SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FLUJO BIFÁSICO DE CO...

Proyecto Fin de Carrera

SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FLUJO BIFÁSICO DE CO2 EN TOBERAS CON CONDICIONES

SUPERCRÍTICAS

-APLICACIÓN A TURBOMÁQUINAS-

Néstor Martín Blanco

SEVILLA, 2014

Escuela Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Tutores: David Sánchez Martínez, Benjamín Monje Brenes

Grupo de Máquinas y Motores Térmicos

- i -

Índice de contenido

1 Introducción .................................................................................................. 1

1.1 El ciclo de CO2 Supercrítico ............................................................................... 1

1.2 Retos tecnológicos y dificultades. .................................................................... 3

1.2.1 Intercambiador de calor ............................................................................... 3

1.2.2 Compresor .................................................................................................... 4

1.3 Motivación del proyecto ................................................................................... 4

2 Funcionamiento del compresor ..................................................................... 5

2.1 Comportamiento del CO2 cerca del punto crítico. ............................................ 5

2.2 Ecuación de estado de Span&Wagner............................................................ 10

2.3 Desarrollo del compresor en el punto crítico. ................................................ 11

3 Caracterización del flujo bifásico .................................................................. 14

3.1 Tipo de condensación. .................................................................................... 14

3.2 Referencia del campo de flujo. ....................................................................... 15

3.2.1 Referencia euleriana ................................................................................... 15

3.2.2 Referencia lagrangiana ............................................................................... 15

3.3 Teoría de la nucleación. Tiempo característico de la nucleación. .................. 16

3.4 Modelado del fluido bifásico. ......................................................................... 19

3.4.1 Mezcla binaria homogénea ........................................................................ 21

3.4.2 Modelo del fluido disperso ......................................................................... 22

3.4.3 Modelo de partículas fluidas transportadas ............................................... 22

4 Problema de proximidad al Punto Crítico. Tablas RGP .................................. 25

4.1 Tablas RGP ...................................................................................................... 26

4.1.1 Discretización .............................................................................................. 27

4.1.2 Contenido de las tablas .............................................................................. 30

4.1.3 Estudio de sensibilidad ............................................................................... 34

- ii -

4.1.4 Validación de las tablas. ............................................................................. 37

4.2 Caracterización del problema en CFX ............................................................. 40

4.2.1 Modelo de turbulencia ............................................................................... 40

4.2.2 Caracterización de las paredes ................................................................... 42

4.3 Problema de proximidad al punto crítico ....................................................... 43

5 Análisis unifásico ......................................................................................... 49

5.1 Expansión en el punto crítico ......................................................................... 49

5.2 Aplicación a toberas curvas ............................................................................ 50

5.2.1 Longitud de salida ....................................................................................... 51

5.2.2 Análisis de resultados ................................................................................. 53

6 Coexistencia de fases líquida y vapor ........................................................... 59

7 Conclusiones ............................................................................................... 65

7.1 Aportación de este proyecto .......................................................................... 65

7.2 Futuras líneas de trabajo ................................................................................ 66

Bibliografía ............................................................................................................. 68

ANEXOS ................................................................................................................. 69

Anexo I. ....................................................................................................................... 69

Anexo II. ...................................................................................................................... 70

- iii -

Índice de figuras

Figura 1.Variación de la entalpía frente a la temperatura a la presión crítica (der).

Diagrama de un intercambiador con “pinch” intermedio debido a la cercanía al

punto crítico (izq). ................................................................................................. 3

Figura 2. Gráfica T-s del CO2 en las inmediaciones del Pc (EES). ...................................... 6

Figura 3.Diagrama de compresibilidad generalizado. ...................................................... 7

Figura 4. Comportamiento de la velocidad del sonido en las inmediaciones del PC[1]. .. 8

Figura 5. Comportamiento de la derivada fundamental cerca del Pc. ............................. 9

Figura 6. Derivada fundamental del CO2 en las inmediaciones del punto crítico. ......... 10

Figura 7. Representación de los volúmenes de control en el compresor[6]. ................ 12

Figura 8.Proceso de expansión en equilibrio y fuera de equilibrio[2]. .......................... 14

Figura 9. Visualización de referencia euleriana (izq) y referencia lagrangiana (der). .... 16

Figura 10. Radio crítico en proceso de nucleación fuera de equilibrio. ......................... 17

Figura 11. Representación de la zona bifásica en un compresor. .................................. 20

Figura 12. Geometría de la tobera convergente. ........................................................... 26

Figura 13. Representación de la división de los intervalos de P y T en diagrama T-P. .. 28

Figura 14. Discretización de los rangos de P y T. ............................................................ 29

Figura 15. Linea de saturación en diagrama P-T. ........................................................... 30

Figura 16. Regiones evaluadas en las tablas RGP. .......................................................... 31

Figura 17. Gráfica P-T-h de la fase vapor. ....................................................................... 33

Figura 18.Gráfica P-T-h de la fase líquida. ...................................................................... 34

Figura 19. Rango de presion y temperatura de las tablas. ............................................ 35

Figura 20. Error relativo cometido al evaluar las variables termodinámicas mediante

tablas RGP. .......................................................................................................... 37

Figura 21. Ejemplo de malla estructurada. Detalle del refinamiento. ........................... 38

Figura 22. Perfiles para la expansión entre 125 bar y 80 bar. ........................................ 39

Figura 23. Mach para expansión desde 90bar hasta 73bar (izq) y hasta 71bar (der). ... 44

Figura 24. Perfil de velocidad (izq). Perfil de velocidad del sonido (der). ...................... 45

- iv -

Figura 25. Superficie de titulo de vapor constante. X=0.999. ........................................ 45

Figura 26. Perfiles de para la expansión entre 60 bar y 40 bar. ..................................... 46

Figura 27. Superficie del volumen de control donde aparece la condensación. ........... 47

Figura 28. Evolución del Mach ante un ángulo de incidencia negativo [2] .................... 48

Figura 29. Perfiles en expansión entre 90 bar y 60 bar con fase vapor. ........................ 50

Figura 30.Perfil de presión en codos de distinta longitud de salida .............................. 52

Figura 31. Distribución de fuerzas en los ejes X e Y. ...................................................... 54

Figura 32. Perfil de velocidad. Detalle del flujo invertido en el desprendimiento de la

capa límite. .......................................................................................................... 55

Figura 33. Flujo invertido y torbellino en codo de menor radio de curvatura. .............. 56

Figura 34. Homogenización del perfil de velocidad a una longitud de 100 cm. ............ 56

Figura 35. Velocidad representada en secciones transversales. .................................... 57

Figura 36. Estado del CO2 a lo largo de la bisectriz del codo ......................................... 58

Figura 37. Posiciones definidas a la entrada de la tobera en el post-procesado. .......... 60

Figura 38. Recorrido y velocidad de las particulas. Dp = 50μm. ..................................... 61

Figura 39. Recorrido y velocidad de las particulas. Dp = 5μm. ....................................... 61

Figura 40. Detalle del reflujo de partículas que colisionan con la pared interna. ......... 62

Figura 41. Deslizamiento entre las partículas y el vapor.Dp = 50μm (arriba) y Dp = 5μm

(abajo). ................................................................................................................ 64

- v -

Índice de tablas

Tabla 1. Propiedades críticas de diferentes fluidos [1]. ................................................... 2

Tabla 2. Factor de compresibilidad en la tobera de referencia. .................................... 25

Tabla 3. Valores de las magnitudes estrella. .................................................................. 29

Tabla 4. Comparación de valores de variables termodinámicas entre la ecuación de

estado Span&Wagner y las tablas RGP. .............................................................. 36

Tabla 5. Comparación de valores para un expansión entre 125 bar y 80. ..................... 39

Tabla 6. Comparación de valores para un expansión entre 90 bar y 71 bar. ................. 46

Tabla 7. Análisis del estado del fluido en diferentes codos. .......................................... 53

Tabla 8. Desglose de la fuerza resultante en los distintos términos de la ecuación de

conservación de movimiento. ............................................................................ 55

Tabla 9. Propiedades termodinámicas de las partículas de líquido. .............................. 59

Introducción

SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FLUJO BIFÁSICO DE CO2 EN TOBERAS

CON CONDICIONES SUPERCRÍTICAS Página | 1

1 Introducción

1.1 El ciclo de CO2 Supercrítico

Desde hace varias décadas los ciclos de producción de potencia han ido

desarrollándose y mejorando sus prestaciones convirtiéndose en la forma más

eficiente de transformación de energía térmica en energía eléctrica y mecánica. Entre

la gran variedad de ciclos termodinámicos existentes destacan el ciclo de Rankine y el

ciclo de Brayton.

El ciclo de Rankine de vapor se caracteriza por un alto rendimiento y trabajo

específico a temperaturas máximas moderadas. También permite alcanzar potencias

máximas muy elevadas por lo que es el ciclo más utilizado en la producción de

electricidad (centrales térmicas de carbón y centrales nucleares). Para alcanzar dichos

rendimientos y trabajos específicos son necesarias grandes expansiones en la turbina,

dando lugar a grandes cuerpos y disposiciones de la instalación complejas.

El ciclo de Brayton, por su parte, exhibe un menor rendimiento debido al

elevado trabajo de compresión necesario del fluido de trabajo (en fase gas). A cambio,

la utilización de aire como fluido de trabajo permite la adopción de combustión interna

dando lugar a un incremento muy significativo de la potencia específica y una mayor

simplicidad. Este es el motivo por el que este tipo de ciclo se emplea en motores de

aviación.

Paralelamente, desde los años sesenta [1,3] se viene investigando el ciclo

supercrítico de dióxido de carbono(S-CO2). Este ciclo Brayton cerrado presenta un alto

rendimiento incluso a temperaturas máximas moderadas gracias a las características

del fluido de trabajo, pudiendo alcanzar valores del 55% o 60%, mejorando el de los

ciclos de vapor con regeneración para la misma temperatura de entrada a

turbina(entre 45% y 50%). A esto hay que añadir la ausencia de líquido tanto en las

turbomáquinas como en los intercambiadores. También la elevada compacidad es una

característica muy importante de esta tecnología.

Estas numerosas ventajas hacen que el desarrollo de la tecnología requerida

por el ciclo de S-CO2 atraiga actualmente mucha atención, realizándose numerosas

Introducción



pruebas sobre sus componentes acompañadas de estudios teóricos complejos. La

mayoría de los trabajos relacionados con este tema están enfocados en modelar el

comportamiento de fluidos supercríticos. Sin embargo, el comportamiento de estos

fluidos como gas real en el interior de una turbomáquina es aún desconocido. Éste

será el principal objetivo de este proyecto, cuya forma de ser abordado será explicada

en el apartado 1.3.

Uno de los aspectos fundamentales en el estudio de un ciclo supercrítico es la

elección del fluido de trabajo ya que de él dependen en gran medida las prestaciones

obtenidas. En la Tabla 1 se muestran las propiedades del punto crítico de diferentes

sustancias que pueden ser utilizadas en la práctica.

De los fluidos mostrados en la tabla anterior, el dióxido de carbono resulta ser

el más interesante por varias razones:

Su presión crítica es mucho menor que la del agua, en torno a una tercera

parte, lo que reduce las presiones internas de la instalación.

La temperatura crítica es superior a la del ambiente (típicamente) aunque

a la vez relativamente baja. Esto permite refrigerar el ciclo contra el propio

entorno del sistema.

Se mantiene inerte y estable en el rango de temperatura que abarca el

ciclo.

Además, es un gas no tóxico, abundante y relativamente barato.

Fluido TEMPERATURA CRÍTICA, TC [K]

PRESIÓN CRÍTICA, PC [bar]

Amoniaco (NH3) 406.03 112.80

Dióxido de Carbono (CO2) 304.21 73.77

Dióxido de Azufre (SO2) 430.65 78.81

Xenon (Xe) 289.76 58.81

Agua (H2O) 647.04 221.05

Tabla 1. Propiedades críticas de diferentes fluidos [1].


CON CONDICIONES SUPERCRÍTICA

1.2 Retos tecnológicos y dificultades

Pese a las incontables

descubierto a través de numerosos estudios, existen c

cerca del punto crítico. Además, el mal comportamiento de algunos elementos del

sistema motiva que este ciclo aún no se haya desarrollado tecnológicamente como era

de esperar. Estos elementos son el compresor y el intercam

1.2.1 Intercambiador de calor

El proceso de regeneración es esencial para alcanzar un alto rendimiento

que las temperaturas máximas que se pueden alcanzar son relativamente moderadas

(la adición de energía térmica al sistema es a través de un

trata de un ciclo cerrado). En este sentido, el

complicado que en un ciclo normal ya que

presentan fluctuaciones bruscas (en particular el

intercambio inusuales dentro de los sistemas basados en turbina de gas, como se

observa en la Figura 1.

Analizando el diagrama T

CO2 mediante una corriente de agua, se observa que la singular variación del calor

específico ocasiona que la diferencia m

interior del equipo y no en uno de los extremos como es habitual

Figura 1.Variación de la entalpía frente a la temperatura a la presión crítica (der). Diagrama de un intercambiador con “pinch” intermedio debido a la cercanía al punto crítico (izq).


SUPERCRÍTICAS

Retos tecnológicos y dificultades.

Pese a las incontables ventajas del ciclo supercrítico de CO

descubierto a través de numerosos estudios, existen ciertas incertidumbres al trabajar


que este ciclo aún no se haya desarrollado tecnológicamente como era

. Estos elementos son el compresor y el intercambiador de calor.

de calor

El proceso de regeneración es esencial para alcanzar un alto rendimiento

as máximas que se pueden alcanzar son relativamente moderadas

(la adición de energía térmica al sistema es a través de un intercambiador ya que se

trata de un ciclo cerrado). En este sentido, el intercambio de calor es algo más

complicado que en un ciclo normal ya que las propiedades del fluido de trabajo

bruscas (en particular el cp) que ocasionan pe


diagrama T – Q de la Figura 1, correspondiente a un enfriador de

mediante una corriente de agua, se observa que la singular variación del calor

específico ocasiona que la diferencia mínima de temperaturas se encuentre en el

interior del equipo y no en uno de los extremos como es habitual

Variación de la entalpía frente a la temperatura a la presión crítica (der). Diagrama de un “pinch” intermedio debido a la cercanía al punto crítico (izq).

Introducción

Página | 3

ventajas del ciclo supercrítico de CO2 que se han

iertas incertidumbres al trabajar


que este ciclo aún no se haya desarrollado tecnológicamente como era

biador de calor.

El proceso de regeneración es esencial para alcanzar un alto rendimiento ya

as máximas que se pueden alcanzar son relativamente moderadas

intercambiador ya que se

intercambio de calor es algo más

las propiedades del fluido de trabajo

) que ocasionan perfiles de


spondiente a un enfriador de

mediante una corriente de agua, se observa que la singular variación del calor

ínima de temperaturas se encuentre en el

Variación de la entalpía frente a la temperatura a la presión crítica (der). Diagrama de un “pinch” intermedio debido a la cercanía al punto crítico (izq).

Introducción



1.2.2 Compresor

El aumento del rendimiento con respecto a otros ciclos Brayton radica

principalmente en la baja potencia consumida en el compresor, consecuencia de las

bajas relaciones de compresión necesarias (el ciclo es regenerativo) y la baja

comprensibilidad del fluido en la proximidad del punto crítico. No obstante, esta

proximidad al punto crítico que resulta tan beneficiosa en cuanto a la reducción del

trabajo de compresión, implica a su vez un comportamiento del fluido a medio camino

entre el gas ideal y el líquido, con factores de compresibilidad notablemente bajos.

Por otra parte, la cercanía a la línea de saturación en el compresor hace

suponer que puede llegar a producirse condensación localizada en puntos que se vea

favorecida. Estos puntos se encuentran en la zona de inducción del compresor, donde

se produce una leve aceleración del fluido. En este fenómeno radica la mayor parte del

obstáculo a solventar en la modelación del comportamiento del S-CO2 en el interior del

compresor.

1.3 Motivación del proyecto

Habiendo sido expuestos dónde residen los obstáculos en el desarrollo

tecnológico de este ciclo, este proyecto se centra en realizar un modelo lo más preciso

posible del comportamiento del fluido en el interior del compresor. Para ello se hace

uso de una herramienta CFD, CFX. En ella se modela como gas real el S-CO2 a través de

una serie de geometrías que comparten características con el canal de rodete de un

compresor centrífugo. El comportamiento como gas real es configurado a través de

unas tablas paramétricas que almacenan la información necesaria para la simulación

del fluido. El funcionamiento de estas tablas será explicado en el capítulo 4.

Una vez conocido el comportamiento del fluido, se harán una serie de

simulaciones en las que se considera la posibilidad de la existencia de condensación

para, en tal caso, determinar la importancia de la presencia de la fase líquida en el

dominio fluido del compresor.

Funcionamiento del compresor



2 Funcionamiento del compresor

Para poder llevar a cabo un correcto desarrollo de esta tecnología es necesario

un profundo estudio del comportamiento del fluido en el interior del compresor. Es

preciso un alto nivel de conocimiento del desempeño del S-CO2 y sus propiedades

termodinámicas en las cercanías del punto crítico para realizar un sofisticado diseño

aerodinámico para una turbomáquina, hasta ahora, poco perfeccionada. De este

diseño dependerá alcanzar los altos rendimientos anunciados por los estudios teóricos.

En los últimos años, confirmado el interés del CO2 como fluido térmico, se han

construido varios prototipos de compresores de CO2 en Estados Unidos y Japón,

destacando las instalaciones de Sandia National Laboratories en el primer caso.

Estudios previos a este proyecto [4,5,6,7] analizan el funcionamiento de este

compresor mediante diversas herramientas, obteniendo resultados concluyentes, pero

alejados de la zona crítica y aún faltos de precisión en algunos aspectos como el

modelado del condensado o el comportamiento fuera de régimen estacionario.

2.1 Comportamiento del CO2 cerca del punto crítico.

Las propiedades del dióxido de carbono han sido estudiadas profundamente

desde hace años, debido a su gran interés en diversos campos de la ciencia.

El motivo por el que trabajar cerca de las condiciones críticas se hace tan

llamativo viene dado por la ventaja que representa el brusco cambio que sufren

algunas propiedades termodinámicas gracias al comportamiento como gas real que

exhibe el fluido. La región supercrítica que rodea al punto crítico (Pc= 73.77 bar,

Tc = 304.21 K) se caracteriza por una densidad muy alta, similar a la de un líquido pero

actuando como un gas. Por otro lado, la viscosidad y la conductividad térmica

presentan un pequeño y brusco decrecimiento y el calor específico aumenta

drásticamente varios órdenes de magnitud. Esto último puede ser una gran ventaja

para disminuir el tamaño del enfriador del sistema si hacemos que el punto de entrada

al compresor se encuentre a la izquierda del punto crítico (siendo visualizado en un

diagrama T – s), más allá de la línea pseudo-crítica.




La línea pseudo-crítica es el lugar geométrico que une los puntos con mayor

valor de cP para cada presión. Las fuertes variaciones de las propiedades termofísicas

en las inmediaciones de esta línea hacen de cualquier tipo de simulación un gran reto.

En la Figura 2 se representa mediante línea de punto y trazo la línea pseudo-crítica y

en línea discontinua un proceso de compresión a unas condiciones que cumplen las

expuestas en el párrafo anterior.

Para cuantificar el predominio del comportamiento como gas real y la

desviación de la teoría de gas ideal se utiliza el factor de compresibilidad, Z, que puede

interpretarse como una medida de la desviación del comportamiento del fluido de la

ley de gas ideal. Se expresa como:

� =�

�� =

� ∙ �

�

En la Figura 3 puede observarse la evolución de esta variable en función de la

presión reducida, Pr y de la temperatura reducida, Tr, cuyas expresiones son

respectivamente Pr = P/Pc, Tr = T/Tc. Se observa como los valores de Z más cercanos

a 1 se producen a temperaturas y presiones muy altas, decreciendo a medida que las

condiciones se acercan a los valores críticos.

Figura 2. Gráfica T-s del CO2 en las inmediaciones del Pc (EES).




Esta magnitud puede ser calculada a través de distintas ecuaciones de estado y

de constantes que dependen del gas en cuestión.

Otro problema para el modelado que surge a raíz de la cercanía al punto crítico

es el comportamiento de la velocidad del sonido. Esta variable es evaluada como:

�� = ��

��

=��

��

��

Las elevadas fluctuaciones que sufre el calor específico a presión constante

hacen que la velocidad del sonido presente variaciones similares. En la Figura 4 [1] se

representa el comportamiento de esta variable frente a la temperatura, tomando la

presión como parámetro. Puede observarse que a medida que la presión se acerca al

valor crítico empieza a comportarse de forma asintótica, decreciendo

exponencialmente en torno a la temperatura crítica. Este comportamiento complica

aún más el modelado del problema ya que pueden aparecer zonas locales en las que

nos encontremos con flujo supersónico a valores de Mach muy altos, dando lugar a

posibles divergencias en los métodos de cálculos utilizados por la herramienta de

simulación.

Una variable que modela de forma muy clara el comportamiento de la

velocidad del sonido de un fluido y explica lo expuesto en el parrafo anterior es la

derivada fundamental, �. Esta magnitud es definida como:

Figura 3.Diagrama de compresibilidad generalizado.



Hasta hace varias décadas se pensaba que esta magnitud ad

valores positivos. Sin embargo, en estudios realizados en la década de los 60 y los 70 se

expone que para ciertos fluidos

punto crítico, dando lugar a un comportamiento invertido de la velocidad del sonido.

Alejados del punto crítico, en un proceso básico de expansión isentrópico

cual quiere decir que a medida que disminuye la densidad del fl

velocidad del sonido. En estado supercrítico, cerca del punto crítico, se produce la

inversión del comportamiento dinámico del fluido, es decir,

circunstancias, el aumento de la velocidad del fluido es mayor que el de la

del sonido, aumentando el número de Mach, pudiendo llegar a producirse condiciones

supercríticas en el flujo. Finalmente, en un comportamiento inverso total,

mientras el fluido se expande y aumenta su velocidad, el Mach disminuye. Para el

funcionamiento de un compresor de S

cuando el fluido exhibe comportamiento dinámico invertido.

Figura 4. Comportamiento de la velocidad del sonido en las inmediaciones del P



SUPERCRÍTICAS

� = 1 +�

��

��

Hasta hace varias décadas se pensaba que esta magnitud ad

. Sin embargo, en estudios realizados en la década de los 60 y los 70 se

expone que para ciertos fluidos � puede hacerse negativa en las inmediaciones del


Alejados del punto crítico, en un proceso básico de expansión isentrópico

cual quiere decir que a medida que disminuye la densidad del fluido disminuye la


inversión del comportamiento dinámico del fluido, es decir, 0 < �

circunstancias, el aumento de la velocidad del fluido es mayor que el de la


supercríticas en el flujo. Finalmente, en un comportamiento inverso total,


uncionamiento de un compresor de S-CO2 será de suprema importancia conocer

cuando el fluido exhibe comportamiento dinámico invertido.

. Comportamiento de la velocidad del sonido en las inmediaciones del P


Página | 8

Hasta hace varias décadas se pensaba que esta magnitud adquiere siempre

. Sin embargo, en estudios realizados en la década de los 60 y los 70 se

en las inmediaciones del


Alejados del punto crítico, en un proceso básico de expansión isentrópico � > 1, lo

uido disminuye la


� < 1. En estas

circunstancias, el aumento de la velocidad del fluido es mayor que el de la velocidad


supercríticas en el flujo. Finalmente, en un comportamiento inverso total, � < 0,


será de suprema importancia conocer

. Comportamiento de la velocidad del sonido en las inmediaciones del PC[1].




Para representar gráficamente las tres zonas explicadas se hará en coordenadas

p – v reducidas, como se observa en la Figura 5, lo cual facilita la distinción de cada

zona. Para ello a través de relaciones termodinámicas se reescribe la expresión de � de

la siguiente manera:

� =��

2��

��

Hallar valores experimentales de esta magnitud resulta imposible. Asimismo,

resulta prácticamente imposible de representar a través de una ecuación de estado en

las inmediaciones del punto crítico. Sin embargo, estudios recientes han logrado

evaluar � transformando su expresión a otra reescrita en términos de derivadas

primeras de la velocidad respecto a la temperatura y la presión a través de relaciones

termodinámicas [2].

� = 1 + ��

��

+��

��

��

En la Figura 6 se representa la derivada fundamental en las inmediaciones del

punto crítico, donde puede observarse que como se anticipó anteriormente, se

produce la inversión del comportamiento dinámico del CO2. Además, cabe destacar las

fuertes fluctuaciones que presenta esta variable, que se traducen en grandes

complicaciones a la hora de modelar el fluido.

Figura 5. Comportamiento de la derivada fundamental cerca del Pc.




2.2 Ecuación de estado de Span&Wagner

Como puede observarse en la Figura 3, para Tr y Pr en torno a 1 el factor de

compresibilidad alcanza valores entre 0.2 y 0.3, por lo que el modelado como gas real

es el más adecuado para el fluido.

Para modelar el comportamiento real del fluido es necesario hacer uso de las

ecuaciones de estado. En este caso se va a hacer uso de la ecuación de estado

Span&Wagner para dióxido de carbono en condiciones supercríticas. Este modelo es el

que se utilizará por las diversas herramientas que se usarán para la elaboración del

proyecto.

Esta ecuación es representada como una ecuación fundamental en términos de

la energía de Helmholtz, A, de una forma no dimensional.

�(�,�)

��= ∅(�,�)= ∅�(�,�)+ ∅�(�,�)

Los términos de la derecha representan la contribución del comportamiento

ideal, denotado por el superíndice o, y un término residual, denotado por el

superíndice r. Las variables independientes utilizadas son la densidad reducida, δ =

ρ/ρc, y la temperatura reducida inversa, τ = Tc/T. Definida la energía de Helmholtz, el

Figura 6. Derivada fundamental del CO2 en las inmediaciones del punto crítico.




resto de propiedades termodinámicas pueden ser expresadas como función de ella y

sus derivadas. Por ejemplo el factor de compresibilidad es definido como:

�(�,�)= 1 + ��∅

��

La contribución del gas ideal puede tratarse enteramente de forma analítica y

su expresión es la siguiente.

∅�(�,�)= ln(�)+ �� + ��

�� + �� ln(�)+ � ��

�ln[1 − �(��)]

�

��

donde los coeficientes �� y ��

� vienen de la expresión de ��.

El término residual de la energía de Helmholtz es determinado empíricamente.

Debido a que es imposible realizar medidas directas de esta propiedad, los autores

proponen establecer una correlación entre la energía de Helmholtz y otras magnitudes

termodinámicas, necesarias para su definición. La expresión que se obtiene es:

∅�(�,�)= � �� + � ��

��(��)+

��

��

�

��

� ��[��(��)

��(��)�]

��

��

+ � ��∆��[��(��)

��(��)�]

��

��

El último sumatorio representa el efecto del punto crítico, con Δ siendo una

función exponencial que amortigua su influencia a medida que se aleja de la región

crítica. Todos los coeficientes que hay en la ecuación pueden encontrarse definidos en

la bibliografía relacionada.

2.3 Desarrollo del compresor en el punto crítico.

Una vez han sido expuestos los conocimientos relacionados con el

comportamiento termodinámico del S-CO2 en las cercanías del punto crítico, en este

epígrafe se señalarán los pormenores que representa trabajar en esas condiciones

termodinámicas para el funcionamiento del compresor.

La turbomáquina en cuestión es un turbocompresor centrífugo. Para estudios

recientes [6], tanto experimentales como teóricos, se hace uso del turbocompresor de

pruebas de Sandia National Laboratory. El rotor tiene un radio exterior de 18.68 mm y




6 álabes, al cual le sigue un difusor con álabes. La principal característica que interesa

en este estudio es la geometría a la entrada del escalonamiento.

Como en todo compresor centrífugo, debido al espesor del borde de ataque de

los álabes, en la zona de succión se produce una disminución del área de paso, lo cual

provoca una aceleración en el campo de velocidades del fluido. Debido a este aumento

de velocidad, el fluido disminuye su presión, cumpliéndose la ley de Bernoulli,

disminuyéndose también su temperatura. En función de la cercanía a las condiciones

de saturación a la que opere el compresor, este cambio local en las propiedades del

fluido puede hacer que se cruce la línea de saturación. Pese a que este efecto se

produce localmente en una pequeña región cerca del borde de ataque, se hace

necesario estudiar la posibilidad de condensación en el interior del compresor.

En la Figura 7 se representa para un compresor funcionando entre 76.9 y 90 bar

todos los volúmenes de control en su interior. Los dos puntos verdes representan la

entrada y la salida de la turbomáquina y el rojo el punto crítico. La línea roja

representa la línea pseudo-crítica. La nube de punto representa todos los volúmenes

de control del fluido. Se observa que a la entrada del compresor existen muchos

puntos que cruzan ligeramente la línea de saturación.

Figura 7. Representación de los volúmenes de control en el compresor[6].




Para que la condensación sea participe en el desempeño del turbocompresor el

hecho de que el fluido alcance las condiciones de saturación no es condición suficiente,

la nucleación de la fase líquida está controlada por otra serie de parámetros

adicionales debido a tratarse de un flujo a alta velocidad. En estos casos el cambio de

fase se produce fuera de equilibrio, dando lugar al estado metaestable. En el próximo

capítulo se profundizará en el estudio de la condensación, estableciendo las

condiciones necesarias para que suceda. Hay que tener en cuenta que a lo largo del

rodete aumenta la presión, por tanto el CO2 volverá a las condiciones supercríticas en

todo su dominio fluido, desapareciendo la fase líquida. Por tanto, en caso de haber

condensación, la coexistencia de fases solo estará presente en un tramo del recorrido

del rodete.

Además de evaluar la posibilidad de condensación, se cuantificará en este

estudio el efecto de la fase líquida. Como es bien sabido, la aparición de gotas de

líquido en una turbomáquina puede tener consecuencias catastróficas para el

funcionamiento y la estabilidad de ésta, además de causar graves daños mecánico e

inestabilidad aerodinámica.

Caracterización del flujo bifásico



3 Caracterización del flujo bifásico

Previamente a exponer el modelado del flujo bifásico se introducen los

conocimientos de condensación y de coexistencia de fases líquida y gaseosa que han

sido aplicados.

3.1 Tipo de condensación.

Como se explicó previamente, al tratarse de un flujo a alta velocidad el

fenómeno de condensación se produce fuera de equilibrio. La diferencia entre la

condensación en equilibrio y fuera de equilibrio puede ser descrita gracias a un

diagrama p-T, como el de la Figura 8.

Siguiendo un proceso de expansión que comienza en el punto A se alcanza la

línea de saturación en el punto B. A partir de aquí, el estado final depende de la

velocidad del fluido, que determina el tipo de condensación. Si la expansión se

Figura 8.Proceso de expansión en equilibrio y fuera de equilibrio[2].




produce en equilibrio, las gotas comienzan a formarse y el proceso sigue a través de la

curva de saturación hasta el punto C.

Si la expansión se produce fuera de equilibrio la expansión continua a través de

la zona bifásica hasta el punto D. En este punto el fluido se encuentra en fase

metaestable, el cual se caracteriza por el subenfriamiento, ∆��, que es la diferencia de

temperatura que hay entre la fase metaestable y su correspondiente estado de

equilibrio. Cuando se sobrepasa un determinado valor de subenfriamiento las burbujas

comienzan a formarse y el fluido alcanza un estado de equilibrio en la curva de

saturación, el punto E.

Asociada a la condensación fuera de equilibrio existe una generación neta de

entropía, lo cual no ocurre en el cambio de fase en equilibrio, debido a su

reversibilidad. Este hecho da lugar a una importante proporción de las pérdidas

asociadas a la condensación.

3.2 Referencia del campo de flujo.

3.2.1 Referencia euleriana

La descripción euleriana del movimiento de un fluido consiste en tomar un

volumen de referencia fijo en el cual se aplican un conjunto de ecuaciones

diferenciales, en el dominio espacio-tiempo. Por lo tanto mediante esta referencia el

observador se fija en un volumen de control fijo y observa su evolución en el tiempo.

Es decir, el observador analiza la evolución temporal de las magnitudes de interés en

una localización espacial determinada. El modelo de Euler es el más utilizado al

analizar un fluido en movimiento.

3.2.2 Referencia lagrangiana

En el modelo de Lagrange un elemento fluido es descrito como un volumen que

se mueve con su propio campo de velocidades y cuyas propiedades son evaluadas a lo

largo de su línea de corriente, facilitando la visualización de las trayectorias seguidas

por las partículas. Es decir, el observador se fija en una partícula y analiza cómo varían

sus propiedades o magnitudes características a lo largo del tiempo. De esta forma es

como se describe la mayoría de las veces el comportamiento de una fase dispersa.




En la Figura 9 se representa un mismo volumen de control, a la izquierda,

analizado mediante una referencia euleriana, y a la derecha mediante una referencia

lagrangiana.

Para modelar un flujo bifásico como el del problema estudiado, la fase continua

será caracterizada mediante el modelo euleriano, mientras que el modelo a tomar

para la fase dispersa depende de los objetivos del estudio. Un modelo Euler/Euler es

utilizado en caso de tener una mezcla homogénea de gas y líquido. El modelo

Euler/Lagrange, más apropiado para el objetivo de este proyecto, es utilizado en

mezclas no homogéneas además de ser muy recomendable para analizar el

comportamiento termodinámico de la fase dispersa en el seno de la fase portadora.

Hay que añadir que a la hora de comparar trayectorias resulta mucho más visual este

método.

3.3 Teoría de la nucleación. Tiempo característico de la nucleación.

Para conocer el efecto que la fase líquida tiene en el interior del compresor se

precisa conocer el mecanismo de la formación de gotas para a posteriori evaluar su

comportamiento en función de números adimensionales.

El mecanismo de nucleación que ocurre en el interior del compresor es de

nucleación homogénea, en el cual la condensación se produce en el seno del fluido a

partir de embriones que aumentan de tamaño. Para la formación de núcleos estables

es necesario que los embriones vayan aumentando de tamaño, aumentando con ello

Figura 9. Visualización de referencia euleriana (izq) y referencia lagrangiana (der).




la energía libre de Gibbs, ∆� . Este comportamiento viene regido por la siguiente

ecuación:

∆� = 4�� +4

3��∆��

donde� es la tensión superficial y∆�� representa la diferencia de energía libre

entre los estados subenfriado y saturado, ambos referidos a la temperatura del

primero, como se expresa en la siguiente ecuación, en la que g expresa la energía libre

de Gibbs específica:

∆�� = ��[�(��,�)− �(��,�)]

El valor de esta ecuación es generalmente negativo, lo cual indica que la

transformación del estado subenfriado al saturado ocurre de forma espontanea.

Cuando los embriones aumentan de tamaño por encima del radio crítico, r*, el

embrión se estabiliza formándose el núcleo. Este núcleo crecerá y fusionará a otros

núcleos formando gotas macroscópicas. Si por el contrario, el embrión no alcanza el

tamaño r* se evaporará instantáneamente. El valor de ∆�∗ depende del nivel de

subenfriamiento de la fase metaestable. Cuanto mayor sea ∆�� menor es ∆�∗ y por

tanto más fácil es la formación de núcleos. Para calcular r*,como se puede deducir

gráficamente, se deriva la formula de ∆� y se iguala a cero, obteniendo:

�∗ =− 2�

∆��

En teoría clásica de nucleación se define la tasa de nucleación, J, como sigue,

donde m es la masa de una molécula y �es la constante de Boltzmann.

Figura 10. Radio crítico en proceso de nucleación fuera de equilibrio.




�= ��2�

��

��

��

(�∆�∗

��)

En función de la variable anterior se puede definir un parámetro que servirá

para definir el impacto real de la condensación en el interior de la turbomáquina. Este

parámetro es el tiempo característico de la nucleación, tn, definido como el tiempo que

se requiere para que se formen gotas estables en el seno fluido:

�� =1

��

donde V es el volumen que ocupa el condensado en el compresor. Este tiempo

puede ser comparado con el tiempo de residencia del fluido, tr, definido como:

�� =�

��

donde l es la longitud del volumen de condensado y �� la velocidad media del

fluido.

A través de estos dos parámetros pueden distinguirse dos comportamientos

posibles en función de las condiciones de entrada al compresor. Las propiedades del

fluido a la entrada del compresor determinan a qué altura de la línea de saturación el

fluido entra en la zona bifásica.

Para un compresor funcionando lejos del punto crítico �� ≫ ��, lo cual

indica que no se produce la nucleación debido a que el nivel de

subenfriamiento no es suficiente para provocarla. Esto implica que para

tales condiciones la condensación no supone un problema en el

funcionamiento del compresor.

En condiciones cercanas al punto crítico �� < �� , lo cual quiere decir que la

condensación es un fenómeno a tener en cuenta en el comportamiento

del compresor. Esto ocurre debido a que la tensión superficial del CO2

tiende asintóticamente a cero, acelerando el proceso de nucleación.

Además, la tasa de nucleación queda subestimada en estas condiciones si

se aplica su ecuación, debido al incremento de la coalescencia de las

moléculas. Por lo tanto la aparición de la fase líquida tendrá un impacto

mayor del esperado según la teoría clásica de nucleación.

Esto indica que la condensación debe tenerse en cuenta como un fenómeno

posible en este estudio.




3.4 Modelado del fluido bifásico.

En este apartado se explica el modo en el que se modela la coexistencia de las

fases líquida y gaseosa en la herramienta de CFD.

Para la elaboración de este proyecto se ha hecho uso de la herramienta de

simulación CFX. Se trata de una herramienta de simulación de dinámica de fluidos que

muestra un entorno virtual muy visual, de forma que la interacción con el programa

resulta bastante simple. A través de un árbol de trabajo se especifican los parámetros

que definen el problema (geometría, condiciones y fluido de trabajo, condiciones de

contorno, etc), además de los parámetros de la simulación que se va a llevar a cabo.

Se ha elegido este programa por las facilidades que muestra a la hora de definir

las propiedades de los fluidos mediante tablas paramétricas, denominadas Tablas RGP

(Real Gas Properties). Mediante estas tablas se pueden definir una serie de

propiedades del fluido necesarias y suficientes para simular cualquier tipo de problema

termodinámico. La estructura y el uso de las tablas RGP se explica detalladamente en

el siguiente capítulo.

El fluido bifásico que discurre el compresor es una mezcla no homogénea de una fase

líquida y otra fase gaseosa mezcladas a un nivel macroscópico. Esta mezcla tiene un

bajo contenido de líquido. Es decir, la fracción másica de la fase líquida es mucho

menor que la del gas ya que la condensación se produce en un reducido espacio del

volumen de control, localizado en el borde de ataque de los álabes del rotor (de

manera especial en la cabeza del álabe) y en el entorno del borde de estela de los

mismos (Figura 11). Basándose en esto, puede decirse que la fase gaseosa forma el

medio continuo, mientras que el líquido constituye la fase discreta, formada por

múltiples partículas de forma esférica.

Al tratarse de una mezcla no homogénea cada fase tendrá definido su propio

campo fluido, interactuando éstos mutuamente a través de la interfase y tendiendo a

alcanzar el equilibrio. Por lo tanto el simulador deberá resolver el comportamiento

termodinámico de ambas fases.

Las líneas de corriente seguidas por las partículas dependerán fuertemente de

su tamaño. La inercia de las partículas aumentara con el diámetro, de forma que la

desviación de estas partículas respecto al campo fluido será mayor que para las de

menor tamaño. A su vez las partículas sufrirán a lo largo de su paso las fluctuaciones

que existen en la fase continua provocadas por la turbulencia del propio fluido. Esta

influencia del flujo turbulento será mayor para las partículas de menor tamaño, de

forma que las menores partículas son las que más se desvían del perfil medio de

velocidad del gas mientras que las mayores ven atenuada su alteración.




Un profundo estudio sobre la inercia de las partículas en un flujo bifásico fue

realizado por Sorato [8]en su análisis sobre la dispersión de agua líquida y sólida en

una corriente de aire, con el fin de analizar la influencia de la turbulencia sobre el

movimiento de las partículas. El comportamiento expuesto en el párrafo anterior se

caracteriza mediante el tiempo de relajación de la partícula, ��:

�� =24��

�

18��

donde los subíndices p y f denotan partículas y gas. El número de Reynolds de

la partícula está definido como:

�� =�� − ��

��

Para realizar un análisis cualitativo del comportamiento de las partículas frente

a las turbulencias se hace uso de un número adimensional que compara el tiempo de

relajación de la partícula con el tiempo característico del movimiento fluido. Este es el

número de Stoke, Stk:

�� =��

��

Figura 11. Representación de la zona bifásica en un compresor.




Para regímenes en los que Stk≫ 1 las partículas no se ven influenciadas por las

turbulencias locales, mientras que para Stk≪ 1 las partículas son capaces de seguir las

fluctuaciones que sufre la fase continua.

Adicionalmente, surgen fuerzas superficiales debidas a la interacción de la

partícula y el seno fluido, representadas principalmente por los efectos de la presión y

por los esfuerzos de cortadura en la superficie de la partícula.

Además, en problemas donde existen más de una fase compartiendo el medio

fluido debe tenerse en cuenta la fuerza de flotación, producida por la diferencia de

densidades entre ambas fases. Por ejemplo para la fase líquida, la fuerza que sufre es

la siguiente:

�⃗ = �⃗(�� − ��)

Sin embargo, dado que en las inmediaciones del punto crítico la densidad de la

fase gaseosa difiere poco de la del líquido, estas fuerzas pueden ser despreciadas en el

estudio que nos ocupa. Asimismo, comparando la fuerza gravitatoria con las fuerzas

centrífugas que sufre el fluido, las primeras tienen una influencia prácticamente nula

en el campo de velocidades de ambas fases.

Partiendo de las anteriores propiedades de la mezcla, debe elegirse cuál es la

forma más apropiada de modelar el fluido bifásico y hacer la elección adecuada del

módulo de CFX más adecuado. Existen tres opciones comentadas a continuación.

3.4.1 Mezcla binaria homogénea

Las mezclas binarias homogéneas, conocida como sus siglas en inglés HBM

(Homogeneous Binary Mixture) se utilizan para definir el comportamiento de un flujo

bifásico en el que las fases están compuestas por una misma especie química en

diferentes estados termodinámicos. Las HBM, además, pueden modelar la

transferencia de materia entre las fases, por ello es el método utilizado en CFX para

simular modelos con cambio de fase entre líquidos y gases.

Para crear una HBM en CFX deben definirse previamente las sustancias que la

componen, especificando el estado termodinámico de cada una de ellas. En este caso,

deben definirse los estados líquido y gaseoso. A continuación se crea un nuevo

material que se define como una HBM. Este material será el elegido como fluido en la

simulación. Se especifican los estados que componen la mezcla y el criterio de

saturación. Esta condición puede ser impuesta de diversas formas, fijando una

temperatura constante de saturación, establecer una ecuación de estado que gobierne




el cambio de fase o, como se desarrolla en este proyecto, definiendo la línea de

saturación del fluido a través de las tablas RGP de los mismos materiales.

3.4.2 Modelo del fluido disperso

Por definición un fluido disperso es un fluido que está presente en regiones

discretas del volumen de control. En este caso la mezcla es modelada con una

referencia euleriana/euleriana, compartiendo el campo fluido ambas fases. En cuanto

a las magnitudes termodinámicas, son calculadas mediante las propiedades de ambas

fases y haciendo uso del título de vapor, especificado a la hora de configurar el caso.

Para configurar el caso utilizando este modulo debe especificarse la región de

entrada de la fase dispersa, así como la fracción volumétrica y el diámetro medio de

las partículas líquidas. Este modulo permite modelar la interacción entre ambas fases a

través de un conjunto de opciones, como las fuerzas superficiales o los coeficientes

aerodinámicos.

3.4.3 Modelo de partículas fluidas transportadas

El modelo de transporte de partículas es capaz de modelar distintas fases

dispersas que están discretamente distribuidas en una fase continua. El modelo incluye

el cálculo por separado de la fase continua y a continuación de las partículas inmersa

en el fluido, teniendo en cuenta los efectos de su presencia. En lugar de hacer uso de

un modelo euleriano para las partículas, hace uso de un modelo de Lagrange, de forma

que es recomendable a la hora de analizar los efectos cinemáticos de la presencia de

las partículas.

Al igual que el módulo de fluido disperso, este módulo permite evaluar las

interacciones cinemáticas entre fases, de la misma forma que en el módulo anterior.

Para ello debe definirse número de partículas que se simularán en la fase continua.

Éste no es el número real de partículas que existen en el fluido, si no que representa

un gran número de partículas que siguen una misma línea corriente, a través de las

cuales se mide el comportamiento de la fase discreta.

Para definir el flujo de partículas debe especificarse el flujo másico y el tamaño

y forma de estas, pudiéndose hacer mediante un diámetro constante o una

distribución de tamaños. La forma de las partículas se especifica con el factor de

forma. La opción de que las partículas sufran cambio de tamaño también está

disponible.




La entrada de las partículas puede darse por una superficie de entrada de la

geometría o inyectar las partículas a través de una geometría definida. Para cada

método de inyección, además de la localización, son requeridas otras variables. La

velocidad puede ser especificada con cualquier valor o con la opción “Zero Slip

Velocity” que configura la entrada a la velocidad local de la fase continua. La

distribución a lo largo de la superficie de las partículas inyectadas puede ser uniforme

o caracterizada mediante múltiples opciones.

Debido a la cercanía del punto crítico el proceso de condensación que se

produce en el compresor no puede ser modelado correctamente y realizar

simulaciones en las que haya cambio de fase resulta harto complicado, imposibilitando

la posibilidad de analizar la regasificación de la fase líquida. Utilizar una HBM implica

incluir el cambio de fase en el modelo, por tanto debe excluirse esta opción en este

estudio. Entre las dos opciones restantes la más adecuada es el modelo de partículas.

Así, visualizar las líneas de corriente y analizar la influencia entre ambas fases resulta

una tarea nada complicada gracias a las herramientas de post-procesado de las que

dispone CFX.

El uso del modelo de Transporte de Partículas está limitado para flujos bifásicos

de baja carga de partículas, ya que este modelo se basa en la simulación de la fase

continua en la que posteriormente, y a partir de esta solución se introducen en un

nuevo problema las partículas. Dependiendo de la carga de partículas surgen dos

regímenes en función del efecto que tiene su inmersión en el fluido continuo.

Acoplamiento unidireccional: este régimen considera solo el efecto que la

fase portadora tiene sobre la fase discreta, de forma que el

comportamiento del gas es independiente de la presencia de las

partículas.

Acoplamiento total: a medida que aumenta la carga de partículas, estas

comienzan a tener efecto sobre la fase continua, afectando sobre la

turbulencia del flujo, atenuándola o aumentándola, en función de las

características de las partículas. En este régimen las ecuaciones de ambas

fases pueden ser resueltas simultáneamente, existiendo intercambio de

cantidad de movimiento entre partículas y gas.

No existe ningún parámetro mediante el que pueda predecirse la transición de

un régimen a otro. Debido a la baja carga de partículas en el interior del compresor se

tomará un acoplamiento unidireccional, lo cual reduce notablemente el tiempo de




simulación en el ordenador. Por último cabe destacar que si bien es cierto que es

correcto tomar acoplamiento unidireccional en el compresor, en las zonas en las que

se localiza la condensación la concentración de partículas es mucho mayor de forma

que existe acoplamiento total, donde el efecto de la cantidad de movimiento y la

energía de las partículas puede afectar al flujo local del vapor.

Para cuantificar la cantidad de fase líquida inmersa en la fase gaseosa se utiliza

la fracción volumétrica de líquido, α. La masa de líquido presente en el gas es:

�� = ��

Y el número de partículas existente:

� =��

��

Siendo ��el volumen de las partículas.

Usando CFX no se hará uso de ninguna de las magnitudes anteriores ya que se

especificará directamente el flujo de partículas, pero podrán ser utilizadas estas

expresiones para obtener algunos de los datos anteriores, si se considera necesario.

Problema de proximidad al Punto Crítico. Tablas RGP



4 Problema de proximidad al Punto Crítico. Tablas RGP

El comportamiento no ideal de un gas requiere el uso de diversas herramientas

para modelar su comportamiento de gas real. Usualmente son utilizadas ecuaciones de

estado, expresiones matemáticas específicas para cada material que relacionan

distintas funciones de estado. CFX incluye en su base de datos un gran número de

ecuaciones de estado que pueden ser implementadas, sin embargo estas ecuaciones

tienen una estructura compleja resultando poco práctico su uso, ya que aumenta

enormemente el tiempo de computación de las simulaciones. Por ello el objetivo de

este estudio es buscar una solución alternativa al uso de las ecuaciones de estado,

basando el modelado del CO2 en tablas paramétricas en las cuales se almacenan

valores discretos de las magnitudes termodinámicas de interés para un rango de

valores de temperatura y presión. Estos valores son posteriormente interpolados

durante la resolución numérica.

Debe decirse que este proyecto fue inicialmente abordado mediante otra

herramienta CFD, Fluent, la cual goza de la posibilidad de hacer uso de tablas

paramétricas para definir un material. No obstante, se sabía de antemano que la

proximidad del punto crítico impedía alcanzar la solución numérica d manera estable.

Por ello, finalmente el problema ha sido abordado haciendo uso de CFX, herramienta

de mayor potencia al trabajar con tablas paramétricas, denominadas en el entorno de

CFX tablas RGP.

Antes de abordar el problema mediante las tablas RGP es necesario validar la

hipótesis de gas real. Para ello se evaluará el factor de compresibilidad del fluido en

una de las simulaciones que más adelante serán estudiadas. Consiste en una tobera

convergente, como la mostrada en la Figura 12, que expande adiabáticamente desde

una presión de 90 bar a 315 K hasta 70 bar.

vid (m3/kg) v (m

3/kg) Z

ENTRADA 6,667∙10-3 2,458∙10-3 0.369

SALIDA 8,002∙10-3 3,017∙10-3 0.377

Tabla 2. Factor de compresibilidad en la tobera de referencia.




Se puede comprobar que el factor de compresibilidad alcanza valores menores

que 1, cercanos al mínimo que se observa en la Figura 3, por lo que es válida la

suposición realizada.

4.1 Tablas RGP

Para hacer uso de esta opción es necesario crear un archivo .rgp que estará

formado por distintas tablas que definirán el medio. La estructura de las tablas RGP

consiste en la evaluación de distintas magnitudes termodinámicas en función de dos

parámetros que definan el estado termodinámico de la sustancia. Dicha evaluación se

realiza mediante ecuaciones de estados, pero al no tener que ser implementadas en el

simulador se aprecia una notable disminución del tiempo de computación. Las

magnitudes representadas son:

1. ℎ(�,�): Entalpía específica

2. �(�,�): Velocidad del sonido

3. �(�,�): Volumen específico

4. ��(�,�): Calor específico a volumen constante

5. ��(�,�): Calor específico a presión constante

6. �� (�,�): Derivada parcial de la presión respecto al volumen

especifico a temperatura constante

Figura 12. Geometría de la tobera convergente.




7. �(�,�): Entropía específica

8. �(�,�): Viscosidad dinámica

9. �(�,�): Conductividad térmica

Cada variable tiene asociada su propia tabla, donde cada una se evalúa para

distintos valores de presión y temperatura. Todas las tablas deben estar incluidas

obligatoriamente en el archivo .rgp, a excepción de las tablas de la viscosidad dinámica

y de la conductividad térmica, que pueden ser especificadas con un valor constante en

el propio archivo .rgp o directamente en el menú correspondiente de CFX.

Existen distintos métodos para crear las tablas, basados en programas capaces

de realizar evaluaciones de la función de estado más apropiada, como EES. En este

caso, debido a que se trata de una herramienta informática muy extendida y cuyo

lenguaje es bien conocido en el ámbito ingenieril, se utiliza Matlab para crear el código

que elabora las tablas apoyándose en la base de datos REFPROP del “National Institute

of Standards and Technology”. REFPROP es una librería termodinámica muy amplia

utilizada para el cálculo de propiedades primarias o secundarias de fluidos puros o

mezclas entre la que se encuentra la ecuación de estado de Span&Wagner, válida para

el CO2 incluso en las proximidades del punto crítico [9]. Esta base de datos puede ser

añadida a las bases de datos de Matlab, creándose una función REFPROP encargada de

la evaluación de distintas propiedades a partir de algunos datos de entrada.

El primer paso para crear las tablas es establecer sus rangos de temperatura y

presión. Debe asegurarse que los intervalos sean suficientemente amplios para que en

ningún momento la temperatura y la presión caigan fuera de estos y el algoritmo de

interpolación deba extrapolar. En tal caso el simulador emite un mensaje comunicando

que se han extrapolado valores, debiendo ser aumentado el rango de las tablas para

no incurrir en errores demasiado grandes.

A continuación ha de realizarse una discretización de ambos intervalos y

evaluar cuantos puntos son necesarios para obtener unos valores lo más precisos

posible sin llegar a una cantidad excesiva que pueda afectar al tiempo de simulación.

Finalmente queda evaluar las propiedades en los puntos definidos y dar la estructura

correcta a las tablas a través de códigos de Matlab.

4.1.1 Discretización

Al crear una tabla RGP debe crearse una malla de puntos que recorra todo el

rango de temperatura y el de presión. Cuanto mayor sea la cantidad de puntos de la



tabla más precisa será en la simulación, sin embargo se presupone que esto también

influye negativamente en la velocida

se hará más adelante, resulta interesante analizar que tamaño mínimo se puede tomar

para la tabla sin cometer errores importantes. Cuando CFX debe evaluar las

propiedades fuera de un punto definido en la mall

entre los cuatro puntos colindantes.

Para crear la malla de puntos se discretizan los intervalos de presión y de

temperatura. Existen muchas formas de hacer esta discretización. La más simple es

establecer un número de nodos para cada vector con intervalos constantes. En este

caso se sabe que el fluido va a encontrarse siempre en las cercanías del punto crítico

pero que debido a la inestabilidad de este tipo de simulación pueden surgir puntos

más allá de esta zona, por

sigue la forma de discretización anterior podría verse como la mayoría de los nodos

creados están alejados de la zona de comportamiento del fluido, por lo que se recurre

a una discretización variab

presión superior a la presión crítica y otra inferior, denominadas

respectivamente. El mismo procedimiento se sigue para el intervalo de temperatura.

En adelante, en la explicaci

todas las consideraciones expuestas deben ser aplicadas igualmente al intervalo de

temperatura.

El intervalo de presión ha quedado dividido en tres nuevos intervalos definidos

entre la presión máxima, la presión mínima y las definidas presión estrella. Entre

Figura 13. Representación de la división de los intervalos de P y T en

Problema de proximidad al Punto Crítico.


SUPERCRÍTICAS


influye negativamente en la velocidad de procesado del simulador, de forma que como



propiedades fuera de un punto definido en la malla, el código realiza una interpolación

entre los cuatro puntos colindantes.



e nodos para cada vector con intervalos constantes. En este



lo que deben fijarse unos rangos mucho más amplios. Si se



a una discretización variable. Para ello debe definirse en el rango de presión una

presión superior a la presión crítica y otra inferior, denominadas


en la explicación nos referiremos únicamente al intervalo de presión, pero




. Representación de la división de los intervalos de P y T en diagrama T


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d de procesado del simulador, de forma que como



realiza una interpolación



e nodos para cada vector con intervalos constantes. En este



lo que deben fijarse unos rangos mucho más amplios. Si se



le. Para ello debe definirse en el rango de presión una

presión superior a la presión crítica y otra inferior, denominadas ��∗ y ��

∗


ón nos referiremos únicamente al intervalo de presión, pero




diagrama T-P.




ambas presiones estrellas se realiza una discretización constante, ya que es en ese

intervalo por donde el fluido va a moverse. Para los intervalos extremos se realiza una

discretización variable, de forma que en el intervalo (�� ,��∗ ) el primer intervalo

que colinda con ��∗ es igual que el de la discretización constante, y a medida que se

aleja aumenta de tamaño. Igualmente ocurre con el intervalo (��∗ ,��).

Los valores utilizados de la presión y temperatura estrellas se observan en la

Tabla 3.

A través de esta discretización la precisión de las tablas es suficiente para

realizar una simulación, sin embargo al tratarse la zona del punto crítico de una región

llena de fluctuaciones en su comportamiento, se observa alguna irregularidad en la

línea de vapor saturado. Para solucionar este problema las tablas deben tener definida

las propiedades en la línea, de forma que la discretización haga coincidir las divisiones

realizadas en el rango de presión con las divisiones realizadas en el rango de

temperatura, vinculadas a través de la dependencia entre ambas variables.

Para ello, además de las divisiones realizadas anteriormente en los rangos de la

tabla, el punto crítico constituye una nueva división para ambos intervalos. La

Figura 14. Discretización de los rangos de P y T.

��∗ (bar) ��

∗ (bar) ��∗ (K) ��

∗ (K)

63.77 123.77 294.21 314.21

Tabla 3. Valores de las magnitudes estrella.




discretización del intervalo de presión se hace como en el caso anterior, solo que el

intervalo central queda dividido en dos, haciendo que la distancia entre nodos de

ambos intervalos sea la misma. La discretización del intervalo de temperatura es

diferente. Definiendo �(�) como los nodos del rango de presión y �(�) como los nodos

del rango de temperatura, ambos vectores tienen su comienzo para los valores

mínimos de presión y temperatura. Para que la discretización cumpla los requisitos

antes prescritos se impone:

Si �(�)≤ �� → �(�)= ��(�)�∀� = �

De esta forma en los dos primero intervalos la discretización del rango de temperatura

es dependiente de la de presión. En los dos intervalos por encima del punto crítico la

discretización es independiente, de forma que se realiza de la misma forma que la del

rango de presión, asignando el número de nodos.

4.1.2 Contenido de las tablas

Una vez realizada la discretización de los rangos de temperatura y de presión se

evalúa en dicha discretización la función REFPROP y se da la estructura adecuada a los

archivos.

4.1.2.1 Región sobrecalentada

Una variable cualquiera ϕ, debe ser representada en función de la temperatura

y la presión como es sabido, ϕ(P,T). Cuando se represente la variable en condiciones

de saturación, en cambio, debe evaluarse en función de la presión únicamente, ϕsat(P).

Figura 15. Linea de saturación en diagrama P-T.




Por tanto existen dos tipos de tablas, denominadas de forma simplificada,

tablas sobrecalentadas y tablas saturadas. Las tablas sobrecalentadas tendrán una

estructura 2D mientras que las tablas saturadas tendrán una estructura 1D. Estas

últimas deben representar ϕsat(P) y Tsat(P).

La zona subenfriada es abordada de una forma especial. Por debajo del punto

crítico, las regiones líquidas y vapor están separadas por la curva de saturación y para

presión supercrítica no hay diferencia entre los estados líquido y vapor.

Cuando se evalúan las propiedades del líquido surge un problema, y es que no

todas las ecuaciones de estado predicen correctamente las propiedades en la región

subenfriada cuando � > ��. Para solucionar este problema debe considerarse la zona

supercrítica y la zona de vapor sobrecalentado una misma región y el líquido

subenfriado una región distinta, de forma que trabajando con vapor, ya sea

supercrítico o sobrecalentado, la línea de saturación debe estar definida como:

Si � ≤ �� → � = ��(�)

Si � > �� → � = ��

Por tanto para ser correctos, las tablas unidimensionales saturadas representan

ϕsat(P) y Tsat(P), a menos que la presión sea superior a la presión crítica, donde los

valores representados por las tablas son ϕc y Tc.

Al trabajar con una tabla que modele el comportamiento del vapor, el

simulador automáticamente cortará las tablas por la línea definida en las tablas 1D. En

Figura 16. Regiones evaluadas en las tablas RGP.




otras palabras, independientemente del rango de temperatura y presión que las tablas

tengan, al modelar el comportamiento del fluido el simulador solo considerará los

datos relativos al vapor y a las líneas de saturación. De forma que si por ejemplo en

una simulación solo con fase vapor tuviera lugar una expansión cuyo punto final cayera

dentro de la zona bifásica, las propiedades las propiedades atribuidas al flujo por el

simulador serían las del vapor saturado a la presión del punto real, sin tener en cuenta

la fracción de líquido.

Para que el simulador considere el equilibrio entre fases debe incluirse en la

simulación la fase líquida, definida con la misma tabla que el vapor.

4.1.2.2 Región de saturación

Hasta este punto, la descripción de las tablas ha sido centrada en las tablas

sobrecalentadas. Para modelar el equilibrio líquido-vapor del fluido son necesarias

también tablas con información sobre la zona bifásica.

Estas tablas incluyen información relativa a las líneas de vapor y líquido

saturado del material. Su información puede clasificarse en valores singulares y valores

duales. Valores singulares se refiere a información sobre propiedades saturadas que es

requerida en la línea de vapor saturado o en la de líquido saturado, pero no en ambas

al mismo tiempo. En este grupo se incluyen la temperatura de saturación y la presión

de saturación. Valores duales se refiere a propiedades saturadas que son requeridas

en ambas líneas de saturación como función de la presión. En este grupo se incluyen

las nueve variables representadas en las tablas en sus estados de líquido saturado y de

vapor saturado.

Cuando CFX modela un cambio de fase considera que ambas se encuentran en

equilibrio termodinámico y evalúa la fracción de cada fase mediante el título de vapor,

x.

Para calcular el título de vapor el simulador calcula previamente la entalpía de

la mezcla, ya sea directamente o a través de la entalpía total. Con esta entalpía y las

propiedades de saturación calcula el título de vapor.

� =ℎ − ℎ�(�)

ℎ�(�)− ℎ�(�)

donde ℎ es la entalpía de la mezcla y ℎ�(�) y ℎ�(�) son las entalpías de vapor y

líquido saturado respectivamente. Calculado el título de vapor, el resto de las

propiedades de la mezcla bifásica son calculadas de la siguiente manera:



�

4.1.2.3 Formato del archivo .

En este apartado se proporciona una

Un archivo .rgp puede contener propiedades de numerosos materiales puros. Sin

embargo, al proporcionar un archivo .rgp a CFX

puro, a menos que cada nuevo elemento venga precedi

introducción en el código escrito en el propio fichero

Para cada fluido pueden definirse varios bloques de información, incluyendo

parámetros, las tablas sobrecalentadas y las ta

La Figura 17 y la Figura

agregación, el vapor y el líquido respectivamente. En

ha configurado el código de forma que

línea de saturación las tablas devuelvan

saturada a la presión alcanzada.

Figura



SUPERCRÍTICAS

�(�)= (1 − �)∙ ��(�)+ � ∙ ��(�)

Formato del archivo .rgp

En este apartado se proporciona una descripción del formato del archivo .rgp.


embargo, al proporcionar un archivo .rgp a CFX, éste solo puede contener un elemento

puro, a menos que cada nuevo elemento venga precedido de una correcta

en el código escrito en el propio fichero.


parámetros, las tablas sobrecalentadas y las tablas saturadas.

Figura 18 muestran una gráfica p-T-h para los dos estados de

ón, el vapor y el líquido respectivamente. En ambas gráficas se observa

ha configurado el código de forma que si el fluido, ya sea vapor o líquido,

línea de saturación las tablas devuelvan un valor igual al de la misma sustanci

a a la presión alcanzada.

Figura 17. Gráfica P-T-h de la fase vapor.


Página | 33

descripción del formato del archivo .rgp.


ste solo puede contener un elemento

do de una correcta


h para los dos estados de

se observa que se

, ya sea vapor o líquido, atraviesa la

un valor igual al de la misma sustancia



4.1.3 Estudio de sensibilidad

En este apartado se hará un estudio de sensibilidad de l

de nodos de los intervalos de temperatura y presión como parámetro. El número de

nodos de ambos intervalos será considerado el mismo para simplificar el análisis.

Para realizar este análisis se evaluará

mediante las tablas y los resultados se compararán con los valores obtenidos por

medio de la ecuación de estado de Span&Wagner, a través de la librería REFPROP de

Matlab.

Para evaluar las propiedades con las tablas se realiza una simulación so

geometría simple, como una tobera recta, y se miden las variables a comparar, además

de la presión y la temperatura. Las variables que se van a comparar son entalpía,

velocidad del sonido y calor específico a presión constante.

Los rangos de temper

= [20 , 400]bar. En la siguiente figura se observa el área que abarcan las tablas, así

como el área que queda discretizada

discontinua.

Figura



SUPERCRÍTICAS

Estudio de sensibilidad

En este apartado se hará un estudio de sensibilidad de las tablas con el número



alizar este análisis se evaluarán varias propiedades en difere



Para evaluar las propiedades con las tablas se realiza una simulación so



velocidad del sonido y calor específico a presión constante.

Los rangos de temperatura y presión impuestos han sido T = [253.65 , 400]K y P

En la siguiente figura se observa el área que abarcan las tablas, así

o el área que queda discretizada entre las magnitudes estrella en línea

Figura 18.Gráfica P-T-h de la fase líquida.

d al Punto Crítico. Tablas RGP

Página | 34

as tablas con el número



n varias propiedades en diferentes estados



Para evaluar las propiedades con las tablas se realiza una simulación sobre una



atura y presión impuestos han sido T = [253.65 , 400]K y P

En la siguiente figura se observa el área que abarcan las tablas, así

entre las magnitudes estrella en línea




En la Tabla 4 se observan los resultados obtenidos para tres tablas de tamaños

distintos y en la última columna los resultados obtenidos mediante la ecuación de

Span&Wagner. En la última fila se ha añadido otra magnitud, el tiempo de

computación de una iteración en cada caso. Este tiempo depende de diferentes

variables como las condiciones del problema y el tamaño de la malla. En este proyecto

resulta interesante conocer la influencia del tamaño de los archivos .rgp sobre el

tiempo que necesita una simulación para converger.

Esta comparación se realiza con CO2 supercrítico a 80 bar y 307 K.

En la Figura 20 se observa que la precisión de las tablas aumenta al aumentar el

número de intervalos. Los errores relativos de las tres propiedades termodinámicas

muestran tendencias parecidas. La entalpía y la velocidad del sonido alcanzan errores

relativos del orden de 10-2.El calor específico alcanza errores relativos del orden de

10-1. Esta diferencia es debida a las fuertes fluctuaciones existentes en el

comportamiento del calor específico.

Figura 19. Rango de presion y temperatura de las tablas.




Observando los resultados obtenidos por Colonna [6], comparándolos con los

aquí obtenidos para el mismo número de intervalos, la precisión de las tablas RGP es

ligeramente inferior, en torno a un orden de magnitud. No es de extrañar ya que los

intervalos utilizados por Colonna son menores, T = [290 , 323]K y ρ = [250 , 600]kg/m3,

equivalente a un rango de presión de P = [53 , 85]bar. Esto se debe a que al simular en

CFX se han encontrado problemas de desbordamiento del rango de las tablas,

causados por las irregularidades en el punto crítico, por lo que ha sido necesario

aumentar las tablas hasta alcanzar una situación estable. Esto ha tenido un grave

efecto negativo sobre la precisión de las tablas pero ha podido paliarse mediante la

discretización variable.

Respecto al tiempo de computación de una iteración, se observa que la variación es

despreciable. El aumento de tamaño de las tablas no afecta negativamente al tiempo

de simulación, de forma que sería posible aumentar el tamaño de las tablas hasta

poder alcanzar errores relativos menores. Sin embargo, debido a los medios de los que

se disponen para realizar este trabajo no ha sido posible crear tablas RGP de mayor

tamaño.

Concluimos que la precisión obtenida es suficiente para abordar el objetivo del

proyecto y se trabajará con las tablas de mayor tamaño posible, al no existir efectos

adversos.

TABLAS RGP Ecuación estado

Nº de nodos 35 120 270 -

h (kJ/Kg) 323.018 317.387 317.157 317.039

c (m/s) 199.755 201.121 201.260 201.501

cp(kJ/Kg K) 26.430 19.833 19.768 20.149

t (s) ≈10 s ≈10 s ≈11 s -

Tabla 4. Comparación de valores de variables termodinámicas entre la ecuación de estado Span&Wagner y las tablas RGP.




4.1.4 Validación de las tablas.

En este apartado se hará un análisis de la validez de las tablas. Para ello se

simulará una corriente de S-CO2 a través de una tobera convergente. La motivación del

uso de esta geometría es aproximarnos al fenómeno de expansión que se produce a la

entrada del rodete del compresor (zona inductora hasta la garganta del rodete). Las

condiciones de entrada del compresor estarán suficientemente alejadas del punto

crítico como para que la simulación no se vea afectada por las perturbaciones que se

producen en las cercanías de dicho punto.

Las características de la simulación, como el tipo de modelo de turbulencia o las

características de las paredes, serán explicadas en detalle en el siguiente apartado.

La malla para este problema y los que se expondrán en el resto del proyecto

han sido elaboradas con el programa ICEM CFD 14.0 de Ansys, mientras que para la

creación de las geometrías se ha ido alternando entre CATIA V5 y el propio ICEM,

dejando las formas de mayor complejidad para el primer programa.

La primera consideración a tener en cuenta es que cuanto mayor sea el tamaño

de la malla mayor será el tiempo de computación. Por tanto la geometría debe

Figura 20. Error relativo cometido al evaluar las variables termodinámicas mediante tablas RGP.

0,01

0,1

1

10

100

0 50 100 150 200 250 300

Erro

r re

lati

vo (

%)

Número de intervalos

Entalpía

Velocidad del sonido

Cp




simplificarse lo máximo posible a través de simetrías. En el caso de cualquier tipo de

tobera recta, teóricamente puede aplicarse axilsimetría hasta alcanzar una sección de

paso de ángulo infinitesimal. A la hora de crear una malla no puede llegarse a este

extremo debido a que los elementos más cercanos al eje tendrían forma casi plana,

provocando errores debido a la relación de aspecto. Por tanto teniendo en cuenta lo

anterior y buscando una solución cómoda se puede optar por crear un cuarto de

sección de tobera. En caso de trabajar con toberas curvas se trabajará con media

sección.

Las mallas utilizadas serán mallas estructuradas. Se caracterizan por estar

formadas por elementos con forma de hexaedros distribuidos de una forma lógica. Las

ventajas del uso de malla estructuradas residen en la ordenación de los elementos en

memoria, ya que de esta forma, el acceso a las celdas vecinas a una dada resulta

rápido y fácil. Además resulta fácil el refinamiento de la malla en los lugares donde se

considere necesario.

La tobera tiene una longitud de 30cm, un radio a la entrada de 10cm y a la

salida de 5cm. Por simplicidad se considerará que la línea generatriz será recta.

La expansión se realizará desde una presión de remanso de 125 bar hasta una

presión estática de 80 bar. Para evitar que la tobera se bloquee debe controlarse la

relación de expansión y limitar el valor máximo del número de Mach. La temperatura

de remanso de la entrada será 345 K. A continuación se compararán los resultados

Figura 21. Ejemplo de malla estructurada. Detalle del refinamiento.



obtenidos mediante CFX a través de la interpolación de las tablas con los obtenidos

con la ecuación estado de Span&Wagner

Como se observa en la

con diferencias leves ocasionadas

En la Figura 22 se muestran los distintos perfiles que se producen en la tobera.

Figura 22

CFX

P (bar) 122.98

T (K) 344.00

ρ (kg/m3) 363.79

v (m/s) 31.988

Mach 0.1293

Tabla 5. Comparación de valores para un expansión entre 125 bar y 80.



SUPERCRÍTICAS


con la ecuación estado de Span&Wagner.

Como se observa en la Tabla 5 los valores obtenidos en CFX y EES son acordes,

con diferencias leves ocasionadas por el error de interpolación que acarrean las tablas.

se muestran los distintos perfiles que se producen en la tobera.

22. Perfiles para la expansión entre 125 bar y 80 bar.

ENTRADA SALIDA

CFX Ec. estado CFX

122.98 123.11 80.30

344.00 343.92 313.90

363.79 361.9 275.33

31.988 32.021 163.79

0.1293 0.1300 0.7925

. Comparación de valores para un expansión entre 125 bar y 80.

blema de proximidad al Punto Crítico. Tablas RGP

Página | 39


los valores obtenidos en CFX y EES son acordes,

el error de interpolación que acarrean las tablas.

se muestran los distintos perfiles que se producen en la tobera.

Ec. estado

80.30

313.90

274.7

164.51

0.8091




Atendiendo a estos resultados se concluye que el uso de tablas RGP

proporciona resultados ajustados si bien éstos dependen del número de elementos en

la tabla como se demostró anteriormente.

4.2 Caracterización del problema en CFX

Todo el contenido previo de este proyecto incluye una amplia información

sobre el problema de modelado de -SCO2 en la cercanía del punto crítico mediante

tablas RGP. Para adentrarse en las simulaciones que resolverán las cuestiones que

impulsan la elaboración de este proyecto es necesario tener información relativa al

problema CFD planteado.

4.2.1 Modelo de turbulencia

4.2.1.1 Ecuaciones de Navier-Stokes y RANS

Para la descripción del movimiento de un fluido se utilizan las ecuaciones de

Navier–Stokes. Este sistema de ecuaciones está formado por 7 ecuaciones, la ecuación

de continuidad, 3 ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento y 3

ecuaciones de conservación de la energía.

En principio, estas ecuaciones pueden describir el movimiento laminar y el

movimiento turbulento del fluido sin necesidad de información adicional. Sin embargo,

dado que el número de celdas necesarias para resolver el problema depende del

número de Reynolds, en simulaciones con altos números de Reynolds es necesario

recurrir a ciertas simplificaciones numéricas. En efecto la aplicación directa de la

solución completa de las ecuaciones de Navier-Stoke, método denominado DNS (de su

definición en inglés, Direct Numerical Simulation) requeriría para este tipo de

problemas de una potencia computacional no disponible, ya que sería necesario

resolver todas las escalas del movimiento fluido, desde la dimensión característica del

problema hasta la escala de Kolmogorov (fenómenos fluidodinámicos de menor

longitud característica).

Para poder predecir correctamente los efectos de la agitación turbulenta sobre

las características del movimiento del fluido (expresado en términos de magnitudes

medias) se han hecho numerosas investigaciones que han dado lugar a diferentes

modelos de turbulencia. Estos modelos han sido desarrollados específicamente para

tener en cuenta los efectos de la turbulencia de manera aproximada sin necesidad de




resolver las ecuaciones de Navier-Stokes para estas longitudes características tan

pequeñas.

En general, los modelos de turbulencia buscan modificar las ecuaciones de

Navier-Stokes añadiendo algunos términos y cantidades promedio, dando lugar a las

ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por el número de Reynolds (RANS). Este

método consiste en descomponer las variables del flujo en un valor promedio y otro

fluctuante. De forma que las ecuaciones de Navier-Stokes se reformulan en función de

las variables promedio, obteniendo el sistema de ecuaciones RANS, muy parecido al

original pero con un nuevo término sin definir, el relacionado con el valor fluctuante

de las variables. Las ecuaciones de Navier-Stokes quedan modificadas de la siguiente

forma:

��

��+

�

��(��)= 0

�

��(��)+

�

��= −

��

��+

�

��(�� − ��)

�

��(��)+

�

��=

�

��(�� − ��)�+

�

��

��

��− − ��ℎ��

donde�� representa las componentes de la velocidad para cada eje cartesiano,��el tensor de esfuerzos viscosos y � la conductividad térmica.

Los términos añadidos son el término de esfuerzos de Reynolds, ��, y un

término de flujo turbulento de entalpía, ��ℎ��.

Estos dos términos pueden ser definidos mediante los Modelos de Viscosidad

por Torbellinos, que proponen que la turbulencia consiste en pequeños torbellinos

que aparecen y desaparecen.

− �� = ��

��+��

� −2

3

�

��(�� + ��

��

)

− �� =��

��

��

donde�� es el número de Prandtl turbulento y k la energía cinética turbulenta.

La ecuación del flujo turbulento ha sido referida a una variable genérica �. Por último

�� es la viscosidad cinemática del torbellino, la cual debe ser modelada. Para modelarla

surge una gran diversidad de opciones, entre las cuales las herramientas CFD hacen

uso principalmente de los modelos de dos ecuaciones.




4.2.1.2 Modelos Turbulentos de dos ecuaciones.

Todo lo explicado hasta ahora generalmente es aplicado automáticamente por

CFX. Es a partir de la forma de definir �� cuando es necesario decidir qué tipo de

modelo de turbulencia utilizar.

Resultados publicados de estudios previos que comparan diferentes modelos

de dos ecuaciones aplicados sobre un flujo de CO2 en una tobera recta [5] confirman

que los modelos que emplean la tasa de disipación de la energía cinética turbulenta, ω,

producen mejores resultados, por ello es recomendable el modelo k-ω. Además, el

modelo SST (Shear Stress Transport) k-ω presenta muy buenos resultados cuando se

pretende evaluar la capa límite en flujos sometidos a gradientes adversos de presión,

fenómeno que ocurre localmente en las simulaciones de este proyecto. Por tanto el

modelo a elegir será el SST k-ω.

4.2.2 Caracterización de las paredes

Es necesario hacer una precisa descripción de las características de las

condiciones de contorno del sistema. La superficie de entrada y la de salida serán

definidas de forma distinta en función del tipo de problema que se modele. Las

superficies que definan el plano de simetría no requieren información adicional. La

superficie de la pared requiere una breve descripción de su comportamiento, que será

la misma en todas las simulaciones:

No hay transmisión de calor a través de la pared; es decir, es adiabática.

No existe deslizamiento entre la pared y el fluido; es decir, la velocidad del

fluido que colinda a la pared es nula por definición.

Es necesario definir una rugosidad. La pared de la tobera que sea simulada

deberá simular las paredes del rodete de un compresor. Aunque estas

paredes se caracterizan por su baja rugosidad debe definirse una

rugosidad en la pared, ya que en caso contrario se estaría simulando una

situación irreal. Consultando la literatura disponible se observa que en

este tipo de simulaciones se utiliza una rugosidad de entre 0.02 y 0.1 mm.

Para realizar un análisis conservador se fijará la rugosidad en 0.06 mm.

Por último, es necesario definir una serie de propiedades y fenómenos al

incluir las partículas en la simulación, como la erosión por impacto. Estos

fenómenos no son objetos de este estudio por lo que se desestimará su

presencia. Algo que sí es necesario definir es el coeficiente de restitución

de la partícula. Este coeficiente es una medida del grado de conservación

de la energía cinética de un cuerpo al chocar con otro cuerpo, siendo 1 el




valor relativo a la conservación de toda la energía cinética y 0 el relativo a

la pérdida total de la energía cinética. Investigando en la literatura

relacionada con esto encontramos que valores entre 0.9 y 1 son los más

adecuados. Por tanto se tomará un valor de 0.95.

4.3 Problema de proximidad al punto crítico

En este apartado se analizará el comportamiento del SCO2 en las inmediaciones

del punto crítico. Además se valorarán las limitaciones existentes en el método. Por

ello, pese a que el estudio se va a realizar haciendo uso del modulo de partículas, como

ya se anticipó en el capítulo anterior, en este episodio se hace uso de una HBM. La

validez de los resultados obtenidos se verificarán mediante EES.

La HBM está compuesta por dos materiales, la fase líquida y la fase vapor del

CO2. Las condiciones de saturación son especificadas mediante la tabla RGP del vapor.

Para líneas futuras de investigación, en caso de querer modelar tanto la evaporación

como la regasificación debe actuarse de una forma distinta ya que, como se explico, las

líneas de saturación que la fase líquida y gaseosa ven son distintas. Por ello, si se

modela la regasificación aplicando este procedimiento la línea de saturación que el

líquido seguiría sería la del vapor. Para resolver este conflicto deben definirse ambos

estados de agregación en un mismo archivo RGP, con sus respectivas líneas de

saturación. De esta forma el simulador se atendrá a la línea de saturación definida para

cada material.

El caso que se va a simular es una expansión de vapor supercrítico a 90 bar y

315 K de presión de remanso y temperatura de remanso que descarga a 65 bar de

presión estática. Procuraremos que el Mach en la garganta no supere el valor 0.65 que

es el valor máximo que suele alcanzarse en los compresores.

La geometría que se va a utilizar es la malla convergente que se utilizó en la

validación de las tablas.

Poder conseguir modelar este caso ha resultado harto complicado debido a las

tendencias irregulares de las propiedades en las cercanías del punto crítico. No es

posible realizar la expansión descrita directamente ya que la solución no converge, por

lo que ha tenido que recurrirse a iteraciones sucesivas, partiendo de un estado más

estable cuya solución servía de solución inicial para el siguiente caso. En concreto para

este caso se ha partido de una expansión que no cruzaba la línea de saturación que

alcanza 75 bar de presión estática a la salida. Además inicialmente se ha sustituido la

HBM como material de simulación por la fase vapor. A partir de la solución de este



caso se introducirá la HBM como material y se irá disminuyendo la presión a la salida

de la tobera.

Aun teniendo en cuenta lo anterior n

que en un principio se deseaba, siendo el

de 71 bar. Analizando los resultados se observa que el número de Mach que se alcanz

a la salida es de 4.74. Para comprender e

obtenido en la simulación previa a é

bifásica, tiene una presión de descarga de 73 bar. El número de Mach que se alcanza a

la salida de la tobera en esta simulación es de 0.52

Es evidente que existen varios motivos para dicha diferencia, en menor medida

el aumento de la velocidad al aumentar

brusca disminución que sufre la velocidad del sonido en

reduciéndose en torno su tercera parte; pero incluso teniendo en cuenta dichos

factores el número de Mach podría alcanzar un valor no super

evidente que la solución a la que

cerciorarnos de ello se comparan los resultados obtenidos con los que se obtienen en

EES.

En la Figura 23 se compara la evolución

con la expansión hasta 71 bar.

difiriendo únicamente en la zona don

región donde se produce el fallo. Cabe esperar que el

signo que se produce en la derivada fundamental y por tanto de inestabilidad en el

modelado de la velocidad del sonido. Esto puede comprobarse en la

zona donde se produce la fluctuación

aparece la fase líquida. Esto se comprueba con la

superficie de título de vapor constante de 0.999.

Figura 23. Mach para expansión desde 90bar hasta 73bar (izq) y hasta 71bar (der).



SUPERCRÍTICAS


Aun teniendo en cuenta lo anterior no ha sido posible alcanzar la ex

que en un principio se deseaba, siendo el mínimo valor de presión alcanzado a la salida

de 71 bar. Analizando los resultados se observa que el número de Mach que se alcanz

. Para comprender esto se va a comparar este resultado con el

nido en la simulación previa a ésta. Esta simulación, la cual no alcanza la zona


esta simulación es de 0.52.


el aumento de la velocidad al aumentar la relación de expansión, y en mayor medida la

brusca disminución que sufre la velocidad del sonido en las cercanías d

en torno su tercera parte; pero incluso teniendo en cuenta dichos

Mach podría alcanzar un valor no superior a 2, por lo que es

evidente que la solución a la que ha convergido el simulador no es correcta. Para


se compara la evolución del Mach de la expansión hasta 73 bar

con la expansión hasta 71 bar. La evolución del Mach es igual para ambos casos,

en la zona donde se alcanza el cambio de fase, siendo en esa

región donde se produce el fallo. Cabe esperar que el fallo sea resultado del cambio de


modelado de la velocidad del sonido. Esto puede comprobarse en la

zona donde se produce la fluctuación de la velocidad del sonido es la sección donde

aparece la fase líquida. Esto se comprueba con la Figura 25, donde se muestra una

superficie de título de vapor constante de 0.999.

. Mach para expansión desde 90bar hasta 73bar (izq) y hasta 71bar (der).


Página | 44


o ha sido posible alcanzar la expansión

valor de presión alcanzado a la salida

de 71 bar. Analizando los resultados se observa que el número de Mach que se alcanza

sto se va a comparar este resultado con el

Esta simulación, la cual no alcanza la zona



la relación de expansión, y en mayor medida la

las cercanías del punto crítico,

en torno su tercera parte; pero incluso teniendo en cuenta dichos

ior a 2, por lo que es

no es correcta. Para


del Mach de la expansión hasta 73 bar

a evolución del Mach es igual para ambos casos,

de se alcanza el cambio de fase, siendo en esa

fallo sea resultado del cambio de


modelado de la velocidad del sonido. Esto puede comprobarse en la Figura 24. En la

de la velocidad del sonido es la sección donde

, donde se muestra una

. Mach para expansión desde 90bar hasta 73bar (izq) y hasta 71bar (der).




En la Tabla 6 se comparan los valores obtenidos en CFX con los que se obtienen

mediante la ecuación de Span&Wagner, donde se observa que los valores a la entrada

de la tobera son muy parecidos para ambas herramientas. Sin embargo a la salida la

diferencia es mucho más grande, debido a los fallos en los que incurre CFX al modelar

el cambio de fase en esta región.

Viendo estos resultados cabe preguntarse si los resultados al modelar el cambio

de fase con una HBM haciendo uso de tablas RGP para modelar el fluido son precisos.

Para ello se han hecho una serie de simulaciones en las que se introduce en la tobera

vapor de CO2 subcrítico muy cercano a la línea de saturación. En concreto se expande

desde 60 bar a 300 K hasta 40 bar. En este caso al comparar los resultados con los

obtenidos en EES el error es mucho menor, acorde a los obtenidos en la validación de

las tablas. Por tanto el modelado es correcto lo que quiere decir que el fallo se produce

solo en las proximidades del punto crítico.

Figura 25. Superficie de titulo de vapor constante. X=0.999.

Figura 24. Perfil de velocidad (izq). Perfil de velocidad del sonido (der).



En los perfiles anteriores cabe de

de las propiedades del fluido cuando condensa la fase líquida, y por otro lado

comportamiento de la entropía específica.

Figura 26. Perfiles de para la expansión entre 60 bar y 40 bar.

P (bar)

T (K)

ρ (kg/m3)

x

v (m/s)

a (m/s)

Mach

Tabla 6. Comparación de valores para un expansión entre 90 bar y 71 bar.



SUPERCRÍTICAS

En los perfiles anteriores cabe destacar por un lado el comportamiento regular

de las propiedades del fluido cuando condensa la fase líquida, y por otro lado

comportamiento de la entropía específica. Se observa que en la pared se produce un

. Perfiles de para la expansión entre 60 bar y 40 bar.

ENTRADA

CFX Ec. estado CFX

89.29 89.35 71.76

314.5 314.6 302.9

406.5 406.8 356.2

1 1 0.9863

17.75 17.91 100.5

201.1 201.3 43.87

0.0882 0.0890 4.749

. Comparación de valores para un expansión entre 90 bar y 71 bar.


Página | 46

por un lado el comportamiento regular

de las propiedades del fluido cuando condensa la fase líquida, y por otro lado el

Se observa que en la pared se produce un

SALIDA

Ec. estado

71.76

302.9

347.9

0.9107

83.76

176.1

0.4758

. Comparación de valores para un expansión entre 90 bar y 71 bar.




aumento de entropía debido a la irreversibilidad que se produce por la fricción de la

pared. El aumento de entropía que se produce durante la condensación puede

justificarse con lo explicado en el apartado 3.1, donde se indica que en los procesos de

condensación fuera de equilibrio se produce generación de entropía.

Para poder analizar el proceso de condensación de la fase líquida se va a

representar en la tobera la superficie donde condensa por primera vez el vapor.

El gradiente de colores representa la variación de la velocidad a lo largo de la

superficie. Como se observa la condensación se produce primero en las zonas alejadas

de la pared y a medida que el fluido es más cercano a la pared condensa en secciones

de paso posteriores. Esto se debe al perfil de velocidad. Al disminuir la velocidad cerca

de la pared la presión de remanso es menor en esta zona. Analizándose en un

diagrama h-s, la línea de expansión en la región de la pared se desplaza hacia la

derecha y tarda más en alcanzar la línea de saturación; es decir, requiere una mayor

disminución de la presión estática para alcanzar la línea de saturación.

Analizando el punto de condensación en un compresor centrífugo, la

aceleración se produce a lo largo del borde de ataque del álabe, alcanzándose ahí las

condiciones de saturación. Las gotas de líquidos que se forman en esta región tienden

a separarse de la pared siendo transportadas en el medio gaseoso. Esto puede

observarse en la Figura 28 [2] donde se hace funcionar un compresor con S-CO2 en

condiciones alejadas de las del punto crítico. El compresor trabaja con ángulo de

Figura 27. Superficie del volumen de control donde aparece la condensación.




incidencia negativo para provocar una disminución brusca de presión y alcanzar la

línea de saturación. Como se representa, tras producirse la condensación localizada en

el borde del álabe el haz de gotas se separa de la pared siendo arrastrado por la fase

gaseosa.

Con este apartado se puede llegar a la conclusión de que modelar el cambio de

fase en las cercanías del punto crítico con precisión no puede ser abordado con las

tablas RGP. Por lo tanto en este estudio no se ha llevado a cabo la evaluación del

proceso de condensación debido principalmente a dos razones. La primera razón es la

pequeña región del compresor en la que ocurre dicho fenómeno, además de la

pequeña carga de humedad que aparece. La segunda es la ausencia de datos

experimentales que puedan validar los resultados y la falta de un modelo de

condensación adecuado para un fluido que se encuentra cercano a las condiciones del

punto crítico, para el cual sería necesario realizar una mejora en los modelos de

turbulencias disponibles, ya que estos modelos no son capaces de trabajar con fluidos

que sufren altos gradientes de densidad como los que sufre el CO2 en las cercanías del

punto crítico.

Dicho esto, puede rechazarse como ya se anticipó, el modelado del flujo

bifásico mediante una HBM y por tanto modelar el fluido como un medio continuo

cargado de partículas.

Figura 28. Evolución del Mach ante un ángulo de incidencia negativo [2]

Análisis unifásico



5 Análisis unifásico

En este capítulo se presentan los resultados obtenidos sobre el modelado del

transcurrir del vapor a través de distintas geometrías.

En este capítulo se realizarán una serie de simulaciones modelando únicamente

la fase gaseosa. Se recurre a esto para evaluar el comportamiento cinemático y

termodinámico de la fase predominante y analizar las características idóneas de cada

geometría utilizada y ser utilizadas en el siguiente capítulo para el análisis bifásico.

Para modelar la fase vapor se usan sus respectivas tablas RGP. Como ya se

explicó anteriormente, cuando se atraviesa la línea de saturación las tablas devuelven

los valores del vapor saturado a la presión local del vapor, de forma que el fluido

resultante es una mezcla bifásica de la que se ha extraído la fase líquida.

5.1 Expansión en el punto crítico

Lo primero que ve se va a plantear es realizar una expansión en la tobera

convergente con condiciones supercríticas a la entrada. Estas condiciones son las

mismas que en los experimentos supercríticos anteriores, 90 bar y 315 K, ambas

magnitudes de remanso. La presión de salida en el caso de la HBM quedaba limitada

por la imposibilidad de obtener una solución a presiones inferiores de la alcanzada. En

este caso no surge este problema, siendo posible expandir hasta alcanzar un valor del

número de Mach de en torno a 0.65.

Para alcanzar la solución de este problema se procede de la misma forma que

con la HBM, se hacen simulaciones iterativas disminuyendo la presión de salida desde

presiones supercríticas hasta la presión deseada. La presión alcanzada para un número

de Mach limitado a 0.65 es 60 bar.

En la Figura 29 se observan dos cosas de interés. En primer lugar que la

evolución del número de Mach es suave, aunque mostrando un gradiente mucho

mayor en el momento que se alcanza la línea de saturación que en el resto de la

tobera. Esto es justificable por la rápida disminución que sufre la velocidad del sonido.

En segundo lugar debe explicarse el comportamiento de la entropía. Al alcanzarse la



línea de saturación los resultados

específica. Esto es lógico teniendo en cuenta que al alcanzar la línea de saturación las

tablas RGP del vapor devuelven el valor de las propiedades termodinámicas

saturado. Para que la solución se

líquida en la proporción correspondiente y realizar el promedio de las distintas

variables.

Para analizar mejor los resultados se va a representar la evolución de distintas

propiedades termodinámicas

resultados se presentan en el

discontinuidad a la salida de la tobera, en el momento que la presión y la temperatura

del fluido alcanzan la línea de saturación. Esta discontinuidad es debida, como en el

caso de la entropía, a la form

bifásica.

Concluimos que los resultados obtenidos son afines al comportamiento real de la fase

vapor. Por tanto esta modelación solventa los problemas existentes debido a la

imposibilidad de modelar e

5.2 Aplicación a toberas curvas

Una vez aplicada esta modelación a la tobera convergente con el propósito de

validar los resultados, el siguiente paso es aplicar lo anterior a geometrías que se

parezcan a la forma de un conducto de r

primera un codo de sección constante y

realizar múltiples simulaciones y abordando el problema desde diferentes puntos, la

simulación de la fase vapor saturada en el codo convergente no ha dado resultados

coherentes por problemas de convergencia en el s

Figura 29. Perfiles en expansión entre 90 bar y 60 bar con fase vapor.



SUPERCRÍTICAS

los resultados muestran un aumento repentino


tablas RGP del vapor devuelven el valor de las propiedades termodinámicas

Para que la solución se parezca a la solución real habría que introducir la fase



termodinámicas a lo largo de la línea que define el eje de la tobera. Los

resultados se presentan en el Anexo I. Observando estos resultados se percibe

tinuidad a la salida de la tobera, en el momento que la presión y la temperatura


caso de la entropía, a la forma en la que las tablas devuelven los valores en la zona



imposibilidad de modelar el proceso de condensación.

Aplicación a toberas curvas

aplicada esta modelación a la tobera convergente con el propósito de


parezcan a la forma de un conducto de rodete. Se propone usar dos geometrías, la

un codo de sección constante y la segunda un codo convergente, pero tras



coherentes por problemas de convergencia en el simulador. Por lo tanto su estudio en

. Perfiles en expansión entre 90 bar y 60 bar con fase vapor.


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muestran un aumento repentino de la entropía


tablas RGP del vapor devuelven el valor de las propiedades termodinámicas del vapor

parezca a la solución real habría que introducir la fase



a lo largo de la línea que define el eje de la tobera. Los

ando estos resultados se percibe una

tinuidad a la salida de la tobera, en el momento que la presión y la temperatura


a en la que las tablas devuelven los valores en la zona



aplicada esta modelación a la tobera convergente con el propósito de


Se propone usar dos geometrías, la

la segunda un codo convergente, pero tras



imulador. Por lo tanto su estudio en

. Perfiles en expansión entre 90 bar y 60 bar con fase vapor.




este proyecto ha debido ser rechazado, modelando únicamente el codo de sección

constante.

El codo tendrá un ángulo de 90o y el diámetro de entrada, D, será de 10 cm. La

longitud del tramo recto de entrada será 30 cm y el radio de curvatura interno 10 cm.

La longitud del tramo recto de salida se fijará una vez realizado un estudio de

sensibilidad de este parámetro sobre la precisión de los resultados.

Para la elaboración de la malla se aplicará simetría, siendo posible en este caso

únicamente en un plano, modelando así media sección de paso.

5.2.1 Longitud de salida

La longitud de la tobera aguas abajo del codo debe ser especificada

correctamente en función de diversas circunstancias. En primer lugar cuanto mayor

sea la longitud de este tramo mayor peso computacional se le añade al problema. Por

otro lado, si dicha longitud no es suficientemente grande y el fluido no ha tenido

tiempo suficiente tras su paso por el codo de estabilizarse, la solución estará falseada

por las condiciones de contorno a la salida. En este caso, en el que la condición de

salida es de presión, el perfil de presión estaría acoplado con la presión de salida,

viéndose modificadas asimismo el resto de propiedades termodinámicas. Esto puede

observarse en el codo más pequeño que aparece en la Figura 30, cuya longitud de

salida es de 20 cm, 2D, es decir, dos veces el diámetro de la tobera. La entrada de la

tobera es el extremo inferior.

Para analizar la longitud necesaria requerida para la obtención de unos

resultados correctos se van a comparar los resultados obtenidos en tres toberas

distintas, de longitudes de salida de 3D, 5D y 10D. Se analizarán secciones de la tobera

a distancias del codo de 2D, 3D y 5D, y se comparará el valor promedio de distintas

variables como se muestra en la Tabla 7. Las condiciones de contorno del codo se fijan

acordes a las condiciones de salida obtenidas en la tobera convergente. A la entrada se

tienen 298 K de temperatura y una velocidad normal a la entrada de 30 m/s. A la salida

se fija la presión en 60 bar. El hecho de fijar estas condiciones de contorno se ha hecho

en primer lugar porque son acordes a las alcanzadas a la salida de la tobera

convergente que es donde se ha producido la condensación y por tanto las condiciones

que nos interesan, pero más importante aún es el hecho de que estas condiciones son

próximas a las alcanzadas normalmente en el borde de ataque del álabe del rodete del

compresor.

En la Tabla 7 los codos están numerados desde el de menor longitud al de

mayor longitud y cada columna muestra las propiedades termodinámicas a las



distintas distancias de la salida del codo. Las variables que se han elegido para hacer la

comparación son la velocidad y

que al ser una variable impuesta en la salida su valor va a ser distinto para una misma

sección en cada codo, además de que las pérdidas de carga son proporcionales a la

longitud recorrida por el flui

Los resultados obtenidos muestran que los fall

más corto son leves. Además estos pequeños fallos pueden estar asociados también a

la diferente distribución de presión que hay en cada codo, cuyo motivo quedó

explicado en el párrafo anterior. Por tanto, atendiendo a estos

en cuenta el compromiso computacional en el que se incurre al aumentar el tamaño

de la malla se elige el codo 2, de longit

siguientes análisis, tanto los de flujo unifásico como los de flujo bi

el siguiente capítulo.

En el anexo II se adjuntan los resultados obtenidos en la simulación realizada en

este codo.

Figura 30.Perfil de presión en codos de distinta longitud de salida



SUPERCRÍTICAS


comparación son la velocidad y la entalpía específica. No se ha elegido la presión ya



longitud recorrida por el fluido y la distribución de presión es distinta.

Los resultados obtenidos muestran que los fallos producidos por tomar un codo



explicado en el párrafo anterior. Por tanto, atendiendo a estos resultados y teniendo


de la malla se elige el codo 2, de longitud del tramo de salida de 50 cm, para los

siguientes análisis, tanto los de flujo unifásico como los de flujo bifásico realizados en


.Perfil de presión en codos de distinta longitud de salida


Página | 52


la entalpía específica. No se ha elegido la presión ya



os producidos por tomar un codo



resultados y teniendo


ud del tramo de salida de 50 cm, para los

fásico realizados en





5.2.2 Análisis de resultados

Considerando que los resultados de la evolución del fluido en el interior de la

tobera son aplicables a la evolución del fluido en el interior del conducto de rodete se

evaluará la fuerza resultante que el fluido ejerce sobre la tobera. Esto se hará de dos

formas distintas. Primeramente a través del post-procesado de los resultados de CFX,

calculando la suma de fuerzas ejercidas sobre la pared en la dirección X y

posteriormente en la dirección Y.

��⃗ = 48.600��

��⃗ = 48.404��

De estas componentes se obtiene que la fuerza resultante es de 68,592kN.

La otra manera de calcular las fuerzas sobre la tobera es aplicar la ecuación de

conservación de cantidad de movimiento. Se aplica la ecuación en su forma integral

que tiene la forma:

�

�� ⃗��

�

+ � ��⃗(�⃗ ∙ ��⃗ )��

= � ��⃗�� −

�

� ��⃗ ��

+ � (�⃗ ∙ ��⃗ )��

Desarrollando esta ecuación se llega a:

�⃗ = ��⃗ + ��⃗ − �̇(��⃗ − ��⃗ )+ �⃗�

2D 3D 5D

Codo 1 v (m/s) 30.85 30.74 -

h (kJ/kg) 41.47 41.47 -

Codo 2 v (m/s) 30.83 30.74 30.58

h (kJ/kg) 41.46 41.46 41.46

Codo 3 v (m/s) 30.83 30.74 30.57

h (kJ/kg) 41.45 41.45 41.45

Tabla 7. Análisis del estado del fluido en diferentes codos.



Para no incurrir en errores debido a la no uniformidad de las propiedades del

fluido en la sección se recurre a calcular las integrales anteriores mediante la

herramienta de post-procesado de CFX. Los resultados obtenidos son:

��⃗ = 48.641��

��⃗ = 48.498��



SUPERCRÍTICAS


en la sección se recurre a calcular las integrales anteriores mediante la

procesado de CFX. Los resultados obtenidos son:

Figura 31. Distribución de fuerzas en los ejes X e Y.


Página | 54


en la sección se recurre a calcular las integrales anteriores mediante la



El error en el que se ha incurrido r

y de 0.19% en el eje Y.

Aprovechando el cálculo realizado se puede estudiar el porcentaje de la fuerza

que produce cada término. Tomando como ejemplo el eje X se obtiene que el té

de presión produce un 97.1

produce un 2.8% y el de fricción un 0.1

De los resultados mostrados en el anexo II se va

de interés digna de ser comentada.

En primer lugar observar el desprendimiento de la capa límite

flujo en la pared. El radio de curvatura tiene una gran influencia en la importancia de la

inversión de flujo. Comparando estos resultados con los resultados que se obtienen

para un codo de menor radio de curvatura con un radio interno de 5 cm, para este

último la sección de paso del flujo invertido es mucho mayor. Además en este caso se

observa que el torbellino se separa más de la pared tr

Figura 32. Perfil de velocidad. Detalle del flujo invertido en el desprendimiento de la

Presión

F (kN) 66.638

Tabla 8. Desglose de la fuerza resultante en los distintos términos de la ecuación de conservación de



SUPERCRÍTICAS

El error en el que se ha incurrido realizando los cálculos es de 0.08% en el eje X


da término. Tomando como ejemplo el eje X se obtiene que el té

de presión produce un 97.1% de la fuerza, el término de cantidad de movimiento

produce un 2.8% y el de fricción un 0.1%.

mostrados en el anexo II se va a extraer a alguna información

de interés digna de ser comentada.

En primer lugar observar el desprendimiento de la capa límite y la inversión del

adio de curvatura tiene una gran influencia en la importancia de la

Comparando estos resultados con los resultados que se obtienen


o del flujo invertido es mucho mayor. Además en este caso se

el torbellino se separa más de la pared tras el desprendimiento.

. Perfil de velocidad. Detalle del flujo invertido en el desprendimiento de la

Presión Cant. de movimiento Fuerza de fricción

66.638 1.947 0.150

. Desglose de la fuerza resultante en los distintos términos de la ecuación de conservación de movimiento.


Página | 55

ealizando los cálculos es de 0.08% en el eje X


da término. Tomando como ejemplo el eje X se obtiene que el término

dad de movimiento

a alguna información

y la inversión del

adio de curvatura tiene una gran influencia en la importancia de la

Comparando estos resultados con los resultados que se obtienen


o del flujo invertido es mucho mayor. Además en este caso se

as el desprendimiento.

. Perfil de velocidad. Detalle del flujo invertido en el desprendimiento de la capa límite.

Resultante

68.991

. Desglose de la fuerza resultante en los distintos términos de la ecuación de conservación de



Tras el desprendimiento de la capa límite la sección de paso queda

estrangulada, sin volver a recuperarse el régimen laminar en la salida del codo. Si se

analiza este comportamiento en el codo 3, de longitud de salida

final del tramo que se produce una homogen

Otra forma de visualizar el recorrido del fluido es representando la velocidad

del vapor en distintas secciones de paso

Figura 34. Homogenización del perfil de velocidad a una longitud de 100 cm.

Figura 33. Flujo invertido y torbellino en codo de menor radio de curvatura.



SUPERCRÍTICAS



analiza este comportamiento en el codo 3, de longitud de salida 10D, se observa al

final del tramo que se produce una homogenización del perfil de velocidad.


del vapor en distintas secciones de paso del codo. Concretamente se va a representar

. Homogenización del perfil de velocidad a una longitud de 100 cm.

. Flujo invertido y torbellino en codo de menor radio de curvatura.


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10D, se observa al

ización del perfil de velocidad.


. Concretamente se va a representar

. Homogenización del perfil de velocidad a una longitud de 100 cm.

. Flujo invertido y torbellino en codo de menor radio de curvatura.



a la salida del codo y en secciones

la Figura 35.

En esta imagen se representa la velocidad absoluta del fluido. Hubiera sido

ideal representar la compone

visualización, pero CFX no permite esa opción. Esta visualización permitirá comprender

la tendencia que siguen las partículas. Se observa como al pasar el codo se forma una

perturbación en la zona inter

se produce en esa zona y el consecuente desprendimiento de la capa límite. Esa

perturbación produce un torbellino que va disipándose a medida que el fluido avanza,

quedando prácticamente disipado en l

salida de la tobera. La sección de salida no se ha representado porque al ser la

componente de velocidad normal a la sección, dicha imagen no aporta

interés.

Otro aspecto de interés es el análisis de

el radio interno al radio externo. Para ello se define

bisectriz del codo y se analizan dos variables independientes, como pueden ser la

presión y la entropía. Debido a que en esta simulación no puede evaluarse la entropía

se va a simular vapor sobrecalentado en el interior del co

Figura 35. Velocidad representada en secciones transversales.



SUPERCRÍTICAS

a la salida del codo y en secciones posteriores equidistantes. Esto puede observarse en


ideal representar la componente tangencial de la velocidad, lo que facilitaría su



perturbación en la zona interior del codo ocasionada por el aumento de velocidad que



quedando prácticamente disipado en la última sección representada y totalmente a la


componente de velocidad normal a la sección, dicha imagen no aporta

tro aspecto de interés es el análisis de la evolución del fluido en el codo desde

el radio interno al radio externo. Para ello se define una línea que

y se analizan dos variables independientes, como pueden ser la


se va a simular vapor sobrecalentado en el interior del codo para posteriormente

Velocidad representada en secciones transversales.


Página | 57

Esto puede observarse en


nte tangencial de la velocidad, lo que facilitaría su



ior del codo ocasionada por el aumento de velocidad que



a última sección representada y totalmente a la


componente de velocidad normal a la sección, dicha imagen no aporta nada de

la evolución del fluido en el codo desde

una línea que coincida con la

y se analizan dos variables independientes, como pueden ser la


do para posteriormente



extrapolar a nuestro caso el comportamiento de la entropía en el codo. La simulación

realizada se caracteriza por una temperatura de entrada de 295 K y 30 m/s de

velocidad y una presión de salida de 50 bar.

En esta simulación

generación ni destrucción de entropía, solo el aumento de entropía relacionado con la

fricción de las paredes. Donde sí se produce un leve aumento de entropía es en la

región donde se desprende la capa lím

simulación con vapor saturado,

producido por la condensación fuera de equilibrio, los resultados son similares

Figura 36 se representa la evolución del comportamiento del fluido en la bisectriz del

codo mediante la línea roja

La parte superior de la línea corresponde al radio externo y la inferior al radio interno.

El aumento de entropía en el radio interno es mayor debido al desprendimiento de la

capa límite. Definiendo Rm

En � > ��, aumenta el título de vapor, disminuyendo la concentración de

gotas en esa región.

En � < ��, la concentración de la fase líquida aumenta.

Figura 36. Estado del CO



SUPERCRÍTICAS



velocidad y una presión de salida de 50 bar.

se observa que al pasar por el codo el fluido no sufre


. Donde sí se produce un leve aumento de entropía es en la

región donde se desprende la capa límite. Extrapolando estos resultados a la

simulación con vapor saturado, pese a que habría que añadir el aumento de entropía

ondensación fuera de equilibrio, los resultados son similares

se representa la evolución del comportamiento del fluido en la bisectriz del

mediante la línea roja.



como la línea media del codo:

, aumenta el título de vapor, disminuyendo la concentración de

gotas en esa región.

la concentración de la fase líquida aumenta.

. Estado del CO2 a lo largo de la bisectriz del codo


Página | 58



rva que al pasar por el codo el fluido no sufre ni


. Donde sí se produce un leve aumento de entropía es en la

ite. Extrapolando estos resultados a la

habría que añadir el aumento de entropía

ondensación fuera de equilibrio, los resultados son similares. En la

se representa la evolución del comportamiento del fluido en la bisectriz del



, aumenta el título de vapor, disminuyendo la concentración de

Coexistencia de fases líquida y vapor



6 Coexistencia de fases líquida y vapor

En este capítulo se va a abordar el principal objetivo de este proyecto, la

evaluación del comportamiento del flujo bifásico de CO2 en toberas. La malla a utilizar

será la misma que la utilizada en el apartado anterior, al igual que las condiciones de

contorno de entrada y salida.

Para modelar el flujo bifásico se hará uso del módulo de Transporte de

Partículas. Este modelo tiene una limitación. Las propiedades termodinámicas de las

partículas deben ser definidas con valores constantes, cualquier otra forma de

definirlas no es soportada por el modelo, por tanto no puede hacerse uso de las tablas

RGP para definir el estado de la fase líquida. En lugar de ello se evaluarán las

propiedades del fluido mediante la ecuación de Span&Wagner a las condiciones de

entrada del fluido.

La fracción másica de líquido inyectada en el codo será de 0.1, acorde a los

valores máximos que pueden alcanzarse en una turbomáquina. Para valores bajos de

la fracción de partículas, como es el caso, la interacción fluido-partícula se modela

mediante acoplamiento unidireccional, es decir, la introducción de las partículas en el

seno fluido no afecta al comportamiento de este, son las partículas las afectadas por el

fluido portador. Teniendo en cuenta lo anterior, para simular un flujo bifásico de este

tipo lo más común es simular en primer lugar la fase continua, es decir, el vapor, y una

vez se tenga la solución de la fase vapor se realiza una nueva simulación introduciendo

las partículas.

En este caso se parte de la solución obtenida en el capítulo anterior. A esta

solución se le introduce un caudal de 4.563 kg/s, valor que corresponde a la fracción

másica de 0.1. El líquido entra a la misma velocidad que el vapor por la entrada de la

tobera uniformemente distribuido. De esta forma se podrá evaluar el comportamiento

de las partículas a distintas condiciones, las del interior del codo, a mayor velocidad y

ρ (kg/m3) 751.03 cp (kJ/(kg K)) 4.839

μ (Pa s) 6.271∙ 10-5 k (W/(m K)) 0.0834

Tabla 9. Propiedades termodinámicas de las partículas de líquido.




expuestas a la turbulencia del desprendimiento de la capa límite y las del exterior del

codo, a menor velocidad y a mayor velocidad que el resto de la sección. Es necesario

definir el número de posiciones, Npos que definirán el comportamiento del fluido. Estas

posiciones son puntos que se definen en la entrada de las partículas. El simulador

evalúa que ocurre con cada punto, como si de una sola partícula se tratara, pero en

realidad este punto representa un número de partículas definido. En las siguientes

ecuaciones se muestran la relación entre el número de posiciones, el caudal de líquido

y el número de partículas, N.

� =

��

43� ��

�

�ú��í��ó� =�

��

Al visualizar la solución que muestra CFX, cada una de las líneas de corriente

que se muestran son las referidas a las distintas posiciones definidas en la entrada y el

número de líneas de corrientes mostradas puede ser variado con la intención de

valorar un mayor número de partículas o aclarar la visualización de la simulación. En la

Figura 37 se muestra la entrada a la tobera con 36 posiciones.

La forma de las gotas es esférica y el diámetro de las gotas se variará para

analizar la influencia de su inercia en su comportamiento.

Teniendo esto en cuenta, el problema bifásico queda definido.

Figura 37. Posiciones definidas a la entrada de la tobera en el post-procesado.




En primer lugar se va a comparar la influencia del tamaño de las partículas

sobre su trayectoria. Para eso se harán dos simulaciones, una con partículas de

diámetro de 50 μm y otra con partículas de diámetro de 5 μm.

Figura 39. Recorrido y velocidad de las particulas. Dp = 5μm.

Figura 38. Recorrido y velocidad de las particulas. Dp = 50μm.



Es necesario añadir que se han elegido este tamaño de gotas para apreciar la

diferencia de comportamiento para distintos diámetros. Un diámetro correcto para

este análisis, y no siendo conservadores sería de 5

En estas imágenes se observa que la mayoría de las partículas siguen la línea de

corriente del vapor. Esto es lógico teniendo en cuenta que la diferencia de densidades

entre la fase vapor y la fase líquida es pequeña en comparación a otros fluidos en los

que podría esperarse una mayor desviación.

En ambos se observa como al atravesar el codo las partículas que se

encuentran en la parte exterior se desvían notablemente dirigiéndose a la zona

interior del codo. Esto puede explicarse debido a que en la zona exterior

fluido desacelera y las partículas también y teniendo en cuenta que existe un gradiente

negativo de presión desde los radios exteriores hasta los interiores, las partículas

tenderán a moverse hacia el interior. Este no ocurre con las partícula

menores ya que su velocidad es mayor, acorde a la del vapor, y por tanto su inercia

también es mayor oponiéndose al gradiente de presión. Incluso las partículas que

viajan junto a la cara interior del codo, al acelerarse al llegar al codo tiende

desviarse hacia fuera, oponiéndose este movimiento al gradiente de presión existente.

Al atravesar el codo la tendencia de las partículas es ajustarse a la velocidad del vapor.

Comparando ambos casos, se observa que las partículas

están más en consonancia con el vapor que las de mayor tamaño. Esto se denota a la

entrada del codo, donde en la

desviarse de la corriente de vapor que en la figura previa. Otro lugar donde se denota

este comportamiento es tras el paso por el codo, donde las partículas de menor

tamaño se adecuan más a las turbulencias se

Figura 40. Detalle del reflujo de partículas



SUPERCRÍTICAS



este análisis, y no siendo conservadores sería de 5 μm.

as imágenes se observa que la mayoría de las partículas siguen la línea de



ría esperarse una mayor desviación.



interior del codo. Esto puede explicarse debido a que en la zona exterior



tenderán a moverse hacia el interior. Este no ocurre con las partícula



viajan junto a la cara interior del codo, al acelerarse al llegar al codo tiende



Comparando ambos casos, se observa que las partículas de menor tamaño


entrada del codo, donde en la Figura 39 se puede ver que las partículas tardan más en



tamaño se adecuan más a las turbulencias seguidas por el fluido como se observa en

. Detalle del reflujo de partículas que colisionan con la pared interna.


Página | 62



as imágenes se observa que la mayoría de las partículas siguen la línea de





interior del codo. Esto puede explicarse debido a que en la zona exterior del codo el



tenderán a moverse hacia el interior. Este no ocurre con las partículas a radios



viajan junto a la cara interior del codo, al acelerarse al llegar al codo tienden a



de menor tamaño


se puede ver que las partículas tardan más en



guidas por el fluido como se observa en

que colisionan con la pared interna.




las dos partículas que entran por la zona externa. Observando el comportamiento del

vapor a la salida del codo en la Figura 35 se observa claramente un torbellino

producido en el desprendimiento de la capa límite. Las partículas mencionadas

anteriormente viajan hacia la parte interior del codo y una vez ahí quedan atrapados

durante una parte del recorrido en dichos torbellinos. En cambio, las partículas de

50 μm son menos sensibles a las turbulencias del vapor. En el caso de las dos mismas

partículas mencionadas en el caso anterior, al desviarse más fuertemente a la entrada

del codo colisionan en la pared interior. Al colisionar en la zona donde se produce el

flujo invertido la partícula viaja en sentido contrario hasta alcanzar el remolino que se

produce en el desprendimiento de la capa límite, que lo devuelve al flujo directo.

Debido a su mayor inercia no se ve perturbado por las turbulencias al atravesar la zona

desprendida.

Superponiendo el perfil de velocidades del vapor y la trayectoria de partículas

coloreada en función de la velocidad (referidas ambas velocidades a la misma escala

de valores) puede observarse el deslizamiento que hay entre las partículas y el medio

fluido, como se representa en la Figura 41. El deslizamiento es considerablemente

mayor para las partículas de mayor tamaño. Comparando ambos casos a la salida de la

tobera puede observarse que las partículas de menor tamaño se adaptan

progresivamente a la velocidad del fluido.

Haciendo un análisis del número de Stokes en el codo se concluye que los

valores alcanzados para las partículas de 5 μm no parecen ser peligrosos para el

comportamiento del compresor. En concreto, evaluando dicho número adimensional

para la situación más desfavorable, es decir, en la que la diferencia de velocidades

entre fases sea mayor, el valor del número de Stokes es 1.02. Este valor quiere decir

que la desviación de las gotas respecto a la fase gaseosa es notable, pero no llega a ser

problemático.




Figura 41. Deslizamiento entre las partículas y el vapor.Dp = 50μm (arriba) y Dp = 5μm (abajo).

Conclusiones



7 Conclusiones

7.1 Aportación de este proyecto

El trabajo realizado en este proyecto supone un avance en la investigación del

comportamiento del flujo bifásico de CO2 en el interior de un compresor. Pero dicha

investigación se ha visto limitada por las herramientas disponibles.

En primer lugar decir que las tablas elaboradas con Matlab gracias a la función

REFPROP son validas para el modelado del CO2 en las cercanías del punto crítico. El

error en el que se incurre al hacer uso de las tablas es inferior al 0.1%. Cabe añadir que

la precisión de las tablas es muy sensible al tamaño de estas, por lo que disponiendo

de mayor potencia computacional podría llegar a una precisión mucho mayor.

Al hacer uso de las tablas para simular un proceso de condensación en las

cercanías del punto crítico no se ha obtenido una solución válida. Esto se debe a la

necesidad de mejores modelos de turbulencia, por tanto en el presente parece

resultar inalcanzable la modelación de la condensación en torno al punto crítico.

Dicho esto el modo de trabajar con este fluido muestra algunas limitaciones,

como la correcta evaluación de las propiedades a lo largo de la geometría, ya que al

trabajar con valores evaluados para el líquido saturado y el vapor saturado, el valor

real de la mezcla podría calcularse a través del título de vapor, pero este no es

constante en el volumen de control. Por tanto debería hacerse la suposición de que el

título de vapor es constante, o como se procedió en este proyecto para estimar el

comportamiento del vapor a lo largo de la bisectriz del codo, simular el CO2 en

condiciones sobrecalentadas para comprobar el comportamiento de la entropía a lo

largo de la geometría y posteriormente extrapolar dicho comportamiento a nuestra

simulación con flujo bifásico, definiendo el estado de cada punto mediante la entropía

y la presión o la temperatura.

En cuanto al análisis de la fase vapor, destacar que el vapor es ligeramente más

viscoso que otro fluido cuyo comportamiento conocemos sobradamente, el agua. Al

producirse el desprendimiento de la capa límite con el CO2 saturado la estela

producida por el desprendimiento no desaparece recuperándose el perfil de velocidad,

Conclusiones



como podría esperarse que ocurriese con el agua. En este caso la estela crece

estrangulando cada vez más el área de paso efectiva y finalmente ambas regiones

equilibran sus velocidades.

Atendiendo a los resultados obtenidos para el flujo bifásico puede observarse

que las partículas no se desvían excesivamente de la corriente de vapor para un

diámetro lógico como sería el de 5 μm, conclusión acorde a los valores más

desfavorables del número de Stokes que se alcanza en el codo. Incluso para un tamaño

de partícula mucho mayor se comprueba que aunque aumenta el deslizamiento, las

partículas no muestran un desviamiento excesivamente agresivo, por lo que la

aparición de gotas líquidas de CO2 en un compresor no tiene porque ser destructivo

para la turbomáquina.

Añadir a lo anterior que como ya se dijo el tiempo característico de

condensación es mucho mayor que el tiempo de residencia para el S-CO2, y aunque en

las cercanías del punto crítico ambos tiempos adquieren valores más parejos el efecto

de compresión realizado por la turbomáquina se encargaría de que estas gotas

reevaporarán.

Finalmente concluir que en análisis bifásico se ha tomado la decisión de

modelar la coexistencia de fases mediante el Modelo de Transporte de Partículas de

CFX. Este modelo como ya se comentó es muy recomendable para analizar el

comportamiento por separado de ambas fases, y analizar las trayectorias y velocidades

de cada fase gracias a que hace uso de una referencia Euler/Lagrange. Sin embargo el

modelo de partículas está limitado a partículas de propiedades termodinámicas

constantes, por tanto no es posible realizar un correcto análisis del equilibrio entre

fases. Como el objetivo de este proyecto es evaluar la tendencia de las gotas en el seno

fluido el modelo de partículas es suficiente. En caso de realizar un correcto análisis

termodinámico puede modelarse el fluido bifásico mediante una fase continua y otra

dispersa. Al modelar de esta manera el fluido, CFX permite realizar un análisis mucho

más preciso.

7.2 Futuras líneas de trabajo

Teniendo en cuenta que aumentar la precisión de las tablas es eminentemente

necesario para poder realizar estudios precisos podría intentar mejorarse la

discretización de las tablas, intentando optimizar lo máximo posible el rango de los

intervalos de presión y de temperatura, y para un mismo tamaño de las tablas alcanzar

una mejor precisión.

Conclusiones



En cuanto al modelado de la expansión mediante la HBM, como ya se sabe el

problema de modelar el condensado en este punto radica en que los modelos de

turbulencia disponibles no son capaces de trabajar con grandes gradientes de presión.

Una forma de evadir este problema podría ser definir la fase líquida con una densidad

similar a la del vapor y si se alcanza una solución realizar un proceso iterativo en el que

partiendo de dicha solución se vaya disminuyendo la densidad de la fase líquida hasta

alcanzar la densidad real. Este proceso podría resultar excesivamente tedioso, pero

ante la ausencia de medios para resolver este problema, no sería una labor

desagradecida.

Un objetivo que fue marcado en este proyecto pero no ha podido ser alcanzado

es la simulación del flujo bifásico en una tobera curva con sección decreciente. Ha

resultado imposible abarcar este estudio debido a que no ha conseguido alcanzarse

una solución para la fase vapor en dicha geometría. En caso de poder llevarse a cabo

sería interesante introducir en dicha tobera S-CO2 y dejar que alcanzase las

condiciones de saturación. En el lugar geométrico que se alcanzara dichas condiciones

se introducirían las partículas. Debido a que la presión del vapor va a ir disminuyendo

podría hacerse que las partículas aumentaran de tamaño progresivamente, simulando

un proceso de condensación real, y de esta manera analizar el comportamiento de las

gotas a medida que aumentan de tamaño.

Igualmente, podría llevarse el caso explicado en el párrafo anterior a la malla de

un compresor de CO2 y realizar un análisis mucho más real.

Bibliografía



Bibliografía

1. Angelino, G., “Carbon Dioxide Condensation Cycles for Power Production”,

ASME Paper No. 68-GT-23, 1968.

2. Baltadjiev, N.D., “An investigation of Real Gas Effects in Supercritical CO2

compressors”. Massachusetts Institute of Technology, 2012.

3. Feher, E. G., “The Supercritical Thermodynamic Power Cycle”, Douglas Paper No.

4348, presented to the IECEC, Miami Beach, Florida, August 13-17, 1967.

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Supercritical CO2”. Delft University of Technology. ASME Turbo Expo 2012.

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Supercritical CO2”. Delft University of Technology. ASME Turbo Expo 2013.

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tunnels”. Cranfield University, 2009.

9. Span, R., Wagner, W., “Equations of state for technical applications.

Simultaneously optimized functional forms for non polar and polar fluids”,

International Journal of Thermophysics.



ANEXOS

Anexo I.

- Representación de variables t

convergente evaluadas en el eje de


SUPERCRÍTICAS

Representación de variables termodinámicas a lo largo de la tobera

convergente evaluadas en el eje de revolución.

ANEXOS

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ermodinámicas a lo largo de la tobera

ANEXOS



Anexo II.

- Perfiles de velocidad del fluido en distintas secciones de la tobera.

- Energía cinética turbulenta

ANEXOS



- Perfiles de presión del fluido en distintas secciones de la tobera.

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