SIMULACIÓN DE PORTAFOLIO INSTITUCIONAL …€¦ · Tesis presentada como requisito parcial para...

Movimiento Browniano vs. Movimiento

Browniano Fractal: simulación de portafolio tipo en Esquema Multifondos (ley 1328 de

2009)

Violeta Margarita Hernández Martínez

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Económicas

Maestría en Ciencias Económicas

Bogotá, Colombia

2016

Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano

Fractal: simulación de portafolio tipo en esquema

Multifondos (ley 1328 de 2009)

Violeta Margarita Hernández Martínez

Director:

Profesor Hernando Bayona Rodríguez, Ph.D.

Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:

Magíster en Ciencias Económicas

Línea de Investigación:

Economía Financiera

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Económicas, Maestría en Ciencias Económicas

Bogotá, Colombia

2016

A mis padres

En los oscuros recovecos de la mente, una

enfermedad conocida como Miedo se regocija

de las almas de aquellos que no pueden vencer

su poder...

Patrick McHale

Resumen y Abstract IV

Resumen Esta tesis es el estudio comparativo entre el Movimiento Browniano y el

Movimiento Browniano Fractal aplicados a la gestión de portafolios en el esquema

Multifondos de Fondos de Pensiones Obligatorias (Ley 1328 de 2009). El objetivo

de la misma consiste en mostrar que el Movimiento Browniano sobrestima la

relación retorno/riesgo frente al Movimiento Browniano Fractal, ya que el segundo

incluye el horizonte temporal como variable de medición de riesgo. Para ello, se

utilizaron series de retornos diarias de activos que representan las inversiones

permitidas dentro de los límites del esquema desde el año 2008 hasta el 2015. Se

encontró que El Movimiento Browniano sobreestima la relación retorno/riesgo en

comparación con el Movimiento Browniano Fractal. Asimismo, el Movimiento

Browniano no tiene en cuenta el aumento del horizonte temporal, ya que las

combinaciones de activos en el portafolio permanecen inalteradas. De acuerdo

con los resultados obtenidos por el Movimiento Browniano Fractal llevados al

esquema multifondos, se aconsejan combinaciones de activos más

conservadoras consistentes en una mayor participación de activos locales de

renta fija. Además, se recomienda la revisión periódica de los límites de inversión

para los diferentes fondos, teniendo en cuenta la influencia del horizonte temporal

en los cambios de las series de retornos financieras.

Palabras clave: Movimiento Browniano, Movimiento Browniano Fractal,

Portafolio de Markowitz, Esquema Multifondos.

Clasificación JEL: G11; G18; G23; C14.

Resumen y Abstract V

Abstract This thesis is a comparison between the Brownian motion and Fractal Brownian

Motion, applied to portfolio management in the Multifund Scheme Mandatory

Pension Funds (Law 1328 of 2009). Its purpose is to show that the Brownian

motion overestimates the return/risk ratio compared to the Fractal Brownian

Motion, because the latter includes time horizon as a risk measure variable. To do

this, sets of daily returns of representative assets were used to represent

investments allowed within the limits of the scheme (2008-2015). It was found that

Brownian Motion overestimates the return / risk ratio compared to the Fractal

Brownian Motion. Also, the Brownian Motion does not take into account the

increase in time horizon, Also, the Brownian motion does not account for the

increased time horizon, as when scaling the results at 1 and 10 years,

combinations of assets in the portfolio remain unchanged. According to the results

obtained by the Fractal Brownian Movement applied to multifunds scheme, the

combinations recommended are more conservative, with greater participation of

local fixed-income investments. In addition, the periodic review of the investment

limits for funds is recommended, taking into account the influence of the time

horizon changes in financial return series.

Keywords: Brownian Motion, Fractal Brownian Motion, Markowitz

Portfolio, Multifunds Scheme.

JEL Classification: G11; G18; G23; C14.

Contenido VI

Contenido

Resumen .............................................................................................................. IV

Abstract ................................................................................................................. V

Lista de Figuras ................................................................................................. VIII

Lista de Símbolos y abreviaturas ...................................................................... XI

1. Antecedentes ................................................................................................. 4

1.1. Esquema Multifondos en América Latina .................................................. 4

1.1.1. Clasificación de los Fondos y Límites de Inversión ............................ 5

1.1.2. Selección y Transferencia entre Fondos ............................................ 7

1.2. Antecedentes del Esquema Multifondos en Colombia (Ley 1328 de 2009)

9

1.2.1. Selección de Fondos y Transferencias de Fondos en Colombia ...... 12

1.3. Inversiones de los Fondos de Pensiones Obligatorias ............................ 13

1.3.1. Portafolio Conservador ..................................................................... 14

1.3.2. Portafolio Moderado ......................................................................... 16

1.3.3. Portafolio de Mayor Riesgo .............................................................. 17

2. Objetivo y Definición del Problema de Investigación ............................... 19

2.1. Definición del problema de investigación ................................................ 19

3. Movimiento Browniano Y Propiedades Empíricas De Series De Retornos

Financieras ......................................................................................................... 24

3.1. Movimiento Browniano Fractal ................................................................ 29

Contenido VII

3.2. Optimización de Portafolio: Modelo de Frontera Eficiente de Markowitz 36

3.3. Inconvenientes del Modelo ...................................................................... 39

3.4. Optimización de Portafolio en Horizontes de Tiempo de Mediano y Largo

Plazo 40

4. Metodología .................................................................................................. 43

4.1. Clasificación de Portafolios ..................................................................... 43

4.2. Cálculo de Frontera Eficiente .................................................................. 45

4.3. Datos ....................................................................................................... 46

5. Resultados ................................................................................................... 50

5.1. Análisis de portafolios ............................................................................. 50

5.1.1. Portafolio Conservador ..................................................................... 50

5.1.2. Portafolio Moderado ......................................................................... 52

5.1.3. Portafolio Mayor Riesgo ................................................................... 53

5.1.4. Efecto de la ampliación del horizonte de inversión a 10 años. ......... 54

6. Conclusiones ............................................................................................... 68

Bibliografía.......................................................................................................... 71

Contenido VIII

Lista de Figuras Pág.

Figura 1-1: Participación de afiliados por tipo de fondo en Chile ........................... 5

Figura 4-1: Volatilidades anualizadas por activo .................................................. 48

Figura 5-1: Comparación de participaciones Portafolio Conservador. ................. 52

Figura 5-2: Comparación de participaciones Portafolio Moderado ....................... 53

Figura 5-3: Comparación de participaciones Portafolio Mayor Riesgo ................. 54

Figura 5-4: Comparación de métodos: Raíz Cuadrada del Tiempo vs. Exponente

de Hurst. Horizontes de inversión de 1 año y 10 años. Fondo Conservador. ...... 55


de Hurst. Horizontes de inversión de 1 año y 10 años. Fondo Moderado. ........... 56


de Hurst. Horizontes de inversión de 1 año y 10 años. Fondo Mayor Riesgo. ..... 56

Figura 5-7: R/S COLCAP ..................................................................................... 58

Figura 5-8: R/S TES ............................................................................................. 59

Figura 5-9: R/S CEMBI ......................................................................................... 59

Figura 5-10: R/S EMBI Colombia ......................................................................... 60

Figura 5-11: R/S EMBI Europa ............................................................................. 60

Figura 5-12: R/S EMBI Latinoamérica .................................................................. 61

Figura 5-13: R/S MOODYS AAA .......................................................................... 61

Figura 5-14: R/S MOODYS BAA .......................................................................... 62

Figura 5-15: R/S S&P 500 .................................................................................... 62

Contenido IX

Lista de Tablas

Pág.

Tabla 1-1: Tipos de fondos esquema multifondos en Chile .................................... 6

Tabla 1-2: Tipos de fondos esquema multifondos en Perú .................................... 7

Tabla 1-3: Tipos de fondos esquema multifondos en México ................................ 7

Tabla 1-4: Selección de fondos por grupo de edad en Chile .................................. 8

Tabla 1-5: Asignaciones de fondos por defecto en México .................................... 8

Tabla 1-6: Regla de convergencia de selección de fondos en Colombia ............. 13

Tabla 1-7: Límites de inversión por fondo ............................................................ 13

Tabla 1-8: Participación por tipo de instrumento de inversión en fondo

conservador.......................................................................................................... 15

Tabla 1-9: Participación por tipo de instrumento de inversión en fondo moderado.

Total del sistema de FPO. .................................................................................... 16

Tabla 1-10: Participación por tipo de instrumento de Inversión en fondo de mayor

riesgo. Total del sistema de FPO ......................................................................... 18

Tabla 4-1: Descripción de instrumentos de inversión ........................................... 43

Tabla 4-2: Descripción de instrumentos de inversión ........................................... 43

Tabla 4-3: Universo de instrumentos de inversión ............................................... 44

Tabla 4-4: Límites de inversión por fondo ............................................................ 45

Tabla 4-5: Estadística descriptiva y análisis de series de retornos ...................... 47

Tabla 5-1: Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Conservador.

............................................................................................................................. 51

Tabla 5-2: Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Moderado . 52

Tabla 5-3: Análisis de Rango Rescalado Activos ................................................. 63

X Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio

tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)



Tabla 5-4. Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Conservador

............................................................................................................................. 65

Tabla 5-5. Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Moderado . 65

Tabla 5-6. Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Mayor

Riesgo. ................................................................................................................. 66

Tabla 5-7 Comparación Retorno Riesgo de Portafolio ......................................... 67

Contenido XI

Lista de Símbolos y abreviaturas

Símbolos con letras latinas

Símbolo Término Unidad Definición

R/S Rango Rescalado 1 (R/S) = c + nH

Símbolos con letras griegas

Símbolo Término Unidad Definición

Coeficiente de autocorrelación

Movimiento Browniano

Variable Normal Estándar

Volatilidad o desviación estándar

Subíndices Subíndice Término

d Periodicidad de la serie de tiempo evaluada i Activo i n Número de periodos originales o tamaño de la muestra t Tiempo

Superíndices

XII Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio


Superíndice Término

H Exponente de Hurst

Abreviaturas Abreviatura Término

AFP Administradoras de Fondos de Pensiones

APT Arbitrage Pricing Theory

B&S Black & Scholes

CAPM Capital Asset Pricing Model

CEMBI Corporate Emerging Markets Bond Index

COLCAP Índice de precios de las 20 acciones más líquidas de la Bolsa de Valores de Colombia

EMBI Europa Emerging Market Bond Index Europa

EMBI Latam Emerging Market Bond Index Latinoamérica

FOGACOOP Fondo de Garantías de Entidades Coooperativas

FOGAFIN Fondo de Garantías de Instituciones Financieras

FPO Fondos de Pensiones Obligatorias

IDXTES Índice Representativo del Mercado de Deuda Pública Interna

IGBC Índice General de la Bolsa de Valores de Colombia

MOODYS AAA Moody's Seasoned Aaa Corporate Bond Yield

MOODYS BAA Moody's Seasoned Baa Corporate Bond Yield

S&P 500 Índice de las 500 acciones más importantes del mercado estadounidense

SIEFORE Sociedades de Inversión Especializada en Fondos de Retiro

TES Título del Estado Colombiano

TRM Tasa Representativa del Mercado

Introducción 1

Introducción Los Fondos de Pensiones Obligatorias en Colombia son gestionados por las

Administradoras de Fondos de Pensiones – AFP, las cuales son Sociedades

Anónimas o Instituciones Solidarias del sector privado, vigiladas por la

Superintendencia Financiera de Colombia. La supervisión y control ejercidos por

la Superintendencia tienen como finalidad la protección de los ahorros

previsionales de los colombianos y por esta razón las AFP están en la obligación

de cumplir la regulación relacionada con los fondos administrados y reportar

periódicamente dicho cumplimiento.

La ley 1328 de 2009 reformó el Sistema Financiero en Colombia, en particular, el

Sistema General de Pensiones. En el caso particular de los Fondos de Pensiones

Obligatorias (FPO), esta reforma consistió en el cambio de esquema de inversión

de un solo fondo de pensiones a un esquema multifondos. Ello obedeció a la

necesidad de alinear los intereses de las Administradoras y los afiliados, a través

de una mayor variedad de instrumentos que permitan obtener un mayor nivel de

retornos a un nivel de riesgos determinado.

El esquema multifondos consiste en la segmentación de los fondos de acuerdo

con tres tipos de perfiles de riesgo: conservador, moderado y alto riesgo. Cada

perfil tiene asignados diferentes límites de inversión por instrumento, enfocados

en la diversificación de portafolio hacia activos en el exterior y disminuyendo la

2 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio


exposición a activos de renta fija local. Esto contrasta con la normativa anterior

conforme a la cual los aportes de los afiliados de cada AFP eran gestionados en

un sólo fondo, cuyas inversiones se concentraban en su mayor parte en activos

locales de renta fija.

Estas reformas fueron impulsadas por análisis de eficiencia de portafolios de FPO

bajo el antiguo esquema, siguiendo los principios de la Teoría Moderna de

Portafolio (Banco de la República, Universidad Externado de Colombia, 2009).

Uno de esos principios es que las series de precios de activos financieros siguen

una caminata aleatoria a través del tiempo, es decir, cumplen con las

características de un Movimiento Browniano. Este principio sirve de base para

modelos de valoración de activos, medición de riesgos y toma de decisiones en

los mercados financieros.

Sin embargo, las series de retornos de activos financieros exhiben diferentes

comportamientos a través del tiempo, buena parte de ellas muestran patrones o

tendencias reflejadas en la dependencia serial a corto y largo plazo. Estos

patrones son asumidos como anomalías, entendidas como un patrón regular en

los retornos de un activo que es confiable, ampliamente conocido e inexplicable.

Una anomalía proporciona evidencia de que una hipótesis o modelo determinado

no se sostiene en la práctica (Lo, 2007).

La presente investigación muestra que la aplicación del Movimiento Browniano

sobreestima los niveles de retorno/riesgo al compararlo con el Movimiento

Browniano Fractal al llevarlo al esquema multifondos. Para esto se construyeron

tres portafolios tipo, constituidos por series de retornos diarias de activos que

representan las inversiones permitidas dentro de los límites del esquema y se

aplicó el escalamiento del horizonte temporal a partir del Movimiento Browniano y

el Movimiento Browniano Fractal.

Se encontró que El Movimiento Browniano sobreestima la relación retorno/riesgo

en comparación con el Movimiento Browniano Fractal. Asimismo, el Movimiento

Introducción 3

Browniano no tiene en cuenta el aumento del horizonte temporal, ya que las

combinaciones de activos en el portafolio permanecen inalteradas.

Esta investigación muestra que de acuerdo con los resultados obtenidos por el

Movimiento Browniano Fractal llevados al esquema multifondos, se aconsejan

combinaciones de activos más conservadoras consistentes en una mayor

participación de activos locales de renta fija.

Esto significa que a pesar de que la Ley 1328 de 2009 y la adopción del esquema

multifondos en los Fondos de Pensiones Obligatorias se basaron en criterios

técnicos y estudios de eficiencia (Banco de la República, Universidad Externado

de Colombia, 2009) con el fin de lograr la asignación más adecuada de activos en

los portafolios de inversión; la aplicación del Movimiento Browniano en dichos

estudios implicó la subestimación de riesgos.

Esta investigación contribuye a la literatura de portafolios de inversión en varias

direcciones. Por un lado, propone una forma alternativa para la medición de

riesgo para el esquema multifondos a través del análisis fractal. En segundo

lugar, aporta evidencia sobre posibles problemas de subestimación del riesgo de

los portafolios de inversión para los esquemas multifondos de los Fondos de

Pensiones Obligatorias.

Este documento está dividido en 5 capítulos: el primero describe el contexto en el

cual se estableció el esquema multifondos y la estructura de inversión por

portafolio para el Sistema de Fondos de Pensiones Obligatorias desde la puesta

en marcha de dicho esquema. El segundo capítulo consiste en la definición del

problema de investigación y los objetivos de la misma. En el tercer capítulo se

define el marco teórico de bajo el cual se aplicará la metodología y el desarrollo

del modelo, descritos en el capítulo 4. Finalmente en el capítulo 5 se establecen

las conclusiones.

1. Antecedentes

1.1. Esquema Multifondos en América Latina1

El desarrollo de reformas políticas a la inversión de Fondos de Pensiones en

América Latina durante la primera década del milenio surgió como medida de

protección de los mismos a raíz de la crisis asiática de los años 1997 y 1998.

Dichas reformas, traducidas en la aplicación de esquemas multifondos,

obedecieron en gran medida a la protección a los aportes de los afiliados a través

de la diversificación de inversiones, lo cual a su vez generaría una mayor

competencia entre Administradoras de Fondos de Pensiones, mayor libertad de

elección por parte de los clientes y distintos niveles de exposición al riesgo a

partir de la creación de perfiles de inversión acordes con cercanía al tiempo de

jubilación. Esto traería como efectos positivos una mayor oferta de inversión y un

mayor enfoque en los retornos de los Fondos (Conrads, 2007).

Asimismo, la diversificación de instrumentos de inversión vista como un objetivo

de la aplicación de esta medida, ofrece alternativas de inversión y retornos para

los Fondos de Pensiones, además de los la propuesta por los mercados locales,

que en el caso particular de América Latina presentan un tamaño reducido. Esto

se logra a partir de la creación de tipos de fondos de acuerdo con los rangos de

edad de los afiliados y combinaciones de activos de renta fija y variable, local y

extranjera.

Los países precursores de esquemas multifondos en la región fueron Chile (2000,

2002), Perú (2005) y México (2008); por esta razón, los primeros resultados de

esta medida influenciaron su aplicación en Colombia (2011). La descripción de

1 Información de Federación Internacional de Administradoras de Pensiones (FIAP), (2007).

Multifondos: Los Casos de Chile, México y Perú.

1. Antecedentes 5

antecedentes en América Latina tiene como objetivo ofrecer un acercamiento a

experiencias similares en la región y cómo estas sirvieron para la aplicación de

este esquema en Colombia, abordando características de dichos esquemas tales

como la clasificación de fondos por tipo y límites de inversión y la selección y

transferencia entre los mismos.

1.1.1. Clasificación de los Fondos y Límites de Inversión

Chile puso en marcha el esquema multifondos en el año 2000, como medida de

protección de los Fondos de Pensiones a raíz de la crisis asiática presentada

entre los años 1997 y 1998. En ese año, la introducción del esquema consistió en

la oferta de dos tipos de fondos: Un primer fondo (conocido como Balanceado),

destinado a la diversificación de inversiones hacia activos de renta fija y acciones,

y un segundo fondo llamado de Renta Fija. La participación del segundo Fondo

era muy pequeña, razón por la cual en la práctica sólo había un Fondo de

inversión para todo el Sistema (Asociación Gremial de Administradoras de

Fondos de Pensiones de Chile - AAFP de Chile, 2010).

Figura 1-1: Participación de afiliados por tipo de fondo en Chile

Fuente: AAFP de Chile, FIAP. Elaboración Propia

0,8%

30,0%

62,1%

5,9%

1,2%

14,0%

38,5% 37,2%

8,9%

1,4%

14,0%

37,5% 36,5%

10,0%

2,0%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

A B C D E

Dic. 2002

Oct. 2009

Feb. 2012



Por esta razón, en el 2002 se suman otros cuatro fondos al fondo de mayor

participación (históricamente el fondo C), ordenados de mayor a menor

proporción de activos de renta variable en A, B, C, D y E (Ver Tabla 1-1). El

primer fondo está destinado a la inversión en pensiones voluntarias y los cuatro

restantes corresponden a la oferta disponible en pensiones obligatorias. Esto

contribuyó a que la concentración de afiliados en un solo tipo de Fondo

disminuyera desde la aplicación de la norma, como lo muestra la ¡Error! No se

ncuentra el origen de la referencia..

Tabla 1-1: Tipos de fondos esquema multifondos en Chile

Tipo de

Fondo

Renta

Variable

Títulos

estatales

Cuotas de

Fondos de

inversión y

mutuos

nacionales

Depósitos a

largo plazo

y bonos

emitidos por

instituciones

financieras

Instrumentos extranjeros

+ Inversión Indirecta en el

extranjero2

Límite

conjunto

Límite por

fondo

Min. Máx. Min. Máx. Máx Máx. Min. Máx. Min. Máx.

A 40% 80% 30% 40% 40% 40% 30% 80% 45% 100%

B 25% 60% 30% 40% 30% 40% 30% 80% 40% 90%

C 15% 40% 35% 50% 20% 50% 30% 80% 30% 75%

D 5% 20% 40% 70% 10% 70% 30% 80% 20% 45%

E 0% 5% 50% 80% 5% 80% 30% 80% 15% 45%

Fuente: Federación Internacional de Administradoras de Fondos de Pensiones - FIAP.

Por su parte, Perú implementó el esquema multifondos en diciembre de 2005, con

tres tipos de fondos: Conservador, Balanceado y de Crecimiento, cuyos límites de

inversión (Tabla 1-2). Este esquema es el que guarda mayores similitudes con el

caso colombiano en número de fondos ofrecidos.

2 A través de cuotas en fondos de inversión y mutuos.

1. Antecedentes 7

Tabla 1-2: Tipos de fondos esquema multifondos en Perú

Tipo de Fondo Derivados Corto Plazo Renta Variable Renta Fija

Conservador 10% 40% 10% 100%

Balanceado 10% 30% 45% 75%

De Crecimiento 10% 30% 80% 70%

Fuente: Federación Internacional de Administradoras de Fondos de Pensiones – FIAP.

En cuanto a México, este sistema se implementó en marzo de 2008, inicialmente

con dos tipos de fondos o SIEFORES3: SIEFORE Básica1 (SB1), dirigida a la

inversión en renta fija Nacional o extranjera y SIEFORE Básica2 (SB2),

consistente en una combinación de renta fija nacional o extranjera y un máximo

de renta variable del 15%. En marzo de 2008, se agregaron tres tipos de fondos

al esquema: las SIEFORES Básicas 3, 4 y 5 (Ver Tabla 1-3).

Tabla 1-3: Tipos de fondos esquema multifondos en México

Tipo de

Fondo

Renta

Variable

(Máximo)

Instrumentos

en Divisas

Valores

Extranjeros

Instrumentos

Bursatilizados

Instrumentos

Estructurados

SB1 5% 30% 20% 10% 0%

SB2 25% 30% 20% 15% 15%

SB3 30% 30% 20% 20% 20%

SB4 40% 30% 20% 30% 20%

SB5 40% 30% 20% 40% 20%


1.1.2. Selección y Transferencia entre Fondos

La selección que puede hacer cada afiliado de los Fondos de Pensiones en

América Latina está limitada por grupos de edad. En Chile, los hombres menores

de 55 años y las mujeres menores de 50 pueden elegir cualquiera de los 5 fondos

3 Sociedades de Inversión Especializada de Fondos para el Retiro.



existentes, los hombres mayores de 55 años y mujeres mayores de 50 que aún

no se han pensionado pueden escoger entre los fondos B, C, D o E y los

pensionados que siguen aportando al sistema pueden escoger entre los fondos

C, D, o E. En cuanto a la selección por defecto, efectuada cuando el afiliado no

elige ningún fondo, ésta se lleva a cabo como lo muestra la Tabla 1-4. Cabe

anotar que los traslados pueden hacerse dos veces al año sin ningún costo

asociado.

Tabla 1-4: Selección de fondos por grupo de edad en Chile

Grupo de edad (años) Selección Fondo Asignación por defecto

Hombres Mujeres

< 35 < 35 A, B, C, D, E B

36- 55 36 - 50 A, B, C, D, E C

> 55 > 50 B, C, D, E D

Pensionados C, D, E


En México, los afiliados pueden escoger entre cualquiera de los 5 fondos

disponibles y se pueden hacer traslados sin costo. Las asignaciones por defecto

están descritas en la Tabla 1-5.

Tabla 1-5: Asignaciones de fondos por defecto en México

Grupo de edad (años) Asignación por defecto

≤ 26 SB5

27 – 36 SB4

37 - 45 SB3

46 - 55 SB2

≥ 56 SB1


En Perú, Para los aportes obligatorios, los afiliados pueden escoger entre los tres

tipos de fondos y para aportes voluntarios, los afiliados menores de 60 años

1. Antecedentes 9

pueden escoger entre el fondo balanceado y de crecimiento y los mayores de 60

años tienen asignado el fondo conservador. En cuanto a las asignaciones por

defecto, los afiliados mayores de 60 años tienen asignado el fondo conservador y

los menores de 60 años tienen asignado el fondo balanceado.

1.2. Antecedentes del Esquema Multifondos en Colombia (Ley 1328 de 2009)

Antes de la puesta en marcha del esquema multifondos, las AFP invertían todos

los aportes a los Fondos de Pensiones Obligatorias en un solo portafolio que

cumpliera con las restricciones especificadas en la ley 100 de 1993. Gestionar

recursos pertenecientes a un grupo de afiliados con distintos perfiles de riesgo y

diferentes grupos etarios en un solo fondo con los mismos instrumentos de

inversión suponía un desafío para un Administrador de Fondo de Pensiones

(Bertín & Musalem, 2009), ya que las oportunidades de diversificación y

aprovechamiento de distintos horizontes de inversión eran limitados (Tinbergen

citado en (Bertín & Musalem, 2009)). Los afiliados recientemente integrados al

Sistema cuentan con nivel de aversión al riesgo bajo atribuido a una mayor

cantidad de años restantes para el acceso a una pensión y, por el contrario;

quienes están próximos a cumplir los requisitos de acceso a pensión exhiben un

mayor grado de aversión al riesgo. Sin embargo, todos enfrentan el mismo nivel

de riesgo y de retornos, puesto que sus aportes se encuentran invertidos en un

solo fondo.

Asimismo, los administradores de Fondos de Pensiones Obligatorias (FPO)

dependían en gran medida de la estabilidad del mercado financiero colombiano y

diariamente se enfrentaban los riesgos asociados a la inversión en activos de un

mercado que se encontraban altamente correlacionados.

A esto se suma que las Administradoras de Fondos de Pensiones tenían acceso

a una oferta limitada de instrumentos financieros locales, debido a que el

mercado de capitales colombiano es pequeño, con una alta participación de



activos de deuda pública, poca variedad en oferta de otros instrumentos, y

escasez de actores que transen con frecuencia. Además, la regulación mantenía

límites superiores bajos para la inversión en emisiones de títulos y valores en el

mercado externo: si bien estos niveles se incrementaron a un 40% un año antes

de la puesta en vigencia al esquema multifondos, en años anteriores se mantenía

en niveles máximos del 20% (Martinez & Murcia, 2007).

Ante esta situación, investigadores del Banco de la República abordaron el

estudio de la Administración de Fondos de Pensiones, luego de lo cual

encontraron: concentración en activos locales, alta y positivamente

correlacionados (Martínez y Murcia, 2008), relaciones riesgo retorno por debajo

de la línea de eficiencia del mercado (Jara, 2005), desempeños limitados por

criterios de rentabilidad mínima y un sistema de comisiones que no depende de

las rentabilidades del portafolio.

Dichos autores sugieren que el marco regulatorio establecido por la regulación

anterior generó la no alineación de los intereses de las Administradoras de

Fondos de Pensiones y sus afiliados en cuanto a la maximización del retorno de

portafolios, específicamente en tres factores: 1. Los límites individuales por

instrumento, emisor y emisiones, 2. Los criterios para el cobro de comisiones por

parte de las AFP (hecho sobre el 3% del salario base de cotización de cada mes);

3. La divulgación de indicadores de desempeño centrada en los retornos y no en

el riesgo y la ausencia de límites superiores a indicadores de riesgos, de forma

similar a como se exige con la rentabilidad mínima.

De manera que, diversos autores, entre ellos Jara (2005), recomendaron el

aumento del límite superior de inversiones en activos externos con el propósito de

lograr una mayor diversificación. La inversión en instrumentos en mercados

externos permitiría contar con una menor exposición al riesgo del mercado local y

generaría un mayor retorno para los fondos de pensiones obligatorias.

1. Antecedentes 11

A esto se suma que las medidas de prevención de riesgos de la regulación

vigente se limitaban a restringir la inversión hacia la adquisición de activos que

individualmente no fueran altamente riesgosos y a que la divulgación de

indicadores de desempeño incluyera solamente los retornos de los portafolios y

omitía las medidas de riesgo portafolio. Ante esta situación, Martinez y Murcia

(2007) recomendaron medidas adicionales de supervisión del riesgo tales como

establecer un indicador de riesgo de portafolio (VaR, Índice de Sharpe) y topes

máximos para el mismo, así como su inclusión en la información que los Fondos

están obligados a divulgar (Bertín & Musalem, 2009).

Asimismo, las AFP no tienen incentivos para alcanzar un nivel máximo de retorno

de portafolio, dado un nivel de riesgo, ya que la totalidad de los rendimientos de

dichos portafolios son abonados a las cuentas de ahorro pensional individual de

los afiliados, sin traducirse en aumento de la comisión de las Administradoras.

Por el contrario, un alto porcentaje de las ganancias de estas administradoras

(83%) provenían de las comisiones cobradas a los afiliados por administración, de

acuerdo con el monto de aportes individuales (Reveiz & Leon, 2008) (Jara, 2006).

Al respecto, investigaciones del Banco de la República (Reveiz & Leon, 2008)

(Jara, 2006) coinciden en proponer mecanismos que incentiven una alineación de

objetivos de las AFP y los afiliados: un esquema de comisiones que considere la

función del desempeño de cada fondo e incentive la minimización de los costos

de transacción por rotación de posiciones y una mayor creación de valor.

Al respecto, Reveiz y León (2008) proponen mecanismos que incentiven una

alineación entre objetivo de las AFP y los afiliados: un esquema de comisiones

que considere la función del desempeño de cada fondo, e incentive la

minimización de los costos de transacción por rotación de posiciones y una mayor

creación de valor.



Ante esta situación, diversos autores proponen la aplicación de un esquema

multifondos, con diferentes niveles de Rentabilidad Mínima (tantos como el

número de fondos disponibles), acorde con la etapa dentro del ciclo de vida que

enfrenta cada afiliado, lo que permitirá una buena segmentación de los afiliados

por perfiles de riesgo y mayor diversificación de las inversiones con diferentes

combinaciones riesgo-retorno. Cabe anotar, que los resultados esperados con

este esquema, se verán influenciados por el nivel de educación de los afiliados en

temas como gestión de ahorros previsionales, derechos de los afiliados e

inversiones a largo plazo.

Estos hallazgos dieron lugar a reformas. A partir de la puesta en marcha de la ley

1328 de 2009 (Ley de Reforma Financiera), que modificó la ley 100 de 1993, los

afiliados a los fondos de pensiones obligatorias pueden escoger, basados en la

información disponible, entre cuatro tipos de portafolio, con diferentes perfiles de

riesgos: conservador, moderado, mayor riesgo y especial para retiro programado.

No obstante, dichas recomendaciones se basan en supuestos surgidos de la

teoría moderna de portafolio, la cual no diferencia entre inversionistas de largo

plazo y especuladores de corto plazo. Esta afirmación se basa en la Hipótesis de

Mercados Eficientes según la cual los precios reflejan toda la información que

podrían anticipar futuros eventos, lo que implica que ningún agente puede sacar

ventaja del mercado. Para ello se requiere que las series de retornos estén

idéntica e independientemente distribuidos en una normal y por esta razón se

comportan igual tanto en el corto como en el largo plazo.

1.2.1. Selección de Fondos y Transferencias de Fondos en Colombia

En el caso de Colombia, los afiliados pueden seleccionar sólo un tipo de Fondo,

salvo que cumpla con las reglas de convergencia, que consiste en que a medida

que hombres y mujeres se acerquen a la edad de pensión deben tener un

porcentaje mínimo de participación de sus aportes en el fondo conservador, tal

1. Antecedentes 13

como se describe en la Tabla 1-6; caso en el cual podrá estar en dos tipos de

fondos, siendo uno de ellos obligatoriamente el fondo conservador. Asimismo, los

traslados están permitidos cada seis meses, sin costo.

Tabla 1-6: Regla de convergencia de selección de fondos en Colombia

Grupo de edad (años) Saldo Mínimo en

Fondo Conservador Hombres Mujeres

55 50 20%

56 51 40%

57 52 60%

58 53 80%

≥ 54 ≥ 59 100%


1.3. Inversiones de los Fondos de Pensiones Obligatorias

En Colombia, el esquema multifondos fue implementado inicialmente en

septiembre de 2010, con la introducción de un solo fondo, llamado moderado, que

era el continuador del Fondo ya existente. Posteriormente, el 28 de febrero de

2011, se adicionaron al esquema los fondos conservador y de mayor riesgo,

cuyos límites de inversión se describen en la Tabla 1-7. A continuación, se

presentan las principales características de estos tipos de fondos y las

inversiones en las cuales se ha enfocado el Sistema a partir de la implementación

del esquema.

Tabla 1-7: Límites de inversión por fondo

Tipo de Activo

Cálculo

Límite

Esquema Anterior

Fondo Conservador

Fondo Moderado

Fondo Alto Riesgo

Títulos de deuda pública

TES 60% 50% 50% 50%



Deuda corporativa local

CEMBI 60% 60% 60% 60%

Títulos agentes externos

EMBI Europa + EMBI Latam + MOODYS AAA

+ MOODYS BAA +S&P 500

40% 40% 60% 70%

Renta variable Local

COLCAP 40% 15% 35% 45%

Fuente: Jara, Gomez, & Pardo, Análisis de Eficiencia de los portafolios pensionales obligatorios en Colombia, 2005. Elaboración Propia.

1.3.1. Portafolio Conservador

En cuanto al portafolio conservador, las inversiones se concentran en deuda de

emisores nacionales, en su mayoría en títulos emitidos por la Nación (cerca del

50%) seguidos de títulos de deuda de entidades vigiladas por la Superintendencia

Financiera, FOGAFIN o FOGACOOP, teniendo estos una tendencia creciente

desde la puesta en práctica del Sistema Multifondos.

En cuanto a las inversiones de emisores del exterior, estas constituyen entre el

7% y el 13% de las inversiones totales de portafolio, registrando un incremento

sostenido a lo largo del tiempo. La mayor participación dentro de este grupo la

tienen las participaciones en Fondos Representativos de commodities, acciones y

fondos mutuos (Mutual Funds).

Otras inversiones, alcanzan entre el 2% y el 4% de las inversiones de todo el

sistema en el Fondo Conservador, constituidas por depósitos a la vista y

derivados, estos últimos con un 0% dentro del total del portafolio en todos los

años de estudio (Tabla 1-8).

1. Antecedentes 15

Tabla 1-8: Participación por tipo de instrumento de inversión en fondo conservador

Tipo de Inversión 2015-1

2014-1

2013-1

2012-1

2011-3

Deuda interna y externa, emitidos o garantizados por la Nación 47% 51% 53% 56% 48%

Títulos de deuda cuyo emisor, garante o aceptante sea una entidad vigilada por la Superintendencia Financiera de Colombia, incluidos FOGAFIN y FOGACOOP

26% 23% 18% 16% 8%

Participaciones en carteras colectivas 0% 1% 1% 0% 1%

Acciones de alta y media bursatilidad, certificados de depósitos negociables representativos de dichas acciones (ADRs y GDRs) y acciones provenientes de procesos de privatización o con ocasión de la capitalización de entidades donde el Estado tenga participación

6% 7% 11% 10% 7%

Acciones de baja y mínima bursatilidad, ADRs y GDRs. 0% 0% 0% 0% 0%

Otros Títulos, valores o participaciones de emisores nacionales 5% 5% 6% 6% 25%

Total Títulos, valores o participaciones de emisores nacionales 84% 87% 89% 89% 88%

Títulos de deuda emitidos o garantizados por gobiernos extranjeros o bancos centrales extranjeros. 0% 0% 0% 0% 0%

Participaciones en fondos representativos de índices de commodities, de acciones, incluidos los ETFs, participaciones en fondos representativos de precios de commodities y fondos mutuos o de inversión internacionales (mutual funds)

12% 9% 6% 5% 4%

Acciones emitidas por entidades del exterior o certificados de depósitos negociables representativos de dichas acciones (ADRs y GDRs).

0% 1% 1% 1% 0%

Otros Títulos, valores o participaciones de emisores del exterior 0% 0% 1% 0%

Total Títulos, valores o participaciones de emisores del exterior 13% 10% 8% 7% 10%

Depósitos a la vista 3% 3% 4% 4% 2%

Instrumentos financieros derivados 0% 0% 0% 0% 0%

Total Otras inversiones y operaciones 3% 3% 4% 4% 2%

TOTAL GENERAL 100% 100% 100% 100% 100%

Fuente: Superintendencia Financiera. Elaboración Propia



1.3.2. Portafolio Moderado

De acuerdo con información de la Superintendencia Financiera, las inversiones

del total del Sistema en el fondo moderado se centran principalmente en

inversiones de emisores nacionales (entre 70% y 80%), dividida en títulos de

deuda emitida o garantizada por la Nación (cerca del 40%) y acciones de alta y

media bursatilidad (20% y 30%). Se puede observar que las inversiones en renta

variable ganan participación frente a los títulos de deuda en comparación con las

inversiones registradas en el portafolio Conservador (Tabla 1-9).

Tabla 1-9: Participación por tipo de instrumento de inversión en fondo moderado. Total del sistema de FPO.

Tipo de Inversión 2015-1 2014-1 2013-1 2012-1 Deuda interna y externa, emitidos o garantizados por la Nación

37% 38% 38% 39%


6% 6% 6% 4%

Participaciones en carteras colectivas 0% 0% 1% 0%


21% 25% 31% 30%

Acciones de baja y mínima bursatilidad, ADRs y GDRs. 1% 1% 1% 1%

Otros Títulos, valores o participaciones de emisores nacionales

5% 6% 0% 8%

Total Títulos, valores o participaciones de emisores nacionales

69% 76% 83% 82%

Títulos de deuda emitidos o garantizados por gobiernos extranjeros o bancos centrales extranjeros.

0% 0% 0% 0%


21% 14% 9% 9%


0% 1% 2% 2%

Otros Títulos, valores o participaciones de emisores del exterior

4% 3% 2% 2%

Total Títulos, valores o participaciones de emisores del exterior

26% 19% 14% 14%

Depósitos a la vista 3% 4% 2% 2%

Instrumentos financieros derivados 0% 0% 0% 0%

Total Otras inversiones y operaciones 5% 5% 3% 4%

TOTAL GENERAL 100% 100% 100% 100%

1. Antecedentes 17

Fuente: Superintendencia Financiera. Elaboración Propia.

En cuanto a inversiones de emisores del exterior, éstas ocupan entre el 15% y

25% del portafolio de inversiones moderado, registrando un incremento sostenido

a lo largo del periodo de aplicación del sistema de multifondos. De forma similar al

Fondo Conservador, la mayor parte de las inversiones de este grupo se centra en

participaciones en Fondos Representativos de commodities, acciones y fondos

mutuos (Mutual Funds). En cuanto a otras inversiones, estas ocupan entre el 3%

y el 5% del total del portafolio, conformadas principalmente por depósitos a la

vista, seguidos de derivados, los cuales tienen un 0% de participación dentro del

total del portafolio.

1.3.3. Portafolio de Mayor Riesgo

El portafolio de mayor riesgo, por su parte, muestra mayor proporción de

inversiones de emisores nacionales (entre el 54% y el 70%), compuesta en su

mayor parte por acciones de alta y media bursatilidad (25% y 35%), seguidas de

inversiones en títulos de deuda interna y externa emitidos o garantizados por la

Nación (23% y 27%).

En cuanto a inversiones de emisores del exterior, estas cuentan con una mayor

participación en este portafolio, en comparación con los fondos conservador y

moderado ocupando entre el 27% y 41% de participación y con una tendencia al

alza. Dentro de estas inversiones se destacan las participaciones en Fondos

Representativos de commodities, acciones y fondos mutuos (Mutual Funds),

llegando a participar hasta en un 35% del portafolio a comienzos del año 2015

(Tabla 1-10).



Tabla 1-10: Participación por tipo de instrumento de Inversión en fondo de mayor riesgo. Total del sistema de FPO

Tipo de Inversión 2015-1 2014-1 2013-1 2012-1

Deuda interna y externa, emitidos o garantizados por la Nación 23% 25% 28% 27%


3% 3% 2% 1%

Participaciones en carteras colectivas 0% 0% 0% 0%


25% 30% 35% 32%

Acciones de baja y mínima bursatilidad, ADRs y GDRs. 0% 0% 0% 0%

Otros Títulos, valores o participaciones de emisores nacionales 4% 3% 3% 4%

Total Títulos, valores o participaciones de emisores nacionales 54% 61% 69% 64%


0% 0% 0% 0%


35% 27% 21% 19%


2% 1% 4% 5%

Otros Títulos, valores o participaciones de emisores del exterior 4% 3% 3% 2%

Total Títulos, valores o participaciones de emisores del exterior 41% 31% 28% 27%

Depósitos a la vista 3% 6% 3% 9%

Instrumentos financieros derivados 0% 0% 0% 1%

Total Otras inversiones y operaciones 5% 8% 4% 9%

TOTAL GENERAL 100% 100% 100% 100%


2. Objetivo y Definición del Problema de

Investigación

A pesar de que la Ley 1328 de 2009 y la adopción del esquema multifondos en

los Fondos de Pensiones Obligatorias se basaron en criterios técnicos y estudios

de eficiencia con el fin de lograr la asignación más adecuada de activos en los

portafolios de inversión de dichos Fondos; la aplicación de supuestos de

aleatoriedad en las series de retornos de los activos y de El Movimiento

Browniano en dichos estudios generó la sobreestimación de la relación

retorno/riesgo de estos portafolios.

El objetivo de esta tesis consiste en mostrar que para un portafolio tipo, la

aplicación del Movimiento Browniano sobreestima los niveles de retorno/riesgo al

compararlo con el Movimiento Browniano Fractal al llevarlo al esquema

multifondos.

La Hipótesis de esta investigación consiste en mostrar que la aplicación de

supuestos de aleatoriedad sobre las series de retornos de los activos y del

Movimiento Browniano no permite incluir el efecto de caídas consecutivas en los

mercados que se ven reforzadas y eventos extremos que generan un efecto

acumulado que al final afecta la gestión de portafolios. Para la evaluación de

dicha hipótesis se aplicará el análisis de Rango Rescalado como herramienta

estadística que permitirá identificar los procesos de memoria larga en las series

de retornos de activos admisibles para los FPO e incluir dicha dependencia en el

modelo de optimización de portafolio de Markowitz.

2.1. Definición del problema de investigación

La puesta en marcha de esta norma supuso un avance en la ampliación de las

oportunidades de inversión dispuestas para las AFP; ello se logró gracias a la



realización de estudios basados en criterios técnicos de eficiencia de portafolio

(Banco de la República, Universidad Externado de Colombia, 2009) y medición de

riesgos desarrollados a partir de los fundamentos de la Teoría de Mercados de

Capitales.

No obstante, dichos estudios se basaron en la aplicación de modelos de

optimización de portafolios basados en el criterio media- varianza, los cuales

suponen series de retornos independiente e idénticamente distribuidas en una

normal.

Esto se deriva de la aplicación de uno de los supuestos más importantes de la

Teoría de Mercados de Capitales, el Movimiento Browniano, utilizado para

describir el comportamiento de los retornos de activos a través del tiempo,

supone que las series de retornos de activos se comportan siguiendo las

siguientes características:

- Su media y varianza se mantienen constantes en el tiempo

(Estacionariedad).

- Independencia lineal de los retornos, lo cual quiere decir que los precios en

la actualidad no se relacionan con observaciones pasadas.

- Los retornos siguen una distribución normal.

Sin embargo, este supuesto no tiene en cuenta las anomalías del mercado,

entendida como un patrón regular en los retornos de un activo que es confiable,

ampliamente conocido e inexplicable. Una anomalía proporciona evidencia de

que una hipótesis o modelo determinado no se sostiene en la práctica (Lo, 2007).

Entre las debilidades de la aplicación de los modelos de eficiencia de media

varianza para la puesta en marcha del esquema multifondos se encuentran: 1.

Supone que las series de retornos de los activos financieros están independiente

e idénticamente distribuidas, el cual sólo es un caso particular del

2. Objetivo y Definición del Problema de Investigación 21

comportamiento de dichas series. 2. Las medidas de volatilidad por sí sola

pueden ofrecer información sobre eventos extremos sólo en caso de normalidad

de los retornos.

Con respecto a la primera debilidad, no todas las series de retornos de activos

siguen una caminata aleatoria. En periodos en los cuales los precios de activos

financieros registran caídas que se ven reforzadas, lo cual conlleva a periodos de

crisis, la dependencia en las series financieras debe ser evaluada como un factor

de riesgo. Esto se refleja en la valoración de riesgos de las inversiones,

especialmente en épocas de inestabilidad de los mercados financieros, lo cual

cobra especial importancia en la Administración de Pensiones y la protección de

los aportes de los afiliados a este Sistema. Al respecto, León & Laserna (2008)

encontraron que autores como Greenspan (2008), Bhansali (2005) y

Zimmermann et al. (2003) coinciden en afirmar que dichos periodos de crisis

resultan breves en comparación con los periodos de auge, pero por ser más

abruptas tienen un efecto mucho mayor. Al incluir información histórica tanto de

los periodos de auge como los de caída en modelos de estimación de riesgos, los

resultados conllevan a la sobrevaloración de la diversificación, la subvaloración el

riesgo y la no consideración de eventos extremos (Leon & Laserna, 2008).

Esto nos lleva a la segunda debilidad, al usar modelos basados en la normalidad

de los retornos, la probabilidad de encontrar una desviación con respecto a la

media baja de forma exponencial, y por lo tanto no es posible medir los eventos

extremos, los cuales generan un efecto acumulado en actividades como la

gestión de portafolios (Taleb (2007) citado por León y Laserna (2008) ).

De acuerdo con esto, el supuesto de aleatoriedad en series de retornos

financieras desconoce los patrones o tendencias que pueden presentar las

mismas. Al respecto, Peters (1994) establece que el comportamiento de las

series de retornos puede ser descrito a partir del Movimiento Browniano Fractal,

el cual puede ser visto como la generalización del Movimiento Browniano, el cual



ha sido aplicado como el proceso de difusión de los retornos por defecto durante

muchos años.

El Movimiento Browniano Fractal (Mandelbrot, 2006) o caminatas aleatorias

sesgadas (Peters E. E., 1989) pueden describirse como series de retornos con

un nivel de persistencia o memoria de largo plazo, que consiste en la correlación

entre observaciones del pasado con otras del futuro, aunque se encuentren

separadas por años (Lo, 2007).

El grado de persistencia es medido a partir de la metodología del Rango

Rescalado y el cálculo del exponente de Hurst (H), el cual toma valores entre 0 y

1. Cuando H = 0.5; la serie de retornos evaluada sigue una caminata aleatoria o

Movimiento Browniano. Cuando H tiene un valor entre 0 y 0.5 la serie de retornos

es antipersistente, o sigue un proceso de reversión a la media y si está toma

valores mayores a 0.5 y menores o iguales a 1, la serie es persistente, esto

quiere decir que una tendencia de retornos positivos se puede ver reforzada por

la sucesión de retornos positivos y en caso contrario, una tendencia hacia

retornos negativos se puede ver reforzada por la sucesión de retornos negativos.

Por tal razón, esta tesis emplea la metodología Análisis de Rango Rescalado y el

cálculo del exponente de Hurst, los cuales buscan superar las debilidades

anteriores ya que esta es utilizada con el fin de medir la memoria de largo plazo

en series de tiempo y de esta forma medir el impacto de los mismos en la

medición del riesgo de portafolio. Ello se logra debido a que:

- Se incorpora la influencia del pasado en el comportamiento de los retornos

de los mercados de capitales. De acuerdo con Peters (1989), esto

convierte al análisis de Rango Rescalado en una medida del sentimiento

del mercado (generado por eventos pasados) sobre retornos futuros. El

sentimiento del mercado es entendido como la interpretación de eventos

que influyen en el mercado de capitales.

2. Objetivo y Definición del Problema de Investigación 23

- Al tener en cuenta la persistencia de correlaciones que se acumulan a lo

largo del tiempo, el análisis de Rango Rescalado incluye como nueva

variable al tiempo (Holton, 1992).

3. Movimiento Browniano Y Propiedades

Empíricas De Series De Retornos

Financieras

El Movimiento Browniano debe su nombre a Robert Brown quien en 1828

describió el movimiento de las partículas de polen como un movimiento errático,

ya que el movimiento anterior no afectaba la dirección futura.

Más adelante, en 1900, Louis Bachelier describe las fluctuaciones de los precios

de acciones y bonos en Paris y concluye que graficar el precio pasado de una

acción para predecir el futuro no resulta muy útil, ya que los cambios de precios

son independientes, ante lo cual afirma que hay información predecible y otra que

no, y cuando esta es predecible ya se ve reflejada en los precios y los mercados

funcionan de forma eficiente.

En 1950, Samuelson retomó la tesis de Bachelier para analizar la valoración de

opciones. Samuelson reemplazó el llamado movimiento browniano aritmético, en

el cual el proceso aleatorio describe la dinámica de los precios, por el movimiento

browniano geométrico, el cual describe la dinámica de los retornos logarítmicos

de los precios de los activos; que de ahora en adelante llamaremos Movimiento

Browniano (MB).

Más adelante, el matemático Norbert Wiener formuló el Movimiento Browniano a

través de la descripción del proceso que siguen los precios de los activos a través

del tiempo, el cual es llamado proceso de Wiener. Un proceso de Wiener ,

conocido también como Movimiento Browniano Estándar, puede ser entendido

como pequeños cambios ( asociados a pequeños incrementos

en el tiempo. Un proceso estocástico continuo es un proceso Wiener si

satisface dos condiciones:

3. Movimiento Browniano y Características Empíricas de Series de Retornos Financieras

25

1. , donde es una variable aleatoria normal estándar, y

2. es independiente de para todo .

La primera condición implica que sigue una distribución normal con media 0 y

varianza . De la segunda condición se desprende una condición de Markov

según la cual, para intervalos de tiempo no traslapados, los incrementos de

tiempo son independientes. De ahí se puede deducir que el cambio de la variable

en un periodo de tiempo determinado y uno inicial , es la suma de

pequeños intervalos entre ellos :

; (1)

Variable aleatoria e IID N (0,1)

La esperanza y la varianza de están dadas por:

(2)

(3)

Como resultado, este es un proceso de media 0 y varianza proporcional a la

longitud del intervalo de tiempo, que puede ser generalizado con el fin de

describir otro tipo de procesos. Al respecto, el proceso generalizado de Wiener

describe cambios a través del tiempo de una variable , cuya esperanza cambia

a razón de y la varianza cambia a razón de a través del tiempo:



(4)

Donde o , es un proceso de Wiener o Movimiento Browniano:

(5)

(6)

(7)

Un caso particular del Movimiento Browniano, el Movimiento Browniano

Geométrico, es utilizado para describir el comportamiento de los precios y los

retornos de activos financieros a través del tiempo, en modelos representativos

de la teoría financiera como el de valoración de opciones de Black y Scholes, y el

CAPM, entre otros. Para ello, el Movimiento Browniano debe satisfacer:

1. Continuidad en al menos el horizonte de tiempo t.

2. Incrementos independientes.

3. Incrementos Estacionarios

El Movimiento Browniano es uno de los supuestos base de la Teoría Financiera;

ya que otorga ciertas características a las series de cambios de precios de activos

financieros. Una serie de retornos de un activo financiero es descrita como un

Movimiento Browniano si:

- Su media y varianza se mantienen constantes en el tiempo

(Estacionariedad).


27

- Independencia lineal de los retornos, lo cual quiere decir que los precios en

la actualidad no se relacionan con observaciones pasadas.

- Los retornos siguen una distribución normal.

Sin embargo, existe evidencia de que las series de retornos de activos financieros

pueden exhibir características diferentes a las del Movimiento Browniano,

específicamente en lo relacionado con la independencia lineal de los retornos. Al

respecto, diversos autores entre ellos León y Vivas (2010) y León y Reveiz (2010)

muestran que la presencia de memoria larga en las series de retornos de

mercados financieros viola los supuestos de Movimiento Browniano. En cuanto a

los mercados internacionales de acciones, Lo (1987) y (1991) muestran que las

series de retornos de las mismas no siguen caminatas aleatorias y exhiben

memoria a largo plazo, lo cual traería implicaciones a modelos ampliamente

aplicados en el análisis de mercados financieros.

Asimismo, León (2009) encuentra características empíricas para activos del

mercado financiero tanto a nivel nacional como internacional, las cuales invalidan

las propiedades del Movimiento Browniano:

1. La volatilidad no es constante a través del tiempo.

2. Los cambios en los precios no son independientes, debido a que a grandes

cambios en los precios de los activos le siguen cambios del igual tamaño y

dirección, lo cual se conoce como agrupamiento de volatilidad o volatilty

clustering (Mandelbröt y Hudson, 2004).

3. También se evidencian saltos en los retornos de los activos financieros, así

como distribuciones de probabilidad empírica diferentes a la distribución

normal.



Al respecto, cabe mencionar, los resultados encontrados por Cont (Cont, 2001,

pág. 224) y designado por el mismo como hechos estilizados relacionados con las

propiedades empíricas de las series de retornos, entre los cuales se cuentan:

1. Ausencia de autocorrelación.

2. Colas pesadas.

3. Gaussianidad Agregacional4: a medida que crece la escala de tiempo

en la cual se calculan los retornos, la distribución de la serie se acerca

a la distribución gaussiana.

4. Intermitencia: los retornos exhiben, a cualquier escala de tiempo, un

alto grado de variabilidad. Esto es cuantificado por la presencia de

estallidos irregulares en las series de tiempo de una gran variedad de

estimadores de volatilidad.

5. Efectos de apalancamiento: la mayoría de las medidas de volatilidad

de un activo están negativamente correlacionados con los retornos de

tal activo.

Sin embargo, tal como el mismo Cont (2001, pág. 233) lo reconoce, si bien estas

propiedades deberían ser tenidas en cuenta en los modelos con el fin de replicar

las características de los retornos de los activos del mercado financiero, lo cual

implicaría la obtención de resultados diferentes en dichos modelos, estas

propiedades empíricas conllevan a muchas restricciones al tratar de ser reflejadas

todas al mismo tiempo en un solo modelo.

No obstante, el debate acerca de la validez de los supuestos base de dichos

modelos ha crecido, lo que se deriva en la búsqueda de metodologías alternativas

4 Traducción literal.


29

para el análisis de los mercados financieros. Uno de los resultados de dicho

debate ha sido la aplicación del Movimiento Browniano Fractal (MBF) en los

modelos de análisis financiero y estimación de retornos y riesgos.

3.1. Movimiento Browniano Fractal

A lo largo del análisis de los mercados financieros, diferentes estudios han

encontrado que el comportamiento que exhiben las series de retornos financieras

es diferente al de caminata aleatoria o movimiento browniano, que constituye la

base la Teoría Financiera Moderna.

De acuerdo con Holton (1992) la hipótesis de caminata aleatoria como base de

modelos de inversión y análisis de riesgo en mercados de capitales tiene impacto

en la medición unidimensional del riesgo sin tener en cuenta el horizonte

temporal. En ausencia de aleatoriedad, en cambio, se demuestra que la

dependencia serial genera cambios en la medición de aleatoriedad como medida

de riesgo, lo cual introduce cambios en la estimación del mismo, al incluir la

variable del horizonte de tiempo.

Peters (1989) identifica patrones o tendencias en el comportamiento de los

retornos de los mercados de capitales, lo cual describe proceso aleatorio

sesgado, caracterizado por dependencia de las series en el largo plazo, llamada

también memoria o persistencia.

Dicho comportamiento guarda similitud con fenómenos estudiados en las ciencias

naturales y que han sido estudiados a través del Análisis de Rango Rescalado o

R/S. El análisis R/S fue inicialmente aplicado por H. E. Hurst en los años 50 para

estudiar las fluctuaciones de reservorios a través del tiempo. Para este fin era

necesario conocer el régimen de lluvias y las desviaciones en los niveles

promedio de las mismas, así como su rango de valores máximo y mínimo,

variable en las cuales el horizonte de tiempo es determinante.



El análisis R/S ha contribuido al avance de la geometría fractal, al proveer medios

de descripción de la organización de estructuras que descansan en formas

irregulares o series generadas por un sistema no lineal; identificando patrones

consistentes que operan a través de escalas de tamaño o de tiempo.

Aplicada a la serie de retornos de un activo, el análisis R/S consiste en tomar una

serie de retornos , cuya media se define como:

(8)

Y la desviación estándar como:

(9)

Luego, se normaliza la serie de retornos restando la media muestral:

, (10)

Seguida por la creación de una serie acumulada Y:

, ( 11)

El rango ajustado, , es el valor máximo menos el mínimo de


31

( 12)

Para aplicar el rango rescalado a series que no describan un movimiento

browniano, se debe generalizar la ecuación de movimiento browniano ha:

(13)

Donde,

: Exponente de Hurst

Término independiente

Luego de discretizar:

(14)

De donde se calcula a partir de Mínimos Cuadrados Ordinarios. El exponente

de Hurst toma valores entre 0 y 1. Cuando H=0.5; la serie sigue una caminata

aleatoria, un caso particular tratado en el cálculo del VaR; cuando H tiene un valor

entre 0 y 0.5, la serie sigue un proceso antipersistente, que se relaciona con un

proceso de reversión a la media y si está entre 0.5 y 1 es persistente, es decir

que un retorno negativo (positivo) puede ser seguido por más retornos negativos

(positivos) con una alta probabilidad.



Los hallazgos de León y Vivas (2010) para el mercado colombiano concluyeron el

rechazo de la hipótesis de independencia de largo plazo de los retornos de

activos en los mercados cambiarios (TRM), de renta variable (IGBC) y renta fija

(IDXTES), lo cual les permitió concluir que:

- La utilización de la regla de la raíz cuadrada del tiempo subestima el

riesgo, especialmente para los mercados accionarios y de renta fija.

- La evidencia de dependencia desvirtúa los fundamentos de los principales

modelos de valoración de activos (v.g. CAPM, APT y B&S) y de

optimización de portafolios (v.g. Markowitz y Black-Litterman)

Otros estudios han sido aplicados para otros mercados, tales como para índices

de mercado de acciones (Peters (1992), Ambrose et al. (1993), Bilel y Nadhem

(2009), Alptekin (2008)), commodities (Corazza et al (1997), Ezgraber et al

(2008)) y monedas (Sierra (2007), Da Silva et al (2007), Peters (2008)) y se han

encontrado ciertos niveles de persistencia en los retornos de los activos

financieros (0,5 < H ≤ 1).

Por ello, se propone una segunda metodología de desempeño de los portafolios

basada en el Análisis Fractal. Esta metodología ha sido abordada por autores

como Leon y Vivas (2010) con el fin de demostrar la volatilidad del mercado

colombiano y en el caso de Latinoamérica, en México, esta metodología ha sido

aplicada para el mercado de derivados (Sierra, 2007). En Alemania, Sun, Rachev

y Fabozzi (2007) evaluaron la dependencia de largo plazo y las colas largas en

los retornos del mercado accionario de dicho país. Es importante señalar que, al

momento de elaborar esta tesis, no se han encontrado aplicaciones de la

metodología fractal para portafolios de pensiones de FPO en la bibliografía

consultada.

Dicha metodología surge de la importancia del horizonte de tiempo en el estudio

de series. En primer lugar, debido a que las series de tiempo financieras registran


33

dependencia serial de largo plazo. Ello quiere decir que los retornos actuales de

un activo tienen incidencia en los retornos futuros en el corto plazo y largo plazo.

La persistencia de tendencias de las series que hacen que las ganancias que son

altas pueden escalarse o las grandes pérdidas pueden empeorar hace que los

precios de los activos en los mercados financieros no retornen a la media, como

se espera cuando tienen una distribución normal.

En el caso del mercado colombiano Reveiz y Vivas (2010) encontraron

persistencia significativa en los mercados accionario y de renta fija, y si se

incorpora el efecto de esta persistencia en el modelo de optimización de

portafolio, entonces los resultados y participaciones óptimas cambiarían.

Por el contrario las Finanzas Modernas, que incluyen a Markowitz, CAPM, la

Hipótesis de Mercados Eficientes y la Hipótesis de Mercados Eficientes tienen

entre sus principales supuestos el comportamiento de los retornos descrito como

un movimiento browniano (en adelante aleatorio) (Leon & Vivas, 2010),

caracterizado por ser:

1. Continuos: sin saltos.

2. Independientes: el precio de un periodo no está relacionado con los

precios de otros periodos.

3. Estacionarios: la media y la varianza de los precios son constantes5.

4. Tienen distribución normal.

De estas características, la más importante de acuerdo con muchos autores es la

independencia serial debido a que esta implica que si bien los retornos no se

distribuyen de forma normal pero son independientes, y por tanto convergen a la

media, por el Teorema del Límite Central, de acuerdo con el cual, si existe un

gran número de variables aleatorias independientes con idéntica distribución,

5 Se considera estacionariedad débil (Gujarati & Porter, 2009)



entonces, con pocas excepciones, la distribución de su suma tiende a ser normal

a medida que se incrementa al infinito el número de tales variables (Gujarati &

Porter, 2009).

El movimiento aleatorio es expresado a partir de la regla de la raíz del tiempo

(Leon & Vivas, 2010):

(15)

En donde,

: Número de periodos originales o tamaño de la muestra

: Periodicidad de la serie de tiempo evaluada

: Desviación estándar calculada en d

: Volatilidad en periodo dn

Como lo señalan León y Vivas (2010), la aplicación más notoria de ésta se

muestra en el cálculo del VaR:

(16)

Ello hace que se suponga en primer lugar una aleatoriedad en los rendimientos,

lo que no permite reconocer los patrones o tendencias en los retornos de los

activos del mercado de capitales que persisten a través del tiempo; por lo que se

hace necesario analizar el movimiento de los retornos como un Movimiento

Browniano Fractal.

Asimismo, se han encontrado otras limitaciones a la teoría. Litterman (2003)

identificaba dos debilidades del criterio media-varianza: 1. Sólo en caso de


35

normalidad de los retornos de los activos (un caso especial en la vida real), la

varianza por si sola puede dar suficiente información como para contemplar

eventos extremos. 2. La varianza no diferencia entre el riesgo de aumento o caída

en el precio de un activo.

Para efectos de la optimización del portafolio a partir de la aplicación del

Movimiento Browniano Fractal, es necesario evaluar la hipótesis nula de

independencia de largo en la serie de retornos de activos de forma individual.

Para ello se utilizará el cálculo del rango rescalado modificado propuesto por Lo

(1991), el cual introduce dos elementos:

1. Reemplaza la desviación estándar (S) por un estimador (Q) que incluye la

varianza y autocovarianza de los datos. Esto con el fin de reducir la

incidencia de los procesos de memoria de corto plazo en los de largo

plazo:

(17)

Donde

Desviación estándar de la muestra

Autocovarianza estimada de la muestra

: Ponderación de la autocovarianza con rezago



(18)

Coeficiente de autocorrelación de la serie de retornos.

2. Desarrolla el estadístico , utilizado para evaluar la hipótesis nula de

independencia de largo plazo en las series de retornos. Este estadístico

acepta la hipótesis nula en un 95% de confianza si el valor de se

encuentra entre 0,809 y 1,862.

Adicionalmente, para reducir el sesgo del uso de series finitas, que resultaría en

un alejamiento significativo de la hipótesis nula de independencia de largo plazo,

se calcula el exponente de H ajustado:

(19)

Donde,

: Exponente de Hurst estimado.

: Exponente de Hurst para series finitas.

3.2. Optimización de Portafolio: Modelo de Frontera Eficiente de Markowitz

6

6 Descripción tomada de Markowitz (1952). “Portfolio Selection”, The Journal of Finance, Vol. 7,

No. 1, p.77-91, 1952.


37

Harry Markowitz (1952), (1959) es llamado el padre de la Teoría Moderna de

Portafolio ya que fue el primero en formular un modelo de selección de portafolios

que sirvió de base a otros modelos como el CAPM desarrollado por Treynor

(1961, 1962)7, Sharpe (1964), Lintner (1965) y Mossin (1966). Por esta razón

Markowitz y Sharpe compartieron el premio Nobel de Economía en 1990 por su

aporte a los modelos de selección de portafolio y valoración de activos.

En este modelo, las creencias y proyecciones sobre inversiones siguen las

mismas reglas de probabilidad que obedecen las variables aleatorias (Markowitz,

1999); de allí se desprende que: 1. El retorno esperado de portafolio es igual al

promedio ponderado de los retornos esperados de inversiones individuales; 2. La

varianza del retorno del portafolio es una función particular de las varianzas y

covarianzas entre las inversiones y su participación en el portafolio. El modelo de

selección de portafolio de Markowitz se considera un tema importante de elección

bajo incertidumbre, ya que consiste en que el inversionista debe decidir cómo

distribuir su riqueza entre un número de oportunidades de inversión en un solo

periodo llamados activos. Sea el número de activos en los que se va a invertir,

sean el retorno del activo i; el retorno del portafolio (R) está dado por:

(20)

Siendo,

: Monto invertido en el activo i.

: Retorno del activo i.

7 Si bien Treynor (1961, 1962) desarrolló el CAPM antes que los demás autores, este sólo tuvo

reconocimiento cuando en 1981 Fischer Black lo afirmó en una carta abierta dirigida a Treynor (French, 2003).



El retorno esperado del portafolio es igual a:

(21)

Donde

Participación del activo i dentro del portafolio.

Si se tienen dos activos i y j, la covarianza entre estos dos activos es:

(22)

Covarianza entre i y j.

Coeficiente de correlación entre i y j.

Desviación estándar de i.

Desviación estándar de j.

La varianza del portafolio es:

(23)


39

(24)

(25)

En donde,

: Retorno de Portafolio .

: Vector de Participaciones de los activos dentro del portafolio.

: Matriz de varianzas y covarianzas.

: Riesgo del Portafolio .

El inversionista tiene una elección de varias combinaciones de E y V dependiendo

de su elección de portafolio; y la regla de E-V determina que el inversionista

querría o (debería) seleccionar uno de esos portafolios que conllevará al conjunto

de combinaciones indicadas como eficientes, las cuales maximizan el retorno

esperado de portafolio a una varianza dada o minimizan la varianza a un nivel de

retorno esperado de portafolio.

3.3. Inconvenientes del Modelo

Si bien el modelo de Markowitz proporciona un marco de referencia a la

optimización de portafolio a través de su análisis media-varianza, en la práctica



este procedimiento lleva a selección de carteras con bajos retornos y

maximización del riesgo (Michaud, 1998).

Las soluciones de los problemas de optimización de portafolio son muy sensibles

a las perturbaciones de los parámetros, ya que los estimadores se encuentran

sujetos al error estadístico y los resultados de la estimación no son muy

confiables (Goldfarb & Iyengar, 2003). Sin embargo, en el caso de la matriz de

varianzas y covarianzas es imposible conocer su verdadero valor, por lo cual es

necesario recurrir a los estimadores de los parámetros.

El modelo de Markowitz es formalmente un modelo de un solo periodo. Por esta

razón, muchos inversionistas institucionales, entre ellos, las administradoras de

fondos de pensiones, con horizontes de inversión de largo plazo encuentran

dificultades al utilizar este modelo en el largo plazo.

Los modelos MV son más apropiados para periodos de tiempo relativamente

cortos debido a que:

- Una aproximación cuadrática de la utilidad máxima esperada es más

probable que sea válida para periodos cortos como meses, trimestres o

semestres.

- Al alargar la unidad de tiempo se reduce el número de periodos

independientes en un conjunto de datos histórico y la significancia

estadística de la optimización de los parámetros estimados.

- Incrementar el periodo histórico de tiempo puede disminuir la relevancia de

los estimados para el periodo de tiempo proyectado.

3.4. Optimización de Portafolio en Horizontes de Tiempo de Mediano y Largo Plazo

La alternativa convencional de medición de riesgo y retorno de portafolio para

horizontes de inversión a largo plazo consiste en la estimación media y

desviación de retornos de baja frecuencia en un horizonte de tiempo prolongado a

partir del escalamiento de la media y la desviación de retornos de alta frecuencia.


41

En el caso de los retornos esperados, consiste en el cálculo de los retornos

compuestos anuales a partir de los diarios:

(26)

En donde,

Retornos esperados compuestos diarios

Retornos esperados horizonte de un año

Número de días en un año.

Para la desviación estándar de los retornos, se aplica la regla de la raíz cuadrada

del tiempo, la cual consiste en multiplicar la desviación estándar estimada por el

número de observaciones de alta frecuencia:

(27)

Desviación estándar esperada compuesta diaria

Desviación estándar horizonte de un año

Número de días en un año.

En una segunda etapa, se evaluará el exponente de Hurst en la matriz de

varianzas y covarianzas. Para ello se utilizará el método propuesto por León y

Reveiz (2010) de acuerdo con el cual se reescala el horizonte de inversión

utilizando el exponente de Hurst.



La regla de la raíz cuadrada del tiempo es reemplazada por la expresión:

(28)

En el caso de la covarianza entre los activos y :

(29)

4. Metodología

4.1. Clasificación de Portafolios

La metodología propuesta consiste en la construcción de tres portafolios

representativos de las inversiones de los Fondos de Pensiones Obligatorias

correspondientes al esquema multifondos: Conservador, Moderado y de Mayor

Riesgo. Todos los fondos contarán con participaciones de las inversiones

admisibles, detalladas en la Tabla 4-1 (Jara, Gomez, & Pardo, 2005).

Tabla 4-1: Descripción de instrumentos de inversión

Grupos de Instrumentos de Inversión

Subgrupos de Instrumentos de Inversión

Total Títulos, valores o participaciones de emisores nacionales

Deuda interna y externa, emitidos o garantizados por la Nación


Participaciones en carteras colectivas


Acciones de baja y mínima bursatilidad, ADRs y GDRs.

Otros Títulos, valores o participaciones de emisores nacionales

Total Títulos, valores o participaciones de emisores del exterior




Otros Títulos, valores o participaciones de emisores del exterior

Tabla 4-2: Descripción de instrumentos de inversión

Total Otras inversiones y operaciones

Depósitos a la vista



Instrumentos financieros derivados


Se adopta la metodología de representación de cada uno de los instrumentos de

inversión utilizada por Jara (2006) (Tabla 4-3), y los límites de inversión

especificados en la Tabla 4-4, así como las fuentes de información de cada uno

de los índices. Las series de precios son de frecuencia diaria y el periodo de

estudio corresponde al periodo comprendido entre el 15 de enero de 2008 y el 7

de septiembre de 2015.

Tabla 4-3: Universo de instrumentos de inversión

Activo Serie Fuente

TES: TES ligados a la inflación (UVR e IPC)

Índice TES Banco de la República

CEMBI: Bonos corporativos colombianos.

Índice de deuda corporativa

Elaboración propia a partir de datos de la Bolsa de Valores de Colombia

EMBI Col: Deuda externa colombiana

EMBI Colombia

JP Morgan Bonos del Tesoro de los Estados Unidos

COLCAP: Renta Variable Local

Índice COLCAP Bolsa de Valores de Colombia

EMBI Europa: Deuda gubernamental de países desarrollados

EMBI Europa JP Morgan

EMBI Latam: Deuda gubernamental externa de países emergentes con calificación aceptable

EMBI Latam JP Morgan

MOODYS AAA Y MOODYS BAA: Deuda Corporativa Externa.

Índices de Retorno de bonos corporativos AAA y BAA

Moody's

S&P 500: Renta Variable Externa.

S&P 500 Standard and Poors

Fuente: Jara, Gomez, & Pardo, Análisis de Eficiencia de los portafolios pensionales obligatorios en Colombia, 2005.

4. Metodología 45

Tabla 4-4: Límites de inversión por fondo

Tipo de Activo

Cálculo

Límite

Esquema Anterior

Fondo Conservador

Fondo Moderado

Fondo Alto

Riesgo

Títulos de deuda pública

TES 60% 50% 50% 50%

Deuda corporativa local

CEMBI 60% 60% 60% 60%

Títulos agentes externos

EMBI Europa + EMBI Latam + MOODYS AAA + MOODYS BAA +S&P

500

40% 40% 60% 70%

Renta variable Local

COLCAP 40% 15% 35% 45%

Fuente: Jara, Gomez, & Pardo, Análisis de Eficiencia de los portafolios pensionales obligatorios en Colombia, 2005. Elaboración Propia.

4.2. Cálculo de Frontera Eficiente

En una fase inicial se evalúa el desempeño de los portafolios a partir del enfoque

planteado por Markowitz de acuerdo con el cual la variable dependiente es la

Esperanza de Retorno de Portafolio o E(R) y la variable independiente es la

Matriz de Varianzas y Covarianzas de los mismos.

Asimismo, se corrige el efecto de la inflación y la tasa de cambio de activos

locales en los retornos utilizando la serie de la tasa de cambio de activos externos

y la serie diaria de UVR.

Los retornos y las volatilidades serán anualizados con el fin de recoger el efecto

del paso del tiempo en un horizonte de un año. Al anualizar las volatilidades se

aplicarán dos metodologías que serán contrastadas con el fin de comparar la

medición de riesgo aplicando Movimiento Browniano y Movimiento Browniano

Fractal.



La primera metodología de escalamiento del tiempo es la metodología de la raíz

cuadrada del tiempo, que no tiene en cuenta la persistencia o memoria larga en

las series de retornos y consiste en el producto entre la covarianza de los activos i

y j, y la raíz cuadrada del número de días hábiles del año, lo cual supone que el

exponente de Hurst para todos los activos es de 0,5; lo cual es consistente con el

supuesto de aleatoriedad de los retornos.

La segunda metodología de escalamiento del tiempo es la metodología de la raíz

cuadrada del tiempo, que consiste en el producto entre la covarianza de los

activos i y j, y el número de días hábiles del año elevado a la suma de los

exponentes de Hurst de los activos i y j (Ecuación 28); con lo cual se tiene en

cuenta la persistencia o memoria a largo plazo de en las series de retornos de los

activos.

Finalmente, se escalará el horizonte de inversión de 1 a 10 años, con el fin de

comparar el efecto del tiempo en la medición del riesgo en ambos métodos, lo

cual se verá reflejado en el cambio de las participaciones de los activos en los

portafolios de la frontera eficiente.

4.3. Datos

Para el análisis de eficiencia de los portafolios de FPO se utilizaron índices que

replican el comportamiento mostrado por cada uno de los instrumentos de

inversión. La utilización de dichas variables presenta algunas limitaciones, entre

ellas, el cálculo de retornos de un grupo de diferentes activos a través de un solo

indicador.

Para el análisis de retornos de activos y la composición del portafolio

representativo del esquema multifondos de los Fondos de Pensiones

Obligatorias, se escogieron las cotizaciones diarias en el periodo comprendido

entre el 15 de enero de 2008 y el 7 de septiembre de 2015. El conjunto de activos

4. Metodología 47

está conformado por inversiones en renta fija y renta variable tanto de emisores

locales como extranjeros, que representan los instrumentos de inversión

permitidos a los Fondos de Pensiones Obligatorias. Estos activos se encuentran

representados en índices que describen el comportamiento agregado de cada

tipo de activo y se encuentran descritos en la Tabla 4-1.

Asimismo, se calcularon la media, la desviación estándar, el p-value del test

Jarque Bera y la curtosis para las series de datos anteriormente mencionada. Se

encontró para todas ellas que a pesar de que la media de los retornos de estas

series es muy cercana a 0, la distribución de estas series muestra un exceso de

curtosis y el cálculo del p-value del test de Jarque Bera permite rechazar la

hipótesis nula de normalidad de las mismas (Tabla 4-5).

Tabla 4-5: Estadística descriptiva y análisis de series de retornos

Índice Media Desviación Estándar

Jarque Bera - pvalue

Curtosis Exponente de

Hurst

COLCAP 0,0002 0,0112 0,0010 10,804469 0,66834

TES 0,0004 0,0026 0,0010 8,4315248 0,61186

CEMBI 0,0003 0,0151 0,0010 7,9179505 0,60179

EMBI Colombia

0,0011 0,0448 0,0010 7,74281 0,46686

EMBI Europa 0,0003 0,0056 0,0010 60,507572 0,67906

EMBI Latam 0,0002 0,0058 0,0010 31,529089 0,65945

MOODYS AAA

-0,0001 0,0138 0,0010 4,1939806 0,52005

MOODYS BAA

-0,0000 0,0104 0,0010 4,0179314 0,61889

S&P 500 0,0003 0,0142 0,0010 12,252089 0,59603

Fuente: Elaboración Propia.

Dicho lo anterior, se procede a realizar el análisis de Rango Rescalado para cada

una de las series, el cual es una técnica estadística utilizada para medir la

naturaleza y magnitud de la variabilidad de datos a través del tiempo. Esta técnica

busca identificar patrones en los retornos que pueden ser repetidos a través en el

futuro. Del Rango Rescalado se deriva el exponente de Hurst que mide el ritmo

de escalamiento de las series.



Luego de aplicar el análisis de rango rescalado, se encontró evidencia de

dependencia de largo plazo en las series, debido a que el exponente de Hurst de

estas se ubica entre 0,5 y 1, a excepción de la serie correspondiente al índice

EMBI Colombia que tiene exponente de Hurst de 0,48, muy cercano a 0,5 (Figura

5-7 - Figura 5-15).

Esto se ve reflejado al momento de anualizar las volatilidades de las series. Al

encontrar persistencia en los datos, la volatilidad anualizada de los activos

individuales calculada a partir del exponente de Hurst es mayor que la volatilidad

anualizada utilizando la regla de la raíz cuadrada del tiempo, como lo muestra la

Figura 4-1.

Figura 4-1: Volatilidades anualizadas por activo

Fuente: Elaboración Propia

Asimismo, el hallazgo de dependencia de largo plazo en las series se ve reflejado

en la medición de riesgos de portafolio y en el cálculo de la frontera eficiente,

especialmente en la matriz de covarianzas anualizada, ya que la regla de la raíz

4. Metodología 49

cuadrada del tiempo fue modificada con el fin de mostrar el riesgo de inversión de

los activos a partir de un aumento en el horizonte de inversión.

5. Resultados

5.1. Análisis de portafolios

La influencia de la dependencia de largo plazo en la optimización de portafolio se

puede ver en la comparación de la medición de retorno/riesgo entre los métodos

de anualización basados en la regla de la raíz cuadrada del tiempo y el exponente

de Hurst. Para los tres portafolios se pudo observar que la regla de la raíz del

tiempo sobrestima la relación retorno/riesgo en comparación con el coeficiente de

Hurst.

5.1.1. Portafolio Conservador

Manteniendo los límites de inversión del portafolio conservador, se muestran a

continuación las participaciones máximas y mínimas para cada uno de los activos

del portafolio.

Las participaciones máximas más altas corresponden en su orden al índice

CEMBI (Índice de deuda corporativa colombiana), tanto en la aplicación de la

regla de la raíz cuadrada del tiempo como en la aplicación del exponente de

Hurst. Si bien las participaciones de cada uno de los activos de emisores

extranjeros (EMBI Europa, EMBI Latam, MOODYS AAA, MOODYS BAA y S&P

500) permanecen por debajo del 8% de participación; de forma agregada, estos

activos aportan hasta el 40% dentro del total del portafolio. Mientras tanto, los

instrumentos de inversión en deuda pública de emisores locales, resumidos en

los índices TES y EMBI Colombia, completan el 20% establecido como límite

máximo de inversión.

5. Resultados 51

En cuanto a la aplicación del escalamiento con el exponente de Hurst se puede

observar una menor participación de inversiones de emisores extranjeros, de las

cuales se destacan las inversiones en renta variable extranjera, representada en

el índice S&P 500 y las inversiones en deuda pública extranjera, (índices EMBI

Europa y EMBI Latam), mientras que los bonos corporativos extranjeros no

tuvieron participación dentro del portafolio. Finalmente, las inversiones en deuda

pública de emisores locales (TES) se mantienen en el límite, así como la

inversión en bonos corporativos locales (CEMBI) (Tabla 5-1).

Tabla 5-1: Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Conservador.

COLCAP TES CEMBI

EMBI Colombia

EMBI Europa

EMBI Latam

MOODYS AAA

MOODYS BAA

S&P 500

H = 0,5 Max 15% 25% 23% 25% 8% 8% 8% 8% 8%

Min 1% 25% 0% 2% 8% 8% 7% 8% 3%

Hurst Max 0% 25% 55% 22% 0% 0% 0% 0% 0%

Min 0% 25% 53% 20% 0% 0% 0% 0% 0%


En cuanto a los niveles de diversificación, la ¡Error! No se encuentra el origen

e la referencia. muestra una mayor variedad en el portafolio en el cual se aplica

la anualización mediante la regla de la raíz cuadrada del tiempo, mientras que en

el portafolio en el cual se aplica el exponente de Hurst, existe una mayor

participación de los títulos locales y en menor medida de los títulos de emisores

extranjeros de los cuales hay participación casi exclusiva de inversiones en deuda

pública.



Figura 5-1: Comparación de participaciones Portafolio Conservador.


5.1.2. Portafolio Moderado

El portafolio moderado con la aplicación de la raíz cuadrada del tiempo, muestra

una mayor diversificación y una disminución en términos relativos en la

participación en deuda corporativa local (índice CEMBI). Esto se puede atribuir al

incremento en los límites de inversión con respecto al portafolio conservador.

En contraposición, las participaciones del portafolio anualizado con el exponente

de Hurst siguen mostrando una mayor participación para los activos de deuda

corporativa local en sus valores máximo y mínimo y una participación de 0% para

los activos de deuda corporativa de emisores extranjeros (Tabla 5-2).

Tabla 5-2: Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Moderado

COLCAP TES CEMBI

EMBI Colombia

EMBI Europa

EMBI Latam

MOODYS AAA

MOODYS BAA

S&P 500

H = 0,5 Max 22% 25% 18% 11% 12% 12% 4% 11% 12%

Min 8% 25% 5% 2% 12% 6% 2% 9% 0%

Hurst Max 0% 25% 54% 25% 9% 0% 0% 0% 0%

Min 0% 25% 41% 21% 0% 0% 0% 0% 0%


5. Resultados 53

En términos generales, el portafolio en el cual se aplicó la anualización con el

exponente de Hurst muestra una menor diversificación de activos, con una mayor

participación de activos de emisores locales y deuda pública de emisores

extranjeros. Los límites de inversión por tipo de fondo actúan como una

restricción importante en la formación de los portafolios eficientes y las

participaciones de los activos, si bien se puede observar que en la medida en la

que se cambia de clasificación de portafolio, las posibilidades de diversificación

aumentan (Figura 5-2).

Figura 5-2: Comparación de participaciones Portafolio Moderado


5.1.3. Portafolio Mayor Riesgo

De manera similar al portafolio moderado, el portafolio de mayor riesgo

anualizado a partir de la regla de la raíz cuadrada del tiempo, muestra una

disminución de la participación de los títulos de deuda privada por debajo de su

límite superior de inversión compensada por un aumento en la participación de

otros activos dentro del portafolio. Por su parte la anualización hecha a partir del



exponente de Hurst muestra una mayor participación de los títulos de deuda

corporativa local, seguido por renta variable local y en una menor participación los

títulos de deuda pública de emisores locales y títulos emitidos por emisores

externos.

En cuanto a la diversificación, se muestra que la anualización con el exponente

de Hurst conlleva a una menor diversificación de activos, restándole participación

a los títulos de emisores extranjeros, dados los límites de inversión de los activos

(Figura 5-3).

Figura 5-3: Comparación de participaciones Portafolio Mayor Riesgo


5.1.4. Efecto de la ampliación del horizonte de inversión a 10 años.

Finalmente, se puede ver que el horizonte de inversión juega un papel importante.

Al escalar la optimización del portafolio a un horizonte de inversión de 10 años se

evidencian diferencias en cada una de las metodologías.

5. Resultados 55

El uso del método de la raíz cuadrada del tiempo, (H = 0,5) para la optimización

de portafolios no implica cambios en las participaciones de los activos de los

fondos conservador (Figura 5-4), moderado (Figura 5-5) y de mayor riesgo

(Figura 5-6); ya que al pasar de un horizonte de un año a otro de diez, dichas

participaciones permanecen constantes.

Figura 5-4: Comparación de métodos: Raíz Cuadrada del Tiempo vs. Exponente de Hurst. Horizontes de inversión de 1 año y 10 años. Fondo Conservador.




Figura 5-5: Comparación de métodos: Raíz Cuadrada del Tiempo vs. Exponente de Hurst. Horizontes de inversión de 1 año y 10 años. Fondo Moderado.


Figura 5-6: Comparación de métodos: Raíz Cuadrada del Tiempo vs. Exponente de Hurst. Horizontes de inversión de 1 año y 10 años. Fondo Mayor Riesgo.


5. Resultados 57

En cuanto a la aplicación del exponente de Hurst, se pueden observar cambios

en las participaciones de los activos en los portafolios eficientes para los tres

fondos al aumentar el horizonte temporal de inversión, lo cual se atribuye al

método de escalamiento del tiempo.

Los resultados presentados luego de la anualización de portafolio a partir del

exponente de Hurst muestran una alta ponderación de los activos locales dentro

de los tres portafolios analizados, especialmente en los títulos de deuda pública.

La concentración de las inversiones de los activos en este frente plantea

interrogantes sobre el establecimiento de los límites a los instrumentos de

inversión y la posibilidad de evaluar periódicamente el retorno y riesgo de

portafolio, con el fin de flexibilizar las restricciones que enfrentan las

Administradoras de Fondos de Pensiones en la elección optima de dichos

portafolios.

Por otra parte, los activos de emisores extranjeros pierden participación al aplicar

el exponente de Hurst. En esta medida se debe considerar el papel de la

diversificación de inversiones en otros mercados como una medida efectiva de

reducción del riesgo de portafolio, ya que esta por si sola podría resultar

insuficiente teniendo en cuenta la incidencia de la memoria de largo plazo de las

series de retorno en el aumento del riesgo de portafolio.

En general, la anualización de portafolios a partir del exponente de Hurst arroja

combinaciones eficientes con una mayor participación en instrumentos de

inversión de renta fija local. Esto implica que en presencia de memoria o

dependencia de largo plazo, las participaciones de los activos dentro de los

portafolios eficientes tienden a ser más conservadoras.

Asimismo, se puede ver que el aumento del horizonte temporal en presencia de

memoria de largo plazo influye en las participaciones de los activos permitiendo

una mayor diversificación de los mismos.

Esto llevado al esquema multifondos plantea la necesidad de una revisión

periódica de los límites de inversión de cada uno de los fondos, teniendo en



cuenta el horizonte temporal en la medición del riesgo y el efecto de caídas o

alzas en los precios a medida que se agreguen datos al modelo.

Al final se detallan los análisis de rango rescalado de cada uno de los activos

(Figura 5-7 - Figura 5-15), así como los resultados de la optimización de

portafolio.

Figura 5-7: R/S COLCAP


5. Resultados 59

Figura 5-8: R/S TES


Figura 5-9: R/S CEMBI




Figura 5-10: R/S EMBI Colombia


Figura 5-11: R/S EMBI Europa


5. Resultados 61

Figura 5-12: R/S EMBI Latinoamérica


Figura 5-13: R/S MOODYS AAA




Figura 5-14: R/S MOODYS BAA


Figura 5-15: R/S S&P 500

5. Resultados 63

Tabla 5-3: Análisis de Rango Rescalado Activos

Análisis de Rango Rescalado COLCAP

Análisis de Rango Rescalado TES

N (R/S) Log(R/S) Log (N)

N (R/S) Log(N) Log (R/S)

1.864 86,88 7,53 4,46

1.864 86,88 7,53 4,46

932 59,15 6,84 4,08

932 59,15 6,84 4,08

466 32,89 6,14 3,49

466 32,89 6,14 3,49

233 19,00 5,45 2,94

233 19,00 5,45 2,94

117 15,52 4,76 2,74

117 15,52 4,76 2,74

58 7,87 4,06 2,06

58 7,87 4,06 2,06

28 6,42 3,33 1,86

28 6,42 3,33 1,86

14 4,67 2,64 1,54

14 4,67 2,64 1,54

7 3,04 1,95 1,11

7 3,04 1,95 1,11

Resultados de la Regresión

Resultados de la Regresión Constante

- 0,58

Constante

- 0,58

Error Estándar

0,08

Error Estándar

0,08

R Cuadrado

0,98

R Cuadrado

0,98

H

0,67

H

0,67

Error Estándar del Coeficiente 0,00


Análisis de Rango Rescalado CEMBI

Análisis de Rango Rescalado EMBI Colombia



1.864 108,76 4,69 7,53

1.864 50,76 7,53 3,93

932 90,11 4,50 6,84

932 35,72 6,84 3,58

466 74,55 4,31 6,14

466 35,40 6,14 3,57

233 45,79 3,82 5,45

233 24,31 5,45 3,19

117 22,13 3,10 4,76

117 12,88 4,76 2,56

58 7,59 2,03 4,06

58 5,93 4,06 1,78

28 6,87 1,93 3,33

28 4,58 3,33 1,52

14 3,83 1,34 2,64

14 4,37 2,64 1,47

7 2,44 0,89 1,95

7 3,38 1,95 1,22


Resultados de la Regresión Constante

0,31

Constante

0,43

Error Estándar

0,23

Error Estándar

0,17

R Cuadrado

0,87

R Cuadrado

0,88

H

0,60

H

0,47





Tabla 5-4: Análisis de Rango Rescalado Activos

Análisis de Rango Rescalado EMBI Europa

Análisis de Rango Rescalado EMBI Latinoamérica



1.864 106,44 7,53 4,67

1.864 98,53 4,59 1,52

932 65,79 6,84 4,19

932 71,62 4,27 1,45

466 48,12 6,14 3,87

466 46,84 3,85 1,35

233 30,07 5,45 3,40

233 28,20 3,34 1,21

117 15,56 4,76 2,74

117 18,53 2,92 1,07

58 8,73 4,06 2,17

58 8,61 2,15 0,77

28 5,29 3,33 1,67

28 7,11 1,96 0,67

14 4,50 2,64 1,50

14 3,93 1,37 0,31

7 2,86 1,95 1,05

7 2,98 1,09 0,09



Constante

- 0,43

Constante

- 0,30

Error Estándar

0,10

Error Estándar

0,08

R Cuadrado

0,98

R Cuadrado

0,98

H

0,68

Exponente de Hurst (H) 0,66



Análisis de Rango Rescalado Moodys AAA

Análisis de Rango Rescalado Moodys BAA



1.864 40,25 7,53 2,02

1.864 63,53 4,15 7,53

932 22,09 6,84 1,92

932 41,29 3,72 6,84

466 21,98 6,14 1,82

466 39,43 3,67 6,14

233 22,53 5,45 1,70

233 27,13 3,30 5,45

117 6,82 4,76 1,56

117 7,23 1,98 4,76

58 5,83 4,06 1,40

58 5,83 1,76 4,06

28 3,89 3,33 1,20

28 3,80 1,34 3,33

14 3,15 2,64 0,97

14 3,02 1,11 2,64

7 2,22 1,95 0,67

7 2,17 0,77 1,95



Constante

- 0,22

Constante

- 0,431

Error Estándar

0,18

Error Estándar

0,216

R Cuadrado

0,89

R Cuadrado

0,888

H

0,52

Exponente de Hurst (H) 0,619



Tabla 5-5: Análisis de Rango Rescalado

5. Resultados 65

Activos

Análisis de Rango Rescalado S&P 500

N (R/S)

Log(N) Log (R/S)

1.864 57,83

7,53 4,06

932 38,81

6,84 3,66

466 27,53

6,14 3,32

233 15,25

5,45 2,72

117 10,67

4,76 2,37

58 5,34

4,06 1,67

28 5,33

3,33 1,67

14 4,48

2,64 1,50

7 2,52

1,95 0,92


Constante

- 0,463

Error Estándar

0,096

R Cuadrado

0,973

H

0,596



Tabla 5-6. Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Conservador

COLCA

P TES CEMBI

EMBI Colombia

EMBI Europa

EMBI Latam

MOODYS AAA

MOODYS BAA

S&P

500

H = 0,5

Max

15% 25% 23% 25% 8% 8% 8% 8% 8%

Min 1% 25% 0% 2% 8% 8% 7% 8% 3%

Hurst

Max

0% 25% 55% 22% 0% 0% 0% 0% 0%

Min 0% 25% 53% 20% 0% 0% 0% 0% 0%

Tabla 5-7. Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Moderado

COLCAP TES CEMBI

EMBI Colombia

EMBI Europa

EMBI Latam

MOODYS AAA

MOODYS BAA

S&P 500

H = 0,5 Max 22% 25% 18% 11% 12% 12% 4% 11% 12%

Min 8% 25% 5% 2% 12% 6% 2% 9% 0%

Hurst Max 0% 25% 54% 25% 9% 0% 0% 0% 0%

Min 0% 25% 41% 21% 0% 0% 0% 0% 0%



Tabla 5-8. Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Mayor Riesgo.

COLCA

P TES

CEMBI

EMBI Colombi

a

EMBI Europa

EMBI Latam

MOODYS AAA

MOODYS BAA

S&P 500

H = 0,5

Max 22% 25% 18% 11% 14% 14% 3% 12% 14%

Min 5% 25% 4% 2% 13% 5% 2% 7% 0%

Hurst Max 0% 25% 50% 25% 9% 0% 0% 0% 0%

Min 0% 25% 41% 25% 0% 0% 0% 0% 0%

5. Resultados 67

Tabla 5-9 Comparación Retorno Riesgo de Portafolio

Conservador Moderado Mayor Riesgo

No.

Por

t.

H = 0,5 Hurst H = 0,5 Hurst H = 0,5 Hurst

Ret

(%)

Riesg

o

Ret/

Ries.

Ret

(%) Riesgo

Ret/

Ries.

Ret.

(%) Riesgo

Ret/

Riesgo

Ret.

(%) Riesgo

Ret/

Ries.

Ret.

(%) Riesgo

Ret/

Ries.

Ret.

(%) Riesgo

Ret/

Ries.

1 6,5 0,02 2,80 5,8 0,33 0,18 6,2 0,02 3,00 5,2 0,32 0,16 6,2 0,02 3,02 3,0 0,34 0,09

2 6,5 0,02 2,81 5,9 0,33 0,18 6,2 0,02 3,02 5,3 0,32 0,17 6,2 0,02 3,04 3,1 0,34 0,09

3 6,5 0,02 2,82 5,9 0,33 0,18 6,3 0,02 3,04 5,3 0,32 0,17 6,3 0,02 3,06 3,1 0,34 0,09

4 6,6 0,02 2,83 5,9 0,33 0,18 6,3 0,02 3,06 5,4 0,32 0,17 6,3 0,02 3,08 3,2 0,34 0,09

5 6,6 0,02 2,84 5,9 0,33 0,18 6,3 0,02 3,08 5,4 0,32 0,17 6,4 0,02 3,11 3,3 0,34 0,10

6 6,6 0,02 2,85 5,9 0,33 0,18 6,4 0,02 3,10 5,5 0,32 0,17 6,4 0,02 3,13 3,4 0,34 0,10

7 6,6 0,02 2,86 6,0 0,33 0,18 6,4 0,02 3,11 5,5 0,32 0,17 6,5 0,02 3,15 3,4 0,34 0,10

8 6,6 0,02 2,86 6,0 0,33 0,18 6,4 0,02 3,13 5,6 0,32 0,17 6,5 0,02 3,17 3,5 0,34 0,10

9 6,7 0,02 2,87 6,0 0,33 0,18 6,5 0,02 3,15 5,6 0,32 0,17 6,6 0,02 3,19 3,6 0,34 0,11

10 6,7 0,02 2,88 6,0 0,33 0,18 6,5 0,02 3,17 5,7 0,33 0,17 6,6 0,02 3,21 3,6 0,34 0,11

11 6,7 0,02 2,89 6,0 0,33 0,18 6,6 0,02 3,18 5,7 0,33 0,18 6,7 0,02 3,23 3,7 0,34 0,11

12 6,7 0,02 2,89 6,1 0,33 0,18 6,6 0,02 3,20 5,8 0,33 0,18 6,7 0,02 3,25 3,8 0,33 0,11

13 6,8 0,02 2,90 6,1 0,33 0,18 6,6 0,02 3,21 5,8 0,33 0,18 6,7 0,02 3,27 3,8 0,33 0,12

14 6,8 0,02 2,91 6,1 0,33 0,18 6,7 0,02 3,23 5,9 0,33 0,18 6,8 0,02 3,29 3,9 0,33 0,12

15 6,8 0,02 2,92 6,1 0,33 0,18 6,7 0,02 3,24 5,9 0,33 0,18 6,8 0,02 3,31 4,0 0,33 0,12

6. Conclusiones

Después de aplicar el análisis en las series de retornos que representan los

instrumentos de inversión admisibles para los Fondos de Pensiones bajo el

esquema multifondos, se encuentra que estas series siguen una caminata

aleatoria sesgada (Peters E. E., 1989), lo cual va en línea con lo encontrado en

otras investigaciones acerca del comportamiento de las series de retornos

financieras, las cuales muestran que la dependencia de largo plazo es común de

las series de retornos en los mercados financieros (León & Reveiz, 2010). Esto se

ve reflejado en un exponente de Hurst mayor a 0,5 para estas series, lo cual

implica: 1. Los retornos se ven influenciados por el pasado; 2. Esta influencia se

presenta a través de escalas temporales.

Posteriormente, la optimización de portafolios anualizados mediante la regla de la

raíz del tiempo mostró una subestimación del riesgo frente a la anualización

calculada a partir del exponente de Hurst, la cual muestra combinaciones de

retornos menos favorables a un nivel de riesgo dado.

Asimismo, se encontró una menor diversificación de inversiones en la

optimización anualizada a partir del exponente de Hurst, la cual mostró mayores

ponderaciones de activos locales dentro del portafolio, contrario al propósito de la

puesta en marcha del esquema multifondos, el cual tenía entre sus objetivos, la

diversificación de las inversiones de los fondos de pensiones hacia activos de

renta variable e inversiones en el exterior.

No obstante, la asignación de los límites de inversión para los portafolios del

esquema de (conservador, moderado y mayor riesgo), coincide en niveles de

riesgo con los portafolios anualizados a partir del exponente de Hurst, situación

6. Conclusiones 69

que no se presenta en la anualización de portafolios a partir de la regla de la raíz

cuadrada del tiempo.

Esto conlleva a hacer recomendaciones en materia de política de inversiones de

los fondos de pensiones obligatorias en dos aspectos: el primero relacionado con

la diversificación y el segundo con la asignación efectiva de activos dentro de los

portafolios de dichos fondos.

En cuanto al primer aspecto, si bien las medidas tomadas por el Gobierno

Nacional frente al régimen de inversiones de Fondos de Pensiones Obligatorias

(FPO) se enfocan en la diversificación de instrumentos de inversión (fondos de

capital privado y proyectos de infraestructura), estas responden a necesidades

diferentes a la protección de aportes a los FPO; entre ellas financiar de proyectos

de infraestructura y dinamizar el mercado de valores local. Por ello, es necesario

considerar que en presencia de memoria de largo plazo, la diversificación por sí

misma no es una medida de gestión del riesgo, y en esa medida se deben

considerar participaciones de activos poco diversificadas y más conservadoras

como las obtenidas a partir de la aplicación del exponente de Hurst.

Esto lleva al segundo aspecto, frente al cual se recomienda el aumento de la

periodicidad con la que se revisan el régimen de inversión de FPO. Esta

asignación debe responder tanto a la búsqueda de retornos en el largo plazo

como a la adaptación estratégica frente a cambios en los mercados financieros.

En esta medida, la aplicación del exponente de Hurst incorpora tanto los cambios

y tendencias registrados en los mercados financieros como el efecto que tiene el

horizonte de inversión en la gestión de portafolios.

Entre las limitaciones para la aplicación del modelo se encuentran las pocas

observaciones para las series de retornos, especialmente en el caso de los

activos locales, por lo cual fue necesario ajustar el análisis de portafolios a

retornos diarios en un periodo definido a partir de la primera fecha del cálculo del

Índice COLCAP, consultado la página web del Banco de la República.



Cabe anotar que, si bien el análisis de Rango Rescalado es una técnica

estadística ampliamente aplicada en mercados financieros alrededor del mundo,

su aplicación relativamente reciente contempla la necesidad de ajustes, lo cual

seguirá siendo objeto de investigación y debate.

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