Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy...
Transcript of Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy...
![Page 1: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/1.jpg)
Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó –avagy mire jók a differenciálegyenletek?
Besenyei Ádám
Alkalmazott Analízis TanszékEötvös Loránd Tudományegyetem
19. ELTE Kárpát-medencei Nyári Egyetem2014. július 11.
![Page 2: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/2.jpg)
Sir Isaac Newton (1642–1727)
6accdae13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12ux(Newton anagrammája, Epistola posterior, 1676. október 24.)
![Page 3: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/3.jpg)
Sir Isaac Newton (1642–1727)
Data aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente,fluxiones invenire; et vice versa.
(Newton anagrammája, Epistola posterior, 1676. október 24.)
![Page 4: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/4.jpg)
Vladimir Igorevich Arnold (1937–2010)
Differenciálegyenleteket megoldani hasznos.A természet törvényeit differenciálegyenletek fejezik ki.
(Newton anagrammájának modern jelentése Arnold szerint)
![Page 5: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/5.jpg)
Egy kis ízelítő...
![Page 6: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/6.jpg)
Ízelítő
Sherlock Holmes helyszínelSherlock Holmes egy gyilkosság helyszínére érkezik. Hogyan állapítja meg, hogymikor halt meg az áldozat, ha nincs szemtanú és csak egy hőmérő van nála?
![Page 7: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/7.jpg)
Ízelítő
A hangya és a gonosz manó eseteEljut-e a hangya a (végtelenül nyújtható) gumiszalag végéhez?
1 cms 1 m
s
![Page 8: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/8.jpg)
Ízelítő
A fura Rómeó és a normális Júlia eseteRómeó és Júlia együtt járnak.Júlia „normális”: minél inkább/kevésbé szereti őt Rómeó, annál inkább/kevésbészereti ő Rómeót.Rómeó kissé „fura”: minél inkább/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/inkábbszereti ő Júliát.Hogyan alakul a kapcsolatuk?
![Page 9: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/9.jpg)
Ízelítő
Homok és hegedűvonóMi látható a képen?És hogyan kapcsolódik mindehhez Napóleon és a férfi álnéven levelező SophieGermain matematikushölgy?
![Page 10: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/10.jpg)
A változás és annak üteme...
![Page 11: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/11.jpg)
Változás
A változás nem csak a matematikában fontos...
![Page 12: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/12.jpg)
A változás üteme
A változás üteme sem csak a matematikában fontos...
![Page 13: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/13.jpg)
A változás üteme
Függvények növekedése
x0
√x
3√x
x
x32
x2x3x10
x23
polinomiális
1x
2x
3x
(1, 5)x
(1, 1)x
4x
exponenciális
![Page 14: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/14.jpg)
A változás üteme
A változás ütemex(t) időtől függő mennyiség (Newton: „fluent”)x(t) a mennyiség változási üteme (Newton: „fluxion”)
Method of fluxions, 1666 („annus mirabilis”)/1671/1736
![Page 15: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/15.jpg)
A változás üteme
Egy konkrét függvény változási üteme
![Page 16: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/16.jpg)
A változás üteme
Autóvezetésx(t) elmozdulás
↓x(t) pillanatnyi sebesség
↓x(t) pillanatnyi gyorsulás
![Page 17: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/17.jpg)
A változás üteme
Autóvezetésx(t) elmozdulás
↓x(t) pillanatnyi sebesség
↓x(t) pillanatnyi gyorsulás
Közönséges differenciálegyenletIsmert x, x, . . . , keresendő x.Newton 2. axiómája: F = ma. (Nyilván kell még: x(0), x(0), . . . .)
![Page 18: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/18.jpg)
A változás üteme
Autóvezetésx(t) elmozdulás
↓x(t) pillanatnyi sebesség
↓x(t) pillanatnyi gyorsulás
Parciális differenciálegyenletA mennyiség több változótól is függ (idő, hely), minden változó szerint vanváltozási ütem.
![Page 19: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/19.jpg)
Newton lehűlési törvénye
![Page 20: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/20.jpg)
Newton lehűlési törvénye – a probléma
A szomjas matematikus problémájaA szomjas matematikus a 30◦-osra felmelegedett italát az 5◦-os hűtőbe teszi.Mennyi idő múlva vegye ki, ha 15◦-osan szeretné meginni?
A megoldásMilyen ütemben hűl le?Isaac Newton (1701): Scala graduum Caloris (A Scale of the Degree of Heat)Joseph Fourier (1822): Théorie analytique de la chaleur
![Page 21: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/21.jpg)
Newton lehűlési törvénye – a probléma
A szomjas matematikus problémájaA szomjas matematikus a 30◦-osra felmelegedett italát az 5◦-os hűtőbe teszi.Mennyi idő múlva vegye ki, ha 15◦-osan szeretné meginni?
A megoldásMilyen ütemben hűl le?Isaac Newton (1701): Scala graduum Caloris (A Scale of the Degree of Heat)Joseph Fourier (1822): Théorie analytique de la chaleur
![Page 22: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/22.jpg)
Newton lehűlési törvénye – egy kis történelem (1701)
![Page 23: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/23.jpg)
Newton lehűlési törvénye – egy kis történelem (1701)
![Page 24: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/24.jpg)
Newton lehűlési törvénye – egy kis történelem (1701)
Newton lehűlési törvénye 1701-ből„...the Heat which the Iron loses in a given time, is as the whole Heat of the Iron.Therefore if the Times of cooling are taken equal, the Heats will be in aGeometrical Ratio, and therefore are easily found by a Table of Logarithms.”
![Page 25: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/25.jpg)
Newton lehűlési törvénye – egy kis történelem (1701)
Newton lehűlési törvénye 1701-ből„...the Heat which the Iron loses in a given time, is as the whole Heat of the Iron.Therefore if the Times of cooling are taken equal, the Heats will be in aGeometrical Ratio, and therefore are easily found by a Table of Logarithms.”
Newton lehűlési törvénye a középiskolábanA test és a közeg hőmérsékletének különbsége egyenlő időközök alattugyanannyiad részére csökken, vagyis az egyenlő időközökben mérthőmérséklet-különbségek mértani sorozatot alkotnak:
Ttest(t)− Tközeg = qt(Ttest(0)− Tközeg).
![Page 26: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/26.jpg)
Newton lehűlési törvénye – egy kis történelem (1701)
Newton lehűlési törvénye 1701-ből„...the Heat which the Iron loses in a given time, is as the whole Heat of the Iron.Therefore if the Times of cooling are taken equal, the Heats will be in aGeometrical Ratio, and therefore are easily found by a Table of Logarithms.”
Newton lehűlési törvénye a középiskolábanA test és a közeg hőmérsékletének különbsége egyenlő időközök alattugyanannyiad részére csökken, vagyis az egyenlő időközökben mérthőmérséklet-különbségek mértani sorozatot alkotnak:
Ttest(t)− Tközeg = qt(Ttest(0)− Tközeg).
Newton lehűlési törvénye differenciálegyenlettelA test közeghez képesti hőmérsékletének változása arányos a test és a közeghőmérsékletének különbségével:
(Ttest(t)− Tközeg)· = −λ(Ttest(t)− Tközeg).
![Page 27: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/27.jpg)
Newton lehűlési törvénye – alkalmazás
Sherlock Holmes és a szomjas matematikus• Ttest − Tközeg kezdetben = ∆T0
• Ttest(t)− Tközeg egységnyi idő múlva = ∆T1
• ∆T1 = q∆T0 Megvan q!• Mikor lesz/volt a hőmérséklet-különbség egy adott érték? Milyen t-re lesz
∆T2 = qt∆T0? (logaritmus...)
További „italos” alkalmazások• Mikor tegyük a tejet a kávéba, hogy minél lassabban hűljön ki?• Mikorra józanodunk ki bizonyos mennyiségű alkohol elfogyasztása után?
![Page 28: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/28.jpg)
Newton lehűlési törvénye – alkalmazás
Sherlock Holmes és a szomjas matematikus• Ttest − Tközeg kezdetben = ∆T0
• Ttest(t)− Tközeg egységnyi idő múlva = ∆T1
• ∆T1 = q∆T0 Megvan q!• Mikor lesz/volt a hőmérséklet-különbség egy adott érték? Milyen t-re lesz
∆T2 = qt∆T0? (logaritmus...)
További „italos” alkalmazások• Mikor tegyük a tejet a kávéba, hogy minél lassabban hűljön ki?• Mikorra józanodunk ki bizonyos mennyiségű alkohol elfogyasztása után?
![Page 29: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/29.jpg)
A hővezetés elmélete – történelem
Joseph Fourier (1768–1830)• fizikus/matematikus/egyiptológus (hővezetés–üvegházhatás–Rosetta-kő...)• Napóleon tudományos tanácsadója• az Egyiptomi Intézet titkára, Alsó-Egyiptom kormányzója (1798)• Isère megye prefektusa (1801)
![Page 30: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/30.jpg)
A hővezetés elmélete – történelem
A hővezetés analitikus elmélete (1822)• 1804-tól Grenoble-ban kutat (miközben megyét irányít, könyvet ír...)• 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corpes solides• 1811 Akadémiai díj• 1822 Akadémia titkára: Théorie analytique de la chaleur
![Page 31: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/31.jpg)
A hővezetés elmélete – történelem
A hővezetés analitikus elmélete (1822)• 1804-tól Grenoble-ban kutat (miközben megyét irányít, könyvet ír...)• 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corpes solides• 1811 Akadémiai díj• 1822 Akadémia titkára: Théorie analytique de la chaleur
Fourier törvénye és a hővezetési egyenlet• Fourier törvénye ∼ Fick törvénye ∼ Ohm törvénye• hővezetési egyenlet
• Fourier-sorok... (zene, jelek)
![Page 32: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/32.jpg)
A hővezetés elmélete – történelem
Szemelvények
![Page 33: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/33.jpg)
A hővezetés elmélete – történelem
Szemelvények
„A természet elmélyült tanulmányozása a matematikai felfedezéseklegtermékenyebb forrása.”
![Page 34: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/34.jpg)
A hővezetés elmélete – történelem
Szemelvények
„A matematika az emberi elme azon képessége, amelynek célja, hogy kárpótoljonaz élet rövidségéért és érzékszerveink tökéletlenségéért.”
![Page 35: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/35.jpg)
A hővezetés elmélete – történelem
Vélemények• William Thomson, Lord Kelvin (1824–1907): 16 évesen olvassa
„Fourier nagyszerű matematikai költeménye”
• Arnold Sommerfeld (1868–1951):„a fizikusok bibliája”
![Page 36: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/36.jpg)
A hangya és a gonosz manó
![Page 37: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/37.jpg)
A hangya és a gonosz manó – a probléma
A kis hangya és a gonosz manó eseteEljut-e a hangya a (végtelenül nyújtható) gumiszalag végéhez?
1 cms 1 m
s
Egy kis történelem• 1972. december, Science et Vie folyóirat, Denys Wilquin (New Caledonia):
„small creature on an elastic rope”• Martin Gardner, Scientific American („worm”)
![Page 38: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/38.jpg)
A hangya és a gonosz manó – a probléma
A kis hangya és a gonosz manó eseteEljut-e a hangya a (végtelenül nyújtható) gumiszalag végéhez?
1 cms 1 m
s
Egy kis történelem• 1972. december, Science et Vie folyóirat, Denys Wilquin (New Caledonia):
„small creature on an elastic rope”• Martin Gardner, Scientific American („worm”)
![Page 39: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/39.jpg)
A hangya és a gonosz manó – megoldás
A megoldásA manó faltól való távolságának változási üteme V = 1 m
sA hangya faltól való x(t) távolságának változási üteme =hangya gumihoz viszonyított v = 1 cm
s sebessége+ gumi adott pontjának u távolodási sebessége
x(t)távolodási ütem= u =?
d+ V t
távolodási ütem= V
t idő múlva
u
V= x(t)d+ V t
x(t) = v + V
d+ V tx(t)
![Page 40: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/40.jpg)
A hangya és a gonosz manó – megoldás
A megoldásA manó faltól való távolságának változási üteme V = 1 m
sA hangya faltól való x(t) távolságának változási üteme =hangya gumihoz viszonyított v = 1 cm
s sebessége+ gumi adott pontjának u távolodási sebessége
x(t)távolodási ütem= u =?
d+ V t
távolodási ütem= V
t idő múlva
u
V= x(t)d+ V t
x(t) = v + V
d+ V tx(t)
![Page 41: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/41.jpg)
A hangya és a gonosz manó – megoldás
A megoldásA manó faltól való távolságának változási üteme V = 1 m
sA hangya faltól való x(t) távolságának változási üteme =hangya gumihoz viszonyított v = 1 cm
s sebessége+ gumi adott pontjának u távolodási sebessége
x(t)távolodási ütem= u =?
d+ V t
távolodási ütem= V
t idő múlva
u
V= x(t)d+ V t
x(t) = v + V
d+ V tx(t)
![Page 42: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/42.jpg)
A hangya és a gonosz manó – megoldás
A megoldásAki tanult megoldani differenciálegyenleteket, az innen már tudja, hogy
a hangya távolsága a faltól x(t) = (d+ V t) · vV
log(
1 + V t
d
),
találkozási időpont T = d
V
(e
Vv − 1
),
találkozási hely x(T ) = d · eVv .
Mit is jelent ez?
Ha d = 1m, v = 1 cms , V = 1 m
s , akkortalálkozási időpont ∼ 2, 68 · 1043s ∼ 8, 5 · 1035 év,találkozási hely ∼ 2, 68 · 1043m ∼ 2, 8 · 1027 fényév.
Összehasonlításképpen:az univerzum életkora = 4 · 1017s ∼ 13 · 109 év,
az univerum átmérője = 8, 8 · 1023km ∼ 9, 3 · 1010 fényév.
![Page 43: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/43.jpg)
A hangya és a gonosz manó – megoldás
A megoldásAki tanult megoldani differenciálegyenleteket, az innen már tudja, hogy
a hangya távolsága a faltól x(t) = (d+ V t) · vV
log(
1 + V t
d
),
találkozási időpont T = d
V
(e
Vv − 1
),
találkozási hely x(T ) = d · eVv .
Mit is jelent ez?Ha d = 1m, v = 1 cm
s , V = 1 ms , akkor
találkozási időpont ∼ 2, 68 · 1043s ∼ 8, 5 · 1035 év,találkozási hely ∼ 2, 68 · 1043m ∼ 2, 8 · 1027 fényév.
Összehasonlításképpen:az univerzum életkora = 4 · 1017s ∼ 13 · 109 év,
az univerum átmérője = 8, 8 · 1023km ∼ 9, 3 · 1010 fényév.
![Page 44: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/44.jpg)
A hangya és a gonosz manó – megoldás
A megoldásAki tanult megoldani differenciálegyenleteket, az innen már tudja, hogy
a hangya távolsága a faltól x(t) = (d+ V t) · vV
log(
1 + V t
d
),
találkozási időpont T = d
V
(e
Vv − 1
),
találkozási hely x(T ) = d · eVv .
Mit is jelent ez?Ha d = 1m, v = 1 cm
s , V = 1 ms , akkor
találkozási időpont ∼ 2, 68 · 1043s ∼ 8, 5 · 1035 év,találkozási hely ∼ 2, 68 · 1043m ∼ 2, 8 · 1027 fényév.
Összehasonlításképpen:az univerzum életkora = 4 · 1017s ∼ 13 · 109 év,
az univerum átmérője = 8, 8 · 1023km ∼ 9, 3 · 1010 fényév.
![Page 45: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/45.jpg)
Üldözési problémák – a három kutya
A három/négy kutya/egér/teknősÉdouard Lucas (1842–1891) és Henri Brocard (1845–1922), 1877.
![Page 46: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/46.jpg)
Üldözési problémák – a három kutya
A három/négy kutya/egér/teknősA pálya logaritmikus spirál.
![Page 47: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/47.jpg)
Üldözési problémák – a három kutya
Logaritmikus spirál
![Page 48: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/48.jpg)
Üldözési problémák – a három kutya
Spira mirabilisJakob Bernoulli (1654–1705)
Eadem mutata resurgo.(Bár megváltozva, mégis én magam kelek fel.)
![Page 49: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/49.jpg)
Üldözési problémák – a három hokotró és egyéb esetek
A három hókotróMurray S. Klamkin, 1951.
![Page 50: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/50.jpg)
Üldözési problémák – a három hokotró és egyéb esetek
A három hókotróMurray S. Klamkin, 1951.
„Alkalmazások” tárháza kimeríthetetlen• róka–nyúl• kutya–gazdi• naszád–tengeralattjáró• differenciáljátékok (Rufus Isaacs, 1951.)
![Page 51: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/51.jpg)
Rómeó és Júlia
![Page 52: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/52.jpg)
Rómeó és Júlia – a probléma
Rómeó kissé „fura” (vagy inkább „nehéz ember”...)Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát:
R(t) = −J(t).
Júlia „normális”Minél jobban/kevésbé szereti őt Rómeó, annál jobban/kevésbé szereti ő Rómeót:
J(t) = R(t).
KérdésHogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata?
MegoldásCélszerű t 7→ (R(t), J(t)) ábrázolása a síkon.
![Page 53: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/53.jpg)
Rómeó és Júlia – a probléma
Rómeó kissé „fura” (vagy inkább „nehéz ember”...)Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát:
R(t) = −J(t).
Júlia „normális”Minél jobban/kevésbé szereti őt Rómeó, annál jobban/kevésbé szereti ő Rómeót:
J(t) = R(t).
KérdésHogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata?
MegoldásCélszerű t 7→ (R(t), J(t)) ábrázolása a síkon.
![Page 54: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/54.jpg)
Rómeó és Júlia – a probléma
Rómeó kissé „fura” (vagy inkább „nehéz ember”...)Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát:
R(t) = −J(t).
Júlia „normális”Minél jobban/kevésbé szereti őt Rómeó, annál jobban/kevésbé szereti ő Rómeót:
J(t) = R(t).
KérdésHogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata?
MegoldásCélszerű t 7→ (R(t), J(t)) ábrázolása a síkon.
![Page 55: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/55.jpg)
Rómeó és Júlia – a probléma
Rómeó kissé „fura” (vagy inkább „nehéz ember”...)Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát:
R(t) = −J(t).
Júlia „normális”Minél jobban/kevésbé szereti őt Rómeó, annál jobban/kevésbé szereti ő Rómeót:
J(t) = R(t).
KérdésHogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata?
MegoldásCélszerű t 7→ (R(t), J(t)) ábrázolása a síkon.
![Page 56: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/56.jpg)
Rómeó és Júlia – megoldás
Fura Rómeó és normális JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):
R(t) = −J(t),J(t) = R(t).
![Page 57: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/57.jpg)
Rómeó és Júlia – megoldás
Fura Rómeó és normális JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):
R(t) = −J(t),J(t) = R(t).
R
J
centrum
![Page 58: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/58.jpg)
Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok
Normális Rómeó és normális JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):
R(t) = J(t),J(t) = R(t).
![Page 59: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/59.jpg)
Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok
Normális Rómeó és normális JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):
R(t) = J(t),J(t) = R(t).
R
J
nyereg
![Page 60: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/60.jpg)
Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok
Fura Rómeó és hangulatfüggő JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):
R(t) = −J(t),J(t) = R(t) + J(t).
![Page 61: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/61.jpg)
Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok
Fura Rómeó és hangulatfüggő JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):
R(t) = −J(t),J(t) = R(t) + J(t).
R
J
fókusz
![Page 62: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/62.jpg)
Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok
Fura Rómeó és hangulatfüggő Júlia 2.Matematikailag (a legegyszerűbben):
R(t) = −J(t),J(t) = R(t) + 2J(t).
![Page 63: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/63.jpg)
Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok
Fura Rómeó és hangulatfüggő Júlia 2.Matematikailag (a legegyszerűbben):
R(t) = −J(t),J(t) = R(t) + 2J(t).
R
J
csomó
![Page 64: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/64.jpg)
Rómeó és Júlia – történelem
Rómeó és Júlia szerelmeSteven Strogatz (1959–), Love Affairs and Differential Equations, 1988.
![Page 65: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/65.jpg)
Rómeó és Júlia – Petrarca és Laura
Petrarca és LauraFrancesco Petrarca (1304–1374) Laura de Noves (1310–1348) ??
![Page 66: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/66.jpg)
Rómeó és Júlia – Petrarca és Laura
Petrarca érzései Laura irántSergio Rinaldi, 1998.
![Page 67: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/67.jpg)
Rómeó és Júlia – Lotka–Volterra-modell
LotkaAlfred James Lotka (1880–1949), 1925.
![Page 68: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/68.jpg)
Rómeó és Júlia – Lotka–Volterra-modell
VolterraVito Volterra (1860–1940) (após), Umberto D’Ancona (1896–1964), 1926.
Kérdés: Adriai-tengerben az I. világháború alatt a zsákmányhalak száma csökkent,a ragadozó halak száma nőtt. Miért?
![Page 69: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/69.jpg)
Rómeó és Júlia – Lotka–Volterra-modell
Lotka–Volterra-modellZsákmányhalak száma: x(t).Ragadozó halak száma: y(t).Halászat intenzitása: ε.
x(t) = ax(t)− bx(t)y(t)− εx(t),y(t) = −cy(t) + dx(t)y(t)− εy(t).
Következmény:
átlagos zsákmányszám = c+ ε
d,
átlagos ragadozószám = a− εb
.
A halászat növeli a zsákmányszámot, csökkenti a ragadozószámot.
![Page 70: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/70.jpg)
Rómeó és Júlia – háború
Harci modellekFrederick William Lanchester (1868–1946), 1916.
Harc típusok: hagyományos, gerilla, vegyes harc
![Page 71: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/71.jpg)
Homok és hegedűvonó
![Page 72: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/72.jpg)
Homok és hegedűvonó – történelem
Az akusztika szülőatyjaErnst Chladni (1756–1827)
![Page 73: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/73.jpg)
Homok és hegedűvonó – történelem
Chladni-ábrák1787: Robert Hooke (1635–1703) kísérletét megismétli
![Page 74: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/74.jpg)
Homok és hegedűvonó – történelem
Akusztika1802: Chladni könyve az akusztikáról (Die Akustik)
![Page 75: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/75.jpg)
Homok és hegedűvonó – történelem
Akusztika1802: Chladni könyve az akusztikáról (Die Akustik)
![Page 76: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/76.jpg)
Homok és hegedűvonó – történelem
Akusztika1802: Chladni könyve az akusztikáról (Die Akustik)
![Page 77: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/77.jpg)
Homok és hegedűvonó – történelem
1809• bemutatja a kísérletet Napóleonnak• francia kiadása Chladni könyvének• Akadémiai pályázat (3000 frank)
![Page 78: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/78.jpg)
Homok és hegedűvonó – történelem
Sophie Germain (1776–1831)• 13 éves korában apja könyvtárában felfedezi a matematika könyveket• Gauss-szal levelezik számelméletről (M. Leblanc)• háromszor pályázik, harmadjára „Prix extraordinaire”• rugalmasságtan (biharmonikus egyenlet), számelmélet (Fermat-sejtés)
![Page 79: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/79.jpg)
Irodalomjegyzék
Hatvani László – Pintér Lajos, Differenciálegyenletes modellek aközépiskolában, Polygon, Szeged, 1997.
www.archive.org (eredeti művek digitálisan)
www.wikipedia.org (képek)
http://abesenyei.web.elte.hu/mattanar/15o/diffegy15o/diffegy15o.php (további érdekességek)
![Page 80: Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy ...abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf · Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022030406/5a8109267f8b9ada388cc1e5/html5/thumbnails/80.jpg)
Vége
Köszönöm a figyelmet!