Universite de Metz Licence de Mathematiques L2U.F.R. M.I.M. Unite Series entie`res et series de FourierDepartement de Mathematiques Annee universitaire 2007/2008

Partiel de Series entie`res et series de Fourier

par Jean-Pierre Dax

17 Mars 2008. Duree 2 heures.

Lusage de calculatrices, de documents ecrits ou de telephones portables nest pas autorise.Il sera enleve O.25 point par faute dorthographe, de grammaire ou de syntaxe.

Exercice 1. Determiner le rayon de convergence de la serie entie`re

+n=1

(2n)!

n!nnzn .

Exercice 2. 1) A quelles conditions doit satisfaire une suite (an)nN de nombres reels pour

que la somme de la serie entie`re+n=0

an xn verifie sur son intervalle de convergence

lequation differentielle4x y + 2 y + y = 0 (E)

2) On suppose dorenavant que la suite (an)nN verifie les conditions trouvees en1) et que de plus a0 = 1 . Determiner la suite (an) .

3) Determiner le rayon de convergence R de la serie entie`re+n=0

an xn obtenue.

4) Prouver que la somme S(x) de cette serie entie`re est solution sur son intervallede convergence de lequation differentielle (E) .

5) Determiner la somme S(x) de cette serie entie`re.

Indication : on distinguera le cas x 0 et le cas x 0 . fin du sujet

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Examen de Series entie`res et series de Fourier

par Jean-Pierre Dax

28 Mai 2008. Duree 2 heures.

Lusage de calculatrices, de documents ecrits ou de telephones portables nest pas autorise.

Il sera enleve O.25 point par faute dorthographe, de grammaire ou de syntaxe.

Exercice 1. Soit a [0, pi] (fixe). On conside`re la fonction 2pi-periodique f : R R definie

par

f(x) =

x+ a si x [a, 0]x+ a si x [0, a]0 si x [pi,a] [a, pi]

1) Determiner la serie de Fourier de f sous la forme trigonometrique (cest-a`-direla serie en cosinus et sinus).

2) Prouver directement que la serie de fonctions obtenue en 1) converge norma-lement sur R .

3) Determiner la somme de la serie de Fourier de f en tout point x R .4) On conside`re pour tout x R les series de fonctions

+n=1

1

n2sin2

nx

2et

+n=1

(1)n+1n2

sin2nx

2

4.a) Prouver que ces 2 series sont simplement convergentes. On notera leurssommes repectivement V (x) et W (x) .

4.b) Deduire de 3) la valeur de V (x) et W (x) pour tout x [0, pi] .

4.c) En deduire la somme de la serie+k=0

1

(2k + 1)2.

TOURNEZ LA FEUILLE S.V.P.

Exercice 2. Pour tout (x, t) R+ R+ on pose

f(x, t) =et (1+x

2)

1 + x2.

On conside`re pour tout t R+ lintegrale impropre +0

f(x, t) dx .

1.a) Montrer que ces integrales impropres convergent normalement sur R+ . Pourt R+, on notera F (t) la valeur de lintegrale impropre.

1.b) Montrer que la fonction F : R+ R est continue.2.a) Soit a R+ (fixe). Montrer que les integrales impropres +

0

f

t(x, t) dx

convergent normalement sur [a,+[ .2.b) Montrer que la fonction F est de classe C1 sur R+ . Calculer F (t) pour

t > 0, a` une constante multiplicative pre`s.

3.a) En deduire quil existe I, J R tels que pour tout t R+ on ait

F (t) = I J t0

eyydy .

3.b) Determiner la constante I en faisant t> 0 (justifier la limite de F (t)) .

3.c) Determiner la constante J en faisant t + (justifier la limite de F (t)) .Prouver que lon a la relation +

0

eu2

du =

pi

2

fin du sujet

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Examen de Series entie`res et series de Fourier

par Jean-Pierre Dax

27 Juin 2008. Duree 2 heures.

Lusage de calculatrices, de documents ecrits ou de telephones portables nest pas autorise.

Il sera enleve O.25 point par faute dorthographe, de grammaire ou de syntaxe.

Exercice 1. On conside`re la serie entie`re de terme general un(z) defini par

u0(z) = u1(z) = 0

un(z) =zn

n2 1 , n 2

ou` z designe une variable complexe.

1) Determiner le rayon de convergence R de la serie entie`reun(z).

2) Determiner lensemble des z C tels que la serie un(z) converge.3) Prouver que la serie entie`re

un(z) converge normalement sur .

4) On note S(z) la somme au point z de la serie entie`re consideree. Prouver quela fonction S : C est une fonction continue. On resoudra cette question sanscalculer la somme de la serie entie`re.

5) Calculer la valeur de S(x) pour tout x ] 1, 1[ .6) Deduire de 5) les valeurs de S(1) et de S(1) . Retrouver directement ces valeursa` partir de la definition de la serie entie`re.

TOURNEZ LA FEUILLE S.V.P.

Exercice 2. On conside`re la fonction 2pi-periodique f : R R definie par

f(x) = x pour tout x [pi, pi[ .

1) Representer le graphe de la fonction f .

2) Determiner la serie de Fourier en sinus et cosinus de la fonction f .

3) Prouver directement en utilisant la definition de la convergence normale que laserie de Fourier de la fonction f ne converge pas normalement sur R .

4) Determiner la somme de la serie de Fourier consideree en tout point x R .5) Prouver en utilisant un argument simple que la serie de Fourier de la fonction fnest pas uniformement convergente sur R .

6) Deduire de 4) la valeur de la somme

+p=0

(1)p2p+ 1

.

7) On note Sn(x) la somme partielle dordre n N de la serie de Fourier consideree.Simplifier lexpression donnant S n(x) (passer en exponentielles et utiliser la formuledonnant la somme dune suite geometrique finie). En deduire le nombre de x [pi, pi[tels que

S n(x) = 0 .

fin du sujet