SigProc 6-FIR.ppt [Kompatibilitätsmodus]...b = [0 1[0.1 030.3 050.5 030.3 01]0.1] H()zzzzz=+ + +...

FIR-Filter

SigProc-6-FIR 1

( )0 1 2 1[ ] [ ] [ 1] [ 2] [ 1 ]-= + - + - + + - - Ly n b x n b x n b x n b x n L( )0 1 2 1

1 1

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] bzw. [ ] [ ]- -

= - -åå

L

L

kk k

L

y

b x n k h k x n k0 0

[ ]= =

=k

Tk

nb x L … Filterlänge (Zahl der KoeffizientenL-1 = N … Ordnung

{ }0 1 1[ ] [ ] [ 1] [ 1-= = - - + TLb b b x n x n x n Lb x

g

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )-

- - + -+ + +L

L kY b X b X b X X b1

å1 10 1 1

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+-

=

= + + + = L kkL

k

Y z b X z b z X z b z X z X z b z

11 1( ) -

+

å

åL

L kY z 1 10 1 1

0

( )( )( )

- - + --

=

= = + + + =å L kL k

k

Y zH z b b z b z b zX z

SigProc-6-FIR 2L – 1 Nullstellen und Pole (Pole bei z = 0)

FIR-EigenschaftenFIR Eigenschaften

• (Nicht rekursive) FIR Filter sind immer• (Nicht-rekursive) FIR-Filter sind immer stabil

• FIR-Filter können lineare Phase haben• FIR Filter sind einfach zu implementierenFIR Filter sind einfach zu implementieren.

Der Einfluss endlicher Wortlänge ist geringer als bei IIR Filterngeringer als bei IIR-Filtern

• Es gibt auch rekursive Implementierungen g p gvon FIR-Filtern

SigProc-6-FIR 3

FrequenzgangFrequenzgang

ˆ

1ˆ ˆ( )ˆ ˆ( ) ( ) ( )ww j ww w

--= = =åj

Lj k j

kB B z b e B e0

( ) ( ) ( )ww w=

=åj kz ek

B B z b e B e

( ) ( ) geradew w= - B B( ) ( ) ungeradej w j w=- -

ˆˆ ˆ/ww= = = f f T f f w

SigProc-6-FIR 4

/ 2

wp

= = = s sf f T f f w

b = [0 1 0 3 0 5 0 3 0 1]b [0.1 0.3 0.5 0.3 0.1]1 2 3 4( ) 0.1 0.3 0.5 0.3 0.1H z z z z z− − − −= + + + +

0

10

dB)

( )

0.5

1

y Pa

rt

0 0 2 0 4 0 6 0 8 1-30

-20

-10

Mag

nitu

de (

-0.5

0 4

Imag

inar

y

-100

0

gree

s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Normalized Frequency (×π rad/sample)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

Real Part 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-400

-300

-200

Phas

e (d

egReal Part

Normalized Frequency (×π rad/sample)

PN-Darstellung Bode-Diagramm

SigProc-6-FIR 5

Direkte Form: leicht zu programmierenDirekte Form: leicht zu programmieren,effiziente Implementierung

Transponierte Form: Empfindlicher für Rundungsfehler, da Teilsummen in nachfolgende Stufen gespeist werden.

SigProc-6-FIR 6

Kaskadierte Sektionen 2. OrdnungKaskadierte Sektionen 2. Ordnung

SigProc-6-FIR 7

Lattice-FilterLattice Filter

k

Anwendung bei adaptiven Filtern und in der digitalen Sprachverarbeitung.

SigProc-6-FIR 8

Lattice-KoeffizientenLattice Koeffizienten

( ) 1 [ ] / [0]N

nH h h−1

( ) 1 , [ ] / [0]

( ) [0] ( )

nN n n

n

N

H z p z p h n h

H z h H z

−

=

= + =

=

Normierte Darstellung durch „Herausheben“ des Multiplizierers h[0]N

Rekursive Berechnung der Koeffizienten des Lattice-Filters

1'

1, ( ) 1 ,N

nN N N nk p H z p z

−−

−= = +1

'2 , 1 1

1

n

n N N nn

p k pp n Nk

=

−−= ≤ ≤ −1 Nk−

SigProc-6-FIR 9

1 2 3 44 4 4( ) 1 1.2 1.12 0.12 0.08 0.08k pH z z z z z− − − −= + + + − = = −

' 3 4 13 2 2

4

0.12 ( 0.08)1.2 0.217391 1 ( 0.08)

1 12 ( 0 08)1 12

p k ppkk

− − −= = =− − −

' 2 4 22 2 2

4

' 1 4 3

1.12 ( 0.08)1.12 1.217391 1 ( 0.08)

1.2 ( 0.08)0.12 1

p k ppk

p k p

− − −= = =− − −

− − − 217391 4 32 24

1( ) 1.

1 1 ( 0.08)p pp

k= = =

− − −'

3 31 2 3

3 0.

21739

( ) 1 1.21739 1.21739 21739 0.21739k pH z z z z− − − = == + + +

''2

1 22 2 1.0( ) 1 k pH z zz − − = + = =+

1 0.5k =

>> tf2latc(H4)0.5000 1.0000 0.2174 -0.0800

SigProc-6-FIR 10

tf2l t (H4)>> tf2latc(H4)0.5000 1.0000 0.2174 -0.0800

Nullstellen dürfen nicht auf Einheitskreis liegen!2/ 1 / 0Nkonst k−

At least one of the reflection coefficients is equal to one.The algorithm fails for this case.

In diesen Fällen umformen Text zur VO

SigProc-6-FIR 11

LINEARE PHASE

SigProc-6-FIR 12

Lineare Phase• Nichtlineares Phasenverhalten erzeugt

h Si lphasenverzerrte Signale• Lineares Phasenverhalten erzeugtLineares Phasenverhalten erzeugt

Phasenverschiebungen die frequenz-proportional sind Erhalt derproportional sind Erhalt der Kurvenform

ì 0,1, ( 1) / 2 ( gerade) [ ] [ 1 ],

0,1, ( / 2) 1 ( ungerade)

( 1) / 2

( )n L L

h n h L nn L L

L

j w a w

a

ìï = -ï = - - íï = -ïî=

= - ´

( 1) / 2

[ ] [ 1 ]( )

L

h n h L np

j w a

a

w

= ----------------------------------------

- = - -= - ´

SigProc-6-FIR 13

[ ] [ 1 ]

( 1)

( )2

/ 2

h n h L n

L

j w a w

a

=

= -

= ´

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]6

ˆ

[ ] [ 1] [0] [6]; [1] [5]; [2] [4]

ˆ( ) [ ]

7

jk

h n h L n h h h h h h

H h k e

L

ww -

= - - = = =

=

=

å0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 4 5 6[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]k

j j j j j jh h e h e h e h e h e h ew w w w w w=

- - - - - -= + + + + + +

å

ˆ3ˆ ˆ ˆ ˆ3 2[1] [2] [3] [4] [5[ ]0]j j j j jje h h e h e h h e h eew w w ww- - -= + + + + +{ }{ }

ˆ 32

ˆ

ˆ

3 ˆ ˆ ˆ2 [0]cos(3 ) 2 [1]cos(2 ) 2 [2]cos( ) [3]

[6] j

je h h h h

h e ww

w w w w-

-+

= + + +{ }[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]+ + +

ˆ33

Setzen wir für [0] [3] und [ ] 2 [3 ], 1,2, 3 wird

ˆ ˆ( ) [ ]cos( )j

a h a k h k k

H a k ke ww w-

= = - =

= å0

( ) [ ]cos( )k

H a k kew w=

= å

SigProc-6-FIR 14

Typen von Linearphasen-FilternTypen von Linearphasen Filtern

ˆ( 1)/2( 1)/2

ˆänge

ˆungerade [ ]cos( ) 1geradeL

j Le a k kw

w

w-

- - å

Impulsantwort L H( ) Typ

ˆ( 1)/2

0/2

12

1

g [ ] ( )

ˆgerade [ ]cos[( ) ) 2

g

[ ] [ 1 ]

k

j LL

k

eh n h L b k kn w w

=

- - -= - -

å

å( )

ˆ[ ( 1)/2 /2]

11 /2

1

ungeungera rade [ ]de is n( ) 3j

kL

k

L a k ke w p w-

=

=

--

- å( )

[ ] [ 1h n h L n= - - -( )

ˆ1 /2

12

1

[ ( 1)/2 /2] ˆgerade [ ]cos[( ) )] 4L

k

j L b ke kw p w--

=

- - -å

[0] [( 1) / 2]; [ ] 2 [( 1) / 2 ]

[ ] 2 [ / 2 ]

a h L a k h L k

b k h L k

= - = - -= -

SigProc-6-FIR 15

Lineare PhaseLineare Phase1 k L kb b − −=Gerade Symmetrie

L ist ungeradzahlig[1,2,3,2,1]

Typ 1:b = [ , , , , ]

L ist geradzahlig[1,2,3,3,2,1]

Typ 2:b =

1

[1,2,3,3,2,1]

L ist ungeradzahlig b 0Typ 3:k L k

bb b − −= −

=Ungerade Symmetrie

(L-1)/2 L ist ungeradzahlig b 0

[ 1, 2, ,2,1]

Typ 3:

b

=

= − − 0 L Typ 4: ist geradzahlig

[ 1, 2, 3,3,2,1]b = − − −

SigProc-6-FIR 16

NullstellenNullstellen1

( ) [ ]L

kH z h k z-

-= å0

( ) [ ]

für Filter mit linearer Phase ist [ ] [( 1) ], 0,1, ,( 1)k

h n h L n n L=

= - - = -

å

1 0[( 1) ] ( ( 1)1) 1

Setzen wir ein, erhalten wir

[( 1) ] [ ]( ) ( )L

L k k L Lh L k h kH H-

- - - - - - - - å å[( 1) ] ( ( 1)1)

0 1

1[( 1) ] [ ]( ) (

l

)L k k L

k k

L

L

h L k z h k z zH z z H z= = -

= - - = =å å

[ ] [ ]hBeispiel: 4, L =0 1 2 3

3 3 2 3 1 3 0 3

[ ] [1 2 2 1]

( ) 1 2 2 2

1 2 2 1

h n

H z z z z z- - - -

- - - -

=

= ´ + + +

+ + +3 3 2 3 1 3 0 3

3 3 2 1 0

0 1 2 3

1 2 2 1

(1 2 2 1 )

1 2 2 2

z z z z z z z z

z z z z z

z z z z

-

- - - -

= ´ + + + =

= ´ + + +

´ + + +SigProc-6-FIR 17

0 3 1 2 2 2

z z z z= ´ + + +

Allgemeine NullstellenAllgemeine Nullstellen

( 1) 1 ( 1) 10 0 0

10 0

Aus ( ) ( ) sehen wir dass, ( ) ( ) 0

Wenn eine Nullstelle ist, dann ist auch eine Nullstelle.

L LH z z H z H z z H z

z z

- - - - - -

-

= = =

( ) ist eine gebrochen rationale Funktion mit reellen Koeffizienten.

Die

H z

Nullstellen sind daher entweder reell oder konjugiert komplex.

Im allgemeinen Fall erhalten wir bei Filtern

ungerader Länge (gerader Ordnung)

daher folgende Nullstellen:

( )1 111 , 1j jre z e zj j- -

æ ö÷ç ÷- -ç ÷ç( )

( )1 1

1 , 1

11 , 1j j

re z e zr

re z e zj j- - - -

÷ç ÷çè øæ ö÷ç ÷- -ç ÷ç ÷ç

SigProc-6-FIR 18

( ),rç ÷çè ø

Reelle und Nullstellen auf dem Einheitskreis

01

0

Liegt eine Nullstelle auf dem Einheitskreis

dann ist , die Nullstellen sind daher konjugiert komplex

j

j

z

z

e

e

j

j- -

=

=

( ) ( )1 1

0

1 1j je z e zj j- - -- ´ -

Haben wir eine reelle Nullstelle und liegt sie nicht auf dem Einheitkreis,

dann ist deren Reziproke auch eine Nullstelle und wir erha enltæ ö

( )1 11 11

rz zr

- -æ ö÷ç ÷ ´ ç ÷ç ÷çè ø

SigProc-6-FIR 19

Nullstellen bei ±1,gerade Symmetrie von h[n]gerade Symmetrie von h[n]

1

1 und 1 sind zu sich selbst reziprok und konjugiert und es+ -1können Faktoren der Form auftreten.

Wir betrachten zunächst den Fall für gerade Symmetrie in der Impulsantwort

H( 1z)= z-

( 1) 1

Wir betrachten zunächst den Fall für gerade Symmetrie in der Impulsantwort.

) (( LH z z H z- - -= ) und eine Nullstelle bei 1. -

( 1)

( 1) ( 1) ( 1)LH H- -- = - -

Ist ( 1) gerade, dann ist die obige Gleichung erfüllt

Ist aber ( 1) ungerade, dann muss ( 1) 0 sein.

L

L H

-- - =

-Die Systemfunktion für ( 1) ungerade (Typ L 2) muss alsob i 1 i N ll t ll h b

SigProc-6-FIR 20

-Typ 2 Filter bei = 1

können dahereine Nullst

keine Hochelle haben.

pässe sein.z

Nullstellen bei ±1,d S t i h[ ]ungerade Symmetrie von h[n]

Für den ungeraden (antisymmetrischen) Fall der Impulsantwort( 1) 1( ) ( ) muss 1 und 1 untersucht werden.

Für 1 erhalten wir (1) (1).

LH z z H z z z

z H H

- - -= - = = -= = -

H(z) muss für gerades und ungerades L eine Nullstelle bei 1 haben.Tiefpässe können daher weder mit Typ 3 noch mit Typ 4 Filtern realisiert werden.

( 1)Ist 1 dann erhalten wir ( 1) ( 1) ( 1).

( )

Lz H H- -= - - = - -Wenn ( 1) geradzahlig ist, dann ist dieser Ausdruck erL -

W ( 1) d hli i ( ) d

füllt.

L HSigProc-6-FIR 21

Wenn ( 1) ungeradzahlig ist, muss ( ) an der

Stelle 1 eine Nullstelle haben.

L H z--

Typ 1: h[n] gerade, Länge ungerade Typ 2: h[n] gerade, Länge gerade

0

0.5

1

10ary

Par

t

0

0.5

1

11ary

Par

t

-1

-0.5

0

Imag

ina

-1

-0.5

0

Imag

ina

-1 0 1 2Real Part

-1 0 1 2Real Part

Achtung! Länge ungeradeOrdnung (# Pole) gerade!

1

Typ 3: h[n] ungerade, Länge ungerade1

Typ 4: h[n] ungerade, Länge gerade

Achtung! Länge ungerade Ordnung (# Pole) gerade!

0

0.5

10

gina

ry P

art

0

0.5

7gi

nary

Par

t

-1

-0.5Imag

-1

-0.5Imag

SigProc-6-FIR 22

-1 0 1Real Part

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1Real Part

ZusammenfasungZusammenfasung

• Typ 1 ist die allgemeinste Form alle• Typ 1 ist die allgemeinste Form, alle Filtertypen können realisiert werden.

• Typ 2 kann kein Hochpass sein.• Typ 3 kann weder Hochpass nochTyp 3 kann weder Hochpass noch

Tiefpass sein.• Typ 4 kann kein Tiefpass sein.

SigProc-6-FIR 23

Magnitude Response (dB)

20

[-1 -2 -3 3 2 1]Hochpass

0

10

[-1 -2 0 2 1]Bandpass

-10

Mag

nitu

de (

dB) [1 2 3 2 1]

Tiefpass

-20

M

[1 2 3 3 2 1]Tiefpass

-40

-30

Tiefpass0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Normalized Frequency ( ×π rad/sample)

SigProc-6-FIR 24

Typ 1Typ 1

[1 2 3 2 1] TPMagnitude Response (dB)

[1 2 3 2 1] TP

0.6

0.8

12

10

20


-0.2

0

0.2

0.4

4

mag

inar

y Pa

rt

-10

0

gnitu

de (d

B)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

2

Im

-30

-20

Mag

-1 -0.5 0 0.5 1

1

Real Part0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

30


SigProc-6-FIR 25

Typ 2Typ 2

[1 2 3 3 2 1] TP[1 2 3 3 2 1] TP

15

20


0 6

0.8

1

0

5

10

15

nitu

de (d

B)

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

5

agin

ary

Part

-15

-10

-5

Mag

n

-1

-0.8

-0.6

-0.4

0.2

Ima

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-20


-1 -0.5 0 0.5 1Real Part

SigProc-6-FIR 26

Typ 3Typ 3[-1 -2 0 2 1] BP[ ]

-50

0

50

gnitu

de (d

B)

0 6

0.8

1

100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-150

-100


Mag

-0 2

0

0.2

0.4

0.6

3 4

agin

ary

Part

90°

-200

-100

0

Phas

e (d

egre

es)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

0.2

Ima

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-300

Normalized Frequency (×π rad/sample)P-1 -0.5 0 0.5 1

1

Real Part

SigProc-6-FIR 27

Typ 4Typ 4[-1 -2 -3 3 2 1] HP[ ]

1 5

20

)

0

0.5

1

1.5

5ry P

art

-20

0

Mag

nitu

de (d

B

-1

-0.5

0 5

Imag

ina

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-40


M

-2 -1 0 1 2

-1.5

Real Part

-400

-200

se (d

egre

es) -90°

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-600

-400


Phas

SigProc-6-FIR 28

Hamming Tiefpass 25 Ordnung (L = 26)Hamming-Tiefpass 25. Ordnung (L = 26)

0

Magnitude (dB) and Phase Responses

-0.1553

1

Pole/Zero Plot

-20

-10

-7.2495

-3.7024

0

0.5

ary

Par

t

25

-40

-30

Mag

nitu

de (

dB)

-14.3437

-10.7966

Pha

se (r

adia

ns)

-0.5

0

Imag

ina 25

-60

-50

-21.4378

-17.8907

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1

Real Part

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-70


-24.9849

SigProc-6-FIR 29

fvtool(b1,a1,b2,a2,…), , , ,

BetragPhasePhaseBetrag + Phase…ImpulsantwortSprungantwortFilter KoeffizientenFilterinformation…

SigProc-6-FIR 30

Symmetrisches Filter Typ 1 L ungeradeSymmetrisches Filter Typ 1, L ungerade

x[n][n 6]

z –1 z –1

b0y[n]

x[n-6]

z

x[n-1]

z 1

b1

x[n-5] [ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }

0

1

[ ] 6

1 5

y n b x n x n

b x n x n

= + −

+ − + −z –1

x[n-2]

z –1

b2

x[n-4]

[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }

[ ]2

1 1 5

2 4

3

b x n x n

b x n x n

b x n

+ +

+ − + −

+z –1

[ 3]

z –1

2 [ ]3 3

b b b b b b

b x n

b

+ −

x[n-3] b3

Typ 1, L ungerade

0 1 2 3, 02 1, , , ,,b b b b b b b

SigProc-6-FIR 31

yp , u ge ade

Symmetrisches FilterTyp 2, L gerade

[ ] [ ]{ }[ ] 5y n b x n x n+[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }

{ }

0

1

[ ] 5

1 4

y n b x n x n

b x n x n

= + −

+ − + −

[ ] [ ]{ }2 2 3b x n x n+ − + −

[ ]0 1 2 2 1 0, , , , ,b b b b b b

{ }/ 2 1

0

[ ] [ ] [ 1 ]L

kk

y n b x n k x n L k−

= − + − + +SigProc-6-FIR 32

0k=

FilterentwurfFilterentwurf

1 Spezifikation des Frequenzgangs1. Spezifikation des Frequenzgangs2. Entwurfskriterien3. Realisierung (Matlab fdatool)4 Quantisierung4. Quantisierung5. Implementierung

SigProc-6-FIR 33

SigProc-6-FIR 34

FilterspezifikationFilterspezifikation

Tiefpass(Hochpass)(Hochpass)

Bandpass( )(Bandsperre)

SigProc-6-FIR 35

EntwurfskriterienEntwurfskriterien• Equiripple• Equiripple

– verwendet Parks-McClellan Algorithmus; der Fehler zwischen gewünschtem und tatsächlichemFehler zwischen gewünschtem und tatsächlichem Frequenzgang wird minimiert.

• Methode der Frequenzabtastung

• Window (Fourier Methode)– klassische Methode mit Fenstertechnik

SigProc-6-FIR 36

Equirippleq pp

SigProc-6-FIR 37

METHODE DER FREQUENZABTASTUNG

SigProc-6-FIR 38

FIR-TP mit linearer PhaseFIR TP mit linearer Phase

• Konzeptuell einfach da Impulsantwort• Konzeptuell einfach, da Impulsantwort und Frequenzgang über DFT verknüpft

Hdej Hdej2Hde Hde

2Hdej Hk, k 2N k, k 0,1,2,… ,N − 1

hdn iDFTHkSigProc-6-FIR 39

N−1

hdn 1N ∑

k0

N 1

Hkej 2N kn

Impulsantwort muss reell seinImpulsantwort muss reell sein H(0) muss reell sein, die anderen Werte müssen konj komplex sein die anderen Werte müssen konj. komplex sein.

Hkej 2N kn ∗

H∗ke−j2N kn H∗ke−j

2N N−kn

HN − k H∗k

SigProc-6-FIR 40

SigProc-6-FIR 41

EigenschaftenEigenschaften• Frequenzgang stimmt in den Abtastwerten• Frequenzgang stimmt in den Abtastwerten

exakt überein, Frequenzgang zwischen den Abtastpunkten lässt sich nicht beeinflussenAbtastpunkten lässt sich nicht beeinflussen.

• Steiler Übergang DB-SpB große Abweichung vom gewünschten VerhaltenAbweichung vom gewünschten Verhalten.

• Einfügen von Punkte(n) im Übergang i h DB d S B li f fl hzwischen DB und SpB liefert flacheren

Übergang und geringere Welligkeit.

SigProc-6-FIR 42

fir2fir2

• FIR Filter mit linearer Phase und• FIR-Filter mit linearer Phase und beliebigem Frequenzgang

• fir2 kombiniert Frequenzabtastung mit Fenstermethode. Durch die Fensterung ggeht Frequenzantwort nicht exakt durch die Abtastpunktedie Abtastpunkte.

SigProc-6-FIR 43

FENSTERMETHODE

SigProc-6-FIR 44

FenstermethodeFenstermethode• Die Fenstermethode geht vom Frequenzgang

d id l (R ht k)Filtdes idealen (Rechteck)Filters aus.

Time domain Frequency domain

0.8

1

Time domain

20

30

40

)

Frequency domain

0.4

0.6

Am

plitu

de

0

10

20

Mag

nitu

de (

dB)

10 20 30 40 50 600

0.2

Samples0 0.2 0.4 0.6 0.8

-20

-10

Normalized Frequency ( ×π rad/sample)Samples Normalized Frequency ( ×π rad/sample)

SigProc-6-FIR 45

TP 20. Ordnung (Rechteck)

Das Filter zeigt eine große Welligkeit im Durchlassbereich die auch bei hoher Ordnung nichtDurchlassbereich, die auch bei hoher Ordnung nicht verschwindet.

ωc=0.5N=20

ω =0 5ωc 0.5N=60

SigProc-6-FIR 46

Welligkeit DB und SpBg p• Die Welligkeit im Durchlass- und Sperrbereich ist gleich groß und kann

nicht beeinflusst werden ( δs = δp ).• Der Frequenzgang wird berechnet durch Faltung des idealen Filters mit

dem Fenster. ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )TP iTP RH H Wω ω ω= ∗

1 + δs

1 - δs

δp

SigProc-6-FIR 47

Rechteck- und Hamming-Fensterg

Time domain40

Frequency domain

0 6

0.8

1

de -20

0

20

(dB

)

0 2

0.4

0.6

Am

plitu

d

-60

-40

20

Mag

nitu

de

10 20 30 40 50 600

0.2

Samples0 0.2 0.4 0.6 0.8

-100

-80


Das Hamming Fenster (grün) beschneidet dieDas Hamming-Fenster (grün) beschneidet die Impulsantwort des idealen Filter »sanfter« als das Rechteckfenster. Dämpfung Sperrbereich HF > RF,

SigProc-6-FIR 48

Rechteckfenster. Dämpfung Sperrbereich HF RF, aber Flankensteilheit RF > HF.

Rechteck HammingRechteck Hamming

SigProc-6-FIR 49

Gebräuchliche Fenster

( )( ), 0 1

Rechteck 1

w n n L£ £ -Fenster

Rechteck 1

2Hann 0.5 0.5cos

nLpæ ö÷ç ÷- ç ÷ç ÷çè øæ ö2

Hamming 0.54 0.46cos

2 4Blackmann 0.42 0.5 cos 0.08cos

nL

n n

p

p p

æ ö÷ç ÷- ç ÷ç ÷çè øæ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- +ç ç÷ ÷ç çBlackmann 0.42 0.5 cos 0.08cos

1 1L L+÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- -è ø è ø

Rot HammingSchwarz HannTü ki Bl k

SigProc-6-FIR 50

Türkis Blackmann

Rechteck-, Hann-, Hamming- und Blackmann-Fenster, , g

• Eigenschaften wie Dämpfung im Durchlass- undEigenschaften wie Dämpfung im Durchlass und Sperrbereich dieser Fenster sind nicht beeinflussbar.

• Die Welligkeit im Durchlass- und Sperrbereich ist g pgleich und kann nicht unabhängig voneinander festgelegt werden: Welligkeit im Durchlassbereich unnötig klein, zu große Sperrdämpfung.Di S dä f fü i ählt F t hä t• Die Sperrdämpfung für ein gewähltes Fenster hängt nicht von L ab: eine vorgegebene Sperrdämpfung kann nur durch eine vorgegebene Sperrdämpfung kann nur durch die Wahl eines geeigneten Fensters erreicht werden.

SigProc-6-FIR 51

Vergleich der wichtigsten Fenster

Fenster B AR ht k 4 /L 13 dB

A

Rechteck 4π/L -13 dBHann 8π/L -32 dBHamming 8π/L -43 dBHamming 8π/L 43 dBBlackmann 12π/L -58 dB

B

SigProc-6-FIR 52

Kaiser-FensterKaiser Fenster2 2

0

1 12 2

L LI n

é ùæ ö æ öê ú- -÷ ÷ç ç÷ ÷ê ú- -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê úè ø è øê úë û

b

0

0

w(n)= , 0 ( 1)1

2modifizierte Besselfunktion 1. Art, 0. Ordnung

n LL

I

I

è ø è øê úë û £ £ -é ùæ ö- ÷çê ú÷ç ÷ê úç ÷çè øê úë û

b

0 modifizierte Besselfunktion 1. Art, 0. OrdnungI

Der Parameter β erlaubt die Einstellung höherer Sperrdämpfung um den Preis geringerer Flankensteilheit.

0.1102( 8.7) 50A Aìï - >ïïNäherungsformel: 0.4

A Sperrdämpf

= 0.5842( 21) 0.07886( 21) 50 21

0 21

ung [dB]

A A A

A

ïï - + - ³ ³íïï <ïïî

b

A Sperrdämpf

7.951 21

14.36( )

ung [dB]

p s

AA

Nw w

ìï -ï + >ïï -ïï» í

SigProc-6-FIR 53

0.92221 21

( )p s

NA

w w

íïï + £ïï -ïïî

Time domain50

Frequency domain

0.8

1

0

B)

0.4

0.6

Am

plitu

de

-100

-50

Mag

nitu

de (

dB

10 20 30 40 50 600

0.2

0 0 2 0 4 0 6 0 8-200

-150

10 20 30 40 50 60Samples

0 0.2 0.4 0.6 0.8Normalized Frequency ( ×π rad/sample)

β0 Rechteck

5 (Hamming)5 (Hamming)

6 (Hann)

8.6 (Blackmann)

SigProc-6-FIR 5420

Kaiser Tiefpass

SigProc-6-FIR 55

Vor- und Nachteile der Fenstermethode

+ Die Fenstermethode ist einfach zu verstehen und anzuwenden. Der Berechnungsaufwand der Filterkoeffizienten ist gering, außer beim Kaiser FilterKaiser-Filter.

− Anpassung an Toleranzfelder nur sehr eingeschränkt möglich (Ausn. Kaiser).eingeschränkt möglich (Ausn. Kaiser).

− Die Grenzfrequenz des Durchlass- und Sperrbereichs können nicht angegeben werden (A K i )(Ausn. Kaiser)

− Die Sperrdämpfung eines gewählten Fensters (Ausn Kaiser) liegt fest und hängt nicht von L(Ausn. Kaiser) liegt fest und hängt nicht von L ab.

SigProc-6-FIR 56

Window (1)Window (1)

SigProc-6-FIR 57

SigProc-6-FIR 58Design Filter

SigProc-6-FIR 59Pole/Zero Editor

Edit/Convert Structure Edit/Convert Structure

SigProc-6-FIR 60

SigProc-6-FIR 61Realize model

SigProc-6-FIR 62

SigProc-6-FIR 63

BeispielBeispiel

• FIR Bandpass equiripple kleinste• FIR-Bandpass equiripple, kleinste Ordnung

• Fstop1 = 800 Hz, Fpass1 = 1000 HzFpass2 = 1300 Hz, Fstop2 = 1500 Hzp , pfs = 8000 HzAs1 = 50 dB As2 = 60 db Ap = 1 dBAs1 = 50 dB, As2 = 60 db, Ap = 1 dB

SigProc-6-FIR 64

rClick

SigProc-6-FIR 65

Analysen …

SigProc-6-FIR 66

File/ExportFile/Export

Fil File Export to C Header File

Export to SPToolExport to SPTool

SigProc-6-FIR 67

Quantisierung (1)Quantisierung (1)

SigProc-6-FIR 68

Quantisierung (2)Quantisierung (2)

SigProc-6-FIR 69

Implementierung …Implementierung …

TargetsGenerate C header …(Xilinx )(Xilinx …)

SigProc-6-FIR 70

Beispiel SPToolBeispiel SPTool

• Sinus 2 kHz + weißes Rauschen• Sinus 2 kHz + weißes Rauschen (Mittelwert = 0 , Varianz = 0.01)

• Bandpass Welligkeit 1.5 dB, Sperrbereich 35 dBp

SigProc-6-FIR 71

SigProc-6-FIR 72

SigProc-6-FIR 73

Rauschen im gefiltertenRauschen im gefilterten Signal nicht mehr zu hören Spektrum

SigProc-6-FIR 74

p

Spektrum Eingang

Spektrum AusgangSigProc-6-FIR 75

Spektrum Ausgang

SigProc 6-FIR.ppt [Kompatibilitätsmodus]...b = [0 1[0.1 030.3 050.5 030.3 01]0.1] H()zzzzz=+ + +...

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