SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE ...

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE

FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB

oleh

NURUL KOMIYATUN

M0110063

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2014


commit to user

SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE

FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB

oleh

NURUL KOMIYATUN

M0110063

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2014

i


commit to user

Gambar 0.1.

ii


commit to user

ABSTRAK

Nurul Komiyatun. 2014. SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB. FakultasMatematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

Masalah Sturm-Liouville klasik dapat ditulis sebagai

Ly = −(p(x)y′)′ + q(x)y = λw(x)y

dengan syarat batas k1y(a) + k2y′(a) = 0 dan l1y(b) + l2y

′(b) = 0. Dalam per-kembangannya muncul masalah Sturm-Liouville fraksional, yaitu masalah Sturm-Louville yang menggunakan derivatif berorde fraksional (berupa bilangan non-integer). Salah satu pengembangan dari masalah Sturm-Liouville fraksional ada-lah masalah Sturm-Liouville fraksional dengan potensial Coulomb yang didefini-sikan sebagai

Lα[C]y(x) + λwα(x)y(x) = 0

dengan Lα[C] = Dαπ,−p(x)

CDα0,+ +

(Ax+ q(x)

)dan α merupakan bilangan non

integer.Penelitian ini bertujuan untuk menentukan sifat-sifat spektral dari masalah

Sturm-Liouville fraksional dengan potensial Coulomb. Penurunan sifat spektraldari masalah tersebut di atas adalah dengan menyelidiki sifat operatornya, yangditunjukkan melalui hasil dari ⟨Lα[C]ψ, ϕ⟩ dan ⟨ψ,Lα[C]ϕ⟩, dengan ϕ dan ψ adalahfungsi eigen. Jenis nilai eigen dapat diselidiki melalui hubungan antara nilai eigendengan konjugat dari nilai eigen itu sendiri. Sedangkan untuk ortogonalitas darifungsi-fungsi eigen, ditunjukkan dengan hasil kali dalam dari dua fungsi eigenbernilai nol. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa sifat spektral dari masalahSturm-Liouville fraksional dengan potensial Coulomb adalah operatornya bersifatself-adjoint, nilai eigennya real, dan fungsi eigen yang sesuai dengan nilai eigenbersifat ortogonal terhadap suatu fungsi bobot.Kata kunci : masalah Sturm-Liouville, fraksional, sifat spektral, Coulomb

iii


commit to user

ABSTRACT

Nurul Komiyatun. 2014. SPECTRAL PROPERTIES OF FRACTIONALSTURM-LIOUVILLE PROBLEM FOR COULOMB POTENTIAL. Faculty ofMathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

The classical Sturm-Liouville problem is defined by

Ly = −(p(x)y′)′ + q(x)y = λw(x)y

with boundary conditions k1y(a) + k2y′(a) = 0 and l1y(b) + l2y

′(b) = 0. For lastdecades, some researchers start to put their interest to fractional Sturm-Liouvilleproblem. Fractional Sturm-Liouville problem is Sturm-Liouville problem withfractional order derivation or we can say that the second derivation in classicalSturm-Liouville problem is replaced by fractional order derivation. An exampleof fractional Sturm-Liouville problem is fractional Sturm-Liouville problem withCoulomb potential which is defined by

Lα[C]y(x) + λwα(x)y(x) = 0

where Lα[C] = Dαπ,−p(x)

CDα0,+ +

(Ax+ q(x)

)and α is a non-integer order.

The aim of this research is to determine the spectral properties of fractio-nal Sturm-Liouville problem with Coulomb potential. Before giving the mainresults, we mention some properties of fractional integral Riemann-Liouville andfractional derivative in Riemann-Liouville and Caputo sense. Spectral propertiesof Sturm-Liouville fractional problem with Coulomb potential is to investigate itsoperator, which is indicated by the result of ⟨Lα[C]ψ, ϕ⟩ and ⟨ψ,Lα[C]ϕ⟩, with ϕand ψ is an eigenfunction. Eigenvalues types can be investigated through the ei-genvalues and its conjugate. As for the orthogonality of eigenfunctions, indicatedby the results of inner product of two distict eigenfunctions is equal to zero. Wewill show that the spectral properties of fractional Sturm-Liouville problem withCoulomb potential are the operator is self-adjoint, its eigenvalues are real, andits eigenfunctions corresponding to distinct eigenvalues are orthogonal respect toa weight function.

Keywords : Sturm-Liouville, fractional, Coulomb, spectral properties

iv


commit to user

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk

Ibu dan Ayah tercinta.

v


commit to user

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah

melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis berhasil menyelesaikan

skripsi ini. Skripsi ini membahas tentang sifat spektral dari masalah Sturm-

Liouville fraksional dengan potensial Coulomb. Selain itu, juga disajikan sifat

dari integral serta derivatif fraksional Riemann-Liouville dan derivatif fraksional

Caputo.

Selesainya penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak.

Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:

1. Drs. Sutrima, M.Si. sebagai pembimbing I yang telah memberi bimbingan

serta motivasi dalam penyelesaian skripsi ini.

2. Dra. Yuliana Susanti, M.Si. sebagai pembimbing II yang telah memberi

bimbingan serta motivasi dalam penyelesaian skripsi ini.

3. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat.

Surakarta, Desember 2014

Penulis

vi


commit to user

Daftar Isi

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Ruang Hasil Kali Dalam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Masalah Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3 Kalkulus Fraksional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.4 Masalah Sturm-Liouville Fraksional . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

IIIMETODE PENELITIAN 11

vii


commit to user

IVPEMBAHASAN 12

4.1 Sifat-Sifat dari Operator Integral dan Diferensial Fraksional . . . 12

4.2 Masalah Sturm-Liouville Fraksional dengan Potensial Coulomb . . 18

V PENUTUP 24

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

DAFTAR PUSTAKA 25

viii


commit to user

Daftar Notasi

Ψ : fungsi gelombang

r : jarak antara elektron dan proton

~ : konstanta Planck

e : besar muatan elektron

m : massa elektron

C : himpunan bilangan kompleks

R : himpunan bilangan real

[a, b] : interval tertutup dari a sampai b

λ, En : nilai eigen

y, Rn,l : fungsi eigen

Γ(z) : fungsi Gamma untuk variabel z

B(z, w) : fungsi Beta untuk variabel z dan w

α, β : orde fraksional (berupa bilangan non-integer)

Dy, dydx, y′(x) : derivatif pertama dari fungsi y(x)

x̄ : konjugat dari x

L : operator diferensial

⟨. , .⟩ : hasil kali dalam (dot product) pada ruang vektor

⟨f, g⟩ : hasil kali dalam dari fungsi f dan g

α, β : orde fraksional

Iαa,+y(x) : integral fraksional Riemann-Liouville kiri dari fungsi y(x)

Iαb,−y(x) : integral fraksional Riemann-Liouville kanan dari fungsi y(x)

Dαa,+y(x) : derivatif fraksional Riemann-Liouville kiri dari fungsi y(x)

Dαb,−y(x) : derivatif fraksional Riemann-Liouville kanan dari fungsi y(x)

CDαa,+y(x) : derivatif fraksional Caputo kiri dari fungsi y(x)

CDαb,−y(x) : derivatif fraksional Caputo kanan dari fungsi y(x)

2 : akhir bukti

ix

SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE ...

Documents

Transcript of SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE ...