S.I.5-S.I.6-S.I.7(RLC Serie, RLCparalel, EchivalentaYZ+Aperiodice)(EME1012)
-
Upload
daniel-cosmin -
Category
Documents
-
view
38 -
download
1
Transcript of S.I.5-S.I.6-S.I.7(RLC Serie, RLCparalel, EchivalentaYZ+Aperiodice)(EME1012)
![Page 1: S.I.5-S.I.6-S.I.7(RLC Serie, RLCparalel, EchivalentaYZ+Aperiodice)(EME1012)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052307/557213e0497959fc0b933cc6/html5/thumbnails/1.jpg)
2.7. Elemente ideale de circuit în regim permanent sinusoidal 61
S.I.5. Circuitul R, L, C serie în R.P.S. Impedan]a. Rezonan]a de tensiuni
• Fie circuitul reprezentat în Fig.1.a, ob]inut prin conectarea în serie a elementelor liniare, ideale, rezistor, bobină şi condensator, de parametri R, L, C cu sursa ideal\ de t.e.m. sinusoidal\, având la borne tensiunea u.
Curentul i prin elementele înseriate ale circuitului este acela[i şi se consideră cunoscut, cu formă de undă sinusoidală, având următoarea expresie a valorii instantanee :
i I t i 2 sin( ). (1)
Presupunând cunoscute valorile parametrilor R, L, C [i curentul i , în cele ce urmeaz\ se determin\ valorile instantanee ale tensiunii u [i ale c\derilor de tensiune uR, uL [i uC la bornele elementelor R, L, respectiv C. În acest scop se aplic\ legea conduc]iei în circuitul dat, ob]inând:
u u u uR L C (2)
în care, a[a cum s-a ar\tat anterior (Curs2):
u Ri RI t
u Li
tX I t
uC
i t X I t
R i
L L i
C C i
2
2 2
12 2
sin( ) ,d
dsin( / ) ,
d sin( / ) .
(3)
Substituind (3) în (2) rezult\ pentru circuitul analizat o ecua]ie integro-diferen]ial\ liniar\, cu coeficien]i constan]i, de forma:
, (4)
a c\rei solu]ie, dificil de ob]inut direct (în valori instantanee), se poate determina simplu prin aplicarea metodelor de reprezentare simbolic\ în complex simplificat (R.C.S.).
Fig. 1.
![Page 2: S.I.5-S.I.6-S.I.7(RLC Serie, RLCparalel, EchivalentaYZ+Aperiodice)(EME1012)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052307/557213e0497959fc0b933cc6/html5/thumbnails/2.jpg)
2. Circuite electrice liniare de curent alternativ
Rezolvare utilizând reprezentarea analitică în complex simplificat (RCS)Imaginea complex\ simplificat\ (v.e.c.) a curentului i cunoscut (rel.(1)), are forma:
i I Ie j i (5)
Înlocuind (5) în (4) [i aplicând corespondenţa operaţiilor, ecua]ia integro-diferen]ial\ a circuitului se transform\ într-o ecua]ie algebric\, în valori efective complexe, (v.e.c.) respectiv:
,
(6)
în care (7)
se nume[te impedan]a complex\ a circuitului R, L, C serie [i este caracterizat\ prin modulul Z (numit simplu impedanţă, mărime măsurată în Ohmi) [i argumentul :
(8)
Fig. 2
Impedan]a complexă Z a circuitului RLC serie se reprezintă geometric în planul complex prin afixul şi vectorul său de poziţie (Fig.2). Partea reală a impedanţei este rezistenţa circuitului, R, iar partea imaginară este constituită de, reactan]a total\ a circuitului RLC serie, X = XL - XC , conform relaţiilor:
(9)
Caracterizarea v.e.c. a tensiunii , rezult\ din (6), ]inând cont de (5) [i (8):
,
(10)
`n care: U = ZI - valoarea efectivă a tensiunii u, u = i + - faza ini]ial\ a tensiunii u
şi se deduce: , - defazajul dintre tensiune şi curent
62
![Page 3: S.I.5-S.I.6-S.I.7(RLC Serie, RLCparalel, EchivalentaYZ+Aperiodice)(EME1012)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052307/557213e0497959fc0b933cc6/html5/thumbnails/3.jpg)
2.7. Elemente ideale de circuit în regim permanent sinusoidal 63
Rela]iile: şi U = ZI constituie legea conducţiei (legea lui Ohm) scris\ cu valori efective, pentru un circuit dipol RLC serie pasiv, respectiv legea conduc]iei (Ohm), cu valori efective complexe.
Valoarea instantanee a tensiunii, u se ob]ine din U (2.57), aplicând regula trecerii inverse (2.21) :
(11)
• Ecua]ia (2.49) a circuitului R, L, C serie, scris\ în valori efective complexe,
U U U UR L C , (12)
în care termenii sunt:
U RI e RI
U X I e jX I
U X I e jX I
Rj
L Lj
L
C Cj
C
i
i
i
,
,
,
( / )
( / )
2
2
(13)
este reprezentat\ în planul complex, prin diagrama fazorială din Fig.1.b.
Pentru simplitate, de regul\, curentul i (comun tuturor elementelor RLC `nseriate) se adopt\ ca mărime origine de faz\ (i = 0). Evident, `n acest caz, diagrama fazorială trasată în fig.1.b se roteşte `n sens orar cu unghiul i, iar u = .
Triunghiul OAB al valorilor efective complexe ale tensiunilor (Fig.1.b), în care , permite scrierea imaginii complexe a
tensiunii U sub forma:U U U U jUa r a r , (14)
în care:Ua = UR = RI = U cos (15)
U U U X X I XI Ur L C L C ( ) sin (16)
constituie- modulul componentei active (în faz\ cu curentul I ) , respectiv - modulul componentei reactive (`n cuadratur\ cu I ) ale tensiunii U .
Prin împ\r]irea laturilor OAB cu I se ob]ine triunghiul impedan]ei complexe Z a circuitului RLC serie (Fig. 2.11).
• În func]ie de ponderea reactan]elor XL [i XC, în circuitele R, L, C serie se pot realiza următoarele situaţii :
![Page 4: S.I.5-S.I.6-S.I.7(RLC Serie, RLCparalel, EchivalentaYZ+Aperiodice)(EME1012)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052307/557213e0497959fc0b933cc6/html5/thumbnails/4.jpg)
2. Circuite electrice liniare de curent alternativ
a) XL > XC, respectiv = u - i > 0; caracter preponderent inductiv,
b) XL < XC, respectiv = u - i < 0; caracter preponderent capacitiv,
c) XL = XC, respectiv = u - i = 0 ; rezonan]a tensiunilor (serie).
a) XL > XC
Circ. activ-inductiv, > 0;
b) XL < XC Circ. activ-capacitiv,< 0.
c) XL0 = XC0
Circ. pur activ, =0;rezonan]a tensiunilor (serie)
Fig. 3 Diagrame de tensiuni ale circuitului RLC serie.
În cazul particular când reactan]ele XL [i XC ale circuitului R, L, C serie satisfac condi]ia:
, (17)
în circuitul RLC se produce rezonan]a tensiunilor (serie). În
practic\, condi]ia X XL C0 0 poate fi realizat\ reglând parametrii L, sau
C sau frecvenţa, de alimentare; valoarea de rezonanţă a frecvenţei se notează cu 0 = 2f0 şi are expresia dedusă din condiţia de rezonanţă:
L=const.,C=const., , din care: (18)
Realizarea condi]iei de rezonanţă serie, , are urm\toarele consecin]e: 1. Defazajul dintre tensiunea u [i curentul i prin circuit, la rezonan]\, este egal cu zero, circuitul rezonant având caracter pur rezistiv (activ).
,(2.74
64
![Page 5: S.I.5-S.I.6-S.I.7(RLC Serie, RLCparalel, EchivalentaYZ+Aperiodice)(EME1012)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052307/557213e0497959fc0b933cc6/html5/thumbnails/5.jpg)
2.7. Elemente ideale de circuit în regim permanent sinusoidal 65
) 2. Impedan]a Z a circuitului devine minim\, egal\ cu rezisten]a R, respectiv:
Z R X X RL C02 2
0 0 ( ) = min.
(2.69) 3. Valoarea efectiv\ a intensit\]ii I0 curentului prin circuit devine maxim\, egal\ cu:
IU
Z
U
R0
0
= max.. (2.70)
4. Valorile efective ale c\derilor de tensiune UL [i UC sunt egale, iar valorile lor instantanee uL [i uC sunt în opozi]ie de faz\ şi se anulează reciproc , respectiv:
, uL+uC = 0 (2.71)
5. Valoarea efectiv\ a c\derii de tensiune pe rezistenţă, UR este egal\ cu valoarea efectiv\ a tensiunii aplicate circuitului, U :
U RI Z I UR0 0 0 0 . (2.72)
6. Pentru XL0 = XC0 > R, căderile de tensiune pe bobină şi condensator, UL0 = UC0 sunt amplificate, devenind mai mari decât tensiunea aplicată, U , UL0 = UC0 > U ; la bornele bobinei [i condensatorului apar supratensiuni, de unde [i denumirea de rezonan]\ a tensiunilor. Raportul dintre valorile efective ale tensiunilor UL0 = UC0 [i U : se nume[te factor de calitate al circuitului rezonant şi este supraunitar în acest caz:
QU
U
U
U
X
R
X
R
L
R
L C
R
Z
R
L C L C C 0 0 0 0 0 / , (2.73
)Mărimea Z L CC / se numeşte impedan]\ caracteristic\ a circuitului RLC serie. Faptul c\, atunci când este îndeplinită condi]ia Q > 1, tensiunile la bornele bobinei [i condensatorului sunt amplificate (UL0 = UC0 = QU > U) poate avea, în anumite situa]ii necontrolate, efecte negative (de exemplu: str\pungerea izola]iilor) iar în altele, efecte utile (rezonan]a este aplicat\ în tehnica m\sur\rilor electrice, în tehnica transmiterii informa]iei la distan]\ etc.).
S.1.6. Circuitul R, L, C deriva]ie. Admitan]a. Rezonan]a de curen]i
• Se consider\ circuitul dat în Fig.1. a, având la borne tensiunea u cunoscută:
u U t u 2 sin( ) . (1)
![Page 6: S.I.5-S.I.6-S.I.7(RLC Serie, RLCparalel, EchivalentaYZ+Aperiodice)(EME1012)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052307/557213e0497959fc0b933cc6/html5/thumbnails/6.jpg)
2. Circuite electrice liniare de curent alternativ
Se cunosc parametrii R, L, C [i trebuie determina]i curen]ii iR, iL, iC [i i. Se aplic\ teorema I-a a lui Kirchhoff în nodul M, respectiv:
i i i iR L C , (2)
în care (§ ):
iu
R
U
Rt
iL
u tU
Xt
i Cu
t
U
Xt
R u
LL
u
CC
u
2
12 2
2 2
sin( ) ,
d sin( / ) ,
d
dsin( / ) .
(3)
Substituind (3) în (2), rezult\ pentru circuitul R, L, C deriva]ie analizat o ecua]ie integro-diferen]ial\, liniar\, cu coeficien]i constan]i, de forma:
iu
R Lu t C
u
t
1d
d
d . (3)
Ca [i anterior, rezolvarea ecua]iei (3) se poate efectua prin aplicarea metodelor de reprezentare simbolic\ (§).
Metoda reprezent\rii analitice în complex simplificatImaginea complex\ simplificat\ a tensiunii u, (rel.(1)), are forma:
U U e j u . (4)
Substituind (4) în ecua]ia integro-diferen]ial\ (3) a circuitului [i aplicând corespondenţa operaţiilor se ob]ine:
IU
R
U
j Lj CU
(5)
Se introduc următoarele notaţii:
- conductan]a rezistorului ideal R ;
BX
LL
1
- susceptan]a inductiv\ a bobinei ideale
Fig. 1
66
![Page 7: S.I.5-S.I.6-S.I.7(RLC Serie, RLCparalel, EchivalentaYZ+Aperiodice)(EME1012)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052307/557213e0497959fc0b933cc6/html5/thumbnails/7.jpg)
2.7. Elemente ideale de circuit în regim permanent sinusoidal 67
L ;
BX
CC
1
- susceptan]a capacitiv\ a
condensatorului ideal C ;B B BL C - susceptan]a rezultant\ (total\) a
circuitului .
(6)
Astfel, ecuaţia (3) devine: I G j B B U G jB U YUL C ( ) ( ) , (7)
unde:(8)
se nume[te admitan]a complex\ a circuitului R, L, C deriva]ie. Modulul [i argumentul admitan]ei Y sunt date de relaţiile:
(9)
Triunghiul admitan]ei complexe Y a circuitului R, L, C deriva]ie (Fig. 2), din care se ob]in rela]iile pentru parteareală şi cea imaginară:
(10)
Y – admitanţa circuitului R,L,C derivaţie, G, BC şi BL se măsoară în Siemens, 1S=1/V.e.c. a curentului, rezult\ a fi:
în care:I YU -valoarea efectivă a intensităţii
curentului i, (11) -faza iniţială a curentului,
iar ; - defazajul dintre u şi i.
Rela]iile I YU şi exprim\ legea conduc]iei (Ohm) în valori efective, respectiv în valori efective complexe, pentru un circuit R, L, C deriva]ie.
Alicând regula trecerii inverse de la imagine la valoarea instantanee, rezult\:
Fig. 2
![Page 8: S.I.5-S.I.6-S.I.7(RLC Serie, RLCparalel, EchivalentaYZ+Aperiodice)(EME1012)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052307/557213e0497959fc0b933cc6/html5/thumbnails/8.jpg)
2. Circuite electrice liniare de curent alternativ
(12)
Ecua]ia (2.76) a circuitului R, L, C deriva]ie, exprimat\ în valori efective complexe, este reprezentat\ în planul complex, în fig.1.b.respectiv:
I I I IR C L , (13)
i I GU e GU
i I B U e jB U
i I B U e jB U
R Rj
L L Lj
L
C C Cj
C
u
u
u
,
,
,
( / )
( / )
2
2
(14)
Pentru simplitate, de regul\, tensiunea u (comun\ elementelor RLC conectate `n deriva]ie) se adopt\ ca origine de faz\ (u = 0). Drept urmare, diagrama fazorială din fig.1b se roteşte, `n acest caz, `n sens orar, cu unghiul u (iar i = - ).
Triunghiul OAB al valorilor efective complexe ale curen]ilor (Fig. 2), în care 0 2; / , permite scrierea imaginii complexe a curentului I sub forma:
I I I I jIa r a r , (15)
I I GU Ia R cos , (16)
I I I B B U BU Ir L C L C ( ) sin (17)
constituie - modulul componentei active (în faz\ cu tensiunea U ), iar:
- modulul componentei reactive (în cuadratur\ cu U ) a curentului I .Componenta activ\ Ia a curentului prin admitan]a Y corespunde curentului care parcurge conductan]a G a circuitului, iar componenta reactiv\, iar Ir - corespunde curentului care str\bate susceptan]a B a aceluia[i circuit.
În func]ie de ponderea susceptan]elor BL [i BC, circuitele R, L, C deriva]ie pot avea caracter preponderent:
a) inductiv, dac\ BL > BC, (X L < XC ) , > 0;b) capacitiv, dac\ BL < BC,, (X L > XC ,) < 0.c) Rezonan]a curen]ilor (deriva]ie) se obţine în cazul
particular când susceptan]ele BL [i BC ale circuitului R, L, C deriva]ie
satisfac condi]ia: B BL C0 0
68
![Page 9: S.I.5-S.I.6-S.I.7(RLC Serie, RLCparalel, EchivalentaYZ+Aperiodice)(EME1012)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052307/557213e0497959fc0b933cc6/html5/thumbnails/9.jpg)
2.7. Elemente ideale de circuit în regim permanent sinusoidal 69
a) BL > BC, (XL < XC)Circuit activ-inductiv, >0.
b) BL < BC , (XL > XC )Circuit activ-capacitiv, <0.
c) BL = BC, (XL = XC )Circuit pur activ, =0; rezonan]a curenţilor (paralel)
Fig.3. Diagrame de tensiuni ale circuitului RLC paralel.
Ca [i în cazul rezonan]ei de tensiuni, condi]ia poate fi realizat\ prin reglarea inductan]ei L, a pacit\]ii C sau frecven]ei f, a c\rei valoare f0, la rezonan]\, rezult\ - pentru elementele de circuit ideale:
L=const.,C=const., , din care:
Consecin]ele îndeplinirii condi]iei de rezonanţă în circuitul R, L, C deriva]ie sunt rmătoarele:
1. Defazajul dintre tensiunea u aplicat\ circuitului [i curentul i, în momentul reonan]ei, se anuleaz\:
(18)
2. Admitan]a circuitului Y0 devine minim\, egal\ cu conductan]a G a acestuia:
Y G B B GL C02 2
0 0 ( ) = min.
(19)3. Intensitatea curentului absorbit de circuit de la surs\ devine
minim\:
I Y U GU0 0 = min . (20)
![Page 10: S.I.5-S.I.6-S.I.7(RLC Serie, RLCparalel, EchivalentaYZ+Aperiodice)(EME1012)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052307/557213e0497959fc0b933cc6/html5/thumbnails/10.jpg)
2. Circuite electrice liniare de curent alternativ
În situa]ia particular\ în care conductan]a circuitului RLC deriva]ie este neglijabilă (G 0 ), la rezonan]ă curentul
absorbit este zero . . Circuitul se comport\ în acest caz ca
un filtru de frecven]\ (“blocheaz\” frecven]a ) [i se
nume[te circuit dop:
Y G ZY
I GU0 00
001
0 ; ; . (21)
4. Curenţii iL [i iC au valori efective egale şi fiind în opozi]ie de faz\, se anulează reciproc:
I B U B U IL L C C0 0 0 0
(22)
5. Valoarea efectiv\ a curentului prin rezistor IR devine devine egal\ cu valoarea efectiv\ a curentului total absorbit de circuit, I :
. (23)
6. La îndeplinirea condi]iei BL0 = BC0 > G, valorile efective ale curen]ilor IL0 [i IC0 prin bobin\, respectiv condensator, sunt mai mari decât curentul I0 a bsorbit de la surs\, IL0 = IC0 > I0 . Se produce în acest caz o amplificare a curen]ilor ; de aici, denumirea de rezonan]\ a curen]ilor. Raortul:
QI
I
I
I
B
G
B
G
L C L C 0 0 0 0
0 0
, (24)
se nume[te factor de calitate al circuitului RLC paralel [i valoarea sa este egal\ cu factorul de amplificare a curen]ilor la rezonan]a de curenţi.
Rezonan]a de curen]i, ca [i cea de tensiuni, are numeroase aplica]ii în tehnica m\sur\rii parametrilor RLC, în tehnica transmiterii informa]iilor şi în mod deosebit în compensarea factorului de putere etc.
S.I.7. a) Rela]ii de echivalen]\ între Z [i Y
Din compararea rela]iilor (2.53) [i (2.82) rezult\ c\ dou\ circuite, unul de impedan]\ Z [i unul de admitan]\ Y , sunt echivalente dac\:
ZY
YZ
1 1
sau . (1)
Întrucât Z = R + jX iar Y = G - jB, ]inând cont de (1), între parametrii R [i X, respectiv G [i B, rezult\ urm\toarele rela]ii de echivalen]\:
70
![Page 11: S.I.5-S.I.6-S.I.7(RLC Serie, RLCparalel, EchivalentaYZ+Aperiodice)(EME1012)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052307/557213e0497959fc0b933cc6/html5/thumbnails/11.jpg)
2.7. Elemente ideale de circuit în regim permanent sinusoidal 71
Z = R + jX, GR
R X
R
ZB
X
R X
X
Z
2 2 2 2 2 2;
(2)respectiv:
Y = G - jB , RG
G B
G
YX
B
G B
B
Y
2 2 2 2 2 2; , (3)
.
Din (2.100), (2.101) [i (2.102) se constat\ c\ numai impedan]a complex\ Z [i admitan]a complex\ Y sunt m\rimi inverse una alteia . Rezisten]a [i conductan]a, respectiv reactan]a [i susceptan]a sunt m\rimi inverse numai în cazul particular al elementelor de circuit ideale (§ 2.5).
De asemenea, trebuie re]inut c\ impedan]a complex\ Z [i admitan]a complex\ Y nu constituie o reprezentare simbolic\ a raportului valorilor instantanee ale tensiunii [i curentului, respectiv curentului [i tensiunii la borne deoarece, în general, acest raport este o func]ie de timp. Trebuie s\ se considere c\ Z [i Y sunt parametri complexi care intervin în ecua]iile circuitelor ca operatori de înmul]ire.
Rela]iile (2.101) [i (2.102) permit scrierea parametrilor R [i X, respectiv G [i B ai elementelor reale de circuit pentru orice schem\ echivalent\ (serie, deriva]ie) adoptat\.
b) Circuite complet-aperiodiceElementele de circuit reale (exemplu: bobinele,
condensatoarele) sunt caracterizate pe lâng\ parametrii proprii (L, respectiv C) [i prin rezisten]e, justificate prin aceea c\ apar efecte electrocalorice atât în conductoarele din care sunt confec]ionate bobinele cât [i în dielectricul condensatoarelor. Studiul analitic al acestor elemente se efectueaz\ substituindu-le prin scheme echivalente cuprinzând elemente ideale de circuit.
![Page 12: S.I.5-S.I.6-S.I.7(RLC Serie, RLCparalel, EchivalentaYZ+Aperiodice)(EME1012)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052307/557213e0497959fc0b933cc6/html5/thumbnails/12.jpg)
2. Circuite electrice liniare de curent alternativ
De regul\, bobinele reale (f\r\ miez feromagnetic) se substituie printr-o bobin\ ideal\ L în serie cu un rezistor ideal RL, iar condensatoarele reale - printr-un condensator ideal C în deriva]ie cu un rezistor ideal RC. În circuitele cu elemente reale, conectate în deriva]ie, rezonan]a de curen]i se studiaz\ cu ajutorul schemei date în fig.2.14, în care atât bobina real\ L, RL, cât [i condensatorul real C, RC , sunt înlocuite prin scheme echivalente serie.
Întrucât admitan]ele complexe ale celor dou\ ramuri ale circuitului sunt:
Y
R j LY
R j CL C1 2
1 1
1
;
/ , (1)
admitan]a complex\ echivalent\ a circuitului rezult\ de forma (§ 2.8.5):
(2)
Producerea rezonan]ei are loc la anularea defazajului dintre tensiunea U [i curentul I prin circuitul considerat, deci în momentul anul\rii susceptan]ei echivalente Be:
, (3)
din care se ob]ine pulsa]ia de rezonan]\:
. (4)
Deci pulsa]ia de rezonan]\ depinde - în acest caz general - [i de rezisten]ele RL, RC ale elementelor de circuit, diferind de pulsa]ia de rezonan]\ caracteristic\ circuitelor ideale (rel.(2.68)). Cele dou\ expresii coincid numai în cazul particular când RL = RC. Dac\ între parametrii circuitului exist\ rela]ia:
R R L CL C / , (5)
circuitul este rezonant pentru orice pulsa]ie (frecven]\) [i se nume[te complet-aperiodic.
În sfâr[it, dac\ R L CL / [i R L CC / (sau invers), rezult\ pentru or o valoare imaginar\ [i în circuitul considerat producerea rezonan]ei nu este posibil\.
Fig. 1
72
![Page 13: S.I.5-S.I.6-S.I.7(RLC Serie, RLCparalel, EchivalentaYZ+Aperiodice)(EME1012)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022052307/557213e0497959fc0b933cc6/html5/thumbnails/13.jpg)
2.7. Elemente ideale de circuit în regim permanent sinusoidal 73
Circuitele complet-aperiodice au aplica]ii `n tehnica m\sur\rilor parametrilor RLC ai circuitelor electrice.