Short Version : 14. Wave Motion短版 : 14. 波動

Wave Properties 波的性質Wave amplitude 波幅 Waveform 波形Pulse 脈沖Continuous wave 連續波Wave train 波列Periodicity in space 空間中的週期性 :Wavelength 波長(Angular) wave number k = 2/ ( 角 ) 波數Periodicity in time 時間上的週期性 :

Period T 週期(Angular) Frequency = 2/T ( 角 ) 頻率

Longitudinal & Transverse Waves 縱和橫波

Longitudinal waves 縱波 Transverse waves 橫波

Water waves水波

Longitudinal 縱 Transverse 橫

Mixed 混

干擾干擾

傳播 傳播

波動

1-D Vibration 一維震動

Water Waves 水波

Wave Speed 波速Speed of wave depends only on the medium.波的速率祇跟介質有關。

Sound in air 聲波在空氣中 340 m/s 1220 km/h. in water 在水中 1450 m/s in granite 在花岡岩中 5000 m/s

Small ripples on water 水上小漣漪 20 cm/s.

Earthquake 地震 5 km/s.

vT

fWave speed波速

14.2. Wave Math 波的算法At t = 0, ,0y x f x

At t , y(0) is displaced to the right by v t.在 t 時， y(0) 往右移 v t 。 ,y x t f x v t

For a wave moving to the left :波往左走的話： ,y x t f x v t

For a SHW (sinusoidal) 簡諧波 ( 正弦形 ):

,0 cosy x A k x2k

= wave number 波數SHW moving to the right 簡諧波往右走 :

, cosy x t A k x t 2T

k x t = phase 相位v

T k

= wave speed 波速

k x v t

pk @ x = 0 峰在 pk @ x = v t峰在

Waves 波

The Wave Equation 波方程1-D waves in many media can be described by the partial differential equation很多介質的一維波都可由下列偏微分方程描述

,y x t f x v t

2 2

2 2 2

y yx v t

Wave Equation 波方程

whose solutions are of the form其解可寫成v = velocity of wave 波速

E.g., 例 :•water wave ( y = wave height ) 水波 ( y = 波高 )•sound wave ( y = pressure ) 聲波 ( y = 氣壓 )•… …

, cosy x t A k x t vk

( towards 往 x )

14.3. Waves on a String 繩子上的波

= mass per unit length [ kg/m ] 每單位長度的質量

A pulse travels to the right. 一脈波往右走。In the frame moving with the pulse, 在跟著脈波走的框來看，the entire string moves to the left. 整條繩子往左走。Top of pulse is in circular motion with speed v & radius R.脈波的頂正在圓周運動，其速率為 v ，半徑為 R 。

Centripedal accel:向心加速度：2

ˆm vmR

a y

Tension force F is cancelled out in the x direction:張力 F 在 x 方向抵銷了：2 sinyF F 2F ( small segment )

( 小段 )

2

2 m vFR

22 R v

R

Fv

2F v

Wave Power 波的功率SHO :簡諧振盪器：

Segment of length x at fixed x :簡諧波： 2 212

E x A

2 212

xP At

2 21

2v A

v = phase velocity of wave 波的相位速度

2 212

E m A

Wave Intensity 波的強度

Wave front = surface of constant phase. 波前 = 等相位的面Plane wave : planar wave front. 平面波：平面波前Spherical wave : spherical wave front. 球面波：球面波前

Intensity = power per unit area direction of propagation [ W / m2 ] 強度 = 在垂直於傳送方向的面上，每單位面積的功率 [ W / m2 ]

Plane wave :平面波： I const

Spherical wave :球面波： 24PI

r

源

14.4. Sound Waves 聲波Sound waves = longitudinal mechanical waves

through matter.聲波 = 在物質中的機械 ( 或力學 ) 縱波。Speed of sound in air :聲音在空氣中的速率：

Pv

P = background pressure 背景壓力。 = mass density 質量密度。 = 7/5 for air & diatomic gases. 空氣和双原子氣體 = 5/3 for monatomic gases, e.g., He.單原子氣體，如氦

P, = max , x = 0

P, = min , x = 0

P, = eqm , |x| = max

Decibels 分貝Sound intensity level 音強級 ( 或聲音強度位準 ) :

100

10 log II

12 20 10 /I W m

Threshold of hearing at 1 kHz. 在 1 kHz 的聽覺門檻。

[ ] = decibel (dB) 分貝/10

0 10I I

22 1 10

1

10 log II

2 1 / 102

1

10II

2 110I I2 1 10 dB

3/102 110I I2 1 3 dB 12 I

Nonlinear behavior: Above 40dB, the ear percieves = 10 dB as a doubling of loudness. 非線性行為：在 40dB 以上時，耳朵會把 = 10 dB 當成響度加倍。

Sound & the Human Ear 聲音和人耳

Audible freq 可聽頻率 :20 Hz ~ 20 kHz

Bats 蝙蝠 : 100 kHz

Ultrasound 超音波 : 10

MHz

db = 0 :Hearing Threshold @ 1k Hz在 1k Hz 的 聽覺門檻

痛苦門檻

正常談話耳語

聽覺門檻

離搖滾樂團 40 m

頻率

強度

強度位準

14.5. Interference 干涉

constructive interference相長性干涉

destructive interference相消性干涉

Principle of superposition 干涉原則 : tot = 1 + 2 .

Interference 干涉

Fourier Analysis 傅立葉分析

Fourier analysis 傅立葉分析 :Periodic wave = sum of SHWs. 週期性波 = 簡諧波的和

E note from electric guitar電結他的 E 音

0

1 sin2 1n

square wave A n tn

這邊較深色的波…

… 是三個較淺色的波的和。

再多加幾項，和便趨於方形波。

聲音壓力

時間 頻率 ( 基頻的倍數 )

相對振幅 這些較高頻的和音，由結他的獨特音質確定。

這是 E 音的基本頻率。

方形波Fourier Series 傅立葉級數

Dispersion 色散Non-dispersive medium非色散介質

Dispersive medium色散介質

Dispersion 色散 :wave speed is wavelength (or freq) dependent波速與波長 ( 或頻率 ) 有關

Surface wave on deep water:深水處的水面波：

2gv

long wavelength waves reaches shore 1st. 長波長的浪最先抵達岸邊。Dispersion of pulses determines max length of wires or optical fibres in computer networks.方形脈波的色散決定電腦網路內電纜或光纖線的最大長度。

Dispersion 色散

Beats 音拍Beats: interference between 2 waves of nearly equal freq.音拍：兩個頻率差不多的波的干涉。

1 2cos cosy t A t A t

1 2 1 21 12 cos cos2 2

A t t

Freq of envelope 包封的頻率 = 1 2 .

smaller freq diff longer period between beats 頻差較小 音拍的間隔較長Applications 應用 :

Synchronize airplane engines (beat freq 0). 把飛機各個引擎調成同步 ( 音拍頻率 0) 。Tune musical instruments. 為音樂器材調音。 High precision measurements (EM waves). 高精確度測量 ( 電磁波 ) 。

Constructive 相長Destructive 相消

Beats 音拍

Interference in 2-D 二維干涉

Water waves from two sources with separation 從兩個相隔 的波源所生的水波

Nodal lines 節線： Amplitude 振幅 0

path difference = ½ n 徑差

Destructive 相消 Constructive 相長

Interference 干涉

14.6. Reflection & Refraction 反射和折射

Fixed end末端固定 Free end末端可動

Partial Reflection部份反射

A = max;reflected wave not inverted反射波不顛倒

light + heavy ropes 輕 + 重繩A = 0;reflected wave inverted反射波顛倒

Rope 繩

Partial reflection + oblique incidence refraction 部份反射 + 斜入射 折射

Partial reflection + normal incidence 部份反射 + 正入射

Application: Probing the Earth 探測地球P wave = longitudinal 主波 = 縱S wave = transverse 次波 = 橫

S wave shadow liquid outer core次波陰影 液態外殼

P wave partial reflection solid inner core主波部分反射 固態內殼

Explosive thumps oil / gas deposits炸药鎚 油 / 氣礦藏

震央

液體

次波紀錄

次波陰影區

次波紀錄

固體

14.7. Standing Waves 駐波

String with both ends fixed:兩端都固定的繩子：2

L n

, cos cosy x t A k x t B k x t

Superposition of right- travelling & reflected waves:往右走的和反射的波重疊：

, 2 sin siny x t A k x t

1 1cos cos 2 sin sin2 2

A

standing wave駐波

sin 0k L 1,2,3,n

Allowed waves = modes or harmonics 容許的波 = 模式 或 諧波n = mode number 模號 n = 1 fundamental mode 基模

n > 1 overtones 泛音y = 0 node 波節 y = max antinode 反波節

2 L n

0, 0y t B = A反波節

波節

Standing Waves 駐波

1 end fixed node, 一端固定 波節1 end free antinode. 一端可動 反波節

2 14

L n

cos 0k L

1,2,3,n

2 2 12

L n

, cos cosy x t A k x t B k x t

0x L

dydx

B A

sin sin 0kA k L t kA k L t

cos sin 0k L t

反波節

波節

波節

Standing Waves 駐波

14.8. The Doppler Effect & Shock Waves都卜勒效應和震波

Point source at rest in medium radiates uniformly in all directions.點波源停在介質中，朝四方八面均勻地輻射。When source moves, wave crests bunch up in the direction of motion ( ).波源移動時，波峯在動的方向堆起來 ( ) 。Wave speed v is a property of the medium & hence independent of source motion.波速 v 是介質的性質，因此與波源的動態無關。

vf

f Doppler effect都卜勒效應Approaching source:波源朝你來：

.

t = T

u T

t = 2T 2 uT = uT

t = 0

approach u T

u = speed of source 波源的速率

uv 1 u

v

recede u T 1 uv

1 /approachapproach

v ffu v

1 /recedeffu v

T = period of wave 波的週期

趨前後退

趨前

後退Moving Source 移動中的波源

Moving Observers 動的觀察者An observer moving towards a point source at rest in medium sees a faster moving wave.一個朝停在介質中的點波源走過去的觀察者看到的波走得比較快。Since is unchanged, observed f increases.因 沒變，量到的 f 變大。

1towarduf fv

1awayuf fv

Prob. 76

For u/v << 1:

1app

ff uv

1 ufv

towardf

Waves from a stationary source that reflect from a moving object undergo 2 Doppler effects.從一個靜止波源而來的波，被一個在動的物體反射後，會經歷二次都卜勒效應。1.A f toward shift at the object. 在物體處一次 f toward 頻移。2.A f approach shift when received at source. 在波源處被接收時一次 f approach 頻移。

Doppler Effect for Light 光的都卜勒效應Doppler shift for EM waves is the same whether the source or the observer moves.電磁波的都卜勒效應，不論是光源或是觀察者在動，結果都一樣。

1appuc

correct to 1st order in u/c準到 u/c 的一次1app

uf fc

Shock Waves 震波1app

uv

0app if u v

Shock wave front震波波前

Source, 1 period ago波源，一週期前

Shock wave 震波 : u > v

Mach number 馬克數 = u / v

Mach angle 馬克角度 = sin1(v/u)

E.g. 例 ,

Bow wave of boat. 小艇的船頭波 Sonic booms. 音爆Solar wind at ionosphere 在電離層的太陽風

Moving Source 移動中的波源