SIFAT OPERASI DAN EKSISTENSI INVERS SUATU

MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS

SISKA MARYANA DEWI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Sifat Operasi dan

Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus adalah benar karya saya

dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun

kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip

dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah

disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir

skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, November 2014

Siska Maryana Dewi

NIM G54070006

ABSTRAK

SISKA MARYANA DEWI. Sifat Operasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks

dalam Aljabar Max-Plus. Dibimbing oleh SISWANDI dan FARIDA HANUM.

Karya ilmiah ini membahas sifat-sifat operasi dalam aljabar max-plus dan

sifat-sifat yang diaplikasikan pada matriks serta eksistensi invers matriks dalam

aljabar max-plus. Operasi-operasi matriks yang dapat diaplikasikan dalam aljabar

max-plus meliputi operasi penjumlahan dan perkalian antar matriks, matriks

transpose, matriks identitas, matriks segi pangkat ke-k, serta perkalian matriks

dengan skalar. Sifat- sifat yang berlaku untuk matriks dalam aljabar max-plus

yaitu sifat asosiatif (untuk operasi penjumlahan dan perkalian), komutatif (hanya

untuk operasi penjumlahan), dan distributif. Eksistensi invers suatu matriks A ∈

max

nxn dalam aljabar max-plus dapat dipastikan ada jika dan hanya jika A

merupakan perkalian matriks permutasi P dan matriks diagonal ( )iD .

Kata kunci: matriks, aljabar max-plus

ABSTRACT

SISKA MARYANA DEWI. Properties of Operations and Existence of the Inverse

Matrix in Max-Plus Algebra. Supervised by SISWANDI dan FARIDA HANUM.

This paper discusses the properties of operations in max-plus algebra and

properties that valid for the matrix and existence of the inverse matrix in max-plus

algebra. The operations that can be applied in max-plus algebra includes

operations of addition and multiplication between matrices, transpose of a matrix,

the identity matrix, the k-th rank of a square matrix, and the matrix multiplication

by a scalar. Properties that valid for the matrix in max-plus algebra is an

associative properties (for addition and multiplication operations), commutative

(only for addition operation), and distributive. The existence of the inverse matrix

A ∈ max

nxn in max-plus algebra can be guarantied if and only if A is a

multiplication of a permutation matrix P and a diagonal matrix ( )iD .

Keywords: matrix, max-plus algebra

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

SIFAT OPERASI DAN EKSISTENSI INVERS SUATU

MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS

SISKA MARYANA DEWI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

Judul Skripsi : Sifat Operasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar

Max-Plus

Nama : Siska Maryana Dewi

NIM : G54070006

Disetujui oleh

Drs Siswandi, MSi

Pembimbing I

Dra Farida Hanum, MSi

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat

dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah berjudul Sifat Operasi dan Eksistensi

Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-plus ini dapat penulis selesaikan.

Shalawat dan salam penulis curahkan kepada Nabi Muhammad SAW, beserta

sahabat dan umatnya.

Ucapan terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs Siswandi, MSi dan

Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen pembimbing I dan II atas semua ilmu,

kesabaran, dan motivasi, serta Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku dosen

penguji dan Dr Donny Citra Lesmana, SSi, MFinMath atas segala saran dalam

penulisan karya ilmiah ini. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada

seluruh dosen di Departemen Matematika atas semua ilmu yang telah diberikan,

serta staf dan pegawai atas bantuan dan pelayanannya selama ini.

Karya ilmiah ini penulis persembahkan untuk bapak, ibu, kakak, adik, dan

keluarga. Terima kasih atas semua doa, dukungan, dan kasih sayang yang tiada

habisnya. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman-teman

Matematika 44, kakak-kakak dan adik-adik tingkat di Institut Pertanian Bogor,

teman-teman kos, dan semua pihak yang tak henti memberikan dukungan serta

bantuan dalam menyelesaikan karya ilmiah ini. Selain itu, penulis juga ingin

memberikan terima kasih kepada Super Junior, khususnya Cho Kyuhyun karena

secara tidak langsung telah memberi motivasi agar tidak menyerah dalam

mengejar pendidikan.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, November 2014

Siska Maryana Dewi

DAFTAR ISI

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 1

TINJAUAN PUSTAKA 1

HASIL DAN PEMBAHASAN 5

Sifat Operasi Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus 5

Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus 12

SIMPULAN DAN SARAN 15

Simpulan 15

Saran 15

DAFTAR PUSTAKA 16

RIWAYAT HIDUP 17

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Aljabar max-plus pertama kali muncul pada tahun 1956 dalam paper Kleene

yang berjudul “Representation of events in nerve sets and finite automa”. Dalam

aljabar max-plus, yang menjadi fokus utama adalah semi ring ℝmax = {𝜀} ∪ ℝ

dengan operasi ⨁ dan ⨂. Saat ini aljabar max-plus telah banyak dikembangkan

untuk menyelesaikan berbagai macam permasalahan matematika, seperti pada

kombinatorika, optimasi, dan aljabar geometri. Berdasarkan (Subiono 2013)

Aljabar max-plus juga digunakan dalam teori kontrol, penjadwalan mesin, sistem

even diskrit (SED), sistem manufaktur, jaringan komunikasi, sistem proses paralel,

kontrol lalu lintas, dan lain-lain.

Karya Ilmiah ini merupakan hasil penjabaran kembali karya Kesie G.

Farlow yang berjudul “Max-Plus Algebra” yang membahas mengenai dasar-dasar

aljabar max-plus beserta kaitannya dengan beberapa konsep matematika seperti,

matriks, vektor, teori graf, bahkan sampai rantai Markov. Dalam karya ilmiah ini

hanya akan dibahas sifat-sifat dan eksistensi invers matriks dalam aljabar max-

plus.

Tujuan Penelitian

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah membahas sifat-sifat operasi dan

eksistensi invers suatu matriks dalam aljabar max-plus.

TINJAUAN PUSTAKA

Matriks

Definisi 1 (Matriks)

Matriks adalah beberapa skalar yang disusun secara empat persegi panjang

menurut baris dan kolom. Skalar tersebut disebut elemen matriks. Untuk batasnya,

biasa digunakan ( ), [ ], atau || ||. Matriks diberi nama dengan huruf besar,

misalnya A, B, dan lain-lain. Sedangkan elemen-elemen matriks ditulis dengan

huruf kecil, misalnya a11, b21, dan lain-lain. Kadang suatu matriks A dapat ditulis

A = ija .

(Sutojo et al. 2010)

2

Operasi-operasi pada matriks:

1. Penjumlahan matriks

Misalkan diketahui matriks A = ija berukuran m n dan matriks B =

ijb berukuran m n, maka A =

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

dan B =

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

b b b

b a b

b b b

. Penjumlahan A dan B didefinisikan sebagai :

A+B = ija + ijb = ij ija b =

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n n

n n

m m m m mn mn

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

2. Perkalian matriks dengan skalar

Misalkan k suatu skalar, maka perkalian k dengan matriks A = ija

berukuran mn didefinisikan dengan

kA = k ija = ijka

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

ka ka ka

ka ka ka

ka ka ka

3. Perkalian matriks

Hasil perkalian matriks A = ija berukuran mp dan matriks B =

ijb berukuran p n adalah matriks C = ijc berukuran m n, dengan

nilai 1 1 2 2

1

...p

ij i j i j ip pj ik kj

k

c a b a b a b a b

, untuk i = 1, 2,..., m dan j = 1,

2,..., n.

Definisi 2 (Transpos Matriks)

Suatu matriks A = ija berukuran m n, maka transpos dari A adalah

matriks AT berukuran nm yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-i

dari A sebagai kolom ke-i dari AT.

3

AT =

11 21 1

12 22 2

1 2

m

m

n n mn

a a a

a a a

a a a

(Sutojo et al. 2010)

Definisi 3 (Matriks Identitas)

Matriks identitas adalah matriks yang semua elemen diagonal utamanya

adalah 1, sedangkan elemen lainnya adalah 0. Matriks identitas dinotasikan

dengan I.

I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(Sutojo et al. 2010)

Definisi 4 (Invers Matriks)

Sebuah matriks segi A berukuran nn disebut memiliki invers jika ada suatu

matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers matriks A dan dapat

ditulis A-1

.

(Sutojo et al. 2010)

Aljabar Max-Plus

Definisi 5 (Semigrup)

Semigrup adalah suatu himpunan dengan operasi biner asosiatif.

(Fraleigh 1997)

Definisi 6 (Semiring (S, + , × ))

Suatu semiring (S, + , × ) adalah suatu himpunan tak kosong S disertai

dengan dua operasi biner + dan × yang memenuhi aksioma berikut:

1. (S, +) merupakan semigrup yang komutatif dengan elemen netral 0, yaitu

, ,x y z ∈ S memenuhi

x + y = y + x

(x + y) + z = x + (y+ z)

x + 0 = 0 + x

2. (S, × ) adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu , ,x y z ∈ S

memenuhi

(x × y) × z = x × (y × z)

x × 1 = 1 × x

3. Sifat absorbing elemen netral 0 terhadap operasi × , yaitu x ∈ S

memenuhi

x × 0 = 0 × x = 0

4

4. Operasi × bersifat distributif terhadap + , yaitu , ,x y z ∈ S berlaku

(x + y) × z = (x × z) + (y × z)

x × (y + z) = (x × y) + (x × z)

(Subiono 2013)

Definisi 7 (Aljabar Max-Plus)

Aljabar max-plus adalah suatu semi ring (ℝmax, ⨁, ⨂) dengan ℝmax = {𝜀} ∪

ℝ. ℝ adalah himpunan semua bilangan real dan 𝜀 = −∞ yang memenuhi operasi

⨁ dan ⨂ yang didefinisikan sebagai berikut : ,x y ∈ ℝmax ,

x ⨁ y = max (x, y) = maksimum (x, y).

x ⨂ y = x + y.

Biasanya cukup ditulis ℝmax .

(Farlow 2009)

Contoh :

3 ⨁ (-7) = max (3, (-7)) = 3

3 ⨂ (-7) = 3 + (-7) = -4

Sifat-sifat aljabar max-plus

Untuk setiap x, y, z ∈ ℝmax akan memenuhi

1. Sifat asosiatif, yaitu :

x ⨁ (y ⨁ z) = (x ⨁ y) ⨁ z dan x ⨂ (y ⨂ z) = (x ⨂ y) ⨂ z

2. Sifat komutatif, yaitu :

x ⨁ y = y ⨁ x dan x ⨂ y = y ⨂ x

3. Sifat distributif, yaitu :

x ⨂ (y ⨁ z) = (x ⨂ y) ⨁ (x ⨂ z)

4. Ada elemen nol terhadap operasi ⨁, yaitu ε, dengan 𝜀 = −∞.

x ⨁ ε = ε ⨁ x = x

5. Ada elemen satuan terhadap operasi ⨂, yaitu ℯ, dengan ℯ = 0. x ⨂ ℯ = ℯ ⨂ x = x

6. Ada elemen invers terhadap operasi ⨂,

Jika x 𝜀 maka ada bilangan tunggal y sehingga x ⨂ y = ℯ.

7. Ada elemen absorbing terhadap operasi ⨂, yaitu ε, sehingga x ⨂ ε = ε ⨂ x

= ε.

8. Sifat idempoten terhadap operasi ⨁, yaitu x ⨁ x = x

(Farlow 2009)

Bukti :

1. x ⨁ (y ⨁ z) = max (x, max (y, z)) = max (x, y, z)

= max (max (x, y), z) = (x ⨁ y) ⨁ z

x ⨂ (y ⨂ z) = x + (y + z) = (x + y) + z = (x ⨂ y) ⨂ z

2. x ⨁ y = max (x, y) = max (y, x) = y ⨁ x

x ⨂ y = x + y = y + x = y ⨂ x

3. x ⨂ (y ⨁ z) = x + max (y, z) = max (x + y, x + z) = (x ⨂ y) ⨁ (x ⨂ z)

5

4. x ⨁ ε = max (x, −∞) = max (−∞, 𝑥) = ε ⨁ x = x

5. x ⨂ ℯ = x + 0 = 0 + x = ℯ ⨂ x = x

6. Misalkan x ∈ ℝmax dengan x 𝜀, maka ∃ y ∈ ℝmax ∋ y = -x dan x + y = x +

(-x) = 0 sehingga x ⨂ y = ℯ

7. x ⨂ ε = x + (−∞) = (−∞) + x = ε ⨂ x = ε

8. x ⨁ x = max (x, x) = x

Definisi 8 (Pangkat Aljabar Max-Plus)

Untuk x ∈ ℝmax dan n ∈ , x pangkat n didefinisikan dengan : nx = x ⨂ x ⨂ .... ⨂ x.

Jika x 𝜀, maka 0x = ℯ.

Jika α ∈ ℝ, maka x = αx.

Jika k > 0, maka k = ε (jika k ≤ 0, maka k tidak terdefinisi).

Sifat-sifat operasi pangkat dalam aljabar max-plus

Untuk setiap m, n ∈ , x ∈ ℝmax berlaku :

1. mx ⨂ nx = ( )m nx

2. ( )m nx =

( )nmx

3. 1x = 1x = x

4. mx ⨂ my = ( ) mx y

(Farlow 2009)

Bukti :

1. mx

⨂nx

= mx + nx = (m+n)x = ( )m nx

2. ( )m nx = ( ) nmx = nmx = ( )nmx

3. 1x = 1x = x

4. mx ⨂ my

= mx + my = m(x+y) = ( ) mx y

HASIL DAN PEMBAHASAN

Sifat Operasi Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus

Bagian ini akan mendefinisikan matriks dalam ℝmax. Matriks berukuran m ×

n untuk m, n ∈ dan elemen-elemennya ∈ ℝmax dalam aljabar max-plus

dinotasikan dengan max

m n . Suatu matriks A ∈ max

m n dapat ditulis sebagai berikut

6

A =

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

Nilai untuk baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dinotasikan dengan aij

atau sebagai ij

A .

Operasi penjumlahan dan perkalian dari matriks dalam aljabar max-plus

hampir serupa dengan operasi penjumlahan dan perkalian dalam matriks dalam

aljabar biasa dengan + dan × didefinisikan sebagai ⨁ dan ⨂.

Definisi 9

1. Untuk penjumlahan matriks A, B ∈ max

m n dinotasikan dengan A ⨁ B dan

didefinisikan sebagai :

ij

A B = ija ⨁

ijb = max (ija ,

ijb )

2. Untuk perkalian matriks A ∈ max

m k dan matriks B ∈ max

kxn , dinotasikan

dengan A ⨂ B dan didefinisikan sebagai :

il

A B = 1

k

j (ija ⨂

jlb ) = 1,2,...,max

j k(aij + bjl)

3. Matriks transpos A dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan AT dan

didefinisikan T

ijA =

jiA .

4. Matriks identitas n × n dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan E dan

didefinisikan sebagai :

ij

E = jika

jika

e i j

i j

5. Untuk matriks segi A pangkat ke-k (dengan k bilangan bulat positif) dalam

aljabar max-plus dinotasikan dengan kA dan didefinisikan sebagai : kA = ...

k kali

A A A

Untuk k = 0, didefinisikan 0A = E.

6. Untuk sebarang matriks A ∈ max

m n dan sebarang skalar α ∈ ℝmax,

didefinisikan perkalian skalar α ⨂ A sehingga :

ij

A = α ⨂ ij

A

Sifat-sifat suatu matriks dalam aljabar max-plus:

1. Sifat asosiatif, yaitu :

A ⨁ (B ⨁ C) = (A ⨁ B) ⨁ C dan A ⨂ (B ⨂ C) = (A ⨂ B) ⨂ C

2. Sifat komutatif, yaitu :

A ⨁ B = B ⨁ A dan A ⨂ B = B ⨂ A

7

3. Sifat distributif, yaitu :

A ⨂ (B ⨁ C) = (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C)

Bukti :

1. Sifat asosiatif

a). A ⨁ (B ⨁ C) = (A ⨁ B) ⨁ C

Misalkan A, B, C ∈ max

m n , i menyatakan baris matriks dan j

menyatakan kolom matriks, maka :

A ⨁ (B ⨁ C) = ( ( ))ijA B C

= ( )ij ij ija b c

= (max( , ))ij ij ija b c

= max( ,max( , ))ij ij ija b c

= max( , , )ij ij ija b c

(A ⨁ B) ⨁ C = (( ) ))ijA B C

= ( )ij ij ija b c

= max( , )ij ij ija b c

= max(max( , ), )ij ij ija b c

= max( , , )ij ij ija b c

Terbukti A ⨁ (B ⨁ C) = (A ⨁ B) ⨁ C.

b). A ⨂ (B ⨂ C) = (A ⨂ B) ⨂ C

Misalkan A ∈max

m p , B ∈max

p q , C ∈max

q n , i menyatakan baris

matriks dan j menyatakan kolom matriks, maka :

A ⨂ (B ⨂ C) = ( ( ))ijA B C

= 1

q

il lk kjk

a b c

= 1 1

p q

il lk kjl k

a b c

= 1 1

p q

il lk kjl k

a b c

(A ⨂ B) ⨂ C = (( ) ))ijA B C

= 1

p

il lk kjl

a b c

= 1 1

q p

il lk kjk l

a b c

= 1 1

p q

il lk kjl k

a b c

Terbukti A ⨂ (B ⨂ C) = (A ⨂ B) ⨂ C.

8

Karena terbukti A ⨁ (B ⨁ C) = (A ⨁ B) ⨁ C dan A ⨂ (B ⨂ C) =

(A ⨂ B) ⨂ C , maka sifat asosiatif dalam matriks aljabar max-plus berlaku

untuk operasi penjumlahan dan perkalian.

2. Sifat komutatif

a). A ⨁ B = B ⨁ A

Misakan A, B ∈ max

m n

max

m n , i menyatakan baris matriks dan j

menyatakan kolom matriks, maka :

A ⨁ B = ( )ijA B

= ( )ij ija b

= max( , )ij ija b

B ⨁ A = ( )ijB A

= ( )ij ijb a

= max( , )ij ijb a

= max( , )ij ija b

Terbukti A ⨁ B = B ⨁ A.

b). A ⨂ B = B ⨂ A

Misalkan A ∈ max

m p dan B ∈ max

p n , i menyatakan baris matriks dan

j menyatakan kolom matriks, maka :

A ⨂ B = ( )ijA B

= 1

p

ik kjk

a b

= max( )ik kjk p

a b

Sedangkan B ⨂ A belum tentu bisa dioperasikan karena dalam

operasi perkalian matriks aljabar matriks banyaknya kolom matriks

pertama harus sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Oleh karena

itu, B ⨂ A hanya bisa dioperasikan jika banyaknya kolom matriks B sama

dengan banyaknya baris matriks A (n = m), sehingga sifat komutatif dalam

matriks aljabar max-plus hanya berlaku untuk operasi penjumlahan.

3. Sifat distributif

A ⨂ (B ⨁ C) = (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C)

Misalkan A ∈ max

m p , B, C ∈ max

p n , i menyatakan baris matriks dan

j menyatakan kolom matriks, maka :

A ⨂ (B ⨁ C) = ( ( ))ijA B C

= 1

( )p

ik kj kjk

a b c

= 1( )

p

ik kj ik kjk

a b a c

= 1 1

p p

ik kj ik kjk k

a b a c

9

= ( ) ( ))ij ijA B A C

= (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C)

Terbukti A ⨂ (B ⨁ C) = (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C).

Contoh:

Diberikan A = 2 5

3e

, B = 1

1 6

e

dan C = 3 2

1 4

maka:

A ⨁ B = 2 5

3e

⨁ 1

1 6

e

= max( 2,1) max(5, )

max( , 1) max(3, 6)

e

e

=

1 5

3e

A ⨂ B = 2 5

3e

⨂ 1

1 6

e

= max((( 2) 1),(5 ( 1))) max((( 2) ),(5 ( 6)))

max(( 1),(3 ( 1))) max(( ),(3 ( 6)))

e

e e e

= max( 1,4) max( 2, 1)

max(1,2) max( , 3)e

=

4 1

2 e

AT

= 2

5 3

e

Matriks identitas dalam aljabar max-plus untuk matriks berukuran 22 adalah:

E = e

e

Matriks identitas dalam aljabar max-plus untuk matriks berukuran 33 adalah:

E =

e

e

e

2A = 2 5

3e

⨂ 2 5

3e

= max(( 2) ( 2),5 ) max(( 2) 5,5 3)

max( ( 2),3 ) max( 5,3 3)

e

e e e

= max( 4,5) max(3,8)

max( 2,3) max(5,6)

=

5 8

3 6

Diberikan α = 3, maka :

α ⨂ A = 3 ⨂ 2 5

3e

= 3 ( 2) 3 5

3 3 3e

=

3 ( 2) 3 5

3 3 3e

=

1 8

3 6

Contoh untuk sifat asosiatif :

10

A ⨁ (B ⨁ C) = 2 5

3e

⨁ 1 3 2

1 6 1 4

e

= 2 5

3e

⨁ max(1,3) max( , 2)

max( 1,1) max( 6,4)

e

= 2 5

3e

⨁ 3

1 4

e

= max( 2,3) max(5, )

max( ,1) max(3,4)

e

e

= 3 5

1 4

(A ⨁ B) ⨁ C = 2 5 1

3 1 6

e

e

⨁

3 2

1 4

= max( 2,1) max(5, )

max( , 1) max(3, 6)

e

e

⨁

3 2

1 4

= 1 5

3e

⨁ 3 2

1 4

= max(1,3) max(5, 2)

max( ,1) max(3,4)e

= 3 5

1 4

Terlihat bahwa A ⨁ (B ⨁ C) = (A ⨁ B) ⨁ C.

A ⨂ (B ⨂ C) = 2 5

3e

⨂ 1 3 2

1 6 1 4

e

= 2 5

3e

⨂max((1 3), ( 1)) max((1 ( 2)), ( 4)

max((( 1) 3), (( 6) 1)) max((( 1) ( 2)), (( 6) 4))

e e

= 2 5

3e

⨂max(4,1) max( 1,4)

max(2, 5) max( 3, 2)

= 2 5

3e

⨂4 4

2 2

= max((( 2) 4), (5 2)) max((( 2) 4), (5 ( 2)))

max(( 4), (3 2)) max(( 4), (3 ( 2)))e e

= max(2,7) max(2,3)

max(4,5) max(4,1)

= 7 3

5 4

(A ⨂ B) ⨂ C = 2 5 1

3 1 6

e

e

⨂

3 2

1 4

= max((( 2) 1), (5 ( 1))) max((( 2) ), (5 ( 6)))

max(( 1), (3 ( 1))) max(( ), (3 ( 6)))

e

e e e

⨂

3 2

1 4

= max( 1,4) max( 2, 1)

max(1,2) max( , 3)e

⨂

3 2

1 4

11

= 4 1

2 e

⨂3 2

1 4

= max((4 3), (( 1) 1)) max((4 ( 2)), (( 1) 4))

max((2 3), ( 1)) max((2 ( 2)), ( 4))e e

= max(7, ) max(2,3)

max(5,1) max( ,4)

e

e

= 7 3

5 4

Terlihat bahwa A ⨂ (B ⨂ C) = (A ⨂ B) ⨂ C.

Contoh untuk sifat komutatif :

A ⨁ B = 2 5

3e

⨁ 1

1 6

e

= max( 2,1) max(5, )

max( , 1) max(3, 6)

e

e

=

1 5

3e

B ⨁ A = 1

1 6

e

⨁ 2 5

3e

= max(1, 2) max( ,5)

max( 1, ) max( 6,3)

e

e

=

1 5

3e

Terlihat bahwa A ⨁ B = B ⨁ A.

A ⨂ B = 2 5

3e

⨂ 1

1 6

e

= max((( 2) 1),(5 ( 1))) max((( 2) ),(5 ( 6)))

max(( 1),(3 ( 1))) max(( ),(3 ( 6)))

e

e e e

= max( 1,4) max( 2, 1)

max(1,2) max( , 3)e

=

4 1

2 e

B ⨂ A = 1

1 6

e

⨂ 2 5

3e

= max((1 ( 2)),( )) max((1 5),( 3))

max((( 1) ( 2)),(( 6) )) max((( 1) 5),(( 6) 3))

e e e

e

= max( 1, ) max(6,3)

max( 3, 6) max(4, 3)

e

=

6

3 4

e

Tidak terlihat bahwa A ⨂ B = B ⨂ A.

Contoh sifat distributif:

A ⨂ (B ⨁ C) = 2 5

3e

⨂ 1 3 2

1 6 1 4

e

= 2 5

3e

⨂ max(1,3) max( , 2)

max( 1,1) max( 6,4)

e

= 2 5

3e

⨂ 3

1 4

e

= max(( 2) 3), (5 1)) max((( 2) ), (5 4))

max(( 3), (3 1)) max(( ), (3 4))

e

e e e

12

= max(1,6) max( 2,9)

max(3,4) max( ,7)e

= 6 9

4 7

(A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C) = 2 5 1

3 1 6

e

e

⨁

2 5 3 2

3 1 4e

= max((( 2) 1),(5 ( 1))) max((( 2) ),(5 ( 6)))

max(( 1),(3 ( 1))) max(( ),(3 ( 6)))

e

e e e

⨁ max((( 2) 3), (5 1)) max((( 2) ( 2)), (5 4))

max(( 3), (3 1)) max(( ( 2)), (3 4))e e

= max( 1,4) max( 2, 1)

max(1,2) max( , 3)e

⨁

max(1,6) max( 4,9)

max(3,4) max( 2,7)

= 4 1

2 e

⨁ 6 9

4 7

= max(4,6) max( 1,9)

max(2,4) max( ,7)e

= 6 9

4 7

Terlihat bahwa A ⨂ (B ⨁ C) = (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C)

Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus

Definisi 10

Dalam aljabar max-plus, matriks A ∈ max

n n dikatakan memiliki invers kanan

jika ada sebuah matriks B sehingga A ⨂ B = E, dan B disebut invers dari A, ditulis

B = 1A .

Definisi 11

Dalam aljabar max-plus, matriks A ∈ max

n n dikatakan memiliki invers kiri

jika ada sebuah matriks B sehingga B ⨂ A = E, dan B disebut invers dari A, ditulis

B = 1A .

Definisi 12

Dalam aljabar max-plus, matriks permutasi A adalah matriks yang pada

setiap baris dan kolomnya memuat tepat satu elemen e dan elemen yang lainnya

adalah 𝜀. Jika pemetaan : {1, 2, ...., n} → {1, 2, ...., n} adalah suatu permutasi,

maka didefinisikan matriks permutasi P = ijp dengan

ijp = jika ( )

jika ( )

e i j

i j

Sehingga elemen kolom ke-j dari P mempunyai e di baris ke- ( )j .

Perkalian kiri oleh P mempermutasikan baris dari matriks, sehingga baris

ke-i dari matriks A nampak sebagai baris ke- ( )j dari matriks P ⨂ A.

13

Contoh :

Diberikan

: {1, 2} → {1, 2}

(1) 2

(2) 1

maka:

11

jika 1 (1)

jika 1 (1)

ep

,

11p = .

12

jika 1 (2)

jika 1 (2)

ep

,

12p = e .

21

jika 2 (1)

jika 2 (1)

ep

,

21p = e .

22

jika 2 (2)

jika 2 (2)

ep

, 22p = .

Matriks permutasinya adalah e

e

.

Definisi 13

Jika 1 2, ,...., n ∈ ℝmax, i maka matriks diagonal didefinisikan

sebagai :

( )iD =

1

2

...

...

... ... ... ...

... n

Teorema 1a. Matriks A ∈ max

n n , mempunyai invers kanan jika dan hanya jika ada

permutasi dan nilai i , i ∈ {1, 2, ...., n} sedemikian rupa sehingga A = P

⨂ ( )iD .

Teorema 1b. Analog terhadap Teorema 1a, matriks A ∈ max

n n , mempunyai invers

kiri jika dan hanya jika ada permutasi dan nilai i , i ∈ {1, 2, ...., n}

sedemikian rupa sehingga A = ( )iD ⨂ P .

Bukti. Anggap ada matriks B sedemikian rupa sehingga A ⨂ B = E. Hal ini

mengakibatkan bahwa :

maxk ( )ik kia b = e = 0 untuk setiap i ..................................................... (1)

maxk ( )ik kja b = 𝜀 = -∞ untuk setiap i j ............................................ (2)

dan (1) untuk setiap i ada suatu nilai k sehingga ik kia b e . Ini berarti ada suatu

fungsi k = ( )i dengan ( )i ia dan

( )i ib . Dari persamaan (2) dapat

ditemukan

( )i ja untuk semua i j .................................................................... (3)

14

Karena ( )i ia =

( )i ja untuk i j , berarti bahwa adalah suatu injeksi

dan ada suatu permutasi. Persamaan (3) menunjukkan bahwa ( )i ia adalah satu-

satunya elemen dari kolom ke- ( )i dari matriks A yang nilainya bukan .

Misalkan A = P ⨂ A. Baris ke- ( )i dari A adalah baris ke-i matriks A, yang

mempunyai elemen lebih besar dari dalam kolom ke- ( )i . Maka dari itu,

semua elemen diagonal dari matriks A lebih besar dari . Hal ini juga berarti

bahwa matriks A hanya mempunyai satu elemen selain dalam setiap kolom,

sehingga

P ⨂ A = A = ( )iD dengan 1 ( )i ia

.

Misalkan 1 . Karena ⨂ = E, maka A = P ⨂ .

Sebaliknya, diasumsikan bahwa A = ⨂ dengan ∈ max

n n dan

. Jika ini benar, dimisalkan B = ⨂ , = 1

i , sehingga

A ⨂ B = P ⨂ ( )iD ⨂ ( )iD ⨂ 1P = P ⨂ 1P

= E.

Jadi, A ⨂ B = E dan B adalah invers kanan dari matriks A.

Teorema ini memberikan karakteristik invers matriks dalam aljabar max-

plus. Berdasarkan ini, dapat diketahui bahwa matriks yang mempunyai invers

merupakan suatu permutasi matriks diagonal.

Contoh:

Misal A = 2

1

, maka A mempunyai invers kanan karena diambil dari P =

e

e

dan ( )iD = 1

2

sehingga :

P ⨂ ( )iD = e

e

⨂ 1

2

= max(( 1), ( )) max(( ), ( 2))

max(( 1), ( )) max(( ), ( 2))

e e

e e

= max( , ) max( ,2)

max(1, ) max( , )

= 2

1

= A

Teorema 2. Untuk A, B ∈ max

n n jika A ⨂ B = E maka B ⨂ A = E , dan B adalah

suatu matriks unik yang ditentukan oleh matriks A.

Bukti. Berdasarkan teorema 1, dapat diketahui bahwa A = P ⨂ ( )iD untuk

beberapa nilai i dan permutasi . Telah diketahui bahwa B = ( )iD ⨂

1P adalah invers kiri dari matriks A. Jika A ⨂ B = E , maka B = B ⨂ (A ⨂ B)

P P ( )iD

P ( )iD i

i ( )iD 1P i

15

= ( B ⨂ A) ⨂ B = E ⨂ B = B, hal ini menunjukkan bahwa B adalah suatu matriks

unik yang ditentukan oleh matriks A dan juga invers kiri dari matriks A.

Teorema 3. Jika A ∈ max

n n dan B ∈ max

n n adalah matriks yang mempunyai invers,

maka A ⨂ B juga mempunyai invers.

Bukti. Berdasarkan teorema 1, dapat diketahui bahwa

A = a

P ⨂ ( )a

iD dan B = ( )b

iD ⨂ b

P .

maka A ⨂ B = a

P ⨂ ( )a

iD ⨂ ( )b

iD ⨂ b

P .

Hasil perkalian dua matriks diagonal adalah matriks diagonal, maka

A ⨂ B = a

P ⨂ D( a

i ⨂ b

i )⨂ b

P .

Hal ini membuktikan bahwa A ⨂ B merupakan permutasi matriks diagonal,

maka A ⨂ B juga mempunyai invers.

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Berbagai operasi terhadap suatu matriks dapat diaplikasikan dalam bentuk

aljabar max-plus. Operasi-operasi tersebut meliputi operasi penjumlahan dan

perkalian antarmatriks, matriks transpos, matriks identitas, matriks segi pangkat

ke-k, serta perkalian matriks dengan skalar. Sifat- sifat yang berlaku untuk matriks

dalam aljabar max-plus yaitu sifat asosiatif (operasi penjumlahan dan perkalian),

komutatif (hanya operasi penjumlahan), dan distributif. Selain itu, invers suatu

matriks A berukuran n n dalam aljabar max-plus dapat dijamin ada jika dan

hanya jika A merupakan perkalian matriks permutasi P dan matriks diagonal

( )iD .

Saran

Masih banyak hal yang ada dalam aljabar max-plus yang belum dibahas

dalam karya ilmiah ini, termasuk implementasi nyata dari manfaat aljabar max-

plus dalam berbagai bidang. Saya berharap akan ada yang melanjutkan karya

ilmiah ini agar lebih memahami penerapan aljabar max-plus.

16

DAFTAR PUSTAKA

Farlow, KG. 2009. Max-Plus Algebra [Tesis]. Virginia (US): Virginia Polytechnic

Institute and State University.

Subiono. 2013. Aljabar Maxplus dan Terapannya. Surabaya (ID): Institut Sepuluh

Nopember.

Fraleigh, JB. 1997. A First Course in Abstract Algebra. New York (US):

Addison-Wesley.

Sutojo T, N Bowo, Z.A Erna, Astuti S, Rahayu Y, Mulyanto E. 2010. Teori dan

Aplikasi Aljabar Linier dan Matriks. Yogyakarta (ID): Penerbit ANDI.

17

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kuningan, Jawa Barat pada tanggal 18 Juli 1989 dari

pasangan bapak Hadi dan ibu Amilah. Penulis merupakan anak ketiga dari empat

bersaudara. Pada tahun 2007, penulis lulus dari MA Husnul Khotimah dan pada

tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan

Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika dan minor Ilmu

Komunikasi. Selama mengikuti perkuliahan, penulis mendapatkan beasiswa

Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM) pada semester ganjil 2009-2010 sampai

semester ganjil 2011-2012. Penulis pernah aktif di berbagai organisasi seperti

DKM Al-Hurriyah IPB, BEM FMIPA IPB, dan SERUM-G IPB serta menjadi

panitia dalam MPKMB, MPF, MPD, LKCM, Pesta Sains, dan lain-lain.