Simplemente gauss
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SIMPLEMENTE GAUSS
ALGEBRA LINEAL
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2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 93𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7
2 3 −13 −1 11 1 1
917
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ESTE ES UN METODO SIMILAR AL METODO DE GAUSS-JORDAN PERO ESTE LLEVA PASOS QUE AL FINAL VAN GENEREANDO 2 ECUACIONES Y EL VALOR DE UNA VARIABLE.
1 𝑎 𝑏0 1 𝑐0 0 1
𝑅𝑅𝑅
𝑧 = 𝑅
𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑅
𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑧 = 𝑅
DONDE a, b y c SON LOS COEFICIENTES DE CADA VARIABLES Y R ES EL RESULTADO DE LA 4ta COLUMNA DE LA MATRIZ. ESTE METODO TAMBIEN ES LLAMADO ELIMINACION GAUSSIANA
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ESTE METODO ES MUCHO MAS RAPIDO QUE EL METODO DE GAUSS- JORDAN AUNQUE ESTE YA MUESTRA LOS VALORES DE LAS VARIABLES MIESTRAS QUE EL METODO DE GAUSS NADAMAS ENCUENTRA EL VALOR DE LA VARIABLE Z E IR USANDOLO PARA LAS ECUACIONES QUE SE VAN
CREANDO EN LA MATRIZ.
VEAMOS EL EJEMPLO SIGUIENTE PARA IR COMPRENDIENDO ESTE TEMA.
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2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −1𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 2𝑦 + 𝑧 = −2
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −1
𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 2
𝑦 + 𝑧 = −2
2 1 −31 6 10 1 1
−12−2
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Y COMENZAMOS. REALIZAREMOS LOS PASOS SIGUIENTES. ESTOS SERAN IDENTICOS AL METODO DE GAUSS-JORDAN. VAMOS A MULTIPLICAR TODA LA FILA CON EL 1er VALOR DE LA 1ra FILA SU
INVERSO MULTIPLICATIVO, ES DECIR:
1
2..
2 1 −31 6 10 1 1
−12−2
=1
1
2−
3
2
1 6 10 1 1
−1
2
2−2
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COMO VEMOS QUE YA HAY UN CERO EN LA 1ra COLUMNA DE LA 3ra FILA, SOLO NOS ENCARGAREMOS POR EL INVERSO ADITIVO DE LA 2da COLUMNA DE LA 1ra FILA, ES DECIR:
−1..
11
2−
3
2
1 6 10 1 1
−1
2
2−2
=
11
2−
3
2
011
2
5
2
0 1 1
−1
25
2
−2
CONVERTIREMOS EL 11
2DE LA 2da FILA Y COLUMNA EN LA UNIDAD. PARA ELLO USAREMOS EL
INVERSO MULTIPLICATIVO ESE NUMERO, ES DECIR:
.2
11.
11
2−
3
2
011
2
5
2
0 1 1
−1
25
2
−2
=
11
2−
3
2
0 15
11
0 1 1
−1
25
11
−2
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LO QUE SIGUE ES EN QUE CONVERTIREMOS ESE NUMERO EN CERO. PARA ELLO MULTIPLICAREMOS EL 1 DE LA 2da FILA Y COLUMNA POR EL VALOR INVERSO ADITIVO DE LA 3ra
FILA 2da COLUMNA (-1), ES DECIR:
.−1.
11
2−
3
2
0 15
11
0 1 1
−1
25
11
−2
=
11
2−
3
2
0 15
11
0 06
11
−1
25
11
−27
11
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Y PARA FINALIZAR HAREMOS QUE EL VALORE DE LA 3ra FILA Y COLUMNA SEA LA UNIDAD Y PARA
ELLO SE MULTIPLICARA EL INVERSO MULTIPLICATICO DE 6
11, ES DECIR:
.
.11
6
11
2−
3
2
0 15
11
0 06
11
−1
25
11
−27
11
=
11
2−
3
2
0 15
11
0 0 1
−1
25
11
−27
6
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AHORA POR UN LADO TENEMOS CEROS Y POR EL OTRO NUMEROS. LO SIGUIENTE ES HACER ECUACIONES MEDIANTE ESOS NUMEROS Y SE VA OBTENIENDO LO SIGUIENTE:
0𝑥 + 0𝑦 + 1𝑧 = −27
6
𝑧 = −27
6
DE LA 2da FILA, SE OBTIENE LA SIGUIENTE ECUACION:
0𝑥 + 1𝑦 +5
11𝑧 =
5
11
𝑦 +5
11𝑧 =
5
11
Y PARA LA 1ra FILA:
1𝑥 +1
2𝑦 −
3
2𝑧 = −
1
2
𝑥 +1
2𝑦 −
3
2𝑧 = −
1
2
![Page 12: Simplemente gauss](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052311/558a6af0d8b42ab6278b465c/html5/thumbnails/12.jpg)
Y COMENZAMOS A RESOLVER:
1) 𝑧 = −27
6
2) 𝑦 +5
11𝑧 =
5
11
3) 𝑥 +1
2𝑦 −
3
2𝑧 = −
1
2
![Page 13: Simplemente gauss](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052311/558a6af0d8b42ab6278b465c/html5/thumbnails/13.jpg)
1) 𝑧 = −27
6
![Page 14: Simplemente gauss](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052311/558a6af0d8b42ab6278b465c/html5/thumbnails/14.jpg)
2) 𝑦 +5
11𝑧 =
5
11
𝑦 +5
11−
27
6=
5
11
𝑦 −135
66=
5
11
𝑦 =135
66+
5
11
𝑦 =135
66+
30
66
𝑦 =135+30
66
𝑦 =165
66=
5
2
![Page 15: Simplemente gauss](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052311/558a6af0d8b42ab6278b465c/html5/thumbnails/15.jpg)
3) 𝑥 +1
2𝑦 −
3
2𝑧 = −
1
2
𝑥 +1
2
5
2−
3
2−
27
6= −
1
2
𝑥 +5
4+
81
12= −
1
2
𝑥 = −5
4−
81
12−
1
2
𝑥 = −15
12−
81
12−
6
12
𝑥 =−15−81−6
12
𝑥 =−102
12= −
17
2
![Page 16: Simplemente gauss](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052311/558a6af0d8b42ab6278b465c/html5/thumbnails/16.jpg)
Y POR LO TANTO:
𝑥 = −17
2𝑦 =
5
2𝑧 = −
27
6
DONDE ESTOS VALORES LOS PODEMOS COMPROBAR MEDIANTE LAS ECUACIONES DEL EJERCICIO:
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2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −1
2 −17
2+
5
2− 3 −
27
6= −1
−34
2+
5
2+
27
2= −1
−2
2= −1
−1 = −1
![Page 18: Simplemente gauss](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052311/558a6af0d8b42ab6278b465c/html5/thumbnails/18.jpg)
𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 2
−17
2+ 6
5
2+ −
27
6= 2
−17
2+
30
2−
27
6= 2
13
2−
27
6= 2
39
6−
27
6= 2
12
6= 2
2 = 2
![Page 19: Simplemente gauss](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052311/558a6af0d8b42ab6278b465c/html5/thumbnails/19.jpg)
𝑦 + 𝑧 = −2
5
2+ −
27
6= −2
15
6−
27
6= −2
−12
6= −2
−2 = −2
![Page 20: Simplemente gauss](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052311/558a6af0d8b42ab6278b465c/html5/thumbnails/20.jpg)
ESTO QUIERE DECIR QUE LOS VALORES DE LAS VARIABLE ESTAN CORRECTOS. RECORDAR QUE NO SIEMPRE UNA ECUACION NO LOS TIENE QUE CONVENCER DE QUE LOS VALORES DE LAS
VARIABLES SON CORRECTOS PUEDE HABER ERRORES, POR ESO ES NECESARIO QUE HAGAN LA COMPROBACION PARA TODAS LAS ECUACIONES QUE LES ESTE DANDO EL EJERCICIO.
![Page 21: Simplemente gauss](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052311/558a6af0d8b42ab6278b465c/html5/thumbnails/21.jpg)
BIBLIOGRAFIAS
Larson, Edwards, “INTRODUCCION AL ÁLGEBRA LINEAL”, 2006, Editorial LIMUSA, México, 752 Págs.