SII-en-PSI

Sciences Industrielles pour lIngnieur en PSIMcanique et Automatique

Papanicola RobertProfesseur de chaire suprieure

au lyce Jacques Amyot - Auxerre

PRFACE

Sciences industrielles pour lingnieur : quand Robert Papanicola ma solli-cit pour rdiger une prface cet ouvrage, une succession de sentiments contra-dictoires se sont bousculs : trs honor, un peu mus, mais inquiet. . . Mais quesont les SII ? Ou mme, quest-ce que la SI comme disent les lves de prparendant ainsi singulier ces sciences industrielles pourtant plurielles ?

Dans le jeu des possibles, 1981 Franois Jacob 1 crit : Le dbut de la sciencemoderne date du moment o aux questions gnrales se sont substitues des ques-tions limites ; o au lieu de demander : "Comment lunivers a-t-il t cr ? Dequoi est faite la matire ? Quelle est lessence de la vie ?", on a commenc se de-mander : "Comment tombe une pierre ? Comment leau coule-t-elle dans un tube ?Quel est le cours du sang dans le corps ?". Ce changement a eu un rsultat surpre-nant. Alors que les questions gnrales ne recevaient que des rponses limites,les questions limites se trouvrent conduire des rponses de plus en plus gn-rales.

Avec les sciences pour lingnieur , on inverse cette tendance en tudiantglobalement les systmes artificiels complexes. Plutt que de se focaliser sur lana-lyse partielle et fine dun composant de ce systme complexe, on laborde dansson ensemble et dans sa pluridisciplinarit : on dveloppe des modlisations, desexprimentations, des simulations de ces systmes qui font intervenir autant dedisciplines scientifiques : la mcanique, loptique, llectronique, la thermodyna-mique, lautomatique, la rsistance des matriaux. . . que de domaines dapplica-tions : la robotique, les transports, lnergie . . .

En droite ligne des enseignements rnovs de technologie au collge, de lop-tion ISI en seconde et du parcours S-SI de premire et terminale, les sciencesindustrielles pour lingnieur constituent les deux premires annes de la forma-tion dingnieur. Cest la demande des grandes coles que cet enseignement estapparu en 1995 lors de la rforme des classes prparatoires ; le caractre pluridis-ciplinaire tant limit aux champs de la mcanique et de lautomatique.

1. Franois Jacob, n le 17 juin 1920, chercheur en biologie, prix Nobel de physiologie ou mde-cine, lu lacadmie franaise.

iii

iv 0 Prface

Avec son premier livre Sciences industrielles (mcanique et automatique) paru chez Ellipses en 2003, Robert Papanicola a t un pionnier en proposant auxtudiants un livre la fois synthtique et illustr dun grand nombre dexemplestout en abordant les deux facettes du programme. Au milieu dune productionabondante douvrages de mcanique ou douvrages dautomatique, ce premiertome faisait la diffrence.

Le second volume, encore plus abouti que le prcdent, aborde les thmes pluscomplexes du programme de prpa PSI : les correcteurs en asservissement, la dy-namique en mcanique. . . et forme un complment indispensable au premier vo-lume.

Prfacer ce nouvel opus cest aussi parler de son auteur, mais cest difficile deparler dun ami. Je connais Robert depuis nos annes dtudes lENS de Cachanet japprcie ses qualits humaines. Cot professionnel, Robert Papanicola est au-tant impliqu dans son enseignement au Lyce Jacques Amyot dAuxerre que dansla veille autour de cet enseignement. Rigoureux dans la rdaction des diffrentschapitres comme dans la construction de ses squences denseignement, RobertPapanicola est membre du jury de lagrgation de mcanique. Aussi, pour pro-longer cette lecture et mieux connatre lauteur, la visite du site SII en CPGE 2 simpose.

Luc ChevalierProfesseur dUniversit

Paris-Est, Marne la Valle

2. www.sciences-indus-cpge.apinc.org

TABLE DES MATIRES

Prface iii

1 Mcanismes 1

1.1 Modlisation cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Problmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Modle cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Liaisons normalises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Paramtrage des liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Tableau des liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Chanes de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Structure des mcanismes - graphe de structure . . . . . . . . 3

1.3.2 Analyses gomtrique et cinmatique des mcanismes . . . . 4

1.3.3 Liaisons cinmatiquement quivalentes . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Reprsentation schmatique des mcanismes . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Schma cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.2 Schma cinmatique minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.3 Schma technologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Mobilit et hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.2 Mobilit - Hyperstaticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.3 Exemple guide - Vanne robinet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.4 Relations entre mobilit et hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.5 Isostaticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6.1 Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

v

vi TABLE DES MATIRES

2 Cintique 392.1 Masse et inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1 Notions dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.2 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.3 Centre dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2 Moments dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.1 Moment dinertie par rapport un point . . . . . . . . . . . . . 432.2.2 Moment dinertie par rapport une droite . . . . . . . . . . . . 442.2.3 Rayon de giration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.4 Moments dinertie dans un repre cartsien . . . . . . . . . . . 442.2.5 Relations entre les moments dinertie . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.6 Thorme de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.7 Produits dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 Oprateur dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.1 Oprateur dinertie en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.2 Proprits et directions principales de la matrice dinertie . . . 53

2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4.1 Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5 Torseur cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5.2 Cas du solide indformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.6 Torseur dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.6.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.6.2 Changement de point de rduction . . . . . . . . . . . . . . . . 692.6.3 Relation entre la rsultante cintique et la rsultante dynamique 692.6.4 Relation entre le moment cintique et le moment dynamique 692.6.5 Cas du solide indformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.7 nergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.7.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.7.2 Cas du solide indformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.8 Caractristiques cintiques dun ensemble de solide . . . . . . . . . . 732.8.1 Torseur cintique dun ensemble de solides . . . . . . . . . . . 742.8.2 Torseur dynamique dun ensemble de solides . . . . . . . . . . 742.8.3 nergie cintique dun ensemble de solides . . . . . . . . . . . 74


3 Dynamique du solide 833.1 Principe Fondamental de la Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.1 nonc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.2 Caractre Galilen des repres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2 Thormes gnraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

TABLE DES MATIRES vii

3.2.1 Thorme de la rsultante dynamique . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.2 Thorme des quantits de mouvement . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.3 Thorme du moment dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.4 Thorme du moment cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.3 Utilisation du P.F.D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4 P.F.D dans un repre non galilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.4.1 Composition des acclrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.4.2 Composition du torseur dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.4.3 Principe fondamental dans un repre non galilen . . . . . . . 89

3.5 Application quilibrage dun solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.5.1 Problme gnral de lquilibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.5.2 quilibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.5.3 quilibrage 2 masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.6.1 Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4 Puissance et nergie 117

4.1 Puissance des efforts extrieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.2 Cas du solide indformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.2.1 nonc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.2.2 Dmonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.3 Puissance des efforts intrieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3.1 Puissance des efforts de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3.2 Liaison nergtiquement parfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3.3 Contact ponctuel rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3.4 Liaisons normalises relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.4 Travail et nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.4.1 Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.4.2 nergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.5 Thorme de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5.1 nonc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5.2 Dmonstration dans le cas dun seul solide . . . . . . . . . . . . 127

4.5.3 Dmonstration dans le cas de deux solides . . . . . . . . . . . . 129

4.5.4 Gnralisation n solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.5.5 Utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.5.6 Intgrale premire de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . 130

4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.6.1 Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

viii TABLE DES MATIRES

5 Analyse frquentielle des systmes linaires 1475.1 Rponse frquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.1.1 Fonction de transfert complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.1.2 Lieux de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.2 tude des SLCI partir des diagrammes de Bode . . . . . . . . . . . . 1525.2.1 Systme du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.2.2 Systme du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.2.3 Intgrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.2.4 Drivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.2.5 Retard pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.2.6 Gnralisation du trac des diagrammes de Bode . . . . . . . . 166

5.3 tude des SLCI partir du diagramme de Nyquist . . . . . . . . . . . . 1685.3.1 Systme du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.3.2 Systme du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.3.3 Intgrateur - Drivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.3.4 Retard pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.3.5 Gnralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.3.6 De Bode Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.4 tude des SLCI partir du diagramme de Black . . . . . . . . . . . . . 1745.4.1 Systme du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.4.2 Systme du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.4.3 Intgrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.4.4 Retard pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.4.5 Gnralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.4.6 Abaque de Black - Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178


6 Analyse des systmes asservis 1916.1 Caractrisation des systmes asservis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.1.1 Structure des systmes asservis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.1.2 Caractristiques dun systme asservi . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.2 Stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.2.1 Position du problme et dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.2.2 tude de la stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.2.3 Condition de stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.2.4 Position des ples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.2.5 Critres de stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.2.6 Marges de stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.3 Prcision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.3.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.3.2 Donnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

TABLE DES MATIRES ix

6.3.3 Erreur en rgime permanent - erreur statique . . . . . . . . . . 2156.3.4 Effet dune perturbation sur la prcision . . . . . . . . . . . . . 219

6.4 Rapidit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.4.1 Temps de rponse - temps de monte . . . . . . . . . . . . . . . 2226.4.2 Temps de monte et bande passante . . . . . . . . . . . . . . . 222


7 Correction des systmes asservis 2377.1 Ncessit de la correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2377.2 Principaux rseaux correcteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

7.2.1 Correcteur Proportionnel ( P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2387.2.2 Correcteur - Intgral ( I ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2397.2.3 Correcteur Proportionnel - Intgral ( PI ) . . . . . . . . . . . . . 2407.2.4 Correcteur Proportionnel Drivateur - PD . . . . . . . . . . . . 2457.2.5 Correcteur avance de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2477.2.6 Correcteur retard de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.2.7 Correcteur retardavance de phase . . . . . . . . . . . . . . . 2507.2.8 Correcteur PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2527.2.9 Correction en raction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

7.3 Dtermination exprimentale des correcteurs . . . . . . . . . . . . . . 2627.3.1 Mthode de ZieglerNichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262


8 Grafcet 2918.1 Principes gnraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

8.1.1 Structure du GRAFCET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2918.1.2 Rgles dvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

8.2 Lecture et interprtation du grafcet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2938.2.1 volution du grafcet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2938.2.2 Rceptivits associes aux transitions . . . . . . . . . . . . . . . 2938.2.3 Modes de sorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2948.2.4 volution fugace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2968.2.5 Structures de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2978.2.6 Formes particulires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

8.3 Structuration et hirarchisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3018.3.1 Ncessit de la structuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3018.3.2 Structuration par synchronisation de grafcets . . . . . . . . . . 3028.3.3 Structuration par macro-tapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3048.3.4 Structuration par forage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3058.3.5 Structuration par encapsulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

x TABLE DES MATIRES

8.3.6 Exemple de synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3078.4 tude de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

8.4.1 Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

A Annexes 325A.1 Mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

A.1.1 Liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325A.1.2 Matrices dinertie de quelques solides lmentaires . . . . . . 329

A.2 Automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331A.2.1 Transformes de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331A.2.2 Abaque des dpassements dun second ordre . . . . . . . . . . 332A.2.3 Abaque du temps de rponse dun second ordre . . . . . . . . 332A.2.4 Abaque de Black . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

Liens 335

Liste des exercices 337

CHAPITRE 1

MCANISMES

1.1 Modlisation cinmatique

1.1.1 Problmatique

Il est souvent ncessaire dtablir un modle permettant dtudier aussi bienles mouvements du mcanisme que les efforts quil doit supporter. En effet le sys-tme rel, soit parce quil nexiste pas encore (en phase de conception) soit parcequil est trop complexe nest en gnral pas adapt ltude. La modlisation vaintervenir aussi bien au niveau de la conception dun mcanisme que dans lana-lyse posteriori dun mcanisme existant.

Dans le premier cas on se pose alors la question suivante : Comment trans-mettre une puissance, obtenir une trajectoire particulire, rsister des ef-forts,. . . ? La rponse consiste dfinir un ensemble de liaisons lmentairesassocies pour obtenir le rsultat souhait. Aprs cette tape il restera conce-voir partir de ce modle les pices qui composent le mcanisme.

Dans le second cas, le mcanisme tant donn, on se propose alors de lemodliser par un schma qui va en permettre une analyse plus simple. partir de cette modlisation on pourra en tudier le comportement tant auniveau des mouvements (trajectoire, vitesse , acclration) quau niveau desefforts transmis et ceux que doivent encaisser les liaisons.

1.1.2 Modle cinmatique

Un solide dans un mcanisme est li aux solides voisins et les mouvementsrelatifs sont limits par la nature des surfaces en contact. partir de ces surfaces encontact et des mouvements relatifs on choisit alors de modliser le contact par une

1

2 1 Mcanismes

(ou plusieurs) liaison(s) cinmatique(s). Le torseur cinmatique est le principaloutil de cette caractrisation :

{V1/0}= { # 1/0#

VA1/0

}A

=x vxy vyz vz

A(x1,y1,z1)

. (1.1)

Ce torseur caractrise les 6 mouvements lmentaires possibles (3 rotations, 3translations) entre deux solides.

Le principal problme que lon rencontre lors de cette phase est la diffrenceentre la ralit et le modle. En effet, les dfauts de ralisation des surfaces (rugo-sit, dfaut de forme, tolrance), la prsence ncessaire de jeu, la dformation despices, lusure, . . ., rendent cette modlisation difficile et souvent dpendante dupoint de vue.

On appelle modle cinmatique dun mcanisme, le modle construit autourdes hypothses suivantes :

des pices indformables, des liaisons sans jeu, des surfaces de contact gomtriquement parfaites, des surfaces de contact simples (plan, sphre, cylindre, hlicode).A partir de ces hypothses, on modlise la liaison entre les deux solides par

une liaison normalise. Ces liaisons lmentaires permettent de caractriser lesmouvements simples entre les pices (rotations, translations, combines ou non).

1.2 Liaisons normalises

1.2.1 Paramtrage des liaisons

La liaison entre les deux solides est caractrise par le torseur cinmatique dumouvement relatif entre les deux solides. Les coordonnes de ce torseur cinma-tique sont les paramtres de la liaison.

1.2.2 Tableau des liaisons

Les tableaux en annexe (page 325) prsentent les liaisons normalises. La normeapplicable est la norme NF EN ISO 3952-1.

Pour chaque liaison on retrouve la dsignation normalise, le torseur cinmatique associ, le torseur des ef-

forts transmissibles ; une reprsentation gomtrique de la liaison ; le symbole ISO en perspective et les deux vues planes ; les torseurs sont crits sous la forme la plus gnrale possible.

1.3 Chanes de solides 3

1.3 Chanes de solides

1.3.1 Structure des mcanismes - graphe de structure

Un mcanisme est constitu de solides relis par des liaisons cinmatiques.Lensemble de ces liaisons et des solides forme une chane de solides.

Cette chane peut-tre reprsente par un graphe dit graphe de structure (ougraphe des liaisons). Sur ce graphe, les solides sont les nuds et les liaisons lesarcs. Il est dusage de prciser le solide rfrentiel.

S1

S2

Si

Si+1

Sn

L1

L2

LiLn1

(a) Chane ouverte

S1

S2

Si

Si+1

Sn

L1

L2

LiLn1

Ln

(b) Chane ferme

S1

S2

Si

Si+1

SnSk

Sl

L1

L2

LiLn1

Ln

Lk

Ll Lm

Lp

(c) Chane complexe

FIGURE 1.1 Chanes de solides

a ) Classe dquivalence cinmatique

On appelle classe dquivalence cinmatique, un ensemble de solides nayantaucun mouvement relatif. Cet ensemble de solides est considr comme un seulsolide dans les tudes qui suivent. Lors de ltude dun mcanisme, on commencepar dfinir les classes dquivalence puis on recherche les liaisons entre ces classesdquivalence.

b ) Chanes ouvertes

Une chane de solide est dite ouverte (fig 1.1(a)) lorsque la structure corres-pond un ensemble de solides lis les uns aux autres sans bouclage. On retrouvecette structure dans les mcanismes de type robot, grue, manipulateur,

c ) Chanes fermes

Une chane de solide est dite ferme (fig 1.1(b)) lorsque le graphe prsente uneboucle.

4 1 Mcanismes

d ) Chanes complexes

La chane de solides est dite complexe (fig 1.1(c)) lorsquelle prsente plusieursboucles imbriques.

Nombre cyclomatique Le nombre cyclomatique caractrise la complexit dela chane, il prcise le nombre minimal de boucles quil est ncessaire dtudierpour dfinir compltement le mcanisme. Une chane ferme simple a un nombrecyclomatique de 1.

= LN+1 (1.2)avec L, le nombre de liaisons du mcanisme et N, le nombre de solides du mca-nisme.

1.3.2 Analyses gomtrique et cinmatique des mcanismes

a ) tude gomtrique dun mcanisme en chane ferme

Pour raliser ltude gomtrique dun systme en boucle ferme (fig 1.1(b)),il suffit dcrire la relation vectorielle reliant les points caractristiques de chaquesolide.

Soit Oi , le point caractristique du solide Si , la relation de fermeture de lachane gomtrique scrit :

# O1O2+ # O2O3+ + # Oi1Oi + + # On1On + # OnO1 = #0 .

En projetant cette quation vectorielle dans une base orthonorme, on obtient3 quations scalaires reliant les diffrents paramtres gomtriques.

Remarque : Dans le cas dun mcanisme plan, on obtient 2 quations sca-laires, dduites de la projection de cette relation sur les axes du plan.

b ) tude cinmatique dun mcanisme en chane ferme

Soit, un mcanisme en chane ferme compos de n solides et n liaisons (fig 1.1(b)).Pour chaque liaison Li , on peut crire le torseur cinmatique entre les deux solidesSi et Si+1 de la liaison au point Oi caractristique de la liaison.

{V(i+1)/i

}={ # (i+1)/i

# VOi(i+1)/i

}Oi

La fermeture cinmatique sobtient en crivant la somme des torseurs en unmme point :{

V1/2}+{V2/3}+ +{V(i1)/i}+{Vi /(i+1)}+ +{Vn/1}= {0}


Cette relation permet dobtenir 2 quations vectorielles, et aprs projection 6quations scalaires.

Remarque : cette somme de torseur ne peut se calculer que si les torseurs sontcrits en un mme point.

1.3.3 Liaisons cinmatiquement quivalentes

On appelle liaison cinmatiquement quivalente entre deux pices, la liaisonqui se substituerait lensemble des liaisons ralises entre ces pices avec ou sanspice intermdiaire.

La liaison quivalente doit avoir le mme comportement que lensemble desliaisons auquel elle se substitue. On considre deux types de liaisons quivalentes :les liaisons en srie et les liaisons en parallles. Pour dterminer la liaison quiva-lente, on pourra soit raliser une tude du point de vue cinmatique, soit du pointde vue statique.

S1 S2

L1

L2

Li

Ln

S1 S2

Leq

(a) Liaisons en parallle

S1 S2

Si

S j

L1Li

L j

S1 S2

Leq

(b) Liaisons en srie

FIGURE 1.2 Liaisons quivalentes

a ) Liaisons en srie

Des liaisons sont dites en srie lorsque le graphe a la structure 1.2(b). On re-trouve en fait la structure dune chane ouverte.

tude cinmatique On recherche le torseur cinmatique du mouvement du so-lide 2 par rapport au solide 1 :

{V2/1}. En dcomposant sur les solides interm-

diaires, on obtient : {V

eq2/1

}= {V2/ j}+{V j /i}+ +{Vi /1} (1.3)On constate que, le torseur cinmatique de la liaison quivalente plusieurs

liaisons en srie est gal la somme des torseurs cinmatiques des liaisons de lachane.

6 1 Mcanismes

Remarque : chaque torseur doit tre crit au mme point avant de calculer lasomme.

tude statique On suppose les solides en quilibre, on nglige le poids des pices,les actions extrieures appliques sur le solide Sn sont reprsentes par le torseurdaction mcanique

{Fextn

}.

S1

S2

Sn2

Sn1Sn

L1Li Ln1

Ln{Fextn

}

S1 Sn{Fextn

}Leq

FIGURE 1.3 Liaisons en srie - tude statique

On note{A(n1)n

}, le torseur des actions transmissibles par la liaison Ln entre les

solides Sn et Sn1,{Aeq

}, le torseur des actions transmissibles par la liaison quivalente Leq

entre les solide S1 et Sn .La liaison quivalente doit se comporter du point de vue des efforts transmis-

sibles comme lensemble des liaisons en srie. Si on applique le PFS au solide Sn ,on peut donc crire dans un cas comme dans lautre :

pour les liaisons en srie{A(n1)n

}+{Fextn}= {0} pour la liaison quivalente{

Aeq

1n}+{Fextn}= {0}

On en dduit que {A

eq1n}= {A(n1)n}

En appliquant ensuite le PFS sur le solide Sn1, on dduit :{A(n1)n

}= {A(n2)(n1}Finalement en isolant successivement chacun des solides jusquau solide S2, onen dduit que tous les torseurs des actions de liaisons doivent tre gaux et gaux celui de la liaison quivalente.


S1

S2L1

L2

Li

Ln

{Fext2

}

S1

S2

Leq

{Fext2

}

FIGURE 1.4 Liaisons parallles

{A

eq1n}= {A(n1)n}= {A(n2)(n1)}= {A(n3)(n2)}= = {A12} (1.4)

b ) Liaisons en parallle

Lorsque plusieurs liaisons relient directement deux solides, les liaisons sontdites en parallle (fig 1.4).

tude cinmatique Lensemble des liaisons Li en parallle impose le mouve-ment du solide 2 par rapport au solide 1, le torseur cinmatique

{V2/1}

reprsentece mouvement.

On note :{V i2/1}, le torseur cinmatique de la liaison Li entre les deux solides

S1 et S2.

Chaque liaison lmentaire Li ne peut que respecter le mouvement global dusolide 2 par rapport au solide 1, on peut donc crire :{

V i2/1

}= {V2/1}

Le comportement cinmatique de la liaison quivalente Leq doit aussi respecter lemouvement global du solide 2 par rapport au solide 1 :

{V

eq2/1

}= {V2/1}do la condition que doit respecter le torseur de la liaison quivalente :

{V

eq2/1

}= {V 12/1}= {V 22/1}= = {V i2/1}= = {V n2/1} (1.5)Pour dterminer, partir de ltude cinmatique, la liaison quivalente n liai-

sons en parallle, il suffit de rsoudre le systme de 6 n quations dduit des ga-lits de torseurs ci-dessus.

8 1 Mcanismes

tude statique Pour dterminer la liaison quivalente, on isole le solide 2.Il est soumis : Aux actions transmissibles par chaque liaison Li ;{A 112

},{A 212

}, . . .,

{A i12

}, . . .,

{A n12

};

Aux autres actions extrieures :{Fext2

}.

Le P.F.S scrit donc :{A 112

}+{A 212}+ +{A i12}+ +{A n12}+{Fext2}= {0}soit

ni=1

{A i12

}+{Fext2}= {0}

La liaison quivalente doit respecter le mme quilibre :{A

eq12}+{Fext2}= {0}

On dduit donc : {A

eq12}= n

i=1

{A i12

}(1.6)

c ) Rcapitulatif

Le tableau ci dessous rcapitule les diffrents modes de calcul des liaisonsquivalentes.

tude cinmatique tude statiqueLiaisonsen srie

Somme des torseurs cinma-tiques{V

eq2/1

}= {V2/( j )}+{V j /i}+ +{Vi /1}galit des torseurs des actionstransmissibles{A

eq12} = {A(n1)n} = ={

A12}

Liaisonsen pa-rallle

galit des torseurs cinma-tiques{V

eq2/1

}= {V 12/1}= = {V i2/1}= {V n2/1}Somme des torseurs des actionstransmissibles{A

eq12}= n

i=1

{A i12

}

1.4 Reprsentation schmatique des mcanismes

1.4.1 Schma cinmatique

Le schma cinmatique dun mcanisme est un modle filaire du mcanismeutilisant les symboles normaliss des liaisons. Ce modle est utile tant au niveaude la conception que de lanalyse posteriori pour raliser ltude cinmatique oudynamique (trajectoire, vitesse, efforts, etc.).

Quelques rgles et conseils pour tablir un schma cinmatique :

1.5 Mobilit et hyperstatisme 9

Le schma peut tre ralis en une vue en perspective ou en plusieurs vuesen projection. La position relative des liaisons doit tre respecte (perpen-dicularit, paralllisme, alignement, orientation prcise, etc.) ;

Les pices sont dessines trs succinctement par un simple trait en gnralqui relie les diffrentes liaisons ;

On ne doit pas privilgier une position particulire dans la reprsentation ; Le schma doit tre clair et permettre la comprhension du mcanisme ; Le schma cinmatique ne doit comporter que des pices indformables

(pas de ressort) ; Dans certain cas, une reprsentation plane peut suffire pour dcrire le m-

canisme.Vous trouverez dans la suite de ce manuel, un grand nombre de schmas cin-

matiques.

1.4.2 Schma cinmatique minimal

Le schma cinmatique minimal est obtenu en remplaant si possible, les liai-sons en srie et ou en parallle par les liaisons normalises quivalentes.

Le schma cinmatique minimal fait disparatre des solides et des liaisons,il est utiliser avec prcaution et uniquement pour ltude cinmatique et la com-prhension cinmatique du mcanisme. Il ne doit pas tre utilis pour raliser descalculs dhyperstatisme ou des calculs deffort dans les liaisons.

1.4.3 Schma technologique

Il est parfois ncessaire afin de mieux comprendre le fonctionnement dun m-canisme, de complter le schma cinmatique en ajoutant des constituants tech-nologiques tels les ressorts, les courroies, les clapets dun circuit hydraulique, . . .

On peut aussi prciser la forme de certaines pices et dcomposer les liaisonsen liaisons lmentaires plus proche de la ralisation technologique. Ainsi on re-prsentera une liaison pivot ralise par deux roulements par une liaison sphrecylindre (linaire annulaire) et une liaison sphrique (rotule)

Ce schma est alors appel un schma technologique.

1.5 Mobilit et hyperstatisme

1.5.1 Dfinitions

a ) Degr de mobilit dun mcanisme

Le degr de mobilit m caractrise le nombre de mouvements indpendantsdun mcanisme.

un mcanisme est immobile lorsque m = 0 ;

10 1 Mcanismes

un systme est mobile de mobilit m lorsque m > 0 ;Attention : m ne peut tre ngatif.

On dfinit aussi de manire complmentaire, les notions de mobilit utile muet mobilit interne mi avec

m =mu +mi .

Mobilit utile mu : cest la ou les mobilits souhaites du mcanisme.

Mobilit interne mi : cest une mobilit qui caractrise le mouvement dune piceindpendamment des autres pices (rotation dune pice sur elle-mme).

Cette notion de mobilit interne est tendue aux mobilits du mcanisme quine concerne que des pices internes dont le mouvement nentrane pas de mou-vement des pices en relation avec le milieu extrieur.

Quelques exemples du laboratoire de sciences industrielles :

La pompe Doshydro possde deux mobilits utiles, la mobilit principale :la rotation de larbre moteur entrane la translation du piston, la seconde estle rglage de la course du piston ;

La plate-forme Steward possde six mobilits utiles (les trois translations etles trois rotations de la plate-forme) et six mobilits internes (la rotation dechaque vrin autour de laxe passant par les centres des rotules).

b ) Degr dhyperstaticit dun mcanisme

Le degr dhyperstaticit h dun mcanisme caractrise la surabondance desdegrs de liaisons de ce mcanisme. Ainsi une table avec quatre pieds est hyper-statique de degr h = 1 car trois pieds suffisent pour la poser sur le sol.

Un systme est dit isostatique (h = 0) sil est possible de dterminer la to-talit des inconnues de liaison en appliquant le principe fondamental de lastatique chacune des pices du mcanisme.

On dit quun systme est hyperstatique (h 0) si toutes les inconnues deliaison ne sont pas dterminables. Chaque inconnue non dterminable parle P.F.S est un degr dhyperstaticit.

1.5.2 Mobilit - Hyperstaticit

On se propose de rechercher des relations entre les paramtres du mcanisme(nombre de pices, liaisons, nombre cyclomatique, etc.) et le degr de mobilitet/ou dhyperstaticit. Nous allons mener cette tude du point de vue statique etdu point de vue cinmatique.


a ) Dtermination du degr dhyperstaticit

Soit un mcanisme (figure 1.5) form de N solides relis par L liaisons. On ap-plique le P.F.S chaque solide hormis le bti, ainsi pour le solide Si :{

A2i}+{Aki }+{A(i+1)i}+{Fext1}= {0} .

Pour chaque quilibre nous pou-vons donc crire un systme de 6quations. Il est possible dtudierlquilibre de N1 solides (les autresquilibres se dduisent de ceux-ci)do pour la totalit du mcanisme unnombre total dquation de

Es = 6 (N1) . (1.7)

S1

S2

Si

Si+1

SnSk

Sl

L1

L2

LiLn1

Ln

Lk

Ll Lm

Lp{Fexti

} {Fextn

}

FIGURE 1.5 chane complexe

Chaque torseur daction transmissible par une liaison Li du solide Si1 sur Si({A(i1)i

}) comporte nsi inconnues. Le tableau 1.1 prsente quelques liaisons et

les inconnues de liaisons associes.

Liaison Torseur nsi

liaison pivot

Xi 0Yi MiZi Ni

Pi(xi ,yi ,zi )

nsi = 5

liaison pivot glissant

0 0Yi MiZi Ni

Pi(xi ,yi ,zi )

nsi = 4

liaison sphrique

Xi 0Yi 0Zi 0

Pi(xi ,yi ,zi )

nsi = 3

TABLE 1.1 Inconnues de liaisons

Le nombre total dinconnues statiques pour les L liaisons est donc :

Is =L

i=1nsi . (1.8)

12 1 Mcanismes

Ltude globale du mcanisme se ramne donc ltude dun systme linairede Es quations avec Is inconnues. Ce systme est un systme linaire dont le rangest not rs .

Le degr dhyperstaticit h correspond au nombre dinconnues de liaison quelon ne peut pas dterminer par la rsolution du systme :

h = Is rs (1.9) h = 0, il est alors possible de dterminer toutes les inconnues de liaison, le

systme est isostatique h > 0, il y a plus dinconnues que dquations indpendantes, le systme

est hyperstatique. Le nombre dinconnues de liaison non dtermines re-prsente le degr dhyperstaticit.

b ) Dtermination du degr de mobilit

Soit un mcanisme form de N solides relis par L liaisons (figure 1.5). Lenombre de cycles indpendants du mcanisme est :

= LN+1. (1.10)Pour analyser compltement le mcanisme, il faut donc tudier les boucles dumcanisme.

Pour chaque liaison lmentaire L j on crit le torseur cinmatique{V(i+1)/i

}.

Chaque torseur comporte nci inconnues cinmatiques (quelques exemples dansle tableau 1.2).

Liaison Torseur nci

liaison pivot

xi 0

0 00 0

Pi(xi ,yi ,zi )

nci = 1

liaison pivot glissant

xi Vxi

0 00 0

Pi(xi ,yi ,zi )

nci = 2

liaison sphrique

xi 0yi 0zi 0

Pi(xi ,yi ,zi )

nci = 3

TABLE 1.2 Inconnues cinmatiques

Pour chacune des boucles indpendantes, on exprime la fermeture cinma-tique, ainsi pour la boucle (figure 1.5) constitue des solides {Si ,Si+1,Sk } :{

Vi /k}+{Vk/(i+1)}+{V(i+1)/i}= {0} .


On obtient ainsi 6 quations par boucle soit Ec quations pour le mcanismecomplet

Ec = 6 (1.11)et comportant Ic inconnues cinmatiques

Ic =L

j=1nci . (1.12)

Le rang de ce systme est not rc .Le degr de mobilit correspond aux inconnues cinmatiques que lon ne peut

dterminer lors de la rsolution du systme soit :

m = Ic rc . (1.13)

Si m = 0 le mcanisme est immobile ; m > 0 le systme est mobile de mobilit m.

c ) Dtermination intuitive du degr de mobilit

Dans le cas des mcanismes peu complexes, il est possible de dterminer le de-gr de mobilit partir de lanalyse du mcanisme (lecture du dessin densemble,schma cinmatique, vue 3D, etc.).

On recherche les mobilits utiles : en identifiant la chane cinmatique de la (des) mobilit(s) utile(s) (de (des)

lactionneur(s) vers la sortie) ; en recherchant la chane cinmatique de rglage.

Pour identifier les mobilits internes, on sintresse aux liaisons plusieurs degrsde libert (pivot glissant, sphre cylindre, sphrique).

Chaque mouvement ainsi identifi est une mobilit.Cette dtermination intuitive est souvent suffisante pour rsoudre un problme

lmentaire.

1.5.3 Exemple guide - Vanne robinet

Le volant entrane la vis de commande en rotation par rapport au corps (liaisonpivot). Le volant et la vis sont en liaison complte (encastrement). La vis de com-mande entrane par lintermdiaire dune liaison hlicodale le pointeau. Celui-cicoulisse sans tourner par rapport au corps (liaison glissire).

On se propose de dterminer par une tude statique et un tude cinmatiquele degr de mobilit et le degr dhyperstaticit de ce mcanisme.

14 1 Mcanismes

FIGURE 1.6 Vanne

a ) Modlisation du mcanisme

Ltude dbute par la modlisation du mcanisme (identification des liaisons,schma cinmatique, etc.).

Schma cinmatique A partir de la description ci-dessus on peut tablir le graphede structure et le schma cinmatique (figure 1.7)

O2 - Manivelle3 - Pointeau

1 - Corps

# Cm

#Fr

(a) Schma cinmatique

S1

S2

S3L21 : Pivot(O, #z

)L31 :Glissire #z

L23 :Hlicodale(O, #z

)# Cm

#Fr

(b) Graphe de structure

FIGURE 1.7 Modlisation de la vanne

Inventaire On retrouve dans les tableaux ci-dessous, linventaire des liaisons (ta-bleau 1.3) et linventaire des actions mcaniques extrieures (tableau 1.4).


Dsignation Torseur cinmatique Torseur des actions transmis-sibles

L31 LiaisonGlissire

{V3/1}=

0 00 00 V31

P(x ,y ,z )

{A13

}=

X13 L13Y13 M13

0 N13

P(x ,y ,z )

L32 LiaisonHlicodale

{V3/2}=

0 00 032 V32

P(O, #z )(x ,y ,z )

avec V32 = p2pi32

{A23

}=

X23 L23Y23 M23Z23 N23

P(x ,y ,z )

avec N23 = p2pi Z23

L21 LiaisonPivot

{V2/1}=

0 00 021 0

P(O, #z )(x ,y ,z )

{A12

}=

X12 L12Y12 M12Z12 0

P(x ,y ,z )

TABLE 1.3 Inventaire des liaisons de la vanne

Le mcanisme comporte N = 3 pices et L = 3 liaisons, do le nombre cyclo-matique : = LN+1= 1.

partir de linventaire des liaisons, on dduit pour

ltude statique que le systme rsoudre comporte Es = 6(N1)= 12 quationset Is = 5+5+5= 15 inconnues de liaisons.Le rang de ce systme ne peut dpasser rs min(Es , Is) = 12, le mcanismeest donc au moins hyperstatique dordre h = Is rs 3.

ltude cinmatique que le systme rsoudre comporte Ec = 6 = 6 quations(une seule boucle) et Ic = 1+1+1= 3 inconnues.

Remarque : la liaison hlicodale ne comporte quune inconnue cinmatiqueet cinq inconnues statiques, en effet les inconnues V32 et 32 sont lies ainsi queZ32 et N32.

Couple exerc sur le volant Effort rsistant sur le pointeau{FCm2

}= { #0Cm #z

}P

{Fext3

}= {Fr #z#0

}P(O, #z )

TABLE 1.4 Inventaire des efforts extrieurs

b ) Dtermination du degr dhyperstaticit par une tude statique

Remarque pralable : crire le P.F.S suppose que le systme est en quilibre,nous supposerons ici, que les masses sont ngligeables et/ou les vitesses constantespour pouvoir lappliquer.

16 1 Mcanismes

Nous verrons par la suite quil est possible de raliser les calculs avec des ef-forts nuls, en effet lobjectif nest pas lquilibre des pices ou ltude du mouve-ment mais la dtermination des mobilits et de lhyperstaticit du mcanisme etle rsultat de ce calcul ne dpend pas des efforts extrieurs.

P.F.S sur 2 en O On isole le solide 2 (figure 1.8(a)), le PFS scrit :{A12

}+{A32}+{FCm2}= {0} ,ou, en revenant au donnes du tableau{

A12}{A23}+{FCm2}= {0} .

Soit en O dans la base(x ,y ,z ) avec N23 = p2pi Z23 :

X12 L12Y12 M12Z12 0

X23 L23Y23 M23Z23 p2pi Z23

+

0 00 00 Cm

=

0 00 00 0

do les 6 quations de lquilibre de 2 (3 pour la rsultante et 3 pour les mo-

ments) : X12X23 = 0Y12Y23 = 0Z12Z23 = 0

et

L12L23 = 0

M12M23 = 00+ p

2piZ23+ Cm = 0

(1.14)

S1

S2

S3L21 : Pivot(O, #z

)L31 :Glissire #z


)# Cm

#Fr

(a) PFS - Isolement solide 2

S1

S2

S3L21 : Pivot(O, #z

)L31 :Glissire #z


)# Cm

#Fr

(b) PFS - Isolement solide 3

FIGURE 1.8 quilibres des solides 2 et 3

P.F.S sur 3 en O On isole le solide 3 (figure1.8(b)), le PFS scrit :{A13

}+{A23}+{Fext3}= {0} .


Ce qui donne en ramenant tout en O dans la base(x ,y ,z ) avec N23 = p2pi

Z23 : X13 L13X13 M13

0 N13

+

X23 L23Y23 M23Z23

p2piZ23

+

0 00 0

Fr 0

=

0 00 00 0

.Do les 6 quations de lquilibre de 3 :

X13+X23 = 0Y13+Y23 = 0

0+Z23 +Fr = 0et

L13+L23 = 0

M13+M23 = 0N13 p

2 pi Z23 = 0(1.15)

Rsolution Nous avons donc rsoudre un systme de 12 quations 15 incon-nues, ce systme scrit sous forme matricielle :

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 p2pi 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 p2pi 0 0 0 0 0 0 1

X12Y12Z12L12M12X23Y23Z23L23M23X13Y13L13M13N13

=

00000

Cm00Fr

000

Le rang de ce systme est au maximum de 12 (rs min(Is ,Es)= Es ).On constate rapidement que les lignes 6 et 9 sont linairement dpendantes,

le rang est donc diminu de 1 do rs = 121 et par suite h = 1511= 4.Remarque : Ces deux lignes correspondent aux quations :

p

2piZ23+Cm = 0

Z23+Fr = 0soit Cm = p

2piFr ,

cest dire la relation entre lentre et la sortie du mcanismePour dterminer le rang, il est possible de rechercher la matrice carre la plus

grande possible avec un dterminant non nul que lon peut extraire de la matrice

18 1 Mcanismes

rectangulaire mais il est souvent prfrable de rsoudre directement le systmeet dterminer les inconnues de liaisons, le degr dhyperstaticit est dduit desinconnues non dterminables. Nous allons vrifier que le rang est bien rs = 11 enen rsolvant compltement le systme.

Ainsi, partir du systme des 4 quations suivantes extraites du systme com-plet :

Z12Z23 = 0Z23+ Fr = 0p

2piZ23+ Cm = 0

N13 p2 pi Z23 = 0

soit

Cm = p2pi

Fr

Z23 =2pipCm

Z12 =Z23N13 =Cm

(1.16)

il reste donc 8 quations pour 12 inconnues, il est ncessaire dimposer 4 va-leurs pour rsoudre. On choisit, les composantes de la liaison hlicodale X23, Y23,L23 et M23 comme paramtres pour rsoudre le systme.

X12X23 = 0Y12Y23 = 0L12L23 = 0

M12M23 = 0X13+X23 = 0Y13+Y23 = 0L13+L23 = 0

M13+M23 = 0

soit

X12 =X23Y12 = Y23L12 = L23

M12 =M23X13 =X23Y13 =Y23L13 =L23

M13 =M23

(1.17)

Ces 4 inconnues de liaisons qui ne peuvent tre dtermines X23, Y23, L23 etM23, correspondent au degr dhyperstatisme du mcanisme, le mcanisme estdonc hyperstatique dordre h = 4.

On montre donc que le rang global du systme est donc : rs = 11, on retrouvedonc la relation

h = Is rs = 1511= 4

Commentaires Le systme comporte 11 quations principales et 1 quationsupplmentaire. Les quations supplmentaires traduisent les relations entre lesactions mcaniques extrieures travers le mcanisme pour quil soit en quilibrecomme dans lexemple prcdent lquation Cm = p2pi Fr .

Le nombre dquations supplmentaires est gal au degr de mobilit du m-canisme :

m = Es rs . (1.18)


On constate aussi que le caractre hyperstatique dun mcanisme est indpen-dant des efforts extrieurs, ce constat permet de mener les calculs dhyperstatismeavec des efforts extrieurs nuls.

Lors de la dtermination du degr dhyperstaticit, les inconnues hypersta-tiques sont choisies arbitrairement (dans lexemple prcdent X32, Y32, L32 et M32)mais lors de la ralisation ou dune simulation, il faudra choisir judicieusementles valeurs annuler ou imposer (Pour une table 4 pieds, il semble raisonnabledimposer que le poids de la table soit rparti sur les 4 pieds).

Aux inconnues hyperstatiques correspondent des conditions de cotation entreles liaisons que doit respecter le mcanisme afin de fonctionner correctement mal-gr lhyperstatisme :

O

(a) contrainte dimensionnelle

O

(b) contrainte angulaire

FIGURE 1.9 Hyperstaticit et contraintes dimensionnelles

Figure 1.9(a) : lorsque le degr dhyperstaticit est li une inconnue de rsul-tante (X23 et Y23 dans lexemple) cela implique de respecter lors de la rali-sation du mcanisme une contrainte dimensionnelle (ici, la distance entredeux axes doit tre nulle).

Figure 1.9(b) : lorsque le degr dhyperstaticit est li une inconnue de moment(L23 et N23 dans lexemple) cela implique de respecter lors de la ralisationdu mcanisme une contrainte angulaire (ici, les deux axes doivent tre pa-rallles).

Dans notre exemple, les deux axes (vis et pointeau) doivent tre coaxiaux pourque le systme puisse fonctionner.

c ) tude cinmatique

Nous allons reprendre la mme tude partir dun point de vue cinmatique.

Le systme ne comporte quune seule boucle, = 1, la fermeture gomtriqueva nous permettre dcrire un systme de Ec = 6= 6 quations avec Ic = 3 incon-nues.

Fermeture de la chane cinmatique :

20 1 Mcanismes

{V3/2}+{V2/1}+{V1/3}= {0}

et en O dans la baseB = (x ,y ,z ).0 00 032 V32

+

0 00 021 0

0 00 00 V31

=

0 00 00 0

Do les 6 quations :

0+ 0+ 0= 00+ 0+ 0= 0

32+ 21+ 0= 00+ 0+ 0= 00+ 0+ 0= 0

V32+ 0 V31 = 0

avec V32 = p2pi

32 (1.19)

Le systme comporte 4 quations supplmentaires nulles, il se ramne donc un systme de 2 quations 3 inconnues. Le rang est rc = 2, il faut fixer un para-mtre pour pouvoir rsoudre les autres. Ce paramtre est la mobilit principale dumcanisme.

Le mcanisme est mobile avec :

m = Ic rc = 32= 1.

On peut choisir comme paramtre pilote 21, la vitesse de rotation de la ma-nivelle pour dterminer les deux autres :V31 =

p

2pi21

32 =21. (1.20)

Remarque : on constate dans cet exemple que le calcul via ltude cinma-tique est plus rapide, ce constat ne doit pas tre gnralis, cela dpend du mca-nisme.

Commentaires Le systme tudi comporte 2 quations principales et 4 qua-tions supplmentaires. Les quations supplmentaires correspondent aux contraintesdhyperstatisme du mcanisme :

h = Ec rc . (1.21)

On voit que les notions de mobilit et dhyperstaticit sont lies, nous allonsdfinir ces relations.


1.5.4 Relations entre mobilit et hyperstatisme

a ) tude gnrale

Pour un systme mcanique form de N solides, et L liaisons nous avons :

= LN+1 (1.22)Es = 6 (N1) (1.23)Ec = 6 (1.24)

A partir de ltude statique on dduit le degr dhyperstaticit, le nombre dqua-tions supplmentaires donnant le degr de mobilit :

h = Is rs et m = Es rsdo

mh = Es Is (1.25)De mme, partir de ltude cinmatique on dduit le degr de mobilit mais

aussi le degr dhyperstaticit (quations supplmentaires de ltude cinmatique) :

m = Ic rc et h = Ec rcdo

mh = Ic Ec (1.26)

Les deux relations 1.26 et 1.25 sont quivalentes en effet.Pour chaque liaison, le nombre dinconnues cinmatiques est le complment

6 du nombre dinconnues statiques.

nsi = 6nci (1.27)

Is =L

i=1nsi =

Li=1

(6nci ) (1.28)

On peut donc crire en dveloppant :

Is = 6 LL

i=1nci = 6 L Ic . (1.29)

Puis en remplaant dans 1.25 et en rorganisant :

mh = Es 6 L+ Ic (1.30)mh = 6 (N1)6 L+ Ic (1.31)mh =6 (LN+1)+ Ic (1.32)

22 1 Mcanismes

On reconnat le nombre cyclomatique , la relation devient :

mh =6 + Ic (1.33)

do la relation

mh = Ic Ec (1.34)

Le paramtre mh est parfois appel indice de mobilit.Les relations 1.25 et 1.26 sont deux relations quivalentes qui permettent de

relier les notions de mobilit et dhyperstaticit. Il suffit de dterminer un deuxparamtres m ou h pour obtenir le second. Il est souvent facile de dterminerintuitivement le degr de mobilit par une simple tude du mcanisme.

Mcanisme plan Il est possible de raliser une tude de mobilit et dhypersta-tisme dans le plan, les relations obtenues sont quivalentes en prenant garde quele nombre dquations que lon peut crire lors dune tude statique ou cinma-tique nest que de 3. De mme, le nombre dinconnues cinmatiques ou statiquedun torseur ne peut dpasser 3. Nous pouvons donc crire :

mh = Es Is avec Es = 3 (N1) (1.35)mh = Ic Ec avec Ec = 3 (1.36)

nsi = 3nci (1.37)

Seules trois liaisons sont utilisables dans le cas dun mcanisme plan, le ta-bleau 1.5 prcise les inconnues statiques et cinmatiques pour chacune de cesliaisons.

On considre un mcanisme plan de normale #zRemarque importante : dire quun mcanisme est plan, cest dj faire des hy-

pothses sur lorientation des liaisons (toutes les rotations sont perpendiculairesau plan dtude donc parallles) cela revient simplifier le modle dtude. Cettehypothse risque de faire disparatre des degrs dhyperstaticit.

1.5.5 Isostaticit

Un mcanisme hyperstatique est un mcanisme dans lequel les liaisons sontsurabondantes, on pourrait donc obtenir le mme fonctionnement avec une struc-ture plus simple.

Est-il pour autant judicieux dessayer de le transformer pour le rendre isosta-tique ?

1. la notation [0] prcise que la valeur 0 est impose par le modle plan

1.6 Exercices 23

Liaison torseur cinmatique 1 torseur des actions trans-missibles

Articulationdaxe normal auplan dtude

[0] 0[0] 0z [0]

O(x ,y ,z )

, nci = 1

X [0]Y [0]

[0] 0

O(x ,y ,z )

, nsi = 2

Glissirela direction #u estdans le plan

[0] Vu[0] 00 [0]

O(u ,v ,z )

, nci = 1

0 [0]Yv [0][0] Nz

O(u ,v ,z )

, nsi = 2

Ponctuellela normale aucontact #n est dansle plan.

[0] Vuz 0[0] [0]

O

(n ,t ,z )

, nci = 2

Xn [0]0 [0]

[0] 0

O

(n ,t ,z )

, nsi = 1

TABLE 1.5 Liaisons dans le plan

La qualit principale dun mcanisme hyperstatique est sa rigidit. La contre-partie de cette qualit est son principal dfaut, les mcanismes hyperstatiquessont plus difficiles raliser donc plus coteux.

Ainsi, la glissire (figure 1.10) permet de mieux rpartir les efforts appliqus surla table mais elle ne peut correctement fonctionner que si les deux colonnes sontrigoureusement parallles. On rserve donc les solutions hyperstatiques chaquefois que la rigidit doit lemporter sur le cot, dans les autres cas on prfre lessolutions isostatiques.

a ) Recherche disostaticit

A partir de ltude statique, on identifie les inconnues de liaisons surabon-dantes. Pour chaque inconnue de liaison non dterminable, il faut ajouter un de-gr de libert dans la chane cinmatique. Il peut aussi ncessaire de rajouter despices dans le mcanisme.

1.6 Exercices

Exercice 1- Table colonnes Corrig page 31Q1. Identifier les liaisons du mcanisme (figure 1.10) puis tracer le graphe des liai-sons.Q2. Tracer le schma cinmatique 3D.Q3. valuer le degr de mobilit (sans calculs). En dduire le degr dhyperstati-

24 1 Mcanismes

cit.Q4. Dterminer la liaison quivalente entre la table et les deux supports.Q5. Tracer le schma cinmatique minimal.

table

colonnes

vis

bti

FIGURE 1.10 Table colonnes

Exercice 2- Ecrou flottant Corrig page 32Le mcanisme de la figure 1.11(a) est un modle simplifi du mcanisme de

lexercice prcdant.

B

1-table

2-vis

0-corps

(a) Glissire

B

#z

#y

3-noix

1a-crou

1b-table

(b) crou flottant

FIGURE 1.11 crou flottant

On se propose de rendre ce mcanisme isostatique. Pour cela, on intgre entrela glissire et lcrou le mcanisme de la figure 1.11(b). Celui-ci est constitu dedeux liaisons pivots glissants perpendiculaires lies entre elles, la premire est enliaison avec la glissire, la seconde avec lcrou.Q1. valuez sans calcul le degr de mobilit puis le degr dhyperstaticit du m-canisme sans la modification.Q2. Tracez le schma cinmatique en perspective du mcanisme modifi puis le

1.6 Exercices 25

graphe de structure.Q3. partir dune tude cinmatique, montrez que le mcanisme est isostatique.

Exercice 3- Pompe bouesdaprs concours gnral

Corrig page 33

0-carter

1-vilebrequin

2-bielle3-bielle

O

A1

A2 B1B2

#x0

#z0

0-carter

1-vilebrequin

2-bielle

4-maneton

O

A1

C1

#x0

#y0

FIGURE 1.12 Pompe boues

Cette pompe boues (figure 1.12), utilise dans la centrale de traitement deseaux uses de Marseille, est prvue pour assurer un dbit nominal de 1m3/min

Un moteur (non reprsent) de 21kW entrane le vilebrequin (1) une fr-quence de rotation constante de 0,8tr/s par lintermdiaire de deux tages de r-duction (non reprsents). Le mcanisme biellemanivelle transforme le mouve-

26 1 Mcanismes

ment de rotation en un mouvement rectiligne alternatif du piston double effet(seul le guide du piston maneton (4) est reprsent).

Lexcentricit e = 100mm. Lentraxe entre la tte et le pied de bielle est L= 525mm. La pompe comprend deux systmes bielle - manivelle dcals de 90 (car-

ter(0) - (vilebrequin(1) bielle(2), maneton(4)) et (carter(0) - (vilebrequin(1)bielle(3), maneton(5)).

Q1. Modlisation cinmatique

Q1a. Le vilebrequin est en liaison en B1 et B2 avec le carter, prciser les consti-tuants ralisant la liaison, proposer un modle pour chaque liaison lmentaire,en dduire la liaison quivalente (on conservera pour la suite la liaison quiva-lente).

Q1b. Identifier les autres liaisons de la pompe boues

Q1c. Tracer le graphe de structure du mcanisme complet

Q2. Tracer le schma cinmatique 3D du mcanisme.

Q3. valuer le degr dhyperstaticit du mcanisme (ne pas prendre en comptelarbre moteur).

Q4. Proposer plusieurs solutions pour rendre le mcanisme bielle - manivelle iso-statique.

Exercice 4- Miroir de tiltdaprs Mines-Ponts 2001

Corrig page 34

Le miroir de tilt est utilis dans le Very Large Tlscope pour diriger la lumireissue du miroir secondaire vers loptique adaptative.

Le miroir de tilt est install sur une structure mcanique permettant dorienterle faisceau, il est solidaire du solide orientable 1 (figure 1.13(b))

Q1. Identifier les liaisons puis tracer le graphe de structure du mcanisme.

Q2. Dterminer la liaison quivalente entre les solides 1 et 2 puis entre 2 et 3.

Q3. Dterminer la liaison quivalente ente le miroir 1 et le bti 3.

Q4. En dduire le degr de mobilit du mcanisme puis le degr dhyperstaticit.

1.6 Exercices 27

(a) Schma de principe (b) Schma cinmatique

FIGURE 1.13 Miroir de tilt

Exercice 5- Groupe dexploitation hydrauliqueExtrait CCP 2000

Corrig page 36

Le barrage hydrolectrique de SerrePonon est quip de turbines Pelton.

Ltude porte sur une partie du groupe dexploitation hydraulique reprsenteet modlise sur la figure 1.14.

La liaison entre le rotor (2) et la structure en bton (1) est ralise par trois pa-liers, deux paliers cylindriques en A (palier 3) et C (palier 4) et un palier plan enB (palier 5). Les trois paliers sont en liaison complte dmontable avec la struc-ture en bton. La nature du contact des liaisons 23 et 25 est considre comme cylindrique courte (l d0) .

# OA= a #z , # OB= b #z , # OC= c #z

Q1. Donner le nom du modle retenu et le torseur cinmatique associs chacunedes liaisons 23, 24 et 25.

Q2. Tracer un schma cinmatique reprsentant ces trois liaisons.

Q3. Tracer le graphe des liaisons et dterminer le degr dhyperstatisme du mon-tage bti - rotor et donner le degr de mobilit. Quel est lintrt de cette solution ?

Q4. Dterminer le torseur cinmatique de la liaison quivalente 02.

28 1 Mcanismes

(a) turbine

Palier 3

Palier 4

Palier 5

Structurebton 1

Rotor 2

h

d0

`

`

R1R2

O

A

B

C

(b) modle

FIGURE 1.14 Turbine Pelton

Exercice 6- Tte polir le marbreextrait TSI Centrale Suplec 2001

Corrig page 36

Description et donnes

FIGURE 1.15 Tte polir

Les patins abrasifs sont : entrans en rotation autour dun

axe vertical ; anims dun mouvement doscilla-

tion autour dun axe horizontal.Les patins utiliss sont galement des pa-tins standards, paralllpipdiques, dontla face infrieure devient progressivementcylindrique, sous leffet de lusure.

Les grains dabrasif uss ne restent passous les patins et sont facilement liminspar aspersion deau sur la pierre polir.

(xi ,yi ,zi ) est une base lie la pice i ;

i j = di jd t reprsente la mesure algbrique de la vitesse de rotation du solidei par rapport au solide j , i j reprant lorientation du solide i par rapportau solide j ;

Vitesse dentre :# 1/0 =e #z , e = 500 tr/min.

A. tude du mcanisme de transformation de mouvementLe mcanisme est schmatis sur la figure page ci-contre.

1.6 Exercices 29

1Carter 0

3 4

5

6Liaison encastremententre 1 et 6

Zc Za

Zd Zb

#y1

#z = #z1

A

B

O

O

G5

Za = 81, Zb = 80Zc = Zd = 40

#

OO = e #y3+h #z1# AB= a #y5b #z5# OB= c #y1

# BG5 =d #z5

e = 10 mmb = 55 mm

FIGURE 1.16 Schma cinmatique tte polir

Le mcanisme tudi est constitu de la chane ferme de solides 1 3 4 5 6 1 . Ce sous ensemble fait partie du systme dont le schma est prsent sur ledocument 2, en acceptant que la liaison 1 6 soit une liaison encastrement.

Le mouvement de rotation de 3 par rapport 1 provoque un mouvement dos-cillation de la pice 5 par rapport 1. Ce mouvement correspond la mobilitutile du systme tudi. Les figures de rotation (figure 1.17) prcisent les diffrentsparamtres angulaires et les repres associs aux pices.

#x

#y

#x1

#y1

e #x1

#y1

#x3

#y3

31 #z1

#x1

#z5

#x5

51

FIGURE 1.17 Figures de calculs

30 1 Mcanismes

Q1. Tracer le graphe des liaisons, en nommant les liaisons autres que la liaison 16et en indiquant leurs caractristiques gomtriques.Q2. En supposant labsence de toute mobilit interne, calculer le degr dhypersta-tisme du systme, sans crire, pour linstant, de fermeture de chane cinmatique.Q3. Exprimer les torseurs cinmatiques suivant :

{V3/1} en O, {V4/3} en O, {V5/4} en O et {V6/5} en O.Q4. En supposant toujours la liaison 16 comme une liaison encastrement, crireles quations scalaires traduisant la fermeture de la chane cinmatique au pointO.Q5. Retrouver le degr de mobilit et dhyperstaticit.

Afin de rendre le mcanisme isostatique, il faut rajouter, dans les liaisons com-posant la chane cinmatique tudie, un nombre de degrs de libert au moinsgal au degr dhyperstatisme. On peut rajouter un nombre de degrs de libertsuprieur au degr dhyperstatisme condition de ne pas modifier la loi entre sortie du mcanisme. Apparatront alors une (ou plusieurs) mobilit(s) interne(s).Une possibilit de modification concerne la liaison 3 4.Q6. Proposer une modification de la liaison 3 4 permettant de rendre le mca-nisme isostatique. crire son torseur cinmatique et montrer son incidence surles quations de fermeture cinmatique. Si cette modification entrane lappari-tion dune (ou plusieurs) mobilit(s) interne(s), la (les) citer.

Attention : le schma cinmatique est ralis dans la position de rfrence dumcanisme pour laquelle les liaisons pivot ou pivot glissant 1 3, 3 4, 4 5 et 5 6 sont coplanaires. On fera lhypothse que les pices 1 et 6 sont lies par uneliaison encastrement.

Remarque 1 : le schma ci-dessus permet dtudier la cinmatique du mca-nisme. Il est donc ncessaire dy faire apparatre de faon rigoureuse les liaisonset leurs positions respectives, mais les formes donnes aux pices nont aucuneimportance.

Remarque 2 : on ralise du dport de denture afin que les entraxes des engre-nages a c et b d puissent tre gaux bien que Za et Zb soient diffrents.

1.6 Exercices 31

1.6.1 Corrigs

Cor. 1, Sujet page 23

Q1. Graphe des liaisons (1.18(a))On note #x1 la direction de la glissire, A1, A2 respectivement un point de laxe de la colonne 1 (C1) et de la

colonne 2 (C2) et B un point de la laxe de la vis. Les deux colonnes et le bti forment une seule classe dquiva-lence.

B-1

T-2

V-3L1L2

L3

L4

(a) Graphe des liaisons

A1

A2B

#x1

(b) Schma cinmatique

FIGURE 1.18 Table colonnes

L1 : liaison pivot glissant daxe (A1,#x1) ;

{V

L12/1

}=1 v10 00 0

P(A1, #x1)(x1,? ,? ){S

L112}=

0 0Y1 M1Z1 N1

P(A1, #x1)(x1,? ,? )L1 : liaison pivot glissant daxe (A2,

#x1) ;

{V

L22/1

}=2 v20 00 0

P(A2, #x1)(x1,? ,? ){S

L212}=

0 0Y2 M2Z2 N2

P(A2, #x1)(x1,? ,? )L3 : liaison pivot daxe (B,

#x1) ;

{V3/1

}=3 00 00 0

P(B, #x1)(x1,? ,? ){S13

}=

X3 0Y3 M3Z3 N3

P(B, #x1)(x1,? ,? )L4 : liaison hlicodale daxe (B,

#x1) ;

{V2/3

}=4 v40 00 0

P(B, #x1)(x1,? ,? )avec v4 = p2pi 4

{S32

}=

X4 L4Y4 M4Z4 N4

P(B, #x1)(x1,? ,? )avec L4 = p2pi X4

32 1 Mcanismes

Q2. Schma cinmatique figure 1.18(b)Q3. Le systme est mobile dordre m = 1, en effet la seule mobilit est le mouvement principal, la rotation de lavis entrane le dplacement de la table.

Dterminons maintenant le degr h dhyperstaticit partir dune tude statique.

Bilan des inconnues Is = 4+4+5+5= 18nombre dquations Es = 6 (31)= 12.Le systme comporte 12 quations et 18 inconnues. Le degr dhyperstaticit est mh = EsIs soit h = 1812+1= 7. Le mcanisme est fortement hyperstatique.

Une des principale cause de cet hyperstatisme est la prsence des deux liaisons pivot glissant en parallle.Q4. La rponse est vidente, la seule libert commune aux deux liaisons pivots glissants est la translation.


Q1. Le mcanisme ne comporte quune seule mobilit, la mobilit principale qui permet partir de la rotationde la vis de dplacer la table : m = 1.

Nous savons que mh = Ic Ec avec Ec = 6 = 6 (une seule boucle) et Ic = 1+1+1 = 3 (chaque liaisonne possde quune seule inconnue cinmatique) do h = 6+13= 4. Le mcanisme est hyperstatique dordreh = 4.Q2. Schma cinmatique 3D (figure 1.19(b)). Graphe de structure (figure 1.19(a)).

L1 : liaison pivot daxe (B,#x ) ;

L2 : liaison hlicodale daxe (B,#x ) ; ;

L3 : liaison pivot glissant daxe (B,#z ) ;

L4 : liaison pivot glissant daxe(B, #y

);

L5 : liaison glissire de direction#x ;

S0

S2

S1a

S3

S1b

L1

L2

L3

L4

L5

(a) Graphe de structure (b) Schma cinmatique

FIGURE 1.19 crou flottant

Q3. On crit la fermeture cinmatique en B, point de concours de toutes les liaisons pivots.

{V0/2}+{V2/1a}+{V1a/3}+{V3/1b}+{V1b/0}= {0}

02 0

0 00 0

+21 v21

0 00 0

+

0 013 v13

0 0

+

0 00 031 v31

+

0 v100 00 0

= {0}

1.6 Exercices 33

avec v21 = p2pi 21Do les 6 quations de la fermeture cinmatique

02+21 = 0

13 = 031 = 0

et

p

2 pi 21+ v10 = 0v13 = 0v31 = 0

Le rang du systme est de 6 (donc h = 0) , et possde une seule mobilit m = 1 (il faut imposer un paramtre,ici 21 pour rsoudre compltement le systme.


Q1. Modlisation cinmatique

Q1a. La liaison entre le vilebrequin et le carter enB1 (respectivement B2) est ralise par un roulement rotule sur rouleaux, ce roulement permet dencaisserles dfauts dalignement. On peut modliser la liaisonralise par une liaison sphrique.

La liaison entre le carter et le vilebrequin est mo-dlise par deux liaisons sphriques.

Un calcul rapide montre que cette liaison est hy-perstatique h = 1. La liaison quivalente est une liaisonpivot daxe

(O,

# B1B2

).

(a) Roulement rotule sur rouleaux

0

4

2

1

3

5

L04

L42

L21L31

L53

L05

L10

(b) Graphe de structure

Q1b. Identifier les autres liaisons de la pompe boues L10 : Liaison pivot daxe (O,

#x0), L04 : Liaison pivot daxe (A1,

#x0), L42 : Liaison pivot daxe (C1,

#x0), L21 : Liaison pivot glissant daxe

(C1,

#y0),

L05 : Liaison pivot daxe (A2,#x0),

L53 : Liaison pivot daxe (C2,#x0),

L31 : Liaison pivot glissant daxe(C2,

#y0),

Q1c. Tracer le graphe de structure du mcanisme complet figure 1.20(b).Q2. Schma cinmatique 3D du mcanisme (figure 1.20).Q3. Le mcanisme est mobile dordre m = 1 (la rotation du vilebrequin entrane le dplacement des deux pistons)

mh = Ic Ec

avec, Ic = 9, Ec = 2 6= 12 do h = 4.Q4. Compte tenu de la symtrie, il faut apporter dans chaque boucle deux mobilits. Par exemple :

34 1 Mcanismes

#y0

#x0

#z0

A1

C1

A2

C2

O

FIGURE 1.20 Corrig schma cinmatique pompe boues

Remplacer les liaisons pivot en Ci et Ai par des liaisons sphriques cela rajoute deux mobilits internes (rotation du piston autour de laxe (C, #x0) et de la bielle (2) autour

de laxe(Ai ,

# Ai Ci

)pour chaque moiti du mcanisme donc m = 5,

Ic = 17, do, h = 517+12= 0 Cette modlisation revient prendre en compte langle de rotulage des roulements.

Remplacer la liaison pivot en Ci par une liaison sphre cylindre en Ci cette modlisation rajoute une mobilit interne, la rotation du piston autour de son axe donc m = 3

pour le mcanisme complet, Ic = 15, h = 315+12= 0 Cette modlisation revient prendre le rotulage dans le roulement en Ci et le jeu axial de cette liaison.

Une autre possibilit est de modliser par une sphrique la liaison en Ci et par une pivot glissant celle enAi .


Q1. le mcanismes est constitu de 4 liaisons sphriques :

Q2. partir dune tude statique on peut crire :

{A

Le32}={A

L132}+{A

L232}

.

Il est judicieux ici de choisir comme point de rduction le point O et la base(x2,y2,z2).

# MO,L1 =

# OA (R #x2)=

(XA #x2+YA #y2+ZA #z2

) (R #x2)=R YA #z2R ZA #y2

# MO,L2 =

# OB (R #x2)=

(XB #x2+YB #y2+ZB #z2

) (R #x2)=R YB #z2+R ZB #y2

1.6 Exercices 35

3

2

1

L1

L3

L2

L4


L1{V

L12/3

}=Ax 0Ay 0Ay 0

A(x2,y2,z2)

,{A

L132}=

XA 0YA 0ZA 0

A(x2,y2,z2)

;

L2{V

L22/3

}=Bx 0By 0By 0

B(x2,y2,z2)

,{A

L232}=

XB 0YB 0ZB 0

B(x2,y2,z2)

;

L3{V

L31/2

}=Cx 0Cy 0Cy 0

C(x2,y2,z2)

,{A

L321}=

XC 0YC 0ZC 0

C(x2,y2,z2)

;

L4{V

L21/2

}=Dx 0Dy 0Dy 0

D(x2,y2,z2)

,{A

L221}=

XD 0YD 0ZD 0

D(x2,y2,z2)

.

(b) Torseurs

FIGURE 1.21

{A

Le32}=

XA 0YA R ZAZA R YA

O(x2,y2,z2)

+

XB 0YB R ZBZB R YB

O(x2,y2,z2)

=

XA+XB 0YA+YB R

(ZA+ZB)ZA+ZB R

(YAYB

)

O(x2,y2,z2)

=

Xe1 0Ye1 Le1Ze1 Me1

O(x2,y2,z2)

On reconnat une liaison pivot daxe (O, #x2)De la mme manire pour la liaison quivalente entre 1 et 2{

ALe21}={A

L321}+{A

L421}

=

XC +XD r (ZC +ZD)

YC +YD 0ZC +ZD r

(XC XD

)

O(x2,y2,z2)

=

Xe2 Ne2Ye2 0Ze2 Me2

O(x2,y2,z2)

On reconnat une liaison pivot daxe(O, #y2

)Q3. Les deux liaisons quivalentes tant en srie, partir dune tude statique on dduit la liaison quivalente :{

ALe31}={A

Le21}={A

Le32}

{A

Le31}=

Xe1 0Ye1 Le1Ze1 Me1

O(x2,y2,z2)

=

Xe2 Ne2Ye2 0Ze2 Me2

O(x2,y2,z2)

=

Xe 0Ye 0Ze Me

O(x2,y2,z2)

La liaison quivalente est une liaison sphrique doigt de centre O et daxe (O, #z2).Q4. On isole le solide 1 (on suppose les efforts extrieurs nuls) puis lensemble constitu des solides 1 et 2 ce quipermet dcrire les systmes :

XC +XD = 0YC +YD = 0ZC +ZD = 0

r (ZC +ZD)= 00= 0

r (XC XD)= 0et

XA+XB = 0YA+YB = 0ZA+ZB = 0

0= 0R (ZA+ZB)= 0

R (YAYB)= 0

36 1 Mcanismes

Ce systme est constitu de Es = 12 quations et Ic = 12 inconnues, le rang est au maximum de rs = 10, eneffet le systme comporte deux quations ne comportant aucune variable de liaisons ( 0=0).

On rsout rapidement une partie des quations ce qui donne YA = YB = 0, ZA = ZB = 0, XC = XD = 0 etZC = ZD = 0, il reste un systme de 2 quations 4 inconnues :{

YC +YD = 0XA+XB = 0

On doit imposer 2 inconnues de liaison pour terminer la rsolution, le degr dhypertaticit est donc h = 2et finalement m = 2 (les 2 quations supplmentaires).


Q1. On modlise chaque liaison cylindrique courte par une liaison sphrecylindre (linaire annulaire) cen-tre respectivement en A et en C daxe (A, #z ) , et la liaison plane par une liaison appui plan de normale #z .Q2. schma cinmatique sur la figure 1.22(b).Q3. graphe des liaisons sur la figure 1.22(a).

1

2

LALBLC

(a) Graphe de structure

A

C

B

(b) Schma cinmatique

FIGURE 1.22 Correction turbine Pelton


Q1. Graphe des liaisons figure 1.23.

13

4

5

6

L13

L34

L45L56

L61


L16 : Liaison encastrement(par hypothse) ; L13 : Liaison pivot daxe (O,

#z ) ; L34 : Liaison pivot glissant daxe

(O, #z

);

L45 : Liaison pivot glissant daxe(O, #y1

),

L56 : Liaison pivot daxe(O, #y1

).

(b) Liaisons

FIGURE 1.23 Tte polir

1.6 Exercices 37

Q2. Hyperstatisme

On sait que mh = Ic Ec , do h = 1 avec Ic = 6 : le nombre dinconnues cinmatiques ; Ec = 6 = 6 : le nombre dquations issues de ltude cinmatique (avec = 1) ; m = 1 par hypothse.

Q3. torseurs cinmatiques

{V3/1}=

0 00 031 0

P(O, #z1 )(? ,? ,z1

){V4/3}=

0 00 043 w43

P(O , #z1 )(? ,? ,z1

){V(5/4

}=

0 054 v54

0 0

P(O , #y1)(? ,y1,

?)

{V6/5}=

0 065 0

0 0

P(O, #y1)(? ,y1,

?)

avec pour notation(

? ,y1,?)

pour toute base comportant #y1.

Q4. Fermeture cinmatique

On choisit dcrire la fermeture cinmatique en O et dans la base(x1,y1,z1).

Changements de point

{V3/1}=

0 e 31 cos310 e 31 sin3131 0

O(x1,y1,z1)

{V6/5}=

0 h 6565 0

0 e 65 sin31

O(x1,y1,z1)

quations de fermeture

0 +0 +0 +0 +0 +0 = 00 +0 +54 +65 +0 +0 = 031 +43 +0 +0 +0 +0 = 0

e31 cos31 +0 +0 +h 65 +0 +0 = 0e31 sin31 +0 +0 +0 +v54 +0 = 0

0 +0 +0 +e 65 sin31 +0 +w43 = 0

(1.38)

Q5. Degr dhyperstatisme

Le systme ci-dessus comporte 6 quations et 6 inconnues, le rang est au maximum de 5 en effet la premirequation (0= 0) diminue le rang de 1.

Le rang du systme est rc = 5. Pour rsoudre ce systme il faut poser 1 paramtre (ici il est judicieux de

choisir 31) et on obtient :

43 =3165 =

e

h31 cos31

v54 =31 sin31

puis

{54 =65w43 =e 65 sin31

Le systme est donc mobile dordre m = 1 (1 paramtre) et hyperstatique dordre h = 1 (h = Ec rc ).Q6. Modification de la liaison 3 4

Pour rendre le systme isostatique, il faut ajouter une mobilit de rotation suivant #x1 afin de remplacerlquation supplmentaire 0= 0

On nous propose de modifier la liaison 3 4 , rajoutons donc une mobilit, le torseur devient :{V4/3} =

43 00 043 w43

O(x1,y1,z1)

. Ce torseur ne correspond pas une liaison normalise mais se rapproche de la liaison

sphrecylindre de centre O et daxe(O, #z1

)soit :

{V4/3}=43 043 043 w43

O(x1,y1,z1)

38 1 Mcanismes

La fermeture gomtrique devient :

43+0 +0+0 +0+0 +0+0 = 00+43 +0+0 +54+65 +0+0 = 00+0 +31+43 +0+0 +0+0 = 00+0 e 31 cos31+0 +0+h 65 +0+0 = 00+0 e 31 sin31+0 +0+0 +v54+0 = 00+0 +0+0 +0+e 65 sin31 +0+w43 = 0

(1.39)

Le systme rsoudre est un systme 6 quations et 8 inconnues, le rang est de 6, le systme est doncmobile dordre m = 2. La mobilit utile est inchange, par contre une mobilit interne est rajoute (quation43+54+65 = 0), la rotation propre de la pice 4 autour de laxe

(O, #y1

).

CHAPITRE 2

CINTIQUE

Dans le manuel de premire anne " Sciences industrielles en PCSI " nousavons dbut ltude de la mcanique du solide par la cinmatique du solide puispar la statique des solides.

La cinmatique est ltude et la caractrisation des mouvements dun solide, la statique correspond ltude de lquilibre statique (sans mouvement)

dun solide soumis des actions mcaniques extrieures. Ces deux tudes se sont appuyes sur la modlisation du mcanisme (liai-

sons).

Nous allons complter ce cours par la dynamique du solide, cest dire ltudedu mouvement des solides avec leur masse et inertie soumis a des actions mca-niques extrieures.

2.1 Masse et inertie

2.1.1 Notions dinertie

Nous savons, par exprience, quil est plus difficile dacclrer un camionquune moto comme il est plus difficile de le freiner. Linertie caractrise la r-sistance quoppose un corps par sa nature propre une variation de mouvement.

Pour un mouvement de translation, la masse suffit pour dfinir cette quantit,par contre pour un mouvement de rotation, il est ncessaire de prciser la rparti-tion de cette masse.

La cintique est ltude des caractristiques dinertie dun solide.

39

40 2 Cintique

2.1.2 Masse

La masse caractrise la quantit de matire, cest une grandeur compltementadditive.

Soit, 1 ,2 deux systmes matriels disjoints alors :

m (12)=m (1)+m (2) (2.1)

avec 12 6=.La masse m de lensemble est dfinie par :

m =

dm =

(P) dv (2.2)

avec (P) masse volumique au point P et dv un lment de volume.Remarque : Si le systme matriel est assimilable un volume, on parle de masse volu-

mique (P) au point P : dm = (P)d v ; Si le systme matriel est assimilable une surface on parle de masse surfa-

cique (P) au point P : dm =(P)d s ; Si le systme matriel est assimilable une ligne, on parle de masse linique(P) au point P : dm = (P)dl .

a ) Conservation de la masse

On admet en mcanique classique que la masse est une grandeur indpen-dante du temps, ainsi pour deux instants t1 et t2 quelconque :

m (, t1)=m (, t2) . (2.3)

On en dduit une relation importante : dd t

P

#

f (P, t ) dm

R

=

P

[d

d t

#

f (P, t )

]R

dm. (2.4)

qui permet dinverser la drivation par rapport au temps et lintgration parrapport la masse.

2.1.3 Centre dinertie

a ) Dfinition

On appelle centre dinertie du systme matriel , le point G dfini par :

P

# GP dm = #0 . (2.5)

2.1 Masse et inertie 41

En faisant intervenir le point O, la relation devient

(# GO+ # OP

)dm = #0

# GO dm+

# OP dm = #0

avec m # OG=

# OP dm et finalement

# OG= 1

m

P

# OP dm (2.6)

Dans un repre cartsien, on note(xG, yG, zG

)les coordonnes de

# OG et

(x, y, z

)les coordonnes de

# OP , on peut donc crire :

xG = 1m

x dm, yG = 1m

y dm, zG = 1m

z dm. (2.7)

Remarques : Si le systme matriel est un solide indformable, le centre dinertie est un

point fixe du solide ; Si le systme matriel possde un lment de symtrie matrielle, plan ou

axe de symtrie, aussi bien du point de vue gomtrique que du point devue de la rpartition des masses, le centre dinertie appartient cet lmentde symtrie ;

Le centre dinertie est confondu avec centre de gravit dans le cas dun champde pesanteur uniforme.

b ) Centre dinertie dun ensemble de corps

G

G1

G2

Gi

Gn

1

2

i

n

FIGURE 2.1 Centre dinertie dun ensemble decorps

Un ensemble matriel est com-pos de n sous-ensembles matriels i .A chaque sous-ensemble i est associ samasse mi et son centre dinertie Gi , alors

# OG = 1

m

ni=1

mi # OGi . (2.8)

Le centre dinertie dun ensemble decorps est le barycentre des centres diner-tie.

Si les corps sont des solides indfor-mables immobiles les uns par rapport auxautres, le centre dinertie de lensembleest fixe dans un repre li cet ensemble.

42 2 Cintique

c ) Thormes de Guldin

Enonc (Centre dinertie dune courbe plane) Soient (C) une courbe du plan ()et () une droite du plan ne coupant pas (C).

Laire de la surface engendre par la rotation de la courbe (C) autour de la droite() est gal au produit de la longueur de la courbe L par le primtre dcrit par soncentre dinertie 2pi rG.

S = 2pi rG L (2.9)

()

(C)

dl

O#r

Pr

rGG

FIGURE 2.2 Thorme de Guldin -1

On associe la courbe (C) une masselinque constante, dm = dl do lamasse totale de la courbe mc = L.

La position du centre dinertie de lacourbe est calcule par la relation gn-rale :

mc # OG=

C

# OP dm

ici cette relation devient :

L # OG=

C

# OP dl .

Aprs simplification puis en ne pre-nant que la projection suivant #r :

L # OG=

C

# OP dl L rG =

C

r dl

Calculons maintenant la surface engendre par la rotation de la courbe

S =

S

r d dl = 2pi

0d

C

r dl = 2pi

Cr dl

En substituant

C

r dl = L rG dans cette galit on retrouve bien le rsultatcherch.

Enonc (Centre dinertie dune surface plane homogne) Soient (S) une surfacedu plan () et () une droite du plan ne coupant pas (S).

Le volume engendr par la rotation de la surface plane tournant autour de laxe() est gal au produit de laire de la surface par la longueur du primtre dcrit parson centre dinertie.

V = 2pi rG S (2.10)

2.2 Moments dinertie 43

()

(C)(C)

O#r

d sr

rGG

FIGURE 2.3 Thorme de Guldin 2

On dmontre cette galit comme laprcdente. On associe (S) une massesurfacique dm = d s constante et mS = S.

Par dfinition :

mS # OG=

S

# OP dm

S # OG=

S

# OP d s

soit en projection suivant #r

S rG =

Sr d s

Le volume engendr par la rotation dela surface (S) scrit :

V =v

r dd s = 2pi

0d

S

r d s = 2pi

Sr d s

do la relation cherche :V = 2pi rG S.

Remarque : lutilisation des thormes de Guldin permet de simplifier le cal-cul de position du centre dinertie dans la mesure o lon connat les caractris-tiques du volume et de la surface balaye.

2.2 Moments dinertie

#x

#y

#z

()

#

P

H

A

FIGURE 2.4 Moment dinertie par rapport unedroite

La masse ne suffit pour caractriserlinertie que dans le cas dun mouvementde translation. Pour un mouvement de ro-tation ou un mouvement plus complexe,il faut prendre en compte la rpartitionde cette masse sur le solide. Les momentset produits dinertie caractrisent cette r-partition.

2.2.1 Moment dinertie par rapport un point

On appelle moment dinertie du so-lide S par rapport un point A la quantit

44 2 Cintique

positive :

IA (S)=

S

# AP2 dm

(kg m2)

2.2.2 Moment dinertie par rapport une droite

On appelle moment dinertie du solide S par rapport une droite () la quan-tit positive

I (S)=

S

(#

# AP)2

dm(kg m2) (2.11)

En faisant intervenir le point H, projection de P sur la droite () on dduit :

I (S)=

S

# HP2 dm =

S

d 2P dm (2.12)

avec dP distance du point P la droite().Le moment dinertie par rapport une droite est le mme en tout point de la

droite.

2.2.3 Rayon de giration

Le moment dinertie tant homogne au produit dune masse par une distanceau carr, il est toujours possible dcrire le moment dinertie autour dun axe dunsolide quelconque sous la forme :

I=M R2gavec M la masse du solide et Rg le rayon de giration.

Le rayon de giration prcise la rpartition des masses autour de laxe considrainsi les trois solides de la figure 2.5 ont le mme moment dinertie par rapport laxe de rotation alors que les masses sont dans un rapport dans un rapport de 1 7.

2.2.4 Moments dinertie dans un repre cartsien

Soit un repre R(O,x ,y ,z ), un point P de coordonnes x, y , z dans R.

Moment dinertie du solide S par rapport au point O

IO(S)=

S

# OP2 dm soit

=

S

(x2+ y2+ z2) dm (2.13)

dans le repre(O,x ,y ,z ).


H1 = 2 R1,m1

R2 = 2 R1, H2 = 18 R1,m2 0,25 m1

Rext = 2 R1, Ri nt 1.68 R1,H3 = 14 R1, m3 0,15 m1

FIGURE 2.5 Rayon de giration

Moment dinertie du solide S par rapport laxe(O, #x

)

I(O, #x )(S)=

S

(#x # OP

)2dm =

S

(#x (x #x + y #y + z #z ))2 dm

I(O, #x )(S)=

S

(y2+ z2) dm (2.14)

Finalement on peut crire :

I(O, #x ) =

S

(y2+ z2) dm , moment dinertie du solide par rapport (O, #x ) ;

I(O, #y ) =

S

(z2+x2) dm , moment dinertie du solide par rapport (O, #y ) ;

I(O, #z ) =

S

(x2+ y2) dm , moment dinertie du solide par rapport (O, #z ).

Par extension on dfinit aussi :

I(O #x #y ) =

Sz2 dm , moment dinertie du solide par rapport au plan (O, #x , #y ) ;

I(O #y #z ) =

Sx2 dm , moment dinertie du solide par rapport au plan (O, #y , #z ) ;

I(O #z #x ) =

Sy2 dm , moment dinertie du solide par rapport au plan (O, #z , #z ).

2.2.5 Relations entre les moments dinertie

IO = I(O #x #y )+ I(O #y #z )+ I(O #z #x ) =1

2

(I(O, #x )+ I(O, #y )+ I(O, #z )

)

46 2 Cintique

I(O, #x ) = I(O #x #y )+ I(O #z #x ) I(O, #y ) = I(O #x #y )+ I(O #y #z ) I(O, #z ) = I(O #z #x )+ I(O #y #z )

2.2.6 Thorme de Huygens

Soit un solide S de centre dinertie G et de masse m (figure 2.6). (1), une droite passant par A de vecteur unitaire

#

; (2), une droite parallle passant par G ; d , la distance entre les deux droites.On note :

I(A,

#

) =

S

(#

# AP)2

dm , le moment dinertie par rapport (1)

I(G,

#

) =

S

(#

# GP)2

dm, le moment dinertie par rapport (2)

H la projection du point P du solide S sur (1) K la projection sur (2).

#x

#y

#z

(1)

#

(2)

d

P

H

K

A

G

FIGURE 2.6 Thorme de Huygens

Nous savons que I(A,

#

) =

S

(#

# AP)2

dm =

S

# HP2 dm

En faisant intervenir le point K : I(A,

#

) =

S

(# HK+ # KP

)2dm soit

I(A,

#

) =

S

# HK2 dm+

S

2# HK # KP dm+

S

# KP2 dm

Le premier terme scrit :

S

# HK2 dm =m d 2

On reconnat le troisime :

S

# KP2 dm = I(

G,#

)


Il ne reste plus qu dterminer le dernier :

S

2# HK # KP dm = 2 # HK

S

# KP dm

en faisant intervenir le centre dinertie G

S2

# HK # KP dm = 2 # HK

S

# KG+ # GP dm

= 2 # HK

S

# KG dm+2 # HK

S

# GP dm

par construction :# HK # KG 2 # HK

S

# KG dm = 0

par dfinition du centre diner

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