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7/25/2019 Simi Lit Udine

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CAPITOLO 8

TEORIA DELLA SIMILITUDINE

Premessa.

La teoria della similitudine ha una duplice fondamentale importanza nel campo delle macchinein quanto, da una parte, consente di mettere in relazione le caratteristiche di funzionamento dimacchine simili senza che si debbano compiere su ciascuna di esse prove sperimentali lunghe,

costose e spesso impossibili da condurre in laboratorio.Il costruttore di macchine, rispettando opportuni parametri, potr quindi limitarsi a condurre le

prove sperimentali su un modello, deducendo poi per via analitica le prestazioni di tutte le

macchine appartenenti alla stessa famiglia del modello.

D'altra parte, la teoria della similitudine consentir all'utente di scegliere la macchina che

risponda alle proprie particolari esigenze col miglior rendimento.

8.1) Criteri di similitudine.

Affinch siano applicabili a macchine di dimensioni e prestazioni diverse le relazioni deducibili

dalla teoria della similitudine, necessario che siano rispettati i seguenti criteri di similitudine:-

Similitudine geometrica: tutte le dimensioni omologhe, o corrispondenti, devono stare in

rapporto di scala costante. Indicando, ad esempio, con l e l' due generiche grandezze

corrispondenti di due macchine simili (ad es. il diametro massimo di una girante), in base a

questo criterio deve essere:

=

l

l(8.1)

dove con si indicato il rapporto caratteristico della similitudine geometrica.

- Similitudine cinematica: i triangoli di velocit in sezioni omologhe devono essere simili. Per

il criterio di similitudine dei triangoli sar:

=

v

v

=

w

w

=

u

u

(8.2)

dove il coefficiente caratteristico della similitudine cinematica.

-

Similitudine dinamica: in sezioni omologhe deve essere uguale il rapporto tra forze

corrispondenti:

=F

i

Fi=

Fp

Fp= (8.3)

dove con Fie Fpsi sono rispettivamente indicate le forze d'inerzia e quelle d'attrito viscose

agenti su una particella di fluido e con il coefficiente caratteristico della similitudine

dinamica. Osserviamo che dalla definizione del numero di ReynoldsResi pu dedurre:

Re

Re'=

Fi

Fp

Fp

Fi=

=1

La similitudine dinamica pu, quindi, essere espressa dicendo che in sezioni corrispondenti

devono essere uguali i numeri di Reynolds del fluido.

- Similitudine termodinamica: tiene conto degli effetti della comprimibilit del fluido e

stabilisce che, per flussi isoentropici, in sezioni corrispondenti deve essere uguale il numero

di Mach periferico Mu=u/c, dove con u si indicata la velocit periferica in una sezione

generica e con c la velocit del suono alle condizioni esistenti nella stessa sezione. Per Muridotti gli effetti legati alla comprimibilit del fluido possono essere trascurati e si parler, in

tal caso, di similitudine idraulica; a tali condizioni si far riferimento nella trattazione

seguente.


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Dalle due prime condizioni di similitudine si pu dedurre che per una macchina operatrice sar:le

le

=

u2v2cos

2

u2

v2cos

2

= 2

In cui si supposto per semplicit un ingresso assiale. In altri termini, per macchine

geometricamente simili e operanti in condizioni di similitudine, costante e uguale a 2 il

rapporto fra i lavori euleriani. Analogo risultato evidentemente ottenibile per le macchine

motrici.Tenendo presente, inoltre, che in condizioni di similitudine :

=u

u=

R

R=

n

n (8.4)

si ricava:

le

le

=2 n

n

2

(8.5)

Per macchine simili operanti in condizioni di similitudine, il rapporto fra i lavori euleriani ,

quindi, proporzionale al quadrato del rapporto fra le dimensioni e al quadrato del rapporto fra le

velocit di rotazione.

Sempre dai primi due criteri e dall'equazione di continuit per fluidi incomprimibili si puricavare che, per macchine simili operanti in condizione di similitudine, sar:

V

V=

vS

v S=

2

dove con vsi indicata una generica velocit (assoluta o relativa) normale ad una data sezione di

passaggio S. Tenendo presente la (8.4) si ottiene ancora:

V

V=

3 n

n (8.6)

Le portate elaborate da macchine simili operanti in condizioni di similitudine dipendono

linearmente dal rapporto fra le velocit di rotazione e dal cubo del rapporto fra le dimensioni.

Dalla definizione della forza d'inerzia si pu dedurre l'espressione del coefficiente dellasimilitudine dinamica in funzione dei coefficienti e . Per una massa mdi fluido in movimento

sar infatti:

Fi

Fi

=

ma

m a=

mdv

dt

d t

m d v=

m

m

dv

d v=

V

V

dv

d v=

22

Indicando con Fla risultante delle forze attive e reattive agenti sulla massa m, somma a sua volta

delle forze d'inerzia e delle forze d'attrito viscose, dalla (8.3) si deduce:

F

F=

Fi + Fp

Fi + Fp=

Fi

Fi

1+Fp

Fi

1+

Fp

Fi

=

22

Per un fluido in movimento, tale risultante sar anche uguale alla differenza di pressione totale

moltiplicata per la superficie Sa cui applicata, e quindi:pt

pt=

F

S

S

F=

2

e dalla definizione di prevalenza di una pompa:

hmhm=

ptg

g

pt= 2 =2

n

n

2

(8.7)

analogamente a quanto ottenuto per il rapporto fra i lavori euleriani.

Da quanto sopra esposto e dalla definizione di rendimento idraulico si ricava, infine, lafondamentale relazione della similitudine idraulica:


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i

i

=

hm

he

he

hm

=

2

2=1 (8.8)

Macchine geometricamente simili e operanti in condizioni di similitudine idraulica, hanno lo

stesso rendimento idraulico. Una relazione perfettamente analoga alla (8.8) pu essere

ovviamente dedotta anche per le macchine motrici. Osserviamo, inoltre, che per la validit della(8.8) non necessario che il fluido elaborato sia lo stesso poich prevalenza e lavoro euleriano

sono indipendenti dalla densit del fluido. A pari condizioni operative, in particolare alla stessaprevalenza, dipender invece dalla densit del fluido la differenza di pressione a cavallo della

pompa.

Dalle relazioni precedenti e osservando che, in condizioni di similitudine, v='ve m='m,

si ricava:

Pa

Pa

=

Vhm

V hm

=

5 n

n

3

(8.9)

dalla quale si deduce che il rapporto fra le potenze all'asse assorbite da pompe simili uguale alrapporto fra le densit dei fluidi elaborati per la quinta potenza del rapporto fra le dimensioni

lineari e per il cubo del rapporto fra le velocit di rotazione.

Dalla (8.6) e dalla (8.7), ponendo =1, si ottiene:

V

V=

n

ne

hm

hm

=

n

n

2

(8.10)

relazioni che permettono la costruzione della caratteristica interna di una pompa per una velocitdi rotazione diversa da quella fornita dal costruttore.

Eliminando la velocit di rotazione nelle due relazioni precedenti si ottiene ancora:

hm

hm

=

V

V

2

(8.11)

che esprime il luogo geometrico dei punti di funzionamento ad uguale rendimento idraulico per

una pompa che operi in condizioni di similitudine a diverse velocit di rotazione: tale luogo ,quindi, rappresentato da una parabola con vertice nell'origine.

In fig. 8.1 sono illustrate le considerazioni sopra esposte.

Osserviamo che al variare della velocit di rotazione di una macchina variano anche le velocitdel fluido all'interno della stessa e quindi varia Re. Il mancato rispetto della similitudine

dinamica provocher perci uno scostamento dalle curve di isorendimento paraboliche tanto pi

consistente quanto pi Re si discosta dal valore di progetto. Nella pratica, si avranno quindidiagrammi collinari analoghi a quelli qualitativamente riportati in fig. 8.2.

Fig.8.1


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8.2) Coefficienti adimensionali.

Le grandezze operative delle macchine dipendono di norma da numerosi parametri che rendono

gravosa la loro rappresentazione; per una pompa, ad esempio, la relazione tra portata e

prevalenza sar esprimibile mediante relazioni del tipo:

hm = f(V ,,D,,)

dove D una dimensione di riferimento, solitamente il diametro della girante, che identifica la

taglia della macchina, la velocit di rotazione, e sono rispettivamente la densit e la

viscosit del fluido e f una generica funzione per lo pi d'origine sperimentale.

L'analisi dimensionale permette, per, di ridurre il numero delle variabili effettivamente

indipendenti utilizzando opportune variabili adimensionali al posto di quelle dimensionali.

Secondo il teorema di Vaschy-Buckingham, infatti, una relazione fra nparametri differenti pu

essere espressa da una relazione tra nm variabili adimensionali indipendenti, essendo m il

numero delle grandezze fondamentali del sistema (ad es., massa, lunghezza e tempo per unsistema meccanico). La relazione soprascritta potr quindi ridursi alla funzione di due variabili

adimensionali:

hm

2D

2

2 = f(

V

D23,D2

2

)

da cui:

= f(,Re) (8.12)

dove D2 il diametro massimo della girante e dove si sono introdotti i coefficienti adimensionali:

coefficiente di portata =V

D2

3

coefficiente di prevalenza =ghm

2D

2

2

numero di Reynolds Re =uD

2

In condizioni di similitudine dinamica la (8.12) si riduce alla funzione ad una sola variabile

=f() che esprime in forma adimensionale la caratteristica interna di tutte le pompe simili

operanti in condizioni di similitudine.Oltre a quelli citati, richiamiamo altri coefficienti adimensionali comunemente utilizzati

nell'analisi e nella progettazione delle macchine idrauliche a flusso continuo:

Fig. 8.2


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coefficiente di potenza =Pa

3D

2

5

coefficiente di velocit periferica ku =u

2ghm

Tali coefficienti potranno essere correlati fra loro mediante relazioni del tipo (8.12) che saranno

suggerite dall'esperienza e dall'indagine sperimentale.Ai coefficienti elencati si potr aggiungere il grado di reazione ampiamente trattato nel capitolo

precedente.

Per quanto concerne la cavitazione nelle macchine idrauliche, osserviamo che lo sviluppo delle

bolle di gas e/o di vapore altera lo stato di moto del fluido in modo tale che, per macchine

geometricamente simili, la similitudine cinematica e dinamica non siano pi rispettate; sar cio:NPSH

r

NPS Hr

=x

dovex un coefficiente sperimentale diverso da 2 e che varia a seconda del tipo di macchina.

Nella pratica, possono essere utilizzati alcuni coefficienti di previsione dello NPSHr o dello

TREHche possono guidare il progettista sia nel fissare l'altezza d'aspirazione di una pompa o di

scarico di una turbina e sia nella scelta della macchina pi adatta all'impianto in relazione aiproblemi della cavitazione.Tra questi citiamo il coefficiente di cavitazione di Thoma:

=

NPSHr

hm

per le pompe, e =TREH

hm

per le turbine.

In fig. 8.3 a) riportato l'andamento del coefficiente di Thoma per pompe a flusso continuo alvariare del numero di giri specifico mentre in fig. 8.3 b) riportato l'andamento dello stesso

coefficiente per le turbine idrauliche al variare del numero di giri caratteristico.

Il numero di giri specifico e il numero di giri caratteristico saranno trattati nel paragrafo

successivo.

Un altro coefficiente utilizzato nella pratica la velocit specifica d'aspirazione (o numero

caratteristico d'aspirazione di Vislicenus):

S=

V

gNPSHr( )3

4

Fig. 8.3


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L'esperienza ha evidenziato che, in generale, S=3 per le pompe e S=4 per le turbine.

Tale fatto pu essere spiegato osservando che le condizioni d'innesco della cavitazione

dipendono essenzialmente dalla geometria dell'imbocco in girante per le pompe e dallo scarico

girante per le turbine, geometrie che sono molto simili anche in macchine diverse appunto perch

disegnate per evitare l'insorgere della cavitazione.

8.3) Numeri caratteristici.

Per caratterizzare famiglie di macchine simili sono utilizzati nella pratica alcuni coefficienti,

legati alle condizioni operative di progetto e costanti per macchine simili, di cui, senza occuparci

di come possano essere teoricamente dedotti, elenchiamo le espressioni pi comunemente usate:

-

Numero di giri caratteristico: nc =n

Pa

hm

5 4 (8.13)

Dove n la velocit di rotazione espressa in giri/min, Pa la potenza all'asse espressa in CV ehm il salto motore o la prevalenza espressi in m. E' utilizzato soprattutto per le turbine

idrauliche e rappresenta la velocit di rotazione di massimo rendimento di una turbina che, sotto

un salto motore di un metro, eroghi all'asse una potenza di 1 CV. Si pu facilmente dedurre cheil numero di giri caratteristico, come quelli descritti in seguito, un invariante della similitudine

idraulica e, quindi, rappresentativo di macchine appartenenti alla stessa famiglia seppur di

dimensioni diverse.

Sviluppando le grandezze contenute nella (8.13) si ottiene:

nc = n

75g

hmV

hm5 4

= n

75g

V

hm3 4

dove 75 il coefficiente di passaggio da kgm/s a CV. Tenendo presente che per l'acqua il peso

specifico pari a 1000 kg/m3, si deduce:

nc

= n1000

75

g

V

hm3 4 3,65n

g

V

hm3 4 (8.14)

per le pompe operanti con acqua sar ovviamente:

nc 3,65

g

nV

hm3 4

(8.15)

Osserviamo che talvolta nelle (8.14) e (8.15) omesso il rendimento globale g senza che ci

comporti variazioni significative di nc.

- Numero di giri specifico(o velocit specifica):

ns = n

V

hm

3 4 (8.16)

E' utilizzato sopratutto per le pompe e, come si pu osservare dalla (8.16), indipendente dallanatura del fluido pompato. Dalle definizioni sopra riportate si deduce che, per pompe operanti

con acqua, sar:

nc

3,65

g

ns

Della (8.16) si pu dedurre la forma adimensionale del numero di giri specifico talvolta usata

nella pratica:

ns = nV

ghm( )3 4

(8.17)

dove g l'accelerazione di gravit.

-

Velocit angolare specifica:


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s =V

ghm( )3 4

=

30n

V

ghm( )3 4

(8.18)

dove la velocit di rotazione espressa in rad/s.

- Numero di giri caratteristico utilizzato per i compressori:

n

=

V

2his( )

3 4

=

30n

V

2his( )

3 4 (8.19)

dove his il salto entalpico isoentropico a cavallo del compressore espresso in J/kg.

Il numero di giri caratteristico, o uno qualsiasi dei numeri caratteristici presentati,

immediatamente correlabile alla geometria di una macchina a flusso continuo, motrice ooperatrice, ottenendo, in tal modo, delle relazioni che legano la geometria della stessa alle

grandezze operative nelle condizioni di massimo rendimento (condizioni di progetto della

macchina).

Riferendoci, a titolo d'esempio, alla girante di una pompa centrifuga schematicamente

rappresentata in fig. 8.4, si pu osservare che:

Ve =

V

v

= D2b21

2( )v2m = D2b2 1 2( )v2 sin2

dove Ve la portata elaborata dalla girante, v2m = v2sin2 la componente della velocit allo

scarico girante normale alla sezione di passaggio (componente radiale) e 2 il coefficiente

d'ingombro delle pale allo scarico girante. D'altra parte, in condizioni di progetto (ingressoassiale) si ha:

hm =ihe =i

gu2v2cos

2

e dalla (8.17) si ricava:

ns =60

u2

D2

g

i

3 4

vD2b2 1 2( )v2 sin2

u2v

2cos

2( )3 4

da cui:

ns=

60

g

i

3 4

v 1 2( )

b2

D2 tg2

u2

v2 cos2

1 4

(8.20)

Per il teorema dei seni applicato al triangolo delle velocit allo scarico girante, si pu scrivere:

Fig.8.4


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66

u2

v2

=

sin2+

2( )

sin2

=sin

2cos

2+ sin

2cos

2

sin2

e sostituendo nella (8.20):

ns =60

g

i

3 4

v 1 2( ) b2

D2tg2 1+

tg2tg2

1 4

(8.21)

che esprime la relazione cercata tra numero caratteristico e geometria della macchina. Tenendopresente la (8.17) che lega il numero di giri specifico alle condizioni operative, si pu dedurre

che al crescere della portata erogata o al diminuire della prevalenza deve crescere ns: per ottenere

ci saranno necessarie giranti con pale sempre pi larghe e diametro esterno sempre pi piccolo

(giranti pi compatte). L'angolo 2 deve crescere mentre l'angolo 2 deve diminuire, con pale

sempre pi rivolte all'indietro rispetto al moto all'aumentare del numero di giri specifico.

Osserviamo ancora che, per evitare distacchi della vena fluida dalla superficie lambita, conconseguente caduta di rendimento, all'aumentare dell'altezza di pala b2sar necessario passare da

giranti con palettatura radiale a giranti con palettatura conica (giranti a flusso misto), sino allegiranti assiali per i valori di nspi elevati. Relazioni analoghe alla (8.21) e che qui omettiamo per

brevit di trattazione, sono ricavabili tra i numeri caratteristici e le grandezze adimensionali

definite nel presente capitolo (coefficienti di velocit, grado di reazione, coefficiente di portata,

ecc). Nella fig. 8.5 sono sinteticamente evidenziati i concetti sopra esposti.

In fig. 8.6 rappresentato il diagramma di Balj in cui sono riportate in funzione della velocit

angolare specifica le condizioni operative delle pompe a flusso continuo per diversi rendimenti e

diametri specifici Ds =

D

ghm( )

1 4

V . Per condizioni di rendimento ottimali il diagramma coincide

con quello di Cordier.

Se, per date prestazioni della macchina, le dimensioni corrispondenti al rendimento ottimale nonsono accettabili o economicamente convenienti, si dovr modificare il numero di giri o accettare

un rendimento non ottimale. Diagrammi statistici analoghi a quello riportato in fig. 8.6 e cheguidano nel progetto di massima delle macchine sono disponibili in letteratura tecnica.

A conclusione di queste note, osserviamo che tutte le considerazioni svolte e tutte le grandezze

riportate nelle espressioni precedenti s'intendono riferite a macchine monostadio o a singoli stadi

di macchine pluristadio.

Fig. 8.5


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8.4) Limiti di validit della similitudine.

Effetto della viscosit.

Si detto come la teoria della similitudine sia valida solo nel rispetto di alcune ipotesi che nella

pratica sono spesso difficilmente realizzabili, come ad es. nel caso della cavitazione il cui

sviluppo, come si gi osservato, fa s che similitudine cinematica e dinamica non siano piverificate.

Per quanto riguarda la similitudine dinamica si pu ancora osservare che al variare di Revarier

il "peso" delle forze viscose rispetto a quello delle forze d'inerzia, con conseguenti variazioni di

rendimento pur nel rispetto della similitudine geometrica e cinematica. In generale, si potr dire

che l'influenza delle forze viscose sar trascurabile per regimi di moto turbolenti in cui il peso

delle forze d'inerzia preponderante: in questo tipo di regimi la variazione di Re avr percieffetti trascurabili sul rendimento della macchina. Passando da regimi turbolenti a regimi di

transizione o laminari, com' per fluidi molto viscosi o per macchine di piccole dimensioni,

l'influenza della variazione di Resul rendimento sar sempre pi accentuata.

In fig. 8.7 sono riportate le curve di rendimento di una pompa centrifuga operante alla stessavelocit di rotazione con oli di diversa viscosit cinematica e, quindi, con una corrispondente

variazione del numero di Re da 31.4104, per il funzionamento con acqua, a .1910

4 per il

funzionamento con l'olio di viscosit cinematica pari a 162 cSk.

Il mancato rispetto della similitudine dinamica avr anche effetto sulle prestazioni delle

macchine quali, ad esempio, potenza all'asse e prevalenza di una pompa.

Di conseguenza, le caratteristiche operative di macchine simili, espresse mediante coefficientiadimensionali, non saranno pi curve a una sola variabile ma curve a due variabili.

In fig. 8.8 sono riportate le caratteristiche interne di una famiglia di pompe operanti con lo stessofluido e espresse mediante i coefficienti di prevalenza di portata in cui appare evidente la

dipendenza dal numero di Reynolds.

Fig. 8.6


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Per quanto concerne il funzionamento in condizioni diverse da quelle di progetto, possiamoosservare che, in tali condizioni, tendono a prevalere, rispetto alle perdite distribuite, le perdite

per distacco della vena fluida e quelle per urto. Tali perdite dipendono dal numero di Reynolds in

modo trascurabile e, in ogni caso, diversamente da come ne dipendono le perdite distribuite.

Anche per il funzionamento in condizioni fuori progetto, viene a cadere, quindi, la condizione di

similitudine dinamica e non sar perci lecito attendersi il pieno rispetto delle leggi della

similitudine idraulica.

Effetti di scala.

Con effetti di scala s'intendono i limiti di validit delle leggi della similitudine dovuti alla nonperfetta riproduzione in scala della geometria di macchine simili. Al variare delle dimensioni in

Fig. 8.7

Fig 8.8


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genere mantenuto invariato, per motivi tecnologici e di costo, il grado di lavorazione superficiale

e il gioco tra parti mobili e fisse della macchina. Di conseguenza, al variare delle dimensioni

delle macchine di una data famiglia, varier la scabrezza relativa con conseguente variazione del

rendimento idraulico da cui esso dipende. Allo stesso modo, al variare delle dimensioni delle

macchine, varier il "peso" della portata di ricircolo o di by-pass sul rendimento volumetrico

della macchina.

Da quanto sopra esposto, si pu concludere che, all'interno di una data famiglia di macchine,quelle di dimensioni maggiori avranno miglior rendimento di quelle di dimensioni minori. Perogni famiglia di macchine, esister perci una dimensione minima sotto la quale non sar

opportuno scendere onde evitare rendimenti eccessivamente bassi e una dimensione massimaimposta dalle condizioni di resistenza meccanica delle diverse parti della macchina.

Diversi criteri semiempirici sono stati proposti per tener conto dell'effetto scala sul rendimento di

una macchina. Uno dei pi semplici dato, per macchine idrauliche, dalla formula di Moody:

1

1=

D

D

dove l'esponente varia da 0.1 a 0.5 a seconda del tipo di macchina. L'esperienza ha tuttavia

mostrato che, all'interno di una famiglia di macchine simili, il coefficiente molto variabilecon le dimensioni. In alternativa alla formula di Moody, si pu ricorrere a funzioni statistichedel

tipo:

=sf

r D( )

Dove s il rendimento di una macchina di dimensione standard per la famiglia di macchine

simili presa in considerazione e fr un fattore correttivo abbastanza generale all'interno dellafamiglia.

Il grafico riportato in fig. 8.9 si riferisce a famiglie di pompe per la quale si assunto come

diametro standard un diametro all'aspirazione pari 60 pollici, diametro per cui gli effetti di scala

possono essere considerati trascurabili.

Effetti della comprimibilit.

Le relazioni di similitudine sopra esposte sono state ricavate trascurando gli effetti della

comprimibilit del fluido e, quindi, con un rapporto costante, per un dato fluido, tra portata

massica e portata volumetrica. Ne consegue,quindi, che una variazione di portata in una data

sezione implica una variazione proporzionale della velocit del fluido e viceversa. Nel caso di

fluidi comprimibili a velocit sufficientemente elevate (Ma 0.4), affinch le portate

volumetriche stiano in rapporto proporzionale alle portate massiche in una data sezione necessario che varino in proporzione anche le densit. Dalla relazione (4.21) possiamo dedurre

Fig. 8.9


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70

che, per un flusso isoentropico, il rapporto fra le densit in una data sezione resta invariato solo

se il numero di Mach lo stesso, cos come il rapporto fra le temperature e fra le pressioni.

Perch sia soddisfatta la similitudine nel campo dei fluidi comprimibili, oltre alle condizioni di

similitudine geometrica, cinematica e dinamica, sar perci necessaria l'uguaglianza dei numeri

di Mach o di grandezze ad essi proporzionali. Con riferimento ad una generica sezione della

macchina, si usa definire il numero di Mach periferico:

Mu = u

c dove c velocit del suono in una data sezione.

La fig. 8.10 mostra l'effetto del numero di Mach sulle curve caratteristiche adimensionali

teoriche (ossia calcolate) di un compressore. Si pu osservare che le curve coincidono fino a

Ma0.5 per poi subire forti modifiche di forma, soprattutto causa dell'effetto di choking alle

portate pi elevate.

Per tener conto degli effetti della comprimibilit, le variabili operative di un compressore sonoabitualmente riferite a condizioni d'aspirazione standard (tipicamente, le condizioni

dell'atmosfera standardp0, T

0,

0) ottenendo in tal modo le grandezze ridotte, quali ad esempio:

pressione ridotta =p1

p0

temperatura ridotta =R

1T1

R0T0

portata ridotta mr=

m

D

Dr

2

numero di giri ridotto nr=

n D

Dr

doveDr una dimensione standard per la famiglia di compressori simili.

Fig. 8.10

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