Simpleks linearno programiranje
-
Upload
predrag-arandelovic -
Category
Documents
-
view
110 -
download
2
description
Transcript of Simpleks linearno programiranje
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
LineLineaarno rno ProgramiranjeProgramiranje
Simplex metodSimplex metod
Predavanja
Mart 2005.
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
• Uvod o Linearnom Programiranju
• Grafička metoda
• Principi Simplex metode
• Simplex metod
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
LP Istorija
• George Dantzig, 1947• Prvi računarski kod – 1951• Komercijalna upotreba LP – rane 60te• Mainframe računari– rane 70s• Ogroman progres poslednjih 15 godina (PC)
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
∑=
=n
iii xcy
1
ljbxan
ijiij K,2,1 ;
1, =≤∑
=
mlljbxan
ijiij K,2,1 ;
1, ++==∑
=
n,, ixi K210 =≥
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
( ) 321321 ,, cxbxaxxxxy ++=
; ; ;321
cxyb
xya
xy
=∂∂
=∂∂
=∂∂
a,b,c su konstante pa se rešenje traži na granicama
baxy +=21 xxx ≤≤
0 1 2 3 4 5 62
4
6
8
10
12
14
16
x1
x2
Primer
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Minimum
Maksimum
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
• Uvod o Linearnom Programiranju
• Grafička metoda
• Principi Simplex metode
• Simplex metod
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
212 xxy −= xx 0,0 21 ≥≥
223 21 ≤+− xx342 21 ≤− xx621 ≤+ xx
50 1 2 3 4 6
1
2
3
4
5
6
4.5, 1.5
x1
x2
maksimum
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
Zemljoradnik poseduje 100 hektara obradive zemlje i planira da zaseje 2 vrste useva.
Seme za usev A košta $40 po hektaru, seme za usev Bkošta $20 po hektaru.
Na seme može da potroši najviše $3200.Procenjena zarada od useva A je $150 po hektaru i $100 po
hektaru od useva B.Koliko hektara po usevu treba da zaseje da bi maksimizirao
zaradu ?
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
LP Formulacija:x1 hektara pod usevom A.x2 hektara pod usevom B. P zarada $.Zadatak
maksimizirati P = 150x1 + 100x2
Uz ograničenjapovršina (u hektarima): x1 + x2 ≤ 100 (1)cena semena: 40x1 + 20x2 ≤ 3200 (2)Prirodna ograničenja: x1 , x2 ≥ 0 (3)
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
x1
x2(2)
(1)100
10080
160 x1 + x2 ≤ 100 (1)40x1 + 20x2 ≤ 3200 (2)
x1, x2 ≥ 0 (3)
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
P = 150x1 + 100x2
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
x1
x2(2)
(1)100
10080
160x2 = (P − 150x1)/100
Gradient: −3/2
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
Najveće moguće P
P = 150x1 + 100x2
Smer porasta P
P = 0: x2 = −1.5 x1
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
x1
x2(2)
(1)100
10080
160
Najveće moguće P
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
x1 + x2 ≤ 100 (1)40x1 + 20x2 ≤ 3200 (2)
Znači rešava se sistem
x1 + x2 = 10040x1 + 20x2 = 3200 x1 = 60, x2 = 40
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Region ograničen sa jedne strane
212 tiMinimizova yyf +=
y1 + 3y2 ≥ 63y1+ y2 ≥ 9y1, y2 ≥ 09
3 62 y1
y2
Dozvoljeni region
(bez ograničenja)
f = 0: y2 = −2y1
AA A: Optimalno rešenje
8928
211 , == yy
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
• Uvod o Linearnom Programiranju
• Grafička metoda
• Principi Simplex metode
• Simplex metod
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
212 xxy −=223 21 ≤+− xx342 21 ≤− xx621 ≤+ xx
Prvi korak
≤ ↔ =
223 321 =++− xxx342 421 =+− xxx6521 =++ xxx
Drugi korak
Izbor baznog (početnog rešenja)
m ograničenja
N promenjvih
N-m slobodnih (=0)
m zavisnih, ako su >0 onda je ovorešenje i bazis
6 ,3 ,2 ,0 54321 ===== xxxxx
213 232 xxx −+=
214 423 xxx +−=
215 6 xxx −−=
212 xxy −=
Treći korak
Transformacija
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Četvrti korak
Izmena promenjivih uvek 0 , nema 31 >xx213 232 xxx −+=
215 6 xxx −−=
212 xxy −=
1.51 =x 61 =x
214 423 xxx +−=
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
x1
1.51 =x
Peti korak
Ponavljanje procedure421 5.025.1 xxx −+=
423 5.145.6 xxx −+=
425 5.035.4 xxx +−=
4233 xxy −+=
5.4,0,5.6,0x, 1.5
5
43
21
=
==
==
xxx
x
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
Peti korak
Ponavljanje procedure
541 667.0167.05.4 xxx −−=
543 33.1833.05.12 xxx −−=542 333.0167.05.1 xxx −+=
545.05.7 xxy −−=0
,0,5.12,5.1x, 4.5
5
43
21
=
==
==
xxx
x
Kraj
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
• Uvod o Linearnom Programiranju
• Grafička metoda
• Principi Simplex metode
• Simplex metod
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
02 21 =+− xxy
223 21 ≤+− xx342 21 ≤− xx621 ≤+ xx
120116423232
5
4
3
21
−
−−
yxxx
xx
223 321 =++− xxx342 421 =+− xxx6521 =++ xxx02 21 =+− xxy
Drugi korak
Izbor baznog (početnog rešenja)
m ograničenja
N promenjvih
N-m slobodnih (=0)
m zavisnih, ako su >0 onda je ovorešenje i bazis
6 ,3 ,2 ,0 54321 ===== xxxxx
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
120116423232
5
4
3
21
−
−−
yxxx
xx
Maksimizira y
213 232 xxx −+=
215 6 xxx −−=214 423 xxx +−=
212 xxy −=
120111/6422/3233/2
/
5
4
3
211
−
−−−
yxxx
xxx
Najmanji pozitivni
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
120116423232
5
4
3
21
−
−−
yxxx
xx
Pivotski elemet ili pivot ec
PivotskiPivotski red red eerr
PivotskaPivotska kolonakolona eecc
eeeyeeexeeexeeexxx
c
c
rpr
c
5
1
3
24
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
p
crpc
p
cr
p
crpc
p
cr
prppr
p
crpc
p
cr
eeeeee
eeeey
eeeeee
eeeex
eeeeexeeeeee
eeeex
xx
−−−
−−−
−−−
/
/
//1/
/
5
1
3
24
2332 ×−
−
31335.05.425.05.145.15.6
5
1
3
24
−−
−−
yxxx
xx
120116423232
5
4
3
21
−
−−
yxxx
xx
31335.05.425.05.145.15.6
5
1
3
24
−−
−−
yxxx
xx 541 667.0167.05.4 xxx −−=
543 33.1833.05.12 xxx −−=542 333.0167.05.1 xxx −+=
545.05.7 xxy −−=
15.05.7333.00167.05.1667.0167.05.4333.18333.05.12
2
1
3
54
yxxx
xx
− 0,0,5.12,5.1x, 4.5
5
43
21
=
==
==
xxx
x
Kraj
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
Problem Dijete*
Cilj držati dijetu, sa ograničenim budžetom, odnosno potrošiti što je moguće manje para.
Nutricionistički zahtevi su sledeći:
1. 2000 kcal
2. 55 g protein
3. 800 mg calcium
* Iz Linear Programming, od Vaŝek Chvátal
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
Nutricionističke vrednosti hrane
Ogrničeni smo na sledeće namernice:
Hrana Veličina porcije Energy (kcal) Protein (g) Calcium (mg) Cena po porcijiOvsena kaša 28 g 110 4 2 $0.30Piletina 100 g 205 32 12 $2.40Jaja 2 large 160 13 54 $1.30Neobrano mleko 237 cc 160 8 285 $0.90Pita od višanja 170 g 420 4 22 $0.20Svinjetina i pasulj 260 g 260 14 80 $1.90
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
Promenjive
Promenljive predstavljaju porcije pojedinih namernica:
x1 porcija ovsene kaše
x2 porcija piletine
x3 porcija jaja
x4 porcija mleka
x5 porcija pite od višanja
x6 porcija svinjetine i pasulja
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
Promenljive i ograničenja predstavljaju porcije pojedinih namernica:
Hrana Veličina porcije Energy (kcal) Protein (g) Calcium (mg) Cena po porcijiOvsena kaša 28 g 110 4 2 $0.30Piletina 100 g 205 32 12 $2.40Jaja 2 large 160 13 54 $1.30Neobrano mleko 237 cc 160 8 285 $0.90Pita od višanja 170 g 420 4 22 $0.20Svinjetina i pasulj 260 g 260 14 80 $1.90
x1x2x3x4x5x6
KCAL ograničenje:110x1 + 205x2 + 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 ≥ 2000(110x1 = kcal u ovsenoj kaši)
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
Formulacija LP problemaKriterijum optimalnostiMinimizovati
y=0.3x1 + 2.40x2 + 1.30x3 + 0.90x4 + 2.0x5 + 1.9x6
ograničenja: Nutricionistički zahtevi110x1 + 205x2 + 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 ≥ 2000
4x1 + 32x2 + 13x3 + 8x4 + 4x5 + 14x6 ≥ 552x1 + 12x2 + 54x3 + 285x4 + 22x5 + 80x6 ≥ 800
Prirodno Ograničenje0,,,,, 654321 ≥xxxxxx
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
Rešenje
Kada se reši LP problem (upotrebom MATLAB-a) dobijamo da nas optimalan dijetetski obrok košta $6.71, pri čemu je jelovnikom obuhvaćeno:
14.24 porcija ovsene kaše
0 porcija piletine
0 porcija jaja
2.71 porcija mleka
0 porcija pite sa višnjama
0 porcija svinjetine sa pasuljem ???????Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
Formulacija LP problemaKriterijum optimalnostiMinimizovati
y=0.3x1 + 2.40x2 + 1.30x3 + 0.90x4 + 2.0x5 + 1.9x6
ograničenja: Nutricionistički zahtevi110x1 + 205x2 + 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 ≥ 2000
4x1 + 32x2 + 13x3 + 8x4 + 4x5 + 14x6 ≥ 552x1 + 12x2 + 54x3 + 285x4 + 22x5 + 80x6 ≥ 800
x6 ≥ 1 barem jedan obrok svinjetine i pasulja
Prirodno Ograničenje0,,,,, 654321 ≥xxxxxx
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
Rešenje
Kada se reši LP problem (upotrebom MATLAB-a) dobijamo da nas optimalan dijetetski obrok košta $7.78, pri čemu je jelovnikom obuhvaćeno:
12.27 porcija ovsene kaše
0 porcija piletine
0 porcija jaja
2.44 porcija mleka
0 porcija pite sa višnjama
1 porcija svinjetine sa pasuljemUniverzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
Dijeta i trgovac tabletama
Za dijetu iz prethodnog primera trgovac tabletama nudi energetske, proteinske i kalcijumske pilule. Cene pilula su date na sledeći način:
y1 cena (u dolarima) za pilulu sa energetskom vrednošću od 1 kcal
y2 cena (u dolarima) za pilulu od 1 g proteina
y3 cena (u dolarima) za pilulu od 1mg calcium-a
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
LP problemKriterijum optimalnostiMinimizovati
y=0.3x1 + 2.40x2 + 1.30x3 + 0.90x4 + 2.0x5 + 1.9x6
ograničenja: Nutricionistički zahtevi
110x1 + 205x2 + 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 ≥ 20004x1 + 32x2 + 13x3 + 8x4 + 4x5 + 14x6 ≥ 552x1 + 12x2 + 54x3 + 285x4 + 22x5 + 80x6 ≥ 800
y1 kcaly2 proteiny3 calcium
x1 = porcija ovsenih kaša: Cena nutricionističkih komponentiU jednom obroku ovsene kaše ne sme da pređe cenu same kaše u jednoj porciji 110y1 + 4y2 + 2y3 ≤ 0.3 (4 y2 = cena proteina u ovsenoj kaši)
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
Trgovački pristupTrgovački putnik želi a zaradi što je moguće više para, da maksimizira cenu pilula, vodeći računa o nutricionističkimograničenjima. (2000 kcal, 55g protein i 800 mg calcium-a).Problem se formuliše na sledeći način:Maksimizirati 2000y1 + 55y2 + 800y3
Uz ograničenja 110y1 + 4y2 + 2y3 ≤ 0.3205y1 + 32y2 + 12y3 ≤ 2.4160y1 + 13y2 + 54y3 ≤ 1.3160y1 + 8y2 + 285y3 ≤ 0.9420y1 + 4y2 + 22y3 ≤ 2.0260y1 + 14y2 + 80y3 ≤ 1.9y1, y2, y3 ≥ 0
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
Rešenje
Rešavanjem ovog LP dobijaju se sledeće maksimalne cene pilula:
$0.27 za 1 kcal eneretsku pilulu
$0.00 za 1 g proteinske pilule
$0.16 za 1mg kalcijumske pilule
$6.71Ukupno = 0.27 (2000) + 0.16 (800) =
ISTO KAO I U PRETHODNOM PRIMERU
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima
Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod
Slaba Dualnost:
Cena bilo koje moguće dijete ≥ Cene bilo koje moguće dijete pilulama
Stroga Dualnost: (Von Neumann, 1947)
Optimalna cena dijete = Optimalna cena pilula
Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima