k

iiF

1

Örneklerle Simülasyon

Dağılımın Belirlenmesi: Normal, poisson, binomial, gamma vb. gibi teorik dağılımlarla belirlenen olayların gözlem veya tecrübe verilerine bu dağılımlar uydurulabilir. Uydurma işlemi ise dağılım parametrelerinnin belirlenmesi anlamına gelmektedir. Aday dağılımı 2 parametrenin fonksiyonudur ve çoğu kez bu parametreler örnek ortalaması ve örnek varyansıdır.

Gruplanmış veriler için

n= toplam örnek hacmi =

k= sınıf ve aralık sayısı

Mi= kesikli veri üzerinde çalışılması halinde i.aralıkta orta değeri veya i.sınıfın değeri

Fi=i.sınıf veya aralıktaki frekans olmak üzere ortalama ve varyans

1

2

1

2

21

n

XnFiMiS

n

MiFiX

k

i

k

i

Sistem elemanlarının bazıları stokastik davranış gösterirse, simülasyon çalışmaları sırasında çoğu kez ortaya çıkan problem gözlem frekanslarının teorik frekanslar kümesine uygunluğunun test edilmesidir. Bu durumda sorulacak soru şudur: Eldeki veriler veya örnek değerlerin teorik dağılımdan gelip gelmediğinin araştırılmasıdır.Gözlem verilerinin frekansı teorik frekanslara uygun düşerse ana kütleyi temsil etmek üzere kurulan model kullanılabilir.

Kesikli Veri için Ortalama ve Frekans Hesabı

MMi i FFi i MMi i FFi i MMii22

FFii

Çağrı FrekansÇağrı Frekans

SayısıSayısı

00 315315 00 00

11 142142 142142 142142

22 4040 8080 160160

33 99 2727 8181

44 22 88 3232

55 11 55 2525

509509 262262 440440

6007,01509

)5147,0(509440

5147,0509/262

22

S

x

Bu tabloda verilen verilerin poisson dağılımına uygun olduğu hipotezi kurulursa poisson dağılımının ortalama ve varyansı birbirine eşit olmalıdır. Burada ortalama varyanstan daha küçüktür.O halde kurulan hipotez red edilir.

Ki-Kare Testi

fg= Her bir sınıf için gözlem frekansıfb= Teorik Dağılıma göre tahmin edilen her bir sınıfın

frekansık= sınıf sayısı

b

k

bg

f

ffx

2

2

)(

Burada • x2=0 bulunursa gözlem ve teorik frekansları birbirine eşit

aksi halde x2” nin büyük frekans vermesi halinde (fg-fb) farkı da büyüktür.

• X2 uygunluk testi kullanırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir.

• 1- Göreli frekans veya yüzdeler kullanılmaz.Gerçek frekans olmalıdır

• 2- Her bir sınıf veya aralık için beklenen frekans 5 veya daha fazla olmalıdır.

• 3- ν=serbestlik derecesi, k,sınıf sayısı ,m=teorik frekansı hesaplamak için gerekli olan veri kütlesinin parametresi veya deney sayısı ise

v=k-1-m yazılır.

Bu teste göre dağılımın sürekli olduğu, ana kütle ortalaması ve varyansı bilindiği varsayılır. Bu dağılıma göre mutlak sapma hesaplanır kritik değerle karşılaştırılır ve rastgele değişken olup olmadığına karar verilir.

Daha önce çözülen problemi bu yöntemle poisson dağılımına uygunluğunu araştıralım

MMi i FFi i MMi i FFi i MMii22

FFii

Çağrı FrekansÇağrı Frekans

SayısıSayısı

00 315315 00 00

11 142142 142142 142142

22 4040 8080 160160

33 99 2727 8181

44 22 88 3232

55 11 55 2525

509509 262262 440440

Ki-kare Ki-kare testindentestinden

Sorgu sayısı

Gözlem Frekansı

GözlemOlasılığı

Teorik olasılık

Küm.Gözlem

Küm.Teorik

MutlakSapma(D)

0 315 ,619 ,571 ,619 ,571 0,0480,048

1 142 ,279 ,319 ,898 ,890 0,008

2 40 ,078 ,089 ,976 ,979 0,003

3 9 ,018 ,017 ,994 ,996 0,002

4 2 ,004 ,003 ,998 ,999 0,001

5 1 ,002 ,001 1,000 1,000 0,000

λλ=0,5577 ve n=509 ile örnek verilerin poisson dağılımına uygunluğu için =0,5577 ve n=509 ile örnek verilerin poisson dağılımına uygunluğu için

D=1,36/√N =0,0603 bulunur. En büyük sapma 0.048 olduğundan veriler D=1,36/√N =0,0603 bulunur. En büyük sapma 0.048 olduğundan veriler poisson dağılımına uygundurpoisson dağılımına uygundur

Testlerin Karşılaştırılması• Örnek Hacminin küçük olduğu

problemlerde Ki-kare testi uygulanmaz.Kolmogorov-Smirnov testi uygulanmalıdır.Büyük örnek hacmi ( n>=100 ) için ki-kare güçlü bir testtir.Ancak 99 ile 10 aralığında kolmogorov –smirnov testi kullanabilinir.

• Sınıf sayısı her iki test için belirtilmelidir

Bu teste göre dağılımın sürekli olduğu, ana kütle ortalaması ve varyansı bilindiği varsayılır. Bu dağılıma göre mutlak sapma hesaplanır kritik değerle karşılaştırılır ve rastgele değişken olup olmadığına karar verilir.