SERIES NUMERICAS

Sucesiones sumables. Sumas parciales. Series numericas.La definicion de serie numerica tiene como objeto precisar rigurosamente lo que sig-

nifica la suma de infinitos numeros. Dada la sucesion

a0, a1, a2, . . .

se trata de dar sentido a la suma infinita

k=0

ak := a0 + a1 + a2 +

Esta suma es la serie asociada a la sucesion. Para ello se construye la sucesion de sumasparciales mediante

sn := a0 + a1 + + anCuando esta sucesion tiene lmite, es decir cuando existe un numero real s tal que

limn

sn = s

se dice que la sucesion (an) es sumable y se escribe

a0 + a1 + a2 + = s

Tambien se dice que la serie asociada es convergente. En caso contrario se dice que la seriees divergente.

La serie geometrica.Dado un numero real r, la serie geometrica es

k=0

rk = 1 + r + r2 +

La sucesion de sumas parciales de esta serie es

sn = 1 + r + + rn =

1 rn+11 r si r 6= 1

n+ 1 si r = 1

Esta serie es convergente si |r| < 1, en cuyo caso se tiene

1 + r + r2 + = 11 r

A diferencia de lo que ocurre con esta serie, casi nunca se puede determinar conexactitud lo que vale la suma de una serie convergente. Ordinariamente lo unico que sepuede hacer es decidir acerca de si la serie es o no convergente y estimar, en el caso deconvergencia, la suma a partir de un segmento inicial de la sucesion de sumas parciales.

Condicion necesaria de convergencia de una serie.Para que una serie sea convergente es necesario que la sucesion que se suma converja

hacia el 0, es decir

k=0

ak convergente = limn

an = 0

Este resultado es consecuencia inmediata de pasar al lmite en la igualdad

an = sn sn1Notese que en el caso de la serie geometrica, la condicion

limn

rn = 0

es necesaria y suficiente para la convergencia de la serie. Sin embargo, en general estacondicion no es suficiente; es decir existen series cuyo termino general tiende a anularseque no son convergentes. Enseguida veremos un ejemplo importante de esta posibilidad.

No obstante, la necesidad de la condicion puede utilizarse para descartar la posibilidadde que una serie converja; tal es el caso de la serie

n=1

n 22n+ 1

cuyo termino general tiende a 1/2 y por tanto no satisface la condicion necesaria de con-vergencia.

Divergencia de la serien=1

1

n, denominada armonica

La serie armonica es la suma de los inversos de los numeros enteros positivos, es decirla serie

1 +1

2+

1

3+

1

4+

Para ver que esta serie es divergente basta observar que

1

3+

1

4>

1

21

5+

1

6+

1

7+

1

8>

1

2...

1

2 + 1+ + 1

2+1>

1

2

Se cumple entonces

1 +1

2+

[1

3+

1

4

]+ +

[1

2 + 1+ + 1

2+1

]> 1 +

+ 1

2

por lo que las sucesion de sumas parciales diverge hacia . Notese que esta serie satisfacela condicion necesaria de convergencia.

Series de terminos positivosCuando todos los terminos de la sucesion (an) son no negativos, la sucesion de sumas

parciales es monotona creciente, es decir si

sn := a0 + a1 + + an

se cumple obviamente ques0 s1 s2

Puesto que una sucesion monotona creciente es convergente si y solo si esta acotada, sesigue que una serie de terminos no negativos es convergente si y solo si la sucesion de sussumas parciales esta superiormente acotada.

Notese que en la prueba de la divergencia de la serie armonica ya hemos utilizado sinmencionarlo este criterio de convergencia de una serie de terminos positivos.

Convergencia de la serien=1

1

n2.

Probaremos la convergencia de esta serie que es obviamente una serie de terminospositivos comprobando que sus sumas parciales estan acotadas superiormente. Para ellopartimos de la desigualdad evidente

1

k2 0 es claro que resulta laigualdad

1

dx

xp= lim

X

1

p 1(1 1

Xp1

)=

1

p 1

Estimacion asintotica de sumas parciales de series divergentes.La relacion entre series e integrales tambien es util para estimar, en el caso de series

divergentes, el comportamiento de las sumas parciales mediante integrales. Para ello,manteniendo las hipotesis del apartado anterior sobre la funcion f(x), consideremos lasucesion definida por

rn =n

k=1

f(k) n+1

1

f(x) dx

de la que vamos a comprobar que es convergente. Es inmediato comprobar que estasucesion es monotona creciente; en efecto se tiene

rn rn1 =[

nk=1

f(k) n+1

1

f(x) dx

][n1k=1

f(k) n

1

f(x) dx

]

= f(n) n+1n

f(x) dx 0

Por otro lado, de la desigualdad

n+11

f(x) dx n+1

2

f(k)

se se sigue que

rn n

k=1

f(k)n+1k=2

f(k) = f(1) f(n+ 1) f(1)

de manera que la sucesion tambien esta superiormente acotada. Con esto se termina deconfirmar la convergencia de la sucesion. Existe por tanto una constante r, definida por

r := limn

rn,

que permite escribir la estimacion

nk=1

f(k) + n+1

1

f(x) dx

Si aplicamos el resultado del punto anterior a la funcion f(x) = 1/x podemos deducirque la sucesion

n := 1 +1

2+ + 1

n logn

es convergente. Para ello basta combinar ese resultado con la observacion siguiente:

limn

[log(n+ 1) logn

]= lim

nlog

(1 +

1

n

)= 0

Su lmite, cuyo valor aproximado es 0.577215, es conocido como constante de Euler. Ex-presando el resultado en la forma

1 +1

2+ + 1

n= + logn+ n, con n 0

nos da para n >> 1 la aproximacion

1 +1

2+ + 1

n log n

que nos dice como se comportan asintoticamente las sumas parciales de la serie armonica,cuestion que tiene interes en determinadas aplicaciones.

Suma de la serie alternada de la armonica.El resultado del apartado anterior nos permite deducir la suma de la serie alternada

de la armonica del modo siguiente. Generalizando la igualdad

1 12+

1

3 1

4=

[1 +

1

2+

1

3+

1

4

] 2

[1

2+

1

4

]

=

[1 +

1

2+

1

3+

1

4

][1 +

1

2

]

partimos de la la identidad

2nk=1

(1)k1k

=

2nk=1

1

k

nk=1

1

k

Dado lo visto anteriormente, esta identidad nos permite escribir que

2nk=0

(1)kk + 1

= [ + log(2n) + 2n] [ + logn+ n]

= log 2 + 2n nde manera que al pasar al lmite obtenemos que

1 12+

1

3 1

4+ = log 2

Ejercicios

1 . Calcular la suma de la serie

1 +1

2+

1

4+

1

8+

Determinar los valores de x para los que la serie funcional

n=0

enx

es convergente, determinando en su caso la suma de la serie.2 . Utilizando la descomposicion en fracciones simples, determinar la suma de la series

n=1

1

n(n+ 1),

n=1

1

n(n+ 1)(n+ 2).

Estudiar la posibilidad de generalizar estos resultados para sumar la serie

n=1

1

n(n+ 1) (n+ ) , con entero positivo

3 . Probar la convergencia de la serie

n=2

log

(1 1

n2

)

estudiando el comportamiento asintotico de su termino general. Obtener la suma dela serie descomponiendo cada sumando como diferencia de dos terminos consecutivosde una determinada sucesion.

4 . Analizar, utilizando la prueba de la integral, la convergencia de las series

n=2

1

n(logn)

en funcion de los valores del parametro .5 . Utilizando la prueba de Leibniz para convergencia de series alternadas, demuestrese

la convergencia de la serien=1

(1)n lognn

6 . Pruebese que existe una reordenacion de la serie alternada de la armonica que la hacedivergente. Indicacion:

1 +1

3+

1

5+ =

7 . Sea p(x) un determinado polinomio. Aplquese la prueba del cociente para demostrarque la serie

n=1

p(n)an

n!

es convergente cualquiera que sea el valor del parametro a.8 . Utilizando el resultado

1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+ = e

calcular la suma de la serie

n=1

10 + 6n+ 3n2 + 2n3

n!

Indicacion: identificar los coeficientes a, b y c tales que

6 + 3x+ 2x2 = a+ b(x+ 1) + c(x+ 1)(x+ 2)

9 . Pruebese que si la sucesion (an) es absolutamente sumable es decir, si la serieasociada es absolutamente convergente entonces la sucesion es de cuadrado sumable.En smbolos, que vale la implicacion

n=0

|an|

14 . Formense con una calculadora las primeras cien sumas de Cesaro de la serie alternadade la armonica y compruebese as numericamente que convergen mas rapidamentehacia la suma de la serie que las propias sumas parciales.

15 . Para cada entero positivo n denotese con (n) el numero de cifras de la representaciondecimal de n. Dado a > 0, aplquense los criterios del cociente y la raz al estudio dela convergencia de la serie

n=1

an(n)