Silabus ets pnp pp 2013 1
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ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA
SÍLABO DESARROLLADO
DE
MATEMÁTICA
PROGRAMA REGULAR
2013
2
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
SILABOLÓGICO-MATEMÁTICA
(PROCESO REGULAR)
I. DATOS GENERALES
EJE CURRICULAR : Formación General
AREA EDUCATIVA : Formación Científica Básica
AREA COGNITIVA : Ciencias Lógico - Matemáticas
AÑO DE ESTUDIO : PRIMER AÑO
HORAS SEMESTRALES : 72 horas académicas
HORAS SEMANALES : 04
CRÉDITOS : 3.5
PERIODO ACADEMICO : I Semestre
II. SUMILLA
La Asignatura de Lógica Matemática forma parte del Área de Formación Científica Básica delCurrículo de Estudios de las Escuelas Técnico - Superiores de la Policía Nacional del Perú, siendode naturaleza instrumental y de carácter teórico – práctico, cuyo propósito es desarrollar en elalumno los contenidos básicos, organizados en cuatro unidades de aprendizaje: LógicaProposicional, Teoría de Conjuntos, Matemática Financiera y Estadística Descriptiva.
III. OBJETIVOS
A. OBJETIVO GENERAL
Fortalecer las capacidades de comunicación y de pensamiento lógico-matemático en los alumnos a partir de materiales educativos que contextualicensu práctica profesional- área de administración y ciencias policiales-, quecontribuyan a ejercitar, desarrollar y poner a punto sus competencias lógicomatemática. Desarrollar en los alumnos habilidades que permitan traducirproblemas de la vida real- área de administración y ciencias policiales- allenguaje lógico-matemático.
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ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
B. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Reconocer un problema de la vida real, vinculado a su quehacer profesional-área de administración y ciencias policiales-, en las dimensiones que seansuceptibles de ser traducidas, formalizadas u operables en lenguaje lógico olenguaje matemático o representación estadística.
2. Fortalecer las capacidades de pensar ordenadamente, razonar, argumentar,cuantificar, efectuar mediciones, interpretar situaciones del área de laadministración y ciencias policiales, comunicarse con otros códigos, modelarsituaciones problemáticas, interpretar el lenguaje formal y simbólico, resolverproblemas.
3. Promover la producción de soluciones lógicas-matemáticas a las situacionesproblemáticas, vinculadas al quehacer profesional-área de administración yciencias policiales-, como vía tendiente a posibilitar la toma de decisiones quepermitan operar con seguridad sobre las dimensiones que comprenda cadasituación problemática, en singular, particular o general.
IV. CONTENIDOS
I UNIDAD
LÓGICA PROPOSICIONAL
COMPETENCIADesarrolla conceptos y procedimientos demanera lógica y coherente, utilizando ellenguaje proposicional.
PRIMERA
SEMANA
(04 hrs)
Sesión 01
Presentación de la asignatura.Prueba de Entrada.LOGICA PROPOSIONAL:
Enunciado, Proposición. Proposición atómica, molecular. Variables proposicionales. Conectivos lógicos: Expresiones de la lengua española
equivalentes a los conectivoslógicos.
Proposiciones en lenguaje natural uordinario traducirlas al lenguajelógico proposicional (Formalizacióno simbolización de proposiciones).
Conoce y comprende los conceptos básicosde la lógica proposicional, desarrollados enla sesión 1.
Reconoce, describe, analiza, expresa,clasifica y formaliza proposiciones.
Valora los conocimientos de la lógicaproposicional como herramienta paraanalizar, interpretar y traducir hechos,situaciones o problemas, de la vida real, delárea de la administración y cienciaspoliciales, al lenguaje de la lógicaproposicional, con la finalidad de resolversituaciones o problemas.
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SEGUNDA
SEMANA
(04 hrs)
Sesión 02
Valores de verdad para lasproposiciones moleculares o tablasde verdad de los conectivos lógicos.
Tabla de verdad: tautológica,contradictoria, contingente.
Ley lógica, características de la leylógica. Leyes Lógicas: ModusPonendoPonens, ModusTollendoTollens, ModusTollendoPonens, SilogismoHipotético, Dilema Constructivo,Dilema Destructivo, Dilema Simple.
Conoce y comprende los conceptos básicosde la lógica proposicional, desarrollados enla sesión 2.
Identifica, analiza, compara y aplica losvalores de verdad de los diferentesconectivos lógicos.
Clasifica las tablas de verdad según lanaturaleza de su matriz de verdad.Caracteriza la ley lógica.
Describe el esquema o estructura de lasleyes lógicas.
Aplica con propiedad los fundamentos yprincipios de la lógica proposicional en lasolución de diversos problemas.
Muestra interés en los nuevosconocimientos, participa de manera activa,dialoga, pregunta, analiza, sintetiza,investiga.
TERCERA
SEMANA
(04 hrs)
Sesión 03
Razonamiento Deductivo. Las Argumentaciones Reglas de Inferencia Leyes Lógicas Problemas lógicossobre
razonamientos deductivos
Evaluación Escrita: 01 hora
Conoce y comprende los conceptos básicosde la lógica proposicional, desarrollados enla sesión 3.
Elabora razonamientos deductivosutilizando las reglas lógicas.
Maneja las reglas y principios de la lógicaproposicional para analizar la validez oinvalidez de las inferencias.
Utiliza el razonamiento deductivo en laformulación de hipótesis y en su respectivacomprobación.
Infiere conclusiones válidas haciendo usode las reglas de inferencia, principioslógicos y del análisis.
Valora el razonamiento deductivo comoherramienta para hacer inferencias sobrehechos o problemas, de la vida real, delárea de la administración y cienciaspoliciales, que permitan obtenerconocimientos nuevos.
Demuestra alto sentido de responsabilidady de compromiso con su formaciónpersonal y profesional.
Participa de manera activa, dialoga,pregunta, analiza, sintetiza, investiga.
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II UNIDAD
TEORÍA DE CONJUNTOSCompetencia
Resuelve problemas aplicando conceptos y lasoperaciones entre conjuntos, muestra solidaridad ycolaboración con sus compañeros.
CUARTA
SEMANA
(04hrs)
Sesión 04Teoría de conjuntos:
Noción de conjunto. Conceptosno definidos de la teoría deconjuntos: elemento, relaciónde pertenencia. Determinaciónde conjuntos: Extensión ycomprensión.Cardinal de un conjunto.Representación de conjuntosmediante diagramas de Venn -Euler
Conoce y comprende los conceptos básicos dela teoría de conjuntos.
Expresa de manera verbal y grafica el conceptode conjunto
Determina un conjunto por extensión ycomprensión.
Demuestra alto sentido de responsabilidad,colaboración, participación y de compromisocon su formación personal y profesional.
Participa de manera activa, dialoga, pregunta,analiza, sintetiza, investiga.
QUINTA
SEMANA
(04 hrs)
Sesión 05
Clases de conjuntos: Vacío,unitario, finito, infinito,universal, conjunto potencia.
Relaciones entre conjuntos:inclusión, igualdad,disjuntos.
Operaciones entreconjuntos: Unión,intersección, diferencia ycomplemento, diferenciasimétrica,
Problemas de conjuntos.
Conoce y comprende las clases, relaciones yoperaciones con conjuntos.
Interpretay grafica las clases y operaciones deconjuntos.
Aplica las propiedades y operaciones entreconjuntos para resolver situacionesproblemáticas.
Relaciona las operaciones entre conjuntos conlas operaciones lógicas.
Interpreta enunciados y ejecuta estrategias pararesolver problemas con conjuntos.
Participa de manera activa, dialoga, pregunta,analiza, sintetiza, investiga.
SEXTA
SEMANA
(04 hrs)
Sesión 06
2° Taller: Teoría deconjuntos: Problemas decardinalidad de conjuntos.Problemas de operacionesentre conjuntos. (3 horas)
Evaluación: 1 hora
Resuelve problemas relacionados con lacordialidad, clases, relaciones y operacionesentre conjuntos.
Propone y resuelve situaciones problemáticasrelacionados con conjuntos y que le sirvancomo herramienta para hacer relaciones conhechos de la vida real.
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III UNIDAD
MATEMATICA FINANCIERACOMPETENCIAS
Aplica propiedades en situaciones reales de suentorno utilizando las matemática financiera
Respeta la opinión de sus compañeros.
Es perseverante para resolver problemaspropuestos sobre matemática financiera
SEPTIMA
SEMANA
(04hrs)
Sesión 7
Razones y proporciones Razón
Definición
Clases de razón
Proporción
Definiciones
Clases de proporción
Ejercicios propuestos.
Identifica y compara razones.
Reconoce razones aritméticas y geométricas.
Infiere datos sobre razones.
Resuelve problemas relacionados sobrerazones.
Infiere datos sobre proporciones.
Reconoce clases de proporciones.
Resuelve problemas de proporciones
OCTAVA
SEMANA
(04 hrs)
Sesión 8Promedios
Concepto
Promedios importantes
Propiedad de los promedios.
Ejercicios propuestos.
Identifica los conceptos sobre los promedios.
Reconoce los promedios importantes.
Infiere datos sobre los promedios.
Resuelve problemas propuestos sobrepromedios.
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NOVENA
SEMANA
(04 hrs)
Sesión 9Magnitudes proporcionales Concepto
Magnitudes directamenteproporcionales.
Magnitudes inversamenteproporcionales.
Ejercicios propuestos.
Identifica magnitudes proporcionales.
Reconoce la relación entre magnitudes.
Infiere datos sobre magnitudes proporcionales.
Reconoce magnitudes directamente einversamente proporcional.
Infiere datos sobre magnitudes inversamenteproporcionales.
Identifica propiedades de magnitudespropiedades.
Resuelve problemas sobre magnitudesproporcionales.
DECIMASEMANA
(04 hrs)
Sesión 10Regla de tres simple ycompuesta: Concepto.
Regla de tres simple directa
Regla de tres simple inversa
Regla de tres compuesta.
Regla de compañía.
Ejercicios propuestos.
Identifica el concepto de la regla de tres simple.
Infiere datos sobre la regla de tres simpledirecta e inversa.
Reconoce la regla de tres compuesta.
Resuelve problemas aplicando regla decompañía.
Reconoce la regla de compañía.
DECIMAPRIMERASEMANA
(04hrs)
Sesión 11
Taller de reforzamiento sobre:
Razones y proporciones,Promedios, Magnitudesproporcionales, Regla decompañía.
Identifica conceptos de matemática financiera
Resuelve ejercicios de matemática financiera.
Desarrolla práctica calificada.
DECIMA
SEGUNDA
SEMANA
(04hrs)
Sesión 12Regla de tanto por ciento Concepto.
Porcentaje.
Operaciones con el tanto porciento.
Descuentos y aumentosucesivos.
Aplicaciones comerciales detanto por ciento.
Ejercicios propuestos.
identifica la regla de tanto por ciento.
Reconoce casos particulares de regla de tantopor ciento.
Infiere datos sobre la regla de tanto por ciento.
Resuelve problemas propuestos sobre tanto porciento.
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DECIMA
TRECERA
SEMANA
(04hrs)
Sesión 13Regla de interés Concepto
Elementos de la regla deinterés.
Clases de interés
Ejercicios propuestos.
Identifica los elementos de la regla de interés.
Reconoce la clasificación de regla de interés.
Evalúa problemas propuestos sobre regla deinterés.
DECIMA
CUARTA
SEMANA
(04hrs)
Sesión 14Mezcla y aleación Regla de Mezcla
Concepto.
Mezcla alcohólica.
Aleación.
ConceptoEjercicios propuestos.
Identifica el concepto sobre mezcla.
Resuelve problemas propuestos sobre mezcla.
Identifica mezcla alcohólica.
Evalúa problemas propuestos.
Identifica el concepto sobre aleación.
Resuelve problemas propuestos sobre aleación
DECIMA
QUINTA
SEMANA
(04hrs)
Sesión 15TALLER DE REFORZAMIENTO
Regla de tres simple ycompuesta.
Tanto porciento
Asuntos comerciales
Aumento y descuentos.
Resuelve problemas y ejercicios sobre regla detres simple, porcentajes,asuntos comerciales,aumentos y descuentos con margen de error dehasta el 8%.
Reconoce la importancia de resolver problemasaplicados a su vida profesional.
III UNIDAD
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
Describe e interpreta las propiedades deestadística descriptiva en problemas reales.
Es asertivo con su opinión.
Participa activamente en forma individual ygrupal.
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DECIMA
SEXTA
SEMANA
(04hrs)
Sesión 16Estadística descriptiva
Concepto
Medidas de tendencia centralpara datos agrupados y noagrupados
Tabla de frecuencia para datosagrupados y no agrupados
Identifica conceptos de estadística.
Infiere datos sobre medidas tendencia centralpara datos agrupados y no agrupados
Reconoce la tabla de frecuencia para datosagrupados y no agrupados.
Evalúa problemas propuestos sobre tablas.
DECIMA
SEPTIMA
SEMANA
(04hrs)
Sesión 17
Lectura e interpretación detablas y gráficos para datosagrupados y no agrupados.
Varianza, desviación estándar.
Describe la Lectura e interpretación de tablas ygráficos para datos agrupados y no agrupados.
Reconoce varianza, desviación estándar.
Resuelve propuestos sobre tablas y gráficos.
DECIMA
OCTAVA
SEMANA
(04hrs)
Sesión 18
Taller de estadística
Evaluación Final
Resuelve ejercicios propuesto sobre estadísticadescriptiva.
Desarrolla el examen final.
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PRESENTACIÓN DELA ASIGNATURA DE
LÓGICAMATEMÁTICA
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SILABO DESARROLLADO
PRESENTACIÓNPresentación de la asignatura. Evaluación de Entrada. Lógica Proposicional.Enunciado. Proposición. Proposición Atómica. Proposición Molecular. Variablesproposicionales. Conectivos lógicos. Expresiones de la lengua españolaequivalentes a los conectivos lógicos. Proposiciones en lenguaje natural uordinario traducirlas al lenguaje lógico proposicional (Formalización osimbolización de proposiciones).
Presentación de la Asignatura:
La Escuela Técnica Superior de la PNP-Puente Piedra, en el periodo comprendidoentre Setiembre 2013 y Enero 2014, Desarrollará el I Semestre Académico deFormación General del “Programa Regular” de Educación Presencial, Promoción2013. Comprendiendo en dicho semestre académico la asignatura de Lógico-Matemática, con 72 horas académicas.
Los docentes seleccionados y designados por la Dirección de la Escuela TécnicoSuperior PNP de Puente Piedra para impartir la asignatura de Lógico-Matemática, enesta oportunidad, han formulado el Sílabo pertinente, como aporte de su experienciaprofesional y ejercicio docente en dicho centro de estudios.
Las unidades académicas están orientadas a fortalecer y desarrollar competenciasbásicas en lógica proposicional, teoría de conjuntos, matemática financiera yestadística descriptiva, que son temáticas fundamentales para obtener una formaciónpolicial profesional-área de administración y ciencias policiales-, basada en la prácticareflexiva y en la explicitación de los principios científicos y técnicos que fundamentanel quehacer profesional del policía.
Los objetivos y competencias de la asignatura se detallan a continuación:
Objetivo GeneralFortalecer las capacidades de comunicación y de pensamiento lógico-matemáticoen los alumnos a partir de materiales educativos que contextualicen su prácticaprofesional- área de administración y ciencias policiales-, contribuyan a ejercitar,desarrollar y poner a punto estas competencias. Desarrollar habilidades quepermitan traducir problemas de la vida real- área de administración y cienciaspoliciales- al lenguaje lógico-matemático.
Objetivos Específicos
4. Reconocer un problema de la vida real, vinculado a su quehacer profesional-áreade administración y ciencias policiales, en las dimensiones que sean suceptiblesde ser traducidas, formalizadas u operables en lenguaje lógico o lenguajematemático o representación estadística.
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5. Fortalecer las capacidades de pensar ordenadamente, razonar, argumentar,cuantificar, efectuar mediciones, interpretar situaciones del área de laadministración y ciencias policiales, comunicarse con otros códigos, modelarsituaciones problemáticas, interpretar el lenguaje formal y simbólico, resolverproblemas.
6. Promover la producción de soluciones lógicas-matemáticas a las situacionesproblemáticas, vinculadas al quehacer profesional-área de administración yciencias policiales-, como vía tendiente a posibilitar la toma de decisiones quepermitan operar con seguridad sobre las dimensiones que comprenda cadasituación problemática, en lo singular, particular o general.
COMPETENCIAS LÓGICO-MATEMÁTICAS
COMPETENCIA EN LÓGICA PROPOSICIONAL:Desarrolla conceptos y procedimientos de manera lógica y coherente, utilizando ellenguaje proposicional
COMPETENCIA EN TEORIA DE CONJUNTOSAplica la teoría de conjuntos para modelar y resolver problemas, expresando uncomportamiento solidario, colaborativo y participativo con sus compañeros.
COMPETENCIA EN MATEMATICA FINANCIERAConoce, comprende y aplica la matemática financiera para su aplicación comoherramienta en la resolución de problemas de la vida real, vinculados al quehacerpolicial-área de administración y ciencias policiales.
COMPETENCIA EN ESTADÍSTICA DESCRIPTIVAAplica técnicas para organizar, analizar e interpretar información,relacionada conhechos reales o hipotéticos, utilizando adecuadamente las herramientas de laestadística descriptiva para la correcta toma de decisiones.
EVALUACIÓNLa asistencia a las sesiones teóricas es obligatoria en un 70% y a los Talleres en el90%, en caso contrario de no existir justificación alguna por la Sub DirecciónAcadémica de la ETS PNP, el Alumno (a) desaprobará la asignatura.
El proceso de evaluación del aprendizaje será permanente, comprenderá:A. Evaluación Diagnóstica o de Entrada para valorar el nivel de conocimiento de
la asignatura.
B. Evaluación Formativa Interactiva, en relación a la participación activa delAlumno (a) en el aula. El promedio de las intervenciones orales constituirá Notade Paso Oral.
C. EvaluaciónFormativa o de Proceso para comprobar el rendimiento académico,pronosticar posibilidades de desarrollo de los Alumnos (a) y reorientar lametodología, para lo cual se aplicará:1. Prácticas Calificadas2. Dos exámenes escritos parciales (8ª y 13ª semana), enmarcados en los
modelos de las Pruebas que son propias de la naturaleza de la Asignatura.
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D. EvaluaciónSumativa para comprobar el nivel de desarrollo cognoscitivo,reflexivo y del pensamiento lógico, para lo cual se aplicará un examen final (17ªsemana), de similar característica empleada en los exámenes parciales.
E. El Promedio General se calculará en concordancia con las disposicionesestablecidas en el Manual de Régimen de Educación de las Escuelas deFormación de la PNP y con la naturaleza de la asignatura, conforme se detallaa continuación:Promedio General:
PG = PEP (3) + EO (1) + ETA (2) +EF (4)10
PEP = Promedio de Evaluaciones ParcialesEO = Evaluación OralETA = Evaluación de Trabajo AplicativoEF = Evaluación Final
EVALUACIÓN DE ENTRADA
Los docentes aplican la evaluación de entrada conforme al anexo 01. (Duración 1hora)
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LÓGICAPROPOSICIONAL
COMPETENCIA:Desarrolla conceptos y procedimientos de manera lógica ycoherente, utilizando el lenguaje proposicional.
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LOGICA
La lógica es una ciencia muy importanteque sirve de apoyo a la matemáticamoderna, aunque en la vida diaria, nosayuda a resolver situaciones que ocurrena nuestro alrededor, como por ejemplo:desentrañar el misterio de un asesinato odeterminar la paternidad de un niño. Sinembargo, la lógica no está en lo queacontece, no pertenece al mundoconcreto; sino surge de la mente delhombre y refleja cierta estructura yprocesos mentales, productos de lacreación de la mente humana.
No obstante, el conocimiento o saberlógico, no tan solo se usa dentro delcampo filosófico o del pensamiento, sinoen todas las formas del conocimiento,dado que en todas las áreas se requierede un ordenamiento de los elementos queimplica un razonamiento.
Los principios y las reglas de la lógica, seusan en la construcción del buen análisisde un problema específico y nos permitenestablecer un orden de las partes a tratary hacer un razonamiento que nos lleve aestablecer un juicio objetivo. Por ejemplo,si necesitas calcular el área de untriángulo, ¿qué harías?
Queda pues claro que en la vida diariadel hombre común, así como en el campode la ciencia, la lógica nos da lasherramientas necesarias para argumentarbien.
Lógica Proposicional.- Es aquella partede la lógica formal que estudia a lasproposiciones como un todo indiviso,como bloques unitarios, con totalabstracción de su estructura interna. Noanaliza las palabras individuales quecomponen la proposición. Examina lasconexiones lógicas existentes entre lasproposiciones consideradas, es decir lasconexiones lógicas que existen entre lasproposiciones a través de los conectivoslógicos u operadores lógicos. Toma encuenta su propiedad de ser verdaderas ofalsas, evaluando primero las
proposiciones atómicas o simples y luegoevalúa las proposiciones compuestas omoleculares, formadas mediante el usode los conectivos proposicionales. Elcálculo proposicional recurre a símbolos:variables proposicionales, conectivoslógicos u operadores lógicos (constanteslógicas), reglas de formación deexpresiones (sintaxis), símbolosauxiliares o signos de agrupación, valoresveritativos (valores de verdad).
ENUNCIADOSSon frases u oraciones que utilizan laspalabras “el , ella “ o los símbolos x,y,z ;que pueden ser ecuaciones einecuaciones.Ejemplos :
¡ Alto !¿ Quien anda ahí?Perro que labra no muerdeMi auto nuevox + 3 = 75x + y > 34
“x gira alrededor del sol”.“x es mecánico”.“x + y = 0”“x es número real”.“x es padre de y”.“x > y”
PROPOSICIONESEs un enunciado lingüístico aseverativo,libre de ambigüedades, que afirma o niegaalgo, y que tiene la propiedad de decir deél que es verdadero o falso; pero noambos a la vez. La proposición lógica esel pensamiento completo que describealgún hecho o aspecto del universo fácticoo formalEjemplo:P: Lima es capital del Perú ( )Q :Mozart escribió Trilce ( )R : 4 + 9 = 13 ( )Existen dos tipos proposiciones-Proposición Simple o Atómica:Es aquella proposición que carece deconectivos lógicos u operador lógico. Puedenser predicativas o relacionales.
-Proposición Compuesta o Molecular:Es aquella proposición que tienen conectivológico u operador lógico. Los conectivoslógicos u operadores lógicos se representan o
SESIÓN N°01
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denotan así: “” , “”, “”, “”, “”, “”,“”, “”, “”
Conectivos Lógicos u Operadores Lógicos
CONECTIVO
LÓGICO
NOMBRE
OPERACIÓN
LÓGICA
FÓRMULA SIGNIFICADO
Negación p No p
Conjunción pq p y q
Disyunción
Débilpq p o q
Disyunción
Exclusivapq O p o q
Implicación pq Si p entonces q
Replicador pq p si q
Bicondicional pq p si sólo si q
Negación
Conjuntivapq Ni p ni q
Binegación
Disyuntivapq No p o no q
Nota:
El conectivo lógico “” es un operador para la“negación conjuntiva”, llamada también “Binegación”.
El conectivo lógico “” es un operador para la“Binegación disyuntiva”, también se le llamada“Negación alternativa”, o “Incompatibilidad”.
1. Escribe “e" si es un enunciado y “p” si esproposición en:
a) 3 es mayor que 2. ……….
b) ¡Viva el Perú! ……….
c) Prohibido hacer bulla. .………
d) 5 < 6 ………..
e) Cuatro es divisible por 2. ………..
f) Quito es capital de Bolivia. ………..
g) 7 5 ………..
h) César Vallejo escribió “Los dados eternos”…………
i) Copérnico es el autor de la teoríaheliocéntrica. ……….
j) x 3 ……….
k) Si me pagan en la UNMSM, entoncesviajaré al Cuzco. ……….
l) José C. Mariátegui es autor de “El artista yla Época” o “Temas de Educación” …….….
m) No es el caso que un número sea divisibleentre dos y que no sea par. ……….
n) Si a un número par le sumo otro número par,entonces el número resultante es también par.……….
o) ¿Quién es el Rector de la UNMSM?……….
2. Escribe “C” si es una proposicióncompuesta o molecular y “S” si esproposición simple o atómica:
1) Pizarro jugó, aunque estuvo lesionado.……………….
2) 9 es múltiplo de 3 y 12 es múltiplo de 2 y 3.……………..
3) La paz engrandece a los hombres.………………..
4) Nací en el Perú, entonces amo a mipaís.…………………
5) La I.E. Miguel Grau es buena.………..………..
6) La honradez es un gran valor y la verdadtambién lo es.
……..….……….
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CONECTIVOS LÓGICOSLa lógica considera una clase de objetosllamados enunciados elementales oproposiciones elementales y tres términos deenlace ( no, y , o ) llamados conectivoslógicos que al aplicarlos a las proposicioneselementales forman nuevos enunciadosllamados proposiciones compuestas.
Regla Metalógica de laconjunción:“Sólo es verdadera cuando ambasproposiciones son verdaderas. Es falsaen todos los demás casos”.
Se le simboliza:"pΛ q", y se lee: "p y q". Palabras conectivas: y, aunque, pero,
mas, también, sin embargo, a lavez,además, etcSu tabla de verdad es:
p q p qV VV FF VF F
VFFF
Regla Metalógica de la disyunción Débil
“Es verdadera, en todos los casos, excepto,cuando ambas proposiciones atómicas sonfalsas.”
Se le simboliza: "p V q", y se lee: "p o q”. Palabras conectivas: o
Su tabla de verdad es:
p q p qV VV FF VF F
VVVF
Regla Metalógica de la Disyunción Fuerte:“Sólo es verdadera, cuando sólo una de lasproposiciones atómicas es verdadera. Entodos los demás casos es falsa.”
Se simboliza: “,” , Palabras conectivas:
O ......... o .....
O bien .... o bien
.... a menos que ....
.... salvo que ......Su tabla de verdad es:
p q p q
V VV FF VF F
FVVF
Regla Metalógica del Condicional oImplicación:“Sólo es falsa, cuando elantecedente es verdadero y elconsecuente es falso. En todos losdemás casos es verdadera.”
Se le simboliza “p q”, y se lee:"si p entonces q”,“implica que".
Palabras conectivas:Si ..p.. entonces ..q…Si ..p.. , ..q..Cuando .......p............. , ......q..Siempre ......p............. , ....q..Es condición suficiente..p..paraque..q..Es condición necesaria...q..paraque..p...........q........ sólo si ......p.......
Su tabla de verdad es:p q p qV VV FF VF F
VFVV
Regla Metalógica del Replicador.-“Sólo es falsa, cuando elantecedente es verdadero y elconsecuente es falso. En todos losdemás casos es verdadera.”
p q p qV VV FF VF F
VVFV
Ejemplo: p : Carlos juega fútbol.
q : Juan juega fútbol.
p Λq : Carlos juega fútbol y Juan juega fútbol.
Ejemplo: p: José es futbolistaq: José estudia francés
p v q : José es futbolista o estudia francés
Ejemplo: p: Ana es estudiosa.q: Ana aprobó el examen de aritmética.
p q: Si Ana es estudiosa entonces aprobó elexamen de aritméticaOtras palabras que equivalen al condicional son:porque, puesto que, si cada vez que, etc.
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Regla Metalógica del Bicondicional oBiimplicación:“Sólo es verdadero, cuando ambasproposiciones atómicas sonverdaderas o ambas son falsas. Enlos demás casos es falsa”.
Se le simboliza: "p q"; y se lee:“p si y sólo si q, “cuando y solocuando".
p q p qp qV VV FF VF F
VFFV
La negación:
“Si p es verdadera, p es falsa; yviceversa”.Dada una proposición p, sedenomina la negación de p, a otraproposición denotada por ~ ó , a la cualse le asigna el valor de verdad opuesto alde p.
Su tabla de verdad es:
p pVF
FV
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Señale verdadero (V) o falso (F):
( ) Basta que el antecedente sea falso para quela proposición condicional sea falsa.
( ) Una proposición bicondicional es verdaderasolamente cuando sus dos componentes sonverdaderas.
A) VV B) VFC) FV D) FFE) No se puede determinar
02. Señale verdadero (V) o falso (F):( ) Solamente cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente es falso, laproposición condicional es falso.
( ) Basta que el consecuente sea verdaderopara que la proposición condicional seaverdadera.
A) FV B) FF C) VV D) VFE) No se puede determinar
03. Señale verdadero (V) o falso (F):( ) “Si y sólo sí” es una conectiva bicondicional
( ) Basta que uno de los componentes de unaproposición conjuntiva sea verdadero, paraque la proposición conjuntiva sea verdadera.
A) VV B) VF C) FV D) FFE) No se puede determinar
04. Es una proposición que admite el valor V sólocuando las dos proposiciones componentes sonverdaderas:A) ConjunciónB) Disyunción débilC) Disyunción fuerteD) ImplicaciónE) Negación
05. Es una proposición en la cual basta que una delas proposiciones sea verdadera, para que todaella sea verdaderaA) ConjunciónB) DisyunciónC) BicondicionalD) ImplicaciónE) Negación
06. Es una proposición que es verdadera sólo cuandolas dos proposiciones tienen el mismo valor deverdad.
Ejemplo: p: Carla estudia inglesq: Carla viaja al extranjero
p q: Carla estudia ingles si y solo siviaja al extranjero. Palabras conectivas:si y sólo si; cuandoy sólo cuando; es equivalente a; escondición suficiente y necesaria para;entonces y solamente entonces. etc.:
Ejemplo: p: Lima es capital del Perú.
~ p: Lima no es capital del Perú.
Las palabras: no es verdad que, es falso que,no ocurre que, etc. equivalen a una negación
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A) DisyunciónB) BicondicionalC) ConjunciónD) ImplicaciónE) Negación
07. Es un proposición que es falsa sólo cuandoforman la combinación V y F, en ese orden.A) DisyunciónB) BicondicionalC) ConjunciónD) ImplicaciónE) Negación
08. Dada la proposición : “Si estudio triunfo. Estudio,por lo tanto triunfo”. Corresponde a un esquema:A) TautológicoB) ConsistenteC) ContradictorioD) IndeterminadoE) Falso
09. Dada la proposición: “Si llueve, el suelo se moja”.Los valores de la matriz principal de su tabla deverdad son:A) FVFVB) VFVFC) VVVVD) VFVVE) FFVV
10. Si la proposición : “No es cierto que, estudiemos yno aprobemos”, es verdadera, entonces podemosafirmar.A) Aprobamos y no estudiamosB) Estudiamos o aprobamosC) Estudiamos o no aprobamosD) Aprobamos o no estudiamosE) Estudiamos y aprobamos
11. Si se sabe que:p r es F
r q es V
q V t es F
Determine los valores de verdad de p, q, r y t
A) VVVV B) VVFF C) VFVF
D) FVFF E) FFF
12. Si la proposición compuesta:( p q) (r V t ) es falsa
Indicar las proposiciones que son verdaderas:
A) p y r B) p y q C) r y t
D) q y t E) p; r y t
13. Si la proposición: ( p q) r, es falsa,determinar, ¿Cuáles de las proposiciones sonfalsas?A) p y q B) p y rC) p; q y r D) q y r E) r y q
14. Los valores de verdad de las proposiciones p, q, ry s son respectivamente V, F, F, V.Obtener los valores de verdad de:( ) [(p V q) V r ] s( ) r (s q)( ) (p V r) (r s)
A) VFF B) VVVC) FFF D) FVV E) VVF
02 03
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EXPRESIONES DE LA LENGUA ESPAÑOLA EQUIVALENTES A LOS CONECTIVOS LÓGICOS
EXPRESIONES DE LA LENGUA ESPAÑOLA EQUIVALENTES AL CONECTIVO LÓGICO UN OPERADORLÓGICO “”
1. No A2. Nunca A3. Jamás A4. Tampoco A5. Es absurdo que A6. Es imposible que A7. No ocurre que A8. No es verdad que A9. Es inadmisible que A10. No acaece que A11. No es innegable que A12. Es erróneo que A13. Es incierto que A14. De ninguna forma se da que A15. No es el caso que A16. No es cierto que A17. Es Inconcebible que A18. Es mentira que A
19. Es incorrecto que A20. Es falso que A21. Es negable que a.22. Es refutable que A23. Es objetable que A24. En modo alguno A25. En forma alguna A26. De ningún modo A27. De ninguna manera A.28. Nunca sucede que A29. Bajo ninguna condición A30. No siempre que A31. No es inobjetablemente cierto que A32. No es innegable que A33. Nadie que sea A34. No es que A.35. No se da la posibilidad que A36. No es inobjetable que A
Ejemplos de proposiciones con el conectivológico de negación “”.
1) Es absurdo que el Edgar patee con lasdos piernas.
2) No es cierto que el cuadrado sea unpolígono.
3) Francisco Pizarro nunca descubrióAmérica.
4) Nunca Francisco Pizarro descubrióAmérica.
5) De ningún modo iré a tu casa.6) Es inadmisible que 3 + 3 = 9.7) No es verdad que toma refrescos.8) Es objetable que salga a pasear.9) Es falso que tenga dinero.10) Es inconcebible que Martín salda
desaprobado.11) En modo alguno los ofidios poseen
extremidades.12) En forma alguna los peces son
anfibios.13) No hay cumplimiento de leyes.14) No ocurre que María canta.15) No acaece que el carro es blanco.16) No es el caso que Luís sea propietario
del computador.
17) Es irrefutable que la suma de losángulos internos de un triángulo es360 grados.
18) Es mentira que en el Perú haydemocracia.
19) Jamás vayas al cine en la mañana.20) Es imposible que existe vida en el
planeta Venus.21) Es incorrecto que 2 + 3 = 10.
22) Es erróneo que 16 = 9.23) Nunca sucede que los peces no nadan
en el aire.24) Es incierto que los alumnos de
primaria ingresan a la universidad.25) Es innegable que las ballenas tengan
extremidades.26) No es innegable que ballenas sean
ovíparas.27) De ninguna forma se da 5<2.28) No es inobjetable cierto que el
elefante no demora 20 meses paranacer.
29) No es falso que sea imposible que elpulpo sea un molusco.
30) Tampoco el elefante demora 20meses para nacer.
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EXPRESIONES DE LA LENGUA ESPAÑOLA EQUIVALENTES AL CONECTIVO LÓGICO U OPERADORLÓGICO “”
1) A y B2) A también B3) A asimismo B4) A así mismo B5) A del mismo modo que B6) A aunque B7) A sin embargo B8) Cierto A lo mismo que B9) A así como B10) A igualmente B11) Así como A, B12) A pero B13) A al igual que B14) A tal como B15) A no obstante B16) No sólo A también B17) No sólo A sino también B18) Que A es compatible con que B19) A incluso B20) A a la vez B
21) A a la vez también B22) A al mismo tiempo que B23) A y al mismo tiempo B24) A de la misma manera B.25) Simultáneamente A con B.26) A tanto como B.27) A además B28) A es compatible con que B.29) A aún cuando B30) A empero B31) A sino B32) Si A e incluso B33) A a pesar de B34) Aún cuando A , B A B35) Tanto A como B36) Tanto a como cuando B37) Tomar A como cuando B38) A , B también39) Siempre ambos A con B40) A vemos que también B
Ejemplos de proposiciones con el
conectivo lógico de conjunción “
1) Juan y Luís son deportistas.
2) Es verano sin embargo hace frío.
3) Juan es médico y deportista.
4) La batalla ha terminado aunque la
guerra continúa.
5) Roxana no sólo bailo sino también
cantó.
6) Grau fue un héroe, Bolognesi
también.
7) Lidia es muy sensual pero inocente.
8) No sólo es aplicado también
bondadoso.
9) No sólo es sabio, también bueno.
10) No sólo Pedro sino también Luís
estudian.
11) Que Pedro estudia es compatible
con que Ana estudia.
12) Tanto Pedro como Ana estudian.
13) Gustavo es profesor tanto como
artista.
14) Claudia ingreso a la universidad al
mismo tiempo que José ingresó a
la marina.
15) El sueldo mínimo equivale a S/.
600, no obstante las familias
hacen esfuerzos para conseguir
más dinero.
16) El sol es una estrella además un
planeta.
17) El número dos es par, también es
primo.
18) No sólo el número dos es par sino
también número primo.
19) La boa es un ofidio al igual que
carece de extremidades.
20) Así como trabajas, te alimentas.
21) Te alimentas así como trabajas.
22) Te alimentas así mismo trabajas.
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LAS TABLAS DE VERDAD
Utilizando los conectivos lógicos se pueden
combinar cualquier número finito de
proposiciones compuestas para obtener
otras cuyos valores de verdad pueden ser
conocidos construyendo sus tablas de
verdad; en tales tablas se indican los valores
resultantes de- estas proposiciones
compuestas para todas las combinaciones
posibles de valores de verdad de sus
proposiciones componentes.
Por ejemplo, la tabla de verdad de la
proposición compuesta siguiente:
(p Λ q) ( ~p V q)
p q (p Λ q) ( ~p V q)
CLASIFICACION DE LOS ESQUEMASMOLECULARES
Tabla de verdad tautológica,Una fórmula proposicional estautológica cuando los valores deverdad del operador lógico principalcontiene sólo valores verdaderos.Ejemplo:
p q r [(pq) r q] r p
V VV V F FF V VVF FV V F V VVVVV F V FV F V F FF V F V V F FV F F F F V F FVF V FF V V V F FF V VVVVF V F V VVVVVVVVF F V V V F V FVVVVF FF V F V F FVVVV
Tabla de verdad contradictoria
Una fórmula proposicional es
contradictoria cuando los valores
de verdad del operador lógico
principal contiene sólo valores
falsos. Ejemplo:
p q r [p(q r)] [qr p]V VV V VFFF VV V F F FFV VVV F V F FF V VVV F F F FF V VVF V V F V F F V FF V F V F FV FFF F V V F F V F FF FF V F F V FF
Tabla de verdad contingente
Una fórmula proposicional escontingente cuando los valores deverdad del operador lógico principalcontiene valores verdaderos yvalores falsos.
p q r p q (r p)V VV V F V F FV V F V V F V FV F V V F V F FV F F V V F V FF V V V VVVVF V F V F FF VF F V F VVVVF FF F V F F V
Evaluación de fórmulas mediante tablasde verdad
Evaluar una fórmula mediante las
tablas de verdad consiste en obtener
los valores de verdad (V y F) del
operador lógico o conectivo lógico
principal de la fórmula, a partir de
todas las opciones de verdad o
falsedad que tiene cada una de las
variables proposicionales.
SESIÓN N° 02
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Numero de opciones o combinaciones delas tablas de verdadsegún el número de
variables proposicionales
VARIABLES PROPOSICIONALES1 2 3 4 ……21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 ……p p q p q r p q r sV V V V VV V VVVF V F V V F V VV F
F V V F V V V F VF F V F F V V F F
F V V V F V VF V F V F V FF F V V F F VF FF V F FF
F V VVF V V FF V F VF V F FF F V VF F V FF FF VF FFF
Ejercicio 1. Evaluar la fórmula:
p qq r
p q r p qq r V VV F F V F V F F VV V F F F V F FFV FV F V F F V VF V VVV F F F F V VF V V FF V V V V F FV F F VF V F V V F FV F V FF F V F V VVF V VVF FF F V VVF VV FEjercicio 2. Evaluar la fórmula:(pq)(qrp q r (p q) (q rV VV V VVV FV V F V VVVVV F V V V F V FV F F V V F F VF V V F F V V FF V F F F V VVF F V V V F V FF FF V V F F V
PROBLEMAS APLICACIÓN1. Sean p: “José es estudioso ” , y q: “él es
alto ”. Escribir las siguientesproposiciones en forma simbólica, con py q:a) José es estudioso y es alto.
……………….b) José no es estudioso o no es alto.
……………….c) No es verdad que José es bajo oestudioso. ……………….d) Es falso queJosé es alto o que esestudioso. ………………..e) José es alto, pero no es estudioso.
……………….
2. Simbolizar: "José estudia y trabaja, peropractica fútbol"
a) (p q) rb) p (q r)c ) p qd) p q re) (p q) r
3. Simbolizar: "No es cierto que, Rubéncanta y toca cajón"
a) ~ p qb) ~p V qc) ~p ~ qd) ~(p q)e) p V ~q
4. Simbolizar: "No es el caso que, hace frío yno se congele"
a) ~(p ~ q)b) ~p ~ qc) p ~qd) ~p V ~ qe) ~(p V ~q)
5. Simbolizar: "Es falso que si el ciclotrónbombardea al átomo, entonces no se acelerala velocidad de los protones".
a) ~p ~qb) ~p qc) ~(p ~q)d) ~p qe) (p ~q)f)
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6. Sean p “ el es estudioso ” , y q “ el es alto”. Escribir los siguientes enunciados enforma simbólica con “ p y q “.
a) El es estudioso y es alto p Λ qb) El no es estudioso o no es alto -p v-qc) No es verdad que el es bajo oestudioso p v qd) Es falso que es alto o que es estudioso–p v – pe) El es alto pero no es estudioso
7. Completa :a) V v F = Vb) F vF = Fc) V V= Vd) F Λ F = Fe) V F=Ff) F V V= Vg) V Λ V= Vh) F V=Fi) F V=Vj) V Λ F= F
8. Si la proposición es verdadero, hallar elvalor de cada variable en:~ [ ( ~ p y q) ( ~ r ~ s) ]
a) f fffb) f v v fc) f v f vd) v v f f
9. Se sabe que la negación de :P ( ~ q V r ) ; e s verdadera ,entonces el valor de verdad de:( q r ) { ( q r ) t } e s :O b s . T n o e s t a d e f i n i d aa ) V b ) F c ) V ó F d ) N A
10.Los valores de verdad de p,q, r son :~[(~ p V q) V ( r q)] [ ( ~pV q) ( q ~ p)]siel enunciado es verdadero
a) f f vb) v v fc) v f fd) v f ve) f ff
11. Si la proposición ( p ~q) ( r ~ s)es falsa , el valor de verdad de lasproposiciones : q , p , r , srespectivamente sona) f v vv
b) f v f fc) v vvvd) v f v v
12. De la falsedad de:( p ~ q ) V ( ~ r ~ s), se deduceque:a ) ~ (~ q V ~ s) ~ pb ) ~ (~ r s) ( ~ p ~ q)c) P ~ [ q ~(s r ) ]Son respectivamente :a) f f vb) v v fc) v f fd) v f ve) f ff
13. Si ( p ) = V( ~ q) = F( r ) = V
Determinar el valor de verdad o falsedada ) [ ( p q ) ( ~ r V q ) ] ~ qb) [ ( ~ p r ) ( q V p ) ]c) [ ( p r ) V x ] ( ~ q ~ r )
14. Si se sabe que :S p = V,r s = F , q p fDeterminar el valor de los siguientesdiagramas:a) ( ~ r q) ( s p )b) [ ( p V ~ s) r ] ~ rc) ( p ~ q ) V ( ~ r ~ s )
15. Si la negación de la siguiente formulalógica es verdadera , hallar los valoresde verdad de cada uno de ellos.~{( p s ) [ ( p r ) V ( ~ qs)] }a) f fffb) f v v fc) f v f vd) v v f fe) v f ff
16. Mediante la aplicación de las reglas metalógicasde los operadores o conectivos lógicos y el usode tablas de verdad ejecute la evaluación de lasfórmulas lógicas siguientes:
1) p q2) p q3) p q4) p q5) pq r6) p q r)
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7) (p q) (r s 8) (p q) r9) {[p r q] r s} q10) {[ p s q] r q} [(
p ( r s]11) [(pq) (pr) (p p)] [(q s]12) {[(p q) (r s)] (p s)} ( r q)
13) {[(p q) (r s)] (p vs)} ( r q)14) {(p q) [ p(q r)]}(r p)15) (p q) (r s)16) [(p q) q] p17) [(p q r] r18) [(pq) q r)] (p r)19) [(pq) q r)] (p vr)20) p (q r)21) Evalúe el siguiente esquema: pq. El
esquema es de tipo :A) ContradictorioB) ConsistenteC) TautológicoD) IndeterminadoE) B y D
22) Simplificar:(p q) ( q V p)
a. Tautologíab. Contradicciónc. Contingenciad. pe. q
23) Sea el esquema: (A V B), la matrizcorrespondiente es:1. VVVV2. Consistente3. VFVV4. Contradictoria5. Tautológica.
Son ciertas:A) 2 y 3 B) 1 y 5 C) Sólo 4
D) 2 y 4 E) Sólo 5
24) Si la proposición:(p q) (r s] es falsa, el valor de verdadde q, p, r, s ( en ese orden es)
A) FVVV B) VVVF C) VFVVD) FVFF E) VVFF
25) Determine si las siguientes proposiciones sontautologías o contradicciones.I. ( r s) ( rs)II. [(p V q) p] pIII. (pq)[(pq)(pVq)p]
A) C, T, C B) T, C, T C) T, T,TD) C, C, C E) C, C,T
26) Hallar la tabla de verdad de :(p q) (q V p)
A) VVFF B) VVFV C) VFFVD) VFFF E) VVVF
27) Si :[(p q) (p p)] [(r s) q]
Es verdadera, cuáles son los valores de p, q, r,s respectivamente.
A) VFFF B) VFVV C) FVFFD) FVVV E) Sin solución
28) Si se sabe que:[(p r) q] [(p V p) V (pq)]
es verdadera, hallar los valores de p,q,rA) VVV B) FFF C) FVF
D) VFV E) No se determina
29) Si la proposición:[(p q) (p V w)] s es falsa, se afirma que lasiguiente proposición:[s V( p W) ] V (p q)es:A) VerdaderaB) FalsaC) No se afirma nadaD) Toma ambos valores de verdadE) Faltan datos
30) Si la siguiente proposición compuesta es falsa:( p q) (q r)
Luego:
I. (p q) no es falsaII. q V s es verdaderaIII. q p es verdadera
Son ciertas:A) I y II B) I y IIIC) II y III D) Todas E) Sólo II
31) Si la proposición:( p q) (p r) es verdadera
¿Cuántas son verdaderaS?I. ( s r) ( p V s)II. (s q ) (p V r)III. ( q r) V ( p r)
A) Sólo I B) Sólo II C) I y IID) I y III E) Todas
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LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS
I. LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS
Ley Lógica.- Fórmula formalmenteválida, es decir, fórmula lógicaverdadera independiente de laasignación de los valores de verdad asus variables. También se le denominatautología. Las leyes lógicas no debenser confundidas con las reglas deinferencia, ya que éstas pertenecen almetalenguaje del cálculo
Características fundamentales de la leylógica:
1)La ley permanece al plano teórico; 2) Suenunciado es susceptible de verdad ofalsedad; 3) Se expresa en el interior delcálculo lógico; 4) Su expresión es unenunciado lógico; 5) La ley pertenece allenguaje lógico. 6) La ley usa los functores oconectivos u operadores lógicos.Fuente:"http://symploke.trujaman.org/index.php?title=Ley_l%F3gica"
“Introducción a la Lógica deBernardo Rea Ravello”
LEYES LÓGICAS IMPORTANTES
1. LEY DEL MODUS PONENDOPONENS O MODUS PONENS
[(p q) p] q
2. LEY DEL MODUS TOLLENDOTOLLENS O MODUS TOLLENS
[(p q) q] p
3. LEYES DEL MODUS TOLLENDOPONENS O SILOGISMODISYUNTIVO
[(p q) p] q
[( p q) q] p
4. LEYES DE TRANSITIVIDAD OSILOGISMO HIPOTÉTICO
DEL CONDICIONAL
[(p q) (q r)] (p r)
DEL BICONDICIONAL
[(p q) (q r)] (p r)
5. LEY DEL DILEMACONSTRUCTIVO
[(p q) (r s) (p r)] (q s )
6. LEY DEL DILEMA DESTRUCTIVO
[(p q) (r s)( q s)] ( p r)
7. LEY DEL DILEMA SIMPLE
[(p r) (q r) (p q)] r
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EL RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
1. Leyes Lógicas.- Son fórmulas lógicascuyas tablas de verdad tienen por resultadoúnicamente valores de verdad“verdaderos”. También se les denomina“tautologías”. Las característicasfundamentales de las leyes lógicas son:
a. La ley permanece en el plano teórico.b. Su enunciado es susceptible de verdado falsedad.c. Se expresa en el interior del cálculo(pertenece al cálculo mismo).d. Su expresión es un enunciado lógico.e. La ley pertenece al lenguaje lógico(lengua lógica proposicional).f. La ley usa los símbolos, functores uoperadores lógicos.
2. Reglas de Inferencia.- Son normas,prescripciones, licencias que indican comodebe hacerse la operación de deducción, almismo tiempo que justifica, garantiza lalegitimidad o validez del acto llamado“operación deductiva” o “inferencia.”Razonamiento Deductivo u operación dededucción es aquella operación queconsiste en que dadas ciertasproposiciones, llamadas “premisas” seobtenga, se infiera, se derive se deduzcacon el carácter de necesidad unaproposición, llamada “conclusión.”, es decir,se pretende que una de ellas, llamada“conclusión”, se infiera en forma necesariade la/s premisa/s. Una deducción es unasecuencia de enunciados, los cuales puedenser o bien premisas o bien se han obtenidode la aplicación de un conjunto de reglas deinferencia a enunciados anteriores. Lascaracterísticas fundamentales de las reglaslógicas son:
a. La regla se sitúa en el plano práctico,dice cómo debe hacerse una operacióndeductiva.b. Su enunciado es normativo,prescriptivo, y, por eso, la regla puede serbuena o mala, útil o inútil, eficiente odeficiente.c. Se expresa al exterior del cálculo,justifica, garantiza la legitimidad o validezde la deducción.d. Su expresión es enunciado metalógico.e. La regla pertenece al metalenguaje.f. La regla menciona los functores u
operadores lógicos.A toda ley lógica le corresponde surespectiva regla lógica.
3. Las Argumentaciones
Por argumentación entenderemos unaexpresión lingüística que presenta orepresenta un razonamiento. Unrazonamiento es un sistema deproposiciones (dos o más) en el que una deellas, llamada conclusión, se pretende queesté fundada en o se infiera de la/s otra/s,llamada/s premisa/s. Un razonamientodeductivo es un sistema de proposiciones(dos o más) en el que se pretende que unade ellas, llamada “conclusión”, se infiera oderive con el carácter de necesidad de la/spremisa/s. La argumentación puede serinductiva o deductiva, de acuerdo al tipo derazonamiento. Por consiguiente, laargumentación es un sistema deproposiciones.
La lógica es una ciencia eminentementedeductiva, por eso sólo tiene en cuenta losrazonamientos deductivos. Estos se basanen fundamentos comprobados o aceptadoscomo postulados primordiales. Unaargumentación deductiva tendrá siempreun esquema, estructura o forma implicativao condicional, en símbolos: AB, es decir,sus principales componentes-antecedente(premisa/s) y consecuente (conclusión)-están unidos o enlazados por el conectivológico “”.
SESIÓN 03
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Ejemplo de un razonamiento deductivo: “Elladrón entró por la puerta o la ventana. Porla puerta no entró, como lo ha demostradola investigación policial. Por lo tanto, elladrón entró por la ventana.”
Tomando el razonamiento deductivo delejemplo dado, líneas arriba, procedemos aformalizarlo como fórmula lógica, teniendocomo resultado la fórmula de la lógicaproposicional:
[(p q) p] q),
que es una ley lógica (tautología)denominada “Modus TollendoPonens oSilogismo Disyuntivo.”
Este conjunto de proposiciones,formalizadas, también podemos verlas opercibirlas como una representación delargumento o razonamiento deductivo dado.
Los componentes de los razonamientosdeductivos son las premisas (proposicionesque implican a la conclusión), la conclusión(proposición implicada por las premisas) ylas expresiones derivativas. Las expresionesderivativas tienen por objeto indicar cuál esla conclusión y cuáles son las premisas. Nosiempre figuran en los razonamientos,algunas veces están implícitas. Son de dostipos: las que se anteponen a la conclusión,como “luego”, “por tanto”, “porconsiguiente”, etc., y las que se colocandespués de la conclusión, antepuestas aalguna de las premisas, como “ya que”,“puesto que”, “dado que”, “como” y otras.
Un signo lógico que hace las veces de lasexpresiones derivativas (que separa a laspremisas de la conclusión) es una barra “_______/“ que se coloca después de laspremisas encolumnadas, al lado derecho seescribe la conclusión.
En los ejemplos que siguen a continuaciónse podrá observar la barra, que hace lasveces de las expresiones derivativas. Los
siguientes ejemplos ilustran los dos tipos deexpresiones derivativas.
Ejemplo 1. “El ladrón entró por la puerta opor la ventana. Por la puerta no entró,como lo ha demostrado la investigaciónpolicial. Por lo tanto, (expresión derivativaque se antepone a la conclusión) el ladrónentró por la ventana.” Los componentesdel razonamiento deductivo dado son:
Premisa 1: El ladrón entró por la puerta opor la ventana.
Premisa 2: Por la puerta no entró./Conclusión: Por lo tanto, el ladrón entrópor la ventana.
Formalizando el razonamiento deductivo,dado, tenemos:
Premisa 1: p q
Premisa 2: __ p / Conclusión: q
La regla lógica “Modus TollendoPonens oSilogismo Disyuntivo” prescribe lo siguiente:“A partir de una disyunción débil y lanegación de uno de sus disyuntivos eslegítimo inferir u obtener el otrodisyuntivo”, de esta manera justifica,garantiza la legitimidad o validez de laoperación de deducción. Es decir, esteconjunto de proposiciones estánrelacionadas de modo tal, que laproposición, llamada conclusión: “El ladrónentró por la ventana.” Está fundada o seinfiere de las otras dos proposiciones,llamadas premisas. En éste caso, la reglalógica del modus tollendoponens osilogismo disyuntivo, nos autoriza, nosprescribe ha inferir u obtener la conclusión:“El ladròn entró por la ventana.” Ensímbolos:
A B,
_A__/ B
.
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Ejemplo 2. “El agua hervirá, dado que(expresión derivativa que se coloca despuésde la conclusión) si la temperatura está a1000 C entonces el agua hervirá. Latemperatura está a 1000 C” Alformalizarlo, tenemos como resultado lafórmula lógica proposicional q [(pq) p], que es una ley lógica(tautología) denominada “Ley Lógica delModus PonendoPonens.” Procedemos areestructurar el razonamiento deductivodado, para obtener un razonamientodeductivo equivalente, tal como: “Si latemperatura está a 1000 C entonces elaguahervirá. La temperatura está a 1000 C. Porconsiguiente, el agua hervirá.” Este sistemade proposiciones formalizadas, equivalenteal sistema de proposiciones inicialmentedado, también podemos verla o percibirlacomo una representación del argumento orazonamiento deductivo dado. Loscomponentes, reestructurados, de ésterazonamiento deductivo son:Premisa 1: Si la temperatura está a 1000 Centonces el agua hervirá.
Premisa 2: La temperatura está a 1000 C./Conclusión: Por consiguiente, El aguahervirá.Formalizando el razonamiento deductivo,dado, tenemos:Premisa 1: p q.Premisa 2: _p_____/ Conclusión: q.La regla lógica, “Modus PonendoPonens”,
prescribe lo siguiente: “A partir de uncondicional y la afirmación de suantecedente es legítimo inferir suconsecuente.”
Ejemplo 3. “Si hace calor, Juan va a lapiscina. Si Juan va a la piscina, arregla lacasa después de almorzar. Luego, si hacecalor, se arregla la casa después dealmorzar.”Procedemos a formalizarlo comofórmula lógica, teniendo como resultado lafórmula de la lógica proposicional [(pq) (q r)] (pr), que es una ley lógica(tautología) denominada “Ley LógicaSilogismo Hipotético o Transitividad” Esteconjunto de proposiciones, formalizadas,también podemos verlas o percibirlas comouna representación del argumento
orazonamiento deductivo, dado. Loscomponentes, reestructurados, de ésterazonamiento deductivo son:
Premisa 1:Si hace calor, Juan va a la piscina.Premisa 2:Si Juan va a la piscina, arregla la casadespués de almorzar.
Conclusión:Luego, si hace calor, se arregla la casadespués de almorzar.
Formalizando el razonamiento deductivo,dado, tenemos:Premisa 1: p q.Premisa 2: q r/ Conclusión: p r.
La regla lógica, “Silogismo Hipotético oTransitividad”, prescribe lo siguiente: “Apartir de dos condicionales, donde elconsecuente del primero es el antecedentedel segundo es legítimo inferir elcondicional formado por el antecedente delprimero y el consecuente del segundo”
¿Cuándo un conjunto de proposiciones noes un razonamiento deductivo? Cuando nohay ninguna proposición, de las dadas, quese afirme sobre la base de las otras.Tomemos como ejemplo las proposicionessiguientes: “Llueve mucho. Será mejor queno salgamos. Podemos postergar laexcursión para mañana.” Efectuando laformalización se tiene la siguiente fórmula:
p q r. Si bien estas proposiciones estánrelacionadas en cuanto al contenido, no hayninguna que se afirme sobre la base de lasotras. En consecuencia, no se trata de unrazonamiento deductivo.
Conclusión y premisas son términosrelativos. Una misma proposición puede serpremisa en un razonamiento deductivo yconclusión en otro. Esta circunstanciaorigina cadenas de razonamientosdeductivos.
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PROBLEMAS LÓGICOS
SOBRE RAZONAMIENTOSDEDUCTIVOS
A. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIADEL MODUS PONENDOPONENS
[(p q) p] q
Dadas las premisas infiera o derive unaconclusión.
1. Si Venus es un planeta entonces Venusbrilla con luz refleja. Venus es unplaneta.
2. Si son las cinco, la oficina está cerrada.Son las cinco.
3. Si Juan va a la Unión, se encuentra conPedro. Juan va a la Unión.
4. Si llovió anoche, las pistas están mojadas.Llovió anoche.
5. Si voy de paseo, me encuentro con Ana.Voy de paseo.
6. Si la policía hace patrullaje urbano,captura a los delincuentes. La policía hacepatrullaje urbano.ResoluciónFormalización: (p qp
Razonamiento
P1: p q
P2: p_____/q: La policía captura a losdelincuentes.
Regla lógica utilizada para hacerlainferencia: Modus PonendoPonens.
7. Si el Atestado Policial prueba queestafaste, serás privado de tu libertad. ElAtestado Policial prueba que estafaste.Resolución
Formalización: (p qp
Razonamiento
P1: p q
P2: p_____/q: serás privado de tú libertad
Regla lógica utilizada para hacerlainferencia: Modus PonendoPonens.
8. Si los terremotos son fenómenosnaturales, los terremotos obedecen aleyes físicas. Los terremotos sonfenómenos naturales.
9. Si Gabriel es un alumno-policía quepráctica buenos hábitos, será un policíadisciplinado y responsable. Gabriel es unalumno-policía que práctica buenoshábitos.
10.Si hay igualdad de oportunidades, hayjusticia social. Hay igualdad deoportunidades.
11. Si las computadoras bajan de precio, laspersonas se educaran. Lascomputadoras bajan de precio.
12. Dado que los objetos caen, existegravedad. Los objetos caen.
13. Si Luís no ha pasado de año, no viaja ala Argentina. Luís no ha pasado de año.
14. Si el papel de tornasol se vuelve rojo, lasolución es un ácido. El papel detornasol se vuelve rojo.
15. Si el satélite entra en órbita, el proyectoespacial será un éxito. El satélite entraen órbita.
B. APLICANDO LA REGLA DEINFERENCIA DEL MODUS TOLLENDO
TOLLENS [(p q) q] p
Dadas las premisas infiera o derive unaconclusión.
1. Dado que los objetos caen entoncesexiste gravedad. No es cierto que losobjetos caén.
2. Si es estrella, ese astro tiene luz propia.Ese astro no tiene luz propia.ResoluciónFormalización: (p q (q)
Razonamiento
P1: p q
P2: q _____/p: no es estrella.
Regla lógica utilizada para hacerlainferencia: Modus TollendoTollens.
31
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3. Si llueve, la ropa se moja. La ropa no semoja. ResoluciónFormalización: (p q (q)
Razonamiento
P1: p q
P2: q _____/p: no llueve.
Regla lógica utilizada para hacerlainferencia: Modus TollendoTollens.
4. Si Carlos no viaja a Tumbes, no seencontrará con Gabriel. Carlos seencontró con Gabriel.
5. Si Juan no ésta en clase entonces estáde servicio. Juan no está de servicio.
6. Si Pedro compró el libro entonces espropietario del libro. Pedro no espropietario del libro.
7. Si un objeto flota en el agua entonces esmenos denso que el agua. No es menosdenso que el agua.
8. Si eres bondadoso y honrado, seráspremiado. No serás premiado.
9. Si = 1500 entonces Sen = ½. Sen ½.10. Si Víctor es un graduado universitario
entonces Víctor no es mecánico. Víctores mecánico.
11. Teniendo en cuenta que hace frió, biense ve que la gente se abriga. La genteno se abriga.
12. Si hoy es día de pago, iré de compras.No iré de compras.
13. Si Pedro se encuentra en casa, la luzestá encendida. La luz no estáencendida.
14. Si vienes, me voy. No me voy.15. Si estudio lógica matemática, mejoro mi
razonamiento deductivo. No mejoro mirazonamiento.
16. Si son las siete de la mañana, el aviónpartió. El avión no partió.
C. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIADEL MODUS TOLLENDO
PONENS O SILOGISMO DISYUNTIVO
[(p q) p] q[( p q) q] p
Dadas las premisas infiera o derive una
conclusión.
1. Me llamo Julio o Jorge. No me llamoJulio.
2. No viajo a Trujillo o no viajo a Arequipa.Viajo a Arequipa.
3. El policía viajó en auto o avión. El policíano viajó en avión.
4. Las Fuerzas Operativas de la PolicíaNacional del Perú van al EstadioNacional o al Mercado de Santa Anita.Las Fuerzas Operativas de la PolicíaNacional no van al Estadio Nacional.
5. Maria juega Voley o Básquet. Maria nojuega básquet.
6. El paciente tiene sarampión o tifoidea.El paciente no tiene sarampión.
7. En Piura llueve o hace calor. En Piura nollueve.
8. El sol es estrella o satélite. El sol no essatélite.
9. En Irak hay guerra o paz. En Irak no haypaz.
10. Fujimori será extraditado o liberado.Fujimori no será liberado.
11. Los funcionarios policiales trabajan conhipótesis o refutaciones de hipótesis.Los funcionarios policiales no trabajancon refutaciones de hipótesis.
12. El reo es culpable o inocente del delitoque se le imputa. El reo no es inocentedel delito que se le imputa.
13. 13. El ladrón entró por la puerta o laventana. Por la puerta no entró, comolo ha demostrado la investigaciónpolicial.
14. Maritza se dedica a la función policial ose dedica a la función jurisdiccional.Maritza no se dedica a la funciónjurisdiccional.
15. El accidente de tránsito fue causadopor ebriedad del chofer o falla mecánica del
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vehículo. El accidente de tránsito no fuecausado por falla mecánica, de acuerdo a lainvestigación policial.
D. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DESILOGISMO HIPOTÈTICO O TRANSITIVIDAD
DEL CONDICIONAL:[(p q) (q r)] (p r)
DEL BICONDICIONAL:[(p q) (q r)] (p r)
Dadas las premisas infiera o derive unaconclusiónDadas las premisas infiera o derive unaconclusión.1. Si un policía es profesional y ético, es
responsable de su buena conducta. Sies responsable de su buena conducta,evita realizar acciones delictivas.ResoluciónFormalización: [(pq) r] (r s)
Razonamiento
P1: (pq) r
P2: r s /(pq) s: Si un policía esprofesional y ético, entonces evitarealizar acciones delictivas
2. Si se denuncia la comisiòn de un delito,la policìaefectùa la investigaciòn.Si lapolicía efectúa la investigación,establece la responsabilidad de losinvolucrados. ResoluciónFormalización: (p q) (q r)
Razonamiento
P1: p q
P2: q r /p r:
Conclusión: p r: Si se denuncia lacomisión de un delito, entonces lapolicía establece la responsabilidad delos involucrados.
3. Si Elizabeth viaja a Estados Unidos,visitará a su papá. Si visita a su papá,pasará buenas vacaciones.
4. Si los ladrones asaltan el Banco de laNación, el cajero aprieta el botón de
alarma. Si el cajero aprieta el botón dealarma, la patrulla policial interviene alos ladrones.
5. Si el Gobierno está a favor de lasnacionalizaciones de las empresas, estáen contra de la empresa privada. Si elGobierno está en contra de la empresaprivada, es comunista.
6. Si Bertrand Russell fue neopositivista,conformó el Circulo de Viena. Siconformó el Circulo de Viena, confiabaen la Lógica Simbólica.
7. Si Luisa obtiene buenas notas, le danuna beca. Si le dan una beca, viaja aColombia.
8. Si hay abundancia de peces, habráabundante harina de pescado. Si hayabundante harina de pescado, seincrementa la exportación.
9. Si sube la gasolina, subirá la harina detrigo. Si sube la harina de trigo, subiráel precio del pan.
E. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIADEL DILEMA CONSTRUCTIVO
[(p q) (r s) (p r)] (q s )
Dados los razonamientos deductivossiguientes. Verifique, si dichosrazonamientos son válidos o inválidos,utilizando cualesquiera de las técnicas devalidación que se le ha enseñado y usted haaprendido.
1. Si llueve, jugaremos ajedrez. Si elcampo está seco, jugaremos fútbol. Ollueve o el campo está seco. / Ojugaremos al ajedrez o fútbol.
2. Si voy al cine, no estudio. Si no voy a lafiesta, viene Felipe a Estudiar. Voy alcine o no voy a la fiesta. / No estudioo viene Felipe a estudiar. Resolución
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Formalización:
(p q) (r s) (p r )
Razonamiento
P1: p q
P2: r s
P3: p r / (q s): No estudio oviene Felipe a estudiar.
3. Si se mantiene la paz, las cienciasprogresan. Si se fomenta la guerra, lospueblos se empobrecen. O se mantienela paz o se fomenta la guerra. / Lasciencias progresan o los pueblos seempobrecen. ResoluciónFormalización: (p q) (r s) (p r )
Razonamiento
P1: p q
P2: r s
P3: p r / (q s): Las cienciasprogresan o los pueblos seempobrecen.
F. APLICANDO LA REGLA DEINFERENCIA DEL DILEMA DESTRUCTIVO
[(p q) (r s)( q s)] ( p r)
Dados los razonamientos deductivossiguientes. Verifique, si dichosrazonamientos son válidos o inválidos,utilizando cualesquiera de las técnicas devalidación que se le ha enseñado y usted haaprendido.
1. Si me encuentro con Pedro, voy aChosica. Si me encuentro con Eduardo,voy a Barranco. No voy a Chosica o novoy a Barranco. / O no me encuentrocon Pedro o no me encuentro conEduardo.
2. Si voy a Chosica, no me encuentro conPedro. Si me encuentro con Eduardo,no voy a Barranco. O me encuentro conPedro o voy a Barranco. / O voy aChosica o me encuentro con Eduardo.Resolución
Formalización:
(p q) (rs) (q s )
Razonamiento
P1: p q
P2: r s
P3: q s / (pr): No voy a Chosicao no me encuentro con Eduardo.
Regla lógica utilizada para hacerlainferencia: Dilema destructivo.
3. Si te dedicas a la ciencia, serás uncientífico. Si cultivas las artes, serás unartista. O no serás un científico o no serásun artista. / O no te dedicas a lasciencias o no cultivas las artes. ResoluciónFormalización:
(p q) (r s) (q s )
Razonamiento
P1: p q
P2: r s
P3: q s / (pr): No te dedicas a laciencia o no cultivas las artes.
Regla lógica utilizada para hacerlainferencia: Dilema destructivo.
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I UNIDAD
TEORIA DECONJUNTOS
COMPETENCIA:
Resuelve problemas aplicando conceptos enoperaciones entre conjuntos, muestra solidaridad ycolaboración con sus compañeros.
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CONJUNTO
No existe una definición; solo se puede daruna idea conceptual como colección,agrupación, clase o agregado de objetos,llamados elementos.
Notación:
Los conjuntos se nombran con letrasmayúsculas (A,B,C,D,….) y los elementos conletras minúsculas (a,b,c,…..). Así el conjuntode los diez primeros números naturalespositivos:
N 1; 2;3;4;5;6;7;8;9;10
Se observa que los elementos que vanseparados por punto y coma y encerradosentre llaves, determinan el conjunto N.
Determinación de un conjunto:
(I)POR EXTENCION:
Un conjunto queda determinado porextensión, cuando se nombra a todos y cadauno de los elementos.
A 2;4;6;8M a;e;i;o;uB 1;8;27;64;......;1000
(II) POR COMPRENSIÓN:
Un conjunto queda determinado porcompresión, cuando se nombra unapropiedad común que caracteriza a todos loselementos del conjunto, generalmente seemplea x/x: “x tal x”
A x / x es pa r; 2 x 8
B x / x es una voca l
3C x / x ;x 10
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. Relación De PertenenciaEs una relación que vincula unelemento con un conjunto.
* Si un elemento esta en un conjunto, sedice que pertenece
* Si no esta en un conjunto, se dice queno pertenece
Ejemplo:
Dado: A 2;3; 5;6
Así diremos que:
2 A 4 A3 A 5 A5;6 A 6 A
2. Relación De Inclusión O SubconjuntoSe dice que el conjunto A esta incluidoen B, si todos los elementos de A estánen B. Se denota como: A B ”Aincluido en B”
Si: A B x A x B
Ejemplo:
A n;3;5B 4;n;m;6;3;p;5
Se observa que todos los elementos de Ason también elementos de B, luego: A B .
PROPIEDADES
*Pr opiedad reflexiva : A A*Pr opiedad antisimetrica :
Si : A B B A A B*Pr opiedad transitiva :
Si : A B B C A C
SESIÓN N° 04
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3. Relación de igualdad deconjuntos
Dos conjuntos A y B son iguales cuandotienen los mismos elementos.
Si: A B A B B A
Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si,A es subconjunto de B y B es subconjuntode A.
4. Relación de contabilidad deconjuntosDos conjuntos A y B son coordinablescuando entre sus elementos puedeestablecerse una correspondenciabiunívoca.
Cuando dos conjuntos son coordínalestienen el mismo numero de elementos.
A 1;3;5;7;9son coordinables
B a;e;i;o;u
Graficándolos:
1).- Determina por extensión cada uno de lossiguientes conjuntos:
A = {x / x N ; 1 < x 5}B = {x / x N ; 3 x 6}C = {x2 / x N ; 5 x 8}D = {
51x2 / xN ; x = 3}
2).- Expresa por extensión el conjunto:A = { x2 + 1 / x Z 4 x < 9 }
a) {16, 25, 36, 49, 64}b) {15, 24, 35, 48, 63}c) {4, 5, 6, 7, 8}d) {27, 36, 47, 60, 68}e) {17, 26, 37, 50, 65}
3).- Determina por extensión el siguiente conjunto: A ={x2 + 4 / x N x 4}
a) {4, 5, 8, 13, 20} b) {0, 1, 2, 3, 4}c) {5, 8, 13, 20} d) {0, 4, 5, 8, 13}e)
4).- Expresa el conjunto:A = { 3x – 2 / x N 2< x 5 } por extensión.
a) {7,10} b) {10, 13, 16}c) {7, 10,13 } d) {5, 7, 10}e) {3, 4, 5}
5).- Determina por extensión el conjunto A y darrespuesta la suma de sus elementos:A = {x2 + 1 / x Z - 3 < x < 3 }
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
6).- El conjunto E = {x N / 32 < 4x < 60, x es númerocompuesto} determinado por extensión es:a) {8,9,10,14} b) {8,10,14}c) {8,14} d) {9,10,12,14}e) N.A.
7).- Determina por extensión el siguiente conjunto: A ={ x2-3 / x N 2 x 5 }a) {1,6,13,22} b) {2,3,4,5}c) {2,5,6,13} d) {4,5,6,22}e) {1,5,13,22}
8).- Si el conjunto R={7a + 4, b – 3, 25} es un conjunto
unitario, calculea25b
a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5
9).- Hallar a + b si A = {4a +1, 2b + 9, 3a + 4} es unitario.
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 910).- Dado el conjunto unitario:
A = {a + b, a + 2b – 3, 12}, calcule a2 + b2
13579
aeiou
A B
Cardinal de un conjunto
El cardinal de un conjunto es el número deelementos de dicho conjunto y se denota comon(A).
A 2;4;7;9 n A 4M a;b; m;n n M 3B 2,3;2;2;5;6;7 n B 5
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a) 60 b) 7 c) 80d) 90 e) 104
11).- Dado A = {a2 + b2 + c2, d + e}, B ={c2 + 1, d – e + 4, 5}. Si A=B, A es unitario c>a>b y sonnegativos.Hallar a + b + c + d.e
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
12).- Los conjuntos A={a3 + 1,10},B = {a + b, 65} son iguales, calcular el valor de a-b.
a) –2 b) –1 c) 0d) 1 e) 2
13).- Hallar el valor de (m+n) si el conjunto A={2n + 1,13, m-n} es unitario.
a) 20 b) 25 c) 30d) 35 e) 40
14).- Si se sabe que A ={m+n, m+2n-2, 10} es unconjunto unitario. Dar el valor de 3m2-n2
a) 198 b) 188 c) 178d) 168 e) 158
15).- Si los conjuntos A y B son iguales y unitarios,calcular a + b + c si :
A = {a + 3, 3b + 1} , B = {6c + 1, 8c - 1}
a) 6 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13
16).- Dado los conjunto unitarios: A = {m, 3}, b = {n, 7}.Hallar m + n
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
17).- Dados los conjuntos unitarios:A = {x + 7,2x + 5} ; B = {y – 3,5y–15}. Hallar el valor dex + y.
a) 5 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
18).- Sean los conjuntos iguales “A” y “B”, A = {x +7,6}; B = {y, 12}, calcular la suma de cifras y dar comorespuesta “x.y”.
a) 11 b) 20 c) 30d) 33 e) 12
19).- Si A, B y C son unitarios A={a + 4,b-2, 2a-4} ; B = {
33c,3
2b }; C ={ 1
3c , d – 4 }
Hallar a + b + c + d
a) 20 b) 25 c) 30 d) 37 e) 12
20).- Dados los conjuntos unitarios:A = {3a + 1; 7}, B = {3; b+c} y C = {2; bc}Donde: b > cCalcular: a –2b + 3c
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 6
21).- Si los conjuntos “A” y “B” son iguales:A = {3a + 5; 7} y B = {b/3 – 2; 5}Calcular b – a
a) 26 b) 27 c) 18d) 16 e) 28
22).- Si los conjuntos A y B son unitarios:A = {2m; 12; n + 2}B = {20; 5p; q}
Calcule la suma m + n + p + q
a) 36 b) 40 c) 48d) 46 e) 60
23).- Determina por extensión el siguiente conjunto:A = {x2 + 1 / x Z -3< x 4}
Dar como respuesta la suma de sus elementos.a) 43 b) 18 c) 35d) 38 e) 42
24).- Si el siguiente conjunto es unitario:
P= { m -7 ; 33 ; 4p + 9 }
Calcula ( m + p2 )
a) 84 b) 76 c) 52 d) 90 e) 6725).- Si el siguiente conjunto es unitario:
H = { a+15 ; b2 –4 ; 45 }
Calcula ( a + b )
a) 33 b) 24 c) 25 d) 50 e) 37
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1. CONJUNTO FINITOCuando el conjunto tiene un determinadonumero de elementos diferentes.
Ejemplos:
A 3;6;9;12B 1;3;5;7;......;29
2. CONJUNTO INFINITOCuando el proceso de contar los elementosdel conjunto no tiene limite.
Ejemplos:
A x / x es un número realB x / x es un planeta deluniverso
3. CONJUNTO VACIOLlamado también conjunto nulo; es aquelconjunto que carece de elementos. Sedenota como:
*El conjunto vació se le considera incluidoen cualquier otro conjunto.
*El conjunto vació no tiene ningúnsubconjunto propio y su número cardinal:
n 0
Ejemplos:
2A x / x x 1 0
B los cabellos de un calvo
4. CONJUNTO UNITARIOLlamado también singlé ton, es
aquel conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos:
A x / 2 x 4B BetyC
5. CONJUNTO UNIVERSAL U
Es aquel conjunto que abarca atodos los conjuntos dados y se lesrepresenta por regiones planasrectangulares.
6. CONJUNTO POTENCIASe llama conjunto potencia de A, al
conjunto formado por todos lossubconjuntos de A y se le denota como
P A .
Ejemplos:* Dado: A 4;7
Su conjunto potencia será: P A 4 ; 7 ; 4;7 ;
* Dado:
A 2;3;4P A 2 ; 3 ; 4 ; 2;3 ; 2;4 ;
3;4 ; 2;3;4 ;
El número de elementos de P A o numero
de subconjuntos de A, está dado por:
nn P A 2
Donde “n” representa el numero deelementos del conjunto A.
Ejemplos:
Si: 2A 4;7 n P A 2 4
Si: 3A 2;3;4 n P A 2 8 Si: A a;b;c;d;e 5n P A 2 32
C LAS ES D E C O N J U N TO S
M N
P
A
B
U
Numero de subconjuntospropios: Dado el conjunto A, sunúmero de subconjuntos
propios será: n2 1 .No seconsidera el mismo conjunto A.
SESIÓN N° 05
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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. UNIÓN O REUNIÓN (U)Para dos conjuntos A y B se llama unión oreunión al conjunto formado por loselementos de A, de B o de ambos. Sedenota como A B.
A B x / x A x B
Si:
A 2;3;4;6B 1;3;4;5
Luego: A B 1; 2;3;4;5;6
2. INTERSECCIÓN
Para dos conjuntos A y B se llamaintersección de A y B al conjunto formadopor los elementos que pertenecen a A y a B(elementos comunes).
Se denota como A B .
A B x / x A x B
Si: A ; ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 1 3
B ; ; 4 ; 5 ; 10 ; 11 ; 12 2 3Luego: A B ; 4 ; 5 3
3. DIFERENCIA (–)
Para dos conjuntos A y B, se llamadiferencia de A con B, al conjunto formadopor todos los elementos de A, que no sonelementos de B, Se denota por A–B.
A B x / x A x B
Si: A ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8 2
B 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 9
Luego: A B 6 ; 8
1) P A , puesto que A2) A P A , puesto que A A3) P4) Si A B P A P B5) Si A B P A P B6) P A P B P A B7) P A P B P A B
PROPIEDADES
A BU
1) A A AIdempotencia2) A B B AConmutativa3) A B C A B C Asociativa4) A5) A A6) Si :A B A B B7) SiAy B son disjuntos
n A B n A n B8) SiAy B son dosconjuntos no compa
rables,con una región común :n A B n A n B n A B
PROPIEDADES
A BU
1) A A A Idempotencia2) A B B A Conmutativa3) A B C A B C Asociativa4) Si : A B A B A5) A6) A U A7) Si :A B A y B son disjuntos8) A A C A9) Si: A B C
A B A C10) A B C A B A C A B C A B A C
PROPIEDADES
A BU
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AB
AB4. DIFERENCIA SIMETRICA
Para dos conjuntos A y B, se llamadiferencia de A y B, al conjunto formado porlos elementos que pertenecen a la unión deA y B; pero no pertenecen a la intersecciónde A y B.
Se denota por: A B
A B x / x A B x A B
Formas usuales:
A B A B A B
A B A B B A
Si: A ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 2
B ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 1Luego:
A B 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 2 ; 4
A B 1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9
5. COMPLEMENTACIÓN
Para dos conjuntos A y B, donde A es unsubconjunto de B.
Se denota BC A ; se lee complemento de Arespecto a B.
B C A B A
* El complemento de un subconjunto Arespecto del conjunto universal U.
C A A' U A
A' x / x U x A
Ejemplo:
Si: A 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8
B 1 , 3 , 4 , 5 , 9 Hallar:B AC
Resolución:
Como:B A B AC
B AC 1 , 3 , 4 , 5 , 9 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8
B AC 1 , 5 , 9
1 , 5 , 9 Rpta.
1) A A2) A3) A B B A4) A B B5) A B A B A B6) A B A B7) A B A B B A A B8) A B A B A
PROPIEDADES
A BU
1) A' U A2) U'=3) ' U4) A A'=U5) A A'=6) A' ' A7) A B ' A' B'
Leyes de Morgan A B ' A' B'
PROPIEDADES
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1) a ; b A B a A b B2) A B B A ; A B
3) A O
O
4) A B C A B A C5) A B C A B A C6) A B C A B A C7) n A B n A n B8) Si: A B A C B C
Propiedades
PRODUCTO CARTESIANO
Dados los conjuntos A y B, se llamaproducto cartesiano de A por B, al conjuntoformado por todos los pares ordenados a ; b , tales que a A y b B .
Se denota por: A B
A B a ; b / a A b B
Ejemplo:
Si: A 1 ; 2 ; 3
B 1 ; 2
Hallar: A B
Resolución:
A B 1 ;1 ; 1 ; 2 ; 2 ;1 ; 2 ; 2 ; 3 ;1 ; 3 ; 2
Grafica de A B
Diagonal de un Conjunto:
Dado el conjunto A, la diagonal delproducto A A que se denota A , se
define por:
A x ; y
Ejemplo:
A a ; b ; c
B 1 ; 2 ; 3 ; 4
Hallar: A y B
Resolución:
A a a ; b b ; c c; ; ;
B 1 1 ; 2 2 ; 3 3 ; 4 4; ; ; ;
NUMERO DE ELEMENTOS DE UNCONJUNTO
Si:A B O n A B n A n B
Si:A y B son dos conjuntos cualesquiera
n A B n A n A B
Si:
A y B son conjuntos tales que A B O
n A B n A n B n A B
2
1
1 2 3 A
B
A B
A B
A B
42
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Si: A B C O
n A B C n A n B n C
n A B n A C
n B C n A B C
PAR ORDENADO:
Par ordenado es un ente matemáticoconstituido por dos elementos (a ;b) parordenado
Se cumple que:
a ; b b ; a
Si: a ; b c ; d a= c b= d
Para los problemas
1 Si: A 3, 6
B 2, 4, 6
Hallar la suma de los términos del conjunto: A B A B
a) 10 b) 12 c)14 d) 13 e) 11
Resolución:
A B 2, 3, 4,6A B 3
Luego:
A B A B2, 3, 4,6 3 2, 4,6
Piden: 2 4 6 12
2 Hallar: x 3y , si:3 x2x 1, y 5 23,2 3
a) 14 b) 13 c)11 d) 15 e) 16
Solución:
Por pares ordenados iguales
* 2x 1 23 x 123 12 2* y 5 y2 3 3
Luego piden:212 33
12 2 14
3 Si: A 5, 2 , 9
Señale la expresión falsa:
a) 2 A
b) 2 A
c) 9 Ad) 5, 9 A
e) 5, 2 A
A B
C
1 2 3A B
1 : sólo A2: A y B3: sólo B1 y 2: A2 y 3: B1 , 2 y 3: A ó B
1 2 3
4567
A B
C
1 : sólo A3: sólo B7: sólo C2: sólo A y B4: sólo B y C6: sólo A y C5: A , B y C25: A y B45: B y C56: A y C
SESIÓN N° 06
43
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Resolución:
Se observa en el conjunto A que loselementos 5 y 9 pueden formar un conjunto 5, 9 , luego 5, 9 A , lo falso seria (d).
45 De un grupo de 41 personas 15 noestudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 notrabajan ¿Cuántos trabajan y estudian?a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 3
Resolución:
Del gráfico, se tiene:* y w z 15 41 y+ w+ z= 26 ….. ( I )* w 15 28 w= 13 * y 15 25 y= 10 Reemplazando en ( I )13 10 z 26 z 3 Rpta.
6 De un grupo de 17 personas, 13tienen bigote, 4 son calvos y 3 son calvosque usan bigotes. ¿Cuántos no son calvos niusan bigotes?a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolución:
Formando ecuaciones:
x 3 13 x= 10
y 3 4 y= 1
10 3 1 z 17
z 3 Rpta.
7 Se tienen 65 banderas que tienenpor lo menos dos colores. 25 tienen rojo yazul, 15 banderas rojo y blanco y 35 tienenblanco y azul. ¿Cuántas banderas tienen los3 colores mencionados?a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
Resolución:
“x”: # banderas que tienen 3 colores
No hay banderas de un solo color
De la figura se tiene que:
25 x x 35 x 15 x 65 10 2x x= 5 Rpta.
8 Cotos come fréjoles y/o tallarines ensu almuerzo, cada día, durante el mes defebrero de 1988. Si come 19 días fréjoles y23 días tallarines. ¿Cuántos días comefréjoles con tallarines?a) 12 b) 8 c) 10 d) 14 e) 13
Resolución:
19 x x 23 x 29 x 13 Rpta.
En un grupo de 55 personas, 25 hablanIngles, 32 francés, 33 alemán y 5 los tresidiomas. ¿Cuántas personas del grupohablan dos de estos idiomas?
a) 40 b) 37 c) 25 d) 22 e) 38
41
15
Estudian Trabajan
y z w
17
z
con bigote calvos
x 3 y
13 4
15 x 35 x
25 x
R A
B
x
3515
25
19 x 23 xx
F T
44
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Resolución:
Del grafico se tiene que:
a b c x y z 50 …. ( I )a x y 20
b y z 27
c x z 28
a b c 2 x y z 75 …. ( II )
( I ) en ( II )50 x y z 75
x y z 25 Rpta.
9 ¿Cuántos subconjuntos se formarancon 6 elementos?a) 63 b) 64 c) 61 d) 68 e) n.a.
Resolución:
Recordado que:
n# Subconjuntos 2=
6n 2 2 64=
# Subconjuntos = 64 Rpta.
10 Sean A y B dos conjuntos contenidosen un universo, si: A B B A A B . ¿ Cual de las
siguientes proposiciones es falsa?
a) A A B b) A B O
c) B B A d) B A'
e) A B ' A B
Resolución:
Como: A B B A A B
Quiere decir que A y B son conjuntosdisjuntos, para las alternativas se tendráque:
A A B (Verdadero)
A B O (Falso)
B B A (Verdadero)
B A' (Verdadero)
A B ' A B (Verdadero)
A B O Rpta.
11 Si: A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56
Determinar el conjunto dado porcompresión
a) 2 x 1 / x x 7
b) 2 x x / x x 6
c) x x+ 1 / x x 7
d) 2 x x / x 1< x 8
e) 2 x x / x x 8
Resolución:
A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56
A 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , 6 7 , 7 8
Lo elementos son de la forma:
x x 1 Donde:
x 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7
x x+ 1 / x x 7 Rpta.
x
y
z
a b
c
I 25 F 32
A 33
5
45
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Cuantos sub conjuntos tiene “A”
2A x 2 / x 1 x 5
a) 16 b) 8 c) 32 d) 64 e) n.a.
Resolución:
x 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4
Reemplazando en: 2x 2
9 , 4 , 1 , 0 , 1 , 4
A 9 , 4 , 1 , 0
Total de sub conjuntos es:
42 16 Rpta.
12 Si A 3 , 6
B 2 , 4 , 6
Hallar la suma de los términos del conjunto: A B A B
a) 10 b) 14 c) 11 d) 12 e) 13
Resolución:
A B 2 , 3 , 4 , 64
A B 3
Luego: A B A B
2 , 3 , 4 , 6 3 2 , 4 , 6
Piden: 2 4 6 12 Rpta.
13 Hallar: x 3y , si:3 x2x 1 ; y 5 23 ;2 3
a) 14 b) 11 c) 16 d) 13 e) 15
Resolución:
Por pares ordenados iguales
2x 1 23 x= 12
3y 12 25 y=2 3 3
Luego piden:
2x 3y 12 33
14 Rpta.
14 Si: A 5 , 2 , 9
Señale la expresión falsa:
a) 2 A b) 2 A
c) 5 , 9 A d) 5 , 2 A
e) 9 A
Resolución:Se observa en el conjunto “A” que loselementos 5 y 9 pueden formar un conjunto 5 , 9 .
Luego: 5 , 9 A
15 La diferencia simétrica de dosconjuntos A y B se define:
A B x / x A B A B
Si se define los conjuntos: U x / x x< 10
A x / x U x es d ivisor de 12
B x / x U x es impar
¿Cuántos elementos tiene CA B ?
a) 1 , 3 , 8 b) 1 , 4 , 8
c) 1 , 8 , 3 d) 3 , 1 , 8
e) n.a.
Resolución:
A246
13
57
9
8
B
U
46
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U 1 , 2 , 3 , ....... , 9
A 1 , 2 , 4 , 6
B 1 , 3 , 5 , 7 , 9
A B 2 , 4 , 6 , 5 , 7 , 9
CA B 1 , 3 , 8 Rpta.
16 Dado: A n m , n+ p , 8
B m p , 10 Unitarios
Hallar: m n p
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5Resolución:m n n p m= p m p 10 2m= 10
De donde: m p 5
n m 8 n= 3
Luego: m n p 3 Rpta.
17 Si: # P A 256
# P A B 16
# P B 64
Calcular: # P A B
a) 1 024 b) 2 048 c) 360
d) 512 e) 256
Resolución:
8# P A 256 2 # A 8
6# P B 64 2 # B 6
4# P A B 16 2 # A B 4
# A B # A # B # A B
8 6 4
1 0
10# P A B 2 1 024 Rpta.
18 En un aula de 43 alumnos, 5 sonmujeres que estudian R.M. y 28 sonhombres y el número de hombres que noestudian R.M. es el doble del número demujeres que tampoco lo hace. ¿Cuántoshombres estudian R.M.?a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) n.a.
Resolución:
El número de mujeres que noestudian R.M. es: 15 5 10
El número de hombres queestudian R.M. está dado por:
x 28 20 8 Rpta.
19 De 80 personas que hablan algunode los idiomas: Castellano, Inglés y Francés,se tiene que 40 hablan castellano, 46hablan Inglés, 35 hablan Francés, ademáslos que hablan Castellano no participannunca en el Francés. ¿Cuántos hablan dosde dichos idiomas?a) 16 b) 48 c) 41 d) 50 e) n.a.
Resolución:
Hablan Ingles: I 46
Hablan Castellano: C 40Hablan Francés: F 35Hablan 2 Idiomas: x y
Luego: I C F 80
40 x x 46 x y y 35 y 80 De
donde se tiene que:
x y 41 Rpta.
20
x
10
5
H 28 M 15
40 x x y 35 y
C I F
47
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21 En una ciudad de cada 100hombres, 85 son casados 70 son abonadosal teléfono, 75 tienen auto y 80 sonpropietarios de su casa ¿Cuál es el numeromínimo de personas que al mismo tiemposon casados, poseen teléfono oculto y casapropia.a) 5 b) 10 c) 65 d) 25 e) 45
Resolución:
C Hombres casados n C 85
T Abonados a l te lefono n T 70
A Poseen auto n A 75
P Poseen casa propia n P 80
Se pide calcular el numero mínimo de C T A P
Graficando:
Luego piden: c x a m í n imo
Siendo x C T P A , entonces el valorde “x” el mínimo valor se tiene:85 v a c d p q r x.... (1)70 w a b d q n s x..... (2)80 y b c d r s m x..... (3)75 y b c d r s m x.... (4)100 y w z y a b c d
p q r s n m s........
(5)
Sumando (1) (2) (3) y (4)
310 v w z y 3 a b c d
2 p q r s n m 4x...
( )
La ecuación (5) se multiplica por 3
tenemos(agrupando convenientemente)
300 3 v w z y 3 a b c d3 p q r s n m 3x.......
Luego: ( )-
10 x 2v 2w 2y 2z p q r s m n
10 x
Como “x” mínimo entonces es mínimo esdecir = 0.
Entonces: x 1 0
Graficando:
Como =0 entonces:
v w y z p q r s m n 0
Luego:
85 b 100 b 15
70 c 100 c 30
75 a 100 a 25
80 d 100 d 20
Finalmente: n C T A P c 10 a 65
En el problema el “x” mínimo es igual: (son4 conjuntos)
x 85 70 75 80 4 1 100
x 10 Rpta.
C 85 T 70
A 75 P 80
vw
z
p
q
ym
na
bc
d xn
s
C 85 T 70
A 75 P 80
a
bc
d10
48
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22 Cual de las siguientes alternativas lecorresponde al diagrama mostrado, si”x” esel complemento de “x” en el universo.
I C B A A B C
II C ' B A B C '
III C B ' A B C
a) I b) II c) III d) I y III e) Todas
Resolución:
(1)= A B C
(2)= B C A
Luego: (1) (2) A B C B C A
A B C B C A Rpta.
23 Se tiene los conjuntos A, B, Csubconjuntos de los números naturales, A esel conjunto de los múltiplos de 3, B es elconjunto de los múltiplos de 4v menores que24 y C es el conjunto de los divisores de 48.Hallar la suma de los elementos de ladiferencia: C A B
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3
Resolución:
A, B, C N
A x / x 3 0;3;6;..............;3n
B x / x 4 x 24
B 0;4;8;12;16; 20
C x / x es divisor de 48
C 1; 2;3;4;8;12;16; 24;48
C A B 1; 2
Por lo tanto la suma de los elementos:1 2 3 Rpta.
24 Se tiene 2 conjuntos A y B tal que launión de A y B tiene 36 elementos, elnumero de elementos de A es a la mitad delnumero de elementos de B. Los elementoscomunes de A y B son la mitad de loselementos no comunes, hallar el numero deelementos de B.a) 12 b) 24 c) 32d) 30 e) 80
Resolución:
n A B 36............... (1)
1n A n B2
n B 2n A
Se sabe: n A B nA nB n A B
36 nA 2nA n A B
3n A n A B 36
Además:
n A B n A n B 2n A B
2n A B n A n B 2n A B
4 n A B 3n A
De (1) y (2)
n A B 12 n A 16
n B 32 Rpta.
A
B
C
A
B
C
1 2
49
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1. Una persona come huevo o tocinoen el desayuno cada mañana durante elmes de Enero. Si come tocino 25 mañanas yhuevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanascome huevos y tocinos?a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
2. En un grupo de 55 personas, 25hablan ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 delos tres idiomas. ¿Cuántas personas delgrupo hablan sólo 2 de estos idiomas?a) 15 b) 20 c) 25d) 30e) 35
3. El resultado de una encuesta sobrepreferencia de jugos de frutas de manzana,fresa y piña es la siguiente: 60% gustanmanzana, 50% gustan fresa, 40% gustanpiña, 30% gustan manzana y fresa, 20%gustan de fresa y piña, 15% gustan demanzana y piña, 5% gustan de los tres.¿Qué porcentaje de las personasencuestadas no gustan de ninguno de losjugos de frutas mencionado?a) 10% b) 11% c) 12%d) 13% e) 15%
4. ¿Cuántas de las siguientesoperaciones con conjuntos sonconmutativos?
I) UniónII) IntersecciónIII) DiferenciaIV) Diferencia simétricaV) Producto cartesianoa) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) Todas
5. Sean: A 1 , 2 , 3 y ,B 4 5
¿Cuántas de las siguientes afirmaciones sonciertas?
* ,2 4 A B * ,4 2 A B
* ,5 2 B A * ,3 4 A B
* ,3 4 B A
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.a.
6.¿Cuántos subconjuntos se pueden formarcon 6 elementos?a) 32 b) 23 c) 46 d) 64 e) 128
7. Indicar la verdad (V) o falsedad (F)de las siguientes proposiciones:I. Cuando el conjunto A contiene uno o
más elementos que no contiene B,diremos que B es un subconjunto propiode A.
II. Todo conjunto es subconjunto delconjunto universal
III. Al conjunto universal se le designa elvalor de 1
IV. El conjunto vació es subconjunto e todoconjunto.
a) VFVV b) FVVV c) VVVV
d) VVFV e) FVFV
8. Si se determina por comprensión elconjunto:
M 0 , 2 , 4 , 8 , 10 , 12 , ......
se tiene:
a) M x / x es un número par
b) M x / x 2n ; 0 n
c) M x / x N N= serie de números pares;
d) M 2x / x
e) n. a.
9. Dado el conjunto:
3 2F x / x 2x 2x 2 0
¿Cuál es su valor determinado porextensión?
a) F 1 , 0 , 2
b) F 2 , 1 , 1
c) F 2 , 1 , 0 , 1
d) F 1 , 1 , 2
e) n.a.
50
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10. ¿A que operación de conjuntoscorresponde el siguiente gráfico?a) BUC Ab) B A C c) A C B d) B C A e) AUC B
11. Si el conjunto: 3 2A x / x , 4 x 11x 30 0 se interfecta
con el conjunto de los números naturales,el número de elementos de la intersecciónes:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)n.a.
12. En un salón de clases de 65alumnos, 20 son mujeres, donde a 53 labiblioteca les presta en libro de química acada uno y 8 mujeres tuvieron que comprarel libro. ¿Cuántos hombres se compraron ellibro de química, si se supone que todos losalumnos tienen el libro?a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5
13. Al encuestar a un grupo dealumnos se observó que la mitad de ellospostulan a San Marcos, los 7/12 postulabana Villarreal, 1/6 postulaba a ambasuniversidades y los 220 alumnos restantesaun no decidían donde postular. ¿Cuántosfueron los alumnos encuestados?a) 2 340 b) 3 250 c) 2 640
d) 3 520 e) 3 125
14. En un aula 80 alumnos hanrendido 3 exámenes de ellos 42 aprobaronel primero, 38 el segundo, 49 el tercero, 18los tres exámenes; además 10 aprobaronsolamente los 2 primeros. ¿Cuántosalumnos aprobaron por lo menos 2exámenes?a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32
15. El conjunto: C A CB CA
equivalente a:a) CA CB A b) A B B
c) CA A B d) A CA B
e) El conjunto universal
16. El 65% de la población de unaciudad no ve el canal A de Tv. Y el 50% nove el canal B, si el 55% ve el canal A o elcanal B, pero no los dos canales, elporcentaje de la población que ve amboscanales es:a) 20% b) 18% c) 13%
d) 12% e) n.a.
17. 17. De 81 personas se sabe que 48van a la playa, 42 al cine, 50 al teatro, 21 ala playa y al cine, 18 al cine y al teatro, 35 ala playa y al teatro, además todos van por lomenos a un lugar. ¿Cuántas personas van alos 3 lugares?a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
18. Ciertos datos obtenidos en unestudio de un grupo de 1 000 empleadosreferente a la raza, sexo y estado civil,arrojaron los siguientes resultados: 322 sonhombres, 470 son casados, además habían42 varones de color, 147 personas de coloreran casados y habían 25 hombres de colorcasados. ¿Cuántas mujeres eran solteras?a) 129 b) 219 c) 294 d) 315 e) 351
19. Durante el mes de febrero de 1984Raúl Peralta fue a ver a su novia Pilar en lasmañanas o en las tardes o en ambas horas,si 14 días lo vio en la mañana y 20 días la vioen las tardes. ¿Cuántos días la vio en ambashoras?a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
AB
C
51
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20. Determinar A por extensión:
nA / n , 1 n 3n
2 42
a) A 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
b) A 1 , 2 , 3 , 4 , 5
c) A 1 , 2 , 4 , 5
d) A 1 , 2 , 3 , 5
e) A 1 , 2 , 3 , 4
21. 21. Sean A y B dos conjuntos talesque:
n A B 24
n A B 10
n B A 6
Hallar: 5n A 4 n B
a) 36 b) 34 c) 28 d) 32 e) 30
22. Para un conjunto “x”, el númerode elementos de “x” dentamos por n(x) yP(x) denota al conjunto de subconjuntos de“x”, según esto, si n(A)=4; n(B)=3 y
n A B 2 . Hallar la suma:
n P A P B n P A B
a) 50 b) 48 c) 63 d) 52 e) 20
23.Dado el conjunto y los subconjuntos A, By C, se tiene los siguientes datos:n(U)=44 ; n(A)=21 ; n(B)=17
n A C 14 ; n B C 12
n A B C ' 3 ;
n A B C 5 y
n A B C ' 6 .
Hallar: n(C)a) 30 b) 28 c) 29 d) 25 e) 20
24. Si n(A) 8 ; n(B) 8 ; n(C) 5 yn(D) 5 , el número máximo de elementosde AUC es k y el número máximo deelementos de B D es “h”. Hallar el valorde “h.k”a) 60 b) 65 c) 25 d) 40 e) 83
25. Un club consta de 78 personas, deellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23vóley, además 6 figuran en los tres deportesy 10 no practican ningún deporte. Si “x” esel total de personas que practicanexactamente un deporte “y”, el total depersonas que practican exactamente dosdeportes; Hallar “x-y”a) 12 b) 18 c) 20 d) 15 e) 17
26. Supóngase que Mary come huevoso tocino en el desayuno cada mañanadurante el mes de enero (31 días). Si cometocino durante 25 mañanas y huevosdurante 18 mañanas. ¿Cuántas mañanascome solamente huevos?a) 7 b) 6 c) 9 d) 5 e) 10
27. De 120 personas de unauniversidad obtuvo la información: 72alumnos estudian el curso A, 62 alumnosestudian el curso B, 36 alumnos estudian elcurso C, 12 alumnos estudian los trescursos. ¿Cuántos alumnos estudianexclusivamente 2 cursos?a) 25 b) 20 c) 9 d) 28 e) 22
28. De un grupo de 40 personas, sesabe que: 15 de ellas no estudian nitrabajan; 10 personas estudian y 3 personasestudian y trabajan. ¿Cuántas de ellasrealizan solo una de las dos actividades?a) 22 b) 24 c) 28 d) 27 e) 26
29. Si los conjuntos A y B son talesque: n A B 30 ; n A B 12 y
n B A 10 ; Hallar: n A n B
a) 30 b) 39 c) 40 d) 28 e) 38
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30. De una encuesta hecha a 135personas para establecer preferencias delectura de las revistas A, B y C se obtienenlos siguientes resultados: Todos leen algunade las 3 revistas; todos menos 40 leen A; 15leen A y B pero no C; 6 leen B y C pero no A;10 leen solo C. El número de los que leen Ay C es el doble del número de los que leenlas 3 revistas. El número de los que leensolo B es el mismo que el total de los queleen A y C. Según todo esto, hallar elnúmero de los que leen A solamente.a) 58 b) 42 c) 56 d) 37 e) 60
31. Si:
3 2M x / x 7x 6x 0
N x / 2 x 6
Hallar: M N M N
a) N b) M c) 0 d) 0 ,1 e) 1
32. Si: A x / x 2
B x / 2 x 2
Hallar: n A B
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
33. Siendo: P x / x , x< 8
P x / x , x> 4
¿Calcular la suma de los elementos deP Q ?a) 18 b) 16 c) 21 d) 20
34. De un grupo de 40 personas sesabe que: 24 bailan, 10 mujeres cantan, 8personas no cantan ni bailan y 7 mujerescantan y bailan. ¿Cuántos hombres sólocantan?a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6
35. En un instituto de 77 alumnos, sesabe que de los 3 idiomas que enseñan, losque estudian sólo un idioma son 28 más, delos que sólo estudian 2 idiomas. Si ademásson 3 las personas que estudian los 3idiomas. ¿Determinar cuantos estudian solodos idiomas?a) 20 b) 21 c) 24 d) 25 e) 23
36. Un club tiene 48 jugadores defútbol, 25 de básquet y 30 de béisbol. Si eltotal de jugadores es 68 y sólo 6 de ellosfiguran en los 3 deportes. ¿Cuántos figuranexactamente en 1 deporte?a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40
37. Según la figura. Cuales son laszonas que representan a:
A B ' C A '
a) 5
b) 5
c) 5 , 2
d) 5 , 2 , 3
e) n.a.
38. En un salón se hizo una encuesta,donde 3/5 postulan a la S.M; 9/20 postulana la U.N.F.V.; 1/4 postulan a las 2universidades y 24 postulan sólo a la UNI.¿Cuántos alumnos postulan a S.M.?a) 72 b) 84 c) 64d) 48 e) 75
39. En un evento, el 60% de losparticipantes hablan Ingles y el 25%portugués, si el 20% de los que hablanIngles, también hablan portugués, además 1200 hablan sólo Ingles. ¿Cuántos participanen la reunión?a) 620 b) 520 c) 650 d) 340 e) n.a.
A B U
5 2 713 46C
53
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1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9.
c c a b d d c e e
10. 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18.
d b c c d e e e c
19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.
b d b d c b a b d
28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35 36.
a e c b c a d e d
37. 38. 39.
a a e
54
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II UNIDAD
MATEMÁTICAFINANCIERA
COMPETENCIA:
Aplica propiedades en situaciones reales de su entornoutilizando las matemática financiera
Respeta la opinión de sus compañeros.
Es perseverante para resolver problemas propuestos sobrematemática financiera
55
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RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓNSe llama razón a la comparación de doscantidades. Esta comparación se puedehacer de dos maneras:
Razón Aritmética (r):
Es la comparación entre dos cantidades pormedio de una diferencia.
. a – b . a : Antecedenteb: Consecuente
Razón Geométrica (k):
Es la comparación entre dos cantidades pormedio de un cociente.
.ba . a : Antecedente
b: Consecuente
PROPORCIÓNDado cuatro números diferentes de cero, enun cierto orden, formarán, una proporción, sila razón de los primeros es igual a la razónde los últimos. Esta proporción puede ser:aritmética, geométrico armónico
Proporción Aritmética oEquidiferencia
Si a – b = r y c – d = r, entonces:
. a – b = c – d . . a + b = c + d .
CLASES
DiscretaCuando todos los términos son diferentesentre sí donde:
. a – b = c – d . . d: 4ta diferencial .
ContinuaCuando los términos medios son iguales:
. a – b = b – c . .2
cab .
.encialera. difer3c:
ritmética o media aiferencialb: media d
Proporción Geométrica o Equicociente:
Si:ba = k y
dc = k entonces
NOTA: . a . d = b . c .
.dc
ba
.Extremos:d,aMedios:c,b
CLASESDiscretaCuando los términos son diferentes sí donde:
.dc
ba
. . d: 4ta proporcional .
ContinuaCuando los términos medios son iguales
.cb
ba
.
NOTA:. a . c = b2. . c.ab .
rcionalera. propo3c:geométrical o mediaroporcionab: media p
SESIÓN N° 07
56
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SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICASEQUIVALENTES
Se denomina así al conjunto de más de dosrazones que tiene el mismo valor
. kb.....bbba.....aaa
n321
n321
.
. n
n321
n321 kb............bbba.............aaa
.
Ejemplo: 1 / 2 = 2 / 4 = 3/ 6 = 4 / 8 = 0,5
En general definimos la serie:
. kba...............
ba
ba
aa
n
n
3
3
2
2
2
1 .
donde:a1, a2, a3, ......... an : Antecedentesb1, b2, b3, ......... bn: Consecuentes
k : Constantes de
1. Hallar la 3ra diferencial de 17 y 12
Rpta. 7
2. Hallar la 4ta diferencial de 10,7 y 5
Rpta. 2
3. Dos números están en relación de 3 a 7(o forman una razón de 3/7) y su sumaes 400. Hallar el mayor de los números.Rpta. 280
4. La diferencia de 2 números es 244 yestán en relación de 7 a 3. ¿Cuál es elmayor de los números?
Rpta. 4275. La cifra especializada ha determinado
que existe una posibilidad contra 3 de
que “Universitario” derrote al “Alianza”. Si
las posibilidades de que “Alianza” le
gane al “Muni” están en la relación de 5
a 2. ¿Qué posibilidad tiene
“Universitario” de vencer al “Muni”?
Rpta. 5 contra 6
6. Si Juan le da a Pedro 10m de ventajapara una carrera de 100m; y Pedro le daa Carlos una ventaja de 20m para unacarrera de 180m. ¿Cuántos metros deventaja debe de dar Juan a Carlos parauna carrera de 200m?
Rpta. 40 m7. Lo que cobra y lo que gasta diariamente
un individuo suman S/. 60, lo que gastay lo que cobra está en relación de 2 a 3.¿En cuánto tiene que disminuir el gastodiario para que dicha relación sea de 3 a5?Rpta. S/. 2, 4
8. Un cilindro de 60lit. de capacidad, fuellenado completamente por 4 recipientesdonde el volumen del primero es alsegundo como el tercero es al cuartocomo 2 es a 1. Hallar la suma de losvolúmenes del segundo y cuartorecipiente.Rpta. 20 lit.
9. La relación entre 2 números es de 11 a14. Si a uno de ellos se le suma 33unidades y al otro se le suma 60entoncesambos resultados seríaniguales. Hallar dichos númerosRpta. 99 y 126
10. Dos números están entre sí como 7 es a
12. si al menor se le suma 70, para que el
valor de la razón no se altere, entonces el
valor del otro número debe triplicarse.
Hallar el mayor de los 2 números
Rpta. 60
11. Determine la tercia proporcional entre la
media proporcional de 9, 16 y la cuarta
proporcional de 10, 15 y 14
Rpta. 36, 75
12. En una asamblea estudiantil de 2970estudiantes se presentó una moción. Enuna primera votación por cada 4 votos afavor habían 5 en contra Pedida lareconsideración se vio que por cada 8votos a favor habían 3 en contra.¿Cuántas personas cambiaron deopinión?. No hubo abstenciones.Rpta. 840
57
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14
13. En un fabrica embotelladora se tienen 3
máquinas A, B y C, por cada 7 botellas
que produce la máquina “A”, la máquina
“B” produce 5 por cada 3 botellas que
produce la máquina “B”, la máquina “C”
produce 2. En un día la máquina “A”
produjo 4400 botellas más que “C”.
¿Cuántas botellas produjo la máquina
“B” ese día?
Rpta. 6000
14. En una proporción geométrica continua
el producto de los 4 términos es 1296 y
el producto de los antecedentes es 24.
hallar la tercia proporcional.
Rpta. 9
15. La suma, diferencia y el producto de 2
números están en la misma relación que
los números 5, 3 y 16. hallar estos
números.
Rpta. 4 y 16.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hallar la 3ra diferencial de 19 y 11
a) 1 b) 2c) 3 d) 5e) 7
2. Hallar la 4ta diferencial de 18, 15 y 12
a) 6 b) 8c) 9 d) 12e) 15
1. Si:43
ba . Hallar “b”;
Si: a + b = 140
a) 60 b) 80c) 100 d) 120e) 140
2. Si:653zyx
, x + y + z = 56
Hallar “z”
a) 12 b) 20c) 24 d) 26e) 30
5. Si:243zyx
; x . y . z = 192
Hallar “x + y + z”
a) 6 b) 8
c) 12 d) 18
e) 20
6. Si:cba152
; a + b + c = 96
Hallar “c”
a) 60 b) 12c) 24 d) 14e) 20
7. Si:43
ba . Si b – a = 15
Hallar “a + b”
a) 45 b) 60c) 105 d) 120e) 150
8. Si:352cba
y a2+ b2+ c2=152
Hallar “a + b + c”
a) 20 b) 21c) 22 d) 23e) 24
9. Si:635cba
y a + c= 66.
hallar “b”
a) 30 b) 36c) 18 d) 16e) 18
Si:3
22
1
ba ,además,a + b + 3 = 20
Hallar “a”
58
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a) 5 b) 7c) 9 d) 10e) 12
CLAVES
1. C
2. C
3. B
4. C
5. D
6. B
7. C
8. A
9. C
10. B
PROGRESIONES: ARITMÉTICAY GEOMÉTRICA
PROGRESIÓN ARITMÉTICAEs aquella sucesión de términos que secaracteriza por ser cualquier termino de ellaaumentando una cantidad constante llamadarazón (r)
Representacióna1 . a2 . a3 . .............. an a1 . a1 + r . a1 + 2r ........ . a1 + (n - 1)r
ELEMENTOS DE P.A.
Inicio de la P.A an término enésimoa1 primer término r razón de la P.Aseparación de términos Sn Suma de nprimeros términos
CLASES DE P.ADe acuerdo a la razón:
Si r > 0 P. A. CrecienteSi r < 0 P. A Decreciente
PROPIEDADESCalculo de la razón:
Sea a1 . a2 . a3 . ................ . anr = a3 – a1En general: . r = an – an – 1.
En total P.A la suma de los términosequidistante de los extremos son iguales.
Para hallar un término enésimo últimocualquiera
.an = a1 + (n - 1) . r .
Ejemplo: Hallar el 15avo termino:
3 . 5 . 7 . 9 ...............
Resolución
Usemos: an = a1 + (n – 1)r del ejercicioa1 = 3; n = 15; r = 2
Reemplazandoa15 = a1 + (15 - 1) . ra15 = 3 + (14) . 2a15 = 31
Términos central de una P. A
.ac =2
1aan .
Existe cuando “n” es impar
Ejemplo:Hallar el término central
osmintér15
..........12.9.6.3
Resoluciónac =
23na , tenemos que hallar an
a15 = 3 + (15 - 1) . 3
a15 = 45
Por tanto:
ac =2
345 ac = 24
Suma de una P. A
59
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Sn =
2
1aan . n
Ejemplo:Hallar “S”
S = ostér min17
...........8642
S17=
2
2na . 17
Hallar a17= ?
a17 = 2 + (17 - 1) . 2
a17 = 2 + 16 . 2 a17 = 34
Luego:
S17=
2234 . 17
S17 = 18 . 17
S17 = 306
Además: Si n es imparEntonces Sn = ac . n
OBSERVACIÓN:
EN LA PRACTICA, PARA REPRESENTAR A UNA P.Aa1 . a2 . a3 . …….. . anSE UTILIZA LA SIGUIENTE FORMA: a1, a2, a3 . ……… , anCOMO VERÁS SE REEMPLAZA LA COMA POR ELPUNTO
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Es una sucesión de términos en la cual untérmino es igual al anterior multiplicado poruna cantidad constante llamada razón (q)Representación:
t1: t2: t3: t4: ........: tnt1: tq: t2q2: t1 q3: ........: tn . qn- 1
OBSERVACIÓN:RESULTA MUY INCOMODO TRABAJAR CON TODOS LOSSÍMBOLOS QUE REPRESENTA A UN P.G POR LOTANTO UTILIZAREMOS A ESTA SUCESIÓN NUMÉRICA.
Elementos de la PG:
inicio de la PG.t1 primer término (t1 0)
: separación de términosq razón geométrica (q 0)tn términos enésimoSn suma de “n” primeros términosPn producto de los “n” primerostérminos
Clases de PG
Si q > 1 PG es crecienteSi 0 < q < 1 PG es DecrecienteSi q < 0 PG es Oscilante
PropiedadesCalculo de la razón (q)
Sea la PG
t1: t2: t3: ........... : tn
q =1
2
tt
=12
3 .............
n
n
tt
tt
Calculo del termino enésimo de un PG.
.tn = t1 . qn- 1.
Ejemplo:Hallar 9no término en
,91,
271,
811 ........
ResoluciónHalando la razón:
q =2781
811
271
q = 3
Calculando el t9
tg = 193.811
tg = 84 3.
31
tg = 34
tg = 81
En total PG. El producto de los términosequidistantes de los extremos es igual
60
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Término central de una PG.
. Tc = ntt .1 . n impar
Cuando el número el términos (n) es impar
Ejemplo:Hallar el término central
ostér min15
.............,12,6,3
Resolución
Tc = 15.3 t
Hallando t15:
t15 =3 . 215 – 1
t15 = 3 . 214
Reemplazandotc = 142.3.3
= 142 2.3
=7142 2.3
= 3 . 27
= 3 . 128.tc = 384 .
Suma de una PG de un término
. Sn =1q
)1q(t n1
.
Ejemplo: Sumar:
ostér min10
.................;271;
811;
2431
ResoluciónHallándose la razón:
q =
2431811
q = 3
Hallándose la suma de términos
S10 =13
)13(.243
1 10
S10 =2
59048.243
1
S10 =243
29524
S10 = 121, 5
Producto términos de una PG.
.Pn = nn1 t.t .
Si: n impar .Pn = nct .
Ejemplo:Hallar el producto de términos de:
ostér min14
.........,321,
641,
1281
ResoluciónHallamos la razón
q =3264
641
321
q = 2
Hallando t14.
t14 = 1142.128
1
t14= 7
13
22
t14 = 26
Ahora:
P14 = 62.128
1
P14 =7
67 2.
21
P14 =7
21
. P14 =
1281 .
Suma Limite:Suma de todos los términos de una PG.Ilimitada decreciente, se obtiene así:
SLim=qt11 ; Si –1 < q < 1
Ejemplo:Calcular
S = ...........321
161
81
41
61
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Resolución:Hallando la razón
t1 =41 q =
81
161
q =168
q
=21
Como S =qt11 reemplazamos
S =4x12x1
2141
211
41
S =21
OBSERVACIÓN:PARA HALLAR UN TÉRMINO CUALQUIERA SEPUEDE APLICAR LAS SIGUIENTE FORMULASGENERALES .
EN UNA PA: EN UNA PG.ax = ay + (x - y) . r . .Tx= ty . q .
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Calcular el a15 en la P.A: 12; 8;4;......
Rpta. -44
2. En la P.A: 4; 7; , 10; .........., calcular elvigésimo segundo término.
Rpta. 61
3. Hallar la razón de la Progresión Aritmética siel primer término es 3 y el sexto término es8.
Rpta. 1
4. ¿Cuántos términos posee la siguienteProgresión Aritmética?
P.A.: 6; 9; 12; ......; 36
Rpta. 11
5. Hallar:P = 35 + 36 + 37 + ........ + 355
Dar la suma de cifras de “P”
Rpta. 27
6. Si: R = 21 + 23 + 25 + ..... + 189
Calcular la suma de cifras de “R”
Rpta. 24
7. En un P.A se conoce: a3 = 18; a7 = 30.hallar “a22”
Rpta. 75
8. Hallar el valor de “x” en lña siguiente P.A(4x-5);20;(4x+5)
Rpta. 5
9. Sabiendo que:
(x + y); (4x - 3y); (3x + 5y)
Son 3 términos consecutivos de una P.A.calcular el, valor de: x/y
Rpta.
Hallar la suma de todos los términos dela progresión Aritmética:
3, 5, 7, ....................., 31
Rpta. 255
10. Si en un progresión geométrica t1 = 2;t6 = 64. hallar la razón
Rpta. 2
11. Calcular el primer término de una P.G.en el que el tercer término es 3 y elséptimo es 3/16
Rpta. 1212. Hallar el primer términos de una P.G si la
suma de los 2 primeros términos es 15 yde los siguientes 2 términos es 60.
Rpta. 5
13. Encontrar “x” para que:
x – 4; 2x – 8; 3x - 10Formen una P.G de razón 2
Rpta. 6
62
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14. Hallar la suma de los 4 términos de:
t1, 16, 64, t4
Rpta. 340
PROBLEMAS PARARESOLVER
1 Hallar “x” en la P.A.
(2x - 10); 10; (3x + 20); ........
a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5
2. Hallar el vigésimo término de la P.A:
20, 12, 4, ................,
a) 152 b) 172c) 132 d) 152e) 172
3. ¿Cuántos términos hay en la siguienteP.A?
32; 36; 40; ......., 196
a) 39 b) 49c) 41 d) 42e) 43
4. Calcular la suma de los 2 primerostérminos de la P.A: 12; 17; 22; ..........
a) 1118 b) 1200c) 1190 d) 1400c) 1590
5. Hallar “A + B - C” en la P.A:
2; 8; ...............; A; B, C
siendo A el término 15avoa) 80 b) 40c) 60 d) 54e) 62
6. Dada la suma siguiente P.A
2; 5; a; .......; b
Hallar “a + b”
Siendo b el décimo término
a) 35 b) 37
c) 39 d) 41e) 43
7. Si el producto de 3 números en P.G es 27.¿Cuál es el término central?
a) 1 b) 3c) 6 d) 9e) 18
8. Si el producto de 3 números que están enP.G. es 64 y la razón es 2. hallar el menortérmino
a) 2 b) 3c) 4 d) 5e) 8
9. En una P.G., si t5 = 9 y t7 = 1. entonces:t6 vale:
a) 8 b) 5c) 7 d) 3e) 1
10. hallar la suma de los 1ros 5 términos dela P.G
2, a, 8, 16, b, .....................
a) 32 b) 48c) 60 d) 62e) 70
CLAVES
1. B
2. C
3. D
4. C
5. A
6. B
7. B
8. A
9. D
10. D
63
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PROMEDIOS
Cantidades representativas de un conjuntode valores (medidas de tendencia central)dado:
a1 a2 a3 ……...... anMENOR VALOR PROMEDIO
MAYOR VALOR
TIPOS DE PROMEDIOPromedio Aritmético o Media Aritmética (MA)O simplemente promedio
.datosdeNúmero
datosdeSumaMA .
Dar la MA de: 7; 13 y 4
Resolución
34137 = 8
OJO:SEA “n” NÚMEROS Y “s” SUMA DE LOS NÚMEROS. S = n . MA (“n” números) .
Promedios Geométricos o MediaGeométrica (MG )
. n datoslosdeoductoPrMG .
n: número de datosDar la MG de: 5; 15 y 45
Resolución
1545.15.53
Promedio Armónico o Media Armónica (MH )
.datoslosdeInversadeSuma
datosdeNúmeroMH .
Dar la MH de: 6; 2 y 3
Resolución
3
31
21
61
3
Consideraciones importantes
Para 2 cantidades “a” y “b”
.2
baMA . . abMG .
.ba
ab2
b1
a1
2MH
.
Dado:0 < a1 a2 a3 ……….…. an
Se verifica que:
.
PROMEDIOOPROMEDIMENORMAYOR
0MHMGMAan
.
Si todos los valores son igualesMHMGMA
Para cantidades “a” y “b”. MH.MAMG2 .
.)MGMA(4
)ba(MGMA2
.
LA ALTERACIÓN DE LA MEDIAARITMÉTICASean los números: 3, 5 y 10
63
1053MA
Si aumentamos 7 unidades al 5 ydisminuimos 4 al 10:
omedioPrNuevo
=
VARIACIÓNINICIALPROMEDIO
347
31053
= 7
SESIÓN N° 08
64
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IMPORTANTE
promedio
deliaciónvarinicalpromedio
promedionuevo
Donde:
promediodeliaciónvar =
datosdeNúmerouyemindis
sequetotalaumenta
sequetotal
Promedio ponderado ( PP ) (Promedio dePromedios)
Al dar 3 exámenes, obtengo 11, 17 y 13;siendo los pesos de cada examen 2, 1 y 3¿Cuál será mi nota promedio?Resolución:
NOTAS PESOS TOTAL11 2 11 x 217 1 17 x 113 3 13 x 3
6 78
La nota promedio será:
136
78312
3.131.172.11
En general:
.n321
nn332211
P..........PPPPa..........PaPaPa
PP
.Donde:an : enésimo de las notas, precios, …
etcPn : enésimo de los promedios, peso
frecuencias, créditos, ...... etc
PROBLEMAS PARA RESOLVER
1. Si el promedio de los siguientes números es20,5. Hallar el valor de “a”.
(2a +1); (2a +2); (2a+3); ....; (5a - 2)
Rpta. 6
2. El promedio geométrico de dos números es12 y su promedio armónico es 4. hallar supromedio aritmético.
Rpta. 36
3. Hallar el valor de “x”; si el promediogeométrico de los números: 2x; 4x y 8x es 64.
Rpta. 3
4. De 500 alumnos de un colegio, cuya estaturapromedio es de 1,67m; 150 son mujeres. Si laestatura promedio de las mujeres es 1,60m.Calcular la estatura promedios de los varones.
Rpta. 1,70m
5. Si la media geométrica de dos númeroses 4 y la media armónica es 32/17.¿Cuál es el menor de dichos números?
Rpta. 1
6. El promedio de 40 números es “n” y elpromedio de otros 20 números es (n - 9).Calcular el valor de “n”; si el promedioaritmético de los 60 números es 12.
Rpta. 15
7. En un reunión asistieron 200 personasasistieron 3 varones por cada mujer. Siel promedio de las edades de todos lospresentes es 19 años y además elpromedio de las edades de los varoneses 20. hallar el promedio de las edadesde las mujeres.
Rpta. 3
8. Hallar dos números sabiendo que elmayor y el menor de sus promedios son:13,5 y 13 1/13 respectivamente. Indicarsu diferencia.
Rpta. 3
9. Hallar la medida geométrica de dosnúmeros, sabiendo que la tercera partede su producto, por su MA: por su MG ypor su MH se obtiene 81.
Rpta. 3
10. Hallar el promedio de:
eces""""
....;..........;;;;........;;;;vmn
nnnnmmmm
Rpta.nm
mn
2
11. El mayor promedio de dos números es 8,mientras que su menor promedio es. 6hallar la diferencia de dichos números.
Rpt. 8
+ +
65
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12. Hallar la MH de:
1; 1/2; 1/3; 1/4; ..........; 1/1981
Rpt. 1/991
13. La MG de tres números pares diferenteses 6. entonces, la MA de ellos será:
Rpta. 26/3
14. La media armónica de 10 números es3/2; el de otros 2 números es 9/5.calcular la MH de los 30 números.
Rpta. 27/16
15. Si la media geométrica y la mediaaritmética de dos números; a y b sonnúmeros enteros consecutivos. Hallar (
ba )
Rpta. 2
PROBLEMAS PROPUESTOS PARARESOLVER
1. Hallar la media geométrica de losnúmeros: 3; 4; y 18
a) 3,5 b) 4c) 5 d) 6e) 3 18
2. Hallar la media armónica de losnúmeros: 1; 2; 3 y 6
a) 1,8 b) 2c) 2,1 d) 3e) 4
3. Hallar el promedio de los siguientesnúmeros:
1; 2; 3; 4; ..........; 17; 18; 19; 20
a) 8 b) 10c) 10,5 d) 7e) 11
4. Hallar el promedio de:2; 4; 6; 8; ......; 38; 40; 42
a) 21 b) 18c) 26 d) 22e) 27
5. El promedio de cinco números paresconsecutivos es 16. hallar el promediodel mayor y el tercero.
a) 14 b) 16c) 18 d) 20e) 30
6. ¿Qué nota se obtuvo en un cuartoexamen, si en los tres anteriores seobtuvo: 14; 10 y 18 respectivamente; ysu promedio final fue de 15?a) 20 b) 19c) 18 d) 16e) 17
7. La media aritmética de tres números es6. y de otros dos números es 16. hallar lamedia aritmética de los cinco números.a) 9 b) 10c) 11 d) 12e) 13
8. Si tenemos: A; 10; B; 35; C y 15. elpromedio de los dos primeros númeroses 15; el promedio de los dos últimos 10y el promedio de todos los números es20. Hallar “A + B + C”a) 50 b) 60c) 40 d) 45e) 55
9. Calcular la media armónica de dosnúmeros. Si: MA = 45 yMG = 15a) 8 b) 10c) 12 d) 5e) 6
10. El promedio de las edades en un salónde clases es de 18. Si el promedio de 20de ellos es 15. Hallar el promedio de losrestantes sabiendo que hay 50 alumnos.a) 25 b) 24c) 32 d) 30
e) 20CLAVES
1. D
2. B
3. C
4. D
5. C
6. C
7. B
8. B
9. D
10. E
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MAGNITUDESPROPORCIONALES
MAGNITUDEs todo aquello susceptible a ser medido yque puede ser percibido por algún medio.Una característica de las magnitudes es elpoder aumentar o disminuir. A un niño se lepodría medir: su peso, estatura, presiónarterial, .....etc.
CANTIDAD (Valor):Resultado de medir el cambio o variaciónque experimenta la magnitud.
MAGNITUD CANTIDAD
Longitud 2km
Tiempo 7 días
# de obreros 12 obreros
RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDESDos magnitudes son proporcionales, cuandoal variar el valor de una de ellas, el valorcorrespondiente de la otra magnitud cambiaen la misma proporción. Se puedenrelacionar de 2 maneras.
Magnitudes Directamente Proporcionales(DP)Ejemplo Ilustrativo:Si compramos libros cada uno a S/. 2 (Precioconstante); al analizar como varia el valor decosto total, cuando el número de librosvaría, se tendrá:
(Costo total) DP (# de libros)Se observo:
En General:Decimos que las magnitudes “A” y “B” sondirectamente proporcionales; si al aumentaro disminuir los valores de la magnitud de “A”,
el valor de “B” también aumenta o disminuye(en ese orden) en la misma proporción.La condición necesaria y suficiente para quedos magnitudes sean D.P. es que el cocientede cada par de sus valorescorrespondientes, sea una constante.
OJO:
DEBEMOS CONSIDERAR QUE AL RELACIONAR 2MAGNITUDES, LAS DEMÁS NO DEBEN VARIAR DELEJEMPLO ANTERIOR, EL PRECIO DE CADA LIBRO,NO VARÍA (PERMANECE CONSTANTE)SI:
. “A” DP “B” tetanconsk
BdevalorAdevalor
.
INTERPRETACIÓNGEOMÉTRICA
IMPORTANTE:LA GRÁFICA DE 2 MAGNITUDES D.P ES UNA RECTAQUE PASA POR EL ORIGEN DE COORDENADASEN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA (EXCEPTOEL ORIGEN DE COORDENADAS) EL CONCIENTE DECADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTESRESULTA UNA CONSTANTE.SI TENEMOS QUE “A” DP “B”
VALORESCORRESPONDIENTES
MAGNITUD A a1 a2 a3 ....... an
MAGNITUD B b1 b2 b3 …… bn
SE VERIFICA:k
ba...
ba
ba
ba
n
n
3
3
2
2
1
1
SI TENEMOS QUE “A” DP “B”
. F(x) = mx .
m: pendiente (constante)
SESIÓN N° 09
67
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MAGNITUDES INVERSAMENTEPROPORCIONALES (I.P)
Ejemplo ilustrativo:
Para pintar las 60 habitaciones idénticas deun edificio se desea contratar obreros quepinten una habitación. Al analizar cómovaría el tiempo según el número de pintorescontratados, se tendrá:
(# de pintores) IP (# días)
Se Observa: (# de pintores) IP (# días)
Se Observa:
(# de pintores) (# días) = 1 . 60 = 2 . 30 = 6 .10 = 30 . 2 = 60
ConstanteEn general:
Se dice que “A” y “B” son inversamenteproporcionales, si al aumentar o disminuir elvalor de A, el respectivo valor de “B”disminuye o aumenta en la mismasproporción respectivamente.La condición necesaria y suficiente para quedos magnitudes sean IP es que el productode cada par de sus valores correspondientessea una constante.
. A I.P.B (valor de A)(valor de B) = cte.
Interpretación Geométrica
IMPORTANTE:LA GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES IP ES UNA RAMA DEHIPÉRBOLA EQUILÁTERA.EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA EL PRODUCTODE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTESRESULTA UNA CONSTANTE.LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA SERÁ:.
xmxF .
M : CONSTANTE
curvalabajogulotanrecdelárea
SI TENEMOS QUE “A” I.P “B”VALORESCORRESPONDIENTES
MAGNITUD A a1 a2 a3 ....... an
MAGNITUD B b1 B2 …… bn
SE VERIFICA:A1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = an . bn = k
PROPIEDADES DE LASMAGNITUDESPara 2 magnitudes A y B se cumple:
A.P.IBB.P.IA*A.P.DBB.P.DA*
nn
nn
B.P.IAB.P.IA*B.P.DAB.P.DA*
B1.P.DAB.P.IA*
B1.P.IA.B.P.DA*
Para 3 magnitudes A, B y C se cumple:Si: A D. P. B (C es constante)
A D. P. C (B es constante) A D. P. (B . C)
C.BA
= cte
Luego en los problemas. Sean lasmagnitudes: A, B, C, D y E
E.P.DAD.P.AAC.P.IAB.P.DA
CteE.D.B
C.A
OJO:CUANDO RELACIONAMOS LOS VALORES DE 2MAGNITUDES, ENTONCES LOS VALORES DE LASOTRAS MAGNITUDES PERMANECEN CONSTANTES.
68
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Aplicaciones comunes:
(N° de obreros) DP (obra)
(N° de obreros) IP (eficiencia)
(N° de obreros) IP (N° de días)
(N° de obreros) IP (horasdiarias)
(velocidades) IP (Tiempo)
(N° de obreros) D P (Dificultad)
(N° de dientes) I P (N° devueltas)
tetanncos)dificultad)(obra(
)ientodimren(días
de#díapor
Horasobreros
de#
PROBLEMAS PARA RESOLVER ENCLASE
Las magnitudes de a y b son D. P. Cuando a= 20, b = 5. Calcular cuando a = 12
Rpta. 3
2. Si a2 y b son D. P., cuando a vale 10, bes 7. ¿Qué valor toma A cuando B vale28?
Rpta. 20
3. Si a y b son I.P. Cuando a vale 8, b vale6. ¿Qué valor tomará a cuando b es 4?
Rpta. 12
4. Si a y b son I. P,. Cuandoa = 100, b = 3. calcular b cuando a = 9
Rpta. 10
5. Si “a” es I.P. a “b2 - 1”, siendo “a” igual a24 cuando “b” es igual a 10. hallar “a”cuando “b” es igual a 5.
Rpta. 99
1. Si las magnitudes A y B son D. P.Calcular: a + b + c
24181612
18
B
cbaA
Rpta. 872. Sean las magnitudes A y B. Donde A es
D.P a(B2 + 1). Si cuando A = 8, B = 3,¿Qué valor tomara A cuando B = 7?
Rpta. 40
3. “a” es D.P a “ b ” e I.P a “c2”. Cuando a= 10; b = 25; c = 4. hallar “a” cuando b =64, c = 8
Rpta. 44. De la gráfica. Hallar “a + b”
Rpta. 15
5. De la gráfica. Hallar “a + b”
Rpta. 30
6. Según la gráfica. Hallar “x +y”
69
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Rpta. 14
7. Si las magnitudes son D.P. Calcular “a +b + c”
caB
bA
249
54010
Rpta. 24
8. Si: P.V = k. Hallar “P” cuando v = 6, si P= 12 cuando v = 4
Rpta. 8
9. Si:ba = k. Hallar “a” cuando b = 12; si
a = 18 cuando b = 9
Rpta. 24
10. Si: a es D.P. con b. Hallar “a” cuandob = 4, si a = 4 cuando b = 2
Rpta. 16PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si “a” es P.D a ”b”. Hallar “b” cuando “a”es igual a 7, si a = 5 cuando b =15
a) 18 b) 20c) 21 d) 22e) 25
2. “a” es I.P. a “b”. Cuando a = 8, b = 3.Hallar “b” cuando a = 2
a) 10 b) 12c) 14 d) 12e) 16
3. “a” es D. P. a “b” . cuando a = 6, b =8. calcular “a” cuando: b = 12
a) 6 b) 7c) 8 d) 9e) 10
4. “a” es I.P a “b” cuando a = 4,b = 3. Calcular el valor que toma “b”cuando “a” toma el valor de 6.a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5
5. “a” es D.P. a “b2”. Cuando “a” es igual a20 “b” es igual a 6. ¿Qué valor tomará“a” cuando “b” es igual a 3?
a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5
6. Si: “a” es I.P a “ 3 b ”, además cuando “a”es 35, “b” vale 27. ¿Cuánto vale “a”cuando “b” valga 343?
a) 5 b) 10c) 15 d) 20e) 25
7. Si A y B son IP. Calcular m + n + a
11015
30 2
nB
amnA
a) 60 b) 64c) 68 d) 70e) 74
8. La gráfica nos muestra laproporcionalidad entre las magnitudes Ay B. Hallara + b + c
a) 40 b) 44c) 48 d) 50e) 52
9. “a” es D.P a “b” e I.P a “c”. Hallar elvalor de “c” cuando “a” es 10 y “b” es 8,si cuando “a” es 8, “b” es 6 y “c” es 30
a) 28 b) 29c) 30 d) 31e) 32
10. Si A y B son IP. Calcular m + n + a
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a) 10 b) 15c) 20 d) 25e) 30
CLAVES
1. C
2. B
3. D
4. B
5. E
6. C
7. C
8. B
9. E
10. C
1. REPARTO PROPORCIONAL
CLASES:
a) REPARTO PROPORCIONAL SIMPLECuando los valores que intervienen corresponden ados magnitudes directamente proporcionales.Se caracteriza por que “a mayor numeroproporcional le corresponde mayor cantidad”.
A = xkS B = yk
C = zk
A + B + C = S(x + y + z) k = S
b) REPARTO PROPORCIONAL INVERSOCuando los valores que intervienen correspondena dos magnitudes inversamente proporcionales.Se caracteriza por que “ a mayor númeroproporcional le corresponde menor cantidad”.
A =x
k
S B =y
k
C =z
k
A + B + C = S
Skzyx
111
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Repartir 1250 en 3 partes directamenteproporcional a los números 2;3;5 .
Solución:
1250 se reparte en A;B;C partes, tales que:A = 2 kB = 3 kC = 5 k
10 k luego 10k = 1250
Por lo tanto:A = 2 ( 125 ) = 250B = 3 ( 125 ) = 375C = 5 ( 125 ) = 625
2.- La herencia de tres hermanos asciende a 45millones de soles, si dichas herencias están en larelación con los números 4;12;14 ¿ Cuántosmillones recibe el mayor ?
Solución:
K = 125
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4k + 12k + 14k = 4530k = 45
k = 1,5por lo tanto el mayor recibe:
14 x 1,5 = 21 millones
3.- Dos personas invirtieron en un negocio S/. 1000 yS/. 2000 respectivamente, obteniendo unaganancia de S/.1500. ¿Cuánto le corresponde acada una?
Solución:
Persona A = kPersona B = 2k
3kluego 3 k = 1500
k = 500Cada persona recibirá:Persona A = k= 500Persona B = 2k = 1000
4.- Divide 261 en tres partes proporcionales a losnúmeros 12;27; 48 respectivamente.
Solución:12 k + 27 k + 48 k = 261
87 k = 261k = 3
Por lo tanto:Los números serán:
12 ( 3 ) = 3627 ( 3 ) = 8148 ( 3 ) = 144
5.- Repartir 42 entre A; B; y C de modo que la parte deA sea el doble de la parte de B y la de C la suma delas partes de A y B. Luego calcula el producto deA.B.C
Solución:
De acuerdo al enunciado tenemos : A = 2 k B = k C = A + B = 2k + k = 3kEntonces:
A + B + C = 422k + k + 3 k = 42
k = 7Luego : * A = 2(7) = 14
* B = 7* C = 3(7) = 21
Por último:14 x 7 x 21 = 2058
6.- Repartir 36 en tres partes inversamenteproporcional a los números 6; 3; y 4 ( en ésteorden) obteniéndose a; b; y c. Halla : a.b.c
Solución:a =
6k a = 2k
b =3
k b = 4k
c =4
k c = 3k
9k = 36k = 4
Por lo tanto: a = 2(4) = 8 b = 4(4) = 16 c = 3(4) = 12
Finalmente: 8.16.12 = 1536
PROBLEMAS PROPUESTOS
1). Reparte 1250 en 3 partes directamenteproporcional a los números 2;3;5, e indica la sumade las cifras del mayor número.
a) 10 b) 14 c) 9d) 13
2). Reparte 56 en partes proporcionales a losnúmeros 3; 5; 6. Indica la mayor parte.
a) 22 b) 18 c) 25d) 16 e) 24
3). Reparte 3270 en partes DP a 7; 20; 82. Da comorespuesta la mayor parte.
a) 2460b) 2420 c) 2640d) 3240e) 840
4). Reparte 400 DP a los números 10; 15; 25. Indica laparte menor.
a) 150 b) 80 c) 106d) 140 e) 102
5). Se reparten S/. 7500 entre 3 personas en formaD.P. a los números 15; 6; 4. ¿ Cuánto recibe elmayor?
a) 2400b) 2500 c) 3200d) 4500e) 2300
6). Reparte 750 DP a 6; 7; 12. Da la parte intermedia.
a) 210 b) 240 c) 360
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d) 150 e) 120
7). Reparte 135 dólares entre 5 personasproporcionalmente a los números 2; 3; 4; 8 y 13respectivamente, indica ¿ cuánto le toca al último?.
a) 58.5 b) 35 c) 80d) 180 e) 81
8). Reparte 594 en I.P a 2; 3; 6 y 10. Indica la mayorparte.
a) 270 b) 406 c) 180d) 300 e) 240
9). Reparte 12240 en 3 partes proporcionales a 2/3;1/5 y 5/6. Indica la menor parte.
a) 2900b) 1440 c) 1800d) 2160e) 2880
10). Reparte 50 caramelos en forma proporcional a162; 243; 405. Halla la parte que no es mayor nimenor.
a) 28 b) 20 c) 15d) 10 e) 22
11). Descompón el número 162 en tres partes quesean D.P a 13; 19 y 22. Halla la parte menor.
a) 36 b) 26 c) 39d) 38 e) 13
12). Reparte 882 I.P a 6; 12; 10.
a) 252;150;480 b) 210;420;172c) 189;378;315 d) 140;142;600e) 420;210;252
13). Reparte 309 I.P a 9; 15; 33. Indica la mayor parte.
a) 165;132;30 b) 165;123;39c) 123;145;55 d) 150;165;12e) 165;99;45
14). Reparte 280 D.P a 1/5; 2/3; 3/10. Da comorespuesta la parte mayor.
a) 160 b) 100 c) 180d) 140 e) N.A.
15). Juan tiene 8 panes y Pedro 4; deben compartirlosequitativamente con dos amigos. Pararecompensarlos éstos entregan 180 soles a Juan yPedro. ¿Cuánto le tocará a Juan?
a) 120 b) 140 c) 75d) 150 e) 90
16). Reparte 648 en forma D.P a 5 y 7 Indica la mayorparte.
a) 378 b) 102 c) 270d) 300 e) 100
17). Reparte 648 en forma I.P a 5 y 7 Indica la mayorparte.
a) 480 b) 270 c) 164d) 378 e) 382
CLAVES DE RESPUESTAS1) d 2) e 3) a4) b 5) d 6) a7) a 8) a 9) b10)c 11)c 12)e13)e 14)a 15)a16)a 17)d
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REGLA DE TRES
1. CONCEPTOS PREVIOS
a) Cantidades DirectamenteProporcionales
Dos cantidades son D.P si al aumentar o disminuir unade ellas, la otra también aumenta o disminuye en esemismo orden.
kba
ba
ba
3
3
2
2
1
1 Constante de Proporcionalidad.
b) Cantidades InversamenteProporcionales (I.P)
Dos cantidades son IP si al aumentar o disminuir unade ellas, la otra disminuye o aumenta en ese mismoorden. Ejem :
k
q1
P
q1
P
q1
P
3
3
2
2
1
1
2. DEFINICIÓN DE REGLA DE TRESSIMPLE
Dadas tres cantidades y una incógnita pertenecientes ados magnitudes diferentes determinar la incógnita.
a) Directa .- Si las cantidades son D.P. (directamenteproporcionales)
Ejemplo 1 :- Si un móvil recorre 120 km en 8 horas. Determina en
cuantas horas recorrerá 30km.
Solución :Distancia(km) Tiempo (H)
120 830 xSon magnitudes D.P
Luego : x =120
8x30 = 2 horas
b) Inversa .- Si las cantidades son I.P. (inversamenteproporcionales)
Ejemplo 1 :
- Si 209 alumnos tardan 30 días en pintar su salón declase ¿Cuanto tiempo tardarían 60 alumnos?
Solución :
Tiempo N° alumnos
30 20x 60
Son magnitudes I.P.
Luego x =60
20x30 = 10 días
3. DEFINICIÓN DE REGLA DE TRESCOMPUESTA
Dadas varias cantidades y una incógnita pertenecientea diversas magnitudes, determinar la incógnita.Consiste en resolver en forma simultánea dos o másreglas de tres simple:
Método de los signos
DP DP IP D IPA B C D E- - + + +a1 b1 c1 d1 e1
a2 b2 c2 x e2
+ + -
Luego : x =2211
11122
ecbadecba
)(PRODUCTO)(PRODUCTO
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Si tres patas ponen tres huevos en tres días,doce patas, ¿En cuántos días podrán poner docehuevos?
Solución :
+ - +Patas Huevos Días3 3 312 12 x- + -
x =3x12
3x3x12 = 3días
SESIÓN N° 10
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2).- En una competencia de glotones 40 de ellospuede comer 300 panes en 2 días. Si fueran 50 en3 días. ¿Cuántos panes podrán comer?
Solución :
+ - +Panes Glotones Días3000 40 2x 50 3
+ +
Luego :
x =40x2
3x50x3000= 3625 panes
3).- Una cuadrilla de 12 hombres encargados de laconservación de un tramo de la línea férreaArequipa –Cusco, construyen 4/5 de unaalcantarilla en 6 días. Si se quiere concluir la obraen 5 días, ¿cuántos hombres serán necesarioaumentar?Solución :
Hombres Obra Tiempo+ - +
12 4/5 65 5/5 5
+ -
x = 185x4
6x5x12
Debe aumentarse 18 – 12 = 6 hombres
4).- Si 60 obreros trabajando 8 horas diariasconstruyen 320 metros de una obra en 20 días. ¿En cuántos días 50 obreros trabajando 6 horasdiarias construyen 300 metros de la misma obra?Solución :
Obreros H/D Metros Tiempo+ + - +
60 8 320 2050 6 300 x
- - +
X = 320x6x5020x300x8x60
= 30 días
5).- 10 campesinos siembran un terreno de 50m2 en15 días, en jornadas de 7 horas. Si las jornadasfueran de 8 horas. ¿Cuántos días demorarán ensembrara otro terreno de 80m2, 15 campesinosdoblemente hábiles?
Solución :
Camp. Días Horas Habilid. Área+ + + + -
10 15 7 1 5015 x 8 2 80
X = 50x2x8x1580x1x7x15x10
= 7 días
PROBLEMAS PROPUESTOS
1).- Viajando con una velocidad de 90 Km/h. Un autodemora 8 horas. ¿A que velocidad debe viajar sidesea demorar 6 horas?
a)160 b) 140c) 130 d) 150 e) 120
2).- Si una obra tiene una dificultad del 60% y se puederealizar en 24 días. ¿En cuántas días se podrá hacerla misma obra si tiene una dificultad de 80%?
a) 16 b) 34c) 33 d) 18 e) 32
3).- Con un rendimiento del 50% se puede hacer unaobra en 30 días. ¿Cuál es el rendimiento si sedemora 15 días?
a) 60% b) 80%c) 90% d) 100% e) 70%
4).- Si 10 carpinteros hacen 25 mesas. ¿Cuántas mesasharán 4 carpinteros?
a) 20 b) 8c) 13 d) 10 e) 12
5).- Con una habilidad del 70% se puede hacer untrabajo en 27 minutos. ¿Cuánto demorará con unahabilidad del 90%?
a) 18 b) 24c) 12 d) 20 e) 21
6).- 8 conejos tienen alimento para 18 días. Si hay 6conejos. ¿Cuánto duran los alimentos?
a) 16 b) 24c) 21 d) 20 e) 12
7).- En una semana, José gasta S/.48 en comprargasolina, en 42 días gastará:
a) 168 b) 48c) 336 d) 288 e) 208
8).- Si en dos días 20 niños comen 80 panes, en unasemana, ¿Cuántos panes comerán?
75
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a) 160 b) 240c) 320 d) 250 e) 280
9).- 20 mineros tienen víveres para 15 días. Si desistentrabajar 5 de ellos, ¿Para cuántos días tendrá víveresel resto?
a) 20 b) 25c) 15 d) 18 e) 23
10).- Si 8 obreros hacen una obra en 15 días, 12obreros harán la obra de igual característica en:
a) 16 b) 7c) 20 d) 15 e) 10
11).- ¿Cuántos panes darán por S/.38, si por S/.2 dan18 panes?
a) 242 b) 148 c) 230d) 150 e) 342
12).- Cinco Obreros trabajando 8 horas diarias hacenuna obra en 15 días; 10 obreros trabajando 6 horasdiarias, ¿En cuántos días harán otra obra de igualcaracterística?
a) 9 b) 6 c) 5d) 8 e) 10
13).- Un hombre caminando 8 h/d ha empleado 4 díaspara recorrer 160 km. ¿Cuántas horas diarias debecaminar otro hombre para recorrer 300 km en 10días?
a) 9 b) 6 c) 5d) 8 e) 3
14).- Doce hombres trabajando 8 horas diarias puedenhacer un muro en 15 días. ¿En cuántos días haránotro muro igual 15 hombres trabajando 6 horasdiarias?
a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18
15).- Doce hombres tardan 10 días en cavar una zanjade 2 m de profundidad. ¿Cuántos hombres seránnecesarios para cavar otra zanja de 3 m deprofundidad en 20 días?
a) 10 b) 11 c) 12d) 9 e) 8
16).- Una familia de 5 personas tomó una pensióndurante 6 días y pagó S/. 60. ¿Cuánto pagó otrafamilia de 4 personas que estuvo alojada en lamisma pensión durante dos semanas?
a) 112 b) 120 c)114d)115 e) N.A.
17).- Caminando 6 horas diarias, un hombre haempleado 4 días para ir de un pueblo a otrodistantes entre sí 96 km. Si continuando su viajedebe ir a otro pueblo distante 192 km de esteúltimo, ¿cuántos días empleará caminando 8 horasdiarias?
a) 6 b) 3 c) 5d) 8 e) 7
18).- 120 soldados tienen provisiones para 20 días arazón de 3 raciones diarias. ¿Para cuántos díastendrán provisiones si se aumentan 30 soldados y elnúmero de raciones diarias se reduce a 2 por día.
a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) N.A
19).- Doce hombres trabajando 8 horas diariasconstruyen 24 m de una pared en 10 días. ¿Cuántoshombres serán necesarios para construir 20 m depared continuada en 5 días trabajando 10 horasdiarias?
a) 16 b) 15 c)14d) 13 e) N.A
20).- Ocho hombres cavan una zanja de 24 m de largopor 2 de ancho y 2m de profundidad, en 12 días.¿Cuántos trabajadores con la misma habilidad seránnecesarios para cavar otra zanja de 18 m de largopor 3 m de ancho y 4 m de profundidad en 8 días?
a) 18 b) 12 c) 27d) 30 e) N.A
CLAVES DE RESPUESTAS1) e 2) d 3) d4) d 5) b 6) b7) d 8) e 9) a10)e 11)e 12)e13)b 14)c 15)d16)a 17)a 18)d19)a 20)c
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REGLA DE COMPAÑÍA
Concepto.-
Es un caso particular del repartoproporcional donde se reparten lasganancias o pérdidas de las transacciones,según el capital invertido por cada socio enun periodo fijo de tiempo; dentro de unasociedad mercantil.
En la Regla de Compañía se considera al capitaly al tiempo como directamente proporcionales ala ganancia o a la pérdida de una transaccióncomercial.
K
TC
Clases.-
1) Regla de Compañía Simple, cuandoexiste un capital únicos para cada sociopresentar 2 casos:
i. Capital Constante: La variación de laganancia o pérdida es DP al tiempo.
ii. Tiempo constante: La variación de laganancia o perdida es DP al capital aderecho (de cada socio)
2) Regla de Compañía Compuesta,cuando existen distintos capitales endistintos tiempos presenta 2 casos:
i. Capital Constante en tiempovariable: la ganancia o pérdida es DPal capital multiplicándose con el tiempode cada socio.
ii. Capital Variable: Ganancia o pérdidaes dp al producto del capital único porel tiempo total.
OBS:
1) Capital Único: es a suma de todos loscapitales (expresados en una mismaunidad de tiempo).
2) La Ganancia neta (Gn): es la ganancia,beneficio y/o utilidad Real, después de lainversión del capital, que indica la
cantidad recuperada respecto al capitalinicial.
Ganancia neta =Inical
Ganancia-
Invertido
Capital
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Juan y Pedro ganaron en 1966 y 1967, 1200soles cada año en un negocio que tienen. En1966, Juan era dueño de los ¾ del negocio y susocio, del resto, y en 1967, Juan García fuedueño de los 2/5 del negocio y su socio delresto, por que el primero vendió al segundo unaparte. Hallar la ganancia total de cada socio enlos 2 años.Rpta.:
02) A; B; C emprenden un negocio imponiendoA = S/. 900; B = S/. 800 y C = S/. 750. alcabo de un año, A recibe como ganancia S/.180. ¿Cuánto ha ganado B y C?Rpta.:
03) Tres socios que habían interesado S/. 25000 elprimero; S/. 24000, el segundo y S/. 16000 eltercero, tienen que repartirse una perdida de S/.19500. ¿Cuántos quedan a cada uno?Rpta.:
04) Cuatro socios han ganado en los 3 años queexplotaron una industria, lo siguiente: elprimero, S/. 5000; el segundo, los 2/5 de lo quegano el primero; el tercero, los ¾ de lo quegano el segundo, y el cuarto, los 5/8 de lo quegano el tercero. Si el capital social era de S/.44000; ¿Con cuanto contribuyo cada uno?Rpta.:
05) Tres comerciantes reunieron S/. 90000 para laexplotación de un negocio y ganaron: el 1°1000; el 2° 600 y 800 el 3°. ¿Cuánto impusocada uno?Rpta.:
06) En una industria que trabajo durante 4 años ymedio, cuatro socios impusieron: el primero S/.500 mas que el segundo, el segundo, S/. 600menos que el tercero; el tercero, la mitad de loque puso el cuarto y este impulso S/. 3000. sihay que afrontar una perdida de S/. 3400.¿Cuánto perderá cada uno?Rpta.:
07) Tres amigos se asocian para emprender unnegocio e imponen: S/. 2500; el segundo, lamitad de lo que puso el primero mas 600; eltercero, 400 menos que los anteriores juntos.
T
C
Donde: () : Ganancia o pérdida
(C) : Capital de cada socio
(T) : Tiempo de inversión del
capital (meses)
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Al cabo de 3 años se reparte un beneficio de16600. ¿Cuánto toca a cada uno?Rpta.:
08) A emprende un negocio con S/. 3000 y a los3 meses mas tarde entra de socio C con S/.3000. si hay un beneficio de S/. 2700 al cabodel año de emprender A el negocio. ¿Cuántorecibe cada uno?Rpta.:
09) A emprende un negocio de S/. 2000. Al cabo de6 meses entra como socio B con S/. 2000 y 11meses mas tarde entra como socio C con S/.2000. si a los 2 años de comenzar A su negociohay un beneficio de S/. 630. ¿Cuánto recibecomo ganancia cada uno?Rpta.:
10) A; B; C impusieron S/. 300 cada uno para laexplotación de un negocio. A, permaneció en elmismo un año, B, cuatro meses menos que A yC; 4 meses menos que B. Si hay una pérdidaque asciende al 20% del capital social. ¿Cuántopierde cada socio?Rpta.:
11) Reuniendo un capital de 10 000 soles porpartes iguales, tres socios emprenden unnegocio por 2 años. El primero se retira a los 3meses; el segundo, a los 8 meses y 20 días y eltercero estuvo todo el tiempo. Si hay unapérdida de 3210 soles. ¿Cuánto pierde cadauno?Rpta.:
12) Dos individuos reúnen 8500 soles para explotarun negocio. El primero impone S/. 6000 solespara 2 años y el segundo lo restante por 3años. ¿Cuánto corresponde perder a cada unosi hay una pérdida de S/. 1365?Rpta.:
13) En una sociedad formada por tres individuos sehan hecho las siguientes imposiciones: el primeroS/. 500 por 2 años; el segundo S/. 400 por 4 años yel tercero, S/. 300 por 5 años. ¿Cuántoscorresponde a cada uno si hay una ganancia de S/.1230?Rpta.:
14) Para explotar una industria 3 socios imponen elprimero S/. 300; el segundo S/. 200 mas que elprimero; y el tercero S/. 100 menos que los 2anteriores juntos. El primero ha permanecidoen el negocio por 3 años. El 2° por 4 y el 3° por5 años. ¿Cuánto toca a cada uno de unbeneficio de S/. 448?Rpta.:
15) Tres individuos reúnen 25 000 bolívares, de loscuales el primero ha impuesto 8000; el 2°; 3000mas que el primero y el 3° lo restante. Elprimero ha permanecido en el negocio por 8
meses y el tercero por 5 meses. Si hay queafrontar una perdida de 1143. ¿Cuánto debeperder cada uno?Rpta.:
16) En una industria 3 socios han impuesto: el 1°con 6000 soles mas que el segundo; elsegundo con 3000 mas que el tercero y este8000. El primero permaneció en la industria porun año, el segundo por año y medio y el terceropor 2 ½ años. ¿Cuánto corresponde a cada unode beneficio de 5585 soles?
Rpta.:
17) ¿Cuánto ganará cada uno de los 3 socios que, enla explotación de una industria, impusieron: elprimero 300 más que el segundo, este, 850 y eltercero, 200 menos que el segundo; sabiendo queel primero; y el tercero, meses más que el primer;si el beneficio total es de 338?Rpta.:
18) Cuatro comerciantes asociados en unaindustria han impuesto: el primero 300 mas queel tercero; el segundo mas que el cuarto en400; el tercero, 500 mas que el segundo; elcuarto S/. 2000. el primero permaneció en laindustria durante año y medio; el segundo, por1 ¾ años; el 3° por 2 ½ años y el 4° por 2 ¾años. Si hay que repartir una ganancia de4350. ¿Cuánto corresponde a cada uno?Rpta.:
19) Dos individuos emprenden un negocio por 1año. El primero empieza con S/. 500 y 7 mesesdespués añade S/. 200; el segundo empiezacon S/. 600 y, 3 meses después añade S/. 300;¿Cuánto corresponde a cada uno de unbeneficio de S/. 338?Rpta.:
20) En un negocio, que ha durado 3 años, un socioimpuso 4000 bolívares y; a los 8 meses, retirola mitad; el segundo impuso 6000 y al añoañadió 3000; y el tercero, que empezó con6000; a los 2 años retiro 1500. ¿Cuándocorresponde a cada uno en beneficio de 5740?
Rpta.:
21) Dos hermanos forman un negocio, aportandocada uno un mismo capital, A un mes deiniciado el negocio, el primero aumenta en sus2/3 de capital; 4 meses más tarde, el segundoreduce a sus 2/3 de su capital. Si el negocioduro 6 meses y al final se obtuvo una gananciawaaw; ¿Cuál es la diferencia de las ganancias,si estas son cantidades enteras?
a) 2661 b) 1331
c) 1221 d) 2112
e) 3113
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22) En la imprenta Willy´s se observa el siguienteaviso:
# de tarjetasimpresas Medida Costo
500
1000
5 x 8 cm2
5 x 8 cm2
S/. 7,50
S/. 14,00
Si hay 20% de descuento en la producción detarjetas. ¿Cuánto se pagaría por 1000 tarjetasde impresión de 8 x 18 cm2; si el material parahacerlas viene en planchas de 1,5 x 2,4 m2?
a) 39,5 b) 40,8
c) 41 d) 41,3
e) 41,5
23) Andrade, Fujimori y Toledo forman unasociedad. El capital de Andrade es al capital deFujimori como 1 es a 2 y el capital de Fujimories al de Toledo como 3 es a 2. a los 5 mesesde iniciado el negocio, Andrade tuvo que viajary se retiro del negocio; 3 meses despuésFujimori también se retiro del negocio 4 mesesdespués, Toledo liquidaría su negociorepartiendo las utilidades. Si Andrade hubiesepermanecido un mes en el negocio habríarecibido S/. 64 más. ¿Cuál fue la utilidad totalobtenida en el negocio?
a) 2536 b) 2812
c) 2182 d) 2218
e) 2128
24) Tres socios imponen S/. 60 000 por partesiguales en un negocio que dura 2 años. Elprimero, al terminar el primer año añadió unosS/. 1500 y 4 meses después, retiro S/. 5000; elsegundo a los 8 meses añadió S/. 4000 y, 5meses después otros S/. 2000; el tercero, a los14 meses retiro 5600 soles. Si hay una perdidatotal de 7240 soles. ¿Cuánto pierde cada uno?Indicar la suma de las cifras de cada valor.
a) 11; 9; 7 b) 8; 5; 9
c) 13; 13; 5 d) 5; 5; 13
e) 4; 13; 11
25) Se ha realizado un beneficio de 5610 soles enun negocio en el que han intervenido dosindividuos. El negocio ha durado unos 3 años.El primero empieza con 8000 soles, a los 7meses retira la mitad de su capital y 2 mesesmas tarde, agrega 2000. El segundo, queempezó con 6000, al año doblo su capital y 5meses mas tarde retiro S/. 4000. ¿Cuántoganara cada uno? Indicar la suma de cifras delmayor.
a) 20 b) 10
c) 18 d) 9
e) 6
26) Tres individuos se asocian en un negocio quedura 2 años. El primero impone S/. 2000 y alcabo de 8 meses, S/. 1500 más. El segundoimpone al principio S/. 5000 y después deun año saca la mitad. El tercero, que habíaimpuesto al principio S/. 2500, saca a los 5meses S/. 1000 y 2 meses mas tarde agregaS/. 500. si hay una perdida de S/. 500.¿Cuánto corresponde perder a cada uno?
a) 170 11/12; 212 1/3; 117 3/38
b) 170 7/9; 212 ½; 117 15/17
c) 170 2/5; 212 34/35; 117 ¼
d) 170 1/6; 212 34/35; 117 2/3
e) 170 10/47; 212 36/47; 117 1/47
27) Cinco socios han impuesto: el primero S/. 2000por 2 años, 4 meses; el segundo S/. 2500 porlos 3/7 del tiempo anterior el tercero S/. 3000por os 5/6 del tiempo del segundo; el cuarto S/.4000 por un año y 8 meses y, el quinto, S/. 500menos que el cuarto por ¾ de año. HabiendoS/. 9100 soles de utilidad. ¿Cuánto gana cadauno? Dar como respuesta la suma de la sumade las cifras de cada valor.
a) 25 b) 26
c) 27 d) 28
e) 29
28) De los tres individuos que contribuyeron unasociedad, el primero permaneció en la mismadurante un año; el segundo, durante 7 mesesmás que el primero y el tercero durante 8meses más que el segundo. El primero habíaimpuesto S/. 800, el segundo, 400 menos quele segundo. Si hay una perdida de 224 soles.¿Cuánto corresponde perder a cada uno,respectivamente?
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a) 16; 30; 48 b) 12; 15; 23
c) 27; 39; 51 d) 48; 85; 81
e) 30; 87; 96
29) Tres individuos se asocian para iniciar unaempresa. El primero impone S/. 2000 durante3 años; el 2° S/. 1800 durante 4 años y el 3°S/. 3300 por 8 meses. ¿Cuánto corresponde acada uno si hay un beneficio de 2500 soles?Dar la aproximación de la parte entera.
a) 799; 276; 402
b) 612; 400; 10
c) 900; 1200; 300
d) 986; 1184; 328
e) 578; 1207; 610
30) A emprende un negocio con capital de S/.2000 a los 4 meses toma como socio a B, queaporta S/. 2000 y 3 meses mas tarde, admitencomo socio a C, que aporta otros S/. 2000.Cuando se cumple un año a contar del día enque A emprendió el negocio hay una utilidadde S/. 1250. ¿Cuánto recibe cada socio?(respectivamente)a) 600; 400; 250
b) 300; 120
c) 460; 500; 300
d) 700; 600; 500
e) 250; 120; 212
31) Tres individuos emprenden un negocioimponiendo A = S/. 900; B = S/. 800 y C = S/.750 al cabo de una año A recibe comoganancia S/. 180. ¿Cuánto han ganado B y C?
a) 120; 130 b) 130; 140
c) 140; 150 d) 170; 180
e) 160; 150
32) Se constituye entre 4 comerciantes unasociedad por 4 años, reuniendo 24 000bolívares por partes iguales. El primero ha
estado en el negocio 3 años; el segundo, 2 alos y 7 meses; el tercero 14 meses y el cuarto,año y medio. ¿Cuánto tocara a cada uno deuna ganancia de 6930 bolívares,respectivamente?
f) 1999; 736; 456; 1879g) 2750; 2000; 930; 712h) 2520; 2170; 980; 1260i) 2003; 1982; 727; 432j) 602; 799; 1988; 1015
33) Luisa y Roxana inauguran un negocio, Luisaaporta S/. 5020 y permanece en el negociodurante 3 meses. Roxana aporto 700 soles yestuvo durante 5 meses. Si al finalizar elnegocio hubo una ganancia de 5000; calcularla ganancia de Luisa y Roxana.
a) 100 b) 200
c) 300 d) 400
e) 500
34) Cinco colonos han emprendido un negocioimponiendo el primero S/. 500; el segundo; S/.200 mas que el segundo y así sucesivamentelos demás. Hay que hacer frente a una perdidade S/. 600. ¿Cuánto pierde cada uno?(respectivamente)
k) 70 1/2; 90 1/4; 200; 150; 188 1/9l) 66 2/3; 93 1/3; 120; 146 2/3; 173 1/3m) 70; 60; 50; 140; 208n) 66 1/2; 92 1/5; 100; 107 2/3; 200 1/4o) 70 1/5; 90 3/4; 208; 152; 188 7/9
35) Cuatro individuos explotan una industria por 4años y reúnen 10 000 soles, de los cualesel primero pone 3500; el segundo 2500, eltercero, la mitad d lo que se puso el primero y,el cuarto, lo restante. Hay que repartir laganancia de 5000. ¿Cuánto toca a cada uno?(respectivamente)
p) 1982; 2001; 1946; 875q) 1750; 1250; 875; 1125r) 1740; 1230; 825; 1105s) 1800; 1180; 912; 1179
N.A.
80
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TALLER DE REFORZAMIENTO:PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Las magnitudes A2 DP.B; cuando A vale 20 B es 18.¿Qué valor toma A cuando B vale 72?
Resolución:
* Como A2 DP. B
cte)B(Valor)A(Valor 2
* Luego:
40n4x20n18
72x20n72n
1820 22
22
22
2).- Si A es DP. B2 además cuando A = 18;B = 9. Calcula: B cuando A = 8.
Resolución:
* Si: A DP. tetanconsBAB 2
2
* Luego:
6B36B189x8BB8
918 2
22
22
3).- Si la magnitud A es inversamente proporcional a lamagnitud B y cuando A = 15, B = 24, halla B cuando Aes 120.
Resolución:
* Como “A” es IP a “B”, entonces:
AB = constante ó.....BABxABxA 332211
* Luego reemplazamos los valores dados, así:
3B120
24x15B24x15B120
PROBLEMAS PROPUESTOS
1).- Si “A” es DP. a B y cuando A = 12;B=16, ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 18?
a) 28 b) 54 c) 36d) 44 e) 64
2).- Si “A” es DP. “B2” y cuando “A” es 16;
B = 2; calcula “A”, cuando B = 8.
a) 64 b) 256 c) 8 d) 32 e)512
3).- Se sabe que “A” es D. P. a B2 cuandoA = 2; B = 5. ¿Cuál será el valor de “A” cuando B =20?
a) 16 b) 32 c) 18d) 75 e) 25
4).- Si “A” es DP. “B2” y cuando “A” es 6; B = 2; calcula“A”, cuando B = 10.
a) 164 b) 150 c) 80d) 200 e) 512
5).- Si “A” es IP. a “B” y cuando A = 24; B = 8; ¿cuántovaldrá “A”, cuando B = 16?
a) 14 b)12 c) 16 d)54 e)96
6).- Si “A” es DP. a B y cuando A = 6;B = 4, ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 9?
a) 6 b) 9 c) 18d) 18 e) 9/2
7).- Si 3 A es IP. a B2 y cuando A = 64;B = 4; calcula el valor de “B”, cuandoA =64.
a) 2 b)8 c) 16d)13 e)7
8).- Si “A” es DP. “B2” y cuando “A” es 24;B = 4; calcula “A”, cuando B = 6.
a) 12 b) 28 c) 36d) 54 e) 17
9).- Si “A” es IP. a “B” y cuando A = 48; B = 16; ¿cuántovaldrá “A”, cuando B = 32?
a) 22 b)24 c) 26d)23 e)27
10).- A es D.P con B2 e I.P a C , cuandoA = 4; B = 8 y C = 16. Halla “A” cuandoB = 12 y C = 36.
a) 2 b) 6 c) 8 d) 4 e) 10
11).- Si 3 A es IP. a B y cuando A= 64; B = 4; calcula elvalor de “B”, cuando A= 8.
a) 2 b) 8 c) 16d) 13 e) 7
Magnitud Valores
A 20
B 18
20
18
SESIÓN N° 11
81
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12).- Si “A” es DP. a B4 y cuando A = 48; B = 2; calcula“A”, cuando B = 3.
a) 27 b) 9 c) 81d) 162 e) 243
13).- “P” varía inversamente proporcional a “T”,cuando P = 125, entonces T = 48. Determina “T”,cuando P = 300.
a) 12 b) 20 c) 16d) 13 e) 17
14).- Si la magnitud A es inversamente proporcional ala magnitud B y cuando
A = 30, B = 48, halla B cuando A es 240.
a) 1 b)2 c) 6 d)3 e)5
15).- Las magnitudes A2 DP.B; cuando A vale 20 B es18. ¿Qué valor toma A cuando B vale 72?
a) 92 b)68 c) 80d)86 e)88
16).- Si “A” es DP. a B4 y cuando A = 6; B = 3; calcula“A”, cuando B = 6.
a) 78 b)98 c) 81 d)62 e)96
17).- Si “A” es DP. a B4 y cuando A = 18; B = 4; calcula“A”, cuando B = 8.
a) 227 b) 229 c) 281d) 262 e) 288
18).- Si la magnitud A es inversamente proporcional ala magnitud B y cuandoA = 60, B = 96, halla B cuando A es 480.
a) 14 b) 22 c) 12d) 13 e) 15
CLAVES DE RESPUESTAS1) b 2) b 3) b4) b 5) b 6) b7) c 8) d 9) b10)b 11)b 12)e13)b 14)c 15)c16)e 17)e 18)c
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Repartir el número 1000 en 3 partes que senaD. P. a los números 2, 3 y 5. Hallar el menornúmero
Rpta. 200
2. Un enunciado reparte 840 soles en partesproporcionales a las edades de sus tres hijos,siendo éstas de 24, 20 y 40 años. ¿Cuándo lecorresponderá al mayor?
Rpta. 400
3. Dividir el número 688 en partes D.P. a 8,15 y20. Hallar la mayor parte
Rpta. 320
4. Tres sastres compran un lote de piezasiguales de tela que valen 57680. El primero sequeda con 2 piezas, el segundo con 7 y eltercero en 5. ¿Cuánto paga el segundo?
Rpta. 28840
5. Repartir 858 en partes directamenteproporcionales a los números:
54
65,
43 y . Hallar la menor parte
Rpta. 2706. Repartir 360 en 3 partes que sea
inversamente proporcionales a losnúmeros 3, 4y 6. Hallar la mayor parte.
Rpta. 160
7. Repartir 735 en partes inversamente
proporcionales a 1/5, 3/5 y 3. hallar la
suma de cifras de la mayor parte.
Rpta. 12
8. Tres personas compran todos los boletos deuna rifa en forma directamente proporcional a2, 3 y 7. Si el premio se reparte en formainversamente proporcional al número de rifascomprado. ¿Cuánto dinero recibió el quecompró más boletos si en total se repartióS/. 2542?
Rpta. 372
82
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9. Divide 1600 en partes inversamenteproporcionales a 2/3, 1/5 y 6. Calcular la sumade las partes mayor y menor
Rpta. 1240
10. Dividir en 170 en dos partes inversamenteproporcionales a los números 3/2 y 4/3. Hallarel mayor
Rpta. 90
11. Repartir 1000 en partes directamenteproporcionales a 150y18,8 . Hallar elmenor
Rpta. 200
12. Tres personas compran todos los boletos deuna rifa en forma directamente proporcional a2, 3 y 7. Si el premio se reparte en formainversamente proporcional al número de rifascomprado. ¿Cuánto dinero recibió el quecompró más boletos si en total se repartióS/. 2542?
Rpta. 372
13. Divide 1600 en partes inversamenteproporcionales a 2/3, 1/5 y 6. Calcular la sumade las partes mayor y menor
Rpta. 1240
14. Dividir en 170 en dos partes inversamenteproporcionales a los números 3/2 y 4/3. Hallarel mayor
Rpta. 90
15. Repartir 1000 en partes directamenteproporcionales a 150y18,8 . Hallar elmenor
Rpta. 200
PROBLEMAS PARA RESOLVERREPARTO PROPORCIONAL
1. Repartir S/. 5200 entre A, B y C partesdirectamente proporcionales a 2; 3 y 1/5.¿Cuánto recibe C?
a) 55 b) 176c) 198 d) 200e) 250
2. Un padre reparte 520 dólaresproporcionalmente al promedio queobtienen sus hijos en Aritmética.¿Cuánto reciben las notas obtenidas son12; 13; 15?Dar por respuesta lo que recibe el mayor
a) 156 b) 169c) 195 d) 215e) 179
3. Repartir 429 en partes proporcionales a2/3; ¾ y 5/24. Dar por respuesta lamayor parte.
a) 55 b) 176c) 198 d) 200e) 250
4. Repartir el número 1246 inversamenteproporcional a 5/2; 4 y 6/5. hallar la sumade cifras del menor número.
a) 8 b) 9c) 10 d) 12e) 10
5. Repartir 1000 en forma inversamenteproporcional a 1/3, ½, 1/5. Hallar lamayor parte.
a) 100 b) 200c) 300 d) 400e) 500
6. Se ha hecho un reparto en 3 partesinversamente proporcional a 3; 13 1/6. lasegunda parte es 72 soles. ¿Cuál fue eltotal repartido?
a) 1000 b) 3000c) 4000 d) 6000e) 8000
7. Repartir el número 1246 inversamenteproporcional a 5/2; 4 y 6/5. hallar la sumade cifras del menor número.
a) 8 b) 9c) 10 d) 11e) 12
8. Repartir 1000 en forma inversamenteproporcional a 1/3, ½, 1/5. Hallar lamayor parte.
a) 100 b) 200c) 300 d) 400e) 500
83
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9. Se ha hecho un reparto en 3 partesinversamente proporcional a 3; 13 1/6. lasegunda parte es 72 soles. ¿Cuál fue eltotal repartido?
a) 1000 b) 3000c) 4000 d) 6000e) 8000
10. Repartir 348 en dos partes directamenteproporcionales a 3 y ¼, e inversamenteproporcionales a ½ y 1/5.Hallar la suma de cifras de la mayorparte.
a) 12 b) 14c) 16 d) 18e) 20
11. Se reparte 596000 en forma proporcionala los números 2, 4, 6, 8 e inversamenteproporcional a los números 1, 3, 5, 7.¿Cuánto le corresponde a la partemenor?
a) 100000 b) 120000c) 250000 d) 300000e) 320000
CLAVES
1. D2. C3. C4. E5. E
6. D7. D8. A9. D10. B
84
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TANTO POR CIENTO
REGLA DEL TANTO POR CIENTO:Nos indica una relación entre una parte y launidad que ha sido dividida en 100 partesiguales.
Es decir:
Unidad
1001
1001
1001
1001
1001
100 partes iguales
Luego:
1 parte <>100
1 = 1% (uno por
ciento)
2 partes <>1002 = 2% (dos por
ciento)
3 partes <>1003 = 3 % (tres por
ciento)
100 partes <>100100 = 100% (cien por ciento)
Observamos que:
1% =100
1 a % =
100a
. 100% =100100 = 1 .
OBSERVACIÓN:
El 7 por 40 <>407
El 35 por ciento <>10035
El 20 por 45 <>4520
El 90 por mil <>100090
El “a” por “b” <>ba
PORCENTAJE DE PORCENTAJE:
El 20% del 10% de 40% es:
10010.
10020 . 40% =
108 % = 0,8%
El 50% del 30% de 60% es;:
10030.
10050 x 60% = 9%
El a% del b% de c%
%10000
%.100
.100
abccba
TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD:
El 20% de 30 =10020 . 30 = 6
El 60% del 10% de 500 es =10010.
10060 .
500 = 30
OPERACIONES CONPORCENTAJE
20%A + 30%A = 50% A
70%B – 30%B = 40%A
m + 10%m =
1
%100 m + 10% m =
110% mN – 30%N = 70%N
2A + 10%A = 210%A
5% menos = 95%
RELACIÓN PARTE - TODO:
.TodoParte . 100% .
Ejemplos:
¿Qué tanto por ciento es 12 de 40?
4012 . 100% = 30%
SESIÓN N° 12
85
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¿Qué porcentaje de 80 es 25?
8025 . 100% = 31, 25%
¿Qué porcentaje de “A” es “B“?
AB . 100%
En una reunión de 60 personas, el 20% sonhombres y el resto mujeres. ¿Quéporcentaje de las mujeres son los hombres?
Resolución:N° personas: 60 =
)(48
)(hom1260.10020
mujeres
bres
Luego:
4812 . 100% = 25%
OBSERVACIÓN:
PIERDO
QUEDA PIERDO
GANO
10% 90% 20% 120%75% 25% 30% 130%8% 92% 80% 180%40% 60% 100% 200%
DESCUENTOS Y AUMENTOSSUCESIVOS:
Ejemplo 1¿A que descuento único equivale dosdescuentos sucesivos del 10% y 30% de unacantidad?
Resolución:Sea “N” la cantidad inicial:N (90% N) 70%(90% N) = 63% (Queda)
- 10% -30%
Descuento = 100% - 63% 37%
Otra forma:(–) (–)10% y 30% de N 90% . 70%N = 63%N Du = 100% - 63% = 37%
Ejemplo 2¿A que aumento único equivalen tresaumentos sucesivos del 10%; 20% y 50% deuna cantidad?
Resolución:( + ) ( + ) ( + )10%; 20% y 50%
100120.
100110 .150% = 198%
Aumento único = 198% - 100% = 98%
VARIACIÓN PORCENTUAL
Ejemplo 1:Si el lado de un cuadrado aumenta en 20%¿En que porcentaje aumenta su área?
Resolución
El área:
A1 = a2 A2 = (120% a)2
A2 = 120%a . 120%a = 144% a2
El área aumenta en 144% - 100% = 44%
Otra Forma:Se asume al lado inicial diez
El área:
A1 = 102 A1 = 100A2 = 122 A2 = 144 Aumento en 44%
Inicial
Final
120% a
a
a
A1
A2
+20%
86
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Ejemplo 2:Si el radio de circulo aumenta en 100%, ¿Enqué porcentaje aumentara su área?
El área:
A1 = (102) A2 = (202)
APLICACIÓN COMERCIAL
Ejemplo:Aurelio compró una computadora en S/. 400(precio de costo: PC) y decide ofrecerle en$500(precio fijado: Pf) sin embargo, alamomento de venderlo lo hace por S/.420(precio de venta PV), se realiza undescuento de (500 – 420 = 80 soles) y seobtuvo una ganancia de 420 – 400 = 20soles, (ganancia bruta: GB); pero estaoperación comercial genera gastos pos S/. 5o sea se ganó realmente 20 - 5= 15 soles(ganancia neta GN) veamos:
Luego del gráfico:
* . PV = PF – D . * . PV = PC + GB.GB
= GN + Gastos
Si hay pérdida:. PV = PC – P .
Ejemplo:Para fijar el precio de venta de una articulose aumento su costo en un 80% pero alvenderse se hizo una rebaja del 40%. ¿Quétanto por ciento del costo se ha ganado?
Resolución:Sea precio de costo S/. X
1° PF = x + 80%x PF = 180%x2° D = 40% PF3° PV = 60% (PF) = 60% (180%x) =108%x
Luego:PV = PC + G108%x = x + G G = 8%x
ganancia es el 8% del costo
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. El radio de una esfera disminuye en 40%
con ellos el volumen disminuye en:
Rpta. 78, 4%
2. El precio de una refrigeradora es de S/.
1200 en tiendas sagafalabella y tiene los
siguientes descuentos:
40%, sólo por hoy.
20% más si paga con tarjeta CMR.
¿Cuál es el monto a pagar?Rpta. S/. 576
3. Si la base de un rectángulo seincremente en 20%. ¿En cuántodisminuye la altura si el área no varia?
Rpta. 16 2/3%
4. El x% de 2057 es 187. Hallar “x”
Rpta. 100/11
5. El 25% de que número es el 35% de 770
Rpta. 1078
6. ¿De que número es 216 el 8% más?
87
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Rpta. 200
7. El a% de 300 es b y b% de 30 es 27.Hallar a.
Rpta. 30
8. El 18% de 990 es el n% de 198. Hallar n.
Rpta. 90
9. El a% de b es c el c% de a es e. Hallar a.
Rpta. 100 c/b10. Se observo que en una granja el número
de patos, conejos y pavos en la relaciónde los números 4, 5 y 6. ¿Quéporcentaje del total son pavos?
Rpta. 40%
11. En una reunión el 40% del total depersonas son hombres. Si se retira lamitad de éstos. ¿Cuál es el nuevoporcentaje de hombres?
Rpta. 25%
12. El 20% menos de A es igual a 2% másde B si A + B = 546. Hallar A - B
Rpta. 66
13. Si el 65% de “N” es igual al 106% de (N -123). ¿Qué porcentaje de N representa53?
Rpta. 16.6%14. En una reunión el 70% del número
de mujeres es igual al 50% delnúmero de hombres. ¿Quéporcentaje del total son mujeres?
Rpta. 41,6%
15. En una granja: el 30% de losanimales son pollos, el 45% sonpatos y el resto son gallinas. Si sevenden la mitad de los pollos; 4/9 delos patos y 3/5 de las gallinas. ¿Quéporcentaje del nuevo total sonpatos?
Rpta. 50%
16. ¿Qué porcentaje del cuádruplo de lamitad del 60% de un número es el30% del 20% de los 2/5 del número?
Rpta. 2%
PROBLEMAS PARA RESOLVER
1. La base de un triángulo aumenta en 50%y su altura en 20%. ¿En qué porcentajevaria en área?
a) 70% b) 80%c) 60% d) 40%e) 50%
2. Si al altura de un rectángulo disminuyeen 35% y la base aumenta en 10%. Elárea
a) Aumenta en 28,5%b) Aumenta en 25,8%c) Disminuye en 28,5%d) Disminución en 25,8e) N.A.
3. De un depósito de agua se extraeprimero el 20% y luego el 25%. ¿Quéporcentaje del total se extrajo?a) 40% b) 44,%c) 44% d) 45%e) 39,7%
4. Si el lado de un cuadrado disminuye en30%. ¿En qué porcentaje disminuye elvalor de su área?
a) 60% b) 30%c) 39% d) 51%e) 56%
5. Hallar el 36% de 2500
a) 693,3 b) 1000c) 900 d) 368e) N.A.
6. ¿De que número es 72 el 2.4%?
a) 3 b) 172,8c) 300 d) 3000e) N.A.
7. ¿Qué % de 38000 es 190?
a) 1/2 b) 50%c) 1/200 d) 2%e) N.A.
8. Hallar el 20% del 25% del 40% del 15por 60 de 24000
a) 120 b) 100c) 140 d) 125e) 124
88
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9. Hallar el 20% del 30% del 15% de10000.a) 50 b) 70c) 90 d) 100e) 110
10. ¿El 25% de 280 es el 40% más de quenúmero?
a) 40 b) 50c) 35 d) 28e) 48
CLAVES
1. B
2. C
3. A
4. D
5. C
6. D
7. A
8. A
9. C
10. B
REGLA DE INTERÉSINTERÉSEs la ganancia o beneficio al prestar uncapital durante cierto tiempo y bajo una tasaa considerarse. Si el interés es anual se lellama renta.
Interés (I) : Crédito, renta (anual)Capital (C) : Dinero, acciones,propiedades, etc.Tiempo (T) : Año, meses, días
OBSERVACIONES:
EL AÑO CONSIDERADO ES EL COMERCIAL, AQUELQUE TIENE 12 MESES DE 30 DÍAS CADA UNO
Tasa (r): Es el porcentaje anual, consideradocomo tasa de interés.
OBSERVACIONES:
POR EJEMPLO, TENEMOS:3 % MENSUAL 36% ANUAL12% BIMENSUAL 72% ANUAL10% QUINCENAL 240% ANUAL
Monto (M) : Viene a ser la suma del capitalcon su interés Así:
. M = C + 1 .
Fórmulas para calcular el interés simple:
. 1 =100
t.r.C, “t” en años .
. 1 =1200
t.r.C, “t” meses .
. 1 =1200
t.r.C, “t” en días. .
Ejemplo:Pedro deposita 4000 soles bajo una tasa de12% semestral durante 15 meses. ¿Cuál esel monto que obtiene?
Resolución:
C = S/. 4000r = 12% semestral 24 % anualt = 15 meses
SESIÓN N° 13
89
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I =1200
t.r..C=
120015.24.4000
= 1200
Y como M = C + I
M = 4000 + 1200
M = 5200
PROBLEMAS PARA LA CLASE1. ¿Cuál es el capital que al 5% de interés
simple anual se convierte en 3 años enS/. 3174 ?
Rpta. S/. 2760
M = C + I3174= C + . .
C = 2760
2. Determinar el interés generado aldepositar S/. 1200 al 10% trimestraldurante 6 meses
Rpta. S/. 240
3. Un capital estuvo al impuesto al 9% deinterés anual y después de 4 años seobtuvo un monto S/. 10200. ¿Cuál es elvalor del capital?
Rpta. S/. 7500
4. Calcular el interés producido por uncapital de S/. 60000 impuesto durante 30meses al 10% trimestral.
Rpta. S/. 60000
5. los 2/5 de un capital han sido impuesto al30%, 1/3 al 35% y el resto al 40%. Elinterés total es de 41200 soles anuales.Calcular el capitalRpta. S/. 120000
6. Un capital de 2100 soles impuesto al 6%anual ha dado un monto de S/. 2400.Calcular el tiempo.Rpta. 2 años 4 meses 20 días
7. Un capital es colocado durante 2 años ymedio; entre capital e interés resultan2728 nuevos soles. Si el interés ha sido1/10 del capital. Calcular la tasa.Rpta. 4%
8. Hallar el monto que produce un capitalde 10800 soles al ser colocado 5%durante 2 años, 3 meses, 20 díasRpta. S/. 12045
9. Durante cuanto tiempo estuvodepositado un capital al 12% anual si elinterés producido alcanza el 60% delcapital
Rpta. 5 años
10. Un comerciante dispone de S/. 12000 ycoloca una parte al 3% y la otra al 5% tales así que acumula una renta anual deS/. 430. ¿Cuáles son esas dos partes?
Rpta. S/. 8500 y S/. 3500
11. ¿A que tasa de interés cuatrimestral sepresto un capital de S/. 400 de talmanera que al cabo de 8 meses produceun monto de S/. 432?
Rpta. 4%
12. Un capital colocado a interés simpleprodujo en 8 meses un monto de S/.19300. si el mismo capital se hubieraimpuesto a la misma tasa de interés poraños, el monto hubiera sido S/. 38600.¿Cuál es la tasa anual?
Rpta. 150%
13. Una persona tiene S/. 16000 que lopresta al 5% trimestral y otra tiene S/.20000 que lo presta al 5% cuatrimestral.¿Dentro de cuántos años los montoserán iguales?Rpta. 20
14. ¿Qué capital es aquel colocado al 5%anual durante 10 meses, produce S/.3300 menos que si se impusiera al 5%mensual durante el mismo tiempo?
Rpta. 7200
15. ¿A qué tasa debe colocarse un capitalpara que al cabo de 5 años se produzcaun interés igual al 20% del monto?
Rpta. 5%
90
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PROBLEMAS PARA RESOLVER1. Calcular el interés producido por S/.
2000 impuesto durante 3 años
a) S/. 500 b) S/. 1000c) S/. 2000 d) S/. 1200e) S/. 2500
2. ¿A que tasa de interés, la suma de S/.20000 llegaría aun monto de S/. 21200colocada a interés simple en 9 meses?
a) 5% b) 6%c) 7% d) 8%e) 9%
3. Calcular el interés producido por uncapital de S/. 40000 durante 4 años al30% semestral
a) S/. 48000 b) S/. 72000c) S/. 48000 d) S/. 72000e) S/. 54000
4. Cuál es el capital que se coloca al 30%durante 2 años para obtener un interésde S/. 120.
a) S/. 180 b) S/. 200c) S/. 220 d) S/. 240e) S/. 250
5. Un capital “C” produce al cabo de dosaños un beneficio de 1440. Hallar “c”, sila tasa de interés es del 10% bimestral.
a) 1320 b) 1440d) 1200 d) 1220e) 1260
6. ¿Cuál fue el capital que impuesto al 30%anual, durante 4 años ha producido unmonto de S/. 220?
a) 200 b) 100c) 300 d) 400e) 180
7. Durante cuántos años se deposito uncapital de S/.2500 en un banco que pagael 9% trimestral para que se hayaconvertido en S/. 5200
a) 2 b) 3c) 4 d) 5e) 6
8. ¿Cuánto tiempo debe ser prestado uncapital al 20% para que se triplique?
a) 8 años b) 9 añosc) 10 años d) 11 años
e) 12 años
9. ¿A que tasa fue impuesto un capital sidurante 4 años se obtuvo un interés igualal 22% del capital?
a) 3% b) 3,5%c) 5% d) 5,5%6%
10. ¿Cuántos meses estuvo colocado uncapital al 3% cuatrimestral, si produjo uninterés igual al 6% del capital?
a) 4 mesesb) 6 mesesc) 8 mesesd) 10 meses
e) 1 año
CLAVES
1. D2. D3. B4. B5. C
6. B7. B8. C9. D10. B
91
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Se va a calcular el preciode la mezcla conociendo lascantidades y precios respectivosde las sustancias que lacomponen. Se va a calcular lascantidades o la proporción en losque se deben mezclar variassustancias para que resulte unprecio dado de la mezcla. Se van a observarproblemas sobre mezclashomogéneas.
Es la unión de dos o mássustancias. Llamadascomponentes o ingredientes,donde al mezclarse cada uno deellos conservan su propianaturaleza.
MEZCLA
Cuando en la mezcla se utilizaagua su precio se considera S/. 0(cero)
NOTA
REGLA DE MEZCLA
Ejemplo:Arroz tipo A con arroz tipo B al mezclarse seobtiene una mezcla tipo “C”; los granos de Ay B no se alteran.
PRECIO: Es el costo por cada unidad demedida del componente.
VALOR: Es el costo total de cadacomponente, que resulta del producto delprecio por el número de unidades.
PRECIO MEDIO (PM): Es el costo de unaunidad de medida de la mezcla.
MEZCLA DIRECTA
Se dice que la mezcla es directa cuando elpropósito es hallar el precio medio (valormedio de la mezcla).
n n1 1 2 2m
n1 2
P . C P . C .... P . CP
C C .... C
n
x 1n
x 1
x x
m
x
P CP
C
Ejemplo 1Se mezclan 2 clases de cacao de 40 kg de S/.4 el kg y 80 kg de S/. 8 el kg. Hallar el preciomedio de la mezcla.
Resolución:
m40 4 80 8
P40 80
m P S / . 6,6
Ejemplo 2Se mezclan 3 tipos de vino: 30 litros de S/. 4el litro, 60 litros de S/. 6 el litro y 20 litrosde S/. 5 el litro. Hallar el precio medio de lamezcla.
Resolución:
m30 4 60 6 20 5
P30 60 20
m580P Pm=110
S/. 5,27 Rpta.
MEZCLA INVERS ÁUna mezcla inversa se caracteriza por quese conocen el precio medio y los preciosunitarios, pero no las cantidades.
Luego: m1 2
m12
C P PC P P
Donde: 21 mP P P
Ejemplos:Se han mezclado vinos de S/. 100 y
S/. 40 para vender la mezcla a S/. 75 el litro.
SESIÓN N° 14
....
1C 2C 3C nC
1S / .P 2S / .P 3S / .P nS / .P
mCosto totalP
Cantidad total
2
1
m1 1
m2 2
P C P P
P C P P
mP
92
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
En que relación debe hacerse la mezcla?Resolución:
Piden: 1
2
C 35C 25
1
2
C 7C 5
Rpta.
Se tiene café de S/. 13 y S/. 9respectivamente. ¿Qué cantidad de cadauno de ellos se requiere para obtener unamezcla de 64 kg a S/. 12 el kilogramo?
Resolución
Están en relación de: 3k y kDato: 3k k 64
4 k 64 k= 16
1C 3(16) 48
2C 1(16) 16
MEZCLAS ALCOHÓLICASCuando se tiene como sustanciascomponentes al alcohol y aguageneralmente.
Grado de pureza de AlcoholPorcentaje de alcohol puro en la mezcla
(volumen de alcohol puro).100%Gradovolumen total
Se expresa en porcentaje (%) o en grado ( º).
Grado Medio (gm)
Es el grado de pureza de la mezcla.
volumen de alcohol puro gm .100%volumen de la mezcla
2 n1 .. . n1 2
n1 2 3
V g V g .... V g gm
V V V ..... V
Ejemplo 01
¿Cuál deberá ser la pureza de alcohol quedeberá añadirse a 80 litros de alcohol de96% de pureza, para obtener un hectolitrode alcohol de 90% de pureza?
Resolución:Nota: 1 hectolitro=100 litrosPara completar faltan 20 litros: luego:80(96%) 20(x%) 90%
80 20
7 680+ 20x= 9 000
De donde: x= 66% Rpta.
Ejemplo 02Si 30 L de una solución contiene 12 L dealcohol. ¿Cuántos litros de agua debemosagregar para obtener una solución al 25%?
Resolución:Si agregamos “x” litros de agua, se tiene:
12gm 25%30 x
12 130 x 4
Resolviendo
x 18 L Rpta.
ALEACIÓN
Aleación es la mezcla de dos o mas metalesmediante el proceso de la fundición,conservando cada metal su propianaturaleza.
Metales finos o preciosos: oro, plata,platinoMetales ordinarios o de liga: cobre,fierro, zinc, etc.
LEY DE UNA ALEACIÓN:Se llama ley de una aleación de un metalfino con un metal ordinario (liga) a larelación que existe entre el peso de unmetal fino, y el peso total de la aleación.
Peso del metal fino LPeso total de la aleación
F
F O
W L
W W
Nota:Generalmente la ley de una aleación serepresenta en décimos o milésimos.
1 1
22
100 C C = 75 40 35
40 C C 100 75 25
75
1 1
22
1 3 C C = 1 2 9 3
9 C C 1 3 1 2 1
12
93
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LIGA DE UNA ALEACIÓN:
Peso del metal ordinarioLigaPeso total de la aleación
O
F O
W Liga
W W
Nota:L+Liga=1Si un metal fino no contiene metalordinario o sea OW 0 L= 1 Si un metal ordinario no contiene metalfino o sea
FW 0 Liga= 1
LEY DE ORO:En el caso del oro su ley se puede expresartambién en quilates. Al oro puro se leasigna una ley de 24 quilates, el número dequilates representa el número de décimacuarta parte de oro que contiene laaleación.
Ley de oro:k L
24 k: # de quilates
Si el oro es de 24 quilates (oro puro) su leyes uno ( 1 ).
LEY MEDIA (lm)
1 1 2 2 3 3 n nm
1 2 3 n
W l W l W l ..... W l l
W W W .... W
Ejemplo 01:Se funden 280 g de oro puro con 200 g decobre. Hallar el número de quilates de laaleación.
Resolución:
Del enunciado: 280 k200 280 24
De donde: k= 14 Rpta.
Ejemplo 02:¿Cuántos gramos de oro puro hay en uncollar que pesa 15 g, cuya ley es 4 décimosfino?
a) 6g b) 7gc) 8g
d) 10g e) 12g
Resolución:
Se tiene que: FW0, 4
15
De donde: F W 6 g Rpta.
1 Sean mezcla do 200 litros de vino dea S/. 5.00 el litro con 30 litros de vino demayor precio obteniendo una mezcla conun precio medio de 6.50 sólo por litro. ¿Cuáles el costo en soles por litro del mencionadovino de mayor precio?a) 16.5 b) 16.9 c) 16.8d) 16.6 e) n.a.
Resolución:El total de litros vendidos es 200 30 230 ,como su precio medio por litro es de 6.50soles el valor total será.230 6.50 1 495 soles Ahora bien sea el mayor precio por litro,luego el total será200 5 30 p ó 1 000+ 30p
Como en ambos casos el valor total es elmismo tendremos.1 000+ 30p= 1 495
1 495 1 000p 16, 530
p 16, 5 Rpta.
2 ¿Cuál será la ley media de laaleación resultante de fundir 3 bloques dealeación cuyos pesos son: 4; 5 y 6 kg, dondesus leyes respectivas son de 0,750 ; 0,850 y0,900?
1l 2l 3l nl..........
nW3W2W1W
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a) 0,483 b) 0,413c) 0,843
d) 0,814 e) n.a.
Resolución:Ley de aleación:
4(0,750) 5(0, 850) 6(0, 900)Lm4 5 6
12 650Lm15
0, 843 Rpta.
3 Un comerciante vende dos tipos devinos de S/. 90 y S/. 75,60 soles el litro; loscuales los mezcla en la proporción de 5partes del mas barato por 7 partes del máscaro. Si quisiera ganar un 25% en la mezclaa como debe vender el litro.a) S/. 106 b) S/. 107 c)S/. 105d) S/. 108 e) n.a.
Resolución:Supongamos que el total de la mezcla es 12litros de vino.Del barato: 5 75, 60 378 so les
Del caro: 7 90 630 soles
Total 1 008 solesS/.25% de 1 008 = 252
Luego el precio total de venta será:+S / . 1 008 S / . 252 = S / . 1 260
El precio por litro será:1 260
12 S/. 105 Rpta.
4 Se tiene oro de 9 decimos fino(0,900) y oro de 18 quilates (0,750).¿Cuántos gramos hay que tomar de cadaclase para obtener 60 gr. de ley de 800milésimos fino?
a) 20 y 10 b) 10 y 20 c) 20 y 40d) 40 y 30 e) n.a.
Resolución:Dato:
1 2
3k
C C 60
3k 60 k= 20
Luego: 1 2C 20 y C 40
20 y 40 Rpta.
5 Un litro de leche pura pesa 1 030g.si se han comprado 161,4 litros de leche y
estos pesan 165,420kg. ¿Cuántos litros deagua contiene esta leche?a) 26 litros b) 14 litros c) 28 litrosd) 19 litros e) n.a.
Resolución:Por cada litro de agua agregado se pierde:1 030 1 000= 30g de peso181, 4 litros de leche pura pesa rián161, 4 1 030= 166, 242kg
El peso de la leche comprada es 165, 920 g.y la diferencia de pesos da: 840gLuego de agua hay:84030
28 litros Rpta.
6 Si 80 litros de agua contiene 15% desal. ¿Cuánto de agua se debe de evaporarpara que la nueva solución contenga 20%de sal?a) 10 litros b) 5 litros c)20 litrosd) 19 litros e)n.a.
Resolución:15Sal (80) 12 litros
100
Se evapora “x” litros de agua, la sal no seevapora.Luego: 2012 (80 x)
100
60 80 x
x 20 litros Rpta.
7 Se ha mezclado de una sustanciacon 70kg. De otra, las sustancias cuestan 3soles y 5 soles el Kg. respectivamente. ¿Quécantidad tendrá que entrar de una tercerasustancia de 4 soles el kg. Para que elprecio medio de la mezcla resulte de 3,95soles el Kg?a) 10 b) 20
c) 30d) 40 e) 50
Resolución:Sea “x” la cantidad buscada.
80 3 70 5 x 4Pr omedio 3, 9580 70 x
(150 x)240 350 4 x 3, 95
0, 05x 2, 5 x= 50 Rpta.
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8 Que cantidad de carbón con 4% dehumedad se debe mezclar con un carbón de8% de humedad para obtener 164 kg decarbón con 7% de humedad.a) 43 b) 42
c) 40d) 41 e) 50
Resolución:Proporción de la mezcla:
Total = 4kg.* Por una mezcla de 4kg. Se toma 1 kg con
4% de humedad* Para una mezcla de 165 kg se tomarán
164 1x 41 Kg.4
x 41 kg Rpta.
9 Si 1 litro de mezcla formado del 75%de alcohol y 25% de agua pesa 850 gramos¿Cuánto pesara 1 litro de mezcla formadode 25% de alcohol y 75% de agua?a) 890g b) 950g c) 900gd) 980g e) 925g
Resolución:NOTA: 1 litro de agua 2H O
Pesa 1 Kg. ó 1000 gramos.Primera mezcla:
Se deduce 0,75L de alcohol.Pesa: 850-250=600gr.Segunda mezcla:
Aplicando regla de 3 simple:
75y 25 600 y 200gr.Peso= 700 200 950gr.
Peso= 950gr. Rpta.
10 Una cierta cantidad de azúcar de120 soles el kilo se mezcla con 100 kilos deazúcar de 180 soles el kilo, si el precioresultante era 142,5 soles. Hallar dichacantidad.a) 133 b) 160
c) 166
d) 130 e) 21663
Resolución: xKg 100Kg x 100 Kg
1P 120 , 2P 180 , mP 142, 5
Sabemos:1 1 2 2
m1 2
C P C PP
C C
Luego:
142,5= 120x 180 100
x 100
Resolviendo: 500 2x 1663 3
21663 Rpta.
11 Si 20 litros de agua contiene 15%de sal ¿Cuánto de agua se debe evaporar,para que la nueva solución contenga 20%de sal?a) 5 b) 10
c) 15d) 3 e) 8
Sal=15%20 Se evapora “x”litrosSal=3L de agua (la sal no se
Evapora) 3 20% 20 x
Luego: 203 20 x100
x 5 Rpta
8 % 1% ó 1kg 0,8004 % 3% ó 3kg
2H O
OH
25%1L pesa 250gr.
75%1L pesa x gr.
850 gr.
2H O
OH
25%1L pesa 250gr.
75%1L pesa y gr.
Peso ? 750 y
ra
da
Alcohol Peso
0,75 600 1 mezcla
0, 25 y 2 mezcla
SAL
20L
SAL
20 x L
xL
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12 A una solución de 2 litros dealcohol (en volumen) se le agrega 1 litro deagua y ½ litro de alcohol ¿Cuál seria elnuevo % de alcohol en la mezcla?a) 27,5% b) 25,7%
c) 25%d) 20% e) 16,6%
Resolución:
Se agrega 1L de agua y 1 L2
de alcohol.
Entonces:
Luego el nuevo porcentaje de alcohol en lanueva mezcla es:
alcohol
Total
V 0,9 9V 3,5 35
0, 257 25,7% Rpta.
13 Calcular el peso de un litro demezcla conteniendo 70% de agua y 30% dealcohol, sabiendo que un litro de agua pesaun kilogramo y un litro de mezcla de 75% dealcohol y 25% de agua pesa 960gr.a) 988gr b) 984gr
c) 1007,5grd) 940gr e) 1000gr
Resolución:Mezcla I:
Alcoho l75% 1 0,75L 710gr1litro
agua 25% 1 0, 25L 250gr
Mezcla II:
Alcohol 30% 1 0, 30L 284gr
1litroagua 70% 1 0,70L 700gr
984gr Rpta.
14 Una solución de 15 litros de alcoholy agua contiene 75% de alcohol ¿Cuál es elmáximo de litros de una solución al 67% de
alcohol que puede agregarse a la soluciónoriginal a fin de que la solución finalcontenga como mínimo 72% de alcohol?a) 14 b) 5
c) 17d) 9 e) 10
Resolución:“x” litros de solución al 67% volumenalcohol echado.
Volumen de alcohol:75 4515 L 11, 25L
100 4
Obtenga solución al 72%.Al final habrá 15 x L de solución al 72%
72 15 x 0,67x 11, 25100
Resolviendo:10, 8 0,72x 0, 67x 11, 25 0, 05x 0, 45
x 9 litros Rpta.
15 Dos clases diferentes de vino se hanmezclado en los depósitos Ay B, en eldeposito A la mezcla esta en proporción de2 a 3 respectivamente y en el deposito B, laproporción de la mezcla es 1 a 5 ¿Quécantidad de vino debe extraerse en cadadeposito para formar una mezcla quecontenga 7 litros de vino de la primera clasey 21 litros de la otra clase?a) 12 y 16 b) 13 y 15 c) 10 y 18d) 15 y 13 e) 18 y 10
Resolución:
x e y clase de vinoDato de x 7L 2a b 7............ (1)y 21L 3a 5b 21............ (2)Operando: 5(1)-(2)
OH
2H O
Alcohol 20% 2 0, 4L
agua 80% 2 1, 6L
2 litros
OH
2H O
0, 4 0, 5 0, 9L
1, 6 1 2, 6L
3,5 litros
960gr
984gr
AlcoholAgua
Peso ? 750 y
15L
75%
67%x 0, 67x
2a
3a
A
x
y
1b
5b
B
x
y
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7a 14 a 2 En (1) b 3
*Se saca de “A” 5a 5 2 10L
*Se saca de “B” 6b 6 3 18L Rpta.
1 Cual es el grado de una mezcla quecontiene alcohol y agua, sabiendo que tiene40 litros de los cuales 16 litros sonde agua?a) 60º b) 50º
c) 70ºd) 75º e) 55º
2 Se mezclan 15 litros de alcohol de40º, con 35 litros de 30º y 40 litros de 60º.¿De que grado es la mezcla resultante?a) 40º b) 48º
c) 50ºd) 45º e) 52º
3 Se alean 350 g de palta con 150 gde cobre. ¿Cuál es la ley de aleación?a) 0,700 b) 0,750
c) 0,800d) 0,850 e) 0,900
4 Se mezclan tres metales de pesos:200 g, 300 g y 800 g; cuyas leyes sonrespectivamente: 320 milésimas, 500milésimas y 925 milésimas. ¿Cuál es la leymedia?a) 0,820 b) 0,733
c) 0,720d) 0,715 e) 0,723
5 Se mezclan dos sustancias cuyasdensidades son 2 y 3 g/ l, en las cantidadesde 8 litros y 10 litros respectivamente.¿Cuál es la densidad de la mezclaresultante?
a) 2,40 b) 2,18 c) 2,31d) 2,41 e) 2,55
6 Se mezclan 2 clases de maní: 30 kgde S/.4 el kg y 70 kg de S/. el kg. Hallar elprecio medio de la mezcla.
a) 5,4 b) 5,8c) 4,8
d) 4,6 e) 5,2
7 Se mezclan tres tipos de vino: 20litros de S/. 3 el litro, 50 litros de S/. 5 ellitro para que resulte de S/. 40 el litro.Indicar la cantidad de agua que se debeañadir.a) 55 b) 50
c) 40d) 70 e) 65
8 Se han mezclado 40 litros de vinode S/, 60 el litro, con 140 litros de S/. 50 ellitro. ¿Qué cantidad de agua habrá queañadir para vender el litro a S/. 1,95ganando un 30%?a) 110 b) 100
c) 120d) 108 e) 105
9 Un comerciante pesa 1 030 g, unlechero entrega 55 litros de leche con unpeso de 65,5 kg; le agregó en la leche, ¿Enque volumen?a) 3 L b) 5 L
c) 4 Ld) 6 L e) 8 L
10 ¿A cuanto debe venderse el litro devino que resulta de mezclar 20 litros de S/.80 el litro con 50 y 30 litros de S/. 40 y S/.69 el litro respectivamente, si no se debeganar ni perder?
a) 56,7 b) 58,4 c) 53,9d) 55,9 e) 60
11 Se mezclan 30kg de café de S/. 39el kilo con 48 kg y 52 kg de S/.26 y S/.13respectivamente; se desea saber a comodebe venderse cada kg de la mezcla si sedebe ganar el 10%.a) 25,40 b) 25,70
c) 26,18d) 28,4 e) 27
12 ¿A como se vendió cada kilogramode la mezcla de 27,33 y 45 kg de arrozcuyos precios son respectivamente S/.10,6 ;S/.5,3 y S/.2,65 el kilogramo, si se perdió el7%?
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a) 6,20 b) 4,9 c)4,7d) 5,8 e) 5,11
13 Se fundieron dos lingotes de platade igual peso y cuyas leyes son de 0,920 y0,950. ¿Cuál es la ley resultante?a) 0,924 b) 0,0905
c) 0,935d) 0,912 e) 0,918
14 Un vaso lleno de aceite pesa 1,69kg y lleno de alcohol pesa 1,609kg sabiendoque a igualdad de volúmenes, el peso delaceite es los 9/10 del peso del agua y elalcohol los 21/25 del mismo. ¿Cuántosgramos pesa el vaso vacio?a) 425 b) 615
c) 608d) 612 e) 475
15 Un adorno de oro de 16 quilates,contiene 60 g de oro puro. ¿Cuantosgramos de liga contiene el adorno?a) 18 b) 20
c) 30d) 24 e) 26
16 Hallar la ley de una aleación de oroy cobre que tiene una densidad de 14,sabiendo que la densidad del oro es de 19 yla del cobre 9 ( aproximadamente)a) 0,678 b) 0,915
c) 0,583d) 0,584 e) 0,832
17 Se mezclan 8 litros de aceite deS/.600 el litro y 12 litros de aceite de S/.800el litro. ¿A cómo se debe vender cada litrode la mezcla resultante?a) S/.840 b) S/.710
c) S/.730d) S/.805 e) S/.720
18 Un comerciante ha comprado 350litros de aguardiente a S/.1.95 el litro. ¿Quécantidad de agua habrá que añadir paravender el litro a S/.1,95 ganando un 30%?a) 104 b) 105
c) 102d) 110 e) 108
19 En que proporción se debenmezclar dos tipos de vino, cuyo precios por
litro son de S/.800 y S/.1 100 para obteneruna mezcla cuyo precio medio sea deS/.920a) 2/3 b) 3/4
c) 4/3d) 4/5 e) 3/2
20 ¿Qué cantidades de vino de S/.35 ;S/.50 y S/.60 el litro han de mezclarse paraconseguir a S/.43,5 cada litro, con lacondición de que la segunda clase, entre eldoble de cantidad de la tercera. Indicar lamáxima diferencia de 2 de estascantidades.a) 600 b) 800
c) 700d) 900 e) 950
21 Un recipiente de 100 litros decapacidad esta lleno con alcohol de 80º.¿Cuantos litros de dicho recipiente hay quesacar para que al ser reemplazado por aguase obtenga una mezcla de 60º?a) 40 L b) 60 L c) 50 Ld) 75 L e) 65 L
22 Se mezclan alcohol puro, agua yvino cuyos volúmenes están e la mismarelación que los números 3; 5 y 2. Hallar elporcentaje de alcohol en el vino, si almezclar éste resulto de grado 37.a) 35º b) 30º
c) 45ºd) 37º e) 42º
23 Un anillo de 33 g de peso estáhecho de oro de 17 quilates. ¿Cuántosgramos de oro puro se deberán agregar alfundirlo para obtener oro de 21 quilates?a) 40 g b) 42 g c) 44 gd) 45 g e) 43 g
24 ¿Qué cantidad de cobre habrá quemezclar a una barra de plata de 44 kg y deley de 0,920 para que la ley disminuya en0,04?a) 42 b) 46
c) 44d) 45 e) 48
25 Al precio de S/. 2 200 el kilogramose plata, se ha vendido en S/770 un vasoque pesaba 500 g. ¿Cuál es la ley de estevaso?
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Pv = Pc + g
Pv = Pc - p
a) 0,7 b) 0,6c) 0,8
d) 0,9 e) 0,75
26 Se funden 50 g de oro puro con450 g de una aleación, la ley de la aleaciónaumenta en 0,020. ¿Cuál es la ley dealeación de la primera?a) 0,6 b) 0,9
c) 0,36d) 0,8 e) 0,39
27 Se tienen 60 litros de una mezcla deácido sulfúrico al 40% de pureza. ¿Cuántoslitros de agua se deben agregar para obteneruna mezcla que sólo tenga el 10% depureza?a) 160 b) 150
c) 180d) 170 e) 190
28 Se tiene alcohol de 80% y 60% cuyovolumen del primero es el triple delsegundo. ¿Cuántos litros de alcohol de 65%se debe agregar para obtener 96 litros de69%?a) 56,3 b) 57,6 c) 58,1d) 58,9 e) 60
29 Si se funden 50 g de oro con 450 gde una aleación, la ley de aleación aumenta0,02. ¿Cuál es la ley de la aleación inicial?a) 0,70 b) 0,65 c) 0,91d) 0,80 e) 0,85
1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9.
a d a b e a d a c
10. 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18.
a c e e c a b e b
19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.
e b c a e b a d c
28. 29.
b d
Taller de ReforzamientoASUNTOS COMERCIALES:
PROBLEMAS PROPUESTOSFORMULAS:1) Si Pv Pc
2) Si Pv Pc
Donde : Pv = Precio de venta. Pc = Precio de compra. g = Ganancia. p = Pérdida.
1.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $35,si se quiere ganar el 20% del precio de costo?.
a) 56 b) 28 c) 36d) 42 e) 35
2.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $82,si se quiere ganar el 18% del precio de costo?.
a) 56 b) 28 c) 96.76d) 94.78 e) 35.7
3.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $3500,si se quiere ganar el 25% del precio decosto?.
a) 4375 b) 2886 c) 4475d) 4455 e) 3565
4.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $1450,si se quiere ganar el 32% del precio decosto?.
a) 1824 b) 1328 c) 1914d) 1814 e) 1235
5.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto quecostó S/ 500, si se perdió el 14% del precio decosto?
A) 464 B) 463 C) 430D) 191 E) 514
6.- ¿Cuál fue el precio de venta de un televisor quecostó S/ 480, si se perdió el 30% del precio decosto?
A) 464 B) 163 C) 284
SESIÓN N° 15
100
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D) 336 E) 214
7.- ¿ Cuál fue el precio de venta de un producto quecostó S/ 150, si se perdió el 10% del precio decosto?
A) 164 B) 163 C) 184D) 114 E) 135
8.- ¿ Cuál fue el precio de venta de un producto quecostó S/ 180, si se perdió el 10% del precio decosto?.
A) 164 B) 163 C) 162D) 114 E) 149
9.- ¿ Cuál fue el precio de venta de un producto quecostó S/ 1500, si se perdió el 32% del precio decosto?.
A) 1064 B) 1020 C) 1284D) 1914 E) 1014
10.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto quecostó S/ 680, si se perdió el 25%?.
A) 464 B) 510 C) 584D) 914 E) 414
11.- ¿Cuál es el precio de costo de un producto, si paraganar el 20% del precio de costo tuvo quevenderse en S/.180 ?
A) 146 B) 151 C) 128D) 150 E) 201
12.- ¿Cuál es el precio de costo de un producto, si paraganar el 20% del precio de costo tuvo quevenderse en S/.480 ?
A) 400 B) 516 C) 284D) 914 E) 260
13.- En cuánto se debe vender un artículo que costó $240 y se quiere ganar el 15% del precio de costo?.
A) 464 B) 163 C) 128D) 276 E) 114
14.- En cuánto se debe vender un artículo que costó $1500 y se quiere ganar el 24% del precio de costo?.
A) 1864 B) 1630 C) 1284D) 1860 E) 2014
15.- En cuánto se debe vender un artículo que costó $750 y se quiere ganar el 22% del precio de costo?.
A) 146 B) 915 C) 1284D) 191 E) 201
16.- En cuanto se vendió un artículo que costó S/. 120y se perdió el 20% del precio de costo?
A) 87 B) 104 C) 96D) 91 E) 86
17.-¿ Cuánto costó un producto si al venderlo en S/.600, se gana el 20% del precio de costo?
A) 500 B) 516 C) 584D) 914 E) 614
18.- Calcula el precio de costo de un producto si paraganar el 10% del precio de costo se vendió en $352.
A) 302 B) 306 C) 320D) 191 E) N.A.
19.- A cómo debería venderse un automóvil que costó$ 7500 , si se desea ganar el 24% del precio decosto?
A) 9300 B) 5400 C) 8900D) 1900 E) 9600
20.-El precio de costo de una refrigeradora es de $270.¿ En cuánto deberá venderse si se desea ganar el22% del precio de costo?
A) 464.5 B) 516.3 C) 329.5D) 1914 E) 315.8
21.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 180 paraganar el 30% del costo?
A) 234 B) 415 C) 248D) 214 E) 258
22.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 360 paraganar el 10% del precio de venta?
A) 345 B) 516 C) 395D) 914 E) 396
23.- A cómo debo vender lo que me costó $150 paraganar el 30% del costo.
A) 345 B) 316 C) 195D) 145 E) 396
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24.-¿ En cuánto debe venderse un Televisor que costó$ 1450,si se quiere ganar el 32% del precio decosto?.
A) 1464 B) 5163 C) 1284D) 1914 E) 2014
25.- ¿En cuánto debe venderse un refrigerador quecostó $ 385, si se quiere ganar el 20% del precio decosto?.
A) 464 B) 163 C) 462D) 914 E) 514
26.- ¿En cuánto debe venderse una enciclopedia quecostó $ 135, si se quiere ganar el 22% del precio decosto?.
A) 164.7 B) 163 C) 184D) 191.6 E) 514.9
27.- ¿ En cuánto debe venderse lo que costó $ 350, sise hace una rebaja del 35% del precio de costo?.
A) 1464 B) 516.3 C) 227.5D) 191.4 E) 201.4
28.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $350,si se quiere ganar el 35% del precio de costo?.
A) 464,5 B) 163 C) 472,5D) 914,5 E) 514,5
29.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto quecostó S/ 80, si se perdió el 30% del precio decosto?
A) 56 B) 63 C) 84D) 91 E) 51
30.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto quecostó S/ 180, si se perdió el 10% del precio decosto?.
A) 146 B) 156 C) 162D) 191 E) 201
CLAVES DE RESPUESTAS1) D 2) C 3) A4) C 5) C 6) D7) E 8) C 9) B10)B 11)D 12)A13)D 14)D 15)B16)C 17)A 18)C19)A 20)C 21)A22)E 23)C 24)D25)C 26)A 27)C28)C 29)A 30)C
REGLA DE INTERÉS
1. ELEMENTOS:a) Capital (c) : Dinero que se presta.b) Tiempo(t) : Período por el cual se presta el
dinero.c) Tasa o rédito (r): Porcentaje de ganancia o
interés.d) Interés o renta (I): Ganancia que produce el
capital.e) Monto (M) : Es la suma del capital mas los
intereses producidos.
2. FORMULAS IMPORTANTES:
Observación:
En cada fórmula la tasa debe ser anual
Para t = años
Para t = meses
Para t = días
Nota: Si r y t no están en las mismas unidades,podemos reemplazarlas por sus equivalencias.
Si la tasa es mensual: x = 12r%. Si la tasa es bimestral: x = 6r%. Si la tasa es semestral: x= 2r%
16% Bimestral.24% Trimestral.
8% mensual <> 48% Semestral.96% Anual.4% quincenal.
El mes comercial es 30 días. El año comercial es 360 días.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Calcula el interés, si:C = S/. 2 000r = 2% anualt = 3 años.
I = c . r . t100
100
I = c . r . t1200
I = c . r . t36000
100
Esta fórmulase utiliza solocuando r y ttengan lasmismasunidades.
102
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Solución:I = 2 000x2x3
100
I = 120
2.- Calcula el interés, si:
C = S/. 2 000r = 6% mensualt = 3 años.
Solución:
r = 6% x 12= 72% anual
I = 2 000x72x3100
I = 4320
3.- ¿Cuál es el interés que produce S/.1100, colocadosal 38% anual durante 5 años?
SoluciónI = ?C = 1100r = 38%T = 5 años.
I = 1100x38x5 I = 2090100
4.- ¿Cuál es el interés que prestado al 2,8% mensualdurante un año tres meses y diez días ha producidoS/. 1500 de interés?
SoluciónC = ?r = 2.8%x12= 33.6%T = 1 A+4 M+ 10 D= 490 días.I = 1500.
1500 = Cx33.6x4903600
C = 328
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Un interés producido por S/. 4 800 impuestos al30% anual durante 3 años es:
a) S/. 4 230 b) S/.3420 c) S/. 4 320 d)S/. 2340 e) S/. 2 430.
2.- ¿Qué interés produce un capital de S/. 3200prestados al 30% anual durante 2 años?
a) 320 b) 192 c)1920 d) 169e) 1320
3.- ¿Cuál es el interés de S/.8000 al 15% anual en 9meses?
a)1080 b)10800 c)900 d)1200e) N.A.
4.- El interés que produce S/.516 000 al 2,5% anualdurante 72 días es:
a) S/.2866.70 b) S/.2686c) S/.2668 d) S/.2866.5 e) 2580
5.- Si un capital prestado al 3% mensual durante 20meses ha producido un interés de S/. 225,entonces dicho capital es:
a) S/. 375 b)S/. 5000 c) S/. 550d) S/.510 e) S/. 735.
6.- A qué tanto por ciento se impone S/. 700 tal que en90 días ha producido S/. 63 de interés, es:
a)18% b)30% c)34%d)36% e)32%.
7.- Si se desea obtener una renta mensual de S/ 2000.¿A qué tanto por ciento anual se debe prestarS/.50 000?
a)38% b) 40% c)48%d)25% e)18%.
8.- ¿A qué tanto por ciento mensual se prestó S/.208000 si produjo S/.700 en 60 días? (aproximación alcentésimo)
a) 2% b) 2,2% c) 1,2%d) 2,02% e) 0.17%
9.- El tiempo que estuvo impuesto un capital deS/.8600 al 36% para producir un interés de S/.1548es:
a) 2a b) 6m c) 120dd) 4m e) 3a.
103
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10.- Miguel recibe un préstamo por el cual tiene quepagar S/. 1680 de interés al 32% anual durante unaño y dos meses, Miguel recibió:
a) 1200 b)3400 c)4500 d) 1900e)N.A.
11.- Si un capital prestado al 2,5% mensual duranteaño y medio ha producido un interés de S/.3240,dicho capital es:
a) 8000 b)1400 c) 2600d) 7200 e) N.A.
12.- El tiempo que estuvieron prestados S/.12 000 queal 40% anual ha producido S/.14 400 de interés es:
a) 3 a b) 5a c) 4ad) 6 a e) N.A.
13.- Elsa recibe un préstamo de S/.900 al 2% mensualdurante 40 días, el interés que pagará es:
a) 12 b) 34 c) 45d) 24 e) N.A.
14.- ¿ Cuánto tiempo tardó un capital de S/.3200 paraproducir al 3,3% mensual un interés de S/.880?
a) 120d b) 240m c) 250dd) 190a e) N.A.
15.- ¿Cuál es el interés que produce S/. 500 colocadosal 20% anual durante 7 años?
a) 800 b) 800 c) 600d) 500 e) 700
16.- ¿Cuál es el interés que genera $ 2400 colocados al18% anual durante 3 meses?
a) 108 b) 180 c) 600d) 160 e) 140
17.- Halla el interés que genera $ 720 colocados al 40%anual durante 35 días?
a) 14 b) 28 c) 26d) 50 e) 27
18.- Calcula el interés que produce un capital de S/. 2000 en 2 años al 0.5% mensual?
a) 240 b) 280 c) 600d) 210 e) 170
19.- Calcula el monto que genera un capital de S/. 400durante 10 meses al 12% anual.
a) 880 b) 800 c) 660
d) 590 e) 730
20.- ¿ Cuál es el interés que produce S/.1100 colocadosal 12% anual durante 5 días? (con aproximación aldécimo)
a) 1.8 b) 8 c) 1.6d) 2.3 e) 1.9
21).- ¿Qué tiempo estuvieron prestados S/.800 que al30% anual ha producido S/.4800 de interés?
a) 12 b) 34 c) 45d) 20 e) N.A.
22).- Se pagó S/.51,75 de interés después de 45 díaspor un préstamo de S/.2300, ¿ A qué tanto porciento se prestó?
a) 2% b) 22% c) 12%d) 20% e) 18%
23).- ¿ Cuál es el interés que genera $ 600, colocadosal 8% anual durante 1 año 4 meses?
a) 54 b) 64 c) 66d) 50 e) 47
24).- ¿ Cuál es el interés que produce S/.1100,colocados al 38% anual durante 5 años?
a) 2000 b)1400 c) 2600d) 2090 e) N.A.
25).- Calcula el interés, si:C = S/. 4 000r = 4% anualt = 6 años.
a) 960 b) 980 c) 600d) 810 e) 870
26).- Calcula el interés, si:
C = S/. 2 000r = 8% anualt = 8 años.
a) 1280 b) 1380 c) 1600d) 1210 e) 1170
27).- Calcula el interés, si:
C = S/. 3 000r = 6% mensualt = 2 años.
a) 3240 b) 4320 c) 4600d) 3210 e) 4170
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28).- ¿Cuál es el interés de S/.12000 al 12% anual en 9meses?
a)1080 b)10800 c)900d)1200 e) N.A.
29).- ¿Qué interés produce un capital de S/. 6400prestados al 15% anual durante 2 años?
a) 320 b)192 c)1920 d) 169e)1320
30).- El interés que produce S/.258 000 al 5% anualdurante 72 días es:
a) S/.2866.70 b) S/.2686c) S/.2668 d) S/.2866.5e) 2580
CLAVES DE RESPUESTAS1) c 2) c 3) c4) e 5) a 6) d7) c 8) e 9) b10)c 11)d 12)a13)d 14)c 15)e16)a 17)b 18)a19)a 20)a 21)d22)e 23)b 24)d25)a 26)a 27)b
28)a 29)c 30)e
REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Si tres patas ponen tres huevos en tres días,doce patas, ¿En cuántos días podrán poner docehuevos?
Solución :
+ - +Patas Huevos Días3 3 312 12 x- + -
x =3x12
3x3x12 = 3días
2).- En una competencia de glotones 40 de ellospuede comer 300 panes en 2 días. Si fueran 50 en3 días. ¿Cuántos panes podrán comer?
Solución :
+ - +Panes Glotones Días3000 40 2x 50 3
+ +
Luego :
x =40x2
3x50x3000= 3625 panes
3).- Una cuadrilla de 12 hombres encargados de laconservación de un tramo de la línea férreaArequipa –Cusco, construyen 4/5 de unaalcantarilla en 6 días. Si se quiere concluir la obraen 5 días, ¿cuántos hombres serán necesarioaumentar?Solución :
Hombres Obra Tiempo+ - +
12 4/5 65 5/5 5
+ -
x = 185x4
6x5x12
Debe aumentarse 18 – 12 = 6 hombres
4).- Si 60 obreros trabajando 8 horas diariasconstruyen 320 metros de una obra en 20 días. ¿En cuántos días 50 obreros trabajando 6 horasdiarias construyen 300 metros de la misma obra?Solución :
Obreros H/D Metros Tiempo+ + - +
60 8 320 2050 6 300 x
- - +
X = 320x6x5020x300x8x60
= 30 días
5).- 10 campesinos siembran un terreno de 50m2 en15 días, en jornadas de 7 horas. Si las jornadasfueran de 8 horas. ¿Cuántos días demorarán en
105
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sembrara otro terreno de 80m2, 15 campesinosdoblemente hábiles?
Solución :
Camp. Días Horas Habilid. Área+ + + + -
10 15 7 1 5015 x 8 2 80
X = 50x2x8x1580x1x7x15x10
= 7 días
PROBLEMAS PROPUESTOS
1).- Viajando con una velocidad de 90 Km/h. Un autodemora 8 horas. ¿A que velocidad debe viajar sidesea demorar 6 horas?
a)160 b) 140c) 130 d) 150 e) 120
2).- Si una obra tiene una dificultad del 60% y se puederealizar en 24 días. ¿En cuántas días se podrá hacerla misma obra si tiene una dificultad de 80%?
a) 16 b) 34c) 33 d) 18 e) 32
3).- Con un rendimiento del 50% se puede hacer unaobra en 30 días. ¿Cuál es el rendimiento si sedemora 15 días?
a) 60% b) 80%c) 90% d) 100% e) 70%
4).- Si 10 carpinteros hacen 25 mesas. ¿Cuántas mesasharán 4 carpinteros?
a) 20 b) 8c) 13 d) 10 e) 12
5).- Con una habilidad del 70% se puede hacer untrabajo en 27 minutos. ¿Cuánto demorará con unahabilidad del 90%?
a) 18 b) 24c) 12 d) 20 e) 21
6).- 8 conejos tienen alimento para 18 días. Si hay 6conejos. ¿Cuánto duran los alimentos?
a) 16 b) 24c) 21 d) 20 e) 12
7).- En una semana, José gasta S/.48 en comprargasolina, en 42 días gastará:
a) 168 b) 48c) 336 d) 288 e) 208
8).- Si en dos días 20 niños comen 80 panes, en unasemana, ¿Cuántos panes comerán?
a) 160 b) 240c) 320 d) 250 e) 280
9).- 20 mineros tienen víveres para 15 días. Si desistentrabajar 5 de ellos, ¿Para cuántos días tendrá víveresel resto?
a) 20 b) 25c) 15 d) 18 e) 23
10).- Si 8 obreros hacen una obra en 15 días, 12obreros harán la obra de igual característica en:
a) 16 b) 7c) 20 d) 15 e) 10
11).- ¿Cuántos panes darán por S/.38, si por S/.2 dan18 panes?
a) 242 b) 148 c) 230d) 150 e) 342
12).- Cinco Obreros trabajando 8 horas diarias hacenuna obra en 15 días; 10 obreros trabajando 6 horasdiarias, ¿En cuántos días harán otra obra de igualcaracterística?
a) 9 b) 6 c) 5d) 8 e) 10
13).- Un hombre caminando 8 h/d ha empleado 4 díaspara recorrer 160 km. ¿Cuántas horas diarias debecaminar otro hombre para recorrer 300 km en 10días?
a) 9 b) 6 c) 5d) 8 e) 3
14).- Doce hombres trabajando 8 horas diarias puedenhacer un muro en 15 días. ¿En cuántos días haránotro muro igual 15 hombres trabajando 6 horasdiarias?
a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18
15).- Doce hombres tardan 10 días en cavar una zanjade 2 m de profundidad. ¿Cuántos hombres seránnecesarios para cavar otra zanja de 3 m deprofundidad en 20 días?
a) 10 b) 11 c) 12d) 9 e) 8
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16).- Una familia de 5 personas tomó una pensióndurante 6 días y pagó S/. 60. ¿Cuánto pagó otrafamilia de 4 personas que estuvo alojada en lamisma pensión durante dos semanas?
a) 112 b) 120 c)114d)115 e) N.A.
17).- Caminando 6 horas diarias, un hombre haempleado 4 días para ir de un pueblo a otrodistantes entre sí 96 km. Si continuando su viajedebe ir a otro pueblo distante 192 km de esteúltimo, ¿cuántos días empleará caminando 8 horasdiarias?
a) 6 b) 3 c) 5d) 8 e) 7
18).- 120 soldados tienen provisiones para 20 días arazón de 3 raciones diarias. ¿Para cuántos díastendrán provisiones si se aumentan 30 soldados y elnúmero de raciones diarias se reduce a 2 por día.
a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) N.A
19).- Doce hombres trabajando 8 horas diariasconstruyen 24 m de una pared en 10 días. ¿Cuántoshombres serán necesarios para construir 20 m depared continuada en 5 días trabajando 10 horasdiarias?
a) 16 b) 15 c)14d) 13 e) N.A
20).- Ocho hombres cavan una zanja de 24 m de largopor 2 de ancho y 2m de profundidad, en 12 días.¿Cuántos trabajadores con la misma habilidad seránnecesarios para cavar otra zanja de 18 m de largopor 3 m de ancho y 4 m de profundidad en 8 días?
a) 18 b) 12 c) 27d) 30 e) N.A
CLAVES DE RESPUESTAS1) e 2) d 3) d4) d 5) b 6) b7) d 8) e 9) a10)e 11)e 12)e13)b 14)c 15)d16)a 17)a 18)d19)a 20)c
RECORDANDO PORCENTAJES
1. FORMULA :Halla el “n%” de “S”
100 nS x
Ejem :El 28% de 500
X = 140500x10028
NOTA: % se puede expresar como fracción donde eldenominador es 100Así:
15% de A = xA10015
36% de B = xB10036
2. FORMULAS QUE SE UTILIZANFRECUENTEMENTE EN LOSSIGUIENTES CASOS:
1).- Halla el n% de “N”
2) El n% de qué número es “N”
3) Qué porcentaje es “n” de “N”
4) ¿De qué número 4000 es el 8%?
5) El 48% de 550 es:
264550x10048X
6) ¿Qué porcentaje de 500 es 140?
500004000.8
100X
X = 100xN
n
X = Nxn
100
X = Nxn
100
X = Sx100
n
107
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100.500
140
X
3. DESCUENTOS SUCESIVOS
Descuento efectivo por cada 100 soles.
Descuento efectivo por cada 100 soles.100 – 64 = 36 ó 36%
FORMULAS
Du= %100
)D100)....(D100()D100(100
1nn21
)D100.....(x100
D100x
100D100
100Du n21
7).- Si de una botella de gaseosa me tomosucesivamente el 25%, 30%, 40% y 50%, siemprede lo que me queda, ¿Cuál es el porcentaje que mequeda?
Du=
%100
)50100)(40100)(30100)(25100(10014
Du = 84,25%Me queda 100 - 84,25 = 15,75
8).- A que descuento único equivale un descuento de20, 30 , 40 y 15%
Du=
%10
)15100)(40100)(30100)(20100(10014
Du = 71,44%
4. AUMENTOS SUCECIVOS
Au= %100100
)A100).....(A100)(A100(1n
n21
ó
Au 100)A100.....(100
A100x
100A100x
100A100
n321
9).-A qué aumento único equivale un aumentosucesivo de 20 y 30%
Au =
100100
)30100)(20100(12
Au = 56%
5. VARIACIONES PORCENTUALES
Nota: Siempre al total se considera 100%. Si una cantidad sufre un aumento del x% entonces
resultará al final( 100 + x ) %.
Si una cantidad sufre un descuento del x%entonces al final tendremos
( 100 - x ) %.
Ejm:10).- Qué sucede si aumentamos 18% y 15%
Sol:
)%15100(x%18100
%7.135100
13570%115x100118
LuegoAumenta: 135.7 – 100 = 35.7%
11).- Qué sucede si descontamos 40% y 20%Sol:
%48%80x10060
Descontamos 100 – 48 = 52%
12).- Qué sucede si aumentamos 20% y descontamos15%.Sol:
S/.100
80
S/. 64
20
16
PRECIO
Nuevo precio
SegundoDescuento
20% de 80
PrimerDescuento
20% de 100
X = 28%
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%102%85x100120
102 – 100 = 2%Aumenta en 2%
13).- Qué sucede si + 20% y – 25%Sol:
%90%75x100120
Descontamos 10%
PROBLEMAS PROPUESTOS
I.- Halla el n% de N
1.- Halla el 30 % de 300.
A) 30 B) 60 C) 90 D) 70 E) 80
2.- Halla el 25 % de 400.
A) 100 B) 160 C) 120 D) 70 E) 80
3.- Calcula el 40% de 135.
A) 30 B) 54 C) 41 D) 57 E) 28
4,- Halla el 50% de 1600.
A) 530 B) 660 C) 190 D) 70 E) 800
5.- Calcula el 30% de 1300.
A) 330 B) 360 C) 390 D) 370 E) 380
6.- Halla el 20% de 370.
A) 36 B) 86 C) 79 D) 74 E) 60
7.- Halla el 65% de 420.
A) 273 B) 650 C) 490 D) 270 E) 380
8.-Calcula el 70% de 620
A) 430 B) 345 C) 434 D) 370 E) 568
9.- El 42 % de 550 es:
A) 231 B) 160 C) 182 D) 425 E) 180
10.- El 40 % de 200 es:
A) 231 B) 160 C) 80 D) 125 E) 90
11.- Calcula el 25% de 280.
A) 31 B) 60 C) 54 D) 125 E) 70
12.- Halla el 20% del 25% del 30% del 50% de 1600.
A) 31 B) 15 C) 12 D) 12 E) 17
II.- El n% de qué número es N
13.- El 15% de qué número es 36?
A) 310 B) 150 C) 120D) 240 E) 170
14.-El 20% de qué número es 22?.
A) 207 B) 150 C) 120D) 110 E) 170
15.- El 8% de qué número es 16?.
A) 310 B) 150 C) 200D) 180 E) 210
16.- El 12% de que número es 60?.
A) 300 B) 500 C) 100D) 120 E) 170
17.- El 8% de qué número es 24?.
A) 300 B) 150 C) 120D) 250 E) 400
18.- El 10% de qué número es360?.
X = Nxn
100
X = Nxn
100
109
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A) 360 B) 3600 C) 36D) 420 E) 240
19.- El 75% de qué número es 3000?.
A) 4000 B) 1500 C) 2000D) 600 E) 5000
20.- El 40% de qué número es 160?.
A) 300 B) 400 C) 500D) 180 E) 340
III.- Que porcentaje de “N” es “n”
21.- ¿ Qué porcentaje de 240 es 12?
A) 3% B) 4% C) 5% D) 1% E) 34%
22.-¿ Qué porcentaje de 1200 es 12?
A) 3% B) 4% C) 1% D) 1% E) 34%
23.-¿ 396 qué % es de 1980?
A) 23% B) 24% C) 21%D) 20% E) 34%
24.- Qué porcentaje de 160 es 40?
A) 23% B) 24% C) 21%D) 20% E) 25%
25.- Que porcentaje de 80 es 20?
A) 23% B) 24% C) 21%D) 20% E) 25%
26.- Si al venderte mi auto, te hago un descuento del15% te lo vendería en $1700. ¿Cuánto me hacostado?
A) 2000 B) 204 C) 2121D) 200 E) 2650
27.- Hallar un descuento único que reemplace a dosdescuentos sucesivos de 20% y 10%?
A) 23% B) 24% C) 28%D) 20% E) 25%
28.-Dos descuentos sucesivos del 20% y 30% equivalena un descuento único de:
A) 53% B) 44% C) 26%D) 20% E) 45%
29.- Tres descuentos sucesivos del 20%,30% y 50%equivalen a un descuento único de:
A) 53% B) 72% C) 62%D) 45% E) 82%
30.- Se hace los descuentos sucesivos del20%,60%,50% y 50%. Halla el descuentoequivalente?
A) 92% B) 24% C) 18%D) 80% E) 75%
VARIACIONES PORCENTUALES
I.- Qué sucede si:
1.- Aumentamos el 40% y el 10%.
A) Aumentamos 54%B) Aumentamos 24%C) Descontamos 48%D) Aumentamos 80%E) Descontamos 75%
2.- Aumentamos el 40% y el 20%.
A) Aumentamos 68%B) Aumentamos24%C) Descontamos 48%D) Aumentamos 80%E) Descontamos 75%
3.- Aumentamos el 50% y el 10%.
A) Aumentamos 54%B) Aumentamos 65%C) Descontamos 48%D) Aumentamos 80%E) Descontamos 75%
4.- Aumentamos el 40% y el 40%.
A) Aumentamos 74%B) Aumentamos 24%C) Descontamos 48%D) Aumentamos 96%E) Descontamos 75%
5.- Aumentamos el 10% y el 70%.
A) Aumentamos 54%
X = 100xN
n
110
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B) Aumentamos 78%C) Descontamos 48%D) Aumentamos 80%E) Aumentamos 87%
II.- Qué sucede si:
6.- Descontamos el 10% y el 20%.
A) Aumentamos 54%B) Aumentamos 24%C) Descontamos 28%D) Aumentamos 80%E) Descontamos 75%
7.- Descontamos el 50% y el 30%.
A) Aumentamos 54%B) Aumentamos 24%C) Descontamos 48%D) Aumentamos 80%E) Descontamos 65%
8.- Descontamos el 20% y el 20%.
A) Aumentamos 48%B) Aumentamos 32%C) Descontamos 36%D) Aumentamos 80%E) Descontamos 75%
9.- Descontamos el 30% y el 60%.
A) Aumentamos 54%B) Aumentamos24%C) Descontamos 48%D)Descontamos 72%E) Descontamos 75%
10.- Descontamos el 10% y el 50%.
A) Aumentamos 54%B) Aumentamos24%C) Descontamos 48%D) Aumentamos 80%E) Descontamos 55%
III.- Qué sucede si:
11.- Aumentamos el 40% y descontamos el 20%.
A) Aumentamos 12%B) Aumentamos24%C) Descontamos 48%D) Aumentamos 80%E) Descontamos 75%
12.- Aumentamos el 40% y descontamos el 40%.
A) Aumentamos 54%B) Aumentamos24%C) Descontamos 16%D) Aumentamos 80%E) Descontamos 75%
13.- Aumentamos el 15% y descontamos el 20%.
A) Aumentamos 54%B) Aumentamos24%C) Descontamos 48%D) Aumentamos 80%E) Descontamos 8%
14.- Aumentamos el 30% y descontamos el 30%.
A) Aumentamos 54%B) Aumentamos24%C) Descontamos 9%D) Aumentamos 80%E) Descontamos 75%
15.- Descontamos el 20% y aumentamos el 25%.
A) Aumentamos 54%B) Aumentamos24%C) Descontamos 48%D) Aumentamos 80%E) N.A.
Observaciones.
Si tenemos que:Aumento ( + )Descuento ( - )
16.-+ 20% y + 60%
A) +92% B) –24% C) +18%D) +80% E) –75%
17.-+ 30% y - 10%
A) +92% B) –24% C) +18%D) +17% E) –75%
18.-- 40% y + 50%
A) +24% B) –24% C) –10%D) +80% E) –75%19.-
+ 10% y + 50%
111
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A) +62% B) –24% C) +18%D) +65% E) –72%
20.-+ 10% y + 70%
A) +52% B) –24% C) +18%D) +65% E) +87%
21.-- 40% y + 80%
A) +15% B) –24% C) +8%D) +65% E) –72%
CLAVES DE RESPUESTAS1) c 2) a 3) b4) e 5) c 6) d7) a 8) c 9) a10)c 11)e 12)d13)d 14)d 15)c16)b 17)a 18)b19)a 20)b 21)c22)c 23)d 24)e25)e 26)a 27)c28)b 29)b 30)aVARIACIONES PORCENTUALES1) a 2) a 3) b4) d 5) e 6) c7) e 8) c 9) d10)e 11)a 12)c13)e 14)c 15)e16)a 17)d 18)c19)d 20)e 21)c
112
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IV UNIDAD
ESTADISTICADESCRIPTIVA
COMPETENCIAS
Describe e interpreta laspropiedades de estadísticadescriptiva en problemas reales.
Es asertivo con su opinión. Participa activamente en forma
individual y grupal.
113
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ESTADISTICA
1. CONCEPTO
La estadística es una metodología que
nos provee de un conjunto de
métodos, pautas y procedimientos,
para la recolección, organización
(clasificación), análisis einterpretación
de datos en forma adecuada, para en
base de ellos, tomar decisiones cuando
existen situaciones de incertidumbre.
Ejemplo:
Estudiar la variación mensual del
precio del dólar durante los últimos
5 años, para averiguar qué mes del
año es el más favorable para
comprar dólares.
El grado de aceptación de un
producto por los consumidores para
averiguar la rentabilidad de un
negocio dedicado a tal producto.
2. CLASES DE ESTADÍSTICA
Descriptiva
Inferencia
2.1. Estadística Descriptiva
Parte de la estadística que se
ocupa de la recolección,
organización,
presentación,descripción y
simplificación de datos.
2.2. Estadística Inferencia
Es la parte de la estadística, que en
base a los resultados y análisis de
los datos aplicando las teorías
necesarias, pretende inferir las
peculiaridades y las leyes que
gobiernan la población de la cual
proceden los datos.
3. CONCEPTO BÁSICOS
3.1. Población
Conjunto de todos los individuos
en las cuales se presentan una
característica que se tiene interés
en estudiar.
3.2. Muestra
Es un subconjunto de la población,
elegido convenientemente con el
propósito de obtener información
y conclusiones de la población del
cual proviene.
Se toman muestras cuando es
difícil o costosa la observación de
todos los elementos de la
población.
4. VARIABLE ESTADÍSTICA
Una variable es un símbolo que
representa a uno de los elementos
de un conjunto de datos.
Ejemplo:
Sea “x” la variable “estatura” de los
alumnos de 4to. de secundaria
SESIÓN 16
114
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entonces “x” puede tomar los
valores siguientes:
x1 = 1,68 mts. x2 = 1,66 mts.
x3 = 1,52 mts. x4 = 1,85 mts.
5. CLASIFICACIÓN DE VARIABLES
5.1. Variable Cualitativa
Cuando presenta una cualidad
o atributo de la población.
Ejemplo:
- Estadio civil
5.2. Variable Cuantitativa
Cuando los valores que asume
son números, como resultado
de conteos.
Ejemplo:
Peso, edad, estatura, etc.
6. DIAGRAMAS
6.1. Diagrama de Barras
6.2. Diagrama de Sectores
7. MEDIDAS DE TENDENCIACENTRAL: O PROMEDIOS
Existen diferentes tipos de
promedios, entre ellos los más
usuales son:
a) La media aritmética o media.
b) La mediana.
c) La moda.
d) La media geométrica.
e) La media cuadrática.
f) La media armónica.
7.1. Para datos sueltos:
Sean los siguientes datos:
a1, a2, a3, a4, … , an
A. MEDIA ARITMÉTICA a.m)x(
)x( =n
a...aaa n321
Ejemplo:
Dados los siguientes datos: 4, 12, 5,
7, 8, 6
Hallar la media aritmética.
Solución:
66875124x
= 8,4
x = 8,4
DATO A
DATO
B
A
B
C
D
E
115
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B. MEDIANA(Me)
La mediana de un conjunto de datos
ordenados en forma creciente o
decreciente es la cantidad que divide a los
datos en dos grupos de igual número de
elementos.
Caso 1: n = impar término central
Caso 2: n = par semisuma de los
dos términos centrales
Ejemplo 1 :
Considérense las siguientes 6 datos de
medida de pesos.
3,8 kg, 4, 6; 5,2; 9,0; 8,4; 3,6
Solución:
Ordenando los datos:
3,6; 3,8; 4,6; 5,2; 8,4; 9,0
n = 6 n : par
Me = Enésima t3 y t4
Me =28,9
22,56,4
Me = 4,9
Ejemplo 2 :
Considere los siguientes 7 datos de notas
de los alumnos del 4to. año 08, 09, 12, 05,
14, 06, 08.
Solución:
Ordenando los datos:
0,5, 06, 08, 08, 09, 12, 14
Luego n = 7; n = impar
Me = Término central
Me = 08
C. MODA (Mo)
Es un rango de la variable que se repite
con mayor número de veces en la
distribución.
Ejemplo:
Consideremos los siguientes datos:
10, 13, 11, 8, 9, 10, 13, 8, 10, 14, 11, 12
Solución:
Ordenando los datos:
8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14
notamos que el dato con mayor repetición
es 10.
Mo = 10
EJERCICIOS DE APLICACION
1. De los siguientes datos:
8, 12, 15, 15, 13, 21, 24, 36.
Hallar su x
a) 16 b) 18 c)
20
d) 22 e) 24
2. De los siguientes datos:
1.20; 1.22; 1.20; 1.18; 1.35
Hallar su x
a) 1.20 b) 1.21 c)
1.22
d) 1.23 e) 1.25
3. En la última práctica calificada de
aritmética se obtuvieron las siguientes
metas de 5 alumnos.
08, 12, 14, 06, 20
Hallar Me respectivamente.
116
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a) 8 b) 6 c)
12
d) 14 e) 20
4. En el último examen se obtuvieron las
siguientes notas de 8 alumnos: 12, 14,
16, 12, 14, 08, 05, 03. Hallar Me
respectivamente.
a) 8 b) 12 c) 12,5
d) 14 e) 14,5
5. De los siguientes datos hallar la moda:
6, 8, 4, 6, 6, 8, 4, 12, 13, 4, 6
a) 4 b) 6 c) 8
d) 12 e) 13
6. De los siguientes datos halla la
mediana:
14, 16, 25, 36, 18, 12, 11, 16, 14
a) 12 b) 11 c) 14
d) 16 e) 25
7. De los siguientes datos no agrupados
hallar la media aritmética:
26, 34, 24, 16, 14, 12, 16, 18
a) 26 b) 34 c) 20
d) 12 e) 18
8. Indicar la “ x ” de los siguientes
datos:
6, 8, 14, 16, 18, 9, 6
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
9. Indicar la “Me” de los siguientes
datos:
12, 14, 16, 17, 14, 14, 14, 14, 16, 13,
11, 11
a) 13 b) 14 c) 16
d) 17 e) 13
10. Del problema “2” indicar la “Mo”
a) 12 b) 14 c) 16
d) 17 e) 13
11. Dados los siguientes datos de las
edades de 10 profesores de
ciencias:
22, 25, 23, 36, 32, 36, 23, 23, 23, 25
Dar la “Mo”
a) 22 b) 23 c) 24
d) 25 e) 28
117
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LECTURA DE GRAFICOS
7.2. Para datos agrupados:Veamos previamente algunasdefiniciones:
Tamaño de muestra (n)Número total de datos
Alcances (A)Intervalo definido por los datos demenor y mayor valor.
Rango (R)También llamado “recorrido de losdatos” es la diferencia entreelmayor y el menor de los valoresque toma la variable.
Frecuencia absoluta (fi)Se llama frecuencia absoluta de unvalor de variable, al número devecesque se repite dicho valor en elconjunto de datos.
Frecuencia absoluta acumulada (Fi)Es la suma de las frecuenciasrelativas correspondientes a losdatos menores e iguales al dato enreferencia.
Frecuencia Relativa (hi)La frecuencia relativa de un valor, esel cociente de su frecuencia absolutaentre el tamaño de la muestra.
hi =nfi
Frecuencia Relativa Acumulada (Hi)
Hi =nFi
Ejemplo:
Edades x fi Fi hi Hi
[10 –15> 12,5 8 8 0.16 0.16
[15 –20> 17,5 12 20 0.24 0.40
[20 –25> 22,5 2 22 0.04 0.44
[25 –30> 27,5 3 25 0 0.50
[30 –35> 32,5 10 35 0.20 0.70
[35 –40> 37,5 5 40 0.10 0.80
[40 –45> 42,5 10 50 0.20 1.00
50 1.00
EJEMPLOS DE APLICACION
El siguiente es la tabla de salarios delos empleados de una empresa (ensoles)
Sueldos x fi Fi hi Hi
[0 – 250> 125 20 20 0.20 0.20
[250 - 500> 375 15 35 0.15 0.35
[500 – 750> 625 30 65 0.30 0.65
[750 – 1000> 875 5 70 0.05 0.70[1000 –1250>
1125 20 90 0.20 0.90
[1250 –1500>
1375 10 100 010 1.00
100 1.00
12. ¿Cuántos empleados ganan entre 750y 1000 soles?
a) 5 b) 20 c) 10d) 30 e) 15
13. ¿Cuántos empleados ganan entre 500 y1500 soles?
a) 5 b) 30 c) 20
La frecuencia relativa acumuladade un dato, es el cociente de sufrecuencia absoluta acumuladaentre el tamaño de la muestra
SESIÓN 17
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d) 10 e) 65
14. ¿La encuesta fue realizada sobre quecantidad de personas?
a) 5 b) 10 c) 20d) 50 e) 100
15. ¿Cuántos empleados ganan menos de1000 soles?
a) 20 b) 35 c) 65d) 70 e) 90
16. ¿Cuántos empleados ganan igual o másde 1000 soles?
a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50
Dada la siguiente tabla:
Estatura x fi Fi hi Hi
1.00 – 1.20 1.10 20 0.2
0
1.20 – 1.40 1.30
0.25
1.40 – 1.60 1.50 80
1.60 – 180 1.70
0.25
1.80 – 2.00 1.90
Completar los datos de estatura de losalumnos de 4to. año.
17. ¿Cuántos alumnos miden menos de1.40 mts.?
18. ¿Cuál es el valor de H3 + H4?
a) 1.00 b) 1.05 c) 1.10d) 1.20 e) 1.25
19. De la tabla diga Ud. ¿Cuántos alumnostuvo la muestra?
a) 50 b) 100 c) 200d) 250 e) 500
20. ¿Cuántos alumnos miden menos de1.80 mts.?
a) 20 b) 50 c) 80d) 130 e) 200
21. ¿Cuál es la frecuencia absoluta de losalumnos que miden entre 1.40 y 1.60mts.?
a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 100
22. Hallar: E = h2 + h3 + h5
a) 0.10 b) 0.15 c) 0.30d) 0.65 e) 0.90
23. Hallar: J =3
21f
f.f
a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50
24. Hallar: P = (H4 + H2) (f4 – f2)
a) 15 b) 18 c) 20d) 25 e) 50
25. Diga Ud. ¿Cuál es la cantidad dealumnos cuya estatura es menor a1.60 mts.?
a) 20 b) 30 c) 50d) 80 e) 60
26. ¿Cuál es la frecuencia relativaacumulada de los alumnos cuyaestatura es menor a 1.80 mts.?
a) 0.65 b) 0.40 c)0.25d) 0.10 e) 0.80
a) 20 b) 30 c) 40
d) 50 e) 100
119
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OTROS EJEMPLOS
Completa el siguiente esquema yluego contesta las preguntas:
1. ¿Cuántos empleados ganan igual omás a 800 soles?
a) 30 b) 40 c)60d) 80 e) 90
2. ¿Cuántos empleados ganan menos de800 soles?
a) 25 b) 35 c)40d) 50 e) 80
3. ¿Cuántos empleados ganan entre 800y 1200?
a) 15 b) 25 c)35d) 40 e) 80
4. ¿Cuál es la frecuencia relativaacumulada de los trabajadores queganan hasta 1200 soles?
a) 0.25 b) 0.35 c)0.45d) 0.55 e) 0.85
5. Calcular: E = f2 + f3 – f5
a) 15 b) 20 c)10d) 30 e) 50
6. Calcular: G = H1 + H4 – H2
a) 0.55 b) 0.65 c)0.35d) 0.95 e) 1.10
LECTURA DE GRAFICOS II
En los periódicos y en la televisión habrásvisto si eres observador, que se ofreceinformación acerca de hechos;fenómenos o actividades mediantecuadros o tablas y gráficos.
A continuación vamos a considerarcomo se representa e interpreta lainformación obtendrá como resultado deobservar un fenómeno o actividad.
I. DIAGRAMAS DE BARRAS
II. GRÁFICO DE SECTORES
Salario x fi Fi hi Hi
0 – 400 200 25
400 – 800 600 40 0.40
800 – 1200 1000 0.15
1200 - 1600 1400 0.80 0.80
1600 - 2000 1800 20
DATO A
DATO
B
DATO A
DATO
B
INDIVIDUAL
A
B
C
D
E
AB
C
D
%%
%
%
PARALELO
120
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I. POLÍGONOS DE FRECUENCIAS
En el siguiente gráfico se muestra elnúmero de choques ocurridos encinco años consecutivos.
EJERCICIOS PROPUESTOS
27. Promedios de choques en los cincoaños:
a) 3200 b) 3800 c) 3700d) 3600 e) 3400
28. Variación porcentual entre el primer yquinto año (aprox.)
a) 92% b) 392% c) 292%d) 192% e) 302%
En el siguiente gráfico se muestra lapoblación urbana y rural dada en losaños 1970 y 2000.
Población:
En 1970: 6 000 000 habitantesEn 2000: 11 000 000 habitantes
29. ¿Cuál fue la variación de la poblacióndel año 1970 al año 2000?
a) 57% b) 64,3% c) 70,3%d) 83,33% e) 57,3%
30. ¿En cuánto disminuye o aumenta lapoblación rural del año 2000 conrespecto al año 1970?
a) Aumenta en 4,76%b) Aumenta en 30%c) Disminuye en 20%d) Disminuye en 4,76%e) Disminuye en 3,5%
En una fábrica de un total de 200vehículos se tiene que:
31. ¿Cuántos vehículos corresponden atractores del grupo B?
a) 6 b) 8 c) 10d) 4 e) 12
1,2
2,93,7
4,5
4,7
95 96 97 98 99
Año
# de choques
(miles)
Año
100%
70%
40%
1970 2000
Población
Urbano
Rural
Camiones60%
Buses
10%Tractores
30%
A
10%B
20%D
30%
C
40%
121
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32. Indicar cuales con correctas:i. El número de camiones es igual
al número de tractores de tipo By D juntos.
ii. El número de buses es igual queel número de tractores del tipoA.
iii. El número de buses es mayor quelos tractores del tipo A.
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) I y III
TALLER DE ESTADISTICA
Enunciado:
Dada la siguiente distribución de frecuenciassegún el mismo número de empleados porempresa.
250TOTAL
)(fFrecuencia
EmpleadosdeNumero
i
15]200;180[15180;140[20140;100[20100;80[3080;60[5060;40[4040;30[3530;20[2020;10[510;0[
01) Determinar el porcentaje de empresasque tienen un número de empleadosentre 50 y 90.Rpta:
02) Determinar el porcentaje de empresascon número de empleados inferior a 35.Rpta:
Enunciado:
En esta fábrica se hizo un estudio sobre laedad de los trabajadores; con el fin deestablecer un plan de seguro grupal. Losresultados fueron los siguientes:
52475131674544574155235126464853434642424846493267554147343038613747303233603422
03) ¿Cuántos trabajadores tienen por lomenos 49 años y que porcentajerepresentan?Rpta:
04) ¿Qué porcentaje de trabajadores tienede 39 a 58 años?Rpta:
Enunciado:
Se clasifico la inversión de un grupo decompañías mineras en una tabla de
distribución de frecuencias. Se sabe que lamáxima inversión es de 56 millones de soles;
que la amplitud de los intervalos es de 8millones de soles; que las frecuencias
absolutas correspondientes a los intervalosson: 1; 16; 21; 9; 8; 3 y 2.
Con esta información resolver los problemas5; 6; 7; 8 y 9.
05) ¿Qué porcentaje de compañíasinvierten menos de 40 millones desoles?Rpta:
06) ¿Qué porcentaje de compañíasinvierten 24 millones como mínimo?Rpta:
07) Hallar la inversión promedio (enmillones de soles)Rpta:
08) Hallar la mediana de los datosclasificados. (en millones de soles)Rpta:
09) Hallar la moda de los datos agrupados.(en millones de soles)Rpta:
Enunciado:
SESIÓN 17
122
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Se tiene la siguiente tabla de distribución defrecuencias relativas de 300 empleadossegún su edad.
10,033;31
10,030;2840,027;2525,024;2215,021;19inEdades
10) ¿Cuántos empleados tienen edades de22 a 33 años?Rpta:
11) ¿Qué porcentaje de los empleadostienen 25 años a más?Rpta:
12) ¿Cuántos empleados tienen 27 años omenos?Rpta:
13) ¿Qué porcentaje de los empleadostienen 24 años o menos?Rpta:
Enunciado:
La siguiente distribución muestra el peso engramos de 30 paquetes en un determinadoproducto.
13;035;30
K29;25K224;2017,019;15
2/K14;10in(g)Peso
14) ¿Cuántos paquetes tienen pesos quevan desde 15 hasta 29 gramos?
Rpta:
15) ¿Cuántos paquetes tiene 22 gramos amás?
Rpta:
16) ¿Cuántos paquetes tiene 27 gramos omenos?
Rpta:
Enunciado:
A partir de los siguientes datos:
104723752699113961564992487212100331010041019854185933842
17) ¿Calcular la media de los datosagrupados?
Rpta:
18) ¿Calcular la mediana para los datosagrupados?
Rpta:
19) ¿Calcular la moda para los datosagrupados?
Rpta:
Enunciado:
La siguiente información representa lacomposición de una dieta alimenticia.
Gramos CaloríasCarbohidratos 500 2050Proteínas 100 410Grasas 100 930
20) ¿Qué porcentaje del total de calorías dela dieta se debe a las proteínas.
Rpta:
REFORZANDOEnunciado:
Se analizan las notas de 20 alumnos en elcurso de Estadística recogiéndose lossiguientes datos:
3; 4; 8; 2; 7; 11; 10; 12; 16; 15. 7; 11; 13; 10; 6; 9; 9; 10; 13; 14.
123
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01) Agrupe los datos en intervalos de anchocomún igual a 4 y complete la siguientetabla.
;;;;;0
fXHhFfX iiiiiiii .I
Dar como respuesta: F3 + H4 + X2. f2
a) 38; 70 b) 43; 40c) 99; 40 d) 38; 95e) 76; 70
02) ¿Cuántos estudiantes aprobaron elcurso; según los datos originales ysegún los datos agrupados? Dar comorespuesta la diferencia de los valoresobtenidos? (Nota aprobatoria igual a 10)
a) 1 b) 2c) 3 d) 1,71e) 1,4
03) ¿Cuántos obtuvieron notas superiores oiguales a 15? Dar como respuesta ladiferencia de los valores obtenidos (endatos originales y en datos agrupados)
a) 1,25 b) 0,5c) 0,75 d) 1,75e) 0,25
04) Calcular la media (para datos sinagrupar)
a) 10,5 b) 10,2c) 9,5 d) 10,31e) 12,7
05) Calcular la media (para datosagrupados)
a) 9,8 b) 11,3c) 10,7 d) 10,3e) 9,71
06) Calcular la mediana (para los datos sinagrupar)
a) 9,5 b) 9,8c) 9 d) 10e) 10,5
07) Calcular la mediana (para los datos yaagrupados)
a) 9,2 b) 9,8c) 10,1 d) 10,0e) 9,83
08) Calcular la moda (para los datos sinagrupar)
a) 7 b) 8c) 9 d) 10e) 11
09) Calcular la moda (para los datos yaagrupados)
a) 10,28 b) 9,83c) 9,87 d) 10,17e) 10,21
10) A partir de la siguiente grafica: Calcularel tamaño; la mediana y la moda de lamuestra.
a) 10; 4, 125; 5,2b) 25; 4, 125; 5,2c) 25; 4,125; 1,2d) 25; 5, 125; 5,2e) 25; 5, 125; 1,2
Enunciado:
Dado el tablero incompleto de la distribuciónde la frecuencia de las notas de 25 alumnos.Completar el tablero con un ancho de claseconstante e igual a 2.
3
8
F
I
162225
i
i
124
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25;[22;[
8;[1411;[206;[15;[
fxFFx iiiiii
I
11) Si la nota aprobatoria es 11 ¿Quéporcentaje de alumnos desaprobadosexiste?
a) 72% b) 74%c) 76% d) 78%e) 80%
12) Determinar la clase en la cual seencuentra el mayor porcentaje dealumnos y hallar dicho porcentaje.
a) 1ra; 20% b) 4To; 32%c) 3era; 44% d) 4to; 76%e) 3era; 32%
13) ¿Cuántos alumnos obtuvieron notasmenores que 8?
a) 15 b) 15c) 13 d) 12e) 11
14) Dada en la siguiente distribución defrecuencias.
100g80;70[n70;50[450;40[m40;20[420;10[fii
I
Si se sabe además que:h1 = h5 y h2 = h4. Determinar la suma h5+ h2
a) 1/3 b) 1/4c) 1/2 d) 1/5e) 3/4
15) Dada la siguiente tabla: Calcular elmáximo valor de (h2; h3); sabiendo quela media aritmética es 0,61.
10,040,0;20,0[hii
I
a) 0,30 b) 0,40c) 0,50 d) 0,60e) 0,70
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ANEXOS