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Sesión # 6Cálculo Integral

Dr. Ildebrando Pérez Reyes

En cuanto a cálculo integral MAPLE puede cubrir muy bien casi todo el temario. Al igual que antes hay comandos para realizar cálculos de manera directa y comandos para realizar operaciones paso a paso.

Sumas de RiemannCómo ya se ha de suponer las sumas de Riemann sirven para el cálculo aproximado de áreas que no pueden ser calculadas a través de las fórmulas ya establecidas de geometría. Las sumas de Riemann se definen como

en donde la función representa la función que genera una curva. El área bajo la curva se calcula con las sumas de Riemann. representa el tamaño de las particiones. representa un punto en cada partición.

Para calcular las sumas de Riemann, se carga la paquetería de Calculus1,

restart;with(Student[Calculus1]):

Consideremos ahora la función

f00:=10-x^2;

y que se desea calcular el área bajo la curva en . Su gráfica es la siguiente

plot(f00, x=0..3.5, labels=[x,f(x)], view=[0..3.5,0..12], filled=true, tickmarks=[8, 12]);

(1.2)(1.2)

> >

x0 1 2 3

f x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

. Y además, . Para implementar la suma de Riemann de acuerdo con la fórmula anterior se tien

Sumaf00:= eval(f00,x=0.5)*(1-0.25) + eval(f00,x=1.25)*(1.5-1) +eval(f00,x=1.75)*(1.75-1.5) + eval(f00,x=2)*(2.25-1.75) + eval(f00,x=2.75)*(3-2.25);

Que es precisamente la respuesta del libro.

Par el caso del comando de MAPLE, ofrece 6 diferentes opciones:Left,Right,Lower,Upper,Midpoint.

> >

> >

En donde cada uno de ellos corresponde a la manera o al lugar en donde encuentran ubicados los puntos . A continuación se prueban cada uno de los métodos para la misma función

RiemannSum(f00, x=0.25..3.0, partition=[0.25,1,1.5,1.75,2.25,3], method = left, output = plot);

x1 2 3

0

2

4

6

8

10

A left Riemann sum approximation of 0.25

3.0f x dx, where f x = 10 Kx2

and the partition is uniform. The approximate value of the integral is 21.062500. Number of subintervals used: 5.

RiemannSum(f00, x=0.25..3.0, partition=[0.25,1,1.5,1.75,2.25,3], method = right, output = plot);

> >

x1 2 3

0

2

4

6

8

10

A right Riemann sum approximation of 0.25

3.0f x dx, where

f x = 10 Kx2 and the partition is uniform. The approximate value of theintegral is 15.578125. Number of subintervals used: 5.

RiemannSum(f00, x=0.25..3.0, partition=[0.25,1,1.5,1.75,2.25,3], method = lower, output = plot);

> >

x1 2 3

0

2

4

6

8

10

A lower Riemann sum approximation of 0.25

3.0f x dx, where


RiemannSum(f00, x=0.25..3.0, partition=[0.25,1,1.5,1.75,2.25,3], method = upper, output = plot);

> >

x1 2 3

0

2

4

6

8

10

An upper Riemann sum approximation of 0.25

3.0f x dx, where


RiemannSum(f00, x=0.25..3.0, partition=[0.25,1,1.5,1.75,2.25,3], method = midpoint, output = plot);

(1.3)(1.3)> >

> >

> >

x1 2 3

0

2

4

6

8

10

A midpoint Riemann sum approximation of 0.25

3.0f x dx, where


Y como puede verse ninguno de los métodos arroja unresultado que encaje con el del libro. Por comparación con el EJEMPLO ILUSTRATIVO 1, de la sección 4.5 de Leithold se comprende porque no encajan los resultados.

También es posible elaborar un programa para que lo haga automáticamente. Esto se puede hacer conun procedure

funcion:= f00;

x00:= 0.25:x11:= 1.0:x22:= 1.5:x33:= 1.75:x44:= 2.25:x55:= 3:x66:= 0:w11:= 0.5:w22:= 1.25:w33:= 1.75:w44:= 2:

> >

> >

> >

(1.5)(1.5)

> >

> >

(1.6)(1.6)

> >

(1.4)(1.4)

> >

w55:= 2.75:w66:= 0:#PARA 4 PARTICIONES#############################################SumaDeRiemann4p:= proc(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6, w1,w2,w3,w4,w5,w6,funcion1) description "Suma de Riemann para 4 particiones"; eval(funcion1,x=w1)*(x1-x0) + eval(funcion1,x=w2)*(x2-x1) + eval(funcion1,x=w3)*(x3-x2) + eval(funcion1,x=w4)* (x4-x3) end proc;

#PARA 5 PARTICIONES#############################################SumaDeRiemann5p:= proc(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6, w1,w2,w3,w4,w5,w6,funcion1) description "Suma de Riemann para 5 particiones"; eval(funcion1,x=w1)*(x1-x0) + eval(funcion1,x=w2)*(x2-x1) + eval(funcion1,x=w3)*(x3-x2) + eval(funcion1,x=w4)* (x4-x3) + eval(funcion1,x=w5)*(x5-x4) end proc;

#PARA 6 PARTICIONES#############################################SumaDeRiemann6p:= proc(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6, w1,w2,w3,w4,w5,w6,funcion1) description "Suma de Riemann para 6 particiones"; eval(funcion1,x=w1)*(x1-x0) + eval(funcion1,x=w2)*(x2-x1) + eval(funcion1,x=w3)*(x3-x2) + eval(funcion1,x=w4)* (x4-x3) + eval(funcion1,x=w5)*(x5-x4) + eval(funcion1,x=w6)*(x6-x5) end proc;

> >

> >

(1.8)(1.8)

> > (1.7)(1.7)

(1.9)(1.9)

> >

> >

> >

> >

> >

(1.10)(1.10)

> >

#AHORA SE PONEN APRUEBA#############################################SumaDeRiemann4p(x00,x11,x22,x33,x44,x55,x66, w11,w22,w33,w44,w55,w66,funcion);

16.265625SumaDeRiemann5p(x00,x11,x22,x33,x44,x55,x66, w11,w22,w33,w44,w55,w66,funcion);

18.093750

Calculemos ahora el siguiente ejercicio:

Obviamente, son 4 particiones y se puede resolver fácilmente con el procedure SumaDeRiemann4p

funcion:= x^2;

x00:= 0:x11:= 0.5:x22:= 1.25:x33:= 2.25:x44:= 3:w11:= 0.25:w22:= 1.:w33:= 1.5:w44:= 2.5:SumaDeRiemann4p(x00,x11,x22,x33,x44,x55,x66, w11,w22,w33,w44,w55,w66,funcion);#QUE CONCUERDA PERFECTAMENTE!!!!!

7.71875plot(x^2, x=0..3.5, labels=[x,f(x)], view=[0..3,0..10], filled=true, tickmarks=[8, 12]);

> >

> >

> >

x0 1 2 3

f x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ahora, resolvamos el mismo problema pero con el método del punto medio

RiemannSum(x^2, x=0.25..3.0, partition=[0,0.5,1.25,2.25,3], method = midpoint, output = plot, boxoptions=[filled=[color=pink,transparency=.7]]);

(2.2)(2.2)

> >

(2.3)(2.3)

> >

> >

> >

> >

(2.1)(2.1)

x1 2 3

0

2

4

6

8

A midpoint Riemann sum approximation of 0.25

3.0f x dx, where f x = x2

and the partition is uniform. The approximate value of the integral is 8.832031250. Number of subintervals used: 5.

Integrales definidas e indefinidasLas integrales definidas son de gran importancia no sólo en matemáticas sino también en física e ingeniería debido a sus usos para calcular áreas , volúmenes, etc.. En MAPLE el comando para resolver este tipo de integrales es simple: int(función,variable=límites);

Veamos el siguiente ejemplo:

f01:= x^2;

que se va a integrar entre el intervalo entonces

int(f01,x=0..3);9

Considérese ahora la integral de en el intervalo

int(x,x=0..3);

> >

> >

(2.4)(2.4)

(2.3)(2.3)

> >

> >

> >

92

plot(x, x=0..3., labels=[x,f(x)], view=[0..3,0..3], filled=true, tickmarks=[8, 12]);

x0 1 2 3

f x

0

1

2

3

Considérese el siguiente ejemplo. en el intervalo

int(sqrt(9-x^2),x=-3..3);evalf(int(sqrt(9-x^2),x=-3..3));

14.13716694plot(sqrt(9-x^2), x=-4..4., labels=[x,f(x)], view=[-4..4,0..6],filled=true, tickmarks=[8, 12]);

> >

(2.3)(2.3)

> >

> >

> >

(2.5)(2.5)

x0 1 2 3 4

f x

1

2

3

4

5

6

Considérese el siguiente ejemplo. en el intervalo

int(sin(x),x=0..2*Pi);0

plot(sin(x),x=0..2*Pi, labels=[x,f(x)], view=[0..2*Pi,-1..1], filled=true, tickmarks=[8, 12]);

(2.7)(2.7)

> >

> >

(2.6)(2.6)

> > (2.8)(2.8)

> >

> >

(2.9)(2.9)

(2.3)(2.3)

> >

x1 2 3 4 5 6

f x

0

1

Así con otros ejercicios:

f02:= sqrt(5+4*x-x^2);

int(f02,x=-1..5);

f03:= 6-abs(x-2);

int(f03,x=0..8);28

En cuanto a integrales definidas hay de muchos tipos y la sintaxis es mucho más simple. Basta con

quitar los límites. Por ejemplo, intégrese la función

> >

> >

(2.12)(2.12)

(2.10)(2.10)

> >

> >

(3.2)(3.2)

(3.1)(3.1)> >

> >

(2.11)(2.11)

(2.3)(2.3)

> >

(2.13)(2.13)

> >

(3.3)(3.3)

> >

f04:= (x^2+2)/(x+1);

int(f04,x);

f05:= (2-3*sin(2*x))/cos(2*x);

int(f05,x);

Integrales definidas e indefinidas paso a pasoPara resolver integrales paso a paso con ayuda de un asistente se carga la paquetería:

with(Student[Calculus1]);

y de allí se usa el comando Inttutor. considérese la función

IntTutor(x^3,x);

La misma integral se puede hacer en el intervalo[0,3]

IntTutor(x^3,x=0..3);

> >

> >

(3.7)(3.7)

> >

(3.9)(3.9)

(3.6)(3.6)

> >

> >

(3.5)(3.5)

(2.3)(2.3)

(3.8)(3.8)

> >

> >

> >

(3.4)(3.4)

Considéres una función más complicada

f06:= 1/(1+exp(x));

IntTutor(f06,x);

y además se desea ver los pasos. Entonces, se usa ShowSolution

ShowSolution(IntTutor(f06,x));

=

=

=

=

=

=

=

=

=

f07:= exp(2*x)/(exp(x)+3);

IntTutor(f07,x);

ShowSolution(Int(f07,x));

> >

(3.9)(3.9)

> >

(4.1)(4.1)> >

(2.3)(2.3)

> >

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Aproximación de integralesLas Integrales pueden ser aproximadas gráficamente en el estilo de las sumas Riemann. En ese sentido, MAPLE provee un comando idóneo ApproximateInteTutor

Considérese la siguiente función en el intervalo [0,3]

f08:= x^3;

ahora usemos el comando para aproximar la integral

ApproximateIntTutor(f08,x=0.3);

> >

(3.9)(3.9)

(4.2)(4.2)

> >

(2.3)(2.3)

> >

> >

0 1 2 3

10

20

30

Considérese la función

f07;

en el intervalo [0,5]

ApproximateIntTutor(f07,x=0..5);

> >

(3.9)(3.9)

(2.3)(2.3)

> >

1 2 3 4 50

20

40

60

80

100

120

140

160

Integrales definidas por la regla de SimpsonLa regla de Simpson es un método para aproximar el valor numérico de una integral definida.

La regla de Simpson está definida de forma aproximada en el libro de Leithold como sigue

=

La fórmula exacta de la regla de Simpson es

=

> >

> >

(3.9)(3.9)

(5.4)(5.4)

> >

> >

(5.1)(5.1)

> >

(5.2)(5.2)

(2.3)(2.3)

> >

> >

(5.3)(5.3)

De nueva cuenta, se necesita la paquetería Calculus1 y el comando a usar es ApproximateInt


Considérese que se desea usar la regla de Simpson para aproximar la siguiente integral

Obviamente esta puede calcularse fácilmente como sigue

f09:= 1/(1+x);

int(f09,x=0..1.);0.6931471806

Ahora, aplicaremos la regla de Simpson con N=4

ApproximateInt(f09,x=0..1., method=simpson, partition=4);0.6931545307

ApproximateInt(f09,x=0..1, method=simpson, output=plot, partition=4);

> >

(3.9)(3.9)

(5.7)(5.7)> >

> >

> >

> >

(2.3)(2.3)

> >

(5.5)(5.5)

(5.6)(5.6)

x1

0

An approximation of 0

1f x dx using Simpson's rule, where

f x = 1xC1

and the partition is uniform. The approximate value of the

integral is 0.6931545307. Number of subintervals used: 4.

Considérese otra función

f10:= exp(-x^2/2);

int(f10,x=0..2);evalf(int(f10,x=0..2));

1.196288013ApproximateInt(f10,x=0..2., method=simpson, partition=4);

1.196281734ApproximateInt(f10,x=0..2, method=simpson, output=plot, partition=4);

> >

(3.9)(3.9)

(6.1)(6.1)> >

(2.3)(2.3)

> >

x1 2

0

An approximation of 0

2f x dx using Simpson's rule, where

f x = eK

12

x2 and the partition is uniform. The approximate value of the

integral is 1.196281734. Number of subintervals used: 4.

Longitud de arcoPara el cálculo de longitud de arco se usa de igual forma la paquetería de Calculus1. Esta tiene dosopcionesArcLengthTutor

ArcLength


> >

> >

(3.9)(3.9)

> >

(6.4)(6.4)

(6.1)(6.1)

(6.3)(6.3)

(6.2)(6.2)

(2.3)(2.3)

> >

> >

> >

Calcúlese entonces, la longitud de arco de la función desde el punto (1,1) hasta el punto (8,4)

f11:= x^(2/3);

ArcLength(f11,x=1..4);ArcLength(f11,x=1..4.);

3.367636667ArcLength(f11,x=1..4, output=integral);

ArcLength(f11,x=1..4, output=plot, axes=boxed);

f x g x = 1 Cddx

f x2

1

xg s ds

x1 2 3 4

0

1

2

3

The arc length of f x = x2 /3 on the interval 1, 4 . The coordinate system is Cartesian.

> >

(3.9)(3.9)

(6.1)(6.1)

(2.3)(2.3)

> >

> >

Probemos ahora con el otro comando

ArcLengthTutor(f11,x=1..4);

x1 2 3 4

y

0

1

2

3

Superficies de revoluciónPara el cálculo de superficies de revolución se usa de igual forma la paquetería de Calculus1. Esta tiene dos opcionesSurfaceOfRevolution

SurfaceOfRevolutionTutor

Definición de unsa superficie de revolución:

Si una curva plana se gira alrededor de una recta fija que está en el plano de la curva, entonces la superficie así generada se denomina superficie de revolución. La recta fija se llama eje de la superficie de revolución, y la curva plana recibe el nombre de curva generatriz (o revolvente).

> >

(3.9)(3.9)

(7.1.1)(7.1.1)

(6.1)(6.1)

> >

(7.1)(7.1)

> >

(2.3)(2.3)

> >

> >


Considérese el siguiente ejemplo tomado del libro de Leithold sección 10.6 superficies

Ejemplo ilustrativo. (Leithold, Sec. 10.6 Superficies)Una esfera es generada al girar la semicircunferencia alrededor del eje Considerar que

with(plots);

implicitplot(y^2+z^2=2,y=-2..2,z=-2..2, view=[-1.5..1.5,0..1.5]);

> >

(7.1.3)(7.1.3)

(7.1.2)(7.1.2)

(3.9)(3.9)

(6.1)(6.1)

(7.1)(7.1)

> >

(2.3)(2.3)

> >

> >

> >

> >

y0 1

z

1

Entonces, reescribamos la expresión en términos de

y00:= sqrt(2-z^2);

ahora usamos el comando SurfaceOfRevolution y calculamos el valor de la superficie de revolución

SurfaceOfRevolution(y00, z=-1.414..1.414);25.1289459025.12894590

ahora veamos la posibilidad de ver una esfera

SurfaceOfRevolution(y00, z=-1.414..1.414, output=plot, axes=frame);

> >

(3.9)(3.9)

(6.1)(6.1)

> >

(7.1)(7.1)

(2.3)(2.3)

> >

> >

Surface of revolution formed when f x = 2Kz2 , K1.414 % z % 1.414, is rotated about a horizontal axis.

Un cilindro circular rectose genera a partir de la curva generatriz del plano y su eje es el eje . Considérese que

plot(4,x=-2..2);

> >

(3.9)(3.9)

(6.1)(6.1)

(7.1)(7.1)

> >

(2.3)(2.3)

(7.1.4)(7.1.4)

> >

> >

> >

x0 1 2

3

4

5

6

ahora usamos el comando SurfaceOfRevolution y calculamos el valor de la superficie de revolución

SurfaceOfRevolution(4, z=-2..2);SurfaceOfRevolution(4, z=-2..2.);

100.5309649

ahora veamos la posibilidad de ver una esfera

SurfaceOfRevolution(4, z=-2..2, output=plot, axes=frame, surfaceoptions=[shading=zhue]);

> >

(3.9)(3.9)

(6.1)(6.1)

(7.1)(7.1)

> >

(2.3)(2.3)

> >

> >

Surface of revolution formed when f x = 4, K2 % z % 2, is rotated about a horizontal axis.

otro ejemplo,

SurfaceOfRevolution(cos(x) + 1, x=0..4*Pi, output=plot);

> >

(3.9)(3.9)

(6.1)(6.1)

(7.1)(7.1)

(2.3)(2.3)

> >

> >

> >

Surface of revolution formed when f x = cos x C1, 0 % x % 4 p, is rotated about a horizontal axis.

SurfaceOfRevolution(1/x*cos(x), Pi..4*Pi, output=plot, axis=vertical);

> >

(3.9)(3.9)

(6.1)(6.1)

(7.1)(7.1)

(2.3)(2.3)

> >

> >

> >

Surface of revolution formed when f x = cos xx

, p % x % 4 p, is

rotated about a veritcal axis.

Usemos ahora el segundo comando para abrir el asistente

SurfaceOfRevolutionTutor(1+sin(x));

> >

(3.9)(3.9)

(6.1)(6.1)

(7.1)(7.1)

(2.3)(2.3)

> >

> >

> >

plot(1+sin(x),x);

> >

(3.9)(3.9)

(6.1)(6.1)

(7.1)(7.1)

> >

(2.3)(2.3)

> >

> >

x

02 2

1

2

SurfaceOfRevolutionTutor(1+sin(x), 0..Pi);

(8.3)(8.3)

> >

> >

(3.9)(3.9)

> >

(6.1)(6.1)

(8.1)(8.1)

(8.4)(8.4)

(2.3)(2.3)

> >

> >

> >

(7.1)(7.1)

> >

(8.2)(8.2)

> >

Volúmenes de revoluión

with(Student[Calculus1]):VolumeOfRevolution(x^2 + 1, x=0..1);

VolumeOfRevolution(x^10 + 1, x^2 + 1, x=0..1, distancefromaxis=-1);

VolumeOfRevolution(sin(x) + 1, x=0..3, output=integral);

Int(Pi*(sin(x)+1)^2,x=0..3);

> >

(3.9)(3.9)

> >

> >

> >

(6.1)(6.1)

(7.1)(7.1)

(8.4)(8.4)

(8.5)(8.5)

(2.3)(2.3)

> >

> >

VolumeOfRevolution(sin(x) + 1, x=2*Pi..3*Pi, output=integral, axis=vertical);

VolumeOfRevolution(cos(x) + 1, x=0..4*Pi, output=plot);

The solid of revolution created on 0 % x % 4 p by rotation of f x = cos x C1 about the axis y = 0.

VolumeOfRevolution(cos(x) + 3, sin(x) + 2, x=0..4*Pi, output=plot);

> >

(3.9)(3.9)

(6.1)(6.1)

(7.1)(7.1)

(8.4)(8.4)

(2.3)(2.3)

> >

> >

> >

The solid of revolution created on 0 % x % 4 p by rotation of f x = cos x C3 and g x = sin x C2 about the axis y = 0.

VolumeOfRevolution(x^2, x=-1..1, output=plot, showregion=true);

> >

(3.9)(3.9)

(6.1)(6.1)

> >

(7.1)(7.1)

(8.4)(8.4)

(2.3)(2.3)

> >

> >

> >

The solid of revolution created on K1 % x % 1 by rotation of f x = x2 about the axis y = 0. The slice that is rotated is shaded in burgundy.

#############VolumeOfRevolutionTutor(1+sin(x));

> >

(3.9)(3.9)

> >

(6.1)(6.1)

(7.1)(7.1)

(8.4)(8.4)

(2.3)(2.3)

> >

> >

VolumeOfRevolutionTutor(1+sin(x), 0..Pi);

> >

(3.9)(3.9)

(6.1)(6.1)

(7.1)(7.1)

(8.4)(8.4)

(2.3)(2.3)

> >

> >

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