Sesión 7

Curso MIN265 “Fluidodinámica en Minería” Sesión 7: Enfoque Integral Profesor: Sebastián Rayo Villanueva ([email protected]; [email protected])

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Calendario académico Esquema: cátedras, trabajo grupal y presentaciones de avance.

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Sem. Fecha Actividad

1 28/9 LIBRE

1 2/10 Introducción

2 5/10 Propiedades de los fluidos

2 9/10 LIBRE

3 12/10 FERIADO

3 16/10 Estática de fluidos

4 19/10 Movimiento de fluidos

4 23/10 Movimiento de fluidos

5 26/10 Flujos internos

5 30/10 LIBRE

6 2/11 Máquinas hidráulicas

6 6/11 Enfoque integral y diferencial

7 9/11 Redes de tuberías

7 13/11 Flujo en canales abiertos

8 16/11 Flujo en canales abiertos

8 20/11 Flujos transientes

Sem. Fecha Actividad

9 23/11 Mecánica de suspensiones

9 27/11 LIBRE

10 30/11 Mecánica de suspensiones

10 4/12 Separación líquido – sólido

11 7/12 FERIADO

11 11/12 Transporte hidráulico de pulpas

12 14/12 Transporte hidráulico de pulpas

12 18/12 Reología de suspensiones

13 21/12 Ventilación

13 25/12 FERIADO

14 28/12 Ejemplos prácticos

14 1/1 FERIADO

15 4/1 EXAMEN

CERTAMEN 2

CERTAMEN 1

Máquinas Hidráulicas RESUMEN • Las bombas hidráulicas agregan energía a un sistema. Las

turbinas hidráulicas extraen energía desde un sistema.

• Para bombas centrífugas, en la mayoría de los caso los álabes son curvados hacia atrás (ángulo b < 90°).

• La cavitación dentro de bombas se refiere a las condiciones en donde la presión local baja hasta la presión de vapor del líquido, formando cavidades llenas de vapor.

• Problemas asociados a la cavitación: desgaste de materiales, ruido, vibraciones, bajas alturas de impulsión, baja eficiencia hidráulica.

• Para evitar cavitación, el NSPH disponible siempre debe ser mayor al NPSH requerido.

• La intersección entre la curva de oferta (bomba) y demanda (tubería) define el punto de operación (caudal y TDH).

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Máquinas Hidráulicas RESUMEN • Los sistemas con bombas dispuestas en serie suman presión

(TDH).

• Los sistemas con bombas dispuestas en paralelo suman caudal.

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Contenidos • Tres leyes básicas

• Volumen de control

• Conservación de la masa

• Cantidad de movimiento

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Enfoque integral Tres leyes básicas Introducción

• Es frecuente que las cantidades de interés para los ingenieros puedan expresarse en términos de integrales.

• Ejemplo: gasto es la integral de la velocidad sobre un área.

• Ejemplo: masa es la integral de la densidad sobre un volumen.

• Las cantidades integrales de interés principal en la mecánica de fluidos están contenidas en las tres leyes básicas:

• Conservación de la masa.

• Primera ley de la terminodinámica.

• Segunda ley de Newton.

• Las leyes básicas se expresan usando una descripción lagrangiana en términos de un sistema, vale decir, un conjunto fijo de partículas de un material.

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Enfoque integral Tres leyes básicas Conservación de la masa

• “La masa de un sistema permanece constante”.

𝐷

𝐷𝑡 𝜌 · 𝑑∀

𝑠𝑖𝑠𝑡

= 0

Primera ley de la termodinámica

• “La razón de transferencia de calor a un sistema menos la rapidez a la que el sistema realiza trabajo es igual a la rapidez a la que la energía del sistema está cambiando”.

𝑄 −𝑊 =𝐷

𝐷𝑡 𝑒 · 𝜌 · 𝑑∀

𝑠𝑖𝑠𝑡

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Enfoque integral Tres leyes básicas Segunda ley de Newton

• “La fuerza resultante que actúa sobre un sistema es igual a la rapidez a la que está cambiando la cantidad de movimiento del sistema”.

𝐹 =𝐷

𝐷𝑡 𝑉

𝑠𝑖𝑠𝑡

· 𝜌 · 𝑑∀

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Enfoque integral Volumen de control General

• Hay interés en la rapidez del cambio de la propiedad “N”.

• La deducción comprende flujos de la propiedad “N” que entran y salen del volumen de control.

• Un flujo es la medida de la rapidez con la que una propiedad “N” cruza un área.

• Ejemplo: flujo másico es la rapidez con la que una masa cruza un área.

• Superficie de control: área de la superficie que encierra por completo el volumen de control.

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Enfoque integral Volumen de control Flujos a través de superficies de control

• El flujo de la propiedad “N” a través de un área dA se puede expresar como:

𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝐴 = 𝜂 · 𝜌 · 𝑛 · 𝑑𝐴

• Adquiere valor negativo si el flujo está entrando al volumen de control.

• El flujo de la propiedad neto que sale de la propiedad se obtiene al integral sobre toda la superficie de control.

𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝜂 · 𝜌 · 𝑛 · 𝑑𝐴

𝑠.𝑐.

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Enfoque integral Volumen de control Teorema de transporte de Reynolds

• Corresponde a una transformación lagragiana a euleriana de la rapidez de cambio de una cantidad integral.

𝐷𝑁

𝐷𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 𝜂 · 𝜌 · 𝑑∀

𝑣.𝑐.

+ 𝜂 · 𝜌 · 𝑛 · 𝑉 · 𝑑𝐴

𝑠.𝑐.

• La primera integral representa la rapidez de cambio de la propiedad en el volumen de control.

• La segunda integral representa el flujo de la propiedad a través de la superficie de control.

• Es distinta de cero solo cuando el fluido cruza la superficie de control.

𝐷𝑁

𝐷𝑡=

𝜕

𝜕𝑡𝜂 · 𝜌 · 𝑑∀

𝑣.𝑐.

+ 𝜂 · 𝜌 · 𝑛 · 𝑉 · 𝑑𝐴

𝑠.𝑐.

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Enfoque integral Volumen de control Simplificaciones del Teorema de transporte de Reynolds

• Flujos permanentes 𝜕

𝜕𝑡𝜂 · 𝜌 = 0

𝐷𝑁

𝐷𝑡= 𝜂 · 𝜌 · 𝑛 · 𝑉 · 𝑑∀

𝑠.𝑐.

• Frecuentemente solo hay un área A1 a través de la cual entra fluido al volumen de control, y un área A2 a través de la cual sale fluido.

𝐷𝑁

𝐷𝑡= 𝜂2 · 𝜌2 · 𝑉2 · 𝑑𝐴

𝐴2

− 𝜂1 · 𝜌1 · 𝑉1 · 𝑑𝐴

𝐴1

• Por último, en muchas situaciones hay propiedades uniformes sobre las áreas.

𝐷𝑁

𝐷𝑡= 𝜂2 · 𝜌2 · 𝑉2 · 𝐴2 − 𝜂1 · 𝜌1 · 𝑉1 · 𝐴1

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Enfoque integral Volumen de control Simplificaciones del Teorema de transporte de Reynolds

• Generalizando para varias áreas

𝐷𝑁

𝐷𝑡= 𝜂𝑖 · 𝜌𝑖 · 𝑉𝑖 · 𝑛 · 𝐴𝑖

𝑁

𝑖=1

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Enfoque integral Conservación de la masa Simplificaciones del Teorema de Reynolds

• Un sistema es un conjunto determinado de partículas de fluido, de aquí que su masa permanezca fija.

𝐷𝑚

𝐷𝑡=

𝐷

𝐷𝑡 𝜌𝑑∀

𝑠𝑖𝑠𝑡

= 0

• Aplicando el Teorema de transporte de Reynolds:

0 = 𝜕𝜌

𝜕𝑡𝑑∀

𝑣.𝑐.

+ 𝜌 · 𝑛 · 𝑉 · 𝑑𝐴

𝑠.𝑐.

• Para flujo permanente:

0 = 𝜌 · 𝑛 · 𝑉 · 𝑑𝐴

𝑠.𝑐.

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• Un sistema es un conjunto determinado de partículas de fluido, de aquí que su masa permanezca fija.

𝐷𝑚

𝐷𝑡=

𝐷

𝐷𝑡 𝜌𝑑∀

𝑠𝑖𝑠𝑡

= 0

• Aplicando el Teorema de transporte de Reynolds:

0 = 𝜕𝜌

𝜕𝑡𝑑∀

𝑣.𝑐.

+ 𝜌 · 𝑛 · 𝑉 · 𝑑𝐴

𝑠.𝑐.

• Para flujo permanente:

0 = 𝜌 · 𝑛 · 𝑉 · 𝑑𝐴

𝑠.𝑐.

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• Caso de flujo uniforme con una entrada y una salida: 𝜌2 · 𝐴2 · 𝑉2 = 𝜌1 · 𝐴1 · 𝑉1

• Para flujo permanente, con densidad constante, se puede encontrar la siguiente expresión:

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝑄𝑒 − 𝑄𝑠

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Enfoque integral Conservación de la masa EJEMPLO

Determinar la rapidez a la que sube el nivel de agua en un recipiente abierto si el agua que entra a través del tubo de 0,10 m2 tiene una velocidad de 0,5 m/s, y el gasto que sale es de 0,2 m3/s. El recipiente tiene una sección transversal circular con un diámetro de 0,5 m.

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Enfoque integral Cantidad de movimiento Ecuación general de la cantidad de movimiento

• La segunda ley de Newton expresa que la fuerza resultante que actúa sobre un sistema es igual a la tasa de cambio de la cantidad de movimiento del sistema.

• Usando el Teorema de transporte de Reynolds:

𝐹 =𝑑

𝑑𝑡 𝜌 · 𝑉 · 𝑑∀

𝑣.𝑐.

+ 𝜌 · 𝑉 · 𝑉 · 𝑛 𝑑𝐴

𝑠.𝑐.

• Considerando flujo permanente uniforme:

𝐹 = 𝜌𝑖 · 𝐴𝑖 · 𝑉𝑖· 𝑉𝑖 · 𝑛

𝑁

𝑖=1

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Enfoque integral Cantidad de movimiento Ecuación general de la cantidad de movimiento

• Si hay solo una entrada y una salida, la ecuación de cantidad de movimiento toma la forma simplificada:

𝐹 = 𝑚 𝑉2 − 𝑉1 = 𝜌 · 𝑄 𝑉2 − 𝑉1

• Ojo que la velocidad y las fuerzas tienen cantidades vectoriales. Vale decir, se puede obtener tres expresiones, una para cada eje.

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Enfoque integral Cantidad de movimiento Caso de la compuerta

• Un ejemplo de un flujo de superficie libre en un canal rectangular se presenta a continuación.

• La ecuación de cantidad de movimiento se expresa a partir de las fuerzas de presión hidrostáticas.

𝐹 = −𝐹𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑟𝑡𝑎 + 𝐹1 − 𝐹2 = 𝑚 𝑉2 − 𝑉1

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Enfoque integral Cantidad de movimiento EJEMPLO

Agua fluye por un codo horizontal a 90° y sale a la atmósfera. El gasto es de 8,5 L/s. Calcule la fuerza en cada una de las barras que sostiene el codo en su posición. Desprecie las fuerzas de cuerpo, los efectos viscosos y la fuerza cortante en las barras.

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Enfoque integral Cantidad de movimiento EJEMPLO PROPUESTO

Encuentre una expresión para la pérdida de carga singular en una expansión repentina de un tubo en término de V1 y la razón entre las áreas. Suponga perfiles de velocidad uniformes y que la presión en el ensanchamiento repentino es p1.

Hint: aplique cantidad de movimiento en función de las presiones, balance de energía y continuidad.

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Enfoque integral RESUMEN • Un sistema es un conjunto fijo de partículas de un material.

• Tres leyes básicas: conservación de la masa, primera ley de la termodinámica y segunda ley de Newton.

• La superficie de control es el área de la superficie que encierra por completo el volumen de control.

• La ecuación de la cantidad de movimiento se usa principalmente para determinar las fuerzas inducidas por el flujo.

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