Sesion 06 - Ecs. de 1er y 2do Grado con una Variable

INECUACIONES LINEALES Y DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA.

Sesión Nro. 06

OBJETIVOS:

• Resolver desigualdades lineales con una variable e introducir la notación de intervalos.

• Estudiar las inecuaciones de Segundo Grado con una incógnita.

Facultad de Ciencias Empresariales UCV

Ing. Marco L. Pérez Silva

INECUACIONES LINEALES:

• Suponga que a y b son dos puntos sobre la recta de los números reales. Entonces, a y b coinciden, “a” se encuentra a la izquierda de “b”, o “a” se encuentra a la derecha de “b”, tal como se muestra:



a

b

a b

b a

Posición relativa de dos puntos

SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD:

• Los símbolos usados para expresar una desigualdad son:Facultad de Ciencias Empresariales UCV


• Usaremos las palabras números reales y puntos de manera distinta, ya que existe una correspondencia uno a uno entre los números reales y los puntos que están sobre una recta

-5 -2 7 90

Puntos sobre la recta numérica

DEFINICIÓN DE DESIGUALDAD:

• Una desigualdad es un enunciado que establece que un número es menor que otro.

• Si dos desigualdades tienen sus símbolos apuntando en la misma dirección, entonces decimos que tienen el “mismo sentido”.

• Si dos desigualdades tienen sus símbolos apuntando en dirección distintas, entonces decimos que tienen “sentido opuestos”.



Por tanto:a < b tienen el mismo sentido que c < d óa < b tienen sentido opuesto que c > d.

REGLAS PARA LAS DESIGUALDADES:

• Si un mismo numero se suma o se resta en ambos lados de una desigualdad, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original.

• Si ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por el mismo numero positivo, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original.

• Si ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por el mismo numero negativo, la desigualdad resultante tendrá el sentido contrario que la original.

• Cualquier lado de una desigualdad puede reemplazarse por una expresión equivalente a ella.

• Si los lados de una desigualdad son ambos positivos o negativos, entonces sus recíprocos estarán relacionados por un símbolo de desigualdad con sentido contrario ala desigualdad original.

• Si los lados de una desigualdad son ambos positivos y elevamos cada lado a la misma potencia positiva, entonces la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original.



DEFINICIÓN DE DESIGUALDAD LINEAL:

• Una desigualdad lineal en la variable “x” es aquella que puede escribirse en la forma:



• Donde “a” y “b” son constantes y a ≠ 0.• Esta definición también se aplica para ≤, < y ≥

RESOLUCIÓN DE UNA DESIGUALDAD LINEAL

RESOLUCIÓN DE UNA DESIGUALDAD LINEAL:• Resolver: Facultad de Ciencias

Empresariales UCV


Solución:

)x < 5

TIPOS DE INTERVALO:Podemos denotar los siguientes tipos de intervalos Facultad de Ciencias

Empresariales UCV


]

b[

aIntervalo cerrado [ a, b ]

)

b(

aIntervalo abierto ( a, b )

EJEMPLOS DE INTERVALO:Aquí tenemos algunos ejemplos de intervalos: Facultad de Ciencias

Empresariales UCV


)

b[

aa ≤ x < b

]

b(

aa < x ≤ b

[

ax ≥ a

(

ax > a

]

ax ≤ a

)

ax < a

-∞ < x < ∞

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:• Calcular de forma gráfica las soluciones de estas

inecuaciones:

• Representamos la parábola:



Vértice

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:• Dependiendo del signo de la inecuación las solución

cambia:Facultad de Ciencias Empresariales UCV


t

• Tomamos la zona de signo negativo de la parábola. El Conjunto Solución [1, 4]

• Tomamos la zona de signo positivo de la parábola. Solución (-∞,1)U( 4,∞)

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:

• El gráfico de la ecuación:Facultad de Ciencias Empresariales UCV


El C. S = [1, 4] El C. S = (-∞,1] U [ 4,∞)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE INECUACIONES

UTILIDAD• Problema: Para una compañía que fabrica

calentadores para acuarios el costo combinado de mano de obra y material es de $ 21 por calentador. Los costos fijos (costos en que se incurre en un período dado, sin importar la producción) son $ 70000. Si el precio de venta de un calentador es $ 35. ¿Cuánto debe vender para que la compañía genere utilidades?



UTILIDAD• Sabemos que:• Debemos encontrar el ingreso total y después

determinar cuando su diferencia es positiva.



Sea “q” el numero de calentadores que deben venderse. Entonces su costo es 21 * q. Por lo tanto el costo total para la compañía es 21q + 70000. El ingreso total de la venta de “q” calentadores será 35 * q. Ahora:Si queremos que la utilidad sea > 0, entonces:

Por lo tanto: se debe vender mas de 5000 calentadores

RENTA VERSUS COMPRA• Problema: Un constructor debe decidir entre

rentar o comprar una maquina excavadora. Si fuese a rentar la máquina, el costo de la renta seria de $ 3000 mensuales (sobre la base de un año) y el costo diario (gas, aceite y operador) sería de $ 180 por cada día que la máquina se utilice. Si él fuese a comprarla, sus costos fijos anuales serían de $ 20000 y los costos diarios de operación y mantenimiento serían de $ 230 por cada día que la máquina se utilizará. ¿Cuántos días al año por lo menos, tendría que utilizar el constructor la máquina para justificar la renta en lugar de la compra?



RENTA VERSUS COMPRA



Sea “d” el número de días de cada año que la máquina será utilizada. Si la máquina se renta, el costo total anual consiste en los gastos de la renta, que son (12)(3000) y los costos diarios de 180d. Si la máquina se compra, el costo por año es 20000 + 230d por lo tanto:

Por lo tanto: Debe Utilizar la máquina por lo menos 319 días para justificar la renta.

PUBLICIDAD• Problema: Una compañía de Publicidad

determina que el costo de publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $ 1,50. El ingreso recibido de los distribuidores es $ 1,40 por revista. El ingreso por publicidad es 10% de los ingresos recibidos de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de 10000. ¿Cuál es el número mínimo de revistas que deben venderse de modo que la compañía obtenga utilidades?



PUBLICIDAD• Sea “q” el número de revistas vendidas. El ingreso

recibido de los distribuidores es 1,40q y el recibido por publicidad es (0,10)(1.40q)(q-10000). El costo total de la publicación es 1,50q. Así



Por lo tanto: el número de revistas deben ser mayor que 35000. Esto es, al menos 35001 ejemplares para garantizar utilidades

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