SIMETRIASDEGAUGE,TEORIASDE …

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTECENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTALPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

GREYSON JANUARIO COELHO SILVA

SIMETRIAS DE GAUGE, TEORIAS DECAMPOS EFETIVAS E CURVAS EM TRÊS

DIMENSÕES

Prof. Dr. Dmitry Melnikov

Natal

2018


SIMETRIAS DE GAUGE, TEORIAS DE CAMPOSEFETIVAS E CURVAS EM TRÊS DIMENSÕES

Dissertação de Mestrado apresentado ao Pro-grama de Pós-graduação em Física como re-quisito para a obtenção do título de Mestre.

Orientador: Prof. Dr. Dmitry Melnikov

Natal2018

Silva, Greyson Januario Coelho.Simetrias de gauge, teorias de campos efetivas e curvas em três dimensões / Greyson

Januario Coelho Silva. - 2018. 100f.: il.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de CiênciasExatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Física.

Orientador: Dmitry Melnikov.

1. Física - Dissertação. 2. Simetrias de gauge. 3. Curvas. 4. Equações de Frenet. I. Melnikov,Dmitry. II. Título.

RN/UF/CCET CDU 53


SIMETRIAS DE GAUGE, TEORIAS DE CAMPOSEFETIVAS E CURVAS EM TRÊS DIMENSÕES

Dissertação de Mestrado apresentado ao Pro-grama de Pós-graduação em Física como re-quisito para a obtenção do título de Mestre.

Trabalho aprovado. Natal, 11 de Abril de 2018:

Prof. Dr. Dmitry MelnikovOrientador

Prof. Dr. Dionísio Bazeia FilhoUFPB

Prof. Dr. Farinaldo da Silva QueirozUFRN

Prof. Dr. Gandhimohan MViswanathan

UFRN

Agradecimentos

A minha esposa Suelma, sem você eu nada seria.

A minha filha Suyane, que com seu humor incansável, foi capaz de me alegrar aqualquer hora do dia.

Ao professor Dmitry, pela oportunidade e orientação, além da paciência que porvezes eu julguei ser infinita.

Aos meus familiares, que mesmo distante sempre me incentivaram com palavras decarinho e apoio.

Aos meus amigos, pelos momentos de lazer e conversas descontraídas que tornaramleves os momentos que por vezes pareciam difíceis.

A CNPq pelo apoio financeiro.

Por ser estreita a fenda - eu não declino,Nem por pesada a mão que o mundo espalma;

Eu sou o mestre de meu destino;Eu sou o capitão de minha alma.

(William Ernest Henley)

Resumo

As teorias efetivas de curvas representadas por teoria de gauge são estudadas para seremaplicadas em sistemas físicos como em proteínas, cordas elásticas, ou mesmo vórtices emsupercondutividade, para que se possa investigar e descrever esses fenômenos. Percebeu-secomo o assunto das curvas, aparentemente simples, pode estar relacionado com temas desuma importância para a Física ou mesmo a Biologia. Neste trabalho apresentou-se asequações de Frenet que modelam as curvas, explanou-se sobre as simetrias de gauge, aquebra espontânea de simetria, bem como as ondas solitárias. Com o auxílio das teorias efe-tivas de gauge correlacionou-se todo esse arcabouço matemático para encontrar o funcionalde energia e através deste funcional pode-se chegar nas equações de movimento que regema dinâmica das curvas, como protótipos das moléculas longas. Mostrou-se graficamenteque o modelo teórico mais simples, pode adaptar-se as estruturas secundárias de proteínasque chamam-se α–hélice e β-strand. Analisou-se as propriedades do potencial da teoriae algumas características das estruturas das curvas, como os dobramentos que refletemestruturas proteicas super-secundárias (structural motifs). Abordou-se propriedades deestabilidade clássica e quântica pelos métodos de teoria de campos. Mostrou-se tambémque os motifs realizados como dark solitons estáticos, são configurações instáveis no limiteda curva suave infinita, que preserva a simetria de translação.

Palavras-chave: Curvas. Proteínas. Equações de Frenet. Simetrias de gauge. Quebraespontânea de simetria. Ondas solitárias. Teoria efetiva de gauge.

AbstractThe effective theories of curves described by gauge theories are analyzed with the intent toapply them to modeling physics of extended quasi-one dimensional systems, such as proteinmolecules, elastic cords, or even vortices in superconductivity. In this study one perceiveshow the geometry of curves, apparently simple, can be related to subjects of paramountimportance for Physics or even Biology. In this work we start with Frenet equations thatmodel curves and consequently introduce gauge symmetries, the spontaneous symmetrybreaking, as well as solitary waves. With the aid of the idea of effective gauge theories, themathematical framework is elaborated to produce an energy functional, through whichone can arrive at the equations that govern the dynamics of curves, being prototypes oflong molecules. It was shown graphically that the most simple theoretical model can adaptthe basic secondary structures of proteins, called α-helix and β-strand. The propertiesof the potential of the theory have been analyzed together with characteristics of thestructure of curves such as folds, which reflect the supersecondary structures of proteins(structural motifs). The classical and quantum stability properties have been studied usingthe standard field theory methods. It was shown that the motifs, realized in the modelas static dark solitons, are unstable configurations in the limit of infinite smooth curves,which preserve translational symmetry.

Keywords: Curves. Proteins. Frenet equations. Gauge symmetries. Spontaneous symmetrybreaking. Solitons. Effective gauge theory.

Sumário

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1 CURVAS NO ESPAÇO 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2 Torção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Equações de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 SIMETRIA DE GAUGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 QUEBRA ESPONTÂNEA DE SIMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . 283.1 Quebra Espontânea de Simetria Global . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Bosons de Nambu-Goldstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Mecanismo de Higgs no Modelo Abeliano . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 ONDAS SOLITÁRIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1 Soluções Estáticas para Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 O Campo φ4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 TEORIA EFETIVA DAS CURVAS NO ESPAÇO 3D . . . . . . . . . 485.1 Curvas e Simetrias de Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2 Solução para κ e τ Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3 κ e τ não Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6 SOLUÇÕES DA TEORIA DE GAUGE EFETIVA PARA CURVASEM 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.1 Solitons na Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2 Regularização do Potencial Efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7 SPHARELONS E INSTANTONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.1 Sphalerons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.1.1 Sphalerons: Instabilidade Clássica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.2 Tunelamento Quântico: Instantons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2.1 Decaimento de um Estado Metaestável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2.2 Tunelamento na Teoria de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

APÊNDICES 98

APÊNDICE A – TERMOS DA MATRIZ L3 . . . . . . . . . . . . . 99

11

Introdução

A ideia deste trabalho foi estudar as curvas, analisando alguns dos seus aspectoscomo, a dinâmica, a geometria e um pouco da topologia dessas estruturas, visando umaanalogia a moléculas longas em sistemas quase unidimensionais.

Ao estudarmos as curvas entramos na geometria diferencial, sendo esta uma áreade bastante importância e relevância em Física, pois nos ajuda a compreender assuntos dosmais variados, desde teoria das cordas a relatividade geral. Estudamos teorias de camposcomo as teorias de gauge e quebra espontânea de simetria também aplicado as curvas.

As ferramentas de abordagem às curvas são amplamente utilizadas em outras áreasdo conhecimento como na Biologia, uma vez que serve para explicar as formas complexasdas proteínas que incluem várias dobras, curvas e loops.

Proteínas são macromoléculas formadas por sequências de aminoácidos unidospor ligação peptídica, onde estas ligações são de natureza covalente. São essenciais paraos seres vivos, constituindo sua estrutura e participando de quase todos os processoscelulares: formam enzimas, controlam as passagens de nutrientes nas células, participamda replicação do DNA, atuam como anticorpos, hormônios entre outras funções.

Embora existam mais de 150 aminoácidos, somente 20 são encontrados nas proteínase todos de estrutura L, o que reforça a hipótese segundo a qual todas as células hojeexistentes derivam de uma célula ancestral, pois esta teria transmitido a capacidade deutilizar os L-aminoácidos a todas as células descendentes [1].

Os aminoácidos encontrados nas proteínas tem em comum a presença de um grupoNH2 (amino) e um grupo COOH (carboxila) ligados ao carbono alfa da molécula.

OH C

O H N C

H α

R

2

Figura 1 – Estrutura de um Aminoácido.

Quando o átomo de carbono do grupo carboxila de um aminoácido compartilhaseus elétrons com o átomo de nitrogênio do grupo amino de um segundo aminoácidoforma-se a ligação peptídica covalente e os átomos centrais destes aminoácidos formam acadeia principal de um polipeptídio.

Introdução 12

Uma vez que a função e a dinâmica das proteínas estão intimamente relacionadas asua estrutura [1] devemos entender melhor a forma tridimensional das moléculas proteicasem seu estado nativo ou conformação, que é a estrutura final enovelada adotada pelaproteína nas condições de pH e temperatura existentes dentro dos organismos vivos.Podemos ilustrar essa ideia da conformação da proteína através da comparação com umcabo de telefone espiral que se dobra sobre si mesmo. Como o enovelamento é muitoimportante para a função biológica das proteínas, devemos entender os princípios básicose a física por trás deste processo.

O número e a sequência dos aminoácidos em uma cadeia polipeptídica determinama estrutura primária da proteína. Essas cadeias se dobram e se enrolam formando o quechamamos de estrutura secundária. A cadeia que possui estrutura secundária dobra-senovamente sobre si mesma formando estruturas enoveladas globosas ou alongadas, essassão as estruturas terciárias, e a união destas formam a estrutura quaternária.

As proteínas possuem como estado nativo dois padrões regulares de enovelamentodenominados α-hélice, que são estruturas em forma de hélices ao redor de um eixoimaginário e folha β, que são estruturas em forma de zigue-zague, achatadas e rígidas [2].A folha β é composta por uma estrutura chamada β-strand, no decorrer dos nossos estudosveremos que a estrutura β-hélice da curva é similar a β-strand das proteínas. Essas formassão elementos da estrutura secundária das proteínas, como mostram as figuras (2) e (3).

Figura 2 – α-hélice.

Figura 3 – β folha formada por 3 β-strands.

A cadeia principal da cadeia peptídica consiste em unidades repetitivas, ...N−Cα−C −N − Cα − C... . O grupo amino e a carboxila estão ligados por ponte de hidrogênioem um plano, o que acarreta em dois tipos de graus de liberdade, a rotação dos eixosCα−N(φ) e Cα−C(ψ) [3]. Onde φ e ψ são os ângulos (dihedral angles) dos grupos aminoe carboxílico, respectivamente, com os carbonos alfas da cadeia peptídica como mostradona figura (4).

O par (φ, ψ) descreve completamente a geometria da cadeia peptídica e esseresultado geralmente é expresso no mapa Ramachandran, como demonstra a figura (5).Este gráfico mostra a região de φ e ψ que pode ser ocupada e dependendo da região, temos

Introdução 13

Cα(+1)

N(+1) H(+1)

o c

H N

H

Cα

C(−1)

Cα(−1)

o(−1)

Ψ

𝜙

ω

ω

Figura 4 – Ângulos diedrais ψ e φ.

a estrutura α-hélice ou folha β. As regiões vazias do mapa serão conformações impossíveisde se alcançar porque os átomos se aproximam demais [3].

Comparamos proteínas que são parametrizadas pelos ângulos diedrais φ e ψ comcurvas que são caracterizadas por torção e curvatura. Pois se φ e ψ forem constantesna cadeia proteica temos uma curva em forma de hélice, significando que a torção e acurvatura são constantes e dependendo dos seus valores formam a estrutura α-héliceou β-strand. Fomos motivados pelo mapa Ramachandran que monstra como os paresdos ângulos diedrais (φ, ψ) não são aleatórios e caracterizam as estruturas das proteínas.Teoricamente, demonstramos que propriedades macroscópicas como curvatura e torçãopodem estar relacionadas com esses ângulos diedrais.

Foram utilizados vários métodos para descrever as estruturas das curvas no espaçoem três dimensões (3D). Visto que, como estamos no meio clássico e as curvas estudadassão longas, fizemos uso de uma ferramenta notável para esse nível de energia, que sãoas teorias efetivas de gauge. Com elas foi possível construir um funcional de energia(hamiltoniano) negligenciando os termos irrelevantes da teoria para baixas energias e, alémdisso, levando em conta a simetria de gauge que emerge desse modelo.

Mostramos de forma sucinta como foi procedido em cada capítulo:

Introdução 14

Figura 5 – Mapa Ramachandran mostra a forma nativa das proteínas dependendo dosângulos φ e ψ. Fonte: Wikipédia.

No primeiro capítulo apresentamos as curvas no espaço 3D, falando da parametri-zação destas por comprimento de arco e de conceitos importantes como curvatura e torção.Pois deste modo, conseguimos descrever as equações de Frenet e mostramos mais a frentecomo a curvatura e a torção determinam a forma de uma curva.

No segundo e terceiro capítulos abordamos sobre a simetria de gauge e sua impor-tância para a construção de lagrangianas invariantes. As simetrias de gauge através darepresentação de grupos caracterizam as 4 forças fundamentais da natureza e tratamoscomo exemplo o grupo U(1) e o caso do eletromagnetismo. Descrevemos também, umfenômeno considerável que é a quebra espontânea de simetria para, assim, chegarmos aomecanismo de Higgs abeliano que explica como campos vetoriais se tornam massivos.

As ondas solitárias foram explanadas no capítulo 4, onde buscamos soluções estáticaspara campos escalares em uma dimensão no modelo φ4. Essas soluções são chamadas dekink, e além de serem localizadas no espaço, elas introduzem conceitos básicos de topologia.

Já no capítulo 5 fizemos as ligações entre os assuntos apresentados até aqui.Mostramos a conexão entre as curvas descritas pelas equações de Frenet e as simetriasde gauge. Utilizamos a metodologia geral de construção de uma teoria efetiva, a fim deencontrarmos um hamiltoniano invariante de gauge que, como foi possível observar é omesmo do modelo Higgs abeliano.

No sexto capítulo encontramos as equações de movimento do funcional de energia ecom o auxílio do software Mathematica, reproduzimos graficamente as curvas que obtivemoscom o desenvolvimento da teoria. Vimos que do vetor tangente pôde ser extraído toda a

Introdução 15

informação da curva e com ela construímos, para κ e τ constantes, α-hélices e β-hélices,que são duas estruturas típicas de proteínas. Analisamos soluções da teoria e encontramossoluções solitônicas, onde numericamente conseguimos reproduzir o kink na curva.

No último capítulo, abordamos os sphalerons, "altura"da barreira de potencial, quemostram a instabilidade do vácuo falso em teorias clássicas; e os instantons, que aparecemem teoria quântica como amplitude da probabilidade de tunelamento. Ao final, com oestudo dos temas abordados anteriormente, exibimos as conclusões e algumas possibilidadespara uma possível continuidade deste estudo.

16

1 Curvas no Espaço 3D

Imaginando uma partícula que se move no espaço em relação ao tempo t, a trajetóriafeita pela partícula é chamada de curva. A curva é uma função e como tal tem uma relaçãoque conecta o seu domínio a um contradomínio. Assim, definir uma curva no espaço 3Dé o mesmo que definir suas componentes (x(t), y(t), z(t)), onde estas são chamadas deequações paramétricas. Podemos nos referir a curvas como um conjunto de pontos noespaço dado por α(t) = (x(t), y(t), z(t)) que descreve a posição da partícula no instantede tempo t [4].

Definimos uma curva no R3 como uma aplicação contínua α : I → R3, onde

I = [a, b] é um intervalo da curva [5].

Consideramos sempre que as curvas são regulares, isso significa que α′(t) 6= 0 [4].Em outras palavras, as curvas regulares são aquelas cujo vetor velocidade nunca se anulae por isso tem uma direção tangente bem definida em cada instante. Continuando com anossa analogia da trajetória de uma partícula, α′(t) representa a velocidade que aponta nadireção tangente à curva no instante t.

Para calcular o comprimento de uma curva, a interpretação cinemática é bas-tante útil, pois trata-se de calcular a distância da trajetória de uma partícula. Logo, ocomprimento de uma curva l será

l(s) =∫ s

0|α′(t)|dt (1.1)

Agora parametrizamos uma curva por comprimento de arco, isso implica que|α′(t)| = 1 [5]. É útil parametrizar uma curva desta maneira, pois o comprimento dearco aparece naturalmente da forma da curva e não depende do sistema de coordenadasutilizado.

Geralmente, em 3 dimensões, existem duas funções ou dois parâmetros que definemuma curva. Ou seja, duas equações que relacionam três parâmetros definem uma variedadede codimensão 2.

1.1 CurvaturaA curvatura é a taxa de variação da direção do vetor tangente à curva, ou seja, é a

medida do quanto a curva se curva.

Capítulo 1. Curvas no Espaço 3D 17

Antes de encontrarmos a curvatura é necessário que o comprimento do vetor tan-gente seja sempre o mesmo (caso contrário, estaríamos medindo a variação do comprimentodo vetor). Por esse motivo, para definir a curvatura precisamos que a curva esteja parame-trizada por comprimento de arco, de modo que o vetor tangente tenha sempre comprimentoigual a 1.

O vetor tangente é igual a

t(s) = d

dsα(s) (1.2)

𝒕(𝑠)

Figura 6 – Vetor tangente a curva.

Seja α : I → R3 uma curva parametrizada por comprimento de arco, então o vetor

t′(s) é ortogonal ao vetor tangente t(s) [5]. Provamos essa propriedade da seguinte forma:o módulo do vetor tangente parametrizado por comprimento de arco é

|t(s)|2 = 〈t(s), t(s)〉 = 1

e derivando a equação acima

d

ds

(|t(s)|2

)= d

ds(1)⇒ d

ds〈t(s), t(s)〉 = 0

⟨d

dst(s), t(s)

⟩+⟨

t(s), dds

t(s)⟩

= 0

2 〈t(s), t′(s)〉 = 0

〈t(s), t′(s)〉 = 0.


Então, o vetor t′ é perpendicular ao vetor t apontando para a direção em que acurva está se curvando. Lembrando que o símbolo 〈〉 representa um produto escalar.

Também definimos um vetor chamado de vetor normal, n(s), à curva da seguinteforma:

n(s) = t′(s)|t′(s)| ,

ou seja,

n(s) = α′′(s)|α′′(s)| .

Como t′ é ortogonal ao vetor tangente t segue que ele é um múltiplo escalar dovetor normal principal n e definimos esse múltiplo escalar como sendo a curvatura κ(s).Logo,

t′(s) = κ(s)n(s). (1.3)

Assim, definimos a curvatura de α em um ponto por

κ(s) = |t′(s)|.

De outro modo

κ(s) = |α′′(s)|.

Isto é, a curvatura mede a aceleração de uma partícula que percorre a trajetóriada curva com velocidade unitária, ou sob outra perspectiva

κ(s) = 〈t′(s),n(s)〉 .


1.2 TorçãoTemos o plano n × t, então é natural acreditarmos na existência de um vetor

perpendicular a esse plano, que definimos como vetor binormal, b(s), à curva no pontoα(s) [5]:

b(s) = t(s)× n(s). (1.4)

Desta forma os vetores n,b, t formam uma base ortonormal em R3, denominado

de Triedro de Frenet.

b

n t

Figura 7 – Triedro de Frenet.

O vetor b′ é ortogonal ao vetor tangente t e ao vetor binormal b, isto é,

d

dsb(s) = d

ds(t(s)× n(s))

b′(s) = t′(s)× n(s) + t(s)× n′(s)

= κ(s) n(s)× n(s)︸︷︷︸0

+t(s)× n′(s)

b′(s) = t(s)× n′(s)

é ortogonal a t(s). Sabendo que

〈b(s),b(s)〉 = |b(s)|2 = 1,

e fazendo o procedimento igual aos anteriores, encontramos


〈b(s),b′(s)〉 = 0.

Também podemos escrever

〈t(s),b′(s)〉 = 0.

Definimos o conceito de torção, τ(s), que mede o quanto uma curva deixa de serplana:

b′(s) = −τ(s)n(s). (1.5)

Quando a torção é zero o vetor b é constante, o que significa que a curva é sempredentro de um plano.

De (1.5) podemos definir o produto escalar da torção como

τ(s) = 〈b′(s),n(s)〉 .

1.3 Equações de Frenet

Seja α : I → R3 uma curva parametrizada por comprimento de arco, tal que, τ 6= 0

[5]. Então,

n′(s) = τ(s)b(s)− κ(s)t(s)b′(s) = −τ(s)n(s)t′(s) = κ(s)n(s).

A segunda e a terceira equações acima são as (1.3) e (1.5), para encontrarmos aprimeira notamos que

n(s) = b(s)× t(s)d

ds(n(s)) = d

ds(b(s)× t(s))

n′(s) = b′(s)× t(s) + b(s)× t′(s)

= −τ(s)n(s)× t(s) + b(s)× κ(s)n(s)

= −τ(s) [n(s)× t(s)] + κ(s) [b(s)× n(s)] .


n

t b

Figura 8 – Regra cíclica n, b, t.

Utilizamos a regra cíclica dos índices dada pela figura (8),

n′(s) = τ(s) [b(s)] + κ(s) [−t(s)]

n′(s) = τ(s)b(s)− κ(s)t(s). (1.6)

Isso demonstra a primeira equação que queríamos encontrar.

As fórmulas de Frenet mostram de que forma os vetores n′,b′, t′ se escrevem comocombinações lineares dos vetores n,b, t do triedro de Frenet [6].

n′ = τb− κtb′ = −τnt′ = κn

(1.7)

Dessas equações (1.7) observamos que a curvatura e a torção determinam com-pletamente a forma de uma curva regular no espaço, e dado κ e τ podemos resolver asequações de Frenet e encontrar (n,b, t), depois ao integrarmos t = dx

dsreencontramos a

parametrização convencional da curva.

Quando integramos t, aparecem três constantes de integração que identificamas condições iniciais da curva. Isso significa que podemos colocar o início da curva emqualquer lugar no espaço, definindo uma simetria de translação, porque nada dependede como a curva começa. De (1.7) temos mais três constantes que estão conectadas coma orientação, ou seja, o sentido inicial de (n,b, t) que define em qual direção a curvavai seguir, demonstrando, assim, uma simetria de rotação. Como t é unimodular, entãoprecisamos de dois parâmetros para defini-lo e dado a tangente, automaticamente o planoperpendicular dos vetores (n,b) é determinado, só necessitando discriminar o ângulodentro desse plano. Dessa forma, as três constantes definem esses graus de liberdade.

A base (n,b, t) é ortonormal e o determinante da matriz formada por essa base édado pela propriedade dos seus vetores [7]:

n · (b× t) = 1 = det(n,b, t). (1.8)


Ao final, necessitamos de três parâmetros para determinar a translação e três paraa rotação, sendo um total de seis parâmetros. Os seis graus de liberdade juntamente com(1.8), são propriedades equivalentes aos elementos do grupo SO(3) [5]. De fato, encontramosuma matriz SO(3) que descreve a curva, e a mesma foi descrita no capítulo (5).

23

2 Simetria de Gauge

A descrição de curvas em termos de κ e τ possui uma simetria local e paraentendermos como isso ocorre, introduzimos os conceitos gerais das simetrias de gauge.

As simetrias comumente chamadas de invariâncias, desempenham um papel defundamental importância na Física, pois o teorema Noether nos diz que as simetriasestão sempre relacionadas a conservação de uma grandeza, por exemplo, a homogeneidadedo espaço resulta em uma invariância de translação e essa simetria implica em umaconservação do momento; da homogeneidade do tempo, ou seja, invariância com respeitoas translações temporais, chega-se a conservação da energia; a conservação do momentoangular obtêm-se da invariância de rotações [8].

Existem simetrias discretas e contínuas. No caso de simetrias contínuas, podem serlocais e globais: a simetria local é a transformação dependente de cada ponto do espaço,já na simetria global a transformação é a mesma em cada ponto do espaço.

Para entender melhor as duas simetrias podemos pegar uma bola e desenhar nelameridianos e paralelos. Girando a bola em um dos eixos percebemos que a posição final éidêntica a inicial, porque todos os pontos da bola foram girados igualmente, isso caracterizauma simetria global. Na simetria local desejamos que a bola mantenha a mesma formamesmo movendo independentemente seus pontos, isso provocará o aparecimento de forçasque causarão a deformação dos meridianos e paralelos.

As simetrias formam grupos e estes são conjuntos de elementos que devem respeitaralgumas propriedades, tais como: deve haver operações binárias (a multiplicação é umexemplo) entre os elementos do grupo; elemento neutro; elemento inverso; associatividadee pode ou não haver comutatividade.

Diferente das simetrias de espaço-tempo que geram conservação da energia e dosmomentos, existem as simetrias que atuam como transformações dos campos no espaçoalvo.

Como as simetrias formam grupos e as simetrias de gauge locais são usadas paracaracterizar as 4 forças fundamentais da natureza, temos um grupo de ação para cadauma: o grupo U(1) para o eletromagnetismo; o grupo SU(2) para a força fraca; SU(3)para a força forte e o grupo de reparametrizações para a gravidade [9].

Mostramos um pouco sobre a simetria de gauge do grupo U(1) que representa ocampo eletromagnético.

Consideramos um campo escalar complexo descrito pela lagrangiana

Capítulo 2. Simetria de Gauge 24

L = ∂µφ∗∂µφ−m2φ∗φ, (2.1)

onde chamamos o parâmetro m de massa porque esse termo define a frequência daspequenas oscilações em torno do extremo da energia potencial e ~ = c = 1.

Essa lagrangiana é invariante por transformação de fase no espaço dos campos φ :

φ→ φ′ = φeiα e φ∗ → φ′∗ = φ∗e−iα, (2.2)

onde α é uma constante real, com (2.2) sendo um exemplo de transformações globais.Essa transformação caracteriza uma transformação de gauge, pois eiα são númeroscomplexos de módulo 1 e a multiplicação desses números formam um grupo que pordefinição é o grupo U(1).

Representamos φ e φ∗ por uma par de campos escalares reais

φ = 1√2

(φ1 + iφ2) e φ∗ = 1√2

(φ1 − iφ2) (2.3)

ou

φ1 = 1√2

(φ+ φ∗) e φ2 = 1i√

2(φ− φ∗).

Transformações do campo complexo φ, como a que vimos em (2.2) são descritaspelo grupo U(1). Substituímos os campos escalares (2.3) nas transformações de gauge (2.2)e encontramos

φ′1

φ′2

= cosα − sinα

sinα cosα

φ1

φ2

. (2.4)

Essa é a mesma transformação de simetria do grupo SO(2) de rotações. Logo, esseresultado significa que a lagrangiana (2.1) é invariante por rotações no espaço de campo(espaço alvo), pois (2.2) e (2.4) são representações diferentes do mesmo grupo.

Supomos que a nossa fase α não é mais constante, mas sim uma função do tempoe do espaço. Então, a transformação de gauge é dada por


φ→ φ′ = eiα(x)φ e φ∗ → φ′∗ = e−iα(x)φ∗. (2.5)

Onde as transformações acima são exemplos de transformações locais.

Aplicando (2.5) na lagrangiana (2.1) obtivemos

L = (∂µ − i∂µα(x))φ∗ (∂µ + i∂µα(x))φ−m2φ∗φ.

Essa lagrangiana não é invariante com relação as transformações (2.5) porque aderivada do campo ∂µφ tem a lei de transformação diferente do próprio campo φ. Emtermos matemáticos φ é uma representação de grupo, mas ∂µφ não é. A derivada do campofez aparecer um termo a mais e por isso introduzimos uma grandeza Aµ como termocompensador. Assim, a derivada transformou-se da seguinte forma

∂µ → ∂µ − ieAµ ≡ Dµ. (2.6)

onde e é apenas uma constante e Dµ é chamada de derivada covariante.

Agora, interrogamos qual seria a lei de transformação de Aµ, dada a lei de transfor-mação (2.5), para que a derivada (2.6) se transforme do mesmo jeito que o próprio campoφ. Para isso derivamos o campo utilizando a nova derivada

(∂µ − ieAµ)eiα(x)φ = ∂µ(eiα(x)φ)− ieAµeiα(x)φ

= eiα(x)∂µφ+ iφeiα(x)∂µα(x)− ieAµeiα(x)φ

= eiα(x)(∂µφ+ iφ∂µα(x)− ieAµφ)

= eiα(x)(∂µ + i∂µα(x)− ieAµ)φ.

Daqui, vimos que Aµ deveria se transformar como

Aµ → Aµ + 1e∂µα(x), (2.7)

pois desta forma teremos


(∂µ − ieAµ)eiα(x)φ = eiα(x)(∂µ − ieAµ)φ.

Assim, alcançamos a forma desejada para que a lagrangiana se torne invariantepelas transformações (2.5). Conhecemos a lei de transformação (2.7) da eletrodinâmica,então o potencial eletromagnético Aµ aparece como o campo compensador na teoria e erepresenta a carga da partícula descrita pelo campo φ.

A lagrangiana tornou-se

L = (∂µ + ieAµ)φ∗ (∂µ − ieAµ)φ−m2φ∗φ (2.8)

que é invariante com relação as transformações de gauge locais e o que se conserva éinterpretado como a corrente eletromagnética.

A imposição de invariância da lagrangiana obriga o aparecimento da interaçãoeletromagnética com uma certa alteração da mesma. Observarmos que o comutadorda derivada covariante fez surgir o tensor antissimétrico Fµν , que é o tensor do campoeletromagnético:

[Dµ, Dν ] = (∂µAν − ∂νAµ) = Fµν .

Também o termo Fµν é um invariante de gauge:

Fµν → F ′µν = ∂′µA′ν − ∂′νA′µ

= (∂µ − ieAµ)(Aν + 1e∂να(x))− (∂ν − ieAν)(Aµ + 1

e∂µα(x))

= ∂µAν − ∂νAµ= Fµν .

Cuja lagrangiana é

L = −14FµνF

µν . (2.9)

O termo −14 é um fator de conveniência, serve para que as equações de Euler-

Lagrange descrevam corretamente as equações de Maxwell do eletromagnetismo. O sinalnegativo aparece para que possamos obter uma densidade de energia positiva para o campoeletromagnético.


Assim, o eletromagnetismo é caracterizado pela simetria representada pelo grupoU(1) que transforma os campos Aµ e φ (ou o campo do elétron na eletrodinâmica real) noespaço auxiliar.

28

3 Quebra Espontânea de Simetria

Mesmo se uma lagrangiana for simétrica em relação as transformações de gauge,existem casos em que o seu estado de menor energia não é, fenômeno conhecido comoquebra espontânea de simetria (QES).

Este mesmo fenômeno é muito importante em diversas áreas da Física, principal-mente em física de altas energias e matéria condensada. Em matéria condensada a QEScaracteriza fases de matéria como no ferromagneto e supercondutor. Já em altas energiasa QES é responsável pelas massas das partículas elementares.

A física é diferente em casos da quebra de simetria global e local.

Como vimos no capítulo anterior se uma interação física é invariante por simetriaglobal e se a obrigarmos a ser invariante por simetria local, temos que colocar novoscampos na interação. Esses novos campos são chamados de campos de gauge.

Em 1954, Yang e Mills introduziram seu modelo como uma generalização SU(2) daeletrodinâmica [10], motivados em construir uma teoria de forças nucleares invariantes sobas rotações de isospin SU(2) dos núcleons [11]. O significado físico da teoria de Yang-Millsnão foi logo reconhecido, devido ao problema com as massas das partículas, o curtointervalo de interações fracas e fortes requeriam bósons de gauge maciços para mediá-los,enquanto a invariância de gauge da teoria de Yang-Mills impedia a inserção de termoscom massa explicitamente.

Somente na década de 1960, os trabalhos [12], [13] e [14] demonstraram que os bósonsvetoriais da teoria de Yang – Mills podem adquirir massa quebrando espontaneamente asimetria de gauge. Esse método é chamado de mecanismo de Higgs, que é o modo comoalgumas partículas ganham massa.

3.1 Quebra Espontânea de Simetria GlobalPara descrevermos a ideia principal de quebra de simetria começamos com um

modelo simples, consideramos a teoria de um campo escalar com densidade Lagrangiana[15]

L = 12(∂µφ)2 − m2

2 φ2 − λ

4φ4. (3.1)

Esta Lagrangiana é invariante sob a transformação

Capítulo 3. Quebra Espontânea de Simetria 29

φ(x)→ −φ(x), (3.2)

chamamos também de simetria de reflexão ou paridade no espaço de campo (espaço alvo).

O funcional da energia para esse modelo tem a forma

E =∫d3x

(12(∂0φ)2 + 1

2(∂iφ)2 + m2

2 φ2 + λ

4φ4). (3.3)

Como os dois primeiros termos são definidos positivamente e a energia deve ser limitadapor baixo, temos que

λ > 0,

porém não existe restrição no parâmetro m2.

Podemos encontrar o estado fundamental neste modelo ou a configuração de campoφ(x) com energia mínima quando os campos não dependem do tempo [15]

∂0φ = 0

e são homogêneos no espaço

∂iφ = 0.

Como a energia mínima não depende de x e t, requer que o potencial seja minimizado

V (φ) = m2

2 φ2 + λ

4φ4.

Então,

dV

dφ= m2φ+ λφ3 = 0

φ(m2 + λφ2) = 0


com raízes

φ = 0 e φ = ±√−m2

λ.

Temos dois casos foram considerados separadamente aqui: m2 ≥ 0 e m2 < 0.

Para m2 ≥ 0 : o mínimo do potencial está em,

φ = 0.

Este estado é invariante sob a transformação (3.2) e dizemos que o estado funda-mental não quebra a simetria do modelo, ou a lagrangiana para perturbações do estadofundamental (excitações de campo) é invariante. Temos a situação descrita na figura (9),se tivermos uma partícula no ponto mínimo do gráfico ela estará em equilíbrio estável esimétrico mesmo fazendo uma perturbação na partícula para a esquerda ou direita.

Φ

V HΦL

Figura 9 – Potencial para m2 ≥ 0.

Para m2 < 0 : neste caso o potencial tem a forma ilustrada na figura (10) . Agorao campo φ = 0 corresponde ao máximo do potencial local sendo instável, pois qualquerperturbação em uma partícula nesse ponto pode tirá-la de lá. Existem dois estados mínimos:

φ = ±√−m2

λ.

Fazendo uma mudança de notação

µ2 = −m2


temos,

φ0 = µ√λ.

Os mínimos podem ser dados da seguinte forma:

φ = ±φ0.

Escolhemos um mínimo

φ = +φ0 ≡µ√λ. (3.4)

Tendo uma partícula nesse estado, e se a perturbarmos para direita ou esquerda,podemos observar que este estado não é invariante sob a transformação φ→ −φ. Dizemosque a simetria é espontaneamente quebrada.

Φ

V HΦL

Figura 10 – Potencial para m2 < 0.

Em outras palavras, para transferir o campo de um estado fundamental para ooutro, é necessário adicionar energia proporcional ao volume do espaço [15]. Lembrandoque V (φ) é a densidade de energia, a energia do campo φ é igual a ΩV (φ), onde Ω é ovolume do espaço. Assim, escolhemos um estado mínimo , por exemplo (3.4), a energia doestado fundamental é igual a

E0 = ΩV (φ0) = Ω(−1

2µ2φ2

0 + λ

4φ40

)


= Ω−1

2µ2(µ√λ

)2

+ λ

4

(µ√λ

)4

E0 = −Ω14µ4

λ.

A lagrangiana em relação ao estado fundamental

L = 12(∂µφ)2 + µ2

2 φ2 − λ

4φ4 + 1

4µ4

λ(3.5)

ou

L = 12(∂µφ)2 − λ

4 (φ2 − φ20)2.

Logo, densidade de energia do campo potencial é

V (φ) = λ

4 (φ2 − φ20)2,

onde V (φ0) = 0.

Consideramos perturbações χ(x) sobre o estado fundamental φ = +φ0,

φ(x) = φ0 + χ(x). (3.6)

Substituímos (3.6) na lagrangiana (3.1) e lembrando que +φ0 = µ√λ, encontramos

a seguinte forma para a lagrangiana

Lχ = 12(∂µχ)2 − µ2χ2 −

√λµχ3 − λ

4χ4. (3.7)

Observamos que essa lagrangiana não é invariante sob transformações χ→ −χ. Oque já era de se esperar, pois o estado fundamental não é invariante. Lembrando que otermo µ2 é a massa do campo e é positiva.

Portanto, a quebra espontânea de simetria pode ser entendida como a não invari-ância do estado fundamental sob a simetria da lagrangiana, bem como a lagrangiana deperturbações.


3.2 Bosons de Nambu-GoldstoneEstudamos também o caso de simetria contínua com o grupo U(1), onde o campo

complexo é

φ = 1√2

(φ1 + iφ2)

com a lagrangiana da forma

L = ∂µφ∗∂µφ−m2φ∗φ− λ(φ∗φ)2. (3.8)

Vimos que a lagrangiana (3.8) é invariante sob transformações globais:

φ(x)→ φ′(x)eiα. (3.9)

A energia do campo é dada por

E =∫d3x

(∂0φ

∗∂0φ+ ∂iφ∗∂iφ+ V (φ∗, φ)

),

onde

V (φ∗, φ) = m2φ∗φ+ λ(φ∗φ)2. (3.10)

Utilizamos os mesmos argumentos da seção anterior, onde a energia mínima éencontrada quando os campos não dependem do tempo e são homogêneos no espaço(∂0φ

∗∂0φ = 0 , ∂iφ∗∂iφ = 0), dependendo somente da minimização do potencial (3.10).

Consideramos novamente dois casos:

Quando m2 ≥ 0 o estado fundamental é

φ = 0


e a simetria U(1) não é quebrada.

Quando m2 = −µ2 < 0, temos o gráfico do potencial a estrutura chamada dechapéu mexicano, como está mostrado na figura (11). Com energia mínima

φ∗φ = µ2

λ⇒ |φ| = φ0 = µ√

λ.

Observamos que o potencial possui um conjunto infinito de mínimos, ou estadosfundamentais, degenerados e cada mínimo equivalendo a um ponto na circunferência deraio r = µ√

λdo plano complexo [15]. Onde esse conjunto de mínimos é dado por

φ = φ0√2eiα. (3.11)

Como existem infinitos mínimos, escolhemos apenas um para construir a teoria

φ = φ0√2, (3.12)

onde adotamos φ1 = φ0 e φ2 = 0.

Estudamos a lagrangiana em torno do mínimo, considerando perturbações noscampos

φ1 = φ0 + χ(x), (3.13)

φ2 = θ(x).

Substituímos (3.13) no potencial (3.10), temos

V = m2φ∗φ+ λ(φ∗φ)2

= −µ(φ2

1 + φ22

2

)+ λ

(φ2

1 + φ22

2

)2

= −µ2 [(φ0 + χ)2 + θ2] + λ

4 [(φ0 + χ)2 + θ2]2

V = θ4λ

4 −µ4

4λ + θ2χµ√λ+ 1

2θ2χ2λ+ µ2χ2 + χ3µ

√λ+ χ4λ

4 .


Para pequenas perturbações estávamos interessados nos termos quadráticos, dis-pensando os de ordem superior e o termo constante. Então o potencial é

V = µ2χ2.

Onde θ2 e termos de interação θχ não existem no potencial, pois observando a figura(11), na qual fizemos a escolha do mínimo, os termos quadráticos em χ e θ representamas curvas do potencial nas direções φ1 e φ2, respectivamente. Olhando na direção φ2 acurvatura do potencial está num plano e podemos percorrê-lo sem gasto de energia.

V(𝜙)

𝜙1

𝜙0

𝜙2

Figura 11 – Anel de estados fundamentais e os potenciais nas direções φ1 e φ2.

Assim sendo, a lagrangiana quadrática é

L2χθ = 1

2(∂µχ)2 + 12(∂µθ)2 − µ2χ2. (3.14)

Na lagrangiana acima, vimos que o campo χ possui massa mχ =√

2µ, enquantoque o campo θ permanece sem, pois não existe um fator quadrático deste associado amassa. Esse campo sem massa é chamado de campo de Nambu-Goldstone e a partículacorrespondente é o bóson de Nambu-Goldstone [16], [17].

Imaginemos o fundo de uma garrafa de vinho e uma bolinha, onde a bolinha possuimassa quando oscila radialmente contra um potencial de restauração, enquanto que no


movimento angular sobre o fosso circular a bolinha não possui massa, para a qual não háforça de restauração.

Quantos bósons sem massa podemos encontrar? O teorema de Goldstone [18]responde essa pergunta, ele diz que se uma simetria contínua for quebrada espontaneamente,para cada gerador de grupo quebrado deve aparecer na teoria uma partícula sem massa.

3.3 Mecanismo de Higgs no Modelo AbelianoConsideramos o mesmo modelo U(1), mas no caso de simetria local. Onde, diferente

da simetria global, aparecem a derivada covariante e um termo cinético para o campo degauge na lagrangiana.

Escolhemos a lagrangiana na forma

L = −14FµνF

µν + (Dµφ)∗Dµφ− V (φ∗, φ), (3.15)

sendo φ um campo escalar complexo 1√2(φ1 + iφ2), Fµν = ∂µAν − ∂νAµ é o tensor do

campo eletromagnético, Dµφ = (∂µ − ieAµ)φ é a derivada covariante e o potencial

V (φ∗, φ) = −µ2φ∗φ+ λ(φ∗φ)2.

Novamente a lagrangiana (3.15) é invariante sobre transformações de gauge:

Aµ → A′µ = Aµ + 1e∂µα(x)

φ → φ′ = φeiα(x),

sendo α(x) uma função real arbitrária e a transformação no campo φ caracteriza umasimetria local.

A energia do sistema para o campo Aµ e φ é

E(Aµ, φ) =∫d3x

(14FµνF

µν + (Dµφ)∗Dµφ+ V (φ∗, φ)). (3.16)

No estado fundamental os campos Aµ e φ minimizam a energia e como esta éum invariante de gauge em relação a A(v)

µ e φ(v), que são os estados de mínimos, entãoA(v)µ + 1

e∂µα e φ(v)eiα também serão invariantes.


Como na seção anterior, determinamos todos os possíveis estados fundamentais edepois estudamos as perturbações sobre um deles.

O primeiro termo da energia é zero quando os campos elétricos e magnéticos sãoiguais a zero. Assim, Aµ é um gauge puro

Aµ = 1e∂µα(x). (3.17)

O segundo termo é mínimo (igual a zero) quando

Dµφ = (∂µ − ieAµ)φ = 0,

ou seja, quando

φ = φ0√2eiα(x) (3.18)

esta é a equação (3.11) que representa a família de mínimos distribuídos no círculo de raioφ0.

Minimizamos o potencial V (φ∗, φ) e encontramos a constante φ0:

φ0 = µ√λ. (3.19)

Determinados os possíveis estados fundamentais que são dados pelas equações(3.17), (3.18) e (3.19) foi necessário escolher um desses estados. Escolhemos α(x) = 0 e aconfiguração de mínimo terá a forma [15]

A(v)µ = 0 , φ(v) = φ0√

2.

Consideramos perturbações sobre o estado fundamental, para o campo Aµ elas sãodadas pelo próprio potencial vetor e as do campo escalar por dois campos reais χ(x) eθ(x):


φ = 1√2

(φ0 + χ(x) + θ(x)). (3.20)

Calculamos a lagrangiana de ordem quadrática nos campos Aµ, χ e θ, e encontramospara o potencial o mesmo valor obtido anteriormente:

V (φ) = µ2χ2.

Também

Dµφ = 1√2

(∂µχ+ i∂µθ − ieφ0Aµ),

aqui dispensamos os termos de interação entre os campos Aµ, χ e θ.

Sendo assim, a lagrangiana quadrática é

L2 = −14F

2µν + 1

2 |∂µχ+ i∂µθ − ieφ0Aµ|2 − µ2χ2.

Como

|∂µχ+ i∂µθ − ieφ0Aµ|2 = (∂µχ+ i∂µθ − ieφ0Aµ)∗(∂µχ+ i∂µθ − ieφ0Aµ)

= (∂µχ)2 + (∂µθ)2 − 2eφ0Aµ∂µθ + (eφ0Aµ)2

= (∂µχ)2 + e2φ20

(Aµ −

1eφ0

∂µθ

)2

,

temos

L2 = −14F

2µν + 1

2(∂µχ)2 − µ2χ2 + 12e

2φ20

(Aµ −

1eφ0

∂µθ

)2

. (3.21)

Surgiu um termo cruzado na expressão acima, Aµ∂µθ, e foi preciso eliminá-lo, paraque a lagrangiana quadrática voltasse a forma canônica (a soma dos campos individuais).Para isso, mudamos as variáveis de campo da seguinte forma:


Bµ = Aµ −1eφ0

∂µθ. (3.22)

Finalmente, a lagrangiana quadrática configurou-se na forma

L2 = −14B

2µν + 1

2e2φ2

0BµBµ + 1

2(∂µχ)2 − µ2χ2, (3.23)

onde Bµν = ∂µBν − ∂νBµ = Fµν .

Analisamos a lagrangiana (3.23) e percebemos que o campo vetorial massivo Bµ

possui massa igual a

mv = eφ0 = e√λµ

e o campo escalar χ tem massa mχ =√

2µ.

O interessante nesse resultado, foi o aparecimento de uma massa para o campovetorial e o desaparecimento de θ(x). Interpretamos que o campo vetorial "comeu"o campode Nambu-Goldstone, θ(x), e adquiriu massa. Essa é a essência do mecanismo de Higgs,onde bósons vetoriais adquirem massa através da quebra espontânea de simetria [13].

No modelo de Higgs, antes da quebra de simetria temos dois campos reais e umcomplexo (φ, φ∗), cada campo real um 1 grau de liberdade e um campo vetorial Aµ semmassa com 2 graus de liberdade, totalizando 4 graus de liberdade [19]. Depois da quebra ocampo vetorial massivo Bµ possui 3 graus de liberdade e o campo escalar χ tem 1, sendono total 4 graus de liberdade. Logo, os graus de liberdade se redistribuem, mas sempre seconservam.

Explanamos sobre a quebra espontânea de simetria porque o funcional de energiaefetivo que encontramos para as curvas em 3D é o mesmo do modelo Higgs abeliano.

40

4 Ondas Solitárias

As ondas solitárias são importantes para o entendimento deste estudo pois aparecemcomo solução da nossa teoria efetiva.

Essas ondas foram relatadas pela primeira vez em agosto de 1834 pelo engenheironaval britânico J. S. Russel. A descoberta é descrita aqui com suas próprias palavras [20]:

"Eu estava observando um barco, que era puxado rapidamente ao longo de umcanal estreito por um par de cavalos, quando o barco parou de repente - mas não a massade água no canal que ele havia posto em movimento; esta acumulou-se ao redor da proado barco num estado de violenta agitação e, em seguida, deixando-o repentinamente paratrás, rolou para frente a grande velocidade, assumindo a forma de uma grande elevaçãosolitária, um monte de água arredondado, suave e bem definido que continuou seu cursoao longo do canal aparentemente sem mudança de forma ou diminuição de velocidade. Eua segui a cavalo e a alcancei ainda rolando a uma velocidade de umas oito ou nove milhaspor hora, preservando seu contorno original de uns trinta pés de comprimento por um péa um pé e meio de altura. Sua altura diminuiu gradualmente e, depois de uma perseguiçãopor uma ou duas milhas, eu a perdi nos meandros do canal."

O interesse de Russel por essa estranha onda que não se deformava não acabou nestedia, nomeando-a de onda de translação, ele conseguiu, após uma série de experimentos,reproduzi-la.

Somente no ano de 1895 os matemáticos Diederik Korteweg e Gustav de Vries [21]obtiveram uma expressão matemática para determinar a velocidade da onda observada porRussell. Mas o interesse pelas ondas de translação ou ondas solitárias se deu mesmo apenasna década de 1960, quando Zabusky e Kruskal motivados em resolver o problema chamadode Fermi-Pasta-Ulam (FPU) sobre a propagação de fônons em uma rede não linear,conseguiram explicar numericamente o problema. Por causa da analogia com partículas,Zabusky e Kruskal referiram-se a estas ondas especiais como solitons [22].

Solitons são soluções de equações parciais não lineares localizadas no espaço,estáveis, mantendo sua forma mesmo após colisão com outro soliton [23] e topologicamenteprotegidos.

4.1 Soluções Estáticas para Campos EscalaresConsideramos a lagrangiana (ação)

Capítulo 4. Ondas Solitárias 41

S =∫dt∫dx(1

2 (∂tφ)2 − 12 (∂xφ)2 − V (φ)

). (4.1)

A energia cinética é o termo associado ao quadrado da derivada temporal do campona lagrangiana e a energia potencial são os demais termos.

A hamiltoniana é dada por

H = 12 (∂tφ)2 + 1

2 (∂xφ)2 + V (x). (4.2)

Para que a energia permaneça finita, o potencial V (x) deve ir a um mínimo quandox → ±∞. Portanto, se o potencial tem apenas um mínimo, isso significa que a soluçãoφ(x) deve estar neste mínimo para x = ±∞. No entanto, se V (x) tiver pelo menos doismínimos, é possível que a solução esteja a um mínimo do potencial em x = −∞ e outrosmínimos do potencial em x = +∞, isto quer dizer que todas as soluções de energia finitanão triviais viajam de um mínimo do potencial em x = −∞ a outros mínimos em x = +∞.

Através das equações de Euler-Lagrange encontramos a equação de movimento[24]:

∂L∂(∂µφ) = ∂µφ ,

∂L∂φ

= −∂V∂φ

⇒ ∂µ∂µφ+ ∂V

∂φ= 0.

Consideramos o campo (1+1) - dimensional com µ = 0, 1. Assim, as equações demovimento são

∂2t φ− ∂2

xφ+ ∂V

∂φ= 0.

No caso estático (∂2t φ = 0) a equação de movimento acima é similar as equações de

Newton, no qual descreve o movimento de uma partícula que percorre o potencial inverso,da seguinte forma:

−∂2xφ+ ∂V

∂φ= 0

∂2xφ = −∂(−V )

∂φ.


Então, percebemos que o problema independente do tempo é o problema de umapartícula com massa unitária que se move no potencial −V (x) em mecânica clássica.Sempre que foi necessário utilizamos essa analogia do potencial inverso.

Estudando as soluções estáticas; ∂tφ = 0, para o campo escalar independente dotempo, a ação é

S =∫dx(−1

2 (∂xφ)2 − V (φ)), (4.3)

que na mecânica clássica o movimento da partícula tem energia total

12 (∂xφ)2 − V (φ) = −V (φ0), (4.4)

onde V (φ0) é a energia do vácuo.

Dessa forma, temos uma relação importante na teoria de ondas solitárias, onde a soluçãoindependente do tempo também pode ser calculada da seguinte forma:

12 (∂xφ)2 = V (φ)− V (φ0)

∂φ

∂x= ±

√2(V (φ)− V (φ0)). (4.5)

Integramos a equação (4.5) e dependendo do potencial estudado, encontramos afórmula das soluções tipo kink independente do tempo, podendo ser calculada [24]:

∫ φ2

φ1

dφ√2(V (φ)− V (φ0))

= ±∫ x2

x1dx = ±∆x. (4.6)

A solução com sinal positivo é chamada de kink e a solução com sinal negativo é chamadade anti-kink.


4.2 O Campo φ4

Fizemos a discussão do campo φ4 seguindo o exemplo da seção (4.1), na qualexplanamos de modo geral a teoria.

Um exemplo de teoria de campo que admite ondas solitárias em uma dimensão(1 + 1) é descrita pela seguinte lagrangiana:

L = 12∂µφ∂µφ−

λ2

8 (φ2 − a2)2, (4.7)

em que λ e a são constantes positivas. Lembrando que estudamos essa lagrangiana nocapítulo (3).

A equação de Lagrange para φ é

∂2φ

∂t2− ∂2φ

∂x2 + λ2

2 (φ2 − a2)φ = 0. (4.8)

Obtivemos a densidade de energia dada por

H = πφ− L,

onde

H = 12

(∂φ∂t

)2

+(∂φ

∂x

)2+ λ2

8 (φ2 − a2)2. (4.9)

Como a expressão (4.9) é uma soma de quadrados a densidade hamiltoniana serásempreH ≥ 0. Então, a configuração de campo com menor energia possível é a configuraçãocom energia igual a zero (H = 0) [25].

Notamos que há duas configurações de campo com energia zero,

φ = a e φ = −a. (4.10)


Em teorias de campo os valores de menor energia representam o que chamamos deestado fundamental da teoria. A teoria do campo φ4 tem uma degenerescência do estadomínimo, pois há dois estados distintos com a menor energia possível.

Assim, poderá ser visto como são construídas as ondas solitárias para essa teoriade campo.

Admitindo que o espaço-tempo é homogêneo buscamos soluções estáticas para aequação de campo (4.8), pois essa é a equação que rege a evolução do campo φ. Então,para soluções estáticas φ = φ(x), temos

−d2φ

dx2 + λ2

2 (φ2 − a2)φ = 0. (4.11)

Por conveniência, multiplicamos esta equação por φ′, método esse chamado dequadratura.

−(d2φ

dx2

)(dφ

dx

)+ λ2

2 (φ2 − a2)φ(dφ

dx

)= 0,

ou seja,

(d2φ

dx2

)(dφ

dx

)= 1

2d

dx

(dφ

dx

)2

e

λ2

2 (φ2 − a2)φ(dφ

dx

)= d

dx

[λ2

8 (φ2 − a2)2].

Logo,

12d

dx

−(dφdx

)2

+ λ2

4 (φ2 − a2)2

= 0.

Analisamos a expressão entre colchetes da equação acima e percebemos que ela é aenergia E, em acordo com (4.4)

−(dφ

dx

)2

+ λ2

4 (φ2 − a2)2 = E.


Como E é a energia do vácuo, igualamos a zero. Então,

dφ

dx= ±λ2 (φ2 − a2).

Verificamos a equação com sinal negativo

dφ

dx= −λ2 (φ2 − a2) (4.12)∫

dx = 2λ

∫ dφ

(a2 − φ2)

x = 2λ

1a

tanh−1(φ

a

).

Onde encontramos

φ(x) = a tanh(λax

2

). (4.13)

Essa é a solução tipo kink, a outra escolha de sinal na equação (4.12), que é omesmo que fazer −λ→ λ, é a antikink.

O gráfico da função tangente hiperbólica tende a 1 quando x tende a +∞ e a −1quando x tende a −∞. Como tínhamos o a multiplicando a função tangente hiperbólica onosso gráfico ficou igual a figura (12).

x

a

a

ΦHxL

Figura 12 – Solução tipo kink conectando dois estados fundamentais.


Observarmos que essa solução estática conecta aqueles dois estados fundamentaisdistintos com energia zero (φ = ±a) [26], ou seja, os dois estados mínimos degenerados:

x→ −∞ φ = −ax→∞ φ = a.

(4.14)

A densidade de energia associada a solução estática kink é

H = 12

(∂φ

∂x

)2

+ λ2

8 (φ2 − a2)2

H = λ2a4

4 sech4(λax

2

). (4.15)

Observando um pouco o gráfico da secante hiperbólica, notamos que qualitativa-mente, é algo semelhante ao mostrado na figura (13).

x

sechHxL

Figura 13 – Representação da energia localizada.

Quando x = 0, a secante hiperbólica será igual a 1 e sech(x)→ 0 quando x→ ±∞.Como a função (4.15) está elevada a quarta potência o pico se torna mais acentuado e afunção vai a zero mais rapidamente.

Encontramos a energia total da solução estática que é:

E =∫ +∞

−∞Hdx,


onde

E = 23λa

3. (4.16)

Finalmente verificamos que E é uma energia finita e localizada no espaço [25].

48

5 Teoria Efetiva das Curvas no Espaço 3D

Neste capítulo explanamos a ideia geral das teorias efetivas para a construção dohamiltoniano da curva. Podemos considerar que todas as teorias são efetivas, válidas paraa física de um fenômeno em certo intervalo de energias. Essa ideia é apoiada no própriodesenvolvimento da Física. A mecânica newtoniana, por exemplo, pode ser pensada comouma teoria efetiva para a descrição da dinâmica clássica na região de baixas velocidades.Assim, uma dada teoria efetiva explica razoavelmente fenômenos que ocorrem numa escalade energia muito menor que certo parâmetro. Ao aumentarmos os valores das energiasenvolvidas, mais termos são necessários na lagrangiana efetiva [27].

Para a elaboração da teoria efetiva das curvas, começamos com um número deprincípios que restringem a forma da nossa teoria, como algo que nos forneça a segundaderivada temporal nas equações de movimento, tenha simetria de Lorentz etc. No final, aforma da ação efetiva é uma expansão em termos de potências de campo, onde as ordensmaiores destas, foram descartadas por serem irrelevante para o nosso caso.

Teorias efetivas devem respeitar também outras simetrias e neste capítulo aborda-mos sobre a construção da hamiltoniana efetiva de acordo com as simetrias de gauge queaparecem na descrição de Frenet das curvas.

5.1 Curvas e Simetrias de GaugeVimos no capitulo (1) que os vetores normal, binormal e tangente (n,b, t) formam

uma base em R3 para curvas, que chamamos de triedro de Frenet e que as equações de

Frenet (5.1) mostram como os vetores n′,b′, t′ se escrevem como combinações lineares dosvetores n,b, t.

n′ = τb− κtb′ = −τnt′ = κn,

(5.1)

onde as curvas tem comprimento L, s ∈ [0, L] e as derivadas são dizem respeito aoparâmetro s. Escrevemos essa combinação da seguinte forma [28], [29]:

d

ds

nbt

= RF

nbt

. (5.2)

Capítulo 5. Teoria Efetiva das Curvas no Espaço 3D 49

A matriz RF é

RF ≡

0 τ(s) −κ(s)

−τ(s) 0 0κ(s) 0 0

, (5.3)

sendo (5.3) chamada de matriz de Frenet.

A escolha dos vetores n e b de alguma maneira é arbitrária, porque em princípiotoda informação sobre a curva está presente no vetor t, visto que, bastou integrarmos estevetor para recuperarmos as equações da curva e encontrarmos sua forma geométrica. Logo,a informação de n e b são redundantes, assim, escolhemos uma base ortogonal arbitráriae1(s), e2(s) que é perpendicular a t(s) [30].

n

b

e

t

e

1

2

ᶯ

Figura 14 – O frame de Frenet (n, b) e a base arbitrária (e1, e2) ortogonal ao vetor ttangente a curva.

Observando a figura (14) vimos que as duas bases são relacionadas por uma rotação:

nb

→ e1

e2

= cos η(s) − sin η(s)

sin η(s) cos η(s)

nb

ou

e1

e2

t

= U

nbt

, (5.4)


com

U =

cos η(s) − sin η(s) 0sin η(s) cos η(s) 0

0 0 1

.

Da comparação de (5.4) com a da relação (5.2), obtemos

d

ds

e1

e2

t

= RF

e1

e2

t

, (5.5)

onde RF é a nova matriz de Frenet.

Estudamos como as equações de Frenet mudam sob rotação, para isso derivamos(5.4) e depois comparamos o resultado com (5.2), desses cálculos encontramos

d

ds

e1

e2

t

= d

dsU

nbt

d

ds

e1

e2

t

= dU

ds

nbt

+ Ud

ds

nbt

,

utilizando as relações (5.2), (5.4) e (5.5) temos,

RF

e1

e2

t

= dU

dsU−1

e1

e2

t

+ URFU−1

e1

e2

t

,

como ds(U)U−1 = −UdsU−1 chegamos em

RF ≡ URFU−1 − UdsU−1. (5.6)


Resolvendo (5.6), alcançamos

RF =

0 τ − η′ −κ cos η

−τ + η′ 0 −κ sin ηκ cos η κ sin η 0

. (5.7)

Constatamos que uma rotação de frame induz uma transformação de gauge (RF →RF ) da matriz de Frenet [28], sujeita as seguintes transformações de gauge:

κ → κ = eiη(s)κ, (5.8)

τ → τ = τ − η′(s).

Aqui as propriedades de transformação da matriz de Frenet sugerem que a curvaturase torne uma quantidade de valor complexo. Vimos facilmente, que quando o ângulo ézero, ou seja, quando não há rotação do frame, a matriz de Frenet original (5.3) reaparece.

A curvatura κ e a torção τ se transformam com relação ao ângulo de rotação η(s)de maneira análoga a transformação de gauge U(1) do multipleto Higgs Abeliano quevimos no capítulo (3), onde a curvatura é o escalar complexo de Higgs e a torção é ocampo de gauge [31], com a diferença que agora se trata de uma dimensão.

Aplicamos a metodologia geral para construção da teoria efetiva consistente comestas simetrias de gauge.

Para a construção de um hamiltoniano invariante de gauge foi conveniente passarpara a forma integral das equações de Frenet, utilizando uma matriz do grupo SO(3) quedenotamos por O(s). Essa é a matriz que define a orientação do conjunto dos três vetores(triedro de Frenet) no espaço em qualquer ponto da curva. Em outras palavras, usamosessa matriz para girar o frame de uma posição inicial s = 0 para um ponto s ao longo dacurva [30], que é dada por

e(s) = O(s)e(0). (5.9)

A ideia foi representar o triedro de Frenet em qualquer ponto como rotação O(s)a partir da coordenada inicial em s = 0. Foi mais útil trabalhar com O(s) porque atransformação desta matriz é mais simples do que a de RF (5.6) [30]:

O → UO (5.10)


A equação (5.9) é a forma integral da equação de Frenet. Para encontrar a formadiferencial da nova representação do nosso tripleto de vetores derivamos e(s):

dse(s) = ds[O(s)e(0)]

RF e(s) = ds(O)e(0) +O ds[e(0)]︸︷︷︸0

,

de (5.9) temos e(0) = O−1e(s), então

RF e(s) = ds(O)O−1e(s)

e como ds(O)O−1 = −OdsO−1 achamos

RF = −OdsO−1. (5.11)

Para termos uma ideia de como é a matriz O(s) fizemos o seguinte (suprimindo osíndices):

−OdO−1 = R

−[−(dO)O−1] = R

(dO)O−1O = RO

dO = RO.

Imaginamos que na equação acima, temos funções no lugar de matrizes,

y′ = f(x)y,

então, resolvemos da seguinte forma [32]:

dy

dx= f(x)y

ln y =∫f(x)dx

y(x) = f(0) exp∫ x

0f(s)ds,


onde f(0) é a constante no ponto zero.

Assim, temos uma noção que O(s) é uma exponencial de uma integral. Supomos,sem detalhes, que

O(s) = exp[∫

R(s)ds]O(0). (5.12)

Porém, as matrizes não são abelianas, ou seja, não necessariamente elas comutam.Uma das primeiras questões que precisamos resolver foi, em qual dos lados da exponencialvai a matriz O(0), se esquerdo ou direito. Essa questão ficou clara quando provamos que afunção (5.12) é realmente solução da equação diferencial ordinária (EDO) que estávamosprocurando. Outra questão, foi definir o caminho pelo qual faríamos a integração. Então,uma forma mais completa de se escrever (5.12) é

O(s) = P exp[−∫ s

0RFds]O(0), (5.13)

com O(0) sendo a matriz inicial e P chamado de ordenamento da exponencial (pathordering).

Numa curva s cada eδR representa um deslocamento infinitesimal, tendendo a zeroo número de deslocamentos vai ao infinito e na soma destes intervalos discretos surge aintegral na exponencial

limn→∞

e∑n

iRi = P exp

[∫ s

0dxR(x)

].

A ideia do ordenamento representado pelo símbolo P , surge com o problema daexponencial de uma integral de objetos que não comutam, no nosso caso, matrizes. Setivermos duas matrizes A e B que comutam, AB = BA, a exponencial de soma deduas matrizes será eA+B = eAeB, mas se A e B não comutam, AB 6= BA, temos queeA+B 6= eAeB [33].

Em vez de uma soma de matrizes, colocamos uma integral de matriz na funçãoexponencial (não é nada estranho pensar assim, pois a integral é um limite de umasoma), assim, temos o mesmo problema descrito anteriormente. Precisamos de uma melhordefinição do que seja esta exponencial de uma integral de matrizes, e ela depende docaminho como fazemos essa integral. Por exemplo, observando a figura (15) em que duascurvas saem de 0 até um ponto s no espaço, essas curvas são produzidas pelos limitesdos ordenamentos diferentes das exponenciais de deslocamentos infinitesimais, ou seja,


1

0 s

2

Figura 15 – Caminhos diferentes dependem do ordenamento da exponencial.

podemos produzir o caminho 1 ou 2, de igual comprimento, para chegar a s dependendodo ordenamento descrito por P .

Agora provamos que O(s) = P exp[−∫ s

0 RFds]O(0) através do seguinte raciocínio:

O−1(s) = O−1(0)P exp[−∫ s

0RFds]

dsO−1(s) = ds

[O−1(0)P exp[−

∫ s

0RFds]

]dsO

−1(s) = ds[O−1(0)

]P exp[−

∫ s

0RFds] +O−1(0)ds

[P exp[−

∫ s

0RFds]

].

Com O(0) na origem, sendo uma constante, a primeira derivada da equação acima é zero.

dsO−1(s) = −O−1(0)P exp[−

∫ s

0RFds]

[ds

∫ s

0RFds

]dsO

−1(s) = −O−1(0)P exp[−∫ s

0RFds]︸︷︷︸

O−1(s)

RF

dsO−1(s) = −O−1(s)RF .

Multiplicamos O(s) dos dois lados da equação fica claro a resposta para a questãoinicial de onde colocar O(0), pois para a reprodução correta da equação (5.11), foi precisopôr a matriz do ponto zero do lado direito da exponencial.

−O(s)dsO−1(s) = RF .


5.2 Solução para κ e τ ConstantesPara RF que não depende de s, κ e τ são constantes o que fez reaparecer a matriz

R de Frenet (5.3)

O(s) = e−∫Rds = e−R

∫ds = e−Rs, (5.14)

como todas as matrizes R comutam não temos ordenamento.

A exponencial matricial é dada pela seguinte série de potências:

eA = I +∞∑n=1

An

n! ,

onde I é a matriz identidade.

Notamos, que os primeiros termos da série são:

e−Rs = I −Rs+ (Rs)2

2! − (Rs)3

3! + (Rs)4

4! + · · ·

Logo,

e−Rs =

1 0 00 1 00 0 1

− s

0 τ −κ−τ 0 0κ 0 0

+ s2

2!

−(τ 2 + κ2) 0 0

0 −τ 2 τκ

0 τκ −κ2

−s3

3!

0 −τ(τ 2 + κ2) κ(τ 2 + κ2)

τ(τ 2 + κ2) 0 0−κ(τ 2 + κ2) 0 0

+s4

4!

(τ 2 + κ2)2 0 0

0 τ 2(τ 2 + κ2) −τκ(τ 2 + κ2)0 −τκ(τ 2 + κ2) κ2(τ 2 + κ2)

+ · · ·

Observamos que os termos ímpares, assim com os pares possuem o mesmo formatode matrizes. Então podemos entender que

e−Rs = e−Rsimpar + e−Rspar .


Sendo,

e−Rsimpar = −s

0 τ −κ−τ 0 0κ 0 0

− s3

3! (τ 2 + κ2)

0 τ −κ−τ 0 0κ 0 0

− · · ·

O que implica na aparição da função seno e e−Rsimpar tem a seguinte forma:

e−Rsimpar = − R√τ 2 + κ2

sin(s√τ 2 + κ2).

Desse modo, a matriz dos termos impares ficou

e−Rsimpar =

0 − τ√

τ2+κ2 sin(s√τ 2 + κ2) κ√

τ2+κ2 sin(s√τ 2 + κ2)

τ√τ2+κ2 sin(s

√τ 2 + κ2) 0 0

− κ√τ2+κ2 sin(s

√τ 2 + κ2) 0 0

.

Nos termos pares, após algumas manipulações em cada termo da matriz, surgirama função cosseno e a seguinte forma:

e−Rspar =

cos(s

√τ 2 + κ2) 0 00 τ2

(τ2+κ2) [cos(s√τ 2 + κ2)− 1] − τκ

(τ2+κ2) [cos(s√τ 2 + κ2)− 1]

0 − τκ(τ2+κ2) [cos(s

√τ 2 + κ2)− 1] κ2

(τ2+κ2) [cos(s√τ 2 + κ2)− 1]

.

Somando as matrizes dos termos ímpares e pares com a matriz identidade encon-tramos para O(s):

O(s) =

cos(sα) − τ

αsin(sα) κ

αsin(sα)

τα

sin(sα) 1 + τ2

α2 [cos(sα)− 1] −τκα2 [cos(sα)− 1]

− κα

sin(sα) −τκα2 [cos(sα)− 1] 1 + κ2

α2 [cos(sα)− 1]

, (5.15)


onde α ≡√τ 2 + κ2. Com

det[O(s)] = 1.

Notamos que a matriz O(s) é uma verdadeira matriz de rotações SO(3), com isso suainversa é igual a sua transposta, ou seja,

O(s)−1 =

cos(sα) τ

αsin(sα) − κ

αsin(sα)

− τα

sin(sα) 1 + τ2

α2 [cos(sα)− 1] −τκα2 [cos(sα)− 1]

κα

sin(sα) −τκα2 [cos(sα)− 1] 1 + κ2

α2 [cos(sα)− 1]

. (5.16)

Agora que discutimos como calcular a matrizO(s) prosseguimos para a teoria efetiva,em particular precisamos definir os operadores (termos na hamiltoniana) invariantes.

Lembrando que as transformações de gauge para os campos τ e κ se transformamde acordo com (5.8). Onde a transformação de τ é um campo de gauge que media ainteração entre campos carregados, como é o caso do campo eletromagnético, onde ofóton não leva carga e κ é uma transformação de matéria, pois sua lei de transformação éconsistente com uma carga.

O que desejamos foi encontrar um funcional que seja invariante a essas transforma-ções. Em relação a transformação de matéria, de maneira geral, um tipo de invariante quepodemos construir foi multiplicando este termo pelo seu complexo conjugado:

|φ|2 = φ∗φ = (φe−iη)(φeiη) = φ2, (5.17)

que é a nossa função de módulo quadrado. Essas funções dizem respeito ao termopotencial da teoria.

Buscamos encontrar os termos cinéticos, para isso precisamos das derivadas quadra-das do campo, mas a derivada quadrada de φ não é invariante. Foi preciso modificar essaderivada para restaurar a lei de transformação, essa modificação é chamada de derivadacovariante ou conexão. Onde temos como exemplos, a adição do potencial vetor no eletro-magnetismo e o símbolo de Christoffel em relatividade geral. Fizemos essas transformaçõesno capitulo (2), desta forma apresentamos as transformações de forma breve.

Dada a definição de derivada covariante como


D ≡ ds + iA, (5.18)

onde A é introduzido como um campo de conexão.

Queríamos que a derivada covariante atuasse da seguinte maneira em φ:

D(φeiη(s)) = eiη(s)Dφ. (5.19)

Não queremos alterar na fase, pois ela muda com a transformação, isso só acontecequando D é transformado e automaticamente A também, ou seja,

D → D = ds − iA, (5.20)

A → A = A+ η′.

Essas são regras gerais para qualquer teoria de gauge. Dada as transformaçõesde gauge (matéria e gauge), foi preciso construir uma hamiltoniana invariante a essastransformações.

Observamos que o termo cinético invariante em relação a κ é diferente para ocampo τ , pois não podemos obtê-lo para τ , uma vez que esse campo se transforma comocampo de gauge, análogo ao campo eletromagnético, onde a derivada quadrática é dadapor

FµνFµν , com Fµν = ∂µAν − ∂νAµ.

Como estamos no caso unidimensional, constatamos pelas derivadas acima queFµν = 0. Logo, não foi possível construir o tensor antissimétrico em uma dimensão e τ ′ ézero.

Utilizando a "receita de bolo"descrita anteriormente, encontramos os operadoresinvariantes relacionados as matrizes da nossa teoria.

Usando (5.17) para a matriz O(s):

O†O = O−1O = 1.

Como O(s) é uma matriz de SO(3), chegamos no resultado acima que é trivial,desse modo, foi preciso trabalhar um pouco mais para construir os termos invariantes.


Aproveitando (5.19), temos

DO → UDO (5.21)

e lembrando de (5.10) construímos o invariante

OTDO, (5.22)

pois

OTDO = OT (UDO) = (O−1U−1)(UDO) = O−1DO = OTDO.

Elaboramos outro termo invariante, mas antes foi preciso entender a propriedadedo operador T 3:

U−1T 3U = U−1UT 3 = T 3. (5.23)

Essa propriedade ocorre porque a matriz U é um subgrupo de SO(3) que rotacionao plano perpendicular ao vetor tangente t e T 3 é um gerador de rotações relacionadoao mesmo plano, então U comuta com T 3. Tendo isso em mente construímos mais uminvariante:

O−1T 3DO. (5.24)

Explicamos a invariância de (5.24) aplicando as devidas transformações e a propri-edade (5.23):

O−1T 3DO = (O−1U−1)T 3(UDO)

= O−1U−1UT 3DO

= O−1T 3DO,

como queríamos demostrar.


Prosseguimos com a teoria efetiva renomeando e calculando os operadores invarian-tes encontrados.

L = O−1DO

= O−1(ds + A)O (5.25)

L = O−1dsO +O−1AO.

Sabendo que A = a(s)T 3 [30], onde a(s) é uma função escalar e T 3 é um geradorde rotação que deixa o vetor tangente ~t intacto.

A = aT 3 = a

0 −1 01 0 00 0 0

=

0 −a 0a 0 00 0 0

. (5.26)

Alcançamos (5.25), então,

O−1AO =

0 a τ

2

α2 ([cos(sα)− 1]− cos(sα)) −aκτα2 [cos(sα)− 1]

−a τ2

α2 ([cos(sα)− 1]− cos(sα)) 0 −a κα

sin(sα)aκτα2 [cos(sα)− 1] a κ

αsin(sα) 0

com α ≡√τ 2 + κ2 e

O−1dsO =

0 τ −κ−τ 0 0κ 0 0

.

Logo,

L =

0 τβ −κγ−τβ 0 −a κ

αsin(sα)

κγ a κα

sin(sα) 0

, (5.27)


onde β ≡

1 + a τα2 ([cos(sα)− 1]− cos(sα))

e γ ≡

1 + aκτ

α2 [cos(sα)− 1].

Com o transposto sendo

LT =

0 −τβ −κγτβ 0 a κ

αsin(sα)

κγ −a κα

sin(sα) 0

. (5.28)

Para o próximo operador, temos

L3 = O−1T 3(ds + A)O. (5.29)

Encontramos a matriz correspondente,

L3 =

τ − aδ −τσ κπ

τζ −τθ − aψ τκαξ

−κι τκαρ − κ

α2υ

, (5.30)

onde os termos δ, σ, π, ζ, θ, ψ, ξ, ι, ρ e υ estão descritos no apêndice (A).

A transposta de (5.30) é dada por

LT3 =

τ − aδ τζ −κι−τσ −τθ − aψ τκ

αρ

κπ τκαξ − κ

α2υ

. (5.31)

Construímos o funcional de energia (hamiltoniana) considerando todas as combina-ções de L e L3 até a quarta ordem, cujo o resultado é [30]:

H = Tr(dTLdsL) + Tr(dsLT3 dsL3) (5.32)

+ Tr(dsL3dsL3) + Tr(dsLT3 dsL) + TrLTL+ TrLT , L

2

+ TrLT3 , L3

2+ TrL3 + TrL2

3 + TrL33 + TrL4

3 + (TrL3)(TrLTL).

Depois da substituição dos valores em (5.32) chegamos na hamiltoniana

H = 16a4 + 13κ4 − 64a2τ + 6a2(1 + 5κ2 + 16τ 2) (5.33)

+ κ2(3 + 25τ 2) + 2τ(1 + 3τ + 8τ 3)− 2a(1 + (6 + 26κ2)τ + 32τ 3).


5.3 κ e τ não ConstantesExistem dois métodos para calcular a hamiltoniana de κ e τ não constantes.

O primeiro é calculando diretamente a exponencial ordenada (5.12), que neste casonão conseguimos. O segundo método, e mais econômico matematicamente, consiste emparametrizar O(s) em termos dos ângulos de Euler [30], pois O é uma matriz de rotação.Então, a partir de O(ψ, θ, φ) calculamos L e L3 e suas várias combinações invariantes quesão mostradas em (5.32).

Através de “força bruta” localizamos a relação inversa, (ψ, θ, φ) → (κ, τ, η), eescrevemos todos os parâmetros da hamiltoniana em função de κ, τ, η. Para isso preservamostodos os termos que foram encontrados para κ e τ constantes, (5.33). O problema, são ostermos com derivadas que neste caso não são nulos, mas igualando os termos sem derivadada hamiltoniana H(ψ, θ, φ) com os mesmos termos de H(κ, τ) constante, encontramos acombinação certa ψ, θ, φ(κ, τ, η) e consequentemente H(κ, τ) e suas derivadas.

Finalmente, encontramos dois tipos de hamiltoniana para κ e τ não constantes.

Como discutimos antes, o termo cinético da torção é nulo, então, para eliminar danossa hamiltoniana o termo da derivada quadrática em τ impomos que [30]

A ≡ τ , (5.34)

como A é uma campo de conexão podemos manipula-lo.

Aplicamos essa definição ao hamiltoniano (5.32)

H = b2(ds − iτ)κ∗(ds + iτ)κ+ b3(ds − iτ)κ∗(ds + iτ)κ+ a1|κ|2 + c2|κ|4

= (b2 + b3)︸︷︷︸b3

(ds − iτ)κ∗(ds + iτ)κ+ a1|κ|2 + c2|κ|4

H = b3(ds − iτ)κ∗(ds + iτ)κ+ a1|κ|2 + c2|κ|4. (5.35)

Observamos que a equação (5.35) é a mesma hamiltoniana do modelo de Higgs abeliano.

Porém existia uma outra opção: se por outro lado escolhêssemos manipular Autilizando a fase, prosseguiríamos da seguinte forma [30]:

A ≡ −ds(argκ) = −η′. (5.36)

Lembrando que


τ = τ − η′ ⇒ τ = τ − A.

Encontrando primeiro os termos b2 e b3 do hamiltoniano (5.32) referente a essanova definição:

b2(ds − iA)κ∗(ds + iA)κ = b2[dsκ∗ − iAκ∗][dsκ+ iAκ]

= b2[dsκ∗dsκ+ dsκ∗iAκ− iAκ∗dsκ− iAκ∗iAκ]

= b2[ds(κe−iη)ds(κeiη) + ds(κe−iη)iAκeiη

− iAκe−iηdsκ(eiη) + Aκe−iηAκeiη]

= b2[(κ′e−iη − iη′κe−iη)(κ′eiη + iη′κeiη) + iAκeiη(κ′e−iη − iη′κe−iη)

− iAκe−iη(κ′eiη + iη′κeiη) + A2κ2]

b2(ds − iA)κ∗(ds + iA)κ = b2[κ′2 + κ(A+ η′)2].

Fazemos a substituição do termo A

b2(ds − iA)κ∗(ds + iA)κ = b2κ′2, (5.37)

e da mesma forma para o termo b3:

b3(ds − iτ)κ∗(ds + iτ)κ = b3(κ′2 + κ2τ 2). (5.38)

Substituímos devidamente os termos (5.37) e (5.38) na hamiltoniana (5.32)

H = b1(−τ ′)2 + b2κ′2 + b3(κ′2 + κ2τ 2) + b4(−τ ′)κ2 + a1κ

2 + fτκ2

+ c1κ2τ 2 + c2κ

4 +4∑

n=1κnτ

n

= b1τ′2 + (b2 + b3)︸︷︷︸

b2

κ′2 − b4τ′κ2 + a1κ

2 + fτκ2

+ (c1 + b2)︸︷︷︸c1

κ2τ 2 + c2κ4 +

4∑n=1

κnτn

H = b1τ′2 + b2κ

′2 − b4τ′κ2 + a1κ

2 + fτκ2 + c1κ2τ 2 + c2κ

4 +4∑

n=1κnτ

n. (5.39)


A diferença entre essa hamiltoniana e a do modelo Higgs abeliano é que a primeiradescreve uma teoria de dois campos reais escalares e tanto τ quanto κ tem termos cinéticos,já (5.35) não possui termo cinético para τ . Porém, as duas hamiltonianas possuem omesmo número de graus de liberdade; dois graus para (5.39) devido aos campos reais κ eτ , e também dois para (5.35) por causa do campo complexo κ.

Convém ainda comentar que analisando (5.39) observamos que os termos cinéticossão parecidos, todavia, há uma diferença entre os campos, κ tem simetria de reflexão noespaço de campo, (−κ)→ κ, e τ não possui essa simetria. Chamamos de modelo quiralem relação a τ .

65

6 Soluções da Teoria de Gauge Efetiva paraCurvas em 3D

No capítulo anterior temos uma hamiltoniana geral e duas formas específicas: omodelo de Higgs abeliano (5.35) e a equação (5.39) que denotamos como o caso mais geral.Já neste capítulo estudamos o caso mais simples que é o modelo Higgs abeliano. O interessena hamiltoniana de Higgs, em relação ao caso geral, surge devido ao aparecimento damesma em física de altas energias. Porém, constatamos que no modelo de Higgs abelianonão existe torção, com isso, fizemos uma extensão mínima desse modelo e introduzimos otermo de Chern-Simons [34] que reproduz a torção na curva. Então, o funcional de energiaé

E[κ, τ ] =∫ds

(12(ds − iτ)κ∗(ds + iτ)κ− w2

2 |κ|2 + λ2

2 |κ|4)− F

∫ds τ , (6.1)

onde F∫ds τ é o termo de Chern-Simons em uma dimensão.

Este tipo de ação, foi proposta para fornecer uma função de energia para moléculaslongas, especificamente proteínas, no limite contínuo. Neste caso, κ(s) e τ(s), curvaturae torção dependentes da posição de uma curva contínua tridimensional, modelam umamolécula longa. Supõe-se que o modelo controle efetivamente as formas das moléculas noespaço tridimensional.

A ação (6.1) produz as seguintes equações do movimento:

• As equações de Euler - Lagrange para o campo κ:

∂L∂|κ|

− d

ds

(∂L∂|κ|′

)= 0.

Sabemos que

12(ds − iτ)κ∗(ds + iτ)κ = 1

2(|κ|′2 + |κ|2(τ + η′)2

).

Logo temos,

Capítulo 6. Soluções da Teoria de Gauge Efetiva para Curvas em 3D 66

−|κ|′′ + |κ|(τ + η′)2 − w2|κ|+ 2λ2|κ|3 = 0 (6.2)

• As equações de Euler - Lagrange para o campo τ :

∂L∂τ− d

ds

(∂L∂τ ′

)= 0.

Assim,

(τ + η′) = F

|κ|2. (6.3)

Substituímos (6.3) em (6.2):

−|κ|′′ − w2|κ|+ 2λ2|κ|3 + F 2

|κ|3= 0. (6.4)

Utilizamos (6.3) para eliminar a torção do funcional da energia:

τ = F

|κ|2− η′;

E[κ, τ ] =∫ds

(12 |κ|

′2 − w2

2 |κ|2 + λ2

2 |κ|4 + F 2

2|κ|2 − F(F

|κ|2− η′

) ).

Encontramos

E[κ, τ ] =∫ds

(12 |κ|

′2 − w2

2 |κ|2 + λ2

2 |κ|4 − F 2

2|κ|2

)+ F

∫ds η′. (6.5)

Uma vez que as equações possuem derivadas espaciais, e não temporais, elasresolvem as equações de Newton no potencial inverso. Se imaginarmos uma bolinha nocume do gráfico feito pelo potencial inverso, de modo que ela caia para a esquerda, derivadapositiva, temos uma força centrípeta; se cair para a direita, longe da origem do sistema,temos uma força centrífuga agindo.

Podemos observar que de (6.5) o potencial é dado por:

V (|κ|) = −w2

2 |κ|2 + λ2

2 |κ|4 − F 2

2|κ|2 , (6.6)


cujo gráfico é representado na figura (16).

Κ

V HΚL

Figura 16 – Gráfico do potencial com relação a κ.

Comparamos o termo Chern-Simons (F∫ds η′) com o potencial químico que surge

na hamiltoniana quando passamos do ensemble canônico para o ensemble grande canônico:

H → H + µN.

Onde é possível pensar em F como N e µ como ∆η. O termo Chern-Simons é muitoimportante para o nosso modelo porque é a parte divergente do potencial, sendo responsávelpela torção da curva e consequentemente sua forma helicoidal. Porém, analisando o termo

∫ds η′ = ∆η ≡ η(L)− η(0).

Vimos que essa integral da derivada depende somente dos extremos da fase, ou seja,é um termo de fronteira do sistema. Logo, não é invariante em relação as transformaçõesde gauge. Em geral, a fase da curvatura complexa é um grau de liberdade de gauge, mascomo termos de contorno são parâmetros físicos, η deixa de ser um grau de liberdade degauge. Desta forma, nas transformações gerais de gauge existem apenas uma subclassedas transformações que são verdadeiras e não mudam a ação, são as transformações locaisdefinidas pelo parâmetro α(s) arbitrário. Mas não é qualquer função que respeita a simetriade invariância da nossa lagrangiana, pois a fase se transforma:

η(s)→ η(s) + α(s)

e


∆η(s)→ ∆η(s) + α(L)− α(0).

Restringimos essas funções, impondo que α(s) satisfaça as condições de contorno,como a seguir:

α(s)∣∣∣∣∣s=L− α(s)

∣∣∣∣∣s=0

.

Desta forma, a lagrangiana se tornou invariante quando restringimos α(s) para aclasse de funções periódicas com período L. O que essa discursão tem haver com curvas?O fato dos valores da fase de κ serem físicos nas extremidades é consequência da curvaturae da torção não serem bem definidas nas extremidades e o termo de Chern-Simons refleteisso.

Temos a lagrangiana em termos de κ e implicitamente τ , doravante analisamosas equações de movimento e as configurações de campo que existem. Começamos coma configuração de energia mínima, ou seja, a energia de vácuo que corresponde a κ e τconstantes. Sabíamos que para essa configuração de campo, a estrutura que encontraríamosseria uma hélice, mas ainda assim, demonstramos resolvendo as equações.

Da forma integral da equação de Frenet (5.9):

e(s) = O(s)e(0),

identificamos o nosso tripleto de vetores (n,b, t) em qualquer lugar da curva.

Com as condições iniciais

e(0) =

n(0)b(0)t(0)

=

0 0 10 1 01 0 0

(6.7)

e

(x(0), y(0), z(0)) = 0. (6.8)

Substituímos na integral de Frenet as condições iniciais e a matriz (5.15) quedescreve a curva para as constantes κ0 e τ0, com τ0 = F

κ20, temos


e(s) =

n(s)b(s)t(s)

=

0 0 10 1 01 0 0

cos(sα) − Fκ2

0αsin(sα) κ0

αsin(sα)

Fκ2

0αsin(sα) 1 + F 2

κ40α

2 [cos(sα)− 1] −Fκ0α2 [cos(sα)− 1]

−κ0α

sin(sα) −Fκ0α2 [cos(sα)− 1] 1 + κ2

0α2 [cos(sα)− 1]

n(s)b(s)t(s)

=

κ0α

sin(sα) − Fκ2

0αsin(sα) cos(sα)

−Fκ0α2 [cos(sα)− 1] 1 + F 2

κ40α

2 [cos(sα)− 1] Fκ2

0αsin(sα)

1 + κ20α2 [cos(sα)− 1] −F

κ0α2 [cos(sα)− 1] −κ0α

sin(sα)

, (6.9)

com

α =

√F 2 + κ6

0

κ20

.

Da matriz (6.7) acima, encontramos

t(s) =(

1 + κ20α2 [cos(sα)− 1]

)~x−

(F

κ0α2 [cos(sα)− 1])~y −

(κ0

αsin(sα)

)~z. (6.10)

Como

t(s) =(dx(s)ds

,dy(s)ds

,dz(s)ds

),

fazendo a integração encontramos as componentes (x, y, z) que produzem a curva quebuscávamos:

x(s) =F 2s

√F 2 + κ6

0 + κ80 sin

(s

√F 2+κ6

0κ2

0

)(F 2 + κ6

0) 32

, (6.11)

y(s) = −Fκ3

0

[κ2

0 sin(s

√F 2+κ6

0κ2

0

)− s

√F 2 + κ6

0

](F 2 + κ6

0) 32

, (6.12)

z(s) =−κ5

0 + κ50 cos

(s

√F 2+κ6

0κ2

0

)(F 2 + κ6

0) . (6.13)


Observamos que na equação (6.13) para que z(0) seja zero e assim, obedecer acondição inicial (6.8), precisamos empregar a constante de integração c = − 1

α.

Como vemos na figura (17) a curva produzida pela parametrização de (x, y, z) éuma hélice.

x

y

z

Figura 17 – Estrutura de uma hélice.

Analisando as equações x(s), y(s) e z(s), concluímos que o gráfico parametrizadoda hélice é periódico em relação ao eixo z e cresce com s em relação nos eixos x e y. Ouseja, o eixo da hélice é perpendicular a z e faz um ângulo entre x e y, o que fica clarovendo a figura (17).

Simplificamos a representação da curva parametrizada projetando o eixo da héliceem um dos eixos do gráfico (x ou y). Para isso, fizemos uma rotação global em torno doeixo z:

x1(s)y1(s)z1(s)

=

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

x(s)y(s)z(s)

=

x(s) cos θ − sin θx(s) sin θ + cos θ

z(s)

.

Obtemos os valores de x1(s), y1(s) e z1(s) para essa rotação das coordenadas. Emseguida igualamos os termos lineares de um dos eixos, o eixo x1, a zero. Assim, achamoso ângulo θ e substituímos em y1, cancelando os termos angulares ficando apenas com oslineares. Logo,

x1(s) =κ5

0 sin(s

√F 2+κ6

0κ2

0

)(F 2 + κ6

0) , (6.14)

y1(s) = Fs√F 2 + κ6

0

, (6.15)


z1(s) = z(s). (6.16)

Portanto, o gráfico parametrizado é regular no plano (x, z) e linear no eixo y.

Lembrando que τ = Fκ2 , da solução de (x, y, z) encontramos a amplitude A e o

período L (distância entre dois pontos no eixo da curva) da hélice:

A = κ0

(τ 20 + κ2

0) , L = 2πτ0

(τ 20 + κ2

0) . (6.17)

Nomeamos uma grandeza γ adimensional, que determina o tipo de curva que temos,ou seja, o formato da hélice.

γ = L

A= 2πτ0

κ0. (6.18)

Desse modo, quanto maior τ0, menor será a amplitude A e maior o período L,caso contrário maior A e menor L. Nesse ponto atingimos nossa primeira relação com asproteínas, pois quando temos γ < 1 obtemos a estrutura denominada α-hélice e para γ > 1temos a curva chamada de β-hélice (β-strand) figura (18) e (19), respectivamente. Comovimos na introdução deste trabalho, são as duas estruturas mais comuns que formam asproteínas. O termo κ0 determina o espaçamento entre um loop e outro, quanto menor amedida de κ0 maior é a distância entre os loops e vice versa. O que está de acordo com ofato da torção fazer o loop, e ser definida por τ = F

κ2 .

Figura 18 – α-hélice

Figura 19 – β-hélice

Observamos uma relação importante da teoria, percebemos que as estruturas α-hélice e β-hélice correspondem aos dois mínimos do nosso potencial, dado pela equação(6.6).


6.1 Solitons na CurvaEstudamos a solução para κ constante ou vácuo, todavia existe outro tipo de solução

que conecta dois tipos de vácuos, os kinks. Podemos entender mais sobre a estrutura dascurvas estudando os kinks, pois estes são ondas solitárias que conectam duas soluções devácuo onde normalmente existe uma barreira de energia que não permite transformar estaconfiguração em um único vácuo.

Qualitativamente, nas extremidades da curva, κ está no estado fundamental, masem algum ponto no meio dessa curva, desvia do vácuo adquirindo um termo cinéticoe produzindo uma densidade de energia finita. Essa dinâmica torna κ análogo ao kink,porém devido a simetria de gauge (|κ|2) a curvatura é invariante κ → −κ. No kink, osvalores positivos e negativos são diferentes fazendo com que o mesmo saia de um vácuopara outro, no caso de κ voltamos para o mesmo vácuo, essa configuração é comumentechamada em ótica de dark soliton, como mostra a figura (20).

κ

s

Figura 20 – gráfico κ× s.

Essa variação de κ próximo a zero pôde ser vista como uma irregularidade da curvae entendemos essa variação como o dark soliton conectando duas hélices regulares. Temosuma ideia melhor do que ocorre com a curva observando a figura (21).

Figura 21 – Efeito dark soliton na curva.


Depois de considerar essas propriedades o próximo passo foi procurar a soluçãodo potencial original da nossa teoria, dado pela equação (6.6), sendo representado pelográfico (16) em relação a κ (não usamos o módulo de κ por simplicidade), encontramossua solução fazendo o mesmo procedimento já descrito na seção (4.1), assim temos

−∂2κ

∂s2 + ∂V (κ)∂s

= 0,

onde chegamos em

s =∫ dκ√

2V (κ).

Fizemos a analogia com a equação de Newton para uma partícula que percorre opotencial inverso, sendo assim, o nosso potencial inverso é dado por

V (κ) = w2

2 κ2 − λ2

2 κ4 + F 2

2κ2 , (6.19)

Quando o potencial não é normalizado de forma que a energia no vácuo seja zero,temos energia finita integrando essa constante de −∞ a +∞. Foi conveniente normalizar aenergia do vácuo igual a zero, portanto, medimos todas as perturbações em relação a essaenergia zero. Como o potencial (6.19) tem densidade de energia finita em κ0, normalizamosdesse modo:

V (κ0)− V (k) = w2

2 (κ20 − k2)− λ2

2 (κ40 − k4) + F 2

2

(1κ2

0− 1k2

), (6.20)

onde κ0 > k.

Sendo que o gráfico para o potencial (6.20) é mostrado na figura (22).

A integral para o caso solitônico

s =∫ κ

κmin

dk√2V (κ0)− 2V (k)


Κ0

Κ

V

Figura 22 – Gráfico do potencial inverso.

Acontece que essa integral não é integrável. O potencial é um polinômio de sextaordem, então contornamos essa situação procurando uma equação de terceira ordemquadrática e retiramos o potencial de dentro da raiz afim de torná-lo integrável.

O polinômio que substitui o potencial (6.20) é:

V (κ0)− V (k) = −λ2(k2 − κ2

0)2(k2 − κ21)

2k2 , (6.21)

com raízes em κ0 e em κ1, sendo κ0 > κ1.

Então w, λ e F estão relacionadas com as novas variáveis de (6.21) da seguinteforma:

w2 = 2(2κ20λ

2 + κ21λ

2), (6.22)

F 2 = 2(κ40κ

21λ

2).

Esse polinômio apresenta um termo constante C, o qual tornamos zero paraencontrarmos w e F em termos de apenas uma das raízes

C = −κ40λ

2 − 2κ20κ1λ

2 = 0,

κ0 = κ1√

2.

Escolhemos os valores de κ0 e κ1 adequados ao gráfico do polinômio (6.21) queplotado é idêntico ao do potencial (6.20) que é representado na figura (22).

Integramos (6.21) sem o sinal negativo, o que caracteriza o potencial inverso. Logo,a integral indefinida é


s =∫ kdk

λ(k2 − κ20)√

(k2 − κ21)

com solução

s =arctan

(√κ2−κ2

1κ2

1−κ20

)λ√

(κ21 − κ2

0).

Como κ0 > κ1, apareceu um termo imaginário i no denominador e no argumentoda função arco tangente, porém

arctan(ix) = i tanh−1(x),

então,

s =tanh−1

(√κ2−κ2

1κ2

0−κ21

)λ√

(κ20 − κ2

1). (6.23)

Aproveitamos para encontrar a curvatura κ em função de s, isolando-a da equação(6.23), desse modo temos

κ(s) =√κ2

1 + (κ20 − κ2

1) tanh2(sλ√

(κ20 − κ2

1)), (6.24)

essa é a solução dark soliton, cujo gráfico é dado pela figura (23).

Sabendo da equação da curvatura não constante, o passo seguinte foi descobrirque tipo de estrutura seria a curva s, está descrita pelos vetores n(s), b(s) e t(s), ouseja, se κ(s) for substituído na equação de Frenet (5.1) reproduz um soliton na curvaturadescrita por essa relação. Essa é a mesma ideia da seção anterior quando encontramos asestruturas de α-hélice e β-hélice parametrizadas por x(s), y(s) e z(s), com a diferençaque temos um dark soliton viajando pela hélice. Fizemos o cálculo numericamente e oresultado encontrado é a estrutura mostrada na figura (24).

Observando esta mesma figura, notamos uma variação na curva, desse modo, a equação(6.24) condiz com o que estávamos esperando.


s

Κ1

Κ0

ΚHsL

Figura 23 – Variação da curvatura κ1 ≤ κ ≤ κ0.

Figura 24 – Dark soliton conectando duas hélices.

A conexão de duas estruturas pelo dark soliton mostra outra relação importante danossa teoria com as proteínas, que no caso dessas moléculas são chamadas de estruturasmotifs e representam uma helix-loop-helix, que são duas estruturas α-hélices conectadaspor um loop. Entendemos esse loop em proteínas como a viagem de uma onda solitária aolongo de uma hélice longa.

6.2 Regularização do Potencial EfetivoA singularidade (infinito) que apareceu no potencial geralmente não ocorre na

natureza, advém de um problema com a construção da teoria. A própria natureza seencarrega de regularizar esses infinitos, então o que fizemos foi tentar entender comofunciona essa regularização.

Se falamos de proteínas, no limite microscópio, ela é uma sequência de átomos enão se caracteriza pela curva. Com isso, a menor escala do parâmetro de regularização do


sistema é a escala atômica, o angstrom. Como a curvatura é definida com o inverso dometro, o parâmetro regularizador ε tem dimensão 1

Å .

Regularizamos o potencial (6.21), sem o sinal negativo porque não queríamostrabalhar com o potencial inverso, com κ2 + ε2 no lugar de κ2, temos

V (κ0)− V (k) = λ2(κ2 − κ20)2(κ2 − κ2

1)2(κ2 + ε2) . (6.25)

Fazendo isso, evitamos o inconveniente de trabalhar com energia infinita. Ressaltamosainda que essa regularização produz um vácuo falso ou verdadeiro na teoria, dependendodo parâmetro ε. Então, tivemos dois casos a considerar: o primeiro caso está representadona figura (25) e o mínimo central é o vácuo verdadeiro; o segundo é mostrado na figura(26), onde agora o mínimo central é o vácuo falso.

Κ

V HΚL

Figura 25 – Surgimento de vácuo verdadeiro.

Κ

V HΚL

Figura 26 – Surgimento de vácuo falso.

A princípio a integral de (6.25) pode ser escrita em termos de funções elípticas,mas para entendermos melhor o comportamento dessas soluções fizemos o cálculo nume-ricamente. Observamos as características da curvatura em função da curva s para cadapotencial regularizado mostradas nos gráficos (27) e (28).

O efeito para a curvatura κ em relação a curva s do potencial central regularizadocom o vácuo verdadeiro, figura (27), é descontínuo, pois existe uma barreira que impede acurvatura de passar pela origem, sendo este o mesmo caso descrito no começo desta seção,onde κ na figura (21) mostra corretamente a estrutura da curva. A figura (28) descreve ocomportamento da curvatura quando o potencial é regularizado com vácuo falso, comoeste gráfico é contínuo e devido as transformações de gauge κ negativo e positivo sãoequivalentes (κ→ −κ), fizemos uma analogia ao kink.

Interpretamos o gráfico (28) como uma mudança de orientação da curvatura nacurva, em outras palavras, em κ = 0 ocorre uma inflexão (no ponto de inflexão não existetorção) e depois uma mudança na direção da curvatura, figura (29).


s

ΚHsL

Figura 27 – κ não chega a zero.

s

ΚHsL

Figura 28 – Curvatura passa pela origem.

Figura 29 – Curva que sofre uma inflexão.

79

7 Spharelons e Instantons

Estudamos os spharelons e os instantons porque o nosso potencial é metaestável, epor isso existe uma probabilidade, clássica e quântica, de decaimento para um nível maisbaixo de energia.

7.1 SphaleronsSphalerons são soluções estáticas instáveis que caracterizam transições de fase de

um sistema. Podemos entender essa instabilidade como uma partícula que está no pontoqm com energia Vsph, figura (30), e devido a uma perturbação pode se deslocar para aesquerda ou para a direita do potencial. Também pode ser interpretado como uma bolhade vácuo verdadeiro que se forma no falso, podendo se expandir, levando todo o sistemaao vácuo verdadeiro ou colapsar no falso [15].

qm

q

Vsph

V HqL

Figura 30 – Altura da barreira.

O sphaleron determina a altura da barreira que separa os vácuos verdadeiro e falso.

Conhecemos no capítulo (4) a ação para o caso estático:

S =∫dx(−1

2 (∂xq)2 − V (q)).

Utilizando os mesmos argumentos discutidos nesse capítulo, temos

12 (∂xq)2 = V (q) (7.1)

Capítulo 7. Spharelons e Instantons 80

Logo, a energia sphaleron é

Esph =∫dx2V (q). (7.2)

Na próxima seção aplicamos a ideia dos sphalerons na solução da curvatura encon-trada no capítulo anterior.

7.1.1 Sphalerons: Instabilidade Clássica.

No capítulo (6), encontramos uma solução clássica semelhante a uma torção nateoria do modelo Higgs abeliano descrita pela energia funcional (6.1). Mostramos a seguirque esta solução é instável. Certamente, é um sphaleron, ou a bolha crítica, que caracterizaa probabilidade da transição de fase térmica do vácuo falso para o verdadeiro. Começamosmostrando que a solução

κ(s) =√κ2

1 + (κ20 − κ2

1) tanh2(sλ√

(κ20 − κ2

1))

(7.3)

é instável.

Em geral, na teoria dark soliton, existe um modo zero no espectro de pequenasperturbações em torno da solução (7.3). De fato, a localização s0 da “torção” é umparâmetro livre. Em outras palavras, a função obtida por um desvio s→ s− s0 na equação(7.3) é novamente uma solução. Isso decorre da invariância da translação das equaçõesde movimento. Consequentemente, não custa energia para mover a torção de s = 0 paras = s0. Assim, tais mudanças geram um modo zero no espectro.

Colocando isso na linguagem da quebra espontânea de simetria e escolhendo umvalor específico s0 para a posição da onda solitária na curva, quebramos espontaneamentea simetria de translação global contínua. O modo zero é o bóson de Goldstone da quebrade simetria.

Encontramos explicitamente esse modo aplicando o deslocamento s→ s+ δs paraa solução κ(s):

κ(s) = κ(s+ δs) ' κ(s) + dsκ(s)δ(s) ≡ κ(s) + δκ(s)δ(s) (7.4)

onde achamos a perturbação do modo zero


δκ(s) = dsκ(s). (7.5)

Mostramos adiante que este é realmente um modo zero.

Para analisar a estabilidade das configurações estáticas estudadas até o momento,foi preciso introduzir os termos cinéticos reais na ação:

L = 12

(κ2 − κ′2 + w2κ2 − λ2κ4 + F 2

κ2

). (7.6)

A equação dinâmica dos movimentos (dependente do tempo) é dada por

κ− κ′′ − w2κ+ 2λ2κ3 + F 2

κ3 = 0 (7.7)

A estabilidade de uma determinada solução é caracterizada pelo comportamentodas pequenas perturbações em torno dela. Consideramos a perturbação dependente dotempo da forma

δκ(s, t) = δκ(s)eiωt

e expandimos as equações de movimento até a ordem linear em perturbações e chegamosna seguinte equação para δκ(s),

−δκ′′ − w2δκ+ 6λ2κ2δκ− 3F 2

κ4 δκ = ω2δκ , (7.8)

onde κ é a solução não perturbada (7.3). Observamos que esta equação tem a forma deuma equação de Schroedinger unidimensional

− d2

ds2ψ + V (s)ψ = Eψ . (7.9)

Para mostrar que a solução κ é instável, foi preciso demonstrar que a equaçãode Schroedinger tem modos de energia negativos, ou seja, existem soluções com ω < 0


imaginário. Essa solução imaginária corresponde à possibilidade de crescimento exponencialdas perturbações ∼ eωt.

Para tornar o problema do espectro bem definido, foi necessário completá-lo comcondições de contorno nas perturbações. É natural a exigência que assintoticamente, ems→ ±∞, a perturbação desapareça, uma vez que na solução original essa condição eranecessária para atingir assintoticamente as configurações de vácuo κ(s = ±∞) = κ0. Assim,as condições de contorno para a equação de Schroedinger são

δκ(s) = 0 , s→ ±∞ . (7.10)

Verificamos que a perturbação δκ dada pela equação (7.5) é exatamente a soluçãoda equação (7.8), que satisfaz as condições de contorno (7.10) e tem energia zero, ω = 0.No entanto, somente isso, não significa a instabilidade da solução, precisamos mostrar queexistem modos negativos de energia.

Não fornecemos os modos negativos explicitamente, mas simplesmente demonstra-mos que existe um modo com a energia menor que zero. Para isso, usamos uma propriedadefundamental das soluções da equação de Schroedinger, que o n-ésimo modo da equaçãotem n − 1 zeros dentro do domínio do problema. Em particular, o estado fundamentalcom menor energia, não tem zeros dentro do domínio. Verificamos na figura (31) que omodo zero (7.5) tem zero em s = 0. Assim, não pode ser o estado da energia mais baixa eo estado fundamental tem energia negativa.

s

Κ¢

Figura 31 – Gráfico mostrando um zero da autofunção.

Mostramos que a solução (7.3) é instável e, portanto, representa um sphaleron, ouuma bolha crítica. Esta é, de fato, uma propriedade geral da solução clássica estática nofalso vácuo do potencial, como as estudadas neste trabalho. A existência dos modos deenergia negativa decorre da invariância translacional das equações e do comportamento domodo zero sob as rotações espaciais.


Então, dado o fato de que a solução encontrada é um sphaleron, podemos usá-lapara estimar a probabilidade de formar a bolha crítica a uma determinada temperatura,calculando a energia funcional na solução. O valor do funcional nos permitiu estimar atemperatura da transição de fase.

A energia da configuração do sphaleron é dada pela integral

Esph = 2∞∫−∞

dsV (κ(s)) (7.11)

Como de costume, negligenciamos as correções de tamanho finito para podertrabalhar com fórmulas analíticas. Usando a parametrização do potencial, a integral é

Esph = 2∞∫−∞

λ2(κ2(s)− κ20)2(κ2(s)− κ2

1)2κ2(s) ds . (7.12)

Tornamos a integral adimensional e deixamos a dependência do parâmetro explícita.Conseguimos isto introduzindo uma coordenada adimensional σ e uma razão adimensionalde curvaturas κ0 e κ1:

σ = λκ0s , ξ = κ1

κ0.

Com esta reparametrização, a energia ficou na forma

E = λκ30D(ξ) , (7.13)

onde a função adimensional D(ξ) é dada pela integral adimensional

D(ξ) =∞∫−∞

(k2(σ)− 1)2(k2(σ)− ξ2)k2(σ) dσ . (7.14)

A função adimensional k(σ) é igual a

k2(σ) = ξ2 + (1− ξ2) tanh2(σ√

1− ξ2). (7.15)


Claramente, o parâmetro ξ pode receber valores no intervalo [0, 1]. Como o potencialdepende de dois parâmetros κ0 e κ1, poderíamos apresentar o resultado com uma certadependência desses parâmetros e um número adimensional, em vez disso, mostramos oresultado como na equação (7.13), como uma função de κ0 e uma função adimensional darelação ξ. Sempre que não for possível obter a integral de D(ξ) analiticamente, o resultadopode ser apresentado graficamente. No caso da integral (7.14), o gráfico é mostrado nafigura (32) . Observamos que D é uma função de decaimento monotônico de valor ∼ 1,3 azero.

1

Ξ

D

Figura 32 – Gráfico da função adimensional D(ξ).

Felizmente, no caso particular da solução (7.3), foi possível obter a solução daintegral analiticamente, dada pela equação

D(ξ) = 23

√1− ξ2(ξ2 + 2)− 2ξ tan−1

(√1− ξ2

ξ

). (7.16)

No caso do potencial regularizado, ou quando a curva é finita, recorremos àintegração numérica da solução. Em tais casos, a resposta é expressa em termos de funçõesadimensionais calculadas numericamente.

Logo, o sphaleron ou a bolha crítica mostra a instabilidade do vácuo falso, que nocaso de teorias clássicas, esse mesmo vácuo pode decair devido a flutuações térmicas e aenergia sphaleron fornece essa probabilidade de decaimento

e−Esph

T , (7.17)

onde fizemos uma estimativa da temperatura crítica, Tc ∼ Esph, para o decaimento dovácuo clássico.


7.2 Tunelamento Quântico: InstantonsInstantons são soluções das equações clássicas na versão euclidiana da teoria.

Aparecem na teoria quântica no cálculo da amplitude de probabilidade de tunelamento.

Os instantons são importantes para entendermos as propriedades do estado funda-mental, são soluções de vários problemas em matéria condensada e em cosmologia entreoutros.

7.2.1 Decaimento de um Estado Metaestável

Um estado metaestável é um estado mínimo local da energia sem ser o estadofundamental (mínimo global). Chamamos esse estado de vácuo falso e o estado mais baixode energia de vácuo verdadeiro, onde a figura (33) descreve muito bem o que estamosdizendo.

𝑉

𝑞

Figura 33 – Estado metaestável.

No caso unidimensional queríamos entender como ocorre o decaimento de umaúnica partícula em um estado metaestável para o estado fundamental. Logo, desejávamossaber a probabilidade de tunelamento que uma partícula q tem para atravessar a barreirade potencial que vai de q0 a q1, estando no vácuo falso V (q0), onde esta configuração émostrada na figura (34).

Na situação semiclássica, a probabilidade de tunelamento é dada através da aproxi-mação WKB (Wentel, Kramers,Brillouin) [35]

Γ ∼= e−B, (7.18)

B é a amplitude da onda transmitida e o expoente principal, sendo determinado por


q1q0

q

V HqL

Figura 34 – Potencial com probabilidade semiclássica de tunelamento.

B = 2∫ q1

q0

√2m(V − E)dq.

onde m é a massa da partícula e V (q1) = 0 do mesmo modo que V (q0) = 0.

O caminho mais provável é o que minimiza B. Ou seja, a partícula penetra nabarreira ao longo do caminho de menor resistência e depois de penetrar na barreira apartícula emerge em q1 com energia zero e se propaga classicamente [36]. Então, calibrandoa energia com E = 0 no intervalo de q0 a q1, temos

B = 2∫ q1

q0dq√

2mV (q). (7.19)

Mostramos que (7.19) pode ser dado pela ação euclidiana.

Como este é um estado ligado, a energia E é menor que o valor de V. Assim,

E = m

2

(dq

dt

)2

+ V (q)

V (q)− E = −m2

(dq

dt

)2

≥ 0.

Efetivamente a situação corresponde ao movimento com energia cinética negativa epara fazer sentido esse tipo de movimento, passamos ao tempo imaginário t→ −iτ . Dessemodo [37],

(dq

dt

)2

→(idq

dτ

)2

= −(dq

dτ

)2

,


que em teoria quântica de campos, essa transformação é chamada de rotação de Wick [38].

Encontramos a lagrangiana

L = −m2

(dq

dτ

)2

− V (q).

Considerando a ação

SE =∫ τf

τi

dτ

m2

(dq

dτ

)2

+ V (q) . (7.20)

Com SE sendo chamada de ação euclidiana, porque saímos da métrica de Minkowski(1,-1,-1,-1) para a métrica euclidiana (1,1,1,1) [15].

Percebemos que de (7.20) a equação de movimento é dada por

md2q

dτ 2 = −∂(−V )∂q

. (7.21)

A equação acima é idêntica ao movimento de uma partícula na mecânica newtonianano potencial inverso.

É interessante ressaltarmos, a semelhança que (7.21) tem com o problema deconstrução das ondas solitárias tipo kink que vimos no capítulo (4). Logo, temos comosolução

[md2q

dτ 2 −∂V

∂q

]dq

dτ= 0

dτ = ±√

m

2V (q)dq (7.22)

±∆τ =∫ √

m

2V (q)dq. (7.23)

A solução com sinal positivo é chamada de instanton e a solução com sinal negativo deanti-instanton [39].

Consideramos o movimento da partícula com energia euclidiana zero no intervalo[q0, q1] que começa quando τ → −∞ em q = q0 e vai ao ponto q1 e retorna a a q0 quando


τ → +∞. Fizemos a escolha de que τ = 0 em q = q1. Essa solução é chamada de rebote(bounce) e expressamos por qB(τ) [15]. A ação euclidiana sobre esta solução é

SE(qB) =∫ +∞

−∞

m2

(dqBdτ

)2

+ V (qB) = 2

∫ 0

−∞2V (qB(τ)) dτ, (7.24)

pois com zero de energia: m2(dqdτ

)2= V (q).

Finalmente de (7.24) encontramos (7.19), para isso alteramos a variável de integra-ção de τ para qB usando (7.22).

SE[(qB(τ))] = 2∫ 0

−∞2V (qB)

√m

2V (qB)dqB

SE[(qB(τ))] = 2∫ +∞

0dqB(τ)

√2mV (qB(τ))

SE[(qB(τ))] = B (7.25)

Logo, provamos que o expoente semiclássico do decaimento de um estado me-taestável é definido pela ação euclidiana na solução de rebote e, assim, encontramos aprobabilidade de tunelamento através da barreira de potencial.

7.2.2 Tunelamento na Teoria de Campo

Para calcularmos a probabilidade de tunelamento quântico, foi preciso resolver asequações de movimento (7.7) no tempo euclidiano t = −iτ :

−κττ − κss − ω2κ+ 2λ2κ3 + F 2

κ3 = 0 . (7.26)

Estávamos interessados em uma solução esfericamente simétrica, por isso foi conve-niente passarmos para coordenadas polares, com coordenada radial dada por

r2 = τ 2 + s2 ,

e assumindo κ = κ(r), chegamos a equação

d2

dr2κ+ 1r

d

drκ+ ω2κ− 2λ2κ3 − F 2

κ3 = 0 . (7.27)


A solução da bolha euclidiana satisfaz esta equação com condições de contorno

κ(r →∞) = κ0 , e d

drκ(r = 0) = 0 .

É improvável que esta equação seja integrável, por isso apresentamos os resultadosda análise numérica. Primeiro, para a análise numérica, foi necessário reescrever as equaçõesna forma adimensional. De modo que, foi mais conveniente usar a parametrização emtermos de κ0 e κ1:

d2

dr2κ+ 1r

d

drκ− dV

dκ= 0 , (7.28)

onde o potencial é dado pela equação (6.21),

V (κ) = λ2(κ2 − κ20)2(κ2 − κ2

1)2κ2 .

Novamente, medimos o raio em unidades de 1/λκ0, introduzimos o parâmetro semdimensão ξ = κ1

κ0e tornamos a função de curvatura sem dimensão,

κ(r) = κ0k(ρ) , ρ = λκ0r . (7.29)

Como antes, isso nos permitiu expressar a energia, ou ação euclidiana, calculadana solução como uma combinação

Sb = 2πκ202D(ξ) , (7.30)

onde o fator 2π veio da integração sobre as direções angulares no espaço (τ, s) e a integralda ação deve ser tomada com medida apropriada:

Sb =∫ds∫dτ →

∫dφ

∞∫0

r dr = 1λκ2

0

∞∫0

ρ dρ .

Nosso objetivo foi calcular a função D(ξ) e a apresentamos numericamente na figura (35).


1

Ξ

D

Figura 35 – Função D(ξ).

Reescrevemos (7.27) em termos dos parâmetros adimensionais

k′′(ρ) + 1ρk′(ρ) + (2 + ξ2)k(ρ)− 2k3(ρ)− ξ2

k3(ρ) = 0 . (7.31)

Precisávamos encontrar uma solução que satisfizesse as condições de contorno

k(ρ→∞) = 1 , k′(ρ = 0) = 0 . (7.32)

A equação (7.31) descreve o movimento clássico de uma partícula no potencialmostrado na figura (36).

Κ0

k

V Hk L

Figura 36 – Potencial inverso do tunelamento.

Encontramos uma solução de rebote que começa em κ0 no tempo euclidianoτ → −∞, bate na parede de potencial para κ < κ0 em τ = 0 e retorna para κ0 emτ → +∞. Consequentemente, localizamos outra forma de solução que corresponde a umapartícula descer da parede na parte esquerda do potencial invertido. Notamos, no entanto,que a equação (7.31) tem um termo de dissipação proporcional à primeira derivada, fazendo


com que a partícula perca energia em seu caminho. Daí, começamos em algum pontoacima do nível de energia zero, para garantir que, após a perda de alguma energia paradissipação, a partícula ainda chegue no topo da barreira em κ0.

Esta é uma maneira conveniente de pensar sobre o problema, já que podemosimplementar o procedimento numérico correspondente. Para solucionar numericamentea equação com as determinadas condições de contorno, resolvemos o sistema escolhendoalguma condição inicial para o “tempo” ρ próximo de zero. Variando a posição inicial,iniciamos a solução numérica da equação diferencial com derivada zero. Procuramos umasolução que terminasse precisamente no máximo κ0. Normalmente, é possível obter doistipos de soluções: “undershoot” e “overshoot”. No primeiro caso, a partícula começano nível de energia (altura) insuficiente para superar a dissipação e oscila no poço atéparar. No segundo, a altura de energia é demais e a partícula ultrapassa a barreira e caina abertura atrás dela. Os dois tipos de soluções são demonstrados nas figuras (37) e(38), respectivamente. Variando a altura inicial da partícula, encontramos a solução maispróxima da que termina no topo da colina, como mostra a figura (39).

Ρ

Κ0

k

Figura 37 – Solução undershoot.

Ρ

Κ0

k

Figura 38 – Solução overshoot.

Ρ

Κ0

k

Figura 39 – Solução exatamente em κ0.

Juntamente com a expressão (7.30) para a ação euclidiana, podemos encontrar aprobabilidade de tunelamento:


Γ ∼ e−Sb . (7.33)

Uma bolha euclidiana pode ser formada em qualquer ponto do espaço e Γ é aprobabilidade de criação de bolhas por unidade de tempo e de volume. Onde dependendoda energia, a bolha de vácuo verdadeiro pode se expandir no vácuo falso.

93

8 Conclusão

Este trabalho teve como objetivo desenvolver uma teoria das curvas extensas emtrês dimensões para poder tornar possível a compreensão e o estudo da natureza físicadas estruturas moleculares. Como já foi dito, uma das motivações do nosso trabalho foiencontrar uma relação macroscópica com os ângulos diedrais, que descreva também asestruturas α-hélice e β-strand dessas moléculas.

Reparametrizamos a curva através das equações de Frenet, com a vantagem detrabalharmos com algo intrínseco a própria curva, que é a curvatura e a torção, e comduas funções (κ, τ) em vez de três (x, y, z).

Observamos que o vetor tangente t a curva possui toda a informação desta eque por isso podemos alterar (n,b) para qualquer outro plano sem perda de informação.Verificamos que quando a matriz de Frenet está sujeita a rotações, surgem transformaçõese que estas são idênticas as transformações de gauge para o caso eletromagnético, e atravésdestas, construímos uma teoria efetiva dada pelo modelo de Higgs abeliano com doismínimos: um correspondendo a α-hélice e o outro a β-strand das proteínas.

Vimos que a curvatura carrega toda a dinâmica das curvas e que o modelo reproduzcorretamente as estruturas α-hélices e β-hélices presente nas mesmas.

Já estudando as equações de movimento, encontramos soluções que correspondemas ondas solitárias. O dark soliton reproduz os desdobramentos nas curvas conectando asestruturas α-hélice com α-hélice, que são semelhantes aos motfis estruturais das proteínas.O dark soliton pode ser entendido como uma espécie de propagação de onda, fazendo comque essas moléculas tenham o aspecto retorcido e dobrado, causando também uma quebraespontânea da simetria global.

Descobrimos que o potencial da nossa teoria admite soluções de decaimento tiposphalerons e instantons, ou seja, prevê a probabilidade de transição de fase clássica ouquântica.

Uma ideia a ser testada: os sphalerons são as soluções instáveis do nosso modeloe como tais fornecem a energia da probabilidade de decaimento do vácuo falso para overdadeiro a uma dada temperatura crítica. Sabemos que em temperaturas mais elevadasas proteínas se desdobram e tendem a se linearizar, esse alongamento da curva é encontradona nossa teoria justamente quando κ→ 0, que corresponde ao vácuo verdadeiro do nossopotencial normal. A luz do que foi estudado, a ideia é usar o nosso modelo para prevertais mudanças de fase do sistema real.

Como perspectiva, cabe um maior desenvolvimento deste modelo. Para um estudo

Capítulo 8. Conclusão 94

futuro, poderíamos considerar fazer um dark soliton conectar β-hélice com β-hélice eα-hélice com β-hélice, que também são ligações comuns entre as proteínas, bem como,estender o nosso modelo para teoria de nós (para descrever outros tipos de estruturasproteicas) ou mesmo para curvas com dimensões maiores.

Uma falha existente na teoria é que no limite microscópico não faz sentido acurvatura e seus derivados, por isso não podemos definir a teoria efetiva para escalas muitopequenas, pois o nosso modelo não leva em conta as flutuações existentes nesse nível deenergia.

95

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Apêndices

99

APÊNDICE A – Termos da Matriz L3

Aqui estão descritos os termos da matriz L3:

δ =τ 2

α2 − cos2(sα)[ τ2

α2 − 1]

;

σ = a

αsin(sα)

(τ 2

α2 − 1)

[cos(sα)− 1];

π = a

αsin(sα)

− cos(sα)[ τ

2

α2 − 1] + τ 2

α2

;

ζ =(τ 2

α2 − 1)

sin(sα)

1τ

+ aτ 2

α[cos(sα)− 1]

;

θ =

cos(sα)[ τ2

α2 − 1]

;

ψ =

1− τ 2

α2 [cos2(sα) + 1]− 2τ 2

α2 cos(sα)[ τ2

α2 − 1] + τ 4

α2 [cos2(sα) + 1]

;

ξ = 1τα

cos(sα)[ τ

2

α2 − 1]− τ 2

α2

+ a

α

cos2(sα)[ τ

2

α2 − 1] + cos(sα)[1− 2τ 2

α2 ] + τ 2

α2

;

ι = sin(sα)τα + a

αcos(sα)[ τ

2

α2 − 1]− τ 2

α2

;

ρ =τ [cos(sα)− 1] + a[τκ

α+ cos2(sα)[ τ

2

α2 − 1]] + cos(sα)[1− 2τα2 ]

;

υ =τ 2[cos(sα)− 1] + a

κ2

α2 [1− τ 2

α2 cos(sα) + cos2(sα)[ τ2

α2 − 1]].

SIMETRIASDEGAUGE,TEORIASDE …

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