KAJIAN STRUKTUR ELEKTRONIK QUANTUM DOT SIMETRIS DALAM NANOKRISTAL SILIKON

DENGAN PENDEKATAN MASSA EFEKTIF kr

p.r

DAN IKATAN KUAT (TIGHT-BINDING)

Tesis Untuk memenuhi sebagian persyaratan

mencapai derajat Sarjana S-2

Program Studi Ilmu Fisika Kelompok Bidang Ilmu Matematika

Dan Pengetahuan Alam

Disusun Oleh Muhamad Darwis Umar

21529/I-4/1717/04

kepada SEKOLAH PASCASARJANA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA

YOGYAKARTA 2007

STUDY ON THE ELECTRONIC STRUCTURES OF SYMMETRICAL QUANTUM DOTS IN SILICON NANOCRYSTALS USING p.k rr

EFFECTIVE MASS AND TIGHT-BINDING APPROXIMATIONS

A Thesis

As a partial of the requirments for the

degree of master of sains

by Muhamad Darwis Umar

Submitted to PHYSICS PROGRAM IN THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS

AND NATURAL SCIENCES POST GRADUATE PROGRAM GADJAH MADA UNIVERSITY

YOGYAKARTA 2007

ii

iii

TESIS

KAJIAN STRUKTUR ELEKTRONIK QUANTUM DOT SIMETRIS DALAM NANOKRISTAL SILIKON

DENGAN PENDEKATAN MASSA EFEKTIF kr

p.r

DAN IKATAN KUAT (TIGHT-BINDING)

yang dipersiapkan dan disusun oleh Muhamad Darwis Umar

21529/I-4/1717/04 telah dipertahankan di depan Dewan Penguji

pada tanggal 07 Februari 2007

Susunan Dewan Penguji

Pembimbing Utama Anggota Tim Penguji lain Dr. Kamsul Abraha Pembimbing Pendamping I Dr. Mirza Satriawan Pembimbing Pendamping II ……………………………

Dr. Kuat Triyana Dr. Arief Hermanto ………………………………

Tesis ini telah diterima sebagai salah satu persyaratan untuk memperoleh gelar Magister

Tanggal 13 Februari 2007

Dr. Kamsul Abraha Pengelola Program Studi Ilmu Fisika

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang

pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan Tinggi,

dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat yang

ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam

naskah ini dan diterbitkan dalam daftar pustaka.

Yogyakarta, 06 Februari 2007

Muhamad Darwis Umar

iv

Persembahan

To my Parents and my Love

Buat kita dan kalian yang selalu berusaha menterjemahkan bahasa alam dan pikiran demi pemahaman, teknologi dan spritualitas

v

Spirit dari Proses Ilmiah: Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya malam dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang yang berakal. (Ali Imrān, ayat: 190) Sesungguhnya malaikat merendahkan sayap-sayapnya bagi mereka yang berilmu karena ridho dengan apa yang dilakukannya (Hadist Rosulullah SAW)

Beberapa Renungan:: Pola adalah tubuh dari Imajinasi dan Logika, sedangkan Ide adalah nyawa yang menghidupinya (Darwis) Ilmu seperti juga kecantikan bagaikan bayangan keberadaan dalam cermin, semakin seseorang mencintainya dengan kebijaksanaan maka semakin sempurna keindahan wajahnya ia tampakkan (Darwis). Akal sebagai roh dari ilmu pengetahuan juga membutuhkan sandaran dan pijakkan dari kegilaan serta kesia-siaan, dan itu pastilah keyakinan atas agama dan Tuhan (Darwis). Ilmu dan agama bagaikan sayap sepasang kekasih, penyatuan diantara mereka laksana perkawinan yang bersifat saling mencukupkan dan mendatangkan kemaslahatan, sedangkan keterpisahannya akan memicu kepincangan dan memacu sifat berlebih-lebihan, dari sini kita dapat terbang, hinggap dan menyelam untuk menatap dan mengenal alam (Darwis). Imajinasi dan logika itu laksana Fisika dan Matematika, kecocokkan diantara mereka memberikan Intepretasi dan Persepsi kita tentang alam (Darwis).

vi

PRAKATA

Atas berkah rahmat Allah SWT dengan takdir dan ketetapannya,

penghargaan atas kemuliaan junjungan kita Baginda Rosulullah yang meneladani

umatnya dalam pengelolaan ego, potensi, perbedaan, hukum-hukum alam yang

meligkupi kita, serta dalam usaha menambah khasanah pengetahuan dan wawasan

penulis khususnya tentang fisika zat padat, maka tesis dengan judul “Kajian

Struktur Elektronik quantum dot Simetris Nanokristal Silikon Dengan

Pendekatan Ikatan Kuat (Tight-Binding) dan Pendekatan Massa Efektif k.p” dapat

diselesaikan. Karya sederhana ini merupakan muara kecil dari sekian banyak

pemanfaatan paradigma mekanika kuantum dan pokok fisika zat padat yang telah

secara luas mendorong dan menyemarakkan perjalanan arus budaya dan

peradapan melalui teknologi.

Karya ini tentu dimungkinkan oleh berbagai dukungan, kesempatan dan

fasilitas dari berbagai pihak, untuk itu pada kesempatan ini penulis berkenan

menghaturkan terimakasih pada:

1. Universitas Gadjah Mada-Yogyakarta melalui Program Studi Pascasarjana

Ilmu Fisika, yang telah memberikan kesempatan, kemudahan dan

dukungan untuk penulis melakukan kuliah, penelitian dan akses internet

gratis.

2. Fisikawan yang telah menyebarluaskan informasi hasil penelitian mereka

secara luas di internet dan dapat diakses secara gratis.

vii

3. Dr. Kamsul Abraha selaku pembimbing I, yang telah membantu pustaka,

membantu pembuatan abstract serta menyempatkan waktunya untuk

membimbing dan mengarahkan penulis baik secara langsung maupun

tidak langsung di tengah kesibukkan Beliau sebagai Ketua Jurusan, Dosen

dan Reviewer dll.

4. Dr. H. Mirza Satriawan selaku pembimbing II, yang berirama cepat tetapi

mau membimbing penulis dengan sabar dalam memahami teknik

matematis di tengah padatnya jadwal mengajar dan membimbing Beliau,

juga terimakasih untuk bantuan pembuatan abstract-nya.

5. Dr. Muhammad Farchani Rosyid, yang sangat inspiratif, sabar dalam

mengajari struktur matematika mekanika kuantum, meneladani untuk

selalu explore terhadap berbagai bidang serta diskusi-diskusi menarik

tentang alam dan matematika.

6. Dr. Kuat Triyana, atas dorongan untuk menyelesaikan studi, semangat

adaptasi fisika dalam teknologi dan pasar serta diskusi-diskusi menarik

tentang masalah nasional dan kehidupan.

7. Prof. Muslim, sebagai potret tokoh yang idealis, berdedikasi tinggi dan

sangat mencintai fisika, Dr. Arif Hermanto, atas diskusi singkat yang

sangat inspiratif, dan seluruh dosen fisika.

8. Teman-teman penulis: Toto, Toufik, Eko-Prambanan, Ian-Bengkulu,

Agus-Magelang, Ikbal-Ternate, Anto-UNPAD, Zeba-NTT, Romi-06,

Timy-05, Wahyu-04, seluruh teman-teman kuliah s2, s1, teman-teman di

viii

berbagai daerah serta adik-adik kos-kosan bu Carik yang ndak sempat

disebutkan namanya.

9. Kelurga Besar La Ode Umar yang telah memberikan dorongan materil dan

moril.

Sebagai produk dari keterbatasan manusia, maka tentu hasil dari penelitian

ini sangat menunggu dan terbuka untuk menerima masukan demi proses

pemeliharaan transformasi ilmu-pengetahuan dalam institusi pendidikan tinggi,

akhir kata semoga penelitian ini membawa manfaat.

Yogyakarta, 2007

Penyusun

ix

DAFTAR ISI

Halaman Judul i

Halaman Pengesahan iii

Halaman Pernyataan iv

Halaman Persembahan v

Halaman Motto vi

PRAKATA vii

DAFTAR ISI x

DAFTAR GAMBAR xv

DAFTAR TABEL xvii

DAFTAR LAMPIRAN xviii

DAFTAR SINGKATAN xix

DAFTAR LAMBANG xx

INTISARI xxiii

ABSTRACT xxiv

BAB I PENDAHULUAN 1

1. Latar Belakang Masalah…………………………………. 1

2. Perumusan Masalah……………………………………... 8

3. Batasan Masalah…………………………………………. 9

4. Tujuan Penelitian………………………………………... 10

5. Manfaat Penelitian………………………………………. 11

6. Keaslian Penelitian….…………………………………... 11

x

7. Kerangka Penulisan.……...……………………………… 12

8. Tinjauan Pustaka...…………...…………………………... 13

1. Struktur Elektronik Silikon Bulk dan Nanokristal.... 13

2. Perhitungan Struktur Elektronik dengan Metode

Pendekatan Massa-Efektif k.p dan Pendekatan

Himpunan basis OPF….....………………………... 14

BAB II DASAR TEORI 16

1. Masalah Struktur Elektronik…………………………...... 16

2. Metode Perhitungan Struktur Pita Elektronik

Semikonduktor…………………………………………... 20

a. Pendahuluan Teori k.p…………………………..... 21

b. Gelombang Bloch…………………………………. 22

c. Persamaan k.p untuk Fungsi Bloch Periodik tanpa

Gandengan Spin-Orbit…………………………….. 26

1. Pita Tidak Merosot…………………………… 28

a. Sifat Simetri ……………………………. v 29

b. Simetri Fungsi Eigen……………………... 30

d. Model Kane……………………………………...... 35

e. Hamiltonian Bulk Semikonduktor………………… 40

1. Model Hamiltonian k.p 6x6 dengan Teori

Gangguan (Celah Pita Cukup Lebar)………..... 41

2. Model Hamiltonian k.p 8x8 (Celah Pita

Sempit)............................................................... 47

xi

3. Metode Pseudopotensial Empirik……………………...... 50

4. Metode Tight-Binding…………………………………… 52

a. Sekitar Metode Tight-Binding…………………...... 52

b. Metode Tight-Binding Semiempirik…………….... 53

1. Prinsip Dasar………………………………..... 53

2. Metode Tight-Binding untuk Padatan Kristal

(Terdapat Beberapa Atom dalam Sel Satuan)... 56

c. Hamiltonian Metode Tight-Binding Semiempirik… 60

d. Metode Pendekatan dalam Tight-Binding

Semiempirik………………………………………. 61

1. Pendekatan Dua Pusat ……………………….. 61

2. Model Tight-Binding Interval Berhingga..…... 62

3. Model Tight-Binding Ortogonal……………… 63

e. Integral Hopping…………………………………... 66

f. Gandengan Spin-Orbit dalam Tight-Binding……... 67

BAB III ELABORASI HASIL PENELITIAN 70

1. Penentuan Himpunan Basis Ruang Hilbert Sistem QD

Kristal Simetris…………………………………………... 71

2. Produk Tensor Dua Ruang Hilbert………………………. 74

3. Produk Tensor Dua Ruang Hilbert dalam Persepsi

Pendekatan Partikel Tunggal…………………………….. 77

4. Metode Pendekatan Massa Efektif k.p-Metode

Pseudopotensial Empirik……………………………….. 78

xii

a. Celah Pita Lebar…………………………………... 79

b. Celah Pita Sempit………………………………… 85

5. Metode Pendekatan Tight-Binding Semiempirik……….. 87

a. Proyeksi Integral Hopping………………………… 88

1. Proyeksi Integral S-P………………………… 88

2. Proyeksi Integral P-P…………………………. 90

6. Langkah Kerja………………………..………….............. 95

1. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dengan

Metode Pendekatan Massa Efektif k.p……………. 95

2. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dengan

Metode Pendekatan Tight-Binding Semiempirik….. 96

7. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen….…….............. 97

a. Dengan Metode Pendekatan Massa Efektif k.p-

Metode Pseudopotensial Empirik…………………. 97

1. Hamiltonian LK dalam Koordinat Silinder…... 97

2. Hamiltonian LK dalam Koordinat Bola….…... 98

3. Nilai Elemen Matriks Hamiltonian LK 6x6 dan

8x8 untuk QD Silinder………………………... 102

4. Nilai Elemen Matriks Hamiltonian LK 6x6 dan

8x8 untuk QD Bola….……………………….. 103

5. Nilai Eigen dan Fungsi Eigen untuk Hole

dalam Pita Lebar……………………………… 105

6. Nilai Eigen dan Fungsi Eigen untuk Elektron- 108

xiii

Hole dalam Pita Sempit……………………….

b. Dengan Metode Tight-Binding Semiempirik……... 110

8. Pembahasan……………………………………………… 111

1. Metode Massa Efektif k.p 112

2. Metode Tight-Binding Semiempirik 113

3. Nilai Energi Elektron dan Hole QD Bersimetri

Bola dan Silinder 114

4 Ketergantungan Bentuk dan Ukuran QD Simetris

terhadap Struktur Elektroniknya…………………... 114

a. Ketergantungan Ukuran 114

b. Ketergantungan Bentuk 115

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 116

1. Kesimpulan …………………………………………….. 116

2. Saran…………………………………………………….. 117

DAFTAR PUSTAKA 118

LAMPIRAN 1 121

LAMPIRAN 2 122

LAMPIRAN 3 124

xiv

DAFTAR GAMBAR

II.1 Struktur pita dalam model elektron mendekati-bebas. Untuk 1-

dimensi keadaan terdegenerasi hanya terjadi pada pusat zona (k=0

atau pada tepi zona Brillouin (k = ±π/a). Untuk kasus 2 dan 3

dimensi keadaan tergenerasi dapat juga terjadi pada titik lain dalam

zona Brillouin (Jena, 2004)…………………………………………... 24

II.2 Orbital-orbital s dan p dari sistem atom. orbital-s berbentuk bola,

dengan demikian simetri pada semua sumbu. Orbital-orbital-p adalah

antisimetri atau fungsi ganjil sepanjang arah mereka diorientasikan

(Jena, 2004)…………………………………………………………... 31

II.3 Tipe struktur pita semikonduktor. Untuk semikonduktor celah-

langsung, keadaan pita konduksi terjadi pada k=0 yang berperilaku

seperti orbital-s, sedangkan keadaan pita valensi adalah kombinasi

linear orbital-orbital yang berperilaku seperti orbital-p. Untuk

semikonduktor celah-tidak langsung keadaan pita konduksi tidak

berperilaku seperti orbital-s, tetapi menyerupai keadaan camputran

dari keadaan orbital-p dengan keadaan orbital-s (Jena, 2004)……….. 32

II.4 Ilustrasi skematik dari efek dari gandengan spin-orbit pada tepi pita

konduksi terbawah dan tepi pita tertinggi valensi. (a) tanpa interaksi

spin-orbit. (b) dengan interaksi spin orbit (Kemerink, 1998)...……… 39

II.5 Illustrasi ketergantungan potensial atomik terhadap jarak…………... 54

II.6 Ilustrasi kristal dengan setiap kisi kristal memiliki atau terdapat 56

xv

beberapa atom di dalamnya…………………………………………..

II.7 Atom pada sel satuan krista kubus pusat muka silikon dengan

kostanta kisi a………………………………………............................ 57

II.8 Grafik ketergantungan orbital dan integral hopping terhadap jarak

dari inti (Niquet, 2005)...…………………………………………….. 63

II.9 Ilustrasi asumsi ortogonalisasi yang tetap menganggap terjadi

tumpah tindih orbital walaupun kecil dan tumpah tindih ini relatif

masih memelihara bentuk orbital masing-masing…………………… 65

II.10 Beberapa defenisi integral hopping dan proyeksi-nya.......................... 69

III.1 Ilustrasi grafis proyeksi orbital S-P………………………………….. 89

III.2 Ilustrasi grafis proyeksi orbital P-P………………………………….. 90

III.3 Diagram alir penentuan nilai eigen dan vektor eigen sistem QD

simetris bola dan silinder…………………………………………….. 96

xvi

DAFTAR TABEL

II.1 Himpunan kombinasi linear basis tak-terganggu yang digunakan

dalam formulasi k . p (North, 2001)..................................................... 40

III.1 Nilai parameter massa dari metode pseudopotensial empirik dan nilai

parameter pita kristal Silikon dalam elemen matrik Hamiltonian

metode massa efektif k.p ..................................................................... 79

III.2 Nilai Parameter pita dan konstanta dari paramerisasi oleh Kwon dkk

(1998)………………………………………………………………… 87

III.3 Hasil proses pencocokkan (fitting) terhadap integral Hopping dalam

model oleh Kwon dkk (1998)………………………………………... 87

III.4 Keadaan terseleksi dalam koefisien Clebsh-Gordan, untuk n=1, l”=1,

m=0 , untuk Hamiltonian LK 6x6 dan Hamiltonian LK 8x8 ………... 100

xvii

DAFTAR LAMPIRAN

1. Matrik transpose dan matrik konjugat dari matrik U, dengan matriks

U adalah matrik transformasi dari basis ↑S , ↑X , ↑Y , ↑Z ,

↓S , ↓X , ↓Y dan ↓Z ke basis Kane dalam persamaan

III.66…………………………………………………………………. 121

2. Elemen Hamiltonian TB 8x8 dalam basis Bloch untuk persamaan

III.68…………………………………………………………………. 122

3. Contoh hasil perhitungan koefisien Clebsch-Gordan, perhitungan

elemen matriks LK 6x6 untuk QD silinder dan QD bola serta bukti

perhitungan nilai elemen baris pertama dan kolom pertama matrik

Hamiltonian TB dalam persamaan III.68 dengan Maple 9.5.

1. Contoh perhitungan koefisien Clebsch-Gordan untuk

jangkauan k terdiri dari satu elemen…………………………

2. Contoh perhitungan koefisien Clebsch-Gordan untuk

jangkauan k terdiri dari dua elemen elemen…………………

3. Contoh perhitungan komponen elemen matrik LK 6x6 (S)

dalam koordinat silinder ……………………………………..

4. Contoh perhitungan komponen elemen matrik LK 6x6 (S)

dalam koordinat bola…………………………………………

5. Perhitungan nilai elemen baris pertama dan kolom pertama

matrik Hamiltonian TB……………………………………….

124

124

125

129

137

xviii

DAFTAR SINGKATAN

HH : Heavy-Hole

LH : Light-Hole

LK : Luttinger-Kohn

MBE : Molecular Beam Epitaxy

MOCVD : Metal-Organic Chemical Vapour Deposition

OPF : Orthogonal Periodic Function

QD : Quantum Dot

SO : Spin-Orbit

TB : Tight-Binding

xix

DAFTAR LAMBANG

α : parameter pita konduksi

B : medan magnet

c : kelajuan cahaya dalam ruang hampa = sm10998.2 8×

( lmmmjlC |"';" ) : koefisien Clebsch-Gordan

∆S.O : energi spin-orbit

e : muatan elektron; 191060217733.1 −×=e

E : medan listrik

Ec : energi pita konduksi

Eg : celah energi

EK : energi Kane

Ep : energi orbital-p

Es : energi orbital-s

Ev : energi pita valensi

G : vektor kisi balik

γ1, γ2, γ3 : parameter Luttinger-Kohn

h : π2h=h , = konstanta Planck heV.s10582.6J.s10055.1

16

34

−

−

×=

×=h

H : Hamiltonian (operator energi)

h : Hamiltonian tight-binding

h(r) : integral Hopping

xx

H : ruang Hilbert

J : operator momentum sudut total (J = L + S)

Jl”(r) : fungsi Bessel spherical

( )rm"ℑ : fungsi Bessel

Jz : proyeksi J sepanjang sumbu-z

k : vektor gelombang

L : operator momentum sudut

m0 : massa pita konduksi

Bµ : magneton Bohr = J/T 2410273.9 −×

∇ operator differensial/operator momentum

Ω : volume kristal

P : Momentum translasi

( )xPml

"" : fungsi Lagendre

( )rk,ψ : fungsi gelombang Bloch

ϕα : orbital atomik

S : operator spin

σ : operator spin Pauli

ui : basis fungsi Bloch

( )rk,u : fungsi kisi Bloch

U : matrik transformasi dari basis Bloch ke basis Kane

V : kecepatan Kane

( )iV rI : potensial ionik

xxi

( )rKV : potensial kristal

( )raV : potensial atomik

( )rpV : potensial pengungkung

Vso : potensial spin-orbit

ssσ, spσ, ppσ, ppπ : definisi integral hopping dalam model sp3

hλ(r0), nλ, rλ, r0 : Konstanta hasil parameterisasi dalam model Kwon dkk

xxii

KAJIAN STRUKTUR ELEKTRONIK QUANTUM DOT SIMETRIS DALAM NANOKRISTAL SILIKON

DENGAN PENDEKATAN MASSA EFEKTIF- p.k rr

DAN IKATAN KUAT (TIGHT- BINDING)

Oleh: Muhamad Darwis Umar

21529/I-4/1717/04

Intisari

Telah dilakukan penelitian tentang struktur elektronik quantum dot bersimetri bola dan silinder yang diperoleh dari keadaan nanokristal silikon dalam medium isolator. Penelitian ini dilakukan dalam kerangka kerja metode-metode massa efektif k.p dan tight-binding dengan pendekatan partikel tunggal. Metode massa efektif k.p diterapkan pada kasus pita lebar dengan Hamiltonian Luttinger-Kohn (LK) 6x6 dan pada kasus pita sempit dengan Hamiltonian LK 8x8. Metode tight-binding hanya digunakan pada kasus pita sempit dalam pendekatan-pendekatan tight-binding semiempirik, ortogonal, dua-pusat dan model hibridisasi sp3. Penerapan massa efektif k.p dan tight-binding pada sistem quantum dot bersimetri bola dan silinder dilakukan secara analitik dan numerik menggunakan konsep perkalian tensor dua ruang Hilbert yakni ruang Hilbert yang disusun oleh Basis Kane dan ruang Hilbert yang disusun oleh Orthogonal Periodic Function (OPF). Penerapan metode massa efektif k.p berhasil memperlihatkan ketergantungan energi elektron-hole pada bentuk dan ukuran dalam sistem quantum dot simetris nanokristal silikon. Penerapan metode tight-binding dilakukan sampai pada tahap perumusan Hamiltonian 8x8 dan transformasinya ke dalam basis Kane. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa energi sistem quantum dot simetris bola dan silinder menurun dengan meningkatnya ukuran dot. Hasil perhitungan juga menunjukkan bahwa derajat kemerosotan keadaan energi pada quantum dot bersimetri bola lebih tinggi dari derajat kemerosotan energi pada quantum dot bersimetri silinder.

xxiii

STUDY ON THE ELECTRONIC STRUCTURES OF SYMMETRICAL QUANTUM DOTS IN SILICON NANOCRYSTALS USING p.k rr

EFFECTIVE MASS AND TIGHT- BINDING APPROXIMATIONS

By:

Muhamad Darwis Umar 21529/I-4/1717/04

Abstract

Study is done on the electronic structures of quantum dots with spherical and cylindrical symmetries which are obtained from nanocrystalline in insulating media. This study was done within the framework of the k.p effective mass and tight-binding methods using single particle approximation. The k.p effective mass method was applied on a wide band case using Luttinger-Kohn (LK) 6x6 Hamiltonian and on a narrow band case using LK 8x8 Hamiltonian. The tight-binding method was only used in the narrow band case within semiempirical tight-binding approximation of orthogonal, two-centered and sp3 hibridized model. The application of the k.p effective mass and tight-binding approximations on quantum dots with spherical and cylindrical symmetries was performed analytically and numerically by introducing the concept of two Hilbert space tensorial product or multiplication. This space was constructed by Kane Bases and the Hilbert space constructed by orthogonal periodic function (OPF). The application of the k.p effective mass was successful in showing the dependence of the electron-hole energies on the form size of the symmetrical nanocrystaline silicon quantum dots. The tight-binding application was done up to the formulation of the 8x8 Hamiltonian and its transformation to the Kane bases. The calculation results show that the energy of the quantum dots with spherical and cylindrical symmetries decreases with increasing size of the dots. The calculation results also show that the degeneracy degress of the spherical symmetrical quantum dots are higher than those of the cylindrical symmetries.

xxiv

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang Masalah

Sistem quantum dot diperoleh dari terkuantisasinya partikel dalam semua

arah oleh bekerjanya potensial penghalang tiga dimensi dalam suatu material

berdimensi kuantum (nanostruktur). Pemunculan potensial penghalang untuk

menghasilkan sistem quantum dot (dapat berhingga atau tak berhingga)

dimungkinkan oleh kemajuan dalam teknik fabrikasi nanokristal. Nanokristal

adalah struktur dimensi tiga yang terletak antara fase molekul dan bulk yang

terdiri dari beberapa ratus hingga beberapa ribu atom dengan interval ukuran

diameter 2 hingga 20 nm (Tews, 2004). Kemajuan dalam teknik fabrikasi ini

antara lain adalah teknik pembentukan (penumbuhan) kristal seperti Molecular

Beam Epitaxy (MBE) dan Metal-Organic Chemical Vapour Deposition

(MOCVD), serta teknik sistesis colloid. Baik perpaduan antara teknik MBE dan

MOCVD maupun dengan teknik sintesis colloid, keduanya mampu mengontrol

komposisi kimia, struktur kristal serta bentuk material hasil fabrikasi. Perpaduan

MBE dan MOCVD terkait dengan fabrikasi material berbasis semikonduktor yang

berlapis-lapis dengan presisi dalam tingkat atomik, sedangkan teknik sintesis

colloid terkait dengan penumbuhan semikonduktor monostruktur nanokristal

dalam bentuk tertentu dan dapat dicampur dengan polimer konduktif,

semikonduktor, sol-gel atau ke lapisan tipis berporous (berongga). Disamping itu,

2

tingkat kontrol yang luar biasa pada pembentukan kristal ini telah membuka

peluang luas bagi peneliti dalam mendesain struktur semikonduktor dengan sifat-

sifat baru (novelty) yang berperan dalam penyelidikan sifat-sifat fundamental

fisikanya dan sifat-sifat unggulan lainnya yang terkait dengan berbagai piranti

optik dan elektrik (North, 2001).

Quantum well atau struktur quasi-2-dimensi pertama kali diusulkan oleh

Esaki dan Tsu (1970) untuk pembuatan semikonduktor heterostruktur

GaAs/AlxGa1-x dan berhasil dihasilkan oleh Chang dkk (1973). Quantum wire

atau struktur quasi-1-dimensi pertama kali dihasilkan Petroff dkk (1982) dengan

penumbuhan dalam dua sisi. Dengan perpaduan teknik MBE dan MOCVD,

quantum dot pertamakali dibuat oleh Reed dkk (1986) menggunakan teknik

etching. Sedangkan dengan teknik sintesis colloid, quantum dot diperoleh dengan

percampuran nanostruktur dalam medium yang mempunyai celah energi yang

lebih lebar.

Perkembangan teknik fabrikasi nanokristal ini kemudian menjadikan

quantum well quasi-2-dimensi, quantum wire quasi-1-dimensi dan quasi-nol-

dimensi (quantum dot) sebagai salah satu topik kajian intensif dalam riset teori-

aplikasi-eksperimen fisika dalam 20 tahun terakhir ini (Reimann dan Mannien,

2002). Pentingnya tema ini bukan saja karena sebagai sarana verifikasi dan

pembuktian keampuhan teori kuantum dalam kurun waktu hampir 80 terakhir

dalam perspektif keilmuan sejak era Planck-Einstein, Bohr-Heisenberg-

Schrodinger-Born-Dirac dll dalam menelaah perilaku sistem mikro khususnya

fisika zat padat, tetapi juga karena telah menjadi landasan pemahaman dalam

3

memandu dan memetakan perkembangan nanostruktur sebagai basis teknologi

sensor, sel surya, computer-spintronik, teknologi berbasis semikonductor, dll,

yang didukung oleh teknologi mutakhir nanofabrikasi.

Pola struktur elektronik sistem QD biasanya dapat dikategorikan dalam

dua bentuk. Pola pertama berlaku untuk sistem nanokristal dengan fase mendekati

molekul. Dalam fase ini pola struktur elektronik dari sistem akan mendekati

struktur elektronik molekul dimana diskretisasi begitu jelas, sedangkan konsep

pita bulk menjadi kabur kehadirannya. Dalam fase ini peningkatan ukuran

nanokristal akan meningkatkan pola kuantisasi oleh medan kristal periodik yang

membentuk pola celah pita. Pola kedua berlaku pada sistem nanokristal dalam

fase mendekati bulk. Pada fase ini pita utama sistem akan ditentukan oleh struktur

pita bulk (keadaan kontinu pita valensi, celah pita dan pita konduksi), sedangkan

pengaruh kuantisasi oleh potensial pengungkung dapat dimasukkan melalui teori

gangguan, metode variasi maupun pemecahan persamaan Schrödinger secara

langsung untuk kasus-kasus QD berbentuk simetris. Pada kasus semikonduktor

mendekati fase bulk potensial pengungkung akan menimbulkan diskretisasi

disekitar tepi pita valensi. Pada kedua asumsi ini fungsi eigen untuk sistem

padatan kristal baik untuk metode tight-binding maupun untuk metode massa

efektif-k.p diasumsikan selalu memenuhi sebagai Fungsi Bloch.

Fungsi Bloch yang memuat informasi sistem secara fisis pada dasarnya

didasarkan pada dua asumsi dasar yang telah terbukti benar secara eksperimen:

(1). Hadirnya struktur kristal dalam material, dan (2) dalam kondisi dasar (untuk

material logam) atau perlakuan eksternal (untuk semikonduktor) elektron dapat

4

bergerak bebas dalam medan potensial kristal periodik. Oleh karenanya fungsi

Bloch harus terdiri dari dua bagian yaitu fungsi yang mewakili keadaan

terlokalisasi yang berulang secara periodik atau mempunyai simetri translasi kisi,

dan fungsi yang mewakili pergerakan partikel bebas. Fungsi periodik yang

mewakili keadaan terlokalisasi tentunya diwakili oleh orbital atomik, dan fungsi

yang mewakili pergerakan elektron bebas akan diwakili oleh gelombang bidang

sebagaimana tafsir mekanika gelombang Schrödinger terhadap kaitan de Broglie.

Karena elektron bebas dan terlokalisasi saling berinteraksi, maka fungsi periodik

harus bergantung bilangan gelombang k. Ini berarti dinamika elektron pada

keadaan dasar dikendalikan oleh potensial inti untuk elektron terlokalisasi dan

potensial periodik kristal untuk elektron bebas. Sedangkan elektron valensi

berkaitan dengan kondisi dimana perilaku elektron diatur oleh potensial inti atom

individu, interaksi dari pembentukan sistem (ikatan kimia), interaksi many-body,

medan eksternal dan medan kristal periodik. Untuk itu ketepatan pemilihan basis

akan bergantung pada keadaan dasar atau tereksitasi yang ditinjau, serta

bergantung pada medan interaksi mana yang dominan menentukan keadaan atau

dinamika elektron.

Terdapat bermacam-macam teori dan metode fisika yang diaplikasikan

pada sistem QD (North, 2001), baik yang monostruktur maupun yang sistem

heterostruktur, diantaranya: pendekatan tight-binding (Schulman dan Chang,

1985), pendekatan massa efektif k.p (Wang dkk, 1996), ab-initio (Jones, 1988),

dan metode pseudopotensial empirik (Gell dkk, 1986). Untuk dimensi material

yang realistis, pendekatan tight-binding semiempirik, pendekatan massa efektif

5

k.p-metode pseudopotensial empirik adalah metode-metode yang paling sering

digunakan dalam pemodelan quantum well, wire dan dot. Pemodelan ini

dilakukan baik untuk sistem QD heterostruktur maupun sistem QD colloid dalam

upaya untuk memgeksplorasi pengetahuan tentang sifat optik dan elektronik.

Seperti disebutkan pada alinea sebelumnya, metode yang paling sering

digunakan untuk menyelidiki informasi fisis yang merupakan nilai ukur besaran

fisis dalam kristal padatan dengan ukuran sistem yang realistis adalah metode

massa efektif k.p dan tight-binding semi empirik (North, 2001; Fonoberov, 2002;

Niquet, 2005). Dalam metode massa efektif k.p, matrik Hamiltonian dicari

melalui perlakuan medan/potensial eksternal yang memunculkan momentum

translasi dalam medan potensial periodik kristal dan memberikan informasi nilai

eigen energi disekitar k = 0. Kemunculan momentum translasi dalam kisi akan

berperan sebagai gangguan terhadap Hamiltonian dasar. Ketika energi elektron

berubah (meningkat atau menurun) oleh perlakuan eksternal maka perubahan ini

akan disertai dengan perubahan nilai massa elektron baik yang bergerak bebas

maupun yang terlokalisasi. Perlakuan ini dalam formalisme teori k.p (melalui

teori gangguan) kemudian menjadikan bilangan gelombang dan massa efektif

sebagai parameter yang mencirikan Hamiltonian kristal. Massa efektif dalam

permusan k.p ini dapat dikaitkan dengan parameter eksperimen yang dikenal

sebagai koefisien Luttinger-Kohn. Dalam metode k.p sebagaimana akan

disebutkan dalam Bab II, diasumsikan celah energi akan cukup membuat fungsi

eigen (fungsi gelombang) akan selalu dapat diekspansikan sebagai kombinasi

6

linear dari basis-basis dasar tak terganggu (lebar celah pita relatif terhadap elemen

perkalian tensor momentum adalah cukup lebar).

Dalam metode tight-binding diasumsikan berlaku dua kondisi yaitu: 1). Di

sekitar tiap titik kisi, Hamiltonian lengkap kristal periodik dapat didekati dengan

Hamiltonian atom tunggal yang terletak pada titik kisi tersebut, dan 2). Level-

level yang terkait dengat keadaan terikat adalah terlokalisasi dengan baik, atau

fungsi eigen dari Hamitonian untuk atom tunggal akan mendekati lenyap untuk

jarak yang lebih jauh dari konstanta kisi. Akibatnya metode pendekatan tight-

binding untuk suatu sistem kristal yang ditinjau akan memberikan hasil yang

sangat tepat jika Hamiltonian kristal hanya berbeda sedikit dari Hamiltonian

lengkap (sesungguhnya) pada jarak yang lebih besar dari interval jarak dimana

fungsi eigen kepunyaan Hamiltonian kristal berlaku. Perbedaan nilai Hamiltonian

kristal dengan Hamiltonian sesungguhnya ini berada dalam orde sebuah koreksi

potensial atomik yang dapat diberlakukan sebagai bentuk gangguan. Sebagaimana

dalam pendekatan massa efektif k.p fungsi gelombang untuk Hamiltonian

keadaan terlokalisasi dapat diekspansikan dalam basis orbital atomik. oleh

karenanya hasil yang diberikan oleh metode massa efektif k.p dan metode tight-

binding akan sangat bergantung pada seberapa tepat asumsi-asumsi yang

dikemukakan berlaku pada sistem yang ditinjau.

Terkait dengan metode k.p dan tight-binding, penyajian operator potensial

dalam persamaan Schöringer bisa dikuantitatifkan dengan metode ab-initio DFT

(density functional theory). Pada dasarnya DFT menyediakan suatu kerangka

7

kerja untuk memperoleh operator potensial elektron-tunggal efektif yang memuat

interaksi antara banyak elektron.

Jika pada pendekatan massa efektif k.p dan tight-binding struktur

elektronik yang diteliti meliputi seluruh elektron dalam sistem QD, maka ada juga

yang memfokuskan perhitungan pada elektron konduksi atau elektron yang

diinjeksi ke dalam dot seperti dalam mekanisme transistor QD (Tews, 2004;

Helle, 2006; Räsänen, 2004 ). Pada sistem ini ruang Hilbert bukan dibentang oleh

basis orbital atomik, melainkan dari ekspansi fungsi eigen dari penyelesaian

persamaan Schrödinger untuk elektron tunggal dalam potesial pengungkung

dominan yang mengkarakterisasi keadaan partikel misalnya oleh potensial

harmonik. Sedangkan efek dari keberadaan sistem dapat diperlakukan sebagai

gangguan dalam suatu bentuk potensial efektif atau pseudopotensial.

Wilayah keilmuan dan pengetahuan nanostruktur adalah sebuah area yang

menarik dan penting dalam ilmu material karena wilayah ini mempunyai dampak

teknologi yang besar. Satu diantara sekian material yang menjadi pusat perhatian

dunia keilmuan dan kalangan industri adalah silikon. Ini dikarenakan silikon

mempunyai peran fundamental dalam revolusi mikroelektronik yang telah

merubah budaya dan sistem komunikasi manusia. Dalam beberapa tahun terakhir,

telah menjadi jelas bahwa perilaku nanokristal silikon secara keseluruhan adalah

berbeda bila dibandingkan dengan silikon konvensional (Trani, 2004). Ukuran

kecil ditambah dengan aktivitas optik yang tinggi membuat mereka berkembang

menjadi material yang sangat menarik untuk dipelajari dan diteliti.

8

2. Perumusan Masalah

Mencermati kesemarakan penelitian-laboratorium tentang QD dan peran

material semikonduktor nanostruktur kristal silikon, serta tersedianya berbagai

perangkat metode teoritis untuk memperoleh informasi fisis, maka penelitian/riset

teoritis terhadap berbagai model sistem QD silikon perlu kiranya dilakukan

meliputi berbagai sifat fisis misalnya sifat optik dan elektrik. Salah satu model

yang ditawarkan disini adalah struktur elektronik nanostruktur kristal silikon

simetris dalam medium isolator-amorf. Ini dimaksudkan agar pada akhirnya

terjalin suatu sinergis yang memperluas spektrum perkembangan ilmu

pengetahuan dan teknologi berbasis QD silikon.

Sebagai penelitian awal sebelum mempelajari lebih jauh sifat optik QD

Silikon tentunya informasi tentang pola dan ketepatan struktur elektronik adalah

penting adanya. Untuk itu dalam penelitian ini akan dipelajari metode pendekatan

massa efektif- k.p dan tight-binding semiempirik dalam memperoleh informasi

struktur elektronik serta bagaimana menerapkan kedua metode ini ke dalam

sistem QD kristal silikon simetris. Rangkaian kerja ini disusun sebagai upaya

memperoleh informasi fisis berupa nilai eigen dan vektor eigen. Perilaku

informasi ini meliputi bagaimana ketergantungan struktur elektronik terhadap

bentuk dan ukuran QD silikon simetris. Diharapkan pada akhirnya akan diperoleh

pertimbangan-pertimbangan terhadap penggunaan metode pendekatan lebih jauh

terkait dengan penelusuran sifat optik QD silikon.

9

3. Batasan Masalah

Dengan mempertimbangkan jenjang pendidikan dan jangka waktu

penelitian maka penelitian ini dibatasi hanya untuk sistem semikonduktor direct

QD tiga-dimensi nanokristal silikon. Hamiltonian didekati dengan pendekatan

partikel tunggal (single-particle Hamiltonian).

Metode pendekatan massa efektif k.p-metode pseudopotensial empirik

dilakukan pada kasus pita sempit dan pita lebar (keadaan/state konduksi dan

valensi bergandeng/berinteraksi lemah dan kuat) dengan menggunakan basis tidak

terganggu dari model Kane (unpeturbated/basis ruang Hilbert untuk sistem ketika

bilangan gelombang sama dengan nol atau pada pusat zona Brillouin ).

Metode tight-binding menggunakan pendekatan-pendekatan:

1. Model tight-binding ortogonal sp3 semi-empirik.

2. Pembatasan interaksi hanya pada atom tetangga terdekat atau pendekatan

dua-pusat.

3. Penggambaran integral hopping menggunakan pengembangan model GPS

oleh Kwon.

4. Hanya diaplikasikan pada semikonduktor silikon pita sempit.

Untuk kedua metode, peninjauan sistem hanya dibatasi pada keadaan

disekitar tepi pita valensi, dengan asumsi daerah ini berperan utama pada sifat

fisis optik dan elektrik. Dalam metode massa-efektif k.p, efek elektron inti (core

electron) pada struktur pita energi akan ditanggulangi oleh nilai massa efektif

menggunakan metode pendekatan pseudopotensial-empirik, sedangkan untuk

metode tight-binding semiempirik efek ini akan ditanggulangi oleh parameterisasi

10

Hamiltonian tumpang-tindih dengan proses fitting (pencocokan) terhadap hasil

eksperimen atau ab initio sebagaimana data tambahan yang digunakan.

Penelitian ini diarahkan hanya pada studi awal sifat-sifat elektronik dan

optik dan dibatasi pada kajian struktur elektronik sistem QD silikon simetris

sederhana meliputi menentukan fungsi serta nilai eigen dari sistem QD simetris

bola dan silinder. Dalam model QD krital silikon penelitian ini, daerah antarmuka

(interface) nanostruktur kristal silikon dengan medium pembangkit potensial

dianggap tidak terjadi strain sehingga model ini relatif sangat representatif untuk

nanokristal colloid dalam medium isolator.

4. Tujuan Penelitian

1. Memahami dan dapat mengaplikasikan metode Tight-Binding semiempirik

dan metode massa efektif k.p-Metode Pseudopotensial Empirik untuk

menentukan struktur elektronik sistem QD simetris bola dan silinder

silikon nanokristal.

2. Menerapkan konsep perkalian tensor dua ruang Hilbert untuk

mendapatkan basis (ruang Hilbert) dalam mana vektor gelombang yang

memuat informasi fisis dari sistem QD silikon simetris dapat

dinyatakan/dihadirkan.

3. Mengetahui struktur elektronik (nilai eigen dan fungsi eigen) sistem QD

bersimetri bola dan silinder.

4. Mengetahui pola ketergantungan struktur elektronik QD bersimetri bola

dan silinder terhadap bentuk dan ukuran.

11

5. Mengetahui dan dapat memberikan rekomendasi tentang penggunaan

metode Tight-Binding semiempirik dan metode massa efektif k.p-

pseudopotensial empirik dalam sistem QD.

5. Manfaat Penelitian

1. Sebagai studi awal dalam mempelajari sifat optik dan elektrik sistem QD

silikon simetris bola dan silinder.

2. Sebagai bahan rujukan awal tentang penggunaan metode tight-binding

semiempirik dan metode massa efektif k.p- pseudopotensial empirik untuk

mempelajari secara teoritis sifat optik dan elektrik sistem QD pada

umumnya.

3. Memberikan rekomendasi awal tentang keunggulan dan kekurangan

metode tight binding dan massa efektif baik segi konseptual terkait dengan

kajian teoritis terhadap sistem QD nanokristal pada umumnya.

6. Keaslian Penelitian

Penggunaan metode tight-binding ataupun massa efektif k.p-metode

pseudopotensial empirik dalam mendeskripsikan sifat-sifat optik dan elektronik

telah banyak dibahas dalam berbagai jurnal dan thesis. Spesifikasi untuk keaslian

penelitian ini ditentukan oleh jenis material kristal silikon yang dikaji, dan pada

dua jenis bentuk simetris dalam ukuran QD tertentu (bola dan silinder) dengan

12

fase nanostruktur mendekati bulk, serta penggunaan beberapa asumsi dalam

pemodelan seperti yang diuraikan pada batasan masalah.

Sejauh pengamatan yang telah dilakukan, baik itu di laporan jurnal

perguruan tinggi, jurnal nasional, jurnal yang diperoleh dari internet, maupun di

berbagai thesis Program Pasca Sarjana (di Perguruan Tinggi tempat studi ini

dilakukan dan dari perguruan tinggi luar negeri dari Internet sebagaimana yang

dijadikan referensi), maka dapat ditetapkan bahwa Penelitian ini secara

keseluruhan adalah belum pernah dilakukan dalam bentuk yang sama persis.

7. Kerangka Penulisan

Penulisan dan penyusunan tesis ini secara umum dibagi dalam lima

bagian. BAB I merupakan pendahuluan yang berisikan latar belakang, perumusan

masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, keaslian tesis,

kerangka penulisan dan tinjauan pustaka. BAB II merupakan dasar teori yang

disusun berdasarkan studi pustaka mengenai masalah struktur elektronik,

mengenai penyelesaian persamaan schrödinger tak gayut waktu, mengenai

masalah pendekatan massa efektif-k.p untuk mengetahui kemunculan basis Kane

dan Hamiltonian diagonal yang memperhitungkan interaksi spin-orbit, mengenai

metode pseudopotensial empirik untuk menentukan parameter elemen

Hamiltonian dalam metode massa efektif k.p, serta mengenai pendekatan tight-

binding semi empirik terkait dengan penyusunan elemen Hamiltonian dalam basis

atomik dan transformasi uniternya ke basis Kane. BAB III, sebuah elaborasi hasil

penelitian yang memaparkan model QD diteliti, sifat perkalian tensor dua ruang

13

Hilbert dan proses penentuan vektor gelombang sistem yang diteliti, serta

bagaimana pemecahan persamaan schrodinger tidak bergantung waktu dilakukan

dengan menggunakan beberapa asumsi terhadap hasil dari BAB II. Juga

dipaparkan cara pengerjaan yang berisi tahap-tahap perhitungan baik secara

analitik maupun dengan proses numerik dengan Maple versi 9.5. BAB III diakhiri

dengan pembahasan menyangkut metode massa efektif k.p, metode tight-binding

semiempirik, perbandingan terhadap kedua metode pendekatan, serta berisi

deskripsi kuantitatif-kualitatif tentang ketergantungan, bentuk dan ukuran

(potensial) terhadap nilai dan fungsi eigen operator energi. BAB IV, berisi

kesimpulan tentang hasil dari keseluruhan penelitian serta rekomendasi terhadap

pengembangan penelitian yang telah dilakukan.

8. Tinjauan Pustaka

Dalam bagian ini akan disajikan sejumlah penelitian yang telah dilakukan

terkait dengan struktur elektronik bulk dan nanokristal silikon serta penggunaan

metode pendekatan massa efektif k.p dan pendekatan massa efektif dalam

perhitungan struktur elektronik sistem QD.

8.1 Struktur Elektronik Bulk dan Nanokristal Silikon

Hein (2000) (dalam Bagian II disertasinya) menghitung struktur elektronik

bulk silikon dengan menggunakan metode tight-binding semiempirik. Pada

penelitian ini Hein menggunakan hasil parameterisasi cluster silikon oleh

Harrison dengan tanpa memperhitungkan interaksi spin-orbit. Niquet (2005)

menggunakan metode pseudopotensial semiempirik dan ab initio untuk

14

menentukan ketergantungan ukuran diameter nanokristal silikon simetri bola

terhadap struktur elektroniknya. Pada penelitian ini Niquet menggunakan model

sp3 tight-binding ortogonal dan memperhitungkan atom tetangga kedua terdekat.

Niquet juga mengembangkan penelitian yang sama dengan menggunakan model

hibridisasi sp3d5s∗ dengan hanya memperhitungkan atom tetangga pertama

terdekat. Pada kedua penelitian ini, Niquet tidak memperhitungkan interaksi spin-

orbit. Trani (2004) (dalam bagian III dan IV disertasinya) juga melakukan

penelitian struktur elektronik nanokristal silikon bola dan elipsoida menggunakan

metode tight-binding empirik. Pada penelitian ini Trani tidak memperhitungkan

interaksi spin-orbit.

8.2. Perhitungan Struktur Elektronik dengan Metode Pendekatan Massa-

Efektif k.p dan Pendekatan Massa Efektif

North (2001) dalam disertasinya menggunakan pendekatan massa efektif-

k.p dan metode pseudopotensial empirik untuk menentukan struktur elektronik

hole QD semikonduktor heterostruktur GaSb/GaAs and Si/Ge. Pada penelitian

tersebut North menggunakan Hamiltonian LK 4x4. Grigoryan dkk (1990) serta

Ekimov dkk (1993) menerapkan Hamiltonian LK 6x6 untuk sistem semikonduktor

QD yang homogen. Pada penelitian tersebut Ekimov dkk (1993) menerapkan

Hamiltonian LK 6x6 untuk sistem QD CdSe. Fonoberov (2002) menggunakan

Hamiltonian Kane 8x8 tidak simetri pada sistem QD bola semikonduktor

heterostruktur nonhomogen untuk menentukan struktur elektronik HgS/CdS dan

InAs/GaAs. Prado dkk (1999) juga menentukan struktur elektronik QD bola

semikonduktor HgCdTe, InSb dan CdTe dengan menggunakan Hamiltonian Kane

15

8x8. Pada penelitian Prado dkk, fungsi gelombang diekspansikan dalam basis

tidak terkopling yang tersusun oleh himpunan basis Bloch dan Himpunan OPF

(Orthogonal Periodik Function). Hamiltonian LK 4x4, LK 6x6 dan Kane 8x8

yang digunakan pada keseluruhan penelitian di atas memperhitungkan interaksi

spin-orbit dengan menggunakan pendekatan partikel tunggal.

Lee dkk (2004) menentukan nilai eigen dan fungsi eigen sistem QD

silinder heterostruktur GaAS/Ga0.63Al0.37As dan Ga0.47In0.53As/InP dengan fungsi

gelombang diekspansikan dalam himpunan basis OPF (Ortogonal Periodic

Function). Dalam penelitian ini Lee dkk memasukkan pengaruh medan periodik

kristal dengan konsep massa efektif serta tidak memperhitungkan interaksi spin-

orbit.

16

BAB II

DASAR TEORI

1. Masalah Struktur Elektronik

Perlakuan mekanika kuantum material membutuhkan penyelesaian

masalah many-body kompleks. Hamiltonian yang menggambarkan sistem dapat

diungkapkan sebagai (Nayak, 2004):

∑∑∑∑∑≠≠

++−+=JI JI

JI

ji jiI I

I

I I

I

i

i ezzeezMm

HRRrrRr

PP-2

1-2

1-22

22222

total (II.1)

dengan indeks i, j menandakan elektron sedangkan indeks I, J menandakan inti

atom. Dalam persamaan (II.1) ri, Pi dan –e mewakili posisi, momentum dan

muatan dari elektron, sedangkan rI, PI dan +zIe mewakili posisi, momentum dan

muatan dari inti. Saling interaksi antar semua elektron dan inti dalam material

akan menentukan struktur elektronik sistem dan sifat-sifat lain yang didasarkan

pada interaksi-interaksi tersebut. Untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger

yang terkait dengan Hamiltonian (II.1) dua pendekatan dasar sering dibuat yaitu:

pendekatan adiabatik dan pendekatan elektron tunggal. Pendekatan adiabatik

mengizinkan tidak-bergandengnya dinamika dari variabel cepat (elektron) dari

dinamika variabel yang lambat (inti), sebaliknya pendekatan elektron tunggal

menyerderhanakan kompleksitas masalah many-body dengan mengabaikan

interaksi elektron-elektron, elektron-inti dan elektron-hole (Ray, 2005), di mana

pendekatan ini menghasilkan pendekatan orde-pertama yang baik (Kemerink,

17

1998). Dalam Pendekatan partikel tunggal Hamiltonian sistem dapat diungkapkan

dengan:

( )∑ =+=i i

iii HVm

H rPI

2

2 ∑ (II.2)

yang menunjukkan untuk tiap elektron, operator energi kinetik dan potensial

terkait dengan distribusi inti dingin (Ray, 2005). Komponen potensial dalam

Hamiltonian persamaan (II.2) mewakili potensial ion, oleh karenanya Hamilonian

(II.2) didesain untuk menggambarkan dinamika pembawa muatan dalam ion-ion.

Jika ion-ion ini berulang secara periodik maka akan membentuk medan potensial

kristal. Hamiltonian kemudian dalam penelitian ini akan digunakan dalam

penggambaran dengan Metode pendekatan massa efektif k.p. Penyederhanaan

terhadap Hamiltonian (II.1) semata-mata dilakukan agar pemecahan persamaan

Schrödinger untuk memperoleh tampilan fungsi gelombang dan nilai energi

sistem menjadi relatif lebih mudah dilakukan.

Metode pendekatan elektron tunggal umumnya digunakan dalam metode

massa efektif-k.p serta metode pseudopotensial empirik, sedangkan pendekatan

tight-binding umumnya menggunakan model Hamiltonian partikel tunggal. Tidak

seperti pada pendekatan partikel tunggal yang hanya membandingkan dinamika

elektron relatif terhadap inti, dalam model Hamiltonian partikel tunggal yang

dibandingkan adalah dinamika elektron konduksi relatif terhadap dinamika

elektron valensi dan inti. Asumsi pemberlakuan Hamiltonian partikel tunggal

adalah dimilikinya fakta eksperimen bahwa elektron konduksi bergerak ~ 102 –

103 lebih cepat dari ion (inti bersama elektron dalam potensial inti elektron inti

bersama elektron valensi). Dalam Hamiltonian partikel tunggal pergerakan

18

elektron konduksi dianggap bebas terhadap elektron valensi. Elektron dalam

potensial inti (keadaan terlokalisasi) saling bebas satu sama lain tetapi tetapi

dalam pengaruh potensial efektif oleh inti-inti atom. Hamiltonian partikel tunggal

mempunyai bentuk:

( )∑ +=i

ieffi Vm

H rPa

2

2 (II.3)

dengan adalah penjumlahan dari sumbangan tiap-tiap atom

dalam kristal. Perlu ditekankan bahwa persamaan (II.3) mewakili dinamika

keadaan terlokalisasi dalam suatu material. Jika bagian potensial dalam persamaan

(II.3) berulang secara beriodik maka Hamiltonian (II.3) akan mewakili sistem

kristal dan fungsi gelombang nya akan mematuhi teorema Bloch. Hamiltonian

persamaan (II.3) ini akan digunakan dalam penggambara metode tight-binding.

( ) ( )∑=i

iiaeffa VV R-rr

Secara umum penyelesaian persamaan Schrödinger tak gayut waktu

(persamaan swanilai operator energi persamaan (1)) ditentukan oleh asumsi dan

persepsi terhadap perilaku dan kondisi elektron dalam bahan, serta teknik

matematis yang terkait dengan masalah swanilai. Secara umum masalah ini dapat

dipetakan dalam beberapa hal yaitu:

1. Dari segi persepsi terhadap sistem molekul dan kristal (model teoritis

terhadap sistem yang ditinjau) terdapat dua pendekatan yang ditentukan dari

asumsi tentang keterkaitan orbital-orbital molekul dengan orbital-orbital

atomik. Untuk masalah ini terdapat dua pendekatan dasar yang dibuat yaitu:

(1) tumpang tindih orbital atomik membentuk orbital baru yang

menghasilkan defenisi orbital molekular (molecular orbital) dan (2)

19

walaupun terjadi tumpang tindih orbital, masih boleh dikatakan bahwa

elektron berada di salah satu orbital atomik. Pendekatan pertama dikenal

dengan teori orbital molekular bertitik pangkal pada pendekatan Born-

Oppenheimer, sedangkan pendekatan kedua dikenal dengan teori ikatan

kovalen yang bertitik pangkal pada pendekatan konsep klasik Lewis tentang

ikatan pasangan elektron yang memiliki tafsiran mekanika kuantum.

Masalah ini dapat dilihat pada (Prasad, 2001).

2. Dari segi pemecahan masalah swanilai untuk sistem kuantum umumnya

digunakan dua metode pendekatan yaitu metode variasi dan metode

gangguan. Dalam metode variasi dibutuhkan intuisi dalam memberikan

pertimbangan fisika dan kimia untuk menyusunan fungsi coba yang menjadi

ruang vektor bagi sistem fisis yang ditinjau. Sedangkan metode gangguan

biasanya menggunakan basis-basis tertentu yang telah ditemukan

penyelesaiaanya secara analitik atau komputasi dan telah diuji secara

eksperimen. Basis-basis ini kemudian digunakan untuk meneliti fungsi

gelombang dari sistem yang diteliti (Griffiths, 1995; Prasad, 2001).

3. Dari segi penampilan Hamiltonian dan pemodelan fungsi gelombang. Saat

ini penampilan Hamiltonian sistem dihadirkan dalam dua cara: apakah

semua elektron dihadirkan secara serentak dalam Hamiltonian ↔ metode

Hartree-Fock ataukah mengunakan partikel tunggal dengan semua interaksi

dalam sistem dimasukkan ke dalam operator potensial ↔ metode

pseudopotensial dan DensityFunctional Theory (DFT) (Zünger, 1998). Dari

segi pemodelan fungsi gelombang biasanya ditentukan oleh pembuatan

20

pola/skema komputasi berdasarkan daerah sistem fisis yang ingin ditinjau

seperti: deskripsi daerah disekitar atom: Kombinasi linear orbital atomik

(linear combination of atomic orbital/LCAO), daerah diantara atom:

gelombang bidang terortogonalisasi (Orthogonalized Plane Waves/OPW),

perluasan gelombang bidang (Augmented Plane Waves /APW), atau

kombinasi keduanya yang saat ini sedang dikembangkan yaitu yang dikenal

dengan pendekatan kue tipis = muffin tin approximation.

4. Dari segi proses penyelesaian terhadap persamaan Schrödinger, terdapat dua

kemungkinan pendekatan yang dapat digunakan yaitu pendekatan yang

menggunakan informasi data-data empiris sebagai bantuan dalam proses

penyelesaian terhadap model teoritis (semi-empirik) atau keseluruhan

ditampilkan dalam bentuk parameter fisika (ab initio) (Pople, 1998).

Biasanya pendekatan yang menggunakan data-data empirik atau

semiempirik diaplikasikan pada sistem dengan jumlah atom yang relatif

besar.

2. Metode Perhitungan Struktur Pita Elektronik Semikonduktor

Untuk memprediksikan sifat optik dan elektronik QD semikonduktor

nanokristal adalah perlu untuk mengetahui bentuk Hamiltonian dan basis tidak-

terganggu bulk material semikonduktor yang memperhitungkan efek gandengan

spin-orbit (sesuai dengan jenis material kristal silikon yang ditinjau), yang

kemudian dapat diterapkan dalam kasus quantum dot dengan asumsi yang

disajikan dalam BAB III. Dalam bagian ini akan dipaparkan garis besar tentang

bagaimana informasi ini dapat diperoleh dengan menggunakan metode

21

pendekatan massa efektif k.p-metode pseudopotensial empirik serta metode

pendekatan tight-binding semiempirik. Ini adalah hasil studi terhadap beberapa

pustaka dengan fokus pada Kemerink (1998), North (2001), Jena (2004),

Fonoberov (2002), Trani (2004) dan Niquet (2005).

2.a. Pendahuluan Teori k.p

Pada kesempatan ini akan diberikan pendahuluan teori massa efektif k.p

dalam bentuk yang lebih detail sebagai bagian untuk mewadahi penelitian dalam

memahami keterkaitan antara fungsi kisi Bloch dalam kaitannya dengan orbital

atomik. Keterkaitan ini diharapkan pada akhirnya mampu memberikan gambaran

dasar tentang bagaimana keterkaitan metode tight-binding yang menggunakan

himpunan orbital atomik sebagai basis untuk ruang Hilbertnya dan teori massa

efektif-k.p yang mengaitkan antara tafsiran fungsi eigen (fungsi kisi Bloch)

dengan orbital atomik. Ini merupakan hasil studi pustaka terhadap tulisan Jena

(2004).

Sebagaian besar fenomena kristal (optik-elektronik, magnetik) dalam

semikonduktor dapat dipahami dengan memeriksa sebagaian kecil dari

keseluruhan struktur pita. Daerah yang terpenting dari struktur pita ini adalah

daerah yang sebagian besar ditempati oleh pembawa muatan kristal. Titik-titik ini

adalah titik terendah dalam pita konduksi dan titik tertinggi pita valensi. Titik

tertinggi pita valensi dikenal sebagai titik-Γ, dan merupakan titik

( )0,0,0 === zyx kkk dalam ruang-k. Pada sebagian besar semikonduktor

campuran, maksimum pita valensi dan minimum pita konduksi terjadi pada titik

yang sama dalam ruang-k yaitu pada titik-Γ. Semikonduktor demikian dinamakan

22

semikonduktor celah-langsung / direct dan membentuk sifat penting dari sebagian

besar perangkat optik. Jika minimum pita konduksi dicapai pada beberapa titik

lain di ruang-k, maka semikonduktor disebut sebagai semikonduktor celah-tidak

langsung/indirect. Teori k.p mengijinkan untuk menghitung struktur pita ( )knE

dekat tepi pita (di bawah pita konduksi dan di atas pita valensi) dan dapat

diaplikasikan pada pita merosot (terdegenerasi) tunggal ataupun merosot banyak.

Untuk memahami evolusi struktur pita secara umum (keseluruhan pita dalam

sistem) dan bagaimana metode k.p digunakan dalam mempelajari struktur pita

secara khusus (diaplikasikan hanya pada sejumlah pita yang mayoritas didiami

oleh pembawa muatan) maka harus mulai dengan ide tentang gelombang Bloch.

2.b. Gelombang Bloch

Tinjau suatu kisi periodik dalam ruang bervolume Ω dengan perulangan

periode jarak R. Teorema Bloch menyatakan bahwa penyelesaian persamaan

Schrödinger untuk kisi periodik adalah berbentuk

( ) ( rk,rk, rk uei ⋅= )ψ (II.4)

dengan ( )rk,ψ adalah fungsi gelombang Bloch, ( )rk,u adalah fungsi kisi Bloch

atau fungsi Bloch Periodik yang mempunyai simetri pergeseran yang sama

dengan kisi dan adalah fungsi envelope Bloch. rk⋅ie

Jika elektron berada dalam kisi tetapi tanpa potensial ( )( )0=rV , maka

fungsi gelombang Bloch mempunyai bentuk:

( ) rktotrk, ⋅

Ω= ie1ψ (II.5)

23

dengan vektor gelombang total Gkk tot += . Vektor gelombang total dapat hanya

dinyatakan dengan vektor gelombang k dalam zona Brillouin pertama dalam

wakilan ruang-k dengan G yaitu vektor kisi balik, semenjak vektor kisi balik G

berkaitan dengan R dalam sebuah relasi m2π=⋅RG , dengan m adalah bilangan

bulat. Dengan demikian fungsi gelombang Bloch dapat ditulis sebagai:

( ) ,1 G.rrkrk, ii eeΩ

= ⋅ψ (II.6)

Jika persamaan (II.6) dikaitkan dengan persamaan (II.4) maka diperoleh

( ) rGrk, ⋅

Ω= ieu 1 , dengan demikian dalam model elektron mendekati-bebas (nearly

free-electron) jika kita mengetahui G maka otomatis kita mengetahui fungsi kisi

Bloch. Fungsi kisi Bloch ( )rk,u adalah periodik dengan perulangan kisi.

Dalam model elektron mendekati bebas akan dihasilkan kurva dispersi

parabolik yang berulang secara periodik dalam sumbu k dimana terdapat titik

merosot pada perpotongan kurva.

( ) ( )0

22

2mE Gkk +

=h (II.7)

Dari gambar II.1 namapak bahwa Himpunan-himpunan yang berbeda dari

adalah pita-pita yang berbeda.

( )kE

Keadaan merosot ini dapat terpisah oleh kehadiran potensial kristal

(dimana potensial ini akan memecahkan (memisahkan) keadaan merosot jika

potensial gangguan V(r) mempunyai elemen matrik tidak nol terkait dengan

keadaan merosot, misalnya ( ) 021 ≠rV . Keadaan ( ) 021 ≠rV akan ditentukan

oleh sifat simetri dari keadaan yang terkait dengan keadaan merosot). Pemecahan

24

ini membuat pita-pita terpisah oleh celah, dimana besar celah ditentukan oleh

besar potensial kristal.

E(k)

Gap

Gap

-π/a π/a k

ZB

G=2π/

ZB

kπ/a

G=2π/V(r) = 0

-π/a

Degenerasi

Degenerasi Potensial Diaplikasikan

E(k)

V(r) = V(r+a)

Gambar II.1. Struktur pita dalam model elektron mendekati-bebas. Untuk 1-dimensi keadaan terdegenerasi hanya terjadi pada pusat zona (k=0 atau pada tepi zona Brillouin (k = ±π/a). Untuk kasus 2 dan 3 dimensi keadaan tergenerasi dapat juga terjadi pada titik lain dalam zona Brillouin (Jena, 2004).

Jumlah keadaan-keadaan (dalam -π/a ≤ k ≤ +π/a) pada tiap-tiap pita dalam

Zone Brillouin pertama adalah sejumlah N atom yang berada dalam keseluruhan

kristal. Karena setiap keadaan spin diizinkan untuk terdegenerasi 2 maka jumlah

total elektron adalah 2N.

Jika potensial kisi tidak nol maka fungsi gelombang Bloch mempunyai

bentuk:

( )( )rnk nk

rk

uei

Ω=

⋅

(II.8)

Fungsi gelombang Bloch ini mengikuti relasi ortonormalitas:

( )( )

( )( )

( )( ) ( )rrrrkκ kκ

kκ

k

rk

κ

rκ

κk nm

i

n

i

m

i

mn uuerdueuerdnm ∫∫Ω

∗⋅⋅∗

Ω

⋅

Ω=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Ω⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Ω== 33δδ

(II.9)

25

Persamaan (II.9) dapat disederhanakan jika ditinjau keadaan yang cukup jauh dari

tepi zona Brillouin. Ini dikarenakan pada jarak yang cukup jauh dari tepi Zoba

Brillouin vektor gelombang menjadi kecil. Untuk panjang gelombang elektron

lebih besar dibandingkan dengan ukuran sel unit maka fungsi u adalah periodik

diseluruh kisi, maka diperoleh:

mnnmss ss

uurd δ=Ω ∫

Ω

∗kκ

'31 (II.10)

Indeks ss menunjukkan sel satuan. Karena sifat berulang dari u, integral (II.10)

juga dapat dituliskan sebagai :

mnnm uurd δ=Ω ∫Ω

∗kκ

'31 (II.11)

Teori k.p menunjukkan bahwa u secara relatif tidak bergantung pada k. Ini

membuat fungsi envelope sebagian besar ortonormal keseluruh variabel k.

Ketidakbergantungan ini berarti keadaan terganggu dari keadaan terlokalisasi

(yang ditimbulkan oleh pergerakan elektron konduksi) dapat dinyatakan dalam

keadaan dasar sistem tanpa gangguan. Fungsi u dapat dinormalisasi sehingga

bentuk integral tidak mensyaratkan tambahan faktor ssΩ . Dalam normalisasi ini

dilakukan subsitusi:

kk nssn uu Ω→ atau kk nn uu Ω→ (II.12)

Dengan persamaan (II.12) maka persamaan (II.10) dan (II.II) memenuhi relasi

ortonormalitas:

mnnm uurdss

δ=∗

Ω∫ kκ

'3 atau (II.13) mnnm uurd δ=∗

Ω∫ kκ

'3

26

Pada relasi (II.13) diasumsikan bahwa untuk suatu nilai k, fungsi membentuk

himpunan lengkap (dimana n meliputi seluruh pita).

knu

2.c. Persamaan k.p untuk Fungsi Bloch Periodik tanpa Gandengan Spin-

Orbit

Sebagaimana teorema Bloch bahwa fungsi gelombang untuk sistem kristal

merupakan fungsi Bloch, oleh karenanya persamaan Schrödinger tak gayut waktu

untuk Hamitonian memuat bentuk kinetik dan potensial kristal adalah: ( )rKV

( )( )

( )( )

( )rrr k

k.r

kk

k.r2

0

2

2 n

i

nn

i

K ueEueVm Ω

=Ω⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+∇−

h (II.14)

dengan ( )kk nn EE = memberikan relasi dispersi untuk n pita sedangkan Ω adalah

volume kristal. Dengan menyelesaiakan persamaan (II.14) diperoleh:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )rrrrkr krk

krk

ni

nnKnni ueEuVuiuk

me ⋅⋅ =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+∇⋅+−− kkk

2

0

2

22h

(II.15)

dengan subsitusi ( ) ( )rr kk nn upiu ˆh

=∇ ke dalam persamaan (II.15) maka

Persamaan (II.15) dapat disederhanakan menjadi:

( ) ( ) ( )rrk.p kk nnn umkkEu

mH ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

0

22

00 2

hrh (II.16)

dengan

( )rpKV

mH +=

0

2

0 2 (II.17)

dan ( ) ( )rr kk nn uu p berkenaan dengan pergerakan sebuah elektron disekitar inti

(misalnya pita valensi). Untuk keadaan di tepi pita maka suku kedua di sebelah

27

kiri persamaan (II.16) dapat diperlakukan sebagai gangguan. Terlihat massa bebas

elektron muncul dalam persamaan (II.16). Untuk k=0 diperoleh:

( ) ( ) ( )rr 00 nnn uEuH 00 = (II.18)

dengan adalah nilai eigen pada pusat Zona Brillouin. Kurva dispersi ( )0nE ( )knE

dapat dicari dengan memasukkan efek dari bentuk k.p sebagai gangguan. Jika

nilai eigen untuk Hamiltonian lengkap (II.16) didefinisikan sebagai:

( ) ( )0

22

2mkEW nn

h−= kk (II.19)

maka daerah disekitar k=0 dapat diperiksa dengan teori gangguan. Ketika k=0,

maka:

( ) ( ) ( )000nn EW = (II.20)

Nilai eigen untuk Hamiltonian lengkap dalam persamaan (II.16) dapat didekati

dalam orde pertama dan kedua gangguan. Dengan persamaan (II.20) nilai eigen

untuk Hamiltonian lengkap dalam orde dua gangguan adalah:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21210 0 nnnnnnn WWEWWWW ++=++≅k (II.21)

Dengan menggabungkan persamaan (II.19) dan (II.21) diperoleh:

( ) ( ) ( ) ( )21

0

22

20 nnnn WW

mkEE +++=

hk (II.22)

Dari persamaan (II.22) nampak bahwa pita memelihara bentuk parabolik dasar

yaitu bentuk k2, oleh karenanya massa efektif harus berasal dari dua bentuk

terakhir dalam persamaan (II.22).

28

2.c.1. Pita tidak Merosot

Untuk teori k.p kasus yang terpenting adalah keadaan tidak merosot (Jena,

2004). Sebagaimana yang telah disebutkan, Persamaan (II.16) di atas dapat

diselesaikan dengan menggunakan teori gangguan (lihat Yariv, 1982 atau

Griffiths, 1995). Potensial gangguan dalam (II.16) dapat diwakili dengan sebuah

operator yaitu:

k.p0

ˆmh

=ν (II.23)

Dengan teori gangguan (Yariv, 1982), persamaan (II.21) adalah:

( ) ( ) ( )∑≠ −

++=mn nm

mnmnmm EE

EW00

ˆˆ0

2νν (II.24)

dengan nmmn νν ˆˆ = . Melalui pencocokkan persamaan (II.21) dan (II.24), maka

persamaan (II.22) menjadi:

( ) ( ) ( ) ( )∑≠ −

+++=mn nm

mnmnmm EEm

kEE002

02

0

22 ννhk (II.25)

Dari bentuk nmmn νν ˆˆ = terlihat bahwa orke kedua gangguan muncul

oleh interaksi antara nilai eigen yang berbeda. Dimana terjadi atau tidak terjadinya

interaksi antara keadaan ditentukan oleh elemen matrik nmmn νν ˆˆ , jika

nmmn νν ˆˆ adalah matriks nol atau lenyap maka berarti tidak ada interaksi.

Keadaan lenyap atau tidak ini bisa dilihat dari sifat simetri fungsi eigen dan

simetri potensial gangguan ν .

29

2.c.1.a. Sifat Simetri ν

Tinjau bentuk mnν diagonal, sebagaimana disebutkan di atas bahwa

elemen matrik diperoleh dari keadaan terganggu yang diekspansikan dalam basis

yang ditemukan pada k=0, misalnya ( )r0mu . Dapat ditunjukkan bahwa 0=mnν

jika kristal mempunyai simetri inversi yaitu ( ) rr 00 - mm uu ± ( )= . Untuk

menunjukkan ini dapat dilakukan dalam dua metode. Metode pertama dengan

mendefinisikan operator paritas ℘ untuk memberikan fungsi gelombang baru

yang bersesuaian dengan pergantian rr −→ , yaitu 00ˆ nn uu ±=℘ . Transformasi

serupa juga berlaku untuk operator momentum. Dalam kasus satu dimensi,

diperoleh

( ) xx pdxd

ixdd

idxd

ip −=−=℘

−℘=℘℘=℘℘ +++ hhh ˆˆˆˆˆˆ (II.26)

Pernyataan serupa juga dapat diberlakukan terhadap komponen y dan z

momentum. Oleh karena itu dapat dihitung elemen matrik:

[ ] [ ] [ ] [ ] nonnonnnnnnon uuuuuuuuuu ppppp 0000000 ˆˆˆˆ −=℘℘=℘℘=±±= +∗∗

Sehingga dapat disimpulkan:

000 =nn uu p dan 0ˆ =mnν (II.27)

Metode kedua dapat dilakukan dengan menyelesaikan integral 00 nn uu p , dengan

elemen x dalam integral 00 nn uu p disubsitusi dengan –x.

30

2.c.1.b. Simetri Fungsi Eigen

Semua semikonduktor kristal mempunyai ikatan tetrahedral yang memiliki

hibridisasi (Jena, 2004). Atom-atom silikon mempunyai elektron-elektron

terluar (valensi) dalam orbital s dan p. Sifat simentri (atau geometri) dari orbital-

orbital ini dibangun/ditentukan oleh bagian sudut mereka (Jena, 2004).

3sp

1=s (II.28)

φθ cossin3==rxpx (II.29)

φθ sinsin3==rypy (II.30)

θcos3==rzpz (II.31)

Bentuk keadaan-s dan keadaan-p diberikan dalam gambar (II.2). Keadaan

ini ditandai dengan s , X , Y , Z . Ketika atom-atom diletakkan dalam kisi

kristal maka elektron valensi terhibridisasi ke bentuk orbital dan berperan

dalam ikatan tetrahedral. Kristal kemudian membangun struktur pita berdasarkan

orbital-orbital yang diizinkan berinteraksi untuk membentuk ikatan kimia. Dalam

struktur pita kristal akan hadir celah energi yang merupakan reprentasi keadaan

elektron yang berada dalam potensial periodik kristal. Karena keadaan valensi dan

konduksi terkait dengan interaksi orbital s dan p, maka keadaan di dekat tepi pita

konduksi dan valensi akan berperilaku menyerupai

3sp

s , X , Y dan Z

sebagaimana yang mereka miliki sebagai atom-atom individual.

31

z

Pada kasus semikonduktor celah-langsung (direct-gap semiconductor), fungsi kisi

Bloch ( ) ( )rrk 0cc uu = memiliki sifat simetri sebagaimana keadaan s pada pita

konduksi minimum (k=0) atau mempunyai simetri bola. Sedangkan seluruh pita

maksumum valensi akan mempunyai simetri sebagaimana orbital-orbital-p. Pada

semikonduktor yang mempunyai celah pita tidak langsung (indirect-gab

semiconductor) keadaan minimum pita konduksi tidak lagi seperti s melainkan

adalah campuran s dengan X , Y , Z (Jena, 2004). Secara umum keadaan-

keadaan pita valensi dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari orbital-orbital-p.

Sifat-sifat ini dapat dilihat dalam gambar (II.3).

Terlihat bahwa fungsi kisi Bloch memelihara simetri yang dimiliki orbital-

orbital atomik. Dalam ekspresi matematis dapat dikatakan bahwa fungsi kisi

Bloch diizinkan untuk memiliki simetri tipe-s dan tipe- misalnya

keadaan . Kemudian, dibuat hubungan langsung bahwa adalah

kombinasi linear dari . Tanpa mengetahui pun bentuk alami eksak dari

zyx ppp ,,

zyxs uuuu ,&,, suυ

zyx uuu ,&,

x

y

z

y

x

z z

y y

x x

Orbital-py Orbital-pz Orbital-s Orbital-px

Gambar II.2. Orbital-orbital s dan p dari sistem atom. orbital-s berbentuk bola, dengan demikian simetri pada semua sumbu. Orbital-orbital-p adalah antisimetri atau fungsi ganjil sepanjang arah mereka diorientasikan (Jena, 2004).

32

fungsi-kisi Bloch, dapat segera dinyatakan bahwa elemen matrik antara keadaan

pita konduksi dan keadan pita valensi yaitu:

0=vc uu , (II.32)

E Celah

Karena pita valensi adalah kombinasi linear dan zyx uuu ,,

( )zkyjxiip ∂∂+∂∂+∂∂−= ˆˆˆh maka matrik-momentum vc upu antara pita

valensi dan konduksi adalah menjadi tidak nol.

pupuupu iisis ≡= dan ( )jiupu jis ≠= ,0 (II.33)

Elemen-elemen ini secara jelas dapat dilihat pada seksi (Model Kane) seperti yang

dilakukan oleh Kane guna mendapatkan basis bagi Hamiltonian diagonal yang

memuat interaksi spin-orbit.

Ketidak nol interaksi pita-pita ini membuat Himpunan elemen matrik

kedua mnν adalah tidak perlu nol, yang mana memberikan kemunculan massa

Tidak langsung

Celah langsung

Pita konduksi

pssu +s

Semakin tidak-langsung

lebih p Celah pita

zcybxa ++

Kombinasi linear keadaan tipe-p dari bentuk Pita

Valensi

HH

LH

SO

Gambar II.3. Tipe struktur pita semikonduktor. Untuk semikonduktor celah-langsung, keadaan pita konduksi terjadi pada k=0 yang berperilaku seperti orbital-s, sedangkan keadaan pita valensi adalah kombinasi linear orbital-orbital yang berperilaku seperti orbital-p. Untuk semikonduktor celah-tidak langsung keadaan pita konduksi tidak berperilaku seperti orbital-s, tetapi menyerupai keadaan camputran dari keadaan orbital-p dengan keadaan orbital-s (Jena, 2004)

33

efektif. Nilai eigen-energi dapat ditulis dengan subsitusi persamaan (II.23) ke

(II.25) sehingga diperoleh:

( ) ( ) ( ) ( )∑≠ −

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

mn nm

nmmm EEmm

kEE002

022

00

22 pkk hh (II.34)

dengan

αββα

βαα

αα δ∑∑ ==++=,

2222 kkkkkkkk zyx (II.35)

dan αβδ adalah delta Kronecker. 2nmpk ⋅ dapat juga ditulis dalam bentuk-bentuk

komponen-komponennya yaitu:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ββ

α

βαα

β

ββ

α

αα nmnmnmnmnmnmnm pkpkpkpk ∗

∗∗ ∑∑∑ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⋅⋅=⋅

,

2 pkpkpk

( II.36)

dengan ( )0000

1mnmxnnm u

xiuupup

∂∂

==h dan seterusnya. Vektor gelombang k

dalam persamaan (II.36) tidak berpengaruh oleh operasi konjugat kompleks

karena bersifat real. Kemudian karena konjugat kompleks dari suatu elemen

matrik mempunyai pengaruh yang sama sebagaimana diambil adjoinnya maka

. Sehingga persamaan (II.36) menjadi: ( ) ( )ααmnnm pp =

∗

( ) ( )βα

βα

βα kkpp mnnmnm ∑=⋅,

2pk (II.37)

Kemudian dengan menggambungkan persamaan (II.37) dengan (II.35) diperoleh:

( ) ( ) ( ) ( ) βαβα

βααβδ

kkEE

ppm

EEmn nm

mnnmmm ∑ ∑

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=−

≠,

2

0

2

00220 hh

k (II.38)

34

Persamaan (II.38) menampilkan tensor massa efektif yang dapat didefinisikan

sebagai:

( ) ( ) βαβαβα

kkm

EE mm,,

2 12

0 ∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=− ∗

hk (II.39)

dengan

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡−

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑

≠∗

mn nm

mnnm

EEpp

mmm 0021

200

βααβ

αβ

δ h , (II.40)

Fungsi Bloch Periodik hanya bergantung pada vektor gelombang k

dalam orde pertama teori gangguan. Dari teori gangguan, untuk pendekatan

orde pertama dapat diungkapkan sebagai:

knu

knu

( ) ( )∑≠ −

−≅nm

mnm

mnnn u

EEuu 00 00

νk (II.41)

dengan elemen matrik menggunakan fungsi gelombang orde ke-nol adalah:

00 ˆ nmmn uu νν = dengan pm

ˆˆ0

⋅= khν (II.42)

Oleh karenanya koreksi orde pertama dalam persamaan (II.41) adalah tidak nol.

Selanjutnya diasumsikan bahwa bagian periodik disekitar pusat zona Brillouin

hanya bergantung pada k melalui koreksi orde pertama. Jika elektron berada

dalam pita konduksi (pada semikonduktor pita dua/ valensi-konduksi) maka m=2,

maka pita satu-satunya yang lain adalah pita valensi yang diberikan oleh n=1.

Kemudian jika pada semikonduktor celah pita duua ini celah energi

( ) ( )00 mng EEE −= adalah cukup lebar maka diharapkan suku kedua pada sisi

kanan dari persamaan (II.41) adalah kecil. Arti penting dari asumsi bahwa celah

energi cukup lebar adalah bahwa fungsi dapat diekspansikan dalam bentuk

fungsi

knu

0,nu

35

( ) 0k k mm

mn uau ∑= (II.43)

Terlihat bahwa teori k.p memprediksikan pita parabolik dan juga

memprediksikan interaksi k.p yang memodifikasi pita parabolik tersebut. Selain

itu teori k.p juga memprediksikan suatu massa efektif untuk elektron.

2.d. Model Kane

Untuk semikonduktor celah pita direct penyelesaian untuk daerah dekat

sekitar pusat zone Brillouin dapat diperoleh apabila penyelesaian persamaan

schrödinger satu elektron diketahui pada pusat zone. Sebagaimana dipaparkan

pada pendahuluan, ini dapat dilakukan dengan menganggap hasil kali skalar k.p

(dimana k adalah sebuah vektor gelombang terukur di Γ dan ) sebagai

gangguan. Oleh karenanya persamaan schrödinger tak gayut waktu dalam bentuk

bagian periodik fungsi Bloch adalah:

∇= hip

( ) ( ) ( )rr2 kkk

0

22

00k uEu

mk

mVHuH so =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅++=hh pkr (II.44)

dengan H0 adalah Hamiltonian pusat zona Brillouin dan Vso adalah potensial spin-

orbit. Diketahui :

( ) p⋅∇×= Vcm

V so σ4 22

0

h (II.45)

Dengan p dan σ adalah operator momentum dan spin Pauli. Dapat dipahami

bahwa interaksi spin orbit adalah murni pengaruh efek relativistik. Pengaruh ini

muncul oleh pergerakan elektron disekitar inti yang bermuatan positif pada

kecepatan relativistik, medan listrik dari inti akan bertransformasi-Lorentz

menjadi medan magnetik dalam persepsi elektron dan akan berinteraksi dengan

36

spin atau lebih tepatnya dengan momen magnetik elektron. Karena elektron

valensi yang terletak lebih dekat dengan inti dibandingkan dengan elektron

konduksi maka efek spin-orbit ini akan dominan disumbangkan oleh elektron

valensi dan biasa di dimasukkan dalam penggambaran pita valensi, di mana jika

gerakan relatif elektron adalah sebuah gerak menyerupai garis lurus, maka

( ) ( ) cc

cv

EvEvB ×≅−

×−=

2

2121 2

(II.46)

Dengan persamaan (II.46) interaksi spin-orbit dalam persamaan (II.45) menjadi:

( )

( )

( )( ) pS

pS

EvS

S.BS.BBM

⋅∇×−=

∇×⋅=

×⋅−=

==⋅−=

φ

φ

2

2

22

2

B

emc

ecm

emc

emceV so µ

(II.47)

dengan µB adalah magneton Borh dan S adalah operator spin ( σ21 h=S ) . Dalam

langkah terakhir persamaan digunakan relasi ( ) ( ) CBACBA ⋅×=×⋅ dan

( ) ( ABBA )×−=× . Penggambaran ini tidak sebenarnya benar setelah diasumsikan

elektron bergerak dalam garis lurus, untuk sistem dimana elektron bergerak dalam

suatu orbit tertentu perlu dimasukkan efek presisi Thomas dengan menambahkan

suatu faktor 2 terhadap pembagi (II.44). Untuk potensial simetri bola (misalnya

) persamaan (II.47) dapat ditulis sebagai (Kemerink, 1998): ( ) ( )rφrφ =

( )( ) LS ⋅∂

∂−=

rre

rcmV so φ1

21

22 (II.48)

37

dengan L adalah momentum sudut pergerakan elektron. Untuk elektron yang

berasal dari orbital-s (elektron pita konduksi untuk semikonduktor direct (L ≈ 0))

sehingga interaksi spin-orbit akan dalam orde nol, penjelaasn efek ini

sebagaimana dijelaskan di atas. Untuk elektron yang berasal dari orbital-p (L ≈ 1),

oleh karenanya efek interaksi spin-orbit tidak dapat diabaikan untuk elektron

valensi.

Sebuah analisis k.p persamaan (II.44) menggunakan teori gangguan orde

dua menghasilkan relasi dispersi yaitu pada semua pita. Analisis ini hanya

valid untuk sekitar titik Γ (Kemerink, 1998). Perluasan perhitungan gangguan

pada orde k lebih tinggi dengan cara ini adalah sangat tidak praktis sehingga

metode lain perlu diterapkan (Kemerink, 1998). Pendekatan yang sangat sukses

untuk menyelesaikan masalah ini dilakukan oleh Kane.

2k

Dasar asumsi model Kane adalah bahwa dalam sebagian besar

semikonduktor, tepi pita konduksi terendah dan pita valensi tertinggi secara relatif

terpisah dengan baik dari semua tepi-tepi pita yang lain disekitar titik Γ. Kane

kemudian mengdiagonalisasi Hamiltonian dalam persamaan (II.44) dengan tepat

dalam suatu himpunan terbatas tepi-tepi pita, termasuk gandengan dengan tepi

pita Γ selanjutnya, dengan menggunakan teori gangguan orde kedua. Dalam

mengdiagonalisasi Hamiltonian ini, dibutuhkan suatu basis dalam mana semua

Hamiltonian (dasar dan gangguan) adalah diagonal pada k = 0. Oleh karena itu

Kane memilih sebuah himpunan basis yang dibuat dari kombinasi linear dari

fungsi di atas. Basis ini dipilih sedemikian rupa sehingga momemtum sudut total

J = L + S dan proyeksinya Jz sepanjang sumbu-z adalah diagonal pada basis baru.

38

Untuk itu akan dirangkum bagaimana mengkontruksi basis ini berdasarkan

(Kemerink, 1998)

Dalam kehadiran interaksi spin-orbit, tepi pita konduksi terendah merosot

dua. Sebagaimana disebutkan di depan bahwa Fungsi Bloch untuk keadaan

merosot ini ditandai sebagai ↑S dan ↓S , dan mempunyai sifat yang sama

sebagaimana orbital molekul s. Pita valensi tertinggi kemudian terdegenerasi

lipat-6, dengan fungsi Bloch ↑X , ↑Y , ↑Z , ↓X , ↓Y dan ↓Z

mempunyai simetri sebagaimana orbital p. Dengan sifat komutatif fungsi s dan p

adalah fungsi eigen dari L2 dan S2, dengan L dan S operator momentum sudut dan

spin. Karena L dan S tidak dapat mengkarakterisasi keadaan pita valensi secara

unik, maka sehingga observabel lain yang berkomutatif perlu diperkenalkan.

Kemudian dapat dipilih ini untuk menjadi proyeksi L sepanjang sumbu z, mL -1,

0, 1. Dengan mengambil kombinasi linear fungsi Bloch yang telah disebutkan di

atas, fungsi Bloch baru dapat dikontruksi yang merupakan fungsi eigen dari L2

dan Lz. telah ditemukan (Gasiorowicz, 1974):

( iYX +=+2

11,1 )

Z=0,1

( iYX −=−2

11,1 ) (II.49)

dengan tiap keadaan LL m, mempunyai spin up dan down.

Interaksi spin-orbit sekarang menggandeng momentum spin dan orbital

sebagaimana persamaan (II.48). Semenjak momentum sudut total J memenuhi:

39

( )22

22

SS2LLSLJ

+⋅+=

+= (II.50)

maka eigen fungsi dari J2 adalah juga fungsi eigen dari Vso, sekali lagi J tidak

dapat mengkarakterisasi keadaan-eigen dari J2 secara unik dan proyeksi J

sepanjang sumbu-z dipilih sebagai observabel kedua. L=0 untuk S=1/2

memberikan J=1/2 (mj=±1/2). L=1 untuk S=1/2 memberikan empat keadaan baru

yaitu dengan J=3/2 (mj=±3/2, ±1/2) dan dua keadaan baru yaitu J=1/2 dengan

(mj=±1/2). Ini dilustrasikan dalam gambar (II.4). Eg dan ∆so adalah celah energi

dan energi pemecahan spin-orbit. Tepi dari J=3/2 engan mj=±3/2, ±1/2 dinamakan

heavy dan light hole. Tepi J=1/2 teratas adalah pita yang tidak terpecah. Kontruksi

J2 dan Jz dari L dan S dapat dilihat dalam buku pegangan mekanika kuantum

seperti (Rosyid, 2005; Johnson, 2006). Hasil dari proses ini dapat diihat pada

tabel (II.1) di bawah.

E (a)

L=1 S=1/2

L=0 S=1/2

E (b)

Γ6 J=1/2

Eg

Γ8 J=3/2 ∆s.o

Γ7 J=1/2

Gambar II.4. Ilustrasi skematik dari efek dari gandengan spin-orbit pada tepi pita konduksi terbawah dan tepi pita tertinggi valensi. (a) tanpa interaksi spin-orbit. (b) dengan interaksi spin orbit (Kemerink, 1998)

40

Tabel II.1 Himpunan kombinasi linear basis tak-terganggu yang

digunakan dalam formulasi k . p (North, 2001).

ui ZJ,J ZJ,Jψ

u1 21

21 , ↑Si

u3 21

23 , ( )↓++↑− YXZ

61

32 i

u5 23

23 , ( )↑+ YX

21 i

u7 21

21 , ( ) ↑+↓+ ZYX

31

31 i

u2 21

21 ,− ↓Si

u4 21

23 ,− ( ) ↓+↑− ZYX 3

26

1 i

U6 23

23 ,− ( ) ↓− YX

21 i

U8 21

21 ,− ( ) ↓+↑ ZY-X

31

31 i

2.e. Hamiltonian Bulk Semikonduktor

Terdapat banyak bentuk Hamiltonian untuk fungsi gelombang envelope

(sehingga dinamakan juga Hamiltonian massa efektif) berdasar basis yang

ditemukan oleh Kane, untuk celah pita cukup lebar, Luttinger dan Kohn

menentukan Hamiltonian hole k.p 4×4 untuk pita valensi dengan teori gangguan.

Hamiltonian LK 4x4 didasarkan pada asumsi bahwa pita HH dan LO adalah pita

yang dominan menentukan sifat optik semikonduktor III-IV. Proses penentuan

Hamiltonian LK 4x4 dilakukan dengan menganggap pita LH (light hole) dan HH

41

(heavy hole) dan interaksinya sebagai pita utama sedangkan pita lainnya (pita

konduksi dan pita konduksi lainnya yaitu pita SO (split-off) sebagai gangguan,

Hamiltonian ini telah digunakan sebelumnya pada sistem QD heterostruktur. Pada

keadaan ini basis (celah pita cukup jauh) yang digunakan untuk penentuan

keadaan elektron dapat direduksi menjadi menjadi 2 keadaan pita konduksi aja

(Kemerink, 1998).

Ada juga yang memperlakukan pita LH, HH dan SO dan interaksinya

sebagai keadaan utama sedangkan pita lainnya misalnya pita konduksi sebagai

gangguan, dimana Dengan teori gangguan dalam pendekatan Löwdin diperoleh

model Hamiltonian LK 6×6. Model Hamiltonian ini juga telah aplikasikan pada

sistem QD heterostruktur (Grigoryan dkk, 1990) dan akan kita aplikasikan pada

penelitian kami yang merujuk pada sistem QD colloid.

Untuk semikonduktor pita sempit atau gandengan antara pita valensi dan

pita konduksi juga merupakan keadaan yang penting (berpengaruh) dalam

semikonduktor. Dalam asumsi ini telah juga dikembangkan Hamiltonian LK 8×8

(Efros dan Rosen, 1998), Hamiltonian ini baik yang simetri maupun asimetri ini

pun telah digunakan sistem QD heterostruktur dan akan digunakan pula pada

penelitian ini dengan model sistem mengacu pada QD nanokristal colloid.

2.e.1. Model Hamitonian k.p 6×6 dengan Teori Gangguan (Celah Pita

Cukup Lebar)

Dengan perspektif teori gangguan, keadaan tepi pita konduksi dan valensi

dapat dibagi atas dua kelas misalnya kelompok A dan B. keadaan-keadaan yang

42

diasumsikan utama ke dalam kelompok A dan setiap pita yang lain ke kelompok

B.

Menurut metode gangguan Löwdin (1951) keadaan yang termasuk dalam

kelompok B dapat diperlakukan sebagai sebuah gangguan terhadap keadaan A.

secara formal dapat ditulis sebagai (North, 2001):

( ) ( ) ( )rrr 0,''

k,'0,''

k,'k γγ

γ uauauB

j

A

jj ∑∑ += (II.51)

dengan j’ adalah keadaan dalam kelas A dan γ’ adalah keadaan dalam kelas B,

metode Löwdin membuktikan bahwa persamaan schrödinger tak bergantung

waktu dapat dipecahkan dalam bentuk:

( ) 0k,''

'' =−∑ j

A

jjj

Ajj aEU δ (II.52)

sebagai pengganti:

( ) 0k,'

,

''' =−∑ j

BA

jjjjj aEH δ (II.53)

dengan ( ) ( )ABAjjHU jjAjj padapengaruh','' +∈= . Dalam metode Löwdin B

diperlakukan sebagai gangguan. Bentuk dalam koreksi orde pertama terhadap

H

AjjU '

jj’ adalah:

∑≠ −

+=B

jj

jjjj

Ajj EE

HHHU

', 0

'''

γ γ

γγ

( ) ( )AjjmkEuHuH jjjjjjj ∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+== ',

20 '

0

22

0,'0,' δh

γjH mewakili Hamiltonian gangguan yang dinyatakan dalam basis tidak

terganggu. Dari persamaan (II.44) jelas bahwa Hamiltonian gangguan

43

disumbangkan oleh bentuk k.p ditambah potensial spin-orbit. Momentum

translasi dalam persamaan (II.44) mewakili pergerakan elektron konduksi

sedangkan momentum translasi dalam potensial spin-orbit (II.45) mewakili

pergerakan elektron konduksi dan valensi. Dari persamaan (II.48) nampak bahwa

potensial spin-orbit hanya disumbangkan oleh elektron valensi. Sehingga dengan

fakta bahwa kecepatan elektron konduksi jauh lebih tinggi dari elektron valensi

maka berlaku:

( AAjpmk

um

uH jzyx

jj ∉∈=⋅= ∑=

γαγ

α

αγγ ,

,, 00,

00,

hh pk ) (II.54)

dengan sumbangan spin-orbit diabaikan. Dalam hal ini sumbangan potensial spin-

orbit bagi nilai eigen energi akan dimasukkan dengan pemilihan basis fungsi

Bloch yaitu orbital p (keadaan valensi). Oleh karenanya dapat diungkapkan

sebagai:

AjjU '

( ) ∑ ∑≠ −

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

', , 0

'

0

2

'0

22

' 20

jj

jjjjj

Ajj EE

ppkkmm

kEUγ βα γ

βγ

αγβαδ hh (II.55)

( ) 03

0 =∆

+= pj EE untuk empat keadaan HH dan LH dan

( ) ∆−=∆

−=3

20 pj EE untuk dua keadaan SO. Kemudian dalam (II.55)

diungkapkan kembali dalam D

AjjU '

jj’ yaitu:

( ) βαβα

αβδ kkDED jjjjjjj ∑+=,

''' 0 (II.56)

dengan didefinisikan sebagai αβ'jjD

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

++= ∑

Bjjjj

jjjj EEmpppp

mD

γ γ

αγ

βγ

βα

αγ

αβαβ δδ

00

'''

0

2

' 2h (II.57)

44

Penyederhanakan persamaan (II.57) dapat dilakukan dengan membatasi

keadaan yang terkait dengan keadaan sekitar tepi pita valensi dan konduksi yang

menjadi perhatian yaitu tiga pita valensi teratas misalnya pita HH, LH dan SO

yang mana masing-masing merosot (tergenerasi) dua. Oleh karena itu pita-pita

valensi ini dimasukkan dalam kelompok A sedangkan pita-pita yang lainnya

misalnya pita konduksi dimasukkan dalam kelompok B. Untuk menyerderhanakan

persamaan (II.57) didefinsikan (North, 2001):

∑ −+=

B xX

xX

EEpp

mmA

γ γ

γγ

020

2

0

2

0 22hh

∑ −+=

B yX

yX

EEpp

mmB

γ γ

γγ

020

2

0

2

0 22hh

∑ −

+=

B yX

yX

xX

xX

EEpppp

mC

γ γ

γγγγ

00

2

0 2h (II.58)

Juga didefinsikan parameter Luttinger γ1, γ2, γ3 (Luttinger dan Kohn, 1955;

Luttinger, 1956) dalam bentuk (II.58)

( 0020

1 232 BAm

+−=h

γ )

( 0020

2 32 BAm

−−=h

γ )

020

3 32

Cmh

−=γ (II.59)

Pendefinisian ini memberikan suatu parameter empiris yang membantu dalam

penyerdehanaan perhitungan matrik elemen, dimana parameter Luttinger ini dapat

dihubungkan dengan pengukuran massa efektif dari sebuah bulk kristal (Gershoni

dkk, 1993):

45

[ ] 210010 2γγ −=

hhmm

[ ] 210010 2γγ +=

lhmm

[ ] 311110 2γγ −=

hhmm

[ ] 311110 2γγ +=

lhmm (II.60)

Sehingga dengan menggambungkan (II.58), (II.59) dan (II.60), serta dalam

basis yang didefinisikan dengan tabel (II.1) akhirnya diperoleh Hamiltonian

Luttinger-Kohn (Luttinger dan Kohn, 1955). Karena Hamiltonian harus bersifat

Hermitian maka diperoleh : LKH

SOSOHHLHLHHH

022232022322

22022302320

220

66LK

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆−−−−−∆−−−

−−−−−−−+−−−−+−−−−−

=

∗∗∗

∗∗

∗∗∗∗

∗∗

∗

×

PSQSRPRSQS

SRQPSRQSSQPR

SQRQPSRSRSQP

H

dengan elemen matrik adalah: 66×LKH

( )2221

0

2

2 zyx kkkm

P ++= γh

( )2222

0

2

22 zyx kkk

mQ −+= γh

( )[ ]yxyx kkikkm

R 322

20

2

232

γγ +−−=h

46

( ) zyx kikkm

S −= 30

2

322

γh (II.61)

Nilai eigen dan vektor eigen dari Hamiltonian Luttinger-Hohn kemudian

memberikan pendekatan penyelesaian (II.44), di mana nilai eigen diberikan oleh

Enk = E dan fungsi gelombang telah didefinisikan sebagai:

( ) ( )rr kn,k.r

kn, uei=ψ (II.62)

( ) ( )∑=

=6

,0k,kn,ij

jj uau rr (II.63)

Dalam potensial pengungkung, jika energi gap cukup lebar maka

diharapkan bahwa pencampuran (gandengan) keadaan tepi pita-pita lain terhadap

fungsi gelombang pita konduksi sangat kecil didaerah sekitar Γ. Sehingga untuk

keadaan pita konduksi basis dalam tabel (III.I) dapat direduksi menjasi u1 dan u2

dan penjumlahan hanya meliputi pita-pita ini. Dalam kondisi ini persamaan

Schrödinger dapat dihadirkan dengan persamaan massa efektif Istilah massa

efektif merujuk pada atau berkenaan dengan persamaan gelombang schrodinger

yang menggunakan massa efektif tetapi tidak menggunakan potensial kristal

periodik; Jika potensial makroskopik adalah diagonal dalam indeks pita maka

Hamiltonian lengkap (tanpa massa efektif) tereduksi ke Hamiltonian efektif

(dengan massa efektif) selama fungsi gelombang lengkap (dengan fungsi Bloch

periodik) digantikan dengan fungsi gelombang envelope (tanpa fungsi Bloch

periodik):

( ) ( ) ( )rr iip EVm

φφ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+∇∗ r

22

2h (II.64)

47

dengan adalah potensial pengungkung. Oleh karenanya persamaan (II.61)

adalah tidak bergantung spin, tiap level akan terdenerasi dua kali (degenerasi

Kramer) (Kemerink, 1998), dengan

( )rpV

( )riφ adalah fungsi gelombang pita dari sub

pita ke i. (dimana i=0 adalah keadaan dasar dan i=1 adalah keadaan tereksitasi

pertama pita konduksi, dst), sehingga fungsi gelombang pita konduksi diberikan

oleh:

( ) ( )(∑=

↓↑=n

ii

cj

c u1

0, ,r rφ )ψ (II.65)

2.e.2. Model Hamitonian k.p 8×8 (Celah Pita Sempit)

` Penelurusan Hamiltonian untuk pita sempit dapat ditelusuri dari keadaan

tanpa interaksi spin-orbit. Hamiltonian dalam basis fungsi Bloch S , X , Y ,

Z dapat diperoleh dari penerapan persamaan (II.38), dengan m = 1, 2 untuk dua

pita (valensi dan konduksi), kemudian n = 1 untuk pita konduksi ( S ) dan n = 1

untuk pita valensi yang disusun oleh kombinasi linear valensi ( X , Y , Z ).

Bentuk Hamiltonian yang disajikan disini adalah bersumber dari (Fonoberov,

2002). Dalam sumber di atas Hamiltonian dapat mewakili sifat simetri dan non-

simetri Hamitonian yang terkait dengan sifat hermitian Hamiltonian dan

kontuinitas rapat arus melewati medium diskontinyu (atau dalam medium tidak

homogen yang terkait dengan material heterostruktur, Hamiltonian ini akan kita

bawah kembali ke dalam sistem yang diasumsikan homogen. Hamiltonian 4x4

dalam basis S , X , Y , dan Z adalah (Fonoberov, 2002):

48

( )( )

( ) ⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−−

−−+−

−−−+−

+

=

⊥

⊥

⊥

×

221

'33

322

1'

3

3322

1'

0

2

44

666666

2

zhzvzyzxz

zyyhyvyxy

zxyxxhxvx

zyxc

kkkkkkivkkkkkkkivkkkkkkkivk

ivkivkivkA

mH

ββεγγ

γββεγ

γγββε

αε

h

(II.66)

dengan , , 3/' δεε −= vv zyxzyx kkk ,,,, −=⊥211 4γγβ += , 21 2γγβ −=h ,

02 2mE cc εh= , 0

2 2mE vv εh= , dan α ditentukan dalam

eksperimen penentuan massa pita konduksi m

222zyx kkkA ++=

c melalui kaitan

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∆++=

gg

p

c EEE

mm12

311

0α .

Jika gandengan spin-orbit diperhitungkan maka Hamiltonian harus dibawa

ke dalam wakilan basis fungsi Bloch ↑S , ↑X , ↑Y , ↑Z , ↓S , ↓X ,

↓Y dan ↓Z yaitu:

soHH

HH +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

×

××

44

4488 0

0 (II.67)

dengan H4x4 didefinisikan dalam persamaan (II.66) dan Hamiltonian Hso

mempunyai bentuk (Baraff dan Gershoni, 1991):

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

−

∆=

00000100000000001000000000000100000

000000100000000000000

3

iii

i

iii

i

H so (II.68)

dengan 02 2mδh=∆

49

Hamiltonian k.p 8×8 persamaan (II.67), dapat ditransformasikan ke dalam

wakilan basis Kane sebagaimana dalam tabel (II.1) dengan melakukan

transformasi uniter, transrformasi ini diperlukan agar Hamiltonian dalam

persamaan (II.67) menjadi diagonal:

TUHUH 8888

LK ×∗× = (II.69)

dengan U adalah matrik transformasi dari basis ↑S , ↑X , ↑Y , ↑Z ,

↓S , ↓X , ↓Y dan ↓Z ke basis Bloch u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7 dan u8

dimana ui sebagaimana dalam tabel (II.1). Dengan melakukan transformasi (II.67)

dan kemudian energi pita valensi dipilih bernilai nol diperoleh : vE

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

−−−−−−−

−−−

+−−−−

−−+−−−

−−−−−−

−−−

−+

+

=

∗∗∗−

∗∗

∗∗∗∗∗−

∗∗∗−

∗∗

∗

−

−−

×

δ

δ

ε

ε

psiqisiriVV

prisiQisiViVi

siriqpsrV

qisisqprViVi

siqirqpsVV

risirsqpiV

VViVViVA

VViViViVA

mH

i

i

g

g

LK

02

2232

31

32

02232

232

3

22-00

2230

32

3

2320

31

32

22

00

31

32

32

3100

32

30

3320

2

01

10

1

01

0

01101

10101

0

88 h

(II.70)

dengan:

02

20 2;2 mEm

gg εδ hh

=∆

= ;

,2

,2

yxyx ikkk

ikkk

−=

+= −+

50

,, 11 −−+ == vkVvkV ,0 zvkV =

( ) ( )2221

2221 2, zyxzyx kkkqkkkp −+=++= γγ

( )[ ] ( ) ,32,23 3322

2 zyxyxyx kikkskkikkr −=+−−= γγγ (II.71)

02mvV h= adalah kecepatan Kane 0mZkSiV zh−= dan adalah

energi Kane. Sehingga persamaan vektor gelombang untuk sistem semikonduktor

kristal takhingga adalah:

20K 2 VmE =

( ) ( )rr krk

k n.

n uei=ψ (II.72)

dengan

( ) ( )∑=

=8

,0k,nij

jj uau rrk (II.73)

3. Metode Pseudopotensial Empirik

Sebagaimana disebutkan di atas bahwa parameter γi (i = 1,2,3) dalam

Hamiltonian Luttinger (6 × 6 dan 8 × 8 ) ditentukan melalui eksperimen dengan

Paramerisasi Hamiltonian. Paramerisasi dalam pendekatan semiempirik biasa

ditelusuri dalam dua metode (Metode Pseudopotensial Empirik dan Tight-Binding

Empirik), karena dalam penelitian ini akan digunakan parameter yang diberikan

oleh Metode Pseudopotensial maka perlu kiranya untuk dipaparkan secara singkat

tentang metode ini.

Skema model ini didasarkan pada ekspansi keadaan-eigen kristal kedalam

gelombang bidang (plane wave), yang diatur sehingga memperhitungkan simetri

kisi (Trani, 2004):

∑ +=G

k Gkk nAn (II.74)

51

Gelombang bidang didefinisikan dalam ruang nyata sebagai:

( ) rGkGkr ⋅+

Ω≡+ ie1 (II.75)

yang telah dinormalisasi untuk volume kristal Ω. Dalam formulasi metode

pseudopotensial empirik, potensial kristal adalah jumlah kontribusi potensial

simetri bola atomik v(r), sehingga Hamiltonian partikel tunggal untuk elektron

adalah (Trani,2004):

(∑+=i

iivm

HR,di

d-R-r2

2h ) (II.76)

dengan R dan d masing-masing adalah posisi sel satuan dan posisi atom dalam

sel. Elemen-elemen Hamiltonian adalah:

( ,2

22

G'-GGkG'kGk G'G, Vm

H ++=++ δh ) (II.77)

Untuk Silikon d seperti diberikan (dalam perumusan metode Tight-Binding) di

depan nantinya maka (Trani,2004):

( ) ( ) ( )( )dG

d

dG GGG ⋅−⋅− +== ∑ iik evevV

i

1 (II.78)

dengan v(G) adalah transformasi Fourier potensial atomik. Penggunaan metode

Pseudopotensial sebagai skema interpolasi empirik terdiri dari penggunaan v(G)

sebagai parameter, yang dicocokkan dengan data eksperimen. Masalah nilai eigen

dapat ditulis sebagai:

( ) ( ) ( ) 0'-2 ',

22

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+∑ GGGkGk

GkGG AVE

m kn δh (II.79)

Salah satu penyempurnaan dari teori ini adalah pseudopotensial lokal empirik

yang memperhitungkan interaksi elektron inti, dalam metode ini akan

52

memberikan nilai potensial atomik yang lebih rendah, perumusan ini dapat

ditemukan dalam (North, 2001).

4. Metode Tight-Binding

4.a. Sekitar Metode Tight-Binding

Sejak studi fundamental dari Slater dan Koster (1954), pola interpolasi

tight binding (TB) telah menjadi alat yang tangguh (powerful) untuk menghitung

kerapatan keadaan dan spektrum elektronik dari material kristal. Metode ini

didasarkan pada ekspansi fungsi-fungsi gelombang kedalam kombinasi linear

orbital-orbital atomik (linear combination atomic orbitals/LCAO) dan telah

berkembang dibidang kimia secara luas, dengan paramerisasi elemen matrik

Hamiltonian dihasilkan melalui perhitungan (ab-initio) dan atau data eksperimen

(semiempirik atau empirik). Dibandingkan dengan metode yang didasarkan pada

himpunan basis gelombang bidang (PW), metode tight-binding sangat efisien

untuk menangani keadaan terlokalisasi. Disamping itu metode tight-binding juga

telah secara luas digunakan khususnya dalam perhitungan keadaan impuritas

(Lannoo dan Burgoin, 1981) karena mempunyai keuntungan secara komputasi.

Hal ini dikarenakan dalam metode ini hanya membutuhkan sedikit jumlah orbital-

orbital terlokalisasi (Trani, 2004). Sejak ditemukan telah banyak turunan/jenis TB

yang dikembangkan berdasarkan jenis parameterisasi (Papaconstantopoulos dan

Mehl, 2003). Sebuah wilayah menarik dalam kajian transfersibilitas parameter

tight-binding adalah pengembangan metode yang digunakan dalam masalah

optimasi struktur. Saat ini, perhitungan energi total dan simulasi montecarlo

sedang dilakukan dalam formalisme tight-binding (Trani, 2004).

53

4.b. Metode Tight-Binding semiempirik

Dalam bagian ini akan dipaparkan tight-binding semiempirik dalam skema

Slater-Koster. Sebagaian besar metode tight-binding diparameterisasi. Metode

parameterisasi yang paling sering dilakukan saat ini adalah dengan mencocokkan

parameter dalam model dengan hasil eksperimen atau ab-initio. Umumnya

metode tight-binding bergantung pada :

• Parameterisasi

• Tingkat pendekatan: basis ortogonal dan non-ortogonal, ketergantungan

lingkungan (seberapa jauh atom yang diperhitungkan dalam interaksi)

• Derajat ab-initio

4.b.1. Prinsip Dasar

Pendekatan dasar dari pola tight-binding (TB) adalah anggapan

(diasumsikan) bahwa semua fungsi gelombang elektronik yang menjadi perhatian

dapat digambarkan dengan ruang Hilbert terbatas yang dibentangkan oleh orbital-

orbital atomik (himpunan basis).

( ) ( )∑∑= =

=N

i

n

i

orb

c1 1

iα

ααϕψ R-rr (II.80)

dengan ( iR-rα )ϕ adalah orbital jenis α yang berpusat pada atom i dengan posisi

Ri, dan

2222 3

,,,,,,,,yzyxxzyzxyzyx dddddppps

−−=α

1 3 5 = Logam transisi-----

4 = semikonduktor

9 = Logam transisi

54

Jika diasumsikan bahwa kristal semikonduktor bulk dimodelkan dengan

Hamiltonian partikel tunggal maka persamaan schrödinger tidak gayut waktu

dalam wakilan posisi adalah:

( ) ( ) ( ) ( )rrrr ψψψ EVm effa =+∇− 2

0

2

2h (II.81)

dengan Hamiltonian elektron tunggal:

( )reffaVm

h +∇−= 2

0

2

2h , (II.82)

Veff adalah potensial efektif yang dapat diekspansikan sebagai penjumlahan yang

disumbangkan oleh atom-atom:

( ) ( )∑=i

iiaeffa VV R-rr (II.83)

dengan Ri adalah posisi atom. Dalam tight-Binding ab-initio, Density Functional

Theory menyediakan suatu kerangka kerja untuk menghasilkan suatu operator

potensial efektif elektron-tunggal, yang mana memasukkan interaksi antara

banyak elektron (Hohenberg, dan Kohn, 1964, Kohn dan Sham, 1965).

V(r)

Z+Z+ Z+ Z+

r

Gambar II.5. Illustrasi ketergantungan potensial atomik terhadap jarak

55

Dengan menggunakan persamaan (II.80) ke dalam (II.81) maka persamaan

Schrödinger tidak bergantung waktu dapat ditulis sebagai:

( ) ( )∑∑∑∑= == =

==N

i

n

i

N

i

n

i

orborb

hcEhch1 11 1 α

ααα

αα ϕϕψ ii R-rR-r (II.84)

Jika persamaan (II.84) diproyeksikan ke ( )jR-rβϕ maka diperoleh:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∑∑

∑∑

∑∑

= = = =

= =

= =

∀==

=

=

N

i

n N

i

n

jjijjij

N

i

n

ji

N

i

n

jij

orb orb

orb

orb

jScEHch

cE

hch

1 1 1 1

1 1

1 1

,,,α α

βααβααβ

ααβα

ααβαβ

βψϕ

ϕϕ

ϕϕψϕ

RRRRR-r

R-rR-r

R-rR-rR-r

i

i

(II.85)

dengan

( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

tindih- tumpangmatriks matrikselemen ,nHamiltonia matrikselemen ,

jiji

jiji

ShH

R-rR-rRRR-rR-rRR

βααβ

βααβ

ϕϕϕϕ

(II.86)

Hαα(Ri, Rj) adalah energi oleh interaksi antara orbital-orbital yang sama dan

Hαβ(Ri, Rj) adalah energi oleh interaksi antara orbital-orbital yang berbeda (matrik

hopping). Sedangkan integral tumpang-tindih (overlapping) adalah: ijSαβ

( ) ( ) ( ) ( )∫=−−= rdS jijiij 3R-rR-rRrRr βαβααβ φφϕϕ (II.87)

Dari persamaan terakhir dapat didefinisikan matrik H)

dan yang berorde

yaitu:

S nn×

( )orbnNn ×=

( )( ) ( )( )( ) (⎪⎩

⎪⎨⎧

==

ijij

ijij

SSSHHH

RRRR

,ˆelemen dengan ˆ,ˆelemen dengan

βααβ

βααβ

))

(II.88)

56

dan vektor dengan koordinat , sehingga persamaan Schrödinger tidak

bergantung waktu dapat ditulis sebagai:

c αic

cSEcH ˆˆˆ )= (II.89)

4.b.2. Metode Tight-Binding untuk Padatan Kristal (Terdapat Beberapa

Atom dalam Sel Satuan)

Dalam suatu padatan kristal dimungkinkan terdapat beberapa atom dalam

setiap kisinya lihat gambar II.6, oleh karenanya suatu posisi atom Ri dapat

dipecah dalam dua bagian:

pjkli dRR += ~ (II.90)

dq dq dq dp dp dp

jklR~ jklR~

Gambar II.6. Ilustrasi kristal dengan setiap kisi kristal memiliki atau terdapat

beberapa atom di dalamnya.

dengan 321~ aaaR lkjjkl ++= adalah vektor kisi ( )[ ]3,, Zlkj ∈ , dp adalah posisi

posisi satu atom nc dari sel unit acuan pada 000~R . Dengan demikian:

( ) ( ) ( )( )∑ ∑∑∑∑

∈ = == =

−≡=3,, 1 11 1

~Zlkj

n

p

n

pjkljklp

N

i

n

i

c orborb

ccα

ααα

αα ϕϕψ dR-rR-rr i (II.91)

Material dalam penelitian ini adalah silikon dengan struktur kristal adalah kisi

kubus pusat muka (lihat gambar II.6), dengan dua atom dalam tiap sel satuan

: ( )2=cn

57

• Satu atom pada posisi d1 = (0,0,0)

• Atom yang lain pada posisi d2 = a/4 (1,1,1)

d1 = (0,0,0)

d2 = a/4(0,0,0)

z

y

x

a

Gambar II.7. Atom pada sel satuan krista kubus pusat muka Silikon dengan kostanta kisi a

Karena sistem kristal memenuhi teorema Bloch maka:

( ) ( ) ( )rrr krk

k ni

n ue ⋅=≡ψψ (II.92)

Dengan ( )rknu sebagaimana di depan adalah fungsi periodik Bloch yang

memenuhi simetri tranlasi ( ) ( ) ( ) 3321kk ,,aaa Zwvuwvuuu nn ∈∀+++= rr ,

sehingga sebagai konsekuensinya:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 3k

~~~

k ,,~~ Zwvueueeue ni

nii

uvwni

uvwnuvwuvwuvw ∈∀==+=+ ⋅⋅⋅+⋅ rrRrRr Rk

kRk

kRrk ψψ rk

(II.93)

Karena untuk sistem yang terdiri beberapa atom dalam setiap unit sel maka:

58

( ) ( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( ) ( )( )∑ ∑∑

∑ ∑∑

∑ ∑∑

∈ = =+++

∈ = =−−−

∈ = =

−−=

−−=

−+=+

3

3

3

,, 1 1

,, 1 1

,, 1 1

~

~

~-~~

Zlkj

n

p

n

pjklpwlvkuj

Zlkj

n

p

n

pwlvkujjklp

Zlkj

n

p

n

pjkluvwjklpuvw

c orb

c orb

c orb

c

c

c

ααα

ααα

ααα

ϕ

ϕ

ϕψ

dRr

dRr

dRRrRr

(II.94)

Dengan demikian

( ) ( )( )( ) ( )( )

( )

( )( )∑ ∑∑

∑ ∑∑

∈ = =

⋅

⋅

∈ = =+++

−−=

=

−=+

3

3

,, 1 1

~

~,, 1 1

~

~-~

Zlkj

n

p

n

pjkljklpi

i

Zlkj

n

p

n

pjklpwlvkujuvw

c orbuvw

uvw

c orb

ce

e

c

ααα

ααα

ϕ

ψ

ϕψ

dRr

r

dRrRr

Rk

Rk (II.95)

Perubahan dalam (II.95) dapat dipenuhi karena ekspansi kombinasi linear orbital

atomik harus menjadi unik:

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )kkkk

kkdRkk.ddRkRk.

Rk.

nbenceencenc

ncenc

pi

pii

pi

uvwp

jklpi

pwlvkuj

puvwppuvwuvw

uvw

αααα

αα

+⋅+⋅

+++

===

=~

000

~

000

~

~

(II.96)

Sehingga diperoleh:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

∑∑ ∑

∑ ∑∑

= = ∈

+⋅

∈ = =

−=

−=

c orbpjkl

c orb

n

p

n

Zlkjpjkl

ip

Zlkj

n

p

n

pjkljklpn

enb

c

1 1 ,,

~

,, 1 1

3

3

~-

~-r

ααα

ααα

ϕ

ϕψ

dRrk

dRr

dRk

k

(II.97)

Penyelesaian persamaan Schrödinger tidak bergantung waktu untuk padatan

kristal di mana terdapat beberapa atom pada tiap sel satuan menjadi:

kkk nnn Eh ψψ = (II.98)

59

dengan Hamiltonian sistem partikel tunggal sebagaimana persamaan (II.82)

adalah:

( )reffaVm

h +∇−= 2

0

2

2h

Dengan memasukkan persamaan (II.97) ke persamaan (II.98), diperoleh:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

∑∑ ∑

∑∑ ∑

= = ∈

+⋅

= = ∈

+⋅

−==

−=

c orbpjkl

c orbpjkl

n

p

n

Zlkjpjkl

ipnnn

n

p

n

Zlkjpjkl

ipn

enbEE

henbh

1 1 ,,

~

1 1 ,,

~

3

3

~

~

ααα

ααα

ϕψ

ϕψ

dR-rk

dR-rk

dRkkkk

dRkk

(II.99)

Jika persamaan (II.99) diproyeksikan ke ( ) ( )pi qe dRrdRk −+⋅

000

~ ~-000βϕ , maka

diperoleh:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

∑∑ ∑

∑∑ ∑

= = ∈

−+−⋅

= = ∈

−+−⋅

∀−−=

−−

c orbqpjkl

c orbqpjkl

n

p

n

Zlkjpjklq

ipn

n

p

n

Zlkjpjklq

ip

qenbE

henb

1 1 ,,000

~~

1 1 ,,000

~~

3

000

3

000

,~~

~~

ααβα

ααβα

βϕϕ

ϕϕ

dR-rdR-rk

dR-rdR-rk

ddRRkk

ddRRk

(II.100)

Kemudian seperti langkah (II.86) dapat didefinisikan :

( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

tindih- tumpangmatriks matrikselemen ,nHamiltonia matrikselemen ,

jiji

jiji

ShH

R-rR-rRRR-rR-rRR

βααβ

βααβ

ϕϕϕϕ

Sehingga persamaan (II.100) dapat ditulis sebagai:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

∑∑ ∑

∑∑ ∑

= = ∈

−+−⋅

= = ∈

−+−⋅

∀++=

++

c orbqpjkl

c orbqpjkl

n

p

n

Zlkjpjklq

ipn

n

p

n

Zlkjpjklq

ip

qSenb

Henb

1 1 ,,000

~~

1 1 ,,000

~~

3

000

3

000

,~,~

~,~

αβαα

αβαα

βε dRdRk

dRdRk

ddRRkk

ddRRk

(II.101)

60

Akhirnya dapat didefinisikan matrik H)

dan yang berorde

yaitu:

S bb nn ×

( )orbcb nnn ×=

( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−=

−+−=

∑

∑

∈

−+−∈

−+−

3

000

3

000

,,000

~~,,

000

~~

~~ˆelemen dengan S

~~ˆelemen dengan H

Zlkjqpjkl

ipq

Zlkjqpjkl

ipq

SeS

HeH

qpjkl

qpjkl

ddRRk

ddRRk

ddRRk.

ddRRk.

βααβ

βααβ

)

(II.102)

Dengan vektor dengan koordinat knb ( )knbpα . Oleh karena itu persamaan

Schrödinger tidak bergantung untuk sistem kristal waktu dapat ditulis sebagai:

( ) ( ) kkk bkSbkH nnn E ˆˆˆ )= (II.103)

Pemecahan masalah nilai-eigen umum ini dan akan diperoleh pita-pita sebanyak

. ( )orbcb nnn =

4.c. Hamiltonian Metode Tight-Binding Semiempirik

Tight-binding semiempirik terkait dengan penentuan elemen-elemen

matrik Hamiltonian dalam persamaan (II.98), yaitu:

• Elemen-elemen matrik dianggap sebagai parameter yang dapat berubah-

ubah

• Pencocokkan elemen-elemen matrik ini dengan struktur pita eksperimen

atau ab-initio

• Penggunaan matrik yang sama terhadap sistem yang ditinjau (nano-

struktur kuantum titik) (sifat transferibilitas/transferability)

Transferability mengasumsikan bahwa potensial efektif yang dihasilkan oleh tiap

atom adalah sama untuk sistem bulk dan sistem nanostruktur.

61

4.d. Metode Pendekatan dalam Tight-Binding Semiempirik

Metode pendekatan dalam tight-binding semiempirik biasanya terkait

dengan asumsi tentang lingkungan-lokal, yaitu orbital atom dan potensial yang

dipergunakan/diperhitungkan dalam memberikan energi elektron suatu elektron

tertentu hanya dominan ditentukan oleh atom-atom terdekat.

4.d.1. Pendekatan Dua Pusat (two-center approximation)

Secara umum sumbangan interaksi terhadap energi elektron dalam sudut

pandang mekanika kuantum meliputi integral nilai harap energi dan dapat dibagi

dalam empat katagori (Romero, 2005):

1. Integral dalam satu atom sendiri (on-site), yaitu potensial dan kedua orbital

berpusat pada atom yang sama. Ini adalah energi orbital atomik

2. Integral dua-pusat, yaitu potensial dan satu orbital berpusat pada posisi

atom yang sama, sementara orbital yang lain adalah pada atom yang

berbeda.

3. Integral tiga-pusat, yaitu potensial dan orbital-orbital semua berpusat pada

atom yang berbeda.

4. Katageori yang ke empat terjadi ketika orbital orbital pada atom yang

sama, tetapi potensial terletak pada atom yang berbeda. Katagori ini pada

hakikatnya menunjukkan koreksi lingkungan-lokal terhadap bentuk-

bentuk energi elektron atom tunggal yang telah didefinisikan pada katagori

dua dan tiga. Formalisme untuk katagori ini dibangun oleh (Mercer dan

Chou, 1994) dan diabaikan oleh Slater dan Koster (Romero, 2005).

62

Dalam pendekatan dua-pusat (two-center approximation), hanya

memperhitungkan kategori satu dan dua.

Model tight-binding dua-pusat dan tiga-pusat dapat diperiksa dari indeks

elemen matrik Hamiltonian. Dari definisi Hamiltonian partikel tunggal dan

potensial efektif dalam persamaan (II.85) dan (II.102), maka elemen matrik

Hamiltonian dalam ekspansi basis orbital atomik diwakili oleh persamaan:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑

∑

+∇−=

+∇−=

=

kjkkiji

jk

kki

jiji

Vm

Vm

hH

R-rR-rR-rR-rR-r

R-rR-rR-r

R-rR-rRR

2r

2r

βαβα

βα

βααβ

ϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

0

20

2

2

2

,

h

h

(II.104)

Model tight-binding dua-pusat hanya menggunakan bentuk k = i atau k = j sebagai

sumbangan terpenting, sedangkan model tight-binding tiga-pusat tetap

memperhitungkan bentuk k ≠ i dan k ≠ j. Dalam penelitian ini kami menggunakan

model tight-binding dua pusat.

4.d.2. Model Tight-Binding Interval Berhingga (Finite Range Tight-Binding

Models)

Dalam model ini hanya diperhitungkan interaksi dengan tetangga pertama

terdekat. Model ini didasarkan pada asumsi (ataupun fakta) bahwa orbital-orbital

atomik pada posisi cukup jauh dari inti meluruh secara eksponensial. Sebagai

konsekuensinya, elemen matrik Hamiltonian dan tumpang-tindih merosot cepat

dengan ji RR − . Dalam model ini elemen matrik Hamiltonian dan tumpang-

63

tindih oleh interaksi dengan atom terdekat kedua dan ketiga relatif terhadap

tetangga terdekat pertama diasumsikan bernilai nol.

( ) ( ) ( )jiji hH R-rR-rR,R βααβ ϕϕ=

Prob

abili

tas E

lekt

ron

1s

( )ijH R-Rαβ 3d 3p 3s

a0 10a0 5a0 R Gambar II.8. Grafik ketergantungan orbital dan integral hopping terhadap jarak dari inti (Niquet,

2005).

4.d.3. Model Tight-Binding Ortogonal

Orbital atomik dapat dipecah kedalam bagian radial dan sudut (angular):

( ) ( ) ( ) ( )ϕθϕθϕϕααααα ,,, mln YrRr ×==r (II.105)

( )rRnα adalah bagian radial (fungsi radial), ( )ϕθ

αα,mlY adalah bagian sudut (fungsi

sperical- harmonik terkait dengan momentum sudut orbital) dan (n,l,m) adalah

bilangan – bilangan kuantum utama, momentum sudut dan magnetik. Oleh karena

bagian angular basis orbital atomik ini akan saling ortogonal untuk atom yang

sama, oleh karenanya:

( ) ( ) ( ) αββααβ δϕϕ =−−=− iiiiS RrRrRR (II.106)

Menurut (Niquet, 2005), Bagian radial ( )rRnα dari atom-atom bebas tidak

mungkin atapun menjadi pilihan terbaik untuk bagian radial, karena untuk atom

yang berlainan, perbedaan yang kecil saja dari himpunan akan

menghasilkan struktur pita baru, pengertian ini menunjukkan bahwa perbedaan

( )rRnα

64

himpunan bagian radial oleh interaksi akan menambah simetri baru yang

menghasilkan pemecahan struktur pita orbital atomik. Akan tetapi menurut

pendekatan ortogonal tumpang-tindih orbital-orbital yang berdekatan dapat

diperlukakan minimal sehingga ( )rRnα secara keselurahan masih menyerupai

bentuk dasar pada atom bebas (tidak-berinteraksi), oleh karenanya dapat

diperlakukan:

( ) ( ) ( ) αββααβ δϕϕ ≈−−=− jijiS RrRrRR (II.107)

sebagai konsekuensinya:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( )( )αββα

βα

βααβ

δδδ

δδδδδ

pqqp

Zlkjqplkj

i

Zlkjqpjkl

ipq

qpjkl

qpjkl

e

SeS

≡=

=

−+−=

∑

∑

∈

−+−

∈

−+−

3

000

3

000

,,000

~~,,

000

~~ ~~ˆ

ddRRk.

ddRRk. ddRRk

Dengan sifat ortogonalitas ini penyajian masalah nilai eigen dalam persamaan

(II.103) menjadi sederhana yaitu:

( ) kkk bbkH nnn E ˆˆˆ =

Dengan langkah serupa S dalam persamaan (II.84) menjadi matrik Identitas dan

persamaan (II.86) menjadi sederhana yaitu:

ˆ

ccH ˆˆˆ E=

Walaupun demikian pada pendekatan ini, penghilangan elemen matrik tumpah

tindih tidak berarti bahwa orbital yang berdekatan tidak saling menerobos (lihat

gambar II.8).

Sebagai tambahan perlu kiranya kita memaparkan secara singkat model

non-ortogonal tight-binding terkait dengan pendekatan model kita. Dalam model

65

non-ortogonal, basis antara atom yang berbeda dapat dibuat ortogonal dengan

membuat orbital-orbital quasi-ortogonal (Niquet, 2005).

+ _ _

Atom jAtom i

Gambar II.9. Ilustrasi asumsi ortogonalisasi yang tetap menganggap terjadi tumpah tindih orbital walaupun kecil dan tumpah tindih ini relatif masih memelihara bentuk orbital masing-masing

Prosedur terkenal dan cerdas yang paling sering digunakan dalam

pembuatan quasi-ortogonal ini dikembangkan oleh (Löwdin, 1950) dengan

menggunakan suatu himpunan baru orbital-orbital atomik αφ , sehingga masalah

masalah swanilai menjadi:

iii bEhb = (II.108)

dengan adalah koefisien kombinasi linear baru yang memenuhi: αii bb =

( ) ( )∑∑= =

=N

i

n

i

orb

b1 1

i-rα

αα φψ Rr (II.109)

Orbital-orbital atomik αφ tetap memenuhi ortogonalitas:

( ) ( ) αββα δφφ =−− ii RrRr (II.110)

Orbital Löwdin ( )i- Rrαφ tetap menjamin sifat asal basis ( )i- Rrαϕ yang

tidak-ortogonal. Dari perspektif simetri group titik, orbital-orbital yang dihasilkan

mempertahankan sifat transformasi yang sama himpunan basis asli dalam operasi-

operasi group ruang (Trani, 2004). Orbital-orbital Löwdin biasanya mempunyai

simetri yang lebih rendah dari fungsi aslinya (Trani, 2004).

66

Pemilihan model tight-binding ortogonal dalam penelitian ini didasarkan

pada jenis material yang diteliti. Untuk sistem yang terbentuk oleh satu unsur saja

misalnya Si maka sifat ortogonalitas dari fungsi radial akan terpelihara.

Sebagaimana diterangkan di atas ortogonalitas fungsi radial akan menjamin

ortogonalitas orbital atomik antar dua atom.

4.e. Integral Hopping (Hopping Integral)

Seperti ditunjukkan di atas integral hopping adalah mekanisme yang

muncul ketika pemecahan persamaan schrödinger dilakukan, mekanisme ini

terkait dengan penentuan elemen matrik Hamiltonian antara orbital-orbital atomik

pada jarak atomik yang berbeda. Dalam Metode TB, dinamakan integral hopping

yang akan dicocokkan dengan fungsi analitik jarak antar atomik. Nilai eigen

merupakan energi sistem, dan distribusinya yang ditentukan interaksi antara

orbital (tumpang tindih keadaan orbital atomik) dalam membentuk ikatan kimia.

Integral hopping adalah unsur krusial dari pola TB semenjak mereka mengukur

kemampuan elektron untuk loncat dari satu atom ke atom yang lain.

Secara umum integral Hopping setimbang dapat ditulis sebagai:

( ) ( )jiji fhH ,0

, RR αβαβαβ = (II.111)

dengan ( )jif ,Rαβ adalah fungsi penskalaan (scaling function) antara dua orbital α

dan β yang terletak dalam atom pada posisi Ri dan Rj. Kendala (constrain) dalam

fungsi rescaling adalah bahwa ( )( ) 1R 0 =αβf untuk ( )0R adalah jarak antar-atom

setimbang . Dalam kasus silikon cluster (pulau/kelompok dari kristal silikon yang

tumbuh) terdapat bermacam-macam metode dalam menentukan fungsi rescaling

untuk sistem cluster silikon. Dalam penelitian ini akan digunakan model

67

Pengembangan GPS (Goodwin, Pettior dan Skinner) oleh (Kwon dkk, 1994).

Alasan penggunaan model pengembangan GPS oleh Kwon dkk adalah karena

model ini dikembangkan untuk sistem Silikon cluster yang terdiri dari beberapa

atom saja sehingga menurut kami sangat cocok untuk sistem nanostruktur ataupun

sistem QD. Pada model ini faktor koreksi lingkungan oleh penambahan atom

didekati dengan dihasilkannya (bertambahnya) energi kohesif.

( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

cc n

c

n

c

n

rr

rrn

rrrhrh 00

0 exp (II.112)

5.6. Gandengan Spin-Orbit dalam Tight-Binding

Seperti dalam pembahasan gadengan Spin-Orbit pada metode k.p.

gandengan spin-orbit pada hakekatnya muncul dari efek relativistik akibar

pergerakan relatif elektron terhadap inti. Akibat pergerakan elektron, medan listrik

yang dihasilkan oleh inti yang bermuatan positif akan bertransformasi menjadi

medan magnet dari sudut pandang elektron. Dan karena hanya elektron valensi

(elektron inti/core electron) yang terdekat dengan inti maka efek gandengan spin

orbit hanya akan efektif atau dominan dirasakan oleh elektron valensi. Dalam

sebagian besar kasus gandengan spin-orbit hanya memperhitungkan antara orbital

p yang mana adalah cukup untuk memecahkan pita valensi (lihat gambar II.3).

pada dasarnya spin-orbit mengandeng orbital-orbital tiap atom diantara mereka

sendiri (Niquet, 2005). Dalam penelitian ini akan digunakan pendekatan dua

pusat.

( ) ( ) ( ) ( ) r2

1rrr2 r22

2r

0

2

ψψψ EVcm

Vm ioneff =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅∇×++∇− pSh ( ) (II.113)

68

SLi ⋅≈ isoiH λ (II.114)

dengan S adalah spin elektron dan L adalah operator momentum orbital pada

atom ke i. Sebagai sebuah konsekuensi setiap basis harus diperluas untuk memuat

keadaan spin ↑ dan ↓ , oleh karenanya:

↓

↓

↓

↑

↑

↑

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

−−

−=

z

y

x

z

y

x

isoi

PPPPPP

iii

ii

iii

H

0000100000010001000

000010000

λ (II.115)

Karena hanya pita valensi yang mengalami efek spin orbit maka Hamiltonian

sistem tanpa gandengan spin-orbit diwakili oleh basis zP , yP , dan zP . Jika

matrik Hamiltonian tanpa spin orbit adalah H3 maka Hamiltonian matrik sistem

gandengan spin-orbit, sebagaimana dalam persamaan (III.65) adalah:

[ ][ ]

soi

iix

ii HH

HH x

x+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4400

44

88 II.116

Sebagaimana metode massa efektif k.p Hamiltonian ini dapat dibawa ke model

basis Kane dengan transformasi uniter:

T88

88 UHUH xx

TB∗=

69

x

y

z

x

y

z z z z

x

y

x

y

x

y

x

y

z

x

y

z

+ ++ _ _ 3z2-r2

_ _ _ + +_

++

+

+

+

+

+

+

++

++

_ _ _

_ _ _ 3z2-r2

ppσ > 0 ppπ < 0 spσ >0 ssσ < 0 ddσ < 0

_ __

_

_

_yz θ2 θ1

xy θ

_yz _

xy

(spσ) f(θ) (ppσ, ppπ) f(θ1, θ1)ddπ > 0 ddσ < 0

Gambar II.10. Menunjukkan beberapa defenisi integral hopping dan proyeksi-nya

70

BAB III

ELABORASI HASIL PENELITIAN

Terdapat perangkat teknis matematik yang dapat menjembatangi

pengembangan metode massa efektif k.p dan tight-binding semiempirik dalam

menangani sistem QD kristal simetris yaitu konsep perkalian tensor dua ruang

Hilbert. Ketika nanostruktur simetris dihadirkan dalam medium isolator maka

akan muncul potensial makro yang memberikan kuatisasi baru pada partikel yang

berada dalam potensial inti. Kuantisasi ini berupa momentum sudut L” yang akan

berinteraksi dengan momentum sudut total yang dibangkitkan oleh potensial inti

J. Momentum sudut total oleh inti atom merupakan kopling antara momentum

sudut orbital dalam inti L’ dengan spin S atau J=L’+S. Oleh karenanya momentum

sudut total L elektron-hole nanostruktur dalam potensial pengungkung adalah L =

L”+ J. Ruang Hilbert untuk menampung penjumlahan momentum sudut dapat

diperoleh dengan perkalian tensor dua ruang Hilbert yang masing-masing ruang

Hilbert berkaitan dengan momentum sudut yang dijumlahkan (Rosyid, 2005).

Hasil dari perkalian tensor dua ruang Hilbert adalah ruang Hilbert dengan dimensi

yang lebih besar, yang mencakup kedua ruang Hilbert dari masing-masing

operator. Himpunan basis dalam ruang Hilbert dapat tersusun oleh basis tidak

terkopling atau terkopling. Jika ""' mnljmψψ adalah himpunan basis takterkopling

(tak tergandeng) bagi ruang Hilbert hasil perkalian tensor dua ruang Hilbert, maka

himpunan basis ini dapat dinyatakan dalam basis terkopling lmnjl"ψ . Dalam

proses transformasi basis ini akan muncul koefisien Clebsch-Gordan yang

71

merupakan koefisien kombinasi linear dari basis terkopling relatif terhadap basis

terkopling. Ini berarti koefisien Clebsch-Gordan juga merupakan elemen matrik

pendiagonalan untuk matrik relatif terhadap basis tak terkopling 2L ""' mnljmψψ .

1. Penentuan Himpunan Basis Ruang Hilbert Sistem QD Kristal Simetris

Pada penelitian ini akan diselidiki struktur elektronik sistem QD silikon simetris

3-dimensi. Terdapat dua bentuk simetris sederhana yang dipilih yaitu bentuk bola

dan bentuk silinder. Dalam model penelitian ini sistem QD dihasilkan oleh

kehadiran potensial pengukung 3-dimensi terhadap nanostruktur berbentuk bola

dan silinder. Model ini tentu sangat bergantung pada seberapa besar ukuran

nanostruktur yang dikaji. Semakin besar ukuran nanostruktur maka semakin tepat

asumsi bahwa tepi permukaan termasuk interface adalah smooth layaknya konsep

lingkarang dan garis lurus. Potensial dalam sistem QD simetris bola berbentuk:

( )( )⎩

⎨⎧

>∞=≤=

RrrVRrrV 0

(III.1)

Sedangkan potensial dalam sistem QD simetris silinder berbentuk :

( )( )⎩

⎨⎧

>>∞=≤≤=

2dan,2dan0,

PzRrzrVPzRrzrV

(III.2)

Dimana P adalah panjang silinder dan R adalah jari-jari bola dan silinder. Model

potensial ini cukup realistis untuk sistem nanokristal yang berada dalam medium

amorf-isolator sehingga membangkitkan potensial pengungkung yang relatif

takhingga terhadap sistem nanokristal. Dalam model penelitian ini, strain pada

daerah antar muka (interface) antara sistem nanostruktur dengan medium pemberi

potensial pengungkung diabaikan, atau dianggap interior QD bersifat homogen.

72

Untuk menyusun ruang Hilbert yang memuat vektor gelombang dari

sistem yang kita tinjau maka pertama-tama kita harus mendapatkan dua ruang

Hilbert terpisah yang terkait dengan sistem QD simetris kristal berhingga.

Himpunan basis ruang Hilbert pertama untuk sistem kristal takhingga telah

ditemukan sebagaimana telah disusun dalam bab II berupa basis fungsi Bloch

dalam basis Kane yang kemudian kita tandai dengan 'jmψ , sedangkan himpunan

basis ruang Hilbert kedua untuk sistem QD finit simetris tanpa kristal akan

ditentukan dengan penyelesaian Schrödinger dalam bentuk persamaan Helmholtz

yang kita tandai sebagai ""mnlψ yaitu berupa himpunan Orthogonal Periodic

Function (OPF), dimana bilangan kuantum n, m” dan l” adalah bilangan kuantum

utama, magnetik dan orbital yang dibangkitkan oleh potensial pengungkung.

Dalam persamaan schrödinger tidak bergantung waktu vektor gelombang yang

memuat informasi fisis keadaan sistem ditandai dengan ( )ϕθψ ,,"" rlnm untuk

sistem simetri bola dan ( )zrlnm ,,"" ϕψ untuk sistem silinder yang keduanya harus

memenuhi persamaan Helmholtz:

0""2

""2 =+∇ lnmlnm K ψψ (III.3)

Untuk bola dengan kondisi syarat batas 0"" =lnmψ pada r = R, OPF,

( )ϕθψ ,,"" rlnm diberikan oleh (Prado dkk, 1999, Arfken, dan Weber, 2001):

( ) ( ) ( )ϕθϕθψ ,,, """"" mlnllnm Yrr ℜ= (III.4)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ℜ r

RJr

ln

lnl

"

""µ , Rr ≤≤0 (III.5)

( ) ( ) ( )ϕθϕθ m""""" , ΦΘ= ,mlmlY , πθπϕ ≤≤≤≤ 0dan,20 (III.6)

73

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

rr

drd

rrrJ

lll

lsin11

"""

" (III.7)

dengan

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xP

dxdxxPP

mlmll

lm

mmm

lm

lm

ml "

"2/"2"

""

""

"," 1;cos""2

!""1"21 −=+−+

−=Θ θθ

(III.8)

dan

( ) ϕ

πϕ "

" 21 im

m e=Φ , (III.9)

Dalam persamaan Helmholtz (III.3) kondisi batas mensyaratkan sebuah relasi:

2"

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

RK

lnµ (III.10)

Fungsi ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

rr

drd

rrrJ

lll

lsin11

"""

" adalah fungsi Bessel Spherical (Arfken,

dan Weber, 2001), dengan adalah akar ke n dari fungsi bessel ke l” pada

(atau

"lnµ

( ) 0"" =l

nlJ µ ). Bilangan n ini ditentukan ukuran QD, semakin besar QD maka

semakin besar pula bilangan n. Untuk tiap akar dari ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛r

RJ

ln

l

"µ diasosiasikan dengan

bilangan kuantum (n, l”) yang mana tiap level energinya merosot (2m”+1) dalam

bilangan kuantum m”. Fungsi ( ) ( ) ( )xPdxdxxP lm

mmm

l ""

"2/"2"

" 1−= adalah fungsi

Lagendre (Johnson, 2006).

74

Untuk silinder dengan kondisi syarat batas 0"" =lnmψ pada r = R dan

2Pz ±= OPF, ( )ϕθψ ,,"" rlnm diberikan oleh (Arfken, dan Weber, 2001, Lee,

2004):

( ) ( ) ( ) ( )ϕϕψ """" ,, mlnmlnm zZrzr Φℜ= (II.11)

dengan

( ) πϕπ

ϕ ϕ 20,21 "

" ≤≤=Φ imm e , (II.12)

( ) ( ) RrrR

kk

rmn

mmnm

nm ≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ℑ

ℑ=ℜ

+

0,2 "

""1"

" (III.13)

dan

( )2

,21"sin2

"Pz

Pzl

PzZl ≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= π (III.14)

Fungsi adalah fungsi bessel orde m”, adalah akar ke-n dari fungsi

bessel orde m” , atau

( )rm"ℑ "mnk

( )( )0"" =ℑ m

nm k . Dalam persamaan Helmholtz (III.3) kondisi

batas mensyaratkan sebuah relasi:

2"2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Pl

Rk

Kmn π (III.15)

Fungsi-fungsi dalam persamaan (IV.4) dan (IV.10) adalah fungsi-fungsi

ortonormal, lihat misalnya (Rosyid, 2005).

2. Produk Tensor Dua Ruang Hibert

Andaikan terdapat dua ruang Hibert berdimensi berhingga H1 dan H2

dengan produk skalar dan 1⋅⋅ dan

2⋅⋅ . Jika andaikan himpunan 121 ,, nψψψ ⋅⋅⋅

75

dan 221 ,, nφφφ ⋅⋅⋅ adalah basis ortonormal pada H1 dan H2, dan bila ∈ψ H1 dan

∈φ H2 masing-masing adalah:

∑=

=1

1

n

iiiψαψ dan (III.16) ∑

=

=2

1

n

rrrψβφ

dengan ψψα ii = dan φφβ rr = , maka produk tensor antara vektor ψ dan φ

adalah objek φψ ⊗ yang didefinisikan oleh:

∑∑∑∑= == =

==⊗1

1

2

121

1

1

2

1

n

i

n

rriri

n

i

n

rriri φψφφψψφψβαφψ (III.17)

dengan riφψ produk formal antara iψ dan rφ , dan segera dapat dibuktikan bahwa

21 ,,2,1;,,2,1 nn ririri ⋅⋅⋅=∀⋅⋅⋅=∀=⊗ φψφψ (III.18)

Produk tensor antara kedua ruang Hilbert H1⊗H2 adalah juga merupakan ruang

Hilbert yang didefinisikan sebagai ruang vektor yang beranggotakan semua

produk tensor antara vektor-vektor anggota H1 dan vektor-vektor anggota H2

dengan produk skalar:

21'''' φφψψφψφψ =⊗⊗ (III.19)

dengan himpunan basis ortonormal:

22

,,,,,,1;,,1 22211121 nnri nrni φψφψφψφψφψ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= (III.20)

dan memiliki relasi

''2'1''' rriirriiriri δδφφψψφψφψ == (III.21)

Untuk setiap vektor H∈Ψ 1⊗H2 dapat dituliskan sebagai kombinasi linear:

∑∑∑∑ Ψ=Λ=Ψ1 21 2 n

i

n

rriri

n

i

n

rriir φψφψφψ (III.22)

76

Di dalam ruang Hilbert H1⊗H2 ini terdapat operator

yang merupakan perwakilan penjumlahan dua operator , di mana

hidup dalam H

212121ˆˆˆˆ:ˆˆ Ω⊗+⊗Ω=Ω⊕Ω II

21ˆˆ Ω+Ω

1Ω 1 dan hidup dalam H2Ω 2 (Rosyid, 2005).

Dari teori perkalian ruang Hilbert ini dapat ditulis vektor basis sistem QD

kristal simetris berhingga yang ditinjau sebagai:

∑=",',

""'""'"mmn

mnljmnlmmnljmlmnjl ψψψψψψ (III.23)

Dengan himpunan basis lmnjl"ψ adalah himpunan basis terkopling bagi ruang

Hilbert yang diperluas dan ""' mnljm ψψ adalah koefisien Clebsh-Gordan. Fungsi

'jmψ adalah basis fungsi Bloch dalam Basis Kane sebagaimana dalam tabel I, dan

""mnl ψ adalah himpunan ortoghonal periodic function (OPF) yang diperoleh dari

penyelesaian persamaan schrodinger dalam potensial pengungkung simetris,

dalam hal ini:

( ) ( )( ) ( )

( )

lmnjllmnjlz

lmnjllmnjl

lmnjllmnjl

lmnjllmnjl

mL

llL

llLI

jjIJ

""

"2

"2

"2

"2

1

"2

"22

ˆ1ˆ

1"""ˆˆ1ˆˆ

ψψ

ψψ

ψψ

ψψ

h

h

h

h

=

+=

+=⊗

+=⊗

(III.24)

Dengan dan '' mmm += "" ljllj +≤≤− .

Dari sifat perilaku perkalian tensor dua ruang Hilbert untuk mewadahi

penjumlahan dua operator, maka dapat disusun basis ruang Hilbert dalam mana

operator sistem yang ditinjau hidup (berada). Untuk itu basis ruang Hilbert dari

sistem yang ditinjau tentunya merupakan hasil perkalian tensor dari basis untuk

77

Hamilton Luttinger-Kohn dan basis dari penyelesaian sistem yang dibangkitkan

oleh bekerjanya potensial simetris bola dan silinder. Oleh karenanya fungsi eigen

energi (fungsi gelombang) sistem QD nanokristal adalah merupakan superposisi

terhadap basis yang tersebut diatas.

3. Produk Tensor Dua Ruang Hilbert dalam Persepsi Pendekatan

Partikel Tunggal

Pada pendekatan partikel tunggal, persepsi terhadap energi sistem oleh

semua interaksi yang mungkin dalam nanostruktur diwakili oleh dinamika partikel

tunggal dalam inti dan medan kristal periodik (elektron-hole) dengan inti atom

relatif diam terhadap dinamika elektron-hole. Pada pendekatan ini, persepsi

terhadap keadaan nanostruktur dalam medium isolator (semua interaksi yang

mungkin antara nanostruktur dan medium isolator ) direpresentasikan dengan

kemunculan sebuah potensial makroskopik terhadap sistem nanostruktur.

Kemudian dari persepsi persamaan Helmholtz diasumsikan bahwa potensial

makroskopik ini menimbulkan kuantisasi baru terhadap partikel selain kuantisasi

oleh potensial inti, medan kristal periodik, interaksi spin-orbit dan spin internal,

misalnya penjumlahan kedua operator untuk kuantisasi baru misalnya (J + L” =

L), sehingga swafungsi bersama untuk penjumlahan kedua operator ini tentu

merupakan perkalian swafungsi kedua operator tersebut. Perkalian kedua fungsi

ini tentu dapat dipandang dalam persepsi perkalian tensor dua ruang Hilbert yang

berkenaan dengan ketidakkomutatifan dua operator tersebut.

78

4. Metode Pendekatan Massa Efektif k.p-Metode Pseudopotensial

Empirik

Karena sistem berada dalam potensial tiga dimensi yang membuat partikel

atomik (elektron-hole) terkuantisasi (terjebak) kesegala arah maka bilangan

gelombang yang terkait dengan pergerakan bebas elektron menjadi tidak relevan

untuk mengkarakterisasi elektron ( tidak lagi bilangan kuantum yang

baik), sehingga aplikasi Hamiltonian Bulk pada sistem QD dilakukan dengan cara

mengganti vektor gelombang k dengan operator

zyx kkk ,,

hp dan bentuk gelombang

bidang menjadi lenyap dari persamaan vektor gelombang sistem. Dalam wakilan

koordinat operator hp akan mempunyai bentuk ∇−i (Fonoberov, 2002, North,

2001, Prado dkk, 1999). Untuk QD berbentuk bola kita akan menggunakan

koordinat bola dengan transformasi koordinat (x,y,z) ke (r,θ,ϕ) sebagai:

θθθ

ϕθϕ

θϕθϕθ

ϕθϕ

θθϕϕθ

∂∂

−∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂

−∂∂

+∂∂

=∂∂

rrz

rrry

rrrx

1sincos

sincos1coscossinsin

sinsin1coscoscossin

(III.25)

Untuk kuantum titik berbentuk silindiris kita akan menggunakan koordinat

silindris dengan transformasi koordinat (x,y,z) ke (r,ϕ, z) sebagai:

zz

rry

rrx

∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂

−∂∂

=∂∂

ϕϕϕ

ϕϕϕ

1cossin

1sincos

(III.26)

79

Parameter nilai massa dari pengukuran dengan metode pseudopotensial empirik

dan eksperimen pengukuran parameter pita silikon dalam elemen matrik

Hamiltonian untuk bulk silikon adalah:

1 [ ]100

lhm 0.167a

2 [ ]100hhm 0.274a

3 [ ]111lhm 0.097a

4 [ ]111hhm 0.681a

5 ( )eEm0 0.046c

6 ( )eVgE

Direct

1.06b

7 ( )mV∆ 0.33c

8 α -0.56c

4.a. Celah P

Untuk p

valensi dan b

persamaan mas

persamaan Schr

⎢⎣

⎡∇∗2

2,,

2

ϕθm rh

dengan:

( ) =,,r ϕθψ

a(Trani, 2004),b(Rio dan Iida, 1999),c(Fenoberov,2002) harga perlakuan berdasarkan nilai untuk material GaAs.

Tabel III.1. Nilai parameter massa dari metode pseudopotensial empirik dan nilaiparameter pita kristal silikon dalam elemen matrik Hamiltonian metodemassa efektif k.p.

ita Lebar

ita lebar, keadaan elektron dianggap tidak berinteraksi dengan pita

erada dalam keadaan diluar potensial inti, sehingga dengan

sa efektif untuk mengakomodasi pengaruh potensial kristal, maka

odinger untuk elektron adalah:

( ) ( )( ) ( )( )↓↑=↓↑⎥⎦

⎤+ ,,,,,, ϕθψϕθψ rErrVp (III.27)

( )∑",",

"""" ,,mln

lnmlnm rA ϕθψ (III.28)

80

Jika persamaan (III.26) dimasukkan kedalam persamaan (III.25), kemudian

hasilnya dikalikan dengan konjugat kompleks dari ""lnmψ , yaitu ( ) ( )∗

'"'"' lmnψ , dan jika

hasilnya diintegrasikan meliputi volume QD simetris maka diperoleh persamaan

matrik:

( ) ( ) ( ) ( )0

'""""''"'"'"" =−llmmnn

EAH lmnlnm δδδ (III.29)

Jika ""lnmψ dan ( ) ( )∗

'"'"' lmnψ adalah ortonormal, maka adalah matrik

identitas, sehingga elemen matriks diagonal adalah sama dengan:

( ) ( )'""""' llmmnnA δδδ

( ) ( )'"'"'"" lmnlnmH

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

02

sin2

22

""'"'"'""2

,,

2

'"'"'"

QD

+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+∇=

∗

Ω

∗∗

∗∫∫∫

Km

ddrrrVrm

E lnmplmnlnmrlmnnl

h

h θθψψψψ ϕθ

(III.30)

dengan adalah volume QD. Sehingga diperoleh nilai eigen energi adalah: QDΩ

2"2

" 2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∗ Rm

Eln

nlµh (III.31)

dengan vektor eigen adalah:

( ) ( )( ↓↑⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑ ,,,,

",",""

"

"lmn

ml

ln

l YrR

Jr ϕθµ

ϕθ )ψ (III.32)

Untuk sistem QD simetris silinder:

( ) ( )( ) ( )( ↓↑=↓↑⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+∇∗ ,,,,,,,

22

,,

2

ZrEZrZrVm zr ϕψϕψϕh ) (III.33)

Dengan langkah sebagaimana dalam masalah simetris bola, elemen matriks

diagonal adalah sama dengan: ( ) ( )'"'"'"" lmnlnmH

81

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

02

,2

22

""'"'"'""2

,,

2

'"'"'"

+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+∇=

∗

Ω

∗∗

∗∫∫∫

Km

dzddrrzrVrm

E lnmlmnlnmzrlmnnl

h

h ϕψψψψ ϕ

(III.34)

Sehingga diperoleh nilai eigen energi adalah:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∗

22"2

", 2 Pl

Rk

mE

mn

lnπh (III.35)

dengan vektor eigen adalah:

( ) ( ) ( ↓↑⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ℑ

ℑ= ∑

+

,21

21"sin2,,

",",

""

""1"lmn

immn

mmnm

ePzlr

Rk

kr ϕ

ππϕθψ ) (III.36)

Persamaan Schrödinger tidak bergantung waktu untuk hole sistem QD

simetris bola pita lebar adalah:

( )( ) ( ) ( )ϕθψϕθψ ,,,,66 rErrVH lmlmlmpx

LK =+ (III.37)

dengan

( ) ( )∑=mlljn

lmnjllmnjllm rAr,,",,

"" ,,,, ϕθψϕθψ (III.38)

Dari konsep perkalian tensor dua ruang Hilbert diperoleh:

( ) ( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛|=

21

21

21

21

23

23

21

23

21

23

23

23

""

"

""

,,

,,,,

,"',",, ϕθµ

ϕθψ ml

ln

llmnjl YrR

JlmmmjlCr (III.39)

82

Ini adalah fungsi spinor envelope karena merupakan swafungsi momentum sudut

orbital total sistem dan spin (Johnson, 2006). Koefisien ( )lmmmjl |"';"C adalah

koefisien Clebsch-Gordan yang ditentukan melalui rumus berikut (Cowan, 1981):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ +−−++−−+−−−−+

−×

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

++−+−−+−×

+++−−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−=|

+−+

+−

k

k

mljmmm

mlj

kmjlkmllkmlkmjklljk

lljlljlljllj

mlmlmjmlmlmjmmmllj

mmmllj

llmmmjlC

!"!'"!""!'!"!1

!1"!"!"!"1

!!""!'!!""!'"'"

"'"

121"';"

21"

,"'

21

2/1"

δ

(III.40)

Indeks k dalam jumlahan di atas memiliki jangkauan

( ) ( )"",',"min",'",0maks mlmjlljkmljmll +−−+≤≤+−−− (III.41)

dan nilai l dan m adalah sebagaimana dalam persamaan (III.24) diperoleh:

( ) ( ) ( )∑∑−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛|=

",

"

"

21

21

21

21

23

23

21

23

21

23

23

23

""

"

""

,,

,,,,

,"',",,ln

l

lmml

ln

llmnjllm YrR

JlmmmjlCAr ϕθµ

ϕθψ (III.42)

Untuk Hamiltonian yang belum diagonal adalah matrik pengdiagonal

untuk matrik:

( ) ( )'"'"'"" lmnlnmA

( ) ( ) ( )∫∫∫Ω

×∗

QD

sin,,"66

'"'"' ϕθθϕθψψ ddrrH lmnjlLKlmn (III.43)

Dari keadaan keortonormalan keadaan terkopling dalam persamaan (III.39),

berlaku kaitan (Rosyid, 2005):

83

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )''"',","

''"","""," mmllmmmmm

mlmmjlClmmmjlC δδ=||∑=+

∗∗ (III.44)

Ada perilaku penting dari operator energi (Hamiltonian LK) dalam transisi

sistem yang ditinjau. Tidak seperti konsep perkalian tensor dua ruang Hilbert

untuk mewadahi penjumlahan momentum orbital total dari dua elektron dalam

potensial inti yang sama, yaitu penjumlahan operator di dalam ruang Hilbert yang

lebih besar (yang “ mencakup” kedua ruang Hilbert pada masing-masing

Hamiltonian didefinisikan, Rosyid, 2005), masing-masing operator elektron akan

bekerja pada ruang Hilbertnya sendiri-sendiri. Dalam sistem QD nanostruktur

simetris penelitian ini, perkalian dua ruang Hilbert dimaksudkan untuk

memperoleh ruang Hilbert yang memuat keadaan untuk satu partikel yang berada

dalam dua potensial yang berbeda sekaligus, dimana masing-masing potensial

membangkitkan momentum orbital pada sebuah partikel yang sama, yang

ekivalen dengan penjumlahan dua momentum orbital. Ini membuat operator

energi (Hamiltonian) dalam ruang produk tensor dua ruang Hilbert dapat

berpindah bekerja pada ruang Hilbert yang dibangkitkan oleh potensial yang

berbeda jika mempunyai representasi yang sama. Oleh sebab itu,. karena bilangan

gelombang dalam Hamiltonian LK muncul oleh pemberian momentum kepada

elektron dengan perlakuan eksternal untuk bergerak bebas dalam kristal dan

berperan sebagai gangguan dengan maksud diperoleh informasi komplementer

tentang informasi keadaan terlokalisasi dan keadaan bebas dari sistem, maka tentu

jika produk tensor dua ruang Hilbert dimaksudkan untuk mewadahi penjumlahan

momentum orbital oleh proses pengungkungan, maka tentu didalam ruang Hilbert

ini Hamiltonian LK akan bekerja pada ruang Hilbertnya sendiri yaitu H1. Tetapi

84

karena bilangan gelombang yang terkait dengan pergerakan bebas elektron

menjadi tidak relevan untuk mengkarakterisasi elektron ( tidak lagi

bilangan kuantum yang relevan/baik), sehingga untuk Aplikasi Hamiltonian LK

dilakukan dengan cara mengganti vektor gelombang k dengan operator

zyx kkk ,,

hp , yang

mana dalam wakilan koordinat akan mempunyai bentuk ∇−i , maka karena

merupakan partikel yang sama, ini menyebabkan operator Hamiltonian LK

didalam ruang Hilbert yang diperluas misalnya H1⊗H2 diizinkan untuk bekerja

pada ruang Hilbert yang dibangkitkan oleh operator

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∇ gpengungkun

2

0

2

2V

mih misalnya ruang Hilbert H2 .

Persamaan Schrödinger untuk hole untuk sistem QD simetris silinder pita

lebar diberikan oleh:

( )( ) ( ) ( )zrEzrzrVH lmlmlmx

LK ,,,,,66 ϕψϕψ =+ (III.45)

dengan

( ) ( )∑=mlljn

lmnjllmnjllm zrAzr,,",,

"" ,,,, ϕψϕψ (III.46)

Dari konsep perkalian tensor dua ruang Hilbert diperoleh:

( ) ( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ℑ

ℑ|=

+

21

21

21

21

23

23

21

23

21

23

23

23

""

""1"

"

,,

,,,,

21

21"sin22"',",, ϕ

ππϕψ im

mn

mmnm

lmnjl epzl

Pr

Rk

klmmmjlCzr

(III.47)

Oleh karenanya:

85

( ) ( ) ( )∑∑−

= +

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ℑ

ℑ|=

",

"

"

21

21

21

21

23

23

21

23

21

23

23

23

""

""1"

"

,,

,,,,

21

21"sin22"',",,

ln

l

lm

immn

mmnm

lmnjllm epzl

Pr

Rk

klmmmjlCAzr ϕ

ππϕψ

(III.48)

Dalam persamaan (III.48) matrik adalah matrik pengdiagonal untuk

matrik :

( ) ( )'"'"'"" lmnlnmA

( ) ( )∫∫∫Ω

∗

QD

"66

'"'"' dzdrH lmnjlx

LKlmn ϕψψ (III.49)

Hamiltonian untuk QD simetris bola tidak bergantung pada bilangan kauntum m,

sebab dalam pendekatan bola (spherical approximation) dan pendekatan silinder

spektrum energi merosot berkenaan dengan komponen-z momentum total

(Fonoberov, 2002), sebagaimana ditunjukkan dalam III.31, sedangkan

Hamiltonian untuk QD pendekatan simetris silinder bergantung dengan bilangan

kuantum m (lihat persamaan III.35).

4.b. Celah Pita Sempit

Keadaan pita sempit yang mengakomodasikan keadaan oleh interaksi

keadaan konduksi dan valensi disajikan dengan Hamiltonian 8x8 yaitu:

Persamaan schrödinger untuk sistem QD simetris bola adalah:

( )( ) ( ) ( )ϕθψϕθψ ,,,,88 rErrVH lmlmlmLK =+× (III.50)

dengan

86

( ) ( ) ( )∑∑−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛|=

",

"

"

21

21

21

21

23

23

21

23

21

23

23

23

21

21

21

21

""

"

""

,,

,,,,

,,

,"',",,ln

l

lmml

ln

llmnjllm YrR

JlmmmjlCAr ϕθµ

ϕθψ (III.51)

Matriks dalam persamaan (III.51) adalah matrik pengdiagonal untuk

matrik:

( ) ( )'"'"'"" lmnlnmA

( ) ( )∫∫∫Ω

×∗

QD

sin"88

'"'"' ϕθθψψ ddrH lmnjlLKlmn (III.52)

Dari persamaan (II.56) Keadaan hole untuk sistem QD silinder diberikan oleh:

( )( ) ( ) ( )zrEzrzrVH lmlmlmLK ,,,,,88 ϕψϕψ =+× (III.53)

( ) ( ) ( )∑∑−

= +

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ℑ

ℑ|=

",

"

"

21

21

21

21

23

23

21

23

21

23

23

23

21

21

21

21

""

""1"

"

,,

,

,,,

,,

21

21"sin22"',",,

ln

l

lm

immn

mmnm

lmnjllm epzl

Pr

Rk

klmmmjlCAzr ϕ

ππϕψ

(III.54)

Dalam persamaan (III.54) matriks adalah matrik pengdiagonal untuk

matrik:

( ) ( )'"'"'"" lmnlnmA

( ) ( )∫∫∫Ω

×∗

QD

"88

'"'"' dzddrrH lmnjlLKlmn ϕψψ (III.55)

87

5. Metode Pendekatan Tight-Binding Semiempirik

Asumsi utama dalam metode tigh-binding adalah bahwa elemen matrik

yang sama dari bulk dapat digunakan untuk sistem nanostruktur (transferability).

Transferability mengasumsikan bahwa potensial efektif yang dihasilkan oleh tiap

atom adalah sama untuk bulk dan nanostruktur (Niquet, 2005). Ini berarti bahwa

parameter dalam fungsi rescaling yang kita adopsi yaitu oleh Kwon dkk (1998)

adalah juga berlaku untuk sistem nanostruktur. Data parameter empirik hasil

pencocokkan kurva oleh Kwon dkk (1998) untuk Silikon cluster adalah:

Tabel III.2. Nilai parameter pita dan konstanta dari paramerisasi oleh Kwon dkk (1998)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ o

A0r N Es(eV) Ep(eV)

2.360352 2 -5.25 1.20

Menggunakan model sp3 maka data yang digunakan adalah:

Tabel III.3. Hasil proses pencocokkan (fitting) terhadap integral Hopping dalam model oleh Kwon dkk (1998).

λ ssσ spσ ppσ ppπ

hλ(r0) (eV)

nλ

rλ

-2.038

9.5

3.4

1.745

8.5

3.55

2.75

7.5

3.7

-1.075

7.5

3.7

Elemen-elemen matrik Hamiltonian (integral Hopping) dalam proses fitting

dimodelkan oleh Kwon dkk sebagai:

88

( )

( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

====

=

cc nnn

nn

dd

d

rr

rrn

rrrhrh

pppHppppHp

sppHssssHs

rh

λλλ

λ

πλσλσλσλ

000

21

21

21

21

exp

(III.56)

Elemen Hamiltonian untuk tumpang tindih orbital dari atom yang sama (on site)

membentuk elemen diagonal matrik Hamiltonian dengan nilai:

⎪⎩

⎪⎨⎧

====

pzzyyxx

s

EPHPPHPPHPEsHs

(III.57)

5.a. Proyeksi Integral Hopping

Sebagaimana basis Bloch fungsi gelombang akan diekspansikan ke orbital

p yang dinyatakan dalam koordinat kartesan x, y dan z, sedangkan integral

hopping diparameterisasi untuk orbital p yang memiliki arah pararel dan normal

terhadap arah ikatan yang ditandai dengan d . Oleh karenanya perlu untuk

menyatakan orbital p kartesan ke dalam komponen pararel dan normal ikatan.

ˆ

5.a.1. Proyeksi Integral S-P

Elemen matrik Hamiltonian αpHs adalah elemen matrik antara orbital

s ( s ) dari suatu atom dengan orbital p ( )( )zyxp ,,=αα dari atom tetangga

terdekatnya.

89

Dari gambar III.1 diperoleh:

nd

nd

pnapda

ppp

ˆˆˆˆ

sincos

⋅+⋅=

+= θθ (III.58)

Sehingga elemen matrik Hamiltonian adalah

( ) ( ) ( )rhdapnapdaHspHs spnd σˆˆˆˆˆˆ ⋅=⋅+⋅= (III.59)

Tumpang tindih antara s dan np adalah nol oleh simetri, dengan

adalah elemen-elemen arah d dalam arah sumbu x, y dan z.

Sehingga diperoleh:

( zyx dddd ,,ˆ = )

( )( )( )⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

rhdrhdrhd

sHPsHPsHP

pHspHspHs

spx

spy

spx

z

y

x

z

y

x

σ

σ

σ

12

12

12

21

21

21

(III.60)

d

a n

+

-

d a θ

+

n -

Gambar III.1. Ilustrasi grafis proyeksi orbital S-P

90

5.a.2. Proyeksi Integral P-P

Dengan model tight-binding ortogonal yang dipilih, maka elemen matrik

Hamiltonian antara 1p dan 2p diberikan oleh:

( ) ( )( )( ) ( ) ( )2221112121

2222111121

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

nndd

ndnd

pnaHpnapHpdada

pnapdaHpnapdapHp

⋅⋅+⋅⋅=

⋅+⋅⋅+⋅=

Dengan

( )rhpHp ppdd σ=21 ,

( ) ( ) ( )( )( )( )( ) (rhnnnana

pHpnanapnaHpna

pp

nnnn

π212211

212211222111

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

⋅⋅⋅=

⋅⋅=⋅⋅

)

d

1a 1n

+

-

+

-

2n2a

1n2n

Dari sisi pandang vektor d Menurut sudut pandang arah vektor d

Gamber III.2. Ilustrasi grafis proyeksi orbital P-P

1n

d ( )dda ˆˆˆ1 ⋅ 1a

( )( )ddaa

nnaˆˆˆˆ

ˆˆˆ

11

111

⋅−=

⋅

91

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )rhddaaddaa

rhnnnanapnaHpna

pp

ppnn

π

π

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

2211

212211222111

⋅−⋅⋅−=

⋅⋅⋅=⋅⋅

diperoleh:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )rhddaaddaarhdadapHp pppp πσˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 22112121 ⋅−⋅⋅−+⋅⋅= (III.61)

Maka diperoleh matriks Hamiltonian dalam basis ( )( )zyxp ,,=αα adalah :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−−−−+−−−−+

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

rhdrhdrhrhddrhrhddrhrhddrhdrhdrhrhddrhrhddrhrhddrhdrhd

pHppHppHppHppHppHppHppHppHp

ppzppzppppyzppppxz

ppppzyppyppyppppxy

ppppzxppppyxppxppx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

πσπσπσ

πσπσπσ

πσπσπσ

22

22

22

212121

212121

212121

11

1

(III.62)

Akhirnya diperoleh matrik Hamiltonian untuk model tight-binding ortogonal sp3

satu pusat (on site) dan dua pusat. Karena Hamitonian satu pusat adalah jika

potensial dan kedua orbital milik atom yang sama maka mempunyai bentuk:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

pz

py

px

s

zyx

EpEp

EpEs

ppps

H

000000000000

1

1

1

1

1111

(III.63)

Elemen hamiltonian satu pusat ini merupakan energi orbital atomik. Sedangkan

Hamiltonian dua pusat adalah jika potensial dan orbital terletak pada suatu atom

dan orbital yang lain adalah milik atom tetangga terdekat. Sehingga Hamiltonian

mempunyai bentuk:

92

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

zzzyzxspzz

yzyyyxspyy

xzxyxxspxx

spzspyspxss

zyx

EEEhdpEEEhdpEEEhdphdhdhdhsppps

H

σ

σ

σ

σσσσ

2

2

2

2

1111

(III.64)

Dengan Exx, Exy, ..., Ezz sebagaimana diberikan dalam persamaan III.62.

Untuk mempelajari pengaruh interaksi spin-orbit ini pada pita energi, pada

penelitian ini akan digunakan Hamiltonian pendekatan dua pusat yaitu hanya

memperhatikan bentuk Hamiltonian untuk keadaan dimana potensial dan orbital

berada pada suatu atom dan orbital yang lain berada pada atom tetangga terdekat.

Hamiltonian untuk pendekatan dua-pusat seperti dijelaskan diatas adalah:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=×

zzzyzxspz

yzyyyxspy

xzxzxxspx

spzspyspxss

EEEhdEEEhdEEEhdhdhdhdh

H

σ

σ

σ

σσσσ

44

Oleh karenanya ketika spin-orbit diperhitungkan maka Hamiltonian pita-8

diwakili oleh basis ↓↓↓↓↑↑↑↑ zyxzyx pppsppps ,,,,,,, dengan bentuk:

soHH

HH +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

×

××

44

4488 (III.65)

Dari persaman (II.63)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

−

∆=

00000100000000001000000000000100000

000000100000000000000

3

iii

i

iii

i

H so

93

Agar persamaan (III.65) adalah Hamiltonian yang dapat diagonalkan maka perlu

dilakukan transformasi uniter basis (III.45) ke dalam fungsi Bloch dalam basis

Kane (Fonoberov. V, 2002):

†88

88 UHUHTB ×∗× = (III.66)

Dengan U = ui sebagaimana dalam tabel II.1, maka diperoleh:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

=

30000

31

30

033

103

1000

02

12

00000

620000

6610

06

16

06

2000

000022

1000001000000000001

ii

i

i

i

ii

i

U (III.67)

Alasan dilakukan transformasi uniter kedalam basis Kane ini adalah karena Basis

Kane dibangun untuk dapat mengdiagonalisasi Hamiltonian yang memuat

interaksi spin-orbit. Dari matrik U maka diperoleh Hamiltonian tight-binding

semiempirik dalam basis fungsi Bloch sebagai: (lihat lampiran I):

94

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−−

−+−

−−−

−

−

=

∗∗

∗

∗∗

∗∗∗

∗∗

∗

∗

∗∗

∗

PQCiNiFDiBiA

QPOFiJCiAiB

CiOICDiA

NFiCIFDiBA

iFJDFMCiAB

DiCiDCIA

BAiAiBiAh

iAiBABAh

H

ss

ss

x

21

2212

21

32

223

21

32

21

2100

223

32

31

31

221

31

22

100

21

32

31

3100

32

210

310

88

σ

σ

(III.68)

Dengan:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )xzzx

zz

xyyyxx

yzxyzzyyxx

zz

yxxyzzyyxx

yxxyyyxx

xzzxzyyz

yzxyyyxx

xzyz

spz

spyspx

EEiQa

EIPa

EEEiOa

iEEEEEiNa

EIMa

EEEEEiJa

EEiEEIa

EEiEEFa

EEiEEDa

iEECa

hdiBa

hidhdAa

−−==

−+==

++−

==

+−−−+−==

++==

−+++−==

+−++==

−+−==

+−−==

+−==

−==

+==

3

38

31

32

62

6

232

2312

23

32

64

31

2312

23

122

133

11212

13

16

22

1

78

77

67

58

44

47

33

45

35

34

14

13

σ

σσ

(III.69)

Kemudian dengan Tabel III.2, III.3 dan menggunakan persamaan (III.60) dan

(III.62) diperoleh komponen-komponen penyusun elemen matriks Hamiltonian

8x8, yaitu:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

5.95.92

4.3360.2

4.32exp360.2038.2 r

rhssσ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

5.85.82

55.3360.2

55.32exp360.2745.1 r

rhspσ

95

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

5.75.72

7.3360.2

7.32exp360.275.2 r

rhppσ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

5.75.72

7.3360.2

7.32exp360.2075.1 r

rhppπ

Fungsi spinor envelope untuk sistem QD simetris bola dan silinder diberikan

sebagaimana dalam (III.32) dan (III.34). Adapun langkah kerja dalam

menentukan struktur energi adalah sebagai berikut:

6. Langkah Kerja

Adapun langkah kerja untuk menentukan nilai eigen serta vektor eigen

dengan metode pendekatan massa efektif k.p dan metode tight-binding

semiempirik adalah:

6.1. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dengan Metode Pendekatan

Massa Efektif k.p

Menentukan swanilai dan swavektor dalam persamaan swanilai untuk operator

energi.

i. Subsitusi dalam matrik Luttinger Kohn 6x6 dan 8x8. ∇−= ik

ii. Transformasi matrik dari langkah i. ke koordinat bola dan silinder.

iii. Tentukan keadaan terseleksi dengan koefisien Clensch-Gordan

iv. Kerjakan untuk suatu nilai n dan l tertentu untuk QD bola

dan m dan n tertentu untuk QD silinder.

∫∫∫Ω

∗ ΩQD

dHψψ

v. Diagonalisasi matrik dalam langkah iii.

vi. Tentukan nilai eigen dan fungsi eigen.

96

6.2. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dengan Metode Pendekatan

Tight-Binding Semiempirik.

Karena elemen Hamiltonian dari integral Hopping tidak berubah dengan

bekerjanya potensial pengungkung dan hanya ditentukan oleh parameter jarak

maka langkah kerja pada metode tight-binding semiempirik hanya meliputi:

1. Tentukan keadaan terseleksi dengan koefisien Clesbch-Gordan

2. Hitung untuk suatu nilai n, m dan l tertentu untuk QD bola

dan untuk QD silinder.

∫∫∫Ω

∗ ΩQD

dH ψψ

3. Diagonalisasi matrik dalam langkah 2.

4. Tentukan nilai dan fungsi eigen terkait.

Mulai Hmln ,",",

∫∫∫Ω

∗ ΩQD

mnlmnl dH """" ψψ

Diagonalisasi matriks

lmmmjlA "'" ( )lmmmjlC "',"

nllm E,ψ

Selesai

Gambar. III.3. Diagram alir penentuan nilai eigen dan vektor eigen sistem QD simetri bola dan silinder

97

7. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen

7.a Dengan Metode Pendekatan Massa Efektif k.p-Metode

Pseudopotensial Empirik

Sebagaimana dalam langkah kerja, langkah pertama adalah transformasi

Elemen matrik Hamiltonian LK 6x6 dan 8x8 ke dalam koordinat silinder dan

bola.

7.a.1 Hamiltonian LK dalam koordinat silinder

Dari persamaan (III.26) diperoleh elemen Hamiltonian LK 6x6 adalah:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= 2

2

2

2

22

2

10

2 112 zrrrrm

Pϕ

γh (III.70)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

=zrrrrm

Q 2112 2

2

22

2

20

2

ϕγh (III.71)

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

+∂∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

∂∂

−∂∂

+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

∂∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∂∂

−

−

=

rrr

rrrri

rrr

rrrr

mR

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

γ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

γ

cossincossin

sincoscossinsincos

2

cossin4cossin

cossincossin4sincos

32

2

22

222

2

2

22

2

3

2

22

2

2

2

222

2

222

2

0

2h

(III.72)

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

+∂∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

−∂∂∂

=zrzr

izrzrm

Sϕ

ϕϕϕ

ϕϕ2222

0

2 cossinsincos322h (III.73)

Elemen matrik Hamiltonian LK 8x8 dalam koordinat silinder adalah:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= 2

2

2

2

22

2 11zrrrr

Aϕ

α (III.74)

98

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=ϕ

ϕϕϕ

ϕϕrr

irr

vV 1cossin1sincos2

11 (III.75)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=− ϕϕϕ

ϕϕϕ

rri

rrvV 1cossin1sincos

21

1 (III.76)

zvV∂∂

=0 (III.77)

Sedangkan elemen matriks p,q, r dan s sebagaimana dalam Hamiltonian LK 6x6,

tetapi tanpa memasukkan bentuk0

2

2mh .

7.a.2 Hamiltonian LK dalam koordinat Bola

Untuk Hamiltonian LK 6x6 dalam koordinat bola diperoleh:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

= 2

2

2222

210

2

sin1sin

sin11

2 ϕθθθ

θθγ

rrrr

rrmP h (III.78)

( )

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++

∂∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

∂∂

−

=

θθθθθθ

θθθ

ϕθθθθθθ

γ

2

22

2

2

2

222

2

2

22

2

222

20

2

cossin4cotsin2cos1

cossin6sin1sin2coscos2sin

2

rrr

rrrrrm

Q h

(III.79)

99

( )[ ] ( )

( ) ( )

( )

[ ]

( )

( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+

∂∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

∂∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−

∂∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂

+

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

∂∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−−−

∂∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

∂∂

−

−

=

ϕϕ

θϕ

ϕθϕϕθ

θϕϕθ

ϕϕϕθ

θϕϕϕ

ϕϕ

θϕϕθϕϕθθ

θϕθϕθϕϕθ

γ

ϕθϕ

ϕθϕϕθ

θϕϕθθϕϕ

ϕθϕϕϕθϕϕ

ϕϕϕ

θϕϕθϕϕθθ

θϕϕθθϕϕθ

γ

2

2

22

22

2

22

2

2

2

222

2

2

2

2

2222

2

2

2

22

3

2

2

22

22

2

2

2

2

222222

222

22

2

2222

222

2

2222

2

0

2

cossin

sinsincoscot

sincoscoscossincos

1coscossinsincos

cossincotcossincossin2

cossincossin2cossinsin

2

sinsincossincot4

sincoscoscoscossin

sincossincossincotcossin2cossin4

cossincotsincoscossin2

sincoscossin2sincossin

32

rrr

rr

rrrr

r

rrr

i

rr

rrr

rrrr

r

rrr

mR h

(III.80)

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∂∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+

∂∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+

∂∂

−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+

∂∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+

∂∂

=

θϕϕ

ϕϕθ

θϕθθϕθθ

θϕθϕθ

θϕθϕθϕθθ

θϕϕ

ϕϕθ

θϕθθϕθθ

θθθϕ

θθθϕϕθθ

22

2

2

22

22

222

2

2

22

2

2

22

22

222

2

2

0

2

coscoscos

coscossincoscossincoscossinsin

sinsincoscossincossin

sinsincos

coscossincoscossincossincos

sincoscoscoscossin

322

rrr

rrrr

rrr

i

rrr

rrrr

rrr

mS h

(III.81)

100

Elemen matrik Hamiltonian LK 8x8 dalam koordinat bola adalah:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

= 2

2

2222

2 sin1sin

sin11

ϕθθθ

θθα

rrrr

rrA (III.82)

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+∂∂

=

ϕθϕ

θϕθϕθ

ϕθϕ

θθϕϕθ

sincos1coscossinsin

sinsin1coscoscossin

21

1

rrri

rrrvV (III.83)

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+∂∂

=−

ϕθϕ

θϕθϕθ

ϕθϕ

θθϕϕθ

sincos1coscossinsin

sinsin1coscoscossin

21

1

rrri

rrrvV (III.84)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

=θ

θθrr

vV 1sincos0 (III.85)

Sedangkan elemen matriks p,q, r dan s sebagaimana P, Q, R dan S dalam

Hamiltonian LK 6x6, tetapi tanpa memasukkan bentuk0

2

2mh .

Karena bermaksud untuk menunjukkan ketergantungan ukuran dan bentuk

terhadap nilai eigen dan fungsi eigen sistem tanpa mengurangi informasi

mengenai pola ketergantungan tersebut, maka pada penelitian ini akan hanya

diteliti sebagian keadaan pita yaitu keadan untuk bilangan kuantum n=1, l”=1 dan

m”=0. Dengan menggunakan rumus III.40 (lihat lampiran II), diperoleh koefisien

Clebsch-Gordan untuk Hamiltonian LK 6x6 dan 8x8 yaitu :

Tabel III.4. Keadaan terseleksi dalam koefisien Clebsh-Gordan, untuk n=1, l”=1, m=0 , untuk Hamiltonian LK 6x6 dan Hamiltonian LK 8x8 .

C(jl”;m’m”,lm) C(jl”;m’m”,lm)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ |

23

230

23,1

23C 15

101 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ |

21

210

21,1

21C

61

101

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ |

23

250

23,1

23C

151 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ |

21

230

21,1

21C

61

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ |

21

210

21,1

23C

61 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −|−

21

210

21,1

21C

61

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ |

21

230

21,1

23C 15

301

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −|−

21

230

21,1

21C

61

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ |

21

250

21,1

23C

101

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ |

23

230

23,1

23C 15

101

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −|−

21

210

21,1

23C

61

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ |

23

250

23,1

23C

151

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −|−

21

230

21,1

23C 15

301

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ |

21

210

21,1

23C

61

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −|−

21

250

21,1

23C

101 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ |

21

230

21,1

23C 15

301

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −|−

23

230

23,1

23C 15

101 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ |

21

250

21,1

23C

101

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −|−

23

250

23,1

23C

151

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −|−

21

210

21,1

23C

61

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ |

21

210

21,1

21C

61 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −|−

21

230

21,1

23C 15

301

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ |

21

230

21,1

21C

61 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −|−

21

250

21,1

23C

101

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −|−

21

210

21,1

21C

61 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −|−

23

230

23,1

23C 15

101

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −|−

21

230

21,1

21C

61

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −|−

23

250

23,1

23C

151

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ |

21

210

21,1

21C

61

102

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ |

21

230

21,1

21C

61

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −|−

21

210

21,1

21C

61

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −|−

21

230

21,1

21C

61

−

Dari tabel III.1 diperoleh koefisien Luttinger 1γ , 2γ dan 3γ sebagai berikut:

1γ 2γ 3γ

6.1 1.5 2.3

7.a.3. Nilai Elemen Matriks Hamiltonian LK 6x6 dan 8x8 untuk QD

Silinder.

Akan dihitung nilai eigen dan vektor eigen untuk n=1, l”=1 dan m”=0.

Dengan Maple versi 9.5, diperoleh , dan elemen matriks

Hamiltonian (lihat Lampiran III):

404825558.201 =k

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

22

10

2 405.22 PRm

P πγh ,

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ××+××−×= −

2

29289

12

0

2 10089.210123.61082.40482558

22 P

RPJPm

Q γh

0≈R ; 0≈S

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

22405.2PR

A πα ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

22

1405.2

PRp πγ

103

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ××+××−×= −

2

29289

12

10089.210123.61082.40482558

2P

RPJP

q γ

0≅r ; ; 0≅s 01 ≅V , 01 ≅−V , 00 ≅V (III.86)

7.a.4 Nilai Elemen Matriks Hamiltonian LK 6x6 dan 8x8 untuk QD Bola

Akan dihitung nilai eigen dan vektor eigen untuk n=1, l”=1 dan m”=0.

Dengan Maple versi 9.5, diperoleh , dan elemen matriks

Hamiltonian:

493409458.411 =µ

2

10

2 493.42

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

RmP γh ,

0≈Q ; ; 0≈R 0≈S

2493.4⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

RA α ;

2

1493.4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Rp γ

0≅q ; ; 0≅r 0≅s ; 01 ≅V , 01 ≅−V dan 00 ≅V (III.87)

Jika dipilih nilai dan dalam satuan

nanometer (nm), selanjutnya akan dihitung energi sistem QD silinder untuk n=1,

l”=1, m”=0, R=2.5 nm dan P=2π nm, dan R=4.5 nm. Dalam perhitungan h

dibawah ke dalam satuan eV.s dan parameter massa dibawa ke dalam satuan

MKS, sehingga dengan menggunakan tabel (III.1) diperoleh matrik LK 6x6 QD

silikon silinder dalam satuan eV adalah:

404825558.201 =k 493409458.41

1 =µ

104

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

'000000'000000'000000'000000'000000'

CC

AB

BA

H ; (III.88) 33.0709.1'

10147.5709.1'10147.5709.1'

9

9

−−=×+−=

×−−=−

−

CBA

dan adalah matriks identitas. ( ) ( )'""""' llmmnn

A δδδ

Matrik LK 6x6 QD silikon bola dalam satuan eV adalah:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

'000000'000000'000000'000000'000000'

BB

AA

AA

H ; 33.0697.1'

697.1'−−=

−=BA

(III.89)

dan adalah matriks identitas. ( ) ( )'""""' llmmnn

A δδδ

Matrik LK 8x8 QD silikon silinder dalam satuan eV adalah:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

'00000000'00000000'00000000'00000000'00000000'00000000'00000000'

DD

BC

CB

AA

H ;

33.0709.1'10147.5709.1'10147.5709.1'

181.0'

9

9

−−=×+−=

×−−=

=

−

−

DCBA

(III.90)

dan adalah matriks identitas. ( ) ( )'""""' llmmnn

A δδδ

matrik LK 8x8 QD silikon bola dalam satuan eV adalah:

105

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

'00000000'00000000'00000000'00000000'00000000'00000000'00000000'

CC

BB

BB

AA

H ; 33.0697.1'

697.1'904.0'

−−=−=

=

CBA

(III.91)

dan adalah matriks identitas. ( ) ( )'""""' llmmnn

A δδδ

Perlu untuk dikemukakan bahwa matriks diagonal yang diperoleh dalam

persamaan (III.88), (III.89) dan (III.90) adalah tidak otomatis nol, tetapi

melainkan karena elemen selain elemen diagonal mempunyai nilai mendekati nol

(sebagaimana data terlampir). Ini perlu ditekankan karena elemen matrik

Hamiltonian selain elemen diagonalnya terkait dengan interaksi antara keadaan

atau basis yang berbeda. Ini berarti interaksi antara pita yang berlainan terdapat

dalam orde yang dapat diabaikan relatif terhadap elemen diagonalnya. Dengan

demikian ketika diasumsikan elemen selain elemen diagonal matriks Hamiltonian

adalah nol maka otomatis berarti kita mengasumsikan tidak ada interaksi antara

pita yang berlainan, dan koefisien kombinasi linear otomatis menjadi

matriks Identitas.

( ) ( )'""""' llmmnnA δδδ

7.a.5. Nilai Eigen dan Fungsi Eigen untuk Hole dalam Pita Lebar

Dari tabel (III.4) dan persamaan (III.88), diperoleh nilai eigen dan fungsi

eigen hole dalam semikonduktor QD silinder pita lebar adalah:

( )23'

23

221sin962,0882.1 0

23

23 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ=

ππψ zr

106

( )eV10147.5709.1 9

23

23

−×−−=E

( )23'

23

221sin962,0397.0 0

23

25 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ=

ππψ zr

( )eV10147.5709.1 9

23

25

−×−−=E

( )23'

23

221sin962,0397.0 0

23

25 −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ−=

− ππψ zr

( )eV10147.5709.1 9

23

25

−

−×−−=E

( )23'

23

221sin962,0882.1 0

23

23 −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ=

− ππψ zr

( )eV10147.5709.1 9

23

23

−

−×−−=E

( )21'

23

221sin962,0486.0 0

21

25 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ−=

ππψ zr

( )eV10147.5709.1 9

21

25

−×+−=E

( )21'

23

221sin962,0486.0 0

21

25 −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ=

− ππψ zr

( )eV10147.5709.1 9

21

25

−

−×+−=E

( ) ( )21'

21

221sin962,0627.0

21'

23

221sin962,0627.0 00

21

21 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ=

ππ

ππψ zrzr

( )eV10147.5748.3 9

21

21

−×+−=E

107

( ) ( )21'

21

221sin962,06277.0

21'

23

221sin962,0087.1 00

21

23 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ−=

ππ

ππψ zrzr

( )eV10147.5748.3 9

21

23

−×+−=E

( ) ( )21'

21

221sin962,0627.0

21'

23

221sin962,0627.0 00

21

21 −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ−=

− ππ

ππψ zrzr

( )eV10147.5748.3 9

21

21

−

−×+−=E

( ) ( )21'

21

221sin962,0627.0

21'

23

221sin962,0087.1 00

21

23 −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ−=

− ππ

ππψ zrzr

( )eV10147.5748.3 9

21

23

−

−×+−=E

Dari tabel (III.4) dan persamaan (III.88), diperoleh nilai eigen dan fungsi eigen

hole dalam semikonduktor QD bola pita lebar adalah:

( ) ( )23'

23cos

403

123

23 θψ rJ=

( ) ( )23'

23cos

403

123

23 −=−

θψ rJ

( ) ( )23'

23cos

101

123

25 θψ rJ=

( ) ( )23'

23cos

101

123

25 −−=−

θψ rJ

( ) ( )21'

23cos

203

121

25 θψ rJ−=

108

( ) ( )21'

23cos

203

121

25 −=−

θψ rJ

Keenam fungsi eigen diatas mempunyai energi yang sama yaitu eV697.1−=lmE

( ) ( ) ( ) ( )21'

21cos

21

21'

23cos

21

1121

21 θθψ rJrJ +=

( ) ( ) ( ) ( )21'

21cos

21

21'

23cos

1021

1121

23 θθψ rJrJ +−=

( ) ( ) ( ) ( )21'

21cos

21

21'

23cos

21

1121

21 −+−−=−

θθψ rJrJ

( ) ( ) ( ) ( )21'

21cos

21

21'

23cos

1021

1121

23 −+−−=−

θθψ rJrJ

Keempat fungsi eigen diatas mempunyai energi yang sama yaitu:

eV724.3−=lmE

7.a.6 Nilai Eigen dan Fungsi Eigen Elektron-Hole Pita Sempit

Dari tabel (III.4) dan persamaan (III.88) diperoleh nilai eigen dan fungsi

eigen elektron-hole dalam semikonduktor QD silinder pita lebar adalah:

( )23'

23

221sin962,0882.1 0

23

23 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ=

ππψ zr

( )23'

23

221sin962,0397.0 0

23

25 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ=

ππψ zr

( )23'

23

221sin962,0397.0 0

23

25 −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ−=

− ππψ zr

( )23'

23

221sin962,0882.1 0

23

23 −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ=

− ππψ zr

109

Keempat fungsi eigen diatas mempunyai energi yang sama yaitu

( )eV10147.5709.1 9−×−−=lmE

( )21'

23

221sin962,0486.0 0

21

25 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ−=

ππψ zr

( )21'

23

221sin962,0486.0 0

21

25 −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ=

− ππψ zr

Kedua fungsi eigen diatas mempunyai nilai energi yang sama yaitu

( )eV10147.5709.1 9−×+−=lmE

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ=

KLH00

21

21 2

1'21

21'

21

221sin962,0627.0

21'

23

221sin962,0627.0

ππ

ππψ zrzr

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ−=

KLH00

21

23 2

1'21

21'

21

221sin962,06277.0

21'

23

221sin962,0087.1

ππ

ππψ zrzr

( ) ( )KLH

0021

21 2

1'21

21'

21

221sin962,0627.0

21'

23

221sin962,0627.0 −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ−=

− ππ

ππψ zrzr

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ−=

− KLH00

21

23 2

1'21

21'

21

221sin962,0627.0

21'

23

221sin962,0087.1

ππ

ππψ zrzr

Kedua empat fungsi eigen diatas mempunyai nilai energi yang sama yaitu

( )eV10147.5567.3 9−×+−=lmE

Dari tabel (III.4) dan persamaan (III.88) diperoleh nilai eigen dan fungsi eigen

elektron-hole dalam semikonduktor QD bola pita sempit adalah:

( ) ( )23'

23cos

403

123

23 θψ rJ=

( ) ( )23'

23cos

403

123

23 −=−

θψ rJ

110

( ) ( )23'

23cos

101

123

25 θψ rJ=

( ) ( )23'

23cos

101

123

25 −−=−

θψ rJ

( ) ( )21'

23cos

203

121

25 θψ rJ−=

( ) ( )21'

23cos

203

121

25 −=−

θψ rJ

Keenam fungsi eigen diatas mempunyai nilai energi yang sama yaitu

. ( )eV697.1−=lmE

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

KLH11

21

21 2

1'21

21'

21cos

21

21'

23cos

21 θθψ rJrJ

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

KLH11

21

23 2

1'21

21'

21cos

21

21'

23cos

1021 θθψ rJrJ

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−−=

−KLH

1121

21 2

1'21

21'

21cos

21

21'

23cos

21 θθψ rJrJ

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−−=

−KLH

1121

23 2

1'21

21'

21cos

21

21'

23cos

1021 θθψ rJrJ

Keenam fungsi eigen diatas mempunyai nilai energi yang sama yaitu

. ( )eV820.2−=lmE

7.b Dengan Metode Tight-Binding Semiempirik

Dalam metode tight-binding semiempirik, ditemui kendala dalam

komputasi numerik simbolik dengan Maple 9.5, dimana pemprosesan dengan

software tidak memberikan nilai numerik yang diharapkan misalnya dalam

111

penentuan elemen baris pertama dan kolom pertama matrik 8x8 persamaan

(III.67). Dari tabel III.2, III.3 dan persamaan III.55, diperoleh:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

5.95.92

4.3360.2

4.32exp360.2038.2 r

rhssσ

Kemudian diketahui:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ℑ

ℑ==

Pz

Pr

Rmnl 21sin1)404828558.2(

40482855.22

01

110"" πψψ

Sehingga elemen kolom pertama dan baris pertama matrik persamaan matrik

(III.67) adalah:

∫ ∫ ∫= = =

∗P

z

R

rss dzddrrh

0

2

0 0110110

π

ϕσ ϕψψ

Sebagai bukti akan penelitian ini, komputasi numerik simbolik untuk proses

dengan Maple.9.5 dilampirkan dalam lampiran IV. Pertimbangan untuk

mengakhiri metode tight-binding pada tahap ini semata-mata mempertimbangkan

jenjang waktu penelitian, serta karena masalah metode numerik bukan termasuk

dalam subtansi dasar dari penelitian ini.

8. Pembahasan

Sebagaimana tujuan penelitian dalam BAB I, bahwa penelitian ini meliputi

memahami metode massa-efektif k.p-pseudopotensial empirik dan metode tight-

binding, bagaimana menerapkan kedua metode ke dalam sistem QD simetris,

memperoleh informasi numerik dan mempelajari ketergantungan bentuk dan

ukuran QD simetris terhadap struktur elektronik. Untuk itu bagian ini akan

diawali dengan komentar tentang metode massa efektif k.p dan tight-binding

semiempirik.

112

8.1. Metode Massa Efektif k.p

Seperti disebutkan di dalam BAB III, bahwa metode massa efektif k.p

diawali dengan asumsi bahwa perlakuan eksternal yang diberikan pada sistem

untuk memperoleh informasi komplementer tentang struktur elektronik

diperlakukan sebagai gangguan. Oleh karenanya ketepatan metode ini akan

ditentukan oleh seberapa tepat perlakuan eksternal (misalnya aplikasi medan

listrik dan magnet) relatif terhadap stabilitas sistem dapat dipandang hanya

sebagai gangguan. Kemudian dalam metode k.p fungsi periodik dalam persamaan

Bloch diasumsikan tidak bergantung pada vektor gelombang, ini berarti semua

elektron yang terlokalisasi (dalam keadaan terikat) diasumsikan mendapat

pengaruh yang sama oleh pergerakan translasi elektron konduksi. Ini memberikan

konsekuensi kalau penggambaran metode k.p sangat representatif untuk

pendekatan partikel tunggal. Hal terpenting juga dari pendekatan metode k.p

adalah tentang asumsi tentang perioditas medan kisi kristal. Dalam sistem

nanostuktur kondisi bulk relatif terhadap permukaan akan semakin samar dengan

menurunnya dimensi dan ukuran sistem, oleh karenanya perioditas potensial kisi

juga akan berkurang polanya dengan meningkatnya interaksi permukaan relatif

terhadap bulk. Dibandingkan dengan sistem QD heterostruktur, QD nanostruktur

colloid sangat representatif diwakili oleh metode massa efektif k.p oleh karena

interor sistem lebih homogen sehingga tidak perlu diasumsikan perubahan fungsi

gelombang yang halus (smooth) didaerah diskontinyu (perbatasan/interface) dan

begitu pula dengan parameter-parameter dalam metode massa efektif k.p.

113

8.2. Metode Tight-Binding Semiempirik.

Metode tight-binding didasarkan pada asumsi bahwa semua informasi fisis

sistem fisis zat padat termasuk sistem nanostruktur dapat dinyatakan atau

dihubungkan dengan keadaan atom-atom penyusunnya dalam hal ini adalah

orbital-orbital atomik. Tidak seperti pada metode k.p yang memfokuskan

perhitungan dengan orbital-orbital valensi saja, metode tight-binding

dikembangkan untuk menggunakan semua pita atomik dalam rangka menyelidiki

perilaku sistem. Oleh karenanya metode tight-binding mampu menangani efek-

efek atomik dalam perilaku sistem. Ini terbalik dengan metode k.p yang sangat

tepat untuk menangani efek-efek sistem, misalnya efek medan potensial kristal.

Sehingga walaupun kerangka kerja tight-binding ini bukan suatu metode yang

baik untuk untuk menentukan fungsi gelombang alami sebenarnya dari sistem

fisis yang ditinjau namun demikian akan memberikan hasil yang semakin sesuai

untuk sistem fisis nanostruktur yang semakin kecil. Dalam deskripsi Hamiltonian

sistem, metode tight-binding menerapkan konsep tumpang-tindih orbital dalam

membentuk ikatan kimia. Dari konsep tumpang-tindih orbital ini muncul

terminologi integral hopping yang memberi konsekuensi elektron dapat

berpindah-pindah diantara orbital dari atom yang berbeda.

Dari penjelasan metode massa efektif k.p dan tight-binding semiempirik

ini dapat ditarik kesimpulan bahwa untuk sistem nanostruktur, semakin kecil

sistem maka semakin tepat aplikasi metode tight-binding, sedangkan semakin

besar ukuran sistem maka aplikasi metode k.p akan semakin tepat

mengakomodasikan efek sistem dalam kehadiran celah pita.

114

8.3 Nilai Energi Elektron dan Hole QD Bersimetri Bola dan Silinder

Dari hasil perhitungan diperoleh bahwa seluruh energi dalam sistem QD

silikon bersimeri bola dan silinder mempunyai nilai negatif. Hasil ini dapat

diterangkan sebagai berikut: sebagaimana dalam asumsi perhitungan yang

didasarkan pada nilai eksperimen untuk bahan GaAs bahwa energi pita velensi

maksimum adalah nol. Ini berarti bahwa tanpa pengungkungan keadaan elektron

terluar (valensi) dalam sistem QD silikon bersimetri bola dan silinder mempunyai

nilai energi nol (superposisi komponen energi dalam Hamiltonian adalah nol),

sebaliknya elektron konduksi (elektron yang mempunyai momentum translasi

dalam potensial periodik) akan mempunyai energi bernilai positif sedangkan

elektron di sebelah dalam dari elektron valensi mempunyai nilai negatif yang

menunjukkan elektron tersebut berada dalam keadaan terikat atau berada dalam

potensial inti atom. Oleh karenanya energi negatif dalam sistem QD yang

diperoleh dari perhitungan menunjukkan kalau elektron-hole berada dalam

potensial inti dan potensial makro (pengungkung) dan dilarang keluar dari sistem

QD. Hasil ini juga menunjukkan kalau keadaan konduksi atomik dalam sistem

QD silikon bersimetri bola dan silinder juga berada dalam keadaan terikat oleh

karena pengungkungan.

8.4. Ketergantungan Struktur Elektronik QD Simetris terhadap Bentuk

dan Ukurannya.

8.4.a. Ketergantungan Ukuran

Dari hasil yang diperoleh, nampak bahwa energi elektron-hole meningkat

dengan orde bilangan l dan n pada sistem QD Bersimetri Bola dan m dan n pada

115

sistem QD Bersimetri silinder. ini dengan mudah dijelaskan karena peningkatan l

dan m setara dengan peningkatan kerapatan energi (kerapatan fungsi gelombang)

sedangkan bilangan n berkaitan dengan jarak yang berbanding terbalik dengan

energi interaksi. Selain itu diperoleh bahwa energi sistem menurun dengan

peningkatan ukuran sistem. ini dapat dijelaskan karena semakin besar ukuran

maka semakin besar bilangan kuantum n sistem yang menentukan jarak interaksi.

8.4.b. Ketergantungan Bentuk

Dari pengamatan pengaruh bentuk terhadap struktur energi diperoleh

bahwa bentuk QD tertentu mempunyai struktur energi dan ruang Hilbert yang

berbeda walupun berdimensi sama. Nilai eigen energi untuk kasus QD silinder

lebih banyak dari nilai eigen untuk kasus QD bola. Perbedaan ini disebabkan

karena fungsi gelombang dalam koordinat silinder hanya invarian dalam rotasi

terhadap sumbu sumbu-z dan invarian dalam translasi sepanjang sumbu-z (Arfken

dan Weber, 2001). Ini berarti pada QD bersimetri silinder terdapat

ketidakhomogenan ruang dalam arah x dan y serta ketidakisotropian ruang

terhadap sumbu x dan y. Dengan penalaran tentu ketidakhommogenan dan

ketidakisotropian ruang ini pararel dengan ketidakhommogenan dan

ketidakisotropian medan interaksi. Dalam perspektif matematika keadaan ini

tentu setara dengan kehadiran ketidakkomutatifan antara Hamiltonian dengan

operator terkait yang akan menyebabkan kuantisasi baru.

116

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang telah dilakukan, maka

dapat diambil beberapa kesimpulan yaitu:

1. Perkalian tensor dua ruang Hilbert dapat diaplikasikan untuk menentukan

ruang Hilbert dalam mana Hamiltonian QD simetris berada/hidup.

2. Metode massa efektif k.p dapat diaplikasikan guna mendapatkan informasi

struktur elektronik (nilai eigen dan fungsi eigen) sistem QD silikon bersimetri

bola dan silinder.

3. Untuk bilangan n=1, l=1 dan m”=0, sistem QD bola mempunyai sepuluh

vektor eigen dengan dua nilai eigen sedangkan sistem QD silinder mempunyai

sepuluh vektor eigen dengan tiga nilai eigen.

4. Energi elektron-hole sistem QD bersimetri bola dan silinder yang diperoleh

dengan metode massa efektif k.p menunjukkan pola ketergantungan pada

ukuran dan bentuk QD.

5. Metode massa efektif k.p menunjukkan bahwa interaksi antara pita yang

terkait dengan matriks Hamiltonian dalam ukuran QD silikon yang dipilih

dalam penelitian ini dapat diabaikan.

6. Kemerosotan energi pada QD Silikon bersimetri bola jauh lebih banyak

dibandingkan dengan kemorosotan keadaan pada QD Silikon bersimetri

silinder.

117

2. Saran

Agar metode massa efektif k.p dan tight-binding semiempirik mencapai

deskripsi maksimum terhadap sistem QD Silikon simetris maka diperlukan

penelitian dan pemodelan yang lebih lanjut menyangkut:

1. Analisis komputasi numerik lebih jauh terkait dengan aplikasi tight-

binding semiempirik dalam sistem QD silikon simetris.

2. Pengaruh interface antara nanostuktur colloid dan medium perlu

dimasukkan melalui konsep strain pada kristal permukaan.

3. Perlakukan tambahan terhadap parameter massa efektif k.p di daerah

dimana medan relatif tidak isotropis dan homogen (pada point 2) perlu

dilakukan.

4. Untuk sistem nanostruktur atau QD yang relatif sangat kecil,

penggambaran dalam kerangka kerja ab-initio adalah penting adanya.

5. Terkait dengan point ketiga, penggunaan tigh-binding initio (tight-binding

DFT) dengan penerapan teori group titik perlu dilakukan.

6. Dibutuhkan penelitian eksperimen tentang struktur elektronik sistem QD

Silikon guna mengkomparasikan hasil-hasil numerik perhitungan.

118

DAFTAR PUSTAKA

Arfken, G. B., dan Weber, H. J., 2001, Mathematical Methods For Physicists: Fifth Edition, A Harcourt Science and Technology Company, USA.

Baraff, G. A dan Gershoni, D, 1991, Eigenfunction-expansion method for solving the quantum-wire problem: Formulasi, Phys. Rev. B . 43, 4011.

Cowan, R.D., 1981, The Theory of Atomic tructure and Spectra, Edisi keempat, Oxford at The Clarendon Press, Oxford.

Chang, L. L., Esaki, L., Howard, W. E., dan Ludeke R., 1970, Structures Grown by Molecular Beam Epitaxy , J. Vac. Sci. Technol. 10, 11.

Damilano, B., Grandjean, N., Semond, F., Massies, J., dan Leroux, M., 1999, From visible to white light emission by GaN quantum dots on Si(111) substrate, Appl. Phys. Lett. 75, 962.

Efros, Al. L dan Rosen, M.,1998 Quantum Size Level Structure od Narrow-gap Semiconductor nanocrystal: Effect of Band Coupling, Phys. Rev. B 58, 7120.

Ekimov, A.I, Hache, F., Schanne-Klein, M. C., Ricard, D., Flitzanis, C., Kudryavtzev, I. A., Yazeva, T. V., Rodina, A. V., dan Efros, Al. L., 1993, Absorption and Intensity-Dependent Photoluminescence Measurement on CdSe Quantum Dots: Assignment of the First Electronic Transitions, J. Opt. Soc. Am. B 10, 100.

Esaki, L., dan Tsu R., 1970, Superlattice and Negative Differential conductivity in Semiconductors, IBM J. Res. Develop. 14, 61.

Fonoberov. V., 2002, Electronic and Optical Properties of Semiconductor Quantum Wires and Dots, PhD dissertation, University of Moldova, Moldova.

Gasiorowicz, S., 1974, , Quantum Physics, John Wiley and Sons, New York. Gell, M. A, Ninno, D., Jaros, M., dan Herbert D. C.,1986, Zone folding,

morphogenesis of charge densities, and the role of periodicity in GaAs-Al Ga As (001) superlattices,x 1-x Phys. Rev. B 34, 2416

Griffiths, D. J., 1995, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, Inc. Upper Saddle River, New-Jersey.

Grigoryan, G. B, Kazaryan, E, Efros, Al. L, Yazeva, T. V.,1990, Quantitation of Hole and absorption edge in spherical microcrystal of semiconductor with complex structure of valence Band, Sov. Phys. Solid State 32, 1031

Hein, O, 2000, Semi-Empirical Tight-Binding Ways and Means for the Atomistic Simulation of Materials, PhD dissertation, Gemeinsamen Naturwissenschaftlichen Fakultät, Techniscen Universität Carolo-Wilhelmina, Germany.

Helle, M.,2006, Few-Electron Quantum Dot Molecules, PhD dissertation Helsinki University of Tehnology, Laboratory of Physics, Espo, Finland.

Hohenberg, P., dan Kohn, W., 1964, Inhomogeneous Electron Gas, Phys. Rev. 136, B864

119

Jena, D., 2004, k.p Theory of Semiconductors, Department of Electrical Engineering, University of Notre Dame.

Johnson, W. R., 2006, Lectures on Atomic Physics, Department of Physics, University of Notre Dame, Notre Dame, Indiana, U.S.A

Jones, R.,1988, The phonon spectrum of diamond derived from ab initio local density functional calculations on atomic clusters, J. Phys. C 21, 5735

Kemerink, M., 1998, Many-body effects in the valence bands of two-dimensional heterostructures based on III/V semiconductors, Technische Universiteit Eindhoven, Eindhoven

Kitamaru, K, Umeya, H., Jia, A., Shimotomai, M, Kato, Y., Kobayashi, M., Yoshikawa, A., dan Takahashi, H., 2000, Self-assembled CdS quantum-dot structures grown on ZnSe and ZnSSe, J. Chryst. Growth 214, 215, 680.

Kittel, C., 1996, Intrduction to Solid State Physics, John Wiley & Sons Kohn, W., dan Sham, L.J.,1965, Self-consistent equation including exchange dan

correlation effect, Phs. Rev. 140, A1133. Kwon, I., Biswas, R., Wang, Z., Ho, K. M., dan Soukoulis, 1994, Transferable

tight-binding models for silicon, Phys. Rev. B 49, 7242. Lannoo, M. dan Burgoin, J, 1981, Point Defect in Semiconductor I, Springer-

Verlag. Lee, J., Chou, W-C., Yang, C-S, dan Jan, G. J., 2004, Eigen-Energies and Eigen-

Functions of Symmetroidal Quantum Dots, Chinese Journal of Physics, Vol. 42, No. 1.

Löwdin, P., 1955, A Note on the Quantum-Mechanical Peturbation Theory, J. Phys. Chem. 19, 1396

Löwdin, P., J., 1950, On The Non-Orthogonality Problem Connected with The Use of Atomic Wave Function in the Theory of Molecules and Crystals, Chem. Phys. 18, 365.

Luttinger, J. M., dan Kohn, W.,1955, Motion of Electrons and Holes in Perturbed Periodic Fields, Phys. Rev. 97, 8690

Luttinger, J. M., 1956, Quantum Theory of Cyclotron Resonance in Semiconductors: General Theory, Phys. Rev. 102, 1030

Mercer, J. J. L., dan Chou, M. Y, 1994, Tight-binding model with intra-atomic matrix elements, Phys. Rev. B 49, 8506

Murray, C. B., Norris, D. J., dan Bawendi, M. G, 1993, Chem. Soc. 115, 8706. Nayak, C., 2004, Quantum Condensed Matter Physics - Lecture Notes, Universiy

of California, Los Angeles Nirmal, M dan Brus, L., 1999, Luminescence Photophysics in Semiconductor

Nanocrystal, Acc. Chem. Res, 32, 407-414 Niquet, Y. M., 2005, Introduction to the Tight Binding Description of

Semiconducor Nanostructure (Presentation in Hanoi, 23/12/2002), CEA,/DRFMC/SP2M/L_Sim, Grenoble, France.

North, S. M.,2001, Electronic Structure of GaSb/GaAs and Si/Ge, PhD dissertation, University of Newcastle, England.

Papaconstantopoulos, D. A., dan Mehl, A.K., 2003, The Slater-Coster Tight Binding Method: a Computationally Efficient an Accurate Approach, Condens, J. Phys. Matter, 15, R413.

120

Pople, J. A, 1998, Quantum Chemical Models; Nobel Lecturer, December 8, 1998, Department of Chemistry, Northwestern University, 2145 Sheridan Road, Evanston, Illionis 60208, USA.

Prado, S. J., Marques, G. E., dan Trallero-Giner, C., 1999, Electronic Structure in Narrow-Gap Quantum Dots, Brazilian Journal of Physics, Vol. 29, no 4

Prasad, R.K., 2001, Quantum Chemistry: Second Edition, New Age International Publisher.

Rai, B. M., 2005, Quantum Confinement of Nanostructured System, MSc Thesis, Department of Physics, Central Michigan University, Mount Pleasant, Michigan.

Räsänen, E.,2004, Electronic Properties of Non-Circular Quantum Dots, PhD dissertation, Helsinki University of Tehnology, Laboratory of Physics, Espo, Finland.

Reed, M. A., Bate, R. T, Bradshaw, K., Duncan, W. M., Frensley, W. M., Lee, J. W., dan Smith, H. D., 1986, Spatial quantitation in GaAs-AlGaAs Multiple quantum dots, J. Vacuum, Sci. Technol. B4, 358

Reimann, S. M dan Mannien, M., 2002, Electronic Structure of Quantum Dots, Rev. Mod. Phys. 74.

Rio, S. R., dan Iida, M.,1999, Fisika dan Teknologi Semikonduktor, PT Pradya Paramita, Jakarta

Romero, N. A, 2005, Density Functional Study of Fullerene-Based: Crystal Structure, Doping, and Elektron-Phonon Interaction, PhD dissertation, University of Illinois, Urbana-Champaign

Rosyid, M. F., 2005 Mekanika Kuantum, Departemen Fisika , Institut untuk Sains di Yogyakarta dan Laboratorium Fisika Atom dan Inti, Jurusan Fisika Inti, Jurusan Fisika, FMIPA, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta

Sakurai, J. J,1994, Modern Quantum Mechanics, Person Education Asia. Schulman, J. N, dan Chang, Y. C., 1985, Band mixing in semiconductor

superlattices, Phys. Rev. B.31, 2056 Tews, M., 2004, Structure and Transport Properties of Quantum Dot, PhD

dissertation, Universität Hamburg, Germany. Todorov, T. N, 2002, Tight Binding Simulation of Current on Carrying

Nanostructures, J.Phys. Cond. Matter, 14, pp. 3049 Trani, F., 2004 Electronic and Optical Properties of Silicon Nanocrystals: a Tight

Binding Study, PhD dissertation, Universitarion Monte S. angelo, Napoly, Italy

Wang, L.W., dan Zunger, A.,1996, Pseudopotential-based multiband k·p method for 250000-atom nanostructure systems, Phys. Rev. B.54(16), 11417

Yariv, A, 1982, Introduction to Theory and Aplications of Quantum Mechanics, John Wiley & Sons, Inc. Canada

Zünger A, 1998, Semiconductor quantum dots, MRS Bulletin, Vol. 23, No. 2, February 1998.

121

LAMPIRAN 1

Matrik transpose dan matrik konjugat dari matrik U dalam persamaan III.66,

dengan matriks U adalah matrik transformasi dari basis ↑S , ↑X , ↑Y ,

↑Z , ↓S , ↓X , ↓Y dan ↓Z ke basis Bloch.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

300

620000

03

12

106

1000

03

12

06

00000000010

03

1006

2000

310000

200

300

610

2100

00000001

i

ii

i

i

i

U T

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

−−

−

=∗

30000

31

30

033

103

1000

02

12

00000

620000

6610

06

16

06

2000

0000022

100001000000000001

ii

i

i

i

ii

i

U

122

LAMPIRAN 2

Elemen Hamiltonian TB 8x8 dalam basis Bloch untuk persamaan III.68.

( )

( )

( )σσ

σ

σσ

σ

σσ

σ

spxspy

spz

spyspx

spz

spyspx

ss

hidhda

hda

a

hidhda

hdia

hidhda

aha

−=

−=

=

+−=

−=

+−=

==

31

31

06

16

22

10

81

71

61

51

41

31

21

11

( )

( )

( )

σ

σσ

σσ

σ

σσ

σ

spz

spyspx

spxspy

spz

spxspy

ss

hdia

hidhda

hidhda

hda

hidhda

aha

a

3

312

16

26

10

0

82

72

62

52

42

32

22

12

=

−−=

−−=

−=

+=

===

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )yxxyyyxx

zyzx

yxxyyyxx

yzzx

yxxyyyxx

spyspx

EEEEia

iEEa

a

EEiEEa

EiEa

EEiEEa

a

hidhda

+−−=

+=

=

++−=

−=

+−++=

=

+=

61

6

61

01212

13

1

122

10

21

83

73

63

53

43

33

23

13 σσ

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )yzzyxzzx

yxxyzzyyxx

yxxyyyxx

xzzxzyyz

yxxyzzyyxx

xzyz

spxspy

spz

EEiEEa

EEEEEia

EEiEEa

EEiEEa

EEiEEEa

iEEa

hidhda

hdia

232

232

123

1223

12121

331

16

461

316

16

2

84

74

64

54

44

34

24

14

+++=

−−++=

++−=

−+−=

+−+++=

+−=

−−=

−=

σσ

σ

123

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )zyzx

yxxyyyxx

xyyxyyxx

xzzy

yxxyyyxx

spxspy

yxxyzzyyxx

yzzyxzzx

xzyz

xyyxyyxx

xzzxzyyz

yzxyyyxx

spz

spyspx

iEEa

EEEEia

EEiEEa

iEEa

EEiEEa

a

hidhda

a

iEEEEEia

EEiEEa

iEEa

EEiEEa

EEiEEa

EEiEEa

hda

hidhda

−=

++−=

+−++=

+=

+−−=

=

+=

=

−−+−+=

+−+=

−=

+−++=

−+−=

+−−=

=

−=

61

61

6

122

131

12121

06

10

232

2312

23

223

223

131

166

133

11212

16

26

1

86

76

66

56

46

36

26

16

85

75

65

55

45

35

25

15

σσσ

σσ

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) 231

31

3316

123

223

1223

223

223

16

16

3

31

331

233

16

16

223

223

123

1223

613

13

1

88

78

68

58

48

38

28

18

87

77

67

57

37

17

a

a

a

a

a

a

a

a

47

27

−−+++=

−−−−=

+=

+−−−+−=

+−+=

+−−−=

=

+−=

−+−=

−−+++=

+++−

=

+++=

−+++−=

−=

+=

=

xyyxzzyyxx

xzzxyzzy

yzxz

yzxyzzyyxx

zyyzzxxz

yxxyyyxx

spz

spxspy

zxxzyzzy

yxxyzzyyxx

yxxyyyxx

zyyzzxxz

yxxyzzyyxx

yzxz

spyspx

spz

EEEEEa

EEiEEa

iEEa

iEEEEEia

EEiEEa

EEEEia

hdia

hidhda

EEiEE

EEiEEE

EEEEi

EEiEE

EEEEEi

iEE

hidhd

hd

σ

σσ

σσ

σ

124

LAMPIRAN 3

Contoh hasil perhitungan koefisien Clebsch-Gordan, perhitungan elemen matriks

LK 6x6 untuk QD silinder dan QD bola serta bukti perhitungan nilai elemen baris

pertama dan kolom pertama matrik Hamiltonian TB dalam persamaan (III.68)

dengan Maple 9.5.

1. Contoh perhitungan koefisien Clebsch-Gordan untuk jangkauan k

terdiri dari satu elemen.

> A:=(a,b,c,d,e,f,g)-> sqrt((a-d)!*(b-e)!*(c-f)!*(a+d)!*(b+e)!*(c+f)!)*((-1)^(a-b+f)*sqrt(1/(a+b+c+1)!*((a+b-c)!)*(a-b+c)!*(-a+b+c)!))*(((((1/(g!*(a+b-c-g)!*(a-d-g)!*(b+e-g)!*(c-b+d+g)!*(c-a-e+g)!)))*(-1)^g))); A := a, b, c, d, e, f, g( ) →

a - d( )! b - e( )! c - f( )! a + d( )! b + e( )! c + f( )! -1( ) a - b + f( ) a + b - c( )! a - b + c( )! -a + b + c( )!a + b + c + 1( )!

-1( )g

g! a + b - c - g( )! a - d - g( )! b + e - g( )! c - b + d + g( )! c - a - e + g( )!

> A(1,2,2,-1,1,0,1); 130

3 30

2. Contoh perhitungan koefisien Clebsch-Gordan untuk jangkauan k

terdiri dari dua elemen elemen.

> B:=(a,b,c,d,e,f,g,h)-> sqrt((a-d)!*(b-e)!*(c-f)!*(a+d)!*(b+e)!*(c+f)!)*((-1)^(a-b+f)*sqrt(1/(a+b+c+1)!*((a+b-c)!)*(a-b+c)!*(-a+b+c)!))*(((((((1/(g!*(a+b-c-g)!*(a-d-g)!*(b+e-g)!*(c-b+d+g)!*(c-a-e+g)!)))*(-1)^g))+((((1/(h!*(a+b-c-h)!*(a-d-h)!*(b+e-h)!*(c-b+d+h)!*(c-a-e+h)!)))*(-1)^h)))));

B := a, b, c, d, e, f, g, h( ) → a - d( )! b - e( )! c - f( )! a + d( )! b + e( )! c + f( )! -1( ) a - b + f( )

a + b - c( )! a - b + c( )! -a + b + c( )!a + b + c + 1( )!

⎛⎜⎝

125

-1( )g

g! a + b - c - g( )! a - d - g( )! b + e - g( )! c - b + d + g( )! c - a - e + g( )!

+ -1( )h

h! a + b - c - h( )! a - d - h( )! b + e - h( )! c - b + d + h( )! c - a - e + h( )!⎞⎟⎠

3. Contoh perhitungan komponen elemen matrik LK 6x6 (S) dalam

koordinat silinder

> B(3/2,1,3/2,1/2,0,1/2,0,1);

- 130

15

> BesselJ(0,1/R*evalf(BesselJZeros(0,1))*r);

BesselJ 0, 2.404825558 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

> sqrt(2/P)*sin(Pi*((1/2)-(z/P)));

2 1P

sin π 12

- zP

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

> A:=BesselJ(0,1/R*evalf(BesselJZeros(0,1))*r)*sqrt(2/P)*sin(Pi*((1/2)-(z/P)));

A := BesselJ 0, 2.404825558 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2 1P

sin π 12

- zP

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

> B:=(r,phi,z)->diff(diff((A),r),r)+1/r*diff((A),r)+1/r^2*diff(diff((A),phi),phi)-2*diff(diff((A),z),z);

B := r, phi, z( ) → ∂

∂ r

∂ ∂ r

A⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

+

∂ ∂ r

A

r +

∂ ∂ φ

∂

∂ φ A

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r 2 - 2

∂ ∂ z

∂

∂ z A

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

> C:=diff(diff((A),r),r)+1/r*diff((A),r)+1/r^2*diff(diff((A),phi),phi)-2*diff(diff((A),z),z);

126

C :=

- 1

R 2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

5.783185964 BesselJ 0, 2.404825558 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

-

0.4158305773 R BesselJ 1, 2.404825558 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

2

1P

sin π 12

- zP

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

-

2.404825558 BesselJ 1, 2.404825558 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2 1P

sin π 12

- zP

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r R

+

2 BesselJ 0, 2.404825558 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2 1P

sin π 12

- zP

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

π2

P 2

> int(int(int(A*C*r,r=0..R),z=0..P),phi=0..2*Pi);

4.000000000 10-18 -1.224161082 1018 P 2 + 4.178314748 1018 R 2( )

P 2

> simplify(%);

- 8.000000000 10-9 6.12080541 108 P 2 - 2.089157374 109 R 2( )

P 2

> E:=(r,phi,z)->(((cos(phi)^2-sin(phi)^2)*diff(diff((A),r),r)-(1/r*4*sin(phi)*cos(phi))*diff(diff((A),r),phi)+(1/r^2*(sin(phi)^2-cos(phi)^2))*diff(diff(A,phi),phi)+(1/r*(sin(phi)^2-cos(phi)^2))*diff(A,r)+(1/r^2*4*sin(phi)*cos(phi))*diff((A),phi))+2*I*(cos(phi)*sin(phi)*diff(diff((A),r),r)-(1/r^2*sin(phi)*cos(phi)*diff(diff((A),phi), phi))+1/r*(cos(phi)^2-sin(phi)^2)*diff(diff((A),r),phi)+1/r^2*(sin(phi)^2-cos(phi)^2)*diff((A),phi)-1/r*sin(phi)*cos(phi)*diff((A),r)));

E := r, phi, z( ) → cos φ( )2 - sin φ( )2

( ) ∂

∂ r

∂ ∂ r

A⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

-

4 sin φ( ) cos φ( ) ∂

∂ φ

∂ ∂ r

A⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r

+

sin φ( )2 - cos φ( )2

( ) ∂

∂ φ

∂ ∂ φ

A⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r 2 +

sin φ( )2 - cos φ( )2

( ) ∂

∂ r A

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r +

4 sin φ( ) cos φ( ) ∂

∂ φ A

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r 2 +

127

2 I

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

cos φ( ) sin φ( ) ∂

∂ r

∂ ∂ r

A⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

-

sin φ( ) cos φ( ) ∂

∂ φ

∂ ∂ φ

A⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r 2

+

cos φ( )2 - sin φ( )2

( ) ∂

∂ φ

∂ ∂ r

A⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r +

sin φ( )2 - cos φ( )2

( ) ∂

∂ φ A

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r 2 -

sin φ( ) cos φ( ) ∂

∂ r A

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

> G:=(((cos(phi)^2-sin(phi)^2)*diff(diff((A),r),r)-(1/r*4*sin(phi)*cos(phi))*diff(diff((A),r),phi)+(1/r^2*(sin(phi)^2-cos(phi)^2))*diff(diff(A,phi),phi)+(1/r*(sin(phi)^2-cos(phi)^2))*diff(A,r)+(1/r^2*4*sin(phi)*cos(phi))*diff((A),phi))+2*I*(cos(phi)*sin(phi)*diff(diff((A),r),r)-(1/r^2*sin(phi)*cos(phi)*diff(diff((A),phi), phi))+1/r*(cos(phi)^2-sin(phi)^2)*diff(diff((A),r),phi)+1/r^2*(sin(phi)^2-cos(phi)^2)*diff((A),phi)-1/r*sin(phi)*cos(phi)*diff((A),r))); G :=

- 1

R 2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

5.783185964 cos φ( )2 - sin φ( )2

( )

⎛⎜⎜⎜⎝

BesselJ 0, 2.404825558 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

-

0.4158305773 R BesselJ 1, 2.404825558 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

⎞⎟⎟⎟⎠

2 1P

sin π 12

- zP

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

-

2.404825558 sin φ( )2 - cos φ( )2

( ) BesselJ 1, 2.404825558 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2 1P

sin π 12

- zP

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r R + 2 I

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

- 1

R 2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

5.783185964 cos φ( ) sin φ( )

⎛⎜⎜⎜⎝

BesselJ 0, 2.404825558 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

128

-

0.4158305773 R BesselJ 1, 2.404825558 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

⎞⎟⎟⎟⎠

2 1P

sin π 12

- zP

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

+

2.404825558 sin φ( ) cos φ( ) BesselJ 1, 2.404825558 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2 1P

sin π 12

- zP

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r R

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

> int(int(int(A*G*r,r=0..R),z=0..P),phi=0..2*Pi);

0.

> H:=(r,phi,z)->(cos(phi)*diff(diff((A),r),z)-1/r*sin(phi)*diff(diff((A),phi),z))-I*(sin(phi)*diff(diff((A),r),z)+1/r*cos(phi)*diff(diff((A),phi),z));

H := r, phi, z( ) → cos φ( ) ∂

∂ z

∂ ∂ r

A⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

-

sin φ( ) ∂

∂ z

∂ ∂ φ

A⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r

- I sin φ( ) ∂

∂ z

∂ ∂ r

A⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

+

cos φ( ) ∂

∂ z

∂ ∂ φ

A⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

> J:=(cos(phi)*diff(diff((A),r),z)-1/r*sin(phi)*diff(diff((A),phi),z))-I*(sin(phi)*diff(diff((A),r),z)+1/r*cos(phi)*diff(diff((A),phi),z));

J :=

2.404825558 cos φ( ) BesselJ 1, 2.404825558 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2 1P

cos π 12

- zP

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

π

R P

-

2.404825558 I sin φ( ) BesselJ 1, 2.404825558 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2 1P

cos π 12

- zP

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

π

R P

> int(int(int(A*J*r,r=0..R),z=0..P),phi=0..2*Pi); 0.

129

4. Contoh perhitungan komponen elemen matrik LK 6x6 (S) dalam

koordinat bola.

> j:=(n,x)->sqrt(Pi/2)/sqrt(x)*BesselJ(n+1/2,x);

j := n, x( ) →

12

π BesselJ n + 12

, x⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

x

> j:=(l,r)->sqrt(Pi/2)/sqrt(r)*BesselJ(1+1/2,r);

j := l, r( ) →

12

π BesselJ 32

, r⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

> fsolve(j(1,r)=0,r=0..10); 4.493409458

> G:=sqrt(Pi/2)/sqrt(1/R*4.493409458*r)*BesselJ(1+1/2,1/R*4.493409458*r);

G := -

0.2225481584 R cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r 2

> LPct := (l,m,theta) -> LegendreP(l,abs(m),cos(theta));

LPct := l, m, theta( ) → LegendreP l, m| | , cos θ( )( )

> A:=((((-1)^0)*(sqrt((1/(2*(1+0)))*(((2*1)+1))*(1-0))))*LPct(1,0,theta));

A := 12

6 cos θ( )

> B:=sqrt(Pi/2)/sqrt(1/R*4.493409458*r)*BesselJ(1+1/2,1/R*4.493409458*r)*1/2*sqrt(6)*cos(theta);

B := -

0.1112740792 R cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

6 cos θ( )

r 2

> C:=(r,theta,phi)-> ((sin(theta)^2-2*cos(theta)^2)*diff(diff(B,r),r)+((1/r^2*(cos(theta)^2-

130

2*sin(theta)^2)*diff(diff(B,theta),theta)))+(((1/(r^2*sin(theta)^2))*diff(diff(B,phi),phi))+((1/r*6*sin(theta)*cos(theta))*diff(diff(B,r),theta))+((1/r*(1+cos(theta)^2-2*sin(theta)^2))*diff(B,r))+(1/r^2*(cot(theta)-4*sin(theta)*cos(theta)))*diff(B,theta)));

C := r, theta, phi( ) → sin θ( )2 - 2 cos θ( )2

( ) ∂

∂ r

∂ ∂ r

B⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

+

cos θ( )2 - 2 sin θ( )2

( ) ∂

∂ θ

∂ ∂ θ

B⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r 2

+

∂ ∂ φ

∂

∂ φ B

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r 2 sin θ( )2 +

6 sin θ( ) cos θ( ) ∂

∂ θ

∂ ∂ r

B⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r +

1 + cos θ( )2 - 2 sin θ( )2

( ) ∂

∂ r B

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r

+

cot θ( ) - 4 sin θ( ) cos θ( )( ) ∂

∂ θ B

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r 2

> E:=(a*(sin(theta)^2*((cos(phi)^2)-sin(phi)^2)*diff(diff(B,r),r)+(1/r*2*sin(theta)*cos(theta))(cos(phi)^2-sin(phi)^2)*diff(diff(B,r),theta)-(1/r^2*2*sin(theta)*cos(theta)*(cos(phi)^2-sin(phi)^2)-cot(theta)*(sin(phi)^2-cos(phi)^2))*diff(B,theta)-(1/r*4*sin(phi)*cos(phi))*diff(diff(B,r),phi)+2*((1/r^2*(sin(phi)*cos(phi)+cot(theta)^2*sin(phi)*cos(phi)))+(1/(r^2*sin(theta)^2)*sin(phi)*cos(phi)))*diff(B,phi)+1/r*(sin(phi)^2-cos(phi)^2+cos^2(theta))*diff(B,r)+1/r^2*cos(theta)^2*(cos(phi)^2-sin(phi)^2)*diff(diff(B,theta),theta)+1/r^2*4*cot(theta)*sin(phi)*cos(phi)*diff(diff(B,theta),phi)+1/(r^2*sin(theta)^2)*sin(phi)^2*diff(diff(B,phi),phi))+2*I*b*(sin(theta)^2*sin(phi)*cos(phi)*diff(diff(B,r),r)+1/r*2*sin(theta)*cos(phi)*sin(theta)*cos(phi)*diff(diff(B,r),theta)-1/r^2*(2*sin(theta)*cos(theta)*sin(phi)*cos(phi)-cot(theta)*sin(phi)*cos(phi))*diff(B,theta)+1/r*(cos(phi)^2-sinphi)^2)*diff(diff(B,r),phi)+1/r*sin(phi)*cos(phi)*(cos(theta)^2-1)*diff(B,r)+1/r^2*cos(theta)^2*sin(phi)*cos(phi)*diff(diff(B,phi),phi)+1/r^2*cos(theta)^2*(cos(phi)^2-sin(phi)^2)*diff(diff(B,theta),theta)+1/r^2*cot(theta)(cos(phi)^2-sin(phi)^2)*diff(diff(B,theta),phi)+(1/(r^2*sin(theta)^2)*sin(phi)^2-1/r^2*cos(phi)^2)*diff(B,phi));

131

E := a

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

sin θ( )2 cos φ( )2

- sin φ( )2( )

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

-

0.6676444752 R cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

6 cos θ( )

r 4

+

0.4450963168 R -

4.493409458 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

R + 2 10-10 cos 4.493409458 r

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

6 cos θ( )

r 3-

1

r 2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0.1112740792 R -

20.19072856 cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

R 2 -

4.493409459 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

6 cos θ( )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

+ 1

r cos φ( )2 - sin φ( )2

( )

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

2 sin θ( ) cos φ( )2 - sin φ( )2

( ) cos θ( ) cos φ( )2 - sin φ( )2

( )

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

-

0.2225481584 R cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

6 sin θ( )

r 3

+

0.1112740792 R -

4.493409458 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

R + 2 10-10 cos 4.493409458 r

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

6 sin θ( )

r 2

132

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

- 1

r 2 ⎛⎜⎜⎜⎝

0.1112740792 2 sin θ( ) cos θ( ) cos φ( )2

- sin φ( )2( )

r 2 - cot θ( ) sin φ( )2

- cos φ( )2( )

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

R ⎛⎜⎝

cos⎛⎜⎝

4.493409458 rR

⎞⎟⎠

r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎞⎟⎠

6 sin θ( )⎞⎟⎟⎟⎠

+ 1r

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

(sin φ( )2 - cos φ( )2

+ cos 2)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0.2225481584 R cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

6 cos θ( )

r 3

-

0.1112740792 R -

4.493409458 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

R + 2 10-10 cos 4.493409458 r

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

6 cos θ( )

r 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

+ 1

r 4 ⎛⎜⎜⎝

0.1112740792 cos θ( )3 cos φ( )2

- sin φ( )2( ) R ⎛⎜

⎝cos 4.493409458 r

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

- 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎞⎟⎠

6⎞⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

+ 1r

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

sin φ( ) cos φ( ) cos θ( )2 - 1( )

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

133

0.2225481584 R cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

6 cos θ( )

r 3

-

0.1112740792 R -

4.493409458 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

R + 2 10-10 cos 4.493409458 r

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

6 cos θ( )

r 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

+ 1

r 4 ⎛⎜⎜⎝

0.1112740792 cos θ( )3 cos φ( )2

- sin φ( )2( ) R ⎛⎜

⎝cos 4.493409458 r

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

- 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎞⎟⎠

6⎞⎟⎟⎠

> F:=((sin(theta)*cos(theta)*diff(diff(B,r),r)+1/r*cos(phi)*(cos(theta)^2-sin(theta)^2)*diff(diff(B,r),theta)+1/r^2*cos(phi)(sin(theta)^2-cos(theta)^2)*diff(B,theta)-1/r*sin(theta)*cos(theta)*cos(phi)*diff(B,r)-1/r^2*sin(theta)*cos(theta)*cos(phi)*diff(diff(B,theta),theta)-1/r*cos(theta)*sin(phi)*diff(diff(B,phi),r)+1/r*sin(phi)*diff(diff(B,phi),theta))-I*(sin(theta)*cos(theta)*sin(phi)*diff(diff(B,r),r)+1/r*(cos(theta)^2*cos(phi)-sin(theta)^2*sin(phi))*diff(diff(B,r),theta)+1/r^2(sin(theta)^2*sin(phi)-cos(theta)^2*cos(phi))*diff(B,theta)-1/r*sin(theta)*cos(theta)*cos(phi)*diff(B,r)-1/r^2*sin(theta)*cos(theta)*cos(phi)*diff(diff(B,theta),theta)+1/r*cos(theta)*cos(phi)*diff(diff(B,phi),r)-1/r*cos(phi)*diff(diff(B,phi),theta)));

F := sin θ( ) cos θ( )

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

-

0.6676444752 R cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

6 cos θ( )

r 4

+

134

0.4450963168 R -

4.493409458 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

R + 2 10-10 cos 4.493409458 r

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

6 cos θ( )

r 3-

1

r 2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0.1112740792 R -

20.19072856 cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

R 2 -

4.493409459 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

6 cos θ( )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

+ 1r

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

cos φ( ) cos θ( )2 - sin θ( )2

( )

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

-

0.2225481584 R cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

6 sin θ( )

r 3

+

0.1112740792 R -

4.493409458 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

R + 2 10-10 cos 4.493409458 r

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

6 sin θ( )

r 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

+ 1

r 4 ⎛⎜⎜⎝

0.1112740792 cos φ( ) sin θ( )2 - cos θ( )2

( ) R ⎛⎜⎝

cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

- 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎞⎟⎠

6 sin θ( )⎞⎟⎟⎠

- 1r

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

sin θ( ) cos θ( ) cos φ( )

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0.2225481584 R cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

6 cos θ( )

r 3

135

-

0.1112740792 R -

4.493409458 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

R + 2 10-10 cos 4.493409458 r

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

6 cos θ( )

r 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

- 1

r 4 ⎛⎜⎜⎝

0.1112740792 sin θ( ) cos θ( )2 cos φ( ) R ⎛⎜

⎝cos 4.493409458 r

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

- 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎞⎟⎠

6⎞⎟⎟⎠

- I

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

sin θ( ) cos θ( ) sin φ( )

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

-

0.6676444752 R cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

6 cos θ( )

r 4

+

0.4450963168 R -

4.493409458 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

R + 2 10-10 cos 4.493409458 r

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

6 cos θ( )

r 3-

1

r 2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0.1112740792 R -

20.19072856 cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

R 2 -

4.493409459 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

6 cos θ( )

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

+ 1r

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

cos θ( )2 cos φ( ) - sin θ( )2

sin φ( )( )

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

136

-

0.2225481584 R cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

6 sin θ( )

r 3

+

0.1112740792 R -

4.493409458 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

R + 2 10-10 cos 4.493409458 r

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

6 sin θ( )

r 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

+

0.1112740792 R cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

6 sin θ( )

r 4 -

1r

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

sin θ( ) cos θ( ) cos φ( )

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0.2225481584 R cos 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r - 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

6 cos θ( )

r 3

-

0.1112740792 R -

4.493409458 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

R + 2 10-10 cos 4.493409458 r

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

6 cos θ( )

r 2

137

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

- 1

r 4 ⎛⎜⎜⎝

0.1112740792 sin θ( ) cos θ( )2 cos φ( ) R ⎛⎜

⎝cos 4.493409458 r

R⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r

- 0.2225481584 sin 4.493409458 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R⎞⎟⎠

6⎞⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

> int(int(int(B*C*r^2*sin(theta),r=0..R),theta=0..Pi),phi=0..2*Pi);

0.

> evalf(%); 0.

5. Perhitungan nilai elemen baris pertama dan kolom pertama matrik

Hamiltonian TB.

> A:=(r)->(-2.038)*(2.360352/r)^2*exp(2*(-((r/3.4)^9.5)+(2.360355/3.4)^9.5));

A := r → -1( ) 2.038 2.360352 2

r 2 e

-2 r

3.4⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

9.5 + 2

2.3603553.4

⎛⎜⎝⎞⎟⎠

9.5⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

> B:=(r,z)->BesselJ(0,1/R*evalf(BesselJZeros(0,1))*r)*sqrt(2/P)*sin(Pi*((1/2)-(z/P)));

B := r, z( ) → BesselJ 0, evalf BesselJZeros 0, 1( )( ) rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2P

sin π 12

- zP

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

> Int(Int(Int(A(r)*B(r,z)*B(r,z)*r,r=0..R),phi=0..2*Pi),z=0..P);

138

⌠⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⌡0

P

⌠⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⌡0

2 π

⌠⎮⎮⎮⎮⎮⎮⎮⌡0

R

-

22.70846214 e-0.00001786406476 r9.5 + 0.06241153772( )

BesselJ 0, 2.404825558 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2 sin π 1

2 - z

P⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

r P

dr dφ dz

> evalf(%);

⌠⎮⎮⎮⎮⎮⌡0.

P

⌠⎮⎮⎮⎮⎮⌡0.

6.283185308

⌠⎮⎮⎮⎮⎮⌡0.

R

- 1r P

⎛⎜⎜⎝

22.70846214 e-0.00001786406476 r9.5 + 0.06241153772( )

BesselJ 0., 2.404825558 rR

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

sin 1.570796327 - 3.141592654 zP

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2⎞⎟⎟⎠

dr dφ dz