Simulační modely I

Houška M.,Švasta J.:

Simulační modely I

Témata 1. přednášky• Podstata simulace

• Metoda TOP20– Deterministický optimalizační model

• Modelování neurčitosti– Matematické funkce pro generování

pseudonáhodných čísel– Generování náhodných veličin

• Metoda Monte Carlo– Simulační výpočet určitého integrálu

Podstata simulace

• Napodobení chování reálných systémů• Umožňuje vyhodnotit důsledek rozhodnutí bez jeho

realizace• Experimentování s modelem v případech, kdy reálné

experimenty nejsou možné– Experiment nelze uskutečnit (zemětřesení)– Experiment je příliš nákladný– Experiment je nebezpečný (požár, řízení auta)

• Taylorova definice:Simulace je numerická metoda, která spočívá v

experimentování se speciálním matematickým modelem reálných systémů na počítači

Simulační modely

• Soubor matematických a logických vztahů, které vyjadřují chování prvků modelovaného systému (vzhledem k cíli modelování)

• Zahrnutí náhodných vlivů v podobě pravděpodobnostních charakteristik

• Zahrnutí času

• Opakované výpočty, změny vstupních údajů

Podle zahrnutí náhodných vlivů:

• Stochastická simulace

• Deterministická simulace

Podle zobrazení času:

• Statické modely• Dynamické modely

– S pevným časovým krokem

– S proměnlivým časovým krokem

– S kombinovaným časovým krokem

Výhody:• Náhrada experimentování

s reálným systémem• Pro případy, které

neumíme řešit analyticky• Pro modely, které jsou

analyticky velmi složité• Použitelné při velkém

počtu náhodných vlivů• Schopné modelovat čas

Nevýhody:• Neexistuje univerzální

model – každá simulace je individuální

• Speciální simulační jazyky nejsou příliš rozšířené a drahé

• Správnost konstrukce je třeba ověřovat

TOP20

• Simulace se mnohokrát opakuje s různými vstupními údaji

• Dosažené výsledky se ihned po výpočtu porovnávají s předešlými a v paměti se uchovává 20 nejlepších

• Je nutné určit kritérium porovnávání – účelovou funkci

Příklad

Na ploše 10 ha se mají pěstovat 2 plodiny:

řepka a kukuřice. Zisk z 1 ha řepky je 7 tisíc Kč, zisk z 1 ha kukuřice je 4 tisíce Kč. Potřeba traktorových hodin na 1 ha řepky je 150, na 1 ha kukuřice 45.K dispozici je 600 traktorových hodin celkem. Na jakých plochách se budou plodiny pěstovat, aby celkový zisk byl maximální?

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

0; 0

10

150 45 600

7 4 max

:

1,43 8,57

x x

x x

x x

x x

optimum

x x

start

1 2 10; 10

0,1

0

x x x

x

OPT

1 2150 45 600x x

1 27 4x x OPT

ano

1 2

1 1 2 2

150 45

; ;opt opt

OPT x x

x x x x

ano

1 9,99x

konec

ne

ne

ne

1 1

2 110

x x x

x x

ano

x1 x2 UF optimumstart 0 10 40 40

0,1 9,9 40,3 40,30,2 9,8 40,6 40,60,3 9,7 40,9 40,90,4 9,6 41,2 41,20,5 9,5 41,5 41,50,6 9,4 41,8 41,80,7 9,3 42,1 42,10,8 9,2 42,4 42,40,9 9,1 42,7 42,7

1 9 43 431,1 8,9 43,3 43,31,2 8,8 43,6 43,61,3 8,7 43,9 43,91,4 8,6 44,2 44,21,5 8,5 nevyhovuje 1,6 8,4 nevyhovuje 1,7 8,3 nevyhovuje 1,8 8,2 nevyhovuje

Metoda Monte Carlo

• Numerické řešení úloh pomocí mnohokrát opakovaných náhodných pokusů

• Pro dostatečný počet pokusů se relativní četnost blíží pravděpodobnosti

• Použití:– Velký počet náhodných proměnných– Funkce závislé na čase– Rušivé náhodné vlivy– Propojené modely

Příklad

Vypočítejte, pro které(á) x se funkce rovná 0:

1. Nakreslit graf průběhu funkce

2. Zkoumat zvolený interval v jemnějším a jemnějším členění

3 2: 2 16f x y x x

-1000

-500

0

500

1000

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

x y

-10 -916

-9 -664

-8 -464

-7 -310

-6 -196

-5 -116

-4 -64

-3 -34

-2 -20

-1 -16

0 -16

1 -14

2 -4

3 20

4 64

x y

1,1 -13

1,2 -13

1,3 -12

1,4 -11

1,5 -10

1,6 -9,3

1,7 -8,2

1,8 -6,9

1,9 -5,5

2 -4

2,1 -2,3

2,2 -0,5

2,3 1,5

2,2 -0,5

2,21 -0,3

2,22 -0,1

2,23 0,1

2,24 0,3

2,25 0,5

2,26 0,7

2,27 0,8

2,28 1,1

2,29 1,3

2,3 1,5

2,221 -0,1113

2,222 -0,0921

2,223 -0,0728

2,224 -0,0535

2,225 -0,0342

2,226 -0,0149

2,227 0,0044

2,228 0,02374

2,2261 -0,012993

2,2262 -0,011061

2,2263 -0,009129

2,2264 -0,007197

2,2265 -0,005264

2,2266 -0,003332

2,2267 -0,001399

2,2268 0,0005339

2,2269 0,0024669

Chyba menší než 0,001

start

10,0001;

0,0001

0,001

x

x

chyba

10x ano

3 22 16y x x

ano

0 y chyba

konec

ne

ne

x x x

Náhodná čísla

• Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti

• Statisticky nezávislé

• Distribuční funkce• Střední hodnota • Rozptyl

• V Excelu: NAHCISLO()

• Tabulky náhodných čísel

• Fyzikální generátory• Matematické

generátory

0;1r

Ve vývojovém diagramu:

F x x

12E x

112D x

gen

Pseudonáhodná čísla

1. Lineární kongruentní funkce

c…přirozené číslor…reálné číslomod …modulo – vrací

zbytek po celočíselném dělení

Po p krocích se posloupnost opakuje

p=264…někdy nestačí

1

11

modn n

nn

c c p

cr

p

c rlambda 3 5 5 0,25mí 2 17 17 0,85p 20 53 13 0,65

41 1 0,055 5 0,25

17 17 0,8553 13 0,6541 1 0,05

5 5 0,2517 17 0,8553 13 0,6541 1 0,05

5 5 0,2517 17 0,8553 13 0,6541 1 0,05

2. Multiplikativní funkce

3. Aditivní lineární funkce nutno zadat j počátečních hodnot (aspoň cn-1,cn)

Perioda je delší, ale některá čísla se opakují

1

11

modn n

nn

c c p

cr

p

1

11

modn n n j

nn

c c c p

cr

p

Generování náhodných veličin

náhodná veličina se v daném intervalu vyskytuje se stejnou pravděpodobností

x a b a

1f x

b a

2

a bE x

2

12

b aD x

Typ rozdělení rovnoměrné

Vzorec pro generování

Hustota pravděpodobnosti

Střední hodnota

Rozptyl

Generování náhodných veličin

pravděpodobnost výskytu v daném intervalu je úměrná délce intervalu, procesy bez minulosti

intervaly mezi událostmi

1

ln 1

xr e

rx

xf x e

1E x

2

1D x

Typ rozdělení exponenciální

Vzorec pro generování

Hustota pravděpodobnosti

Střední hodnota

Rozptyl

Generování náhodných veličinnespojité

pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je pX počet úspěšných pokusů při n opakováních

n p

1n xxn

P X x p pp

.E x n p

. 1D x n p p

Typ rozdělení binomické

Vygeneruj n náhodných čísel, X je počet případů, kdy:

Pravděpodobnostní funkce

Střední hodnota

Rozptyl

Generování náhodných veličin X počet výskytů za jednotku času

!

xeP X x

x

Generování:

1. Stanovíme x=0, pokles=1,mez=

2. Vygenerujeme r; pokles=pokles.r

3. Pokles>=mez; x=x+1; celé opakovat

E x

D x

Typ rozdělení Poissonovo

Pravděpodobnostní funkce

Střední hodnota

Rozptyl

e

Příklad: výpočet určitého integrálu

1. Znázornit průběh funkce v daném intervalu2. Vypočítat plochu obdélníka ABCD3. Vygenerovat náhodné veličiny x v intervalu AB4. Ke každému x vypočítat y, tj. f(x)5. Vygenerovat náhodné y (z intervalu AD )6. Pokud náhodné y je menší než f(x), bod leží pod

křivkou, za každý takový pokus započteme 17. Vypočítáme procento pokusů s

jedničkou=procento plochy obdélníka ležící pod křivkou

10

3 2

4

2 16x x dx

0

200

400

600

800

1000

1200

4 5 6 7 8 9 10A

D C

B

Vygenerované x

Vypočtené f(x)

Vygenerované y

V ploše neleží

Vygenerované y

V ploše leží

Plocha obdélníka ABCD

• Strana AB:10-6=6

• Strana BC:

souřadnice C: (10;1084)

Délka stany BC: 1084

• Plocha obdélníka: 6.1084=6504

nahodne krivka leží pod dx y f(x) grafem x počet 18,6 119,6122 695,063 1 1-10 5

6 550,131 238,389 0 11-20 37 750,4403 383,234 0 21-30 5

6,6 828,2085 310,206 0 31-40 27,3 350,7105 432,257 1 41-50 57,7 431,8656 492,67 1 51-60 59,2 111,6864 837,442 1 61-70 28,7 725,2685 727,986 1 71-80 49,1 371,7867 822,773 1 81-90 65,4 618,5427 167,739 0 91-100 4

procento 41plocha 2666,6