Signaalit ja järjestelmät aika- jataajuusalueissa

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 1

• Signaalit aika ja taajuusalueissa• Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä

– Fourier sarja (jaksollinen signaali)– Fourier muunnos (jaksoton signaali)

• Muunnosten ominaisuuksia• Signaalien kuvaus aika- ja taajuusalueissa• Järjestelmän analysointi aika- ja taajuusalueissa

Signaalit aika ja taajuusalueissa

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 2

• Kaikilla signaaleilla on kuvaus molemmissaalueissa

• Mittaukset ja tulostenanalysointi tai tulkintavoidaan tehdäkummassa alueessatahansa

• Laskennallisestivoidaan siirtyäalueesta toiseen

Signaalien esitystavoista taajuusalueessa

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 3

• Signaalit voidaan kuvata joko kompleksisten tai reaalistensinifunktioiden summana

• Kompleksiesityksessä signaalista näkyy vaihe, reaaliesityksessä tämä on (tarvittaessa) otettava erikseenhuomioon.

• Osoitinesityksessä ilmaistaan sinisignaali(e)n amplitudi(t) ja kulma(t)

Fourier sarja

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 4

• Esittää jaksollisen signaalin sini ja kosinivärähtelyjensummana

• Kertoimet An ja Bn kuvaavat signaalia taajuusalueessa. Amplitudispektri

[ ]x tA

A n t B n t

AT

x t n t dt

BT

x t n t dt

n nn

nT

T

nT

T

( ) cos( ) sin( )

( ) cos( )

( ) sin( )

= + +

=

=

=

∞

−

−

∑

∫

∫

00 0

1

02

2

02

2

2

2

2

ω ω

ω

ω

missä Fourier kertoimet

C A Bn n n= +2 2

Parillisten ja parittomien signaalienFourier sarjat

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 5

• Pariton signaali sinien sarja• Kertoimet An= 0, kaikilla n:n

arvoilla

• Parillinen signaali kosinien sarja• Kertoimet Bn= 0, kaikilla n:n

arvoilla

Fourier sarja kompleksistensinifunktioiden avulla

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 6

• Eulerin kaavan avulla Fourier sarja voidaan saattaakompleksiseen muotoon

• Yksi kerroinsarja Cn, joka sisältää nyt myös vaiheen• Summaus on nyt -äärettömästä äärettömään, koska mukana

on myös negatiiviset taajuudet

0 0

2( ) ( )

2

2( ) , missä ( )T

in t in tn n

n T

x t C e C x t e dtT

ω ω∞

−

=−∞ −

= =∑ ∫

Fourier muunnos ja käänteismuusnnos

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 7

• Ei jaksollinen aikarajoitettu signaali muunnetaantaajuusavaruuteen käyttäen Fourier muunnosta

• Fourier muunnos saadaan Fourier sarjan kertoimistaasettamalla jakson ajaksi T=∞ ja vaihtamalla ω jatkuvaksimuuttujaksi

• Fourier käänteismuunnos

{ }X f x t e dt F x ti ft( ) ( ) ( )= =−

−∞

∞

∫ 2π

{ }x t X f e df F X fi ft( ) ( ) ( )= =−∞

∞−∫ 2 1π

Fourier sarjan ja Fourier muunnoksenvälinen yhteys

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 8

1 2 3 4 5 6 7

Yksittäisen pulssin F-muunnos

Jatkuvan pulssijonon F-sarja

• Fourier muunnos on vastaavan Fourier sarjan verhokäyrä

Fourier muunnoksen tärkeimpiäominaisuuksia

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 9

• X(-f)=X*(f) (kompleksikonjugaatti)• Parilliselle funktiolle x(t) Fourier muunnos X(f) on reaalinen• Parittomalle funktiolle x(t) Fourier muunnos X(f) on

puhtaasti imaginaarinen• Superpositio pätee sekä aika, että taajuusalueissa• Signaalin kapeneminen toisessa alueessa vastaa

leventymistä toisessa, ja päinvastoin• Kertominen toisessa alueessa vastaa konvoluutiota toisessa

Konvoluutio

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 10

• Konvoluutio määritellään seuraavasti

• Konvoloitu signaali on (useinmiten) olennaisesti sama kuinalkuperäinen signaali

• Signaalin kuhunkin pisteeseen summautuu myös signaalinmuut pisteet konvoloivan funktion määräämän painonmukaisesti

• Fyysiset mittalaitteet konvoloivat aina mitattavan suureenomalla siirtofunktiollaan (esim. spektrianalysaattorinäärellinen kaistanleveys)

g t h t g u h t u du( ) * ( ) ( ) ( )= −−∞

∞

∫

Mittalaitteen aiheuttama konvoluutio

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 11

Mitattavasignaali(kanttiaalto)

Analysaattorinpäästökaista

Konvoloitumittaustulos

f

*

=

• Mitattaessa spektriä analysaattorilla, jonka päästökaista on kolmio, konvoloituvat kaikki taajuuskomponentit kolmiolla

Esimerkki konvoluutiosta:Signaalin katkaisu

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 12

-T T

D(t)

f

t

h(t)=cos(2πf0t)

-f0

H(t)

f0

t -f0

H(t)

f0

Aikataso Taajuustaso

Katkaisu-laatikko

MitattavaSignaali

Mittaus-tulos

X∗

=

Fourier sarja vai Fourier muunnos?

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 13

• Fourier sarja on Fourier muunnoksen erikoistapausjaksollisille signaaleille. Fourier muunnos antaa samantuloksen

• Käytännön mittaustekniikassa Fourier sarja ei koskaan voikuvata signaalia täydellisesti

• Aikatasossa signaali on katkaistava• Taajuustasossa näkyy tällöin konvoluutio laatikkofunktion

Fourier muunnoksen sinc-funktion kanssa

Signaalin käsittelyä aika-alueessa: keskiarvoistus

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 14

• n. asteen keskiarvo

• Jaksollisella signaalilla T on jakson aika, jaksottomallasignaalilla joku “sopivaksi katsottu” aika

• n = 1 -> aritmeettinen keskiarvo, n = 2 -> varianssi. Varianssista saadaan neliöllinen keskiarvo

• Jatkuvasti muuttuvaa signaalia voidaan suodattaa esim. liukuvalla keskiarvolla

x tT

x t dtn n

T

T

( ) ( )=−∫

12

x t2 ( )

xk

xn ii n k

n k

== −

+

∑1

Korrelaatio (“samankaltaisuus”)

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 15

ψ τ

τ

xy

TT

T

x t y t

Tx t y t dt

( ) ( ) ( )

lim ( ) ( )

= =

+→∞

−∫

12

• Korrelaatio kuvaa kahdensignaalin x(t) ja y(t) samankaltaisuutta signaalienvälisen vaihe-eron τ funktiona

• Autokorrelaatio jaristikorrelaatio

Ristikorrelaatio

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 16

• Kuvaa kahden erisignaalinsamankaltaisuutta

• Ristikorrelaationavulla voidaan etsiätietyn funktionpiirteitä toisestamitattavastasignaalista

• Voidaan käyttääesim. jonkinjärjestelmänaiheuttaman vaihe-eron mittaamiseksi

Virtausnopeuden mittaaminen ristikorrelaattorilla

Autokorrelaatio

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 17

• Signaalin korrelaatio itsensäkanssa viiveen τ funktiona

• Kohinaisesta signaalistavoidaan etsiä jaksollisiasignaaleja

• Kohina korreloi vain viiveenarvolla 0

• Voidaan käyttää esimpulsarien lähettämienjaksollisten signaalienerottamiseen kohinasta

• Käytössä stealth-radioissa

Jaksollisen signaalin ja valkoisenkohinan autokorrelaatiofunktio

Signaalin analysointia taajuusalueessa:Amplitudi- ja tehotiheysspektri

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 18

• Amplitudispektri, joka ilmaisee signaalin jakautumisen eritaajuuksille saadaan Fourier muunnoksesta

• Satunnaisille signaaleille, kuten kohinalle, eiamplitudispektriä voida määrittää (=0). Signaalia kuvaatällöin paremmin tehotiheysspektri. Saadaan esim Fourier muunnoksella asettamalla x(t) -> x2(t)

Signaalin käsittelymahdollisuuksiataajuusalueessa

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 19

• Instrumenttifunktion, näytteistyksen ym. aiheuttamankonvoluution dekonvolointi (konvoluutio muuttuukertolaskuksi -> dekonvoluutio jakamalla)

• Interpolointi nollia lisäämällä• Matemaattinen suodatus• Matemaattinen tasoitus• Interferenssin poisto• Taustan poisto

(Näitä käsitellään enemmän kurssissa Fourier muunnoksetmittaustekniikassa)

Järjestelmien analysointi

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 20

• Järjestelmän toimintaa voidaan analysoida aika- tai taajuusalueissa laittamalla sisäänmenoon testisignaali jatarkastelemalla ulostulon muutosta

• Tavallisimpia testisignaaleja– yksikköaskel -> askelvaste– Dirac’n deltafunktio -> impulssivaste– sinifunktio -> taajuusvaste

Askelvasteen analysointi

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 21

• Määritettävät parametrit– Kuollut aika td

– Viive tl

– Nousuaika tn (10%->90%)– Asettumisaika tt

– Ylitys ∆x– Aikavakio (0%->63%)

• Impulssivaste vastaavasti• Antavat vasteen tietylle

testisignaalille. Vastemuille testisignaaleillevoidaan laskeasuperpositioperiaatteella

Järjestelmien askelvasteita

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 22

Järjestelmien pulssivasteita aika- jataajuustasoissa

Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 23