ( )nA t P tβequiv e ( ) ( )Q t q tequiv Λ
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
As equaccedilotildees da cineacutetica propostas por Silva et al (2011) com dependecircncia
temporal de Λ e β satildeo
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ + Γ + Σ (45)
( )( )
( ) ( )f
tdC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
Σ (46)
Resolvendo a equaccedilatildeo (46) pelo o meacutetodo do fator integrante obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( )1
t t t
f
C t t P t e dtλβ
ωminus minus
minusinfin=
Σ int (47)
Substituindo a equaccedilatildeo (47) na equaccedilatildeo (45) chega-se a expressatildeo da
reatividade com dependecircncia temporal de β e Λ
34
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t t ttt dP t A
t t e A t e dtP t dt P t P t
t Q t
P t
λλλ λρ β minus minusminusΛ
= + minus minus
ΛminusΓ minus
int (48)
onde ( ) ( ) ( )A t t P tβequiv e ( ) ( ) fQ t q tωequiv Σ Λ
43 Meacutetodo das Derivadas para
Dependecircncia Temporal de β e de Λ
De acordo com a seccedilatildeo 34 a integral das equaccedilotildees (44) e (48) podem ser
resolvidas por partes assim obteacutem-se (Scal 2012)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tA t A e
I t e A t dt A t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (49)
onde A(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (49) por partes n vezes pode-se escrever
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
A t ee A t dt dt
A t A e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(410)
35
431 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2j-1 assim a equaccedilatildeo (410) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
j t tt tt t
j
n n tj jn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minus sdotminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(411)
Admitindo que a forma de A(t) satisfaccedila as condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n A tA t A t
A t
minus
minus
=
(412)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n A tA t A t
A t
=
(413)
onde ( ) ( )
( )
2
A t
cte tA t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial
Substituindo as condiccedilotildees (412) e (413) na equaccedilatildeo(411) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
k
n nj jn n t
n nn n
A te A t dt A t e dt
A t
A t A t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(414)
ou ainda
36
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e A t dt S t S tλminus minus
= +int (415)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
njn
nnn
S t A t
A t
A t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (416)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
njn t
nnn
S t A t e
A t
A t
λ
λ
minusminus
+=
minusequiv minus
minus
sum (417)
Reescrevendo o somatoacuterio da equaccedilatildeo (416) tem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nj j jn
n n nn n n
A t A tA t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (418)
Utilizando as condiccedilotildees (412) (413) e recordando da relaccedilatildeo (334) pode-se
escrever
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nj
n
nn
A t
A tA t A tA t
A t
A t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (419)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (419) na equaccedilatildeo (416) obteacutem-se apoacutes
simples manipulaccedilotildees algeacutebricas
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
A t A tS A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (420)
37
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (417) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tA AS A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (421)
Finalmente pode-se escrever a equaccedilatildeo (49) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (422)
432 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par k+1 = 2j-1 entatildeo k=2j-2 assim a equaccedilatildeo (410) torna-
se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t tt t j t t
j
n n tj jn n
n nn n
A t e dt A t e dt
A t A e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(423)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (412) e lembrando-se da equaccedilatildeo (49)
pode-se escrever a equaccedilatildeo (423) como
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt jt t n n t
j nn
jn n t
j j
A t e dt A t A e
A t
P t
A t A e A t
A tA t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus sdot minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(424)
38
Abrindo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (424) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
A t e dt S t S tλminus minus
= minusint (425)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nj
n
j nn
S t A t
A t
A t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (426)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nj
n t
j nn
S t A e
A t
A t
λ
λ
λ
minusminus
minus +=
minusequiv
minus
sum (427)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior tem-se
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
A t A tS t A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (428)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tA AS t A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (429)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (430)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo assim a equaccedilatildeo (49) pode ser escrita da seguinte forma
39
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
A t e dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus sdot minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (431)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa com
dependecircncia temporal de β e Λ baseada na formulaccedilatildeo proposta por Gandini (2001)
(equaccedilatildeo 44) como
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
nn t
n n n n
n
t
P tt dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
ζλρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ = + minus minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(432)
Para o formalismo proposto por Silva et al (2011) equaccedilatildeo (48) tem-se
( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
t dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
λρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + minus minus Γ minus
minus minus minus minus
minus minus
(433)
40
5 Caacutelculo da reatividade para algumas
variaccedilotildees da potecircncia nuclear
51 Potecircncia Linear
511 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Durante a partida de um reator nuclear a sensibilidade do sistema de mediaccedilatildeo
pode natildeo identificar o aumento da potecircncia assim uma inserccedilatildeo de reatividade brusca
causaraacute um crescimento instantacircneo da potecircncia podendo causar um acidente no
circuito primaacuterio (Zhang et al 2008)
Para contornar esse problema deve-se inserir a reatividade de maneira suave
ateacute que o reator chegue alcance a sua potecircncia de operaccedilatildeo Para isto consideramos
uma variaccedilatildeo linear da potecircncia da forma
( ) 0 nP t P wt= + (51)
a uma taxa 0001w = Substituindo a equaccedilatildeo (51) na equaccedilatildeo (253) pode-se
escrever
( )( )
( ) ( ) ( )( )
0 0
0 0
0
0
0 0 00
1
t
tt t
d P wt P et
P wt dt P wt
P wt QP wt e dt
P wt P wt P wt
λ
λ
βρ β
ζλβ
minus
minus minus
+Λ= + minus
+ +
minus + Λminus + minus minus
+ + +int
(52)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (52)vem
41
( )
( ) ( )( )( )
0
0 0
0
0 0 0 0
1
t
P wtwt
P wt P wt
P wtw we Q
P wt P wt P wt P wt
λ
λβρ β
λ
ζβ β
λ λ
minus
+Λ = + minus +
+ +
minus + Λminus minus minus
+ + + +
(53)
Reescrevendo a equaccedilatildeo (53) obteacutem-se
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(54)
Utilizando o meacutetodo das derivadas podemos escrever
( )( )( )
( )
00
0 0 0
0 0
0 0
1
t
t
P wtPwt e
P wt P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
minus +Λ= + minus minus
+ + +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(55)
Manipulando a equaccedilatildeo (55) vem
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(56)
Pode-se observar que a soluccedilatildeo encontrada pelo meacutetodo das derivadas
equaccedilatildeo (56) eacute exatamente a mesma que a soluccedilatildeo encontrada atraveacutes da resoluccedilatildeo
do histoacuterico de potecircncia equaccedilatildeo (54)
42
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Analisando o comportamento da reatividade atraveacutes da variaccedilatildeo linear da
potecircncia tem-se fazendo ( ) 0P t P wt= + na equaccedilatildeo (254)
( ) ( ) ( )00
0 0 0 00
tt ttPw Q
t e e P wt dtP wt P wt P wt P wt
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus + minus+ + + +int
(57)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (57) obteacutem-se
( )( )0 0 0
( ) 1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λ βρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(58)
Utilizando-se o meacutetodo das derivadas tem-se
( )
( )
0
0 0
0 0
0 0
t
t
Pwt e
P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
βρ β
λ λβ
λ λ
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
+ +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(59)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )0 0 0
1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λβρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(510)
Novamente as expressotildees encontradas pela a soluccedilatildeo da integral do histoacuterico
de potecircncia equaccedilatildeo (58) eacute exatamente a mesma que a expressatildeo final utilizando o
meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (510)
43
52 Potecircncia Constante
Todo reator nuclear eacute projetado para operar em determinado niacutevel de potecircncia
nuclear ou seja durante sua operaccedilatildeo normal o reator funciona a uma potecircncia
constante Assim eacute importante avaliar o comportamento da reatividade de um reator
nessas condiccedilotildees
521 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Entatildeo sendo Pn(t) = P0 o segundo termo da equaccedilatildeo (253) desaparece e
assim pode-se escrever
( ) ( ) ( ) 0
0 00
1
t
t ttP Q
t e e dtP P
λλ ζρ β β λβ minus minusminus minus Λ
= minus minus minus minusint (511)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (511) obteacutem-se
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (512)
Aplicando o meacutetodo das derivadas tem-se
( )( )0
0
0 00 0
0 0 0 0
1
t
t
Pt e
P
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ζρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minus= minus minus
Λminus minus
(513)
Assim vem
44
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (514)
Mais uma vez observa-se que as equaccedilotildees finais para a reatividade para
potecircncia constante satildeo idecircnticas tanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia
equaccedilatildeo (512) quanto utilizando o meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (514)
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Avaliando a operaccedilatildeo do reator a uma potecircncia constante ou seja substituindo
P(t) = P0 na equaccedilatildeo (254) tem-se
( ) ( )
00
tt tt Q
t e e dtP
λλρ β β λβ minus minusminus Λ= + Γ minus minus minusint (515)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (515) tem-se segundo o
formalismo de Silva et al
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (516)
Jaacute atraveacutes do uso do meacutetodo das derivadas obteacutem-se
( )
0 00 0
0 0 0 0
t
t
t e
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
= + Γ minus minus
Λminus minus
(517)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias temos
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (518)
45
Novamente observa-se que as equaccedilotildees (516) e (518) para a reatividade satildeo
idecircnticas independente do meacutetodo de soluccedilatildeo abordado
53 Potecircncia Exponencial
531 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Outra variaccedilatildeo caracteriacutestica da potecircncia nuclear eacute a forma exponencial
Assim supondo uma variaccedilatildeo deste tipo para potecircncia na equaccedilatildeo (253) pode-se
avaliar o comportamento cineacutetico do reator Nessas condiccedilotildees substituindo
( ) 0
tP t P e
α= na equaccedilatildeo (253) obteacutem-se
( ) ( )
( )
( )
0
0
0 0
1
ttt t
t
t t
t e e e dt
P e Q
P e P e
α λλ α λ
α
α α
ρ β α β λβ
ζ
+minus + minus
minus sdot
= + Λ minus minus minus
minus Λminus
int (519)
Resolvendo a integral tem-se
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus sdot
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(520)
Agora pelo meacutetodo das derivadas podemos escrever
46
( )( )00 0
0 0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
1
tt t
t t t
t tt t
t t t t
P eP e P et
P e P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
αα λ
α α α
α αα λ
α α α α
ζα βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minusminus
minus
minusΛ= + minus minus
minus minus Λ minus minus minus
minus minus
(521)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(522)
As expressotildees obtidas utilizando-se tanto o meacutetodo das derivadas quando
resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia satildeo idecircnticas
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior e substituindo uma variaccedilatildeo
exponencial temos para o formalismo de Silva et al (2011)
( ) ( ) ( )
00
tttt
t t
e Qt e e dt
e P e
λα λλ α
α α
λβρ β α β
minus+minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus minusint (523)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (523) vem
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(524)
Novamente utilizando o meacutetodo das derivadas obteacutem-se
47
( ) 0 0
0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
t t
t t
t tt t
t t t t
P e P et
P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
α λ
α α
α αα λ
α α α α
α βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
minus minus Λ minus minus
minus minus
(525)
Manipulando a equaccedilatildeo acima chega-se agrave
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(526)
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
Nesta seccedilatildeo seraacute avaliado o comportamento das equaccedilotildees da cineacutetica pontual
para sistemas subcriacuteticos em caso de funcionamento anormal do reator Inicialmente o
reator seraacute avaliado com uma rampa da potecircncia depois operando em uma queda
suacutebita de potecircncia e em outros momentos pode ocorrer uma grande elevaccedilatildeo de
potecircncia Para isso a variaccedilatildeo da potecircncia foi simulada durante seis horas da
seguinte maneira
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(527)
onde w1 = 0001 Ws w2=001 Ws w4 = 0005 Ws w5=0005 Ws
Portanto admitindo que em todas as variaccedilotildees de potecircncia pode-se utilizar o
resultado da seccedilatildeo 511 assim para o formalismo proposto por Gandini agrave reatividade
se escreve da seguinte forma
48
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 0 11
0 1 0 1 0 1 0 1
2 0 22
0 2 0 2 0
1 1 0 1
1 2
1 1( )
t
t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
t h
e w P w twt
P w t P w t P
λ
λ
β ζ
λ
ζ
β ζρ
λ
minus
minus
minus minus +Λ Λ+ minus minus lt le
+ + + +
minus lt le
minus sdot minus +Λ= + minus
+ + +
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 0 2
4 0 44
0 4 0 4 0 4 0 4
5 0 55
0 5 0 5 0 5 0 5
2 4
1 1 4 5
1 1 5 6
t
t
Qt h
w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
λ
λ
β ζ
λ
β ζ
λ
minus
minus
Λ
minus lt le+
minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + + minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + +
(528)
Jaacute para o formalismo proposto por Silva et al tem-se utilizando o resultado da
seccedilatildeo 512
( )( )
( )( )
( )
1 1
0 1 0 1 0 1
2 2
0 2 0 2 0 2
4
0 4
1 0 1
1 2
( ) 1 2 4
1
t
t
t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
t h
w w Qt e t h
P w t P w t P w t
we
P w t
λ
λ
λ
β
λ
βρ
λ
β
minus
minus
minus
Λ ΛΓ + + minus minus lt le
+ + +
Γ lt le
Λ Λ= Γ + + minus minus lt le
+ + +
ΛΓ + + minus
+ ( )
( )( )
4
0 4 0 4
5 5
0 5 0 5 0 5
4 5
1 5 6t
w Qt h
P w t P w t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
λ
λ
β
λminus
Λ
minus lt le+ +
Λ ΛΓ + + minus minus lt le+ + +
(529)
49
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com
Dependecircncia temporal de β e Λ
Neste capiacutetulo seraacute suposto que tanto a fraccedilatildeo de necircutrons retardados quanto
e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente de acordo com
( ) 0t Btβ β= + (61)
e
( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)
onde o coeficiente linear β0 tem valor 000706 o coeficiente angular B eacute -217857 x 10-
7 pcm Jaacute os valores dos coeficientes da variaccedilatildeo do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de
necircutrons satildeo Λ0 = 11661 x 10-5 s e c = -714286 x 10-10 s
61 Potencia Linear
611 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
No processo de obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo (56) natildeo foi considerado nenhuma
variaccedilatildeo temporal dos paracircmetros β e Λ Para se ter um resultado mais proacuteximo do
funcionamento real de um reator considera-se agora que a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente com o tempo
de acordo com (61) e (62) Assim substituindo essas equaccedilotildees na equaccedilatildeo (432)
obteacutem-se
50
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
t
t
P wtct w P et Bt
P wt P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(63)
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior ou seja substituindo as equaccedilotildees
(61) (62) e (51) agora na equaccedilatildeo(433) vem
( )( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
2
2
2
t
t
ct w P et Bt
P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(64)
51
62 Potecircncia Constante
621 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Nesta seccedilatildeo considera-se uma situaccedilatildeo que a potecircncia nuclear permaneccedila
constante durante a operaccedilatildeo do reator Assim Substituindo as equaccedilotildees (61) e (62)
equaccedilatildeo (432) obteacutem-se
( ) ( )( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 00
0 0
1
1
t Bt Bt P e P
P ct QP B
P P
λρ β λβλ
ζ
λ
minus = + minus minus minus minus
minus Λ +minus minus minus
(65)
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Novamente repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior poreacutem substituindo as
equaccedilotildees (61) (62) e (51) na equaccedilatildeo (433) tem-se
( ) ( )( )( )00
0 0 0 0
0
1 tct QP BB
t Bt P e PP
λρ β λβλ λ
minus Λ + = + minus minus minus minus minus minus Γ minus
(66)
52
63 Potecircncia Exponencial
631 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Supondo que a potecircncia varie de acordo com ( ) 0
tP t P e
α= obteacutem-se
substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da potecircncia nuclear na
equaccedilatildeo (432) vem
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
1
2
12
t
t
t
P e ct Qt Bt ct
P e P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
α
α
λ α
ζρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
minus Λ += + + Λ + minus minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(67)
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Agora substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia nuclear na equaccedilatildeo (433) vem
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
0
0 0
0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
2
1 2
t
ct Qt Bt ct
P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
λ α
ρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
Λ += + + Λ + minus Γ minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(68)
53
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo 54 temos uma variaccedilatildeo de potecircncia dada
por
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(69)
Assim para o formalismo proposto por Gandini a reatividade se torna
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
tii
i i i
i i i i
i i i
i
i i
t
P w tct w P et Bt
P w t P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(610)
onde wi assume os seguintes valores w1 = 0001 w2=001 ou w4 = 0005 Jaacute para o
formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se
( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
( )
2
2
2
ti
i i
i i i i
i i i
i
i i
t
ct w P et Bt
P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(611)
54
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica
O meacutetodo de Monte Carlo pode ser caracterizado como uma teacutecnica de caacutelculo
de forccedila bruta que eacute bem adequado para problemas complicados que consistem de
vaacuterias subtarefas bem definidas Eacute um meacutetodo simples e intuitivo e manteacutem uma
estreita relaccedilatildeo com o problema que estaacute sendo resolvido
Atualmente o meacutetodo de Monte Carlo eacute amplamente utilizado em vaacuterios
campos como na fiacutesica matemaacutetica economia e engenharia Uma de suas primeiras
aplicaccedilotildees praacuteticas foi na modelagem de problemas de transporte de partiacuteculas
(Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo de caacutelculo foi chamada de Monte Carlo pelos cientistas Stanislav
Ulam John von Neumann e Metropolis Nicholas no final de 1940 quando este meacutetodo
foi usado para resolver problemas de transporte de partiacuteculas na pesquisa de armas
nucleares As raiacutezes do desenvolvimento da teoria moderna da probabilidade e
estatiacutestica data do seacuteculo 19 Poreacutem a primeira publicaccedilatildeo registrada que aborda este
meacutetodo data de 1949 (Yoriyaz 2009)
O sucesso da aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo (MMC) pelos cientistas de Los
Alamos se decorreu devido agrave computaccedilatildeo numeacuterica De fato mesmo se todos os
aspectos teoacutericos fossem resolvidos a utilizaccedilatildeo em grande escala do meacutetodo natildeo
seria possiacutevel sem esta ferramenta
O meacutetodo Monte Carlo eacute muito diferente dos meacutetodos de transporte
determiniacutesticos que geralmente baseiam-se na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de transporte de
necircutrons Assim para fazer com que o problema seja passiacutevel de uma soluccedilatildeo
computacional eacute necessaacuteria a realizaccedilatildeo de uma discretizaccedilatildeo das variaacuteveis tanto no
espaccedilo quanto na energia A forccedila do meacutetodo de Monte Carlo reside na capacidade
em calcular estimativas estatiacutesticas para taxas de reaccedilatildeo sem necessitar da soluccedilatildeo
explicita para a distribuiccedilatildeo do fluxo Aleacutem disso a capacidade de lidar com variaccedilotildees
complexas das variaacuteveis espaciais e de energia eacute o que torna a alternativa do MMC
mais atraente que os meacutetodos de transporte determiniacutesticos (Leppaumlnen 2007)
Mesmo que a abordagem determinista tenha demonstrado sua viabilidade para
simular reatores criacuteticos ela eacute amplamente utilizada Poreacutem esta metodologia
apresenta alguns inconvenientes que se tornam importantes no caso de um reator
subcriacutetico com um acelerador de partiacuteculas acoplado como por exemplo a introduccedilatildeo
de uma aproximaccedilatildeo devido agrave conversatildeo do espectro de energia dos necircutrons para
55
uma grade de energia e espaccedilo para os coacutedigos que utilizam uma abordagem
multigrupo (Kady et al 2001)
Por utilizar seccedilotildees de choques pontuais a simulaccedilatildeo Monte Carlo eacute livre de
quase todos os inconvenientes que aparecem nas simulaccedilotildees determiniacutesticas Poreacutem
sua precisatildeo varia inversamente com a raiz quadrada do nuacutemero de eventos
processados Isso representa um problema potencialmente grande de tempo de
processamento em particular quando a simulaccedilatildeo abrange toda a vida uacutetil da
produccedilatildeo de energia do sistema
No meacutetodo Monte Carlo para a simulaccedilatildeo de transporte de radiaccedilatildeo as
respostas satildeo obtidas simulando partiacuteculas individuais e gravando alguns aspectos de
seu comportamento meacutedio Se os modelos dessas interaccedilotildees utilizados nas
simulaccedilotildees satildeo suficientementes proacuteximos da realidade o resultado estaraacute proacuteximo do
processo real
Os componentes importantes de meacutetodos de simulaccedilatildeo de Monte Carlo satildeo as
funccedilotildees de densidade de probabilidade a geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios as regras
de amostragem a computaccedilatildeo de resultados as estimativas de erros e a reduccedilatildeo de
variacircncia conforme mostra a Figura 71 Aleacutem disso os algoritmos eficientes para
paralelizaccedilatildeo satildeo uacuteteis para a implementaccedilatildeo do meacutetodo de Monte Carlo para uso em
cluster de computadores (Grisell 2004)
O meacutetodo de Monte Carlo utiliza aleacutem do teorema do limite central modelos
fiacutesicos de interaccedilatildeo ou seja um conjunto de seccedilotildees de choque diferenciais para os
mecanismos de interaccedilatildeo relevantes do sistema a ser simulado (Salvat et al 2003)
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de Yoriyaz 2009
Gerador de
nuacutemeros
aleatoacuterios
Teacutecnicas de
amostragem Resultados
Funccedilatildeo de densidade de probabilidade
56
Essas seccedilotildees de choque diferenciais determinam as funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de
probabilidades de variaacuteveis aleatoacuterias
Esses conjuntos de funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de probabilidade caracterizam uma
histoacuteria e determinam o tipo de interaccedilatildeo sofrida pela partiacutecula por exemplo se a
partiacutecula sofreraacute uma mudanccedila de energia e de direccedilatildeo de propagaccedilatildeo se ela apenas
sofreraacute algum desvio angular ou se ocasionaraacute fissatildeo
Caso o nuacutemero de histoacuterias (uma histoacuteria inclui desde a geraccedilatildeo de uma
partiacutecula ateacute sua lsquofugarsquo ou absorccedilatildeo aleacutem de todas as outras partiacuteculas que podem ser
produzidas por exemplo atraveacutes da fissatildeo) seja suficientemente grande informaccedilotildees
quantitativas sobre o processo de transporte podem ser obtidas simplesmente por uma
meacutedia de mais histoacuterias simuladas
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo eacute em experimentos em que os resultados
satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Ao se comparar os meacutetodos MC e de variaacuteveis discretas normalmente se diz
que o MC resolve a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral enquanto o meacutetodo
de variaacuteveis discretas resolve a equaccedilatildeo na sua forma integro-diferencial Poreacutem as
duas equaccedilotildees satildeo formas diferentes da mesma equaccedilatildeo e assim quando se resolve
uma obteacutem-se a soluccedilatildeo da outra (Mosteller et al 2003)
Como o meacutetodo MC resolve o problema simulando histoacuterias das partiacuteculas natildeo
se torna necessaacuterio escrever a equaccedilatildeo de transporte de necircutrons No entanto pode-
se chegar a uma equaccedilatildeo que descreva a densidade de probabilidade das partiacuteculas
para o problema e esta acaba sendo a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral
(Vaz 2010)
A simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) eacute baseada em geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
de uma distribuiccedilatildeo uniforme gerando variaacuteveis aleatoacuterias para estabelecer outras
funccedilotildees de distribuiccedilatildeo Assim os nuacutemeros aleatoacuterios ou pseudoaleatoacuterios satildeo agrave base
do meacutetodo de MC pois estes nuacutemeros realizam todo o controle de decisatildeo Isso torna
essencial a sub-rotina de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios para qualquer simulador
baseado no meacutetodo de Monte Carlo As sub-rotinas de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
se baseiam em algoritmos matemaacuteticos especiacuteficos para garantir que os nuacutemeros
sorteados satildeo realmente aleatoacuterios pois estes nuacutemeros devem em teoria ser
igualmente provaacuteveis em um sorteio dentro de um intervalo definido
As variaacuteveis aleatoacuterias satildeo uma quantidade que resultam de processos
repetitivos e cujos valores reais natildeo podem ser previsto com certeza No mundo real a
aleatoriedade se origina de fatores incontrolaacuteveis (por exemplo jogos de azar) ou da
57
natureza quacircntica de sistemas ou processos (por exemplo desintegraccedilatildeo nuclear)
Nos computadores as variaacuteveis randocircmicas satildeo geradas por transformaccedilotildees
numeacutericas de nuacutemeros randocircmicos
O objetivo da simulaccedilatildeo MC eacute fornecer informaccedilotildees precisas e detalhadas em
trecircs dimensotildees dependente do tempo tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
partiacuteculas neutras Por este motivo o meacutetodo de Monte Carlo eacute largamente utilizado na
soluccedilatildeo de problemas envolvendo processos estatiacutesticos Pode ser empregado na
fiacutesica de reatores devido agrave caracteriacutestica estocaacutestica da emissatildeo de radiaccedilatildeo e
transporte de partiacuteculas
A carga computacional do meacutetodo de Monte Carlo continua sendo um
empecilho para as simulaccedilotildees de modelagem de sistemas nucleares devido ao alto
tempo de processamento computacional (Liu et al 2011) e a alta demanda de
memoacuteria pois para solucionar o problema de transporte de energia eacute necessaacuterio
monitorar as trajetoacuterias de vaacuterios necircutrons seu respectivo histoacuterico e sua multiplicaccedilatildeo
ateacute absorccedilatildeo ou fuga de todas as partiacuteculas geradas por essa partiacutecula
Mesmo assim o uso do meacutetodo de Monte Carlo para a simulaccedilatildeo do transporte
de partiacuteculas tornou-se bastante popular pois a alta demanda de processamento e de
memoacuteria pode ser contornada se for utilizado um sistema de processamento
distribuiacutedo com vaacuterios processadores possibilitando diminuir o tempo de simulaccedilatildeo
mesmo em modelagem de geometrias complexas Na praacutetica com o aumento de
processadores resolvendo o mesmo problema costuma-se aumentar a estatiacutestica a ser
simulada para a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos com o mesmo tempo de
simulaccedilatildeo anterior
71 Funccedilotildees Densidade de
Probabilidades
Para uma variaacutevel aleatoacuteria discreta a funccedilatildeo de probabilidade (f(x)) fornece
diretamente a probabilidade do valor que a variaacutevel aleatoacuteria assume Jaacute para as
variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas a funccedilatildeo de probabilidade em um intervalo eacute chamada
de funccedilatildeo de densidade de probabilidade
Esta funccedilatildeo natildeo fornece diretamente as probabilidades dos valores que as
variaacuteveis aleatoacuterias podem assumir Poreacutem a aacuterea sob o graacutefico da funccedilatildeo de
58
densidade de probabilidade correspondente a um dado intervalo a probabilidade de
que a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua assuma um valor neste intervalo Ou seja quando
calculamos as probabilidades para as variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas estamos
calculando a probabilidade de que a variaacutevel aleatoacuteria assuma qualquer valor em um
intervalo Assim a probabilidade de qualquer valor particular da variaacutevel aleatoacuteria
contiacutenua eacute zero pois a aacuterea sob o graacutefico de f(x) em qualquer ponto em particular eacute
zero
A distribuiccedilatildeo de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua pode ser
visualizada como uma forma de um histograma baseado em um grande nuacutemero de
observaccedilotildees Este histograma eacute construiacutedo com as densidades de probabilidade
Por exemplo a Figura 72 mostra um histograma da massa em quilogramas
de 25 lingotes de uracircnio (Lurie et al 2011)
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio
Se aumentarmos o nuacutemero de amostras teremos um histograma cada vez
mais suave a Figura 73 mostra o mesmo histograma com 150 observaccedilotildees
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio
59
Se fizermos o nuacutemero de amostras tender a infinito e o intervalo das classes
tender a zero no limite o histograma tende a se ldquosuavizarrdquo e tomar a forma de uma
curva teoacuterica como mostra a Figura 74
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo
Como uma probabilidade eacute interpretada como a frequecircncia relativa de um
evento de ensaios independentes a curva obtida na Figura 74 representa a maneira
pela qual a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo aos possiacuteveis valores que a
variaacutevel aleatoacuteria ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo pode assumir Assim a funccedilatildeo
densidade de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x eacute a funccedilatildeo
matemaacutetica f(x) cujo graacutefico produz a curva teoacuterica que representa a maneira pela qual
a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo agrave amplitude dos possiacuteveis valores da
variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x
As funccedilotildees de densidades de probabilidades devem obedecer as seguintes
condiccedilotildees
( )
( ) ( )
0
1
f x x
F x f x dx
gt forall
= =int
Dessa maneira a probabilidade de uma variaacutevel x assumir os valores no
intervalo (ab) eacute
Densidade de
probabilidade
Massa (kg)
60
( ) ( ) ( ) ( )b
aP a x b f x dx F a F ble le = = minusint
Existem basicamente duas diferentes maneiras que podem ser utilizados na
implementaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo que satildeo o meacutetodo direto ou
inverso e o meacutetodo da rejeiccedilatildeo Nas proacuteximas seccedilotildees tem-se a descriccedilatildeo desses dois
meacutetodos
72 Meacutetodo direto ou inverso
Seja uma distribuiccedilatildeo de probabilidade tiacutepica (por exemplo a distribuiccedilatildeo
gaussiana) definida em um intervalo conhecido entre [a b] Como visto na seccedilatildeo
anterior pode-se definir a funccedilatildeo de probabilidade acumulada desta distribuiccedilatildeo como
( ) ( ) b
aP x p x dx= int (71)
Criando uma nova variaacutevel aleatoacuteria atraveacutes da transformaccedilatildeo ξ = P(x) e
assumindo que a distribuiccedilatildeo de probabilidade acumulada admite uma inversa P-1(ξ)
definida no intervalo de (01) o valor de ξ eacute entatildeo definido como sendo igual agrave
probabilidade cumulativa do evento de modo que o valor correspondente de x pode
ser calculado a partir da funccedilatildeo inversa
1 1
( )( ) ( ) ( )
d dP xp p x p x
dx dxε
εε
minus minus
= =
(72)
Assim fica claro que ε eacute um nuacutemero aleatoacuterio e a variaacutevel x que eacute definida por
x = P-1(ξ) eacute aleatoriamente distribuiacuteda no intervalo (xmin x) Note que x eacute a uacutenica raiz
da equaccedilatildeo
min
( ) x
xp x dxξ = int (73)
61
Assim os valores amostrados de x desta forma satildeo distribuiacutedos de acordo com
a P(x)
A implementaccedilatildeo do meacutetodo direto de MC pode ser feita atraveacutes do seguinte
algoritmo conforme mostrado na Figura 75
1 Geraccedilatildeo de um nuacutemero aleatoacuterio ξ
2 Verificaccedilatildeo de que x corresponde ao ξ sorteado
3 Verificaccedilatildeo de qual probabilidade correspondente ao x
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003)
A soluccedilatildeo atraveacutes do meacutetodo de MC da equaccedilatildeo de transporte de necircutrons
(equaccedilatildeo (74)) pode ser feita utilizando o meacutetodo direto resolvendo-se as integrais
de acordo com (Vaz 2009)
( )
( ) ( ) ( ) ( )2 3
` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `
r E
r E C E E r dE d Q r E T r r E d r
Ψ Ω =
Ψ Ω Ω rarr Ω Ω + Ω rarr Ω int int
(74)
Com o termo de fonte podendo ser definido como
62
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
Fonte fixa
` ` ` ` | ` Fonte fixa + Fissatildeo
1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor
S
Q r R S r E F E E r dE d
r E F E E r dE dk
Ω = + Ψ Ω Ω rarr Ω Ω Ψ Ω Ω rarr Ω Ω
int
int
(75)
onde ( ) S r E Ω
foi abreviado como S
Assim uma histoacuteria (lsquotrajetoacuteriarsquo) pode ser entendida como uma sequecircncia de
transiccedilatildeo entre estados (P0 P1 P2 P3) Em cada ponto de colisatildeo Pi pode ocorrer
variaccedilatildeo da energia de direccedilotildees e ainda incluir a geraccedilatildeo de novas partiacuteculas
Entatildeo a equaccedilatildeo de transporte pode ser escrita como (Vaz 2009)
( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i
P P K P P K P P dp dp dp dpminus minusΨ = Ψ rarr rarrint int int int (76)
onde ( )K P Prarr eacute o kernel de transporte que eacute definido por
( ) ( ) ( ) ( ) ` ` | ` ` | K P P K r E r E C E E r T r r Erarr equiv Ω rarr Ω = Ω rarr Ω rarr Ω
(77)
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula
P4
P1
P2
P5
P3
P6
P
P0
63
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo
Em muitos casos tanto a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo cumulativa quanto sua inversa
eacute de difiacutecil obtenccedilatildeo ou natildeo podem ser resolvidos Exemplos de tais casos satildeo a
distribuiccedilatildeo normal e a distribuiccedilatildeo de Maxwell-Boltzmann Haacute diversas variaccedilotildees
numeacutericas para o uso do meacutetodo de inversatildeo que podem ser utilizados para amostrar
os valores de qualquer tipo de distribuiccedilatildeo mas eacute muitas vezes mais eficaz ter uma
abordagem completamente diferente (Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo da rejeiccedilatildeo tem a vantagem que o procedimento de amostragem
pode ser realizado utilizando apenas a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de probabilidades da
variaacutevel aleatoacuteria De uma forma mais simples uma constante c ge 1 e uma outra
funccedilatildeo de densidade de g(x) satildeo atribuiacutedos aos f(x) de tal forma que
( ) ( )f x cg xle (71)
para todos os valores de x
Os valores da variaacutevel aleatoacuteria ε seratildeo aceitos se
( )( )
f x
cg xε lt (72)
Se a desigualdade natildeo eacute vaacutelida o valor eacute descartado e o procedimento eacute
repetido desde o iniacutecio Pode demonstrar-se que a distribuiccedilatildeo dos valores aceitos
pelo meacutetodo seguem exatamente f(x)
Uma aplicaccedilatildeo que ilustra bem este meacutetodo eacute o caacutelculo do nuacutemero π Para
isso suponha um ciacuterculo inscrito dentro de um quadrado de lado unitaacuterio Se ao
sortear N eventos forem contados quantos destes eventos estatildeo dentro do ciacuterculo eacute
possiacutevel calcular o valor de π
Sabe-se que a integral entre os intervalos a e b eacute igual a um quarto da aacuterea do
ciacuterculo (ver Figura 77) Desta maneira pode-se dizer que o nuacutemero de pontos
sorteados dentro da aacuterea total do ciacuterculo dividido pelo nuacutemero total de sorteios eacute igual
agrave aacuterea do ciacuterculo sobre a aacuterea do quadrado
64
2
4r 4
c
t
N πrsup2 π= =
N
onde Nc eacute o nuacutemero de sorteios dentro do ciacuterculo e Nt eacute o total de nuacutemeros sorteados
Obviamente quanto maior for o total de nuacutemero sorteados mais preciso seraacute o
resultado
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo
Em geral o meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute utilizado para a estimativa de eventos que
satildeo regidos por distribuiccedilotildees contiacutenuas ou seja aqueles eventos que obedecem a
uma curva de probabilidade
Eacute importante ressaltar que no meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute necessaacuterio o sorteio de
dois nuacutemeros aleatoacuterios O primeiro (ε1) para definir o valor da abcissa (x) e um
segundo (ε2) para definir o valor no eixo das ordenadas (Figura 78) Se ε2 for menor
que f(ε1) registra-se ε1 como sendo um valor vaacutelido Caso contraacuterio ε1 eacute rejeitado e
ocorre o sorteio de outro nuacutemero aleatoacuterio O algoritmo do meacutetodo da rejeiccedilatildeo pode
ser descrito como
1 Sorteio do primeiro nuacutemero aleatoacuterio (ε1)
2 Verificaccedilatildeo de qual eacute o valor da funccedilatildeo para esse nuacutemero aleatoacuterio
3 Sorteio do segundo nuacutemero aleatoacuterio
4 Se ε2 lt f(ε1) registrar ε1 como vaacutelido
5 Senatildeo rejeitar ε1 e voltar ao passo 1
a
b
65
74 Meacutetodos Monte Carlo para
Reatores Subcriacuteticos
Nas seccedilotildees anteriores foi tratado das caracteriacutesticas baacutesicas da simulaccedilatildeo MC
Poreacutem para a simulaccedilatildeo de um reator nuclear mais proacutexima do real eacute necessaacuterio que
os coacutedigos MC sejam capazes de acompanhar a queima dos combustiacuteveis nucleares
chamados de coacutedigos de depleccedilatildeo
Atualmente existem vaacuterios coacutedigos de depleccedilatildeo que utilizam o meacutetodo Monte
Carlo devido ao constante crescimento no desempenho dos computadores Esses
coacutedigos geralmente satildeo acoplados em um coacutedigo geneacuterico de simulaccedilatildeo MC que
resolve o transporte das partiacuteculas e podem fornecer o fluxo de partiacuteculas e as seccedilotildees
de choque microscoacutepicas para os coacutedigos de depleccedilatildeo
Os coacutedigos MC de depleccedilatildeo podem ser divididos em dois grupos de acordo
com a metodologia de geraccedilatildeo das seccedilotildees de choque microscoacutepicas O primeiro
grupo satildeo os dos coacutedigos que utilizam os resultados calculados diretamente pelo o
coacutedigo geneacuterico MC Jaacute o segundo grupo utiliza uma abordagem de multigrupo para o
caacutelculo das seccedilotildees de choque que eacute implementado pelo coacutedigo de depleccedilatildeo De
acordo com esta metodologia as taxas de reaccedilatildeo satildeo calculadas separadamente
utilizando um preacute-gerador de seccedilotildees de choque multigrupo
f(x)
ε2
ε1
Figura 78 Processo de caacutelculo de π
66
75 Conceito de Reatores ADS
Os reatores hiacutebridos foram inicialmente considerados apenas para a queima
de actiniacutedeos poreacutem foi percebido que era possiacutevel aproveitar a queima dos
actiniacutedeos (transmutaccedilatildeo) em um reator subcriacutetico para a geraccedilatildeo de eletricidade
aleacutem da necessaacuteria para sustentar o acelerador de proacutetons
Aleacutem disso os reatores hiacutebridos tecircm uma vantagem adicional de ser um
sistema regenerador ou seja cria a possibilidade de regenerar combustiacutevel nuclear
queimado em um reator teacutermico para ser reutilizado no mesmo apoacutes reprocessamento
A Figura 79 mostra que os reatores regeneradores com acelerador (ABR ndash
accelerator breeder reactor) podem natildeo ser utilizados para a geraccedilatildeo de eletricidade
Sua principal utilizaccedilatildeo seria para a produccedilatildeo de material fiacutessil principalmente 239Pu
(Lodhi et al 2009) Para isso esses reatores necessitam de energia eleacutetrica para
alimentar o acelerador de proacutetons citado na Figura 710 Poreacutem os reatores hiacutebridos
podem ser dedicados tanto para a produccedilatildeo de energia como para a regeneraccedilatildeo de
material fiacutessil embora ambos os fenocircmenos ocorram sempre em um reator hiacutebrido ele
pode ser especializado para um desses objetivos de acordo com o cenaacuterio previsto
para a busca da sustentabilidade da energia nuclear (Piera et al 2010)
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009
Extraccedilatildeo de
toacuterio e uracircnio
238
U
ABR
Reator teacutermico
Energia eleacutetrica
239
Pu
232
Th
Energia eleacutetrica
67
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS
Tanto os reatores ADS como os ABR consistem em um acelerador de
partiacuteculas de alta energia (proacutetons com cerca de 1 GeV de energia) que atingem um
alvo com nuacutemero atocircmico grande Este choque gera necircutrons de alta energia capazes
de tornar nucliacutedeos feacuterteis em fiacutesseis
Outra coisa interessante sobre esses reatores eacute que eles produzem vaacuterios
isoacutetopos da mesma maneira que os FBR Em segundo lugar os reatores hiacutebridos
(ADS) operam com fator de multiplicaccedilatildeo abaixo de 1 (geralmente entre 090 e 097)
Em terceiro os ADS podem produzir combustiacutevel muito mais raacutepido que os FBR (Piera
et al 2010) pois liberam menos energia por fissatildeo que os FBR
Um dos principais objetivos do ADS eacute a queima de 232Th para gerar uma
grande quantidade de 233U embora 233U puro tem aproximadamente a mesma massa
criacutetica do plutocircnio (Lodhi et al 2009)
Fonte de necircutrons raacutepidos
Fonte de
spallation
Refrigerante chumbo-bismuto
Acelerador de
proacutetons
68
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos
Utilizados
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes simulaccedilotildees MC para auxiliar o estudo
de reatores ADS utilizando diferentes coacutedigos (MCNPX GEANT4 MCB) Poreacutem estes
modelos devem ter referecircncias para poder se verificar por exemplo o fator de
multiplicaccedilatildeo efetivo (keff) resultados dos caacutelculos de depleccedilatildeo e identificar as causas
para as possiacuteveis diferenccedilas significativas entre os resultados simulados e os teoacutericos
Idealmente esses paracircmetros deveriam ser comparados com dados
experimentais No entanto haacute uma falta significativa de resultados fiacutesicos para nuacutecleos
de reatores raacutepidos concebidos para queimar actiniacutedeos menores (AM) (Allen et al
2011)
Neste trabalho foram utilizados dois coacutedigos MC distintos Inicialmente devido
a grande quantidade de citaccedilotildees na literatura (Hashemi-Nezhad et al 2002 Sobolev
et al 2003 Bomboni et al 2010 Fokau et al 2010 Talamo et al 2011 Pelowitz
2008) foi utilizado o coacutedigo MCNPX 26f e tambeacutem o coacutedigo SERPENT 1117 que eacute
uma ferramenta relativamente nova (Leppaumlnen 2007) comparada ao MCNPX
O MCNPX eacute um coacutedigo MC que vem sendo desenvolvido deste 1995 sendo
escrito em FORTRAN e C Assim o MCNPX pode ser compilado para a utilizaccedilatildeo nas
plataformas computacionais mais usadas (Windows Linux e IOS) Aleacutem disso o
MCNPX pode ser usado com as bibliotecas de programaccedilatildeo paralela (MPI)
O coacutedigo eacute composto por aproximadamente 450 subrotinas possui um
desenvolvimento constante e atualmente eacute capaz de simular 34 partiacuteculas distintas A
versatildeo 250 do MCNPX eacute utilizada atualmente por cerca de 2500 grupos no mundo
sendo distribuiacutedo pelo Radiation Safety Information Computational Center (RSICC)
com base de dados sendo fornecida pela OECDNEA
Uma das grandes dificuldades do uso do MCNPX eacute a descriccedilatildeo da geometria
que eacute feita atraveacutes de uniotildees e interseccedilotildees de superfiacutecies baacutesicas (plano cilindro
infinito esfera cone ou elipsoide) Assim para simular uma vareta de combustiacutevel
deve-se criar pelo menos trecircs superfiacutecies distintas (2 planos e um cilindro infinito)
Aleacutem disso deve-se criar uma ceacutelula para cada material utilizado Esta ceacutelula
carrega a informaccedilatildeo do material que ela eacute composta a densidade e os limites
informados pelas uniotildees eou interseccedilotildees das superfiacutecies Tanto as superfiacutecies quanto
as ceacutelulas satildeo referenciados por nuacutemeros definidos pelo usuaacuterio
69
Todas as superfiacutecies permitem que as uniotildees e interseccedilotildees sejam feitas em
dois sentidos Esses sentidos satildeo informados pelos sinais negativos e positivos que
devem acompanhar os nuacutemeros das superfiacutecies
O MCNPX ainda permite a definiccedilatildeo da importacircncia da partiacutecula em cada
ceacutelula isso eacute uacutetil quando se quer excluir uma ou mais partiacuteculas Caso a importacircncia
de necircutrons seja definida como zero qualquer necircutron que entrar nesta ceacutelula seraacute
eliminado da simulaccedilatildeo Isto eacute um artifiacutecio que delimita a aacuterea de atuaccedilatildeo das
partiacuteculas para natildeo termos simulaccedilotildees de duraccedilatildeo ldquoinfinitardquo ou perder tempo
computacional em partiacuteculas que jaacute saiacuteram do sistema
Tambeacutem eacute possiacutevel definir ceacutelulas sem nenhum material para isso basta
colocar o nuacutemero zero no lugar do nuacutemero do material e natildeo informar a densidade do
mesmo Neste caso o coacutedigo iraacute interpretar o conteuacutedo da ceacutelula como sendo vaacutecuo
O MCNPX natildeo fornece ferramenta graacutefica para a ediccedilatildeo de geometria poreacutem
existem programas que realizam a leitura do arquivo e permitem a sua visualizaccedilatildeo O
que MCNPX faz eacute uma verificaccedilatildeo baacutesica da geometria em busca de erros Em caso
de erros de geometria o MCNPX natildeo realiza a simulaccedilatildeo ou a simulaccedilatildeo pode ser
abortada se o coacutedigo computar vaacuterias partiacuteculas perdidas (partiacuteculas que ldquosaemrdquo da
geometria)
O lado positivo do MCNPX eacute a grande quantidade de elementos e de isoacutetopos
disponiacuteveis para a simulaccedilatildeo devido o uso da biblioteca ENDF que eacute mantida pela
agecircncia internacional de energia atocircmica Para os elementos ou isoacutetopos que natildeo
existem nas bibliotecas o MCNPX realiza a simulaccedilatildeo utilizando modelos fiacutesicos Isto
proporciona uma grande flexibilidade na simulaccedilatildeo Aleacutem disso o MCNPX traz
bibliotecas de espalhamento teacutermico que podem ser usadas nos materiais utilizados
como moderadores
O outro coacutedigo MC utilizado foi o SERPENT Este coacutedigo eacute especiacutefico para
simulaccedilatildeo de reatores nucleares que realiza com caacutelculo de depleccedilatildeo e eacute
desenvolvido no Centro de Pesquisa Teacutecnica da Finlacircndia (VTT Technical Research
Centre of Finland) Atualmente eacute utilizado por cerca de 180 grupos de usuaacuterios em 27
paiacuteses Este coacutedigo se encontra na versatildeo 1118 sendo que a versatildeo 20 estaacute
atualmente em fase de teste O SERPENT tambeacutem permite a utilizaccedilatildeo de
processamento paralelo com o MPI (Message Passing Interface) para sua execuccedilatildeo
A paralelizaccedilatildeo no modo de caacutelculo de queima eacute dividida nas rotinas de preacute-
processamento e depleccedilatildeo em vaacuterias tarefas Cada tarefa trata um material diferente e
o aumento de desempenho pode-se tornar significativo
O SERPENT eacute um dos uacutenicos coacutedigos MC que permitem a simulaccedilatildeo com
fonte externa com meio multiplicativo aleacutem de caacutelculos de depleccedilatildeo em uma uacutenica
70
simulaccedilatildeo a geometria natildeo eacute tatildeo problemaacutetica quanto a do MCNPX pois jaacute existem
elementos preacute-definidos que satildeo encontrados em reatores nucleares como por
exemplo elementos combustiacuteveis em em arranjo hexagonal
A descriccedilatildeo da geometria no SERPENT eacute feita definindo-se uma vareta e os
raios de cada material que a compotildee Diferentemente do MCNPX os materiais satildeo
referenciados por nomes seguidos do raio ocupado partindo do centro da vareta ateacute a
extremidade
Por exemplo para se definir uma vareta de combustiacutevel os materiais que
compotildee esta vareta devem ser descritas do centro para fora da vareta Assim se o
combustiacutevel estaacute designado com um raio de 04024 cm a definiccedilatildeo do gap deve iniciar
de um raio maior que o do combustiacutevel O gap eacute designado pela palavra reservada
void
A definiccedilatildeo das varetas seja de combustiacutevel ou as de controle devem ser
terminadas sempre com o nome do material utilizado como refrigerante (Soacutedio por
exemplo) Eacute importante lembrar que cada definiccedilatildeo de vareta recebe um nuacutemero que
eacute chamado de universo
Apoacutes as definiccedilotildees das varetas basta informar o tipo de arranjo utilizado e o
pitch de varetas para completar a descriccedilatildeo do nuacutecleo do reator Se existem varetas
com diferentes composiccedilotildees de combustiacutevel deve-se informar o nuacutemero de cada
universo na posiccedilatildeo desejada
Ambos os coacutedigos permitem a utilizaccedilatildeo da mesma biblioteca realizam caacutelculo
de depleccedilatildeo do combustiacutevel indicando a quantidade de cada elemento nos diferentes
passos de queima sendo possiacutevel fazer um inventaacuterio de queima em ambos os
coacutedigos para cada intervalo de queima Este intervalo eacute informado pelo usuaacuterio
Para a descriccedilatildeo do material tanto o MCNPX como o SERPENT usam a
mesma forma Basta informar o ldquocoacutedigordquo do elemento desejado e sua concentraccedilatildeo
que pode ser atocircmica (aacutetomosbarncm) ou fraccedilatildeo de massa
O coacutedigo dos materiais eacute formado pelos seus nuacutemeros atocircmicos e por seus
nuacutemeros de massa Por exemplo o coacutedigo para o elemento 238U eacute 92238
Para se identificar as diferentes versotildees das bibliotecas existem nuacutemeros que
vecircm depois do coacutedigo do elemento Esses nuacutemeros satildeo a versatildeo das bibliotecas para
o MCNPX e para o SERPENT as temperaturas (em Kelvin) das bibliotecas Portanto
no MCNPX o coacutedigo 9223866c indica que a biblioteca utilizada eacute a ENDF66 Para o
SERPENT o coacutedigo completo eacute 9223806c onde o 06c indica a temperatura em que a
biblioteca foi avaliada (600 K)
71
Ainda na descriccedilatildeo do material o coacutedigo SERPENT permite definir os materiais
de outra forma Assim pode-se usar o siacutembolo do elemento quiacutemico seguido de seu
nuacutemero de massa Por exemplo O-1609c eacute o 16O a uma temperatura de 900 K
Se o material eacute composto por mais de um elemento quiacutemico basta inserir os
demais elementos As tabelas abaixo mostram o exemplo de um revestimento de
zircaloy (Tabela 81) para o MCNPX e para o dioacutexido de uracircnio (Tabela 82) para o
SERPENT Note que para a entrada em fraccedilatildeo de massa deve-se colocar o sinal de
negativo
Aleacutem das informaccedilotildees dos elementos e de suas concentraccedilotildees eacute necessaacuterio
informar tambeacutem a densidade dos materiais No MCNPX essa informaccedilatildeo fica junto
com a definiccedilatildeo do local que o material estaacute No SERPENT a informaccedilatildeo da
densidade fica junto com a definiccedilatildeo do material Em ambos os coacutedigos a densidade
pode ser informada em gcm3 ou em densidade atocircmica (aacutetomosbarnmiddotcm)
Tabela 81 Exemplo de um
revestimento de zircaloy no MCNPX
Elemento Fraccedilatildeo de
massa
4000066c -098135
2400066c -000100
2600066c -000135
2800042c -000055
5000006c -001450
801606c -000125
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de
uracircnio no SERPENT
Elemento Densidade
Atocircmica
9223409c 914E-02
9223509c 935E+00
9223809c 215E+02
O-1609c 449E+02
Para a validaccedilatildeo das simulaccedilotildees realizadas utilizando o coacutedigo SERPENT
foram realizadas algumas simulaccedilotildees de reatores para a comparaccedilatildeo direta com o
MCNPX jaacute que o MCNPX eacute amplamente utilizado para a simulaccedilatildeo de reatores
Os reatores simulados foram um PWR com combustiacutevel do tipo MOX (Figura
81) um reator do tipo VVER (Figura 82) e um terceiro do tipo CANDU (Figura 83)
Os resultados obtidos com essas simulaccedilotildees se encontram na Tabela 83
72
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU
Refrigerante (aacutegua)
Combustiacutevel MOX 1 (29 Pu)
Combustiacutevel MOX 2 (44 Pu)
Combustiacutevel MOX 3 (56 Pu)
Combustiacutevel (UO2)
Vazio (ar)
Refrigerante (Aacutegua)
Combustiacutevel (UO2)
Refrigerante (Aacutegua)
73
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER
Reator keff Diferenccedila2
(pcm) MCNPX SERPENT
VVER 128763 128807 3417
CANDU 094169 094207 4034
PWR 100176 100184 799
Recentemente Allen et al(2011) publicou uma proposta de referecircncia para
reatores regeneradores baseado no reator de teste avanccedilado para queima de AM
(ABTR) Este reator tem uma potecircncia teacutermica de 250 MW sendo refrigerado com
soacutedio A Figura 84 mostra a geometria e disposiccedilatildeo dos elementos do nuacutecleo do
reator utilizado na simulaccedilatildeo com MCNPX
As Tabelas 84 85 e 86 trazem as composiccedilotildees dos diferentes combustiacuteveis
utilizados Jaacute as Tabelas 87 88 e 89 mostram a composiccedilatildeo das varetas refletor e
barras de controle respectivamente
A Tabela 810 traz informaccedilotildees gerais do reator como pitch e diacircmetro de
varetas do reator entre outras
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX
2 Em moacutedulo diferenccedila = |Keff MCNPX - keff SERPENT|
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
74
Tabela 84Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 1
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 122E-04
U-235 322E-01
U-236 206E-02
U-238 202E+02
Np-237 384E-02
Pu-236 139E-07
Pu-238 959E-03
Pu-239 350E+01
Pu-240 374E+00
Pu-241 245E-01
Pu-242 175E-02
Am-241 142E-02
Am-242 285E-04
Am-243 613E-04
Cm-242 471E-04
Cm-243 741E-06
Cm-244 483E-05
Cm-245 191E-06
Cm-246 261E-08
Tabela 85 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 2
(densidade 10851
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 100E-02
U-235 320E-01
U-236 195E-02
U-238 197E+02
Np-237 181E+00
Pu-236 908E-06
Pu-238 905E-01
Pu-239 235E+01
Pu-240 109E+01
Pu-241 294E+00
Pu-242 219E+00
Am-241 213E+00
Am-242 583E-02
Am-243 436E-01
Cm-242 735E-02
Cm-243 244E-03
Cm244 110E-01
Cm-245 977E-03
Cm-246 677E-04
Tabela 86 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 3
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 150E-02
U-235 318E-01
U-236 186E-02
U-238 193E+02
Np-237 313E-02
Pu-236 911E-08
Pu-238 987E-03
Pu-239 431E+01
Pu-240 456E+00
Pu-241 295E-01
Pu-242 206E-02
Am-241 223E-02
Am-242 408E-04
Am-243 756E-04
Cm-242 563E-04
Cm-243 905E-06
Cm244 553E-05
Cm-245 200E-06
Cm-246 241E-08
75
Tabela 87 Composiccedilatildeo
do revestimento da vareta
de combustiacutevel
(densidade 75357
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Fe-54 408E+01
Fe-56 641E+02
Fe-57 148E+01
Fe-58 197E+00
Ni-58 293E+00
Ni-60 113E+00
Ni-61 491E-02
Ni-62 157E-01
Ni-64 399E-02
Cr-50 451E+00
Cr-52 870E+01
Cr-53 987E+00
Cr-54 246E+00
Mn-55 460E+00
Zr-nat 491E+00
Tabela 88 Composiccedilatildeo
do refletor (densidade
53908 gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Na-23 715E+01
Fe-54 277E+01
Fe-56 435E+02
Fe-57 101E+01
Fe-58 134E+00
Ni-58 199E+00
Ni-60 767E-01
Ni-61 333E-02
Ni-62 106E-01
Ni-64 271E-02
Cr-50 306E+00
Cr-52 591E+01
Cr-53 670E+00
Cr-54 167E+00
Mn-55 312E+00
Zr-nat 333E+00
Tabela 89 Composiccedilatildeo
da barra de controle
(densidade 15643
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
C-12 407E+01
B-10 164E+02
B-11 662E+02
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR
Paracircmetro Valor (cm)
ldquoPicthrdquo do elemento combustiacutevel 14685
ldquoPitchrdquo da varetas de combustiacutevel 09134
Diacircmetro da vareta de combustiacutevel 08048
Espessura do revestimento 00523
Altura ativa do combustiacutevel 844108
76
A biblioteca de dados utilizada foi a ENDF B-VI6a que eacute fornecida juntamente
com o MCNPX 26 Esta biblioteca foi avaliada em diferentes temperaturas O
refrigerante utilizado na simulaccedilatildeo deste reator eacute o soacutedio com uma concentraccedilatildeo de
22272x10-2 aacutetomosbarnsmiddotcm
Como o MCNPX e o SERPENT natildeo permitem a mudanccedila na temperatura
durante a simulaccedilatildeo caso queira-se avaliar o efeito da temperatura deve-se ter as
bibliotecas nas temperaturas requeridas refazer a simulaccedilatildeo e comparar os
resultados
A simulaccedilatildeo deste sistema foi feita com um total de 130 ciclos mas somente os
uacuteltimos 100 ciclos satildeo contabilizados nos resultados Cada ciclo foi simulado com
1x104 necircutrons totalizando 106 necircutrons isto sem levar em conta os necircutrons
produzidos por fissatildeo A Tabela 811 mostra a divisatildeo dos intervalos utilizados na
queima do combustiacutevel na simulaccedilatildeo do reator ABTR
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR
Intervalo Duraccedilatildeo (dias)
1 2739
2 2739
3 5478
4 10956
5 10956
6 10956
7 10956
8 10956
9 10956
10 10956
11 10956
12 10956
O proacuteximo passo foi realizar a simulaccedilatildeo deste mesmo sistema no SERPENT
1118 para a comparaccedilatildeo com o resultado do MCNPX e verificar se os resultados de
ambos os coacutedigos MC satildeo compatiacuteveis para o caso de reatores subcriacuteticos A Figura
85 mostra o nuacutecleo do reator simulado no SERPENT
77
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT
A simulaccedilatildeo tambeacutem foi realizada com 130 ciclos utilizando o mesmo nuacutemero
de necircutrons que na simulaccedilatildeo feita pelo o MCNPX
Com estas condiccedilotildees Allen et al (2011) obtiveram um keff de 104961 Ao
reproduzir esta simulaccedilatildeo foi obtido um keff inicial de 104622 ou seja uma diferenccedila
de 83 pcm
Vale ressaltar que o tempo de simulaccedilatildeo do SERPENT para este mesmo
sistema foi de aproximadamente 20 h Isso se deve ao fato que o SERPENT eacute
especiacutefico para simulaccedilatildeo de reatores enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo mais geral
Assim o SERPENT pode utilizar mecanismos de otimizaccedilatildeo como por exemplo uma
mudanccedila no algoritmo de caacutelculo do livre caminho meacutedio sem perda de informaccedilatildeo
Os resultados da comparaccedilatildeo satildeo apresentados na Tabela 812 Jaacute os graacuteficos
das Figuras 87 e 88 mostram a comparaccedilatildeo do keff e da queima nos dois sistemas
respectivamente Pode-se observar atraveacutes da Figura 86 que o reator simulado se
torna subcriacutetico somente apoacutes 550 dias de operaccedilatildeo
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
78
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT
Tempo
(dias)
Reatividade (pcm) Burnup (GwdMTU)
Diferenccedila3
reatividade
(pcm)
Diferenccedila1
Burnup
(GwdMTU)
MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT
00 4335 4418 0000 0000 83 0000
2739 4033 4114 1325 1324 81 0001
5478 3906 3788 2649 2649 118 0000
1096 3544 3462 5298 5297 81 0001
2191 2759 2343 10600 10594 415 0006
3287 1749 1642 15890 15891 106 0001
4382 1053 1255 21190 21188 202 0002
5478 15 106 26490 26485 91 0005
6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008
7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011
8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014
9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007
10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094
095
096
097
098
099
100
101
102
103
104
105
106
Kef
f
Tempo (Dias)
MCNPX SERPENT
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT
1 diferenccedila burnup = |burnup MCNPX ndash burnup SERPENT|
3 diferenccedila reatividade = |Keff MCNPX ndash keff SERPENT|
79
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000
10
20
30
40
50
60
burn
up (
Gw
dM
TU
)
tempo (Dias)
MCNPX 26 SERPENT
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT
Uma opccedilatildeo interessante na simulaccedilatildeo realizada com o SERPENT eacute a
possibilidade de uma visualizaccedilatildeo das aacutereas mais lsquoquentesrsquo do reator que satildeo
representadas por tons de vermelho e amarelo representando a potecircncia relativa da
fissatildeo nuclear e em tons de azul satildeo as aacutereas lsquofriasrsquo representando fluxo teacutermico
relativo (ver Figuras 89 e 810)
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do reator PWR simulado
80
Para a observaccedilatildeo nas alteraccedilotildees nos esquemas de cores a normalizaccedilatildeo eacute
fixa apoacutes o primeiro passo de queima A Figura 89 abaixo mostra a representaccedilatildeo das
aacutereas quentes e frias para o reator ABTR simulado por Allen et al (2010) em quatro
estaacutegios diferentes de queima
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias
A partir das Tabelas 812 83 e do graacutefico da Figura 86 pode-se verificar que
os dois coacutedigos MC apresentam resultados satisfatoacuterios para os valores do keff com
diferenccedila maacutexima de 415 pcm para o reator ABTR Esta diferenccedila pode ser devido agrave
geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios presente no meacutetodo MC Uma maneira de ser diminuir
esta diferenccedila eacute aumentando a quantidade de partiacuteculas simuladas poreacutem o tempo de
simulaccedilatildeo tornar-se demasiadamente grande (Antolin 2009) Outra possibilidade eacute a
falta de dados mais precisos dos materiais utilizados como combustiacuteveis no reator
ABTR
Como o coacutedigo SERPENT eacute mais novo a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do mesmo
sistema simulado no MCNPX se justifica para saber se o coacutedigo SERPENT reproduz
sistemas subcriacuteticos adequadamente Aleacutem disso o SERPENT permite a simulaccedilatildeo
de reatores nucleares com fonte externa mesmo que estas simulaccedilotildees se limitem a
a b
c d
81
problemas de fonte externa fixa Devemos lembrar que o SERPENT soacute realiza
simulaccedilatildeo de reatores nucleares enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo que pode ser
aplicados a outros problemas aleacutem de simulaccedilotildees de reatores
82
9 Resultados
As equaccedilotildees da cineacutetica pontual obtidas no capiacutetulo 3 para sistemas
subcriacuteticos foram comparadas com a simulaccedilatildeo MC devido agrave dificuldade de se obter
dados experimentais de reatores subcriacuteticos As simulaccedilotildees foram feitas utilizando
potecircncia constante linear exponencial e tambeacutem uma variaccedilatildeo aleatoacuteria
A utilizaccedilatildeo do meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear eacute interessante por
permitir a implementaccedilatildeo de sistemas de monitoramento em tempo real da reatividade
associada a uma variaccedilatildeo da potecircncia nuclear tornando-se muito atraente para
aplicaccedilotildees em reatores do tipo ADS
A Figura 91 mostra a geometria utilizada nas simulaccedilotildees de todos os casos
simulados As composiccedilotildees dos materiais satildeo as mesmas mostradas nas Tabelas 87
88 e 89 para vareta refletor barra de controle e da vareta de combustiacutevel Para a
composiccedilatildeo do combustiacutevel foi usada agrave composiccedilatildeo mostrada na Tabela 91
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado
Elemento Concentraccedilatildeo
(fraccedilatildeo de massa)
U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico
Legenda
Combustiacutevel
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
83
Os valores utilizados para a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo Monte Carlo com os
resultados das equaccedilotildees para cada um dos casos do capiacutetulo 3 encontram-se na
Tabela 92 Esses valores foram obtidos diretamente do arquivo de saiacuteda da simulaccedilatildeo
realizada no SERPENT com a exceccedilatildeo do valor de Γ que foi extraiacutedo de Silva (2011)
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos
Paracircmetro Valor
β 000706
Λ 121x10-5 s
λ 21979x10-1 s
Γ -077x10-10
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia
Nuclear
Para um reator subcriacutetico chegar a sua potecircncia de operaccedilatildeo deve-se
monitorar a reatividade para se evitar algum tipo de acidente Assim podemos supor
uma inserccedilatildeo de reatividade de maneira linear (equaccedilatildeo 443) Esta simulaccedilatildeo foi feita
considerando uma taxa de aumento de 5 por hora do valor inicial da potecircncia sendo
monitorado por um periacuteodo de 6 horas
A Tabela 93 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos entre o SERPENT e
a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa
92 Potecircncia Nuclear Constante
Para a simulaccedilatildeo realizada a potecircncia constante o tempo total de simulaccedilatildeo foi
de cerca de 12 horas Esta diferenccedila se daacute unicamente devido ao diferente nuacutemero de
passos simulados enquanto foram simulados 6 passos de uma hora para a variaccedilatildeo
84
linear da potecircncia foram simulados 10 passos para a potencia constante Esta
simulaccedilatildeo tenta reproduzir a operaccedilatildeo em condiccedilotildees normais do reator A Tabela 94
mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos para a potecircncia de 80 MW
93 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
A variaccedilatildeo exponencial da potecircncia foi simulada por um periacuteodo de 1 hora em
intervalos de 10 minutos A Tabela 95 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos
com uma taxa de aumento de 00001
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(h) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 1 -2069 -2125 -2119 56 50
84 2 -2050 -2125 -2125 75 75
88 3 -2122 -2134 -2134 12 12
92 4 -2077 -2143 -2143 66 66
96 5 -2142 -2151 -2151 9 9
100 6 -2119 -2158 -2158 39 39
85
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
Gandini -
SERPENT
0 -2133 -2146 -2146 12 12
10 -2152 -2146 -2146 6 6
20 -2144 -2146 -2146 2 2
30 -2167 -2146 -2146 21 21
40 -2151 -2146 -2146 5 5
50 -2127 -2146 -2146 18 18
60 -2177 -2146 -2146 31 31
70 -2145 -2146 -2146 0 0
80 -2152 -2146 -2146 6 6
90 -2160 -2146 -2146 14 14
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da potecircncia
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2065 2120 2120 55 55
115 10 2108 2107 2107 0 0
165 20 2104 2115 2114 11 10
235 30 2070 2114 2115 44 45
337 40 2083 2115 2115 32 32
483 50 2126 2115 2117 11 9
86
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
A avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia durante
sua operaccedilatildeo foi feita durante um periacuteodo de 6 horas Neste intervalo foi simulada uma
suacutebita queda de potecircncia e posteriormente uma subida repentina da potecircncia A
Tabela 96 mostra os resultados obtidos
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2075 2029 2029 46 46
90 1 2075 2188 2188 113 113
0 2 2143 2118 2118 24 24
40 3 2050 2120 2120 70 70
80 4 2133 2231 2231 97 97
100 5 2080 2163 2163 83 83
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Nesta seccedilatildeo seratildeo apresentados os resultados obtidos levando-se em conta a
variaccedilatildeo temporal da fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo dos
necircutrons
87
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia
Assim como na seccedilatildeo 91 a Tabela 97 mostra os resultados obtidos para uma
variaccedilatildeo linear de potecircncia poreacutem os resultados abaixo foram levados em conta agraves
variaccedilotildees temporais de β e de Λ Como o SERPENT jaacute fornece os valores de β e Λ
para cada passo de queima esses valores foram utilizados para a obtenccedilatildeo da reta de
ajuste que foi utilizada em todos os casos com variaccedilatildeo temporal de β e de Λ Assim
natildeo foi necessaacuterio realizar novas simulaccedilotildees
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Λ (x10-5)
(s)
β
(pcm)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF ndash
SERPENT
HGPT ndash
SERPENT
80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6
84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0
88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28
92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80
96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127
100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141
952 Potecircncia constante
Jaacute para o reator operando a uma potecircncia constante a Tabela 98 mostra os
resultados obtidos para variaccedilotildees lineares de β e Λ Lembrando que esta a duraccedilatildeo
desta simulaccedilatildeo foi de aproximadamente 12 horas
88
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia constante
Tempo
(min) Λ (x10-5) (s)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7
10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6
20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5
30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17
40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4
50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18
60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31
70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0
80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1
90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14
953 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
Utilizando a mesma variaccedilatildeo de potencia da seccedilatildeo 93 a operaccedilatildeo do reator
foi simulada por um periacuteodo de 6 horas Para este caso a taxa de aumento de
potecircncia tambeacutem foi de 00001 A Tabela 99 mostra os resultados obtidos
89
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Mais uma vez realizando a mesma variaccedilatildeo de potecircncia da seccedilatildeo 94 a
avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia tambeacutem foi
realizada juntamente com a variaccedilatildeo de β e Λ A Tabela 910 mostra os resultados
obtidos
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia com β e Λ variaacuteveis no tempo
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125
115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36
165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13
235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9
337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80
483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Serpent TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102
90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2
0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79
40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51
80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140
100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23
90
96 Paracircmetros Nucleares
Os paracircmetros integrais satildeo muitas vezes utilizados para dar informaccedilotildees
imediatas e completas sobre as caracteriacutesticas fiacutesicas dos reatores nucleares Eles
podem aparecer diretamente da modelagem matemaacutetica do sistema ou podem ser
introduzidos tanto artificialmente com a finalidade de quantificar as caracteriacutesticas
fiacutesicas pra que se permitam comparaccedilotildees entre diferentes configuraccedilotildees ou na
interpretaccedilatildeo das mediccedilotildees experimentais Assim enquanto algumas quantidades
integrais em fiacutesica de reatores deteacutem um significado matemaacutetico (por exemplo o fator
de multiplicaccedilatildeo como sendo o autovalor do problema de equiliacutebrio) outras
quantidades podem carregar significados diferentes de acordo com os objetivos
especiacuteficos para os quais satildeo introduzidos Este fato pode causar uma grande
confusatildeo especialmente quando o mesmo termo eacute utilizado para denotar grandezas
fiacutesicas bastante diferentes Este eacute o caso por exemplo de paracircmetros integrais
introduzidos em modelos cineacuteticos que satildeo obtidos atraveacutes da ponderaccedilatildeo das
equaccedilotildees da cineacutetica Enquanto que o procedimento eacute bem estabelecido na cineacutetica
dos de sistemas criacuteticos o caso de sistemas com fonte externa pode estar aberto a
ambiguidade jaacute que natildeo existe uma uacutenica funccedilatildeo de ponderaccedilatildeo e sua escolha pode
ser relacionada mais para conveniecircncia numeacuterica ou para a necessidade de obter
alguns resultados muitos especiacuteficos (Dulla 2011)
Por outro lado muitas vezes esses mesmos termos podem ser obtidos por
exemplo por teacutecnicas de simulaccedilatildeo MC Este eacute o caso de reatividade fraccedilatildeo de
necircutrons retardados e o tempo de geraccedilatildeo de necircutrons Eacute especialmente importante
observar que os sistemas subcriacuteticos exigem um repensar de toda abordagem teoacuterica
concebida para sistemas criacuteticos
Anaacutelises realiacutesticas da cineacutetica de sistemas subcriacuteticos satildeo atualmente feitas
atraveacutes da soluccedilatildeo direta das equaccedilotildees seja por difusatildeo ou por modelos de
transporte Informaccedilotildees altamente detalhadas e precisas sobre a evoluccedilatildeo dos
necircutrons satildeo necessaacuterias entretanto os modelos pontuais satildeo muito simplificados e
podem natildeo fornecer informaccedilotildees suficientes Aleacutem disso ferramentas numeacutericas e
computacionais eficientes estatildeo disponiacuteveis tornando possiacutevel evitar as restriccedilotildees dos
modelos da cineacutetica pontual No entanto os paracircmetros integrais satildeo uacuteteis em
qualquer caso para a obtenccedilatildeo de informaccedilotildees completas sobre o comportamento
fiacutesico do sistema para ter uma indicaccedilatildeo imediata sobre as caracteriacutesticas cineacuteticas do
sistema
91
O conceito de paracircmetros integrais parece perder significado e relevacircncia para
sistemas subcriacuteticos guiados por fonte Por isso para as quantidades integrais
medidas ou simuladas as definiccedilotildees dos paracircmetros gerados devem sempre estar
especificados para evitar interpretaccedilotildees equivocadas e incorretas de tais resultados
Para comparar alguns paracircmetros as simulaccedilotildees foram feitas utilizando tanto
combustiacutevel fresco quanto combustiacutevel usado Assim pode-se comparar alguns
paracircmetros nucleares do iniacutecio do ciclo de combustiacutevel com os resultados de
combustiacutevel no final do ciclo Alguns paracircmetros como a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados (β) e o tempo de geraccedilatildeo meacutedia de necircutrons (Λ) satildeo fornecidos pelo coacutedigo
SERPENT ao final de cada simulaccedilatildeo
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares
Paracircmetro Combustiacutevel
fresco
Combustiacutevel
queimado
Referecircncia (Dulla et
al 2011)
β 000706 000340 000644
Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s
A partir da Tabela 911 pode-se verificar que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
tem uma diminuiccedilatildeo de quase a metade em comparaccedilatildeo ao seu valor inicial Isso eacute de
se esperar devido agrave queima do combustiacutevel fazendo com que este paracircmetro natildeo seja
tatildeo importante na operaccedilatildeo de um reator nuclear no final do ciclo do combustiacutevel como
eacute em seu iniacutecio
O valor para a fraccedilatildeo de necircutrons retardados para combustiacutevel fresco no
reator subcriacutetico Yalina operando a um keff de 098 eacute de 644 pcm (Dulla et al 2011) ou
seja uma diferenccedila de 62 pcm em relaccedilatildeo ao valor encontrado na Tabela 911 Vale
ressaltar que segundo Dulla et al (2011) os paracircmetros integrais dependem do niacutevel
de subcriticalidade
Outro paracircmetro importante para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de cineacutetica pontual e
para o controle do reator sendo muitas vezes utilizado para determinar a resposta
dinacircmica de um reator nuclear eacute o tempo de vida de necircutrons prontos (Λ) (Abaacutenades
et al 2001) Para reatores teacutermicos este valor eacute em torno de 10-4 s enquanto para
reatores subcriacuteticos este valor eacute da ordem de 10-5 s Segundo Dulla et al (2011) o
valor para este paracircmetro eacute de 148 micros para combustiacutevel fresco Assim o valor
encontrado (121 micros) eacute proacuteximo ao encontrado na literatura com um desvio percentual
92
de 18 Este desvio pode se devido agraves diferentes composiccedilotildees do combustiacutevel e
tambeacutem pela diferenccedila de enriquecimento
93
10 Conclusatildeo
A mediccedilatildeo da reatividade utilizando-se a cineacutetica inversa eacute amplamente
utilizada na partida de um reator nuclear Assim uma mediccedilatildeo acurada da reatividade
eacute imprescindiacutevel para o controle do reator (Diacuteaz et al 2007)
Os formalismos propostos por Gandini (2000) e por Silva et al (2011) envolvem
a fonte externa para descriccedilatildeo do comportamento cineacutetico dos reatores subcriacuteticos
guiados por fontes Poreacutem como ainda natildeo existem reatores ADS em operaccedilatildeo as
simulaccedilotildees de tais sistemas satildeo importantes para a avaliaccedilatildeo preliminar do
funcionamento desses reatores
Os resultados apresentados no capiacutetulo anterior mostram que as equaccedilotildees da
cineacutetica inversa para sistemas subcriacuteticos propostas nesta tese reproduzem
satisfatoriamente os reatores subcriacuteticos guiados por fonte sejam utilizando o meacutetodo
das derivadas quanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia tanto para o
formalismo proposto por Gandini (2000) quanto o proposto por Silva et al (2011)
Ainda pode-se notar que tanto para valores constantes como para variaccedilotildees lineares
de β e Λ os resultados satildeo coerentes Isto ocorre devido agrave pequena variaccedilatildeo de β
(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)
Vale ressaltar que o meacutetodo das derivadas se torna interessante para o
monitoramento da reatividade por natildeo necessitar do armazenamento de todo o
histoacuterico potecircncia e depender apenas das derivadas da potecircncia possibilitando que o
caacutelculo da reatividade seja feito com uma maior rapidez se comparado com o tempo
necessaacuterio para resolver a integral do histoacuterico de potecircncia Aleacutem disso este meacutetodo
natildeo necessita do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator e o caacutelculo
pode ser reiniciado em caso de mau funcionamento do equipamento de mediccedilatildeo da
reatividade
A simulaccedilatildeo Monte Carlo foi utilizada para a validaccedilatildeo dos meacutetodos propostos
devido agrave falta de dados nucleares para reatores subcriacuteticos poreacutem mesmo com a boa
reproduccedilatildeo deste tipo de simulaccedilatildeo a modelagem utilizada por estes meacutetodos
encontra problemas pois os dados nucleares disponiacuteveis para alguns actiniacutedeos natildeo
atendem as faixas de energia necessaacuterias para a simulaccedilatildeo de um reator ADS Esses
dados devem cobrir aleacutem de uma vasta gama de energia e um grande conjunto de
nucliacutedeos (Vaz 2010) pois o grande atrativo dos reatores ADS eacute a transmutaccedilatildeo de
rejeitos de longa meia vida e tambeacutem a produccedilatildeo de energia eleacutetrica Assim a ecircnfase
94
dos dados nucleares deve ser nos actiniacutedeos (por exemplo Np Am e o Cm) para o
acompanhamento do ciclo de combustiacutevel com a finalidade de reciclagem muacuteltipla
Mesmo assim a simulaccedilatildeo realizada para a validaccedilatildeo das equaccedilotildees propostas por
Gandini (2000) e por Silva et al (2011) mostra-se coerente para anaacutelise completa da
reatividade de um reator subcriacutetico guiado por fonte
Ainda assim a simulaccedilatildeo Monte Carlo pode ser utilizada para a anaacutelise
preliminar de alguns paracircmetros dos reatores nucleares (criacuteticos ou subcriacuteticos) como
por exemplo o fator de multiplicaccedilatildeo efetivo a fraccedilatildeo de necircutrons retardados e uma
boa aproximaccedilatildeo da quantidade de material transmutado ajudando a prever o
comportamento meacutedio do reator
Pode-se verificar que existe uma boa concordacircncia entre os valores
encontrados para os paracircmetros nucleares e os existentes na literatura Uma possiacutevel
melhora nesses resultados passa por um aumento significativo na quantidade de
histoacuterias simuladas
Este aumento contribuiria para a diminuiccedilatildeo dos erros estatiacutesticos intriacutensecos
do meacutetodo Monte Carlo Poreacutem o tempo de simulaccedilatildeo tambeacutem aumentaria
sensivelmente pois o meacutetodo MC necessita da simulaccedilatildeo individual de cada partiacutecula
podendo levar um tempo absurdamente grande para a simulaccedilatildeo de todo o sistema
Poreacutem mesmo com a ldquofaltardquo de dados nucleares mais precisos para os
actiniacutedeos a simulaccedilatildeo MC se mostra uma importante ferramenta na aacuterea de fiacutesica de
reatores devido a sua facilidade de trabalhar com geometrias bastante complexas
permitindo tambeacutem a simulaccedilatildeo desses sistemas em trecircs dimensotildees
Uma soluccedilatildeo interessante para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares seriam os
meacutetodos computacionais hiacutebridos ou seja um meacutetodo resultante da fusatildeo da
simulaccedilatildeo Monte Carlo com teacutecnicas determiniacutesticas Assim poder-se-ia melhorar os
pontos fortes e eliminar as fraquezas individuais do meacutetodo MC e das abordagens
deterministas Apesar de algumas exceccedilotildees o desenvolvimento de ferramentas
computacionais hiacutebridas eacute no entanto ainda largamente inexplorado (Vaz 2010)
95
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Antolin Mauricio Quelhas
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XI 97 p il 297 cm
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Fernando Carvalho da Silva
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Simulaccedilatildeo Monte Carlo I Martinez Aquilino Senra et al
II Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE
Programa de Engenharia Nuclear III Tiacutetulo
iv
Dedicatoacuteria
Este trabalho eacute dedicado a todas as pessoas que me ajudaram em toda minha
caminhada acadecircmica em especial agrave minha amada esposa Gisele a minha filha que
mesmo sem ainda nascer jaacute eacute muito amada aos meus pais e amigos que me
apoiaram ateacute aqui
v
Agradecimentos
Agradeccedilo aos meus professores Aquilino Senra Martinez e Fernando Carvalho
da Silva pela dedicaccedilatildeo e ajuda no desenvolvimento deste trabalho e tambeacutem ao
amigo Daniel Artur Pinheiro Palma pelas suas contribuiccedilotildees neste trabalho
Tambeacutem agradeccedilo a Coordenaccedilatildeo de Aperfeiccediloamento de Pessoal de Niacutevel
Superior (CAPES) pelo apoio financeiro
Aos amigos do LMP pelo o apoio na elaboraccedilatildeo deste trabalho
Ao meu pai Manuel Angel Antolin Garcia por me incentivar a ingressar na
carreira acadecircmica e por todo o seu carinho
Agrave minha matildee Iliana de Carvalho Quelhas pela a paciecircncia amor carinho e
apoio em toda minha caminhada acadecircmica e pessoal
Agrave minha esposa pela paciecircncia e compreensatildeo
vi
Resumo da Tese apresentada agrave COPPEUFRJ como parte dos requisitos necessaacuterios
para a obtenccedilatildeo do grau de Doutor em Ciecircncias (DSc)
SIMULACcedilAtildeO DE UM REATOR SUBCRIacuteTICO TIPO ADS VIA MONTE CARLO PARA
VALIDACcedilAtildeO DE CAacuteLCULO DA REATIVIDADE
Mauricio Quelhas Antolin
Fevereiro2013
Orientadores Aquilino Senra Martinez
Fernando Carvalho da Silva
Programa Engenharia Nuclear
Um dos grandes atrativos dos reatores ADS eacute decorrente da possiblidade de
transmutaccedilatildeo dos rejeitos produzidos pelas usinas nucleares convencionais
diminuindo a armazenagem dos rejeitos de longa meia-vida em repositoacuterios geoloacutegicos
de longa duraccedilatildeo Poreacutem o comportamento cineacutetico desses reatores ainda eacute uma
questatildeo em aberto tendo em vista que natildeo existe nenhum reator ADS em operaccedilatildeo
no mundo Portanto este trabalho propotildee um meacutetodo de caacutelculo de reatividade para
reatores subcriacuteticos guiados por fonte (ADS) utilizando o meacutetodo das derivadas
parciais da potecircncia nuclear que permite um caacutelculo mais raacutepido e sem a necessidade
do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator Os resultados foram
comparados com simulaccedilotildees numeacutericas realizadas pelo meacutetodo Monte Carlo e
mostram boa concordacircncia
vii
Abstract of Thesis presented to COPPEUFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (DSc)
SIMULATION OF A ADS SUBCRITICAL REACTOR VIA MONTE CARLO FOR
VALIDATION OF REACTIVITY CALCULATION
Mauricio Quelhas Antolin
February2013
Advisors Aquilino Senra Martinez
Fernando Carvalho da Silva
Department Nuclear Engineering
One of the great attractions of ADS reactors is due to the possibility of
transmutation of waste produced by conventional power plants reducing waste by
reducing the storage of long half-life in long-term geological repositories But the kinetic
behavior of these reactors is still an open question given that there is no ADS reactor
in operation worldwide Therefore this work proposes a method for calculating reactivity
for subcritical reactors driven by source (ADS) using the method of partial derivatives of
nuclear power which allows a faster calculation and not need the storage the whole
history of reactor power The results were compared with numerical simulations
performed by the Monte Carlo method and show good agreement
viii
Sumaacuterio Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xi
1 Introduccedilatildeo 1
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para Reatores Subcriacuteticos 8
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 9
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 14
23 Cineacutetica Inversa 17
231 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 18
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 18
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico de Potecircncia 19
31 Meacutetodo de Agrupamento 19
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada 21
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da intensidade da fonte externa 23
34 Meacutetodo das Derivadas 24
341 Anaacutelise para k impar 25
342 Anaacutelise para k par 29
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com dependecircncia temporal de β e Λ 32
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 32
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 33
43 Meacutetodo das Derivadas para Dependecircncia Temporal de β e de Λ 34
431 Anaacutelise para k impar 35
432 Anaacutelise para k par 37
5 Caacutelculo da reatividade para algumas variaccedilotildees da potecircncia nuclear 40
51 Potecircncia Linear 40
511 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 40
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 42
52 Potecircncia Constante 43
521 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 43
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 44
53 Potecircncia Exponencial 45
531 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 45
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 46
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 47
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com Dependecircncia temporal de β e Λ 49
61 Potencia Linear 49
ix
611 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 49
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 50
62 Potecircncia Constante 51
621 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 51
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 51
63 Potecircncia Exponencial 52
631 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 52
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 52
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 53
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica 54
71 Funccedilotildees Densidade de Probabilidades 57
72 Meacutetodo direto ou inverso 60
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo 63
74 Meacutetodos Monte Carlo para Reatores Subcriacuteticos 65
75 Conceito de Reatores ADS 66
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos Utilizados 68
9 Resultados 82
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia Nuclear 83
92 Potecircncia Nuclear Constante 83
93 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 84
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 86
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ 86
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia 87
952 Potecircncia constante 87
953 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 88
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 89
96 Paracircmetros Nucleares 90
10 Conclusatildeo 93
11 Referecircncias Bibliograacuteficas 95
x
Lista de Figuras
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996 3
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de
Yoriyaz 2009 55
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio 58
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio 58
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo 59
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003) 61
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula 62
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo 64
Figura 78 Processo de caacutelculo de π 65
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009 66
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS 67
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR 72
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER 72
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU 72
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX 73
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT 77
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT 78
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT 79
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do
reator PWR simulado 79
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do
ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias 80
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico 82
xi
Lista de Tabelas
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-
nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012) 2
Tabela 81 Exemplo de um revestimento de zircaloy no MCNPX 71
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de uracircnio no SERPENT 71
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER 73
Tabela 84Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 1 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 85 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 2 (densidade 10851 gcm3) 74
Tabela 86 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 3 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 87 Composiccedilatildeo do revestimento da vareta de combustiacutevel (densidade 75357
gcm3) 75
Tabela 88 Composiccedilatildeo do refletor (densidade 53908 gcm3) 75
Tabela 89 Composiccedilatildeo da barra de controle (densidade 15643 gcm3) 75
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR 75
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR 76
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT 78
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado 82
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos 83
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear 84
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante 85
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia 85
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados 86
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ 87
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia linear constante 88
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares 91
1
1 Introduccedilatildeo
Grande parte da energia eleacutetrica produzida por reatores nucleares satildeo
provenientes de reatores a aacutegua leve devido agrave utilizaccedilatildeo de material fiacutessil pouco
enriquecido para seu funcionamento o que torna sua construccedilatildeo e operaccedilatildeo
bastantes atrativos mesmo com os altos custos de construccedilatildeo e manutenccedilatildeo das
centrais nucleares Aleacutem disso o conhecimento do clico teacutermico utilizados por esses
reatores impulsionaram seu desenvolvimento (Pereira 2002)
Poreacutem estes reatores utilizam ciclo de combustiacutevel aberto e produzem uma
grande quantidade de rejeitos o que inclui grande quantidade de elementos
transuracircnicos (Am Cm Np entre outros) que possuem uma alta meia-vida (cerca de
107 anos)
Assim existe uma grande preocupaccedilatildeo na utilizaccedilatildeo desses reatores natildeo soacute
na prevenccedilatildeo de acidentes mas tambeacutem devido agrave proliferaccedilatildeo de armas nucleares e
agrave necessidade de repositoacuterios finais de estocagem de longa duraccedilatildeo (Iwanaga et al
2005) o que cria uma barreira de sua aplicaccedilatildeo
Atualmente grande parte do combustiacutevel queimado no mundo eacute armazenado
em piscinas dentro das proacuteprias usinas nucleares e em alguns casos o
armazenamento que deveria ser temporaacuterio persiste haacute deacutecadas Estima-se que o
aumento de combustiacutevel utilizado esteja em torno de 12000 toneladas por ano sendo
que apenas 3000 toneladas deste combustiacutevel vatildeo para o reprocessamento1
Uma forma de contornar o problema da estocagem eacute atraveacutes da queima dos
rejeitos provenientes dos reatores nucleares de potecircncia em outros tipos de reatores
Inicialmente os reatores raacutepidos foram os primeiros a serem considerados para
esta finalidade por proporcionar aleacutem de uma melhor utilizaccedilatildeo das reservas de
uracircnio a possibilidade de transmutaccedilatildeo dos elementos transuracircnicos Poreacutem
dificuldades na operaccedilatildeo de reatores raacutepidos criacuteticos como por exemplo o controle da
criticalidade e tambeacutem a oxidaccedilatildeo do material usado como refrigerante (soacutedio)
dificultaram o seu uso
Cerca de 20 reatores raacutepidos jaacute entraram em operaccedilatildeo desde a deacutecada de
1950 sendo em sua maioria reatores de pesquisa Comercialmente apenas o reator
francecircs Superphenix chegou a entrar em operaccedilatildeo comercial Ele foi desenvolvido
para gerar 12 GW de energia eleacutetrica poreacutem foi fechado em 1998 devido a falhas
1 httpwwwworld-nuclearorginfoNuclear-Fuel-CycleNuclear-WastesRadioactive-Waste-
ManagementUTn-jaVtivM
2
estruturais alto custo e repetidos incidentes O Superphoenix funcionou apenas 10
meses em 13 anos
Os reatores raacutepidos satildeo projetados para usar 238U e tambeacutem 235U usado na
maioria dos reatores Se esses reatores satildeo projetados para produzir mais plutocircnio do
que consomem eles satildeo chamados reatores reprodutores raacutepidos (FBR) (Lodhi et al
2009) Os reatores raacutepidos tambeacutem podem queimar actiniacutedeos que possuem alta meia
vida que podem ser transmutados em outros elementos para o uso em reatores
convencionais (LWR) A Tabela 11 mostra alguns reatores raacutepidos que entraram ou
entraratildeo em operaccedilatildeo no mundo
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012)
Paiacutes Reator Tipo Potecircncia
Eleacutetrica (MWe)
Potecircncia
Teacutermica (MW) Operaccedilatildeo
USA
EBR 1 02 14 1951-63
EBR II Pesquisa 20 625 1963-94
Fermi 1 Pesquisa 66 200 1963-72
SEFOR
20 1969-72
Fast Flux Test
Facility Pesquisa
400 1980-93
Inglaterra Protoype FR Protoacutetipo 15 60 1959-77
Dounreay FR Pesquisa 270 650 1974-94
Franccedila
Rapsodie Pesquisa 40 1966-82
Phenix Protoacutetipo 250 563 1973-2009
Superphenix Comercial 1240 3000 1985-98
Alemanha KNK 2 Pesquisa 21 58 1977-91
Iacutendia FBTR Pesquisa
40 1985-
PFBR Protoacutetipo 500 1250 2012-
Japatildeo
Joyo Pesquisa
140 1978-
Monju Protoacutetipo 280 714 1994-96
2010-
Cazaquistatildeo BN 350 Protoacutetipo 135 750 1972-99
Ruacutessia
BN 12
101 1950
BR 5 10 Obninsk Pesquisa
5 8 1959-71
1973-
BOR 60
Dimitrovgrad Pesquisa 12 55 1969-
BN 600 Beloyarsk 3 Protoacutetipo 600 1470 1980-
BN-800 Beloyarsk 4 Comercial 880 2000 2014-
China CEFR Pesquisa 20 65 2010-
3
Vaacuterios paiacuteses tecircm programas de pesquisa e desenvolvimento para melhorar os
reatores raacutepidos Aleacutem disso o projeto internacional em inovaccedilatildeo de reatores
nucleares e ciclo de combustiacutevel (INPRO) da agecircncia internacional de energia atocircmica
(AIEA) possui como ecircnfase os reatores raacutepidos para funcionarem com o ciclo de
combustiacutevel fechado
Os problemas encontrados na operaccedilatildeo dos reatores raacutepidos podem ser
contornados utilizando um conceito onde os necircutrons que satildeo produzidos por uma
reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo a um custo eleacutetrico pequeno entram em um meio multiplicativo
com uma configuraccedilatildeo de combustiacutevelmoderador (Rubbia et al 1996) Esses reatores
satildeo chamados reatores hiacutebridos devido ao acoplamento de um acelerador de
partiacuteculas para seu funcionamento A Figura 11 mostra uma concepccedilatildeo do esquema
de funcionamento desses tipos de reatores
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996
Este conceito de reator foi proposto desde os anos 1970 (Maniscalco et al
1974) Poreacutem dificuldades tecnoloacutegicas adiaram seu desenvolvimento pois estes
aceleradores de partiacuteculas devem ser extremamente confiaacuteveis durante a operaccedilatildeo do
reator
Os reatores hiacutebridos subcriacuteticos satildeo atraentes por proporcionar melhor
utilizaccedilatildeo dos recursos naturais e tem sido amplamente reconhecidos como sendo
altamente seguros (Rubbia et al 1995) A principal vantagem deste tipo de reator eacute a
operaccedilatildeo de um reator com fator de multiplicaccedilatildeo menor que a unidade (keff lt1) em
Acelerador
Nuacutecleo
Turbina
Condensador
Trocador de Calor
Gerador
4
que as reaccedilotildees de fissatildeo devem ser desencadeadas por um intenso feixe de
partiacuteculas carregadas aceleradas como por exemplo proacutetons ou iacuteons pesados com
energia entre 05 - 50 GeV por nucleon (Perelygin et al 1999)
Aleacutem disso o objetivo da transmutaccedilatildeo eacute a minimizaccedilatildeo de rejeitos nucleares
atraveacutes da transmutaccedilatildeo dos actiniacutedeos menores (AM) como Np Am e Cm Portanto
esses reatores devem ser carregados com combustiacutevel que contenha grandes
quantidades de AM
Para poderem realizar a transmutaccedilatildeo esses reatores utilizam necircutrons no
espectro raacutepido Isto ocorre porque nessa faixa de energia a seccedilatildeo de choque de
fissatildeo eacute mais favoraacutevel para a transmutaccedilatildeo dos AM Assim esses reatores se
caracterizam por uma baixa fraccedilatildeo de necircutrons retardados o que implica em raacutepidas e
grandes variaccedilotildees de potecircncia para uma pequena variaccedilatildeo na reatividade (Sordo et
al 2009) Segundo Rubbia et al (1996) uma mudanccedila suacutebita de +01 em um fator de
multiplicaccedilatildeo inicialmente a 095 causa um aumento na potecircncia de aproximadamente
20 Este aumento de reatividade em um reator raacutepido pode ter consequecircncias
catastroacuteficas
Para as especificaccedilotildees do feixe que deve sustentar o funcionamento do reator
Rubbia et al (1995) afirma que existe pouca ou nenhuma vantagem no uso de
partiacuteculas mais sofisticadas indicando o uso exclusivo de proacutetons no feixe de
partiacuteculas
Os reatores hiacutebridos ainda necessitam de um forte desenvolvimento o que
inclui novos combustiacuteveis e novas teacutecnicas de reprocessamento e tais programas
ainda natildeo foram totalmente desenvolvidos De qualquer forma o conceito de reator
hiacutebrido pode ser uma ferramenta potencial para obter o melhor domiacutenio da fissatildeo para
a geraccedilatildeo de energia eleacutetrica e sem o uso de reatores regeneradores raacutepidos (que
satildeo criacuteticos) que apresentam mais problemas na seguranccedila do que os reatores
subcriacuteticos (Piera et al 2010)
Inicialmente as especificaccedilotildees do feixe de partiacuteculas deveria ser capaz de
enviar proacutetons de no miacutenimo 1 GeV de energia o que implica em uma corrente de 10
agrave 15 mA Caso mais energia seja necessaacuteria pode-se usar vaacuterios feixes em paralelo
(Rubbia et al 1995)
O alvo atingido pelo feixe de partiacuteculas aceleradas pode ser o uracircnio natural ou
empobrecido o chumbo liacutequido ou outro material de alto nuacutemero atocircmico Assim os
necircutrons gerados nesta reaccedilatildeo entram no reator subcriacutetico que cerca o alvo
Mais recentemente Sordo et al (2009) afirmou que o alvo mais eficiente para
os reatores hiacutebridos eacute a liga feita de chumbo e bismuto (LBE) no estado liacutequido
bombardeado com proacutetons de energia entre 600 MeV e 1 GeV Devido a restriccedilotildees
5
termodinacircmicas os alvos de materiais soacutelidos satildeo indicados para instalaccedilotildees de baixa
potecircncia sendo pouco praacutetico para aplicaccedilotildees industriais que necessitam de potecircncias
muito maiores
O acelerador deve fornecer uma corrente de proacutetons com ampla faixa de
operaccedilatildeo pois para um reator que funcione com fator de multiplicaccedilatildeo muito menor
que a unidade deve-se evitar um desligamento natildeo programado durante seu
funcionamento
A produccedilatildeo de necircutrons na reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo determina a potecircncia teacutermica
do reator dependendo do seu niacutevel de subcriticalidade A diminuiccedilatildeo do valor do keff
devido agrave queima de combustiacutevel deve ser compensada para manter a potecircncia do
reator constante para isso pode-se aumentar a intensidade da fonte de necircutrons
Poreacutem isto induz um estresse termomecacircnico como a dilataccedilatildeo devido ao aumento
da temperatura aleacutem da maior degradaccedilatildeo natildeo soacute na estrutura do reator mas
tambeacutem e principalmente no alvo (Sordo et al 2009) O feixe de proacutetons deve ser
projetado para manter a integridade do alvo durante todo o ciclo de operaccedilatildeo
O projeto do reator hiacutebrido de pesquisa para aplicaccedilotildees de alta tecnologia
(MYRRHA) comeccedilou em 1998 pelo Centro de Pesquisas Nucleares da Beacutelgica
(SCKbullCEN) O primeiro objetivo do MYRRA seraacute demonstrar o conceito de reator ADS
a um niacutevel razoaacutevel de potecircncia e a viabilidade tecnoloacutegica da transmutaccedilatildeo de
actiniacutedeos menores e de produtos de fissatildeo de longa meia vida O MYRRHA tambeacutem
iraacute ajudar o desenvolvimento da tecnologia de ligas de chumbo necessaacuterio para os
reatores da geraccedilatildeo IV (Abderrahim et al 2005)
O reator estaacute previsto para entrar em operaccedilatildeo em 2023 e encontra-se em fase
de licenciamento sendo um dos reatores hiacutebridos com maior nuacutemero de referecircncias na
literatura Como ele pode trabalhar em modo criacutetico e subcriacutetico o MYRRHA gera uma
potecircncia entre 50 e 100 MWt O acelerador injeta proacutetons de 600 MeV no nuacutecleo do
reator e utiliza combustiacutevel tipo MOX
Apesar do grande nuacutemero de referecircncias encontradas na literatura os dados
de composiccedilatildeo de combustiacutevel paracircmetros nucleares materiais utilizados nesses
reatores e o comportamento cineacutetico satildeo escassos Por isso neste trabalho foram
utilizadas simulaccedilotildees numeacutericas pelo Meacutetodo de Monte Carlo para a avaliaccedilatildeo da
cineacutetica e dos paracircmetros nucleares desses reatores
Simulaccedilotildees computacionais de um sistema podem proporcionar importantes
informaccedilotildees para o estudo preliminar de novas tecnologias A simulaccedilatildeo pelo meacutetodo
de Monte Carlo foi escolhida pois eacute um dos meacutetodos que melhor descreve geometrias
complexas e que fornece informaccedilotildees precisas e detalhadas em trecircs dimensotildees aleacutem
de considerar a dependecircncia temporal tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
6
partiacuteculas neutras Assim o meacutetodo Monte Carlo (MC) se torna um meacutetodo atrativo
para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo MC eacute a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees de experimentos onde
os resultados satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido satildeo necessaacuterios aleacutem da simulaccedilatildeo das
partiacuteculas geradas atraveacutes da reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo coacutedigos que consigam prever a
queima do combustiacutevel Existem vaacuterios coacutedigos na literatura com esta finalidade e que
podem ser incorporados em coacutedigos mais gerais de MC
Atualmente um dos coacutedigos MC mais utilizados para simulaccedilatildeo de reatores
nucleares eacute o MCNPX (Hashemi-Nezhad et al 2002 Kadi et al 2001 Catsaros et al
2009) Este coacutedigo eacute desenvolvido pelo Laboratoacuterio Nacional de Los Alamos e
atualmente encontra-se na versatildeo 26e
O MCNPX eacute um coacutedigo MC geneacuterico de transporte de radiaccedilatildeo para modelar a
interaccedilatildeo da radiaccedilatildeo com a mateacuteria MCNPX significa Monte Carlo N-Particle
eXtended Ele estende as capacidades do MCNP4C3 a um grande nuacutemero de
partiacuteculas em uma ampla faixa de energia e para quase todas as aplicaccedilotildees sem custo
adicional de tempo computacional MCNPX faz caacutelculos tridimensionais e dependentes
do tempo Utiliza as bibliotecas mais novas de seccedilatildeo de choque nucleares aleacutem de
usar modelos fiacutesicos para as partiacuteculas que natildeo possuem dados tabulados
disponiacuteveis
O MCNPX 26e eacute capaz de realizar o caacutelculo do keff atraveacutes das geraccedilotildees de
necircutrons do fluxo de necircutrons a evoluccedilatildeo de combustiacutevel e tambeacutem calcula as
seccedilotildees de choque Poreacutem este coacutedigo natildeo permite a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees que
necessitam fonte externa de necircutrons
Atualmente um dos uacutenicos coacutedigos MC que permite a simulaccedilatildeo de um reator
controlado com fonte externa eacute o SERPENT (Leppaumlnen 2012) Este coacutedigo eacute
especiacutefico para o estudo de reatores nucleares e se encontra na versatildeo 1118
As simulaccedilotildees de MC podem fornecer importantes informaccedilotildees antes mesmo
de se iniciar a construccedilatildeo por exemplo de um reator do tipo ADS aleacutem de ter a
possibilidade de indicar quais materiais podem ser utilizados Eacute claro que a simulaccedilatildeo
natildeo substitui o experimento real mas pode ajudar a prever melhorias antes de seu
funcionamento Aleacutem disso as simulaccedilotildees podem ser utilizadas para a validaccedilatildeo de
novos meacutetodos de caacutelculo da reatividade tanto para reatores hiacutebridos quanto para
reatores teacutermicos jaacute que eacute um dos paracircmetros mais importantes em um reator
nuclear
7
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes equaccedilotildees para a cineacutetica de um reator
subcriacutetico (Gandini et al 2000 Nishihara et al 2003 Silva et al 2011) Assim com o
intuito de obter a variaccedilatildeo da reatividade para reatores subcriacuteticos obteve-se uma
expressatildeo para essa funccedilatildeo com base na cineacutetica pontual inversa para sistemas ADS
jaacute que para esses sistemas o monitoramento da reatividade eacute vital para o
funcionamento normal E ainda os reatores subcriacuteticos guiados por fonte necessitam
de uma forma de caacutelculo da reatividade mais raacutepida para evitar um ldquodesligamentordquo natildeo
programado para isso foi utilizado o meacutetodo das derivadas no caacutelculo da reatividade
uma vez que este meacutetodo natildeo necessita da informaccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
A validaccedilatildeo da expressatildeo obtida para a reatividade proposta nesta tese foi feita
atraveacutes de simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) uma vez que os dados de reatores
subcriacuteticos tipo ADS satildeo encontrados em nuacutemero reduzido na literatura
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas duas formulaccedilotildees para as equaccedilotildees da
cineacutetica subcriacutetica e as respectivas expressotildees para a cineacutetica inversa
Alguns meacutetodos de tratamento do histoacuterico de potecircncia satildeo apresentados no
Capiacutetulo 3 sendo que o meacutetodo das derivadas parciais da potecircncia nuclear eacute tratado
em detalhes
Jaacute no Capiacutetulo 4 satildeo obtidas as expressotildees da cineacutetica pontual para casos em
que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados (β) e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons (Λ)
satildeo dependentes do tempo
O capiacutetulo 5 tem-se o caacutelculo da reatividade para alguns casos particulares da
variaccedilatildeo da potecircncia nuclear com todos os paracircmetros nucleares constantes E no
Capiacutetulo 6 temos as mesmas variaccedilotildees da potecircncia nuclear com as variaccedilotildees
temporais de β e de Λ
Os fundamentos da simulaccedilatildeo Monte Carlo satildeo tratados no Capiacutetulo 7
juntamente com os meacutetodos especiacuteficos para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares
No Capiacutetulo 8 satildeo apresentados e descritos os coacutedigos Monte Carlos utilizados
neste trabalho
Jaacute no Capiacutetulo 9 satildeo apresentados os resultados obtidos da reatividade com as
expressotildees que foram apresentadas nos capiacutetulos 5 e 6
Finalmente no Capiacutetulo 10 satildeo apresentadas as conclusotildees desta tese
8
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para
Reatores Subcriacuteticos
A formulaccedilatildeo da cineacutetica pontual provou ser uma ferramenta poderosa para a
avaliaccedilatildeo da reatividade para diferentes tipos de reatores tanto em operaccedilatildeo normal
quanto na partida do reator Esta formulaccedilatildeo descreve o comportamento dos necircutrons
dentro do reator sem nenhuma dependecircncia espacial sendo que a distribuiccedilatildeo dos
necircutrons evolui de maneira pontual
As diferentes propostas para a funccedilatildeo importacircncia encontradas na literatura
resultam em diferentes equaccedilotildees da cineacutetica pontual (Gandini et al 2000 Nishihara et
al 2003 Silva et al 2011) para descrever o comportamento dos necircutrons dentro de
reatores subcriacuteticos
Para um sistema sem fonte externa de necircutrons tem-se somente uma
autofunccedilatildeo para toda a distribuiccedilatildeo de necircutrons em todos os instantes dentro do
reator Poreacutem para reatores com fonte externa esta afirmaccedilatildeo pode natildeo ser
verdadeira pois se a distribuiccedilatildeo de necircutrons for dominada pela fonte externa pode
envolver uma superposiccedilatildeo de muitas autofunccedilotildees Assim o comportamento pontual
pode ser fatorado no produto de uma funccedilatildeo da amplitude (apenas com dependecircncia
temporal) e uma funccedilatildeo de forma (sem dependecircncia temporal mas com dependecircncia
das variaacuteveis do espaccedilo de fase) (Dulla 2003)
As equaccedilotildees que descrevem o funcionamento dos reatores subcriacuteticos podem
ser obtidas a partir da equaccedilatildeo de transporte ou da equaccedilatildeo de difusatildeo (Gandini
2000) Assim as equaccedilotildees da cineacutetica espacial podem ser escritas da seguinte
maneira
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1
I
i i ext
i
r t A r t F r t c r t qv t
β λ=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum
(21)
( ) ( ) ( ) 1i i i ic r t F r t c r t i It
β λpart
= Ψ minus =part
(22)
onde v eacute a velocidade dos necircutrons iβ eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados do grupo i
e iλ eacute a constante de decaimento dos precursores de necircutrons retardados do grupo i
Nas seccedilotildees seguintes satildeo apresentados os formalismos para a cineacutetica dos
9
reatores ADS encontrados nos trabalhos de Gandini et at (2000) atraveacutes da
metodologia da teoria heuriacutestica de perturbaccedilatildeo generalizada (HGPT) e no trabalho de
Silva et al (2011) em que eacute proposto um termo adjunto de fonte (TAF) que se torna
significativo para reatores que operam longe da criticalidade
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
A funccedilatildeo importacircncia proposta por Gandini et al (2002) para o caso de
necircutrons monoenergeacuteticos isotroacutepicos meio homogecircneo e sem dependecircncia
temporal eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (Silva 2011)
( ) ( )0 0 0 0
0
0f
f
wA n r F n r
P
+ + + +minus minus Σ =
(23)
onde fw eacute a energia revertida por fissatildeo e P0 eacute a potencia nuclear sem perturbaccedilatildeo
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0n+ e integrando em r
obteacutem-se
( )0 0 0 0
1
11
I
o i i ext
i
n n A n F n c n qv t
β λ+ + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (24)
Considerando-se as seguintes perturbaccedilotildees no sistema
0 A A Aδminus rarr minus + (25)
0 F F Fδrarr + (26)
(0) ext ext extq q qδrarr + (27)
10
onde 0Aminus 0F e (0)
extq satildeo os estados estacionaacuterios natildeo perturbados
Substituindo e manipulando as equaccedilotildees (25) (26) e (27) na equaccedilatildeo (24) resulta em
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0 0
1
1
1
o
I
i i ext ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q n q
δ β
β δ λ δ
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + +sum (28)
Somando e subtraindo 0n Fβ+ Ψ na equaccedilatildeo (28) e lembrando que
(0)
0 1ext
n q+ = de acordo com Gandini (2001) vem
( )
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0
1
0 0 0
1
1 1
o
I
i i ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q
n F F n F
δ β
β δ λ
β δ β
+ minus + + +
+ + +
=
+ +
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + + +
+ Ψ minus Ψ
sum (29)
Rearranjando os termos da equaccedilatildeo acima tem-se
1
0 0 0 00
0 0 0
1
0
1
o
I
i i ext
i
n v n A n F n At
n F n c n q
n F
δ
δ λ δ
β
+ minus + + +
+ + +
=
+
partΨ = Ψ + Ψ + Ψ +
part
Ψ + + + +
minus Ψ
sum (210)
Ponderando a equaccedilatildeo (23) com Ψ obteacutem-se (Silva et al 2011)
0 0 00
0
0f
wn A n F
P
++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)
11
Substituindo a equaccedilatildeo (211) na equaccedilatildeo (210) tem-se
1
0 0 0
1
0
0
1
I
o i i
i
ext f
n v n A F n F n ct
wn q
P
δ δ β λ
δ
+ minus + + +
=
+
partΨ = + Ψ minus Ψ + +
part
minus Σ Ψ +
sum (212)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t P t rφΨ asymp
(213)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )P t eacute a potecircncia
Substituindo a aproximaccedilatildeo dada pela equaccedilatildeo (213) na equaccedilatildeo (212)
obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
n v P t r n A F P t r n F P t rt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
part= + minus +
part
+ minus Σ +sum
(214)
Como bull eacute uma integraccedilatildeo no espaccedilo pode-se escrever
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
+ minus Σ +sum
(215)
Sendo 0 0f
P w φ= Σ tem-se
12
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
1
o
I
i i ext
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
n c P t n q
φ δ δ φ β φ
λ δ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus + +sum
(216)
Dividindo a equaccedilatildeo (216) por
0 0 I n F φ+= (217)
a equaccedilatildeo (216) pode ser escrita da seguinte forma
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1 I
n n n n n
eff eff i i
i
dP tP t C t P t Q
dtρ β λ ζ
=
Λ = minus + + minus + sum (218)
sendo
( )1
0
o
n
eff
n v r
I
φ+ minus
Λ equiv
(219)
( )0 0
nn A F r
I
δ δ φρ
+ +equiv
(220)
( )0 0
n
eff
n F r
I
β φβ
+
equiv
(221)
( )0
in
i
n cC t
I
+
equiv (222)
1
I
ζ equiv (223)
0
extn
n qQ
I
δ+
equiv (224)
13
onde nρ eacute uma reatividade generalizada nQ eacute o valor da fonte externa ( )n
iC t eacute a
concentraccedilatildeo de precursores e ζ eacute um termo de subcriticalidade inserido pela funccedilatildeo
importacircncia
Agora ponderando a equaccedilatildeo (22) com 0n+ e dividindo pelo o fator de
normalizaccedilatildeo dado pela equaccedilatildeo (217) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) n n n
i i eff i i
dC t P t C t
dtβ λ= minus (225)
onde
0 0
in
i eff
n F
I
β φβ
+
equiv (226)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
proposta por Gandini et al (2000) considerando um grupo de precursores de
necircutrons eacute escrito da seguinte maneira
( )
( ) ( ) ( )( ) 1n
n n
dP tt P t C t P t q
dtρ β λ ζ Λ = minus + + minus + (227)
( )( )
( )n
dC tP t C t
dtβ λ= minus
(228)
onde ( )nP t eacute a potecircncia normalizada β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados ζ eacute o
iacutendice de subcriticalidade (que tende agrave zero quando o sistema se a proacutexima da
criticalidade) ( )ρ t eacute a reatividade generalizada do sistema ( )C t eacute a concentraccedilatildeo de
precursores e Λ tempo de geraccedilatildeo meacutedio de necircutrons
14
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Na funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011) existe um termo de
fonte adjunto que se torna significativo para os sistemas que estatildeo longe de
criticalidade Portanto a equaccedilatildeo da funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011)
foi
( ) ( )dagger
0 0 0 0
0
1
f
sub
A r F rk N
νε ε η+ + +
Σminus =
(229)
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0ε + e integrando em r
obteacutem-se
( )1
0 0 0 0
1
1 I
o i i ext
i
v A F c qt
ε ε ε β λ ε ε+ minus + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (230)
Realizando uma perturbaccedilatildeo no sistema da seguinte maneira
0 A A Aδminus rarr minus + (231)
0
1
sub
F F Fk
δrarr + (232)
Substituindo as equaccedilotildees (231) e (232) na equaccedilatildeo (230) e rearranjando os
termos vem
( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1
11
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q
ε ε ε δ ε β
ε β δ λ ε ε
+ minus + + +
+ + +
=
partΨ = minus Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + +sum
(233)
15
Somando e subtraindo 0 Fε β+ Ψ na equaccedilatildeo (233) e utilizando a equaccedilatildeo
(232) pode-se escrever
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q F
ε ε δ ε ε
ε δ λ ε ε ε β
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + minus Ψ + Ψ +
part
Ψ + + minus Ψsum
(234)
Agora ponderando-se a equaccedilatildeo (229) com ( )r tΨ
podemos escrever
segundo Silva (2011)
0 0 0 0
0
1
f
sub
A Fk N
νε ε η+ +minus Ψ + Ψ = minus Σ Ψ (235)
Substituindo a equaccedilatildeo (235) na equaccedilatildeo (234)
1
0 0
0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
v A F Ft
c qN
ε ε δ δ ε β
νλ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
partΨ = + Ψ minus Ψ +
part
minus Σ Ψ +sum (236)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t N t rφΨ asymp
(237)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )N t eacute a densidade necircutrons tem-se substituindo
a equaccedilatildeo (237) na equaccedilatildeo (236)
16
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t qN
ε φ ε δ δ φ ε β φ
νλ ε η φ ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus Σ +sum (238)
e como 0 0f
N ν φ= Σ pode-se escrever a equaccedilatildeo (238) da seguinte maneira
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
o
I
i i ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t q
ε φ ε δ δ φ ε β φ
λ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus +sum (239)
Dividindo a equaccedilatildeo (239) por 0oI Fε φ+= obteacutem-se
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
I
eff i i
i
dN tN t C t N t q
dtρ β λ
=
Λ = minus + minus Γ +sum (240)
onde
1
0
o
eff
v
I
ε φ+ minus
Λ equiv (241)
0 0
A F
I
ε δ δ φρ
+ +equiv (242)
0 0
eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (243)
( )0
i
i
cC t
I
ε +
equiv (244)
0
ext
I
ε +
equiv (245)
I
ηΓ equiv (246)
sendo ρ eacute uma relatividade generalizada Q eacute um termo relacionada agrave fonte externa
Γ um termo de subcriticalidade e ( )iC t eacute a concentraccedilatildeo de precursores
17
Procedendo de maneira anaacuteloga para a equaccedilatildeo (22) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) i i eff i i
dC t N t C t
dtβ λ= minus (247)
onde
0 0
i
i eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (248)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
segundo Silva (2011) eacute escrito como
( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ minus Γ + Σ (249)
( )
( ) ( )f
dC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
sdotΣ (250)
onde ϖ eacute a energia meacutedia liberada por fissatildeo Σ f eacute a seccedilatildeo de choque macroscoacutepica
de fissatildeo e β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
23 Cineacutetica Inversa
Usualmente o controle de um reator nuclear eacute feito atraveacutes do monitoramento
da reatividade o que torna o meacutetodo da cineacutetica inversa relevante A reatividade eacute
caracterizada por uma mudanccedila no fator de multiplicaccedilatildeo do reator o que o torna um
dos paracircmetros mais importantes em fiacutesica de reatores Nas seccedilotildees seguintes seratildeo
apresentadas as equaccedilotildees para o caacutelculo da reatividade
18
231 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Para obter-se a expressatildeo da cineacutetica pontual inversa eacute necessaacuterio resolver as
equaccedilotildees (227) e (228) Partindo da equaccedilatildeo (228) e utilizando meacutetodo do fator
integrante obteacutem-se
( ) ( )( )
t
t t
nC t P t e dt
λβ minus minus
minusinfin
= int (251)
Substituindo a equaccedilatildeo (251) na equaccedilatildeo (227) vem
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )( )1
tnt tn n
n
P tdP t P tt P t e dt Q
dt
λζλβ
ρ β minus minus
minusinfin
minus= minus + + +
Λ Λ Λint (252)
onde Q qequiv Λ eacute o termo de fonte de necircutrons Resolvendo a equaccedilatildeo (252) para
( )tρ tem-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )
0
0
1
ttt tn
n
n n n
n
n n
dP t P et P t e dt
P t dt P t P t
P t Q
P t P t
λλβ λβ
ρ β
ζ
minusminus minusΛ
= + minus minus
minus Λminus minus
int (253)
onde P0 = P(0)
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga a seccedilatildeo anterior e partindo das equaccedilotildees
(249) e (250) propostas por Silva et al encontra-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t
t ttdP t P Q
t e e P t dtP t dt P t P t P t
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus minusint (254)
19
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico
de Potecircncia
Existem vaacuterios meacutetodos de tratamento para a soluccedilatildeo ou aproximaccedilatildeo do
histoacuterico de potecircncia Esses meacutetodos visam diminuir o tempo de caacutelculo
computacional sem que seja introduzido um erro muito grande e podem envolver ou
natildeo uma fonte externa de necircutrons
A mediccedilatildeo da reatividade a partir da cineacutetica inversa permite que seu valor seja
analisado a cada instante pela variaccedilatildeo temporal do niacutevel de potecircncia do reator
(Ansari et al 2001)
Devido ao grande interesse nos reatores ADS apenas os meacutetodos que
envolvem fontes externas seratildeo apresentados sendo que o uacutenico que seraacute detalhado
eacute o meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear
31 Meacutetodo de Agrupamento
Na partida do reator a contribuiccedilatildeo da fonte externa de necircutrons deve ser
considerada Assim Hoogenboom et al (1998) escrevem a equaccedilatildeo da cineacutetica
inversa como
( )( )
( ) ( )( )
1 i
t t t
i i
i
c St e P t dt
P t P t
λρ β β λ minus minus
minusinfin
Λ= minus minussum int (31)
A integral da equaccedilatildeo (31) pode ser calculada recursivamente atraveacutes de
amostragens de P(t) usando interpolaccedilatildeo linear entre duas amostras consecutivas
Pn-1 = P(tn -1) e Pn = P(tn) separadas por um intervalo t∆ Portanto
20
( ) ( )
1
1
1 1
1
in
i n i
i
i
tt t t t n
n n
i i
ttn
i i
P eI e P t dt e I
t
P ee
t
λλ λ
λλ
λ λ
λ λ
minus ∆minus minus minus ∆
minusminusinfin
minus ∆minus ∆minus
minus= = + minus
∆
minusminus minus
∆
int (32)
Introduzindo a seguinte funccedilatildeo
( ) ( ) ( ) i
t t t
i i
i
g t e P t dtλβ λ minus minus
minusinfin=sum int (33)
e reescrevendo a equaccedilatildeo (31) em funccedilatildeo de ( )g t tem-se
( )( )( ) ( )
Sg t
tP t P t
ρρ β= minus minus (34)
Para um reator subcriacutetico com potecircncia constante na presenccedila de fonte
externa de necircutrons (S) obteacutem-se
ou S S
PP
ρ ρρρ
= minus = minus (35)
Este meacutetodo pode ser resumido nos seguintes passos
No intervalo desejado divide-se as seacuteries de P(t) e g(t) em trecircs grupos de
mesma duraccedilatildeo
1 Calcula-se os conjuntos de valores de cada um dos grupos ( )1 1P g
( )2 2P g e ( )3 3
P g
2 Estima-se os valores do gradiente ( )β ρminus e o interseccedilatildeo ( )Sminus Λ atraveacutes
de
( ) 3 1
3 1
g g
P Pβ ρ
minusminus =
minus (36)
( ) ( ) S g Pβ ρminus Λ = minus minus (37)
21
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada
Neste meacutetodo Kitano et al (2000) escreve a expressatildeo da reatividade como
( )( )
( )( )
( ) ( )( )6
1
i i
i
S t dP tt C t
P t P t P t dtρ β λ
=
ΛΛ Λ= minus minus +sum (38)
Segundo o autor o termo ( )
( )dP t
P t dt
Λ pode ser negligenciado pois o erro
inserido eacute menor que 1 para um amplo intervalo de reatividade Portanto a equaccedilatildeo
(38) eacute escrita como
( )( )
( )( )
( )
6
1
i i
i
S tt C t
P t P tρ β λ
=
ΛΛ= minus minussum (39)
Por conveniecircncia computacional a equaccedilatildeo da concentraccedilatildeo de precursores
pode ser escrita da seguinte forma (Kitano et al 2000)
( ) ( ) ( ) 16ii i i iC t t P t C t C t t i
βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =
Λ (310)
onde P e iC satildeo os valores meacutedios para o incremento de tempo t∆
Portanto a equaccedilatildeo (39) pode ser escrita na seguinte forma
( ) ( ) ( ) ( )6
1
i i
i
g t C t S P tλ β ρ=
equiv Λ = minus Λ + minussum (311)
onde a fonte de necircutrons (S) e a reatividade satildeo constantes Esta equaccedilatildeo pode ser
considerada como uma equaccedilatildeo linear de P(t)
Considerando que o sinal da potecircncia tenha um grande erro principalmente na
operaccedilatildeo em baixa potecircncia pode-se aplicar filtros para ruiacutedo de alta frequecircncia e
tambeacutem de baixa frequecircncia da seguinte forma
22
1
1 N
i j
j
P PN =
= sum (312)
e
( )1 1 i i i i
tP P P P
t τminus minus
∆= + minus
∆ + (313)
onde Pj eacute a medida da potecircncia medida iP eacute a potecircncia meacutedia e N eacute o nuacutemero de
amostras τ eacute a constante de tempo e i
P eacute a saiacuteda da equaccedilatildeo (313)
A introduccedilatildeo da memoacuteria baacutesica indexada eacute segundo os autores um novo
ldquotermocircmetrordquo para diagnosticar um transiente sendo definido por
[ ] 1 1
6
1
1
i i
i
CM I
C
λ β
βλ
=
equiv
sum (314)
A memoacuteria baacutesica indexada (MI) eacute a normalizaccedilatildeo das emissotildees de necircutrons
retardados do primeiro grupo sobre o total de emissotildees de necircutrons retardados Note
que a MI assume valor unitaacuterio quando o reator estaacute em estado estacionaacuterio Assim
ela pode ser usada para detectar o iniacutecio e o final de um transiente para a aplicaccedilatildeo do
meacutetodo de grupo
23
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da
intensidade da fonte externa
A equaccedilatildeo da cineacutetica inversa escrita com uma discretizaccedilatildeo no tempo e
assumindo que a potecircncia do reator varia com ( ) 1jt
jn t n emicro
minus= onde
( )1log j j j
n n tmicro minus= ∆ eacute dada por (Tamura 2003)
6
1
j
j eff i i j
ij j j
nC S
n t n nρ β λ
=
∆Λ Λ Λ= + minus minus
∆sum (315)
onde
1
1 1
i
i
t
j jt ii j i j
j
i
j
n n eC C e
n
n t
λ
λ β
λ
minus ∆minusminus ∆
minus
minus= +
∆Λ+
∆
(316)
Note que o subiacutendice j representa os valores no tempo j e S eacute a fonte externa
de necircutrons
Considerando as seguintes condiccedilotildees iniciais
( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)
e
0 0 S nρ = minusΛ (318)
tanto a reatividade ρ quanto a fonte S satildeo obtidas pelo meacutetodo dos miacutenimos
quadrados (Diacuteaz 2007)
24
34 Meacutetodo das Derivadas
As equaccedilotildees (253) e (254) obtidas no capiacutetulo anterior envolvem a mesma
integral em funccedilatildeo da potecircncia do reator Esta integral tambeacutem chamada de histoacuterico
de potecircncia deve ser calculada desde o iniacutecio da operaccedilatildeo do reator ateacute o tempo atual
de maneira contiacutenua ou seja exige monitoramento constante da potecircncia Aleacutem disso
o armazenamento desta informaccedilatildeo eacute necessaacuterio durante toda operaccedilatildeo do reator
para possibilitar a recuperaccedilatildeo da informaccedilatildeo da reatividade caso ocorra uma
interrupccedilatildeo em seu caacutelculo
Para o caso dos reatores subcriacuteticos o monitoramento contiacutenuo da reatividade
eacute imprescindiacutevel para seu funcionamento normal Como a produccedilatildeo de necircutrons eacute
insuficiente para manter as reaccedilotildees nucleares nesses reatores a reatividade pode ser
um paracircmetro utilizado para o monitoramento e ajuste da intensidade do feixe de
proacutetons para manter as reaccedilotildees nucleares produccedilatildeo de energia eleacutetrica constante
durante a operaccedilatildeo do reator
O meacutetodo das derivadas estaacute baseado na integraccedilatildeo por partes da integral do
histoacuterico de potecircncia da equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa resultando em uma seacuterie
de potecircncias em funccedilatildeo da potecircncia nuclear do reator com dependecircncia temporal
(Diacuteaz 2007) Este meacutetodo de caacutelculo da reatividade permite a possibilidade do reiniacutecio
do caacutelculo apoacutes sua interrupccedilatildeo causada por um problema no funcionamento do
equipamento de mediccedilatildeo ou seja com este meacutetodo natildeo eacute necessaacuterio um caacutelculo
contiacutenuo Aleacutem disso pode-se obter a reatividade sem a dependecircncia da memoacuteria da
potecircncia nuclear o que torna o caacutelculo mais raacutepido se comparado ao tempo necessaacuterio
para a resoluccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
Para a obtenccedilatildeo da expressatildeo do meacutetodo das derivadas deve-se resolver a
integral da equaccedilatildeo (254) ou da equaccedilatildeo (253) por partes Assim obteacutem-se
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tP t P e
I t e P t dt P t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (319)
onde P(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (319) tem-se
25
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2
2 2 2
0
0 0 1
t t tt tP t P e P t P e
I t P t e dt
λ λλ
λ λ λ λ λ
minus sdot minus sdotminus sdot minus
= minus minus + minus int (320)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (320) por partes obteacutem-se
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
2 2
3
3 3 3
0
0 0
1
t t
t tt t
P t P e P t P eI t
P t P t eP t e dt
λ λ
λλ
λ λ λ λ
λ λ λ
minus minus
minusminus minus
= minus minus + +
minus minus int
(321)
Aplicando esta soluccedilatildeo n vezes podemos escrever
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1 10 0 0
0 1 1
n n k t tt tk kn n
n n kn n
P t P e P t eI t dt
λλ
λ λ λ
+ minus minusminus
+ + += =
= minus minus minus minussum sum int (322)
ou ainda
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(323)
341 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2m-1 assim a equaccedilatildeo (323) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
m t tt tt t
m
n n tm mn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(324)
26
Supondo que a forma de P(t) satisfaccedila agraves condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n P tP t P t
P t
minus
minus
=
(325)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n P tP t P t
P t
=
(326)
onde ( ) ( )
( )
2
P t
cte tP t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial entre outras
Substituindo a equaccedilatildeo (326) na equaccedilatildeo (324) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
m
n nm m
n n t
n nn n
P te P t dt P t e dt
P t
P t P t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(327)
Como ( ) ( )
( )
2P t
cteP t
= podemos escrever a equaccedilatildeo (327) como
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 1 2 1
1 10 00
1 11
n n nt m mt t n n t
n nn n
P te P t dt P t P t e
P t
λ λ
λ λ
minus minusminus minus minus sdot
+ += =
minus minus minus = minus
sum sumint
(328)
Logo
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e P t dt S t S tλminus minus
= +int (329)
27
sendo
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
nm
n
nnn
S P t
P t
P t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (330)
e
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
nm
n t
nnn
S P t e
P t
P t
λ
λ
minusminus sdot
+=
minusequiv minus
minus
sum (331)
Analisando inicialmente a equaccedilatildeo (330) pode-se escrever o seu somatoacuterio
da seguinte forma
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nm m mn
n n nn n n
P t P tP t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (332)
Utilizando as equaccedilotildees (325) e (326) na equaccedilatildeo (332) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
11 22 1 1
1 2 20 0
1
nnm m
n
nn n
P t P t P tP t
P tλ λ λ λ
minusminus minus
+= =
minus = minus
sum sum (333)
Lembrando que
( )1
0
1
1
mm
n
n
a rar
r
+
=
minus=
minussum (334)
identificando ( ) ( )
( )
2
2
P tr
P tλ= e a =1 na equaccedilatildeo (333) vem
28
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nm
n
nn
P t
P tP t P tP t
P t
P t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (335)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (335) na equaccedilatildeo (330) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
22
22
1 22
22
1
11
n
n
P tP t P t
P tS
P tP t
P tP t
λλ λ
λλ
minus minus = minus minus
(336)
Simplificando e rearranjando os termos da equaccedilatildeo (336) chega-se a
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
P t P tS P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (337)
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (331) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tP PS P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (338)
Finalmente podemos escrever a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo
329) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
e P t dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (339)
29
342 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par entatildeo k=2m-2 assim a equaccedilatildeo (323) torna-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t t
t t m t t
m
n n tm mn n
n nn n
P t e dt P t e dt
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(340)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (325) vem
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
12
1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
mt t
t t t t
m
n n tm mn n
n nn n
P tP t e dt P t e dt
P t
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus
minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(341)
Da equaccedilatildeo (319) pode-se escrever
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
0 0
0
t tt t t tt
P t e dt P t P e e P t dtλ λλ λminus minus minus minusminus sdot= minus minusint int (342)
Substituindo a equaccedilatildeo (342) na equaccedilatildeo (341) e rearranjando os termos
obteacutem-se
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt mt t n n t
m nn
mn n t
m m
P t e dt P t P e
P t
P t
P t P e P t
P tP t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(343)
Desenvolvendo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (343) tem-se
30
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
P t e dt S t S tλminus sdot minus
= minusint (344)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nm
n
m nn
S t P t
P t
P t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (345)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nm
n t
m nn
S t P e
P t
P t
λ
λ
λ
minusminus sdot
minus +=
minusequiv
minus
sum (346)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior eacute faacutecil mostrar que
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
P t P tS t P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (347)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tP PS t P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (348)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k que o histoacuterico de
potecircncia eacute dado pela seguinte expressatildeo
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t t
P t P t P Pe P t dt P t P e
P t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (349)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo Sendo assim a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo 319)
pode ser escrita da seguinte forma
31
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
P t e dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
sdotminus minus= minus
minus minusint (350)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa baseada na formulaccedilatildeo
proposta por Gandini (2001) equaccedilatildeo (252) como
( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
tnn
n n n n
n n n n
n n
n n n n n
t
P tdP t P e Qt
P t dt P t P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ= + minus minus minus minus
minus minus minus
minus minus
(351)
E para o formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se substituindo a
equaccedilatildeo (350) na equaccedilatildeo (254) a expressatildeo para a reatividade sem a dependecircncia
do histoacuterico de potecircncia
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
dP t P Qt e
P t dt P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
βρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + Γ + minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(352)
32
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com
dependecircncia temporal de β e Λ
Nas seccedilotildees anteriores as mudanccedilas da composiccedilatildeo do combustiacutevel nuclear
natildeo foram levadas em consideraccedilatildeo Essas mudanccedilas podem levar a caacutelculos
discrepantes da reatividade quando comparados a mediccedilotildees experimentais nos
reatores Aleacutem disso conhecer com precisatildeo o valor da reatividade contribui com a
melhora do desempenho da central nuclear
Assim nesta seccedilatildeo as dependecircncias temporais da fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons seratildeo consideradas para o
caacutelculo da reatividade tanto na formulaccedilatildeo proposta por Gandini et al (2000) quanto
na formulaccedilatildeo proposta por Silva et al (2011) Os demais paracircmetros nucleares
permaneceratildeo constantes pois suas variaccedilotildees satildeo pouco significativas (Scall 2010)
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
As equaccedilotildees propostas por Gandini et al (2000) com dependecircncia temporal da
fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons eacute dada por
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n
n n
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λ ζΛ = minus + + minus + (41)
( ) ( )( )
( )n
dC tt P t C t
dtβ λ= minus
(42)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo 231 pode-se escrever partindo da
equaccedilatildeo (42) que a concentraccedilatildeo de precursores eacute dada pela seguinte expressatildeo
( ) ( ) ( ) ( )
t t t
nC t t P t e dtλβ minus minus
minusinfin= int (43)
33
Substituindo a equaccedilatildeo (43) na equaccedilatildeo (41) obteacutem-se a seguinte expressatildeo
para a reatividade
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
0
0
1
t t tn t
n n n
n
n
t dP t At t e A t e dt
P t dt P t P t
P t t Q t
P t P t
λλλ λρ β
ζ
minus minusminusΛ= + minus minus
minus Λ minus minus
int
(44)
onde ( ) ( )nA t P tβequiv e ( ) ( )Q t q tequiv Λ
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
As equaccedilotildees da cineacutetica propostas por Silva et al (2011) com dependecircncia
temporal de Λ e β satildeo
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ + Γ + Σ (45)
( )( )
( ) ( )f
tdC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
Σ (46)
Resolvendo a equaccedilatildeo (46) pelo o meacutetodo do fator integrante obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( )1
t t t
f
C t t P t e dtλβ
ωminus minus
minusinfin=
Σ int (47)
Substituindo a equaccedilatildeo (47) na equaccedilatildeo (45) chega-se a expressatildeo da
reatividade com dependecircncia temporal de β e Λ
34
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t t ttt dP t A
t t e A t e dtP t dt P t P t
t Q t
P t
λλλ λρ β minus minusminusΛ
= + minus minus
ΛminusΓ minus
int (48)
onde ( ) ( ) ( )A t t P tβequiv e ( ) ( ) fQ t q tωequiv Σ Λ
43 Meacutetodo das Derivadas para
Dependecircncia Temporal de β e de Λ
De acordo com a seccedilatildeo 34 a integral das equaccedilotildees (44) e (48) podem ser
resolvidas por partes assim obteacutem-se (Scal 2012)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tA t A e
I t e A t dt A t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (49)
onde A(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (49) por partes n vezes pode-se escrever
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
A t ee A t dt dt
A t A e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(410)
35
431 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2j-1 assim a equaccedilatildeo (410) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
j t tt tt t
j
n n tj jn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minus sdotminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(411)
Admitindo que a forma de A(t) satisfaccedila as condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n A tA t A t
A t
minus
minus
=
(412)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n A tA t A t
A t
=
(413)
onde ( ) ( )
( )
2
A t
cte tA t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial
Substituindo as condiccedilotildees (412) e (413) na equaccedilatildeo(411) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
k
n nj jn n t
n nn n
A te A t dt A t e dt
A t
A t A t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(414)
ou ainda
36
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e A t dt S t S tλminus minus
= +int (415)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
njn
nnn
S t A t
A t
A t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (416)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
njn t
nnn
S t A t e
A t
A t
λ
λ
minusminus
+=
minusequiv minus
minus
sum (417)
Reescrevendo o somatoacuterio da equaccedilatildeo (416) tem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nj j jn
n n nn n n
A t A tA t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (418)
Utilizando as condiccedilotildees (412) (413) e recordando da relaccedilatildeo (334) pode-se
escrever
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nj
n
nn
A t
A tA t A tA t
A t
A t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (419)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (419) na equaccedilatildeo (416) obteacutem-se apoacutes
simples manipulaccedilotildees algeacutebricas
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
A t A tS A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (420)
37
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (417) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tA AS A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (421)
Finalmente pode-se escrever a equaccedilatildeo (49) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (422)
432 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par k+1 = 2j-1 entatildeo k=2j-2 assim a equaccedilatildeo (410) torna-
se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t tt t j t t
j
n n tj jn n
n nn n
A t e dt A t e dt
A t A e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(423)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (412) e lembrando-se da equaccedilatildeo (49)
pode-se escrever a equaccedilatildeo (423) como
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt jt t n n t
j nn
jn n t
j j
A t e dt A t A e
A t
P t
A t A e A t
A tA t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus sdot minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(424)
38
Abrindo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (424) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
A t e dt S t S tλminus minus
= minusint (425)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nj
n
j nn
S t A t
A t
A t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (426)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nj
n t
j nn
S t A e
A t
A t
λ
λ
λ
minusminus
minus +=
minusequiv
minus
sum (427)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior tem-se
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
A t A tS t A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (428)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tA AS t A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (429)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (430)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo assim a equaccedilatildeo (49) pode ser escrita da seguinte forma
39
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
A t e dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus sdot minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (431)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa com
dependecircncia temporal de β e Λ baseada na formulaccedilatildeo proposta por Gandini (2001)
(equaccedilatildeo 44) como
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
nn t
n n n n
n
t
P tt dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
ζλρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ = + minus minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(432)
Para o formalismo proposto por Silva et al (2011) equaccedilatildeo (48) tem-se
( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
t dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
λρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + minus minus Γ minus
minus minus minus minus
minus minus
(433)
40
5 Caacutelculo da reatividade para algumas
variaccedilotildees da potecircncia nuclear
51 Potecircncia Linear
511 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Durante a partida de um reator nuclear a sensibilidade do sistema de mediaccedilatildeo
pode natildeo identificar o aumento da potecircncia assim uma inserccedilatildeo de reatividade brusca
causaraacute um crescimento instantacircneo da potecircncia podendo causar um acidente no
circuito primaacuterio (Zhang et al 2008)
Para contornar esse problema deve-se inserir a reatividade de maneira suave
ateacute que o reator chegue alcance a sua potecircncia de operaccedilatildeo Para isto consideramos
uma variaccedilatildeo linear da potecircncia da forma
( ) 0 nP t P wt= + (51)
a uma taxa 0001w = Substituindo a equaccedilatildeo (51) na equaccedilatildeo (253) pode-se
escrever
( )( )
( ) ( ) ( )( )
0 0
0 0
0
0
0 0 00
1
t
tt t
d P wt P et
P wt dt P wt
P wt QP wt e dt
P wt P wt P wt
λ
λ
βρ β
ζλβ
minus
minus minus
+Λ= + minus
+ +
minus + Λminus + minus minus
+ + +int
(52)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (52)vem
41
( )
( ) ( )( )( )
0
0 0
0
0 0 0 0
1
t
P wtwt
P wt P wt
P wtw we Q
P wt P wt P wt P wt
λ
λβρ β
λ
ζβ β
λ λ
minus
+Λ = + minus +
+ +
minus + Λminus minus minus
+ + + +
(53)
Reescrevendo a equaccedilatildeo (53) obteacutem-se
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(54)
Utilizando o meacutetodo das derivadas podemos escrever
( )( )( )
( )
00
0 0 0
0 0
0 0
1
t
t
P wtPwt e
P wt P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
minus +Λ= + minus minus
+ + +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(55)
Manipulando a equaccedilatildeo (55) vem
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(56)
Pode-se observar que a soluccedilatildeo encontrada pelo meacutetodo das derivadas
equaccedilatildeo (56) eacute exatamente a mesma que a soluccedilatildeo encontrada atraveacutes da resoluccedilatildeo
do histoacuterico de potecircncia equaccedilatildeo (54)
42
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Analisando o comportamento da reatividade atraveacutes da variaccedilatildeo linear da
potecircncia tem-se fazendo ( ) 0P t P wt= + na equaccedilatildeo (254)
( ) ( ) ( )00
0 0 0 00
tt ttPw Q
t e e P wt dtP wt P wt P wt P wt
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus + minus+ + + +int
(57)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (57) obteacutem-se
( )( )0 0 0
( ) 1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λ βρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(58)
Utilizando-se o meacutetodo das derivadas tem-se
( )
( )
0
0 0
0 0
0 0
t
t
Pwt e
P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
βρ β
λ λβ
λ λ
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
+ +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(59)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )0 0 0
1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λβρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(510)
Novamente as expressotildees encontradas pela a soluccedilatildeo da integral do histoacuterico
de potecircncia equaccedilatildeo (58) eacute exatamente a mesma que a expressatildeo final utilizando o
meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (510)
43
52 Potecircncia Constante
Todo reator nuclear eacute projetado para operar em determinado niacutevel de potecircncia
nuclear ou seja durante sua operaccedilatildeo normal o reator funciona a uma potecircncia
constante Assim eacute importante avaliar o comportamento da reatividade de um reator
nessas condiccedilotildees
521 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Entatildeo sendo Pn(t) = P0 o segundo termo da equaccedilatildeo (253) desaparece e
assim pode-se escrever
( ) ( ) ( ) 0
0 00
1
t
t ttP Q
t e e dtP P
λλ ζρ β β λβ minus minusminus minus Λ
= minus minus minus minusint (511)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (511) obteacutem-se
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (512)
Aplicando o meacutetodo das derivadas tem-se
( )( )0
0
0 00 0
0 0 0 0
1
t
t
Pt e
P
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ζρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minus= minus minus
Λminus minus
(513)
Assim vem
44
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (514)
Mais uma vez observa-se que as equaccedilotildees finais para a reatividade para
potecircncia constante satildeo idecircnticas tanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia
equaccedilatildeo (512) quanto utilizando o meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (514)
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Avaliando a operaccedilatildeo do reator a uma potecircncia constante ou seja substituindo
P(t) = P0 na equaccedilatildeo (254) tem-se
( ) ( )
00
tt tt Q
t e e dtP
λλρ β β λβ minus minusminus Λ= + Γ minus minus minusint (515)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (515) tem-se segundo o
formalismo de Silva et al
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (516)
Jaacute atraveacutes do uso do meacutetodo das derivadas obteacutem-se
( )
0 00 0
0 0 0 0
t
t
t e
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
= + Γ minus minus
Λminus minus
(517)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias temos
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (518)
45
Novamente observa-se que as equaccedilotildees (516) e (518) para a reatividade satildeo
idecircnticas independente do meacutetodo de soluccedilatildeo abordado
53 Potecircncia Exponencial
531 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Outra variaccedilatildeo caracteriacutestica da potecircncia nuclear eacute a forma exponencial
Assim supondo uma variaccedilatildeo deste tipo para potecircncia na equaccedilatildeo (253) pode-se
avaliar o comportamento cineacutetico do reator Nessas condiccedilotildees substituindo
( ) 0
tP t P e
α= na equaccedilatildeo (253) obteacutem-se
( ) ( )
( )
( )
0
0
0 0
1
ttt t
t
t t
t e e e dt
P e Q
P e P e
α λλ α λ
α
α α
ρ β α β λβ
ζ
+minus + minus
minus sdot
= + Λ minus minus minus
minus Λminus
int (519)
Resolvendo a integral tem-se
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus sdot
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(520)
Agora pelo meacutetodo das derivadas podemos escrever
46
( )( )00 0
0 0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
1
tt t
t t t
t tt t
t t t t
P eP e P et
P e P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
αα λ
α α α
α αα λ
α α α α
ζα βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minusminus
minus
minusΛ= + minus minus
minus minus Λ minus minus minus
minus minus
(521)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(522)
As expressotildees obtidas utilizando-se tanto o meacutetodo das derivadas quando
resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia satildeo idecircnticas
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior e substituindo uma variaccedilatildeo
exponencial temos para o formalismo de Silva et al (2011)
( ) ( ) ( )
00
tttt
t t
e Qt e e dt
e P e
λα λλ α
α α
λβρ β α β
minus+minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus minusint (523)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (523) vem
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(524)
Novamente utilizando o meacutetodo das derivadas obteacutem-se
47
( ) 0 0
0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
t t
t t
t tt t
t t t t
P e P et
P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
α λ
α α
α αα λ
α α α α
α βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
minus minus Λ minus minus
minus minus
(525)
Manipulando a equaccedilatildeo acima chega-se agrave
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(526)
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
Nesta seccedilatildeo seraacute avaliado o comportamento das equaccedilotildees da cineacutetica pontual
para sistemas subcriacuteticos em caso de funcionamento anormal do reator Inicialmente o
reator seraacute avaliado com uma rampa da potecircncia depois operando em uma queda
suacutebita de potecircncia e em outros momentos pode ocorrer uma grande elevaccedilatildeo de
potecircncia Para isso a variaccedilatildeo da potecircncia foi simulada durante seis horas da
seguinte maneira
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(527)
onde w1 = 0001 Ws w2=001 Ws w4 = 0005 Ws w5=0005 Ws
Portanto admitindo que em todas as variaccedilotildees de potecircncia pode-se utilizar o
resultado da seccedilatildeo 511 assim para o formalismo proposto por Gandini agrave reatividade
se escreve da seguinte forma
48
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 0 11
0 1 0 1 0 1 0 1
2 0 22
0 2 0 2 0
1 1 0 1
1 2
1 1( )
t
t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
t h
e w P w twt
P w t P w t P
λ
λ
β ζ
λ
ζ
β ζρ
λ
minus
minus
minus minus +Λ Λ+ minus minus lt le
+ + + +
minus lt le
minus sdot minus +Λ= + minus
+ + +
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 0 2
4 0 44
0 4 0 4 0 4 0 4
5 0 55
0 5 0 5 0 5 0 5
2 4
1 1 4 5
1 1 5 6
t
t
Qt h
w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
λ
λ
β ζ
λ
β ζ
λ
minus
minus
Λ
minus lt le+
minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + + minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + +
(528)
Jaacute para o formalismo proposto por Silva et al tem-se utilizando o resultado da
seccedilatildeo 512
( )( )
( )( )
( )
1 1
0 1 0 1 0 1
2 2
0 2 0 2 0 2
4
0 4
1 0 1
1 2
( ) 1 2 4
1
t
t
t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
t h
w w Qt e t h
P w t P w t P w t
we
P w t
λ
λ
λ
β
λ
βρ
λ
β
minus
minus
minus
Λ ΛΓ + + minus minus lt le
+ + +
Γ lt le
Λ Λ= Γ + + minus minus lt le
+ + +
ΛΓ + + minus
+ ( )
( )( )
4
0 4 0 4
5 5
0 5 0 5 0 5
4 5
1 5 6t
w Qt h
P w t P w t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
λ
λ
β
λminus
Λ
minus lt le+ +
Λ ΛΓ + + minus minus lt le+ + +
(529)
49
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com
Dependecircncia temporal de β e Λ
Neste capiacutetulo seraacute suposto que tanto a fraccedilatildeo de necircutrons retardados quanto
e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente de acordo com
( ) 0t Btβ β= + (61)
e
( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)
onde o coeficiente linear β0 tem valor 000706 o coeficiente angular B eacute -217857 x 10-
7 pcm Jaacute os valores dos coeficientes da variaccedilatildeo do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de
necircutrons satildeo Λ0 = 11661 x 10-5 s e c = -714286 x 10-10 s
61 Potencia Linear
611 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
No processo de obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo (56) natildeo foi considerado nenhuma
variaccedilatildeo temporal dos paracircmetros β e Λ Para se ter um resultado mais proacuteximo do
funcionamento real de um reator considera-se agora que a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente com o tempo
de acordo com (61) e (62) Assim substituindo essas equaccedilotildees na equaccedilatildeo (432)
obteacutem-se
50
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
t
t
P wtct w P et Bt
P wt P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(63)
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior ou seja substituindo as equaccedilotildees
(61) (62) e (51) agora na equaccedilatildeo(433) vem
( )( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
2
2
2
t
t
ct w P et Bt
P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(64)
51
62 Potecircncia Constante
621 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Nesta seccedilatildeo considera-se uma situaccedilatildeo que a potecircncia nuclear permaneccedila
constante durante a operaccedilatildeo do reator Assim Substituindo as equaccedilotildees (61) e (62)
equaccedilatildeo (432) obteacutem-se
( ) ( )( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 00
0 0
1
1
t Bt Bt P e P
P ct QP B
P P
λρ β λβλ
ζ
λ
minus = + minus minus minus minus
minus Λ +minus minus minus
(65)
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Novamente repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior poreacutem substituindo as
equaccedilotildees (61) (62) e (51) na equaccedilatildeo (433) tem-se
( ) ( )( )( )00
0 0 0 0
0
1 tct QP BB
t Bt P e PP
λρ β λβλ λ
minus Λ + = + minus minus minus minus minus minus Γ minus
(66)
52
63 Potecircncia Exponencial
631 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Supondo que a potecircncia varie de acordo com ( ) 0
tP t P e
α= obteacutem-se
substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da potecircncia nuclear na
equaccedilatildeo (432) vem
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
1
2
12
t
t
t
P e ct Qt Bt ct
P e P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
α
α
λ α
ζρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
minus Λ += + + Λ + minus minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(67)
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Agora substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia nuclear na equaccedilatildeo (433) vem
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
0
0 0
0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
2
1 2
t
ct Qt Bt ct
P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
λ α
ρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
Λ += + + Λ + minus Γ minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(68)
53
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo 54 temos uma variaccedilatildeo de potecircncia dada
por
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(69)
Assim para o formalismo proposto por Gandini a reatividade se torna
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
tii
i i i
i i i i
i i i
i
i i
t
P w tct w P et Bt
P w t P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(610)
onde wi assume os seguintes valores w1 = 0001 w2=001 ou w4 = 0005 Jaacute para o
formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se
( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
( )
2
2
2
ti
i i
i i i i
i i i
i
i i
t
ct w P et Bt
P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(611)
54
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica
O meacutetodo de Monte Carlo pode ser caracterizado como uma teacutecnica de caacutelculo
de forccedila bruta que eacute bem adequado para problemas complicados que consistem de
vaacuterias subtarefas bem definidas Eacute um meacutetodo simples e intuitivo e manteacutem uma
estreita relaccedilatildeo com o problema que estaacute sendo resolvido
Atualmente o meacutetodo de Monte Carlo eacute amplamente utilizado em vaacuterios
campos como na fiacutesica matemaacutetica economia e engenharia Uma de suas primeiras
aplicaccedilotildees praacuteticas foi na modelagem de problemas de transporte de partiacuteculas
(Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo de caacutelculo foi chamada de Monte Carlo pelos cientistas Stanislav
Ulam John von Neumann e Metropolis Nicholas no final de 1940 quando este meacutetodo
foi usado para resolver problemas de transporte de partiacuteculas na pesquisa de armas
nucleares As raiacutezes do desenvolvimento da teoria moderna da probabilidade e
estatiacutestica data do seacuteculo 19 Poreacutem a primeira publicaccedilatildeo registrada que aborda este
meacutetodo data de 1949 (Yoriyaz 2009)
O sucesso da aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo (MMC) pelos cientistas de Los
Alamos se decorreu devido agrave computaccedilatildeo numeacuterica De fato mesmo se todos os
aspectos teoacutericos fossem resolvidos a utilizaccedilatildeo em grande escala do meacutetodo natildeo
seria possiacutevel sem esta ferramenta
O meacutetodo Monte Carlo eacute muito diferente dos meacutetodos de transporte
determiniacutesticos que geralmente baseiam-se na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de transporte de
necircutrons Assim para fazer com que o problema seja passiacutevel de uma soluccedilatildeo
computacional eacute necessaacuteria a realizaccedilatildeo de uma discretizaccedilatildeo das variaacuteveis tanto no
espaccedilo quanto na energia A forccedila do meacutetodo de Monte Carlo reside na capacidade
em calcular estimativas estatiacutesticas para taxas de reaccedilatildeo sem necessitar da soluccedilatildeo
explicita para a distribuiccedilatildeo do fluxo Aleacutem disso a capacidade de lidar com variaccedilotildees
complexas das variaacuteveis espaciais e de energia eacute o que torna a alternativa do MMC
mais atraente que os meacutetodos de transporte determiniacutesticos (Leppaumlnen 2007)
Mesmo que a abordagem determinista tenha demonstrado sua viabilidade para
simular reatores criacuteticos ela eacute amplamente utilizada Poreacutem esta metodologia
apresenta alguns inconvenientes que se tornam importantes no caso de um reator
subcriacutetico com um acelerador de partiacuteculas acoplado como por exemplo a introduccedilatildeo
de uma aproximaccedilatildeo devido agrave conversatildeo do espectro de energia dos necircutrons para
55
uma grade de energia e espaccedilo para os coacutedigos que utilizam uma abordagem
multigrupo (Kady et al 2001)
Por utilizar seccedilotildees de choques pontuais a simulaccedilatildeo Monte Carlo eacute livre de
quase todos os inconvenientes que aparecem nas simulaccedilotildees determiniacutesticas Poreacutem
sua precisatildeo varia inversamente com a raiz quadrada do nuacutemero de eventos
processados Isso representa um problema potencialmente grande de tempo de
processamento em particular quando a simulaccedilatildeo abrange toda a vida uacutetil da
produccedilatildeo de energia do sistema
No meacutetodo Monte Carlo para a simulaccedilatildeo de transporte de radiaccedilatildeo as
respostas satildeo obtidas simulando partiacuteculas individuais e gravando alguns aspectos de
seu comportamento meacutedio Se os modelos dessas interaccedilotildees utilizados nas
simulaccedilotildees satildeo suficientementes proacuteximos da realidade o resultado estaraacute proacuteximo do
processo real
Os componentes importantes de meacutetodos de simulaccedilatildeo de Monte Carlo satildeo as
funccedilotildees de densidade de probabilidade a geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios as regras
de amostragem a computaccedilatildeo de resultados as estimativas de erros e a reduccedilatildeo de
variacircncia conforme mostra a Figura 71 Aleacutem disso os algoritmos eficientes para
paralelizaccedilatildeo satildeo uacuteteis para a implementaccedilatildeo do meacutetodo de Monte Carlo para uso em
cluster de computadores (Grisell 2004)
O meacutetodo de Monte Carlo utiliza aleacutem do teorema do limite central modelos
fiacutesicos de interaccedilatildeo ou seja um conjunto de seccedilotildees de choque diferenciais para os
mecanismos de interaccedilatildeo relevantes do sistema a ser simulado (Salvat et al 2003)
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de Yoriyaz 2009
Gerador de
nuacutemeros
aleatoacuterios
Teacutecnicas de
amostragem Resultados
Funccedilatildeo de densidade de probabilidade
56
Essas seccedilotildees de choque diferenciais determinam as funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de
probabilidades de variaacuteveis aleatoacuterias
Esses conjuntos de funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de probabilidade caracterizam uma
histoacuteria e determinam o tipo de interaccedilatildeo sofrida pela partiacutecula por exemplo se a
partiacutecula sofreraacute uma mudanccedila de energia e de direccedilatildeo de propagaccedilatildeo se ela apenas
sofreraacute algum desvio angular ou se ocasionaraacute fissatildeo
Caso o nuacutemero de histoacuterias (uma histoacuteria inclui desde a geraccedilatildeo de uma
partiacutecula ateacute sua lsquofugarsquo ou absorccedilatildeo aleacutem de todas as outras partiacuteculas que podem ser
produzidas por exemplo atraveacutes da fissatildeo) seja suficientemente grande informaccedilotildees
quantitativas sobre o processo de transporte podem ser obtidas simplesmente por uma
meacutedia de mais histoacuterias simuladas
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo eacute em experimentos em que os resultados
satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Ao se comparar os meacutetodos MC e de variaacuteveis discretas normalmente se diz
que o MC resolve a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral enquanto o meacutetodo
de variaacuteveis discretas resolve a equaccedilatildeo na sua forma integro-diferencial Poreacutem as
duas equaccedilotildees satildeo formas diferentes da mesma equaccedilatildeo e assim quando se resolve
uma obteacutem-se a soluccedilatildeo da outra (Mosteller et al 2003)
Como o meacutetodo MC resolve o problema simulando histoacuterias das partiacuteculas natildeo
se torna necessaacuterio escrever a equaccedilatildeo de transporte de necircutrons No entanto pode-
se chegar a uma equaccedilatildeo que descreva a densidade de probabilidade das partiacuteculas
para o problema e esta acaba sendo a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral
(Vaz 2010)
A simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) eacute baseada em geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
de uma distribuiccedilatildeo uniforme gerando variaacuteveis aleatoacuterias para estabelecer outras
funccedilotildees de distribuiccedilatildeo Assim os nuacutemeros aleatoacuterios ou pseudoaleatoacuterios satildeo agrave base
do meacutetodo de MC pois estes nuacutemeros realizam todo o controle de decisatildeo Isso torna
essencial a sub-rotina de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios para qualquer simulador
baseado no meacutetodo de Monte Carlo As sub-rotinas de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
se baseiam em algoritmos matemaacuteticos especiacuteficos para garantir que os nuacutemeros
sorteados satildeo realmente aleatoacuterios pois estes nuacutemeros devem em teoria ser
igualmente provaacuteveis em um sorteio dentro de um intervalo definido
As variaacuteveis aleatoacuterias satildeo uma quantidade que resultam de processos
repetitivos e cujos valores reais natildeo podem ser previsto com certeza No mundo real a
aleatoriedade se origina de fatores incontrolaacuteveis (por exemplo jogos de azar) ou da
57
natureza quacircntica de sistemas ou processos (por exemplo desintegraccedilatildeo nuclear)
Nos computadores as variaacuteveis randocircmicas satildeo geradas por transformaccedilotildees
numeacutericas de nuacutemeros randocircmicos
O objetivo da simulaccedilatildeo MC eacute fornecer informaccedilotildees precisas e detalhadas em
trecircs dimensotildees dependente do tempo tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
partiacuteculas neutras Por este motivo o meacutetodo de Monte Carlo eacute largamente utilizado na
soluccedilatildeo de problemas envolvendo processos estatiacutesticos Pode ser empregado na
fiacutesica de reatores devido agrave caracteriacutestica estocaacutestica da emissatildeo de radiaccedilatildeo e
transporte de partiacuteculas
A carga computacional do meacutetodo de Monte Carlo continua sendo um
empecilho para as simulaccedilotildees de modelagem de sistemas nucleares devido ao alto
tempo de processamento computacional (Liu et al 2011) e a alta demanda de
memoacuteria pois para solucionar o problema de transporte de energia eacute necessaacuterio
monitorar as trajetoacuterias de vaacuterios necircutrons seu respectivo histoacuterico e sua multiplicaccedilatildeo
ateacute absorccedilatildeo ou fuga de todas as partiacuteculas geradas por essa partiacutecula
Mesmo assim o uso do meacutetodo de Monte Carlo para a simulaccedilatildeo do transporte
de partiacuteculas tornou-se bastante popular pois a alta demanda de processamento e de
memoacuteria pode ser contornada se for utilizado um sistema de processamento
distribuiacutedo com vaacuterios processadores possibilitando diminuir o tempo de simulaccedilatildeo
mesmo em modelagem de geometrias complexas Na praacutetica com o aumento de
processadores resolvendo o mesmo problema costuma-se aumentar a estatiacutestica a ser
simulada para a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos com o mesmo tempo de
simulaccedilatildeo anterior
71 Funccedilotildees Densidade de
Probabilidades
Para uma variaacutevel aleatoacuteria discreta a funccedilatildeo de probabilidade (f(x)) fornece
diretamente a probabilidade do valor que a variaacutevel aleatoacuteria assume Jaacute para as
variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas a funccedilatildeo de probabilidade em um intervalo eacute chamada
de funccedilatildeo de densidade de probabilidade
Esta funccedilatildeo natildeo fornece diretamente as probabilidades dos valores que as
variaacuteveis aleatoacuterias podem assumir Poreacutem a aacuterea sob o graacutefico da funccedilatildeo de
58
densidade de probabilidade correspondente a um dado intervalo a probabilidade de
que a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua assuma um valor neste intervalo Ou seja quando
calculamos as probabilidades para as variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas estamos
calculando a probabilidade de que a variaacutevel aleatoacuteria assuma qualquer valor em um
intervalo Assim a probabilidade de qualquer valor particular da variaacutevel aleatoacuteria
contiacutenua eacute zero pois a aacuterea sob o graacutefico de f(x) em qualquer ponto em particular eacute
zero
A distribuiccedilatildeo de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua pode ser
visualizada como uma forma de um histograma baseado em um grande nuacutemero de
observaccedilotildees Este histograma eacute construiacutedo com as densidades de probabilidade
Por exemplo a Figura 72 mostra um histograma da massa em quilogramas
de 25 lingotes de uracircnio (Lurie et al 2011)
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio
Se aumentarmos o nuacutemero de amostras teremos um histograma cada vez
mais suave a Figura 73 mostra o mesmo histograma com 150 observaccedilotildees
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio
59
Se fizermos o nuacutemero de amostras tender a infinito e o intervalo das classes
tender a zero no limite o histograma tende a se ldquosuavizarrdquo e tomar a forma de uma
curva teoacuterica como mostra a Figura 74
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo
Como uma probabilidade eacute interpretada como a frequecircncia relativa de um
evento de ensaios independentes a curva obtida na Figura 74 representa a maneira
pela qual a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo aos possiacuteveis valores que a
variaacutevel aleatoacuteria ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo pode assumir Assim a funccedilatildeo
densidade de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x eacute a funccedilatildeo
matemaacutetica f(x) cujo graacutefico produz a curva teoacuterica que representa a maneira pela qual
a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo agrave amplitude dos possiacuteveis valores da
variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x
As funccedilotildees de densidades de probabilidades devem obedecer as seguintes
condiccedilotildees
( )
( ) ( )
0
1
f x x
F x f x dx
gt forall
= =int
Dessa maneira a probabilidade de uma variaacutevel x assumir os valores no
intervalo (ab) eacute
Densidade de
probabilidade
Massa (kg)
60
( ) ( ) ( ) ( )b
aP a x b f x dx F a F ble le = = minusint
Existem basicamente duas diferentes maneiras que podem ser utilizados na
implementaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo que satildeo o meacutetodo direto ou
inverso e o meacutetodo da rejeiccedilatildeo Nas proacuteximas seccedilotildees tem-se a descriccedilatildeo desses dois
meacutetodos
72 Meacutetodo direto ou inverso
Seja uma distribuiccedilatildeo de probabilidade tiacutepica (por exemplo a distribuiccedilatildeo
gaussiana) definida em um intervalo conhecido entre [a b] Como visto na seccedilatildeo
anterior pode-se definir a funccedilatildeo de probabilidade acumulada desta distribuiccedilatildeo como
( ) ( ) b
aP x p x dx= int (71)
Criando uma nova variaacutevel aleatoacuteria atraveacutes da transformaccedilatildeo ξ = P(x) e
assumindo que a distribuiccedilatildeo de probabilidade acumulada admite uma inversa P-1(ξ)
definida no intervalo de (01) o valor de ξ eacute entatildeo definido como sendo igual agrave
probabilidade cumulativa do evento de modo que o valor correspondente de x pode
ser calculado a partir da funccedilatildeo inversa
1 1
( )( ) ( ) ( )
d dP xp p x p x
dx dxε
εε
minus minus
= =
(72)
Assim fica claro que ε eacute um nuacutemero aleatoacuterio e a variaacutevel x que eacute definida por
x = P-1(ξ) eacute aleatoriamente distribuiacuteda no intervalo (xmin x) Note que x eacute a uacutenica raiz
da equaccedilatildeo
min
( ) x
xp x dxξ = int (73)
61
Assim os valores amostrados de x desta forma satildeo distribuiacutedos de acordo com
a P(x)
A implementaccedilatildeo do meacutetodo direto de MC pode ser feita atraveacutes do seguinte
algoritmo conforme mostrado na Figura 75
1 Geraccedilatildeo de um nuacutemero aleatoacuterio ξ
2 Verificaccedilatildeo de que x corresponde ao ξ sorteado
3 Verificaccedilatildeo de qual probabilidade correspondente ao x
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003)
A soluccedilatildeo atraveacutes do meacutetodo de MC da equaccedilatildeo de transporte de necircutrons
(equaccedilatildeo (74)) pode ser feita utilizando o meacutetodo direto resolvendo-se as integrais
de acordo com (Vaz 2009)
( )
( ) ( ) ( ) ( )2 3
` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `
r E
r E C E E r dE d Q r E T r r E d r
Ψ Ω =
Ψ Ω Ω rarr Ω Ω + Ω rarr Ω int int
(74)
Com o termo de fonte podendo ser definido como
62
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
Fonte fixa
` ` ` ` | ` Fonte fixa + Fissatildeo
1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor
S
Q r R S r E F E E r dE d
r E F E E r dE dk
Ω = + Ψ Ω Ω rarr Ω Ω Ψ Ω Ω rarr Ω Ω
int
int
(75)
onde ( ) S r E Ω
foi abreviado como S
Assim uma histoacuteria (lsquotrajetoacuteriarsquo) pode ser entendida como uma sequecircncia de
transiccedilatildeo entre estados (P0 P1 P2 P3) Em cada ponto de colisatildeo Pi pode ocorrer
variaccedilatildeo da energia de direccedilotildees e ainda incluir a geraccedilatildeo de novas partiacuteculas
Entatildeo a equaccedilatildeo de transporte pode ser escrita como (Vaz 2009)
( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i
P P K P P K P P dp dp dp dpminus minusΨ = Ψ rarr rarrint int int int (76)
onde ( )K P Prarr eacute o kernel de transporte que eacute definido por
( ) ( ) ( ) ( ) ` ` | ` ` | K P P K r E r E C E E r T r r Erarr equiv Ω rarr Ω = Ω rarr Ω rarr Ω
(77)
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula
P4
P1
P2
P5
P3
P6
P
P0
63
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo
Em muitos casos tanto a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo cumulativa quanto sua inversa
eacute de difiacutecil obtenccedilatildeo ou natildeo podem ser resolvidos Exemplos de tais casos satildeo a
distribuiccedilatildeo normal e a distribuiccedilatildeo de Maxwell-Boltzmann Haacute diversas variaccedilotildees
numeacutericas para o uso do meacutetodo de inversatildeo que podem ser utilizados para amostrar
os valores de qualquer tipo de distribuiccedilatildeo mas eacute muitas vezes mais eficaz ter uma
abordagem completamente diferente (Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo da rejeiccedilatildeo tem a vantagem que o procedimento de amostragem
pode ser realizado utilizando apenas a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de probabilidades da
variaacutevel aleatoacuteria De uma forma mais simples uma constante c ge 1 e uma outra
funccedilatildeo de densidade de g(x) satildeo atribuiacutedos aos f(x) de tal forma que
( ) ( )f x cg xle (71)
para todos os valores de x
Os valores da variaacutevel aleatoacuteria ε seratildeo aceitos se
( )( )
f x
cg xε lt (72)
Se a desigualdade natildeo eacute vaacutelida o valor eacute descartado e o procedimento eacute
repetido desde o iniacutecio Pode demonstrar-se que a distribuiccedilatildeo dos valores aceitos
pelo meacutetodo seguem exatamente f(x)
Uma aplicaccedilatildeo que ilustra bem este meacutetodo eacute o caacutelculo do nuacutemero π Para
isso suponha um ciacuterculo inscrito dentro de um quadrado de lado unitaacuterio Se ao
sortear N eventos forem contados quantos destes eventos estatildeo dentro do ciacuterculo eacute
possiacutevel calcular o valor de π
Sabe-se que a integral entre os intervalos a e b eacute igual a um quarto da aacuterea do
ciacuterculo (ver Figura 77) Desta maneira pode-se dizer que o nuacutemero de pontos
sorteados dentro da aacuterea total do ciacuterculo dividido pelo nuacutemero total de sorteios eacute igual
agrave aacuterea do ciacuterculo sobre a aacuterea do quadrado
64
2
4r 4
c
t
N πrsup2 π= =
N
onde Nc eacute o nuacutemero de sorteios dentro do ciacuterculo e Nt eacute o total de nuacutemeros sorteados
Obviamente quanto maior for o total de nuacutemero sorteados mais preciso seraacute o
resultado
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo
Em geral o meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute utilizado para a estimativa de eventos que
satildeo regidos por distribuiccedilotildees contiacutenuas ou seja aqueles eventos que obedecem a
uma curva de probabilidade
Eacute importante ressaltar que no meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute necessaacuterio o sorteio de
dois nuacutemeros aleatoacuterios O primeiro (ε1) para definir o valor da abcissa (x) e um
segundo (ε2) para definir o valor no eixo das ordenadas (Figura 78) Se ε2 for menor
que f(ε1) registra-se ε1 como sendo um valor vaacutelido Caso contraacuterio ε1 eacute rejeitado e
ocorre o sorteio de outro nuacutemero aleatoacuterio O algoritmo do meacutetodo da rejeiccedilatildeo pode
ser descrito como
1 Sorteio do primeiro nuacutemero aleatoacuterio (ε1)
2 Verificaccedilatildeo de qual eacute o valor da funccedilatildeo para esse nuacutemero aleatoacuterio
3 Sorteio do segundo nuacutemero aleatoacuterio
4 Se ε2 lt f(ε1) registrar ε1 como vaacutelido
5 Senatildeo rejeitar ε1 e voltar ao passo 1
a
b
65
74 Meacutetodos Monte Carlo para
Reatores Subcriacuteticos
Nas seccedilotildees anteriores foi tratado das caracteriacutesticas baacutesicas da simulaccedilatildeo MC
Poreacutem para a simulaccedilatildeo de um reator nuclear mais proacutexima do real eacute necessaacuterio que
os coacutedigos MC sejam capazes de acompanhar a queima dos combustiacuteveis nucleares
chamados de coacutedigos de depleccedilatildeo
Atualmente existem vaacuterios coacutedigos de depleccedilatildeo que utilizam o meacutetodo Monte
Carlo devido ao constante crescimento no desempenho dos computadores Esses
coacutedigos geralmente satildeo acoplados em um coacutedigo geneacuterico de simulaccedilatildeo MC que
resolve o transporte das partiacuteculas e podem fornecer o fluxo de partiacuteculas e as seccedilotildees
de choque microscoacutepicas para os coacutedigos de depleccedilatildeo
Os coacutedigos MC de depleccedilatildeo podem ser divididos em dois grupos de acordo
com a metodologia de geraccedilatildeo das seccedilotildees de choque microscoacutepicas O primeiro
grupo satildeo os dos coacutedigos que utilizam os resultados calculados diretamente pelo o
coacutedigo geneacuterico MC Jaacute o segundo grupo utiliza uma abordagem de multigrupo para o
caacutelculo das seccedilotildees de choque que eacute implementado pelo coacutedigo de depleccedilatildeo De
acordo com esta metodologia as taxas de reaccedilatildeo satildeo calculadas separadamente
utilizando um preacute-gerador de seccedilotildees de choque multigrupo
f(x)
ε2
ε1
Figura 78 Processo de caacutelculo de π
66
75 Conceito de Reatores ADS
Os reatores hiacutebridos foram inicialmente considerados apenas para a queima
de actiniacutedeos poreacutem foi percebido que era possiacutevel aproveitar a queima dos
actiniacutedeos (transmutaccedilatildeo) em um reator subcriacutetico para a geraccedilatildeo de eletricidade
aleacutem da necessaacuteria para sustentar o acelerador de proacutetons
Aleacutem disso os reatores hiacutebridos tecircm uma vantagem adicional de ser um
sistema regenerador ou seja cria a possibilidade de regenerar combustiacutevel nuclear
queimado em um reator teacutermico para ser reutilizado no mesmo apoacutes reprocessamento
A Figura 79 mostra que os reatores regeneradores com acelerador (ABR ndash
accelerator breeder reactor) podem natildeo ser utilizados para a geraccedilatildeo de eletricidade
Sua principal utilizaccedilatildeo seria para a produccedilatildeo de material fiacutessil principalmente 239Pu
(Lodhi et al 2009) Para isso esses reatores necessitam de energia eleacutetrica para
alimentar o acelerador de proacutetons citado na Figura 710 Poreacutem os reatores hiacutebridos
podem ser dedicados tanto para a produccedilatildeo de energia como para a regeneraccedilatildeo de
material fiacutessil embora ambos os fenocircmenos ocorram sempre em um reator hiacutebrido ele
pode ser especializado para um desses objetivos de acordo com o cenaacuterio previsto
para a busca da sustentabilidade da energia nuclear (Piera et al 2010)
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009
Extraccedilatildeo de
toacuterio e uracircnio
238
U
ABR
Reator teacutermico
Energia eleacutetrica
239
Pu
232
Th
Energia eleacutetrica
67
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS
Tanto os reatores ADS como os ABR consistem em um acelerador de
partiacuteculas de alta energia (proacutetons com cerca de 1 GeV de energia) que atingem um
alvo com nuacutemero atocircmico grande Este choque gera necircutrons de alta energia capazes
de tornar nucliacutedeos feacuterteis em fiacutesseis
Outra coisa interessante sobre esses reatores eacute que eles produzem vaacuterios
isoacutetopos da mesma maneira que os FBR Em segundo lugar os reatores hiacutebridos
(ADS) operam com fator de multiplicaccedilatildeo abaixo de 1 (geralmente entre 090 e 097)
Em terceiro os ADS podem produzir combustiacutevel muito mais raacutepido que os FBR (Piera
et al 2010) pois liberam menos energia por fissatildeo que os FBR
Um dos principais objetivos do ADS eacute a queima de 232Th para gerar uma
grande quantidade de 233U embora 233U puro tem aproximadamente a mesma massa
criacutetica do plutocircnio (Lodhi et al 2009)
Fonte de necircutrons raacutepidos
Fonte de
spallation
Refrigerante chumbo-bismuto
Acelerador de
proacutetons
68
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos
Utilizados
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes simulaccedilotildees MC para auxiliar o estudo
de reatores ADS utilizando diferentes coacutedigos (MCNPX GEANT4 MCB) Poreacutem estes
modelos devem ter referecircncias para poder se verificar por exemplo o fator de
multiplicaccedilatildeo efetivo (keff) resultados dos caacutelculos de depleccedilatildeo e identificar as causas
para as possiacuteveis diferenccedilas significativas entre os resultados simulados e os teoacutericos
Idealmente esses paracircmetros deveriam ser comparados com dados
experimentais No entanto haacute uma falta significativa de resultados fiacutesicos para nuacutecleos
de reatores raacutepidos concebidos para queimar actiniacutedeos menores (AM) (Allen et al
2011)
Neste trabalho foram utilizados dois coacutedigos MC distintos Inicialmente devido
a grande quantidade de citaccedilotildees na literatura (Hashemi-Nezhad et al 2002 Sobolev
et al 2003 Bomboni et al 2010 Fokau et al 2010 Talamo et al 2011 Pelowitz
2008) foi utilizado o coacutedigo MCNPX 26f e tambeacutem o coacutedigo SERPENT 1117 que eacute
uma ferramenta relativamente nova (Leppaumlnen 2007) comparada ao MCNPX
O MCNPX eacute um coacutedigo MC que vem sendo desenvolvido deste 1995 sendo
escrito em FORTRAN e C Assim o MCNPX pode ser compilado para a utilizaccedilatildeo nas
plataformas computacionais mais usadas (Windows Linux e IOS) Aleacutem disso o
MCNPX pode ser usado com as bibliotecas de programaccedilatildeo paralela (MPI)
O coacutedigo eacute composto por aproximadamente 450 subrotinas possui um
desenvolvimento constante e atualmente eacute capaz de simular 34 partiacuteculas distintas A
versatildeo 250 do MCNPX eacute utilizada atualmente por cerca de 2500 grupos no mundo
sendo distribuiacutedo pelo Radiation Safety Information Computational Center (RSICC)
com base de dados sendo fornecida pela OECDNEA
Uma das grandes dificuldades do uso do MCNPX eacute a descriccedilatildeo da geometria
que eacute feita atraveacutes de uniotildees e interseccedilotildees de superfiacutecies baacutesicas (plano cilindro
infinito esfera cone ou elipsoide) Assim para simular uma vareta de combustiacutevel
deve-se criar pelo menos trecircs superfiacutecies distintas (2 planos e um cilindro infinito)
Aleacutem disso deve-se criar uma ceacutelula para cada material utilizado Esta ceacutelula
carrega a informaccedilatildeo do material que ela eacute composta a densidade e os limites
informados pelas uniotildees eou interseccedilotildees das superfiacutecies Tanto as superfiacutecies quanto
as ceacutelulas satildeo referenciados por nuacutemeros definidos pelo usuaacuterio
69
Todas as superfiacutecies permitem que as uniotildees e interseccedilotildees sejam feitas em
dois sentidos Esses sentidos satildeo informados pelos sinais negativos e positivos que
devem acompanhar os nuacutemeros das superfiacutecies
O MCNPX ainda permite a definiccedilatildeo da importacircncia da partiacutecula em cada
ceacutelula isso eacute uacutetil quando se quer excluir uma ou mais partiacuteculas Caso a importacircncia
de necircutrons seja definida como zero qualquer necircutron que entrar nesta ceacutelula seraacute
eliminado da simulaccedilatildeo Isto eacute um artifiacutecio que delimita a aacuterea de atuaccedilatildeo das
partiacuteculas para natildeo termos simulaccedilotildees de duraccedilatildeo ldquoinfinitardquo ou perder tempo
computacional em partiacuteculas que jaacute saiacuteram do sistema
Tambeacutem eacute possiacutevel definir ceacutelulas sem nenhum material para isso basta
colocar o nuacutemero zero no lugar do nuacutemero do material e natildeo informar a densidade do
mesmo Neste caso o coacutedigo iraacute interpretar o conteuacutedo da ceacutelula como sendo vaacutecuo
O MCNPX natildeo fornece ferramenta graacutefica para a ediccedilatildeo de geometria poreacutem
existem programas que realizam a leitura do arquivo e permitem a sua visualizaccedilatildeo O
que MCNPX faz eacute uma verificaccedilatildeo baacutesica da geometria em busca de erros Em caso
de erros de geometria o MCNPX natildeo realiza a simulaccedilatildeo ou a simulaccedilatildeo pode ser
abortada se o coacutedigo computar vaacuterias partiacuteculas perdidas (partiacuteculas que ldquosaemrdquo da
geometria)
O lado positivo do MCNPX eacute a grande quantidade de elementos e de isoacutetopos
disponiacuteveis para a simulaccedilatildeo devido o uso da biblioteca ENDF que eacute mantida pela
agecircncia internacional de energia atocircmica Para os elementos ou isoacutetopos que natildeo
existem nas bibliotecas o MCNPX realiza a simulaccedilatildeo utilizando modelos fiacutesicos Isto
proporciona uma grande flexibilidade na simulaccedilatildeo Aleacutem disso o MCNPX traz
bibliotecas de espalhamento teacutermico que podem ser usadas nos materiais utilizados
como moderadores
O outro coacutedigo MC utilizado foi o SERPENT Este coacutedigo eacute especiacutefico para
simulaccedilatildeo de reatores nucleares que realiza com caacutelculo de depleccedilatildeo e eacute
desenvolvido no Centro de Pesquisa Teacutecnica da Finlacircndia (VTT Technical Research
Centre of Finland) Atualmente eacute utilizado por cerca de 180 grupos de usuaacuterios em 27
paiacuteses Este coacutedigo se encontra na versatildeo 1118 sendo que a versatildeo 20 estaacute
atualmente em fase de teste O SERPENT tambeacutem permite a utilizaccedilatildeo de
processamento paralelo com o MPI (Message Passing Interface) para sua execuccedilatildeo
A paralelizaccedilatildeo no modo de caacutelculo de queima eacute dividida nas rotinas de preacute-
processamento e depleccedilatildeo em vaacuterias tarefas Cada tarefa trata um material diferente e
o aumento de desempenho pode-se tornar significativo
O SERPENT eacute um dos uacutenicos coacutedigos MC que permitem a simulaccedilatildeo com
fonte externa com meio multiplicativo aleacutem de caacutelculos de depleccedilatildeo em uma uacutenica
70
simulaccedilatildeo a geometria natildeo eacute tatildeo problemaacutetica quanto a do MCNPX pois jaacute existem
elementos preacute-definidos que satildeo encontrados em reatores nucleares como por
exemplo elementos combustiacuteveis em em arranjo hexagonal
A descriccedilatildeo da geometria no SERPENT eacute feita definindo-se uma vareta e os
raios de cada material que a compotildee Diferentemente do MCNPX os materiais satildeo
referenciados por nomes seguidos do raio ocupado partindo do centro da vareta ateacute a
extremidade
Por exemplo para se definir uma vareta de combustiacutevel os materiais que
compotildee esta vareta devem ser descritas do centro para fora da vareta Assim se o
combustiacutevel estaacute designado com um raio de 04024 cm a definiccedilatildeo do gap deve iniciar
de um raio maior que o do combustiacutevel O gap eacute designado pela palavra reservada
void
A definiccedilatildeo das varetas seja de combustiacutevel ou as de controle devem ser
terminadas sempre com o nome do material utilizado como refrigerante (Soacutedio por
exemplo) Eacute importante lembrar que cada definiccedilatildeo de vareta recebe um nuacutemero que
eacute chamado de universo
Apoacutes as definiccedilotildees das varetas basta informar o tipo de arranjo utilizado e o
pitch de varetas para completar a descriccedilatildeo do nuacutecleo do reator Se existem varetas
com diferentes composiccedilotildees de combustiacutevel deve-se informar o nuacutemero de cada
universo na posiccedilatildeo desejada
Ambos os coacutedigos permitem a utilizaccedilatildeo da mesma biblioteca realizam caacutelculo
de depleccedilatildeo do combustiacutevel indicando a quantidade de cada elemento nos diferentes
passos de queima sendo possiacutevel fazer um inventaacuterio de queima em ambos os
coacutedigos para cada intervalo de queima Este intervalo eacute informado pelo usuaacuterio
Para a descriccedilatildeo do material tanto o MCNPX como o SERPENT usam a
mesma forma Basta informar o ldquocoacutedigordquo do elemento desejado e sua concentraccedilatildeo
que pode ser atocircmica (aacutetomosbarncm) ou fraccedilatildeo de massa
O coacutedigo dos materiais eacute formado pelos seus nuacutemeros atocircmicos e por seus
nuacutemeros de massa Por exemplo o coacutedigo para o elemento 238U eacute 92238
Para se identificar as diferentes versotildees das bibliotecas existem nuacutemeros que
vecircm depois do coacutedigo do elemento Esses nuacutemeros satildeo a versatildeo das bibliotecas para
o MCNPX e para o SERPENT as temperaturas (em Kelvin) das bibliotecas Portanto
no MCNPX o coacutedigo 9223866c indica que a biblioteca utilizada eacute a ENDF66 Para o
SERPENT o coacutedigo completo eacute 9223806c onde o 06c indica a temperatura em que a
biblioteca foi avaliada (600 K)
71
Ainda na descriccedilatildeo do material o coacutedigo SERPENT permite definir os materiais
de outra forma Assim pode-se usar o siacutembolo do elemento quiacutemico seguido de seu
nuacutemero de massa Por exemplo O-1609c eacute o 16O a uma temperatura de 900 K
Se o material eacute composto por mais de um elemento quiacutemico basta inserir os
demais elementos As tabelas abaixo mostram o exemplo de um revestimento de
zircaloy (Tabela 81) para o MCNPX e para o dioacutexido de uracircnio (Tabela 82) para o
SERPENT Note que para a entrada em fraccedilatildeo de massa deve-se colocar o sinal de
negativo
Aleacutem das informaccedilotildees dos elementos e de suas concentraccedilotildees eacute necessaacuterio
informar tambeacutem a densidade dos materiais No MCNPX essa informaccedilatildeo fica junto
com a definiccedilatildeo do local que o material estaacute No SERPENT a informaccedilatildeo da
densidade fica junto com a definiccedilatildeo do material Em ambos os coacutedigos a densidade
pode ser informada em gcm3 ou em densidade atocircmica (aacutetomosbarnmiddotcm)
Tabela 81 Exemplo de um
revestimento de zircaloy no MCNPX
Elemento Fraccedilatildeo de
massa
4000066c -098135
2400066c -000100
2600066c -000135
2800042c -000055
5000006c -001450
801606c -000125
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de
uracircnio no SERPENT
Elemento Densidade
Atocircmica
9223409c 914E-02
9223509c 935E+00
9223809c 215E+02
O-1609c 449E+02
Para a validaccedilatildeo das simulaccedilotildees realizadas utilizando o coacutedigo SERPENT
foram realizadas algumas simulaccedilotildees de reatores para a comparaccedilatildeo direta com o
MCNPX jaacute que o MCNPX eacute amplamente utilizado para a simulaccedilatildeo de reatores
Os reatores simulados foram um PWR com combustiacutevel do tipo MOX (Figura
81) um reator do tipo VVER (Figura 82) e um terceiro do tipo CANDU (Figura 83)
Os resultados obtidos com essas simulaccedilotildees se encontram na Tabela 83
72
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU
Refrigerante (aacutegua)
Combustiacutevel MOX 1 (29 Pu)
Combustiacutevel MOX 2 (44 Pu)
Combustiacutevel MOX 3 (56 Pu)
Combustiacutevel (UO2)
Vazio (ar)
Refrigerante (Aacutegua)
Combustiacutevel (UO2)
Refrigerante (Aacutegua)
73
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER
Reator keff Diferenccedila2
(pcm) MCNPX SERPENT
VVER 128763 128807 3417
CANDU 094169 094207 4034
PWR 100176 100184 799
Recentemente Allen et al(2011) publicou uma proposta de referecircncia para
reatores regeneradores baseado no reator de teste avanccedilado para queima de AM
(ABTR) Este reator tem uma potecircncia teacutermica de 250 MW sendo refrigerado com
soacutedio A Figura 84 mostra a geometria e disposiccedilatildeo dos elementos do nuacutecleo do
reator utilizado na simulaccedilatildeo com MCNPX
As Tabelas 84 85 e 86 trazem as composiccedilotildees dos diferentes combustiacuteveis
utilizados Jaacute as Tabelas 87 88 e 89 mostram a composiccedilatildeo das varetas refletor e
barras de controle respectivamente
A Tabela 810 traz informaccedilotildees gerais do reator como pitch e diacircmetro de
varetas do reator entre outras
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX
2 Em moacutedulo diferenccedila = |Keff MCNPX - keff SERPENT|
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
74
Tabela 84Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 1
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 122E-04
U-235 322E-01
U-236 206E-02
U-238 202E+02
Np-237 384E-02
Pu-236 139E-07
Pu-238 959E-03
Pu-239 350E+01
Pu-240 374E+00
Pu-241 245E-01
Pu-242 175E-02
Am-241 142E-02
Am-242 285E-04
Am-243 613E-04
Cm-242 471E-04
Cm-243 741E-06
Cm-244 483E-05
Cm-245 191E-06
Cm-246 261E-08
Tabela 85 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 2
(densidade 10851
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 100E-02
U-235 320E-01
U-236 195E-02
U-238 197E+02
Np-237 181E+00
Pu-236 908E-06
Pu-238 905E-01
Pu-239 235E+01
Pu-240 109E+01
Pu-241 294E+00
Pu-242 219E+00
Am-241 213E+00
Am-242 583E-02
Am-243 436E-01
Cm-242 735E-02
Cm-243 244E-03
Cm244 110E-01
Cm-245 977E-03
Cm-246 677E-04
Tabela 86 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 3
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 150E-02
U-235 318E-01
U-236 186E-02
U-238 193E+02
Np-237 313E-02
Pu-236 911E-08
Pu-238 987E-03
Pu-239 431E+01
Pu-240 456E+00
Pu-241 295E-01
Pu-242 206E-02
Am-241 223E-02
Am-242 408E-04
Am-243 756E-04
Cm-242 563E-04
Cm-243 905E-06
Cm244 553E-05
Cm-245 200E-06
Cm-246 241E-08
75
Tabela 87 Composiccedilatildeo
do revestimento da vareta
de combustiacutevel
(densidade 75357
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Fe-54 408E+01
Fe-56 641E+02
Fe-57 148E+01
Fe-58 197E+00
Ni-58 293E+00
Ni-60 113E+00
Ni-61 491E-02
Ni-62 157E-01
Ni-64 399E-02
Cr-50 451E+00
Cr-52 870E+01
Cr-53 987E+00
Cr-54 246E+00
Mn-55 460E+00
Zr-nat 491E+00
Tabela 88 Composiccedilatildeo
do refletor (densidade
53908 gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Na-23 715E+01
Fe-54 277E+01
Fe-56 435E+02
Fe-57 101E+01
Fe-58 134E+00
Ni-58 199E+00
Ni-60 767E-01
Ni-61 333E-02
Ni-62 106E-01
Ni-64 271E-02
Cr-50 306E+00
Cr-52 591E+01
Cr-53 670E+00
Cr-54 167E+00
Mn-55 312E+00
Zr-nat 333E+00
Tabela 89 Composiccedilatildeo
da barra de controle
(densidade 15643
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
C-12 407E+01
B-10 164E+02
B-11 662E+02
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR
Paracircmetro Valor (cm)
ldquoPicthrdquo do elemento combustiacutevel 14685
ldquoPitchrdquo da varetas de combustiacutevel 09134
Diacircmetro da vareta de combustiacutevel 08048
Espessura do revestimento 00523
Altura ativa do combustiacutevel 844108
76
A biblioteca de dados utilizada foi a ENDF B-VI6a que eacute fornecida juntamente
com o MCNPX 26 Esta biblioteca foi avaliada em diferentes temperaturas O
refrigerante utilizado na simulaccedilatildeo deste reator eacute o soacutedio com uma concentraccedilatildeo de
22272x10-2 aacutetomosbarnsmiddotcm
Como o MCNPX e o SERPENT natildeo permitem a mudanccedila na temperatura
durante a simulaccedilatildeo caso queira-se avaliar o efeito da temperatura deve-se ter as
bibliotecas nas temperaturas requeridas refazer a simulaccedilatildeo e comparar os
resultados
A simulaccedilatildeo deste sistema foi feita com um total de 130 ciclos mas somente os
uacuteltimos 100 ciclos satildeo contabilizados nos resultados Cada ciclo foi simulado com
1x104 necircutrons totalizando 106 necircutrons isto sem levar em conta os necircutrons
produzidos por fissatildeo A Tabela 811 mostra a divisatildeo dos intervalos utilizados na
queima do combustiacutevel na simulaccedilatildeo do reator ABTR
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR
Intervalo Duraccedilatildeo (dias)
1 2739
2 2739
3 5478
4 10956
5 10956
6 10956
7 10956
8 10956
9 10956
10 10956
11 10956
12 10956
O proacuteximo passo foi realizar a simulaccedilatildeo deste mesmo sistema no SERPENT
1118 para a comparaccedilatildeo com o resultado do MCNPX e verificar se os resultados de
ambos os coacutedigos MC satildeo compatiacuteveis para o caso de reatores subcriacuteticos A Figura
85 mostra o nuacutecleo do reator simulado no SERPENT
77
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT
A simulaccedilatildeo tambeacutem foi realizada com 130 ciclos utilizando o mesmo nuacutemero
de necircutrons que na simulaccedilatildeo feita pelo o MCNPX
Com estas condiccedilotildees Allen et al (2011) obtiveram um keff de 104961 Ao
reproduzir esta simulaccedilatildeo foi obtido um keff inicial de 104622 ou seja uma diferenccedila
de 83 pcm
Vale ressaltar que o tempo de simulaccedilatildeo do SERPENT para este mesmo
sistema foi de aproximadamente 20 h Isso se deve ao fato que o SERPENT eacute
especiacutefico para simulaccedilatildeo de reatores enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo mais geral
Assim o SERPENT pode utilizar mecanismos de otimizaccedilatildeo como por exemplo uma
mudanccedila no algoritmo de caacutelculo do livre caminho meacutedio sem perda de informaccedilatildeo
Os resultados da comparaccedilatildeo satildeo apresentados na Tabela 812 Jaacute os graacuteficos
das Figuras 87 e 88 mostram a comparaccedilatildeo do keff e da queima nos dois sistemas
respectivamente Pode-se observar atraveacutes da Figura 86 que o reator simulado se
torna subcriacutetico somente apoacutes 550 dias de operaccedilatildeo
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
78
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT
Tempo
(dias)
Reatividade (pcm) Burnup (GwdMTU)
Diferenccedila3
reatividade
(pcm)
Diferenccedila1
Burnup
(GwdMTU)
MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT
00 4335 4418 0000 0000 83 0000
2739 4033 4114 1325 1324 81 0001
5478 3906 3788 2649 2649 118 0000
1096 3544 3462 5298 5297 81 0001
2191 2759 2343 10600 10594 415 0006
3287 1749 1642 15890 15891 106 0001
4382 1053 1255 21190 21188 202 0002
5478 15 106 26490 26485 91 0005
6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008
7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011
8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014
9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007
10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094
095
096
097
098
099
100
101
102
103
104
105
106
Kef
f
Tempo (Dias)
MCNPX SERPENT
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT
1 diferenccedila burnup = |burnup MCNPX ndash burnup SERPENT|
3 diferenccedila reatividade = |Keff MCNPX ndash keff SERPENT|
79
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000
10
20
30
40
50
60
burn
up (
Gw
dM
TU
)
tempo (Dias)
MCNPX 26 SERPENT
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT
Uma opccedilatildeo interessante na simulaccedilatildeo realizada com o SERPENT eacute a
possibilidade de uma visualizaccedilatildeo das aacutereas mais lsquoquentesrsquo do reator que satildeo
representadas por tons de vermelho e amarelo representando a potecircncia relativa da
fissatildeo nuclear e em tons de azul satildeo as aacutereas lsquofriasrsquo representando fluxo teacutermico
relativo (ver Figuras 89 e 810)
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do reator PWR simulado
80
Para a observaccedilatildeo nas alteraccedilotildees nos esquemas de cores a normalizaccedilatildeo eacute
fixa apoacutes o primeiro passo de queima A Figura 89 abaixo mostra a representaccedilatildeo das
aacutereas quentes e frias para o reator ABTR simulado por Allen et al (2010) em quatro
estaacutegios diferentes de queima
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias
A partir das Tabelas 812 83 e do graacutefico da Figura 86 pode-se verificar que
os dois coacutedigos MC apresentam resultados satisfatoacuterios para os valores do keff com
diferenccedila maacutexima de 415 pcm para o reator ABTR Esta diferenccedila pode ser devido agrave
geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios presente no meacutetodo MC Uma maneira de ser diminuir
esta diferenccedila eacute aumentando a quantidade de partiacuteculas simuladas poreacutem o tempo de
simulaccedilatildeo tornar-se demasiadamente grande (Antolin 2009) Outra possibilidade eacute a
falta de dados mais precisos dos materiais utilizados como combustiacuteveis no reator
ABTR
Como o coacutedigo SERPENT eacute mais novo a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do mesmo
sistema simulado no MCNPX se justifica para saber se o coacutedigo SERPENT reproduz
sistemas subcriacuteticos adequadamente Aleacutem disso o SERPENT permite a simulaccedilatildeo
de reatores nucleares com fonte externa mesmo que estas simulaccedilotildees se limitem a
a b
c d
81
problemas de fonte externa fixa Devemos lembrar que o SERPENT soacute realiza
simulaccedilatildeo de reatores nucleares enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo que pode ser
aplicados a outros problemas aleacutem de simulaccedilotildees de reatores
82
9 Resultados
As equaccedilotildees da cineacutetica pontual obtidas no capiacutetulo 3 para sistemas
subcriacuteticos foram comparadas com a simulaccedilatildeo MC devido agrave dificuldade de se obter
dados experimentais de reatores subcriacuteticos As simulaccedilotildees foram feitas utilizando
potecircncia constante linear exponencial e tambeacutem uma variaccedilatildeo aleatoacuteria
A utilizaccedilatildeo do meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear eacute interessante por
permitir a implementaccedilatildeo de sistemas de monitoramento em tempo real da reatividade
associada a uma variaccedilatildeo da potecircncia nuclear tornando-se muito atraente para
aplicaccedilotildees em reatores do tipo ADS
A Figura 91 mostra a geometria utilizada nas simulaccedilotildees de todos os casos
simulados As composiccedilotildees dos materiais satildeo as mesmas mostradas nas Tabelas 87
88 e 89 para vareta refletor barra de controle e da vareta de combustiacutevel Para a
composiccedilatildeo do combustiacutevel foi usada agrave composiccedilatildeo mostrada na Tabela 91
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado
Elemento Concentraccedilatildeo
(fraccedilatildeo de massa)
U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico
Legenda
Combustiacutevel
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
83
Os valores utilizados para a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo Monte Carlo com os
resultados das equaccedilotildees para cada um dos casos do capiacutetulo 3 encontram-se na
Tabela 92 Esses valores foram obtidos diretamente do arquivo de saiacuteda da simulaccedilatildeo
realizada no SERPENT com a exceccedilatildeo do valor de Γ que foi extraiacutedo de Silva (2011)
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos
Paracircmetro Valor
β 000706
Λ 121x10-5 s
λ 21979x10-1 s
Γ -077x10-10
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia
Nuclear
Para um reator subcriacutetico chegar a sua potecircncia de operaccedilatildeo deve-se
monitorar a reatividade para se evitar algum tipo de acidente Assim podemos supor
uma inserccedilatildeo de reatividade de maneira linear (equaccedilatildeo 443) Esta simulaccedilatildeo foi feita
considerando uma taxa de aumento de 5 por hora do valor inicial da potecircncia sendo
monitorado por um periacuteodo de 6 horas
A Tabela 93 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos entre o SERPENT e
a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa
92 Potecircncia Nuclear Constante
Para a simulaccedilatildeo realizada a potecircncia constante o tempo total de simulaccedilatildeo foi
de cerca de 12 horas Esta diferenccedila se daacute unicamente devido ao diferente nuacutemero de
passos simulados enquanto foram simulados 6 passos de uma hora para a variaccedilatildeo
84
linear da potecircncia foram simulados 10 passos para a potencia constante Esta
simulaccedilatildeo tenta reproduzir a operaccedilatildeo em condiccedilotildees normais do reator A Tabela 94
mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos para a potecircncia de 80 MW
93 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
A variaccedilatildeo exponencial da potecircncia foi simulada por um periacuteodo de 1 hora em
intervalos de 10 minutos A Tabela 95 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos
com uma taxa de aumento de 00001
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(h) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 1 -2069 -2125 -2119 56 50
84 2 -2050 -2125 -2125 75 75
88 3 -2122 -2134 -2134 12 12
92 4 -2077 -2143 -2143 66 66
96 5 -2142 -2151 -2151 9 9
100 6 -2119 -2158 -2158 39 39
85
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
Gandini -
SERPENT
0 -2133 -2146 -2146 12 12
10 -2152 -2146 -2146 6 6
20 -2144 -2146 -2146 2 2
30 -2167 -2146 -2146 21 21
40 -2151 -2146 -2146 5 5
50 -2127 -2146 -2146 18 18
60 -2177 -2146 -2146 31 31
70 -2145 -2146 -2146 0 0
80 -2152 -2146 -2146 6 6
90 -2160 -2146 -2146 14 14
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da potecircncia
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2065 2120 2120 55 55
115 10 2108 2107 2107 0 0
165 20 2104 2115 2114 11 10
235 30 2070 2114 2115 44 45
337 40 2083 2115 2115 32 32
483 50 2126 2115 2117 11 9
86
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
A avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia durante
sua operaccedilatildeo foi feita durante um periacuteodo de 6 horas Neste intervalo foi simulada uma
suacutebita queda de potecircncia e posteriormente uma subida repentina da potecircncia A
Tabela 96 mostra os resultados obtidos
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2075 2029 2029 46 46
90 1 2075 2188 2188 113 113
0 2 2143 2118 2118 24 24
40 3 2050 2120 2120 70 70
80 4 2133 2231 2231 97 97
100 5 2080 2163 2163 83 83
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Nesta seccedilatildeo seratildeo apresentados os resultados obtidos levando-se em conta a
variaccedilatildeo temporal da fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo dos
necircutrons
87
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia
Assim como na seccedilatildeo 91 a Tabela 97 mostra os resultados obtidos para uma
variaccedilatildeo linear de potecircncia poreacutem os resultados abaixo foram levados em conta agraves
variaccedilotildees temporais de β e de Λ Como o SERPENT jaacute fornece os valores de β e Λ
para cada passo de queima esses valores foram utilizados para a obtenccedilatildeo da reta de
ajuste que foi utilizada em todos os casos com variaccedilatildeo temporal de β e de Λ Assim
natildeo foi necessaacuterio realizar novas simulaccedilotildees
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Λ (x10-5)
(s)
β
(pcm)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF ndash
SERPENT
HGPT ndash
SERPENT
80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6
84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0
88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28
92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80
96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127
100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141
952 Potecircncia constante
Jaacute para o reator operando a uma potecircncia constante a Tabela 98 mostra os
resultados obtidos para variaccedilotildees lineares de β e Λ Lembrando que esta a duraccedilatildeo
desta simulaccedilatildeo foi de aproximadamente 12 horas
88
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia constante
Tempo
(min) Λ (x10-5) (s)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7
10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6
20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5
30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17
40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4
50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18
60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31
70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0
80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1
90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14
953 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
Utilizando a mesma variaccedilatildeo de potencia da seccedilatildeo 93 a operaccedilatildeo do reator
foi simulada por um periacuteodo de 6 horas Para este caso a taxa de aumento de
potecircncia tambeacutem foi de 00001 A Tabela 99 mostra os resultados obtidos
89
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Mais uma vez realizando a mesma variaccedilatildeo de potecircncia da seccedilatildeo 94 a
avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia tambeacutem foi
realizada juntamente com a variaccedilatildeo de β e Λ A Tabela 910 mostra os resultados
obtidos
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia com β e Λ variaacuteveis no tempo
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125
115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36
165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13
235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9
337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80
483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Serpent TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102
90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2
0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79
40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51
80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140
100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23
90
96 Paracircmetros Nucleares
Os paracircmetros integrais satildeo muitas vezes utilizados para dar informaccedilotildees
imediatas e completas sobre as caracteriacutesticas fiacutesicas dos reatores nucleares Eles
podem aparecer diretamente da modelagem matemaacutetica do sistema ou podem ser
introduzidos tanto artificialmente com a finalidade de quantificar as caracteriacutesticas
fiacutesicas pra que se permitam comparaccedilotildees entre diferentes configuraccedilotildees ou na
interpretaccedilatildeo das mediccedilotildees experimentais Assim enquanto algumas quantidades
integrais em fiacutesica de reatores deteacutem um significado matemaacutetico (por exemplo o fator
de multiplicaccedilatildeo como sendo o autovalor do problema de equiliacutebrio) outras
quantidades podem carregar significados diferentes de acordo com os objetivos
especiacuteficos para os quais satildeo introduzidos Este fato pode causar uma grande
confusatildeo especialmente quando o mesmo termo eacute utilizado para denotar grandezas
fiacutesicas bastante diferentes Este eacute o caso por exemplo de paracircmetros integrais
introduzidos em modelos cineacuteticos que satildeo obtidos atraveacutes da ponderaccedilatildeo das
equaccedilotildees da cineacutetica Enquanto que o procedimento eacute bem estabelecido na cineacutetica
dos de sistemas criacuteticos o caso de sistemas com fonte externa pode estar aberto a
ambiguidade jaacute que natildeo existe uma uacutenica funccedilatildeo de ponderaccedilatildeo e sua escolha pode
ser relacionada mais para conveniecircncia numeacuterica ou para a necessidade de obter
alguns resultados muitos especiacuteficos (Dulla 2011)
Por outro lado muitas vezes esses mesmos termos podem ser obtidos por
exemplo por teacutecnicas de simulaccedilatildeo MC Este eacute o caso de reatividade fraccedilatildeo de
necircutrons retardados e o tempo de geraccedilatildeo de necircutrons Eacute especialmente importante
observar que os sistemas subcriacuteticos exigem um repensar de toda abordagem teoacuterica
concebida para sistemas criacuteticos
Anaacutelises realiacutesticas da cineacutetica de sistemas subcriacuteticos satildeo atualmente feitas
atraveacutes da soluccedilatildeo direta das equaccedilotildees seja por difusatildeo ou por modelos de
transporte Informaccedilotildees altamente detalhadas e precisas sobre a evoluccedilatildeo dos
necircutrons satildeo necessaacuterias entretanto os modelos pontuais satildeo muito simplificados e
podem natildeo fornecer informaccedilotildees suficientes Aleacutem disso ferramentas numeacutericas e
computacionais eficientes estatildeo disponiacuteveis tornando possiacutevel evitar as restriccedilotildees dos
modelos da cineacutetica pontual No entanto os paracircmetros integrais satildeo uacuteteis em
qualquer caso para a obtenccedilatildeo de informaccedilotildees completas sobre o comportamento
fiacutesico do sistema para ter uma indicaccedilatildeo imediata sobre as caracteriacutesticas cineacuteticas do
sistema
91
O conceito de paracircmetros integrais parece perder significado e relevacircncia para
sistemas subcriacuteticos guiados por fonte Por isso para as quantidades integrais
medidas ou simuladas as definiccedilotildees dos paracircmetros gerados devem sempre estar
especificados para evitar interpretaccedilotildees equivocadas e incorretas de tais resultados
Para comparar alguns paracircmetros as simulaccedilotildees foram feitas utilizando tanto
combustiacutevel fresco quanto combustiacutevel usado Assim pode-se comparar alguns
paracircmetros nucleares do iniacutecio do ciclo de combustiacutevel com os resultados de
combustiacutevel no final do ciclo Alguns paracircmetros como a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados (β) e o tempo de geraccedilatildeo meacutedia de necircutrons (Λ) satildeo fornecidos pelo coacutedigo
SERPENT ao final de cada simulaccedilatildeo
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares
Paracircmetro Combustiacutevel
fresco
Combustiacutevel
queimado
Referecircncia (Dulla et
al 2011)
β 000706 000340 000644
Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s
A partir da Tabela 911 pode-se verificar que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
tem uma diminuiccedilatildeo de quase a metade em comparaccedilatildeo ao seu valor inicial Isso eacute de
se esperar devido agrave queima do combustiacutevel fazendo com que este paracircmetro natildeo seja
tatildeo importante na operaccedilatildeo de um reator nuclear no final do ciclo do combustiacutevel como
eacute em seu iniacutecio
O valor para a fraccedilatildeo de necircutrons retardados para combustiacutevel fresco no
reator subcriacutetico Yalina operando a um keff de 098 eacute de 644 pcm (Dulla et al 2011) ou
seja uma diferenccedila de 62 pcm em relaccedilatildeo ao valor encontrado na Tabela 911 Vale
ressaltar que segundo Dulla et al (2011) os paracircmetros integrais dependem do niacutevel
de subcriticalidade
Outro paracircmetro importante para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de cineacutetica pontual e
para o controle do reator sendo muitas vezes utilizado para determinar a resposta
dinacircmica de um reator nuclear eacute o tempo de vida de necircutrons prontos (Λ) (Abaacutenades
et al 2001) Para reatores teacutermicos este valor eacute em torno de 10-4 s enquanto para
reatores subcriacuteticos este valor eacute da ordem de 10-5 s Segundo Dulla et al (2011) o
valor para este paracircmetro eacute de 148 micros para combustiacutevel fresco Assim o valor
encontrado (121 micros) eacute proacuteximo ao encontrado na literatura com um desvio percentual
92
de 18 Este desvio pode se devido agraves diferentes composiccedilotildees do combustiacutevel e
tambeacutem pela diferenccedila de enriquecimento
93
10 Conclusatildeo
A mediccedilatildeo da reatividade utilizando-se a cineacutetica inversa eacute amplamente
utilizada na partida de um reator nuclear Assim uma mediccedilatildeo acurada da reatividade
eacute imprescindiacutevel para o controle do reator (Diacuteaz et al 2007)
Os formalismos propostos por Gandini (2000) e por Silva et al (2011) envolvem
a fonte externa para descriccedilatildeo do comportamento cineacutetico dos reatores subcriacuteticos
guiados por fontes Poreacutem como ainda natildeo existem reatores ADS em operaccedilatildeo as
simulaccedilotildees de tais sistemas satildeo importantes para a avaliaccedilatildeo preliminar do
funcionamento desses reatores
Os resultados apresentados no capiacutetulo anterior mostram que as equaccedilotildees da
cineacutetica inversa para sistemas subcriacuteticos propostas nesta tese reproduzem
satisfatoriamente os reatores subcriacuteticos guiados por fonte sejam utilizando o meacutetodo
das derivadas quanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia tanto para o
formalismo proposto por Gandini (2000) quanto o proposto por Silva et al (2011)
Ainda pode-se notar que tanto para valores constantes como para variaccedilotildees lineares
de β e Λ os resultados satildeo coerentes Isto ocorre devido agrave pequena variaccedilatildeo de β
(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)
Vale ressaltar que o meacutetodo das derivadas se torna interessante para o
monitoramento da reatividade por natildeo necessitar do armazenamento de todo o
histoacuterico potecircncia e depender apenas das derivadas da potecircncia possibilitando que o
caacutelculo da reatividade seja feito com uma maior rapidez se comparado com o tempo
necessaacuterio para resolver a integral do histoacuterico de potecircncia Aleacutem disso este meacutetodo
natildeo necessita do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator e o caacutelculo
pode ser reiniciado em caso de mau funcionamento do equipamento de mediccedilatildeo da
reatividade
A simulaccedilatildeo Monte Carlo foi utilizada para a validaccedilatildeo dos meacutetodos propostos
devido agrave falta de dados nucleares para reatores subcriacuteticos poreacutem mesmo com a boa
reproduccedilatildeo deste tipo de simulaccedilatildeo a modelagem utilizada por estes meacutetodos
encontra problemas pois os dados nucleares disponiacuteveis para alguns actiniacutedeos natildeo
atendem as faixas de energia necessaacuterias para a simulaccedilatildeo de um reator ADS Esses
dados devem cobrir aleacutem de uma vasta gama de energia e um grande conjunto de
nucliacutedeos (Vaz 2010) pois o grande atrativo dos reatores ADS eacute a transmutaccedilatildeo de
rejeitos de longa meia vida e tambeacutem a produccedilatildeo de energia eleacutetrica Assim a ecircnfase
94
dos dados nucleares deve ser nos actiniacutedeos (por exemplo Np Am e o Cm) para o
acompanhamento do ciclo de combustiacutevel com a finalidade de reciclagem muacuteltipla
Mesmo assim a simulaccedilatildeo realizada para a validaccedilatildeo das equaccedilotildees propostas por
Gandini (2000) e por Silva et al (2011) mostra-se coerente para anaacutelise completa da
reatividade de um reator subcriacutetico guiado por fonte
Ainda assim a simulaccedilatildeo Monte Carlo pode ser utilizada para a anaacutelise
preliminar de alguns paracircmetros dos reatores nucleares (criacuteticos ou subcriacuteticos) como
por exemplo o fator de multiplicaccedilatildeo efetivo a fraccedilatildeo de necircutrons retardados e uma
boa aproximaccedilatildeo da quantidade de material transmutado ajudando a prever o
comportamento meacutedio do reator
Pode-se verificar que existe uma boa concordacircncia entre os valores
encontrados para os paracircmetros nucleares e os existentes na literatura Uma possiacutevel
melhora nesses resultados passa por um aumento significativo na quantidade de
histoacuterias simuladas
Este aumento contribuiria para a diminuiccedilatildeo dos erros estatiacutesticos intriacutensecos
do meacutetodo Monte Carlo Poreacutem o tempo de simulaccedilatildeo tambeacutem aumentaria
sensivelmente pois o meacutetodo MC necessita da simulaccedilatildeo individual de cada partiacutecula
podendo levar um tempo absurdamente grande para a simulaccedilatildeo de todo o sistema
Poreacutem mesmo com a ldquofaltardquo de dados nucleares mais precisos para os
actiniacutedeos a simulaccedilatildeo MC se mostra uma importante ferramenta na aacuterea de fiacutesica de
reatores devido a sua facilidade de trabalhar com geometrias bastante complexas
permitindo tambeacutem a simulaccedilatildeo desses sistemas em trecircs dimensotildees
Uma soluccedilatildeo interessante para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares seriam os
meacutetodos computacionais hiacutebridos ou seja um meacutetodo resultante da fusatildeo da
simulaccedilatildeo Monte Carlo com teacutecnicas determiniacutesticas Assim poder-se-ia melhorar os
pontos fortes e eliminar as fraquezas individuais do meacutetodo MC e das abordagens
deterministas Apesar de algumas exceccedilotildees o desenvolvimento de ferramentas
computacionais hiacutebridas eacute no entanto ainda largamente inexplorado (Vaz 2010)
95
11 Referecircncias Bibliograacuteficas
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iv
Dedicatoacuteria
Este trabalho eacute dedicado a todas as pessoas que me ajudaram em toda minha
caminhada acadecircmica em especial agrave minha amada esposa Gisele a minha filha que
mesmo sem ainda nascer jaacute eacute muito amada aos meus pais e amigos que me
apoiaram ateacute aqui
v
Agradecimentos
Agradeccedilo aos meus professores Aquilino Senra Martinez e Fernando Carvalho
da Silva pela dedicaccedilatildeo e ajuda no desenvolvimento deste trabalho e tambeacutem ao
amigo Daniel Artur Pinheiro Palma pelas suas contribuiccedilotildees neste trabalho
Tambeacutem agradeccedilo a Coordenaccedilatildeo de Aperfeiccediloamento de Pessoal de Niacutevel
Superior (CAPES) pelo apoio financeiro
Aos amigos do LMP pelo o apoio na elaboraccedilatildeo deste trabalho
Ao meu pai Manuel Angel Antolin Garcia por me incentivar a ingressar na
carreira acadecircmica e por todo o seu carinho
Agrave minha matildee Iliana de Carvalho Quelhas pela a paciecircncia amor carinho e
apoio em toda minha caminhada acadecircmica e pessoal
Agrave minha esposa pela paciecircncia e compreensatildeo
vi
Resumo da Tese apresentada agrave COPPEUFRJ como parte dos requisitos necessaacuterios
para a obtenccedilatildeo do grau de Doutor em Ciecircncias (DSc)
SIMULACcedilAtildeO DE UM REATOR SUBCRIacuteTICO TIPO ADS VIA MONTE CARLO PARA
VALIDACcedilAtildeO DE CAacuteLCULO DA REATIVIDADE
Mauricio Quelhas Antolin
Fevereiro2013
Orientadores Aquilino Senra Martinez
Fernando Carvalho da Silva
Programa Engenharia Nuclear
Um dos grandes atrativos dos reatores ADS eacute decorrente da possiblidade de
transmutaccedilatildeo dos rejeitos produzidos pelas usinas nucleares convencionais
diminuindo a armazenagem dos rejeitos de longa meia-vida em repositoacuterios geoloacutegicos
de longa duraccedilatildeo Poreacutem o comportamento cineacutetico desses reatores ainda eacute uma
questatildeo em aberto tendo em vista que natildeo existe nenhum reator ADS em operaccedilatildeo
no mundo Portanto este trabalho propotildee um meacutetodo de caacutelculo de reatividade para
reatores subcriacuteticos guiados por fonte (ADS) utilizando o meacutetodo das derivadas
parciais da potecircncia nuclear que permite um caacutelculo mais raacutepido e sem a necessidade
do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator Os resultados foram
comparados com simulaccedilotildees numeacutericas realizadas pelo meacutetodo Monte Carlo e
mostram boa concordacircncia
vii
Abstract of Thesis presented to COPPEUFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (DSc)
SIMULATION OF A ADS SUBCRITICAL REACTOR VIA MONTE CARLO FOR
VALIDATION OF REACTIVITY CALCULATION
Mauricio Quelhas Antolin
February2013
Advisors Aquilino Senra Martinez
Fernando Carvalho da Silva
Department Nuclear Engineering
One of the great attractions of ADS reactors is due to the possibility of
transmutation of waste produced by conventional power plants reducing waste by
reducing the storage of long half-life in long-term geological repositories But the kinetic
behavior of these reactors is still an open question given that there is no ADS reactor
in operation worldwide Therefore this work proposes a method for calculating reactivity
for subcritical reactors driven by source (ADS) using the method of partial derivatives of
nuclear power which allows a faster calculation and not need the storage the whole
history of reactor power The results were compared with numerical simulations
performed by the Monte Carlo method and show good agreement
viii
Sumaacuterio Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xi
1 Introduccedilatildeo 1
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para Reatores Subcriacuteticos 8
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 9
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 14
23 Cineacutetica Inversa 17
231 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 18
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 18
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico de Potecircncia 19
31 Meacutetodo de Agrupamento 19
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada 21
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da intensidade da fonte externa 23
34 Meacutetodo das Derivadas 24
341 Anaacutelise para k impar 25
342 Anaacutelise para k par 29
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com dependecircncia temporal de β e Λ 32
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 32
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 33
43 Meacutetodo das Derivadas para Dependecircncia Temporal de β e de Λ 34
431 Anaacutelise para k impar 35
432 Anaacutelise para k par 37
5 Caacutelculo da reatividade para algumas variaccedilotildees da potecircncia nuclear 40
51 Potecircncia Linear 40
511 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 40
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 42
52 Potecircncia Constante 43
521 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 43
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 44
53 Potecircncia Exponencial 45
531 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 45
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 46
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 47
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com Dependecircncia temporal de β e Λ 49
61 Potencia Linear 49
ix
611 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 49
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 50
62 Potecircncia Constante 51
621 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 51
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 51
63 Potecircncia Exponencial 52
631 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 52
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 52
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 53
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica 54
71 Funccedilotildees Densidade de Probabilidades 57
72 Meacutetodo direto ou inverso 60
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo 63
74 Meacutetodos Monte Carlo para Reatores Subcriacuteticos 65
75 Conceito de Reatores ADS 66
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos Utilizados 68
9 Resultados 82
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia Nuclear 83
92 Potecircncia Nuclear Constante 83
93 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 84
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 86
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ 86
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia 87
952 Potecircncia constante 87
953 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 88
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 89
96 Paracircmetros Nucleares 90
10 Conclusatildeo 93
11 Referecircncias Bibliograacuteficas 95
x
Lista de Figuras
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996 3
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de
Yoriyaz 2009 55
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio 58
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio 58
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo 59
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003) 61
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula 62
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo 64
Figura 78 Processo de caacutelculo de π 65
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009 66
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS 67
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR 72
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER 72
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU 72
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX 73
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT 77
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT 78
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT 79
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do
reator PWR simulado 79
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do
ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias 80
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico 82
xi
Lista de Tabelas
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-
nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012) 2
Tabela 81 Exemplo de um revestimento de zircaloy no MCNPX 71
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de uracircnio no SERPENT 71
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER 73
Tabela 84Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 1 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 85 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 2 (densidade 10851 gcm3) 74
Tabela 86 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 3 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 87 Composiccedilatildeo do revestimento da vareta de combustiacutevel (densidade 75357
gcm3) 75
Tabela 88 Composiccedilatildeo do refletor (densidade 53908 gcm3) 75
Tabela 89 Composiccedilatildeo da barra de controle (densidade 15643 gcm3) 75
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR 75
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR 76
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT 78
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado 82
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos 83
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear 84
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante 85
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia 85
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados 86
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ 87
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia linear constante 88
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares 91
1
1 Introduccedilatildeo
Grande parte da energia eleacutetrica produzida por reatores nucleares satildeo
provenientes de reatores a aacutegua leve devido agrave utilizaccedilatildeo de material fiacutessil pouco
enriquecido para seu funcionamento o que torna sua construccedilatildeo e operaccedilatildeo
bastantes atrativos mesmo com os altos custos de construccedilatildeo e manutenccedilatildeo das
centrais nucleares Aleacutem disso o conhecimento do clico teacutermico utilizados por esses
reatores impulsionaram seu desenvolvimento (Pereira 2002)
Poreacutem estes reatores utilizam ciclo de combustiacutevel aberto e produzem uma
grande quantidade de rejeitos o que inclui grande quantidade de elementos
transuracircnicos (Am Cm Np entre outros) que possuem uma alta meia-vida (cerca de
107 anos)
Assim existe uma grande preocupaccedilatildeo na utilizaccedilatildeo desses reatores natildeo soacute
na prevenccedilatildeo de acidentes mas tambeacutem devido agrave proliferaccedilatildeo de armas nucleares e
agrave necessidade de repositoacuterios finais de estocagem de longa duraccedilatildeo (Iwanaga et al
2005) o que cria uma barreira de sua aplicaccedilatildeo
Atualmente grande parte do combustiacutevel queimado no mundo eacute armazenado
em piscinas dentro das proacuteprias usinas nucleares e em alguns casos o
armazenamento que deveria ser temporaacuterio persiste haacute deacutecadas Estima-se que o
aumento de combustiacutevel utilizado esteja em torno de 12000 toneladas por ano sendo
que apenas 3000 toneladas deste combustiacutevel vatildeo para o reprocessamento1
Uma forma de contornar o problema da estocagem eacute atraveacutes da queima dos
rejeitos provenientes dos reatores nucleares de potecircncia em outros tipos de reatores
Inicialmente os reatores raacutepidos foram os primeiros a serem considerados para
esta finalidade por proporcionar aleacutem de uma melhor utilizaccedilatildeo das reservas de
uracircnio a possibilidade de transmutaccedilatildeo dos elementos transuracircnicos Poreacutem
dificuldades na operaccedilatildeo de reatores raacutepidos criacuteticos como por exemplo o controle da
criticalidade e tambeacutem a oxidaccedilatildeo do material usado como refrigerante (soacutedio)
dificultaram o seu uso
Cerca de 20 reatores raacutepidos jaacute entraram em operaccedilatildeo desde a deacutecada de
1950 sendo em sua maioria reatores de pesquisa Comercialmente apenas o reator
francecircs Superphenix chegou a entrar em operaccedilatildeo comercial Ele foi desenvolvido
para gerar 12 GW de energia eleacutetrica poreacutem foi fechado em 1998 devido a falhas
1 httpwwwworld-nuclearorginfoNuclear-Fuel-CycleNuclear-WastesRadioactive-Waste-
ManagementUTn-jaVtivM
2
estruturais alto custo e repetidos incidentes O Superphoenix funcionou apenas 10
meses em 13 anos
Os reatores raacutepidos satildeo projetados para usar 238U e tambeacutem 235U usado na
maioria dos reatores Se esses reatores satildeo projetados para produzir mais plutocircnio do
que consomem eles satildeo chamados reatores reprodutores raacutepidos (FBR) (Lodhi et al
2009) Os reatores raacutepidos tambeacutem podem queimar actiniacutedeos que possuem alta meia
vida que podem ser transmutados em outros elementos para o uso em reatores
convencionais (LWR) A Tabela 11 mostra alguns reatores raacutepidos que entraram ou
entraratildeo em operaccedilatildeo no mundo
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012)
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Eleacutetrica (MWe)
Potecircncia
Teacutermica (MW) Operaccedilatildeo
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Fermi 1 Pesquisa 66 200 1963-72
SEFOR
20 1969-72
Fast Flux Test
Facility Pesquisa
400 1980-93
Inglaterra Protoype FR Protoacutetipo 15 60 1959-77
Dounreay FR Pesquisa 270 650 1974-94
Franccedila
Rapsodie Pesquisa 40 1966-82
Phenix Protoacutetipo 250 563 1973-2009
Superphenix Comercial 1240 3000 1985-98
Alemanha KNK 2 Pesquisa 21 58 1977-91
Iacutendia FBTR Pesquisa
40 1985-
PFBR Protoacutetipo 500 1250 2012-
Japatildeo
Joyo Pesquisa
140 1978-
Monju Protoacutetipo 280 714 1994-96
2010-
Cazaquistatildeo BN 350 Protoacutetipo 135 750 1972-99
Ruacutessia
BN 12
101 1950
BR 5 10 Obninsk Pesquisa
5 8 1959-71
1973-
BOR 60
Dimitrovgrad Pesquisa 12 55 1969-
BN 600 Beloyarsk 3 Protoacutetipo 600 1470 1980-
BN-800 Beloyarsk 4 Comercial 880 2000 2014-
China CEFR Pesquisa 20 65 2010-
3
Vaacuterios paiacuteses tecircm programas de pesquisa e desenvolvimento para melhorar os
reatores raacutepidos Aleacutem disso o projeto internacional em inovaccedilatildeo de reatores
nucleares e ciclo de combustiacutevel (INPRO) da agecircncia internacional de energia atocircmica
(AIEA) possui como ecircnfase os reatores raacutepidos para funcionarem com o ciclo de
combustiacutevel fechado
Os problemas encontrados na operaccedilatildeo dos reatores raacutepidos podem ser
contornados utilizando um conceito onde os necircutrons que satildeo produzidos por uma
reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo a um custo eleacutetrico pequeno entram em um meio multiplicativo
com uma configuraccedilatildeo de combustiacutevelmoderador (Rubbia et al 1996) Esses reatores
satildeo chamados reatores hiacutebridos devido ao acoplamento de um acelerador de
partiacuteculas para seu funcionamento A Figura 11 mostra uma concepccedilatildeo do esquema
de funcionamento desses tipos de reatores
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996
Este conceito de reator foi proposto desde os anos 1970 (Maniscalco et al
1974) Poreacutem dificuldades tecnoloacutegicas adiaram seu desenvolvimento pois estes
aceleradores de partiacuteculas devem ser extremamente confiaacuteveis durante a operaccedilatildeo do
reator
Os reatores hiacutebridos subcriacuteticos satildeo atraentes por proporcionar melhor
utilizaccedilatildeo dos recursos naturais e tem sido amplamente reconhecidos como sendo
altamente seguros (Rubbia et al 1995) A principal vantagem deste tipo de reator eacute a
operaccedilatildeo de um reator com fator de multiplicaccedilatildeo menor que a unidade (keff lt1) em
Acelerador
Nuacutecleo
Turbina
Condensador
Trocador de Calor
Gerador
4
que as reaccedilotildees de fissatildeo devem ser desencadeadas por um intenso feixe de
partiacuteculas carregadas aceleradas como por exemplo proacutetons ou iacuteons pesados com
energia entre 05 - 50 GeV por nucleon (Perelygin et al 1999)
Aleacutem disso o objetivo da transmutaccedilatildeo eacute a minimizaccedilatildeo de rejeitos nucleares
atraveacutes da transmutaccedilatildeo dos actiniacutedeos menores (AM) como Np Am e Cm Portanto
esses reatores devem ser carregados com combustiacutevel que contenha grandes
quantidades de AM
Para poderem realizar a transmutaccedilatildeo esses reatores utilizam necircutrons no
espectro raacutepido Isto ocorre porque nessa faixa de energia a seccedilatildeo de choque de
fissatildeo eacute mais favoraacutevel para a transmutaccedilatildeo dos AM Assim esses reatores se
caracterizam por uma baixa fraccedilatildeo de necircutrons retardados o que implica em raacutepidas e
grandes variaccedilotildees de potecircncia para uma pequena variaccedilatildeo na reatividade (Sordo et
al 2009) Segundo Rubbia et al (1996) uma mudanccedila suacutebita de +01 em um fator de
multiplicaccedilatildeo inicialmente a 095 causa um aumento na potecircncia de aproximadamente
20 Este aumento de reatividade em um reator raacutepido pode ter consequecircncias
catastroacuteficas
Para as especificaccedilotildees do feixe que deve sustentar o funcionamento do reator
Rubbia et al (1995) afirma que existe pouca ou nenhuma vantagem no uso de
partiacuteculas mais sofisticadas indicando o uso exclusivo de proacutetons no feixe de
partiacuteculas
Os reatores hiacutebridos ainda necessitam de um forte desenvolvimento o que
inclui novos combustiacuteveis e novas teacutecnicas de reprocessamento e tais programas
ainda natildeo foram totalmente desenvolvidos De qualquer forma o conceito de reator
hiacutebrido pode ser uma ferramenta potencial para obter o melhor domiacutenio da fissatildeo para
a geraccedilatildeo de energia eleacutetrica e sem o uso de reatores regeneradores raacutepidos (que
satildeo criacuteticos) que apresentam mais problemas na seguranccedila do que os reatores
subcriacuteticos (Piera et al 2010)
Inicialmente as especificaccedilotildees do feixe de partiacuteculas deveria ser capaz de
enviar proacutetons de no miacutenimo 1 GeV de energia o que implica em uma corrente de 10
agrave 15 mA Caso mais energia seja necessaacuteria pode-se usar vaacuterios feixes em paralelo
(Rubbia et al 1995)
O alvo atingido pelo feixe de partiacuteculas aceleradas pode ser o uracircnio natural ou
empobrecido o chumbo liacutequido ou outro material de alto nuacutemero atocircmico Assim os
necircutrons gerados nesta reaccedilatildeo entram no reator subcriacutetico que cerca o alvo
Mais recentemente Sordo et al (2009) afirmou que o alvo mais eficiente para
os reatores hiacutebridos eacute a liga feita de chumbo e bismuto (LBE) no estado liacutequido
bombardeado com proacutetons de energia entre 600 MeV e 1 GeV Devido a restriccedilotildees
5
termodinacircmicas os alvos de materiais soacutelidos satildeo indicados para instalaccedilotildees de baixa
potecircncia sendo pouco praacutetico para aplicaccedilotildees industriais que necessitam de potecircncias
muito maiores
O acelerador deve fornecer uma corrente de proacutetons com ampla faixa de
operaccedilatildeo pois para um reator que funcione com fator de multiplicaccedilatildeo muito menor
que a unidade deve-se evitar um desligamento natildeo programado durante seu
funcionamento
A produccedilatildeo de necircutrons na reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo determina a potecircncia teacutermica
do reator dependendo do seu niacutevel de subcriticalidade A diminuiccedilatildeo do valor do keff
devido agrave queima de combustiacutevel deve ser compensada para manter a potecircncia do
reator constante para isso pode-se aumentar a intensidade da fonte de necircutrons
Poreacutem isto induz um estresse termomecacircnico como a dilataccedilatildeo devido ao aumento
da temperatura aleacutem da maior degradaccedilatildeo natildeo soacute na estrutura do reator mas
tambeacutem e principalmente no alvo (Sordo et al 2009) O feixe de proacutetons deve ser
projetado para manter a integridade do alvo durante todo o ciclo de operaccedilatildeo
O projeto do reator hiacutebrido de pesquisa para aplicaccedilotildees de alta tecnologia
(MYRRHA) comeccedilou em 1998 pelo Centro de Pesquisas Nucleares da Beacutelgica
(SCKbullCEN) O primeiro objetivo do MYRRA seraacute demonstrar o conceito de reator ADS
a um niacutevel razoaacutevel de potecircncia e a viabilidade tecnoloacutegica da transmutaccedilatildeo de
actiniacutedeos menores e de produtos de fissatildeo de longa meia vida O MYRRHA tambeacutem
iraacute ajudar o desenvolvimento da tecnologia de ligas de chumbo necessaacuterio para os
reatores da geraccedilatildeo IV (Abderrahim et al 2005)
O reator estaacute previsto para entrar em operaccedilatildeo em 2023 e encontra-se em fase
de licenciamento sendo um dos reatores hiacutebridos com maior nuacutemero de referecircncias na
literatura Como ele pode trabalhar em modo criacutetico e subcriacutetico o MYRRHA gera uma
potecircncia entre 50 e 100 MWt O acelerador injeta proacutetons de 600 MeV no nuacutecleo do
reator e utiliza combustiacutevel tipo MOX
Apesar do grande nuacutemero de referecircncias encontradas na literatura os dados
de composiccedilatildeo de combustiacutevel paracircmetros nucleares materiais utilizados nesses
reatores e o comportamento cineacutetico satildeo escassos Por isso neste trabalho foram
utilizadas simulaccedilotildees numeacutericas pelo Meacutetodo de Monte Carlo para a avaliaccedilatildeo da
cineacutetica e dos paracircmetros nucleares desses reatores
Simulaccedilotildees computacionais de um sistema podem proporcionar importantes
informaccedilotildees para o estudo preliminar de novas tecnologias A simulaccedilatildeo pelo meacutetodo
de Monte Carlo foi escolhida pois eacute um dos meacutetodos que melhor descreve geometrias
complexas e que fornece informaccedilotildees precisas e detalhadas em trecircs dimensotildees aleacutem
de considerar a dependecircncia temporal tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
6
partiacuteculas neutras Assim o meacutetodo Monte Carlo (MC) se torna um meacutetodo atrativo
para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo MC eacute a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees de experimentos onde
os resultados satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido satildeo necessaacuterios aleacutem da simulaccedilatildeo das
partiacuteculas geradas atraveacutes da reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo coacutedigos que consigam prever a
queima do combustiacutevel Existem vaacuterios coacutedigos na literatura com esta finalidade e que
podem ser incorporados em coacutedigos mais gerais de MC
Atualmente um dos coacutedigos MC mais utilizados para simulaccedilatildeo de reatores
nucleares eacute o MCNPX (Hashemi-Nezhad et al 2002 Kadi et al 2001 Catsaros et al
2009) Este coacutedigo eacute desenvolvido pelo Laboratoacuterio Nacional de Los Alamos e
atualmente encontra-se na versatildeo 26e
O MCNPX eacute um coacutedigo MC geneacuterico de transporte de radiaccedilatildeo para modelar a
interaccedilatildeo da radiaccedilatildeo com a mateacuteria MCNPX significa Monte Carlo N-Particle
eXtended Ele estende as capacidades do MCNP4C3 a um grande nuacutemero de
partiacuteculas em uma ampla faixa de energia e para quase todas as aplicaccedilotildees sem custo
adicional de tempo computacional MCNPX faz caacutelculos tridimensionais e dependentes
do tempo Utiliza as bibliotecas mais novas de seccedilatildeo de choque nucleares aleacutem de
usar modelos fiacutesicos para as partiacuteculas que natildeo possuem dados tabulados
disponiacuteveis
O MCNPX 26e eacute capaz de realizar o caacutelculo do keff atraveacutes das geraccedilotildees de
necircutrons do fluxo de necircutrons a evoluccedilatildeo de combustiacutevel e tambeacutem calcula as
seccedilotildees de choque Poreacutem este coacutedigo natildeo permite a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees que
necessitam fonte externa de necircutrons
Atualmente um dos uacutenicos coacutedigos MC que permite a simulaccedilatildeo de um reator
controlado com fonte externa eacute o SERPENT (Leppaumlnen 2012) Este coacutedigo eacute
especiacutefico para o estudo de reatores nucleares e se encontra na versatildeo 1118
As simulaccedilotildees de MC podem fornecer importantes informaccedilotildees antes mesmo
de se iniciar a construccedilatildeo por exemplo de um reator do tipo ADS aleacutem de ter a
possibilidade de indicar quais materiais podem ser utilizados Eacute claro que a simulaccedilatildeo
natildeo substitui o experimento real mas pode ajudar a prever melhorias antes de seu
funcionamento Aleacutem disso as simulaccedilotildees podem ser utilizadas para a validaccedilatildeo de
novos meacutetodos de caacutelculo da reatividade tanto para reatores hiacutebridos quanto para
reatores teacutermicos jaacute que eacute um dos paracircmetros mais importantes em um reator
nuclear
7
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes equaccedilotildees para a cineacutetica de um reator
subcriacutetico (Gandini et al 2000 Nishihara et al 2003 Silva et al 2011) Assim com o
intuito de obter a variaccedilatildeo da reatividade para reatores subcriacuteticos obteve-se uma
expressatildeo para essa funccedilatildeo com base na cineacutetica pontual inversa para sistemas ADS
jaacute que para esses sistemas o monitoramento da reatividade eacute vital para o
funcionamento normal E ainda os reatores subcriacuteticos guiados por fonte necessitam
de uma forma de caacutelculo da reatividade mais raacutepida para evitar um ldquodesligamentordquo natildeo
programado para isso foi utilizado o meacutetodo das derivadas no caacutelculo da reatividade
uma vez que este meacutetodo natildeo necessita da informaccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
A validaccedilatildeo da expressatildeo obtida para a reatividade proposta nesta tese foi feita
atraveacutes de simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) uma vez que os dados de reatores
subcriacuteticos tipo ADS satildeo encontrados em nuacutemero reduzido na literatura
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas duas formulaccedilotildees para as equaccedilotildees da
cineacutetica subcriacutetica e as respectivas expressotildees para a cineacutetica inversa
Alguns meacutetodos de tratamento do histoacuterico de potecircncia satildeo apresentados no
Capiacutetulo 3 sendo que o meacutetodo das derivadas parciais da potecircncia nuclear eacute tratado
em detalhes
Jaacute no Capiacutetulo 4 satildeo obtidas as expressotildees da cineacutetica pontual para casos em
que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados (β) e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons (Λ)
satildeo dependentes do tempo
O capiacutetulo 5 tem-se o caacutelculo da reatividade para alguns casos particulares da
variaccedilatildeo da potecircncia nuclear com todos os paracircmetros nucleares constantes E no
Capiacutetulo 6 temos as mesmas variaccedilotildees da potecircncia nuclear com as variaccedilotildees
temporais de β e de Λ
Os fundamentos da simulaccedilatildeo Monte Carlo satildeo tratados no Capiacutetulo 7
juntamente com os meacutetodos especiacuteficos para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares
No Capiacutetulo 8 satildeo apresentados e descritos os coacutedigos Monte Carlos utilizados
neste trabalho
Jaacute no Capiacutetulo 9 satildeo apresentados os resultados obtidos da reatividade com as
expressotildees que foram apresentadas nos capiacutetulos 5 e 6
Finalmente no Capiacutetulo 10 satildeo apresentadas as conclusotildees desta tese
8
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para
Reatores Subcriacuteticos
A formulaccedilatildeo da cineacutetica pontual provou ser uma ferramenta poderosa para a
avaliaccedilatildeo da reatividade para diferentes tipos de reatores tanto em operaccedilatildeo normal
quanto na partida do reator Esta formulaccedilatildeo descreve o comportamento dos necircutrons
dentro do reator sem nenhuma dependecircncia espacial sendo que a distribuiccedilatildeo dos
necircutrons evolui de maneira pontual
As diferentes propostas para a funccedilatildeo importacircncia encontradas na literatura
resultam em diferentes equaccedilotildees da cineacutetica pontual (Gandini et al 2000 Nishihara et
al 2003 Silva et al 2011) para descrever o comportamento dos necircutrons dentro de
reatores subcriacuteticos
Para um sistema sem fonte externa de necircutrons tem-se somente uma
autofunccedilatildeo para toda a distribuiccedilatildeo de necircutrons em todos os instantes dentro do
reator Poreacutem para reatores com fonte externa esta afirmaccedilatildeo pode natildeo ser
verdadeira pois se a distribuiccedilatildeo de necircutrons for dominada pela fonte externa pode
envolver uma superposiccedilatildeo de muitas autofunccedilotildees Assim o comportamento pontual
pode ser fatorado no produto de uma funccedilatildeo da amplitude (apenas com dependecircncia
temporal) e uma funccedilatildeo de forma (sem dependecircncia temporal mas com dependecircncia
das variaacuteveis do espaccedilo de fase) (Dulla 2003)
As equaccedilotildees que descrevem o funcionamento dos reatores subcriacuteticos podem
ser obtidas a partir da equaccedilatildeo de transporte ou da equaccedilatildeo de difusatildeo (Gandini
2000) Assim as equaccedilotildees da cineacutetica espacial podem ser escritas da seguinte
maneira
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1
I
i i ext
i
r t A r t F r t c r t qv t
β λ=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum
(21)
( ) ( ) ( ) 1i i i ic r t F r t c r t i It
β λpart
= Ψ minus =part
(22)
onde v eacute a velocidade dos necircutrons iβ eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados do grupo i
e iλ eacute a constante de decaimento dos precursores de necircutrons retardados do grupo i
Nas seccedilotildees seguintes satildeo apresentados os formalismos para a cineacutetica dos
9
reatores ADS encontrados nos trabalhos de Gandini et at (2000) atraveacutes da
metodologia da teoria heuriacutestica de perturbaccedilatildeo generalizada (HGPT) e no trabalho de
Silva et al (2011) em que eacute proposto um termo adjunto de fonte (TAF) que se torna
significativo para reatores que operam longe da criticalidade
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
A funccedilatildeo importacircncia proposta por Gandini et al (2002) para o caso de
necircutrons monoenergeacuteticos isotroacutepicos meio homogecircneo e sem dependecircncia
temporal eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (Silva 2011)
( ) ( )0 0 0 0
0
0f
f
wA n r F n r
P
+ + + +minus minus Σ =
(23)
onde fw eacute a energia revertida por fissatildeo e P0 eacute a potencia nuclear sem perturbaccedilatildeo
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0n+ e integrando em r
obteacutem-se
( )0 0 0 0
1
11
I
o i i ext
i
n n A n F n c n qv t
β λ+ + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (24)
Considerando-se as seguintes perturbaccedilotildees no sistema
0 A A Aδminus rarr minus + (25)
0 F F Fδrarr + (26)
(0) ext ext extq q qδrarr + (27)
10
onde 0Aminus 0F e (0)
extq satildeo os estados estacionaacuterios natildeo perturbados
Substituindo e manipulando as equaccedilotildees (25) (26) e (27) na equaccedilatildeo (24) resulta em
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0 0
1
1
1
o
I
i i ext ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q n q
δ β
β δ λ δ
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + +sum (28)
Somando e subtraindo 0n Fβ+ Ψ na equaccedilatildeo (28) e lembrando que
(0)
0 1ext
n q+ = de acordo com Gandini (2001) vem
( )
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0
1
0 0 0
1
1 1
o
I
i i ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q
n F F n F
δ β
β δ λ
β δ β
+ minus + + +
+ + +
=
+ +
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + + +
+ Ψ minus Ψ
sum (29)
Rearranjando os termos da equaccedilatildeo acima tem-se
1
0 0 0 00
0 0 0
1
0
1
o
I
i i ext
i
n v n A n F n At
n F n c n q
n F
δ
δ λ δ
β
+ minus + + +
+ + +
=
+
partΨ = Ψ + Ψ + Ψ +
part
Ψ + + + +
minus Ψ
sum (210)
Ponderando a equaccedilatildeo (23) com Ψ obteacutem-se (Silva et al 2011)
0 0 00
0
0f
wn A n F
P
++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)
11
Substituindo a equaccedilatildeo (211) na equaccedilatildeo (210) tem-se
1
0 0 0
1
0
0
1
I
o i i
i
ext f
n v n A F n F n ct
wn q
P
δ δ β λ
δ
+ minus + + +
=
+
partΨ = + Ψ minus Ψ + +
part
minus Σ Ψ +
sum (212)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t P t rφΨ asymp
(213)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )P t eacute a potecircncia
Substituindo a aproximaccedilatildeo dada pela equaccedilatildeo (213) na equaccedilatildeo (212)
obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
n v P t r n A F P t r n F P t rt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
part= + minus +
part
+ minus Σ +sum
(214)
Como bull eacute uma integraccedilatildeo no espaccedilo pode-se escrever
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
+ minus Σ +sum
(215)
Sendo 0 0f
P w φ= Σ tem-se
12
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
1
o
I
i i ext
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
n c P t n q
φ δ δ φ β φ
λ δ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus + +sum
(216)
Dividindo a equaccedilatildeo (216) por
0 0 I n F φ+= (217)
a equaccedilatildeo (216) pode ser escrita da seguinte forma
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1 I
n n n n n
eff eff i i
i
dP tP t C t P t Q
dtρ β λ ζ
=
Λ = minus + + minus + sum (218)
sendo
( )1
0
o
n
eff
n v r
I
φ+ minus
Λ equiv
(219)
( )0 0
nn A F r
I
δ δ φρ
+ +equiv
(220)
( )0 0
n
eff
n F r
I
β φβ
+
equiv
(221)
( )0
in
i
n cC t
I
+
equiv (222)
1
I
ζ equiv (223)
0
extn
n qQ
I
δ+
equiv (224)
13
onde nρ eacute uma reatividade generalizada nQ eacute o valor da fonte externa ( )n
iC t eacute a
concentraccedilatildeo de precursores e ζ eacute um termo de subcriticalidade inserido pela funccedilatildeo
importacircncia
Agora ponderando a equaccedilatildeo (22) com 0n+ e dividindo pelo o fator de
normalizaccedilatildeo dado pela equaccedilatildeo (217) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) n n n
i i eff i i
dC t P t C t
dtβ λ= minus (225)
onde
0 0
in
i eff
n F
I
β φβ
+
equiv (226)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
proposta por Gandini et al (2000) considerando um grupo de precursores de
necircutrons eacute escrito da seguinte maneira
( )
( ) ( ) ( )( ) 1n
n n
dP tt P t C t P t q
dtρ β λ ζ Λ = minus + + minus + (227)
( )( )
( )n
dC tP t C t
dtβ λ= minus
(228)
onde ( )nP t eacute a potecircncia normalizada β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados ζ eacute o
iacutendice de subcriticalidade (que tende agrave zero quando o sistema se a proacutexima da
criticalidade) ( )ρ t eacute a reatividade generalizada do sistema ( )C t eacute a concentraccedilatildeo de
precursores e Λ tempo de geraccedilatildeo meacutedio de necircutrons
14
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Na funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011) existe um termo de
fonte adjunto que se torna significativo para os sistemas que estatildeo longe de
criticalidade Portanto a equaccedilatildeo da funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011)
foi
( ) ( )dagger
0 0 0 0
0
1
f
sub
A r F rk N
νε ε η+ + +
Σminus =
(229)
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0ε + e integrando em r
obteacutem-se
( )1
0 0 0 0
1
1 I
o i i ext
i
v A F c qt
ε ε ε β λ ε ε+ minus + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (230)
Realizando uma perturbaccedilatildeo no sistema da seguinte maneira
0 A A Aδminus rarr minus + (231)
0
1
sub
F F Fk
δrarr + (232)
Substituindo as equaccedilotildees (231) e (232) na equaccedilatildeo (230) e rearranjando os
termos vem
( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1
11
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q
ε ε ε δ ε β
ε β δ λ ε ε
+ minus + + +
+ + +
=
partΨ = minus Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + +sum
(233)
15
Somando e subtraindo 0 Fε β+ Ψ na equaccedilatildeo (233) e utilizando a equaccedilatildeo
(232) pode-se escrever
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q F
ε ε δ ε ε
ε δ λ ε ε ε β
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + minus Ψ + Ψ +
part
Ψ + + minus Ψsum
(234)
Agora ponderando-se a equaccedilatildeo (229) com ( )r tΨ
podemos escrever
segundo Silva (2011)
0 0 0 0
0
1
f
sub
A Fk N
νε ε η+ +minus Ψ + Ψ = minus Σ Ψ (235)
Substituindo a equaccedilatildeo (235) na equaccedilatildeo (234)
1
0 0
0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
v A F Ft
c qN
ε ε δ δ ε β
νλ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
partΨ = + Ψ minus Ψ +
part
minus Σ Ψ +sum (236)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t N t rφΨ asymp
(237)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )N t eacute a densidade necircutrons tem-se substituindo
a equaccedilatildeo (237) na equaccedilatildeo (236)
16
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t qN
ε φ ε δ δ φ ε β φ
νλ ε η φ ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus Σ +sum (238)
e como 0 0f
N ν φ= Σ pode-se escrever a equaccedilatildeo (238) da seguinte maneira
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
o
I
i i ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t q
ε φ ε δ δ φ ε β φ
λ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus +sum (239)
Dividindo a equaccedilatildeo (239) por 0oI Fε φ+= obteacutem-se
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
I
eff i i
i
dN tN t C t N t q
dtρ β λ
=
Λ = minus + minus Γ +sum (240)
onde
1
0
o
eff
v
I
ε φ+ minus
Λ equiv (241)
0 0
A F
I
ε δ δ φρ
+ +equiv (242)
0 0
eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (243)
( )0
i
i
cC t
I
ε +
equiv (244)
0
ext
I
ε +
equiv (245)
I
ηΓ equiv (246)
sendo ρ eacute uma relatividade generalizada Q eacute um termo relacionada agrave fonte externa
Γ um termo de subcriticalidade e ( )iC t eacute a concentraccedilatildeo de precursores
17
Procedendo de maneira anaacuteloga para a equaccedilatildeo (22) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) i i eff i i
dC t N t C t
dtβ λ= minus (247)
onde
0 0
i
i eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (248)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
segundo Silva (2011) eacute escrito como
( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ minus Γ + Σ (249)
( )
( ) ( )f
dC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
sdotΣ (250)
onde ϖ eacute a energia meacutedia liberada por fissatildeo Σ f eacute a seccedilatildeo de choque macroscoacutepica
de fissatildeo e β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
23 Cineacutetica Inversa
Usualmente o controle de um reator nuclear eacute feito atraveacutes do monitoramento
da reatividade o que torna o meacutetodo da cineacutetica inversa relevante A reatividade eacute
caracterizada por uma mudanccedila no fator de multiplicaccedilatildeo do reator o que o torna um
dos paracircmetros mais importantes em fiacutesica de reatores Nas seccedilotildees seguintes seratildeo
apresentadas as equaccedilotildees para o caacutelculo da reatividade
18
231 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Para obter-se a expressatildeo da cineacutetica pontual inversa eacute necessaacuterio resolver as
equaccedilotildees (227) e (228) Partindo da equaccedilatildeo (228) e utilizando meacutetodo do fator
integrante obteacutem-se
( ) ( )( )
t
t t
nC t P t e dt
λβ minus minus
minusinfin
= int (251)
Substituindo a equaccedilatildeo (251) na equaccedilatildeo (227) vem
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )( )1
tnt tn n
n
P tdP t P tt P t e dt Q
dt
λζλβ
ρ β minus minus
minusinfin
minus= minus + + +
Λ Λ Λint (252)
onde Q qequiv Λ eacute o termo de fonte de necircutrons Resolvendo a equaccedilatildeo (252) para
( )tρ tem-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )
0
0
1
ttt tn
n
n n n
n
n n
dP t P et P t e dt
P t dt P t P t
P t Q
P t P t
λλβ λβ
ρ β
ζ
minusminus minusΛ
= + minus minus
minus Λminus minus
int (253)
onde P0 = P(0)
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga a seccedilatildeo anterior e partindo das equaccedilotildees
(249) e (250) propostas por Silva et al encontra-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t
t ttdP t P Q
t e e P t dtP t dt P t P t P t
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus minusint (254)
19
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico
de Potecircncia
Existem vaacuterios meacutetodos de tratamento para a soluccedilatildeo ou aproximaccedilatildeo do
histoacuterico de potecircncia Esses meacutetodos visam diminuir o tempo de caacutelculo
computacional sem que seja introduzido um erro muito grande e podem envolver ou
natildeo uma fonte externa de necircutrons
A mediccedilatildeo da reatividade a partir da cineacutetica inversa permite que seu valor seja
analisado a cada instante pela variaccedilatildeo temporal do niacutevel de potecircncia do reator
(Ansari et al 2001)
Devido ao grande interesse nos reatores ADS apenas os meacutetodos que
envolvem fontes externas seratildeo apresentados sendo que o uacutenico que seraacute detalhado
eacute o meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear
31 Meacutetodo de Agrupamento
Na partida do reator a contribuiccedilatildeo da fonte externa de necircutrons deve ser
considerada Assim Hoogenboom et al (1998) escrevem a equaccedilatildeo da cineacutetica
inversa como
( )( )
( ) ( )( )
1 i
t t t
i i
i
c St e P t dt
P t P t
λρ β β λ minus minus
minusinfin
Λ= minus minussum int (31)
A integral da equaccedilatildeo (31) pode ser calculada recursivamente atraveacutes de
amostragens de P(t) usando interpolaccedilatildeo linear entre duas amostras consecutivas
Pn-1 = P(tn -1) e Pn = P(tn) separadas por um intervalo t∆ Portanto
20
( ) ( )
1
1
1 1
1
in
i n i
i
i
tt t t t n
n n
i i
ttn
i i
P eI e P t dt e I
t
P ee
t
λλ λ
λλ
λ λ
λ λ
minus ∆minus minus minus ∆
minusminusinfin
minus ∆minus ∆minus
minus= = + minus
∆
minusminus minus
∆
int (32)
Introduzindo a seguinte funccedilatildeo
( ) ( ) ( ) i
t t t
i i
i
g t e P t dtλβ λ minus minus
minusinfin=sum int (33)
e reescrevendo a equaccedilatildeo (31) em funccedilatildeo de ( )g t tem-se
( )( )( ) ( )
Sg t
tP t P t
ρρ β= minus minus (34)
Para um reator subcriacutetico com potecircncia constante na presenccedila de fonte
externa de necircutrons (S) obteacutem-se
ou S S
PP
ρ ρρρ
= minus = minus (35)
Este meacutetodo pode ser resumido nos seguintes passos
No intervalo desejado divide-se as seacuteries de P(t) e g(t) em trecircs grupos de
mesma duraccedilatildeo
1 Calcula-se os conjuntos de valores de cada um dos grupos ( )1 1P g
( )2 2P g e ( )3 3
P g
2 Estima-se os valores do gradiente ( )β ρminus e o interseccedilatildeo ( )Sminus Λ atraveacutes
de
( ) 3 1
3 1
g g
P Pβ ρ
minusminus =
minus (36)
( ) ( ) S g Pβ ρminus Λ = minus minus (37)
21
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada
Neste meacutetodo Kitano et al (2000) escreve a expressatildeo da reatividade como
( )( )
( )( )
( ) ( )( )6
1
i i
i
S t dP tt C t
P t P t P t dtρ β λ
=
ΛΛ Λ= minus minus +sum (38)
Segundo o autor o termo ( )
( )dP t
P t dt
Λ pode ser negligenciado pois o erro
inserido eacute menor que 1 para um amplo intervalo de reatividade Portanto a equaccedilatildeo
(38) eacute escrita como
( )( )
( )( )
( )
6
1
i i
i
S tt C t
P t P tρ β λ
=
ΛΛ= minus minussum (39)
Por conveniecircncia computacional a equaccedilatildeo da concentraccedilatildeo de precursores
pode ser escrita da seguinte forma (Kitano et al 2000)
( ) ( ) ( ) 16ii i i iC t t P t C t C t t i
βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =
Λ (310)
onde P e iC satildeo os valores meacutedios para o incremento de tempo t∆
Portanto a equaccedilatildeo (39) pode ser escrita na seguinte forma
( ) ( ) ( ) ( )6
1
i i
i
g t C t S P tλ β ρ=
equiv Λ = minus Λ + minussum (311)
onde a fonte de necircutrons (S) e a reatividade satildeo constantes Esta equaccedilatildeo pode ser
considerada como uma equaccedilatildeo linear de P(t)
Considerando que o sinal da potecircncia tenha um grande erro principalmente na
operaccedilatildeo em baixa potecircncia pode-se aplicar filtros para ruiacutedo de alta frequecircncia e
tambeacutem de baixa frequecircncia da seguinte forma
22
1
1 N
i j
j
P PN =
= sum (312)
e
( )1 1 i i i i
tP P P P
t τminus minus
∆= + minus
∆ + (313)
onde Pj eacute a medida da potecircncia medida iP eacute a potecircncia meacutedia e N eacute o nuacutemero de
amostras τ eacute a constante de tempo e i
P eacute a saiacuteda da equaccedilatildeo (313)
A introduccedilatildeo da memoacuteria baacutesica indexada eacute segundo os autores um novo
ldquotermocircmetrordquo para diagnosticar um transiente sendo definido por
[ ] 1 1
6
1
1
i i
i
CM I
C
λ β
βλ
=
equiv
sum (314)
A memoacuteria baacutesica indexada (MI) eacute a normalizaccedilatildeo das emissotildees de necircutrons
retardados do primeiro grupo sobre o total de emissotildees de necircutrons retardados Note
que a MI assume valor unitaacuterio quando o reator estaacute em estado estacionaacuterio Assim
ela pode ser usada para detectar o iniacutecio e o final de um transiente para a aplicaccedilatildeo do
meacutetodo de grupo
23
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da
intensidade da fonte externa
A equaccedilatildeo da cineacutetica inversa escrita com uma discretizaccedilatildeo no tempo e
assumindo que a potecircncia do reator varia com ( ) 1jt
jn t n emicro
minus= onde
( )1log j j j
n n tmicro minus= ∆ eacute dada por (Tamura 2003)
6
1
j
j eff i i j
ij j j
nC S
n t n nρ β λ
=
∆Λ Λ Λ= + minus minus
∆sum (315)
onde
1
1 1
i
i
t
j jt ii j i j
j
i
j
n n eC C e
n
n t
λ
λ β
λ
minus ∆minusminus ∆
minus
minus= +
∆Λ+
∆
(316)
Note que o subiacutendice j representa os valores no tempo j e S eacute a fonte externa
de necircutrons
Considerando as seguintes condiccedilotildees iniciais
( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)
e
0 0 S nρ = minusΛ (318)
tanto a reatividade ρ quanto a fonte S satildeo obtidas pelo meacutetodo dos miacutenimos
quadrados (Diacuteaz 2007)
24
34 Meacutetodo das Derivadas
As equaccedilotildees (253) e (254) obtidas no capiacutetulo anterior envolvem a mesma
integral em funccedilatildeo da potecircncia do reator Esta integral tambeacutem chamada de histoacuterico
de potecircncia deve ser calculada desde o iniacutecio da operaccedilatildeo do reator ateacute o tempo atual
de maneira contiacutenua ou seja exige monitoramento constante da potecircncia Aleacutem disso
o armazenamento desta informaccedilatildeo eacute necessaacuterio durante toda operaccedilatildeo do reator
para possibilitar a recuperaccedilatildeo da informaccedilatildeo da reatividade caso ocorra uma
interrupccedilatildeo em seu caacutelculo
Para o caso dos reatores subcriacuteticos o monitoramento contiacutenuo da reatividade
eacute imprescindiacutevel para seu funcionamento normal Como a produccedilatildeo de necircutrons eacute
insuficiente para manter as reaccedilotildees nucleares nesses reatores a reatividade pode ser
um paracircmetro utilizado para o monitoramento e ajuste da intensidade do feixe de
proacutetons para manter as reaccedilotildees nucleares produccedilatildeo de energia eleacutetrica constante
durante a operaccedilatildeo do reator
O meacutetodo das derivadas estaacute baseado na integraccedilatildeo por partes da integral do
histoacuterico de potecircncia da equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa resultando em uma seacuterie
de potecircncias em funccedilatildeo da potecircncia nuclear do reator com dependecircncia temporal
(Diacuteaz 2007) Este meacutetodo de caacutelculo da reatividade permite a possibilidade do reiniacutecio
do caacutelculo apoacutes sua interrupccedilatildeo causada por um problema no funcionamento do
equipamento de mediccedilatildeo ou seja com este meacutetodo natildeo eacute necessaacuterio um caacutelculo
contiacutenuo Aleacutem disso pode-se obter a reatividade sem a dependecircncia da memoacuteria da
potecircncia nuclear o que torna o caacutelculo mais raacutepido se comparado ao tempo necessaacuterio
para a resoluccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
Para a obtenccedilatildeo da expressatildeo do meacutetodo das derivadas deve-se resolver a
integral da equaccedilatildeo (254) ou da equaccedilatildeo (253) por partes Assim obteacutem-se
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tP t P e
I t e P t dt P t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (319)
onde P(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (319) tem-se
25
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2
2 2 2
0
0 0 1
t t tt tP t P e P t P e
I t P t e dt
λ λλ
λ λ λ λ λ
minus sdot minus sdotminus sdot minus
= minus minus + minus int (320)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (320) por partes obteacutem-se
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
2 2
3
3 3 3
0
0 0
1
t t
t tt t
P t P e P t P eI t
P t P t eP t e dt
λ λ
λλ
λ λ λ λ
λ λ λ
minus minus
minusminus minus
= minus minus + +
minus minus int
(321)
Aplicando esta soluccedilatildeo n vezes podemos escrever
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1 10 0 0
0 1 1
n n k t tt tk kn n
n n kn n
P t P e P t eI t dt
λλ
λ λ λ
+ minus minusminus
+ + += =
= minus minus minus minussum sum int (322)
ou ainda
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(323)
341 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2m-1 assim a equaccedilatildeo (323) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
m t tt tt t
m
n n tm mn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(324)
26
Supondo que a forma de P(t) satisfaccedila agraves condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n P tP t P t
P t
minus
minus
=
(325)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n P tP t P t
P t
=
(326)
onde ( ) ( )
( )
2
P t
cte tP t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial entre outras
Substituindo a equaccedilatildeo (326) na equaccedilatildeo (324) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
m
n nm m
n n t
n nn n
P te P t dt P t e dt
P t
P t P t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(327)
Como ( ) ( )
( )
2P t
cteP t
= podemos escrever a equaccedilatildeo (327) como
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 1 2 1
1 10 00
1 11
n n nt m mt t n n t
n nn n
P te P t dt P t P t e
P t
λ λ
λ λ
minus minusminus minus minus sdot
+ += =
minus minus minus = minus
sum sumint
(328)
Logo
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e P t dt S t S tλminus minus
= +int (329)
27
sendo
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
nm
n
nnn
S P t
P t
P t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (330)
e
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
nm
n t
nnn
S P t e
P t
P t
λ
λ
minusminus sdot
+=
minusequiv minus
minus
sum (331)
Analisando inicialmente a equaccedilatildeo (330) pode-se escrever o seu somatoacuterio
da seguinte forma
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nm m mn
n n nn n n
P t P tP t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (332)
Utilizando as equaccedilotildees (325) e (326) na equaccedilatildeo (332) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
11 22 1 1
1 2 20 0
1
nnm m
n
nn n
P t P t P tP t
P tλ λ λ λ
minusminus minus
+= =
minus = minus
sum sum (333)
Lembrando que
( )1
0
1
1
mm
n
n
a rar
r
+
=
minus=
minussum (334)
identificando ( ) ( )
( )
2
2
P tr
P tλ= e a =1 na equaccedilatildeo (333) vem
28
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nm
n
nn
P t
P tP t P tP t
P t
P t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (335)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (335) na equaccedilatildeo (330) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
22
22
1 22
22
1
11
n
n
P tP t P t
P tS
P tP t
P tP t
λλ λ
λλ
minus minus = minus minus
(336)
Simplificando e rearranjando os termos da equaccedilatildeo (336) chega-se a
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
P t P tS P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (337)
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (331) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tP PS P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (338)
Finalmente podemos escrever a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo
329) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
e P t dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (339)
29
342 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par entatildeo k=2m-2 assim a equaccedilatildeo (323) torna-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t t
t t m t t
m
n n tm mn n
n nn n
P t e dt P t e dt
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(340)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (325) vem
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
12
1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
mt t
t t t t
m
n n tm mn n
n nn n
P tP t e dt P t e dt
P t
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus
minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(341)
Da equaccedilatildeo (319) pode-se escrever
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
0 0
0
t tt t t tt
P t e dt P t P e e P t dtλ λλ λminus minus minus minusminus sdot= minus minusint int (342)
Substituindo a equaccedilatildeo (342) na equaccedilatildeo (341) e rearranjando os termos
obteacutem-se
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt mt t n n t
m nn
mn n t
m m
P t e dt P t P e
P t
P t
P t P e P t
P tP t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(343)
Desenvolvendo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (343) tem-se
30
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
P t e dt S t S tλminus sdot minus
= minusint (344)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nm
n
m nn
S t P t
P t
P t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (345)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nm
n t
m nn
S t P e
P t
P t
λ
λ
λ
minusminus sdot
minus +=
minusequiv
minus
sum (346)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior eacute faacutecil mostrar que
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
P t P tS t P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (347)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tP PS t P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (348)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k que o histoacuterico de
potecircncia eacute dado pela seguinte expressatildeo
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t t
P t P t P Pe P t dt P t P e
P t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (349)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo Sendo assim a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo 319)
pode ser escrita da seguinte forma
31
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
P t e dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
sdotminus minus= minus
minus minusint (350)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa baseada na formulaccedilatildeo
proposta por Gandini (2001) equaccedilatildeo (252) como
( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
tnn
n n n n
n n n n
n n
n n n n n
t
P tdP t P e Qt
P t dt P t P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ= + minus minus minus minus
minus minus minus
minus minus
(351)
E para o formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se substituindo a
equaccedilatildeo (350) na equaccedilatildeo (254) a expressatildeo para a reatividade sem a dependecircncia
do histoacuterico de potecircncia
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
dP t P Qt e
P t dt P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
βρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + Γ + minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(352)
32
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com
dependecircncia temporal de β e Λ
Nas seccedilotildees anteriores as mudanccedilas da composiccedilatildeo do combustiacutevel nuclear
natildeo foram levadas em consideraccedilatildeo Essas mudanccedilas podem levar a caacutelculos
discrepantes da reatividade quando comparados a mediccedilotildees experimentais nos
reatores Aleacutem disso conhecer com precisatildeo o valor da reatividade contribui com a
melhora do desempenho da central nuclear
Assim nesta seccedilatildeo as dependecircncias temporais da fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons seratildeo consideradas para o
caacutelculo da reatividade tanto na formulaccedilatildeo proposta por Gandini et al (2000) quanto
na formulaccedilatildeo proposta por Silva et al (2011) Os demais paracircmetros nucleares
permaneceratildeo constantes pois suas variaccedilotildees satildeo pouco significativas (Scall 2010)
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
As equaccedilotildees propostas por Gandini et al (2000) com dependecircncia temporal da
fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons eacute dada por
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n
n n
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λ ζΛ = minus + + minus + (41)
( ) ( )( )
( )n
dC tt P t C t
dtβ λ= minus
(42)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo 231 pode-se escrever partindo da
equaccedilatildeo (42) que a concentraccedilatildeo de precursores eacute dada pela seguinte expressatildeo
( ) ( ) ( ) ( )
t t t
nC t t P t e dtλβ minus minus
minusinfin= int (43)
33
Substituindo a equaccedilatildeo (43) na equaccedilatildeo (41) obteacutem-se a seguinte expressatildeo
para a reatividade
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
0
0
1
t t tn t
n n n
n
n
t dP t At t e A t e dt
P t dt P t P t
P t t Q t
P t P t
λλλ λρ β
ζ
minus minusminusΛ= + minus minus
minus Λ minus minus
int
(44)
onde ( ) ( )nA t P tβequiv e ( ) ( )Q t q tequiv Λ
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
As equaccedilotildees da cineacutetica propostas por Silva et al (2011) com dependecircncia
temporal de Λ e β satildeo
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ + Γ + Σ (45)
( )( )
( ) ( )f
tdC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
Σ (46)
Resolvendo a equaccedilatildeo (46) pelo o meacutetodo do fator integrante obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( )1
t t t
f
C t t P t e dtλβ
ωminus minus
minusinfin=
Σ int (47)
Substituindo a equaccedilatildeo (47) na equaccedilatildeo (45) chega-se a expressatildeo da
reatividade com dependecircncia temporal de β e Λ
34
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t t ttt dP t A
t t e A t e dtP t dt P t P t
t Q t
P t
λλλ λρ β minus minusminusΛ
= + minus minus
ΛminusΓ minus
int (48)
onde ( ) ( ) ( )A t t P tβequiv e ( ) ( ) fQ t q tωequiv Σ Λ
43 Meacutetodo das Derivadas para
Dependecircncia Temporal de β e de Λ
De acordo com a seccedilatildeo 34 a integral das equaccedilotildees (44) e (48) podem ser
resolvidas por partes assim obteacutem-se (Scal 2012)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tA t A e
I t e A t dt A t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (49)
onde A(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (49) por partes n vezes pode-se escrever
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
A t ee A t dt dt
A t A e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(410)
35
431 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2j-1 assim a equaccedilatildeo (410) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
j t tt tt t
j
n n tj jn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minus sdotminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(411)
Admitindo que a forma de A(t) satisfaccedila as condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n A tA t A t
A t
minus
minus
=
(412)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n A tA t A t
A t
=
(413)
onde ( ) ( )
( )
2
A t
cte tA t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial
Substituindo as condiccedilotildees (412) e (413) na equaccedilatildeo(411) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
k
n nj jn n t
n nn n
A te A t dt A t e dt
A t
A t A t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(414)
ou ainda
36
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e A t dt S t S tλminus minus
= +int (415)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
njn
nnn
S t A t
A t
A t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (416)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
njn t
nnn
S t A t e
A t
A t
λ
λ
minusminus
+=
minusequiv minus
minus
sum (417)
Reescrevendo o somatoacuterio da equaccedilatildeo (416) tem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nj j jn
n n nn n n
A t A tA t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (418)
Utilizando as condiccedilotildees (412) (413) e recordando da relaccedilatildeo (334) pode-se
escrever
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nj
n
nn
A t
A tA t A tA t
A t
A t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (419)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (419) na equaccedilatildeo (416) obteacutem-se apoacutes
simples manipulaccedilotildees algeacutebricas
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
A t A tS A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (420)
37
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (417) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tA AS A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (421)
Finalmente pode-se escrever a equaccedilatildeo (49) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (422)
432 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par k+1 = 2j-1 entatildeo k=2j-2 assim a equaccedilatildeo (410) torna-
se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t tt t j t t
j
n n tj jn n
n nn n
A t e dt A t e dt
A t A e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(423)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (412) e lembrando-se da equaccedilatildeo (49)
pode-se escrever a equaccedilatildeo (423) como
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt jt t n n t
j nn
jn n t
j j
A t e dt A t A e
A t
P t
A t A e A t
A tA t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus sdot minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(424)
38
Abrindo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (424) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
A t e dt S t S tλminus minus
= minusint (425)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nj
n
j nn
S t A t
A t
A t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (426)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nj
n t
j nn
S t A e
A t
A t
λ
λ
λ
minusminus
minus +=
minusequiv
minus
sum (427)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior tem-se
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
A t A tS t A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (428)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tA AS t A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (429)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (430)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo assim a equaccedilatildeo (49) pode ser escrita da seguinte forma
39
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
A t e dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus sdot minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (431)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa com
dependecircncia temporal de β e Λ baseada na formulaccedilatildeo proposta por Gandini (2001)
(equaccedilatildeo 44) como
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
nn t
n n n n
n
t
P tt dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
ζλρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ = + minus minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(432)
Para o formalismo proposto por Silva et al (2011) equaccedilatildeo (48) tem-se
( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
t dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
λρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + minus minus Γ minus
minus minus minus minus
minus minus
(433)
40
5 Caacutelculo da reatividade para algumas
variaccedilotildees da potecircncia nuclear
51 Potecircncia Linear
511 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Durante a partida de um reator nuclear a sensibilidade do sistema de mediaccedilatildeo
pode natildeo identificar o aumento da potecircncia assim uma inserccedilatildeo de reatividade brusca
causaraacute um crescimento instantacircneo da potecircncia podendo causar um acidente no
circuito primaacuterio (Zhang et al 2008)
Para contornar esse problema deve-se inserir a reatividade de maneira suave
ateacute que o reator chegue alcance a sua potecircncia de operaccedilatildeo Para isto consideramos
uma variaccedilatildeo linear da potecircncia da forma
( ) 0 nP t P wt= + (51)
a uma taxa 0001w = Substituindo a equaccedilatildeo (51) na equaccedilatildeo (253) pode-se
escrever
( )( )
( ) ( ) ( )( )
0 0
0 0
0
0
0 0 00
1
t
tt t
d P wt P et
P wt dt P wt
P wt QP wt e dt
P wt P wt P wt
λ
λ
βρ β
ζλβ
minus
minus minus
+Λ= + minus
+ +
minus + Λminus + minus minus
+ + +int
(52)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (52)vem
41
( )
( ) ( )( )( )
0
0 0
0
0 0 0 0
1
t
P wtwt
P wt P wt
P wtw we Q
P wt P wt P wt P wt
λ
λβρ β
λ
ζβ β
λ λ
minus
+Λ = + minus +
+ +
minus + Λminus minus minus
+ + + +
(53)
Reescrevendo a equaccedilatildeo (53) obteacutem-se
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(54)
Utilizando o meacutetodo das derivadas podemos escrever
( )( )( )
( )
00
0 0 0
0 0
0 0
1
t
t
P wtPwt e
P wt P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
minus +Λ= + minus minus
+ + +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(55)
Manipulando a equaccedilatildeo (55) vem
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(56)
Pode-se observar que a soluccedilatildeo encontrada pelo meacutetodo das derivadas
equaccedilatildeo (56) eacute exatamente a mesma que a soluccedilatildeo encontrada atraveacutes da resoluccedilatildeo
do histoacuterico de potecircncia equaccedilatildeo (54)
42
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Analisando o comportamento da reatividade atraveacutes da variaccedilatildeo linear da
potecircncia tem-se fazendo ( ) 0P t P wt= + na equaccedilatildeo (254)
( ) ( ) ( )00
0 0 0 00
tt ttPw Q
t e e P wt dtP wt P wt P wt P wt
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus + minus+ + + +int
(57)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (57) obteacutem-se
( )( )0 0 0
( ) 1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λ βρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(58)
Utilizando-se o meacutetodo das derivadas tem-se
( )
( )
0
0 0
0 0
0 0
t
t
Pwt e
P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
βρ β
λ λβ
λ λ
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
+ +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(59)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )0 0 0
1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λβρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(510)
Novamente as expressotildees encontradas pela a soluccedilatildeo da integral do histoacuterico
de potecircncia equaccedilatildeo (58) eacute exatamente a mesma que a expressatildeo final utilizando o
meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (510)
43
52 Potecircncia Constante
Todo reator nuclear eacute projetado para operar em determinado niacutevel de potecircncia
nuclear ou seja durante sua operaccedilatildeo normal o reator funciona a uma potecircncia
constante Assim eacute importante avaliar o comportamento da reatividade de um reator
nessas condiccedilotildees
521 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Entatildeo sendo Pn(t) = P0 o segundo termo da equaccedilatildeo (253) desaparece e
assim pode-se escrever
( ) ( ) ( ) 0
0 00
1
t
t ttP Q
t e e dtP P
λλ ζρ β β λβ minus minusminus minus Λ
= minus minus minus minusint (511)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (511) obteacutem-se
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (512)
Aplicando o meacutetodo das derivadas tem-se
( )( )0
0
0 00 0
0 0 0 0
1
t
t
Pt e
P
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ζρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minus= minus minus
Λminus minus
(513)
Assim vem
44
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (514)
Mais uma vez observa-se que as equaccedilotildees finais para a reatividade para
potecircncia constante satildeo idecircnticas tanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia
equaccedilatildeo (512) quanto utilizando o meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (514)
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Avaliando a operaccedilatildeo do reator a uma potecircncia constante ou seja substituindo
P(t) = P0 na equaccedilatildeo (254) tem-se
( ) ( )
00
tt tt Q
t e e dtP
λλρ β β λβ minus minusminus Λ= + Γ minus minus minusint (515)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (515) tem-se segundo o
formalismo de Silva et al
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (516)
Jaacute atraveacutes do uso do meacutetodo das derivadas obteacutem-se
( )
0 00 0
0 0 0 0
t
t
t e
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
= + Γ minus minus
Λminus minus
(517)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias temos
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (518)
45
Novamente observa-se que as equaccedilotildees (516) e (518) para a reatividade satildeo
idecircnticas independente do meacutetodo de soluccedilatildeo abordado
53 Potecircncia Exponencial
531 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Outra variaccedilatildeo caracteriacutestica da potecircncia nuclear eacute a forma exponencial
Assim supondo uma variaccedilatildeo deste tipo para potecircncia na equaccedilatildeo (253) pode-se
avaliar o comportamento cineacutetico do reator Nessas condiccedilotildees substituindo
( ) 0
tP t P e
α= na equaccedilatildeo (253) obteacutem-se
( ) ( )
( )
( )
0
0
0 0
1
ttt t
t
t t
t e e e dt
P e Q
P e P e
α λλ α λ
α
α α
ρ β α β λβ
ζ
+minus + minus
minus sdot
= + Λ minus minus minus
minus Λminus
int (519)
Resolvendo a integral tem-se
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus sdot
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(520)
Agora pelo meacutetodo das derivadas podemos escrever
46
( )( )00 0
0 0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
1
tt t
t t t
t tt t
t t t t
P eP e P et
P e P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
αα λ
α α α
α αα λ
α α α α
ζα βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minusminus
minus
minusΛ= + minus minus
minus minus Λ minus minus minus
minus minus
(521)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(522)
As expressotildees obtidas utilizando-se tanto o meacutetodo das derivadas quando
resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia satildeo idecircnticas
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior e substituindo uma variaccedilatildeo
exponencial temos para o formalismo de Silva et al (2011)
( ) ( ) ( )
00
tttt
t t
e Qt e e dt
e P e
λα λλ α
α α
λβρ β α β
minus+minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus minusint (523)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (523) vem
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(524)
Novamente utilizando o meacutetodo das derivadas obteacutem-se
47
( ) 0 0
0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
t t
t t
t tt t
t t t t
P e P et
P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
α λ
α α
α αα λ
α α α α
α βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
minus minus Λ minus minus
minus minus
(525)
Manipulando a equaccedilatildeo acima chega-se agrave
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(526)
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
Nesta seccedilatildeo seraacute avaliado o comportamento das equaccedilotildees da cineacutetica pontual
para sistemas subcriacuteticos em caso de funcionamento anormal do reator Inicialmente o
reator seraacute avaliado com uma rampa da potecircncia depois operando em uma queda
suacutebita de potecircncia e em outros momentos pode ocorrer uma grande elevaccedilatildeo de
potecircncia Para isso a variaccedilatildeo da potecircncia foi simulada durante seis horas da
seguinte maneira
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(527)
onde w1 = 0001 Ws w2=001 Ws w4 = 0005 Ws w5=0005 Ws
Portanto admitindo que em todas as variaccedilotildees de potecircncia pode-se utilizar o
resultado da seccedilatildeo 511 assim para o formalismo proposto por Gandini agrave reatividade
se escreve da seguinte forma
48
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 0 11
0 1 0 1 0 1 0 1
2 0 22
0 2 0 2 0
1 1 0 1
1 2
1 1( )
t
t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
t h
e w P w twt
P w t P w t P
λ
λ
β ζ
λ
ζ
β ζρ
λ
minus
minus
minus minus +Λ Λ+ minus minus lt le
+ + + +
minus lt le
minus sdot minus +Λ= + minus
+ + +
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 0 2
4 0 44
0 4 0 4 0 4 0 4
5 0 55
0 5 0 5 0 5 0 5
2 4
1 1 4 5
1 1 5 6
t
t
Qt h
w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
λ
λ
β ζ
λ
β ζ
λ
minus
minus
Λ
minus lt le+
minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + + minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + +
(528)
Jaacute para o formalismo proposto por Silva et al tem-se utilizando o resultado da
seccedilatildeo 512
( )( )
( )( )
( )
1 1
0 1 0 1 0 1
2 2
0 2 0 2 0 2
4
0 4
1 0 1
1 2
( ) 1 2 4
1
t
t
t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
t h
w w Qt e t h
P w t P w t P w t
we
P w t
λ
λ
λ
β
λ
βρ
λ
β
minus
minus
minus
Λ ΛΓ + + minus minus lt le
+ + +
Γ lt le
Λ Λ= Γ + + minus minus lt le
+ + +
ΛΓ + + minus
+ ( )
( )( )
4
0 4 0 4
5 5
0 5 0 5 0 5
4 5
1 5 6t
w Qt h
P w t P w t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
λ
λ
β
λminus
Λ
minus lt le+ +
Λ ΛΓ + + minus minus lt le+ + +
(529)
49
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com
Dependecircncia temporal de β e Λ
Neste capiacutetulo seraacute suposto que tanto a fraccedilatildeo de necircutrons retardados quanto
e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente de acordo com
( ) 0t Btβ β= + (61)
e
( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)
onde o coeficiente linear β0 tem valor 000706 o coeficiente angular B eacute -217857 x 10-
7 pcm Jaacute os valores dos coeficientes da variaccedilatildeo do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de
necircutrons satildeo Λ0 = 11661 x 10-5 s e c = -714286 x 10-10 s
61 Potencia Linear
611 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
No processo de obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo (56) natildeo foi considerado nenhuma
variaccedilatildeo temporal dos paracircmetros β e Λ Para se ter um resultado mais proacuteximo do
funcionamento real de um reator considera-se agora que a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente com o tempo
de acordo com (61) e (62) Assim substituindo essas equaccedilotildees na equaccedilatildeo (432)
obteacutem-se
50
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
t
t
P wtct w P et Bt
P wt P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(63)
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior ou seja substituindo as equaccedilotildees
(61) (62) e (51) agora na equaccedilatildeo(433) vem
( )( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
2
2
2
t
t
ct w P et Bt
P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(64)
51
62 Potecircncia Constante
621 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Nesta seccedilatildeo considera-se uma situaccedilatildeo que a potecircncia nuclear permaneccedila
constante durante a operaccedilatildeo do reator Assim Substituindo as equaccedilotildees (61) e (62)
equaccedilatildeo (432) obteacutem-se
( ) ( )( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 00
0 0
1
1
t Bt Bt P e P
P ct QP B
P P
λρ β λβλ
ζ
λ
minus = + minus minus minus minus
minus Λ +minus minus minus
(65)
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Novamente repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior poreacutem substituindo as
equaccedilotildees (61) (62) e (51) na equaccedilatildeo (433) tem-se
( ) ( )( )( )00
0 0 0 0
0
1 tct QP BB
t Bt P e PP
λρ β λβλ λ
minus Λ + = + minus minus minus minus minus minus Γ minus
(66)
52
63 Potecircncia Exponencial
631 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Supondo que a potecircncia varie de acordo com ( ) 0
tP t P e
α= obteacutem-se
substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da potecircncia nuclear na
equaccedilatildeo (432) vem
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
1
2
12
t
t
t
P e ct Qt Bt ct
P e P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
α
α
λ α
ζρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
minus Λ += + + Λ + minus minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(67)
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Agora substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia nuclear na equaccedilatildeo (433) vem
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
0
0 0
0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
2
1 2
t
ct Qt Bt ct
P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
λ α
ρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
Λ += + + Λ + minus Γ minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(68)
53
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo 54 temos uma variaccedilatildeo de potecircncia dada
por
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(69)
Assim para o formalismo proposto por Gandini a reatividade se torna
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
tii
i i i
i i i i
i i i
i
i i
t
P w tct w P et Bt
P w t P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(610)
onde wi assume os seguintes valores w1 = 0001 w2=001 ou w4 = 0005 Jaacute para o
formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se
( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
( )
2
2
2
ti
i i
i i i i
i i i
i
i i
t
ct w P et Bt
P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(611)
54
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica
O meacutetodo de Monte Carlo pode ser caracterizado como uma teacutecnica de caacutelculo
de forccedila bruta que eacute bem adequado para problemas complicados que consistem de
vaacuterias subtarefas bem definidas Eacute um meacutetodo simples e intuitivo e manteacutem uma
estreita relaccedilatildeo com o problema que estaacute sendo resolvido
Atualmente o meacutetodo de Monte Carlo eacute amplamente utilizado em vaacuterios
campos como na fiacutesica matemaacutetica economia e engenharia Uma de suas primeiras
aplicaccedilotildees praacuteticas foi na modelagem de problemas de transporte de partiacuteculas
(Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo de caacutelculo foi chamada de Monte Carlo pelos cientistas Stanislav
Ulam John von Neumann e Metropolis Nicholas no final de 1940 quando este meacutetodo
foi usado para resolver problemas de transporte de partiacuteculas na pesquisa de armas
nucleares As raiacutezes do desenvolvimento da teoria moderna da probabilidade e
estatiacutestica data do seacuteculo 19 Poreacutem a primeira publicaccedilatildeo registrada que aborda este
meacutetodo data de 1949 (Yoriyaz 2009)
O sucesso da aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo (MMC) pelos cientistas de Los
Alamos se decorreu devido agrave computaccedilatildeo numeacuterica De fato mesmo se todos os
aspectos teoacutericos fossem resolvidos a utilizaccedilatildeo em grande escala do meacutetodo natildeo
seria possiacutevel sem esta ferramenta
O meacutetodo Monte Carlo eacute muito diferente dos meacutetodos de transporte
determiniacutesticos que geralmente baseiam-se na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de transporte de
necircutrons Assim para fazer com que o problema seja passiacutevel de uma soluccedilatildeo
computacional eacute necessaacuteria a realizaccedilatildeo de uma discretizaccedilatildeo das variaacuteveis tanto no
espaccedilo quanto na energia A forccedila do meacutetodo de Monte Carlo reside na capacidade
em calcular estimativas estatiacutesticas para taxas de reaccedilatildeo sem necessitar da soluccedilatildeo
explicita para a distribuiccedilatildeo do fluxo Aleacutem disso a capacidade de lidar com variaccedilotildees
complexas das variaacuteveis espaciais e de energia eacute o que torna a alternativa do MMC
mais atraente que os meacutetodos de transporte determiniacutesticos (Leppaumlnen 2007)
Mesmo que a abordagem determinista tenha demonstrado sua viabilidade para
simular reatores criacuteticos ela eacute amplamente utilizada Poreacutem esta metodologia
apresenta alguns inconvenientes que se tornam importantes no caso de um reator
subcriacutetico com um acelerador de partiacuteculas acoplado como por exemplo a introduccedilatildeo
de uma aproximaccedilatildeo devido agrave conversatildeo do espectro de energia dos necircutrons para
55
uma grade de energia e espaccedilo para os coacutedigos que utilizam uma abordagem
multigrupo (Kady et al 2001)
Por utilizar seccedilotildees de choques pontuais a simulaccedilatildeo Monte Carlo eacute livre de
quase todos os inconvenientes que aparecem nas simulaccedilotildees determiniacutesticas Poreacutem
sua precisatildeo varia inversamente com a raiz quadrada do nuacutemero de eventos
processados Isso representa um problema potencialmente grande de tempo de
processamento em particular quando a simulaccedilatildeo abrange toda a vida uacutetil da
produccedilatildeo de energia do sistema
No meacutetodo Monte Carlo para a simulaccedilatildeo de transporte de radiaccedilatildeo as
respostas satildeo obtidas simulando partiacuteculas individuais e gravando alguns aspectos de
seu comportamento meacutedio Se os modelos dessas interaccedilotildees utilizados nas
simulaccedilotildees satildeo suficientementes proacuteximos da realidade o resultado estaraacute proacuteximo do
processo real
Os componentes importantes de meacutetodos de simulaccedilatildeo de Monte Carlo satildeo as
funccedilotildees de densidade de probabilidade a geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios as regras
de amostragem a computaccedilatildeo de resultados as estimativas de erros e a reduccedilatildeo de
variacircncia conforme mostra a Figura 71 Aleacutem disso os algoritmos eficientes para
paralelizaccedilatildeo satildeo uacuteteis para a implementaccedilatildeo do meacutetodo de Monte Carlo para uso em
cluster de computadores (Grisell 2004)
O meacutetodo de Monte Carlo utiliza aleacutem do teorema do limite central modelos
fiacutesicos de interaccedilatildeo ou seja um conjunto de seccedilotildees de choque diferenciais para os
mecanismos de interaccedilatildeo relevantes do sistema a ser simulado (Salvat et al 2003)
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de Yoriyaz 2009
Gerador de
nuacutemeros
aleatoacuterios
Teacutecnicas de
amostragem Resultados
Funccedilatildeo de densidade de probabilidade
56
Essas seccedilotildees de choque diferenciais determinam as funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de
probabilidades de variaacuteveis aleatoacuterias
Esses conjuntos de funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de probabilidade caracterizam uma
histoacuteria e determinam o tipo de interaccedilatildeo sofrida pela partiacutecula por exemplo se a
partiacutecula sofreraacute uma mudanccedila de energia e de direccedilatildeo de propagaccedilatildeo se ela apenas
sofreraacute algum desvio angular ou se ocasionaraacute fissatildeo
Caso o nuacutemero de histoacuterias (uma histoacuteria inclui desde a geraccedilatildeo de uma
partiacutecula ateacute sua lsquofugarsquo ou absorccedilatildeo aleacutem de todas as outras partiacuteculas que podem ser
produzidas por exemplo atraveacutes da fissatildeo) seja suficientemente grande informaccedilotildees
quantitativas sobre o processo de transporte podem ser obtidas simplesmente por uma
meacutedia de mais histoacuterias simuladas
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo eacute em experimentos em que os resultados
satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Ao se comparar os meacutetodos MC e de variaacuteveis discretas normalmente se diz
que o MC resolve a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral enquanto o meacutetodo
de variaacuteveis discretas resolve a equaccedilatildeo na sua forma integro-diferencial Poreacutem as
duas equaccedilotildees satildeo formas diferentes da mesma equaccedilatildeo e assim quando se resolve
uma obteacutem-se a soluccedilatildeo da outra (Mosteller et al 2003)
Como o meacutetodo MC resolve o problema simulando histoacuterias das partiacuteculas natildeo
se torna necessaacuterio escrever a equaccedilatildeo de transporte de necircutrons No entanto pode-
se chegar a uma equaccedilatildeo que descreva a densidade de probabilidade das partiacuteculas
para o problema e esta acaba sendo a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral
(Vaz 2010)
A simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) eacute baseada em geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
de uma distribuiccedilatildeo uniforme gerando variaacuteveis aleatoacuterias para estabelecer outras
funccedilotildees de distribuiccedilatildeo Assim os nuacutemeros aleatoacuterios ou pseudoaleatoacuterios satildeo agrave base
do meacutetodo de MC pois estes nuacutemeros realizam todo o controle de decisatildeo Isso torna
essencial a sub-rotina de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios para qualquer simulador
baseado no meacutetodo de Monte Carlo As sub-rotinas de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
se baseiam em algoritmos matemaacuteticos especiacuteficos para garantir que os nuacutemeros
sorteados satildeo realmente aleatoacuterios pois estes nuacutemeros devem em teoria ser
igualmente provaacuteveis em um sorteio dentro de um intervalo definido
As variaacuteveis aleatoacuterias satildeo uma quantidade que resultam de processos
repetitivos e cujos valores reais natildeo podem ser previsto com certeza No mundo real a
aleatoriedade se origina de fatores incontrolaacuteveis (por exemplo jogos de azar) ou da
57
natureza quacircntica de sistemas ou processos (por exemplo desintegraccedilatildeo nuclear)
Nos computadores as variaacuteveis randocircmicas satildeo geradas por transformaccedilotildees
numeacutericas de nuacutemeros randocircmicos
O objetivo da simulaccedilatildeo MC eacute fornecer informaccedilotildees precisas e detalhadas em
trecircs dimensotildees dependente do tempo tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
partiacuteculas neutras Por este motivo o meacutetodo de Monte Carlo eacute largamente utilizado na
soluccedilatildeo de problemas envolvendo processos estatiacutesticos Pode ser empregado na
fiacutesica de reatores devido agrave caracteriacutestica estocaacutestica da emissatildeo de radiaccedilatildeo e
transporte de partiacuteculas
A carga computacional do meacutetodo de Monte Carlo continua sendo um
empecilho para as simulaccedilotildees de modelagem de sistemas nucleares devido ao alto
tempo de processamento computacional (Liu et al 2011) e a alta demanda de
memoacuteria pois para solucionar o problema de transporte de energia eacute necessaacuterio
monitorar as trajetoacuterias de vaacuterios necircutrons seu respectivo histoacuterico e sua multiplicaccedilatildeo
ateacute absorccedilatildeo ou fuga de todas as partiacuteculas geradas por essa partiacutecula
Mesmo assim o uso do meacutetodo de Monte Carlo para a simulaccedilatildeo do transporte
de partiacuteculas tornou-se bastante popular pois a alta demanda de processamento e de
memoacuteria pode ser contornada se for utilizado um sistema de processamento
distribuiacutedo com vaacuterios processadores possibilitando diminuir o tempo de simulaccedilatildeo
mesmo em modelagem de geometrias complexas Na praacutetica com o aumento de
processadores resolvendo o mesmo problema costuma-se aumentar a estatiacutestica a ser
simulada para a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos com o mesmo tempo de
simulaccedilatildeo anterior
71 Funccedilotildees Densidade de
Probabilidades
Para uma variaacutevel aleatoacuteria discreta a funccedilatildeo de probabilidade (f(x)) fornece
diretamente a probabilidade do valor que a variaacutevel aleatoacuteria assume Jaacute para as
variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas a funccedilatildeo de probabilidade em um intervalo eacute chamada
de funccedilatildeo de densidade de probabilidade
Esta funccedilatildeo natildeo fornece diretamente as probabilidades dos valores que as
variaacuteveis aleatoacuterias podem assumir Poreacutem a aacuterea sob o graacutefico da funccedilatildeo de
58
densidade de probabilidade correspondente a um dado intervalo a probabilidade de
que a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua assuma um valor neste intervalo Ou seja quando
calculamos as probabilidades para as variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas estamos
calculando a probabilidade de que a variaacutevel aleatoacuteria assuma qualquer valor em um
intervalo Assim a probabilidade de qualquer valor particular da variaacutevel aleatoacuteria
contiacutenua eacute zero pois a aacuterea sob o graacutefico de f(x) em qualquer ponto em particular eacute
zero
A distribuiccedilatildeo de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua pode ser
visualizada como uma forma de um histograma baseado em um grande nuacutemero de
observaccedilotildees Este histograma eacute construiacutedo com as densidades de probabilidade
Por exemplo a Figura 72 mostra um histograma da massa em quilogramas
de 25 lingotes de uracircnio (Lurie et al 2011)
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio
Se aumentarmos o nuacutemero de amostras teremos um histograma cada vez
mais suave a Figura 73 mostra o mesmo histograma com 150 observaccedilotildees
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio
59
Se fizermos o nuacutemero de amostras tender a infinito e o intervalo das classes
tender a zero no limite o histograma tende a se ldquosuavizarrdquo e tomar a forma de uma
curva teoacuterica como mostra a Figura 74
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo
Como uma probabilidade eacute interpretada como a frequecircncia relativa de um
evento de ensaios independentes a curva obtida na Figura 74 representa a maneira
pela qual a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo aos possiacuteveis valores que a
variaacutevel aleatoacuteria ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo pode assumir Assim a funccedilatildeo
densidade de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x eacute a funccedilatildeo
matemaacutetica f(x) cujo graacutefico produz a curva teoacuterica que representa a maneira pela qual
a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo agrave amplitude dos possiacuteveis valores da
variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x
As funccedilotildees de densidades de probabilidades devem obedecer as seguintes
condiccedilotildees
( )
( ) ( )
0
1
f x x
F x f x dx
gt forall
= =int
Dessa maneira a probabilidade de uma variaacutevel x assumir os valores no
intervalo (ab) eacute
Densidade de
probabilidade
Massa (kg)
60
( ) ( ) ( ) ( )b
aP a x b f x dx F a F ble le = = minusint
Existem basicamente duas diferentes maneiras que podem ser utilizados na
implementaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo que satildeo o meacutetodo direto ou
inverso e o meacutetodo da rejeiccedilatildeo Nas proacuteximas seccedilotildees tem-se a descriccedilatildeo desses dois
meacutetodos
72 Meacutetodo direto ou inverso
Seja uma distribuiccedilatildeo de probabilidade tiacutepica (por exemplo a distribuiccedilatildeo
gaussiana) definida em um intervalo conhecido entre [a b] Como visto na seccedilatildeo
anterior pode-se definir a funccedilatildeo de probabilidade acumulada desta distribuiccedilatildeo como
( ) ( ) b
aP x p x dx= int (71)
Criando uma nova variaacutevel aleatoacuteria atraveacutes da transformaccedilatildeo ξ = P(x) e
assumindo que a distribuiccedilatildeo de probabilidade acumulada admite uma inversa P-1(ξ)
definida no intervalo de (01) o valor de ξ eacute entatildeo definido como sendo igual agrave
probabilidade cumulativa do evento de modo que o valor correspondente de x pode
ser calculado a partir da funccedilatildeo inversa
1 1
( )( ) ( ) ( )
d dP xp p x p x
dx dxε
εε
minus minus
= =
(72)
Assim fica claro que ε eacute um nuacutemero aleatoacuterio e a variaacutevel x que eacute definida por
x = P-1(ξ) eacute aleatoriamente distribuiacuteda no intervalo (xmin x) Note que x eacute a uacutenica raiz
da equaccedilatildeo
min
( ) x
xp x dxξ = int (73)
61
Assim os valores amostrados de x desta forma satildeo distribuiacutedos de acordo com
a P(x)
A implementaccedilatildeo do meacutetodo direto de MC pode ser feita atraveacutes do seguinte
algoritmo conforme mostrado na Figura 75
1 Geraccedilatildeo de um nuacutemero aleatoacuterio ξ
2 Verificaccedilatildeo de que x corresponde ao ξ sorteado
3 Verificaccedilatildeo de qual probabilidade correspondente ao x
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003)
A soluccedilatildeo atraveacutes do meacutetodo de MC da equaccedilatildeo de transporte de necircutrons
(equaccedilatildeo (74)) pode ser feita utilizando o meacutetodo direto resolvendo-se as integrais
de acordo com (Vaz 2009)
( )
( ) ( ) ( ) ( )2 3
` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `
r E
r E C E E r dE d Q r E T r r E d r
Ψ Ω =
Ψ Ω Ω rarr Ω Ω + Ω rarr Ω int int
(74)
Com o termo de fonte podendo ser definido como
62
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
Fonte fixa
` ` ` ` | ` Fonte fixa + Fissatildeo
1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor
S
Q r R S r E F E E r dE d
r E F E E r dE dk
Ω = + Ψ Ω Ω rarr Ω Ω Ψ Ω Ω rarr Ω Ω
int
int
(75)
onde ( ) S r E Ω
foi abreviado como S
Assim uma histoacuteria (lsquotrajetoacuteriarsquo) pode ser entendida como uma sequecircncia de
transiccedilatildeo entre estados (P0 P1 P2 P3) Em cada ponto de colisatildeo Pi pode ocorrer
variaccedilatildeo da energia de direccedilotildees e ainda incluir a geraccedilatildeo de novas partiacuteculas
Entatildeo a equaccedilatildeo de transporte pode ser escrita como (Vaz 2009)
( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i
P P K P P K P P dp dp dp dpminus minusΨ = Ψ rarr rarrint int int int (76)
onde ( )K P Prarr eacute o kernel de transporte que eacute definido por
( ) ( ) ( ) ( ) ` ` | ` ` | K P P K r E r E C E E r T r r Erarr equiv Ω rarr Ω = Ω rarr Ω rarr Ω
(77)
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula
P4
P1
P2
P5
P3
P6
P
P0
63
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo
Em muitos casos tanto a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo cumulativa quanto sua inversa
eacute de difiacutecil obtenccedilatildeo ou natildeo podem ser resolvidos Exemplos de tais casos satildeo a
distribuiccedilatildeo normal e a distribuiccedilatildeo de Maxwell-Boltzmann Haacute diversas variaccedilotildees
numeacutericas para o uso do meacutetodo de inversatildeo que podem ser utilizados para amostrar
os valores de qualquer tipo de distribuiccedilatildeo mas eacute muitas vezes mais eficaz ter uma
abordagem completamente diferente (Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo da rejeiccedilatildeo tem a vantagem que o procedimento de amostragem
pode ser realizado utilizando apenas a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de probabilidades da
variaacutevel aleatoacuteria De uma forma mais simples uma constante c ge 1 e uma outra
funccedilatildeo de densidade de g(x) satildeo atribuiacutedos aos f(x) de tal forma que
( ) ( )f x cg xle (71)
para todos os valores de x
Os valores da variaacutevel aleatoacuteria ε seratildeo aceitos se
( )( )
f x
cg xε lt (72)
Se a desigualdade natildeo eacute vaacutelida o valor eacute descartado e o procedimento eacute
repetido desde o iniacutecio Pode demonstrar-se que a distribuiccedilatildeo dos valores aceitos
pelo meacutetodo seguem exatamente f(x)
Uma aplicaccedilatildeo que ilustra bem este meacutetodo eacute o caacutelculo do nuacutemero π Para
isso suponha um ciacuterculo inscrito dentro de um quadrado de lado unitaacuterio Se ao
sortear N eventos forem contados quantos destes eventos estatildeo dentro do ciacuterculo eacute
possiacutevel calcular o valor de π
Sabe-se que a integral entre os intervalos a e b eacute igual a um quarto da aacuterea do
ciacuterculo (ver Figura 77) Desta maneira pode-se dizer que o nuacutemero de pontos
sorteados dentro da aacuterea total do ciacuterculo dividido pelo nuacutemero total de sorteios eacute igual
agrave aacuterea do ciacuterculo sobre a aacuterea do quadrado
64
2
4r 4
c
t
N πrsup2 π= =
N
onde Nc eacute o nuacutemero de sorteios dentro do ciacuterculo e Nt eacute o total de nuacutemeros sorteados
Obviamente quanto maior for o total de nuacutemero sorteados mais preciso seraacute o
resultado
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo
Em geral o meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute utilizado para a estimativa de eventos que
satildeo regidos por distribuiccedilotildees contiacutenuas ou seja aqueles eventos que obedecem a
uma curva de probabilidade
Eacute importante ressaltar que no meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute necessaacuterio o sorteio de
dois nuacutemeros aleatoacuterios O primeiro (ε1) para definir o valor da abcissa (x) e um
segundo (ε2) para definir o valor no eixo das ordenadas (Figura 78) Se ε2 for menor
que f(ε1) registra-se ε1 como sendo um valor vaacutelido Caso contraacuterio ε1 eacute rejeitado e
ocorre o sorteio de outro nuacutemero aleatoacuterio O algoritmo do meacutetodo da rejeiccedilatildeo pode
ser descrito como
1 Sorteio do primeiro nuacutemero aleatoacuterio (ε1)
2 Verificaccedilatildeo de qual eacute o valor da funccedilatildeo para esse nuacutemero aleatoacuterio
3 Sorteio do segundo nuacutemero aleatoacuterio
4 Se ε2 lt f(ε1) registrar ε1 como vaacutelido
5 Senatildeo rejeitar ε1 e voltar ao passo 1
a
b
65
74 Meacutetodos Monte Carlo para
Reatores Subcriacuteticos
Nas seccedilotildees anteriores foi tratado das caracteriacutesticas baacutesicas da simulaccedilatildeo MC
Poreacutem para a simulaccedilatildeo de um reator nuclear mais proacutexima do real eacute necessaacuterio que
os coacutedigos MC sejam capazes de acompanhar a queima dos combustiacuteveis nucleares
chamados de coacutedigos de depleccedilatildeo
Atualmente existem vaacuterios coacutedigos de depleccedilatildeo que utilizam o meacutetodo Monte
Carlo devido ao constante crescimento no desempenho dos computadores Esses
coacutedigos geralmente satildeo acoplados em um coacutedigo geneacuterico de simulaccedilatildeo MC que
resolve o transporte das partiacuteculas e podem fornecer o fluxo de partiacuteculas e as seccedilotildees
de choque microscoacutepicas para os coacutedigos de depleccedilatildeo
Os coacutedigos MC de depleccedilatildeo podem ser divididos em dois grupos de acordo
com a metodologia de geraccedilatildeo das seccedilotildees de choque microscoacutepicas O primeiro
grupo satildeo os dos coacutedigos que utilizam os resultados calculados diretamente pelo o
coacutedigo geneacuterico MC Jaacute o segundo grupo utiliza uma abordagem de multigrupo para o
caacutelculo das seccedilotildees de choque que eacute implementado pelo coacutedigo de depleccedilatildeo De
acordo com esta metodologia as taxas de reaccedilatildeo satildeo calculadas separadamente
utilizando um preacute-gerador de seccedilotildees de choque multigrupo
f(x)
ε2
ε1
Figura 78 Processo de caacutelculo de π
66
75 Conceito de Reatores ADS
Os reatores hiacutebridos foram inicialmente considerados apenas para a queima
de actiniacutedeos poreacutem foi percebido que era possiacutevel aproveitar a queima dos
actiniacutedeos (transmutaccedilatildeo) em um reator subcriacutetico para a geraccedilatildeo de eletricidade
aleacutem da necessaacuteria para sustentar o acelerador de proacutetons
Aleacutem disso os reatores hiacutebridos tecircm uma vantagem adicional de ser um
sistema regenerador ou seja cria a possibilidade de regenerar combustiacutevel nuclear
queimado em um reator teacutermico para ser reutilizado no mesmo apoacutes reprocessamento
A Figura 79 mostra que os reatores regeneradores com acelerador (ABR ndash
accelerator breeder reactor) podem natildeo ser utilizados para a geraccedilatildeo de eletricidade
Sua principal utilizaccedilatildeo seria para a produccedilatildeo de material fiacutessil principalmente 239Pu
(Lodhi et al 2009) Para isso esses reatores necessitam de energia eleacutetrica para
alimentar o acelerador de proacutetons citado na Figura 710 Poreacutem os reatores hiacutebridos
podem ser dedicados tanto para a produccedilatildeo de energia como para a regeneraccedilatildeo de
material fiacutessil embora ambos os fenocircmenos ocorram sempre em um reator hiacutebrido ele
pode ser especializado para um desses objetivos de acordo com o cenaacuterio previsto
para a busca da sustentabilidade da energia nuclear (Piera et al 2010)
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009
Extraccedilatildeo de
toacuterio e uracircnio
238
U
ABR
Reator teacutermico
Energia eleacutetrica
239
Pu
232
Th
Energia eleacutetrica
67
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS
Tanto os reatores ADS como os ABR consistem em um acelerador de
partiacuteculas de alta energia (proacutetons com cerca de 1 GeV de energia) que atingem um
alvo com nuacutemero atocircmico grande Este choque gera necircutrons de alta energia capazes
de tornar nucliacutedeos feacuterteis em fiacutesseis
Outra coisa interessante sobre esses reatores eacute que eles produzem vaacuterios
isoacutetopos da mesma maneira que os FBR Em segundo lugar os reatores hiacutebridos
(ADS) operam com fator de multiplicaccedilatildeo abaixo de 1 (geralmente entre 090 e 097)
Em terceiro os ADS podem produzir combustiacutevel muito mais raacutepido que os FBR (Piera
et al 2010) pois liberam menos energia por fissatildeo que os FBR
Um dos principais objetivos do ADS eacute a queima de 232Th para gerar uma
grande quantidade de 233U embora 233U puro tem aproximadamente a mesma massa
criacutetica do plutocircnio (Lodhi et al 2009)
Fonte de necircutrons raacutepidos
Fonte de
spallation
Refrigerante chumbo-bismuto
Acelerador de
proacutetons
68
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos
Utilizados
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes simulaccedilotildees MC para auxiliar o estudo
de reatores ADS utilizando diferentes coacutedigos (MCNPX GEANT4 MCB) Poreacutem estes
modelos devem ter referecircncias para poder se verificar por exemplo o fator de
multiplicaccedilatildeo efetivo (keff) resultados dos caacutelculos de depleccedilatildeo e identificar as causas
para as possiacuteveis diferenccedilas significativas entre os resultados simulados e os teoacutericos
Idealmente esses paracircmetros deveriam ser comparados com dados
experimentais No entanto haacute uma falta significativa de resultados fiacutesicos para nuacutecleos
de reatores raacutepidos concebidos para queimar actiniacutedeos menores (AM) (Allen et al
2011)
Neste trabalho foram utilizados dois coacutedigos MC distintos Inicialmente devido
a grande quantidade de citaccedilotildees na literatura (Hashemi-Nezhad et al 2002 Sobolev
et al 2003 Bomboni et al 2010 Fokau et al 2010 Talamo et al 2011 Pelowitz
2008) foi utilizado o coacutedigo MCNPX 26f e tambeacutem o coacutedigo SERPENT 1117 que eacute
uma ferramenta relativamente nova (Leppaumlnen 2007) comparada ao MCNPX
O MCNPX eacute um coacutedigo MC que vem sendo desenvolvido deste 1995 sendo
escrito em FORTRAN e C Assim o MCNPX pode ser compilado para a utilizaccedilatildeo nas
plataformas computacionais mais usadas (Windows Linux e IOS) Aleacutem disso o
MCNPX pode ser usado com as bibliotecas de programaccedilatildeo paralela (MPI)
O coacutedigo eacute composto por aproximadamente 450 subrotinas possui um
desenvolvimento constante e atualmente eacute capaz de simular 34 partiacuteculas distintas A
versatildeo 250 do MCNPX eacute utilizada atualmente por cerca de 2500 grupos no mundo
sendo distribuiacutedo pelo Radiation Safety Information Computational Center (RSICC)
com base de dados sendo fornecida pela OECDNEA
Uma das grandes dificuldades do uso do MCNPX eacute a descriccedilatildeo da geometria
que eacute feita atraveacutes de uniotildees e interseccedilotildees de superfiacutecies baacutesicas (plano cilindro
infinito esfera cone ou elipsoide) Assim para simular uma vareta de combustiacutevel
deve-se criar pelo menos trecircs superfiacutecies distintas (2 planos e um cilindro infinito)
Aleacutem disso deve-se criar uma ceacutelula para cada material utilizado Esta ceacutelula
carrega a informaccedilatildeo do material que ela eacute composta a densidade e os limites
informados pelas uniotildees eou interseccedilotildees das superfiacutecies Tanto as superfiacutecies quanto
as ceacutelulas satildeo referenciados por nuacutemeros definidos pelo usuaacuterio
69
Todas as superfiacutecies permitem que as uniotildees e interseccedilotildees sejam feitas em
dois sentidos Esses sentidos satildeo informados pelos sinais negativos e positivos que
devem acompanhar os nuacutemeros das superfiacutecies
O MCNPX ainda permite a definiccedilatildeo da importacircncia da partiacutecula em cada
ceacutelula isso eacute uacutetil quando se quer excluir uma ou mais partiacuteculas Caso a importacircncia
de necircutrons seja definida como zero qualquer necircutron que entrar nesta ceacutelula seraacute
eliminado da simulaccedilatildeo Isto eacute um artifiacutecio que delimita a aacuterea de atuaccedilatildeo das
partiacuteculas para natildeo termos simulaccedilotildees de duraccedilatildeo ldquoinfinitardquo ou perder tempo
computacional em partiacuteculas que jaacute saiacuteram do sistema
Tambeacutem eacute possiacutevel definir ceacutelulas sem nenhum material para isso basta
colocar o nuacutemero zero no lugar do nuacutemero do material e natildeo informar a densidade do
mesmo Neste caso o coacutedigo iraacute interpretar o conteuacutedo da ceacutelula como sendo vaacutecuo
O MCNPX natildeo fornece ferramenta graacutefica para a ediccedilatildeo de geometria poreacutem
existem programas que realizam a leitura do arquivo e permitem a sua visualizaccedilatildeo O
que MCNPX faz eacute uma verificaccedilatildeo baacutesica da geometria em busca de erros Em caso
de erros de geometria o MCNPX natildeo realiza a simulaccedilatildeo ou a simulaccedilatildeo pode ser
abortada se o coacutedigo computar vaacuterias partiacuteculas perdidas (partiacuteculas que ldquosaemrdquo da
geometria)
O lado positivo do MCNPX eacute a grande quantidade de elementos e de isoacutetopos
disponiacuteveis para a simulaccedilatildeo devido o uso da biblioteca ENDF que eacute mantida pela
agecircncia internacional de energia atocircmica Para os elementos ou isoacutetopos que natildeo
existem nas bibliotecas o MCNPX realiza a simulaccedilatildeo utilizando modelos fiacutesicos Isto
proporciona uma grande flexibilidade na simulaccedilatildeo Aleacutem disso o MCNPX traz
bibliotecas de espalhamento teacutermico que podem ser usadas nos materiais utilizados
como moderadores
O outro coacutedigo MC utilizado foi o SERPENT Este coacutedigo eacute especiacutefico para
simulaccedilatildeo de reatores nucleares que realiza com caacutelculo de depleccedilatildeo e eacute
desenvolvido no Centro de Pesquisa Teacutecnica da Finlacircndia (VTT Technical Research
Centre of Finland) Atualmente eacute utilizado por cerca de 180 grupos de usuaacuterios em 27
paiacuteses Este coacutedigo se encontra na versatildeo 1118 sendo que a versatildeo 20 estaacute
atualmente em fase de teste O SERPENT tambeacutem permite a utilizaccedilatildeo de
processamento paralelo com o MPI (Message Passing Interface) para sua execuccedilatildeo
A paralelizaccedilatildeo no modo de caacutelculo de queima eacute dividida nas rotinas de preacute-
processamento e depleccedilatildeo em vaacuterias tarefas Cada tarefa trata um material diferente e
o aumento de desempenho pode-se tornar significativo
O SERPENT eacute um dos uacutenicos coacutedigos MC que permitem a simulaccedilatildeo com
fonte externa com meio multiplicativo aleacutem de caacutelculos de depleccedilatildeo em uma uacutenica
70
simulaccedilatildeo a geometria natildeo eacute tatildeo problemaacutetica quanto a do MCNPX pois jaacute existem
elementos preacute-definidos que satildeo encontrados em reatores nucleares como por
exemplo elementos combustiacuteveis em em arranjo hexagonal
A descriccedilatildeo da geometria no SERPENT eacute feita definindo-se uma vareta e os
raios de cada material que a compotildee Diferentemente do MCNPX os materiais satildeo
referenciados por nomes seguidos do raio ocupado partindo do centro da vareta ateacute a
extremidade
Por exemplo para se definir uma vareta de combustiacutevel os materiais que
compotildee esta vareta devem ser descritas do centro para fora da vareta Assim se o
combustiacutevel estaacute designado com um raio de 04024 cm a definiccedilatildeo do gap deve iniciar
de um raio maior que o do combustiacutevel O gap eacute designado pela palavra reservada
void
A definiccedilatildeo das varetas seja de combustiacutevel ou as de controle devem ser
terminadas sempre com o nome do material utilizado como refrigerante (Soacutedio por
exemplo) Eacute importante lembrar que cada definiccedilatildeo de vareta recebe um nuacutemero que
eacute chamado de universo
Apoacutes as definiccedilotildees das varetas basta informar o tipo de arranjo utilizado e o
pitch de varetas para completar a descriccedilatildeo do nuacutecleo do reator Se existem varetas
com diferentes composiccedilotildees de combustiacutevel deve-se informar o nuacutemero de cada
universo na posiccedilatildeo desejada
Ambos os coacutedigos permitem a utilizaccedilatildeo da mesma biblioteca realizam caacutelculo
de depleccedilatildeo do combustiacutevel indicando a quantidade de cada elemento nos diferentes
passos de queima sendo possiacutevel fazer um inventaacuterio de queima em ambos os
coacutedigos para cada intervalo de queima Este intervalo eacute informado pelo usuaacuterio
Para a descriccedilatildeo do material tanto o MCNPX como o SERPENT usam a
mesma forma Basta informar o ldquocoacutedigordquo do elemento desejado e sua concentraccedilatildeo
que pode ser atocircmica (aacutetomosbarncm) ou fraccedilatildeo de massa
O coacutedigo dos materiais eacute formado pelos seus nuacutemeros atocircmicos e por seus
nuacutemeros de massa Por exemplo o coacutedigo para o elemento 238U eacute 92238
Para se identificar as diferentes versotildees das bibliotecas existem nuacutemeros que
vecircm depois do coacutedigo do elemento Esses nuacutemeros satildeo a versatildeo das bibliotecas para
o MCNPX e para o SERPENT as temperaturas (em Kelvin) das bibliotecas Portanto
no MCNPX o coacutedigo 9223866c indica que a biblioteca utilizada eacute a ENDF66 Para o
SERPENT o coacutedigo completo eacute 9223806c onde o 06c indica a temperatura em que a
biblioteca foi avaliada (600 K)
71
Ainda na descriccedilatildeo do material o coacutedigo SERPENT permite definir os materiais
de outra forma Assim pode-se usar o siacutembolo do elemento quiacutemico seguido de seu
nuacutemero de massa Por exemplo O-1609c eacute o 16O a uma temperatura de 900 K
Se o material eacute composto por mais de um elemento quiacutemico basta inserir os
demais elementos As tabelas abaixo mostram o exemplo de um revestimento de
zircaloy (Tabela 81) para o MCNPX e para o dioacutexido de uracircnio (Tabela 82) para o
SERPENT Note que para a entrada em fraccedilatildeo de massa deve-se colocar o sinal de
negativo
Aleacutem das informaccedilotildees dos elementos e de suas concentraccedilotildees eacute necessaacuterio
informar tambeacutem a densidade dos materiais No MCNPX essa informaccedilatildeo fica junto
com a definiccedilatildeo do local que o material estaacute No SERPENT a informaccedilatildeo da
densidade fica junto com a definiccedilatildeo do material Em ambos os coacutedigos a densidade
pode ser informada em gcm3 ou em densidade atocircmica (aacutetomosbarnmiddotcm)
Tabela 81 Exemplo de um
revestimento de zircaloy no MCNPX
Elemento Fraccedilatildeo de
massa
4000066c -098135
2400066c -000100
2600066c -000135
2800042c -000055
5000006c -001450
801606c -000125
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de
uracircnio no SERPENT
Elemento Densidade
Atocircmica
9223409c 914E-02
9223509c 935E+00
9223809c 215E+02
O-1609c 449E+02
Para a validaccedilatildeo das simulaccedilotildees realizadas utilizando o coacutedigo SERPENT
foram realizadas algumas simulaccedilotildees de reatores para a comparaccedilatildeo direta com o
MCNPX jaacute que o MCNPX eacute amplamente utilizado para a simulaccedilatildeo de reatores
Os reatores simulados foram um PWR com combustiacutevel do tipo MOX (Figura
81) um reator do tipo VVER (Figura 82) e um terceiro do tipo CANDU (Figura 83)
Os resultados obtidos com essas simulaccedilotildees se encontram na Tabela 83
72
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU
Refrigerante (aacutegua)
Combustiacutevel MOX 1 (29 Pu)
Combustiacutevel MOX 2 (44 Pu)
Combustiacutevel MOX 3 (56 Pu)
Combustiacutevel (UO2)
Vazio (ar)
Refrigerante (Aacutegua)
Combustiacutevel (UO2)
Refrigerante (Aacutegua)
73
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER
Reator keff Diferenccedila2
(pcm) MCNPX SERPENT
VVER 128763 128807 3417
CANDU 094169 094207 4034
PWR 100176 100184 799
Recentemente Allen et al(2011) publicou uma proposta de referecircncia para
reatores regeneradores baseado no reator de teste avanccedilado para queima de AM
(ABTR) Este reator tem uma potecircncia teacutermica de 250 MW sendo refrigerado com
soacutedio A Figura 84 mostra a geometria e disposiccedilatildeo dos elementos do nuacutecleo do
reator utilizado na simulaccedilatildeo com MCNPX
As Tabelas 84 85 e 86 trazem as composiccedilotildees dos diferentes combustiacuteveis
utilizados Jaacute as Tabelas 87 88 e 89 mostram a composiccedilatildeo das varetas refletor e
barras de controle respectivamente
A Tabela 810 traz informaccedilotildees gerais do reator como pitch e diacircmetro de
varetas do reator entre outras
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX
2 Em moacutedulo diferenccedila = |Keff MCNPX - keff SERPENT|
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
74
Tabela 84Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 1
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 122E-04
U-235 322E-01
U-236 206E-02
U-238 202E+02
Np-237 384E-02
Pu-236 139E-07
Pu-238 959E-03
Pu-239 350E+01
Pu-240 374E+00
Pu-241 245E-01
Pu-242 175E-02
Am-241 142E-02
Am-242 285E-04
Am-243 613E-04
Cm-242 471E-04
Cm-243 741E-06
Cm-244 483E-05
Cm-245 191E-06
Cm-246 261E-08
Tabela 85 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 2
(densidade 10851
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 100E-02
U-235 320E-01
U-236 195E-02
U-238 197E+02
Np-237 181E+00
Pu-236 908E-06
Pu-238 905E-01
Pu-239 235E+01
Pu-240 109E+01
Pu-241 294E+00
Pu-242 219E+00
Am-241 213E+00
Am-242 583E-02
Am-243 436E-01
Cm-242 735E-02
Cm-243 244E-03
Cm244 110E-01
Cm-245 977E-03
Cm-246 677E-04
Tabela 86 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 3
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 150E-02
U-235 318E-01
U-236 186E-02
U-238 193E+02
Np-237 313E-02
Pu-236 911E-08
Pu-238 987E-03
Pu-239 431E+01
Pu-240 456E+00
Pu-241 295E-01
Pu-242 206E-02
Am-241 223E-02
Am-242 408E-04
Am-243 756E-04
Cm-242 563E-04
Cm-243 905E-06
Cm244 553E-05
Cm-245 200E-06
Cm-246 241E-08
75
Tabela 87 Composiccedilatildeo
do revestimento da vareta
de combustiacutevel
(densidade 75357
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Fe-54 408E+01
Fe-56 641E+02
Fe-57 148E+01
Fe-58 197E+00
Ni-58 293E+00
Ni-60 113E+00
Ni-61 491E-02
Ni-62 157E-01
Ni-64 399E-02
Cr-50 451E+00
Cr-52 870E+01
Cr-53 987E+00
Cr-54 246E+00
Mn-55 460E+00
Zr-nat 491E+00
Tabela 88 Composiccedilatildeo
do refletor (densidade
53908 gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Na-23 715E+01
Fe-54 277E+01
Fe-56 435E+02
Fe-57 101E+01
Fe-58 134E+00
Ni-58 199E+00
Ni-60 767E-01
Ni-61 333E-02
Ni-62 106E-01
Ni-64 271E-02
Cr-50 306E+00
Cr-52 591E+01
Cr-53 670E+00
Cr-54 167E+00
Mn-55 312E+00
Zr-nat 333E+00
Tabela 89 Composiccedilatildeo
da barra de controle
(densidade 15643
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
C-12 407E+01
B-10 164E+02
B-11 662E+02
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR
Paracircmetro Valor (cm)
ldquoPicthrdquo do elemento combustiacutevel 14685
ldquoPitchrdquo da varetas de combustiacutevel 09134
Diacircmetro da vareta de combustiacutevel 08048
Espessura do revestimento 00523
Altura ativa do combustiacutevel 844108
76
A biblioteca de dados utilizada foi a ENDF B-VI6a que eacute fornecida juntamente
com o MCNPX 26 Esta biblioteca foi avaliada em diferentes temperaturas O
refrigerante utilizado na simulaccedilatildeo deste reator eacute o soacutedio com uma concentraccedilatildeo de
22272x10-2 aacutetomosbarnsmiddotcm
Como o MCNPX e o SERPENT natildeo permitem a mudanccedila na temperatura
durante a simulaccedilatildeo caso queira-se avaliar o efeito da temperatura deve-se ter as
bibliotecas nas temperaturas requeridas refazer a simulaccedilatildeo e comparar os
resultados
A simulaccedilatildeo deste sistema foi feita com um total de 130 ciclos mas somente os
uacuteltimos 100 ciclos satildeo contabilizados nos resultados Cada ciclo foi simulado com
1x104 necircutrons totalizando 106 necircutrons isto sem levar em conta os necircutrons
produzidos por fissatildeo A Tabela 811 mostra a divisatildeo dos intervalos utilizados na
queima do combustiacutevel na simulaccedilatildeo do reator ABTR
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR
Intervalo Duraccedilatildeo (dias)
1 2739
2 2739
3 5478
4 10956
5 10956
6 10956
7 10956
8 10956
9 10956
10 10956
11 10956
12 10956
O proacuteximo passo foi realizar a simulaccedilatildeo deste mesmo sistema no SERPENT
1118 para a comparaccedilatildeo com o resultado do MCNPX e verificar se os resultados de
ambos os coacutedigos MC satildeo compatiacuteveis para o caso de reatores subcriacuteticos A Figura
85 mostra o nuacutecleo do reator simulado no SERPENT
77
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT
A simulaccedilatildeo tambeacutem foi realizada com 130 ciclos utilizando o mesmo nuacutemero
de necircutrons que na simulaccedilatildeo feita pelo o MCNPX
Com estas condiccedilotildees Allen et al (2011) obtiveram um keff de 104961 Ao
reproduzir esta simulaccedilatildeo foi obtido um keff inicial de 104622 ou seja uma diferenccedila
de 83 pcm
Vale ressaltar que o tempo de simulaccedilatildeo do SERPENT para este mesmo
sistema foi de aproximadamente 20 h Isso se deve ao fato que o SERPENT eacute
especiacutefico para simulaccedilatildeo de reatores enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo mais geral
Assim o SERPENT pode utilizar mecanismos de otimizaccedilatildeo como por exemplo uma
mudanccedila no algoritmo de caacutelculo do livre caminho meacutedio sem perda de informaccedilatildeo
Os resultados da comparaccedilatildeo satildeo apresentados na Tabela 812 Jaacute os graacuteficos
das Figuras 87 e 88 mostram a comparaccedilatildeo do keff e da queima nos dois sistemas
respectivamente Pode-se observar atraveacutes da Figura 86 que o reator simulado se
torna subcriacutetico somente apoacutes 550 dias de operaccedilatildeo
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
78
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT
Tempo
(dias)
Reatividade (pcm) Burnup (GwdMTU)
Diferenccedila3
reatividade
(pcm)
Diferenccedila1
Burnup
(GwdMTU)
MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT
00 4335 4418 0000 0000 83 0000
2739 4033 4114 1325 1324 81 0001
5478 3906 3788 2649 2649 118 0000
1096 3544 3462 5298 5297 81 0001
2191 2759 2343 10600 10594 415 0006
3287 1749 1642 15890 15891 106 0001
4382 1053 1255 21190 21188 202 0002
5478 15 106 26490 26485 91 0005
6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008
7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011
8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014
9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007
10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094
095
096
097
098
099
100
101
102
103
104
105
106
Kef
f
Tempo (Dias)
MCNPX SERPENT
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT
1 diferenccedila burnup = |burnup MCNPX ndash burnup SERPENT|
3 diferenccedila reatividade = |Keff MCNPX ndash keff SERPENT|
79
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000
10
20
30
40
50
60
burn
up (
Gw
dM
TU
)
tempo (Dias)
MCNPX 26 SERPENT
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT
Uma opccedilatildeo interessante na simulaccedilatildeo realizada com o SERPENT eacute a
possibilidade de uma visualizaccedilatildeo das aacutereas mais lsquoquentesrsquo do reator que satildeo
representadas por tons de vermelho e amarelo representando a potecircncia relativa da
fissatildeo nuclear e em tons de azul satildeo as aacutereas lsquofriasrsquo representando fluxo teacutermico
relativo (ver Figuras 89 e 810)
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do reator PWR simulado
80
Para a observaccedilatildeo nas alteraccedilotildees nos esquemas de cores a normalizaccedilatildeo eacute
fixa apoacutes o primeiro passo de queima A Figura 89 abaixo mostra a representaccedilatildeo das
aacutereas quentes e frias para o reator ABTR simulado por Allen et al (2010) em quatro
estaacutegios diferentes de queima
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias
A partir das Tabelas 812 83 e do graacutefico da Figura 86 pode-se verificar que
os dois coacutedigos MC apresentam resultados satisfatoacuterios para os valores do keff com
diferenccedila maacutexima de 415 pcm para o reator ABTR Esta diferenccedila pode ser devido agrave
geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios presente no meacutetodo MC Uma maneira de ser diminuir
esta diferenccedila eacute aumentando a quantidade de partiacuteculas simuladas poreacutem o tempo de
simulaccedilatildeo tornar-se demasiadamente grande (Antolin 2009) Outra possibilidade eacute a
falta de dados mais precisos dos materiais utilizados como combustiacuteveis no reator
ABTR
Como o coacutedigo SERPENT eacute mais novo a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do mesmo
sistema simulado no MCNPX se justifica para saber se o coacutedigo SERPENT reproduz
sistemas subcriacuteticos adequadamente Aleacutem disso o SERPENT permite a simulaccedilatildeo
de reatores nucleares com fonte externa mesmo que estas simulaccedilotildees se limitem a
a b
c d
81
problemas de fonte externa fixa Devemos lembrar que o SERPENT soacute realiza
simulaccedilatildeo de reatores nucleares enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo que pode ser
aplicados a outros problemas aleacutem de simulaccedilotildees de reatores
82
9 Resultados
As equaccedilotildees da cineacutetica pontual obtidas no capiacutetulo 3 para sistemas
subcriacuteticos foram comparadas com a simulaccedilatildeo MC devido agrave dificuldade de se obter
dados experimentais de reatores subcriacuteticos As simulaccedilotildees foram feitas utilizando
potecircncia constante linear exponencial e tambeacutem uma variaccedilatildeo aleatoacuteria
A utilizaccedilatildeo do meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear eacute interessante por
permitir a implementaccedilatildeo de sistemas de monitoramento em tempo real da reatividade
associada a uma variaccedilatildeo da potecircncia nuclear tornando-se muito atraente para
aplicaccedilotildees em reatores do tipo ADS
A Figura 91 mostra a geometria utilizada nas simulaccedilotildees de todos os casos
simulados As composiccedilotildees dos materiais satildeo as mesmas mostradas nas Tabelas 87
88 e 89 para vareta refletor barra de controle e da vareta de combustiacutevel Para a
composiccedilatildeo do combustiacutevel foi usada agrave composiccedilatildeo mostrada na Tabela 91
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado
Elemento Concentraccedilatildeo
(fraccedilatildeo de massa)
U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico
Legenda
Combustiacutevel
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
83
Os valores utilizados para a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo Monte Carlo com os
resultados das equaccedilotildees para cada um dos casos do capiacutetulo 3 encontram-se na
Tabela 92 Esses valores foram obtidos diretamente do arquivo de saiacuteda da simulaccedilatildeo
realizada no SERPENT com a exceccedilatildeo do valor de Γ que foi extraiacutedo de Silva (2011)
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos
Paracircmetro Valor
β 000706
Λ 121x10-5 s
λ 21979x10-1 s
Γ -077x10-10
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia
Nuclear
Para um reator subcriacutetico chegar a sua potecircncia de operaccedilatildeo deve-se
monitorar a reatividade para se evitar algum tipo de acidente Assim podemos supor
uma inserccedilatildeo de reatividade de maneira linear (equaccedilatildeo 443) Esta simulaccedilatildeo foi feita
considerando uma taxa de aumento de 5 por hora do valor inicial da potecircncia sendo
monitorado por um periacuteodo de 6 horas
A Tabela 93 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos entre o SERPENT e
a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa
92 Potecircncia Nuclear Constante
Para a simulaccedilatildeo realizada a potecircncia constante o tempo total de simulaccedilatildeo foi
de cerca de 12 horas Esta diferenccedila se daacute unicamente devido ao diferente nuacutemero de
passos simulados enquanto foram simulados 6 passos de uma hora para a variaccedilatildeo
84
linear da potecircncia foram simulados 10 passos para a potencia constante Esta
simulaccedilatildeo tenta reproduzir a operaccedilatildeo em condiccedilotildees normais do reator A Tabela 94
mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos para a potecircncia de 80 MW
93 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
A variaccedilatildeo exponencial da potecircncia foi simulada por um periacuteodo de 1 hora em
intervalos de 10 minutos A Tabela 95 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos
com uma taxa de aumento de 00001
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(h) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 1 -2069 -2125 -2119 56 50
84 2 -2050 -2125 -2125 75 75
88 3 -2122 -2134 -2134 12 12
92 4 -2077 -2143 -2143 66 66
96 5 -2142 -2151 -2151 9 9
100 6 -2119 -2158 -2158 39 39
85
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
Gandini -
SERPENT
0 -2133 -2146 -2146 12 12
10 -2152 -2146 -2146 6 6
20 -2144 -2146 -2146 2 2
30 -2167 -2146 -2146 21 21
40 -2151 -2146 -2146 5 5
50 -2127 -2146 -2146 18 18
60 -2177 -2146 -2146 31 31
70 -2145 -2146 -2146 0 0
80 -2152 -2146 -2146 6 6
90 -2160 -2146 -2146 14 14
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da potecircncia
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2065 2120 2120 55 55
115 10 2108 2107 2107 0 0
165 20 2104 2115 2114 11 10
235 30 2070 2114 2115 44 45
337 40 2083 2115 2115 32 32
483 50 2126 2115 2117 11 9
86
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
A avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia durante
sua operaccedilatildeo foi feita durante um periacuteodo de 6 horas Neste intervalo foi simulada uma
suacutebita queda de potecircncia e posteriormente uma subida repentina da potecircncia A
Tabela 96 mostra os resultados obtidos
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2075 2029 2029 46 46
90 1 2075 2188 2188 113 113
0 2 2143 2118 2118 24 24
40 3 2050 2120 2120 70 70
80 4 2133 2231 2231 97 97
100 5 2080 2163 2163 83 83
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Nesta seccedilatildeo seratildeo apresentados os resultados obtidos levando-se em conta a
variaccedilatildeo temporal da fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo dos
necircutrons
87
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia
Assim como na seccedilatildeo 91 a Tabela 97 mostra os resultados obtidos para uma
variaccedilatildeo linear de potecircncia poreacutem os resultados abaixo foram levados em conta agraves
variaccedilotildees temporais de β e de Λ Como o SERPENT jaacute fornece os valores de β e Λ
para cada passo de queima esses valores foram utilizados para a obtenccedilatildeo da reta de
ajuste que foi utilizada em todos os casos com variaccedilatildeo temporal de β e de Λ Assim
natildeo foi necessaacuterio realizar novas simulaccedilotildees
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Λ (x10-5)
(s)
β
(pcm)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF ndash
SERPENT
HGPT ndash
SERPENT
80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6
84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0
88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28
92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80
96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127
100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141
952 Potecircncia constante
Jaacute para o reator operando a uma potecircncia constante a Tabela 98 mostra os
resultados obtidos para variaccedilotildees lineares de β e Λ Lembrando que esta a duraccedilatildeo
desta simulaccedilatildeo foi de aproximadamente 12 horas
88
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia constante
Tempo
(min) Λ (x10-5) (s)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7
10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6
20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5
30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17
40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4
50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18
60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31
70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0
80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1
90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14
953 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
Utilizando a mesma variaccedilatildeo de potencia da seccedilatildeo 93 a operaccedilatildeo do reator
foi simulada por um periacuteodo de 6 horas Para este caso a taxa de aumento de
potecircncia tambeacutem foi de 00001 A Tabela 99 mostra os resultados obtidos
89
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Mais uma vez realizando a mesma variaccedilatildeo de potecircncia da seccedilatildeo 94 a
avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia tambeacutem foi
realizada juntamente com a variaccedilatildeo de β e Λ A Tabela 910 mostra os resultados
obtidos
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia com β e Λ variaacuteveis no tempo
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125
115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36
165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13
235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9
337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80
483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Serpent TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102
90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2
0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79
40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51
80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140
100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23
90
96 Paracircmetros Nucleares
Os paracircmetros integrais satildeo muitas vezes utilizados para dar informaccedilotildees
imediatas e completas sobre as caracteriacutesticas fiacutesicas dos reatores nucleares Eles
podem aparecer diretamente da modelagem matemaacutetica do sistema ou podem ser
introduzidos tanto artificialmente com a finalidade de quantificar as caracteriacutesticas
fiacutesicas pra que se permitam comparaccedilotildees entre diferentes configuraccedilotildees ou na
interpretaccedilatildeo das mediccedilotildees experimentais Assim enquanto algumas quantidades
integrais em fiacutesica de reatores deteacutem um significado matemaacutetico (por exemplo o fator
de multiplicaccedilatildeo como sendo o autovalor do problema de equiliacutebrio) outras
quantidades podem carregar significados diferentes de acordo com os objetivos
especiacuteficos para os quais satildeo introduzidos Este fato pode causar uma grande
confusatildeo especialmente quando o mesmo termo eacute utilizado para denotar grandezas
fiacutesicas bastante diferentes Este eacute o caso por exemplo de paracircmetros integrais
introduzidos em modelos cineacuteticos que satildeo obtidos atraveacutes da ponderaccedilatildeo das
equaccedilotildees da cineacutetica Enquanto que o procedimento eacute bem estabelecido na cineacutetica
dos de sistemas criacuteticos o caso de sistemas com fonte externa pode estar aberto a
ambiguidade jaacute que natildeo existe uma uacutenica funccedilatildeo de ponderaccedilatildeo e sua escolha pode
ser relacionada mais para conveniecircncia numeacuterica ou para a necessidade de obter
alguns resultados muitos especiacuteficos (Dulla 2011)
Por outro lado muitas vezes esses mesmos termos podem ser obtidos por
exemplo por teacutecnicas de simulaccedilatildeo MC Este eacute o caso de reatividade fraccedilatildeo de
necircutrons retardados e o tempo de geraccedilatildeo de necircutrons Eacute especialmente importante
observar que os sistemas subcriacuteticos exigem um repensar de toda abordagem teoacuterica
concebida para sistemas criacuteticos
Anaacutelises realiacutesticas da cineacutetica de sistemas subcriacuteticos satildeo atualmente feitas
atraveacutes da soluccedilatildeo direta das equaccedilotildees seja por difusatildeo ou por modelos de
transporte Informaccedilotildees altamente detalhadas e precisas sobre a evoluccedilatildeo dos
necircutrons satildeo necessaacuterias entretanto os modelos pontuais satildeo muito simplificados e
podem natildeo fornecer informaccedilotildees suficientes Aleacutem disso ferramentas numeacutericas e
computacionais eficientes estatildeo disponiacuteveis tornando possiacutevel evitar as restriccedilotildees dos
modelos da cineacutetica pontual No entanto os paracircmetros integrais satildeo uacuteteis em
qualquer caso para a obtenccedilatildeo de informaccedilotildees completas sobre o comportamento
fiacutesico do sistema para ter uma indicaccedilatildeo imediata sobre as caracteriacutesticas cineacuteticas do
sistema
91
O conceito de paracircmetros integrais parece perder significado e relevacircncia para
sistemas subcriacuteticos guiados por fonte Por isso para as quantidades integrais
medidas ou simuladas as definiccedilotildees dos paracircmetros gerados devem sempre estar
especificados para evitar interpretaccedilotildees equivocadas e incorretas de tais resultados
Para comparar alguns paracircmetros as simulaccedilotildees foram feitas utilizando tanto
combustiacutevel fresco quanto combustiacutevel usado Assim pode-se comparar alguns
paracircmetros nucleares do iniacutecio do ciclo de combustiacutevel com os resultados de
combustiacutevel no final do ciclo Alguns paracircmetros como a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados (β) e o tempo de geraccedilatildeo meacutedia de necircutrons (Λ) satildeo fornecidos pelo coacutedigo
SERPENT ao final de cada simulaccedilatildeo
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares
Paracircmetro Combustiacutevel
fresco
Combustiacutevel
queimado
Referecircncia (Dulla et
al 2011)
β 000706 000340 000644
Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s
A partir da Tabela 911 pode-se verificar que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
tem uma diminuiccedilatildeo de quase a metade em comparaccedilatildeo ao seu valor inicial Isso eacute de
se esperar devido agrave queima do combustiacutevel fazendo com que este paracircmetro natildeo seja
tatildeo importante na operaccedilatildeo de um reator nuclear no final do ciclo do combustiacutevel como
eacute em seu iniacutecio
O valor para a fraccedilatildeo de necircutrons retardados para combustiacutevel fresco no
reator subcriacutetico Yalina operando a um keff de 098 eacute de 644 pcm (Dulla et al 2011) ou
seja uma diferenccedila de 62 pcm em relaccedilatildeo ao valor encontrado na Tabela 911 Vale
ressaltar que segundo Dulla et al (2011) os paracircmetros integrais dependem do niacutevel
de subcriticalidade
Outro paracircmetro importante para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de cineacutetica pontual e
para o controle do reator sendo muitas vezes utilizado para determinar a resposta
dinacircmica de um reator nuclear eacute o tempo de vida de necircutrons prontos (Λ) (Abaacutenades
et al 2001) Para reatores teacutermicos este valor eacute em torno de 10-4 s enquanto para
reatores subcriacuteticos este valor eacute da ordem de 10-5 s Segundo Dulla et al (2011) o
valor para este paracircmetro eacute de 148 micros para combustiacutevel fresco Assim o valor
encontrado (121 micros) eacute proacuteximo ao encontrado na literatura com um desvio percentual
92
de 18 Este desvio pode se devido agraves diferentes composiccedilotildees do combustiacutevel e
tambeacutem pela diferenccedila de enriquecimento
93
10 Conclusatildeo
A mediccedilatildeo da reatividade utilizando-se a cineacutetica inversa eacute amplamente
utilizada na partida de um reator nuclear Assim uma mediccedilatildeo acurada da reatividade
eacute imprescindiacutevel para o controle do reator (Diacuteaz et al 2007)
Os formalismos propostos por Gandini (2000) e por Silva et al (2011) envolvem
a fonte externa para descriccedilatildeo do comportamento cineacutetico dos reatores subcriacuteticos
guiados por fontes Poreacutem como ainda natildeo existem reatores ADS em operaccedilatildeo as
simulaccedilotildees de tais sistemas satildeo importantes para a avaliaccedilatildeo preliminar do
funcionamento desses reatores
Os resultados apresentados no capiacutetulo anterior mostram que as equaccedilotildees da
cineacutetica inversa para sistemas subcriacuteticos propostas nesta tese reproduzem
satisfatoriamente os reatores subcriacuteticos guiados por fonte sejam utilizando o meacutetodo
das derivadas quanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia tanto para o
formalismo proposto por Gandini (2000) quanto o proposto por Silva et al (2011)
Ainda pode-se notar que tanto para valores constantes como para variaccedilotildees lineares
de β e Λ os resultados satildeo coerentes Isto ocorre devido agrave pequena variaccedilatildeo de β
(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)
Vale ressaltar que o meacutetodo das derivadas se torna interessante para o
monitoramento da reatividade por natildeo necessitar do armazenamento de todo o
histoacuterico potecircncia e depender apenas das derivadas da potecircncia possibilitando que o
caacutelculo da reatividade seja feito com uma maior rapidez se comparado com o tempo
necessaacuterio para resolver a integral do histoacuterico de potecircncia Aleacutem disso este meacutetodo
natildeo necessita do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator e o caacutelculo
pode ser reiniciado em caso de mau funcionamento do equipamento de mediccedilatildeo da
reatividade
A simulaccedilatildeo Monte Carlo foi utilizada para a validaccedilatildeo dos meacutetodos propostos
devido agrave falta de dados nucleares para reatores subcriacuteticos poreacutem mesmo com a boa
reproduccedilatildeo deste tipo de simulaccedilatildeo a modelagem utilizada por estes meacutetodos
encontra problemas pois os dados nucleares disponiacuteveis para alguns actiniacutedeos natildeo
atendem as faixas de energia necessaacuterias para a simulaccedilatildeo de um reator ADS Esses
dados devem cobrir aleacutem de uma vasta gama de energia e um grande conjunto de
nucliacutedeos (Vaz 2010) pois o grande atrativo dos reatores ADS eacute a transmutaccedilatildeo de
rejeitos de longa meia vida e tambeacutem a produccedilatildeo de energia eleacutetrica Assim a ecircnfase
94
dos dados nucleares deve ser nos actiniacutedeos (por exemplo Np Am e o Cm) para o
acompanhamento do ciclo de combustiacutevel com a finalidade de reciclagem muacuteltipla
Mesmo assim a simulaccedilatildeo realizada para a validaccedilatildeo das equaccedilotildees propostas por
Gandini (2000) e por Silva et al (2011) mostra-se coerente para anaacutelise completa da
reatividade de um reator subcriacutetico guiado por fonte
Ainda assim a simulaccedilatildeo Monte Carlo pode ser utilizada para a anaacutelise
preliminar de alguns paracircmetros dos reatores nucleares (criacuteticos ou subcriacuteticos) como
por exemplo o fator de multiplicaccedilatildeo efetivo a fraccedilatildeo de necircutrons retardados e uma
boa aproximaccedilatildeo da quantidade de material transmutado ajudando a prever o
comportamento meacutedio do reator
Pode-se verificar que existe uma boa concordacircncia entre os valores
encontrados para os paracircmetros nucleares e os existentes na literatura Uma possiacutevel
melhora nesses resultados passa por um aumento significativo na quantidade de
histoacuterias simuladas
Este aumento contribuiria para a diminuiccedilatildeo dos erros estatiacutesticos intriacutensecos
do meacutetodo Monte Carlo Poreacutem o tempo de simulaccedilatildeo tambeacutem aumentaria
sensivelmente pois o meacutetodo MC necessita da simulaccedilatildeo individual de cada partiacutecula
podendo levar um tempo absurdamente grande para a simulaccedilatildeo de todo o sistema
Poreacutem mesmo com a ldquofaltardquo de dados nucleares mais precisos para os
actiniacutedeos a simulaccedilatildeo MC se mostra uma importante ferramenta na aacuterea de fiacutesica de
reatores devido a sua facilidade de trabalhar com geometrias bastante complexas
permitindo tambeacutem a simulaccedilatildeo desses sistemas em trecircs dimensotildees
Uma soluccedilatildeo interessante para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares seriam os
meacutetodos computacionais hiacutebridos ou seja um meacutetodo resultante da fusatildeo da
simulaccedilatildeo Monte Carlo com teacutecnicas determiniacutesticas Assim poder-se-ia melhorar os
pontos fortes e eliminar as fraquezas individuais do meacutetodo MC e das abordagens
deterministas Apesar de algumas exceccedilotildees o desenvolvimento de ferramentas
computacionais hiacutebridas eacute no entanto ainda largamente inexplorado (Vaz 2010)
95
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v
Agradecimentos
Agradeccedilo aos meus professores Aquilino Senra Martinez e Fernando Carvalho
da Silva pela dedicaccedilatildeo e ajuda no desenvolvimento deste trabalho e tambeacutem ao
amigo Daniel Artur Pinheiro Palma pelas suas contribuiccedilotildees neste trabalho
Tambeacutem agradeccedilo a Coordenaccedilatildeo de Aperfeiccediloamento de Pessoal de Niacutevel
Superior (CAPES) pelo apoio financeiro
Aos amigos do LMP pelo o apoio na elaboraccedilatildeo deste trabalho
Ao meu pai Manuel Angel Antolin Garcia por me incentivar a ingressar na
carreira acadecircmica e por todo o seu carinho
Agrave minha matildee Iliana de Carvalho Quelhas pela a paciecircncia amor carinho e
apoio em toda minha caminhada acadecircmica e pessoal
Agrave minha esposa pela paciecircncia e compreensatildeo
vi
Resumo da Tese apresentada agrave COPPEUFRJ como parte dos requisitos necessaacuterios
para a obtenccedilatildeo do grau de Doutor em Ciecircncias (DSc)
SIMULACcedilAtildeO DE UM REATOR SUBCRIacuteTICO TIPO ADS VIA MONTE CARLO PARA
VALIDACcedilAtildeO DE CAacuteLCULO DA REATIVIDADE
Mauricio Quelhas Antolin
Fevereiro2013
Orientadores Aquilino Senra Martinez
Fernando Carvalho da Silva
Programa Engenharia Nuclear
Um dos grandes atrativos dos reatores ADS eacute decorrente da possiblidade de
transmutaccedilatildeo dos rejeitos produzidos pelas usinas nucleares convencionais
diminuindo a armazenagem dos rejeitos de longa meia-vida em repositoacuterios geoloacutegicos
de longa duraccedilatildeo Poreacutem o comportamento cineacutetico desses reatores ainda eacute uma
questatildeo em aberto tendo em vista que natildeo existe nenhum reator ADS em operaccedilatildeo
no mundo Portanto este trabalho propotildee um meacutetodo de caacutelculo de reatividade para
reatores subcriacuteticos guiados por fonte (ADS) utilizando o meacutetodo das derivadas
parciais da potecircncia nuclear que permite um caacutelculo mais raacutepido e sem a necessidade
do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator Os resultados foram
comparados com simulaccedilotildees numeacutericas realizadas pelo meacutetodo Monte Carlo e
mostram boa concordacircncia
vii
Abstract of Thesis presented to COPPEUFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (DSc)
SIMULATION OF A ADS SUBCRITICAL REACTOR VIA MONTE CARLO FOR
VALIDATION OF REACTIVITY CALCULATION
Mauricio Quelhas Antolin
February2013
Advisors Aquilino Senra Martinez
Fernando Carvalho da Silva
Department Nuclear Engineering
One of the great attractions of ADS reactors is due to the possibility of
transmutation of waste produced by conventional power plants reducing waste by
reducing the storage of long half-life in long-term geological repositories But the kinetic
behavior of these reactors is still an open question given that there is no ADS reactor
in operation worldwide Therefore this work proposes a method for calculating reactivity
for subcritical reactors driven by source (ADS) using the method of partial derivatives of
nuclear power which allows a faster calculation and not need the storage the whole
history of reactor power The results were compared with numerical simulations
performed by the Monte Carlo method and show good agreement
viii
Sumaacuterio Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xi
1 Introduccedilatildeo 1
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para Reatores Subcriacuteticos 8
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 9
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 14
23 Cineacutetica Inversa 17
231 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 18
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 18
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico de Potecircncia 19
31 Meacutetodo de Agrupamento 19
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada 21
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da intensidade da fonte externa 23
34 Meacutetodo das Derivadas 24
341 Anaacutelise para k impar 25
342 Anaacutelise para k par 29
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com dependecircncia temporal de β e Λ 32
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 32
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 33
43 Meacutetodo das Derivadas para Dependecircncia Temporal de β e de Λ 34
431 Anaacutelise para k impar 35
432 Anaacutelise para k par 37
5 Caacutelculo da reatividade para algumas variaccedilotildees da potecircncia nuclear 40
51 Potecircncia Linear 40
511 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 40
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 42
52 Potecircncia Constante 43
521 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 43
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 44
53 Potecircncia Exponencial 45
531 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 45
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 46
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 47
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com Dependecircncia temporal de β e Λ 49
61 Potencia Linear 49
ix
611 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 49
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 50
62 Potecircncia Constante 51
621 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 51
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 51
63 Potecircncia Exponencial 52
631 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 52
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 52
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 53
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica 54
71 Funccedilotildees Densidade de Probabilidades 57
72 Meacutetodo direto ou inverso 60
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo 63
74 Meacutetodos Monte Carlo para Reatores Subcriacuteticos 65
75 Conceito de Reatores ADS 66
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos Utilizados 68
9 Resultados 82
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia Nuclear 83
92 Potecircncia Nuclear Constante 83
93 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 84
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 86
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ 86
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia 87
952 Potecircncia constante 87
953 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 88
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 89
96 Paracircmetros Nucleares 90
10 Conclusatildeo 93
11 Referecircncias Bibliograacuteficas 95
x
Lista de Figuras
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996 3
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de
Yoriyaz 2009 55
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio 58
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio 58
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo 59
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003) 61
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula 62
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo 64
Figura 78 Processo de caacutelculo de π 65
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009 66
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS 67
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR 72
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER 72
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU 72
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX 73
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT 77
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT 78
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT 79
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do
reator PWR simulado 79
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do
ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias 80
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico 82
xi
Lista de Tabelas
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-
nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012) 2
Tabela 81 Exemplo de um revestimento de zircaloy no MCNPX 71
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de uracircnio no SERPENT 71
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER 73
Tabela 84Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 1 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 85 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 2 (densidade 10851 gcm3) 74
Tabela 86 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 3 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 87 Composiccedilatildeo do revestimento da vareta de combustiacutevel (densidade 75357
gcm3) 75
Tabela 88 Composiccedilatildeo do refletor (densidade 53908 gcm3) 75
Tabela 89 Composiccedilatildeo da barra de controle (densidade 15643 gcm3) 75
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR 75
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR 76
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT 78
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado 82
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos 83
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear 84
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante 85
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia 85
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados 86
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ 87
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia linear constante 88
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares 91
1
1 Introduccedilatildeo
Grande parte da energia eleacutetrica produzida por reatores nucleares satildeo
provenientes de reatores a aacutegua leve devido agrave utilizaccedilatildeo de material fiacutessil pouco
enriquecido para seu funcionamento o que torna sua construccedilatildeo e operaccedilatildeo
bastantes atrativos mesmo com os altos custos de construccedilatildeo e manutenccedilatildeo das
centrais nucleares Aleacutem disso o conhecimento do clico teacutermico utilizados por esses
reatores impulsionaram seu desenvolvimento (Pereira 2002)
Poreacutem estes reatores utilizam ciclo de combustiacutevel aberto e produzem uma
grande quantidade de rejeitos o que inclui grande quantidade de elementos
transuracircnicos (Am Cm Np entre outros) que possuem uma alta meia-vida (cerca de
107 anos)
Assim existe uma grande preocupaccedilatildeo na utilizaccedilatildeo desses reatores natildeo soacute
na prevenccedilatildeo de acidentes mas tambeacutem devido agrave proliferaccedilatildeo de armas nucleares e
agrave necessidade de repositoacuterios finais de estocagem de longa duraccedilatildeo (Iwanaga et al
2005) o que cria uma barreira de sua aplicaccedilatildeo
Atualmente grande parte do combustiacutevel queimado no mundo eacute armazenado
em piscinas dentro das proacuteprias usinas nucleares e em alguns casos o
armazenamento que deveria ser temporaacuterio persiste haacute deacutecadas Estima-se que o
aumento de combustiacutevel utilizado esteja em torno de 12000 toneladas por ano sendo
que apenas 3000 toneladas deste combustiacutevel vatildeo para o reprocessamento1
Uma forma de contornar o problema da estocagem eacute atraveacutes da queima dos
rejeitos provenientes dos reatores nucleares de potecircncia em outros tipos de reatores
Inicialmente os reatores raacutepidos foram os primeiros a serem considerados para
esta finalidade por proporcionar aleacutem de uma melhor utilizaccedilatildeo das reservas de
uracircnio a possibilidade de transmutaccedilatildeo dos elementos transuracircnicos Poreacutem
dificuldades na operaccedilatildeo de reatores raacutepidos criacuteticos como por exemplo o controle da
criticalidade e tambeacutem a oxidaccedilatildeo do material usado como refrigerante (soacutedio)
dificultaram o seu uso
Cerca de 20 reatores raacutepidos jaacute entraram em operaccedilatildeo desde a deacutecada de
1950 sendo em sua maioria reatores de pesquisa Comercialmente apenas o reator
francecircs Superphenix chegou a entrar em operaccedilatildeo comercial Ele foi desenvolvido
para gerar 12 GW de energia eleacutetrica poreacutem foi fechado em 1998 devido a falhas
1 httpwwwworld-nuclearorginfoNuclear-Fuel-CycleNuclear-WastesRadioactive-Waste-
ManagementUTn-jaVtivM
2
estruturais alto custo e repetidos incidentes O Superphoenix funcionou apenas 10
meses em 13 anos
Os reatores raacutepidos satildeo projetados para usar 238U e tambeacutem 235U usado na
maioria dos reatores Se esses reatores satildeo projetados para produzir mais plutocircnio do
que consomem eles satildeo chamados reatores reprodutores raacutepidos (FBR) (Lodhi et al
2009) Os reatores raacutepidos tambeacutem podem queimar actiniacutedeos que possuem alta meia
vida que podem ser transmutados em outros elementos para o uso em reatores
convencionais (LWR) A Tabela 11 mostra alguns reatores raacutepidos que entraram ou
entraratildeo em operaccedilatildeo no mundo
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012)
Paiacutes Reator Tipo Potecircncia
Eleacutetrica (MWe)
Potecircncia
Teacutermica (MW) Operaccedilatildeo
USA
EBR 1 02 14 1951-63
EBR II Pesquisa 20 625 1963-94
Fermi 1 Pesquisa 66 200 1963-72
SEFOR
20 1969-72
Fast Flux Test
Facility Pesquisa
400 1980-93
Inglaterra Protoype FR Protoacutetipo 15 60 1959-77
Dounreay FR Pesquisa 270 650 1974-94
Franccedila
Rapsodie Pesquisa 40 1966-82
Phenix Protoacutetipo 250 563 1973-2009
Superphenix Comercial 1240 3000 1985-98
Alemanha KNK 2 Pesquisa 21 58 1977-91
Iacutendia FBTR Pesquisa
40 1985-
PFBR Protoacutetipo 500 1250 2012-
Japatildeo
Joyo Pesquisa
140 1978-
Monju Protoacutetipo 280 714 1994-96
2010-
Cazaquistatildeo BN 350 Protoacutetipo 135 750 1972-99
Ruacutessia
BN 12
101 1950
BR 5 10 Obninsk Pesquisa
5 8 1959-71
1973-
BOR 60
Dimitrovgrad Pesquisa 12 55 1969-
BN 600 Beloyarsk 3 Protoacutetipo 600 1470 1980-
BN-800 Beloyarsk 4 Comercial 880 2000 2014-
China CEFR Pesquisa 20 65 2010-
3
Vaacuterios paiacuteses tecircm programas de pesquisa e desenvolvimento para melhorar os
reatores raacutepidos Aleacutem disso o projeto internacional em inovaccedilatildeo de reatores
nucleares e ciclo de combustiacutevel (INPRO) da agecircncia internacional de energia atocircmica
(AIEA) possui como ecircnfase os reatores raacutepidos para funcionarem com o ciclo de
combustiacutevel fechado
Os problemas encontrados na operaccedilatildeo dos reatores raacutepidos podem ser
contornados utilizando um conceito onde os necircutrons que satildeo produzidos por uma
reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo a um custo eleacutetrico pequeno entram em um meio multiplicativo
com uma configuraccedilatildeo de combustiacutevelmoderador (Rubbia et al 1996) Esses reatores
satildeo chamados reatores hiacutebridos devido ao acoplamento de um acelerador de
partiacuteculas para seu funcionamento A Figura 11 mostra uma concepccedilatildeo do esquema
de funcionamento desses tipos de reatores
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996
Este conceito de reator foi proposto desde os anos 1970 (Maniscalco et al
1974) Poreacutem dificuldades tecnoloacutegicas adiaram seu desenvolvimento pois estes
aceleradores de partiacuteculas devem ser extremamente confiaacuteveis durante a operaccedilatildeo do
reator
Os reatores hiacutebridos subcriacuteticos satildeo atraentes por proporcionar melhor
utilizaccedilatildeo dos recursos naturais e tem sido amplamente reconhecidos como sendo
altamente seguros (Rubbia et al 1995) A principal vantagem deste tipo de reator eacute a
operaccedilatildeo de um reator com fator de multiplicaccedilatildeo menor que a unidade (keff lt1) em
Acelerador
Nuacutecleo
Turbina
Condensador
Trocador de Calor
Gerador
4
que as reaccedilotildees de fissatildeo devem ser desencadeadas por um intenso feixe de
partiacuteculas carregadas aceleradas como por exemplo proacutetons ou iacuteons pesados com
energia entre 05 - 50 GeV por nucleon (Perelygin et al 1999)
Aleacutem disso o objetivo da transmutaccedilatildeo eacute a minimizaccedilatildeo de rejeitos nucleares
atraveacutes da transmutaccedilatildeo dos actiniacutedeos menores (AM) como Np Am e Cm Portanto
esses reatores devem ser carregados com combustiacutevel que contenha grandes
quantidades de AM
Para poderem realizar a transmutaccedilatildeo esses reatores utilizam necircutrons no
espectro raacutepido Isto ocorre porque nessa faixa de energia a seccedilatildeo de choque de
fissatildeo eacute mais favoraacutevel para a transmutaccedilatildeo dos AM Assim esses reatores se
caracterizam por uma baixa fraccedilatildeo de necircutrons retardados o que implica em raacutepidas e
grandes variaccedilotildees de potecircncia para uma pequena variaccedilatildeo na reatividade (Sordo et
al 2009) Segundo Rubbia et al (1996) uma mudanccedila suacutebita de +01 em um fator de
multiplicaccedilatildeo inicialmente a 095 causa um aumento na potecircncia de aproximadamente
20 Este aumento de reatividade em um reator raacutepido pode ter consequecircncias
catastroacuteficas
Para as especificaccedilotildees do feixe que deve sustentar o funcionamento do reator
Rubbia et al (1995) afirma que existe pouca ou nenhuma vantagem no uso de
partiacuteculas mais sofisticadas indicando o uso exclusivo de proacutetons no feixe de
partiacuteculas
Os reatores hiacutebridos ainda necessitam de um forte desenvolvimento o que
inclui novos combustiacuteveis e novas teacutecnicas de reprocessamento e tais programas
ainda natildeo foram totalmente desenvolvidos De qualquer forma o conceito de reator
hiacutebrido pode ser uma ferramenta potencial para obter o melhor domiacutenio da fissatildeo para
a geraccedilatildeo de energia eleacutetrica e sem o uso de reatores regeneradores raacutepidos (que
satildeo criacuteticos) que apresentam mais problemas na seguranccedila do que os reatores
subcriacuteticos (Piera et al 2010)
Inicialmente as especificaccedilotildees do feixe de partiacuteculas deveria ser capaz de
enviar proacutetons de no miacutenimo 1 GeV de energia o que implica em uma corrente de 10
agrave 15 mA Caso mais energia seja necessaacuteria pode-se usar vaacuterios feixes em paralelo
(Rubbia et al 1995)
O alvo atingido pelo feixe de partiacuteculas aceleradas pode ser o uracircnio natural ou
empobrecido o chumbo liacutequido ou outro material de alto nuacutemero atocircmico Assim os
necircutrons gerados nesta reaccedilatildeo entram no reator subcriacutetico que cerca o alvo
Mais recentemente Sordo et al (2009) afirmou que o alvo mais eficiente para
os reatores hiacutebridos eacute a liga feita de chumbo e bismuto (LBE) no estado liacutequido
bombardeado com proacutetons de energia entre 600 MeV e 1 GeV Devido a restriccedilotildees
5
termodinacircmicas os alvos de materiais soacutelidos satildeo indicados para instalaccedilotildees de baixa
potecircncia sendo pouco praacutetico para aplicaccedilotildees industriais que necessitam de potecircncias
muito maiores
O acelerador deve fornecer uma corrente de proacutetons com ampla faixa de
operaccedilatildeo pois para um reator que funcione com fator de multiplicaccedilatildeo muito menor
que a unidade deve-se evitar um desligamento natildeo programado durante seu
funcionamento
A produccedilatildeo de necircutrons na reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo determina a potecircncia teacutermica
do reator dependendo do seu niacutevel de subcriticalidade A diminuiccedilatildeo do valor do keff
devido agrave queima de combustiacutevel deve ser compensada para manter a potecircncia do
reator constante para isso pode-se aumentar a intensidade da fonte de necircutrons
Poreacutem isto induz um estresse termomecacircnico como a dilataccedilatildeo devido ao aumento
da temperatura aleacutem da maior degradaccedilatildeo natildeo soacute na estrutura do reator mas
tambeacutem e principalmente no alvo (Sordo et al 2009) O feixe de proacutetons deve ser
projetado para manter a integridade do alvo durante todo o ciclo de operaccedilatildeo
O projeto do reator hiacutebrido de pesquisa para aplicaccedilotildees de alta tecnologia
(MYRRHA) comeccedilou em 1998 pelo Centro de Pesquisas Nucleares da Beacutelgica
(SCKbullCEN) O primeiro objetivo do MYRRA seraacute demonstrar o conceito de reator ADS
a um niacutevel razoaacutevel de potecircncia e a viabilidade tecnoloacutegica da transmutaccedilatildeo de
actiniacutedeos menores e de produtos de fissatildeo de longa meia vida O MYRRHA tambeacutem
iraacute ajudar o desenvolvimento da tecnologia de ligas de chumbo necessaacuterio para os
reatores da geraccedilatildeo IV (Abderrahim et al 2005)
O reator estaacute previsto para entrar em operaccedilatildeo em 2023 e encontra-se em fase
de licenciamento sendo um dos reatores hiacutebridos com maior nuacutemero de referecircncias na
literatura Como ele pode trabalhar em modo criacutetico e subcriacutetico o MYRRHA gera uma
potecircncia entre 50 e 100 MWt O acelerador injeta proacutetons de 600 MeV no nuacutecleo do
reator e utiliza combustiacutevel tipo MOX
Apesar do grande nuacutemero de referecircncias encontradas na literatura os dados
de composiccedilatildeo de combustiacutevel paracircmetros nucleares materiais utilizados nesses
reatores e o comportamento cineacutetico satildeo escassos Por isso neste trabalho foram
utilizadas simulaccedilotildees numeacutericas pelo Meacutetodo de Monte Carlo para a avaliaccedilatildeo da
cineacutetica e dos paracircmetros nucleares desses reatores
Simulaccedilotildees computacionais de um sistema podem proporcionar importantes
informaccedilotildees para o estudo preliminar de novas tecnologias A simulaccedilatildeo pelo meacutetodo
de Monte Carlo foi escolhida pois eacute um dos meacutetodos que melhor descreve geometrias
complexas e que fornece informaccedilotildees precisas e detalhadas em trecircs dimensotildees aleacutem
de considerar a dependecircncia temporal tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
6
partiacuteculas neutras Assim o meacutetodo Monte Carlo (MC) se torna um meacutetodo atrativo
para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo MC eacute a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees de experimentos onde
os resultados satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido satildeo necessaacuterios aleacutem da simulaccedilatildeo das
partiacuteculas geradas atraveacutes da reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo coacutedigos que consigam prever a
queima do combustiacutevel Existem vaacuterios coacutedigos na literatura com esta finalidade e que
podem ser incorporados em coacutedigos mais gerais de MC
Atualmente um dos coacutedigos MC mais utilizados para simulaccedilatildeo de reatores
nucleares eacute o MCNPX (Hashemi-Nezhad et al 2002 Kadi et al 2001 Catsaros et al
2009) Este coacutedigo eacute desenvolvido pelo Laboratoacuterio Nacional de Los Alamos e
atualmente encontra-se na versatildeo 26e
O MCNPX eacute um coacutedigo MC geneacuterico de transporte de radiaccedilatildeo para modelar a
interaccedilatildeo da radiaccedilatildeo com a mateacuteria MCNPX significa Monte Carlo N-Particle
eXtended Ele estende as capacidades do MCNP4C3 a um grande nuacutemero de
partiacuteculas em uma ampla faixa de energia e para quase todas as aplicaccedilotildees sem custo
adicional de tempo computacional MCNPX faz caacutelculos tridimensionais e dependentes
do tempo Utiliza as bibliotecas mais novas de seccedilatildeo de choque nucleares aleacutem de
usar modelos fiacutesicos para as partiacuteculas que natildeo possuem dados tabulados
disponiacuteveis
O MCNPX 26e eacute capaz de realizar o caacutelculo do keff atraveacutes das geraccedilotildees de
necircutrons do fluxo de necircutrons a evoluccedilatildeo de combustiacutevel e tambeacutem calcula as
seccedilotildees de choque Poreacutem este coacutedigo natildeo permite a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees que
necessitam fonte externa de necircutrons
Atualmente um dos uacutenicos coacutedigos MC que permite a simulaccedilatildeo de um reator
controlado com fonte externa eacute o SERPENT (Leppaumlnen 2012) Este coacutedigo eacute
especiacutefico para o estudo de reatores nucleares e se encontra na versatildeo 1118
As simulaccedilotildees de MC podem fornecer importantes informaccedilotildees antes mesmo
de se iniciar a construccedilatildeo por exemplo de um reator do tipo ADS aleacutem de ter a
possibilidade de indicar quais materiais podem ser utilizados Eacute claro que a simulaccedilatildeo
natildeo substitui o experimento real mas pode ajudar a prever melhorias antes de seu
funcionamento Aleacutem disso as simulaccedilotildees podem ser utilizadas para a validaccedilatildeo de
novos meacutetodos de caacutelculo da reatividade tanto para reatores hiacutebridos quanto para
reatores teacutermicos jaacute que eacute um dos paracircmetros mais importantes em um reator
nuclear
7
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes equaccedilotildees para a cineacutetica de um reator
subcriacutetico (Gandini et al 2000 Nishihara et al 2003 Silva et al 2011) Assim com o
intuito de obter a variaccedilatildeo da reatividade para reatores subcriacuteticos obteve-se uma
expressatildeo para essa funccedilatildeo com base na cineacutetica pontual inversa para sistemas ADS
jaacute que para esses sistemas o monitoramento da reatividade eacute vital para o
funcionamento normal E ainda os reatores subcriacuteticos guiados por fonte necessitam
de uma forma de caacutelculo da reatividade mais raacutepida para evitar um ldquodesligamentordquo natildeo
programado para isso foi utilizado o meacutetodo das derivadas no caacutelculo da reatividade
uma vez que este meacutetodo natildeo necessita da informaccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
A validaccedilatildeo da expressatildeo obtida para a reatividade proposta nesta tese foi feita
atraveacutes de simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) uma vez que os dados de reatores
subcriacuteticos tipo ADS satildeo encontrados em nuacutemero reduzido na literatura
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas duas formulaccedilotildees para as equaccedilotildees da
cineacutetica subcriacutetica e as respectivas expressotildees para a cineacutetica inversa
Alguns meacutetodos de tratamento do histoacuterico de potecircncia satildeo apresentados no
Capiacutetulo 3 sendo que o meacutetodo das derivadas parciais da potecircncia nuclear eacute tratado
em detalhes
Jaacute no Capiacutetulo 4 satildeo obtidas as expressotildees da cineacutetica pontual para casos em
que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados (β) e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons (Λ)
satildeo dependentes do tempo
O capiacutetulo 5 tem-se o caacutelculo da reatividade para alguns casos particulares da
variaccedilatildeo da potecircncia nuclear com todos os paracircmetros nucleares constantes E no
Capiacutetulo 6 temos as mesmas variaccedilotildees da potecircncia nuclear com as variaccedilotildees
temporais de β e de Λ
Os fundamentos da simulaccedilatildeo Monte Carlo satildeo tratados no Capiacutetulo 7
juntamente com os meacutetodos especiacuteficos para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares
No Capiacutetulo 8 satildeo apresentados e descritos os coacutedigos Monte Carlos utilizados
neste trabalho
Jaacute no Capiacutetulo 9 satildeo apresentados os resultados obtidos da reatividade com as
expressotildees que foram apresentadas nos capiacutetulos 5 e 6
Finalmente no Capiacutetulo 10 satildeo apresentadas as conclusotildees desta tese
8
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para
Reatores Subcriacuteticos
A formulaccedilatildeo da cineacutetica pontual provou ser uma ferramenta poderosa para a
avaliaccedilatildeo da reatividade para diferentes tipos de reatores tanto em operaccedilatildeo normal
quanto na partida do reator Esta formulaccedilatildeo descreve o comportamento dos necircutrons
dentro do reator sem nenhuma dependecircncia espacial sendo que a distribuiccedilatildeo dos
necircutrons evolui de maneira pontual
As diferentes propostas para a funccedilatildeo importacircncia encontradas na literatura
resultam em diferentes equaccedilotildees da cineacutetica pontual (Gandini et al 2000 Nishihara et
al 2003 Silva et al 2011) para descrever o comportamento dos necircutrons dentro de
reatores subcriacuteticos
Para um sistema sem fonte externa de necircutrons tem-se somente uma
autofunccedilatildeo para toda a distribuiccedilatildeo de necircutrons em todos os instantes dentro do
reator Poreacutem para reatores com fonte externa esta afirmaccedilatildeo pode natildeo ser
verdadeira pois se a distribuiccedilatildeo de necircutrons for dominada pela fonte externa pode
envolver uma superposiccedilatildeo de muitas autofunccedilotildees Assim o comportamento pontual
pode ser fatorado no produto de uma funccedilatildeo da amplitude (apenas com dependecircncia
temporal) e uma funccedilatildeo de forma (sem dependecircncia temporal mas com dependecircncia
das variaacuteveis do espaccedilo de fase) (Dulla 2003)
As equaccedilotildees que descrevem o funcionamento dos reatores subcriacuteticos podem
ser obtidas a partir da equaccedilatildeo de transporte ou da equaccedilatildeo de difusatildeo (Gandini
2000) Assim as equaccedilotildees da cineacutetica espacial podem ser escritas da seguinte
maneira
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1
I
i i ext
i
r t A r t F r t c r t qv t
β λ=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum
(21)
( ) ( ) ( ) 1i i i ic r t F r t c r t i It
β λpart
= Ψ minus =part
(22)
onde v eacute a velocidade dos necircutrons iβ eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados do grupo i
e iλ eacute a constante de decaimento dos precursores de necircutrons retardados do grupo i
Nas seccedilotildees seguintes satildeo apresentados os formalismos para a cineacutetica dos
9
reatores ADS encontrados nos trabalhos de Gandini et at (2000) atraveacutes da
metodologia da teoria heuriacutestica de perturbaccedilatildeo generalizada (HGPT) e no trabalho de
Silva et al (2011) em que eacute proposto um termo adjunto de fonte (TAF) que se torna
significativo para reatores que operam longe da criticalidade
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
A funccedilatildeo importacircncia proposta por Gandini et al (2002) para o caso de
necircutrons monoenergeacuteticos isotroacutepicos meio homogecircneo e sem dependecircncia
temporal eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (Silva 2011)
( ) ( )0 0 0 0
0
0f
f
wA n r F n r
P
+ + + +minus minus Σ =
(23)
onde fw eacute a energia revertida por fissatildeo e P0 eacute a potencia nuclear sem perturbaccedilatildeo
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0n+ e integrando em r
obteacutem-se
( )0 0 0 0
1
11
I
o i i ext
i
n n A n F n c n qv t
β λ+ + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (24)
Considerando-se as seguintes perturbaccedilotildees no sistema
0 A A Aδminus rarr minus + (25)
0 F F Fδrarr + (26)
(0) ext ext extq q qδrarr + (27)
10
onde 0Aminus 0F e (0)
extq satildeo os estados estacionaacuterios natildeo perturbados
Substituindo e manipulando as equaccedilotildees (25) (26) e (27) na equaccedilatildeo (24) resulta em
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0 0
1
1
1
o
I
i i ext ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q n q
δ β
β δ λ δ
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + +sum (28)
Somando e subtraindo 0n Fβ+ Ψ na equaccedilatildeo (28) e lembrando que
(0)
0 1ext
n q+ = de acordo com Gandini (2001) vem
( )
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0
1
0 0 0
1
1 1
o
I
i i ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q
n F F n F
δ β
β δ λ
β δ β
+ minus + + +
+ + +
=
+ +
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + + +
+ Ψ minus Ψ
sum (29)
Rearranjando os termos da equaccedilatildeo acima tem-se
1
0 0 0 00
0 0 0
1
0
1
o
I
i i ext
i
n v n A n F n At
n F n c n q
n F
δ
δ λ δ
β
+ minus + + +
+ + +
=
+
partΨ = Ψ + Ψ + Ψ +
part
Ψ + + + +
minus Ψ
sum (210)
Ponderando a equaccedilatildeo (23) com Ψ obteacutem-se (Silva et al 2011)
0 0 00
0
0f
wn A n F
P
++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)
11
Substituindo a equaccedilatildeo (211) na equaccedilatildeo (210) tem-se
1
0 0 0
1
0
0
1
I
o i i
i
ext f
n v n A F n F n ct
wn q
P
δ δ β λ
δ
+ minus + + +
=
+
partΨ = + Ψ minus Ψ + +
part
minus Σ Ψ +
sum (212)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t P t rφΨ asymp
(213)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )P t eacute a potecircncia
Substituindo a aproximaccedilatildeo dada pela equaccedilatildeo (213) na equaccedilatildeo (212)
obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
n v P t r n A F P t r n F P t rt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
part= + minus +
part
+ minus Σ +sum
(214)
Como bull eacute uma integraccedilatildeo no espaccedilo pode-se escrever
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
+ minus Σ +sum
(215)
Sendo 0 0f
P w φ= Σ tem-se
12
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
1
o
I
i i ext
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
n c P t n q
φ δ δ φ β φ
λ δ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus + +sum
(216)
Dividindo a equaccedilatildeo (216) por
0 0 I n F φ+= (217)
a equaccedilatildeo (216) pode ser escrita da seguinte forma
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1 I
n n n n n
eff eff i i
i
dP tP t C t P t Q
dtρ β λ ζ
=
Λ = minus + + minus + sum (218)
sendo
( )1
0
o
n
eff
n v r
I
φ+ minus
Λ equiv
(219)
( )0 0
nn A F r
I
δ δ φρ
+ +equiv
(220)
( )0 0
n
eff
n F r
I
β φβ
+
equiv
(221)
( )0
in
i
n cC t
I
+
equiv (222)
1
I
ζ equiv (223)
0
extn
n qQ
I
δ+
equiv (224)
13
onde nρ eacute uma reatividade generalizada nQ eacute o valor da fonte externa ( )n
iC t eacute a
concentraccedilatildeo de precursores e ζ eacute um termo de subcriticalidade inserido pela funccedilatildeo
importacircncia
Agora ponderando a equaccedilatildeo (22) com 0n+ e dividindo pelo o fator de
normalizaccedilatildeo dado pela equaccedilatildeo (217) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) n n n
i i eff i i
dC t P t C t
dtβ λ= minus (225)
onde
0 0
in
i eff
n F
I
β φβ
+
equiv (226)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
proposta por Gandini et al (2000) considerando um grupo de precursores de
necircutrons eacute escrito da seguinte maneira
( )
( ) ( ) ( )( ) 1n
n n
dP tt P t C t P t q
dtρ β λ ζ Λ = minus + + minus + (227)
( )( )
( )n
dC tP t C t
dtβ λ= minus
(228)
onde ( )nP t eacute a potecircncia normalizada β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados ζ eacute o
iacutendice de subcriticalidade (que tende agrave zero quando o sistema se a proacutexima da
criticalidade) ( )ρ t eacute a reatividade generalizada do sistema ( )C t eacute a concentraccedilatildeo de
precursores e Λ tempo de geraccedilatildeo meacutedio de necircutrons
14
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Na funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011) existe um termo de
fonte adjunto que se torna significativo para os sistemas que estatildeo longe de
criticalidade Portanto a equaccedilatildeo da funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011)
foi
( ) ( )dagger
0 0 0 0
0
1
f
sub
A r F rk N
νε ε η+ + +
Σminus =
(229)
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0ε + e integrando em r
obteacutem-se
( )1
0 0 0 0
1
1 I
o i i ext
i
v A F c qt
ε ε ε β λ ε ε+ minus + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (230)
Realizando uma perturbaccedilatildeo no sistema da seguinte maneira
0 A A Aδminus rarr minus + (231)
0
1
sub
F F Fk
δrarr + (232)
Substituindo as equaccedilotildees (231) e (232) na equaccedilatildeo (230) e rearranjando os
termos vem
( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1
11
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q
ε ε ε δ ε β
ε β δ λ ε ε
+ minus + + +
+ + +
=
partΨ = minus Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + +sum
(233)
15
Somando e subtraindo 0 Fε β+ Ψ na equaccedilatildeo (233) e utilizando a equaccedilatildeo
(232) pode-se escrever
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q F
ε ε δ ε ε
ε δ λ ε ε ε β
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + minus Ψ + Ψ +
part
Ψ + + minus Ψsum
(234)
Agora ponderando-se a equaccedilatildeo (229) com ( )r tΨ
podemos escrever
segundo Silva (2011)
0 0 0 0
0
1
f
sub
A Fk N
νε ε η+ +minus Ψ + Ψ = minus Σ Ψ (235)
Substituindo a equaccedilatildeo (235) na equaccedilatildeo (234)
1
0 0
0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
v A F Ft
c qN
ε ε δ δ ε β
νλ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
partΨ = + Ψ minus Ψ +
part
minus Σ Ψ +sum (236)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t N t rφΨ asymp
(237)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )N t eacute a densidade necircutrons tem-se substituindo
a equaccedilatildeo (237) na equaccedilatildeo (236)
16
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t qN
ε φ ε δ δ φ ε β φ
νλ ε η φ ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus Σ +sum (238)
e como 0 0f
N ν φ= Σ pode-se escrever a equaccedilatildeo (238) da seguinte maneira
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
o
I
i i ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t q
ε φ ε δ δ φ ε β φ
λ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus +sum (239)
Dividindo a equaccedilatildeo (239) por 0oI Fε φ+= obteacutem-se
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
I
eff i i
i
dN tN t C t N t q
dtρ β λ
=
Λ = minus + minus Γ +sum (240)
onde
1
0
o
eff
v
I
ε φ+ minus
Λ equiv (241)
0 0
A F
I
ε δ δ φρ
+ +equiv (242)
0 0
eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (243)
( )0
i
i
cC t
I
ε +
equiv (244)
0
ext
I
ε +
equiv (245)
I
ηΓ equiv (246)
sendo ρ eacute uma relatividade generalizada Q eacute um termo relacionada agrave fonte externa
Γ um termo de subcriticalidade e ( )iC t eacute a concentraccedilatildeo de precursores
17
Procedendo de maneira anaacuteloga para a equaccedilatildeo (22) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) i i eff i i
dC t N t C t
dtβ λ= minus (247)
onde
0 0
i
i eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (248)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
segundo Silva (2011) eacute escrito como
( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ minus Γ + Σ (249)
( )
( ) ( )f
dC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
sdotΣ (250)
onde ϖ eacute a energia meacutedia liberada por fissatildeo Σ f eacute a seccedilatildeo de choque macroscoacutepica
de fissatildeo e β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
23 Cineacutetica Inversa
Usualmente o controle de um reator nuclear eacute feito atraveacutes do monitoramento
da reatividade o que torna o meacutetodo da cineacutetica inversa relevante A reatividade eacute
caracterizada por uma mudanccedila no fator de multiplicaccedilatildeo do reator o que o torna um
dos paracircmetros mais importantes em fiacutesica de reatores Nas seccedilotildees seguintes seratildeo
apresentadas as equaccedilotildees para o caacutelculo da reatividade
18
231 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Para obter-se a expressatildeo da cineacutetica pontual inversa eacute necessaacuterio resolver as
equaccedilotildees (227) e (228) Partindo da equaccedilatildeo (228) e utilizando meacutetodo do fator
integrante obteacutem-se
( ) ( )( )
t
t t
nC t P t e dt
λβ minus minus
minusinfin
= int (251)
Substituindo a equaccedilatildeo (251) na equaccedilatildeo (227) vem
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )( )1
tnt tn n
n
P tdP t P tt P t e dt Q
dt
λζλβ
ρ β minus minus
minusinfin
minus= minus + + +
Λ Λ Λint (252)
onde Q qequiv Λ eacute o termo de fonte de necircutrons Resolvendo a equaccedilatildeo (252) para
( )tρ tem-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )
0
0
1
ttt tn
n
n n n
n
n n
dP t P et P t e dt
P t dt P t P t
P t Q
P t P t
λλβ λβ
ρ β
ζ
minusminus minusΛ
= + minus minus
minus Λminus minus
int (253)
onde P0 = P(0)
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga a seccedilatildeo anterior e partindo das equaccedilotildees
(249) e (250) propostas por Silva et al encontra-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t
t ttdP t P Q
t e e P t dtP t dt P t P t P t
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus minusint (254)
19
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico
de Potecircncia
Existem vaacuterios meacutetodos de tratamento para a soluccedilatildeo ou aproximaccedilatildeo do
histoacuterico de potecircncia Esses meacutetodos visam diminuir o tempo de caacutelculo
computacional sem que seja introduzido um erro muito grande e podem envolver ou
natildeo uma fonte externa de necircutrons
A mediccedilatildeo da reatividade a partir da cineacutetica inversa permite que seu valor seja
analisado a cada instante pela variaccedilatildeo temporal do niacutevel de potecircncia do reator
(Ansari et al 2001)
Devido ao grande interesse nos reatores ADS apenas os meacutetodos que
envolvem fontes externas seratildeo apresentados sendo que o uacutenico que seraacute detalhado
eacute o meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear
31 Meacutetodo de Agrupamento
Na partida do reator a contribuiccedilatildeo da fonte externa de necircutrons deve ser
considerada Assim Hoogenboom et al (1998) escrevem a equaccedilatildeo da cineacutetica
inversa como
( )( )
( ) ( )( )
1 i
t t t
i i
i
c St e P t dt
P t P t
λρ β β λ minus minus
minusinfin
Λ= minus minussum int (31)
A integral da equaccedilatildeo (31) pode ser calculada recursivamente atraveacutes de
amostragens de P(t) usando interpolaccedilatildeo linear entre duas amostras consecutivas
Pn-1 = P(tn -1) e Pn = P(tn) separadas por um intervalo t∆ Portanto
20
( ) ( )
1
1
1 1
1
in
i n i
i
i
tt t t t n
n n
i i
ttn
i i
P eI e P t dt e I
t
P ee
t
λλ λ
λλ
λ λ
λ λ
minus ∆minus minus minus ∆
minusminusinfin
minus ∆minus ∆minus
minus= = + minus
∆
minusminus minus
∆
int (32)
Introduzindo a seguinte funccedilatildeo
( ) ( ) ( ) i
t t t
i i
i
g t e P t dtλβ λ minus minus
minusinfin=sum int (33)
e reescrevendo a equaccedilatildeo (31) em funccedilatildeo de ( )g t tem-se
( )( )( ) ( )
Sg t
tP t P t
ρρ β= minus minus (34)
Para um reator subcriacutetico com potecircncia constante na presenccedila de fonte
externa de necircutrons (S) obteacutem-se
ou S S
PP
ρ ρρρ
= minus = minus (35)
Este meacutetodo pode ser resumido nos seguintes passos
No intervalo desejado divide-se as seacuteries de P(t) e g(t) em trecircs grupos de
mesma duraccedilatildeo
1 Calcula-se os conjuntos de valores de cada um dos grupos ( )1 1P g
( )2 2P g e ( )3 3
P g
2 Estima-se os valores do gradiente ( )β ρminus e o interseccedilatildeo ( )Sminus Λ atraveacutes
de
( ) 3 1
3 1
g g
P Pβ ρ
minusminus =
minus (36)
( ) ( ) S g Pβ ρminus Λ = minus minus (37)
21
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada
Neste meacutetodo Kitano et al (2000) escreve a expressatildeo da reatividade como
( )( )
( )( )
( ) ( )( )6
1
i i
i
S t dP tt C t
P t P t P t dtρ β λ
=
ΛΛ Λ= minus minus +sum (38)
Segundo o autor o termo ( )
( )dP t
P t dt
Λ pode ser negligenciado pois o erro
inserido eacute menor que 1 para um amplo intervalo de reatividade Portanto a equaccedilatildeo
(38) eacute escrita como
( )( )
( )( )
( )
6
1
i i
i
S tt C t
P t P tρ β λ
=
ΛΛ= minus minussum (39)
Por conveniecircncia computacional a equaccedilatildeo da concentraccedilatildeo de precursores
pode ser escrita da seguinte forma (Kitano et al 2000)
( ) ( ) ( ) 16ii i i iC t t P t C t C t t i
βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =
Λ (310)
onde P e iC satildeo os valores meacutedios para o incremento de tempo t∆
Portanto a equaccedilatildeo (39) pode ser escrita na seguinte forma
( ) ( ) ( ) ( )6
1
i i
i
g t C t S P tλ β ρ=
equiv Λ = minus Λ + minussum (311)
onde a fonte de necircutrons (S) e a reatividade satildeo constantes Esta equaccedilatildeo pode ser
considerada como uma equaccedilatildeo linear de P(t)
Considerando que o sinal da potecircncia tenha um grande erro principalmente na
operaccedilatildeo em baixa potecircncia pode-se aplicar filtros para ruiacutedo de alta frequecircncia e
tambeacutem de baixa frequecircncia da seguinte forma
22
1
1 N
i j
j
P PN =
= sum (312)
e
( )1 1 i i i i
tP P P P
t τminus minus
∆= + minus
∆ + (313)
onde Pj eacute a medida da potecircncia medida iP eacute a potecircncia meacutedia e N eacute o nuacutemero de
amostras τ eacute a constante de tempo e i
P eacute a saiacuteda da equaccedilatildeo (313)
A introduccedilatildeo da memoacuteria baacutesica indexada eacute segundo os autores um novo
ldquotermocircmetrordquo para diagnosticar um transiente sendo definido por
[ ] 1 1
6
1
1
i i
i
CM I
C
λ β
βλ
=
equiv
sum (314)
A memoacuteria baacutesica indexada (MI) eacute a normalizaccedilatildeo das emissotildees de necircutrons
retardados do primeiro grupo sobre o total de emissotildees de necircutrons retardados Note
que a MI assume valor unitaacuterio quando o reator estaacute em estado estacionaacuterio Assim
ela pode ser usada para detectar o iniacutecio e o final de um transiente para a aplicaccedilatildeo do
meacutetodo de grupo
23
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da
intensidade da fonte externa
A equaccedilatildeo da cineacutetica inversa escrita com uma discretizaccedilatildeo no tempo e
assumindo que a potecircncia do reator varia com ( ) 1jt
jn t n emicro
minus= onde
( )1log j j j
n n tmicro minus= ∆ eacute dada por (Tamura 2003)
6
1
j
j eff i i j
ij j j
nC S
n t n nρ β λ
=
∆Λ Λ Λ= + minus minus
∆sum (315)
onde
1
1 1
i
i
t
j jt ii j i j
j
i
j
n n eC C e
n
n t
λ
λ β
λ
minus ∆minusminus ∆
minus
minus= +
∆Λ+
∆
(316)
Note que o subiacutendice j representa os valores no tempo j e S eacute a fonte externa
de necircutrons
Considerando as seguintes condiccedilotildees iniciais
( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)
e
0 0 S nρ = minusΛ (318)
tanto a reatividade ρ quanto a fonte S satildeo obtidas pelo meacutetodo dos miacutenimos
quadrados (Diacuteaz 2007)
24
34 Meacutetodo das Derivadas
As equaccedilotildees (253) e (254) obtidas no capiacutetulo anterior envolvem a mesma
integral em funccedilatildeo da potecircncia do reator Esta integral tambeacutem chamada de histoacuterico
de potecircncia deve ser calculada desde o iniacutecio da operaccedilatildeo do reator ateacute o tempo atual
de maneira contiacutenua ou seja exige monitoramento constante da potecircncia Aleacutem disso
o armazenamento desta informaccedilatildeo eacute necessaacuterio durante toda operaccedilatildeo do reator
para possibilitar a recuperaccedilatildeo da informaccedilatildeo da reatividade caso ocorra uma
interrupccedilatildeo em seu caacutelculo
Para o caso dos reatores subcriacuteticos o monitoramento contiacutenuo da reatividade
eacute imprescindiacutevel para seu funcionamento normal Como a produccedilatildeo de necircutrons eacute
insuficiente para manter as reaccedilotildees nucleares nesses reatores a reatividade pode ser
um paracircmetro utilizado para o monitoramento e ajuste da intensidade do feixe de
proacutetons para manter as reaccedilotildees nucleares produccedilatildeo de energia eleacutetrica constante
durante a operaccedilatildeo do reator
O meacutetodo das derivadas estaacute baseado na integraccedilatildeo por partes da integral do
histoacuterico de potecircncia da equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa resultando em uma seacuterie
de potecircncias em funccedilatildeo da potecircncia nuclear do reator com dependecircncia temporal
(Diacuteaz 2007) Este meacutetodo de caacutelculo da reatividade permite a possibilidade do reiniacutecio
do caacutelculo apoacutes sua interrupccedilatildeo causada por um problema no funcionamento do
equipamento de mediccedilatildeo ou seja com este meacutetodo natildeo eacute necessaacuterio um caacutelculo
contiacutenuo Aleacutem disso pode-se obter a reatividade sem a dependecircncia da memoacuteria da
potecircncia nuclear o que torna o caacutelculo mais raacutepido se comparado ao tempo necessaacuterio
para a resoluccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
Para a obtenccedilatildeo da expressatildeo do meacutetodo das derivadas deve-se resolver a
integral da equaccedilatildeo (254) ou da equaccedilatildeo (253) por partes Assim obteacutem-se
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tP t P e
I t e P t dt P t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (319)
onde P(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (319) tem-se
25
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2
2 2 2
0
0 0 1
t t tt tP t P e P t P e
I t P t e dt
λ λλ
λ λ λ λ λ
minus sdot minus sdotminus sdot minus
= minus minus + minus int (320)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (320) por partes obteacutem-se
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
2 2
3
3 3 3
0
0 0
1
t t
t tt t
P t P e P t P eI t
P t P t eP t e dt
λ λ
λλ
λ λ λ λ
λ λ λ
minus minus
minusminus minus
= minus minus + +
minus minus int
(321)
Aplicando esta soluccedilatildeo n vezes podemos escrever
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1 10 0 0
0 1 1
n n k t tt tk kn n
n n kn n
P t P e P t eI t dt
λλ
λ λ λ
+ minus minusminus
+ + += =
= minus minus minus minussum sum int (322)
ou ainda
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(323)
341 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2m-1 assim a equaccedilatildeo (323) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
m t tt tt t
m
n n tm mn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(324)
26
Supondo que a forma de P(t) satisfaccedila agraves condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n P tP t P t
P t
minus
minus
=
(325)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n P tP t P t
P t
=
(326)
onde ( ) ( )
( )
2
P t
cte tP t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial entre outras
Substituindo a equaccedilatildeo (326) na equaccedilatildeo (324) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
m
n nm m
n n t
n nn n
P te P t dt P t e dt
P t
P t P t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(327)
Como ( ) ( )
( )
2P t
cteP t
= podemos escrever a equaccedilatildeo (327) como
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 1 2 1
1 10 00
1 11
n n nt m mt t n n t
n nn n
P te P t dt P t P t e
P t
λ λ
λ λ
minus minusminus minus minus sdot
+ += =
minus minus minus = minus
sum sumint
(328)
Logo
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e P t dt S t S tλminus minus
= +int (329)
27
sendo
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
nm
n
nnn
S P t
P t
P t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (330)
e
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
nm
n t
nnn
S P t e
P t
P t
λ
λ
minusminus sdot
+=
minusequiv minus
minus
sum (331)
Analisando inicialmente a equaccedilatildeo (330) pode-se escrever o seu somatoacuterio
da seguinte forma
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nm m mn
n n nn n n
P t P tP t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (332)
Utilizando as equaccedilotildees (325) e (326) na equaccedilatildeo (332) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
11 22 1 1
1 2 20 0
1
nnm m
n
nn n
P t P t P tP t
P tλ λ λ λ
minusminus minus
+= =
minus = minus
sum sum (333)
Lembrando que
( )1
0
1
1
mm
n
n
a rar
r
+
=
minus=
minussum (334)
identificando ( ) ( )
( )
2
2
P tr
P tλ= e a =1 na equaccedilatildeo (333) vem
28
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nm
n
nn
P t
P tP t P tP t
P t
P t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (335)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (335) na equaccedilatildeo (330) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
22
22
1 22
22
1
11
n
n
P tP t P t
P tS
P tP t
P tP t
λλ λ
λλ
minus minus = minus minus
(336)
Simplificando e rearranjando os termos da equaccedilatildeo (336) chega-se a
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
P t P tS P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (337)
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (331) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tP PS P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (338)
Finalmente podemos escrever a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo
329) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
e P t dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (339)
29
342 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par entatildeo k=2m-2 assim a equaccedilatildeo (323) torna-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t t
t t m t t
m
n n tm mn n
n nn n
P t e dt P t e dt
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(340)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (325) vem
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
12
1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
mt t
t t t t
m
n n tm mn n
n nn n
P tP t e dt P t e dt
P t
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus
minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(341)
Da equaccedilatildeo (319) pode-se escrever
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
0 0
0
t tt t t tt
P t e dt P t P e e P t dtλ λλ λminus minus minus minusminus sdot= minus minusint int (342)
Substituindo a equaccedilatildeo (342) na equaccedilatildeo (341) e rearranjando os termos
obteacutem-se
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt mt t n n t
m nn
mn n t
m m
P t e dt P t P e
P t
P t
P t P e P t
P tP t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(343)
Desenvolvendo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (343) tem-se
30
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
P t e dt S t S tλminus sdot minus
= minusint (344)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nm
n
m nn
S t P t
P t
P t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (345)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nm
n t
m nn
S t P e
P t
P t
λ
λ
λ
minusminus sdot
minus +=
minusequiv
minus
sum (346)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior eacute faacutecil mostrar que
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
P t P tS t P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (347)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tP PS t P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (348)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k que o histoacuterico de
potecircncia eacute dado pela seguinte expressatildeo
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t t
P t P t P Pe P t dt P t P e
P t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (349)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo Sendo assim a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo 319)
pode ser escrita da seguinte forma
31
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
P t e dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
sdotminus minus= minus
minus minusint (350)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa baseada na formulaccedilatildeo
proposta por Gandini (2001) equaccedilatildeo (252) como
( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
tnn
n n n n
n n n n
n n
n n n n n
t
P tdP t P e Qt
P t dt P t P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ= + minus minus minus minus
minus minus minus
minus minus
(351)
E para o formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se substituindo a
equaccedilatildeo (350) na equaccedilatildeo (254) a expressatildeo para a reatividade sem a dependecircncia
do histoacuterico de potecircncia
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
dP t P Qt e
P t dt P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
βρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + Γ + minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(352)
32
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com
dependecircncia temporal de β e Λ
Nas seccedilotildees anteriores as mudanccedilas da composiccedilatildeo do combustiacutevel nuclear
natildeo foram levadas em consideraccedilatildeo Essas mudanccedilas podem levar a caacutelculos
discrepantes da reatividade quando comparados a mediccedilotildees experimentais nos
reatores Aleacutem disso conhecer com precisatildeo o valor da reatividade contribui com a
melhora do desempenho da central nuclear
Assim nesta seccedilatildeo as dependecircncias temporais da fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons seratildeo consideradas para o
caacutelculo da reatividade tanto na formulaccedilatildeo proposta por Gandini et al (2000) quanto
na formulaccedilatildeo proposta por Silva et al (2011) Os demais paracircmetros nucleares
permaneceratildeo constantes pois suas variaccedilotildees satildeo pouco significativas (Scall 2010)
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
As equaccedilotildees propostas por Gandini et al (2000) com dependecircncia temporal da
fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons eacute dada por
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n
n n
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λ ζΛ = minus + + minus + (41)
( ) ( )( )
( )n
dC tt P t C t
dtβ λ= minus
(42)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo 231 pode-se escrever partindo da
equaccedilatildeo (42) que a concentraccedilatildeo de precursores eacute dada pela seguinte expressatildeo
( ) ( ) ( ) ( )
t t t
nC t t P t e dtλβ minus minus
minusinfin= int (43)
33
Substituindo a equaccedilatildeo (43) na equaccedilatildeo (41) obteacutem-se a seguinte expressatildeo
para a reatividade
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
0
0
1
t t tn t
n n n
n
n
t dP t At t e A t e dt
P t dt P t P t
P t t Q t
P t P t
λλλ λρ β
ζ
minus minusminusΛ= + minus minus
minus Λ minus minus
int
(44)
onde ( ) ( )nA t P tβequiv e ( ) ( )Q t q tequiv Λ
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
As equaccedilotildees da cineacutetica propostas por Silva et al (2011) com dependecircncia
temporal de Λ e β satildeo
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ + Γ + Σ (45)
( )( )
( ) ( )f
tdC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
Σ (46)
Resolvendo a equaccedilatildeo (46) pelo o meacutetodo do fator integrante obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( )1
t t t
f
C t t P t e dtλβ
ωminus minus
minusinfin=
Σ int (47)
Substituindo a equaccedilatildeo (47) na equaccedilatildeo (45) chega-se a expressatildeo da
reatividade com dependecircncia temporal de β e Λ
34
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t t ttt dP t A
t t e A t e dtP t dt P t P t
t Q t
P t
λλλ λρ β minus minusminusΛ
= + minus minus
ΛminusΓ minus
int (48)
onde ( ) ( ) ( )A t t P tβequiv e ( ) ( ) fQ t q tωequiv Σ Λ
43 Meacutetodo das Derivadas para
Dependecircncia Temporal de β e de Λ
De acordo com a seccedilatildeo 34 a integral das equaccedilotildees (44) e (48) podem ser
resolvidas por partes assim obteacutem-se (Scal 2012)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tA t A e
I t e A t dt A t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (49)
onde A(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (49) por partes n vezes pode-se escrever
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
A t ee A t dt dt
A t A e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(410)
35
431 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2j-1 assim a equaccedilatildeo (410) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
j t tt tt t
j
n n tj jn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minus sdotminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(411)
Admitindo que a forma de A(t) satisfaccedila as condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n A tA t A t
A t
minus
minus
=
(412)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n A tA t A t
A t
=
(413)
onde ( ) ( )
( )
2
A t
cte tA t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial
Substituindo as condiccedilotildees (412) e (413) na equaccedilatildeo(411) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
k
n nj jn n t
n nn n
A te A t dt A t e dt
A t
A t A t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(414)
ou ainda
36
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e A t dt S t S tλminus minus
= +int (415)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
njn
nnn
S t A t
A t
A t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (416)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
njn t
nnn
S t A t e
A t
A t
λ
λ
minusminus
+=
minusequiv minus
minus
sum (417)
Reescrevendo o somatoacuterio da equaccedilatildeo (416) tem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nj j jn
n n nn n n
A t A tA t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (418)
Utilizando as condiccedilotildees (412) (413) e recordando da relaccedilatildeo (334) pode-se
escrever
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nj
n
nn
A t
A tA t A tA t
A t
A t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (419)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (419) na equaccedilatildeo (416) obteacutem-se apoacutes
simples manipulaccedilotildees algeacutebricas
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
A t A tS A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (420)
37
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (417) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tA AS A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (421)
Finalmente pode-se escrever a equaccedilatildeo (49) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (422)
432 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par k+1 = 2j-1 entatildeo k=2j-2 assim a equaccedilatildeo (410) torna-
se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t tt t j t t
j
n n tj jn n
n nn n
A t e dt A t e dt
A t A e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(423)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (412) e lembrando-se da equaccedilatildeo (49)
pode-se escrever a equaccedilatildeo (423) como
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt jt t n n t
j nn
jn n t
j j
A t e dt A t A e
A t
P t
A t A e A t
A tA t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus sdot minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(424)
38
Abrindo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (424) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
A t e dt S t S tλminus minus
= minusint (425)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nj
n
j nn
S t A t
A t
A t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (426)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nj
n t
j nn
S t A e
A t
A t
λ
λ
λ
minusminus
minus +=
minusequiv
minus
sum (427)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior tem-se
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
A t A tS t A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (428)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tA AS t A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (429)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (430)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo assim a equaccedilatildeo (49) pode ser escrita da seguinte forma
39
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
A t e dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus sdot minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (431)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa com
dependecircncia temporal de β e Λ baseada na formulaccedilatildeo proposta por Gandini (2001)
(equaccedilatildeo 44) como
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
nn t
n n n n
n
t
P tt dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
ζλρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ = + minus minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(432)
Para o formalismo proposto por Silva et al (2011) equaccedilatildeo (48) tem-se
( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
t dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
λρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + minus minus Γ minus
minus minus minus minus
minus minus
(433)
40
5 Caacutelculo da reatividade para algumas
variaccedilotildees da potecircncia nuclear
51 Potecircncia Linear
511 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Durante a partida de um reator nuclear a sensibilidade do sistema de mediaccedilatildeo
pode natildeo identificar o aumento da potecircncia assim uma inserccedilatildeo de reatividade brusca
causaraacute um crescimento instantacircneo da potecircncia podendo causar um acidente no
circuito primaacuterio (Zhang et al 2008)
Para contornar esse problema deve-se inserir a reatividade de maneira suave
ateacute que o reator chegue alcance a sua potecircncia de operaccedilatildeo Para isto consideramos
uma variaccedilatildeo linear da potecircncia da forma
( ) 0 nP t P wt= + (51)
a uma taxa 0001w = Substituindo a equaccedilatildeo (51) na equaccedilatildeo (253) pode-se
escrever
( )( )
( ) ( ) ( )( )
0 0
0 0
0
0
0 0 00
1
t
tt t
d P wt P et
P wt dt P wt
P wt QP wt e dt
P wt P wt P wt
λ
λ
βρ β
ζλβ
minus
minus minus
+Λ= + minus
+ +
minus + Λminus + minus minus
+ + +int
(52)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (52)vem
41
( )
( ) ( )( )( )
0
0 0
0
0 0 0 0
1
t
P wtwt
P wt P wt
P wtw we Q
P wt P wt P wt P wt
λ
λβρ β
λ
ζβ β
λ λ
minus
+Λ = + minus +
+ +
minus + Λminus minus minus
+ + + +
(53)
Reescrevendo a equaccedilatildeo (53) obteacutem-se
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(54)
Utilizando o meacutetodo das derivadas podemos escrever
( )( )( )
( )
00
0 0 0
0 0
0 0
1
t
t
P wtPwt e
P wt P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
minus +Λ= + minus minus
+ + +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(55)
Manipulando a equaccedilatildeo (55) vem
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(56)
Pode-se observar que a soluccedilatildeo encontrada pelo meacutetodo das derivadas
equaccedilatildeo (56) eacute exatamente a mesma que a soluccedilatildeo encontrada atraveacutes da resoluccedilatildeo
do histoacuterico de potecircncia equaccedilatildeo (54)
42
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Analisando o comportamento da reatividade atraveacutes da variaccedilatildeo linear da
potecircncia tem-se fazendo ( ) 0P t P wt= + na equaccedilatildeo (254)
( ) ( ) ( )00
0 0 0 00
tt ttPw Q
t e e P wt dtP wt P wt P wt P wt
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus + minus+ + + +int
(57)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (57) obteacutem-se
( )( )0 0 0
( ) 1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λ βρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(58)
Utilizando-se o meacutetodo das derivadas tem-se
( )
( )
0
0 0
0 0
0 0
t
t
Pwt e
P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
βρ β
λ λβ
λ λ
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
+ +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(59)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )0 0 0
1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λβρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(510)
Novamente as expressotildees encontradas pela a soluccedilatildeo da integral do histoacuterico
de potecircncia equaccedilatildeo (58) eacute exatamente a mesma que a expressatildeo final utilizando o
meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (510)
43
52 Potecircncia Constante
Todo reator nuclear eacute projetado para operar em determinado niacutevel de potecircncia
nuclear ou seja durante sua operaccedilatildeo normal o reator funciona a uma potecircncia
constante Assim eacute importante avaliar o comportamento da reatividade de um reator
nessas condiccedilotildees
521 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Entatildeo sendo Pn(t) = P0 o segundo termo da equaccedilatildeo (253) desaparece e
assim pode-se escrever
( ) ( ) ( ) 0
0 00
1
t
t ttP Q
t e e dtP P
λλ ζρ β β λβ minus minusminus minus Λ
= minus minus minus minusint (511)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (511) obteacutem-se
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (512)
Aplicando o meacutetodo das derivadas tem-se
( )( )0
0
0 00 0
0 0 0 0
1
t
t
Pt e
P
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ζρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minus= minus minus
Λminus minus
(513)
Assim vem
44
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (514)
Mais uma vez observa-se que as equaccedilotildees finais para a reatividade para
potecircncia constante satildeo idecircnticas tanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia
equaccedilatildeo (512) quanto utilizando o meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (514)
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Avaliando a operaccedilatildeo do reator a uma potecircncia constante ou seja substituindo
P(t) = P0 na equaccedilatildeo (254) tem-se
( ) ( )
00
tt tt Q
t e e dtP
λλρ β β λβ minus minusminus Λ= + Γ minus minus minusint (515)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (515) tem-se segundo o
formalismo de Silva et al
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (516)
Jaacute atraveacutes do uso do meacutetodo das derivadas obteacutem-se
( )
0 00 0
0 0 0 0
t
t
t e
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
= + Γ minus minus
Λminus minus
(517)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias temos
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (518)
45
Novamente observa-se que as equaccedilotildees (516) e (518) para a reatividade satildeo
idecircnticas independente do meacutetodo de soluccedilatildeo abordado
53 Potecircncia Exponencial
531 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Outra variaccedilatildeo caracteriacutestica da potecircncia nuclear eacute a forma exponencial
Assim supondo uma variaccedilatildeo deste tipo para potecircncia na equaccedilatildeo (253) pode-se
avaliar o comportamento cineacutetico do reator Nessas condiccedilotildees substituindo
( ) 0
tP t P e
α= na equaccedilatildeo (253) obteacutem-se
( ) ( )
( )
( )
0
0
0 0
1
ttt t
t
t t
t e e e dt
P e Q
P e P e
α λλ α λ
α
α α
ρ β α β λβ
ζ
+minus + minus
minus sdot
= + Λ minus minus minus
minus Λminus
int (519)
Resolvendo a integral tem-se
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus sdot
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(520)
Agora pelo meacutetodo das derivadas podemos escrever
46
( )( )00 0
0 0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
1
tt t
t t t
t tt t
t t t t
P eP e P et
P e P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
αα λ
α α α
α αα λ
α α α α
ζα βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minusminus
minus
minusΛ= + minus minus
minus minus Λ minus minus minus
minus minus
(521)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(522)
As expressotildees obtidas utilizando-se tanto o meacutetodo das derivadas quando
resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia satildeo idecircnticas
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior e substituindo uma variaccedilatildeo
exponencial temos para o formalismo de Silva et al (2011)
( ) ( ) ( )
00
tttt
t t
e Qt e e dt
e P e
λα λλ α
α α
λβρ β α β
minus+minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus minusint (523)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (523) vem
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(524)
Novamente utilizando o meacutetodo das derivadas obteacutem-se
47
( ) 0 0
0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
t t
t t
t tt t
t t t t
P e P et
P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
α λ
α α
α αα λ
α α α α
α βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
minus minus Λ minus minus
minus minus
(525)
Manipulando a equaccedilatildeo acima chega-se agrave
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(526)
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
Nesta seccedilatildeo seraacute avaliado o comportamento das equaccedilotildees da cineacutetica pontual
para sistemas subcriacuteticos em caso de funcionamento anormal do reator Inicialmente o
reator seraacute avaliado com uma rampa da potecircncia depois operando em uma queda
suacutebita de potecircncia e em outros momentos pode ocorrer uma grande elevaccedilatildeo de
potecircncia Para isso a variaccedilatildeo da potecircncia foi simulada durante seis horas da
seguinte maneira
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(527)
onde w1 = 0001 Ws w2=001 Ws w4 = 0005 Ws w5=0005 Ws
Portanto admitindo que em todas as variaccedilotildees de potecircncia pode-se utilizar o
resultado da seccedilatildeo 511 assim para o formalismo proposto por Gandini agrave reatividade
se escreve da seguinte forma
48
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 0 11
0 1 0 1 0 1 0 1
2 0 22
0 2 0 2 0
1 1 0 1
1 2
1 1( )
t
t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
t h
e w P w twt
P w t P w t P
λ
λ
β ζ
λ
ζ
β ζρ
λ
minus
minus
minus minus +Λ Λ+ minus minus lt le
+ + + +
minus lt le
minus sdot minus +Λ= + minus
+ + +
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 0 2
4 0 44
0 4 0 4 0 4 0 4
5 0 55
0 5 0 5 0 5 0 5
2 4
1 1 4 5
1 1 5 6
t
t
Qt h
w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
λ
λ
β ζ
λ
β ζ
λ
minus
minus
Λ
minus lt le+
minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + + minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + +
(528)
Jaacute para o formalismo proposto por Silva et al tem-se utilizando o resultado da
seccedilatildeo 512
( )( )
( )( )
( )
1 1
0 1 0 1 0 1
2 2
0 2 0 2 0 2
4
0 4
1 0 1
1 2
( ) 1 2 4
1
t
t
t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
t h
w w Qt e t h
P w t P w t P w t
we
P w t
λ
λ
λ
β
λ
βρ
λ
β
minus
minus
minus
Λ ΛΓ + + minus minus lt le
+ + +
Γ lt le
Λ Λ= Γ + + minus minus lt le
+ + +
ΛΓ + + minus
+ ( )
( )( )
4
0 4 0 4
5 5
0 5 0 5 0 5
4 5
1 5 6t
w Qt h
P w t P w t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
λ
λ
β
λminus
Λ
minus lt le+ +
Λ ΛΓ + + minus minus lt le+ + +
(529)
49
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com
Dependecircncia temporal de β e Λ
Neste capiacutetulo seraacute suposto que tanto a fraccedilatildeo de necircutrons retardados quanto
e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente de acordo com
( ) 0t Btβ β= + (61)
e
( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)
onde o coeficiente linear β0 tem valor 000706 o coeficiente angular B eacute -217857 x 10-
7 pcm Jaacute os valores dos coeficientes da variaccedilatildeo do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de
necircutrons satildeo Λ0 = 11661 x 10-5 s e c = -714286 x 10-10 s
61 Potencia Linear
611 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
No processo de obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo (56) natildeo foi considerado nenhuma
variaccedilatildeo temporal dos paracircmetros β e Λ Para se ter um resultado mais proacuteximo do
funcionamento real de um reator considera-se agora que a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente com o tempo
de acordo com (61) e (62) Assim substituindo essas equaccedilotildees na equaccedilatildeo (432)
obteacutem-se
50
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
t
t
P wtct w P et Bt
P wt P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(63)
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior ou seja substituindo as equaccedilotildees
(61) (62) e (51) agora na equaccedilatildeo(433) vem
( )( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
2
2
2
t
t
ct w P et Bt
P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(64)
51
62 Potecircncia Constante
621 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Nesta seccedilatildeo considera-se uma situaccedilatildeo que a potecircncia nuclear permaneccedila
constante durante a operaccedilatildeo do reator Assim Substituindo as equaccedilotildees (61) e (62)
equaccedilatildeo (432) obteacutem-se
( ) ( )( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 00
0 0
1
1
t Bt Bt P e P
P ct QP B
P P
λρ β λβλ
ζ
λ
minus = + minus minus minus minus
minus Λ +minus minus minus
(65)
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Novamente repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior poreacutem substituindo as
equaccedilotildees (61) (62) e (51) na equaccedilatildeo (433) tem-se
( ) ( )( )( )00
0 0 0 0
0
1 tct QP BB
t Bt P e PP
λρ β λβλ λ
minus Λ + = + minus minus minus minus minus minus Γ minus
(66)
52
63 Potecircncia Exponencial
631 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Supondo que a potecircncia varie de acordo com ( ) 0
tP t P e
α= obteacutem-se
substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da potecircncia nuclear na
equaccedilatildeo (432) vem
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
1
2
12
t
t
t
P e ct Qt Bt ct
P e P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
α
α
λ α
ζρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
minus Λ += + + Λ + minus minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(67)
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Agora substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia nuclear na equaccedilatildeo (433) vem
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
0
0 0
0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
2
1 2
t
ct Qt Bt ct
P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
λ α
ρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
Λ += + + Λ + minus Γ minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(68)
53
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo 54 temos uma variaccedilatildeo de potecircncia dada
por
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(69)
Assim para o formalismo proposto por Gandini a reatividade se torna
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
tii
i i i
i i i i
i i i
i
i i
t
P w tct w P et Bt
P w t P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(610)
onde wi assume os seguintes valores w1 = 0001 w2=001 ou w4 = 0005 Jaacute para o
formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se
( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
( )
2
2
2
ti
i i
i i i i
i i i
i
i i
t
ct w P et Bt
P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(611)
54
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica
O meacutetodo de Monte Carlo pode ser caracterizado como uma teacutecnica de caacutelculo
de forccedila bruta que eacute bem adequado para problemas complicados que consistem de
vaacuterias subtarefas bem definidas Eacute um meacutetodo simples e intuitivo e manteacutem uma
estreita relaccedilatildeo com o problema que estaacute sendo resolvido
Atualmente o meacutetodo de Monte Carlo eacute amplamente utilizado em vaacuterios
campos como na fiacutesica matemaacutetica economia e engenharia Uma de suas primeiras
aplicaccedilotildees praacuteticas foi na modelagem de problemas de transporte de partiacuteculas
(Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo de caacutelculo foi chamada de Monte Carlo pelos cientistas Stanislav
Ulam John von Neumann e Metropolis Nicholas no final de 1940 quando este meacutetodo
foi usado para resolver problemas de transporte de partiacuteculas na pesquisa de armas
nucleares As raiacutezes do desenvolvimento da teoria moderna da probabilidade e
estatiacutestica data do seacuteculo 19 Poreacutem a primeira publicaccedilatildeo registrada que aborda este
meacutetodo data de 1949 (Yoriyaz 2009)
O sucesso da aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo (MMC) pelos cientistas de Los
Alamos se decorreu devido agrave computaccedilatildeo numeacuterica De fato mesmo se todos os
aspectos teoacutericos fossem resolvidos a utilizaccedilatildeo em grande escala do meacutetodo natildeo
seria possiacutevel sem esta ferramenta
O meacutetodo Monte Carlo eacute muito diferente dos meacutetodos de transporte
determiniacutesticos que geralmente baseiam-se na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de transporte de
necircutrons Assim para fazer com que o problema seja passiacutevel de uma soluccedilatildeo
computacional eacute necessaacuteria a realizaccedilatildeo de uma discretizaccedilatildeo das variaacuteveis tanto no
espaccedilo quanto na energia A forccedila do meacutetodo de Monte Carlo reside na capacidade
em calcular estimativas estatiacutesticas para taxas de reaccedilatildeo sem necessitar da soluccedilatildeo
explicita para a distribuiccedilatildeo do fluxo Aleacutem disso a capacidade de lidar com variaccedilotildees
complexas das variaacuteveis espaciais e de energia eacute o que torna a alternativa do MMC
mais atraente que os meacutetodos de transporte determiniacutesticos (Leppaumlnen 2007)
Mesmo que a abordagem determinista tenha demonstrado sua viabilidade para
simular reatores criacuteticos ela eacute amplamente utilizada Poreacutem esta metodologia
apresenta alguns inconvenientes que se tornam importantes no caso de um reator
subcriacutetico com um acelerador de partiacuteculas acoplado como por exemplo a introduccedilatildeo
de uma aproximaccedilatildeo devido agrave conversatildeo do espectro de energia dos necircutrons para
55
uma grade de energia e espaccedilo para os coacutedigos que utilizam uma abordagem
multigrupo (Kady et al 2001)
Por utilizar seccedilotildees de choques pontuais a simulaccedilatildeo Monte Carlo eacute livre de
quase todos os inconvenientes que aparecem nas simulaccedilotildees determiniacutesticas Poreacutem
sua precisatildeo varia inversamente com a raiz quadrada do nuacutemero de eventos
processados Isso representa um problema potencialmente grande de tempo de
processamento em particular quando a simulaccedilatildeo abrange toda a vida uacutetil da
produccedilatildeo de energia do sistema
No meacutetodo Monte Carlo para a simulaccedilatildeo de transporte de radiaccedilatildeo as
respostas satildeo obtidas simulando partiacuteculas individuais e gravando alguns aspectos de
seu comportamento meacutedio Se os modelos dessas interaccedilotildees utilizados nas
simulaccedilotildees satildeo suficientementes proacuteximos da realidade o resultado estaraacute proacuteximo do
processo real
Os componentes importantes de meacutetodos de simulaccedilatildeo de Monte Carlo satildeo as
funccedilotildees de densidade de probabilidade a geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios as regras
de amostragem a computaccedilatildeo de resultados as estimativas de erros e a reduccedilatildeo de
variacircncia conforme mostra a Figura 71 Aleacutem disso os algoritmos eficientes para
paralelizaccedilatildeo satildeo uacuteteis para a implementaccedilatildeo do meacutetodo de Monte Carlo para uso em
cluster de computadores (Grisell 2004)
O meacutetodo de Monte Carlo utiliza aleacutem do teorema do limite central modelos
fiacutesicos de interaccedilatildeo ou seja um conjunto de seccedilotildees de choque diferenciais para os
mecanismos de interaccedilatildeo relevantes do sistema a ser simulado (Salvat et al 2003)
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de Yoriyaz 2009
Gerador de
nuacutemeros
aleatoacuterios
Teacutecnicas de
amostragem Resultados
Funccedilatildeo de densidade de probabilidade
56
Essas seccedilotildees de choque diferenciais determinam as funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de
probabilidades de variaacuteveis aleatoacuterias
Esses conjuntos de funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de probabilidade caracterizam uma
histoacuteria e determinam o tipo de interaccedilatildeo sofrida pela partiacutecula por exemplo se a
partiacutecula sofreraacute uma mudanccedila de energia e de direccedilatildeo de propagaccedilatildeo se ela apenas
sofreraacute algum desvio angular ou se ocasionaraacute fissatildeo
Caso o nuacutemero de histoacuterias (uma histoacuteria inclui desde a geraccedilatildeo de uma
partiacutecula ateacute sua lsquofugarsquo ou absorccedilatildeo aleacutem de todas as outras partiacuteculas que podem ser
produzidas por exemplo atraveacutes da fissatildeo) seja suficientemente grande informaccedilotildees
quantitativas sobre o processo de transporte podem ser obtidas simplesmente por uma
meacutedia de mais histoacuterias simuladas
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo eacute em experimentos em que os resultados
satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Ao se comparar os meacutetodos MC e de variaacuteveis discretas normalmente se diz
que o MC resolve a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral enquanto o meacutetodo
de variaacuteveis discretas resolve a equaccedilatildeo na sua forma integro-diferencial Poreacutem as
duas equaccedilotildees satildeo formas diferentes da mesma equaccedilatildeo e assim quando se resolve
uma obteacutem-se a soluccedilatildeo da outra (Mosteller et al 2003)
Como o meacutetodo MC resolve o problema simulando histoacuterias das partiacuteculas natildeo
se torna necessaacuterio escrever a equaccedilatildeo de transporte de necircutrons No entanto pode-
se chegar a uma equaccedilatildeo que descreva a densidade de probabilidade das partiacuteculas
para o problema e esta acaba sendo a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral
(Vaz 2010)
A simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) eacute baseada em geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
de uma distribuiccedilatildeo uniforme gerando variaacuteveis aleatoacuterias para estabelecer outras
funccedilotildees de distribuiccedilatildeo Assim os nuacutemeros aleatoacuterios ou pseudoaleatoacuterios satildeo agrave base
do meacutetodo de MC pois estes nuacutemeros realizam todo o controle de decisatildeo Isso torna
essencial a sub-rotina de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios para qualquer simulador
baseado no meacutetodo de Monte Carlo As sub-rotinas de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
se baseiam em algoritmos matemaacuteticos especiacuteficos para garantir que os nuacutemeros
sorteados satildeo realmente aleatoacuterios pois estes nuacutemeros devem em teoria ser
igualmente provaacuteveis em um sorteio dentro de um intervalo definido
As variaacuteveis aleatoacuterias satildeo uma quantidade que resultam de processos
repetitivos e cujos valores reais natildeo podem ser previsto com certeza No mundo real a
aleatoriedade se origina de fatores incontrolaacuteveis (por exemplo jogos de azar) ou da
57
natureza quacircntica de sistemas ou processos (por exemplo desintegraccedilatildeo nuclear)
Nos computadores as variaacuteveis randocircmicas satildeo geradas por transformaccedilotildees
numeacutericas de nuacutemeros randocircmicos
O objetivo da simulaccedilatildeo MC eacute fornecer informaccedilotildees precisas e detalhadas em
trecircs dimensotildees dependente do tempo tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
partiacuteculas neutras Por este motivo o meacutetodo de Monte Carlo eacute largamente utilizado na
soluccedilatildeo de problemas envolvendo processos estatiacutesticos Pode ser empregado na
fiacutesica de reatores devido agrave caracteriacutestica estocaacutestica da emissatildeo de radiaccedilatildeo e
transporte de partiacuteculas
A carga computacional do meacutetodo de Monte Carlo continua sendo um
empecilho para as simulaccedilotildees de modelagem de sistemas nucleares devido ao alto
tempo de processamento computacional (Liu et al 2011) e a alta demanda de
memoacuteria pois para solucionar o problema de transporte de energia eacute necessaacuterio
monitorar as trajetoacuterias de vaacuterios necircutrons seu respectivo histoacuterico e sua multiplicaccedilatildeo
ateacute absorccedilatildeo ou fuga de todas as partiacuteculas geradas por essa partiacutecula
Mesmo assim o uso do meacutetodo de Monte Carlo para a simulaccedilatildeo do transporte
de partiacuteculas tornou-se bastante popular pois a alta demanda de processamento e de
memoacuteria pode ser contornada se for utilizado um sistema de processamento
distribuiacutedo com vaacuterios processadores possibilitando diminuir o tempo de simulaccedilatildeo
mesmo em modelagem de geometrias complexas Na praacutetica com o aumento de
processadores resolvendo o mesmo problema costuma-se aumentar a estatiacutestica a ser
simulada para a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos com o mesmo tempo de
simulaccedilatildeo anterior
71 Funccedilotildees Densidade de
Probabilidades
Para uma variaacutevel aleatoacuteria discreta a funccedilatildeo de probabilidade (f(x)) fornece
diretamente a probabilidade do valor que a variaacutevel aleatoacuteria assume Jaacute para as
variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas a funccedilatildeo de probabilidade em um intervalo eacute chamada
de funccedilatildeo de densidade de probabilidade
Esta funccedilatildeo natildeo fornece diretamente as probabilidades dos valores que as
variaacuteveis aleatoacuterias podem assumir Poreacutem a aacuterea sob o graacutefico da funccedilatildeo de
58
densidade de probabilidade correspondente a um dado intervalo a probabilidade de
que a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua assuma um valor neste intervalo Ou seja quando
calculamos as probabilidades para as variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas estamos
calculando a probabilidade de que a variaacutevel aleatoacuteria assuma qualquer valor em um
intervalo Assim a probabilidade de qualquer valor particular da variaacutevel aleatoacuteria
contiacutenua eacute zero pois a aacuterea sob o graacutefico de f(x) em qualquer ponto em particular eacute
zero
A distribuiccedilatildeo de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua pode ser
visualizada como uma forma de um histograma baseado em um grande nuacutemero de
observaccedilotildees Este histograma eacute construiacutedo com as densidades de probabilidade
Por exemplo a Figura 72 mostra um histograma da massa em quilogramas
de 25 lingotes de uracircnio (Lurie et al 2011)
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio
Se aumentarmos o nuacutemero de amostras teremos um histograma cada vez
mais suave a Figura 73 mostra o mesmo histograma com 150 observaccedilotildees
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio
59
Se fizermos o nuacutemero de amostras tender a infinito e o intervalo das classes
tender a zero no limite o histograma tende a se ldquosuavizarrdquo e tomar a forma de uma
curva teoacuterica como mostra a Figura 74
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo
Como uma probabilidade eacute interpretada como a frequecircncia relativa de um
evento de ensaios independentes a curva obtida na Figura 74 representa a maneira
pela qual a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo aos possiacuteveis valores que a
variaacutevel aleatoacuteria ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo pode assumir Assim a funccedilatildeo
densidade de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x eacute a funccedilatildeo
matemaacutetica f(x) cujo graacutefico produz a curva teoacuterica que representa a maneira pela qual
a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo agrave amplitude dos possiacuteveis valores da
variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x
As funccedilotildees de densidades de probabilidades devem obedecer as seguintes
condiccedilotildees
( )
( ) ( )
0
1
f x x
F x f x dx
gt forall
= =int
Dessa maneira a probabilidade de uma variaacutevel x assumir os valores no
intervalo (ab) eacute
Densidade de
probabilidade
Massa (kg)
60
( ) ( ) ( ) ( )b
aP a x b f x dx F a F ble le = = minusint
Existem basicamente duas diferentes maneiras que podem ser utilizados na
implementaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo que satildeo o meacutetodo direto ou
inverso e o meacutetodo da rejeiccedilatildeo Nas proacuteximas seccedilotildees tem-se a descriccedilatildeo desses dois
meacutetodos
72 Meacutetodo direto ou inverso
Seja uma distribuiccedilatildeo de probabilidade tiacutepica (por exemplo a distribuiccedilatildeo
gaussiana) definida em um intervalo conhecido entre [a b] Como visto na seccedilatildeo
anterior pode-se definir a funccedilatildeo de probabilidade acumulada desta distribuiccedilatildeo como
( ) ( ) b
aP x p x dx= int (71)
Criando uma nova variaacutevel aleatoacuteria atraveacutes da transformaccedilatildeo ξ = P(x) e
assumindo que a distribuiccedilatildeo de probabilidade acumulada admite uma inversa P-1(ξ)
definida no intervalo de (01) o valor de ξ eacute entatildeo definido como sendo igual agrave
probabilidade cumulativa do evento de modo que o valor correspondente de x pode
ser calculado a partir da funccedilatildeo inversa
1 1
( )( ) ( ) ( )
d dP xp p x p x
dx dxε
εε
minus minus
= =
(72)
Assim fica claro que ε eacute um nuacutemero aleatoacuterio e a variaacutevel x que eacute definida por
x = P-1(ξ) eacute aleatoriamente distribuiacuteda no intervalo (xmin x) Note que x eacute a uacutenica raiz
da equaccedilatildeo
min
( ) x
xp x dxξ = int (73)
61
Assim os valores amostrados de x desta forma satildeo distribuiacutedos de acordo com
a P(x)
A implementaccedilatildeo do meacutetodo direto de MC pode ser feita atraveacutes do seguinte
algoritmo conforme mostrado na Figura 75
1 Geraccedilatildeo de um nuacutemero aleatoacuterio ξ
2 Verificaccedilatildeo de que x corresponde ao ξ sorteado
3 Verificaccedilatildeo de qual probabilidade correspondente ao x
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003)
A soluccedilatildeo atraveacutes do meacutetodo de MC da equaccedilatildeo de transporte de necircutrons
(equaccedilatildeo (74)) pode ser feita utilizando o meacutetodo direto resolvendo-se as integrais
de acordo com (Vaz 2009)
( )
( ) ( ) ( ) ( )2 3
` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `
r E
r E C E E r dE d Q r E T r r E d r
Ψ Ω =
Ψ Ω Ω rarr Ω Ω + Ω rarr Ω int int
(74)
Com o termo de fonte podendo ser definido como
62
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
Fonte fixa
` ` ` ` | ` Fonte fixa + Fissatildeo
1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor
S
Q r R S r E F E E r dE d
r E F E E r dE dk
Ω = + Ψ Ω Ω rarr Ω Ω Ψ Ω Ω rarr Ω Ω
int
int
(75)
onde ( ) S r E Ω
foi abreviado como S
Assim uma histoacuteria (lsquotrajetoacuteriarsquo) pode ser entendida como uma sequecircncia de
transiccedilatildeo entre estados (P0 P1 P2 P3) Em cada ponto de colisatildeo Pi pode ocorrer
variaccedilatildeo da energia de direccedilotildees e ainda incluir a geraccedilatildeo de novas partiacuteculas
Entatildeo a equaccedilatildeo de transporte pode ser escrita como (Vaz 2009)
( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i
P P K P P K P P dp dp dp dpminus minusΨ = Ψ rarr rarrint int int int (76)
onde ( )K P Prarr eacute o kernel de transporte que eacute definido por
( ) ( ) ( ) ( ) ` ` | ` ` | K P P K r E r E C E E r T r r Erarr equiv Ω rarr Ω = Ω rarr Ω rarr Ω
(77)
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula
P4
P1
P2
P5
P3
P6
P
P0
63
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo
Em muitos casos tanto a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo cumulativa quanto sua inversa
eacute de difiacutecil obtenccedilatildeo ou natildeo podem ser resolvidos Exemplos de tais casos satildeo a
distribuiccedilatildeo normal e a distribuiccedilatildeo de Maxwell-Boltzmann Haacute diversas variaccedilotildees
numeacutericas para o uso do meacutetodo de inversatildeo que podem ser utilizados para amostrar
os valores de qualquer tipo de distribuiccedilatildeo mas eacute muitas vezes mais eficaz ter uma
abordagem completamente diferente (Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo da rejeiccedilatildeo tem a vantagem que o procedimento de amostragem
pode ser realizado utilizando apenas a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de probabilidades da
variaacutevel aleatoacuteria De uma forma mais simples uma constante c ge 1 e uma outra
funccedilatildeo de densidade de g(x) satildeo atribuiacutedos aos f(x) de tal forma que
( ) ( )f x cg xle (71)
para todos os valores de x
Os valores da variaacutevel aleatoacuteria ε seratildeo aceitos se
( )( )
f x
cg xε lt (72)
Se a desigualdade natildeo eacute vaacutelida o valor eacute descartado e o procedimento eacute
repetido desde o iniacutecio Pode demonstrar-se que a distribuiccedilatildeo dos valores aceitos
pelo meacutetodo seguem exatamente f(x)
Uma aplicaccedilatildeo que ilustra bem este meacutetodo eacute o caacutelculo do nuacutemero π Para
isso suponha um ciacuterculo inscrito dentro de um quadrado de lado unitaacuterio Se ao
sortear N eventos forem contados quantos destes eventos estatildeo dentro do ciacuterculo eacute
possiacutevel calcular o valor de π
Sabe-se que a integral entre os intervalos a e b eacute igual a um quarto da aacuterea do
ciacuterculo (ver Figura 77) Desta maneira pode-se dizer que o nuacutemero de pontos
sorteados dentro da aacuterea total do ciacuterculo dividido pelo nuacutemero total de sorteios eacute igual
agrave aacuterea do ciacuterculo sobre a aacuterea do quadrado
64
2
4r 4
c
t
N πrsup2 π= =
N
onde Nc eacute o nuacutemero de sorteios dentro do ciacuterculo e Nt eacute o total de nuacutemeros sorteados
Obviamente quanto maior for o total de nuacutemero sorteados mais preciso seraacute o
resultado
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo
Em geral o meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute utilizado para a estimativa de eventos que
satildeo regidos por distribuiccedilotildees contiacutenuas ou seja aqueles eventos que obedecem a
uma curva de probabilidade
Eacute importante ressaltar que no meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute necessaacuterio o sorteio de
dois nuacutemeros aleatoacuterios O primeiro (ε1) para definir o valor da abcissa (x) e um
segundo (ε2) para definir o valor no eixo das ordenadas (Figura 78) Se ε2 for menor
que f(ε1) registra-se ε1 como sendo um valor vaacutelido Caso contraacuterio ε1 eacute rejeitado e
ocorre o sorteio de outro nuacutemero aleatoacuterio O algoritmo do meacutetodo da rejeiccedilatildeo pode
ser descrito como
1 Sorteio do primeiro nuacutemero aleatoacuterio (ε1)
2 Verificaccedilatildeo de qual eacute o valor da funccedilatildeo para esse nuacutemero aleatoacuterio
3 Sorteio do segundo nuacutemero aleatoacuterio
4 Se ε2 lt f(ε1) registrar ε1 como vaacutelido
5 Senatildeo rejeitar ε1 e voltar ao passo 1
a
b
65
74 Meacutetodos Monte Carlo para
Reatores Subcriacuteticos
Nas seccedilotildees anteriores foi tratado das caracteriacutesticas baacutesicas da simulaccedilatildeo MC
Poreacutem para a simulaccedilatildeo de um reator nuclear mais proacutexima do real eacute necessaacuterio que
os coacutedigos MC sejam capazes de acompanhar a queima dos combustiacuteveis nucleares
chamados de coacutedigos de depleccedilatildeo
Atualmente existem vaacuterios coacutedigos de depleccedilatildeo que utilizam o meacutetodo Monte
Carlo devido ao constante crescimento no desempenho dos computadores Esses
coacutedigos geralmente satildeo acoplados em um coacutedigo geneacuterico de simulaccedilatildeo MC que
resolve o transporte das partiacuteculas e podem fornecer o fluxo de partiacuteculas e as seccedilotildees
de choque microscoacutepicas para os coacutedigos de depleccedilatildeo
Os coacutedigos MC de depleccedilatildeo podem ser divididos em dois grupos de acordo
com a metodologia de geraccedilatildeo das seccedilotildees de choque microscoacutepicas O primeiro
grupo satildeo os dos coacutedigos que utilizam os resultados calculados diretamente pelo o
coacutedigo geneacuterico MC Jaacute o segundo grupo utiliza uma abordagem de multigrupo para o
caacutelculo das seccedilotildees de choque que eacute implementado pelo coacutedigo de depleccedilatildeo De
acordo com esta metodologia as taxas de reaccedilatildeo satildeo calculadas separadamente
utilizando um preacute-gerador de seccedilotildees de choque multigrupo
f(x)
ε2
ε1
Figura 78 Processo de caacutelculo de π
66
75 Conceito de Reatores ADS
Os reatores hiacutebridos foram inicialmente considerados apenas para a queima
de actiniacutedeos poreacutem foi percebido que era possiacutevel aproveitar a queima dos
actiniacutedeos (transmutaccedilatildeo) em um reator subcriacutetico para a geraccedilatildeo de eletricidade
aleacutem da necessaacuteria para sustentar o acelerador de proacutetons
Aleacutem disso os reatores hiacutebridos tecircm uma vantagem adicional de ser um
sistema regenerador ou seja cria a possibilidade de regenerar combustiacutevel nuclear
queimado em um reator teacutermico para ser reutilizado no mesmo apoacutes reprocessamento
A Figura 79 mostra que os reatores regeneradores com acelerador (ABR ndash
accelerator breeder reactor) podem natildeo ser utilizados para a geraccedilatildeo de eletricidade
Sua principal utilizaccedilatildeo seria para a produccedilatildeo de material fiacutessil principalmente 239Pu
(Lodhi et al 2009) Para isso esses reatores necessitam de energia eleacutetrica para
alimentar o acelerador de proacutetons citado na Figura 710 Poreacutem os reatores hiacutebridos
podem ser dedicados tanto para a produccedilatildeo de energia como para a regeneraccedilatildeo de
material fiacutessil embora ambos os fenocircmenos ocorram sempre em um reator hiacutebrido ele
pode ser especializado para um desses objetivos de acordo com o cenaacuterio previsto
para a busca da sustentabilidade da energia nuclear (Piera et al 2010)
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009
Extraccedilatildeo de
toacuterio e uracircnio
238
U
ABR
Reator teacutermico
Energia eleacutetrica
239
Pu
232
Th
Energia eleacutetrica
67
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS
Tanto os reatores ADS como os ABR consistem em um acelerador de
partiacuteculas de alta energia (proacutetons com cerca de 1 GeV de energia) que atingem um
alvo com nuacutemero atocircmico grande Este choque gera necircutrons de alta energia capazes
de tornar nucliacutedeos feacuterteis em fiacutesseis
Outra coisa interessante sobre esses reatores eacute que eles produzem vaacuterios
isoacutetopos da mesma maneira que os FBR Em segundo lugar os reatores hiacutebridos
(ADS) operam com fator de multiplicaccedilatildeo abaixo de 1 (geralmente entre 090 e 097)
Em terceiro os ADS podem produzir combustiacutevel muito mais raacutepido que os FBR (Piera
et al 2010) pois liberam menos energia por fissatildeo que os FBR
Um dos principais objetivos do ADS eacute a queima de 232Th para gerar uma
grande quantidade de 233U embora 233U puro tem aproximadamente a mesma massa
criacutetica do plutocircnio (Lodhi et al 2009)
Fonte de necircutrons raacutepidos
Fonte de
spallation
Refrigerante chumbo-bismuto
Acelerador de
proacutetons
68
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos
Utilizados
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes simulaccedilotildees MC para auxiliar o estudo
de reatores ADS utilizando diferentes coacutedigos (MCNPX GEANT4 MCB) Poreacutem estes
modelos devem ter referecircncias para poder se verificar por exemplo o fator de
multiplicaccedilatildeo efetivo (keff) resultados dos caacutelculos de depleccedilatildeo e identificar as causas
para as possiacuteveis diferenccedilas significativas entre os resultados simulados e os teoacutericos
Idealmente esses paracircmetros deveriam ser comparados com dados
experimentais No entanto haacute uma falta significativa de resultados fiacutesicos para nuacutecleos
de reatores raacutepidos concebidos para queimar actiniacutedeos menores (AM) (Allen et al
2011)
Neste trabalho foram utilizados dois coacutedigos MC distintos Inicialmente devido
a grande quantidade de citaccedilotildees na literatura (Hashemi-Nezhad et al 2002 Sobolev
et al 2003 Bomboni et al 2010 Fokau et al 2010 Talamo et al 2011 Pelowitz
2008) foi utilizado o coacutedigo MCNPX 26f e tambeacutem o coacutedigo SERPENT 1117 que eacute
uma ferramenta relativamente nova (Leppaumlnen 2007) comparada ao MCNPX
O MCNPX eacute um coacutedigo MC que vem sendo desenvolvido deste 1995 sendo
escrito em FORTRAN e C Assim o MCNPX pode ser compilado para a utilizaccedilatildeo nas
plataformas computacionais mais usadas (Windows Linux e IOS) Aleacutem disso o
MCNPX pode ser usado com as bibliotecas de programaccedilatildeo paralela (MPI)
O coacutedigo eacute composto por aproximadamente 450 subrotinas possui um
desenvolvimento constante e atualmente eacute capaz de simular 34 partiacuteculas distintas A
versatildeo 250 do MCNPX eacute utilizada atualmente por cerca de 2500 grupos no mundo
sendo distribuiacutedo pelo Radiation Safety Information Computational Center (RSICC)
com base de dados sendo fornecida pela OECDNEA
Uma das grandes dificuldades do uso do MCNPX eacute a descriccedilatildeo da geometria
que eacute feita atraveacutes de uniotildees e interseccedilotildees de superfiacutecies baacutesicas (plano cilindro
infinito esfera cone ou elipsoide) Assim para simular uma vareta de combustiacutevel
deve-se criar pelo menos trecircs superfiacutecies distintas (2 planos e um cilindro infinito)
Aleacutem disso deve-se criar uma ceacutelula para cada material utilizado Esta ceacutelula
carrega a informaccedilatildeo do material que ela eacute composta a densidade e os limites
informados pelas uniotildees eou interseccedilotildees das superfiacutecies Tanto as superfiacutecies quanto
as ceacutelulas satildeo referenciados por nuacutemeros definidos pelo usuaacuterio
69
Todas as superfiacutecies permitem que as uniotildees e interseccedilotildees sejam feitas em
dois sentidos Esses sentidos satildeo informados pelos sinais negativos e positivos que
devem acompanhar os nuacutemeros das superfiacutecies
O MCNPX ainda permite a definiccedilatildeo da importacircncia da partiacutecula em cada
ceacutelula isso eacute uacutetil quando se quer excluir uma ou mais partiacuteculas Caso a importacircncia
de necircutrons seja definida como zero qualquer necircutron que entrar nesta ceacutelula seraacute
eliminado da simulaccedilatildeo Isto eacute um artifiacutecio que delimita a aacuterea de atuaccedilatildeo das
partiacuteculas para natildeo termos simulaccedilotildees de duraccedilatildeo ldquoinfinitardquo ou perder tempo
computacional em partiacuteculas que jaacute saiacuteram do sistema
Tambeacutem eacute possiacutevel definir ceacutelulas sem nenhum material para isso basta
colocar o nuacutemero zero no lugar do nuacutemero do material e natildeo informar a densidade do
mesmo Neste caso o coacutedigo iraacute interpretar o conteuacutedo da ceacutelula como sendo vaacutecuo
O MCNPX natildeo fornece ferramenta graacutefica para a ediccedilatildeo de geometria poreacutem
existem programas que realizam a leitura do arquivo e permitem a sua visualizaccedilatildeo O
que MCNPX faz eacute uma verificaccedilatildeo baacutesica da geometria em busca de erros Em caso
de erros de geometria o MCNPX natildeo realiza a simulaccedilatildeo ou a simulaccedilatildeo pode ser
abortada se o coacutedigo computar vaacuterias partiacuteculas perdidas (partiacuteculas que ldquosaemrdquo da
geometria)
O lado positivo do MCNPX eacute a grande quantidade de elementos e de isoacutetopos
disponiacuteveis para a simulaccedilatildeo devido o uso da biblioteca ENDF que eacute mantida pela
agecircncia internacional de energia atocircmica Para os elementos ou isoacutetopos que natildeo
existem nas bibliotecas o MCNPX realiza a simulaccedilatildeo utilizando modelos fiacutesicos Isto
proporciona uma grande flexibilidade na simulaccedilatildeo Aleacutem disso o MCNPX traz
bibliotecas de espalhamento teacutermico que podem ser usadas nos materiais utilizados
como moderadores
O outro coacutedigo MC utilizado foi o SERPENT Este coacutedigo eacute especiacutefico para
simulaccedilatildeo de reatores nucleares que realiza com caacutelculo de depleccedilatildeo e eacute
desenvolvido no Centro de Pesquisa Teacutecnica da Finlacircndia (VTT Technical Research
Centre of Finland) Atualmente eacute utilizado por cerca de 180 grupos de usuaacuterios em 27
paiacuteses Este coacutedigo se encontra na versatildeo 1118 sendo que a versatildeo 20 estaacute
atualmente em fase de teste O SERPENT tambeacutem permite a utilizaccedilatildeo de
processamento paralelo com o MPI (Message Passing Interface) para sua execuccedilatildeo
A paralelizaccedilatildeo no modo de caacutelculo de queima eacute dividida nas rotinas de preacute-
processamento e depleccedilatildeo em vaacuterias tarefas Cada tarefa trata um material diferente e
o aumento de desempenho pode-se tornar significativo
O SERPENT eacute um dos uacutenicos coacutedigos MC que permitem a simulaccedilatildeo com
fonte externa com meio multiplicativo aleacutem de caacutelculos de depleccedilatildeo em uma uacutenica
70
simulaccedilatildeo a geometria natildeo eacute tatildeo problemaacutetica quanto a do MCNPX pois jaacute existem
elementos preacute-definidos que satildeo encontrados em reatores nucleares como por
exemplo elementos combustiacuteveis em em arranjo hexagonal
A descriccedilatildeo da geometria no SERPENT eacute feita definindo-se uma vareta e os
raios de cada material que a compotildee Diferentemente do MCNPX os materiais satildeo
referenciados por nomes seguidos do raio ocupado partindo do centro da vareta ateacute a
extremidade
Por exemplo para se definir uma vareta de combustiacutevel os materiais que
compotildee esta vareta devem ser descritas do centro para fora da vareta Assim se o
combustiacutevel estaacute designado com um raio de 04024 cm a definiccedilatildeo do gap deve iniciar
de um raio maior que o do combustiacutevel O gap eacute designado pela palavra reservada
void
A definiccedilatildeo das varetas seja de combustiacutevel ou as de controle devem ser
terminadas sempre com o nome do material utilizado como refrigerante (Soacutedio por
exemplo) Eacute importante lembrar que cada definiccedilatildeo de vareta recebe um nuacutemero que
eacute chamado de universo
Apoacutes as definiccedilotildees das varetas basta informar o tipo de arranjo utilizado e o
pitch de varetas para completar a descriccedilatildeo do nuacutecleo do reator Se existem varetas
com diferentes composiccedilotildees de combustiacutevel deve-se informar o nuacutemero de cada
universo na posiccedilatildeo desejada
Ambos os coacutedigos permitem a utilizaccedilatildeo da mesma biblioteca realizam caacutelculo
de depleccedilatildeo do combustiacutevel indicando a quantidade de cada elemento nos diferentes
passos de queima sendo possiacutevel fazer um inventaacuterio de queima em ambos os
coacutedigos para cada intervalo de queima Este intervalo eacute informado pelo usuaacuterio
Para a descriccedilatildeo do material tanto o MCNPX como o SERPENT usam a
mesma forma Basta informar o ldquocoacutedigordquo do elemento desejado e sua concentraccedilatildeo
que pode ser atocircmica (aacutetomosbarncm) ou fraccedilatildeo de massa
O coacutedigo dos materiais eacute formado pelos seus nuacutemeros atocircmicos e por seus
nuacutemeros de massa Por exemplo o coacutedigo para o elemento 238U eacute 92238
Para se identificar as diferentes versotildees das bibliotecas existem nuacutemeros que
vecircm depois do coacutedigo do elemento Esses nuacutemeros satildeo a versatildeo das bibliotecas para
o MCNPX e para o SERPENT as temperaturas (em Kelvin) das bibliotecas Portanto
no MCNPX o coacutedigo 9223866c indica que a biblioteca utilizada eacute a ENDF66 Para o
SERPENT o coacutedigo completo eacute 9223806c onde o 06c indica a temperatura em que a
biblioteca foi avaliada (600 K)
71
Ainda na descriccedilatildeo do material o coacutedigo SERPENT permite definir os materiais
de outra forma Assim pode-se usar o siacutembolo do elemento quiacutemico seguido de seu
nuacutemero de massa Por exemplo O-1609c eacute o 16O a uma temperatura de 900 K
Se o material eacute composto por mais de um elemento quiacutemico basta inserir os
demais elementos As tabelas abaixo mostram o exemplo de um revestimento de
zircaloy (Tabela 81) para o MCNPX e para o dioacutexido de uracircnio (Tabela 82) para o
SERPENT Note que para a entrada em fraccedilatildeo de massa deve-se colocar o sinal de
negativo
Aleacutem das informaccedilotildees dos elementos e de suas concentraccedilotildees eacute necessaacuterio
informar tambeacutem a densidade dos materiais No MCNPX essa informaccedilatildeo fica junto
com a definiccedilatildeo do local que o material estaacute No SERPENT a informaccedilatildeo da
densidade fica junto com a definiccedilatildeo do material Em ambos os coacutedigos a densidade
pode ser informada em gcm3 ou em densidade atocircmica (aacutetomosbarnmiddotcm)
Tabela 81 Exemplo de um
revestimento de zircaloy no MCNPX
Elemento Fraccedilatildeo de
massa
4000066c -098135
2400066c -000100
2600066c -000135
2800042c -000055
5000006c -001450
801606c -000125
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de
uracircnio no SERPENT
Elemento Densidade
Atocircmica
9223409c 914E-02
9223509c 935E+00
9223809c 215E+02
O-1609c 449E+02
Para a validaccedilatildeo das simulaccedilotildees realizadas utilizando o coacutedigo SERPENT
foram realizadas algumas simulaccedilotildees de reatores para a comparaccedilatildeo direta com o
MCNPX jaacute que o MCNPX eacute amplamente utilizado para a simulaccedilatildeo de reatores
Os reatores simulados foram um PWR com combustiacutevel do tipo MOX (Figura
81) um reator do tipo VVER (Figura 82) e um terceiro do tipo CANDU (Figura 83)
Os resultados obtidos com essas simulaccedilotildees se encontram na Tabela 83
72
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU
Refrigerante (aacutegua)
Combustiacutevel MOX 1 (29 Pu)
Combustiacutevel MOX 2 (44 Pu)
Combustiacutevel MOX 3 (56 Pu)
Combustiacutevel (UO2)
Vazio (ar)
Refrigerante (Aacutegua)
Combustiacutevel (UO2)
Refrigerante (Aacutegua)
73
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER
Reator keff Diferenccedila2
(pcm) MCNPX SERPENT
VVER 128763 128807 3417
CANDU 094169 094207 4034
PWR 100176 100184 799
Recentemente Allen et al(2011) publicou uma proposta de referecircncia para
reatores regeneradores baseado no reator de teste avanccedilado para queima de AM
(ABTR) Este reator tem uma potecircncia teacutermica de 250 MW sendo refrigerado com
soacutedio A Figura 84 mostra a geometria e disposiccedilatildeo dos elementos do nuacutecleo do
reator utilizado na simulaccedilatildeo com MCNPX
As Tabelas 84 85 e 86 trazem as composiccedilotildees dos diferentes combustiacuteveis
utilizados Jaacute as Tabelas 87 88 e 89 mostram a composiccedilatildeo das varetas refletor e
barras de controle respectivamente
A Tabela 810 traz informaccedilotildees gerais do reator como pitch e diacircmetro de
varetas do reator entre outras
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX
2 Em moacutedulo diferenccedila = |Keff MCNPX - keff SERPENT|
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
74
Tabela 84Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 1
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 122E-04
U-235 322E-01
U-236 206E-02
U-238 202E+02
Np-237 384E-02
Pu-236 139E-07
Pu-238 959E-03
Pu-239 350E+01
Pu-240 374E+00
Pu-241 245E-01
Pu-242 175E-02
Am-241 142E-02
Am-242 285E-04
Am-243 613E-04
Cm-242 471E-04
Cm-243 741E-06
Cm-244 483E-05
Cm-245 191E-06
Cm-246 261E-08
Tabela 85 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 2
(densidade 10851
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 100E-02
U-235 320E-01
U-236 195E-02
U-238 197E+02
Np-237 181E+00
Pu-236 908E-06
Pu-238 905E-01
Pu-239 235E+01
Pu-240 109E+01
Pu-241 294E+00
Pu-242 219E+00
Am-241 213E+00
Am-242 583E-02
Am-243 436E-01
Cm-242 735E-02
Cm-243 244E-03
Cm244 110E-01
Cm-245 977E-03
Cm-246 677E-04
Tabela 86 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 3
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 150E-02
U-235 318E-01
U-236 186E-02
U-238 193E+02
Np-237 313E-02
Pu-236 911E-08
Pu-238 987E-03
Pu-239 431E+01
Pu-240 456E+00
Pu-241 295E-01
Pu-242 206E-02
Am-241 223E-02
Am-242 408E-04
Am-243 756E-04
Cm-242 563E-04
Cm-243 905E-06
Cm244 553E-05
Cm-245 200E-06
Cm-246 241E-08
75
Tabela 87 Composiccedilatildeo
do revestimento da vareta
de combustiacutevel
(densidade 75357
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Fe-54 408E+01
Fe-56 641E+02
Fe-57 148E+01
Fe-58 197E+00
Ni-58 293E+00
Ni-60 113E+00
Ni-61 491E-02
Ni-62 157E-01
Ni-64 399E-02
Cr-50 451E+00
Cr-52 870E+01
Cr-53 987E+00
Cr-54 246E+00
Mn-55 460E+00
Zr-nat 491E+00
Tabela 88 Composiccedilatildeo
do refletor (densidade
53908 gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Na-23 715E+01
Fe-54 277E+01
Fe-56 435E+02
Fe-57 101E+01
Fe-58 134E+00
Ni-58 199E+00
Ni-60 767E-01
Ni-61 333E-02
Ni-62 106E-01
Ni-64 271E-02
Cr-50 306E+00
Cr-52 591E+01
Cr-53 670E+00
Cr-54 167E+00
Mn-55 312E+00
Zr-nat 333E+00
Tabela 89 Composiccedilatildeo
da barra de controle
(densidade 15643
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
C-12 407E+01
B-10 164E+02
B-11 662E+02
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR
Paracircmetro Valor (cm)
ldquoPicthrdquo do elemento combustiacutevel 14685
ldquoPitchrdquo da varetas de combustiacutevel 09134
Diacircmetro da vareta de combustiacutevel 08048
Espessura do revestimento 00523
Altura ativa do combustiacutevel 844108
76
A biblioteca de dados utilizada foi a ENDF B-VI6a que eacute fornecida juntamente
com o MCNPX 26 Esta biblioteca foi avaliada em diferentes temperaturas O
refrigerante utilizado na simulaccedilatildeo deste reator eacute o soacutedio com uma concentraccedilatildeo de
22272x10-2 aacutetomosbarnsmiddotcm
Como o MCNPX e o SERPENT natildeo permitem a mudanccedila na temperatura
durante a simulaccedilatildeo caso queira-se avaliar o efeito da temperatura deve-se ter as
bibliotecas nas temperaturas requeridas refazer a simulaccedilatildeo e comparar os
resultados
A simulaccedilatildeo deste sistema foi feita com um total de 130 ciclos mas somente os
uacuteltimos 100 ciclos satildeo contabilizados nos resultados Cada ciclo foi simulado com
1x104 necircutrons totalizando 106 necircutrons isto sem levar em conta os necircutrons
produzidos por fissatildeo A Tabela 811 mostra a divisatildeo dos intervalos utilizados na
queima do combustiacutevel na simulaccedilatildeo do reator ABTR
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR
Intervalo Duraccedilatildeo (dias)
1 2739
2 2739
3 5478
4 10956
5 10956
6 10956
7 10956
8 10956
9 10956
10 10956
11 10956
12 10956
O proacuteximo passo foi realizar a simulaccedilatildeo deste mesmo sistema no SERPENT
1118 para a comparaccedilatildeo com o resultado do MCNPX e verificar se os resultados de
ambos os coacutedigos MC satildeo compatiacuteveis para o caso de reatores subcriacuteticos A Figura
85 mostra o nuacutecleo do reator simulado no SERPENT
77
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT
A simulaccedilatildeo tambeacutem foi realizada com 130 ciclos utilizando o mesmo nuacutemero
de necircutrons que na simulaccedilatildeo feita pelo o MCNPX
Com estas condiccedilotildees Allen et al (2011) obtiveram um keff de 104961 Ao
reproduzir esta simulaccedilatildeo foi obtido um keff inicial de 104622 ou seja uma diferenccedila
de 83 pcm
Vale ressaltar que o tempo de simulaccedilatildeo do SERPENT para este mesmo
sistema foi de aproximadamente 20 h Isso se deve ao fato que o SERPENT eacute
especiacutefico para simulaccedilatildeo de reatores enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo mais geral
Assim o SERPENT pode utilizar mecanismos de otimizaccedilatildeo como por exemplo uma
mudanccedila no algoritmo de caacutelculo do livre caminho meacutedio sem perda de informaccedilatildeo
Os resultados da comparaccedilatildeo satildeo apresentados na Tabela 812 Jaacute os graacuteficos
das Figuras 87 e 88 mostram a comparaccedilatildeo do keff e da queima nos dois sistemas
respectivamente Pode-se observar atraveacutes da Figura 86 que o reator simulado se
torna subcriacutetico somente apoacutes 550 dias de operaccedilatildeo
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
78
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT
Tempo
(dias)
Reatividade (pcm) Burnup (GwdMTU)
Diferenccedila3
reatividade
(pcm)
Diferenccedila1
Burnup
(GwdMTU)
MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT
00 4335 4418 0000 0000 83 0000
2739 4033 4114 1325 1324 81 0001
5478 3906 3788 2649 2649 118 0000
1096 3544 3462 5298 5297 81 0001
2191 2759 2343 10600 10594 415 0006
3287 1749 1642 15890 15891 106 0001
4382 1053 1255 21190 21188 202 0002
5478 15 106 26490 26485 91 0005
6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008
7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011
8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014
9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007
10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094
095
096
097
098
099
100
101
102
103
104
105
106
Kef
f
Tempo (Dias)
MCNPX SERPENT
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT
1 diferenccedila burnup = |burnup MCNPX ndash burnup SERPENT|
3 diferenccedila reatividade = |Keff MCNPX ndash keff SERPENT|
79
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000
10
20
30
40
50
60
burn
up (
Gw
dM
TU
)
tempo (Dias)
MCNPX 26 SERPENT
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT
Uma opccedilatildeo interessante na simulaccedilatildeo realizada com o SERPENT eacute a
possibilidade de uma visualizaccedilatildeo das aacutereas mais lsquoquentesrsquo do reator que satildeo
representadas por tons de vermelho e amarelo representando a potecircncia relativa da
fissatildeo nuclear e em tons de azul satildeo as aacutereas lsquofriasrsquo representando fluxo teacutermico
relativo (ver Figuras 89 e 810)
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do reator PWR simulado
80
Para a observaccedilatildeo nas alteraccedilotildees nos esquemas de cores a normalizaccedilatildeo eacute
fixa apoacutes o primeiro passo de queima A Figura 89 abaixo mostra a representaccedilatildeo das
aacutereas quentes e frias para o reator ABTR simulado por Allen et al (2010) em quatro
estaacutegios diferentes de queima
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias
A partir das Tabelas 812 83 e do graacutefico da Figura 86 pode-se verificar que
os dois coacutedigos MC apresentam resultados satisfatoacuterios para os valores do keff com
diferenccedila maacutexima de 415 pcm para o reator ABTR Esta diferenccedila pode ser devido agrave
geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios presente no meacutetodo MC Uma maneira de ser diminuir
esta diferenccedila eacute aumentando a quantidade de partiacuteculas simuladas poreacutem o tempo de
simulaccedilatildeo tornar-se demasiadamente grande (Antolin 2009) Outra possibilidade eacute a
falta de dados mais precisos dos materiais utilizados como combustiacuteveis no reator
ABTR
Como o coacutedigo SERPENT eacute mais novo a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do mesmo
sistema simulado no MCNPX se justifica para saber se o coacutedigo SERPENT reproduz
sistemas subcriacuteticos adequadamente Aleacutem disso o SERPENT permite a simulaccedilatildeo
de reatores nucleares com fonte externa mesmo que estas simulaccedilotildees se limitem a
a b
c d
81
problemas de fonte externa fixa Devemos lembrar que o SERPENT soacute realiza
simulaccedilatildeo de reatores nucleares enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo que pode ser
aplicados a outros problemas aleacutem de simulaccedilotildees de reatores
82
9 Resultados
As equaccedilotildees da cineacutetica pontual obtidas no capiacutetulo 3 para sistemas
subcriacuteticos foram comparadas com a simulaccedilatildeo MC devido agrave dificuldade de se obter
dados experimentais de reatores subcriacuteticos As simulaccedilotildees foram feitas utilizando
potecircncia constante linear exponencial e tambeacutem uma variaccedilatildeo aleatoacuteria
A utilizaccedilatildeo do meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear eacute interessante por
permitir a implementaccedilatildeo de sistemas de monitoramento em tempo real da reatividade
associada a uma variaccedilatildeo da potecircncia nuclear tornando-se muito atraente para
aplicaccedilotildees em reatores do tipo ADS
A Figura 91 mostra a geometria utilizada nas simulaccedilotildees de todos os casos
simulados As composiccedilotildees dos materiais satildeo as mesmas mostradas nas Tabelas 87
88 e 89 para vareta refletor barra de controle e da vareta de combustiacutevel Para a
composiccedilatildeo do combustiacutevel foi usada agrave composiccedilatildeo mostrada na Tabela 91
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado
Elemento Concentraccedilatildeo
(fraccedilatildeo de massa)
U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico
Legenda
Combustiacutevel
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
83
Os valores utilizados para a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo Monte Carlo com os
resultados das equaccedilotildees para cada um dos casos do capiacutetulo 3 encontram-se na
Tabela 92 Esses valores foram obtidos diretamente do arquivo de saiacuteda da simulaccedilatildeo
realizada no SERPENT com a exceccedilatildeo do valor de Γ que foi extraiacutedo de Silva (2011)
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos
Paracircmetro Valor
β 000706
Λ 121x10-5 s
λ 21979x10-1 s
Γ -077x10-10
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia
Nuclear
Para um reator subcriacutetico chegar a sua potecircncia de operaccedilatildeo deve-se
monitorar a reatividade para se evitar algum tipo de acidente Assim podemos supor
uma inserccedilatildeo de reatividade de maneira linear (equaccedilatildeo 443) Esta simulaccedilatildeo foi feita
considerando uma taxa de aumento de 5 por hora do valor inicial da potecircncia sendo
monitorado por um periacuteodo de 6 horas
A Tabela 93 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos entre o SERPENT e
a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa
92 Potecircncia Nuclear Constante
Para a simulaccedilatildeo realizada a potecircncia constante o tempo total de simulaccedilatildeo foi
de cerca de 12 horas Esta diferenccedila se daacute unicamente devido ao diferente nuacutemero de
passos simulados enquanto foram simulados 6 passos de uma hora para a variaccedilatildeo
84
linear da potecircncia foram simulados 10 passos para a potencia constante Esta
simulaccedilatildeo tenta reproduzir a operaccedilatildeo em condiccedilotildees normais do reator A Tabela 94
mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos para a potecircncia de 80 MW
93 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
A variaccedilatildeo exponencial da potecircncia foi simulada por um periacuteodo de 1 hora em
intervalos de 10 minutos A Tabela 95 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos
com uma taxa de aumento de 00001
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(h) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 1 -2069 -2125 -2119 56 50
84 2 -2050 -2125 -2125 75 75
88 3 -2122 -2134 -2134 12 12
92 4 -2077 -2143 -2143 66 66
96 5 -2142 -2151 -2151 9 9
100 6 -2119 -2158 -2158 39 39
85
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
Gandini -
SERPENT
0 -2133 -2146 -2146 12 12
10 -2152 -2146 -2146 6 6
20 -2144 -2146 -2146 2 2
30 -2167 -2146 -2146 21 21
40 -2151 -2146 -2146 5 5
50 -2127 -2146 -2146 18 18
60 -2177 -2146 -2146 31 31
70 -2145 -2146 -2146 0 0
80 -2152 -2146 -2146 6 6
90 -2160 -2146 -2146 14 14
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da potecircncia
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2065 2120 2120 55 55
115 10 2108 2107 2107 0 0
165 20 2104 2115 2114 11 10
235 30 2070 2114 2115 44 45
337 40 2083 2115 2115 32 32
483 50 2126 2115 2117 11 9
86
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
A avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia durante
sua operaccedilatildeo foi feita durante um periacuteodo de 6 horas Neste intervalo foi simulada uma
suacutebita queda de potecircncia e posteriormente uma subida repentina da potecircncia A
Tabela 96 mostra os resultados obtidos
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2075 2029 2029 46 46
90 1 2075 2188 2188 113 113
0 2 2143 2118 2118 24 24
40 3 2050 2120 2120 70 70
80 4 2133 2231 2231 97 97
100 5 2080 2163 2163 83 83
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Nesta seccedilatildeo seratildeo apresentados os resultados obtidos levando-se em conta a
variaccedilatildeo temporal da fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo dos
necircutrons
87
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia
Assim como na seccedilatildeo 91 a Tabela 97 mostra os resultados obtidos para uma
variaccedilatildeo linear de potecircncia poreacutem os resultados abaixo foram levados em conta agraves
variaccedilotildees temporais de β e de Λ Como o SERPENT jaacute fornece os valores de β e Λ
para cada passo de queima esses valores foram utilizados para a obtenccedilatildeo da reta de
ajuste que foi utilizada em todos os casos com variaccedilatildeo temporal de β e de Λ Assim
natildeo foi necessaacuterio realizar novas simulaccedilotildees
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Λ (x10-5)
(s)
β
(pcm)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF ndash
SERPENT
HGPT ndash
SERPENT
80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6
84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0
88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28
92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80
96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127
100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141
952 Potecircncia constante
Jaacute para o reator operando a uma potecircncia constante a Tabela 98 mostra os
resultados obtidos para variaccedilotildees lineares de β e Λ Lembrando que esta a duraccedilatildeo
desta simulaccedilatildeo foi de aproximadamente 12 horas
88
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia constante
Tempo
(min) Λ (x10-5) (s)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7
10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6
20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5
30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17
40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4
50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18
60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31
70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0
80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1
90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14
953 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
Utilizando a mesma variaccedilatildeo de potencia da seccedilatildeo 93 a operaccedilatildeo do reator
foi simulada por um periacuteodo de 6 horas Para este caso a taxa de aumento de
potecircncia tambeacutem foi de 00001 A Tabela 99 mostra os resultados obtidos
89
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Mais uma vez realizando a mesma variaccedilatildeo de potecircncia da seccedilatildeo 94 a
avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia tambeacutem foi
realizada juntamente com a variaccedilatildeo de β e Λ A Tabela 910 mostra os resultados
obtidos
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia com β e Λ variaacuteveis no tempo
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125
115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36
165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13
235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9
337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80
483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Serpent TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102
90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2
0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79
40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51
80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140
100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23
90
96 Paracircmetros Nucleares
Os paracircmetros integrais satildeo muitas vezes utilizados para dar informaccedilotildees
imediatas e completas sobre as caracteriacutesticas fiacutesicas dos reatores nucleares Eles
podem aparecer diretamente da modelagem matemaacutetica do sistema ou podem ser
introduzidos tanto artificialmente com a finalidade de quantificar as caracteriacutesticas
fiacutesicas pra que se permitam comparaccedilotildees entre diferentes configuraccedilotildees ou na
interpretaccedilatildeo das mediccedilotildees experimentais Assim enquanto algumas quantidades
integrais em fiacutesica de reatores deteacutem um significado matemaacutetico (por exemplo o fator
de multiplicaccedilatildeo como sendo o autovalor do problema de equiliacutebrio) outras
quantidades podem carregar significados diferentes de acordo com os objetivos
especiacuteficos para os quais satildeo introduzidos Este fato pode causar uma grande
confusatildeo especialmente quando o mesmo termo eacute utilizado para denotar grandezas
fiacutesicas bastante diferentes Este eacute o caso por exemplo de paracircmetros integrais
introduzidos em modelos cineacuteticos que satildeo obtidos atraveacutes da ponderaccedilatildeo das
equaccedilotildees da cineacutetica Enquanto que o procedimento eacute bem estabelecido na cineacutetica
dos de sistemas criacuteticos o caso de sistemas com fonte externa pode estar aberto a
ambiguidade jaacute que natildeo existe uma uacutenica funccedilatildeo de ponderaccedilatildeo e sua escolha pode
ser relacionada mais para conveniecircncia numeacuterica ou para a necessidade de obter
alguns resultados muitos especiacuteficos (Dulla 2011)
Por outro lado muitas vezes esses mesmos termos podem ser obtidos por
exemplo por teacutecnicas de simulaccedilatildeo MC Este eacute o caso de reatividade fraccedilatildeo de
necircutrons retardados e o tempo de geraccedilatildeo de necircutrons Eacute especialmente importante
observar que os sistemas subcriacuteticos exigem um repensar de toda abordagem teoacuterica
concebida para sistemas criacuteticos
Anaacutelises realiacutesticas da cineacutetica de sistemas subcriacuteticos satildeo atualmente feitas
atraveacutes da soluccedilatildeo direta das equaccedilotildees seja por difusatildeo ou por modelos de
transporte Informaccedilotildees altamente detalhadas e precisas sobre a evoluccedilatildeo dos
necircutrons satildeo necessaacuterias entretanto os modelos pontuais satildeo muito simplificados e
podem natildeo fornecer informaccedilotildees suficientes Aleacutem disso ferramentas numeacutericas e
computacionais eficientes estatildeo disponiacuteveis tornando possiacutevel evitar as restriccedilotildees dos
modelos da cineacutetica pontual No entanto os paracircmetros integrais satildeo uacuteteis em
qualquer caso para a obtenccedilatildeo de informaccedilotildees completas sobre o comportamento
fiacutesico do sistema para ter uma indicaccedilatildeo imediata sobre as caracteriacutesticas cineacuteticas do
sistema
91
O conceito de paracircmetros integrais parece perder significado e relevacircncia para
sistemas subcriacuteticos guiados por fonte Por isso para as quantidades integrais
medidas ou simuladas as definiccedilotildees dos paracircmetros gerados devem sempre estar
especificados para evitar interpretaccedilotildees equivocadas e incorretas de tais resultados
Para comparar alguns paracircmetros as simulaccedilotildees foram feitas utilizando tanto
combustiacutevel fresco quanto combustiacutevel usado Assim pode-se comparar alguns
paracircmetros nucleares do iniacutecio do ciclo de combustiacutevel com os resultados de
combustiacutevel no final do ciclo Alguns paracircmetros como a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados (β) e o tempo de geraccedilatildeo meacutedia de necircutrons (Λ) satildeo fornecidos pelo coacutedigo
SERPENT ao final de cada simulaccedilatildeo
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares
Paracircmetro Combustiacutevel
fresco
Combustiacutevel
queimado
Referecircncia (Dulla et
al 2011)
β 000706 000340 000644
Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s
A partir da Tabela 911 pode-se verificar que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
tem uma diminuiccedilatildeo de quase a metade em comparaccedilatildeo ao seu valor inicial Isso eacute de
se esperar devido agrave queima do combustiacutevel fazendo com que este paracircmetro natildeo seja
tatildeo importante na operaccedilatildeo de um reator nuclear no final do ciclo do combustiacutevel como
eacute em seu iniacutecio
O valor para a fraccedilatildeo de necircutrons retardados para combustiacutevel fresco no
reator subcriacutetico Yalina operando a um keff de 098 eacute de 644 pcm (Dulla et al 2011) ou
seja uma diferenccedila de 62 pcm em relaccedilatildeo ao valor encontrado na Tabela 911 Vale
ressaltar que segundo Dulla et al (2011) os paracircmetros integrais dependem do niacutevel
de subcriticalidade
Outro paracircmetro importante para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de cineacutetica pontual e
para o controle do reator sendo muitas vezes utilizado para determinar a resposta
dinacircmica de um reator nuclear eacute o tempo de vida de necircutrons prontos (Λ) (Abaacutenades
et al 2001) Para reatores teacutermicos este valor eacute em torno de 10-4 s enquanto para
reatores subcriacuteticos este valor eacute da ordem de 10-5 s Segundo Dulla et al (2011) o
valor para este paracircmetro eacute de 148 micros para combustiacutevel fresco Assim o valor
encontrado (121 micros) eacute proacuteximo ao encontrado na literatura com um desvio percentual
92
de 18 Este desvio pode se devido agraves diferentes composiccedilotildees do combustiacutevel e
tambeacutem pela diferenccedila de enriquecimento
93
10 Conclusatildeo
A mediccedilatildeo da reatividade utilizando-se a cineacutetica inversa eacute amplamente
utilizada na partida de um reator nuclear Assim uma mediccedilatildeo acurada da reatividade
eacute imprescindiacutevel para o controle do reator (Diacuteaz et al 2007)
Os formalismos propostos por Gandini (2000) e por Silva et al (2011) envolvem
a fonte externa para descriccedilatildeo do comportamento cineacutetico dos reatores subcriacuteticos
guiados por fontes Poreacutem como ainda natildeo existem reatores ADS em operaccedilatildeo as
simulaccedilotildees de tais sistemas satildeo importantes para a avaliaccedilatildeo preliminar do
funcionamento desses reatores
Os resultados apresentados no capiacutetulo anterior mostram que as equaccedilotildees da
cineacutetica inversa para sistemas subcriacuteticos propostas nesta tese reproduzem
satisfatoriamente os reatores subcriacuteticos guiados por fonte sejam utilizando o meacutetodo
das derivadas quanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia tanto para o
formalismo proposto por Gandini (2000) quanto o proposto por Silva et al (2011)
Ainda pode-se notar que tanto para valores constantes como para variaccedilotildees lineares
de β e Λ os resultados satildeo coerentes Isto ocorre devido agrave pequena variaccedilatildeo de β
(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)
Vale ressaltar que o meacutetodo das derivadas se torna interessante para o
monitoramento da reatividade por natildeo necessitar do armazenamento de todo o
histoacuterico potecircncia e depender apenas das derivadas da potecircncia possibilitando que o
caacutelculo da reatividade seja feito com uma maior rapidez se comparado com o tempo
necessaacuterio para resolver a integral do histoacuterico de potecircncia Aleacutem disso este meacutetodo
natildeo necessita do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator e o caacutelculo
pode ser reiniciado em caso de mau funcionamento do equipamento de mediccedilatildeo da
reatividade
A simulaccedilatildeo Monte Carlo foi utilizada para a validaccedilatildeo dos meacutetodos propostos
devido agrave falta de dados nucleares para reatores subcriacuteticos poreacutem mesmo com a boa
reproduccedilatildeo deste tipo de simulaccedilatildeo a modelagem utilizada por estes meacutetodos
encontra problemas pois os dados nucleares disponiacuteveis para alguns actiniacutedeos natildeo
atendem as faixas de energia necessaacuterias para a simulaccedilatildeo de um reator ADS Esses
dados devem cobrir aleacutem de uma vasta gama de energia e um grande conjunto de
nucliacutedeos (Vaz 2010) pois o grande atrativo dos reatores ADS eacute a transmutaccedilatildeo de
rejeitos de longa meia vida e tambeacutem a produccedilatildeo de energia eleacutetrica Assim a ecircnfase
94
dos dados nucleares deve ser nos actiniacutedeos (por exemplo Np Am e o Cm) para o
acompanhamento do ciclo de combustiacutevel com a finalidade de reciclagem muacuteltipla
Mesmo assim a simulaccedilatildeo realizada para a validaccedilatildeo das equaccedilotildees propostas por
Gandini (2000) e por Silva et al (2011) mostra-se coerente para anaacutelise completa da
reatividade de um reator subcriacutetico guiado por fonte
Ainda assim a simulaccedilatildeo Monte Carlo pode ser utilizada para a anaacutelise
preliminar de alguns paracircmetros dos reatores nucleares (criacuteticos ou subcriacuteticos) como
por exemplo o fator de multiplicaccedilatildeo efetivo a fraccedilatildeo de necircutrons retardados e uma
boa aproximaccedilatildeo da quantidade de material transmutado ajudando a prever o
comportamento meacutedio do reator
Pode-se verificar que existe uma boa concordacircncia entre os valores
encontrados para os paracircmetros nucleares e os existentes na literatura Uma possiacutevel
melhora nesses resultados passa por um aumento significativo na quantidade de
histoacuterias simuladas
Este aumento contribuiria para a diminuiccedilatildeo dos erros estatiacutesticos intriacutensecos
do meacutetodo Monte Carlo Poreacutem o tempo de simulaccedilatildeo tambeacutem aumentaria
sensivelmente pois o meacutetodo MC necessita da simulaccedilatildeo individual de cada partiacutecula
podendo levar um tempo absurdamente grande para a simulaccedilatildeo de todo o sistema
Poreacutem mesmo com a ldquofaltardquo de dados nucleares mais precisos para os
actiniacutedeos a simulaccedilatildeo MC se mostra uma importante ferramenta na aacuterea de fiacutesica de
reatores devido a sua facilidade de trabalhar com geometrias bastante complexas
permitindo tambeacutem a simulaccedilatildeo desses sistemas em trecircs dimensotildees
Uma soluccedilatildeo interessante para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares seriam os
meacutetodos computacionais hiacutebridos ou seja um meacutetodo resultante da fusatildeo da
simulaccedilatildeo Monte Carlo com teacutecnicas determiniacutesticas Assim poder-se-ia melhorar os
pontos fortes e eliminar as fraquezas individuais do meacutetodo MC e das abordagens
deterministas Apesar de algumas exceccedilotildees o desenvolvimento de ferramentas
computacionais hiacutebridas eacute no entanto ainda largamente inexplorado (Vaz 2010)
95
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98
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vi
Resumo da Tese apresentada agrave COPPEUFRJ como parte dos requisitos necessaacuterios
para a obtenccedilatildeo do grau de Doutor em Ciecircncias (DSc)
SIMULACcedilAtildeO DE UM REATOR SUBCRIacuteTICO TIPO ADS VIA MONTE CARLO PARA
VALIDACcedilAtildeO DE CAacuteLCULO DA REATIVIDADE
Mauricio Quelhas Antolin
Fevereiro2013
Orientadores Aquilino Senra Martinez
Fernando Carvalho da Silva
Programa Engenharia Nuclear
Um dos grandes atrativos dos reatores ADS eacute decorrente da possiblidade de
transmutaccedilatildeo dos rejeitos produzidos pelas usinas nucleares convencionais
diminuindo a armazenagem dos rejeitos de longa meia-vida em repositoacuterios geoloacutegicos
de longa duraccedilatildeo Poreacutem o comportamento cineacutetico desses reatores ainda eacute uma
questatildeo em aberto tendo em vista que natildeo existe nenhum reator ADS em operaccedilatildeo
no mundo Portanto este trabalho propotildee um meacutetodo de caacutelculo de reatividade para
reatores subcriacuteticos guiados por fonte (ADS) utilizando o meacutetodo das derivadas
parciais da potecircncia nuclear que permite um caacutelculo mais raacutepido e sem a necessidade
do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator Os resultados foram
comparados com simulaccedilotildees numeacutericas realizadas pelo meacutetodo Monte Carlo e
mostram boa concordacircncia
vii
Abstract of Thesis presented to COPPEUFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (DSc)
SIMULATION OF A ADS SUBCRITICAL REACTOR VIA MONTE CARLO FOR
VALIDATION OF REACTIVITY CALCULATION
Mauricio Quelhas Antolin
February2013
Advisors Aquilino Senra Martinez
Fernando Carvalho da Silva
Department Nuclear Engineering
One of the great attractions of ADS reactors is due to the possibility of
transmutation of waste produced by conventional power plants reducing waste by
reducing the storage of long half-life in long-term geological repositories But the kinetic
behavior of these reactors is still an open question given that there is no ADS reactor
in operation worldwide Therefore this work proposes a method for calculating reactivity
for subcritical reactors driven by source (ADS) using the method of partial derivatives of
nuclear power which allows a faster calculation and not need the storage the whole
history of reactor power The results were compared with numerical simulations
performed by the Monte Carlo method and show good agreement
viii
Sumaacuterio Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xi
1 Introduccedilatildeo 1
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para Reatores Subcriacuteticos 8
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 9
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 14
23 Cineacutetica Inversa 17
231 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 18
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 18
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico de Potecircncia 19
31 Meacutetodo de Agrupamento 19
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada 21
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da intensidade da fonte externa 23
34 Meacutetodo das Derivadas 24
341 Anaacutelise para k impar 25
342 Anaacutelise para k par 29
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com dependecircncia temporal de β e Λ 32
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 32
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 33
43 Meacutetodo das Derivadas para Dependecircncia Temporal de β e de Λ 34
431 Anaacutelise para k impar 35
432 Anaacutelise para k par 37
5 Caacutelculo da reatividade para algumas variaccedilotildees da potecircncia nuclear 40
51 Potecircncia Linear 40
511 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 40
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 42
52 Potecircncia Constante 43
521 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 43
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 44
53 Potecircncia Exponencial 45
531 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 45
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 46
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 47
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com Dependecircncia temporal de β e Λ 49
61 Potencia Linear 49
ix
611 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 49
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 50
62 Potecircncia Constante 51
621 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 51
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 51
63 Potecircncia Exponencial 52
631 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 52
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 52
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 53
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica 54
71 Funccedilotildees Densidade de Probabilidades 57
72 Meacutetodo direto ou inverso 60
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo 63
74 Meacutetodos Monte Carlo para Reatores Subcriacuteticos 65
75 Conceito de Reatores ADS 66
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos Utilizados 68
9 Resultados 82
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia Nuclear 83
92 Potecircncia Nuclear Constante 83
93 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 84
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 86
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ 86
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia 87
952 Potecircncia constante 87
953 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 88
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 89
96 Paracircmetros Nucleares 90
10 Conclusatildeo 93
11 Referecircncias Bibliograacuteficas 95
x
Lista de Figuras
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996 3
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de
Yoriyaz 2009 55
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio 58
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio 58
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo 59
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003) 61
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula 62
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo 64
Figura 78 Processo de caacutelculo de π 65
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009 66
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS 67
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR 72
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER 72
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU 72
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX 73
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT 77
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT 78
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT 79
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do
reator PWR simulado 79
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do
ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias 80
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico 82
xi
Lista de Tabelas
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-
nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012) 2
Tabela 81 Exemplo de um revestimento de zircaloy no MCNPX 71
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de uracircnio no SERPENT 71
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER 73
Tabela 84Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 1 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 85 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 2 (densidade 10851 gcm3) 74
Tabela 86 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 3 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 87 Composiccedilatildeo do revestimento da vareta de combustiacutevel (densidade 75357
gcm3) 75
Tabela 88 Composiccedilatildeo do refletor (densidade 53908 gcm3) 75
Tabela 89 Composiccedilatildeo da barra de controle (densidade 15643 gcm3) 75
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR 75
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR 76
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT 78
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado 82
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos 83
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear 84
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante 85
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia 85
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados 86
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ 87
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia linear constante 88
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares 91
1
1 Introduccedilatildeo
Grande parte da energia eleacutetrica produzida por reatores nucleares satildeo
provenientes de reatores a aacutegua leve devido agrave utilizaccedilatildeo de material fiacutessil pouco
enriquecido para seu funcionamento o que torna sua construccedilatildeo e operaccedilatildeo
bastantes atrativos mesmo com os altos custos de construccedilatildeo e manutenccedilatildeo das
centrais nucleares Aleacutem disso o conhecimento do clico teacutermico utilizados por esses
reatores impulsionaram seu desenvolvimento (Pereira 2002)
Poreacutem estes reatores utilizam ciclo de combustiacutevel aberto e produzem uma
grande quantidade de rejeitos o que inclui grande quantidade de elementos
transuracircnicos (Am Cm Np entre outros) que possuem uma alta meia-vida (cerca de
107 anos)
Assim existe uma grande preocupaccedilatildeo na utilizaccedilatildeo desses reatores natildeo soacute
na prevenccedilatildeo de acidentes mas tambeacutem devido agrave proliferaccedilatildeo de armas nucleares e
agrave necessidade de repositoacuterios finais de estocagem de longa duraccedilatildeo (Iwanaga et al
2005) o que cria uma barreira de sua aplicaccedilatildeo
Atualmente grande parte do combustiacutevel queimado no mundo eacute armazenado
em piscinas dentro das proacuteprias usinas nucleares e em alguns casos o
armazenamento que deveria ser temporaacuterio persiste haacute deacutecadas Estima-se que o
aumento de combustiacutevel utilizado esteja em torno de 12000 toneladas por ano sendo
que apenas 3000 toneladas deste combustiacutevel vatildeo para o reprocessamento1
Uma forma de contornar o problema da estocagem eacute atraveacutes da queima dos
rejeitos provenientes dos reatores nucleares de potecircncia em outros tipos de reatores
Inicialmente os reatores raacutepidos foram os primeiros a serem considerados para
esta finalidade por proporcionar aleacutem de uma melhor utilizaccedilatildeo das reservas de
uracircnio a possibilidade de transmutaccedilatildeo dos elementos transuracircnicos Poreacutem
dificuldades na operaccedilatildeo de reatores raacutepidos criacuteticos como por exemplo o controle da
criticalidade e tambeacutem a oxidaccedilatildeo do material usado como refrigerante (soacutedio)
dificultaram o seu uso
Cerca de 20 reatores raacutepidos jaacute entraram em operaccedilatildeo desde a deacutecada de
1950 sendo em sua maioria reatores de pesquisa Comercialmente apenas o reator
francecircs Superphenix chegou a entrar em operaccedilatildeo comercial Ele foi desenvolvido
para gerar 12 GW de energia eleacutetrica poreacutem foi fechado em 1998 devido a falhas
1 httpwwwworld-nuclearorginfoNuclear-Fuel-CycleNuclear-WastesRadioactive-Waste-
ManagementUTn-jaVtivM
2
estruturais alto custo e repetidos incidentes O Superphoenix funcionou apenas 10
meses em 13 anos
Os reatores raacutepidos satildeo projetados para usar 238U e tambeacutem 235U usado na
maioria dos reatores Se esses reatores satildeo projetados para produzir mais plutocircnio do
que consomem eles satildeo chamados reatores reprodutores raacutepidos (FBR) (Lodhi et al
2009) Os reatores raacutepidos tambeacutem podem queimar actiniacutedeos que possuem alta meia
vida que podem ser transmutados em outros elementos para o uso em reatores
convencionais (LWR) A Tabela 11 mostra alguns reatores raacutepidos que entraram ou
entraratildeo em operaccedilatildeo no mundo
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012)
Paiacutes Reator Tipo Potecircncia
Eleacutetrica (MWe)
Potecircncia
Teacutermica (MW) Operaccedilatildeo
USA
EBR 1 02 14 1951-63
EBR II Pesquisa 20 625 1963-94
Fermi 1 Pesquisa 66 200 1963-72
SEFOR
20 1969-72
Fast Flux Test
Facility Pesquisa
400 1980-93
Inglaterra Protoype FR Protoacutetipo 15 60 1959-77
Dounreay FR Pesquisa 270 650 1974-94
Franccedila
Rapsodie Pesquisa 40 1966-82
Phenix Protoacutetipo 250 563 1973-2009
Superphenix Comercial 1240 3000 1985-98
Alemanha KNK 2 Pesquisa 21 58 1977-91
Iacutendia FBTR Pesquisa
40 1985-
PFBR Protoacutetipo 500 1250 2012-
Japatildeo
Joyo Pesquisa
140 1978-
Monju Protoacutetipo 280 714 1994-96
2010-
Cazaquistatildeo BN 350 Protoacutetipo 135 750 1972-99
Ruacutessia
BN 12
101 1950
BR 5 10 Obninsk Pesquisa
5 8 1959-71
1973-
BOR 60
Dimitrovgrad Pesquisa 12 55 1969-
BN 600 Beloyarsk 3 Protoacutetipo 600 1470 1980-
BN-800 Beloyarsk 4 Comercial 880 2000 2014-
China CEFR Pesquisa 20 65 2010-
3
Vaacuterios paiacuteses tecircm programas de pesquisa e desenvolvimento para melhorar os
reatores raacutepidos Aleacutem disso o projeto internacional em inovaccedilatildeo de reatores
nucleares e ciclo de combustiacutevel (INPRO) da agecircncia internacional de energia atocircmica
(AIEA) possui como ecircnfase os reatores raacutepidos para funcionarem com o ciclo de
combustiacutevel fechado
Os problemas encontrados na operaccedilatildeo dos reatores raacutepidos podem ser
contornados utilizando um conceito onde os necircutrons que satildeo produzidos por uma
reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo a um custo eleacutetrico pequeno entram em um meio multiplicativo
com uma configuraccedilatildeo de combustiacutevelmoderador (Rubbia et al 1996) Esses reatores
satildeo chamados reatores hiacutebridos devido ao acoplamento de um acelerador de
partiacuteculas para seu funcionamento A Figura 11 mostra uma concepccedilatildeo do esquema
de funcionamento desses tipos de reatores
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996
Este conceito de reator foi proposto desde os anos 1970 (Maniscalco et al
1974) Poreacutem dificuldades tecnoloacutegicas adiaram seu desenvolvimento pois estes
aceleradores de partiacuteculas devem ser extremamente confiaacuteveis durante a operaccedilatildeo do
reator
Os reatores hiacutebridos subcriacuteticos satildeo atraentes por proporcionar melhor
utilizaccedilatildeo dos recursos naturais e tem sido amplamente reconhecidos como sendo
altamente seguros (Rubbia et al 1995) A principal vantagem deste tipo de reator eacute a
operaccedilatildeo de um reator com fator de multiplicaccedilatildeo menor que a unidade (keff lt1) em
Acelerador
Nuacutecleo
Turbina
Condensador
Trocador de Calor
Gerador
4
que as reaccedilotildees de fissatildeo devem ser desencadeadas por um intenso feixe de
partiacuteculas carregadas aceleradas como por exemplo proacutetons ou iacuteons pesados com
energia entre 05 - 50 GeV por nucleon (Perelygin et al 1999)
Aleacutem disso o objetivo da transmutaccedilatildeo eacute a minimizaccedilatildeo de rejeitos nucleares
atraveacutes da transmutaccedilatildeo dos actiniacutedeos menores (AM) como Np Am e Cm Portanto
esses reatores devem ser carregados com combustiacutevel que contenha grandes
quantidades de AM
Para poderem realizar a transmutaccedilatildeo esses reatores utilizam necircutrons no
espectro raacutepido Isto ocorre porque nessa faixa de energia a seccedilatildeo de choque de
fissatildeo eacute mais favoraacutevel para a transmutaccedilatildeo dos AM Assim esses reatores se
caracterizam por uma baixa fraccedilatildeo de necircutrons retardados o que implica em raacutepidas e
grandes variaccedilotildees de potecircncia para uma pequena variaccedilatildeo na reatividade (Sordo et
al 2009) Segundo Rubbia et al (1996) uma mudanccedila suacutebita de +01 em um fator de
multiplicaccedilatildeo inicialmente a 095 causa um aumento na potecircncia de aproximadamente
20 Este aumento de reatividade em um reator raacutepido pode ter consequecircncias
catastroacuteficas
Para as especificaccedilotildees do feixe que deve sustentar o funcionamento do reator
Rubbia et al (1995) afirma que existe pouca ou nenhuma vantagem no uso de
partiacuteculas mais sofisticadas indicando o uso exclusivo de proacutetons no feixe de
partiacuteculas
Os reatores hiacutebridos ainda necessitam de um forte desenvolvimento o que
inclui novos combustiacuteveis e novas teacutecnicas de reprocessamento e tais programas
ainda natildeo foram totalmente desenvolvidos De qualquer forma o conceito de reator
hiacutebrido pode ser uma ferramenta potencial para obter o melhor domiacutenio da fissatildeo para
a geraccedilatildeo de energia eleacutetrica e sem o uso de reatores regeneradores raacutepidos (que
satildeo criacuteticos) que apresentam mais problemas na seguranccedila do que os reatores
subcriacuteticos (Piera et al 2010)
Inicialmente as especificaccedilotildees do feixe de partiacuteculas deveria ser capaz de
enviar proacutetons de no miacutenimo 1 GeV de energia o que implica em uma corrente de 10
agrave 15 mA Caso mais energia seja necessaacuteria pode-se usar vaacuterios feixes em paralelo
(Rubbia et al 1995)
O alvo atingido pelo feixe de partiacuteculas aceleradas pode ser o uracircnio natural ou
empobrecido o chumbo liacutequido ou outro material de alto nuacutemero atocircmico Assim os
necircutrons gerados nesta reaccedilatildeo entram no reator subcriacutetico que cerca o alvo
Mais recentemente Sordo et al (2009) afirmou que o alvo mais eficiente para
os reatores hiacutebridos eacute a liga feita de chumbo e bismuto (LBE) no estado liacutequido
bombardeado com proacutetons de energia entre 600 MeV e 1 GeV Devido a restriccedilotildees
5
termodinacircmicas os alvos de materiais soacutelidos satildeo indicados para instalaccedilotildees de baixa
potecircncia sendo pouco praacutetico para aplicaccedilotildees industriais que necessitam de potecircncias
muito maiores
O acelerador deve fornecer uma corrente de proacutetons com ampla faixa de
operaccedilatildeo pois para um reator que funcione com fator de multiplicaccedilatildeo muito menor
que a unidade deve-se evitar um desligamento natildeo programado durante seu
funcionamento
A produccedilatildeo de necircutrons na reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo determina a potecircncia teacutermica
do reator dependendo do seu niacutevel de subcriticalidade A diminuiccedilatildeo do valor do keff
devido agrave queima de combustiacutevel deve ser compensada para manter a potecircncia do
reator constante para isso pode-se aumentar a intensidade da fonte de necircutrons
Poreacutem isto induz um estresse termomecacircnico como a dilataccedilatildeo devido ao aumento
da temperatura aleacutem da maior degradaccedilatildeo natildeo soacute na estrutura do reator mas
tambeacutem e principalmente no alvo (Sordo et al 2009) O feixe de proacutetons deve ser
projetado para manter a integridade do alvo durante todo o ciclo de operaccedilatildeo
O projeto do reator hiacutebrido de pesquisa para aplicaccedilotildees de alta tecnologia
(MYRRHA) comeccedilou em 1998 pelo Centro de Pesquisas Nucleares da Beacutelgica
(SCKbullCEN) O primeiro objetivo do MYRRA seraacute demonstrar o conceito de reator ADS
a um niacutevel razoaacutevel de potecircncia e a viabilidade tecnoloacutegica da transmutaccedilatildeo de
actiniacutedeos menores e de produtos de fissatildeo de longa meia vida O MYRRHA tambeacutem
iraacute ajudar o desenvolvimento da tecnologia de ligas de chumbo necessaacuterio para os
reatores da geraccedilatildeo IV (Abderrahim et al 2005)
O reator estaacute previsto para entrar em operaccedilatildeo em 2023 e encontra-se em fase
de licenciamento sendo um dos reatores hiacutebridos com maior nuacutemero de referecircncias na
literatura Como ele pode trabalhar em modo criacutetico e subcriacutetico o MYRRHA gera uma
potecircncia entre 50 e 100 MWt O acelerador injeta proacutetons de 600 MeV no nuacutecleo do
reator e utiliza combustiacutevel tipo MOX
Apesar do grande nuacutemero de referecircncias encontradas na literatura os dados
de composiccedilatildeo de combustiacutevel paracircmetros nucleares materiais utilizados nesses
reatores e o comportamento cineacutetico satildeo escassos Por isso neste trabalho foram
utilizadas simulaccedilotildees numeacutericas pelo Meacutetodo de Monte Carlo para a avaliaccedilatildeo da
cineacutetica e dos paracircmetros nucleares desses reatores
Simulaccedilotildees computacionais de um sistema podem proporcionar importantes
informaccedilotildees para o estudo preliminar de novas tecnologias A simulaccedilatildeo pelo meacutetodo
de Monte Carlo foi escolhida pois eacute um dos meacutetodos que melhor descreve geometrias
complexas e que fornece informaccedilotildees precisas e detalhadas em trecircs dimensotildees aleacutem
de considerar a dependecircncia temporal tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
6
partiacuteculas neutras Assim o meacutetodo Monte Carlo (MC) se torna um meacutetodo atrativo
para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo MC eacute a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees de experimentos onde
os resultados satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido satildeo necessaacuterios aleacutem da simulaccedilatildeo das
partiacuteculas geradas atraveacutes da reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo coacutedigos que consigam prever a
queima do combustiacutevel Existem vaacuterios coacutedigos na literatura com esta finalidade e que
podem ser incorporados em coacutedigos mais gerais de MC
Atualmente um dos coacutedigos MC mais utilizados para simulaccedilatildeo de reatores
nucleares eacute o MCNPX (Hashemi-Nezhad et al 2002 Kadi et al 2001 Catsaros et al
2009) Este coacutedigo eacute desenvolvido pelo Laboratoacuterio Nacional de Los Alamos e
atualmente encontra-se na versatildeo 26e
O MCNPX eacute um coacutedigo MC geneacuterico de transporte de radiaccedilatildeo para modelar a
interaccedilatildeo da radiaccedilatildeo com a mateacuteria MCNPX significa Monte Carlo N-Particle
eXtended Ele estende as capacidades do MCNP4C3 a um grande nuacutemero de
partiacuteculas em uma ampla faixa de energia e para quase todas as aplicaccedilotildees sem custo
adicional de tempo computacional MCNPX faz caacutelculos tridimensionais e dependentes
do tempo Utiliza as bibliotecas mais novas de seccedilatildeo de choque nucleares aleacutem de
usar modelos fiacutesicos para as partiacuteculas que natildeo possuem dados tabulados
disponiacuteveis
O MCNPX 26e eacute capaz de realizar o caacutelculo do keff atraveacutes das geraccedilotildees de
necircutrons do fluxo de necircutrons a evoluccedilatildeo de combustiacutevel e tambeacutem calcula as
seccedilotildees de choque Poreacutem este coacutedigo natildeo permite a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees que
necessitam fonte externa de necircutrons
Atualmente um dos uacutenicos coacutedigos MC que permite a simulaccedilatildeo de um reator
controlado com fonte externa eacute o SERPENT (Leppaumlnen 2012) Este coacutedigo eacute
especiacutefico para o estudo de reatores nucleares e se encontra na versatildeo 1118
As simulaccedilotildees de MC podem fornecer importantes informaccedilotildees antes mesmo
de se iniciar a construccedilatildeo por exemplo de um reator do tipo ADS aleacutem de ter a
possibilidade de indicar quais materiais podem ser utilizados Eacute claro que a simulaccedilatildeo
natildeo substitui o experimento real mas pode ajudar a prever melhorias antes de seu
funcionamento Aleacutem disso as simulaccedilotildees podem ser utilizadas para a validaccedilatildeo de
novos meacutetodos de caacutelculo da reatividade tanto para reatores hiacutebridos quanto para
reatores teacutermicos jaacute que eacute um dos paracircmetros mais importantes em um reator
nuclear
7
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes equaccedilotildees para a cineacutetica de um reator
subcriacutetico (Gandini et al 2000 Nishihara et al 2003 Silva et al 2011) Assim com o
intuito de obter a variaccedilatildeo da reatividade para reatores subcriacuteticos obteve-se uma
expressatildeo para essa funccedilatildeo com base na cineacutetica pontual inversa para sistemas ADS
jaacute que para esses sistemas o monitoramento da reatividade eacute vital para o
funcionamento normal E ainda os reatores subcriacuteticos guiados por fonte necessitam
de uma forma de caacutelculo da reatividade mais raacutepida para evitar um ldquodesligamentordquo natildeo
programado para isso foi utilizado o meacutetodo das derivadas no caacutelculo da reatividade
uma vez que este meacutetodo natildeo necessita da informaccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
A validaccedilatildeo da expressatildeo obtida para a reatividade proposta nesta tese foi feita
atraveacutes de simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) uma vez que os dados de reatores
subcriacuteticos tipo ADS satildeo encontrados em nuacutemero reduzido na literatura
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas duas formulaccedilotildees para as equaccedilotildees da
cineacutetica subcriacutetica e as respectivas expressotildees para a cineacutetica inversa
Alguns meacutetodos de tratamento do histoacuterico de potecircncia satildeo apresentados no
Capiacutetulo 3 sendo que o meacutetodo das derivadas parciais da potecircncia nuclear eacute tratado
em detalhes
Jaacute no Capiacutetulo 4 satildeo obtidas as expressotildees da cineacutetica pontual para casos em
que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados (β) e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons (Λ)
satildeo dependentes do tempo
O capiacutetulo 5 tem-se o caacutelculo da reatividade para alguns casos particulares da
variaccedilatildeo da potecircncia nuclear com todos os paracircmetros nucleares constantes E no
Capiacutetulo 6 temos as mesmas variaccedilotildees da potecircncia nuclear com as variaccedilotildees
temporais de β e de Λ
Os fundamentos da simulaccedilatildeo Monte Carlo satildeo tratados no Capiacutetulo 7
juntamente com os meacutetodos especiacuteficos para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares
No Capiacutetulo 8 satildeo apresentados e descritos os coacutedigos Monte Carlos utilizados
neste trabalho
Jaacute no Capiacutetulo 9 satildeo apresentados os resultados obtidos da reatividade com as
expressotildees que foram apresentadas nos capiacutetulos 5 e 6
Finalmente no Capiacutetulo 10 satildeo apresentadas as conclusotildees desta tese
8
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para
Reatores Subcriacuteticos
A formulaccedilatildeo da cineacutetica pontual provou ser uma ferramenta poderosa para a
avaliaccedilatildeo da reatividade para diferentes tipos de reatores tanto em operaccedilatildeo normal
quanto na partida do reator Esta formulaccedilatildeo descreve o comportamento dos necircutrons
dentro do reator sem nenhuma dependecircncia espacial sendo que a distribuiccedilatildeo dos
necircutrons evolui de maneira pontual
As diferentes propostas para a funccedilatildeo importacircncia encontradas na literatura
resultam em diferentes equaccedilotildees da cineacutetica pontual (Gandini et al 2000 Nishihara et
al 2003 Silva et al 2011) para descrever o comportamento dos necircutrons dentro de
reatores subcriacuteticos
Para um sistema sem fonte externa de necircutrons tem-se somente uma
autofunccedilatildeo para toda a distribuiccedilatildeo de necircutrons em todos os instantes dentro do
reator Poreacutem para reatores com fonte externa esta afirmaccedilatildeo pode natildeo ser
verdadeira pois se a distribuiccedilatildeo de necircutrons for dominada pela fonte externa pode
envolver uma superposiccedilatildeo de muitas autofunccedilotildees Assim o comportamento pontual
pode ser fatorado no produto de uma funccedilatildeo da amplitude (apenas com dependecircncia
temporal) e uma funccedilatildeo de forma (sem dependecircncia temporal mas com dependecircncia
das variaacuteveis do espaccedilo de fase) (Dulla 2003)
As equaccedilotildees que descrevem o funcionamento dos reatores subcriacuteticos podem
ser obtidas a partir da equaccedilatildeo de transporte ou da equaccedilatildeo de difusatildeo (Gandini
2000) Assim as equaccedilotildees da cineacutetica espacial podem ser escritas da seguinte
maneira
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1
I
i i ext
i
r t A r t F r t c r t qv t
β λ=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum
(21)
( ) ( ) ( ) 1i i i ic r t F r t c r t i It
β λpart
= Ψ minus =part
(22)
onde v eacute a velocidade dos necircutrons iβ eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados do grupo i
e iλ eacute a constante de decaimento dos precursores de necircutrons retardados do grupo i
Nas seccedilotildees seguintes satildeo apresentados os formalismos para a cineacutetica dos
9
reatores ADS encontrados nos trabalhos de Gandini et at (2000) atraveacutes da
metodologia da teoria heuriacutestica de perturbaccedilatildeo generalizada (HGPT) e no trabalho de
Silva et al (2011) em que eacute proposto um termo adjunto de fonte (TAF) que se torna
significativo para reatores que operam longe da criticalidade
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
A funccedilatildeo importacircncia proposta por Gandini et al (2002) para o caso de
necircutrons monoenergeacuteticos isotroacutepicos meio homogecircneo e sem dependecircncia
temporal eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (Silva 2011)
( ) ( )0 0 0 0
0
0f
f
wA n r F n r
P
+ + + +minus minus Σ =
(23)
onde fw eacute a energia revertida por fissatildeo e P0 eacute a potencia nuclear sem perturbaccedilatildeo
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0n+ e integrando em r
obteacutem-se
( )0 0 0 0
1
11
I
o i i ext
i
n n A n F n c n qv t
β λ+ + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (24)
Considerando-se as seguintes perturbaccedilotildees no sistema
0 A A Aδminus rarr minus + (25)
0 F F Fδrarr + (26)
(0) ext ext extq q qδrarr + (27)
10
onde 0Aminus 0F e (0)
extq satildeo os estados estacionaacuterios natildeo perturbados
Substituindo e manipulando as equaccedilotildees (25) (26) e (27) na equaccedilatildeo (24) resulta em
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0 0
1
1
1
o
I
i i ext ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q n q
δ β
β δ λ δ
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + +sum (28)
Somando e subtraindo 0n Fβ+ Ψ na equaccedilatildeo (28) e lembrando que
(0)
0 1ext
n q+ = de acordo com Gandini (2001) vem
( )
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0
1
0 0 0
1
1 1
o
I
i i ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q
n F F n F
δ β
β δ λ
β δ β
+ minus + + +
+ + +
=
+ +
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + + +
+ Ψ minus Ψ
sum (29)
Rearranjando os termos da equaccedilatildeo acima tem-se
1
0 0 0 00
0 0 0
1
0
1
o
I
i i ext
i
n v n A n F n At
n F n c n q
n F
δ
δ λ δ
β
+ minus + + +
+ + +
=
+
partΨ = Ψ + Ψ + Ψ +
part
Ψ + + + +
minus Ψ
sum (210)
Ponderando a equaccedilatildeo (23) com Ψ obteacutem-se (Silva et al 2011)
0 0 00
0
0f
wn A n F
P
++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)
11
Substituindo a equaccedilatildeo (211) na equaccedilatildeo (210) tem-se
1
0 0 0
1
0
0
1
I
o i i
i
ext f
n v n A F n F n ct
wn q
P
δ δ β λ
δ
+ minus + + +
=
+
partΨ = + Ψ minus Ψ + +
part
minus Σ Ψ +
sum (212)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t P t rφΨ asymp
(213)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )P t eacute a potecircncia
Substituindo a aproximaccedilatildeo dada pela equaccedilatildeo (213) na equaccedilatildeo (212)
obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
n v P t r n A F P t r n F P t rt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
part= + minus +
part
+ minus Σ +sum
(214)
Como bull eacute uma integraccedilatildeo no espaccedilo pode-se escrever
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
+ minus Σ +sum
(215)
Sendo 0 0f
P w φ= Σ tem-se
12
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
1
o
I
i i ext
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
n c P t n q
φ δ δ φ β φ
λ δ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus + +sum
(216)
Dividindo a equaccedilatildeo (216) por
0 0 I n F φ+= (217)
a equaccedilatildeo (216) pode ser escrita da seguinte forma
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1 I
n n n n n
eff eff i i
i
dP tP t C t P t Q
dtρ β λ ζ
=
Λ = minus + + minus + sum (218)
sendo
( )1
0
o
n
eff
n v r
I
φ+ minus
Λ equiv
(219)
( )0 0
nn A F r
I
δ δ φρ
+ +equiv
(220)
( )0 0
n
eff
n F r
I
β φβ
+
equiv
(221)
( )0
in
i
n cC t
I
+
equiv (222)
1
I
ζ equiv (223)
0
extn
n qQ
I
δ+
equiv (224)
13
onde nρ eacute uma reatividade generalizada nQ eacute o valor da fonte externa ( )n
iC t eacute a
concentraccedilatildeo de precursores e ζ eacute um termo de subcriticalidade inserido pela funccedilatildeo
importacircncia
Agora ponderando a equaccedilatildeo (22) com 0n+ e dividindo pelo o fator de
normalizaccedilatildeo dado pela equaccedilatildeo (217) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) n n n
i i eff i i
dC t P t C t
dtβ λ= minus (225)
onde
0 0
in
i eff
n F
I
β φβ
+
equiv (226)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
proposta por Gandini et al (2000) considerando um grupo de precursores de
necircutrons eacute escrito da seguinte maneira
( )
( ) ( ) ( )( ) 1n
n n
dP tt P t C t P t q
dtρ β λ ζ Λ = minus + + minus + (227)
( )( )
( )n
dC tP t C t
dtβ λ= minus
(228)
onde ( )nP t eacute a potecircncia normalizada β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados ζ eacute o
iacutendice de subcriticalidade (que tende agrave zero quando o sistema se a proacutexima da
criticalidade) ( )ρ t eacute a reatividade generalizada do sistema ( )C t eacute a concentraccedilatildeo de
precursores e Λ tempo de geraccedilatildeo meacutedio de necircutrons
14
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Na funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011) existe um termo de
fonte adjunto que se torna significativo para os sistemas que estatildeo longe de
criticalidade Portanto a equaccedilatildeo da funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011)
foi
( ) ( )dagger
0 0 0 0
0
1
f
sub
A r F rk N
νε ε η+ + +
Σminus =
(229)
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0ε + e integrando em r
obteacutem-se
( )1
0 0 0 0
1
1 I
o i i ext
i
v A F c qt
ε ε ε β λ ε ε+ minus + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (230)
Realizando uma perturbaccedilatildeo no sistema da seguinte maneira
0 A A Aδminus rarr minus + (231)
0
1
sub
F F Fk
δrarr + (232)
Substituindo as equaccedilotildees (231) e (232) na equaccedilatildeo (230) e rearranjando os
termos vem
( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1
11
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q
ε ε ε δ ε β
ε β δ λ ε ε
+ minus + + +
+ + +
=
partΨ = minus Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + +sum
(233)
15
Somando e subtraindo 0 Fε β+ Ψ na equaccedilatildeo (233) e utilizando a equaccedilatildeo
(232) pode-se escrever
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q F
ε ε δ ε ε
ε δ λ ε ε ε β
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + minus Ψ + Ψ +
part
Ψ + + minus Ψsum
(234)
Agora ponderando-se a equaccedilatildeo (229) com ( )r tΨ
podemos escrever
segundo Silva (2011)
0 0 0 0
0
1
f
sub
A Fk N
νε ε η+ +minus Ψ + Ψ = minus Σ Ψ (235)
Substituindo a equaccedilatildeo (235) na equaccedilatildeo (234)
1
0 0
0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
v A F Ft
c qN
ε ε δ δ ε β
νλ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
partΨ = + Ψ minus Ψ +
part
minus Σ Ψ +sum (236)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t N t rφΨ asymp
(237)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )N t eacute a densidade necircutrons tem-se substituindo
a equaccedilatildeo (237) na equaccedilatildeo (236)
16
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t qN
ε φ ε δ δ φ ε β φ
νλ ε η φ ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus Σ +sum (238)
e como 0 0f
N ν φ= Σ pode-se escrever a equaccedilatildeo (238) da seguinte maneira
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
o
I
i i ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t q
ε φ ε δ δ φ ε β φ
λ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus +sum (239)
Dividindo a equaccedilatildeo (239) por 0oI Fε φ+= obteacutem-se
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
I
eff i i
i
dN tN t C t N t q
dtρ β λ
=
Λ = minus + minus Γ +sum (240)
onde
1
0
o
eff
v
I
ε φ+ minus
Λ equiv (241)
0 0
A F
I
ε δ δ φρ
+ +equiv (242)
0 0
eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (243)
( )0
i
i
cC t
I
ε +
equiv (244)
0
ext
I
ε +
equiv (245)
I
ηΓ equiv (246)
sendo ρ eacute uma relatividade generalizada Q eacute um termo relacionada agrave fonte externa
Γ um termo de subcriticalidade e ( )iC t eacute a concentraccedilatildeo de precursores
17
Procedendo de maneira anaacuteloga para a equaccedilatildeo (22) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) i i eff i i
dC t N t C t
dtβ λ= minus (247)
onde
0 0
i
i eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (248)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
segundo Silva (2011) eacute escrito como
( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ minus Γ + Σ (249)
( )
( ) ( )f
dC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
sdotΣ (250)
onde ϖ eacute a energia meacutedia liberada por fissatildeo Σ f eacute a seccedilatildeo de choque macroscoacutepica
de fissatildeo e β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
23 Cineacutetica Inversa
Usualmente o controle de um reator nuclear eacute feito atraveacutes do monitoramento
da reatividade o que torna o meacutetodo da cineacutetica inversa relevante A reatividade eacute
caracterizada por uma mudanccedila no fator de multiplicaccedilatildeo do reator o que o torna um
dos paracircmetros mais importantes em fiacutesica de reatores Nas seccedilotildees seguintes seratildeo
apresentadas as equaccedilotildees para o caacutelculo da reatividade
18
231 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Para obter-se a expressatildeo da cineacutetica pontual inversa eacute necessaacuterio resolver as
equaccedilotildees (227) e (228) Partindo da equaccedilatildeo (228) e utilizando meacutetodo do fator
integrante obteacutem-se
( ) ( )( )
t
t t
nC t P t e dt
λβ minus minus
minusinfin
= int (251)
Substituindo a equaccedilatildeo (251) na equaccedilatildeo (227) vem
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )( )1
tnt tn n
n
P tdP t P tt P t e dt Q
dt
λζλβ
ρ β minus minus
minusinfin
minus= minus + + +
Λ Λ Λint (252)
onde Q qequiv Λ eacute o termo de fonte de necircutrons Resolvendo a equaccedilatildeo (252) para
( )tρ tem-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )
0
0
1
ttt tn
n
n n n
n
n n
dP t P et P t e dt
P t dt P t P t
P t Q
P t P t
λλβ λβ
ρ β
ζ
minusminus minusΛ
= + minus minus
minus Λminus minus
int (253)
onde P0 = P(0)
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga a seccedilatildeo anterior e partindo das equaccedilotildees
(249) e (250) propostas por Silva et al encontra-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t
t ttdP t P Q
t e e P t dtP t dt P t P t P t
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus minusint (254)
19
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico
de Potecircncia
Existem vaacuterios meacutetodos de tratamento para a soluccedilatildeo ou aproximaccedilatildeo do
histoacuterico de potecircncia Esses meacutetodos visam diminuir o tempo de caacutelculo
computacional sem que seja introduzido um erro muito grande e podem envolver ou
natildeo uma fonte externa de necircutrons
A mediccedilatildeo da reatividade a partir da cineacutetica inversa permite que seu valor seja
analisado a cada instante pela variaccedilatildeo temporal do niacutevel de potecircncia do reator
(Ansari et al 2001)
Devido ao grande interesse nos reatores ADS apenas os meacutetodos que
envolvem fontes externas seratildeo apresentados sendo que o uacutenico que seraacute detalhado
eacute o meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear
31 Meacutetodo de Agrupamento
Na partida do reator a contribuiccedilatildeo da fonte externa de necircutrons deve ser
considerada Assim Hoogenboom et al (1998) escrevem a equaccedilatildeo da cineacutetica
inversa como
( )( )
( ) ( )( )
1 i
t t t
i i
i
c St e P t dt
P t P t
λρ β β λ minus minus
minusinfin
Λ= minus minussum int (31)
A integral da equaccedilatildeo (31) pode ser calculada recursivamente atraveacutes de
amostragens de P(t) usando interpolaccedilatildeo linear entre duas amostras consecutivas
Pn-1 = P(tn -1) e Pn = P(tn) separadas por um intervalo t∆ Portanto
20
( ) ( )
1
1
1 1
1
in
i n i
i
i
tt t t t n
n n
i i
ttn
i i
P eI e P t dt e I
t
P ee
t
λλ λ
λλ
λ λ
λ λ
minus ∆minus minus minus ∆
minusminusinfin
minus ∆minus ∆minus
minus= = + minus
∆
minusminus minus
∆
int (32)
Introduzindo a seguinte funccedilatildeo
( ) ( ) ( ) i
t t t
i i
i
g t e P t dtλβ λ minus minus
minusinfin=sum int (33)
e reescrevendo a equaccedilatildeo (31) em funccedilatildeo de ( )g t tem-se
( )( )( ) ( )
Sg t
tP t P t
ρρ β= minus minus (34)
Para um reator subcriacutetico com potecircncia constante na presenccedila de fonte
externa de necircutrons (S) obteacutem-se
ou S S
PP
ρ ρρρ
= minus = minus (35)
Este meacutetodo pode ser resumido nos seguintes passos
No intervalo desejado divide-se as seacuteries de P(t) e g(t) em trecircs grupos de
mesma duraccedilatildeo
1 Calcula-se os conjuntos de valores de cada um dos grupos ( )1 1P g
( )2 2P g e ( )3 3
P g
2 Estima-se os valores do gradiente ( )β ρminus e o interseccedilatildeo ( )Sminus Λ atraveacutes
de
( ) 3 1
3 1
g g
P Pβ ρ
minusminus =
minus (36)
( ) ( ) S g Pβ ρminus Λ = minus minus (37)
21
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada
Neste meacutetodo Kitano et al (2000) escreve a expressatildeo da reatividade como
( )( )
( )( )
( ) ( )( )6
1
i i
i
S t dP tt C t
P t P t P t dtρ β λ
=
ΛΛ Λ= minus minus +sum (38)
Segundo o autor o termo ( )
( )dP t
P t dt
Λ pode ser negligenciado pois o erro
inserido eacute menor que 1 para um amplo intervalo de reatividade Portanto a equaccedilatildeo
(38) eacute escrita como
( )( )
( )( )
( )
6
1
i i
i
S tt C t
P t P tρ β λ
=
ΛΛ= minus minussum (39)
Por conveniecircncia computacional a equaccedilatildeo da concentraccedilatildeo de precursores
pode ser escrita da seguinte forma (Kitano et al 2000)
( ) ( ) ( ) 16ii i i iC t t P t C t C t t i
βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =
Λ (310)
onde P e iC satildeo os valores meacutedios para o incremento de tempo t∆
Portanto a equaccedilatildeo (39) pode ser escrita na seguinte forma
( ) ( ) ( ) ( )6
1
i i
i
g t C t S P tλ β ρ=
equiv Λ = minus Λ + minussum (311)
onde a fonte de necircutrons (S) e a reatividade satildeo constantes Esta equaccedilatildeo pode ser
considerada como uma equaccedilatildeo linear de P(t)
Considerando que o sinal da potecircncia tenha um grande erro principalmente na
operaccedilatildeo em baixa potecircncia pode-se aplicar filtros para ruiacutedo de alta frequecircncia e
tambeacutem de baixa frequecircncia da seguinte forma
22
1
1 N
i j
j
P PN =
= sum (312)
e
( )1 1 i i i i
tP P P P
t τminus minus
∆= + minus
∆ + (313)
onde Pj eacute a medida da potecircncia medida iP eacute a potecircncia meacutedia e N eacute o nuacutemero de
amostras τ eacute a constante de tempo e i
P eacute a saiacuteda da equaccedilatildeo (313)
A introduccedilatildeo da memoacuteria baacutesica indexada eacute segundo os autores um novo
ldquotermocircmetrordquo para diagnosticar um transiente sendo definido por
[ ] 1 1
6
1
1
i i
i
CM I
C
λ β
βλ
=
equiv
sum (314)
A memoacuteria baacutesica indexada (MI) eacute a normalizaccedilatildeo das emissotildees de necircutrons
retardados do primeiro grupo sobre o total de emissotildees de necircutrons retardados Note
que a MI assume valor unitaacuterio quando o reator estaacute em estado estacionaacuterio Assim
ela pode ser usada para detectar o iniacutecio e o final de um transiente para a aplicaccedilatildeo do
meacutetodo de grupo
23
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da
intensidade da fonte externa
A equaccedilatildeo da cineacutetica inversa escrita com uma discretizaccedilatildeo no tempo e
assumindo que a potecircncia do reator varia com ( ) 1jt
jn t n emicro
minus= onde
( )1log j j j
n n tmicro minus= ∆ eacute dada por (Tamura 2003)
6
1
j
j eff i i j
ij j j
nC S
n t n nρ β λ
=
∆Λ Λ Λ= + minus minus
∆sum (315)
onde
1
1 1
i
i
t
j jt ii j i j
j
i
j
n n eC C e
n
n t
λ
λ β
λ
minus ∆minusminus ∆
minus
minus= +
∆Λ+
∆
(316)
Note que o subiacutendice j representa os valores no tempo j e S eacute a fonte externa
de necircutrons
Considerando as seguintes condiccedilotildees iniciais
( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)
e
0 0 S nρ = minusΛ (318)
tanto a reatividade ρ quanto a fonte S satildeo obtidas pelo meacutetodo dos miacutenimos
quadrados (Diacuteaz 2007)
24
34 Meacutetodo das Derivadas
As equaccedilotildees (253) e (254) obtidas no capiacutetulo anterior envolvem a mesma
integral em funccedilatildeo da potecircncia do reator Esta integral tambeacutem chamada de histoacuterico
de potecircncia deve ser calculada desde o iniacutecio da operaccedilatildeo do reator ateacute o tempo atual
de maneira contiacutenua ou seja exige monitoramento constante da potecircncia Aleacutem disso
o armazenamento desta informaccedilatildeo eacute necessaacuterio durante toda operaccedilatildeo do reator
para possibilitar a recuperaccedilatildeo da informaccedilatildeo da reatividade caso ocorra uma
interrupccedilatildeo em seu caacutelculo
Para o caso dos reatores subcriacuteticos o monitoramento contiacutenuo da reatividade
eacute imprescindiacutevel para seu funcionamento normal Como a produccedilatildeo de necircutrons eacute
insuficiente para manter as reaccedilotildees nucleares nesses reatores a reatividade pode ser
um paracircmetro utilizado para o monitoramento e ajuste da intensidade do feixe de
proacutetons para manter as reaccedilotildees nucleares produccedilatildeo de energia eleacutetrica constante
durante a operaccedilatildeo do reator
O meacutetodo das derivadas estaacute baseado na integraccedilatildeo por partes da integral do
histoacuterico de potecircncia da equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa resultando em uma seacuterie
de potecircncias em funccedilatildeo da potecircncia nuclear do reator com dependecircncia temporal
(Diacuteaz 2007) Este meacutetodo de caacutelculo da reatividade permite a possibilidade do reiniacutecio
do caacutelculo apoacutes sua interrupccedilatildeo causada por um problema no funcionamento do
equipamento de mediccedilatildeo ou seja com este meacutetodo natildeo eacute necessaacuterio um caacutelculo
contiacutenuo Aleacutem disso pode-se obter a reatividade sem a dependecircncia da memoacuteria da
potecircncia nuclear o que torna o caacutelculo mais raacutepido se comparado ao tempo necessaacuterio
para a resoluccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
Para a obtenccedilatildeo da expressatildeo do meacutetodo das derivadas deve-se resolver a
integral da equaccedilatildeo (254) ou da equaccedilatildeo (253) por partes Assim obteacutem-se
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tP t P e
I t e P t dt P t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (319)
onde P(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (319) tem-se
25
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2
2 2 2
0
0 0 1
t t tt tP t P e P t P e
I t P t e dt
λ λλ
λ λ λ λ λ
minus sdot minus sdotminus sdot minus
= minus minus + minus int (320)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (320) por partes obteacutem-se
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
2 2
3
3 3 3
0
0 0
1
t t
t tt t
P t P e P t P eI t
P t P t eP t e dt
λ λ
λλ
λ λ λ λ
λ λ λ
minus minus
minusminus minus
= minus minus + +
minus minus int
(321)
Aplicando esta soluccedilatildeo n vezes podemos escrever
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1 10 0 0
0 1 1
n n k t tt tk kn n
n n kn n
P t P e P t eI t dt
λλ
λ λ λ
+ minus minusminus
+ + += =
= minus minus minus minussum sum int (322)
ou ainda
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(323)
341 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2m-1 assim a equaccedilatildeo (323) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
m t tt tt t
m
n n tm mn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(324)
26
Supondo que a forma de P(t) satisfaccedila agraves condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n P tP t P t
P t
minus
minus
=
(325)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n P tP t P t
P t
=
(326)
onde ( ) ( )
( )
2
P t
cte tP t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial entre outras
Substituindo a equaccedilatildeo (326) na equaccedilatildeo (324) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
m
n nm m
n n t
n nn n
P te P t dt P t e dt
P t
P t P t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(327)
Como ( ) ( )
( )
2P t
cteP t
= podemos escrever a equaccedilatildeo (327) como
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 1 2 1
1 10 00
1 11
n n nt m mt t n n t
n nn n
P te P t dt P t P t e
P t
λ λ
λ λ
minus minusminus minus minus sdot
+ += =
minus minus minus = minus
sum sumint
(328)
Logo
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e P t dt S t S tλminus minus
= +int (329)
27
sendo
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
nm
n
nnn
S P t
P t
P t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (330)
e
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
nm
n t
nnn
S P t e
P t
P t
λ
λ
minusminus sdot
+=
minusequiv minus
minus
sum (331)
Analisando inicialmente a equaccedilatildeo (330) pode-se escrever o seu somatoacuterio
da seguinte forma
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nm m mn
n n nn n n
P t P tP t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (332)
Utilizando as equaccedilotildees (325) e (326) na equaccedilatildeo (332) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
11 22 1 1
1 2 20 0
1
nnm m
n
nn n
P t P t P tP t
P tλ λ λ λ
minusminus minus
+= =
minus = minus
sum sum (333)
Lembrando que
( )1
0
1
1
mm
n
n
a rar
r
+
=
minus=
minussum (334)
identificando ( ) ( )
( )
2
2
P tr
P tλ= e a =1 na equaccedilatildeo (333) vem
28
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nm
n
nn
P t
P tP t P tP t
P t
P t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (335)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (335) na equaccedilatildeo (330) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
22
22
1 22
22
1
11
n
n
P tP t P t
P tS
P tP t
P tP t
λλ λ
λλ
minus minus = minus minus
(336)
Simplificando e rearranjando os termos da equaccedilatildeo (336) chega-se a
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
P t P tS P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (337)
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (331) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tP PS P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (338)
Finalmente podemos escrever a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo
329) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
e P t dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (339)
29
342 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par entatildeo k=2m-2 assim a equaccedilatildeo (323) torna-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t t
t t m t t
m
n n tm mn n
n nn n
P t e dt P t e dt
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(340)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (325) vem
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
12
1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
mt t
t t t t
m
n n tm mn n
n nn n
P tP t e dt P t e dt
P t
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus
minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(341)
Da equaccedilatildeo (319) pode-se escrever
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
0 0
0
t tt t t tt
P t e dt P t P e e P t dtλ λλ λminus minus minus minusminus sdot= minus minusint int (342)
Substituindo a equaccedilatildeo (342) na equaccedilatildeo (341) e rearranjando os termos
obteacutem-se
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt mt t n n t
m nn
mn n t
m m
P t e dt P t P e
P t
P t
P t P e P t
P tP t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(343)
Desenvolvendo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (343) tem-se
30
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
P t e dt S t S tλminus sdot minus
= minusint (344)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nm
n
m nn
S t P t
P t
P t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (345)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nm
n t
m nn
S t P e
P t
P t
λ
λ
λ
minusminus sdot
minus +=
minusequiv
minus
sum (346)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior eacute faacutecil mostrar que
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
P t P tS t P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (347)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tP PS t P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (348)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k que o histoacuterico de
potecircncia eacute dado pela seguinte expressatildeo
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t t
P t P t P Pe P t dt P t P e
P t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (349)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo Sendo assim a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo 319)
pode ser escrita da seguinte forma
31
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
P t e dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
sdotminus minus= minus
minus minusint (350)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa baseada na formulaccedilatildeo
proposta por Gandini (2001) equaccedilatildeo (252) como
( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
tnn
n n n n
n n n n
n n
n n n n n
t
P tdP t P e Qt
P t dt P t P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ= + minus minus minus minus
minus minus minus
minus minus
(351)
E para o formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se substituindo a
equaccedilatildeo (350) na equaccedilatildeo (254) a expressatildeo para a reatividade sem a dependecircncia
do histoacuterico de potecircncia
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
dP t P Qt e
P t dt P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
βρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + Γ + minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(352)
32
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com
dependecircncia temporal de β e Λ
Nas seccedilotildees anteriores as mudanccedilas da composiccedilatildeo do combustiacutevel nuclear
natildeo foram levadas em consideraccedilatildeo Essas mudanccedilas podem levar a caacutelculos
discrepantes da reatividade quando comparados a mediccedilotildees experimentais nos
reatores Aleacutem disso conhecer com precisatildeo o valor da reatividade contribui com a
melhora do desempenho da central nuclear
Assim nesta seccedilatildeo as dependecircncias temporais da fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons seratildeo consideradas para o
caacutelculo da reatividade tanto na formulaccedilatildeo proposta por Gandini et al (2000) quanto
na formulaccedilatildeo proposta por Silva et al (2011) Os demais paracircmetros nucleares
permaneceratildeo constantes pois suas variaccedilotildees satildeo pouco significativas (Scall 2010)
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
As equaccedilotildees propostas por Gandini et al (2000) com dependecircncia temporal da
fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons eacute dada por
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n
n n
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λ ζΛ = minus + + minus + (41)
( ) ( )( )
( )n
dC tt P t C t
dtβ λ= minus
(42)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo 231 pode-se escrever partindo da
equaccedilatildeo (42) que a concentraccedilatildeo de precursores eacute dada pela seguinte expressatildeo
( ) ( ) ( ) ( )
t t t
nC t t P t e dtλβ minus minus
minusinfin= int (43)
33
Substituindo a equaccedilatildeo (43) na equaccedilatildeo (41) obteacutem-se a seguinte expressatildeo
para a reatividade
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
0
0
1
t t tn t
n n n
n
n
t dP t At t e A t e dt
P t dt P t P t
P t t Q t
P t P t
λλλ λρ β
ζ
minus minusminusΛ= + minus minus
minus Λ minus minus
int
(44)
onde ( ) ( )nA t P tβequiv e ( ) ( )Q t q tequiv Λ
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
As equaccedilotildees da cineacutetica propostas por Silva et al (2011) com dependecircncia
temporal de Λ e β satildeo
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ + Γ + Σ (45)
( )( )
( ) ( )f
tdC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
Σ (46)
Resolvendo a equaccedilatildeo (46) pelo o meacutetodo do fator integrante obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( )1
t t t
f
C t t P t e dtλβ
ωminus minus
minusinfin=
Σ int (47)
Substituindo a equaccedilatildeo (47) na equaccedilatildeo (45) chega-se a expressatildeo da
reatividade com dependecircncia temporal de β e Λ
34
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t t ttt dP t A
t t e A t e dtP t dt P t P t
t Q t
P t
λλλ λρ β minus minusminusΛ
= + minus minus
ΛminusΓ minus
int (48)
onde ( ) ( ) ( )A t t P tβequiv e ( ) ( ) fQ t q tωequiv Σ Λ
43 Meacutetodo das Derivadas para
Dependecircncia Temporal de β e de Λ
De acordo com a seccedilatildeo 34 a integral das equaccedilotildees (44) e (48) podem ser
resolvidas por partes assim obteacutem-se (Scal 2012)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tA t A e
I t e A t dt A t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (49)
onde A(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (49) por partes n vezes pode-se escrever
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
A t ee A t dt dt
A t A e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(410)
35
431 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2j-1 assim a equaccedilatildeo (410) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
j t tt tt t
j
n n tj jn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minus sdotminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(411)
Admitindo que a forma de A(t) satisfaccedila as condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n A tA t A t
A t
minus
minus
=
(412)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n A tA t A t
A t
=
(413)
onde ( ) ( )
( )
2
A t
cte tA t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial
Substituindo as condiccedilotildees (412) e (413) na equaccedilatildeo(411) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
k
n nj jn n t
n nn n
A te A t dt A t e dt
A t
A t A t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(414)
ou ainda
36
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e A t dt S t S tλminus minus
= +int (415)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
njn
nnn
S t A t
A t
A t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (416)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
njn t
nnn
S t A t e
A t
A t
λ
λ
minusminus
+=
minusequiv minus
minus
sum (417)
Reescrevendo o somatoacuterio da equaccedilatildeo (416) tem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nj j jn
n n nn n n
A t A tA t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (418)
Utilizando as condiccedilotildees (412) (413) e recordando da relaccedilatildeo (334) pode-se
escrever
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nj
n
nn
A t
A tA t A tA t
A t
A t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (419)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (419) na equaccedilatildeo (416) obteacutem-se apoacutes
simples manipulaccedilotildees algeacutebricas
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
A t A tS A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (420)
37
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (417) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tA AS A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (421)
Finalmente pode-se escrever a equaccedilatildeo (49) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (422)
432 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par k+1 = 2j-1 entatildeo k=2j-2 assim a equaccedilatildeo (410) torna-
se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t tt t j t t
j
n n tj jn n
n nn n
A t e dt A t e dt
A t A e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(423)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (412) e lembrando-se da equaccedilatildeo (49)
pode-se escrever a equaccedilatildeo (423) como
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt jt t n n t
j nn
jn n t
j j
A t e dt A t A e
A t
P t
A t A e A t
A tA t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus sdot minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(424)
38
Abrindo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (424) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
A t e dt S t S tλminus minus
= minusint (425)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nj
n
j nn
S t A t
A t
A t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (426)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nj
n t
j nn
S t A e
A t
A t
λ
λ
λ
minusminus
minus +=
minusequiv
minus
sum (427)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior tem-se
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
A t A tS t A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (428)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tA AS t A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (429)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (430)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo assim a equaccedilatildeo (49) pode ser escrita da seguinte forma
39
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
A t e dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus sdot minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (431)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa com
dependecircncia temporal de β e Λ baseada na formulaccedilatildeo proposta por Gandini (2001)
(equaccedilatildeo 44) como
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
nn t
n n n n
n
t
P tt dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
ζλρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ = + minus minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(432)
Para o formalismo proposto por Silva et al (2011) equaccedilatildeo (48) tem-se
( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
t dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
λρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + minus minus Γ minus
minus minus minus minus
minus minus
(433)
40
5 Caacutelculo da reatividade para algumas
variaccedilotildees da potecircncia nuclear
51 Potecircncia Linear
511 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Durante a partida de um reator nuclear a sensibilidade do sistema de mediaccedilatildeo
pode natildeo identificar o aumento da potecircncia assim uma inserccedilatildeo de reatividade brusca
causaraacute um crescimento instantacircneo da potecircncia podendo causar um acidente no
circuito primaacuterio (Zhang et al 2008)
Para contornar esse problema deve-se inserir a reatividade de maneira suave
ateacute que o reator chegue alcance a sua potecircncia de operaccedilatildeo Para isto consideramos
uma variaccedilatildeo linear da potecircncia da forma
( ) 0 nP t P wt= + (51)
a uma taxa 0001w = Substituindo a equaccedilatildeo (51) na equaccedilatildeo (253) pode-se
escrever
( )( )
( ) ( ) ( )( )
0 0
0 0
0
0
0 0 00
1
t
tt t
d P wt P et
P wt dt P wt
P wt QP wt e dt
P wt P wt P wt
λ
λ
βρ β
ζλβ
minus
minus minus
+Λ= + minus
+ +
minus + Λminus + minus minus
+ + +int
(52)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (52)vem
41
( )
( ) ( )( )( )
0
0 0
0
0 0 0 0
1
t
P wtwt
P wt P wt
P wtw we Q
P wt P wt P wt P wt
λ
λβρ β
λ
ζβ β
λ λ
minus
+Λ = + minus +
+ +
minus + Λminus minus minus
+ + + +
(53)
Reescrevendo a equaccedilatildeo (53) obteacutem-se
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(54)
Utilizando o meacutetodo das derivadas podemos escrever
( )( )( )
( )
00
0 0 0
0 0
0 0
1
t
t
P wtPwt e
P wt P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
minus +Λ= + minus minus
+ + +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(55)
Manipulando a equaccedilatildeo (55) vem
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(56)
Pode-se observar que a soluccedilatildeo encontrada pelo meacutetodo das derivadas
equaccedilatildeo (56) eacute exatamente a mesma que a soluccedilatildeo encontrada atraveacutes da resoluccedilatildeo
do histoacuterico de potecircncia equaccedilatildeo (54)
42
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Analisando o comportamento da reatividade atraveacutes da variaccedilatildeo linear da
potecircncia tem-se fazendo ( ) 0P t P wt= + na equaccedilatildeo (254)
( ) ( ) ( )00
0 0 0 00
tt ttPw Q
t e e P wt dtP wt P wt P wt P wt
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus + minus+ + + +int
(57)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (57) obteacutem-se
( )( )0 0 0
( ) 1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λ βρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(58)
Utilizando-se o meacutetodo das derivadas tem-se
( )
( )
0
0 0
0 0
0 0
t
t
Pwt e
P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
βρ β
λ λβ
λ λ
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
+ +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(59)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )0 0 0
1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λβρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(510)
Novamente as expressotildees encontradas pela a soluccedilatildeo da integral do histoacuterico
de potecircncia equaccedilatildeo (58) eacute exatamente a mesma que a expressatildeo final utilizando o
meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (510)
43
52 Potecircncia Constante
Todo reator nuclear eacute projetado para operar em determinado niacutevel de potecircncia
nuclear ou seja durante sua operaccedilatildeo normal o reator funciona a uma potecircncia
constante Assim eacute importante avaliar o comportamento da reatividade de um reator
nessas condiccedilotildees
521 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Entatildeo sendo Pn(t) = P0 o segundo termo da equaccedilatildeo (253) desaparece e
assim pode-se escrever
( ) ( ) ( ) 0
0 00
1
t
t ttP Q
t e e dtP P
λλ ζρ β β λβ minus minusminus minus Λ
= minus minus minus minusint (511)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (511) obteacutem-se
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (512)
Aplicando o meacutetodo das derivadas tem-se
( )( )0
0
0 00 0
0 0 0 0
1
t
t
Pt e
P
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ζρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minus= minus minus
Λminus minus
(513)
Assim vem
44
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (514)
Mais uma vez observa-se que as equaccedilotildees finais para a reatividade para
potecircncia constante satildeo idecircnticas tanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia
equaccedilatildeo (512) quanto utilizando o meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (514)
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Avaliando a operaccedilatildeo do reator a uma potecircncia constante ou seja substituindo
P(t) = P0 na equaccedilatildeo (254) tem-se
( ) ( )
00
tt tt Q
t e e dtP
λλρ β β λβ minus minusminus Λ= + Γ minus minus minusint (515)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (515) tem-se segundo o
formalismo de Silva et al
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (516)
Jaacute atraveacutes do uso do meacutetodo das derivadas obteacutem-se
( )
0 00 0
0 0 0 0
t
t
t e
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
= + Γ minus minus
Λminus minus
(517)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias temos
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (518)
45
Novamente observa-se que as equaccedilotildees (516) e (518) para a reatividade satildeo
idecircnticas independente do meacutetodo de soluccedilatildeo abordado
53 Potecircncia Exponencial
531 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Outra variaccedilatildeo caracteriacutestica da potecircncia nuclear eacute a forma exponencial
Assim supondo uma variaccedilatildeo deste tipo para potecircncia na equaccedilatildeo (253) pode-se
avaliar o comportamento cineacutetico do reator Nessas condiccedilotildees substituindo
( ) 0
tP t P e
α= na equaccedilatildeo (253) obteacutem-se
( ) ( )
( )
( )
0
0
0 0
1
ttt t
t
t t
t e e e dt
P e Q
P e P e
α λλ α λ
α
α α
ρ β α β λβ
ζ
+minus + minus
minus sdot
= + Λ minus minus minus
minus Λminus
int (519)
Resolvendo a integral tem-se
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus sdot
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(520)
Agora pelo meacutetodo das derivadas podemos escrever
46
( )( )00 0
0 0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
1
tt t
t t t
t tt t
t t t t
P eP e P et
P e P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
αα λ
α α α
α αα λ
α α α α
ζα βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minusminus
minus
minusΛ= + minus minus
minus minus Λ minus minus minus
minus minus
(521)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(522)
As expressotildees obtidas utilizando-se tanto o meacutetodo das derivadas quando
resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia satildeo idecircnticas
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior e substituindo uma variaccedilatildeo
exponencial temos para o formalismo de Silva et al (2011)
( ) ( ) ( )
00
tttt
t t
e Qt e e dt
e P e
λα λλ α
α α
λβρ β α β
minus+minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus minusint (523)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (523) vem
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(524)
Novamente utilizando o meacutetodo das derivadas obteacutem-se
47
( ) 0 0
0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
t t
t t
t tt t
t t t t
P e P et
P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
α λ
α α
α αα λ
α α α α
α βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
minus minus Λ minus minus
minus minus
(525)
Manipulando a equaccedilatildeo acima chega-se agrave
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(526)
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
Nesta seccedilatildeo seraacute avaliado o comportamento das equaccedilotildees da cineacutetica pontual
para sistemas subcriacuteticos em caso de funcionamento anormal do reator Inicialmente o
reator seraacute avaliado com uma rampa da potecircncia depois operando em uma queda
suacutebita de potecircncia e em outros momentos pode ocorrer uma grande elevaccedilatildeo de
potecircncia Para isso a variaccedilatildeo da potecircncia foi simulada durante seis horas da
seguinte maneira
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(527)
onde w1 = 0001 Ws w2=001 Ws w4 = 0005 Ws w5=0005 Ws
Portanto admitindo que em todas as variaccedilotildees de potecircncia pode-se utilizar o
resultado da seccedilatildeo 511 assim para o formalismo proposto por Gandini agrave reatividade
se escreve da seguinte forma
48
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 0 11
0 1 0 1 0 1 0 1
2 0 22
0 2 0 2 0
1 1 0 1
1 2
1 1( )
t
t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
t h
e w P w twt
P w t P w t P
λ
λ
β ζ
λ
ζ
β ζρ
λ
minus
minus
minus minus +Λ Λ+ minus minus lt le
+ + + +
minus lt le
minus sdot minus +Λ= + minus
+ + +
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 0 2
4 0 44
0 4 0 4 0 4 0 4
5 0 55
0 5 0 5 0 5 0 5
2 4
1 1 4 5
1 1 5 6
t
t
Qt h
w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
λ
λ
β ζ
λ
β ζ
λ
minus
minus
Λ
minus lt le+
minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + + minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + +
(528)
Jaacute para o formalismo proposto por Silva et al tem-se utilizando o resultado da
seccedilatildeo 512
( )( )
( )( )
( )
1 1
0 1 0 1 0 1
2 2
0 2 0 2 0 2
4
0 4
1 0 1
1 2
( ) 1 2 4
1
t
t
t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
t h
w w Qt e t h
P w t P w t P w t
we
P w t
λ
λ
λ
β
λ
βρ
λ
β
minus
minus
minus
Λ ΛΓ + + minus minus lt le
+ + +
Γ lt le
Λ Λ= Γ + + minus minus lt le
+ + +
ΛΓ + + minus
+ ( )
( )( )
4
0 4 0 4
5 5
0 5 0 5 0 5
4 5
1 5 6t
w Qt h
P w t P w t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
λ
λ
β
λminus
Λ
minus lt le+ +
Λ ΛΓ + + minus minus lt le+ + +
(529)
49
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com
Dependecircncia temporal de β e Λ
Neste capiacutetulo seraacute suposto que tanto a fraccedilatildeo de necircutrons retardados quanto
e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente de acordo com
( ) 0t Btβ β= + (61)
e
( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)
onde o coeficiente linear β0 tem valor 000706 o coeficiente angular B eacute -217857 x 10-
7 pcm Jaacute os valores dos coeficientes da variaccedilatildeo do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de
necircutrons satildeo Λ0 = 11661 x 10-5 s e c = -714286 x 10-10 s
61 Potencia Linear
611 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
No processo de obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo (56) natildeo foi considerado nenhuma
variaccedilatildeo temporal dos paracircmetros β e Λ Para se ter um resultado mais proacuteximo do
funcionamento real de um reator considera-se agora que a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente com o tempo
de acordo com (61) e (62) Assim substituindo essas equaccedilotildees na equaccedilatildeo (432)
obteacutem-se
50
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
t
t
P wtct w P et Bt
P wt P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(63)
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior ou seja substituindo as equaccedilotildees
(61) (62) e (51) agora na equaccedilatildeo(433) vem
( )( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
2
2
2
t
t
ct w P et Bt
P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(64)
51
62 Potecircncia Constante
621 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Nesta seccedilatildeo considera-se uma situaccedilatildeo que a potecircncia nuclear permaneccedila
constante durante a operaccedilatildeo do reator Assim Substituindo as equaccedilotildees (61) e (62)
equaccedilatildeo (432) obteacutem-se
( ) ( )( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 00
0 0
1
1
t Bt Bt P e P
P ct QP B
P P
λρ β λβλ
ζ
λ
minus = + minus minus minus minus
minus Λ +minus minus minus
(65)
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Novamente repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior poreacutem substituindo as
equaccedilotildees (61) (62) e (51) na equaccedilatildeo (433) tem-se
( ) ( )( )( )00
0 0 0 0
0
1 tct QP BB
t Bt P e PP
λρ β λβλ λ
minus Λ + = + minus minus minus minus minus minus Γ minus
(66)
52
63 Potecircncia Exponencial
631 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Supondo que a potecircncia varie de acordo com ( ) 0
tP t P e
α= obteacutem-se
substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da potecircncia nuclear na
equaccedilatildeo (432) vem
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
1
2
12
t
t
t
P e ct Qt Bt ct
P e P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
α
α
λ α
ζρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
minus Λ += + + Λ + minus minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(67)
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Agora substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia nuclear na equaccedilatildeo (433) vem
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
0
0 0
0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
2
1 2
t
ct Qt Bt ct
P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
λ α
ρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
Λ += + + Λ + minus Γ minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(68)
53
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo 54 temos uma variaccedilatildeo de potecircncia dada
por
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(69)
Assim para o formalismo proposto por Gandini a reatividade se torna
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
tii
i i i
i i i i
i i i
i
i i
t
P w tct w P et Bt
P w t P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(610)
onde wi assume os seguintes valores w1 = 0001 w2=001 ou w4 = 0005 Jaacute para o
formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se
( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
( )
2
2
2
ti
i i
i i i i
i i i
i
i i
t
ct w P et Bt
P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(611)
54
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica
O meacutetodo de Monte Carlo pode ser caracterizado como uma teacutecnica de caacutelculo
de forccedila bruta que eacute bem adequado para problemas complicados que consistem de
vaacuterias subtarefas bem definidas Eacute um meacutetodo simples e intuitivo e manteacutem uma
estreita relaccedilatildeo com o problema que estaacute sendo resolvido
Atualmente o meacutetodo de Monte Carlo eacute amplamente utilizado em vaacuterios
campos como na fiacutesica matemaacutetica economia e engenharia Uma de suas primeiras
aplicaccedilotildees praacuteticas foi na modelagem de problemas de transporte de partiacuteculas
(Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo de caacutelculo foi chamada de Monte Carlo pelos cientistas Stanislav
Ulam John von Neumann e Metropolis Nicholas no final de 1940 quando este meacutetodo
foi usado para resolver problemas de transporte de partiacuteculas na pesquisa de armas
nucleares As raiacutezes do desenvolvimento da teoria moderna da probabilidade e
estatiacutestica data do seacuteculo 19 Poreacutem a primeira publicaccedilatildeo registrada que aborda este
meacutetodo data de 1949 (Yoriyaz 2009)
O sucesso da aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo (MMC) pelos cientistas de Los
Alamos se decorreu devido agrave computaccedilatildeo numeacuterica De fato mesmo se todos os
aspectos teoacutericos fossem resolvidos a utilizaccedilatildeo em grande escala do meacutetodo natildeo
seria possiacutevel sem esta ferramenta
O meacutetodo Monte Carlo eacute muito diferente dos meacutetodos de transporte
determiniacutesticos que geralmente baseiam-se na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de transporte de
necircutrons Assim para fazer com que o problema seja passiacutevel de uma soluccedilatildeo
computacional eacute necessaacuteria a realizaccedilatildeo de uma discretizaccedilatildeo das variaacuteveis tanto no
espaccedilo quanto na energia A forccedila do meacutetodo de Monte Carlo reside na capacidade
em calcular estimativas estatiacutesticas para taxas de reaccedilatildeo sem necessitar da soluccedilatildeo
explicita para a distribuiccedilatildeo do fluxo Aleacutem disso a capacidade de lidar com variaccedilotildees
complexas das variaacuteveis espaciais e de energia eacute o que torna a alternativa do MMC
mais atraente que os meacutetodos de transporte determiniacutesticos (Leppaumlnen 2007)
Mesmo que a abordagem determinista tenha demonstrado sua viabilidade para
simular reatores criacuteticos ela eacute amplamente utilizada Poreacutem esta metodologia
apresenta alguns inconvenientes que se tornam importantes no caso de um reator
subcriacutetico com um acelerador de partiacuteculas acoplado como por exemplo a introduccedilatildeo
de uma aproximaccedilatildeo devido agrave conversatildeo do espectro de energia dos necircutrons para
55
uma grade de energia e espaccedilo para os coacutedigos que utilizam uma abordagem
multigrupo (Kady et al 2001)
Por utilizar seccedilotildees de choques pontuais a simulaccedilatildeo Monte Carlo eacute livre de
quase todos os inconvenientes que aparecem nas simulaccedilotildees determiniacutesticas Poreacutem
sua precisatildeo varia inversamente com a raiz quadrada do nuacutemero de eventos
processados Isso representa um problema potencialmente grande de tempo de
processamento em particular quando a simulaccedilatildeo abrange toda a vida uacutetil da
produccedilatildeo de energia do sistema
No meacutetodo Monte Carlo para a simulaccedilatildeo de transporte de radiaccedilatildeo as
respostas satildeo obtidas simulando partiacuteculas individuais e gravando alguns aspectos de
seu comportamento meacutedio Se os modelos dessas interaccedilotildees utilizados nas
simulaccedilotildees satildeo suficientementes proacuteximos da realidade o resultado estaraacute proacuteximo do
processo real
Os componentes importantes de meacutetodos de simulaccedilatildeo de Monte Carlo satildeo as
funccedilotildees de densidade de probabilidade a geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios as regras
de amostragem a computaccedilatildeo de resultados as estimativas de erros e a reduccedilatildeo de
variacircncia conforme mostra a Figura 71 Aleacutem disso os algoritmos eficientes para
paralelizaccedilatildeo satildeo uacuteteis para a implementaccedilatildeo do meacutetodo de Monte Carlo para uso em
cluster de computadores (Grisell 2004)
O meacutetodo de Monte Carlo utiliza aleacutem do teorema do limite central modelos
fiacutesicos de interaccedilatildeo ou seja um conjunto de seccedilotildees de choque diferenciais para os
mecanismos de interaccedilatildeo relevantes do sistema a ser simulado (Salvat et al 2003)
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de Yoriyaz 2009
Gerador de
nuacutemeros
aleatoacuterios
Teacutecnicas de
amostragem Resultados
Funccedilatildeo de densidade de probabilidade
56
Essas seccedilotildees de choque diferenciais determinam as funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de
probabilidades de variaacuteveis aleatoacuterias
Esses conjuntos de funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de probabilidade caracterizam uma
histoacuteria e determinam o tipo de interaccedilatildeo sofrida pela partiacutecula por exemplo se a
partiacutecula sofreraacute uma mudanccedila de energia e de direccedilatildeo de propagaccedilatildeo se ela apenas
sofreraacute algum desvio angular ou se ocasionaraacute fissatildeo
Caso o nuacutemero de histoacuterias (uma histoacuteria inclui desde a geraccedilatildeo de uma
partiacutecula ateacute sua lsquofugarsquo ou absorccedilatildeo aleacutem de todas as outras partiacuteculas que podem ser
produzidas por exemplo atraveacutes da fissatildeo) seja suficientemente grande informaccedilotildees
quantitativas sobre o processo de transporte podem ser obtidas simplesmente por uma
meacutedia de mais histoacuterias simuladas
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo eacute em experimentos em que os resultados
satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Ao se comparar os meacutetodos MC e de variaacuteveis discretas normalmente se diz
que o MC resolve a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral enquanto o meacutetodo
de variaacuteveis discretas resolve a equaccedilatildeo na sua forma integro-diferencial Poreacutem as
duas equaccedilotildees satildeo formas diferentes da mesma equaccedilatildeo e assim quando se resolve
uma obteacutem-se a soluccedilatildeo da outra (Mosteller et al 2003)
Como o meacutetodo MC resolve o problema simulando histoacuterias das partiacuteculas natildeo
se torna necessaacuterio escrever a equaccedilatildeo de transporte de necircutrons No entanto pode-
se chegar a uma equaccedilatildeo que descreva a densidade de probabilidade das partiacuteculas
para o problema e esta acaba sendo a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral
(Vaz 2010)
A simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) eacute baseada em geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
de uma distribuiccedilatildeo uniforme gerando variaacuteveis aleatoacuterias para estabelecer outras
funccedilotildees de distribuiccedilatildeo Assim os nuacutemeros aleatoacuterios ou pseudoaleatoacuterios satildeo agrave base
do meacutetodo de MC pois estes nuacutemeros realizam todo o controle de decisatildeo Isso torna
essencial a sub-rotina de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios para qualquer simulador
baseado no meacutetodo de Monte Carlo As sub-rotinas de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
se baseiam em algoritmos matemaacuteticos especiacuteficos para garantir que os nuacutemeros
sorteados satildeo realmente aleatoacuterios pois estes nuacutemeros devem em teoria ser
igualmente provaacuteveis em um sorteio dentro de um intervalo definido
As variaacuteveis aleatoacuterias satildeo uma quantidade que resultam de processos
repetitivos e cujos valores reais natildeo podem ser previsto com certeza No mundo real a
aleatoriedade se origina de fatores incontrolaacuteveis (por exemplo jogos de azar) ou da
57
natureza quacircntica de sistemas ou processos (por exemplo desintegraccedilatildeo nuclear)
Nos computadores as variaacuteveis randocircmicas satildeo geradas por transformaccedilotildees
numeacutericas de nuacutemeros randocircmicos
O objetivo da simulaccedilatildeo MC eacute fornecer informaccedilotildees precisas e detalhadas em
trecircs dimensotildees dependente do tempo tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
partiacuteculas neutras Por este motivo o meacutetodo de Monte Carlo eacute largamente utilizado na
soluccedilatildeo de problemas envolvendo processos estatiacutesticos Pode ser empregado na
fiacutesica de reatores devido agrave caracteriacutestica estocaacutestica da emissatildeo de radiaccedilatildeo e
transporte de partiacuteculas
A carga computacional do meacutetodo de Monte Carlo continua sendo um
empecilho para as simulaccedilotildees de modelagem de sistemas nucleares devido ao alto
tempo de processamento computacional (Liu et al 2011) e a alta demanda de
memoacuteria pois para solucionar o problema de transporte de energia eacute necessaacuterio
monitorar as trajetoacuterias de vaacuterios necircutrons seu respectivo histoacuterico e sua multiplicaccedilatildeo
ateacute absorccedilatildeo ou fuga de todas as partiacuteculas geradas por essa partiacutecula
Mesmo assim o uso do meacutetodo de Monte Carlo para a simulaccedilatildeo do transporte
de partiacuteculas tornou-se bastante popular pois a alta demanda de processamento e de
memoacuteria pode ser contornada se for utilizado um sistema de processamento
distribuiacutedo com vaacuterios processadores possibilitando diminuir o tempo de simulaccedilatildeo
mesmo em modelagem de geometrias complexas Na praacutetica com o aumento de
processadores resolvendo o mesmo problema costuma-se aumentar a estatiacutestica a ser
simulada para a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos com o mesmo tempo de
simulaccedilatildeo anterior
71 Funccedilotildees Densidade de
Probabilidades
Para uma variaacutevel aleatoacuteria discreta a funccedilatildeo de probabilidade (f(x)) fornece
diretamente a probabilidade do valor que a variaacutevel aleatoacuteria assume Jaacute para as
variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas a funccedilatildeo de probabilidade em um intervalo eacute chamada
de funccedilatildeo de densidade de probabilidade
Esta funccedilatildeo natildeo fornece diretamente as probabilidades dos valores que as
variaacuteveis aleatoacuterias podem assumir Poreacutem a aacuterea sob o graacutefico da funccedilatildeo de
58
densidade de probabilidade correspondente a um dado intervalo a probabilidade de
que a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua assuma um valor neste intervalo Ou seja quando
calculamos as probabilidades para as variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas estamos
calculando a probabilidade de que a variaacutevel aleatoacuteria assuma qualquer valor em um
intervalo Assim a probabilidade de qualquer valor particular da variaacutevel aleatoacuteria
contiacutenua eacute zero pois a aacuterea sob o graacutefico de f(x) em qualquer ponto em particular eacute
zero
A distribuiccedilatildeo de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua pode ser
visualizada como uma forma de um histograma baseado em um grande nuacutemero de
observaccedilotildees Este histograma eacute construiacutedo com as densidades de probabilidade
Por exemplo a Figura 72 mostra um histograma da massa em quilogramas
de 25 lingotes de uracircnio (Lurie et al 2011)
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio
Se aumentarmos o nuacutemero de amostras teremos um histograma cada vez
mais suave a Figura 73 mostra o mesmo histograma com 150 observaccedilotildees
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio
59
Se fizermos o nuacutemero de amostras tender a infinito e o intervalo das classes
tender a zero no limite o histograma tende a se ldquosuavizarrdquo e tomar a forma de uma
curva teoacuterica como mostra a Figura 74
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo
Como uma probabilidade eacute interpretada como a frequecircncia relativa de um
evento de ensaios independentes a curva obtida na Figura 74 representa a maneira
pela qual a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo aos possiacuteveis valores que a
variaacutevel aleatoacuteria ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo pode assumir Assim a funccedilatildeo
densidade de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x eacute a funccedilatildeo
matemaacutetica f(x) cujo graacutefico produz a curva teoacuterica que representa a maneira pela qual
a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo agrave amplitude dos possiacuteveis valores da
variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x
As funccedilotildees de densidades de probabilidades devem obedecer as seguintes
condiccedilotildees
( )
( ) ( )
0
1
f x x
F x f x dx
gt forall
= =int
Dessa maneira a probabilidade de uma variaacutevel x assumir os valores no
intervalo (ab) eacute
Densidade de
probabilidade
Massa (kg)
60
( ) ( ) ( ) ( )b
aP a x b f x dx F a F ble le = = minusint
Existem basicamente duas diferentes maneiras que podem ser utilizados na
implementaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo que satildeo o meacutetodo direto ou
inverso e o meacutetodo da rejeiccedilatildeo Nas proacuteximas seccedilotildees tem-se a descriccedilatildeo desses dois
meacutetodos
72 Meacutetodo direto ou inverso
Seja uma distribuiccedilatildeo de probabilidade tiacutepica (por exemplo a distribuiccedilatildeo
gaussiana) definida em um intervalo conhecido entre [a b] Como visto na seccedilatildeo
anterior pode-se definir a funccedilatildeo de probabilidade acumulada desta distribuiccedilatildeo como
( ) ( ) b
aP x p x dx= int (71)
Criando uma nova variaacutevel aleatoacuteria atraveacutes da transformaccedilatildeo ξ = P(x) e
assumindo que a distribuiccedilatildeo de probabilidade acumulada admite uma inversa P-1(ξ)
definida no intervalo de (01) o valor de ξ eacute entatildeo definido como sendo igual agrave
probabilidade cumulativa do evento de modo que o valor correspondente de x pode
ser calculado a partir da funccedilatildeo inversa
1 1
( )( ) ( ) ( )
d dP xp p x p x
dx dxε
εε
minus minus
= =
(72)
Assim fica claro que ε eacute um nuacutemero aleatoacuterio e a variaacutevel x que eacute definida por
x = P-1(ξ) eacute aleatoriamente distribuiacuteda no intervalo (xmin x) Note que x eacute a uacutenica raiz
da equaccedilatildeo
min
( ) x
xp x dxξ = int (73)
61
Assim os valores amostrados de x desta forma satildeo distribuiacutedos de acordo com
a P(x)
A implementaccedilatildeo do meacutetodo direto de MC pode ser feita atraveacutes do seguinte
algoritmo conforme mostrado na Figura 75
1 Geraccedilatildeo de um nuacutemero aleatoacuterio ξ
2 Verificaccedilatildeo de que x corresponde ao ξ sorteado
3 Verificaccedilatildeo de qual probabilidade correspondente ao x
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003)
A soluccedilatildeo atraveacutes do meacutetodo de MC da equaccedilatildeo de transporte de necircutrons
(equaccedilatildeo (74)) pode ser feita utilizando o meacutetodo direto resolvendo-se as integrais
de acordo com (Vaz 2009)
( )
( ) ( ) ( ) ( )2 3
` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `
r E
r E C E E r dE d Q r E T r r E d r
Ψ Ω =
Ψ Ω Ω rarr Ω Ω + Ω rarr Ω int int
(74)
Com o termo de fonte podendo ser definido como
62
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
Fonte fixa
` ` ` ` | ` Fonte fixa + Fissatildeo
1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor
S
Q r R S r E F E E r dE d
r E F E E r dE dk
Ω = + Ψ Ω Ω rarr Ω Ω Ψ Ω Ω rarr Ω Ω
int
int
(75)
onde ( ) S r E Ω
foi abreviado como S
Assim uma histoacuteria (lsquotrajetoacuteriarsquo) pode ser entendida como uma sequecircncia de
transiccedilatildeo entre estados (P0 P1 P2 P3) Em cada ponto de colisatildeo Pi pode ocorrer
variaccedilatildeo da energia de direccedilotildees e ainda incluir a geraccedilatildeo de novas partiacuteculas
Entatildeo a equaccedilatildeo de transporte pode ser escrita como (Vaz 2009)
( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i
P P K P P K P P dp dp dp dpminus minusΨ = Ψ rarr rarrint int int int (76)
onde ( )K P Prarr eacute o kernel de transporte que eacute definido por
( ) ( ) ( ) ( ) ` ` | ` ` | K P P K r E r E C E E r T r r Erarr equiv Ω rarr Ω = Ω rarr Ω rarr Ω
(77)
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula
P4
P1
P2
P5
P3
P6
P
P0
63
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo
Em muitos casos tanto a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo cumulativa quanto sua inversa
eacute de difiacutecil obtenccedilatildeo ou natildeo podem ser resolvidos Exemplos de tais casos satildeo a
distribuiccedilatildeo normal e a distribuiccedilatildeo de Maxwell-Boltzmann Haacute diversas variaccedilotildees
numeacutericas para o uso do meacutetodo de inversatildeo que podem ser utilizados para amostrar
os valores de qualquer tipo de distribuiccedilatildeo mas eacute muitas vezes mais eficaz ter uma
abordagem completamente diferente (Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo da rejeiccedilatildeo tem a vantagem que o procedimento de amostragem
pode ser realizado utilizando apenas a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de probabilidades da
variaacutevel aleatoacuteria De uma forma mais simples uma constante c ge 1 e uma outra
funccedilatildeo de densidade de g(x) satildeo atribuiacutedos aos f(x) de tal forma que
( ) ( )f x cg xle (71)
para todos os valores de x
Os valores da variaacutevel aleatoacuteria ε seratildeo aceitos se
( )( )
f x
cg xε lt (72)
Se a desigualdade natildeo eacute vaacutelida o valor eacute descartado e o procedimento eacute
repetido desde o iniacutecio Pode demonstrar-se que a distribuiccedilatildeo dos valores aceitos
pelo meacutetodo seguem exatamente f(x)
Uma aplicaccedilatildeo que ilustra bem este meacutetodo eacute o caacutelculo do nuacutemero π Para
isso suponha um ciacuterculo inscrito dentro de um quadrado de lado unitaacuterio Se ao
sortear N eventos forem contados quantos destes eventos estatildeo dentro do ciacuterculo eacute
possiacutevel calcular o valor de π
Sabe-se que a integral entre os intervalos a e b eacute igual a um quarto da aacuterea do
ciacuterculo (ver Figura 77) Desta maneira pode-se dizer que o nuacutemero de pontos
sorteados dentro da aacuterea total do ciacuterculo dividido pelo nuacutemero total de sorteios eacute igual
agrave aacuterea do ciacuterculo sobre a aacuterea do quadrado
64
2
4r 4
c
t
N πrsup2 π= =
N
onde Nc eacute o nuacutemero de sorteios dentro do ciacuterculo e Nt eacute o total de nuacutemeros sorteados
Obviamente quanto maior for o total de nuacutemero sorteados mais preciso seraacute o
resultado
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo
Em geral o meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute utilizado para a estimativa de eventos que
satildeo regidos por distribuiccedilotildees contiacutenuas ou seja aqueles eventos que obedecem a
uma curva de probabilidade
Eacute importante ressaltar que no meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute necessaacuterio o sorteio de
dois nuacutemeros aleatoacuterios O primeiro (ε1) para definir o valor da abcissa (x) e um
segundo (ε2) para definir o valor no eixo das ordenadas (Figura 78) Se ε2 for menor
que f(ε1) registra-se ε1 como sendo um valor vaacutelido Caso contraacuterio ε1 eacute rejeitado e
ocorre o sorteio de outro nuacutemero aleatoacuterio O algoritmo do meacutetodo da rejeiccedilatildeo pode
ser descrito como
1 Sorteio do primeiro nuacutemero aleatoacuterio (ε1)
2 Verificaccedilatildeo de qual eacute o valor da funccedilatildeo para esse nuacutemero aleatoacuterio
3 Sorteio do segundo nuacutemero aleatoacuterio
4 Se ε2 lt f(ε1) registrar ε1 como vaacutelido
5 Senatildeo rejeitar ε1 e voltar ao passo 1
a
b
65
74 Meacutetodos Monte Carlo para
Reatores Subcriacuteticos
Nas seccedilotildees anteriores foi tratado das caracteriacutesticas baacutesicas da simulaccedilatildeo MC
Poreacutem para a simulaccedilatildeo de um reator nuclear mais proacutexima do real eacute necessaacuterio que
os coacutedigos MC sejam capazes de acompanhar a queima dos combustiacuteveis nucleares
chamados de coacutedigos de depleccedilatildeo
Atualmente existem vaacuterios coacutedigos de depleccedilatildeo que utilizam o meacutetodo Monte
Carlo devido ao constante crescimento no desempenho dos computadores Esses
coacutedigos geralmente satildeo acoplados em um coacutedigo geneacuterico de simulaccedilatildeo MC que
resolve o transporte das partiacuteculas e podem fornecer o fluxo de partiacuteculas e as seccedilotildees
de choque microscoacutepicas para os coacutedigos de depleccedilatildeo
Os coacutedigos MC de depleccedilatildeo podem ser divididos em dois grupos de acordo
com a metodologia de geraccedilatildeo das seccedilotildees de choque microscoacutepicas O primeiro
grupo satildeo os dos coacutedigos que utilizam os resultados calculados diretamente pelo o
coacutedigo geneacuterico MC Jaacute o segundo grupo utiliza uma abordagem de multigrupo para o
caacutelculo das seccedilotildees de choque que eacute implementado pelo coacutedigo de depleccedilatildeo De
acordo com esta metodologia as taxas de reaccedilatildeo satildeo calculadas separadamente
utilizando um preacute-gerador de seccedilotildees de choque multigrupo
f(x)
ε2
ε1
Figura 78 Processo de caacutelculo de π
66
75 Conceito de Reatores ADS
Os reatores hiacutebridos foram inicialmente considerados apenas para a queima
de actiniacutedeos poreacutem foi percebido que era possiacutevel aproveitar a queima dos
actiniacutedeos (transmutaccedilatildeo) em um reator subcriacutetico para a geraccedilatildeo de eletricidade
aleacutem da necessaacuteria para sustentar o acelerador de proacutetons
Aleacutem disso os reatores hiacutebridos tecircm uma vantagem adicional de ser um
sistema regenerador ou seja cria a possibilidade de regenerar combustiacutevel nuclear
queimado em um reator teacutermico para ser reutilizado no mesmo apoacutes reprocessamento
A Figura 79 mostra que os reatores regeneradores com acelerador (ABR ndash
accelerator breeder reactor) podem natildeo ser utilizados para a geraccedilatildeo de eletricidade
Sua principal utilizaccedilatildeo seria para a produccedilatildeo de material fiacutessil principalmente 239Pu
(Lodhi et al 2009) Para isso esses reatores necessitam de energia eleacutetrica para
alimentar o acelerador de proacutetons citado na Figura 710 Poreacutem os reatores hiacutebridos
podem ser dedicados tanto para a produccedilatildeo de energia como para a regeneraccedilatildeo de
material fiacutessil embora ambos os fenocircmenos ocorram sempre em um reator hiacutebrido ele
pode ser especializado para um desses objetivos de acordo com o cenaacuterio previsto
para a busca da sustentabilidade da energia nuclear (Piera et al 2010)
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009
Extraccedilatildeo de
toacuterio e uracircnio
238
U
ABR
Reator teacutermico
Energia eleacutetrica
239
Pu
232
Th
Energia eleacutetrica
67
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS
Tanto os reatores ADS como os ABR consistem em um acelerador de
partiacuteculas de alta energia (proacutetons com cerca de 1 GeV de energia) que atingem um
alvo com nuacutemero atocircmico grande Este choque gera necircutrons de alta energia capazes
de tornar nucliacutedeos feacuterteis em fiacutesseis
Outra coisa interessante sobre esses reatores eacute que eles produzem vaacuterios
isoacutetopos da mesma maneira que os FBR Em segundo lugar os reatores hiacutebridos
(ADS) operam com fator de multiplicaccedilatildeo abaixo de 1 (geralmente entre 090 e 097)
Em terceiro os ADS podem produzir combustiacutevel muito mais raacutepido que os FBR (Piera
et al 2010) pois liberam menos energia por fissatildeo que os FBR
Um dos principais objetivos do ADS eacute a queima de 232Th para gerar uma
grande quantidade de 233U embora 233U puro tem aproximadamente a mesma massa
criacutetica do plutocircnio (Lodhi et al 2009)
Fonte de necircutrons raacutepidos
Fonte de
spallation
Refrigerante chumbo-bismuto
Acelerador de
proacutetons
68
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos
Utilizados
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes simulaccedilotildees MC para auxiliar o estudo
de reatores ADS utilizando diferentes coacutedigos (MCNPX GEANT4 MCB) Poreacutem estes
modelos devem ter referecircncias para poder se verificar por exemplo o fator de
multiplicaccedilatildeo efetivo (keff) resultados dos caacutelculos de depleccedilatildeo e identificar as causas
para as possiacuteveis diferenccedilas significativas entre os resultados simulados e os teoacutericos
Idealmente esses paracircmetros deveriam ser comparados com dados
experimentais No entanto haacute uma falta significativa de resultados fiacutesicos para nuacutecleos
de reatores raacutepidos concebidos para queimar actiniacutedeos menores (AM) (Allen et al
2011)
Neste trabalho foram utilizados dois coacutedigos MC distintos Inicialmente devido
a grande quantidade de citaccedilotildees na literatura (Hashemi-Nezhad et al 2002 Sobolev
et al 2003 Bomboni et al 2010 Fokau et al 2010 Talamo et al 2011 Pelowitz
2008) foi utilizado o coacutedigo MCNPX 26f e tambeacutem o coacutedigo SERPENT 1117 que eacute
uma ferramenta relativamente nova (Leppaumlnen 2007) comparada ao MCNPX
O MCNPX eacute um coacutedigo MC que vem sendo desenvolvido deste 1995 sendo
escrito em FORTRAN e C Assim o MCNPX pode ser compilado para a utilizaccedilatildeo nas
plataformas computacionais mais usadas (Windows Linux e IOS) Aleacutem disso o
MCNPX pode ser usado com as bibliotecas de programaccedilatildeo paralela (MPI)
O coacutedigo eacute composto por aproximadamente 450 subrotinas possui um
desenvolvimento constante e atualmente eacute capaz de simular 34 partiacuteculas distintas A
versatildeo 250 do MCNPX eacute utilizada atualmente por cerca de 2500 grupos no mundo
sendo distribuiacutedo pelo Radiation Safety Information Computational Center (RSICC)
com base de dados sendo fornecida pela OECDNEA
Uma das grandes dificuldades do uso do MCNPX eacute a descriccedilatildeo da geometria
que eacute feita atraveacutes de uniotildees e interseccedilotildees de superfiacutecies baacutesicas (plano cilindro
infinito esfera cone ou elipsoide) Assim para simular uma vareta de combustiacutevel
deve-se criar pelo menos trecircs superfiacutecies distintas (2 planos e um cilindro infinito)
Aleacutem disso deve-se criar uma ceacutelula para cada material utilizado Esta ceacutelula
carrega a informaccedilatildeo do material que ela eacute composta a densidade e os limites
informados pelas uniotildees eou interseccedilotildees das superfiacutecies Tanto as superfiacutecies quanto
as ceacutelulas satildeo referenciados por nuacutemeros definidos pelo usuaacuterio
69
Todas as superfiacutecies permitem que as uniotildees e interseccedilotildees sejam feitas em
dois sentidos Esses sentidos satildeo informados pelos sinais negativos e positivos que
devem acompanhar os nuacutemeros das superfiacutecies
O MCNPX ainda permite a definiccedilatildeo da importacircncia da partiacutecula em cada
ceacutelula isso eacute uacutetil quando se quer excluir uma ou mais partiacuteculas Caso a importacircncia
de necircutrons seja definida como zero qualquer necircutron que entrar nesta ceacutelula seraacute
eliminado da simulaccedilatildeo Isto eacute um artifiacutecio que delimita a aacuterea de atuaccedilatildeo das
partiacuteculas para natildeo termos simulaccedilotildees de duraccedilatildeo ldquoinfinitardquo ou perder tempo
computacional em partiacuteculas que jaacute saiacuteram do sistema
Tambeacutem eacute possiacutevel definir ceacutelulas sem nenhum material para isso basta
colocar o nuacutemero zero no lugar do nuacutemero do material e natildeo informar a densidade do
mesmo Neste caso o coacutedigo iraacute interpretar o conteuacutedo da ceacutelula como sendo vaacutecuo
O MCNPX natildeo fornece ferramenta graacutefica para a ediccedilatildeo de geometria poreacutem
existem programas que realizam a leitura do arquivo e permitem a sua visualizaccedilatildeo O
que MCNPX faz eacute uma verificaccedilatildeo baacutesica da geometria em busca de erros Em caso
de erros de geometria o MCNPX natildeo realiza a simulaccedilatildeo ou a simulaccedilatildeo pode ser
abortada se o coacutedigo computar vaacuterias partiacuteculas perdidas (partiacuteculas que ldquosaemrdquo da
geometria)
O lado positivo do MCNPX eacute a grande quantidade de elementos e de isoacutetopos
disponiacuteveis para a simulaccedilatildeo devido o uso da biblioteca ENDF que eacute mantida pela
agecircncia internacional de energia atocircmica Para os elementos ou isoacutetopos que natildeo
existem nas bibliotecas o MCNPX realiza a simulaccedilatildeo utilizando modelos fiacutesicos Isto
proporciona uma grande flexibilidade na simulaccedilatildeo Aleacutem disso o MCNPX traz
bibliotecas de espalhamento teacutermico que podem ser usadas nos materiais utilizados
como moderadores
O outro coacutedigo MC utilizado foi o SERPENT Este coacutedigo eacute especiacutefico para
simulaccedilatildeo de reatores nucleares que realiza com caacutelculo de depleccedilatildeo e eacute
desenvolvido no Centro de Pesquisa Teacutecnica da Finlacircndia (VTT Technical Research
Centre of Finland) Atualmente eacute utilizado por cerca de 180 grupos de usuaacuterios em 27
paiacuteses Este coacutedigo se encontra na versatildeo 1118 sendo que a versatildeo 20 estaacute
atualmente em fase de teste O SERPENT tambeacutem permite a utilizaccedilatildeo de
processamento paralelo com o MPI (Message Passing Interface) para sua execuccedilatildeo
A paralelizaccedilatildeo no modo de caacutelculo de queima eacute dividida nas rotinas de preacute-
processamento e depleccedilatildeo em vaacuterias tarefas Cada tarefa trata um material diferente e
o aumento de desempenho pode-se tornar significativo
O SERPENT eacute um dos uacutenicos coacutedigos MC que permitem a simulaccedilatildeo com
fonte externa com meio multiplicativo aleacutem de caacutelculos de depleccedilatildeo em uma uacutenica
70
simulaccedilatildeo a geometria natildeo eacute tatildeo problemaacutetica quanto a do MCNPX pois jaacute existem
elementos preacute-definidos que satildeo encontrados em reatores nucleares como por
exemplo elementos combustiacuteveis em em arranjo hexagonal
A descriccedilatildeo da geometria no SERPENT eacute feita definindo-se uma vareta e os
raios de cada material que a compotildee Diferentemente do MCNPX os materiais satildeo
referenciados por nomes seguidos do raio ocupado partindo do centro da vareta ateacute a
extremidade
Por exemplo para se definir uma vareta de combustiacutevel os materiais que
compotildee esta vareta devem ser descritas do centro para fora da vareta Assim se o
combustiacutevel estaacute designado com um raio de 04024 cm a definiccedilatildeo do gap deve iniciar
de um raio maior que o do combustiacutevel O gap eacute designado pela palavra reservada
void
A definiccedilatildeo das varetas seja de combustiacutevel ou as de controle devem ser
terminadas sempre com o nome do material utilizado como refrigerante (Soacutedio por
exemplo) Eacute importante lembrar que cada definiccedilatildeo de vareta recebe um nuacutemero que
eacute chamado de universo
Apoacutes as definiccedilotildees das varetas basta informar o tipo de arranjo utilizado e o
pitch de varetas para completar a descriccedilatildeo do nuacutecleo do reator Se existem varetas
com diferentes composiccedilotildees de combustiacutevel deve-se informar o nuacutemero de cada
universo na posiccedilatildeo desejada
Ambos os coacutedigos permitem a utilizaccedilatildeo da mesma biblioteca realizam caacutelculo
de depleccedilatildeo do combustiacutevel indicando a quantidade de cada elemento nos diferentes
passos de queima sendo possiacutevel fazer um inventaacuterio de queima em ambos os
coacutedigos para cada intervalo de queima Este intervalo eacute informado pelo usuaacuterio
Para a descriccedilatildeo do material tanto o MCNPX como o SERPENT usam a
mesma forma Basta informar o ldquocoacutedigordquo do elemento desejado e sua concentraccedilatildeo
que pode ser atocircmica (aacutetomosbarncm) ou fraccedilatildeo de massa
O coacutedigo dos materiais eacute formado pelos seus nuacutemeros atocircmicos e por seus
nuacutemeros de massa Por exemplo o coacutedigo para o elemento 238U eacute 92238
Para se identificar as diferentes versotildees das bibliotecas existem nuacutemeros que
vecircm depois do coacutedigo do elemento Esses nuacutemeros satildeo a versatildeo das bibliotecas para
o MCNPX e para o SERPENT as temperaturas (em Kelvin) das bibliotecas Portanto
no MCNPX o coacutedigo 9223866c indica que a biblioteca utilizada eacute a ENDF66 Para o
SERPENT o coacutedigo completo eacute 9223806c onde o 06c indica a temperatura em que a
biblioteca foi avaliada (600 K)
71
Ainda na descriccedilatildeo do material o coacutedigo SERPENT permite definir os materiais
de outra forma Assim pode-se usar o siacutembolo do elemento quiacutemico seguido de seu
nuacutemero de massa Por exemplo O-1609c eacute o 16O a uma temperatura de 900 K
Se o material eacute composto por mais de um elemento quiacutemico basta inserir os
demais elementos As tabelas abaixo mostram o exemplo de um revestimento de
zircaloy (Tabela 81) para o MCNPX e para o dioacutexido de uracircnio (Tabela 82) para o
SERPENT Note que para a entrada em fraccedilatildeo de massa deve-se colocar o sinal de
negativo
Aleacutem das informaccedilotildees dos elementos e de suas concentraccedilotildees eacute necessaacuterio
informar tambeacutem a densidade dos materiais No MCNPX essa informaccedilatildeo fica junto
com a definiccedilatildeo do local que o material estaacute No SERPENT a informaccedilatildeo da
densidade fica junto com a definiccedilatildeo do material Em ambos os coacutedigos a densidade
pode ser informada em gcm3 ou em densidade atocircmica (aacutetomosbarnmiddotcm)
Tabela 81 Exemplo de um
revestimento de zircaloy no MCNPX
Elemento Fraccedilatildeo de
massa
4000066c -098135
2400066c -000100
2600066c -000135
2800042c -000055
5000006c -001450
801606c -000125
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de
uracircnio no SERPENT
Elemento Densidade
Atocircmica
9223409c 914E-02
9223509c 935E+00
9223809c 215E+02
O-1609c 449E+02
Para a validaccedilatildeo das simulaccedilotildees realizadas utilizando o coacutedigo SERPENT
foram realizadas algumas simulaccedilotildees de reatores para a comparaccedilatildeo direta com o
MCNPX jaacute que o MCNPX eacute amplamente utilizado para a simulaccedilatildeo de reatores
Os reatores simulados foram um PWR com combustiacutevel do tipo MOX (Figura
81) um reator do tipo VVER (Figura 82) e um terceiro do tipo CANDU (Figura 83)
Os resultados obtidos com essas simulaccedilotildees se encontram na Tabela 83
72
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU
Refrigerante (aacutegua)
Combustiacutevel MOX 1 (29 Pu)
Combustiacutevel MOX 2 (44 Pu)
Combustiacutevel MOX 3 (56 Pu)
Combustiacutevel (UO2)
Vazio (ar)
Refrigerante (Aacutegua)
Combustiacutevel (UO2)
Refrigerante (Aacutegua)
73
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER
Reator keff Diferenccedila2
(pcm) MCNPX SERPENT
VVER 128763 128807 3417
CANDU 094169 094207 4034
PWR 100176 100184 799
Recentemente Allen et al(2011) publicou uma proposta de referecircncia para
reatores regeneradores baseado no reator de teste avanccedilado para queima de AM
(ABTR) Este reator tem uma potecircncia teacutermica de 250 MW sendo refrigerado com
soacutedio A Figura 84 mostra a geometria e disposiccedilatildeo dos elementos do nuacutecleo do
reator utilizado na simulaccedilatildeo com MCNPX
As Tabelas 84 85 e 86 trazem as composiccedilotildees dos diferentes combustiacuteveis
utilizados Jaacute as Tabelas 87 88 e 89 mostram a composiccedilatildeo das varetas refletor e
barras de controle respectivamente
A Tabela 810 traz informaccedilotildees gerais do reator como pitch e diacircmetro de
varetas do reator entre outras
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX
2 Em moacutedulo diferenccedila = |Keff MCNPX - keff SERPENT|
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
74
Tabela 84Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 1
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 122E-04
U-235 322E-01
U-236 206E-02
U-238 202E+02
Np-237 384E-02
Pu-236 139E-07
Pu-238 959E-03
Pu-239 350E+01
Pu-240 374E+00
Pu-241 245E-01
Pu-242 175E-02
Am-241 142E-02
Am-242 285E-04
Am-243 613E-04
Cm-242 471E-04
Cm-243 741E-06
Cm-244 483E-05
Cm-245 191E-06
Cm-246 261E-08
Tabela 85 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 2
(densidade 10851
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 100E-02
U-235 320E-01
U-236 195E-02
U-238 197E+02
Np-237 181E+00
Pu-236 908E-06
Pu-238 905E-01
Pu-239 235E+01
Pu-240 109E+01
Pu-241 294E+00
Pu-242 219E+00
Am-241 213E+00
Am-242 583E-02
Am-243 436E-01
Cm-242 735E-02
Cm-243 244E-03
Cm244 110E-01
Cm-245 977E-03
Cm-246 677E-04
Tabela 86 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 3
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 150E-02
U-235 318E-01
U-236 186E-02
U-238 193E+02
Np-237 313E-02
Pu-236 911E-08
Pu-238 987E-03
Pu-239 431E+01
Pu-240 456E+00
Pu-241 295E-01
Pu-242 206E-02
Am-241 223E-02
Am-242 408E-04
Am-243 756E-04
Cm-242 563E-04
Cm-243 905E-06
Cm244 553E-05
Cm-245 200E-06
Cm-246 241E-08
75
Tabela 87 Composiccedilatildeo
do revestimento da vareta
de combustiacutevel
(densidade 75357
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Fe-54 408E+01
Fe-56 641E+02
Fe-57 148E+01
Fe-58 197E+00
Ni-58 293E+00
Ni-60 113E+00
Ni-61 491E-02
Ni-62 157E-01
Ni-64 399E-02
Cr-50 451E+00
Cr-52 870E+01
Cr-53 987E+00
Cr-54 246E+00
Mn-55 460E+00
Zr-nat 491E+00
Tabela 88 Composiccedilatildeo
do refletor (densidade
53908 gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Na-23 715E+01
Fe-54 277E+01
Fe-56 435E+02
Fe-57 101E+01
Fe-58 134E+00
Ni-58 199E+00
Ni-60 767E-01
Ni-61 333E-02
Ni-62 106E-01
Ni-64 271E-02
Cr-50 306E+00
Cr-52 591E+01
Cr-53 670E+00
Cr-54 167E+00
Mn-55 312E+00
Zr-nat 333E+00
Tabela 89 Composiccedilatildeo
da barra de controle
(densidade 15643
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
C-12 407E+01
B-10 164E+02
B-11 662E+02
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR
Paracircmetro Valor (cm)
ldquoPicthrdquo do elemento combustiacutevel 14685
ldquoPitchrdquo da varetas de combustiacutevel 09134
Diacircmetro da vareta de combustiacutevel 08048
Espessura do revestimento 00523
Altura ativa do combustiacutevel 844108
76
A biblioteca de dados utilizada foi a ENDF B-VI6a que eacute fornecida juntamente
com o MCNPX 26 Esta biblioteca foi avaliada em diferentes temperaturas O
refrigerante utilizado na simulaccedilatildeo deste reator eacute o soacutedio com uma concentraccedilatildeo de
22272x10-2 aacutetomosbarnsmiddotcm
Como o MCNPX e o SERPENT natildeo permitem a mudanccedila na temperatura
durante a simulaccedilatildeo caso queira-se avaliar o efeito da temperatura deve-se ter as
bibliotecas nas temperaturas requeridas refazer a simulaccedilatildeo e comparar os
resultados
A simulaccedilatildeo deste sistema foi feita com um total de 130 ciclos mas somente os
uacuteltimos 100 ciclos satildeo contabilizados nos resultados Cada ciclo foi simulado com
1x104 necircutrons totalizando 106 necircutrons isto sem levar em conta os necircutrons
produzidos por fissatildeo A Tabela 811 mostra a divisatildeo dos intervalos utilizados na
queima do combustiacutevel na simulaccedilatildeo do reator ABTR
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR
Intervalo Duraccedilatildeo (dias)
1 2739
2 2739
3 5478
4 10956
5 10956
6 10956
7 10956
8 10956
9 10956
10 10956
11 10956
12 10956
O proacuteximo passo foi realizar a simulaccedilatildeo deste mesmo sistema no SERPENT
1118 para a comparaccedilatildeo com o resultado do MCNPX e verificar se os resultados de
ambos os coacutedigos MC satildeo compatiacuteveis para o caso de reatores subcriacuteticos A Figura
85 mostra o nuacutecleo do reator simulado no SERPENT
77
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT
A simulaccedilatildeo tambeacutem foi realizada com 130 ciclos utilizando o mesmo nuacutemero
de necircutrons que na simulaccedilatildeo feita pelo o MCNPX
Com estas condiccedilotildees Allen et al (2011) obtiveram um keff de 104961 Ao
reproduzir esta simulaccedilatildeo foi obtido um keff inicial de 104622 ou seja uma diferenccedila
de 83 pcm
Vale ressaltar que o tempo de simulaccedilatildeo do SERPENT para este mesmo
sistema foi de aproximadamente 20 h Isso se deve ao fato que o SERPENT eacute
especiacutefico para simulaccedilatildeo de reatores enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo mais geral
Assim o SERPENT pode utilizar mecanismos de otimizaccedilatildeo como por exemplo uma
mudanccedila no algoritmo de caacutelculo do livre caminho meacutedio sem perda de informaccedilatildeo
Os resultados da comparaccedilatildeo satildeo apresentados na Tabela 812 Jaacute os graacuteficos
das Figuras 87 e 88 mostram a comparaccedilatildeo do keff e da queima nos dois sistemas
respectivamente Pode-se observar atraveacutes da Figura 86 que o reator simulado se
torna subcriacutetico somente apoacutes 550 dias de operaccedilatildeo
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
78
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT
Tempo
(dias)
Reatividade (pcm) Burnup (GwdMTU)
Diferenccedila3
reatividade
(pcm)
Diferenccedila1
Burnup
(GwdMTU)
MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT
00 4335 4418 0000 0000 83 0000
2739 4033 4114 1325 1324 81 0001
5478 3906 3788 2649 2649 118 0000
1096 3544 3462 5298 5297 81 0001
2191 2759 2343 10600 10594 415 0006
3287 1749 1642 15890 15891 106 0001
4382 1053 1255 21190 21188 202 0002
5478 15 106 26490 26485 91 0005
6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008
7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011
8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014
9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007
10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094
095
096
097
098
099
100
101
102
103
104
105
106
Kef
f
Tempo (Dias)
MCNPX SERPENT
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT
1 diferenccedila burnup = |burnup MCNPX ndash burnup SERPENT|
3 diferenccedila reatividade = |Keff MCNPX ndash keff SERPENT|
79
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000
10
20
30
40
50
60
burn
up (
Gw
dM
TU
)
tempo (Dias)
MCNPX 26 SERPENT
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT
Uma opccedilatildeo interessante na simulaccedilatildeo realizada com o SERPENT eacute a
possibilidade de uma visualizaccedilatildeo das aacutereas mais lsquoquentesrsquo do reator que satildeo
representadas por tons de vermelho e amarelo representando a potecircncia relativa da
fissatildeo nuclear e em tons de azul satildeo as aacutereas lsquofriasrsquo representando fluxo teacutermico
relativo (ver Figuras 89 e 810)
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do reator PWR simulado
80
Para a observaccedilatildeo nas alteraccedilotildees nos esquemas de cores a normalizaccedilatildeo eacute
fixa apoacutes o primeiro passo de queima A Figura 89 abaixo mostra a representaccedilatildeo das
aacutereas quentes e frias para o reator ABTR simulado por Allen et al (2010) em quatro
estaacutegios diferentes de queima
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias
A partir das Tabelas 812 83 e do graacutefico da Figura 86 pode-se verificar que
os dois coacutedigos MC apresentam resultados satisfatoacuterios para os valores do keff com
diferenccedila maacutexima de 415 pcm para o reator ABTR Esta diferenccedila pode ser devido agrave
geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios presente no meacutetodo MC Uma maneira de ser diminuir
esta diferenccedila eacute aumentando a quantidade de partiacuteculas simuladas poreacutem o tempo de
simulaccedilatildeo tornar-se demasiadamente grande (Antolin 2009) Outra possibilidade eacute a
falta de dados mais precisos dos materiais utilizados como combustiacuteveis no reator
ABTR
Como o coacutedigo SERPENT eacute mais novo a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do mesmo
sistema simulado no MCNPX se justifica para saber se o coacutedigo SERPENT reproduz
sistemas subcriacuteticos adequadamente Aleacutem disso o SERPENT permite a simulaccedilatildeo
de reatores nucleares com fonte externa mesmo que estas simulaccedilotildees se limitem a
a b
c d
81
problemas de fonte externa fixa Devemos lembrar que o SERPENT soacute realiza
simulaccedilatildeo de reatores nucleares enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo que pode ser
aplicados a outros problemas aleacutem de simulaccedilotildees de reatores
82
9 Resultados
As equaccedilotildees da cineacutetica pontual obtidas no capiacutetulo 3 para sistemas
subcriacuteticos foram comparadas com a simulaccedilatildeo MC devido agrave dificuldade de se obter
dados experimentais de reatores subcriacuteticos As simulaccedilotildees foram feitas utilizando
potecircncia constante linear exponencial e tambeacutem uma variaccedilatildeo aleatoacuteria
A utilizaccedilatildeo do meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear eacute interessante por
permitir a implementaccedilatildeo de sistemas de monitoramento em tempo real da reatividade
associada a uma variaccedilatildeo da potecircncia nuclear tornando-se muito atraente para
aplicaccedilotildees em reatores do tipo ADS
A Figura 91 mostra a geometria utilizada nas simulaccedilotildees de todos os casos
simulados As composiccedilotildees dos materiais satildeo as mesmas mostradas nas Tabelas 87
88 e 89 para vareta refletor barra de controle e da vareta de combustiacutevel Para a
composiccedilatildeo do combustiacutevel foi usada agrave composiccedilatildeo mostrada na Tabela 91
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado
Elemento Concentraccedilatildeo
(fraccedilatildeo de massa)
U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico
Legenda
Combustiacutevel
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
83
Os valores utilizados para a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo Monte Carlo com os
resultados das equaccedilotildees para cada um dos casos do capiacutetulo 3 encontram-se na
Tabela 92 Esses valores foram obtidos diretamente do arquivo de saiacuteda da simulaccedilatildeo
realizada no SERPENT com a exceccedilatildeo do valor de Γ que foi extraiacutedo de Silva (2011)
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos
Paracircmetro Valor
β 000706
Λ 121x10-5 s
λ 21979x10-1 s
Γ -077x10-10
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia
Nuclear
Para um reator subcriacutetico chegar a sua potecircncia de operaccedilatildeo deve-se
monitorar a reatividade para se evitar algum tipo de acidente Assim podemos supor
uma inserccedilatildeo de reatividade de maneira linear (equaccedilatildeo 443) Esta simulaccedilatildeo foi feita
considerando uma taxa de aumento de 5 por hora do valor inicial da potecircncia sendo
monitorado por um periacuteodo de 6 horas
A Tabela 93 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos entre o SERPENT e
a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa
92 Potecircncia Nuclear Constante
Para a simulaccedilatildeo realizada a potecircncia constante o tempo total de simulaccedilatildeo foi
de cerca de 12 horas Esta diferenccedila se daacute unicamente devido ao diferente nuacutemero de
passos simulados enquanto foram simulados 6 passos de uma hora para a variaccedilatildeo
84
linear da potecircncia foram simulados 10 passos para a potencia constante Esta
simulaccedilatildeo tenta reproduzir a operaccedilatildeo em condiccedilotildees normais do reator A Tabela 94
mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos para a potecircncia de 80 MW
93 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
A variaccedilatildeo exponencial da potecircncia foi simulada por um periacuteodo de 1 hora em
intervalos de 10 minutos A Tabela 95 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos
com uma taxa de aumento de 00001
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(h) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 1 -2069 -2125 -2119 56 50
84 2 -2050 -2125 -2125 75 75
88 3 -2122 -2134 -2134 12 12
92 4 -2077 -2143 -2143 66 66
96 5 -2142 -2151 -2151 9 9
100 6 -2119 -2158 -2158 39 39
85
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
Gandini -
SERPENT
0 -2133 -2146 -2146 12 12
10 -2152 -2146 -2146 6 6
20 -2144 -2146 -2146 2 2
30 -2167 -2146 -2146 21 21
40 -2151 -2146 -2146 5 5
50 -2127 -2146 -2146 18 18
60 -2177 -2146 -2146 31 31
70 -2145 -2146 -2146 0 0
80 -2152 -2146 -2146 6 6
90 -2160 -2146 -2146 14 14
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da potecircncia
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2065 2120 2120 55 55
115 10 2108 2107 2107 0 0
165 20 2104 2115 2114 11 10
235 30 2070 2114 2115 44 45
337 40 2083 2115 2115 32 32
483 50 2126 2115 2117 11 9
86
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
A avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia durante
sua operaccedilatildeo foi feita durante um periacuteodo de 6 horas Neste intervalo foi simulada uma
suacutebita queda de potecircncia e posteriormente uma subida repentina da potecircncia A
Tabela 96 mostra os resultados obtidos
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2075 2029 2029 46 46
90 1 2075 2188 2188 113 113
0 2 2143 2118 2118 24 24
40 3 2050 2120 2120 70 70
80 4 2133 2231 2231 97 97
100 5 2080 2163 2163 83 83
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Nesta seccedilatildeo seratildeo apresentados os resultados obtidos levando-se em conta a
variaccedilatildeo temporal da fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo dos
necircutrons
87
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia
Assim como na seccedilatildeo 91 a Tabela 97 mostra os resultados obtidos para uma
variaccedilatildeo linear de potecircncia poreacutem os resultados abaixo foram levados em conta agraves
variaccedilotildees temporais de β e de Λ Como o SERPENT jaacute fornece os valores de β e Λ
para cada passo de queima esses valores foram utilizados para a obtenccedilatildeo da reta de
ajuste que foi utilizada em todos os casos com variaccedilatildeo temporal de β e de Λ Assim
natildeo foi necessaacuterio realizar novas simulaccedilotildees
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Λ (x10-5)
(s)
β
(pcm)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF ndash
SERPENT
HGPT ndash
SERPENT
80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6
84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0
88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28
92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80
96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127
100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141
952 Potecircncia constante
Jaacute para o reator operando a uma potecircncia constante a Tabela 98 mostra os
resultados obtidos para variaccedilotildees lineares de β e Λ Lembrando que esta a duraccedilatildeo
desta simulaccedilatildeo foi de aproximadamente 12 horas
88
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia constante
Tempo
(min) Λ (x10-5) (s)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7
10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6
20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5
30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17
40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4
50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18
60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31
70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0
80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1
90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14
953 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
Utilizando a mesma variaccedilatildeo de potencia da seccedilatildeo 93 a operaccedilatildeo do reator
foi simulada por um periacuteodo de 6 horas Para este caso a taxa de aumento de
potecircncia tambeacutem foi de 00001 A Tabela 99 mostra os resultados obtidos
89
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Mais uma vez realizando a mesma variaccedilatildeo de potecircncia da seccedilatildeo 94 a
avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia tambeacutem foi
realizada juntamente com a variaccedilatildeo de β e Λ A Tabela 910 mostra os resultados
obtidos
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia com β e Λ variaacuteveis no tempo
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125
115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36
165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13
235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9
337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80
483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Serpent TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102
90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2
0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79
40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51
80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140
100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23
90
96 Paracircmetros Nucleares
Os paracircmetros integrais satildeo muitas vezes utilizados para dar informaccedilotildees
imediatas e completas sobre as caracteriacutesticas fiacutesicas dos reatores nucleares Eles
podem aparecer diretamente da modelagem matemaacutetica do sistema ou podem ser
introduzidos tanto artificialmente com a finalidade de quantificar as caracteriacutesticas
fiacutesicas pra que se permitam comparaccedilotildees entre diferentes configuraccedilotildees ou na
interpretaccedilatildeo das mediccedilotildees experimentais Assim enquanto algumas quantidades
integrais em fiacutesica de reatores deteacutem um significado matemaacutetico (por exemplo o fator
de multiplicaccedilatildeo como sendo o autovalor do problema de equiliacutebrio) outras
quantidades podem carregar significados diferentes de acordo com os objetivos
especiacuteficos para os quais satildeo introduzidos Este fato pode causar uma grande
confusatildeo especialmente quando o mesmo termo eacute utilizado para denotar grandezas
fiacutesicas bastante diferentes Este eacute o caso por exemplo de paracircmetros integrais
introduzidos em modelos cineacuteticos que satildeo obtidos atraveacutes da ponderaccedilatildeo das
equaccedilotildees da cineacutetica Enquanto que o procedimento eacute bem estabelecido na cineacutetica
dos de sistemas criacuteticos o caso de sistemas com fonte externa pode estar aberto a
ambiguidade jaacute que natildeo existe uma uacutenica funccedilatildeo de ponderaccedilatildeo e sua escolha pode
ser relacionada mais para conveniecircncia numeacuterica ou para a necessidade de obter
alguns resultados muitos especiacuteficos (Dulla 2011)
Por outro lado muitas vezes esses mesmos termos podem ser obtidos por
exemplo por teacutecnicas de simulaccedilatildeo MC Este eacute o caso de reatividade fraccedilatildeo de
necircutrons retardados e o tempo de geraccedilatildeo de necircutrons Eacute especialmente importante
observar que os sistemas subcriacuteticos exigem um repensar de toda abordagem teoacuterica
concebida para sistemas criacuteticos
Anaacutelises realiacutesticas da cineacutetica de sistemas subcriacuteticos satildeo atualmente feitas
atraveacutes da soluccedilatildeo direta das equaccedilotildees seja por difusatildeo ou por modelos de
transporte Informaccedilotildees altamente detalhadas e precisas sobre a evoluccedilatildeo dos
necircutrons satildeo necessaacuterias entretanto os modelos pontuais satildeo muito simplificados e
podem natildeo fornecer informaccedilotildees suficientes Aleacutem disso ferramentas numeacutericas e
computacionais eficientes estatildeo disponiacuteveis tornando possiacutevel evitar as restriccedilotildees dos
modelos da cineacutetica pontual No entanto os paracircmetros integrais satildeo uacuteteis em
qualquer caso para a obtenccedilatildeo de informaccedilotildees completas sobre o comportamento
fiacutesico do sistema para ter uma indicaccedilatildeo imediata sobre as caracteriacutesticas cineacuteticas do
sistema
91
O conceito de paracircmetros integrais parece perder significado e relevacircncia para
sistemas subcriacuteticos guiados por fonte Por isso para as quantidades integrais
medidas ou simuladas as definiccedilotildees dos paracircmetros gerados devem sempre estar
especificados para evitar interpretaccedilotildees equivocadas e incorretas de tais resultados
Para comparar alguns paracircmetros as simulaccedilotildees foram feitas utilizando tanto
combustiacutevel fresco quanto combustiacutevel usado Assim pode-se comparar alguns
paracircmetros nucleares do iniacutecio do ciclo de combustiacutevel com os resultados de
combustiacutevel no final do ciclo Alguns paracircmetros como a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados (β) e o tempo de geraccedilatildeo meacutedia de necircutrons (Λ) satildeo fornecidos pelo coacutedigo
SERPENT ao final de cada simulaccedilatildeo
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares
Paracircmetro Combustiacutevel
fresco
Combustiacutevel
queimado
Referecircncia (Dulla et
al 2011)
β 000706 000340 000644
Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s
A partir da Tabela 911 pode-se verificar que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
tem uma diminuiccedilatildeo de quase a metade em comparaccedilatildeo ao seu valor inicial Isso eacute de
se esperar devido agrave queima do combustiacutevel fazendo com que este paracircmetro natildeo seja
tatildeo importante na operaccedilatildeo de um reator nuclear no final do ciclo do combustiacutevel como
eacute em seu iniacutecio
O valor para a fraccedilatildeo de necircutrons retardados para combustiacutevel fresco no
reator subcriacutetico Yalina operando a um keff de 098 eacute de 644 pcm (Dulla et al 2011) ou
seja uma diferenccedila de 62 pcm em relaccedilatildeo ao valor encontrado na Tabela 911 Vale
ressaltar que segundo Dulla et al (2011) os paracircmetros integrais dependem do niacutevel
de subcriticalidade
Outro paracircmetro importante para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de cineacutetica pontual e
para o controle do reator sendo muitas vezes utilizado para determinar a resposta
dinacircmica de um reator nuclear eacute o tempo de vida de necircutrons prontos (Λ) (Abaacutenades
et al 2001) Para reatores teacutermicos este valor eacute em torno de 10-4 s enquanto para
reatores subcriacuteticos este valor eacute da ordem de 10-5 s Segundo Dulla et al (2011) o
valor para este paracircmetro eacute de 148 micros para combustiacutevel fresco Assim o valor
encontrado (121 micros) eacute proacuteximo ao encontrado na literatura com um desvio percentual
92
de 18 Este desvio pode se devido agraves diferentes composiccedilotildees do combustiacutevel e
tambeacutem pela diferenccedila de enriquecimento
93
10 Conclusatildeo
A mediccedilatildeo da reatividade utilizando-se a cineacutetica inversa eacute amplamente
utilizada na partida de um reator nuclear Assim uma mediccedilatildeo acurada da reatividade
eacute imprescindiacutevel para o controle do reator (Diacuteaz et al 2007)
Os formalismos propostos por Gandini (2000) e por Silva et al (2011) envolvem
a fonte externa para descriccedilatildeo do comportamento cineacutetico dos reatores subcriacuteticos
guiados por fontes Poreacutem como ainda natildeo existem reatores ADS em operaccedilatildeo as
simulaccedilotildees de tais sistemas satildeo importantes para a avaliaccedilatildeo preliminar do
funcionamento desses reatores
Os resultados apresentados no capiacutetulo anterior mostram que as equaccedilotildees da
cineacutetica inversa para sistemas subcriacuteticos propostas nesta tese reproduzem
satisfatoriamente os reatores subcriacuteticos guiados por fonte sejam utilizando o meacutetodo
das derivadas quanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia tanto para o
formalismo proposto por Gandini (2000) quanto o proposto por Silva et al (2011)
Ainda pode-se notar que tanto para valores constantes como para variaccedilotildees lineares
de β e Λ os resultados satildeo coerentes Isto ocorre devido agrave pequena variaccedilatildeo de β
(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)
Vale ressaltar que o meacutetodo das derivadas se torna interessante para o
monitoramento da reatividade por natildeo necessitar do armazenamento de todo o
histoacuterico potecircncia e depender apenas das derivadas da potecircncia possibilitando que o
caacutelculo da reatividade seja feito com uma maior rapidez se comparado com o tempo
necessaacuterio para resolver a integral do histoacuterico de potecircncia Aleacutem disso este meacutetodo
natildeo necessita do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator e o caacutelculo
pode ser reiniciado em caso de mau funcionamento do equipamento de mediccedilatildeo da
reatividade
A simulaccedilatildeo Monte Carlo foi utilizada para a validaccedilatildeo dos meacutetodos propostos
devido agrave falta de dados nucleares para reatores subcriacuteticos poreacutem mesmo com a boa
reproduccedilatildeo deste tipo de simulaccedilatildeo a modelagem utilizada por estes meacutetodos
encontra problemas pois os dados nucleares disponiacuteveis para alguns actiniacutedeos natildeo
atendem as faixas de energia necessaacuterias para a simulaccedilatildeo de um reator ADS Esses
dados devem cobrir aleacutem de uma vasta gama de energia e um grande conjunto de
nucliacutedeos (Vaz 2010) pois o grande atrativo dos reatores ADS eacute a transmutaccedilatildeo de
rejeitos de longa meia vida e tambeacutem a produccedilatildeo de energia eleacutetrica Assim a ecircnfase
94
dos dados nucleares deve ser nos actiniacutedeos (por exemplo Np Am e o Cm) para o
acompanhamento do ciclo de combustiacutevel com a finalidade de reciclagem muacuteltipla
Mesmo assim a simulaccedilatildeo realizada para a validaccedilatildeo das equaccedilotildees propostas por
Gandini (2000) e por Silva et al (2011) mostra-se coerente para anaacutelise completa da
reatividade de um reator subcriacutetico guiado por fonte
Ainda assim a simulaccedilatildeo Monte Carlo pode ser utilizada para a anaacutelise
preliminar de alguns paracircmetros dos reatores nucleares (criacuteticos ou subcriacuteticos) como
por exemplo o fator de multiplicaccedilatildeo efetivo a fraccedilatildeo de necircutrons retardados e uma
boa aproximaccedilatildeo da quantidade de material transmutado ajudando a prever o
comportamento meacutedio do reator
Pode-se verificar que existe uma boa concordacircncia entre os valores
encontrados para os paracircmetros nucleares e os existentes na literatura Uma possiacutevel
melhora nesses resultados passa por um aumento significativo na quantidade de
histoacuterias simuladas
Este aumento contribuiria para a diminuiccedilatildeo dos erros estatiacutesticos intriacutensecos
do meacutetodo Monte Carlo Poreacutem o tempo de simulaccedilatildeo tambeacutem aumentaria
sensivelmente pois o meacutetodo MC necessita da simulaccedilatildeo individual de cada partiacutecula
podendo levar um tempo absurdamente grande para a simulaccedilatildeo de todo o sistema
Poreacutem mesmo com a ldquofaltardquo de dados nucleares mais precisos para os
actiniacutedeos a simulaccedilatildeo MC se mostra uma importante ferramenta na aacuterea de fiacutesica de
reatores devido a sua facilidade de trabalhar com geometrias bastante complexas
permitindo tambeacutem a simulaccedilatildeo desses sistemas em trecircs dimensotildees
Uma soluccedilatildeo interessante para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares seriam os
meacutetodos computacionais hiacutebridos ou seja um meacutetodo resultante da fusatildeo da
simulaccedilatildeo Monte Carlo com teacutecnicas determiniacutesticas Assim poder-se-ia melhorar os
pontos fortes e eliminar as fraquezas individuais do meacutetodo MC e das abordagens
deterministas Apesar de algumas exceccedilotildees o desenvolvimento de ferramentas
computacionais hiacutebridas eacute no entanto ainda largamente inexplorado (Vaz 2010)
95
11 Referecircncias Bibliograacuteficas
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vii
Abstract of Thesis presented to COPPEUFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (DSc)
SIMULATION OF A ADS SUBCRITICAL REACTOR VIA MONTE CARLO FOR
VALIDATION OF REACTIVITY CALCULATION
Mauricio Quelhas Antolin
February2013
Advisors Aquilino Senra Martinez
Fernando Carvalho da Silva
Department Nuclear Engineering
One of the great attractions of ADS reactors is due to the possibility of
transmutation of waste produced by conventional power plants reducing waste by
reducing the storage of long half-life in long-term geological repositories But the kinetic
behavior of these reactors is still an open question given that there is no ADS reactor
in operation worldwide Therefore this work proposes a method for calculating reactivity
for subcritical reactors driven by source (ADS) using the method of partial derivatives of
nuclear power which allows a faster calculation and not need the storage the whole
history of reactor power The results were compared with numerical simulations
performed by the Monte Carlo method and show good agreement
viii
Sumaacuterio Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xi
1 Introduccedilatildeo 1
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para Reatores Subcriacuteticos 8
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 9
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 14
23 Cineacutetica Inversa 17
231 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 18
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 18
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico de Potecircncia 19
31 Meacutetodo de Agrupamento 19
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada 21
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da intensidade da fonte externa 23
34 Meacutetodo das Derivadas 24
341 Anaacutelise para k impar 25
342 Anaacutelise para k par 29
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com dependecircncia temporal de β e Λ 32
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 32
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 33
43 Meacutetodo das Derivadas para Dependecircncia Temporal de β e de Λ 34
431 Anaacutelise para k impar 35
432 Anaacutelise para k par 37
5 Caacutelculo da reatividade para algumas variaccedilotildees da potecircncia nuclear 40
51 Potecircncia Linear 40
511 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 40
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 42
52 Potecircncia Constante 43
521 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 43
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 44
53 Potecircncia Exponencial 45
531 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 45
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 46
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 47
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com Dependecircncia temporal de β e Λ 49
61 Potencia Linear 49
ix
611 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 49
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 50
62 Potecircncia Constante 51
621 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 51
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 51
63 Potecircncia Exponencial 52
631 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 52
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 52
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 53
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica 54
71 Funccedilotildees Densidade de Probabilidades 57
72 Meacutetodo direto ou inverso 60
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo 63
74 Meacutetodos Monte Carlo para Reatores Subcriacuteticos 65
75 Conceito de Reatores ADS 66
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos Utilizados 68
9 Resultados 82
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia Nuclear 83
92 Potecircncia Nuclear Constante 83
93 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 84
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 86
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ 86
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia 87
952 Potecircncia constante 87
953 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 88
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 89
96 Paracircmetros Nucleares 90
10 Conclusatildeo 93
11 Referecircncias Bibliograacuteficas 95
x
Lista de Figuras
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996 3
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de
Yoriyaz 2009 55
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio 58
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio 58
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo 59
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003) 61
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula 62
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo 64
Figura 78 Processo de caacutelculo de π 65
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009 66
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS 67
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR 72
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER 72
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU 72
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX 73
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT 77
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT 78
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT 79
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do
reator PWR simulado 79
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do
ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias 80
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico 82
xi
Lista de Tabelas
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-
nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012) 2
Tabela 81 Exemplo de um revestimento de zircaloy no MCNPX 71
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de uracircnio no SERPENT 71
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER 73
Tabela 84Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 1 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 85 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 2 (densidade 10851 gcm3) 74
Tabela 86 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 3 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 87 Composiccedilatildeo do revestimento da vareta de combustiacutevel (densidade 75357
gcm3) 75
Tabela 88 Composiccedilatildeo do refletor (densidade 53908 gcm3) 75
Tabela 89 Composiccedilatildeo da barra de controle (densidade 15643 gcm3) 75
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR 75
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR 76
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT 78
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado 82
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos 83
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear 84
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante 85
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia 85
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados 86
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ 87
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia linear constante 88
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares 91
1
1 Introduccedilatildeo
Grande parte da energia eleacutetrica produzida por reatores nucleares satildeo
provenientes de reatores a aacutegua leve devido agrave utilizaccedilatildeo de material fiacutessil pouco
enriquecido para seu funcionamento o que torna sua construccedilatildeo e operaccedilatildeo
bastantes atrativos mesmo com os altos custos de construccedilatildeo e manutenccedilatildeo das
centrais nucleares Aleacutem disso o conhecimento do clico teacutermico utilizados por esses
reatores impulsionaram seu desenvolvimento (Pereira 2002)
Poreacutem estes reatores utilizam ciclo de combustiacutevel aberto e produzem uma
grande quantidade de rejeitos o que inclui grande quantidade de elementos
transuracircnicos (Am Cm Np entre outros) que possuem uma alta meia-vida (cerca de
107 anos)
Assim existe uma grande preocupaccedilatildeo na utilizaccedilatildeo desses reatores natildeo soacute
na prevenccedilatildeo de acidentes mas tambeacutem devido agrave proliferaccedilatildeo de armas nucleares e
agrave necessidade de repositoacuterios finais de estocagem de longa duraccedilatildeo (Iwanaga et al
2005) o que cria uma barreira de sua aplicaccedilatildeo
Atualmente grande parte do combustiacutevel queimado no mundo eacute armazenado
em piscinas dentro das proacuteprias usinas nucleares e em alguns casos o
armazenamento que deveria ser temporaacuterio persiste haacute deacutecadas Estima-se que o
aumento de combustiacutevel utilizado esteja em torno de 12000 toneladas por ano sendo
que apenas 3000 toneladas deste combustiacutevel vatildeo para o reprocessamento1
Uma forma de contornar o problema da estocagem eacute atraveacutes da queima dos
rejeitos provenientes dos reatores nucleares de potecircncia em outros tipos de reatores
Inicialmente os reatores raacutepidos foram os primeiros a serem considerados para
esta finalidade por proporcionar aleacutem de uma melhor utilizaccedilatildeo das reservas de
uracircnio a possibilidade de transmutaccedilatildeo dos elementos transuracircnicos Poreacutem
dificuldades na operaccedilatildeo de reatores raacutepidos criacuteticos como por exemplo o controle da
criticalidade e tambeacutem a oxidaccedilatildeo do material usado como refrigerante (soacutedio)
dificultaram o seu uso
Cerca de 20 reatores raacutepidos jaacute entraram em operaccedilatildeo desde a deacutecada de
1950 sendo em sua maioria reatores de pesquisa Comercialmente apenas o reator
francecircs Superphenix chegou a entrar em operaccedilatildeo comercial Ele foi desenvolvido
para gerar 12 GW de energia eleacutetrica poreacutem foi fechado em 1998 devido a falhas
1 httpwwwworld-nuclearorginfoNuclear-Fuel-CycleNuclear-WastesRadioactive-Waste-
ManagementUTn-jaVtivM
2
estruturais alto custo e repetidos incidentes O Superphoenix funcionou apenas 10
meses em 13 anos
Os reatores raacutepidos satildeo projetados para usar 238U e tambeacutem 235U usado na
maioria dos reatores Se esses reatores satildeo projetados para produzir mais plutocircnio do
que consomem eles satildeo chamados reatores reprodutores raacutepidos (FBR) (Lodhi et al
2009) Os reatores raacutepidos tambeacutem podem queimar actiniacutedeos que possuem alta meia
vida que podem ser transmutados em outros elementos para o uso em reatores
convencionais (LWR) A Tabela 11 mostra alguns reatores raacutepidos que entraram ou
entraratildeo em operaccedilatildeo no mundo
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012)
Paiacutes Reator Tipo Potecircncia
Eleacutetrica (MWe)
Potecircncia
Teacutermica (MW) Operaccedilatildeo
USA
EBR 1 02 14 1951-63
EBR II Pesquisa 20 625 1963-94
Fermi 1 Pesquisa 66 200 1963-72
SEFOR
20 1969-72
Fast Flux Test
Facility Pesquisa
400 1980-93
Inglaterra Protoype FR Protoacutetipo 15 60 1959-77
Dounreay FR Pesquisa 270 650 1974-94
Franccedila
Rapsodie Pesquisa 40 1966-82
Phenix Protoacutetipo 250 563 1973-2009
Superphenix Comercial 1240 3000 1985-98
Alemanha KNK 2 Pesquisa 21 58 1977-91
Iacutendia FBTR Pesquisa
40 1985-
PFBR Protoacutetipo 500 1250 2012-
Japatildeo
Joyo Pesquisa
140 1978-
Monju Protoacutetipo 280 714 1994-96
2010-
Cazaquistatildeo BN 350 Protoacutetipo 135 750 1972-99
Ruacutessia
BN 12
101 1950
BR 5 10 Obninsk Pesquisa
5 8 1959-71
1973-
BOR 60
Dimitrovgrad Pesquisa 12 55 1969-
BN 600 Beloyarsk 3 Protoacutetipo 600 1470 1980-
BN-800 Beloyarsk 4 Comercial 880 2000 2014-
China CEFR Pesquisa 20 65 2010-
3
Vaacuterios paiacuteses tecircm programas de pesquisa e desenvolvimento para melhorar os
reatores raacutepidos Aleacutem disso o projeto internacional em inovaccedilatildeo de reatores
nucleares e ciclo de combustiacutevel (INPRO) da agecircncia internacional de energia atocircmica
(AIEA) possui como ecircnfase os reatores raacutepidos para funcionarem com o ciclo de
combustiacutevel fechado
Os problemas encontrados na operaccedilatildeo dos reatores raacutepidos podem ser
contornados utilizando um conceito onde os necircutrons que satildeo produzidos por uma
reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo a um custo eleacutetrico pequeno entram em um meio multiplicativo
com uma configuraccedilatildeo de combustiacutevelmoderador (Rubbia et al 1996) Esses reatores
satildeo chamados reatores hiacutebridos devido ao acoplamento de um acelerador de
partiacuteculas para seu funcionamento A Figura 11 mostra uma concepccedilatildeo do esquema
de funcionamento desses tipos de reatores
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996
Este conceito de reator foi proposto desde os anos 1970 (Maniscalco et al
1974) Poreacutem dificuldades tecnoloacutegicas adiaram seu desenvolvimento pois estes
aceleradores de partiacuteculas devem ser extremamente confiaacuteveis durante a operaccedilatildeo do
reator
Os reatores hiacutebridos subcriacuteticos satildeo atraentes por proporcionar melhor
utilizaccedilatildeo dos recursos naturais e tem sido amplamente reconhecidos como sendo
altamente seguros (Rubbia et al 1995) A principal vantagem deste tipo de reator eacute a
operaccedilatildeo de um reator com fator de multiplicaccedilatildeo menor que a unidade (keff lt1) em
Acelerador
Nuacutecleo
Turbina
Condensador
Trocador de Calor
Gerador
4
que as reaccedilotildees de fissatildeo devem ser desencadeadas por um intenso feixe de
partiacuteculas carregadas aceleradas como por exemplo proacutetons ou iacuteons pesados com
energia entre 05 - 50 GeV por nucleon (Perelygin et al 1999)
Aleacutem disso o objetivo da transmutaccedilatildeo eacute a minimizaccedilatildeo de rejeitos nucleares
atraveacutes da transmutaccedilatildeo dos actiniacutedeos menores (AM) como Np Am e Cm Portanto
esses reatores devem ser carregados com combustiacutevel que contenha grandes
quantidades de AM
Para poderem realizar a transmutaccedilatildeo esses reatores utilizam necircutrons no
espectro raacutepido Isto ocorre porque nessa faixa de energia a seccedilatildeo de choque de
fissatildeo eacute mais favoraacutevel para a transmutaccedilatildeo dos AM Assim esses reatores se
caracterizam por uma baixa fraccedilatildeo de necircutrons retardados o que implica em raacutepidas e
grandes variaccedilotildees de potecircncia para uma pequena variaccedilatildeo na reatividade (Sordo et
al 2009) Segundo Rubbia et al (1996) uma mudanccedila suacutebita de +01 em um fator de
multiplicaccedilatildeo inicialmente a 095 causa um aumento na potecircncia de aproximadamente
20 Este aumento de reatividade em um reator raacutepido pode ter consequecircncias
catastroacuteficas
Para as especificaccedilotildees do feixe que deve sustentar o funcionamento do reator
Rubbia et al (1995) afirma que existe pouca ou nenhuma vantagem no uso de
partiacuteculas mais sofisticadas indicando o uso exclusivo de proacutetons no feixe de
partiacuteculas
Os reatores hiacutebridos ainda necessitam de um forte desenvolvimento o que
inclui novos combustiacuteveis e novas teacutecnicas de reprocessamento e tais programas
ainda natildeo foram totalmente desenvolvidos De qualquer forma o conceito de reator
hiacutebrido pode ser uma ferramenta potencial para obter o melhor domiacutenio da fissatildeo para
a geraccedilatildeo de energia eleacutetrica e sem o uso de reatores regeneradores raacutepidos (que
satildeo criacuteticos) que apresentam mais problemas na seguranccedila do que os reatores
subcriacuteticos (Piera et al 2010)
Inicialmente as especificaccedilotildees do feixe de partiacuteculas deveria ser capaz de
enviar proacutetons de no miacutenimo 1 GeV de energia o que implica em uma corrente de 10
agrave 15 mA Caso mais energia seja necessaacuteria pode-se usar vaacuterios feixes em paralelo
(Rubbia et al 1995)
O alvo atingido pelo feixe de partiacuteculas aceleradas pode ser o uracircnio natural ou
empobrecido o chumbo liacutequido ou outro material de alto nuacutemero atocircmico Assim os
necircutrons gerados nesta reaccedilatildeo entram no reator subcriacutetico que cerca o alvo
Mais recentemente Sordo et al (2009) afirmou que o alvo mais eficiente para
os reatores hiacutebridos eacute a liga feita de chumbo e bismuto (LBE) no estado liacutequido
bombardeado com proacutetons de energia entre 600 MeV e 1 GeV Devido a restriccedilotildees
5
termodinacircmicas os alvos de materiais soacutelidos satildeo indicados para instalaccedilotildees de baixa
potecircncia sendo pouco praacutetico para aplicaccedilotildees industriais que necessitam de potecircncias
muito maiores
O acelerador deve fornecer uma corrente de proacutetons com ampla faixa de
operaccedilatildeo pois para um reator que funcione com fator de multiplicaccedilatildeo muito menor
que a unidade deve-se evitar um desligamento natildeo programado durante seu
funcionamento
A produccedilatildeo de necircutrons na reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo determina a potecircncia teacutermica
do reator dependendo do seu niacutevel de subcriticalidade A diminuiccedilatildeo do valor do keff
devido agrave queima de combustiacutevel deve ser compensada para manter a potecircncia do
reator constante para isso pode-se aumentar a intensidade da fonte de necircutrons
Poreacutem isto induz um estresse termomecacircnico como a dilataccedilatildeo devido ao aumento
da temperatura aleacutem da maior degradaccedilatildeo natildeo soacute na estrutura do reator mas
tambeacutem e principalmente no alvo (Sordo et al 2009) O feixe de proacutetons deve ser
projetado para manter a integridade do alvo durante todo o ciclo de operaccedilatildeo
O projeto do reator hiacutebrido de pesquisa para aplicaccedilotildees de alta tecnologia
(MYRRHA) comeccedilou em 1998 pelo Centro de Pesquisas Nucleares da Beacutelgica
(SCKbullCEN) O primeiro objetivo do MYRRA seraacute demonstrar o conceito de reator ADS
a um niacutevel razoaacutevel de potecircncia e a viabilidade tecnoloacutegica da transmutaccedilatildeo de
actiniacutedeos menores e de produtos de fissatildeo de longa meia vida O MYRRHA tambeacutem
iraacute ajudar o desenvolvimento da tecnologia de ligas de chumbo necessaacuterio para os
reatores da geraccedilatildeo IV (Abderrahim et al 2005)
O reator estaacute previsto para entrar em operaccedilatildeo em 2023 e encontra-se em fase
de licenciamento sendo um dos reatores hiacutebridos com maior nuacutemero de referecircncias na
literatura Como ele pode trabalhar em modo criacutetico e subcriacutetico o MYRRHA gera uma
potecircncia entre 50 e 100 MWt O acelerador injeta proacutetons de 600 MeV no nuacutecleo do
reator e utiliza combustiacutevel tipo MOX
Apesar do grande nuacutemero de referecircncias encontradas na literatura os dados
de composiccedilatildeo de combustiacutevel paracircmetros nucleares materiais utilizados nesses
reatores e o comportamento cineacutetico satildeo escassos Por isso neste trabalho foram
utilizadas simulaccedilotildees numeacutericas pelo Meacutetodo de Monte Carlo para a avaliaccedilatildeo da
cineacutetica e dos paracircmetros nucleares desses reatores
Simulaccedilotildees computacionais de um sistema podem proporcionar importantes
informaccedilotildees para o estudo preliminar de novas tecnologias A simulaccedilatildeo pelo meacutetodo
de Monte Carlo foi escolhida pois eacute um dos meacutetodos que melhor descreve geometrias
complexas e que fornece informaccedilotildees precisas e detalhadas em trecircs dimensotildees aleacutem
de considerar a dependecircncia temporal tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
6
partiacuteculas neutras Assim o meacutetodo Monte Carlo (MC) se torna um meacutetodo atrativo
para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo MC eacute a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees de experimentos onde
os resultados satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido satildeo necessaacuterios aleacutem da simulaccedilatildeo das
partiacuteculas geradas atraveacutes da reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo coacutedigos que consigam prever a
queima do combustiacutevel Existem vaacuterios coacutedigos na literatura com esta finalidade e que
podem ser incorporados em coacutedigos mais gerais de MC
Atualmente um dos coacutedigos MC mais utilizados para simulaccedilatildeo de reatores
nucleares eacute o MCNPX (Hashemi-Nezhad et al 2002 Kadi et al 2001 Catsaros et al
2009) Este coacutedigo eacute desenvolvido pelo Laboratoacuterio Nacional de Los Alamos e
atualmente encontra-se na versatildeo 26e
O MCNPX eacute um coacutedigo MC geneacuterico de transporte de radiaccedilatildeo para modelar a
interaccedilatildeo da radiaccedilatildeo com a mateacuteria MCNPX significa Monte Carlo N-Particle
eXtended Ele estende as capacidades do MCNP4C3 a um grande nuacutemero de
partiacuteculas em uma ampla faixa de energia e para quase todas as aplicaccedilotildees sem custo
adicional de tempo computacional MCNPX faz caacutelculos tridimensionais e dependentes
do tempo Utiliza as bibliotecas mais novas de seccedilatildeo de choque nucleares aleacutem de
usar modelos fiacutesicos para as partiacuteculas que natildeo possuem dados tabulados
disponiacuteveis
O MCNPX 26e eacute capaz de realizar o caacutelculo do keff atraveacutes das geraccedilotildees de
necircutrons do fluxo de necircutrons a evoluccedilatildeo de combustiacutevel e tambeacutem calcula as
seccedilotildees de choque Poreacutem este coacutedigo natildeo permite a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees que
necessitam fonte externa de necircutrons
Atualmente um dos uacutenicos coacutedigos MC que permite a simulaccedilatildeo de um reator
controlado com fonte externa eacute o SERPENT (Leppaumlnen 2012) Este coacutedigo eacute
especiacutefico para o estudo de reatores nucleares e se encontra na versatildeo 1118
As simulaccedilotildees de MC podem fornecer importantes informaccedilotildees antes mesmo
de se iniciar a construccedilatildeo por exemplo de um reator do tipo ADS aleacutem de ter a
possibilidade de indicar quais materiais podem ser utilizados Eacute claro que a simulaccedilatildeo
natildeo substitui o experimento real mas pode ajudar a prever melhorias antes de seu
funcionamento Aleacutem disso as simulaccedilotildees podem ser utilizadas para a validaccedilatildeo de
novos meacutetodos de caacutelculo da reatividade tanto para reatores hiacutebridos quanto para
reatores teacutermicos jaacute que eacute um dos paracircmetros mais importantes em um reator
nuclear
7
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes equaccedilotildees para a cineacutetica de um reator
subcriacutetico (Gandini et al 2000 Nishihara et al 2003 Silva et al 2011) Assim com o
intuito de obter a variaccedilatildeo da reatividade para reatores subcriacuteticos obteve-se uma
expressatildeo para essa funccedilatildeo com base na cineacutetica pontual inversa para sistemas ADS
jaacute que para esses sistemas o monitoramento da reatividade eacute vital para o
funcionamento normal E ainda os reatores subcriacuteticos guiados por fonte necessitam
de uma forma de caacutelculo da reatividade mais raacutepida para evitar um ldquodesligamentordquo natildeo
programado para isso foi utilizado o meacutetodo das derivadas no caacutelculo da reatividade
uma vez que este meacutetodo natildeo necessita da informaccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
A validaccedilatildeo da expressatildeo obtida para a reatividade proposta nesta tese foi feita
atraveacutes de simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) uma vez que os dados de reatores
subcriacuteticos tipo ADS satildeo encontrados em nuacutemero reduzido na literatura
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas duas formulaccedilotildees para as equaccedilotildees da
cineacutetica subcriacutetica e as respectivas expressotildees para a cineacutetica inversa
Alguns meacutetodos de tratamento do histoacuterico de potecircncia satildeo apresentados no
Capiacutetulo 3 sendo que o meacutetodo das derivadas parciais da potecircncia nuclear eacute tratado
em detalhes
Jaacute no Capiacutetulo 4 satildeo obtidas as expressotildees da cineacutetica pontual para casos em
que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados (β) e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons (Λ)
satildeo dependentes do tempo
O capiacutetulo 5 tem-se o caacutelculo da reatividade para alguns casos particulares da
variaccedilatildeo da potecircncia nuclear com todos os paracircmetros nucleares constantes E no
Capiacutetulo 6 temos as mesmas variaccedilotildees da potecircncia nuclear com as variaccedilotildees
temporais de β e de Λ
Os fundamentos da simulaccedilatildeo Monte Carlo satildeo tratados no Capiacutetulo 7
juntamente com os meacutetodos especiacuteficos para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares
No Capiacutetulo 8 satildeo apresentados e descritos os coacutedigos Monte Carlos utilizados
neste trabalho
Jaacute no Capiacutetulo 9 satildeo apresentados os resultados obtidos da reatividade com as
expressotildees que foram apresentadas nos capiacutetulos 5 e 6
Finalmente no Capiacutetulo 10 satildeo apresentadas as conclusotildees desta tese
8
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para
Reatores Subcriacuteticos
A formulaccedilatildeo da cineacutetica pontual provou ser uma ferramenta poderosa para a
avaliaccedilatildeo da reatividade para diferentes tipos de reatores tanto em operaccedilatildeo normal
quanto na partida do reator Esta formulaccedilatildeo descreve o comportamento dos necircutrons
dentro do reator sem nenhuma dependecircncia espacial sendo que a distribuiccedilatildeo dos
necircutrons evolui de maneira pontual
As diferentes propostas para a funccedilatildeo importacircncia encontradas na literatura
resultam em diferentes equaccedilotildees da cineacutetica pontual (Gandini et al 2000 Nishihara et
al 2003 Silva et al 2011) para descrever o comportamento dos necircutrons dentro de
reatores subcriacuteticos
Para um sistema sem fonte externa de necircutrons tem-se somente uma
autofunccedilatildeo para toda a distribuiccedilatildeo de necircutrons em todos os instantes dentro do
reator Poreacutem para reatores com fonte externa esta afirmaccedilatildeo pode natildeo ser
verdadeira pois se a distribuiccedilatildeo de necircutrons for dominada pela fonte externa pode
envolver uma superposiccedilatildeo de muitas autofunccedilotildees Assim o comportamento pontual
pode ser fatorado no produto de uma funccedilatildeo da amplitude (apenas com dependecircncia
temporal) e uma funccedilatildeo de forma (sem dependecircncia temporal mas com dependecircncia
das variaacuteveis do espaccedilo de fase) (Dulla 2003)
As equaccedilotildees que descrevem o funcionamento dos reatores subcriacuteticos podem
ser obtidas a partir da equaccedilatildeo de transporte ou da equaccedilatildeo de difusatildeo (Gandini
2000) Assim as equaccedilotildees da cineacutetica espacial podem ser escritas da seguinte
maneira
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1
I
i i ext
i
r t A r t F r t c r t qv t
β λ=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum
(21)
( ) ( ) ( ) 1i i i ic r t F r t c r t i It
β λpart
= Ψ minus =part
(22)
onde v eacute a velocidade dos necircutrons iβ eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados do grupo i
e iλ eacute a constante de decaimento dos precursores de necircutrons retardados do grupo i
Nas seccedilotildees seguintes satildeo apresentados os formalismos para a cineacutetica dos
9
reatores ADS encontrados nos trabalhos de Gandini et at (2000) atraveacutes da
metodologia da teoria heuriacutestica de perturbaccedilatildeo generalizada (HGPT) e no trabalho de
Silva et al (2011) em que eacute proposto um termo adjunto de fonte (TAF) que se torna
significativo para reatores que operam longe da criticalidade
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
A funccedilatildeo importacircncia proposta por Gandini et al (2002) para o caso de
necircutrons monoenergeacuteticos isotroacutepicos meio homogecircneo e sem dependecircncia
temporal eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (Silva 2011)
( ) ( )0 0 0 0
0
0f
f
wA n r F n r
P
+ + + +minus minus Σ =
(23)
onde fw eacute a energia revertida por fissatildeo e P0 eacute a potencia nuclear sem perturbaccedilatildeo
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0n+ e integrando em r
obteacutem-se
( )0 0 0 0
1
11
I
o i i ext
i
n n A n F n c n qv t
β λ+ + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (24)
Considerando-se as seguintes perturbaccedilotildees no sistema
0 A A Aδminus rarr minus + (25)
0 F F Fδrarr + (26)
(0) ext ext extq q qδrarr + (27)
10
onde 0Aminus 0F e (0)
extq satildeo os estados estacionaacuterios natildeo perturbados
Substituindo e manipulando as equaccedilotildees (25) (26) e (27) na equaccedilatildeo (24) resulta em
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0 0
1
1
1
o
I
i i ext ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q n q
δ β
β δ λ δ
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + +sum (28)
Somando e subtraindo 0n Fβ+ Ψ na equaccedilatildeo (28) e lembrando que
(0)
0 1ext
n q+ = de acordo com Gandini (2001) vem
( )
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0
1
0 0 0
1
1 1
o
I
i i ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q
n F F n F
δ β
β δ λ
β δ β
+ minus + + +
+ + +
=
+ +
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + + +
+ Ψ minus Ψ
sum (29)
Rearranjando os termos da equaccedilatildeo acima tem-se
1
0 0 0 00
0 0 0
1
0
1
o
I
i i ext
i
n v n A n F n At
n F n c n q
n F
δ
δ λ δ
β
+ minus + + +
+ + +
=
+
partΨ = Ψ + Ψ + Ψ +
part
Ψ + + + +
minus Ψ
sum (210)
Ponderando a equaccedilatildeo (23) com Ψ obteacutem-se (Silva et al 2011)
0 0 00
0
0f
wn A n F
P
++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)
11
Substituindo a equaccedilatildeo (211) na equaccedilatildeo (210) tem-se
1
0 0 0
1
0
0
1
I
o i i
i
ext f
n v n A F n F n ct
wn q
P
δ δ β λ
δ
+ minus + + +
=
+
partΨ = + Ψ minus Ψ + +
part
minus Σ Ψ +
sum (212)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t P t rφΨ asymp
(213)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )P t eacute a potecircncia
Substituindo a aproximaccedilatildeo dada pela equaccedilatildeo (213) na equaccedilatildeo (212)
obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
n v P t r n A F P t r n F P t rt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
part= + minus +
part
+ minus Σ +sum
(214)
Como bull eacute uma integraccedilatildeo no espaccedilo pode-se escrever
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
+ minus Σ +sum
(215)
Sendo 0 0f
P w φ= Σ tem-se
12
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
1
o
I
i i ext
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
n c P t n q
φ δ δ φ β φ
λ δ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus + +sum
(216)
Dividindo a equaccedilatildeo (216) por
0 0 I n F φ+= (217)
a equaccedilatildeo (216) pode ser escrita da seguinte forma
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1 I
n n n n n
eff eff i i
i
dP tP t C t P t Q
dtρ β λ ζ
=
Λ = minus + + minus + sum (218)
sendo
( )1
0
o
n
eff
n v r
I
φ+ minus
Λ equiv
(219)
( )0 0
nn A F r
I
δ δ φρ
+ +equiv
(220)
( )0 0
n
eff
n F r
I
β φβ
+
equiv
(221)
( )0
in
i
n cC t
I
+
equiv (222)
1
I
ζ equiv (223)
0
extn
n qQ
I
δ+
equiv (224)
13
onde nρ eacute uma reatividade generalizada nQ eacute o valor da fonte externa ( )n
iC t eacute a
concentraccedilatildeo de precursores e ζ eacute um termo de subcriticalidade inserido pela funccedilatildeo
importacircncia
Agora ponderando a equaccedilatildeo (22) com 0n+ e dividindo pelo o fator de
normalizaccedilatildeo dado pela equaccedilatildeo (217) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) n n n
i i eff i i
dC t P t C t
dtβ λ= minus (225)
onde
0 0
in
i eff
n F
I
β φβ
+
equiv (226)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
proposta por Gandini et al (2000) considerando um grupo de precursores de
necircutrons eacute escrito da seguinte maneira
( )
( ) ( ) ( )( ) 1n
n n
dP tt P t C t P t q
dtρ β λ ζ Λ = minus + + minus + (227)
( )( )
( )n
dC tP t C t
dtβ λ= minus
(228)
onde ( )nP t eacute a potecircncia normalizada β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados ζ eacute o
iacutendice de subcriticalidade (que tende agrave zero quando o sistema se a proacutexima da
criticalidade) ( )ρ t eacute a reatividade generalizada do sistema ( )C t eacute a concentraccedilatildeo de
precursores e Λ tempo de geraccedilatildeo meacutedio de necircutrons
14
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Na funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011) existe um termo de
fonte adjunto que se torna significativo para os sistemas que estatildeo longe de
criticalidade Portanto a equaccedilatildeo da funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011)
foi
( ) ( )dagger
0 0 0 0
0
1
f
sub
A r F rk N
νε ε η+ + +
Σminus =
(229)
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0ε + e integrando em r
obteacutem-se
( )1
0 0 0 0
1
1 I
o i i ext
i
v A F c qt
ε ε ε β λ ε ε+ minus + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (230)
Realizando uma perturbaccedilatildeo no sistema da seguinte maneira
0 A A Aδminus rarr minus + (231)
0
1
sub
F F Fk
δrarr + (232)
Substituindo as equaccedilotildees (231) e (232) na equaccedilatildeo (230) e rearranjando os
termos vem
( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1
11
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q
ε ε ε δ ε β
ε β δ λ ε ε
+ minus + + +
+ + +
=
partΨ = minus Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + +sum
(233)
15
Somando e subtraindo 0 Fε β+ Ψ na equaccedilatildeo (233) e utilizando a equaccedilatildeo
(232) pode-se escrever
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q F
ε ε δ ε ε
ε δ λ ε ε ε β
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + minus Ψ + Ψ +
part
Ψ + + minus Ψsum
(234)
Agora ponderando-se a equaccedilatildeo (229) com ( )r tΨ
podemos escrever
segundo Silva (2011)
0 0 0 0
0
1
f
sub
A Fk N
νε ε η+ +minus Ψ + Ψ = minus Σ Ψ (235)
Substituindo a equaccedilatildeo (235) na equaccedilatildeo (234)
1
0 0
0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
v A F Ft
c qN
ε ε δ δ ε β
νλ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
partΨ = + Ψ minus Ψ +
part
minus Σ Ψ +sum (236)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t N t rφΨ asymp
(237)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )N t eacute a densidade necircutrons tem-se substituindo
a equaccedilatildeo (237) na equaccedilatildeo (236)
16
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t qN
ε φ ε δ δ φ ε β φ
νλ ε η φ ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus Σ +sum (238)
e como 0 0f
N ν φ= Σ pode-se escrever a equaccedilatildeo (238) da seguinte maneira
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
o
I
i i ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t q
ε φ ε δ δ φ ε β φ
λ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus +sum (239)
Dividindo a equaccedilatildeo (239) por 0oI Fε φ+= obteacutem-se
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
I
eff i i
i
dN tN t C t N t q
dtρ β λ
=
Λ = minus + minus Γ +sum (240)
onde
1
0
o
eff
v
I
ε φ+ minus
Λ equiv (241)
0 0
A F
I
ε δ δ φρ
+ +equiv (242)
0 0
eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (243)
( )0
i
i
cC t
I
ε +
equiv (244)
0
ext
I
ε +
equiv (245)
I
ηΓ equiv (246)
sendo ρ eacute uma relatividade generalizada Q eacute um termo relacionada agrave fonte externa
Γ um termo de subcriticalidade e ( )iC t eacute a concentraccedilatildeo de precursores
17
Procedendo de maneira anaacuteloga para a equaccedilatildeo (22) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) i i eff i i
dC t N t C t
dtβ λ= minus (247)
onde
0 0
i
i eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (248)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
segundo Silva (2011) eacute escrito como
( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ minus Γ + Σ (249)
( )
( ) ( )f
dC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
sdotΣ (250)
onde ϖ eacute a energia meacutedia liberada por fissatildeo Σ f eacute a seccedilatildeo de choque macroscoacutepica
de fissatildeo e β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
23 Cineacutetica Inversa
Usualmente o controle de um reator nuclear eacute feito atraveacutes do monitoramento
da reatividade o que torna o meacutetodo da cineacutetica inversa relevante A reatividade eacute
caracterizada por uma mudanccedila no fator de multiplicaccedilatildeo do reator o que o torna um
dos paracircmetros mais importantes em fiacutesica de reatores Nas seccedilotildees seguintes seratildeo
apresentadas as equaccedilotildees para o caacutelculo da reatividade
18
231 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Para obter-se a expressatildeo da cineacutetica pontual inversa eacute necessaacuterio resolver as
equaccedilotildees (227) e (228) Partindo da equaccedilatildeo (228) e utilizando meacutetodo do fator
integrante obteacutem-se
( ) ( )( )
t
t t
nC t P t e dt
λβ minus minus
minusinfin
= int (251)
Substituindo a equaccedilatildeo (251) na equaccedilatildeo (227) vem
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )( )1
tnt tn n
n
P tdP t P tt P t e dt Q
dt
λζλβ
ρ β minus minus
minusinfin
minus= minus + + +
Λ Λ Λint (252)
onde Q qequiv Λ eacute o termo de fonte de necircutrons Resolvendo a equaccedilatildeo (252) para
( )tρ tem-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )
0
0
1
ttt tn
n
n n n
n
n n
dP t P et P t e dt
P t dt P t P t
P t Q
P t P t
λλβ λβ
ρ β
ζ
minusminus minusΛ
= + minus minus
minus Λminus minus
int (253)
onde P0 = P(0)
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga a seccedilatildeo anterior e partindo das equaccedilotildees
(249) e (250) propostas por Silva et al encontra-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t
t ttdP t P Q
t e e P t dtP t dt P t P t P t
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus minusint (254)
19
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico
de Potecircncia
Existem vaacuterios meacutetodos de tratamento para a soluccedilatildeo ou aproximaccedilatildeo do
histoacuterico de potecircncia Esses meacutetodos visam diminuir o tempo de caacutelculo
computacional sem que seja introduzido um erro muito grande e podem envolver ou
natildeo uma fonte externa de necircutrons
A mediccedilatildeo da reatividade a partir da cineacutetica inversa permite que seu valor seja
analisado a cada instante pela variaccedilatildeo temporal do niacutevel de potecircncia do reator
(Ansari et al 2001)
Devido ao grande interesse nos reatores ADS apenas os meacutetodos que
envolvem fontes externas seratildeo apresentados sendo que o uacutenico que seraacute detalhado
eacute o meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear
31 Meacutetodo de Agrupamento
Na partida do reator a contribuiccedilatildeo da fonte externa de necircutrons deve ser
considerada Assim Hoogenboom et al (1998) escrevem a equaccedilatildeo da cineacutetica
inversa como
( )( )
( ) ( )( )
1 i
t t t
i i
i
c St e P t dt
P t P t
λρ β β λ minus minus
minusinfin
Λ= minus minussum int (31)
A integral da equaccedilatildeo (31) pode ser calculada recursivamente atraveacutes de
amostragens de P(t) usando interpolaccedilatildeo linear entre duas amostras consecutivas
Pn-1 = P(tn -1) e Pn = P(tn) separadas por um intervalo t∆ Portanto
20
( ) ( )
1
1
1 1
1
in
i n i
i
i
tt t t t n
n n
i i
ttn
i i
P eI e P t dt e I
t
P ee
t
λλ λ
λλ
λ λ
λ λ
minus ∆minus minus minus ∆
minusminusinfin
minus ∆minus ∆minus
minus= = + minus
∆
minusminus minus
∆
int (32)
Introduzindo a seguinte funccedilatildeo
( ) ( ) ( ) i
t t t
i i
i
g t e P t dtλβ λ minus minus
minusinfin=sum int (33)
e reescrevendo a equaccedilatildeo (31) em funccedilatildeo de ( )g t tem-se
( )( )( ) ( )
Sg t
tP t P t
ρρ β= minus minus (34)
Para um reator subcriacutetico com potecircncia constante na presenccedila de fonte
externa de necircutrons (S) obteacutem-se
ou S S
PP
ρ ρρρ
= minus = minus (35)
Este meacutetodo pode ser resumido nos seguintes passos
No intervalo desejado divide-se as seacuteries de P(t) e g(t) em trecircs grupos de
mesma duraccedilatildeo
1 Calcula-se os conjuntos de valores de cada um dos grupos ( )1 1P g
( )2 2P g e ( )3 3
P g
2 Estima-se os valores do gradiente ( )β ρminus e o interseccedilatildeo ( )Sminus Λ atraveacutes
de
( ) 3 1
3 1
g g
P Pβ ρ
minusminus =
minus (36)
( ) ( ) S g Pβ ρminus Λ = minus minus (37)
21
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada
Neste meacutetodo Kitano et al (2000) escreve a expressatildeo da reatividade como
( )( )
( )( )
( ) ( )( )6
1
i i
i
S t dP tt C t
P t P t P t dtρ β λ
=
ΛΛ Λ= minus minus +sum (38)
Segundo o autor o termo ( )
( )dP t
P t dt
Λ pode ser negligenciado pois o erro
inserido eacute menor que 1 para um amplo intervalo de reatividade Portanto a equaccedilatildeo
(38) eacute escrita como
( )( )
( )( )
( )
6
1
i i
i
S tt C t
P t P tρ β λ
=
ΛΛ= minus minussum (39)
Por conveniecircncia computacional a equaccedilatildeo da concentraccedilatildeo de precursores
pode ser escrita da seguinte forma (Kitano et al 2000)
( ) ( ) ( ) 16ii i i iC t t P t C t C t t i
βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =
Λ (310)
onde P e iC satildeo os valores meacutedios para o incremento de tempo t∆
Portanto a equaccedilatildeo (39) pode ser escrita na seguinte forma
( ) ( ) ( ) ( )6
1
i i
i
g t C t S P tλ β ρ=
equiv Λ = minus Λ + minussum (311)
onde a fonte de necircutrons (S) e a reatividade satildeo constantes Esta equaccedilatildeo pode ser
considerada como uma equaccedilatildeo linear de P(t)
Considerando que o sinal da potecircncia tenha um grande erro principalmente na
operaccedilatildeo em baixa potecircncia pode-se aplicar filtros para ruiacutedo de alta frequecircncia e
tambeacutem de baixa frequecircncia da seguinte forma
22
1
1 N
i j
j
P PN =
= sum (312)
e
( )1 1 i i i i
tP P P P
t τminus minus
∆= + minus
∆ + (313)
onde Pj eacute a medida da potecircncia medida iP eacute a potecircncia meacutedia e N eacute o nuacutemero de
amostras τ eacute a constante de tempo e i
P eacute a saiacuteda da equaccedilatildeo (313)
A introduccedilatildeo da memoacuteria baacutesica indexada eacute segundo os autores um novo
ldquotermocircmetrordquo para diagnosticar um transiente sendo definido por
[ ] 1 1
6
1
1
i i
i
CM I
C
λ β
βλ
=
equiv
sum (314)
A memoacuteria baacutesica indexada (MI) eacute a normalizaccedilatildeo das emissotildees de necircutrons
retardados do primeiro grupo sobre o total de emissotildees de necircutrons retardados Note
que a MI assume valor unitaacuterio quando o reator estaacute em estado estacionaacuterio Assim
ela pode ser usada para detectar o iniacutecio e o final de um transiente para a aplicaccedilatildeo do
meacutetodo de grupo
23
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da
intensidade da fonte externa
A equaccedilatildeo da cineacutetica inversa escrita com uma discretizaccedilatildeo no tempo e
assumindo que a potecircncia do reator varia com ( ) 1jt
jn t n emicro
minus= onde
( )1log j j j
n n tmicro minus= ∆ eacute dada por (Tamura 2003)
6
1
j
j eff i i j
ij j j
nC S
n t n nρ β λ
=
∆Λ Λ Λ= + minus minus
∆sum (315)
onde
1
1 1
i
i
t
j jt ii j i j
j
i
j
n n eC C e
n
n t
λ
λ β
λ
minus ∆minusminus ∆
minus
minus= +
∆Λ+
∆
(316)
Note que o subiacutendice j representa os valores no tempo j e S eacute a fonte externa
de necircutrons
Considerando as seguintes condiccedilotildees iniciais
( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)
e
0 0 S nρ = minusΛ (318)
tanto a reatividade ρ quanto a fonte S satildeo obtidas pelo meacutetodo dos miacutenimos
quadrados (Diacuteaz 2007)
24
34 Meacutetodo das Derivadas
As equaccedilotildees (253) e (254) obtidas no capiacutetulo anterior envolvem a mesma
integral em funccedilatildeo da potecircncia do reator Esta integral tambeacutem chamada de histoacuterico
de potecircncia deve ser calculada desde o iniacutecio da operaccedilatildeo do reator ateacute o tempo atual
de maneira contiacutenua ou seja exige monitoramento constante da potecircncia Aleacutem disso
o armazenamento desta informaccedilatildeo eacute necessaacuterio durante toda operaccedilatildeo do reator
para possibilitar a recuperaccedilatildeo da informaccedilatildeo da reatividade caso ocorra uma
interrupccedilatildeo em seu caacutelculo
Para o caso dos reatores subcriacuteticos o monitoramento contiacutenuo da reatividade
eacute imprescindiacutevel para seu funcionamento normal Como a produccedilatildeo de necircutrons eacute
insuficiente para manter as reaccedilotildees nucleares nesses reatores a reatividade pode ser
um paracircmetro utilizado para o monitoramento e ajuste da intensidade do feixe de
proacutetons para manter as reaccedilotildees nucleares produccedilatildeo de energia eleacutetrica constante
durante a operaccedilatildeo do reator
O meacutetodo das derivadas estaacute baseado na integraccedilatildeo por partes da integral do
histoacuterico de potecircncia da equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa resultando em uma seacuterie
de potecircncias em funccedilatildeo da potecircncia nuclear do reator com dependecircncia temporal
(Diacuteaz 2007) Este meacutetodo de caacutelculo da reatividade permite a possibilidade do reiniacutecio
do caacutelculo apoacutes sua interrupccedilatildeo causada por um problema no funcionamento do
equipamento de mediccedilatildeo ou seja com este meacutetodo natildeo eacute necessaacuterio um caacutelculo
contiacutenuo Aleacutem disso pode-se obter a reatividade sem a dependecircncia da memoacuteria da
potecircncia nuclear o que torna o caacutelculo mais raacutepido se comparado ao tempo necessaacuterio
para a resoluccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
Para a obtenccedilatildeo da expressatildeo do meacutetodo das derivadas deve-se resolver a
integral da equaccedilatildeo (254) ou da equaccedilatildeo (253) por partes Assim obteacutem-se
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tP t P e
I t e P t dt P t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (319)
onde P(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (319) tem-se
25
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2
2 2 2
0
0 0 1
t t tt tP t P e P t P e
I t P t e dt
λ λλ
λ λ λ λ λ
minus sdot minus sdotminus sdot minus
= minus minus + minus int (320)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (320) por partes obteacutem-se
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
2 2
3
3 3 3
0
0 0
1
t t
t tt t
P t P e P t P eI t
P t P t eP t e dt
λ λ
λλ
λ λ λ λ
λ λ λ
minus minus
minusminus minus
= minus minus + +
minus minus int
(321)
Aplicando esta soluccedilatildeo n vezes podemos escrever
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1 10 0 0
0 1 1
n n k t tt tk kn n
n n kn n
P t P e P t eI t dt
λλ
λ λ λ
+ minus minusminus
+ + += =
= minus minus minus minussum sum int (322)
ou ainda
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(323)
341 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2m-1 assim a equaccedilatildeo (323) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
m t tt tt t
m
n n tm mn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(324)
26
Supondo que a forma de P(t) satisfaccedila agraves condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n P tP t P t
P t
minus
minus
=
(325)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n P tP t P t
P t
=
(326)
onde ( ) ( )
( )
2
P t
cte tP t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial entre outras
Substituindo a equaccedilatildeo (326) na equaccedilatildeo (324) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
m
n nm m
n n t
n nn n
P te P t dt P t e dt
P t
P t P t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(327)
Como ( ) ( )
( )
2P t
cteP t
= podemos escrever a equaccedilatildeo (327) como
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 1 2 1
1 10 00
1 11
n n nt m mt t n n t
n nn n
P te P t dt P t P t e
P t
λ λ
λ λ
minus minusminus minus minus sdot
+ += =
minus minus minus = minus
sum sumint
(328)
Logo
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e P t dt S t S tλminus minus
= +int (329)
27
sendo
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
nm
n
nnn
S P t
P t
P t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (330)
e
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
nm
n t
nnn
S P t e
P t
P t
λ
λ
minusminus sdot
+=
minusequiv minus
minus
sum (331)
Analisando inicialmente a equaccedilatildeo (330) pode-se escrever o seu somatoacuterio
da seguinte forma
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nm m mn
n n nn n n
P t P tP t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (332)
Utilizando as equaccedilotildees (325) e (326) na equaccedilatildeo (332) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
11 22 1 1
1 2 20 0
1
nnm m
n
nn n
P t P t P tP t
P tλ λ λ λ
minusminus minus
+= =
minus = minus
sum sum (333)
Lembrando que
( )1
0
1
1
mm
n
n
a rar
r
+
=
minus=
minussum (334)
identificando ( ) ( )
( )
2
2
P tr
P tλ= e a =1 na equaccedilatildeo (333) vem
28
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nm
n
nn
P t
P tP t P tP t
P t
P t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (335)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (335) na equaccedilatildeo (330) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
22
22
1 22
22
1
11
n
n
P tP t P t
P tS
P tP t
P tP t
λλ λ
λλ
minus minus = minus minus
(336)
Simplificando e rearranjando os termos da equaccedilatildeo (336) chega-se a
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
P t P tS P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (337)
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (331) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tP PS P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (338)
Finalmente podemos escrever a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo
329) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
e P t dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (339)
29
342 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par entatildeo k=2m-2 assim a equaccedilatildeo (323) torna-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t t
t t m t t
m
n n tm mn n
n nn n
P t e dt P t e dt
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(340)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (325) vem
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
12
1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
mt t
t t t t
m
n n tm mn n
n nn n
P tP t e dt P t e dt
P t
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus
minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(341)
Da equaccedilatildeo (319) pode-se escrever
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
0 0
0
t tt t t tt
P t e dt P t P e e P t dtλ λλ λminus minus minus minusminus sdot= minus minusint int (342)
Substituindo a equaccedilatildeo (342) na equaccedilatildeo (341) e rearranjando os termos
obteacutem-se
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt mt t n n t
m nn
mn n t
m m
P t e dt P t P e
P t
P t
P t P e P t
P tP t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(343)
Desenvolvendo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (343) tem-se
30
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
P t e dt S t S tλminus sdot minus
= minusint (344)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nm
n
m nn
S t P t
P t
P t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (345)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nm
n t
m nn
S t P e
P t
P t
λ
λ
λ
minusminus sdot
minus +=
minusequiv
minus
sum (346)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior eacute faacutecil mostrar que
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
P t P tS t P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (347)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tP PS t P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (348)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k que o histoacuterico de
potecircncia eacute dado pela seguinte expressatildeo
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t t
P t P t P Pe P t dt P t P e
P t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (349)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo Sendo assim a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo 319)
pode ser escrita da seguinte forma
31
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
P t e dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
sdotminus minus= minus
minus minusint (350)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa baseada na formulaccedilatildeo
proposta por Gandini (2001) equaccedilatildeo (252) como
( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
tnn
n n n n
n n n n
n n
n n n n n
t
P tdP t P e Qt
P t dt P t P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ= + minus minus minus minus
minus minus minus
minus minus
(351)
E para o formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se substituindo a
equaccedilatildeo (350) na equaccedilatildeo (254) a expressatildeo para a reatividade sem a dependecircncia
do histoacuterico de potecircncia
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
dP t P Qt e
P t dt P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
βρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + Γ + minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(352)
32
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com
dependecircncia temporal de β e Λ
Nas seccedilotildees anteriores as mudanccedilas da composiccedilatildeo do combustiacutevel nuclear
natildeo foram levadas em consideraccedilatildeo Essas mudanccedilas podem levar a caacutelculos
discrepantes da reatividade quando comparados a mediccedilotildees experimentais nos
reatores Aleacutem disso conhecer com precisatildeo o valor da reatividade contribui com a
melhora do desempenho da central nuclear
Assim nesta seccedilatildeo as dependecircncias temporais da fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons seratildeo consideradas para o
caacutelculo da reatividade tanto na formulaccedilatildeo proposta por Gandini et al (2000) quanto
na formulaccedilatildeo proposta por Silva et al (2011) Os demais paracircmetros nucleares
permaneceratildeo constantes pois suas variaccedilotildees satildeo pouco significativas (Scall 2010)
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
As equaccedilotildees propostas por Gandini et al (2000) com dependecircncia temporal da
fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons eacute dada por
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n
n n
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λ ζΛ = minus + + minus + (41)
( ) ( )( )
( )n
dC tt P t C t
dtβ λ= minus
(42)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo 231 pode-se escrever partindo da
equaccedilatildeo (42) que a concentraccedilatildeo de precursores eacute dada pela seguinte expressatildeo
( ) ( ) ( ) ( )
t t t
nC t t P t e dtλβ minus minus
minusinfin= int (43)
33
Substituindo a equaccedilatildeo (43) na equaccedilatildeo (41) obteacutem-se a seguinte expressatildeo
para a reatividade
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
0
0
1
t t tn t
n n n
n
n
t dP t At t e A t e dt
P t dt P t P t
P t t Q t
P t P t
λλλ λρ β
ζ
minus minusminusΛ= + minus minus
minus Λ minus minus
int
(44)
onde ( ) ( )nA t P tβequiv e ( ) ( )Q t q tequiv Λ
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
As equaccedilotildees da cineacutetica propostas por Silva et al (2011) com dependecircncia
temporal de Λ e β satildeo
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ + Γ + Σ (45)
( )( )
( ) ( )f
tdC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
Σ (46)
Resolvendo a equaccedilatildeo (46) pelo o meacutetodo do fator integrante obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( )1
t t t
f
C t t P t e dtλβ
ωminus minus
minusinfin=
Σ int (47)
Substituindo a equaccedilatildeo (47) na equaccedilatildeo (45) chega-se a expressatildeo da
reatividade com dependecircncia temporal de β e Λ
34
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t t ttt dP t A
t t e A t e dtP t dt P t P t
t Q t
P t
λλλ λρ β minus minusminusΛ
= + minus minus
ΛminusΓ minus
int (48)
onde ( ) ( ) ( )A t t P tβequiv e ( ) ( ) fQ t q tωequiv Σ Λ
43 Meacutetodo das Derivadas para
Dependecircncia Temporal de β e de Λ
De acordo com a seccedilatildeo 34 a integral das equaccedilotildees (44) e (48) podem ser
resolvidas por partes assim obteacutem-se (Scal 2012)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tA t A e
I t e A t dt A t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (49)
onde A(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (49) por partes n vezes pode-se escrever
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
A t ee A t dt dt
A t A e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(410)
35
431 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2j-1 assim a equaccedilatildeo (410) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
j t tt tt t
j
n n tj jn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minus sdotminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(411)
Admitindo que a forma de A(t) satisfaccedila as condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n A tA t A t
A t
minus
minus
=
(412)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n A tA t A t
A t
=
(413)
onde ( ) ( )
( )
2
A t
cte tA t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial
Substituindo as condiccedilotildees (412) e (413) na equaccedilatildeo(411) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
k
n nj jn n t
n nn n
A te A t dt A t e dt
A t
A t A t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(414)
ou ainda
36
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e A t dt S t S tλminus minus
= +int (415)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
njn
nnn
S t A t
A t
A t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (416)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
njn t
nnn
S t A t e
A t
A t
λ
λ
minusminus
+=
minusequiv minus
minus
sum (417)
Reescrevendo o somatoacuterio da equaccedilatildeo (416) tem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nj j jn
n n nn n n
A t A tA t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (418)
Utilizando as condiccedilotildees (412) (413) e recordando da relaccedilatildeo (334) pode-se
escrever
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nj
n
nn
A t
A tA t A tA t
A t
A t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (419)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (419) na equaccedilatildeo (416) obteacutem-se apoacutes
simples manipulaccedilotildees algeacutebricas
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
A t A tS A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (420)
37
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (417) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tA AS A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (421)
Finalmente pode-se escrever a equaccedilatildeo (49) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (422)
432 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par k+1 = 2j-1 entatildeo k=2j-2 assim a equaccedilatildeo (410) torna-
se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t tt t j t t
j
n n tj jn n
n nn n
A t e dt A t e dt
A t A e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(423)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (412) e lembrando-se da equaccedilatildeo (49)
pode-se escrever a equaccedilatildeo (423) como
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt jt t n n t
j nn
jn n t
j j
A t e dt A t A e
A t
P t
A t A e A t
A tA t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus sdot minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(424)
38
Abrindo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (424) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
A t e dt S t S tλminus minus
= minusint (425)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nj
n
j nn
S t A t
A t
A t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (426)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nj
n t
j nn
S t A e
A t
A t
λ
λ
λ
minusminus
minus +=
minusequiv
minus
sum (427)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior tem-se
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
A t A tS t A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (428)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tA AS t A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (429)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (430)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo assim a equaccedilatildeo (49) pode ser escrita da seguinte forma
39
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
A t e dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus sdot minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (431)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa com
dependecircncia temporal de β e Λ baseada na formulaccedilatildeo proposta por Gandini (2001)
(equaccedilatildeo 44) como
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
nn t
n n n n
n
t
P tt dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
ζλρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ = + minus minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(432)
Para o formalismo proposto por Silva et al (2011) equaccedilatildeo (48) tem-se
( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
t dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
λρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + minus minus Γ minus
minus minus minus minus
minus minus
(433)
40
5 Caacutelculo da reatividade para algumas
variaccedilotildees da potecircncia nuclear
51 Potecircncia Linear
511 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Durante a partida de um reator nuclear a sensibilidade do sistema de mediaccedilatildeo
pode natildeo identificar o aumento da potecircncia assim uma inserccedilatildeo de reatividade brusca
causaraacute um crescimento instantacircneo da potecircncia podendo causar um acidente no
circuito primaacuterio (Zhang et al 2008)
Para contornar esse problema deve-se inserir a reatividade de maneira suave
ateacute que o reator chegue alcance a sua potecircncia de operaccedilatildeo Para isto consideramos
uma variaccedilatildeo linear da potecircncia da forma
( ) 0 nP t P wt= + (51)
a uma taxa 0001w = Substituindo a equaccedilatildeo (51) na equaccedilatildeo (253) pode-se
escrever
( )( )
( ) ( ) ( )( )
0 0
0 0
0
0
0 0 00
1
t
tt t
d P wt P et
P wt dt P wt
P wt QP wt e dt
P wt P wt P wt
λ
λ
βρ β
ζλβ
minus
minus minus
+Λ= + minus
+ +
minus + Λminus + minus minus
+ + +int
(52)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (52)vem
41
( )
( ) ( )( )( )
0
0 0
0
0 0 0 0
1
t
P wtwt
P wt P wt
P wtw we Q
P wt P wt P wt P wt
λ
λβρ β
λ
ζβ β
λ λ
minus
+Λ = + minus +
+ +
minus + Λminus minus minus
+ + + +
(53)
Reescrevendo a equaccedilatildeo (53) obteacutem-se
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(54)
Utilizando o meacutetodo das derivadas podemos escrever
( )( )( )
( )
00
0 0 0
0 0
0 0
1
t
t
P wtPwt e
P wt P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
minus +Λ= + minus minus
+ + +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(55)
Manipulando a equaccedilatildeo (55) vem
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(56)
Pode-se observar que a soluccedilatildeo encontrada pelo meacutetodo das derivadas
equaccedilatildeo (56) eacute exatamente a mesma que a soluccedilatildeo encontrada atraveacutes da resoluccedilatildeo
do histoacuterico de potecircncia equaccedilatildeo (54)
42
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Analisando o comportamento da reatividade atraveacutes da variaccedilatildeo linear da
potecircncia tem-se fazendo ( ) 0P t P wt= + na equaccedilatildeo (254)
( ) ( ) ( )00
0 0 0 00
tt ttPw Q
t e e P wt dtP wt P wt P wt P wt
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus + minus+ + + +int
(57)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (57) obteacutem-se
( )( )0 0 0
( ) 1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λ βρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(58)
Utilizando-se o meacutetodo das derivadas tem-se
( )
( )
0
0 0
0 0
0 0
t
t
Pwt e
P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
βρ β
λ λβ
λ λ
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
+ +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(59)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )0 0 0
1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λβρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(510)
Novamente as expressotildees encontradas pela a soluccedilatildeo da integral do histoacuterico
de potecircncia equaccedilatildeo (58) eacute exatamente a mesma que a expressatildeo final utilizando o
meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (510)
43
52 Potecircncia Constante
Todo reator nuclear eacute projetado para operar em determinado niacutevel de potecircncia
nuclear ou seja durante sua operaccedilatildeo normal o reator funciona a uma potecircncia
constante Assim eacute importante avaliar o comportamento da reatividade de um reator
nessas condiccedilotildees
521 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Entatildeo sendo Pn(t) = P0 o segundo termo da equaccedilatildeo (253) desaparece e
assim pode-se escrever
( ) ( ) ( ) 0
0 00
1
t
t ttP Q
t e e dtP P
λλ ζρ β β λβ minus minusminus minus Λ
= minus minus minus minusint (511)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (511) obteacutem-se
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (512)
Aplicando o meacutetodo das derivadas tem-se
( )( )0
0
0 00 0
0 0 0 0
1
t
t
Pt e
P
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ζρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minus= minus minus
Λminus minus
(513)
Assim vem
44
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (514)
Mais uma vez observa-se que as equaccedilotildees finais para a reatividade para
potecircncia constante satildeo idecircnticas tanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia
equaccedilatildeo (512) quanto utilizando o meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (514)
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Avaliando a operaccedilatildeo do reator a uma potecircncia constante ou seja substituindo
P(t) = P0 na equaccedilatildeo (254) tem-se
( ) ( )
00
tt tt Q
t e e dtP
λλρ β β λβ minus minusminus Λ= + Γ minus minus minusint (515)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (515) tem-se segundo o
formalismo de Silva et al
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (516)
Jaacute atraveacutes do uso do meacutetodo das derivadas obteacutem-se
( )
0 00 0
0 0 0 0
t
t
t e
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
= + Γ minus minus
Λminus minus
(517)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias temos
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (518)
45
Novamente observa-se que as equaccedilotildees (516) e (518) para a reatividade satildeo
idecircnticas independente do meacutetodo de soluccedilatildeo abordado
53 Potecircncia Exponencial
531 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Outra variaccedilatildeo caracteriacutestica da potecircncia nuclear eacute a forma exponencial
Assim supondo uma variaccedilatildeo deste tipo para potecircncia na equaccedilatildeo (253) pode-se
avaliar o comportamento cineacutetico do reator Nessas condiccedilotildees substituindo
( ) 0
tP t P e
α= na equaccedilatildeo (253) obteacutem-se
( ) ( )
( )
( )
0
0
0 0
1
ttt t
t
t t
t e e e dt
P e Q
P e P e
α λλ α λ
α
α α
ρ β α β λβ
ζ
+minus + minus
minus sdot
= + Λ minus minus minus
minus Λminus
int (519)
Resolvendo a integral tem-se
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus sdot
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(520)
Agora pelo meacutetodo das derivadas podemos escrever
46
( )( )00 0
0 0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
1
tt t
t t t
t tt t
t t t t
P eP e P et
P e P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
αα λ
α α α
α αα λ
α α α α
ζα βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minusminus
minus
minusΛ= + minus minus
minus minus Λ minus minus minus
minus minus
(521)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(522)
As expressotildees obtidas utilizando-se tanto o meacutetodo das derivadas quando
resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia satildeo idecircnticas
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior e substituindo uma variaccedilatildeo
exponencial temos para o formalismo de Silva et al (2011)
( ) ( ) ( )
00
tttt
t t
e Qt e e dt
e P e
λα λλ α
α α
λβρ β α β
minus+minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus minusint (523)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (523) vem
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(524)
Novamente utilizando o meacutetodo das derivadas obteacutem-se
47
( ) 0 0
0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
t t
t t
t tt t
t t t t
P e P et
P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
α λ
α α
α αα λ
α α α α
α βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
minus minus Λ minus minus
minus minus
(525)
Manipulando a equaccedilatildeo acima chega-se agrave
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(526)
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
Nesta seccedilatildeo seraacute avaliado o comportamento das equaccedilotildees da cineacutetica pontual
para sistemas subcriacuteticos em caso de funcionamento anormal do reator Inicialmente o
reator seraacute avaliado com uma rampa da potecircncia depois operando em uma queda
suacutebita de potecircncia e em outros momentos pode ocorrer uma grande elevaccedilatildeo de
potecircncia Para isso a variaccedilatildeo da potecircncia foi simulada durante seis horas da
seguinte maneira
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(527)
onde w1 = 0001 Ws w2=001 Ws w4 = 0005 Ws w5=0005 Ws
Portanto admitindo que em todas as variaccedilotildees de potecircncia pode-se utilizar o
resultado da seccedilatildeo 511 assim para o formalismo proposto por Gandini agrave reatividade
se escreve da seguinte forma
48
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 0 11
0 1 0 1 0 1 0 1
2 0 22
0 2 0 2 0
1 1 0 1
1 2
1 1( )
t
t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
t h
e w P w twt
P w t P w t P
λ
λ
β ζ
λ
ζ
β ζρ
λ
minus
minus
minus minus +Λ Λ+ minus minus lt le
+ + + +
minus lt le
minus sdot minus +Λ= + minus
+ + +
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 0 2
4 0 44
0 4 0 4 0 4 0 4
5 0 55
0 5 0 5 0 5 0 5
2 4
1 1 4 5
1 1 5 6
t
t
Qt h
w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
λ
λ
β ζ
λ
β ζ
λ
minus
minus
Λ
minus lt le+
minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + + minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + +
(528)
Jaacute para o formalismo proposto por Silva et al tem-se utilizando o resultado da
seccedilatildeo 512
( )( )
( )( )
( )
1 1
0 1 0 1 0 1
2 2
0 2 0 2 0 2
4
0 4
1 0 1
1 2
( ) 1 2 4
1
t
t
t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
t h
w w Qt e t h
P w t P w t P w t
we
P w t
λ
λ
λ
β
λ
βρ
λ
β
minus
minus
minus
Λ ΛΓ + + minus minus lt le
+ + +
Γ lt le
Λ Λ= Γ + + minus minus lt le
+ + +
ΛΓ + + minus
+ ( )
( )( )
4
0 4 0 4
5 5
0 5 0 5 0 5
4 5
1 5 6t
w Qt h
P w t P w t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
λ
λ
β
λminus
Λ
minus lt le+ +
Λ ΛΓ + + minus minus lt le+ + +
(529)
49
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com
Dependecircncia temporal de β e Λ
Neste capiacutetulo seraacute suposto que tanto a fraccedilatildeo de necircutrons retardados quanto
e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente de acordo com
( ) 0t Btβ β= + (61)
e
( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)
onde o coeficiente linear β0 tem valor 000706 o coeficiente angular B eacute -217857 x 10-
7 pcm Jaacute os valores dos coeficientes da variaccedilatildeo do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de
necircutrons satildeo Λ0 = 11661 x 10-5 s e c = -714286 x 10-10 s
61 Potencia Linear
611 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
No processo de obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo (56) natildeo foi considerado nenhuma
variaccedilatildeo temporal dos paracircmetros β e Λ Para se ter um resultado mais proacuteximo do
funcionamento real de um reator considera-se agora que a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente com o tempo
de acordo com (61) e (62) Assim substituindo essas equaccedilotildees na equaccedilatildeo (432)
obteacutem-se
50
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
t
t
P wtct w P et Bt
P wt P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(63)
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior ou seja substituindo as equaccedilotildees
(61) (62) e (51) agora na equaccedilatildeo(433) vem
( )( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
2
2
2
t
t
ct w P et Bt
P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(64)
51
62 Potecircncia Constante
621 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Nesta seccedilatildeo considera-se uma situaccedilatildeo que a potecircncia nuclear permaneccedila
constante durante a operaccedilatildeo do reator Assim Substituindo as equaccedilotildees (61) e (62)
equaccedilatildeo (432) obteacutem-se
( ) ( )( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 00
0 0
1
1
t Bt Bt P e P
P ct QP B
P P
λρ β λβλ
ζ
λ
minus = + minus minus minus minus
minus Λ +minus minus minus
(65)
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Novamente repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior poreacutem substituindo as
equaccedilotildees (61) (62) e (51) na equaccedilatildeo (433) tem-se
( ) ( )( )( )00
0 0 0 0
0
1 tct QP BB
t Bt P e PP
λρ β λβλ λ
minus Λ + = + minus minus minus minus minus minus Γ minus
(66)
52
63 Potecircncia Exponencial
631 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Supondo que a potecircncia varie de acordo com ( ) 0
tP t P e
α= obteacutem-se
substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da potecircncia nuclear na
equaccedilatildeo (432) vem
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
1
2
12
t
t
t
P e ct Qt Bt ct
P e P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
α
α
λ α
ζρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
minus Λ += + + Λ + minus minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(67)
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Agora substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia nuclear na equaccedilatildeo (433) vem
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
0
0 0
0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
2
1 2
t
ct Qt Bt ct
P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
λ α
ρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
Λ += + + Λ + minus Γ minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(68)
53
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo 54 temos uma variaccedilatildeo de potecircncia dada
por
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(69)
Assim para o formalismo proposto por Gandini a reatividade se torna
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
tii
i i i
i i i i
i i i
i
i i
t
P w tct w P et Bt
P w t P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(610)
onde wi assume os seguintes valores w1 = 0001 w2=001 ou w4 = 0005 Jaacute para o
formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se
( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
( )
2
2
2
ti
i i
i i i i
i i i
i
i i
t
ct w P et Bt
P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(611)
54
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica
O meacutetodo de Monte Carlo pode ser caracterizado como uma teacutecnica de caacutelculo
de forccedila bruta que eacute bem adequado para problemas complicados que consistem de
vaacuterias subtarefas bem definidas Eacute um meacutetodo simples e intuitivo e manteacutem uma
estreita relaccedilatildeo com o problema que estaacute sendo resolvido
Atualmente o meacutetodo de Monte Carlo eacute amplamente utilizado em vaacuterios
campos como na fiacutesica matemaacutetica economia e engenharia Uma de suas primeiras
aplicaccedilotildees praacuteticas foi na modelagem de problemas de transporte de partiacuteculas
(Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo de caacutelculo foi chamada de Monte Carlo pelos cientistas Stanislav
Ulam John von Neumann e Metropolis Nicholas no final de 1940 quando este meacutetodo
foi usado para resolver problemas de transporte de partiacuteculas na pesquisa de armas
nucleares As raiacutezes do desenvolvimento da teoria moderna da probabilidade e
estatiacutestica data do seacuteculo 19 Poreacutem a primeira publicaccedilatildeo registrada que aborda este
meacutetodo data de 1949 (Yoriyaz 2009)
O sucesso da aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo (MMC) pelos cientistas de Los
Alamos se decorreu devido agrave computaccedilatildeo numeacuterica De fato mesmo se todos os
aspectos teoacutericos fossem resolvidos a utilizaccedilatildeo em grande escala do meacutetodo natildeo
seria possiacutevel sem esta ferramenta
O meacutetodo Monte Carlo eacute muito diferente dos meacutetodos de transporte
determiniacutesticos que geralmente baseiam-se na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de transporte de
necircutrons Assim para fazer com que o problema seja passiacutevel de uma soluccedilatildeo
computacional eacute necessaacuteria a realizaccedilatildeo de uma discretizaccedilatildeo das variaacuteveis tanto no
espaccedilo quanto na energia A forccedila do meacutetodo de Monte Carlo reside na capacidade
em calcular estimativas estatiacutesticas para taxas de reaccedilatildeo sem necessitar da soluccedilatildeo
explicita para a distribuiccedilatildeo do fluxo Aleacutem disso a capacidade de lidar com variaccedilotildees
complexas das variaacuteveis espaciais e de energia eacute o que torna a alternativa do MMC
mais atraente que os meacutetodos de transporte determiniacutesticos (Leppaumlnen 2007)
Mesmo que a abordagem determinista tenha demonstrado sua viabilidade para
simular reatores criacuteticos ela eacute amplamente utilizada Poreacutem esta metodologia
apresenta alguns inconvenientes que se tornam importantes no caso de um reator
subcriacutetico com um acelerador de partiacuteculas acoplado como por exemplo a introduccedilatildeo
de uma aproximaccedilatildeo devido agrave conversatildeo do espectro de energia dos necircutrons para
55
uma grade de energia e espaccedilo para os coacutedigos que utilizam uma abordagem
multigrupo (Kady et al 2001)
Por utilizar seccedilotildees de choques pontuais a simulaccedilatildeo Monte Carlo eacute livre de
quase todos os inconvenientes que aparecem nas simulaccedilotildees determiniacutesticas Poreacutem
sua precisatildeo varia inversamente com a raiz quadrada do nuacutemero de eventos
processados Isso representa um problema potencialmente grande de tempo de
processamento em particular quando a simulaccedilatildeo abrange toda a vida uacutetil da
produccedilatildeo de energia do sistema
No meacutetodo Monte Carlo para a simulaccedilatildeo de transporte de radiaccedilatildeo as
respostas satildeo obtidas simulando partiacuteculas individuais e gravando alguns aspectos de
seu comportamento meacutedio Se os modelos dessas interaccedilotildees utilizados nas
simulaccedilotildees satildeo suficientementes proacuteximos da realidade o resultado estaraacute proacuteximo do
processo real
Os componentes importantes de meacutetodos de simulaccedilatildeo de Monte Carlo satildeo as
funccedilotildees de densidade de probabilidade a geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios as regras
de amostragem a computaccedilatildeo de resultados as estimativas de erros e a reduccedilatildeo de
variacircncia conforme mostra a Figura 71 Aleacutem disso os algoritmos eficientes para
paralelizaccedilatildeo satildeo uacuteteis para a implementaccedilatildeo do meacutetodo de Monte Carlo para uso em
cluster de computadores (Grisell 2004)
O meacutetodo de Monte Carlo utiliza aleacutem do teorema do limite central modelos
fiacutesicos de interaccedilatildeo ou seja um conjunto de seccedilotildees de choque diferenciais para os
mecanismos de interaccedilatildeo relevantes do sistema a ser simulado (Salvat et al 2003)
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de Yoriyaz 2009
Gerador de
nuacutemeros
aleatoacuterios
Teacutecnicas de
amostragem Resultados
Funccedilatildeo de densidade de probabilidade
56
Essas seccedilotildees de choque diferenciais determinam as funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de
probabilidades de variaacuteveis aleatoacuterias
Esses conjuntos de funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de probabilidade caracterizam uma
histoacuteria e determinam o tipo de interaccedilatildeo sofrida pela partiacutecula por exemplo se a
partiacutecula sofreraacute uma mudanccedila de energia e de direccedilatildeo de propagaccedilatildeo se ela apenas
sofreraacute algum desvio angular ou se ocasionaraacute fissatildeo
Caso o nuacutemero de histoacuterias (uma histoacuteria inclui desde a geraccedilatildeo de uma
partiacutecula ateacute sua lsquofugarsquo ou absorccedilatildeo aleacutem de todas as outras partiacuteculas que podem ser
produzidas por exemplo atraveacutes da fissatildeo) seja suficientemente grande informaccedilotildees
quantitativas sobre o processo de transporte podem ser obtidas simplesmente por uma
meacutedia de mais histoacuterias simuladas
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo eacute em experimentos em que os resultados
satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Ao se comparar os meacutetodos MC e de variaacuteveis discretas normalmente se diz
que o MC resolve a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral enquanto o meacutetodo
de variaacuteveis discretas resolve a equaccedilatildeo na sua forma integro-diferencial Poreacutem as
duas equaccedilotildees satildeo formas diferentes da mesma equaccedilatildeo e assim quando se resolve
uma obteacutem-se a soluccedilatildeo da outra (Mosteller et al 2003)
Como o meacutetodo MC resolve o problema simulando histoacuterias das partiacuteculas natildeo
se torna necessaacuterio escrever a equaccedilatildeo de transporte de necircutrons No entanto pode-
se chegar a uma equaccedilatildeo que descreva a densidade de probabilidade das partiacuteculas
para o problema e esta acaba sendo a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral
(Vaz 2010)
A simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) eacute baseada em geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
de uma distribuiccedilatildeo uniforme gerando variaacuteveis aleatoacuterias para estabelecer outras
funccedilotildees de distribuiccedilatildeo Assim os nuacutemeros aleatoacuterios ou pseudoaleatoacuterios satildeo agrave base
do meacutetodo de MC pois estes nuacutemeros realizam todo o controle de decisatildeo Isso torna
essencial a sub-rotina de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios para qualquer simulador
baseado no meacutetodo de Monte Carlo As sub-rotinas de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
se baseiam em algoritmos matemaacuteticos especiacuteficos para garantir que os nuacutemeros
sorteados satildeo realmente aleatoacuterios pois estes nuacutemeros devem em teoria ser
igualmente provaacuteveis em um sorteio dentro de um intervalo definido
As variaacuteveis aleatoacuterias satildeo uma quantidade que resultam de processos
repetitivos e cujos valores reais natildeo podem ser previsto com certeza No mundo real a
aleatoriedade se origina de fatores incontrolaacuteveis (por exemplo jogos de azar) ou da
57
natureza quacircntica de sistemas ou processos (por exemplo desintegraccedilatildeo nuclear)
Nos computadores as variaacuteveis randocircmicas satildeo geradas por transformaccedilotildees
numeacutericas de nuacutemeros randocircmicos
O objetivo da simulaccedilatildeo MC eacute fornecer informaccedilotildees precisas e detalhadas em
trecircs dimensotildees dependente do tempo tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
partiacuteculas neutras Por este motivo o meacutetodo de Monte Carlo eacute largamente utilizado na
soluccedilatildeo de problemas envolvendo processos estatiacutesticos Pode ser empregado na
fiacutesica de reatores devido agrave caracteriacutestica estocaacutestica da emissatildeo de radiaccedilatildeo e
transporte de partiacuteculas
A carga computacional do meacutetodo de Monte Carlo continua sendo um
empecilho para as simulaccedilotildees de modelagem de sistemas nucleares devido ao alto
tempo de processamento computacional (Liu et al 2011) e a alta demanda de
memoacuteria pois para solucionar o problema de transporte de energia eacute necessaacuterio
monitorar as trajetoacuterias de vaacuterios necircutrons seu respectivo histoacuterico e sua multiplicaccedilatildeo
ateacute absorccedilatildeo ou fuga de todas as partiacuteculas geradas por essa partiacutecula
Mesmo assim o uso do meacutetodo de Monte Carlo para a simulaccedilatildeo do transporte
de partiacuteculas tornou-se bastante popular pois a alta demanda de processamento e de
memoacuteria pode ser contornada se for utilizado um sistema de processamento
distribuiacutedo com vaacuterios processadores possibilitando diminuir o tempo de simulaccedilatildeo
mesmo em modelagem de geometrias complexas Na praacutetica com o aumento de
processadores resolvendo o mesmo problema costuma-se aumentar a estatiacutestica a ser
simulada para a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos com o mesmo tempo de
simulaccedilatildeo anterior
71 Funccedilotildees Densidade de
Probabilidades
Para uma variaacutevel aleatoacuteria discreta a funccedilatildeo de probabilidade (f(x)) fornece
diretamente a probabilidade do valor que a variaacutevel aleatoacuteria assume Jaacute para as
variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas a funccedilatildeo de probabilidade em um intervalo eacute chamada
de funccedilatildeo de densidade de probabilidade
Esta funccedilatildeo natildeo fornece diretamente as probabilidades dos valores que as
variaacuteveis aleatoacuterias podem assumir Poreacutem a aacuterea sob o graacutefico da funccedilatildeo de
58
densidade de probabilidade correspondente a um dado intervalo a probabilidade de
que a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua assuma um valor neste intervalo Ou seja quando
calculamos as probabilidades para as variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas estamos
calculando a probabilidade de que a variaacutevel aleatoacuteria assuma qualquer valor em um
intervalo Assim a probabilidade de qualquer valor particular da variaacutevel aleatoacuteria
contiacutenua eacute zero pois a aacuterea sob o graacutefico de f(x) em qualquer ponto em particular eacute
zero
A distribuiccedilatildeo de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua pode ser
visualizada como uma forma de um histograma baseado em um grande nuacutemero de
observaccedilotildees Este histograma eacute construiacutedo com as densidades de probabilidade
Por exemplo a Figura 72 mostra um histograma da massa em quilogramas
de 25 lingotes de uracircnio (Lurie et al 2011)
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio
Se aumentarmos o nuacutemero de amostras teremos um histograma cada vez
mais suave a Figura 73 mostra o mesmo histograma com 150 observaccedilotildees
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio
59
Se fizermos o nuacutemero de amostras tender a infinito e o intervalo das classes
tender a zero no limite o histograma tende a se ldquosuavizarrdquo e tomar a forma de uma
curva teoacuterica como mostra a Figura 74
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo
Como uma probabilidade eacute interpretada como a frequecircncia relativa de um
evento de ensaios independentes a curva obtida na Figura 74 representa a maneira
pela qual a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo aos possiacuteveis valores que a
variaacutevel aleatoacuteria ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo pode assumir Assim a funccedilatildeo
densidade de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x eacute a funccedilatildeo
matemaacutetica f(x) cujo graacutefico produz a curva teoacuterica que representa a maneira pela qual
a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo agrave amplitude dos possiacuteveis valores da
variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x
As funccedilotildees de densidades de probabilidades devem obedecer as seguintes
condiccedilotildees
( )
( ) ( )
0
1
f x x
F x f x dx
gt forall
= =int
Dessa maneira a probabilidade de uma variaacutevel x assumir os valores no
intervalo (ab) eacute
Densidade de
probabilidade
Massa (kg)
60
( ) ( ) ( ) ( )b
aP a x b f x dx F a F ble le = = minusint
Existem basicamente duas diferentes maneiras que podem ser utilizados na
implementaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo que satildeo o meacutetodo direto ou
inverso e o meacutetodo da rejeiccedilatildeo Nas proacuteximas seccedilotildees tem-se a descriccedilatildeo desses dois
meacutetodos
72 Meacutetodo direto ou inverso
Seja uma distribuiccedilatildeo de probabilidade tiacutepica (por exemplo a distribuiccedilatildeo
gaussiana) definida em um intervalo conhecido entre [a b] Como visto na seccedilatildeo
anterior pode-se definir a funccedilatildeo de probabilidade acumulada desta distribuiccedilatildeo como
( ) ( ) b
aP x p x dx= int (71)
Criando uma nova variaacutevel aleatoacuteria atraveacutes da transformaccedilatildeo ξ = P(x) e
assumindo que a distribuiccedilatildeo de probabilidade acumulada admite uma inversa P-1(ξ)
definida no intervalo de (01) o valor de ξ eacute entatildeo definido como sendo igual agrave
probabilidade cumulativa do evento de modo que o valor correspondente de x pode
ser calculado a partir da funccedilatildeo inversa
1 1
( )( ) ( ) ( )
d dP xp p x p x
dx dxε
εε
minus minus
= =
(72)
Assim fica claro que ε eacute um nuacutemero aleatoacuterio e a variaacutevel x que eacute definida por
x = P-1(ξ) eacute aleatoriamente distribuiacuteda no intervalo (xmin x) Note que x eacute a uacutenica raiz
da equaccedilatildeo
min
( ) x
xp x dxξ = int (73)
61
Assim os valores amostrados de x desta forma satildeo distribuiacutedos de acordo com
a P(x)
A implementaccedilatildeo do meacutetodo direto de MC pode ser feita atraveacutes do seguinte
algoritmo conforme mostrado na Figura 75
1 Geraccedilatildeo de um nuacutemero aleatoacuterio ξ
2 Verificaccedilatildeo de que x corresponde ao ξ sorteado
3 Verificaccedilatildeo de qual probabilidade correspondente ao x
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003)
A soluccedilatildeo atraveacutes do meacutetodo de MC da equaccedilatildeo de transporte de necircutrons
(equaccedilatildeo (74)) pode ser feita utilizando o meacutetodo direto resolvendo-se as integrais
de acordo com (Vaz 2009)
( )
( ) ( ) ( ) ( )2 3
` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `
r E
r E C E E r dE d Q r E T r r E d r
Ψ Ω =
Ψ Ω Ω rarr Ω Ω + Ω rarr Ω int int
(74)
Com o termo de fonte podendo ser definido como
62
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
Fonte fixa
` ` ` ` | ` Fonte fixa + Fissatildeo
1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor
S
Q r R S r E F E E r dE d
r E F E E r dE dk
Ω = + Ψ Ω Ω rarr Ω Ω Ψ Ω Ω rarr Ω Ω
int
int
(75)
onde ( ) S r E Ω
foi abreviado como S
Assim uma histoacuteria (lsquotrajetoacuteriarsquo) pode ser entendida como uma sequecircncia de
transiccedilatildeo entre estados (P0 P1 P2 P3) Em cada ponto de colisatildeo Pi pode ocorrer
variaccedilatildeo da energia de direccedilotildees e ainda incluir a geraccedilatildeo de novas partiacuteculas
Entatildeo a equaccedilatildeo de transporte pode ser escrita como (Vaz 2009)
( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i
P P K P P K P P dp dp dp dpminus minusΨ = Ψ rarr rarrint int int int (76)
onde ( )K P Prarr eacute o kernel de transporte que eacute definido por
( ) ( ) ( ) ( ) ` ` | ` ` | K P P K r E r E C E E r T r r Erarr equiv Ω rarr Ω = Ω rarr Ω rarr Ω
(77)
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula
P4
P1
P2
P5
P3
P6
P
P0
63
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo
Em muitos casos tanto a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo cumulativa quanto sua inversa
eacute de difiacutecil obtenccedilatildeo ou natildeo podem ser resolvidos Exemplos de tais casos satildeo a
distribuiccedilatildeo normal e a distribuiccedilatildeo de Maxwell-Boltzmann Haacute diversas variaccedilotildees
numeacutericas para o uso do meacutetodo de inversatildeo que podem ser utilizados para amostrar
os valores de qualquer tipo de distribuiccedilatildeo mas eacute muitas vezes mais eficaz ter uma
abordagem completamente diferente (Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo da rejeiccedilatildeo tem a vantagem que o procedimento de amostragem
pode ser realizado utilizando apenas a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de probabilidades da
variaacutevel aleatoacuteria De uma forma mais simples uma constante c ge 1 e uma outra
funccedilatildeo de densidade de g(x) satildeo atribuiacutedos aos f(x) de tal forma que
( ) ( )f x cg xle (71)
para todos os valores de x
Os valores da variaacutevel aleatoacuteria ε seratildeo aceitos se
( )( )
f x
cg xε lt (72)
Se a desigualdade natildeo eacute vaacutelida o valor eacute descartado e o procedimento eacute
repetido desde o iniacutecio Pode demonstrar-se que a distribuiccedilatildeo dos valores aceitos
pelo meacutetodo seguem exatamente f(x)
Uma aplicaccedilatildeo que ilustra bem este meacutetodo eacute o caacutelculo do nuacutemero π Para
isso suponha um ciacuterculo inscrito dentro de um quadrado de lado unitaacuterio Se ao
sortear N eventos forem contados quantos destes eventos estatildeo dentro do ciacuterculo eacute
possiacutevel calcular o valor de π
Sabe-se que a integral entre os intervalos a e b eacute igual a um quarto da aacuterea do
ciacuterculo (ver Figura 77) Desta maneira pode-se dizer que o nuacutemero de pontos
sorteados dentro da aacuterea total do ciacuterculo dividido pelo nuacutemero total de sorteios eacute igual
agrave aacuterea do ciacuterculo sobre a aacuterea do quadrado
64
2
4r 4
c
t
N πrsup2 π= =
N
onde Nc eacute o nuacutemero de sorteios dentro do ciacuterculo e Nt eacute o total de nuacutemeros sorteados
Obviamente quanto maior for o total de nuacutemero sorteados mais preciso seraacute o
resultado
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo
Em geral o meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute utilizado para a estimativa de eventos que
satildeo regidos por distribuiccedilotildees contiacutenuas ou seja aqueles eventos que obedecem a
uma curva de probabilidade
Eacute importante ressaltar que no meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute necessaacuterio o sorteio de
dois nuacutemeros aleatoacuterios O primeiro (ε1) para definir o valor da abcissa (x) e um
segundo (ε2) para definir o valor no eixo das ordenadas (Figura 78) Se ε2 for menor
que f(ε1) registra-se ε1 como sendo um valor vaacutelido Caso contraacuterio ε1 eacute rejeitado e
ocorre o sorteio de outro nuacutemero aleatoacuterio O algoritmo do meacutetodo da rejeiccedilatildeo pode
ser descrito como
1 Sorteio do primeiro nuacutemero aleatoacuterio (ε1)
2 Verificaccedilatildeo de qual eacute o valor da funccedilatildeo para esse nuacutemero aleatoacuterio
3 Sorteio do segundo nuacutemero aleatoacuterio
4 Se ε2 lt f(ε1) registrar ε1 como vaacutelido
5 Senatildeo rejeitar ε1 e voltar ao passo 1
a
b
65
74 Meacutetodos Monte Carlo para
Reatores Subcriacuteticos
Nas seccedilotildees anteriores foi tratado das caracteriacutesticas baacutesicas da simulaccedilatildeo MC
Poreacutem para a simulaccedilatildeo de um reator nuclear mais proacutexima do real eacute necessaacuterio que
os coacutedigos MC sejam capazes de acompanhar a queima dos combustiacuteveis nucleares
chamados de coacutedigos de depleccedilatildeo
Atualmente existem vaacuterios coacutedigos de depleccedilatildeo que utilizam o meacutetodo Monte
Carlo devido ao constante crescimento no desempenho dos computadores Esses
coacutedigos geralmente satildeo acoplados em um coacutedigo geneacuterico de simulaccedilatildeo MC que
resolve o transporte das partiacuteculas e podem fornecer o fluxo de partiacuteculas e as seccedilotildees
de choque microscoacutepicas para os coacutedigos de depleccedilatildeo
Os coacutedigos MC de depleccedilatildeo podem ser divididos em dois grupos de acordo
com a metodologia de geraccedilatildeo das seccedilotildees de choque microscoacutepicas O primeiro
grupo satildeo os dos coacutedigos que utilizam os resultados calculados diretamente pelo o
coacutedigo geneacuterico MC Jaacute o segundo grupo utiliza uma abordagem de multigrupo para o
caacutelculo das seccedilotildees de choque que eacute implementado pelo coacutedigo de depleccedilatildeo De
acordo com esta metodologia as taxas de reaccedilatildeo satildeo calculadas separadamente
utilizando um preacute-gerador de seccedilotildees de choque multigrupo
f(x)
ε2
ε1
Figura 78 Processo de caacutelculo de π
66
75 Conceito de Reatores ADS
Os reatores hiacutebridos foram inicialmente considerados apenas para a queima
de actiniacutedeos poreacutem foi percebido que era possiacutevel aproveitar a queima dos
actiniacutedeos (transmutaccedilatildeo) em um reator subcriacutetico para a geraccedilatildeo de eletricidade
aleacutem da necessaacuteria para sustentar o acelerador de proacutetons
Aleacutem disso os reatores hiacutebridos tecircm uma vantagem adicional de ser um
sistema regenerador ou seja cria a possibilidade de regenerar combustiacutevel nuclear
queimado em um reator teacutermico para ser reutilizado no mesmo apoacutes reprocessamento
A Figura 79 mostra que os reatores regeneradores com acelerador (ABR ndash
accelerator breeder reactor) podem natildeo ser utilizados para a geraccedilatildeo de eletricidade
Sua principal utilizaccedilatildeo seria para a produccedilatildeo de material fiacutessil principalmente 239Pu
(Lodhi et al 2009) Para isso esses reatores necessitam de energia eleacutetrica para
alimentar o acelerador de proacutetons citado na Figura 710 Poreacutem os reatores hiacutebridos
podem ser dedicados tanto para a produccedilatildeo de energia como para a regeneraccedilatildeo de
material fiacutessil embora ambos os fenocircmenos ocorram sempre em um reator hiacutebrido ele
pode ser especializado para um desses objetivos de acordo com o cenaacuterio previsto
para a busca da sustentabilidade da energia nuclear (Piera et al 2010)
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009
Extraccedilatildeo de
toacuterio e uracircnio
238
U
ABR
Reator teacutermico
Energia eleacutetrica
239
Pu
232
Th
Energia eleacutetrica
67
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS
Tanto os reatores ADS como os ABR consistem em um acelerador de
partiacuteculas de alta energia (proacutetons com cerca de 1 GeV de energia) que atingem um
alvo com nuacutemero atocircmico grande Este choque gera necircutrons de alta energia capazes
de tornar nucliacutedeos feacuterteis em fiacutesseis
Outra coisa interessante sobre esses reatores eacute que eles produzem vaacuterios
isoacutetopos da mesma maneira que os FBR Em segundo lugar os reatores hiacutebridos
(ADS) operam com fator de multiplicaccedilatildeo abaixo de 1 (geralmente entre 090 e 097)
Em terceiro os ADS podem produzir combustiacutevel muito mais raacutepido que os FBR (Piera
et al 2010) pois liberam menos energia por fissatildeo que os FBR
Um dos principais objetivos do ADS eacute a queima de 232Th para gerar uma
grande quantidade de 233U embora 233U puro tem aproximadamente a mesma massa
criacutetica do plutocircnio (Lodhi et al 2009)
Fonte de necircutrons raacutepidos
Fonte de
spallation
Refrigerante chumbo-bismuto
Acelerador de
proacutetons
68
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos
Utilizados
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes simulaccedilotildees MC para auxiliar o estudo
de reatores ADS utilizando diferentes coacutedigos (MCNPX GEANT4 MCB) Poreacutem estes
modelos devem ter referecircncias para poder se verificar por exemplo o fator de
multiplicaccedilatildeo efetivo (keff) resultados dos caacutelculos de depleccedilatildeo e identificar as causas
para as possiacuteveis diferenccedilas significativas entre os resultados simulados e os teoacutericos
Idealmente esses paracircmetros deveriam ser comparados com dados
experimentais No entanto haacute uma falta significativa de resultados fiacutesicos para nuacutecleos
de reatores raacutepidos concebidos para queimar actiniacutedeos menores (AM) (Allen et al
2011)
Neste trabalho foram utilizados dois coacutedigos MC distintos Inicialmente devido
a grande quantidade de citaccedilotildees na literatura (Hashemi-Nezhad et al 2002 Sobolev
et al 2003 Bomboni et al 2010 Fokau et al 2010 Talamo et al 2011 Pelowitz
2008) foi utilizado o coacutedigo MCNPX 26f e tambeacutem o coacutedigo SERPENT 1117 que eacute
uma ferramenta relativamente nova (Leppaumlnen 2007) comparada ao MCNPX
O MCNPX eacute um coacutedigo MC que vem sendo desenvolvido deste 1995 sendo
escrito em FORTRAN e C Assim o MCNPX pode ser compilado para a utilizaccedilatildeo nas
plataformas computacionais mais usadas (Windows Linux e IOS) Aleacutem disso o
MCNPX pode ser usado com as bibliotecas de programaccedilatildeo paralela (MPI)
O coacutedigo eacute composto por aproximadamente 450 subrotinas possui um
desenvolvimento constante e atualmente eacute capaz de simular 34 partiacuteculas distintas A
versatildeo 250 do MCNPX eacute utilizada atualmente por cerca de 2500 grupos no mundo
sendo distribuiacutedo pelo Radiation Safety Information Computational Center (RSICC)
com base de dados sendo fornecida pela OECDNEA
Uma das grandes dificuldades do uso do MCNPX eacute a descriccedilatildeo da geometria
que eacute feita atraveacutes de uniotildees e interseccedilotildees de superfiacutecies baacutesicas (plano cilindro
infinito esfera cone ou elipsoide) Assim para simular uma vareta de combustiacutevel
deve-se criar pelo menos trecircs superfiacutecies distintas (2 planos e um cilindro infinito)
Aleacutem disso deve-se criar uma ceacutelula para cada material utilizado Esta ceacutelula
carrega a informaccedilatildeo do material que ela eacute composta a densidade e os limites
informados pelas uniotildees eou interseccedilotildees das superfiacutecies Tanto as superfiacutecies quanto
as ceacutelulas satildeo referenciados por nuacutemeros definidos pelo usuaacuterio
69
Todas as superfiacutecies permitem que as uniotildees e interseccedilotildees sejam feitas em
dois sentidos Esses sentidos satildeo informados pelos sinais negativos e positivos que
devem acompanhar os nuacutemeros das superfiacutecies
O MCNPX ainda permite a definiccedilatildeo da importacircncia da partiacutecula em cada
ceacutelula isso eacute uacutetil quando se quer excluir uma ou mais partiacuteculas Caso a importacircncia
de necircutrons seja definida como zero qualquer necircutron que entrar nesta ceacutelula seraacute
eliminado da simulaccedilatildeo Isto eacute um artifiacutecio que delimita a aacuterea de atuaccedilatildeo das
partiacuteculas para natildeo termos simulaccedilotildees de duraccedilatildeo ldquoinfinitardquo ou perder tempo
computacional em partiacuteculas que jaacute saiacuteram do sistema
Tambeacutem eacute possiacutevel definir ceacutelulas sem nenhum material para isso basta
colocar o nuacutemero zero no lugar do nuacutemero do material e natildeo informar a densidade do
mesmo Neste caso o coacutedigo iraacute interpretar o conteuacutedo da ceacutelula como sendo vaacutecuo
O MCNPX natildeo fornece ferramenta graacutefica para a ediccedilatildeo de geometria poreacutem
existem programas que realizam a leitura do arquivo e permitem a sua visualizaccedilatildeo O
que MCNPX faz eacute uma verificaccedilatildeo baacutesica da geometria em busca de erros Em caso
de erros de geometria o MCNPX natildeo realiza a simulaccedilatildeo ou a simulaccedilatildeo pode ser
abortada se o coacutedigo computar vaacuterias partiacuteculas perdidas (partiacuteculas que ldquosaemrdquo da
geometria)
O lado positivo do MCNPX eacute a grande quantidade de elementos e de isoacutetopos
disponiacuteveis para a simulaccedilatildeo devido o uso da biblioteca ENDF que eacute mantida pela
agecircncia internacional de energia atocircmica Para os elementos ou isoacutetopos que natildeo
existem nas bibliotecas o MCNPX realiza a simulaccedilatildeo utilizando modelos fiacutesicos Isto
proporciona uma grande flexibilidade na simulaccedilatildeo Aleacutem disso o MCNPX traz
bibliotecas de espalhamento teacutermico que podem ser usadas nos materiais utilizados
como moderadores
O outro coacutedigo MC utilizado foi o SERPENT Este coacutedigo eacute especiacutefico para
simulaccedilatildeo de reatores nucleares que realiza com caacutelculo de depleccedilatildeo e eacute
desenvolvido no Centro de Pesquisa Teacutecnica da Finlacircndia (VTT Technical Research
Centre of Finland) Atualmente eacute utilizado por cerca de 180 grupos de usuaacuterios em 27
paiacuteses Este coacutedigo se encontra na versatildeo 1118 sendo que a versatildeo 20 estaacute
atualmente em fase de teste O SERPENT tambeacutem permite a utilizaccedilatildeo de
processamento paralelo com o MPI (Message Passing Interface) para sua execuccedilatildeo
A paralelizaccedilatildeo no modo de caacutelculo de queima eacute dividida nas rotinas de preacute-
processamento e depleccedilatildeo em vaacuterias tarefas Cada tarefa trata um material diferente e
o aumento de desempenho pode-se tornar significativo
O SERPENT eacute um dos uacutenicos coacutedigos MC que permitem a simulaccedilatildeo com
fonte externa com meio multiplicativo aleacutem de caacutelculos de depleccedilatildeo em uma uacutenica
70
simulaccedilatildeo a geometria natildeo eacute tatildeo problemaacutetica quanto a do MCNPX pois jaacute existem
elementos preacute-definidos que satildeo encontrados em reatores nucleares como por
exemplo elementos combustiacuteveis em em arranjo hexagonal
A descriccedilatildeo da geometria no SERPENT eacute feita definindo-se uma vareta e os
raios de cada material que a compotildee Diferentemente do MCNPX os materiais satildeo
referenciados por nomes seguidos do raio ocupado partindo do centro da vareta ateacute a
extremidade
Por exemplo para se definir uma vareta de combustiacutevel os materiais que
compotildee esta vareta devem ser descritas do centro para fora da vareta Assim se o
combustiacutevel estaacute designado com um raio de 04024 cm a definiccedilatildeo do gap deve iniciar
de um raio maior que o do combustiacutevel O gap eacute designado pela palavra reservada
void
A definiccedilatildeo das varetas seja de combustiacutevel ou as de controle devem ser
terminadas sempre com o nome do material utilizado como refrigerante (Soacutedio por
exemplo) Eacute importante lembrar que cada definiccedilatildeo de vareta recebe um nuacutemero que
eacute chamado de universo
Apoacutes as definiccedilotildees das varetas basta informar o tipo de arranjo utilizado e o
pitch de varetas para completar a descriccedilatildeo do nuacutecleo do reator Se existem varetas
com diferentes composiccedilotildees de combustiacutevel deve-se informar o nuacutemero de cada
universo na posiccedilatildeo desejada
Ambos os coacutedigos permitem a utilizaccedilatildeo da mesma biblioteca realizam caacutelculo
de depleccedilatildeo do combustiacutevel indicando a quantidade de cada elemento nos diferentes
passos de queima sendo possiacutevel fazer um inventaacuterio de queima em ambos os
coacutedigos para cada intervalo de queima Este intervalo eacute informado pelo usuaacuterio
Para a descriccedilatildeo do material tanto o MCNPX como o SERPENT usam a
mesma forma Basta informar o ldquocoacutedigordquo do elemento desejado e sua concentraccedilatildeo
que pode ser atocircmica (aacutetomosbarncm) ou fraccedilatildeo de massa
O coacutedigo dos materiais eacute formado pelos seus nuacutemeros atocircmicos e por seus
nuacutemeros de massa Por exemplo o coacutedigo para o elemento 238U eacute 92238
Para se identificar as diferentes versotildees das bibliotecas existem nuacutemeros que
vecircm depois do coacutedigo do elemento Esses nuacutemeros satildeo a versatildeo das bibliotecas para
o MCNPX e para o SERPENT as temperaturas (em Kelvin) das bibliotecas Portanto
no MCNPX o coacutedigo 9223866c indica que a biblioteca utilizada eacute a ENDF66 Para o
SERPENT o coacutedigo completo eacute 9223806c onde o 06c indica a temperatura em que a
biblioteca foi avaliada (600 K)
71
Ainda na descriccedilatildeo do material o coacutedigo SERPENT permite definir os materiais
de outra forma Assim pode-se usar o siacutembolo do elemento quiacutemico seguido de seu
nuacutemero de massa Por exemplo O-1609c eacute o 16O a uma temperatura de 900 K
Se o material eacute composto por mais de um elemento quiacutemico basta inserir os
demais elementos As tabelas abaixo mostram o exemplo de um revestimento de
zircaloy (Tabela 81) para o MCNPX e para o dioacutexido de uracircnio (Tabela 82) para o
SERPENT Note que para a entrada em fraccedilatildeo de massa deve-se colocar o sinal de
negativo
Aleacutem das informaccedilotildees dos elementos e de suas concentraccedilotildees eacute necessaacuterio
informar tambeacutem a densidade dos materiais No MCNPX essa informaccedilatildeo fica junto
com a definiccedilatildeo do local que o material estaacute No SERPENT a informaccedilatildeo da
densidade fica junto com a definiccedilatildeo do material Em ambos os coacutedigos a densidade
pode ser informada em gcm3 ou em densidade atocircmica (aacutetomosbarnmiddotcm)
Tabela 81 Exemplo de um
revestimento de zircaloy no MCNPX
Elemento Fraccedilatildeo de
massa
4000066c -098135
2400066c -000100
2600066c -000135
2800042c -000055
5000006c -001450
801606c -000125
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de
uracircnio no SERPENT
Elemento Densidade
Atocircmica
9223409c 914E-02
9223509c 935E+00
9223809c 215E+02
O-1609c 449E+02
Para a validaccedilatildeo das simulaccedilotildees realizadas utilizando o coacutedigo SERPENT
foram realizadas algumas simulaccedilotildees de reatores para a comparaccedilatildeo direta com o
MCNPX jaacute que o MCNPX eacute amplamente utilizado para a simulaccedilatildeo de reatores
Os reatores simulados foram um PWR com combustiacutevel do tipo MOX (Figura
81) um reator do tipo VVER (Figura 82) e um terceiro do tipo CANDU (Figura 83)
Os resultados obtidos com essas simulaccedilotildees se encontram na Tabela 83
72
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU
Refrigerante (aacutegua)
Combustiacutevel MOX 1 (29 Pu)
Combustiacutevel MOX 2 (44 Pu)
Combustiacutevel MOX 3 (56 Pu)
Combustiacutevel (UO2)
Vazio (ar)
Refrigerante (Aacutegua)
Combustiacutevel (UO2)
Refrigerante (Aacutegua)
73
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER
Reator keff Diferenccedila2
(pcm) MCNPX SERPENT
VVER 128763 128807 3417
CANDU 094169 094207 4034
PWR 100176 100184 799
Recentemente Allen et al(2011) publicou uma proposta de referecircncia para
reatores regeneradores baseado no reator de teste avanccedilado para queima de AM
(ABTR) Este reator tem uma potecircncia teacutermica de 250 MW sendo refrigerado com
soacutedio A Figura 84 mostra a geometria e disposiccedilatildeo dos elementos do nuacutecleo do
reator utilizado na simulaccedilatildeo com MCNPX
As Tabelas 84 85 e 86 trazem as composiccedilotildees dos diferentes combustiacuteveis
utilizados Jaacute as Tabelas 87 88 e 89 mostram a composiccedilatildeo das varetas refletor e
barras de controle respectivamente
A Tabela 810 traz informaccedilotildees gerais do reator como pitch e diacircmetro de
varetas do reator entre outras
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX
2 Em moacutedulo diferenccedila = |Keff MCNPX - keff SERPENT|
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
74
Tabela 84Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 1
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 122E-04
U-235 322E-01
U-236 206E-02
U-238 202E+02
Np-237 384E-02
Pu-236 139E-07
Pu-238 959E-03
Pu-239 350E+01
Pu-240 374E+00
Pu-241 245E-01
Pu-242 175E-02
Am-241 142E-02
Am-242 285E-04
Am-243 613E-04
Cm-242 471E-04
Cm-243 741E-06
Cm-244 483E-05
Cm-245 191E-06
Cm-246 261E-08
Tabela 85 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 2
(densidade 10851
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 100E-02
U-235 320E-01
U-236 195E-02
U-238 197E+02
Np-237 181E+00
Pu-236 908E-06
Pu-238 905E-01
Pu-239 235E+01
Pu-240 109E+01
Pu-241 294E+00
Pu-242 219E+00
Am-241 213E+00
Am-242 583E-02
Am-243 436E-01
Cm-242 735E-02
Cm-243 244E-03
Cm244 110E-01
Cm-245 977E-03
Cm-246 677E-04
Tabela 86 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 3
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 150E-02
U-235 318E-01
U-236 186E-02
U-238 193E+02
Np-237 313E-02
Pu-236 911E-08
Pu-238 987E-03
Pu-239 431E+01
Pu-240 456E+00
Pu-241 295E-01
Pu-242 206E-02
Am-241 223E-02
Am-242 408E-04
Am-243 756E-04
Cm-242 563E-04
Cm-243 905E-06
Cm244 553E-05
Cm-245 200E-06
Cm-246 241E-08
75
Tabela 87 Composiccedilatildeo
do revestimento da vareta
de combustiacutevel
(densidade 75357
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Fe-54 408E+01
Fe-56 641E+02
Fe-57 148E+01
Fe-58 197E+00
Ni-58 293E+00
Ni-60 113E+00
Ni-61 491E-02
Ni-62 157E-01
Ni-64 399E-02
Cr-50 451E+00
Cr-52 870E+01
Cr-53 987E+00
Cr-54 246E+00
Mn-55 460E+00
Zr-nat 491E+00
Tabela 88 Composiccedilatildeo
do refletor (densidade
53908 gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Na-23 715E+01
Fe-54 277E+01
Fe-56 435E+02
Fe-57 101E+01
Fe-58 134E+00
Ni-58 199E+00
Ni-60 767E-01
Ni-61 333E-02
Ni-62 106E-01
Ni-64 271E-02
Cr-50 306E+00
Cr-52 591E+01
Cr-53 670E+00
Cr-54 167E+00
Mn-55 312E+00
Zr-nat 333E+00
Tabela 89 Composiccedilatildeo
da barra de controle
(densidade 15643
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
C-12 407E+01
B-10 164E+02
B-11 662E+02
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR
Paracircmetro Valor (cm)
ldquoPicthrdquo do elemento combustiacutevel 14685
ldquoPitchrdquo da varetas de combustiacutevel 09134
Diacircmetro da vareta de combustiacutevel 08048
Espessura do revestimento 00523
Altura ativa do combustiacutevel 844108
76
A biblioteca de dados utilizada foi a ENDF B-VI6a que eacute fornecida juntamente
com o MCNPX 26 Esta biblioteca foi avaliada em diferentes temperaturas O
refrigerante utilizado na simulaccedilatildeo deste reator eacute o soacutedio com uma concentraccedilatildeo de
22272x10-2 aacutetomosbarnsmiddotcm
Como o MCNPX e o SERPENT natildeo permitem a mudanccedila na temperatura
durante a simulaccedilatildeo caso queira-se avaliar o efeito da temperatura deve-se ter as
bibliotecas nas temperaturas requeridas refazer a simulaccedilatildeo e comparar os
resultados
A simulaccedilatildeo deste sistema foi feita com um total de 130 ciclos mas somente os
uacuteltimos 100 ciclos satildeo contabilizados nos resultados Cada ciclo foi simulado com
1x104 necircutrons totalizando 106 necircutrons isto sem levar em conta os necircutrons
produzidos por fissatildeo A Tabela 811 mostra a divisatildeo dos intervalos utilizados na
queima do combustiacutevel na simulaccedilatildeo do reator ABTR
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR
Intervalo Duraccedilatildeo (dias)
1 2739
2 2739
3 5478
4 10956
5 10956
6 10956
7 10956
8 10956
9 10956
10 10956
11 10956
12 10956
O proacuteximo passo foi realizar a simulaccedilatildeo deste mesmo sistema no SERPENT
1118 para a comparaccedilatildeo com o resultado do MCNPX e verificar se os resultados de
ambos os coacutedigos MC satildeo compatiacuteveis para o caso de reatores subcriacuteticos A Figura
85 mostra o nuacutecleo do reator simulado no SERPENT
77
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT
A simulaccedilatildeo tambeacutem foi realizada com 130 ciclos utilizando o mesmo nuacutemero
de necircutrons que na simulaccedilatildeo feita pelo o MCNPX
Com estas condiccedilotildees Allen et al (2011) obtiveram um keff de 104961 Ao
reproduzir esta simulaccedilatildeo foi obtido um keff inicial de 104622 ou seja uma diferenccedila
de 83 pcm
Vale ressaltar que o tempo de simulaccedilatildeo do SERPENT para este mesmo
sistema foi de aproximadamente 20 h Isso se deve ao fato que o SERPENT eacute
especiacutefico para simulaccedilatildeo de reatores enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo mais geral
Assim o SERPENT pode utilizar mecanismos de otimizaccedilatildeo como por exemplo uma
mudanccedila no algoritmo de caacutelculo do livre caminho meacutedio sem perda de informaccedilatildeo
Os resultados da comparaccedilatildeo satildeo apresentados na Tabela 812 Jaacute os graacuteficos
das Figuras 87 e 88 mostram a comparaccedilatildeo do keff e da queima nos dois sistemas
respectivamente Pode-se observar atraveacutes da Figura 86 que o reator simulado se
torna subcriacutetico somente apoacutes 550 dias de operaccedilatildeo
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
78
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT
Tempo
(dias)
Reatividade (pcm) Burnup (GwdMTU)
Diferenccedila3
reatividade
(pcm)
Diferenccedila1
Burnup
(GwdMTU)
MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT
00 4335 4418 0000 0000 83 0000
2739 4033 4114 1325 1324 81 0001
5478 3906 3788 2649 2649 118 0000
1096 3544 3462 5298 5297 81 0001
2191 2759 2343 10600 10594 415 0006
3287 1749 1642 15890 15891 106 0001
4382 1053 1255 21190 21188 202 0002
5478 15 106 26490 26485 91 0005
6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008
7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011
8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014
9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007
10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094
095
096
097
098
099
100
101
102
103
104
105
106
Kef
f
Tempo (Dias)
MCNPX SERPENT
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT
1 diferenccedila burnup = |burnup MCNPX ndash burnup SERPENT|
3 diferenccedila reatividade = |Keff MCNPX ndash keff SERPENT|
79
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000
10
20
30
40
50
60
burn
up (
Gw
dM
TU
)
tempo (Dias)
MCNPX 26 SERPENT
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT
Uma opccedilatildeo interessante na simulaccedilatildeo realizada com o SERPENT eacute a
possibilidade de uma visualizaccedilatildeo das aacutereas mais lsquoquentesrsquo do reator que satildeo
representadas por tons de vermelho e amarelo representando a potecircncia relativa da
fissatildeo nuclear e em tons de azul satildeo as aacutereas lsquofriasrsquo representando fluxo teacutermico
relativo (ver Figuras 89 e 810)
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do reator PWR simulado
80
Para a observaccedilatildeo nas alteraccedilotildees nos esquemas de cores a normalizaccedilatildeo eacute
fixa apoacutes o primeiro passo de queima A Figura 89 abaixo mostra a representaccedilatildeo das
aacutereas quentes e frias para o reator ABTR simulado por Allen et al (2010) em quatro
estaacutegios diferentes de queima
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias
A partir das Tabelas 812 83 e do graacutefico da Figura 86 pode-se verificar que
os dois coacutedigos MC apresentam resultados satisfatoacuterios para os valores do keff com
diferenccedila maacutexima de 415 pcm para o reator ABTR Esta diferenccedila pode ser devido agrave
geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios presente no meacutetodo MC Uma maneira de ser diminuir
esta diferenccedila eacute aumentando a quantidade de partiacuteculas simuladas poreacutem o tempo de
simulaccedilatildeo tornar-se demasiadamente grande (Antolin 2009) Outra possibilidade eacute a
falta de dados mais precisos dos materiais utilizados como combustiacuteveis no reator
ABTR
Como o coacutedigo SERPENT eacute mais novo a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do mesmo
sistema simulado no MCNPX se justifica para saber se o coacutedigo SERPENT reproduz
sistemas subcriacuteticos adequadamente Aleacutem disso o SERPENT permite a simulaccedilatildeo
de reatores nucleares com fonte externa mesmo que estas simulaccedilotildees se limitem a
a b
c d
81
problemas de fonte externa fixa Devemos lembrar que o SERPENT soacute realiza
simulaccedilatildeo de reatores nucleares enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo que pode ser
aplicados a outros problemas aleacutem de simulaccedilotildees de reatores
82
9 Resultados
As equaccedilotildees da cineacutetica pontual obtidas no capiacutetulo 3 para sistemas
subcriacuteticos foram comparadas com a simulaccedilatildeo MC devido agrave dificuldade de se obter
dados experimentais de reatores subcriacuteticos As simulaccedilotildees foram feitas utilizando
potecircncia constante linear exponencial e tambeacutem uma variaccedilatildeo aleatoacuteria
A utilizaccedilatildeo do meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear eacute interessante por
permitir a implementaccedilatildeo de sistemas de monitoramento em tempo real da reatividade
associada a uma variaccedilatildeo da potecircncia nuclear tornando-se muito atraente para
aplicaccedilotildees em reatores do tipo ADS
A Figura 91 mostra a geometria utilizada nas simulaccedilotildees de todos os casos
simulados As composiccedilotildees dos materiais satildeo as mesmas mostradas nas Tabelas 87
88 e 89 para vareta refletor barra de controle e da vareta de combustiacutevel Para a
composiccedilatildeo do combustiacutevel foi usada agrave composiccedilatildeo mostrada na Tabela 91
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado
Elemento Concentraccedilatildeo
(fraccedilatildeo de massa)
U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico
Legenda
Combustiacutevel
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
83
Os valores utilizados para a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo Monte Carlo com os
resultados das equaccedilotildees para cada um dos casos do capiacutetulo 3 encontram-se na
Tabela 92 Esses valores foram obtidos diretamente do arquivo de saiacuteda da simulaccedilatildeo
realizada no SERPENT com a exceccedilatildeo do valor de Γ que foi extraiacutedo de Silva (2011)
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos
Paracircmetro Valor
β 000706
Λ 121x10-5 s
λ 21979x10-1 s
Γ -077x10-10
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia
Nuclear
Para um reator subcriacutetico chegar a sua potecircncia de operaccedilatildeo deve-se
monitorar a reatividade para se evitar algum tipo de acidente Assim podemos supor
uma inserccedilatildeo de reatividade de maneira linear (equaccedilatildeo 443) Esta simulaccedilatildeo foi feita
considerando uma taxa de aumento de 5 por hora do valor inicial da potecircncia sendo
monitorado por um periacuteodo de 6 horas
A Tabela 93 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos entre o SERPENT e
a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa
92 Potecircncia Nuclear Constante
Para a simulaccedilatildeo realizada a potecircncia constante o tempo total de simulaccedilatildeo foi
de cerca de 12 horas Esta diferenccedila se daacute unicamente devido ao diferente nuacutemero de
passos simulados enquanto foram simulados 6 passos de uma hora para a variaccedilatildeo
84
linear da potecircncia foram simulados 10 passos para a potencia constante Esta
simulaccedilatildeo tenta reproduzir a operaccedilatildeo em condiccedilotildees normais do reator A Tabela 94
mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos para a potecircncia de 80 MW
93 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
A variaccedilatildeo exponencial da potecircncia foi simulada por um periacuteodo de 1 hora em
intervalos de 10 minutos A Tabela 95 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos
com uma taxa de aumento de 00001
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(h) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 1 -2069 -2125 -2119 56 50
84 2 -2050 -2125 -2125 75 75
88 3 -2122 -2134 -2134 12 12
92 4 -2077 -2143 -2143 66 66
96 5 -2142 -2151 -2151 9 9
100 6 -2119 -2158 -2158 39 39
85
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
Gandini -
SERPENT
0 -2133 -2146 -2146 12 12
10 -2152 -2146 -2146 6 6
20 -2144 -2146 -2146 2 2
30 -2167 -2146 -2146 21 21
40 -2151 -2146 -2146 5 5
50 -2127 -2146 -2146 18 18
60 -2177 -2146 -2146 31 31
70 -2145 -2146 -2146 0 0
80 -2152 -2146 -2146 6 6
90 -2160 -2146 -2146 14 14
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da potecircncia
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2065 2120 2120 55 55
115 10 2108 2107 2107 0 0
165 20 2104 2115 2114 11 10
235 30 2070 2114 2115 44 45
337 40 2083 2115 2115 32 32
483 50 2126 2115 2117 11 9
86
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
A avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia durante
sua operaccedilatildeo foi feita durante um periacuteodo de 6 horas Neste intervalo foi simulada uma
suacutebita queda de potecircncia e posteriormente uma subida repentina da potecircncia A
Tabela 96 mostra os resultados obtidos
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2075 2029 2029 46 46
90 1 2075 2188 2188 113 113
0 2 2143 2118 2118 24 24
40 3 2050 2120 2120 70 70
80 4 2133 2231 2231 97 97
100 5 2080 2163 2163 83 83
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Nesta seccedilatildeo seratildeo apresentados os resultados obtidos levando-se em conta a
variaccedilatildeo temporal da fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo dos
necircutrons
87
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia
Assim como na seccedilatildeo 91 a Tabela 97 mostra os resultados obtidos para uma
variaccedilatildeo linear de potecircncia poreacutem os resultados abaixo foram levados em conta agraves
variaccedilotildees temporais de β e de Λ Como o SERPENT jaacute fornece os valores de β e Λ
para cada passo de queima esses valores foram utilizados para a obtenccedilatildeo da reta de
ajuste que foi utilizada em todos os casos com variaccedilatildeo temporal de β e de Λ Assim
natildeo foi necessaacuterio realizar novas simulaccedilotildees
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Λ (x10-5)
(s)
β
(pcm)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF ndash
SERPENT
HGPT ndash
SERPENT
80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6
84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0
88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28
92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80
96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127
100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141
952 Potecircncia constante
Jaacute para o reator operando a uma potecircncia constante a Tabela 98 mostra os
resultados obtidos para variaccedilotildees lineares de β e Λ Lembrando que esta a duraccedilatildeo
desta simulaccedilatildeo foi de aproximadamente 12 horas
88
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia constante
Tempo
(min) Λ (x10-5) (s)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7
10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6
20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5
30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17
40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4
50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18
60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31
70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0
80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1
90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14
953 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
Utilizando a mesma variaccedilatildeo de potencia da seccedilatildeo 93 a operaccedilatildeo do reator
foi simulada por um periacuteodo de 6 horas Para este caso a taxa de aumento de
potecircncia tambeacutem foi de 00001 A Tabela 99 mostra os resultados obtidos
89
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Mais uma vez realizando a mesma variaccedilatildeo de potecircncia da seccedilatildeo 94 a
avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia tambeacutem foi
realizada juntamente com a variaccedilatildeo de β e Λ A Tabela 910 mostra os resultados
obtidos
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia com β e Λ variaacuteveis no tempo
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125
115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36
165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13
235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9
337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80
483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Serpent TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102
90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2
0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79
40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51
80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140
100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23
90
96 Paracircmetros Nucleares
Os paracircmetros integrais satildeo muitas vezes utilizados para dar informaccedilotildees
imediatas e completas sobre as caracteriacutesticas fiacutesicas dos reatores nucleares Eles
podem aparecer diretamente da modelagem matemaacutetica do sistema ou podem ser
introduzidos tanto artificialmente com a finalidade de quantificar as caracteriacutesticas
fiacutesicas pra que se permitam comparaccedilotildees entre diferentes configuraccedilotildees ou na
interpretaccedilatildeo das mediccedilotildees experimentais Assim enquanto algumas quantidades
integrais em fiacutesica de reatores deteacutem um significado matemaacutetico (por exemplo o fator
de multiplicaccedilatildeo como sendo o autovalor do problema de equiliacutebrio) outras
quantidades podem carregar significados diferentes de acordo com os objetivos
especiacuteficos para os quais satildeo introduzidos Este fato pode causar uma grande
confusatildeo especialmente quando o mesmo termo eacute utilizado para denotar grandezas
fiacutesicas bastante diferentes Este eacute o caso por exemplo de paracircmetros integrais
introduzidos em modelos cineacuteticos que satildeo obtidos atraveacutes da ponderaccedilatildeo das
equaccedilotildees da cineacutetica Enquanto que o procedimento eacute bem estabelecido na cineacutetica
dos de sistemas criacuteticos o caso de sistemas com fonte externa pode estar aberto a
ambiguidade jaacute que natildeo existe uma uacutenica funccedilatildeo de ponderaccedilatildeo e sua escolha pode
ser relacionada mais para conveniecircncia numeacuterica ou para a necessidade de obter
alguns resultados muitos especiacuteficos (Dulla 2011)
Por outro lado muitas vezes esses mesmos termos podem ser obtidos por
exemplo por teacutecnicas de simulaccedilatildeo MC Este eacute o caso de reatividade fraccedilatildeo de
necircutrons retardados e o tempo de geraccedilatildeo de necircutrons Eacute especialmente importante
observar que os sistemas subcriacuteticos exigem um repensar de toda abordagem teoacuterica
concebida para sistemas criacuteticos
Anaacutelises realiacutesticas da cineacutetica de sistemas subcriacuteticos satildeo atualmente feitas
atraveacutes da soluccedilatildeo direta das equaccedilotildees seja por difusatildeo ou por modelos de
transporte Informaccedilotildees altamente detalhadas e precisas sobre a evoluccedilatildeo dos
necircutrons satildeo necessaacuterias entretanto os modelos pontuais satildeo muito simplificados e
podem natildeo fornecer informaccedilotildees suficientes Aleacutem disso ferramentas numeacutericas e
computacionais eficientes estatildeo disponiacuteveis tornando possiacutevel evitar as restriccedilotildees dos
modelos da cineacutetica pontual No entanto os paracircmetros integrais satildeo uacuteteis em
qualquer caso para a obtenccedilatildeo de informaccedilotildees completas sobre o comportamento
fiacutesico do sistema para ter uma indicaccedilatildeo imediata sobre as caracteriacutesticas cineacuteticas do
sistema
91
O conceito de paracircmetros integrais parece perder significado e relevacircncia para
sistemas subcriacuteticos guiados por fonte Por isso para as quantidades integrais
medidas ou simuladas as definiccedilotildees dos paracircmetros gerados devem sempre estar
especificados para evitar interpretaccedilotildees equivocadas e incorretas de tais resultados
Para comparar alguns paracircmetros as simulaccedilotildees foram feitas utilizando tanto
combustiacutevel fresco quanto combustiacutevel usado Assim pode-se comparar alguns
paracircmetros nucleares do iniacutecio do ciclo de combustiacutevel com os resultados de
combustiacutevel no final do ciclo Alguns paracircmetros como a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados (β) e o tempo de geraccedilatildeo meacutedia de necircutrons (Λ) satildeo fornecidos pelo coacutedigo
SERPENT ao final de cada simulaccedilatildeo
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares
Paracircmetro Combustiacutevel
fresco
Combustiacutevel
queimado
Referecircncia (Dulla et
al 2011)
β 000706 000340 000644
Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s
A partir da Tabela 911 pode-se verificar que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
tem uma diminuiccedilatildeo de quase a metade em comparaccedilatildeo ao seu valor inicial Isso eacute de
se esperar devido agrave queima do combustiacutevel fazendo com que este paracircmetro natildeo seja
tatildeo importante na operaccedilatildeo de um reator nuclear no final do ciclo do combustiacutevel como
eacute em seu iniacutecio
O valor para a fraccedilatildeo de necircutrons retardados para combustiacutevel fresco no
reator subcriacutetico Yalina operando a um keff de 098 eacute de 644 pcm (Dulla et al 2011) ou
seja uma diferenccedila de 62 pcm em relaccedilatildeo ao valor encontrado na Tabela 911 Vale
ressaltar que segundo Dulla et al (2011) os paracircmetros integrais dependem do niacutevel
de subcriticalidade
Outro paracircmetro importante para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de cineacutetica pontual e
para o controle do reator sendo muitas vezes utilizado para determinar a resposta
dinacircmica de um reator nuclear eacute o tempo de vida de necircutrons prontos (Λ) (Abaacutenades
et al 2001) Para reatores teacutermicos este valor eacute em torno de 10-4 s enquanto para
reatores subcriacuteticos este valor eacute da ordem de 10-5 s Segundo Dulla et al (2011) o
valor para este paracircmetro eacute de 148 micros para combustiacutevel fresco Assim o valor
encontrado (121 micros) eacute proacuteximo ao encontrado na literatura com um desvio percentual
92
de 18 Este desvio pode se devido agraves diferentes composiccedilotildees do combustiacutevel e
tambeacutem pela diferenccedila de enriquecimento
93
10 Conclusatildeo
A mediccedilatildeo da reatividade utilizando-se a cineacutetica inversa eacute amplamente
utilizada na partida de um reator nuclear Assim uma mediccedilatildeo acurada da reatividade
eacute imprescindiacutevel para o controle do reator (Diacuteaz et al 2007)
Os formalismos propostos por Gandini (2000) e por Silva et al (2011) envolvem
a fonte externa para descriccedilatildeo do comportamento cineacutetico dos reatores subcriacuteticos
guiados por fontes Poreacutem como ainda natildeo existem reatores ADS em operaccedilatildeo as
simulaccedilotildees de tais sistemas satildeo importantes para a avaliaccedilatildeo preliminar do
funcionamento desses reatores
Os resultados apresentados no capiacutetulo anterior mostram que as equaccedilotildees da
cineacutetica inversa para sistemas subcriacuteticos propostas nesta tese reproduzem
satisfatoriamente os reatores subcriacuteticos guiados por fonte sejam utilizando o meacutetodo
das derivadas quanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia tanto para o
formalismo proposto por Gandini (2000) quanto o proposto por Silva et al (2011)
Ainda pode-se notar que tanto para valores constantes como para variaccedilotildees lineares
de β e Λ os resultados satildeo coerentes Isto ocorre devido agrave pequena variaccedilatildeo de β
(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)
Vale ressaltar que o meacutetodo das derivadas se torna interessante para o
monitoramento da reatividade por natildeo necessitar do armazenamento de todo o
histoacuterico potecircncia e depender apenas das derivadas da potecircncia possibilitando que o
caacutelculo da reatividade seja feito com uma maior rapidez se comparado com o tempo
necessaacuterio para resolver a integral do histoacuterico de potecircncia Aleacutem disso este meacutetodo
natildeo necessita do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator e o caacutelculo
pode ser reiniciado em caso de mau funcionamento do equipamento de mediccedilatildeo da
reatividade
A simulaccedilatildeo Monte Carlo foi utilizada para a validaccedilatildeo dos meacutetodos propostos
devido agrave falta de dados nucleares para reatores subcriacuteticos poreacutem mesmo com a boa
reproduccedilatildeo deste tipo de simulaccedilatildeo a modelagem utilizada por estes meacutetodos
encontra problemas pois os dados nucleares disponiacuteveis para alguns actiniacutedeos natildeo
atendem as faixas de energia necessaacuterias para a simulaccedilatildeo de um reator ADS Esses
dados devem cobrir aleacutem de uma vasta gama de energia e um grande conjunto de
nucliacutedeos (Vaz 2010) pois o grande atrativo dos reatores ADS eacute a transmutaccedilatildeo de
rejeitos de longa meia vida e tambeacutem a produccedilatildeo de energia eleacutetrica Assim a ecircnfase
94
dos dados nucleares deve ser nos actiniacutedeos (por exemplo Np Am e o Cm) para o
acompanhamento do ciclo de combustiacutevel com a finalidade de reciclagem muacuteltipla
Mesmo assim a simulaccedilatildeo realizada para a validaccedilatildeo das equaccedilotildees propostas por
Gandini (2000) e por Silva et al (2011) mostra-se coerente para anaacutelise completa da
reatividade de um reator subcriacutetico guiado por fonte
Ainda assim a simulaccedilatildeo Monte Carlo pode ser utilizada para a anaacutelise
preliminar de alguns paracircmetros dos reatores nucleares (criacuteticos ou subcriacuteticos) como
por exemplo o fator de multiplicaccedilatildeo efetivo a fraccedilatildeo de necircutrons retardados e uma
boa aproximaccedilatildeo da quantidade de material transmutado ajudando a prever o
comportamento meacutedio do reator
Pode-se verificar que existe uma boa concordacircncia entre os valores
encontrados para os paracircmetros nucleares e os existentes na literatura Uma possiacutevel
melhora nesses resultados passa por um aumento significativo na quantidade de
histoacuterias simuladas
Este aumento contribuiria para a diminuiccedilatildeo dos erros estatiacutesticos intriacutensecos
do meacutetodo Monte Carlo Poreacutem o tempo de simulaccedilatildeo tambeacutem aumentaria
sensivelmente pois o meacutetodo MC necessita da simulaccedilatildeo individual de cada partiacutecula
podendo levar um tempo absurdamente grande para a simulaccedilatildeo de todo o sistema
Poreacutem mesmo com a ldquofaltardquo de dados nucleares mais precisos para os
actiniacutedeos a simulaccedilatildeo MC se mostra uma importante ferramenta na aacuterea de fiacutesica de
reatores devido a sua facilidade de trabalhar com geometrias bastante complexas
permitindo tambeacutem a simulaccedilatildeo desses sistemas em trecircs dimensotildees
Uma soluccedilatildeo interessante para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares seriam os
meacutetodos computacionais hiacutebridos ou seja um meacutetodo resultante da fusatildeo da
simulaccedilatildeo Monte Carlo com teacutecnicas determiniacutesticas Assim poder-se-ia melhorar os
pontos fortes e eliminar as fraquezas individuais do meacutetodo MC e das abordagens
deterministas Apesar de algumas exceccedilotildees o desenvolvimento de ferramentas
computacionais hiacutebridas eacute no entanto ainda largamente inexplorado (Vaz 2010)
95
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viii
Sumaacuterio Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xi
1 Introduccedilatildeo 1
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para Reatores Subcriacuteticos 8
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 9
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 14
23 Cineacutetica Inversa 17
231 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 18
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 18
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico de Potecircncia 19
31 Meacutetodo de Agrupamento 19
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada 21
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da intensidade da fonte externa 23
34 Meacutetodo das Derivadas 24
341 Anaacutelise para k impar 25
342 Anaacutelise para k par 29
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com dependecircncia temporal de β e Λ 32
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 32
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 33
43 Meacutetodo das Derivadas para Dependecircncia Temporal de β e de Λ 34
431 Anaacutelise para k impar 35
432 Anaacutelise para k par 37
5 Caacutelculo da reatividade para algumas variaccedilotildees da potecircncia nuclear 40
51 Potecircncia Linear 40
511 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 40
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 42
52 Potecircncia Constante 43
521 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 43
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 44
53 Potecircncia Exponencial 45
531 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 45
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 46
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 47
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com Dependecircncia temporal de β e Λ 49
61 Potencia Linear 49
ix
611 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 49
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 50
62 Potecircncia Constante 51
621 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 51
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 51
63 Potecircncia Exponencial 52
631 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 52
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 52
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 53
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica 54
71 Funccedilotildees Densidade de Probabilidades 57
72 Meacutetodo direto ou inverso 60
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo 63
74 Meacutetodos Monte Carlo para Reatores Subcriacuteticos 65
75 Conceito de Reatores ADS 66
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos Utilizados 68
9 Resultados 82
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia Nuclear 83
92 Potecircncia Nuclear Constante 83
93 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 84
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 86
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ 86
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia 87
952 Potecircncia constante 87
953 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 88
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 89
96 Paracircmetros Nucleares 90
10 Conclusatildeo 93
11 Referecircncias Bibliograacuteficas 95
x
Lista de Figuras
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996 3
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de
Yoriyaz 2009 55
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio 58
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio 58
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo 59
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003) 61
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula 62
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo 64
Figura 78 Processo de caacutelculo de π 65
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009 66
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS 67
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR 72
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER 72
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU 72
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX 73
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT 77
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT 78
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT 79
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do
reator PWR simulado 79
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do
ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias 80
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico 82
xi
Lista de Tabelas
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-
nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012) 2
Tabela 81 Exemplo de um revestimento de zircaloy no MCNPX 71
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de uracircnio no SERPENT 71
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER 73
Tabela 84Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 1 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 85 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 2 (densidade 10851 gcm3) 74
Tabela 86 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 3 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 87 Composiccedilatildeo do revestimento da vareta de combustiacutevel (densidade 75357
gcm3) 75
Tabela 88 Composiccedilatildeo do refletor (densidade 53908 gcm3) 75
Tabela 89 Composiccedilatildeo da barra de controle (densidade 15643 gcm3) 75
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR 75
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR 76
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT 78
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado 82
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos 83
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear 84
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante 85
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia 85
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados 86
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ 87
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia linear constante 88
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares 91
1
1 Introduccedilatildeo
Grande parte da energia eleacutetrica produzida por reatores nucleares satildeo
provenientes de reatores a aacutegua leve devido agrave utilizaccedilatildeo de material fiacutessil pouco
enriquecido para seu funcionamento o que torna sua construccedilatildeo e operaccedilatildeo
bastantes atrativos mesmo com os altos custos de construccedilatildeo e manutenccedilatildeo das
centrais nucleares Aleacutem disso o conhecimento do clico teacutermico utilizados por esses
reatores impulsionaram seu desenvolvimento (Pereira 2002)
Poreacutem estes reatores utilizam ciclo de combustiacutevel aberto e produzem uma
grande quantidade de rejeitos o que inclui grande quantidade de elementos
transuracircnicos (Am Cm Np entre outros) que possuem uma alta meia-vida (cerca de
107 anos)
Assim existe uma grande preocupaccedilatildeo na utilizaccedilatildeo desses reatores natildeo soacute
na prevenccedilatildeo de acidentes mas tambeacutem devido agrave proliferaccedilatildeo de armas nucleares e
agrave necessidade de repositoacuterios finais de estocagem de longa duraccedilatildeo (Iwanaga et al
2005) o que cria uma barreira de sua aplicaccedilatildeo
Atualmente grande parte do combustiacutevel queimado no mundo eacute armazenado
em piscinas dentro das proacuteprias usinas nucleares e em alguns casos o
armazenamento que deveria ser temporaacuterio persiste haacute deacutecadas Estima-se que o
aumento de combustiacutevel utilizado esteja em torno de 12000 toneladas por ano sendo
que apenas 3000 toneladas deste combustiacutevel vatildeo para o reprocessamento1
Uma forma de contornar o problema da estocagem eacute atraveacutes da queima dos
rejeitos provenientes dos reatores nucleares de potecircncia em outros tipos de reatores
Inicialmente os reatores raacutepidos foram os primeiros a serem considerados para
esta finalidade por proporcionar aleacutem de uma melhor utilizaccedilatildeo das reservas de
uracircnio a possibilidade de transmutaccedilatildeo dos elementos transuracircnicos Poreacutem
dificuldades na operaccedilatildeo de reatores raacutepidos criacuteticos como por exemplo o controle da
criticalidade e tambeacutem a oxidaccedilatildeo do material usado como refrigerante (soacutedio)
dificultaram o seu uso
Cerca de 20 reatores raacutepidos jaacute entraram em operaccedilatildeo desde a deacutecada de
1950 sendo em sua maioria reatores de pesquisa Comercialmente apenas o reator
francecircs Superphenix chegou a entrar em operaccedilatildeo comercial Ele foi desenvolvido
para gerar 12 GW de energia eleacutetrica poreacutem foi fechado em 1998 devido a falhas
1 httpwwwworld-nuclearorginfoNuclear-Fuel-CycleNuclear-WastesRadioactive-Waste-
ManagementUTn-jaVtivM
2
estruturais alto custo e repetidos incidentes O Superphoenix funcionou apenas 10
meses em 13 anos
Os reatores raacutepidos satildeo projetados para usar 238U e tambeacutem 235U usado na
maioria dos reatores Se esses reatores satildeo projetados para produzir mais plutocircnio do
que consomem eles satildeo chamados reatores reprodutores raacutepidos (FBR) (Lodhi et al
2009) Os reatores raacutepidos tambeacutem podem queimar actiniacutedeos que possuem alta meia
vida que podem ser transmutados em outros elementos para o uso em reatores
convencionais (LWR) A Tabela 11 mostra alguns reatores raacutepidos que entraram ou
entraratildeo em operaccedilatildeo no mundo
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012)
Paiacutes Reator Tipo Potecircncia
Eleacutetrica (MWe)
Potecircncia
Teacutermica (MW) Operaccedilatildeo
USA
EBR 1 02 14 1951-63
EBR II Pesquisa 20 625 1963-94
Fermi 1 Pesquisa 66 200 1963-72
SEFOR
20 1969-72
Fast Flux Test
Facility Pesquisa
400 1980-93
Inglaterra Protoype FR Protoacutetipo 15 60 1959-77
Dounreay FR Pesquisa 270 650 1974-94
Franccedila
Rapsodie Pesquisa 40 1966-82
Phenix Protoacutetipo 250 563 1973-2009
Superphenix Comercial 1240 3000 1985-98
Alemanha KNK 2 Pesquisa 21 58 1977-91
Iacutendia FBTR Pesquisa
40 1985-
PFBR Protoacutetipo 500 1250 2012-
Japatildeo
Joyo Pesquisa
140 1978-
Monju Protoacutetipo 280 714 1994-96
2010-
Cazaquistatildeo BN 350 Protoacutetipo 135 750 1972-99
Ruacutessia
BN 12
101 1950
BR 5 10 Obninsk Pesquisa
5 8 1959-71
1973-
BOR 60
Dimitrovgrad Pesquisa 12 55 1969-
BN 600 Beloyarsk 3 Protoacutetipo 600 1470 1980-
BN-800 Beloyarsk 4 Comercial 880 2000 2014-
China CEFR Pesquisa 20 65 2010-
3
Vaacuterios paiacuteses tecircm programas de pesquisa e desenvolvimento para melhorar os
reatores raacutepidos Aleacutem disso o projeto internacional em inovaccedilatildeo de reatores
nucleares e ciclo de combustiacutevel (INPRO) da agecircncia internacional de energia atocircmica
(AIEA) possui como ecircnfase os reatores raacutepidos para funcionarem com o ciclo de
combustiacutevel fechado
Os problemas encontrados na operaccedilatildeo dos reatores raacutepidos podem ser
contornados utilizando um conceito onde os necircutrons que satildeo produzidos por uma
reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo a um custo eleacutetrico pequeno entram em um meio multiplicativo
com uma configuraccedilatildeo de combustiacutevelmoderador (Rubbia et al 1996) Esses reatores
satildeo chamados reatores hiacutebridos devido ao acoplamento de um acelerador de
partiacuteculas para seu funcionamento A Figura 11 mostra uma concepccedilatildeo do esquema
de funcionamento desses tipos de reatores
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996
Este conceito de reator foi proposto desde os anos 1970 (Maniscalco et al
1974) Poreacutem dificuldades tecnoloacutegicas adiaram seu desenvolvimento pois estes
aceleradores de partiacuteculas devem ser extremamente confiaacuteveis durante a operaccedilatildeo do
reator
Os reatores hiacutebridos subcriacuteticos satildeo atraentes por proporcionar melhor
utilizaccedilatildeo dos recursos naturais e tem sido amplamente reconhecidos como sendo
altamente seguros (Rubbia et al 1995) A principal vantagem deste tipo de reator eacute a
operaccedilatildeo de um reator com fator de multiplicaccedilatildeo menor que a unidade (keff lt1) em
Acelerador
Nuacutecleo
Turbina
Condensador
Trocador de Calor
Gerador
4
que as reaccedilotildees de fissatildeo devem ser desencadeadas por um intenso feixe de
partiacuteculas carregadas aceleradas como por exemplo proacutetons ou iacuteons pesados com
energia entre 05 - 50 GeV por nucleon (Perelygin et al 1999)
Aleacutem disso o objetivo da transmutaccedilatildeo eacute a minimizaccedilatildeo de rejeitos nucleares
atraveacutes da transmutaccedilatildeo dos actiniacutedeos menores (AM) como Np Am e Cm Portanto
esses reatores devem ser carregados com combustiacutevel que contenha grandes
quantidades de AM
Para poderem realizar a transmutaccedilatildeo esses reatores utilizam necircutrons no
espectro raacutepido Isto ocorre porque nessa faixa de energia a seccedilatildeo de choque de
fissatildeo eacute mais favoraacutevel para a transmutaccedilatildeo dos AM Assim esses reatores se
caracterizam por uma baixa fraccedilatildeo de necircutrons retardados o que implica em raacutepidas e
grandes variaccedilotildees de potecircncia para uma pequena variaccedilatildeo na reatividade (Sordo et
al 2009) Segundo Rubbia et al (1996) uma mudanccedila suacutebita de +01 em um fator de
multiplicaccedilatildeo inicialmente a 095 causa um aumento na potecircncia de aproximadamente
20 Este aumento de reatividade em um reator raacutepido pode ter consequecircncias
catastroacuteficas
Para as especificaccedilotildees do feixe que deve sustentar o funcionamento do reator
Rubbia et al (1995) afirma que existe pouca ou nenhuma vantagem no uso de
partiacuteculas mais sofisticadas indicando o uso exclusivo de proacutetons no feixe de
partiacuteculas
Os reatores hiacutebridos ainda necessitam de um forte desenvolvimento o que
inclui novos combustiacuteveis e novas teacutecnicas de reprocessamento e tais programas
ainda natildeo foram totalmente desenvolvidos De qualquer forma o conceito de reator
hiacutebrido pode ser uma ferramenta potencial para obter o melhor domiacutenio da fissatildeo para
a geraccedilatildeo de energia eleacutetrica e sem o uso de reatores regeneradores raacutepidos (que
satildeo criacuteticos) que apresentam mais problemas na seguranccedila do que os reatores
subcriacuteticos (Piera et al 2010)
Inicialmente as especificaccedilotildees do feixe de partiacuteculas deveria ser capaz de
enviar proacutetons de no miacutenimo 1 GeV de energia o que implica em uma corrente de 10
agrave 15 mA Caso mais energia seja necessaacuteria pode-se usar vaacuterios feixes em paralelo
(Rubbia et al 1995)
O alvo atingido pelo feixe de partiacuteculas aceleradas pode ser o uracircnio natural ou
empobrecido o chumbo liacutequido ou outro material de alto nuacutemero atocircmico Assim os
necircutrons gerados nesta reaccedilatildeo entram no reator subcriacutetico que cerca o alvo
Mais recentemente Sordo et al (2009) afirmou que o alvo mais eficiente para
os reatores hiacutebridos eacute a liga feita de chumbo e bismuto (LBE) no estado liacutequido
bombardeado com proacutetons de energia entre 600 MeV e 1 GeV Devido a restriccedilotildees
5
termodinacircmicas os alvos de materiais soacutelidos satildeo indicados para instalaccedilotildees de baixa
potecircncia sendo pouco praacutetico para aplicaccedilotildees industriais que necessitam de potecircncias
muito maiores
O acelerador deve fornecer uma corrente de proacutetons com ampla faixa de
operaccedilatildeo pois para um reator que funcione com fator de multiplicaccedilatildeo muito menor
que a unidade deve-se evitar um desligamento natildeo programado durante seu
funcionamento
A produccedilatildeo de necircutrons na reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo determina a potecircncia teacutermica
do reator dependendo do seu niacutevel de subcriticalidade A diminuiccedilatildeo do valor do keff
devido agrave queima de combustiacutevel deve ser compensada para manter a potecircncia do
reator constante para isso pode-se aumentar a intensidade da fonte de necircutrons
Poreacutem isto induz um estresse termomecacircnico como a dilataccedilatildeo devido ao aumento
da temperatura aleacutem da maior degradaccedilatildeo natildeo soacute na estrutura do reator mas
tambeacutem e principalmente no alvo (Sordo et al 2009) O feixe de proacutetons deve ser
projetado para manter a integridade do alvo durante todo o ciclo de operaccedilatildeo
O projeto do reator hiacutebrido de pesquisa para aplicaccedilotildees de alta tecnologia
(MYRRHA) comeccedilou em 1998 pelo Centro de Pesquisas Nucleares da Beacutelgica
(SCKbullCEN) O primeiro objetivo do MYRRA seraacute demonstrar o conceito de reator ADS
a um niacutevel razoaacutevel de potecircncia e a viabilidade tecnoloacutegica da transmutaccedilatildeo de
actiniacutedeos menores e de produtos de fissatildeo de longa meia vida O MYRRHA tambeacutem
iraacute ajudar o desenvolvimento da tecnologia de ligas de chumbo necessaacuterio para os
reatores da geraccedilatildeo IV (Abderrahim et al 2005)
O reator estaacute previsto para entrar em operaccedilatildeo em 2023 e encontra-se em fase
de licenciamento sendo um dos reatores hiacutebridos com maior nuacutemero de referecircncias na
literatura Como ele pode trabalhar em modo criacutetico e subcriacutetico o MYRRHA gera uma
potecircncia entre 50 e 100 MWt O acelerador injeta proacutetons de 600 MeV no nuacutecleo do
reator e utiliza combustiacutevel tipo MOX
Apesar do grande nuacutemero de referecircncias encontradas na literatura os dados
de composiccedilatildeo de combustiacutevel paracircmetros nucleares materiais utilizados nesses
reatores e o comportamento cineacutetico satildeo escassos Por isso neste trabalho foram
utilizadas simulaccedilotildees numeacutericas pelo Meacutetodo de Monte Carlo para a avaliaccedilatildeo da
cineacutetica e dos paracircmetros nucleares desses reatores
Simulaccedilotildees computacionais de um sistema podem proporcionar importantes
informaccedilotildees para o estudo preliminar de novas tecnologias A simulaccedilatildeo pelo meacutetodo
de Monte Carlo foi escolhida pois eacute um dos meacutetodos que melhor descreve geometrias
complexas e que fornece informaccedilotildees precisas e detalhadas em trecircs dimensotildees aleacutem
de considerar a dependecircncia temporal tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
6
partiacuteculas neutras Assim o meacutetodo Monte Carlo (MC) se torna um meacutetodo atrativo
para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo MC eacute a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees de experimentos onde
os resultados satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido satildeo necessaacuterios aleacutem da simulaccedilatildeo das
partiacuteculas geradas atraveacutes da reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo coacutedigos que consigam prever a
queima do combustiacutevel Existem vaacuterios coacutedigos na literatura com esta finalidade e que
podem ser incorporados em coacutedigos mais gerais de MC
Atualmente um dos coacutedigos MC mais utilizados para simulaccedilatildeo de reatores
nucleares eacute o MCNPX (Hashemi-Nezhad et al 2002 Kadi et al 2001 Catsaros et al
2009) Este coacutedigo eacute desenvolvido pelo Laboratoacuterio Nacional de Los Alamos e
atualmente encontra-se na versatildeo 26e
O MCNPX eacute um coacutedigo MC geneacuterico de transporte de radiaccedilatildeo para modelar a
interaccedilatildeo da radiaccedilatildeo com a mateacuteria MCNPX significa Monte Carlo N-Particle
eXtended Ele estende as capacidades do MCNP4C3 a um grande nuacutemero de
partiacuteculas em uma ampla faixa de energia e para quase todas as aplicaccedilotildees sem custo
adicional de tempo computacional MCNPX faz caacutelculos tridimensionais e dependentes
do tempo Utiliza as bibliotecas mais novas de seccedilatildeo de choque nucleares aleacutem de
usar modelos fiacutesicos para as partiacuteculas que natildeo possuem dados tabulados
disponiacuteveis
O MCNPX 26e eacute capaz de realizar o caacutelculo do keff atraveacutes das geraccedilotildees de
necircutrons do fluxo de necircutrons a evoluccedilatildeo de combustiacutevel e tambeacutem calcula as
seccedilotildees de choque Poreacutem este coacutedigo natildeo permite a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees que
necessitam fonte externa de necircutrons
Atualmente um dos uacutenicos coacutedigos MC que permite a simulaccedilatildeo de um reator
controlado com fonte externa eacute o SERPENT (Leppaumlnen 2012) Este coacutedigo eacute
especiacutefico para o estudo de reatores nucleares e se encontra na versatildeo 1118
As simulaccedilotildees de MC podem fornecer importantes informaccedilotildees antes mesmo
de se iniciar a construccedilatildeo por exemplo de um reator do tipo ADS aleacutem de ter a
possibilidade de indicar quais materiais podem ser utilizados Eacute claro que a simulaccedilatildeo
natildeo substitui o experimento real mas pode ajudar a prever melhorias antes de seu
funcionamento Aleacutem disso as simulaccedilotildees podem ser utilizadas para a validaccedilatildeo de
novos meacutetodos de caacutelculo da reatividade tanto para reatores hiacutebridos quanto para
reatores teacutermicos jaacute que eacute um dos paracircmetros mais importantes em um reator
nuclear
7
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes equaccedilotildees para a cineacutetica de um reator
subcriacutetico (Gandini et al 2000 Nishihara et al 2003 Silva et al 2011) Assim com o
intuito de obter a variaccedilatildeo da reatividade para reatores subcriacuteticos obteve-se uma
expressatildeo para essa funccedilatildeo com base na cineacutetica pontual inversa para sistemas ADS
jaacute que para esses sistemas o monitoramento da reatividade eacute vital para o
funcionamento normal E ainda os reatores subcriacuteticos guiados por fonte necessitam
de uma forma de caacutelculo da reatividade mais raacutepida para evitar um ldquodesligamentordquo natildeo
programado para isso foi utilizado o meacutetodo das derivadas no caacutelculo da reatividade
uma vez que este meacutetodo natildeo necessita da informaccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
A validaccedilatildeo da expressatildeo obtida para a reatividade proposta nesta tese foi feita
atraveacutes de simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) uma vez que os dados de reatores
subcriacuteticos tipo ADS satildeo encontrados em nuacutemero reduzido na literatura
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas duas formulaccedilotildees para as equaccedilotildees da
cineacutetica subcriacutetica e as respectivas expressotildees para a cineacutetica inversa
Alguns meacutetodos de tratamento do histoacuterico de potecircncia satildeo apresentados no
Capiacutetulo 3 sendo que o meacutetodo das derivadas parciais da potecircncia nuclear eacute tratado
em detalhes
Jaacute no Capiacutetulo 4 satildeo obtidas as expressotildees da cineacutetica pontual para casos em
que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados (β) e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons (Λ)
satildeo dependentes do tempo
O capiacutetulo 5 tem-se o caacutelculo da reatividade para alguns casos particulares da
variaccedilatildeo da potecircncia nuclear com todos os paracircmetros nucleares constantes E no
Capiacutetulo 6 temos as mesmas variaccedilotildees da potecircncia nuclear com as variaccedilotildees
temporais de β e de Λ
Os fundamentos da simulaccedilatildeo Monte Carlo satildeo tratados no Capiacutetulo 7
juntamente com os meacutetodos especiacuteficos para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares
No Capiacutetulo 8 satildeo apresentados e descritos os coacutedigos Monte Carlos utilizados
neste trabalho
Jaacute no Capiacutetulo 9 satildeo apresentados os resultados obtidos da reatividade com as
expressotildees que foram apresentadas nos capiacutetulos 5 e 6
Finalmente no Capiacutetulo 10 satildeo apresentadas as conclusotildees desta tese
8
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para
Reatores Subcriacuteticos
A formulaccedilatildeo da cineacutetica pontual provou ser uma ferramenta poderosa para a
avaliaccedilatildeo da reatividade para diferentes tipos de reatores tanto em operaccedilatildeo normal
quanto na partida do reator Esta formulaccedilatildeo descreve o comportamento dos necircutrons
dentro do reator sem nenhuma dependecircncia espacial sendo que a distribuiccedilatildeo dos
necircutrons evolui de maneira pontual
As diferentes propostas para a funccedilatildeo importacircncia encontradas na literatura
resultam em diferentes equaccedilotildees da cineacutetica pontual (Gandini et al 2000 Nishihara et
al 2003 Silva et al 2011) para descrever o comportamento dos necircutrons dentro de
reatores subcriacuteticos
Para um sistema sem fonte externa de necircutrons tem-se somente uma
autofunccedilatildeo para toda a distribuiccedilatildeo de necircutrons em todos os instantes dentro do
reator Poreacutem para reatores com fonte externa esta afirmaccedilatildeo pode natildeo ser
verdadeira pois se a distribuiccedilatildeo de necircutrons for dominada pela fonte externa pode
envolver uma superposiccedilatildeo de muitas autofunccedilotildees Assim o comportamento pontual
pode ser fatorado no produto de uma funccedilatildeo da amplitude (apenas com dependecircncia
temporal) e uma funccedilatildeo de forma (sem dependecircncia temporal mas com dependecircncia
das variaacuteveis do espaccedilo de fase) (Dulla 2003)
As equaccedilotildees que descrevem o funcionamento dos reatores subcriacuteticos podem
ser obtidas a partir da equaccedilatildeo de transporte ou da equaccedilatildeo de difusatildeo (Gandini
2000) Assim as equaccedilotildees da cineacutetica espacial podem ser escritas da seguinte
maneira
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1
I
i i ext
i
r t A r t F r t c r t qv t
β λ=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum
(21)
( ) ( ) ( ) 1i i i ic r t F r t c r t i It
β λpart
= Ψ minus =part
(22)
onde v eacute a velocidade dos necircutrons iβ eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados do grupo i
e iλ eacute a constante de decaimento dos precursores de necircutrons retardados do grupo i
Nas seccedilotildees seguintes satildeo apresentados os formalismos para a cineacutetica dos
9
reatores ADS encontrados nos trabalhos de Gandini et at (2000) atraveacutes da
metodologia da teoria heuriacutestica de perturbaccedilatildeo generalizada (HGPT) e no trabalho de
Silva et al (2011) em que eacute proposto um termo adjunto de fonte (TAF) que se torna
significativo para reatores que operam longe da criticalidade
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
A funccedilatildeo importacircncia proposta por Gandini et al (2002) para o caso de
necircutrons monoenergeacuteticos isotroacutepicos meio homogecircneo e sem dependecircncia
temporal eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (Silva 2011)
( ) ( )0 0 0 0
0
0f
f
wA n r F n r
P
+ + + +minus minus Σ =
(23)
onde fw eacute a energia revertida por fissatildeo e P0 eacute a potencia nuclear sem perturbaccedilatildeo
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0n+ e integrando em r
obteacutem-se
( )0 0 0 0
1
11
I
o i i ext
i
n n A n F n c n qv t
β λ+ + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (24)
Considerando-se as seguintes perturbaccedilotildees no sistema
0 A A Aδminus rarr minus + (25)
0 F F Fδrarr + (26)
(0) ext ext extq q qδrarr + (27)
10
onde 0Aminus 0F e (0)
extq satildeo os estados estacionaacuterios natildeo perturbados
Substituindo e manipulando as equaccedilotildees (25) (26) e (27) na equaccedilatildeo (24) resulta em
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0 0
1
1
1
o
I
i i ext ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q n q
δ β
β δ λ δ
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + +sum (28)
Somando e subtraindo 0n Fβ+ Ψ na equaccedilatildeo (28) e lembrando que
(0)
0 1ext
n q+ = de acordo com Gandini (2001) vem
( )
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0
1
0 0 0
1
1 1
o
I
i i ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q
n F F n F
δ β
β δ λ
β δ β
+ minus + + +
+ + +
=
+ +
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + + +
+ Ψ minus Ψ
sum (29)
Rearranjando os termos da equaccedilatildeo acima tem-se
1
0 0 0 00
0 0 0
1
0
1
o
I
i i ext
i
n v n A n F n At
n F n c n q
n F
δ
δ λ δ
β
+ minus + + +
+ + +
=
+
partΨ = Ψ + Ψ + Ψ +
part
Ψ + + + +
minus Ψ
sum (210)
Ponderando a equaccedilatildeo (23) com Ψ obteacutem-se (Silva et al 2011)
0 0 00
0
0f
wn A n F
P
++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)
11
Substituindo a equaccedilatildeo (211) na equaccedilatildeo (210) tem-se
1
0 0 0
1
0
0
1
I
o i i
i
ext f
n v n A F n F n ct
wn q
P
δ δ β λ
δ
+ minus + + +
=
+
partΨ = + Ψ minus Ψ + +
part
minus Σ Ψ +
sum (212)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t P t rφΨ asymp
(213)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )P t eacute a potecircncia
Substituindo a aproximaccedilatildeo dada pela equaccedilatildeo (213) na equaccedilatildeo (212)
obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
n v P t r n A F P t r n F P t rt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
part= + minus +
part
+ minus Σ +sum
(214)
Como bull eacute uma integraccedilatildeo no espaccedilo pode-se escrever
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
+ minus Σ +sum
(215)
Sendo 0 0f
P w φ= Σ tem-se
12
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
1
o
I
i i ext
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
n c P t n q
φ δ δ φ β φ
λ δ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus + +sum
(216)
Dividindo a equaccedilatildeo (216) por
0 0 I n F φ+= (217)
a equaccedilatildeo (216) pode ser escrita da seguinte forma
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1 I
n n n n n
eff eff i i
i
dP tP t C t P t Q
dtρ β λ ζ
=
Λ = minus + + minus + sum (218)
sendo
( )1
0
o
n
eff
n v r
I
φ+ minus
Λ equiv
(219)
( )0 0
nn A F r
I
δ δ φρ
+ +equiv
(220)
( )0 0
n
eff
n F r
I
β φβ
+
equiv
(221)
( )0
in
i
n cC t
I
+
equiv (222)
1
I
ζ equiv (223)
0
extn
n qQ
I
δ+
equiv (224)
13
onde nρ eacute uma reatividade generalizada nQ eacute o valor da fonte externa ( )n
iC t eacute a
concentraccedilatildeo de precursores e ζ eacute um termo de subcriticalidade inserido pela funccedilatildeo
importacircncia
Agora ponderando a equaccedilatildeo (22) com 0n+ e dividindo pelo o fator de
normalizaccedilatildeo dado pela equaccedilatildeo (217) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) n n n
i i eff i i
dC t P t C t
dtβ λ= minus (225)
onde
0 0
in
i eff
n F
I
β φβ
+
equiv (226)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
proposta por Gandini et al (2000) considerando um grupo de precursores de
necircutrons eacute escrito da seguinte maneira
( )
( ) ( ) ( )( ) 1n
n n
dP tt P t C t P t q
dtρ β λ ζ Λ = minus + + minus + (227)
( )( )
( )n
dC tP t C t
dtβ λ= minus
(228)
onde ( )nP t eacute a potecircncia normalizada β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados ζ eacute o
iacutendice de subcriticalidade (que tende agrave zero quando o sistema se a proacutexima da
criticalidade) ( )ρ t eacute a reatividade generalizada do sistema ( )C t eacute a concentraccedilatildeo de
precursores e Λ tempo de geraccedilatildeo meacutedio de necircutrons
14
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Na funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011) existe um termo de
fonte adjunto que se torna significativo para os sistemas que estatildeo longe de
criticalidade Portanto a equaccedilatildeo da funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011)
foi
( ) ( )dagger
0 0 0 0
0
1
f
sub
A r F rk N
νε ε η+ + +
Σminus =
(229)
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0ε + e integrando em r
obteacutem-se
( )1
0 0 0 0
1
1 I
o i i ext
i
v A F c qt
ε ε ε β λ ε ε+ minus + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (230)
Realizando uma perturbaccedilatildeo no sistema da seguinte maneira
0 A A Aδminus rarr minus + (231)
0
1
sub
F F Fk
δrarr + (232)
Substituindo as equaccedilotildees (231) e (232) na equaccedilatildeo (230) e rearranjando os
termos vem
( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1
11
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q
ε ε ε δ ε β
ε β δ λ ε ε
+ minus + + +
+ + +
=
partΨ = minus Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + +sum
(233)
15
Somando e subtraindo 0 Fε β+ Ψ na equaccedilatildeo (233) e utilizando a equaccedilatildeo
(232) pode-se escrever
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q F
ε ε δ ε ε
ε δ λ ε ε ε β
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + minus Ψ + Ψ +
part
Ψ + + minus Ψsum
(234)
Agora ponderando-se a equaccedilatildeo (229) com ( )r tΨ
podemos escrever
segundo Silva (2011)
0 0 0 0
0
1
f
sub
A Fk N
νε ε η+ +minus Ψ + Ψ = minus Σ Ψ (235)
Substituindo a equaccedilatildeo (235) na equaccedilatildeo (234)
1
0 0
0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
v A F Ft
c qN
ε ε δ δ ε β
νλ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
partΨ = + Ψ minus Ψ +
part
minus Σ Ψ +sum (236)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t N t rφΨ asymp
(237)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )N t eacute a densidade necircutrons tem-se substituindo
a equaccedilatildeo (237) na equaccedilatildeo (236)
16
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t qN
ε φ ε δ δ φ ε β φ
νλ ε η φ ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus Σ +sum (238)
e como 0 0f
N ν φ= Σ pode-se escrever a equaccedilatildeo (238) da seguinte maneira
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
o
I
i i ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t q
ε φ ε δ δ φ ε β φ
λ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus +sum (239)
Dividindo a equaccedilatildeo (239) por 0oI Fε φ+= obteacutem-se
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
I
eff i i
i
dN tN t C t N t q
dtρ β λ
=
Λ = minus + minus Γ +sum (240)
onde
1
0
o
eff
v
I
ε φ+ minus
Λ equiv (241)
0 0
A F
I
ε δ δ φρ
+ +equiv (242)
0 0
eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (243)
( )0
i
i
cC t
I
ε +
equiv (244)
0
ext
I
ε +
equiv (245)
I
ηΓ equiv (246)
sendo ρ eacute uma relatividade generalizada Q eacute um termo relacionada agrave fonte externa
Γ um termo de subcriticalidade e ( )iC t eacute a concentraccedilatildeo de precursores
17
Procedendo de maneira anaacuteloga para a equaccedilatildeo (22) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) i i eff i i
dC t N t C t
dtβ λ= minus (247)
onde
0 0
i
i eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (248)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
segundo Silva (2011) eacute escrito como
( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ minus Γ + Σ (249)
( )
( ) ( )f
dC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
sdotΣ (250)
onde ϖ eacute a energia meacutedia liberada por fissatildeo Σ f eacute a seccedilatildeo de choque macroscoacutepica
de fissatildeo e β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
23 Cineacutetica Inversa
Usualmente o controle de um reator nuclear eacute feito atraveacutes do monitoramento
da reatividade o que torna o meacutetodo da cineacutetica inversa relevante A reatividade eacute
caracterizada por uma mudanccedila no fator de multiplicaccedilatildeo do reator o que o torna um
dos paracircmetros mais importantes em fiacutesica de reatores Nas seccedilotildees seguintes seratildeo
apresentadas as equaccedilotildees para o caacutelculo da reatividade
18
231 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Para obter-se a expressatildeo da cineacutetica pontual inversa eacute necessaacuterio resolver as
equaccedilotildees (227) e (228) Partindo da equaccedilatildeo (228) e utilizando meacutetodo do fator
integrante obteacutem-se
( ) ( )( )
t
t t
nC t P t e dt
λβ minus minus
minusinfin
= int (251)
Substituindo a equaccedilatildeo (251) na equaccedilatildeo (227) vem
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )( )1
tnt tn n
n
P tdP t P tt P t e dt Q
dt
λζλβ
ρ β minus minus
minusinfin
minus= minus + + +
Λ Λ Λint (252)
onde Q qequiv Λ eacute o termo de fonte de necircutrons Resolvendo a equaccedilatildeo (252) para
( )tρ tem-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )
0
0
1
ttt tn
n
n n n
n
n n
dP t P et P t e dt
P t dt P t P t
P t Q
P t P t
λλβ λβ
ρ β
ζ
minusminus minusΛ
= + minus minus
minus Λminus minus
int (253)
onde P0 = P(0)
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga a seccedilatildeo anterior e partindo das equaccedilotildees
(249) e (250) propostas por Silva et al encontra-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t
t ttdP t P Q
t e e P t dtP t dt P t P t P t
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus minusint (254)
19
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico
de Potecircncia
Existem vaacuterios meacutetodos de tratamento para a soluccedilatildeo ou aproximaccedilatildeo do
histoacuterico de potecircncia Esses meacutetodos visam diminuir o tempo de caacutelculo
computacional sem que seja introduzido um erro muito grande e podem envolver ou
natildeo uma fonte externa de necircutrons
A mediccedilatildeo da reatividade a partir da cineacutetica inversa permite que seu valor seja
analisado a cada instante pela variaccedilatildeo temporal do niacutevel de potecircncia do reator
(Ansari et al 2001)
Devido ao grande interesse nos reatores ADS apenas os meacutetodos que
envolvem fontes externas seratildeo apresentados sendo que o uacutenico que seraacute detalhado
eacute o meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear
31 Meacutetodo de Agrupamento
Na partida do reator a contribuiccedilatildeo da fonte externa de necircutrons deve ser
considerada Assim Hoogenboom et al (1998) escrevem a equaccedilatildeo da cineacutetica
inversa como
( )( )
( ) ( )( )
1 i
t t t
i i
i
c St e P t dt
P t P t
λρ β β λ minus minus
minusinfin
Λ= minus minussum int (31)
A integral da equaccedilatildeo (31) pode ser calculada recursivamente atraveacutes de
amostragens de P(t) usando interpolaccedilatildeo linear entre duas amostras consecutivas
Pn-1 = P(tn -1) e Pn = P(tn) separadas por um intervalo t∆ Portanto
20
( ) ( )
1
1
1 1
1
in
i n i
i
i
tt t t t n
n n
i i
ttn
i i
P eI e P t dt e I
t
P ee
t
λλ λ
λλ
λ λ
λ λ
minus ∆minus minus minus ∆
minusminusinfin
minus ∆minus ∆minus
minus= = + minus
∆
minusminus minus
∆
int (32)
Introduzindo a seguinte funccedilatildeo
( ) ( ) ( ) i
t t t
i i
i
g t e P t dtλβ λ minus minus
minusinfin=sum int (33)
e reescrevendo a equaccedilatildeo (31) em funccedilatildeo de ( )g t tem-se
( )( )( ) ( )
Sg t
tP t P t
ρρ β= minus minus (34)
Para um reator subcriacutetico com potecircncia constante na presenccedila de fonte
externa de necircutrons (S) obteacutem-se
ou S S
PP
ρ ρρρ
= minus = minus (35)
Este meacutetodo pode ser resumido nos seguintes passos
No intervalo desejado divide-se as seacuteries de P(t) e g(t) em trecircs grupos de
mesma duraccedilatildeo
1 Calcula-se os conjuntos de valores de cada um dos grupos ( )1 1P g
( )2 2P g e ( )3 3
P g
2 Estima-se os valores do gradiente ( )β ρminus e o interseccedilatildeo ( )Sminus Λ atraveacutes
de
( ) 3 1
3 1
g g
P Pβ ρ
minusminus =
minus (36)
( ) ( ) S g Pβ ρminus Λ = minus minus (37)
21
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada
Neste meacutetodo Kitano et al (2000) escreve a expressatildeo da reatividade como
( )( )
( )( )
( ) ( )( )6
1
i i
i
S t dP tt C t
P t P t P t dtρ β λ
=
ΛΛ Λ= minus minus +sum (38)
Segundo o autor o termo ( )
( )dP t
P t dt
Λ pode ser negligenciado pois o erro
inserido eacute menor que 1 para um amplo intervalo de reatividade Portanto a equaccedilatildeo
(38) eacute escrita como
( )( )
( )( )
( )
6
1
i i
i
S tt C t
P t P tρ β λ
=
ΛΛ= minus minussum (39)
Por conveniecircncia computacional a equaccedilatildeo da concentraccedilatildeo de precursores
pode ser escrita da seguinte forma (Kitano et al 2000)
( ) ( ) ( ) 16ii i i iC t t P t C t C t t i
βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =
Λ (310)
onde P e iC satildeo os valores meacutedios para o incremento de tempo t∆
Portanto a equaccedilatildeo (39) pode ser escrita na seguinte forma
( ) ( ) ( ) ( )6
1
i i
i
g t C t S P tλ β ρ=
equiv Λ = minus Λ + minussum (311)
onde a fonte de necircutrons (S) e a reatividade satildeo constantes Esta equaccedilatildeo pode ser
considerada como uma equaccedilatildeo linear de P(t)
Considerando que o sinal da potecircncia tenha um grande erro principalmente na
operaccedilatildeo em baixa potecircncia pode-se aplicar filtros para ruiacutedo de alta frequecircncia e
tambeacutem de baixa frequecircncia da seguinte forma
22
1
1 N
i j
j
P PN =
= sum (312)
e
( )1 1 i i i i
tP P P P
t τminus minus
∆= + minus
∆ + (313)
onde Pj eacute a medida da potecircncia medida iP eacute a potecircncia meacutedia e N eacute o nuacutemero de
amostras τ eacute a constante de tempo e i
P eacute a saiacuteda da equaccedilatildeo (313)
A introduccedilatildeo da memoacuteria baacutesica indexada eacute segundo os autores um novo
ldquotermocircmetrordquo para diagnosticar um transiente sendo definido por
[ ] 1 1
6
1
1
i i
i
CM I
C
λ β
βλ
=
equiv
sum (314)
A memoacuteria baacutesica indexada (MI) eacute a normalizaccedilatildeo das emissotildees de necircutrons
retardados do primeiro grupo sobre o total de emissotildees de necircutrons retardados Note
que a MI assume valor unitaacuterio quando o reator estaacute em estado estacionaacuterio Assim
ela pode ser usada para detectar o iniacutecio e o final de um transiente para a aplicaccedilatildeo do
meacutetodo de grupo
23
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da
intensidade da fonte externa
A equaccedilatildeo da cineacutetica inversa escrita com uma discretizaccedilatildeo no tempo e
assumindo que a potecircncia do reator varia com ( ) 1jt
jn t n emicro
minus= onde
( )1log j j j
n n tmicro minus= ∆ eacute dada por (Tamura 2003)
6
1
j
j eff i i j
ij j j
nC S
n t n nρ β λ
=
∆Λ Λ Λ= + minus minus
∆sum (315)
onde
1
1 1
i
i
t
j jt ii j i j
j
i
j
n n eC C e
n
n t
λ
λ β
λ
minus ∆minusminus ∆
minus
minus= +
∆Λ+
∆
(316)
Note que o subiacutendice j representa os valores no tempo j e S eacute a fonte externa
de necircutrons
Considerando as seguintes condiccedilotildees iniciais
( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)
e
0 0 S nρ = minusΛ (318)
tanto a reatividade ρ quanto a fonte S satildeo obtidas pelo meacutetodo dos miacutenimos
quadrados (Diacuteaz 2007)
24
34 Meacutetodo das Derivadas
As equaccedilotildees (253) e (254) obtidas no capiacutetulo anterior envolvem a mesma
integral em funccedilatildeo da potecircncia do reator Esta integral tambeacutem chamada de histoacuterico
de potecircncia deve ser calculada desde o iniacutecio da operaccedilatildeo do reator ateacute o tempo atual
de maneira contiacutenua ou seja exige monitoramento constante da potecircncia Aleacutem disso
o armazenamento desta informaccedilatildeo eacute necessaacuterio durante toda operaccedilatildeo do reator
para possibilitar a recuperaccedilatildeo da informaccedilatildeo da reatividade caso ocorra uma
interrupccedilatildeo em seu caacutelculo
Para o caso dos reatores subcriacuteticos o monitoramento contiacutenuo da reatividade
eacute imprescindiacutevel para seu funcionamento normal Como a produccedilatildeo de necircutrons eacute
insuficiente para manter as reaccedilotildees nucleares nesses reatores a reatividade pode ser
um paracircmetro utilizado para o monitoramento e ajuste da intensidade do feixe de
proacutetons para manter as reaccedilotildees nucleares produccedilatildeo de energia eleacutetrica constante
durante a operaccedilatildeo do reator
O meacutetodo das derivadas estaacute baseado na integraccedilatildeo por partes da integral do
histoacuterico de potecircncia da equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa resultando em uma seacuterie
de potecircncias em funccedilatildeo da potecircncia nuclear do reator com dependecircncia temporal
(Diacuteaz 2007) Este meacutetodo de caacutelculo da reatividade permite a possibilidade do reiniacutecio
do caacutelculo apoacutes sua interrupccedilatildeo causada por um problema no funcionamento do
equipamento de mediccedilatildeo ou seja com este meacutetodo natildeo eacute necessaacuterio um caacutelculo
contiacutenuo Aleacutem disso pode-se obter a reatividade sem a dependecircncia da memoacuteria da
potecircncia nuclear o que torna o caacutelculo mais raacutepido se comparado ao tempo necessaacuterio
para a resoluccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
Para a obtenccedilatildeo da expressatildeo do meacutetodo das derivadas deve-se resolver a
integral da equaccedilatildeo (254) ou da equaccedilatildeo (253) por partes Assim obteacutem-se
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tP t P e
I t e P t dt P t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (319)
onde P(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (319) tem-se
25
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2
2 2 2
0
0 0 1
t t tt tP t P e P t P e
I t P t e dt
λ λλ
λ λ λ λ λ
minus sdot minus sdotminus sdot minus
= minus minus + minus int (320)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (320) por partes obteacutem-se
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
2 2
3
3 3 3
0
0 0
1
t t
t tt t
P t P e P t P eI t
P t P t eP t e dt
λ λ
λλ
λ λ λ λ
λ λ λ
minus minus
minusminus minus
= minus minus + +
minus minus int
(321)
Aplicando esta soluccedilatildeo n vezes podemos escrever
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1 10 0 0
0 1 1
n n k t tt tk kn n
n n kn n
P t P e P t eI t dt
λλ
λ λ λ
+ minus minusminus
+ + += =
= minus minus minus minussum sum int (322)
ou ainda
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(323)
341 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2m-1 assim a equaccedilatildeo (323) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
m t tt tt t
m
n n tm mn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(324)
26
Supondo que a forma de P(t) satisfaccedila agraves condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n P tP t P t
P t
minus
minus
=
(325)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n P tP t P t
P t
=
(326)
onde ( ) ( )
( )
2
P t
cte tP t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial entre outras
Substituindo a equaccedilatildeo (326) na equaccedilatildeo (324) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
m
n nm m
n n t
n nn n
P te P t dt P t e dt
P t
P t P t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(327)
Como ( ) ( )
( )
2P t
cteP t
= podemos escrever a equaccedilatildeo (327) como
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 1 2 1
1 10 00
1 11
n n nt m mt t n n t
n nn n
P te P t dt P t P t e
P t
λ λ
λ λ
minus minusminus minus minus sdot
+ += =
minus minus minus = minus
sum sumint
(328)
Logo
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e P t dt S t S tλminus minus
= +int (329)
27
sendo
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
nm
n
nnn
S P t
P t
P t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (330)
e
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
nm
n t
nnn
S P t e
P t
P t
λ
λ
minusminus sdot
+=
minusequiv minus
minus
sum (331)
Analisando inicialmente a equaccedilatildeo (330) pode-se escrever o seu somatoacuterio
da seguinte forma
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nm m mn
n n nn n n
P t P tP t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (332)
Utilizando as equaccedilotildees (325) e (326) na equaccedilatildeo (332) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
11 22 1 1
1 2 20 0
1
nnm m
n
nn n
P t P t P tP t
P tλ λ λ λ
minusminus minus
+= =
minus = minus
sum sum (333)
Lembrando que
( )1
0
1
1
mm
n
n
a rar
r
+
=
minus=
minussum (334)
identificando ( ) ( )
( )
2
2
P tr
P tλ= e a =1 na equaccedilatildeo (333) vem
28
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nm
n
nn
P t
P tP t P tP t
P t
P t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (335)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (335) na equaccedilatildeo (330) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
22
22
1 22
22
1
11
n
n
P tP t P t
P tS
P tP t
P tP t
λλ λ
λλ
minus minus = minus minus
(336)
Simplificando e rearranjando os termos da equaccedilatildeo (336) chega-se a
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
P t P tS P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (337)
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (331) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tP PS P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (338)
Finalmente podemos escrever a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo
329) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
e P t dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (339)
29
342 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par entatildeo k=2m-2 assim a equaccedilatildeo (323) torna-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t t
t t m t t
m
n n tm mn n
n nn n
P t e dt P t e dt
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(340)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (325) vem
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
12
1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
mt t
t t t t
m
n n tm mn n
n nn n
P tP t e dt P t e dt
P t
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus
minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(341)
Da equaccedilatildeo (319) pode-se escrever
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
0 0
0
t tt t t tt
P t e dt P t P e e P t dtλ λλ λminus minus minus minusminus sdot= minus minusint int (342)
Substituindo a equaccedilatildeo (342) na equaccedilatildeo (341) e rearranjando os termos
obteacutem-se
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt mt t n n t
m nn
mn n t
m m
P t e dt P t P e
P t
P t
P t P e P t
P tP t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(343)
Desenvolvendo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (343) tem-se
30
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
P t e dt S t S tλminus sdot minus
= minusint (344)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nm
n
m nn
S t P t
P t
P t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (345)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nm
n t
m nn
S t P e
P t
P t
λ
λ
λ
minusminus sdot
minus +=
minusequiv
minus
sum (346)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior eacute faacutecil mostrar que
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
P t P tS t P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (347)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tP PS t P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (348)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k que o histoacuterico de
potecircncia eacute dado pela seguinte expressatildeo
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t t
P t P t P Pe P t dt P t P e
P t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (349)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo Sendo assim a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo 319)
pode ser escrita da seguinte forma
31
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
P t e dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
sdotminus minus= minus
minus minusint (350)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa baseada na formulaccedilatildeo
proposta por Gandini (2001) equaccedilatildeo (252) como
( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
tnn
n n n n
n n n n
n n
n n n n n
t
P tdP t P e Qt
P t dt P t P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ= + minus minus minus minus
minus minus minus
minus minus
(351)
E para o formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se substituindo a
equaccedilatildeo (350) na equaccedilatildeo (254) a expressatildeo para a reatividade sem a dependecircncia
do histoacuterico de potecircncia
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
dP t P Qt e
P t dt P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
βρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + Γ + minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(352)
32
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com
dependecircncia temporal de β e Λ
Nas seccedilotildees anteriores as mudanccedilas da composiccedilatildeo do combustiacutevel nuclear
natildeo foram levadas em consideraccedilatildeo Essas mudanccedilas podem levar a caacutelculos
discrepantes da reatividade quando comparados a mediccedilotildees experimentais nos
reatores Aleacutem disso conhecer com precisatildeo o valor da reatividade contribui com a
melhora do desempenho da central nuclear
Assim nesta seccedilatildeo as dependecircncias temporais da fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons seratildeo consideradas para o
caacutelculo da reatividade tanto na formulaccedilatildeo proposta por Gandini et al (2000) quanto
na formulaccedilatildeo proposta por Silva et al (2011) Os demais paracircmetros nucleares
permaneceratildeo constantes pois suas variaccedilotildees satildeo pouco significativas (Scall 2010)
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
As equaccedilotildees propostas por Gandini et al (2000) com dependecircncia temporal da
fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons eacute dada por
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n
n n
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λ ζΛ = minus + + minus + (41)
( ) ( )( )
( )n
dC tt P t C t
dtβ λ= minus
(42)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo 231 pode-se escrever partindo da
equaccedilatildeo (42) que a concentraccedilatildeo de precursores eacute dada pela seguinte expressatildeo
( ) ( ) ( ) ( )
t t t
nC t t P t e dtλβ minus minus
minusinfin= int (43)
33
Substituindo a equaccedilatildeo (43) na equaccedilatildeo (41) obteacutem-se a seguinte expressatildeo
para a reatividade
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
0
0
1
t t tn t
n n n
n
n
t dP t At t e A t e dt
P t dt P t P t
P t t Q t
P t P t
λλλ λρ β
ζ
minus minusminusΛ= + minus minus
minus Λ minus minus
int
(44)
onde ( ) ( )nA t P tβequiv e ( ) ( )Q t q tequiv Λ
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
As equaccedilotildees da cineacutetica propostas por Silva et al (2011) com dependecircncia
temporal de Λ e β satildeo
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ + Γ + Σ (45)
( )( )
( ) ( )f
tdC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
Σ (46)
Resolvendo a equaccedilatildeo (46) pelo o meacutetodo do fator integrante obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( )1
t t t
f
C t t P t e dtλβ
ωminus minus
minusinfin=
Σ int (47)
Substituindo a equaccedilatildeo (47) na equaccedilatildeo (45) chega-se a expressatildeo da
reatividade com dependecircncia temporal de β e Λ
34
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t t ttt dP t A
t t e A t e dtP t dt P t P t
t Q t
P t
λλλ λρ β minus minusminusΛ
= + minus minus
ΛminusΓ minus
int (48)
onde ( ) ( ) ( )A t t P tβequiv e ( ) ( ) fQ t q tωequiv Σ Λ
43 Meacutetodo das Derivadas para
Dependecircncia Temporal de β e de Λ
De acordo com a seccedilatildeo 34 a integral das equaccedilotildees (44) e (48) podem ser
resolvidas por partes assim obteacutem-se (Scal 2012)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tA t A e
I t e A t dt A t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (49)
onde A(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (49) por partes n vezes pode-se escrever
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
A t ee A t dt dt
A t A e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(410)
35
431 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2j-1 assim a equaccedilatildeo (410) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
j t tt tt t
j
n n tj jn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minus sdotminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(411)
Admitindo que a forma de A(t) satisfaccedila as condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n A tA t A t
A t
minus
minus
=
(412)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n A tA t A t
A t
=
(413)
onde ( ) ( )
( )
2
A t
cte tA t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial
Substituindo as condiccedilotildees (412) e (413) na equaccedilatildeo(411) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
k
n nj jn n t
n nn n
A te A t dt A t e dt
A t
A t A t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(414)
ou ainda
36
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e A t dt S t S tλminus minus
= +int (415)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
njn
nnn
S t A t
A t
A t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (416)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
njn t
nnn
S t A t e
A t
A t
λ
λ
minusminus
+=
minusequiv minus
minus
sum (417)
Reescrevendo o somatoacuterio da equaccedilatildeo (416) tem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nj j jn
n n nn n n
A t A tA t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (418)
Utilizando as condiccedilotildees (412) (413) e recordando da relaccedilatildeo (334) pode-se
escrever
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nj
n
nn
A t
A tA t A tA t
A t
A t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (419)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (419) na equaccedilatildeo (416) obteacutem-se apoacutes
simples manipulaccedilotildees algeacutebricas
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
A t A tS A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (420)
37
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (417) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tA AS A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (421)
Finalmente pode-se escrever a equaccedilatildeo (49) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (422)
432 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par k+1 = 2j-1 entatildeo k=2j-2 assim a equaccedilatildeo (410) torna-
se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t tt t j t t
j
n n tj jn n
n nn n
A t e dt A t e dt
A t A e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(423)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (412) e lembrando-se da equaccedilatildeo (49)
pode-se escrever a equaccedilatildeo (423) como
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt jt t n n t
j nn
jn n t
j j
A t e dt A t A e
A t
P t
A t A e A t
A tA t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus sdot minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(424)
38
Abrindo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (424) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
A t e dt S t S tλminus minus
= minusint (425)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nj
n
j nn
S t A t
A t
A t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (426)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nj
n t
j nn
S t A e
A t
A t
λ
λ
λ
minusminus
minus +=
minusequiv
minus
sum (427)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior tem-se
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
A t A tS t A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (428)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tA AS t A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (429)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (430)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo assim a equaccedilatildeo (49) pode ser escrita da seguinte forma
39
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
A t e dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus sdot minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (431)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa com
dependecircncia temporal de β e Λ baseada na formulaccedilatildeo proposta por Gandini (2001)
(equaccedilatildeo 44) como
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
nn t
n n n n
n
t
P tt dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
ζλρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ = + minus minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(432)
Para o formalismo proposto por Silva et al (2011) equaccedilatildeo (48) tem-se
( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
t dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
λρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + minus minus Γ minus
minus minus minus minus
minus minus
(433)
40
5 Caacutelculo da reatividade para algumas
variaccedilotildees da potecircncia nuclear
51 Potecircncia Linear
511 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Durante a partida de um reator nuclear a sensibilidade do sistema de mediaccedilatildeo
pode natildeo identificar o aumento da potecircncia assim uma inserccedilatildeo de reatividade brusca
causaraacute um crescimento instantacircneo da potecircncia podendo causar um acidente no
circuito primaacuterio (Zhang et al 2008)
Para contornar esse problema deve-se inserir a reatividade de maneira suave
ateacute que o reator chegue alcance a sua potecircncia de operaccedilatildeo Para isto consideramos
uma variaccedilatildeo linear da potecircncia da forma
( ) 0 nP t P wt= + (51)
a uma taxa 0001w = Substituindo a equaccedilatildeo (51) na equaccedilatildeo (253) pode-se
escrever
( )( )
( ) ( ) ( )( )
0 0
0 0
0
0
0 0 00
1
t
tt t
d P wt P et
P wt dt P wt
P wt QP wt e dt
P wt P wt P wt
λ
λ
βρ β
ζλβ
minus
minus minus
+Λ= + minus
+ +
minus + Λminus + minus minus
+ + +int
(52)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (52)vem
41
( )
( ) ( )( )( )
0
0 0
0
0 0 0 0
1
t
P wtwt
P wt P wt
P wtw we Q
P wt P wt P wt P wt
λ
λβρ β
λ
ζβ β
λ λ
minus
+Λ = + minus +
+ +
minus + Λminus minus minus
+ + + +
(53)
Reescrevendo a equaccedilatildeo (53) obteacutem-se
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(54)
Utilizando o meacutetodo das derivadas podemos escrever
( )( )( )
( )
00
0 0 0
0 0
0 0
1
t
t
P wtPwt e
P wt P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
minus +Λ= + minus minus
+ + +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(55)
Manipulando a equaccedilatildeo (55) vem
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(56)
Pode-se observar que a soluccedilatildeo encontrada pelo meacutetodo das derivadas
equaccedilatildeo (56) eacute exatamente a mesma que a soluccedilatildeo encontrada atraveacutes da resoluccedilatildeo
do histoacuterico de potecircncia equaccedilatildeo (54)
42
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Analisando o comportamento da reatividade atraveacutes da variaccedilatildeo linear da
potecircncia tem-se fazendo ( ) 0P t P wt= + na equaccedilatildeo (254)
( ) ( ) ( )00
0 0 0 00
tt ttPw Q
t e e P wt dtP wt P wt P wt P wt
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus + minus+ + + +int
(57)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (57) obteacutem-se
( )( )0 0 0
( ) 1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λ βρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(58)
Utilizando-se o meacutetodo das derivadas tem-se
( )
( )
0
0 0
0 0
0 0
t
t
Pwt e
P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
βρ β
λ λβ
λ λ
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
+ +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(59)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )0 0 0
1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λβρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(510)
Novamente as expressotildees encontradas pela a soluccedilatildeo da integral do histoacuterico
de potecircncia equaccedilatildeo (58) eacute exatamente a mesma que a expressatildeo final utilizando o
meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (510)
43
52 Potecircncia Constante
Todo reator nuclear eacute projetado para operar em determinado niacutevel de potecircncia
nuclear ou seja durante sua operaccedilatildeo normal o reator funciona a uma potecircncia
constante Assim eacute importante avaliar o comportamento da reatividade de um reator
nessas condiccedilotildees
521 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Entatildeo sendo Pn(t) = P0 o segundo termo da equaccedilatildeo (253) desaparece e
assim pode-se escrever
( ) ( ) ( ) 0
0 00
1
t
t ttP Q
t e e dtP P
λλ ζρ β β λβ minus minusminus minus Λ
= minus minus minus minusint (511)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (511) obteacutem-se
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (512)
Aplicando o meacutetodo das derivadas tem-se
( )( )0
0
0 00 0
0 0 0 0
1
t
t
Pt e
P
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ζρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minus= minus minus
Λminus minus
(513)
Assim vem
44
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (514)
Mais uma vez observa-se que as equaccedilotildees finais para a reatividade para
potecircncia constante satildeo idecircnticas tanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia
equaccedilatildeo (512) quanto utilizando o meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (514)
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Avaliando a operaccedilatildeo do reator a uma potecircncia constante ou seja substituindo
P(t) = P0 na equaccedilatildeo (254) tem-se
( ) ( )
00
tt tt Q
t e e dtP
λλρ β β λβ minus minusminus Λ= + Γ minus minus minusint (515)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (515) tem-se segundo o
formalismo de Silva et al
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (516)
Jaacute atraveacutes do uso do meacutetodo das derivadas obteacutem-se
( )
0 00 0
0 0 0 0
t
t
t e
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
= + Γ minus minus
Λminus minus
(517)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias temos
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (518)
45
Novamente observa-se que as equaccedilotildees (516) e (518) para a reatividade satildeo
idecircnticas independente do meacutetodo de soluccedilatildeo abordado
53 Potecircncia Exponencial
531 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Outra variaccedilatildeo caracteriacutestica da potecircncia nuclear eacute a forma exponencial
Assim supondo uma variaccedilatildeo deste tipo para potecircncia na equaccedilatildeo (253) pode-se
avaliar o comportamento cineacutetico do reator Nessas condiccedilotildees substituindo
( ) 0
tP t P e
α= na equaccedilatildeo (253) obteacutem-se
( ) ( )
( )
( )
0
0
0 0
1
ttt t
t
t t
t e e e dt
P e Q
P e P e
α λλ α λ
α
α α
ρ β α β λβ
ζ
+minus + minus
minus sdot
= + Λ minus minus minus
minus Λminus
int (519)
Resolvendo a integral tem-se
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus sdot
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(520)
Agora pelo meacutetodo das derivadas podemos escrever
46
( )( )00 0
0 0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
1
tt t
t t t
t tt t
t t t t
P eP e P et
P e P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
αα λ
α α α
α αα λ
α α α α
ζα βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minusminus
minus
minusΛ= + minus minus
minus minus Λ minus minus minus
minus minus
(521)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(522)
As expressotildees obtidas utilizando-se tanto o meacutetodo das derivadas quando
resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia satildeo idecircnticas
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior e substituindo uma variaccedilatildeo
exponencial temos para o formalismo de Silva et al (2011)
( ) ( ) ( )
00
tttt
t t
e Qt e e dt
e P e
λα λλ α
α α
λβρ β α β
minus+minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus minusint (523)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (523) vem
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(524)
Novamente utilizando o meacutetodo das derivadas obteacutem-se
47
( ) 0 0
0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
t t
t t
t tt t
t t t t
P e P et
P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
α λ
α α
α αα λ
α α α α
α βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
minus minus Λ minus minus
minus minus
(525)
Manipulando a equaccedilatildeo acima chega-se agrave
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(526)
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
Nesta seccedilatildeo seraacute avaliado o comportamento das equaccedilotildees da cineacutetica pontual
para sistemas subcriacuteticos em caso de funcionamento anormal do reator Inicialmente o
reator seraacute avaliado com uma rampa da potecircncia depois operando em uma queda
suacutebita de potecircncia e em outros momentos pode ocorrer uma grande elevaccedilatildeo de
potecircncia Para isso a variaccedilatildeo da potecircncia foi simulada durante seis horas da
seguinte maneira
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(527)
onde w1 = 0001 Ws w2=001 Ws w4 = 0005 Ws w5=0005 Ws
Portanto admitindo que em todas as variaccedilotildees de potecircncia pode-se utilizar o
resultado da seccedilatildeo 511 assim para o formalismo proposto por Gandini agrave reatividade
se escreve da seguinte forma
48
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 0 11
0 1 0 1 0 1 0 1
2 0 22
0 2 0 2 0
1 1 0 1
1 2
1 1( )
t
t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
t h
e w P w twt
P w t P w t P
λ
λ
β ζ
λ
ζ
β ζρ
λ
minus
minus
minus minus +Λ Λ+ minus minus lt le
+ + + +
minus lt le
minus sdot minus +Λ= + minus
+ + +
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 0 2
4 0 44
0 4 0 4 0 4 0 4
5 0 55
0 5 0 5 0 5 0 5
2 4
1 1 4 5
1 1 5 6
t
t
Qt h
w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
λ
λ
β ζ
λ
β ζ
λ
minus
minus
Λ
minus lt le+
minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + + minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + +
(528)
Jaacute para o formalismo proposto por Silva et al tem-se utilizando o resultado da
seccedilatildeo 512
( )( )
( )( )
( )
1 1
0 1 0 1 0 1
2 2
0 2 0 2 0 2
4
0 4
1 0 1
1 2
( ) 1 2 4
1
t
t
t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
t h
w w Qt e t h
P w t P w t P w t
we
P w t
λ
λ
λ
β
λ
βρ
λ
β
minus
minus
minus
Λ ΛΓ + + minus minus lt le
+ + +
Γ lt le
Λ Λ= Γ + + minus minus lt le
+ + +
ΛΓ + + minus
+ ( )
( )( )
4
0 4 0 4
5 5
0 5 0 5 0 5
4 5
1 5 6t
w Qt h
P w t P w t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
λ
λ
β
λminus
Λ
minus lt le+ +
Λ ΛΓ + + minus minus lt le+ + +
(529)
49
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com
Dependecircncia temporal de β e Λ
Neste capiacutetulo seraacute suposto que tanto a fraccedilatildeo de necircutrons retardados quanto
e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente de acordo com
( ) 0t Btβ β= + (61)
e
( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)
onde o coeficiente linear β0 tem valor 000706 o coeficiente angular B eacute -217857 x 10-
7 pcm Jaacute os valores dos coeficientes da variaccedilatildeo do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de
necircutrons satildeo Λ0 = 11661 x 10-5 s e c = -714286 x 10-10 s
61 Potencia Linear
611 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
No processo de obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo (56) natildeo foi considerado nenhuma
variaccedilatildeo temporal dos paracircmetros β e Λ Para se ter um resultado mais proacuteximo do
funcionamento real de um reator considera-se agora que a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente com o tempo
de acordo com (61) e (62) Assim substituindo essas equaccedilotildees na equaccedilatildeo (432)
obteacutem-se
50
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
t
t
P wtct w P et Bt
P wt P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(63)
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior ou seja substituindo as equaccedilotildees
(61) (62) e (51) agora na equaccedilatildeo(433) vem
( )( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
2
2
2
t
t
ct w P et Bt
P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(64)
51
62 Potecircncia Constante
621 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Nesta seccedilatildeo considera-se uma situaccedilatildeo que a potecircncia nuclear permaneccedila
constante durante a operaccedilatildeo do reator Assim Substituindo as equaccedilotildees (61) e (62)
equaccedilatildeo (432) obteacutem-se
( ) ( )( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 00
0 0
1
1
t Bt Bt P e P
P ct QP B
P P
λρ β λβλ
ζ
λ
minus = + minus minus minus minus
minus Λ +minus minus minus
(65)
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Novamente repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior poreacutem substituindo as
equaccedilotildees (61) (62) e (51) na equaccedilatildeo (433) tem-se
( ) ( )( )( )00
0 0 0 0
0
1 tct QP BB
t Bt P e PP
λρ β λβλ λ
minus Λ + = + minus minus minus minus minus minus Γ minus
(66)
52
63 Potecircncia Exponencial
631 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Supondo que a potecircncia varie de acordo com ( ) 0
tP t P e
α= obteacutem-se
substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da potecircncia nuclear na
equaccedilatildeo (432) vem
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
1
2
12
t
t
t
P e ct Qt Bt ct
P e P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
α
α
λ α
ζρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
minus Λ += + + Λ + minus minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(67)
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Agora substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia nuclear na equaccedilatildeo (433) vem
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
0
0 0
0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
2
1 2
t
ct Qt Bt ct
P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
λ α
ρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
Λ += + + Λ + minus Γ minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(68)
53
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo 54 temos uma variaccedilatildeo de potecircncia dada
por
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(69)
Assim para o formalismo proposto por Gandini a reatividade se torna
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
tii
i i i
i i i i
i i i
i
i i
t
P w tct w P et Bt
P w t P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(610)
onde wi assume os seguintes valores w1 = 0001 w2=001 ou w4 = 0005 Jaacute para o
formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se
( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
( )
2
2
2
ti
i i
i i i i
i i i
i
i i
t
ct w P et Bt
P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(611)
54
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica
O meacutetodo de Monte Carlo pode ser caracterizado como uma teacutecnica de caacutelculo
de forccedila bruta que eacute bem adequado para problemas complicados que consistem de
vaacuterias subtarefas bem definidas Eacute um meacutetodo simples e intuitivo e manteacutem uma
estreita relaccedilatildeo com o problema que estaacute sendo resolvido
Atualmente o meacutetodo de Monte Carlo eacute amplamente utilizado em vaacuterios
campos como na fiacutesica matemaacutetica economia e engenharia Uma de suas primeiras
aplicaccedilotildees praacuteticas foi na modelagem de problemas de transporte de partiacuteculas
(Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo de caacutelculo foi chamada de Monte Carlo pelos cientistas Stanislav
Ulam John von Neumann e Metropolis Nicholas no final de 1940 quando este meacutetodo
foi usado para resolver problemas de transporte de partiacuteculas na pesquisa de armas
nucleares As raiacutezes do desenvolvimento da teoria moderna da probabilidade e
estatiacutestica data do seacuteculo 19 Poreacutem a primeira publicaccedilatildeo registrada que aborda este
meacutetodo data de 1949 (Yoriyaz 2009)
O sucesso da aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo (MMC) pelos cientistas de Los
Alamos se decorreu devido agrave computaccedilatildeo numeacuterica De fato mesmo se todos os
aspectos teoacutericos fossem resolvidos a utilizaccedilatildeo em grande escala do meacutetodo natildeo
seria possiacutevel sem esta ferramenta
O meacutetodo Monte Carlo eacute muito diferente dos meacutetodos de transporte
determiniacutesticos que geralmente baseiam-se na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de transporte de
necircutrons Assim para fazer com que o problema seja passiacutevel de uma soluccedilatildeo
computacional eacute necessaacuteria a realizaccedilatildeo de uma discretizaccedilatildeo das variaacuteveis tanto no
espaccedilo quanto na energia A forccedila do meacutetodo de Monte Carlo reside na capacidade
em calcular estimativas estatiacutesticas para taxas de reaccedilatildeo sem necessitar da soluccedilatildeo
explicita para a distribuiccedilatildeo do fluxo Aleacutem disso a capacidade de lidar com variaccedilotildees
complexas das variaacuteveis espaciais e de energia eacute o que torna a alternativa do MMC
mais atraente que os meacutetodos de transporte determiniacutesticos (Leppaumlnen 2007)
Mesmo que a abordagem determinista tenha demonstrado sua viabilidade para
simular reatores criacuteticos ela eacute amplamente utilizada Poreacutem esta metodologia
apresenta alguns inconvenientes que se tornam importantes no caso de um reator
subcriacutetico com um acelerador de partiacuteculas acoplado como por exemplo a introduccedilatildeo
de uma aproximaccedilatildeo devido agrave conversatildeo do espectro de energia dos necircutrons para
55
uma grade de energia e espaccedilo para os coacutedigos que utilizam uma abordagem
multigrupo (Kady et al 2001)
Por utilizar seccedilotildees de choques pontuais a simulaccedilatildeo Monte Carlo eacute livre de
quase todos os inconvenientes que aparecem nas simulaccedilotildees determiniacutesticas Poreacutem
sua precisatildeo varia inversamente com a raiz quadrada do nuacutemero de eventos
processados Isso representa um problema potencialmente grande de tempo de
processamento em particular quando a simulaccedilatildeo abrange toda a vida uacutetil da
produccedilatildeo de energia do sistema
No meacutetodo Monte Carlo para a simulaccedilatildeo de transporte de radiaccedilatildeo as
respostas satildeo obtidas simulando partiacuteculas individuais e gravando alguns aspectos de
seu comportamento meacutedio Se os modelos dessas interaccedilotildees utilizados nas
simulaccedilotildees satildeo suficientementes proacuteximos da realidade o resultado estaraacute proacuteximo do
processo real
Os componentes importantes de meacutetodos de simulaccedilatildeo de Monte Carlo satildeo as
funccedilotildees de densidade de probabilidade a geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios as regras
de amostragem a computaccedilatildeo de resultados as estimativas de erros e a reduccedilatildeo de
variacircncia conforme mostra a Figura 71 Aleacutem disso os algoritmos eficientes para
paralelizaccedilatildeo satildeo uacuteteis para a implementaccedilatildeo do meacutetodo de Monte Carlo para uso em
cluster de computadores (Grisell 2004)
O meacutetodo de Monte Carlo utiliza aleacutem do teorema do limite central modelos
fiacutesicos de interaccedilatildeo ou seja um conjunto de seccedilotildees de choque diferenciais para os
mecanismos de interaccedilatildeo relevantes do sistema a ser simulado (Salvat et al 2003)
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de Yoriyaz 2009
Gerador de
nuacutemeros
aleatoacuterios
Teacutecnicas de
amostragem Resultados
Funccedilatildeo de densidade de probabilidade
56
Essas seccedilotildees de choque diferenciais determinam as funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de
probabilidades de variaacuteveis aleatoacuterias
Esses conjuntos de funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de probabilidade caracterizam uma
histoacuteria e determinam o tipo de interaccedilatildeo sofrida pela partiacutecula por exemplo se a
partiacutecula sofreraacute uma mudanccedila de energia e de direccedilatildeo de propagaccedilatildeo se ela apenas
sofreraacute algum desvio angular ou se ocasionaraacute fissatildeo
Caso o nuacutemero de histoacuterias (uma histoacuteria inclui desde a geraccedilatildeo de uma
partiacutecula ateacute sua lsquofugarsquo ou absorccedilatildeo aleacutem de todas as outras partiacuteculas que podem ser
produzidas por exemplo atraveacutes da fissatildeo) seja suficientemente grande informaccedilotildees
quantitativas sobre o processo de transporte podem ser obtidas simplesmente por uma
meacutedia de mais histoacuterias simuladas
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo eacute em experimentos em que os resultados
satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Ao se comparar os meacutetodos MC e de variaacuteveis discretas normalmente se diz
que o MC resolve a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral enquanto o meacutetodo
de variaacuteveis discretas resolve a equaccedilatildeo na sua forma integro-diferencial Poreacutem as
duas equaccedilotildees satildeo formas diferentes da mesma equaccedilatildeo e assim quando se resolve
uma obteacutem-se a soluccedilatildeo da outra (Mosteller et al 2003)
Como o meacutetodo MC resolve o problema simulando histoacuterias das partiacuteculas natildeo
se torna necessaacuterio escrever a equaccedilatildeo de transporte de necircutrons No entanto pode-
se chegar a uma equaccedilatildeo que descreva a densidade de probabilidade das partiacuteculas
para o problema e esta acaba sendo a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral
(Vaz 2010)
A simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) eacute baseada em geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
de uma distribuiccedilatildeo uniforme gerando variaacuteveis aleatoacuterias para estabelecer outras
funccedilotildees de distribuiccedilatildeo Assim os nuacutemeros aleatoacuterios ou pseudoaleatoacuterios satildeo agrave base
do meacutetodo de MC pois estes nuacutemeros realizam todo o controle de decisatildeo Isso torna
essencial a sub-rotina de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios para qualquer simulador
baseado no meacutetodo de Monte Carlo As sub-rotinas de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
se baseiam em algoritmos matemaacuteticos especiacuteficos para garantir que os nuacutemeros
sorteados satildeo realmente aleatoacuterios pois estes nuacutemeros devem em teoria ser
igualmente provaacuteveis em um sorteio dentro de um intervalo definido
As variaacuteveis aleatoacuterias satildeo uma quantidade que resultam de processos
repetitivos e cujos valores reais natildeo podem ser previsto com certeza No mundo real a
aleatoriedade se origina de fatores incontrolaacuteveis (por exemplo jogos de azar) ou da
57
natureza quacircntica de sistemas ou processos (por exemplo desintegraccedilatildeo nuclear)
Nos computadores as variaacuteveis randocircmicas satildeo geradas por transformaccedilotildees
numeacutericas de nuacutemeros randocircmicos
O objetivo da simulaccedilatildeo MC eacute fornecer informaccedilotildees precisas e detalhadas em
trecircs dimensotildees dependente do tempo tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
partiacuteculas neutras Por este motivo o meacutetodo de Monte Carlo eacute largamente utilizado na
soluccedilatildeo de problemas envolvendo processos estatiacutesticos Pode ser empregado na
fiacutesica de reatores devido agrave caracteriacutestica estocaacutestica da emissatildeo de radiaccedilatildeo e
transporte de partiacuteculas
A carga computacional do meacutetodo de Monte Carlo continua sendo um
empecilho para as simulaccedilotildees de modelagem de sistemas nucleares devido ao alto
tempo de processamento computacional (Liu et al 2011) e a alta demanda de
memoacuteria pois para solucionar o problema de transporte de energia eacute necessaacuterio
monitorar as trajetoacuterias de vaacuterios necircutrons seu respectivo histoacuterico e sua multiplicaccedilatildeo
ateacute absorccedilatildeo ou fuga de todas as partiacuteculas geradas por essa partiacutecula
Mesmo assim o uso do meacutetodo de Monte Carlo para a simulaccedilatildeo do transporte
de partiacuteculas tornou-se bastante popular pois a alta demanda de processamento e de
memoacuteria pode ser contornada se for utilizado um sistema de processamento
distribuiacutedo com vaacuterios processadores possibilitando diminuir o tempo de simulaccedilatildeo
mesmo em modelagem de geometrias complexas Na praacutetica com o aumento de
processadores resolvendo o mesmo problema costuma-se aumentar a estatiacutestica a ser
simulada para a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos com o mesmo tempo de
simulaccedilatildeo anterior
71 Funccedilotildees Densidade de
Probabilidades
Para uma variaacutevel aleatoacuteria discreta a funccedilatildeo de probabilidade (f(x)) fornece
diretamente a probabilidade do valor que a variaacutevel aleatoacuteria assume Jaacute para as
variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas a funccedilatildeo de probabilidade em um intervalo eacute chamada
de funccedilatildeo de densidade de probabilidade
Esta funccedilatildeo natildeo fornece diretamente as probabilidades dos valores que as
variaacuteveis aleatoacuterias podem assumir Poreacutem a aacuterea sob o graacutefico da funccedilatildeo de
58
densidade de probabilidade correspondente a um dado intervalo a probabilidade de
que a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua assuma um valor neste intervalo Ou seja quando
calculamos as probabilidades para as variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas estamos
calculando a probabilidade de que a variaacutevel aleatoacuteria assuma qualquer valor em um
intervalo Assim a probabilidade de qualquer valor particular da variaacutevel aleatoacuteria
contiacutenua eacute zero pois a aacuterea sob o graacutefico de f(x) em qualquer ponto em particular eacute
zero
A distribuiccedilatildeo de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua pode ser
visualizada como uma forma de um histograma baseado em um grande nuacutemero de
observaccedilotildees Este histograma eacute construiacutedo com as densidades de probabilidade
Por exemplo a Figura 72 mostra um histograma da massa em quilogramas
de 25 lingotes de uracircnio (Lurie et al 2011)
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio
Se aumentarmos o nuacutemero de amostras teremos um histograma cada vez
mais suave a Figura 73 mostra o mesmo histograma com 150 observaccedilotildees
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio
59
Se fizermos o nuacutemero de amostras tender a infinito e o intervalo das classes
tender a zero no limite o histograma tende a se ldquosuavizarrdquo e tomar a forma de uma
curva teoacuterica como mostra a Figura 74
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo
Como uma probabilidade eacute interpretada como a frequecircncia relativa de um
evento de ensaios independentes a curva obtida na Figura 74 representa a maneira
pela qual a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo aos possiacuteveis valores que a
variaacutevel aleatoacuteria ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo pode assumir Assim a funccedilatildeo
densidade de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x eacute a funccedilatildeo
matemaacutetica f(x) cujo graacutefico produz a curva teoacuterica que representa a maneira pela qual
a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo agrave amplitude dos possiacuteveis valores da
variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x
As funccedilotildees de densidades de probabilidades devem obedecer as seguintes
condiccedilotildees
( )
( ) ( )
0
1
f x x
F x f x dx
gt forall
= =int
Dessa maneira a probabilidade de uma variaacutevel x assumir os valores no
intervalo (ab) eacute
Densidade de
probabilidade
Massa (kg)
60
( ) ( ) ( ) ( )b
aP a x b f x dx F a F ble le = = minusint
Existem basicamente duas diferentes maneiras que podem ser utilizados na
implementaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo que satildeo o meacutetodo direto ou
inverso e o meacutetodo da rejeiccedilatildeo Nas proacuteximas seccedilotildees tem-se a descriccedilatildeo desses dois
meacutetodos
72 Meacutetodo direto ou inverso
Seja uma distribuiccedilatildeo de probabilidade tiacutepica (por exemplo a distribuiccedilatildeo
gaussiana) definida em um intervalo conhecido entre [a b] Como visto na seccedilatildeo
anterior pode-se definir a funccedilatildeo de probabilidade acumulada desta distribuiccedilatildeo como
( ) ( ) b
aP x p x dx= int (71)
Criando uma nova variaacutevel aleatoacuteria atraveacutes da transformaccedilatildeo ξ = P(x) e
assumindo que a distribuiccedilatildeo de probabilidade acumulada admite uma inversa P-1(ξ)
definida no intervalo de (01) o valor de ξ eacute entatildeo definido como sendo igual agrave
probabilidade cumulativa do evento de modo que o valor correspondente de x pode
ser calculado a partir da funccedilatildeo inversa
1 1
( )( ) ( ) ( )
d dP xp p x p x
dx dxε
εε
minus minus
= =
(72)
Assim fica claro que ε eacute um nuacutemero aleatoacuterio e a variaacutevel x que eacute definida por
x = P-1(ξ) eacute aleatoriamente distribuiacuteda no intervalo (xmin x) Note que x eacute a uacutenica raiz
da equaccedilatildeo
min
( ) x
xp x dxξ = int (73)
61
Assim os valores amostrados de x desta forma satildeo distribuiacutedos de acordo com
a P(x)
A implementaccedilatildeo do meacutetodo direto de MC pode ser feita atraveacutes do seguinte
algoritmo conforme mostrado na Figura 75
1 Geraccedilatildeo de um nuacutemero aleatoacuterio ξ
2 Verificaccedilatildeo de que x corresponde ao ξ sorteado
3 Verificaccedilatildeo de qual probabilidade correspondente ao x
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003)
A soluccedilatildeo atraveacutes do meacutetodo de MC da equaccedilatildeo de transporte de necircutrons
(equaccedilatildeo (74)) pode ser feita utilizando o meacutetodo direto resolvendo-se as integrais
de acordo com (Vaz 2009)
( )
( ) ( ) ( ) ( )2 3
` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `
r E
r E C E E r dE d Q r E T r r E d r
Ψ Ω =
Ψ Ω Ω rarr Ω Ω + Ω rarr Ω int int
(74)
Com o termo de fonte podendo ser definido como
62
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
Fonte fixa
` ` ` ` | ` Fonte fixa + Fissatildeo
1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor
S
Q r R S r E F E E r dE d
r E F E E r dE dk
Ω = + Ψ Ω Ω rarr Ω Ω Ψ Ω Ω rarr Ω Ω
int
int
(75)
onde ( ) S r E Ω
foi abreviado como S
Assim uma histoacuteria (lsquotrajetoacuteriarsquo) pode ser entendida como uma sequecircncia de
transiccedilatildeo entre estados (P0 P1 P2 P3) Em cada ponto de colisatildeo Pi pode ocorrer
variaccedilatildeo da energia de direccedilotildees e ainda incluir a geraccedilatildeo de novas partiacuteculas
Entatildeo a equaccedilatildeo de transporte pode ser escrita como (Vaz 2009)
( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i
P P K P P K P P dp dp dp dpminus minusΨ = Ψ rarr rarrint int int int (76)
onde ( )K P Prarr eacute o kernel de transporte que eacute definido por
( ) ( ) ( ) ( ) ` ` | ` ` | K P P K r E r E C E E r T r r Erarr equiv Ω rarr Ω = Ω rarr Ω rarr Ω
(77)
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula
P4
P1
P2
P5
P3
P6
P
P0
63
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo
Em muitos casos tanto a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo cumulativa quanto sua inversa
eacute de difiacutecil obtenccedilatildeo ou natildeo podem ser resolvidos Exemplos de tais casos satildeo a
distribuiccedilatildeo normal e a distribuiccedilatildeo de Maxwell-Boltzmann Haacute diversas variaccedilotildees
numeacutericas para o uso do meacutetodo de inversatildeo que podem ser utilizados para amostrar
os valores de qualquer tipo de distribuiccedilatildeo mas eacute muitas vezes mais eficaz ter uma
abordagem completamente diferente (Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo da rejeiccedilatildeo tem a vantagem que o procedimento de amostragem
pode ser realizado utilizando apenas a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de probabilidades da
variaacutevel aleatoacuteria De uma forma mais simples uma constante c ge 1 e uma outra
funccedilatildeo de densidade de g(x) satildeo atribuiacutedos aos f(x) de tal forma que
( ) ( )f x cg xle (71)
para todos os valores de x
Os valores da variaacutevel aleatoacuteria ε seratildeo aceitos se
( )( )
f x
cg xε lt (72)
Se a desigualdade natildeo eacute vaacutelida o valor eacute descartado e o procedimento eacute
repetido desde o iniacutecio Pode demonstrar-se que a distribuiccedilatildeo dos valores aceitos
pelo meacutetodo seguem exatamente f(x)
Uma aplicaccedilatildeo que ilustra bem este meacutetodo eacute o caacutelculo do nuacutemero π Para
isso suponha um ciacuterculo inscrito dentro de um quadrado de lado unitaacuterio Se ao
sortear N eventos forem contados quantos destes eventos estatildeo dentro do ciacuterculo eacute
possiacutevel calcular o valor de π
Sabe-se que a integral entre os intervalos a e b eacute igual a um quarto da aacuterea do
ciacuterculo (ver Figura 77) Desta maneira pode-se dizer que o nuacutemero de pontos
sorteados dentro da aacuterea total do ciacuterculo dividido pelo nuacutemero total de sorteios eacute igual
agrave aacuterea do ciacuterculo sobre a aacuterea do quadrado
64
2
4r 4
c
t
N πrsup2 π= =
N
onde Nc eacute o nuacutemero de sorteios dentro do ciacuterculo e Nt eacute o total de nuacutemeros sorteados
Obviamente quanto maior for o total de nuacutemero sorteados mais preciso seraacute o
resultado
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo
Em geral o meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute utilizado para a estimativa de eventos que
satildeo regidos por distribuiccedilotildees contiacutenuas ou seja aqueles eventos que obedecem a
uma curva de probabilidade
Eacute importante ressaltar que no meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute necessaacuterio o sorteio de
dois nuacutemeros aleatoacuterios O primeiro (ε1) para definir o valor da abcissa (x) e um
segundo (ε2) para definir o valor no eixo das ordenadas (Figura 78) Se ε2 for menor
que f(ε1) registra-se ε1 como sendo um valor vaacutelido Caso contraacuterio ε1 eacute rejeitado e
ocorre o sorteio de outro nuacutemero aleatoacuterio O algoritmo do meacutetodo da rejeiccedilatildeo pode
ser descrito como
1 Sorteio do primeiro nuacutemero aleatoacuterio (ε1)
2 Verificaccedilatildeo de qual eacute o valor da funccedilatildeo para esse nuacutemero aleatoacuterio
3 Sorteio do segundo nuacutemero aleatoacuterio
4 Se ε2 lt f(ε1) registrar ε1 como vaacutelido
5 Senatildeo rejeitar ε1 e voltar ao passo 1
a
b
65
74 Meacutetodos Monte Carlo para
Reatores Subcriacuteticos
Nas seccedilotildees anteriores foi tratado das caracteriacutesticas baacutesicas da simulaccedilatildeo MC
Poreacutem para a simulaccedilatildeo de um reator nuclear mais proacutexima do real eacute necessaacuterio que
os coacutedigos MC sejam capazes de acompanhar a queima dos combustiacuteveis nucleares
chamados de coacutedigos de depleccedilatildeo
Atualmente existem vaacuterios coacutedigos de depleccedilatildeo que utilizam o meacutetodo Monte
Carlo devido ao constante crescimento no desempenho dos computadores Esses
coacutedigos geralmente satildeo acoplados em um coacutedigo geneacuterico de simulaccedilatildeo MC que
resolve o transporte das partiacuteculas e podem fornecer o fluxo de partiacuteculas e as seccedilotildees
de choque microscoacutepicas para os coacutedigos de depleccedilatildeo
Os coacutedigos MC de depleccedilatildeo podem ser divididos em dois grupos de acordo
com a metodologia de geraccedilatildeo das seccedilotildees de choque microscoacutepicas O primeiro
grupo satildeo os dos coacutedigos que utilizam os resultados calculados diretamente pelo o
coacutedigo geneacuterico MC Jaacute o segundo grupo utiliza uma abordagem de multigrupo para o
caacutelculo das seccedilotildees de choque que eacute implementado pelo coacutedigo de depleccedilatildeo De
acordo com esta metodologia as taxas de reaccedilatildeo satildeo calculadas separadamente
utilizando um preacute-gerador de seccedilotildees de choque multigrupo
f(x)
ε2
ε1
Figura 78 Processo de caacutelculo de π
66
75 Conceito de Reatores ADS
Os reatores hiacutebridos foram inicialmente considerados apenas para a queima
de actiniacutedeos poreacutem foi percebido que era possiacutevel aproveitar a queima dos
actiniacutedeos (transmutaccedilatildeo) em um reator subcriacutetico para a geraccedilatildeo de eletricidade
aleacutem da necessaacuteria para sustentar o acelerador de proacutetons
Aleacutem disso os reatores hiacutebridos tecircm uma vantagem adicional de ser um
sistema regenerador ou seja cria a possibilidade de regenerar combustiacutevel nuclear
queimado em um reator teacutermico para ser reutilizado no mesmo apoacutes reprocessamento
A Figura 79 mostra que os reatores regeneradores com acelerador (ABR ndash
accelerator breeder reactor) podem natildeo ser utilizados para a geraccedilatildeo de eletricidade
Sua principal utilizaccedilatildeo seria para a produccedilatildeo de material fiacutessil principalmente 239Pu
(Lodhi et al 2009) Para isso esses reatores necessitam de energia eleacutetrica para
alimentar o acelerador de proacutetons citado na Figura 710 Poreacutem os reatores hiacutebridos
podem ser dedicados tanto para a produccedilatildeo de energia como para a regeneraccedilatildeo de
material fiacutessil embora ambos os fenocircmenos ocorram sempre em um reator hiacutebrido ele
pode ser especializado para um desses objetivos de acordo com o cenaacuterio previsto
para a busca da sustentabilidade da energia nuclear (Piera et al 2010)
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009
Extraccedilatildeo de
toacuterio e uracircnio
238
U
ABR
Reator teacutermico
Energia eleacutetrica
239
Pu
232
Th
Energia eleacutetrica
67
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS
Tanto os reatores ADS como os ABR consistem em um acelerador de
partiacuteculas de alta energia (proacutetons com cerca de 1 GeV de energia) que atingem um
alvo com nuacutemero atocircmico grande Este choque gera necircutrons de alta energia capazes
de tornar nucliacutedeos feacuterteis em fiacutesseis
Outra coisa interessante sobre esses reatores eacute que eles produzem vaacuterios
isoacutetopos da mesma maneira que os FBR Em segundo lugar os reatores hiacutebridos
(ADS) operam com fator de multiplicaccedilatildeo abaixo de 1 (geralmente entre 090 e 097)
Em terceiro os ADS podem produzir combustiacutevel muito mais raacutepido que os FBR (Piera
et al 2010) pois liberam menos energia por fissatildeo que os FBR
Um dos principais objetivos do ADS eacute a queima de 232Th para gerar uma
grande quantidade de 233U embora 233U puro tem aproximadamente a mesma massa
criacutetica do plutocircnio (Lodhi et al 2009)
Fonte de necircutrons raacutepidos
Fonte de
spallation
Refrigerante chumbo-bismuto
Acelerador de
proacutetons
68
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos
Utilizados
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes simulaccedilotildees MC para auxiliar o estudo
de reatores ADS utilizando diferentes coacutedigos (MCNPX GEANT4 MCB) Poreacutem estes
modelos devem ter referecircncias para poder se verificar por exemplo o fator de
multiplicaccedilatildeo efetivo (keff) resultados dos caacutelculos de depleccedilatildeo e identificar as causas
para as possiacuteveis diferenccedilas significativas entre os resultados simulados e os teoacutericos
Idealmente esses paracircmetros deveriam ser comparados com dados
experimentais No entanto haacute uma falta significativa de resultados fiacutesicos para nuacutecleos
de reatores raacutepidos concebidos para queimar actiniacutedeos menores (AM) (Allen et al
2011)
Neste trabalho foram utilizados dois coacutedigos MC distintos Inicialmente devido
a grande quantidade de citaccedilotildees na literatura (Hashemi-Nezhad et al 2002 Sobolev
et al 2003 Bomboni et al 2010 Fokau et al 2010 Talamo et al 2011 Pelowitz
2008) foi utilizado o coacutedigo MCNPX 26f e tambeacutem o coacutedigo SERPENT 1117 que eacute
uma ferramenta relativamente nova (Leppaumlnen 2007) comparada ao MCNPX
O MCNPX eacute um coacutedigo MC que vem sendo desenvolvido deste 1995 sendo
escrito em FORTRAN e C Assim o MCNPX pode ser compilado para a utilizaccedilatildeo nas
plataformas computacionais mais usadas (Windows Linux e IOS) Aleacutem disso o
MCNPX pode ser usado com as bibliotecas de programaccedilatildeo paralela (MPI)
O coacutedigo eacute composto por aproximadamente 450 subrotinas possui um
desenvolvimento constante e atualmente eacute capaz de simular 34 partiacuteculas distintas A
versatildeo 250 do MCNPX eacute utilizada atualmente por cerca de 2500 grupos no mundo
sendo distribuiacutedo pelo Radiation Safety Information Computational Center (RSICC)
com base de dados sendo fornecida pela OECDNEA
Uma das grandes dificuldades do uso do MCNPX eacute a descriccedilatildeo da geometria
que eacute feita atraveacutes de uniotildees e interseccedilotildees de superfiacutecies baacutesicas (plano cilindro
infinito esfera cone ou elipsoide) Assim para simular uma vareta de combustiacutevel
deve-se criar pelo menos trecircs superfiacutecies distintas (2 planos e um cilindro infinito)
Aleacutem disso deve-se criar uma ceacutelula para cada material utilizado Esta ceacutelula
carrega a informaccedilatildeo do material que ela eacute composta a densidade e os limites
informados pelas uniotildees eou interseccedilotildees das superfiacutecies Tanto as superfiacutecies quanto
as ceacutelulas satildeo referenciados por nuacutemeros definidos pelo usuaacuterio
69
Todas as superfiacutecies permitem que as uniotildees e interseccedilotildees sejam feitas em
dois sentidos Esses sentidos satildeo informados pelos sinais negativos e positivos que
devem acompanhar os nuacutemeros das superfiacutecies
O MCNPX ainda permite a definiccedilatildeo da importacircncia da partiacutecula em cada
ceacutelula isso eacute uacutetil quando se quer excluir uma ou mais partiacuteculas Caso a importacircncia
de necircutrons seja definida como zero qualquer necircutron que entrar nesta ceacutelula seraacute
eliminado da simulaccedilatildeo Isto eacute um artifiacutecio que delimita a aacuterea de atuaccedilatildeo das
partiacuteculas para natildeo termos simulaccedilotildees de duraccedilatildeo ldquoinfinitardquo ou perder tempo
computacional em partiacuteculas que jaacute saiacuteram do sistema
Tambeacutem eacute possiacutevel definir ceacutelulas sem nenhum material para isso basta
colocar o nuacutemero zero no lugar do nuacutemero do material e natildeo informar a densidade do
mesmo Neste caso o coacutedigo iraacute interpretar o conteuacutedo da ceacutelula como sendo vaacutecuo
O MCNPX natildeo fornece ferramenta graacutefica para a ediccedilatildeo de geometria poreacutem
existem programas que realizam a leitura do arquivo e permitem a sua visualizaccedilatildeo O
que MCNPX faz eacute uma verificaccedilatildeo baacutesica da geometria em busca de erros Em caso
de erros de geometria o MCNPX natildeo realiza a simulaccedilatildeo ou a simulaccedilatildeo pode ser
abortada se o coacutedigo computar vaacuterias partiacuteculas perdidas (partiacuteculas que ldquosaemrdquo da
geometria)
O lado positivo do MCNPX eacute a grande quantidade de elementos e de isoacutetopos
disponiacuteveis para a simulaccedilatildeo devido o uso da biblioteca ENDF que eacute mantida pela
agecircncia internacional de energia atocircmica Para os elementos ou isoacutetopos que natildeo
existem nas bibliotecas o MCNPX realiza a simulaccedilatildeo utilizando modelos fiacutesicos Isto
proporciona uma grande flexibilidade na simulaccedilatildeo Aleacutem disso o MCNPX traz
bibliotecas de espalhamento teacutermico que podem ser usadas nos materiais utilizados
como moderadores
O outro coacutedigo MC utilizado foi o SERPENT Este coacutedigo eacute especiacutefico para
simulaccedilatildeo de reatores nucleares que realiza com caacutelculo de depleccedilatildeo e eacute
desenvolvido no Centro de Pesquisa Teacutecnica da Finlacircndia (VTT Technical Research
Centre of Finland) Atualmente eacute utilizado por cerca de 180 grupos de usuaacuterios em 27
paiacuteses Este coacutedigo se encontra na versatildeo 1118 sendo que a versatildeo 20 estaacute
atualmente em fase de teste O SERPENT tambeacutem permite a utilizaccedilatildeo de
processamento paralelo com o MPI (Message Passing Interface) para sua execuccedilatildeo
A paralelizaccedilatildeo no modo de caacutelculo de queima eacute dividida nas rotinas de preacute-
processamento e depleccedilatildeo em vaacuterias tarefas Cada tarefa trata um material diferente e
o aumento de desempenho pode-se tornar significativo
O SERPENT eacute um dos uacutenicos coacutedigos MC que permitem a simulaccedilatildeo com
fonte externa com meio multiplicativo aleacutem de caacutelculos de depleccedilatildeo em uma uacutenica
70
simulaccedilatildeo a geometria natildeo eacute tatildeo problemaacutetica quanto a do MCNPX pois jaacute existem
elementos preacute-definidos que satildeo encontrados em reatores nucleares como por
exemplo elementos combustiacuteveis em em arranjo hexagonal
A descriccedilatildeo da geometria no SERPENT eacute feita definindo-se uma vareta e os
raios de cada material que a compotildee Diferentemente do MCNPX os materiais satildeo
referenciados por nomes seguidos do raio ocupado partindo do centro da vareta ateacute a
extremidade
Por exemplo para se definir uma vareta de combustiacutevel os materiais que
compotildee esta vareta devem ser descritas do centro para fora da vareta Assim se o
combustiacutevel estaacute designado com um raio de 04024 cm a definiccedilatildeo do gap deve iniciar
de um raio maior que o do combustiacutevel O gap eacute designado pela palavra reservada
void
A definiccedilatildeo das varetas seja de combustiacutevel ou as de controle devem ser
terminadas sempre com o nome do material utilizado como refrigerante (Soacutedio por
exemplo) Eacute importante lembrar que cada definiccedilatildeo de vareta recebe um nuacutemero que
eacute chamado de universo
Apoacutes as definiccedilotildees das varetas basta informar o tipo de arranjo utilizado e o
pitch de varetas para completar a descriccedilatildeo do nuacutecleo do reator Se existem varetas
com diferentes composiccedilotildees de combustiacutevel deve-se informar o nuacutemero de cada
universo na posiccedilatildeo desejada
Ambos os coacutedigos permitem a utilizaccedilatildeo da mesma biblioteca realizam caacutelculo
de depleccedilatildeo do combustiacutevel indicando a quantidade de cada elemento nos diferentes
passos de queima sendo possiacutevel fazer um inventaacuterio de queima em ambos os
coacutedigos para cada intervalo de queima Este intervalo eacute informado pelo usuaacuterio
Para a descriccedilatildeo do material tanto o MCNPX como o SERPENT usam a
mesma forma Basta informar o ldquocoacutedigordquo do elemento desejado e sua concentraccedilatildeo
que pode ser atocircmica (aacutetomosbarncm) ou fraccedilatildeo de massa
O coacutedigo dos materiais eacute formado pelos seus nuacutemeros atocircmicos e por seus
nuacutemeros de massa Por exemplo o coacutedigo para o elemento 238U eacute 92238
Para se identificar as diferentes versotildees das bibliotecas existem nuacutemeros que
vecircm depois do coacutedigo do elemento Esses nuacutemeros satildeo a versatildeo das bibliotecas para
o MCNPX e para o SERPENT as temperaturas (em Kelvin) das bibliotecas Portanto
no MCNPX o coacutedigo 9223866c indica que a biblioteca utilizada eacute a ENDF66 Para o
SERPENT o coacutedigo completo eacute 9223806c onde o 06c indica a temperatura em que a
biblioteca foi avaliada (600 K)
71
Ainda na descriccedilatildeo do material o coacutedigo SERPENT permite definir os materiais
de outra forma Assim pode-se usar o siacutembolo do elemento quiacutemico seguido de seu
nuacutemero de massa Por exemplo O-1609c eacute o 16O a uma temperatura de 900 K
Se o material eacute composto por mais de um elemento quiacutemico basta inserir os
demais elementos As tabelas abaixo mostram o exemplo de um revestimento de
zircaloy (Tabela 81) para o MCNPX e para o dioacutexido de uracircnio (Tabela 82) para o
SERPENT Note que para a entrada em fraccedilatildeo de massa deve-se colocar o sinal de
negativo
Aleacutem das informaccedilotildees dos elementos e de suas concentraccedilotildees eacute necessaacuterio
informar tambeacutem a densidade dos materiais No MCNPX essa informaccedilatildeo fica junto
com a definiccedilatildeo do local que o material estaacute No SERPENT a informaccedilatildeo da
densidade fica junto com a definiccedilatildeo do material Em ambos os coacutedigos a densidade
pode ser informada em gcm3 ou em densidade atocircmica (aacutetomosbarnmiddotcm)
Tabela 81 Exemplo de um
revestimento de zircaloy no MCNPX
Elemento Fraccedilatildeo de
massa
4000066c -098135
2400066c -000100
2600066c -000135
2800042c -000055
5000006c -001450
801606c -000125
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de
uracircnio no SERPENT
Elemento Densidade
Atocircmica
9223409c 914E-02
9223509c 935E+00
9223809c 215E+02
O-1609c 449E+02
Para a validaccedilatildeo das simulaccedilotildees realizadas utilizando o coacutedigo SERPENT
foram realizadas algumas simulaccedilotildees de reatores para a comparaccedilatildeo direta com o
MCNPX jaacute que o MCNPX eacute amplamente utilizado para a simulaccedilatildeo de reatores
Os reatores simulados foram um PWR com combustiacutevel do tipo MOX (Figura
81) um reator do tipo VVER (Figura 82) e um terceiro do tipo CANDU (Figura 83)
Os resultados obtidos com essas simulaccedilotildees se encontram na Tabela 83
72
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU
Refrigerante (aacutegua)
Combustiacutevel MOX 1 (29 Pu)
Combustiacutevel MOX 2 (44 Pu)
Combustiacutevel MOX 3 (56 Pu)
Combustiacutevel (UO2)
Vazio (ar)
Refrigerante (Aacutegua)
Combustiacutevel (UO2)
Refrigerante (Aacutegua)
73
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER
Reator keff Diferenccedila2
(pcm) MCNPX SERPENT
VVER 128763 128807 3417
CANDU 094169 094207 4034
PWR 100176 100184 799
Recentemente Allen et al(2011) publicou uma proposta de referecircncia para
reatores regeneradores baseado no reator de teste avanccedilado para queima de AM
(ABTR) Este reator tem uma potecircncia teacutermica de 250 MW sendo refrigerado com
soacutedio A Figura 84 mostra a geometria e disposiccedilatildeo dos elementos do nuacutecleo do
reator utilizado na simulaccedilatildeo com MCNPX
As Tabelas 84 85 e 86 trazem as composiccedilotildees dos diferentes combustiacuteveis
utilizados Jaacute as Tabelas 87 88 e 89 mostram a composiccedilatildeo das varetas refletor e
barras de controle respectivamente
A Tabela 810 traz informaccedilotildees gerais do reator como pitch e diacircmetro de
varetas do reator entre outras
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX
2 Em moacutedulo diferenccedila = |Keff MCNPX - keff SERPENT|
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
74
Tabela 84Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 1
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 122E-04
U-235 322E-01
U-236 206E-02
U-238 202E+02
Np-237 384E-02
Pu-236 139E-07
Pu-238 959E-03
Pu-239 350E+01
Pu-240 374E+00
Pu-241 245E-01
Pu-242 175E-02
Am-241 142E-02
Am-242 285E-04
Am-243 613E-04
Cm-242 471E-04
Cm-243 741E-06
Cm-244 483E-05
Cm-245 191E-06
Cm-246 261E-08
Tabela 85 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 2
(densidade 10851
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 100E-02
U-235 320E-01
U-236 195E-02
U-238 197E+02
Np-237 181E+00
Pu-236 908E-06
Pu-238 905E-01
Pu-239 235E+01
Pu-240 109E+01
Pu-241 294E+00
Pu-242 219E+00
Am-241 213E+00
Am-242 583E-02
Am-243 436E-01
Cm-242 735E-02
Cm-243 244E-03
Cm244 110E-01
Cm-245 977E-03
Cm-246 677E-04
Tabela 86 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 3
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 150E-02
U-235 318E-01
U-236 186E-02
U-238 193E+02
Np-237 313E-02
Pu-236 911E-08
Pu-238 987E-03
Pu-239 431E+01
Pu-240 456E+00
Pu-241 295E-01
Pu-242 206E-02
Am-241 223E-02
Am-242 408E-04
Am-243 756E-04
Cm-242 563E-04
Cm-243 905E-06
Cm244 553E-05
Cm-245 200E-06
Cm-246 241E-08
75
Tabela 87 Composiccedilatildeo
do revestimento da vareta
de combustiacutevel
(densidade 75357
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Fe-54 408E+01
Fe-56 641E+02
Fe-57 148E+01
Fe-58 197E+00
Ni-58 293E+00
Ni-60 113E+00
Ni-61 491E-02
Ni-62 157E-01
Ni-64 399E-02
Cr-50 451E+00
Cr-52 870E+01
Cr-53 987E+00
Cr-54 246E+00
Mn-55 460E+00
Zr-nat 491E+00
Tabela 88 Composiccedilatildeo
do refletor (densidade
53908 gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Na-23 715E+01
Fe-54 277E+01
Fe-56 435E+02
Fe-57 101E+01
Fe-58 134E+00
Ni-58 199E+00
Ni-60 767E-01
Ni-61 333E-02
Ni-62 106E-01
Ni-64 271E-02
Cr-50 306E+00
Cr-52 591E+01
Cr-53 670E+00
Cr-54 167E+00
Mn-55 312E+00
Zr-nat 333E+00
Tabela 89 Composiccedilatildeo
da barra de controle
(densidade 15643
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
C-12 407E+01
B-10 164E+02
B-11 662E+02
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR
Paracircmetro Valor (cm)
ldquoPicthrdquo do elemento combustiacutevel 14685
ldquoPitchrdquo da varetas de combustiacutevel 09134
Diacircmetro da vareta de combustiacutevel 08048
Espessura do revestimento 00523
Altura ativa do combustiacutevel 844108
76
A biblioteca de dados utilizada foi a ENDF B-VI6a que eacute fornecida juntamente
com o MCNPX 26 Esta biblioteca foi avaliada em diferentes temperaturas O
refrigerante utilizado na simulaccedilatildeo deste reator eacute o soacutedio com uma concentraccedilatildeo de
22272x10-2 aacutetomosbarnsmiddotcm
Como o MCNPX e o SERPENT natildeo permitem a mudanccedila na temperatura
durante a simulaccedilatildeo caso queira-se avaliar o efeito da temperatura deve-se ter as
bibliotecas nas temperaturas requeridas refazer a simulaccedilatildeo e comparar os
resultados
A simulaccedilatildeo deste sistema foi feita com um total de 130 ciclos mas somente os
uacuteltimos 100 ciclos satildeo contabilizados nos resultados Cada ciclo foi simulado com
1x104 necircutrons totalizando 106 necircutrons isto sem levar em conta os necircutrons
produzidos por fissatildeo A Tabela 811 mostra a divisatildeo dos intervalos utilizados na
queima do combustiacutevel na simulaccedilatildeo do reator ABTR
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR
Intervalo Duraccedilatildeo (dias)
1 2739
2 2739
3 5478
4 10956
5 10956
6 10956
7 10956
8 10956
9 10956
10 10956
11 10956
12 10956
O proacuteximo passo foi realizar a simulaccedilatildeo deste mesmo sistema no SERPENT
1118 para a comparaccedilatildeo com o resultado do MCNPX e verificar se os resultados de
ambos os coacutedigos MC satildeo compatiacuteveis para o caso de reatores subcriacuteticos A Figura
85 mostra o nuacutecleo do reator simulado no SERPENT
77
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT
A simulaccedilatildeo tambeacutem foi realizada com 130 ciclos utilizando o mesmo nuacutemero
de necircutrons que na simulaccedilatildeo feita pelo o MCNPX
Com estas condiccedilotildees Allen et al (2011) obtiveram um keff de 104961 Ao
reproduzir esta simulaccedilatildeo foi obtido um keff inicial de 104622 ou seja uma diferenccedila
de 83 pcm
Vale ressaltar que o tempo de simulaccedilatildeo do SERPENT para este mesmo
sistema foi de aproximadamente 20 h Isso se deve ao fato que o SERPENT eacute
especiacutefico para simulaccedilatildeo de reatores enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo mais geral
Assim o SERPENT pode utilizar mecanismos de otimizaccedilatildeo como por exemplo uma
mudanccedila no algoritmo de caacutelculo do livre caminho meacutedio sem perda de informaccedilatildeo
Os resultados da comparaccedilatildeo satildeo apresentados na Tabela 812 Jaacute os graacuteficos
das Figuras 87 e 88 mostram a comparaccedilatildeo do keff e da queima nos dois sistemas
respectivamente Pode-se observar atraveacutes da Figura 86 que o reator simulado se
torna subcriacutetico somente apoacutes 550 dias de operaccedilatildeo
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
78
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT
Tempo
(dias)
Reatividade (pcm) Burnup (GwdMTU)
Diferenccedila3
reatividade
(pcm)
Diferenccedila1
Burnup
(GwdMTU)
MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT
00 4335 4418 0000 0000 83 0000
2739 4033 4114 1325 1324 81 0001
5478 3906 3788 2649 2649 118 0000
1096 3544 3462 5298 5297 81 0001
2191 2759 2343 10600 10594 415 0006
3287 1749 1642 15890 15891 106 0001
4382 1053 1255 21190 21188 202 0002
5478 15 106 26490 26485 91 0005
6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008
7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011
8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014
9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007
10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094
095
096
097
098
099
100
101
102
103
104
105
106
Kef
f
Tempo (Dias)
MCNPX SERPENT
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT
1 diferenccedila burnup = |burnup MCNPX ndash burnup SERPENT|
3 diferenccedila reatividade = |Keff MCNPX ndash keff SERPENT|
79
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000
10
20
30
40
50
60
burn
up (
Gw
dM
TU
)
tempo (Dias)
MCNPX 26 SERPENT
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT
Uma opccedilatildeo interessante na simulaccedilatildeo realizada com o SERPENT eacute a
possibilidade de uma visualizaccedilatildeo das aacutereas mais lsquoquentesrsquo do reator que satildeo
representadas por tons de vermelho e amarelo representando a potecircncia relativa da
fissatildeo nuclear e em tons de azul satildeo as aacutereas lsquofriasrsquo representando fluxo teacutermico
relativo (ver Figuras 89 e 810)
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do reator PWR simulado
80
Para a observaccedilatildeo nas alteraccedilotildees nos esquemas de cores a normalizaccedilatildeo eacute
fixa apoacutes o primeiro passo de queima A Figura 89 abaixo mostra a representaccedilatildeo das
aacutereas quentes e frias para o reator ABTR simulado por Allen et al (2010) em quatro
estaacutegios diferentes de queima
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias
A partir das Tabelas 812 83 e do graacutefico da Figura 86 pode-se verificar que
os dois coacutedigos MC apresentam resultados satisfatoacuterios para os valores do keff com
diferenccedila maacutexima de 415 pcm para o reator ABTR Esta diferenccedila pode ser devido agrave
geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios presente no meacutetodo MC Uma maneira de ser diminuir
esta diferenccedila eacute aumentando a quantidade de partiacuteculas simuladas poreacutem o tempo de
simulaccedilatildeo tornar-se demasiadamente grande (Antolin 2009) Outra possibilidade eacute a
falta de dados mais precisos dos materiais utilizados como combustiacuteveis no reator
ABTR
Como o coacutedigo SERPENT eacute mais novo a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do mesmo
sistema simulado no MCNPX se justifica para saber se o coacutedigo SERPENT reproduz
sistemas subcriacuteticos adequadamente Aleacutem disso o SERPENT permite a simulaccedilatildeo
de reatores nucleares com fonte externa mesmo que estas simulaccedilotildees se limitem a
a b
c d
81
problemas de fonte externa fixa Devemos lembrar que o SERPENT soacute realiza
simulaccedilatildeo de reatores nucleares enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo que pode ser
aplicados a outros problemas aleacutem de simulaccedilotildees de reatores
82
9 Resultados
As equaccedilotildees da cineacutetica pontual obtidas no capiacutetulo 3 para sistemas
subcriacuteticos foram comparadas com a simulaccedilatildeo MC devido agrave dificuldade de se obter
dados experimentais de reatores subcriacuteticos As simulaccedilotildees foram feitas utilizando
potecircncia constante linear exponencial e tambeacutem uma variaccedilatildeo aleatoacuteria
A utilizaccedilatildeo do meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear eacute interessante por
permitir a implementaccedilatildeo de sistemas de monitoramento em tempo real da reatividade
associada a uma variaccedilatildeo da potecircncia nuclear tornando-se muito atraente para
aplicaccedilotildees em reatores do tipo ADS
A Figura 91 mostra a geometria utilizada nas simulaccedilotildees de todos os casos
simulados As composiccedilotildees dos materiais satildeo as mesmas mostradas nas Tabelas 87
88 e 89 para vareta refletor barra de controle e da vareta de combustiacutevel Para a
composiccedilatildeo do combustiacutevel foi usada agrave composiccedilatildeo mostrada na Tabela 91
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado
Elemento Concentraccedilatildeo
(fraccedilatildeo de massa)
U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico
Legenda
Combustiacutevel
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
83
Os valores utilizados para a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo Monte Carlo com os
resultados das equaccedilotildees para cada um dos casos do capiacutetulo 3 encontram-se na
Tabela 92 Esses valores foram obtidos diretamente do arquivo de saiacuteda da simulaccedilatildeo
realizada no SERPENT com a exceccedilatildeo do valor de Γ que foi extraiacutedo de Silva (2011)
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos
Paracircmetro Valor
β 000706
Λ 121x10-5 s
λ 21979x10-1 s
Γ -077x10-10
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia
Nuclear
Para um reator subcriacutetico chegar a sua potecircncia de operaccedilatildeo deve-se
monitorar a reatividade para se evitar algum tipo de acidente Assim podemos supor
uma inserccedilatildeo de reatividade de maneira linear (equaccedilatildeo 443) Esta simulaccedilatildeo foi feita
considerando uma taxa de aumento de 5 por hora do valor inicial da potecircncia sendo
monitorado por um periacuteodo de 6 horas
A Tabela 93 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos entre o SERPENT e
a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa
92 Potecircncia Nuclear Constante
Para a simulaccedilatildeo realizada a potecircncia constante o tempo total de simulaccedilatildeo foi
de cerca de 12 horas Esta diferenccedila se daacute unicamente devido ao diferente nuacutemero de
passos simulados enquanto foram simulados 6 passos de uma hora para a variaccedilatildeo
84
linear da potecircncia foram simulados 10 passos para a potencia constante Esta
simulaccedilatildeo tenta reproduzir a operaccedilatildeo em condiccedilotildees normais do reator A Tabela 94
mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos para a potecircncia de 80 MW
93 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
A variaccedilatildeo exponencial da potecircncia foi simulada por um periacuteodo de 1 hora em
intervalos de 10 minutos A Tabela 95 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos
com uma taxa de aumento de 00001
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(h) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 1 -2069 -2125 -2119 56 50
84 2 -2050 -2125 -2125 75 75
88 3 -2122 -2134 -2134 12 12
92 4 -2077 -2143 -2143 66 66
96 5 -2142 -2151 -2151 9 9
100 6 -2119 -2158 -2158 39 39
85
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
Gandini -
SERPENT
0 -2133 -2146 -2146 12 12
10 -2152 -2146 -2146 6 6
20 -2144 -2146 -2146 2 2
30 -2167 -2146 -2146 21 21
40 -2151 -2146 -2146 5 5
50 -2127 -2146 -2146 18 18
60 -2177 -2146 -2146 31 31
70 -2145 -2146 -2146 0 0
80 -2152 -2146 -2146 6 6
90 -2160 -2146 -2146 14 14
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da potecircncia
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2065 2120 2120 55 55
115 10 2108 2107 2107 0 0
165 20 2104 2115 2114 11 10
235 30 2070 2114 2115 44 45
337 40 2083 2115 2115 32 32
483 50 2126 2115 2117 11 9
86
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
A avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia durante
sua operaccedilatildeo foi feita durante um periacuteodo de 6 horas Neste intervalo foi simulada uma
suacutebita queda de potecircncia e posteriormente uma subida repentina da potecircncia A
Tabela 96 mostra os resultados obtidos
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2075 2029 2029 46 46
90 1 2075 2188 2188 113 113
0 2 2143 2118 2118 24 24
40 3 2050 2120 2120 70 70
80 4 2133 2231 2231 97 97
100 5 2080 2163 2163 83 83
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Nesta seccedilatildeo seratildeo apresentados os resultados obtidos levando-se em conta a
variaccedilatildeo temporal da fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo dos
necircutrons
87
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia
Assim como na seccedilatildeo 91 a Tabela 97 mostra os resultados obtidos para uma
variaccedilatildeo linear de potecircncia poreacutem os resultados abaixo foram levados em conta agraves
variaccedilotildees temporais de β e de Λ Como o SERPENT jaacute fornece os valores de β e Λ
para cada passo de queima esses valores foram utilizados para a obtenccedilatildeo da reta de
ajuste que foi utilizada em todos os casos com variaccedilatildeo temporal de β e de Λ Assim
natildeo foi necessaacuterio realizar novas simulaccedilotildees
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Λ (x10-5)
(s)
β
(pcm)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF ndash
SERPENT
HGPT ndash
SERPENT
80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6
84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0
88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28
92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80
96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127
100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141
952 Potecircncia constante
Jaacute para o reator operando a uma potecircncia constante a Tabela 98 mostra os
resultados obtidos para variaccedilotildees lineares de β e Λ Lembrando que esta a duraccedilatildeo
desta simulaccedilatildeo foi de aproximadamente 12 horas
88
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia constante
Tempo
(min) Λ (x10-5) (s)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7
10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6
20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5
30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17
40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4
50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18
60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31
70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0
80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1
90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14
953 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
Utilizando a mesma variaccedilatildeo de potencia da seccedilatildeo 93 a operaccedilatildeo do reator
foi simulada por um periacuteodo de 6 horas Para este caso a taxa de aumento de
potecircncia tambeacutem foi de 00001 A Tabela 99 mostra os resultados obtidos
89
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Mais uma vez realizando a mesma variaccedilatildeo de potecircncia da seccedilatildeo 94 a
avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia tambeacutem foi
realizada juntamente com a variaccedilatildeo de β e Λ A Tabela 910 mostra os resultados
obtidos
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia com β e Λ variaacuteveis no tempo
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125
115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36
165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13
235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9
337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80
483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Serpent TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102
90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2
0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79
40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51
80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140
100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23
90
96 Paracircmetros Nucleares
Os paracircmetros integrais satildeo muitas vezes utilizados para dar informaccedilotildees
imediatas e completas sobre as caracteriacutesticas fiacutesicas dos reatores nucleares Eles
podem aparecer diretamente da modelagem matemaacutetica do sistema ou podem ser
introduzidos tanto artificialmente com a finalidade de quantificar as caracteriacutesticas
fiacutesicas pra que se permitam comparaccedilotildees entre diferentes configuraccedilotildees ou na
interpretaccedilatildeo das mediccedilotildees experimentais Assim enquanto algumas quantidades
integrais em fiacutesica de reatores deteacutem um significado matemaacutetico (por exemplo o fator
de multiplicaccedilatildeo como sendo o autovalor do problema de equiliacutebrio) outras
quantidades podem carregar significados diferentes de acordo com os objetivos
especiacuteficos para os quais satildeo introduzidos Este fato pode causar uma grande
confusatildeo especialmente quando o mesmo termo eacute utilizado para denotar grandezas
fiacutesicas bastante diferentes Este eacute o caso por exemplo de paracircmetros integrais
introduzidos em modelos cineacuteticos que satildeo obtidos atraveacutes da ponderaccedilatildeo das
equaccedilotildees da cineacutetica Enquanto que o procedimento eacute bem estabelecido na cineacutetica
dos de sistemas criacuteticos o caso de sistemas com fonte externa pode estar aberto a
ambiguidade jaacute que natildeo existe uma uacutenica funccedilatildeo de ponderaccedilatildeo e sua escolha pode
ser relacionada mais para conveniecircncia numeacuterica ou para a necessidade de obter
alguns resultados muitos especiacuteficos (Dulla 2011)
Por outro lado muitas vezes esses mesmos termos podem ser obtidos por
exemplo por teacutecnicas de simulaccedilatildeo MC Este eacute o caso de reatividade fraccedilatildeo de
necircutrons retardados e o tempo de geraccedilatildeo de necircutrons Eacute especialmente importante
observar que os sistemas subcriacuteticos exigem um repensar de toda abordagem teoacuterica
concebida para sistemas criacuteticos
Anaacutelises realiacutesticas da cineacutetica de sistemas subcriacuteticos satildeo atualmente feitas
atraveacutes da soluccedilatildeo direta das equaccedilotildees seja por difusatildeo ou por modelos de
transporte Informaccedilotildees altamente detalhadas e precisas sobre a evoluccedilatildeo dos
necircutrons satildeo necessaacuterias entretanto os modelos pontuais satildeo muito simplificados e
podem natildeo fornecer informaccedilotildees suficientes Aleacutem disso ferramentas numeacutericas e
computacionais eficientes estatildeo disponiacuteveis tornando possiacutevel evitar as restriccedilotildees dos
modelos da cineacutetica pontual No entanto os paracircmetros integrais satildeo uacuteteis em
qualquer caso para a obtenccedilatildeo de informaccedilotildees completas sobre o comportamento
fiacutesico do sistema para ter uma indicaccedilatildeo imediata sobre as caracteriacutesticas cineacuteticas do
sistema
91
O conceito de paracircmetros integrais parece perder significado e relevacircncia para
sistemas subcriacuteticos guiados por fonte Por isso para as quantidades integrais
medidas ou simuladas as definiccedilotildees dos paracircmetros gerados devem sempre estar
especificados para evitar interpretaccedilotildees equivocadas e incorretas de tais resultados
Para comparar alguns paracircmetros as simulaccedilotildees foram feitas utilizando tanto
combustiacutevel fresco quanto combustiacutevel usado Assim pode-se comparar alguns
paracircmetros nucleares do iniacutecio do ciclo de combustiacutevel com os resultados de
combustiacutevel no final do ciclo Alguns paracircmetros como a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados (β) e o tempo de geraccedilatildeo meacutedia de necircutrons (Λ) satildeo fornecidos pelo coacutedigo
SERPENT ao final de cada simulaccedilatildeo
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares
Paracircmetro Combustiacutevel
fresco
Combustiacutevel
queimado
Referecircncia (Dulla et
al 2011)
β 000706 000340 000644
Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s
A partir da Tabela 911 pode-se verificar que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
tem uma diminuiccedilatildeo de quase a metade em comparaccedilatildeo ao seu valor inicial Isso eacute de
se esperar devido agrave queima do combustiacutevel fazendo com que este paracircmetro natildeo seja
tatildeo importante na operaccedilatildeo de um reator nuclear no final do ciclo do combustiacutevel como
eacute em seu iniacutecio
O valor para a fraccedilatildeo de necircutrons retardados para combustiacutevel fresco no
reator subcriacutetico Yalina operando a um keff de 098 eacute de 644 pcm (Dulla et al 2011) ou
seja uma diferenccedila de 62 pcm em relaccedilatildeo ao valor encontrado na Tabela 911 Vale
ressaltar que segundo Dulla et al (2011) os paracircmetros integrais dependem do niacutevel
de subcriticalidade
Outro paracircmetro importante para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de cineacutetica pontual e
para o controle do reator sendo muitas vezes utilizado para determinar a resposta
dinacircmica de um reator nuclear eacute o tempo de vida de necircutrons prontos (Λ) (Abaacutenades
et al 2001) Para reatores teacutermicos este valor eacute em torno de 10-4 s enquanto para
reatores subcriacuteticos este valor eacute da ordem de 10-5 s Segundo Dulla et al (2011) o
valor para este paracircmetro eacute de 148 micros para combustiacutevel fresco Assim o valor
encontrado (121 micros) eacute proacuteximo ao encontrado na literatura com um desvio percentual
92
de 18 Este desvio pode se devido agraves diferentes composiccedilotildees do combustiacutevel e
tambeacutem pela diferenccedila de enriquecimento
93
10 Conclusatildeo
A mediccedilatildeo da reatividade utilizando-se a cineacutetica inversa eacute amplamente
utilizada na partida de um reator nuclear Assim uma mediccedilatildeo acurada da reatividade
eacute imprescindiacutevel para o controle do reator (Diacuteaz et al 2007)
Os formalismos propostos por Gandini (2000) e por Silva et al (2011) envolvem
a fonte externa para descriccedilatildeo do comportamento cineacutetico dos reatores subcriacuteticos
guiados por fontes Poreacutem como ainda natildeo existem reatores ADS em operaccedilatildeo as
simulaccedilotildees de tais sistemas satildeo importantes para a avaliaccedilatildeo preliminar do
funcionamento desses reatores
Os resultados apresentados no capiacutetulo anterior mostram que as equaccedilotildees da
cineacutetica inversa para sistemas subcriacuteticos propostas nesta tese reproduzem
satisfatoriamente os reatores subcriacuteticos guiados por fonte sejam utilizando o meacutetodo
das derivadas quanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia tanto para o
formalismo proposto por Gandini (2000) quanto o proposto por Silva et al (2011)
Ainda pode-se notar que tanto para valores constantes como para variaccedilotildees lineares
de β e Λ os resultados satildeo coerentes Isto ocorre devido agrave pequena variaccedilatildeo de β
(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)
Vale ressaltar que o meacutetodo das derivadas se torna interessante para o
monitoramento da reatividade por natildeo necessitar do armazenamento de todo o
histoacuterico potecircncia e depender apenas das derivadas da potecircncia possibilitando que o
caacutelculo da reatividade seja feito com uma maior rapidez se comparado com o tempo
necessaacuterio para resolver a integral do histoacuterico de potecircncia Aleacutem disso este meacutetodo
natildeo necessita do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator e o caacutelculo
pode ser reiniciado em caso de mau funcionamento do equipamento de mediccedilatildeo da
reatividade
A simulaccedilatildeo Monte Carlo foi utilizada para a validaccedilatildeo dos meacutetodos propostos
devido agrave falta de dados nucleares para reatores subcriacuteticos poreacutem mesmo com a boa
reproduccedilatildeo deste tipo de simulaccedilatildeo a modelagem utilizada por estes meacutetodos
encontra problemas pois os dados nucleares disponiacuteveis para alguns actiniacutedeos natildeo
atendem as faixas de energia necessaacuterias para a simulaccedilatildeo de um reator ADS Esses
dados devem cobrir aleacutem de uma vasta gama de energia e um grande conjunto de
nucliacutedeos (Vaz 2010) pois o grande atrativo dos reatores ADS eacute a transmutaccedilatildeo de
rejeitos de longa meia vida e tambeacutem a produccedilatildeo de energia eleacutetrica Assim a ecircnfase
94
dos dados nucleares deve ser nos actiniacutedeos (por exemplo Np Am e o Cm) para o
acompanhamento do ciclo de combustiacutevel com a finalidade de reciclagem muacuteltipla
Mesmo assim a simulaccedilatildeo realizada para a validaccedilatildeo das equaccedilotildees propostas por
Gandini (2000) e por Silva et al (2011) mostra-se coerente para anaacutelise completa da
reatividade de um reator subcriacutetico guiado por fonte
Ainda assim a simulaccedilatildeo Monte Carlo pode ser utilizada para a anaacutelise
preliminar de alguns paracircmetros dos reatores nucleares (criacuteticos ou subcriacuteticos) como
por exemplo o fator de multiplicaccedilatildeo efetivo a fraccedilatildeo de necircutrons retardados e uma
boa aproximaccedilatildeo da quantidade de material transmutado ajudando a prever o
comportamento meacutedio do reator
Pode-se verificar que existe uma boa concordacircncia entre os valores
encontrados para os paracircmetros nucleares e os existentes na literatura Uma possiacutevel
melhora nesses resultados passa por um aumento significativo na quantidade de
histoacuterias simuladas
Este aumento contribuiria para a diminuiccedilatildeo dos erros estatiacutesticos intriacutensecos
do meacutetodo Monte Carlo Poreacutem o tempo de simulaccedilatildeo tambeacutem aumentaria
sensivelmente pois o meacutetodo MC necessita da simulaccedilatildeo individual de cada partiacutecula
podendo levar um tempo absurdamente grande para a simulaccedilatildeo de todo o sistema
Poreacutem mesmo com a ldquofaltardquo de dados nucleares mais precisos para os
actiniacutedeos a simulaccedilatildeo MC se mostra uma importante ferramenta na aacuterea de fiacutesica de
reatores devido a sua facilidade de trabalhar com geometrias bastante complexas
permitindo tambeacutem a simulaccedilatildeo desses sistemas em trecircs dimensotildees
Uma soluccedilatildeo interessante para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares seriam os
meacutetodos computacionais hiacutebridos ou seja um meacutetodo resultante da fusatildeo da
simulaccedilatildeo Monte Carlo com teacutecnicas determiniacutesticas Assim poder-se-ia melhorar os
pontos fortes e eliminar as fraquezas individuais do meacutetodo MC e das abordagens
deterministas Apesar de algumas exceccedilotildees o desenvolvimento de ferramentas
computacionais hiacutebridas eacute no entanto ainda largamente inexplorado (Vaz 2010)
95
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ix
611 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 49
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 50
62 Potecircncia Constante 51
621 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 51
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 51
63 Potecircncia Exponencial 52
631 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT) 52
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF) 52
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 53
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica 54
71 Funccedilotildees Densidade de Probabilidades 57
72 Meacutetodo direto ou inverso 60
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo 63
74 Meacutetodos Monte Carlo para Reatores Subcriacuteticos 65
75 Conceito de Reatores ADS 66
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos Utilizados 68
9 Resultados 82
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia Nuclear 83
92 Potecircncia Nuclear Constante 83
93 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 84
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 86
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ 86
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia 87
952 Potecircncia constante 87
953 Variaccedilatildeo Exponencial da Potecircncia 88
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia 89
96 Paracircmetros Nucleares 90
10 Conclusatildeo 93
11 Referecircncias Bibliograacuteficas 95
x
Lista de Figuras
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996 3
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de
Yoriyaz 2009 55
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio 58
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio 58
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo 59
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003) 61
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula 62
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo 64
Figura 78 Processo de caacutelculo de π 65
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009 66
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS 67
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR 72
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER 72
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU 72
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX 73
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT 77
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT 78
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT 79
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do
reator PWR simulado 79
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do
ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias 80
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico 82
xi
Lista de Tabelas
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-
nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012) 2
Tabela 81 Exemplo de um revestimento de zircaloy no MCNPX 71
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de uracircnio no SERPENT 71
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER 73
Tabela 84Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 1 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 85 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 2 (densidade 10851 gcm3) 74
Tabela 86 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 3 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 87 Composiccedilatildeo do revestimento da vareta de combustiacutevel (densidade 75357
gcm3) 75
Tabela 88 Composiccedilatildeo do refletor (densidade 53908 gcm3) 75
Tabela 89 Composiccedilatildeo da barra de controle (densidade 15643 gcm3) 75
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR 75
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR 76
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT 78
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado 82
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos 83
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear 84
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante 85
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia 85
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados 86
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ 87
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia linear constante 88
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares 91
1
1 Introduccedilatildeo
Grande parte da energia eleacutetrica produzida por reatores nucleares satildeo
provenientes de reatores a aacutegua leve devido agrave utilizaccedilatildeo de material fiacutessil pouco
enriquecido para seu funcionamento o que torna sua construccedilatildeo e operaccedilatildeo
bastantes atrativos mesmo com os altos custos de construccedilatildeo e manutenccedilatildeo das
centrais nucleares Aleacutem disso o conhecimento do clico teacutermico utilizados por esses
reatores impulsionaram seu desenvolvimento (Pereira 2002)
Poreacutem estes reatores utilizam ciclo de combustiacutevel aberto e produzem uma
grande quantidade de rejeitos o que inclui grande quantidade de elementos
transuracircnicos (Am Cm Np entre outros) que possuem uma alta meia-vida (cerca de
107 anos)
Assim existe uma grande preocupaccedilatildeo na utilizaccedilatildeo desses reatores natildeo soacute
na prevenccedilatildeo de acidentes mas tambeacutem devido agrave proliferaccedilatildeo de armas nucleares e
agrave necessidade de repositoacuterios finais de estocagem de longa duraccedilatildeo (Iwanaga et al
2005) o que cria uma barreira de sua aplicaccedilatildeo
Atualmente grande parte do combustiacutevel queimado no mundo eacute armazenado
em piscinas dentro das proacuteprias usinas nucleares e em alguns casos o
armazenamento que deveria ser temporaacuterio persiste haacute deacutecadas Estima-se que o
aumento de combustiacutevel utilizado esteja em torno de 12000 toneladas por ano sendo
que apenas 3000 toneladas deste combustiacutevel vatildeo para o reprocessamento1
Uma forma de contornar o problema da estocagem eacute atraveacutes da queima dos
rejeitos provenientes dos reatores nucleares de potecircncia em outros tipos de reatores
Inicialmente os reatores raacutepidos foram os primeiros a serem considerados para
esta finalidade por proporcionar aleacutem de uma melhor utilizaccedilatildeo das reservas de
uracircnio a possibilidade de transmutaccedilatildeo dos elementos transuracircnicos Poreacutem
dificuldades na operaccedilatildeo de reatores raacutepidos criacuteticos como por exemplo o controle da
criticalidade e tambeacutem a oxidaccedilatildeo do material usado como refrigerante (soacutedio)
dificultaram o seu uso
Cerca de 20 reatores raacutepidos jaacute entraram em operaccedilatildeo desde a deacutecada de
1950 sendo em sua maioria reatores de pesquisa Comercialmente apenas o reator
francecircs Superphenix chegou a entrar em operaccedilatildeo comercial Ele foi desenvolvido
para gerar 12 GW de energia eleacutetrica poreacutem foi fechado em 1998 devido a falhas
1 httpwwwworld-nuclearorginfoNuclear-Fuel-CycleNuclear-WastesRadioactive-Waste-
ManagementUTn-jaVtivM
2
estruturais alto custo e repetidos incidentes O Superphoenix funcionou apenas 10
meses em 13 anos
Os reatores raacutepidos satildeo projetados para usar 238U e tambeacutem 235U usado na
maioria dos reatores Se esses reatores satildeo projetados para produzir mais plutocircnio do
que consomem eles satildeo chamados reatores reprodutores raacutepidos (FBR) (Lodhi et al
2009) Os reatores raacutepidos tambeacutem podem queimar actiniacutedeos que possuem alta meia
vida que podem ser transmutados em outros elementos para o uso em reatores
convencionais (LWR) A Tabela 11 mostra alguns reatores raacutepidos que entraram ou
entraratildeo em operaccedilatildeo no mundo
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012)
Paiacutes Reator Tipo Potecircncia
Eleacutetrica (MWe)
Potecircncia
Teacutermica (MW) Operaccedilatildeo
USA
EBR 1 02 14 1951-63
EBR II Pesquisa 20 625 1963-94
Fermi 1 Pesquisa 66 200 1963-72
SEFOR
20 1969-72
Fast Flux Test
Facility Pesquisa
400 1980-93
Inglaterra Protoype FR Protoacutetipo 15 60 1959-77
Dounreay FR Pesquisa 270 650 1974-94
Franccedila
Rapsodie Pesquisa 40 1966-82
Phenix Protoacutetipo 250 563 1973-2009
Superphenix Comercial 1240 3000 1985-98
Alemanha KNK 2 Pesquisa 21 58 1977-91
Iacutendia FBTR Pesquisa
40 1985-
PFBR Protoacutetipo 500 1250 2012-
Japatildeo
Joyo Pesquisa
140 1978-
Monju Protoacutetipo 280 714 1994-96
2010-
Cazaquistatildeo BN 350 Protoacutetipo 135 750 1972-99
Ruacutessia
BN 12
101 1950
BR 5 10 Obninsk Pesquisa
5 8 1959-71
1973-
BOR 60
Dimitrovgrad Pesquisa 12 55 1969-
BN 600 Beloyarsk 3 Protoacutetipo 600 1470 1980-
BN-800 Beloyarsk 4 Comercial 880 2000 2014-
China CEFR Pesquisa 20 65 2010-
3
Vaacuterios paiacuteses tecircm programas de pesquisa e desenvolvimento para melhorar os
reatores raacutepidos Aleacutem disso o projeto internacional em inovaccedilatildeo de reatores
nucleares e ciclo de combustiacutevel (INPRO) da agecircncia internacional de energia atocircmica
(AIEA) possui como ecircnfase os reatores raacutepidos para funcionarem com o ciclo de
combustiacutevel fechado
Os problemas encontrados na operaccedilatildeo dos reatores raacutepidos podem ser
contornados utilizando um conceito onde os necircutrons que satildeo produzidos por uma
reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo a um custo eleacutetrico pequeno entram em um meio multiplicativo
com uma configuraccedilatildeo de combustiacutevelmoderador (Rubbia et al 1996) Esses reatores
satildeo chamados reatores hiacutebridos devido ao acoplamento de um acelerador de
partiacuteculas para seu funcionamento A Figura 11 mostra uma concepccedilatildeo do esquema
de funcionamento desses tipos de reatores
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996
Este conceito de reator foi proposto desde os anos 1970 (Maniscalco et al
1974) Poreacutem dificuldades tecnoloacutegicas adiaram seu desenvolvimento pois estes
aceleradores de partiacuteculas devem ser extremamente confiaacuteveis durante a operaccedilatildeo do
reator
Os reatores hiacutebridos subcriacuteticos satildeo atraentes por proporcionar melhor
utilizaccedilatildeo dos recursos naturais e tem sido amplamente reconhecidos como sendo
altamente seguros (Rubbia et al 1995) A principal vantagem deste tipo de reator eacute a
operaccedilatildeo de um reator com fator de multiplicaccedilatildeo menor que a unidade (keff lt1) em
Acelerador
Nuacutecleo
Turbina
Condensador
Trocador de Calor
Gerador
4
que as reaccedilotildees de fissatildeo devem ser desencadeadas por um intenso feixe de
partiacuteculas carregadas aceleradas como por exemplo proacutetons ou iacuteons pesados com
energia entre 05 - 50 GeV por nucleon (Perelygin et al 1999)
Aleacutem disso o objetivo da transmutaccedilatildeo eacute a minimizaccedilatildeo de rejeitos nucleares
atraveacutes da transmutaccedilatildeo dos actiniacutedeos menores (AM) como Np Am e Cm Portanto
esses reatores devem ser carregados com combustiacutevel que contenha grandes
quantidades de AM
Para poderem realizar a transmutaccedilatildeo esses reatores utilizam necircutrons no
espectro raacutepido Isto ocorre porque nessa faixa de energia a seccedilatildeo de choque de
fissatildeo eacute mais favoraacutevel para a transmutaccedilatildeo dos AM Assim esses reatores se
caracterizam por uma baixa fraccedilatildeo de necircutrons retardados o que implica em raacutepidas e
grandes variaccedilotildees de potecircncia para uma pequena variaccedilatildeo na reatividade (Sordo et
al 2009) Segundo Rubbia et al (1996) uma mudanccedila suacutebita de +01 em um fator de
multiplicaccedilatildeo inicialmente a 095 causa um aumento na potecircncia de aproximadamente
20 Este aumento de reatividade em um reator raacutepido pode ter consequecircncias
catastroacuteficas
Para as especificaccedilotildees do feixe que deve sustentar o funcionamento do reator
Rubbia et al (1995) afirma que existe pouca ou nenhuma vantagem no uso de
partiacuteculas mais sofisticadas indicando o uso exclusivo de proacutetons no feixe de
partiacuteculas
Os reatores hiacutebridos ainda necessitam de um forte desenvolvimento o que
inclui novos combustiacuteveis e novas teacutecnicas de reprocessamento e tais programas
ainda natildeo foram totalmente desenvolvidos De qualquer forma o conceito de reator
hiacutebrido pode ser uma ferramenta potencial para obter o melhor domiacutenio da fissatildeo para
a geraccedilatildeo de energia eleacutetrica e sem o uso de reatores regeneradores raacutepidos (que
satildeo criacuteticos) que apresentam mais problemas na seguranccedila do que os reatores
subcriacuteticos (Piera et al 2010)
Inicialmente as especificaccedilotildees do feixe de partiacuteculas deveria ser capaz de
enviar proacutetons de no miacutenimo 1 GeV de energia o que implica em uma corrente de 10
agrave 15 mA Caso mais energia seja necessaacuteria pode-se usar vaacuterios feixes em paralelo
(Rubbia et al 1995)
O alvo atingido pelo feixe de partiacuteculas aceleradas pode ser o uracircnio natural ou
empobrecido o chumbo liacutequido ou outro material de alto nuacutemero atocircmico Assim os
necircutrons gerados nesta reaccedilatildeo entram no reator subcriacutetico que cerca o alvo
Mais recentemente Sordo et al (2009) afirmou que o alvo mais eficiente para
os reatores hiacutebridos eacute a liga feita de chumbo e bismuto (LBE) no estado liacutequido
bombardeado com proacutetons de energia entre 600 MeV e 1 GeV Devido a restriccedilotildees
5
termodinacircmicas os alvos de materiais soacutelidos satildeo indicados para instalaccedilotildees de baixa
potecircncia sendo pouco praacutetico para aplicaccedilotildees industriais que necessitam de potecircncias
muito maiores
O acelerador deve fornecer uma corrente de proacutetons com ampla faixa de
operaccedilatildeo pois para um reator que funcione com fator de multiplicaccedilatildeo muito menor
que a unidade deve-se evitar um desligamento natildeo programado durante seu
funcionamento
A produccedilatildeo de necircutrons na reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo determina a potecircncia teacutermica
do reator dependendo do seu niacutevel de subcriticalidade A diminuiccedilatildeo do valor do keff
devido agrave queima de combustiacutevel deve ser compensada para manter a potecircncia do
reator constante para isso pode-se aumentar a intensidade da fonte de necircutrons
Poreacutem isto induz um estresse termomecacircnico como a dilataccedilatildeo devido ao aumento
da temperatura aleacutem da maior degradaccedilatildeo natildeo soacute na estrutura do reator mas
tambeacutem e principalmente no alvo (Sordo et al 2009) O feixe de proacutetons deve ser
projetado para manter a integridade do alvo durante todo o ciclo de operaccedilatildeo
O projeto do reator hiacutebrido de pesquisa para aplicaccedilotildees de alta tecnologia
(MYRRHA) comeccedilou em 1998 pelo Centro de Pesquisas Nucleares da Beacutelgica
(SCKbullCEN) O primeiro objetivo do MYRRA seraacute demonstrar o conceito de reator ADS
a um niacutevel razoaacutevel de potecircncia e a viabilidade tecnoloacutegica da transmutaccedilatildeo de
actiniacutedeos menores e de produtos de fissatildeo de longa meia vida O MYRRHA tambeacutem
iraacute ajudar o desenvolvimento da tecnologia de ligas de chumbo necessaacuterio para os
reatores da geraccedilatildeo IV (Abderrahim et al 2005)
O reator estaacute previsto para entrar em operaccedilatildeo em 2023 e encontra-se em fase
de licenciamento sendo um dos reatores hiacutebridos com maior nuacutemero de referecircncias na
literatura Como ele pode trabalhar em modo criacutetico e subcriacutetico o MYRRHA gera uma
potecircncia entre 50 e 100 MWt O acelerador injeta proacutetons de 600 MeV no nuacutecleo do
reator e utiliza combustiacutevel tipo MOX
Apesar do grande nuacutemero de referecircncias encontradas na literatura os dados
de composiccedilatildeo de combustiacutevel paracircmetros nucleares materiais utilizados nesses
reatores e o comportamento cineacutetico satildeo escassos Por isso neste trabalho foram
utilizadas simulaccedilotildees numeacutericas pelo Meacutetodo de Monte Carlo para a avaliaccedilatildeo da
cineacutetica e dos paracircmetros nucleares desses reatores
Simulaccedilotildees computacionais de um sistema podem proporcionar importantes
informaccedilotildees para o estudo preliminar de novas tecnologias A simulaccedilatildeo pelo meacutetodo
de Monte Carlo foi escolhida pois eacute um dos meacutetodos que melhor descreve geometrias
complexas e que fornece informaccedilotildees precisas e detalhadas em trecircs dimensotildees aleacutem
de considerar a dependecircncia temporal tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
6
partiacuteculas neutras Assim o meacutetodo Monte Carlo (MC) se torna um meacutetodo atrativo
para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo MC eacute a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees de experimentos onde
os resultados satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido satildeo necessaacuterios aleacutem da simulaccedilatildeo das
partiacuteculas geradas atraveacutes da reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo coacutedigos que consigam prever a
queima do combustiacutevel Existem vaacuterios coacutedigos na literatura com esta finalidade e que
podem ser incorporados em coacutedigos mais gerais de MC
Atualmente um dos coacutedigos MC mais utilizados para simulaccedilatildeo de reatores
nucleares eacute o MCNPX (Hashemi-Nezhad et al 2002 Kadi et al 2001 Catsaros et al
2009) Este coacutedigo eacute desenvolvido pelo Laboratoacuterio Nacional de Los Alamos e
atualmente encontra-se na versatildeo 26e
O MCNPX eacute um coacutedigo MC geneacuterico de transporte de radiaccedilatildeo para modelar a
interaccedilatildeo da radiaccedilatildeo com a mateacuteria MCNPX significa Monte Carlo N-Particle
eXtended Ele estende as capacidades do MCNP4C3 a um grande nuacutemero de
partiacuteculas em uma ampla faixa de energia e para quase todas as aplicaccedilotildees sem custo
adicional de tempo computacional MCNPX faz caacutelculos tridimensionais e dependentes
do tempo Utiliza as bibliotecas mais novas de seccedilatildeo de choque nucleares aleacutem de
usar modelos fiacutesicos para as partiacuteculas que natildeo possuem dados tabulados
disponiacuteveis
O MCNPX 26e eacute capaz de realizar o caacutelculo do keff atraveacutes das geraccedilotildees de
necircutrons do fluxo de necircutrons a evoluccedilatildeo de combustiacutevel e tambeacutem calcula as
seccedilotildees de choque Poreacutem este coacutedigo natildeo permite a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees que
necessitam fonte externa de necircutrons
Atualmente um dos uacutenicos coacutedigos MC que permite a simulaccedilatildeo de um reator
controlado com fonte externa eacute o SERPENT (Leppaumlnen 2012) Este coacutedigo eacute
especiacutefico para o estudo de reatores nucleares e se encontra na versatildeo 1118
As simulaccedilotildees de MC podem fornecer importantes informaccedilotildees antes mesmo
de se iniciar a construccedilatildeo por exemplo de um reator do tipo ADS aleacutem de ter a
possibilidade de indicar quais materiais podem ser utilizados Eacute claro que a simulaccedilatildeo
natildeo substitui o experimento real mas pode ajudar a prever melhorias antes de seu
funcionamento Aleacutem disso as simulaccedilotildees podem ser utilizadas para a validaccedilatildeo de
novos meacutetodos de caacutelculo da reatividade tanto para reatores hiacutebridos quanto para
reatores teacutermicos jaacute que eacute um dos paracircmetros mais importantes em um reator
nuclear
7
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes equaccedilotildees para a cineacutetica de um reator
subcriacutetico (Gandini et al 2000 Nishihara et al 2003 Silva et al 2011) Assim com o
intuito de obter a variaccedilatildeo da reatividade para reatores subcriacuteticos obteve-se uma
expressatildeo para essa funccedilatildeo com base na cineacutetica pontual inversa para sistemas ADS
jaacute que para esses sistemas o monitoramento da reatividade eacute vital para o
funcionamento normal E ainda os reatores subcriacuteticos guiados por fonte necessitam
de uma forma de caacutelculo da reatividade mais raacutepida para evitar um ldquodesligamentordquo natildeo
programado para isso foi utilizado o meacutetodo das derivadas no caacutelculo da reatividade
uma vez que este meacutetodo natildeo necessita da informaccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
A validaccedilatildeo da expressatildeo obtida para a reatividade proposta nesta tese foi feita
atraveacutes de simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) uma vez que os dados de reatores
subcriacuteticos tipo ADS satildeo encontrados em nuacutemero reduzido na literatura
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas duas formulaccedilotildees para as equaccedilotildees da
cineacutetica subcriacutetica e as respectivas expressotildees para a cineacutetica inversa
Alguns meacutetodos de tratamento do histoacuterico de potecircncia satildeo apresentados no
Capiacutetulo 3 sendo que o meacutetodo das derivadas parciais da potecircncia nuclear eacute tratado
em detalhes
Jaacute no Capiacutetulo 4 satildeo obtidas as expressotildees da cineacutetica pontual para casos em
que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados (β) e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons (Λ)
satildeo dependentes do tempo
O capiacutetulo 5 tem-se o caacutelculo da reatividade para alguns casos particulares da
variaccedilatildeo da potecircncia nuclear com todos os paracircmetros nucleares constantes E no
Capiacutetulo 6 temos as mesmas variaccedilotildees da potecircncia nuclear com as variaccedilotildees
temporais de β e de Λ
Os fundamentos da simulaccedilatildeo Monte Carlo satildeo tratados no Capiacutetulo 7
juntamente com os meacutetodos especiacuteficos para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares
No Capiacutetulo 8 satildeo apresentados e descritos os coacutedigos Monte Carlos utilizados
neste trabalho
Jaacute no Capiacutetulo 9 satildeo apresentados os resultados obtidos da reatividade com as
expressotildees que foram apresentadas nos capiacutetulos 5 e 6
Finalmente no Capiacutetulo 10 satildeo apresentadas as conclusotildees desta tese
8
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para
Reatores Subcriacuteticos
A formulaccedilatildeo da cineacutetica pontual provou ser uma ferramenta poderosa para a
avaliaccedilatildeo da reatividade para diferentes tipos de reatores tanto em operaccedilatildeo normal
quanto na partida do reator Esta formulaccedilatildeo descreve o comportamento dos necircutrons
dentro do reator sem nenhuma dependecircncia espacial sendo que a distribuiccedilatildeo dos
necircutrons evolui de maneira pontual
As diferentes propostas para a funccedilatildeo importacircncia encontradas na literatura
resultam em diferentes equaccedilotildees da cineacutetica pontual (Gandini et al 2000 Nishihara et
al 2003 Silva et al 2011) para descrever o comportamento dos necircutrons dentro de
reatores subcriacuteticos
Para um sistema sem fonte externa de necircutrons tem-se somente uma
autofunccedilatildeo para toda a distribuiccedilatildeo de necircutrons em todos os instantes dentro do
reator Poreacutem para reatores com fonte externa esta afirmaccedilatildeo pode natildeo ser
verdadeira pois se a distribuiccedilatildeo de necircutrons for dominada pela fonte externa pode
envolver uma superposiccedilatildeo de muitas autofunccedilotildees Assim o comportamento pontual
pode ser fatorado no produto de uma funccedilatildeo da amplitude (apenas com dependecircncia
temporal) e uma funccedilatildeo de forma (sem dependecircncia temporal mas com dependecircncia
das variaacuteveis do espaccedilo de fase) (Dulla 2003)
As equaccedilotildees que descrevem o funcionamento dos reatores subcriacuteticos podem
ser obtidas a partir da equaccedilatildeo de transporte ou da equaccedilatildeo de difusatildeo (Gandini
2000) Assim as equaccedilotildees da cineacutetica espacial podem ser escritas da seguinte
maneira
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1
I
i i ext
i
r t A r t F r t c r t qv t
β λ=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum
(21)
( ) ( ) ( ) 1i i i ic r t F r t c r t i It
β λpart
= Ψ minus =part
(22)
onde v eacute a velocidade dos necircutrons iβ eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados do grupo i
e iλ eacute a constante de decaimento dos precursores de necircutrons retardados do grupo i
Nas seccedilotildees seguintes satildeo apresentados os formalismos para a cineacutetica dos
9
reatores ADS encontrados nos trabalhos de Gandini et at (2000) atraveacutes da
metodologia da teoria heuriacutestica de perturbaccedilatildeo generalizada (HGPT) e no trabalho de
Silva et al (2011) em que eacute proposto um termo adjunto de fonte (TAF) que se torna
significativo para reatores que operam longe da criticalidade
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
A funccedilatildeo importacircncia proposta por Gandini et al (2002) para o caso de
necircutrons monoenergeacuteticos isotroacutepicos meio homogecircneo e sem dependecircncia
temporal eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (Silva 2011)
( ) ( )0 0 0 0
0
0f
f
wA n r F n r
P
+ + + +minus minus Σ =
(23)
onde fw eacute a energia revertida por fissatildeo e P0 eacute a potencia nuclear sem perturbaccedilatildeo
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0n+ e integrando em r
obteacutem-se
( )0 0 0 0
1
11
I
o i i ext
i
n n A n F n c n qv t
β λ+ + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (24)
Considerando-se as seguintes perturbaccedilotildees no sistema
0 A A Aδminus rarr minus + (25)
0 F F Fδrarr + (26)
(0) ext ext extq q qδrarr + (27)
10
onde 0Aminus 0F e (0)
extq satildeo os estados estacionaacuterios natildeo perturbados
Substituindo e manipulando as equaccedilotildees (25) (26) e (27) na equaccedilatildeo (24) resulta em
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0 0
1
1
1
o
I
i i ext ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q n q
δ β
β δ λ δ
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + +sum (28)
Somando e subtraindo 0n Fβ+ Ψ na equaccedilatildeo (28) e lembrando que
(0)
0 1ext
n q+ = de acordo com Gandini (2001) vem
( )
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0
1
0 0 0
1
1 1
o
I
i i ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q
n F F n F
δ β
β δ λ
β δ β
+ minus + + +
+ + +
=
+ +
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + + +
+ Ψ minus Ψ
sum (29)
Rearranjando os termos da equaccedilatildeo acima tem-se
1
0 0 0 00
0 0 0
1
0
1
o
I
i i ext
i
n v n A n F n At
n F n c n q
n F
δ
δ λ δ
β
+ minus + + +
+ + +
=
+
partΨ = Ψ + Ψ + Ψ +
part
Ψ + + + +
minus Ψ
sum (210)
Ponderando a equaccedilatildeo (23) com Ψ obteacutem-se (Silva et al 2011)
0 0 00
0
0f
wn A n F
P
++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)
11
Substituindo a equaccedilatildeo (211) na equaccedilatildeo (210) tem-se
1
0 0 0
1
0
0
1
I
o i i
i
ext f
n v n A F n F n ct
wn q
P
δ δ β λ
δ
+ minus + + +
=
+
partΨ = + Ψ minus Ψ + +
part
minus Σ Ψ +
sum (212)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t P t rφΨ asymp
(213)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )P t eacute a potecircncia
Substituindo a aproximaccedilatildeo dada pela equaccedilatildeo (213) na equaccedilatildeo (212)
obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
n v P t r n A F P t r n F P t rt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
part= + minus +
part
+ minus Σ +sum
(214)
Como bull eacute uma integraccedilatildeo no espaccedilo pode-se escrever
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
+ minus Σ +sum
(215)
Sendo 0 0f
P w φ= Σ tem-se
12
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
1
o
I
i i ext
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
n c P t n q
φ δ δ φ β φ
λ δ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus + +sum
(216)
Dividindo a equaccedilatildeo (216) por
0 0 I n F φ+= (217)
a equaccedilatildeo (216) pode ser escrita da seguinte forma
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1 I
n n n n n
eff eff i i
i
dP tP t C t P t Q
dtρ β λ ζ
=
Λ = minus + + minus + sum (218)
sendo
( )1
0
o
n
eff
n v r
I
φ+ minus
Λ equiv
(219)
( )0 0
nn A F r
I
δ δ φρ
+ +equiv
(220)
( )0 0
n
eff
n F r
I
β φβ
+
equiv
(221)
( )0
in
i
n cC t
I
+
equiv (222)
1
I
ζ equiv (223)
0
extn
n qQ
I
δ+
equiv (224)
13
onde nρ eacute uma reatividade generalizada nQ eacute o valor da fonte externa ( )n
iC t eacute a
concentraccedilatildeo de precursores e ζ eacute um termo de subcriticalidade inserido pela funccedilatildeo
importacircncia
Agora ponderando a equaccedilatildeo (22) com 0n+ e dividindo pelo o fator de
normalizaccedilatildeo dado pela equaccedilatildeo (217) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) n n n
i i eff i i
dC t P t C t
dtβ λ= minus (225)
onde
0 0
in
i eff
n F
I
β φβ
+
equiv (226)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
proposta por Gandini et al (2000) considerando um grupo de precursores de
necircutrons eacute escrito da seguinte maneira
( )
( ) ( ) ( )( ) 1n
n n
dP tt P t C t P t q
dtρ β λ ζ Λ = minus + + minus + (227)
( )( )
( )n
dC tP t C t
dtβ λ= minus
(228)
onde ( )nP t eacute a potecircncia normalizada β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados ζ eacute o
iacutendice de subcriticalidade (que tende agrave zero quando o sistema se a proacutexima da
criticalidade) ( )ρ t eacute a reatividade generalizada do sistema ( )C t eacute a concentraccedilatildeo de
precursores e Λ tempo de geraccedilatildeo meacutedio de necircutrons
14
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Na funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011) existe um termo de
fonte adjunto que se torna significativo para os sistemas que estatildeo longe de
criticalidade Portanto a equaccedilatildeo da funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011)
foi
( ) ( )dagger
0 0 0 0
0
1
f
sub
A r F rk N
νε ε η+ + +
Σminus =
(229)
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0ε + e integrando em r
obteacutem-se
( )1
0 0 0 0
1
1 I
o i i ext
i
v A F c qt
ε ε ε β λ ε ε+ minus + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (230)
Realizando uma perturbaccedilatildeo no sistema da seguinte maneira
0 A A Aδminus rarr minus + (231)
0
1
sub
F F Fk
δrarr + (232)
Substituindo as equaccedilotildees (231) e (232) na equaccedilatildeo (230) e rearranjando os
termos vem
( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1
11
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q
ε ε ε δ ε β
ε β δ λ ε ε
+ minus + + +
+ + +
=
partΨ = minus Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + +sum
(233)
15
Somando e subtraindo 0 Fε β+ Ψ na equaccedilatildeo (233) e utilizando a equaccedilatildeo
(232) pode-se escrever
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q F
ε ε δ ε ε
ε δ λ ε ε ε β
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + minus Ψ + Ψ +
part
Ψ + + minus Ψsum
(234)
Agora ponderando-se a equaccedilatildeo (229) com ( )r tΨ
podemos escrever
segundo Silva (2011)
0 0 0 0
0
1
f
sub
A Fk N
νε ε η+ +minus Ψ + Ψ = minus Σ Ψ (235)
Substituindo a equaccedilatildeo (235) na equaccedilatildeo (234)
1
0 0
0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
v A F Ft
c qN
ε ε δ δ ε β
νλ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
partΨ = + Ψ minus Ψ +
part
minus Σ Ψ +sum (236)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t N t rφΨ asymp
(237)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )N t eacute a densidade necircutrons tem-se substituindo
a equaccedilatildeo (237) na equaccedilatildeo (236)
16
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t qN
ε φ ε δ δ φ ε β φ
νλ ε η φ ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus Σ +sum (238)
e como 0 0f
N ν φ= Σ pode-se escrever a equaccedilatildeo (238) da seguinte maneira
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
o
I
i i ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t q
ε φ ε δ δ φ ε β φ
λ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus +sum (239)
Dividindo a equaccedilatildeo (239) por 0oI Fε φ+= obteacutem-se
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
I
eff i i
i
dN tN t C t N t q
dtρ β λ
=
Λ = minus + minus Γ +sum (240)
onde
1
0
o
eff
v
I
ε φ+ minus
Λ equiv (241)
0 0
A F
I
ε δ δ φρ
+ +equiv (242)
0 0
eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (243)
( )0
i
i
cC t
I
ε +
equiv (244)
0
ext
I
ε +
equiv (245)
I
ηΓ equiv (246)
sendo ρ eacute uma relatividade generalizada Q eacute um termo relacionada agrave fonte externa
Γ um termo de subcriticalidade e ( )iC t eacute a concentraccedilatildeo de precursores
17
Procedendo de maneira anaacuteloga para a equaccedilatildeo (22) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) i i eff i i
dC t N t C t
dtβ λ= minus (247)
onde
0 0
i
i eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (248)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
segundo Silva (2011) eacute escrito como
( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ minus Γ + Σ (249)
( )
( ) ( )f
dC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
sdotΣ (250)
onde ϖ eacute a energia meacutedia liberada por fissatildeo Σ f eacute a seccedilatildeo de choque macroscoacutepica
de fissatildeo e β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
23 Cineacutetica Inversa
Usualmente o controle de um reator nuclear eacute feito atraveacutes do monitoramento
da reatividade o que torna o meacutetodo da cineacutetica inversa relevante A reatividade eacute
caracterizada por uma mudanccedila no fator de multiplicaccedilatildeo do reator o que o torna um
dos paracircmetros mais importantes em fiacutesica de reatores Nas seccedilotildees seguintes seratildeo
apresentadas as equaccedilotildees para o caacutelculo da reatividade
18
231 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Para obter-se a expressatildeo da cineacutetica pontual inversa eacute necessaacuterio resolver as
equaccedilotildees (227) e (228) Partindo da equaccedilatildeo (228) e utilizando meacutetodo do fator
integrante obteacutem-se
( ) ( )( )
t
t t
nC t P t e dt
λβ minus minus
minusinfin
= int (251)
Substituindo a equaccedilatildeo (251) na equaccedilatildeo (227) vem
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )( )1
tnt tn n
n
P tdP t P tt P t e dt Q
dt
λζλβ
ρ β minus minus
minusinfin
minus= minus + + +
Λ Λ Λint (252)
onde Q qequiv Λ eacute o termo de fonte de necircutrons Resolvendo a equaccedilatildeo (252) para
( )tρ tem-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )
0
0
1
ttt tn
n
n n n
n
n n
dP t P et P t e dt
P t dt P t P t
P t Q
P t P t
λλβ λβ
ρ β
ζ
minusminus minusΛ
= + minus minus
minus Λminus minus
int (253)
onde P0 = P(0)
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga a seccedilatildeo anterior e partindo das equaccedilotildees
(249) e (250) propostas por Silva et al encontra-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t
t ttdP t P Q
t e e P t dtP t dt P t P t P t
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus minusint (254)
19
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico
de Potecircncia
Existem vaacuterios meacutetodos de tratamento para a soluccedilatildeo ou aproximaccedilatildeo do
histoacuterico de potecircncia Esses meacutetodos visam diminuir o tempo de caacutelculo
computacional sem que seja introduzido um erro muito grande e podem envolver ou
natildeo uma fonte externa de necircutrons
A mediccedilatildeo da reatividade a partir da cineacutetica inversa permite que seu valor seja
analisado a cada instante pela variaccedilatildeo temporal do niacutevel de potecircncia do reator
(Ansari et al 2001)
Devido ao grande interesse nos reatores ADS apenas os meacutetodos que
envolvem fontes externas seratildeo apresentados sendo que o uacutenico que seraacute detalhado
eacute o meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear
31 Meacutetodo de Agrupamento
Na partida do reator a contribuiccedilatildeo da fonte externa de necircutrons deve ser
considerada Assim Hoogenboom et al (1998) escrevem a equaccedilatildeo da cineacutetica
inversa como
( )( )
( ) ( )( )
1 i
t t t
i i
i
c St e P t dt
P t P t
λρ β β λ minus minus
minusinfin
Λ= minus minussum int (31)
A integral da equaccedilatildeo (31) pode ser calculada recursivamente atraveacutes de
amostragens de P(t) usando interpolaccedilatildeo linear entre duas amostras consecutivas
Pn-1 = P(tn -1) e Pn = P(tn) separadas por um intervalo t∆ Portanto
20
( ) ( )
1
1
1 1
1
in
i n i
i
i
tt t t t n
n n
i i
ttn
i i
P eI e P t dt e I
t
P ee
t
λλ λ
λλ
λ λ
λ λ
minus ∆minus minus minus ∆
minusminusinfin
minus ∆minus ∆minus
minus= = + minus
∆
minusminus minus
∆
int (32)
Introduzindo a seguinte funccedilatildeo
( ) ( ) ( ) i
t t t
i i
i
g t e P t dtλβ λ minus minus
minusinfin=sum int (33)
e reescrevendo a equaccedilatildeo (31) em funccedilatildeo de ( )g t tem-se
( )( )( ) ( )
Sg t
tP t P t
ρρ β= minus minus (34)
Para um reator subcriacutetico com potecircncia constante na presenccedila de fonte
externa de necircutrons (S) obteacutem-se
ou S S
PP
ρ ρρρ
= minus = minus (35)
Este meacutetodo pode ser resumido nos seguintes passos
No intervalo desejado divide-se as seacuteries de P(t) e g(t) em trecircs grupos de
mesma duraccedilatildeo
1 Calcula-se os conjuntos de valores de cada um dos grupos ( )1 1P g
( )2 2P g e ( )3 3
P g
2 Estima-se os valores do gradiente ( )β ρminus e o interseccedilatildeo ( )Sminus Λ atraveacutes
de
( ) 3 1
3 1
g g
P Pβ ρ
minusminus =
minus (36)
( ) ( ) S g Pβ ρminus Λ = minus minus (37)
21
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada
Neste meacutetodo Kitano et al (2000) escreve a expressatildeo da reatividade como
( )( )
( )( )
( ) ( )( )6
1
i i
i
S t dP tt C t
P t P t P t dtρ β λ
=
ΛΛ Λ= minus minus +sum (38)
Segundo o autor o termo ( )
( )dP t
P t dt
Λ pode ser negligenciado pois o erro
inserido eacute menor que 1 para um amplo intervalo de reatividade Portanto a equaccedilatildeo
(38) eacute escrita como
( )( )
( )( )
( )
6
1
i i
i
S tt C t
P t P tρ β λ
=
ΛΛ= minus minussum (39)
Por conveniecircncia computacional a equaccedilatildeo da concentraccedilatildeo de precursores
pode ser escrita da seguinte forma (Kitano et al 2000)
( ) ( ) ( ) 16ii i i iC t t P t C t C t t i
βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =
Λ (310)
onde P e iC satildeo os valores meacutedios para o incremento de tempo t∆
Portanto a equaccedilatildeo (39) pode ser escrita na seguinte forma
( ) ( ) ( ) ( )6
1
i i
i
g t C t S P tλ β ρ=
equiv Λ = minus Λ + minussum (311)
onde a fonte de necircutrons (S) e a reatividade satildeo constantes Esta equaccedilatildeo pode ser
considerada como uma equaccedilatildeo linear de P(t)
Considerando que o sinal da potecircncia tenha um grande erro principalmente na
operaccedilatildeo em baixa potecircncia pode-se aplicar filtros para ruiacutedo de alta frequecircncia e
tambeacutem de baixa frequecircncia da seguinte forma
22
1
1 N
i j
j
P PN =
= sum (312)
e
( )1 1 i i i i
tP P P P
t τminus minus
∆= + minus
∆ + (313)
onde Pj eacute a medida da potecircncia medida iP eacute a potecircncia meacutedia e N eacute o nuacutemero de
amostras τ eacute a constante de tempo e i
P eacute a saiacuteda da equaccedilatildeo (313)
A introduccedilatildeo da memoacuteria baacutesica indexada eacute segundo os autores um novo
ldquotermocircmetrordquo para diagnosticar um transiente sendo definido por
[ ] 1 1
6
1
1
i i
i
CM I
C
λ β
βλ
=
equiv
sum (314)
A memoacuteria baacutesica indexada (MI) eacute a normalizaccedilatildeo das emissotildees de necircutrons
retardados do primeiro grupo sobre o total de emissotildees de necircutrons retardados Note
que a MI assume valor unitaacuterio quando o reator estaacute em estado estacionaacuterio Assim
ela pode ser usada para detectar o iniacutecio e o final de um transiente para a aplicaccedilatildeo do
meacutetodo de grupo
23
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da
intensidade da fonte externa
A equaccedilatildeo da cineacutetica inversa escrita com uma discretizaccedilatildeo no tempo e
assumindo que a potecircncia do reator varia com ( ) 1jt
jn t n emicro
minus= onde
( )1log j j j
n n tmicro minus= ∆ eacute dada por (Tamura 2003)
6
1
j
j eff i i j
ij j j
nC S
n t n nρ β λ
=
∆Λ Λ Λ= + minus minus
∆sum (315)
onde
1
1 1
i
i
t
j jt ii j i j
j
i
j
n n eC C e
n
n t
λ
λ β
λ
minus ∆minusminus ∆
minus
minus= +
∆Λ+
∆
(316)
Note que o subiacutendice j representa os valores no tempo j e S eacute a fonte externa
de necircutrons
Considerando as seguintes condiccedilotildees iniciais
( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)
e
0 0 S nρ = minusΛ (318)
tanto a reatividade ρ quanto a fonte S satildeo obtidas pelo meacutetodo dos miacutenimos
quadrados (Diacuteaz 2007)
24
34 Meacutetodo das Derivadas
As equaccedilotildees (253) e (254) obtidas no capiacutetulo anterior envolvem a mesma
integral em funccedilatildeo da potecircncia do reator Esta integral tambeacutem chamada de histoacuterico
de potecircncia deve ser calculada desde o iniacutecio da operaccedilatildeo do reator ateacute o tempo atual
de maneira contiacutenua ou seja exige monitoramento constante da potecircncia Aleacutem disso
o armazenamento desta informaccedilatildeo eacute necessaacuterio durante toda operaccedilatildeo do reator
para possibilitar a recuperaccedilatildeo da informaccedilatildeo da reatividade caso ocorra uma
interrupccedilatildeo em seu caacutelculo
Para o caso dos reatores subcriacuteticos o monitoramento contiacutenuo da reatividade
eacute imprescindiacutevel para seu funcionamento normal Como a produccedilatildeo de necircutrons eacute
insuficiente para manter as reaccedilotildees nucleares nesses reatores a reatividade pode ser
um paracircmetro utilizado para o monitoramento e ajuste da intensidade do feixe de
proacutetons para manter as reaccedilotildees nucleares produccedilatildeo de energia eleacutetrica constante
durante a operaccedilatildeo do reator
O meacutetodo das derivadas estaacute baseado na integraccedilatildeo por partes da integral do
histoacuterico de potecircncia da equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa resultando em uma seacuterie
de potecircncias em funccedilatildeo da potecircncia nuclear do reator com dependecircncia temporal
(Diacuteaz 2007) Este meacutetodo de caacutelculo da reatividade permite a possibilidade do reiniacutecio
do caacutelculo apoacutes sua interrupccedilatildeo causada por um problema no funcionamento do
equipamento de mediccedilatildeo ou seja com este meacutetodo natildeo eacute necessaacuterio um caacutelculo
contiacutenuo Aleacutem disso pode-se obter a reatividade sem a dependecircncia da memoacuteria da
potecircncia nuclear o que torna o caacutelculo mais raacutepido se comparado ao tempo necessaacuterio
para a resoluccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
Para a obtenccedilatildeo da expressatildeo do meacutetodo das derivadas deve-se resolver a
integral da equaccedilatildeo (254) ou da equaccedilatildeo (253) por partes Assim obteacutem-se
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tP t P e
I t e P t dt P t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (319)
onde P(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (319) tem-se
25
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2
2 2 2
0
0 0 1
t t tt tP t P e P t P e
I t P t e dt
λ λλ
λ λ λ λ λ
minus sdot minus sdotminus sdot minus
= minus minus + minus int (320)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (320) por partes obteacutem-se
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
2 2
3
3 3 3
0
0 0
1
t t
t tt t
P t P e P t P eI t
P t P t eP t e dt
λ λ
λλ
λ λ λ λ
λ λ λ
minus minus
minusminus minus
= minus minus + +
minus minus int
(321)
Aplicando esta soluccedilatildeo n vezes podemos escrever
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1 10 0 0
0 1 1
n n k t tt tk kn n
n n kn n
P t P e P t eI t dt
λλ
λ λ λ
+ minus minusminus
+ + += =
= minus minus minus minussum sum int (322)
ou ainda
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(323)
341 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2m-1 assim a equaccedilatildeo (323) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
m t tt tt t
m
n n tm mn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(324)
26
Supondo que a forma de P(t) satisfaccedila agraves condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n P tP t P t
P t
minus
minus
=
(325)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n P tP t P t
P t
=
(326)
onde ( ) ( )
( )
2
P t
cte tP t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial entre outras
Substituindo a equaccedilatildeo (326) na equaccedilatildeo (324) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
m
n nm m
n n t
n nn n
P te P t dt P t e dt
P t
P t P t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(327)
Como ( ) ( )
( )
2P t
cteP t
= podemos escrever a equaccedilatildeo (327) como
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 1 2 1
1 10 00
1 11
n n nt m mt t n n t
n nn n
P te P t dt P t P t e
P t
λ λ
λ λ
minus minusminus minus minus sdot
+ += =
minus minus minus = minus
sum sumint
(328)
Logo
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e P t dt S t S tλminus minus
= +int (329)
27
sendo
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
nm
n
nnn
S P t
P t
P t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (330)
e
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
nm
n t
nnn
S P t e
P t
P t
λ
λ
minusminus sdot
+=
minusequiv minus
minus
sum (331)
Analisando inicialmente a equaccedilatildeo (330) pode-se escrever o seu somatoacuterio
da seguinte forma
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nm m mn
n n nn n n
P t P tP t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (332)
Utilizando as equaccedilotildees (325) e (326) na equaccedilatildeo (332) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
11 22 1 1
1 2 20 0
1
nnm m
n
nn n
P t P t P tP t
P tλ λ λ λ
minusminus minus
+= =
minus = minus
sum sum (333)
Lembrando que
( )1
0
1
1
mm
n
n
a rar
r
+
=
minus=
minussum (334)
identificando ( ) ( )
( )
2
2
P tr
P tλ= e a =1 na equaccedilatildeo (333) vem
28
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nm
n
nn
P t
P tP t P tP t
P t
P t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (335)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (335) na equaccedilatildeo (330) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
22
22
1 22
22
1
11
n
n
P tP t P t
P tS
P tP t
P tP t
λλ λ
λλ
minus minus = minus minus
(336)
Simplificando e rearranjando os termos da equaccedilatildeo (336) chega-se a
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
P t P tS P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (337)
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (331) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tP PS P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (338)
Finalmente podemos escrever a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo
329) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
e P t dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (339)
29
342 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par entatildeo k=2m-2 assim a equaccedilatildeo (323) torna-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t t
t t m t t
m
n n tm mn n
n nn n
P t e dt P t e dt
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(340)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (325) vem
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
12
1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
mt t
t t t t
m
n n tm mn n
n nn n
P tP t e dt P t e dt
P t
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus
minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(341)
Da equaccedilatildeo (319) pode-se escrever
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
0 0
0
t tt t t tt
P t e dt P t P e e P t dtλ λλ λminus minus minus minusminus sdot= minus minusint int (342)
Substituindo a equaccedilatildeo (342) na equaccedilatildeo (341) e rearranjando os termos
obteacutem-se
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt mt t n n t
m nn
mn n t
m m
P t e dt P t P e
P t
P t
P t P e P t
P tP t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(343)
Desenvolvendo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (343) tem-se
30
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
P t e dt S t S tλminus sdot minus
= minusint (344)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nm
n
m nn
S t P t
P t
P t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (345)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nm
n t
m nn
S t P e
P t
P t
λ
λ
λ
minusminus sdot
minus +=
minusequiv
minus
sum (346)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior eacute faacutecil mostrar que
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
P t P tS t P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (347)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tP PS t P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (348)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k que o histoacuterico de
potecircncia eacute dado pela seguinte expressatildeo
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t t
P t P t P Pe P t dt P t P e
P t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (349)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo Sendo assim a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo 319)
pode ser escrita da seguinte forma
31
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
P t e dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
sdotminus minus= minus
minus minusint (350)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa baseada na formulaccedilatildeo
proposta por Gandini (2001) equaccedilatildeo (252) como
( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
tnn
n n n n
n n n n
n n
n n n n n
t
P tdP t P e Qt
P t dt P t P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ= + minus minus minus minus
minus minus minus
minus minus
(351)
E para o formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se substituindo a
equaccedilatildeo (350) na equaccedilatildeo (254) a expressatildeo para a reatividade sem a dependecircncia
do histoacuterico de potecircncia
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
dP t P Qt e
P t dt P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
βρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + Γ + minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(352)
32
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com
dependecircncia temporal de β e Λ
Nas seccedilotildees anteriores as mudanccedilas da composiccedilatildeo do combustiacutevel nuclear
natildeo foram levadas em consideraccedilatildeo Essas mudanccedilas podem levar a caacutelculos
discrepantes da reatividade quando comparados a mediccedilotildees experimentais nos
reatores Aleacutem disso conhecer com precisatildeo o valor da reatividade contribui com a
melhora do desempenho da central nuclear
Assim nesta seccedilatildeo as dependecircncias temporais da fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons seratildeo consideradas para o
caacutelculo da reatividade tanto na formulaccedilatildeo proposta por Gandini et al (2000) quanto
na formulaccedilatildeo proposta por Silva et al (2011) Os demais paracircmetros nucleares
permaneceratildeo constantes pois suas variaccedilotildees satildeo pouco significativas (Scall 2010)
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
As equaccedilotildees propostas por Gandini et al (2000) com dependecircncia temporal da
fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons eacute dada por
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n
n n
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λ ζΛ = minus + + minus + (41)
( ) ( )( )
( )n
dC tt P t C t
dtβ λ= minus
(42)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo 231 pode-se escrever partindo da
equaccedilatildeo (42) que a concentraccedilatildeo de precursores eacute dada pela seguinte expressatildeo
( ) ( ) ( ) ( )
t t t
nC t t P t e dtλβ minus minus
minusinfin= int (43)
33
Substituindo a equaccedilatildeo (43) na equaccedilatildeo (41) obteacutem-se a seguinte expressatildeo
para a reatividade
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
0
0
1
t t tn t
n n n
n
n
t dP t At t e A t e dt
P t dt P t P t
P t t Q t
P t P t
λλλ λρ β
ζ
minus minusminusΛ= + minus minus
minus Λ minus minus
int
(44)
onde ( ) ( )nA t P tβequiv e ( ) ( )Q t q tequiv Λ
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
As equaccedilotildees da cineacutetica propostas por Silva et al (2011) com dependecircncia
temporal de Λ e β satildeo
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ + Γ + Σ (45)
( )( )
( ) ( )f
tdC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
Σ (46)
Resolvendo a equaccedilatildeo (46) pelo o meacutetodo do fator integrante obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( )1
t t t
f
C t t P t e dtλβ
ωminus minus
minusinfin=
Σ int (47)
Substituindo a equaccedilatildeo (47) na equaccedilatildeo (45) chega-se a expressatildeo da
reatividade com dependecircncia temporal de β e Λ
34
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t t ttt dP t A
t t e A t e dtP t dt P t P t
t Q t
P t
λλλ λρ β minus minusminusΛ
= + minus minus
ΛminusΓ minus
int (48)
onde ( ) ( ) ( )A t t P tβequiv e ( ) ( ) fQ t q tωequiv Σ Λ
43 Meacutetodo das Derivadas para
Dependecircncia Temporal de β e de Λ
De acordo com a seccedilatildeo 34 a integral das equaccedilotildees (44) e (48) podem ser
resolvidas por partes assim obteacutem-se (Scal 2012)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tA t A e
I t e A t dt A t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (49)
onde A(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (49) por partes n vezes pode-se escrever
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
A t ee A t dt dt
A t A e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(410)
35
431 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2j-1 assim a equaccedilatildeo (410) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
j t tt tt t
j
n n tj jn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minus sdotminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(411)
Admitindo que a forma de A(t) satisfaccedila as condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n A tA t A t
A t
minus
minus
=
(412)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n A tA t A t
A t
=
(413)
onde ( ) ( )
( )
2
A t
cte tA t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial
Substituindo as condiccedilotildees (412) e (413) na equaccedilatildeo(411) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
k
n nj jn n t
n nn n
A te A t dt A t e dt
A t
A t A t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(414)
ou ainda
36
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e A t dt S t S tλminus minus
= +int (415)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
njn
nnn
S t A t
A t
A t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (416)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
njn t
nnn
S t A t e
A t
A t
λ
λ
minusminus
+=
minusequiv minus
minus
sum (417)
Reescrevendo o somatoacuterio da equaccedilatildeo (416) tem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nj j jn
n n nn n n
A t A tA t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (418)
Utilizando as condiccedilotildees (412) (413) e recordando da relaccedilatildeo (334) pode-se
escrever
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nj
n
nn
A t
A tA t A tA t
A t
A t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (419)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (419) na equaccedilatildeo (416) obteacutem-se apoacutes
simples manipulaccedilotildees algeacutebricas
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
A t A tS A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (420)
37
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (417) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tA AS A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (421)
Finalmente pode-se escrever a equaccedilatildeo (49) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (422)
432 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par k+1 = 2j-1 entatildeo k=2j-2 assim a equaccedilatildeo (410) torna-
se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t tt t j t t
j
n n tj jn n
n nn n
A t e dt A t e dt
A t A e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(423)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (412) e lembrando-se da equaccedilatildeo (49)
pode-se escrever a equaccedilatildeo (423) como
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt jt t n n t
j nn
jn n t
j j
A t e dt A t A e
A t
P t
A t A e A t
A tA t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus sdot minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(424)
38
Abrindo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (424) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
A t e dt S t S tλminus minus
= minusint (425)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nj
n
j nn
S t A t
A t
A t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (426)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nj
n t
j nn
S t A e
A t
A t
λ
λ
λ
minusminus
minus +=
minusequiv
minus
sum (427)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior tem-se
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
A t A tS t A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (428)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tA AS t A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (429)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (430)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo assim a equaccedilatildeo (49) pode ser escrita da seguinte forma
39
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
A t e dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus sdot minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (431)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa com
dependecircncia temporal de β e Λ baseada na formulaccedilatildeo proposta por Gandini (2001)
(equaccedilatildeo 44) como
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
nn t
n n n n
n
t
P tt dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
ζλρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ = + minus minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(432)
Para o formalismo proposto por Silva et al (2011) equaccedilatildeo (48) tem-se
( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
t dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
λρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + minus minus Γ minus
minus minus minus minus
minus minus
(433)
40
5 Caacutelculo da reatividade para algumas
variaccedilotildees da potecircncia nuclear
51 Potecircncia Linear
511 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Durante a partida de um reator nuclear a sensibilidade do sistema de mediaccedilatildeo
pode natildeo identificar o aumento da potecircncia assim uma inserccedilatildeo de reatividade brusca
causaraacute um crescimento instantacircneo da potecircncia podendo causar um acidente no
circuito primaacuterio (Zhang et al 2008)
Para contornar esse problema deve-se inserir a reatividade de maneira suave
ateacute que o reator chegue alcance a sua potecircncia de operaccedilatildeo Para isto consideramos
uma variaccedilatildeo linear da potecircncia da forma
( ) 0 nP t P wt= + (51)
a uma taxa 0001w = Substituindo a equaccedilatildeo (51) na equaccedilatildeo (253) pode-se
escrever
( )( )
( ) ( ) ( )( )
0 0
0 0
0
0
0 0 00
1
t
tt t
d P wt P et
P wt dt P wt
P wt QP wt e dt
P wt P wt P wt
λ
λ
βρ β
ζλβ
minus
minus minus
+Λ= + minus
+ +
minus + Λminus + minus minus
+ + +int
(52)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (52)vem
41
( )
( ) ( )( )( )
0
0 0
0
0 0 0 0
1
t
P wtwt
P wt P wt
P wtw we Q
P wt P wt P wt P wt
λ
λβρ β
λ
ζβ β
λ λ
minus
+Λ = + minus +
+ +
minus + Λminus minus minus
+ + + +
(53)
Reescrevendo a equaccedilatildeo (53) obteacutem-se
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(54)
Utilizando o meacutetodo das derivadas podemos escrever
( )( )( )
( )
00
0 0 0
0 0
0 0
1
t
t
P wtPwt e
P wt P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
minus +Λ= + minus minus
+ + +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(55)
Manipulando a equaccedilatildeo (55) vem
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(56)
Pode-se observar que a soluccedilatildeo encontrada pelo meacutetodo das derivadas
equaccedilatildeo (56) eacute exatamente a mesma que a soluccedilatildeo encontrada atraveacutes da resoluccedilatildeo
do histoacuterico de potecircncia equaccedilatildeo (54)
42
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Analisando o comportamento da reatividade atraveacutes da variaccedilatildeo linear da
potecircncia tem-se fazendo ( ) 0P t P wt= + na equaccedilatildeo (254)
( ) ( ) ( )00
0 0 0 00
tt ttPw Q
t e e P wt dtP wt P wt P wt P wt
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus + minus+ + + +int
(57)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (57) obteacutem-se
( )( )0 0 0
( ) 1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λ βρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(58)
Utilizando-se o meacutetodo das derivadas tem-se
( )
( )
0
0 0
0 0
0 0
t
t
Pwt e
P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
βρ β
λ λβ
λ λ
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
+ +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(59)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )0 0 0
1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λβρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(510)
Novamente as expressotildees encontradas pela a soluccedilatildeo da integral do histoacuterico
de potecircncia equaccedilatildeo (58) eacute exatamente a mesma que a expressatildeo final utilizando o
meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (510)
43
52 Potecircncia Constante
Todo reator nuclear eacute projetado para operar em determinado niacutevel de potecircncia
nuclear ou seja durante sua operaccedilatildeo normal o reator funciona a uma potecircncia
constante Assim eacute importante avaliar o comportamento da reatividade de um reator
nessas condiccedilotildees
521 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Entatildeo sendo Pn(t) = P0 o segundo termo da equaccedilatildeo (253) desaparece e
assim pode-se escrever
( ) ( ) ( ) 0
0 00
1
t
t ttP Q
t e e dtP P
λλ ζρ β β λβ minus minusminus minus Λ
= minus minus minus minusint (511)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (511) obteacutem-se
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (512)
Aplicando o meacutetodo das derivadas tem-se
( )( )0
0
0 00 0
0 0 0 0
1
t
t
Pt e
P
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ζρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minus= minus minus
Λminus minus
(513)
Assim vem
44
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (514)
Mais uma vez observa-se que as equaccedilotildees finais para a reatividade para
potecircncia constante satildeo idecircnticas tanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia
equaccedilatildeo (512) quanto utilizando o meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (514)
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Avaliando a operaccedilatildeo do reator a uma potecircncia constante ou seja substituindo
P(t) = P0 na equaccedilatildeo (254) tem-se
( ) ( )
00
tt tt Q
t e e dtP
λλρ β β λβ minus minusminus Λ= + Γ minus minus minusint (515)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (515) tem-se segundo o
formalismo de Silva et al
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (516)
Jaacute atraveacutes do uso do meacutetodo das derivadas obteacutem-se
( )
0 00 0
0 0 0 0
t
t
t e
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
= + Γ minus minus
Λminus minus
(517)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias temos
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (518)
45
Novamente observa-se que as equaccedilotildees (516) e (518) para a reatividade satildeo
idecircnticas independente do meacutetodo de soluccedilatildeo abordado
53 Potecircncia Exponencial
531 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Outra variaccedilatildeo caracteriacutestica da potecircncia nuclear eacute a forma exponencial
Assim supondo uma variaccedilatildeo deste tipo para potecircncia na equaccedilatildeo (253) pode-se
avaliar o comportamento cineacutetico do reator Nessas condiccedilotildees substituindo
( ) 0
tP t P e
α= na equaccedilatildeo (253) obteacutem-se
( ) ( )
( )
( )
0
0
0 0
1
ttt t
t
t t
t e e e dt
P e Q
P e P e
α λλ α λ
α
α α
ρ β α β λβ
ζ
+minus + minus
minus sdot
= + Λ minus minus minus
minus Λminus
int (519)
Resolvendo a integral tem-se
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus sdot
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(520)
Agora pelo meacutetodo das derivadas podemos escrever
46
( )( )00 0
0 0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
1
tt t
t t t
t tt t
t t t t
P eP e P et
P e P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
αα λ
α α α
α αα λ
α α α α
ζα βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minusminus
minus
minusΛ= + minus minus
minus minus Λ minus minus minus
minus minus
(521)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(522)
As expressotildees obtidas utilizando-se tanto o meacutetodo das derivadas quando
resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia satildeo idecircnticas
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior e substituindo uma variaccedilatildeo
exponencial temos para o formalismo de Silva et al (2011)
( ) ( ) ( )
00
tttt
t t
e Qt e e dt
e P e
λα λλ α
α α
λβρ β α β
minus+minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus minusint (523)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (523) vem
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(524)
Novamente utilizando o meacutetodo das derivadas obteacutem-se
47
( ) 0 0
0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
t t
t t
t tt t
t t t t
P e P et
P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
α λ
α α
α αα λ
α α α α
α βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
minus minus Λ minus minus
minus minus
(525)
Manipulando a equaccedilatildeo acima chega-se agrave
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(526)
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
Nesta seccedilatildeo seraacute avaliado o comportamento das equaccedilotildees da cineacutetica pontual
para sistemas subcriacuteticos em caso de funcionamento anormal do reator Inicialmente o
reator seraacute avaliado com uma rampa da potecircncia depois operando em uma queda
suacutebita de potecircncia e em outros momentos pode ocorrer uma grande elevaccedilatildeo de
potecircncia Para isso a variaccedilatildeo da potecircncia foi simulada durante seis horas da
seguinte maneira
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(527)
onde w1 = 0001 Ws w2=001 Ws w4 = 0005 Ws w5=0005 Ws
Portanto admitindo que em todas as variaccedilotildees de potecircncia pode-se utilizar o
resultado da seccedilatildeo 511 assim para o formalismo proposto por Gandini agrave reatividade
se escreve da seguinte forma
48
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 0 11
0 1 0 1 0 1 0 1
2 0 22
0 2 0 2 0
1 1 0 1
1 2
1 1( )
t
t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
t h
e w P w twt
P w t P w t P
λ
λ
β ζ
λ
ζ
β ζρ
λ
minus
minus
minus minus +Λ Λ+ minus minus lt le
+ + + +
minus lt le
minus sdot minus +Λ= + minus
+ + +
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 0 2
4 0 44
0 4 0 4 0 4 0 4
5 0 55
0 5 0 5 0 5 0 5
2 4
1 1 4 5
1 1 5 6
t
t
Qt h
w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
λ
λ
β ζ
λ
β ζ
λ
minus
minus
Λ
minus lt le+
minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + + minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + +
(528)
Jaacute para o formalismo proposto por Silva et al tem-se utilizando o resultado da
seccedilatildeo 512
( )( )
( )( )
( )
1 1
0 1 0 1 0 1
2 2
0 2 0 2 0 2
4
0 4
1 0 1
1 2
( ) 1 2 4
1
t
t
t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
t h
w w Qt e t h
P w t P w t P w t
we
P w t
λ
λ
λ
β
λ
βρ
λ
β
minus
minus
minus
Λ ΛΓ + + minus minus lt le
+ + +
Γ lt le
Λ Λ= Γ + + minus minus lt le
+ + +
ΛΓ + + minus
+ ( )
( )( )
4
0 4 0 4
5 5
0 5 0 5 0 5
4 5
1 5 6t
w Qt h
P w t P w t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
λ
λ
β
λminus
Λ
minus lt le+ +
Λ ΛΓ + + minus minus lt le+ + +
(529)
49
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com
Dependecircncia temporal de β e Λ
Neste capiacutetulo seraacute suposto que tanto a fraccedilatildeo de necircutrons retardados quanto
e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente de acordo com
( ) 0t Btβ β= + (61)
e
( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)
onde o coeficiente linear β0 tem valor 000706 o coeficiente angular B eacute -217857 x 10-
7 pcm Jaacute os valores dos coeficientes da variaccedilatildeo do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de
necircutrons satildeo Λ0 = 11661 x 10-5 s e c = -714286 x 10-10 s
61 Potencia Linear
611 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
No processo de obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo (56) natildeo foi considerado nenhuma
variaccedilatildeo temporal dos paracircmetros β e Λ Para se ter um resultado mais proacuteximo do
funcionamento real de um reator considera-se agora que a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente com o tempo
de acordo com (61) e (62) Assim substituindo essas equaccedilotildees na equaccedilatildeo (432)
obteacutem-se
50
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
t
t
P wtct w P et Bt
P wt P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(63)
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior ou seja substituindo as equaccedilotildees
(61) (62) e (51) agora na equaccedilatildeo(433) vem
( )( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
2
2
2
t
t
ct w P et Bt
P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(64)
51
62 Potecircncia Constante
621 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Nesta seccedilatildeo considera-se uma situaccedilatildeo que a potecircncia nuclear permaneccedila
constante durante a operaccedilatildeo do reator Assim Substituindo as equaccedilotildees (61) e (62)
equaccedilatildeo (432) obteacutem-se
( ) ( )( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 00
0 0
1
1
t Bt Bt P e P
P ct QP B
P P
λρ β λβλ
ζ
λ
minus = + minus minus minus minus
minus Λ +minus minus minus
(65)
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Novamente repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior poreacutem substituindo as
equaccedilotildees (61) (62) e (51) na equaccedilatildeo (433) tem-se
( ) ( )( )( )00
0 0 0 0
0
1 tct QP BB
t Bt P e PP
λρ β λβλ λ
minus Λ + = + minus minus minus minus minus minus Γ minus
(66)
52
63 Potecircncia Exponencial
631 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Supondo que a potecircncia varie de acordo com ( ) 0
tP t P e
α= obteacutem-se
substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da potecircncia nuclear na
equaccedilatildeo (432) vem
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
1
2
12
t
t
t
P e ct Qt Bt ct
P e P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
α
α
λ α
ζρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
minus Λ += + + Λ + minus minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(67)
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Agora substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia nuclear na equaccedilatildeo (433) vem
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
0
0 0
0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
2
1 2
t
ct Qt Bt ct
P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
λ α
ρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
Λ += + + Λ + minus Γ minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(68)
53
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo 54 temos uma variaccedilatildeo de potecircncia dada
por
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(69)
Assim para o formalismo proposto por Gandini a reatividade se torna
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
tii
i i i
i i i i
i i i
i
i i
t
P w tct w P et Bt
P w t P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(610)
onde wi assume os seguintes valores w1 = 0001 w2=001 ou w4 = 0005 Jaacute para o
formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se
( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
( )
2
2
2
ti
i i
i i i i
i i i
i
i i
t
ct w P et Bt
P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(611)
54
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica
O meacutetodo de Monte Carlo pode ser caracterizado como uma teacutecnica de caacutelculo
de forccedila bruta que eacute bem adequado para problemas complicados que consistem de
vaacuterias subtarefas bem definidas Eacute um meacutetodo simples e intuitivo e manteacutem uma
estreita relaccedilatildeo com o problema que estaacute sendo resolvido
Atualmente o meacutetodo de Monte Carlo eacute amplamente utilizado em vaacuterios
campos como na fiacutesica matemaacutetica economia e engenharia Uma de suas primeiras
aplicaccedilotildees praacuteticas foi na modelagem de problemas de transporte de partiacuteculas
(Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo de caacutelculo foi chamada de Monte Carlo pelos cientistas Stanislav
Ulam John von Neumann e Metropolis Nicholas no final de 1940 quando este meacutetodo
foi usado para resolver problemas de transporte de partiacuteculas na pesquisa de armas
nucleares As raiacutezes do desenvolvimento da teoria moderna da probabilidade e
estatiacutestica data do seacuteculo 19 Poreacutem a primeira publicaccedilatildeo registrada que aborda este
meacutetodo data de 1949 (Yoriyaz 2009)
O sucesso da aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo (MMC) pelos cientistas de Los
Alamos se decorreu devido agrave computaccedilatildeo numeacuterica De fato mesmo se todos os
aspectos teoacutericos fossem resolvidos a utilizaccedilatildeo em grande escala do meacutetodo natildeo
seria possiacutevel sem esta ferramenta
O meacutetodo Monte Carlo eacute muito diferente dos meacutetodos de transporte
determiniacutesticos que geralmente baseiam-se na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de transporte de
necircutrons Assim para fazer com que o problema seja passiacutevel de uma soluccedilatildeo
computacional eacute necessaacuteria a realizaccedilatildeo de uma discretizaccedilatildeo das variaacuteveis tanto no
espaccedilo quanto na energia A forccedila do meacutetodo de Monte Carlo reside na capacidade
em calcular estimativas estatiacutesticas para taxas de reaccedilatildeo sem necessitar da soluccedilatildeo
explicita para a distribuiccedilatildeo do fluxo Aleacutem disso a capacidade de lidar com variaccedilotildees
complexas das variaacuteveis espaciais e de energia eacute o que torna a alternativa do MMC
mais atraente que os meacutetodos de transporte determiniacutesticos (Leppaumlnen 2007)
Mesmo que a abordagem determinista tenha demonstrado sua viabilidade para
simular reatores criacuteticos ela eacute amplamente utilizada Poreacutem esta metodologia
apresenta alguns inconvenientes que se tornam importantes no caso de um reator
subcriacutetico com um acelerador de partiacuteculas acoplado como por exemplo a introduccedilatildeo
de uma aproximaccedilatildeo devido agrave conversatildeo do espectro de energia dos necircutrons para
55
uma grade de energia e espaccedilo para os coacutedigos que utilizam uma abordagem
multigrupo (Kady et al 2001)
Por utilizar seccedilotildees de choques pontuais a simulaccedilatildeo Monte Carlo eacute livre de
quase todos os inconvenientes que aparecem nas simulaccedilotildees determiniacutesticas Poreacutem
sua precisatildeo varia inversamente com a raiz quadrada do nuacutemero de eventos
processados Isso representa um problema potencialmente grande de tempo de
processamento em particular quando a simulaccedilatildeo abrange toda a vida uacutetil da
produccedilatildeo de energia do sistema
No meacutetodo Monte Carlo para a simulaccedilatildeo de transporte de radiaccedilatildeo as
respostas satildeo obtidas simulando partiacuteculas individuais e gravando alguns aspectos de
seu comportamento meacutedio Se os modelos dessas interaccedilotildees utilizados nas
simulaccedilotildees satildeo suficientementes proacuteximos da realidade o resultado estaraacute proacuteximo do
processo real
Os componentes importantes de meacutetodos de simulaccedilatildeo de Monte Carlo satildeo as
funccedilotildees de densidade de probabilidade a geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios as regras
de amostragem a computaccedilatildeo de resultados as estimativas de erros e a reduccedilatildeo de
variacircncia conforme mostra a Figura 71 Aleacutem disso os algoritmos eficientes para
paralelizaccedilatildeo satildeo uacuteteis para a implementaccedilatildeo do meacutetodo de Monte Carlo para uso em
cluster de computadores (Grisell 2004)
O meacutetodo de Monte Carlo utiliza aleacutem do teorema do limite central modelos
fiacutesicos de interaccedilatildeo ou seja um conjunto de seccedilotildees de choque diferenciais para os
mecanismos de interaccedilatildeo relevantes do sistema a ser simulado (Salvat et al 2003)
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de Yoriyaz 2009
Gerador de
nuacutemeros
aleatoacuterios
Teacutecnicas de
amostragem Resultados
Funccedilatildeo de densidade de probabilidade
56
Essas seccedilotildees de choque diferenciais determinam as funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de
probabilidades de variaacuteveis aleatoacuterias
Esses conjuntos de funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de probabilidade caracterizam uma
histoacuteria e determinam o tipo de interaccedilatildeo sofrida pela partiacutecula por exemplo se a
partiacutecula sofreraacute uma mudanccedila de energia e de direccedilatildeo de propagaccedilatildeo se ela apenas
sofreraacute algum desvio angular ou se ocasionaraacute fissatildeo
Caso o nuacutemero de histoacuterias (uma histoacuteria inclui desde a geraccedilatildeo de uma
partiacutecula ateacute sua lsquofugarsquo ou absorccedilatildeo aleacutem de todas as outras partiacuteculas que podem ser
produzidas por exemplo atraveacutes da fissatildeo) seja suficientemente grande informaccedilotildees
quantitativas sobre o processo de transporte podem ser obtidas simplesmente por uma
meacutedia de mais histoacuterias simuladas
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo eacute em experimentos em que os resultados
satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Ao se comparar os meacutetodos MC e de variaacuteveis discretas normalmente se diz
que o MC resolve a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral enquanto o meacutetodo
de variaacuteveis discretas resolve a equaccedilatildeo na sua forma integro-diferencial Poreacutem as
duas equaccedilotildees satildeo formas diferentes da mesma equaccedilatildeo e assim quando se resolve
uma obteacutem-se a soluccedilatildeo da outra (Mosteller et al 2003)
Como o meacutetodo MC resolve o problema simulando histoacuterias das partiacuteculas natildeo
se torna necessaacuterio escrever a equaccedilatildeo de transporte de necircutrons No entanto pode-
se chegar a uma equaccedilatildeo que descreva a densidade de probabilidade das partiacuteculas
para o problema e esta acaba sendo a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral
(Vaz 2010)
A simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) eacute baseada em geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
de uma distribuiccedilatildeo uniforme gerando variaacuteveis aleatoacuterias para estabelecer outras
funccedilotildees de distribuiccedilatildeo Assim os nuacutemeros aleatoacuterios ou pseudoaleatoacuterios satildeo agrave base
do meacutetodo de MC pois estes nuacutemeros realizam todo o controle de decisatildeo Isso torna
essencial a sub-rotina de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios para qualquer simulador
baseado no meacutetodo de Monte Carlo As sub-rotinas de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
se baseiam em algoritmos matemaacuteticos especiacuteficos para garantir que os nuacutemeros
sorteados satildeo realmente aleatoacuterios pois estes nuacutemeros devem em teoria ser
igualmente provaacuteveis em um sorteio dentro de um intervalo definido
As variaacuteveis aleatoacuterias satildeo uma quantidade que resultam de processos
repetitivos e cujos valores reais natildeo podem ser previsto com certeza No mundo real a
aleatoriedade se origina de fatores incontrolaacuteveis (por exemplo jogos de azar) ou da
57
natureza quacircntica de sistemas ou processos (por exemplo desintegraccedilatildeo nuclear)
Nos computadores as variaacuteveis randocircmicas satildeo geradas por transformaccedilotildees
numeacutericas de nuacutemeros randocircmicos
O objetivo da simulaccedilatildeo MC eacute fornecer informaccedilotildees precisas e detalhadas em
trecircs dimensotildees dependente do tempo tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
partiacuteculas neutras Por este motivo o meacutetodo de Monte Carlo eacute largamente utilizado na
soluccedilatildeo de problemas envolvendo processos estatiacutesticos Pode ser empregado na
fiacutesica de reatores devido agrave caracteriacutestica estocaacutestica da emissatildeo de radiaccedilatildeo e
transporte de partiacuteculas
A carga computacional do meacutetodo de Monte Carlo continua sendo um
empecilho para as simulaccedilotildees de modelagem de sistemas nucleares devido ao alto
tempo de processamento computacional (Liu et al 2011) e a alta demanda de
memoacuteria pois para solucionar o problema de transporte de energia eacute necessaacuterio
monitorar as trajetoacuterias de vaacuterios necircutrons seu respectivo histoacuterico e sua multiplicaccedilatildeo
ateacute absorccedilatildeo ou fuga de todas as partiacuteculas geradas por essa partiacutecula
Mesmo assim o uso do meacutetodo de Monte Carlo para a simulaccedilatildeo do transporte
de partiacuteculas tornou-se bastante popular pois a alta demanda de processamento e de
memoacuteria pode ser contornada se for utilizado um sistema de processamento
distribuiacutedo com vaacuterios processadores possibilitando diminuir o tempo de simulaccedilatildeo
mesmo em modelagem de geometrias complexas Na praacutetica com o aumento de
processadores resolvendo o mesmo problema costuma-se aumentar a estatiacutestica a ser
simulada para a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos com o mesmo tempo de
simulaccedilatildeo anterior
71 Funccedilotildees Densidade de
Probabilidades
Para uma variaacutevel aleatoacuteria discreta a funccedilatildeo de probabilidade (f(x)) fornece
diretamente a probabilidade do valor que a variaacutevel aleatoacuteria assume Jaacute para as
variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas a funccedilatildeo de probabilidade em um intervalo eacute chamada
de funccedilatildeo de densidade de probabilidade
Esta funccedilatildeo natildeo fornece diretamente as probabilidades dos valores que as
variaacuteveis aleatoacuterias podem assumir Poreacutem a aacuterea sob o graacutefico da funccedilatildeo de
58
densidade de probabilidade correspondente a um dado intervalo a probabilidade de
que a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua assuma um valor neste intervalo Ou seja quando
calculamos as probabilidades para as variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas estamos
calculando a probabilidade de que a variaacutevel aleatoacuteria assuma qualquer valor em um
intervalo Assim a probabilidade de qualquer valor particular da variaacutevel aleatoacuteria
contiacutenua eacute zero pois a aacuterea sob o graacutefico de f(x) em qualquer ponto em particular eacute
zero
A distribuiccedilatildeo de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua pode ser
visualizada como uma forma de um histograma baseado em um grande nuacutemero de
observaccedilotildees Este histograma eacute construiacutedo com as densidades de probabilidade
Por exemplo a Figura 72 mostra um histograma da massa em quilogramas
de 25 lingotes de uracircnio (Lurie et al 2011)
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio
Se aumentarmos o nuacutemero de amostras teremos um histograma cada vez
mais suave a Figura 73 mostra o mesmo histograma com 150 observaccedilotildees
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio
59
Se fizermos o nuacutemero de amostras tender a infinito e o intervalo das classes
tender a zero no limite o histograma tende a se ldquosuavizarrdquo e tomar a forma de uma
curva teoacuterica como mostra a Figura 74
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo
Como uma probabilidade eacute interpretada como a frequecircncia relativa de um
evento de ensaios independentes a curva obtida na Figura 74 representa a maneira
pela qual a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo aos possiacuteveis valores que a
variaacutevel aleatoacuteria ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo pode assumir Assim a funccedilatildeo
densidade de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x eacute a funccedilatildeo
matemaacutetica f(x) cujo graacutefico produz a curva teoacuterica que representa a maneira pela qual
a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo agrave amplitude dos possiacuteveis valores da
variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x
As funccedilotildees de densidades de probabilidades devem obedecer as seguintes
condiccedilotildees
( )
( ) ( )
0
1
f x x
F x f x dx
gt forall
= =int
Dessa maneira a probabilidade de uma variaacutevel x assumir os valores no
intervalo (ab) eacute
Densidade de
probabilidade
Massa (kg)
60
( ) ( ) ( ) ( )b
aP a x b f x dx F a F ble le = = minusint
Existem basicamente duas diferentes maneiras que podem ser utilizados na
implementaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo que satildeo o meacutetodo direto ou
inverso e o meacutetodo da rejeiccedilatildeo Nas proacuteximas seccedilotildees tem-se a descriccedilatildeo desses dois
meacutetodos
72 Meacutetodo direto ou inverso
Seja uma distribuiccedilatildeo de probabilidade tiacutepica (por exemplo a distribuiccedilatildeo
gaussiana) definida em um intervalo conhecido entre [a b] Como visto na seccedilatildeo
anterior pode-se definir a funccedilatildeo de probabilidade acumulada desta distribuiccedilatildeo como
( ) ( ) b
aP x p x dx= int (71)
Criando uma nova variaacutevel aleatoacuteria atraveacutes da transformaccedilatildeo ξ = P(x) e
assumindo que a distribuiccedilatildeo de probabilidade acumulada admite uma inversa P-1(ξ)
definida no intervalo de (01) o valor de ξ eacute entatildeo definido como sendo igual agrave
probabilidade cumulativa do evento de modo que o valor correspondente de x pode
ser calculado a partir da funccedilatildeo inversa
1 1
( )( ) ( ) ( )
d dP xp p x p x
dx dxε
εε
minus minus
= =
(72)
Assim fica claro que ε eacute um nuacutemero aleatoacuterio e a variaacutevel x que eacute definida por
x = P-1(ξ) eacute aleatoriamente distribuiacuteda no intervalo (xmin x) Note que x eacute a uacutenica raiz
da equaccedilatildeo
min
( ) x
xp x dxξ = int (73)
61
Assim os valores amostrados de x desta forma satildeo distribuiacutedos de acordo com
a P(x)
A implementaccedilatildeo do meacutetodo direto de MC pode ser feita atraveacutes do seguinte
algoritmo conforme mostrado na Figura 75
1 Geraccedilatildeo de um nuacutemero aleatoacuterio ξ
2 Verificaccedilatildeo de que x corresponde ao ξ sorteado
3 Verificaccedilatildeo de qual probabilidade correspondente ao x
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003)
A soluccedilatildeo atraveacutes do meacutetodo de MC da equaccedilatildeo de transporte de necircutrons
(equaccedilatildeo (74)) pode ser feita utilizando o meacutetodo direto resolvendo-se as integrais
de acordo com (Vaz 2009)
( )
( ) ( ) ( ) ( )2 3
` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `
r E
r E C E E r dE d Q r E T r r E d r
Ψ Ω =
Ψ Ω Ω rarr Ω Ω + Ω rarr Ω int int
(74)
Com o termo de fonte podendo ser definido como
62
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
Fonte fixa
` ` ` ` | ` Fonte fixa + Fissatildeo
1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor
S
Q r R S r E F E E r dE d
r E F E E r dE dk
Ω = + Ψ Ω Ω rarr Ω Ω Ψ Ω Ω rarr Ω Ω
int
int
(75)
onde ( ) S r E Ω
foi abreviado como S
Assim uma histoacuteria (lsquotrajetoacuteriarsquo) pode ser entendida como uma sequecircncia de
transiccedilatildeo entre estados (P0 P1 P2 P3) Em cada ponto de colisatildeo Pi pode ocorrer
variaccedilatildeo da energia de direccedilotildees e ainda incluir a geraccedilatildeo de novas partiacuteculas
Entatildeo a equaccedilatildeo de transporte pode ser escrita como (Vaz 2009)
( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i
P P K P P K P P dp dp dp dpminus minusΨ = Ψ rarr rarrint int int int (76)
onde ( )K P Prarr eacute o kernel de transporte que eacute definido por
( ) ( ) ( ) ( ) ` ` | ` ` | K P P K r E r E C E E r T r r Erarr equiv Ω rarr Ω = Ω rarr Ω rarr Ω
(77)
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula
P4
P1
P2
P5
P3
P6
P
P0
63
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo
Em muitos casos tanto a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo cumulativa quanto sua inversa
eacute de difiacutecil obtenccedilatildeo ou natildeo podem ser resolvidos Exemplos de tais casos satildeo a
distribuiccedilatildeo normal e a distribuiccedilatildeo de Maxwell-Boltzmann Haacute diversas variaccedilotildees
numeacutericas para o uso do meacutetodo de inversatildeo que podem ser utilizados para amostrar
os valores de qualquer tipo de distribuiccedilatildeo mas eacute muitas vezes mais eficaz ter uma
abordagem completamente diferente (Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo da rejeiccedilatildeo tem a vantagem que o procedimento de amostragem
pode ser realizado utilizando apenas a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de probabilidades da
variaacutevel aleatoacuteria De uma forma mais simples uma constante c ge 1 e uma outra
funccedilatildeo de densidade de g(x) satildeo atribuiacutedos aos f(x) de tal forma que
( ) ( )f x cg xle (71)
para todos os valores de x
Os valores da variaacutevel aleatoacuteria ε seratildeo aceitos se
( )( )
f x
cg xε lt (72)
Se a desigualdade natildeo eacute vaacutelida o valor eacute descartado e o procedimento eacute
repetido desde o iniacutecio Pode demonstrar-se que a distribuiccedilatildeo dos valores aceitos
pelo meacutetodo seguem exatamente f(x)
Uma aplicaccedilatildeo que ilustra bem este meacutetodo eacute o caacutelculo do nuacutemero π Para
isso suponha um ciacuterculo inscrito dentro de um quadrado de lado unitaacuterio Se ao
sortear N eventos forem contados quantos destes eventos estatildeo dentro do ciacuterculo eacute
possiacutevel calcular o valor de π
Sabe-se que a integral entre os intervalos a e b eacute igual a um quarto da aacuterea do
ciacuterculo (ver Figura 77) Desta maneira pode-se dizer que o nuacutemero de pontos
sorteados dentro da aacuterea total do ciacuterculo dividido pelo nuacutemero total de sorteios eacute igual
agrave aacuterea do ciacuterculo sobre a aacuterea do quadrado
64
2
4r 4
c
t
N πrsup2 π= =
N
onde Nc eacute o nuacutemero de sorteios dentro do ciacuterculo e Nt eacute o total de nuacutemeros sorteados
Obviamente quanto maior for o total de nuacutemero sorteados mais preciso seraacute o
resultado
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo
Em geral o meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute utilizado para a estimativa de eventos que
satildeo regidos por distribuiccedilotildees contiacutenuas ou seja aqueles eventos que obedecem a
uma curva de probabilidade
Eacute importante ressaltar que no meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute necessaacuterio o sorteio de
dois nuacutemeros aleatoacuterios O primeiro (ε1) para definir o valor da abcissa (x) e um
segundo (ε2) para definir o valor no eixo das ordenadas (Figura 78) Se ε2 for menor
que f(ε1) registra-se ε1 como sendo um valor vaacutelido Caso contraacuterio ε1 eacute rejeitado e
ocorre o sorteio de outro nuacutemero aleatoacuterio O algoritmo do meacutetodo da rejeiccedilatildeo pode
ser descrito como
1 Sorteio do primeiro nuacutemero aleatoacuterio (ε1)
2 Verificaccedilatildeo de qual eacute o valor da funccedilatildeo para esse nuacutemero aleatoacuterio
3 Sorteio do segundo nuacutemero aleatoacuterio
4 Se ε2 lt f(ε1) registrar ε1 como vaacutelido
5 Senatildeo rejeitar ε1 e voltar ao passo 1
a
b
65
74 Meacutetodos Monte Carlo para
Reatores Subcriacuteticos
Nas seccedilotildees anteriores foi tratado das caracteriacutesticas baacutesicas da simulaccedilatildeo MC
Poreacutem para a simulaccedilatildeo de um reator nuclear mais proacutexima do real eacute necessaacuterio que
os coacutedigos MC sejam capazes de acompanhar a queima dos combustiacuteveis nucleares
chamados de coacutedigos de depleccedilatildeo
Atualmente existem vaacuterios coacutedigos de depleccedilatildeo que utilizam o meacutetodo Monte
Carlo devido ao constante crescimento no desempenho dos computadores Esses
coacutedigos geralmente satildeo acoplados em um coacutedigo geneacuterico de simulaccedilatildeo MC que
resolve o transporte das partiacuteculas e podem fornecer o fluxo de partiacuteculas e as seccedilotildees
de choque microscoacutepicas para os coacutedigos de depleccedilatildeo
Os coacutedigos MC de depleccedilatildeo podem ser divididos em dois grupos de acordo
com a metodologia de geraccedilatildeo das seccedilotildees de choque microscoacutepicas O primeiro
grupo satildeo os dos coacutedigos que utilizam os resultados calculados diretamente pelo o
coacutedigo geneacuterico MC Jaacute o segundo grupo utiliza uma abordagem de multigrupo para o
caacutelculo das seccedilotildees de choque que eacute implementado pelo coacutedigo de depleccedilatildeo De
acordo com esta metodologia as taxas de reaccedilatildeo satildeo calculadas separadamente
utilizando um preacute-gerador de seccedilotildees de choque multigrupo
f(x)
ε2
ε1
Figura 78 Processo de caacutelculo de π
66
75 Conceito de Reatores ADS
Os reatores hiacutebridos foram inicialmente considerados apenas para a queima
de actiniacutedeos poreacutem foi percebido que era possiacutevel aproveitar a queima dos
actiniacutedeos (transmutaccedilatildeo) em um reator subcriacutetico para a geraccedilatildeo de eletricidade
aleacutem da necessaacuteria para sustentar o acelerador de proacutetons
Aleacutem disso os reatores hiacutebridos tecircm uma vantagem adicional de ser um
sistema regenerador ou seja cria a possibilidade de regenerar combustiacutevel nuclear
queimado em um reator teacutermico para ser reutilizado no mesmo apoacutes reprocessamento
A Figura 79 mostra que os reatores regeneradores com acelerador (ABR ndash
accelerator breeder reactor) podem natildeo ser utilizados para a geraccedilatildeo de eletricidade
Sua principal utilizaccedilatildeo seria para a produccedilatildeo de material fiacutessil principalmente 239Pu
(Lodhi et al 2009) Para isso esses reatores necessitam de energia eleacutetrica para
alimentar o acelerador de proacutetons citado na Figura 710 Poreacutem os reatores hiacutebridos
podem ser dedicados tanto para a produccedilatildeo de energia como para a regeneraccedilatildeo de
material fiacutessil embora ambos os fenocircmenos ocorram sempre em um reator hiacutebrido ele
pode ser especializado para um desses objetivos de acordo com o cenaacuterio previsto
para a busca da sustentabilidade da energia nuclear (Piera et al 2010)
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009
Extraccedilatildeo de
toacuterio e uracircnio
238
U
ABR
Reator teacutermico
Energia eleacutetrica
239
Pu
232
Th
Energia eleacutetrica
67
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS
Tanto os reatores ADS como os ABR consistem em um acelerador de
partiacuteculas de alta energia (proacutetons com cerca de 1 GeV de energia) que atingem um
alvo com nuacutemero atocircmico grande Este choque gera necircutrons de alta energia capazes
de tornar nucliacutedeos feacuterteis em fiacutesseis
Outra coisa interessante sobre esses reatores eacute que eles produzem vaacuterios
isoacutetopos da mesma maneira que os FBR Em segundo lugar os reatores hiacutebridos
(ADS) operam com fator de multiplicaccedilatildeo abaixo de 1 (geralmente entre 090 e 097)
Em terceiro os ADS podem produzir combustiacutevel muito mais raacutepido que os FBR (Piera
et al 2010) pois liberam menos energia por fissatildeo que os FBR
Um dos principais objetivos do ADS eacute a queima de 232Th para gerar uma
grande quantidade de 233U embora 233U puro tem aproximadamente a mesma massa
criacutetica do plutocircnio (Lodhi et al 2009)
Fonte de necircutrons raacutepidos
Fonte de
spallation
Refrigerante chumbo-bismuto
Acelerador de
proacutetons
68
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos
Utilizados
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes simulaccedilotildees MC para auxiliar o estudo
de reatores ADS utilizando diferentes coacutedigos (MCNPX GEANT4 MCB) Poreacutem estes
modelos devem ter referecircncias para poder se verificar por exemplo o fator de
multiplicaccedilatildeo efetivo (keff) resultados dos caacutelculos de depleccedilatildeo e identificar as causas
para as possiacuteveis diferenccedilas significativas entre os resultados simulados e os teoacutericos
Idealmente esses paracircmetros deveriam ser comparados com dados
experimentais No entanto haacute uma falta significativa de resultados fiacutesicos para nuacutecleos
de reatores raacutepidos concebidos para queimar actiniacutedeos menores (AM) (Allen et al
2011)
Neste trabalho foram utilizados dois coacutedigos MC distintos Inicialmente devido
a grande quantidade de citaccedilotildees na literatura (Hashemi-Nezhad et al 2002 Sobolev
et al 2003 Bomboni et al 2010 Fokau et al 2010 Talamo et al 2011 Pelowitz
2008) foi utilizado o coacutedigo MCNPX 26f e tambeacutem o coacutedigo SERPENT 1117 que eacute
uma ferramenta relativamente nova (Leppaumlnen 2007) comparada ao MCNPX
O MCNPX eacute um coacutedigo MC que vem sendo desenvolvido deste 1995 sendo
escrito em FORTRAN e C Assim o MCNPX pode ser compilado para a utilizaccedilatildeo nas
plataformas computacionais mais usadas (Windows Linux e IOS) Aleacutem disso o
MCNPX pode ser usado com as bibliotecas de programaccedilatildeo paralela (MPI)
O coacutedigo eacute composto por aproximadamente 450 subrotinas possui um
desenvolvimento constante e atualmente eacute capaz de simular 34 partiacuteculas distintas A
versatildeo 250 do MCNPX eacute utilizada atualmente por cerca de 2500 grupos no mundo
sendo distribuiacutedo pelo Radiation Safety Information Computational Center (RSICC)
com base de dados sendo fornecida pela OECDNEA
Uma das grandes dificuldades do uso do MCNPX eacute a descriccedilatildeo da geometria
que eacute feita atraveacutes de uniotildees e interseccedilotildees de superfiacutecies baacutesicas (plano cilindro
infinito esfera cone ou elipsoide) Assim para simular uma vareta de combustiacutevel
deve-se criar pelo menos trecircs superfiacutecies distintas (2 planos e um cilindro infinito)
Aleacutem disso deve-se criar uma ceacutelula para cada material utilizado Esta ceacutelula
carrega a informaccedilatildeo do material que ela eacute composta a densidade e os limites
informados pelas uniotildees eou interseccedilotildees das superfiacutecies Tanto as superfiacutecies quanto
as ceacutelulas satildeo referenciados por nuacutemeros definidos pelo usuaacuterio
69
Todas as superfiacutecies permitem que as uniotildees e interseccedilotildees sejam feitas em
dois sentidos Esses sentidos satildeo informados pelos sinais negativos e positivos que
devem acompanhar os nuacutemeros das superfiacutecies
O MCNPX ainda permite a definiccedilatildeo da importacircncia da partiacutecula em cada
ceacutelula isso eacute uacutetil quando se quer excluir uma ou mais partiacuteculas Caso a importacircncia
de necircutrons seja definida como zero qualquer necircutron que entrar nesta ceacutelula seraacute
eliminado da simulaccedilatildeo Isto eacute um artifiacutecio que delimita a aacuterea de atuaccedilatildeo das
partiacuteculas para natildeo termos simulaccedilotildees de duraccedilatildeo ldquoinfinitardquo ou perder tempo
computacional em partiacuteculas que jaacute saiacuteram do sistema
Tambeacutem eacute possiacutevel definir ceacutelulas sem nenhum material para isso basta
colocar o nuacutemero zero no lugar do nuacutemero do material e natildeo informar a densidade do
mesmo Neste caso o coacutedigo iraacute interpretar o conteuacutedo da ceacutelula como sendo vaacutecuo
O MCNPX natildeo fornece ferramenta graacutefica para a ediccedilatildeo de geometria poreacutem
existem programas que realizam a leitura do arquivo e permitem a sua visualizaccedilatildeo O
que MCNPX faz eacute uma verificaccedilatildeo baacutesica da geometria em busca de erros Em caso
de erros de geometria o MCNPX natildeo realiza a simulaccedilatildeo ou a simulaccedilatildeo pode ser
abortada se o coacutedigo computar vaacuterias partiacuteculas perdidas (partiacuteculas que ldquosaemrdquo da
geometria)
O lado positivo do MCNPX eacute a grande quantidade de elementos e de isoacutetopos
disponiacuteveis para a simulaccedilatildeo devido o uso da biblioteca ENDF que eacute mantida pela
agecircncia internacional de energia atocircmica Para os elementos ou isoacutetopos que natildeo
existem nas bibliotecas o MCNPX realiza a simulaccedilatildeo utilizando modelos fiacutesicos Isto
proporciona uma grande flexibilidade na simulaccedilatildeo Aleacutem disso o MCNPX traz
bibliotecas de espalhamento teacutermico que podem ser usadas nos materiais utilizados
como moderadores
O outro coacutedigo MC utilizado foi o SERPENT Este coacutedigo eacute especiacutefico para
simulaccedilatildeo de reatores nucleares que realiza com caacutelculo de depleccedilatildeo e eacute
desenvolvido no Centro de Pesquisa Teacutecnica da Finlacircndia (VTT Technical Research
Centre of Finland) Atualmente eacute utilizado por cerca de 180 grupos de usuaacuterios em 27
paiacuteses Este coacutedigo se encontra na versatildeo 1118 sendo que a versatildeo 20 estaacute
atualmente em fase de teste O SERPENT tambeacutem permite a utilizaccedilatildeo de
processamento paralelo com o MPI (Message Passing Interface) para sua execuccedilatildeo
A paralelizaccedilatildeo no modo de caacutelculo de queima eacute dividida nas rotinas de preacute-
processamento e depleccedilatildeo em vaacuterias tarefas Cada tarefa trata um material diferente e
o aumento de desempenho pode-se tornar significativo
O SERPENT eacute um dos uacutenicos coacutedigos MC que permitem a simulaccedilatildeo com
fonte externa com meio multiplicativo aleacutem de caacutelculos de depleccedilatildeo em uma uacutenica
70
simulaccedilatildeo a geometria natildeo eacute tatildeo problemaacutetica quanto a do MCNPX pois jaacute existem
elementos preacute-definidos que satildeo encontrados em reatores nucleares como por
exemplo elementos combustiacuteveis em em arranjo hexagonal
A descriccedilatildeo da geometria no SERPENT eacute feita definindo-se uma vareta e os
raios de cada material que a compotildee Diferentemente do MCNPX os materiais satildeo
referenciados por nomes seguidos do raio ocupado partindo do centro da vareta ateacute a
extremidade
Por exemplo para se definir uma vareta de combustiacutevel os materiais que
compotildee esta vareta devem ser descritas do centro para fora da vareta Assim se o
combustiacutevel estaacute designado com um raio de 04024 cm a definiccedilatildeo do gap deve iniciar
de um raio maior que o do combustiacutevel O gap eacute designado pela palavra reservada
void
A definiccedilatildeo das varetas seja de combustiacutevel ou as de controle devem ser
terminadas sempre com o nome do material utilizado como refrigerante (Soacutedio por
exemplo) Eacute importante lembrar que cada definiccedilatildeo de vareta recebe um nuacutemero que
eacute chamado de universo
Apoacutes as definiccedilotildees das varetas basta informar o tipo de arranjo utilizado e o
pitch de varetas para completar a descriccedilatildeo do nuacutecleo do reator Se existem varetas
com diferentes composiccedilotildees de combustiacutevel deve-se informar o nuacutemero de cada
universo na posiccedilatildeo desejada
Ambos os coacutedigos permitem a utilizaccedilatildeo da mesma biblioteca realizam caacutelculo
de depleccedilatildeo do combustiacutevel indicando a quantidade de cada elemento nos diferentes
passos de queima sendo possiacutevel fazer um inventaacuterio de queima em ambos os
coacutedigos para cada intervalo de queima Este intervalo eacute informado pelo usuaacuterio
Para a descriccedilatildeo do material tanto o MCNPX como o SERPENT usam a
mesma forma Basta informar o ldquocoacutedigordquo do elemento desejado e sua concentraccedilatildeo
que pode ser atocircmica (aacutetomosbarncm) ou fraccedilatildeo de massa
O coacutedigo dos materiais eacute formado pelos seus nuacutemeros atocircmicos e por seus
nuacutemeros de massa Por exemplo o coacutedigo para o elemento 238U eacute 92238
Para se identificar as diferentes versotildees das bibliotecas existem nuacutemeros que
vecircm depois do coacutedigo do elemento Esses nuacutemeros satildeo a versatildeo das bibliotecas para
o MCNPX e para o SERPENT as temperaturas (em Kelvin) das bibliotecas Portanto
no MCNPX o coacutedigo 9223866c indica que a biblioteca utilizada eacute a ENDF66 Para o
SERPENT o coacutedigo completo eacute 9223806c onde o 06c indica a temperatura em que a
biblioteca foi avaliada (600 K)
71
Ainda na descriccedilatildeo do material o coacutedigo SERPENT permite definir os materiais
de outra forma Assim pode-se usar o siacutembolo do elemento quiacutemico seguido de seu
nuacutemero de massa Por exemplo O-1609c eacute o 16O a uma temperatura de 900 K
Se o material eacute composto por mais de um elemento quiacutemico basta inserir os
demais elementos As tabelas abaixo mostram o exemplo de um revestimento de
zircaloy (Tabela 81) para o MCNPX e para o dioacutexido de uracircnio (Tabela 82) para o
SERPENT Note que para a entrada em fraccedilatildeo de massa deve-se colocar o sinal de
negativo
Aleacutem das informaccedilotildees dos elementos e de suas concentraccedilotildees eacute necessaacuterio
informar tambeacutem a densidade dos materiais No MCNPX essa informaccedilatildeo fica junto
com a definiccedilatildeo do local que o material estaacute No SERPENT a informaccedilatildeo da
densidade fica junto com a definiccedilatildeo do material Em ambos os coacutedigos a densidade
pode ser informada em gcm3 ou em densidade atocircmica (aacutetomosbarnmiddotcm)
Tabela 81 Exemplo de um
revestimento de zircaloy no MCNPX
Elemento Fraccedilatildeo de
massa
4000066c -098135
2400066c -000100
2600066c -000135
2800042c -000055
5000006c -001450
801606c -000125
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de
uracircnio no SERPENT
Elemento Densidade
Atocircmica
9223409c 914E-02
9223509c 935E+00
9223809c 215E+02
O-1609c 449E+02
Para a validaccedilatildeo das simulaccedilotildees realizadas utilizando o coacutedigo SERPENT
foram realizadas algumas simulaccedilotildees de reatores para a comparaccedilatildeo direta com o
MCNPX jaacute que o MCNPX eacute amplamente utilizado para a simulaccedilatildeo de reatores
Os reatores simulados foram um PWR com combustiacutevel do tipo MOX (Figura
81) um reator do tipo VVER (Figura 82) e um terceiro do tipo CANDU (Figura 83)
Os resultados obtidos com essas simulaccedilotildees se encontram na Tabela 83
72
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU
Refrigerante (aacutegua)
Combustiacutevel MOX 1 (29 Pu)
Combustiacutevel MOX 2 (44 Pu)
Combustiacutevel MOX 3 (56 Pu)
Combustiacutevel (UO2)
Vazio (ar)
Refrigerante (Aacutegua)
Combustiacutevel (UO2)
Refrigerante (Aacutegua)
73
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER
Reator keff Diferenccedila2
(pcm) MCNPX SERPENT
VVER 128763 128807 3417
CANDU 094169 094207 4034
PWR 100176 100184 799
Recentemente Allen et al(2011) publicou uma proposta de referecircncia para
reatores regeneradores baseado no reator de teste avanccedilado para queima de AM
(ABTR) Este reator tem uma potecircncia teacutermica de 250 MW sendo refrigerado com
soacutedio A Figura 84 mostra a geometria e disposiccedilatildeo dos elementos do nuacutecleo do
reator utilizado na simulaccedilatildeo com MCNPX
As Tabelas 84 85 e 86 trazem as composiccedilotildees dos diferentes combustiacuteveis
utilizados Jaacute as Tabelas 87 88 e 89 mostram a composiccedilatildeo das varetas refletor e
barras de controle respectivamente
A Tabela 810 traz informaccedilotildees gerais do reator como pitch e diacircmetro de
varetas do reator entre outras
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX
2 Em moacutedulo diferenccedila = |Keff MCNPX - keff SERPENT|
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
74
Tabela 84Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 1
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 122E-04
U-235 322E-01
U-236 206E-02
U-238 202E+02
Np-237 384E-02
Pu-236 139E-07
Pu-238 959E-03
Pu-239 350E+01
Pu-240 374E+00
Pu-241 245E-01
Pu-242 175E-02
Am-241 142E-02
Am-242 285E-04
Am-243 613E-04
Cm-242 471E-04
Cm-243 741E-06
Cm-244 483E-05
Cm-245 191E-06
Cm-246 261E-08
Tabela 85 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 2
(densidade 10851
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 100E-02
U-235 320E-01
U-236 195E-02
U-238 197E+02
Np-237 181E+00
Pu-236 908E-06
Pu-238 905E-01
Pu-239 235E+01
Pu-240 109E+01
Pu-241 294E+00
Pu-242 219E+00
Am-241 213E+00
Am-242 583E-02
Am-243 436E-01
Cm-242 735E-02
Cm-243 244E-03
Cm244 110E-01
Cm-245 977E-03
Cm-246 677E-04
Tabela 86 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 3
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 150E-02
U-235 318E-01
U-236 186E-02
U-238 193E+02
Np-237 313E-02
Pu-236 911E-08
Pu-238 987E-03
Pu-239 431E+01
Pu-240 456E+00
Pu-241 295E-01
Pu-242 206E-02
Am-241 223E-02
Am-242 408E-04
Am-243 756E-04
Cm-242 563E-04
Cm-243 905E-06
Cm244 553E-05
Cm-245 200E-06
Cm-246 241E-08
75
Tabela 87 Composiccedilatildeo
do revestimento da vareta
de combustiacutevel
(densidade 75357
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Fe-54 408E+01
Fe-56 641E+02
Fe-57 148E+01
Fe-58 197E+00
Ni-58 293E+00
Ni-60 113E+00
Ni-61 491E-02
Ni-62 157E-01
Ni-64 399E-02
Cr-50 451E+00
Cr-52 870E+01
Cr-53 987E+00
Cr-54 246E+00
Mn-55 460E+00
Zr-nat 491E+00
Tabela 88 Composiccedilatildeo
do refletor (densidade
53908 gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Na-23 715E+01
Fe-54 277E+01
Fe-56 435E+02
Fe-57 101E+01
Fe-58 134E+00
Ni-58 199E+00
Ni-60 767E-01
Ni-61 333E-02
Ni-62 106E-01
Ni-64 271E-02
Cr-50 306E+00
Cr-52 591E+01
Cr-53 670E+00
Cr-54 167E+00
Mn-55 312E+00
Zr-nat 333E+00
Tabela 89 Composiccedilatildeo
da barra de controle
(densidade 15643
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
C-12 407E+01
B-10 164E+02
B-11 662E+02
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR
Paracircmetro Valor (cm)
ldquoPicthrdquo do elemento combustiacutevel 14685
ldquoPitchrdquo da varetas de combustiacutevel 09134
Diacircmetro da vareta de combustiacutevel 08048
Espessura do revestimento 00523
Altura ativa do combustiacutevel 844108
76
A biblioteca de dados utilizada foi a ENDF B-VI6a que eacute fornecida juntamente
com o MCNPX 26 Esta biblioteca foi avaliada em diferentes temperaturas O
refrigerante utilizado na simulaccedilatildeo deste reator eacute o soacutedio com uma concentraccedilatildeo de
22272x10-2 aacutetomosbarnsmiddotcm
Como o MCNPX e o SERPENT natildeo permitem a mudanccedila na temperatura
durante a simulaccedilatildeo caso queira-se avaliar o efeito da temperatura deve-se ter as
bibliotecas nas temperaturas requeridas refazer a simulaccedilatildeo e comparar os
resultados
A simulaccedilatildeo deste sistema foi feita com um total de 130 ciclos mas somente os
uacuteltimos 100 ciclos satildeo contabilizados nos resultados Cada ciclo foi simulado com
1x104 necircutrons totalizando 106 necircutrons isto sem levar em conta os necircutrons
produzidos por fissatildeo A Tabela 811 mostra a divisatildeo dos intervalos utilizados na
queima do combustiacutevel na simulaccedilatildeo do reator ABTR
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR
Intervalo Duraccedilatildeo (dias)
1 2739
2 2739
3 5478
4 10956
5 10956
6 10956
7 10956
8 10956
9 10956
10 10956
11 10956
12 10956
O proacuteximo passo foi realizar a simulaccedilatildeo deste mesmo sistema no SERPENT
1118 para a comparaccedilatildeo com o resultado do MCNPX e verificar se os resultados de
ambos os coacutedigos MC satildeo compatiacuteveis para o caso de reatores subcriacuteticos A Figura
85 mostra o nuacutecleo do reator simulado no SERPENT
77
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT
A simulaccedilatildeo tambeacutem foi realizada com 130 ciclos utilizando o mesmo nuacutemero
de necircutrons que na simulaccedilatildeo feita pelo o MCNPX
Com estas condiccedilotildees Allen et al (2011) obtiveram um keff de 104961 Ao
reproduzir esta simulaccedilatildeo foi obtido um keff inicial de 104622 ou seja uma diferenccedila
de 83 pcm
Vale ressaltar que o tempo de simulaccedilatildeo do SERPENT para este mesmo
sistema foi de aproximadamente 20 h Isso se deve ao fato que o SERPENT eacute
especiacutefico para simulaccedilatildeo de reatores enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo mais geral
Assim o SERPENT pode utilizar mecanismos de otimizaccedilatildeo como por exemplo uma
mudanccedila no algoritmo de caacutelculo do livre caminho meacutedio sem perda de informaccedilatildeo
Os resultados da comparaccedilatildeo satildeo apresentados na Tabela 812 Jaacute os graacuteficos
das Figuras 87 e 88 mostram a comparaccedilatildeo do keff e da queima nos dois sistemas
respectivamente Pode-se observar atraveacutes da Figura 86 que o reator simulado se
torna subcriacutetico somente apoacutes 550 dias de operaccedilatildeo
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
78
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT
Tempo
(dias)
Reatividade (pcm) Burnup (GwdMTU)
Diferenccedila3
reatividade
(pcm)
Diferenccedila1
Burnup
(GwdMTU)
MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT
00 4335 4418 0000 0000 83 0000
2739 4033 4114 1325 1324 81 0001
5478 3906 3788 2649 2649 118 0000
1096 3544 3462 5298 5297 81 0001
2191 2759 2343 10600 10594 415 0006
3287 1749 1642 15890 15891 106 0001
4382 1053 1255 21190 21188 202 0002
5478 15 106 26490 26485 91 0005
6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008
7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011
8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014
9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007
10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094
095
096
097
098
099
100
101
102
103
104
105
106
Kef
f
Tempo (Dias)
MCNPX SERPENT
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT
1 diferenccedila burnup = |burnup MCNPX ndash burnup SERPENT|
3 diferenccedila reatividade = |Keff MCNPX ndash keff SERPENT|
79
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000
10
20
30
40
50
60
burn
up (
Gw
dM
TU
)
tempo (Dias)
MCNPX 26 SERPENT
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT
Uma opccedilatildeo interessante na simulaccedilatildeo realizada com o SERPENT eacute a
possibilidade de uma visualizaccedilatildeo das aacutereas mais lsquoquentesrsquo do reator que satildeo
representadas por tons de vermelho e amarelo representando a potecircncia relativa da
fissatildeo nuclear e em tons de azul satildeo as aacutereas lsquofriasrsquo representando fluxo teacutermico
relativo (ver Figuras 89 e 810)
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do reator PWR simulado
80
Para a observaccedilatildeo nas alteraccedilotildees nos esquemas de cores a normalizaccedilatildeo eacute
fixa apoacutes o primeiro passo de queima A Figura 89 abaixo mostra a representaccedilatildeo das
aacutereas quentes e frias para o reator ABTR simulado por Allen et al (2010) em quatro
estaacutegios diferentes de queima
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias
A partir das Tabelas 812 83 e do graacutefico da Figura 86 pode-se verificar que
os dois coacutedigos MC apresentam resultados satisfatoacuterios para os valores do keff com
diferenccedila maacutexima de 415 pcm para o reator ABTR Esta diferenccedila pode ser devido agrave
geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios presente no meacutetodo MC Uma maneira de ser diminuir
esta diferenccedila eacute aumentando a quantidade de partiacuteculas simuladas poreacutem o tempo de
simulaccedilatildeo tornar-se demasiadamente grande (Antolin 2009) Outra possibilidade eacute a
falta de dados mais precisos dos materiais utilizados como combustiacuteveis no reator
ABTR
Como o coacutedigo SERPENT eacute mais novo a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do mesmo
sistema simulado no MCNPX se justifica para saber se o coacutedigo SERPENT reproduz
sistemas subcriacuteticos adequadamente Aleacutem disso o SERPENT permite a simulaccedilatildeo
de reatores nucleares com fonte externa mesmo que estas simulaccedilotildees se limitem a
a b
c d
81
problemas de fonte externa fixa Devemos lembrar que o SERPENT soacute realiza
simulaccedilatildeo de reatores nucleares enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo que pode ser
aplicados a outros problemas aleacutem de simulaccedilotildees de reatores
82
9 Resultados
As equaccedilotildees da cineacutetica pontual obtidas no capiacutetulo 3 para sistemas
subcriacuteticos foram comparadas com a simulaccedilatildeo MC devido agrave dificuldade de se obter
dados experimentais de reatores subcriacuteticos As simulaccedilotildees foram feitas utilizando
potecircncia constante linear exponencial e tambeacutem uma variaccedilatildeo aleatoacuteria
A utilizaccedilatildeo do meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear eacute interessante por
permitir a implementaccedilatildeo de sistemas de monitoramento em tempo real da reatividade
associada a uma variaccedilatildeo da potecircncia nuclear tornando-se muito atraente para
aplicaccedilotildees em reatores do tipo ADS
A Figura 91 mostra a geometria utilizada nas simulaccedilotildees de todos os casos
simulados As composiccedilotildees dos materiais satildeo as mesmas mostradas nas Tabelas 87
88 e 89 para vareta refletor barra de controle e da vareta de combustiacutevel Para a
composiccedilatildeo do combustiacutevel foi usada agrave composiccedilatildeo mostrada na Tabela 91
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado
Elemento Concentraccedilatildeo
(fraccedilatildeo de massa)
U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico
Legenda
Combustiacutevel
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
83
Os valores utilizados para a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo Monte Carlo com os
resultados das equaccedilotildees para cada um dos casos do capiacutetulo 3 encontram-se na
Tabela 92 Esses valores foram obtidos diretamente do arquivo de saiacuteda da simulaccedilatildeo
realizada no SERPENT com a exceccedilatildeo do valor de Γ que foi extraiacutedo de Silva (2011)
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos
Paracircmetro Valor
β 000706
Λ 121x10-5 s
λ 21979x10-1 s
Γ -077x10-10
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia
Nuclear
Para um reator subcriacutetico chegar a sua potecircncia de operaccedilatildeo deve-se
monitorar a reatividade para se evitar algum tipo de acidente Assim podemos supor
uma inserccedilatildeo de reatividade de maneira linear (equaccedilatildeo 443) Esta simulaccedilatildeo foi feita
considerando uma taxa de aumento de 5 por hora do valor inicial da potecircncia sendo
monitorado por um periacuteodo de 6 horas
A Tabela 93 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos entre o SERPENT e
a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa
92 Potecircncia Nuclear Constante
Para a simulaccedilatildeo realizada a potecircncia constante o tempo total de simulaccedilatildeo foi
de cerca de 12 horas Esta diferenccedila se daacute unicamente devido ao diferente nuacutemero de
passos simulados enquanto foram simulados 6 passos de uma hora para a variaccedilatildeo
84
linear da potecircncia foram simulados 10 passos para a potencia constante Esta
simulaccedilatildeo tenta reproduzir a operaccedilatildeo em condiccedilotildees normais do reator A Tabela 94
mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos para a potecircncia de 80 MW
93 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
A variaccedilatildeo exponencial da potecircncia foi simulada por um periacuteodo de 1 hora em
intervalos de 10 minutos A Tabela 95 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos
com uma taxa de aumento de 00001
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(h) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 1 -2069 -2125 -2119 56 50
84 2 -2050 -2125 -2125 75 75
88 3 -2122 -2134 -2134 12 12
92 4 -2077 -2143 -2143 66 66
96 5 -2142 -2151 -2151 9 9
100 6 -2119 -2158 -2158 39 39
85
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
Gandini -
SERPENT
0 -2133 -2146 -2146 12 12
10 -2152 -2146 -2146 6 6
20 -2144 -2146 -2146 2 2
30 -2167 -2146 -2146 21 21
40 -2151 -2146 -2146 5 5
50 -2127 -2146 -2146 18 18
60 -2177 -2146 -2146 31 31
70 -2145 -2146 -2146 0 0
80 -2152 -2146 -2146 6 6
90 -2160 -2146 -2146 14 14
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da potecircncia
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2065 2120 2120 55 55
115 10 2108 2107 2107 0 0
165 20 2104 2115 2114 11 10
235 30 2070 2114 2115 44 45
337 40 2083 2115 2115 32 32
483 50 2126 2115 2117 11 9
86
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
A avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia durante
sua operaccedilatildeo foi feita durante um periacuteodo de 6 horas Neste intervalo foi simulada uma
suacutebita queda de potecircncia e posteriormente uma subida repentina da potecircncia A
Tabela 96 mostra os resultados obtidos
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2075 2029 2029 46 46
90 1 2075 2188 2188 113 113
0 2 2143 2118 2118 24 24
40 3 2050 2120 2120 70 70
80 4 2133 2231 2231 97 97
100 5 2080 2163 2163 83 83
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Nesta seccedilatildeo seratildeo apresentados os resultados obtidos levando-se em conta a
variaccedilatildeo temporal da fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo dos
necircutrons
87
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia
Assim como na seccedilatildeo 91 a Tabela 97 mostra os resultados obtidos para uma
variaccedilatildeo linear de potecircncia poreacutem os resultados abaixo foram levados em conta agraves
variaccedilotildees temporais de β e de Λ Como o SERPENT jaacute fornece os valores de β e Λ
para cada passo de queima esses valores foram utilizados para a obtenccedilatildeo da reta de
ajuste que foi utilizada em todos os casos com variaccedilatildeo temporal de β e de Λ Assim
natildeo foi necessaacuterio realizar novas simulaccedilotildees
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Λ (x10-5)
(s)
β
(pcm)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF ndash
SERPENT
HGPT ndash
SERPENT
80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6
84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0
88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28
92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80
96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127
100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141
952 Potecircncia constante
Jaacute para o reator operando a uma potecircncia constante a Tabela 98 mostra os
resultados obtidos para variaccedilotildees lineares de β e Λ Lembrando que esta a duraccedilatildeo
desta simulaccedilatildeo foi de aproximadamente 12 horas
88
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia constante
Tempo
(min) Λ (x10-5) (s)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7
10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6
20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5
30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17
40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4
50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18
60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31
70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0
80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1
90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14
953 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
Utilizando a mesma variaccedilatildeo de potencia da seccedilatildeo 93 a operaccedilatildeo do reator
foi simulada por um periacuteodo de 6 horas Para este caso a taxa de aumento de
potecircncia tambeacutem foi de 00001 A Tabela 99 mostra os resultados obtidos
89
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Mais uma vez realizando a mesma variaccedilatildeo de potecircncia da seccedilatildeo 94 a
avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia tambeacutem foi
realizada juntamente com a variaccedilatildeo de β e Λ A Tabela 910 mostra os resultados
obtidos
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia com β e Λ variaacuteveis no tempo
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125
115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36
165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13
235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9
337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80
483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Serpent TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102
90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2
0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79
40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51
80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140
100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23
90
96 Paracircmetros Nucleares
Os paracircmetros integrais satildeo muitas vezes utilizados para dar informaccedilotildees
imediatas e completas sobre as caracteriacutesticas fiacutesicas dos reatores nucleares Eles
podem aparecer diretamente da modelagem matemaacutetica do sistema ou podem ser
introduzidos tanto artificialmente com a finalidade de quantificar as caracteriacutesticas
fiacutesicas pra que se permitam comparaccedilotildees entre diferentes configuraccedilotildees ou na
interpretaccedilatildeo das mediccedilotildees experimentais Assim enquanto algumas quantidades
integrais em fiacutesica de reatores deteacutem um significado matemaacutetico (por exemplo o fator
de multiplicaccedilatildeo como sendo o autovalor do problema de equiliacutebrio) outras
quantidades podem carregar significados diferentes de acordo com os objetivos
especiacuteficos para os quais satildeo introduzidos Este fato pode causar uma grande
confusatildeo especialmente quando o mesmo termo eacute utilizado para denotar grandezas
fiacutesicas bastante diferentes Este eacute o caso por exemplo de paracircmetros integrais
introduzidos em modelos cineacuteticos que satildeo obtidos atraveacutes da ponderaccedilatildeo das
equaccedilotildees da cineacutetica Enquanto que o procedimento eacute bem estabelecido na cineacutetica
dos de sistemas criacuteticos o caso de sistemas com fonte externa pode estar aberto a
ambiguidade jaacute que natildeo existe uma uacutenica funccedilatildeo de ponderaccedilatildeo e sua escolha pode
ser relacionada mais para conveniecircncia numeacuterica ou para a necessidade de obter
alguns resultados muitos especiacuteficos (Dulla 2011)
Por outro lado muitas vezes esses mesmos termos podem ser obtidos por
exemplo por teacutecnicas de simulaccedilatildeo MC Este eacute o caso de reatividade fraccedilatildeo de
necircutrons retardados e o tempo de geraccedilatildeo de necircutrons Eacute especialmente importante
observar que os sistemas subcriacuteticos exigem um repensar de toda abordagem teoacuterica
concebida para sistemas criacuteticos
Anaacutelises realiacutesticas da cineacutetica de sistemas subcriacuteticos satildeo atualmente feitas
atraveacutes da soluccedilatildeo direta das equaccedilotildees seja por difusatildeo ou por modelos de
transporte Informaccedilotildees altamente detalhadas e precisas sobre a evoluccedilatildeo dos
necircutrons satildeo necessaacuterias entretanto os modelos pontuais satildeo muito simplificados e
podem natildeo fornecer informaccedilotildees suficientes Aleacutem disso ferramentas numeacutericas e
computacionais eficientes estatildeo disponiacuteveis tornando possiacutevel evitar as restriccedilotildees dos
modelos da cineacutetica pontual No entanto os paracircmetros integrais satildeo uacuteteis em
qualquer caso para a obtenccedilatildeo de informaccedilotildees completas sobre o comportamento
fiacutesico do sistema para ter uma indicaccedilatildeo imediata sobre as caracteriacutesticas cineacuteticas do
sistema
91
O conceito de paracircmetros integrais parece perder significado e relevacircncia para
sistemas subcriacuteticos guiados por fonte Por isso para as quantidades integrais
medidas ou simuladas as definiccedilotildees dos paracircmetros gerados devem sempre estar
especificados para evitar interpretaccedilotildees equivocadas e incorretas de tais resultados
Para comparar alguns paracircmetros as simulaccedilotildees foram feitas utilizando tanto
combustiacutevel fresco quanto combustiacutevel usado Assim pode-se comparar alguns
paracircmetros nucleares do iniacutecio do ciclo de combustiacutevel com os resultados de
combustiacutevel no final do ciclo Alguns paracircmetros como a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados (β) e o tempo de geraccedilatildeo meacutedia de necircutrons (Λ) satildeo fornecidos pelo coacutedigo
SERPENT ao final de cada simulaccedilatildeo
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares
Paracircmetro Combustiacutevel
fresco
Combustiacutevel
queimado
Referecircncia (Dulla et
al 2011)
β 000706 000340 000644
Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s
A partir da Tabela 911 pode-se verificar que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
tem uma diminuiccedilatildeo de quase a metade em comparaccedilatildeo ao seu valor inicial Isso eacute de
se esperar devido agrave queima do combustiacutevel fazendo com que este paracircmetro natildeo seja
tatildeo importante na operaccedilatildeo de um reator nuclear no final do ciclo do combustiacutevel como
eacute em seu iniacutecio
O valor para a fraccedilatildeo de necircutrons retardados para combustiacutevel fresco no
reator subcriacutetico Yalina operando a um keff de 098 eacute de 644 pcm (Dulla et al 2011) ou
seja uma diferenccedila de 62 pcm em relaccedilatildeo ao valor encontrado na Tabela 911 Vale
ressaltar que segundo Dulla et al (2011) os paracircmetros integrais dependem do niacutevel
de subcriticalidade
Outro paracircmetro importante para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de cineacutetica pontual e
para o controle do reator sendo muitas vezes utilizado para determinar a resposta
dinacircmica de um reator nuclear eacute o tempo de vida de necircutrons prontos (Λ) (Abaacutenades
et al 2001) Para reatores teacutermicos este valor eacute em torno de 10-4 s enquanto para
reatores subcriacuteticos este valor eacute da ordem de 10-5 s Segundo Dulla et al (2011) o
valor para este paracircmetro eacute de 148 micros para combustiacutevel fresco Assim o valor
encontrado (121 micros) eacute proacuteximo ao encontrado na literatura com um desvio percentual
92
de 18 Este desvio pode se devido agraves diferentes composiccedilotildees do combustiacutevel e
tambeacutem pela diferenccedila de enriquecimento
93
10 Conclusatildeo
A mediccedilatildeo da reatividade utilizando-se a cineacutetica inversa eacute amplamente
utilizada na partida de um reator nuclear Assim uma mediccedilatildeo acurada da reatividade
eacute imprescindiacutevel para o controle do reator (Diacuteaz et al 2007)
Os formalismos propostos por Gandini (2000) e por Silva et al (2011) envolvem
a fonte externa para descriccedilatildeo do comportamento cineacutetico dos reatores subcriacuteticos
guiados por fontes Poreacutem como ainda natildeo existem reatores ADS em operaccedilatildeo as
simulaccedilotildees de tais sistemas satildeo importantes para a avaliaccedilatildeo preliminar do
funcionamento desses reatores
Os resultados apresentados no capiacutetulo anterior mostram que as equaccedilotildees da
cineacutetica inversa para sistemas subcriacuteticos propostas nesta tese reproduzem
satisfatoriamente os reatores subcriacuteticos guiados por fonte sejam utilizando o meacutetodo
das derivadas quanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia tanto para o
formalismo proposto por Gandini (2000) quanto o proposto por Silva et al (2011)
Ainda pode-se notar que tanto para valores constantes como para variaccedilotildees lineares
de β e Λ os resultados satildeo coerentes Isto ocorre devido agrave pequena variaccedilatildeo de β
(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)
Vale ressaltar que o meacutetodo das derivadas se torna interessante para o
monitoramento da reatividade por natildeo necessitar do armazenamento de todo o
histoacuterico potecircncia e depender apenas das derivadas da potecircncia possibilitando que o
caacutelculo da reatividade seja feito com uma maior rapidez se comparado com o tempo
necessaacuterio para resolver a integral do histoacuterico de potecircncia Aleacutem disso este meacutetodo
natildeo necessita do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator e o caacutelculo
pode ser reiniciado em caso de mau funcionamento do equipamento de mediccedilatildeo da
reatividade
A simulaccedilatildeo Monte Carlo foi utilizada para a validaccedilatildeo dos meacutetodos propostos
devido agrave falta de dados nucleares para reatores subcriacuteticos poreacutem mesmo com a boa
reproduccedilatildeo deste tipo de simulaccedilatildeo a modelagem utilizada por estes meacutetodos
encontra problemas pois os dados nucleares disponiacuteveis para alguns actiniacutedeos natildeo
atendem as faixas de energia necessaacuterias para a simulaccedilatildeo de um reator ADS Esses
dados devem cobrir aleacutem de uma vasta gama de energia e um grande conjunto de
nucliacutedeos (Vaz 2010) pois o grande atrativo dos reatores ADS eacute a transmutaccedilatildeo de
rejeitos de longa meia vida e tambeacutem a produccedilatildeo de energia eleacutetrica Assim a ecircnfase
94
dos dados nucleares deve ser nos actiniacutedeos (por exemplo Np Am e o Cm) para o
acompanhamento do ciclo de combustiacutevel com a finalidade de reciclagem muacuteltipla
Mesmo assim a simulaccedilatildeo realizada para a validaccedilatildeo das equaccedilotildees propostas por
Gandini (2000) e por Silva et al (2011) mostra-se coerente para anaacutelise completa da
reatividade de um reator subcriacutetico guiado por fonte
Ainda assim a simulaccedilatildeo Monte Carlo pode ser utilizada para a anaacutelise
preliminar de alguns paracircmetros dos reatores nucleares (criacuteticos ou subcriacuteticos) como
por exemplo o fator de multiplicaccedilatildeo efetivo a fraccedilatildeo de necircutrons retardados e uma
boa aproximaccedilatildeo da quantidade de material transmutado ajudando a prever o
comportamento meacutedio do reator
Pode-se verificar que existe uma boa concordacircncia entre os valores
encontrados para os paracircmetros nucleares e os existentes na literatura Uma possiacutevel
melhora nesses resultados passa por um aumento significativo na quantidade de
histoacuterias simuladas
Este aumento contribuiria para a diminuiccedilatildeo dos erros estatiacutesticos intriacutensecos
do meacutetodo Monte Carlo Poreacutem o tempo de simulaccedilatildeo tambeacutem aumentaria
sensivelmente pois o meacutetodo MC necessita da simulaccedilatildeo individual de cada partiacutecula
podendo levar um tempo absurdamente grande para a simulaccedilatildeo de todo o sistema
Poreacutem mesmo com a ldquofaltardquo de dados nucleares mais precisos para os
actiniacutedeos a simulaccedilatildeo MC se mostra uma importante ferramenta na aacuterea de fiacutesica de
reatores devido a sua facilidade de trabalhar com geometrias bastante complexas
permitindo tambeacutem a simulaccedilatildeo desses sistemas em trecircs dimensotildees
Uma soluccedilatildeo interessante para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares seriam os
meacutetodos computacionais hiacutebridos ou seja um meacutetodo resultante da fusatildeo da
simulaccedilatildeo Monte Carlo com teacutecnicas determiniacutesticas Assim poder-se-ia melhorar os
pontos fortes e eliminar as fraquezas individuais do meacutetodo MC e das abordagens
deterministas Apesar de algumas exceccedilotildees o desenvolvimento de ferramentas
computacionais hiacutebridas eacute no entanto ainda largamente inexplorado (Vaz 2010)
95
11 Referecircncias Bibliograacuteficas
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x
Lista de Figuras
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996 3
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de
Yoriyaz 2009 55
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio 58
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio 58
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo 59
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003) 61
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula 62
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo 64
Figura 78 Processo de caacutelculo de π 65
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009 66
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS 67
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR 72
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER 72
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU 72
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX 73
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT 77
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT 78
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT 79
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do
reator PWR simulado 79
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do
ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias 80
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico 82
xi
Lista de Tabelas
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-
nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012) 2
Tabela 81 Exemplo de um revestimento de zircaloy no MCNPX 71
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de uracircnio no SERPENT 71
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER 73
Tabela 84Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 1 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 85 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 2 (densidade 10851 gcm3) 74
Tabela 86 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 3 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 87 Composiccedilatildeo do revestimento da vareta de combustiacutevel (densidade 75357
gcm3) 75
Tabela 88 Composiccedilatildeo do refletor (densidade 53908 gcm3) 75
Tabela 89 Composiccedilatildeo da barra de controle (densidade 15643 gcm3) 75
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR 75
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR 76
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT 78
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado 82
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos 83
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear 84
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante 85
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia 85
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados 86
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ 87
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia linear constante 88
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares 91
1
1 Introduccedilatildeo
Grande parte da energia eleacutetrica produzida por reatores nucleares satildeo
provenientes de reatores a aacutegua leve devido agrave utilizaccedilatildeo de material fiacutessil pouco
enriquecido para seu funcionamento o que torna sua construccedilatildeo e operaccedilatildeo
bastantes atrativos mesmo com os altos custos de construccedilatildeo e manutenccedilatildeo das
centrais nucleares Aleacutem disso o conhecimento do clico teacutermico utilizados por esses
reatores impulsionaram seu desenvolvimento (Pereira 2002)
Poreacutem estes reatores utilizam ciclo de combustiacutevel aberto e produzem uma
grande quantidade de rejeitos o que inclui grande quantidade de elementos
transuracircnicos (Am Cm Np entre outros) que possuem uma alta meia-vida (cerca de
107 anos)
Assim existe uma grande preocupaccedilatildeo na utilizaccedilatildeo desses reatores natildeo soacute
na prevenccedilatildeo de acidentes mas tambeacutem devido agrave proliferaccedilatildeo de armas nucleares e
agrave necessidade de repositoacuterios finais de estocagem de longa duraccedilatildeo (Iwanaga et al
2005) o que cria uma barreira de sua aplicaccedilatildeo
Atualmente grande parte do combustiacutevel queimado no mundo eacute armazenado
em piscinas dentro das proacuteprias usinas nucleares e em alguns casos o
armazenamento que deveria ser temporaacuterio persiste haacute deacutecadas Estima-se que o
aumento de combustiacutevel utilizado esteja em torno de 12000 toneladas por ano sendo
que apenas 3000 toneladas deste combustiacutevel vatildeo para o reprocessamento1
Uma forma de contornar o problema da estocagem eacute atraveacutes da queima dos
rejeitos provenientes dos reatores nucleares de potecircncia em outros tipos de reatores
Inicialmente os reatores raacutepidos foram os primeiros a serem considerados para
esta finalidade por proporcionar aleacutem de uma melhor utilizaccedilatildeo das reservas de
uracircnio a possibilidade de transmutaccedilatildeo dos elementos transuracircnicos Poreacutem
dificuldades na operaccedilatildeo de reatores raacutepidos criacuteticos como por exemplo o controle da
criticalidade e tambeacutem a oxidaccedilatildeo do material usado como refrigerante (soacutedio)
dificultaram o seu uso
Cerca de 20 reatores raacutepidos jaacute entraram em operaccedilatildeo desde a deacutecada de
1950 sendo em sua maioria reatores de pesquisa Comercialmente apenas o reator
francecircs Superphenix chegou a entrar em operaccedilatildeo comercial Ele foi desenvolvido
para gerar 12 GW de energia eleacutetrica poreacutem foi fechado em 1998 devido a falhas
1 httpwwwworld-nuclearorginfoNuclear-Fuel-CycleNuclear-WastesRadioactive-Waste-
ManagementUTn-jaVtivM
2
estruturais alto custo e repetidos incidentes O Superphoenix funcionou apenas 10
meses em 13 anos
Os reatores raacutepidos satildeo projetados para usar 238U e tambeacutem 235U usado na
maioria dos reatores Se esses reatores satildeo projetados para produzir mais plutocircnio do
que consomem eles satildeo chamados reatores reprodutores raacutepidos (FBR) (Lodhi et al
2009) Os reatores raacutepidos tambeacutem podem queimar actiniacutedeos que possuem alta meia
vida que podem ser transmutados em outros elementos para o uso em reatores
convencionais (LWR) A Tabela 11 mostra alguns reatores raacutepidos que entraram ou
entraratildeo em operaccedilatildeo no mundo
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012)
Paiacutes Reator Tipo Potecircncia
Eleacutetrica (MWe)
Potecircncia
Teacutermica (MW) Operaccedilatildeo
USA
EBR 1 02 14 1951-63
EBR II Pesquisa 20 625 1963-94
Fermi 1 Pesquisa 66 200 1963-72
SEFOR
20 1969-72
Fast Flux Test
Facility Pesquisa
400 1980-93
Inglaterra Protoype FR Protoacutetipo 15 60 1959-77
Dounreay FR Pesquisa 270 650 1974-94
Franccedila
Rapsodie Pesquisa 40 1966-82
Phenix Protoacutetipo 250 563 1973-2009
Superphenix Comercial 1240 3000 1985-98
Alemanha KNK 2 Pesquisa 21 58 1977-91
Iacutendia FBTR Pesquisa
40 1985-
PFBR Protoacutetipo 500 1250 2012-
Japatildeo
Joyo Pesquisa
140 1978-
Monju Protoacutetipo 280 714 1994-96
2010-
Cazaquistatildeo BN 350 Protoacutetipo 135 750 1972-99
Ruacutessia
BN 12
101 1950
BR 5 10 Obninsk Pesquisa
5 8 1959-71
1973-
BOR 60
Dimitrovgrad Pesquisa 12 55 1969-
BN 600 Beloyarsk 3 Protoacutetipo 600 1470 1980-
BN-800 Beloyarsk 4 Comercial 880 2000 2014-
China CEFR Pesquisa 20 65 2010-
3
Vaacuterios paiacuteses tecircm programas de pesquisa e desenvolvimento para melhorar os
reatores raacutepidos Aleacutem disso o projeto internacional em inovaccedilatildeo de reatores
nucleares e ciclo de combustiacutevel (INPRO) da agecircncia internacional de energia atocircmica
(AIEA) possui como ecircnfase os reatores raacutepidos para funcionarem com o ciclo de
combustiacutevel fechado
Os problemas encontrados na operaccedilatildeo dos reatores raacutepidos podem ser
contornados utilizando um conceito onde os necircutrons que satildeo produzidos por uma
reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo a um custo eleacutetrico pequeno entram em um meio multiplicativo
com uma configuraccedilatildeo de combustiacutevelmoderador (Rubbia et al 1996) Esses reatores
satildeo chamados reatores hiacutebridos devido ao acoplamento de um acelerador de
partiacuteculas para seu funcionamento A Figura 11 mostra uma concepccedilatildeo do esquema
de funcionamento desses tipos de reatores
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996
Este conceito de reator foi proposto desde os anos 1970 (Maniscalco et al
1974) Poreacutem dificuldades tecnoloacutegicas adiaram seu desenvolvimento pois estes
aceleradores de partiacuteculas devem ser extremamente confiaacuteveis durante a operaccedilatildeo do
reator
Os reatores hiacutebridos subcriacuteticos satildeo atraentes por proporcionar melhor
utilizaccedilatildeo dos recursos naturais e tem sido amplamente reconhecidos como sendo
altamente seguros (Rubbia et al 1995) A principal vantagem deste tipo de reator eacute a
operaccedilatildeo de um reator com fator de multiplicaccedilatildeo menor que a unidade (keff lt1) em
Acelerador
Nuacutecleo
Turbina
Condensador
Trocador de Calor
Gerador
4
que as reaccedilotildees de fissatildeo devem ser desencadeadas por um intenso feixe de
partiacuteculas carregadas aceleradas como por exemplo proacutetons ou iacuteons pesados com
energia entre 05 - 50 GeV por nucleon (Perelygin et al 1999)
Aleacutem disso o objetivo da transmutaccedilatildeo eacute a minimizaccedilatildeo de rejeitos nucleares
atraveacutes da transmutaccedilatildeo dos actiniacutedeos menores (AM) como Np Am e Cm Portanto
esses reatores devem ser carregados com combustiacutevel que contenha grandes
quantidades de AM
Para poderem realizar a transmutaccedilatildeo esses reatores utilizam necircutrons no
espectro raacutepido Isto ocorre porque nessa faixa de energia a seccedilatildeo de choque de
fissatildeo eacute mais favoraacutevel para a transmutaccedilatildeo dos AM Assim esses reatores se
caracterizam por uma baixa fraccedilatildeo de necircutrons retardados o que implica em raacutepidas e
grandes variaccedilotildees de potecircncia para uma pequena variaccedilatildeo na reatividade (Sordo et
al 2009) Segundo Rubbia et al (1996) uma mudanccedila suacutebita de +01 em um fator de
multiplicaccedilatildeo inicialmente a 095 causa um aumento na potecircncia de aproximadamente
20 Este aumento de reatividade em um reator raacutepido pode ter consequecircncias
catastroacuteficas
Para as especificaccedilotildees do feixe que deve sustentar o funcionamento do reator
Rubbia et al (1995) afirma que existe pouca ou nenhuma vantagem no uso de
partiacuteculas mais sofisticadas indicando o uso exclusivo de proacutetons no feixe de
partiacuteculas
Os reatores hiacutebridos ainda necessitam de um forte desenvolvimento o que
inclui novos combustiacuteveis e novas teacutecnicas de reprocessamento e tais programas
ainda natildeo foram totalmente desenvolvidos De qualquer forma o conceito de reator
hiacutebrido pode ser uma ferramenta potencial para obter o melhor domiacutenio da fissatildeo para
a geraccedilatildeo de energia eleacutetrica e sem o uso de reatores regeneradores raacutepidos (que
satildeo criacuteticos) que apresentam mais problemas na seguranccedila do que os reatores
subcriacuteticos (Piera et al 2010)
Inicialmente as especificaccedilotildees do feixe de partiacuteculas deveria ser capaz de
enviar proacutetons de no miacutenimo 1 GeV de energia o que implica em uma corrente de 10
agrave 15 mA Caso mais energia seja necessaacuteria pode-se usar vaacuterios feixes em paralelo
(Rubbia et al 1995)
O alvo atingido pelo feixe de partiacuteculas aceleradas pode ser o uracircnio natural ou
empobrecido o chumbo liacutequido ou outro material de alto nuacutemero atocircmico Assim os
necircutrons gerados nesta reaccedilatildeo entram no reator subcriacutetico que cerca o alvo
Mais recentemente Sordo et al (2009) afirmou que o alvo mais eficiente para
os reatores hiacutebridos eacute a liga feita de chumbo e bismuto (LBE) no estado liacutequido
bombardeado com proacutetons de energia entre 600 MeV e 1 GeV Devido a restriccedilotildees
5
termodinacircmicas os alvos de materiais soacutelidos satildeo indicados para instalaccedilotildees de baixa
potecircncia sendo pouco praacutetico para aplicaccedilotildees industriais que necessitam de potecircncias
muito maiores
O acelerador deve fornecer uma corrente de proacutetons com ampla faixa de
operaccedilatildeo pois para um reator que funcione com fator de multiplicaccedilatildeo muito menor
que a unidade deve-se evitar um desligamento natildeo programado durante seu
funcionamento
A produccedilatildeo de necircutrons na reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo determina a potecircncia teacutermica
do reator dependendo do seu niacutevel de subcriticalidade A diminuiccedilatildeo do valor do keff
devido agrave queima de combustiacutevel deve ser compensada para manter a potecircncia do
reator constante para isso pode-se aumentar a intensidade da fonte de necircutrons
Poreacutem isto induz um estresse termomecacircnico como a dilataccedilatildeo devido ao aumento
da temperatura aleacutem da maior degradaccedilatildeo natildeo soacute na estrutura do reator mas
tambeacutem e principalmente no alvo (Sordo et al 2009) O feixe de proacutetons deve ser
projetado para manter a integridade do alvo durante todo o ciclo de operaccedilatildeo
O projeto do reator hiacutebrido de pesquisa para aplicaccedilotildees de alta tecnologia
(MYRRHA) comeccedilou em 1998 pelo Centro de Pesquisas Nucleares da Beacutelgica
(SCKbullCEN) O primeiro objetivo do MYRRA seraacute demonstrar o conceito de reator ADS
a um niacutevel razoaacutevel de potecircncia e a viabilidade tecnoloacutegica da transmutaccedilatildeo de
actiniacutedeos menores e de produtos de fissatildeo de longa meia vida O MYRRHA tambeacutem
iraacute ajudar o desenvolvimento da tecnologia de ligas de chumbo necessaacuterio para os
reatores da geraccedilatildeo IV (Abderrahim et al 2005)
O reator estaacute previsto para entrar em operaccedilatildeo em 2023 e encontra-se em fase
de licenciamento sendo um dos reatores hiacutebridos com maior nuacutemero de referecircncias na
literatura Como ele pode trabalhar em modo criacutetico e subcriacutetico o MYRRHA gera uma
potecircncia entre 50 e 100 MWt O acelerador injeta proacutetons de 600 MeV no nuacutecleo do
reator e utiliza combustiacutevel tipo MOX
Apesar do grande nuacutemero de referecircncias encontradas na literatura os dados
de composiccedilatildeo de combustiacutevel paracircmetros nucleares materiais utilizados nesses
reatores e o comportamento cineacutetico satildeo escassos Por isso neste trabalho foram
utilizadas simulaccedilotildees numeacutericas pelo Meacutetodo de Monte Carlo para a avaliaccedilatildeo da
cineacutetica e dos paracircmetros nucleares desses reatores
Simulaccedilotildees computacionais de um sistema podem proporcionar importantes
informaccedilotildees para o estudo preliminar de novas tecnologias A simulaccedilatildeo pelo meacutetodo
de Monte Carlo foi escolhida pois eacute um dos meacutetodos que melhor descreve geometrias
complexas e que fornece informaccedilotildees precisas e detalhadas em trecircs dimensotildees aleacutem
de considerar a dependecircncia temporal tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
6
partiacuteculas neutras Assim o meacutetodo Monte Carlo (MC) se torna um meacutetodo atrativo
para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo MC eacute a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees de experimentos onde
os resultados satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido satildeo necessaacuterios aleacutem da simulaccedilatildeo das
partiacuteculas geradas atraveacutes da reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo coacutedigos que consigam prever a
queima do combustiacutevel Existem vaacuterios coacutedigos na literatura com esta finalidade e que
podem ser incorporados em coacutedigos mais gerais de MC
Atualmente um dos coacutedigos MC mais utilizados para simulaccedilatildeo de reatores
nucleares eacute o MCNPX (Hashemi-Nezhad et al 2002 Kadi et al 2001 Catsaros et al
2009) Este coacutedigo eacute desenvolvido pelo Laboratoacuterio Nacional de Los Alamos e
atualmente encontra-se na versatildeo 26e
O MCNPX eacute um coacutedigo MC geneacuterico de transporte de radiaccedilatildeo para modelar a
interaccedilatildeo da radiaccedilatildeo com a mateacuteria MCNPX significa Monte Carlo N-Particle
eXtended Ele estende as capacidades do MCNP4C3 a um grande nuacutemero de
partiacuteculas em uma ampla faixa de energia e para quase todas as aplicaccedilotildees sem custo
adicional de tempo computacional MCNPX faz caacutelculos tridimensionais e dependentes
do tempo Utiliza as bibliotecas mais novas de seccedilatildeo de choque nucleares aleacutem de
usar modelos fiacutesicos para as partiacuteculas que natildeo possuem dados tabulados
disponiacuteveis
O MCNPX 26e eacute capaz de realizar o caacutelculo do keff atraveacutes das geraccedilotildees de
necircutrons do fluxo de necircutrons a evoluccedilatildeo de combustiacutevel e tambeacutem calcula as
seccedilotildees de choque Poreacutem este coacutedigo natildeo permite a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees que
necessitam fonte externa de necircutrons
Atualmente um dos uacutenicos coacutedigos MC que permite a simulaccedilatildeo de um reator
controlado com fonte externa eacute o SERPENT (Leppaumlnen 2012) Este coacutedigo eacute
especiacutefico para o estudo de reatores nucleares e se encontra na versatildeo 1118
As simulaccedilotildees de MC podem fornecer importantes informaccedilotildees antes mesmo
de se iniciar a construccedilatildeo por exemplo de um reator do tipo ADS aleacutem de ter a
possibilidade de indicar quais materiais podem ser utilizados Eacute claro que a simulaccedilatildeo
natildeo substitui o experimento real mas pode ajudar a prever melhorias antes de seu
funcionamento Aleacutem disso as simulaccedilotildees podem ser utilizadas para a validaccedilatildeo de
novos meacutetodos de caacutelculo da reatividade tanto para reatores hiacutebridos quanto para
reatores teacutermicos jaacute que eacute um dos paracircmetros mais importantes em um reator
nuclear
7
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes equaccedilotildees para a cineacutetica de um reator
subcriacutetico (Gandini et al 2000 Nishihara et al 2003 Silva et al 2011) Assim com o
intuito de obter a variaccedilatildeo da reatividade para reatores subcriacuteticos obteve-se uma
expressatildeo para essa funccedilatildeo com base na cineacutetica pontual inversa para sistemas ADS
jaacute que para esses sistemas o monitoramento da reatividade eacute vital para o
funcionamento normal E ainda os reatores subcriacuteticos guiados por fonte necessitam
de uma forma de caacutelculo da reatividade mais raacutepida para evitar um ldquodesligamentordquo natildeo
programado para isso foi utilizado o meacutetodo das derivadas no caacutelculo da reatividade
uma vez que este meacutetodo natildeo necessita da informaccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
A validaccedilatildeo da expressatildeo obtida para a reatividade proposta nesta tese foi feita
atraveacutes de simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) uma vez que os dados de reatores
subcriacuteticos tipo ADS satildeo encontrados em nuacutemero reduzido na literatura
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas duas formulaccedilotildees para as equaccedilotildees da
cineacutetica subcriacutetica e as respectivas expressotildees para a cineacutetica inversa
Alguns meacutetodos de tratamento do histoacuterico de potecircncia satildeo apresentados no
Capiacutetulo 3 sendo que o meacutetodo das derivadas parciais da potecircncia nuclear eacute tratado
em detalhes
Jaacute no Capiacutetulo 4 satildeo obtidas as expressotildees da cineacutetica pontual para casos em
que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados (β) e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons (Λ)
satildeo dependentes do tempo
O capiacutetulo 5 tem-se o caacutelculo da reatividade para alguns casos particulares da
variaccedilatildeo da potecircncia nuclear com todos os paracircmetros nucleares constantes E no
Capiacutetulo 6 temos as mesmas variaccedilotildees da potecircncia nuclear com as variaccedilotildees
temporais de β e de Λ
Os fundamentos da simulaccedilatildeo Monte Carlo satildeo tratados no Capiacutetulo 7
juntamente com os meacutetodos especiacuteficos para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares
No Capiacutetulo 8 satildeo apresentados e descritos os coacutedigos Monte Carlos utilizados
neste trabalho
Jaacute no Capiacutetulo 9 satildeo apresentados os resultados obtidos da reatividade com as
expressotildees que foram apresentadas nos capiacutetulos 5 e 6
Finalmente no Capiacutetulo 10 satildeo apresentadas as conclusotildees desta tese
8
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para
Reatores Subcriacuteticos
A formulaccedilatildeo da cineacutetica pontual provou ser uma ferramenta poderosa para a
avaliaccedilatildeo da reatividade para diferentes tipos de reatores tanto em operaccedilatildeo normal
quanto na partida do reator Esta formulaccedilatildeo descreve o comportamento dos necircutrons
dentro do reator sem nenhuma dependecircncia espacial sendo que a distribuiccedilatildeo dos
necircutrons evolui de maneira pontual
As diferentes propostas para a funccedilatildeo importacircncia encontradas na literatura
resultam em diferentes equaccedilotildees da cineacutetica pontual (Gandini et al 2000 Nishihara et
al 2003 Silva et al 2011) para descrever o comportamento dos necircutrons dentro de
reatores subcriacuteticos
Para um sistema sem fonte externa de necircutrons tem-se somente uma
autofunccedilatildeo para toda a distribuiccedilatildeo de necircutrons em todos os instantes dentro do
reator Poreacutem para reatores com fonte externa esta afirmaccedilatildeo pode natildeo ser
verdadeira pois se a distribuiccedilatildeo de necircutrons for dominada pela fonte externa pode
envolver uma superposiccedilatildeo de muitas autofunccedilotildees Assim o comportamento pontual
pode ser fatorado no produto de uma funccedilatildeo da amplitude (apenas com dependecircncia
temporal) e uma funccedilatildeo de forma (sem dependecircncia temporal mas com dependecircncia
das variaacuteveis do espaccedilo de fase) (Dulla 2003)
As equaccedilotildees que descrevem o funcionamento dos reatores subcriacuteticos podem
ser obtidas a partir da equaccedilatildeo de transporte ou da equaccedilatildeo de difusatildeo (Gandini
2000) Assim as equaccedilotildees da cineacutetica espacial podem ser escritas da seguinte
maneira
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1
I
i i ext
i
r t A r t F r t c r t qv t
β λ=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum
(21)
( ) ( ) ( ) 1i i i ic r t F r t c r t i It
β λpart
= Ψ minus =part
(22)
onde v eacute a velocidade dos necircutrons iβ eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados do grupo i
e iλ eacute a constante de decaimento dos precursores de necircutrons retardados do grupo i
Nas seccedilotildees seguintes satildeo apresentados os formalismos para a cineacutetica dos
9
reatores ADS encontrados nos trabalhos de Gandini et at (2000) atraveacutes da
metodologia da teoria heuriacutestica de perturbaccedilatildeo generalizada (HGPT) e no trabalho de
Silva et al (2011) em que eacute proposto um termo adjunto de fonte (TAF) que se torna
significativo para reatores que operam longe da criticalidade
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
A funccedilatildeo importacircncia proposta por Gandini et al (2002) para o caso de
necircutrons monoenergeacuteticos isotroacutepicos meio homogecircneo e sem dependecircncia
temporal eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (Silva 2011)
( ) ( )0 0 0 0
0
0f
f
wA n r F n r
P
+ + + +minus minus Σ =
(23)
onde fw eacute a energia revertida por fissatildeo e P0 eacute a potencia nuclear sem perturbaccedilatildeo
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0n+ e integrando em r
obteacutem-se
( )0 0 0 0
1
11
I
o i i ext
i
n n A n F n c n qv t
β λ+ + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (24)
Considerando-se as seguintes perturbaccedilotildees no sistema
0 A A Aδminus rarr minus + (25)
0 F F Fδrarr + (26)
(0) ext ext extq q qδrarr + (27)
10
onde 0Aminus 0F e (0)
extq satildeo os estados estacionaacuterios natildeo perturbados
Substituindo e manipulando as equaccedilotildees (25) (26) e (27) na equaccedilatildeo (24) resulta em
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0 0
1
1
1
o
I
i i ext ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q n q
δ β
β δ λ δ
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + +sum (28)
Somando e subtraindo 0n Fβ+ Ψ na equaccedilatildeo (28) e lembrando que
(0)
0 1ext
n q+ = de acordo com Gandini (2001) vem
( )
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0
1
0 0 0
1
1 1
o
I
i i ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q
n F F n F
δ β
β δ λ
β δ β
+ minus + + +
+ + +
=
+ +
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + + +
+ Ψ minus Ψ
sum (29)
Rearranjando os termos da equaccedilatildeo acima tem-se
1
0 0 0 00
0 0 0
1
0
1
o
I
i i ext
i
n v n A n F n At
n F n c n q
n F
δ
δ λ δ
β
+ minus + + +
+ + +
=
+
partΨ = Ψ + Ψ + Ψ +
part
Ψ + + + +
minus Ψ
sum (210)
Ponderando a equaccedilatildeo (23) com Ψ obteacutem-se (Silva et al 2011)
0 0 00
0
0f
wn A n F
P
++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)
11
Substituindo a equaccedilatildeo (211) na equaccedilatildeo (210) tem-se
1
0 0 0
1
0
0
1
I
o i i
i
ext f
n v n A F n F n ct
wn q
P
δ δ β λ
δ
+ minus + + +
=
+
partΨ = + Ψ minus Ψ + +
part
minus Σ Ψ +
sum (212)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t P t rφΨ asymp
(213)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )P t eacute a potecircncia
Substituindo a aproximaccedilatildeo dada pela equaccedilatildeo (213) na equaccedilatildeo (212)
obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
n v P t r n A F P t r n F P t rt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
part= + minus +
part
+ minus Σ +sum
(214)
Como bull eacute uma integraccedilatildeo no espaccedilo pode-se escrever
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
+ minus Σ +sum
(215)
Sendo 0 0f
P w φ= Σ tem-se
12
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
1
o
I
i i ext
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
n c P t n q
φ δ δ φ β φ
λ δ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus + +sum
(216)
Dividindo a equaccedilatildeo (216) por
0 0 I n F φ+= (217)
a equaccedilatildeo (216) pode ser escrita da seguinte forma
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1 I
n n n n n
eff eff i i
i
dP tP t C t P t Q
dtρ β λ ζ
=
Λ = minus + + minus + sum (218)
sendo
( )1
0
o
n
eff
n v r
I
φ+ minus
Λ equiv
(219)
( )0 0
nn A F r
I
δ δ φρ
+ +equiv
(220)
( )0 0
n
eff
n F r
I
β φβ
+
equiv
(221)
( )0
in
i
n cC t
I
+
equiv (222)
1
I
ζ equiv (223)
0
extn
n qQ
I
δ+
equiv (224)
13
onde nρ eacute uma reatividade generalizada nQ eacute o valor da fonte externa ( )n
iC t eacute a
concentraccedilatildeo de precursores e ζ eacute um termo de subcriticalidade inserido pela funccedilatildeo
importacircncia
Agora ponderando a equaccedilatildeo (22) com 0n+ e dividindo pelo o fator de
normalizaccedilatildeo dado pela equaccedilatildeo (217) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) n n n
i i eff i i
dC t P t C t
dtβ λ= minus (225)
onde
0 0
in
i eff
n F
I
β φβ
+
equiv (226)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
proposta por Gandini et al (2000) considerando um grupo de precursores de
necircutrons eacute escrito da seguinte maneira
( )
( ) ( ) ( )( ) 1n
n n
dP tt P t C t P t q
dtρ β λ ζ Λ = minus + + minus + (227)
( )( )
( )n
dC tP t C t
dtβ λ= minus
(228)
onde ( )nP t eacute a potecircncia normalizada β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados ζ eacute o
iacutendice de subcriticalidade (que tende agrave zero quando o sistema se a proacutexima da
criticalidade) ( )ρ t eacute a reatividade generalizada do sistema ( )C t eacute a concentraccedilatildeo de
precursores e Λ tempo de geraccedilatildeo meacutedio de necircutrons
14
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Na funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011) existe um termo de
fonte adjunto que se torna significativo para os sistemas que estatildeo longe de
criticalidade Portanto a equaccedilatildeo da funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011)
foi
( ) ( )dagger
0 0 0 0
0
1
f
sub
A r F rk N
νε ε η+ + +
Σminus =
(229)
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0ε + e integrando em r
obteacutem-se
( )1
0 0 0 0
1
1 I
o i i ext
i
v A F c qt
ε ε ε β λ ε ε+ minus + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (230)
Realizando uma perturbaccedilatildeo no sistema da seguinte maneira
0 A A Aδminus rarr minus + (231)
0
1
sub
F F Fk
δrarr + (232)
Substituindo as equaccedilotildees (231) e (232) na equaccedilatildeo (230) e rearranjando os
termos vem
( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1
11
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q
ε ε ε δ ε β
ε β δ λ ε ε
+ minus + + +
+ + +
=
partΨ = minus Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + +sum
(233)
15
Somando e subtraindo 0 Fε β+ Ψ na equaccedilatildeo (233) e utilizando a equaccedilatildeo
(232) pode-se escrever
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q F
ε ε δ ε ε
ε δ λ ε ε ε β
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + minus Ψ + Ψ +
part
Ψ + + minus Ψsum
(234)
Agora ponderando-se a equaccedilatildeo (229) com ( )r tΨ
podemos escrever
segundo Silva (2011)
0 0 0 0
0
1
f
sub
A Fk N
νε ε η+ +minus Ψ + Ψ = minus Σ Ψ (235)
Substituindo a equaccedilatildeo (235) na equaccedilatildeo (234)
1
0 0
0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
v A F Ft
c qN
ε ε δ δ ε β
νλ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
partΨ = + Ψ minus Ψ +
part
minus Σ Ψ +sum (236)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t N t rφΨ asymp
(237)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )N t eacute a densidade necircutrons tem-se substituindo
a equaccedilatildeo (237) na equaccedilatildeo (236)
16
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t qN
ε φ ε δ δ φ ε β φ
νλ ε η φ ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus Σ +sum (238)
e como 0 0f
N ν φ= Σ pode-se escrever a equaccedilatildeo (238) da seguinte maneira
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
o
I
i i ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t q
ε φ ε δ δ φ ε β φ
λ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus +sum (239)
Dividindo a equaccedilatildeo (239) por 0oI Fε φ+= obteacutem-se
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
I
eff i i
i
dN tN t C t N t q
dtρ β λ
=
Λ = minus + minus Γ +sum (240)
onde
1
0
o
eff
v
I
ε φ+ minus
Λ equiv (241)
0 0
A F
I
ε δ δ φρ
+ +equiv (242)
0 0
eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (243)
( )0
i
i
cC t
I
ε +
equiv (244)
0
ext
I
ε +
equiv (245)
I
ηΓ equiv (246)
sendo ρ eacute uma relatividade generalizada Q eacute um termo relacionada agrave fonte externa
Γ um termo de subcriticalidade e ( )iC t eacute a concentraccedilatildeo de precursores
17
Procedendo de maneira anaacuteloga para a equaccedilatildeo (22) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) i i eff i i
dC t N t C t
dtβ λ= minus (247)
onde
0 0
i
i eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (248)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
segundo Silva (2011) eacute escrito como
( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ minus Γ + Σ (249)
( )
( ) ( )f
dC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
sdotΣ (250)
onde ϖ eacute a energia meacutedia liberada por fissatildeo Σ f eacute a seccedilatildeo de choque macroscoacutepica
de fissatildeo e β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
23 Cineacutetica Inversa
Usualmente o controle de um reator nuclear eacute feito atraveacutes do monitoramento
da reatividade o que torna o meacutetodo da cineacutetica inversa relevante A reatividade eacute
caracterizada por uma mudanccedila no fator de multiplicaccedilatildeo do reator o que o torna um
dos paracircmetros mais importantes em fiacutesica de reatores Nas seccedilotildees seguintes seratildeo
apresentadas as equaccedilotildees para o caacutelculo da reatividade
18
231 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Para obter-se a expressatildeo da cineacutetica pontual inversa eacute necessaacuterio resolver as
equaccedilotildees (227) e (228) Partindo da equaccedilatildeo (228) e utilizando meacutetodo do fator
integrante obteacutem-se
( ) ( )( )
t
t t
nC t P t e dt
λβ minus minus
minusinfin
= int (251)
Substituindo a equaccedilatildeo (251) na equaccedilatildeo (227) vem
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )( )1
tnt tn n
n
P tdP t P tt P t e dt Q
dt
λζλβ
ρ β minus minus
minusinfin
minus= minus + + +
Λ Λ Λint (252)
onde Q qequiv Λ eacute o termo de fonte de necircutrons Resolvendo a equaccedilatildeo (252) para
( )tρ tem-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )
0
0
1
ttt tn
n
n n n
n
n n
dP t P et P t e dt
P t dt P t P t
P t Q
P t P t
λλβ λβ
ρ β
ζ
minusminus minusΛ
= + minus minus
minus Λminus minus
int (253)
onde P0 = P(0)
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga a seccedilatildeo anterior e partindo das equaccedilotildees
(249) e (250) propostas por Silva et al encontra-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t
t ttdP t P Q
t e e P t dtP t dt P t P t P t
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus minusint (254)
19
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico
de Potecircncia
Existem vaacuterios meacutetodos de tratamento para a soluccedilatildeo ou aproximaccedilatildeo do
histoacuterico de potecircncia Esses meacutetodos visam diminuir o tempo de caacutelculo
computacional sem que seja introduzido um erro muito grande e podem envolver ou
natildeo uma fonte externa de necircutrons
A mediccedilatildeo da reatividade a partir da cineacutetica inversa permite que seu valor seja
analisado a cada instante pela variaccedilatildeo temporal do niacutevel de potecircncia do reator
(Ansari et al 2001)
Devido ao grande interesse nos reatores ADS apenas os meacutetodos que
envolvem fontes externas seratildeo apresentados sendo que o uacutenico que seraacute detalhado
eacute o meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear
31 Meacutetodo de Agrupamento
Na partida do reator a contribuiccedilatildeo da fonte externa de necircutrons deve ser
considerada Assim Hoogenboom et al (1998) escrevem a equaccedilatildeo da cineacutetica
inversa como
( )( )
( ) ( )( )
1 i
t t t
i i
i
c St e P t dt
P t P t
λρ β β λ minus minus
minusinfin
Λ= minus minussum int (31)
A integral da equaccedilatildeo (31) pode ser calculada recursivamente atraveacutes de
amostragens de P(t) usando interpolaccedilatildeo linear entre duas amostras consecutivas
Pn-1 = P(tn -1) e Pn = P(tn) separadas por um intervalo t∆ Portanto
20
( ) ( )
1
1
1 1
1
in
i n i
i
i
tt t t t n
n n
i i
ttn
i i
P eI e P t dt e I
t
P ee
t
λλ λ
λλ
λ λ
λ λ
minus ∆minus minus minus ∆
minusminusinfin
minus ∆minus ∆minus
minus= = + minus
∆
minusminus minus
∆
int (32)
Introduzindo a seguinte funccedilatildeo
( ) ( ) ( ) i
t t t
i i
i
g t e P t dtλβ λ minus minus
minusinfin=sum int (33)
e reescrevendo a equaccedilatildeo (31) em funccedilatildeo de ( )g t tem-se
( )( )( ) ( )
Sg t
tP t P t
ρρ β= minus minus (34)
Para um reator subcriacutetico com potecircncia constante na presenccedila de fonte
externa de necircutrons (S) obteacutem-se
ou S S
PP
ρ ρρρ
= minus = minus (35)
Este meacutetodo pode ser resumido nos seguintes passos
No intervalo desejado divide-se as seacuteries de P(t) e g(t) em trecircs grupos de
mesma duraccedilatildeo
1 Calcula-se os conjuntos de valores de cada um dos grupos ( )1 1P g
( )2 2P g e ( )3 3
P g
2 Estima-se os valores do gradiente ( )β ρminus e o interseccedilatildeo ( )Sminus Λ atraveacutes
de
( ) 3 1
3 1
g g
P Pβ ρ
minusminus =
minus (36)
( ) ( ) S g Pβ ρminus Λ = minus minus (37)
21
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada
Neste meacutetodo Kitano et al (2000) escreve a expressatildeo da reatividade como
( )( )
( )( )
( ) ( )( )6
1
i i
i
S t dP tt C t
P t P t P t dtρ β λ
=
ΛΛ Λ= minus minus +sum (38)
Segundo o autor o termo ( )
( )dP t
P t dt
Λ pode ser negligenciado pois o erro
inserido eacute menor que 1 para um amplo intervalo de reatividade Portanto a equaccedilatildeo
(38) eacute escrita como
( )( )
( )( )
( )
6
1
i i
i
S tt C t
P t P tρ β λ
=
ΛΛ= minus minussum (39)
Por conveniecircncia computacional a equaccedilatildeo da concentraccedilatildeo de precursores
pode ser escrita da seguinte forma (Kitano et al 2000)
( ) ( ) ( ) 16ii i i iC t t P t C t C t t i
βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =
Λ (310)
onde P e iC satildeo os valores meacutedios para o incremento de tempo t∆
Portanto a equaccedilatildeo (39) pode ser escrita na seguinte forma
( ) ( ) ( ) ( )6
1
i i
i
g t C t S P tλ β ρ=
equiv Λ = minus Λ + minussum (311)
onde a fonte de necircutrons (S) e a reatividade satildeo constantes Esta equaccedilatildeo pode ser
considerada como uma equaccedilatildeo linear de P(t)
Considerando que o sinal da potecircncia tenha um grande erro principalmente na
operaccedilatildeo em baixa potecircncia pode-se aplicar filtros para ruiacutedo de alta frequecircncia e
tambeacutem de baixa frequecircncia da seguinte forma
22
1
1 N
i j
j
P PN =
= sum (312)
e
( )1 1 i i i i
tP P P P
t τminus minus
∆= + minus
∆ + (313)
onde Pj eacute a medida da potecircncia medida iP eacute a potecircncia meacutedia e N eacute o nuacutemero de
amostras τ eacute a constante de tempo e i
P eacute a saiacuteda da equaccedilatildeo (313)
A introduccedilatildeo da memoacuteria baacutesica indexada eacute segundo os autores um novo
ldquotermocircmetrordquo para diagnosticar um transiente sendo definido por
[ ] 1 1
6
1
1
i i
i
CM I
C
λ β
βλ
=
equiv
sum (314)
A memoacuteria baacutesica indexada (MI) eacute a normalizaccedilatildeo das emissotildees de necircutrons
retardados do primeiro grupo sobre o total de emissotildees de necircutrons retardados Note
que a MI assume valor unitaacuterio quando o reator estaacute em estado estacionaacuterio Assim
ela pode ser usada para detectar o iniacutecio e o final de um transiente para a aplicaccedilatildeo do
meacutetodo de grupo
23
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da
intensidade da fonte externa
A equaccedilatildeo da cineacutetica inversa escrita com uma discretizaccedilatildeo no tempo e
assumindo que a potecircncia do reator varia com ( ) 1jt
jn t n emicro
minus= onde
( )1log j j j
n n tmicro minus= ∆ eacute dada por (Tamura 2003)
6
1
j
j eff i i j
ij j j
nC S
n t n nρ β λ
=
∆Λ Λ Λ= + minus minus
∆sum (315)
onde
1
1 1
i
i
t
j jt ii j i j
j
i
j
n n eC C e
n
n t
λ
λ β
λ
minus ∆minusminus ∆
minus
minus= +
∆Λ+
∆
(316)
Note que o subiacutendice j representa os valores no tempo j e S eacute a fonte externa
de necircutrons
Considerando as seguintes condiccedilotildees iniciais
( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)
e
0 0 S nρ = minusΛ (318)
tanto a reatividade ρ quanto a fonte S satildeo obtidas pelo meacutetodo dos miacutenimos
quadrados (Diacuteaz 2007)
24
34 Meacutetodo das Derivadas
As equaccedilotildees (253) e (254) obtidas no capiacutetulo anterior envolvem a mesma
integral em funccedilatildeo da potecircncia do reator Esta integral tambeacutem chamada de histoacuterico
de potecircncia deve ser calculada desde o iniacutecio da operaccedilatildeo do reator ateacute o tempo atual
de maneira contiacutenua ou seja exige monitoramento constante da potecircncia Aleacutem disso
o armazenamento desta informaccedilatildeo eacute necessaacuterio durante toda operaccedilatildeo do reator
para possibilitar a recuperaccedilatildeo da informaccedilatildeo da reatividade caso ocorra uma
interrupccedilatildeo em seu caacutelculo
Para o caso dos reatores subcriacuteticos o monitoramento contiacutenuo da reatividade
eacute imprescindiacutevel para seu funcionamento normal Como a produccedilatildeo de necircutrons eacute
insuficiente para manter as reaccedilotildees nucleares nesses reatores a reatividade pode ser
um paracircmetro utilizado para o monitoramento e ajuste da intensidade do feixe de
proacutetons para manter as reaccedilotildees nucleares produccedilatildeo de energia eleacutetrica constante
durante a operaccedilatildeo do reator
O meacutetodo das derivadas estaacute baseado na integraccedilatildeo por partes da integral do
histoacuterico de potecircncia da equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa resultando em uma seacuterie
de potecircncias em funccedilatildeo da potecircncia nuclear do reator com dependecircncia temporal
(Diacuteaz 2007) Este meacutetodo de caacutelculo da reatividade permite a possibilidade do reiniacutecio
do caacutelculo apoacutes sua interrupccedilatildeo causada por um problema no funcionamento do
equipamento de mediccedilatildeo ou seja com este meacutetodo natildeo eacute necessaacuterio um caacutelculo
contiacutenuo Aleacutem disso pode-se obter a reatividade sem a dependecircncia da memoacuteria da
potecircncia nuclear o que torna o caacutelculo mais raacutepido se comparado ao tempo necessaacuterio
para a resoluccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
Para a obtenccedilatildeo da expressatildeo do meacutetodo das derivadas deve-se resolver a
integral da equaccedilatildeo (254) ou da equaccedilatildeo (253) por partes Assim obteacutem-se
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tP t P e
I t e P t dt P t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (319)
onde P(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (319) tem-se
25
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2
2 2 2
0
0 0 1
t t tt tP t P e P t P e
I t P t e dt
λ λλ
λ λ λ λ λ
minus sdot minus sdotminus sdot minus
= minus minus + minus int (320)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (320) por partes obteacutem-se
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
2 2
3
3 3 3
0
0 0
1
t t
t tt t
P t P e P t P eI t
P t P t eP t e dt
λ λ
λλ
λ λ λ λ
λ λ λ
minus minus
minusminus minus
= minus minus + +
minus minus int
(321)
Aplicando esta soluccedilatildeo n vezes podemos escrever
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1 10 0 0
0 1 1
n n k t tt tk kn n
n n kn n
P t P e P t eI t dt
λλ
λ λ λ
+ minus minusminus
+ + += =
= minus minus minus minussum sum int (322)
ou ainda
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(323)
341 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2m-1 assim a equaccedilatildeo (323) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
m t tt tt t
m
n n tm mn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(324)
26
Supondo que a forma de P(t) satisfaccedila agraves condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n P tP t P t
P t
minus
minus
=
(325)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n P tP t P t
P t
=
(326)
onde ( ) ( )
( )
2
P t
cte tP t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial entre outras
Substituindo a equaccedilatildeo (326) na equaccedilatildeo (324) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
m
n nm m
n n t
n nn n
P te P t dt P t e dt
P t
P t P t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(327)
Como ( ) ( )
( )
2P t
cteP t
= podemos escrever a equaccedilatildeo (327) como
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 1 2 1
1 10 00
1 11
n n nt m mt t n n t
n nn n
P te P t dt P t P t e
P t
λ λ
λ λ
minus minusminus minus minus sdot
+ += =
minus minus minus = minus
sum sumint
(328)
Logo
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e P t dt S t S tλminus minus
= +int (329)
27
sendo
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
nm
n
nnn
S P t
P t
P t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (330)
e
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
nm
n t
nnn
S P t e
P t
P t
λ
λ
minusminus sdot
+=
minusequiv minus
minus
sum (331)
Analisando inicialmente a equaccedilatildeo (330) pode-se escrever o seu somatoacuterio
da seguinte forma
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nm m mn
n n nn n n
P t P tP t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (332)
Utilizando as equaccedilotildees (325) e (326) na equaccedilatildeo (332) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
11 22 1 1
1 2 20 0
1
nnm m
n
nn n
P t P t P tP t
P tλ λ λ λ
minusminus minus
+= =
minus = minus
sum sum (333)
Lembrando que
( )1
0
1
1
mm
n
n
a rar
r
+
=
minus=
minussum (334)
identificando ( ) ( )
( )
2
2
P tr
P tλ= e a =1 na equaccedilatildeo (333) vem
28
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nm
n
nn
P t
P tP t P tP t
P t
P t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (335)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (335) na equaccedilatildeo (330) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
22
22
1 22
22
1
11
n
n
P tP t P t
P tS
P tP t
P tP t
λλ λ
λλ
minus minus = minus minus
(336)
Simplificando e rearranjando os termos da equaccedilatildeo (336) chega-se a
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
P t P tS P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (337)
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (331) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tP PS P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (338)
Finalmente podemos escrever a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo
329) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
e P t dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (339)
29
342 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par entatildeo k=2m-2 assim a equaccedilatildeo (323) torna-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t t
t t m t t
m
n n tm mn n
n nn n
P t e dt P t e dt
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(340)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (325) vem
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
12
1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
mt t
t t t t
m
n n tm mn n
n nn n
P tP t e dt P t e dt
P t
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus
minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(341)
Da equaccedilatildeo (319) pode-se escrever
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
0 0
0
t tt t t tt
P t e dt P t P e e P t dtλ λλ λminus minus minus minusminus sdot= minus minusint int (342)
Substituindo a equaccedilatildeo (342) na equaccedilatildeo (341) e rearranjando os termos
obteacutem-se
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt mt t n n t
m nn
mn n t
m m
P t e dt P t P e
P t
P t
P t P e P t
P tP t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(343)
Desenvolvendo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (343) tem-se
30
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
P t e dt S t S tλminus sdot minus
= minusint (344)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nm
n
m nn
S t P t
P t
P t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (345)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nm
n t
m nn
S t P e
P t
P t
λ
λ
λ
minusminus sdot
minus +=
minusequiv
minus
sum (346)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior eacute faacutecil mostrar que
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
P t P tS t P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (347)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tP PS t P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (348)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k que o histoacuterico de
potecircncia eacute dado pela seguinte expressatildeo
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t t
P t P t P Pe P t dt P t P e
P t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (349)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo Sendo assim a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo 319)
pode ser escrita da seguinte forma
31
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
P t e dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
sdotminus minus= minus
minus minusint (350)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa baseada na formulaccedilatildeo
proposta por Gandini (2001) equaccedilatildeo (252) como
( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
tnn
n n n n
n n n n
n n
n n n n n
t
P tdP t P e Qt
P t dt P t P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ= + minus minus minus minus
minus minus minus
minus minus
(351)
E para o formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se substituindo a
equaccedilatildeo (350) na equaccedilatildeo (254) a expressatildeo para a reatividade sem a dependecircncia
do histoacuterico de potecircncia
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
dP t P Qt e
P t dt P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
βρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + Γ + minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(352)
32
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com
dependecircncia temporal de β e Λ
Nas seccedilotildees anteriores as mudanccedilas da composiccedilatildeo do combustiacutevel nuclear
natildeo foram levadas em consideraccedilatildeo Essas mudanccedilas podem levar a caacutelculos
discrepantes da reatividade quando comparados a mediccedilotildees experimentais nos
reatores Aleacutem disso conhecer com precisatildeo o valor da reatividade contribui com a
melhora do desempenho da central nuclear
Assim nesta seccedilatildeo as dependecircncias temporais da fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons seratildeo consideradas para o
caacutelculo da reatividade tanto na formulaccedilatildeo proposta por Gandini et al (2000) quanto
na formulaccedilatildeo proposta por Silva et al (2011) Os demais paracircmetros nucleares
permaneceratildeo constantes pois suas variaccedilotildees satildeo pouco significativas (Scall 2010)
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
As equaccedilotildees propostas por Gandini et al (2000) com dependecircncia temporal da
fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons eacute dada por
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n
n n
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λ ζΛ = minus + + minus + (41)
( ) ( )( )
( )n
dC tt P t C t
dtβ λ= minus
(42)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo 231 pode-se escrever partindo da
equaccedilatildeo (42) que a concentraccedilatildeo de precursores eacute dada pela seguinte expressatildeo
( ) ( ) ( ) ( )
t t t
nC t t P t e dtλβ minus minus
minusinfin= int (43)
33
Substituindo a equaccedilatildeo (43) na equaccedilatildeo (41) obteacutem-se a seguinte expressatildeo
para a reatividade
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
0
0
1
t t tn t
n n n
n
n
t dP t At t e A t e dt
P t dt P t P t
P t t Q t
P t P t
λλλ λρ β
ζ
minus minusminusΛ= + minus minus
minus Λ minus minus
int
(44)
onde ( ) ( )nA t P tβequiv e ( ) ( )Q t q tequiv Λ
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
As equaccedilotildees da cineacutetica propostas por Silva et al (2011) com dependecircncia
temporal de Λ e β satildeo
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ + Γ + Σ (45)
( )( )
( ) ( )f
tdC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
Σ (46)
Resolvendo a equaccedilatildeo (46) pelo o meacutetodo do fator integrante obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( )1
t t t
f
C t t P t e dtλβ
ωminus minus
minusinfin=
Σ int (47)
Substituindo a equaccedilatildeo (47) na equaccedilatildeo (45) chega-se a expressatildeo da
reatividade com dependecircncia temporal de β e Λ
34
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t t ttt dP t A
t t e A t e dtP t dt P t P t
t Q t
P t
λλλ λρ β minus minusminusΛ
= + minus minus
ΛminusΓ minus
int (48)
onde ( ) ( ) ( )A t t P tβequiv e ( ) ( ) fQ t q tωequiv Σ Λ
43 Meacutetodo das Derivadas para
Dependecircncia Temporal de β e de Λ
De acordo com a seccedilatildeo 34 a integral das equaccedilotildees (44) e (48) podem ser
resolvidas por partes assim obteacutem-se (Scal 2012)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tA t A e
I t e A t dt A t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (49)
onde A(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (49) por partes n vezes pode-se escrever
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
A t ee A t dt dt
A t A e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(410)
35
431 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2j-1 assim a equaccedilatildeo (410) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
j t tt tt t
j
n n tj jn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minus sdotminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(411)
Admitindo que a forma de A(t) satisfaccedila as condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n A tA t A t
A t
minus
minus
=
(412)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n A tA t A t
A t
=
(413)
onde ( ) ( )
( )
2
A t
cte tA t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial
Substituindo as condiccedilotildees (412) e (413) na equaccedilatildeo(411) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
k
n nj jn n t
n nn n
A te A t dt A t e dt
A t
A t A t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(414)
ou ainda
36
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e A t dt S t S tλminus minus
= +int (415)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
njn
nnn
S t A t
A t
A t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (416)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
njn t
nnn
S t A t e
A t
A t
λ
λ
minusminus
+=
minusequiv minus
minus
sum (417)
Reescrevendo o somatoacuterio da equaccedilatildeo (416) tem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nj j jn
n n nn n n
A t A tA t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (418)
Utilizando as condiccedilotildees (412) (413) e recordando da relaccedilatildeo (334) pode-se
escrever
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nj
n
nn
A t
A tA t A tA t
A t
A t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (419)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (419) na equaccedilatildeo (416) obteacutem-se apoacutes
simples manipulaccedilotildees algeacutebricas
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
A t A tS A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (420)
37
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (417) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tA AS A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (421)
Finalmente pode-se escrever a equaccedilatildeo (49) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (422)
432 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par k+1 = 2j-1 entatildeo k=2j-2 assim a equaccedilatildeo (410) torna-
se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t tt t j t t
j
n n tj jn n
n nn n
A t e dt A t e dt
A t A e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(423)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (412) e lembrando-se da equaccedilatildeo (49)
pode-se escrever a equaccedilatildeo (423) como
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt jt t n n t
j nn
jn n t
j j
A t e dt A t A e
A t
P t
A t A e A t
A tA t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus sdot minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(424)
38
Abrindo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (424) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
A t e dt S t S tλminus minus
= minusint (425)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nj
n
j nn
S t A t
A t
A t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (426)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nj
n t
j nn
S t A e
A t
A t
λ
λ
λ
minusminus
minus +=
minusequiv
minus
sum (427)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior tem-se
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
A t A tS t A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (428)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tA AS t A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (429)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (430)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo assim a equaccedilatildeo (49) pode ser escrita da seguinte forma
39
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
A t e dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus sdot minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (431)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa com
dependecircncia temporal de β e Λ baseada na formulaccedilatildeo proposta por Gandini (2001)
(equaccedilatildeo 44) como
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
nn t
n n n n
n
t
P tt dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
ζλρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ = + minus minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(432)
Para o formalismo proposto por Silva et al (2011) equaccedilatildeo (48) tem-se
( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
t dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
λρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + minus minus Γ minus
minus minus minus minus
minus minus
(433)
40
5 Caacutelculo da reatividade para algumas
variaccedilotildees da potecircncia nuclear
51 Potecircncia Linear
511 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Durante a partida de um reator nuclear a sensibilidade do sistema de mediaccedilatildeo
pode natildeo identificar o aumento da potecircncia assim uma inserccedilatildeo de reatividade brusca
causaraacute um crescimento instantacircneo da potecircncia podendo causar um acidente no
circuito primaacuterio (Zhang et al 2008)
Para contornar esse problema deve-se inserir a reatividade de maneira suave
ateacute que o reator chegue alcance a sua potecircncia de operaccedilatildeo Para isto consideramos
uma variaccedilatildeo linear da potecircncia da forma
( ) 0 nP t P wt= + (51)
a uma taxa 0001w = Substituindo a equaccedilatildeo (51) na equaccedilatildeo (253) pode-se
escrever
( )( )
( ) ( ) ( )( )
0 0
0 0
0
0
0 0 00
1
t
tt t
d P wt P et
P wt dt P wt
P wt QP wt e dt
P wt P wt P wt
λ
λ
βρ β
ζλβ
minus
minus minus
+Λ= + minus
+ +
minus + Λminus + minus minus
+ + +int
(52)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (52)vem
41
( )
( ) ( )( )( )
0
0 0
0
0 0 0 0
1
t
P wtwt
P wt P wt
P wtw we Q
P wt P wt P wt P wt
λ
λβρ β
λ
ζβ β
λ λ
minus
+Λ = + minus +
+ +
minus + Λminus minus minus
+ + + +
(53)
Reescrevendo a equaccedilatildeo (53) obteacutem-se
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(54)
Utilizando o meacutetodo das derivadas podemos escrever
( )( )( )
( )
00
0 0 0
0 0
0 0
1
t
t
P wtPwt e
P wt P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
minus +Λ= + minus minus
+ + +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(55)
Manipulando a equaccedilatildeo (55) vem
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(56)
Pode-se observar que a soluccedilatildeo encontrada pelo meacutetodo das derivadas
equaccedilatildeo (56) eacute exatamente a mesma que a soluccedilatildeo encontrada atraveacutes da resoluccedilatildeo
do histoacuterico de potecircncia equaccedilatildeo (54)
42
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Analisando o comportamento da reatividade atraveacutes da variaccedilatildeo linear da
potecircncia tem-se fazendo ( ) 0P t P wt= + na equaccedilatildeo (254)
( ) ( ) ( )00
0 0 0 00
tt ttPw Q
t e e P wt dtP wt P wt P wt P wt
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus + minus+ + + +int
(57)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (57) obteacutem-se
( )( )0 0 0
( ) 1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λ βρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(58)
Utilizando-se o meacutetodo das derivadas tem-se
( )
( )
0
0 0
0 0
0 0
t
t
Pwt e
P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
βρ β
λ λβ
λ λ
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
+ +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(59)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )0 0 0
1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λβρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(510)
Novamente as expressotildees encontradas pela a soluccedilatildeo da integral do histoacuterico
de potecircncia equaccedilatildeo (58) eacute exatamente a mesma que a expressatildeo final utilizando o
meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (510)
43
52 Potecircncia Constante
Todo reator nuclear eacute projetado para operar em determinado niacutevel de potecircncia
nuclear ou seja durante sua operaccedilatildeo normal o reator funciona a uma potecircncia
constante Assim eacute importante avaliar o comportamento da reatividade de um reator
nessas condiccedilotildees
521 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Entatildeo sendo Pn(t) = P0 o segundo termo da equaccedilatildeo (253) desaparece e
assim pode-se escrever
( ) ( ) ( ) 0
0 00
1
t
t ttP Q
t e e dtP P
λλ ζρ β β λβ minus minusminus minus Λ
= minus minus minus minusint (511)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (511) obteacutem-se
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (512)
Aplicando o meacutetodo das derivadas tem-se
( )( )0
0
0 00 0
0 0 0 0
1
t
t
Pt e
P
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ζρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minus= minus minus
Λminus minus
(513)
Assim vem
44
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (514)
Mais uma vez observa-se que as equaccedilotildees finais para a reatividade para
potecircncia constante satildeo idecircnticas tanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia
equaccedilatildeo (512) quanto utilizando o meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (514)
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Avaliando a operaccedilatildeo do reator a uma potecircncia constante ou seja substituindo
P(t) = P0 na equaccedilatildeo (254) tem-se
( ) ( )
00
tt tt Q
t e e dtP
λλρ β β λβ minus minusminus Λ= + Γ minus minus minusint (515)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (515) tem-se segundo o
formalismo de Silva et al
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (516)
Jaacute atraveacutes do uso do meacutetodo das derivadas obteacutem-se
( )
0 00 0
0 0 0 0
t
t
t e
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
= + Γ minus minus
Λminus minus
(517)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias temos
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (518)
45
Novamente observa-se que as equaccedilotildees (516) e (518) para a reatividade satildeo
idecircnticas independente do meacutetodo de soluccedilatildeo abordado
53 Potecircncia Exponencial
531 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Outra variaccedilatildeo caracteriacutestica da potecircncia nuclear eacute a forma exponencial
Assim supondo uma variaccedilatildeo deste tipo para potecircncia na equaccedilatildeo (253) pode-se
avaliar o comportamento cineacutetico do reator Nessas condiccedilotildees substituindo
( ) 0
tP t P e
α= na equaccedilatildeo (253) obteacutem-se
( ) ( )
( )
( )
0
0
0 0
1
ttt t
t
t t
t e e e dt
P e Q
P e P e
α λλ α λ
α
α α
ρ β α β λβ
ζ
+minus + minus
minus sdot
= + Λ minus minus minus
minus Λminus
int (519)
Resolvendo a integral tem-se
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus sdot
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(520)
Agora pelo meacutetodo das derivadas podemos escrever
46
( )( )00 0
0 0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
1
tt t
t t t
t tt t
t t t t
P eP e P et
P e P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
αα λ
α α α
α αα λ
α α α α
ζα βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minusminus
minus
minusΛ= + minus minus
minus minus Λ minus minus minus
minus minus
(521)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(522)
As expressotildees obtidas utilizando-se tanto o meacutetodo das derivadas quando
resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia satildeo idecircnticas
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior e substituindo uma variaccedilatildeo
exponencial temos para o formalismo de Silva et al (2011)
( ) ( ) ( )
00
tttt
t t
e Qt e e dt
e P e
λα λλ α
α α
λβρ β α β
minus+minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus minusint (523)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (523) vem
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(524)
Novamente utilizando o meacutetodo das derivadas obteacutem-se
47
( ) 0 0
0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
t t
t t
t tt t
t t t t
P e P et
P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
α λ
α α
α αα λ
α α α α
α βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
minus minus Λ minus minus
minus minus
(525)
Manipulando a equaccedilatildeo acima chega-se agrave
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(526)
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
Nesta seccedilatildeo seraacute avaliado o comportamento das equaccedilotildees da cineacutetica pontual
para sistemas subcriacuteticos em caso de funcionamento anormal do reator Inicialmente o
reator seraacute avaliado com uma rampa da potecircncia depois operando em uma queda
suacutebita de potecircncia e em outros momentos pode ocorrer uma grande elevaccedilatildeo de
potecircncia Para isso a variaccedilatildeo da potecircncia foi simulada durante seis horas da
seguinte maneira
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(527)
onde w1 = 0001 Ws w2=001 Ws w4 = 0005 Ws w5=0005 Ws
Portanto admitindo que em todas as variaccedilotildees de potecircncia pode-se utilizar o
resultado da seccedilatildeo 511 assim para o formalismo proposto por Gandini agrave reatividade
se escreve da seguinte forma
48
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 0 11
0 1 0 1 0 1 0 1
2 0 22
0 2 0 2 0
1 1 0 1
1 2
1 1( )
t
t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
t h
e w P w twt
P w t P w t P
λ
λ
β ζ
λ
ζ
β ζρ
λ
minus
minus
minus minus +Λ Λ+ minus minus lt le
+ + + +
minus lt le
minus sdot minus +Λ= + minus
+ + +
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 0 2
4 0 44
0 4 0 4 0 4 0 4
5 0 55
0 5 0 5 0 5 0 5
2 4
1 1 4 5
1 1 5 6
t
t
Qt h
w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
λ
λ
β ζ
λ
β ζ
λ
minus
minus
Λ
minus lt le+
minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + + minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + +
(528)
Jaacute para o formalismo proposto por Silva et al tem-se utilizando o resultado da
seccedilatildeo 512
( )( )
( )( )
( )
1 1
0 1 0 1 0 1
2 2
0 2 0 2 0 2
4
0 4
1 0 1
1 2
( ) 1 2 4
1
t
t
t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
t h
w w Qt e t h
P w t P w t P w t
we
P w t
λ
λ
λ
β
λ
βρ
λ
β
minus
minus
minus
Λ ΛΓ + + minus minus lt le
+ + +
Γ lt le
Λ Λ= Γ + + minus minus lt le
+ + +
ΛΓ + + minus
+ ( )
( )( )
4
0 4 0 4
5 5
0 5 0 5 0 5
4 5
1 5 6t
w Qt h
P w t P w t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
λ
λ
β
λminus
Λ
minus lt le+ +
Λ ΛΓ + + minus minus lt le+ + +
(529)
49
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com
Dependecircncia temporal de β e Λ
Neste capiacutetulo seraacute suposto que tanto a fraccedilatildeo de necircutrons retardados quanto
e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente de acordo com
( ) 0t Btβ β= + (61)
e
( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)
onde o coeficiente linear β0 tem valor 000706 o coeficiente angular B eacute -217857 x 10-
7 pcm Jaacute os valores dos coeficientes da variaccedilatildeo do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de
necircutrons satildeo Λ0 = 11661 x 10-5 s e c = -714286 x 10-10 s
61 Potencia Linear
611 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
No processo de obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo (56) natildeo foi considerado nenhuma
variaccedilatildeo temporal dos paracircmetros β e Λ Para se ter um resultado mais proacuteximo do
funcionamento real de um reator considera-se agora que a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente com o tempo
de acordo com (61) e (62) Assim substituindo essas equaccedilotildees na equaccedilatildeo (432)
obteacutem-se
50
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
t
t
P wtct w P et Bt
P wt P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(63)
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior ou seja substituindo as equaccedilotildees
(61) (62) e (51) agora na equaccedilatildeo(433) vem
( )( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
2
2
2
t
t
ct w P et Bt
P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(64)
51
62 Potecircncia Constante
621 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Nesta seccedilatildeo considera-se uma situaccedilatildeo que a potecircncia nuclear permaneccedila
constante durante a operaccedilatildeo do reator Assim Substituindo as equaccedilotildees (61) e (62)
equaccedilatildeo (432) obteacutem-se
( ) ( )( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 00
0 0
1
1
t Bt Bt P e P
P ct QP B
P P
λρ β λβλ
ζ
λ
minus = + minus minus minus minus
minus Λ +minus minus minus
(65)
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Novamente repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior poreacutem substituindo as
equaccedilotildees (61) (62) e (51) na equaccedilatildeo (433) tem-se
( ) ( )( )( )00
0 0 0 0
0
1 tct QP BB
t Bt P e PP
λρ β λβλ λ
minus Λ + = + minus minus minus minus minus minus Γ minus
(66)
52
63 Potecircncia Exponencial
631 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Supondo que a potecircncia varie de acordo com ( ) 0
tP t P e
α= obteacutem-se
substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da potecircncia nuclear na
equaccedilatildeo (432) vem
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
1
2
12
t
t
t
P e ct Qt Bt ct
P e P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
α
α
λ α
ζρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
minus Λ += + + Λ + minus minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(67)
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Agora substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia nuclear na equaccedilatildeo (433) vem
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
0
0 0
0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
2
1 2
t
ct Qt Bt ct
P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
λ α
ρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
Λ += + + Λ + minus Γ minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(68)
53
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo 54 temos uma variaccedilatildeo de potecircncia dada
por
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(69)
Assim para o formalismo proposto por Gandini a reatividade se torna
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
tii
i i i
i i i i
i i i
i
i i
t
P w tct w P et Bt
P w t P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(610)
onde wi assume os seguintes valores w1 = 0001 w2=001 ou w4 = 0005 Jaacute para o
formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se
( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
( )
2
2
2
ti
i i
i i i i
i i i
i
i i
t
ct w P et Bt
P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(611)
54
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica
O meacutetodo de Monte Carlo pode ser caracterizado como uma teacutecnica de caacutelculo
de forccedila bruta que eacute bem adequado para problemas complicados que consistem de
vaacuterias subtarefas bem definidas Eacute um meacutetodo simples e intuitivo e manteacutem uma
estreita relaccedilatildeo com o problema que estaacute sendo resolvido
Atualmente o meacutetodo de Monte Carlo eacute amplamente utilizado em vaacuterios
campos como na fiacutesica matemaacutetica economia e engenharia Uma de suas primeiras
aplicaccedilotildees praacuteticas foi na modelagem de problemas de transporte de partiacuteculas
(Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo de caacutelculo foi chamada de Monte Carlo pelos cientistas Stanislav
Ulam John von Neumann e Metropolis Nicholas no final de 1940 quando este meacutetodo
foi usado para resolver problemas de transporte de partiacuteculas na pesquisa de armas
nucleares As raiacutezes do desenvolvimento da teoria moderna da probabilidade e
estatiacutestica data do seacuteculo 19 Poreacutem a primeira publicaccedilatildeo registrada que aborda este
meacutetodo data de 1949 (Yoriyaz 2009)
O sucesso da aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo (MMC) pelos cientistas de Los
Alamos se decorreu devido agrave computaccedilatildeo numeacuterica De fato mesmo se todos os
aspectos teoacutericos fossem resolvidos a utilizaccedilatildeo em grande escala do meacutetodo natildeo
seria possiacutevel sem esta ferramenta
O meacutetodo Monte Carlo eacute muito diferente dos meacutetodos de transporte
determiniacutesticos que geralmente baseiam-se na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de transporte de
necircutrons Assim para fazer com que o problema seja passiacutevel de uma soluccedilatildeo
computacional eacute necessaacuteria a realizaccedilatildeo de uma discretizaccedilatildeo das variaacuteveis tanto no
espaccedilo quanto na energia A forccedila do meacutetodo de Monte Carlo reside na capacidade
em calcular estimativas estatiacutesticas para taxas de reaccedilatildeo sem necessitar da soluccedilatildeo
explicita para a distribuiccedilatildeo do fluxo Aleacutem disso a capacidade de lidar com variaccedilotildees
complexas das variaacuteveis espaciais e de energia eacute o que torna a alternativa do MMC
mais atraente que os meacutetodos de transporte determiniacutesticos (Leppaumlnen 2007)
Mesmo que a abordagem determinista tenha demonstrado sua viabilidade para
simular reatores criacuteticos ela eacute amplamente utilizada Poreacutem esta metodologia
apresenta alguns inconvenientes que se tornam importantes no caso de um reator
subcriacutetico com um acelerador de partiacuteculas acoplado como por exemplo a introduccedilatildeo
de uma aproximaccedilatildeo devido agrave conversatildeo do espectro de energia dos necircutrons para
55
uma grade de energia e espaccedilo para os coacutedigos que utilizam uma abordagem
multigrupo (Kady et al 2001)
Por utilizar seccedilotildees de choques pontuais a simulaccedilatildeo Monte Carlo eacute livre de
quase todos os inconvenientes que aparecem nas simulaccedilotildees determiniacutesticas Poreacutem
sua precisatildeo varia inversamente com a raiz quadrada do nuacutemero de eventos
processados Isso representa um problema potencialmente grande de tempo de
processamento em particular quando a simulaccedilatildeo abrange toda a vida uacutetil da
produccedilatildeo de energia do sistema
No meacutetodo Monte Carlo para a simulaccedilatildeo de transporte de radiaccedilatildeo as
respostas satildeo obtidas simulando partiacuteculas individuais e gravando alguns aspectos de
seu comportamento meacutedio Se os modelos dessas interaccedilotildees utilizados nas
simulaccedilotildees satildeo suficientementes proacuteximos da realidade o resultado estaraacute proacuteximo do
processo real
Os componentes importantes de meacutetodos de simulaccedilatildeo de Monte Carlo satildeo as
funccedilotildees de densidade de probabilidade a geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios as regras
de amostragem a computaccedilatildeo de resultados as estimativas de erros e a reduccedilatildeo de
variacircncia conforme mostra a Figura 71 Aleacutem disso os algoritmos eficientes para
paralelizaccedilatildeo satildeo uacuteteis para a implementaccedilatildeo do meacutetodo de Monte Carlo para uso em
cluster de computadores (Grisell 2004)
O meacutetodo de Monte Carlo utiliza aleacutem do teorema do limite central modelos
fiacutesicos de interaccedilatildeo ou seja um conjunto de seccedilotildees de choque diferenciais para os
mecanismos de interaccedilatildeo relevantes do sistema a ser simulado (Salvat et al 2003)
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de Yoriyaz 2009
Gerador de
nuacutemeros
aleatoacuterios
Teacutecnicas de
amostragem Resultados
Funccedilatildeo de densidade de probabilidade
56
Essas seccedilotildees de choque diferenciais determinam as funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de
probabilidades de variaacuteveis aleatoacuterias
Esses conjuntos de funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de probabilidade caracterizam uma
histoacuteria e determinam o tipo de interaccedilatildeo sofrida pela partiacutecula por exemplo se a
partiacutecula sofreraacute uma mudanccedila de energia e de direccedilatildeo de propagaccedilatildeo se ela apenas
sofreraacute algum desvio angular ou se ocasionaraacute fissatildeo
Caso o nuacutemero de histoacuterias (uma histoacuteria inclui desde a geraccedilatildeo de uma
partiacutecula ateacute sua lsquofugarsquo ou absorccedilatildeo aleacutem de todas as outras partiacuteculas que podem ser
produzidas por exemplo atraveacutes da fissatildeo) seja suficientemente grande informaccedilotildees
quantitativas sobre o processo de transporte podem ser obtidas simplesmente por uma
meacutedia de mais histoacuterias simuladas
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo eacute em experimentos em que os resultados
satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Ao se comparar os meacutetodos MC e de variaacuteveis discretas normalmente se diz
que o MC resolve a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral enquanto o meacutetodo
de variaacuteveis discretas resolve a equaccedilatildeo na sua forma integro-diferencial Poreacutem as
duas equaccedilotildees satildeo formas diferentes da mesma equaccedilatildeo e assim quando se resolve
uma obteacutem-se a soluccedilatildeo da outra (Mosteller et al 2003)
Como o meacutetodo MC resolve o problema simulando histoacuterias das partiacuteculas natildeo
se torna necessaacuterio escrever a equaccedilatildeo de transporte de necircutrons No entanto pode-
se chegar a uma equaccedilatildeo que descreva a densidade de probabilidade das partiacuteculas
para o problema e esta acaba sendo a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral
(Vaz 2010)
A simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) eacute baseada em geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
de uma distribuiccedilatildeo uniforme gerando variaacuteveis aleatoacuterias para estabelecer outras
funccedilotildees de distribuiccedilatildeo Assim os nuacutemeros aleatoacuterios ou pseudoaleatoacuterios satildeo agrave base
do meacutetodo de MC pois estes nuacutemeros realizam todo o controle de decisatildeo Isso torna
essencial a sub-rotina de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios para qualquer simulador
baseado no meacutetodo de Monte Carlo As sub-rotinas de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
se baseiam em algoritmos matemaacuteticos especiacuteficos para garantir que os nuacutemeros
sorteados satildeo realmente aleatoacuterios pois estes nuacutemeros devem em teoria ser
igualmente provaacuteveis em um sorteio dentro de um intervalo definido
As variaacuteveis aleatoacuterias satildeo uma quantidade que resultam de processos
repetitivos e cujos valores reais natildeo podem ser previsto com certeza No mundo real a
aleatoriedade se origina de fatores incontrolaacuteveis (por exemplo jogos de azar) ou da
57
natureza quacircntica de sistemas ou processos (por exemplo desintegraccedilatildeo nuclear)
Nos computadores as variaacuteveis randocircmicas satildeo geradas por transformaccedilotildees
numeacutericas de nuacutemeros randocircmicos
O objetivo da simulaccedilatildeo MC eacute fornecer informaccedilotildees precisas e detalhadas em
trecircs dimensotildees dependente do tempo tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
partiacuteculas neutras Por este motivo o meacutetodo de Monte Carlo eacute largamente utilizado na
soluccedilatildeo de problemas envolvendo processos estatiacutesticos Pode ser empregado na
fiacutesica de reatores devido agrave caracteriacutestica estocaacutestica da emissatildeo de radiaccedilatildeo e
transporte de partiacuteculas
A carga computacional do meacutetodo de Monte Carlo continua sendo um
empecilho para as simulaccedilotildees de modelagem de sistemas nucleares devido ao alto
tempo de processamento computacional (Liu et al 2011) e a alta demanda de
memoacuteria pois para solucionar o problema de transporte de energia eacute necessaacuterio
monitorar as trajetoacuterias de vaacuterios necircutrons seu respectivo histoacuterico e sua multiplicaccedilatildeo
ateacute absorccedilatildeo ou fuga de todas as partiacuteculas geradas por essa partiacutecula
Mesmo assim o uso do meacutetodo de Monte Carlo para a simulaccedilatildeo do transporte
de partiacuteculas tornou-se bastante popular pois a alta demanda de processamento e de
memoacuteria pode ser contornada se for utilizado um sistema de processamento
distribuiacutedo com vaacuterios processadores possibilitando diminuir o tempo de simulaccedilatildeo
mesmo em modelagem de geometrias complexas Na praacutetica com o aumento de
processadores resolvendo o mesmo problema costuma-se aumentar a estatiacutestica a ser
simulada para a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos com o mesmo tempo de
simulaccedilatildeo anterior
71 Funccedilotildees Densidade de
Probabilidades
Para uma variaacutevel aleatoacuteria discreta a funccedilatildeo de probabilidade (f(x)) fornece
diretamente a probabilidade do valor que a variaacutevel aleatoacuteria assume Jaacute para as
variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas a funccedilatildeo de probabilidade em um intervalo eacute chamada
de funccedilatildeo de densidade de probabilidade
Esta funccedilatildeo natildeo fornece diretamente as probabilidades dos valores que as
variaacuteveis aleatoacuterias podem assumir Poreacutem a aacuterea sob o graacutefico da funccedilatildeo de
58
densidade de probabilidade correspondente a um dado intervalo a probabilidade de
que a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua assuma um valor neste intervalo Ou seja quando
calculamos as probabilidades para as variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas estamos
calculando a probabilidade de que a variaacutevel aleatoacuteria assuma qualquer valor em um
intervalo Assim a probabilidade de qualquer valor particular da variaacutevel aleatoacuteria
contiacutenua eacute zero pois a aacuterea sob o graacutefico de f(x) em qualquer ponto em particular eacute
zero
A distribuiccedilatildeo de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua pode ser
visualizada como uma forma de um histograma baseado em um grande nuacutemero de
observaccedilotildees Este histograma eacute construiacutedo com as densidades de probabilidade
Por exemplo a Figura 72 mostra um histograma da massa em quilogramas
de 25 lingotes de uracircnio (Lurie et al 2011)
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio
Se aumentarmos o nuacutemero de amostras teremos um histograma cada vez
mais suave a Figura 73 mostra o mesmo histograma com 150 observaccedilotildees
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio
59
Se fizermos o nuacutemero de amostras tender a infinito e o intervalo das classes
tender a zero no limite o histograma tende a se ldquosuavizarrdquo e tomar a forma de uma
curva teoacuterica como mostra a Figura 74
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo
Como uma probabilidade eacute interpretada como a frequecircncia relativa de um
evento de ensaios independentes a curva obtida na Figura 74 representa a maneira
pela qual a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo aos possiacuteveis valores que a
variaacutevel aleatoacuteria ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo pode assumir Assim a funccedilatildeo
densidade de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x eacute a funccedilatildeo
matemaacutetica f(x) cujo graacutefico produz a curva teoacuterica que representa a maneira pela qual
a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo agrave amplitude dos possiacuteveis valores da
variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x
As funccedilotildees de densidades de probabilidades devem obedecer as seguintes
condiccedilotildees
( )
( ) ( )
0
1
f x x
F x f x dx
gt forall
= =int
Dessa maneira a probabilidade de uma variaacutevel x assumir os valores no
intervalo (ab) eacute
Densidade de
probabilidade
Massa (kg)
60
( ) ( ) ( ) ( )b
aP a x b f x dx F a F ble le = = minusint
Existem basicamente duas diferentes maneiras que podem ser utilizados na
implementaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo que satildeo o meacutetodo direto ou
inverso e o meacutetodo da rejeiccedilatildeo Nas proacuteximas seccedilotildees tem-se a descriccedilatildeo desses dois
meacutetodos
72 Meacutetodo direto ou inverso
Seja uma distribuiccedilatildeo de probabilidade tiacutepica (por exemplo a distribuiccedilatildeo
gaussiana) definida em um intervalo conhecido entre [a b] Como visto na seccedilatildeo
anterior pode-se definir a funccedilatildeo de probabilidade acumulada desta distribuiccedilatildeo como
( ) ( ) b
aP x p x dx= int (71)
Criando uma nova variaacutevel aleatoacuteria atraveacutes da transformaccedilatildeo ξ = P(x) e
assumindo que a distribuiccedilatildeo de probabilidade acumulada admite uma inversa P-1(ξ)
definida no intervalo de (01) o valor de ξ eacute entatildeo definido como sendo igual agrave
probabilidade cumulativa do evento de modo que o valor correspondente de x pode
ser calculado a partir da funccedilatildeo inversa
1 1
( )( ) ( ) ( )
d dP xp p x p x
dx dxε
εε
minus minus
= =
(72)
Assim fica claro que ε eacute um nuacutemero aleatoacuterio e a variaacutevel x que eacute definida por
x = P-1(ξ) eacute aleatoriamente distribuiacuteda no intervalo (xmin x) Note que x eacute a uacutenica raiz
da equaccedilatildeo
min
( ) x
xp x dxξ = int (73)
61
Assim os valores amostrados de x desta forma satildeo distribuiacutedos de acordo com
a P(x)
A implementaccedilatildeo do meacutetodo direto de MC pode ser feita atraveacutes do seguinte
algoritmo conforme mostrado na Figura 75
1 Geraccedilatildeo de um nuacutemero aleatoacuterio ξ
2 Verificaccedilatildeo de que x corresponde ao ξ sorteado
3 Verificaccedilatildeo de qual probabilidade correspondente ao x
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003)
A soluccedilatildeo atraveacutes do meacutetodo de MC da equaccedilatildeo de transporte de necircutrons
(equaccedilatildeo (74)) pode ser feita utilizando o meacutetodo direto resolvendo-se as integrais
de acordo com (Vaz 2009)
( )
( ) ( ) ( ) ( )2 3
` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `
r E
r E C E E r dE d Q r E T r r E d r
Ψ Ω =
Ψ Ω Ω rarr Ω Ω + Ω rarr Ω int int
(74)
Com o termo de fonte podendo ser definido como
62
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
Fonte fixa
` ` ` ` | ` Fonte fixa + Fissatildeo
1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor
S
Q r R S r E F E E r dE d
r E F E E r dE dk
Ω = + Ψ Ω Ω rarr Ω Ω Ψ Ω Ω rarr Ω Ω
int
int
(75)
onde ( ) S r E Ω
foi abreviado como S
Assim uma histoacuteria (lsquotrajetoacuteriarsquo) pode ser entendida como uma sequecircncia de
transiccedilatildeo entre estados (P0 P1 P2 P3) Em cada ponto de colisatildeo Pi pode ocorrer
variaccedilatildeo da energia de direccedilotildees e ainda incluir a geraccedilatildeo de novas partiacuteculas
Entatildeo a equaccedilatildeo de transporte pode ser escrita como (Vaz 2009)
( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i
P P K P P K P P dp dp dp dpminus minusΨ = Ψ rarr rarrint int int int (76)
onde ( )K P Prarr eacute o kernel de transporte que eacute definido por
( ) ( ) ( ) ( ) ` ` | ` ` | K P P K r E r E C E E r T r r Erarr equiv Ω rarr Ω = Ω rarr Ω rarr Ω
(77)
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula
P4
P1
P2
P5
P3
P6
P
P0
63
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo
Em muitos casos tanto a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo cumulativa quanto sua inversa
eacute de difiacutecil obtenccedilatildeo ou natildeo podem ser resolvidos Exemplos de tais casos satildeo a
distribuiccedilatildeo normal e a distribuiccedilatildeo de Maxwell-Boltzmann Haacute diversas variaccedilotildees
numeacutericas para o uso do meacutetodo de inversatildeo que podem ser utilizados para amostrar
os valores de qualquer tipo de distribuiccedilatildeo mas eacute muitas vezes mais eficaz ter uma
abordagem completamente diferente (Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo da rejeiccedilatildeo tem a vantagem que o procedimento de amostragem
pode ser realizado utilizando apenas a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de probabilidades da
variaacutevel aleatoacuteria De uma forma mais simples uma constante c ge 1 e uma outra
funccedilatildeo de densidade de g(x) satildeo atribuiacutedos aos f(x) de tal forma que
( ) ( )f x cg xle (71)
para todos os valores de x
Os valores da variaacutevel aleatoacuteria ε seratildeo aceitos se
( )( )
f x
cg xε lt (72)
Se a desigualdade natildeo eacute vaacutelida o valor eacute descartado e o procedimento eacute
repetido desde o iniacutecio Pode demonstrar-se que a distribuiccedilatildeo dos valores aceitos
pelo meacutetodo seguem exatamente f(x)
Uma aplicaccedilatildeo que ilustra bem este meacutetodo eacute o caacutelculo do nuacutemero π Para
isso suponha um ciacuterculo inscrito dentro de um quadrado de lado unitaacuterio Se ao
sortear N eventos forem contados quantos destes eventos estatildeo dentro do ciacuterculo eacute
possiacutevel calcular o valor de π
Sabe-se que a integral entre os intervalos a e b eacute igual a um quarto da aacuterea do
ciacuterculo (ver Figura 77) Desta maneira pode-se dizer que o nuacutemero de pontos
sorteados dentro da aacuterea total do ciacuterculo dividido pelo nuacutemero total de sorteios eacute igual
agrave aacuterea do ciacuterculo sobre a aacuterea do quadrado
64
2
4r 4
c
t
N πrsup2 π= =
N
onde Nc eacute o nuacutemero de sorteios dentro do ciacuterculo e Nt eacute o total de nuacutemeros sorteados
Obviamente quanto maior for o total de nuacutemero sorteados mais preciso seraacute o
resultado
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo
Em geral o meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute utilizado para a estimativa de eventos que
satildeo regidos por distribuiccedilotildees contiacutenuas ou seja aqueles eventos que obedecem a
uma curva de probabilidade
Eacute importante ressaltar que no meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute necessaacuterio o sorteio de
dois nuacutemeros aleatoacuterios O primeiro (ε1) para definir o valor da abcissa (x) e um
segundo (ε2) para definir o valor no eixo das ordenadas (Figura 78) Se ε2 for menor
que f(ε1) registra-se ε1 como sendo um valor vaacutelido Caso contraacuterio ε1 eacute rejeitado e
ocorre o sorteio de outro nuacutemero aleatoacuterio O algoritmo do meacutetodo da rejeiccedilatildeo pode
ser descrito como
1 Sorteio do primeiro nuacutemero aleatoacuterio (ε1)
2 Verificaccedilatildeo de qual eacute o valor da funccedilatildeo para esse nuacutemero aleatoacuterio
3 Sorteio do segundo nuacutemero aleatoacuterio
4 Se ε2 lt f(ε1) registrar ε1 como vaacutelido
5 Senatildeo rejeitar ε1 e voltar ao passo 1
a
b
65
74 Meacutetodos Monte Carlo para
Reatores Subcriacuteticos
Nas seccedilotildees anteriores foi tratado das caracteriacutesticas baacutesicas da simulaccedilatildeo MC
Poreacutem para a simulaccedilatildeo de um reator nuclear mais proacutexima do real eacute necessaacuterio que
os coacutedigos MC sejam capazes de acompanhar a queima dos combustiacuteveis nucleares
chamados de coacutedigos de depleccedilatildeo
Atualmente existem vaacuterios coacutedigos de depleccedilatildeo que utilizam o meacutetodo Monte
Carlo devido ao constante crescimento no desempenho dos computadores Esses
coacutedigos geralmente satildeo acoplados em um coacutedigo geneacuterico de simulaccedilatildeo MC que
resolve o transporte das partiacuteculas e podem fornecer o fluxo de partiacuteculas e as seccedilotildees
de choque microscoacutepicas para os coacutedigos de depleccedilatildeo
Os coacutedigos MC de depleccedilatildeo podem ser divididos em dois grupos de acordo
com a metodologia de geraccedilatildeo das seccedilotildees de choque microscoacutepicas O primeiro
grupo satildeo os dos coacutedigos que utilizam os resultados calculados diretamente pelo o
coacutedigo geneacuterico MC Jaacute o segundo grupo utiliza uma abordagem de multigrupo para o
caacutelculo das seccedilotildees de choque que eacute implementado pelo coacutedigo de depleccedilatildeo De
acordo com esta metodologia as taxas de reaccedilatildeo satildeo calculadas separadamente
utilizando um preacute-gerador de seccedilotildees de choque multigrupo
f(x)
ε2
ε1
Figura 78 Processo de caacutelculo de π
66
75 Conceito de Reatores ADS
Os reatores hiacutebridos foram inicialmente considerados apenas para a queima
de actiniacutedeos poreacutem foi percebido que era possiacutevel aproveitar a queima dos
actiniacutedeos (transmutaccedilatildeo) em um reator subcriacutetico para a geraccedilatildeo de eletricidade
aleacutem da necessaacuteria para sustentar o acelerador de proacutetons
Aleacutem disso os reatores hiacutebridos tecircm uma vantagem adicional de ser um
sistema regenerador ou seja cria a possibilidade de regenerar combustiacutevel nuclear
queimado em um reator teacutermico para ser reutilizado no mesmo apoacutes reprocessamento
A Figura 79 mostra que os reatores regeneradores com acelerador (ABR ndash
accelerator breeder reactor) podem natildeo ser utilizados para a geraccedilatildeo de eletricidade
Sua principal utilizaccedilatildeo seria para a produccedilatildeo de material fiacutessil principalmente 239Pu
(Lodhi et al 2009) Para isso esses reatores necessitam de energia eleacutetrica para
alimentar o acelerador de proacutetons citado na Figura 710 Poreacutem os reatores hiacutebridos
podem ser dedicados tanto para a produccedilatildeo de energia como para a regeneraccedilatildeo de
material fiacutessil embora ambos os fenocircmenos ocorram sempre em um reator hiacutebrido ele
pode ser especializado para um desses objetivos de acordo com o cenaacuterio previsto
para a busca da sustentabilidade da energia nuclear (Piera et al 2010)
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009
Extraccedilatildeo de
toacuterio e uracircnio
238
U
ABR
Reator teacutermico
Energia eleacutetrica
239
Pu
232
Th
Energia eleacutetrica
67
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS
Tanto os reatores ADS como os ABR consistem em um acelerador de
partiacuteculas de alta energia (proacutetons com cerca de 1 GeV de energia) que atingem um
alvo com nuacutemero atocircmico grande Este choque gera necircutrons de alta energia capazes
de tornar nucliacutedeos feacuterteis em fiacutesseis
Outra coisa interessante sobre esses reatores eacute que eles produzem vaacuterios
isoacutetopos da mesma maneira que os FBR Em segundo lugar os reatores hiacutebridos
(ADS) operam com fator de multiplicaccedilatildeo abaixo de 1 (geralmente entre 090 e 097)
Em terceiro os ADS podem produzir combustiacutevel muito mais raacutepido que os FBR (Piera
et al 2010) pois liberam menos energia por fissatildeo que os FBR
Um dos principais objetivos do ADS eacute a queima de 232Th para gerar uma
grande quantidade de 233U embora 233U puro tem aproximadamente a mesma massa
criacutetica do plutocircnio (Lodhi et al 2009)
Fonte de necircutrons raacutepidos
Fonte de
spallation
Refrigerante chumbo-bismuto
Acelerador de
proacutetons
68
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos
Utilizados
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes simulaccedilotildees MC para auxiliar o estudo
de reatores ADS utilizando diferentes coacutedigos (MCNPX GEANT4 MCB) Poreacutem estes
modelos devem ter referecircncias para poder se verificar por exemplo o fator de
multiplicaccedilatildeo efetivo (keff) resultados dos caacutelculos de depleccedilatildeo e identificar as causas
para as possiacuteveis diferenccedilas significativas entre os resultados simulados e os teoacutericos
Idealmente esses paracircmetros deveriam ser comparados com dados
experimentais No entanto haacute uma falta significativa de resultados fiacutesicos para nuacutecleos
de reatores raacutepidos concebidos para queimar actiniacutedeos menores (AM) (Allen et al
2011)
Neste trabalho foram utilizados dois coacutedigos MC distintos Inicialmente devido
a grande quantidade de citaccedilotildees na literatura (Hashemi-Nezhad et al 2002 Sobolev
et al 2003 Bomboni et al 2010 Fokau et al 2010 Talamo et al 2011 Pelowitz
2008) foi utilizado o coacutedigo MCNPX 26f e tambeacutem o coacutedigo SERPENT 1117 que eacute
uma ferramenta relativamente nova (Leppaumlnen 2007) comparada ao MCNPX
O MCNPX eacute um coacutedigo MC que vem sendo desenvolvido deste 1995 sendo
escrito em FORTRAN e C Assim o MCNPX pode ser compilado para a utilizaccedilatildeo nas
plataformas computacionais mais usadas (Windows Linux e IOS) Aleacutem disso o
MCNPX pode ser usado com as bibliotecas de programaccedilatildeo paralela (MPI)
O coacutedigo eacute composto por aproximadamente 450 subrotinas possui um
desenvolvimento constante e atualmente eacute capaz de simular 34 partiacuteculas distintas A
versatildeo 250 do MCNPX eacute utilizada atualmente por cerca de 2500 grupos no mundo
sendo distribuiacutedo pelo Radiation Safety Information Computational Center (RSICC)
com base de dados sendo fornecida pela OECDNEA
Uma das grandes dificuldades do uso do MCNPX eacute a descriccedilatildeo da geometria
que eacute feita atraveacutes de uniotildees e interseccedilotildees de superfiacutecies baacutesicas (plano cilindro
infinito esfera cone ou elipsoide) Assim para simular uma vareta de combustiacutevel
deve-se criar pelo menos trecircs superfiacutecies distintas (2 planos e um cilindro infinito)
Aleacutem disso deve-se criar uma ceacutelula para cada material utilizado Esta ceacutelula
carrega a informaccedilatildeo do material que ela eacute composta a densidade e os limites
informados pelas uniotildees eou interseccedilotildees das superfiacutecies Tanto as superfiacutecies quanto
as ceacutelulas satildeo referenciados por nuacutemeros definidos pelo usuaacuterio
69
Todas as superfiacutecies permitem que as uniotildees e interseccedilotildees sejam feitas em
dois sentidos Esses sentidos satildeo informados pelos sinais negativos e positivos que
devem acompanhar os nuacutemeros das superfiacutecies
O MCNPX ainda permite a definiccedilatildeo da importacircncia da partiacutecula em cada
ceacutelula isso eacute uacutetil quando se quer excluir uma ou mais partiacuteculas Caso a importacircncia
de necircutrons seja definida como zero qualquer necircutron que entrar nesta ceacutelula seraacute
eliminado da simulaccedilatildeo Isto eacute um artifiacutecio que delimita a aacuterea de atuaccedilatildeo das
partiacuteculas para natildeo termos simulaccedilotildees de duraccedilatildeo ldquoinfinitardquo ou perder tempo
computacional em partiacuteculas que jaacute saiacuteram do sistema
Tambeacutem eacute possiacutevel definir ceacutelulas sem nenhum material para isso basta
colocar o nuacutemero zero no lugar do nuacutemero do material e natildeo informar a densidade do
mesmo Neste caso o coacutedigo iraacute interpretar o conteuacutedo da ceacutelula como sendo vaacutecuo
O MCNPX natildeo fornece ferramenta graacutefica para a ediccedilatildeo de geometria poreacutem
existem programas que realizam a leitura do arquivo e permitem a sua visualizaccedilatildeo O
que MCNPX faz eacute uma verificaccedilatildeo baacutesica da geometria em busca de erros Em caso
de erros de geometria o MCNPX natildeo realiza a simulaccedilatildeo ou a simulaccedilatildeo pode ser
abortada se o coacutedigo computar vaacuterias partiacuteculas perdidas (partiacuteculas que ldquosaemrdquo da
geometria)
O lado positivo do MCNPX eacute a grande quantidade de elementos e de isoacutetopos
disponiacuteveis para a simulaccedilatildeo devido o uso da biblioteca ENDF que eacute mantida pela
agecircncia internacional de energia atocircmica Para os elementos ou isoacutetopos que natildeo
existem nas bibliotecas o MCNPX realiza a simulaccedilatildeo utilizando modelos fiacutesicos Isto
proporciona uma grande flexibilidade na simulaccedilatildeo Aleacutem disso o MCNPX traz
bibliotecas de espalhamento teacutermico que podem ser usadas nos materiais utilizados
como moderadores
O outro coacutedigo MC utilizado foi o SERPENT Este coacutedigo eacute especiacutefico para
simulaccedilatildeo de reatores nucleares que realiza com caacutelculo de depleccedilatildeo e eacute
desenvolvido no Centro de Pesquisa Teacutecnica da Finlacircndia (VTT Technical Research
Centre of Finland) Atualmente eacute utilizado por cerca de 180 grupos de usuaacuterios em 27
paiacuteses Este coacutedigo se encontra na versatildeo 1118 sendo que a versatildeo 20 estaacute
atualmente em fase de teste O SERPENT tambeacutem permite a utilizaccedilatildeo de
processamento paralelo com o MPI (Message Passing Interface) para sua execuccedilatildeo
A paralelizaccedilatildeo no modo de caacutelculo de queima eacute dividida nas rotinas de preacute-
processamento e depleccedilatildeo em vaacuterias tarefas Cada tarefa trata um material diferente e
o aumento de desempenho pode-se tornar significativo
O SERPENT eacute um dos uacutenicos coacutedigos MC que permitem a simulaccedilatildeo com
fonte externa com meio multiplicativo aleacutem de caacutelculos de depleccedilatildeo em uma uacutenica
70
simulaccedilatildeo a geometria natildeo eacute tatildeo problemaacutetica quanto a do MCNPX pois jaacute existem
elementos preacute-definidos que satildeo encontrados em reatores nucleares como por
exemplo elementos combustiacuteveis em em arranjo hexagonal
A descriccedilatildeo da geometria no SERPENT eacute feita definindo-se uma vareta e os
raios de cada material que a compotildee Diferentemente do MCNPX os materiais satildeo
referenciados por nomes seguidos do raio ocupado partindo do centro da vareta ateacute a
extremidade
Por exemplo para se definir uma vareta de combustiacutevel os materiais que
compotildee esta vareta devem ser descritas do centro para fora da vareta Assim se o
combustiacutevel estaacute designado com um raio de 04024 cm a definiccedilatildeo do gap deve iniciar
de um raio maior que o do combustiacutevel O gap eacute designado pela palavra reservada
void
A definiccedilatildeo das varetas seja de combustiacutevel ou as de controle devem ser
terminadas sempre com o nome do material utilizado como refrigerante (Soacutedio por
exemplo) Eacute importante lembrar que cada definiccedilatildeo de vareta recebe um nuacutemero que
eacute chamado de universo
Apoacutes as definiccedilotildees das varetas basta informar o tipo de arranjo utilizado e o
pitch de varetas para completar a descriccedilatildeo do nuacutecleo do reator Se existem varetas
com diferentes composiccedilotildees de combustiacutevel deve-se informar o nuacutemero de cada
universo na posiccedilatildeo desejada
Ambos os coacutedigos permitem a utilizaccedilatildeo da mesma biblioteca realizam caacutelculo
de depleccedilatildeo do combustiacutevel indicando a quantidade de cada elemento nos diferentes
passos de queima sendo possiacutevel fazer um inventaacuterio de queima em ambos os
coacutedigos para cada intervalo de queima Este intervalo eacute informado pelo usuaacuterio
Para a descriccedilatildeo do material tanto o MCNPX como o SERPENT usam a
mesma forma Basta informar o ldquocoacutedigordquo do elemento desejado e sua concentraccedilatildeo
que pode ser atocircmica (aacutetomosbarncm) ou fraccedilatildeo de massa
O coacutedigo dos materiais eacute formado pelos seus nuacutemeros atocircmicos e por seus
nuacutemeros de massa Por exemplo o coacutedigo para o elemento 238U eacute 92238
Para se identificar as diferentes versotildees das bibliotecas existem nuacutemeros que
vecircm depois do coacutedigo do elemento Esses nuacutemeros satildeo a versatildeo das bibliotecas para
o MCNPX e para o SERPENT as temperaturas (em Kelvin) das bibliotecas Portanto
no MCNPX o coacutedigo 9223866c indica que a biblioteca utilizada eacute a ENDF66 Para o
SERPENT o coacutedigo completo eacute 9223806c onde o 06c indica a temperatura em que a
biblioteca foi avaliada (600 K)
71
Ainda na descriccedilatildeo do material o coacutedigo SERPENT permite definir os materiais
de outra forma Assim pode-se usar o siacutembolo do elemento quiacutemico seguido de seu
nuacutemero de massa Por exemplo O-1609c eacute o 16O a uma temperatura de 900 K
Se o material eacute composto por mais de um elemento quiacutemico basta inserir os
demais elementos As tabelas abaixo mostram o exemplo de um revestimento de
zircaloy (Tabela 81) para o MCNPX e para o dioacutexido de uracircnio (Tabela 82) para o
SERPENT Note que para a entrada em fraccedilatildeo de massa deve-se colocar o sinal de
negativo
Aleacutem das informaccedilotildees dos elementos e de suas concentraccedilotildees eacute necessaacuterio
informar tambeacutem a densidade dos materiais No MCNPX essa informaccedilatildeo fica junto
com a definiccedilatildeo do local que o material estaacute No SERPENT a informaccedilatildeo da
densidade fica junto com a definiccedilatildeo do material Em ambos os coacutedigos a densidade
pode ser informada em gcm3 ou em densidade atocircmica (aacutetomosbarnmiddotcm)
Tabela 81 Exemplo de um
revestimento de zircaloy no MCNPX
Elemento Fraccedilatildeo de
massa
4000066c -098135
2400066c -000100
2600066c -000135
2800042c -000055
5000006c -001450
801606c -000125
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de
uracircnio no SERPENT
Elemento Densidade
Atocircmica
9223409c 914E-02
9223509c 935E+00
9223809c 215E+02
O-1609c 449E+02
Para a validaccedilatildeo das simulaccedilotildees realizadas utilizando o coacutedigo SERPENT
foram realizadas algumas simulaccedilotildees de reatores para a comparaccedilatildeo direta com o
MCNPX jaacute que o MCNPX eacute amplamente utilizado para a simulaccedilatildeo de reatores
Os reatores simulados foram um PWR com combustiacutevel do tipo MOX (Figura
81) um reator do tipo VVER (Figura 82) e um terceiro do tipo CANDU (Figura 83)
Os resultados obtidos com essas simulaccedilotildees se encontram na Tabela 83
72
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU
Refrigerante (aacutegua)
Combustiacutevel MOX 1 (29 Pu)
Combustiacutevel MOX 2 (44 Pu)
Combustiacutevel MOX 3 (56 Pu)
Combustiacutevel (UO2)
Vazio (ar)
Refrigerante (Aacutegua)
Combustiacutevel (UO2)
Refrigerante (Aacutegua)
73
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER
Reator keff Diferenccedila2
(pcm) MCNPX SERPENT
VVER 128763 128807 3417
CANDU 094169 094207 4034
PWR 100176 100184 799
Recentemente Allen et al(2011) publicou uma proposta de referecircncia para
reatores regeneradores baseado no reator de teste avanccedilado para queima de AM
(ABTR) Este reator tem uma potecircncia teacutermica de 250 MW sendo refrigerado com
soacutedio A Figura 84 mostra a geometria e disposiccedilatildeo dos elementos do nuacutecleo do
reator utilizado na simulaccedilatildeo com MCNPX
As Tabelas 84 85 e 86 trazem as composiccedilotildees dos diferentes combustiacuteveis
utilizados Jaacute as Tabelas 87 88 e 89 mostram a composiccedilatildeo das varetas refletor e
barras de controle respectivamente
A Tabela 810 traz informaccedilotildees gerais do reator como pitch e diacircmetro de
varetas do reator entre outras
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX
2 Em moacutedulo diferenccedila = |Keff MCNPX - keff SERPENT|
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
74
Tabela 84Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 1
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 122E-04
U-235 322E-01
U-236 206E-02
U-238 202E+02
Np-237 384E-02
Pu-236 139E-07
Pu-238 959E-03
Pu-239 350E+01
Pu-240 374E+00
Pu-241 245E-01
Pu-242 175E-02
Am-241 142E-02
Am-242 285E-04
Am-243 613E-04
Cm-242 471E-04
Cm-243 741E-06
Cm-244 483E-05
Cm-245 191E-06
Cm-246 261E-08
Tabela 85 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 2
(densidade 10851
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 100E-02
U-235 320E-01
U-236 195E-02
U-238 197E+02
Np-237 181E+00
Pu-236 908E-06
Pu-238 905E-01
Pu-239 235E+01
Pu-240 109E+01
Pu-241 294E+00
Pu-242 219E+00
Am-241 213E+00
Am-242 583E-02
Am-243 436E-01
Cm-242 735E-02
Cm-243 244E-03
Cm244 110E-01
Cm-245 977E-03
Cm-246 677E-04
Tabela 86 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 3
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 150E-02
U-235 318E-01
U-236 186E-02
U-238 193E+02
Np-237 313E-02
Pu-236 911E-08
Pu-238 987E-03
Pu-239 431E+01
Pu-240 456E+00
Pu-241 295E-01
Pu-242 206E-02
Am-241 223E-02
Am-242 408E-04
Am-243 756E-04
Cm-242 563E-04
Cm-243 905E-06
Cm244 553E-05
Cm-245 200E-06
Cm-246 241E-08
75
Tabela 87 Composiccedilatildeo
do revestimento da vareta
de combustiacutevel
(densidade 75357
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Fe-54 408E+01
Fe-56 641E+02
Fe-57 148E+01
Fe-58 197E+00
Ni-58 293E+00
Ni-60 113E+00
Ni-61 491E-02
Ni-62 157E-01
Ni-64 399E-02
Cr-50 451E+00
Cr-52 870E+01
Cr-53 987E+00
Cr-54 246E+00
Mn-55 460E+00
Zr-nat 491E+00
Tabela 88 Composiccedilatildeo
do refletor (densidade
53908 gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Na-23 715E+01
Fe-54 277E+01
Fe-56 435E+02
Fe-57 101E+01
Fe-58 134E+00
Ni-58 199E+00
Ni-60 767E-01
Ni-61 333E-02
Ni-62 106E-01
Ni-64 271E-02
Cr-50 306E+00
Cr-52 591E+01
Cr-53 670E+00
Cr-54 167E+00
Mn-55 312E+00
Zr-nat 333E+00
Tabela 89 Composiccedilatildeo
da barra de controle
(densidade 15643
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
C-12 407E+01
B-10 164E+02
B-11 662E+02
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR
Paracircmetro Valor (cm)
ldquoPicthrdquo do elemento combustiacutevel 14685
ldquoPitchrdquo da varetas de combustiacutevel 09134
Diacircmetro da vareta de combustiacutevel 08048
Espessura do revestimento 00523
Altura ativa do combustiacutevel 844108
76
A biblioteca de dados utilizada foi a ENDF B-VI6a que eacute fornecida juntamente
com o MCNPX 26 Esta biblioteca foi avaliada em diferentes temperaturas O
refrigerante utilizado na simulaccedilatildeo deste reator eacute o soacutedio com uma concentraccedilatildeo de
22272x10-2 aacutetomosbarnsmiddotcm
Como o MCNPX e o SERPENT natildeo permitem a mudanccedila na temperatura
durante a simulaccedilatildeo caso queira-se avaliar o efeito da temperatura deve-se ter as
bibliotecas nas temperaturas requeridas refazer a simulaccedilatildeo e comparar os
resultados
A simulaccedilatildeo deste sistema foi feita com um total de 130 ciclos mas somente os
uacuteltimos 100 ciclos satildeo contabilizados nos resultados Cada ciclo foi simulado com
1x104 necircutrons totalizando 106 necircutrons isto sem levar em conta os necircutrons
produzidos por fissatildeo A Tabela 811 mostra a divisatildeo dos intervalos utilizados na
queima do combustiacutevel na simulaccedilatildeo do reator ABTR
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR
Intervalo Duraccedilatildeo (dias)
1 2739
2 2739
3 5478
4 10956
5 10956
6 10956
7 10956
8 10956
9 10956
10 10956
11 10956
12 10956
O proacuteximo passo foi realizar a simulaccedilatildeo deste mesmo sistema no SERPENT
1118 para a comparaccedilatildeo com o resultado do MCNPX e verificar se os resultados de
ambos os coacutedigos MC satildeo compatiacuteveis para o caso de reatores subcriacuteticos A Figura
85 mostra o nuacutecleo do reator simulado no SERPENT
77
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT
A simulaccedilatildeo tambeacutem foi realizada com 130 ciclos utilizando o mesmo nuacutemero
de necircutrons que na simulaccedilatildeo feita pelo o MCNPX
Com estas condiccedilotildees Allen et al (2011) obtiveram um keff de 104961 Ao
reproduzir esta simulaccedilatildeo foi obtido um keff inicial de 104622 ou seja uma diferenccedila
de 83 pcm
Vale ressaltar que o tempo de simulaccedilatildeo do SERPENT para este mesmo
sistema foi de aproximadamente 20 h Isso se deve ao fato que o SERPENT eacute
especiacutefico para simulaccedilatildeo de reatores enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo mais geral
Assim o SERPENT pode utilizar mecanismos de otimizaccedilatildeo como por exemplo uma
mudanccedila no algoritmo de caacutelculo do livre caminho meacutedio sem perda de informaccedilatildeo
Os resultados da comparaccedilatildeo satildeo apresentados na Tabela 812 Jaacute os graacuteficos
das Figuras 87 e 88 mostram a comparaccedilatildeo do keff e da queima nos dois sistemas
respectivamente Pode-se observar atraveacutes da Figura 86 que o reator simulado se
torna subcriacutetico somente apoacutes 550 dias de operaccedilatildeo
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
78
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT
Tempo
(dias)
Reatividade (pcm) Burnup (GwdMTU)
Diferenccedila3
reatividade
(pcm)
Diferenccedila1
Burnup
(GwdMTU)
MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT
00 4335 4418 0000 0000 83 0000
2739 4033 4114 1325 1324 81 0001
5478 3906 3788 2649 2649 118 0000
1096 3544 3462 5298 5297 81 0001
2191 2759 2343 10600 10594 415 0006
3287 1749 1642 15890 15891 106 0001
4382 1053 1255 21190 21188 202 0002
5478 15 106 26490 26485 91 0005
6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008
7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011
8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014
9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007
10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094
095
096
097
098
099
100
101
102
103
104
105
106
Kef
f
Tempo (Dias)
MCNPX SERPENT
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT
1 diferenccedila burnup = |burnup MCNPX ndash burnup SERPENT|
3 diferenccedila reatividade = |Keff MCNPX ndash keff SERPENT|
79
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000
10
20
30
40
50
60
burn
up (
Gw
dM
TU
)
tempo (Dias)
MCNPX 26 SERPENT
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT
Uma opccedilatildeo interessante na simulaccedilatildeo realizada com o SERPENT eacute a
possibilidade de uma visualizaccedilatildeo das aacutereas mais lsquoquentesrsquo do reator que satildeo
representadas por tons de vermelho e amarelo representando a potecircncia relativa da
fissatildeo nuclear e em tons de azul satildeo as aacutereas lsquofriasrsquo representando fluxo teacutermico
relativo (ver Figuras 89 e 810)
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do reator PWR simulado
80
Para a observaccedilatildeo nas alteraccedilotildees nos esquemas de cores a normalizaccedilatildeo eacute
fixa apoacutes o primeiro passo de queima A Figura 89 abaixo mostra a representaccedilatildeo das
aacutereas quentes e frias para o reator ABTR simulado por Allen et al (2010) em quatro
estaacutegios diferentes de queima
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias
A partir das Tabelas 812 83 e do graacutefico da Figura 86 pode-se verificar que
os dois coacutedigos MC apresentam resultados satisfatoacuterios para os valores do keff com
diferenccedila maacutexima de 415 pcm para o reator ABTR Esta diferenccedila pode ser devido agrave
geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios presente no meacutetodo MC Uma maneira de ser diminuir
esta diferenccedila eacute aumentando a quantidade de partiacuteculas simuladas poreacutem o tempo de
simulaccedilatildeo tornar-se demasiadamente grande (Antolin 2009) Outra possibilidade eacute a
falta de dados mais precisos dos materiais utilizados como combustiacuteveis no reator
ABTR
Como o coacutedigo SERPENT eacute mais novo a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do mesmo
sistema simulado no MCNPX se justifica para saber se o coacutedigo SERPENT reproduz
sistemas subcriacuteticos adequadamente Aleacutem disso o SERPENT permite a simulaccedilatildeo
de reatores nucleares com fonte externa mesmo que estas simulaccedilotildees se limitem a
a b
c d
81
problemas de fonte externa fixa Devemos lembrar que o SERPENT soacute realiza
simulaccedilatildeo de reatores nucleares enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo que pode ser
aplicados a outros problemas aleacutem de simulaccedilotildees de reatores
82
9 Resultados
As equaccedilotildees da cineacutetica pontual obtidas no capiacutetulo 3 para sistemas
subcriacuteticos foram comparadas com a simulaccedilatildeo MC devido agrave dificuldade de se obter
dados experimentais de reatores subcriacuteticos As simulaccedilotildees foram feitas utilizando
potecircncia constante linear exponencial e tambeacutem uma variaccedilatildeo aleatoacuteria
A utilizaccedilatildeo do meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear eacute interessante por
permitir a implementaccedilatildeo de sistemas de monitoramento em tempo real da reatividade
associada a uma variaccedilatildeo da potecircncia nuclear tornando-se muito atraente para
aplicaccedilotildees em reatores do tipo ADS
A Figura 91 mostra a geometria utilizada nas simulaccedilotildees de todos os casos
simulados As composiccedilotildees dos materiais satildeo as mesmas mostradas nas Tabelas 87
88 e 89 para vareta refletor barra de controle e da vareta de combustiacutevel Para a
composiccedilatildeo do combustiacutevel foi usada agrave composiccedilatildeo mostrada na Tabela 91
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado
Elemento Concentraccedilatildeo
(fraccedilatildeo de massa)
U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico
Legenda
Combustiacutevel
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
83
Os valores utilizados para a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo Monte Carlo com os
resultados das equaccedilotildees para cada um dos casos do capiacutetulo 3 encontram-se na
Tabela 92 Esses valores foram obtidos diretamente do arquivo de saiacuteda da simulaccedilatildeo
realizada no SERPENT com a exceccedilatildeo do valor de Γ que foi extraiacutedo de Silva (2011)
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos
Paracircmetro Valor
β 000706
Λ 121x10-5 s
λ 21979x10-1 s
Γ -077x10-10
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia
Nuclear
Para um reator subcriacutetico chegar a sua potecircncia de operaccedilatildeo deve-se
monitorar a reatividade para se evitar algum tipo de acidente Assim podemos supor
uma inserccedilatildeo de reatividade de maneira linear (equaccedilatildeo 443) Esta simulaccedilatildeo foi feita
considerando uma taxa de aumento de 5 por hora do valor inicial da potecircncia sendo
monitorado por um periacuteodo de 6 horas
A Tabela 93 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos entre o SERPENT e
a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa
92 Potecircncia Nuclear Constante
Para a simulaccedilatildeo realizada a potecircncia constante o tempo total de simulaccedilatildeo foi
de cerca de 12 horas Esta diferenccedila se daacute unicamente devido ao diferente nuacutemero de
passos simulados enquanto foram simulados 6 passos de uma hora para a variaccedilatildeo
84
linear da potecircncia foram simulados 10 passos para a potencia constante Esta
simulaccedilatildeo tenta reproduzir a operaccedilatildeo em condiccedilotildees normais do reator A Tabela 94
mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos para a potecircncia de 80 MW
93 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
A variaccedilatildeo exponencial da potecircncia foi simulada por um periacuteodo de 1 hora em
intervalos de 10 minutos A Tabela 95 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos
com uma taxa de aumento de 00001
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(h) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 1 -2069 -2125 -2119 56 50
84 2 -2050 -2125 -2125 75 75
88 3 -2122 -2134 -2134 12 12
92 4 -2077 -2143 -2143 66 66
96 5 -2142 -2151 -2151 9 9
100 6 -2119 -2158 -2158 39 39
85
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
Gandini -
SERPENT
0 -2133 -2146 -2146 12 12
10 -2152 -2146 -2146 6 6
20 -2144 -2146 -2146 2 2
30 -2167 -2146 -2146 21 21
40 -2151 -2146 -2146 5 5
50 -2127 -2146 -2146 18 18
60 -2177 -2146 -2146 31 31
70 -2145 -2146 -2146 0 0
80 -2152 -2146 -2146 6 6
90 -2160 -2146 -2146 14 14
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da potecircncia
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2065 2120 2120 55 55
115 10 2108 2107 2107 0 0
165 20 2104 2115 2114 11 10
235 30 2070 2114 2115 44 45
337 40 2083 2115 2115 32 32
483 50 2126 2115 2117 11 9
86
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
A avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia durante
sua operaccedilatildeo foi feita durante um periacuteodo de 6 horas Neste intervalo foi simulada uma
suacutebita queda de potecircncia e posteriormente uma subida repentina da potecircncia A
Tabela 96 mostra os resultados obtidos
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2075 2029 2029 46 46
90 1 2075 2188 2188 113 113
0 2 2143 2118 2118 24 24
40 3 2050 2120 2120 70 70
80 4 2133 2231 2231 97 97
100 5 2080 2163 2163 83 83
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Nesta seccedilatildeo seratildeo apresentados os resultados obtidos levando-se em conta a
variaccedilatildeo temporal da fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo dos
necircutrons
87
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia
Assim como na seccedilatildeo 91 a Tabela 97 mostra os resultados obtidos para uma
variaccedilatildeo linear de potecircncia poreacutem os resultados abaixo foram levados em conta agraves
variaccedilotildees temporais de β e de Λ Como o SERPENT jaacute fornece os valores de β e Λ
para cada passo de queima esses valores foram utilizados para a obtenccedilatildeo da reta de
ajuste que foi utilizada em todos os casos com variaccedilatildeo temporal de β e de Λ Assim
natildeo foi necessaacuterio realizar novas simulaccedilotildees
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Λ (x10-5)
(s)
β
(pcm)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF ndash
SERPENT
HGPT ndash
SERPENT
80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6
84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0
88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28
92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80
96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127
100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141
952 Potecircncia constante
Jaacute para o reator operando a uma potecircncia constante a Tabela 98 mostra os
resultados obtidos para variaccedilotildees lineares de β e Λ Lembrando que esta a duraccedilatildeo
desta simulaccedilatildeo foi de aproximadamente 12 horas
88
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia constante
Tempo
(min) Λ (x10-5) (s)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7
10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6
20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5
30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17
40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4
50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18
60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31
70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0
80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1
90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14
953 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
Utilizando a mesma variaccedilatildeo de potencia da seccedilatildeo 93 a operaccedilatildeo do reator
foi simulada por um periacuteodo de 6 horas Para este caso a taxa de aumento de
potecircncia tambeacutem foi de 00001 A Tabela 99 mostra os resultados obtidos
89
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Mais uma vez realizando a mesma variaccedilatildeo de potecircncia da seccedilatildeo 94 a
avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia tambeacutem foi
realizada juntamente com a variaccedilatildeo de β e Λ A Tabela 910 mostra os resultados
obtidos
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia com β e Λ variaacuteveis no tempo
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125
115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36
165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13
235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9
337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80
483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Serpent TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102
90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2
0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79
40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51
80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140
100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23
90
96 Paracircmetros Nucleares
Os paracircmetros integrais satildeo muitas vezes utilizados para dar informaccedilotildees
imediatas e completas sobre as caracteriacutesticas fiacutesicas dos reatores nucleares Eles
podem aparecer diretamente da modelagem matemaacutetica do sistema ou podem ser
introduzidos tanto artificialmente com a finalidade de quantificar as caracteriacutesticas
fiacutesicas pra que se permitam comparaccedilotildees entre diferentes configuraccedilotildees ou na
interpretaccedilatildeo das mediccedilotildees experimentais Assim enquanto algumas quantidades
integrais em fiacutesica de reatores deteacutem um significado matemaacutetico (por exemplo o fator
de multiplicaccedilatildeo como sendo o autovalor do problema de equiliacutebrio) outras
quantidades podem carregar significados diferentes de acordo com os objetivos
especiacuteficos para os quais satildeo introduzidos Este fato pode causar uma grande
confusatildeo especialmente quando o mesmo termo eacute utilizado para denotar grandezas
fiacutesicas bastante diferentes Este eacute o caso por exemplo de paracircmetros integrais
introduzidos em modelos cineacuteticos que satildeo obtidos atraveacutes da ponderaccedilatildeo das
equaccedilotildees da cineacutetica Enquanto que o procedimento eacute bem estabelecido na cineacutetica
dos de sistemas criacuteticos o caso de sistemas com fonte externa pode estar aberto a
ambiguidade jaacute que natildeo existe uma uacutenica funccedilatildeo de ponderaccedilatildeo e sua escolha pode
ser relacionada mais para conveniecircncia numeacuterica ou para a necessidade de obter
alguns resultados muitos especiacuteficos (Dulla 2011)
Por outro lado muitas vezes esses mesmos termos podem ser obtidos por
exemplo por teacutecnicas de simulaccedilatildeo MC Este eacute o caso de reatividade fraccedilatildeo de
necircutrons retardados e o tempo de geraccedilatildeo de necircutrons Eacute especialmente importante
observar que os sistemas subcriacuteticos exigem um repensar de toda abordagem teoacuterica
concebida para sistemas criacuteticos
Anaacutelises realiacutesticas da cineacutetica de sistemas subcriacuteticos satildeo atualmente feitas
atraveacutes da soluccedilatildeo direta das equaccedilotildees seja por difusatildeo ou por modelos de
transporte Informaccedilotildees altamente detalhadas e precisas sobre a evoluccedilatildeo dos
necircutrons satildeo necessaacuterias entretanto os modelos pontuais satildeo muito simplificados e
podem natildeo fornecer informaccedilotildees suficientes Aleacutem disso ferramentas numeacutericas e
computacionais eficientes estatildeo disponiacuteveis tornando possiacutevel evitar as restriccedilotildees dos
modelos da cineacutetica pontual No entanto os paracircmetros integrais satildeo uacuteteis em
qualquer caso para a obtenccedilatildeo de informaccedilotildees completas sobre o comportamento
fiacutesico do sistema para ter uma indicaccedilatildeo imediata sobre as caracteriacutesticas cineacuteticas do
sistema
91
O conceito de paracircmetros integrais parece perder significado e relevacircncia para
sistemas subcriacuteticos guiados por fonte Por isso para as quantidades integrais
medidas ou simuladas as definiccedilotildees dos paracircmetros gerados devem sempre estar
especificados para evitar interpretaccedilotildees equivocadas e incorretas de tais resultados
Para comparar alguns paracircmetros as simulaccedilotildees foram feitas utilizando tanto
combustiacutevel fresco quanto combustiacutevel usado Assim pode-se comparar alguns
paracircmetros nucleares do iniacutecio do ciclo de combustiacutevel com os resultados de
combustiacutevel no final do ciclo Alguns paracircmetros como a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados (β) e o tempo de geraccedilatildeo meacutedia de necircutrons (Λ) satildeo fornecidos pelo coacutedigo
SERPENT ao final de cada simulaccedilatildeo
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares
Paracircmetro Combustiacutevel
fresco
Combustiacutevel
queimado
Referecircncia (Dulla et
al 2011)
β 000706 000340 000644
Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s
A partir da Tabela 911 pode-se verificar que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
tem uma diminuiccedilatildeo de quase a metade em comparaccedilatildeo ao seu valor inicial Isso eacute de
se esperar devido agrave queima do combustiacutevel fazendo com que este paracircmetro natildeo seja
tatildeo importante na operaccedilatildeo de um reator nuclear no final do ciclo do combustiacutevel como
eacute em seu iniacutecio
O valor para a fraccedilatildeo de necircutrons retardados para combustiacutevel fresco no
reator subcriacutetico Yalina operando a um keff de 098 eacute de 644 pcm (Dulla et al 2011) ou
seja uma diferenccedila de 62 pcm em relaccedilatildeo ao valor encontrado na Tabela 911 Vale
ressaltar que segundo Dulla et al (2011) os paracircmetros integrais dependem do niacutevel
de subcriticalidade
Outro paracircmetro importante para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de cineacutetica pontual e
para o controle do reator sendo muitas vezes utilizado para determinar a resposta
dinacircmica de um reator nuclear eacute o tempo de vida de necircutrons prontos (Λ) (Abaacutenades
et al 2001) Para reatores teacutermicos este valor eacute em torno de 10-4 s enquanto para
reatores subcriacuteticos este valor eacute da ordem de 10-5 s Segundo Dulla et al (2011) o
valor para este paracircmetro eacute de 148 micros para combustiacutevel fresco Assim o valor
encontrado (121 micros) eacute proacuteximo ao encontrado na literatura com um desvio percentual
92
de 18 Este desvio pode se devido agraves diferentes composiccedilotildees do combustiacutevel e
tambeacutem pela diferenccedila de enriquecimento
93
10 Conclusatildeo
A mediccedilatildeo da reatividade utilizando-se a cineacutetica inversa eacute amplamente
utilizada na partida de um reator nuclear Assim uma mediccedilatildeo acurada da reatividade
eacute imprescindiacutevel para o controle do reator (Diacuteaz et al 2007)
Os formalismos propostos por Gandini (2000) e por Silva et al (2011) envolvem
a fonte externa para descriccedilatildeo do comportamento cineacutetico dos reatores subcriacuteticos
guiados por fontes Poreacutem como ainda natildeo existem reatores ADS em operaccedilatildeo as
simulaccedilotildees de tais sistemas satildeo importantes para a avaliaccedilatildeo preliminar do
funcionamento desses reatores
Os resultados apresentados no capiacutetulo anterior mostram que as equaccedilotildees da
cineacutetica inversa para sistemas subcriacuteticos propostas nesta tese reproduzem
satisfatoriamente os reatores subcriacuteticos guiados por fonte sejam utilizando o meacutetodo
das derivadas quanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia tanto para o
formalismo proposto por Gandini (2000) quanto o proposto por Silva et al (2011)
Ainda pode-se notar que tanto para valores constantes como para variaccedilotildees lineares
de β e Λ os resultados satildeo coerentes Isto ocorre devido agrave pequena variaccedilatildeo de β
(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)
Vale ressaltar que o meacutetodo das derivadas se torna interessante para o
monitoramento da reatividade por natildeo necessitar do armazenamento de todo o
histoacuterico potecircncia e depender apenas das derivadas da potecircncia possibilitando que o
caacutelculo da reatividade seja feito com uma maior rapidez se comparado com o tempo
necessaacuterio para resolver a integral do histoacuterico de potecircncia Aleacutem disso este meacutetodo
natildeo necessita do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator e o caacutelculo
pode ser reiniciado em caso de mau funcionamento do equipamento de mediccedilatildeo da
reatividade
A simulaccedilatildeo Monte Carlo foi utilizada para a validaccedilatildeo dos meacutetodos propostos
devido agrave falta de dados nucleares para reatores subcriacuteticos poreacutem mesmo com a boa
reproduccedilatildeo deste tipo de simulaccedilatildeo a modelagem utilizada por estes meacutetodos
encontra problemas pois os dados nucleares disponiacuteveis para alguns actiniacutedeos natildeo
atendem as faixas de energia necessaacuterias para a simulaccedilatildeo de um reator ADS Esses
dados devem cobrir aleacutem de uma vasta gama de energia e um grande conjunto de
nucliacutedeos (Vaz 2010) pois o grande atrativo dos reatores ADS eacute a transmutaccedilatildeo de
rejeitos de longa meia vida e tambeacutem a produccedilatildeo de energia eleacutetrica Assim a ecircnfase
94
dos dados nucleares deve ser nos actiniacutedeos (por exemplo Np Am e o Cm) para o
acompanhamento do ciclo de combustiacutevel com a finalidade de reciclagem muacuteltipla
Mesmo assim a simulaccedilatildeo realizada para a validaccedilatildeo das equaccedilotildees propostas por
Gandini (2000) e por Silva et al (2011) mostra-se coerente para anaacutelise completa da
reatividade de um reator subcriacutetico guiado por fonte
Ainda assim a simulaccedilatildeo Monte Carlo pode ser utilizada para a anaacutelise
preliminar de alguns paracircmetros dos reatores nucleares (criacuteticos ou subcriacuteticos) como
por exemplo o fator de multiplicaccedilatildeo efetivo a fraccedilatildeo de necircutrons retardados e uma
boa aproximaccedilatildeo da quantidade de material transmutado ajudando a prever o
comportamento meacutedio do reator
Pode-se verificar que existe uma boa concordacircncia entre os valores
encontrados para os paracircmetros nucleares e os existentes na literatura Uma possiacutevel
melhora nesses resultados passa por um aumento significativo na quantidade de
histoacuterias simuladas
Este aumento contribuiria para a diminuiccedilatildeo dos erros estatiacutesticos intriacutensecos
do meacutetodo Monte Carlo Poreacutem o tempo de simulaccedilatildeo tambeacutem aumentaria
sensivelmente pois o meacutetodo MC necessita da simulaccedilatildeo individual de cada partiacutecula
podendo levar um tempo absurdamente grande para a simulaccedilatildeo de todo o sistema
Poreacutem mesmo com a ldquofaltardquo de dados nucleares mais precisos para os
actiniacutedeos a simulaccedilatildeo MC se mostra uma importante ferramenta na aacuterea de fiacutesica de
reatores devido a sua facilidade de trabalhar com geometrias bastante complexas
permitindo tambeacutem a simulaccedilatildeo desses sistemas em trecircs dimensotildees
Uma soluccedilatildeo interessante para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares seriam os
meacutetodos computacionais hiacutebridos ou seja um meacutetodo resultante da fusatildeo da
simulaccedilatildeo Monte Carlo com teacutecnicas determiniacutesticas Assim poder-se-ia melhorar os
pontos fortes e eliminar as fraquezas individuais do meacutetodo MC e das abordagens
deterministas Apesar de algumas exceccedilotildees o desenvolvimento de ferramentas
computacionais hiacutebridas eacute no entanto ainda largamente inexplorado (Vaz 2010)
95
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xi
Lista de Tabelas
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-
nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012) 2
Tabela 81 Exemplo de um revestimento de zircaloy no MCNPX 71
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de uracircnio no SERPENT 71
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER 73
Tabela 84Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 1 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 85 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 2 (densidade 10851 gcm3) 74
Tabela 86 Composiccedilatildeo do Combustiacutevel 3 (densidade 10818 gcm3) 74
Tabela 87 Composiccedilatildeo do revestimento da vareta de combustiacutevel (densidade 75357
gcm3) 75
Tabela 88 Composiccedilatildeo do refletor (densidade 53908 gcm3) 75
Tabela 89 Composiccedilatildeo da barra de controle (densidade 15643 gcm3) 75
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR 75
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR 76
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT 78
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado 82
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos 83
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear 84
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante 85
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia 85
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados 86
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ 87
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia linear constante 88
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo 89
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares 91
1
1 Introduccedilatildeo
Grande parte da energia eleacutetrica produzida por reatores nucleares satildeo
provenientes de reatores a aacutegua leve devido agrave utilizaccedilatildeo de material fiacutessil pouco
enriquecido para seu funcionamento o que torna sua construccedilatildeo e operaccedilatildeo
bastantes atrativos mesmo com os altos custos de construccedilatildeo e manutenccedilatildeo das
centrais nucleares Aleacutem disso o conhecimento do clico teacutermico utilizados por esses
reatores impulsionaram seu desenvolvimento (Pereira 2002)
Poreacutem estes reatores utilizam ciclo de combustiacutevel aberto e produzem uma
grande quantidade de rejeitos o que inclui grande quantidade de elementos
transuracircnicos (Am Cm Np entre outros) que possuem uma alta meia-vida (cerca de
107 anos)
Assim existe uma grande preocupaccedilatildeo na utilizaccedilatildeo desses reatores natildeo soacute
na prevenccedilatildeo de acidentes mas tambeacutem devido agrave proliferaccedilatildeo de armas nucleares e
agrave necessidade de repositoacuterios finais de estocagem de longa duraccedilatildeo (Iwanaga et al
2005) o que cria uma barreira de sua aplicaccedilatildeo
Atualmente grande parte do combustiacutevel queimado no mundo eacute armazenado
em piscinas dentro das proacuteprias usinas nucleares e em alguns casos o
armazenamento que deveria ser temporaacuterio persiste haacute deacutecadas Estima-se que o
aumento de combustiacutevel utilizado esteja em torno de 12000 toneladas por ano sendo
que apenas 3000 toneladas deste combustiacutevel vatildeo para o reprocessamento1
Uma forma de contornar o problema da estocagem eacute atraveacutes da queima dos
rejeitos provenientes dos reatores nucleares de potecircncia em outros tipos de reatores
Inicialmente os reatores raacutepidos foram os primeiros a serem considerados para
esta finalidade por proporcionar aleacutem de uma melhor utilizaccedilatildeo das reservas de
uracircnio a possibilidade de transmutaccedilatildeo dos elementos transuracircnicos Poreacutem
dificuldades na operaccedilatildeo de reatores raacutepidos criacuteticos como por exemplo o controle da
criticalidade e tambeacutem a oxidaccedilatildeo do material usado como refrigerante (soacutedio)
dificultaram o seu uso
Cerca de 20 reatores raacutepidos jaacute entraram em operaccedilatildeo desde a deacutecada de
1950 sendo em sua maioria reatores de pesquisa Comercialmente apenas o reator
francecircs Superphenix chegou a entrar em operaccedilatildeo comercial Ele foi desenvolvido
para gerar 12 GW de energia eleacutetrica poreacutem foi fechado em 1998 devido a falhas
1 httpwwwworld-nuclearorginfoNuclear-Fuel-CycleNuclear-WastesRadioactive-Waste-
ManagementUTn-jaVtivM
2
estruturais alto custo e repetidos incidentes O Superphoenix funcionou apenas 10
meses em 13 anos
Os reatores raacutepidos satildeo projetados para usar 238U e tambeacutem 235U usado na
maioria dos reatores Se esses reatores satildeo projetados para produzir mais plutocircnio do
que consomem eles satildeo chamados reatores reprodutores raacutepidos (FBR) (Lodhi et al
2009) Os reatores raacutepidos tambeacutem podem queimar actiniacutedeos que possuem alta meia
vida que podem ser transmutados em outros elementos para o uso em reatores
convencionais (LWR) A Tabela 11 mostra alguns reatores raacutepidos que entraram ou
entraratildeo em operaccedilatildeo no mundo
Tabela 11 Lista de alguns reatores raacutepidos no mundo (adaptado de httpwwwworld-nuclearorginfoinf98html - acessado em 21102012)
Paiacutes Reator Tipo Potecircncia
Eleacutetrica (MWe)
Potecircncia
Teacutermica (MW) Operaccedilatildeo
USA
EBR 1 02 14 1951-63
EBR II Pesquisa 20 625 1963-94
Fermi 1 Pesquisa 66 200 1963-72
SEFOR
20 1969-72
Fast Flux Test
Facility Pesquisa
400 1980-93
Inglaterra Protoype FR Protoacutetipo 15 60 1959-77
Dounreay FR Pesquisa 270 650 1974-94
Franccedila
Rapsodie Pesquisa 40 1966-82
Phenix Protoacutetipo 250 563 1973-2009
Superphenix Comercial 1240 3000 1985-98
Alemanha KNK 2 Pesquisa 21 58 1977-91
Iacutendia FBTR Pesquisa
40 1985-
PFBR Protoacutetipo 500 1250 2012-
Japatildeo
Joyo Pesquisa
140 1978-
Monju Protoacutetipo 280 714 1994-96
2010-
Cazaquistatildeo BN 350 Protoacutetipo 135 750 1972-99
Ruacutessia
BN 12
101 1950
BR 5 10 Obninsk Pesquisa
5 8 1959-71
1973-
BOR 60
Dimitrovgrad Pesquisa 12 55 1969-
BN 600 Beloyarsk 3 Protoacutetipo 600 1470 1980-
BN-800 Beloyarsk 4 Comercial 880 2000 2014-
China CEFR Pesquisa 20 65 2010-
3
Vaacuterios paiacuteses tecircm programas de pesquisa e desenvolvimento para melhorar os
reatores raacutepidos Aleacutem disso o projeto internacional em inovaccedilatildeo de reatores
nucleares e ciclo de combustiacutevel (INPRO) da agecircncia internacional de energia atocircmica
(AIEA) possui como ecircnfase os reatores raacutepidos para funcionarem com o ciclo de
combustiacutevel fechado
Os problemas encontrados na operaccedilatildeo dos reatores raacutepidos podem ser
contornados utilizando um conceito onde os necircutrons que satildeo produzidos por uma
reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo a um custo eleacutetrico pequeno entram em um meio multiplicativo
com uma configuraccedilatildeo de combustiacutevelmoderador (Rubbia et al 1996) Esses reatores
satildeo chamados reatores hiacutebridos devido ao acoplamento de um acelerador de
partiacuteculas para seu funcionamento A Figura 11 mostra uma concepccedilatildeo do esquema
de funcionamento desses tipos de reatores
Figura 11 Diagrama geral de um reator hiacutebrido Retirado de Rubbia et al 1996
Este conceito de reator foi proposto desde os anos 1970 (Maniscalco et al
1974) Poreacutem dificuldades tecnoloacutegicas adiaram seu desenvolvimento pois estes
aceleradores de partiacuteculas devem ser extremamente confiaacuteveis durante a operaccedilatildeo do
reator
Os reatores hiacutebridos subcriacuteticos satildeo atraentes por proporcionar melhor
utilizaccedilatildeo dos recursos naturais e tem sido amplamente reconhecidos como sendo
altamente seguros (Rubbia et al 1995) A principal vantagem deste tipo de reator eacute a
operaccedilatildeo de um reator com fator de multiplicaccedilatildeo menor que a unidade (keff lt1) em
Acelerador
Nuacutecleo
Turbina
Condensador
Trocador de Calor
Gerador
4
que as reaccedilotildees de fissatildeo devem ser desencadeadas por um intenso feixe de
partiacuteculas carregadas aceleradas como por exemplo proacutetons ou iacuteons pesados com
energia entre 05 - 50 GeV por nucleon (Perelygin et al 1999)
Aleacutem disso o objetivo da transmutaccedilatildeo eacute a minimizaccedilatildeo de rejeitos nucleares
atraveacutes da transmutaccedilatildeo dos actiniacutedeos menores (AM) como Np Am e Cm Portanto
esses reatores devem ser carregados com combustiacutevel que contenha grandes
quantidades de AM
Para poderem realizar a transmutaccedilatildeo esses reatores utilizam necircutrons no
espectro raacutepido Isto ocorre porque nessa faixa de energia a seccedilatildeo de choque de
fissatildeo eacute mais favoraacutevel para a transmutaccedilatildeo dos AM Assim esses reatores se
caracterizam por uma baixa fraccedilatildeo de necircutrons retardados o que implica em raacutepidas e
grandes variaccedilotildees de potecircncia para uma pequena variaccedilatildeo na reatividade (Sordo et
al 2009) Segundo Rubbia et al (1996) uma mudanccedila suacutebita de +01 em um fator de
multiplicaccedilatildeo inicialmente a 095 causa um aumento na potecircncia de aproximadamente
20 Este aumento de reatividade em um reator raacutepido pode ter consequecircncias
catastroacuteficas
Para as especificaccedilotildees do feixe que deve sustentar o funcionamento do reator
Rubbia et al (1995) afirma que existe pouca ou nenhuma vantagem no uso de
partiacuteculas mais sofisticadas indicando o uso exclusivo de proacutetons no feixe de
partiacuteculas
Os reatores hiacutebridos ainda necessitam de um forte desenvolvimento o que
inclui novos combustiacuteveis e novas teacutecnicas de reprocessamento e tais programas
ainda natildeo foram totalmente desenvolvidos De qualquer forma o conceito de reator
hiacutebrido pode ser uma ferramenta potencial para obter o melhor domiacutenio da fissatildeo para
a geraccedilatildeo de energia eleacutetrica e sem o uso de reatores regeneradores raacutepidos (que
satildeo criacuteticos) que apresentam mais problemas na seguranccedila do que os reatores
subcriacuteticos (Piera et al 2010)
Inicialmente as especificaccedilotildees do feixe de partiacuteculas deveria ser capaz de
enviar proacutetons de no miacutenimo 1 GeV de energia o que implica em uma corrente de 10
agrave 15 mA Caso mais energia seja necessaacuteria pode-se usar vaacuterios feixes em paralelo
(Rubbia et al 1995)
O alvo atingido pelo feixe de partiacuteculas aceleradas pode ser o uracircnio natural ou
empobrecido o chumbo liacutequido ou outro material de alto nuacutemero atocircmico Assim os
necircutrons gerados nesta reaccedilatildeo entram no reator subcriacutetico que cerca o alvo
Mais recentemente Sordo et al (2009) afirmou que o alvo mais eficiente para
os reatores hiacutebridos eacute a liga feita de chumbo e bismuto (LBE) no estado liacutequido
bombardeado com proacutetons de energia entre 600 MeV e 1 GeV Devido a restriccedilotildees
5
termodinacircmicas os alvos de materiais soacutelidos satildeo indicados para instalaccedilotildees de baixa
potecircncia sendo pouco praacutetico para aplicaccedilotildees industriais que necessitam de potecircncias
muito maiores
O acelerador deve fornecer uma corrente de proacutetons com ampla faixa de
operaccedilatildeo pois para um reator que funcione com fator de multiplicaccedilatildeo muito menor
que a unidade deve-se evitar um desligamento natildeo programado durante seu
funcionamento
A produccedilatildeo de necircutrons na reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo determina a potecircncia teacutermica
do reator dependendo do seu niacutevel de subcriticalidade A diminuiccedilatildeo do valor do keff
devido agrave queima de combustiacutevel deve ser compensada para manter a potecircncia do
reator constante para isso pode-se aumentar a intensidade da fonte de necircutrons
Poreacutem isto induz um estresse termomecacircnico como a dilataccedilatildeo devido ao aumento
da temperatura aleacutem da maior degradaccedilatildeo natildeo soacute na estrutura do reator mas
tambeacutem e principalmente no alvo (Sordo et al 2009) O feixe de proacutetons deve ser
projetado para manter a integridade do alvo durante todo o ciclo de operaccedilatildeo
O projeto do reator hiacutebrido de pesquisa para aplicaccedilotildees de alta tecnologia
(MYRRHA) comeccedilou em 1998 pelo Centro de Pesquisas Nucleares da Beacutelgica
(SCKbullCEN) O primeiro objetivo do MYRRA seraacute demonstrar o conceito de reator ADS
a um niacutevel razoaacutevel de potecircncia e a viabilidade tecnoloacutegica da transmutaccedilatildeo de
actiniacutedeos menores e de produtos de fissatildeo de longa meia vida O MYRRHA tambeacutem
iraacute ajudar o desenvolvimento da tecnologia de ligas de chumbo necessaacuterio para os
reatores da geraccedilatildeo IV (Abderrahim et al 2005)
O reator estaacute previsto para entrar em operaccedilatildeo em 2023 e encontra-se em fase
de licenciamento sendo um dos reatores hiacutebridos com maior nuacutemero de referecircncias na
literatura Como ele pode trabalhar em modo criacutetico e subcriacutetico o MYRRHA gera uma
potecircncia entre 50 e 100 MWt O acelerador injeta proacutetons de 600 MeV no nuacutecleo do
reator e utiliza combustiacutevel tipo MOX
Apesar do grande nuacutemero de referecircncias encontradas na literatura os dados
de composiccedilatildeo de combustiacutevel paracircmetros nucleares materiais utilizados nesses
reatores e o comportamento cineacutetico satildeo escassos Por isso neste trabalho foram
utilizadas simulaccedilotildees numeacutericas pelo Meacutetodo de Monte Carlo para a avaliaccedilatildeo da
cineacutetica e dos paracircmetros nucleares desses reatores
Simulaccedilotildees computacionais de um sistema podem proporcionar importantes
informaccedilotildees para o estudo preliminar de novas tecnologias A simulaccedilatildeo pelo meacutetodo
de Monte Carlo foi escolhida pois eacute um dos meacutetodos que melhor descreve geometrias
complexas e que fornece informaccedilotildees precisas e detalhadas em trecircs dimensotildees aleacutem
de considerar a dependecircncia temporal tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
6
partiacuteculas neutras Assim o meacutetodo Monte Carlo (MC) se torna um meacutetodo atrativo
para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo MC eacute a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees de experimentos onde
os resultados satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Para a simulaccedilatildeo de um reator hiacutebrido satildeo necessaacuterios aleacutem da simulaccedilatildeo das
partiacuteculas geradas atraveacutes da reaccedilatildeo de ldquospallationrdquo coacutedigos que consigam prever a
queima do combustiacutevel Existem vaacuterios coacutedigos na literatura com esta finalidade e que
podem ser incorporados em coacutedigos mais gerais de MC
Atualmente um dos coacutedigos MC mais utilizados para simulaccedilatildeo de reatores
nucleares eacute o MCNPX (Hashemi-Nezhad et al 2002 Kadi et al 2001 Catsaros et al
2009) Este coacutedigo eacute desenvolvido pelo Laboratoacuterio Nacional de Los Alamos e
atualmente encontra-se na versatildeo 26e
O MCNPX eacute um coacutedigo MC geneacuterico de transporte de radiaccedilatildeo para modelar a
interaccedilatildeo da radiaccedilatildeo com a mateacuteria MCNPX significa Monte Carlo N-Particle
eXtended Ele estende as capacidades do MCNP4C3 a um grande nuacutemero de
partiacuteculas em uma ampla faixa de energia e para quase todas as aplicaccedilotildees sem custo
adicional de tempo computacional MCNPX faz caacutelculos tridimensionais e dependentes
do tempo Utiliza as bibliotecas mais novas de seccedilatildeo de choque nucleares aleacutem de
usar modelos fiacutesicos para as partiacuteculas que natildeo possuem dados tabulados
disponiacuteveis
O MCNPX 26e eacute capaz de realizar o caacutelculo do keff atraveacutes das geraccedilotildees de
necircutrons do fluxo de necircutrons a evoluccedilatildeo de combustiacutevel e tambeacutem calcula as
seccedilotildees de choque Poreacutem este coacutedigo natildeo permite a realizaccedilatildeo de simulaccedilotildees que
necessitam fonte externa de necircutrons
Atualmente um dos uacutenicos coacutedigos MC que permite a simulaccedilatildeo de um reator
controlado com fonte externa eacute o SERPENT (Leppaumlnen 2012) Este coacutedigo eacute
especiacutefico para o estudo de reatores nucleares e se encontra na versatildeo 1118
As simulaccedilotildees de MC podem fornecer importantes informaccedilotildees antes mesmo
de se iniciar a construccedilatildeo por exemplo de um reator do tipo ADS aleacutem de ter a
possibilidade de indicar quais materiais podem ser utilizados Eacute claro que a simulaccedilatildeo
natildeo substitui o experimento real mas pode ajudar a prever melhorias antes de seu
funcionamento Aleacutem disso as simulaccedilotildees podem ser utilizadas para a validaccedilatildeo de
novos meacutetodos de caacutelculo da reatividade tanto para reatores hiacutebridos quanto para
reatores teacutermicos jaacute que eacute um dos paracircmetros mais importantes em um reator
nuclear
7
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes equaccedilotildees para a cineacutetica de um reator
subcriacutetico (Gandini et al 2000 Nishihara et al 2003 Silva et al 2011) Assim com o
intuito de obter a variaccedilatildeo da reatividade para reatores subcriacuteticos obteve-se uma
expressatildeo para essa funccedilatildeo com base na cineacutetica pontual inversa para sistemas ADS
jaacute que para esses sistemas o monitoramento da reatividade eacute vital para o
funcionamento normal E ainda os reatores subcriacuteticos guiados por fonte necessitam
de uma forma de caacutelculo da reatividade mais raacutepida para evitar um ldquodesligamentordquo natildeo
programado para isso foi utilizado o meacutetodo das derivadas no caacutelculo da reatividade
uma vez que este meacutetodo natildeo necessita da informaccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
A validaccedilatildeo da expressatildeo obtida para a reatividade proposta nesta tese foi feita
atraveacutes de simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) uma vez que os dados de reatores
subcriacuteticos tipo ADS satildeo encontrados em nuacutemero reduzido na literatura
No capiacutetulo 2 satildeo apresentadas duas formulaccedilotildees para as equaccedilotildees da
cineacutetica subcriacutetica e as respectivas expressotildees para a cineacutetica inversa
Alguns meacutetodos de tratamento do histoacuterico de potecircncia satildeo apresentados no
Capiacutetulo 3 sendo que o meacutetodo das derivadas parciais da potecircncia nuclear eacute tratado
em detalhes
Jaacute no Capiacutetulo 4 satildeo obtidas as expressotildees da cineacutetica pontual para casos em
que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados (β) e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons (Λ)
satildeo dependentes do tempo
O capiacutetulo 5 tem-se o caacutelculo da reatividade para alguns casos particulares da
variaccedilatildeo da potecircncia nuclear com todos os paracircmetros nucleares constantes E no
Capiacutetulo 6 temos as mesmas variaccedilotildees da potecircncia nuclear com as variaccedilotildees
temporais de β e de Λ
Os fundamentos da simulaccedilatildeo Monte Carlo satildeo tratados no Capiacutetulo 7
juntamente com os meacutetodos especiacuteficos para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares
No Capiacutetulo 8 satildeo apresentados e descritos os coacutedigos Monte Carlos utilizados
neste trabalho
Jaacute no Capiacutetulo 9 satildeo apresentados os resultados obtidos da reatividade com as
expressotildees que foram apresentadas nos capiacutetulos 5 e 6
Finalmente no Capiacutetulo 10 satildeo apresentadas as conclusotildees desta tese
8
2 Equaccedilotildees Da Cineacutetica Pontual para
Reatores Subcriacuteticos
A formulaccedilatildeo da cineacutetica pontual provou ser uma ferramenta poderosa para a
avaliaccedilatildeo da reatividade para diferentes tipos de reatores tanto em operaccedilatildeo normal
quanto na partida do reator Esta formulaccedilatildeo descreve o comportamento dos necircutrons
dentro do reator sem nenhuma dependecircncia espacial sendo que a distribuiccedilatildeo dos
necircutrons evolui de maneira pontual
As diferentes propostas para a funccedilatildeo importacircncia encontradas na literatura
resultam em diferentes equaccedilotildees da cineacutetica pontual (Gandini et al 2000 Nishihara et
al 2003 Silva et al 2011) para descrever o comportamento dos necircutrons dentro de
reatores subcriacuteticos
Para um sistema sem fonte externa de necircutrons tem-se somente uma
autofunccedilatildeo para toda a distribuiccedilatildeo de necircutrons em todos os instantes dentro do
reator Poreacutem para reatores com fonte externa esta afirmaccedilatildeo pode natildeo ser
verdadeira pois se a distribuiccedilatildeo de necircutrons for dominada pela fonte externa pode
envolver uma superposiccedilatildeo de muitas autofunccedilotildees Assim o comportamento pontual
pode ser fatorado no produto de uma funccedilatildeo da amplitude (apenas com dependecircncia
temporal) e uma funccedilatildeo de forma (sem dependecircncia temporal mas com dependecircncia
das variaacuteveis do espaccedilo de fase) (Dulla 2003)
As equaccedilotildees que descrevem o funcionamento dos reatores subcriacuteticos podem
ser obtidas a partir da equaccedilatildeo de transporte ou da equaccedilatildeo de difusatildeo (Gandini
2000) Assim as equaccedilotildees da cineacutetica espacial podem ser escritas da seguinte
maneira
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1
I
i i ext
i
r t A r t F r t c r t qv t
β λ=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum
(21)
( ) ( ) ( ) 1i i i ic r t F r t c r t i It
β λpart
= Ψ minus =part
(22)
onde v eacute a velocidade dos necircutrons iβ eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados do grupo i
e iλ eacute a constante de decaimento dos precursores de necircutrons retardados do grupo i
Nas seccedilotildees seguintes satildeo apresentados os formalismos para a cineacutetica dos
9
reatores ADS encontrados nos trabalhos de Gandini et at (2000) atraveacutes da
metodologia da teoria heuriacutestica de perturbaccedilatildeo generalizada (HGPT) e no trabalho de
Silva et al (2011) em que eacute proposto um termo adjunto de fonte (TAF) que se torna
significativo para reatores que operam longe da criticalidade
21 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
A funccedilatildeo importacircncia proposta por Gandini et al (2002) para o caso de
necircutrons monoenergeacuteticos isotroacutepicos meio homogecircneo e sem dependecircncia
temporal eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (Silva 2011)
( ) ( )0 0 0 0
0
0f
f
wA n r F n r
P
+ + + +minus minus Σ =
(23)
onde fw eacute a energia revertida por fissatildeo e P0 eacute a potencia nuclear sem perturbaccedilatildeo
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0n+ e integrando em r
obteacutem-se
( )0 0 0 0
1
11
I
o i i ext
i
n n A n F n c n qv t
β λ+ + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (24)
Considerando-se as seguintes perturbaccedilotildees no sistema
0 A A Aδminus rarr minus + (25)
0 F F Fδrarr + (26)
(0) ext ext extq q qδrarr + (27)
10
onde 0Aminus 0F e (0)
extq satildeo os estados estacionaacuterios natildeo perturbados
Substituindo e manipulando as equaccedilotildees (25) (26) e (27) na equaccedilatildeo (24) resulta em
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0 0
1
1
1
o
I
i i ext ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q n q
δ β
β δ λ δ
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + +sum (28)
Somando e subtraindo 0n Fβ+ Ψ na equaccedilatildeo (28) e lembrando que
(0)
0 1ext
n q+ = de acordo com Gandini (2001) vem
( )
( )
( )
1
0 0 0 00
(0)
0 0 0
1
0 0 0
1
1 1
o
I
i i ext
i
n v n A n A n Ft
n F n c n q
n F F n F
δ β
β δ λ
β δ β
+ minus + + +
+ + +
=
+ +
partΨ = Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + + + +
+ Ψ minus Ψ
sum (29)
Rearranjando os termos da equaccedilatildeo acima tem-se
1
0 0 0 00
0 0 0
1
0
1
o
I
i i ext
i
n v n A n F n At
n F n c n q
n F
δ
δ λ δ
β
+ minus + + +
+ + +
=
+
partΨ = Ψ + Ψ + Ψ +
part
Ψ + + + +
minus Ψ
sum (210)
Ponderando a equaccedilatildeo (23) com Ψ obteacutem-se (Silva et al 2011)
0 0 00
0
0f
wn A n F
P
++ + +Ψ + Ψ = minus Σ Ψ = (211)
11
Substituindo a equaccedilatildeo (211) na equaccedilatildeo (210) tem-se
1
0 0 0
1
0
0
1
I
o i i
i
ext f
n v n A F n F n ct
wn q
P
δ δ β λ
δ
+ minus + + +
=
+
partΨ = + Ψ minus Ψ + +
part
minus Σ Ψ +
sum (212)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t P t rφΨ asymp
(213)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )P t eacute a potecircncia
Substituindo a aproximaccedilatildeo dada pela equaccedilatildeo (213) na equaccedilatildeo (212)
obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
n v P t r n A F P t r n F P t rt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
part= + minus +
part
+ minus Σ +sum
(214)
Como bull eacute uma integraccedilatildeo no espaccedilo pode-se escrever
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
1
o
I
i i ext f
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
wn c n q P t r
P
φ δ δ φ β φ
λ δ φ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
+ minus Σ +sum
(215)
Sendo 0 0f
P w φ= Σ tem-se
12
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
1
o
I
i i ext
i
dP tn v r n A F r P t n F r P t
dt
n c P t n q
φ δ δ φ β φ
λ δ
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus + +sum
(216)
Dividindo a equaccedilatildeo (216) por
0 0 I n F φ+= (217)
a equaccedilatildeo (216) pode ser escrita da seguinte forma
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1 I
n n n n n
eff eff i i
i
dP tP t C t P t Q
dtρ β λ ζ
=
Λ = minus + + minus + sum (218)
sendo
( )1
0
o
n
eff
n v r
I
φ+ minus
Λ equiv
(219)
( )0 0
nn A F r
I
δ δ φρ
+ +equiv
(220)
( )0 0
n
eff
n F r
I
β φβ
+
equiv
(221)
( )0
in
i
n cC t
I
+
equiv (222)
1
I
ζ equiv (223)
0
extn
n qQ
I
δ+
equiv (224)
13
onde nρ eacute uma reatividade generalizada nQ eacute o valor da fonte externa ( )n
iC t eacute a
concentraccedilatildeo de precursores e ζ eacute um termo de subcriticalidade inserido pela funccedilatildeo
importacircncia
Agora ponderando a equaccedilatildeo (22) com 0n+ e dividindo pelo o fator de
normalizaccedilatildeo dado pela equaccedilatildeo (217) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) n n n
i i eff i i
dC t P t C t
dtβ λ= minus (225)
onde
0 0
in
i eff
n F
I
β φβ
+
equiv (226)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
proposta por Gandini et al (2000) considerando um grupo de precursores de
necircutrons eacute escrito da seguinte maneira
( )
( ) ( ) ( )( ) 1n
n n
dP tt P t C t P t q
dtρ β λ ζ Λ = minus + + minus + (227)
( )( )
( )n
dC tP t C t
dtβ λ= minus
(228)
onde ( )nP t eacute a potecircncia normalizada β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados ζ eacute o
iacutendice de subcriticalidade (que tende agrave zero quando o sistema se a proacutexima da
criticalidade) ( )ρ t eacute a reatividade generalizada do sistema ( )C t eacute a concentraccedilatildeo de
precursores e Λ tempo de geraccedilatildeo meacutedio de necircutrons
14
22 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Na funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011) existe um termo de
fonte adjunto que se torna significativo para os sistemas que estatildeo longe de
criticalidade Portanto a equaccedilatildeo da funccedilatildeo importacircncia proposta por Silva et al (2011)
foi
( ) ( )dagger
0 0 0 0
0
1
f
sub
A r F rk N
νε ε η+ + +
Σminus =
(229)
Multiplicando a equaccedilatildeo (21) por 0ε + e integrando em r
obteacutem-se
( )1
0 0 0 0
1
1 I
o i i ext
i
v A F c qt
ε ε ε β λ ε ε+ minus + + + +
=
partΨ = minus Ψ + minus Ψ + +
partsum (230)
Realizando uma perturbaccedilatildeo no sistema da seguinte maneira
0 A A Aδminus rarr minus + (231)
0
1
sub
F F Fk
δrarr + (232)
Substituindo as equaccedilotildees (231) e (232) na equaccedilatildeo (230) e rearranjando os
termos vem
( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1
11
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q
ε ε ε δ ε β
ε β δ λ ε ε
+ minus + + +
+ + +
=
partΨ = minus Ψ + Ψ + minus Ψ +
part
minus Ψ + +sum
(233)
15
Somando e subtraindo 0 Fε β+ Ψ na equaccedilatildeo (233) e utilizando a equaccedilatildeo
(232) pode-se escrever
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
o
sub
I
i i ext
i
v A A Ft k
F c q F
ε ε δ ε ε
ε δ λ ε ε ε β
+ minus + + +
+ + + +
=
partΨ = Ψ + minus Ψ + Ψ +
part
Ψ + + minus Ψsum
(234)
Agora ponderando-se a equaccedilatildeo (229) com ( )r tΨ
podemos escrever
segundo Silva (2011)
0 0 0 0
0
1
f
sub
A Fk N
νε ε η+ +minus Ψ + Ψ = minus Σ Ψ (235)
Substituindo a equaccedilatildeo (235) na equaccedilatildeo (234)
1
0 0
0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
v A F Ft
c qN
ε ε δ δ ε β
νλ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
partΨ = + Ψ minus Ψ +
part
minus Σ Ψ +sum (236)
Admitindo que
( ) ( ) ( )0 r t N t rφΨ asymp
(237)
onde ( )0 rφ
eacute o fluxo de necircutron e ( )N t eacute a densidade necircutrons tem-se substituindo
a equaccedilatildeo (237) na equaccedilatildeo (236)
16
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
o
I
i i f ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t qN
ε φ ε δ δ φ ε β φ
νλ ε η φ ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus Σ +sum (238)
e como 0 0f
N ν φ= Σ pode-se escrever a equaccedilatildeo (238) da seguinte maneira
( )( ) ( )
( )
1
0 0 0 0 0
0 0
1
o
I
i i ext
i
dN tv A F N t F N t
dt
c N t q
ε φ ε δ δ φ ε β φ
λ ε η ε
+ minus + +
+ +
=
= + minus +
minus +sum (239)
Dividindo a equaccedilatildeo (239) por 0oI Fε φ+= obteacutem-se
( )
( ) ( ) ( ) ( )1
I
eff i i
i
dN tN t C t N t q
dtρ β λ
=
Λ = minus + minus Γ +sum (240)
onde
1
0
o
eff
v
I
ε φ+ minus
Λ equiv (241)
0 0
A F
I
ε δ δ φρ
+ +equiv (242)
0 0
eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (243)
( )0
i
i
cC t
I
ε +
equiv (244)
0
ext
I
ε +
equiv (245)
I
ηΓ equiv (246)
sendo ρ eacute uma relatividade generalizada Q eacute um termo relacionada agrave fonte externa
Γ um termo de subcriticalidade e ( )iC t eacute a concentraccedilatildeo de precursores
17
Procedendo de maneira anaacuteloga para a equaccedilatildeo (22) obteacutem-se
( ) ( ) ( ) i i eff i i
dC t N t C t
dtβ λ= minus (247)
onde
0 0
i
i eff
F
I
ε β φβ
+
equiv (248)
Portanto o conjunto de equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistema subcriacutetico
segundo Silva (2011) eacute escrito como
( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ minus Γ + Σ (249)
( )
( ) ( )f
dC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
sdotΣ (250)
onde ϖ eacute a energia meacutedia liberada por fissatildeo Σ f eacute a seccedilatildeo de choque macroscoacutepica
de fissatildeo e β eacute a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
23 Cineacutetica Inversa
Usualmente o controle de um reator nuclear eacute feito atraveacutes do monitoramento
da reatividade o que torna o meacutetodo da cineacutetica inversa relevante A reatividade eacute
caracterizada por uma mudanccedila no fator de multiplicaccedilatildeo do reator o que o torna um
dos paracircmetros mais importantes em fiacutesica de reatores Nas seccedilotildees seguintes seratildeo
apresentadas as equaccedilotildees para o caacutelculo da reatividade
18
231 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Para obter-se a expressatildeo da cineacutetica pontual inversa eacute necessaacuterio resolver as
equaccedilotildees (227) e (228) Partindo da equaccedilatildeo (228) e utilizando meacutetodo do fator
integrante obteacutem-se
( ) ( )( )
t
t t
nC t P t e dt
λβ minus minus
minusinfin
= int (251)
Substituindo a equaccedilatildeo (251) na equaccedilatildeo (227) vem
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )( )1
tnt tn n
n
P tdP t P tt P t e dt Q
dt
λζλβ
ρ β minus minus
minusinfin
minus= minus + + +
Λ Λ Λint (252)
onde Q qequiv Λ eacute o termo de fonte de necircutrons Resolvendo a equaccedilatildeo (252) para
( )tρ tem-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )
0
0
1
ttt tn
n
n n n
n
n n
dP t P et P t e dt
P t dt P t P t
P t Q
P t P t
λλβ λβ
ρ β
ζ
minusminus minusΛ
= + minus minus
minus Λminus minus
int (253)
onde P0 = P(0)
232 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga a seccedilatildeo anterior e partindo das equaccedilotildees
(249) e (250) propostas por Silva et al encontra-se
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t
t ttdP t P Q
t e e P t dtP t dt P t P t P t
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus minusint (254)
19
3 Meacutetodos de Tratamento do Histoacuterico
de Potecircncia
Existem vaacuterios meacutetodos de tratamento para a soluccedilatildeo ou aproximaccedilatildeo do
histoacuterico de potecircncia Esses meacutetodos visam diminuir o tempo de caacutelculo
computacional sem que seja introduzido um erro muito grande e podem envolver ou
natildeo uma fonte externa de necircutrons
A mediccedilatildeo da reatividade a partir da cineacutetica inversa permite que seu valor seja
analisado a cada instante pela variaccedilatildeo temporal do niacutevel de potecircncia do reator
(Ansari et al 2001)
Devido ao grande interesse nos reatores ADS apenas os meacutetodos que
envolvem fontes externas seratildeo apresentados sendo que o uacutenico que seraacute detalhado
eacute o meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear
31 Meacutetodo de Agrupamento
Na partida do reator a contribuiccedilatildeo da fonte externa de necircutrons deve ser
considerada Assim Hoogenboom et al (1998) escrevem a equaccedilatildeo da cineacutetica
inversa como
( )( )
( ) ( )( )
1 i
t t t
i i
i
c St e P t dt
P t P t
λρ β β λ minus minus
minusinfin
Λ= minus minussum int (31)
A integral da equaccedilatildeo (31) pode ser calculada recursivamente atraveacutes de
amostragens de P(t) usando interpolaccedilatildeo linear entre duas amostras consecutivas
Pn-1 = P(tn -1) e Pn = P(tn) separadas por um intervalo t∆ Portanto
20
( ) ( )
1
1
1 1
1
in
i n i
i
i
tt t t t n
n n
i i
ttn
i i
P eI e P t dt e I
t
P ee
t
λλ λ
λλ
λ λ
λ λ
minus ∆minus minus minus ∆
minusminusinfin
minus ∆minus ∆minus
minus= = + minus
∆
minusminus minus
∆
int (32)
Introduzindo a seguinte funccedilatildeo
( ) ( ) ( ) i
t t t
i i
i
g t e P t dtλβ λ minus minus
minusinfin=sum int (33)
e reescrevendo a equaccedilatildeo (31) em funccedilatildeo de ( )g t tem-se
( )( )( ) ( )
Sg t
tP t P t
ρρ β= minus minus (34)
Para um reator subcriacutetico com potecircncia constante na presenccedila de fonte
externa de necircutrons (S) obteacutem-se
ou S S
PP
ρ ρρρ
= minus = minus (35)
Este meacutetodo pode ser resumido nos seguintes passos
No intervalo desejado divide-se as seacuteries de P(t) e g(t) em trecircs grupos de
mesma duraccedilatildeo
1 Calcula-se os conjuntos de valores de cada um dos grupos ( )1 1P g
( )2 2P g e ( )3 3
P g
2 Estima-se os valores do gradiente ( )β ρminus e o interseccedilatildeo ( )Sminus Λ atraveacutes
de
( ) 3 1
3 1
g g
P Pβ ρ
minusminus =
minus (36)
( ) ( ) S g Pβ ρminus Λ = minus minus (37)
21
32 Memoacuteria Baacutesica Indexada
Neste meacutetodo Kitano et al (2000) escreve a expressatildeo da reatividade como
( )( )
( )( )
( ) ( )( )6
1
i i
i
S t dP tt C t
P t P t P t dtρ β λ
=
ΛΛ Λ= minus minus +sum (38)
Segundo o autor o termo ( )
( )dP t
P t dt
Λ pode ser negligenciado pois o erro
inserido eacute menor que 1 para um amplo intervalo de reatividade Portanto a equaccedilatildeo
(38) eacute escrita como
( )( )
( )( )
( )
6
1
i i
i
S tt C t
P t P tρ β λ
=
ΛΛ= minus minussum (39)
Por conveniecircncia computacional a equaccedilatildeo da concentraccedilatildeo de precursores
pode ser escrita da seguinte forma (Kitano et al 2000)
( ) ( ) ( ) 16ii i i iC t t P t C t C t t i
βλ+ ∆ = ∆ + minus ∆ =
Λ (310)
onde P e iC satildeo os valores meacutedios para o incremento de tempo t∆
Portanto a equaccedilatildeo (39) pode ser escrita na seguinte forma
( ) ( ) ( ) ( )6
1
i i
i
g t C t S P tλ β ρ=
equiv Λ = minus Λ + minussum (311)
onde a fonte de necircutrons (S) e a reatividade satildeo constantes Esta equaccedilatildeo pode ser
considerada como uma equaccedilatildeo linear de P(t)
Considerando que o sinal da potecircncia tenha um grande erro principalmente na
operaccedilatildeo em baixa potecircncia pode-se aplicar filtros para ruiacutedo de alta frequecircncia e
tambeacutem de baixa frequecircncia da seguinte forma
22
1
1 N
i j
j
P PN =
= sum (312)
e
( )1 1 i i i i
tP P P P
t τminus minus
∆= + minus
∆ + (313)
onde Pj eacute a medida da potecircncia medida iP eacute a potecircncia meacutedia e N eacute o nuacutemero de
amostras τ eacute a constante de tempo e i
P eacute a saiacuteda da equaccedilatildeo (313)
A introduccedilatildeo da memoacuteria baacutesica indexada eacute segundo os autores um novo
ldquotermocircmetrordquo para diagnosticar um transiente sendo definido por
[ ] 1 1
6
1
1
i i
i
CM I
C
λ β
βλ
=
equiv
sum (314)
A memoacuteria baacutesica indexada (MI) eacute a normalizaccedilatildeo das emissotildees de necircutrons
retardados do primeiro grupo sobre o total de emissotildees de necircutrons retardados Note
que a MI assume valor unitaacuterio quando o reator estaacute em estado estacionaacuterio Assim
ela pode ser usada para detectar o iniacutecio e o final de um transiente para a aplicaccedilatildeo do
meacutetodo de grupo
23
33 Meacutetodo da determinaccedilatildeo da
intensidade da fonte externa
A equaccedilatildeo da cineacutetica inversa escrita com uma discretizaccedilatildeo no tempo e
assumindo que a potecircncia do reator varia com ( ) 1jt
jn t n emicro
minus= onde
( )1log j j j
n n tmicro minus= ∆ eacute dada por (Tamura 2003)
6
1
j
j eff i i j
ij j j
nC S
n t n nρ β λ
=
∆Λ Λ Λ= + minus minus
∆sum (315)
onde
1
1 1
i
i
t
j jt ii j i j
j
i
j
n n eC C e
n
n t
λ
λ β
λ
minus ∆minusminus ∆
minus
minus= +
∆Λ+
∆
(316)
Note que o subiacutendice j representa os valores no tempo j e S eacute a fonte externa
de necircutrons
Considerando as seguintes condiccedilotildees iniciais
( )0 0i i iC n β λ= Λ (317)
e
0 0 S nρ = minusΛ (318)
tanto a reatividade ρ quanto a fonte S satildeo obtidas pelo meacutetodo dos miacutenimos
quadrados (Diacuteaz 2007)
24
34 Meacutetodo das Derivadas
As equaccedilotildees (253) e (254) obtidas no capiacutetulo anterior envolvem a mesma
integral em funccedilatildeo da potecircncia do reator Esta integral tambeacutem chamada de histoacuterico
de potecircncia deve ser calculada desde o iniacutecio da operaccedilatildeo do reator ateacute o tempo atual
de maneira contiacutenua ou seja exige monitoramento constante da potecircncia Aleacutem disso
o armazenamento desta informaccedilatildeo eacute necessaacuterio durante toda operaccedilatildeo do reator
para possibilitar a recuperaccedilatildeo da informaccedilatildeo da reatividade caso ocorra uma
interrupccedilatildeo em seu caacutelculo
Para o caso dos reatores subcriacuteticos o monitoramento contiacutenuo da reatividade
eacute imprescindiacutevel para seu funcionamento normal Como a produccedilatildeo de necircutrons eacute
insuficiente para manter as reaccedilotildees nucleares nesses reatores a reatividade pode ser
um paracircmetro utilizado para o monitoramento e ajuste da intensidade do feixe de
proacutetons para manter as reaccedilotildees nucleares produccedilatildeo de energia eleacutetrica constante
durante a operaccedilatildeo do reator
O meacutetodo das derivadas estaacute baseado na integraccedilatildeo por partes da integral do
histoacuterico de potecircncia da equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa resultando em uma seacuterie
de potecircncias em funccedilatildeo da potecircncia nuclear do reator com dependecircncia temporal
(Diacuteaz 2007) Este meacutetodo de caacutelculo da reatividade permite a possibilidade do reiniacutecio
do caacutelculo apoacutes sua interrupccedilatildeo causada por um problema no funcionamento do
equipamento de mediccedilatildeo ou seja com este meacutetodo natildeo eacute necessaacuterio um caacutelculo
contiacutenuo Aleacutem disso pode-se obter a reatividade sem a dependecircncia da memoacuteria da
potecircncia nuclear o que torna o caacutelculo mais raacutepido se comparado ao tempo necessaacuterio
para a resoluccedilatildeo do histoacuterico de potecircncia
Para a obtenccedilatildeo da expressatildeo do meacutetodo das derivadas deve-se resolver a
integral da equaccedilatildeo (254) ou da equaccedilatildeo (253) por partes Assim obteacutem-se
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tP t P e
I t e P t dt P t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (319)
onde P(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (319) tem-se
25
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2
2 2 2
0
0 0 1
t t tt tP t P e P t P e
I t P t e dt
λ λλ
λ λ λ λ λ
minus sdot minus sdotminus sdot minus
= minus minus + minus int (320)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (320) por partes obteacutem-se
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
2 2
3
3 3 3
0
0 0
1
t t
t tt t
P t P e P t P eI t
P t P t eP t e dt
λ λ
λλ
λ λ λ λ
λ λ λ
minus minus
minusminus minus
= minus minus + +
minus minus int
(321)
Aplicando esta soluccedilatildeo n vezes podemos escrever
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1 10 0 0
0 1 1
n n k t tt tk kn n
n n kn n
P t P e P t eI t dt
λλ
λ λ λ
+ minus minusminus
+ + += =
= minus minus minus minussum sum int (322)
ou ainda
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(323)
341 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2m-1 assim a equaccedilatildeo (323) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
m t tt tt t
m
n n tm mn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(324)
26
Supondo que a forma de P(t) satisfaccedila agraves condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n P tP t P t
P t
minus
minus
=
(325)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n P tP t P t
P t
=
(326)
onde ( ) ( )
( )
2
P t
cte tP t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial entre outras
Substituindo a equaccedilatildeo (326) na equaccedilatildeo (324) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
m
n nm m
n n t
n nn n
P te P t dt P t e dt
P t
P t P t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(327)
Como ( ) ( )
( )
2P t
cteP t
= podemos escrever a equaccedilatildeo (327) como
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 1 2 1
1 10 00
1 11
n n nt m mt t n n t
n nn n
P te P t dt P t P t e
P t
λ λ
λ λ
minus minusminus minus minus sdot
+ += =
minus minus minus = minus
sum sumint
(328)
Logo
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e P t dt S t S tλminus minus
= +int (329)
27
sendo
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
nm
n
nnn
S P t
P t
P t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (330)
e
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
nm
n t
nnn
S P t e
P t
P t
λ
λ
minusminus sdot
+=
minusequiv minus
minus
sum (331)
Analisando inicialmente a equaccedilatildeo (330) pode-se escrever o seu somatoacuterio
da seguinte forma
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nm m mn
n n nn n n
P t P tP t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (332)
Utilizando as equaccedilotildees (325) e (326) na equaccedilatildeo (332) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
11 22 1 1
1 2 20 0
1
nnm m
n
nn n
P t P t P tP t
P tλ λ λ λ
minusminus minus
+= =
minus = minus
sum sum (333)
Lembrando que
( )1
0
1
1
mm
n
n
a rar
r
+
=
minus=
minussum (334)
identificando ( ) ( )
( )
2
2
P tr
P tλ= e a =1 na equaccedilatildeo (333) vem
28
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nm
n
nn
P t
P tP t P tP t
P t
P t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (335)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (335) na equaccedilatildeo (330) obteacutem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
22
22
1 22
22
1
11
n
n
P tP t P t
P tS
P tP t
P tP t
λλ λ
λλ
minus minus = minus minus
(336)
Simplificando e rearranjando os termos da equaccedilatildeo (336) chega-se a
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
P t P tS P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (337)
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (331) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tP PS P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (338)
Finalmente podemos escrever a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo
329) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
e P t dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (339)
29
342 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par entatildeo k=2m-2 assim a equaccedilatildeo (323) torna-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t t
t t m t t
m
n n tm mn n
n nn n
P t e dt P t e dt
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(340)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (325) vem
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
12
1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
mt t
t t t t
m
n n tm mn n
n nn n
P tP t e dt P t e dt
P t
P t P e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus
minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(341)
Da equaccedilatildeo (319) pode-se escrever
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
0 0
0
t tt t t tt
P t e dt P t P e e P t dtλ λλ λminus minus minus minusminus sdot= minus minusint int (342)
Substituindo a equaccedilatildeo (342) na equaccedilatildeo (341) e rearranjando os termos
obteacutem-se
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt mt t n n t
m nn
mn n t
m m
P t e dt P t P e
P t
P t
P t P e P t
P tP t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(343)
Desenvolvendo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (343) tem-se
30
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
P t e dt S t S tλminus sdot minus
= minusint (344)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nm
n
m nn
S t P t
P t
P t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (345)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nm
n t
m nn
S t P e
P t
P t
λ
λ
λ
minusminus sdot
minus +=
minusequiv
minus
sum (346)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior eacute faacutecil mostrar que
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
P t P tS t P t
P t P t
λ
λ 2
minus=
minus (347)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tP PS t P e
P P
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (348)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k que o histoacuterico de
potecircncia eacute dado pela seguinte expressatildeo
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t t
P t P t P Pe P t dt P t P e
P t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (349)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo Sendo assim a integral do histoacuterico de potecircncia (equaccedilatildeo 319)
pode ser escrita da seguinte forma
31
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tP t P t P P
P t e dt P t P eP t P t P P
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
sdotminus minus= minus
minus minusint (350)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa baseada na formulaccedilatildeo
proposta por Gandini (2001) equaccedilatildeo (252) como
( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
tnn
n n n n
n n n n
n n
n n n n n
t
P tdP t P e Qt
P t dt P t P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ= + minus minus minus minus
minus minus minus
minus minus
(351)
E para o formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se substituindo a
equaccedilatildeo (350) na equaccedilatildeo (254) a expressatildeo para a reatividade sem a dependecircncia
do histoacuterico de potecircncia
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
dP t P Qt e
P t dt P t P t
P t P t P PP t P e
P t P t P t P P
λ
λ
βρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + Γ + minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(352)
32
4 Equaccedilotildees da cineacutetica pontual com
dependecircncia temporal de β e Λ
Nas seccedilotildees anteriores as mudanccedilas da composiccedilatildeo do combustiacutevel nuclear
natildeo foram levadas em consideraccedilatildeo Essas mudanccedilas podem levar a caacutelculos
discrepantes da reatividade quando comparados a mediccedilotildees experimentais nos
reatores Aleacutem disso conhecer com precisatildeo o valor da reatividade contribui com a
melhora do desempenho da central nuclear
Assim nesta seccedilatildeo as dependecircncias temporais da fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons seratildeo consideradas para o
caacutelculo da reatividade tanto na formulaccedilatildeo proposta por Gandini et al (2000) quanto
na formulaccedilatildeo proposta por Silva et al (2011) Os demais paracircmetros nucleares
permaneceratildeo constantes pois suas variaccedilotildees satildeo pouco significativas (Scall 2010)
41 Teoria Heuriacutestica de Perturbaccedilatildeo
Generalizada (HGPT)
As equaccedilotildees propostas por Gandini et al (2000) com dependecircncia temporal da
fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons eacute dada por
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1n
n n
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λ ζΛ = minus + + minus + (41)
( ) ( )( )
( )n
dC tt P t C t
dtβ λ= minus
(42)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo 231 pode-se escrever partindo da
equaccedilatildeo (42) que a concentraccedilatildeo de precursores eacute dada pela seguinte expressatildeo
( ) ( ) ( ) ( )
t t t
nC t t P t e dtλβ minus minus
minusinfin= int (43)
33
Substituindo a equaccedilatildeo (43) na equaccedilatildeo (41) obteacutem-se a seguinte expressatildeo
para a reatividade
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
0
0
1
t t tn t
n n n
n
n
t dP t At t e A t e dt
P t dt P t P t
P t t Q t
P t P t
λλλ λρ β
ζ
minus minusminusΛ= + minus minus
minus Λ minus minus
int
(44)
onde ( ) ( )nA t P tβequiv e ( ) ( )Q t q tequiv Λ
42 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
As equaccedilotildees da cineacutetica propostas por Silva et al (2011) com dependecircncia
temporal de Λ e β satildeo
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) f f
dP tt t t P t C t P t q
dtρ β λω ωΛ = minus + Σ + Γ + Σ (45)
( )( )
( ) ( )f
tdC tP t C t
dt
βλ
ϖ= minus
Σ (46)
Resolvendo a equaccedilatildeo (46) pelo o meacutetodo do fator integrante obteacutem-se
( ) ( ) ( ) ( )1
t t t
f
C t t P t e dtλβ
ωminus minus
minusinfin=
Σ int (47)
Substituindo a equaccedilatildeo (47) na equaccedilatildeo (45) chega-se a expressatildeo da
reatividade com dependecircncia temporal de β e Λ
34
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
t t ttt dP t A
t t e A t e dtP t dt P t P t
t Q t
P t
λλλ λρ β minus minusminusΛ
= + minus minus
ΛminusΓ minus
int (48)
onde ( ) ( ) ( )A t t P tβequiv e ( ) ( ) fQ t q tωequiv Σ Λ
43 Meacutetodo das Derivadas para
Dependecircncia Temporal de β e de Λ
De acordo com a seccedilatildeo 34 a integral das equaccedilotildees (44) e (48) podem ser
resolvidas por partes assim obteacutem-se (Scal 2012)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
0 0
0 1
tt tt t t tA t A e
I t e A t dt A t e dt
λλ λ
λ λ λ
minusminus minus minus minus
equiv = minus minusint int (49)
onde A(n)(t) representa a derivada de ordem n da potecircncia em relaccedilatildeo ao tempo
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (49) por partes n vezes pode-se escrever
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
1
0 0
1 10 0
01 1
k t tt tt t
k
n n tk kn n
n nn n
A t ee A t dt dt
A t A e
λλ
λ
λ
λ λ
+ minus minusminus minus
+
minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(410)
35
431 Anaacutelise para k impar
Se k eacute um nuacutemero impar logo k=2j-1 assim a equaccedilatildeo (410) pode ser escrita
como
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
01 1
j t tt tt t
j
n n tj jn n
n nn n
P t ee P t dt dt
P t P e
λλ
λ
λ
λ λ
minus minusminus minus
minus sdotminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(411)
Admitindo que a forma de A(t) satisfaccedila as condiccedilotildees abaixo (Diacuteaz et al 2007)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
12
2 1 1
n
n A tA t A t
A t
minus
minus
=
(412)
e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
2
2 1
n
n A tA t A t
A t
=
(413)
onde ( ) ( )
( )
2
A t
cte tA t
= forall
Estas condiccedilotildees podem ser verificadas para potecircncia com variaccedilatildeo linear
constante e exponencial
Substituindo as condiccedilotildees (412) e (413) na equaccedilatildeo(411) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0
2 1 2 1
1 10 0
1
1 1
nt t
t t t t
k
n nj jn n t
n nn n
A te A t dt A t e dt
A t
A t A t e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus
minus minusminus
+ += =
+ =
minus minusminus
int int
sum sum
(414)
ou ainda
36
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
tt t
e A t dt S t S tλminus minus
= +int (415)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
1 12 0
11
1
njn
nnn
S t A t
A t
A t
λ
minus
+=
minusequiv minus
sum (416)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 1
2 12 0
11
1
njn t
nnn
S t A t e
A t
A t
λ
λ
minusminus
+=
minusequiv minus
minus
sum (417)
Reescrevendo o somatoacuterio da equaccedilatildeo (416) tem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 1 1 1
1 2 1 2 20 0 0
1
n n nj j jn
n n nn n n
A t A tA t
λ λ λ
+minus minus minus
+ + += = =
minus= minussum sum sum (418)
Utilizando as condiccedilotildees (412) (413) e recordando da relaccedilatildeo (334) pode-se
escrever
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
212 1
1 2 20
2
11
1
n
nj
n
nn
A t
A tA t A tA t
A t
A t
λ
λ λ λ
λ
minus
+=
minus
minus = minus minus
sum (419)
Substituindo o resultado da equaccedilatildeo (419) na equaccedilatildeo (416) obteacutem-se apoacutes
simples manipulaccedilotildees algeacutebricas
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
1 2
A t A tS A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (420)
37
Fazendo t=0 na equaccedilatildeo (417) e procedendo de maneira anaacuteloga eacute faacutecil
mostrar que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
2 2
0 00
0 0
tA AS A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (421)
Finalmente pode-se escrever a equaccedilatildeo (49) como
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (422)
432 Anaacutelise para k par
Se k for um nuacutemero par k+1 = 2j-1 entatildeo k=2j-2 assim a equaccedilatildeo (410) torna-
se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
2 1
0 0
2 2 2 2
1 10 0
1
01 1
t tt t j t t
j
n n tj jn n
n nn n
A t e dt A t e dt
A t A e
λ λ
λ
λ
λ λ
minus minus minus minus minus
minus
minusminus minus
+ += =
+ =
minus minus minus
int int
sum sum
(423)
Utilizando a condiccedilatildeo da equaccedilatildeo (412) e lembrando-se da equaccedilatildeo (49)
pode-se escrever a equaccedilatildeo (423) como
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2
1 12
00
2
12
1 2 12
2
11 0
1
01
1
nt jt t n n t
j nn
jn n t
j j
A t e dt A t A e
A t
P t
A t A e A t
A tA t
P t
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
minusminus sdot minus minus
minus +=
minusminus
minus minus
minus= minus minus
minus
minus
minus
sumint
(424)
38
Abrindo o uacuteltimo termo do somatoacuterio da equaccedilatildeo (424) tem-se
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
0
tt t
A t e dt S t S tλminus minus
= minusint (425)
sendo
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
3 1 12
0
2
11
1
nj
n
j nn
S t A t
A t
A t
λ
λ
minus
minus +=
minusequiv
minus
sum (426)
e
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2 3
4 1 12
0
2
110
1
nj
n t
j nn
S t A e
A t
A t
λ
λ
λ
minusminus
minus +=
minusequiv
minus
sum (427)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior tem-se
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
3 2
A t A tS t A t
A t A t
λ
λ 2
minus=
minus (428)
e
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1
4 2
0 00
0 0
tA AS t A e
A A
λλ
λ
minus
2
minus= minus
minus (429)
Finalmente podemos escrever para valores pares de k
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
e A t dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (430)
Tanto a anaacutelise para valores pares quanto para valores iacutempares de k resultam
na mesma expressatildeo assim a equaccedilatildeo (49) pode ser escrita da seguinte forma
39
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )1 1
2 2
0
0 0 0
0 0
tt t tA t A t A A
A t e dt A t A eA t A t A A
λ λλ λ
λ λ
minus sdot minus minus
2 2
minus minus= minus
minus minusint (431)
Assim pode-se escrever a equaccedilatildeo da cineacutetica pontual inversa com
dependecircncia temporal de β e Λ baseada na formulaccedilatildeo proposta por Gandini (2001)
(equaccedilatildeo 44) como
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
1
0 00
0 0
nn t
n n n n
n
t
P tt dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
ζλρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
minusΛ Λ = + minus minus minus
minus minus minus minus
minus minus
(432)
Para o formalismo proposto por Silva et al (2011) equaccedilatildeo (48) tem-se
( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0
1 1
2 2
0 00
0 0
t
t
t dP t t Q tAt t e
P t dt P t P t
A t A t A AA t A e
P t A t A t A A
λ
λ
λρ β
λ λλ
λ λ
minus
minus
2 2
Λ Λ= + minus minus Γ minus
minus minus minus minus
minus minus
(433)
40
5 Caacutelculo da reatividade para algumas
variaccedilotildees da potecircncia nuclear
51 Potecircncia Linear
511 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Durante a partida de um reator nuclear a sensibilidade do sistema de mediaccedilatildeo
pode natildeo identificar o aumento da potecircncia assim uma inserccedilatildeo de reatividade brusca
causaraacute um crescimento instantacircneo da potecircncia podendo causar um acidente no
circuito primaacuterio (Zhang et al 2008)
Para contornar esse problema deve-se inserir a reatividade de maneira suave
ateacute que o reator chegue alcance a sua potecircncia de operaccedilatildeo Para isto consideramos
uma variaccedilatildeo linear da potecircncia da forma
( ) 0 nP t P wt= + (51)
a uma taxa 0001w = Substituindo a equaccedilatildeo (51) na equaccedilatildeo (253) pode-se
escrever
( )( )
( ) ( ) ( )( )
0 0
0 0
0
0
0 0 00
1
t
tt t
d P wt P et
P wt dt P wt
P wt QP wt e dt
P wt P wt P wt
λ
λ
βρ β
ζλβ
minus
minus minus
+Λ= + minus
+ +
minus + Λminus + minus minus
+ + +int
(52)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (52)vem
41
( )
( ) ( )( )( )
0
0 0
0
0 0 0 0
1
t
P wtwt
P wt P wt
P wtw we Q
P wt P wt P wt P wt
λ
λβρ β
λ
ζβ β
λ λ
minus
+Λ = + minus +
+ +
minus + Λminus minus minus
+ + + +
(53)
Reescrevendo a equaccedilatildeo (53) obteacutem-se
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(54)
Utilizando o meacutetodo das derivadas podemos escrever
( )( )( )
( )
00
0 0 0
0 0
0 0
1
t
t
P wtPwt e
P wt P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
ζβρ β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
minus +Λ= + minus minus
+ + +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(55)
Manipulando a equaccedilatildeo (55) vem
( ) ( )( )
( )( )0
0 0 0 0
11 t
P wtw w Qt e
P wt P wt P wt P wt
λζβ
ρλ
minusminus +Λ Λ
= + minus minus minus+ + + +
(56)
Pode-se observar que a soluccedilatildeo encontrada pelo meacutetodo das derivadas
equaccedilatildeo (56) eacute exatamente a mesma que a soluccedilatildeo encontrada atraveacutes da resoluccedilatildeo
do histoacuterico de potecircncia equaccedilatildeo (54)
42
512 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Analisando o comportamento da reatividade atraveacutes da variaccedilatildeo linear da
potecircncia tem-se fazendo ( ) 0P t P wt= + na equaccedilatildeo (254)
( ) ( ) ( )00
0 0 0 00
tt ttPw Q
t e e P wt dtP wt P wt P wt P wt
λλβ λβρ β minus minusminusΛ Λ
= + Γ + minus minus + minus+ + + +int
(57)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (57) obteacutem-se
( )( )0 0 0
( ) 1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λ βρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(58)
Utilizando-se o meacutetodo das derivadas tem-se
( )
( )
0
0 0
0 0
0 0
t
t
Pwt e
P wt P wt
P wt w P w Qe
P wt P wt
λ
λ
βρ β
λ λβ
λ λ
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
+ +
+ minus minus Λminus minus
+ +
(59)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )0 0 0
1 tw w Q
t eP wt P wt P wt
λβρ
λminusΛ Λ
= Γ + + minus minus+ + +
(510)
Novamente as expressotildees encontradas pela a soluccedilatildeo da integral do histoacuterico
de potecircncia equaccedilatildeo (58) eacute exatamente a mesma que a expressatildeo final utilizando o
meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (510)
43
52 Potecircncia Constante
Todo reator nuclear eacute projetado para operar em determinado niacutevel de potecircncia
nuclear ou seja durante sua operaccedilatildeo normal o reator funciona a uma potecircncia
constante Assim eacute importante avaliar o comportamento da reatividade de um reator
nessas condiccedilotildees
521 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Entatildeo sendo Pn(t) = P0 o segundo termo da equaccedilatildeo (253) desaparece e
assim pode-se escrever
( ) ( ) ( ) 0
0 00
1
t
t ttP Q
t e e dtP P
λλ ζρ β β λβ minus minusminus minus Λ
= minus minus minus minusint (511)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (511) obteacutem-se
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (512)
Aplicando o meacutetodo das derivadas tem-se
( )( )0
0
0 00 0
0 0 0 0
1
t
t
Pt e
P
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ζρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
minus= minus minus
Λminus minus
(513)
Assim vem
44
( )( )0
0 0
1
P Qt
P P
ζρ
minus Λ= minus minus (514)
Mais uma vez observa-se que as equaccedilotildees finais para a reatividade para
potecircncia constante satildeo idecircnticas tanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia
equaccedilatildeo (512) quanto utilizando o meacutetodo das derivadas equaccedilatildeo (514)
522 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Avaliando a operaccedilatildeo do reator a uma potecircncia constante ou seja substituindo
P(t) = P0 na equaccedilatildeo (254) tem-se
( ) ( )
00
tt tt Q
t e e dtP
λλρ β β λβ minus minusminus Λ= + Γ minus minus minusint (515)
Novamente resolvendo a integral da equaccedilatildeo (515) tem-se segundo o
formalismo de Silva et al
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (516)
Jaacute atraveacutes do uso do meacutetodo das derivadas obteacutem-se
( )
0 00 0
0 0 0 0
t
t
t e
P P QP P e
P P P P
λ
λ
ρ β β
λ λλβ
λ λ
minus
minus
2 2
= + Γ minus minus
Λminus minus
(517)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias temos
0
( ) Q
tP
ρΛ
= Γ minus (518)
45
Novamente observa-se que as equaccedilotildees (516) e (518) para a reatividade satildeo
idecircnticas independente do meacutetodo de soluccedilatildeo abordado
53 Potecircncia Exponencial
531 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Outra variaccedilatildeo caracteriacutestica da potecircncia nuclear eacute a forma exponencial
Assim supondo uma variaccedilatildeo deste tipo para potecircncia na equaccedilatildeo (253) pode-se
avaliar o comportamento cineacutetico do reator Nessas condiccedilotildees substituindo
( ) 0
tP t P e
α= na equaccedilatildeo (253) obteacutem-se
( ) ( )
( )
( )
0
0
0 0
1
ttt t
t
t t
t e e e dt
P e Q
P e P e
α λλ α λ
α
α α
ρ β α β λβ
ζ
+minus + minus
minus sdot
= + Λ minus minus minus
minus Λminus
int (519)
Resolvendo a integral tem-se
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus sdot
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(520)
Agora pelo meacutetodo das derivadas podemos escrever
46
( )( )00 0
0 0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
1
tt t
t t t
t tt t
t t t t
P eP e P et
P e P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
αα λ
α α α
α αα λ
α α α α
ζα βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minusminus
minus
minusΛ= + minus minus
minus minus Λ minus minus minus
minus minus
(521)
Realizando as simplificaccedilotildees necessaacuterias vem
( )( )
( )
( )
0
0 0
1
t
t
t
t t
et e
P e Q
P e P e
λ αλ α
α
α α
λβ λβρ β α β
α λ α λ
ζ
minus +minus +
minus
= + Λ minus minus + minus+ +
minus Λminus
(522)
As expressotildees obtidas utilizando-se tanto o meacutetodo das derivadas quando
resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia satildeo idecircnticas
532 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Procedendo de maneira anaacuteloga agrave seccedilatildeo anterior e substituindo uma variaccedilatildeo
exponencial temos para o formalismo de Silva et al (2011)
( ) ( ) ( )
00
tttt
t t
e Qt e e dt
e P e
λα λλ α
α α
λβρ β α β
minus+minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus minusint (523)
Resolvendo a integral da equaccedilatildeo (523) vem
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(524)
Novamente utilizando o meacutetodo das derivadas obteacutem-se
47
( ) 0 0
0 0
0 0 0 00 02 2 2 2
0 0 0 0 0
t t
t t
t tt t
t t t t
P e P et
P e P e
P e P e P P QP e P e
e P e P e P P P e
α λ
α α
α αα λ
α α α α
α βρ β
λ α λ αλβ
λ α λ α
minus
minus
Λ= + Γ + minus minus
minus minus Λ minus minus
minus minus
(525)
Manipulando a equaccedilatildeo acima chega-se agrave
( )( )
( )
( )( )
0
t
t
t
e Qt e
P e
λ αλ α
α
λβ λβρ β α β
λ α λ α
minus +minus + Λ
= + Γ + Λ minus minus + minus+ +
(526)
54 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
Nesta seccedilatildeo seraacute avaliado o comportamento das equaccedilotildees da cineacutetica pontual
para sistemas subcriacuteticos em caso de funcionamento anormal do reator Inicialmente o
reator seraacute avaliado com uma rampa da potecircncia depois operando em uma queda
suacutebita de potecircncia e em outros momentos pode ocorrer uma grande elevaccedilatildeo de
potecircncia Para isso a variaccedilatildeo da potecircncia foi simulada durante seis horas da
seguinte maneira
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(527)
onde w1 = 0001 Ws w2=001 Ws w4 = 0005 Ws w5=0005 Ws
Portanto admitindo que em todas as variaccedilotildees de potecircncia pode-se utilizar o
resultado da seccedilatildeo 511 assim para o formalismo proposto por Gandini agrave reatividade
se escreve da seguinte forma
48
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 0 11
0 1 0 1 0 1 0 1
2 0 22
0 2 0 2 0
1 1 0 1
1 2
1 1( )
t
t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
t h
e w P w twt
P w t P w t P
λ
λ
β ζ
λ
ζ
β ζρ
λ
minus
minus
minus minus +Λ Λ+ minus minus lt le
+ + + +
minus lt le
minus sdot minus +Λ= + minus
+ + +
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 0 2
4 0 44
0 4 0 4 0 4 0 4
5 0 55
0 5 0 5 0 5 0 5
2 4
1 1 4 5
1 1 5 6
t
t
Qt h
w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
e w P w tw Qt h
P w t P w t P w t P w t
λ
λ
β ζ
λ
β ζ
λ
minus
minus
Λ
minus lt le+
minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + + minus minus +Λ Λ + minus minus lt le
+ + + +
(528)
Jaacute para o formalismo proposto por Silva et al tem-se utilizando o resultado da
seccedilatildeo 512
( )( )
( )( )
( )
1 1
0 1 0 1 0 1
2 2
0 2 0 2 0 2
4
0 4
1 0 1
1 2
( ) 1 2 4
1
t
t
t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
t h
w w Qt e t h
P w t P w t P w t
we
P w t
λ
λ
λ
β
λ
βρ
λ
β
minus
minus
minus
Λ ΛΓ + + minus minus lt le
+ + +
Γ lt le
Λ Λ= Γ + + minus minus lt le
+ + +
ΛΓ + + minus
+ ( )
( )( )
4
0 4 0 4
5 5
0 5 0 5 0 5
4 5
1 5 6t
w Qt h
P w t P w t
w w Qe t h
P w t P w t P w t
λ
λ
β
λminus
Λ
minus lt le+ +
Λ ΛΓ + + minus minus lt le+ + +
(529)
49
6 Variaccedilotildees da potecircncia nuclear com
Dependecircncia temporal de β e Λ
Neste capiacutetulo seraacute suposto que tanto a fraccedilatildeo de necircutrons retardados quanto
e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente de acordo com
( ) 0t Btβ β= + (61)
e
( ) 0 t ctΛ = Λ + (62)
onde o coeficiente linear β0 tem valor 000706 o coeficiente angular B eacute -217857 x 10-
7 pcm Jaacute os valores dos coeficientes da variaccedilatildeo do tempo meacutedio de geraccedilatildeo de
necircutrons satildeo Λ0 = 11661 x 10-5 s e c = -714286 x 10-10 s
61 Potencia Linear
611 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
No processo de obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo (56) natildeo foi considerado nenhuma
variaccedilatildeo temporal dos paracircmetros β e Λ Para se ter um resultado mais proacuteximo do
funcionamento real de um reator considera-se agora que a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados e o tempo meacutedio de geraccedilatildeo de necircutrons variem linearmente com o tempo
de acordo com (61) e (62) Assim substituindo essas equaccedilotildees na equaccedilatildeo (432)
obteacutem-se
50
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
t
t
P wtct w P et Bt
P wt P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(63)
612 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior ou seja substituindo as equaccedilotildees
(61) (62) e (51) agora na equaccedilatildeo(433) vem
( )( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
2
2
2
t
t
ct w P et Bt
P wt P wt
P wt P Bt Bwt w P B BwtBt
P wt P Bt Bwt Bw
ct QP w P BP e
P Bw P wt
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(64)
51
62 Potecircncia Constante
621 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Nesta seccedilatildeo considera-se uma situaccedilatildeo que a potecircncia nuclear permaneccedila
constante durante a operaccedilatildeo do reator Assim Substituindo as equaccedilotildees (61) e (62)
equaccedilatildeo (432) obteacutem-se
( ) ( )( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 00
0 0
1
1
t Bt Bt P e P
P ct QP B
P P
λρ β λβλ
ζ
λ
minus = + minus minus minus minus
minus Λ +minus minus minus
(65)
622 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Novamente repetindo o procedimento da seccedilatildeo anterior poreacutem substituindo as
equaccedilotildees (61) (62) e (51) na equaccedilatildeo (433) tem-se
( ) ( )( )( )00
0 0 0 0
0
1 tct QP BB
t Bt P e PP
λρ β λβλ λ
minus Λ + = + minus minus minus minus minus minus Γ minus
(66)
52
63 Potecircncia Exponencial
631 Teoria Heuriacutestica de
Perturbaccedilatildeo Generalizada (HGPT)
Supondo que a potecircncia varie de acordo com ( ) 0
tP t P e
α= obteacutem-se
substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da potecircncia nuclear na
equaccedilatildeo (432) vem
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
1
2
12
t
t
t
P e ct Qt Bt ct
P e P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
α
α
λ α
ζρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
minus Λ += + + Λ + minus minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(67)
632 Termo Adjunto de Fonte (TAF)
Agora substituindo as equaccedilotildees (61) (62) e a variaccedilatildeo exponencial da
potecircncia nuclear na equaccedilatildeo (433) vem
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
0
0 0
0
0 002 2 2 2
0 0
00 2 2
0
2
1 2
t
ct Qt Bt ct
P
Bt B B tBt
Bt Bt
BPe
BP
λ α
ρ β α
λβ λ β α αλ β
λ β λ β α βα α
λ αλβ
λ α αminus +
Λ += + + Λ + minus Γ minus
+ minus minus minusminus +
+ minus minus minus
minus ++ minus
minus minus
(68)
53
633 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Repetindo o procedimento da seccedilatildeo 54 temos uma variaccedilatildeo de potecircncia dada
por
( )
0 1
0 2
0 4
0 5
0 1
0 1 2
2 4
4 5
5 6
P w t t h
t h
P t P w t t h
P w t t h
P w t t h
+ lt le
lt le= + lt le + lt le + lt le
(69)
Assim para o formalismo proposto por Gandini a reatividade se torna
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
00 0 00
0 0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
1
2
2
2
tii
i i i
i i i i
i i i
i
i i
t
P w tct w P et Bt
P w t P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
ζβρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
minus +Λ += + + minus minus
+ + +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(610)
onde wi assume os seguintes valores w1 = 0001 w2=001 ou w4 = 0005 Jaacute para o
formalismo proposto por Silva et al (2011) tem-se
( )
( )( )
( )( )
0 0 00
0 0
2
0 0 0 0 0 0
0 2 2
0 0 0 0
00 0 0 00 0 2
0 0 0
( )
2
2
2
ti
i i
i i i i
i i i
i
i i
t
ct w P et Bt
P w t P w t
P w t P Bt Bw t w P B Bw tBt
P w t P Bt Bw t Bw
ct QP w P BP e
P Bw P w t
λ
λ
βρ β
λ β β βλ β
λ β β
λβ βλβ
λ β
minus
minus
Λ += + + minus minus Γ
+ +
+ + + minus minus minus minus +
+ + + minus
Λ + minus ++ minus
minus +
(611)
54
7 Simulaccedilatildeo Numeacuterica
O meacutetodo de Monte Carlo pode ser caracterizado como uma teacutecnica de caacutelculo
de forccedila bruta que eacute bem adequado para problemas complicados que consistem de
vaacuterias subtarefas bem definidas Eacute um meacutetodo simples e intuitivo e manteacutem uma
estreita relaccedilatildeo com o problema que estaacute sendo resolvido
Atualmente o meacutetodo de Monte Carlo eacute amplamente utilizado em vaacuterios
campos como na fiacutesica matemaacutetica economia e engenharia Uma de suas primeiras
aplicaccedilotildees praacuteticas foi na modelagem de problemas de transporte de partiacuteculas
(Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo de caacutelculo foi chamada de Monte Carlo pelos cientistas Stanislav
Ulam John von Neumann e Metropolis Nicholas no final de 1940 quando este meacutetodo
foi usado para resolver problemas de transporte de partiacuteculas na pesquisa de armas
nucleares As raiacutezes do desenvolvimento da teoria moderna da probabilidade e
estatiacutestica data do seacuteculo 19 Poreacutem a primeira publicaccedilatildeo registrada que aborda este
meacutetodo data de 1949 (Yoriyaz 2009)
O sucesso da aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo (MMC) pelos cientistas de Los
Alamos se decorreu devido agrave computaccedilatildeo numeacuterica De fato mesmo se todos os
aspectos teoacutericos fossem resolvidos a utilizaccedilatildeo em grande escala do meacutetodo natildeo
seria possiacutevel sem esta ferramenta
O meacutetodo Monte Carlo eacute muito diferente dos meacutetodos de transporte
determiniacutesticos que geralmente baseiam-se na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de transporte de
necircutrons Assim para fazer com que o problema seja passiacutevel de uma soluccedilatildeo
computacional eacute necessaacuteria a realizaccedilatildeo de uma discretizaccedilatildeo das variaacuteveis tanto no
espaccedilo quanto na energia A forccedila do meacutetodo de Monte Carlo reside na capacidade
em calcular estimativas estatiacutesticas para taxas de reaccedilatildeo sem necessitar da soluccedilatildeo
explicita para a distribuiccedilatildeo do fluxo Aleacutem disso a capacidade de lidar com variaccedilotildees
complexas das variaacuteveis espaciais e de energia eacute o que torna a alternativa do MMC
mais atraente que os meacutetodos de transporte determiniacutesticos (Leppaumlnen 2007)
Mesmo que a abordagem determinista tenha demonstrado sua viabilidade para
simular reatores criacuteticos ela eacute amplamente utilizada Poreacutem esta metodologia
apresenta alguns inconvenientes que se tornam importantes no caso de um reator
subcriacutetico com um acelerador de partiacuteculas acoplado como por exemplo a introduccedilatildeo
de uma aproximaccedilatildeo devido agrave conversatildeo do espectro de energia dos necircutrons para
55
uma grade de energia e espaccedilo para os coacutedigos que utilizam uma abordagem
multigrupo (Kady et al 2001)
Por utilizar seccedilotildees de choques pontuais a simulaccedilatildeo Monte Carlo eacute livre de
quase todos os inconvenientes que aparecem nas simulaccedilotildees determiniacutesticas Poreacutem
sua precisatildeo varia inversamente com a raiz quadrada do nuacutemero de eventos
processados Isso representa um problema potencialmente grande de tempo de
processamento em particular quando a simulaccedilatildeo abrange toda a vida uacutetil da
produccedilatildeo de energia do sistema
No meacutetodo Monte Carlo para a simulaccedilatildeo de transporte de radiaccedilatildeo as
respostas satildeo obtidas simulando partiacuteculas individuais e gravando alguns aspectos de
seu comportamento meacutedio Se os modelos dessas interaccedilotildees utilizados nas
simulaccedilotildees satildeo suficientementes proacuteximos da realidade o resultado estaraacute proacuteximo do
processo real
Os componentes importantes de meacutetodos de simulaccedilatildeo de Monte Carlo satildeo as
funccedilotildees de densidade de probabilidade a geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios as regras
de amostragem a computaccedilatildeo de resultados as estimativas de erros e a reduccedilatildeo de
variacircncia conforme mostra a Figura 71 Aleacutem disso os algoritmos eficientes para
paralelizaccedilatildeo satildeo uacuteteis para a implementaccedilatildeo do meacutetodo de Monte Carlo para uso em
cluster de computadores (Grisell 2004)
O meacutetodo de Monte Carlo utiliza aleacutem do teorema do limite central modelos
fiacutesicos de interaccedilatildeo ou seja um conjunto de seccedilotildees de choque diferenciais para os
mecanismos de interaccedilatildeo relevantes do sistema a ser simulado (Salvat et al 2003)
Figura 71 Esquema simplificado do processo de simulaccedilatildeo via MMC Retirado de Yoriyaz 2009
Gerador de
nuacutemeros
aleatoacuterios
Teacutecnicas de
amostragem Resultados
Funccedilatildeo de densidade de probabilidade
56
Essas seccedilotildees de choque diferenciais determinam as funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de
probabilidades de variaacuteveis aleatoacuterias
Esses conjuntos de funccedilotildees de distribuiccedilatildeo de probabilidade caracterizam uma
histoacuteria e determinam o tipo de interaccedilatildeo sofrida pela partiacutecula por exemplo se a
partiacutecula sofreraacute uma mudanccedila de energia e de direccedilatildeo de propagaccedilatildeo se ela apenas
sofreraacute algum desvio angular ou se ocasionaraacute fissatildeo
Caso o nuacutemero de histoacuterias (uma histoacuteria inclui desde a geraccedilatildeo de uma
partiacutecula ateacute sua lsquofugarsquo ou absorccedilatildeo aleacutem de todas as outras partiacuteculas que podem ser
produzidas por exemplo atraveacutes da fissatildeo) seja suficientemente grande informaccedilotildees
quantitativas sobre o processo de transporte podem ser obtidas simplesmente por uma
meacutedia de mais histoacuterias simuladas
Este meacutetodo eacute extremamente uacutetil em problemas complexos que natildeo podem ser
modelados por coacutedigos computacionais que utilizam meacutetodos determiniacutesticos Outra
grande aplicaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo eacute em experimentos em que os resultados
satildeo de difiacutecil mediccedilatildeo
Ao se comparar os meacutetodos MC e de variaacuteveis discretas normalmente se diz
que o MC resolve a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral enquanto o meacutetodo
de variaacuteveis discretas resolve a equaccedilatildeo na sua forma integro-diferencial Poreacutem as
duas equaccedilotildees satildeo formas diferentes da mesma equaccedilatildeo e assim quando se resolve
uma obteacutem-se a soluccedilatildeo da outra (Mosteller et al 2003)
Como o meacutetodo MC resolve o problema simulando histoacuterias das partiacuteculas natildeo
se torna necessaacuterio escrever a equaccedilatildeo de transporte de necircutrons No entanto pode-
se chegar a uma equaccedilatildeo que descreva a densidade de probabilidade das partiacuteculas
para o problema e esta acaba sendo a equaccedilatildeo de transporte na sua forma integral
(Vaz 2010)
A simulaccedilatildeo Monte Carlo (MC) eacute baseada em geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
de uma distribuiccedilatildeo uniforme gerando variaacuteveis aleatoacuterias para estabelecer outras
funccedilotildees de distribuiccedilatildeo Assim os nuacutemeros aleatoacuterios ou pseudoaleatoacuterios satildeo agrave base
do meacutetodo de MC pois estes nuacutemeros realizam todo o controle de decisatildeo Isso torna
essencial a sub-rotina de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios para qualquer simulador
baseado no meacutetodo de Monte Carlo As sub-rotinas de geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios
se baseiam em algoritmos matemaacuteticos especiacuteficos para garantir que os nuacutemeros
sorteados satildeo realmente aleatoacuterios pois estes nuacutemeros devem em teoria ser
igualmente provaacuteveis em um sorteio dentro de um intervalo definido
As variaacuteveis aleatoacuterias satildeo uma quantidade que resultam de processos
repetitivos e cujos valores reais natildeo podem ser previsto com certeza No mundo real a
aleatoriedade se origina de fatores incontrolaacuteveis (por exemplo jogos de azar) ou da
57
natureza quacircntica de sistemas ou processos (por exemplo desintegraccedilatildeo nuclear)
Nos computadores as variaacuteveis randocircmicas satildeo geradas por transformaccedilotildees
numeacutericas de nuacutemeros randocircmicos
O objetivo da simulaccedilatildeo MC eacute fornecer informaccedilotildees precisas e detalhadas em
trecircs dimensotildees dependente do tempo tanto para partiacuteculas carregadas quanto para
partiacuteculas neutras Por este motivo o meacutetodo de Monte Carlo eacute largamente utilizado na
soluccedilatildeo de problemas envolvendo processos estatiacutesticos Pode ser empregado na
fiacutesica de reatores devido agrave caracteriacutestica estocaacutestica da emissatildeo de radiaccedilatildeo e
transporte de partiacuteculas
A carga computacional do meacutetodo de Monte Carlo continua sendo um
empecilho para as simulaccedilotildees de modelagem de sistemas nucleares devido ao alto
tempo de processamento computacional (Liu et al 2011) e a alta demanda de
memoacuteria pois para solucionar o problema de transporte de energia eacute necessaacuterio
monitorar as trajetoacuterias de vaacuterios necircutrons seu respectivo histoacuterico e sua multiplicaccedilatildeo
ateacute absorccedilatildeo ou fuga de todas as partiacuteculas geradas por essa partiacutecula
Mesmo assim o uso do meacutetodo de Monte Carlo para a simulaccedilatildeo do transporte
de partiacuteculas tornou-se bastante popular pois a alta demanda de processamento e de
memoacuteria pode ser contornada se for utilizado um sistema de processamento
distribuiacutedo com vaacuterios processadores possibilitando diminuir o tempo de simulaccedilatildeo
mesmo em modelagem de geometrias complexas Na praacutetica com o aumento de
processadores resolvendo o mesmo problema costuma-se aumentar a estatiacutestica a ser
simulada para a obtenccedilatildeo de resultados mais precisos com o mesmo tempo de
simulaccedilatildeo anterior
71 Funccedilotildees Densidade de
Probabilidades
Para uma variaacutevel aleatoacuteria discreta a funccedilatildeo de probabilidade (f(x)) fornece
diretamente a probabilidade do valor que a variaacutevel aleatoacuteria assume Jaacute para as
variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas a funccedilatildeo de probabilidade em um intervalo eacute chamada
de funccedilatildeo de densidade de probabilidade
Esta funccedilatildeo natildeo fornece diretamente as probabilidades dos valores que as
variaacuteveis aleatoacuterias podem assumir Poreacutem a aacuterea sob o graacutefico da funccedilatildeo de
58
densidade de probabilidade correspondente a um dado intervalo a probabilidade de
que a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua assuma um valor neste intervalo Ou seja quando
calculamos as probabilidades para as variaacuteveis aleatoacuterias contiacutenuas estamos
calculando a probabilidade de que a variaacutevel aleatoacuteria assuma qualquer valor em um
intervalo Assim a probabilidade de qualquer valor particular da variaacutevel aleatoacuteria
contiacutenua eacute zero pois a aacuterea sob o graacutefico de f(x) em qualquer ponto em particular eacute
zero
A distribuiccedilatildeo de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua pode ser
visualizada como uma forma de um histograma baseado em um grande nuacutemero de
observaccedilotildees Este histograma eacute construiacutedo com as densidades de probabilidade
Por exemplo a Figura 72 mostra um histograma da massa em quilogramas
de 25 lingotes de uracircnio (Lurie et al 2011)
Figura 72 Histograma da massa (kg) de 25 lingotes de uracircnio
Se aumentarmos o nuacutemero de amostras teremos um histograma cada vez
mais suave a Figura 73 mostra o mesmo histograma com 150 observaccedilotildees
Figura 73 Histograma da massa em quilogramas de 150 lingotes de uracircnio
59
Se fizermos o nuacutemero de amostras tender a infinito e o intervalo das classes
tender a zero no limite o histograma tende a se ldquosuavizarrdquo e tomar a forma de uma
curva teoacuterica como mostra a Figura 74
Figura 74 Curva de densidade de probabilidade para a variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua
ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo
Como uma probabilidade eacute interpretada como a frequecircncia relativa de um
evento de ensaios independentes a curva obtida na Figura 74 representa a maneira
pela qual a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo aos possiacuteveis valores que a
variaacutevel aleatoacuteria ldquomassa dos lingotes de uracircniordquo pode assumir Assim a funccedilatildeo
densidade de probabilidade de uma variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x eacute a funccedilatildeo
matemaacutetica f(x) cujo graacutefico produz a curva teoacuterica que representa a maneira pela qual
a probabilidade total eacute distribuiacuteda em relaccedilatildeo agrave amplitude dos possiacuteveis valores da
variaacutevel aleatoacuteria contiacutenua x
As funccedilotildees de densidades de probabilidades devem obedecer as seguintes
condiccedilotildees
( )
( ) ( )
0
1
f x x
F x f x dx
gt forall
= =int
Dessa maneira a probabilidade de uma variaacutevel x assumir os valores no
intervalo (ab) eacute
Densidade de
probabilidade
Massa (kg)
60
( ) ( ) ( ) ( )b
aP a x b f x dx F a F ble le = = minusint
Existem basicamente duas diferentes maneiras que podem ser utilizados na
implementaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do meacutetodo Monte Carlo que satildeo o meacutetodo direto ou
inverso e o meacutetodo da rejeiccedilatildeo Nas proacuteximas seccedilotildees tem-se a descriccedilatildeo desses dois
meacutetodos
72 Meacutetodo direto ou inverso
Seja uma distribuiccedilatildeo de probabilidade tiacutepica (por exemplo a distribuiccedilatildeo
gaussiana) definida em um intervalo conhecido entre [a b] Como visto na seccedilatildeo
anterior pode-se definir a funccedilatildeo de probabilidade acumulada desta distribuiccedilatildeo como
( ) ( ) b
aP x p x dx= int (71)
Criando uma nova variaacutevel aleatoacuteria atraveacutes da transformaccedilatildeo ξ = P(x) e
assumindo que a distribuiccedilatildeo de probabilidade acumulada admite uma inversa P-1(ξ)
definida no intervalo de (01) o valor de ξ eacute entatildeo definido como sendo igual agrave
probabilidade cumulativa do evento de modo que o valor correspondente de x pode
ser calculado a partir da funccedilatildeo inversa
1 1
( )( ) ( ) ( )
d dP xp p x p x
dx dxε
εε
minus minus
= =
(72)
Assim fica claro que ε eacute um nuacutemero aleatoacuterio e a variaacutevel x que eacute definida por
x = P-1(ξ) eacute aleatoriamente distribuiacuteda no intervalo (xmin x) Note que x eacute a uacutenica raiz
da equaccedilatildeo
min
( ) x
xp x dxξ = int (73)
61
Assim os valores amostrados de x desta forma satildeo distribuiacutedos de acordo com
a P(x)
A implementaccedilatildeo do meacutetodo direto de MC pode ser feita atraveacutes do seguinte
algoritmo conforme mostrado na Figura 75
1 Geraccedilatildeo de um nuacutemero aleatoacuterio ξ
2 Verificaccedilatildeo de que x corresponde ao ξ sorteado
3 Verificaccedilatildeo de qual probabilidade correspondente ao x
Figura 75 Sorteio de uma variaacutevel aleatoacuteria da distribuiccedilatildeo p(x) usando meacutetodo
inverso (Salvat et al 2003)
A soluccedilatildeo atraveacutes do meacutetodo de MC da equaccedilatildeo de transporte de necircutrons
(equaccedilatildeo (74)) pode ser feita utilizando o meacutetodo direto resolvendo-se as integrais
de acordo com (Vaz 2009)
( )
( ) ( ) ( ) ( )2 3
` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | `
r E
r E C E E r dE d Q r E T r r E d r
Ψ Ω =
Ψ Ω Ω rarr Ω Ω + Ω rarr Ω int int
(74)
Com o termo de fonte podendo ser definido como
62
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
Fonte fixa
` ` ` ` | ` Fonte fixa + Fissatildeo
1 ` ` ` ` | ` ` Autovalor
S
Q r R S r E F E E r dE d
r E F E E r dE dk
Ω = + Ψ Ω Ω rarr Ω Ω Ψ Ω Ω rarr Ω Ω
int
int
(75)
onde ( ) S r E Ω
foi abreviado como S
Assim uma histoacuteria (lsquotrajetoacuteriarsquo) pode ser entendida como uma sequecircncia de
transiccedilatildeo entre estados (P0 P1 P2 P3) Em cada ponto de colisatildeo Pi pode ocorrer
variaccedilatildeo da energia de direccedilotildees e ainda incluir a geraccedilatildeo de novas partiacuteculas
Entatildeo a equaccedilatildeo de transporte pode ser escrita como (Vaz 2009)
( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 2 1( ) i o i i
P P K P P K P P dp dp dp dpminus minusΨ = Ψ rarr rarrint int int int (76)
onde ( )K P Prarr eacute o kernel de transporte que eacute definido por
( ) ( ) ( ) ( ) ` ` | ` ` | K P P K r E r E C E E r T r r Erarr equiv Ω rarr Ω = Ω rarr Ω rarr Ω
(77)
Figura 76 Representaccedilatildeo da histoacuteria de uma partiacutecula
P4
P1
P2
P5
P3
P6
P
P0
63
73 Meacutetodo da rejeiccedilatildeo
Em muitos casos tanto a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo cumulativa quanto sua inversa
eacute de difiacutecil obtenccedilatildeo ou natildeo podem ser resolvidos Exemplos de tais casos satildeo a
distribuiccedilatildeo normal e a distribuiccedilatildeo de Maxwell-Boltzmann Haacute diversas variaccedilotildees
numeacutericas para o uso do meacutetodo de inversatildeo que podem ser utilizados para amostrar
os valores de qualquer tipo de distribuiccedilatildeo mas eacute muitas vezes mais eficaz ter uma
abordagem completamente diferente (Leppaumlnen 2007)
O meacutetodo da rejeiccedilatildeo tem a vantagem que o procedimento de amostragem
pode ser realizado utilizando apenas a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de probabilidades da
variaacutevel aleatoacuteria De uma forma mais simples uma constante c ge 1 e uma outra
funccedilatildeo de densidade de g(x) satildeo atribuiacutedos aos f(x) de tal forma que
( ) ( )f x cg xle (71)
para todos os valores de x
Os valores da variaacutevel aleatoacuteria ε seratildeo aceitos se
( )( )
f x
cg xε lt (72)
Se a desigualdade natildeo eacute vaacutelida o valor eacute descartado e o procedimento eacute
repetido desde o iniacutecio Pode demonstrar-se que a distribuiccedilatildeo dos valores aceitos
pelo meacutetodo seguem exatamente f(x)
Uma aplicaccedilatildeo que ilustra bem este meacutetodo eacute o caacutelculo do nuacutemero π Para
isso suponha um ciacuterculo inscrito dentro de um quadrado de lado unitaacuterio Se ao
sortear N eventos forem contados quantos destes eventos estatildeo dentro do ciacuterculo eacute
possiacutevel calcular o valor de π
Sabe-se que a integral entre os intervalos a e b eacute igual a um quarto da aacuterea do
ciacuterculo (ver Figura 77) Desta maneira pode-se dizer que o nuacutemero de pontos
sorteados dentro da aacuterea total do ciacuterculo dividido pelo nuacutemero total de sorteios eacute igual
agrave aacuterea do ciacuterculo sobre a aacuterea do quadrado
64
2
4r 4
c
t
N πrsup2 π= =
N
onde Nc eacute o nuacutemero de sorteios dentro do ciacuterculo e Nt eacute o total de nuacutemeros sorteados
Obviamente quanto maior for o total de nuacutemero sorteados mais preciso seraacute o
resultado
Figura 77 Caacutelculo do nuacutemero π atraveacutes do meacutetodo direto de Monte Carlo
Em geral o meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute utilizado para a estimativa de eventos que
satildeo regidos por distribuiccedilotildees contiacutenuas ou seja aqueles eventos que obedecem a
uma curva de probabilidade
Eacute importante ressaltar que no meacutetodo da rejeiccedilatildeo eacute necessaacuterio o sorteio de
dois nuacutemeros aleatoacuterios O primeiro (ε1) para definir o valor da abcissa (x) e um
segundo (ε2) para definir o valor no eixo das ordenadas (Figura 78) Se ε2 for menor
que f(ε1) registra-se ε1 como sendo um valor vaacutelido Caso contraacuterio ε1 eacute rejeitado e
ocorre o sorteio de outro nuacutemero aleatoacuterio O algoritmo do meacutetodo da rejeiccedilatildeo pode
ser descrito como
1 Sorteio do primeiro nuacutemero aleatoacuterio (ε1)
2 Verificaccedilatildeo de qual eacute o valor da funccedilatildeo para esse nuacutemero aleatoacuterio
3 Sorteio do segundo nuacutemero aleatoacuterio
4 Se ε2 lt f(ε1) registrar ε1 como vaacutelido
5 Senatildeo rejeitar ε1 e voltar ao passo 1
a
b
65
74 Meacutetodos Monte Carlo para
Reatores Subcriacuteticos
Nas seccedilotildees anteriores foi tratado das caracteriacutesticas baacutesicas da simulaccedilatildeo MC
Poreacutem para a simulaccedilatildeo de um reator nuclear mais proacutexima do real eacute necessaacuterio que
os coacutedigos MC sejam capazes de acompanhar a queima dos combustiacuteveis nucleares
chamados de coacutedigos de depleccedilatildeo
Atualmente existem vaacuterios coacutedigos de depleccedilatildeo que utilizam o meacutetodo Monte
Carlo devido ao constante crescimento no desempenho dos computadores Esses
coacutedigos geralmente satildeo acoplados em um coacutedigo geneacuterico de simulaccedilatildeo MC que
resolve o transporte das partiacuteculas e podem fornecer o fluxo de partiacuteculas e as seccedilotildees
de choque microscoacutepicas para os coacutedigos de depleccedilatildeo
Os coacutedigos MC de depleccedilatildeo podem ser divididos em dois grupos de acordo
com a metodologia de geraccedilatildeo das seccedilotildees de choque microscoacutepicas O primeiro
grupo satildeo os dos coacutedigos que utilizam os resultados calculados diretamente pelo o
coacutedigo geneacuterico MC Jaacute o segundo grupo utiliza uma abordagem de multigrupo para o
caacutelculo das seccedilotildees de choque que eacute implementado pelo coacutedigo de depleccedilatildeo De
acordo com esta metodologia as taxas de reaccedilatildeo satildeo calculadas separadamente
utilizando um preacute-gerador de seccedilotildees de choque multigrupo
f(x)
ε2
ε1
Figura 78 Processo de caacutelculo de π
66
75 Conceito de Reatores ADS
Os reatores hiacutebridos foram inicialmente considerados apenas para a queima
de actiniacutedeos poreacutem foi percebido que era possiacutevel aproveitar a queima dos
actiniacutedeos (transmutaccedilatildeo) em um reator subcriacutetico para a geraccedilatildeo de eletricidade
aleacutem da necessaacuteria para sustentar o acelerador de proacutetons
Aleacutem disso os reatores hiacutebridos tecircm uma vantagem adicional de ser um
sistema regenerador ou seja cria a possibilidade de regenerar combustiacutevel nuclear
queimado em um reator teacutermico para ser reutilizado no mesmo apoacutes reprocessamento
A Figura 79 mostra que os reatores regeneradores com acelerador (ABR ndash
accelerator breeder reactor) podem natildeo ser utilizados para a geraccedilatildeo de eletricidade
Sua principal utilizaccedilatildeo seria para a produccedilatildeo de material fiacutessil principalmente 239Pu
(Lodhi et al 2009) Para isso esses reatores necessitam de energia eleacutetrica para
alimentar o acelerador de proacutetons citado na Figura 710 Poreacutem os reatores hiacutebridos
podem ser dedicados tanto para a produccedilatildeo de energia como para a regeneraccedilatildeo de
material fiacutessil embora ambos os fenocircmenos ocorram sempre em um reator hiacutebrido ele
pode ser especializado para um desses objetivos de acordo com o cenaacuterio previsto
para a busca da sustentabilidade da energia nuclear (Piera et al 2010)
Figura 79 Sistema nuclear de energia que consiste em um reator reprodutor e um
teacutermico Fonte Lodhi et al 2009
Extraccedilatildeo de
toacuterio e uracircnio
238
U
ABR
Reator teacutermico
Energia eleacutetrica
239
Pu
232
Th
Energia eleacutetrica
67
Figura 710 Esquema de um reator regenerador com acelerador Fonte
httpmyrrhasckcenbeenMYRRHAADS
Tanto os reatores ADS como os ABR consistem em um acelerador de
partiacuteculas de alta energia (proacutetons com cerca de 1 GeV de energia) que atingem um
alvo com nuacutemero atocircmico grande Este choque gera necircutrons de alta energia capazes
de tornar nucliacutedeos feacuterteis em fiacutesseis
Outra coisa interessante sobre esses reatores eacute que eles produzem vaacuterios
isoacutetopos da mesma maneira que os FBR Em segundo lugar os reatores hiacutebridos
(ADS) operam com fator de multiplicaccedilatildeo abaixo de 1 (geralmente entre 090 e 097)
Em terceiro os ADS podem produzir combustiacutevel muito mais raacutepido que os FBR (Piera
et al 2010) pois liberam menos energia por fissatildeo que os FBR
Um dos principais objetivos do ADS eacute a queima de 232Th para gerar uma
grande quantidade de 233U embora 233U puro tem aproximadamente a mesma massa
criacutetica do plutocircnio (Lodhi et al 2009)
Fonte de necircutrons raacutepidos
Fonte de
spallation
Refrigerante chumbo-bismuto
Acelerador de
proacutetons
68
8 Descriccedilatildeo e Validaccedilatildeo dos Coacutedigos
Utilizados
Vaacuterios autores vecircm propondo diferentes simulaccedilotildees MC para auxiliar o estudo
de reatores ADS utilizando diferentes coacutedigos (MCNPX GEANT4 MCB) Poreacutem estes
modelos devem ter referecircncias para poder se verificar por exemplo o fator de
multiplicaccedilatildeo efetivo (keff) resultados dos caacutelculos de depleccedilatildeo e identificar as causas
para as possiacuteveis diferenccedilas significativas entre os resultados simulados e os teoacutericos
Idealmente esses paracircmetros deveriam ser comparados com dados
experimentais No entanto haacute uma falta significativa de resultados fiacutesicos para nuacutecleos
de reatores raacutepidos concebidos para queimar actiniacutedeos menores (AM) (Allen et al
2011)
Neste trabalho foram utilizados dois coacutedigos MC distintos Inicialmente devido
a grande quantidade de citaccedilotildees na literatura (Hashemi-Nezhad et al 2002 Sobolev
et al 2003 Bomboni et al 2010 Fokau et al 2010 Talamo et al 2011 Pelowitz
2008) foi utilizado o coacutedigo MCNPX 26f e tambeacutem o coacutedigo SERPENT 1117 que eacute
uma ferramenta relativamente nova (Leppaumlnen 2007) comparada ao MCNPX
O MCNPX eacute um coacutedigo MC que vem sendo desenvolvido deste 1995 sendo
escrito em FORTRAN e C Assim o MCNPX pode ser compilado para a utilizaccedilatildeo nas
plataformas computacionais mais usadas (Windows Linux e IOS) Aleacutem disso o
MCNPX pode ser usado com as bibliotecas de programaccedilatildeo paralela (MPI)
O coacutedigo eacute composto por aproximadamente 450 subrotinas possui um
desenvolvimento constante e atualmente eacute capaz de simular 34 partiacuteculas distintas A
versatildeo 250 do MCNPX eacute utilizada atualmente por cerca de 2500 grupos no mundo
sendo distribuiacutedo pelo Radiation Safety Information Computational Center (RSICC)
com base de dados sendo fornecida pela OECDNEA
Uma das grandes dificuldades do uso do MCNPX eacute a descriccedilatildeo da geometria
que eacute feita atraveacutes de uniotildees e interseccedilotildees de superfiacutecies baacutesicas (plano cilindro
infinito esfera cone ou elipsoide) Assim para simular uma vareta de combustiacutevel
deve-se criar pelo menos trecircs superfiacutecies distintas (2 planos e um cilindro infinito)
Aleacutem disso deve-se criar uma ceacutelula para cada material utilizado Esta ceacutelula
carrega a informaccedilatildeo do material que ela eacute composta a densidade e os limites
informados pelas uniotildees eou interseccedilotildees das superfiacutecies Tanto as superfiacutecies quanto
as ceacutelulas satildeo referenciados por nuacutemeros definidos pelo usuaacuterio
69
Todas as superfiacutecies permitem que as uniotildees e interseccedilotildees sejam feitas em
dois sentidos Esses sentidos satildeo informados pelos sinais negativos e positivos que
devem acompanhar os nuacutemeros das superfiacutecies
O MCNPX ainda permite a definiccedilatildeo da importacircncia da partiacutecula em cada
ceacutelula isso eacute uacutetil quando se quer excluir uma ou mais partiacuteculas Caso a importacircncia
de necircutrons seja definida como zero qualquer necircutron que entrar nesta ceacutelula seraacute
eliminado da simulaccedilatildeo Isto eacute um artifiacutecio que delimita a aacuterea de atuaccedilatildeo das
partiacuteculas para natildeo termos simulaccedilotildees de duraccedilatildeo ldquoinfinitardquo ou perder tempo
computacional em partiacuteculas que jaacute saiacuteram do sistema
Tambeacutem eacute possiacutevel definir ceacutelulas sem nenhum material para isso basta
colocar o nuacutemero zero no lugar do nuacutemero do material e natildeo informar a densidade do
mesmo Neste caso o coacutedigo iraacute interpretar o conteuacutedo da ceacutelula como sendo vaacutecuo
O MCNPX natildeo fornece ferramenta graacutefica para a ediccedilatildeo de geometria poreacutem
existem programas que realizam a leitura do arquivo e permitem a sua visualizaccedilatildeo O
que MCNPX faz eacute uma verificaccedilatildeo baacutesica da geometria em busca de erros Em caso
de erros de geometria o MCNPX natildeo realiza a simulaccedilatildeo ou a simulaccedilatildeo pode ser
abortada se o coacutedigo computar vaacuterias partiacuteculas perdidas (partiacuteculas que ldquosaemrdquo da
geometria)
O lado positivo do MCNPX eacute a grande quantidade de elementos e de isoacutetopos
disponiacuteveis para a simulaccedilatildeo devido o uso da biblioteca ENDF que eacute mantida pela
agecircncia internacional de energia atocircmica Para os elementos ou isoacutetopos que natildeo
existem nas bibliotecas o MCNPX realiza a simulaccedilatildeo utilizando modelos fiacutesicos Isto
proporciona uma grande flexibilidade na simulaccedilatildeo Aleacutem disso o MCNPX traz
bibliotecas de espalhamento teacutermico que podem ser usadas nos materiais utilizados
como moderadores
O outro coacutedigo MC utilizado foi o SERPENT Este coacutedigo eacute especiacutefico para
simulaccedilatildeo de reatores nucleares que realiza com caacutelculo de depleccedilatildeo e eacute
desenvolvido no Centro de Pesquisa Teacutecnica da Finlacircndia (VTT Technical Research
Centre of Finland) Atualmente eacute utilizado por cerca de 180 grupos de usuaacuterios em 27
paiacuteses Este coacutedigo se encontra na versatildeo 1118 sendo que a versatildeo 20 estaacute
atualmente em fase de teste O SERPENT tambeacutem permite a utilizaccedilatildeo de
processamento paralelo com o MPI (Message Passing Interface) para sua execuccedilatildeo
A paralelizaccedilatildeo no modo de caacutelculo de queima eacute dividida nas rotinas de preacute-
processamento e depleccedilatildeo em vaacuterias tarefas Cada tarefa trata um material diferente e
o aumento de desempenho pode-se tornar significativo
O SERPENT eacute um dos uacutenicos coacutedigos MC que permitem a simulaccedilatildeo com
fonte externa com meio multiplicativo aleacutem de caacutelculos de depleccedilatildeo em uma uacutenica
70
simulaccedilatildeo a geometria natildeo eacute tatildeo problemaacutetica quanto a do MCNPX pois jaacute existem
elementos preacute-definidos que satildeo encontrados em reatores nucleares como por
exemplo elementos combustiacuteveis em em arranjo hexagonal
A descriccedilatildeo da geometria no SERPENT eacute feita definindo-se uma vareta e os
raios de cada material que a compotildee Diferentemente do MCNPX os materiais satildeo
referenciados por nomes seguidos do raio ocupado partindo do centro da vareta ateacute a
extremidade
Por exemplo para se definir uma vareta de combustiacutevel os materiais que
compotildee esta vareta devem ser descritas do centro para fora da vareta Assim se o
combustiacutevel estaacute designado com um raio de 04024 cm a definiccedilatildeo do gap deve iniciar
de um raio maior que o do combustiacutevel O gap eacute designado pela palavra reservada
void
A definiccedilatildeo das varetas seja de combustiacutevel ou as de controle devem ser
terminadas sempre com o nome do material utilizado como refrigerante (Soacutedio por
exemplo) Eacute importante lembrar que cada definiccedilatildeo de vareta recebe um nuacutemero que
eacute chamado de universo
Apoacutes as definiccedilotildees das varetas basta informar o tipo de arranjo utilizado e o
pitch de varetas para completar a descriccedilatildeo do nuacutecleo do reator Se existem varetas
com diferentes composiccedilotildees de combustiacutevel deve-se informar o nuacutemero de cada
universo na posiccedilatildeo desejada
Ambos os coacutedigos permitem a utilizaccedilatildeo da mesma biblioteca realizam caacutelculo
de depleccedilatildeo do combustiacutevel indicando a quantidade de cada elemento nos diferentes
passos de queima sendo possiacutevel fazer um inventaacuterio de queima em ambos os
coacutedigos para cada intervalo de queima Este intervalo eacute informado pelo usuaacuterio
Para a descriccedilatildeo do material tanto o MCNPX como o SERPENT usam a
mesma forma Basta informar o ldquocoacutedigordquo do elemento desejado e sua concentraccedilatildeo
que pode ser atocircmica (aacutetomosbarncm) ou fraccedilatildeo de massa
O coacutedigo dos materiais eacute formado pelos seus nuacutemeros atocircmicos e por seus
nuacutemeros de massa Por exemplo o coacutedigo para o elemento 238U eacute 92238
Para se identificar as diferentes versotildees das bibliotecas existem nuacutemeros que
vecircm depois do coacutedigo do elemento Esses nuacutemeros satildeo a versatildeo das bibliotecas para
o MCNPX e para o SERPENT as temperaturas (em Kelvin) das bibliotecas Portanto
no MCNPX o coacutedigo 9223866c indica que a biblioteca utilizada eacute a ENDF66 Para o
SERPENT o coacutedigo completo eacute 9223806c onde o 06c indica a temperatura em que a
biblioteca foi avaliada (600 K)
71
Ainda na descriccedilatildeo do material o coacutedigo SERPENT permite definir os materiais
de outra forma Assim pode-se usar o siacutembolo do elemento quiacutemico seguido de seu
nuacutemero de massa Por exemplo O-1609c eacute o 16O a uma temperatura de 900 K
Se o material eacute composto por mais de um elemento quiacutemico basta inserir os
demais elementos As tabelas abaixo mostram o exemplo de um revestimento de
zircaloy (Tabela 81) para o MCNPX e para o dioacutexido de uracircnio (Tabela 82) para o
SERPENT Note que para a entrada em fraccedilatildeo de massa deve-se colocar o sinal de
negativo
Aleacutem das informaccedilotildees dos elementos e de suas concentraccedilotildees eacute necessaacuterio
informar tambeacutem a densidade dos materiais No MCNPX essa informaccedilatildeo fica junto
com a definiccedilatildeo do local que o material estaacute No SERPENT a informaccedilatildeo da
densidade fica junto com a definiccedilatildeo do material Em ambos os coacutedigos a densidade
pode ser informada em gcm3 ou em densidade atocircmica (aacutetomosbarnmiddotcm)
Tabela 81 Exemplo de um
revestimento de zircaloy no MCNPX
Elemento Fraccedilatildeo de
massa
4000066c -098135
2400066c -000100
2600066c -000135
2800042c -000055
5000006c -001450
801606c -000125
Tabela 82 Exemplo de dioacutexido de
uracircnio no SERPENT
Elemento Densidade
Atocircmica
9223409c 914E-02
9223509c 935E+00
9223809c 215E+02
O-1609c 449E+02
Para a validaccedilatildeo das simulaccedilotildees realizadas utilizando o coacutedigo SERPENT
foram realizadas algumas simulaccedilotildees de reatores para a comparaccedilatildeo direta com o
MCNPX jaacute que o MCNPX eacute amplamente utilizado para a simulaccedilatildeo de reatores
Os reatores simulados foram um PWR com combustiacutevel do tipo MOX (Figura
81) um reator do tipo VVER (Figura 82) e um terceiro do tipo CANDU (Figura 83)
Os resultados obtidos com essas simulaccedilotildees se encontram na Tabela 83
72
Figura 81 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do PWR
Figura 82 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator VVER
Figura 83 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo do reator tipo CANDU
Refrigerante (aacutegua)
Combustiacutevel MOX 1 (29 Pu)
Combustiacutevel MOX 2 (44 Pu)
Combustiacutevel MOX 3 (56 Pu)
Combustiacutevel (UO2)
Vazio (ar)
Refrigerante (Aacutegua)
Combustiacutevel (UO2)
Refrigerante (Aacutegua)
73
Tabela 83 Comparaccedilatildeo entre o SERPENT e o MCNPX para os reatores PWR
CANDU e VVER
Reator keff Diferenccedila2
(pcm) MCNPX SERPENT
VVER 128763 128807 3417
CANDU 094169 094207 4034
PWR 100176 100184 799
Recentemente Allen et al(2011) publicou uma proposta de referecircncia para
reatores regeneradores baseado no reator de teste avanccedilado para queima de AM
(ABTR) Este reator tem uma potecircncia teacutermica de 250 MW sendo refrigerado com
soacutedio A Figura 84 mostra a geometria e disposiccedilatildeo dos elementos do nuacutecleo do
reator utilizado na simulaccedilatildeo com MCNPX
As Tabelas 84 85 e 86 trazem as composiccedilotildees dos diferentes combustiacuteveis
utilizados Jaacute as Tabelas 87 88 e 89 mostram a composiccedilatildeo das varetas refletor e
barras de controle respectivamente
A Tabela 810 traz informaccedilotildees gerais do reator como pitch e diacircmetro de
varetas do reator entre outras
Figura 84 Nuacutecleo de reator ABTR simulado no MCNPX
2 Em moacutedulo diferenccedila = |Keff MCNPX - keff SERPENT|
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
74
Tabela 84Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 1
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 122E-04
U-235 322E-01
U-236 206E-02
U-238 202E+02
Np-237 384E-02
Pu-236 139E-07
Pu-238 959E-03
Pu-239 350E+01
Pu-240 374E+00
Pu-241 245E-01
Pu-242 175E-02
Am-241 142E-02
Am-242 285E-04
Am-243 613E-04
Cm-242 471E-04
Cm-243 741E-06
Cm-244 483E-05
Cm-245 191E-06
Cm-246 261E-08
Tabela 85 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 2
(densidade 10851
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 100E-02
U-235 320E-01
U-236 195E-02
U-238 197E+02
Np-237 181E+00
Pu-236 908E-06
Pu-238 905E-01
Pu-239 235E+01
Pu-240 109E+01
Pu-241 294E+00
Pu-242 219E+00
Am-241 213E+00
Am-242 583E-02
Am-243 436E-01
Cm-242 735E-02
Cm-243 244E-03
Cm244 110E-01
Cm-245 977E-03
Cm-246 677E-04
Tabela 86 Composiccedilatildeo
do Combustiacutevel 3
(densidade 10818
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
U-234 150E-02
U-235 318E-01
U-236 186E-02
U-238 193E+02
Np-237 313E-02
Pu-236 911E-08
Pu-238 987E-03
Pu-239 431E+01
Pu-240 456E+00
Pu-241 295E-01
Pu-242 206E-02
Am-241 223E-02
Am-242 408E-04
Am-243 756E-04
Cm-242 563E-04
Cm-243 905E-06
Cm244 553E-05
Cm-245 200E-06
Cm-246 241E-08
75
Tabela 87 Composiccedilatildeo
do revestimento da vareta
de combustiacutevel
(densidade 75357
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Fe-54 408E+01
Fe-56 641E+02
Fe-57 148E+01
Fe-58 197E+00
Ni-58 293E+00
Ni-60 113E+00
Ni-61 491E-02
Ni-62 157E-01
Ni-64 399E-02
Cr-50 451E+00
Cr-52 870E+01
Cr-53 987E+00
Cr-54 246E+00
Mn-55 460E+00
Zr-nat 491E+00
Tabela 88 Composiccedilatildeo
do refletor (densidade
53908 gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
Na-23 715E+01
Fe-54 277E+01
Fe-56 435E+02
Fe-57 101E+01
Fe-58 134E+00
Ni-58 199E+00
Ni-60 767E-01
Ni-61 333E-02
Ni-62 106E-01
Ni-64 271E-02
Cr-50 306E+00
Cr-52 591E+01
Cr-53 670E+00
Cr-54 167E+00
Mn-55 312E+00
Zr-nat 333E+00
Tabela 89 Composiccedilatildeo
da barra de controle
(densidade 15643
gcm3)
Elemento
Concentraccedilatildeo
(aacutetomosbarns
cm)
C-12 407E+01
B-10 164E+02
B-11 662E+02
Tabela 810 Paracircmetros gerais do reator ABTR
Paracircmetro Valor (cm)
ldquoPicthrdquo do elemento combustiacutevel 14685
ldquoPitchrdquo da varetas de combustiacutevel 09134
Diacircmetro da vareta de combustiacutevel 08048
Espessura do revestimento 00523
Altura ativa do combustiacutevel 844108
76
A biblioteca de dados utilizada foi a ENDF B-VI6a que eacute fornecida juntamente
com o MCNPX 26 Esta biblioteca foi avaliada em diferentes temperaturas O
refrigerante utilizado na simulaccedilatildeo deste reator eacute o soacutedio com uma concentraccedilatildeo de
22272x10-2 aacutetomosbarnsmiddotcm
Como o MCNPX e o SERPENT natildeo permitem a mudanccedila na temperatura
durante a simulaccedilatildeo caso queira-se avaliar o efeito da temperatura deve-se ter as
bibliotecas nas temperaturas requeridas refazer a simulaccedilatildeo e comparar os
resultados
A simulaccedilatildeo deste sistema foi feita com um total de 130 ciclos mas somente os
uacuteltimos 100 ciclos satildeo contabilizados nos resultados Cada ciclo foi simulado com
1x104 necircutrons totalizando 106 necircutrons isto sem levar em conta os necircutrons
produzidos por fissatildeo A Tabela 811 mostra a divisatildeo dos intervalos utilizados na
queima do combustiacutevel na simulaccedilatildeo do reator ABTR
Tabela 811 Intervalos de queima do reator ABTR
Intervalo Duraccedilatildeo (dias)
1 2739
2 2739
3 5478
4 10956
5 10956
6 10956
7 10956
8 10956
9 10956
10 10956
11 10956
12 10956
O proacuteximo passo foi realizar a simulaccedilatildeo deste mesmo sistema no SERPENT
1118 para a comparaccedilatildeo com o resultado do MCNPX e verificar se os resultados de
ambos os coacutedigos MC satildeo compatiacuteveis para o caso de reatores subcriacuteticos A Figura
85 mostra o nuacutecleo do reator simulado no SERPENT
77
Figura 85 Nuacutecleo do reator ABTR simulado no SERPENT
A simulaccedilatildeo tambeacutem foi realizada com 130 ciclos utilizando o mesmo nuacutemero
de necircutrons que na simulaccedilatildeo feita pelo o MCNPX
Com estas condiccedilotildees Allen et al (2011) obtiveram um keff de 104961 Ao
reproduzir esta simulaccedilatildeo foi obtido um keff inicial de 104622 ou seja uma diferenccedila
de 83 pcm
Vale ressaltar que o tempo de simulaccedilatildeo do SERPENT para este mesmo
sistema foi de aproximadamente 20 h Isso se deve ao fato que o SERPENT eacute
especiacutefico para simulaccedilatildeo de reatores enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo mais geral
Assim o SERPENT pode utilizar mecanismos de otimizaccedilatildeo como por exemplo uma
mudanccedila no algoritmo de caacutelculo do livre caminho meacutedio sem perda de informaccedilatildeo
Os resultados da comparaccedilatildeo satildeo apresentados na Tabela 812 Jaacute os graacuteficos
das Figuras 87 e 88 mostram a comparaccedilatildeo do keff e da queima nos dois sistemas
respectivamente Pode-se observar atraveacutes da Figura 86 que o reator simulado se
torna subcriacutetico somente apoacutes 550 dias de operaccedilatildeo
Legenda
Combustiacutevel 1
Combustiacutevel 2
Combustiacutevel 3
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
78
Tabela 812 Resultados da simulaccedilatildeo do reator ABTR utilizando os coacutedigos MCNPX
e no SERPENT
Tempo
(dias)
Reatividade (pcm) Burnup (GwdMTU)
Diferenccedila3
reatividade
(pcm)
Diferenccedila1
Burnup
(GwdMTU)
MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT MCNPX SERPENT
00 4335 4418 0000 0000 83 0000
2739 4033 4114 1325 1324 81 0001
5478 3906 3788 2649 2649 118 0000
1096 3544 3462 5298 5297 81 0001
2191 2759 2343 10600 10594 415 0006
3287 1749 1642 15890 15891 106 0001
4382 1053 1255 21190 21188 202 0002
5478 15 106 26490 26485 91 0005
6574 -838 -1058 31790 31782 220 0008
7669 -1848 -1822 37090 37079 26 0011
8765 -2703 -2356 42390 42376 347 0014
9860 -3543 -3279 47680 47673 264 0007
10960 -4499 -4906 52980 52970 407 0010
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100094
095
096
097
098
099
100
101
102
103
104
105
106
Kef
f
Tempo (Dias)
MCNPX SERPENT
Figura 86 Comparaccedilatildeo do valor do keff entre o MCNPX e o SERPENT
1 diferenccedila burnup = |burnup MCNPX ndash burnup SERPENT|
3 diferenccedila reatividade = |Keff MCNPX ndash keff SERPENT|
79
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000
10
20
30
40
50
60
burn
up (
Gw
dM
TU
)
tempo (Dias)
MCNPX 26 SERPENT
Figura 87 Comparaccedilatildeo do valor do burnup entre o MCNPX e o SERPENT
Uma opccedilatildeo interessante na simulaccedilatildeo realizada com o SERPENT eacute a
possibilidade de uma visualizaccedilatildeo das aacutereas mais lsquoquentesrsquo do reator que satildeo
representadas por tons de vermelho e amarelo representando a potecircncia relativa da
fissatildeo nuclear e em tons de azul satildeo as aacutereas lsquofriasrsquo representando fluxo teacutermico
relativo (ver Figuras 89 e 810)
Figura 88 Representaccedilatildeo das aacutereas quentes e frias de um elemento combustiacutevel do reator PWR simulado
80
Para a observaccedilatildeo nas alteraccedilotildees nos esquemas de cores a normalizaccedilatildeo eacute
fixa apoacutes o primeiro passo de queima A Figura 89 abaixo mostra a representaccedilatildeo das
aacutereas quentes e frias para o reator ABTR simulado por Allen et al (2010) em quatro
estaacutegios diferentes de queima
Figura 89 Graacutefico mostrando as aacutereas quentes e frias para o reator ABRT a) iniacutecio do ciclo b) 320 dias c) 760 dias e d) 1100 dias
A partir das Tabelas 812 83 e do graacutefico da Figura 86 pode-se verificar que
os dois coacutedigos MC apresentam resultados satisfatoacuterios para os valores do keff com
diferenccedila maacutexima de 415 pcm para o reator ABTR Esta diferenccedila pode ser devido agrave
geraccedilatildeo de nuacutemeros aleatoacuterios presente no meacutetodo MC Uma maneira de ser diminuir
esta diferenccedila eacute aumentando a quantidade de partiacuteculas simuladas poreacutem o tempo de
simulaccedilatildeo tornar-se demasiadamente grande (Antolin 2009) Outra possibilidade eacute a
falta de dados mais precisos dos materiais utilizados como combustiacuteveis no reator
ABTR
Como o coacutedigo SERPENT eacute mais novo a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo do mesmo
sistema simulado no MCNPX se justifica para saber se o coacutedigo SERPENT reproduz
sistemas subcriacuteticos adequadamente Aleacutem disso o SERPENT permite a simulaccedilatildeo
de reatores nucleares com fonte externa mesmo que estas simulaccedilotildees se limitem a
a b
c d
81
problemas de fonte externa fixa Devemos lembrar que o SERPENT soacute realiza
simulaccedilatildeo de reatores nucleares enquanto o MCNPX eacute um coacutedigo que pode ser
aplicados a outros problemas aleacutem de simulaccedilotildees de reatores
82
9 Resultados
As equaccedilotildees da cineacutetica pontual obtidas no capiacutetulo 3 para sistemas
subcriacuteticos foram comparadas com a simulaccedilatildeo MC devido agrave dificuldade de se obter
dados experimentais de reatores subcriacuteticos As simulaccedilotildees foram feitas utilizando
potecircncia constante linear exponencial e tambeacutem uma variaccedilatildeo aleatoacuteria
A utilizaccedilatildeo do meacutetodo das derivadas da potecircncia nuclear eacute interessante por
permitir a implementaccedilatildeo de sistemas de monitoramento em tempo real da reatividade
associada a uma variaccedilatildeo da potecircncia nuclear tornando-se muito atraente para
aplicaccedilotildees em reatores do tipo ADS
A Figura 91 mostra a geometria utilizada nas simulaccedilotildees de todos os casos
simulados As composiccedilotildees dos materiais satildeo as mesmas mostradas nas Tabelas 87
88 e 89 para vareta refletor barra de controle e da vareta de combustiacutevel Para a
composiccedilatildeo do combustiacutevel foi usada agrave composiccedilatildeo mostrada na Tabela 91
Tabela 91 Composiccedilatildeo do combustiacutevel usado
Elemento Concentraccedilatildeo
(fraccedilatildeo de massa)
U-235 -014673 U-238 -073477 O-16 -011850
Figura 91 Geometria utilizada na simulaccedilatildeo de um reator subcriacutetico
Legenda
Combustiacutevel
Barra de controle
Refletor
Refrigerante
83
Os valores utilizados para a comparaccedilatildeo da simulaccedilatildeo Monte Carlo com os
resultados das equaccedilotildees para cada um dos casos do capiacutetulo 3 encontram-se na
Tabela 92 Esses valores foram obtidos diretamente do arquivo de saiacuteda da simulaccedilatildeo
realizada no SERPENT com a exceccedilatildeo do valor de Γ que foi extraiacutedo de Silva (2011)
Tabela 92 Valores utilizados nas equaccedilotildees da cineacutetica pontual para sistemas
subcriacuteticos
Paracircmetro Valor
β 000706
Λ 121x10-5 s
λ 21979x10-1 s
Γ -077x10-10
91 Variaccedilatildeo Linear da Potecircncia
Nuclear
Para um reator subcriacutetico chegar a sua potecircncia de operaccedilatildeo deve-se
monitorar a reatividade para se evitar algum tipo de acidente Assim podemos supor
uma inserccedilatildeo de reatividade de maneira linear (equaccedilatildeo 443) Esta simulaccedilatildeo foi feita
considerando uma taxa de aumento de 5 por hora do valor inicial da potecircncia sendo
monitorado por um periacuteodo de 6 horas
A Tabela 93 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos entre o SERPENT e
a equaccedilatildeo da cineacutetica inversa
92 Potecircncia Nuclear Constante
Para a simulaccedilatildeo realizada a potecircncia constante o tempo total de simulaccedilatildeo foi
de cerca de 12 horas Esta diferenccedila se daacute unicamente devido ao diferente nuacutemero de
passos simulados enquanto foram simulados 6 passos de uma hora para a variaccedilatildeo
84
linear da potecircncia foram simulados 10 passos para a potencia constante Esta
simulaccedilatildeo tenta reproduzir a operaccedilatildeo em condiccedilotildees normais do reator A Tabela 94
mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos para a potecircncia de 80 MW
93 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
A variaccedilatildeo exponencial da potecircncia foi simulada por um periacuteodo de 1 hora em
intervalos de 10 minutos A Tabela 95 mostra a comparaccedilatildeo dos resultados obtidos
com uma taxa de aumento de 00001
Tabela 93 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia linear
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(h) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 1 -2069 -2125 -2119 56 50
84 2 -2050 -2125 -2125 75 75
88 3 -2122 -2134 -2134 12 12
92 4 -2077 -2143 -2143 66 66
96 5 -2142 -2151 -2151 9 9
100 6 -2119 -2158 -2158 39 39
85
Tabela 94 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma potecircncia constante
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
Gandini -
SERPENT
0 -2133 -2146 -2146 12 12
10 -2152 -2146 -2146 6 6
20 -2144 -2146 -2146 2 2
30 -2167 -2146 -2146 21 21
40 -2151 -2146 -2146 5 5
50 -2127 -2146 -2146 18 18
60 -2177 -2146 -2146 31 31
70 -2145 -2146 -2146 0 0
80 -2152 -2146 -2146 6 6
90 -2160 -2146 -2146 14 14
Tabela 95 Comparaccedilatildeo dos dados obtidos para uma variaccedilatildeo exponencial da potecircncia
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Potencia
(MW)
Tempo
(min) SERPENT TAF HGPT
TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2065 2120 2120 55 55
115 10 2108 2107 2107 0 0
165 20 2104 2115 2114 11 10
235 30 2070 2114 2115 44 45
337 40 2083 2115 2115 32 32
483 50 2126 2115 2117 11 9
86
94 Variaccedilatildeo Geneacuterica da Potecircncia
A avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia durante
sua operaccedilatildeo foi feita durante um periacuteodo de 6 horas Neste intervalo foi simulada uma
suacutebita queda de potecircncia e posteriormente uma subida repentina da potecircncia A
Tabela 96 mostra os resultados obtidos
Tabela 96 Comparaccedilatildeo dos resultados entre a simulaccedilatildeo MC e os formalismos
apresentados
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 0 2075 2029 2029 46 46
90 1 2075 2188 2188 113 113
0 2 2143 2118 2118 24 24
40 3 2050 2120 2120 70 70
80 4 2133 2231 2231 97 97
100 5 2080 2163 2163 83 83
95 Variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Nesta seccedilatildeo seratildeo apresentados os resultados obtidos levando-se em conta a
variaccedilatildeo temporal da fraccedilatildeo de necircutrons retardados e do tempo meacutedio de geraccedilatildeo dos
necircutrons
87
951 Variaccedilatildeo linear da potecircncia
Assim como na seccedilatildeo 91 a Tabela 97 mostra os resultados obtidos para uma
variaccedilatildeo linear de potecircncia poreacutem os resultados abaixo foram levados em conta agraves
variaccedilotildees temporais de β e de Λ Como o SERPENT jaacute fornece os valores de β e Λ
para cada passo de queima esses valores foram utilizados para a obtenccedilatildeo da reta de
ajuste que foi utilizada em todos os casos com variaccedilatildeo temporal de β e de Λ Assim
natildeo foi necessaacuterio realizar novas simulaccedilotildees
Tabela 97 Variaccedilatildeo linear com variaccedilatildeo temporal de β e Λ
Potencia
(MW)
Tempo
(h)
Λ (x10-5)
(s)
β
(pcm)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF ndash
SERPENT
HGPT ndash
SERPENT
80 1 11661 70765 -1911 -1904 -1904 6 6
84 2 11654 70766 -2015 -2014 -2014 0 0
88 3 11647 70752 -2040 -2068 -2068 28 28
92 4 11639 70775 -2041 -2121 -2121 80 80
96 5 11632 70780 -2038 -2165 -2165 127 127
100 6 11625 70751 -2033 -2174 -2174 141 141
952 Potecircncia constante
Jaacute para o reator operando a uma potecircncia constante a Tabela 98 mostra os
resultados obtidos para variaccedilotildees lineares de β e Λ Lembrando que esta a duraccedilatildeo
desta simulaccedilatildeo foi de aproximadamente 12 horas
88
Tabela 98 Variaccedilatildeo temporal de Λ para potecircncia constante
Tempo
(min) Λ (x10-5) (s)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
0 11689 -2134 -2141 -2141 7 7
10 11682 -2152 -2146 -2146 6 6
20 11675 -2144 -2139 -2139 5 5
30 11668 -2167 -2150 -2150 17 17
40 11661 -2151 -2147 -2147 4 4
50 11654 -2127 -2145 -2145 18 18
60 11647 -2177 -2146 -2146 31 31
70 11639 -2145 -2145 -2145 0 0
80 11632 -2152 -2151 -2151 1 1
90 11625 -2160 -2146 -2146 14 14
953 Variaccedilatildeo Exponencial da
Potecircncia
Utilizando a mesma variaccedilatildeo de potencia da seccedilatildeo 93 a operaccedilatildeo do reator
foi simulada por um periacuteodo de 6 horas Para este caso a taxa de aumento de
potecircncia tambeacutem foi de 00001 A Tabela 99 mostra os resultados obtidos
89
Tabela 99 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo exponencial de potecircncia
com β e Λ variaacuteveis no tempo
954 Variaccedilatildeo Geneacuterica da
Potecircncia
Mais uma vez realizando a mesma variaccedilatildeo de potecircncia da seccedilatildeo 94 a
avaliaccedilatildeo da operaccedilatildeo do reator com grandes variaccedilotildees de potecircncia tambeacutem foi
realizada juntamente com a variaccedilatildeo de β e Λ A Tabela 910 mostra os resultados
obtidos
Tabela 910 Comparaccedilatildeo dos resultados para uma variaccedilatildeo geneacuterica de potecircncia com β e Λ variaacuteveis no tempo
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
SERPENT TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -2065 -2190 -2190 125 125
115 11405 70766 1 -2107 -2143 -2143 36 36
165 11399 70752 2 -2104 -2091 -2091 13 13
235 11395 70775 3 -2070 -2060 -2060 9 9
337 11388 70780 4 -2083 -2003 -2003 81 80
483 11384 70751 5 -2126 -1914 -1914 212 212
Potecircncia
(MW)
Λ (x10-5)
(s) β (pcm)
Tempo
(h)
Reatividade (pcm) Diferenccedila (pcm)
Serpent TAF HGPT TAF -
SERPENT
HGPT -
SERPENT
80 11408 70765 0 -1473 -1575 -1575 102 102
90 11405 70766 1 -1467 -1469 -1469 2 2
0 11399 70752 2 -1446 -1525 -1525 79 79
40 11395 70775 3 -1478 -1529 -1529 51 51
80 11388 70780 4 -1509 -1369 -1369 140 140
100 11384 70751 5 -1602 -1579 -1579 23 23
90
96 Paracircmetros Nucleares
Os paracircmetros integrais satildeo muitas vezes utilizados para dar informaccedilotildees
imediatas e completas sobre as caracteriacutesticas fiacutesicas dos reatores nucleares Eles
podem aparecer diretamente da modelagem matemaacutetica do sistema ou podem ser
introduzidos tanto artificialmente com a finalidade de quantificar as caracteriacutesticas
fiacutesicas pra que se permitam comparaccedilotildees entre diferentes configuraccedilotildees ou na
interpretaccedilatildeo das mediccedilotildees experimentais Assim enquanto algumas quantidades
integrais em fiacutesica de reatores deteacutem um significado matemaacutetico (por exemplo o fator
de multiplicaccedilatildeo como sendo o autovalor do problema de equiliacutebrio) outras
quantidades podem carregar significados diferentes de acordo com os objetivos
especiacuteficos para os quais satildeo introduzidos Este fato pode causar uma grande
confusatildeo especialmente quando o mesmo termo eacute utilizado para denotar grandezas
fiacutesicas bastante diferentes Este eacute o caso por exemplo de paracircmetros integrais
introduzidos em modelos cineacuteticos que satildeo obtidos atraveacutes da ponderaccedilatildeo das
equaccedilotildees da cineacutetica Enquanto que o procedimento eacute bem estabelecido na cineacutetica
dos de sistemas criacuteticos o caso de sistemas com fonte externa pode estar aberto a
ambiguidade jaacute que natildeo existe uma uacutenica funccedilatildeo de ponderaccedilatildeo e sua escolha pode
ser relacionada mais para conveniecircncia numeacuterica ou para a necessidade de obter
alguns resultados muitos especiacuteficos (Dulla 2011)
Por outro lado muitas vezes esses mesmos termos podem ser obtidos por
exemplo por teacutecnicas de simulaccedilatildeo MC Este eacute o caso de reatividade fraccedilatildeo de
necircutrons retardados e o tempo de geraccedilatildeo de necircutrons Eacute especialmente importante
observar que os sistemas subcriacuteticos exigem um repensar de toda abordagem teoacuterica
concebida para sistemas criacuteticos
Anaacutelises realiacutesticas da cineacutetica de sistemas subcriacuteticos satildeo atualmente feitas
atraveacutes da soluccedilatildeo direta das equaccedilotildees seja por difusatildeo ou por modelos de
transporte Informaccedilotildees altamente detalhadas e precisas sobre a evoluccedilatildeo dos
necircutrons satildeo necessaacuterias entretanto os modelos pontuais satildeo muito simplificados e
podem natildeo fornecer informaccedilotildees suficientes Aleacutem disso ferramentas numeacutericas e
computacionais eficientes estatildeo disponiacuteveis tornando possiacutevel evitar as restriccedilotildees dos
modelos da cineacutetica pontual No entanto os paracircmetros integrais satildeo uacuteteis em
qualquer caso para a obtenccedilatildeo de informaccedilotildees completas sobre o comportamento
fiacutesico do sistema para ter uma indicaccedilatildeo imediata sobre as caracteriacutesticas cineacuteticas do
sistema
91
O conceito de paracircmetros integrais parece perder significado e relevacircncia para
sistemas subcriacuteticos guiados por fonte Por isso para as quantidades integrais
medidas ou simuladas as definiccedilotildees dos paracircmetros gerados devem sempre estar
especificados para evitar interpretaccedilotildees equivocadas e incorretas de tais resultados
Para comparar alguns paracircmetros as simulaccedilotildees foram feitas utilizando tanto
combustiacutevel fresco quanto combustiacutevel usado Assim pode-se comparar alguns
paracircmetros nucleares do iniacutecio do ciclo de combustiacutevel com os resultados de
combustiacutevel no final do ciclo Alguns paracircmetros como a fraccedilatildeo de necircutrons
retardados (β) e o tempo de geraccedilatildeo meacutedia de necircutrons (Λ) satildeo fornecidos pelo coacutedigo
SERPENT ao final de cada simulaccedilatildeo
Tabela 911 Comparaccedilatildeo de paracircmetros nucleares
Paracircmetro Combustiacutevel
fresco
Combustiacutevel
queimado
Referecircncia (Dulla et
al 2011)
β 000706 000340 000644
Λ 121x10-5 s 106x10-5 s 158x10-5 s
A partir da Tabela 911 pode-se verificar que a fraccedilatildeo de necircutrons retardados
tem uma diminuiccedilatildeo de quase a metade em comparaccedilatildeo ao seu valor inicial Isso eacute de
se esperar devido agrave queima do combustiacutevel fazendo com que este paracircmetro natildeo seja
tatildeo importante na operaccedilatildeo de um reator nuclear no final do ciclo do combustiacutevel como
eacute em seu iniacutecio
O valor para a fraccedilatildeo de necircutrons retardados para combustiacutevel fresco no
reator subcriacutetico Yalina operando a um keff de 098 eacute de 644 pcm (Dulla et al 2011) ou
seja uma diferenccedila de 62 pcm em relaccedilatildeo ao valor encontrado na Tabela 911 Vale
ressaltar que segundo Dulla et al (2011) os paracircmetros integrais dependem do niacutevel
de subcriticalidade
Outro paracircmetro importante para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de cineacutetica pontual e
para o controle do reator sendo muitas vezes utilizado para determinar a resposta
dinacircmica de um reator nuclear eacute o tempo de vida de necircutrons prontos (Λ) (Abaacutenades
et al 2001) Para reatores teacutermicos este valor eacute em torno de 10-4 s enquanto para
reatores subcriacuteticos este valor eacute da ordem de 10-5 s Segundo Dulla et al (2011) o
valor para este paracircmetro eacute de 148 micros para combustiacutevel fresco Assim o valor
encontrado (121 micros) eacute proacuteximo ao encontrado na literatura com um desvio percentual
92
de 18 Este desvio pode se devido agraves diferentes composiccedilotildees do combustiacutevel e
tambeacutem pela diferenccedila de enriquecimento
93
10 Conclusatildeo
A mediccedilatildeo da reatividade utilizando-se a cineacutetica inversa eacute amplamente
utilizada na partida de um reator nuclear Assim uma mediccedilatildeo acurada da reatividade
eacute imprescindiacutevel para o controle do reator (Diacuteaz et al 2007)
Os formalismos propostos por Gandini (2000) e por Silva et al (2011) envolvem
a fonte externa para descriccedilatildeo do comportamento cineacutetico dos reatores subcriacuteticos
guiados por fontes Poreacutem como ainda natildeo existem reatores ADS em operaccedilatildeo as
simulaccedilotildees de tais sistemas satildeo importantes para a avaliaccedilatildeo preliminar do
funcionamento desses reatores
Os resultados apresentados no capiacutetulo anterior mostram que as equaccedilotildees da
cineacutetica inversa para sistemas subcriacuteticos propostas nesta tese reproduzem
satisfatoriamente os reatores subcriacuteticos guiados por fonte sejam utilizando o meacutetodo
das derivadas quanto resolvendo a integral do histoacuterico de potecircncia tanto para o
formalismo proposto por Gandini (2000) quanto o proposto por Silva et al (2011)
Ainda pode-se notar que tanto para valores constantes como para variaccedilotildees lineares
de β e Λ os resultados satildeo coerentes Isto ocorre devido agrave pequena variaccedilatildeo de β
(-217857 x10-7) e Λ (714286 x 10-10)
Vale ressaltar que o meacutetodo das derivadas se torna interessante para o
monitoramento da reatividade por natildeo necessitar do armazenamento de todo o
histoacuterico potecircncia e depender apenas das derivadas da potecircncia possibilitando que o
caacutelculo da reatividade seja feito com uma maior rapidez se comparado com o tempo
necessaacuterio para resolver a integral do histoacuterico de potecircncia Aleacutem disso este meacutetodo
natildeo necessita do armazenamento de todo histoacuterico de potecircncia do reator e o caacutelculo
pode ser reiniciado em caso de mau funcionamento do equipamento de mediccedilatildeo da
reatividade
A simulaccedilatildeo Monte Carlo foi utilizada para a validaccedilatildeo dos meacutetodos propostos
devido agrave falta de dados nucleares para reatores subcriacuteticos poreacutem mesmo com a boa
reproduccedilatildeo deste tipo de simulaccedilatildeo a modelagem utilizada por estes meacutetodos
encontra problemas pois os dados nucleares disponiacuteveis para alguns actiniacutedeos natildeo
atendem as faixas de energia necessaacuterias para a simulaccedilatildeo de um reator ADS Esses
dados devem cobrir aleacutem de uma vasta gama de energia e um grande conjunto de
nucliacutedeos (Vaz 2010) pois o grande atrativo dos reatores ADS eacute a transmutaccedilatildeo de
rejeitos de longa meia vida e tambeacutem a produccedilatildeo de energia eleacutetrica Assim a ecircnfase
94
dos dados nucleares deve ser nos actiniacutedeos (por exemplo Np Am e o Cm) para o
acompanhamento do ciclo de combustiacutevel com a finalidade de reciclagem muacuteltipla
Mesmo assim a simulaccedilatildeo realizada para a validaccedilatildeo das equaccedilotildees propostas por
Gandini (2000) e por Silva et al (2011) mostra-se coerente para anaacutelise completa da
reatividade de um reator subcriacutetico guiado por fonte
Ainda assim a simulaccedilatildeo Monte Carlo pode ser utilizada para a anaacutelise
preliminar de alguns paracircmetros dos reatores nucleares (criacuteticos ou subcriacuteticos) como
por exemplo o fator de multiplicaccedilatildeo efetivo a fraccedilatildeo de necircutrons retardados e uma
boa aproximaccedilatildeo da quantidade de material transmutado ajudando a prever o
comportamento meacutedio do reator
Pode-se verificar que existe uma boa concordacircncia entre os valores
encontrados para os paracircmetros nucleares e os existentes na literatura Uma possiacutevel
melhora nesses resultados passa por um aumento significativo na quantidade de
histoacuterias simuladas
Este aumento contribuiria para a diminuiccedilatildeo dos erros estatiacutesticos intriacutensecos
do meacutetodo Monte Carlo Poreacutem o tempo de simulaccedilatildeo tambeacutem aumentaria
sensivelmente pois o meacutetodo MC necessita da simulaccedilatildeo individual de cada partiacutecula
podendo levar um tempo absurdamente grande para a simulaccedilatildeo de todo o sistema
Poreacutem mesmo com a ldquofaltardquo de dados nucleares mais precisos para os
actiniacutedeos a simulaccedilatildeo MC se mostra uma importante ferramenta na aacuterea de fiacutesica de
reatores devido a sua facilidade de trabalhar com geometrias bastante complexas
permitindo tambeacutem a simulaccedilatildeo desses sistemas em trecircs dimensotildees
Uma soluccedilatildeo interessante para a simulaccedilatildeo de reatores nucleares seriam os
meacutetodos computacionais hiacutebridos ou seja um meacutetodo resultante da fusatildeo da
simulaccedilatildeo Monte Carlo com teacutecnicas determiniacutesticas Assim poder-se-ia melhorar os
pontos fortes e eliminar as fraquezas individuais do meacutetodo MC e das abordagens
deterministas Apesar de algumas exceccedilotildees o desenvolvimento de ferramentas
computacionais hiacutebridas eacute no entanto ainda largamente inexplorado (Vaz 2010)
95
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