Estadística (Psicología)Sesión N°10

(22/07/2008)

Prof. Ricardo Escalante

Agenda

BPMM30BPMM30

2

3

4

5

Ejercicio de probabilidadEjercicio de probabilidad

Probabilidad y variables continuasProbabilidad y variables continuas

Desarrollo binomialDesarrollo binomial

Distribución binomialDistribución binomial

1

Distribución normal de probabilidadDistribución normal de probabilidad

Ejercicioo Un profesor olvida poner su despertador con una probabilidad de 0,3. Si lo pone, timbra con

una probabilidad de 0,8. Si la alarma suena, se despierta a tiempo para su primera clase con una probabilidad de 0,9. Si la alarma no funciona, él despierta a tiempo para su primera clase con una probabilidad de 0,2. Finalmente, si no pone el despertador, se despierta con una probabilidad de 0,05. ¿Cuál es la probabilidad de que el profesor despierte a tiempo para su primera clase del día de mañana?

Ejercicio Un profesor olvida poner su despertador con una probabilidad de 0,3. Si lo pone, timbra con una

probabilidad de 0,8. Si la alarma suena, se despierta a tiempo para su primera clase con una probabilidad de 0,9. Si la alarma no funciona, él despierta a tiempo para su primera clase con una probabilidad de 0,2. Finalmente, si no pone el despertador, se despierta con una probabilidad de 0,05. ¿Cuál es la probabilidad de que el profesor despierte a tiempo para su primera clase del día de mañana?

3,0

7,0

OLVID

A

RECUERDA

8,0

2,0

TIMBRA

NO TIMBRA

9,0

1,0

DESPIERTA

NO DESPIERTA

2,0

8,0

DESPIERTA

NO DESPIERTA

05,0

95,0

DESPIERTA

NO DESPIERTA

Si estamos interesados en determinar la probabilidad de que el profesor despierte, debemos centrar nuestra atención en los óvalos rojos

Para llegar a ellos debemos multiplicar las probabilidades hasta el despertador

015,005,03,0 (círculos azules)

(círculos verdes)

(círculos naranja)

504,07,08,09,0

028,07,02,02,0

La probabilidad de que el profesor despierte a tiempo para su primera clase del día de mañana es la suma de las probabilidades:

547,0028,0504,0015,0

Probabilidad y variables continuas con distribución normal

o Hasta este punto hemos considerado variables discretas, tales como muestreo a partir de cartas o de dados.

o Un número importante de casos de muestreo aleatorio atiende variables contínuas. Cuando una variable es continua

o Debido a que es bastante común que estas variables estén distribuidas de manera normal, suponga que se ha determinado el sueldo diario de todos los asesores que trabajan en la administración pública. Suponiendo que se trata de un conjunto de datos pertenecientes a una población cuya distribución es normal, con una media de 120 Bs.F. y una desviación estándar de 8 Bs.F. Si elegimos al azar un dato de esta población ¿cuál es la probabilidad de que el dato seleccionado sea igual o mayor que 134?

Probabilidad y variables continuas con distribución normal

o En el mismo caso del ejercicio anterior, determine la probabilidad de que el sueldo diario de un asesor elegido de manera aleatoria sea menor o igual a 110 Bs.F.

o Considerando la misma población, ¿cuál es la probabilidad de elegir al azar una dato que esté tan o más alejado de la media que un dato cuyo valor es 138?

Distribución Binomialo La distribución binomial es una distribución de probabilidad que se presenta cuando se

cumplen las siguientes condiciones: 1. Existe una serie N de ensayos2. En cada ensayo hay solo dos resultados posibles3. En cada ensayo los dos resultados posibles son mutuamente excluyentes, quiere decir

que la suma de sus probabilidades da 14. Los resultados de cada ensayo son independientes entre sí5. La probabilidad de obtener cada resultado posible en cualquier ensayo es la misma de

un ensayo a otro. o Cuando se cumplen estas condiciones, la distribución binomial proporciona todos los

resultados posibles de los N ensayos y la probabilidad de obtener cada uno de estos resultados.o Utilizaremos el ejemplo de el lanzamiento de una moneda para ilustrar la generación de una

distribución binomial.o Estableciendo una restricción de los posibles resultados al final de cada lanzamiento

Distribución Binomialo Existen solo 2 posibles resultados en cada lanzamiento:

o Supongamos que hacemos el experimento con dos monedas:

o Estos resultados se obtienen aplicando de igual manera la regla del producto

Renglón N° Moneda 1 Moneda 2 N° de resultados

1 Cara Cara 1

2 Cara Sello 12

3 Sello Cara 1

4 Sello Sello 1

Total de resultados 4

Distribución Binomialo Supongamos que hacemos el experimento con tres monedas:

Renglón N° Moneda 1 Moneda 2 Moneda 3 N° de

resultados

1 Cara Cara Cara 1

2 Cara Cara Sello 1

3 Cara Sello Cara 1

4 Cara Sello Sello 1

5 Sello Cara Cara 1

6 Sello Cara Sello 1

7 Sello Sello Cara 1

8 Sello Sello Sello 1

Total de resultados 8

Generación de la distribución binomial a partir del desarrollo binomial

o Este proceso puede continuarse para N valores. La tarea resultaría bastante compleja. o Pensando inductivamente si nos corresponde generar la distribución binomial con 11 monedas

(por ejemplo) tendríamos un cuadro con 2048 variaciones distintas. Es decir si fabricamos un cuadro como el de la lámina anterior éste debería tener al menos 2048 filas y 11 columnas.

o La matemática cuenta con una expresión que nos permite generar de una manera sencilla la distribución.

o El desarrollo binomial está determinado por:o En donde:

o P: probabilidad de uno de los dos resultados en un ensayoo Q: probabilidad del otro resultado posibleo N: número de ensayos

o Para poder apreciar los ejemplos anteriores mediante el desarrollo binomial para el número de monedas N=2

Desarrollo Binomialo Los términos P2, 2P1Q1 y Q2 representan todos los resultados posibles al lanzar dos monedas en

una sola vez.o Las letras de cada término (P, PQ o Q) indican el tipo de evento que constituyen el resultado, el

exponente indica cuántos de ese tipo de evento hay en el resultado, y el coeficiente en cada término indica cuántas formas hay de obtener el resultado. Antes se hace necesario evaluar la probabilidad de cada evento por separado

o De esta manera :1. P2 indica que uno de los resultados posibles está formado por dos eventos P. 2. 2P1Q1 Indica que otro resultado posible es un evento P y un evento Q. El coeficiente 2

indica que hay 2 formas de obtener un evento P y un evento Q3. Q2 Indica un resultado de dos eventos Q

o Dado que P = Q = 0,50. La probabilidad de obtener cada uno de estos resultados posibles se determina calculando el valor de cada uno de los términos, de esta manera queda indicado:

o p(2 caras) = P2 = (0,50)2 = 0,2500o p(1 cara) = 2P1Q1 = 2(0,50)(0,50) = 0,5000

o p(0 caras) = Q2 = (0,50)2 = 0,2500

Desarrollo BinomialRenglón N° Moneda 1 Moneda 2 Moneda 3 N° de

resultados

1 Cara Cara Cara 1

2 Cara Cara Sello 1

3 Cara Sello Cara 1

4 Cara Sello Sello 1

5 Sello Cara Cara 1

6 Sello Cara Sello 1

7 Sello Sello Cara 1

8 Sello Sello Sello 1

Total de resultados 8