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Simetría en química
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Bibliografía básica
• Primeras tres o cuatro clases: Unidad I y II del curso de Cálculo II
• Cotton F.A. Chemical Applications of Group Theory 3ª Ed. John Wiley & Sons,
1990.
• ( NO USAR VERSIÓN EN ESPAÑOL)
• Harris, D.C and Bertolucci, M.D. Symmetry and spectroscopy. Dover
Publications, 1978.
• (13 USD en Amazon)
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Evaluaciones
• ¿Tareas?
• Simetría en Química I
• Primer parcial: a casa dentro de 4 semanas
• Segundo parcial - final: Una parte a casa y otra en vivo, dentro de 8 semanas
• Simetría en Química II 50% Problema individual oral y escrito
50% Examen Final
¿Por qué es relevante este curso?
• Nos va a ayudar a conocer algunas propiedades muy importantes de las soluciones de
la Ecuación de Schroedinger:
*elect : Orbitales atómicos, Orbitales moleculares, Términos espectroscópicos,
predicción de transiciones electrónicas, en el espectro UV-vis)
*nucl : Funciones de onda vibracionales (Modos normales de vibración)
Transiciones vibracionales (IR y Raman)
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“La solución de la ecuación de Schroedinger*
para cualquier molécula . . . .
debe ser base de alguna representación irreducible
del grupo puntual al que pertenece la molécula”
* elect ,nucl ,tot
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¡ ¡ Poner mucha atención
en el LENGUAJE ! !
Empezaremos por el Álgebra lineal porque:
• Las soluciones de una ecuación diferencial, como la ecuación de Schroedinger, son
base de algún espacio vectorial.
• Las operaciones de simetría son transformaciones lineales de R3 R3.
• El concepto de representación irreducible une al Algebra Lineal con la Teoría de
Grupos, ayudándonos a conocer “cualitativamente” a las funciones de onda.
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Conceptos que tenemos que recordar:
• Espacios vectoriales
• Subespacios
• Bases
• Dependencia e independencia lineal
• Matrices
• Con su extraña multiplicación
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PURO REPASO
Súper rápido
ESPACIO VECTORIAL (V) = Un conjunto de objetos con una operación
binaria (“suma”) definida entre ellos y un “producto escalar” definido entre uno de
sus elementos y un elemento de un Campo K (por. ej. los números reales), tal que:
• Para la operación binaria, V V V se cumple:
• Conmutatividad
• Asociatividad
• Existencia del elemento neutro para esa operación
• Existencia de los inversos para todos los elementos
• Para el producto escalar K x V V se cumple:
• Asociatividad a(bu) = (ab)u
• Existencia del neutro para el producto escalar
• Distributividad del producto escalar sobre la suma vectorial (escribirlo)
• Distributividad de la suma escalar sobre el producto escalar (escribirlo)
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Ejemplos muy conocidos
• Los “vectores” en R2 (parejas ordenadas de números reales)
• R2 = (a,b)a,b R
• Los “vectores” en R3 (ternas ordenadas de números reales)
• R3 = (a,b,c)a,b,c R
• i.e. las “flechas” de la física
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Otros ejemplos más interesantes
• Las funciones (continuas en un intervalo): f C (a,b)
• La suma entre ellas . . .
• La multiplicación de ellas por números reales . . .
• ¿Cumplen con las propiedades de la definición de Espacio Vectorial?
• Revisen la definición . . . ESPACIO VECTORIAL (V) = Un conjunto de objetos con una o...
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Subespacios Vectoriales
• Definición: Un subconjunto U de un espacio vectorial V es un
subespacio de V si él mismo es un espacio vectorial.
• Criterio del subespacio (teorema)
• Un subconjunto de V es un E.V. si es cerrado bajo la suma vectorial y
bajo el producto escalar.
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¿Son espacios vectoriales los siguientes conjuntos de
vectores en R2?
• V1 = (0,0), (1,1),(2,2), (3,3)
• V2 = (a,a) aR
• V3 = (a,2a) aR
• V4 = (a, a+1) aR
• ¿podemos hacer una generalización geométrica?Laura Gasque 2016-1 14
Ejemplos con funciones• P = el conjunto de todos los polinomios:
P(x) = anxn + an-1x
n-1 + an-2xn-2 . . . . + a1x + ao
¿Son funciones continuas?
¿Cumplen con las propiedades de la definición de Espacio Vectorial?
¿Este conjunto (P) satisface el criterio del subespacio?
Un subconjunto de V es un E.V. si es cerrado bajo la suma vectorial y bajo el producto escalar.
• Otro ejemplo
P3= P(x) = a3x
3 + a2x2 + a1x + ao a R P3 P C (a,b)
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¿Cumple con el criterio
del subespacio?
¿Cumple con el criterio
del subespacio?
Más ejemplos de subespacios de funciones• f(x) = sen x; g(x) = cos x f: R R g: R R
• T =asenx + bcosx a, b R
• f(x) = sen x; p(x) = anxn + an-1x
n-1 + an-2xn-2+ . . . . + ax +a0
f: R R g: R R
TP = a senx + b p(x) a, b R
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¿Cumple con el criterio
del subespacio?
Dependencia e independencia lineal
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Dependencia lineal
• Lenguaje formal: Un conjunto de n vectores vi es linealmente
DEPENDIENTE si existe un conjunto de ai (distinto de ai =0 i) tal que
• a1v1 + a2v2 + a3v3 + . . . . + anvn = 0
• Lenguaje común: Un conjunto de vectores es linealmente DEPENDIENTE,
si cualquiera de ellos puede expresarse como una combinación lineal de los
demás.
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Independencia lineal
• Lenguaje formal: Un conjunto de vectores vi es linealmente independiente si
la única posibilidad de que
a1v1 + a2v2 + a3v3 + . . . . + anvn = 0 es que ai = 0 i
• Lenguaje común: Un conjunto de vectores vi es linealmente independiente si
no es posible expresar a cualquiera de ellos como combinación lineal de los
demás.
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Ejemplos (relevantes) de dependencia e
independencia lineal con vectores en C
• Sean 1, 2, y 3 funciones C
• 1 = 1 + 2 + 3
• 2 = 21 + 2 + 3
• 3 = 21 - 2 - 3
• ¿ 1 2 y3 son l.d. ó l.i.?
• Sean 1, 2, y 3 funciones C
• 1 = 1 + 2 + 3
• 2 = 21 - 2 - 3
• 3 = 2 - 3
• ¿ 1 2 y3 son l.d. ó l.i.?
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¿Tarea?
• Tarea . . .
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Base de un espacio vectorial: Definición:
• Un subconjunto S V es una base de V si:
• Es linealmente independiente
• Genera a todo el espacio vectorial
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Ejemplos en Rn
• R3 = (a,b,c) a,b,c R
• Base canónica (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
• ¿qué otra?
• Probar que (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) es una base para R3 ¿Tarea ?
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Anti-ejemplos para bases en R3
• ¿Por qué (1,0,0), (0, 2, 0) no es
una base de R3
• ¿Por qué (1,1,1), (2,1,0) (0,-1,-2)
no es una base de R3
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¿Tarea?
Ejemplos de bases en un espacio de funciones
• Series de Taylor (combinaciones lineales de polinomios)
• Series de Fourier (combinaciones lineales de senos y cosenos)
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Ortogonalidad de vectores
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Producto interior o producto escalar:
Definición
• Es una operación binaria entre vectores cuyo producto es un escalar, que
debe cumplir las siguientes propiedades:
• uv = vu v, u V
• u (v+w) = (u v) + (u w) v, u, w V
• u v = (u v) = u v v, u V, K
• uu 0 v V, uu = 0 si y solo si u= 0.
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Producto escalar para vectores en Rn
• Ya se lo saben
• Es fácil ver que cumple con las propiedades
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Producto escalar para funciones
Sean 𝑓 𝑦 𝑔 funciones continuas de Rn Rn
𝑓𝑔 = 𝑎𝑏𝑓𝑔 𝑑𝑥
¿Cumple con las propiedades?
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Definición de ortogonalidad
• Dos vectores son ortogonales si
• uv = 0
• Tarea: Traer un ejemplo de dos funciones ortogonales
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